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专题五 解析几何
微专题4 离心率的取值与范围问题
一、考点透析
考点1 利用定义求离心率的值或范围
1.(2025·山东省泰安市·联考)已知椭圆的左､右焦点分别为F1､F2，过F2的直线交椭圆于
P､Q两点，且PQ⊥F1Q，S▵Q F1F2=2S▵P F1F2
，则椭圆的离心率为( )
A. 1
3
B.
√2
3
C.
√3
3
D.
√5
3
2.已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－y
2
b
2 ＝1（b＞0）的左、右焦点，O 为坐标原点，点P
在双曲线右支上，且满足｜F1F2｜＝2｜OP｜，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C 的离心率的取值
范围是（ ）
A.（1，17
9 ］
B.［17
9 ，＋∞） C.［
❑√17
3
，＋∞）D.（1，
❑√17
3
］
考点2 利用齐次式求离心率的值或范围
1.(2025·河北省唐山市·模拟)已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的上顶点为A，左、右焦点
分别为F1，F2，与直线A F2垂直的直线交C于M，N两点，当△F1 MN的周长最大时，
F1 M ⊥F1 N，则C的离心率为( )
A. 2
3
B.
√6
3
C. 1
3
D.
√3
3
2.(2025·天津市市辖区·联考)过曲线C1
：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>b>0)的左焦点F1
作曲线C2
：
x
2+ y
2=a
2的切线，设切点为M，延长F1 M交曲线C3
：y
2=2 px( p>0)于点N，其中
C1､C3有一个共同的焦点，若| M F1|=| MN |，则曲线C1的离心率为( )
A. √5−1
B.
√5+1
2
C. √5
D. √5+1
3.(2025·吉林省长春市·模拟)已知直线y = x +1与曲线m x
2+n y
2=0(m>0,n<0)交于A，
B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为3
2，则双曲线x
2
m + y
2
n =1的离心率为
( )
A. 5
2
B.
√10
2
C. 5
3
D.
√15
3
考点3 利用公式求离心率的值或范围
1.(2025·安徽省阜阳市·模拟)如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，过SB的中点M
与SO平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若SO =
√3OB，
则该双曲线的离心率为( )
A. √3
B.
√6
3
C. 2
√3
3
D. 2
√6
3
2.(2025·云南省曲靖市·模拟)如图，圆柱的轴O1O2与一平面所成角为60
∘，该平面截圆柱侧
面所得的图形为椭圆，则此椭圆的离心率为( )
A.
√3
2
B.
√2
2
C.
√3
3
D. 1
2
3.(2025·河南省开封市·模拟)将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的
函数图象，比如反比例函数y = 1
x
，“对勾”函数y = x + 1
x
，“飘带”函数y = x−1
x
等等，
它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得．现将双曲线C1
：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1绕原点旋转一
个合适的角度，得到“飘带”函数y =
x
4
√3
−1
x 的图象C2，则双曲线C1的离心率为( )
A. 2
√3
3
B.
√21
3
C.
√21
4
D. 2
√3
考点4 利用性质求离心率的值或范围
1.(2025·山西省太原市·模拟)已知双曲线E的中心为原点，焦点在x轴上，两条渐近线夹角
为60
∘，且点(1,1)在E上，则E的离心率为( )
A. √3
B. 2
√3
3
C. 2
D. 2
√3
3
或2
2.已知F 是椭圆x
2
a
2＋y
2
b
2 ＝1（a＞b＞0）的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于A，B
两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.［
❑√3
2 ，1） B.（0，
❑√3
2 ］ C.［1
2，1）
D.（0，1
2］
3.(2025·湖北省襄阳市·模拟)过双曲线C ：x
2
a
2 −y
2=1(a>0)右支上的点P作C的切线l，F1
F2为双曲线C的左右焦点,N为切线l上的一点,且ON // F1 P.若|ON |=2,则双曲线的离
心率为( )
A. √2
B. 2
C.
√5
2
D. √5
二、跟踪练习
1.(2025·陕西省咸阳市·模拟)已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1
，A2
，
左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1 F2为直径的圆与椭圆C在第二象限交于点M，且
M A
→
1⋅M A
→
2=−1
4 a
2，则C的离心率为( )．
A.
√3
2
B.
√2
2
C. 1
2
D. 2
5
2.(2025·浙江省杭州市·模拟)已知椭圆T : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F，过F且斜率
为1的直线l与T交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x +2 y =0上，则T的离心率为
( )
A.
√2
4
B.
√5
3
C.
√3
5
D.
√2
2
3.(2025·湖南省长沙市·模拟)如下图，椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)与双曲线x
2
m
2 −y
2
n
2 =1有共
同的右焦点F，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线AF与双曲线右支的
另一个交点为C，△BFC形成以BC为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.
√5−1
2
B.
√2
2
C.
√10
4
D.
√3
2
4.（2025·黄山质量检测）已知双曲线C：x
2
a
2－y
2
b
2 ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别
为F1，F2，过点F1与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 交C 于M，且｜F2M｜＝λ｜F1M
｜，当λ∈[2，4]时，双曲线C 离心率的最大值为（ ）
A.❑√3
B.
❑√21
3
C.2
D.❑√5
5.(2025·湖南省长沙市·模拟)已如双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1
，
F2
，过F2
的直线交双曲线的右支于A，B两点，若A F1⊥AB，且4|A F1|=3| AB|，则
该双曲线的离心率为( )
A.
√10
2
B. √10
C.
√5
2
D. √5
6.(2025·浙江省绍兴市·模拟)已知双曲线E：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1，F2，直线l与E的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若2 F2 A⃗= AB⃗，
OA ⊥AB，则E的离心率为( )
A. √2
B. √3
C. √5
D.
√10
2
7.(2025·河南省·模拟)如图，过原点O的直线AB交椭圆C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)于A，B
两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于
点M，若AM⃗= 3
4 AP⃗，则椭圆C的离心率为( )
A. 1
3
B.
√3
3
C. 1
2
D.
√3
2
