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专题8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
重难点题型1 直线与圆的位置关系的判断
1．（2024·陕西宝鸡·统考二模）直线l：
与曲线C：
的交点个数为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无法确定
2．（2025·福建·模拟预测）已知直线
与圆
相交于
，
两点，
，则
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
3．（2025·甘肃白银·三模）过点
作直线与圆
相切，斜率的最大值为
，若
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．12
B．9
C．
D．
4．（2025·北京海淀·三模）已知直线
与圆
有公共点，则
的最小值是
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
直线与圆的位置关系的判断
重难点题型2
弦长与面积问题
重难点题型3
切线问题与切线长问题
重难点题型4
圆上的点到直线的距离的个数问题
重难点题型5
直线与圆的位置关系的判断的最值（范围）问题
重难点题型6
圆与圆的位置关系
重难点题型7
两圆的公共弦长问题
重难点题型8
两圆的公切线问题
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知
为坐标原点，直线
与圆
相交于
，
两点，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．（2025·甘肃金昌·三模）设
为坐标原点，圆
与
轴相切于点
，直线
交圆
于
两点，其中点
在第二象限，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
7．（2025·江西·模拟预测）直线
与圆
相交于A，B 两点，且
（
为
坐标原点），则
.
8．（2025·山东·三模）在平面直角坐标系中，已知点
、
，曲线
上动点
满足
，
与曲线
交于
、
两点，则
最小值为 ．
9．（2024·四川泸州·三模）动直线l：
被圆C：
截得弦长的最小值为
．
重难点题型2 弦长与面积问题
1．（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知圆
，直线
与圆C 相交于M，N 两点，
则
．
2．（2025·江苏南通·三模）已知直线
与圆
交于A，B 两点，则
的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．10
3．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知直线
与圆
交于
两点，过
分别作的垂
线与
轴交于
两点，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知圆
和
，动圆
与圆
均相切，
是
的内心，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
．
5．（2025·湖南长沙·三模）已知
是直线
上的任意一点，若过点
作圆
的两条
切线，切点分别记为A,B，则弦长AB 的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
6．（2025·山西吕梁·三模）已知点M 为圆
与y 轴负半轴的交点，直线
与圆O 交
于A，B 两点，则
面积的最大值为（ ）
A．3
B．
C．4
D．
7．（2025·河南郑州·二模）已知
是抛物线
的焦点，是
的准线，点
是
上一点且位于第
一象限，直线
的斜率为正数，且与圆
相切，过点
作的垂线，垂足为
，则
的面积为（ ）
A．
B．4
C．
D．
8．（2025·云南玉溪·二模）已知点
，
，若直线l 过
且平分
的面积，则l 被
外接圆截得的弦长为 ．
9．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知动圆
过定点
，且在
轴上截得的弦长为8，圆心
的轨迹为
曲线
，若过点
的直线与曲线
交于A、
两点．则
．
10．（24-25 高二下·浙江·开学考试）已知圆
，其中
为坐标原点，直线
与圆
交于点
，则
的面积的最大值为 ．
重难点题型3 切线问题与切线长问题
1．（2025·四川成都·模拟预测）过点
作圆
的切线，切点为
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．
2．（2025·江苏苏州·三模）已知点
是直线
上的动点，过点
引圆
的两条切线
，
，
，
为切点，当
的最大值为
时，的值为
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
3．（2025·辽宁锦州·二模）设直线
与x 轴交于点A，圆
，过l 上一点P 作圆O 的两
条切线
，
，C，D 为切点，
中点为M，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山东·模拟预测）已知圆
，直线
.若过直线上任意一点
都
能作圆
的两条切线，切点为P，Q，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·天津河西·一模）已知抛物线
上位于第一象限内的点
到抛物线的焦点
的距离为5，过
点
作圆
的切线，切点为
，则
．
6．（2025·河北石家庄·一模）若圆
被直线
所截得的弦长为10，过
点
作圆
的切线，其中一个切点为
，则
的值为 .
7．（2025·山东·模拟预测）已知三个正数
构成公比为
的等比数列，圆
：
，过圆
上一点P 分别作圆
，
的切线，切点分别为
，若
，
则
．
8．（2025·上海松江·二模）已知点
为直线
上的点，过点
作圆
的切线
，切点为
，则
最大值为 .
9．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点
，且上至少有一点到点
的距离为2，则的
倾斜角的最大值为 .
重难点题型4 圆上的点到直线距离的个数问题
1．若圆
上有四个不同的点到直线
的距离为，则的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）圆C：
上恰好存在2
个点，它到直线
的距离为1，则R 的一个取值可能为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆O：x2＋y2＝4 上到直线l：x＋y＝a 的距离等于1 的点至少有2 个，
则a 的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若圆
上恰有2 个点到直线
的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．圆
上到直线
的距离为
的点共有
A．个
B．个
C．个
D．个
6．若圆
上仅有4 个点到直线
的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
重难点题型5 直线与圆的位置关系判断最值（范围）问题
1．（2025·北京·三模）经过点
，半径为2 的圆的圆心为A，则点A 到直线
的距离最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：
，
是圆
：
上的一动
点，则点
到直线的距离
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江西·一模）已知点
、
在圆
上，点
在直线
上，点
为
中点，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知圆C：
，直线l：
．则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·陕西西安·一模）直线
与圆
交于两点
，则
弦长
的最小值是 .
6．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆
和圆
有一个公共点，则的值为
．
7．（2025·江西·三模）已知
分别为圆
与圆
上一点，则
的最小值为
.
8．（23-24 高三上·湖北·阶段练习）已知
，
，过x 轴上一点
P 分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当
取到最小值时，点P 坐标为 .
重难点题型6 圆与圆的位置关系
1．（2025·山东烟台·三模）若圆
与圆
交于M，N 两点，则四边形
的面积为（ ）．
A．5
B．
C．
D．10
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求两圆的交点坐标、两圆的公共弦长
【分析】由两个圆的方程求出
，再求出
，利用
可得答案.
【详解】
，
，
，
由
，解得
，或
，
则
，
因为
，所以四边形
的面积为
.
故选：A.
2．（2025·河南·模拟预测）圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．相切
B．外离
C．内含
D．相交
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断圆与圆的位置关系
【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的
位置关系即可.
【详解】圆
即
，圆心为
，半径为；
圆
即
，圆心为
，半径为
；
圆心距为
，因为
，所以两个圆外离.
故选：B
3．（2025·浙江温州·三模）已知圆
和圆
有公共点，则的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可.
【详解】由题可得
，
解得：
．
故选：B
4．（2025·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆
与圆
相交于
两点，则四边形
的周长为（ ）
A．4
B．7
C．8
D．10
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据题意，可得
，
，得解.
【详解】圆
的圆心为
，半径为3，
如图，
，
，
所以四边形
的周长为
.
故选：C.
5．（24-25 高三下·黑龙江·阶段练习）圆
与
的公共弦长为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、判断圆与圆的位置关系、两圆的公共弦长
【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长.
【详解】圆
：
①，所以
，
.
圆
：
②，所以
，
.
因为
，所以圆
与圆
相交.
因此公共弦所在直线的方程为①
②：
，
圆
的圆心到公共弦的距离为
，
即公共弦长为
.
故选：A
6．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知圆
与圆
相交于
两点，若线段
的中点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】相交圆的公共弦方程
【分析】先求得直线
的方程，代入
点坐标来求得
.
【详解】圆
，即
，圆心为
，半径
；
圆
，即
，
圆心为
，半径
.
两个圆的方程相减并化简得
，将
代入得
，
此时圆
，
，
，满足两圆相交，符合题意.
故选：B
7．（2024·福建龙岩·三模）已知曲线
与曲线
相交
于A，B 两点，直线AB 交
轴于点
，则点
的横坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、相交圆的公共弦方程
【分析】先根据两圆相交求得
，求出点P 的横坐标，构造函数，利用导数求出值域即可得解.
【详解】根据题意，曲线
即
，是以
为圆心，半径为3 的圆，
曲线
即
，是以
为圆心，半径为3 的圆，
由两圆相交得
，解得
，又
，所以
，
两圆相减得直线AB 方程
，令
得
，
令
，则
，所以
在
单调递增，
所以
.
所以点
的横坐标的取值范围为
.
故选：D
重难点题型7 两圆的公共弦长问题
1．（2025·广西北海·模拟预测）（多选题）已知圆
，圆
，直
线
，下列结论正确的是（ ）
A．若直线与圆
相切，则
B．若
，则圆
上到直线的距离等于
的点恰有3 个
C．若圆
与圆
恰有三条公切线，则
D．若
为圆
上的点，当
时，过点
作圆
的两条切线，切点分别为
，则
可能为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据直线与圆相切可求得A 正确，再根据点的个数计算可求得B 正确，利用圆
与圆
的公切线
条数，可解得
，即C 错误，由
可求得两圆关系可知D 正确.
【详解】易知圆
的圆心
的坐标为
，半径为1，圆心
到直线的距离
，
对于A，因为直线与圆
相切，所以
，解得
，A 正确；
对于B，当
时，圆心
到直线的距离
，
故圆
上到直线的距离为
的点恰有3 个，B 正确；
对于C，圆
与圆
恰有三条公切线，
则两圆外切，即
，解得
，C 错误；
对于D，如图，
点
在
位置时，
，此时
，点
在
位置时
，此时
，
所以中间必然有位置使得
，故D 正确．
故选：ABD
2．（2025·甘肃白银·三模）（多选题）已知圆
与圆
相切，
则
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据两圆相外切和相内切两种情况，列式求解.
【详解】若这两个圆外切，则
，
两边平方后，解得
或3；
若这两个圆内切，则
，
解得
.
故选：BC
3．（2025·天津北辰·三模）已知圆
与圆
相交的两个公共点所在直线
为，若与抛物线
交于
两点，则
.
【答案】20
【难度】0.65
【知识点】相交圆的公共弦方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长
【分析】先通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求
出
.
【详解】已知圆
，圆
，将两式相减消去二次项可得直线的方程：
，即
.
联立直线与抛物线方程联立
，将
代入
可得：
，即
，
设
，
，由韦达定理可得
，
.
根据弦长公式
（其中
为直线的斜率），直线的方程为
，
其斜率
，则：
故答案为：20.
4．（2025·安徽安庆·二模）已知圆
与圆
相交于两点
，则四边形
的面积等于 .
【答案】9
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长
【分析】法一：准确画图，可得四边形
是边长为3 正方形，进而求得其面积；
法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得
，利用两点间距离公
式求得
，进而求得四边形
的面积.
【详解】由已知，圆
，圆
，
圆心
，半径
，圆心
，半径
，
法一：如图，准确画图，容易发现四边形
是边长为3 正方形，其面积为9；
法二：将两圆方程相减，可得公共弦
所在直线的方程为：
到
距离为
，所以
，即
，
又
，
所以，四边形
的面积
.
故答案为：9.
5．（2024·四川·模拟预测）圆
与圆
的公共弦长为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、两圆的公共弦长
【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出
到直线的
的距离，则
公共弦长为
，即可得出答案.
【详解】将两个圆的方程作差得：
，即公共弦所在的直线为
，
又知
，
，则
到直线的
的距离为：
，所以公共弦长为
，
故答案为：
.
重难点题型8 两圆的公切线问题
1．（2025·浙江·三模）若圆
与圆
（a，
）有且仅有一条公切线，
则从点
到圆
的切线长为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线方程、圆的公切线长
【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，
，再利用圆的切线长的公式可解.
【详解】由题，圆
与圆
内切，所以
，即
，所以点
，
又圆
的半径为1，所以切线长为
，
故选：C．
2．（24-25 高三下·辽宁·期中）圆
与圆
的
公切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数.
【详解】圆
的方程等价于
，
所以圆
是以
为圆心，
为半径的圆，
圆
是以
为圆心，
为半径的圆，
所以圆
，圆
的圆心距为
，
圆
，圆
半径之和为
，
即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆
，圆
有3 条公切线．
故选：C
3．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知圆
与圆
有且仅有三条公切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】根据公切线条数可确定两圆外切，由圆与圆位置关系的判断可构造方程得到
，令
，代入消元，将问题转化为一元二次方程有解的问题，由此可求得的取值范围.
【详解】由圆
方程知：圆心
，半径
；
由圆
方程知：圆心
，半径
；
圆
和圆
有且仅有三条公切线，
两圆外切，
，即
，
设
，则
，
，
即
，
，解得：
，
的取值范围为
.
故选：D.
4．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆
和圆
均相切，则的方
程为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】圆的公切线方程
【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
圆
的圆心为
，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得
，
故选：
.
5．（24-25 高二上·广东·期末）已知圆
与圆
有三条公切
线，则
（ ）
A．5
B．16
C．32
D．36
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判定方法列方程即得.
【详解】由
可知圆心为
，半径为2；
由
可知
且圆心为
，半径为
.
因两个圆有三条公切线可知两圆外切，
即
，
解得：
.
故选：C.
6．已知点
，
到直线的距离分别为
和
，若这样的直线恰有两条，则
的取值
范围是（ ）
A．（5，9）
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数
【分析】根据给定条件，查得以A 为圆心，
为半径的圆与以B 为圆心，
为半径的圆的两圆相交，
再借助两点间距离公式列式求解.
【详解】恰好存在两条直线，使得点A，B 到的距离分别为
和
，
以A 为圆心，
为半径的圆，以B 为圆心，
为半径的圆，这两圆有两条公切线，
因此这两个圆相交，即
，而
，
则
，解得
或
，
所以
的取值范围是
.
故选：C
7．已知圆
，圆
，则两圆的公切线的条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数
【分析】首先要将圆
的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比
较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数.
【详解】将圆
的方程化为标准方程,
圆
，将其配方可得
.
此时圆
的圆心坐标为
，半径
.
圆
，其圆心坐标为
，半径
.
根据两点间距离公式，两圆的圆心距
.
两圆半径之和
，两圆半径之差
.
因为
，所以两圆相交. 当两圆相交时，公切线的条数为
条.
故选：B.
8．（2024·贵州遵义·三模）已知点P 是椭圆
上除顶点外的任意一点，过点P 向圆
引两条切线
，
，设切点分别是M，N，若直线
分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，
则
面积的最小值是 ．
【答案】
/
【难度】0.4
【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、相交圆的公共弦方程、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】设
，求出以
为直径的圆的方程，与圆
的方程相减可得直线
的方程，进而可求得
的坐标，再求出
和点
到直线
的距离，求出面积的表达式，进而可
得出答案.
【详解】设
，
则以
为直径的圆的方程为
，
与圆
的方程相减得
，
即
是过切点
的直线方程，
则
，所以
，
又因为点
到直线
的距离
，
所以
，
又因为在点P 在椭圆
上，
所以
，即
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，
即
面积的最小值是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：设
，求出以
为直径的圆的方程，与圆
的方程相
减可得直线
的方程，是解决本题的关键.
9．（2024·河北张家口·三模）圆
与圆
的公切线的方程为
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】圆的公切线方程
【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆
化为一般式，两式相减可得.
【详解】圆
的圆心为
，半径为1，圆
的圆心为
，半径为6，
因为
，所以两圆内切，只有一条公切线，
将圆
化为一般式得：
，
，
两式相减得
，即
，
所以圆
的公切线的方程为
.
故答案为：
10．（2024·山东·模拟预测）已知圆
：
，圆
：
，直线与圆
分别相
交于
四点，若
，则直线的方程可以为 .（写出一条满足条件的即
可）．
【答案】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、圆的公切线方程
【分析】由已知直线与
平行或直线过
的中点，设出直线方程，根据
结合圆
心到直线的距离即可求解.
【详解】对于一个半径为
的圆，若一条直线被该圆截得的弦与圆心构成面积为
的三角形，则这意味着
弦对应的圆心角
满足
，即
或
.
由于弦到圆心的距离
，故
或
.
这就将命题转化为：直线到
的距离是
或，到
的距离也是
或.
分别以
和
为圆心，以为半径作圆
和
，以
为半径作圆
和
.
则直线需要满足：与
或
相切，与
或
相切.
首先，由于
，故
不可能同时和一条竖直直线相切，从而的斜率一定存在.
①若直线与
和
相切，则直线经过两圆的内位似中心
，或与两圆圆心连线平行，即斜率为
（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：
方向的无穷远点）.
对于前一种情况，即直线
到原点的距离为，使用距离公式得到
，解得
；
对于后一种情况，即直线
到原点的距离为，使用距离公式得到
，解得
.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：
，
，
，
；
②若直线与
和
相切，则直线经过两圆的内位似中心
，或与两圆圆心连线平行，即斜率为
（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：
方向的无穷远点）.
对于前一种情况，即直线
到原点的距离为
，使用距离公式得到
，解得
；
对于后一种情况，即直线
到原点的距离为
，使用距离公式得到
，解得
.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：
，
，
，
；
③若直线与
和
相切，则直线经过两圆的内位似中心
，或经过两圆的外位似中心
.
对于前一种情况，即直线
到原点的距离为，使用距离公式得到
，解得
；
对于后一种情况，即直线
到原点的距离为，使用距离公式得到
，解得
.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：
，
，
，
；
④若直线与
和
相切，则直线经过两圆的内位似中心
，或经过两圆的外位似中心
.
对于前一种情况，即直线
到原点的距离为
，使用距离公式得到
，解得
；
对于后一种情况，即直线
到原点的距离为
，使用距离公式得到
，解得
.
所以我们得到此时满足条件的直线可能是：
，
，
，
.
综上，满足条件的直线一共有16 种可能：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.（答案不唯一）
【点睛】关键点点睛：本题总共有16 种可能的答案，但只需答出其中1 个即可.在时间宝贵的考场上，全
部将16 条直线的方程求出显然是不明智的做法.
11．（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）若曲线
上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为
曲线
的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．
．
【答案】①②④
【难度】0.65
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、圆的公切线条数
【分析】①在
和
处的切线都是
，故有“自公切线”;②此函数为周期函数，过图象的最
高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故有“自公切线”；将③化简为
，求出
，设切点分别为
，
，通过
，解
方程即可判定；④画出图形即可判断.
【详解】①
，在
和
处的切线都是
，故①有“自公切线”；
②
，其中
，
，
此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，
故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”；
③
，即
，则
，
假设有“自公切线”，设切点分别为
，
，且
，
所以切线的斜率
，解得：
，
则
，故
，
化简得：
，无解，所以③没有“自公切线”.
④
，
当
，则
，当
，则
，
表示的图形如下，由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”.
故答案为：①②④
12．（2024·宁夏·一模）若两圆
和
恰有三
条公切线，则
的最小值为 ．
【答案】10
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公
切线条数
【分析】根据两圆外切得到方程，求出
，对不等式
变形后，利用基本不等式求出最小
值.
【详解】
的圆心为
，半径为
，
的圆心为
，半径为
，
两圆外切，则
，即
，
故
，
又
，故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为10.
故答案为：10
