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2022-2023 学年上学期第二次月考模拟一
高二数学试卷·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一．选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B C A B B A B ACD AC ABD CD
【详细解答】
1．B
【分析】根据等差数列的性质可得 ，利用等差数列前n项和公式即可求得答案.
【详解】 等差数列 中， ，故 ，
，
故选：B.
2．B
【分析】求出圆心 的坐标，设 的中点为 ，由垂径定理可得 ，求出直线 的斜率，
可得出直线 的斜率，再利用点斜式可得出直线 的方程.
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，
设 的中点为 ，由垂径定理可知 ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的斜率为 ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
3．C
【分析】根据面积公式可知当 为上或下顶点时， 面积取最大值，求出点 坐标，由数量积公式即可求出结果．
【详解】根据对称性不妨设点 ， 因为 所以
则 面积为
当 时， 面积取最大值，此时 ，又
则 ，所以
故选：C．
4．A
【分析】由二者离心率之积为2，可得 ，从而得到双曲线渐近线方程.
【详解】因为椭圆 ： 与双曲线 ： 的离心率之积为2，
所以有， ，可得 ，
因此双曲线 的两条渐近线方程为： ，
所以双曲线 的两条渐近线的方程为 ．
故选：A．
5．B
【分析】设 ，分别求出 和 ，即可求出.
【详解】设 .
过 作与 轴垂直的直线与双曲线交于 ， 两点，则 ，解得： ，
所以 .由双曲线 可得渐近线为 .
由对称性可知， 到任一渐近线的距离均相等，不妨求 到渐近线 的距离，
所以 .
因为 ，所以 ，解得： .
故选：B
6．B
【分析】连接 交于点 ，以分别为 轴，过点 平行于 的直线为 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量为 ，设 与平面 所成的角为 ，利用向
量法求出 ，进而可得 ，即可求解
【详解】连接 交于点 ，
以分别为 轴，过点 平行于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，则
，令 ，则 ，
设 与平面 所成的角为 ，则
，所以 ， ，
所以 与平面 所成的角的正切值为 ，
故选：B
7．A
【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.
【详解】因为 ，则 ，
当 时，
，显然 满足上式，即有 ，
所以 ．
故选：A
8．B
【分析】由题可知 与抛物线相切时， 取得最小值，求出点 的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合 ，可求得 ，再利用 求得结果.
【详解】由抛物线的对称性，不妨设 为抛物线第一象限内点，如图所示：
故点 作 垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知 ，易知 轴，可得
当 取得最大值时， 取得最小值，此时 与抛物线 相切，
设直线 方程为： ，
联立 ，整理得 ，
其中 ，解得： ，
由 为抛物线第一象限内点，则 ，
则 ，解得： ，
此时 ，即 或
所以点 的坐标且
由题意知，双曲线的左焦点为 ，右焦点为设双曲线的实轴长为2a，则 ，
，
又 ，则 ，
故渐近线斜率的平方为
故选：B
9．ACD
【分析】根据三点共线、直线与线段有公共点、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而
确定正确答案.
【详解】A选项， ，
由于 三点共线，所以 共线，
所以 ，A选项正确.
B选项， ，结合图象可知，直线 的斜率 的取值范围为 ，
所以B选项错误.
C选项，圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，所以圆上有且仅有3个点到直线 的距离等于 ，
C选项正确.D选项，当直线过原点时，设直线方程为 ，
圆心 到直线 的距离等于半径 ，
即 ，解得 ，直线方程为 或 .
当直线不过原点时，设直线方程为 ，
圆心 到直线 的距离等于半径 ，
即 ，解得 或 （舍去）.
直线方程为 ，
综上所述，与圆 相切，且在 轴､ 轴上的截距相等的直线有三条，D选项正确.
故选：ACD
10．AC
【分析】以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，由空间向量法求线线夹角，二面角，
线面角，点面距，从而各选项．
【详解】由已知，以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， ，
， ，
， ， ，
， ，
， ，
所以 ，所以 的夹角是 ，A正确；
设平面 的一个法向量是 ，由 ，取 ，则 ， ，即 ，
显然平面 的一个法向量是 ，
，
平面PCD与平面PAB所成的锐二面角余弦值是 ，B错；
，
所以PB与平面PCD所成的角的正弦值是 ，C正确；
，
，D错．
故选：AC．
11．ABD
【分析】应用等差数列的前n项和、通项公式求基本量可得 ，进而判断A，再由及等比数列的定义判断B，应用分组求和、裂项求和判断C、D.
【详解】对A，由题设， ，则 ，
若等差数列的公差为 ，故 ，而 ，
所以 ，则 ，
，A正确；
对B， ，易知 是公比为28的等比数列，B正确；
对C， ，则前2023项和为
，C错误；
，则前n项和为
，D正确.
故选：ABD
12．CD
【分析】设点 ,表示出 ，由 求得曲线 的方程，判断A;
设 ，求得P到直线 的距离的最大值，求出 面积的最大值，
判断B;由椭圆定义可将 化为 ，利用三点共线知识求得
的最大值，判断C; 利用三点共线知识求得 的最大值,判断D.
【详解】由题意得，设点 ，则 ,
因为 ，故 ，整理， 得 ，
即动点P的轨迹方程为 ， 故A错误；
设点 ， 所在直线方程为 ，
则P到直线 的距离为 ，
当 时即 时，d取最大值 ，而 ,
故 面积的最大值为 ，B错误；
由以上分析知 为椭圆 的焦点，
由椭圆的定义，得 ，
故 ，而 ，
当且仅当 三点共线且点P位于第四象限时等号成立，
所以 ，故C正确；
由题意知 ,当且仅当 三点共线且点P位于第一象限时等号成立，
即 的最大值为 ，D正确，
故选︰ ．二．填空题
13．32 14． 15． 16． ## .
【详细解答】
13．32
【分析】根据题意可求得等比数列的公比 ，再根据 ，即可求得答
案.
【详解】由 是等比数列，设公比为q，且 ， ，
则可得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：32.
14．
【分析】设 ，由条件可得 ， ，由点差法
可求出 的值，从而得出离心率.
【详解】设 ，则 ，
将 两点坐标代入双曲线方程得： ；
将上述两式相减可得：
即 ，也即所以 ，即
故答案为：
15．
【分析】根据题意到 ，联立方程得到 ，得到答案.
【详解】 ，故 .
，故 ，故 ，故 .
故双曲线渐近线方程为： .
故答案为： .
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
16． ## .
【分析】建立空间直角坐标系，设出 ，由二面角 的大小，列出方程，得到
，设直线 与 轴交点分别为 ，得到动点 的轨迹的长度为 的长，
由勾股定理求出答案.
【详解】因为 平面 ， 平面 ，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为 ，
所以PA，AB，AD两两垂直，
所以以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
因为 ，
所以 ，
因为 是四边形 内部一点，设 ，
其中 ，
平面PDA的法向量为 ，
设平面QPD的法向量为 ，则
，
令 ，则 ，
所以 ，
，
由于 ，
所以 ，故 ，
因为 的平面角大小为 ，设为 ，则 ，
解得： ，
设直线 与 轴交点分别为 ，
故动点 的轨迹的长度为 的长，
令 得： ，故
令 得： ，故
由勾股定理得： ，
所以动点 的轨迹的长度为 .
故答案为： .
三．解答题
17．(1)
(2)【分析】（1）利用等比数列的通项公式与等差中项公式列出方程组，求得基本量即可求得 的
通项公式；
（2）结合（1）中结论，利用分组求和法即可求得 .
（1）
设等比数列的公比为 ，
则由 得 ，
解得 或 (舍去)，
所以 .
（2）
由（1）得 ，
所以
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）首先可得直线 的方程，设 ，然后联立直线 与抛物线的方程消元，
然后可得 的值，然后可得答案.
（2）利用点差法求出 的斜率即可得答案.（1）
因为 的倾斜角为 ， ，
所以直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
设 ，则 ，
所以 ；
（2）
设 ，则 ，
所以 ，
因为线段AB的中点坐标为 ，所以 ，
所以 ，所以 的斜率为 ，
所以 的方程为 ，即 .
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用正四棱锥的定义可得 面 ，即 ，从而利用线面垂直的判定定
理可得 面 ，由此得 ；
（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用题设中的条件与平面几何的知识求得各线段的
长度，从而得到各点的坐标，再求出 与平面ACP的一个法向量为 ，利用向量的数量积运算即
可求得直线SC与平面ACP所成角的正弦值；（3）假设存在，且 ，由此求得 ，再由 平面PAC得 ，
从而求得 ，由此可得 的值.
（1）
连结 ，连结 ，如图，
因为四棱锥 是正四棱锥，所以 面 ，
又 面 ，所以 ，
在正方形 中， ，
又 面 ，所以 面 ，
因为 面 ，所以 .
（2）
由（1）知 两两垂直，以 为坐标原点，以 为 轴建立空间直角坐标系，
则由平面几何知识易知， ， ，
所以 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
故 ，
设平面ACP的一个法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
设直线SC与平面ACP所成角为 ，则 ，
所以直线SC与平面ACP所成角的正弦值为 .
（3）假设 上存在点 满足题意，不妨设 ，
则 ，
因为 平面PAC，所以 ，即 ，故 ，
所以 ，则 ，
所以 .
20．(1) ；
(2) ；
(3) 或
【分析】（1）由圆心在直线l上设出圆心 ，由 可解出x，再求出半径即可
得圆的标准方程；
（2）过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD互相垂直，最长的弦为直径，由垂径定理求出
BD，即可求面积为 ；
（3）分别讨论直线斜率存在与否，存在时设出过点直线，由所截得弦长为8可得圆心到直线的距
离，由点线距离公式列方程即可求解（1）
圆心在直线l上，则 ，则有 ，
解得 ，
故圆心为 ，半径 ，故圆心为C的圆的标准方程为
；
（2）
由圆的性质，过点P的最长弦过圆心，即为直径， .
最短弦BD垂直于AC， ，由垂径定理得 ，
故四边形ABCD的面积为 ；
（3）
i. 过点 的直线斜率不存在，为 ，此时被圆C所截得弦长为 ，符合题意；
ii. 过点 的直线斜率存在，设为 ，直线被圆C所截得弦长为8，故圆
心到直线的距离为 ，即 ，
故该直线的方程为 .
综上，直线的方程为 或
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可设双曲线方程为 ，把点 代入，解得 ，即可得出答案．
（2）设 的方程为 ，联立双曲线方程，得 ，设 ，，结合根与系数的关系可得 ， ，再计算 ，即可得出答案．
（1）
双曲线 的渐近线方程为 ，
设双曲线方程为 ， ，
所以双曲线过点 ，则 ，
所以双曲线的方程为 ，即 ．
（2）
证明：由（1）可知 ， 的斜率存在且不为 ，
设 的方程为 ， ，
联立 ，
得 ，
设 ， ，
则 ，
则
所以命题得证．
【点睛】斜率和定值题型是解析几何中常考的题型，通常采取设直线的方法，与圆锥曲线方程联立，得到韦达定理式，再将斜率和转化为与韦达定理相关的式子进行整体代入运算即可.
22．(1)
(2)定值为 ，证明见解析.
(3)三点 ， ， 共线，证明见解析.
【分析】（1）首先根据题意得到 ，再解方程组即可.
（2）设 ， ， ，再计算 即可.
（3）分别计算 和 ，根据 ， 为公共点，即可证明 ， ， 三点共线.
（1）
由题知： ，
所以椭圆 ： .
（2）
由题知： ， 存在，且不为零，设 ， ， ，
则 ，即 .
.
所以直线 与 的斜率之积为定值 .（3）
， ， 三点共线，证明如下：
设直线 ： ，则直线 ： ，
将 代入直线 ， 得： ， ，
，设直线 ： ，
联立 ，
设 ，则 ，解得 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以 ， 为公共点，所以 ， ， 三点共线.
