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专题 07 平面解析几何（选填题）
x2 y2 1
1．【2022年全国甲卷】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，A ,A 分别为C
a2 b2 3 1 2
→ →
的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA ⋅BA =−1，则C的方程为（ ）
1 2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2
A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + y2=1
18 16 9 8 3 2 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离心率及⃑BA ⋅⃑BA =−1，解得关于a2,b2的等量关系式，即可得解.
1 2
【详解】
c √ b2 1 b2 8 8
解：因为离心率e= = 1− = ，解得 = ，b2= a2 ，
a a2 3 a2 9 9
A ,A 分别为C的左右顶点，则A (−a,0),A (a,0)，
1 2 1 2
B为上顶点，所以B(0,b).
所以⃑BA =(−a,−b),⃑BA =(a,−b)，因为⃑BA ⋅⃑BA =−1
1 2 1 2
8
所以−a2+b2=−1，将b2= a2 代入，解得a2=9,b2=8，
9
x2 y2
故椭圆的方程为 + =1.
9 8
故选：B.
x2 y2
2．【2022年全国甲卷】椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，
a2 b2
1
且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
4
√3 √2 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 3【答案】A
【解析】
【分析】
y ❑ 2 1
设P(x ,y )，则Q(−x ,y )，根据斜率公式结合题意可得 1 = ，再根据
1 1 1 1 −x ❑ 2+a2 4
1
x ❑ 2 y ❑ 2
1 + 1 =1，将y 用x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
a2 b2 1 1
【详解】
解：A(−a,0)，
设P(x ,y )，则Q(−x ,y )，
1 1 1 1
y y
则k = 1 ,k = 1 ，
AP x +a AQ −x +a
1 1
y y y ❑ 2 1
故k ⋅k = 1 ⋅ 1 = 1 = ，
AP AQ x +a −x +a −x ❑ 2+a2 4
1 1 1
x ❑ 2 y ❑ 2 b2(a2−x ❑ 2)
又 1 + 1 =1，则y ❑ 2= 1 ，
a2 b2 1 a2
b2(a2−x
❑
2)
1 b2 1
所以 a2 1，即 = ，
= a2 4
−x ❑ 2+a2 4
1
c √ b2 √3
所以椭圆C的离心率e= = 1− = .
a a2 2
故选：A.
3．【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若
|AF|=|BF|，则|AB|=（ ）
A．2 B．2√2 C．3 D．3√2
【答案】B
【解析】【分析】
根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，
即可得到答案.
【详解】
由题意得，F(1,0)，则|AF|=|BF|=2，
即点A到准线x=−1的距离为2，所以点A的横坐标为−1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)，
所以|AB|=√(3−1) 2+(0−2) 2=2√2.
故选：B
4．【2022年全国乙卷】双曲线C的两个焦点为F ,F ，以C的实轴为直径的圆记为D，
1 2
3
过F 作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠F N F = ，则C的离心率为
1 1 2 5
（ ）
√5 3 √13 √17
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为G，可判断N在双曲线的右
1
支，设∠F N F =α，∠F F N=β，即可求出sinα，sinβ，cosβ，在△F F N中
1 2 2 1 2 1
由sin∠F F N=sin(α+β)求出sin∠F F N，再由正弦定理求出|N F |，|N F |，最
1 2 1 2 1 2
后根据双曲线的定义得到2b=3a，即可得解；
【详解】
解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为G，
1
3
所以OG⊥N F ，因为cos∠F N F = >0，所以N在双曲线的右支，
1 1 2 5
所以|OG|=a，|OF |=c，|GF |=b，设∠F N F =α，∠F F N=β，
1 1 1 2 2 1
3 3 4 a b
由cos∠F N F = ，即cosα= ，则sinα= ，sinβ= ，cosβ= ，
1 2 5 5 5 c c在△F F N中，sin∠F F N=sin(π−α−β)=sin(α+β)
2 1 1 2
4 b 3 a 3a+4b
=sinαcosβ+cosαsinβ= × + × = ，
5 c 5 c 5c
2c |N F | |N F | 5c
由正弦定理得 = 2 = 1 = ，
sinα sinβ sin∠F F N 2
1 2
5c 5c 3a+4b 3a+4b
所以|N F |= sin∠F F N= × = ，
1 2 1 2 2 5c 2
5c 5c a 5a
|N F |= sinβ= × =
2 2 2 c 2
3a+4b 5a 4b−2a
又|N F |−|N F |= − = =2a，
1 2 2 2 2
b 3
所以2b=3a，即 = ，
a 2
c √ b2 √13
所以双曲线的离心率e= = 1+ =
a a2 2
故选：C
5．【2021年甲卷文科】点 到双曲线 的一条渐近线的距离为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
6．【2021年乙卷文科】设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式得到 ，
然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】
设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二
次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的
点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将
距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最
值.．
7．【2021年乙卷理科】设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点
都满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大
值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】
设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，
由 可得 ，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得，
，显然该不等式不成立．故选：C．
【点睛】
本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义
域讨论函数的单调性从而确定最值．
8．【2021年新高考1卷】已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，
则 的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式
即可得到答案．
【详解】
由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
9．【2021年新高考2卷】抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B【解析】
【分析】
首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.
【详解】
抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
10．【2020年新课标1卷理科】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦
点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】
设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】
本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
11．【2020年新课标1卷理科】已知⊙M： ，直线 ： ，
为 上的动点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线
的方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根
据 可知，当直线 时， 最小，求出以 为直
径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线 的方程．
【详解】
圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所
以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查
学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
12．【2020年新课标1卷文科】已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得
的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
当直线和圆心与点 的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】
圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦
长最短，此时
根据弦长公式得最小值为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
13．【2020年新课标1卷文科】设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，
点 在 上且 ，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到
，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
【详解】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故选：B
【点晴】
本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运
算能力，是一道中档题.
14．【2020年新课标2卷理科】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为 ，写出圆的
标准方程，利用点 在圆上，求得实数 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 的距离.
【详解】
由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心 到直线 的距离均为 ；
圆心 到直线 的距离均为
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等
题.
15．【2020年新课标2卷理科】设 为坐标原点，直线 与双曲线
的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦
距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B
【解析】
【分析】
因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程
求得 ， 两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据
，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不
等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和
计算能力，属于中档题.
16．【2020年新课标3卷理科】设 为坐标原点，直线 与抛物线C：
交于 ， 两点，若 ，则 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可
以确定出点 的坐标，代入方程求得 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】
因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对
称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
17．【2020年新课标3卷理科】设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，离心率为 ．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a=
1 2 1 2 1 2
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】
， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，
属于中档题.
18．【2020年新课标3卷文科】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则
点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【解析】
【分析】
首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】
设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的
转化能力和计算求解能力.
19．【2020年新课标3卷文科】点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为
（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据直线方程判断出直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，
点 到直线 距离最大，即可求得结果.
【详解】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性
质是解题的关键，属于基础题.
20．【2019年新课标1卷理科】已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C
2
交于A，B两点.若 ， ，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可设 ，则 ，得 ，在 中求得
，再在 中，由余弦定理得 ，从而可求解.
【详解】
法一：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 中，由余弦定理推论得
．在 中，由余弦定理得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，故选B．
法二：由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 和 中，由余弦定理得
，又 互补，
，两式消去 ，得 ，解得
． 所求椭圆方程为 ，
故选B．
【点睛】
本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落
实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
21．【2019年新课标1卷文科】双曲线C: 的 一条渐近线的倾斜角为
130°，则C的离心率为
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
【答案】D【解析】
【分析】
由双曲线渐近线定义可得 ，再利用 求双曲线的
离心率．
【详解】
由已知可得 ，
，故选D．
【点睛】
对于双曲线： ，有 ；对于椭圆
，有 ，防止记混．
22．【2019年新课标2卷理科】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦
点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程，即可解出 ，或者利用检验排除
的方法，如 时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排
除B，C，故选D．
【详解】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ，
解得 ，故选D．
【点睛】
本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
23．【2019年新课标2卷理科】设F为双曲线C： （a>0，b>0）的右焦点，O
为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率
为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离
心率．
【详解】
设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，
又 ， 为以 为直径的圆的半径，
为圆心 ．
，又 点在圆 上，
，即 ．
，故选A．【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，
避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重
点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
24．【2019年新课标3卷理科】双曲线C： =1的右焦点为F，点P在C的一条渐近
线上，O为坐标原点，若 ，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素
养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】
由 ．
，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在 上，
，故选A．
【点睛】
忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三
角形的高，便可求三角形面积．
25．【2019年新课标3卷文科】已知 是双曲线 的一个焦点，点 在 上，
为坐标原点，若 ，则 的面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设 ，因为 再结合双曲线方程可解出 ，再利用三角形面积公式可求出
结果.
【详解】
设点 ，则 ①．
又 ，
②．
由①②得 ，
即 ，
，
故选B．【点睛】
本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．
26．【2018年新课标1卷理科】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为
的直线与C交于M，N两点，则 =
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程
组，消元化简，求得两点 ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，
之后应用向量坐标公式，求得 ，最后应用向量数量积坐标公式求得
结果.
【详解】
根据题意，过点（–2，0）且斜率为 的直线方程为 ，
与抛物线方程联立 ，消元整理得： ，
解得 ，又 ，
所以 ，
从而可以求得 ，故选D.
【点睛】
该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程
中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定
出 ，之后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用
韦达定理得到结果.
27．【2018年新课标1卷理科】已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦
点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到
，根据直角三角形的条件，可以确定直线 的倾斜角为 或 ，根据相
关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为 ，利用点斜式
写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得 ，利用两点
间距离公式求得 的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ，
从而得到 ，所以直线 的倾斜角为 或 ，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，
可以得出直线 的方程为 ，
分别与两条渐近线 和 联立，
求得 ，所以 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的
距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双
曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线 的斜率，结合
过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应
用两点间距离公式求得结果.
28．【2018年新课标1卷文科】已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，则
的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为 ，从而求得 ，再根据题中所
给的方程中系数，可以得到 ，利用椭圆中对应 的关系，求得 ，最后利用
椭圆离心率的公式求得结果.
详解：根据题意，可知 ，因为 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率为 ，故选C.
点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公
式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中 的关系求得结果.29．【2018年新课标2卷理科】双曲线 的离心率为 ，则其渐近线
方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，选A.
点睛：已知双曲线方程 求渐近线方程： .
30．【2018年新课标2卷理科】已知 ， 是椭圆 的左，右焦点，
是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形，
，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：先根据条件得PF =2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
2
详解：因为 为等腰三角形， ，所以PF =F F=2c,
2 1 2由 斜率为 得， ，
由正弦定理得 ,
所以 ，故选D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程
或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，
要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
31．【2018年新课标2卷文科】已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若
，且 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：设 ，则根据平面几何知识可求 ，再结合椭圆定义可求离心率.
详解：在 中，
设 ，则 ，
又由椭圆定义可知
则离心率 ，
故选D.
点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三
角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以
及椭圆的定义.
32．【2018年新课标3卷理科】直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点
在圆 上，则 面积的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
分析：先求出A，B两点坐标得到 再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，
由面积公式计算即可
详解： 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点
,则
点P在圆 上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线 的距离 的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中
档题．
33．【2018年新课标3卷理科】设 , 是双曲线 （ ）的左、右焦点， 是坐标原点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则
的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：由双曲线性质得到 ， 然后在 和在 中利用余弦定
理可得．
详解：由题可知
在 中，
在 中,
故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于
中档题．
34．【2018年新课标3卷文科】下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线
对称的是
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
【详解】
分析：确定函数 过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．
详解：函数 过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有
过此点．
故选项B正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．
35．【2018年新课标3卷文科】已知双曲线 的离心率为 ，则
点 到 的渐近线的距离为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：由离心率计算出 ，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．
详解：
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．
36．【2022年新高考1卷】已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，
过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为y=−1 B．直线AB与C相切
C．|OP|⋅|OQ|>|OA| 2 D．|BP|⋅|BQ|>|BA|2
【答案】BCD
【解析】
【分析】
求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长
公式可判断C、D.
【详解】
1
将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2= y，故准线方程为y=− ，A
4
错误；
1−(−1)
k = =2，所以直线AB的方程为y=2x−1，
AB 1−0
联立¿，可得x2−2x+1=0，解得x=1，故B正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx−1，P(x ,y ),Q(x ,y )，
1 1 2 2
联立¿，得x2−kx+1=0，
所以¿，所以k>2或k<−2，y y =(x x ) 2=1，
1 2 1 2
又|OP|=√x2+ y2=√y + y2，|OQ|=√x2+ y2=√y + y2，
1 1 1 1 2 2 2 2
所以|OP|⋅|OQ|=√y y (1+ y )(1+ y )=√kx ×kx =|k|>2=|OA|2 ，故C正确；
1 2 1 2 1 2
因为|BP|=√1+k2|x |，|BQ|=√1+k2|x |，
1 2
所以|BP|⋅|BQ|=(1+k2 )|x x |=1+k2>5，而|BA|2=5，故D正确.
1 2
故选：BCD37．【2022年新高考2卷】已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直
线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则
（ ）
A．直线AB的斜率为2√6 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180°
【答案】ACD
【解析】
【分析】
3p √6p
由|AF|=|AM|及抛物线方程求得A( , )，再由斜率公式即可判断A选项；表示出
4 2
p √6p
直线AB的方程，联立抛物线求得B( ,− )，即可求出|OB|判断B选项；由抛物线
3 3
25p
的定义求出|AB|= 即可判断C选项；由⃑OA⋅⃑OB<0，⃑MA⋅⃑MB<0求得∠AOB，
12
∠AMB为钝角即可判断D选项.
【详解】
p
对于A，易得F( ,0)，由|AF|=|AM|可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为
2
p
+p
2 3p，
=
2 43p 3 3p √6p
代入抛物线可得y2=2p⋅ = p2 ，则A( , )，则直线AB的斜率为
4 2 4 2
√6p
2
=2√6，A正确；
3p p
−
4 2
1 p
对于B，由斜率为2√6可得直线AB的方程为x= y+ ，联立抛物线方程得
2 √6 2
1
y2− py−p2=0，
√6
2
√6 √6 √6p ( √6p)
设B(x ,y )，则 p+ y = p，则y =− ，代入抛物线得 − =2p⋅x ，
1 1 2 1 6 1 3 3 1
p p √6p
解得x = ，则B( ,− )，
1 3 3 3
√ (p) 2 ( √6p) 2 √7p p
则|OB|= + − = ≠|OF|= ，B错误；
3 3 3 2
3p p 25p
对于C，由抛物线定义知：|AB|= + +p= >2p=4|OF|，C正确；
4 3 12
3p √6p p √6p 3p p √6p ( √6p) 3p2
对于D，⃑OA⋅⃑OB=( , )⋅( ,− )= ⋅ + ⋅ − =− <0
4 2 3 3 4 3 2 3 4
，则∠AOB为钝角，
又
p √6p 2p √6p p ( 2p) √6p ( √6p) 5p2
⃑MA⋅⃑MB=(− , )⋅(− ,− )=− ⋅ − + ⋅ − =− <0，
4 2 3 3 4 3 2 3 6
则∠AMB为钝角，
又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360∘，则∠OAM+∠OBM<180∘，D正确.
故选：ACD.
38．【2021年新高考1卷】已知点 在圆 上，点 、 ，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项
的正误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选
项的正误.
【详解】
圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正
确，B选项错误；
如下图所示：当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，
CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
结论点睛：若直线 与半径为 的圆 相离，圆心 到直线 的距离为 ，则圆 上一点
到直线 的距离的取值范围是 .
39．【2021年新高考2卷】已知直线 与圆 ，点 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】
转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与
圆的位置关系即可得解.
【详解】
圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
40．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】
【分析】
结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双
曲线， 时表示两条直线.
【详解】
对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数
学运算的核心素养.
41．【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+ y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
则⊙M的方程为______________．
【答案】(x−1) 2+(y+1) 2=5
【解析】
【分析】
设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】
解：∵点M在直线2x+ y−1=0上，
∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴√(a−3) 2+(1−2a) 2=√a2+(−2a) 2=R，
a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1，
∴M(1,−1)，R=√5，⊙M的方程为(x−1) 2+(y+1) 2=5.
故答案为：(x−1) 2+(y+1) 2=5
x2 y2
42．【2022年全国甲卷】记双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条
a2 b2
件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足10,b>0)，所以C的渐近线方程为y=± x,
a2 b2 a
b b2
结合渐近线的特点，只需0< ≤2，即 ≤4，
a a2
可满足条件“直线y=2x与C无公共点”
c √ b2
所以e= = 1+ ≤√1+4=√5，
a a2
又因为e>1，所以10)的渐近线与圆x2+ y2−4 y+3=0相
m2
切，则m=_________．
√3
【答案】
3
【解析】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依
题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】
x2 x
解：双曲线y2− =1(m>0)的渐近线为y=± ，即x±my=0，
m2 m
不妨取x+my=0，圆x2+ y2−4 y+3=0，即x2+(y−2) 2=1，所以圆心为(0,2)，半径r=1，
|2m|
依题意圆心(0,2)到渐近线x+my=0的距离d= =1，
√1+m2
√3 √3
解得m= 或m=− （舍去）．
3 3
√3
故答案为： ．
3
44．【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为
____________．
【答案】(x−2) 2+(y−3) 2=13或(x−2) 2+(y−1) 2=5或 ( x− 4) 2 + ( y− 7) 2 = 65 或
3 3 9
( x− 8) 2 +(y−1) 2= 169 ；
5 25
【解析】
【分析】
设圆的方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】
解：依题意设圆的方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0，
若过(0,0)，(4,0)，(−1,1)，则¿，解得¿，
所以圆的方程为x2+ y2−4x−6 y=0，即(x−2) 2+(y−3) 2=13；
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则¿，解得¿，
所以圆的方程为x2+ y2−4x−2y=0，即(x−2) 2+(y−1) 2=5；
若过(0,0)，(4,2)，(−1,1)，则¿，解得¿，所以圆的方程为x2+ y2− 8 x− 14 y=0，即 ( x− 4) 2 + ( y− 7) 2 = 65 ；
3 3 3 3 9
若过(−1,1)，(4,0)，(4,2)，则¿，解得¿，
所以圆的方程为x2+ y2− 16 x−2y− 16 =0，即 ( x− 8) 2 +(y−1) 2= 169 ；
5 5 5 25
故答案为：(x−2) 2+(y−3) 2=13或(x−2) 2+(y−1) 2=5或 ( x− 4) 2 + ( y− 7) 2 = 65 或
3 3 9
( x− 8) 2 +(y−1) 2= 169 ；
5 25
45．【2022年新高考1卷】写出与圆x2+ y2=1和(x−3) 2+(y−4) 2=16都相切的一条直线
的方程________________．
3 5 7 25
【答案】y=− x+ 或y= x− 或x=−1
4 4 24 24
【解析】
【分析】
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】
圆x2+ y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆(x−3) 2+(y−4) 2=16的圆心O 为(3,4)，半
1
径为4，
两圆圆心距为√32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
4 3 3
当切线为l时，因为k = ，所以k =− ，设方程为y=− x+t(t>0)
OO 1 3 l 4 4
|t|
d= =1 5 3 5
O到l的距离 √ 9 ，解得t= ，所以l的方程为y=− x+ ，
1+ 4 4 4
16
当切线为m时，设直线方程为kx+ y+p=0，其中p>0，k<0，7 25
由题意¿，解得¿，y= x−
24 24
当切线为n时，易知切线方程为x=−1，
3 5 7 25
故答案为：y=− x+ 或y= x− 或x=−1.
4 4 24 24
x2 y2
46．【2022年新高考1卷】已知椭圆C: + =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点
a2 b2
1
为F ，F ，离心率为 ．过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则
1 2 2 1 2
△ADE的周长是________________．
【答案】13
【解析】
【分析】
x2 y2
利用离心率得到椭圆的方程为 + =1，即3x2+4 y2−12c2=0，根据离心率得到
4c2 3c2
直线AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：
2
x=√3 y−c，代入椭圆方程3x2+4 y2−12c2=0，整理化简得到：
13 13
13 y2−6√3cy−9c2=0，利用弦长公式求得c= ，得a=2c= ，根据对称性将
8 4△ADE的周长转化为△F DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13.
2
【详解】
c 1
∵椭圆的离心率为e= = ，∴a=2c，∴b2=a2−c2=3c2，∴椭圆的方程为
a 2
x2 y2
+ =1，即3x2+4 y2−12c2=0，不妨设左焦点为F ，右焦点为F ，如图所示，
4c2 3c2 1 2
π
∵AF =a，OF =c，a=2c，∴∠AF O= ，∴△AF F 为正三角形，∵过F 且
2 2 2 3 1 2 1
垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF 的垂直平分线，∴直线DE的斜率
2 2
√3
为 ，斜率倒数为√3， 直线DE的方程：x=√3 y−c，代入椭圆方程
3
3x2+4 y2−12c2=0，整理化简得到：13 y2−6√3cy−9c2=0，
判别式∆=(6√3c) 2+4×13×9c2=62×16×c2，
√∆ c
∴|CD|=√1+(√3) 2 |y −y |=2× =2×6×4× =6，
1 2 13 13
13 13
∴ c= ， 得a=2c= ，
8 4
∵DE为线段AF 的垂直平分线，根据对称性，AD=DF ，AE=EF ，∴△ADE的周
2 2 2
长等于△F DE的周长，利用椭圆的定义得到△F DE周长为
2 2
|DF |+|EF |+|DE|=|DF |+|EF |+|DF |+|EF |=|DF |+|DF |+|E.F |+|EF |=2a+2a=4a=13
2 2 2 2 1 1 1 2 1 2
故答案为：13.47．【2022年新高考2卷】设点A(−2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆
(x+3) 2+(y+2) 2=1有公共点，则a的取值范围是________．
[1 3]
【答案】 ,
3 2
【解析】
【分析】
首先求出点A关于y=a对称点A'的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小
于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】
解：A(−2,3)关于y=a对称的点的坐标为A'(−2,2a−3)，B(0,a)在直线y=a上，
a−3
所以A'B所在直线即为直线l，所以直线l为y= x+a，即(a−3)x+2y−2a=0；
−2
圆C:(x+3) 2+(y+2) 2=1，圆心C(−3,−2)，半径r=1，
|−3(a−3)−4−2a|
依题意圆心到直线l的距离d= ≤1，
√(a−3) 2+22
1 3 [1 3]
即(5−5a) 2≤(a−3) 2+22，解得 ≤a≤ ，即a∈ , ；
3 2 3 2[1 3]
故答案为： ,
3 2
x2 y2
48．【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A，B两点，l与x
6 3
轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2√3，则l的方程为
___________．
【答案】x+√2y−2√2=0
【解析】
【分析】
1
令AB的中点为E，设A(x ,y )，B(x ,y )，利用点差法得到k ⋅k =− ，设直线
1 1 2 2 OE AB 2
AB:y=kx+m，k<0，m>0，求出M、N的坐标，再根据|MN|求出k、m，即可得解；
【详解】
解：令AB的中点为E，因为|MA|=|NB|，所以|ME|=|NE|，
x ❑ 2 y ❑ 2 x ❑ 2 y ❑ 2
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 1 + 1 =1， 2 + 2 =1，
1 1 2 2
6 3 6 3
x ❑ 2 x ❑ 2 y ❑ 2 y ❑ 2 (x −x )(x +x ) (y + y )(y −y )
所以 1 − 2 + 1 − 2 =0，即 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =0
6 6 3 3 6 3
(y + y )(y −y ) 1 1
所以 1 2 1 2 =− ，即k ⋅k =− ，设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0，
(x −x )(x +x ) 2 OE AB 2
1 2 1 2
m ( m ) ( m m)
令x=0得y=m，令y=0得x=− ，即M − ,0 ，N(0,m)，所以E − , ，
k k 2k 2
m
2 1 √2 √2
即k× =− ，解得k=− 或k= （舍去），
m 2 2 2
−
2k
又|MN|=2√3，即|MN|=√m2+(√2m) 2=2√3，解得m=2或m=−2（舍去），
√2
所以直线AB:y=− x+2，即x+√2y−2√2=0；
2故答案为：x+√2y−2√2=0
49．【2021年甲卷文科】已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于
坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求出 ，
四边形 面积等于 ，即可求解.
【详解】
因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，，即四边形 面积等于 .
故答案为： .
50．【2021年乙卷文科】双曲线 的右焦点到直线 的距离为
________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】
由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .
故答案为：
51．【2021年乙卷理科】已知双曲线 的一条渐近线为 ，
则C的焦距为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
将渐近线方程化成斜截式，得出 的关系，再结合双曲线中 对应关系，联立求解 ，
再由关系式求得 ，即可求解.
【详解】
由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得 ，又双曲线中，故 ，解得 （舍去）， ，故焦距
.
故答案为：4.
【点睛】
本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关
键.
52．【2021年新高考1卷】已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ，
为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线
方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先用坐标表示 ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 ，即得结果.
【详解】
抛物线 ： ( )的焦点 ,
∵P为 上一点， 与 轴垂直，
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ,
不妨设 ,
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ，
因为 ，所以 ,，
所以 的准线方程为
故答案为： .
【点睛】
利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
53．【2021年新高考2卷】若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程
___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据离心率得出 ，结合 得出 关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
解：由题可知，离心率 ，即 ，
又 ，即 ，则 ，
故此双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
54．【2020年新课标1卷理科】已知F为双曲线 的右焦点，A为C
的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为
______________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据双曲线的几何性质可知， ， ，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】
联立 ，解得 ，所以 .
依题可得， ， ，即 ，变形得 ， ,
因此，双曲线 的离心率为 .
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
55．【2020年新课标3卷文科】设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=
x，则C的离心率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知可得 ，结合双曲线中 的关系，即可求解.
【详解】
由双曲线方程 可得其焦点在 轴上，
因为其一条渐近线为 ，
所以 ， .故答案为：
【点睛】
本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断
焦点所在位置，属于基础题.
56．【2020年新高考1卷（山东卷）】斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与
C交于A，B两点，则 =________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消
去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点
弦长转化求得结果.
【详解】
∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.故答案为：
【点睛】
本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
57．【2019年新课标1卷理科】已知双曲线C： 的左、右焦点分别为
F，F，过F 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ， ，
1 2 1
则C的离心率为____________．
【答案】2.
【解析】
【分析】
通过向量关系得到 和 ，得到 ，结合双曲线的渐近线可得
从而由 可求离心率.
【详解】
如图，由 得 又 得OA是三角形 的中位线，即
由 ，得 则 有 ，
又OA与OB都是渐近线，得 又 ，得
．又渐近线OB的斜率为 ，所以该双曲线的
离心率为 ．
【点睛】
本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算
素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
58．【2019年新课标3卷理科】设 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点
且在第一象限.若 为等腰三角形，则 的坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义分别求出 ，设出 的坐标，结合三角形面积可求出 的坐标.
【详解】由已知可得 ，
又 为 上一点且在第一象限, 为等腰三角形，
．∴ ．
设点 的坐标为 ，则 ，
又 ，解得 ，
，解得 （ 舍去），
的坐标为 ．
【点睛】
本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落
实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
59．【2018年新课标1卷文科】直线 与圆 交于 两点，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直
线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，
利用勾股定理求得弦长.
【详解】
根据题意，圆的方程可化为 ，
所以圆的圆心为 ，且半径是 ，根据点到直线的距离公式可以求得 ，
结合圆中的特殊三角形，可知 ，故答案为 .
【点睛】
该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角
形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.
60．【2018年新课标3卷理科】已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率
为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】
详解：设
则
所以
所以
取AB中点 ,分别过点A,B作准线 的垂线，垂足分别为
因为 ,
，
因为M’为AB中点，
所以MM’平行于x轴
因为M(-1,1)所以 ，则 即
故答案为2.
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设 ，利
用点差法得到 ，取AB中点 , 分别过点A,B作准线 的
垂线，垂足分别为 ，由抛物线的性质得到 ，进而得到斜率．
