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第四课时 证明、探索性问题
题型一 探索性问题
例1 (2022·合肥模拟)已知F是抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，直线l：y＝k(x－
m)(m>0)与抛物线E交于A，B两点，与抛物线E的准线交于点N.
(1)若k＝1时，|AB|＝4，求抛物线E的方程；
(2)是否存在常数k，对于任意的正数m，都有|FA|·|FB|＝|FN|2？若存在，求出k的
值；若不存在，说明理由.
解 设A(x ，y )，B(x ，y ).
1 1 2 2
(1)由消去y得
k2x2－2(k2m＋p)x＋k2m2＝0.
∵l与抛物线E交于两点，∴k≠0.
又∵m>0，p>0，
∴Δ＝8k2mp＋4p2>0恒成立，
∴
当k＝1时，|AB|＝|x －x |
1 2
＝2＝4，
化简得(p＋2m＋2)(p－2)＝0.
∵p>0，m>0，∴p＝2.
∴抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)假设存在常数k满足题意.∵抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，
∴其焦点为F，准线为x＝－，
∴N，
从而|FN|2＝p2＋k2.
由抛物线的定义得，
|FA|＝x ＋，|FB|＝x ＋，
1 2
∴|FA|·|FB|＝·
＝x x ＋(x ＋x )＋
1 2 1 2
＝＋.
由|FA|·|FB|＝|FN|2得
＋＝p2＋k2，
即(k2－1)＝0.
∵>0，>0，
∴k2－1＝0，解得k＝±1.
∴存在k＝±1，使得|FA|·|FB|＝|FN|2对于任意的正数m都成立.
感悟提升 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假
设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则
应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
训练 1 (2022·全国名校联考)已知椭圆 Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦点为 F(c，0)
(c>0)，离心率为，经过F且垂直于x轴的直线交Γ于第一象限的点M，O为坐标
原点，且|OM|＝.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)设不经过原点O且斜率为的直线交椭圆Γ于A，B两点，A，B关于原点O对
称的点分别是C，D，试判断四边形ABCD的面积有没有最大值.若有，请求出最
大值；若没有，请说明理由.
解 (1)由题意知＝，即a2＝c2，①
又由a2＝b2＋c2，可得b2＝.②
联立解得
则点M.
则|OM|＝＝.③联立①②③，解得c＝，a＝2，b＝1.
故椭圆Γ的方程为＋y2＝1.
(2)四边形ABCD的面积有最大值，理由如下：
设直线AB的方程为y＝x＋m(m≠0)，
联立消去y得
2x2＋4mx＋4(m2－1)＝0，
由题意得Δ＝(4m)2－4×2×4(m2－1)＝16(2－m2)>0，解得－0)的焦点为F，过F且斜率为1的
直线与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点D(1，2)的直线l交C于点M，N，点Q为MN的中点，QR⊥x轴交C于
点R，且QR＝RT，证明：动点T在定直线上.
(1)解 设A(x ，y )，B(x ，y ).
1 1 2 2因为F，所以过点F且斜率为1的直线的方程为y＝x＋.
由消去y并整理，得
x2－2px－p2＝0，易知Δ>0.
则x ＋x ＝2p，y ＋y ＝x ＋x ＋p＝3p，
1 2 1 2 1 2
所以|AB|＝y ＋y ＋p＝4p＝8，解得p＝2.
1 2
于是抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)证明 法一 易知直线l的斜率存在，
设l的方程为y＝k(x－1)＋2，Q(x ，y )，
0 0
M，N.
由消去y并整理，得
x2－4kx＋4k－8＝0.
则Δ＝(－4k)2－4(4k－8)＝16(k2－k＋2)>0，
x ＋x ＝4k，x x ＝4k－8，
3 4 3 4
所以x ＝＝2k，y ＝k(x －1)＋2＝2k2－k＋2，即Q(2k，2k2－k＋2).
0 0 0
由点R在曲线C上，QR⊥x轴，且QR＝RT，
得R(2k，k2)，R为QT的中点，
所以T(2k，k－2).
因为2k－2(k－2)－4＝0，
所以动点T在定直线x－2y－4＝0上.
法二 设T(x，y)，M，N.
由得(x ＋x )(x －x )＝4(y －y )，
3 4 3 4 3 4
所以＝.
设Q(x，y )，则直线MN的斜率k＝，
5
又＝k，点Q的横坐标x＝，
所以＝，所以y ＝x(x－1)＋2.
5
由QR＝RT知点R为QT的中点，
所以R.
又点R在C上，将代入C的方程得x2＝2(y ＋y)，即－x＋4＋2y＝0，
5
所以动点T在定直线x－2y－4＝0上.
感悟提升 圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定
点等.
(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算
证明.
训练2 已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y
＝x上的圆E与x轴相切，且点E，F关于点M(－1，0)对称.
(1)求E和Γ的标准方程；
(2)过点M的直线l与圆E交于A，B两点，与Γ交于C，D两点，求证：|CD|>|
AB|.
(1)解 设Γ的标准方程为x2＝2py，p>0，
则F.
已知E在直线y＝x上，故可设E(2a，a).
因为E，F关于M(－1，0)对称，
所以解得
所以抛物线Γ的标准方程为x2＝4y.
因为圆E与x轴相切，故半径r＝|a|＝1，
所以圆E的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.
(2)证明 由题意知，直线l的斜率存在.
设l的斜率为k，那么其方程为y＝k(x＋1)(k≠0).
则E(－2，－1)到l的距离d＝，
因为l与E交于A，B两点，所以d20，
所以|AB|＝2＝2.
由消去y并整理得，
x2－4kx－4k＝0.
Δ＝16k2＋16k>0恒成立.
设C(x ，y )，D(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝4k，x x ＝－4k，
1 2 1 2
那么|CD|＝|x －x |
1 2＝·
＝4·，
所以＝
＝>＝2，
所以|CD|2>2|AB|2，即|CD|>|AB|.
1.如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在
点N的下方)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：
∠ANM＝∠BNM.
(1)解 设圆C的半径为r(r>0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r).
因为|MN|＝3，所以r2＝＋22＝，
所以r＝，圆C的方程为
(x－2)2＋＝.
(2)证明 把x＝0代入方程
(x－2)2＋＝，
解得y＝1或y＝4，即点M(0，1)，N(0，4).
①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0.
②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝kx＋1.
联立方程消去y得
(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0.
Δ＝16k2＋24(1＋2k2)>0恒成立，
设直线AB交椭圆于A(x ，y )，B(x ，y )两点，
1 1 2 2
则x ＋x ＝，x x ＝.
1 2 1 2
所以k ＋k ＝＋
AN BN＝＋＝
＝＝0.
所以∠ANM＝∠BNM.
综合①②知∠ANM＝∠BNM.
2.(2022·郑州调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，左、右顶点
分别为C，D，AC·AD＝－3，四边形ACBD的面积为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点M(0，3)，P，Q是椭圆上两个不重合的点(不同于点A，B)，且直线PA与
QB的斜率k，k 满足＝－2，证明：P，Q，M三点共线.
1
(1)解 由题意得A(0，b)，B(0，－b)，C(－a，0)，D(a，0)，
所以AC＝(－a，－b)，AD＝(a，－b)，
则AC·AD＝－a2＋b2＝－3.①
因为四边形ACBD的面积为|AB|·|CD|＝×2a×2b＝2ab，
所以2ab＝4，结合①可得a＝2，b＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明 由(1)得点A(0，1)，直线PA的方程为y＝kx＋1，
代入＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
所以x ＝－，
P
y ＝－＋1＝，
P
即点P.
因为＝－2，所以k ＝－2k，
1
又B(0，－1)，
所以直线QB的方程为y＝－2kx－1，
代入＋y2＝1，得(16k2＋1)x2＋16kx＝0，
所以x ＝－，
Q
y ＝－1＝，
Q
即点Q.
于是直线QM的斜率k ＝＝＝，
QM
直线PM的斜率k ＝＝＝，
PM
于是k ＝k ，即P，Q，M三点共线.
PM QM3.(2022·西安调研)已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)过两点(－2，0)，，抛物线C 的顶
1 2
点在坐标原点，焦点在x轴上，准线方程为x＝－1.
(1)求C ，C 的标准方程；
1 2
(2)请问是否存在直线l满足下列两个条件：①过C 的焦点F；②与C 交于不同
2 1
的两点M，N，且直线OM与ON(O为坐标原点)垂直.若存在，求出直线l的方程；
若不存在，请说明理由.
解 (1)把点(－2，0)，代入＋＝1，
得解得
故椭圆C 的标准方程为＋y2＝1.
1
因为抛物线C 的准线方程为x＝－1，
2
所以可设抛物线C 的标准方程为y2＝2px(p>0)，所以＝1，p＝2，
2
故抛物线C 的标准方程为y2＝4x.
2
(2)假设存在这样的直线l，
因为直线l过抛物线C 的焦点F(1，0)，
2
所以可设直线l的方程为x－1＝my，
直线l与C 的两个交点的坐标分别为
1
M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
由消去x，得
(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝16(m2＋3)>0，
所以y ＋y ＝，y y ＝，
1 2 1 2
所以x x ＝(1＋my )(1＋my )
1 2 1 2
＝1＋m(y ＋y )＋m2y y
1 2 1 2
＝1＋m·＋m2·＝，
由直线OM与ON垂直，得OM·ON＝0，
即x x ＋y y ＝0，
1 2 1 2
即＋＝0，解得m＝±.
所以假设成立，即存在满足条件的直线，直线l的方程为y＝2x－2或y＝－2x＋
2.
4.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心C在抛物线x2＝2py(p>0)上，圆C过原点且与抛物线的准线相切.
(1)求该抛物线的方程.
(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线
的切线，两条切线交于P点，则△PAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这
个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由.
解 (1)由已知可得圆心C(a，b)，半径r＝，焦点F，准线方程为y＝－.
因为圆C与抛物线的准线相切，
所以b＝－，且圆C过焦点F.
又圆C过原点，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，即b＝.
所以b＝－＝，求得p＝2.
于是抛物线的方程为x2＝4y.
(2)△PAB的面积有最小值，理由如下：
由抛物线方程x2＝4y知，F(0，1).
易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝kx＋1.
由消去y并整理，得x2－4kx－4＝0，
Δ＝(－4k)2－4×(－4)＝16k2＋16>0，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝4k，x x ＝－4.
1 2 1 2
对y＝求导，得y′＝，
即直线AP的斜率k ＝，
AP
则直线AP的方程为y－y ＝(x－x )，
1 1
即y＝x－x.
同理可得直线BP的方程为y＝x－x.
设P(x ，y )，
0 0
联立直线AP与BP的方程，
可得即P(2k，－1).
|AB|＝|x －x |
1 2
＝·
＝·＝4(1＋k2)，
点P到直线AB的距离d＝＝2，
所以△PAB的面积S＝×4(1＋k2)×2＝4(1＋k2)≥4，
当且仅当k＝0时等号成立.
故△PAB面积的最小值为4，此时直线l的方程为y＝1.
