文档内容
专题 02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：求线面角.............................................................................................2
题型二：已知线面角求参数..............................................................................5
题型三：求线面角最值（范围）.......................................................................8
三、专项训练.........................................................................................................10
一、必备秘籍
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面
内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线 是平面 的一条斜线，斜足为 ，斜线上一点 在平面 上的射影为 ，则直线 是斜
线 在平面 上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线
与平面所成角的范围为 ；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为 ；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为 .3、向量法
设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则
， .
二、典型题型
题型一：求线面角
1．（22·23上·河南·模拟预测）在三棱台 中， 平面ABC， ，
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)记 的中点为M，过M的直线分别与直线 ， 交于P，Q，求直线PQ与平面 所成角的正
弦值．2．（22·23上·河南·模拟预测）已知 中， ， ， ， ，将
沿 折起，使点A到点 处， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
3．（23·24·柳州·模拟预测）如图，三棱柱 的底面 是正三角形，侧面 是菱形，平
面 平面 ， 分别是棱 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.4．（23·24上·南充·模拟预测）如图所示，在圆锥 中， 为圆锥的顶点， 为底面圆圆心， 是圆
的直径， 为底面圆周上一点，四边形 是矩形．
(1)若点 是 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
5．（23·24上·浙江·一模）如图，多面体 中，四边形 为正方形，平面 平面
， ， ， ， ， 与 交于点 ．
(1)若 是 中点，求证： ；
(2)求直线 和平面 所成角的正弦值．题型二：已知线面角求参数
1．（22·23下·抚顺·模拟预测）如图，在几何体ABCDEF中， 平面ABC， ，侧面
ABFE为正方形， ，M为AB的中点， ．
(1)证明： ；
(2)若直线MF与平面DME所成角的正弦值为 ，求实数λ的值．
2．（22·23下·江苏·一模）在三棱柱 中，平面 平面 ，侧面 为菱形，
， ， ， 是 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)点 在线段 上（异于点 ， ）， 与平面 所成角为 ，求 的值.3．（22·23下·广州·三模）如图，四棱锥 的底面为正方形， ， 平面 ，
分别是线段 的中点， 是线段 上的一点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，且 点不是线段 的中点，求三棱锥 体积.
4．（22·23·厦门·模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形 为筝
形，其对角线交点为 ，将 沿 折到 的位置，形成三棱锥
．
(1)求 到平面 的距离；
(2)当 时，在棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．5．（22·23·万州·模拟预测）如图1所示，在四边形 中， ， 为 上一点，
， ，将四边形 沿 折起，使得 ，得到如图2所示的四棱
锥．
(1)若平面 平面 ，证明： ；
(2)点 是棱 上一动点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
6．（22·23下·荆门·模拟预测）在三棱柱 中，四边形 是菱形， ，平面
平面 ，平面 与平面 的交线为 .
(1)证明： ；
(2)已知 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，
求 的长度；若不存在，说明理由.题型三：求线面角最值（范围）
1．（22·23下·乐山·三模）在直三棱柱 中， ， ，点P满足
，其中 ，则直线AP与平面 所成角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（21·22下·山东·模拟预测）如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面 平面
为正三角形，E，F分别是 上的动点.
(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.3．（20·21下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台 中，底面 是边长为2的正三角形，侧面
为等腰梯形，且 ， 为 的中点．
（1）证明： ；
（2）记二面角 的大小为 ， 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值
范围．
4．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱 的底面边长为1，高为 ， 为线段
上的动点.
(1)求证： 平面 ；(2)设直线 与平面 所成的角为 ，求 的取值范围.
5．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥 中， ， ，平面 平面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ， ， 与平面 所成的角为 ，求 的最大值.
三、专项训练
一、单选题
1．（22·23下·乐山·三模）在直三棱柱 中， ， ，点P满足
，其中 ，则直线AP与平面 所成角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23·24上·亳州·阶段练习）将边长为1的正方形 及其内部绕 旋转一周形成圆柱，如图，
长为 ， 长为 ，其中 与C在平面 的同侧，则直线 与平面 所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23·24上·泰安·阶段练习）三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， ，N
是BC的中点，点P在 上，且满足 ，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
4．（22·23上·江西·阶段练习）如图，在长方体 中， ， ， 为线段
上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值取最大值时， （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（22·23上·厦门·期末）正方体 中，E为线段 的中点，则直线 与平面 所成
角的正弦值为 ．6．（23·24上·济宁·阶段练习）已知正方体 的棱长为1，H为棱 上的动点，若 平
面 ，则直线CD与平面 所成角的正弦值的取值范围为
7．（21·22·全国·单元测试）如图所示，在正方体 中，AB＝3，M是侧面 内的动
点，满足 ，若AM与平面 所成的角 ，则 的最大值为 .
8．（22·23上·宁波·阶段练习）已知圆柱 中，点 在圆 上， ， ，点 、 在圆
上，且满足 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
9．（21·22下·绵阳·期末）在正方体 中，点Р在侧面 (包括边界)上运动，满足
记直线 与平面 所成角为 ，则 的取值范围是
三、解答题
10．（21·22下·山东·模拟预测）如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面 平面
为正三角形，E，F分别是 上的动点.(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.
11．（20·21下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台 中，底面 是边长为2的正三角形，侧
面 为等腰梯形，且 ， 为 的中点．
（1）证明： ；
（2）记二面角 的大小为 ， 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值
范围．12．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱 的底面边长为1，高为 ， 为线段
上的动点.
(1)求证： 平面 ；
(2)设直线 与平面 所成的角为 ，求 的取值范围.
13．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥 中， ， ，平面 平面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ， ， 与平面 所成的角为 ，求 的最大值.
14．（23·24上·沈阳·阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，且
M是 的中点， ， .(1)求证： 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的余弦值.
15．（23·24上·东莞·阶段练习）如图1，梯形 中， ，过 分别作 ，垂
足分别为 ，已知 ，将梯形 沿 折起，得空间几何体
，如图2．
(1)在图2中，若 ，证明： 平面 ．
(2)在图2中，若 ，在线段 上求一点 ，使 与平面 所成角的正弦值最大，并
求出这个最大值．16．（23·24上·河东·期中）如图，在四棱线 中，底面 为矩形， 平面
，点 是棱 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)设 的中点为 ，点 在棱 上（异于点 ），且 ，求直线 与平面 所成角的正
弦值．
17．（23·24上·广东·阶段练习）已知正方形 的边长为4（图1）， 、 分别为 、 的中点，
以 为棱将正方形 折成如图所示的二面角，且 ，点 是线段 上的动点（图2）．
(1)若 为 的中点， 为 的中点（图3），证明：直线 平面 ；
(2)是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ；若存在，求此时 点到平面 的距离，
若不存在，说明理由．18．（23·24上·西青·阶段练习）四棱柱 中， 底面
， 为 的中点．
(1)求证： ；
(2)求面 与面 夹角的余弦值
(3)设点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长．
19．（23·24上·温州·阶段练习）已知几何体 ，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE
均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上．
(1)求证： ；
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为 ？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说
明理由．20．（23·24上·湖南·阶段练习）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
.
(1)求证： ；
(2)若 ， 是线段 上的一点，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的
长.
