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专题8.7 抛物线方程
重难点题型1 抛物线的定义与标准方程
1．（2025·重庆·三模）已知A 为抛物线C：
上一点，点A 到C 的焦点的距离为4，到x 轴的
距离为2，则p=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解
【分析】根据抛物线的定义，即抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，先求出抛物线的准线方程，
再结合点
到焦点和
轴的距离建立等式，进而求出
的值.
【详解】对于抛物线
，其准线方程为
.
已知点
到
的焦点的距离为
，由抛物线的定义可知，点
到准线的距离也为
.
又因为点
到
轴的距离为
，所以点
到准线的距离为点
到
轴的距离加上
，即
.
对
进行求解，移项可得
，解得
.
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
抛物线的定义与标准方程
重难点题型2
抛物线的轨迹方程
重难点题型3
与抛物线有关的最值与范围问题
重难点题型4
抛物线中三角形、四边形的面积问题
重难点题型5
直线与抛物线的位置关系
重难点题型6
焦半径问题
重难点题型7
抛物线的性质
故选：C.
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知抛物线
：
的焦点为
，抛物线上有一点
，过点
的直线交抛物线的准线于点
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、二倍角的余弦公式
【分析】利用抛物线的性质得到
，进一步证明
，利用勾股定理求
出
，解三角形求出
，再利用倍角公式求出
，进一步求出
，再建立
的等式即可求解.
【详解】如图，过
作
于
，
由抛物线的定义知
，又
，则
，
设
，则
，因为
，
则
，
所以
，由于
轴，
所以
，则
，
则
，所以
，则
.
故选：D.
3．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线
的焦点为F，准线为l，点A 在C 上，过A 作l 的垂线，
垂足为
．若
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解
【分析】根据抛物线的性质，结合条件可得
是等边三角形，利用抛物线的性质即可求解.
【详解】因点A 在C 上，则
，又
，
为正三角形，
如图，准线与
轴交于点
，在
中，
，所以
，
即
.
故选：B
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，过
作抛物线C 的切线，
切点为B，
，则抛物线C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求抛物线的切线方程、
抛物线定义的理解
【分析】不妨设
，由抛物线定义得
，即解得
，利用导数得在点
处的
斜率，由两点的斜率公式即可求解.
【详解】不妨设
，由抛物线定义知，
，
，
，
当
时，
，
，解得
，
抛物线C 的方程为
．
故选：C．
5．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，
在C 上，则
．
【答案】5
【难度】0.85
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式
【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】
抛物线为
，
，
在C 上，
.
故答案为：5.
6．（2025·山西吕梁·三模）已知抛物线
上的点P 到其焦点的距离为4，则点P 的坐标为 ．
【答案】
或
【难度】0.94
【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线定义的理解
【分析】根据抛物线的方程确定焦点坐标与准线方程，设
，结合抛物线的定义与已知即可得点
P 的坐标.
【详解】抛物线
的标准方程为
，
则抛物线的焦点坐标为
，准线方程为
，
设抛物线上一点
，
由抛物线的定义可得
，解得
，所以点P 的坐标为
或
.
故答案为：
或
.
7．（24-25 高二下·江苏盐城·期中）已知抛物线
焦点为
，抛物线上一点
的横坐标为2，则
．
【答案】2
【难度】0.94
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解
【分析】利用抛物线的定义进行距离转化即可求得.
【详解】由抛物线的定义，
等于点
到抛物线的准线
的距离，
因
，代入
，解得
，
故
.
故答案为：2.
8．（2025·云南红河·三模）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反
射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线
的焦点为
，由点
发出的光线经点
反射后经过点
，若点
在
上，且
，
，
，则
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】由题意可得
，进而可得直线
的方程为
，设
，
，与抛
物线方程联立方程可求得
，可求得
，进而可得
，利用余弦定理可求得
.
【详解】如图，在
中，
，所以
，
所以
，
又因为
轴，所以
，因此
，
故直线
的方程为
，联立
，得
，
设
，
，则
，由抛物线的定义知
，
而
，所以
，在
中，
，
，
由余弦定理，得
，
解得
．
故答案为：
.
重难点题型2 抛物线的轨迹方程
1．（2024·上海普陀·二模）已知点
，直线
，若动点
到的距离等于
，则点
的
轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．直线
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点
的轨
迹是抛物线.
故选：C
2．（2024·陕西宝鸡·三模）已知点
､
，若过
､
两点的动抛物线的准线始终与圆
相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆
B．圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、利用抛物线定义求动点轨迹
【分析】由抛物线的定义可转化
等于A,B 到准线距离的和，再由圆与准线相切及O 是AB 的中
点，可得
，再结合椭圆的定义即可得解.
【详解】由题设知，抛物线焦点F 到定点A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和，等于
的中点O 到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为
，
所以
，
所以抛物线焦点的轨迹方程C 是以A 和B 为焦点的椭圆.
故选：A
3．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点
的距离比到定直线
的距离大1 的动点
的
轨迹方程是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、求抛物线的轨迹方程
【分析】先根据已知条件将动点
到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方
程．
【详解】由已知可得动点
满足到定点
的距离等于到定直线
的距离，
由抛物线定义知动点
的轨迹方程为焦点在x 轴上的抛物线，且焦点为
，则
，
.因此轨迹
方程为：
．
故答案为：
.
4．（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：
，直线
，圆M 与圆N 外切，且与直线
相切，则点M 的轨迹方程为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、利用抛物线定义求动点轨迹、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】设动圆的半径为r，则点M 到l＇：
与点M 到点N 的距离相等，都是
，再利用抛物线
的定义求解.
【详解】由题意得，直线l：
，且圆N：
，
设圆M 半径为r，则点M 到l＇：
与点M 到点N 的距离相等，都是
，
故点M 的轨迹是以N 为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为
．
故答案为：
5．（2025·甘肃·模拟预测）已知点
，直线
，动点
到点
的距离与它到直线的距离相等，
记点
的轨迹为曲线
.
(1)指出曲线
是什么曲线，并求曲线
的标准方程.
(2)过点
的动直线交曲线
于
两点，且点
在第一象限，
.
①求
的面积的最小值.
②是否存在垂直于
轴的定直线
被以
为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线
的方程；
如果不存在，说明理由.
【答案】(1)
，曲线
是抛物线
(2)①32；②存在，
【难度】0.4
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题
【分析】（1）根据抛物线的定义得
，然后根据焦点坐标求出抛物线方程即可；
（2）①设直线
的方程为
，与抛物线方程联立，韦达定理，求出弦长，进一步求出面积表达
式，根据二次函数的性质求得最值即可；
②过点
作
，垂足为
，设圆
与直线
的一个交点为
，连接
，根据垂径定理得
，则当
时，
，求得弦长为定值
.
【详解】（1）由题意，点
到定点
的距离与它到定直线
的距离相等，
由抛物线的定义知，点
的轨迹是以点
为焦点，直线为准线的抛物线，
即曲线
是抛物线.由题意知，抛物线
开口向右，且
，所以
，
所以抛物线
的标准方程为
.
（2）①设
.
由题意知，直线
的倾斜角不为0，设直线
的方程为
.
由
消去
，化简得
.
，则
，
所以
.
因为
，
当且仅当
时等号成立，所以
的面积的最小值是32.
②假设存在直线
满足题意.设以
为直径的圆为圆
，则
.
如图，过点
作
，垂足为
.
设圆
与直线
的一个交点为
，连接
，则
.
又
，所以
当
时，
，
此时直线
被以
为直径的圆截得的弦长为定值
.
因此存在直线
满足题意
6．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知平面上的动点
到点
的距离与到直线
的距离相等，点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)设过点
的直线交
于
两点，过点
的直线
与
的另一个交点为
，点
在
与
之间.
（i）证明：线段
垂直于
轴；
（ii）记
的面积为
的面积为
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
.
【难度】0.65
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的参数范围问题、
根据韦达定理求参数
【分析】（1）由题意可得动点轨迹为抛物线，由焦点和准线，可得答案；
（2）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由设出的点的坐标，表示出直线
的斜
率，研究其关系，可得答案；（ii）由点的坐标，表示出三角形的面积，整理函数解析式，利用导数求得
最值，可得答案.
【详解】（1）设点
，由于动点
到点
的距离与直线
的距离相等，
所以点
的轨迹是以
为焦点，
为准线的抛物线.
设此抛物线的方程是
，则
，故曲线
的方程是
.
（2）（i）因为直线
的斜率不为0，故设
的方程为
，
联立
可得：
，
，
则
，
.
故
，故直线
与直线
关于
轴对称，即点
与点
关于
轴对称，所以线段
垂
直于
轴.
（ii）由（i）可知
，不妨设
，因为点
在
与
之间，所以
，
，
则
，
令
，则
，
令
，则
，解得
；
令
，解得
.
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
，所以
的取值范围为
.
重难点题型3 与抛物线有关的最值与范围问题
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线
，点
，点
，动点
到点
的距离比到直线
的距离小2，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线上的点到定点的距离及最值
【分析】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物线
的几何性质转化线段可求和的最小值.
【详解】方法一：设
点
，直线
，
动点
到点
的距离比到直线的距离小2，
，化简得
，
即点
的轨迹是以
为焦点，以直线
为准线的抛物线．
方法二：设
点
，直线
，
动点
到点
的距离比到直线的距离小
动点
到点
的距离等于到直线
的距离，
点
的轨迹是以
为焦点，以直线
为准线的抛物线，
即抛物线方程为
．
如图，过点
作准线的垂线，垂足为
，由抛物线的定义，得
，
则
，当
三点共线时，
取得最小值，最小值为
．
故选：C．
2．（2025·四川德阳·二模）已知在平面直角坐标系
中，
，动点
满足
，点
为抛物线
上一动点，且点
在直线
上的投影为
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆、抛物线上的点到定点的距离及最值
【分析】根据题干的条件即可求得
满足的轨迹方程为圆，再利用距离最小即
四
点共线时，即可求得最小值.
【详解】
因为
，动点
满足
，
设
，则
，两边同时平方整理得：
，
即点P 的轨迹是以
为圆心，以
为半径的圆；
因为点
在直线
上的投影为
，又抛物线上的点到焦点
的距离与到准线
的距离相等，
故
,
故
当且仅当
四点共线时，
取得最小值，
最小值为
,
故
，
故选：C
3．（24-25 高二上·福建龙岩·期末）已知抛物线C：
的焦点为F，过点
作直线l；
的垂线，垂足为B，点P 是抛物线C 上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．14
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值
【分析】由题意得
点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案.
【详解】由l：
得
，
由
，得
，
，所以直线，过定点
．
所以点
的中点坐标为
，连接AM，
则
，由题意知点B 在以AM 为直径的圆上，
所以点B 的轨迹方程为
（不包含点
），
记圆
的圆心为
，
过点P，N 分别作准线
的垂线，垂足分别为D，H，
则
，
当且仅当P，D，N，H 四点共线且点Q 在P，N 之间时等号同时成立，
所以
的最小值为
．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合.
4．（2024·河北沧州·一模）已知点
为抛物线
上一点，过点
作圆
的两条切线，
切点分别为M，N，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、二倍角的余弦公式
【分析】根据
，根据
，设
，求出
的最小值，进而利用倍
角公式求
的最小值.
【详解】因为
，
，
设
，则
当
时，
，此时
最大，
最小，
且
.
故选：D.
5．（2025·上海青浦·模拟预测）已知点
是抛物线
上一动点，点
在圆
上运动，则
与
两点间最短距离为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值
【分析】因为点
在圆外，
与
两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点
坐
标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解.
【详解】设抛物线
上的点
坐标为
，
圆
的圆心为
，半径
.
点
到圆心
的距离
.
令
，则
，对其求最小值，
根据二次函数性质，当
时，
最小为
.
则
与
两点间最短距离为
.
故答案为：
.
6．已知抛物线
的焦点为
，点
为该抛物线上的动点，点
，则
的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线定义的理解
【分析】设
，则由两点间距离公式及抛物线定义可得
关于y 的表达式，后由基本不等式可得答
案.
【详解】设
，由抛物线方程
，得焦点
，准线
，
点
为准线与
轴的交点，作
于点
，
则
．
，
则
，当且仅当
，即
时取等号.则
的最大值为
.
故答案为：
.
7．已知抛物线
的焦点为
，
点为抛物线上任意一点，
为圆
上任意一点，
则
的最小值为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、抛物线上的点到定点的距离及最值
【分析】设存在定点
，使得点
在圆
上运动时，均有
，结合两点间距离公式，可
确定的值，从而有
，再利用抛物线的方程，根据二次函数的性质，
求得
的最小值，即可得解．
【详解】由题意知，焦点
，
设存在定点
，使得点
在圆
上运动时，均有
，
设
，则
，
由
，知
，
联立两式，消去
可得
，
令
，则
，满足上式，
所以
，
所以
，
当且仅当
，三点共线时，等号成立，
设
，则
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
，
即
的最小值为
．
故答案为：
．
【点睛】本题的难点在于在
轴上找到点
，使得
，从而
，利用三点共线即可完成，属于难题.
8．（23-24 高二上·湖南长沙·期中）已知N 为抛物线
上的任意一点，M 为圆
上的一
点，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求二次函数的值域或最值、抛物线上的点到定点的距离及最值、
圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】根据题意画出示意图，由图中几何关系取线段
中点
，
中点
，连接
，可
证得所以
，即
，可得
，即可将
转化为
，
然后根据当
、
、
三点不共线时，
，当
、
、
三点共线时，
，将问题转化为
的最小值即为
的最小值，再根据两点间距离公式
求出
的最小值即可.
【详解】
根据题意可得抛物线
与圆
都关于
轴对称，且圆
的圆心坐标为
，半径为
.
因为
，圆
下方与
轴交点坐标为
，
取线段
中点
，
中点
，可得
，连接
，画出示意图如上图所示.
因为
、
分别为
和
的中点，
所以
，
，所以
，
又因为
，
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
、
、
三点共线时取到等号，此时
点为线段
与圆的交点.
所以
的最小值即为
的最小值.
因为N 为抛物线
上的任意一点，设
，
，
因为
，
则
，
当
时，
，
即
的最小值为
.
故答案为：
.
重难点题型4 抛物线中的三角形、四边形的面积问题
1．（2025·海南·模拟预测）已知O 为坐标原点，抛物线
上一点
到其焦点和准线
的距离之和为4，过C 的焦点F 的直线交C 于P，Q 两点．当
时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题
【分析】由抛物线的性质可得
，可求抛物线方程，设直线
．
与抛物线方程联立，可得
，由题意可得
，可求
，进而利用向量
的数量积的坐标运算可求
.
【详解】因为抛物线
一点
到其焦点和准线的距离之和为4，
所以
，解得
，所以抛物线C 的标准方程为
．
由抛物线C 的方程可知，焦点
，根据题意可知直线PQ 的斜率存在且不为0，
设直线
．
由
，消去x 整理得
，
所以
，又
，
所以
，
解得
，则
，
，
则
．
故选：A．
2．（2025·甘肃白银·三模）在平面直角坐标系
中，已知抛物线
的焦点为
，准线
为直线
，过点
的直线与
相交于
，
两点，则
面积的最小值为（ ）
A．24
B．18
C．16
D．12
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【分析】由题设得
，设点
，
，直线的方程为
，联立抛物线并应用
韦达定理、三角形面积公式求面积最小值.
【详解】由题知，
，解得
，所以抛物线
，
，
设点
，
，直线的方程为
，代入
，
消去
并整理得
，所以
，
，
所以
，
当且仅当
时取等号，即
面积的最小值为18.
故选：B
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线
的焦点
到准线的距离为2，点
，
是直线与
轴的交点，
是
上一点，过点
作
于点
，
与
交于点
．若
为
的重心，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准
方程
【分析】先根据抛物线方程的条件求出抛物线的基本参数，进而确定焦点和准线方程；再利用三角形重心
和相似三角形的性质求出点的坐标；最后根据三角形面积公式计算三角形的面积.
【详解】对于抛物线
，已知
，可得
.那么抛物线
的方程为
，其焦
点
，准线的方程为
.
则
，
（
为抛物线准线与
轴交点）.
因为
为
的重心，所以
为
的三等分点且
.
又因为
，所以
与
相似，且
，即
.
不妨设
，且在第一象限，由抛物线的性质可知点
到准线
的距离
.
已知
，则
，解得
.
因为点
在抛物线
上，将
代入抛物线方程得
，又因为
在第一象限，所
以
.
因为
为
的三等分点且
，所以
.
已知
.
根据三角形面积公式，对于
，则
.
故选：B.
4．（2025·天津·二模）已知抛物线
（
）的焦点F 是双曲线
（
）的一个顶点，
两条曲线的一个交点为A，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为B，若
是正三角形，则p 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程
【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数
表示出各点坐标，带入求得参数的值.
【详解】
如图所示，设抛物线的另一个顶点为
，
依题意
，可知
，
，可知
，
，
不妨设A 在第一象限，则
在双曲线上，
所以
，解得
，
故选：A．
5．（2025·山东·模拟预测）已知
为坐标原点，抛物线
的焦点为
，准线为，点
，
，
在
上，且
是面积为
的等边三角形，则的方程为 ；若
，则
的最小值为 .
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积
问题、基本不等式求和的最小值
【分析】根据抛物线的对称性，结合等边
的面积，可确定
点的坐标，从而确定
的值，得到抛物
线的准线方程；结合焦半径公式和两点间的距离公式，用余弦定理表示
，再利用导数分析函数
的单调性，可求
的最小值.
【详解】依题意
，则
，
由对称性，点
必定关于
轴对称，如图：
不妨设点
在第一象限，则
，
，即
.
代入
中，解得
，则的方程为
.
因为
，所以
，
.
根据抛物线的对称性，不妨设
，则
，且
，
.
所以
.
设
，
，则
.
由
；由
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
且
，
，当
时，
.
所以
.
所以
，所以
的最小值为
.
故答案为：
；
.
6．（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB 为
千米，AD 长4 千米，地块的一角是
水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC 是以A 为顶点，以AD 所在直线为对称轴的抛物线的一部分．
现要经过曲线AC 上某一点
（异于A，C 两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC
上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P 到边AD 的距离为t（单位：千米），
的面积
为S（单位：平方千米），则隔离出来的
的面积S 的最大值为 平方千米．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜
率）、根据抛物线上的点求标准方程
【分析】以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立平面直角坐标系，根据抛物线过点
可得抛
物线的方程，根据导数的几何意义可得
，
，故
，利用导数求最大值即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
则
，
由题意设抛物线方程为
，代入点
，得
，解得
，
所以抛物线方程为
，
由题意知直线MN 为抛物线的切线，
因为点P 到边AD 的距离为
，所以切点P 的坐标为
，
由
，得
，所以直线MN 的斜率为
，
所以直线MN 的方程为
，即
，
令
，得
，所以
，
令
，得
，所以
，
所以
，
则
，
因为
，所以当
对，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以当
时，取得最大值
平方千米．
故答案为:
.
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知抛物线
上一点
到其准线和焦点
的距离之和为
，则
；过点
的直线与
交于
、
两点，以
为直径的圆与直线
有交点
，则
面积的最小值为 .
【答案】 2 4
【难度】0.65
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【分析】第一空：依据抛物线定义，点到准线距离与到焦点距离相等.已知抛物线方程能得准线方程，结合
点到准线距离表达式求出
.
第二空：设直线横截式与抛物线方程联立，用韦达定理得
和
，算出弦长
，进而得圆半径、
圆心，写出圆方程.发现直线
与圆相切，求出切点到直线
距离，得出三角形面积表达式，求最小
值.
二级结论法：利用直线倾斜角与弦长关系得
，因圆与准线相切得半径，算出三角形面积表达式求最小
值.
【详解】第一空：根据抛物线定义：到一个点和一条直线的距离相等的动点组成的图形，
给出抛物线方程，可知准线方程为
，
故
到
的距离为
，所以
，求出
；
第二空：已知方程：
，设横截式
，与
交于
，
，
将两个方程联立，得到：
，
，
由韦达定理
，
，
故
，所以
为直径的圆半径
，
设
中点为
，
，故
，
写出圆
的标准方程：
，
令
，可以得到
有唯一解，
，说明直线
与圆
相切于点
，
所以
到
的距离
，
故三角形
，
，
当
时，
有最小值1，此时
最小，
.
【二级结论速解】设直线
的倾斜角为
，则
，
又因为直线
过焦点，所以以
为直径的圆与准线相切，则
，
所以
，
当
时，
有最小值，最小值为4.
故答案为：2；4.
8．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）抛物线
的顶点为
，斜率为的直线过点
，且
与抛物线
交于
，
，两点，若
的面积为
，则该抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线方程求焦点或
准线
【分析】直线的方程为
，
，联立直线与抛物方程，得到
，
从而有
，再结合题设条件可求得
，即可求解.
【详解】设直线的方程为
，
，
由
，消
得到
，则
，
又
，
解得
，所以焦点坐标为
，
故答案为：
.
重难点题型5 直线与抛物线的位置关系
1．（2025·广东广州·一模）已知动点
到点
的距离等于它到直线
的距离，记动点
的轨迹
为曲线
．
(1)求
的方程；
(2)
为坐标原点，过点
且斜率存在的直线与
相交于
两点，直线
与直线
相交于点
，过点
且与
相切的直线交
轴于点
．
（i）证明：直线
；
（ii）满足四边形
的面积为12 的直线共有多少条？说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）有2 条，理由见解析
【难度】0.4
【知识点】根据韦达定理求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、抛物线中的三角形或四边形面积
问题、利用抛物线定义求动点轨迹
【分析】（1）由抛物线得定义即可求解；
（2）（i）由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为
，设直线与
相
交于
两点，不妨设
，由直线方程与抛物线方程联立，求得
，求出直线
的斜率
，即可证明；（ii）由（i）得出四边形
为平行四边
形，根据四边形
的面积为12 列出关于
的方程，根据导数判断方程解的个数即可．
【详解】（1）由抛物线的定义得动点
的轨迹为以
为焦点，直线
为准线的抛物线，
所以
，即
．
（2）（i）证明：由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为
，则直线
的斜率为
，
设直线与
相交于
两点，不妨设
，
由
得，
，则
，
由
得，
，则点
处的斜率为
，
则点
处的切线方程为
，
令
，得
，即点
，
直线
的方程为
，令
，得
，即
，
所以直线
的斜率
，
所以
，即直线
．
（ii）连接
，
由（i）得
，
，所以
，
又因为
，所以
轴，即四边形
为平行四边形，
由
得，
，
若四边形
的面积为12，则
，
整理得
，
令
，则
，
设
，则
，
所以
在
单调递增，又
，
所以存在
，使得
，
所以
在
上单调递减，
在
上单调递增，
又
，
，
所以
有2 个零点，即
有2 个根，
其中
时，直线AB 的斜率不存在，舍去，另一根属于
；
由对称性可得，交换AB 点的位置也符合题意，所以四边形
的面积为12 的直线共有2 条．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）在直角坐标系
中，点
到点
距离与点
到直线
距离的差
为-1，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)设点
的横坐标为
．
（i）求
在点
处的切线的斜率（用
表示）；
（ii）直线与
分别交于点
．若
，且
时，求直线的斜率的取值范围（用
表示）．
【答案】(1)
(2)（i）
，（ii）
【难度】0.4
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的参数范围问题、求曲线切线的斜率（倾斜角）
【分析】（1）设点P 的坐标为
，利用距离公式列式化简求解即可；
（2）（i）利用导数的几何意义求得切线斜率；
（ii）分析直线l 斜率存在设为
，与抛物线方程联立，韦达定理，表示出线段AB 中点M 的坐标，
利用斜率关系得
，从而
，根据
，得
，分类讨论解不等式即可.
【详解】（1）设点P 的坐标为
，由题意得
，
即
，整理得
或
故W 的方程为
.
（2）（i）因为W 为
，所以
．
所以W 在点P 处的切线的斜率为：
；
（ii）设直线l 为
，点M 为线段AB 的中点，
当
时，不合题意，所以
；
因为点A，B 满足
所以
满足
，
从而
因为直线PM 的方程为
，
所以
，即
，
从而
.
因为
，所以
，
即
，
等价于
(其中
).
①当
时，有
，此时
，
②当
时，有
，此时
，
综上，当
时，
；
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键点在于分析直线l 斜率存在设为
，与抛物线方程联立，韦
达定理，表示出线段AB 中点M 的坐标，利用斜率关系得
，从而
，根据
，得
，分类讨论解不等式即可.
3．（2025·甘肃白银·二模）直线过抛物线
的焦点
，且与抛物线交于
两点，若线段
的长是
的中点到
轴的距离是2.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
作两条互相垂直的直线和
，分别交曲线
于点
和
.设线段
的中点分别为
，求证：直线
过定点；
(3)若点
是抛物线
上一点（不同于坐标原点
），
是
的内心，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、由导数求函数的最值（不
含参）、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【分析】（1）结合弦长，利用焦半径公式列方程求出
，即可求解抛物线方程；
（2）设
，直线的方程为
，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出
点
的坐标，同理求出点
的坐标，进而求出直线
的方程，即可求出定点；
（3）设点
则
，设
的内切圆半径为，则
，进而得
，构造函数
，利用导数法求解值域即可得解.
【详解】（1）设点
的横坐标分别为，，由
的中点到
轴的距离是2，得
，即
，
由抛物线
的弦
过其焦点，得
，解得
，
所以抛物线
的方程是
.
（2）设
，则
，设直线的方程为
，
由
得
，
则
，
，
.
将
替换
，得
.当
时，
，
则直线
的方程为
，即
，
当
时，
，当
时，
.过定点
，
故直线
过定点
.
（3）设点
，已知点
，所以
的面积
，
设
的内切圆半径为，则有
所以
，
所以
.
因为点
是抛物线
上一点（不同于坐标原点
），所以
，
所以
，
整理得：
.
构造函数
，得
，
显然
单调递增，令
，解得
，
所以当
时，
单调递减；
当
时，
单调递増；
所以
，所以
.
4．（2025·河南信阳·模拟预测）某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品牌”．
其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1 所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm 时，水
面宽度为4cm，如图2 所示．以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q 是抛物线C 上异于点O 的两点，
且满足
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)求证：直线PQ 过定点；
(3)过点O 作PQ 的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H 的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐
标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在点
到点H 的距离是定值．
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题
【分析】（1）利用待定系数法，将点
代入方程，求抛物线方程；
（2）首先设直线PQ 的方程为
，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示
，即可求
解；
（3）根据（2）的结果，以及垂直关系，求出点
的轨迹方程，即可求解定点.
【详解】（1）设抛物线的方程为
，
由题知
，代入抛物线方程，可得
，
解得
，所以，抛物线C 的标准方程为
．
（2）设直线PQ 的方程为
，
，
联立
，得
．
，
，因为
，所以
．
．
因为
，所以
，解得
，或
．
因为
不经过点
，所以
舍去．
所以直线
的方程为
，所以直线
过定点
．
（3）存在定点，理由如下：
由（2）得直线
过定点
，过点
作
的垂线，垂足为
．
所以
，定点
在
上，即
，
故点
在以
为直径的圆周上，圆心为
的中点．
因为
，所以
中点坐标为
，即为圆心的坐标，
因为圆心
到圆周上的点H 的距离等于半径1，
故存在点
到点H 的距离是定值．
5．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线
的焦点为F，点
是C 上一点，且
，
记O 为坐标原点，过点F 的直线与C 相交于A，B 两点．
(1)求抛物线C 的方程与准线l 的方程；
(2)求
的最小值；
(3)已知P，M 分别是抛物线C 与准线l 上的动点，若C 在点P 处的切线
交y 轴于点Q，且
，
试判断点N 是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．
【答案】(1)
；
；
(2)
；
(3)N 在定直线上，直线方程为：
.
【难度】0.65
【知识点】求抛物线上一点到定点的最值、抛物线中的定直线、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】（1）由
结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程；
（2）设过点F 的直线方程为
，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得
，然
后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值；
（3）设
，由导数知识可得点P 处的切线
方程，据此可得点Q 坐标，设
，
由
可得
，据此完成判断及得到定直线方程.
【详解】（1）由
是C 上一点，且
，结合抛物线定义，
可得准线方程为：
，则焦点为
，则
；
（2）由题可得点F 的直线的斜率存在，
设过点F 的直线方程为：
，将直线方程与抛物线方程联立，
可得
，判别式为
.
设
，由韦达定理，可得
，则
.
又由抛物线定义可得
，
当且仅当
，即
时取等号；
（3）设
，
，
则在
处的切线方程为：
.
令
，得
，设
，则
.
又注意到
，
，
则
.因
，
则
，从而
，即N 在定直线上，
直线方程为：
.
6．（2025·广东·模拟预测）已知抛物线
：
，点A 在
上，点
，其中
.
(1)若
，求
的最小值；
(2)点Q 是点P 关于y 轴的对称点，经过点P 的直线与
交于两点B，C；
（ⅰ）若A 是B，Q 中点，证明：
；
（ii）若直线
与
相切且
，直线
与交于点D，求D 纵坐标的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【难度】0.65
【知识点】由斜率判断两条直线垂直、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线上的点到定点和焦
点距离的和、差最值、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）设
，根据两点间距离公式得
即可求解；
（2）（ⅰ）设直线：
，
，
，
，直线与抛物线联立，由韦达定理得
，即求得
点坐标，利用向量数量积即可求证；
（ii）设B，C 的中点为
，利用韦达定理得
的坐标，求在点
处的切线方程，得
，由
得
，最后求出点
的纵坐标，利用函数求导即可求解.
【详解】（1）当
时，
，设
，
所以
，
当
，等号成立，即
，
所以
最小值为
；
（2）（ⅰ）设直线：
，
，
，
，
不妨设
，因为A 是B，Q 中点，所以
，得
，即
，
由
，所以
，即
，
所以
，由
，所以
，即
；
（ii）由（ⅰ）有
，所以
，
设B，C 的中点为
，所以
，由
有
，所以
，即
，
所以
，即
在点
处的切线为
，
由
在切线上，所以
，
又因为
，所以
，即
，
由
，解得：
，
记为
，由对称性不妨设
，
所以
，令
，得
，即
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
所以
，所以
，由对称性有
.
7．（2025·贵州黔东南·三模）已知抛物线
的焦点为F，且
为
E 上三个不同的点，
．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)若直线
的斜率之积为
，证明：直线
过定点；
(3)若直线
的斜率之和为0，且
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、根据定义求抛物线的标准
方程
【分析】（1）由焦半径公式即可求解；
（2）设直线
的方程为
，联立抛物线线方程，由韦达定理及斜率公式得到
，进而可求解；
（3）由
得到
，结合（2）得到
，再结合弦长公式及三角形面积公式得到
，再通过换元求导，确定单调性即可求解.
【详解】（1）由
，可得
，
由焦半径公式
，
，
解得：
，
所以抛物线E 的方程
.
（2）由（1）知
由题意可知直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，
由
，得：
，
，
，
，
，
所以
，
所以直线
的方程为
，
当
时，
，故
恒过
.
（3）
，
得
，
，
由（2）知：
，
所以
斜率为
，
如图：
由（2）
，得：
，
得
，又
，
所以
，所以
所以
.
又点
到直线
的距离为：
.
所以
，（
）.
设
，则
，所以
，（
）.
设
，（
）
则
，
由
，
由
，或
，
因为
，所以函数
在
上单调递增.在
单调递减，
所以
.
所以
.
即
面积的最大值为
.
8．（2025·山西·模拟预测）过抛物线
上的点
的直线，
分别交抛物线T 于点
B，C．设直线，
的斜率分别为
，
，
，当
且点B，C 关于x 轴对称时，△ABC 的面积
为2．
(1)求抛物线T 的方程；
(2)当
时，证明：直线BC 过定点．
(3)设△ABC 的外心E 的坐标为
，BC 的中点M 的坐标为
，证明：
为定值．
【答案】(1)
(2)BC 过定点
，证明见解析
(3)
，证明见解析
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题、直线与抛
物线交点相关问题
【分析】（1）先根据已知条件设出点
坐标，由
、
对称及斜率关系，用斜率公式求出
、
坐标，再
根据三角形面积公式求出
，进而得到抛物线方程.
（2）设出
、
、
坐标，求出
、
，根据
的值得到
与
的关系，再求
，最后得出直线
经过的定点
（3）
与
垂直得到
斜率，利用
、
中点在
上得出
方程，设
直线方程,
与之联
立，通过变形相减求出
，结合
的值及已知条件得出
的值.
【详解】（1）已知当
时，
，
、
关于
轴对称且
，
设
（
），因为
，不妨设
.
由斜率公式
，即
，解得
，所以
，
.
面积
，解得
，抛物线
方程为
.
（2）设
，
，
，
则
，
.
因为
，则
，所以
,则
.
，所以直线BC 方程
，整理得
.
把
代入直线BC 方程,得
，所以直线
过定点
.
（3）设
，
中点坐标是
,
因为
与
垂直，则
,
已知
斜率是
，所以
斜率为
.
根据直线点斜式，得出
方程
，展开整理成
.
同理可得直线
方程
，与
方程联立.
变形两式为
和
，
相减得
，化简得
.
已知
，则
.
又
，代入得
.
重难点题型6 焦半径问题
1．（2025·天津·二模）已知抛物线
的焦点为F，准线l 交x 轴于点D，过D 的直线与抛物线
交于A，B 两点，且B 在线段AD 上，点P 为A 在l 上的射影.若P，B，F 共线，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由向量共线（平行）求参数、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦
点弦有关的几何性质
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点
的坐标，结合向量共线的坐标表示求出点
的坐
标，再利用抛物线定义求出比值.
【详解】抛物线
的焦点
，准线
，
，
由对称性，不妨令点
在第一象限，设
，
则
，由B 在线段AD 上，
得
，整理得
，而
，
则
，由P，B，F 共线，
得
，整理得
，解得
，
于是
，过
作
于
，所以
.
故选：B
2．（2025·浙江金华·二模）过抛物线
：
的焦点
且斜率为
的直线与
交于
，
两
点，线段
，
的中点分别为
，
，
为坐标原点，直线
，
与抛物线
的另一个交点分别为
，
，记点
，
到
轴距离分别为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
轴
D．若
，则
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】设
，
,
的直线方程
，求出
,进而求出
，判断选项A,B,求出
直线方程，表达出
,判断选项C,再根据
,求出
的值，判断选项D.
【详解】设
，
,
的直线方程
，
因为线段
的中点分别为
,
所以
，
根据中位线性质，则
，
，
由抛物线的定义可得，
，
，故A,B 错误；
设
直线方程：
，
联立可得，
，则
，
故
，
同理可得
又
,则
故
，故
则
，故
轴,故C 正确；
由
,则
，
则
，再由
，故
则
或
（舍去），故
故
，则
，故D 错误.
故选：C.
3．（2025·青海海南·模拟预测）已知曲线
与直线
有3 个公共点，直线
与曲
线
交于
两点（点
在右侧），若
，则
（ ）
A．12
B．24
C．－12
D．－24
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题
【分析】由已知，设
，则则直线
与抛物线
相切，联立消元，由
，解得
，则
分别为抛物线
与
的焦点，则
为抛物线
上一点
到
轴距离与到焦点
距离的差的2 倍，由抛物线定义可得
的值.
【详解】由题意可知曲线
关于
轴对称，不妨设
，
则该曲线表示抛物线
与
，
由
得
．
因为
，所以
，
可得抛物线
与直线
有2 个交点．
又曲线
与直线
有3 个公共点，
则直线
与抛物线
相切，
把
代入
，得
，
则
，解得
，
则
分别为抛物线
与
的焦点，如图，
此时
为抛物线
上一点到
轴距离与到焦点
距离的差的2 倍，即
．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：由已知，得到直线
与曲线
的位置关系，求出
，得到
为抛物线
上一点到
轴距离与到焦点
距离的差的2 倍.
4．（24-25 高二下·安徽·阶段练习）如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获
取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线
，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线
反射到点B，反射光线与x 轴的交点为F，则
的最小值为 ．
【答案】9
【难度】0.65
【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的应用
【分析】设
，利用焦半径公式计算可得
的表达式，再由三角函数值域计算可得结果.
【详解】根据题意可知，直线
过抛物线的焦点
，作
，
垂直于抛物线的准线，垂足分别为
，如下图所示：
设
，易知
，可得
，即
，
可得
，
同理可得
，
因此
，
由因为
，所以
，
因此
,
即
的最小值为9.
故答案为：9
5．（2025·河南·二模）已知抛物线
的焦点为
，过点
且不与
轴垂直的直线与
交于
两
点，过
的中点
作
轴的平行线交
于
点，则
.
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】根据韦达定理求参数、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线定义的理解
【分析】根据题意作示意图，设出直线
的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得点
的坐标，
从而求得点
的坐标，再根据抛物线的定义求解.
【详解】如图，由题意可知，直线
的斜率存在且不等于0，
因为抛物线
的焦点为
，设直线
的方程为
，
联立方程
可得
，
设
，则
，
设
，则
代入抛物线方程可得
，
由抛物线的定义可知，
.
所以
.
故答案为：4.
6．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系
中，已知点
和抛物线
，过
的焦点
且斜
率为
的直线与
交于
两点.记线段
的中点为
，若线段
的中点在
上，则
的值为
；
的值为 .
【答案】 2 5
【难度】0.65
【知识点】根据韦达定理求参数、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】设
，与抛物线联立，由韦达定理得
，
，从而得到
的
坐标，以及线段
的中点坐标，代入抛物线方程，即可求出
的值，得到
的值.
【详解】令
，
，
，线段
的中点为
联立
，消
可得
，则
，
,所以
，
即
，所以线段
的中点
，由于线段
的中点
在抛物线上，则
，
解得
或
（舍去），即
，
由于在抛物线中
，
，所以
.
故答案为：2 ；5.
重难点题型7 抛物线的性质
1．（2025·山西吕梁·一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛
物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线
的焦点为
，一条平行于
轴的光线从点
射出，经过抛物线上的点
反射后，再经抛物线
上的另一点
射出，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．13
D．15
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、斜率公式的应用、根据抛物线方程求焦
点或准线
【分析】求出点
的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点
的坐标即可得解.
【详解】抛物线
的焦点为
，由
轴，点
，得
，
由抛物线的光学性质，得点
共线，设
，则
，
解得
，点
，于是
，
，
，
所以
的周长为
.
故选：D
2．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系Oxy 中，点
，
，向量
，
且
，若Q 为抛物线
上一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求抛物线上一点到定点的最值
【分析】首先求得点
在直线
上运动，进一步分析得当
与
、
与
重合时，
取得最小
值，其中
垂直直线
，点
是抛物线上一点，且抛物线在点
处的切线方程与直线
平行，从而即可求解.
【详解】因为点
，
，向量
，设
，则
，
解得
，因为
，所以
，
即点
在直线
上运动，
由图可知，
，其中
垂直直线
，
点
是抛物线上一点，且抛物线在点
处的切线方程与直线
平行，
显然点
在第二象限，故当
时，由
，可得
，求导得
，
令
，解得
，即点
的坐标为
，
故所求为点
到直线
的距离，
即
，当且仅当
与
、
与
重合时，
取得最小值
.
故选：D.
3．（2023·广东广州·三模）在平面直角坐标系
中，若抛物线
的准线与圆
相切于点
，直线
与抛物线
切于点
，点
在圆
上，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、由直线与圆的位置关系求参数、抛物线中的参数范围问题、数量
积的坐标表示
【分析】根据抛物线
的准线与圆
相切可求得
的值，可得出抛物线
的方程，求出点
的坐标，设出
直线
的方程，将直线
的方程与抛物线
的方程联立，求出点
的坐标，设点
的坐标为
，利用平面向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换可求得
的取值范围.
【详解】抛物线
的准线方程为
，
圆
的圆心为
，半径为，直线
与圆
相切，则
，
因为
，解得
，所以，抛物线
的方程为
，
故抛物线
的准线与圆
相切于点
，
若直线
与
轴重合，则直线
与抛物线
不相切，不合乎题意，
设直线
的方程为
，联立
可得
，
则
，解得
，
不妨设点
在第一象限，则
，则有
，解得
，
此时
，即点
，所以，
，
因为点
在圆
上，设点
，则
，
所以，
.
故选：C.
4．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）（多选题）已知抛物线C:
的准线与圆
:
相切，
为
上的动点，
为圆
上的动点，过
作的垂线，垂足为
，
的焦
点为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当
为正三角形时，直线
与圆
相离
C．
的最小值为
D．有且仅有一个点
，使得
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】求抛物线上一点到定点的最值、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】A 选项，抛物线准线为
，根据圆心到准线的距离即可求解；B 选项，由正三角形求得
直
线方程即可判断；C 选项，结合抛物线定义可得
三点共线时，可求最小值即可；D 选项，直接设
点坐标进行求解即可得.
【详解】A 选项，抛物线
的准线为
，设准线与x 轴交点为D，
圆
的圆心
到直线
的距离显然是，
因为准线和圆
相切，所以
，A 选项正确；
B 选项，因为
为正三角形时，
所以
，
又
,在直角三角形
中，
，
所以
,
所以此时
直线方程为：
，
圆心
到直线
的距离为
，所以直线
与圆
相交，故B 错误；
C 选项，
，
当且仅当
（P 在F，M 之间）三点共线时，等号成立， C 选项正确；
D 选项， 设
，由
可得
，又
，
又
，根据两点间的距离公式，
，
整理得
，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的
点，D 选项错误.
故选：AC.
5．（2024·浙江·一模）（多选题）设
是抛物线弧
上的一动点，点
是
的焦点，
，则（ ）
A．
B．若
，则点
的坐标为
C．
的最小值为
D．满足
面积为
的点
有2 个
【答案】AB
【难度】0.65
【知识点】求抛物线上一点到定点的最值、抛物线中存在定点满足某条件问题、根据抛物线方程求焦点或
准线、抛物线的焦半径公式
【分析】对于A，直接由抛物线方程即可判断；对于B，直接由焦半径先求得点
横坐标，代入抛物线方
程验算其纵坐标即可判断；对于C，由B 选项启发，观察图象，令
即可举出反例；对于D，由点
到直线距离公式将原问题转换为方程的
或
的正根的个数和即可判断.
【详解】
对于A，抛物线弧
的焦点为
，故A 正确；
对于B，若
，解得
，所以
，即点
的坐标为
，故B 正确；
对于C，取
，则
，
因为
，所以
，即
，
所以
，即
，故C 错误；
对于D，直线
的斜率为
，所以它的方程为
，
点
到它的距离为
，
注意到
，若
面积为
，
则
，又
，
所以
或
，解得
或
，
所以满足
面积为
的点
有3 个，故D 错误.
故选：AB.
6．（2024·湖南·一模）（多选题）已知F 为抛物线
的焦点，点P 在抛物线上，过点F 的直线l 与抛
物线交于
，
两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M．则下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．若点
，则
的最小值为6
C．无论过点F 的直线l 在什么位置，总有
D．若点C 在抛物线准线上的射影为D，则B、O、D 三点共线
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、求抛物线上一点到定点的最值、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】根据抛物线的性质，结合题意，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】根据题意，可得
，设
，且
点在
轴上方.
对A：过点
作
轴交
轴与点
，如下图所示：
容易知：
，且
则
，当且仅当
，即
时取得等号.
故可得
的最大值为
，当且仅当
垂直于
轴时取得最大值，故A 正确；
对B：根据题意，过点
作
垂直于抛物线的准线，垂足为
，作图如下：
因为
，数形结合可知，当且仅当
与
重合，
与
重合时，
取得最小值，此时
，故B 错误；
对C：根据题意，作图如下：
设过点
的直线方程为
，联立抛物线方程
，可得：
，故可得
，
故可得
，
故可得
，故C 正确；
对D：根据题意，作图如下：
因为
，故可得
，又
，
，
故
共线，且有公共点
，故B,O,D 三点共线，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查直线与抛物线相交，利用韦达定理以及抛物线定义处理最值、共线等问题，处理问题的
关键是充分利用抛物线定义和韦达定理，进行合理的转化，属综合中档题.
7．（多选题）已知抛物线
与圆
的公共点为A，B，点P 为圆C 的劣弧
上
不同于A，B 的一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于点N，则下列四个命题中正确的是（
）
A．
B．点P 纵坐标的取值范围是
C．点N 到圆心C 距离的最小值为1
D．若l 不经过原点，则
周长的取值范围是
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值、求抛物线上一点到定点的最值
【分析】根据题意画出图形，联立圆与抛物线的方程可得A，B 的坐标，求得
可判断A；由A，B 的纵
坐标可判断B；由抛物线的定义和图形可知点N 到圆心C 距离的最小值判断C；利用转化思想可知
结合
的范围可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
圆
的圆心为
，半径
，与
轴正半轴交于点
，
抛物线
的焦点
与
重合，准线为
，
对于选项A：联立
可得
，
解得
或
，即
，
，
所以
，故选项A 不正确；
对于选项B：点
为圆
的劣弧
上不同于A，B 的一个动点，所以点P 纵坐标的取值范围是
，故选
项B 正确；
对于选项C：抛物线
的焦点
与圆心
重合，抛物线上的点到焦点的距离最小值为
，
所以点N 到圆心C 距离的最小值为1，故选项C 正确；
对于选项D：直线l 不经过原点，
则
周长为
的取值范围是
，故选项D 正确；
故选：BCD.
8．（2024·贵州贵阳·一模）已知直线与抛物线
交于
，
两点，抛物线的焦点为
，
为
原点，且
，
于点
，点
的坐标为
，则
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数、直线与抛物线交
点相关问题
【分析】由
，可得
，进而求得直线
方程，与抛物线联立，结合韦达定理可得
，代入
，可解出
，利用抛物线定义即可求得结果.
【详解】因为
于点
，点
的坐标为
，
所以
，即
，
所以直线
方程为
，即
，
设
，
由
得
，
则
，
，
所以
，
因为
，
所以
，解得
，
所以
，
所以
.
故答案为：
9．（2025·上海黄浦·三模）抛物线
的焦点F，准线l，点A、B 是抛物线上两个动点，且满
足
，设线段
的中点M 在l 上的投影是N，则
的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求抛物线上一点到定直线的最值、抛物线定义的理解
【分析】过A 作AQ⊥于Q，过B 作BP⊥于P，设
､
，把MN 用a、b 表示，在
中用
余弦定理把AB 表示出来，就可以表示出
并求最值.
【详解】过A 作AQ⊥于Q，过B 作BP⊥于P，
设
､
，如图所示，根据抛物线的定义，
可知
、
，
在梯形
中，有
，
在
中，
，
又∵
，∴
，
∴
，
故
的最大值是
.
故答案为：
.
10．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线
的方程为
，直线与
交于
，
两点，
，
两点分别
位于
轴的上下两侧，且
，其中
为坐标原点.过抛物线
的焦点
向作垂线交于点
，动点
的轨迹为
，则
所在曲线的方程为 ，直线
斜率的最大值为 .
【答案】
（除去点
）
/
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆、直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的参数范围问题
【分析】根据
即可求出直线过定点
，再数形结合可知点
的轨迹为圆
即可写出轨迹方程；最后根据图形可判断过原点的直线和点
的轨迹在第一象限内相切时，斜率最大，即
可求出.
【详解】由题可设
，
，则
，
解得
或者
（不符合题意，舍），
设直线的方程为
，与抛物线方程联立得
，
所以
，
，故
，故直线的方程为
，
所以直线过定点
，
又因为
，由圆的定义可知动点
的轨迹是以
为直径的圆，
因为
，
，
中点坐标为
，
所以
点的轨迹方程为
（除去点
），
过原点的直线和
在第一象限内相切时，斜率最大，
所以直线
斜率的最大值为
.
故答案为：
（除去点
）；
.
