文档文本内容
抖音：老余数学
五
专题
解析几何
第十一讲 直线与圆
1．（2024•潍坊模拟）下列说法正确的是
A．直线
的倾斜角
的取值范围是
B．“
”是“直线
与直线
互相垂直”的充要条件
C．过点
且在
轴，
轴截距相等的直线方程为
D．经过平面内任意相异两点
，
，
，
的直线都可以用方程
表示
2．（2024•泉州模拟）已知直线
与圆
相交于
，
两点，下列说
法正确的是
A．若圆
关于直线对称，则
B．
的最小值为
C．当
时，对任意
，曲线
恒过直线与圆
的交点
D．若
、
、
、
为坐标原点）四点共圆，则
3．（2024•云南模拟）平面内到两个定点
，
的距离比值为一定值
的点
的轨迹是一个圆，此
圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点
，
，
，动点
满足
，
记点
的轨迹为
，则下列命题正确的是
抖音：老余数学
A．点
的轨迹
的方程是
B．过点
的直线被点
的轨迹
所截得的弦的长度的最小值是
C．直线
与点
的轨迹
相离
D．已知点
是直线
上的动点，过点
作点
的轨迹
的两条切线，切点为
，
，
则四边形
面积的最小值是4
4．（2024•茂名模拟）已知
，
，
，记直线
与直线
的交点
为
，点
是圆
上的一点，若
与
相切，则
的取值范围是
5．（2024•广东模拟）已知
，圆
，点
为圆
上一动点，以
为直径的圆
交
轴于
，
两点，设
，
，
，
，
，
，则
A．当点
在
轴上时，
B．
的取值范围是
C．
D．
6．（2024•怀化一模）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线
就是其中之一
（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是
A．图形关于
轴对称
B．曲线
恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
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C．曲线
上存在到原点的距离超过
的点
D．曲线
所围成的“心形”区域的面积大于3
【精选练习】
7．（2024•福建模拟）已知
是圆
上的动点，点
，以
为圆心，
为半径作圆
，
设圆
与圆
相交于
，
两点．则下列选项正确的是
A．当
点坐标为
时，圆
的面积最小
B．直线
过定点
C．点
到直线
的距离为定值
D．
8．（2024•岳阳模拟）已知点
，
，
，
是圆
上的两点，若
，则
的最大值为
A．16
B．12
C．8
D．4
9 ．（2024• 合肥模拟）已知
为圆
的一条弦，
为线段
的中点，若
为坐标原点），则实数
的取值范围是 ．
10．（2025•湖北十一校）克罗狄斯托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大
师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定
理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形
是圆
的
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内接四边形，且
，
．若
，则圆
的半径为
A．4
B．2
C．
D．
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第十二讲 圆锥曲线的方程与性质
1．（2024•青
一模）
岛
已知
，
，设点
是圆
上的点，若动点
满足：
，
，则
的轨迹方程为
A．
B．
C．
D．
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2.（2024•阜阳模拟）已知
为坐标原点，椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
，
两点都
在
上，
，
，
三点共线，
（不与
，
重合）为上顶点，则
A．
的最小值为4
B．
为定值
C．存在点
，使得
D．
3．（2024•芜湖模拟）已知双曲线
的离心率为，其左、右焦点分别为
，
，
左、右顶点分别为
，
，过点
的直线交双曲线
于
、
两点，交两条渐近线于
、
两点
，
在第一象限），
的中点为
，则
A．若直线斜率为
，则
B．
的周长为
C．以
为直径的圆与以
为直径的圆相交
D．若点
恰为以
为直径的圆与渐近线的一个交点，且
，则
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4．（2024•重庆模拟）已知
，
是双曲线
的左、右焦点，且
，点
是
双曲线上位于第一象限内的动点，
的平分线交
轴于点
，过点
作
垂直于
于点
．则
下列说法正确的是
A．若点
到双曲线的渐近线的距离为
，则双曲线的离心率为2
B．当
时，△
面积为
C．当
时，点
的坐标为
D．若
，则
5．（2024•石家庄模拟）已知
，
是双曲线
的左、右焦点，
，
，
为
右支上一点，
，△
的内切圆的圆心为
，
，半径为
，直线
与
轴交于
点
，
，则下列结论正确的有
A．
B．
C．
D．若△
的内切圆与
轴相切，则双曲线
的离心率为
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6．（2024•南通模拟）已知
是抛物线
的焦点，
，
是抛物线
上的两点，
为坐标原点，
则
A．若
，则
的面积为
B．若
垂直
的准线于点
，且
，则四边形
周长为
C．若直线
过点
，则
的最小值为1
D．若
，则直线
恒过定点
7．（2024•贵港模拟）在平面直角坐标系
中，抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，点
在抛物线
的准线上，则以下命题正确的是
A．
的最小值是2
B．
C．当点
的纵坐标为4 时，存在点
，使得
D．若
是等边三角形，则点
的横坐标是3
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8．（2025•武汉九调）设椭圆
的左右焦点为
，
，右顶点为
，已知点
在椭
圆
上，若
，
，则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
9．（2024•深圳模拟）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是
圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点
、
为椭圆
上任意两个动点，动点
在直线
上，若
恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆
的离心率的取值
范围为 ．
10．（2024•南京模拟）天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点
的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点
，
，动点
满足
，
且均为常数），设动点
的轨迹为曲线
，则下列说法正确的是
A．曲线
既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．
的最小值为
C．曲线
与
轴可能有三个交点
D．
时，曲线
上存在
点，使得
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【精选练习】
11．（2024•新高考Ⅱ卷）已知曲线
，从
上任意一点
向
轴作垂线
，
为垂
足，则线段
的中点
的轨迹方程为
A．
B．
C．
D．
12．（2024•
南三模）
济
已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，过
且倾斜角为
的直线与双
曲线的右支交于
，
两点，记△
的内切圆
的半径为
，△
的内切圆
的半径为
，圆
的面积为
，圆
的面积为
，则
A．
的取值范围是
，
B．直线
与
轴垂直
C．若
，则
D．
的取值范围是
，
13．（2024•武汉二调）已知双曲线E ：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，其左右顶点分别为A，
B，过F 且与x 轴垂直的直线交双曲线E 于M，N 两点，设线段MF 的中点为P，若直线BP 与直线AN 的
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交点在y 轴上，则双曲线E 的离心率为（ ）
A．2
B．3
C．√2
D．√3
14．（2024•深圳二模）
是椭圆
上一点，
、
是
的两个焦点，
，
点
在
的平分线上，
为原点，
，且
．则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
15．（2024•湖北模拟）已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线交抛物线于
，
两点，
以线段
为直径的圆交
轴于
，
两点，设线段
的中点为
，则下列说法正确的是
A．若抛物线上的点
到点
的距离为4，则抛物线的方程为
B．以
为直径的圆与准线相切
C．线段
长度的最小值是
D．
的取值范围为
16．（2024•永州模拟）已知抛物线
与圆
，点
在抛物线
上，点
在圆
上，点
，则
A．
的最小值为
B．
最大值为
C．当
最大时，四边形
的面积为
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D．若
的中点也在圆
上，则点
的纵坐标的取值范围为
第十三讲 圆锥曲线定点（线）、定值问题
1．（2024•重庆模拟）已知椭圆
，焦点为
，
，椭圆上有一点
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过点
的直线交椭圆
于
，
两点，过
作
轴的垂线交椭圆于另一个点
，求证直线
过定
点．
2 ．（2024• 河南模拟）已知
，
是椭圆
上的动点，过原点
向圆
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引两条切线，分别与椭圆
交于
，
两点（如图所示），记直线
，
的斜率依次为
，
，且
．
（1）求圆
的半径
；
（2）求证：
为定值；
（3）求四边形
的面积的最大值．
3．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线
中心为坐标原点，左焦点为
，
，离心率为
．
（1）求
的方程；
（2）记
的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与
的左支交于
，
两点，
在第二象限，
直线
与
交于
，证明
在定直线上．
4．（2024•三明模拟）已知平面直角坐标系
中，有真命题：函数
的图象是双曲
线，其渐近线分别为直线
和
轴．例如双曲线
的渐近线分别为
轴和
轴，可将其图象绕原
点
顺时针旋转
得到双曲线
的图象．
（1）求双曲线
的离心率；
（2）已知曲线
，过
上一点
作切线分别交两条渐近线于
，
两点，试探究
面积
是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；
抖音：老余数学
（3）已知函数
的图象为
，直线
，过
的直线与
在第一象限交于
，
两点，过
，
作的垂线，垂足分别为
，
，直线
，
交于点
，求
面积的最
小值．
【精选练习】
5．（2024•合肥二模）已知椭圆
的右焦点为
，左顶点为
，短轴长为
，且
经过点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
的直线（不与
轴重合）与
交于
，
两点，直线
，
与直线
的交点分别为
，
．记直线
，
的斜率分别为
，
，证明：
为定值．
6．（2024•杭州二模）已知
，
是椭圆
的左，右顶点，点
，
与椭圆上的点
的距离的最小值为1．
（1）求点
的坐标．
（2）过点
作直线交椭圆
于
，
两点（与
，
不重合），连接
，
交于点
．证明：点
在定直线上．
7．（2024•揭阳二模）设抛物线
的焦点为
，已知点
到圆
上一点的
距离的最大值为6．
（1）求抛物线
的方程．
（2）设
是坐标原点，点
，
，
是抛物线
上异于点
的两点，直线
，
与
轴分别相交
于
，
两点（异于点
，且
是线段
的中点，试判断直线
是否经过定点．若是，求出该定点
坐标；若不是，说明理由．
抖音：老余数学
第十四讲 圆锥曲线最值、范围问题
1．（2024•长沙模拟）已知椭圆
的离心率为
，斜率为2 的直线与
轴交于点
，与
交于
，
两点，
是
关于
轴的对称点．当
与原点
重合时，
面积为
．
（1）求
的方程；
（2）当
异于
点时，记直线
与
轴交于点
，求
周长的最小值．
2．（2024•株洲模拟）在直角坐标系
中，点
为抛物线
上一点，点
、
为
轴正半轴（不含原点）上的两个动点，满足
，直线
、
与抛物线
的另一个交点分别为
点
、
．
（1）求直线
的斜率；
（2）求
面积的取值范围．
3．（2024•茂名二模）已知椭圆
，右焦点为
，过点
的直线交
于
，
两点．
（1）若直线的倾斜角为
，求
；
（2）记线段
的垂直平分线交直线
于点
，当
最大时，求直线的方程．
4．（2024•广州模拟）在平面直角坐标系中，已知双曲线
的渐近线方程为
，
，
分别是双曲线
的左、右顶点．
（1）求
的标准方程；
（2）设
是直线
上的动点，直线
，
分别与双曲线
交于不同于
，
的点
，
，过点
抖音：老余数学
作直线
的垂线，垂足为
，求当
最大时点
的纵坐标．
【精选练习】
5．（2024•广州一模）已知
为坐标原点，双曲线
的焦距为4，且经过点
．
（1）求
的方程；
（2）若直线与
交于
，
两点，且
，求
的取值范围；
（3）已知点
是
上的动点，是否存在定圆
，使得当过点
能作圆
的两条切线
，
时（其中
，
分别是两切线与
的另一交点），总满足
？若存在，求出圆
的
半径
；若不存在，请说明理由．
6．（2024•义乌市模拟）已知
、
、
、
四点在抛物线
上，直线
经过点
，直线
经过点
，直线
与直线
相交，交点
在
轴上．
（1）求证：点
是线段
的中点；
（2）记
的面积为
，
的面积为
，求
的最小值．
7．（2024•琼海模拟）已知抛物线
的焦点到准线的距离为2，过点
作直线交
于
，
两点，点
，记直线
，
的斜率分别为
，
．
（1）求
的方程；
（2）求
的值；
（3）设直线
交
于另一点
，求点
到直线
距离的最大值．
抖音：老余数学
微专题12 圆锥曲线优化计算策略
1．（2022•新高考Ⅰ）已知点
在双曲线
上，直线交
于
，
两点，直线
，
的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若
，求
的面积．
2．（2024•南盐一模）已知双曲线
的两个焦点是
，
，顶点
，点
是双曲线
上一个动点，且
的最小值是
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）设点
是
轴上异于
的顶点和坐标原点
的一个定点，直线过点
且平行于
轴，直线
过点
且与双曲线
交于
，
两点，直线
，
分别与直线交于
，
两点．若
，
，
，
四点
共圆，求点
的坐标．
3．（2021•甲卷）抛物线
的顶点为坐标原点
，焦点在
轴上，直线
交
于
，
两点，且
．已知点
，且
与相切．
（1）求
，
的方程；
（2）设
，
，
是
上的三个点，直线
，
均与
相切．判断直线
与
的位置关系，
并说明理由．
4.．（2024•河南模拟）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，斜率存在的直线交
的右
支于
，
两点，且直线
与
的斜率之和为0．记交
轴于点
．
（1）求
的坐标；
抖音：老余数学
（2）若直线
交直线
于点
，求
的值．
【精选练习】
5．（2024•唐山一模）已知双曲线
，
，
，直线
与
有唯一公共
点
．
（1）求
的方程；
（2）若双曲线
的离心率
不大于2，过
的直线与
交于不同的两点
，
．求直线
与直线
的斜率之和．
6．（2024•怀化二模）已知椭圆
的左焦点为
，过原点
的直线与椭圆
交于
，
两点，若
，且
．
（1）求椭圆
的离心率；
（2）椭圆
的上顶点
，不过
的直线与椭圆
交于
，
两点，线段
的中点为
，若
，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
微专题13 阿基米德三角形
1．（2024•石家庄模拟）阿基米德（公元前287 年
公元前212 年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、
天文学家，他研究抛物线的求积法，得出一个著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线
的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”，如图所示，在抛物线
上有两个不同的点
，
，坐标分别为
，
，
，
，以
，
为切点的切线
，
相交于点
，给出以下结论，其中正确的为
抖音：老余数学
A．点
的坐标是
，
B．
的边
所在的直线方程为：
C．
的面积为
D．
的边
上的中线平行（或重合） 于
轴
2．（2024•秦皇岛模拟）已知抛物线
：
的焦点为
，点
是
轴下方的一点，过点
作
的两条
切线
，且
分别交
轴于
两点.
(1)求证：
，
，
，
四点共圆；
(2)过点
作
轴的垂线，两直线
分别交于
两点，求
的面积的最小值.
【精选练习】
3．（2024•泉州二模）已知抛物线
的焦点为F，O 为坐标原点，抛物线C 上不同两点A，
B 同时满足下列三个条件中的两个：①
；②
；③直线AB 的方程为
．
抖音：老余数学
(1)请分析说明A，B 满足的是哪两个条件？并求抛物线C 的标准方程；
(2)若直线
经过点
，且与（1）的抛物线C 交于A，B 两点，
，若
，
求
的值；
(3)点A，B，E 为（1）中抛物线C 上的不同三点，分别过点A，B，E 作抛物线C 的三条切线，且三条切线
两两相交于M，N，P，求证：
的外接圆过焦点F．
跨章节综合6 圆锥曲线与数列
1．（2024•漳州模拟）已知椭圆
的离心率为
，点
中恰有
两个点在
上．
（1）求
的方程；
（2）设
，△
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，
，
．若点
，
在
轴上且关于原点对称，问：是否存在
，使得点
都在
上，
若存在，请求出
，若不存在，请说明理由．
【精选练习】
2．（2024•苏州模拟）如图，在平面直角坐标系
中，已知函数
的图象为曲线
，点
，
，
，
在
上，点
，
，
，
在
轴上，且△
，△
，△
，
分别是以
，
，
，
为直角顶点的等腰直角三角形．记点
，
的横坐标分别为
，
，2，3，
，
，
，则
抖音：老余数学
A．
B．
C．
为等差数列
D．
跨章节综合7 圆锥曲线与解三角形
1.（2024•深圳二模）已知
中，
，双曲线
以
，
为焦点，且经过点
，则
的两
条渐近线的夹角为 ；
的取值范围为 ．
【精选练习】
2．（2024•湖南模拟）如图，在△
中，已知
，其内切圆与
边相切于点
，且
，
延长
到
，使
，连接
，设以
，
为焦点且经过点
的椭圆的离心率为
，以
，
为
焦点且经过点
的双曲线的离心率为
，则
的取值范围是 ．
跨章节综合8 圆锥曲线与立体几何
1．（2024•日照一模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
经过点
抖音：老余数学
且倾斜角为
的直线与椭圆交于
，
两点（其中点
在
轴上方），且
的周长为
8．将平面
沿
轴向上折叠，使二面角
为直二面角，如图所示，折叠后
，
在新图形中
对应点记为
，
．
（1）当
时，
①求证：
；
②求平面
和平面
所成角的余弦值；
（2）是否存在
，使得折叠后△
的周长为
？若存在，求
的值；若不存在，请说
明理由．
