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第7讲 探究性问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................5
【考点一】探究性问题...................................................................................................................5
【专题精练】...............................................................................................................................24
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学科网（北京）股份有限公司真题自测
一、解答题
1．（2024·天津·高考真题）已知椭圆 的离心率 ．左顶点为 ，下顶点为 是
线段 的中点，其中 ．
(1)求椭圆方程．
(2)过点 的动直线与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 ．若存在求出这
个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
2．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 为椭圆 上一点， 、 分别
为椭圆的左、右焦点.
(1)若点 的横坐标为2，求 的长;
(2)设 的上、下顶点分别为 、 ，记 的面积为 的面积为 ，若 ，求 的
取值范围
(3)若点 在 轴上方，设直线 与 交于点 ，与 轴交于点 延长线与 交于点 ，是否存在
轴上方的点 ，使得 成立?若存在，请求出点 的坐标;若不存
在，请说明理由.
参考答案：
1．(1)
(2)存在 ，使得 恒成立.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设该直线方程为： ， ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合
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学科网（北京）股份有限公司韦达定理和向量数量积的坐标运算可用 表示 ，再根据 可求 的范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，其中 为半焦距，
所以 ，故 ，
故 ，所以 ， ，故椭圆方程为： .
（2）
若过点 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为： ，
设 ，
由 可得 ，
故 且
而 ，
故
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学科网（北京）股份有限公司，
因为 恒成立，故 ，解得 .
若过点 的动直线的斜率不存在，则 或 ，
此时需 ，两者结合可得 .
综上，存在 ，使得 恒成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借
助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
2．(1) ；
(2) ；
(3)存在，
【分析】（1）根据给定条件，求出点 的纵坐标，再利用两点间距离公式计算即得.
（2）设 ，求出 ，再利用给定关系求出 的范围，进而求出 的范围.
（3）设 ，利用向量坐标运算及共线向量的坐标表示可得 ，再联立直线
与椭圆方程，结合韦达定理求解即得.
【详解】（1）设 ，由点 为椭圆 上一点，得 ，即 ，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
（2）设 ，而 ，
则 ，由 ，得 ，
即 ，又 ，则 ，解得 ，
，
所以 的范围是 .
（3）设 ，由图象对称性，得 、 关于 轴对称，则 ，
又 ，于是 ，
则 ，同理 ，
由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此 ，即 ，则 ，
设直线 ，由 消去 得 ，
则 ，即 ，而 ，解得 ， ，
由 ，得 ，所以 .
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方
程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；涉及到直线方程的设法时，
务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
考点突破
【考点一】探究性问题
一、单选题
1．（2024·湖南益阳·一模）已知抛物线 ， 的焦点分别为 、 ，若 、 分别为 、
上的点，且线段 平行于 轴，则下列结论错误的是（ ）
A．当 时， 是直角三角形 B．当 时， 是等腰三角形
C．存在四边形 是菱形 D．存在四边形 是矩形
2．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系 中，把到定点 距离之积等于
的点的轨迹称为双纽线.若 ，点 为双纽线 上任意一点，则下列结论正确的个数是（ ）
① 关于 轴不对称
② 关于 轴对称
③直线 与 只有一个交点
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学科网（北京）股份有限公司④ 上存在点 ，使得
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024·福建泉州·二模）双曲线 ，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，
如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则
下列命题正确的是（ ）
A．存在直线l，使得
B．当且仅当直线l平行于x轴时，
C．存在过 的直线l，使得 取到最大值
D．若直线l的方程为 ，则双曲线C的离心率为
二、多选题
4．（2025·四川巴中·模拟预测）已知A，B为双曲线 的左，右顶点， 分别为双曲线C的
左，右焦点．下列命题中正确的是（ ）
A．若R为双曲线C上一点，且 ，则
B． 到双曲线C的渐近线的距离为
C．若P为双曲线C上非顶点的任意一点，则直线 的斜率之积为2
D．双曲线C上存在不同两点 关于点 对称
5．（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其
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学科网（北京）股份有限公司反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线 的左、右焦点分别为 ，
从 发出的两条光线经过 的右支上的 两点反射后，分别经过点 和 ，其中 共线，则
（ ）
A．若直线 的斜率 存在，则 的取值范围为
B．当点 的坐标为 时，光线由 经过点 到达点 所经过的路程为6
C．当 时， 的面积为12
D．当 时，
6．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 与点 关于原点对称，过点 的直线
与抛物线 交于 两点（点 和点 在点 的两侧），则（ ）
A．若 为 的中线，则
B．若 为 的角平分线，则
C．存在直线 ，使得
D．对于任意直线 ，都有
三、填空题
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学科网（北京）股份有限公司7．（2024·北京顺义·三模）已知直线l经过点 ，曲线 ： .
①曲线 经过原点且关于 对称；
②当直线l与曲线 有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为 ；
③当直线l与曲线 有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个
④存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线 的公共点的个数都不可能为2
以上说法正确的是
8．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线 ： 上存在两点 ， ， ，直线
与 轴交于点 ，抛物线 ： 上存在两点 ， ， ，从点 向直线 作垂
线，则垂足 的轨迹方程为 ．
9．（2024·浙江温州·模拟预测）椭圆 的右焦点是F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O
是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得 ，则 的取值范围是 .
四、解答题
10．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为
为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂到双曲线. 渐近线的距离为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线 与椭圆C交于 A、B两点.
①若直线 过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为 求实数k的值；
②若直线 过定点P(0,2)， 且k>0， 在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形?
若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由.
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学科网（北京）股份有限公司11．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线 过点 ，离心率为2.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 交 于 ， 两点（异于点 ），证明：当直线 ， 的斜率均存在时， ，
的斜率之积为定值.
12．（2024·全国·二模）椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为A，B，过点
的动直线 与椭圆 相交于P，Q两点，当直线 的斜率为1时， .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设直线AP与直线 的交点为 ，是否存在定实数 ，使Q，B，N三点共线?若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C D BC ABD BD
1．C
【分析】设出 的坐标并求得|PQ|，由此对选项进行分析，结合图象求得正确答案.
【详解】依题意，线段 平行于 轴，不妨设 在第一象限，设 ，
则 ，焦点 ，
A选项，当 时，解得 ，所以 ，
则 ， 是直角三角形，A选项正确.
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学科网（北京）股份有限公司B选项，当 时，解得 ，所以 ，
由于 ，所以 关于直线 对称，而 ，
所以此时 是等腰三角形.
对于CD选项，先考虑四边形 是平行四边形，
则 ，则 ，
此时 ， ，
所以四边形 是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
2．C
【分析】用定义法把动点的轨迹方程求出来 ，利用 代换，方程没有变化，可
知双纽线关于 轴， 轴，原点对称，再利用它与 联立方程组，解得只有一组解，可知③正确，再利
用原点到 的距离正好是 ,可知满足题意，所以④正确，从而可以做出所有选项的判断.
【详解】①设M(x,y)到定点 的距离之积为4，
可得 . ，整理得 ，
即曲线 的方程为 ，
由 用 代换，方程没变，可知曲线 关于 轴对称，
由 用 代换，方程没变，可知曲线 关于 轴对称，
由 用 代换， 用 同时代换，方程没变，可知曲线 关于原点对称，
图象如图所示：
所以①不正确，②正确；
③联立方程组 ，可得 ，即 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 与曲线 只有一个交点 ，所以③正确.
④原点O(0,0)满足曲线 的方程，即原点 在曲线 上，则 ，
即曲线 上存在点 与原点 重合时，满足 ，所以④正确.
故选:C.
3．D
【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线 分别与双
曲线联立，渐近线联立，分别求出和坐标，从而可对B、C项判断；根据 ，求出 ，从而可
对D项判断.
【详解】解：对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误；
对于B项：设直线 ，与双曲线联立 ，得：
，其中 ，
设 ，由根与系数关系得： ，
所以线段PQ中点 ，
将直线 ，与渐近线 联立得点S坐标为 ，
将直线 与渐近线 联立得点R坐标为 ，
所以线段RS中点 ，
所以线段PQ与线段RS的中点重合．所以，对任意的直线l，都有 ，故B项不正
确；
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学科网（北京）股份有限公司对于C项：因为 为定值，当k越来越接近渐近线 的斜率 时， 趋向于无穷，
所以 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误；
对于D项：联立直线l与渐近线 ，解得 ，
联立直线l与渐近线 ，解得 由题可知， ，
，解得 ，所以 ，故D项正确．
故选：D．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
②齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
4．BC
【分析】根据双曲线的定义、渐近线、斜率、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于双曲线 ， ，
A选项，根据双曲线的定义，由 ，
解得 或 ，所以A选项错误.
B选项，双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，
到直线 的距离为 ，所以B选项正确.
C选项，设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司，所以 ，C选项正确.
D选项，设不同两点 关于点 对称，
则 ，
则 ，两式相减并化简得 ，
则 ，即 ，此时直线 ，
代入双曲线方程得 ， ，
这与 是双曲线上不同的两点矛盾，所以D选项错误.
故选：BC
【点睛】方法点睛：求解双曲线定义有关问题，一定要注意双曲线定义中的“绝对值”.在双曲线中，有关
弦和中点的问题，可以考虑利用“点差法”来解决.
5．ABD
【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由 经过点 到达点
所经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到 ，得到 ，设 ，
列出方程，求得 ，进而可判定C错误；在直角 中，结合 ，可判定D正
确．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】如图所示，过点 分别作 的两条渐近线的平行线 ，则 的斜率分别为 和 ，
对于A中，由图可知，当点 均在 的右支时， 或 ，所以A正确；
对于B中，光线由 经过点 到达点 所经过的路程为
，所以B正确；
对于C中，由 ，得 ，即 ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），所以 ， ，
所以 的面积 ，所以C错误；
对于D项，在直角 中， ，
所以 ，所以D正确．
故选：ABD．
6．BD
【分析】首先设直线 的方程，并联立抛物线，根据韦达定理，再根据各项描述，抛物线的定义，即可判
断选项.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设题意可得 ，则 ，设 ，不妨令 ， 都在第一象限，
联立 ，则 ，且 ，即 ，
所以 ， ，则 ， ，如上图所示，
对于A：若 为 的中线，则 ，
所以 ，所以 ，故 ，
所以 ，则 ，则 ，故A错误；
对于B：若 为 的角平分线，则 ，
作 垂直准线 于 ，则 且 ，
所以 ，即 ，则 ，
将 代入整理，得 ，则 ，
所以 ，故B正确；
对于C：若 ，即 ，即 为等腰直角三角形，
此时 ，即 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，所以 ，则此时 为同一点，不合题设，故C错误；
对于D： ，而 ，
结合 ，可得 ，即 恒成立，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据抛物线的几何关系，转化为坐标运算.
7．①②④
【分析】将点 分别代入曲线 的方程即可判断①；将曲线方程转化为两个圆的方程，结
合图像利用直线和圆的位置关系逐项分析即可判断②③④.
【详解】对于①，将点 分别代入曲线 的方程，
得 ， ，
所以曲线 关于 对称，
将 代入曲线 的方程得 ，所以曲线 经过原点，
所以曲线 经过原点且关于 对称，故①正确；
由 ，得 ，
即 ，即 ，
所以 或 ，
即 或 ，
所以曲线 表示以 ， 为圆心， 为半径的两个圆，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司设过点A且与圆N相切的直线方程为 ，
则点N到该直线的距离 ，解得 ， ，
即图中直线AC的斜率为1，直线AD的斜率为 ，直线AO的斜率为 ，
直线AC的方程为 ，点M到直线AC的距离 ，
则直线AC与圆M相切于点B，
设过点A且与圆M相切的直线方程为 ，
则点M到该直线的距离 ，解得 ， ，
由图可知，当直线l与曲线 有2个公共点时，
直线l斜率的取值范围为 ，故②正确；
由图可知，直线AO与曲线 的公共点个数为3，直线AD与曲线 的公共点个数也为3，直线
与曲线 的公共点个数为1，
所以当直线l与曲线 有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有3个，故③错误；
因为过原点O的任意直线与曲线 的公共点的个数为1或3，
所以存在定点Q（Q与O重合），
使得过Q的任意直线与曲线 的公共点的个数都不可能为2，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点点睛：将曲线方程转化为两个圆的方程，是解决本题的关键.
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学科网（北京）股份有限公司8． ,
【分析】设直线 ： 、 ： （ ），分别联立抛物线方程，结合韦达定理和两点
距离公式可得直线 与直线 均过定点，根据 、 ，进而确定点 的轨迹，结合圆的
标准方程即可求解.
【详解】设直线 ： ，由 ，得 ，
需有 ，
所以 ，所以 ，则直线 ： ，
故点 的坐标为(1,0)．
若直线 的斜率为0， ，故 ，
若直线 的斜率存在，设直线 ： （ ）．
由 ，得 ， ，
所以 ，即 ，得 ，
所以直线 的方程为 或 ，
综上，直线 必过点(0,2)或点 .
若直线 过(0,2)，
因为 ， ，
所以点 的轨迹是以 为直径的圆（去除原点），圆心坐标为 ，半径为 ，
所以点 的轨迹方程为 （ ）．
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学科网（北京）股份有限公司若直线 过 ，
设 ： ，由 可得 ，
由 可得 ，
当 ： 时，过 的垂线方程为 ，
此时 .
同理当 ： 时，此时 .
故此时点 的轨迹是以 为直径的圆（去除部分），圆心坐标为 ，半径为 ，
所以点 的轨迹方程为：
（ 或 ）．
故答案为： （ ）或 （ 或
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学科网（北京）股份有限公司）．
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键是由条件挖掘出直线 与直线 均过定点，设直线方程时要注意方程形式的选择，联
立方程消元时也要注意条件的特点消去 ，再根据垂直关系挖掘出隐圆，这也是本题关键点之一．
9．
【分析】分类讨论直线AB的斜率是否为0，设设 ，联立
方程，由数量积结合韦达定理可得 ，结合基本不等式运算求解即可.
【详解】由题意可知： ，则F(1,0)，
因为直线AB过F，可知直线AB与椭圆必相交，
若直线AB的斜率为0，即直线AB为x轴，不妨设 ，
则 ，
因为 ，则 ，解得 ，
当 ，此时点 即为点 ，不合题意；
当 ，此时点 ， ；
若直线AB的斜率不为0，设 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
联立方程 ，消去x得 ，
则 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
整理得 ，则 ， ，
即 ，
可得 ，
因为 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
可得 ，所以 ；
综上所述： 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法
一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线
上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求
解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．
10．(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)① ;②
【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可；
（2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k
的值；
②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为 ，通过这个等式转化为
的函数，即可求解取值范围.
【详解】（1）由双曲线. 的渐近线方程为 ，
再由椭圆 的右焦点分别为 到渐近线的距离为 可得：
，因为 ，所以解得 ，
再由椭圆的一个顶点为 ，可得 ，
所以由 ，
即椭圆C的标准方程为 ；
（2）①直线 过椭圆右焦点F₂可得： ，即 ，
所以由直线 与椭圆C的标准方程 联立方程组，消去 得：
，
设两交点A(x ,y ),B(x ,y )，则有
1 1 2 2
所以 ，
又椭圆左焦点F (-1,0)到直线 的距离为 ，
1
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
解得： 或 （舍去），即 ；
②假设存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形，
由于直线过定点 ， 且 ，可知直线方程为 ，
与椭圆 联立方程组，消去 得： ，
由 ，且 ，解得 ，
设两交点A(x ,y ),B(x ,y )， 中点 ，则有
1 1 2 2
所以 ，
即 ，整理得 ，
又因为 ，所以 ，则 .
【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以 为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再
利用求解中点坐标来表示 斜率，最后利用斜率乘积等于 ，从而得到关于 的函数来求取值范围.
11．(1)
(2)证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题中条件找到双曲线中的 ，从而求出 的方程.
（2）利用平移齐次化进行证明即可.
x2 y2
【详解】（1）由双曲线C: - =1(a>0,b>0)过点 ，则 ，
a2 b2
又离心率为2，则 ，即 ，
，即 ，代入 ，
可得， ， ，
因此， 的方程为： .
（2）
将双曲线 向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到双曲线 为 ，得到
的双曲线 如图所示，
则 平移到 ， 平移到 ，
平移后 ， 变为 ， ，设 ， ，直线 的方程为： ①，
②，
将①代入②，用“1”的代换得 ，则
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学科网（北京）股份有限公司，
各项同时除以 ，得 ，则 ，
又直线 过 ，则 ，即 ，
因此 ，
故当直线 ， 的斜率存在时， ， 的斜率之积为定值 .
【点睛】方法点睛：平移齐次化的步骤，
（1）平移；
（2）与圆锥曲线联立并其次化；
（3）同除 ；
（4）利用根与系数的关系进行证明结论；如果是过定点的问题还需要平移回去.
12．(1)
(2)
【分析】（1）将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式和韦达定理，椭圆离心率表达
式进行联立，求得 ，即得椭圆方程；
（2）先由直线 与 轴垂直时的情况，求出 ，当直线 不与 轴垂直时，设直线 的方程为
，与椭圆方程联立，得韦达定理，由特殊情况取 时求得点 坐标，通过判断 是
否共线检验是否可得到Q，B，N三点共线完成猜想证明.
【详解】（1）
如图，设 ，当直线 的斜率为1时，直线方程为 .
联立
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学科网（北京）股份有限公司消去 ，得 .显然 ，
则
即 .
又离心率 则 ，即 .
解得 .
椭圆 的标准方程为 .
（2）由题意知 ，当直线 与 轴垂直时， ，
则AP的方程为 ，
令 ，得 ， ，
由 三点共线，可得， ，解得
当直线 不与 轴垂直时，设直线 的方程为 .
联立 消去 ，得 .
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学科网（北京）股份有限公司，AP的方程为 ，
令 ，得 ，
即 共线，故Q，B，N三点共线.
故存在定实数 ，使Q，B，N三点共线.
【点睛】思路点睛：本题主要考查椭圆与直线相交产生的定直线存在性命题，属于难题.
解题思路是先由特殊情况—直线 与 轴垂直时的情况，得到定直线 ，再由一般情况，推理该定直线
是否符合题意进行检验证明从而得解.
规律方法：
探索性问题的求解策略
(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观
察、比较、分析，然后概括一般规律．
(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由
假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．
专题精练
一、单选题
1．（2024·北京丰台·二模）已知曲线 与直线 ，那么下列结论正确的是（ ）
A．当 时，对于任意的 ，曲线 与直线 恰有两个公共点
B．当 时，存在 ，曲线 与直线 恰有三个公共点
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学科网（北京）股份有限公司C．当 时，对于任意的 ，曲线 与直线 恰有两个公共点
D．当 时，存在 ，曲线 与直线 恰有三个公共点
2．（2024·云南大理·模拟预测）已知抛物线 ： 上存在两点 ， 关于直线 ：
对称，若 ，则 （ ）
A．5 B． C．4 D．
3．（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若 上存在
点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知坐标原点为 ，抛物线 的焦点为 ．若第一象限内的抛物线上存在
一点 ，使得 的外接圆与抛物线的准线相切，则直线 与 外接圆的关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
二、多选题
5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知椭圆方程为 ，则下列说法错误的是（ ）．
A． B．存在m值使椭圆的离心率
C．椭圆的焦距不确定 D．椭圆的焦点在y轴
6．（2024·河南南阳·模拟预测）已知椭圆 ，点 分别为 的左､右焦点，点 分别为
的左､右顶点，过原点且斜率不为0的直线 与 交于 两点，直线 与 交于另一点 ，则
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 的离心率为
B． 的最小值为
C． 上存在一点 ，使
D． 面积的最大值为2
7．（2024·安徽阜阳·一模）已知 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 两点都
在 上， ， 三点共线， （不与 重合）为上顶点，则（ ）
A． 的最小值为4 B． 为定值
C．存在点 ，使得 D．
8．（2022·广东韶关·二模）已知抛物线 的焦点为 ，准线 交 轴于点 ，直线 过 且交
于不同的 两点， 在线段 上，点 为 在 上的射影．线段 交 轴于点 ，下列命题正确的是
（ ）
A．对于任意直线 ，均有
B．不存在直线 ，满足
C．对于任意直线 ，直线 与抛物线 相切
D．存在直线 ，使
三、填空题
9．（2024·全国·模拟预测）在抛物线 上存在一动点 （非原点），过点 作抛物线 的切线 分
别交 轴、 轴于点 ，过点 作 的垂线 分别交 轴、 轴于点 ．若 与 的面积相等，
则直线 的方程为 ．
10．（22-23高二下·河南新乡·期末）已知抛物线 上存在两点 （ 异于坐标原点 ），使得
，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转 与该抛物线交于C，D两点，
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学科网（北京）股份有限公司则四边形ACBD面积的最小值为 ．
11．（2023·上海闵行·二模）不与 轴重合的直线 经过点 ，双曲线 ：
上存在两点A，B关于 对称，AB中点M的横坐标为 ，若 ，则 的值为 .
12．（2023·安徽安庆·二模）已知在平面直角坐标系 中椭圆 的离心率为
分别为椭圆 的左､右焦点， 为椭圆上不同于四个顶点的任意一点，延长线段 到 ，若在 轴上存在
一点 ，满足 ，垂足为 ，则 .
四、解答题
13．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知A(0,3)和 是椭圆Γ： 上两点，O是坐标原点.
(1)求椭圆Γ的离心率；
(2)若过点P的直线 交Γ于另一点B，且 的面积为9，求直线 的方程：
(3)过 中点 的动直线与椭圆Γ有两个交点M，N，试判断在 轴上是否存在点 使得 .若存
在，求出 点纵坐标的取值范围； 若不存在，说明理由.
14．（2022·广东茂名·一模）已知椭圆C： 经过点 ，其右焦点为F(c,0)，
下顶点为B，直线BF与椭圆C交于另一点D，且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)O为坐标原点，过点M作x轴的垂线 ，垂足为A，过点A的直线与C交于P，Q两点，直线OP与 交
于点H．直线OQ与 交于点G，设 的面积为 ， 的面积为 ，试探究 是否存在最小
值．若存在，求出此时直线PQ的方程；若不存在，请说明理由．
32 / 54
学科网（北京）股份有限公司15．（2024·山西吕梁·三模）如图，已知 分别为椭圆 的左，右焦点，
P(x ,y )椭圆 上的动点，若 到左焦点距离的最大值为 ，最小值为 .
0 0
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过动点P(x ,y )作椭圆 的切线，分别与直线 和 相交于 两点，记四边形 的对角
0 0
线 相交于点 ，问：是否存在两个定点 ，使得 为定值？若存在，求 的坐标；若
不存在，说明理由.
16．（2024·福建泉州·模拟预测）设A，B为椭圆C： 的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意
一点，D在直线 上．
(1)求直线 ， 的斜率的乘积；
(2)证明： ；
(3)过右焦点F作x轴的垂线 ，E为 上异于F的任意一点，直线 交C于M，N两点，记直线 ， ，
的斜率分别为 ， ， ，是否存在 ， ， 的某个排列，使得这三个数成等差数列？若存在，加
以证明；若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D AD ACD BCD AC
1．C
【分析】根据曲线 的对称性，分别讨论当直线 与曲线 的上、下半部分相切时 的取值即可求解.
【详解】曲线 的图象如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，当直线 与曲线上半部分相切时，由 整理得 ，
由 得 ，
当直线 与曲线下半部分相切时，由 整理得 ，
由 得 ，
结合曲线 图象的对称性可得，当 或 时，曲线 与直线 有一个交点，
当 时，曲线 与直线 没有交点，当 或 时，，曲线 与直线 有两个交点，AB说法
错误；
若 ，当直线 与曲线上半部分相切时，由 整理得 ，
由 得 ，
当直线 与曲线下半部分相切时，由 整理得 ，
由 得 ，
结合曲线 图象的对称性可得，对于任意的 ，曲线 与直线 恰有两个公共点，C说法正确，D说法
错误，
故选：C
2．B
【分析】设直线 为 ，联立抛物线可得与交点横坐标有关韦达定理，结合题目条件可计算出直
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学科网（北京）股份有限公司线方程，再借助线段 的中点在 上计算即可得.
【详解】设直线 为 ，代入抛物线得 ，
则 ， ，∴ ，
直线 为 ，线段 的中点记为 ，
则 ， .
又中点 在 上，∴ .
故选：B.
3．D
【分析】根据双曲线定义和 ，得到 ，结合 ，得到不等式，又双曲线的离
心率大于1，得到答案.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以离心率 ，又双曲线的离心率大于1，所以 ．
故选：D．
4．D
【分析】根据给定条件，求出 外接圆的半径及圆心坐标，再判断直线与圆的位置关系.
【详解】由 ，得抛物线的焦点 ，准线方程为 ，
显然 的外接圆圆心 在线段 的垂直平分线上，则 ，半径为 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 的外接圆与抛物线的准线相切，得点 在抛物线上， ，即 ，
显然点 到直线 的距离 ，所以直线 与 的外接圆相交但不过圆心.
故选：D
5．AD
【分析】A选项，根据椭圆方程的特点列不等式，解不等式即可；B选项，根据离心率 得到 ，
然后分 和 两种情况讨论；C选项，求焦距即可判断；D选项，根据椭圆方程判断焦点位
置.
【详解】由题知椭圆方程，则 ，即 且 ，A错误；
若 ，所以 ，得 ，故焦距是不确定的，C正确；
对于B，由于椭圆离心率 ，得 ，
若 ，即 ，解得 ，符合题意；
若 ，即 ，解得 ，符合题意，B正确；
对于D，若 ，椭圆焦点在y轴，若 ，椭圆焦点在x轴，D错误．
故选：AD．
6．ACD
36 / 54
学科网（北京）股份有限公司【分析】熟悉椭圆的离心率公式 ，椭圆焦半径取值范围为 ，焦半径三角形顶角在上顶点时取
最大，先对选项A、B、C作出判断，对于选项D，就需要设出直线 的方程为 ，与椭圆方程
联立，再把三角形面积计算公式转化到两根关系上来，最后代入韦达定理得到关于 的函数式，从而求出
最值.
【详解】由题知，该椭圆中 ，所以离心率为 正确；
根据椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点得，距离最大为 ，距离最小为 ，
又直线 的斜率不为0，所以 ，B错误；
当椭圆的对称可知当 为短轴顶点时， 取得最大值，此时 ，
由余弦定理得 ，故 ，
即 上存在一点 ，使 正确；
设直线 的方程为 ，联立直线 与 的方程得 ，
设 ，则 ，
所以 ，
又点 到直线 的距离为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
37 / 54
学科网（北京）股份有限公司所以 面积的最大值为 正确；
故选：ACD.
7．BCD
【分析】求出 可判断A；由椭圆的对称性可判断B；因为 ，所以以 为直径的圆与椭圆
有交点可判断C；求出 可判断D.
【详解】对于A，由椭圆的方程可知 ，
所以焦点 ，设A(x ,y )，则 ， ，
1 1
因为A(x ,y )在椭圆上，所以 ，
1 1
，
即 ，A错误；
对于B，由椭圆的对称性可知， ，可得B正确；
对于C，因为 ，所以以 为直径的圆与椭圆有交点，则存在点 ，
使得 ，故C正确；
对于D，设A(x ,y )，则 ，
1 1
则 ，
故D正确．
38 / 54
学科网（北京）股份有限公司故选:BCD．
8．AC
【分析】A选项由 为线段 的中点以及抛物线定义即可判断，B选项由 及抛物线方程求出 ，
坐标，再说明 ， ， 三点共线，即存在直线 即可，C选项设 ， ，表示出直线 ，联立抛
物线，利用 即可判断，D选项设出直线 ，联立抛物线得到 ，通过焦半径公式结合基本不等
式得 即可判断．
【详解】对于选项A，如图，由抛物线知 为 的中点， 轴，所以 为线段 的中点，
由抛物线的定义知 ，所以 ，所以选项A正确；
对于选项B，设 ， ， ， ， ， 为线段 的中点，则 ，
， ， 由 ，得 ，
解得 ， ，又 ， ，故 ， ， ，
可得 ， ，故存在直线 ，满足 ，所以选项B不正确；
对于选项C，由题意知， 为线段 的中点，从而设 ，则 ，
直线 的方程 ，与抛物线方程 联立可得： ，
又 ，代入整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，所以直线 与抛物线 相切，所以选项C正确；
对于选项D，设 的方程 ，联立 ，则 ，所以 ， ，
由 ，
而 ，由 ，得 ，解得： ，
故 ，所以 ，所以选项D错误，
故选：AC．
【点睛】方法点晴：（1）直线与抛物线的位置关系一般需要设出直线方程，然后与抛物线联立，进而利
用根与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用
公式 ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
9． 或 .
【分析】本题先求带 切线方程，进而求出直线 的方程，由面积相等求出 ，代入求解即可.
【详解】设点 ．由 ，得 ，
所以直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
40 / 54
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， ， ，
从而 的面积 的面积 ．
由 ，得 ，所以 ，
解得 或 ．
所以直线 的方程为 或 ，即 或 ．
故答案为： 或 .
【点睛】关键点点睛：本题以抛物线为载体，考查抛物线的简单几何性质、导数的几何意义、三角形的面
积公式，考查方程思想、转化与化归思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．主要采用待定系数的
方法求解.
10．
【分析】设直线 的方程为 ，联立方程组，由条件证明 ，由此可得 ，再求 ，求四
边形ACBD面积的解析式，求其最小值即可.
【详解】由已知直线 的斜率存在，且不为 ，
故可设直线 的方程为 ，
联立 ，
消 得， ，
方程 的判别式 ，
设 ，则 ，
所以
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
41 / 54
学科网（北京）股份有限公司又 异于坐标原点 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，
且
所以直线 与 轴的交点为 ，
所以点 的坐标为 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，
消 得， ，
方程 的判别式 ，
设 ，则 ，
所以 ，
由已知 ，
所以四边形ACBD面积 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，此时 ，
42 / 54
学科网（北京）股份有限公司设 ，可得 ， ，
所以当 时，即 时， 取最小值，最小值为 ，
所以四边形ACBD面积的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元
二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方
程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
11．
【分析】由点差法得 ，结合 得 ，代入斜率公式化简并利用 可求
得 .
【详解】设 ，
则 ，两式相减得 ，
即 ，
即 ，所以 ，
因为 是AB垂直平分线，有 ，所以 ，
43 / 54
学科网（北京）股份有限公司即 ，化简得 ，故 ，则 .
故答案为：
12．
【分析】由条件结合离心率定义求 ，由条件证明 ，结合椭圆定义可得 ，利用中位线性
质求 .
【详解】设椭圆的半焦距为 ，则 ，故 ，
由题可知 ，解得 .
因为 ，
所以 为线段 的中点，且 是 的垂直平分线，
则 .
由椭圆定义可知 .
因为 为 的中点，
所以 .
故答案为： .
13．(1)
44 / 54
学科网（北京）股份有限公司(2) 或
(3)存在，
【分析】（1）代入两点得到关于 的方程，解出即可；（2）以 为底，求出三角形的高，即点 到
直线 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到 点坐标，则得到直线
的方程；（3）设该直线方程为： ， ， 联立直线方程和椭圆方程并
消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用 表示 ，再根据 可求 的范围.
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，椭圆方程为： .
所以 .
（2） ，则直线 的方程为 ，即 ，
，由（1）知 ，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，
则将直线 沿着与 垂直的方向平移 单可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点 ，
设该平行线的方程为： ，
则 ，解得 或 ，
45 / 54
学科网（北京）股份有限公司当 时，联立 ，解得 或 ，
即 或 ，
当 时，此时 ，直线 的方程为 ，即 ，
当 时，此时 ，直线 的方程为 ，即 ，
当 时，联立 得 ，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线 的方程为 或 .
（3）椭圆方程为： .
若过 中点 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为： ，
设 ，
由 可得 ，
46 / 54
学科网（北京）股份有限公司故 且
而 ，
故
，
因为 恒成立，故 ，解得 .
若过点 的动直线的斜率不存在，则 ，
此时需 ，两者结合可得 .
故这个 点纵坐标的取值范围为
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借
助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
14．(1)
(2)
【分析】（1）设 ，由 ， ，利用 ，可得 ，代入 ，
即可求解.
47 / 54
学科网（北京）股份有限公司（2）由题意可知 ，设直线 的方程为 ， ， ，联立方程组可得
， ，进而求得 、 的坐标，表示两三角形面积 ， ，分类讨论可求
的最小值，进而可得直线 的方程.
【详解】（1）设 ，由 ， ，得 ， ，
由 ，得 ， ， ，
所以 ，得 ，所以 ，
将 代入椭圆 的方程得 ，即 ，则 ，
所以 ，故椭圆的方程为 .
（2）由题意可知 ，直线 的斜率存在且不为 ，
设直线 的方程为 ， ， ，
则 ，得 ，
因为点 在椭圆内，则直线 与椭圆必有两交点，
则 ， ，
， ，
又 的方程为 ，与直线 联立可得 ，
48 / 54
学科网（北京）股份有限公司又 的方程为 ，与直线 联立可得 ，
所以 ，
，
则 ，
当 时， ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
当 时， ，
所以 ，
又知 ，
则 ，
综上可知，当 时， 存在最小值 ，
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学科网（北京）股份有限公司此时直线 的方程为 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ， ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意Δ的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
15．(1)
(2)存在， ，
【分析】（1）根据两点间距离公式结合椭圆方程可得 ，结合题意列式求 即可；
（2）分析可知切线 的方程为 ，进而可得 坐标，利用交轨法可得点 的轨迹方程为
，进而可得结果.
【详解】（1）设P(x ,y )为椭圆上任意一点，由 得
0 0
则 ，
且 ，可得 ，
50 / 54
学科网（北京）股份有限公司由题意可得： ，解得 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）因为点P(x ,y )在椭圆 上，则 ，即 ，
0 0
结合在圆 上一点处的切线方程 猜测椭圆 上的一点 处的切线方
程为 ，
下面证明这个猜想：
联立方程 ，消去y整理得 ，
即 ，整理得 ，解得 ，
可知直线 与椭圆 有且仅有一个交点P(x ,y )，
0 0
即切线 的方程为 ，
令 得 ，令 知：得 ，
因为 ，则直线 ，①
又因为 ，则直线 ，②
由① ②知： ，
点 的轨迹方程为 ，
51 / 54
学科网（北京）股份有限公司即存在定点 ，使得 为定值6，
即 的坐标为 或 .
【点睛】关键点点睛：根据直线与椭圆的位置关系，联立方程分析可知切线 的方程为 ，进
而结合题意分析求解.
16．(1)
(2)证明见解析
(3)存在；证明见解析
【分析】（1）根据斜率公式结合点 在椭圆上即可求解；
（2）由椭圆的对称性，不妨设 位于第一象限或长轴右端点，设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，
则 ，结合（1）及基本不等式可得 ，根据正切函数
的单调性即可证明；
（3）设 ，①当D在x轴上时，可得 ；②当D不在x轴上时，设M(x ,y )，
1 1
N(x ,y )，直线 ： ，与椭圆方程联立，证明 即可．
2 2
【详解】（1）不妨设 ， ，设 ，
则直线 ， 的斜率分别为 ， ，
所以 ．
又因为 ，所以 ，
52 / 54
学科网（北京）股份有限公司故 ，
即直线 ， 的斜率的乘积为 ．
（2）由椭圆的对称性，不妨设P位于第一象限或长轴右端点，
设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，
则 ．
由（1）知， ，故 ，
从而 ，
当且仅当 时等号成立，此时P为C的右顶点．
因为 ，
又因为 ，且 ，
所以 ．
（3）设 ，
①当 在 轴上时， ，不妨设 ， ，
， ， ，从而 ；
53 / 54
学科网（北京）股份有限公司②当 不在 轴上时，设M(x ,y )，N(x ,y )，直线 ： ，
1 1 2 2
由 得 ，所以 ．
由 消去 ，得 ，
因为直线 过点 ，则 ，
从而 ， （*），
又
．
将（*）式代入上式，得 ．
综上，可得 ，即 ， ， 或 ， ， 成等差数列．
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
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