第一部分 高中数学思想方法解题聚汇
思想篇 数学思想在解题审题中的应用
思想1 函数与方程思想
函数思想
方程思想
函数思想是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图
象和性质去分析、转化问题,从而使问题得到解决的思想
方程思想就是建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方
程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问
题得到解决的思想
真|题|示|例
1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=
( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解题关键】 根据已知条件中向量垂直,可得b·(b-4a)=0,建立关于x 的方程即可求解. 答案:D.
2.(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4 项的和等于4,前8 项的和等于68,则这个数列的公比等于
.
【解题关键】 设等比数列的首项为a1,公比为q,由等比数列的前n 项和公式得a1(1-q
4)
1-q
=4,a1(1-q
8)
1-q
=68,解方程组求
出公比q.答案:2.
3.(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x 在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a 的切线,则a= .
【解题关键】 令f(x)=ex+x,则f'(x)=ex+1,所以f'(0)=2,所以曲线y=ex+x 在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.令g(x)=ln(x+1)+a,则
g'(x)= 1
x +1
,设直线y=2x+1 与曲线y=g(x)相切于点(x0,y0),则
1
x0+1=2,得x0=-1
2
,则y0=2x0+1=0,所以0=ln(- 1
2 +1)+a,所以a=ln
2.答案:ln 2.
新|题|自|测
1.(2025·泰安模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x<0 时,f(x)=3x-1,则使不等式f(ex-3e-x)<8
9 成立的x 的取值范围是(C)
A.(ln 3,+∞)
B.(0,ln 3)
C.(-∞,ln 3)
D.(-1,3)
解析 当x<0 时,f(x)=3x-1 单调递增且f(x)<0,又函数f(x)是定义在R 上的奇函数,则f(0)=0 满足f(x)=3x-1,所以函数y=f(x)在R
上是连续函数,所以函数f(x)在R 上是增函数,f(-2)=-8
9,所以f(2)=-f(-2)=8
9,f(ex-3e-x)<8
9 =f(2),所以ex-3e-x<2,即e2x-2ex-3<0,(ex-3)
(ex+1)<0,又ex+1>0,所以ex<3,x<ln 3,即原不等式的解集为(-∞,ln 3).
2.(2025·衡水模拟)已知正数a,b,c 满足aea=bln b=ecln c=1,则a,b,c 的大小关系为(D)
A.c<a<bB.c<b<a
C.a<b<cD.a<c<b
解析 由aea=bln b=ecln c=1,得ea-1
a
=ln b-1
b
=ln c- 1
e
c =0,令函数f(x)=ex-1
x
,x>0,显然函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(
1
2)=e
1
2
-2<0,f(1)=e-1>0,f(a)=0,则1
2
<a<1;令函数g(x)=ln x-1
x
,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(2)=ln 2-1
2
>0,而g(
3
2)=ln3
2
-2
3
<ln√e-2
3
=
1
2
-2
3
<0,g(b)=0,则3
2
<b<2;令h(x)=ln x- 1
e
x ,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,而h(1)=-1
e
<0,h(
3
2)=ln3
2
-
1
e
3
2 >ln3
2
-1
3
=1
3
ln27
8
-1
3
>1
3
ln
e-1
3
=0,h(c)=0,则1<c<3
2
,所以a,b,c 的大小关系为a<c<b.
3.(2025·长沙模拟)已知O 为坐标原点,F1,F2分别是双曲线C: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线C 上一点,若直线
PF1和OP 的倾斜角分别为α 和2α,且tan α=3
4
,则双曲线C 的离心率为(B)
A.√3
B.5
C.2
D.7
5
解析 由题意得tan 2α= 2tan α
1-tan
2α
=
2× 3
4
1-(
3
4)
2=24
7 ,所以直线PF1的斜率为tan α=3
4 ,直线OP 的斜率为24
7 ,设P(x,y),则有
y
x +c
=3
4
, y
x
=24
7
,解得x=7 c
25
,y=24 c
25
,代入双曲线方程,得(
7 c
25)
2
a
2
-(
24 c
25 )
2
b
2
=1,又b2=c2-a2,所以(c2-a2)(
7c
25)
2
-a2(
24 c
25 )
2
=a2(c2-a2),化简可得(
7
25)
2
c4-2a2c2+a4=0,又e=c
a
,所以(
7
25)
2
e4-2e2+1=0,解得e=5 或e=5
7
,因为e>1,所以e=5.故选B.
4.(2025·无锡模拟)设非零向量a,b,c 满足a+b+c=0,|a|=2,<b,c>=120°,则|b|的最大值为 4√3
3
.
解析 因为a+b+c=0,所以a=-(b+c),所以|a|2=|b|2+2|b||c|cos 120°+|c|2,即|c|2-|b||c|+|b|2-4=0,所以Δ=|b|2-4(|b|2-4)≥0,解得0<|b|≤4√3
3
,即|b|的最大值为4√3
3
.
思想2 数形结合思想
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用
包括以下两个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学
问题的本质;(2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.
真|题|示|例
1.(2024·新课标Ⅰ卷) 当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x 与y=2sin(3 x - π
6)的交点个数为
( )
A.3
B.4
C.6
D.8
【解题关键】 画出函数y=sin x 和函数y=2sin(3 x - π
6)在[0,2π]上的图象,由图可知,两函数图象有6 个交点.答案:C.
2.(2025·全国二卷)(多选题)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0 时,f(x)=(x2-3)ex+2,则
( )
A.f(0)=0
B.当x<0 时,f(x)=-(x2-3)e-x-2
C.f(x)≥2 当且仅当x≥√3
D.x=-1 是f(x)的极大值点
【解题关键】 当x>0 时,f'(x)=(x+3)(x-1)ex,令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0<x<1,因此f(x)在x=1 处取得极小值,故奇函数f(x)在
x=-1 处取得极大值.对于选项C,作出f(x)的大致图象,由图可知C 选项错误.答案:ABD.
3.(2025·全国二卷)若x=2 是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)= .
【解题关键】 因为x=2 是函数f(x)的极值点,所以由数轴标根法可得a=2,作出f(x)的图象如图所示,所以a=2 符合题意,则
f(x)=(x-1)(x-2)2.答案:-4.
新|题|自|测
1.(2025·青岛模拟)若|a|=|b|=|c|=2,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的取值范围是(D)
A.[0,2√2+2]
B.[0,2]
C.[2√2-2,2√2+2]
D.[2√2-2,2]
解析
如图所示,⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,⃗OD=a+b,因为(a-c)·(b-c)≤0,所以点C 在劣弧AB 上运动,所以|a+b-c|表示C,D 两点间的距离|⃗
CD|.|⃗CD|的最大值是|⃗BD|=2,|⃗CD|最小值为|⃗OD|-2=2√2-2.
2.(2025·湖南模拟)已知函数f(x)={
- x
2+2 x , x ≤0,
ln( x +1), x>0,
若|f(x)|≥ax,则a 的取值范围是(D)
A.(-∞,0] B.(-∞,1]
C.[-2,1] D.[-2,0]
解析
由题意可作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax 的图象.由图象可知,函数y=ax 的图象是过原点的直线,当直线介于l 与x 轴之
间符合题意,直线l 为曲线的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y=x2-2x,求其导数可得y'=2x-2,当x=0 时,
y'=-2,故直线l 的斜率为-2,故只需直线y=ax 的斜率a∈[-2,0].
3.(2025·湖北模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F 的直线交抛物线于点A,B(点A 在第一象限),过A,B 两点分别作
准线的垂线,垂足为C,D.连接CF 交y 轴于点H,若DH∥AB,则直线AB 的斜率为(D)
A.1
B.√3
C.2
D.2√2
解析
设HD 与x 轴的交点为E.根据抛物线的定义有|AF|=|AC|,|BF|=|BD|.因为BD∥x 轴,DH∥AB,所以四边形BDEF 是菱形.因为|AC|
=|AF|,所以∠ACF=∠AFC,又AC∥EF,所以∠ACF=∠EFH,即∠EFH=∠AFC.因为DH∥AB,所以∠EHF=∠AFC,所以
∠EFH=∠EHF,所以|EH|=|EF|.在菱形BDEF 中,|EF|=|ED|,所以|EH|=|ED|,所以E 是DH 的中点.又点F 到准线的距离为p,所以|
EF|=3
4
p,|EO|=1
4
p,在Rt△EOH 中,|OH|=√| EH |
2-| EO|
2=√2
2
p,所以B(
p
4 ,- √2
2 p),又F(
p
2 ,0),直线AB 的斜率kAB=
0-(- √2 p
2 )
p
2 - p
4
=2√2.
4.(2025·河南模拟)过双曲线x2- y
2
48
=1 的右支上一点P,分别向圆C1:(x+7)2+y2=4 和圆C2:(x-7)2+y2=1 作切线,切点分别为M,N,
则|PM|2-|PN|2的最小值为 25
.
解析
由双曲线方程知其焦点坐标为(±7,0),由圆的方程知,圆C1圆心为C1(-7,0),半径r1=2;圆C2圆心为C2(7,0),半径r2=1.因为
PM,PN 分别为两圆切线,所以|PM|2=|P C1|
2-r1
2=|PC1|2-4,|PN|2=|PC2|2-r2
2=|PC2|2-1,所以|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|+|PC2|)
(|PC1|-|PC2|)-3,因为P 为双曲线右支上的点,且双曲线焦点为C1,C2,所以|PC1|-|PC2|=2,又|PC1|+|PC2|≥|C1C2|=14(当P 为双曲线右
顶点时取等号),所以|PM|2-|PN|2=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3≥14×2-3=25,即|PM|2-|PN|2的最小值为25.
思想3 转化与化归思想
转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一
种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解
决的问题通过变换转化为已解决的问题.
真|题|示|例
1.(2024·新课标Ⅱ卷) 设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax,当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=( )
A.-1
B.1
2
C.1
D.2
【解题关键】 令h(x)=f(x)-g(x),x∈(-1,1),原问题等价转化为h(x)有且仅有一个零点,可知h(x)为偶函数,根据偶函数图象的对
称性可知h(x)的零点只能为0,即可得a=2,并代入检验即可.答案:D.
2.(2022·新课标Ⅱ卷)(多选题)若实数x,y 满足x2+y2-xy=1,则( )
A.x+y≤1B.x+y≥-2
C.x2+y2≥1
D.x2+y2≤2
【解题关键】 由(x - y
2)
2
+(
√3
2 y)
2
=1,令{
x - y
2 =cos θ ,
√3
2 y =sin θ ,
得{
x = √3
3 sin θ+cos θ ,
y = 2√3
3
sin θ ,
结合三角函数的性质分别求出
x+y 与x2+y2的取值范围.答案:BD.
3.(2021·新课标Ⅰ卷)函数f(x)=|2x-1|-2ln x 的最小值为 .
【解题关键】 将函数转化为f(x)={
2 x -1-2ln x , x> 1
2 ,
1-2 x -2ln x ,0< x ≤1
2 ,
在每段函数中借助导数分析函数的单调性,进而求解最小
值.答案:1.
新|题|自|测
1.(2025·株洲模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个
与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆,若椭圆C: x
2
a+1
+ y
2
a
=1(a>0)的离心率为1
2
,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(B)
A.x2+y2=9
B.x2+y2=7
C.x2+y2=5
D.x2+y2=4
解析 因为椭圆C: x
2
a+1
+ y
2
a
=1(a>0)的离心率为1
2,所以
1
√a+1
=1
2,解得a=3,所以椭圆C 的方程为x
2
4
+ y
2
3
=1,所以椭圆的上
顶点A(0,√3),右顶点B(2,0),所以经过A,B 两点的切线方程分别为y=√3,x=2,所以两条切线的交点坐标为(2,√3),又过A,B 的
切线互相垂直,由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得圆的半径r=√2
2+(√3)
2=√7,所以椭圆C 的蒙日圆方程为
x2+y2=7.
2.(2025·太原模拟)某工件是底面半径为1,母线长为3 的圆锥,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工
件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件的材料利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积)(A)
A. 8
9 π
B. 8
27 π
C.24(√2-1)
3
π
D.8(√2-1)
3
π
解析
因为该几何体是一个底面半径为r=1,母线长为l=3 的圆锥,则圆锥的高为h=√l
2-r
2=√3
2-1
2=2√2.由题意知,加工成的体积
最大的正方体ABCD A
⁃
1B1C1D1的一个底面A1B1C1D1在圆锥的底面上,过平面AA1C1C 的轴截面如图所示,设正方体的棱长为
x,则有
√2
2 x
r
=h- x
h
,即x
√2
=2√2- x
2√2
,解得x=2√2
3
,则原工件的材料利用率为V 正方体
V 圆锥
=
x
3
1
3 π r
2h
= 8
9 π
.
3.(2025·山东模拟)已知大于1 的三个实数a,b,c 满足(lg a)2-2lg a lg b+lg b lg c=0,则a,b,c 的大小关系不可能是(D)
A.a=b=cB.a>b>c
C.b>c>aD.b>a>c
解析 令f(x)=x2-2x lg b+lg b lg c,则lg a 为f(x)的零点,且该函数图象的对称轴为直线x=lg b,故Δ=4lg2b-4lg b lg c≥0.因为
b>1,c>1,故lg b>0,lg c>0,所以lg b≥lg c,即b≥c.又f(lg b)=lg b lg c-lg2b=lg b(lg c-lg b),f(lg c)=lg2c-lg b lg c=lg c(lg c-lg b),若b=c,
则f(lg b)=f(lg c)=0,故lg a=lg b=lg c,即a=b=c.若b>c,则f(lg b)<0,f(lg c)<0,利用二次函数图象,可得lg a<lg c<lg b 或lg c<lg
b<lg a,即a<c<b 或c<b<a.
思想4 分类讨论思想
分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,需对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,
给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为
整”的数学思想.
真|题|示|例
1.(2024·新课标Ⅱ卷) 设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为
( )
A.1
8
B.1
4
C.1
2
D.1
【解题关键】 解法一:f(x)的定义域为(-b,+∞),分类讨论-a 与-b,1-b 的大小关系,结合符号分析判断,即可得b=a+1,代入可得
最值;解法二:根据对数函数的性质分析ln(x+b)的符号,通过分类讨论进而可得x+a 的符号,即可得b=a+1,代入可得最值.答案:
C.
2.(2024·全国甲卷)有6 个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3 次,每次取1 个球.设m 为前两次取出的
球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 之差的绝对值不大于1
2
的概率为 .
【解题关键】 根据排列可求样本点的总数,设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c,则a+b-3≤2c≤a+b+3,就c 的不同
取值分类讨论后可求随机事件的概率.答案: 7
15.
3.(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 .
【解题关键】 当x>0 时设切点为(x0,ln x0),求出函数的导函数,即可求出切线的斜率,从而表示出切线方程,再根据切线
过坐标原点求出x0=e,即可求出切线方程y= x
e ,当x<0 时,同理可求出切线方程y=- x
e .答案:y= x
e ,y=- x
e .
新|题|自|测
1.(2025·保定模拟)已知函数f(x)={
a x
2-ax +1, x ≤1,
x -aln x , x>1
(a∈R),若函数f(x)有四个零点,则a 的取值范围是(C)
A.(-∞,0) B.(e,+∞)
C.(4,+∞)D.(4,e2)
解析 当a=0 时,f(x)={
1, x ≤1,
x , x>1,函数f(x)无零点,舍去.当a<0,且x≤1 时,f(x)=ax2-ax+1 为图象开口向下,对称轴为直线x=1
2
的二
次函数,f(
1
2)=a×(
1
2)
2
-a×1
2+1=-1
4 a+1>0,f(1)=a-a+1=1>0.则x≤1 时,函数f(x)与x 轴只有一个交点;当a<0,且x>1 时,f(x)=x-a ln
x.f'(x)=1-a
x
= x -a
x
>0,故函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f(x)>f(1)=1,即x>1 时,函数f(x)与x 轴无交点.则当a<0 时,函数f(x)有一
个零点,与题意不符,舍去.当a>0,且x≤1 时,f(x)=ax2-ax+1 为图象开口向上,对称轴为直线x=1
2
的二次函数.f(
1
2)=a×(
1
2)
2
-a×1
2
+1=-1
4
a+1,f(1)=a-a+1=1>0.函数f(x)在(-∞,1]最多有两个零点.当a>0,且x>1 时,f(x)=x-a ln x.f'(x)=1-a
x
= x -a
x
.令f'(x)=0,得x=a,
当0<a≤1 时,f'(x)>0,在(1,+∞)内单调递增,与已知矛盾,不符合题意,舍去;当a>1 时,x∈(a,+∞)时,f(x)单调递增,x∈(1,a)时,f(x)单调
递减,f(a)=a-a ln a,函数f(x)在(1,+∞)最多有两个零点.若使得函数f(x)有四个零点,则需{
a>1,
f(
1
2)<0,
f (a)<0,
即{
a>1,
- 1
4 a+1<0,
a-aln a<0,
解得
a>4.
2.(2025·开封模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若acos A=bcos B,且c=2,sin C=3
5 ,则△ABC 的面积为(A)
A.1
3
或3B.2
3
或1
2
C.1 或2
3 D.1 或1
2
解析 由acos A=bcos B 及正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.因为A,B∈(0,π),所以2A=2B 或2A+2B=π,即
A=B 或A+B=π
2 .又sin C=3
5,所以A=B.当C 为锐角时,因为sin C=3
5,所以cos C=4
5 ,所以sinC
2 =√10
10
.由sinC
2 =
c
2
a
=
c
2
b
及c=2,得
b=a=√10,所以△ABC 中AB 边上的高为3,所以△ABC 的面积为1
2
×2×3=3.当C 为钝角时,因为sin C=3
5
,所以cos C=-4
5
,所以
sinC
2
=3√10
10
.由sinC
2
=
c
2
a
=
c
2
b
及c=2,得b=a=√10
3
,所以△ABC 中AB 边上的高为1
3
,所以△ABC 的面积为1
2
×2×1
3
=1
3
.综上,
△ABC 的面积为3 或1
3.
3.(2025·菏泽模拟)记F1,F2为椭圆C: x
2
m
+y2=1 的两个焦点,若C 上存在点M 满足⃗M F1·⃗M F2=0,则实数m 的取值范围是(A)
A.(0, 1
2]∪[2,+∞)
B.[
1
2 ,1)∪[2,+∞)
C.(0, 1
2]∪(1,2] D.[
1
2 ,1)∪(1,2]
解析 如图①,当焦点在x 轴上时,a2=m,b2=1,m>1,由对称性可知当M 为上、下顶点时,∠F1MF2最大,因为⃗M F1·⃗M F2=0,则
当M 为上、下顶点时,∠F1MF2≥π
2
,∠F1MO≥π
4
,所以tan∠F1MO=c
b
≥tanπ
4
=1,即√m-1
1
≥1,解得m≥2;如图②,当焦点在y 轴上
时,a2=1,b2=m,0<m<1,当M 为左、右顶点时,∠F1MF2最大,因为⃗M F1·⃗M F2=0,则当M 为左、右顶点时,∠F1MF2≥π
2 ,∠F1MO≥
π
4 ,所以tan∠F1MO=c
b ≥tanπ
4 =1,即√1-m
√m
≥1,解得0<m≤1
2.
①
②
4.(2025·德阳模拟)已知函数f(x)=ln x+a
x (a∈R),若函数f(x)有两个不同的零点,则a 的取值范围为 (0, 1
e) .
解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1
x - a
x
2= x -a
x
2 ,当a≤0 时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,不可能有两个零点,舍去;当a>0
时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,因为f(x)有两个不同的零点,所以f(x)min=f(a)=ln a+1<0,解得0<a<1
e .当0<a<1
e 时,
因为f(e)=1+a
e >0,所以f(x)在(a,e)上存在一个零点,因为f(a2)=2ln a+1
a >0,所以f(x)在(a2,a)上也存在一个零点.综上,0<a<1
e .
方法篇 高考选填题特殊解法的巧用
方法1 特例法
第①步 取特例
第②步 检验与排除
第③步 下结论
直接取特殊自变量、特殊
点、特殊图形、特殊位
置、特殊函数、特殊数列
等
特值排除:代入特值,检验是否符合,排除干扰项;
特值检验:对于定性、定量问题,直接通过特值简化
题干,速求结论
根据检验结果,直接选出相应的项,或
多次验证排除错误选项
真|题|示|例
1.(2025·全国一卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z 的大小关系不可能是
( )
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>zD.y>z>x
【多想少算】 令x=1,则y=1
3 ,z= 1
125,得x>y>z;令x=8,则y=9,z=1,得y>x>z;令x=64,则y=243,z=125,得y>z>x.排除A、C、
D.答案:B.
2.(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,若S9=1,则a3+a7=
( )
A.-2
B.7
3
C.1
D.2
9
【多想少算】 令等差数列的公差d=0,则S9=1=9a1,可得a1=1
9,则a3+a7=2a1=2
9 .答案:D.
3.(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)·ln2 x -1
2 x +1为偶函数,则a= ( )
A.-1
B.0
C.1
2
D.1
【多想少算】 因为f(x)的定义域为(-∞,- 1
2)∪(
1
2 ,+∞)且为偶函数,所以f(-1)=f(1),解得a=0.答案:B.
新|题|自|测
1.(2025·湖北模拟)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则(D)
A.λ+μ=1B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
解析 由结论的确定性,可选取特殊数值μ=1.依题意知a+λb=(1,1)+λ(1,-1)=(1+λ,1-λ),a+μb=a+b=(1,1)+(1,-1)=(2,0).因为
(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+b)=(1+λ,1-λ)·(2,0)=2(1+λ)=0,解得λ=-1,此时λ+μ=0,λμ=-1.结合题中的选项可知,应选D.或者,利
用常规方法求解.由a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),结合(a+λb)⊥(a+μb),可得(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理
得λμ=-1.应选D.
2.(2025·安庆模拟)已知双曲线C: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且与渐近线平行的直线交双曲线C 于
点M,若|MF1|=3|MF2|,则双曲线C 的离心率为(B)
A.√2
B.√3
C.√5
D.3
解析 (特值法)根据双曲线的对称性,不妨设一条渐近线的方程为y=b
a x,则直线MF2的倾斜角α 的正切值为b
a ,则cos α=a
c ,
设|MF2|=1,|MF1|=3,由双曲线的定义可知|MF1|-|MF2|=2a=2,解得a=1.在△MF1F2中,由余弦定理可知cos α=4 c
2+1-9
4 c
=c
2-2
c
,故c
2-2
c
=1
c ,解得c=√3(负值舍去),所以双曲线的离心率e=c
a=√3.
3.(2025·上饶模拟)已知f(x)是定义在R 上的偶函数且f(0)=-1,g(x)=f(x-1)是奇函数,则f(2 026)=(C)
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析 构造函数f(x)=-cosπx
2 ,则f(x)为定义在R 上的偶函数,且f(0)=-1,g(x)=f(x-1)=-sinπx
2 是奇函数,满足题意,所以f(2 026)=-
cos2 026 π
2
=-cos π=1,故选C.
4.(2025·河北模拟)已知抛物线C:y2=8x 的焦点为F,准线为l0,过焦点F 且倾斜角为θ(θ≠π
2)的直线l 与抛物线交于A,B 两点,
则
1
| FA | +
1
| FB| = 1
2 .
解析 令θ=60°,A 在第一象限,则易知|AF|=8,|BF|=8
3 ,所以
1
| FA | +
1
| FB| =1
8+3
8=1
2.
方法2 验证法
使用前提
使用技巧
常见问题
各选项可分别作为
条件
可以结合特值法、排除法等先否定一些明显错误的选项,再
选择直觉认为最有可能的选项进行验证,这样可以快速获得
答案
题干信息不全、选项是数值或范
围、正面求解或计算烦琐的问题等
真|题|示|例
1.(2025·全国二卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=
( )
A.{0,1,2}B.{1,2,8}
C.{2,8}
D.{0,1}
【多想少算】 因为2 不满足x3=x,所以2∉(A∩B),排除A,B,C.答案:D.
2.(2025·全国一卷)若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=√3x+2 的距离为1 的点有且仅有两个,则r 的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(3,+∞)D.(0,+∞)
【多想少算】 圆心(0,-2)到直线y=√3x+2 的距离d=2,当r=1 时,圆上有一个点到直线的距离为1,当r=3 时,圆上有三个点到
直线的距离为1,所以要使圆上有且仅有两个点到直线的距离为1,则1<r<3.答案:B.
3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)={
- x
2-2ax -a, x<0,
e
x+ ln( x +1), x ≥0
在R 上单调递增,则a 的取值范围是
( )
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
【多想少算】 当a=1 时,f(x)=-(x+1)2在(-∞,0)上不单调,可排除C 和D 选项;当a=-2 时,对于函数f(x),当x 从0 的左侧趋近于
0 时,f(x)→2,而f(0)=1,所以f(x)在R 上不单调,可排除A 选项.答案:B.
新|题|自|测
1.(2025·黑龙江模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1= an
an+2(n∈N*).若bn=log2(
1
an
+1),则数列{bn}的通项公式bn=(C)
A.1
2n
B.n-1
C.n
D.2n
解析 因为b1=log2(
1
a1
+1)=log2(1+1)=1,排除A、B、D.
2.(2025·安徽模拟)已知函数f(x)=
2
2
x+1
-1,且f(4x-1)>f(3),则实数x 的取值范围是(D)
A.(2,+∞)B.(-∞,2)
C.(1,+∞)D.(-∞,1)
解析 令x=0,得f(0)>f(3),因为f(x)为减函数,排除A、C,又令x=1,得f(3)>f(3),显然不成立,排除B.
3.(2025·衡阳模拟)已知某函数的图象如图所示,则下列函数中,图象最契合的函数是(D)
A.y=sin(ex+e-x)
B.y=sin(ex-e-x)
C.y=cos(ex-e-x)
D.y=cos(ex+e-x)
解析 由题图可知,当x=0 时,y<0,当x=0 时,y=sin(ex+e-x)=sin 2>0,故排除A;当x=0 时,y=sin(ex-e-x)=sin 0=0,故排除B;当x=0 时,
y=cos(ex-e-x)=cos 0=1>0,故排除C;当x=0 时,y=cos(ex+e-x)=cos 2<0,满足题意.
4.(2025·衡水模拟)(多选题)将函数y=cos(x + π
3)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
(纵坐标不变),然后向左平移π
4
个单
位长度得到函数f(x)的图象,则(BD)
A.f(x)=sin(2 x + π
3)是函数f(x)的一个解析式
B.直线x=7 π
12 是函数f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)是周期为π 的奇函数
D.函数f(x)的单调递减区间为[kπ - 5 π
12 ,kπ + π
12](k∈Z)
解析 f(x)=cos[2(x + π
4)+ π
3]=cos(2 x + π
2 + π
3)=-sin(2 x + π
3).f(x)=-sin(2 x + π
3)≠sin(2 x + π
3),故A 错误;f(0)=-sin π
3
=-√3
2
≠0,所以函数f(x)不是奇函数,故C 错误.
方法3 构造法
使用前提
使用技巧
常见问题
所构造的函数、方程、几何图
形等要合理,不能超出原题的限
制条件
对于不等式、方程、函数问题常采用构造新
函数,对于不规则的几何体常构造成规则几何
体处理
比较大小、函数导数问题、不规则
的几何体问题等
真|题|示|例
1.
(2024·天津高考)一个五面体ABC DEF
⁃
如图所示,已知AD∥BE∥CF,且两两之间的距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的
体积为( )
A.√3
6
B.3√3
4
+1
2
C.√3
2
D.3√3
4
-1
2
【多想少算】 采用补形法将五面体ABC DEF
⁃
补成一个棱柱,再利用体积公式求解即可.答案:C.
2.(2022·新课标Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b=1
9 ,c=-ln 0.9,则
( )
A.a<b<cB.c<b<a
C.c<a<bD.a<c<b
【多想少算】 构造函数f(x)=ex-(x+1),利用导数性质求出ex≥x+1,由此可得a<b;构造函数g(x)=xex+ln(1-x),0<x≤0.1,由g(x)的
单调性可得出a>c,由此能求出结果.答案:C.
3.(2024·全国甲卷)曲线y=x3-3x 与y=-(x-1)2+a 在(0,+∞)上有两个不同的交点,则a 的取值范围为 .
【多想少算】 令x3-3x=-(x-1)2+a,分离参数a,构造新函数g(x)=x3+x2-5x+1(x>0),结合导数求得g(x)的单调区间,画出g(x)的大
致图象,数形结合即可求解.答案:(-2,1).
新|题|自|测
1.(2025·湖北模拟)已知定义在R 上的函数f(x)满足1
2f(x)+f'(x)>0,且有f(1)=1
2,则2f(x)>e
1- x
2 的解集为(B)
A.(-∞,2) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(2,+∞)
解析 设F(x)=f(x)·e
x
2,则F'(x)=f'(x)·e
x
2+1
2 f(x)·e
x
2=e
x
2[
1
2 f ( x)+ f '( x)]>0,所以函数F(x)在R 上单调递增,又f(1)=1
2,所以
F(1)=f(1)·e
1
2=1
2 e
1
2.又2f(x)>e
1- x
2 等价于f(x)·e
x
2>1
2 e
1
2,即F(x)>F(1),所以x>1,即所求不等式的解集为(1,+∞).
2.(2025·长春模拟)已知三棱锥P ABC
⁃
的四个顶点在球O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为2 的正三角形,E,F 分别是
PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则球O 的体积为(D)
A.8√6π B.4√6π C.2√6π D.√6π
解析 如图所示,构造棱长为√2的正方体,显然满足题设的一切条件,则球O 就是该正方体的外接球,从而体积为√6π.
3.(2025·泰安模拟)已知函数f(x)=ex+2x,g(x)=4x,且f(m)=g(n),则|n-m|的最小值为 1
2-1
2ln 2 .
解析 由f(m)=g(n),得em+2m=4n,化简整理得4n-4m=em-2m.令h(m)=em-2m(m∈R),则h'(m)=em-2,令em-2=0,解得m=ln 2.当m∈(-
∞,ln 2)时,h'(m)<0,即h(m)在(-∞,ln 2)上单调递减;当m∈(ln 2,+∞)时,h'(m)>0,即h(m)在(ln 2,+∞)上单调递增,所以h(m)min=h(ln
2)=2-2ln 2>0,所以|n-m|min=1
2-1
2ln 2.
4.(2025·福建模拟)设数列{an}中,a1=3,1
3an=an-1+3n(n∈N*,n≥2),则an= ( 3 n -2
) 3 n .
解析 因为1
3an=an-1+3n(n∈N*,n≥2),所以an
3
n -an-1
3
n-1=3.又因为a1=3,所以a1
3
=1.所以数列{
an
3
n}是以1 为首项,3 为公差的等差数
列.所以an
3
n =1+3(n-1)=3n-2,则an=(3n-2)3n.
方法4 估算法
对于选择题中的有些题目解答无需过程,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能
作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次.
真|题|示|例
1.(2025·全国一卷)已知双曲线C 的虚轴长是实轴长的√7倍,则C 的离心率为
( )
A.√2
B.2
C.√7
D.2√2
【多想少算】 由题意得c>b=√7a,故C 的离心率e=c
a >√7.因为选项A,B,C 都小于或等于√7,所以正确选项为D.答案:D.
2.(2025·全国二卷)在△ABC 中,BC=2,AC=1+√3,AB=√6,则A=
( )
A.45°
B.60°
C.120° D.135°
【多想少算】 由题意得BC<AB<AC,所以A<C<B.因为A+B+C=180°,所以A<60°,通过选项可以判断A=45°.答案:A.
3.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选题)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(
)
A.直径为0.99 m 的球体
B.所有棱长均为1.4 m 的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m 的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m 的圆柱体
【多想少算】 直径为0.99 m 的球体可直接放入棱长1 m 的正方体容器,所以A 正确;连接题目中正方体的对角线,可得棱
长为√2 m 的四面体,所以B 正确;正方体内最长的线段为体对角线,长为√3 m,所以C 错误;通过作图计算可得D 正确.答案:
ABD.
新|题|自|测
1.(2025·安庆模拟)设A,B,C,D 是同一个半径为4 的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D ABC
⁃
体积的最大值为(B)
A.12√3 B.18√3 C.24√3 D.54√3
解析 等边三角形ABC 的面积为9√3,显然球心不是此三角形的中心,所以三棱锥的体积最大时,三棱锥的高h 应满足
h∈(4,8),所以1
3×9√3×4<V 三棱锥D ABC
⁃
<1
3×9√3×8,即12√3<V 三棱锥D ABC
⁃
<24√3.
2.(2025·江西模拟)已知三棱锥S ABC
⁃
的所有顶点都在球O 的表面上,△ABC 是边长为1 的正三角形,SC 为球O 的直径,且
SC=2,则此三棱锥的体积为(A)
A.√2
6
B.√3
6
C.√2
3
D.√2
2
解析 如图,可知V<1
3 S△ABC×2R=√3
6
,排除B,C,D,故选A.
3.(2025·滨州模拟)在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则| PA |
2+| PB|
2
| PC |
2
=(D)
A.2
B.4
C.5
D.10
解析 |PA|2+|PB|2≥(| PA |+| PB|)
2
2
>| AB|
2
2
=8|PC|2,所以| PA |
2+| PB|
2
| PC |
2
>8,结合选项,选D.
4.(2025·丹东模拟)已知sin θ=m-3
m+5 ,cos θ=4 -2m
m+5 ,θ∈(
π
2 ,π),则tanθ
2=(D)
A.m-3
9-m
B.|
m-3
9-m|
C.1
3
D.5
解析 由于受到条件sin2θ+cos2θ=1 的约束,m 一定为一个确定的值,进而可知tanθ
2也是一个确定的值,因为θ∈(
π
2 ,π),所以
θ
2∈(
π
4 , π
2),所以tanθ
2>1,所以D 正确.
方法5 关联法逻辑推理 快解多选
①析选项·找关联
②关键项·判正误
③逻辑推理·下结论
通过分析找到选项之间的关联:
逻辑1:矛盾选项只选其一;
逻辑2:关联选项同正同误
从关联选项中最容易的选项入手,用常
规法、特值法、极限法等确定选项正
误
根据关联关系,推理判断其他选项(或
结合多选题的特征判断,已知2 个错
误项,剩下2 个必然正确)
选项D:多选题在判断选项D 的正误时较为困难.这时若在选项ABC 中排除两个错误选项,则另一个选项与选项D 均为
正确项;若能判断选项ABC 为正确选项,则选项D 必错误
真|题|示|例
1.(2025·全国二卷)(多选题)记Sn为等比数列{an}的前n 项和,q 为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则( )
A.q=1
2
B.a5=1
9
C.S5=8
D.an+Sn=8
【多想少算】 选AD.
第①步(关联法发
现矛盾选项)
因为a5+S5≠8,所以选项BC 与选项D 明
显矛盾
第②步(计算关键
选项)
由条件得出a1=4,q=1
2,则a5=1
4 ,S5=31
4
第③步(逻辑推理
下结论)
选项A 正确,B,C 均不正确,故选AD
2.(2025·全国一卷)(多选题)已知△ABC 的面积为1
4 ,cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=1
4 ,则
( )
A.sin C=sin2A+sin2B
B.AB=√2
C.sin A+sin B=√6
2
D.AC2+BC2=3
【多想少算】 选ABC.
第①步(关联法发
现矛盾选项)
由余弦的二倍角公式化简得sin
C=sin2A+sin2B,所以A 正确;分类讨论得出
A+B=π
2
,发现选项B 和选项D 明显矛盾,
必有其中一个选项错误
第②步(计算关键
选项)
由C=π
2 ,则cos Acos B=1
4 ,可以取A=5 π
12
,B= π
12
,得出C 正确;由三角形面积公式得
出AB=√2,B 正确
第③步(逻辑推理
下结论)
A 正确,B 正确,C 正确,所以D 必然错误,故
选ABC
新|题|自|测
1.(2025·衡水模拟)(多选题)等差数列{an}的前n 项和为Sn,a2+a4=10,S7=49,则下列说法正确的有
(ACD)
A.a3=5
B.an=3n-3
C.Sn=n2
D.若bn=(-1)nan,则{bn}的前20 项和T20=20
解析
第①步(逻辑分析
法发现矛盾选项)
观察选项可知,选项A 与选项B 矛盾,选
项B 与选项C 矛盾
第②步(计算任一
选项)
由题意得,C 选项完全符合题干条件,C
正确,a3=S3-S2=5,T20=20,AD 正确
第③步(逻辑推理
下结论)
A 正确,所以B 错误,故选ACD
2.(2025·湖南模拟)(多选题)已知函数f(x)=√2cos(2 x + 5 π
4 ),则(BD)
A.f(x)图象的一个对称中心为(
3 π
8 ,0)
B.f(x)的图象向右平移3 π
8
个单位长度后得到的是奇函数的图象
C.f(x)在区间[
5 π
8 , 7 π
8 ]上单调递增
D.若y=f(x)的图象在区间(0,m)上与直线y=1 有且只有6 个交点,则m∈(
5 π
2 , 13 π
4 ]
解析
第①步(用代入法
排除A)
f(
3
8 π)=√2cos(2× 3
8 π + 5 π
4 )=√2≠0
,排除A
第②步(通过计算
排除C)
当x∈[
5 π
8 , 7 π
8 ]时,2x+5 π
4 ∈
[
5 π
2 ,3 π],由余弦函数单调性知,f(x)在
区间[
5 π
8 , 7 π
8 ]上单调递减,排除C
第③步(逻辑推理
下结论)
AC 错误,多选题至少有两个正确选项,
故选BD
3.(2025·株洲模拟)(多选题)如图,四边形ABCD 为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥
E ACD
⁃
,F ABC
⁃
,F ACE
⁃
的体积分别为V1,V2,V3,则(CD)
A.V3=2V2
B.V3=V1
C.V3=V1+V2
D.2V3=3V1
解析
第①步(逻辑分析
法发现矛盾选项)
选项B 和选项C 明显矛盾.观察图形可
得V1=2V2,又选项A 与选项B 是等价的
关联选项,选项C 与选项D 是等价的关
联选项,答案要么选AB,要么选CD
第②步(计算关键
选项)
只需判断V1和V3的关系.用图形观察法
得到V3≠V1,排除B
第③步(逻辑推理
下结论)
A 错误,B 错误,故选CD
