文档文本内容
第03 讲 三角函数的图象与性质
目录
01
考情解码·命题预警2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................3
知能解码........................................................................................................................3
知识点1 五点作图法................................................................................................................3
知识点2 正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质.......................................................4
知识点3 函数
的有关概念.........................................................................5
知识点4 三角函数的图象变换...............................................................................................5
题型破译........................................................................................................................3
题型1 求三角函数的定义域、值域（最值）......................................................................6
【方法技巧 三角函数值域的两种常见模型】
题型2 利用三角函数的值域（最值）求参数......................................................................8
题型3 三角函数的周期性.....................................................................................................11
【方法技巧 三角函数周期的处理】
题型4 三角函数的单调性.....................................................................................................13
【易错分析 单调性的注意事项】
题型5 三角函数的奇偶性.....................................................................................................16
题型6 三角函数的对称性.....................................................................................................18
题型7 三角函数的零点问题.................................................................................................21
题型8 三角函数的图象变换.................................................................................................25
题型9 图象变换中的最小平移.............................................................................................27
题型10 由图象确定正（余）弦函数的解析式.................................................................29
【方法技巧 求解析式的常用方法】
题型11 三角函数的实际应用..............................................................................................33
04 真题溯源·考向感知......................................................................................................38
05 课本典例·高考素材......................................................................................................44
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）三角函数的图象
与性质
（2）三角函数图象的
平移变换
（3）三角函数的实际
应用
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷T4 （5
分）
全国二卷T15
（15 分）
北京卷T8 （5
分）
全国甲卷（文）T13（5
分）
全国 I 卷T7（5 分）
全国II 卷T9（6 分）
北京卷T6（5 分）
天津卷T7（5 分）
全国甲卷（文）T12（5
分）
全国甲卷（理）T10（5
分）
全国甲卷（文）T10（5
分）
全国甲卷（理）T6（5
分）
全国 I 卷T15（5 分）
全国 II 卷T16（5 分）
考情分析：
三角函数图象与性质在高考中属于高频考点，考查形式灵活多样。选择题和填空题常单独考查，涉及图象的
识别、变换（如平移、伸缩、对称），以及单调性、周期性、奇偶性、最值等性质的应用，例如由函数解析式判
断图象，或根据图象特征求参数值，题目难度多为中等，侧重基础概念与基本技能的考查。
该考点也常与三角恒等变换、解三角形等知识结合，有时还会融入实际问题，考查学生建模能力和利用性质
分析问题的能力。这类题目综合性稍强，但整体难度仍处于中等水平，强调对知识的综合运用和逻辑推理能力的
检验，是高考中得分的关键板块之一。
复习目标：
1.能画出正弦函数、余弦函数、正切函数、
的图象.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
3.了解参数
对函数图象变化的影响.
4.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型
知识点1 五点作图法
“五点法”作图原理：
在正弦函数
的图象上，五个关键点是：
,
在余弦函数
的图象上，五个关键点是：
，
,
自主检测用“五点法”画
的图象时，下列哪个点不是关键点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
五点作图法在
内的五个关键点为
，可知
不是关键点．
故选：A
知识点2 正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
最值
当
时，
；
当
时，
当
时，
；
当
时，
．
既无最大值，也无最小值
周期性
最小正周期为
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上
是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在
上
是增函数．
对称性
对称中心
；
对称轴
，
既是中心对称图形又是轴对称图
形.
对称中心
；
对称轴
，
既是中心对称图形又是轴
对称中心
；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对称
图形.
对称图形.
自主检测下列函数中，以2 为最小正周期且是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A，因为
，
所以函数
为奇函数，故A 不符题意；
对于B，函数
的最小正周期
，
因为
，
所以函数
为偶函数，故B 符合题意；
对于C，因为
，
所以函数
为奇函数，故C 不符题意；
对于D，函数
的最小正周期
，故D 不符题意.
故选：B.
知识点3 函数
的有关概念
振幅
周期
频率
相位
初相
自主检测函数
的初始相位为 .
【答案】
【详解】因为函数为
，所以初始相位为
.
故答案为：
.
知识点4 三角函数的图象变换
由函数
的图象通过变换得到
的图象，有两种主要途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
方法一：（先平移后伸缩）
的图象
的图象
的图象
的图象
方法二：（先伸缩后平移）
的图象
的图象
的图象
的图象
注意：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量
而言的，即图象变换要看“自变量
”发生多大变化，
而不是看“角
”的变化．
自主检测要得到函数
的图象，只要将函数
的图象（ ）
A．向左平行移动
个单位
B．向左平行移动
个单位
C．向右平行移动
个单位
D．向右平行移动
个单位
【答案】B
【详解】要得到函数
的图象，只要将函数
的图象向左平行移动
个
单位,
故选：B
题型1 求三角函数的定义域、值域（最值）
例1-1 函数
的定义域为 ．
【答案】
【详解】由
，则
，
化简可得
，解得
.
故答案为：
.
例1-2 求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，
又函数
在区间
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，
，
所以函数最小值为0，最大值为1；所以函数的值域为
；
（2）
，
因为
，所以当
时，函数取最大值0；
当
时，函数取得最小值-4，
所以函数
的值域为
．
方法技巧 三角函数值域的两种常见模型
（1）形如
或
型,可先由定义域求得
的范围,然后求得
(或
)的范围,最后求得最值.
（2）形如
型,可利用换元思想,设
,转化为二次函数
求最值, 的范围需要根据定义域来确定.
【变式1-1】函数
的定义域为
【答案】
【详解】由
，得
，
则
，即
．
所以函数
的定义域为
．
故答案为：
.
【变式1-2】函数
是（ ）
A．奇函数，且最小值为
B．偶函数，且最小值为
C．奇函数，且最小值为
D．偶函数，且最小值为
【答案】B
【详解】由题意，函数
的定义域为
，
则
，
故函数
为偶函数，
因为
，
且
，
所以当
时，函数
的最小值为
.
故选：B.
【变式1-3】在平面直角坐标系
中，
，
与原点
距离最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】由已知得点
到原点的距离为
因为
，所以
，即
，
所以点
到原点的距离的最大值为
，
故选：
.
题型2 利用三角函数的值域（最值）求参数
例2-1 若
的最大值为3，最小值为1，则ab 的值为（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【答案】D
【详解】当
时，则
得
此时
；
当
时，
得
此时
；
综上所述，
，
故选：D
例2-2 已知函数
，
既有最小值也有最大值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，函数
，
既有最小值也有最大值，
①当函数
最值取得1，最小值为
时，
结合函数
图象可得
，即
；
②当
取得最大值为
，最小值为－1 时，
结合函数图象可得
，
解得
，
综上所述，实数
的取值范围为
或
．
故选：D.
【变式2-1】（ 2025·上海闵行·二模）已知函数
在区间
上既有最大值1 又有最小
值
，则关于实数
的取值，以下不可能的是（ ）．
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
【答案】D
【详解】由题意可得函数的周期为
，
最大值点满足
，解得
，
最小值点满足
，解得
，
因为函数
在区间
上既有最大值又有最小值，区间的长度为9，
对于A，若
，当
时，最大值点为
，最小值点为2032，此时位于区间
内，
故A 正确；
对于B，若
，当
时，最大值点为
，最小值点为2032，此时位于区间
内，
故B 正确；
对于C，若
，当
时，最大值点为
，最小值点为2032，此时位于区间
内，
故C 正确；
对于D，若
，当
时，最大值点为
，当
时，最大值点为2038，此时不位于区间
内，故D 错误.
故选：D
【变式2-2】若函数
在
上的值域为
，则
的取值范围为
.
【答案】
【详解】由
，则
，
的值域为
，则
，解得
.
故答案为：
.
【变式2-3】已知函数
，若对任意
在区间
上的值域
均为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
又
，所以
，
因为对任意
在区间
上的值域均为
，
所以区间长度
必须大于一个周期，即
，解得
，
即
的取值范围为
.
故选：A
题型3 三角函数的周期性
例3-1 下列函数中，最小正周期为
的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于选项A，利用定义法，
，故A 不符合题意．
对于选项B，作出函数
的图象，由图可知，
函数
的最小正周期为
，故选项B 符合题意．
对于选项C，根据公式法，
的最小正周期为
，故选项C 不符合题意．
对于选项D，依题可得函数
，其图象如图所示．
由图可知，函数
不是周期函数，故选项D 不符合题意．
故选：B
例3-2 已知函数
，
，
与
的最
小正周期分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，则
，最小正周期为
，故AB 错误，
，若其周期为
，由
，
，
则
，故C 错误，D 正确.
故选：D
【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了特殊值法的应用，属于中档题.
方法技巧 三角函数周期的处理
（1）对形如
或
的周期为
，对形如
的周
期为
；
（2）对形如
或
的周期为
，对形如
的
周期为
【变式3-1】函数
图象的相邻两条对称轴之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
由正弦函数的性质知，相邻两条对称轴之间的距离即为半个周期，而
，
所以函数
图象的相邻两条对称轴之间的距离为
.
故选：A．
【变式3-2】求函数
的最小正周期．
【答案】
【详解】化简函数
，
由公式得：
的最小正周期
，
的图象为
的图象位于
轴下方部分向上进行翻折，故周期减半，
∴
的最小正周期为
．
【变式3-3】求函数
的最小正周期．
【答案】
【详解】法一：函数
的图象如下：
由图可知：函数的最小正周期为
；
法二：
，
且其他比
小的正值
均不满足
，
故函数的最小正周期为
；
题型4 三角函数的单调性
例4-1 下列四个函数中，以
为最小正周期，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，将
函数图象上的每一个点，横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，可得
的函数图象，如图：
由图可知
在区间
上单调递增，但其最小正周期为
，故A 错误；
对于B，因
在区间
上单调递减，且其最小正周期为
，故B 错误；
对于C，因
在区间
上单调递增，且其最小正周期为
，故C 正确；
对于D，将正弦函数图象位于
轴以下的部分翻折至
轴以上，可得出
的函数图象，
如图：
由图可知，
在区间
上单调递减，且其最小正周期为
，故D 错误.
故选：C.
例4-2（ 2025·辽宁·二模）已知函数
在区间
上单调，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题可知
的最小正周期为
，因为
在区间
上单调，
所以
，则
，解得
，
当
时，
，
且
，
，
所以
，解得
，结合
，得
的取值范围为
．
故选：D．
【变式4-1】函数
的单调增区间为 .
【答案】
【详解】函数
，即
，
则
，解得
，
所以函数
的单调增区间为
.
故答案为：
【变式4-2】已知当
时，函数
不单调，其中
，则实数
可能的取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
单调递增，
且函数
不单调，结合
,
，
，
故选：D
【变式4-3】若
在
上是减函数，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
；
令
，解得：
，
的单调递减区间为
，
，
，
，
的最大值为
.
故选：B.
【变式4-4】若函数
在
上单调递减，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【详解】令
，因为
，所以
，
因为函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递减，
根据余弦函数
在
上是单调递减的。
则有
，解得
，所以
的最大值为
．
故选：A.
题型5 三角函数的奇偶性
例5-1 函数
是（ ）
A．最小正周期为
的奇函数
B．最小正周期为
的偶函数
C．最小正周期为
的奇函数
D．最小正周期为
的偶函数
【答案】D
【详解】
，
所以函数的最小正周期为
，
又
，所以
为偶函数.
故选：D.
例5-2（多选）已知函数
，若函数
为偶函数，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】由题意知
，
所以
，又函数
为偶函数，
所以
，
，即
，
，
所以当
时，
；当
时，
.
故选:BD.
易错分析 单调性的注意事项
在求形如
的函数的单调区间时，
若①
时,一般用诱导公式转化为
后求解;
②若
,则单调性相反.
【变式5-1】函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
的定义域为
，
，即函数
为奇函数，排除BC 选项，
由
可得
或
，解得
，
故函数
有无数个零点，排除A 选项.
故选：D.
【变式5-2】已知函数
，若
，则
．
【答案】
【详解】因为
，且
，所以
，
所以
，所以
，
所以
.
故答案为：.
【变式5-3】已知常数
，函数
为偶函数，则
.
【答案】
【详解】函数
的定义域为R，由函数
为偶函数，
得
，
恒成立，
整理得
，而
不恒为0，则
，
所以
.
故答案为：
题型6 三角函数的对称性
例6-1 已知函数
的最小正周期为
，则
图象的对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】已知
,则
，可得
，
根据余弦函数对称轴方程得
，解得得
．
故选：B.
例6-2 已知函数
的图象关于点
对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可得
，
则
，解得
.
因为
，所以
时，
取得最小值
.
故选：D.
【变式6-1】若点
是函数
图像的一个对称中心，则
的最小值为 .
【答案】
【详解】
是
图象的一个对称中心，
，
，
，
，
当
时，
，
故答案为：
【变式6-2】已知函数
在
上单调递增,且其图像关于点
对称,则
．
【答案】
/0.5
【详解】
在
上单调递增
又
关于点
对称
,
当
时,
,
故答案为：
【变式6-3】函数
在
内恰有两个对称中心，
，则
.
【答案】2 或
【详解】令
，
若
，由
，则
，
因为函数
在
内恰有两个对称中心，
所以
，
又
，
所以
，
所以
.
若
，则
，
由函数
在
内恰有两个对称中心，
所以
，又
，
.
综上，
或
.
故答案为：
或
.
【变式6-4】已知直线
与点
分别是函数
的图象在同一周期
内的对称轴和对称中心，则
.
【答案】
【详解】依题意，
，或
，
或
，或
，
解得
或
或
或
，
，
而
，则
，
，所以
.
故答案为：
题型7 三角函数的零点问题
例7-1 已知函数
在
上有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，即
．因为
，所以
，因此本
题即求
有两个实数根时a 的取值范围．由
与
的图象（如
图）知
．
例7-2 已知函数
，则
的所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由于
，故
，
故由题意转化为
在区间
上有两个不相等的实数根
，
令
，则
在
上有两个不相等的实数根，
故
，则函数
与
在
上有两个不同的交点，
由正弦函数的性质
关于
对称，则
，解得
，
故
，即
，所以
的所有零点之和为
.
故选：A.
【变式7-1】已知函数
在区间
上单调递增且存在零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设函数
的最小正周期为
，因为
在区间
上单调递增，
所以
，解得
，所以
．
令
，则当
时，
．
则
在区间
上单调递增且存在零点等价于
在
上单调递增且存在零
点，
所以
，解得
，
又
，当
时，得
；
时，得
，其他
值，均不合要求，
所以
或
，所以
的取值范围是
.
故选：C.
【变式7-2】设函数
，若
在区间
上有且仅有一个零
点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【详解】由函数
，
可得
，
则
，
所以函数
是
上的偶函数，
因为函数
在
上有且仅有一个零点，所以
，即
，解得
．
故选：D．
【变式7-3】已知函数
在区间
上有且仅有3 个零点，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对
进行化简：
令
，即
，则
．
根据正弦函数的性质，所以
或
，解得
或
．
因为
且
，
当
时，
，
；
当
时，
，
．
如图函数
和
大致图像，
由于函数
在区间
上有且仅有个零点，则需满足
，解不等式组得到可得
．
所以实数
的取值范围是
．
故选：D．
【变式7-4】函数
在
上的零点从小到大依次为
，则
的值为 .
【答案】
【详解】令
，则
，
当
时，
，
由题意，函数
在
上的零点从小到大依次为
，
则转化为函数
与
在
上的交点问题，
且交点的横坐标从小到大依次为
，
画出函数
与
在
上的大致图象，
由图象可知，函数
与
有4 个交点，即
，
又
，
，
，
则
，
，
，
则
.
故答案为：
.
题型8 三角函数的图象变换
例8-1 要得到函数
的图象，只需将函数
的图象上的所有点（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移π/6 个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】A
【详解】因为
，所以要得到函数
的图象，只需由
图象上所有点的横坐标向左平移
个单位长度，
故选：A
例8-2 将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，得到
的图象，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度，可得函数
的图象；
再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，可得
的图象.
故选：B.
【变式8-1】（多选）将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
的最小正周期为
B．
是偶函数
C．
的图象关于直线
轴对称
D．
在
上单调递增
【答案】AD
【详解】A 选项，
，
故
的最小正周期为
，A 正确；
B 选项，
，故
不是偶函数，B 错误；
C 选项，
，故
不是
的对称轴，C 错误；
D 选项，
时，
，
由于
在
上单调递增，故
在
上单调递增，D 正确.
故选：AD
【变式8-2】为了得到函数
的图像，只要把正弦函数上所有点（）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】C
【详解】
，
只要把
上所有点向左平移
即可得到
故选：C
【变式8-3】已知函数
的图象是由函数
的图象向左平移
个单位长度得到的，
若
是奇函数，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
的图象向左平移
个单位长度得到
，
又
是奇函数，所以
，
得
，
，当
时，
.
故选：D.
题型9 图象变换中的最小平移
例9-1（ 2025·天津·二模）已知函数
，将
的图象向左平移
个单位长度
得到函数
的图象，函数
的一个对称轴为
，则
的最小取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将
向左平移
个单位长度得到
，
又函数
的一个对称轴为
，所以
，
解得
，当
时
，所以
的最小取值为
.
故选：B
例9-2（ 2025·安徽安庆·二模）若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于原
点成中心对称，则
的最小正值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
将函数
的图象向右平移
个单位得
，
由该函数为奇函数可知
，
即
，所以
的最小正值为
.
故选：A
【变式9-1】将函数
的图象向右平移
个单位长度，可得函数
的图象，则
的最小正值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
故图象向右平移
个单位长度得到
，
又
，
令
，
，解得
，
，
当
时，
取得最小正值，最小正值为
.
故选：A
【变式9-2】若函数
的图象向左平移
个单位长度后，其图象与函数
的图象重合，则
的最小正数值为 ．
【答案】
/
【详解】因为
，
将函数
的图象向左平移
个单位长度
得到
的图象，
依题意得
，所以
，
所以
的最小正数值为
.
故答案为：
【变式9-3】已知
，
，函数
，
．
(1)求函数
的对称轴方程；
(2)将函数
按照的方向平移后得到的函数是奇函数，求
最小时的．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
；
对称轴为
，即
；
（2）先将
向下平移2 个单位，得到
，再将
向左平移
个单位得到奇函数
，
，欲使得
最小，则
，即
；
综上，
得对称轴方程为
，
.
题型10 由图象确定正（余）弦函数的解析式
例10-1（多选）已知函数
的部分图象如图所示，则下列选项错误的是
（ ）
A．
B．
C．函数
的图象关于
中心对称
D．函数
的图象关于直线
对称
【答案】BD
【详解】由图象可知
，则
，
则
，
．
又
，则
，故A 正确；
又
，故B 错误；
因为
，故C 正确；
因为
，故D 错误；
故选：BD．
例10-2 函数
的部分图象如图中实线所示，
为函数
与
轴的交点.圆
与
的图象从左至右依次交于A，B，C，D，E，F 六点，且
在
轴上，则下列结论错
误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据
的图象以及圆
的对称性，可得A，F 关于
对称，且AF 为圆
的直径，
，故A 正确；
同理B，E 关于
对称，
，
故C 正确；
，故D 正确.
由题意可得A，F 关于
对称，B，E 关于
对称，所以
为圆的直径，
而
，
，故
，
若
，则
，故
，
而
，故
，
故
，而
，故
，故矛盾，故
不垂直于
，
故
，故B 错误.
故选：B.
方法技巧 求解析式的常用方法
（1）如果从图象可直接确定A 和
,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“
”注意
正确判断哪一点是“第一零点”)求得
或选取最值点代入公式
,求
.
（2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,
.这里需要注意的是,要认清所
选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式.
【变式10-1】已知函数
在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在区间
上的最值及对应的
的取值；
(3)当
时，写出函数
的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
的最大值为
，此时
，
的小值为
，此时
(3)
【详解】（1）由图可知
或
，
，
又
、
，则
，
，
则有
，解得
，
又
，则
，故
；
（2）当
时，
，
则
，故
，
即函数
在区间
上的最大值为
，
此时有
，即
；
函数
在区间
上的最小值为
，
此时有
，即
；
（3）当
时，
，
则当
，即
时，
单调递增，
即当
时，函数
的单调递增区间为
.
【变式10-2】如图，函数
有三个相邻的零点
，
，
，且
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
．
故选：B.
【变式10-3】（多选）函数
的部分图象如图所示，
的图象与y 轴
交于M 点，与x 轴交于C 点，点N 在
图象上，点M、N 关于点C 对称，下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期是
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在
单调递增
D．函数
的图象向右平移
后，得到函数
的图象，则
为奇函数
【答案】ABD
【详解】对A：由点M、N 关于点C 对称，则
，故A 正确；
对B：
，又
，则
，
，则
，
又
，则
，故
，
当
时，
，
故函数
的图象关于点
对称，故B 正确；
对C：当
时，
，
由
不在
上单调递增，
故
不在
上单调递增，故C 错误；
对D：
，
定义域为
，且
，
故
为奇函数，故D 正确.
故选：ABD.
题型11 三角函数的实际应用
例11-1 时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花
时间与气温密切相关，开花时所需气温约为
，气温上升到约
开始闭合，在花期内，时钟花每天
开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6 时~16 时的气温
随时间
（时）的变化趋势近似满足函数
，则在6 时~16 时中，赏花的最佳时段大致为（ ）
A．7.3 时~11.3 时B．8.7 时~11.3 时
C．7.3 时~12.7 时
D．8.7 时~12.7 时
【答案】B
【详解】当
时，
，由
，得
，
所以
（时）．由
，得
，所以
（时）．故在6 时~16 时中，观花的最佳时段约为8.7 时~11.3 时．
例11-2 已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min 转一圈，摩天轮上
点P 的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P 离地面的高度h 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】点
的初始位置在最低点，设点
从最低点沿逆时针方向匀速转动，
在
内所转过的角度为
，则以
为始边，
为终边的角为
，
因此点
的纵坐标
，
所以点
离地面的高度
.
故选：B
【变式11-1】声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型
是函数
．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为
，部分图像如图所示，图像
过点
．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数
，其中
，则
．
【答案】
【详解】由函数
，
因为
，可得
，
所以
，可得
，
所以
，即
，
又由函数
的图象过点
，可得
，
即
，可得
，即
，即
，
因为
，所以
为的倍数，所以
或
，
当
时，可得
，
则
，
此时是函数
的一个周期，不符合图象；
当
时，可得
，
则
此时
是函数
的一个周期，符合函数
的图象，所以
.
故答案为：.
【变式11-2】（多选）三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型，三相交流电插座上有四
个插孔，其中中性线（零线）电压为
，三根相线（火线）电压分别为
，
，
，其中
（单位：
），
（单位：
）．
三根相线间的电压叫线电压，记
，
，
，线电压的最大值分别为
，
，
，有效值分别为
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．三根相线电压的频率均为50（单位：
）
B．
C．当某一线电压达到最大值时，另两个线电压均取得最小值
D．线电压的有效值
（单位：
）
【答案】ABD
【详解】选项A： 频率
与角频率
的关系是
.
给定
，所以
，
所有相线电压的角频率相同，只是相位不同，所以频率都是50 Hz，故A 正确；
选项B：计算三个电压的和
计算括号内的部分.
设
，则
，
∴
，故B 正确；
选项C：
，
所以
，同理计算
，
，
假设
达到最大值，即
，设
，则当
时，
（最大值），
，
此时
，
均不是取得最小值，故C 错误；
选项D：由上可知，线电压的最大值分别为
，
，
，都等于
，
有效值
，
，
都等于
，故D 正确.
故选：ABD.
【变式11-3】（多选）中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从
而达到记录里程的目的．如图1 所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对
半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、
中、小平轮和立轮的半径分别为
．随着转动，以下说法正确的是（ ）
A．小平轮转2 圈，大平轮转1 圈
B．AB 两点距离最大为18
C．AB 两点距离最小为10
D．若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为
【答案】ABD
【详解】对于A，单位时间内，三个平轮的弧长满足
，
而大、中、小平轮和立轮的半径分别为
，
因为小平轮转2 圈，大平轮转1 圈的弧长分别为
，
满足
，所以小平轮转2 圈，大平轮正好转1 圈，故A 正确；
建立如图所示平面直角坐标系，
利用半径是
倍关系，则转过的角度是一半的关系，
可设
，则
，
即
，
，
令
，
，
当
时，
取得最小值，
当
时，
取得最大值为
，
当
时，
取值为
，不为最小值，故B 正确．C 错误；
对于D．立轮直径为2，小平轮直径为4．所以最大值为
，故D 正确．
故选：ABD．
1．（2023·全国甲卷·高考真题）函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度
得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】因为
向左平移
个单位所得函数为
，
所以
，
而
显然过
与
两点，
作出
与
的部分大致图像如下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以由图可知，
与
的交点个数为.
故选：C.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
在区间
单调递增，
所以
，且
，则
，
，
当
时，
取得最小值，则
，
，
则
，
，不妨取
，则
，
则
，
故选：D.
3．（2024·天津·高考真题）已知函数
的最小正周期为
．则
在区间
上的最小值是（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】D
【详解】因为函数
的最小正周期为
，则
，所以
，
即
，当
时，
，
所以当
，即
时，
故选：D
4．（2025·全国一卷·高考真题）若点
是函数
的图像的一个对称中心，则a 的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据正切函数的性质，
的对称中心横坐标满足
，
即
的对称中心是
，
即
，
又
，则
时
最小，最小值是
，
即
.
故选：B
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
6．（2023·上海·高考真题）已知
，函数
在区间
上最小值为，在区间
上的最
小值为
变化时，下列不可能的是（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】C
【详解】因为函数
的最小正周期是
，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即
可，
当
时，
，
，而
，
，
因此
在
上的最小值
，在
上的最小值
，A 可能；
当
时，
，
，
因此
在
上的最小值
，在
上的最小值
，B 可能；
当
时，
，
，
因此
在
上的最小值
，在
上的最小值
，D 可能；
对于C，若
，则
，
若
，则区间
的长度
，并且
且
，
即
且
与
矛盾，所以C 不可能.
故选：C
【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值.
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
，如图A，B 是直线
与曲线
的两个交点，若
，则
．
【答案】
【详解】设
，由
可得
，
由
可知，
或
，
，由图可知，
，即
，
．
因为
，所以
，即
，
．
所以
，
所以
或
，
又因为
，所以
，
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查根据图象求出
以及函数
的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性
质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
8．（2023·北京·高考真题）设函数
．
(1)若
，求
的值．
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)
.
(2)条件①不能使函数
存在；条件②或条件③可解得
，
.
【详解】（1）因为
所以
，
因为
，所以
.
（2）因为
，
所以
，所以
的最大值为，最小值为
.
若选条件①：因为
的最大值为，最小值为
，所以
无解，故条件①不能使
函数
存在；
若选条件②：因为
在
上单调递增，且
，
所以
,所以
,
,
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
，因为
，所以
.
所以
，
；
若选条件③：因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值
，即
.
以下与条件②相同．
9．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意
，所以
；
（2）由（1）可知
，
所以
，
所以函数
的值域为
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
函数
的单调递增区间为
.
1．函数
的简图为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为当
时，
，
所以排除B，C，D，
故选：A．
2．在
内，下列区间中使得
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如图画出函数
在
内的图象，
因为
，
结合图象可知，在
内，不等式
的解集为
.
故选：B．
3．已知函数
，若
，
，且
的最小正周期大于
等于
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
由题意
，又
，
可知直线
为函数
的一条对称轴，点
为函数
的一个对称中心，
又最小正周期大于等于
，即
，
又
，故
，所以
，
则
，
故
，又
，
则有
，解得
，
又
，则
．
故选：B.
4．关于
的两个函数
与
有以下命题：
①不存在
，使得
既是奇函数又是偶函数；
②对任意的
都不是奇函数；
③对于任意的
，存在
，使得
与
有相同的最小正周期；
④对于任意的
，存在
，使得
的最小正周期大于
的最小正周期．
其中真命题的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】A
【详解】①由三角函数的奇偶性可知，不存在
，使得
既是奇函数又是偶函数，①正确；
②当
时，
为奇函数，②错误；
③当
时，
与
有相同的最小正周期
，③正确；
当④
时，
的最小正周期为
，显然大于
的最小正周期
，④错误，
故真命题的序号是①③.
故选：A
5．将函数
的图象向左平移
个单位，再将横坐标变为原来的
，得到函数
的图象，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【详解】由函数
的图象向左平移
个单位，再将横坐标变为原来的
，得到得
，
由
可得，
，得
或
，
解得
或
，又
，所以
，则
．
故选：B.
6．已知函数
，将函数
的图象上每一点横坐标变为原来的一半，再向左平移
个
单位长度，得到函数
的图象，则
的最大值为（ ）
A．16
B．
C．
D．8
【答案】B
【详解】将函数
的图象上每一点横坐标变为原来的一半，
此时函数解析式为
，
再向左平移
个单位长度，得
，
则
，
所以
的最大值为
．
故选：B.
7．函数
的值域为 ．
【答案】
【详解】令
，可得
，则
，
．
由于
在
内单调递增，在
内单调递减，
则
，故函数
的值域为
．
故答案为：
.
8．已知函数
，若
在
内单调递减，则
的值为 ．
【答案】
【详解】
，
，
因为
，
所以
，
，
要想
在
内单调递减，
则
且
，
解得
，故
．
故答案为：
9．已知函数
．
(1)若
，求函数
的定义域及最小正周期；
(2)若函数
在区间
内单调递增，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）当
时，
，则函数
的最小正周期
；
由
，解得
，
所以函数
的定义域为
．
（2）由
，得
，
由函数
在区间
内单调递增，得
，解得
，又
，
所以
的取值范围为
．
10．已知交流电的电压
（单位：V）随时间（单位：s）的变化可用
表示，其部分图象如下所示．
(1)求函数
的解析式；
(2)如果电压
在一段时间
内至少达到一次最大值和一次最小值，那么
的最小值是多少？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图象知
，最小正周期
，
所以
，则
，
结合图象可得
时
，则
，
即
，解得
，
因为
，所以
，所以
．
（2）
，所以
．
