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专题五 解析几何 第6 练 圆锥曲线定值定点定直线问题专项训练 一、单选题： 1.（2025·山东泰安·三模）设双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，P 为C 上 一动点，则P 到y 轴的距离与P 到 ， 距离之和的比值（ ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 2．（24-25·上海闵行·月考）已知圆锥曲线 的对称中心为原点O．若对于 上的任意一点 P，均存在 上的点Q（ 不重合），使得：（1）直线 与 的斜率乘积为定值； （2）线段 的中点M 在一条固定直线上，则称 为“双对称曲线”．现有如下命题：① 任意椭圆都是双对称曲线；②存在双曲线是双对称曲线；下列判断正确的是（ ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 二、多选题： 3.(2025·四川省乐山市·月考)已知抛物线C：x 2=2 py( p>0)的准线方程为y =−2，焦点为 F，O为坐标原点，A( x1, y1)，B( x2, y2)是C上两点，则下列说法正确的是( ) A. 点F的坐标为(0,2) B. 若| AB|=16，则AB的中点到x轴距离的最小值为8 C. 若直线AB过点(0,4)，则以AB为直径的圆过点O D. 若直线OA与OB的斜率之积为−1 4 ，则直线AB过点F 4．抛物线C：y2＝2px(p>0，p 为定值)的焦点为F，C 与直线y＝x＋m 相交于A，B 两点，M 为AB 的中点．过点M 作x 轴的垂线，垂足为N；过点M 作AB 的垂线，交x 轴于点P，则( ) A．－p 2 <m< p 2 B．M 的纵坐标是定值 C．|AB| 2 |NF| 为定值 D．存在唯一的m 使得∠APB＝120° 三：填空题 5.（2025 高三·全国·专题练习）若直线 与抛物线 没有公共 点，则以l 上的点Q 为一顶点C 的阿基米德三角形的底边（点Q 的对边）过定点，该定点 坐标为 ． 6.（2025·海南·模拟预测）已知双曲线 的左、右顶点分别为A， B，右焦点为 ，其渐近线的方程为 ，过F 的直线l 交E 于C，D 两点（C 在 x 轴上方），直线AC，BD 分别交y 轴于点P，Q，则 的值为 ． 四、解答题： 7.(2025·西藏自治区拉萨市·模拟)已知椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)，直线x + y −1=0经过 C的上顶点及右焦点F2． (1)求C的方程； (2)若直线x = x1( x1≠ √a 2−b 2)与C交于点P，Q，且直线P F2与C交于另外一点R． (ⅰ)若| PR|= 4 √2 3 ，求直线PR的方程； (ⅱ)判断直线QR是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 8.(2025·福建省泉州市·模拟)已知椭圆E: x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的离心率为1 2 ，点P(1, 3 2 ) 在E上，直线y = 1 2 x +m与E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C，O为坐标原点． (Ⅰ)求E的方程; (Ⅱ)证明：△BOC的面积为定值; (Ⅲ)若点B在直线AC的右侧，求直线BC在y轴上的截距的最小值． 9.(2025·广东省东莞市·模拟)给定椭圆C：x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为 √a 2+b 2的圆为椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F( √2,0)，其短轴上的一个端点 到F的距离为 √3． (1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程； (2)若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M， N .证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值． 10.(2025·山西省·模拟)已知双曲线C : x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的离心率为 √5，点A ( √2,2) 在双曲线C上． (1)求C的方程； (2)过双曲线C右支上一动点M分别作C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点P， Q，O为坐标原点，证明：平行四边形MPOQ的面积为定值，并求出该定值．
