5.1 正弦定理（讲义）
目录
1
知识点01 正弦定理....................................................................................2
2
知识点02 面积公式：................................................................................2
3
知识点03 正弦定理的应用........................................................................2
4
知识点04 内角和定理：A + B+C = π........................................................3
5
知识点05 射影定理....................................................................................3
6
题型一、正弦定理解三角形.....................................................................3
7
题型二、边角互化.....................................................................................8
8
题型三、三角形的面积公式...................................................................14
9
题型四、射影定理...................................................................................20
1 知识点01 正弦定理
(1)
在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为
△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
公式
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2 R
常见变形
（1）a=2 R sin A，b=2 RsinB，c =2 RsinC
（2）sin A = a
2 R，sinB = b
2 R，sinC = c
2 R
2 知识点02 面积公式：
(1)
S = 1
2 absinC = 1
2 bc sin A = 1
2 ac sin B
(2)
S = abc
4 R = 1
2 (a+b+c)⋅r（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计
算R，r）
3 知识点03 正弦定理的应用
(1)
边化角，角化边⇔a:b:c =sin A :sin B:sinC
①若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
②若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
③若式子含有
的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
(2)
大边对大角 大角对大边
c
a
b
C
B
A
R
r
a>b⇔A >B⇔sin A >sin B⇔cos A <cos B
4 知识点04 内角和定理：A + B+C = π
(1)
sinC =sin( A + B)；sin A =sin(B+C )；sin B =sin( A +C )
(2)
cos( A + B) =-cosC;
cos( A +C ) =-cos B;
cos(B+C ) =-cos A;
(3)
在ΔABC中，内角A ，B，C成等差数列⇔B = π
3 , A +C = 2π
3 ．
5 知识点05 射影定理
(1)
c =acos B+bcos A
(2)
a=bcosC +c cos B
(3)
b=c cos A +acosC
6 题型一、正弦定理解三角形
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c =3，a=2，
C = 2π
3 ，则sin A =（ ）
A．
❑√3
3
B．4 ❑√3
3
C．1
3
D．
❑√3
2
【答案】A
【分析】利用正弦定理即可得到答案.
【详解】由正弦定理
a
sin A =
c
sinC ，得sin A = asinC
c
=
2×
❑√3
2
3
=
❑√3
3
.
故选：A.
2．△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知3a=5b，A = 2π
3 ，
则sin B =（ ）
A．3 ❑√3
10
B．3
10
C．3 ❑√2
5
D．3
5
【答案】A
【分析】利用正弦定理易得.
【详解】因3a=5b，A = 2π
3 ，由正弦定理，
sin B = b
a sin A = 3
5 sin 2π
3 = 3 ❑√3
10 .
故选：A.
3．在△ABC中，A =π
3 ，a= ❑√3，b=1，则B =（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】A
【分析】由条件结合正弦定理列方程求sin B，又b<a，可得B< A，由此可
求B.
【详解】由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B，又A =π
3 ，a= ❑√3，b=1，
所以
❑√3
sinπ
3
=
1
sin B，所以sin B = 1
2，
又b<a，所以0<B< A =π
3 ，
所以B =π
6 ，
故选：A.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B =105
∘，A =30
∘，
a=2，则c =（ ）
A．❑√2
B．❑√6- ❑√2
C．2❑√2
D．❑√6+ ❑√2
【答案】C
【分析】由正弦定理即可求解；
【详解】因为B =105
∘，A =30
∘，
所以C = 45
∘，
由
a
sin A =
c
sinC ，
可得：c = 2sin 45
°
sin30
° =2❑√2，
故选：C
5．在△ABC中，角A，B，C 的对边为a，b，c，若a=3 ❑√6，b=9，B＝
60°，则A=（ ）
A．45°
B．45°或135°
C．30°
D．90°
【答案】A
【分析】根据正弦定理，结合三角形边角关系，可得答案.
【详解】∴正弦定理a
sin a =
b
sin b，sin A =
❑√2
2 ，且a<b，∴A = 45
°.
故选：A．
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=6，b=2❑√3，
cosC =
❑√3
3 ，则sin B =（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√2
3
C．
❑√6
3
D．2❑√2
3
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出边c，再利用正弦定理求解即可.
【详解】在△ABC中，由a=6,b=2❑√3,cosC =
❑√3
3 及余弦定理得
c = ❑√6
2+(2❑√3)
2-2×6×2❑√3×
❑√3
3 =2❑√6，又sinC =
❑√1-cos
2C =
❑√6
3 ，
所以由正弦定理得sin B = bsinC
c
=
2❑√3×
❑√6
3
2❑√6
=
❑√3
3
.
故选：A
7．在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且A =π
4 ，
cosC =
❑√13
7 ，c = 4，则a=（ ）
A．7 ❑√2
3
B．12❑√2
7
C．24 ❑√2
7
D．4 ❑√2
【答案】A
【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解.
【详解】在△ABC中，由cosC =
❑√13
7 ，得sinC =
❑√1-cos
2C =
❑√1-(
❑√13
7
)
2
= 6
7，
由正弦定理得
a
sin A =
c
sinC ，所以a= c sin A
sinC =
4×
❑√2
2
6
7
= 7 ❑√2
3 .
故选：A
8．已知△ABC的角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若a=1,b+c =2, A =π
4 ，则
sin B+sinC =（ ）
A．
❑√2
2
B．2❑√2
3
C．1
D．❑√2
【答案】D
【分析】应用正弦定理计算求解.
【详解】因为a=1,b+c =2, A =π
4 ，
由正弦定理
a
sin A =
b+c
sin B+sinC 得
1
❑√2
2
=
2
sin B+sinC ，
所以sin B+sinC = ❑√2.
故选：D.
二、填空题
9．在△ABC中，A =60° ,c = 4 ,a=2❑√7，则sin A
sin B =
【答案】
❑√7
3
【分析】根据余弦定理求得b，再由sin A
sin B = a
b求解.
【详解】由余弦定理，得a
2=b
2+c
2-2bc cos A，即28=b
2+16- 4 b,
整理得b
2- 4 b-12=0，解得b=6或b=-2(舍去)，
所以sin A
sin B = a
b = 2❑√7
6
=
❑√7
3 .
故答案为：
❑√7
3
10．△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若B =30°，b= ❑√2，
c =2，则A = ．
【答案】15
∘或105
∘
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角C即可得解.
【详解】在△ABC中，B =30° ,b= ❑√2,c =2，由正弦定理得
sinC = c sin B
b
= 2sin30
∘
❑√2
=
❑√2
2 ，
而30
∘<C <150
∘，则C = 45
∘或C =135
∘,
所以A =105
∘或A =15
∘.
故答案为：15
∘或105
∘
11．在△ABC中，若a= ❑√2，∠A = π
6 ，cosC = 1
3，则c =
【答案】8
3
【分析】利用cos
2C +sin
2C =1求出sinC，再利用正弦定理即可求解.
【详解】因为cosC = 1
3，且C ∈(0,π)，所以sinC =
❑√1-cos
2C = 2❑√2
3 ，
由正弦定理
a
sin A =
c
sinC ，可得c = asinC
sin A
=
❑√2× 2❑√2
3
1
2
= 8
3.
故答案为：8
3
12．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，a=2，b=3，B =π
3 ，则
cos A = .
【答案】
❑√6
3 /
❑√6
3
【分析】由正弦定理求出sin A，由边的大小关系得到角的大小关系，从而
求出cos A.
【详解】由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B，即
2
sin A = 3
❑√3
2
，∴sin A =
❑√3
3 ，
∵a<b，∴A <B，∴cos A =
❑√1-sin
2 A =
❑√6
3 .
故答案为：
❑√6
3 .
三、解答题
13．在△ABC中，角A 、B、C的对边分别为a、b、c，已知
a= ❑√3,b=1,c = ❑√7．
(1)求角C 的大小；
(2)求sin( A +C )的值．
【答案】(1)5π
6
(2)
❑√7
14
【分析】（1）利用余弦定理计算即可；
（2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可.
【详解】（1）∵a= ❑√3,b=1,c = ❑√7，
∴cosC = a
2+b
2-c
2
2ab
=-
❑√3
2 ，
∵C ∈(0,π),∴C =5π
6
．
（2）∵b=1,c = ❑√7 ,C =5π
6
,
b
sin B =
c
sinC ，
∴sin B = bsinC
c
=
❑√7
14 ，
∵A + B+C =π，
∴sin( A +C )=sin B =
❑√7
14 ．
14．已知a，b，c 分别为△ABC三个内角A，B，C 的对边，A = 2π
3 ．
(1)若B =C，a=2❑√3，求c；
(2)若△ABC的面积为2❑√3，c =2，求a．
【答案】(1)2
(2)2❑√7
【分析】（1）先求出角C，结合正弦定理可得答案；
（2）先利用面积求出b，结合余弦定理可得答案.
【详解】（1）因为A = 2π
3 ，B =C，所以B =C =π
6 ，
由正弦定理
a
sin A =
c
sinC ，可得c =2.
（2）因为△ABC的面积为2❑√3，所以1
2 bc sin A =2❑√3，
因为A = 2π
3 ，c =2，所以
❑√3
2 b=2❑√3，解得b= 4.
由余弦定理可得a
2=16+ 4 -2×4×2cos 2π
3 =28，即a=2❑√7.
7 题型二、边角互化
1．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中
acos B+bcos A =3c tanC，若c = ❑√10，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．16π
B．25π
C．36π
D．49π
【答案】B
【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得
sinC =
❑√10
10 ，进而可外接圆半径与面积.
【详解】由正弦定理得，
sin A cos B+sin Bcos A =sin ( A + B)=sinC =3sinC tanC，
解得tanC = 1
3，故sinC =
❑√10
10 ，
则R =
❑√10
2×
❑√10
10
=5，
故所求外接圆的面积为25π，
故选：B.
2．在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，则“tan A = tan B
”是“a=b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】主要利用正切函数的性质，即可解答本题.
【详解】当a=b时，∠A = B ⇒tan A = tan B；
反之，当tan A = tan B时，A = B+k π (k ∈Z),
∵0＜A ＜π ,0＜B＜π , ∴A = B⇒a=b.
则“tan A = tan B”是“a=b”的充要条件.
故选：C.
3．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
acos B -bcos A -c =0，则A =（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．135°
【答案】C
【分析】利用正弦定理将边化角，整理即可求得.
【详解】∵acos B -bcos A -c =0，
∴由正弦定理可得sin A cos B -cos A sin B -sinC =0，
又∵在△ABC中sinC =sin ( A + B)，
∴sin A cos B -cos A sin B -sin ( A + B)=0，
∴sin A cos B -cos A sin B -(sin A cos B+cos A sin B)=0，
∴-2cos A sin B =0，
∵在△ABC中，sin B>0，
∴cos A =0，且A为△ABC的内角，
∴A =90°，
故选：C．
4．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若a=2,b=3，则sin A
sin B =
（ ）
A．2
3
B．3
2
C．1
3
D．1
2
【答案】A
【分析】由正弦定理即可求解.
【详解】根据题意，由正弦定理得
a
sin A =
b
sin B，即sin A
sin B = a
b = 2
3.
故选：A.
5．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若acos B+bcos A =a，
则△ABC 一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等边三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论.
【详解】由acos B+bcos A =a，利用正弦定理，
sin A cos B+cos A sin B =sin A，
即sin( A + B)=sinC =sin A,因0< A ,C <π,则A =C或C =π- A（不合题意舍
去），
故△ABC 一定是等腰三角形.
故选：A.
6．在△ABC中，
b
cos B =
c
sinC ，则∠B =（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】B
【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出tan B，从而得解.
【详解】因为
b
cos B =
c
sinC ，由正弦定理可得sin B
cos B = sinC
sinC =1，即tan B =1，
又B∈(0,π)，所以B =π
4 .
故选：B
7．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若sin A =2sinC，
2b=3c，则a
b =（ ）
A．2
B．3
C．2
3
D．4
3
【答案】D
【分析】根据正弦定理边角互化即可求解.
【详解】由sin A =2sinC结合正弦定理可得a=2c，
所以
a
b = 2c
3c
2
= 4
3 ，
故选：D
8．在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，已知2c -a=2bcos A，
则B =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】B
【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公
式即可解决.
【详解】因为2c -a=2bcos A，
由正弦定理，2sinC -sin A =2sin Bcos A ,
因为A + B+C = π ，∴2sin( A + B)-2sin Bcos A =sin A，
展开化简2sin A cosB =sin A .∵sin A >0,∴cosB = 1
2，
又B∈(0,π),∴B =π
3 .
故选:B.
二、填空题
9．已知△ABC的周长为3+ ❑√3，且sin A +sin B = ❑√3sinC，则| AB|= ．
【答案】
❑√3
【分析】利用正弦定理角化边，再消元求解即可.
【详解】在△ABC中，令内角A ,B ,C所对边分别为a,b,c，
由sin A +sin B = ❑√3sinC，得a+b= ❑√3c，而a+b+c =3+ ❑√3，
所以| AB|=c = ❑√3.
故答案为：
❑√3
10．在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，asin B =- ❑√3bcos A，
则A = ．
【答案】2π
3
【分析】利用正弦定理边化角，计算可得tan A =- ❑√3，可求A.
【详解】因为asin B =- ❑√3bcos A，所以由正弦定理可得
sin A sin B =- ❑√3sin Bcos A．
又sin B≠0，所以sin A =- ❑√3cos A，故tan A =- ❑√3．又因为A ∈(0,π)，
所以A = 2π
3 ．
故答案为：2π
3 .
11．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若
bsin B+csinC -asin A = ❑√2bsinC，则A = .
【答案】π
4
【分析】先由正弦定理可得b
2+c
2-a
2= ❑√2bc，再由余弦定理可得
cos A = b
2+c
2-a
2
2bc
=
❑√2
2 ，最后得到A = π
4 .
【详解】∵bsin B+csinC -asin A = ❑√2bsinC，
由正弦定理可得，b
2+c
2-a
2= ❑√2bc，
又由余弦定理可得，cos A = b
2+c
2-a
2
2bc
=
❑√2
2 ，
∵A ∈(0,π )，∴A = π
4 .
故答案为：π
4 .
三、解答题
12．记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
c
a = sin A +2sin Bcos A
2sin A
．
(1)求B 的大小；
(2)若b=2❑√2，△ABC的面积为2❑√3，求△ABC的周长．
【答案】(1)π
3
(2)6 ❑√2
【分析】（1）用正弦定理将边化为角，再利用sinC =sin( A + B)展开化简
即可求解；
（2）由面积可得ac =8，由余弦定理可得a
2+c
2-8=ac，解方程即可求出
a+c，进而可求周长.
【详解】（1）由题意得sinC
sin A = sin A +2sin Bcos A
2sin A
，
因为A ∈(0,π )，∴sin A ≠0，
所以sin A +2sin Bcos A =2sinC =2sin( A + B)=2sin A cos B+2cos A sin B，
得sin A =2sin A cos B，得cos B = 1
2，因为B∈(0,π )，所以B = π
3 ．
（2）由S△ABC = 1
2 ac sin B =2❑√3，得ac =8．
由余弦定理cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
= 1
2，得a
2+c
2-8=ac，
得(a+c)
2=3ac +8=32，
得a+c = 4 ❑√2，
所以△ABC的周长为6 ❑√2．
8
题型三、三角形的面积公式
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c = 4，
则△ABC的面积为（ ）
A．4 ❑√6
B．2❑√6
C．4
D．8
【答案】A
【分析】由余弦定理求出cos B的值，利用同角三角函数的基本关系求出
sin B的值，然后利用三角形的面积公式可求得△ABC的面积.
【详解】在△ABC中，因为a=5，b=7，c = 4，
由余弦定理可得cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
= 25+16- 49
2×5×4
=- 1
5，
所以，sin B =
❑√1-cos
2B = ❑√
1-(- 1
5)
2
= 2❑√6
5 ，
因此，△ABC的面积为S△ABC = 1
2 ac sin B = 1
2 ×5×4× 2❑√6
5
= 4 ❑√6.
故选：A.
2．△ABC的内角A ，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．若
a=1,C =π
4 且4 S =cosB+bcos A，则B =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．5π
12
D．7π
12
【答案】A
【分析】根据面积公式以及余弦定理可得c = ❑√2b，即可利用正弦定理边角
互化求解.
【详解】由4 S =cosB+bcos A得
4× 1
2 absinC =cosB+bcos A ⇒❑√2b= a
2+c
2-b
2
2ac
+b b
2+c
2-a
2
2bc
，
又a=1,故❑√2b= a
2+c
2-b
2
2c
+ b
2+c
2-a
2
2c
=c，
所以
❑√2sin B =sinC =
❑√2
2 ,故sin B = 1
2，
由于c>b，则C >B，B不可能是钝角，
由于B∈(0,π),所以B =π
6 ，
故选：A
3．已知△ABC的重心为G，AB =6，AC =8，BC =2❑√13，则△BGC的面积
为（ ）
A．12❑√3
B．8 ❑√3
C．4 ❑√3
D．4
【答案】C
【分析】运用余弦定理及三角形面积公式可得S△ABC，结合重心性质可得
S△BGC = 1
3 S△ABC求解即可.
【详解】
在△ABC中，由余弦定理得cos A = A B
2+ A C
2- BC
2
2 AB⋅AC
= 36+64 -52
2×6×8
= 1
2，
又A ∈(0,π)，所以A =π
3 ，
所以S△ABC = 1
2 ×6×8×sinπ
3 =12❑√3，
又G为△ABC的重心，
所以⃗GA +⃗GB+⃗GC =⃗0，即S△AGB:S△BGC:S△AGC =1:1:1，
所以S△BGC = 1
3 S△ABC = 4 ❑√3.
故选：C.
4．已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且B =π
4 ，a=2❑√2，
b=2❑√5，则AC边上的高h=（ ）
A．3 ❑√2
2
B．6 ❑√5
5
C．5 ❑√3
6
D．7 ❑√6
8
【答案】B
【分析】由余弦定理求得边，利用三角形面积公式，可得答案.
【详解】∵B =π
4 ，a=2❑√2，b=2❑√5，
∴由余弦定理得cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
，即
❑√2
2 = (2❑√2)
2+c
2-(2❑√5)
2
2×2❑√2×c
，
解得c =6或c =-2（舍去），又B =π
4 ，∴sin B =
❑√2
2 ，
由三角形的面积公式可得1
2 bh= 1
2 ac sin B，即h= ac sin B
b
= 6 ❑√5
5
.
故答案为：6 ❑√5
5
.
5．已知△ABC的三个内角分别为A ,B ,C，若△ABC的周长为9，且有
sin A :sin B:sinC =2:3:4，则△ABC的面积为（ ）
A．
❑√15
3
B．3 ❑√15
4
C．1
3
D．3
4
【答案】B
【分析】由已知条件结合正弦定理可求得a,b,c，由余弦定理可得cosC，
由同角的三角函数关系式可得sinC，然后利用三角形面积公式求出结果.
【详解】设△ABC的三个内角A ,B ,C对应的边分别为a,b,c，
因为sin A :sin B:sinC =2:3:4，所以由正弦定理可知a:b:c =2:3:4，
又周长为9，故a=2，b=3，c = 4，
由余弦定理可得cosC = a
2+b
2-c
2
2ab
= 4 +9-16
2×2×3 =- 1
4 ，
又0<C <π，所以sinC =
❑√1-cos
2C =
❑√15
4 ，
所以S△ABC = 1
2 absinC = 1
2 ×2×3×
❑√15
4
= 3 ❑√15
4
．
故选：B.
6．设△ABC中角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若a= 4，b=6，
sinC =
❑√3
2 ，则△ABC的面积为（ ）
A．8 ❑√3
B．12
C．6 ❑√2
D．6 ❑√3
【答案】D
【分析】应用三角形面积公式求面积即可.
【详解】由三角形面积公式有S = 1
2 absinC = 1
2 ×4×6×
❑√3
2 =6 ❑√3.
故选：D
7．在△ABC中，BC =8, AC =10,sin∠BAC = 4
5 ，则△ABC的面积为（ ）
A．6
B．8
C．24
D．48
【答案】C
【分析】由正弦定理可得∠ABC =π
2 ，再由勾股定理可得AB =6，最后根据
三角形的面积公式求解即可.
【详解】解：因为在△ABC中，BC =8, AC =10,sin∠BAC = 4
5 ，
由正弦定理可得
BC
sin∠BAC =
AC
sin∠ABC ，
所以sin ∠ABC = AC
BC ⋅sin ∠BAC = 10
8 ⋅4
5 =1,
又因为∠ABC ∈(0,π)，
所以∠ABC =π
2 ，
所以AB =
❑√A C
2- BC
2=6，
所以S△ABC = 1
2 AB⋅BC = 1
2 ×6×8=24.
故选：C.
二、填空题
8．在△ABC 中，已知，c =10，A =45°，C =30°，则S△ABC = ．
【答案】25(1+ ❑√3)
【分析】利用正弦定理求出b，然后再利用面积公式求出面积即可.
【详解】∵c =10，A = 45°，C =30°，∴B =105°，
sin105
∘=sin(60
∘+ 45
∘)=sin 60
∘cos 45
∘+cos60
∘sin 45
∘=
❑√3
2 ×
❑√2
2 + 1
2 ×
❑√2
2 =
❑√6+ ❑√2
2
由正弦定理可得，
b
sin105° =
10
sin30°，
∴b=5(❑√2+ ❑√6)，
所以S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
2 ×5(❑√6+ ❑√2)×10×
❑√2
2 =25(1+ ❑√3)；
故答案为：25(1+ ❑√3).
9．在△ABC中，AB =5，AC = ❑√5，BC = ❑√10，则△ABC的面积为
．
【答案】5
2/2.5
【分析】由余弦定理可得cosC的值，进而求出角C的大小，代入三角形的
面积公式可得该三角形的面积．
【详解】解：△ABC中，AB =5，AC = ❑√5，BC = ❑√10，
由余弦定理可得cosC = A C
2+C B
2- A B
2
2 AC ⋅CB
=
10+5-25
2×❑√5×❑√10 =-
❑√2
2 ，
因为C ∈(0,π)，所以C = 3π
4 ，
所以S△ABC = 1
2 AC ×BC sin 3π
4 = 1
2 ×❑√5×❑√10×
❑√2
2 = 5
2．
故答案为：5
2．
10．在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若A =π
3 ，
a= ❑√7，b=2，则△ABC的面积为 ．
【答案】3 ❑√3
2
【分析】由余弦定理求出c，代入三角形面积公式求解.
【详解】由余弦定理可得a
2=b
2+c
2-2bc cos A，即7= 4+c
2-2c，解得c =3
或-1（舍去），
所以S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
2 ×2×3×
❑√3
2 = 3 ❑√3
2 .
故答案为：3 ❑√3
2 .
三、解答题
11．已知△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足
asin B = ❑√3bcos A．
(1)求角A；
(2)若a= ❑√7，b=2，求边c 及△ABC的面积；
【答案】(1)A =π
3
(2)3；3 ❑√3
2
【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；
（2）利用余弦定理可得c =3，结合面积公式运算求解.
【详解】（1）因为asin B = ❑√3bcos A，由正弦定理得
sin A sin B = ❑√3sin Bcos A，
且B∈(0,π)，则sin B≠0，
可得sin A = ❑√3cos A，则tan A = ❑√3，
又因为A ∈(0,π)，所以A =π
3 ．
（2）由余弦定理得a
2=b
2+c
2-2bc cos A，即7= 4+c
2-2×2×c× 1
2，
整理可得c
2-2c -3=0，解得c =3或c =-1（舍去），
所以△ABC的面积S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
2 ×2×3×
❑√3
2 = 3 ❑√3
2 ．
12．记△ABC的内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且
c -2acos
2B =2bcos A cosB．
(1)求B；
(2)设D为AC边的中点，若b=2，BD = 3
2，求△ABC的面积．
【答案】(1)π
3
(2)5 ❑√3
8
【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解；
（2）由余弦定理有a
2+c
2- 4 =ac，由⃗BD
2= 1
4 (⃗BA +⃗BC)
2= 1
4 (a
2+c
2+ac)得
a
2+c
2+ac =9即可求得ac = 5
2，利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得，sinC -2sin A cos
2B =2sin Bcos A cosB，
∴sinC =2cosB (sin A cosB+cos A sin B)=2cosBsin( A + B)，
∵A + B+C =π，
∴sinC =2cosBsin( A + B)=2cosBsin(π-C)=2cosBsinC，
∵0<C <π，∴sinC ≠0，∴cosB = 1
2，又0<B<π
∴B =π
3 ；
（2）由余弦定理得：cosB = a
2+c
2-b
2
2ac
= 1
2，∴a
2+c
2- 4 =ac，
∵⃗BD
2= 1
4 (⃗BA +⃗BC)
2= 1
4 (a
2+c
2+ac)，BD = 3
2，∴a
2+c
2+ac =9，
∴4 +2ac =9，解得ac = 5
2，
∴△ABC的面积为1
2 acsin B = 5 ❑√3
8 ．
9
题型四、射影定理
1．△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
(❑√3b-c)cos A =acosC，则cos A =（ ）
A．1
B．
❑√3
2
C．
❑√3
3
D．❑√3
【答案】C
【分析】根据正弦定理得到
❑√3sin Bcos A =sin ( A +C)=sin B，结合两角和的
正弦公式即可得到答案.
【详解】(❑√3b-c)cos A =acosC，则由正弦定理得
(❑√3sin B -sinC)cos A =sin A cosC，
即
❑√3sin Bcos A =sin A cosC +cos A sinC =sin ( A +C)=sin B，
因为B∈(0,π)，所以sin B≠0，所以cos A =
❑√3
3 .
故选：C
2．在△ABC中，acos B - 1
2 b=c，则A =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】C
【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求解即得.
【详解】在△ABC中，由acos B - 1
2 b=c及正弦定理,
得sin A cos B - 1
2 sin B =sinC =sin( A + B)=sin A cos B+cos A sin B，
则cos A sin B =- 1
2 sin B，而sin B>0，解得cos A =- 1
2，又0< A <π，
所以A = 2π
3 .
故选：C
3．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
a-c cos B+bcosC =0，则C =（ ）
A．0°
B．60°
C．90°
D．120°
【答案】C
【分析】利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式得到sin BcosC =0，
进而得到cosC =0，从而得解.
【详解】因为a-c cos B+bcosC =0，
所以由正弦定理得sin A -sinC cos B+sin BcosC =0，
则sinC cos B -sin BcosC =sin A =sinC cos B+sin BcosC，
所以sin BcosC =0，
因为0°<B<180°，所以sin B≠0，则cosC =0，
所以C =90°.
故选：C.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
c cos A +acosC =2c，若a=b，则sin B等于（ ）
A．
❑√15
4
B．1
4
C．
❑√3
4
D．
❑√3
2
【答案】A
【分析】法一：由题意，根据正弦定理可得b=2c，结合余弦定理计算即可
求解；
法二：由题意，根据射影定理可得b=2c，结合余弦定理计算即可求解；
【详解】方法一：
∵c cos A +acosC =2c，由正弦定理可得sinC cos A +sin A cosC =2sinC，
∴sin ( A +C) =2sinC，∴sin B =2sinC，∴b=2c．
又a=b，∴a=2c．
∴cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
= 4 c
2+c
2- 4 c
2
2×2c
2
= 1
4．
∵B∈(0,π)，则sin B =
❑√1-cos
2B =
❑√15
4 ．
方法二：
因为c cos A +acosC =2c，由射影定理可得b=2c，
又a=b，∴a=2c．
∴cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
= 4 c
2+c
2- 4 c
2
2×2c
2
= 1
4．
∵B∈(0,π)，则sin B =
❑√1-cos
2B =
❑√15
4 ．
故选：A
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，c cos B =(2a-b)cosC，
则角C =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5 π
6
【答案】B
【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为
sin A =2sin A cosC，从而可求出结果.
【详解】由c cos B =(2a-b)cosC得
sinC cos B =(2sin A -sin B)cosC =2sin A cosC -sin BcosC，
则sinC cos B+sin BcosC =2sin A cosC，所以sin (B+C)=2sin A cosC，即
sin A =2sin A cosC，
因为A ,C为三角形内角，所以sin A >0，0<C <π，则cosC = 1
2，所以C = π
3 ；
故选：B
6．在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，若acosB+bcos A =a，
则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论.
【详解】由acos B+bcos A =a，利用正弦定理，
sin A cos B+cos A sin B =sin A，
即sin( A + B)=sinC =sin A，因0< A <π,0<C <π，则A =C或C =π- A（不
合题意舍去），
故△ABC 一定是等腰三角形.
故选：B.
7．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，若
b=3,2acosC +2ccos A =3a，则a=（ ）
A．2
B．3
C．4
3
D．9
2
【答案】A
【分析】根据题意，由正弦定理化简得到2sin( A +C )=3sin A，进而得到
2sin B =3sin A，再由正弦定理，得到2b=3a，即可求得a的值.
【详解】因为2acosC +2ccos A =3a，
由正弦定理，可得2sin A cosC +2sinC cos A =3sin A，所以
2sin( A +C )=3sin A，
又因为A +C =π- B，所以sin( A +C )=sin B，所以2sin B =3sin A，
又由正弦定理，可得2b=3a，即a= 2
3 b
因为b=3，所以a=2.
故选：A.
二、填空题
8．△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC =2acos B -c cos B，
a=1,b= ❑√3，则△ABC的周长为
【答案】3+ ❑√3
【分析】由题意，根据正弦定理和三角恒等变换求得B =π
3 ，结合余弦定
理计算求出c 即可求解.
【详解】由题意知，bcosC =2acos B -c cos B，
由正弦定理，得sin BcosC =2sin A cos B -sinC cos B，
sin BcosC +sinC cos B =sin(B+C )=2sin A cos B，
即sin A =2sin A cos B，又sin A >0，
所以1=2cos B，得cos B = 1
2，又0<B<π，
所以B =π
3 ；
由余弦定理，得cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
，即1
2 = 1+c
2-3
2c
，
由c>0，解得c =2，
所以△ABC的周长为a+b+c =3+ ❑√3.
故答案为：3+ ❑√3
9．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若
3bcosB =acosC +ccos A，且3b= 4 c，则C = .
【答案】π
4 /45
°
【分析】根据三角恒等变换化简计算可得cosB = 1
3，由同角的平方关系可
得sin B = 2❑√2
3 ，结合正弦定理计算即可求解.
【详解】因为3bcosB =acosC +ccos A，
所以3sin BcosB =sin A cosC +sinC cos A，
所以3sin BcosB =sin( A +C).又sin( A +C)=sin B≠0，
所以cosB = 1
3，所以sin B =
❑√1-cos
2B = 2❑√2
3 .
因为3b= 4 c，由正弦定理知3sin B = 4sinC，
所以sinC =
❑√2
2 ，又b>c，所以B>C，C =π
4 .
故答案为：π
4
10．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
a=b(❑√3sinC +cosC)，则角B= .
【答案】π
6 /30
∘
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到
cos BsinC = ❑√3sin BsinC，进而得到cos B = ❑√3sin B，即可求解.
【详解】因为a=b(❑√3sinC +cosC)，由正弦定理
sin A =sin B(❑√3sinC +cosC)，
即sin A = ❑√3sin BsinC +sin BcosC，
又因为sin A =sin(B+C )=sin BcosC +cos BsinC，
可得sin BcosC +cos BsinC = ❑√3sin BsinC +sin BcosC，、
所以cos BsinC = ❑√3sin BsinC，
因为C ∈(0,π)，可得sinC >0，所以cos B = ❑√3sin B，即tan B =
❑√3
3 ，
又因为B∈(0,π)，所以B =π
6 .
故答案为：π
6 .
