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学科网（北京）股份有限公
第9 讲 破解离心率问题之顶底角公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共6 小题）
1．如图，已知双曲线
上有一点
，它关于原点的对称点为
，点
为双曲线的右焦点，且满足
，设
，且
，则该双曲线离心
率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在
中，
，
，
在直角三角形
中，
，可得
，
，
取左焦点
，连接
，
，可得四边形
为矩形，
，
，
，
，
，
故选：
．
2．已知
，
是椭圆
的两个焦点，若存在点
为椭圆上一点，使得
，则椭圆离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，当动点
在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
对两个焦
点的张角
渐渐增大，当且仅当
点位于短轴端点
处时，
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张角
达到最大值．由此可得：
存在点
为椭圆上一点，使得
，
△
中，
，可得
△
中，
，
所以
，即
，其中
，可得
，即
椭圆离心率
，且
故选：
．
3．设
，
是椭圆
的两个焦点，
是椭圆上一点，
，
则该椭圆离心率的最小值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
在以
为直径，原点为圆心的圆上，
圆与椭圆相交的条件为圆的半径在椭圆半长轴和半短轴之间，即：
，
，
由
可得：
故选：
．
4 ．已知
，
是椭圆
的左、右焦点，椭圆上一点
满足
，则该椭圆离心率取值范围是
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，
，由余弦定理得：
，
，又
，即
，
解得
，
，
，
，
得
，
，
．
故选：
．
5．椭圆
的焦点
、
在
轴上，点
为椭圆上一点且
不大于
，则它的离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为椭圆中
位于短轴端点时，
最大，
由题意可知
，
所以
，即
，
解得
．
又因为
，
，
解得
．
所以
．
故选：
．
6．已知椭圆
，点
，
是长轴的两个端点，若椭圆上存在点
，
使得
，则该椭圆的离心率的取值范围是
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：点
，
是长轴的
两个端点，
若椭圆上存在点
，使得
，则
的最大
值大于等于
即可，
即当
为短轴端点时，
即可，如图所示，
，
，
又
，
该椭圆的离心率的取值范围是
．
故选：
．
二．多选题（共3 小题）
7．已知椭圆
的左、右两个焦点分别为
，
，
为椭圆上一动点，
，
则下列结论正确的有
A．△
的周长为6
B．△
的最大面积为
C．存在点
使得
D．
的最大值为5
【解答】解：根据题意可得
，
，
，
对于
：△
的周长为
，故
正确，
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对于
：△
的最大面积为
，故
正确，
对于
：若要存在点
使得
，则
，
即点
在以
为直径的圆上，且
，
所以点
为以
为直径的圆与椭圆的交点，
而椭圆的短轴一半长为
，
所以不存在点
，故
错误，
对于
，
所以
最大值为5，故
正确，
故选：
．
8．已知椭圆
的离心率为
，
、
分别为椭圆的两个焦点，若椭圆
上存在点
使得
是钝角，则满足条件的一个的值
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，当动点
在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
对两个焦
点的张角
渐渐增大，
当且仅当
点位于短轴端点
处时，张角
达到最大值．
椭圆上存在点
使得
是钝角，
△
中，
，
△
中，
，
，即
，
，可得
，
，
又
，
，
结合选项可得，满足条件的一个的值为
．
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故选：
．
9．已知
是椭圆
的右焦点，
为左焦点，
为椭圆上的动点，且椭圆
上至少有21 个不同的点
，2，3，
，
，
，
，
组成公差为
的等差数列，则
A．
的面积最大时，
B．
的最大值为8
C．
的值可以为
D．椭圆上存在点
，使
【解答】解：由已知椭圆方程可得：
，
，
，
由椭圆的性质可得：当点
为椭圆的短轴端点时，
最大，且此时三角形
的面
积也最大，
此时
，
正确，
错误，
椭圆上的动点
满足
，即
，
又椭圆上至少有21 个不同的点组成公差为
的等差数列，所以
的最大值为8，
正确，
设已知的等差数列为
，公差为
，
则
，
，又
，所以
，
所以
，即
的最大值为
，
正确，
故选：
．
三．填空题（共7 小题）
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10．已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，
为坐标原点，点
为双曲线右支上一点，若
，
，则双曲线
的离心率的取值
范围为
，
．
【解答】解：法一：
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
．
法二：
，
，令
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
，
．
11．椭圆
的左右焦点为
，
，
是椭圆上一点，若
，
且
，则椭圆
的离心率的取值范围是
，
．
【解答】解：椭圆
的左右焦点为
，
，
是椭圆上一点，若
，且
，
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可得
，则
，短轴的端点与两个焦点所成角大于等于
，
．因为
，所以
．
故答案为：
．
12．已知双曲线
右支上有一点
，它关于原点的对称点为
，双曲
线的右焦点为
，满足
，且
，则双曲线的离心率
的值是
．
【解答】解：
，可得
，
在
中，
，
，
在直角三角形
中，
，可得
，
，取左
焦点
，连接
，
，可得四边形
为矩形，
，
．
故答案为：
．
13．已知
、
是椭圆
的焦点，
是椭圆上一点，且
，
则椭圆的离心率的取值范围是
．
【解答】解：
、
是椭圆
的焦点，
是椭圆上一点，且
，
以
为直径的圆与椭圆有交点，圆的半径
，
，
，
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，又
，
椭圆的离心率的取值范围是
，
，
故答案为
，
．
14．已知椭圆
的两个焦点分别为
，
，
为椭圆上一点，且
，则椭圆
的离心率的取值范围为
，
．
【解答】解：如图，当动点
在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
对两个焦点的张角
渐渐增大，
当且仅当
点位于短轴端点
处时，
张角
达到最大值．
由此可得：
存在点
为椭圆上一点，使得
，
△
中，
，
△
中，
，
所以
，即
，
，可得
，
，
，
．
故答案为：
，
．
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15．设椭圆
两焦点为
，
，若椭圆上存在点
，使得
，
则椭圆离心率的取值范围为
，
．
【解答】解：
点
满足
，
点
的轨迹是以
为直径的圆，其方程为
．
又
椭圆上存在点
，使得
，
以
为直径的圆与椭圆
有公共点，
由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，
，即
，化简得
，解得
．
因此，椭圆
的离心率
．
椭圆离心率在
之间取值，
椭圆
的离心率
，
．
故答案为：
，
16．已知椭圆
的离心率为，
，
分别为椭圆的两个焦点，若椭圆
上存在点
使得
是钝角，则满足条件的范围
，
．
【解答】解：如图，
当动点
在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
对两个焦点的张角
渐渐
增大，
当且仅当
点位于短轴端点
处时，张角
达到最大值，
因为椭圆上存在点
使得
是钝角，
所以△
中，
，
学科网（北京）股份有限公
所以直角三角形
中，
，
所以
，
即
，
所以
，
即
，
所以
，
又
，
所以
，
故答案为：
，
．
