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专题二 数列
第2 讲 数列求和
【探究真题.明确方向】
1.(2022·新高考全国Ⅰ卷，T17)记Sn为数列{an}的前n 项和，已知a1=1，{
Sn
an}是公差为1
3的等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：1
a1
+ 1
a2
+…+ 1
an
<2.
2.(2024·全国甲卷，T18)记Sn为数列{an}的前n 项和，已知4Sn=3an+4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=(-1)n-1nan，求数列{bn}的前n 项和Tn.
【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，中高档题目都可考查，主要以解答题形式出现.分值约为
8~17 分.
【考向预测】考查重点一是考查三种常见的求和方法：分组求和、裂项相消求和、错位相减求和；二是考
查奇偶项；三是数列中的子数列问题(公共项、增减项等).
考点一 分组求和法
【典例】1 (2025·苏州模拟)在数列{an}中，已知a2=2，且当n 为奇数时，an+2=an+4，当n 为偶数时，
an=3
2an-1+1
2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前2n 项和S2n.
【变式训练】1 (2025·广州模拟)已知公差不为0 的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，且a1，
2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn=3
an，去掉数列{cn}中的第3k 项(k∈N*)，余下的项顺序不变，构成新数列{tn}，写出数列{tn}的前
4 项并求{tn}的前2n 项和S2n.
考点二 裂项相消法
【典例】2 (2025·南通模拟)已知数列{an}满足a1=1，a3=9，且对任意的n≥2，n∈N*，都有
an+1+an-1=2(an+1).
(1)设bn=an+1-an，求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{
1
an+1−1}的前n 项和为Sn，求证：Sn<3
4 .
【变式训练】2 (2025·安康模拟)数列{an}满足a2=5，an+1=2an-1.
(1)证明：数列{an−1}是等比数列；
(2)若bn= an−1
anan+1
，证明：数列{bn}的前n 项和Sn<1
3.
考点三 错位相减法
【典例】3 (2025·哈尔滨模拟)已知数列{an}是正项等比数列，满足a2a4=64，a1+a5=34，且q>1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an与an+1之间插入n 个数，使这n+2 个数组成一个公差为dn的等差数列，记数列{
1
dn}的前n 项和
为Tn，求证：Tn<3.
【考法归纳】
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和时，常采用错位相减法.
(2)用错位相减法求和时应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步
准确地写出“Sn-qSn”的表达式.
(3)[万能公式]形如cn=(an+b)·qn-1(q≠1)的数列的前n 项和为Sn=(An+B)qn+C(q≠1)，其中A=
a
q−1，B=b−A
q−1
，C=-B.
【变式训练】3 (2025·沈阳模拟)已知数列{an}的前n 项和为Sn，且满足3Sn+an=1(n∈N*)，数列{bn}满
足bn=log2an+10.
(1)求出an，bn；
(2)求出数列{an·bn}的前n 项和Tn.
【限时训练】（限时：45 分钟）
1.(13 分)(2025·许昌模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n 项和为Sn，且2Sn=(an+2)(an-1).
(1)求{an}的通项公式；(6 分)
(2)若bn=
an
3
an，求数列{bn}的前n 项和Tn.(7 分)
2.(15 分)已知Sn是数列{an}的前n 项和，数列{
3n−1
Sn }是首项为3，公比为3 的等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；(6 分)
(2)已知cn=-3nan，求数列{
1
cncn+1}的前n 项和Tn.(9 分)
3.(15 分)(2025·黔东南模拟)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，等比数列{bn}的首项为2，且a2+a6=10，
S5=3a4，b4-a5=3S3.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；(6 分)
(2)设cn=(-1)nan+ 1
bn
，求数列{cn}的前n 项和Tn.(9 分)
【拓展训练】(共17 分)
4.(17 分)(2025·滨州模拟)在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把
这样的操作称为该数列的一次“积扩充”.如：数列2，3 经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二
次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；….设数列1，2，4 经过第n 次“积扩充”后所得数列的项数
记为An，所有项的积记为Pn.
(1)求A2和P2；(4 分)
(2)求An和Pn；(7 分)
(3)求数列{Pn}的前n 项积Tn.(6 分)
