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2026 高考三十六计
高考数学应试技巧篇
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目录
考试技巧01
权方和不等式的应用及解题技巧.....................................................................4
考试技巧02
普通型糖水不等式的应用及解题技巧...............................................................5
考试技巧03
对数型糖水不等式的应用及解题技巧...............................................................5
考试技巧04
基本不等式链的应用及解题技巧.....................................................................6
考试技巧05 “奇函数+
”
常函数的最大值+
最小值解题技巧....................................................7
考试技巧06 “奇函数+
”
常函数的f(a)+f(-a)
解题技巧.............................................................7
考试技巧07
已知函数解析式判断函数图象解题技巧............................................................8
考试技巧08
已知函数图象判断函数解析式解题技巧............................................................9
考试技巧09
两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧.....................................10
考试技巧 10 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧 ......................................................11
考试技巧 11 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧................................................13
考试技巧 12 函数对称性的应用及解题技巧.........................................................................15
考试技巧 13 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧...................................................16
考试技巧 14 整数解的应用及解题技巧................................................................................16
考试技巧 15 零点的应用及解题技巧 ...................................................................................17
考试技巧 16 切线与公切线的应用及解题技巧 ....................................................................17
考试技巧 17 端点效应（必要性探索）解
题技巧.................................................................18
考试技巧 18
函数凹凸性解题技巧......................................................................................21
考试技巧 19
洛必达法则解题技巧.......................................................................................22
考试技巧20
导数中的极值点偏移问题的解题技巧.............................................................25
考试技巧21 半角公式的应用及解题技巧.............................................................................27
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考试技巧24 三角函数异名伸缩平移
的解题技巧...............................................................28
考试技巧25 “
”
爪子定理的应用及解题技巧......................................................................29
考试技巧26
系数和（等和线）的应用及解题技巧.............................................................30
考试技巧27 极化恒等式的应用及解题技巧.........................................................................31
考试技巧28 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 ......................................................31
考试技巧29
角平分线定理的应用及解题技巧..................................................................33
考试技巧30 张角定理的应用及解题技巧.............................................................................33
考试技巧31
点对称问题解题技巧.......................................................................................35
考试技巧32 圆中的切线问题解题技巧................................................................................35
考试技巧33
圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧.............................................................36
考试技巧34
圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧.............................................................37
考试技巧35
复数的模长及最值的应用及解题技巧.............................................................38
考试技巧36 柯西不等式的应用及解题技巧.........................................................................39
当且仅当x = y = z = u = v 时取等号，故答案为 ：60
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考试技巧01 权方和不等式的应用及解题技巧
权方和不等式的初级应用:
若a, b, x, y > 0
则
当且仅当
时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
,且 2a + b = 3 ，则
C ．9
因为2a + b = 3 ，所以4a + 2b = 6
由权方和不等式
当且仅当
例． 已知正数 x ， y ， z 满足x + y + z = 1 ，则
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数 x ， y 满足x + y + z = 1，
x y z
=
=
即y + 2z z + 2x x +
2y
例． 已知x + 2y + 3z + 4u + 5v = 30 ，求 x2 + 2y2 + 3z2 + 4u2 + 5v2 的最小值为
【分析】应用权方和不等式即可求解.
时取等号
故答案
例． 已知 a > 1, b
时
等号成立
【答案】
,即 a
的最小值为(
A
1
B
【详
的最小值
当且仅
可
1
D
9
2
1
用排除法, 选 A 。
所以 a = 10m −11 > 10lg11 −11 = 0, b = 8m − 9 < 8log9 9 − 9 = 0 , 即 a > 0 > b ,
选A.
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考试技巧02 普通型糖水不等式的应用及解题技巧
1.
糖水不等式定理，若a > b > 0, m > 0 ,
则一定有
通俗的理解:
就是a
克的不饱和糖水里含有b 克糖, 往糖水里面加入 m 克糖,则糖水更甜;
2.
糖水不等式的倒数形式，设a > b > 0, m > 0 , 则有:
例．（2020 ·全国 ·统考高考真题）已知 55 <84， 134<85
．设a=log53， b=log85， c=log138，则( )
A． a<b<c B． b<a<c C． b<c<a D． c<a<b
【详解】
考试技巧03 对数型糖水不等式的应用及解题技巧
(2) 设 a > b > 1, m > 0 , 则有 log a b < loga+m (b + m)
(3)
上式的倒数形式：设a > b > 1, m > 0 ,
则有logb a > logb+m (a + m)
例．（2022 ·全国 ·统考高考真题） 已知9
m = 10, a = 10
m −11, b = 8
m − 9 ，则( )
A． a > 0 > b B． a > b > 0 C． b > a > 0 D． b > 0 > a
对数型糖水不等式
因为 9
m = 10 , 所以 m = log9 10 .
在上述推论中取a = 9, b = 10 , 可得 m = log9 10 > log10 11 = lg11
,
且 m = log9 10 < log8 9 .
(1) 设n ∈N
且n > 1
则有log
n < log
\ 2 2
a2 + b2 a + b
时, 等号成
立.
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考试技巧04 基本不等式链的应用及解题技巧
B． x + y ≥ −2
C． x
2 + y
2 ≤ 2
对于 AB
由 x
2 + y
2 − xy = 1 可变形为，
2 −1 = 3xy
解得−2 ≤ x + y ≤ 2 ，当且仅当x = y = − 1 时， x + y = −2 ，当且仅当 x = y = 1 时， x + y = 2 ，所以 A 错
误，B 正确；
对于C
【法一】由 x2 + y2 − xy = 1 可变形为
−1 = xy
，解得 x2 + y2 ≤ 2 ，当且仅当x = y = ±1 时
取等
号，所以C 正确
【法二】由x
2 + y
xy
得x
2 − xy + y
又因为x
2 − xy + y
2 = 1 ,
所以2 (|
(
)
,
2
− (|
(
)
,
2
≤ 1 ,
即
(x + y)
2 ≤ 1, x + y ≤ 2 .
又因为x
2 − xy + y
2 = 1 ,
所以
2 ≤ 1, x + y ≤ 2 .
【答案】： BC．
D
x
2 + y
2
A
x + y
例．（2022 ·全国 ·
统考高考真题）若x，y 满足 x
2 + y
2 − xy = 1，则( )
在定义域内，若 F(x) = f (x)+ A ，其中 f (x) 为奇函数，A 为常数，则最大值 M ，最小值 m 有 M +
m = 2A
在定义域内，若 F(x) = f (x)+ A ，其中 f (x) 为奇函数， A 为常数，有 f (a)+ f (− a) = 2A
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例．（全国 ·高考真题）已知函数
考试技巧05 “奇函数+
”
常函数的最大值+最小值解题技巧
即 M + m = 2 倍常数
例．（2023 上 ·江苏 ·高三模拟） 已知 M、m
分别是函数
+ +1 的最大值、最小值，则
M + m =
M + m = 2 倍常数=2
例． 已知函数 f
= ax
3 − ln
+ 3sin x + 7 ，
M + m = .
【法一】 M + m = 2 倍常数=14
【法二】 M + m = 2f (0) = 14
例 ．函数 f
【法一】 M + m = 2 倍常数=4
【法二】 M + m = 2f (0) = 4
考试技巧06 “奇函数+
”
常函数的f(a)+f(-a)解题技巧
即 f (a)+ f (− a) = 2 倍常数
f x = ln (
− x)+1， f (a ) = 4 ，则 f (−a ) = ．
ln (
− x)在定义域内为奇函数
所以 f (a)+ f (− a) = 2 倍常数=2，解得 f (−a ) = −2
x ∈ [−2023, 2023] 的最大值为 M，最小值为
x ∈[−5 5]
记f(x) 的最大值为M
最小值为m
则M +m =
f(x)=ax bx
【答案】－2
特值与极限
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【答案】－2
例． 已知函数 f
= ln
所以 f
考试技巧07 已知函数解析式判断函数图象解题技巧
2 = 1.414, 3 = 1.732, 5 = 2.236, 6 = 2.45, 7 = 2.646
ln1 0, ln 2 0.69, ln 3 1. 1, ln 1,
④sin1 = 0.84, cos1 = 0.54, sin 2 = 0.91, cos 2 = −0.42
特别地：当x → 0 时sin x = x
例如： sin 0.1 = 0.099 ≈ 0.1， sin 0.2 = 0.199 ≈ 0.2, sin 0.3 = 0.296 ≈ 0.3
当 x → 0 时 cos x = 1
cos 0. 1 = 0.995 ≈ 1, cos(−0.2) = 0.980 ≈ 1
例 ．函数 y =
cos x 在区间
f |(
(
) + f (|
( −
) =
的图象大致为(
在定义域内为奇函
2 71828
2 倍常数
①
③
+
A ． B
．
C ．
【答案】A
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D．
【法一】特值
f (0.1) = (30.1 − 3−0.1 )cos 0.1 ≈ (30.1 − 3−0.1 )× 0.995 > 0 ，故选：A.
【法二】极限法
当 x → 0
+ 时 cos x = 1， 3
x → 1
+ ， 3
− x → 1
−
所以当 x → 0+ 时 y = (3
x − 3− x)cos x > 0 ，故选：A.
【法三】
当 x
时，
考试技巧08 已知函数图象判断函数解析式解题技巧
例．（2022 ·全国 ·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3] 的大致图像，则该函数
是( )
由奇偶性定义知f (x )为奇函数
排除
3
x −3
− x > 0 cos x > 0
所以f (x)
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对于
排除BD
结合函数零点位置可选 A
由图知 f (1) ≈ 1
分别计算四个函数值即可得到答案
【法三】
设 f
，则 f (1) = 0
，故排除B;
设h
，当x ∈ (|
(
0,
,
)
时， 0 < cos x <1 ，
,则 g(3) = 2
s
1
i
n
0
3 > 0
，故排除D.
【答案】A
D． y
【法二】猜测近似函数
设 g(x ) 2
sin
由图知： f (2) < 0 ，
【法
】特值
【答案】 C
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考试技巧09 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题
技巧
例．
已知a
b = e
c = ln
则 a, b, c
A. a < b < c B. a < c < b C. c < a < b D. b < a < c
考试技巧 10 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧
常见函数的泰勒展开式：
e
x
，其中 (0 < θ < 1) ；
ln
= x
+
Rn ，其中 Rn =
sin x = x
+
Rn ，其中
Rn =
cosθx ；
的大小关系为
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由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
cos x
x2 ， ln x ≤ x −1， e
x−1 ≥ x ，
常见函数的泰勒展开式：
结论 1 ln(1+ x) ≤ x (x > − 1) ．
结论2 ln x ≤ x −1 (x > 0) ．
结论
ln x
结论
ln
ln
结论6 e
x ≥ 1+ x (x ∈ R) ；
结论7 e
− x ≥ 1− x (x ∈ R)
结论8
e
x
结论 9
e
x
例．（2022
Ⅰ
年新卷高考真题第7 题）设 a = 0.1e
0.1 ， b = ， c = − ln 0.9 则( )
A． a < b < c B． c < b < a C． c < a < b D． a < c
< b 泰勒公式法：
因为 e
，所以0. 1e0. 1 ≈ 0.1105 < = 0. 11111 = b ，所以 a
< b 因为
10 1 1 ( )
2 ( )
3
1 1 1 1
c = − ln 0.9 = ln
9
= ln(
9
+1) ≈
9
−
2
+
3
=
9
−
162
+
2187
≈
9
− 0.006 = 0. 105 < a 所以 c
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< a
A ． c > b > a B ． b > a > c C ． a > b > c D ． a > c > b
泰勒展开
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综上所述： c < a < b
故选：C
a =
, b = cos , c = 4 sin ，则( )
设 x = 0.25 ，则 a
考试技巧 11 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧
, ,
,
放缩程度综合
例
（2022 ·全国·统考高考真题）已
计算得c > b > a
故选
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例．（2022 ·全国 ·统考高考真题）设a = 0.1e
0.1 , b =
放缩法
因为 x +1< e
x
综上所述： c < a < b ，故选：C
c = −ln 0 9
则(
1
9
A
a < b < c B． c < b < a C． c<a<b D． a < c < b
A ． c > b > a B ． b > a > c C ． a > b > c D ． a > c > b
【法一】： 不等式放缩一
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例．（2022 ·全国 ·统考高考真题） 已知 a
b = cos
c = 4 sin
因为当
sin < ，
4 sin + cos =
sin (|
(
+ ϕ,
)
，其中
当 4 sin
cos
时，
所以b > a ，所以 c > b > a ，故选 A
【法二】不等式放缩二
因为
tan
故选：A．
考试技巧 12 函数对称性的应用及解题技巧
例 ．（全国 ·高考真题）设函数 y = f (x) 的图像与 y = 2x+a 的图像关于直线y = −x 对称，且 f (−2) + f (−4) =
1，则a=
A． −1 B． 1 C． 2 D． 4
反解 f (x) 的解析式，可得 −x = 2
− y+a ，即 y = −a log2 (−x ) ，
1
1
( 1 )
2
cos
4
= 1− 2 sin
8
> 1− 2|(8
=
32
，故b > a ，所以 c > b
所以 tan
14
,及
(
ϕ ∈|(0,
2
所以c > b ；因为
17
则(
因为
故
因为 f (-2) + f (-4) = 1 ，所以a - log2 2 + a - log2 4 = 1 ，解得解得 a = 2
，故选C
例．
已知关于x 的不等式 ln x - kx4 + kx3 > 0
恰有一个整数解，则实数k 的取值范围为( )
A ．
「ln 3
1 )
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例2．（全国 ·
高考真题）设函数(
(
考试技巧 13 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧
f x =ln 1+ x -
,则使 f (x) > f (2x -1) 成立的x 的取值范围是
(|
(
-∞,
,
) (1, +∞ )
【特值法】
当 x =1 时， f (1) > f (1)
不成立，排除D
，当x =0 时，则判断 f (0) > f (-1)是否成立，
计算 f (0) = -1， f
= ln
【答案】A
考试技巧 14 整数解的应用及解题技巧
不成立
故排除B
( 1
|( 3
A
B
「ln 3
1 )
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【猜根法，寻找临界条件】
由题知整数解不可能为 1，
若整数解为2
，则整数解3 不可取，代入有 ln 2 −16k + 8k = 0 ⇒ k
考试技巧 15 零点的应用及解题技巧
例4．（全国 ·高考真题）已知函数 f (x) = x
2 − 2x + a(e
x−1 + e−x+1) 有唯一零点，则 a =
D． 1
通过观察发现 x2 − 2x 关于 x =1 对称， ex−1 + e−x+1 也关于 x =1 对称，
a = .故选：C.
考试技巧 16 切线与公切线的应用及解题技巧
例．（2021 ·全国 ·统考高考真题）若过点 (a, b)可以作曲线 y = e
x 的两条切线，则( )
根据整数解问题区间为一开一闭
则选
则唯一零点为1
解得解
A．
B．
C
A ． eb < a B ． ea < b
C ． 0 < a < eb D ． 0 < b < ea
画出函数曲线 y = ex 的图象如图所示，根据直观即可判定点(a, b) 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切
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线. 由此可知 0 < b < e
a .
故选：D.
例．（全国 ·高考真题）若直线 y = kx + b 是曲线 y = ln x + 2 的切线，也是曲线 y = ln(x +1) 的切线，则b =
．
y ′ =
，设直线 y = kx + b 与曲线 y = ln x + 2 相切于
点P1 (x1, y1 ) ，与曲线 y = ln(x +1) 相切于点P2 (x2, y2 ) ，则 y1 = ln x1 + 2, y2 = ln(x2 + 1) ，由点P1 (x1, y1 ) 在切线上
得
1 1
x1 =
2
, :k
=
x1
2, b = ln x1 + 2 −1 = 1− ln 2 .
考试技巧 17 端点效应（必要性探索）解题技巧
′
对
求
线
所以
解
这两条直线表示同一条
由点P (x2 y ) 在切线上
对函数y = ln x + 2 求导
y
x
x
+
端点效应的类型
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1.如果函数 f (x) 在区间[a, b]上, f (x) ≥ 0 恒成立,则 f (a) ≥ 0 或 f (b) ≥ 0 .
2.
如果函数f (x)
在区问[a, b]
上, f (x) ≥ 0
恒成立,
且f (a) = 0 (
或f (b) = 0 ),
则f
′ (a) ≥ 0 ( 或
f
′ (b) ≤ 0) .
3.如果函数 f (x) 在区问 [a, b] 上 , f (x) ≥ 0 恒成立 ,且 f (a) = 0, f
′ (a) = 0 (或 f (b) = 0 , f
′ (b) ≤ 0) 则
f
′′ (a) ≥ 0 ( 或 f
′′ (b) ≤ 0) .
例．（2023 ·全国 ·统考高考真题） 已知函数
(1)当a = 8 时，讨论 f(x) 的单调性；
(2)若 f (x) < sin 2x
恒成立，求a 的取值范围．
【法一】端点效应一
令g
= f
− sin 2x, x
画出草图
根据端点效应,
需要满足g
′ (0)≤0 ，
而g
′
= a
cos 2x
′ ′
则g (0) = a − 3 ,
令g (0)≤0 ,
得a ≤ 3
′
当a≤3 时, 由于 g(0) = 0 ,
只需证g (x) < 0 即可
′ ′
而g (x)
含有参数a ,
故可对g (x) 进行放缩
即
cos 2x
cos 2x
cos
2
令t = cos
2 x , 其中 0 < t < 1
设 h
t
则 h
′
x ∈ (| 0,
)
上恒
sin x
(
f (x) = −ax
cos3 x
, x ∈ |
得g(0) = 0
且g(x) < 0
g
x
:g(x) 单调递减, :g(x)≤g(0) = 0 . 特上所述: a ≤ 3 .
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令p(t) = −4t
3 − 2t + 6
则p
′ (t) = − 12t
2 − 2 < 0 ,
故p(t)
在(0,1) 上递减,
得p(t) > p(1) = 0
则 h
′ (t) > 0 ,
得h(t)
在(0,1) 上单调递增,
则h(t) < h(1) = 0
′
即g (x) < 0 ,
满足g(x) < g(0) = 0 成立
当a > 3 时， 由于 g′ (0)= a − 3 > 0,
故存在x0 , 使得在 (0, x0 ) 上 g
′ (x) > 0 ,
所以g(x) 在 (0, x0 ) 上单调递增,
则g(x) > g(0) = 0 , 不成立
特上所述: a ≤ 3 .
【法二】端点效应二
由于g(0) = 0 , 且
注意到当g (0) > 0 ,
即a > 3 时,
调递减
:g(x) > g(0) = 0 , 不成立.
另一方面,
当a≤3 时, g
≤3x − sin 2x
∃x0 ∈ (|
(
0,
)
使 g ′ (x) > 0 在 x ∈(0, x0 ) 成立, 故此时
下证它小于等于0
令
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考试技巧 18 函数凹凸性解题技巧
凹函数：对于某区间内∀x1 , x2 , 都有
凸函数：对于某区间内∀x1 , x2 ,
都有
< f (|
(
,
)
.
“
”
为凸函数，则实数m 的取值范围是( )
式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f(x) 在(a, b) 上的导函数为f ′ (x) ，f
′ (x) 在(a, b) 上的导函数
即sin A + sin B + sin C ≤3 3
当且仅当sin A = sin B = sin C
时
即A = B = C
时
》
在区间(0 π ) 上是上凸函数
y =
因为函
例．在 ABC 中,
求sin A + sin B + sin C 的最大值.
例. 丹麦数学家琴生(Jensen) 是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家，特别是在函数的凹凸性与不
法则 1
若函数f(x)
和g(x) 满足下列条件：
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A． (e −1,+∞ ) B． [e −1,+∞ ) C．
因为 f
= e
x − x ln x
所以 f ′(x) = e
x − (1+ ln x)− = − −mxexmx ln x −1，
f (x) = e
x − x ln x −
x
2 在(1, 4)
“
”
上为凸函数，
所以
= e
x − m
对于x ∈(1, 4)
可得 m > e
x
对于x ∈(1, 4) 恒成立，
令 g
= e
x
则 m > g
max ，
因为 g ′
= e
x
所以 g
max < g
= e
所以 m ≥ e
【答案】C
考试技巧 19 洛必达法则解题技巧
(1) limf (x) = 0 及 lim g (x) = 0 ；
x →a x →a
(2)
在点a 的去心邻域内， f(x)
与g(x)
可导且g'(x) ≠0；
,所以 (
x
在
单调递
恒成
因
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那么
l 。
法则2
若函数f(x)
和g(x)满足下列条件：
(1) limf (x) = ∞ 及 lim g (x) = ∞ ;
x →a x →a
(2)
在点a 的去心邻域内， f(x)
与g(x)
可导且g'(x) ≠0；
那么
l 。
例．（全国高考）
已知
解
⇔ k
则h′
所以, h(x)
在(0, +∞) 单调递增,
且h(1) = 0
所以x ∈ (0,1) 时, h(x) < 0, x ∈(1, +∞) 时, h(x) > 0
即g(x)
在(0,1) 上单调递减,
在(1, +∞) 上单调递增
所以
所以k ≤ 0
记 g
恒成立
求k
的取值范
记
24 / 39
分析
上式中求
不定形式,
所以
例．（全国高考） ∀x ∈ (0, +∞), e
x −1− x − ax
2≥0 恒成立,
求a 的取值范围
解: e
x −1− x − ax
2≥0 ⇔ a
记 g
则 g
′
记h(x) = xe
x − 2e
x +x + 2
则 h
′ (x) = xe
x − e
x +1
h
′′ (x) = xe
x > 0
所以, h
′ (x) 在 (0, +∞) 单调递增,
所以h′ (x) > h
′ (0) = 0
所以, h(x)
在(0, +∞) 单调递增,
所以h(x) > h(0) = 0
′
即在(0, +∞)
上g (x) > 0 ,
所以g(x)
在(0, +∞) 上单调递增
所以
所以 a
用了洛必达法则当x →1
时
分子2x ln x →0
分母1 −x
2 →0
25 / 39
( 1
1 )
(
1 1 (
1 ))
1 (
1 )
1 (
考试技巧20 导数中的极值点偏移问题的解题技巧
例．（2022 ·全国 ·统考高考真题） 已知函数 f
ln x + x − a ．
(1)若 f (x)≥ 0
，求a 的取值范围；
(2)证明：若 f (x )有两个零点x1, x2 ，则 x1x2 < 1．
（2） [方法一]：构造函数
由题知, f (x ) 一个零点小于 1,一个零点大于 1，不妨设 x1 < 1 < x2
要证 x1x2 <1 ,即证 x
因为 x
即证 f
> f
g ′(x) = (| x
−
x2 ,
e
x − |(ex + xex . (| −
x2 , ,
=
x (|1 −
x,
e
x − ex
(|1 −
x ,
所以ϕ(x) > ϕ(1) = e ,而
所以g(x) 在(1,+∞) 单调递增
1
<
则
26 / 39
故(
所以h(x) 在(1,+∞) 单调递减
[方法二]：对数平均不等式
由题意得： f
ln
a
所以g(t ) = t + ln t − a 在(1, +∞ ) 上单调递增，故g(t ) = 0 只有 1 个解
两边取对数得： x1 − ln x1 = −x2 ln x2 ，即
下证
x1x
2 ln t < t −
则 h '
h t = 2 ln t − t + 在 (1, +∞ ) 上单调递减
2 ln t < t − 得证
构造
有两个零点x1, x2 ，故 t
故h(t ) < h(1) = 0
=
>
则只需
x x < 1
即x x
不妨
1
1
27 / 39
(
考试技巧21 半角公式的应用及解题技巧
则sin
【详解】因为 cosα = 1− 2 sin
2 α = 1+ 5 ，而 α 为锐
角， 2 4
1－cos α
所以 sin
= 2
16
考试技巧22 万能公式的应用及解题技巧
、
5 − 1
5
1
3 −
5
1 －cos
sin α .
sin x
cos x =
tan x
2
例．在 △ ABC 中, tan = 3tan , 则
+
的最小值为
A. 4 B. 2√5 C. 4√5 D. 16
正弦平方差公式: sin2A — sin2B = sin(A + B)sin(A — B)
28 / 39
≥ 2√20 = 4√5.
最小值为4√5
考试技巧23 正余弦平方差公式的应用及解题技巧
余弦平方差公式: cos2A — sin2B = cos(A + B)cos(A — B)
例． 已知 sinα =
由已知可得 sin(α + β)sin(α — β) = sin2 α — sin2β =
考试技巧24 三角函数异名伸缩平移的解题技巧
行余弦化正弦
例 ．若要得到函数 f
= sin
的图象，只需将函数g
= cos
的图象( )
则sin(α + β)sin(α
β)
, sinβ
)
2
=
)
2
28 / 39
A． 向左平移
个单位长度
B． 向右平移 个单位长度
29 / 39
C． 向左平移
个单位长度
D． 向右平移 个单位长度
我们可以对平移前g
= cos
进行变换， g (x ) = cos 2x +
,
) =sin 2x + +
,
) = sin 2x +
,
)
，
我们同样也对平移后 f (x ) = sin (|
(
2x +
,
)
进行变换，
【答案】D
考试技巧25 “
”
爪子定理的应用及解题技巧
例．（全国 ·高考真题）设 D 为 ABC 所在平面内一点，且 BC = 3CD ，则( )
A
B C D
解析：
“
由图可想到爪字形图得：
=
1
4
+
3
4
，解得：
答案：A
例．（全国 · 高考真题）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2
，动点P
在以点C
为圆心且与BD 相切的圆上．
若
30 / 39
考试技巧26 系数和（等和线）的应用及解题技巧
= λ
+ μ
,则λ+μ 的最大值为
A ．3 B ．2
【系数和】
分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l
与圆相切时，λ + μ 最大，此时
故选 A .
例．边长为2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD(含短点)上运动，P 是圆 Q 上
及其内部的动点，设向量
= m
+ n
(m, n ∈ R)
，则m + n 的取值范围是( )
A.(1,2] B.[5,6] C.[2,5] D.[3,5]
AG 2AB
m + n =
=
= 2 .此为 m + n 的最小
值； AB AB
分析:如图
设AP = mAB + nAF
由等和线结
5
D
2
31 / 39
AH
同理，设 AP = mAB + nAF ，由等和线结论， m + n =
AB
= 5 .此为 m + n 的最
大值.综上可知 m + n ∈[2,5] .
考试技巧27 极化恒等式的应用及解题技巧
A． 1 B ．2 C ．3 D ．5
2 2
( + )
2
− ( − )
2
+ b − − b
=
4 4
A． 5 B ．3 C． 2 5 D ．5
设 CD 中点为 O 点， 由极化恒等式可得： EC . ED = EO −
4
故选：B.
考试技巧28 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧
由极化恒等式可
1
故选
b
=
例．（全国·高考真题）设向量a,5 满足
，
，则
例．（2023 ·全国 ·统考高考真题）正方形 ABCD
的边长是2， E 是 AB 的中点，则
.
= ( )
例．（江苏 · 高考真题） O 是平面上一定点， A 、 B 、 C
是平面上不共线的三个点，动点P 满足
A ．外心 B ．
内心
C
．重心 D ．垂心
32 / 39
(
)
例．（宁夏 ·
高考真题）已知O ，N ，P 在 ΔABC 所在平面内，且OA = OB = OC , NA + NB + NC = 0 ，且
PA • PB = PB • PC = PC • PA
，则点O ，N ，P 依次是 ΔABC 的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心
C ．外心重心垂心 D ．外心重心内心
OA = OB = OC ，所以O 到定点 A, B, C 的距离相等，所以O 为 ΔABC 的外心，由
+
+
= 0
，
则
+
= −
,取 AB 的中点 E ，则
+
= −
=
，所以
由
•
=
•
=
•
，得(
−
) .
= 0
，即
.
= 0 ，所以 AC 丄 PB ，同理 AB 丄 PC
，所以
点 P 为 ΔABC
的垂心，故选C.
OP = OA + λ|
+
，λ ∈ [0, +∞) ，则 P 的轨迹一定通过 ABC 的( )
(| AB | | AC |,
:
= λ(
+
)
| AB | | AC |
AB AC
+
= AM
， | AB | | AC |
则
是以 A 为始点， 向量
即 A
→
M在 ∠BAC 的平分线上，
= λ
, :
,
共线，
故点P
△
的轨迹一定通过ABC 的内心，
为邻边的菱形的对角线对应的向
2 NE = CN
所以N 是ΔABC 的重
【详解】
−
=
AB
与|
因
令
故选：B
33 / 39
考试技巧29 角平分线定理的应用及解题技巧
角平分线定理
（ 1）在 ΔABC 中， AD 为 ∠BAC 的角平分线，则有
（3） AD
2 = AB × AC − BD × CD （库斯顿定理）
∠BAC = 60°, AB = 2, BC =
，∠BAC 的角平分线交 BC
于 D，则 AD = ．
由余弦定理可得， 2
2 + b
2 − 2× 2 × b × cos 60 = 6，因为b > 0 ，解得：
则 AD
考试技巧30 张角定理的应用及解题技巧
例
（2023 ·全国·统考高考真题）在ABC 中
计算即可
故答案为：2
b = 1 +
34 / 39
例 ．如图， 已知 AD 是 ΔABC
中∠BAC 的角平分线，交 BC 边于点 D .
（1）用正弦定理证明：
；
: （2）若∠BAC = 120° , AB = 2 ， AC = 1 ，求 AD 的长.
先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得 AD 的长为
．
例．在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 已知点 D 在 BC 边上,
解：如图
由张角定理得:
即
)
35 / 39
(
38
: AC
= 3 2
: CD = AD + AC = 3
考试技巧31 点对称问题解题技巧
例 ．点 (6,-1) 关于直线2x -y + 4 = 0 的对称点的坐标是
．
=
，所以 x
|(-
5
,
5 ,
.
考试技巧32 圆中的切线问题解题技巧
例 ．经过点 (1, 0) 且与圆 x
2 + y
2 - 4x - 2y + 3 = 0 相切的直线方程为 ．
代入 x0x + y0 y + D
F = 0; 求解即可，答案为： x + y -1 = 0
直线2x y + 4 = 0 中
A = 2 B = -1 C = 4
答案
35 / 39
36 / 39
代入 x0x + y0 y = r
2 求解即可，答案为： y = x + 2
例 ．过点P(2,1) 作圆 x
2 + y
2 = 4 的两条
切线，切点分别为A、 B
，则直线AB 方程是 .
过圆外一点 (x0, y0 ) 作圆的两条切线,则切点弦方程为 (x0 - a )(x - a) + (y0 - b) (y- b) = r
2 ，代入求解即
可
答案为: 2x + y - 4 = 0
考试技巧33 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧
例 ．过双曲线 x2 - y2 = 4 的右焦点 F 作倾斜角为150° 直线，交双曲线于 A , B 两点，求弦长AB ．
例．（山东 ·统考高考真题）斜率为
的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C
交于A，B 两
点，则AB
= ．
【法一】先求出倾斜角，代入|AB| =
求解即可
【法二】解得 x
x2 = 3
所以| AB |= 1+ k | x1 - x2 |= 1+ 3. | 3 - |=
3 3
【法三】 Δ = 100 - 36 = 64 > 0
1
(
)
例
过圆x
2 + y
2 = 1 上点P| -
,
的切线方程为
36 / 39
设 A(x1, y1 ), B(x2, y2 ) ，则 x1 + x
过 A, B 分别作准线 x= - 1 的垂线，设垂足分别为C, D 如图所示.
37 / 39
| AB |=| AF | + | BF |=| AC | + | BD |= x1 +1+ x2 +1 = x1 + x2 +2=
16
故答案为：
3
考试技巧34 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧
例 ．（全国 ·高考真题）已知椭圆
点．若 AB 的中点坐标为(1，－ 1)
，则E 的方程为
【法一】kAB.kOM = —
例．（重庆 ·高考真题）直线l 与圆 x
2 + y
2 + 2x - 4y + a = 0(a <3) 相交于两点 A ， B ，弦 AB 的中点为
(0,1)，
则直线l 的方程为 ．
【答案】 x - y +1 = 0 .
【详解】设圆心 O ，直线l 的斜率为 k
，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为kop ，
.kop = k . (-1) = -1:k = 1 由点斜式得y = x + 1．
例．（江苏 ·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
- ，则此双曲线的方程是
1
D
1(a>b>0)的右焦点为F(3 0)
过点F 的直线交椭圆于A
B
F(
0)
直线= x 1 与其相交于M
k
= 2 -1 则l 丄PO
所
, 因为c=3，所以b2 = 9, a2 =
点
若MN 中点的横坐标
, 解得
op 1
1
37 / 39
【答案】D
38 / 39
B．
【分析】根据点差法得
【详解】设双曲线的方程为
a > 0, b > 0)
(|
(
− , −
,
) ，由
考试技巧35 复数的模长及最值的应用及解题技巧
A ．2 B
．
3 C
．2 D． 1
= = =
2 1+ 2i 5
【答案】C
例． 已知z 满足z + 5 −12i = 3 .则 z 的最大值是( )
A ．3 B． 10 C ．20 D． 16
【答案】D
因此 z = 52 +122 +3 = 16 .
max
故答案为D
,联立 a2 +b2 = 7 ，解得 a2 = 2 ，b2 = 5，故所求双曲线的方程为
由题意可得a2 +b2 = 7
设M(x1 y )
N (x2 y )
y1 + y2
b
2
y1 − y
再根据焦点坐标得a2 +b2 = 7
解方程组得a
2 = 2
b
2 = 5
即得
x1 + x2
x1 − x2
(
)(
(
)(
得
3
i
10
3 −
i
1+
故选
的中点
:
2
例（全国高考）设 z
，则 z =
【详解】z + 5 −12i = 3 ⇒ z 对应的点在以(−5,12)为圆心，3 为半径的圆上，
39 / 39
考试技巧36 柯西不等式的应用及解题技巧
例 ．函
【答案】
【详解】注意到，
a
2
+b
c
2
+d
【答案】
【详解】因为
即
≥ 1 ⇒ x
2 + 4y
2 +9z
所以 x
2 +4y
2 +9z
2 最小值为
，当且仅当x =4y = 9z 时取等号.
故答案为：
.
例
已知x
y
z 满足x + y + z = 1
则x
2 + 4y
2 +9z
2 的最小值为
的最小值为
1
