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专题五 解析几何 第1讲 直线与圆 一、考点透析 考点1 直线方程 1.(多选题)(苏州模拟)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的 是( ) A．不论a 为何值，l1与l2都互相垂直 B．当a 变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0) C．不论a 为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0 对称 D．如果l1与l2交于点M，O 为坐标原点，则|MO|的最大值是 2.(2025·四川省绵阳市·模拟)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1:2 x + y −8=0和 l2: x−3 y +10=0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 ． 考点2 圆的方程 1.(2025·海南省·模拟)已知圆C与直线l1: x−y +1=0和l2: x−y +5=0都相切，且圆心在y 轴上，则圆C的方程为( ) A. x 2+( y +3) 2=8 B. x 2+( y +3) 2=2 C. x 2+( y −3) 2=8 D. x 2+( y −3) 2=2 2.(2025·陕西省西安市·模拟)已知点A(−1,1)，⊙M的方程为( x−1) 2+( y +1) 2=10，P Q为⊙M上的动点，满足∠PAQ =90°，则PQ中点的轨迹方程为 ． 3．古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190 年)的著作《圆锥曲线论》是古代 世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k＞0 且 k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0，0)，A(3，0)，圆C： (x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有一个点P 满足|PA|＝2|PO|，则r 的值为________． 考点3 直线与圆相关位置关系 1.(2025· 陕 西 省 · 模 拟 ) 已 知 圆 C :( x−1) 2+( y −2) 2=25， 直 线 l:(2m+1)x +(m+1) y −10m−7=0，则直线l与圆C的公共点个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 与m有关，不能确定 2.(2025· 湖南省永州市· 模拟) 直线l: y =kx +2与圆O: x 2+ y 2= 4交于A ,B两点， OA⃗⋅OB⃗=−2 ，则k为( ) A. √3 B. ± √3 C. 1 3 D. ±1 考点4 直线与圆、圆与圆的最值、范围问题 1.(2025·湖北省武汉市·模拟)过直线y =−x +1上任一点P向圆x 2+( y +1) 2=1作两条切线， 切点为A ,B.则| AB|的最小值为( ) A. √2 2 B. √3 2 C. √2 D. √3 2.(2025·云南省·模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P是圆C：( x−1) 2+( y −2) 2= 4上的动 点，B(−2,−4)，则tan ∠PBC的最大值为( ) A. 2 √21 21 B. 4 √29 29 C. 2 √41 41 D. √2 2 3.(2025· 江西省南昌市· 模拟) 若存在实数a使得⊙C1: x 2+ y 2−2ax−1+a 2=0与 ⊙C2:( x−1) 2+( y +1) 2=r 2(r >0)内切，则r的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.( 多选题)(2025· 福建省福州市· 模拟) 已知点A(−3,0)，B(3,0)，动点C满足 |CA |=2|CB|，记C的轨迹为Γ .过点A的直线与Γ交于P，Q两点，直线BP与Γ的另一 个交点为M，则( ) A. 点Q，M关于x轴对称 B. △PAB的面积的最大值为6 √3 C. 当∠PMQ = 45 ∘时，| PQ|= 4 √2 D. 直线AC的斜率的范围为[− √3, √3] 二、跟踪练习 1.(2025·广东省东莞市·联考)已知直线l1：ax +(a+2) y +2=0与l2：x +ay +1=0平行，则 实数a的值为( ) A. −1或2 B. 0或2 C. 2 D. −1 2.(2025·四川省成都市·模拟)若坐标原点O关于动直线l:mx −y −m+1=0(m∈R)的对称 点为A，则点A的轨迹为( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3.(2025·广东省惠州市·模拟)已知圆x 2+ y 2= 4，直线l：y = x +b，若圆上恰有三个点到直 线l的距离等于1，则b的值为( ) A. 0 B. ±1 C. ± √2 D. ±3 √2 4.(2025· 湖北省省直辖县· 模拟) 已知直线l与圆( x−2) 2+( y −3) 2=1和圆 ( x +1) 2+( y +1) 2=36均相切，则l的方程为( ) A. x +2 y −23=0 B. x +2 y +23=0 C. 3 x + 4 y −23=0 D. 3 x + 4 y +23=0 5.(2025·上海市市辖区·模拟)定义：min( P ,C )表示点P到曲线C上任意一点的距离的最小 值．已知P是圆( x −1) 2+ y 2=9上的动点，圆C : x 2+ y 2=1，则min( P ,C )的取值范围 为 · 6.( 多选题)(2025· 福建省龙岩市· 模拟) 已知直线l: x +ay −3=0与圆 C : x 2+ y 2−8 x +6 y +16=0，则下列说法正确的是( ) A. 当a=2时，直线l与圆C相交 B. 若直线l与圆C相切，则a= 4 3 C. 圆C上一点P到直线l的最大距离为 √10+3 D. 若圆C上恰好有三个点到直线l的距离为2，则a= 3 4 7．（25-26 高三上·河北·期中）已知圆 与 轴正半轴交于点 ， 直线： 与圆 交于点 ，直线 分别交 于 两点，圆心 到直线 的距离等于 ， (1)求圆 的方程； (2)当 取得最小值时，求直线的方程.
