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高考数学（文科）公式大全
及重要基础知识记忆检查
目录
第一章 集合与常用逻辑用语… … … … … … … … … … … … … … … … 2
第二章 函数… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3
第三章 倒数及其应用… … … … … … … … … … … … … … … … … … … 7
第四章 三角函数… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8
第五章 平面向量… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12
第六章 数列… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 13
第七章 不等式… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 15
第八章 立体几何… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17
第九章 平面解析几何… … … … … … … … … … … … … … … … … … … 19
第十章 概率、统计及统计案例… … … … … … … … … … … … 24
第十一章 算法初步及框图… … … … … … … … … … … … … … … … … 25
第十二章 推理与证明… … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26
第十三章 数系的扩充与复数的引入… … … … … … … … … … … … … 26
第十四章 几何证明选讲… … … … … … … … … … … … … … … … … … 26
第十五章 坐标系和参数方程… … … … … … … … … … … … … … … … 27
第十六章 不等式选讲… … … … … … … … … … … … … … … … … … … 27
第一章 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语
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1. 集合的基本运算
；
；
2. .集合的包含关系:
；
；
3. 识记重要结论： A
B
A
=
I
A
B
; A
B
A
A
B
=
U
;
(
)
U
U
U
A
B
C
C
A
C B
=
U
I
;
(
)
U
U
U
A
B
C
C
A
C B
=
I
U
4．对常用集合的元素的认识
①
2
3
4
0
A
x x
x
=
+
−
=
中的元素是方程
2
3
4
0
x
x
+
−
=
的解，A 即方程的解集；
②
2
6
0
B
x x
x
=
+
−
中的元素是不等式
2
6
0
x
x
+
−
的解，B 即不等式的解集；
③
2
2
1,0
5
C
y y
x
x
x
=
=
+
−
中的元素是函数
2
2
1,0
5
y
x
x
x
=
+
−
的函数值，C
即函数的值域；
④
(
)
2
2
log
2
1
D
x y
x
x
=
=
+
−
中的元素是函数
(
)
2
2
log
2
1
y
x
x
=
+
−
的定义域，D 即函数
的定义域；
⑤
(
)
,
2
3
M
x y
y
x
=
=
−
中的元素可看成是关于,x y 的方程的解集，也可看成以方程
2
3
y
x
=
−
的解为坐标的点，M 为点的集合，是一条直线。
5. 集合
1
2
{ ,
,
,
}
n
a a
a
L
的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1 个；非空子集有2n –1 个；非
空的真子集有2n –2 个.
6. 方程
0
)
(
=
x
f
在
)
,
(
2
1 k
k
上有且只有一个实根,与
0
)
(
)
(
2
1
k
f
k
f
不等价,前者是后者的
一个必要而不是充分条件.
特别地, 方程
)
0
(
0
2
=
+
+
a
c
bx
ax
有且只有一个实根在
)
,
(
2
1 k
k
内, 等价于
0
)
(
)
(
2
1
k
f
k
f
,
或
0
)
(
1 =
k
f
且
2
2
2
1
1
k
k
a
b
k
+
−
,
或
0
)
(
2 =
k
f
且
2
2
1
2
2
k
a
b
k
k
−
+
.
7. 闭区间上的二次函数的最值问题：
二次函数
)
0
(
)
(
2
+
+
=
a
c
bx
ax
x
f
在闭区间
q
p,
上的最值只能在
a
b
x
2
−
=
处及区间的两
端点处取得，具体如下：
(1) 当a>0 时，
①若
q
p
a
b
x
,
2
−
=
，则有
min
max
( )
(
),
( )
max
( ),
( )
2
b
f x
f
f x
f p
f q
a
=
−
=
；
②若
q
p
a
b
x
,
2
−
=
，则有
max
( )
max
( ),
( )
f x
f p
f q
=
，
min
( )
min
( ),
( )
f x
f p
f q
=
.
(2) 当a<0 时，
①若
q
p
a
b
x
,
2
−
=
，则有
min
( )
min
( ),
( )
f x
f p
f q
=
，
②若
q
p
a
b
x
,
2
−
=
，则有
max
( )
max
( ),
( )
f x
f p
f q
=
，
min
( )
min
( ),
( )
f x
f p
f q
=
.
二次函数在闭区间
上必有最值，求最值
问题用“两看法”：
一看开口方向；二看
对称轴与所给区间
的相对位置关系。
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8.
( )
( )
max
a
f x
a
f x
；
( )
( )
min
a
f x
a
f x
9. 由不等导相等的有效方法
．．．．．．．．．．：若a
b
且a
b
，则a
b
=
.
10. 真值表
11. 常见
结论的否定形式
12. 四种命题的相互关系
如右图所示
13. 充要条件
（1）若p
q
，则说p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件
（2）充要条件：若p
q
，且q
p
，则p 是q 的充要条件.
另外：如果条件最终都可化为数字范围，则可转化为集合的包含关系来刻画，二者逻辑关
系一目了然。设
( )
A
x p x
=
，
( )
B
x q x
=
，①若A B
，则p 是q 的充分不必要条件；
②若B A
,则q 是p 的必要不充分条件；③若A
B
=
，则p 是q 的充要条件。
第二章 函 数
14. 函数的单调性
(1)设
2
1
2
1
,
,
x
x
b
a
x
x
那么
ｐ ｑ 非ｐ
ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假
真
真
真 假 假
真
假
假 真 真
真
假
假 假 真
假
假
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有n 个
至多有（
1
n −）个
小于
不小于
至多有n 个
至少有（
1
n + ）个
对所有x ，成立
存在某x ，不成立 p 或q
p
且
q
对任何x ，不成立 存在某x ，成立
p 且q
p
或
q
原命题
“
p
q
若则”
逆命题
“
q
p
若则”
否命题
“
p
q
若
则
”
逆否命题
“
q
p
若
则
”
互逆
互逆
互
否
互
否
为
互
逆
否
互 为
逆
否
一个命题
一种形式
两种方法
表2
同真为真
同假为假
真假相对
表1
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1
2
1
2
(
)
( )
(
)
0
x
x
f x
f x
−
−
b
a
x
f
x
x
x
f
x
f
,
)
(
0
)
(
)
(
2
1
2
1
在
−
−
上是增函数；
1
2
1
2
(
)
( )
(
)
0
x
x
f x
f x
−
−
b
a
x
f
x
x
x
f
x
f
,
)
(
0
)
(
)
(
2
1
2
1
在
−
−
上是减函数.
(2)设函数
)
(x
f
y =
在某个区间内可导，如果
0
)
(
x
f
，则
)
(x
f
为增函数；如果
0
)
(
x
f
，
则
)
(x
f
为减函数.
⑶单调性性质：
①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函数-
增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
15. 复合函数单调性的判断方法：
⑴如果函数
)
(x
f
和
)
(x
g
都是减函数（增函数）,则在公共定义域内,和函数
)
(
)
(
x
g
x
f
+
也是
减函数（增函数）;
⑵
16．函数的奇偶性（注：奇偶函数大前提：定义域必须关于原点对称
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）
⑴若
( )
f x 是偶函数，则
( )
(
)
( )
f x
f
x
f
x
=
−
=
；偶函数的图象关于y 轴对称；偶函数在
x>0 和x<0 上具有相反的单调区间。
⑵定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；奇函数的图象关于原点对称；奇函数在x>0
和x<0 上具有相同的单调区间。
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：
( )
(
)
0
f x
f
x
−
=
或者
(
)
( )
( )
(
)
1
0
f
x
f x
f x
−
=
⑷奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，
如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴
对称，那么这个函数是偶函数．
⑸多项式函数
1
1
0
( )
n
n
n
n
P x
a x
a
x
a
−
−
=
+
+
+
L
的奇偶性
多项式函数
( )
P x 是奇函数
( )
P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
( )
P x 是偶函数
( )
P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
17. 函数
( )
y
f x
=
的图象的对称性：函数
( )
y
f x
=
的图象关于直线x
a
=
对称
(
)
(
)
f a
x
f a
x
+
=
−
(2
)
( )
f
a
x
f x
−
=
.
18. 两个函数图象的对称性
(1)函数
( )
y
f x
=
与函数
(
)
y
f
x
=
−
的图象关于直线
0
x =
(即y 轴)对称.
(2)函数
( )
y
f x
=
与函数
( )
y
f x
= −
的图象关于直线
0
y =
(即x 轴)对称.
(3)指数函数
x
a
y =
和
x
y
a
log
=
的图象关于直线y=x 对称.
19. 若将函数
)
(x
f
y =
的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数
b
a
x
f
y
+
−
=
)
(
的图象；
若将曲线
0
)
,
(
=
y
x
f
的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线
0
)
,
(
=
−
−
b
y
a
x
f
的图象.
的单调性。
的单调性，从而得出
与
的单调性，必须考虑
对于复合函数
)]
(
[
)
(
)
(
)]
(
[
x
g
f
y
x
g
u
u
f
y
x
g
f
y
=
=
=
=
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
( )
y
f u
=
( )
u
g x
=
( )
y
f
g x
=
小结：同增异
减。研究函数
的单调性，定
义域优先考
虑，且复合函
数的单调区间
是它的定义域
的某个子区
间。
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20． 互为反函数的两个函数的关系（指数函数
x
y
a
=
和对数函数
(
)
log
0,
1
a
y
x a
a
=
）：
a
b
f
b
a
f
=
=
−
)
(
)
(
1
.
21. 几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型
(1)正比例函数
( )
f x
kx
=
,
(
)
( )
( ),
(1)
f x
y
f x
f y
f
k
+
=
+
=
.
(2)指数函数
( )
x
f x
a
=
,
(
)
( ) ( ),
(
)
( )
( ),
(1)
0
f x
y
f x f y
f x
y
f x
f y
f
a
+
=
−
=
=
.
(3)对数函数
( )
loga
f x
x
=
,
(
)
( )
( ),
( )
( )
( ),
( )
1(
0,
1)
x
f xy
f x
f y
f
f x
f y
f a
a
a
y
=
+
=
=
.
(4)幂函数
( )
f x
x
=
,
'
(
)
( ) ( ),
(1)
f xy
f x f y
f
=
=
.
(5) 余弦函数
( )
cos
f x
x
=
, 正弦函数
( )
sin
g x
x
=
，
(
)
( ) ( )
( ) ( )
f x
y
f x f y
g x g y
−
=
+
，
(0)
1
f
= .
22. 对于y
x
=
，
2
y
x
=
，
3
y
x
=
，
1
2
y
x
=
，
1
y
x
=
的图象，了解它们的变化情况．
如图：
23. 几个函数方程的周期(
)
0
a
⑴
( )
y
f x
=
对x
R
时，
)
(
)
(
a
x
f
x
f
+
=
，则
)
(x
f
的周期为a 的周期函数
⑵
(
)
(
)
f x
a
f x
a
+
=
−
或
(
)
( )
2
f x
a
f x
−
=
(
)
0
a
恒成立，则
( )
y
f x
=
是周期为2a 的周
期函数
⑶若
( )
y
f x
=
是偶函数，其图像又关于直线x
a
=
对称，则是周期为2 a 的周期函数
⑷若
( )
y
f x
=
是奇函数，其图像又关于直线x
a
=
对称，则是周期为4 a 的周期函数
⑸
( )
y
f x
=
对x
R
时，
0
)
(
)
(
=
+
+
a
x
f
x
f
，或
1
(
)
( )
f x
a
f x
+
= −
( ( )
0)
f x
,则
( )
y
f x
=
的周期2 a 的周期函数
24. 函数图像变换
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
3
2
1
1
2
3
4
r x( ) =
1
x
q x( ) = x
h x( ) = x3
g x( ) = x2
f x( ) = x
O
1
( )
y
f x
=
图象
(
)
y
f x
=
+
图象
( )
y = Af x 图象
y = f(wx)图象
向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位
点的横坐标变为原来的1/ω倍
纵坐标不变
点的纵坐标变为原来的A倍
横坐标不变
向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位
( )
y
f x
b
=
+
图象
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25. 分数指数幂
(1)
m
n
m
n
a
a
=
（
0,
,
a
m n
N
，且
1
n
）;(2)
1
m
n
m
n
a
a
−
=
（
0,
,
a
m n
N
，且
1
n
）.
26． 根式的性质
（1）(
)n
n a
a
=
;（2）当n 为奇数时，n
n
a
a
=
；当n 为偶数时，
,
0
|
|
,
0
n
n
a a
a
a
a a
=
= −
.
27． 有理指数幂的运算性质
(1)
(
0, ,
)
r
s
r s
a
a
a
a
r s
R
+
=
;(2)(
)
(
0, ,
)
r
s
rs
a
a
a
r s
R
=
;
(3)(
)
(
0,
0,
)
r
r
r
ab
a b a
b
r
R
=
.
28. 指数式与对数式的互化式
log
b
a N
b
a
N
=
=
(
0,
1,
0)
a
a
N
.
29. 对数的换底公式
log
log
log
m
a
m
N
N
a
=
(
0
a
,且
1
a
,
0
m
,且
1
m ,
0
N
).
推论 log
log
m
n
a
a
n
b
b
m
=
(
0
a
,且
1
a
,
,
0
m n
,且
1
m ,
1
n
,
0
N
).
30． 对数的四则运算法则：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)log (
)
log
log
a
a
a
MN
M
N
=
+
;(2) log
log
log
a
a
a
M
M
N
N =
−
;
(3)log
log
(
)
n
a
a
M
n
M n
R
=
；
31. 对数有关性质：
⑴loga b 的符号有口诀“同正异负”记忆；⑵log
1
a a = ；⑶log 1
0
a =
；
⑷对数恒等式：
(
)
log
0,
1,
0
a N
a
N a
a
N
=
⑸log
log
m
a
a
b
m
b
=
；
⑹设函数
)
0
)(
(
log
)
(
2
+
+
=
a
c
bx
ax
x
f
m
,记
ac
b
4
2 −
=
.若
)
(x
f
的定义域为R ,则
0
a
，且
0
;若
)
(x
f
的值域为R ,则
0
a
，且
0
.对于
0
=
a
的情形,需要单独检
验.；
32. 对数函数
(
)
log
0,
1
a
y
x a
a
=
的图像和性质分析：
a 的符号
1
a
0
1
a
图像
定义域
(
)
0, +
值域
(
)
,
−+
单调性
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
过定点
(
)
1,0
函数值的分布情况
0
1
x
时，
0
y
；
1
x
时，
0
y
0
1
x
时，
0
y
；
1
x
时 ，
0
y
⑹指数函数
(
)
0,
1
x
y
a
a
a
=
的图像和性质分析：
y
x
o
1
1
x
y
o
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a 的符号
1
a
0
1
a
图像
定义域
(
)
,
−+
值域
(
)
0, +
单调性
在(
)
,
−+上是增函数
在(
)
,
−+上是减函数
过定点
(
)
0,1
函数值的分布
情况
0
x
时，
1
y ；
0
x
时，0
1
y
0
x
时，0
1
y
；
0
x
时，
1
y
33. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有
(1
)x
y
N
p
=
+
.
第
三
章
导
数
及
其
应
用
34．导数的定义：
)
(x
f
在
0x 处的导数记作
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
lim
lim
x x
x
x
f x
x
f x
y
f
x
y
x
x
=
→
→
+
−
=
=
=
.
35. ⑴
)
(x
f
在
)
,
(
b
a
的导数概念：( )
dy
df
f
x
y
dx
dx
=
=
=
0
0
(
)
( )
lim
lim
x
x
y
f x
x
f x
x
x
→
→
+
−
=
=
.
⑵能根据导数概念求函数
．．．．．．．．．．y
C
=
(C 为常数)，y
x
=
，
1
y
x
=
，
2
y
x
=
，y
x
=
的导数
．．．.
36. 函数
)
(x
f
y =
在点
0x 处的导数的几何意义
．．．．：
函数
)
(x
f
y =
在点
0x 处的导数是曲线
)
(x
f
y =
在
))
(
,
(
0
0
x
f
x
P
处的切线的斜率
)
(
0x
f
，
相应的切线方程是
)
)(
(
0
0
0
x
x
x
f
y
y
−
=
−
.
37. 几种常见函数的导数
(1)
0
=
C
（C 为常数）；
(2)
'
1
(
)
(
)
n
n
x
nx
n
Q
−
=
；
(3)
x
x
cos
)
(sin
=
；
(4)
x
x
sin
)
(cos
−
=
；
(5)
x
x
1
)
(ln
=
；
e
a
x
x
a
log
1
)
(log
=
；
(6)
x
x
e
e
=
)
(
.
38. 导数的运算法则
法则1 ：[ ( )
( )]
( )
( )
u x
v x
u x
v x
=
；
o
x
1
y
1
y
x
o
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法则2 ：
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
v
x
u
x
v
x
u
x
v
x
u
+
=
；
法则3 ：
).
0
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
−
=
x
v
x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
x
v
x
u
39. 判别
)
(
0x
f
是极大（小）值的方法
当函数
)
(x
f
在点
0x 处连续时，
（1）如果在
0x 附近的左侧
0
)
(
x
f
，右侧
0
)
(
x
f
，则
)
(
0x
f
是极大值；
（2）如果在
0x 附近的左侧
0
)
(
x
f
，右侧
0
)
(
x
f
，则
)
(
0x
f
是极小值.
第
四
章
三
角
函
数
40． ⑴终边相同的角的集合：
2
,
k
k
Z
=
+
;
⑵角度与弧度的换算：
(
)
180
180
,1
,1
180
rad
rad
rad
=
=
=
o
o
o
；
⑶弧长与扇形的面积公式：弧长l
r
=
，扇形面积
2
1
1
2
2
S
lr
r
=
=
.
⑷常见恒成立的三角不等式（给定范围条件下）
①若
(0,
)
2
x
，则sin
tan
x
x
x
；②若
(0,
)
2
x
，则1
sin
cos
2
x
x
+
；
③ | sin
|
| cos | 1
x
x
+
.
41. 常用三角函数不等式及相关等式的解集：
⑴不含绝对值情况： ①sin
cos
x
x
的x 集合是
3
2
2
,
4
4
x
k
x
k
k
Z
+
+
；
②sin
cos
x
x
=
的x 集合是
,
4
x x
k
k
Z
=
+
；
③sin
cos
x
x
的x 集合是
3
2
2
,
4
4
x
k
x
k
k
Z
−
+
+
。
⑵含绝对值情况：①sin
cos
x
x
的x 集合是
3
,
4
4
x
k
x
k
k
Z
+
+
；
②sin
cos
x
x
=
的x 集合是
3
,
,
4
4
x x
k
or
x
k
k
Z
=
+
=
+
；
③sin
cos
x
x
的x 集合是
,
4
4
x
k
x
k
k
Z
−
+
+
。
42. ⑴对于“sin
cos ,sin
cos ,sin
cos
+
−
”这三个式子，已知其中一个式子的值，
O
y
225°角终边
45°角终边
x
半个月亮爬上来
O
135°角终边
45°角终边
y
x
所谓伊人 在水一方
左正右负
极大值
左负右正
极小值
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可以求出其余二式的值。
⑵三角函数的诱导公式
“奇变偶不变，符号看象限，看左边，写右边”
形似角中的角不论多大，都看作锐角；形似角在原名称、原象限中的符号；
43. ⑴同角三角函数的基本关系式：
2
2
sin
cos
1
+
= ，tan=
cos
sin
推论：
2
2
2
2
1
1
cos
tan
1
1
tan
cos
=
→
=
−
+
；
2
2
1
1
os
,tan
1
1
tan
cos
c
=
=
−
+
（正负号取决于所在的象限）
⑵和角与差角公式
sin(
)
sin
cos
cos
sin
=
;cos(
)
cos
cos
sin
sin
=
m
;
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
= m
；
2
2
sin(
)sin(
)
sin
sin
+
−
=
−
(正弦平方差公式);
2
2
cos(
)cos(
)
cos
sin
+
−
=
−
(余弦平方差公式)；
sin
cos
a
b
+
=
2
2 sin(
)
a
b
+
+
(辅助角所在象限由点( , )
a b 的象限决定,其中
2
2
2
2
sin
,cos
b
a
a
b
a
b
=
=
+
+
).
⑶二倍角公式：
sin 2
sin
cos
=
；
2
2
2
2
cos2
cos
sin
2cos
1 1 2sin
=
−
=
−= −
；
万能公式
．．．．：
2
2tan
tan 2
1 tan
= −
；
2
2
1
tan
cos2
1
tan
−
= +
；
2
2tan
sin 2
1
tan
= +
⑷半角公式（降幂公式）：
①
2
1 cos
cos 2
2
+
=
；
2
1 cos
sin 2
2
−
=
；
2
1 cos
tan 2
1 cos
−
= +
②
sin
1 cos
tan 2
1 cos
sin
−
=
=
+
44. 三角函数的周期公式
函数
sin(
)
y
x
=
+
，x∈R 及函数
cos(
)
y
x
=
+
，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，
ω＞0)的周期
2
T
=
；
−
−
+
−
+
−
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
360
360
270
270
90
90
)
-
180
180
−
−
+
−
+
−
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
90
0
90
4
90
4
90
3
90
3
90
1
90
1
)
-
90
2
90
2
,
)
sin(
,
)
360
sin(
,
)
360
sin(
,
)
270
sin(
,
)
270
sin(
,
)
90
sin(
,
)
90
sin(
,
)
-
180
sin(
,
)
180
sin(
0
0
0
0
0
0
0
0
=
−
=
−
=
+
=
−
=
+
=
−
=
+
=
=
+
sin
−
sin
cos
cos
cos
−
cos
−
sin
sin
−
sin
−
注意：总共两套
诱导公式（一套
是函数名不变；
另一套是函数名
必须改变）；对于
余弦函数和正切
函数的诱导公式
规律记忆同正弦
函数。
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函数
tan(
)
y
x
=
+
，
,
2
x
k
k
Z
+
(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T
=
.
45. ①类正弦函数y= Asin(wx+ )
的图像的变换（两种办法殊途同归）
②类正弦函数
(
)
0
y = Asin(wx+ )
b A
+
的参数计算：振幅
max
min
2
y
y
A
−
=
，
2
T
=
,
max
min
2
y
y
b
+
=
,求时，一般代入最高点或者最低点的坐标后，利用已知三角函数值求角，
再根据给定的范围进而分析得到值。
46. 正弦函数和余弦函数的图像和性质
函数
y= sinx
cos
y=
x
图像
-1
1
y=sinx
-2π
2π
3π/2
π
π/2
-3π/2
-π
-π/2
o
y
x
-1
1
y=cosx
-2π
2π
3π/2
π
π/2
-3π/2
-π
-π/2
o
y
x
定义
域
R
值域
1,1
−
最值
2
,
2
x
k
k
Z
=
+
时，
max
1
y
=
2
,
2
x
k
k
Z
= −
+
时，
min
1
y
= −
2
,
x
k
k
Z
=
时，
max
1
y
=
(
)
2
1
,
x
k
k
Z
=
+
时，
min
1
y
= −
单调
性
(
)
2
,
2
2
2
x
k
k
k
Z
−
+
+
(
)
3
2
,
2
2
2
x
k
k
k
Z
+
+
(
)
(
)
2
, 2
1
x
k
k
k
Z
+
时，减函数
(
)
(
)
2
1
,2
,
x
k
k
k
Z
−
时，增函数
奇偶
性
奇函数
偶函数
周期
性
最小正周期为2
作y=sinx（长度为2的某闭区间）的图像
得y=sin(x+φ)的图像
得y=sinωx 的图像
得y=sin(ωx+φ)的图像
得y=sin(ωx+φ)的图像
得y= Asin(wx+ )
的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。
沿x 轴平移|φ| 个单位（左加右减）
横坐标伸长或 缩短到原来的 倍
横坐标伸长或缩 短到原来的 倍
沿x 轴平移
．．|
|个单位
．．．（左加右减）
纵坐标伸长或缩 短到原来的A 倍
纵坐标伸长或缩 短到原来的A 倍
1
1
时，增函数
时，减函数
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对称
性
对称轴：
,
2
x
k
k
Z
=
+
对称中心：(
,0)
k
k
Z
对称轴：
,
x
k
k
Z
=
对称中心：(
,0)
2
k
k
Z
+
47. 正切函数的图像和性质
函数
tan
y
x
=
图像
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
4
3
2
1
1
2
3
4
x
y
3∙π
2
= –4.71
3∙π
2
= 4.71
π
2 = –1.57
π
2 = 1.57
f x( ) = tan x( )
O
定义域
(
)
2
x
k
k
Z
+
值域
R
单调性
(
)
,
2
2
x
k
k
k
Z
−
+
+
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期为
对称性
对称中心：(
,0)
2
k
k
Z
48. ⑴正弦定理：
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
.（R 为ABC
外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法
．．．．．．．．．．．．。）.
2 sin ,
2 sin ,
2 sin
a
R
A b
R
B c
R
C
=
=
=
: :
sin
:sin
:sin
a b c
A
B
C
=
①
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
sin
sin
A
a
b
B
=
，
sin
sin
C
c
a
A
=
，
sin
sin
B
b
c
C
=
等；
②
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
sin
sin
a
A
B b
=
，sin
sin
c
C
A a
=
，
sin
sin
b
B
C c
=
等；
⑵余弦定理：
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
−
2
2
2
cos
2
b
c
a
A
bc
+
−
=
;
2
2
2
2
cos
b
c
a
ca
B
=
+
−
2
2
2
cos
2
a
c
b
B
ac
+
−
=
;
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
−
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
+
−
=
.
⑶正弦定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴；解题时注意一种重要关系：
在
ABC
中，给定角A
B
、
的正弦或余弦值，则角C 的正弦或余弦有解（即存在）
cos
cos
0
A
B
+
地
位
相
同
等
号
两
边
时，增函数
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49. 三角形内角和定理：在△ABC 中，有
(
)
A
B
C
C
A
B
+
+
=
=
−
+
2
2
2
C
A
B
+
=
−
2
2
2(
)
C
A
B
=
−
+
50. 面积定理
⑴
1
1
1
2
2
2
a
b
c
S
ah
bh
ch
=
=
=
（
a
b
c
h
h
h
、、
分别表示a、b、c 边上的高）.
⑵
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
bc
A
ca
B
=
=
=
⑶
2
2
2
2
sin
sin
2
sin
sin
2
sin
sin
ABC
S
R
A
B
R
A
C
R
C
B
=
=
=
(其中R 为
ABC
的外接圆
的半径)
⑷
4
ABC
abc
S
R
=
（R 为ABC
外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法
．．．．．．．．．．．．。）
⑸
(
)
1
2
ABC
S
r
a
b
c
=
+
+
(其中r 为ABC
的内切圆的半径，也能导出内切圆半径的一种算
．．．．．．．．．．．．．
法．。顺便说下，直角三角形中内切圆的半径
．．．．．．．．．．．．
2
a
b
c
r
+
−
=
，其中a
b
、为两条直角边，c 为斜
边。)
⑹
(
) (
) (
)
1
2
ABC
S
p
p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
(其中
2
a
b
c
p
+
+
=
，海伦公式)
⑺
2
2
1
(|
| |
|)
(
)
2
OAB
S
OA
OB
OA OB
=
−
uuur
uuur
uuur uuur
（注意：此时以坐标原点为一个顶点
．．．．．．．．．的三角形的
面积公式）；设(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
2
1
1
2
AOB
S
x y
x y
=
−
第
五
章
平
面
向
量
51. 向量的加减法的代数结构：
⑴AB
AB
AB
+
=
uuur
uuur
uuur
⑵OB
OA
AB
−
=
uuur
uuur
uuur
52. 平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只
有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．（不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底．）
53． 向量平行与垂直的坐标表示：设a
r
=
1
1
( ,
)
x y
,b
r
=
2
2
(
,
)
x
y
，且b
r
0
r
，
则a
r
∥b
r
(
0
b
r
r
)
1
2
2
1
0
x y
x y
−
=
；a
b
⊥
r
r
1
2
1
2
0
x x
y y
+
=
.
54. a 与b 的数量积(或内积)：a·b=|a||b|cosθ．其几何意义：数量积a·b 等于a 的长度
|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
55. 平面向量的坐标运算
(1)设a=
1
1
( ,
)
x y
,b=
2
2
(
,
)
x
y
，则a+b=
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
+
+
；
(2)设a=
1
1
( ,
)
x y
,b=
2
2
(
,
)
x
y
，则a-b=
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
−
−
；
尾首接 首尾联
首首接 尾尾联
指向被减向量
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(3)设A
1
1
( ,
)
x y
，B
2
2
(
,
)
x
y
,则
2
1
2
1
(
,
)
AB
OB
OA
x
x y
y
=
−
=
−
−
uuur
uuur
uuur
；
(4)设a=( , ),
x y
R
，则a=(
,
)
x
y
；
(5)设a=
1
1
( ,
)
x y
,b=
2
2
(
,
)
x
y
，则a·b=
1 2
1
2
(
)
x x
y y
+
.
56. 两向量的夹角公式：
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
cos
x x
y y
x
y
x
y
+
=
+
+
(a=
1
1
( ,
)
x y
,b=
2
2
(
,
)
x
y
).
57. 平面两点间的距离公式：
,
A B
d
=|
|
AB
AB AB
=
uuur
uuur uuur
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
x
x
y
y
=
−
+
−
(A
1
1
( ,
)
x y
，
B
2
2
(
,
)
x
y
).
58. ①线段的定比分公式：
设
1
1
1
( ,
)
P x y
，
2
2
2
(
,
)
P x
y
，
( , )
P x y 是线段
1
2
PP 的分点,是实数，且
1
2
PP
PP
=
uuur
uuur
，则
1
2
1
2
1
1
x
x
x
y
y
y
+
=
+
+
=
+
1
2
1
OP
OP
OP
+
=
+
uuur
uuur
uuur
1
2
(1
)
OP
tOP
t OP
=
+
−
uuur
uuur
uuur
（
1
1
t
= +
）.
②中点的向量形式
．．．．．．．：平面内，设线段AB 的中点为C ，O 为直线AB 外任意一点，则有
2
OA
OB
OC
+
=
uuur
uuur
uuur
;
设此时(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则中点
．．(
)
,
C x y 的坐标公式
．．．．．：
1
2
1
2
2
2
x
x
x
y
y
y
+
=
+
=
59. 三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为
1
1
A(x ,y )、
2
2
B(x ,y )、
3
3
C(x ,y ),
则△ABC 的重心的坐标是
1
2
3
1
2
3
(
,
)
3
3
x
x
x
y
y
y
G
+
+
+
+
.
60. 三角形四“心”向量形式的充要条件
．．．．
设O 为ABC
所在平面上一点，角, ,
A B C 所对边长分别为, ,
a b c ，则
（1）O 为ABC
的外心
2
2
2
OA
OB
OC
=
=
uuur
uuur
uuur
.
（2）O 为ABC
的重心
0
OA
OB
OC
+
+
=
uuur
uuur
uuur
r
.
（3）O 为ABC
的垂心
OA OB
OB OC
OC OA
=
=
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
.
（4）O 为ABC
的内心
0
aOA
bOB
cOC
+
+
=
uuur
uuur
uuur
r
.
第六章 数 列
61. ⑴自然数和公式：
①
(
)
1
1
2
2
n n
n
+
+
++
=
；
②
(
)(
)
2
2
2
1
2
1
1
2
6
n n
n
n
+
+
+
++
=
；
微信公众号：高中必备知识点大全
③
(
)
2
2
3
3
3
1
1
2
4
n
n
n
+
+
++
=
⑵常见的拆项公式：
①(
)
1
1
1
1
1
n n
n
n
=
−
+
+
；
②(
)(
)
1
1
1
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
n
n
n
n
=
−
−
+
−
+
；
③(
)(
)
(
)
(
)(
)
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
n n
n
n n
n
n
=
−
+
+
+
+
+
；
④
(
)
1
1
a
b
a
b
a
b
=
−
−
+
；⑤
(
)
1
2
n
n
n
a
S
S
n
−
=
−
.
⑶数列的通项公式与前n 项的和的关系
①
1
1
,
1
,
2
n
n
n
s
n
a
s
s
n
−
=
=
−
②
1
(
2)
n
n
n
S
S
a n
−
=
+
（注：该公式对任意数列都适用）
③
1
2
n
n
S
a
a
a
=
+
+
+
L
（注：该公式对任意数列都适用）
62. ⑴ 等差数列的通项公式：
①一般式：
*
1
(
1)
(
)
na
a
n
d n
N
=
+
−
；
②推广形式：
(
)
n
m
a
a
n
m d
=
+
−
；
n
m
a
a
n
d
m
−
=
−
③前n 项和形式
1(
2)
n
n
n
a
S
S
n
−
=
−
（注：该公式对任意数列都适用）其前n 项和公式为：
1
(
)
2
n
n
n a
a
s
+
=
1
(
1)
2
n n
na
d
−
=
+
2
1
1
(
)
2
2
d n
a
d n
=
+
−
.
⑵ 数列
na
为等差数列
1
n
n
a
a
d
−
−
=
（d 为常数）
(
)
2
1
1
2
=
2,
*
n
n
n
n
a
a
a
n
n
N
a
an
b
An
Bn
+
−
+
=
+
+
⑶ 常用性质：
①若m+n=p+q ，则有
m
n
p
q
a
a
a
a
+
=
+
；特别地：若
,
m
n
p
a
a a
是
的等差中项，则有
2
m
n
p
a
a
a
=
+
n、m、p 成等差数列；
②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如
1
2
3,
a
a
a
+
+
4
5
6,
a
a
a
+
+
7
8
9
a
a
a
+
+
，
）仍是等差数列；
③
na
为等差数列，
n
S 为其前．n．项和
．．，则
2
3
2
,
,
m
m
m
m
m
S
S
S
S
S
−
−
，
4
3
m
m
S
S
−
，．．．也成等差
数列；
④
,
,
0
p
q
p q
a
q a
p
a +
=
=
=
则
；
微信公众号：高中必备知识点大全
⑤1+2+3+…+n=
2
)1
( +
n
n
63. 等比数列的通项公式：
⑴ ①一般形式：
1
*
1
1
(
)
n
n
n
a
a
a q
q
n
N
q
−
=
=
；
②推广形式：
n m
n
m
a
a
q −
=
，
n m
n
m
a
a
q
−
=
③其前n 项的和公式为：
1
1
(1
) ,
1
1
,
1
n
n
a
q
q
s
q
na q
−
=
−
=
，或
1
1
,
1
1
,
1
n
n
a
a q q
q
s
na q
−
−
=
=
.
⑵数列
na
为等比数列
(
)
(
)
2
1
1
1
1
1
0
0
2,
n
n
n
n
n
n
n
a
q q
a
a
a
n
n
N
a
a q
a
−
+
−
+
+
=
=
=
(
)
1a
q
0
n
N*
、
，
n
n
S
A q
B
=
+
⑶ 常用性质：
① 若m+n=p+q ，则有
m
n
p
q
a
a
a
a
=
；特别地：若
,
m
n
p
a
a a
是
的等比中项，则有
2
m
n
p
a
a
a
=
n、m、p 成等比数列;
② 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”
（如
1
2
3,
a
a
a
+
+
4
5
6,
a
a
a
+
+
7
8
9
a
a
a
+
+
，
）仍是等比数列；
③
na
为等比数列，
n
S 为其前n 项和，则
2
3
2
,
,
m
m
m
m
m
S
S
S
S
S
−
−
，
4
3
m
m
S
S
−
，．．．也成等比
数列（仅当当
1
q −或者
1
q = −且m 不是偶数时候成立）；
④设等比数列{ }
nb
的前．n 项积
．．为
nT ，则
kT ，
2
3
2
,
k
k
k
k
T
T
T
T
，
4
3
k
k
T
T
成等比数列．
第七章 不 等 式
64. 常用不等式：
⑴,a b
R
2
2
2
a
b
ab
+
(当且仅当a＝b 时取“=”号)；
微信公众号：高中必备知识点大全
⑵,a b
R+
2
a
b
ab
+
(当且仅当a＝b 时取“=”号)；⑶
b
a
b
a
b
a
+
+
−
.
65. 极值定理
已知
y
x,
都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当
y
x =
时和
y
x +
有最小值
p
2
；
（2）若和
y
x +
是定值s ，则当
y
x =
时积xy 有最大值
2
4
1 s .
推广形式
．．．．：已知
R
y
x
,
，则有
xy
y
x
y
x
2
)
(
)
(
2
2
+
−
=
+
（1）若积xy 是定值,则当
|
|
y
x −
最大时,
|
|
y
x +
最大；当
|
|
y
x −
最小时,
|
|
y
x +
最小.
（2）若和
|
|
y
x +
是定值,则当
|
|
y
x −
最大时,
|
| xy 最小；当
|
|
y
x −
最小时,
|
| xy 最大.
66. ①一元二次不等式
2
0(
0)
ax
bx
c
+
+
或
2
(
0,
4
0)
a
b
ac
=
−
，如果a 与
2
ax
bx
c
+
+
同号，则其解集在两根之外；如果a 与
2
ax
bx
c
+
+
异号，则其解集在两根之间.
简言之：同号两根之外，异号两根之间.
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
0(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
；
1
2
1
2
1
2
,
(
)(
)
0(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
或
.
②简单的高次不等式的解法：数轴标根法（穿针引线法）。注意重因式的处理，奇次重根一次
穿过，偶次重根穿而不过。
例如：(
) (
)(
) (
)
2
3
3
1
1
5
0
x
x
x
x
+
+
−
−
，如图
从图中易知解集为
(
)
(
)
(
)
,
3
3, 1
1,5
−−
−
−
U
U
③一元二次方程的根的分布情况：设
1
2
,
x x 是实系数二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
的两个
实根，则
1
2
,
x x 的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示：
67. 含有绝对值的不等式，当a> 0
时，有
2
2
x
a
x
a
a
x
a
−
.
2
2
x
a
x
a
x
a
或
x
a
−
68. （1）理解绝对值的几何意义，
并了解下列不等式成立的几何意义
及取等号的条件：
|
| |
|
|
|
a
b
a
b
+
+
，,a b
R
；
|
| |
|
|
|
a
b
a
c
c
b
−
−
+
−
，,a b
R
.
（2）会利用绝对值的几何意义求解
以下类型的不等式：
|
|
ax
b
c
+
；
|
|
ax
b
c
+
；
根的分布
图像
充要条件
1
2
x
x
k
18
16
14
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
6
4
2
2
4
6
8
x=-b/2a
x2
x1 O
f(k)
( )
0,
0,
2
f k
b
k
a
−
1
2
k
x
x
16
14
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
6
4
2
2
4
6
8
x=-b/2a
k
x2
x1
O
f(k)
( )
0,
0,
2
f k
b
k
a
−
1
2
x
k
x
16
14
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
12
10
8
6
4
2
2
x = -b/2a
k
x2
x1
O
f(k)
( )
0
f k
(
)
1
2
1
2
,
,
x x
k k
14
12
10
8
6
4
2
2
2
2
4
6
8
10
x = -b/2a
f(k1)
f(k2)
x2
x1
O
k1
k2
( )
(
)
1
2
1
2
0,
0,
0,
2
f k
f k
b
k
k
a
−
1
2
x
x
、
有
且只有一
个在
(
)
1
2
,
k k
内
10
8
6
4
2
2
4
6
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
1
O
k1
k2
( )
(
)
1
2
0
f k
f k
或
( )
1
1
2
1
0,
2
2
f k
k
k
b
k
a
=
+
−
或
(
)
2
1
2
2
0,
2
2
f k
k
k
b
k
a
=
+
−
对于
0
a
的情形“大射
．．线小线
．．段”
积定和最小
和定积最大
大射线
．．． 小线段
．．．
“一定二正三相等”
-3
-1
1
5
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|
|
|
|
x
c
x
b
a
−
+
−
.
69. 无理不等式
（1）
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
( )
f x
f x
g x
g x
f x
g x
；
（2）
2
( )
0
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
0
( )
[ ( )]
f x
f x
f x
g x
g x
g x
f x
g x
或
；
（3）
2
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
[ ( )]
f x
f x
g x
g x
f x
g x
70. 指数不等式与对数不等式
(1)当
1
a
时,
( )
( )
( )
( )
f x
g x
a
a
f x
g x
;
( )
0
log
( )
log
( )
( )
0
( )
( )
a
a
f x
f x
g x
g x
f x
g x
.
(2)当0
1
a
时,
( )
( )
( )
( )
f x
g x
a
a
f x
g x
;
( )
0
log
( )
log
( )
( )
0
( )
( )
a
a
f x
f x
g x
g x
f x
g x
第八章 立体几何
71. 常用公理和定理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．
定理：①空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．
⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．
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⑥一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．
⑦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行．
⑧垂直于同一个平面的两条直线平行．
⑨两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
72. 三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）
设AB 与平面α所成的角为
1
,AC 是α内的任一
条直线，且AC 与AB 的射影AB
/所成的角
为
2
，AB
/与AC 所成的角为．则
1
2
cos
cos
cos
=
.如右图⑴。
73. 空间两点间的距离公式 若A
1
1
1
( ,
,
)
x y z
，B
2
2
2
(
,
,
)
x
y z
，
则
,
A B
d
=|
|
AB
AB AB
=
uuur
uuur uuur
2
2
2
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
(
)
x
x
y
y
z
z
=
−
+
−
+
−
.
74. 面积射影定理：
'
cos
S
S
=
.(平面多边形及其射影的面积
分别是S 、
'S ，它们所在平面所成锐二面角的为).如图⑵。
75． 已知：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为
、、
，因此有
2
2
2
cos
cos
cos
1
+
+
=
；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所
成的角分别为
、、
，则有
2
2
2
cos
cos
cos
2
+
+
=
。（线线面12）
76． 棱锥的平行截面的性质：
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积
的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相
似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比
等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．）若每个顶点引出的棱数为m ，则：.
77. 球
①球的半径是R，则其体积
3
4
3
V
R
=
,其表面积
2
4
S
R
=
；
②球的半径（R），截面圆半径（r ），球心到截面的距离为（d ）构成直角三角形，因而有关
系：
2
2
r
R
d
=
−
，它们是计算球的关键所在。
78. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直
径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为
6
12 a ,外接球的半
径为
6
4 a .
79． 柱体、锥体的体积
1
3
V
Sh
=
柱体
（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）;
1
3
V
Sh
=
锥体
（S 是锥体的底面积、
h 是锥体的高）.
80. 空间向量的直角坐标运算：设
(
)
(
)
1
1
1
2
2
2
,
,
,
,
,
a
x y z
b
x
y
z
=
=
r
r
，则
(
)
1
2
1
2
1
2
,
,
a
b
x
x
y
y
z
z
+
=
+
+
+
r
r
；
(
)
1
2
1
2
1
2
,
,
a
b
x
x
y
y
z
z
−
=
−
−
−
r
r
；
1
2
1
2
1 2
a b
x x
y y
z z
=
+
+
r r
；
A
B'
C
B
A
B'
C
B
图⑴
图⑵
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a
r
∥b
r
(
)
1
2
1
2
1
2
,
,
x
x
y
y
z
z
R
=
=
=
,或
1
1
1
2
2
2
x
y
z
x
y
z
=
=
；
a
r
⊥b
r
1
2
1
2
1 2
0
x x
y y
z z
+
+
=
81. 二面角
l
−−
的平面角计算（夹角）公式：设,a b
r r
为平面，的法向量。通常情况
下，若已知
(
)
(
)
1
1
1
2
2
2
,
,
,
,
,
a
x y z
b
x
y
z
=
=
r
r
，则
1
2
1
2
1 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
cos
,
x x
y y
z z
a b
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
+
+
+
r r
82.
空
间
两
点
的
距
离
公
式
：
设
(
)
(
)
1
1
1
2
2
2
,
,
,
,
,
A
x y z
B
x
y
z
=
=
，
则
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
A
B
d
x
x
y
y
z
z
=
−
+
−
+
−
、
.
83． 高中数学角的范围：
① 向量夹角:[0°,180°]；
③ 直线的倾斜角:[0°,180°)；
③ 共面直线的夹角:[0°,90°]；
④ 直线和平面夹角:[0°,90°]；
⑤ 异面直线夹角:(0°,90°]；
⑥ 二面角:[0°,180°]。
第九章 平面解析几何
84. 斜率公式
①
2
1
2
1
y
y
k
x
x
−
=
−
（
1
1
1
( ,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x
y
）
tan
2
=
.
②曲线
( )
y
f x
=
在点
(
)
0
0
0
,
P x
y
处的切线的斜率
(
)
/
0
k
f
x
=
，切线方程：
(
)(
)
/
0
0
0
y
f
x
x
x
y
=
−
−
.
③直线y
kx
b
=
+
的一个方向向量为(
)
1,k
85. 直线的五种方程﹙一般两点斜截距
．．．．．．．﹚
（1）点斜式
1
1
(
)
y
y
k x
x
−
=
−
(直线l 过点
1
1
1
( ,
)
P x y
，且斜率为k )．
（2）斜截式 y
kx
b
=
+
(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
−
−
=
−
−
(
1
2
y
y
)(
1
1
1
( ,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x
y
(
1
2
x
x
)).
(4)截距式
1
x
y
a
b
+
= ( a
b
、分别为直线的横、纵截距，
0
a
b
、
)
（5）一般式
0
Ax
By
C
+
+
=
(其中A、B 不同时为0).
86. 两条直线的平行和垂直
(1)若1
1
1
:
l
y
k x
b
=
+
，2
2
2
:
l
y
k x
b
=
+
①1
2
1
2
1
2
||
,
l
l
k
k b
b
=
; ②1
2
1 2
1
l
l
k k
⊥
= −.
(2)若1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
+
+
=
, 2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
+
+
=
,且A1、A2、B1、B2 都不为零,
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①
1
1
1
1
2
2
2
2
||
A
B
C
l
l
A
B
C
=
；②1
2
1
2
1
2
0
l
l
A A
B B
⊥
+
=
；
（3）直线l :
0
Ax
By
C
+
+
=
中，若
0,
0
A
B
=
,
则l 垂直于y 轴；若
0,
0
A
B
=
,则l 垂直于x 轴。
87．四种常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程
(1)定点直线系方程：经过定点
0
0
0
(
,
)
P x y
的直线系方程为
0
0
(
)
y
y
k x
x
−
=
−
(除直线
0
x
x
=
), 其中k 是待定的系数; 经过定点
0
0
0
(
,
)
P x y
的直线系方程为
0
0
(
)
(
)
0
A x
x
B y
y
−
+
−
=
,其中
,
A B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
+
+
=
, 2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
+
+
=
的交点
的直线系方程为
1
1
1
2
2
2
(
)
(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C
+
+
+
+
+
=
(除2l )，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y
kx
b
=
+
中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系
方程．与直线
0
Ax
By
C
+
+
=
平行的直线系方程是
0
Ax
By
+
+
=
(
0
)，λ是参变
量．
(4)垂直直线系方程：与直线
0
Ax
By
C
+
+
=
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
0
Bx
Ay
−
+
=
,λ是参变量．
88. 点到直线的距离
0
0
2
2
|
|
Ax
By
C
d
A
B
+
+
=
+
(点
0
0
(
,
)
P x y
,直线l ：
0
Ax
By
C
+
+
=
).
89.
0
Ax
By
C
+
+
或
0
(其中A、B 不同时为0).所表示的平面区域
设直线:
0
l Ax
By
C
+
+
=
，则
0
Ax
By
C
+
+
(或
0
)所表示的平面区域是：
若
0
C
,则用原点
(
)
0,0
O
试，结果适合不等式，表示原点所在的平面区域就是。否则，
边界的另一区域才是；
若
0
C =
，则用点(
)
1,0 或者(
)
0,1 试，方法同上。
90. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
−
+
−
=
；
（2）圆的一般方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
+
+
+
+
=
(
2
2
4
D
E
F
+
−
＞0).
（3）圆的直径式方程
1
2
1
2
(
)(
) (
)(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
−
−
+
−
−
= (圆的直径的端点是
1
1
( ,
)
A x y 、
2
2
( ,
)
B x y ).
91. 点与圆的位置关系
点
0
0
(
,
)
P x y
与
圆
2
2
2
)
(
)
(
r
b
y
a
x
=
−
+
−
的
位
置
关
系
有
三
种
若
2
2
0
0
(
)
(
)
d
a
x
b
y
=
−
+
−
，则d
r
点P 在圆外;d
r
=
点P 在圆上;d
r
点P 在
圆内.
92. 直线与圆的位置关系
直线
0
=
+
+
C
By
Ax
与圆
2
2
2
)
(
)
(
r
b
y
a
x
=
−
+
−
的位置关系有三种:
①
0
相离
r
d
;
②
0
=
=
相切
r
d
;
③
0
相交
r
d
.其中
2
2
B
A
C
Bb
Aa
d
+
+
+
=
.
93. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
d
O
O
=
2
1
①
条公切线
外离
4
2
1
+
r
r
d
;
②
条公切线
外切
3
2
1
+
=
r
r
d
③
条公切线
相交
2
2
1
2
1
+
−
r
r
d
r
r
;
是0，（0，1）、（1，0）试
非0，（0、0）试
有谁垂（吹）谁
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④
条公切线
内切
1
2
1
−
=
r
r
d
;
⑤
无公切线
内含
−
2
1
0
r
r
d
.
94. 圆的切线方程：已知圆
2
2
2
x
y
r
+
=
．过圆上的
0
0
0
(
,
)
P x y
点的切线方程为
2
0
0
x x
y y
r
+
=
;
95. 椭圆
①椭圆定义：
1
2
0
2
1
2
MF
MF
a 2a | F F |
+
=
（
）；
②
2
2
2
1
1
1
1
F B
OF
OB
=
+
（即
2
2
2
c
b
a
+
=
，注意
1
1
Rt FOB
）；
③设P 是椭圆上任意一点，且
1
2
F PF
=
，则有
(
)
2
2
2
1
2
1
2
2
cos
2
PF
PF
PF
PF
c
+
−
=
.
④下表是椭圆的标准方程及几何性质。
⑴椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
焦半径公式：
)
(
2
1
c
a
x
e
PF
+
=
，
)
(
2
2
x
c
a
e
PF
−
=
；
⑵椭圆的的内外部：
①点
0
0
(
,
)
P x y
在椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
的内部
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
+
；
②点
0
0
(
,
)
P x y
在椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
的外部
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
+
；
⑶椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
与直线
0
Ax
By
C
+
+
=
相切的条件是
2
2
2
2
2
A a
B b
c
+
=
.
96. 双曲线
①双曲线定义：
(
)
1
2
1
2
MF |-| MF = 2a
< 2a <| F F |
0
；
标准方程
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
b
a
+
=
图形
范围
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
顶点坐标
(
) (
)
0,
0
b
a
、
，
(
) (
)
0
0
b
a
，、，
焦点坐标
(
)
0
c
，
(
)
0
c
，
半长轴
长半轴椭长为a ，短半轴长为b
焦距
焦距为 2c
a
b
c
、、
关系
2
2
2
a
b
c
=
+
离心率
c
e
a
=
2
2
2
1
1
b
b
e
or e
a
a
= −
=
−
x
y
F1
F2
O
A1
A2
B2
B1
F1
F2
y
x
O
B1
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②
2
2
2
1
1
1
1
AO
OB
A B
+
=
（即
2
2
2
c
b
a
=
+
，注意
1
1
Rt AOB
，其中
1
1
A
B
、
为同一象限内的
实顶点、虚顶点，O 为坐标原点）；
③
设
M
是
双
曲
线
上
任
意
一
点
，
且
1
2
FMF
=
，
则
有
(
)
2
2
2
1
2
1
2
2
cos
2
MF
MF
MF
MF
c
+
−
=
.
④下表是其标准方程及几何意义。
⑴ 双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的焦半径公式：
2
1
| (
) |
a
PF
e x
c
=
+
，
2
2
| (
) |
a
PF
e
x
c
=
−
;
⑵ 双曲线的内外部：
①点
0
0
(
,
)
P x y
在双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的内部
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
−
；
②点
0
0
(
,
)
P x y
在双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的外部
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
−
;
⑶ 双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
与直线
0
Ax
By
C
+
+
=
相切的条件是
2
2
2
2
2
A a
B b
c
−
=
.
97. 抛物线
⑴抛物线
(
)
0
2
2
=
p
px
y
的焦点弦（过焦点的弦）为
．．．．．．．．．．．AB ，(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则有如下
结论：
① 焦半径公式：
1
2
p
AF
x
=
+
；
标准方程
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
、
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
−
=
、
图形
范围
x
a
或者x
a
−
y
a
或者y
a
−
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
顶点坐标
(
)
0
a
，
(
)
0
a
，
焦点坐标
(
)
0
c
，
(
)
0
c
，
半长轴
实半轴椭长为a ，虚半轴长为b
焦距
焦距为 2c
a
b
c
、、关系
2
2
2
a
c
b
=
−
离心率
c
e
a
=
2
2
2
1
1
b
b
e
or
e
a
a
=
−
=
+
渐近线
b
y
x
a
=
a
y
x
b
=
x
y
F2
F1
M
y
x
o
F2
F1
M
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四大方程四条
．．．．．．
规律
．．：
⑴一次项是
谁，焦点在谁
轴上；
⑵一次项系数
的正负，代表
开口方向的上
下或右左；
⑶焦点坐标一
个是0，另一非
0，且刚好是
一次项系数的
1
4
；
⑷准线方程的
数值刚好是焦
点的非0 坐标
的相反数。
② 焦点弦长
p
x
x
p
x
p
x
AB
+
+
=
+
+
+
=
2
1
2
1
2
2
；
③
2
1
2
y y
p
= −
，
2
1
2
4
p
x x =
.
⑵抛物线的内外部：
① 点
0
0
(
,
)
P x y
在抛物线
2
2
(
0)
y
px p
=
的内部
2
2
(
0)
y
px p
；
②点
0
0
(
,
)
P x y
在抛物线
2
2
(
0)
y
px p
=
的外部
2
2
(
0)
y
px p
；
⑶抛物线
px
y
2
2 =
(
)
0
p
上的动点可设为P
)
,
2
(
2
y
p
y
，可简化计算。
⑷ 抛物线的切线方程：
① 抛物线
px
y
2
2 =
上一点
0
0
(
,
)
P x y
处的切线方程是
0
0
(
)
y y
p x
x
=
+
；
②抛物线
2
2
(
0)
y
px p
=
与直线
0
Ax
By
C
+
+
=
相切的条件是
2
2
pB
AC
=
.
98. 抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。下表是其标准方程及图
形
99. ①直线与圆锥曲线相交的弦长公式
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
=
−
+
−
或
(
)
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
(1
)(
)
1
|
|
1
(
)
4
1
|
|
AB
k
x
x
k
x
x
k
x
x
x x
y
y
k
=
+
−
=
+
−
=
+
+
−
=
+
−
（弦端点A
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
，由方程
=
+
=
0
)
y
,x
(
F
b
kx
y
消去y 得到
0
2
=
+
+
c
bx
ax
，
0
,k
为直线的斜率）;
②中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为
2
2
1
Ax
By
+
=
；
③处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减
．．．．法．：设A
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
为椭圆
方程
焦点
准线
图形
2
2
y
px
=
(
)
0
p
F
,0
2
p
2
p
x = −
(
)
2
2
0
y
px p
= −
F
,0
2
p
−
2
p
x =
2
2
x
py
=
(
)
0
p
F
0, 2
p
2
p
y = −
(
)
2
2
0
x
py p
= −
F
0,
2
p
−
2
p
y =
F
y
x
O
F
y
x
O
F
y
x
O
F
y
x
O
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2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
上不同两点，
(
)
0
0
,
M x x
是AB 中点，则
2
2
AB
OM
b
k
k
a
= −
；对于双曲
线
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
、
，类似可得：
2
2
AB
OM
b
k
k
a
=
；对于抛物线
2
2
y
px
=
(
)
0
p
有
1
2
2
AB
p
k
y
y
=
+
.
100. 圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线
( , )
0
F x y =
关于点
0
0
(
,
)
P x y
成中心对称的曲线是
0
0
(2
- ,2
)
0
F
x x
y
y
−
=
.
（2）曲线
( , )
0
F x y =
关于直线
0
Ax
By
C
+
+
=
成轴对称的曲线是
2
2
2
2
2 (
)
2 (
)
(
,
)
0
A Ax
By
C
B Ax
By
C
F x
y
A
B
A
B
+
+
+
+
−
−
=
+
+
.
第十章 概率、统计及统计案例
101. 等可能性事件的概率：
( )
m
P A
n
=
=
102. P（A）=
积）
的区域长度（面积或体
试验的全部结果所构成
积）
的区域长度（面积或体
构成事件A
.
103. 互斥事件A，B 分别发生的概率的和:P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
104. n 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋
P(An)．
105. 抽样方法主要有：①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，
它的主要特征是从总体中逐个抽取；②系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征
就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；③分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使
用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每
层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即：
或者
k
k
n
n
N
N
=
106. 总体分布的估计：用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地，
样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图.
107. 样本平均数：
1
2
3
...
n
x
x
x
x
x
n
+
+
+
+
=
；
样本方差：
(
) (
)
(
)
2
1
2
3
1
...
n
s
x
x
x
x
x
x
x
x
n
=
−
+
−
+
−
+
+
−
；
样本标准差：
(
) (
)
(
)
1
2
3
1
...
n
s
x
x
x
x
x
x
x
x
n
=
−
+
−
+
−
+
+
−
。
n
m
A
试验的基本事件总数
包含的基本事件数
事件
=
每部分抽取的个体数
样本容量
该部分的个体总数
总体中的个体数
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④如果执行下面的程序
框图，如图⑷，输入N=5,则
输出的数等于__________；
⑤阅读下面的程序框图⑸，
运行相应的程序后，则输出S
的值为_________.
③某城市缺水问题比较突出，为了制定节水
管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了
抽样调查，其中4 位居民的月均用水量分别
为:
1
4
,
,
x
x
(单位：吨)。根据如图所示的程序框
图，若
1
2
3
4
,
,
,
x x x x 分别为1，1.5，1.5，2，则输
出的结果s 为______________.
第十一章 算 法 初 步 及 框 图
108. ①画出计算
2
2
2
2
2
4
6
100
+
+
++
的程序框图，如图⑴；②对图⑵，若输入1
2
，则执
行程序后输出y 的值为:____
开始
s=0
i=2
s=s+i2
i=i+2
i<=100
输出s
结束
是
否
图⑴
开始
S1=0,i=1
1
1
s
s
i
=
i<=4
输出S
结束
是
否
图⑶
输入
1
4
,
,
x
x
S1=S1+xi
i=i+1
开始
y=x2
y=1
x>1
输出y
结束
N
输入y
Y
y=4x
x<1
N
Y
图⑵
开始
s=0
i=1
2i
a
i
=
s
s
a
= +
s>11
输出s
结束
是
否
图⑸
1
i
i
= +
开始
S=0,k=1
(
)
1
1
s
s
k k
=
+
+
k<N
输出S
结束
是
否
图⑷
输入N
k=k+1
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第十二章 推理与证明
109. ⑴归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有
代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。；
⑵类比推理是从特殊到特殊的推理。通常是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相
似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠
110. 综合法是“由因导果”；分析法是“执果索因”；反证法，往往用于“正难则反”，思路
决定出路。
第十三章 数系的扩充与复数的引入
110. 复数的相等：
,
a
bi
c
di
a
c b
d
+
=
+
=
=
.（, , ,
a b c d
R
）
111. 复数z
a
bi
=
+
的模：|
|z =|
|
a
bi
+
=
2
2
a
b
+
.
112. 复数的四则运算法则
(1)(
)
(
)
(
)
(
)
a
bi
c
di
a
c
b
d i
+
+
+
=
+
+
+
;(2)(
)
(
)
(
)
(
)
a
bi
c
di
a
c
b
d i
+
−
+
=
−
+
−
;
(3)(
)(
)
(
)
(
)
a
bi c
di
ac
bd
bc
ad i
+
+
=
−
+
+
;
(4)
2
2
2
2
(
)
(
)
(
0)
ac
bd
bc
ad
a
bi
c
di
i c
di
c
d
c
d
+
−
+
+
=
+
+
+
+
.
113.
2
2
z z
z
z
=
=
(其中z
a
bi
=
+
和z
a
bi
=
−
互为共轭复数)
114. ⑴(
)
2
1
2
i
i
=
；
⑵1
1
i
i
i
+ =
−
；1
1
i
i
i
−= −
+
⑶虚数单位i 的幂的周期性：
4
1
n
i
i
+ = ，4
2
1
n
i
+ = −，4
3
n
i
i
+ = −，4
4
1
n
i
+ = ，n
N+
115. 设
1
3
2
2 i
= −
+
,则有: ①
2
1
0
+
+
= ；②
3
3
1
= =
；③
2
2
,
=
=
.
第十四章 几何证明选讲
116． ① 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于
它所对的弧的度数的一半。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
② 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半。
③ 切割线定理：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点
一、二、三、四
i 负一，相反数
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的线段长的比例中项。
推论（割线定理）：从圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的
积，等于另一条割线上对应线段长的积。
④ 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
⑤ 直角三角形的射影定理：Rt
ABC
中，AD 为斜边上的高，如图⑷。则有
⑴
2
CD
AD DB
=
;⑵
2
AC
AD AB
=
⑶;
2
BC
BD AB
=
.
第十五章 坐标系和参数方程
117. 极坐标和直角坐标的互化
设为平面上的任一点，它的直角坐标为，极坐标为，如图⑸，由图可知下面的关系式成立：
cos
sin
x
y
=
=
或者
(
)
2
2
tan
0
x
y
y x
x
=
+
=
这就是极坐标和直角坐标之间的互化公式。
第十六章 不等式选讲
118. ⑴函数
( )
1
2
f x
x
x
=
−+
−
的值域。
（答案提示：
)
1,+，图像如图⑴所示）。函数
( )
f x
的几何意义；表示在数轴上，到定点1 和2 的距离之和。
⑵函数( )
1,
2
1
2
2
3,
1
2
1,
1
x
g x
x
x
x
x
x
=
−−
−
=
−
−
值域，（答案提示
1,1
−
，其图像如图⑵
所示）。函数( )
g x 的几何意义：表示在数轴上，到定点1 的距离与到定点2 的距离的差。
⑶会根据绝对值的几何意义，求不等式
1
2
1
x
x
−+
−
、
1
2
1
x
x
−−
−
的解集。
具体求解不等式的类型及具体的解法，见“第七章 不等式”。
图⑷
x
y
O
M
图⑸
D
A
C
B
图⑵
2
1
1
-1
x
o
1
2
y
x
x
=
−−
−
y
x
o
3
2
1
2
1
3
1
2
y
x
x
=
−+
−
y
图⑴
