专题五 解析几何
微专题3 圆锥曲线定值定点定直线问题
一、考点透析
考点1 定值问题
1.(2025· 湖北省武汉市· 模拟) 如图，已知椭圆E1
：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)与椭圆E2
：
x
2
12 + y
2
4 =1有相同的离心率，点P( √3,1)在椭圆E1上．过点P的两条不重合直线l1,l2与椭
圆E1相交于Q , H两点，与椭圆E2相交于A ,B和C , D四点．
(1)求椭圆E1的标准方程；
(2)求证：S ΔAPD= S ΔBQD；
(3)若|BQ|
|DH|=|DP|
|BP|，设直线l1,l2的倾斜角分别为α , β，求证：α + β为定值．
2.(2025· 河南省开封市·模拟)已知双曲线C : x
2−y
2
b
2 =1(b>0)的两条渐近线分别为
l1: y =
√3 x，l2: y =−
√3 x，若点A，B分别在l1
，l2
上( A ,B不同于原点O)，且直线AB是
C的切线，则称△OAB是C的“渐切三角形”.已知C在点(s,t )处的切线方程为sx−ty
b
2 =1．
(1)写出C的一个“渐切三角形”的顶点A，B的坐标及切线AB的方程，并求出其面积;
(2)已知点A( x1, y1)，B( x2, y2)( x1 x2>0)分别在l1，l2上，△OAB的面积为 √3，试问
△OAB是否是C的“渐切三角形”?并说明理由;
(3)若△OAB是C的“渐切三角形”，AB与C相切的切点M的横坐标大于0，F为C的左焦
点，证明：∠AFB为定值．
3.(2025·河南省开封市·模拟)已知O为坐标原点，动直线l：y =kx +m(km≠0)与双曲线C：
x
2−y
2
b
2 =1(b>0)的渐近线交于A，B两点，与椭圆D：x
2
2 + y
2=1交于E，F两点.当
k
2=10时，2(OA⃗+OB⃗)=3(OE⃗+OF⃗).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与C相切，证明：△OAB的面积为定值．
考点2 定点问题
1.(2025·山东省济宁市·模拟)抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后
平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图，从抛物线y
2=8 x的焦点
F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐
角均为θ，两条反射光线a
′和b
′之间的距离为d，则( )
A. d随θ的增大而减小
B. 若d =8，则θ = π
3
C. 若三角形▵ABF的面积为S，则S =2d
D. 无论θ取何值，直线AB恒过定点(−2,0)
2.(2025·江西省九江市·模拟)已知双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为
A ,B，M (5,4)在E上，MA
→
⋅MB
→
=32
．
(1)求E的方程；
(2)过M的直线l交E于另一点N (异于A ,B)，与x轴交于点G，直线NA与MB交于点H，
证明：直线GH过定点．
3.(2025·四川省成都市·模拟)已知F1
，F2
分别为椭圆E：x
2
4 + y
2
b
2 =1( √2<b<2)的左右焦点
直线l与椭圆交于A、B两点，当
时，▵A F1 F2的面积为
√3．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知椭圆E与x轴负半轴交于点M，直线MA与MB的斜率之积为−1
4
．
(i)证明：直线l过定点；
(ii)设▵AMO与▵AMB的面积分别为S1
，S2
，若S1
S2
= 1
5
，求直线l的方程．
考点3 定直线
1.(2025·山西省吕梁市·模拟)已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1
、
F2，左、右顶点分别为C、D .过F1作以实轴为直径的圆的切线，在第二象限的切点为A，
直线A F1
与一条渐近线的交点B在第一象限，且| AB|=
√3| AO|(O为坐标原点)．
(1)求双曲线的离心率．
(2)双曲线经过点(2,
√3)，动点P、Q在双曲线的右支上，且直线PQ经过右焦点F2
，
▵P F1 F2、▵Q F1 F2的内心分别是I 1、I 2．
(i)求证：点I 1、I 2在定直线l上；
(ii)求|I 1 D|−|I 2 D|的取值范围．
2．（24-25 高三下·河北承德·月考）在平面直角坐标系
中，对于任意一点
，总
存在一个点
满足关系式
，则称
为平面直角坐标系中的
伸缩变换.
(1)若曲线
的方程为
.
（i）求
经过伸缩变换
后所得到曲线
的标准方程；
（ii）设曲线
的左、右顶点分别为A，B，过点
的直线与曲线
交于M，N 两点，
直线
与
交于点T，证明：点T 在一条定直线上；
(2)已知
，抛物线
经过伸缩变换
，得到抛物线
，设
，
，
.求数列
的前n 项和
.
二、跟踪练习
1．（25-26 高三上·四川成都·月考）已知
分别是双曲线
的左右顶点，过点
､
的直线
交该双曲线的左，右两支于
两点，下列说法正确的是
（ ）
A．该双曲线的渐近线方程为
B．若该双曲线的离心率与椭圆
的离心率互为倒数，则
C．
或
D．若直线AD 与直线BE 交于点Q，点Q 在定直线
上
2.(2025·山西省晋城市·模拟)已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点
为F(c ,0)，过F的直线l与C交于P ,Q两点，当l⊥x轴时，| PQ|=
√2c．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若C经过点B(4 ,
√14)，M为C的左支上一动点．
(ⅰ)当l的斜率为 √3时，求▵MPQ的面积的最小值；
(ⅱ)设D(0,
√2)，N为C的右支上一动点，若M , A , N三点不共线，且AD平分∠MAN，
证明：直线MN恒过定点．
3.(2025· 江西省南昌市· 模拟) 已知椭圆C : y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为 √5
3
，点
A(−2,0)在椭圆C上.
(1)求C的方程
(2)过点(−2,3)的直线交椭圆C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，
证明：线段MN的中点为定点．
4.(2025·山东省青岛市·模拟)已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F (1,0)，过F作互相垂
直的两条直线l1,l2，这两条直线与抛物线C分别交于A ,B和D , E两点，其中点A , D在第
一象限．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求四边形ADBE面积的最小值；
(3)证明：直线AD与直线BE的交点在定直线上．
5.(2025·广东省惠州市·模拟)已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1
：
y = x和l2
：y =−x，右焦点坐标为( √2,0)，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN，OQ的斜率分别为k1，
k2，证明：k1⋅k2为定值；
(3)直线y =2 x−3与C的右支交于点A1，B1( A ₁在B1的上方)，过点A1，B1分别作l2，l1
的平行线，交于点P1，过点P1且斜率为2的直线与C的右支交于点A2，B2( A2在B2的上方)，
再过点A2，B2分别作l2，l1的平行线，交于点P2，…，这样一直操作下去，可以得到一系
列点P1, P2,⋅⋅⋅, Pn
，n≥3，n∈N
∗，记Pn
的坐标为(xn, yn).证明：P1, P2,⋅⋅⋅, Pn
共
线．
