考点归纳：数列求和（六）放缩证明
🌈
⾼三冲刺笔记-数列（⼗六）
⼀
、放缩
:
1
.
定义
:
欲证A ≤B
,
欲寻找⼀个(或多个)
中间变量
C
, 使A ≤C
≤B
,
由A 到
C 叫做
“放
”
, 由B
到C 叫做“宿
”
。
2
. 常⽤放缩技巧
:
( ) n
- 1
a
n
,
a
n
7
n
+
n ,
n
+ 1
1
7
n
-
1
,
n ( nt 1
)
>
P
= n
(2 )
n
- nt
-
ncnti" nin
2
ncn
-iy
=
n
-i
-
n
( n >
1
)
( 3 )
2 (
n +
1
-
n
) =
+ ⼗
π
⼈
π 试⼈管π= 2
( π
- ⽹
)
(4)
1 H
2 i
+
3 j
+
… +ni
< 1 +
Ʃ
+22
+
…
+2
( 5
)
1 H
2i
+
3 i
+
… +
n
=
<
1 +
(
- *
) + (
z - 5
)
+
…
+ (ni - )
16 )
nti
+
nt2
t
+nt
3
+ …
"t
an≤
ni tnti
+
… +nti =n
"
a
1
或nti
+nt
2
tnt
3
+
"
Tan
≥2
n t2
n
+
"
+an =2
n
: 2
( 7 )
1 H iI
+ 05
+
…
" tr
π 7
π +
h
+
… .+
h
=
n
= n
18 )
Kckt"
t ks
-
k ( k-i
"
,KI ≤I
[ (ki )!
- Ki ]
2
1
α
( 9 )
K
+
K +
1
∠
k
∠
K
+
K
-
1
3
、归纳⽅法
;
⽅沫⼀
: 先求和后放缩
eg
:
已知
Un = 2
^ -
1 ( NEN
⽶)求诞:
D .
5
<Q µ+
皆
+
… ++
( nEN
⽶
)
1
证
:
∵焱
: *
,
:
⇌-
2 (
2k
*-
.1
: Ʃ
-
3
,
2
*
+ 2
^
- 2
" I
- 5
, 2 k
,
k=
1
,
2
… n
⼼
“
舍去
“
: 花装
+
…
+ +
≥*
- 为( L
+ 2
☆+
…
+ 2 i
):
Ʃ-
为
(
1-2
n )>
- 3
: -
5 <
a
µ"
+
皆+
…
+ *
←世
( n
ε N
⽶
)
⽅沫⼆
:
先放缩后求和
(
· 以放缩后成等差数列
, 再求和
eg
:
②知{ dn } 各颇为正数
.
前⼏项和为Sn
.
且
Un
2
+ Qm
= 2 Sn
.
. 求证
:
Sn
=
4
Un
'
+ Qntp
( 2 ) 求诞
: 受
< B. +r2 +
…
+ 5n
Sn+
-
1
∠
次
之证
:
( .
以令
n
=
1 ,
得
Q
=
1
延:
∵
Λ
a
n ( n + 1 )
a
n + 1
⼜
:
Gn
'
+ an
= 2sm
B + 1
Unti
'
+ dn+1
: 2 Sn+
" <
2
n
( n +)
∠
□
.
:
Un1
: Sna
-
Sn
,
:
S
,
tS
2
+
…
tSn
=
* 2
+ 2
X3
t
- +
n ( nt
1 )
得
:
( dmy+ Qn ) ( Un + 1
- du
-
1 )
= 0
∠说
+ +
…
+
V
没
n
*
=2
及
2
+ 3 n
:
Sn+
-
1
;
没
.
: Qu +
-
Un
=
1
1
s
,
t
Sa t
" t
Sn TI tE
+ … +
⼵
, :dn
= n
,
Sn
:
n ( n + 1
)
α
=
n ( n +
1 )
Sn
=
2位没
α
" Sn :
2
M ( M +1
) cIo
an 2 + ( nt
1
)
"
:4
Un
'+ dny
eg
:
正知
{ Un }满⾜:
Q .
=
1
, Qn
=
(
1 +
an
) an (
n = 1 .
2
.
3
…
)
求延
: (n+
1
≥Un
≥
3
-
2 n
-
,
n *
"
诞明:
:
Qnt1
:
(
1 + ann ) an
,
: dnt 与
Qn
同号
,
⼜:
Q
.
=
1
> 0
.
: Qn
70
即Qnt- Qu =
2
nn
.
an70,
即dn +1 zdn
i ; {dn { 为递增数列
.
: d , ≥d
,
=
1
n
-
1
即
Qu+
- dn
= n
- Qn
≥别
,
an
- d
,
≥Ʃ+ 2=
+
…
+ 2-
1
n
-
1
》
- 1
1
令Sn
= L + 22
+
…
+
2
n -
1
, ∴义Sn =2
<
+☆
+
…
+ 2n
2
,
n + 1
1
-
2
< Sn
= Ʃ
+ 22
+
…
+
2n
-
-
2nH
, ∴Sn =
2 -
2 n
- 1 : An
≥
3- 芯
放缩后成等处数列
、再求和
21
l
eg
:
等从数刘{ 很} 中
,
d
1
=
- ⇌
, 前⼏项和为An
, 且
A7
,
A 9
,
A 8 成等差数列
,
没bn =n
.
{ bn } 前⼊项和为
Bn
.
延明
: Bu < 书
,
近:
∵
Ag -
A 7 =
d
0 + Q 9 ,
A
8 -
A 9 =
-
d 9
,
d8 t dq
=
- d 9
公以q :
皆= 之
: dn
:
(
- i)
"
, bn
:
4n
1
- (z)
n
=
40
- Czjn
:
3
. 2n
" Bn
:
b
,
t bzt
… + bn
≤
3
. 2
t 3
, .22
+
…
+ 3,
处=
为, Ʃ (r
盛:
为(1
-
)
< 5
⽅法三
: 裂迟放缩
川证不等式含有与⾃然数n 有关的⼏项和
eg
:
⾛知n ε N⽶
,
求
H Ʃ
+
3
+
…
t π
C 2
n
α
延
:
… ∵
试
= n
+
n
<
n
+
n
-
1
=
2
( Vn
-
n
-
1
)
则
H Ʃ+☆+
…
+ π<
1 + 2 ( k
-
1 ) +
2
( β
- R )
+
… + 21 π
- π ,
] = 2、
-
1 < 2
h
ey
:
正知MEN *
且Un =
1
λ a +
2
× 3 +
…
+
n
( n + 1)
求近
:
2
n ( n + 1
)
<Un
<
n + 1
)
对所有正整数n 成⽴
,
近:
∵
n
( nt 1 ) 7
n
2
=
n ,
:
Un
≥
1 +
2 +
…
+
n
=
n
( n + ")
n
( n +
1
)
⼜
n ( n +
1 )
的
α
. :an
<
2 +
2
+
2+
3
+
…
+
2 ( n + 1 )
=②+ 5
+
… + 双
n + 1
=
( n +1 )
的
α
( 2 )
, 固定⼀部分题
, 放缩另外的项
ey
: 求诞
: ↑+ 22
+
… tni
2 G
(
证
:
: ni
2
ncn -i
=
n .i
-
n
,
F +
2
st
32
+
…
"
t ii
∠
1 +
2=
+
( z
- 5
+
"
…
+
n-
i - )
= 5 +
( 2 -
公
) ⼈
⼗
eg
: 设an
=
1 t
2 a
3 a
+ …
+ na
,d ≥2求还anz
之证: an = 1
t 2
a t
za t
…
" t
na
≤
1 t 22
t 3i
+
"
t ni
⼜
|k
2
= k
.
k>
k (
k -
1
) ,
| k ≥2
k
<k
(
kig=
k
+- k
.
:
An
≤
1 H
22
t
3t
"
t pth
1
+ (
1
-
I) + tz-
5 ) +
… ttn ÷-
n ) =
2 - A< 2
( 3 )
添减项放缩
eg
:
设n >
1
, MEN
,
求近
( 5)
"
=
( n + 1 ) Ln +218
诞
: 由题
(
1 +i )
"
=
1
+ (n '
D
+(
t
.
≈
+ Cn
3
.25
+
…
≥1t
+
8
n ( n
- "
:
8
( n + 1 )(n +2) t 6
( n+ 1 ) ( n+2
)
即
(
1+ i )
"
,
8
eg
;
{ 9 n { 满⾜
G 1
= 2
.
Qnt
:
Unt an
( n
=
1
.
2
…
,
求近
:
Qn
>
an + 1
. 对⼀切正整数⼏成交
延:anpt
: an '
+
2 ta
,an
<
+ 2
, dkat -dk
' ,2 ( k
= " .
2
…
n -
)
"则
:
Un
'
- di
=
> 2
( n
-
1 )
>
Un
2
>
2 n +2
> an +
, dn >
an + 1
⽅沫四
:
均值不等式放缩
,
eg
;
Sn
=
1
.
2
+
2
.
3
+
…
+
n
. (nt "
) ,求证
2 ( n+
t ) < Sn
< (+ 1 )
2
解
:
dn
=
k
( kt" ) ,
k
=
1
.
2
…
n
1
:
K
←
k
( kt1 )
<
k+ k +
1
=
k +
z
2
。
“ 彦K
<
Sn
< 彦
( k + Z )
n ( n+
1
)
m
( n +132
即
2
n ( n + 1
)
2
Sn
<
2
⼗
α
∠
α
