【培优点03：爪形结构与分角定理+张角定理】
【知识拓展】
1.三点共线的向量表示
(1)若
、
共线，则存在唯一实数，使
.
(2)
、
为平面的一组基向量，点
在直线
上的充要条件是存在唯一一组实数
、
，使
且
.
2.定比分点的向量公式
在平面上任取一点
，设
，
，若
，则
.
（特别地，当
时，即
为线段
的中点，则有
）.
三角形的等分点：在
中，
是
上的点，且
（
），则
（也叫“爪形结构”）.
3.张角定理与分角定理
(1)张角定理
证明如下：
由
，得：
两边同除以
得：
(2)分角定理
在
中，
是
上（异于
）或其延长线上的一点，则有：
证明如下：
由
，且
，
，得：
化简得：
由
，
，得
，故
.
4.梅涅劳斯定理与塞瓦定理
(1)梅涅劳斯定理
已知直线
交
三边所在直线于D、E、F 三点，则有：
证明如下：
设
，
，
，
，则有
，
，
.①
因为D、E、F 三点共线，所以
.
又因为
，从而
.②
当①代入②，可得：
即：
注意到
，且
两两方向不同，故有：
由
可知
，将其代入
，整理可得
，即：
(2)塞瓦定理
已知点
为
内任意一点，AO、BO、CO 的延长线分别交边BC、CA、AB 于F、E、D，则有：
证明如下：
设
，
，
，
.
因为C、O、E 三点共线，有
，
.①
所以
.②
将①代入②，
即有
，
注意到B、O、F 三点共线，A、O、D 三点共线，
所以
，且
.
整理可得
，即
.
【热点题型1：定比分点的向量表示】
（2026 高三·全国·专题练习）在△ABC中，⃗AN = 1
4⃗NC，P 是BN 上的一点，若⃗
AP =m⃗AB+ 2
11⃗AC，则实数m 的值为 .
【规律方法总结】
核心依据教材中定比分点的向量定义，若点
分有向线段
所成的比为
（即
，
）
则向量表示式为
，其中
为平面内任意一点.该公式是核心，需牢记“分点系
数之和为1”的特征.
技巧要点：一是明确
的正负含义，当
在线段
上时，
（内分点）；当
在线段
的延长线
或反向延长线上时，
（外分点），可结合教材中内分点、外分点的实例理解符号规律.二是灵活运用
“基底转化”思想，若题目中无明确原点，可选取合适的基底（如
、
），将目标向量用基底表示，
再代入定比分点向量公式.三是利用“系数和为1”的性质快速验证向量表达式的正确性，这是考试中判断
知识讲解与常考题型
题型分类
经典例题
某点是否为定比分点的常用快捷方法.四是当
时，即为中点向量公式
，此为定比
分点向量公式的特殊情形，也是教材重点和考试高频考点，需单独强化记忆与应用.
（25-26 高二上·贵州遵义·期中）在△ABC中，AB = ❑√2 AC，AD =2 DB，
AE =3 EC，CD与BE交于F，若⃗AF ⋅⃗BC =0，则∠BAC = .
（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，在△ABC中，AO是BC边上的中线，K
为AO上一点，且⃗AO =2⃗AK，经过K的直线分别交直线AB , AC于不同的两点M , N．若⃗AB =m⃗AM，⃗
AC =n⃗AN，则m+n= ．
【热点题型2：定比分点求长度】
（2025·河北张家口·三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
2−sin A sinC =sin
2( A +C)+cos
2( A + B)+cos
2(B+C).
(1)求B；
(2)若△ABC的外接圆面积为π，且a+ ❑√2=c，a⃗AD =c⃗CD，求BD的长.
【规律方法总结】
核心方法基于定比分点的比例关系与距离公式，结合教材中两点间距离公式推导而来.设点
分
的比
为
，则长度比例关系为
，这是求长度的核心关联式.
技巧要点：一是明确长度比与
的绝对值对应，与
的正负无关，需区分“向量比”与“长度比”的差异，
避免符号干扰.二是当已知线段总长或某一段长度时，可通过
建立方程求解未知长度，即若
（内分点），则
，同理可推导外分点的长度
关系.三是结合坐标法应用，若已知
、
坐标，可先由定比分点坐标公式求出
点坐标，再用两点间距
离公式
计算长度，坐标法是考试中最常用的实操方法，需熟练掌握定比分点
坐标公式
，
与距离公式的结合运用.四是注意外分点时长度的叠加关系，避免
因线段延长导致长度计算错误.
（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC =π
3 ,⃗AD =⃗DB , P为
小试牛刀1
小试牛刀2
经典例题
小试牛刀1
CD上一点，且满足⃗AP =m⃗AC + 1
3⃗AB，若S△ABC =2❑√3，则|⃗AP)的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．2❑√6
3
D．8
3
（2025·山东烟台·一模）在△ABC中，AB =2 AC =6,∠BAC =60
∘,⃗BC =3⃗BD，
则|⃗AD)=（ ）
A．❑√7
B．❑√13
C．❑√21
D．2❑√7
（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，
c.已知b
2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC =asinC.
（1）证明：BD =b；
（2）若AD =2 DC，求cos∠ABC.
【热点题型3：爪形结构之中线】
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知
△ABC的面积为❑√3，D为BC中点，且AD =1．
(1)若∠ADC =π
3 ，求tan B；
(2)若b
2+c
2=8，求b,c．
【规律方法总结】
爪形结构中线问题的核心是教材中的“中线向量公式”，若
为
的中线（即
为
中点），则
中线向量公式为
，该公式是破解爪形结构中线问题的基础，本质是定比分点向量公式
中
的特殊情况.
技巧要点：一是将中线向量公式拓展到多中线场景，若存在多条中线，可通过向量叠加表示三角形的重心
向量，重心
满足
，且
，这是考试高频考点.二是利用中
线向量公式进行“向量分解与合成”，在爪形结构中，可将非中线向量转化为中线向量与其他基础向量的
组合，简化运算.三是结合数量积应用，若需计算中线相关的数量积，可先通过中线向量公式将目标向量
用已知边向量表示，再代入数量积公式
计算.四是注意中线与三角形面积的关联，中线
将三角形分成面积相等的两部分，可辅助解决与面积相关的爪形结构问题.
小试牛刀2
小试牛刀3
经典例题
（2026·陕西西安·一模）在△ABC中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，且有
cos
2 A −sin BsinC =cos(C + B)cos(C −B).
(1)求角A；
(2)若D 为BC 中点，且AD =2，求△ABC面积的最大值.
（25-26 高三上·四川广安·月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，
c，且3a= ❑√3c sin B+3bcosC.
(1)求B；
(2)若D是边AC的中点，a=2，BD =
❑√19
2
，求△ABC的面积；
【热点题型4：爪型结构之角平分线】
（2025·浙江·一模）已知△ABC的角A ,B ,C的对边是a,b,c ,a
2=b
2+bc且cosB = 3
4 .
(1)求a:b:c；
(2)若AM为△ABC的中线，AD为△ABC的角平分线，求AM
AD .
【规律方法总结】
核心依据角平分线定理与向量表示，角平分线定理（教材重点定理）：在
中，若
为
的
角平分线，交
于
，则
，结合定比分点向量公式可推导角平分线的向量表示.
技巧要点：一是角平分线的向量表示，若
、
为单位向量，则
（
为参
数），其中
、
分别为
、
的单位向量；非单位向量时，可表示为
，该公式精准体现角平分线的比例特征，考试中常直接应用.二是利用角平分线
定理确定定比分点的
值，即
，再代入定比分点相关公式求解向量或长度.三是爪形结构
中，角平分线向量可作为“角相等”的向量转化工具，通过向量方向与长度比例，建立已知与未知向量的
关联.四是注意角平分线与三角形内切圆的关联，内心为三条角平分线的交点，内心向量公式
（简化为
，其中
，
，
小试牛刀1
小试牛刀2
经典例题
，
为任意点），是考试进阶考点，需结合角平分线性质记忆.
（2025·四川遂宁·二模）在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别是a,b,c，且
❑√3c cos B−bsinC = ❑√3a.
(1)求C；
(2)已知∠ACB的角平分线CD交AB于点D.若a+b= 4，c = ❑√13.求△ABC面积及CD的长.
（2025·安徽·二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
ab=bcos A + ❑√3asin B，且a=2.
(1)求A；
(2)若点D在线段BC上，且满足⃗AD =⃗AB
|⃗AB)
+⃗AC
|⃗AC)，求△ABC的面积.
【热点题型5：张角定理与分角定理求角】
（2025·甘肃武威·模拟预测）在△ABC中，∠BAC = 2π
3 ，AD是∠BAC的平分线，
BD =2CD，AB =3，则sin∠ABC =（ ）
A．
❑√21
14
B．
❑√21
7
C．
❑√3
4
D．
❑√6
4
【规律方法总结】
张角定理：在平面内，点
在直线
外，若
被
平分或分角为
、
，则
，当
时，即为角平分线情形下的张角定理，可视为角平分线定理的三
角拓展.分角定理：在
中，若
分
为
、
，交
于
，则
，是角
平分线定理的一般形式.
技巧要点：一是张角定理的适用条件为“一点对两线段的张角被分”，解题时需先明确张角的构成与分角
大小，再代入公式，公式中各线段为点到顶点的距离，角度为张角及其分角，需注意角度的三角函数值符
号（三角形内角度均为锐角或钝角，正弦值均为正）.二是分角定理可与正弦定理结合使用，分角定理中
的比例关系可通过正弦定理推导（在
与
中分别应用正弦定理，再两式相除），考试中常需
联动两者求解角的大小或线段比例.三是求角时，可通过张角定理或分角定理建立含所求角的三角函数方
程，结合三角函数的基本关系（如
）、诱导公式化简求解，注意所求角的范围需结合三
角形内角和（
）确定.四是避免角度混淆，需精准区分分角与张角的对应关系，公式中的线
段与角度需一一对应，不可错位代入.
（2025·四川成都·三模）在△ABC中，∠BAC = 2π
3 ，∠BAC的角平分线AD 交
BC 于点D，若CD = ❑√6 AB，则tan ∠ABC =（ ）
小试牛刀1
小试牛刀2
经典例题
小试牛刀1
A．1
2
B．2
3
C．1
D．❑√2
（2025·全国·模拟预测）已知△ABC的周长为6，BC =2，∠ACB的平分线交AB
于D，BD =CD，则cosB =（ ）
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．4
5
【热点题型6：梅涅劳斯定理与塞瓦定理的应用】
如图所示，在△OAB 中，OA
→
= a
→
，OB
→
= b
→
，M，N 分别是OA，OB 上的点，且
OM
→
= 1
3 a
→
，ON
→
= 1
2 b
→
．设AN 与BM 交于点P，用向量a
→
，b
→
表示OP
→
= 1
5 a
→
+ 2
5 b
→
．
【规律方法总结】
梅涅劳斯定理（适用于共线点问题）：若一条直线与
的三边
、
、
（或其延长线）分别
交于点
、
、
，则
；逆定理同样成立，可用于判断三点共线.塞瓦定理（适用于
共点线问题）：在
内任取一点
，直线
、
、
分别交对边于
、
、
，则
；逆定理可用于判断三条直线共点.
技巧要点：一是明确两大定理的核心差异，梅涅劳斯定理针对“截线与三角形三边（或延长线）”的共线
点问题，塞瓦定理针对“三角形内一点与三边”的共点线问题，解题时先判断题型类型，再选择对应定理，
避免混淆.二是处理线段比例时，需注意线段的方向，若截线与三角形边的延长线相交，对应线段比例为
负，实际应用中可先取绝对值计算，再结合图形判断符号，考试中多以三角形内截线或内点为主，比例多
为正值.三是两大定理的逆定理是考试高频考点，常用于证明三点共线或三线共点，证明时需先构造符合
定理条件的图形（如作辅助截线、找内点），再验证比例乘积为1.四是结合其他定理联动应用，梅涅劳斯
定理可与定比分点结合，塞瓦定理可与角平分线定理、中线性质结合，解决复杂的线段比例与共点、共线
问题，解题关键是找准比例关系的切入点，将复杂图形拆解为符合定理的基本图形.五是牢记定理的适用
范围，梅涅劳斯定理的截线可在三角形外，塞瓦定理的点可在三角形外（此时对应线段比例符号需调整），
需结合图形灵活
在△OAB 的边OA，OB 上分别取点M，N，使得OM：OA＝1：5，ON：OB＝1：
4，设线段AN 与BM 交于点P，记OA
→
= a
→
，OB
→
= b
→
，用a
→
，b
→
表示向量OP
→
．
点M、N 分别是△OAB 的边OA、OB 上的点，OA
→
= a
→
，OB
→
= b
→
，
小试牛刀2
经典例题
小试牛刀1
小试牛刀2
（1）若M、N 分别是OA、OB 的中点，线段AN 与BM 的交点为P，试用a
→
，b
→
表示OP
→
；
（2）若|OM
→|：|OA
→|＝1：4，|ON
→|：|OB
→|＝1：5，线段AN 与BM 交于点Q，试用a
→
，b
→
表示OQ
→
．
一、单选题
1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知△ABC的三个内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，A = 2π
3 ，
△ABC的面积为❑√3，角A 的平分线交边BC于D，且BD =2 DC，则a 为（ ）
A．❑√14
B．❑√10
C．❑√2
D．1
2．（2025·广东江门·模拟预测）已知△ABC的三个内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c , A = 2π
3 ,△ABC
的面积为
❑√3
2 ，角A的平分线交边BC于D，且BD =2 DC，则a为（ ）
A．3
B．❑√7
C．❑√5
D．2
3．（25-26 高三上·江苏南通·期中）在△ABC中，已知AB = AC =1，cos A =−3
5，点D在边BC上且
∠CAD = π
4 ．若⃗AD =m⃗AB+n⃗AC，则m
n =（ ）
A．7
5
B．5
7
C．7
12
D．5
12
4．（2025·全国·模拟预测）在△ABC中，D为BC上一点，且AD平分∠BAC，若AB =3，AC = AD =2，
则BC =（ ）
A．6 ❑√2
5
B．4 ❑√6
3
C．3 ❑√5
5
D．5 ❑√3
3
5．（25-26 高二上·广东汕头·月考）如图，在△ABC中，AB = 4，AC =6，BC =8.取BC边中点D，连接
AD，设E 为AD中点，连接BE并延长与△ABC交于点F，则EF的长为（ ）
课后针对训练
A．
❑√6
2
B．
❑√5
2
C．
❑√3
2
D．1
2
6．（25-26 高二上·黑龙江·开学考试）如图，在△PAC中，B是边AC上的点，其中A =π
3
，C =π
4 ，
∠PBA =5π
12
，BC =8 ❑√2，则AB =（ ）
A．6 ❑√2
B．6 ❑√6
C．16 ❑√3
3
D．16 ❑√6
3
7．（2025·云南玉溪·模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点，且AC =CD , AB =2 AC = ❑√3 AD，则
sin B =（ ）
A．
❑√2
3
B．
❑√3
3
C．
❑√6
6
D．
❑√3
6
8．（2025·陕西延安·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b= ❑√7，
2sin A =3sinC，B =π
3 ，D是AC中点，则BD =（ ）
A．2
B．
❑√17
2
C．❑√5
D．
❑√19
2
9．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在△ABC中，AB = 4，AC =6，cosB = 1
8.若△ABC的角平分线AD
交边BC于点D，则AD =（ ）
A．12
5
B．8 ❑√3
5
C．9
5
D．3 ❑√2
10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在△ABC中，三个内角A ,B ,C所对的边分别为
a,b,c , A =π
3 ,a= ❑√7,b<c , D是BC的三等分点，且BD =2 DC.若△ABC的面积S = 3 ❑√3
2
时，则AD的
长为（ ）
A．
❑√37
3
B．
❑√26
3
C．
❑√37
2
D．
❑√26
3
二、解答题
11．（2025·河南·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c ,asinC = ❑√3ccos A.
(1)求A；
(2)点D在边BC上，AD平分∠BAC，若a= 4 , AD = 2❑√2
3
，求△ABC的周长.
12．（2025·江苏宿迁·三模）已知a,b,c分别为△ABC三个内角A ,B ,C的对边，且
❑√3sin( A +C )−cos B =1.
(1)求B；
(2)若b= 4，△ABC的面积为4 ❑√3，D为AC边上一点，满足⃗AC =3⃗AD，
①求△ABC的周长；
②求BD的长.
13．（2025·四川巴中·模拟预测）在△ABC中，内角A , B , C的对边分别为a, b, c.已知
bsin B+C
2
=asin B.
(1)求A；
(2)若a=3，点D在边BC上，AD =2, DC =2 DB，求△ABC的面积.
14．（25-26 高三上·山东聊城·开学考试）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
(a+b−c)(b−a+c)−3ac =0.
(1)求B；
(2)若∠ABC的角平分线交AC 于点D，且AD =2 DC = 2❑√7
3
，求BD．
