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专题8.3 圆的方程
重难点题型1 求圆的方程
1．（2025·海南三亚·一模）已知圆
与直线
和
都相切，且圆心在
轴上，则圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山西晋中·三模）已知圆C 的一般方程为
，则圆C 的圆心坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·北京海淀·二模）圆心为
且与
轴相切的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河北保定·一模）已知O 为坐标原点，圆
，则
（ ）
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
求圆的方程
重难点题型2
用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
重难点题型3
点与圆的位置关系
重难点题型4
与圆有关的轨迹问题
重难点题型5
与圆有关的对称问题
重难点题型6
圆过定问题
重难点题型7
圆的方程的实际应用
A．2
B．3
C．
D．5
5．（2025·四川凉山·三模）（多选题）已知
，则（ ）
A．
的最小值是
B．
的最小值是
C．
的最小值是
D．
的最大值是
6．（2025·上海·模拟预测）圆
上的点到直线
的距离最大值为 .
7．（2025·河南·模拟预测）已知圆
的圆心在直线
上，且圆
经过点
，
，则圆
的方程是 .
8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若圆
经过坐标原点，且圆心在直线
上运动，当半径最小
时，圆的方程为 .
重难点题型2 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
1．（2025·四川眉山·三模）方程
表示圆，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·贵州黔南·三模）“关于
，
的方程：
表示圆”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（24-25 高二上·重庆·开学考试）已知“
”是“
”表示圆的必要不充分
条件，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）“
或
”是“定点
在圆
的外
部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（多选题）已知圆C：
，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若圆
关于直线
对称，则
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当
时，
为圆
上任意一点，则
的最大值为
D．当
时，直线
为直线上的动点，过点
作圆
的切线
，切点为
，
，则
最小值为4
6．（2025·上海杨浦·模拟预测）设
.已知方程
表示的曲线是一个圆，则
的取值范围
为 .
7．（2024·广东珠海·一模）若方程
表示圆，则
的取值范围为 .
8．已知
，方程
表示圆，则圆心坐标是 ．
重难点题型3 点与圆的位置关系
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点
在圆
外，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．（2025·北京海淀·三模）已知圆
，直线
，则直线与圆
的公
共点个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．与
有关，不能确定
3．（2025·山西临汾·一模）已知
，
，
，
，若从
，
，
，
这四个点
中任意选择两个点，则这两个点都落在圆
外的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·广西河池·二模）（多选题）已知圆
方程为
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
的取值范围为
B．若已知
在圆内，则
C．若
，则直线
与圆
相离
D．若
，圆
关于直线
对称的圆
方程为
5．（24-25 高二下·山西·月考）（多选题）已知圆
的半径为2，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．点
在圆
的外部
C．圆
与圆
外切
D．当直线
平分圆
的周长时，
6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点
在圆
外，则实数
的取值范围为
.
7．已知点
在圆C：
（
）内，过点M 的直线被圆C 截得的弦长最小值为
8，则
．
重难点题型4 与圆有关的轨迹问题
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段
的端点
的坐标是
，端点
在圆
上运动，则
线段
的中点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西·模拟预测）已知点A，B 是圆C：
上的两个动点，O 为原点，点A，B，
O 共线，点D 为AB 的中点，则点D 的轨迹长度为（ ）
A．
B．2π
C．
D．
3．（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点
、
之间的距离为
，动点
满足
，则点
轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点
的直线与圆
交于
两点，则弦
的中点
的轨迹方程为 .
5．（2024·贵州毕节·三模）已知直线
，直线
，与
相交于点A，则点A
的轨迹方程为 ．
重难点题型5 与圆有关的对称问题
1．（2024·宁夏银川·三模）如图，设
，
是圆
上的两个动点，且M、P 点都
不在坐标轴上，点M 关于原点的对称点为
，点M 关于x 轴的对称点为
，若直线
，
与y 轴分
别相交于
和
则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
2．（2023·河南信阳·三模）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互
转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆
的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆
的一个“太
极函数”；下列有关说法中：
①对圆
的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
②函数
是圆
的一个太极函数；
③存在圆
，使得
是圆
的太极函数；
④直线
所对应的函数一定是圆
的太极函数．
所有正确说法的序号是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②④
D．②③
3．（2024·陕西西安·一模）已知圆
，直线
，若圆
上任意一点关于
直线的对称点仍在圆
上，则点
必在（ ）
A．一个离心率为
的椭圆上
B．一个离心率为2 的双曲线上
C．一个离心率为
的椭圆上
D．一个离心率为
的双曲线上
4．（2024·天津·二模）已知直线
与圆
交于
两点，直线
垂直平分弦
，则
的值为 ．
5．已知a，b 为正实数，直线
将圆
平分，则
的最小值是 .
6．设曲线
关于直线
对称，则
．
重难点题型6 圆过定点
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线
，圆
，当
直线被圆
截得的弦最短时，的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三上·全国·月考）设直线
与圆
交于
，
两点，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知直线：
恒过点
，过点
作直线与圆C：
相交于A，B 两点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．4
D．
4．直线
与圆
相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条
A．10
B．9
C．8
D．7
5．（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线
被圆
截得的最短弦长
为
，则
．
6．（2024·广东惠州·模拟预测）在圆
内，过点
的最长弦和最短弦分别为
和
，则四边形
的面积为 ．
7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知圆
及直线
，当直线被圆
截得的弦长最短时，直线的方程为 .
8．已知圆
，若直线
与圆C 交于
两点，当弦
的长度最小时，则正实数m= .
重难点题型7 圆的方程的实际应用
1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两
条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过
的三个顶点
作它的外接圆的
切线分别和边
相交于点
，则三点
在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩
（Lemoine）线.在平面直角坐标系
中若三角形三个顶点的坐标为
，
，则该三角
形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川宜宾·三模）如图，在等边
中，
，以
为直径分别作半圆，
是两段半
圆弧上的动点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江西·二模）（多选题）如图，有一组圆
都内切于点
，圆
，设直线
与圆
在第二象限的交点为
，若
，则下列结
论正确的是（ ）
A．圆
的圆心都在直线
上
B．圆
的方程为
C．若
，则圆
与
轴有交点
D．设直线
与圆
在第二象限的交点为
，则
4．（2025·上海杨浦·三模）已知三角形
的
，则三角形
的面积的取值范围是
．
5．（2025·四川资阳·模拟预测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象
概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，
曲线C：
就是一条形状优美的曲线，曲线C 围成的图形的周长是为 ；若
是
曲线C 上任意一点，
的最小值为 .
6．（2025·陕西·二模）在我们所作的三角形外接圆中，有常见的以下几种如图：
(1)如图一，三角形不经过圆的直径，叫做“阿圆▲”，设该三角形为
，其外接圆半径为
，角
所对的边分别为
.定义函数
，
，且
的最大值为
，
若
，设D 为三角形
外接圆劣弧
上的一点，且不与
重合，求
的取值范围.
(2)如图二，三角形经过圆的直径，叫做“泰圆▲”，若该三角形为ABC，
为定点，C 为动点，试用向
量方法证明数学常见结论：“
”.
(3)如图三，三角形包跨过圆的直径，叫做“秘圆▲”，假设该圆的直径为
，其中一条边
的位置固定，
长度为3，求满足条件的动点
的运动轨迹方程.
7．（2024·上海静安·二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造
好了一个外沿直径为20 米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点
与点
． 现在准备以地平面上
的点
与点
为起点建造上、下桥坡道，要求：①
；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，
坡度为
（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的
坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1 米）
(3)若整个过桥坡道的路面宽为10 米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，
提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，
不必计算）．
