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专题18 圆锥曲线的综合应用（解答题）
1、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知椭圆 的离心率是 ，点 在
上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.3、【2022年全国甲卷】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两
点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最
大值时，求直线AB的方程．
(3 )
4、【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,−2),B ,−1
2
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1,−2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
⃑MT=⃑TH．证明：直线HN过定点．x2 y2
5、【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C: − =1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，
a2 a2−1
直线AP,AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．
x2 y2
6、【2022年新高考2卷】已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为
a2 b2
y=±√3x．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x ,y ),Q(x ,y )在C上，且x >x >0,y >0．
1 1 2 2 1 2 1
过P且斜率为−√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.题型一 圆锥曲线中的最值问题
1-1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E： 的焦距为 ，且经过点
．
(1)求椭圆E的标准方程：
(2)过椭圆E的左焦点 作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的
切线，两切线交于点M，求 的最大值．
1-2、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右
焦点分别 、 焦距为2，且与双曲线 共顶点．P为椭圆C上一点，直线 交椭圆C于另一点
Q．
(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为 ，求过P、Q、 三点的圆的方程；
(3)若 ，且 ，求 的最大值．
1-3、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆 经过点 ，且椭
圆的长轴长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设经过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，直线 与 轴相
交于点 ，求 的面积 的取值范围．
题型二 圆锥曲线中的定点问题
2-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线 的左顶点为 ，过左焦点 的直线与交于 两点.当 轴时， ， 的面积为3.
(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.
2-2、（2023·山西·统考一模）双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，焦点到渐近线
的距离为 ，且过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 ， 两点，且 ，证明直线 过定点.
题型三 圆锥曲线中的定值问题
3-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 ， ， 三个点在椭圆 ，椭圆外一点 满足 ， ，（ 为坐标原点）.
(1)求 的值；
(2)证明：直线 与 斜率之积为定值.
3-2、（2022·山东青岛·高三期末）已知 为坐标原点，点 在椭圆 上，椭
圆 的左右焦点分别为 ，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上，原点 为 的重心，证明： 的面积为定值.
题型四 圆锥曲线中的角度问题
4-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
4-2、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线 的实轴长为4，左､右
顶点分别为 ，经过点 的直线 与 的右支分别交于 两点，其中点 在 轴上方.当
轴时，
(1)设直线 的斜率分别为 ，求 的值；
(2)若 ，求 的面积.题型五 圆锥曲线中的探索性问题
5-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
离心率是 ，P为椭圆上的动点.当 取最大值时， 的面积是
（1）求椭圆的方程：
（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有 ，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，
使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由
5-2、（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，
则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妺”圆锥曲
线， 分别为 的离心率，且 ，点 分别为椭圆 的左､右顶点.
(1)求双曲线 的方程；(2)设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为 .
（i）试探究 与 的比值 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 的取值范围.
1、（2023·安徽安庆·校考一模）已知椭圆 的焦点分别为 ， ，且 ，上顶
点为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点 在椭圆上，若 ，求 的大小.
2、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离
为2.(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设 为双曲线 的右顶点，直线 与双曲线 交于不同于 的 ， 两点，若以 为直径的圆经过点且 于 ，证明：存在定点 ，使得 为定值.
3、(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)的左，
右顶点分别为A，B．F是椭圆的右焦点，＝3，·＝3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k ，k ．若k(k ＋k)＝
1 2 1 2
1，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
4、（2022·山东枣庄·高三期末）如图， 为椭圆 的左顶点，过原点且异于 轴的直线与椭圆
交于 两点，直线 与圆 的另一交点分别为 ．5、（2023·山西晋中·统考三模）椭圆 的左、右顶点分别为 ，过左焦点 的
直线与椭圆交于 两点（其中 点位于x轴上方），当 垂直于 轴时， ．
(1)求椭圆的方程；
(2)记直线 的斜率分别为 ，求 的最小值．
6、（2022·江苏苏州·高三期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，直线 与直线
的斜率之积为 ，记动点 的轨迹为曲线 ．(1)求曲线 的方程；
(2)若点 为曲线 上的任意一点（不含短轴端点），点 ，直线 与直线 交于点 ，直线
与 轴交于点 ，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定值．
