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专题五 解析几何 第5 练 圆锥曲线中范围、最值问题专项训练 一、单选题： 1.(2025·山西省·模拟)已知抛物线C : x 2= 4 y的焦点为F，准线为l.点P在C上，过P作抛物 线的切线交准线l于点Q.当▵FPQ外接圆面积最小时，点P的坐标可以是( ) A. ( √2 2 , 1 8) B. ( √2, 1 2) C. (1, 1 4) D. (2,1) 2.(2025· 内蒙古自治区呼和浩特市· 模拟) 经过抛物线C : y 2= 4 x焦点F的直线l与圆 O:( x −3) 2+ y 2=3相切，与抛物线C交于A ,B两点．Q为圆O上任意一点，则▵ABQ面积 的最大值为( )． A. 8 √3 3 B. 16 √3 3 C. 32 √3 3 D. 64 √3 3 二、多选题： 3．已知曲线C： x 2 4−m ＋y 2 m ＝1 的焦点为F1，F2，点P 为曲线C 上一动点，则下列叙述正 确的是( ) A．若m＝3，则曲线C 的焦点坐标分别为(－❑√2，0)和(❑√2，0) B．若m＝1，则△PF1F2的内切圆半径的最大值为❑√6－2 C．若曲线C 是双曲线，且一条渐近线的倾斜角为π 3 ，则m＝－2 D．若曲线C 的离心率e＝2❑√3 3 ，则m＝－2 或m＝6 4.(2025·云南省曲靖市·模拟)已知A(3,0)，抛物线y 2= 4 x的焦点为F，准线l与x轴相交于 点B，过抛物线上异于顶点的一点C作l的垂线，垂足为点D，则( ) A. 若|CF |=5，则点C的坐标为(4,4) B. 以CF为直径的圆与y轴相切 C. 直线AD与CF相交与点E，若EB⃗+ EC⃗= AE⃗，则△ABE的面积为4 √3 3 D. 设抛物线在点C处的切线为l0，过原点O作l0的垂线交直线CF于点G，则| AG|的取值 范围为(1,3) 三、填空题： 5．（2025 高三·全国·专题练习）一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上 的影子是一个椭圆，椭圆的离心率 ，则该时刻这束平行光线相对于水平平面的入射 角为 . 6.(2025·江西省南昌市·模拟)抛物线y 2= 4 x的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个 动点，且满足∠AFB = 2π 3 .设线段AB的中点M在准线l上的投影为N，则| MN | | AB| 的最大 值是 ． 7.(2025·河北省·模拟)已知抛物线C : y 2=2 px( p>0)的焦点为F(1,0)，C的准线与x轴的 交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且| FA |=3| FB|，则△TFA的面积等 于 ． 四、解答题： 8.(2025·湖南省郴州市·模拟)已知椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)过点A(0,−2)，B( 3 2 , √3)， P为椭圆C的左顶点，O为坐标原点． (1)求椭圆C的标准方程; (2)设M (m,n)(m>0,n>0)为椭圆C上的点，线段MP交y轴于点N，线段MA交x轴于点 T，且| MP|| MA |=6| MN || MT |，求|OM |． 9.(2025·天津市市辖区·模拟)已知M (− √3,0)，N ( √3,0)，平面内动点P满足直线PM， PN的斜率之积为−2 3 ． (1)求动点P的轨迹方程; (2)过点F(1,0)的直线交P的轨迹E于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB(O为坐标原点)，若C恰为轨迹E上一点，求四边形OACB的面积． 10.(2025·陕西省西安市·模拟)已知椭圆E: x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)，F为E的右焦点，P为E 上的动点，当直线PF与x轴垂直时，| PF |= 1 2 ，R是直线y =2上一动点，| PR|的最小 值为1． (1)求E的方程; (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求△RMN面积的取值范围．
