高中数学——猿题库——满分之路——解析几何_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

厂
）
‖｛
小独书社｜
巴
』
｛
斗｝｜学
［｝』撕《』撇｝）｜乡｜
解析几何
｜攻兑解析几何难题,这一本就够了
~
～～～
高中数学
M∧丁‖
′刨｜f｜
｜｜版传媒雌｝才｜
∩炙v↑人0削出瓜寸上
丛
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
更多免费资料关注：小初高资料搬砖
三｜录
第01讲直线与曲线联立速算
…………………………………］｜
第02讲弦长与面积
….………….…3l
●●●●●●●●
●●
■
●●■●●
●
●●●
第03讲几何中基本性质的转化………………………………97
第04讲斜率和与积的齐次化证明
…………………………l19
第05讲定点、定值、定直线问题…………………………l5l
第06讲设点消元……………………………………………189
第07讲点差法与定比点差法..
207
●
■
●
］
‖0
0■
‖0
00
‖
0
第08讲非对称韦达定理
。. 231
●
■
●●●
■
■●
●
●
●
●
■●●
●●●
■
●●●●
■
●
●
●
●■
●
■
■
■
第09讲焦点弦
………………………………………………245
第l0讲抛物线性质………….
261
■
■
■
■
■
p
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
第0↑讲宣线与曲线联立速算
回知识纵横
｜已知椭峰惰三｜（硼＞』＞0）与直线……ˉ0相交于厕｀硒点,联立直线与椭圆
勺
勺
备嘴＝1
』
｛萍…
方程:
消去y得:
（α2A2＋b2B2）厕2＋2α2AC卯＋α2（C2ˉb2B2）＝0’
由根与系数的关系’可得:
@△卿＝4α2b2B2（α2A2＋62B2-C2）’△鳃正负等价于△′“＝α2b2（α2A2＋b2B2ˉC2）的正负
（有效判别式）
α2（C2-62B2）
〃1鄙膘°…-
@卯l＋卯2＝—
α2A2＋b2B2
.
@@代人（″l＋卿2）2≡旦＋丝＋2,推得@红与系数的关系.
卯l
·卯2
卯2
几1
卯2
消去卯得: （α2A2＋b2B2）y2＋2b2BCγ＋b2（C2-α2A2）＝0’由根与系数的关系’可得:
@△γ＝4α2b2A2（α2A2＋b2B2ˉC2）,△γ正负等价于△′γ＝α262（α2A2＋b2B2-C2）的正负
b2（C2-α2A2）
·:〗;卿°M2ˉ
@γl＋γ2＝
α2A2＋B2b2
.
@@代人（γl＋γ2）2＝IL＋丝＋2’推得@红与系数的关系.
yl
·y2
y2
γl
γ2
2α2Ab2B
@勿1y2＋鳃2γl＝α2A2＋b2B2
（根据“1＋则2’ 则l卿2写γl＋y2, γly2的方法:A’B互换; α2’b2互换; C不变）
∩
＋B丝
匹
＼
｀
‖
‖
‖
′
′
〃
了
口
‖
旦
′
′
』
【
‖
｀
＼
／
′
γ
］
）
＝
卯
］
▲
卯
〃
斗
∑
＼
／
’
＝
卯
＋
］
几
（
［
（卯｜ˉ则2）2＋（ylˉy2）2
／
γ
由｜EF｜
＝
~
γ
B2
亿了
｜α2A2＋b2B2
｜
,
］＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之路·解祈几何1
瓜页ˉ干万页
叫α2b2B2（α2A2＋b2B2≡℃2〕
二二
γ
B2
｜α2A2＋b2B2
9
2√』2＋B2
√α2b2（α2A2＋b2B2-C2）
即@｜EF｜
≡
｜α2A2＋b2B2
｜
｜C｜
又（／OˉEF＝√A2＋B2
9
√α2b2（α2A2＋b2B2ˉC2）
.
｜C｜
os△‘″-士｜〃｜刷〔′哑＝
｜α2A2＋b2B2
｜
2.曲线方程需要经过简单变形才能应用硬解定理
勺
∩
设曲线方程备±萨二｜中嚼2＝顺,膀＝＂』则曲线方程有下顶简单变形
曲线方程
方程变形
m
Ⅱ
卯2
γ2
—亏＋
＝1
b2
α凸
~~勺
工
矽
＋
勺
工
脐
勺
α凸
b2
7
7
∩
′
气
′
~~叮
方
厂
＋
工
∩
旷
］
~~
～
—
∑
γ
空
α
＋
叮
万
厂
b2
勺
α凸
7
7
］
~~
）
＾
乙
勺
▲
】
∧
α
γ
～
（
＋
’
工
矽
~~
工
脐
虹
仍
勺
α垄
-b2
∩
′
∩
′
卯2
勺
垄
~
—
～
″
γ
△
＋
］
~~”
方
扩
＝
＿
∑
γ
乙
α
∩
′
▲
β
~
勺
≡
α
］
~~
＿
’
旷
＋
）
’
＝
β
~
~
（
］
~~乙
产
＋
｜
＾
扩
—
句
广
勺
≡
下
′
~~
勺
叁
γ
＋
勺
▲
卯
∩
≡
厂
『
∩
兰
了
『
c典型例题
［题型l
速算:
卯｜＋卯2 ’γl＋y2］
勺
∩
［例｜］已知椭圆C:萧＋萨二l（…＞0）过点（2,0）』目椭圆c＂离心率为÷
（1）求椭圆C的方程;
（2）直线／过点（0’ˉl）交椭圆于A, B两点,椭圆上存在—点P’使得四边形OAPB
为平行四边形’求直线／的方程.
2
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第0↑讲霹线翱曲线联立逮霹｝
］
~~
’
厂
亏
〕
‖
＋
忻
’
工
斗
解
』
（
●
（2）设点A（卯l ’γl）’B（厕2’y2）’P（卯0’y0）
’
依题意’设直线／的方程为:γ＝脑-l’
÷子二』,
［…阶｛—川≡№
联立直线／与椭圆方程’
消y得:（4k2＋3）卿2ˉ8肛ˉ8＝0’
-8A
尸
卯1＋卯2＝- 4k2＋3,
6
故≤
γ1＋γ2＝- 4k2＋3.
-8
几l °卯2≡4内2＋3’
—〉
——尹
-—-〉
四边形OApB为乎行四边形’则OP＝OA＋OB’
-8k
％0≡卯l＋卯2＝- 4∧2＋3,
即√
6
γ0＝γ1＋γ2≡- 4k2＋3,
……（—≡￥j）;」—伞）1 ＝1’
整塑得;16僻十雕』—］二（靴2十］）（4k2ˉ1）＝0’解得陪二÷,:｜,偷＝麦了
1
纹所求直绚的方霍为;γ＝圭÷狐ˉL
总结:
＝-→
-—-〉
-—-〉
P是以OA’OB为邻边的平行四边形的顶点＝OP＝OA＋OB.
‘4
P
（）
B
3
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之路.解析几何l
~~
［题型2速算:
则l
.卯2’γl
.γ2］
［例2］已知直线』;…—丁-0（腮≥」）,椭厕C;磊带Ⅱ』-」,F｜,′』分别为椭圆c的王
′＂2
右焦点.
（l）当直线／过右焦点F2时’求直线／的方程;
（2）设直线／与椭圆C交于A’B两点,△AFlF2, △BFlF2的重心分别为G,H’若原
点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围
·解析9
（｜）阂为直线′;露＿刚—夸-0（砸≥｜）缝过′2（√砸』ˉ｜’0）｀
所叫′厕』＿｜＿窖二0,解得″』2-2
又因为m＞1’所以″!＝√Z
故直线的方程为卯ˉ√页yˉl＝0.
（2）设A（勿l ’γ1
）’B（厕2’γ2）.
″垄＋γ2＝l
』
″广
-
联立直线与椭圆
｜带…↑
『Ⅶ4
消γ得2〃2-′n2“＋—-′Ⅶ2＝0’
4
司
『∏←
）
2
（
＝0·
则△＝ˉ′网4＋8′n2＞0’解得m2＜8’即l＜m＜2√Z
∩
兰
加
勺
▲
~~
∑
卯
＋
］
卯
矾
—
可
～
~~
）
～
γ
＋
］
γ
’
］
而
丁
∑
~~
∑
γ
■
●
〗
』
γ
≈
≤
’
寸
厂
″
＿
勺
～
耐
—
斗
c,…｜为△A′｜′』.△邵｜′』钩重题,赦‘（÷,÷）｀H（÷.÷）
处理方案一（向量数蚤积）
:
原点O在以线段GH为直径的圆内,
4
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第0↑讲窜线与曲线联立速霹!
~
’
∩
～
＜
）
］
＋
∑
］
’
″
β
〃
（
＜
）
斗
∑
γ
●
∑
川
］
′
γ
（
｀
＋
’
］
—
β
∑
卯
＿
＿
■
）
斗
］
卯
＿
＿
∑
加
）
№
—
〕
〕
’
咆
＿
〕
∏
斗
′
（
（
］
—
β
●
）
~~
川
＿
〕
］
’
川
—
］／
｜
＼
旅
—
△
·
∑
~~
＋
一
哑
而
＝
’
≈
●
→
∩
○
耐
—
斗
—
∩
哑
故
即
解得m2＜4’即-2＜m＜2.
又l＜′＂＜2√Z
所以l＜m＜2.
所以m的取值范围是（1 ’2）
处理方案二:
设删是田的中点』则删（鞭宁2,γ宁2）.
原点O在以线段GH为直径的圆内’2｜MO｜＜｜GH｜
’
:叫｜（鞭宁』）2十（竿）』｜＜（鞭｜＿鞠）:
（γ｜ˉ滩）:
＋
9
9
’解得卯1 .卿2＋y1 .γ2＜0’
m′4
丁ˉm2
而卯l .卯2＋γl .γ2＝
2
解得m2＜4,即-2＜′″＜2.
’
∩
■
＜
］
勺
～
而
—
斗
＋
又l＜m＜2√Z所以l＜″!＜2.
所以″』的取值范围是（l’2）.
［题型3速算: 卯l＋则2’γl＋y2’
“l
.卯2］
7
7
［例3］已知椭圆C;÷｝舌-］（侧＞b＞0）的右焦点为′（l,0）,M为椭圆的上顶点, O为坐
标原点,且△OMF是等腰直角三角形.
（l）求椭圆的方程;
（2）是否存在直线／交椭圆于P’0两点’且使点F为△P0M的垂心（垂心:三角形三
边高线的交点）?若存在’求出直线／的方程;若不存在’请说明理由
5
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何l
｜·解析0
勺
（l）由△oMF是等腰直角三角形,得b＝l ’α二√Z故椭圆方程为等＋γ2二］
▲
（2）假设存在直线／交椭圆于P’0两点’且使点F为△P0M的垂心.
设P（卿l ’γl）’0（卯2’γ2）’因为M（0’l）’F（l ’0）’所以AP0＝1.
于是设直线／的方程为y＝则＋m’
｜
……引…ˉ』｝Ⅷ
联立直线／与椭圆方程
4m
｜［二〗∑｀｜／｝…垄:
由△＝8（3ˉm2）＞0’得m2＜3’且
由题意’有
一-→
MP.FQ＝（卿l ’γl-l）（＂2ˉl’y2）＝卯l（卯2—1）＋（γl-1）γ2＝则l .卿2＋γl .γ2ˉ卯lˉγ2
2（m:＿｜）个罕呼—枷-0』
＝则1 .卯2＋γl .γ2-（卯l＋厕2）ˉ″』＝
3
整理得3测2十咖—4＝（3咖＋4）（狮ˉ1）＝0’解得咖-＿÷或咖＝1
经检验’
当m＝1时’△P0″不存在’故舍去.
当＂二ˉ÷时,所求直线岭在,且直线′的方程为γ＝箍——
4
3·
［题型4速算:
“］＋卯2’卯l
.则2’γl
.γ2］
［例4］已知椭圆c;苦慌-｜（“＞』＞0）的左右顶点分铡为」｜,蝇, B为短轴的端点,
△A1βA:的面积为2√可,离心率是÷
（1）求椭圆C的方程;
（2）若点P是椭圆C上异于Al ’A2的任意＿点’直线AlP’ A2P与直线卯＝4分别交于
MⅣ两点’证明:以M＼／为直径的圆与直线PF2相切于点F2（F2为椭圆C的右焦点）.
6
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1第0↑讲菌线与曲线联立速蕊0
｜·解祈0
÷2″6＝2√了,
｝计
（l）由已知
又c2＝α2ˉ62’解得6＝√可’α＝2.
7
7
故所求椭圆C的方程为芳十÷-L
（2）证明:由（l）知A］（ˉ2’0）’A2（2’0）’F2（l’0）
设′（鳃＂｀№）（鞭＂…）测乎粤-｜
于是直线才程刹｜′;γ二盖（叶2）’令鞭-4.
得γ厂热所以删（4｀器）
阎裂』｀（4＼器）
＼
｀
〖
〗
‖
‖
′
／
〗
○
卯
勺
〕
＿
〃
斗
〕
（
12
l2y;＝9＋—
＝9＋厕;ˉ4
）
驯
＿
唯
）
（
〕
●
’
咖
—
…
（
〕
’
----→
所以F2M
----》
F2Ⅳ＝
＝0,
斗
∩
＝
‖
几
-一
＿—卡
所以F2M上F2／V’点F2在以MV为直径的圆上.
谴删……｜剿.斟狮肄J｜）
＼
）
所以
）
］
○
％
〃
′
‖
｀
勺
全
∩
皿
γ
斗
丽瓦′≡（3＼』№筹1J｜））（翔ˉ｜.№仁3（聪＂—｜）＋
＝3（露0ˉl）＋4（3—÷撼;）（鳃0ˉl）
卯;ˉ4
＝3（卿0ˉ1）ˉ3（卯0-1）＝0.
斗
勺
丝
∩
Ⅷ
卯
--—〉
—＿＿〉
所以F2E上F2P.
故以MV为直径的圆与直线PF2相切于点F2.
7-
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之路.解析几何k
总结;
定理］;…为椭圆c;韩←1（·＞』＞0）上异于长轴端…输任意一点｀逾线
2
R4’PB分别交椭圆的右（左）准线卯＝g二ˉ于M’∧／两点’点F为椭圆的右（左）焦点’则F／｜′
C
与F／γ互相垂直.
＼
艇啊;』（ˉ醒,0）＼周（“,0）.′（傻＼0）.浚尸（鞭＂.』＂）（獭～）.则辩ˉ｜
∩
α乙＋αC
于是直线PA:γ＝—1尘（卿＋α）’令卯＝丝’解得γ″＝
.
αˉ
γ0
卯0＋α
C
卯0＋α
（等,羔可α兰“）…｜乎’器而α≡“）
所以M
C
所以
（等ˉ′,躯0雨
—→
γ0
°FⅣ＝
九
—
硒
’
℃
债
—
·
（
）
）
℃
＋
℃
α
（
α
α（α-C）
一
刚
）
C
（等ˉ像「＋撼;哩了侧』（磁:』ˉ·』）
≡≡
7
（
÷!）
·2b1
b4
b2
—丁＋
′》
2
.
7
＝0’
吕＝
C～
卯6-α
C舍
角
直
为
Ⅳ
′
″
乙
『
目
→
Ⅳ
＿
Ⅳ
上
一
删
以
所
定墅2;……线c;萨ˉ｝;-」（α,b＞0）上异于顶烹4’B的任意一点’直线PA’
PB分别交双曲线的右（左）准线则＝鱼于M／V两点’点F为双曲线的右（左）焦点’则F／｜′
C
与／W互相垂直
8
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第0↑讲霞线与曲线联立i惠霹l
证明:A（-α’（））’B（α’0）’F（c’0）
’
设P（厕0’y0）（则0≠±α）
’
］
~~’
师
—
脐
’
叼
—
债
‖
贝
勺
γ0
（″＋α）’今则＝丝
于是直线R4:γ＝
’
卯0＋α
C
勺
y0
α垄＋αC
解得yM＝
.
’
卯0＋α
C
（千』羔矿
所以M
∩
α丝＋αC
）
C
｜
＾
＿
·
川
—
…
’
′
—
‘
（
Ⅳ
理
同
所以
（等ˉ′,鞭（兴了
●
川
—
…
’
℃
债
—
℃
／
叫
｜
｀
）
α（α＋c）
~~
→
Ⅳ
—
刀
』
●
一
删
（』（α-c）
）
C
C
）
∑
℃
’
‖
∑
∑
℃
＝
α
（
∑
β
∑
α
’
厂
∑
〔
℃
●
∑
α
·
气
←
Ⅷ
』
＿
＼
｀
』
‖
‖
‖
／
∑
◎
■
Ⅱ
∩
冷
卯
α
＋
勺
叼
＿
碳
＿
∑
∑
○
＼
‖
｜
／
／
｜
｜
＼
卯
℃
】
β
＋
债
—
℃
阶
—
锣
（
~
~
~
~
--—〉
—-〉
所以FM」ˉ』W’即二MFⅣ为直角.
定理3:过抛物线y2＝2p卯（p＞0）的焦点F任作一条直线’交抛物线于A（绷l ’γ1）’B（卿2’γ2）
两点’直线AO’BO分别交抛物线的准线于″’／V两点’则FM与′W互相垂直.
9
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
β满分之路.解析几何l
知识储备:
引理1:过抛物线γ2＝2p卯（p＞0）的焦点F任作一条直线’交抛物线于A（卯l ’γl
）
’
B（卯2’γ2）两点’则γl .γ2＝—p2;
引理2:过抛物线γ2＝2p卯（p＞0）的焦点F任作一条直线’交抛物线于A（绷l ’γl
）
’
B（卯2’γ2）两点’直线AO交抛物线的准线于M点’则″B乎行于则轴.
定理38
证碉;设』（鞭｜,γ｜）,B（测2’γ2）,F（;,0）
由引理1可知γl 。γ2＝-p2’
）
γ
丛
〗
（
Ⅳ
＼
卜
′
∑
γ
丛
∑
（
″
知
可
∑
理
引
由
---〉
所以FM
’
·
~~
∑
）
了
八
∏
∩
丝
尸
~~
∑
γ
■
］
γ
＋
∑
′
~~
）
］
γ
’
尸
（
●
）
】
γ
’
尸
（
~~
一
刚
角
直
为
Ⅳ
尸
″
乙
即
一
刚
上
一
刚
以
所
［例5｜已知椭圆E』耗;-｜（侧＞0≥＂）过点（0｀但）,且离心率＂二罕
l／
（l）求椭圆E的方程;
（2）设直线／:则＝my-1（m巴R）交椭圆E于A’ B两点’判断
点‘（ˉ÷,0）与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明
G
理由
］O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「第0↑讲童线与曲线联立逮蕊｝
｜·解析0
｜b＝√Z
｜
（｜）由已知得｜二二但
｜α
2
解析
’
徊
亿
’
∑
~
~
~
~
~
~
α
】
◎
℃
「
‖
｜
｜
｜
｜
〈
｜
｜
［
｝
（
得
解
〔Z2＝b2＋C2·
所以龋圆阀的方程为÷;二｜
（2）解法-:
设点A（则l ’yl）’B（则2’γ2）
’
则画二卜｜÷,γ｜）’丽二卜2÷,γ』）
7
7
·｜固ˉ｛ˉ·
消卯得（′n2＋2）y2-2′′l）—3＝0,
4
卢
卯l＋卯2＝
2＋″l2’
所以《
2（1-2m2）
卯l
·卯2＝
2＋″02
-2m
｜γ｜＋y2＝ˉ
｜
″!2＋2’
｜
3
｜γl .γ2＝ˉ ″〗2＋2’
（
从而
卯
（
’
—
斗
＋
∑
勿
］
勿
~~
∑
γ
］
γ
弓
＋
）
’
—
斗
＋
∑
卯
（
）
’
—
斗
＋
］
卯
／
』
‖
‖
＼
~~
一
“
●
→
“
81
＼
＋绷2）＋γlγ2＋丽
｀
｀
‖
／
勺
～
Ⅶ
′
∑
■
】
』
′
′
‖
｀
∑
〕
＿
…
）
斗
＿
吓
（
’
—
斗
＋
8l
＋—
16
~
2＋m2
l7m2＋2
＾
‖
＞
〉
◆
∏
□
＿
尸
吐
’
→
“
／
＼
吕
○
℃
以
所
’
＾
‖
＞
~~
l6（′Ⅶ2＋2）
＿-〉--→
又GA,GB不共线’所以▲AGB为锐角
故点‘（＿÷’0）在以AB为直径的圆外
解法二:
设点A（则l ’γl）’B（卿2’γ2）’AB的中点为H（厕0’y0）
］］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」
｜满分之路·解祈几何l
子哆-｜』
［…＋＂
由
消则得（m2＋2）γ2ˉ2my-3＝0’
-2m
γl＋y2＝- m2＋2’
所以≤
3
yl
·γ2＝- m2＋2’
~
m′
从而γ0＝″〗2＋2,
卜（）÷）2＋Ⅱ;＝（则』÷）2＋γ;-（′＂:＋1）γ;÷刚0＋篇,
所以｜（Ⅵ｜2＝
｜AB｜2
（则lˉ卯2）2＋（ylˉγ2）2
（l＋m2）（ylˉγ2）2
＝＝
＝＝
4
4
4
（l＋m2）［（γl＋y2）2ˉ4ylγ2］
~
4
＝（l＋″l2）（γ;—yly2）
’
故｜GH｜2- ｜AB｜2
5
25
＝亏″′γ0＋（l＋′n2）γlγ2＋厉＝
4
＝
5m2
3（1＋′n2）
~~歹
—
记
＋
2（矾2＋2）
′则2＋2
′
l7m2＋2
＞0’所以｜‘』′｜＞单
16（m2＋2）
纹点G（ˉ:,0）在以把为直径的圆外
［例6｜设A,‘分别为椭厕c丢懦-］（酿…0）的互石顶点,椭圆长半轴＂长筹十焦
α2
距’且百线／:缅＝L兰＝4.
C
（l）求椭圆C的方程;
（2）设P为直线／上不同于点（4’0）的任意＿点’若直线AP’ BP分别与椭圆相交于
异于A’B的点M’／＼／,证明:点B在以MⅣ为直径的圆内.
］2
-
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖第O↑讲霞线与曲线联立速霹｝
｜·解析0
勺
（1）依题意得α＝2c’丝＝4’解得α＝2’c＝1’从而b＝√5
C
敛蹦圆c嫡方程为γ苦-1
（2）解法-:
证明:由（1）得A（-2’0）’B（2’0）
／
设删（狐0,γ0）’且点M在椭圆上异于顶点』,B则γ;二3＿÷姬;,瓣＂匡（ˉ2,2）o
…』删二点…以得′（4,糕）
从棚～（狮ˉ2,№）,丽＿（2,攀2）
所以
“霹2-2（露厂』）÷6（』—÷耐
（2,舞2）≡2（蹦＂＿2）＋
卯0＋2
）
）
○
γ
’
∑
‖
卯
（
~~
一
″
●
一
删
~
÷（2ˉ绷0）＞0
～
所以乙MBP为锐角’从而乙″B／V为钝角’故点B在以M＼／为直径的圆内.
解法二:
证明:由（1）得A（ˉ2’0）’B（2’0）.
设M（绷l ’yl）’厕l巨（-2’2）’Ⅳ（则2’γ2）’则2巨（ˉ2’2）
’
…输中蕊0（灌宁2,′｜1违）,
依题意’计算点B到圆心Q的距离乎方与半径乎方的差
］3
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何［
］
」
∑
＼
／
∑
γ
］
γ
（
＋
∑
）
且
卯
］
卯
′
′
‖
｀
厂
］
｜
巴
］
—
▲
∑
／
『
Ⅲ
『
】
Ⅱ
‖
｀
｀
＋
∩
垄
＼
｀
‖
■
〗
』
』
′
′
∑
~~
∑
州
］
—
斗
∑
○
｀
日
●
●
得
γl＋γ2
）
（竿:
＼
勺
△
＝（卯l—2）
. （则2ˉ2）＋γl .y2@
又直线AP的方程为y＝
V,
＂lγ＋2（鞭＋2）’直线BP的方程为y＝＂了三2（腮ˉ2）
’
而直线AP与BP的交点P在准线′:则＝4上’
所以6yl
3γl（″2ˉ2）°
＂带2 ＂兰2.:门』≡
二＝
卯l＋2
7
7
又点M在椭圆c上,则予?＝1,:′γ｝＝÷（4ˉ撼｝）
圃.
将@◎代入o’化简后可得｜β0｜2ˉ＋｜M｀′｜』-;（2—灌｜）（露2ˉ2）＜0
从而,点B在以Mγ为直径的圆内.
总结:
判断以线段为直径的圆与点P的位置关系常转化为向量数量积:
--十
---〉
（l）PA.PB＝（）,P在以线段AB为直径的圆上;
--十
（2）PA
一
PB＞0’P在以线段AB为直径的圆外;
--＋
--→
（3）PA.PB＜0’P在以线段AB为直径的圆内
［题型5速算: 卯1＋卿2’则l .“2’γl＋y2’yl .y2］
~厅
（例7］如图,椭圆′;÷肯;＿｜（…＞0）胸离心率是粤,点
｀
凸
D
厂乒
／K÷以Ⅸ
ˉ＿-＞
P（0’l）在短轴CD上’且PC
●
］
~~
→
〃
＿
尸
（1）求椭圆E的方程.
（2）设O为坐标原点’过点P的动直线与椭圆交于A’B两
—一〉
点.是否存在常数入’使得OA
→
〃
、
∧
＋
→
日
＿
∩
□
--广
PB为定值?若存在’求入的值;若不存
在,请说明理由
］4
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1第0↑讲霞线与曲线联立逮霹｝
｜·解祈0
（1）由已知’点C（0’—b）’D（0’6）’又点P（（）’1）
’
—〉
—ˉ—〉
且pC.pD＝1-b2＝-1 ’解得b2＝2.
又′-÷二夸所以α二2所以糯圆÷÷-｜
（2）o当直线AB的斜率存在时’设直线AB:γ＝脑＋1 ’A（厕l ’γl）’B（卯2’γ2）
句
司
γ十÷-l’
（………斗!）…≡＂
联立直线AB与椭圆方程
4k
′
2
2∧2＋1
’ γl＋γ2＝2片2＋I,
卯l＋卯2＝-
则嗡
-2
1-4k2
卯1 .％2＝2k2＋1’
｀γ1 ·γ2＝2k2＋l.
→
〃
｀
∧
＋
→
日
’
＿
∩
□
师
→
岭
--→
PB＝卯l .厕2＋yl .γ2＋∧［卯l .卿2＋（ylˉ1）
. （γ2ˉl）］
＝（1＋入）厕l .则2＋（1＋∧）yl .γ2ˉ人（yl＋γ2）＋∧
-（」轨）蒜｜带（｜趴）锚—入2亡｜认＝∧ˉ］—川—2,
2k2＋1
〕
~~
→
日
—
尸
●
→
川
｀
∧
＋
→
四
四
＿
∩
皿
一
〃
寸
日
］
~~
人
当
以
所
@当直线AB的斜率不存在时’A（0’√可）’B（0’ˉ√Z）’
-—-〉
-→
-—〉
-—-〉
当入≡l时’OA。OB＋∧PA。PB＝—2-1≡-3·
＿—≥
-—-〉
—〉＿〉
综上所述’存在常数入＝1 ’使得OA.OB＋入川.PB为定值ˉ3.
［例8］已知圆心为H的圆卿2＋γ2＋2卿-15二0和定点A（1’0）
’ B是圆上任意＿点’线段AB
的中垂线／和直线BH相交于点M当点B在圆上运动时,点″的轨迹记为曲线C.
（1）求C的方程;
--一尸
——〉
（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C交于P’0和E’F’求PE.0F的取值
范围.
］5ˉ
ˉ＝—
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
′满分之路.解祈几何l
可
∏
析
解
●
（1）由“2＋γ2＋2卿ˉl5＝0’得（卯＋l）2＋γ2＝l6’
所以圆心H为（ˉl ’0）’半径为4.
连接M4’由／是线段AB的中垂线’得｜M4｜
＝｜MB｜
’
所以｜M4｜＋｜MH｜＝｜MB｜
＋｜MH｜≡｜BH｜≡4
又因为｜AH｜＝2＜4’
越点″的轨遮是以」’H为焦惫,郸为长轴长的椭圆‘｀其方程为子苦-!
——〉
ˉ→ˉ-≥
＿-〉
（2）由直线EF与直线P0垂直’可得A0.AE＝AP.AF＝0’
—》一＿-≥
＿—〉
ˉ＿≥
ˉ一-≥
一-≥
＿＿卜
——≥
--广
于是PE.0F＝（AE-AP）
. （AFˉA0）＝AE.AF＋AP.A0.
@当直线P0的斜率不存在时’则直线EF的斜率为零’
此时可不妨取P（!,;）,0（!,ˉ÷）,z（2,0）,′（—2.0）.
所以丽耐＝（l ,—:）（＿3｀÷）-—寻
—〉
—-〉
2l
@当直线P0的斜率为零时’则直线EF的斜率不存在’同理可得PE.0F＝ˉ可
◎当直线P0的斜率存在且不为零时’则直线EF的斜率也存在’
于是可设直线P0的方程为y＝k（卯ˉ1）
’
侧值线″灼方程为γ-ˉ十（鳃ˉ1）
设P（卯l ’γl
）’0（绷2’y2）
’
f苦-! .
｜…咋＂）…Ⅷ……≡Ⅷ
联立直线PQ与曲线C:
-8∧2
卯l＋冗2＝- 4∧2＋3,
-9k2
所以〈
γl .γ2＝4k2＋3’
4（∧2—3）
卯l °卯2＝4∧2＋3
’
］6
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「第O↑讲霞线与曲线联立速缝｜
于是
∑
γ
］
γ
≥
＋
］
＋
＼
／
〗
卯
＋
］
卯
／
＼
∑
卯
●
■
■
且
卯
~~
〗
γ
］
γ
√
＋
＼
／
■
』
∑
卯
（
）
］
］
卯
（
~~
→
蛔
●
→
尸
＿
〃
仙
4（k2ˉ3）
8k2
一9∧2
4A2＋3
4k2＋3＋4A2＋3
-9八2-9
＋l
~
~
~
~
4片2＋3
,
-9∧2-9
~~
→
厂
—
八
仙
■
→
呕
理
同
4＋M2
,
∑
片
］
］
＋
△
口
＋
∑
∧
］
斗
＋
］
（
）
∑
∧
＋
］
（
’
~~〉
∩
飞
—
∧
扭
●
厂
〕
~
—
〃
＋
→
〃
●
→
哑
~~
一
″
●
→
″
以
所
）
令′＝l＋k2巨（1’＋的）
’
63t2
于是P卧0′＝—9（4‘上l十六）＝—l2‘2＋』—l
-—-〉—≥
63
~~~
∑
］
＋
割
』
—
′
＋
巳
）
包
』
＿
′
（
63
~~
~
明
—
斗
＋
∑
）
］
—
∑
］
—
旷
（
’
］
—
斗
＜
∑
＼
｀
‖
‖
‖
′
／
］
—
∑
］
—
旷
·
／
｜
＼
％
—
勺
′
≤
∩
≤
’
］
广
尸
—
◎
＜
包
』
—
′
·
一
″
＜
∩
＜
得
Ⅲ
—
斗
’
］
＞
以
′
由
所
％
—
丁
Ⅻ
—
斗
—〉
＿-〉
综上所述’所求PE.0F的取值范围为
｜
［例9］已刚椭厕c磊惰-」（…0）过点P（—2｀｜）｀目离心率为粤过点P作两条互相
垂直的直线分别交椭圆于A’B两点（A’B与点P不重合）.求证:直线AB过定点’并
求该定点的坐标
］7
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解祈几何l
｜·解析0
］
~~
∑
β
’
β
~~
∑
α
得
梁
角
徊
了
~~
勺
＝
】
○
＿
α
’
＝
α
／
γ
~~
℃
—
α
且
儿
’
~~
］
ˉ
ˉ
＾
乙
〕
］
—
脐
＋
形
—
β
＋
〃
斗
—
勺
旷
。
·
℃
有
圆
’
意
椭
题
以
依
所
设A（绷l ’yl）’B（卯2’γ2）’易知直线AB斜率存在’设AB方程为γ＝脑＋m.
7
O
芳＋÷＝｜,
｜隘刊／…）………』—.』
由
4m附
′
2m
卯l＋卯2＝— 2k2＋l,
γl＋γ2＝2片2＋1
’
则〈
｀
2m2—6
m2一6k2
卯l卯2＝2k2＋l
’
γl °y2＝2A2＋l
.
---〉
---〉
由PAˉLPB知,PA·PB＝0
所以
0＝（卯l＋2）（卿2＋2）＋（γlˉ1）（γ2-1）＝卯l .则2＋2（卯l＋卿2）＋4＋γl .γ2ˉ（γ1＋γ2）＋l
笨尸2（—2舞」）带疆｛Ⅱ2蒜广5.
≡≡
即0＝3m2ˉ8″l∧＋4片2-2″l-l＝（3′″ˉ2k＋1）（″!ˉ2kˉ1）.
由直线AB不过点P（ˉ2’1）’知mˉ2片ˉl≠〔）.
所…＿2胖1二0,聊＝÷您ˉ上
3
,
］
—
〕
）
〗
—
〕
＋
卯
（
∧
~~
γ
为
化
程
方
β
∧
线
直
）
］
—
］
’
∑
—
〕
所以直线AB过定点″（
＼
［例l0］已知点M（ˉ2’0）
’
∧／（2’0）’动点P满足条件｜P″｜
ˉ ｜PⅣ｜＝2√Z记动点P的轨
迹为Ⅳ.
（l）求Ⅳ的方程;
---〉
（2）若A’B是Ⅳ上的不同两点, （）是坐标原点,求OA
-—〉
OB的最小值.
］8
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜第O↑辨蕊线与曲线联立速撼｜
｜·解析0
（1）由｜PM｜
ˉ ｜PM＝2√页次口’动点P的轨迹是以″’Ⅳ为焦点的双曲线的右支’
实半轴长α＝√Z又半焦距c＝2’
故虚半轴长b＝√Pˉ＝万r＝√Z
勺
勺
所以W的方程为等—芹＝｜（鳃≥√百）
～
▲
（2）解法-（直曲联立的常规方法）
:
设点A（卯l ’yl）’B（卿2’γ2）
’
——〉
-—-〉
@当AB上腑轴时’卿l＝则2’从而γl＝ˉγ2’从而OA.OB＝卯l卯2＋ylγ2＝则｝ˉγ｝＝2;
@当AB与卿轴不垂直时’设直线AB的方程为γ＝肋＋m’
÷;-」,
｜腮州…矾｝｝
直线与Ⅳ的方程联立
2km
／
2m
卯1＋卯2＝- A2-1
’ γ1＋y2＝- ∧2-l
,
故咐
《
m2＋2
m2-2k2
卯l％2＝∧2—l
’
片2—l
γ1y2＝-
—〉—〉
加2＋2
m2-2k2
所以OA。OB≡卿l勿2＋γlγ2≡片2-1
／b2-l
消去γ得（l-k2）〃2-2∧m卯-′n2-2＝0’
2k2＋2＝2＋k2-l
4
R2-1
~~
---〉一
又因为卯1卯2＞0,所以k2-1＞0,从『币OA·OB＞2
→
叫
’
时
轴
卯
」
ˉ
日
』
当
’
述
所
上
综
---〉
（）B取得最小值2
解法二（参数法）
:
…（方（′!＋‖）、方（′｜ˉ÷））,‘（方（々十÷）,古（啦ˉ÷））,
喇丽丽-÷（′｜半片）（々＋÷）带÷卜｜ˉ片）（々ˉ÷）二‘｜!2带六≡2,
当且仅当′｜｝〗-六圆′′｜』2～｜时』州』膨美于…称畸取.二Ⅷ
］9
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何l
解法三:
设点A（则l ’yl）’B（绷2’y2）,则则;ˉy;＝（卿′＋γ‘）
. （则面ˉy前）＝2’（j＝1’2）.
令sj≡绷J＋γj ,tj≡如j-y办,
则sj′j＝2’且sj＞0’tt＞0（r＝1’2）’所以
丽而＝…十γ!y2≡＋（慰｜＋‘｜）（…）＋＋（艘｜ˉ‘｜）（…）
1
1
＝百sls2＋丁′lr2≥√sls2′l′2＝2’
当且仅当S1S2＝′lt2’即
时“≡’,成立
---〉
所以OA
—尹
OB的最小值是2
［例l1］已知双曲线卯2ˉy2＝2的左、右焦点分别为Fl
’ F2’过点F2的动直线与双曲线相
交于A’B两点.
—ˉ——）
-——ˉ〉一-——〉
（1）若动点M满足FlM＝FlA＋FlB＋FlO（其中O为坐标原点）’求点M的轨迹
方程
一一》
（2）在卯轴上是否存在定点C’使CA
--—〉
CB为常数?若存在’求出点C的坐标;若
不存在’请说明理由.
·解析］
（1）设M（卯’γ）’A（则1 ’γl）’B（卿2’γ2）
由条件知Fl（-2’0）’F2（2’0）
’
’
）
○
’
∑
（
~~
一
即
’
）
∑
γ
’
’
≈
＋
∑
卯
（
~~
一
酗
’
）
］
γ
’
勺
～
＋
］
卯
（
~~
一
酗
’
）
γ
’
勺
～
＋
卯
（
~~
一
邮
‖
贝
’
斗
’
卯
γ
√
~
~
~
~
∑
∑
卯
γ
彭
＋
＋
］
］
允
γ
√
「
｜
｜
［
′
目
’
／
◎
＋
∑
％
＋
’
】
］
γ
″
卯
＋
~~
］
〗
γ
＋
＿
＿
卯
γ｛
得
’
〉
飞
′
—
γ
＿
丁
〃
＋
一
酗
＋
→
Ⅻ
～
乃
~~
＋
″
—
了
刽
Ⅱ
＿
∏
〃
由
于是』B的中点坐标为（宁’昔）
2O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜第O↑讲霞线与曲线联立速霹｝
处理方案一
γ
—
勺
△
当AB不与卯轴垂直时’γl-y2
卯l-卯2
~γ
＝—
卯-8’
~
~
∩
丝
〃
叶
勺
＾
卯
即γ｜—》2二☆（鳃］ˉ缆2）
又因为A’B两点在双曲线上’则卵｝＿片＝2’卯;ˉγ;＝2’
两式相减得（厕l＿则2）（则l＋“2）＝（y1-γ2）（yl＋y2）
’
即（绷lˉ绷2）（卯-4）＝（γlˉy2）y.
将y｜—γ2＝☆（郎!ˉ腮2）代入上式,化简得（躯—6）2ˉγ2＝4
当AB与则轴垂直时’则l＝卯2＝2’求得M（8’0）’也满足上述方程.
所以点M的轨迹方程是（卿ˉ6）2ˉγ2＝4.
处理方案二
当AB不与卯轴垂直时’设直线AB的方程是γ＝A（卯ˉ2）（k≠±1）
÷ˉ÷-｜｀
｜…）…仁＂
联立直线AB与双曲线方程
消γ得（k2ˉl）卿2-4∧2厕＋（4∧2＋2）＝0.
4A2
′
4∧
卯l＋卯2＝片2-l
’
γ1＋y2≡∧2-1’
则《
｀
4k2＋2
＝2片2
卯1 ·卯2＝人2-l
’
｀γ1 .y2＝∧2-1.
卯—4＝4k2
∧2-l
’
所以《
当片≠0时’γ≠0’两式相除得’丝二1＝k’
卜≡搓］,
′
』壶! 』渊……
γ
＝
所以y＝（卯-4）2
2］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何l
当k＝0时’点M（4’0）’满足上述方程.
当AB与卯轴垂直时’厕l＝卿2＝2’求得M（8’0）’也满足上述方程
故点M的轨迹方程是（则ˉ6）2ˉ广＝4·
＿〉—〉
（2）假设在绷轴上存在定点C（m’0）’使CA.CB为常数.
由（l）处理方案二知’当AB不与卯轴垂直时’
4∧2
′
4∧
＋％2≡∧2-1 ,
γl＋y2≡k2—1
’
4k2＋2
-2k2
°卯2≡k2-l
, ｀y1 .y2＝∧2-1.
］
］
几
卯
厂
』
马
于是
＿≥—≥
CA.CB＝（卯l —′n’yl ）（则2ˉ′n’γ2）
≡（卿l—″l）（卯2-m）＋γl
.γ2
＝绷l卯2ˉm（卯1＋“2）＋m2＋γl .γ2
4A2＋2-4″］k2＿2R2
≡
＋′＂2
人2—l
2（1＿2m）人2＋2＋″l2
二＝
片2-1
4-4m
勺
～
∏
′
＋
＝2（l—2m）＋∧2-l
--＝≥—≥
-—-〉
——〉
因为CA.CB是与k无关的常数’所以4ˉ4m＝0’即m＝l’此时CA.CB＝-l
总结:
（」）已…线杀＿苦;二］（鹏.』＞0）嫡左、右隐…为′! ,′』
’
＼
Ⅱ
‖
‖
‖
』
′
／
·
’
℃
｀
｀
‖
‖
〗
』
′
′
脐
环
o过点F｜输动直线′｜与蜒淘线相交于A’‘两点.总存在意c（ˉ（］
』
』
＼
／
】
∏
◎
▲
＋
“
∑
α
〕
（
~~
一
昭
●
→
α
得
使
）
∩
’
℃
＼
‖
‖
‖
／
’
＝
∑
α
β
勺
▲
≡＝＝≠
圆过点′2的动直线′2与叉义陶线桐交于剧,凋畸点’息存在点C（（］ˉ
ˉ→
（3α2ˉb2）b4
CB≡-
4α4
。
’使得CA
22
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
■■■■第O↑讲蕊线与噬线联立速霹｝
（2）已…韶;-」（…0）晌左、右焦…｜为′｜.′Ⅺ
→
“
得
使
’
）
◎
’
℃
）
脐
环
＋
］
（
（
o过点Fl的动直线／l与椭圆相交于A’B两点’总存在点C
ˉ→
（3α2＋b2）64
CB＝-
4α4
圆过…勺…（1与…交于…点’总…C（（｜带羔）傻,｜））｀健得丽而
（3α2＋b2）b4
＝二
4α4
［题型6速算:
则l＋卯2’绷l .″2’γl＋y2,则ly2＋则2γl
］
［例u］己知椭厕c;÷债三｜（硼＞』≥0）胸两个焦点分铡为′｜（ˉ徊’0）, ′』（但,0）点
″（l ’0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直
（］）求椭圆C的方程;
（2）过点M（1’0）的直线／与椭圆C相交于A’B两点’点Ⅳ（3’2）’求证:
kAⅣ＋∧BⅣ
为定值.
｜·解析］
（l）根据焦点坐标得:c＝√Z
而点M（1’0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直’根据椭圆的对称性故有b＝｜O″｜＝l;
所以α2二b2＋c2＝3’故椭圆的方程为等＋γ2＝l
〕
（2）证明:情形一
当直线′的斜率不存在时’则／:卯＝l’
2
~厂＝-
代入椭圆方程得!＋γ』＝l’解得y二±乎,
2—罕2粤-2…;
2
＋
不…（｜』乎）』B（｜』＿乎）则庶…胀凰哪-
2
23
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何｝
情形二
当直线′的斜率存在时’
设直线／:γ＝A（卯ˉ1）’点A（卯l ’yl）’B（卯2’γ2）
’
卯2
!剧）………ˉ!』”
联立直线／与椭圆方程
6A2
尤l＋卯2≡M2＋l’
则《
3（A2ˉl）
卯l .卯2＝
3∧2＋1
2k
一6人
yl＋y2＝＿3k2＋l ’卯1γ2＋卯2yl＝M2＋l,
所以
2ˉyl
2ˉγ2
（施ly2＋卯2yl）-2（卿l＋则2）ˉ3（yl＋γ2）＋12
kA／v＋′tBⅣ＝3-卯l
3—卯,
＝
＋
＝
9ˉ3（卯1＋″2）＋卿l
.则,
←
-6k —2.
6A2
］膘十｜
3殿M十33盖｜＋l2
~~
9-3
24片2＋12
＝2’综上所述’kAⅣ＋kM为常数2
~~
l2k2十6
［题型7速算: 人＝丝］
冗l
［例｜3｜己知椭圆‘;÷广-｜,过点′（0,2）的直线′交椭圆于不同的陶点A,B（β在」.′
--→
＿-〉
之间）,且满足PB＝入PA,求∧的取值范围.
｜·解析0
解法-:
情形一当斜率不存在时’／:绷＝0’代入椭圆解得y＝±l ’此时A（0’ˉl）’B（0’l）
’
一
-—＋
由′B二入〃’解得∧＝＋;
ˉ2』
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
【露Q↑讲蜜线与曲线联立速霹0
~
情形二当斜率存在时’
设A（厕l ’γ1
）’B（卯2’y2）’／:y＝版＋2’
联立直线／与椭圆
8k
卯l＋卯2≡— 2A2＋1
’
A＞0,即2脓2—3＞0,解得k2＞÷,《
～
6
卯1 .卯2＝2k2＋1.
下面对向量共线进行处理
处理方案一（根与系数的关系速算除法）
:
咆
—
川
~~
人
得
’
→
〃
∧
~~
一
朋
由
∑
巳
＼
‖
｜
｜
』
′
′
8片
（—2限＋｜
勺
么
｀
｀
〗
′
′
勺
全
卯
＋
］
卯
（
（厕l＋卯2）2
＝丝＋丑＋2＝入＋上＋2’即入＋上＝
卯l
卯2
入
入
而
勺-
-全-＝
-2＝
6
2k2＋l
卯l
·卯2
肪l
·卯2
64k2
32
ˉ2在陪匡（÷,＋酶）
＿2-j（2半古）
6（2∧2＋1）
所以2＜人＋十＜乎又0＜入＜｜,解得＋＜入＜1
上为增函数,
臻上所述,入的取值范圈是＋≤儿＜1
巳
卯
卯
∑
卯
＋
卯
入
代
别
分
卯
｀
∧
~~
〗
卯
得
→
川
入
~~
一
″
由
一
一
案
、
万
理
处
8k
厕1（1＋入）＝ˉ 2人2＋1
’
得《
6
M;＝2〃＋1
∩
■
）2
（
2簧｜
所以［厕l（l＋∧）］2
（1＋人）2
入则｝
＝
入
32∧2
~~
3（2片2＋1）
’
6
2k2＋l
后同处理方案一
25
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路·解析几何｝
~~
解法二（定比点差）
:
／卯｝
丁＋γ｝＝1
’
o
全
设A（厕l ’γl ）’B（则2’y2）’P（0’2）’则｀
卯i
｀了＋γ;＝1’ @
卯2-Ml
0＝
l-∧
’
-ˉ—广
-—→一
ˉ—-〉
因PB＝∧PA’即BP＝ˉ入PA’由定比点差公式得刽｜
勺ˉy2-∧yl
～-
1-入
’
所以圆ˉo入:,得÷（鞭2—入鳃｜）（狐2＋入鳃｜）＋（γ2—儿γ｜）（γ』＋入y｜）-（1ˉ入）（1十入）,
）（
）
（
｜ˉ」
）（1十∧
｜十∧
）
（
）
断以÷（鸟-芋＂盖芋＋Ⅱ〗ˉ人》｜Ⅱ…-M＂2』…-｜』
γ2ˉ∧y1＝2（1-人）
’
｜…＋‖‖
（鸟÷￥!｜
淘2-乌—￥｜和2
-｜,得
］
＜
｀
∧
≤
］
—
〕
以
所
’
］
＜
∧
＜
‖
又
’
〕
≤
∧
≤
］
—
］
得
牟
角
’
］
］
’
］
［
巨
｀
∧
〕
—
∑
＿
∑
日
—
∑
两式相加得γ2＝
综上所述,入的取值范圃是＋≤入＜胆
总结:
（则l＋卿2）2＝丝＋△＋2＝∧＋上＋2处理根为商的形式.
卯l
·卯2
卯l
卯2
∧
（例｜4］设点』,B在椭圆§十y2二!上
÷,＋｜时,则直线AB斜率的取值范
--≥
-—》
（1）若点′〕（ˉ2’0）,满足PA＝∧PB’当入巳
｜
围是
号
夕
÷,÷｜时,则直线必斜率的取值范围
～-尹
＿→
（2）若点P（0’2）’满足PA＝人／〕B’当人巳
｜
是
26
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第0↑湃蜜线与曲线联立速霹§
｜·解析0
（l）由题意可知直线AB与坐标轴不干行’设点A（卯l ’yl ）’B（卯2’y2）’AB:卯＝mγ-2’
争广-1.
〔辩′ˉ…≡＂
联立直线AB与椭圆方程
消则得（2＋′″2）γ2-4′′lγ＋2≡0.
4m
2
2＋m2,y1y2＝2＋m2
故yl＋γ2＝
-→
—→
由剧≡人PB可得γl＝∧γ2
故’有（yl＋y2）2
［（1＋人）y2］2
＝二
γly2
∧γ;
（l＋入）2
二二
巴
入
死
—
日
脆
—
〕
｜
7
4″l
-
）
2＋m2
慑′l
8m2
｜
％
—
日
’
旧
—
〕
｜
巴
’解得″!2巨［4’l8］.
∑
∏
′
｜
于
勺
△
∩
′
△
2＋″l2
—÷’ˉ夸｜O｜窖’÷｜
所以’直线AB的斜率为k＝上e
m′
｜
（2）由题意可知直线AB与坐标轴不乎行’
设点A（卯l ’yl）’B（卯2’y2）’AB:γ＝片卿＋2’
｜蔗门…;｜……］
联立直线AB与椭圆
8∧
6
故卯l ＋卯2＝- 2k2＋l ’卯l卯2＝2A2＋1.
】
卯
｀
∧
~~
］
卯
得
可
’
→
旧
＿
∏
止
入
~~
→
川
由
越,有（…2）2
［（l＋入）咽』
（l＋川2匡｜糕
卯］卯2
＝
≡≡
M;
入
鼠『,商（＿2k笑1）2
32R2
3（2k2刊）.｜糕｝
6
＝
｜
—
斗
｜
∏
川
日
’
—
刨
犯
了
｜
□
｜
—
灿
犯
丁
’
呵
斗
勺
▲
—
∧
’
＝
『
｜
〖
旧
‖
Ⅱ
~
~
〃
γ
■
‖
』
＋
尸
〕
∧
巴
’
得
解
27
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何〖
~
［例l5］设直线／:则＋γ＝l与双曲线卯2ˉα2γ2＝α2（α＞0）交于A’B两点’与γ轴交于点′〕,
-→
5-→
且PA＝∏PB’则实数α的值为
｜·解析0
设点A’B的坐标分别为A（卯l ’γl）’B（卯2’y2）,则
勺
卯凸
｜二古」）摊………
联立直线AB与双曲线方程
2α2
2α2
故卯l＋卯2≡- l-α2,卯1卯2＝- 1-α2.
—护
5—〉
5
由PA＝∏PB可得卯l＝∏卿2.
∩
乙
＼
｀
‖
■
‖
』
′
／
∑
卯
∏
—
皿
／
』
‖
□
‖
‖
‖
＼
勺
▲
、
｀
』
′
′
勺
～
卯
＋
］
卯
′
′
【
｀
｀
故
’
咖
＿
印~~
~~
∑
∑
卯
气
＝
—
皿
刀l卯2
2α2
2
）
2
1-α
／
｜
即上
咖
＿
印
~~
∑
α
∑
″
ˉ
］
~~
2〔Z2
~ l-α2
17
所以’由α＞0可得α＝—
13
［例l6］设A’B是以F为焦点的抛物线γ2＝4则上的两点
—〉
---〉
（l）若AF＝3FB』则直线AB的斜率为
弦AB的中点到准线的距离为
＋,＋｜时』直线AB斜率的取值范囤为
巴
∧
当
→
肥
∧
~~
→
〃
若
）
∑
（
｜
—》
l-→
（3）若点P（2’l）’满足AP＝丁PB’则直线AB的斜率为
＋,÷｜时,直线AB斜率的取值范围为
—〉
-—-〉
（4）若点P（2’l）’满足AP＝∧PB’当∧巳
［
28
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］第o↑讲霞线与曲线联立速霹｜
△
∏
析
解
●
ˉ—-〉
—〉
（l）由AF＝3FE可知焦点F在直线AB上’且直线AB与坐标轴不乎行’
设点A（则l ’γl
）’B（卯2’y2）’直线AB:卯＝″0γ＋1’
〔厂x｝!｀……—碘-α
联立直线AB与抛物线方程
故有γl＋γ2＝4′n’γ1y2＝ˉ4
∑
γ
］
~~
］
γ
得
可
→
肥
〕
~~
→
〃
由
故（γl＋γ2）2
（—2γ2）2
≡≡
yly2
ˉ3γi
牛,即（4″』）2
〕
-4
‖
且
—
司
〕
~~
’
～
Ⅶ
′
得
解
’
斗
—
〕
~~
~~~
l
所以k＝—＝±徊
″l
所以’弦AB的中点到准线的距离:
‘＝告［（躯｜＋l）＋（卿2＋l）］＝士（′＂（γ］＋′』）＋4）＝2咖』＋2-:
～＿〉
--》
（2）由AF＝∧FB可知焦点F在直线AB上’且直线AB与坐标轴不乎行’
设点A（则l ’γl）’B（厕2’y2）’直线AB:则＝″』γ＋l
’
｛鲸｜j……←＂
联立直线AB与抛物线方程
故有γl＋y2＝4m’ylγ2＝ˉ4.
→
——＞
由AF＝∧FB可得yl＝-入γ2.
故（γ1＋y2）2＝（（1ˉ人）γ2）2＝
（1ˉ入）2
γly2
ˉ∧γi
入
即（4m）2
（l-人）2
二＝
-4
∧
,
解得′″2二（］ˉ入）』＝人Ⅺ＿2∧＋｜二÷（入＋2）匡｜;,÷｜
4∧
4入
所以腮2＝羔匡［3,:M筐［—2徊’ˉ旧］u［旧,2问
＿〉
1-—〉
（3）由AP＝丁PB可知点P在直线AB上’且直线AB与坐标轴不平行’
故设其方程为卯ˉ2＝m（y-1）’设点A（卿l ’yl）’B（卯2’γ2）
’
29
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路.解析几何l
………健‖［工…ˉ川淌缝｛门?∏!h驯…｀
瞒霉…—｜』………简｛‖｜二‖内!坚∏l二‖ˉ」
）
］
∑
γ
（
入
~~
］
］
γ
得
’
→
Ⅵ
＿
∏
′
∧
~~
→
″
由
戳（（｝l』「l｛）（劈二ll）））』
（（｜—＋）（』』—｜））』
（｜ˉ＋）;
』6
三≡
≡≡
三≡
7
,
—斗（》2ˉ｜）2
′
7
即（4咖—2）2
ˉ乎,（4＂ˉ2）』-36,解得刚-2,′＂＝ˉL
二≡
-7
所以k＝÷虱k-＿1
-一沪
—≥
（4）由AP＝入PB可知点P在直线AB上’且直线AB与坐标轴不乎行’
故设其方程为则ˉ2＝m（γˉl）’设点A（狐l ’y］
）’B（则2’γ2）
’
………（三忌叫厂川淌遣『门γ∏!!驯…｀
消卿ˉ2得（y-l）2＋（2-4m）（yˉ1）ˉ7＝0.
碱｛｝训奎∩｜」二′—∑
—〉
—〉
由AP＝∧PB’得γlˉl＝ˉ∧（y2-1）
越（（（｜Ⅱ「1｜｛（归）））』～（（｜ˉ入）（随ˉ］））』-
（!—川）2
ˉ∧（γ2ˉl）2
∧
,
即（4m-2）2＝
（lˉ∧）2
—7
∧
,
解得（2—4酗）2二7（1＿川2-7入2—2入刊二7（叶＿2）巨［骋
人
∧
｜
∩
狰
＼
〗
‖
‖
『
／
斗
—
∧
∑
／
‖
』
‖
‖
＼
以
所
∏
＄
√
斗
＿
］
β
徊
〕
等｝所以腮匡｜
刁
／
—
勺
丝
｜
＝（2-4″!）2巴
3O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
第02讲弦长与面积
囤｜知识纵横
‖
l.二次曲线方程用丝＋止＝1@表示,与直线A则＋By＋C＝0@相交于E’ F两点’
′γ】
川
％2
γ2
｜I｝风,捎聋懦; 』雕……腮……—＂
联立@@式:
则｜EF｜＝2√A2＋B2 .√mn（A2m＋B2′!ˉC2）
｜A2m＋B2∏｜
√″″l（A2″』＋B2′』—C2）
C｜
ˉˉL. ｜EF｜
. （／（）ˉEF＝
S△E（）F-2
｜A2m＋B2几
2.三角形AB（〕面积
（｜）两点距离公式; ｜Ⅷ｛ˉ√（瓣｜—鞠）』带（′｜—№）』-√l带赊｜…』｜√债｜Ⅱ｛ˉⅡ』｜;
｜A卯（）＋By0＋C｜
（2）点到直线距离公式:
Ⅲ＝
〃2＋B2
（］）s…＝÷“h;
（4）分割法;
（5）s…＝÷MB卜｜M卜舅i＂』』
（6）s…-l（“个6十c）r（r是内切圆半径）
｛
（7）s…‘二赛（R是外接圆半径）;
）
℃
＋
』
＋
】
〔
（
‖
Ⅱ
—
勺
△
~~
尸
’
√p（p—α）（pˉb）（pˉc）
（8）海伦公式:三角形面积S△ABc＝
3.三角形面积公式的向量坐标形式
（1）设平面上三点（）（0’0）,A（狐l ’yl）’B（狐2’y2）’且不共线’
→
‖
仕
—
∩
◎
（
制
---≥
＿-》
｜OB｜）2-（OA
一一→
OB）2
则S△AoB≡
3］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」满分之蹈·解祈几何］
（2）设平面上两点A（则l ’γl）’B（如2’y2）
, 0为坐标原点’
则△MB的面积S叫‘二＋｜腮｜γ…γ｜卜
V
』（x｜｀）′l）
B（x2? γ2）
~
O
X
证法l（向量法）
:
设△MB＝0,则有s△刹″B＝＋｜丽｜
全
-＿-》—〉
OA.OB
又COS0≡≡→
—护
’
｜OA｜
.
｜OB｜
--→
｜OB｜
。sin0,
—≥—》
｜
］
｜
′
引
｜
γ
｜』
O／l
OB
0＝√lˉCOS20
故sin
—≥
—〉
~~
｜OA｜
｜OB
l
→
〃
（
′
√
仙
Ⅷ
「
∑
）
→
肥
●
＋
川
■
—
∩
皿
／
＼
∑
＼
／
→
旧
＿
〃
几
→
几
■
—
∩
皿
→
昭
＿
〃
几
~
~~
∩
″
Ⅲ
■
■
】
』
吕
→
口
〃
—
∩
γ
今
＾
仙
—
∩
皿
］
∑
~~
日
以
仙
所
比
→
‖
■
＿
∩
皿
（
川
Ⅳ
〗
）
→
旧
＿
／
［
--〉
---〉
（）B｜）2ˉ（OA
都（腮｝十γ｝）（蹦;＋y;）—（鳃｜…｜№）2
二÷｜躯｜γ…γ｜｝
证法2:
两点式可得直线AB:（yl—y2）″ˉ（则｜-卯2）γ＋（卯ly2ˉ则2γl）＝0,
｜卯ly2-卯2yl
｜
所以坐标原点O到直线AB的距离是d（）ˉAB＝
｜AB｜
’
进而可得△AOB的面积是
｜卯｜γ,-卯2yl
｜
A√~全
s△剿″腮-吉MBM＂—瓣＝＋｜奶｜
］
γ
∑
卯
∑
γ
］
卯
］
—
∑
~~
｜AB｜
32
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第o2辨弦长与颧积‖
（3）设点A（绷］’yl）’B（卯2’y2）’C（卯3 ’y3）
’
则△奶C的面积s…-÷｜（鹅｜—心）（γ2ˉγ］）ˉ（鞠ˉ陶）（γ｜ˉ№）
｜;
→
α
（
Ⅳ
Ⅳ
--〉
---≥
｜CB｜）2-（CA
∩
兰
）
一
凹
（后面略）
证明: S△ABc＝
4.四边形ABCD的面积
（l）特殊四边形的面积’例如:平行四边形’矩形’菱形’…;
（2）分割法;
（3）对角线垂直的四边形s瓣‘〃二÷｜AC卜｜圆D｜;
（4）对角线角度为0的四边形S姻cD二÷｜AC卜｜BD卜舅｛＂0;
～
（5）5姻‘′＝÷｜露｜γ2—翅γ｜
｜′其巾丽-（狐｜’γ｜）′丽＝（趣,γ2）
——广
——于
证明:在四边形ABCD中,构造向量AC与BD』
设而与丽的夹角为0』则SA鹰cD＝÷｜AC卜｜BD卜s｜＂0,
全
→
户
山
＿
〃
仙
→
〃
＿
四
皿
又COS0＝
→
∏
＿
∏
□
~→
“
~
／
′
‖
‖
‖
‖
｀
＼
■
〗
儿
｜
刁
γ
∑
）
一
助
一
灿
→
“
→
α
—
几
■
~
故sin0＝√lˉcos20
~~
《（｜丽｜
l
∑
）
→
〃
＿
∏
□
≥
尸
凹
—
＾
凡
（
∑
）
→
〃
＿
口
〃
→
〃
—
口
口
~
-广
｜AC｜
~~
∩
″
∏
●
＝
】
且
吕
■
→
”
■
＋
尸
山
一
八
迅
■
］
—
∑
~~
〃
以
邵
所
吻
-—＿》
BD）2
别（｜丽卜｜M｜）Ⅱ—（“
ˉ—-≥
—-〉
都
∑
）
∑
γ
］
γ
＝
十
∑
卯
］
卯
（
）
∑
∑
γ
营
＋
∑
∑
卯
（
）
｝
Ⅳ
」
＋
∑
］
卯
~~
』
γ
α
卯
∑
γ
］
卯
］
—
∑
~~
33
~~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路.解析几何〗
◎典型例题
［题型l
速算弦长］
7
［例l］已知椭圆厕;÷＋γ2-｜′过点（′″,0）作圆鳃2＋Ⅱ2＝｜的切线!交椭圆E于A’B两点
将｜AB｜表示为′n的函数’并求｜AB｜的最大值
｜·解析］
解法-:
由题意知, ｜m｜≥1,
何
—
∑
何
＿
∑
当′″＝l时’切线／的方程为绷＝1 ’点A’B的坐标分别为
此时ˉ ｜AB｜＝厄
当m＝ˉ1时’同理可得｜AB｜＝√面
当｜m｜＞l时’设点A（“l ’yl ）’B（卯2’y2）’切线′的方程为γ＝∧（厕-′n）
’
…的…程与椭圆方程｜f十广-｜｀
｜脑＋（＿l）γ＋（ˉ枷）＝0,
消γ得（1＋4片2）卯2-8k2m卯＋4∧2m2ˉ4＝0’
-8k2m
卯l＋卯2＝- 4片2＋1
,
则≤
4（A2″』2-1）
卯l
·卯2＝
4片2＋l
’
得7罢了-］,卵′＂:膘-膳带｜｀
又由′与圆加2＋γ2≡l相切’
所以
｜AB｜＝√Pˉ∏. ｜卯2ˉ卿l ｜＝√（l＋k2）［（卯l＋卯2）2ˉ欲｜绷2］＝
2√（l＋A2）.√4（4k2＋］ˉ片2′n2）
4√了｜m｜
目＝
4片2＋l
m2＋3
,
弘
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
『第O2讲弦长翰翻积｝
4√可｜m｜’′＂匡（ˉ的’ˉ1］（」［1 ’＋。。）
’
所以｜AB｜
~
~
″』2＋3
因为｜AB｜＝4√可｜m｜
≡≡
『∏2＋3
4｀／可q≤2’
｜咖｜＋而
且当′n＝±旧时’ ｜AB｜＝2.
所以｜AB｜的最大值为2.
解法二:
依题意’切线不可能为水乎直线’故设切线方程为:绷＝ty＋′＂
设A（匆l ’yl）’B（卯2’y2）
’
颧′…带Ⅱ』≡｜搁趣.得′～湍『＝｜,雕哪…｜
｜｛
』
联立直线／的方程与椭圆的方程
消″得（t2＋4）γ2＋2tmγ＋（m2ˉ4）＝0’
2tm
yl＋γ2＝- 4＋t2’
则《
m2一4
γl .γ2＝4＋′2
,
所以
｜AB｜＝√Iˉ干7可
√（1＋′2）［（yl＋γ2）2ˉ4ylγ2］
｜y2—γ1
｜
＝
~~
4√（1＋′2）.√（′2ˉ′厕2＋4）
4√百］′″｜
4＋r2
＝m2＋3
″＾№门毒△
由题意知’ ｜m｜≥l’ ｜AB｜＝4旧｜′n｜
二＝
当且仅当″』＝±何时’ ｜AB｜＝2
所以｜AB｜的最大值为2
35
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何］
解法＝:
如图,
V
设剧（獭｜,γ｜）｀‘（鞠.蝇）,则手y;-｜.宁磕-｜｀
设直线AB与圆的切点为P’则OPˉ上AB,
根据勾股定理’ ｜Ap｜2＝｜OA｜2—｜Op｜2’ ｜Bp｜2＝｜OB｜2— ｜Op｜2’
~~广＝
所以｜佃｜-｜PA｜＋｜PB｜＝√獭;十γ｝—1＋√腮;十y;ˉ1-粤（｜狮｜
｜＋｜x』
｜）
设F是与点P位于γ轴同侧的焦点,设冗P＞（）’卯l ’卯2＞0’则
归
了
∑
~~
勺
叮
—
斗
＋
∑
）
侗
卯
（
′
刁
勺
＾
‖
』
γ
＋
∑
间
］
卯
（
／
／
γ
｜AF｜
≡
阎犁; ｜″｜二2＿祭2,
所以｜AB｜＋｜AF｜
＋｜BF｜＝4,
因为｜AB｜≤｜AF｜＋｜BF｜
,
所以M″｜≤÷（MB｜＋｜AF｜＋｜BF｜）二2
＝
解法四（参数方程）
:
设直线／:
（〗为参数）
’
’
牟
角
一
唯
有
］
~~
∑
）
α
～
■
且
甘
』
■
→
■
且
吕
＄
（
＋
∑
＼
／
α
吕
◇
○
℃
〗
勺
Ⅱ
肌
＋
Ⅶ
～
＿
′
／
＼
α
程
Ⅲ
方
吕
得
的
’
解
＄
∩
于
～
＿
α
关
］
—
＿
得
活
』
’
『
切
什
∑
口
川
加
」
个
·
／
＼
■
Ⅱ
α
〃
斗
＿
—
吕
○
∑
巴
α
γ
臼
肌
吕
＋
’
≈
○
∑
℃
＋
∑
卯
∑
肌
同
囚
＄
斗
得
＝
与
砖
间
△
／
由
化
则
36
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O2讲弦长与澎积｜
联立直线／与椭圆E’消去绷’γ得（″』＋tcosα）2＋（tsinα）2＝l
’
4
整理得（1＋3sin2α）′2＋2mcosα. t＋m2ˉ4＝0.
2″］cosα
rl
喝
tl
＋′7≡
l＋3sin2α,
▲
m2-4
设A’B对应的参数分别为tl ’′2’则
’
α
）
～
Ⅲ
■
■
■
≡
吕
〕
＋
］
~~
□
′
所以
7
（
｜2驾躺）＿4］聪α
′
引
γ
’
≈
斗
∑
）
’
≈
＋
（
′
√
~~
’
～
~~
β
∧
~~
〗
刀
何
〃
斗
α
］
】
■
■
】
且
压
斗
≡≡
l＋3sln2α
″l2＋3
由题意知, ｜″』｜≥l’ ｜AB｜＝4√可｜m｜＝
4√了
咖2＋3
｜″Ⅱ
｜＋扁
≤2’当且仅当m＝±旧时’ ｜AB｜＝2
所以｜AB｜的最大值为2.
［例2］已知椭峰噎-｜（侧…0）经过点（0』徊）,离心率屿｀左街焦点分铡为
Fl （ˉC’（））
’
F2（C’0）.
（l）求椭圆的方程;
1
（2）若直线／:γ＝ˉ丁卯＋m与椭圆交于A’B两点,与以F｜F2为直径的圆交于C’D两
程
方
的
／
线
直
求
皿
斗~~
咽
＿
灿
足
满
且
点
γ
37
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路.解析几何［
｜·解析‖
b＝√可’
］
~~
’
匹
〕
＋
勺
叮
—
〃
斗
为
程
方
勺
白
圆
椭
以
所
’
］
~~
℃
’
何
~~
β
’
】
（1）由题设肄｜÷＝÷,
解得硼-
｀b2＝α2-c2,
（2）由（l）知’以FlF2为直径的圆的方程为腑2＋y2＝1’
…』醒｜值……-2芳｜,…,得｜厕训≤罕（＊）
所以｜c″｜≡M＝刁可ˉ2√｜ˉ÷啊』-萨4旅
7
勺
γ＋÷＝l’
｜÷…j……」
设A（卯l ’γl）’B（腮2’γ2）’联立直线／与椭圆
孪』J—咖典
所以｜AB｜＝｀／T丽丁｜则2ˉ则l
｜＝√Iˉ丽V （卿2＋绷l ）2—4卯2 .卯l
~~
由｜器｜
§′ˉ,
.—′″』
铡…:≡｜.藤得枷≡
三≡
）
＊
（
足
满
’
灯
丁
±
缀
何
—
〕
卯
］
—
∑~~
γ
l
所以直线／的方程为γ≡—亏如＋
△
［例］］己厕椭圆胸的焦点任甄轴上,长轴长为2占,离心率为孪｝抛物线G;／-驴撼（′≥0）
的焦点F与椭圆E的右焦点重合’若斜率为片的直线′过抛物线G的焦点F与椭圆
E交于A,B两点’与抛物线G相交于C’D两点.
（l）求椭圆E及抛物线G的方程;
（2）证明;存在实数入,使得向＋市为常数』并求人的值
38
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第O2讲弦长翱翻积｝
·解析0
勺
勺
（l）设椭圆圆;紫嘴二1（＂＞b＞0）,曲长轴长为2缸得“二但
…为竿则‘二2』b二｜,故椭圆阀:÷萨-［
由抛物线的焦点F与椭圆E的右焦点重合,则:＝‘＝2』解得p＝4’
故抛物线G:γ2＝8则.
（2）证明:设A（卯l ’γl）’B（卯2’y2）’C（匆3 ’γ3）’D（卯4’γ4）
’
由题意,设直线／:y＝k（卿ˉ2）（k≠0）
’
2
÷＋γ2＝l,
‖蚌｛ˉ｜………＿…｀
联立直线／与椭圆’
-20片2
卯l＋卯2＝-5A2＋l ,
则q
5（4∧2ˉl）
卯l 。％2＝5∧2＋1
’
消y得（5人2＋1）卯2-20人2卯＋5（4∧2ˉl）＝0’
2√弓（∧2＋1）
＝＝
5A2＋1
所以｜AB｜＝√Iˉ丽百｜卿2ˉ卯｜
｜＝
川
■
’
≈
卯
〃
斗
∑
）
］
卯
＋
’
＝
卯
（
丫
∧
＋
］
√
……缝｛酣ˉ』｜
消γ得∧2卯2ˉ（4∧2＋8）则＋4k2＝0’
4k2＋8
则％3＋卯4＝
k2
↓宁s剁-s（膘刊）
由抛物线定义得, ｜CD｜＝腮3＋勿4＋p＝
k2
入
（20＋｀凤）∧2＋4
所以｜六｜＋｜cD｜
s占w＋l）
≡≡
l6√5
婆使｜六｜＋｜命｜为常数则须有20＋｀凤二4,解得入＝—
5
~!厂-＝
所以存在入＝ˉ呼,使｜六｜
｜命｜为常数
＋
39
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路.解祈几何l
［例4｜己知点P（］｀÷）在椭圆‘;备萨ˉ｜（…＞0）上,椭圆c的定焦点为（—］｀0｝
（l）求椭圆C的方程;
（2）直线l过点T（m’0）（m＞0）交椭圆C于MⅣ两点’ AB是椭圆C经过原点O的
弦,…〃』B｀问是含存在止数″』’使得｜｜滞为定值?若存在’请求出″!的
值;若不存在’请说明理由
］
｜·解析）
（1）由左焦点（ˉl ’0）可得C＝l ’由b2＝α2ˉC2’b2＝α2ˉl
’
疏以c;备带岩-｜,代入P（］｀ˉ÷）可得;÷些
7
α←
4
7
7
所以C;÷＋÷＝l
1
＝l解得
α2-l
α＝2,
（2）设直线l:y＝k（腮-m）’″（则1 ’γl）’Ⅳ（卯2’y2）
’
勺
勺
f＋÷二］,
｜
＂………』｜≡Ⅷ
联立直线／与椭圆:
（＿∧）＂＋γ＋片″!＝（）’
-8片2m
尸
卯‖ ＋几2＝- 4A2＋3’
则≤
4k2m2-l2
卯l卯2≡
4八2＋3
,
∑
∧
＋
］
司
卿
〃
斗
~~
卯
∑
卯
］
萨
羊
∏
~~
Ⅷ
以
所
√（4八2＋3ˉ∧2″!2）
4∧2＋3
’
）
斗
γ
’
▲
卯
／
‖
＼
日
’
＼
／
〕
γ
’
〕
卯
（
』
设
qO
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
＝籍o2讲弦长与颧积｝
÷宁二1 ,
｜
.隐＾』悬,
y≡脉,
联立直线AB与椭圆
所以｜姻｜』≡（鞠—翱）』搽（…）』三4（」锹』）撼;≡4敝『）
所以｜AB｜2
｜
｜MM
］
＋
∑
＾
〃
内
）
＋
）
厂
口
』
″
斗
（
′
／
γ
■
归
斗
~~
l
｀
｀
』
／
∑
刁
向
＋
］
（
目
斗
~~
4√5√l＋A2 .√（4片2＋3—k2m2）
芳｜｜揣是个常
』比时｜｜揣-4
是个常数’则（4ˉ″l2）∧2＋3也为A（1＋∧2）的形式’即4—′Ⅶ2＝3’解得″』＝1
＝4符合题意.所以m＝l.
另解:
｜咖｛≡4腐√（缴ˉ｝蕊:辩厂』
’
｜AB｜2
雅云
碧｜｜滞铺值与＂尤羡则佩:ˉ｜-0’啊-｜
~
∩
″广-1
1＋∧2
［例5］在平丽商输坐际系鳃0Ⅱ巾,椭厕圆;爵嘴ˉ｜（感≥0＞0）的离心率哼,
焦距为2.
（l）求椭圆E的方程;
（2）如图所不′动直线′! Ⅱ-胀｜xˉf交椭圆囱于」,B陶
点’ C是椭圆E上一点,直线（）C的斜率为A2,且八l .k2＝
￥』删是线段′）c延长线上—点,且｜卿C｜;MB｜-2;］』。删的半径为｜Mc｜
’ ″S,
OT是○″的两条切线’切点分别为S, Ⅲ求△SOT的最大值’并求取得最大值时直
线／的斜率.
4］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路· 解析几何］
’
］
~~
』
’
徊
~~
α
以
所
’
］
~~
℃
以
ˉ
所
’
∑
~~℃
∑
又
’
徊
—
∑
~~
℃
α
~~
臼
引
口
失
意
·
题
析
油
解
］
（
●
］
~~
∑
γ
导
＋
形
—
∑
为
程
方
勺
自
Ⅱ
圆
椭
七
止
因
（2）设A（″l ’yl
）’B（卯2’γ2）
’
’
β
~~
何
—
】
＋
γ
√
’
■
Ⅱ
＋
＿
＿
卯
∑
＼
／
γ
√
］
】
儿
＋
形
—
∑
（
尸
≈
〈
■
●
圆
隋
↓
与
／
线
直
、
工
联
γ
·
~~
〗
Ⅱ
—
∩
卯
仍
∑
∑
卯
）
］
＋
∑
］
∧
〗
（
得
’
γ
″
月
℃
■
」
『
2
ˉ2烁l
帅l＋卯2＝-
2k｝＋l
则
l
勺
△
叮l
·％7＝
ˉ
2k｝＋l
’
则丽＼／鳃｝十十
2
√5｀／r碉√丽再丁
所以｜AB｜＝√Iˉ丽7｜″｜ˉ绷2
｜＝
~
~
卯
］
仁
—
州
＋
α
］
片
＿
—
∑
γ
’
为
∑
］
∧
程
…
呻
…
测
〕
殖
］
｜
干
〗
］
八
∑
止
勺
凸
—
＿
因
’
徊
蜗
Ⅱ
』
~~
】
—
〕
α
＿
—
片
以
乙
厂
·
径
所
半
’
儿
徊
—
斗
勺
白
』
~~
″
∑
∧
圆
。
γ
｀
’
知
胸
可
知
意
设
题
题
由
由
∩
卢卯冶
丁＋γ2＝1
’
｜ˉ抠
糯甄』ˉ｜赣Ⅷ:≡｜六脉,
联立直线（）C与椭圆:
（γ＝丽绷’
圃雌｜“｜ˉ〃万r√｛器
由题意可知’sin乙S（）T
厂
≡≡
2
｜（）M｜
≡
l
厂
≡≡
厂＋｜OC｜
1＋｜（）C｜
,
厂
42
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1第O2讲弦长墙圃积‖
／Iˉ干丽7
’
础
∑
］
∧
∑
＋
］
斗
＋
］
√
●
巫
斗
~~
∑
］
∧
β
＋
∩
乙
‖
∏
■
】
』
…
片
斗
＋
］
′
γ
〗
~~
●
）
厂
（
厂
叼
~
守
‖
3
2府＋1
令′＝l＋2畸,则』＞1,十匡（0.1）,
因此｜OC｜
3
r
3
l
3
二二—●
≡—■
2
√2′2＋′ˉ1
2
＝＿.
｀／i＋÷2
厂
~
~
~
~
~
≥l
,
’
—
斗
‖
＋
’
∑
］
—
∑
］
—
‘
／
′
』
‖
‖
‖
＼
／
γ
当凰仅当＋二昔,:｜Ⅱ』-2时等号成立,
此畸腮｜—辈?｀所…笔0′≤＋’
闺此坠;″『≤:’所以△Mr最大值为子
综上阎「遮’△s0′,的最大值为号,廖得最大值时直线′的斜率为胀｜＝堂亨
［例6］双曲线鹏2—f÷＝l（‖＞0）的左.右焦点分别为′1 ,F2 ｀直线′过′2日与双曲线交于
A’B两点.
（1）若／的倾斜角为乎’ △F｜AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
△
（2）设b＝何’若／的斜率存在’且｜AB｜＝4’求′的斜率.
｝.解析］
（｜）由已炙圃′! （—√〗丁下L0）,′2（√J叮工0）,
不妨取其中一点为“＝√P丁T’则y＝b2’
由题意｜FlF2
｜＝何｜F2A｜’又｜FlF2
｜＝2√J叮T’ ｜F2A｜＝b2’
所以2√P＿干—『＝√gb2’即3b4ˉ4b2ˉ4＝（3b2＋2）（b2ˉ2）＝0’
解得6＝√页’因此渐近线方程为y＝±√Z宽.
43
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路.解析几何］
（2）碧b二何则双陶…』＿宁-｜
设A（卿l ’γl）’B（嘶2’y2）
’
直线／方程为γ＝∧（卯ˉ2）
’
勺
［虱｝∏ˉ鳞』ˉ′
联立直线／与双曲线方程
消γ’得（3ˉ∧2）卯2＋4k2卯ˉ（4R2＋3）＝0’
由题意得3-儿2≠0’
且△＝4（ˉ3）（k2-3-4∧2）＝36（k2＋l）＞0’
-4k2
卯l＋卯2≡— k2＿3’
则《
4k2＋3
卯l °卯2＝k2-3
’
｀
〗
』
′
‖
〗
丛
＋
勺
～
内
／
』
｛
｀
β
故｜AB｜＝√丁下P｜卯lˉ则2
｜＝√丁下∏V「
勺
＝
卯
■
■
〗
』
卯
〃
斗
’
≈
）
勺
≡
卯
＋
］
卯
＝4,
~~
｜k2-3｜
佰
—
’
±
为
率
｝
余
的
′
故
’
〕
—
日
~~
】
片
得
竿
偷
［题型2三角形面积公式的应用］
［例7］已知椭圆f十广-1上陶个不同的点d｀β关于直线γ-″瞬告对称
（l）求实数m的取值范围;
（2）求△AOB面积的最大值（（）为坐标原点）.
V
＿44
~~
广
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」镶O鳖讲弦长与翻积0
｜·解析］
（l）解法-（直曲联立）
:
＼
｜
‖
『
／
‖
』
加
~~
∧
／
』
■
‖
｜
＼
’
］
′
＋
卯
〗
〃
~~
γ
√
●
■
β
∧
设
设A（卯l ’γl ）’B（厕2’γ2）’AB的中点为M（卿0’γ0）
2
÷＋γ2＝l,
［萍…≡叭…
联立直线与椭圆方程
／△＝4.2（2k2＋lˉ几2）＞0’
4k几
卯］＋卯2≡-
-2见
所以刹
2片2＋1’
γl＋y2≡- 2k2＋l ,
2（〃2ˉ1）
卯1 °勿2＝2∧2＋l
’
-2航
2m∏
≡≡
所以《
几
′川2几
≡≡
l
M（卯0’y0）代入直线γ＝m则＋—
2’
2
m2＋2
得撰2 ＝″舞2十＋｀鼠′″-—
2″L2
,
代入d≥…（＿湍）1刊—（ˉ祟2）2＞0｀
解得,咖←‘或哪＞罕
O
消y’得（2k2＋l）绷2＋4胁″＋2′!2-2＝0.
解法二（点差法）
:
设A（狐l ’yl）’B（“2’y2）’AB的中点为M（卿0’y0）
7
「叮气
｜丁＋γ寸＝1’
｜ˉ
｜
’
｜卯;
~∩
｜亏＋γi＝1’
将A,B代入椭圆方程得
两式相减错（瓣｜ˉ鞠）（…2）＋（γ｜
｜舞｀
—y2）（yl＋γ2）＝0’
45
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路·解祈几何】
两边同除以（卯l—卯2）（则l＋厕2）
’
）（器;
γl—γ2
％l-卯2
』
Ⅱ
『
『
】
‖
‖
‖
｀
＋
·
』
—
勺
▲
得
＼
）＝0,
′
■
Ⅱ
加~
‖
」
—
勺
～~
y0
·—
二≡
卯0
）
（
即k4B °人OM＝
所以γ＂-晋翔,代入y＂二酗鳃0＋÷,解得鳃0～ˉ而
l
］
—
∑
’
■
」
—
讥
）
（
所以M
又M在椭圆内’
∩
≡
l
″〗
）
（
而
丝
‖
』
—
∩
么~
）
＋（
所以
＜l
,
勺
△
■
亿
—
〕
＞
加
斗
乳
佰
—
〕
解得m＜ˉ
）
的
＋
’
亿
—
〕
（
◎
）
亿
—
〕
’
的
（
综上所述’实数″l的取值范围为
（2）解法＿:
l＋2k2
）
佰
—
∑
’
○
（
□
）
○
’
佰
—
∑
（
由（l）解法一可知∧＝ˉ上匡
″l
0几＝-
勺
凸
√2（2片2＋］ˉ′』2）
则｜AB｜＝√∏P｜＂｜ˉ卯2
｜＝
~厂-——~0「
√l＋k2√
＝2√iˉ丽页
∑
冗
●
■
〗
Ⅲ
卯
〃
斗
∑
＼
／
∑
卯
＋
］
卯
／
』
‖
｀
∩
2片乙＋1
又O到直线的距离‘≡上兰
√k2＋1
所以s△M周＝÷｜AB卜删-√2（2膘＋｜ˉ′′2）
2∧2＋1
～
｜Ⅶ
’
徊
—
∑
≤
’
～
＋
∑
）
］
—
∑
∑
∧
（
∑
』
叫
勺
〕
—
’
～
＋
∑
刁
此
勺
～
＋
斗
八
∑
封
~~
~~
当且仅当偷2＝÷,卵′＂-堂徊时廖等号
所以△Mβ的面积的最大值为罕
46
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第O2讲弦长与面积『
∑
］
γ
弓
＋
勺
咱
—
∑
＋
∑
】
γ
＋
勺
叮
—
〗
徊
—
斗
≤
）
］
γ
（
●
丝
但
’
’
～
、
工
＋
成
∑
γ
口
亏
●
等
丑
徊
时
〗
）
］
］
γ
＿
—
徊
—
△
·
〗
】
γ
＝
／
＼
＋
～
＿
〗
］
］
丝
抠
γ
γ
得
∑
卯
且
’
’
］
∑
∑
γ
γ
＿
ˉ
］
卯
—
＿
促
川
旦
徊
＋
］
—
∑
当
＾
呵
∑
~~
■
■
二
β
仅
入
＋
左
们
且
代
℃
、
『
『
解
№
当
并
｜-夸
＼
‖
■
‖
′
／
］
＿
∑
］
—
Ⅲ
由（l）解法二可知″（
’有yl＋y2＝—l
’
可得』（ˉ√Z0）’B（（）’ˉl）或A（0’ˉl）,
B（ˉ√Z’0）此时’m＝ˉ√Z
所以当且仅当m2＝2时ˉ ’等号成立.
所以△M‘输面擂输最大值为粤
［例8］平面页角坐标系鞭oⅡ中,已删椭圆c;苦噎二1（…0）的离心率为罕,左有焦
点分别是Fl ’F2.以Fl为圆心,以3为半径的圆与以F2为圆心,以1为半径的圆相
交’且交点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设椭阀圆;蒜谎ˉ｜,尸为椭圆c上任意＿点过点P的直线Ⅱ…′＂交懒阀
E于A’B两点,射线PO交椭圆E于点0
@求船的值;
@求△AB0面积的最大值
47＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何1
｜·解析0
（l）由题意知2α＝l＋3’所以α＝2.
~～
又闺为′＝÷＝夸’所以α＝2b’所以h二1’
2
所以椭圆C的方程为苛＋γ2＝1
（2）由（］）知撇圆圆输方程为÷f-［
@设尸（鳃0,γ0）,船＝入则有0（—M0’ˉ入γ0）
…得予y;-! ’且（—借0）,
（—入y0）』
2
（
＋
-｜,卵瓣却;）
4
勺
］~~
所以入二2’:′删＝2
@解法—; 由@可知｜::｜＝2,赦s△鹏0＝3s△』0″
因此△AB0面积的最大值转化为△∧OB面积的最大值.
设A（卯l ,γl
）’B（卯2’γ2）.
勺
司
荒＋÷-l ’
｜赋判ˉ…〕沁.
联立直线AB与椭圆E:
由△＝l6（16片2＋4ˉm2）＞0’可得m2＜4＋l6k2,
o
8Am
卯l＋卯2＝— 4k2＋l
,
则《
4（m2ˉ4）
卯l .卯2＝4k2＋l
,
消γ’得（4k2＋］）则2＋8km施＋4″』2ˉ16＝0,
√P丁i渔
√Pˉ干T让l
. 16.4（l6A2＋4ˉ′n2）
16片2＋4
6k2＋4-m2
｜m｜
’dOˉAB＝√k2＋1
9
｜AB｜
＝
≡4
4片2＋l
42＋B2
√4α2b2B2（α2A2＋b2B2ˉC2）
√
γ
厂
Ⅱ
长
弦
用
套
（
）
B2
α2A2＋b2B2
＿48
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O2讲弦长与圃积0
2｜″!｜√16k2＋4-″』2
所以s…＝÷｜咽M〔M〃—
＝
4∧2＋1
′
4ˉ蒜1）
勺
≡
‖
∏
2√（
4k2＋l
√α2b2（α2A2＋b2B2ˉC2）
（套周面藕公式:…二÷｜″Moˉ挪＝
｜C｜
）
α2A2＋b2B2
｀气′、ˉ,
″ ˉ一. ˉ、～△L（′r
2
ˉ＿ˉ＝OˉL〃
／
令｜阅』-』｀将直线Ⅱ三触带酗代入椭圆…霍可得（］带绷』）颜2十雕…4哪2—4～0,
由△≥0’得′＂2≤l＋4∧2@由@@可得0＜『≤L
因此S△AoB＝2√（4ˉ′）′＝2√ˉ′2＋4′’故S△AoB≤2√可’当且仅当′＝1’即m2＝1＋4k2
时取得最大值2徊
由@知’△AB0面积为3S△AoB’所以△AB0面积的最大值为6√g:
解法二:
因为A’B两点在椭圆E上’故可设A（4cosα’2sinα）’B（4cosβ’2sinβ）
’
则:…＝＋｜鳃｜γ…γ｜
｜＝＋｜8…唱mβ—…β唱mα｜-4｜副n（βˉα川
由直线AB与椭圆C有公共点’知AB的中点″（2cosα＋2cosβ’sinα＋sinβ）在椭圆C内
或椭圆C上’则（2cO…2co爵β）2＋（si＂…mβ）2≤l’化简得co愚（αˉβ）≤ˉ＋,
4
所以｜鼠in（α—β）｜≤罕,
全
所以S△AoB＝4｜sin（βˉα）｜≤2√g:
由@知’△AB0面积为3S△AoB’所以△AB0面积的最大值为6√g:
总结:
已知椭圆‘! ;汗ˉ｜（…≥…圆c』;蒜带蒜三1（…＞0,儿≥0…）
（1）若直线和两椭圆都相交’则被两椭圆截得的弦的中点重合;
推论:
o若直线与较大椭圆的相交弦’与较小椭圆相切’则切点是弦的中点;
@若直线和两椭圆都相交’则夹在两椭圆之间的线段的长度相等.
』9
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
4满分之路·解析几何］
’
＾
‖
＞
〗
·
＞
α
（
］
~~
〗
）
勺
厂
汕
（
＋
勺
卯垄
勺
△
~
—
勺
～
γ
空
〗
◎
＋
形
债
●
●
］
℃
＝1（α＞6＞0）的弦AB与椭圆C2:
（2）若椭圆
∑
｀
｀
』
／
α
｀
∧
（
0＜人＜l）相切于P点’则△A0B的面积为定值∧√1ˉ∧2αb;
（」）…c! ;汗＿～｜（傻…0）…‘与瓣凰c墓; （点）』｛蒜～］（艘…0,
0＜入＜1）有公共点’
o当0＜入≤f时测△M愿嫡面藕晌最大值为入√］ˉ人:刨』;
圆当』＞乎时则△州0‘嫡面积蹦最大值为＋毗
勺
勺
推论;若奶是椭圆C｜景＋萨二l（“＞』＞0）不过原点的任意—条撼,当直线0MB的
斜率…＿紧（…｜和…轴重令）赫测△AoB输…最大值为÷腮,
［例9］＿种作图工具如图l所示.O是滑槽AB的中点’短杆OⅣ可绕O转动’长杆MV通过
″处铰链与OⅣ连接’M＼／上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DⅣ＝OⅣ＝l ,Mγ＝3.
当栓子D在滑槽AB内作往复运动时’带动／＼／绕O转动—周（D不动时’
／V也不
动）’M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点’AB所在的直线为厕轴建立如图2
所示的平面直角坐标系
（l）求曲线C的方程;
（2）设动直线／与两定直线／l :肛-2γ＝0和／2:卿＋2y＝0分别交于P’0两点.若直线／
总与曲线C有且只有—个公共点,试探究:
△OP0的面积是否存在最小值?若存
在’求出该最小值;若不存在’说明理由.
γ↑
抓
B
x
M
图l
图2
印
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』缀Q2讲弦龄翱磁积↑
~
｜·解析0
（l）设点D（r’0）（
｜‖ ｜≤2）’Ⅳ（则0’γ0）’″（卿’γ）
’
］
~~
＿
）
′
＿
〃
〔
十
Ⅳ
~~
—
〃
→
Ⅳ
一且
—
〃
→
Ⅳ
∑
~~
一
Ⅷ
意
题
依
…—……｛（怒!r耐≡〔
卿｛蜀ˉ1＾
且t（′ˉ2加0）＝0.
由于当点D不动时’点Ⅳ也不动’所以t不恒等于0’
勺
勺
于是』二2鹏0,续腮0＝÷.γ0-—昔｀代入鳃;十γ;-l,可得荒＋爷二l｀
卵所求输胸线c输方程为÷宁二（
（2）解法-:
（i ）当直线′的斜率不存在时,直线′为箍二4或鳃＝＿4,都有sM″＝＋×4×4＝a
（h）当直线′的斜率存在时,设直线′;γ＝腮…（你≠±＋）’
＼
撕‖厂媒!｜顺~
消去y’可得（1＋4k2）卯2＋8km卯＋4m2ˉl6＝0.
因为直线′总与椭圆C有且只有一个公共点’
所以△＝64片2m2ˉ4（l＋4k2）（4m2ˉ16）＝0’即m2＝l6k2＋4.
@
｛乒剿可爵腰（｜驾｀尚）;…简0（哉尚）
又由
菌愿…喧巍′0…为』≡浩铲′昨√「丽i〕…!｜｀副得
2m
2m
2m2
1—2k＋l＋2内
＝
l-4A2 ｜
◎
sM′q二＋｜PQ卜刨＝÷｜″!卜｜瓤′,—鳃q｜＝÷｜哪｜
▲
≈
2矾2
将O代入@得’S△oPQ＝
＝8 ｜4片2＋l
｜
1-4∧2
｜4k2-l
｜
5｛
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
l满分之路.解析几何l
~
蔓藤＞＋时,sM啊-:（舞圭｛）＝:（］丽÷ˉ］）＞8;
当0≤膊＜寸时,sM′馏二:（↑器）-8（—!＋｜兰漂）
闽为0≤谣＜士测0＜」—4藤≤」,』兰膘≥2,
所以sM′翘-8（—｜十｜÷赔）≥:,当且仅当腮＝0时取等景
所以当k＝0时’S△0PQ的最小值为8.
综合（
l
）（ll ）可知’当直线／与椭圆C在四个顶点处相切时’△OP0的面积取得最小
值8.
解法二:
设直线′与曲线C的公共点为G（卿0’y0）
’
凰直线′与陶线C有唯-公共点,欺直线′为椭圆切线,其方程为等＋竿＝‖
卯0 .卯
y0 °γ≡1,
｜∑』…｜羔呐§｀
由
）
阎理可得Q（氮0鸟γ0,鞭0≡:γ0 ）
∑
）
一
四
●
步
〕
~
＿
″
／
＼
∑
一
四
■
∑
→
尸
＿
∩
皿
封
二÷｜测′γ0ˉ腿0y尸｜＝
＝
128
因为S△（）P0＝
∑
◎
γ
』
句
牟
∩
Ⅶ
卯
~~
尸
○
｀
△
∩
□
得
式
公
面
上
入
代
勺
叼
—
↓
斗
~~
∑
‖
γ
故
~~
尤
—
斗
＋
司
呐
—
Ⅷ
又
64
’
）
］
牛
’
斗
「
‖
［
巨
‖
卯
（
勺
＝
∩
凹
卯
∩
己
64
故S△（）P0＝
≥8’当卿0＝ˉ4’0’4时等号成立.
∑
‖
卯
β
即当直线／与椭圆C在四个顶点处相切时ˉ’△OP0的面积取得最小值8
解法三（参数法）
:
设直线／与曲线C的公共点为G（4cos0’2sin0）
’
52
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』露o2讲眩长缀翻积｝
~
因直线／与曲线C有唯一公共点’
故直线′为椭圆切线’其方程为4m;÷鳃＋型△1—兰』1二｜
4
／
』
』
‖
‖
｀
＼
尸
占
…
得
芋
隐
’
］
~~
γ
●
β
斗
】
【
●
■
■
且
吕
●
▲
＋
4
7
蓟＂0十…,副＂0十…）
（…二↑狐…＂02…）
同理可得0
〗
）
→
∩
昭
～
∩
γ
■
〉
□
Ⅺ
—
○
／
＼
】
一
四
-÷｜腮′γpˉx叫｜＝
当√示面
8
因为S△OP0＝
≥8
｜cos20｜
当cos20＝±1’即当直线I与椭圆C在四个顶点处相切时’△OP0的面积取得最小
值8。
点评
l.本题重点考查椭圆的标准方程｀几何性质’直线与圆、椭圆的位置关系以及函数最值
的求法.
2.圆锥曲线的切线方程
若P（则0’γ0）是圆锥曲线C上的一点’则曲线C在点P处的切线／的方程为:
（1）当曲线C:卯2＋y2＝r2时’切线／的方程为卯0 .卯＋γ0 .y＝r2;
（2）…‘;瓷卡-」蹦’切线』输方耀为竿带竿-」;
（3）当曲线C:γ2＝2p则时’切线′的方程为y0 .y＝p（绷0＋则）（p≠0）.
记忆方法:
将鹏2改写为鳃＂刚.将γ2改写为γ＂Ⅷ,将腿改写为—厂’将γ改写为罕~
卯0＋卯
3.解析几何中求某个变量取值范围的问题’一般有两种解题策略:一’利用题设中或明
或暗的不等关系构造不等式解得范围;二’选择合适的参数构造目标函数’转化为函
数值域问题.对于比较复杂的动态过程’理顺动态因素之间的从属关系、先后关系.
田
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路.解析几何｝
~
—〉
→
［题型3
OA上（）B模型问题］
［例｜0］己卿椭圆c;÷Ⅱ2二｜’设富线′与椭圆c交于d｀‘啊点,坐标原点o到直线′的
距离为?』求△M愿圃帜的最大值
｜·解析b
解法-:
凰为s…÷｜咽｜粤二亭M腐｜
』
所以求△AOB面积的最大值’转化为求｜AB｜的最大值.
情罐—当…轴时’直线′:鞭-辈夸’此时｜蛆｜二何;
情形二当AB与厕轴不垂直时’设直线AB的方程为y＝A如＋m’A（卯l ’yl）’B（则2’γ2）
陶已芍｛等｜膘二亨.得鹏:二÷（膘带｜）
勺
苦＋γ2＝l,
〔州—川…叭……辩……
联立直线／与椭圆
6∧m
卯l＋卯2＝- 3∧2＋l
则《
3（m2ˉl）
＂l獭2＝j∧2＋l
则｜AB｜＝√「干P｜厕lˉ熊2
｜＝√（1＋∧2）［（财｜＋则2）2ˉ4＂｜.獭2］＝2√1＋A2 .√3（3k2＋1ˉm2）
3附2＋1
（套弦长公式）
下面求｜AB｜最大值’
√巡十训婿｜）～卜,〃脱］
将″｜2＝;（渝2＋｜）代＾｜姐｜,得｜』R｜＝
~｜
l2
′3＋
~′
l
√
9附2＋P
~／
12
厉≤√3＋2×3＋6二2（隐≠0）
’
“
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1龋o2瞬弦援辑翻积0
…当9雁二食’:队＝圭粤对等号咸立
〕
又当k＝0时’ ｜AB｜＝√a
综上所述’
√可何
当MB｜…二2时,（s△舰）腮）…÷｜奶｜…丁—丁
解法二:
圈为感′ˉ′≡√·哭限-罕所以励而
又｜AB｜≤√α2＋b2,
旧
—
〗
~~
Ⅸ
且
Ⅲ
）
Ⅱ
）
（
∧
△
∩
○
（
’
何
—
〗
~~
』
α
］
—
〗
≤
β
』
■
／
○
／
〔
●
］
宁
≈
~~
Ⅱ
○
∧
△
∩
·
以
所
［例u］设椭厕‘;÷噎三｜（…＞0）过卿（2,何）,＂（佰,］）两点. o沟坐标原瓢
（l）求椭圆E的方程;
（2）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意＿条切线与椭圆E恒有两个交点A’
-—-＞
—-〉
B’且OA」ˉOB?若存在,写出该圆的方程’并求｜AB｜的取值范围;若不存在,说明
理由.
!6霹厩］
’
、
占
…
两
）
］
’
佰
（
Ⅳ
’
）
徊
’
】
（
″
过
）
）
（
＞
』
＞
〗
〔
（
］
~~
勺
工
脐
＋
勺
叮
勺
旷
●
■
Ⅱ
圆
椭
为
因
）
］
（
′ l
1
＝÷÷-! ,
-
α2
8
,
α2≡8,
｛栏』
所以
解得｀
即
｜;十〔
｜☆÷
勺
勺
椭圆E的方程为÷÷＝l
（2）假设存在圆心在原点的圆’使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A’B’且
---〉
---〉
OA上OB°
55
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何l
处理方案一:
〕
—
目
~~
］
—
脐
＋
］
—
碳
~~
∑
］
Ⅱ
∩
＋
∑
］
』
○
则
→
旧
＿
／
儿
上
→
叫
由
证明:
—≥
设OA与卿轴正向的夹角为0’则A（｜OA｜cos0’ ｜OA｜sin0）
’
—广
---广
因为叫上oβ则B（｜0B｜鹰＂鼠（β十子）
’ ｜Oβ｜曾l＂（0十哥））
｀
＝′／
4代入椭圆方程得（｜OA｜cos0）2＋（｜OA｜sin0）2
,
≡｜,即｜六Ⅺ
αˉ
b2
cos20
sin20
α2
＋—.
≡≡
b2
,
‘os2（β＋苦）
:in型（0＋苦）
·i＂2〃
‘。息20
同理｜o齿｜』
b』
α
＋
＝＿丁＋
62
.
二＝
α2
l
cos20
sin20
siIl20
cos20
l
l
所以｜六｜Ⅱ＋｜oB｜,
α2
＋-〗厂＋
α2
＋
b2
＝F＋萨
＝
所以设′为圆O的半径’
｜OA｜
·
｜OB｜
｜OA｜
.
｜（）B｜
s…二÷｜奶｜′＝÷｜0A｜｜（］B｜,即′-
＝
｜AB｜
√｜OA｜2＋｜OB｜2
则上＝
l
l
′』
｜（M｜2＋｜o腮｜2-》十卜-;,鼠咽（）约方程为鞭2 ˉ卜广-:
又｜″i｜2＋｜0‘｜:二÷带☆-;则｜0s｜Ⅱ-
;｜川｜Ⅱ
1
3｜（）A｜2＿8’
64~
9
所以｜姻｜Ⅱ- ｜0剑｜: .催｜″g｜Ⅱ-｜〃｜2十］‖雕｜i;
＋
β
—
〕
＋
∑
叫
~~
■
β
—
〕
∩
乙
∧
○
又4≤｜OA｜2≤8,
所以￥≤｜姻｜』≤｜2,即华≤M月｜≤2徊
j
处理方案二:
设该圆的切线方程为γ＝肋＋m’
7
7
肾＋f＝l ｀
｜……）输…鹏……Ⅷ
解方程组
品
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O2讲弦长锣颧积·
~
则△＞0,即8A2＋4-m2＞0,
4∧m
卯l＋卯2＝— 2k2＋1
,
m2-8A2
yl °γ2＝2k2＋1
≤
2m2-8
％l °％2＝2A2＋1
’
2m2-8
m2-8片2
---》
---〉
--＋
---≥
要使OA上OB,需使OA.OB≡卿l知2＋y1y2＝2∧2＋1＋2／b2＋l
＝0,
即3肌2-8片2＿8＝0’
所以鹏-］′＂甫—闲≥队又s雁＿咖2…0』
因为直线γ＝肋＋m为圆心在原点的圆的一条切线’
8
2√6
卵…输′—蒜～踪ˉ!炭—∏～
所…为鳃1十／二÷』此时圆的切线Ⅱ-附…鄙磷足则≥钒″』≤＿丁｀
2√6
嗣当切线输斜率不裔在时’切线为Ⅸ→孪与椭圆等＋子＝!输溺个交点为
（孪｀堂孪）巍（—子,堂孪）满Ⅷ皿
综上,存在圆』谬在原点的圆鲸2＋γ2＝§,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交
〕
→
Ⅱ
＿
∩
〃
ˉ
」
十
＾
凡
—
○
且
日
∧
占
…
所以
｜AB｜＝√Iˉ下P｜卿lˉ则2
｜
）
斗
＋
∑
）
勺
△
司
≡
＂
】
″
刁
把
勺
～
∧
］
β
（
（
β
＼
／
】
∏
向
＋
］
（
／
′
γ
~~
／32
√了.
4k4＋5k2＋1
＝√1＋片2
.√（腮l＋鳃2）2ˉ4抛｜“2
~~
4片4＋4k2＋1
∧2
（］＋靴』＋靴2刊
皿
—
〕
′
√
γ
）
57＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
（满分之路° 解析几伺｜
＼
｜
／
△
‖
＋
］
］
—
陪
＋
∑
人
川
斗
｜
十
］
／
／
｜
｜
｀
＼
皿
〕
′
司
√
当A≠0时, ｜AB｜
l
l
凰为4膘十古十4≥8.所以0＜
≤—
‘赡十↓
6 ,
’
何
∑
≤
日
°
八
＜
哑
〕
以
所
’
∑
］
≤
°
’
｀
｀
｜
‖
‖
‖
｜
｜
｜
｜
／
／
’
川
→
’
~~
＋
］
］
附
取
＋
’
↑
才
√
∑
八
日
何
—
∑
川
→
＋
±
］
／
｜
｜
｜
｜
｜
｜
＼
＿
＿
卫
—
〕
八
＜
〃
宜
亚
—
〕
仅
以
且
所
当
●
■
尸
ˉ
恤
〕
~~
Ⅱ
』
’
寸
日
◎
~~
∧
当
●
●
′
哑
＾
~~
Ⅱ
』
时
此
甲
勺
〕
蠕上所述』｜姻｜输廖值范围为竿≤M噬｜≤2旧’鼠｜, ｜必｜匡｜华2司
′丁
〕
总结:
…椭圆圆;耗;ˉ｜（…0）上任意溺点｀o…原患
B’｜〃
（｜）若〃上″B测｜0肯｜2
｜oA｜:＋｜oB｜’了7,
1
-＋—→
l
l
l
二＝
α2b2
即H的轨迹方程为卯2＋γ2＝
~
α2＋b2,
（2）蔫…B则√鹊』
---〉
-＿-》
≤｜AB｜≤√α2＋b2;
（3）若丽上而,则α2 .b2
αⅡ令b2≤s△炯腐≤÷αb
58
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
辉O2讲弦援翱翻积｝
［例l2］已知曲线c｜;」f1＋竿二1（α＞』＞0）所阔成的封闭图形的面积为4占,曲线C｜的
内切圆半径为孪记c2为以曲线c占坐标轴的交点为顶点的椭圆
（l）求椭圆C2的标准方程;
（2）设AB是过椭圆C2中心的任意弦’ ／是线段AB的垂直平分线.M是／上异于椭
圆中心的点
@若｜″O｜＝∧｜（）A｜（（）为坐标原点）’当点A在椭圆C2上运动时,求点M的轨迹
方程;
@若M是／与椭圆C2的交点,求△AMB的面积的最小值
（。解析0
斗
~~
∑
∏
β
’
日
~~
】
α
得
阜
角
’
＾
‖
＞
β
＞
α
又
哑
］
’
｜
得
意
题
由
）
］
（
｜万二示＝了
勺
勺
圈此所求椭圆的标准方程为苦＋÷二｜
（2）o假设AB所在的直线斜率存在且不为零’
设AB所在直线方程为γ＝脑（k≠（））’A（卿A’yA）
∩
勺
÷÷二｜’
｜
″慰☆鼠可碧〗
解方程组
γ＝脑’
20
20k2
2（）（l＋k2）
＝＝
设M（卯’y）’由题意知｜MO｜＝∧｜OA｜（∧≠0）
’
所以｜MO｜2≡入2 ｜OA｜2’即卯2＋γ2＝入220（l＋k2）
4＋5八2
°
因为／是AB的垂直平分线’
所以直线!的方程为γ＝ˉ＋蕊,:毗＝—
卯
′V
69
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「满分之踏.解祈几何【
翻…～人:20（｜噎）
4＋5 .丝
v2
＝入220（卯2＋y2）
4γ2＋5卯2
勺
司
又篮2＋y:≠0’所以5鳃2＋4γ2＝20∧2,戳÷肾＝爬
又当k＝0或不存在时’上式仍然成立.
综…｀删输…霍为珠谎-｜（入≡0｝
20
2
20∧2
@当A存在且A≠0时’由o得’狮i＝4＋5内2’yA＝4＋5∧2
厂
7
7
÷＋警二l’
解得喻-5装2,愉-5带绷2.
由钳
20
1
y＝ˉ而则’
所以｜侧｜』-鞭i带Ⅱ｀≡2‖!鉴）, ｜必｜:≡4｜删｜』≡β!!蕊）, ｜Ⅷ｜1
下面对△A／｜〃B的面积进行处理
处理方案一:
1
1
l
4＋5∧2＋5＋4八2
9
闽为｜六｜2＋｜O删｜2二20（｜十偷2）带20（!袱』）-
20（｜带赡）
-20,
20（1＋内2）
~~
γ
～
八
△
·
＋
尸
〕
4＋5∧2
5＋4∧2
又
l
l
2
｜oA｜2＋｜0删｜2≥｜o仆｜0″｜, ｜″仆｜0M≥曾,
当且仅当4＋5人2＝5＋4∧2时等号成立’即∧＝±1时等号成立’
40
此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝9.
凿附二0时’s△侧″＝÷×2占×2-2占＞等
当胀不存在时,s…＝÷×占×4＝2佰＞等
综上所述,△列″周的面积灼最小值为等
ˉ刨
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』攀O2讲弦长辑面积‖
处理方案二:
由于
si铡蛔二＋｜必｜坠｜0″｜2＋;0（1十膘）
20（1＋膊）
4＋5k2
5＋4k2
岭绷〔獭尸（剿!＼撇）′≡（鄂
二二
当且仅当4＋5k2＝5＋4片2时等ˉ号成立’
即∧＝±l时等号成立’
40
此时△Al′B面积的最小值是S△AMB＝9
当附≡0时,S…-＋×2√5×2＝2√5＞丁
~-40
当腑不存在时,S△…＝÷×旧×4二2占＞等
蠕上所述,△A临的面积的最小值为等
［例旧］如图椭阀‘;声卡-｜（磁＞』＞0）的顶点为』｜’毖｀Ⅱ｜｀B】焦点为Fl ’F2’
｜AlBl
｜＝行’ S□AlBlA2B2＝2S□B｜F｜B2F2.
（l）求椭圆C的方程;
（2）设′』是过原点的直线’ ／是与Ⅶ垂直相交于P点、与椭圆相交于A’B两点的直
ˉ—-〉
—沪
＿-〉
线’
｜OP｜＝l ’是否存在上述直线／使AP.PB＝1成立?若存在’求出直线／的方
程;若不存在’请说明理由
B,
6］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解祈几何｝
·解析0
（l）由｜AlBl
｜＝√7’知α2＋b2＝7@’
由S□A｜B｜A2B2＝2S□B｜FlB2F2知α＝2c@’
又b2＝α2ˉC2
O’
由o@◎解得α2＝4’b2＝3’
勺
勺
熬椭圆‘的方程为予÷二L
（2）解法-（奇思妙解）
:
～＋—〉
一--〉
因为AP·PB＝l, ｜OP｜＝1,
＝-＋—》
一-一〉
-＿》
所以0A.OB＝（OP＋PA）
-—-〉—〉
所以0Aˉ」OB。
→
剧
＋
→
口
〃
＿
□
Ⅱ
●
→
尸
—
∩
γ
＋
∑
→
口
卫
＿
∩
皿
~~
）
一
肥
＋
→
尸
＿
∩
〃
（
●
∩
~~
］
］
~~→
口
〃
＿
□
Ⅱ
凸
→
训
＿
『
Ⅱ
＋
→
尸
＿
∩
〃
又S△』（）‘＝＋. ｜叫｜
. ｜OB｜＝上.MB｜
. 陋!O—列β＝＋.√｜OA｜2＋｜oB｜2 .励′）＿削‘》
2
～
▲
l
l
~～ˉ
所以硼″」瓣:＿「而带丽∏-÷半十-古,所叫d-2笋＞｜-｜0′｜
故直线／不存在.
解法二（直曲联立）
:
—≥
-—-〉
设点A（厕l ’γl ）’B（卯2’y2）’假设使AP.PB＝l成立的直线′存在’
（
l ）当／不垂直于卯轴时’设／的方程为γ＝脑＋′n’
哟′与…搁…′且｜而｜-｜得湍了-］.卵测:～膘带1
ˉ--》
---〉
ˉ—-〉
因为AP·PB≡1
, ｜OP｜＝l
,
---〉
---〉
—≥
—-尹
所以OA.OB＝（OP＋PA）
·
~~
］
］
~~
→
″
●
→
川
＋
→
沪
一
／
儿
→
孙
—
丁
厂
＋
→
日
～
尸
一
″
＋
∑
→
尸
＿
∩
呼
~~
）
→
日
—
尸
＋
→
尸
～
∩
皿
（
即卯l卯2＋yly2＝0
’
·
~~
加
＋
’
γ
］
）
＿
＿
］
′
丁
（
＋
＋
形
—
斗
肋
｜
圆
响
湘
与
＝
／
线
直
ˉ
、
工
联
62
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
『第O2讲弦长与颧积｝
消）′得（4k2＋3）则2＋8∧′则厕＋（4m2ˉ12）＝0’
8km
卯l＋卯2＝— 4k2＋3’
3（m2-4A2）
则《
γl
°y2＝
4A2＋3
4m2-12
勿l .卯2＝4k2＋3
’
4m2-l2
3m2-l2∧2
7m2＝12k2-12
0＝勿l卯2＋y1γ2＝4／b2＋3
4A2＋3
4／b2＋3
＋
＝
,又″l2≡片2＋1,
故ˉ5（1＋∧2）＝0’矛盾
即」比时直线／不存在.
一＝＿广
（ll）当′垂直于卯轴时’满足｜OP｜＝1的直线／的方程为卯＝1或卯＝ˉ1.
’
］
）
≠
·
’
’
—
斗
］
（
尸
＿
＿
’
）
〕
—
∑
）
〕
—
∑
’
’
‖
］
（
（
日
·
’
）
＼
｜
／
〕
—
∑
〕
—
】
’
’
］
∩
（
』
／
｜
＼
~~
占
…
→
彤
’
~
ˉ
~
叫
叫
霄
●
→
尸
］
＿
＿
＿
则
仕
卯
以
当
所
→--〉
当则＝-1时ˉ’同理可得』P.PB≠1’矛盾
即此时直线′也不存在
—〉
--≥
综上可知’使AP.PB＝l成立的直线／不存在
°
工
沪
＋
旬
妒
—
广
●
●
℃
圆
喻
■
■
·
剁
刷
Ⅶ
”
结
知
总
已
＝l（α＞6＞0）’○O:卯2＋γ2＝r2’直线／与○（）相切于点P’与椭圆相
交于A,B,则
剐舞崎,萨咖…｜萨（似i』—蔽』）倒』（』!恿ˉ′真）卜
（l）当0＜′
●
●
″
〗
勺
△
】
○
％
＋
α
∑
α
~~→
旧
一
∏
】
●
→
〃
’
ˉ
时
勺
▲
∑
『
″
奶
＋
α
∑
α
′
′
γ
~
~
~
＿
厂
当
）
勺
～
（
｜磁』（b』ˉ′2）″』（腿iˉ′』）
b2
2
′α2b2
—〉
---》
航2＋b2＜′＜侧时,A尸PB的范围为
｜
）
勺
〕
（
63～
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｝满分之路·解析几（可｜
［题型4面积比问题的转化］
［例｜4］已知椭厕c｜:÷÷-｜〕抛物线c型;广-4鞭’过椭圆C｜的有顶点的直线′交抛物线
C2于A’B两点,射线OA,OB分别交椭圆于D’E两点’O为坐标原点.问:是否存在
直线／’使S△oAB＝3S△oDE?若存在’求出直线／的方程;若不存在,请说明理由.
‖·解析］
设A（卯l ’γl）’B（卯2’y2）’D（卯3 ’y3）’E（匆4’γ4）’／:则＝″』y＋2’
｛｀‘f二′~
联立直线／与抛物线C2的方程并消去卿’得γ2-4加γ—8＝0’则
］
~~
止
〗
＋
形
—
斗
圆
椭
入
代
卯
斗
—
川
~~
γ
』
○
线
射
则
消“解得Ⅱ;-3熊↓
网塑’γi-3:盖.
√≡
s△刚＂÷｜叫｜″B｜鼠i＂α
｜OA｜｜0B｜
目＝
二二
｜（）D｜｜OE｜.
设直线OA’OB的斜率分别为∧l ’∧2’
铡｜o川√瑞｜川｜. ｜″p｜√瑞｛晦｜, ｜″‘｛√武｜晦｛｀｛o圆｜√｜亡｜涧｜,
所以
／73
＝／—
γ
＋3［（γl＋y2）2ˉ2γly2］
S△oAB
≡≡
S△oDE
｜y1
｜
。
｜y2
｜
8
｜γ3
｜
·
｜y4
｜
9
／64×3／64×3
√3γ｝＋64.√3y;＋64
二／Z3＋3（l6矾z＋16）＝／48加2＋l2l
v
9
v
9
巳
即不存在直线使S△oAB＝3S△oDE.
的
＋
’
∏
—
〕
）
｜
“
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1第O2讲弦长与翻积｜
［例旧｜在平…坐标系中,椭圆C蒂惰≡｜（鹏≥』＞0）的离
V
心率为粤’抛物线‘;鳃2-2γ的焦点′是c的—个顶点
（1）求椭圆C的方程;
（2）设P是E上的动点’且位于第—象限’在P处的切线／与C交于不同的两点A’
B.线段AB的中点为D’直线O1）与过P且垂直于则轴的直线交于点M.
（
i ）求证:点″在定直线上;
求:的
（h）直线／与γ轴交于点G’记△pFG的面积为Sl
, △PDM的面积为S2》
最大值及取得最大值时点P的坐标.
∑
』
得
可
何
—
∑
’
＝
β
～
α
’
＝
α
／
γ
~
扑
知
意
题
由
凰为抛物线圆的焦点为』（0’÷）
所以α二l ,b-÷,
所以椭圆C的方程为卯2＋4γ2＝］
（2）解法-:
’
而
—
勺
／
＝
’
〗
″
／
（l ）设P｜
＼
｜（″!＞0）’由躯2＝2γ可得γ′＝躯,所以直线′的斜率为″!,
／
2
2
因此直线!的方程为yˉ晋＝′＂（獭—′＂）,即γ＝″卿ˉ丁
′γl
设A（卿l ’yl
）’B（卿2’y2）’D（绷0’y0）
,
’
○
~~
］
牛
加
＋
卯
］
〗
″
〃
午
∑
卯
）
］
＋
∑
矾
斗
（
得
’
’
而
—
∑
］
~~
∑
γ
√
卯
加
口
斗
＋
~~
∑
γ
√
卯｜
联立方程
65
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解祈几（可｜
~／
~～
4m3
由△＞0’得0＜″!＜√2＋√5’且卯l＋绷2≡4m2＋l’
师l＋卯2
2m3
~
‖
卯
比
」
因
≡≡
2
4加2＋1,
m′2
将其代入γ＝m绷ˉ丁得y0＝ˉ
″l2
’
）
］
＋
’
≈
矾
斗
（
∑
闽为坍-—六,所以直线oD的方程为γ＝疏“
l
~~
″
γ
为
标
坐
纵
的
″
占
呐
飞
得
啸
孕
’
％
］
—
咖
。
″
〗
~
~
~
~
γ
√
卯｜
程
方
立
联
l
4,
:′点M在定直线γ＝—＋上
m′2
（i）诲（i ）知直线』的方霍为…＿等,令鞭＝0,得γ-ˉ丁,所以‘
）
而
—
∑
／
（0,ˉ
｀
又′（鹏,等）.′（0,告）,D（4′:碧1,2（物』刊）
-m′▲
）
所以‘｜-＋｜‘′｜′＂-÷″』（咖1带」）.吨→｜刚卜｜鹏＿撼＂｜ˉ!｝霹车｝｛』,
Sl
所以瓦＝
′ .
｜.≡、S2
）
］
＋
’
～
Ⅶ
′
斗
′
′
□
｀
∑
＼
〗
／
■
】
』
＋
’
＝
】
″
（
（2″!2＋l）2
求最值的处理方式一:
Sl
今′＝2m2＋l ’则丽＝
（2t-1）（r＋1）
’
勺
合
＋
割
』
—
‖
＋
］
—
气
广
~~
勺
广
·
＞
△
足
满
但
—
’
ˉ
~~
加
时
此
’
—
斗
值
大
曰
取
得
取
岛
—
岛
时
∑
~~
即
］
—
∑
~~
割
Ⅱ
—
〖
当
’
）
］
—
斗
’
但
—
∑
（
为
标
坐
的
尸
℃
占
…
以
所
＼
］
Ⅱ
‖
‖
′
／
］
—
斗
徊
—
’
ˉ
（
为
标
坐
的
尸
占
…
时
此
’
—
斗
为
值
大
最
的
卧
—
岛
此
因
的
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1第O2讲弦长与颧积｝
求最值的处理方式二:
｀
｀
′
′
■
‖
儿
＋
∑
加
斗
／
′
‖
＼
●
｀
｀
』
′
‖
】
』
＋
∑
〗
″
（
∑
~~岛
—
比
以
所
’
）
占
＋
∩
乙
’
○
（
巨
‘
则
Ⅱ
’
~~
∑
加
设
’
α
＼
／
■
』
＋
∩
丝
〗
″
’
≈
（
Sl
2（r＋1）（4t＋l）
则瓦＝
（2′＋1）2
2
’
’
—
斗
~~∑
＿
铅
＋
’
≈
≤
2t
≡2＋4t2＋4t＋l
＝2＋
△
·
＋
‖
些
—
′
＋
′
斗
当且仅当4‘＝＋,即』二÷匡（0,2＋石）时等号成立,
蹦以:输最…÷.……赫为（钮）
解法二（
‖ ）（点差法）
:
1
2
设点P（厕0’y0）（卯0＞0）’则γ0＝了则0’
由》＝÷绷2,可得γ′＝撼,故切线′斜率隐′＝卿0＝
≡
yl-γ2
卯l-几2
所…′的方程为γ-鳃0鳃—?,救G（0
勺
≡
）
卯0
2
…
＿
∑
~~
〃
γ
√
’
勺
▲
卯
＋
勺
▲
］
卯
~~
〃
卯
’
）
″
γ
√
’
）
【
卯
（
∏
’
＼
／
∑
γ
’
∑
卯
（
日
’
）
］
γ
’
〗
】
卯
（
‖
则卯｝＋4γ｝＝1’卯l＋4γ;＝l
’
两式相减得（卿l＋则2）（则］-卿2）＋4（γl＋γ2）（ylˉγ2）＝0’
（y1＋y2）（γl-y2）
两边同时除以（购l＋绷2）（卿l-卯2）’得l＋4
≡0’
（卯1＋卯2）（绷1ˉ卯2）
l
厦队″删吮′＝—＋,则偷〃腮＝—
4卯0’
l
所以直线OM的方程为y＝ˉ瓦m
又过P且垂直于卯轴的直线方程为卿≡卯0’
67
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
′满分之路.解析几何l
~
所以两百.线的交点″坐标为卜0,ˉ》）,
所以点M在定直线y二—＋上
（m御（…P（翔｀狮）（撼＂＞0）｀‘（0.ˉ乎）′（0.＋）,卿卜＂.ˉ＋）
s｜-s…＋｜″卜｜冲｜＋（辟）＂
＼
‖
‖
‖
′
／
］
—
斗
＋
句
叼
—
’
～
s2-5△″卿＝÷｜川仆d…—2
1
（
ⅢD～PM
设点D到直线OG’P″的距离分别是dl ’d2’则点O到直线PM的距离是Ⅲl＋d2
〃1
｜（）G｜＋｜PM｜
αl＋d2
二二
＝＝
〃2’
｜P／｜′｜
〃2
由△0D（≥△删DP,可得删
P″｜
｜P″｜
所以Ⅲ2＝
（Ⅲ1＋Ⅲ,）＝
～′
o勿0
｜OG｜＋｜PM｜
｜（）G｜
＋
｜P″｜
勺
≡
＼
‖
■
』
‖
『
′
／
］
—
斗
＋
句
叼
—
’
ˉ
／
』
‖
‖
｀
＼
所以s2＝s…＋｜′删｜
｜PM｜
■
］
—
∑
~~
○
卯
■
卯0
］
斗
＋
’
吨
—
∑
＋
’
吨
—
∑
（
｜OG｜
＋｜P″｜
｝工『工五］
↓＋｝＋＋叫
←←十＋←｜
所以
÷（骋）撼＂
（
（船）: ~ （
）
（
■
）
’
叼
—
∑
＋
］
—
〗
）
］
—
斗
＋
’
叼
∑
＋
’
叼
—
∑
（2绷;＋2）
. （4卿;＋l）
~~
冈
—
岛
~
∩
′
～
＼
‖
■
】
】
】
□
′
／
］
—
斗
＋
’
叼
—
∑
／
□
』
〗
‖
‖
＼
’
～
＼
〗
′
′
■
‖
且
＋
’
＝
◎
卯
’
≈
／
『
｀
｀
l
—●
2
】
］
｜
』
＼
／
＜
』
＋
∑
·
卯
〃
斗
（
＋
∩
乙
）
勺
～
＋
旦
○
卯
勺
～
（
｜
≤
l
’
斗~~
∑
＼
／
●
』
＋
∑
‖
卯
勺
▲
（
当且仅当2躯;带2-4鞭;十』.鼠『鞭＂-夸时.蜒“≡《
所以:输最…÷｀雌呻′…为（￥,十）
68
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O2讲弦长与翻积｝
总结l
:
（l）直线与曲线综合应用的基本步骤;
（2）点差法的使用条件和步骤;
（3）面积公式选取及应用;
（4）证明点在定直线的方法;
（5）解析几何中求某个变量取值范围的问题’一般有两种解题策咯:一’利用题设中或明
或暗的不等关系构造不等式解得范围;二’选择合适的参数构造目标函数’转化为函数值
域问题.对于比较复杂的动态过程’理顺动态因素之间的从属关系、先后关系.
总结2:
∩
∩
结论｜;抛输线′!瓣2二2′Ⅱ第ˉ象限内一动点′〕的切线,与椭圆‘!备＋卡二］（…＞0）
交于不同的两点A’B’线段AB的中点为I）’直线OD与过点P且垂直于″轴的直线交于
…｜……》＝窖上｀…当侧卫＿绷』蹦,:输最大…值÷
结论2;摘圆c;声肾-｜（…＞0）,…圆;腮』-2″,点M窿…γ≡孪上｀过
点″垂直于卯轴的直线若与E交于点P’当过点P的直线／与C交于不同的两点A’B’且
线段AB的中点D在线段OM上’则直线′为E在点P的切线;
∩
勺
结论3;抛物线E;露2-2〃第—象限内＿动点′约切线,与椭圆c景嘴-｜（…＞0）
交于不……｀线段佃钩响…垂直于“翰蹦直线脏与直线》-ˉ等交于
点M’则O’D’″三点共线;
结论4;抛物线圆;狮』-2′γ第-泉限内—动…切线,与懒圆c÷惰-」（“…0）
………线段咽的中点为D｀直线o…绚-＿窖交雅M,Ⅷ….
的
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之路.解析几何l
［例l6］在平面直角坐标系卯Oγ中’已知点A（ˉ1’l）’P是动点’且三角形POA的三边所
在直线的斜率满足k（）P＋∧OA＝∧PA.
（1）求点P的轨迹C的方程;
＿--〉
—-〉
（2）若Q是轨迹C上异于点P的—个点’且P0＝∧OA’直线0P与0A交于点M’
问:是否存在点P使得△P0A和△PAM的面积满足S△P0A＝2S△PAM?若存在,求
出点P的坐标;若不存在’请说明理由
…■
（l）可设P（躯,y）,0（0』0）,A（ˉl』｜）得;″o′＝÷》附o』＝ˉl,k″＝』L二1
卯＋l
’
又腮＂僻＋附叫二k尉’得;÷～l-吕’整理得;γ-狐2（鞭≠0且鳃≠ˉl）
所以P的轨迹C的方程为γ＝＂2（″≠0且则≠-l）.
（2）思路:画图可得△PQA和△川″的高相同’从而面积的比值转化为对应底边的比’
—≥
-
〉
＿→---〉
由S△pQA＝2S△pAM,得0A＝2AM再由PQ＝∧OA’可得P0／／／OA’
进而0A＝2AM’OP＝2OM’由O’P’″共线再转成向量关系’
则只需求出M的坐标即可解出P的坐标.
7
勺
设P（则! ’则｝）,0（则2’厕;）元＝入丽’则元佩,附PQ＝kα｛＝—L即咱＿叮
卯2—卯l ＝ˉl’解得卿2＝ˉ卿l—1
则:ˉl
所以附“＝页:—干I＝鳃2＿l＝ˉ“」ˉ2,所以直线以;γˉ］＝（ˉ獭」—2）（獭＋l）』因为（）P;γ＝卿l憋』
〔ˉ｜ˉ［ˉ鳃!ˉ2）（针｜）解得蕊删＝2
l
联立直线QA与（）P求M即
y＝卯l卯,
闽为s△僻哪-÷｜以M尸—哑,s…＝÷｜州卿｜划…,且sM哪＝2s…
″
○
∑
~~
尸
○
则
″
∧
∑
~~
以
以
所
今
‖
仕
＿
∩
凹
〃
〃
〃
一
″
为
因
″
∧
∑
~~
』
○
｀
以
所
＝--≥
-—→
所以OP＝-2OM’即卯p＝-2卯M＝1’所以P（1 ’l）.
综上所述’存在符合条件的P（l ’l）
7O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第O2湃弦长墙圃积｝
［题型5三角形面积公式的向量坐标形式］
［例l7］已知椭圆则2＋2γ2＝l ,过原点的两条直线／l
记得到的平行四边形ACBD的面积为S.
和／2分别与椭圆交于点A’B和C’D’
（1）设A（卯l ’y］）
,
C（厕2’y2）’用A, C的坐标表示点C到直线／1的距离’并证明
S＝2｜卯ly2-％2γl
｜
;
（2）设!｜与′2的斜率之积为ˉ÷』求面积S的值
｜·解析0
｜γl卯2—卯lγ2
｜
（1）证明:直线／l :γl绷-卯lγ＝（）’点C到直线／1的距离α＝
√y子＿石「
又｜AB｜＝2｜（M｜＝2√y｝＋獭｝’
｜yl％2—卯lγ2
｜
＝2｜卯ly2-卯2yl
｜
√γ;＋呵
∩
所以S＝2S△ABc＝｜AB｜
. （／＝2√y｝＋卿｝
（2）设直线′｜;γ＝膨,则直线′2;γ二ˉ女狮,设A（躯｜,』｜）’c（躯2,γ:）.
｛二:篡～｜解僻琉下盂Ⅻ
联立直线／l与椭圆
1
2k2
同理则;＝
＝
l十2（ˉ女）』
2膘＋『
由（l）知,
2k2＋l
. ｜卯l卯2
｜＝
卯l
·卯2
（2∧
S＝2｜卯ly2—卯2γl
｜≡2
＝
2∧
＋卯2 ·脉l
｜∧｜
｜脾｜＾／〗—巨
＋l）｜√虱｜
所以面积S的值为√Z
（例腮｜已铡椭圆β;÷情-］（“＞＂＞0）过点（｜,f）∩两个焦点的坐标分瓢（—｜,0）（」｀0）
（l）求E的方程;
.—〉
〉
-—〉
（2）若A’B’P为E上的三个不同的点’ O为坐标原点’且OP＝OA＋OB’求证:四
边形OAPB的面积为定值
7］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‘满分之路.解析几何l
｜·解析0
（｜）由乙知得‘-! .÷十六-］,又硼』-0』十c2｀
则感』-2,脐-］.救圆灼方程为;争广-1
（2）解法-（先特殊’再一般）
:
-—-〉
-—-〉
-—-〉
情形一当直线AB斜率不存在时’又OP＝OA＋OB’
则有直线咽方程为鳃＝罕’P（√Z0）;或鞭＝—卓P（—√Z0）
～
～
下诞;直线必方橇为绷-夸,代入蹦圆方程得』-韭夸,所以』
,＂
（夸,粤）
（骋）
~～
30刹″二÷｜AB卜｜0P｜-等
~～
阎理;直线…程为绷＝＿粤,P（—√Z0）时.s……＝÷MB卜｜0′｜＝粤
情形二当直线AB斜率存在时’
设A（卯l ’y］）’B（卯2’γ2）’直线∧B方程为y＝脑＋′＂.
｜;川—叭…」……ˉ.
联立直线AB与椭圆E
4k矾
′
2m
卯1＋卯2＝- 2片2＋l
’
yl＋y2＝2∧2＋1’
则≤
锹
2（m2-1）
m2-2A2
勿1 ·％2＝
2片2＋1
’ ｀y1 .y2＝2k2＋l
.
又o尸-叫ˉ卜oE则P（＿2辫｜
---广
＝一》
---步
′
4∧m｀
又P在糯圆E上则（—2赔＋｜）
2
2m
）
’2k2＋1
勺
△
）2 ＝l ·即m2＝2k2＋l
4
′
『
（2舞｜
＋
又｜AB｜＝√Iˉ丽可｜绷lˉ厕2 ｜＝2√∏Pˉ
）
∑
〗
∏
］
＋
∑
内
∑
（
∑
′
√
｜m｜
（速算有绝招）’d（）ˉAB＝√Iˉ干P’
2A2＋］
＿72
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］第O2讲弦长与圃积｛
）
∑
〗
刀
］
＋
〗
∧
∑
（
仁
●
Ⅲ
又s△舰周＝＋｜必Mo—姻＝
~
~
2A2＋］
／亚
γ
（2∧2＋lˉ″』2）
（2k2＋l）2
～罕（遮算有绝撼）
√6
所以S四边形oApB≡2S△A（）B＝2』~
解法二
）
∑
γ
√
＋
］
γ
∑
卯
＋
］
卯
（
尸
‖
贝
→
β
＿
∩
〃
＋
→
〃
几
—
∩
□
~~
广
〕
~
—
″
）
∑
γ
’
∑
卯
（
日
）
］
γ
√
卯
（
』
设
′
｀7
又P在椭圆E上’则（绷l＋卯2）ˉ
1
＋（γ!＋y2）2二l ,:′膊宁＋汀γ2＝ˉ2
2
尸
2
等＋′｝二l ,
又A’B在椭圆E上’则斜
旬
.争危-｜,
两式相乘得
」-（争蹄）（争Ⅱ;）
∑
γ
］
—
∑
●
当
】
Ⅱ
γ
—
＿
●
∑
）
∑
］
卯
γ
彭
●
■
●
】
』
卯
∑
咆
∑
∑
∑
］
γ
γ
∩
凸
司
≡
●
％
］
＋
卯
∑
∑
／
＼
得
γ
∩
兰
■
』
解
卯
＋
’
〗
∑
γ
）
■
■
〗
Ⅲ
γ
］
″
γ
劲
●
●
∑
卯
回
＿
∑
卯
●
∑
γ
］
卯
·
＋
］
卯
∑
／
＼
）
＋
∑
γ
∑
●
）
∑
］
γ
γ
°
（
＋
γ
营
∑
＋
）
∑
旦
卯
卯
·
’
＝
·
）
＝
］
］
卯
卯
／
』
‖
‖
‖
＼
／
』
‖
‖
｀
＼
~
~
~~
昔｜躯｜哑ˉ…｜
｜-罕所以s.…″-2s△』”ˉ’
√6
所以S△AoB＝
≈
解法三（参数方程）
:
设A（√页bosα’slnα）’B（√Zbosβ’sinβ）’α’β巨［0’2∏］
’
—〉—〉
-—〉
Op二O』＋OB’则p（√历（cosα＋cosβ）’（sinα＋sinβ））
’
［√百（COSα＋COSβ）］2
l~
2
＋［（sinα＋sinβ）］2＝1’解得cos（βˉα）＝
又P在椭圆E上’则
~
-
厂■
∏■守气—7
占
勺v
2
［｀＿--＿′＝／
ˉ」
’
′ ,
｝
′ √～ˉ
所以s…-＋｜口,…mβ—任°圈β…｜二夸｜鼠m（β＿·）
｜-李
√6
所以S四边形（MpB＝2S△A（）B＝2.
73＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路·解析几何｝
［例l9］已知抛物线E:γ2＝4厕.
（l）A’B是抛物线上异于坐标原点（）的两个动点’且满足OA上OB’求△AOB的面
积最小值;
（2）点删（5’0）’倾斜角为:的直线′与线段OM相交且交抛物线于A,B两点』求
△AMB面积最大时直线的方程
｜·解析0
（｜）谈则（乎.帅）｀B（子｀№）
〗
＼
｜
｜
／
旧
—
川
＋
Ⅱ
γ
Ⅶ
—
川
—
山
川
训
Ⅷ
■
∑
~~~~
Ⅷ
—
川
∑
γ
＋
’
／
◎
］
γ
≡
］
∑
~
~
~
~
∑
γ
√
∑
］
γ
γ
∏
｜
圆
亏
］
γ
’
·
∑
~~
~~
∑
γ
‖
］
γ
γ
’
归
＿
斗
＋
’
冗
—
斗
∑
●
γ
’
灯
＿
斗
’
灯
—
斗
~~
］
—
∑
→
∏
□
—
∩
√
＿
一
●
］
→
叫
训
卯
以
所
№
’
β
川
○
止
］
—
∑
ˉ
《
＿
＿
」
○
β
）
为
肌
△
因
β
∑
］
＋
吁
—
片
＋
’
～
↑
』
／
″
γ
＝2…2～!6.雪…』｝≡晋.呐｜～纠畸.等…~
＝2
故△AOB的面积最小值为16
~~
／
∧
以
所
’
∏
—
泡
斗
为
角
斜
倾
／
线
直
’
）
旦
γ
’
’
冗
—
斗
（
日
’
｜
］
γ
’
’
灯
斗
（
』
设
）
∑
（
γ2-y］
＝1,即yl＋γ2＝4
勺
万
斗
~
勺
范
—
斗
由推论知
』…÷‖…）（…）ˉ（…卿｜（》｜ˉ』删）｜÷｜（?＿鼠）』ˉ（芋ˉ5）｜
二÷｜（γ｜—γ』）（γ｜γ2十20）
｜- ;√（γl-y2）2（y1γ2＋20）2
散［（γ!＋γ2）2ˉ4′!γ2］（№十20）2 铲（8ˉ2y1y2）
。（yly2＋20）
. （yly2＋20）
~~
~~
~~／
汁｜（8ˉ2γ｜》2）＋（M2＋20）＋（y」》2＋20）「
3
＝8√Z
≤
当ˉ且仅当8ˉ2ylγ2＝γ!γ2＋20时ˉ ’即γl＝2＋2√Zγ2＝2ˉ2√百时等号成立’
此时则l＝3＋2√Z直线／的方程为y＝卯ˉl.
74
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』鳞o2讲弦撰墙獭积‖
b2
［题型6
∧oA
. ／boB＝ˉF模型］
［例20］如图已瓜‖椭圆圆景情-］（磁＞0＞0）的离心率为f,∩过点（2,回′四边形
62
勺
α凸
4BC1）的顶点在椭圆E上’且对角线AC’BD过原点（）’
∧AC
. kBD＝ˉ
-—〉
（）B的取值范围;
--→
（l）求OA
（2）求证:四边形ABCD的面积为定值
）
x
（｜）馏-;-罕测′‘-捶’』-‘’
…（2｀徊）则丢（罢）1＿壶÷-! 』
解得62＝4’故α2＝8’
所以椭圆阀;÷÷-［
情形一当直线AB的斜率存在时’
设A（“1 ’γl）’B（卯2’γ2）’／AB:y＝脑＋′″’
卯2
γ2
｜【」瓦｜二｀
联立直线AB与椭圆
消γ得（2A2＋l）则2＋4片′n则＋2（m2ˉ4）＝0’
4Am
卯1＋卯2＝- 2k2＋1
,
则≤
γl
·y2＝
2（m2ˉ4）
卯l .卯2＝
2k2＋l
’
m2一8片2
∩
●
2〃＋l
／
76＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何l
~
勺
凸
∏
办
几
∩
×
◎
勺
△
Ⅶ
′
b2
—ˉ＋,即Ⅷ2＝4膊＋2
三≡
＝＝
α2
y1
γ2
2∧2＋l
又∧AC .∧BI）≡∧OA .八（）B＝—·
＝
厕l
则2
2（m2ˉ4）
2k2＋l
2（m2＿4）
′∏2-8∧2
4附2-2＝2＋2k2十l’
-4
.γ2＝
2∧2＋1
≡≡
］
γ
√
＋
∑
卯
■
当
】
Ⅲ
卯
~~
→
∏
〃
—
∩
吐
●
→
叫
以
所
●
●
尸
）
∑
’
∑
［
巨
→
日
～
∩
γ
●
一
叫
以
所
情形二当直线AB斜率不存在时’即ABˉL卯轴时’
设′鹏;鞭-删,…｜）,周（测,—』｜）则答＋驴≡1
γl
ˉγl
ˉy｝
b2
ˉ÷.即测2二2γ｝,
≡≡
≡≡
三≡
2
7
∏l
m′
′7〗
α▲
——尹
---沪
所以γ｝＝2’m2＝4’所以（）A.OB＝m2ˉγ｛＝2.
--＋
综上所述’OA
--→
OB的取值范围为［ˉ2’2］
∑
卯
卯
∑
∧
＋
］
√
●
］
—
∑
日
○
—
＿
∧
△
Ⅱ
∧
β
斗
○
＿
一
Ⅲ
〃
·
（
》
Ⅱ
∧
Ⅱ
形
』
边
四
·
β
］
∑
●
砂
明
—
＿
证
朋
＼
／
』
’
～
△
′
（
月
｜″l
｜
加
●
∑
卯
］
勿
●
］
—
∑
~~
√T丁P
√32（8片2＋4ˉ″』2）
l
二＝＿●
2
∑
卯
卯
川
→
∑
）
∑
卯
＋
卯
（
′
√
｜m｜
＝
｜m｜
.
8八2＋4
又m2＝4A2＋2’代入上式得S△Aoβ＝2√Z所以S四边形ABcD＝4S△AoB＝8√Z
总结:
已知…』与椭圆E;÷噎-」（·＞b＞0）…（鳃｜.帅）,E（幢,№）雨个不阎的点
62
（l）蔫k〃矿胀o〃＝ˉF则s△侧＂＝』感b,且氮｝＋娠;二α2.γ｝十’;＝62;
b2
—→
—＋
—-〉
F’点M在椭圆上’且O″＝∧OA＋以OB’则入2＋以2＝l ;
（2）若koA .片oB＝ˉ
b2
＿广
—》
—〉
（3）若kα』.隐o厨＝＿万’点M是干面上动点′且OM＝入OA＋似OB’则删的轨迹方程为垒＋
α
α～
带～雁M真
76
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O2讲舷长与翻积｝
［例2‖己贵‖椭厕c;÷f;-］（鹏≥0＞0）的离心率为f｀短轴惺为2
（1）求椭圆C的方程;
（2）若A’B是椭圆C上的两动点, O为坐标原点, OA’OB的斜率分别为Al
,
∧2’问
是否存在非零常数∧,使人l .∧2＝入时’ △AOB的面积S为定值.若存在’求∧的
值;若不存在’请说明理由
｜·解祈0
’
仍
~~
℃
『
β
∑
~~
α
｜
贝
’
旧
—
∑
~~
℃
α
~~
巴
为
因
）
］
（
又2b＝2’
所以6＝l’α＝2’
∩
所以椭圆c;÷γ2-l
（2）存在非零常数∧满足条件.
假设存在这样的常数入,使kl .∧2＝入’△A0B的面积S为定值
设A（卯l ’yl）’B（卿2’y2）’设直线AB:y＝版＋″』’
｜
………｝』』
联立直线AB与椭圆:
由△＝l6（4片2＋lˉm2）＞0’解得′n2＜4k2＋1.
8内m
2m
％l＋卯2＝- 4∧2＋l ,
γl＋y2≡4∧2＋1 ,
则《
《』
4（m2-1）
m2ˉ4k2
卯1 °卯2≡
4∧2＋l
’
｀γl ·y2＝4片2＋l
.
m2-4片2
又人＝k1 .∧2＝红.丝ˉ
4k2＋1
＝m2ˉ4内2
躯l
卿2
4（m2—l）
4（m2—1）
’
4k2＋l
77
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之蹈.解祈几何l
…｜≡M丁原…｜ˉ硼1＼硼＿√｛粤｜k』
4人2＋l
所以s二÷｜必卜d＝2√4胀』刊ˉ咖,巾醚｜
2√（靴2＋l）酗2ˉ＂』
二＝
4k2＋l
4∧2＋］
由入≡m乙-4k2
4（m2-1）’解得′n2＝4（A2ˉ入）
l-4∧
,
所以（:）2＝（姚!十l）4（阉）—｜4（闯）｜2
ˉ“儿膊＋（“入2＋4）俯＿4入
!
三≡
（4A2＋1）2
l6k4＋8片2＋l
（1ˉ4∧）2’
菱使上式为霓值’需;—畏入
64入2＋4
ˉ4』
≡≡
吕≡
8
l
’
l
即l6∧2＋8入＋l二（4人＋1）2＝0’解得人＝ˉ 4
,
此时（÷）2＝士,慢｜啃s＝l ,
所以存在这样的常数入-ˉ＋,△MB的面积s为定值1
［例塑］已知椭厕‘;岛唁-｜,设R（燕＂,′＂伪椭趾任意—点过原点作厕R;（鞭ˉ篡＂）』＋
（yˉy0）2＝8的两条切线’分别交椭圆于P’0.
（l）若直线OP’ O0相互垂直’求○R的方程;
（2）若直线Op’O0的斜率存在’并记为kl ’∧2’求证: ∧｜∧2是一个定值;
（3）试问｜Op｜2＋｜O0｜2是否为定值?若是’求出该值;若不是’请说明理由.
｜·解析】
（l）由圆R:（卯ˉ缅0）2＋（yˉy0）2＝8’ ˉ可得r＝2√Z
因为OP上OQ,所以｜OR｜＝口＝4’即卿;＋y;＝l6
2
2
…』｛汁‖〔
78
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O2讲弦『…翻
所以○R的方程为:
（卿＋2√可）2＋（γ＋2√5）2＝8或（卯＋2徊）2＋（yˉ2√百）2＝8
或（师ˉ2√百）2＋（γ＋2√可）2＝8或（绷ˉ2√5）2＋（γˉ2√可）2＝8
（2）证明:设OP:γ＝kl卯’O0:y＝∧2则’
因为OP与圆R相切’
｜kl卯0-y0｜
′-
所以‘＂ˉop＝√l＋隐｝
≡厂＝2√2’
司
勺
勺
化简可得:（则6ˉ8）k了ˉ2则0γ0kl＋γ6-8＝0’
’
卯
∑
∧
~~
γ
ˉ
■
■
°
）
（
于
ˉ
对
同理可得;（贼;ˉ8）册;ˉ2膨0γ0k2＋γ;ˉ8＝0’
∩
所以∧! ’k2为（″;ˉ8）附2ˉ2獭0γ0k＋γ;ˉ8＝0的两根,
勺
蹄…÷;
’
∑
‖
γ
∑
斗
∑
~~
∑
◎
卯
‖
贝
’
］
~~
〗
川
—
皿
＋
】
川
—
叫
又
y;ˉ8
l
≡
-＝＝-
综上所述’k1k2是一个定值.
（3）当P’0不在坐标轴上时’设P（卿l ’yl）’0（卯2’y2）
’
γ＝∧l卯,
除｜）……№
所以P:
79
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几｛丽
勺
24
2
24k『
解得腮｝＝2附｝＋l ’γ1＝2∧i＋l
∩
9
·
24畸
＝
～
’γ2＝2质＋l
’
叁
24
同理可得;瓤;＝
］
＋
∩
乙
∩
≡
∧
∑
勺
司
24k『
24
24屹
断以｜″P｜2刊”｜:＝洲襟鞭洲丽;÷」丽丽雨环｜
｜半（ˉ六）:ˉ
36＋72附↑
＋
三＝
2腮;＋l
2（—六）2带1
24（l＋隐｝）
24（l＋A;）
（l＋k｝）
＋
≡24
2人↑＋｜
2k;＋l
2附｝＋l
≡36｀
~
若P’0在坐标轴上（不妨设P在则轴）上’则P（2√6’0）’Q（0’2√可）
’
所以｜Op｜2＋｜OQ｜2＝36
综上所述’ ｜Op｜2＋｜O0｜2为定值36
［例23］已知椭圆Cl :则2＋4y2＝1的左、右焦点分别为Fl ’F2’点P是Cl上任意—点,
（）是
---》
---—〉
----少
坐标原点’（）0＝PFl＋PF2’设点0的轨迹为C2
（l）求点Q的轨迹C2的方程;
--〉
-—-〉
-——〉
--〉
（2）若点T满足: 0T＝Mγ＋2OM＋OⅣ』其中M／＼／是C2上的点’且直线OMOⅣ
的斜率之积等于ˉ÷′是否存在两定点｀使得｜′』｜＋｜″｜为定值?若存在求出定
点A’B的坐标;若不存在’请说明理由
8O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O2讲弦长缀颧积｝
｝·解析0
（｜）设点0（随’y）’点P（熊0’γ0）’则獭;＋4γ;＝］
由椭圆方…;′（ˉ阜0）′2（亭0）
（夸
）
一
’PF2＝—-％0,-y0
,
＼
‖
‖
‖
′
／
·
γ
’
○
卯
何
—
∑
～≡-〉
-—-—〉
-—ˉ—十
＝-一→
因为OQ＝PF1＋PF2’且PFl＝｜
■
］
~~
∑
γ
＋
∑
卯
—
川
斗
■
■
得
可
］
~~
∩
乙
∩
Ⅵ
γ
斗
＋
∑
◎
卯
‖
至
入
代
’
卯
—
∑
上
∑
（2）设点T（卯’y）’M（卿l ’yl）’Ⅳ（则2’γ2）
’
↑
一
叭
＋
→
″
—
∩
…
勺
▲
＋
一
删
~~
→
盯
为
因
γ2yl
l
设直线（）M’O／V的斜率分别为∧oM’koⅣ’由已知可得:／boM.∧oⅣ＝卿2绷l
二＝
—
4,
所以鳃l卯2＋4γly2＝0。
考虑绷2＋4y2＝（2瓤2＋鲸1）2＋4（2y2＋γ! ）2＝（鳃｝＋4y｝）＋4（鳃;＋4γ;）＋4卿l厕2＋l6γlγ2』
勺
勺
〔!T旧（
又M’Ⅳ是C勺上的点’则
＝
所以卯2＋4y2≡4＋4×4＝20.
］
~~
∑
匹
日
＋
∑
卯
—
］
为
程
方
迹
轨
的
γ
即
2
2
由定义可知,T到椭圆为＋÷＝l焦点的距离和为定值
所以A（ˉ√I弓ˉ’0）’B（√百’0）为椭圆的焦点
所以存在定点A’B’使得｜Z4｜＋｜TB｜为定值.
8］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之蹈.解祈几何【
［例24〕如图点A（—2,0）
Ⅱ圃（2,0）分别为椭圆c;韩←］（醛＞』＞0）的左石顶熏,
P’MⅣ为椭圆C上非顶点的三点’直线AP’ BP的斜率分别为kl ’片2 ’且kl八2＝
l
4
4P／／／O″’BP／／／（）／V
（1）求椭圆C的方程;
（2）判断△OM＼／的面积是否为定值?若为定值’求出该定值;若不为定值’请说
明理由.
γ
｜·解析0
（」）脚陶严枷≡寸得÷＋｀又侧-2｀
所以侧1二4』b1二］,印椭圆c;÷γ』二｜
（2）解法-:
设″（卯l ’yl）,Ⅳ（绷2’γ2）’直线M＼／的方程为γ＝脑＋t’
2
÷＋》2＝l,
［……｝简』……瓜…≡№
联立直线MⅣ与椭圆
8肛
卯l＋卯2＝- 4∧2＋l
则＜
4Ⅱ2—4
卯l卯2＝4A2＋l
’
∩
~~
〗
卯
］
卯
＋
）
′
＋
〗
几
〗
″
（
）
〗
＋
］
卯
『
凡
（
斗
＝
·
~~
鱼
卯
］
卯
＋
】
γ
］
γ
▲
＝
］
—
斗
~~
№
＿
…
＝
］
斗
~~
∑
∧
］
片
82
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
＝
」第O2讲弦长与面积｝
＝（4八2＋l）卿l卿2＋4肋（卿l＋卯2）＋4t2＝0＝2t2-4k2＝］
√1干P让（8k′）2ˉ4（4A2＋1）（4‘2ˉ4）
4∧2＋1
｜MM＝√Iˉ干F｜卯lˉ″2
｜＝
＝√l＋∧2＃√4k2＋lˉ′2
4代2＋l
＝√l＋片24｜′
｜
4∧2＋l.
｜‖｜
2′2
吕≡
√Iˉ丽可4∧2＋1
押辨慌｜4｜
故S△OMγ＝
］
~~
所以△OMγ的面积为定值1
解法二:
设点″（卯l ’γl）’Ⅳ（卿2’y2）’直线Mγ的方程为γ＝脓＋t’
勺
｜［:r｀己洲赡／」｜……＂
联立,
8肛
｜…＝
4∧2＋1
,
｜
｜
4t2-4
｜狐」贩2＝4附2＋I
l
l
ylγ2＝ˉ可＝4yly2＋绷l卯2＝0＝4（脑l＋』）（脑2＋t）
′tlk2＝ˉ丁＝〉则l卯2
＝（4∧2＋l）厕l卯2＋4肋（则1＋则2）＋4t2＝（）＝2′2-4∧2＝1’
＋卯1％2≡（）
4｜t
｜
2′2
sMⅧ＝÷｜露｜γ:—鞭:Ⅱ｜
｜＝÷｜′卜｜躯厂趣｜二＋｜』
｜
解法三:
设M（则l ’∧l绷1）’／V（卯2’A2卯2）
’
］
~~
~
4k2＋1
4k2＋1
则sM删＿÷｜k…＿附｜獭｜腮2
｜＝÷｜陶—庶｜卜｜鹅!鳃2
｜.
83
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何〗
勺
｜汀｝兰咐丽｛√
联立
4
同理绷:＝
ˉ
4腊＋1
’
l6
则｜卯1则2 ｜2＝
（4畸＋l）（4附＋l）
’
4
4
4
＝〉｜卯l卯2
｜
≡
＝
＝
,
√（4k｝＋1）（4崎＋l）
√l6瞅;＋4（附＋眉）＋l
√4（k｝＋肠）＋2
4
2｜八勺-片｜
｜
5M咖—÷｜腮2＿k｜卜
＝
ˉ
』
＝L
√4（畸＋k;）＋2√4（k｜ˉk2）2
解法四:
设M（2cosα’smα）’Ⅳ（2cosβ’sinβ）
’
l
由片l∧2＝
4,
得悬嚷:晶≡士→嚼∩鼠（αˉβ）-0’
sM″＂＝＋｜2…爵inβ—2瓢n…β｜-｜爵in（α—β）
｜-｜
［例25］己知动直线′与椭圆c;÷;-］交于′（鞭｜.Ⅱ｜）
′ p（翅.随）两个不同点』∩
△o′0的厕积Ⅱ△″0二?｀其中o为坐标原点
（l）证明: 卯｝＋卯;和y｝＋γ1均为定值;
（2）设线段PQ的中点为M求｜O″｜
. ｜PQ｜的最大值;
（3）椭圆c上垦否存在＝点n,圆｀c』健得s△″″-sMo（;～s△°“-誓?若存在』
判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由
—凹
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O2讲弦长与颧积｜
·解析·
（1）证明:解法＿:
情形一当直线／的斜率不存在时’
P,0两点关于则轴对称’所以卯2＝卿l ’γ2＝-yl
勺
勺
闽为′（鳃｜』Ⅱ!）在椭圆上,闺此等十?-1o
又圆为SM′0-孪』所以｜篮｜卜｜γ｜
｜二罕馋
▲
’
］
~~
］
）
’
伍
—
∑
~~
］
九
’
得
◎
◎
由
此时厕｝＋则i＝3’y｝＋γ;＝2;
情形二当直线／的斜率存在时’
设直线／的方程为γ＝脑＋m（m≠0）
’
÷÷二｜』
｜…叭…』……ˉ≯‖
联立直线／与椭圆
其中△＝24（3内2＋2ˉm2）＞0’即M2＋2＞′n2. （＊）
6∧加
3（m2ˉ2）
又卯l＋卯2＝- 3片2＋2’卯l卯2＝M2＋2
’
∑
矾
勺
～
＋
∑
内
］
√
佰
∑
所以｜P0｜＝√1＋内2 .√（鞭l＋巧）2—4卿l鳃2＝√Iˉ干P
2＋M2
…o…′…为‘丁器＼
所以sM″二÷｜尸0M-佰｜′＂｜√3膘＋2ˉ腮2伍
二二
2十3片2
2
整理得3k2＋2＝2′Ⅶ2,且符合（＊）式’
此时
2
（2舞）
卯;＋则;＝（则l＋则2）2ˉ2卯l卯2＝
3（m2ˉ2）
2＋3A2
＝3,
-2·
86
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何l
》｝＋》;＝;（3＿x｝）÷（3＿狐;）-4ˉ÷（源｝＋撼;）＝2
综上所述’绷｝＋卿;＝3’y｝＋γi＝2’结论成立
解法二:
寻等-｜,
二粤’将′,（甄｜,y｜）’0（翘｀屿）｀代入椭圆得
二等ˉ｜.
sM″二÷｜獭｜γ2ˉ鳃2γ｜
’
］
γ
●
∑
卯
∑
γ
●
■
】
』
卯
’
～
—
佰
≥
）
］
γ
●
∑
卯
＋
∑
γ
●
］
卯
（
∑
—
佰
≥
勺
灯
∑
＋
勺
咱
—
〕
＋
勺
归
—
∑
＋
勺
叮
丁
ˉ
~~
∑
得
口
力
目
才
式
两
勺
范
—
∑
~~
勺
叮
—
〕
句
汀
—
∑
~~
勺
游
≡
—
〕
｜
〈
｜
｜
｜
［
足
蒲
■
■
』
『
当
又
（
且
当
口
亏
等
’
伍
≤
］
γ
●
∑
卯
】
γ
●
］
卯
『
目
且卯l .γ2与卯2 .γl异号时成立
（此处用到均值不等式和绝对ˉ值三角不等式）
’
咱
—
〕
’
宠
—
∑
＋
＋
勺
叮
—
］
∩
万
—
〗
~
~
~
~
片
∑
司
宠
—
〗
＋
＋
勺
呵
—
〕
句
喧
〕
~
~
~
~
］
以
所
’
■
］
∑
~
~
~
~
〗
】
气
乙
∑
卯
γ
√
＋
＋
∑
］
∑
】
卯
γ
√
尸
｜
｜
｜
／
＼
｜
｜
｜
巴
冗
Ⅳ
｜
口
防
’
佰
—
∑
~~
α
’
∏
司
‖
‖
‖
』
●
■
Ⅲ
而
吕
∩
′
～
●
’
β
·
「
［
吕
○
巨
佩
β
’
α
∩
尸
’
）
∩
尸
Ⅲ
’
Ⅱ
吕
α
■
】
且
惩
″
＋
口
尸
○
勺
师
勺
△
’
吕
厄
—
＿
亿
β
■
勺
△
肥
＿
＿
）
任
］
—
∑
咸
∑
∑
）
（
｀
＋
∩
飞
一
～
α
＋
∩
么
■
』
’
γ
√
＼
／
］
γ
弓
∏
—
勺
▲
α
∑
’
∩
〕
·
％
＿
—
—
＿
·
Ⅲ
‖
」
征
№
～
ˉ
咖
∑
】
卯
＋
’
］
’
α
卯
＼
／
回
尸
∑
］
几
吕
α
○
］
—
∑
＜
’
述
。
。
＿
＝
β
α
伍
○
（
所
三
（
Ⅲ
设
上
法
尸
″
·
凯
妨
△
∏
｜
综
解
设
β
目
不
所以卯2＝√5bosβ＝±√5binα’y2＝√回binβ＝±√回bosβ’
86
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］攘O2讲弦长墙澎积｝
~
■
∑
~~
∑
）
α
吕
○
伍
±
（
＋
∑
）
α
∏
■
■
】
』
征
（
~~
∑
〗
γ
＋
∑
｛
γ
’
〕
~~
∑
）
α
巴
】
且
丁
』
■
→
〗
丛
压
±
（
＋
∑
）
α
吕
◎
伍
（
~~
∑
∑
卯
＋
∑
Ⅱ
卯
有
故
综上所述’卿｝＋卯i＝3’y｝＋y;＝2
（2）解法-:
／
由中点坐标公式得″｜
卯l＋％2γ1＋y2
）
勺
9
2
台
所以
｜′〕M-都顺l＋则2）2＋（yl＋γ2）2
÷√界
邹
～
＼
■
′
′
∑
γ
●
］
γ
＋
∑
卯
◆
■
‖
』
卯
（
勺
～
＋
’
＝
∑
γ
√
＋
）
～
］
γ
√
＋
）
＝
】
卯
十
＋2（″l .购2＋yl .y2）
~~
~~
同理
’
▲
）
∑
γ
γ
／
′
｀
｀
＋
门
厂
∑
九
％
（
′
√
｜PQ｜
＝
）
∑
γ
■
■
】
』
γ
√
＋
∑
冗
●
］
卯
（
∑
臼
√
~~
）
∑
γ
●
■
】
∏
γ
√
＋
〗
卯
●
］
卯
（
〗
∑
∑
γ
＋
∑
］
γ
＋
〗
】
卯
＋
】
］
卯
√
~~
｜O删卜｜′Q｜二告√西ˉ4（躯｜…γ广№）2
’
气
←
—
∑
≤
当且仅当则］
.则2＋γl .γ2＝0时等号成立
故｜oM川PQ｜的最大值为寻
解法二:
〉
□
【
—
○
一
四
~~
→
″
〉
∩
吧
—
○
＋
→
口
皿
—
∩
…
~~
→
Ⅱ
—
∩
皿
◎
〃
尸
○
形
立
』
四
行
平
ˉ
在
所以
】
○
延
尸
＋
〗
″
○
斗
~~
∑
）
→
″
→
∩
飞
＿
∩
〃
（
＋
α
）
→
＾
〃
迁
—
∩
皿
＋
→
沪
＿
／
儿
（
~~
∑
）
一
〃
（
＋
∑
）
→
月
＿
∩
°
（
’
∩
］
~~
］
）
】
∑
γ
彭
＋
∑
］
γ
（
＋
）
∑
∑
卯
＋
∑
］
卯
（
［
〗
~~
∑
）
］
γ
＝（师l＋卿2）2＋（yl＋y2）2＋（卯2-卯1）2＋（y2ˉy
所以2｝o＂卜｜′0｜≤4｜o川2＋｜P0｜2二4二5,
2
鼠′｜O″卜｜P0｜的最大值为÷
87
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‘满分之路.解析几何l
解法二:
@当直线!的斜率不存在时,由（l）解法＿知｜0M＝｜娜｜
｜二‘, ｜′0｜;
～
酣b｜o删卜｜P0｜二粤2二佰;
◎当直线／的斜率存在时’由（l）解法一知:
＿3k2
-M2＋2m2
1
鞭｜十陶
ˉ狄…＝（竿）＋″!＝2＂
＂
≡≡
＋′∏≡
＝
2
2m’
2
2m
＝2｜γ1
｜＝2’
∩
｜o删｜Ⅱ二（罕）.＋
-
｜γ芋｜丽丽-
」哪〗
Ⅺ
9腑』
］
6″!2ˉ2二＋（3—羔）
｜尸0｜』二（｜十艘）24（辉』〕′』）
2（2哪』十｜）-2（2带幸）,
二≡
刀02
所以
｜o删｜Ⅱ川′Q｜』-昔（3—羔）2（2十羔）-（3ˉ羔）（2十六）
勺
′3—÷＋2＋兴｀←
≤
m
m＝
2
／
｜＼
’
乃
—
斗~~
所以｜0M训Pp｜≤:,当且仅当3ˉ六-2带羔,
即m＝±√页时’等ˉ号成立’
综合@@得’ ｜O″｜
. ｜PQ｜的最大值为二
▲
√6
（3）椭圆C上不存在三点D’E’G’使得S△（）DE＝S△（）DG＝S△〔）EG＝2~
解法＿:
√石
假设存在D（u’o）’E（“l ’γl ）’G（加2’γ2）满足S△oDE＝S△0D（P＝S△oEG＝2.
由（l）得u2＋则｝＝3’u2＋则1＝3’卯↑＋卯;＝3’!′2＋片＝2’o2＋yi＝2’γ｛＋γ;＝2’
解得鹏2＝躯｝二翼i-÷,!』2＝γ｝二γi＝l,
圆此!』,“｜,鳃2只能从±罕中选取’舰,》｜,γ2只能从±l中遮取,
△
88
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］罐O2讲弦长霉颧积｝
~
卧比″,…能在（辈罕｀堂!）……二个不同点, 「闹这二…两连线…
—条过原鼠,与sM卿‘二sM“～SM“二李矛盾’
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D’E’G
解法二:
由（］）知,sM′‘＝华则oD上o厕,sM凰‘＝罕则0D」ˉO‘,sM“二孪,则o且［0‘,
▲
乎面由无三条直线两两相互垂直’
√6ˉ
故不存在三点D’E’G’使得S△oDE＝S△oDG＝S△oEG＝2
总结:
勺
勺
已知尸（躯｜,γ! ）,0（则2,′2）是中心为〃的椭圆圆景嘴＝1（硼＞b＞0）的任意ˉ条弦,则
时
此
’
β
α
］
＿
∑
~~
又
日
Ⅲ
）
◎
）
（
尸
△
∩
□
（
●
●
夕
∑
』
~~
已
】
γ
＋
】
］
γ
和
∑
α
~~
∑
∑
卯
＋
∑
］
卯
）
］
（
（2）著线段P0的中点为M则（｜o删卜｜′0｜）…-÷（α!十b2）』
…B是中,…的椭圆‘崇噎-］（…0）…—条过原…’点c是孺于
β
α
~~
又
已
Ⅲ
）
℃
β
∧
△
＾
凸
（
则
’
占
…
一
意
任
的
β
’
∧
［例26］已知椭圆的中心为坐标原点O’焦点在则轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线
---〉
ˉ—-〉
交椭圆于A’B两点’ OA＋OB与α＝（3’—l）共线.
（l）求椭圆的离心率;
---〉
---》
-—-〉
（2）设M为椭圆上任意＿点,且OM＝∧OA＋队OB（∧’队巨R）’证明∧2＋以2为
定值
89
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
凰满分之路.解析几何l
~
｜·解析0
（］）设撼…为声÷｜（鹏≥』＞0）｀F（＂’0）,
设A（卯l ’γl
）’B（则2’y2）’AB:γ＝卯-C’
句
∩
靴÷-｜.
｜′」…叭…糯……ˉ汁Ⅷ
联立直线AB与椭圆
—2α2c
′
2b2c
广
几1＋卯2＝-
γl＋y2≡
α2＋b2,
α2＋b2’
则≤
《
α2（C2-b2）
b2（C2-α2）
α2＋b2
’
yl .γ2＝
卯l
·卯2＝
α2＋b2
.
b≈
烂
—一广＿》
又OA＋OB＝（绷l＋则2’γl＋γ2）与α＝（3’ˉl）共线’
2b2C
2α2C
）＋α〗＋b2-0,解得α:二3队
（〗2＋b2
~J
｜
所以3（γl＋γ2）＋（则l＋卯2）＝0’即3
｀
所以.～制宁:捆
昌≡
3
7
7
（2）证碉;由（l）知α』二3膀,c2二2b』’所以椭圆化为蒜十.卡二｜
｛‖二＂」
--—》
—-护
---〉
设M（卯’γ）’由（）M＝∧0A＋严OB’得
M代入椭圆得（Ml＋″2）2
（∧γl＋〃2）2
＋
＝1
’
362
b2
（｜趣羔M』）
』册』:流譬带铲酗′
～｜,」,…圆上,
所以3b2
＋
b2
＋
「｜翅恭γ｜迹）-｜又…3》｜蛔ˉ趣』（瞥2ˉ‖』邯（·』＿“』）-0,
所以入2＋〃2＋2M
所以人2＋仙2＝l.
总结:
本题可有如下变式:
勺
勺
已知动直线′与椭圆圆;景慌＝1（鹏＞b＞0）交于』（鞭｜,Ⅱ｜）,B（翅.γ』）溺个不同输点
卯
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第O2洪弦长缀翻积‖
●
●
″
］
~~
∑
仪
＋
∑
入
‖
贝
’
→
日
—
∩
□
队
＋
→
〃
入
~~
〉
″—
○
且
’
上
圆
椭
在
″
占
…
’
沪
—
册
~~
Ⅱ
）
（
∧
●
∧
）
（
内
若
）
］
（
b2
＿
〉
-—令
〉
（2）若点M在椭圆上’满足0M＝∧OA＋以OB且∧2＋／L2＝l ’则koA .∧0B＝ˉF;
62
--〉
→
-→
（3）若k（M.AoB＝ˉF’点M为干面上动点’满足OM＝入OA＋以OB’且∧2＋／儿2＝l ’则点
″在椭圆上
［题型7
四边形面积］
［例27］已知菱形ABCD的顶点A’C在椭圆卯2＋3y2＝4上’对佯
当乙ABC＝60。时’求菱形ABCD面积的最大值.
‖9解析】
因为四边形A‘CD为菱形｀且坠佃C＝60·’所以s二粤｜AC｜鸟
全
设A（则l ’yl）’C（卿2’y2）’于是可设直线AC的方程为γ二ˉ则＋n
四边形面积］
已知菱形ABCI）的顶点A’C在椭圆卯2＋3y2＝4上’对角线BD所在直线的斜率为l
勺
勺
芳＋f二｜, ∩……一』
由
所以d＞0,即｜6＿3′』2＞0,解得—竿＜＂＜了
4√3
『二』厂…＿…″
则
因为四边形ABCD为菱形’且▲ABC＝60。’所以｜AB｜＝｜BC｜＝｜CA｜
所以菱形AMD的面积S＝粤MC｜3
△
β
］
＋
’
＝
门
司
〕
~~
∑
）
∑
γ
］
γ
（
＋
鱼
）
∑
卯
］
％
／
□
‖
｀
~~
∑
℃
』
2
所以N二￥（ˉ］＂2十l6）,
~厂
~厅
（竿＜″＜华）
所以当＂＝0时’菱形ABCD的面积取得最大值4徊
9］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
纠满分之路.解析几何l
（例28｜已知椭憾c;声债≡｜（健…0）的离心率为÷｀过右焦点′的∏线′与C榴交于
』｀凋两点’当′的斜率为｜时｀坐标原点O到′的距离为亭
（l）求椭圆（〕的方程;
—→
--》
ˉ—＞
-—》
--＝〉
＿-＋
（2）若P’0’M’Ⅳ是椭圆C上的四点’已知PF与F0共线’MF与FⅣ共线’且PF.MF＝（）,
求四边形P″0∧／面积的最小值.
｜·解析0
（l）瞥-÷-÷则α＝2幢,6＝任｀
设F（C’0）’则／:γ＝狐-c’
所以d,—′-岩-夸解得·-! ’
所以α＝2,b2＝α2—C2≡3,
所以憾圆c的方程为÷十宁＝｜
尸
″
上
厂
尸
◎
~~
一
帅
→
尸
＿
尸
为
回
闺
）
∩
’
］
（
厂
得
可
）
］
（
由
）
∑
（
所以s哑,″二÷｜M｀′卜｜P0｜
设P（卯l ’γl
）’0（则2’γ2）,PQ:y＝片（卿ˉl）
’
÷十÷-｜,
｜……≡叭「＂……ˉ……
联立方程可得:
-8片2
卯l＋卯2＝- 4八2＋3,
则《
4k2-l2
卯1 ·卯2＝4A2＋3
’
√l44k2＋l44
12（片2＋l）
三≡
所以｜PQ｜＝√丁干P｜卯lˉ厕2
｜＝√Iˉ干萨
α）
4∧2＋3
勺
｀
＝
）
十
∑
人
斗
92
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
峰o2讲弦长与面藕］
｜2（古刑
｜Mγ｜
≡
÷围
）
得
可
∧
勺
白
卜
『
◎
换
替
］
—
∧
以
’
）
］
卯
（
］
—
∧
~~
γ
●
■
灿
设
12k2＋l2
~~
3片2＋4
12（八2＋l）
l2k2＋12
4k2＋3
3k2＋4
］
—
∑
~~
○
｀
尸
●
Ⅷ
］
—
∑
~~
Ⅳ
◎
″
尸
月
鹏十声2
k4＋2k2＋1
＝72.
12k4＋25A2十12
u（附』十食）十2’
＝72°
设则-雁带食匡［2,…）
’
所以s′皿删＝727揣5且在鹏匡［2,…）上为增函数,
288
所以当M≡2时’Smin≡49
［例29］如图’已知抛物线E:γ2＝卯与圆M:（卯ˉ4）2＋y2＝′2（r＞0）相交于A’B’C’1）四个
点.当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC’BD的交点P的坐标
γ∧
（）
X
习
』
析
解
●
对称性可知｜AC｜＝｜BD｜’且P（α’0）’M（4’0）（α＜4）.
设乙DA-0测s刹砸″二÷MC｜｜BD｜副＂2β二＋｜BD｜2瓤＂2a
设B（卯l ’yl）’D（卿2’γ2）’易知BD不会平行坐标轴’设BD的方程为则＝mγ＋α
〔｜闰~
代入γ2＝″得γ2-mγ-α＝0’则
所以｜BD｜＝√1＋′Ⅶ2
.
｜γl＿γ2
｜＝√l＋″』2 .√m2＋4α＝｜AC｜.
93
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
弓满分之路.解析几何｛
又闺为m二呵『a÷0,所以爵i＂2β＝2圃n0
2′＂
1
≡≡
＝二
l＋tan20
1＋m2’
断以s蛾c″-÷（］枷2）（″许“）｜蒜-′＂（″Ⅷ』十4α）,
●
＼
‖
□
■
‖
』
′
／
矾
—
勺
／
＝
’
α
＋
∩
而
—
∑
（
Ⅳ
′
日
’
＼
Ⅱ
‖
□
‖
‖
′
′
卯l十卯2yl
＋γ2
设BD的中点Ⅳ｜
＼
2
’
2
）
斗
〗
〔
＋
勺
而
＿
∑
（
而
—
∑
得
一
Ⅷ
ˉ
」
→
Ⅳ
—
尸
由
′川2
＋丁＝0’得″』2＝7ˉ2α’
所以s…嘘蛔-〃＿2″（7带2硼）粗Ⅶ2（7＿2感）］（7带2侧卜（…
］
＼
‖
｜
／
犯
—
］
（
］
＿
∑
」
γ
］
｜
］
—
∑
′
′
′
川
｀
≤
2（7ˉ2α）＋（7＋2α）＋（7＋2α）
3
当且仅当2（7—2倾）＝7＋2“,:′侧＝÷,满足题意
）
◎
’
了
—
β
（
尸
以
所
2
［例30］如图,已知椭圆÷＋》2＝l ,且A（2,0）
』B（0,l）,直线y＝肋（k＞0）与dB相交于点
D’与椭圆相交于E’F两点.求四边形AEBF面积的最大值.
’
日
｜·解析0
直线AB’EF的方程分别为卯＋2γ＝2’γ＝k卯（A＞0）.
设D（卿0’肋0）’E（卯］’脑l ）’F（卯2’脑2）’其中卯l＜卯2’
｜1『广」郴;」……ˉ』丁击′
联立直线EF与椭圆
o
解法-:
由题知’ ｜B（）
｜＝l
’ ｜AO｜＝2.设yl＝肋l ’γ2＝脑2’由O得卿2＞0’γ2＝ˉyl＞0’
94
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」罐o2讲弦儡与翻积‖
故四边形AEBF的面积为S四边形AEBF＝S△BEF＋S△AEF＝（S△B0F＋S△BoE）＋（S△A（）F＋
5△刷“）二＋｜〃B卜（｜躯′｜＋｜趣』｜）＋＋｜0A卜（｜吓｜＋｜蛔｜）＝x2＋2》』
＝√（则2＋2γ2）2＝√绷;＋4γ;＋2.卯, .2γ,
＝＝
＝
≡～≤√2（虹;＋4yl）＝2√Z
当卿2＝2y2时,上式取等号.所以S的最大值为2√Z
解法二:
根据点到直线的距离公式和o式知’点E’F到AB的距离分别为
｜鳃｜伞2胀卿厂2｜
2（｜＋2肝√｜＋靴2）,咖2-
二
｜腮汁2脑’ˉ2｜
2（｜＋2胀—√｜＋轴2）
▲
▲
＼
≡≡
√百
√5（l＋4k2）
√了
√5（1＋4八2）
hl＝
又｜AB｜＝√回页ˉ干ˉT＝√百’所以四边形MBF的面积为
sˉ‘垒……＋｜咽（叶′题）÷橱湛｝｜戴』）γ删
二＝
-勺／l＋4∧2＋4k
-△~′
γ1＋4A2
徊
∑
~~
］
—
∧
斗
∧
′
驴
＋
］
｜
叫
′
γ
≤
］
—
内
△
『
＋
∧
牛
＋
］
｜
′
′
γ
∑
~~
4k
＋
］
／
γ
∑
~~
1＋4∧2
当2帅＝l’凰『当k＝＋时,上式取等号所以s的最大值为2徊
勺
勺
［例3l］求椭圆E;景＋;;-｜（…＞0）的内接平行四边形面积的最大值
女口图所示,
γ
B
由椭圆的几何性质知’其内接乎行四边形ABCD的对角线的交点必为原点’且总有一组
对边所在直线的斜率是存在的（不妨设为AB边）.
95
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
″满分之路.解析几何l
设A（卿l ’γl
）’B（卯2’y2）’则C（-卿l ’ˉyl）’D（-卯2’ˉy2）
’
--≥
-—＞
所以CA＝（2厕l ’2yl
）’I）B＝（2厕2’2y2）
设AB:γ＝A卯＋′’
;惰-｜,
｜…翰′ˉⅧ
联立直线AB与椭圆:
消y得（α2k2＋b2）厕2＋2α2肋卯＋α2（t2-b2）＝0’
2α2∧t
卯l＋卯2＝- α2k2＋b2,
则√
α2（t2-b2）
卯l
·卯2＝
α2k2＋b2
’
于是由四边形面积坐标公式得平行四边形ABCD的面积为:
:…〃‘″-÷｜2鳃广2γ2—2鳃!αγ｜
｜
＝2｜购l
. （肋2＋‖）ˉ“2
. （片绷l＋』）
｜
＝2｜t
｜｜卯l-卯2
｜
∑
卯
卯
刻
斗
〗
＼
／
∑
卯
＋
卯
（
√
≡2｜t
｜
~（
／
‖
γ
2α2肋
≡2｜′
勺
丝
β
＋
勺
垒
∧
】
α
＝4αb／‘2（α2k2＋62ˉ尸）
γ（α2A2＋b2）2
／
‖斗
司
乙
古
剐
＝4α
（α2k2＋b2）2＋α2A2＋62
~
勺
≡
』
≥0则s鹏c〃＝4αh√ˉ″!2杂″』…÷二2α0,
今m＝
α2k2＋b2
当且仅当咖-÷’:「舰2六』＝÷,亦印感:咐2＋62＝2‘2时取等号
故椭圆内接乎行四边形的最大面积为2αb.
％
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
第03讲几何中墓本性质的转化
因知识纵横
寻
＝-一
°
一
N
常见几何问题的转化:
（l）角度问题
@若与直线倾斜角有关’则可以考虑转化为斜率片;
@若需要判断角是锐角还是钝角’则可将此角作为问量的夹角’从而利用向量数量积的
符号进行判定
（2）点与圆的位置关系
@可以利用圆的定义,转化为点到圆心距离与半径的关系’但需要解出圆的方程’在有
些题目中计算量较大;
@若给出圆的—条直径’则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定:
---〉—〉
若点在圆内’则△ACB为钝角’再转为向量: CA.CB＜0;
—〉—〉
若点在圆上,则△ACB为直角’再转为问量: CA.CB＝0;
-—-〉
≥
若点在圆外’则△ACB为锐角’再转为问量: CA.CB＞0.
（3）三点共线问题
@通过斜率:任取两点求出斜率’若斜率相等’则三点共线;
@通过向量:任取两点确定问量’若向量共线’则三点共线.
（4）直线的平行垂直关系:可转化为对应向量的平行与垂直问题,从而转为坐标运算:
α＝（卿l ’yl
）
’ b＝（绷2’y2）,则
α’b共线.则lγ2＝则2γl
;
α」ˉb〈＝〉卯l卯2＋yly2≡0.
（5）平行（共线）线段的比例问题:可转化为向量的数乘关系.
（6）平行（共线）线段的乘积问题:可将线段变为问量》从而转化为向量数量积问题（注意
问量的方向是同向还是反向）.
w
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之蹈.解祈几何1
（7）三角形的“重心” :设不共线的三点A（则l ’γl ）’B（卿2’y2）
’
C（卯3 ,y3）’则△ABC的重
心c（瓣｜＋?十鞠,y｜十?十婶）
伴随着垂直关系’即顶点与垂心的连线与底边垂直’从而可转化
（8）三角形的“垂心”
为向量数量积为零;
（9）三角形的“内心”
@角平分线定理;
伴随着角平分线’
由角平分线性质可知（如图）
:
B
◎／P上AC’
／Oˉ上AB;
Q
@′在乙BAC的角平分线上,等价于｜AP｜＝｜A0｜
’
—〉—〉—〉—〉
等价于丝＝裂旦＝丝≡坐;
｜AC｜
｜AB｜
I
C
l
P
特例:当角平分线A′平行坐标轴时’ ∧AB＋kAC＝0.
◎典型例颗
［题型l
几何中基本性质之对称］
［例｜］设′｜,′』分别是椭圆÷宁二!的左右焦氯
一
（l）若P是该椭圆上的—个动点,求PFl
＝---＋
PF2的最大值和最小值;
（2）是否存在过点A（5’0）的直线／与椭圆交于不同的两点（）’D,使得｜F2C｜
＝
｜F2D｜?若存在,求直线／的方程;若不存在,请说明理由.
｛·解析—］
（l）易知Fl（—l ’0）’F2（l ’0）
,
设尸（瓣＂、划）则等乎-｜,截筛＿4—
4卯;
5
’
所以雨雨二（＿l＿测0,ˉy0》（lˉ翔’ˉγ＂）＝鳃;十γ;—l-十咐十3
又憋＂匡［—佰卢］,丽∏了＝÷咐十3匡［3,4］’
98
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
『第o3讲舰闷中墓本性魔的转侈｝
--—〉
所以当虹0＝0时’即点P为椭圆短轴端点时’PFl
----＋
PF2有最小值3;
一＿→
当则0＝±佰时’即点P为椭圆长轴端点时’PFl
＿＿—沪
.PF2有最大值4
（2）假设存在满足条件的直线／’易知点A（5’0）在椭圆的外部’
当直线／的斜率不存在时’直线／与椭圆无交点’所在直线／斜率存在’
设为A’直线／:γ＝人（卯—5）’C（腑1 ’γl）’D（卯2’γ2）’CD的中点为E（绷3 ’γ3）
『÷｜,
｜ˉ慰…邹j……ˉ……Ⅷ
联立直线／与椭圆:
佰
了
＜
可
〃
＜
占
了
「
目
’
］
—
尸
〕
＜
∑
∧
得
解
’
＾
‖
＞
）
∑
∧
∩
∑
斗
（
·
β
~~
△
由
-50k2
卯l＋卯2＝″— 5k2＋4’
则≤
5（25片2ˉ4）
卯l
·几2＝
5∧2＋4
卜＝…:
2珊2
≡≡
2
5∧2＋4,
｜
‖』～…20′
二≡
2
5∧2＋4
｀
yl＋y2＝— ’淄所以
又｜F2C｜≡｜F2D｜,则F2E上CD’
20A
5A2＋4 .k＝ˉ20∧2＝-l’解得0＝—4不成立.
所以kF2E .AcD＝25片2
20k2—4
-l
5k2＋4
所以不存在直线／’使得｜F2C｜＝｜F2D｜.
综上所述’不存在直线／’使得｜F2C｜＝｜F2D｜.
中O为原点’ e为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程;
（2）设过点A的直线／与椭圆交于点B（B不在卯轴上）’垂直于／的直线与／交于点
M’与y轴交于点H.若BF上HF’且乙MOA＝乙MAO’求直线／的斜率.
四—
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‘满分之路·解析几何】
｝＼·解析］
（l）由｜六｜＋｜六｜＝｜莆｜,即＋＋÷-
3c
｀’可得α2-c2＝3c2
α（α-C）
又α!—c2-‖:-］,所以嚼2-］,闽此α』-4.所以椭圆锄方程为子÷｜
（2）设直线／的斜率为A（片≠（））’则直线／的方程为y≡片（卯ˉ2）
’
设B（卯B’yB）
’
勺
勺
÷＋÷二l ,
｜ˉ腮…叭‖钩…｛…Ⅷ……
联立直线／与椭圆:
嚼二2或躯‘-笨:,所以y愿-丽2｜丢…（赛＝:,忘l瓮）
卤（］）知′（｜｀0）｀设H（0,γ″）｀有两～（＿］,γ″）,丽-（;器,4兴j）,
由′′」丑′.得丽丽-0.所以赛÷捣≡0解得Ⅱ′′- ］2〃
9-4k2
由△″OA＝乙ˉMAO’得M为（M的垂直平分线与／的交点’所以″（1’ˉ片）.
9-4∧2
由HMˉL′’得AH″.k』＝-l ’即l2A
＋k 唯＝｜’得藤-;解得＂-ˉ要或愉-罕
—l
佰
—
伞
祭
为
率
斜
的
／
线
直
以
所
［题型2几何中基本性质之夹角］
［例〕｜已知椭厨‘｜;÷噎-｜（侧…0）的左右焦点分删为′! ｀′2〕右顾点为』,P为椭
--—〉一
圆C｜上任意＿点,且PFl .PF2的最大值的取值范围是［c2’3c2］’其中c＝√Pˉ＝〗丁
（l）求椭圆Cl的离心率e的取值范围;
（2）设双曲线C2以椭圆Cl的焦点为顶点’顶点为焦点’ B是双曲线C2在第—象限
内任意＿点,当e取得最小值时’试问是否存在常数∧（∧＞0）’使得乙BAFl
＝
入乙BF1A恒成立?若存在,求出人的值;若不存在’请说明理由.
］卯
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第o3讲几闷中墨本性质的转化｝
’
∑
卯
沪
—
碳
】
β
~~
∑
γ
●
●
得
可
’
］
~~∑
＿
∑
Ⅱ
』
＋
’
”
—
勺
旷
‖
贝
’
）
γ
’
卯
■
■
（
尸
析
设
解
』
（
●
又FI（-C’0）’F2（C’0）
’
●
’
＝
℃
’
＝
』
＋
）
＝
卯
∩
矿
＿
句
旷
丽＝（ˉ‘ˉ卯,ˉy）
. （cˉ贩,—y）＝厕2＋γ2ˉc2＝
--一→
所以PF1
又则巨［ˉα’α］
’
-——〉
-—ˉ—〉
所以（PFl .PF2）max≡62’
所以c2≤b2≤3c2’即c2≤α2-c2≤3c2’所以2c2≤α2≤4c2’
所以士≤噶2≤÷』解得÷＝罕
～
～
（2）由（1）知像恤＝÷,可得;侧二2′’6＝伍,
所以…方灌为÷＿暴-｜》
设B（厕0’γ0）（卯0＞0’γ0＞0）’A（2c’0）’Fl（-c’0）
’
当ABˉL匆轴时,卵0＝2c,y0＝3c,
所以｜…B′!A-亲＝1,卵△B′M-矛
因为乙BAFl＝等’
～
所以△BAFl＝2乙BFlA’
所以入＝2;
下面证明入≡2对任意B点均使得乙BAFl＝∧乙ˉBFlA成立.
y0
γ0
卯0-2c’tan乙BF1A＝kBFl＝
考虑tan乙BAFl＝ˉ片AB＝
q
Ⅺ0＋C
γ0
2·
卯0＋C
）
℃
＋
‖
卯
／
Ⅱ
‖
｀
门
γ
∑
2tan乙BF1A
所以tan2乙BFlA≡
~
’
∑
‖
γ
∑
）
℃
＋
○
卯
（
（蕊署‘｜2
l＝
1-taII2乙BFlA
｜O］
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路·解析几何1
勺
勺
…陶线方程÷—羔-］,可得;γ;二3咐—3熔2’
（卯0＋c）2ˉγ;＝（则0＋c）2ˉ3″;＋3c2＝ˉ2卯;＋2c卯0＋4c2＝2（厕0＋c）（2cˉ卯0）
’
2γ0（绷0＋c）
y0
≡taII乙BAFl
,
≡≡
△酗F］＝2乙BFlA’结论得证.
综上入＝2时’乙BAFl＝入兰BFlA恒成立.
［题型3几何中基本性质之角平分线］
［例4］如阎所爪,椭厕E:;惰-」（…≥0）的离心率是粤,过点′（0,」）的动直线｝与
椭圆相交于A’B两点’当直线／平行于师轴时’直线′被椭圆E截得的线段长为2√Z
（1）求椭圆E的方程;
健得喘削恒
（2）在平面直角坐标系卯（）y中,是否存在与点P不同的定点0’
~~
成立?若存在’求出点0的坐标;若不存在’请说明理由
V
（1）由已知点（√Zl）在椭圆E上
’
］
~~］
—
脐
＋
勺
～
—
’
旷
勺
司
解得铡二2,‖＝徊所以椭圆E的方程为÷＋÷二L
所以
何
—
∑
~~
℃
—
α
勺
勺
凸
℃
~~
勺
≡
』
勺
叁
α
］O2
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O3讲挑何中墓本性磷的转化‖
（2）
当直线／与卿轴乎行时’设直线／与椭圆相交于C’D两点.
如果存在定篷0′…件则粉-册-」｀刚0‘｜-｜qD｜
所以点0在γ轴上’可设点0的坐标为（0’γ0）.
当直线／与卯轴垂直时’设直线／与椭圆相交于MⅣ两点.
｜y0ˉ√Ⅲ｜
］
］
—
＋
何
徊
~~
则啊（0』徊）』″（0,＿徊）’御册—｝器｜｜’得
~
｜y0＋√页｜
解得y0＝1或y0＝2.
所以’若存在不同于点P的定点0满足条件’则点0的坐标只可能为0（0’2）
下面判断0（0’2）能否对任意直线均成立.
解法—:
当直线／的斜率不存在时’由上可知’结论成立.
当直线／的斜率存在时’可设直线／的方程为y＝肋＋l ’A（绷l ’yl）’B（则2’γ2）.
,
7
÷＋÷二l ,
［…‖—＂
联立直线／与椭圆:
消γ得（2∧2＋l）则2＋4∧则ˉ2＝0.
其判别式△＞0,
4k
所以卿l＋卯7＝
＾
～
2附＋］
2
9％l
·％7≡＿
～
2A2＋｜
因此上＋—L＝卿l＋卿2＝2∧.
％l
卯2
九l
·卯2
易知’点B关于γ轴对称的点的坐标为B′（-卯2’γ2）
］O3～
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路.解祈几何］
~
勺
△
＿
］
卯
］
γ
~~
∧
○
～
∏
向
又
V勺-2
剖△
＝片ˉ上’／b0B′＝
卯l
］
＿
川
片
~~］
＿
咆
＋
刀
″
~~
-卯2
所以∧0A＝∧QB′ ’即0’A’B′三点共线
｜卯l
｜
≡≡
｜卯2
｜
｜PA｜~
｜PB｜
综上存崔与鼠P不阎的定鬃0（0｀2）,使懦糕｝≡制…
解法二:
若直线／的斜率存在’设／:γ＝k卯＋1 ’A（卯l ’yl）’B（则2’y2）
’
勺
~勺
÷＋普＝l｀
［引ˉ｛…;…三ˉ』…ˉ‘
联立直线／与椭圆;
其判别式△＞0,
4片
卯l＋卯2＝- 2k2＋1
’
则｜
虹2γl＋鳃lγ2＝2k2＋l ’
-8八
—2
尤l .卯2＝2k2＋1 ,
由｛粉—制可…平分线公式,
即只需证明QP乎分乙BQA’即证kQA＋∧0B＝0’
-8k
8片
yl-2
y2ˉ2
卯2γl＋卯ly2ˉ2（卯l＋卿2）
2k2＋l＋2∧2＋l
又因为／tQ′4＋AQB＝
＋
＝
卯］。卯勺
≡≡
卯7
卯1
▲
卯l
·卯7
≡
＝0,
所以0P平分乙B0A
所…乎分线公式可得;湍｝ˉ制
综上裔在与惫尸不阎翰定点o（0｀2）』使得｜器｜
｜景｜』…
＝
］叫
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O3讲几姆中墓本性胰的转化｜
~
［题型4几何中基本性质之三点共线］
［例5］如图脚,′分铡是椭厕‘磊慌Ⅷ-」（…≥0）的左右顶点′ ′为其布儒点, 2是
｜AF｜
’
｜FB｜的等差中项,√5是｜AF｜
’
｜FB｜的等比中项
（l）求椭圆C的方程;
（2）已知P是椭圆C上异于A’B的动点,直线／过点A且垂直于则轴’若过F作直线
F0上AP’并交直线／于点0.证明: 0’P’B三点共线
0′
＼
（）
A
｜。解析0
（1）依题意可得:A（ˉα’0）’B（α’0）’F（c’0）
’
所以｜AF｛＝c＋α’ ｜BF｜＝α-c’
因为2是｜AF｜
’ ｜FB｜的等差中项’
所以4＝｜AF｜＋｜FB｜＝α＋c＋αˉc＝2α’解得α＝2.
因为√可是｜AF｜
’ ｜FB｜的等比中项’
所以（何）2＝｜』F｜
.
｜FB｜＝（α＋C）（αˉC）＝α2ˉC2＝b2’解得b2＝a
］
~~
亡
〕
十
形
—
斗
√
刀
程
、
万
白
勺
℃
圆
郴
喻
以
所
（2）证明:由（1）可得:A（ˉ2’0）’B（2’0）’F（1’0）
’
设AP:γ＝A（则＋2）’设P（卿l ’yl）
’
7
7
÷＋÷二l’
｜腮十川…
联立直线AP与椭圆:
16片2-12
则卯A ·卯l＝-2“l＝4／t2＋3
,
消γ得（4片2＋3）绷2＋16片2卯＋4（4片2ˉ3）＝0’
］O6
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
′满分之路·解析几何〖
6—8A2
所以瓣｜-4膘十］,Ⅱ1-胀（鳃｜十2）-4器.
所以P（:蕊,蒜）
另一方面’因为F0上AP’
所以k啊≡＋.所以′0;γ-ˉ十（狐—1）,
令蜒＝—2｀解得γ＝÷,即0（—2’÷）
又B（2’0）
’
0-
l2内
4内2＋3
-l2∧
—六,账雕-
≡≡
＝＝
勺
◎ˉ8股
16∧2
▲-
4∧2＋3
0ˉ÷
所以∧BQ＝2-（一2）
’
］
—
靴~~
故kB0≡kBP.
所以B’0’P三点共线.
［例6］已知曲线C:（5—m）卯2＋（mˉ2）γ2＝8（m巳R）.
（l）若曲线C是焦点在狐轴上的椭圆’求′＂的取值范围;
（2）设m＝4’曲线C与y轴的交点为A, B（点A位于点B的上方）’直线γ＝脑＋4
与曲线C交于不同的两点M／γ,直线γ＝l与直线B″交于点G’求证: A,
G’
／γ三
点共线.
｜.解析0
（1）曲线C是焦点在绷轴上的椭圆’
／5—m＞（）,
当且仅当《mˉ2＞0’
解得÷＜′厕＜5’
台
8
8
—＞—
｀〕-mm—2,
所以″』的取值范围是（:.5）
］比
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O3讲yM可中墓本性磺的转化｝
~
（2）证碉;当″』-4时,陶线c输方程为÷子-! ’点d（0’2）,周（0’ˉ2）
设点M（则l ’γl）’Ⅳ（加2’y2）
’
÷÷二｜』
｜……j………
由
由A二］2（2腮2ˉ3）＞0,解得k2＞÷
l6k
卯l＋卯2＝- 2A2＋］
’
则《
24
卯l .九2＝2片2＋1 ,
直线BM:γ＋2＝yl＋2
Ⅱ尝2.蕊‘（羔2』｜
绷’今γ＝1’解得卿＝
卯l
）
因为直线AⅣ和直线AG的斜率分别为AA″＝12二旦’kAc＝ˉ
γl＋2
卯2
3卯l
,
所以
-16片
2×
胸″—账雌二γ2—2十y｜＋2＝脑2十2＋脓｜＋6＝÷胀＋2（…』）
3卯l
3卯l
卯2
卯2
卯l卯2
∩
l十2肝
＋
∏
″
斗
—
〕~~
≡0.
24
l＋2A2
线
共
、
占
…
〃
三
∧
了
〃
Ⅳ
＿
＿
●
Ⅳ
’
＾
口
吓
＝
∧
∧
∧
故
目
『
［题型5几何中基本性质之四点共圆］
7
［例7］已知O为坐标原点’F为椭圆C;獭2＋吾＝l在γ轴正半轴上的焦点’过F且斜率为
全
〉
》
＿-〉
ˉ√百的直线′与C交于A’B两点’点P满足OA＋0B＋OP＝0.
（1）证明:点P在C上;
（2）设点P关于点O的对称点为0’证明: 』4’P’B’Q四点在同—圆上
］O7
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路. 解析几何］
｜·解析D
（l）证明:由题意知’F（0’l）’′的方程为√回比＋yˉl＝0’
设A（卯l ’γ］
）’B（绷2’y2）
’
司
〔:÷‖ ｝……＂
联立直线／与椭圆:
√Z勿＋γˉ］＝0’
＂锋蝇＝f,
解得鞭』-但了匝o蝇-亿严则｀
y］＋y2＝l
卯l .卿2＝ˉ可’
√百ˉl｀
｜
7
’
＝
／
／
』
』
｜
‖
＼
尸
『
目
＼
／
＼
／
〗
γ
＋
γ
（
）
∑
卯
＋
］
卯
（
（
尸
得
’
∩
~~
→
沪
＿
／
儿
＋
→
日
—
∩
□
＋
→
川
＿
／
儿
由
＋
’
～
徊
—
∑
又
】
＼
〗
／
‖
儿
／
‖
＼
＝l ’所以点P在C上
2
（2）解法-（对角互补）
:
处理方案一:
ylˉ（-1）
γ2ˉ（ˉl）
＿二）
∑
卯
徊
∑
（
卯l-
RPA-∧PB
tan乙APB＝
~~
l＋／tPAkPB
l＋yl＿（-1）
y2-（-l）
●
Ⅺ—（ˉ夸｜
Ⅸ型＿（ˉf）
＼
‖
／
］
卯
~∑卯（
斗＼‖／′
］
卯
巾
＝
卯
（
〕
~~
3
）
】
卯
＋
‖
几
（
徊
丁
〕
∑
卯
‖
卯
勺
〕
°
ˉ
—
∑
划
十
同理
y2-l
）／1-l
~厅
~～
√2
√2
八0Bˉ∧QA
卯2ˉ百卿!ˉ丁
＝二
l＋／tQA
. ／b0B
l＋y2＿l
yl-1
＼
］
／
］
卯
∑
卯
／
『
＼
斗
｀
〗
‖
／
‖
卯
γ
＝
冗
／
』
［
＼
tan乙A0B＝
~~
~~~
3
］
—
∑
＋
）
〗
卯
＋
］
卯
（
但
—
〗
∑
卯
‖
卯
〕
徊
—
∑
］
卯
徊
∑
∑
卯
所以乙APB’乙ˉA0B互补’
因此A’P’B’Q四点在同一圆上
］O8
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第O3讲几何中露本性胰的转化｝
点评:关键是证明△APB’△A0B互补.通过证明这两个角的正切值互补即可’再求正切
值时妥注意利用到角公式.
处理方案二:
由′（ˉf｀—」｜知｀0（夸｀｜）｀
又由（｜）…（徊产』｜笋）』愿（乓伍’!;何）则
可-（3乌—逗3≠）两- （』令佰｀3笋）
涵
＿
Ⅲ
~~
≥
口
〃
→
″
＿
′
■
●
→
〃
—
剖
~~
〉
〉
日
—
尸
’
→
剐
〈
）
〔
℃
吕
c°s〈硕’丽〉＝巫睡′ ＝ˉ伍
｜QA｜
. ｜0B｜
1l
.
—〉--＋
＝--〉
ˉ—-》
所以cos〈PA’PB〉＋cos〈以’0B〉＝0.
--〉—-〉
-—》—≥
又〈PA’PB〉’〈0A’0B〉匡（0’∏）
’
ˉ—-〉—〉
＿≥—
〉
所以〈PA’PB〉＋〈0A’0B〉＝∏.
因此A’P’B’Q四点在同一圆上.
解法二:
卤′（ˉ￥,＿」）知｀0（夸,」）
则′q输壁直乎分线′1输方程为y二ˉ笋』o
＼
Ⅱ
‖
■
‖
〗
′
／
］
—
∑
’
但
—
斗
／
设AB的中点为M则M｜
｀
烟蹦垒轩分线′2输方程为γ-争十＋圆
…得′｜.′:的…』｀（＿晋,昔）
］四—
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路. 解析几何1
∑
］
—
月
｜
干
勺
≡
徊
—
日
＋
徊
＿
∑
’
征
日
〕
川P
皿
∑
~~
］
卯
∑
卯
●
】
）
徊
（
＋
］
√
~~
Ⅱ
』
∑
＼
‖
｜
／
］
—
β
］
—
〗
（
＋
勺
沪
｀
｜
｜
′
′
抠
—
日
＋
徊
—
↓
／
′
‖
‖
‖
］
＼
′
√
γ
’
皿
日
~~
Ⅳ
″
’
巫
斗~~
″
∧
3√Ii
｜№｜＝√｜AM｜2＋｜MM2＝
8
故｜／γP｜
＝｜／M4｜
·
同理’
｜／VP｜＝｜Ⅳ0｜
’
｜／＼（4｜＝WB｜.
所以A’P’B’0四点在同一圆圆Ⅳ上.
点评:根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直乎分线上’所以根据两条弦的垂直平分线
的交点找出圆心Ⅳ’然后证明／V到四个点A’P’B’Q的距离相等即可.
解法三（方程法）
:
陶′（ˉ夸,ˉ!）知’0（粤,｜）’
又由（!）…（徊i亿』｜÷何）凋（冉佰’｜笋）｀
设过A’P’Q三点的圆的方程为绷2＋γ2＋D“＋Eγ＋F＝0’则
徊2
｜
7
＝／
’
◎
~~
厂
＋
Ⅱ
）
］
（
＋
〃
｜
徊
—
∑
（＿
（
＋
勺
▲
｀
｀
′
′
■
】
几
／
′
‖
＼
＋
厅
争
＋
∑
］
＋
气
′
～
＼
〗
■
■
■
■
『
『
′
′
徊
—
∑
′
′
『
〗
〗
〗
‖
巳
｀
＼
｜
‖
｜
‖
‖
〃
＼
｜
‖
‖
＋E＋F＝0,
（孕］十（｜≠）2（徊丁佰）D（!≠）′十′-0｀
·
~~
勺
〕
—
勺
合
γ
］
—
斗
徊
了
＋
∑
γ
√
＋
旦
％
为
程
、
万
■
］
—
斗
的
圆
勺
＝
白
Ⅱ
在
’
所
何
—
斗
占
…
~~
〃
三
’
◎
气
≤
√
—
∩
／
～
’
尸
●
＿
＿
∧
过
可
Ⅳ
得
以
牟
所
角
∏O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「霓＿6习＿瞬＿Jb问中黎本性质的转化｜
缓检验｀息‘（乌佰,｜;归）满…｀′,q二』…输圆输方程
因此A’P’B’0四点在同一圆上.
点评:先求出过任意三点的圆的方程’再证明第四个点在该圆上.
解法四（斜率法）
:
询′（＿夸,—｜）知』Q（粤｀｜）』又淘（｜）…（早｀］笋）凋（平’｜≠）
处理方案一（对角线斜率之和为0）
:
1＋√可
1ˉ√可
陶鼠…≡阀;陋鼠佰舍÷孟二0,
4
4
2
处理方案二（对边斜率之和为0）
:
兰但＋｜竿ˉ!
2（旧带1）
2（何刊）
2
k″＋府B0＝但二K卜但但±匝但＝万（√可ˉl）
√可（佰ˉl）
4
2
4
2
因此A’P’B’0四点在同一圆上.
＝0·
［例s］设州’‘是双曲线瓣型ˉ÷-｜上的两点,点M］’2）是线段必的中点
（l）求直线AB的方程;
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C’D两点’那么A’B’C’D四点是否
共圆?为什么?
＿5霹析0
（1）依题意’可设A（绷l ’yl）’B（绷2’γ2）’直线AB:γ二肋-A＋2’
｜谭声∩↑…—｀
联立直线AB与双曲线
整理得（k2ˉ2）嘶2＋2∧（2ˉA）绷＋（2ˉ∧）2＋2＝0@’
］］］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路·解析几阿】
2A（2ˉ∧）
所以片2-2≠0,且卯l＋卯2＝—
k2-2
’
由M｜,2）是奶的中点得÷（…2）≡脓‖;二』）-］,解得隐-1,
所以直线AB的方程为y＝卯＋1.
（2）将片＝1代入方程@得勿2ˉ2卯ˉ3＝0’解得卿｜＝ˉ1’则2＝3’
又y＝则＋l’得γl＝0’y2＝4.
即A（ˉl ’0）’B（3’4）.
由CD垂直乎分AB’得直线CD:y≡—卯＋3.
设C（则3’y3）’D（卯4’γ4）’CD的中点为″（卿0’y0）
’
勺
（!｀三二……ˉ｛｛ˉⅧ
联立直线CD与双曲线
〔‖三口｛~
则
从而卯0＝-3,y0＝3-卯0≡6
所以｜CD｜＝√（虹3ˉ购4）2＋（γ3ˉγ4）2＝√2（箍3ˉ躯4）2＝√2［（鳃3＋“4）2
所以｜″c｜-｜』｜m｜二÷｜CD｜＝2√∏
又｜M4｜＝｜MB｜＝√（獭0ˉ卿l）2＋（y0ˉyl）2＝√4＋36＝2√I∏’
即A’B’C’D四点到点″的距离相等’所以A’B’C.D四点共圆.
’
—
仙
~
斗
~~
］
斗
卯
〕
卯
泡
斗
［例9］已知抛物线C: y2＝2p卯（p＞（））的焦点为F,直线y＝4与y轴的交点为P’与C的交
点为0′且｜0′｜二;｜′α
（l）求抛物线C的方程;
（2）过F的直线／与抛物线C相交于A’B两点,若AB垂直平分线／′与C相交于M’Ⅳ
两点’且A’″’B’Ⅳ四点在同＿个圆上’求直线／的方程.
］］2
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1第O3讲疵闷率基态健磺的转化｜
｜·解析0
8
（l）设0（则0’4）’得42＝2p卯0’卯0＝
’
p
｀
｀
‖
』
】
』
『
／
斗
’
β
—
尸
′
／
‖
□
‖
』
■
｀
｀
◎
以
所
’P（0’4）’所以｜P0｜＝旦
p
闽为｜q′｜-雾0＋÷:且｜0′｜-;｜PQ｜｀
所以:＋÷÷解得′-2或′＝2（舍去）
’
所以抛物线C的方程为γ2≡4卯.
（2）由（l）可得F（l ’0）
’
设A（则｜’γl）’B（卯2’y2）’直线／:绷＝mγ＋l
’
……瘦:［戴〔
消卿得γ2-4my—4＝0’
铡｛‖｜j匡驾…厂…卜…」
所以AB的中点D（2m2＋1 ’2m）’且｜AB｜＝√矾2＋l ｜γlˉy2
｜＝4（′Ⅶ2＋l）
由直线／:卯＝′nγ＋l可得直线／′的斜率为ˉ′n’
所以直线／′ :γˉ2m＝ˉ″l［卯ˉ（2″!2＋l）］
’
l
整理可得:则＝＿—y＋2″!2＋3.
″0
设″（卯3’y3）’Ⅳ（卯4’y4）
’
y2＝4卯,
（≡ˉ湍……j…啸ˉ刽…≡Ⅷ
联立直线／′与抛物线:
4
｜…≡斤…÷…
则
y3 .γ4＝ˉ4（2″』2＋3）
’
2）
（兰＋2″′』＋3,ˉ
所以MV的中点E
m′～
′
m′
］］3
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何l
所以｜MⅣ｜＝4（″l2＋l）√2″』2＋1
句
′γl丝
因为A,M,B,Ⅳ共圆,
所以｜DE｜:＋｜蛔｜:＝′2-｜″E｜2, ｜1」E｜』＋士MB｜2-＋｜M｀′｜:,
凰′（2′叶÷）2十｜÷十2）』叫（咖2刊）』-4（′鹏2十］）2（2′＂2刊）
′γ〗4
整理可得:m2ˉl＝0’解得′n＝±l.
所以／的方程为:勿—γˉl≡0或卯＋γ-l≡0
［题型6几何中基本性质之平行（共线）线段的积＼商的向量转换］
［例!0］已知椭圆c;;慌≡｜（…＞0）的离心率为÷｀百线′过点剧（4｀0）,‘（0.2）,且
与椭圆C相切于点P.
（l）求椭圆C的方程;
（2）是否存在过点A（4’0）的直线m与椭圆交于不同的两点M,Ⅳ’使得36｜Ap｜2＝
35｜AM｜
. ｜AⅣ｜?若存在’求出直线的″l方程;若不存在,请说明理由.
｜·解析■
（1）像-÷二÷,“二2c’b＝任,
蹄以髓圆方霍化为;盖辩秦≡L圈…』过…,0）＼B（0,2）｀
所以设直线′÷＋苛＝l,即躯十2y—4＝0,
蒜＋轰-］,
｜…＂）…—…≡＂
联立直线与椭圆方程:
因为′与椭圆相切于点P’所以△＝22-4（4—3c2）＝0’解得c2＝l.
勺
勺
所以椭圆C的方程为芳＋÷-l
∏4
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｝第O3讲
凡馏中墓本性胰鳃转化｝
（2）由题意可知直线m斜率存在’设直线″!:γ＝片（卯ˉ4）’M（则l ’γl）’Ⅳ（卯2’y2）
’
御（l）可得;P（l,;）
勺
栏
｀
［
｜
′
′
·
勺
〕
—
勺
△
（
＋
已
）
斗
］
（
~~
∑
尸
∧
以
所
●
佰
—
斗~~
—〉-—＋
因为A’MⅣ共线且AM,AⅣ同向,
＿〉
——广
所以｜A″｜
. ｜AM＝AM.A／＼／’即（卿lˉ4）（卯2ˉ4）＋ylγ2＝则］″2＋γly2-4（加1＋则2）＋l6
勺
勺
子＋普二l ,
｜｛ˉ卿…〈……〉
联立直线m与椭圆:
由A二48（4k2＋3ˉl6庶2）＝48（＿l2庶2＋3）＞0’解得＿＋＜腮＜÷
▲
▲
消y得:（4A2＋3）卯2ˉ32k2则＋64∧2ˉ12＝0’
—32片2
卯l＋卯2＝- 4k2＋3’
36k2
则≤
yl ·y2＝4附2＋3
64片2-12
卯l °卯2＝4A2＋3
’
-→＿→64∧2-12
36片2
蹄…」＂≡
ˉ4×4豁3仙6-
4∧2＋3
＋4∧2＋3
36（k2＋1）
4∧2＋3
因为36｜AP｜2＝35｜A″｜
·
｜』Ⅳ｜,
所以36腮￥-35×36（咖』＋1）
4∧2＋3
’
解得;殿-;,故胀-辈等
满足ˉ＋＜偷＜÷
＾
断以直线卿输方程为;y-辈穿（聪ˉ4）
』
即;γ＝争ˉ但或y二＿争十徊
］］5
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‘满分之路·解析几何l
［例ll］如图,动点″与两定点A（ˉl ’0）
’ B（2’0）构成△M4B’且乙MBA＝2△M4B.设动
点M的轨迹为C.
（l）求轨迹C的方程;
（2）设直线γ＝ˉ2卿＋″l与γ轴相交于点P’与轨迹C相交于点Q, R’且｜P0｜
＜
｜′R｜｀求喘的取值蔽围
］
M
／卜＼
4
（）
B
x
｜·解析0
（l）设M（厕’γ）（卯＞0’γ≠0）
’
当乙／｜′BA＝90。时’点M（2’±3）
;
当乙‖′BA≠90°时’匆≠2,则乙MBA＝2△M4B’
有…岭-m＂（2△鹏B）-｜3｜器蹦〃,
~~
｜
二
勺
▲
上
狞
元
Ⅳ
『
｜
口
脖
尸
’
上
］
~~
亡
〕
∑
卯
线
曲
在
）
］
±
’
∑
（
占
…
而
勺
综上可知,轨迹c的方程撼2ˉ÷-l（鞭＞｜）
）
＊
（
●
○
~~
］
＋
∑
〗
″
＋
卯
矾
▲
∑
卯
得
γ
″
月
■
、
■
『
’
］
~~
乙
司
＋
∑
卯
｜
●
●
℃
与
／
线
直
立
联
）
∑
（
卜｝）;…
（2）联立直线／与C:
由题意’方程（＊）有两根且均在（l ’＋的）内’
设∧卯）＝厕2—4加则＋m2＋3’
］］6
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］第O3讲几何中墓本性胰的转化｜
′芋＞l ’
所以丫（l）＝1ˉ4″l＋m2＋3＞0’
解得″′＞l且m≠2
＼△＝（-4″l）2ˉ4（′n2＋3）＞0’
设0（则0’y0）’R（则R’yR）’由｜PQ｜＜｜PR｜’有
）
］
旦
讥
呵
加
勺
～
~~
∩
正
卯
’
刘
矾
（
右
＋
加
勺
～
~~
尺
卯
~′
2炉（1ˉ志）
所趴｜毙｜器｝贮娜Ⅲ｜｛ˉ
≡—｜＋
二＝
二＝
Ⅺ十（｜二词
4
（｜ˉ崇）
］
′
√
γ
∑
4
由′″＞l且′n≠2’有l＜-1＋
’
何
△
‖
＋
曰
／
＜
）
］
—
筛
］
（
′
七
γ
∑
4
且—l＋
≠7
2√』（｜—六）
所以喘输取值范圈是（｜,7）O（7』7抖何）
［例l2］如图所示,已知过抛物线卿2＝4γ的焦点F的直线／与抛物线相交于A’B两点’与椭
圈÷γ』号鞭2二l的交点为c,D』是否存在直线′使得｜〃卜｜CF｜-｜B′卜｜〃F｜,
若存在,求出直线／的方程,若不存在’请说明理由.
l
》
′
‖
C
4
］］7
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何l
·解析】
设A（卯l ’γl）’B（卯2’γ2）’C（卯3 ’y3）’D（则4’y4）
’
依题意可ˉ知抛物线焦点F（0’1）’设′:y＝脑＋］
因为｜AF｜
·
｜CF｜≡｜BF｜
。
｜I）F｜
,
≡≡
所以｜笋｜
｜器｜~
不妨设｝器｜＝｜器｜＝人测丽-倔,厉＝儿而
ˉ一一广
—≥
—〉
—广
又AF＝（ˉ绷l ’l-γ］）’FB＝（厕2’y2-1）’CF＝（ˉ卿3’l-γ3）’FD＝（卿4’y4ˉ1）
’
-卯l＝∧卯2,
蹦以｛-卯3＝M4
｛副…ˉ斜腮←』
联立直线／与抛物线:
’
八
斗
~~
’
’
～
忽
斗
卯
）
入
~~
∑
∑
］
卯
（
∧~~
’
～
~~
卯
＋
∑
卯
］
卯
卯｜
｜
以
所
（1ˉ∧）2 ＝ˉ4k2.
o
消去卯2可得:
-∧
／子÷-｜』
联立直线／与椭圆方程:√3
3
消γ得（M2＋6）卯2＋6脑ˉl＝0’
｀肋＋（-1）γ＋1＝0’
6片
厕3＋卯4＝（1ˉ入）卿4＝- 3片2＋6,
所以｀
消去购4可得
1
卿3卿4＝ˉM1＝ˉ M2＋6,
（l-入）2
36∧2
三≡
—∧
3∧2＋6’
@
36片2
由o@可得:ˉ4片2＝ˉ M2＋6’解得:A2＝l＝∧＝±l或∧≡0
所以存在满足条件的直线／’其方程为γ＝±卯＋l或γ＝l
］］8
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
第04讲斜率和与积的齐次化证明
因知识纵横
~~
~~~
l.齐次化联立的理解
在解析几何中’过某定点的两条直线的斜率关系可以通过化齐次联立的方法进行转化
如:一条直线与曲线相交’且交点对原点张角为直角’我们在联立消元时’可以选择以
2
÷为未知数,得到—元二次力程A（÷）＋B÷＋‘二0,则有两根之积为ˉl , 即A＋‘
＝0’从而大大简化了计算
在联立消元时’要想达到以上为未知数的目的,就需要将原来的方程化成关于卯’y的齐
卯
次式.
对于二次曲线A＂2＋By2＋α＋Dy＋E＝0与直线y＝脑＋6来说.
首先,直线方程转化为常数是—次式l＝炳红或直接设直线方程为帆…＝｜;
其次,代入时赫较低次的项直接乘以常数即可』即A躯2＋βγⅡ＋（C憋＋Dγ）宁＋
E（宁）2＝0的形式即可’左行两边同除以驱2′于是得铡关于÷的ˉ元二次方程
最后’运用根与系数的关系求出红.丝和h＋丝.
卯l
尤2
卯l
卯2
如果直线与曲线的交点对任意点P（购0’y0）（P不是原点）张角为直角或者斜率有其他关
系’怎样处理?有哪些常考结论.
请读者认真分析例题,并掌握齐次化联立的基本步骤
注意:如果两条直线的交点不是原点’化齐次联立之前可先平移坐标系’再联立即可.
2.坐标系下的平移变换
坐标系的方向和长度单位都不变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的
平移,通过坐标系的平移可以使曲线方程简化’或者有利于计算研究某些几何量的值.
设O′在原坐标系中的坐标为（h’∧）’平面内任何—点M在原坐标系中的坐标为（绷’y）’在
蔚…巾胸鲤…｝搬′）』贿｛曰｜慧‖…式膨为平穆公式
∏9
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
—一—
‖满分之路·解析几何〖
◎典型例题
［题型l
齐次化联立的基本步骤］
［例l］已知椭圆的中心为O’长轴＼短轴分别为2α’2b（α＞b＞0）
’
（）P上O0.求证:
1
｛″′｜:＋｛″b｜:为定憾
P’0分别在椭圆上’且
｜·解析0
2
2
设P（燕｜,γ｜）,0（狮2’γ2）’直线P0;狮…＝‖ ,椭圆÷＋卞＝l（侧＞b＞0）
2
2
÷＋;r-｜’
2
』
｜…≡｜严｛喊汁≡Ⅱ…』‰
联立直线P0与椭圆
…（广ˉ″2）』＿2…（÷ˉ硼2卜:-0’
（＋—″凰）（÷）2ˉ2刷″÷（＋ˉ″Ⅱ』｜二0』
左右两边同除以卯2,即
l
2
由根与系数的关系’得h.上—了ˉm
Ⅱ｜
Ⅱ』
广ˉ＂』
｀
】
『
］
—
∑
α
％
～
—
川
—
］
—
勺
扩
＋
旧
』
—
∑
α
~~
∑
∏
＋
∑
〗
″
『
吕
’
］
由OP上（）0’得片oP.k（）0
〗
川
］
—
＾
扩
勺
垄
卯
］
儿
卯
1
由于原点O到直线P0的距离d＝
’
~／
勺
勺
√m＝＋′厂
又5M′0二＋｜oP卜｜o0｜-÷｜P0卜‘,
｜o′｜′?｜》0｛』～｜‖｝;｜;↑｜;;｜iˉ｜赤｛;＋
所以半＝
Ⅲ乙
结论:
l
l
］
勺
凸
∩
≡
值
定
为
尘
—
′
＋
旦
—
∑
α~~
≡
＋
≡
矾
~~
勺
～
○
匹
○
2
2
已知双陶线c;÷—;页二｜（α＞0』b＞0）,直线《;咖叶′吵＝l与双陶线c相交于P,Q雨′篱…
］
—
勺
扩
］
—
∑
α
~~
＾
乙
′
′
＋
∑
加
有
则
’
○
）
（
上
尸
○
若
］2O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第04湃斜率鞠与积的齐次化证明!
［例2｜椭圆中心在原点’对称轴为坐标轴』焦点在蘸轴上』离心率为亨｀
交于P’0两点’且OP」ˉO0,求椭圆方程
它与直线狐＋γ＝l
｜·解析0
2
2
由题意’设P（典｜,γ｜）,（）（腮2,γ2）’椭圆方程为÷＋;r二l（α＞b＞0）,
凸
△
∩
∩
将卿＋y＝l代入椭圆得齐次式方程为÷＋2丁≡（x＋γ）2’
α
6～
整理得（α2ˉα2b2）γ2ˉ2α262″y＋（b2ˉα2b2）卯2＝（）’
〗
）
γ
—
卯
（
左右两边同除以卯2’得（α2-α2b2）
ˉ2α2b2上ˉ＋（b2-α2b2）＝0.
卯
显然片（）P’人（）0都存在’
yl
因为OP上（）0’所以AO′〕.k（）Q＝厕｜~
y2 ＝一1
卯勺
叁
∑
＼
｜
｜
′
／
γ
～
％
~
~
≡
／
′
』
‖
‖
｀
＼
而上’上可ˉ看成方程（α2ˉα2b2）
％l
卯2
-2α2b2上＋（b2ˉα2b2）＝0的两根’
卯
∩
≡
』
勺
≡
Ⅱ
〔
勺
叁
』
yl
y2
所以—.—＝
卯l
卯2
●
］
~~
〗
′
∩
〃
∩
壬
α
∩
壬
α
所以α2—α262＝—（b2ˉα2b2）’即α2＋b2—2α2b2＝0’o
由′-窖’可得α1-“1’翻
骤立@@解得＂2-:,h:＝;,
2
2
故所求椭圆的方程为÷＋÷＝l
2
8
］2‖
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
纠满分之路.解析几何l
［例3］如图’设点A和点B为抛物线γ2＝4p购（p＞0）上原点以外的两个动点’
OB’ OM上AB.求点M的轨迹方程’并说明它表示什么曲线
已知（）A上
l／
」
4
扫
γ
儿
｜·解析0
情形一若AB上卯轴’则△OAB是等腰直角三角形’
设″（m’0）（′n＞0）’则A（m’′＂）’B（m’ˉ′n）
’
由点A’B在抛物线γ2＝4p腮上’知m2＝4pm’解得″!＝4p’点″（4p’0）
;
情形二若AB不垂直于绷轴’
设A（卯l ’yl）’B（卯2’y2）’直线AB:y＝脑＋b.
由γ2＝4p瓣及l＝帛鲤,得γ2＝4p″磊巫,即by2ˉ4p腮y＋4p肋2＝0,
…除以蜒:,得b（÷）:ˉ4′十4′k二0.
yl
所以—
卯l
蛙
β
~~
屹
挖
陶侧」″愿.触汹哦腮÷÷呼＝｜～即』～—鞭』
所以直线AB:y＝肋ˉ4p片’@
闺为oM皿B,直线0Mγ二ˉ＋撼,@
由@@消去片’得方程卯2＋y2ˉ4p卿＝0（师≠0）.
由于点（4p’0）也满足上面的方程’
故所求点M的轨迹方程为则2＋γ2＿4p则＝0（卿≠0）.
所以M的轨迹是以（2p’0）为圆心’2p为半径的圆’去掉坐标原点
］22
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O4讲斜澎翱墙积的齐次化溅明｝
~
［题型2处理两直线斜率之积为常数的常考模型l］
2
2
［例4］已知椭圆哈＋k＝l的左顶点为A,设直线′交椭圆E于M’Ⅳ两点’
直径的圆恒过点A.求证:直线／恒过定点’并且求出此定点的坐标.
目ˉ以M＼／为
｜·解祈0
γl
γ∩
矿乙
因为内AM.片M／＝
勺
］
~~
财l＋何
~厅
％2＋√3
构造齐次式Aγ2＋B（绷＋√可）γ＋C（则＋√可）2＝0的形式’故有如下设法或椭圆变形
设M（卯l ’yl ）’Ⅳ（“2’γ2）’A（ˉ何’0）
’
根据条件可设直线／:″!（卯＋何）＋″γ＝1’
椭圆的方程化为2卿2＋3y2ˉ6＝2［（卯＋√g）ˉ√可］2＋3γ2ˉ6＝2（绷＋√了）2＋3y2ˉ4√g（师＋
旧）＝0’
将直线／的方程代入椭圆并ˉ且齐次化可得2（则＋√可）2＋3y2ˉ4旧（卯＋√可）［m（卯＋√可）＋
″y］＝0·
2
…蹦除以（叶川.得］（露酝）ˉ4何～皿＝带2ˉ4厨‖-0』
勿＋√3
由……系…条件可得鳃二旧＂州;
γ2
2ˉ4√3m＝ˉl,解得″』＝二
4√3
附以直线′;忘（叶凋）机Ⅱ-｜,
令Ⅱ-0解得x＝罕
■
（—粤』0 ）
即直线／恒过定点
总结:
2
2
（｜）已知椭圆c÷＋卡＝l（α＞h＞0）,若直线!;Ⅱ＝腮…与椭圆c相交于州｀B溺点
（A’B不是左｀右顶点）’则以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点的充妥条件是直线／过定
蕊（喷′）~0）
］23
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
.满分之路.解析几何1
2
2
（2）已知双陶线C÷十＝l（徽＞0’6＞0）,若直线′;γ＝枷十″』与双陶线c相交于A’B
两点（A’B不是左、右顶点）’则以AB为直径的圆过双曲线C的右顶点的充要条件是直线
′…（馏哪）.0）
（3）已知抛物线C:γ2＝2p卯（p＞0）’若直线／:γ＝肋＋m与抛物线C相交于A’B两点（A’B
不是顶点O）’则以AB为直径的圆过抛物线C的顶点O的充妥条件是直线／过定点
（2p’0）.
（4）已知抛物线C:γ2＝2p卯（p＞0）’若直线／:y＝肋＋m与抛物线C相交于A’B两点’且
——＋
＿-≥
A’B在“轴的并侧’则直线／过定点（砸’0）的充妥条件是OA.OB＝m2ˉ2pm.
（5）定理若点P是圆锥曲线的某一顶点’点A’B（A’B不与点P重合）在该圆锥曲线上,
-一＋
—-〉
则直线AB必经过某定点的充要ˉ条件为PA.PB＝0.
［题型3处理两直线斜率之积为常数的常考模型2］
［例5］如图’已知圆卯2＋γ2＝4的切线与卯轴正半轴’ γ轴正半轴围成—个三角形’
当该三
2
2
角形面积最小时′切点为P双＂线C｜÷—肯页＝1过点P且离心率为扛
（1）求C｜的方程;
（2）椭圆C,过点P且与Cl有相同的焦点’直线／过C2的右焦点F且与C2交于A’
B两点’若以线段AB为直径的圆过点P’求′的方程
）
］24
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第o4讲斜漆禾日与积的齐次化证明｝
｜·解析0
卯0
（l）设切点坐标为P（卯0’γ0）（则0＞0’γ0＞0）’则切线斜率为-—’
y0
…橇…＂≡÷（躯ˉ缆』）.卵缆』…≡4,
』…个…输正半…线…二筒彩…s十÷÷—六
由4＝苑0＋γ;≥2鞭0γ0’知当且仅当躯0＝γ0＝√可时’厕0γ0有最大值』
2
即S有最小值’因此点P的坐标为（√Z√百）
÷ˉ÷二」｀
｜…洲怠（
由题意知
2
故c｜的方程为财2ˉ÷＝l
（2）解法-（齐次化）
:
由（1）知C2的右焦点坐标为（√7’0）
’
∩
√
＞
β
中
『
其
’
］
~~
勺
△
~
~
—
勺
当
″
γ
▲
】
∩
″
＋
勺
～
β
勺
≡
卯
＋
〕
为
程
方
勺
育
勺
叁
℃
设
七
止
由
由P在C丽上,得二亏＋兰＝｜,解得b2＝3,
＝
3＋6台
b全
儿
~~
已
上
〕
＋
∑
卯
—
厂
○
为
程
、
万
的
勺
≡
℃
此
因
下面对满足以线段AB为直径的圆过点P的直线／进行分析.
｜箩ˉ｜）＿何二0;
情形一当A或B与P重合时’此时／:则＋
情形二当A或B与P不重合时’
ylˉ√5y2ˉ√可
因为kPA 。kPB＝＿。＿＝-l ,
卯｜ˉ√可卯2—√回
构造齐次式A（yˉ√可）2＋B（γˉ√历）（卯ˉ√5）＋C（卯ˉ√页）2＝（）的形式’故有如下设法
］25＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何l
设点A（卯l ’yl）’B（卯2’y2）’／:′″（卯ˉ√页）＋″（yˉ√百）＝1’
椭圆方程变换为
十
勺
凸
徊
〕
◎
＋
［（卯ˉ徊）＋√I］2
勺
＝
］
徊
＋
）
徊
γ
（
［
（卿ˉ√页）2
徊（则ˉ√百）
~~
］
~
＋
＋
3
6
3
6
3
2闷1ˉ√5）＝0’
3
｜抠（腮丁√页）＋2√可（!—√可）｜乘以［师!（腿—徊）＋＂（γ—√可）］构造齐次式方程’得
∑
）
徊
卯
／
『
＼
＼
〗
／
‖
』
＋
‖
闷
∑
（
（2√回h＋l）（γˉ√可）2 ＋√历（2″』＋n）（卿ˉ√百）（γˉ√历）＋
3
＝0,
6
3
左右两边同除以（卯ˉ√回）2’
糯（!呼｜）（器）1抑驴叫
’
·~~
厅
厅2√Z加＋l
γl-√2γ2-√2
6
所以匡。／＝
卯｜ˉ√可卯2ˉ√面
2√页）l＋l
’
3
又因为以线段AB为直径的圆过点P’
］
］
＋
＋
~~
闷
β
倾
〗
〗
~~帜
＿
帜
●
州
＿
帜
∧
∧
所
以
●
~~
∧
β
尸
尸
）
哑
〕
＋
巫
］
／
—l ,即｜
3
√Z
勺
〕
…线′过点（罕』＿亨）’所以直线′输方程为;》＝
（绷—√g）’整理得嘶ˉ
凋ˉ￥
◎
~~
何
γ
）
］
哑
∑
（
综上狮述,直线′锄方程为叶（罕—1）ˉ何-0或鞭—（乎＿」）ˉ何-0
解法二:
）
·
’
何
（
’
）
◎
’
何
（
为
标
坐
、
占
…
焦
的
∑
℃
知
）
］
（
由
］26
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第O4讲斜率粕与积的齐次化证明｜
2
设C2的方程为—些
3＋b｝
∩
√
＞
］
β
中
其
’
］
~~
∑
上
但
鸟
＋
∑
＿
叫
得
’
上
勺
凸
℃
在
）
徊
’
徊
（
尸
由
’
〕
~~
∑
］
』
得
解
’
］
~~
∑
—
净
Ⅶ
＋
］
~~
ˉ
’
～
坠
］
＋
】
卯
＿
尸
山
为
口
王
＋
→
介
卜
ˉ
方
的
勺
～
℃
七
止
因
显然’／不是直线y＝0.
设点A（则l ’γl）’B（则2’y2）’／的方程为师＝my＋√g:
2
2
÷＋÷＝l’
［…邹）蔚…翁……
由
◎
’
汤
…
’
∑
加
】
勺
〕
＋
＿
勺
～
～
＿
川
′
】
γ
＿
＿
＋
∑
γ
以
］
］
γ
γ
／
｜
】
｜
｜
｜
｜
｜
■
‖
■
｝
□
｜
｜
｜
〗
＼
@
由根与系数的关系得
由则l＝myl＋√g;厕2＝′网γ2＋√Z
＂］＋厕2＝m（γ｜＋γ2）＋2√可＝4√可,
◎
得咐
″!～＋2
｀鳃:ˉ…』辩任＂（…）偶≡等誓,
酗
2
→
≡--〉
因为AP＝（√百ˉ“］’√百ˉyl ）’BP＝（√历ˉ卯2’√页ˉy2）
—≥＿〉
由题意知』P.BP＝0,
所以卯l绷2—√面（卯l＋则2）＋yly2ˉ√面（γl＋γ2）＋4＝0’◎
将@’@’◎’@代入◎式整理得2m2ˉ2√6｝＂＋4√6ˉ11＝0’
解得厕』-乎ˉ｜或酗～ˉ祭1
凰…′的方程为鞭ˉ｜华ˉ｜）ˉ何-0或叶（李—］）ˉ旧-α
＼
≈
／
］27
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‘满分之路· 解析几何〖
结论:
2
2
（l）过椭圆÷啃I＝l（侧＞6＞0）ˉ定点P（躯0’γ0）（′不是髓圆的顶点）作两条直线!｜和
／,分别交椭圆于A’B两点’若∧AP.kBP＝入（入为常数）’则
′!）纽≡÷…剑…＿个震蕊（‖:i土‖;鞭侧.ˉM÷ˉ声』）
（＂）当入＝4时,直线奶的斜率为定值一
卯0
α
y0
2
2
（2）过蜒擒线÷ˉ肯页-l（α＞0.b＞0）一定点′（x＂,γ0）（P不是叉叉翰线顶意）作两条直线
／l和′2分别交双曲线于A’B两点’若∧AP.ABP＝∧（∧为常数）’则
（｛）…＄…d…-个庭点（‖:i『!;塞＂,—‖‖;干!;jb）;
（＂）当入＝ˉ粤时’直线AB的斜率为定值——
九0
α
γ0
（3）过抛物线y2＝2p卯（p＞0）上的一点P（厕0’γ0）’作两条直线／1和／2分别交抛物线于A’
‘渴点,哉′,眺搬-入,则…′恒过一个定点卜＂—午
＼
ˉγ0｜
′
［题型4处理两直线斜率之和为常数的常考模型3］
2
［例6］已知直线γ＝脑＋4交椭圆i＋γ2＝l于A｀B两点, O为坐标原点,若胀o愈＋附o‘＝2,
求直线斜率儿
｜·解析D
＂为‰辩‰÷÷2构建…枷』恫…』≡0…
设A（则1 ’γl ）’B（卯2’y2）
’
2
直线方程转化为常数是一次式1＝宁’代入椭圆构造芥次式÷＋γ2＝
『
勺
…
｀
｜
°
｜
′
′
土
斗
工
（
］28
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜第O4讲斜率粕与积的齐次化证明｝
即l5γ2＋2脑γ＋（4ˉ肉2）则2＝0’
…边阎除以鹏2’得l5（÷）2 ＋2k工＋（4-k2）＝（）’
卯
…″拙＂圈÷÷ˉ苦2,解得腮～＿＂
总结:
2
2
（』）已知直线γ二k…交椭圆÷＋÷r＝l（α＞6＞0）于A’B两』点’o为坐标原』蕊,
若／tOA＋′t（）B＝入（∧为不等于0的常数）’则∧＝人（b2ˉ″!2）
2b2
2
2
（2）已知直线γ二颇十″』交瓤陶线÷ˉ÷页＝1（α＞0’b＞0）于川,B两点,o为坐标原点,碧
／tOA＋／b0B＝入（∧为不等于0的常数）’则／b＝∧（b2＋m2）;
2b2
（3）已知直线y≡脑＋m交抛物线卿2＝2pγ（p＞0）于A’B两点’O为坐标原点’若koA＋
kOB＝∧（入为不等于0的常数）’则k＝入.
2
2
［例7］如图』分别过椭圆E;÷啃页二1（…＞0）左.右焦点′｜,F2的动直线′｜,′:机交于
P点’与椭圆E分别交于A’B与C,D不同的四点,直线OA,OB’OC’OD的斜率分别
为Al ’k2’∧3’A4’满足介｜＋∧2＝∧3＋k4.已知当／l与则轴重合时’ ｜AB｜＝2√可’ ｜CD｜
4√5ˉ
≡二—
3
·
（1）求椭圆E的方程;
（2）是否存在定点M’Ⅳ’使得｜PM｜＋｜PM为定值.若存在’求出MⅣ的坐标’若不
存在,说明理由.
VA
／,
］29
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路·解祈几何l
·解析0
’
∑
~~
∑
β
以
所
’
响
＿
勺
〕
~~
勺
坊
—
α
’
~~
』
片
〃
〕
（
~~
’
〕
ˉ
归
∧
旷
｜
目
＝
’
α
∩
凹
＿
—
以
所
▲
∧
＋
’
旧
〕
八
∑
~~
~~
∑
人
α
∑
＋
~~
］
片
β
’
时
∧
＾
口
得
重
’
轴
由
士
丁
卯
卯
于
与
直
］
垂
／
当
勺
▲
）
／
］
由
（
］
~~
〗
坠
∑
＋
∑
卯
—
∩
」
为
程
方
的
Ⅱ
圆
椭
以
所
（2）解法-:
h＋丝’片3＋／b4＝则q
则4
丝＋些’构造齐次式Aγ2＋B厕γ＋α2＝0的形式
因为／tl ＋／t2＝卯1
尤2
1＋卯
设A（则l ’γl）’B（卿2’y2）’P（“’γ）’／l :ml卯＋′lly＝1’ˉ且′∏l＝ˉ1 ’′ll＝
’
V
2
2
将直线′」代入椭圆方程齐次化得÷＋÷＝（″Ⅱ」躯＋′!］y）2,整理得
（3ˉ6n｝）γ2ˉl2′n］〃｜筋γ＋（2ˉ6Ⅷ｝）腮2＝0’
2
左右两边圆除以x』得（3＿6＂｝）（÷）ˉl2″』｜鹏｜÷十（2ˉ6′鹏｝）-0’
y］
γ2
-l2mlⅦl
4nl
所以k｜＋附2＝可＋丙＝
3ˉ6＂｝
＝
lˉ2′』｝’
γ3
γ4
-l2m2∏2
4′〗2
…-｜｀″』二罕｀附』半偷剿-亏雨＝
］＿6″; -｜＿2″:’
4∏↑
4∏＾
］—j″｝
｜＿盂;,整理得（｜—2＂｜厕2）（＂2＋″｜）二0,
又片l＋A2≡k3＋A4’即-
又＂2十鹏｜＝0所以｜—2＂｜＂广｜ˉ2宁早≡0,卵宁鞭』≡」（鳃≠塞」）’
当直线／l或′2斜率不存在时’点P的坐标为（ˉl ’（））或（l’0）’（ˉl ’0）和（l ’0）也满足
上式.
宁
上
］
~~
气
乙
卯
＋
∑
乙
∑
圆
椭
在
）
γ
●
卯
（
尸
占
硒
以
所
所以存在点MⅣ’其坐标分别为（（）’ˉl）’（0’l）’使得｜PM｜＋｜P∧／｜为定值2√Z
］3O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
『第04瞬辨粕鞠积的辫濒鹤溉明‖
解法二:
由（1）知’焦点F1（ˉl ’0）’F2（l ’0）,
当直线／l或′2斜率不存在时’P点坐标为（ˉl ’（））或（1’0）;
当直线′l ’′2斜率存在时’设／l :γ＝m1（卿＋l）’／2:γ＝m2（则＋］）
’
设A（购］’γ］
）’B（则2’y2）
’
’
‖
~~
）
∑
∑
］
加
（
勺
〕
＋
卯
〗
］
Ⅶ
′
／
◎
＋
∩
丝
卯
）
∑
＋
∩
乙
〗
』
‖
刀
〕
（
得
γ
去
肖
℃
●
』
『
’
］
~~
∑
γ
～
∩
≡
＋
∑
卯
勺
〕
｜
圆
啃
郴
与
］
／
线
直
ˉ
立
ˉ
联
｜
门
｝ˉⅧ
6m｝
％l＋卯2＝-
勺
0
3″!『＋2
ˉ12ml
＂lγ2＋卯2γl＝3m『＋2
勺
9
3（′＂;ˉ2）
卯l绷2＝
3″l『＋2
勺
所以
—4∏〗1
吕二
′＂｝ˉ2
且
γl
y2
卯］y2＋卯2yl
＋∧2＝勿l
卯,
＋
＝
卯l卯2
所以Rl
-4m2
同理k3＋k4≡
2
″l2 —2
因为kl＋∧2≡k3＋片4’
-4″］1
—4m勺
所以,
,
鲁’即（′″lm2＋2）（m2—′＂l ）＝0’
二二
mjˉ2
miˉ2
由题意知m2≠″l1 ,所以″ll ′n2＋2＝0’
’
）
］
±
≠
卯
（
］
~~
∩
≡
卯
＋
∑
上
∑
′
日
’
·
~~∑
＋
兰
剑
●
兰
州
‖
贝
’
）
γ
’
％
（
尸
设
因为当直线／l或／2斜率不存在时’点P的坐标（ˉl ’0）或（l ’0）也满足上式’
’
上
］
~~
∩
乙
卯
＋
〗
上
】
圆
椭
在
）
）
’
卯
（
尸
占
…
以
所
所以存在点M’Ⅳ’其坐标分别为（0’ˉ1）’（0’l）’使得｜P″｜＋｜PⅣ｜为定值2√Z
］3］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‘满分之路.解析几何l
~
［题型5处理两直线斜率之和为常数的常考模型4］
［侧:｜已卿椭圆C;汗ˉ｜（艘≥』≥0）四点P!（｜｀｜）,′:（0,｜）,′』（ˉ｜,粤）′（｜,粤）中
恰有三点在椭圆C上.
（l）求椭圆C的方程;
（2）设直线′不经过点P2且与C相交于A’ B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的
和为ˉl ’证明:
／恒过定点
｜·解析0
（1）由于P3’P4两点关于y轴对称’故由题设知椭圆C经过P3’P4两点
又由÷ˉ卜＋十毖知椭圆c不缝过鬃′! ,所…』御蛔c上
崇-‖ 』
｛亡｜｛艘蹦副…÷√—1
因此√
解得
士带皋≡」』
（2）解法-（齐次化法设直线形式）
:
y1-l
y2-1
因为｜b］＋k2＝—万厂＋＿’构造齐次式A（γˉl）2＋B（γˉl）膊＋α2＝0的形式’故有如
卯2
下直线设法.
设A（师l ’γ1）’B（卿2’y2）’直线／:〔M」｀′＋β（y＿1）＝1
’
椭圆方程有如下变换:
’
·
~~
）
］
γ
（
’
≈
＋
日
）
］
γ
（
＋
∑
勿
—
〃
斗
了
｜
固
’
］
~~
∑
］
］
＋
）
］
γ
（
［
＋
∑
卯
—
〃
斗
得
］
~~
∑
γ
√
＋
∑
卯
—
ˉ
〃
→
由
将直线／的方程代入椭圆方程齐次化得
’
‖
~~
］
）
］
γ
（
β
＋
卯
α
［
●
）
］
γ
（
勺
～
＋
勺
▲
｀
〗
』
′
■
】
且
γ
（
＋
∑
卯
—
〃
斗
（早）』十2α（旱）＋士＝0,
左右两边同除以卯2得（1＋2β）
］32
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「第O4讲斜率靶霉积的齐次化证明｝
γ2-］
yl-l
所以∧l＋∧2＝
＋
卯l
—2α
＝
＝-l
’
l＋2β
卯∩
兰
所以2α-2β＝1’代入／:吵＋β（γˉl）＝l得卿＝2’y＝ˉl’
所以／恒过定点（2’-1）.
解法二（齐次化法先平移坐标原点）
:
瓣……帆《二｝!〔
′2
新坐标系下直线A′B′的方程为;′m′＋＂γ′＝｜,椭圆方程为÷＋（γ′＋l）2＝l,
′2
化简得苛＋丫2＋2》′＝0｀
′2
将直线方程代入椭圆方程齐次化得÷＋／2＋2y′（′＂鳃′＋叮′）＝0』
）
′
上
′
卯
（
矾
〖
＋
∑
＼
‖
｜
／
′
上
′
卯
（
上式同时除以则′2得（8n＋4）
＋l＝0,
方程的两榷即为直线P2』′与直线′2B′的斜率’故喻M卜k′凰圃＝丽翌＝—l’
化简得砸＝＂＋÷’纹直线〃B』的方程为（＂十÷）鳃′＋＂y′＝l’ 』慢过点（2,ˉ2）,
所以直线AB恒过定点（2’ˉl）.
解法三:
@当斜率不存在时’设A（′’γA）’B（t’ˉyA）’直线／:狐＝t’
γA一1
由题设知′≠0,且｜t｜＜2’由∧l＋∧,＝
＋
‖
～
-γA-l
-2
＝
＝-l’得′＝2’
r
』
此时／过椭圆右顶点’不存在两个交点’故不满足.
@当斜率存在时’设／:γ＝脑＋′Ⅶ（m≠l）’A（卯l ’yl）’B（则,’γ,）
’
｛》厂n』—＂菱翅侮｛｜………斜—Ⅷ
联立
∩
司
由题设可知△＝l6（4厅-″厂＋l）＞0’
勺
-8Rm
4m～-4
卯l＋％2≡1＋4片2,卯l卯2＝l＋4片2 ,
］33
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路·解析几何］
yl—l
y2-l
＋片,≡
＋
≡
～
卯l
丝
卯勺
躯2（k卯｜＋″!ˉ］）＋卿1（脑2＋″』-l）
则A］
勺
≡
卯
］
』
卯
2肋l卯2＋（m-l）（购l＋“2）
~~
卯l卯2
8内″〗2＿8k-8∧加2＋8A″l
勺
＝
∧
▲
‖
＋
］
~~
∩
4″l乙-4
∩
l＋4旷
8∧（m-1）
4（m＋l）（mˉ1）＝ˉ1’
＝
由m≠l＝m＝ˉ2k-1’」比时△＝ˉ64k’存在∧使得△＞0成立
所以直线／的方程为y≡脑—2k-1.
当卿＝2时’y＝—l’所以／恒过定点（2’-l）.
｜侧,］已卿椭圆屑;辩≡｜（健…0〕缝过点｀（0,—｜）,日离心率为亭
（1）求椭圆E的方程;
（2）经过点（l ’l）且斜率为∧的直线与椭圆E交于不同的两点P’
0（均异于点A）
,
证明:直线AP与A0的斜率之和为2.
｜·解析］
（｜）淘题意知÷-亨,b-｜｀…:二b2带c2’解得Ⅷ-徊’
2
所以椭圆E的方程为÷＋γ2＝｜
（2）解法-（齐次化法设直线形式）
:
yl＋l
y2＋l
要证k″＋′t」Q＝—万＝＋＿＝2’构造齐次式』（y＋｜）2＋B（y＋l）聪＋α2＝0的形式,
卯2
故有如下设法.
设P（卯l ’yl ）,0（卯2’γ2）’则l则2≠0’直线P0:′m＋′!（γ＋l）＝l ’且m＋2′!＝l.
］叫
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O4讲斜率积与积的齐次化诬鳃·
椭圆作如下变换:
’
○
~~
）
］
＋
γ
√
（
∑
勺
△
）
］
＋
γ
√
（
＋
∑
卯
—
’
～~~
］
∑
］
］
）
］
＋
）
（
［
＋
∑
几
—
∩
丝
2
将直线P0的方程代入椭圆方程得÷＋（γ＋l）2ˉ2（γ＋l）［刚x＋＂（γ＋l）］＝0’
△
’
∩
~~
］
∑
＋
）
旦
卯
Ⅱ
（
Ⅲ
∑
∑
）
~
旦
则
（
左右两边同除以卯2得（l—2′』）
所以γl＋l
γ2＋l
2m
＋
＝
l-2「l。
卯1
卯2
yl＋l
y,＋1
2m＝2.
又m＋2n≡1,所以八AP＋kA0≡
卯l
垒
＋
▲
＝
卯勺
l-2川
解法二（齐次化法先乎移）
:
′
…』｛）…州……叫｛口仁‖
’
］
~~
′
γ
］
′
＋
′
卯
〗
″
为
程
方
线
直
的
′
Ⅱ
′
∧
设
′2
′2
乎移后椭圆C的方程为;÷ˉ卜（y′ˉl）2＝l’即÷＋丫2ˉ2y′＝0,
′2
将直线方程代入椭圆方程齐次化得÷＋γ′2ˉ2γ（枷腮′＋叮′）＝0,
…时除以腮′2得÷＋（÷＋）』—2;（腮带″÷）＝0.卵（1＿2＂）（÷）:＿』
而方程的两根即为直线尸川′与直线〃O的斜率,所以k尸｝刽』＋k』′0｝＝l驾″
又因为乎移后直线A′B′过点（1’2）’所以″』＋2＂＝l
’
所以隐州′＋k削』‘′-l驾″＝2
故∧AP＋kAQ＝2.
○
~~
］
—
〗
＋
′
γ
√
—
′
几
加
∑
∑
′
上
′
卯
］35
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
（满分之路. 解析几何l
2
2
［例l0］如图,过椭圆c÷＋÷＝｜上的定点P（2』l）作倾斜角互补的两条直线’分别交椭
圆C于A, B两点’求证:直线AB的斜率为定值
心
｜·解祈0
γl-l
γ勺—1
根撼条件可得‖」′＋附凰!,＝万厂二页＋云二页-0,
故构造齐次式Ay2＋B（y—1）（厕ˉ2）＋C（卿—2）2＝0’且有女口下设法
设A（卯l ’yl）’B（卯2’γ2）,直线AB:m（卯-2）＋′l（γˉ1）＝l’
椭圆方程有如下变换:
坚十坠＿l二［（鞭—2）＋2］2＋［（γ＿l）＋l］2—l二（鳃§2）2＋（γ〗l）2＋罕＋γ—l＝0’
2
2
8
2
8
2
联立直线与椭圆方程齐次化得’
（舰面2）2＋（yˉ｜）2＋罕［腮（赃—2）＋＂（γ＿1）］＋（γ＿］）［侧（躯—2）十″（γˉl）］二0,
2
左…除以（腮＿2）2得竿（吕）2＋2（÷＋;）
γ｜—］
γ2—｜
2（÷＋;）
所以＿＋＿≡-
〃lˉ2
卯2ˉ2
2』1ˉ±ˉ1
’
. 1L二1＋4′＂＋l＝0’
卯≡2
8
2（÷＋号）
又直线PA,PB倾斜角互补,所以／tPA＋八PB＝一2′l＋1
’
·
~~
加
γ
≈
＋
Ⅲ
〃
午
′
日
’
‖
~~
2
m
l
所以RAB＝-川＝2
教直线』B的斜率为定值,比定值为＋
］36
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
『第04讲斜率粕与积的齐次化诬明｝
［例ll］已知椭圆的两焦点′｜｀′:在γ轴上』短轴长为2√Z离心率为罕, ′是椭圆在第—
～
-—--〉
----十
象限弧上—点,且PFl .PF2＝l ,过点P作关于直线FlP对称的两条直线PA’PB
分别交椭圆于A’B两点
（1）求P点的坐标;
（2）求证:直线AB的斜率为定值.
｜Q解祈0
（1）依题意’2b＝2√Z得b＝√Z
又′-÷-夸则0二…口-2＼
］
~~
∑
上
△
‖
＋
∑
卯
—
勺
～
为
程
、
万
圆
椭
以
所
2
2
设尸（鳃0,Ⅱu）（鳃0＞0.′0＞0）.则守十》-!可设′』（0,徊）,′2（0,ˉ√r）
ˉ—-—〉
又PFl
ˉ——〉
PF2＝（—膊0,√历ˉγ0）（ˉ则0’ˉ√可ˉγ0）＝″;＋γ;ˉ2二l’
’
’
徊
］
~
~
~
~
（
）
◎
卯
）
√
｜
得
解
’
’
］
〕~~
~~
∑
川
—
△
□
∑
○
γ
＋
＋
】
喻
—
∑
〗
◎
％
｜
立
联
所以P点的坐标为（l’√可）.
（2）由（l）知PFl／／／则轴’直线PA’PB斜率互为相反数
解法-:
设A（绷1 ’y1）’B（”2’y2）
’
ylˉ√面
ˉ√页
γ2
由（l）知PFl／／／卯轴’直线PA,PB斜率互为相反数’即kPA＋APB二
＝0.
］
司
乙
卯
＋
］
］
卯
设直线AB:α（卿-l）＋β（γˉ√页）＝l
’
椭圆方程有如下变换:
］37
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何l
ˉ
蛆
▲
γ
』
｜
十
勺
乙
＿
勺
△
卯
］
∑
上
▲
＋
∑
卯
—
勺
～
＋
】
］
］
＋
）
■
】
』
勺
△
卯
（
［
~~
勺
～
可
‖
‖
」
徊
＋
）
徊
γ
（
［
＋（卯-1）＋
~~
］
~
4
乎（y—仁）-0,
联立直线与椭圆方程齐次化’得
（卯＿l）2＋（γ—√5）2
2
左右…除以（甄—!）:得（｛浮）（锌）］带（旱β）等
勺
·
~~］
—
＾
＋
α
＋
勺
＾
导十β -0＼即祭β-0,
上＋山12β
4
2
γl＿√面γ2ˉ√Z
所以／bPA＋′bPB＝卿l-］
″2-l
＋
~~~
所以附蛔＝—:二√Z
故直线AB的斜率为定值＾／Z
解法二:
设直线PB的斜率为k（A＞0）’则PB:γˉ√回＝∧（匆ˉl）
’
2
2
i＋』＝l,
｜胸ˉ…≡Ⅷ
联立直线PB与椭圆方程
消去y得（k2＋2）狐2＋2A（徊ˉA）卿＋A2ˉ2闷—2＝0’
勺
~～
设B（″B’yB）’则卯B . 1＝k叁ˉ2√2kˉ2
∧2＋2
勺
~ˉ
~～
勺
~一
肝-2√2kˉ2
√2（ˉ附ˉ2√2k＋2）
所以如B≡
附＋2
’γB＝
＾
A2＋2
∧2＋2√nˉ2
√5（ˉ∧2＋2√n＋2）
同理几A＝
／t2＋2
byA＝
内2＋2
√历（ˉ片2—2√n＋2）
√Z（ˉ∧2＋2√虱＋2）
勺
∧鱼＋2
A2＋2
所以片AB＝
∧2—2√nˉ2
∧2＋2√nˉ2
~
勺
附＋2
勺
～
＋
∑
内
］38
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』露04讲斜蹿翱与积的齐次化证赡‖
解法三:
依题意’知直线AB的斜率存在’
设AB:γ＝脑＋m’A（卯l ’yl）’B（鳃2’γ2）
’
2
2
｜烈』）蹦………←“
联立直线AB与椭圆方程得
又△＝8（2∧2＋4ˉm2）＞0’即m2＜2A2＋4’
2Am
／
4m
卯l＋卯2＝- ∧2＋2’
γl ＋γ2＝k2＋2’
则√
≤
-8∧
m2ˉ4
2（m2-2人2）
卿l .γ2＋腑2 .yl＝k2＋2’
卯1 。卯2≡∧2＋2,
、γl .y2＝
∧2＋2
ylˉ√百γ2ˉ√5
（卿2y｜＋卯lγ2）ˉ√5（卯l＋“2）ˉ（yl＋y2）＋2√回
又A剐＋／t′〕B＝绷l-1
则2-l
财l 。则2ˉ（则l＋卯2）＋l
＝0’
＋
＝
即亏8k＋2严刚
4m
＋2√百＝0’
k＝＋2
∧垄＋2
∧2＋2
整理得2√n2—8A＋4√页＋2√Z舟mˉ4m＝2√Z（kˉ√面）2＋2√Z）′』（∧ˉ√5）＝0’
解得A＝√固或∧＝√回ˉm.
当k＝√百ˉm时’AB:γ二（√页ˉ′′!）卯＋′″＝饵＋（ˉ卯＋l）′厕过定点（l ’√5）’矛盾
综上所述’直线AB的斜率为定值√Z
［题型6处理两直线斜率之和为常数的常考模型5］
（例｜:｜如阎』撇圆c;汗～｜（碰…0）经过点′（｜,÷）离心率＂～＋直线
为卯＝4.
（1）求椭圆C的方程;
（2）AB是经过石焦点F的任—弦（不经过点P）’设直线AB与直线／相交］
记PA’PB’PM的斜率分别为片l ’k2’∧3.问:是否存在常数入,使得kl＋八2
若存在’求出入的值;若不存在’说明理由.
直线／的方程
点M’
＝∧片3?
V
］39
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路.解祈几何｛
·解析】
’
］
~~
’
—
咐
＋
‖
』
∑
α
得
’
上
圆
椭
在
）
〕
—
∑
’
］
（
尸
占
…
由
）
］
（
’
仕
广
~~
β
’
℃
勺
▲
~~
α
故
’
］
—
’
＝
~~
℃
—
α
~~
仑
为
因
’
丽
＋
］
—
峨
以
所
＝1,解得C2＝1’α2＝4’b2＝3.
2
2
故椭圆C的方程为÷＋÷＝｜
（2）解法—（齐次化）
:
］
—
∑
~
3
yl-2
y2
要证kPA＋kPB＝
＋
卯2-1
师l-l
构遣…刹（γˉ;）2＋B（γ—÷）（卯ˉl）＋C（卯ˉl）2＝（）形式’故有如下直线AB的
设法
∑
—
〕
~~
〗
′
ˉ
且
］
~~
）
〕
—
∑
γ
（
〗
′
＋
）
］
卯
（
矾
●
甲
β
∧
线
直
’
）
∑
γ
’
∑
卯
（
β
’
）
］
γ
’
］
卯
（
』
设
令蜒＝4’得删（4,誓）
椭圆作如下变换:
∩
≡
｜
］
—
∑
＋
）
印
…
—
’
＝
γ
／
』
‖
‖
‖
＼
厂
】
‖
‖
‖
止
ˉl2＝3（则-1）2＋6（卯-1）＋
3绷2＋4γ2ˉl2＝3［（卯—1）＋l］2＋4
·
~~
）
∩
」
—
’
＝
γ
／
『
‖
‖
｀
＼
勺
～
＋
∑
）
〕
—
’
＝
γ
（
斗
将直线AB的方程代入椭圆方程齐次化得
3（鳃＿｜）2＋4（y—:）』‖6（腿＿｜）刊2（y—÷）‖啊（翼—l）＋（γ—÷）｜二0,
整理得（3＋6测）（篮—l）2十（6＂＋l2咖）（蜒—l）（γˉ;）＋（l2鹏＋4）（γˉ÷）2二0,
睫…卿…—川』糯…｜卜—÷｀:ˉ（…）休…≡＂
（了＝丁／
uO
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］第04辨斜攀和与积的齐次化溅明‖
3
3
γl—丁y2ˉ丁
6〃＋l2m
所以Al＋∧2＝卿l-l
绷2-1
l2″＋4
＋
＝
-3＂』—l（曲鹏＝÷代入得纠
~
）
3
yM—2
k3＝
4-l
］
—
∑
加
∑
~~
〕
—
∑
～
〕
‰
—
〗
所以∧l＋k2＝2k3.
故存在常数入＝2使得Al＋∧2＝2k3成立.
解法二（先猜后证）
:
由题意’直线AB的斜率一定存在.
当直线AB的斜率为0时’
点」（—2’0）’B（2,0）〃（4,0）,P（l ,÷）
所以胀｜-＋’k2＝ˉ÷,腮』＝—
l
2
,
从而∧l＋k2＝2片3’此时存在常数∧＝2符合题意;
当直线咽不为0时’设』（鞭｜,γ｜）｀B（躯:’γ2）’奶;…十l’则″（4｀÷）
■
』
—
矾
~~
〕
—
∑
］
~
~
〕
—
讥
斗
~~
］
∧
’
∑
γ
∩
〕
加
∑
■
』
—
讥
~~
∑
片
得
ˉ
可
ˉ
理
同
’
］
γ
√
司
〕
Ⅲ
′
∑
■
Ⅱ
加
~~
〕
—
∑
】
—
叼
］
γ
~~
〕
—
∑
］
~
~
］
川
％
~~
］
片
以
所
l~
2
~
2
2
÷＋÷＝］
’
｜—…刚j……鼠…
联立直线AB与椭圆的方程
6m
γl＋γ2≡- 3′n2＋4,
所以√
-9
yl .γ2＝3′川2＋4.
γl＋γ2
■
〕
—
加
’
～
—
加
~~
气
乙
γ
∩
〕
加
∑
刮
Ⅱ
—
矾
＋
］
γ
√
●
〕
Ⅶ
′
∑
‖
Ⅱ
—
加
~~
∑
可
∧
＋
’
～
可
凡
〕
~~
］
勺
～
＿
矾
~~
帅
—
’
●
］
—
加
勺
台
加
~~
所以∧］
γl
·γ2
］4］—
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何〖
综上所述’存在入＝2使得kl＋∧2＝2片3成立.
解法三:设A（卯l ’γl）’B（则2’γ2）
’
由题意可设AB的斜率为∧’则直线AB:y＝k（厕ˉl）,令则＝4’得M（4’3A）.
2
2
藤…AB与椭圆…｜÷啃-｜,
消y得（4∧2＋3）卯2-8A2“＋4（八2ˉ3）＝0’
■
∩
’
］
—
＿
—
＿
∧
＿
△
∩
∩
＝
γ
＋
≡
—
斗
脑
｜
8∧2
卯l＋％2＝4k2＋3
则√
4（k2一3）
卯l％2＝4／b2＋3
勺
〕
—
勺
丝
‖
』
~
~
］
γ
川
卯
~~
］
片
厂
而
~
甘
｜
从
〕
∑
∑
γ
’A2≡
］
勺
△
卯
‖
儿
—
勺
△
∧
~~
勺
〕
—
∑
］~
~
八
斗
｀
…
~~
〕
∧
注意到▲F’B共线’则有k＝附d′＝附BF,即躯lγ≡l
吕二
γ∩
咳乙
∏~~
卯2—1
3
3
ylˉ页y2ˉ丁
所以∧l＋A2＝如l-l
卯2-1
＋
］
∑
—
γ
】
卯
＋
］
臼
■
』
—
γ
］
师
］
］
＿
∩
乙
卯
＋
］
］
—
］
Ⅺ
（
〕
—
∑
~
）
~
’
≈
勺
＝
卯
＋
］
Ⅺ
●
〕
＿
∑
八
∑
~~
愿］勿2-（觅｜＋鳃,）＋l
8k2
—2
勺
4胀＋3
勺
〕
—
勺
凸
∧
〗
~~
4（片2-3）
8A2
＋］
勺
勺
4片鱼＋3
4附＋3
＝2片—l,
］42
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1第04讲斜率秘与积的芥次化证明）
又附］二k—÷’所以胀｜＋愉2＝2帅Ⅱ
故存在常数∧＝2使得∧l＋内2＝2kq成立.
Ⅱ÷坠｜（篮ˉ｜）,
解法四:设B（卿0’γ0）（卯0≠1）’则直线FB:γ＝
令…Ⅷ（铲｜）
2γ0-卯（）＋］
从而直线PM的斜率为k3＝2（卿0ˉ1）
“十坠｜（颜ˉ｜）,
y＝
5卯0＿8
3γ0
（2腮＂＿5,2撼《｜—5）
联立直线AB与椭圆的方程锑
得A
2
2
｀i＋÷＝l ,
2y0＿2卯0＋5
2y0-3
则直线PA的斜率为:∧1＝2（卯0ˉ1）
’直线PB的斜率为:片2＝2（则0-l）
’
2γ0-2卯0＋5
2y0—3
2γ0—卯0＋1
＝2k3
’
二≡
故存在常数入＝2使得kl＋∧2＝2∧3成立.
结论:
（｜）…′（鹰,等）
2
2
’过椭圆C;÷＋1丁＝1（α＞6＞0）的右焦点F任作一条不垂直于则轴
α鱼
b＝
2
的直线交椭圆丁ˉA’B两点’交椭圆的右准线／:卿＝坠于点M记PA’PB’PM的斜率分别为
C
kl ’∧2,k3,则∧l＋A2＝2∧3
b2
2
2
c,了）,过双陶线c;告ˉ些二｜（α≥0,0＞0）的右焦点F任作-条不垂直于
α～
b叁′
（2）已知点P（
2
顺轴的直线交双曲线于A’B两点’交双曲线的右准线／:卿≡坠于点″’记PA’PB’PM的斜
C
率分别为kl ’附2’∧3 ’则片l＋片2＝2k3
M3
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何【
＼
‖
】
‖
『
′
′
尸
’
且
∑
／
』
‖
■
‖
｛
＼
尸
、
占
呐
知
已
）
〕
（
’过抛物线C:γ2＝2p绷（′）＞0）的焦点F任作一条不垂直于卿轴的直
线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线′;撼＝ˉ:于点M记PA｀PB｀P″的斜率分别为
kl ,八2,k3,则kl ＋片2＝2∧3.
椭圆推广:
2
2
（l）过定』蕊删（懒,0）（0＜｜′＂｜≠α）的直线咽与椭圆‘;÷＋;页＝l（“＞b＞0）相交于A’B
2
两点,』v是定直线′;狐＝舟上的任一点』记′M｜,′vB,Ⅷ的斜率分别为k」,k2』附』｀则胀」＋k2
＝2k3;
0′
B
＼
Ⅳ
／
】
■
〔
诞啊;…姻与…令时｀』（ˉ鹏,0）,E（侧,0）,』｀（芳,鹏）』
2∏〗『l
′川n
∏0∏
＋
＝
2
2
勺
~0
司
凸
＝
α＋〔J′γ0
〔Z
—α″l
α-刀〗
~~
α
Ⅶ
∑
α
矾
＋
α
＋
｜
川
∑
α
—
Ⅲ~~
∩
垄
∧
＋
］
∧
得
Ⅶ
又内3＝
2
α
-″I
∏〗
″l川
~
■′
∩
些
〗
∏
∩
乙
α
所以kl＋片2＝2A3.
2
α
—9′〗
″l
（
）’
当直线AB与卯轴不重合时ˉ ’设A（绷l ’yl）’B（绷2’y2）’AB:卯＝ry＋′′l’Ⅳ
2
2
｜÷÷＝｜’
联立直线AB与椭圆的方程（
｜—…十′＂二0.
消去则得（α2＋b2t2）γ2＋2b2mtγ＋b2（m2ˉα2）＝0’
］』4
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第04讲
斜漆和与积的齐次化溉明｜
2b2mt
′
yl＋y2＝
α2＋62』2’
卯l＋卯2
所以钳
〈
b2（m2-α2）
γl
°γ2＝
α2＋b2t2
,
卯l ·卯2
～
勺
≡
α
∏
『
〗
’
’
＝
＄
’
～
》
＋
）
＝
α
-2α262t
~~
］
γ
＝
■
∩
丝
卯
＋
∑
γ
影
■
］
卯
＼
／
∑
′
∑
β
〗
Ⅶ
′
（
〗
α
●
勺
企
‖
】
β
＋
勺
叁
α
~
勺
全
』
勺
叁
』
＋
勺
△
】
〔
∑
α
＿
Ⅲ
］
＿
γ
］
％
~~
∏
∑
α
—
矾
司
＝
∩
乙
γ
√
卯
＋
几
∑
α
肌
］
勺
·
儿
γ
√
叮
y2
＋
2＋
α
卯2≡∏0
Ⅶ
∑
α
—
矾
卯
勺
～
＋
〗
∑
α
—
讥
『
Ⅺ
］
kl＋片2≡
∏
勺
＝
α
）
≈
（-′』）（狐1＋卯2）＋
′∏
~
2
腮」.箍2ˉ荒（躯｜
斗
α
—
∑
Ⅲ
＋
｀
｀
〗
′
∩
≡
卯
＋
）
∑
′
∑
∏
″
＋
∑
α
（
血
加
＋
〗
α
‖
″
勺
～
）
川
／
‖
｀
~~
∑
α
Ⅲ
∑
∩
乙
α
—
加
＼
／
】
〗
∑
刁
◎
∑
加
／
＼
∑
α
）
∑
′
勺
凸
γ
仇
□
＋
勺
≡
α
（
斗
α
—
∑
矾
＋
2
勺
勺勺
2′Ⅶ′l（ˉ′″＋α叁＋b了）
≡＝
α4-2α2m2＋m＋α2b2』2-62m2t2
4
＼
〗
／
已
′
∑
∏
◎
＋
∑
α
＋
】
〗
″
／
『
＼
几
加
∑
（α2ˉ′n2）（α2ˉ′＂2＋b2t2）
2m几
2
29
α-″l
n
′nⅦ
又A3＝
＝
2
2
29
α
α-″l
—-″〗
m′
所以∧l＋k2＝2A3’证毕.
2
勺
～
（2）过定点删（″!’0）（0＜｜〃! ｜≡幽）的直线AB与椭圆c崇十卞＝l（α＞b＞0）相交于A’‘
溺点,直线′;蕊-啸交蕊…』｀（需｀0）测△‘Ⅷ-△』…△愿Ⅷ榴.丝』Ⅶ-丽;
2
2
（3）过椭圆c』÷十;页＝l（…≥0）的右焦点′的直线奶与椭圆相交于A,愿两点,右准
线』;鞭-宁交露轴雅″（竿.（））测△酬′.二么』皿
u5
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
!满分赵路.解祈几何〗
双曲线推广篇
2
2
（l）过定点″（狮,0）（0＜｜哪｜≠鹏）的直线朋与蜒胸线c;÷ˉ卞-l（侧＞0,b＞0）相交于
2
4’B两点’／V是定直线／:厕＝坠上的任一点’记／M4’∧［B’M｜′的斜率分别为∧l ’∧2’R3’则
′n
Rl＋∧2＝2k3;
0
只要将推扩（l）证明过程中的b2换成ˉ62’即得证.
于
ˉ
←
父
目
‖
才
）
∩
…
＞
』
’
∩
‖
＞
α
（
］
~~
∑
上
但
·
〗
卯
∑
α
●
●
℃
线
曲
又
又
与
β
』
线
直
的
）
α
≠
Ⅶ
′
＜
∩
ˉ
（
）
◎
’
Ⅶ
′
（
″
点
定
过
）
〗
（
∩
么
（
坠交卯轴于点Ⅳ
A’B两点’直线′:卿＝
∏!
2
贸,0）则丝BⅧ二△AⅧ或乙BⅧ＋△MⅡ二而;
2
2
（3）过双陶线c÷ˉ卡二｜（“＞0,6＞0）胸右焦点′嫡直线姻与双钩线搁交于刹,‘雨
∩
丝
）
坠,0
C
2
点』右准线′;鳃＝坠交剿轴于点″（
C
＼
·则△BⅣF＝乙A／γF
抛物线推广:
（l）过抛物线γ2＝2p厕（p＞0）的对称轴上的定点″（′n’0）（m≠0）的直线AB与抛物线相
交于A’B两点’Ⅳ是定直线／:则＝-m上的任一点’记№’／VB,M｜′的斜率分别为k1 ’∧2’
k3’则∧l＋∧2＝2片3;
v｜
广
γ
／
｀
M～
‖
x
′卜
／
u6
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第o4讲斜螺釉与积的齐次化诬明｝
证明:设A（“｜’yl）’B（卯2’y2）’／V（ˉ″』’′!）’AB:卯＝′γ＋″l’
｛二煎梆—』…』
联立直线AB与抛物线的方程
｛!tt≡!）〃〔「!了三…
从『币
γ1-Ⅶ
y勺-∏
∧l＋A2＝卯l＋m
几2＋m
＋
yl
＝
＋
卯l＋″L
γ2
-Ⅱ
＋—
-川
＋
卯勺＋m′
凸
】
″
＋
］
卯
Ⅶ
′
＋
勺
凸
卯
（卯l＋绷,）＋2m
＝（-′』）
ˉ
2
卯l .则＾＋m（则l＋卯2）＋m
乙
‖
″
〃
斗
＋
勺
～
旷
β
〗
＼
／
〗
′
／
＼
~~
′Ⅶ＋″l（2pt2＋2′n）＋″』2
2
网
—
肌
~
~~
n
又∧3＝-2m’
所以Al＋片2＝2八3证毕.
（2）″（m’0）’Ⅳ（-m’0）（m≠0）为抛物线γ2＝2p则（p＞0）对称轴上的两个定点’过点M
的直线AB与抛物线相交于A’B两点’则乙B／VM＝△AM｜′或乙HγM＋乙AM｜′＝∏;
（3）抛物线／＝2′躯（′》＞0）的健点为F’准线与对称轴的交点为』｀（—;’0）’过』点F的直
线AB与抛物线相交于A’B两点’则△B／VF＝乙AⅣF.
｜47＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路·解析几何｝
~
2
2
［例l3］已知椭圆C』÷啃面＝l（侧…0）的两个焦点分别为F｜（ˉ√Z0）’F2（√可’0）’点
M（l ’0）与椭圆短轴两个端点的连线相互垂直
（l）求椭圆C的方程;
（2）已知点Ⅳ的坐标为（3’2）’点P的坐标为（m’n）（m≠3）.过点M任作直线／与
椭圆C相交于A’ B两点’设直线A／W＼／P’B／V的斜率分别为片l ’片2’k3 ’若人l＋片3＝
2A2,试求″』
’ ′』满足的关系式
.解析0
儿
~~
∑
γ
√
＋
∑
卯
—
∩
〕
为
得
易
口
玉
扩
→
介
卜
方
的
℃
圆
椭
）
］
（
（2）情形一当直线／的斜率不存在时’
将雾-｜代＾椭圆方程,得←／-｜,解得γ-堂罕』越（｜,—乎）’B（｜,罕｜
’
∑
∧
∑
~~
’
≈
~~佰
了
＿
∑
勺
凸
＋
佰
＿
〕
＋
勺
～
∑
~~
所以∧l＋A3
所以胀』-鹊二l,即咖ˉ＂二l;
情形二当直线／的斜率存在时’
设A（卯l ’yl）’B（卯2’y2）’直线／:y＝k（则ˉ1）
’
yl-2
γ勺-2
yl-2γ,-2
所求为腮1＋胀』-丽丁二了＋云二了,坪构造ˉ个方程使得两根分别为＿—～
几l-3,％2-3’
所以椭圆§＋γ』＝l 』写成［（躯ˉ3）＋3］2＋［（yˉ2）＋2］2＝l｀
2
3
直线写成（γ-2）＋2＝∧［（厕ˉ3）＋3-1］
′
′
γl
y2
今蹦ˉ3＝财′ ,γˉ2＝y′ ’则所求为账!＋腮j＝可＋可’
直线方程有γ′＋2二您［（躯′＋3）ˉu’:｜Ⅱ铝借＝1,
∩
椭圆方程有（鞭′j3）.＋（y′＋2）2＝l 』箍′2＋3丫2＋6鞭′＋l2γ＋l8＝0』
M8
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「第o4讲斜率粕与积的齐次化证明｜
勺
▲
′
~
≡
＼
｜
‖
『
′
′
工
叭
丝
＞
齐次化有躯′2＋］γ′2＋6瓣′票羞＋｜2》铝肾刊8（
勺
两边同除以“′绘’得
＝0·
厂
‖
｜
上
＋
∩
＝
）
′
γ
—
′
卯
／
』
‖
‖
＼
′
ˉ6（2—2片）＋l2（2ˉ2A）∧ˉ36片］斗＋（2ˉ2k）2＋
卯
［3（2-2片）2ˉl2（2—2k）＋18］
6（2ˉ2k）k＋18k2＝0’
′
′
yl
γ2
-6（2-2∧）＋l2（2ˉ2∧）kˉ36k＝24∧2＋l2＝2’即∧1＋k3＝2’
所以—厂＋-厂＝
卯l
卯2
3（2-2∧）2ˉl2（2-2片）＋18
l2R2＋6
所以喘＝1’即′＂—＂二L
综上所述’满足条件的′″’n的关系式为mˉ川＝1.
2
［例l4］设A,B为曲线C;y＝i上的两点』
4与B的横坐标之和为4
（l）求直线AB的斜率;
（2）设M为曲线C上＿点’ C在M处的切线与直线AB平行’且A″上BM求直线
AB的方程.
｝q解析］
（1）点差法:
2
2
％l
卯2
设A（卯l ’yl）’B（则2’γ2）’代入抛物线C得γl＝丁’γ2＝可’
两式相减得γ｜ˉγ:＝＋（獭｜ˉ鳃:）（鳃｜＋狐』）,
则‰-黑:-÷（鞭｜十瓣:）二｜.凰喧线…｝率为1
（2）解法-（先干移’再构造齐次化）
:
易知M的坐标为M（2’1）’设A（卯l ’yl）’B（“2’γ2）
’
……Ⅷ‖二｜非i
乎移后直线A′B′的斜率不变’设A′B′的直线方程为m卯′ˉmy′＝l’
］49
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何［
乎移后曲线c的方程为;（缚′j2）2二γ』＋l即赡′2ˉ4γ』…′＝0,
将直线方程代入曲线方程齐次化得则′2ˉ4（γ′-卯′）（m则′—′＂γ′）＝0’
化简得4′nγ′2-8′′ly′则′＋（4′∏＋l）则′2＝0’
勺
△
＼
‖
｜
′
／
′
上
′
卯
（
加
斗
得
∑
′
卯
以
除
ˉ
‖
日
同
边
两
′
-8′n斗＋（4m＋l）＝0,
卯
4m＋1
而方程的两根即为直线M4′与直线‖′B′的斜率’所以∧M川′ .人MB′＝
勺
］
~~
4Ⅷ
化简得′＂＝—÷,敛直线」′B′胸直线方程为;露′ˉ′′-—8’
所以直线AB的方程为（则ˉ2）ˉ（γˉl）＝ˉ8即γ＝厕＋7.
解法二:
’
＼
｀
‖
■
‖
‖
』
′
′
∑
殉
—
▲
’
○
卯
／
』
‖
』
‖
‖
‖
｀
｀
″
设
2
由γ-苛的导函数γ′＝苛知c在删处的切线斜率为＂～守-! .
所以则0＝2’故M（2’l）.
2
设直线』B的方程为γ＝狮＋b》与抛物线方程联立得÷—则ˉb＝0』
［｜二二｝~Ⅺ
所以△＝1＋b＞0,故6＞-l,由根与系数的关系知
因为A″上BM易知A″’B″的斜率存在且不为0’
因此∧AM·片BM＝-1,
［
］
Ⅷ
~~
）
’
～
＋
勺
～
％
（
）
勺
～
＋
］
卯
（
］
—
陌
~~
〗
蚂
坦
喂
■
圆
拍
＿
唯
『
目
@
］
~~
］
△
‖
＋
）
∩
丝
卯
＋
‖
卯
（
勺
～
＋
气
乙
卯
］
卯
联立@@得六（ˉ4b＋l2）＝—｜,解得b二7,符合题意’
因此直线AB的方程为γ＝鳃＋7.
］印
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
第05讲定点｀定值｀定盲线问题
因知识纵横
蹄
l.求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是:把直线或曲线方程中的变量则’ γ当作常
数看待’把方程＿端化为零’既然是过定点’那么这个万程就要对任意参数都成立’这
时参数的系数就要全部等于零’这样就得到＿个关于卿’ γ的方程组’这个方程组的解所
确定的点就是直线或曲线所过的定点
备注:
（l）面对复杂问题时,可从特殊情况人手’
以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该
点（或该直线）对＿般情况是否符合.属于“先猜再证”
;
（2）有些题目所求与定值无关’但是在条件中会隐藏定点’且该定点通常是解题的关键条
件.所以当遇到含参数的方程时’要清楚该方程为哪＿类曲线（或直线）,从而观察这—类
曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中’要能够找到定点’抓住关键条件
2.定值问题
解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜
率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关’不依参数的变化而变化’而
始终是＿个确定的值’求定值问题常见的解题模板有两种:
（l）从特殊人手’求出定值’再证明这个值与变量无关;
（2）直接推理、计算’并在计算推理的过程中消去变量’从而得到定值.
3.探索性问题常见的是存在性问题’所谓存在性问题’就是判断满足某个（某些）条件的
点、直线＼曲线（或参数）等几何元索是否存在的问题.
（1）这类问题通常以开放性的设问方式给出’若存在符合条件的几何元素（距离、倾斜
角、斜率、方程恒成立）或参数值’就求出这些几何元素或参数值’若不存在’则要求说
明理由
］5］
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路· 解析几何］
（2）解答这＿类问题’从承认结论、变结论为条件出发’然后通过特例归纳’或由演绎推
理证明其合理性.探索过程要充分挖掘已知条件’注意条件的完备性’不要忽略任何可能
的因素.
先猜后证答题模板:
第—步:假设结论存在.
第二步:
以存在为条件,进行推理求解
第三步:明确规范表述结论.若能推出合理结果,经验证成立即可肯定正确;若推出矛
盾,即否定假设.
第四步:反思回顾查看关键点’易错点及解题规范.
4要求证某点在定直线上’相当于求证该点的轨迹是直线.
此类题主要有两种解法:
—是先定性再求解;
二是先定量再求证’即先猜后证.
所谓定性,就是根据题设条件确定定点,若存在则定点应在某直线上’定直线若存在则
定直线应垂直或平行于某直线
c典型例题
［题型l
定点］
侧｜｜已卿椭圆‘;÷÷｜（…≥｛））的鹤…÷, 以愿点为阂心｀椭…半输长为
半径的圆与直线／l :厕—γ＋√6＝0相切》过点P（4’0）且不垂直则轴的直线／与椭圆C
相交于A’B两点.
（l）求椭圆C的方程;
（2）若B点关于卯轴的对称点是E’求证:直线AE与则轴相交于定点.
］52
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
…＿灌点＼建德＼定霞线问题‖
~
｜·解析0
（1）由′-÷二＋,则“-2c,b＝任,
勺
勺
∩
已知圆的方程为O:卯丝＋y鱼≡6△与直线／l相切’
蹄以仁罢≡偷.解碍』≡侮.
所以α＝2。c＝l
2
2
所以椭圆C的方程为;÷＋÷＝l
（2）证明:设A（卯l ’yl）’B（则2’γ2）’E（则2’ˉy2）’直线／:γ＝k（卯ˉ4）
’
2
2
÷＋÷＝l,
｜｜—…剧）…Ⅶˉ……
联立直线／与椭圆:
∩
—32附
卯l＋卯2＝-
勺
’
4附＋3
24八
24∧
则嗡
yl＋y2＝＿4k2＋3,卯ly2＋卯2y1＝-
64∧2-l2
4k2＋3’
勿l .卯2＝4八2＋3
-24∧
Ⅺly2＋卯2yl
4k2＋3
γl＋y2（绷-卯l ）’令γ＝0可得:卯＝
所以直线AE:γ-γl＝卯l-″2
●
］~~
~~
-24∧
∩
垂
γ
＋
］
γ
勺
〕
＋
∩
些
∧
斗
所以AE与卯轴交于定点（l’（））
［例2］已知椭圆C的中心在坐标原点’焦点在则轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值
为3’最小值为1
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）若直线／:y＝脑＋m与椭圆C相交于A, B两点（A’B不是左、右顶点）’且以AB
为直径的圆过椭圆C的右顶点’求证:直线／过定点’并求出该定点的坐标.
］53
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「满分之路.解析几何［
｜·解析0
（｜）设椭…准方橇为÷÷!（…＞0）＼
依题意’有α＋c＝3’αˉc＝1’则α＝2’c＝l’所以b2＝3’
所以椭圈c的标准方霍为f苦—1
（2）设A（卯l ’γl
）’B（则2’γ2）
’
÷÷二｜』
｜……………≡＂
由
A＝48（4k2＋3ˉ″』2）＞0’即4人2＋3ˉm2＞0.
8mA
卯l＋卯2＝-4k2＋3,
3（m2-4∧2）
则≤
yl ·y2＝
4∧2＋3
4（m2ˉ3）
卯l °卯2＝
4儿2＋3
’
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2’0）
’
处理方案一（斜率积）
:
kAD°∧BD＝-］
’
＼
‖
／
∑
∧
斗
∑
〗
″
／
ˉ
‖
＼
］
γ1 .y2
γl
γ2
●
■＝
即-1＝
F
『
二
~
~
绷lˉ2
卿2ˉ2
厕1 .绷2-2（绷］＋厕2）＋4
4（′′l2-3）＋16mk＋4（4A2＋3）
’
整霍得7′＂:＋l6″溅＋靴』-0,解得″』｜-ˉ酚,醚2＝ˉ芋,且满足3＋靴』ˉm2＞0
当m＝ˉ2片时’／:γ＝k（卿ˉ2）’直线过定点（2’0）’与已知矛盾;
当啊＝ˉ芋时,′;γ＝k（鞭—÷）,直线过定点（÷,0）
′勺
＼
综上可知,直线′过定点’定点坐标为（÷’0）
处理方案二（向量数量积）
:
’
○
~~
∑
γ
●
］
γ
√
＋
△
‖
＋
）
∑
％
＋
］
卯
（
∑
∑
卯
●
■
】
且
卯
~~
∑
γ
●
■
‖
』
γ
√
＋
）
∑
∑
卯
（
■
）
∑
］
卯
（
~~
→
口
〃
—
〃
■
一
皿
］“
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
—」籍O5讲睫蕊寇德｀潭慧线闷题］
~
卵3（!j藏2M购j）带黑剁三0,
（后面同方案一）
处理方案三（勾股定理）
:
｜AD｜2＋｜BD｜2＝｜AB｜2’即（卯lˉ2）2＋y｝＋（卯2ˉ2）2＋γ;＝（卯l—则2）2＋（γlˉy2）2’
整理得绷l .卯2-2（则l＋则2）＋4＋γl .y2＝0’
鞭］（!｀蕊!）带4!螺）与｜踩叫二0,
（后面同方案一）
（备注:本题的基本结论在“齐次化”章节中）
2
［例3］已知椭圆C」÷＋γ2＝l 和圆C2:则2＋γ2＝l
’ A’B’F分别为椭圆的左顶点’下顶点
和右焦点.
（｜）点′是曲线q卜位干第＜象限的—点,若…的面积为÷￥,求证;〃上″;
（2）点M’Ⅳ分别是椭圆Cl和圆C2上位于y轴石侧的动点’且直线B／＼／的斜率是直
线BM斜率的2倍’求证:直线M＼／恒过定点.
l′」
B
｜·解析0
（l）证明:由椭圆可得A（ˉ√页’（））’B（0’ˉl）’F（l’0）
’
设P（卿（）’γ0）（卯0＜0’y0＞0）
’
＝上MF卜｜γ0｜＝2苛√面》且｜AF｜＝｜＋√Zˉ’
由S△A″
2
］55
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
纠满分之蹈.解祈几何l
~~~
√5
所以γ［｜-夸,代入圆方程可得;露（〕＝了’
~-~～
所以′（—铃）
—〉
又AP
＝0,
所以AP上OP.
（2）证明:设直线B″的斜率为∧’则直线BⅣ的斜率为2∧’
所以BM:）′＝脑-l ’BMγ≡2肋ˉl
’
2
｜凯了｝!≡』
联立BM与椭圆方程:
4∧
得（1＋2∧2）″2-4A狐＝0’解得卿M＝l＋2∧2’
勺
2∧垒-1
将卿M代入直线B″方程可得:γM＝2∧2＋l
’
勺
′
4k
2A鱼-1｀
所以″（1＋2k2｀2k2＋1｜’
（」盖』,赛丁｛）
同理／V
勺
勺
2∧兰—l
4k鱼-l
2∧2＋］
4A2＋l
所以AMV＝
4A
4k
（4∧2＋l）（2k2ˉ1）ˉ（4∧2-l）（2k2＋l）
1~
2∧,
~~
~
4片（4k2＋l）ˉ4片（2∧2＋］）
勺
勺
1十2k鱼
1＋4A～
所以直线M＼／:γ-2k2—1
1
′
4片
2腮2十l＝—丽｜恋—2腮2＋］
整理可得;γ二—六翼十l ,
所以直线Mγ恒过定点（0’l）.
）
］“
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
…5讲蹿蕊｀窿健〈…
~
［例4］动点P在圆E:（厕＋l）2＋y2＝16上运动’定点F（l’0）’线段PF的垂直平分线与直
线PE的交点为0.
（1）求点0的轨迹T的方程;
（2）过点F的直线／l ’／2分别交轨迹T于A’B两点和C’D两点’且／l上／2.证明:过
AB和CD中点的直线过定点.
｜·解析0
＼
‖
／
】
儿
〃
′
＼
γ
P
X
连接0F’根据题意’得｜QP｜＝｜0F｜’则｜0E｜＋｜0F｜
＝｜0E｜＋｜0P｜＝4＞｜EF｜
’
故0的轨迹T是以E’F为焦点’长轴长为4的椭圆’则α＝2’c＝l’所以b＝徊
2
2
所以点0的轨迹T的方程为苛＋÷＝｜
（2）证明:分别设直线AB和CD的中点为MⅣ’
解法-（先猜后证）:当直线AB的斜率不存在或为0时’分析可知直线MⅣ与卿轴重合’
誉直线』B的斜率为l时,此时删（÷.ˉ÷）,A（÷,÷）,
直线M｀′的方程为;狐-÷,联立解得直线M｀′缝过定点（÷,0）
下面证明一般性:
当直线AB的斜率存在且不为0’l时’设直线AB的方程为γ＝∧（则ˉ1）
’
则直线cD的方程为γ＝ˉ十（鳃ˉl）
设A（厕l ’yl ）’B（卯2’γ2）
’
2
2
;＋÷＝｜
’
｜｛ˉ…邹j………ˉ｜二↓
联立
］57
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之蹈.解析几何｜
』盖』.坪删（措÷』,
』萨辩』
—8k2
M
）
则卯l＋卯2≡- 4A2＋3,故yl＋γ2＝-
3A
同理』｀（3六｀靴2十↓）
3k
3∧
∩
＋
∩
3∧丝＋4
4附＋3
7∧
所以直线MⅣ的斜率为kMⅣ＝
≡≡
4
4片2
4（1一八2）
’
勺
勺
3f＋4
4附＋3
’
）
△
‖
＋
斗
∑
∧
〕
几
／
｜
｜
‖
＼
＼
／
〗
∧
Ⅶ
＿
］
（
斗
~~
斗
〗
″
＋
司
〕
∑
〗
〃
〕
γ
●
●
为
程
方
勺
白
汕
线
ˉ
直
故
1量2（杂ˉl）,…二÷时,Ⅱ二0,
即y≡
纹直线经过定点（十,0）
解法二（先猜后证）
:
当直线AB的斜率不存在或为0时’分析可知直线Mγ与则轴重合’
］
—
丁
▲
—
了
』
Ⅱ
』
』
】
‖
■
｀
｀
Ⅳ
＼
卜
／
〕
—
了
斗
—
丁
′
』
｜
‖
‖
‖
｀
｀
″
时
此
时
］
为
率
斜
的
日
』
线
直
当
直线删删的方程为;蕊-÷,联立解得直线Mv经过定点0（÷,0）
下面证明一般性:通过证明M’Q’Ⅳ三点共线.
设A（腑l ’γl）’B（则2’y2）’设直线AB;卿＝ty＋l
’
2
2
÷＋÷＝l’
｜…←＂芦…』…≡Ⅷ
联立
,帅广》2＝J是了,故…-］′十4』
8
（4乌』｀
』ˉ羞2）
即M
…（』碧′,』h｛』）,
］58
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
『露O5讲蹿点｀罐橇｀髓蕊线澜题｝
3』
3r
4＋3j2
勺
矽
』
△
·
＋
〕
7〗
‖
勺
′
所以kMQ—R／V0≡
＝0
＋
4（r2ˉl）
4（lˉt2）
~~
4
4t2
7
3＋4′2
’
广
‘
斗
咽
斗
△
‖
—
曰
／
所以M’Q’Ⅳ三点共线.
解法三（点差法）
:
设″（卿l ’yl）’Ⅳ（卯2’y2）’则
〕
—
斗
~~
］
］
＿
γ
√
］
卯
●
川
—
蚂
y2
γ2
3
—●
≡≡
卯2
％2—1
4
］
］
＿
γ
］
卯
γ2
（D
@
＝ˉl…◎’
］
∩
丝
卯
ylγ2
9
三式相乘得＿ˉ
l6’
卯l尤2
由o@易得M’Ⅳ是曲线3卯2＋4y2ˉ3卿＝0@上的两点.
设M＼／的直线方程为:γ＝肛＋′″’与@联立得:（3＋4片2）卯2＋（8A′＂ˉ3）绷＋4″』2＝0’
则由根与系数的关系得
∩
3—8∧m
4m叁
％l＋卯2＝3＋4k2 ,卯l卯2＝3＋4k2’
勺
∩
γlγ2
附厕1卯2＋∧m（绷l＋“2）＋m么
则＿＝
＝—荒.解得聊-ˉ7
4∧
卯l卯2
卯1卯2
所以Ⅱ-触—÷您’即过定点（÷,0）
解法四（参数方程）
:
｛削｛j0……藏……Ⅷ……
设AB:
则‘｜≠
3…
吕＝
3cos20＋4sjn20’
勺
3cos＝0
4taI】20
则则中＝l-
＝
3tan0
4tan20＋3
0
4tan乙0
3tan0
4
3tan0
则则M＝4ta∏20＋3,γM≡- 4tan20＋3,卯Ⅳ≡4＋3taII20,γⅣ≡3tan20＋4
］59
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之路.解析几何l
（3m｝…迈（剧＂｝价3
yⅣ-γM
3tan0
kMV＝卯／V-卯M
＝二
（3｜.＂］沁· 」｜蕊《］）
4
）
●
了
—
斗~~
ta∏0
）
β
司
丝
∏
日
［
］
（
勺
（蕊—4捌!3）
3ta∏0
7
ta∏0
＝—●
方程两边同时乘（］—tan20）（4tan20＋3）’得
（lˉtan20）（4!an20＋3）γ＋3［an0（lˉ［an20）＝7!铲0［（4tan20＋3）绷ˉ4tan20］,
比较｜an40可得y＝0,则上式为3触n0（lˉtan20）＝7t挛［（4tan20＋3）躯ˉ4｝an26］
比较＿陋＂0的系数可得;3＝7产.所以腮＝÷,代入验诞为正解
总结:
2
2
（l）已知糯圆E;÷十卞≡l（鹏＞b＞0）,过右焦蕴′作互相垂直的直线′｜,《』分别交轨迹
2
端』0）;
／
E于A,B两点和C,D两点,则过AB和CD中点的直线过定点｜ˉ
｀α
2
2
（2）已知椭圆圆÷学二l（…＞0）,过点删（＂,0）作互相垂直的直线′｜,′2’分别交轨
2
（!箭,0 ）
迹E于A’B两点和C’D两点’则过AB和CD中点的直线过定点
‖侧5｛已刚椭厕c;汗ˉ｜（倒…0）＂离心率为亭顺″（＋.0）与椭圆上怔意点挪Ⅱ
离的最小值为÷
（l）求椭圆C的标准万程;
（2）设直线／:γ＝脉＋m与椭圆C相交于A（卯l ’γl）
’ B（则2’γ2）两点,M为左顶点’连
接M4’″B并延长’交直线绷＝4于P’0两点’设γP’ γ0分别为点P’0的纵坐标,
且上＋上＝上＋ˉL’求证:直线／过定点’并求出该定点的坐标.
γP
γQ
γl
γ2
］的
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O5讲罐虑｀髓德｀违霍线闸题｝
｜·解析0
2
2
（!）卤‘≡÷二粤’02襟‘』-＂』则α≡口二伍』敛椭圆方程可化为c;÷带兴二｜
2b鱼
6鱼
2
2
设′（鞭』.咐）｀蹦厂［ˉ口’口］是蹦圆上任意一点测釜÷｜.
∑
％
—
∑
】
β
＋
勺
「
■
Ⅱ
—
’
～
卯
◎
（
／
习
］
—
斗
＋
∑
β
＋
○
卯
〗
约
—
∑
／
丫
∑
）
］
—
∑
○
卯
（
／
刘
］
—
斗
〗
』
＋
∩
乙
）
］
（
卯
○
】
—
∑
√
＼
2
＋川
PⅣ｜
引′2＿＋｀
…封,-」筐［＿口｀口］蹦. ｜M｜蜒得鼠M郊b』ˉ＋｀
√』ˉ＋-f.解得b』-2｀倒』-↓
所
2
2
故椭圆c的标准方程为;苛＋÷—＝‖
（2）证明:依题意’
2
2
｜‖亢｜（咋＂）沁………卜Ⅷ
联立直线与椭圆:
由△＝32（4∧2＋2—m2）＞0’得″』2＜4∧2＋2.
8∧″］
4km
卯1＋卯2＝-
勺
吕二
4∧垄＋2
2∧2＋1
’
故≤
4（″』2-2）
2（″!2-2）
卯l 。卯2＝
4A2＋2
2附＋l
≡＝
勺
-4m
2′∏
γ1＋y2＝-
吕＝
4∧2＋2
2片2＋l,
2（″!2ˉ4k2）
′Ⅶ2ˉ4k2
γ］
·y2＝
吕＝
4A2＋2
2k2＋l
-8∧
卯l .y2＋勿2 ·γ1＝2∧2＋l
6yl
延测（—2｀0）,……ˉ六（叶2）｀令缴～绷.得Ⅱ厂丽,
6γ,
同理γ0＝卯句＋2
么
于是淘命揣辨亡,褥摄竿盖2
乙
＝上＋上’整理得:则ly2＋绷2yl＝4（yl＋γ2）
’
γl
y2
］6］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解祈几何l
分
ˉ8k ＝4.
乌咖
’得咖＝ˉR’满足矾2＜4附2＋2’
即2k2＋l
2附＋l
所以直线／:γ＝肛ˉA’过定点（l ’0）.
总结:
2
2
』画图,设咽是椭圆c÷＋;页＝1（鳃＞b＞0）过定点′（咖,0）（｜咖｜…≠0）的
性质］
2
弦’P是椭圆在则轴上的顶点’直线PA’PB与相应于定点F的定直线／:卿＝坠分别交于
m′
删,N溺点,…,删,卵输…分铡为Ⅱ……则;古谎-六武
V｜
证明:设A（αcosα’bsinα）’B（αcosβ’bsinβ）
’
又P（ˉα’0）
’
勺
凸
bSiI1α
α（l＋cosα）（卯＋α）’令卯＝坠’得y″＝
则PA;γ＝
″0
2
）
α
—＋α
″〗
（α＋″!）bsinα
吕＝
″!（1＋cosα）
bsinα
（
α（1＋cosα）
（α＋″l）bsinβ
同理γ／V＝′网（l＋cosβ）
-—＋
-—-〉
由A’B’F三点共线知’刷与FB共线’
αsin（α-β）
＝0,即m＝smα—sinβ
）
加
α
吕
○
℃
α
（
●
β
】
】
□
』
■
■
■
且
吕
〗
◎
）
∏
『
β
吕
○
℃
α
（
●
】
（
Ⅱ
■
→
】
且
吕
』
■
●
ˉ
←
何
以
ˉ
所
又sin（αˉβ）
. sin（α＋β）＝sin2αˉsin2β,
所以
上＋上）
′（
γM
yⅣ′
＼
｀
‖
‖
』
／
］
—
肪
＋
］
—
川
＼
‖
‖
‖
′
／
β
■
Ⅱ
∏
■
■
■
且
吕
＋
α
■
Ⅱ
〗
】
』
■
■
■
Ⅲ
吕
（l毗α
′n
（α＋矾）b
l＋COSβ
）
＋
sinβ
—＋（
（
~~
αsin（α—β）
. sin（α＋β）—α（sinα＋sinβ）
s1nα-sinβ
l
＝—●
b
＝0,
（α＋″l）
. sinα. sinβ
所以上＋上＝ˉL＋上
~0
■
γA
yB
yM
γ／V
］62
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖第O5讲罐点＼寇德＼髓惠线问题｜
2
2
性质2如图,设佃是双鞠线C;÷—卞二l（《』＞0,b＞0）过定点′（″!,0）（｜腮｜＞侧）的
2
弦’P是双曲线的顶点’直线PA’PB与相应于定点F的定直线／:则＝坠分别交于″’Ⅳ两
′n
康,…｀删.卵蹦…分鼠｜｜为购,…》＂｀则;六命六带六
巾
性质3如图’设AB是抛物线C:γ2＝2p则（p＞0）过定点F（m’0）（m＞0）的弦’p是抛物
线的顶点’直线PA’PB与定直线／:卿≡-m分别交于M’／＼／两点’记A’B’M’Ⅳ的纵坐标分
瓢伪鞠,…断,则古谎-六十六
［例6］长为3的线段AB的两个端点A’B分别在卯’y轴上移动’点P在直线AB上,且满足
—〉
—沪
BP＝2PAˉ
（l）求点P的轨迹方程;
（2）记点P的轨迹为曲线C’过点0（2’1）任作直线′交曲线C于M／V两点’过M作
斜率为—÷的直线《交曲线干另ˉ点凡求证;直线M｛与直线o0的交点为定点（o
为坐标原点）’并求出该定点.
｜63
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何l
·解析）
（l）设P（卯,y）’A（″!’0）,B（0’′l）’且｜AB｜＝√m2＋厕2＝a
｜‖室~
《三n.
ˉ--〉
--→
由BP＝2PA’得
所以（;鳃「带（］Ⅱ）』二9｀卵÷／二1
2
综上所述’点P的轨迹方程为÷＋γ2＝1
（2）证明:情形一当／的斜率不存在时’直线／与曲线C相切’不合题意;
情形二当／的斜率存在时’设直线／:y＝八（厕ˉ2）＋1’M（卯l ’γl）’／V（卿2’y2）’R（卯3’γ3）
’
2
｜丽）j了｝＼…,
卯
联立直线′与曲线C:
消去y’得（4A2＋l）狐2-8k（2kˉl）则＋4（4∧2-4∧）＝0’
由△＝16［4k2＋lˉ（2kˉ1）2］＞0’得k＞0.
ˉ8片（2片ˉ1）’ ／yl＋γ2＝＿2（2kˉ1）
卯1＋卯2＝-
4∧2＋1
4k2＋1
贝小
l6k（kˉ1）
1-4A
卯l °卯2＝
4k2＋l
γl °y2＝4k2＋l
’
坠
■
■
】
』
γ
咳
＋
）
］
卯
卯
（
〗
Ⅲ
—
勺
～~~
γ
●
●
【
″
‖
贝
2
卯
勺
｜二!∏｜÷~川］
联立直线MR与曲线C:
’
◎
~~
｜
］
∑
＼
｀
‖
‖
‖
′
／
］
γ
］
卯
］
—
∑
［（
消去γ’得2卯2ˉ（2卯l＋4γl ）卯＋4
则卯l＋卯3＝卯l＋2γ1 ,即卯3≡2γl .
l
又γ』-—÷（鞭」＿瞧!）＋γ!＝丁腮｜,
］“
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O5讲髓点｀建德｀建冀线问题｜
］
卯
〗
Ⅱ
—
勺
△
’
］
γ
∑
／
』
‖
‖
｀
＼
尺
以
所
）
l
丁卯l-y2
4γly2-卯1卯2
（露—熊2）＋γ2’令γ-＋嚣则绷＝2（γ｜＋γ2）ˉ（燕｜十鞭2）
直线Mhγ＝iγ｜ˉ卯2
4. 1ˉ4k
l6片（kˉ1）
4γlγ2—卯l卯2
＝-l6k2＋4＝］
4k2＋l
4∧2＋1
所以“＝2（γl＋γ2）-（卿l＋卯2）
ˉ2.2（2片＿l）
8片（2R-1）
-16k2＋4
≡≡
勺
勺
4∧垄十l
4附＋1
］
—
〗
~~
卯
＜
Ⅱ
—
勺
白~~
γ
而
从
敛直线M《与直线o0的交点为定点（｛’÷）
［例7］已知定点C（-l’0）及椭圆卿2＋3γ2＝5’过点C的动直线与椭圆相交于A’B两点.
（l）若线段削B中点的横坐标是—÷,求直线A‘的万程;
＿—十
—-—〉
（2）在卿轴上是否存在点M,使M4 .″B为常数?若存在,求出点″的坐标;若不
存在’请说明理由
｜·解祈0
（l）依题意’直线AB的斜率存在’
设A（绷l ’y1 ）,B（则2’γ2）’直线AB:y＝片（″＋l）
’
‖
~~
片
＋
γ
’
］
）
＿
—
】
∑
坠
日
—
］
（
＋
＋
】
卯
—
气
√
卯
∧
厂
｜
｜
｜
‖
｜
｜
｜
｜
｜
｜
（
淌去γ整理得（胀2＋÷卜2＋珊2甄＋胀2ˉ;二0
联立直线AB与椭圆:
2A垄
勺
卯l＋卯2≡＿
胀』十＋
则《
账2＿÷
…2二k2÷,
］65
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路· 解析几何l
片2
脓1片＿÷』孵得偷≡堂罕
弓＝
御线段必中点的横坐标是ˉ÷,得鞭宁2
△
~~~
■
∩
~~
］
＋
厨
＋
卯
或
·
~~
］
＋
仍
勿
为
程
方
的
日
』
线
直
以
所
---〉
MB为常数.
—〉
（2）（i）假设在卯轴上存在点M（m’0）’使M4
勺
2扩
~~
∑
γ
●
巴
『
几
γ
’
］
—
〕
’
＋
日
—
〕
］
＿
］
∑
＋
订
″
∑
〗
人
八
~
~
~
~
勺
＝
司
凸
卯
卯
＋
·
‖
』
］
帅
Ⅺ
ˉ絮
当直线AB与卿轴不垂直时ˉ ’由（1）知
］
—
—
＋
∑
∧
∩
〕
所以
’
句
兰
γ
■
］
γ
＋
）
加
∩
丝
卯
／
＼
＼
／
〗
″
］
几
（
~~
一
Ⅷ
●
一
删
’
＝
γ
■
■
】
』
γ
√
＋
司
凸
Ⅶ
『
＋
＼
／
’
＝
卯
＋
■
■
‖
∏
卯
（
加
’
＝
几
●
‖
『
且
卯
~~
腮2ˉ÷
2咖腮2
▲片2
＋
＋′几-
2
3
帅2＋十k2十＋
州2＋＋
~~
1
＝″!2＋2″′ˉ丁ˉ
6m＋14
3（M2＋l）
--〉
注意到M4
—〉
MB是与片无关的常数’
斗
—
’
~~
一
临
●
一
鹏
寸
日
七
止
’
刁
′
—
勺
〕
~~
门
′
得
解
’
）
（
~~
斗
］
＋
‖
″
／
◎
有
而
从
∑
＿
何
日
∑
—
何
／
（n）当直线必与“轴垂直时,此时点A｜
0
7
—广
—→
4
9
当″』＝ˉ寸时’也有M｀.″B一
综上,在腮轴上存在定点删（ˉ＋｀0）,使丽
---沪
MB为常数
］“
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
『第o5湃髓点、灌镭｀谴霞线问题｝
［例8］以′｜（0』—｜）, ′』（0、［）为焦点的椭圆‘过点′（粤’｜）
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点s（—＋’0）的动直线′与椭圆c交于』』g两点』试探究;在坐怀平面内是
否存在定点T,使得／无论如何转动,以AB为直径的圆恒过点T?若存在’求出点
T的坐标;若不存在’说明理由.
（l）解法-:
勺
勺
设糯圆c:肯＋带;二』（《』＞』＞0）.
）
＝
＼
‖
｜
‖
′
／
何
丁
～
／
』
』
‖
｀
＼
′
′
可
~
~
∑
尸
尸
＋
勺
～
＼
‖
‖
】
‖
′
／
徊
—
’
～
／
′
□
‖
‖
｀
＼
′
√
司
γ
＋22
徊
刃
～
∑
＾
‖
＋
由已知C＝1,又2α＝｜PFl
｜
］
~~
’
匹
∑
＋
∑
卯
曰
正
程
、
万
的
℃
圆
隋
↑
以
所
’
］
~~
』
’
徊
~~
α
以
所
解法二
…′三」＼…c景十舌-］（侧＞］）
l
~
闺为′（?』］）在椭圆c上』所以÷带六-」’解得α1三2,戳椭圆C灼方…÷｜
（2）解法-（先通过特殊情形确定定点’再证明一般性）
:
特殊情况:
若直线／与卵轴重合’则以AB为直径的圆的方程是卯2＋γ2＝1
著直线′与鞭轴垂直则以A……的方程是（叶÷）』＋γ2二普
联…2＋y:＝1,卜＋＋）2＋γ2二普,解得腿＝｜,γ＝0
即两圆相切于点（1 ’0）’因」比所求点T如果存在’只能是（l
’（））
｜67
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解祈几何h
证明一般性如下:
若直线／的斜率存在且不为0’
设』;γ二咖卜＋＋）,设点A（躯｜,γ!）,B（趣,Ⅱ』）
‖
~~
∑
∑
内
］
—
’
＋
卯
∑
片
〗
—
〕
＋
∑
卯
）
’
＝
＋
∑
∧
（
得
γ
″
月
◇
■
』
『
’
·
~~
∧
］
—
〕
＋
γ
√
『
］
）
—
＿
］
乙
〗
（
＋
＋
∑
卯
卯
〗
″
尸
｀
司
程
｀
万
圆
喻
湘
与
线
直
立
联
ˉ÷附2
勿l＋卯2＝k2＋2
所以
＋脓2ˉ2
％l
·卯2＝
片2＋2
）
∑
γ
’
］
∑
％
（
~~
→
Ⅷ
’
）
］
γ
’
］
］
卯
（
~~
→
Ⅷ
又
所以
｀
｀
‖
‖
■
〗
『
′
′
］
—
〕
＋
∑
卯
／
』
『
】
‖
□
｀
｀
●
｀
｀
‖
‖
』
‖
′
′
］
—
〕
＋
］
叮
∑
习
内
＋
）
］
∑
卯
（
●
）
］
］
卯
（
~~
】
γ
●
β
□
▲
γ
＋
）
］
∑
卯
（
●
）
］
］
卯
（
~~
→
肥
●
→
Ⅷ
（
二（膊＋l）…（＋‖2ˉ!）（…2）＋;膘＋l
…』誊（＋僻—｜）惑;艘十＂
所以Ⅷ」ˉTB,
即以AB为直径的圆恒过点T（l ’0）.
所以在坐标乎面内存在一个定点T（1 ’0）满足条件.
解法二（假设法’假设存在’将结论作为条件用’推出结果）
:
假设存在定点T（u’″）满足条件.
若直线《的斜率存在,设′;γ＝腮（鳃＋＋）’设点A（撼｜,,｜）,‘（翅,γ2）
｜68
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O5讲定点＼定健｀定霞线问题｝
’
◎
~~
内
］
—
〕
＋
γ
骸
’
］
）
＿
＿
］
~
~
＝
′
＿
∑
（
＋
＋
’
～
卯
卯
】
″
｜
｜
淌》得（膘＋2）鞭2宁:鞭＋;胀2
联立直线与椭圆方程
一2≡0
ˉ;膘
Ⅺl＋卯勺≡
凸
k2＋2
则
’
≈
〗
∧
］
—
’
勿l
·％2＝
A2＋2
’
’
）
仍
〗
γ
’
Ⅱ
∑
％
（
~~
→
陋
’
）
仙
］
γ
’
皿
］
卯
（
~~
→
Ⅷ
又
所以
）
″
∑
γ
（
●
）
〗
］
γ
（
＋
）
Ⅱ
∑
几
（
●
）
Ⅱ
］
卯
（
~~
→
晒
●
→
Ⅷ
【
〗
″
肌
∑
∧
］
—
〕
／
′
∩
■
‖
‖
‖
＼
＋
∑
卯
］
卯
）
］
＋
勺
＝
∧
（
~~
勺
▲
″
＋
勺
～
Ⅱ
＋
″
〗
″
∑
＿
〕
勺
←
儿
］
—
’
＋
｀
｀
‖
／
勺
≡
卯
＋
］
％
（
）
;腮2ˉ2
】
‖
＋
∑
↓
〖
＋
〃
〗
″
∑
＿
］
∑
片
］
—
’
＋
形
＿
∑
∑
—
～
〕
—
脚
●
）
″
〗
″
』
〖
∑
儿
］
—
〕
（
＋
＝（∧2＋1）
人2＋2
（3u2＋2u＋3o2ˉ5）k2-4毗＋6u2＋6″2—6
~~
）
’
≈
＋
∑
片
（
〕
→
当且仅当Ⅷ
—-》
?B＝0恒成立时’以AB为直径的圆恒过点Ⅵ
3M2＋2I』＋3?／2—5＝0·
解得I』＝1 ’U＝0
所以u＝1 ’〃＝0时’元论直线／如何转动’以AB为直径的圆恒过点T（l’（））
当直线′…直时,以剿β为直径…方程是（塑＋＋）2
）
‖
’
］
（
丁
占
…
β
过
也
Ⅲ
—
’
~~
∑
γ
＋
所以在坐标乎面内存在一个定点T（1’（））满足条件
］的
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分左路. 解析几何［
解法三（利用椭圆对称性）
设存在定点′满足茶件,由动直线′过鞭轴上的定点:（ˉ＋,0）及椭圆的对称隆,所求的
点T如果存在’只能在卯轴上’设T（t’0）’类似解法二可求得r＝1’过程略（同学们自己完成）.
所以在坐标乎面内存在一个定点T（l ’0）满足条件.
解法四（利用消元技巧及圆的直径方程）
:
若直线／与卯轴重合’则以AB为直径的圆的方程是卯2＋γ2≡1.
若直线′与＂轴垂直,则…为……灌是（叶＋）2＋γ2＝普
著直线′的斜率存在且不为0,设′;》＝k（躯÷）,设点A（狐｜,,!）.E（翼』,γ2）
’
‖
~~
片
’
］
—
］
］
~~
＋
止
∑
γ
√
＋
卯
〗
γ
凡
卯
「
｜
｜
｜
｜
｀
｜
｜
｜
（
程
方
圆
响
咐
与
线
直
、
工
联
淌γ得（您2十2》撼2＋旦膘慈＋;膘＿2＝0o
3
淌＂得（雁＋2）γ』ˉ÷卿ˉ守膘＝0@
由o＋圆得圆的方程为（附2＋2》（鳃型＋y2）÷膘测—÷腮y—尹:ˉ2二0’
卵膊（躯2＋广÷蜒—÷）—您（÷γ）＋［2（撼2＋γ』）—2］＝0
＂2＋γ2÷膊ˉ÷＝0,
口
解得
令｀;γ二0,
｀2（卿2＋y2）ˉ2＝0’
故以AB为直径的圆恒过点T（l ’0）.
所以在坐标平面内存在一个定点T（l ’0）满足条件.
］7O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1第O5瞬建点｀罐镭｀蹿霞线闷题｝
［题型2定值］
［例9｜已卿懒圆c;汗ˉ」（.…0）的肖儒…｜,0卜且点′（哺）仆脯阔‘上,
O为坐标原点.
（l）求椭圆C的标准方程;
线切点分别为″’Ⅳ（M∧／不在坐标轴上）’若直线M＼／的横纵截距分别为′n’′』’
六十卜为定慨
求证
（1）由题意’知c＝l’
’解得:α2＝4’
所以b2＝α-c2＝3,
2
2
2
所以椭圆方程为i＋÷＝｜
］
~~∑
坠
斗
—
〕
＋
‖
勺
～
％
—
川
斗
（2）证明:由（l）可得:Cl
设0（卿0’γ0）’可知M＼／是过0作圆切线所产生的切点弦.
设″（则1 ’yl ）’Ⅳ（则2’y2）
’
由M’Ⅳ是切点可得:OM」ˉMQ’OⅣ上／V0’
…0;Ⅱˉ蹄～÷（鞭—露＂）｀代＾捌（靡｛,Ⅱ｜）得;Ⅱ!—Ⅱ＂ˉ÷（露｜ˉ鞭＂儿
勺
勺
即卯I卯0＋γly0≡卯l＋γl ,
≡
叁
2
2
同理可知／V0’有绷2卯0＋γ2γ0＝厕2＋γ2.
］7］-
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之路。解析几何［
~
闽为M＂在圆0;鳃2＋γ2＝÷上,
2
2
4
′
4
卯｜＋γl＝丁’
卿｜卿0＋yly0＝丁’
所以咐｜
即《
2
2
4
4
匆2＋γ2＝丁’
＼则2y0＋γ2γ0＝了’
所以M″为直线撼0叶γ0Ⅱ-÷上的点
因为两点唯一确定一条直线’
］
］
~~
上
土
翔
＋
卯
丁
—
判
『
目
’
△
‖
—
〕~~
γ
○
γ
√
＋
％
·
卯
■
●
Ⅳ
″
以
ˉ
所
4
4
由截距式可ˉ知′＂＝瓦’＂二瓦,
所以志十÷÷喘》;三晶（飘;襟』γ;）
’
斗
~~
∩
乙
∩
皿
γ
咳
〕
＋
∩
≡
∩
Ⅷ
卯
又
3
冗＿
l
l
值
定
为
］
丛
—
】
∏
＋
］
丽
γ
日
’
］
—
斗
~~
）
∑
○
γ
〕
＋
∑
‖
卯
〃
尸
｀
｀
’
—
州
~~
‖
儿
—
∑
∏
＋
］
—
振
。
。
以
结
所
总
切点弦方程:过圆夕卜一点0作圆:则2＋γ2＝『2的切线’切点为A,B’则切点弦AB的方程
2
为:％0卯＋γ0y≡厂
。
］72
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「第O5讲髓点＼定健｀耀雹线问题!
2
2
［例l0］已知椭圆‘;÷＋｝丁＝l（侧＞b＞0）』称圆心在原点,半径为√侧2＋b!的圆为椭圆‘
的“准圆”
’若椭圆C的—个焦点为F（√I’0）’其短轴上的—个端点到F的距离
为√g:
（l）求椭圆C的方程及其“准圆”的方程;
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线／l ’／2交“准圆”
点M’／M
@当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求直线／l ’／2的方程并证明／l ˉL／2;
@求证:线段M＼／的长为定值
·解析0
（l）依题意可得:C＝√Zα＝旧’则62＝α2ˉC2＝］
’
2
所以椭圆c的方程为÷＋y2二l ,′＝√α2＋‖2＝2,
所以‘‘准圆”的方程为:则2＋γ2＝4.
（2）@（i）当直线／l ’／2中有一条斜率不存在时’不妨设直线′l斜率不存在’则／］:卯＝±√可’
当／l :卯＝√可时’／｜与准圆交于点（√Zl）’（√Zˉ1）.
此时／2为γ＝l（或γ＝-l）’显然直线／l ’／2垂直.
同理可证,当／l :卯＝ˉ√可时’直线／l ’／2垂直
（ii）由（1）可得P（0’2）’设切线方程为:y＝肋＋2.
2
;＋y2＝l』
［群（—］……』……—0
联立切线与椭圆:
△＝12（3八2ˉ3）＝0’即∧2ˉl＝0’解得:k＝±1.
所以／l ;y＝卯＋2,／2:y＝-卯＋2,
所以／1上／2.
@证明:设P（则0’γ0）’切线PM的斜率为∧l
’
则切线PM:γˉy0＝A1（厕-“0）
’
2
i＋y2＝｜
』
｜…｜……
联立直线PM与椭圆:
于
］73＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何‖
消γ得;（M｝＋l）卿2ˉ（6k｝躯0ˉ6附lγ0）赃＋呻;ˉ6k｜γ0绷0＋3γ;ˉ3＝0’
△＝l2（3A｝＋lˉ（γ0ˉ∧1财0）2）＝0’即（3ˉ箍;）A｝＋2膊0γ0附u＋lˉγ;＝0’
同理,设切线PⅣ的斜率为∧2’则有;（3ˉ财;）附i＋2瓣0γ0附2＋lˉγ;＝0’
∩
蹄…≡;三;
勺·
因为P在‘‘准圆”上’
勺
司
勺
勺
所以则6＋γ6＝4’即y6ˉ1＝3ˉ＂6’
综合o@可知P″上PⅣ’
所以MⅣ为“准圆”的直径’
所以｜M＼／｜为定值’ ｜MⅣ｜≡4
2
2
［例u］如图所示,在平而直角坐标系翼oγ巾』设椭圆E崇＋食-l（憋＞6＞0）
』
其中b＝
——〉
祭Ⅱ过椭圆内—点′（｜』｜）胸两条直线分别与椭圆交于d.C枷B』″』日满足″-
—-＋
〉
--〉
∧PC’BP＝∧PD’其中入为常数且∧＞0’
当点C恰为椭圆右顶点时’对应的
入＝二
′
（l）求椭圆E的方程;
（2）当入变化时’ ∧AB是否为定值?若是’请求出此定值;若不是’请说明理由.
‖
‖
‖
′≡＜二泞〈
｜~~~~~
二F亏
｜~~~~~
＼旦
］74
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第05讲定点｀建健｀透蕊线闻题｝
｜·解析0
α
■
■
得
可
何
严~~
β
由
）
］
（
b : c＝2
:√可:
1 ,
所以E;粤＋缸÷＝｜（α＞b＞0）
α～
3α～
若C为右顶点’则C（α’0）
’
一
所以PC≡（α-1’-l）
设A（卿’γ）
’
—〉
—》
所以AP＝（lˉ厕’lˉy）’∧PC＝（∧（α-1）’-入）
’
lˉ则＝入（α-l）
’
［ˉ』＝‰
-＝〉
-＝—＞
由AP＝入′〕C可得:
｛←｜—入｝嚼＿｜儿代＾人÷…（｜竿等）
所以
y≡l＋∧,
l2≠《』’号）代入椭圆方程可得;（l2＿5铡）2
4×l22
49αˉ
49×3α2＝1’解得α＝2’
司—＋
将A（
所以6＝徊
■
］
~~
〗
上
〕
＋
∑
卯
—
〃
斗
●
■
为
程
、
万
的
Ⅱ
司
囚
椭
以
所
（2）设A（绷l ,yl ）’B（则2’y2）’C（卯3 ’γ3）’D（则4’y4）
’
l-卯l＋1,
卯3＝
∧
l-yl＋1。
y3＝
∧
.＝-≥
→
由AP＝入PC’可得
］
］
~
~
~
~
旦
灼
—
〕
∑
屿
—
〕
＋
＋
∑
屿
—
△
·
∑
呜
—
△
·
则
上
~~
〗
坠
〕
＋
∑
卯
—
▲
斗
圆
椭
在
℃
∧
为
因
］76
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之蹈.解析几何〗
~
l-卯l＋l ,
3卿｝＋4γ｝＝l2@’
卯3＝
｜」｜子｝‖｜／』｜卫｛』」』.
∧
代入慧｛
并整理可得:
（
）
（
』
）
l-yl＋l
｀y3＝
入
整理@可得;3绷｝＋4γ｛ˉ2（3卿1＋4γ］）＋7＋l4∧ˉ2入（3瓣!＋4γ1）＝5儿2’
l9—5入2＋l4∧
~~
］
γ
△
‖
＋
］
卯
〕
以
所
2＋2∧
l9—5∧2＋l4∧
同理ˉ可得:对于B’D’则有3卯2＋4γ2＝
2＋2∧
所以3绷｜＋4γl＝3“2＋4γ2’即3（卯lˉ卯2）＝ˉ4（yl-γ2）
yl-γ7
所以kAB＝卯l-％甸
≈
三≡
≡
■
值
定
为
即
’
］
＿
斗
2
2
［例l2｜已知椭圆‘;÷＋卞＝］（α＞b＞0）的上］页点为A』P（÷,÷）是椭圆‘上的＿点′ 以
4P为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.
（1）求椭圆C的方程;
（2）动直线／与椭圆C有且只有一个公共点’ 问:在卯轴上是否存在两个定点’它
们到直线′的距离之积等于l?若存在’求出这两个定点的坐标;如果不存在’请
说明理由
·解析日
（l）由椭圆可知:A（0’b）’F（c’0）
’
因为以AP为直径的圆经过F,则Fl4上FP.
◆
∑
~~
■
∩
√
∑
α
~~
得
勺
扩
—
〕
鼎
＋
杰
用
℃
］
‰
牛
—
〕
＿
＿
勺
扩
—
’
∑
尸
山
●
］
圆
］
勺
扩
■
‖
‖
’
＾
‖
＋
Ⅷ
—
’
~~
勺
扩
—
］
·
＋
］
—
∑
α
）
●
●
℃
得
可
斗
—
〕
程
（
℃
方
圆
~~
椭
）
β
—
］
入
’
代
℃
’
斗
—
〕
上
（
℃
●
圆
）
椭
』
’
在
℃
）
β
—
〕
（
—
＿
’
→
″
川
片
旧
尸
●
→
刷
由
］76
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「第O5讲寇点｀寇德＼罐富线问题｜
］
~~
℃
~~
』
得
解
’
∩
‖
γ
●
＿
＿
∩
／
～~~
勺
…
＾
°
＿
司
寸
←
勺
～
＋
α
~~
℃
斗
—
〕
∑
℃
＋
勺
凸
勺
▲
户
乙
】
品
α
尸
‖
‖
‖
‖
』
′
｀
】
【
‖
‖
』
巴
由
2
所以椭圆C的方程为÷＋y』＝］
（2）假设存在卿轴上两定点Ml（入l ’0）’M2（入2’0）（入l＜∧2）
’
设直线／:γ＝脑＋m,
｜∧人l＋m｜
｜趴2＋m｜
’ⅢM2ˉ′＝
~／勺
~／勺
√胀＋1
√k垒＋1
所以〃″l—／
≡≡
｜∧人］＋m｜
｜∧人∩＋′n｜
∧2入l入2＋∧m（入l＋∧2）＋m2
丝
二＝
＝l
片2＋1
√片2＋l
√胀＋1
~／
勺
所以依题意:dMlˉ′ .‘″2ˉ′
＝
o
因为直线／与椭圆相切’
2
｜意（i了｜…／…三ˉ』……
联立直线′与椭圆:
由直线／与椭圆相切可知△＝8（2∧2＋1-′′!2）＝0’化简可得:′∏2＝2∧2＋1
’
代入o可得:
儿2∧l入2＋∧′＂（∧l＋入2）＋2∧2＋l
＝1 ’即∧2入1入2＋∧′′l（∧l＋人2）＋2A2＋l＝k2＋l
’
片2＋l
所以∧2（入l入2＋l）＋km（∧l＋人2）＝0
庐∧l ·入2≡一l,
∧l≡-1
’
《＝1
依题意可得:无论A’′″为何值’等式均成立’则√入l＋入2＝0’
解得
｀入l＜∧2,
）
○
’
］
（
∑
″
’
）
·
’
］
（
］
″
●
■
点
定
两
在
存
以
所
］77
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何〗
2
2
［例旧］已知椭圆E!÷啃页-l（α＞6＞0）的两个焦点与短轴的ˉ个端点是直角二角形的3
个顶点’直线／:γ＝ˉ绷＋3与椭圆E有且只有—个公共点T.
（l）求椭圆E的方程及点T的坐标;
（2）设O是坐标原点,直线／′平行于OT’与椭圆E交于不同的两点A’ B,且与直
线／交于点P.证明:存在常数∧’使得｜PT｜2＝入｜PA｜
｜PB｜’并求∧的值
可
∏
析
解
●
2
2
（l）由条件可知侧＝√z则椭圆囱的方程为壶啃可-］
2
2
罢＋1丁＝l’
忙二入……栏＂＂
有方程组
方程@的判别式为△＝24（b2ˉ3）’由△＝0’得b2＝3’
2
2
此时方程@的解为蹦＝2,所以椭圆E的方程为÷＋÷＝｜
点T的坐标为（2’l）.
（2）解法-:
l
由已知可设直线／′的方程为y＝丁则＋′n（″』≠0）
’
台
1
＂-2＿等,
｜二三二可.仁｝芋
有方程组
勺
所以P点坐标为（2ˉ铲.｜＋芋）, ｜P7｜:二延
9
设点A（绷l ’yl ）’B（则,’y’）.
2
2
÷＋÷＝l｀
｜｛…ˉ｛…）…′
联立直线′′与椭圆
＋（4加2ˉl2）＝0
＋4mX
｜78
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖鳃O5讲髓点｀定德｀寇菌线闷题｝
巫
矿
△
＜
加
＜
皿
∑
得
牟
角
’
∩
＝
＞
）
】
Ⅶ
′
∑
’
（
β
］
~~
△
ˉ
有
’
’
］
∑
物
—
勺
〕
∑
〕
斗
′
门
~
~
~
~
卯
卯
勺
～
勺
＝
＋
·
广
卯
卯
］
‖
贝
《
］
坠
］
γ
咖
—
］
＋
］
（
＋
∑
＼
｀
｜
／
］
卯
加
—
〕
∑
（
习
）Ⅺ
咖
—
］
】
占
—
∑
~~
所以｜PA
-卯l
）
卯
∑
］
∑
咖
—
〕
∑卯
句
〕
］
勺
≡
′
′
‖
】
【
‖
‖
｀
｀
＼
｀
‖
‖
‖
』
′
′
∑
卯
卯
＼
｜
｜
／
］
）
＋
△
口
％
加
∑
＋
＋
物
—
〕
纱
〕
约
’
】
＼
‖
｜
／
／
＼
／
｜
‖
＼
＼
｜
｜
／
加
—
〕
咖
＿
〕
卯
勺
▲
（
加
—
〕
日
—
斗
∑
∑
—
＿
（
（
∑
口
口
勺
尸
｀
｀
｜
｜
′
′
勺
…
｀
｜
‖
』
′
′
占
—
∑
尸
加
—
〕
加
—
〕
＿
＿
●
日
∑
∑
尸
剧
′
｜
｜
｀
／
｜
＼
理
以
日
—
斗
日
—
▲
所
＿
—
＿
—
厉
］
1（）
2
＝可″!
故存在常数儿＝÷,俊得｜′T｜』-入｜川卜｜′B｜
解法二（参数方程）
直线′′与直线／:γ＝ˉ卯＋3交于点P’设点P（卯0’3-卯0）,
又因为直线／′乎行于OT’
卯＝卯0＋2t,
｛
＃滞…
所以设直线／′的参数方程为
y＝3-卯0＋t,
2
2
将其代入椭圆方程÷＋÷＝l’得2』2＋4』＋腮;—4撼0＋4＝α
｛79
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何〖
△＞0,
设」’β溺』…的参数分别为』｜,‘2,则‖＋b＝—2’
（则0ˉ2）2
tl
· t2＝
2
因为｜pT｜2＝（卿0ˉ2）2＋（3-卯0ˉl）2二2（卯0—2）2’
5（卯0ˉ2）2
｜PA｜＝√百｜′l
｜
’ ｜PB｜＝佰｜′2
｜’故｜PA｜
｜PB｜＝√弓｜′l
｜
.√百｜′2
｜＝5｜tl
. t2
｜＝
2
｜PT｜2
2（卯0ˉ2）2
▲
『
—
尸
〕~~
所以
≡≡
｜R4｜
. ｜PB｜
5（卯0ˉ2）2
勺
全
所以存在常数儿＝÷,使得｜P′｜』＝川川卜｜PB
（题型3定直线）
［例叫已知懒厕‘;÷噎-」（感＞0＞0）的石焦颧′｜与抛物线γ』-咖胸焦点重合,原点
到过点』（刨,｛））, 圆（0』＿』）的直线的距离是2—要
（l ）求椭圆C的方程;
（2）设动直线／:y＝版＋刀l与椭圆C有且只有＿个公共点P’过Fl作PFl的垂线
与直线／交于点Q,求证:点0在定直线上’并求出定直线的方程.
■
』
析
解
●
（l）抛物线γ2＝4卯的焦点坐标为（1’0）’所以C＝l.
直线AB的方程为;÷—÷＝l＝b獭ˉαyˉα0＝0
］8O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
〗第O5讲建虑｀趟健、髓…
所以硼…＿√“兰』!
~
蹄以椭圆c输方程为÷苦-｜
（2）因为直线／与椭圆相切’
勺
T
÷＋÷＝l.
［引』ˉ…‖……嗡…｛』」
联立直线与椭圆方程:
则△＝48（4片2＋3-′Ⅶ2）＝0’即′n2≡4k2＋3
m2-3
4k2
—＋『n≡
″l
4km
4km
切点坐标卯p＝—4∧2＋3
m
≡≡
三≡
2
4儿
-—’γP＝脑P＋矾≡
′n
●
〕
—
肌
＋∏l＝
~
′∏
4k
′几
勺
）
〕
′n
／
即P｜
＼
司
〕
矾
3
所以kPFl＝
~~~
4∧＋m
］
靴
—
加
4k＋″I
所以AQFl＝
3
所以M的方程为Ⅱ-生k÷巫（x＿］）
联立Fl0与／方程:
所以（4A＋″l）（“-1）≡3（k卯＋″′）→4脑＋″l卿-4片-″』＝3版＋3m
＝（k＋m）绷＝4（∧＋m）’解得卿＝4.
所以Q在卿＝4这条定直线上.
］8‖
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
［满分之路.解忻取可■
［例］5｜设椭阀圆;声拦奉-］＂焦点在鞭撼上
（l ）若椭圆E的焦距为1 ’求椭圆E的方程;
（2）设F］’F2分别是椭圆E的左＼右焦点’ P为椭圆E上第—象限内的点’直线
F2P交γ轴于点0’并且FlP上Fl0.证明:
当α变化时’点P在某定直线上
·解析9
（!）椭圆‘输焦点在赚轴上则α〗＞｜ˉⅧ』,卵倒＞亨
’
日
—
β
~~
∑
α
‖
贝
’
∑
℃
＋
∑
α
］
~~
】
α
’
］
~~
℃
∑
又
趾
］
＋
旺
—
日
为
程
、
万
的
Ⅱ
圆
椭
以
所
（2）证明:设Fl（ˉc’0）’F2（c’0）’P（卯’γ）’0（0’m）
’
--—广
.——-〉
则F2P＝（卯ˉC’y）’0F2二（C’＿″』）
由1ˉα2＞（）＝α巳（0’l）＝卯巨（0’l）’γ巨（0’l）
’
）
肌
’
℃
（
~~
一
呐
’
）
γ
’
℃
＋
卯
（
~~
→
′
～
而
尸
丽丽耶糯:｛!川二xⅧ
所以（卯ˉC）（狐＋C）＝γ2’
→
□
』
＿
尼
由
∑
℃
~~
勺
≡
γ
勺
凸
卯
巾
』
~
~
°
∏
『
‖
日
勺
么
—
勺
旷
γ
＿
卜
＋
｜
勺
″
—
勺
矿
~‖
2卯2
｜
｜鳃2—γ2-‘2,
解得测2—γ2刊
联立
∑
＼
／
■
』
±
γ
√
（
~~
∑
卯
∏
‖
口
广
’
』
~~
’
＝
γ
＋
’
＝
γ
√
】
勺
△
卯
］
＋
烂α2＝l-α2＋C2
因为卿巳（0’l）’y巨（0’l）’所以卯＝lˉy.
所以动点过定直线卵＋y-1≡0.
］82
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
〗第O5讲罐点｀定健｀定窿线问题｝
!例］6｜已知椭圆c;融;-」（侧＞』＞0）的左石焦点为′｜.′』,其上顶点为A』已知
△FlAF2是边长为2的正三角形.
（1）求椭圆C的方程;
———〉
＿＿〉
（2）过点0（-4’0）任作—动直线／交椭圆C于M’Ⅳ两点’记″0＝入0／V’若在线
-——〉
——＋
段Mγ上取—点R使得／｜′R＝ˉ∧R／＼／,试判断当直线／运动时,点R是否在某＿定
直线上运动?若在’请求出该定直线;若不在』请说明理由.
｜·解析0
（1）由椭圆方程可得Fl（ˉC’0）’F2（C’0）’A（0’b）
’
因为△FlAF2是边长为2的正三角形’所以｜FlF2
｜＝2＝2c＝2＝c＝l’ ｜OA｜＝b＝6’
所以α2-‖:十‘虱二4所…c的方程为÷÷-｜
）
∑
γ
’
△
‖
＋
∑
％
（
~~
一
叭
’
）
］
γ
’
‖
卯
〃
斗
（
~~
→
＾
〃
记
—
″
‖
贝
’
）
〃
斗
＋
卯
（
人
~~
γ
●
●
Ⅷ
’
）
∑
γ
’
∑
卯
（
Ⅳ
’
）
］
γ
’
■
』
卯
（
″
设
）
】
（
---〉
---》
4＋卯l
由MQ＝入QⅣ可得:ˉ4ˉ则l＝入（卯2＋4）＝∧＝ˉ—
卯2＋4
）
◎
γ
〗
γ
’
‖
卯
∑
卯
（
~~
→
Ⅳ
一
口
皿
’
）
］
γ
◎
）
●
］
几
·
九
（
~~
一
Ⅷ
‖
贝
’
）
○
γ
’
·
卯
（
尺
设
’
）
·
卯
〗
卯
（
入
~~
］
卯
◎
卯
●
●
得
ˉ
一
刨
』
→
Ⅳ
～
∏
皿
∧
~~
—
Ⅷ
由
4＋卯l
｀ˉ‖M｀＂『霉尸｝掷萨〔Ⅸ
所以卯0＝
l-入
＝
4＋卯l
3卯2＋4γ2＝l2,
［～隐…嗡封籍…;…｜……型—哩～0
联立方程组
-32A2
64k2-l2
所以如l＋则2＝3＋4k2’卯l财2＝3＋4k2
.
2×6揖2…
-32片2
-24
3＋4人2
3＋4∧2
代入到o可得:卯0＝
＝
＝—l.
-32∧2
24
3＋4∧2＋8
3＋4人2
所以R在定直线卯＝ˉl上
］83ˉ
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
′满分之路.解析几何｝
［例｜7］已知′｜｀′』分别为椭圆q;备苦-］（圈＞』≥0）胸上卜焦点,其中′｜也是抛物
线Q』狐2二4γ的焦点』点删是c｜与c2在第二象限的交点,日｜卿′｜
｜-÷
（l ）求椭圆Cl的方程;
（2）已知点p（1’3）和圆（）:厕2＋y2＝b2’
—-≥
4’B’在线段AB上取＿点Q’满足:AP＝
过点P的动直线／与圆（）相交于不同的两点
）
］
±
≠
∧
且
·
≠
∧
（
→
佃
入
~~
→
侧
→
∏
◎
—
尸
∧
求证:点0总在某定直线上
司
』
—析—解
—
｝
心
｜
（l）由C2:卯2＝4y知Fl（0’l）’则椭圆Cl的两个焦点F1（0’1）’F2（0’-1）
设M（卯0’γ0）（则0＜0）
’
因M在抛物线C2上’故则;＝4y0’o
又｜＂F｜
｜＝÷测γ0＋1＝;’@
由皿圆解得撼＂＝华』γo-÷故删｜
点M在椭圆上’有如下处理方案:
解法～:
由椭圆定义:
＼
｀
〗
】
】
‖
‖
′
′
∑
—
］
’
哑
〕
∩
乙
｀
｀
｝
】
‖
』
′
′
■
‖
儿
＋
∑
—
〕
（
＋
勺
＝
｀
｀
‖
‖
仕
】
‖
′
′
·
佰
〕
〗
（
′
√
~
ˉ／
ˉ＼／
∑
）
］
∑
—
〕
（
＋
∑
）
‖
哑
］
（
≡4,
2α＝｜MF］
｜＋｜MF2
｜
所以α≡2.又c;二l ’所以b2≡α2-c2＝3,
］
~~
形
—
〕
＋
乙
斗
为
程
、
万
的
］
℃
圆
。
。
椭
二
以
法
所
解
∑
）
哑
〕
沪
（
＋
削
＿
磅
有
’
◎
］
~~β
—
形
＋
斗
—
旺
′
日
’
］
~~
］84
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O5讲建点｀耀德＼定霞线问题｜
又C＝l ’则b2＝α2ˉ1@
由o@可解得α2＝4’b2＝3’
所以椭圆c｜的方程为芳＋f-l
（2）证明:设A（卿l ’y1）’B（绷2’y2）’Q（厕’γ）
’
…—…』｛』ˉ…｛）≡—川……｛‖Ⅲ｜‖二∩｛岛
—〉
—＝-》
娜…凰…ˉ…｛』≡M……｛‖甜二‖非｛｛!;!
—〉
-—-〉
◎×@得:卯｝ˉ人2绷i＝（1ˉ人2）则’
◎×O得:γ｝ˉ入2y;＝3γ（1ˉ∧2）
’
两式相加得（则｝＋γ｝）ˉ∧2（则;＋yi）＝（1ˉ人2）（卿＋3y）
又点A’B在圆卯2＋y2＝3上’且入≠±1’
所以卯↑＋γ↑＝3’卯;＋y;＝3’即厕＋3y＝3.
所以点0总在定直线卯＋3yˉ3＝0上.
［例｜8］已知椭厕圆;÷莆-」（碘＞』＞0）的离心率为粤,它的上顶点为A,左、右焦点分
〕
别为Fl ’F2,直线AF］
’ AF2分别交椭圆于点B’C.
（1 ）求证:直线B0平分线段AC;
（2）设点P（″』’″）（m’′l为常数）在直线BO上且在椭圆外,过P的动直线／与椭
圆交于网个桐点＂｀州,征线殿卿M［取点o』满足糕＿器’试证明点Q恒在—
定直线上
γ
4
M
］85
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之路.解祈几何［
·解析0
’
〗
℃
∑
~~
∑
℃
∑
α
~~
已
β
’
任
~~
］
（
‖
贝
’
何
丁
~~
℃
—
α
’
意
题
由
●
●
明
证
）
］
（
司
勺
擞椭圆方程为暴＋工二＝｜
2c2
故A（0’√Zb）’Fl（ˉc’0）
’
所以直线AFl的斜率为√Z此时直线AFl的方程为y＝√页（卿＋c）.
跋卖｜÷步‖
3
消y得2则2＋3c卯＝0’解得腮1＝0（舍）或卯2＝ˉ丁c’
△
…（—÷』—祭）由对称隆条·c（÷幢』＿祭）
直线B0的方程为γ＝乌’线段AC的中点坐标为
〕
＼
‖
‖
〗
』
′
／
慨
斗
’
丸
—
斗
（
于’铲｜满…周0的方程…愿0乎分线段肌
（
AC的中点坐标
（2）证明:设M（绷l ’y］
）’Ⅳ（“2’γ2）’0（卯’γ）
｜
则2则｛＋3γ｝＝6c2’2卯;＋3y;＝6c2.
’
一
叭
入
~~
→
＾
〃
℃
—
″
’
→
Ⅳ
—
／
∧
~~
→
口
么
—
″
‖
贝
’
∧
~~
Ⅷ
—
叭
Ⅷ
—
叭
’
~~
Ⅷ
—
川
帅
—
川
~~
设
为
以
因
所
卯1-入卯2
卯1＋M2
y1—∧γ2
γl ＋入γ2
求得m≡
l-入
,卯＝
1＋入
’见＝
l—入
’γ＝
l＋入
,
则;ˉ入2厕;
y｝—入2y;
所以″l则＝
1-∧2
,Ⅶγ＝
1-∧2
’
2卯｝—2∧2卯;＋3γ｝ˉ3∧2yi
2卯｝＋3γ｝ˉ∧2（2卯;＋3y;）
所以2m期＋3∏y≡
≡
l-∧2
1—入2
由于″!’″’c为常数’所以点0恒在直线2″Ⅸ＋3″γˉ6c2＝0上.
＝6c2·
］86
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第O5讲罐点＼髓健｀定窥线闷题｜
~
说明:
勺
勺
（l）芳特珠化处理’今俄二l ’此时椭圆方程为÷＋÷二l ,设P（3,√r）’其它条件不变,可得
点0恒在直线2卯＋√5）—2＝0上.
勺
勺
（2）著ˉ艘化处理,对于椭圆莆慌＝］（α＞b＞0）,椭圆外的-点P（测,＂）（顺,＂为常
数）’过′的动直线′与糯圆交于两个不同点M″’在线戳哪上取点0』满足瓷二器』
则点0』厦在定直线碧＋器＝｜上
［例l9］
（l ）求右焦点坐标是（2’0）’且经过点（ˉ2’ˉ√百）的椭圆的标准方程;
（2）已知椭圆c的方程锋惰≡｜（…0）设斜率为帕疽线′｀交椭圆cM,‘
网点’AB的中点为M证明:当直线／平行移动时,动点M在—条过原点的定直线上;
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质’用作图方法找出下面给定椭圆的中心’
简要写出作图步骤’并在图中标出椭圆的中心.
｜·解析·
（」）设髓圆输赫准方橇为声｝←」（…0）.
所以侧』-臃十绷｀卵椭…橇为b盖了萨≡1
闽为点（—2,—徊）在｛脯圆上.所以b是了÷-］,解得鹏-4巍膘-＿2（舍）
’
］87
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何〗
］
~~
勺
匹
斗
＋
勺
工
日
为
程
方
准
标
的
圆
椭
即
目
~~
∑
α
得
此
由
’
）
∑
γ
’
〗
卯
（
日
’
）
］
γ
’
Ⅶ
』
冗
（
』
占
…
设
●
●
明
证
）
∑
（
直线／的方程为γ＝脑＋′川’
’
∩
√
~~
∏
′
＋
’
γ
］
）
＿
＿
·
』
〗
～
〗
γ
～
〗
○
／
＼
＋
＋
形
—
伏
脑
｜
有
‖
贝
消γ得（α2k2＋b2）绷2＋2α2∧m卯＋α2m2-α2b2＝0.
因为△＞0,所以m2＜62＋α2片2,
即ˉ√b2＋α2∧2＜m＜√b2＋α2A2.
Ⅶ
′
勺
台
』
〗
2α2肋0
则卯l＋卯2＝— b2＋α2∧2’γl＋y2＝
6
’
’
≈
∧
）
＝
α
＋
’
＝
β
膘扭』赡.膀霹膊）
α2∧m
（ˉ
所以AB的中点M
所以线段AB的中点M在过原点的直线b2绷＋α2A）＝0上.
（3）如图’作两条乎行直线分别交椭圆于A｀B和C、I）’并分别取AB｀CD的中点M｀／V’连
接直线M＼／;又作两条乎行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于Al ｀Bl和Cl ｀Dl ’并
分别取AlBl 、ClDl的中点Ml 、Ⅳl ’连接直线Ml／Vl ’那么直线MⅣ和直线Ml／Vl的交点（）
即为椭圆的中心
］88
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
第06讲设点消元
因知识纵横
动点尸在椭圆c;丢慌-」（感…0）上,则点尸-般育如下设法迸行消元
（｜〕设P（篮＂｀＂）测鳃≡｜,敝耐ˉ
（2）设P（αcos0’bsin0）（三角消元）
;
（3）设P（pcos0’psin0）（极坐标消元）
.
b2
—-丁（卯0＋α）（卿0-α）（消去γ0）
;
α＝
］89ˉ＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路· 解析几何l
C典型例题
［例1］已知椭圆C:卯2＋2γ2＝4.
（l ）求椭圆C的离心率;
（2）设（）为原点’若点A在椭圆C上’点B在直线y＝2上’且OA上（）B,试判断
直线AB与圆则2＋y2＝2的位置关系,并证明你的结论
.解析0
（｜）由题意椭圆c输标准方霍为f÷［
所以α2＝4’b2＝2’C2＝2’
所以α＝2’c＝√Z故椭圆C的离心率e＝二＝但
α
2
（2）直线AB与圆加2＋γ2＝2相切.
解法-:
设点A（厕0’γ0）（卯0≠0）’B（t’2）.
—〉
＿--〉
2γ0
因为OA上OB’所以OA.0B＝0’即颇0＋2γ0＝0,t＝-—
卯0
处理方案一:
t2
o当卯0＝′时’γ0＝ˉ百’代入椭圆C的方程’得′＝±√Z故直线AB的方程为
~～
％＝±√2。
圆心O到直线AB的距离〃＝√Z此时直线AB与圆则2＋γ2＝2相切.
@当“0≠t时’直线AB的方程为γˉ2＝y0—2
卯0ˉt（“ˉr）
’
即（y0ˉ2）卯ˉ（卯0-t）γ＋2则0ˉ′y0＝0.
｜2卯0-ty0
｜
≡
＾≡V
L
■
γ■
■丙
■
J
→一←
■
圆心O到直线AB的距离′≡
∑
）
‖
卯
（
＋
∑
）
】
○
γ
（
√
2γ;
4＋卯;
2卯0＋卯0
卯0
~~
α
故
●
驯
测
~~
‖
’
▲
~~
〗
○
γ
’
≈
＋
∑
◎
卯
又
＝√页
／卯;＋8则;＋l6
△
°
＋
蜗
—
咐
＋
勺
～
∩
≡
γ
√
＋
γ
～
∩
√
卯
′
′
′
川
γ
／
γ
∑
β
卯
勺
△
综上直线AB与圆则2＋γ2≡2相切.
］卯
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
l蹿06瞬设点淌滩｝
处理方案二:
圆心O到直线AB的距离
感ˉ幽‖″‘｜｀′磊丽僻』
2（卯;＋y;）
2（4ˉγ;）
≡≡
｜AB｜
＝
＝
／胎耐铲』川籍耐l（喻叫√叫—耐′…）
所以直线AB与圆卯2＋y2＝2相切.
处理方案三:
＝√Z
圆心O到直线AB的距离〃＝｜OA｜
. ｜OB｜＝
｜OA｜
. ｜OB｜
｜AB｜
√｜OA｜2＋｜OB｜2
4＋则;
＝卯;＋2y;＋师;
所以卞-｜0i｜Ⅱ＋｜0鹰｜2＝鳃;丽竿十4-4（鳃;十γ;）
4（聪;带γ;）
卯6
1
≡≡
7’
＝
所以Ⅲ＝√Z
所以直线AB与圆厕2＋y2＝2相切
解法二:
设点A（厕0’γ0）（卯0≠0）,B（r’2）
’
因为OA上OB’所以koA 。片（）B＝-1.
所以丽＝入（—2’t）’即A（—2∧’入′）’代入椭圆方程’得入2＝—些
′2＋2.
—〉
向量AB＝（t＋2入’2ˉ入t）
’
所以直线AB的单位法向量为
1
l
（人t—2,r＋2入）≡
（入t—2’〗＋2入）
’
~
″
√（入tˉ2）2＋（t＋2入）2
√（∧2＋1）
. （t2＋4）
所以圆心O到直线AB的距离
｜≡｜7w带｜卜咖斗叫
入（p2＋4）
｜
‖（∧t-2）＋2（『＋2∧）
√（入2＋1）
. （t2＋4）
~~
〃
●
→
Ⅱ
—
∩
皿
~~
／
《
∑
〗
／
＼
∑
勺
凸
＋
∑
′
′
／
γ
＿
＋4）
√入2（t2＋4）
＝√Z
~~
~
~
］
＋
’
≈
勺
～
＋
∑
》
′
／
γ
『
ˉ
干
丁
Ⅱ
√
所以直线AB与圆卯2＋γ2＝2相切
］9］—
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何］
解法三（参数法）
:
设｜0A｜＝rl
’ ｜OB｜＝r2’点A（′lcos0’′lsin0）’其中0为直线（M的倾斜角.
因为OA上0g’所以B（…（β圭÷）,′鳞i＂（0±;））
点刹在椭圆c上, ′慧B在直线y-2上’得…20＋2′;鼠m20二4,′:割＂（0圭子）二2,
4
≡≡
COS20.
4
4
2
所以′｝＝cos20＋2sin20,厂2＝
）
∏
—
勺
～
±
∩
″
（
SiII2
｜（）A｜
。
｜OB｜
厂l
·
厂2
点O到直线AB的距离创满足〃＝
~~
｜AB｜
√厂子ˉ石吾’
）
厂『
∩
′
▲
勺
≡
厂
●
所以Ⅲ2≡
’
勺
≡
∩
乙
厂
『
＋
司
≡
Ⅶ
』
厂
■
cos20＋2sin20十cos20
狮以卞-÷÷三鹰…哪n』″ ′…
＋—≡
4
4
l
吕＝
2
4
所以创＝√回’
所以直线AB与圆则2＋y2＝2相切.
总结:
已知椭圆c;÷噎～｜（酗＞‖＞0）
＞b＞0）’点A为椭圆上的动点’点B为直线γ＝凶上的动点’若
C
OA上OB’则直线AB与圆＂2＋y2＝b2相切.
已知髓圆c;;惰≡」（…＞0）孙…髓…动惫｀点…线′-乎上晌动慧,著
直线AB与圆卿2＋γ2＝b2相切’则OA上OB.
［例2｜已知椭阀c;丢惰-!（鹏＞』≥＂）胸离心率为卓』（健,0）.圆（0』b）,o（0｀0）｀△″佃的
面积为l.
（l ）求椭圆C的方程;
（2）设P为椭圆C上＿点’直线PA与y轴交于点M’直线PB与卿轴交于点Ⅳ.
求证:
｜A／V｜
.
｜B″｜为定值.
｛92
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］第O6讲没点消元｝
｜·解析0
何
—
∑
~~
℃
—
α
（1）由题设’可得｛α2＝b2＋c2（α＞b＞0）,解得α＝2’b＝］
｜昔侧b-1 ,
所以椭圆‘的方程是÷广-｜
（2）解法-:
］
~~
∑
○
γ
＋
’
叼
—
斗
‖
贝
’
）
○
γ
’
○
卯
（
尸
占
…
一
上
ˉ
圆
椭
设
明
证
-2γ0
＂｝坠2（鞭—2）,令鞭-0,得加-
（
i ）当兆0≠0时’直线PA:y＝
卯0—2.
2y0
所以｜B″｜
＝｜l-γM｜
＝
1＋
卯0-2
γ0-l
-卯0
直线PB:γ＝
卯＋1 ’令γ＝0’得勿Ⅳ二
卯0
γ0-1
卯0
所以｜AⅣ｜＝｜2-冗／V
｜＝2＋y0-l
2γ0
卯0
卯0＋2y0-2
卯0
所以｜AⅣ｜
·
｜BM｜＝2＋
l＋
＝
γ0-1
卯0-2
γ0＿l
则;＋4y;＋4卿0y0ˉ4卯0ˉ8γ0＋4
卯0y0-卯0-2y0＋2
将则;＋4γ;＝4代入上式,得｜A／γ｜
. ｜BM｜＝4’故｜A／γ｜
. ｜B″｜为定值.
（li）当卯0＝0时’γ0＝-1’ ｜BM｜＝2’ ｜A／V｜＝2’所以｜AⅣ｜
.
｜BM｜＝4
综上所述’ ｜A／V｜
。｜BM｜为定值.
解法二（参数法）
:
％0
｜
＋2y0-2
~
~
Ⅺ0—2
2cos0
可设′（2…,爵i＂‘）｀冉求得″（0,l邹〔:0）,』｀（芒
（2＿｜些:票0）（lˉl粤黑0）-
所以｜AⅣ｜
.
｜BM｜
＝
2（2＿2sin0—2cos0＋2sin0cos0）
‘
皿｜
‘腮『
｜
』m刚』
0／’ˉ＼1-
＼
∏,0｜
SiII
2（sin0＋cos0-l）2
~~
）
β
吕
◎
℃
］
（
●
）
β
】
】
』
■
】
且
吕
］
（
＝4.故｜A／V｜
.
｜BM｜为定值.
l-sin0-cos0＋sin0cos0
］93
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解祈几何l
解法三（截距式）
:
由已知得P为第三象限内一点’可设Ⅳ（α’0）（-2＜α＜0）’M（0’6）（-1＜b＜0）
’
得M｀′÷＋十＝k
卯
α—＋γ＝1’
可得P（2《‖门）’《鹊）
÷＋÷＝l
』
｜
由A（2’0）’B（0’1）’联立直线BⅣ与A″的方程
…在椭圆c上,得［2们）「＋4（《隅）2＝4,
化简得αb-α-2b＝2’
从而有｜AⅣ｜
.
｜BM｜＝｜2ˉα｜
.
｜lˉb｜＝｜2ˉ26ˉα＋αb｜
＝｜2＋2｜＝4
故｜AⅣ｜
。
｜BM｜为定值.
［例］l已知椭圆‘的啊个顶点分别为d（ˉ2』0）,圆（2』0）,焦点任鞭轴上』离心率为罕
（l ）求椭圆C的方程;
（2）点D为卯轴上—点’过D作卯轴的垂线交椭圆C于不同的两点″’Ⅳ’过D作
A″的垂线交BⅣ于点E.求证:
△BDE与△BD／＼／的面积之比为4 :5.
｜·解析0
勺
勺
（1）设椭圆C;尹溃-1（…＞0）.
｜二二旱钾,ˉ№
根据题意有
勺
所以椭圆C的方程为÷＋Ⅱ2＝l
（2）解法-;
证明:设D（t,0）（-2＜t＜2）
,
≠√「＝亨,
则直线M＼／:卯＝t’代入到椭圆方程可求得y＝
］94
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O6讲设点消元｜
／
今删｜
｀
苛√;吾报撼n皿咖,
可得…圆输斜率隐赃-ˉ2摇’所以′…＝2旧（鳃＿腆）
／
~／
t2＼
又圆为膨（2』0）,』｀（′’γ｜ˉ了）所以′偶″;Ⅱ-士／兰｛O『ˉ2）
γ＝—2√挡（鳃＿′）,
联立′“与′‘＂.
可得x腮＝4宁’γ腮＝＿÷／J—‘2,）W＝
J＝士／兰;（躯—2）,
日
—
斗
~~咖
网
以
所
S△BDE
｜γE｜
4
又因为S△BD／v
｜γ／v｜
5
,
＝二
二二
所以△BDE与△BDⅣ的面积之比为4:5.
解法二（面积分割）
:
如图所示’A（—2’0）’B（2’0）
’
设″（蕊＂,0）（ˉ2＜鳃＂＜2）,卿（输,＿测）,M鹏＂,′＂）.?灯;≡｜’
设AM的垂线／:γ＝k（则ˉ卯0）’由题设知:AM」ˉ直线／’
卯0＋2
（y0＞0）
γ0
-y0-0
即;片·
＝-l ,∧＝
则0-（-2）
｜γ0｜
厕;
s△″′″÷…″—′
＂″ˉ′
＝
＝
l＿可
y;
√1＋A2
y0
＝
≡≡
二≡
≡二
〃Bˉ′
｜片（2ˉ卯0）
｜
则0＋2
4—卯;
4ˉ则;
s…÷DEM!‘＿′
. （2ˉ卯0）
√l＋A2
γ0
≈
S△BDE
S△BDE
所以s△〃′′″
s△′″＂＋s△″厕″二÷｀阂此,△BD圆与△BDⅣ的面积之比为4;虱
三≡
l
吕＝
4·
］95
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路· 解析几何l
［例4］在平面直角坐标系鞭Oγ中’已知椭圆r;子十γ2-M为r的上顶点,′为′上异于
上｀下顶点的动点’M为卯正半轴上的动点.
（l）若P在第—象限’且｜OP｜＝√Z求P的坐标;
（2）设尸（:,÷）若以A,′〃为顶点的＝角形是直角＝角形.求删的横坐标;
—〉
——〉
—≥
（3）若｜MA｜＝｜MP｜’直线A0与厂交于另—点C’且A0＝2AC’P0＝4PM’求直线A0
的方程.
｜·解析0
（l）设P点坐标为（卿’γ）’由｜O／〕｜＝√Z’得躯2＋y2＝2’
所以联立厂:γ带′凰-｜与鳃』带广-2』可得腰｜巫匝）
｀
3
,3
（2）设M（″l’0）（Ⅲ＞0）
’
情形一直角顶点为M此时有
’
］
~~
〗
″
或
］
—
日
~~
〗
″
得
皋
角
’
○
~~〕
—
日
＋
加
β
—
日
〗
‖
″
~~
）
］
—
自
’
‖
″
β
—
日
（
）
］
’
加
（
~~
一
Ⅷ
●
一
叫
断以删（÷,0）或删（l’0）;
情形二直角顶点为P’此时有
）
‖
『
四
—
川
（
″
得
角
阜
’
○
~~
β
—
西
＋
“
—
乃
矾
＄
＿
日
~~）
〕
—
自
’
′Ⅶ
β
—
日
（
●
）
∑
—
日
’
月
—
日
（
~~
≥
〕
~
—
Ⅷ
●
→
剧
●
四
—
汕
~~
〗
″
或
］
~~
Ⅲ
’
∩
〕
—
尸
〕
~~
‖
汀
标
坐
横
勺
白
″
’
上
综
（3）
解法-
｀（0.｜）,设′（撼,,帅）则乎却;三｜,
因为｜M4｜＝｜MP｜’且″为卯正半轴上的动点’所以M是线段AP的中垂线与“轴的交点.
］％
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第06讲设巍j翻
线戳」……程为Ⅱˉ』0;｜二（ˉⅡ÷坠｜）（瓢＿粤｜』令y二0解得咖二;娜0,
厦′删（;霓＂｀0）
‖
γ
勺
〕
’
β
卯
气
〕
—
勺
～
／
′
·
□
』
‖
｀
＼
◎
以
所
’
〉
″
—
尸
↓
~~
一
〃
为
因
）
「
‖
卯
〕
＿
斗
／
）,代入椭…’得l
′
7
l-3γ0
）＝
勺
△
l-3γ0
3
ˉ可师0,
十（
／
』
｜
‖
＼
℃
以
所
’
→
“
】
~~
→
＾
〃
迁
～
＾
几
为
因
·
］~~
纠｜
2
8√百
1
解得厕0＝-丁’γ0＝
9
,
●
］~~
｀
Ⅱ
〗
〗
■
】
】
‖
′
′
］
—
〕
’
堕
〕
／
所以0｜
所以真线d0输方搜为Ⅱ二舟.｜
解法二（参数法）
:
设C（2cosα’sinα）
’
--〉
＿—≥
因为A0＝2AC’A（0’1）
’
所以Q（4cosα’2sinαˉ1）.
又设P（2cosβ’sinβ）’M（卿0,0）
’
因为｜M4｜＝｜』′P｜’所以则;＋l＝（2cosβ—卯0）2＋（sinβ）2’
篷理得;腮＂二÷臆＂爵凰
闽为而-（4…ˉ2酗鼠β,2鼠mα—瓢＂βˉl）’丽＝（ˉ;c.sβ,＿曾i＂β）,而二4丽,
所以4cosα-2cosβ≡-5cosβ’
且2sinα-sinβ-l＝＝4sinβ’
所以陋∩鼠β＝—…,且鼠mα＝÷（lˉ2铡＂α）,
4
3
］w
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之路.解析几何1
以上两式乎方相加’整理得
3（鼠mα）:剖…—2二0,所以鼠i＂α-÷｀或爵h｜α＝ˉ1（舍去）,
此时』…c输斜率陶c＝｜盂:好韦（负值舍去）
’
闺姚所求直缴M0输方程为γ-得刊
［例5］设o为坐标原点｀动点删在椭圆c;等＋γ2＝l上｀过删做卿轴的垂线』垂足为″』
垄
点P满足而＝√Z7v丽.
（1）求点P的轨迹方程;
—-〉
ˉ—-》
（2）设点0在直线卯＝ˉ3上’且OP.PQ＝l.证明:过点P且垂直于O0的直线／
过C的左焦点F.
C解祈D
’
｜
上
徊
’
◎
／
′
‖
‖
‖
‖
｀
＼
~~
一
″
志
~~
一
Ⅷ
又
’
）
γ
’
·
（
~~
一
Ⅵ
’
）
·
’
卯
（
Ⅳ
知
易
’
）
γ
’
卯
（
〕
′
设
）
］
（
∑
~~
∑
γ
影
＋
∑
卯
即
］
~~
∑
｜
上
徊
（
＋
形
—
∑
以
所
上
司
囚
椭
在
″
又
）
』
耐
卯
（
″
以
所
故点P的轨迹方程为卯2＋y2＝2
（2）解法-;
证明:由题知F（ˉ1’0）’设Q（-3’r）’P（m’n）’则m2＋Ⅲ2＝2’
一
＿一广
---〉—〉
OP＝（m’′l）’P0（—3ˉ′′l’tˉ″）’由Op.p0＝l ’得-3′Ⅶ-m2＋m-′』2＝l’
由″l2＋′l2＝2’故3＋3m-t′!＝0.
要证过点P且垂直于OQ的直线／过C的左焦点F’故只需证明PF上OQ即可ˉ.
—》
---〉
---尹
--〉
O0＝（ˉ3’t）’PF＝（-lˉm’ˉn）’OQ.PF＝3＋3″!ˉm＝0’
-→—≥
所以O0上PF.
又过点P存在唯一直线垂直于O0’所以过点P且ˉ垂直于O0的直线′过C的左焦
点F
］98
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1第06讲设蕊消秃｝
解法二（参数法）
:
设P（√回bos0’√ZSin0）’0（ˉ3’′n）’
—〉
＿-〉
由OP.P0＝l可得（√2cos0’√2sin0）
. （ˉ3ˉ√2cos0’′n-√2sjn0）＝l
’
所以√2′′lsin0-3√2cos0＝3.
左焦点F（ˉl ’0）’故只需证明PFˉLOQ’即证（ˉlˉ√∏bos0’ˉ√回自jn0）
. （ˉ3’′′0）＝0’
故有3＋3√页bos0ˉ√Z加sin0＝0成立.
所以过点P且垂直丁ˉ（）Q的直线／过C的左焦点F
｜侧6｜如图已知脯厨‘;韶←｜（…＞0〕的离心率为罕｀以愉圃‘的左顶点′为厕心
作圆T:（则＋2）2＋γ2＝r2（′＞（））’设圆T与椭圆C交于点MⅣ
（1）求椭圆C的方程;
—-〉
---〉
（2）求?″. ?7＼／的最小值’并求此时圆T的方程;
（3）设点P是椭圆C上异于M’Ⅳ的任意—点’且直线MP’／＼／P分别与卯轴交于点R’
S’
O为坐标原点’求证:
｜OR｜
.
｜OS｜为定值.
）〉
P
-＼
′
＼I》《乏Ⅱ一≥1
｜·解析D
（1）圆T的圆心T（-2’0）’即α＝2,
√7
C
由e＝—百’α＝2’得b＝l
’
二＝
α
］
~~
∑
γ
√
＋
∑
卯
—
川
→
为
程
、
万
的
℃
圆
椭
以
所
］w
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何【
（2）由圆与椭圆关于匆轴对称可得:M／V关于“轴对称
2
卯0
设M（厕0’y0）,则″（腑0’ˉy0）’且丁＋γ;＝｜
’
--—十
—〉
由T（—2’0）可得:TY｜′＝（则0＋2’γ0）’T／＼／＝（绷0＋2’-y0）
’
司
≡
＼
｀
·
〗
〗
‖
′
′
日
—
日
＋
○
卯
（
日
—
斗
~~
］
＋
（
）
卯
〃
斗
＋
∑
○
卯
日
—
斗
~~
］
】
％
—
△
·
＋
∑
）
’
≈
＋
〔
）
卯
（
~~
∑
○
γ
∑
）
’
～
＋
‖
卯
（
~~
→
Ⅷ
●
一
Ⅷ
以
所
l
—
〕
因为″在椭圆上（非长轴顶点）
’
所以-2＜期0＜2’
当躯!〕＝÷时｀（赫丽）恤＝
;
’
1
将箍0＝ˉ:代入椭圆c可得》｜＝÷’卵删（ˉ÷,÷）,代入到圆的方程可得′:二呈
所以当丽耐的最小值为ˉ＋时.圆『的方程为（叶2）2＋y:＝景
（3）证明:设P（则l ’γl ）’由M（则0’γ0）’得
卯0yl —卯ly0
yl-γ0（“ˉ则l ）’今y＝0’解得:厕R＝
MP:γ—y｜
＝
」
卯l-卯0
γ］-y0
卯0γl＋卯ly0
同理可解得M〕与购轴的交点S的横坐标卯S＝
yl ＋γ0
勺
△
∩
‖
γ
彭
勺
凸
〗
Ⅱ
卯
7
勺
～
会
师0γl
碰
卯0yl-卯lγ0
卯0γ］＋卯lγ0
●
yl —γ0
yl＋y0
所以｜OR｜
·
｜OS｜＝｜卯R｜｜卯S｜＝｜卯R卯S｜＝
勺
～
∩
…
）
勺
叁
习
』
γ
因为P（腮l ’γl）’″（则0’γ0）均在椭圆上’
2
守＋｝;二］,
”;＝4＿4γ6,
∩
［『……可.
所以《
即
2
÷ˉ卜γ｝二1.
勺
≡
↑
』
γ
勺
≡
∩
皿
卯
）
～
＾
‖
γ
’
＝
‖
卯
（4ˉ4y;）γ｝ˉ（4ˉ4γ｝）y;
4γ｝ˉ4γ;
＝4
2
2
目＝
＝
2
2
yl-y0
△
y｜-y0
｜OR｜
。
｜（）S｜
≡
2
γ1
2
-y0
所以｜（）R｜
·
｜OS｜＝4’即为定值
2卯
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「第06讲设点消元｝
［例7］已知椭圆‘;÷广;—｜（』…0）上的点剑它的阀个焦点的雕离之和为4,以椭厕‘
的短轴为直径的圆O经过这两个焦点’点A’ B分别是椭圆的左、右顶点.
（l）求圆O和椭圆C的方程;
（2）已知P’ Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P, 0位于γ轴两侧）
,
ˉ
与卯轴平行,直线AP, BP分别与γ轴交于点M’Ⅳ.求证:
乙″0Ⅳ为定值
且直线P0
｜·解析0
2α＝4,
旧ˉ抒…←.
（1）依题意得
所以圆o输方程为鹏2十广二2』椭圆c输方程为子÷｜
（2）解法—:
■
证明:如图所示,
!γ
乎粤-｜｀
Ⅱ;≡4ˉ2流,
｜…膜｛｛帜、
设P（卯0’γ0）（y0≠（））’0（绷Q’γ0）’则
＂谷2（叶2）,令鞭-0’得删0,
（
』;乎2）
又由AP:y＝
＂‖坠2（甄＿2）,令膊二0,得N0』ˉ
（
Ⅱ芒2）
由BP:y＝
（ˉ獭″,羔＿施）ˉ（＿鳃,｀—热）
—-—〉
所以Q″＝
（ˉ撼0,ˉ瓣;粤2＿狮）—｜ˉ鹏,,＿鹊）
—〉
0Ⅳ＝
2O］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「满分之路.解析几何l
蹦ⅧU阳计热～型ˉ汛刽Ⅲ裂）耐≡!
所以0M上0Ⅳ’即乙M0Ⅳ＝90。.故△MQⅣ为定值.
解法二:
如图所示,
γ
Ⅳ
设P（卿0’γ0）’Ap:γ＝内（卯＋2）（k≠0）.
子哆-｜
［………）……
由
2-4片2
所以—2獭0-揣,即瓣0-酚1刊』
所以川］≡酗笑」,卵P（锚,2盖」）
4A
蹄…圆P的斜率为21霹」
｜
弓＝
2k,
-2
2R2＋l
所以直线BP;γ≡赤（卿—2）冷蜒二0,得』｀（0｀＋）,
由γ＝A（绷＋2）’今卯＝0得:M（0’2∧）.
1
设Q（绷,,γ0）则Q删＝（ˉ腿p,2隐—y0）,丽-（—獭0｀∏ˉ》＂
-—-〉
）
）＝腮b＋y;＋2—M2＋l
∧
′
l
了ˉγ0
）
○
γ
凹
∧
∑
（
＋
∑
○
｀
％
~~
→
Ⅳ
＿
＾
〃
迁
●
→
″
＿
＾
″
定
以
所
（
γ0.
闽为绷洲-2,y0-2k笑］｀所以耐丽-0
所以0M上0Ⅳ’即乙MQⅣ＝90°.
故乙″0／＼／为定值.
2O2
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第O6讲设点消无｝
［例8｜已卿椭圆C;声《;-｜（鹏＞b≥0）的离…÷,其左石顶点分别为A｜,』』｀B为螺
轴的端点’ △AlBA2的面积为2扛
（l）求椭圆C的方程;
（2）F2为椭圆C的右焦点’若点P是椭圆C上异于A］
’ A2的任意＿点’直线
AlP’ A2P与直线卿＝4分别交于M’Ⅳ两点,证明:以MV为直径的圆与直线PF2
相切于点F2
｜·解祈0
（1）由己知′＝÷＝＋,s△削』酗』-侧b＝2杠硼2二b2＋c:,解得侧＝2,b＝√’,
故所求椭圆方程为铲十÷二1
（…;陶（｜）轰叫」（＿2.0）,心（2,0）｀′1（｜｀0）,设′（燕＂｀y＂）（鳃＂≠童2）.则乎等-｜
6y0
Ⅱ器2（叶2）.令鞭＝4,得Ⅷ-
于是直线A1P的方程为γ＝
卯0＋2。
所以卿（剿,器）…（剿,羔）
所以丽≡（3＼露罢2）,丽三（』,羔2）
6）／（）
2y0
蹄以耐耐～（3｀器）（］｀蹦;粤2）-9÷ 卯0＋2
九0-2
∩
l2y6
＝9＋
＝9＋
斗
勺
叁
∩
‖
卯
3（l2ˉ3厕;）＝0’
卿;—4
所以F2Mˉ上F2Ⅳ’点F2在以MV为直径的圆上
渡卿……＂』‘卜,缴№舅1J｜））
＼
｜3,4γ＂（测＂—l）
卿;ˉ4
＼
｜
’
）
）
（
γ
’
］
◎
卯
（
~~
→
′
—
尸
’
~~→
Ⅱ
＿
陀
又
2O3
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解祈几何1
（则0ˉl ’γ0）＝3（购0ˉ1）＋4y;（“0ˉ1）
卯;ˉ4
所以丽可‘-（3,锄＂』〈1J!）
＝3（厕0ˉl）＋（12ˉ3加;）（卿0ˉl）
″;ˉ4
）
＝3（师0-l）ˉ3（则0—1）＝0,
所以F2EˉLF2P.
因为F2E是以MⅣ为直径的圆的半径’E为圆心’F2E上F2P’
所以以M＼／为直径的圆与直线PF2相切于点F2.
（例,］已知椭圆c;声卡≡!（“＞h＞0）的—个焦点为′（阀p）,点A（—2’0）在椭圆c上
（1）求椭圆C的方程与离心率;
（2）设椭圆C上不与A点重合的两点I）’ E关于原点（）对称’直线AD’ AE分别交）
轴于MⅣ两点.求证:以MV为直径的圆被师轴截得的弦长是定值.
｜·解析0
（1）依题意’c＝√g:
点A（-2’0）在椭圆C上’所以α＝2
所以b2＝α2-C2＝1.
所以椭圆c的方程为÷／-!
离心率e＝二＝但
α
2
（2）证明:因为D’E两点关于原点对称’
所以可设D（″』’几）’E（—m’-厕）（′n≠±2）
’
］
~~
∑
∏
＋
而
—
斗
以
所
直线AD;γ＝羔页（躯＋2）
当腮＝0时’γ＝惫,所以
）
助
＿
沁
’
○
（
″
2叫
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
设点消元｝
」第O6讲
直线AE;γ＝ˉ惹2（腮＋2）
当＂二0时,γ＝—尝2’所以』｀（0,ˉ羔）
设以M／V为直径的圆与厕轴交于点G（卯0’0）和H（-卯0’0）（卿0＞0）
’
所以丽＝（—测0,″芒2）.丽＝（ˉx0,—羔2）’
所以丽耐≡鞭;十岩崇
因为点G在以MV为直径的圆上’
所以耐丽-0,:『瓣;十羔二α
’
∑
矾
斗
~~
∑
川
剿
牛
即
’
］
~~
∑
〗
′
＋
勺
叮
＿
▲
ˉ
为
因
所以慰;ˉ器三舞-」｀所以腮＂三』
所以G（1’0）’H（-l ’0）.所以｜GH｜＝2.
所以以Mγ为直径的圆被卯轴截得的弦长是定值2.
［例」0M‖图〕已知双曲线C;÷＿′:三｜（侧＞0）的石焦点为′』
点A’B分别在C的两条渐近
线上’ AF上卯轴’∧B上OB’BF／／／OA（O为坐标原点）
.
（l ）求双曲线C的方程;
卯0卯
（2）过C上—点P（卯0’γ0）（y0≠0）的直线／:丁ˉγ0y＝l与直线AF相交于点M’
α
与直线瓣二÷相交于点＂证明;点P在C上移动时,船恒为定值并求此定值
2O6
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路·解析几何］
·解析0
（l）设F（c’0）’因为b＝1’
所以c＝√α2＋1
l
直线OB的方程为γ＝——“’
α
直线B′的方程为γ＝÷（氮ˉ慨）’解得B（÷’ˉ九）
÷—（ˉ力
又直线0A的方程为y二寺,卿M（瞳,÷）,胸＂三
′
cˉ页
）
∩
〕
—
α
~~
又因为AB上OB｀
2
＝ˉl ,解得α2＝3,故双曲线C的方程为÷ˉγ2＝1
~
ˉ÷）
●
勺
〕
—
α
以
所
（
卯0％-3
卯0％
（2）由（1）知α＝√可’则直线／的方程为丁ˉy0γ＝l（y0≠0）’即γ＝
3γ0
′
2卯0-3｀
圆为直线A′的方程为您＝2,所以直线′与M的交点为删｜2,
3γ0
）;
／
3
｜
直线′与直线x二;的交点为＂3了露0ˉ3
｜』.
］Ⅷ
（2则0ˉ3）2
（3γ0）2
（2绷0-3）2
4
（2绷0-3）2
则｜MF｜2
｜ⅣF｜2
＝
≡—°
＝＝
3
3y;＋3（则0ˉ2）2.
＋」;鳃＂ˉ3）2芋÷（翔ˉ2）』
（3γ0）2
司
阑为P（鳃＂,yo）是C上＿点则乎—Ⅱ;二］｀代＾上式,得
｜MF｜2
4
（2卯0ˉ3）2
4
（2卿0—3）2
4
二＝—●
三≡—●
≡≡
｜ⅣF｜2
3
卯;ˉ3＋3（卯0-2）2
3
4卯;ˉl2则0＋9
3
’
皿
〕
~~
｜MF｜
所求定值为
｜／VF｜
2仍
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
第07讲点差法与定比点差法
回知识纵横
~
~
l.点差法的步骤
（｜）若点」（蕊｜.汕）,B（翅、拖）在腐心＿次曲锋±潦≡］上, 且弦AB的中点为″（卯0’γ0）.
第一步:设点A（则1 ’γl）’B（卿2’γ2）
;
第二步:代点作差,
弹≡』
4’B代人曲线’有√
辩≡』
两式作差,得（卿1＋卿2）（则l-卯2）
（γl＋y2）（ylˉγ2）
±
α2
b2
≡0;
得上
α2
］
＋＿
-b2
γl＋γ2
yl-γ2
第三步:左右两边同除以（卯l＋则2）（卯l-卯2）
’
＝0.
％l＋卯2
％l-卯2
变形得庶′）Mk姻＝±乓＝嚼2—l
』
α＝
其中e为有心二次曲线的离心率（圆的离心率e≡0）
.
（2）抛物线y2＝2p卿,任意弦AB的中点为″（卿0’y0）’则∧AB .γ0＝p
2.
（1）点差法基本题型
@求以定点为中点的弦所在直线的方程;
@过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题;
@求与中点弦有关的圆锥曲线的方程;
@圆锥曲线上两点关于某直线对称问题.
（2）与中点有关的几何特征:对称、垂直平分、等腰三角形、菱形、平行四边形等
加7
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‘满分之路.解析几何【
3.注意点差法在双曲线中的适用条件
已知双＂线÷＿苦;-」（腮＞0｀胸＞0）,任意弦』B的中点川鞭0』师）
蔷当……』瞒足0≡誓ˉ警≡｜测这样的双陶线的中点弦不存在（驯圈阴影
部分）
;
蔷蓟中点删（鸳,.Ⅷ瞒足舞≥｜罐ˉ普≤0侧这臃的叹陶线的中点弦存任
4.定比分点
—-〉
—--≥
若』″＝入MB’则称点″为点A’B的∧定比分点.
当∧＞0时’点″在线段AB上’称为内分点;
当∧＜0（∧≠ˉl）时,点M在线段AB的延长线上’称为外分点
5.定比分点坐标公式
若点』（躯｜,’｜）.β（躯p.γ2）』侧-入删B则点删的坐标为″（瓣｜l÷竿.y｜｜守:
—≥
～〉
）
6.定比点差法基本步骤
,
7
若点A（鳃! .y! ）.‘（躯2｀y2）在有心二次曲线备±莆二l上且直线A‘恒过点删（鳃捌,
≡≡
,且｜湍｜
｜湍｜「
γM）
,
／γ（卿／V’）W）
′
几l＋入卯2
卯″＝
1＋入
,
—-＿〉
-＿-≥
龋—步;设铡…测由…鳞标公式叫｀汕亡芋』
2O8
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「第o7瞬点菱法缀定比点赣法｝
二÷｜◎
第二步:当入≠±l时’将A（卯｜’yl ）’B（卯2’γ2）代人曲线’有.
厕马
γ;
亩±萨＝l
@’
圃×人:腮竿童譬
彰▲
α
≡∧2
◎;
第三步:@@两式作差得（则l＋∧厕2）（厕lˉM2）
（yl＋入y2）（yl-∧y2）
±
2
b2
α
≡1-∧2。
刀l＋入卯2
卯l-∧卯2
y1＋入γ2
yl—入y2
l
＋＿
·
-62
这样就得到了÷
α
］
~~
1＋入
l—∧
1＋∧
l-∧
卯l-∧卯2
卯Ⅳ＝
≤
）W＝
l＋人
——）
---〉
第四步:设AⅣ＝-∧／VB’则由定比分点坐标公式可得
yl-入y2
1＋人
,
］
~~
Ⅳ
γ
彭
″
γ
］
—
脐
＋
一
Ⅳ
卯
″
卯
］
—
碳
有
以
「
卧
7.定比点差法的应用
（l）简化证明圆锥曲线过定点的直线问题的运算;
（2）调和点列问题;
（3）极点极限性质相关的问题
2的
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之蹈·解祈几何1
C典型例题
［例］］己知椭厕c;声债三」（侧＞』＞0）的离心率为罕,点（2,但）在c上
（l ）求椭圆C的方程;
（2）直线／不过原点O且不平行于坐标轴’ ／与C有两个交点A’B’线段AB的中点
为M求证:直线OM的斜率与直线／的斜率的乘积为定值
…酉
斗
~~
〗
β
’
吕
~~
∑
α
得
车
愉
’
］
~~
∑
—
脐
＋
斗
—
债
’
但
＿
∑
~~
脐
＿
α
∑
α
′
瑶
可
意
题
由
）
］
（
所以糯圆c的方灌为÷哆-｜
（2）证明:解法—（点差法）
:
设A（则l ’γl）’B（狐2’γ2）’中点″（卯0’y0）
’
誓筹≡｜｀
A’B代入椭圆’有｀.÷宁≡｜.
两式作差’得（卯l＋卯2）（卯1-则2）
（yl＋y2）（γl—y2）
＋
8
4
≡0.
yl＋γ2
左右溺边阎除以（…2）（腮｜—翅）’得＋＋÷
yl＿y2＝0.
●
卯l-卯2
卯l＋卯7
～
］
—
∑
~~
日
∧
习
∧
●
′
』
○
万
内
得
形
变
所以直线（）M的斜率与直线′的斜率的乘积为定值.
解法二（直曲联立）
:
设A（师l ’yl）’B（缅2’y2）’中点M（卿0’y0）’直线／:y＝脑＋6（八≠0’b≠0）.
7
7
○
~~
β
∑
∏
◎
’
会
＋
卯
肋
△
口
＋
∑
卯
）
＋
】
片
∑
（
得
γ
消
匹
斗
＋
旷
—
∩
芯
｜
有
程
方
圆
椭
与
线
直
立
联
2］O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O7讲点差法墙定比点攀法｝
—4肋
2b
则卵l＋卯2＝2A2＋1 ’γ1＋y2＝2k2＋l
’
-2肋
卯0＝2／t2＋l ,
b
』『卿（揣｀2膊刊
故≤
6
γ0＝
＾
2k2＋l
’
）
于是直线…斜率滁,腮-鳃-—大,鼠毗,旷＂-—l
2
所以直线O″的斜率与直线′的斜率的乘积为定值.
［例2｜己知』,B.c是椭圆＂;÷广-］上的≡个点’ 0是坐标原点
（l ）当点B是W的右顶点’且四边形OABC为菱形时’求此菱形的面积;
（2）当点B不是W的顶点时’判断四边形OABC是否可能为菱形’并说明理由.
（｜）椭圆＂;争广二｜输右顶鼠周的坐标为（2｀0）
因为四边形OABC为菱形’所以AC与OB相互垂直平分
所以可设」（｜’′″）,代入.椭圆方穆得＋令砸2-｜,卵咖-堂夸
所以菱形o」月c的面积是＋｜0月卜MC｜二÷2α｜咖｜二杠
（2）四边形OABC不可能为菱形.
理由女口下:
解法—（点差法）
:
假设四边形OABC为菱形.点B不是Ⅳ的顶点’所以直线AC和OB的斜率均存在’在菱
形OABC中’AC和OB的中点设为″（“0’γ0）
’
设A（则l ’γ2）’C（绷2’γ2）
’
’
’
］
］
~
~
~
~
’
宁
』
’
＝
’
←
γ
√
γ
＋
＋
司
叮
—
↓
句
喧
—
斗
尸
巴
≤
有
’
圆
喻
湘
入
代
℃
’
‖
2］］
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之路。解析几何］
两式作差’得（卯l＋卿2）（则lˉ则2）＋（γl＋y2）（ylˉγ2）＝0.
4
yl＋γ2
γl-γ2
左右两边同除以（…2）（鞭｜—蛔）,得士＋…:
＂｜ˉ趣
G
＝0
变形得您＂卿咐驰＝—寸≠＿1’
所以AC与OB不垂直.
所以OABC不是菱形’与假设矛盾·
所以当点B不是Ⅳ的顶点时’四边形OABC不可能是菱形
解法二（直曲联立）
:
假设四边形OABC为菱形.
设A（卯l ’γl）’C（则2’γ2）
’
因为B点不是W的顶点,且直线AC不过原点’
所以ˉ可设直线AC的方程为y＝脉＋″!（片≠0’m≠0）
’
｛煞羔消封排…岭…卿……Ⅷ
由
8Rm
2m
则卯l＋卯2＝- l＋4k2’γl＋γ2＝l＋4k2’
所以“中点为＂（—!搬,］簧膘）
圆为删为AC和0B的交点’所以直线（］B的斜率为—六
—点）≠—1,所以」c与0B不壁直
（
因为附·
所以OABC不是菱形’与假设矛盾.
所以当点B不是Ⅳ的顶点时’四边形OABC不可能是菱形.
［例3］□知椭厨圆;融;-」（α…0）的离心率′二罕,连援椭圆的四个顶点得到…
的面积为4
（1）求椭圆E的万程;
（2）设直线I与椭圆相交于不同的两点A’B’已知点A（ˉα’0）’点0（0’γ0）在线段
〉
-ˉ-〉
4B的垂直平分线上’且0A .QB＝4’求y0的值
2］2
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「第O7讲点差法与定比点篷法｝
·解祈D
（｜）由′-÷-亭得］α1-煞′2由僻』-“2＿膀』得α-26
由题意可知÷2…＝4,:′侧b＝2
瞬毒罐鳃｛:匿』』得倒…～｜
所以椭哑的方霍为÷广-1
（2）解法-（点差法）
:
设A（厕l ’γl ）’B（绷2’y2）’线段AB的中点为″（绷3 ’γ3）
’
情形一当直线／与绷轴重合时’
A（ˉ2’0）’B（2’0）
’
—〉
—〉
于是0A＝（-2’ˉγ0）’0B＝（2’ˉy0）.
—〉—〉
由0A.QB＝（ˉ2’ˉy0）
. （2’ˉγ0）＝ˉ4＋γ;＝4,解得γ0＝±2√Z
情形二当直线′不过原点O且不乎行于卯轴时’
于是／t／＝γ2-yl ’k（）M＝迫’
几2-卯l
卯3
2
叉予筛-｜｀宁却;-｜,…减得
士（露』…）（x｜—窥）＋（,｜＋’圈）（y｜ˉ№）-0,
yl＋γ2
l
≡≡
卯］
＋卯2
4荆
v∩—v］
左右两边同除以（卯l＋“2）（则1ˉ“2）’得√△
√」
卯2-卯l
所以k』些ˉ—士,则k′＝——
l
卯3
％3
4
y3
γ3
l
卯3
／b／≡
4
y3
二二
卯3＋2
又≤
l
几3
y3-y0
内′ .γ3-y0
＝-l
’
＝＝
＝＝
●
●
卯3
4
y3
卯3
2］3
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之蹈·解析几何l
1
｜工三凸;—＋.
所以
2
因为M为线段AB的中点’所以绷2＝2腮3＋2’y2＝2y3—yl＝2γ3＝—丁.y0’
丽丽二（ˉ2,ˉγ0）（2舰』＋2.＿;γ0）＝＿2（2鞠＋2）＋÷γ;二4,解得』
所以÷》;-烫』（露』带2）二（备》;—2）（舌角＿2带2）解得Ⅱ0-堂2严
综上所述’y0＝±2√Z或γ0＝±2√I可
5
’
∑
】
◎
γ
日
—
皿
~~
〕
卯
得
牟
角
’
斗
~~
∑
○
γ
日
—
］
＋
）
’
～
＋
〕
卯
勺
△
（
〗
~~
解法二（直曲联立）
:
由（l）可知A（ˉ2’（））.
设点B（卯l ’yl ）’直线／的斜率为片’则直线／的方程为γ＝∧（财＋2）.
｜
…』｜斜….……｛
联立直线与椭圆方程
2—8k2
由ˉ2蕊｜-!卡霹,得鞭｜-｜十靴』.从雨｝｜下峨Ⅻ
4∧
8片2
2∧
）
设线段AB的中点为M则″（—
＼
1＋4片2’l＋4∧2
以下分两种情况:
@当∧＝0时’点B（2’0）’线段AB的垂直平分线为γ轴’
—-〉
一-一≥
于是0A＝（ˉ2’ˉy0）’0B＝（2’-γ0）.
〉
---〉
由QA.0B＝（ˉ2’ˉy0）
. （2’ˉy0）＝—4＋γ;＝4’解得γ0＝±2√2
圃誉脖0时.线段」…直平…橇为′ˉ｜盖2＝＋（叶」碧膘）
6片
令卯＝0’解得y0＝ˉ l＋4k2.
＝—-〉
—〉
由0A＝（一2’-γ0）’QB≡（卯l ’yl -γ0）
’
2］4
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O7讲点篷｝去与建比点篷法｜
侧“～ˉ鲤｜ˉ帅（川ˉ帅）～ˉ贺煮:）十］蜀:（］盖』｜］:膘）ˉ靴（l雪蹦ˉl）
--≥
＝--〉
＝4°
整理得7k2＝2’故附＝±型卫
7
所以狮-辈2但
综上所逮』y＂-堂2赋γo-童2挚
［例4］如图所示’在平面直角坐标系卯（″中’已知直线／:卿ˉyˉ2＝0’抛物线C:／＝纱（p＞0）
（l ）若直线／过抛物线C的焦点’求抛物线C的方程;
（2）已知抛物线C上存在关于直线／对称的相异两点P和0
@求证:线段P0的中点坐标为（2ˉp’-p）
;
@求p的取值范围.
（1）因为／:卯—γ-2＝0’所以／与“轴的交点坐标为（2’（））
’
即抛物线的焦点为（2,0）,所以:＝2,故γ2＝8恕
（2）O证明:设点P（加l ’yl）’0（卯2’y2）
’
″y;
＝卯l
’
｛:二兰糯~、…臃—｝｛鹊『
2p
则由
√～
—≡卯29
2p
2p
｀2p
又因为P’Q关于直线／对ˉ称’所以kPQ＝—l ’即yl ＋y2＝—2p’
2｛5
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之蹈.解析几何l
勺
凸
γ
√
＋
勺
△
］
γ
√
以
所
＝ˉp.又因为PQ中点一定在直线／上’
所以x｜萝2
γ宁＋2-2—′,赦线段′0的中点坐标为（2ˉ′,ˉp）
≡≡
～
@因为中点坐标为（2ˉp’—p）
’
｜｝｜
之卜
二雨骂｀
所以
｛…ˉ—驰,哇打………—咖』…个不条龚｛‘
所以
γlγ2＝4p2-4p,
阎此△＝（2′）:ˉ4（4′』ˉ4p）＞0解得′e（0,÷）
［例5］双恤线腮2—÷;二］（』＞0）的左.右焦点分别为′｜
’ ′2,直线′过′2目与双曲线交于
A’B两点.
（l ）若′的倾斜角为÷△′MB是等边三角形’求双曲线的渐近线方程;
（2）设b＝√可』若／的斜率存在』且（丽＋丽）硒＝0』求′的斜率.
窗·解祈0
（l）由已知Fl（ˉ√J丁∏’0）’F2（√〗可T’0）’不妨取鳃＝√Fˉ干丁’则y＝b2’
由题意｜FlF2
｜＝｀／gˉ｜F2A｜’又｜FlF2
｜＝2√〗丁∏’ ｜F2A｜＝b2’
所以2√J页丁T＝√gb2’即3b4ˉ4b2ˉ4＝（3b2＋2）（b2ˉ2）＝0’解得b＝√Z
因此双曲线的渐近线方程为γ＝±√页勿
（2）若‖-侗则蜒陶线为瓤』—÷-｜,所以′｜（—2.0）,顺』（2｀0）,
设A（狐l ,γl）’B（觅2’γ2）,则丽＝（厕l＋2’γ｜）’丽＝（则2＋2,γ2）
’
---〉
—→--—≥
所以AB＝（卯2ˉ绷l ’γ2-yl）’FlA＋FlB＝（厕l＋卿2＋4’γ1＋y2）.
2］6
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜第07瞬点灌法雪定比蕊攀法｝
又（丽＋丽）.萌＝狮3ˉ厕｛＋4（x2ˉ师l）＋y;ˉy｝＝0’（＊）
凰为愿;ˉ宁＿嗡—宁-｜所以Ⅱi＿Ⅱ;三’（瓣;—鞭;）.
代入（＊）式得4（绷i—卯↑）＋4（卯2—卯l）＝0.
因为直线′的斜率存在’故卯l≠勉2’所以则1＋则2＝ˉl
’
设直线／为y＝k（则-2）,代入3匆2ˉ′γ2＝3’
得（3-k2）卯2＋4八2卯ˉ（4八2＋3）＝0’
所以3-k2≠0’且△＝l6k4＋4（3ˉ∧2）（4k2＋3）＝36（八2＋l）＞0’
4k2
赃…≡
-ˉ｜』趟赡-÷’鼠肌二辈平所…′输斜率为圭孪
3-∧2
［例6］□知双曲线腮2＿等-｜,过g（｜,｜）能否作直线!,使!与双曲线交丁P』0两点』∏
△
B是线段P0的中点’这样的直线如果存在’求出它的方程;如果不存在’说明
理由.
｜·解析0
假设这样的直线存在’
设点P（卯l ’γl
）’0（卿2’γ2）
’
…卿…｜｛;｜其i二〕
蹄ˉ哆＿｜,
又.
两式相减得;（…』）（绷｜—甄:）—÷（γ｜＋γ2）（y!—γ2）＝0’
』iˉ粤＝｜.
～
＝
左右两边同除以（厕l＋卯2）（狐lˉ卯2）’得
l
yl＋γ2
y｜ˉy2＝0’即lˉ页.A〔）B .kP0＝lˉ丁.∧PQ＝0’解得kP（）＝2’
l
l
l——.
°
2
卯l＋卯2
卯l-卯2
又直线／过P’0’B三点’
所以／的方程为y-l＝2（则-l）’即y＝2刃ˉ1
2］7
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路. 解析几何｜
勺
｜l》Ⅲ乱〉偷…ˉ…………
联立直线与双曲线
无实数解’与假设矛盾,所以满足题设的直线不存在
勺
勺
卯鱼
V全
万＋j页≡
α
＝l（α＞b＞0）过点M（√Zl
）,且左焦点为Fl（ˉ√Z0）
［例7］设椭圆C:
（1）求椭圆（〕的方程;
（2）当过点P（4’
l ）的动直线／与椭圆C相交于两不同点A’B时,
『
〉
—》
——〉
＿-〉
取点Q’满足｜AP｜
.
｜QB｜＝｜A0｜
.
｜PB｜’证明:点0总在某定直线上.
在线段AB上
｜·解析D
／C2≡2’
（!）…;.尹☆二｜’解得侧2二4’b:-2所以椭圆…程为子苦＝｜
｀C2＝α2-b2,
（2）证明:解法-:
设点为0（卯’y）’A（卯l ’γl）’B（狐2’γ2）.
—-〉
—〉
哟…｜丽｜
』｜丽｜
’ ｜而｜
｀｜丽｜均不为零』记∧ˉ骨-删ˉ』』川＞0…｜,
—〉
ˉ—-〉
-—〉
-—-〉
又A’P’B’0四点共线’从而AP＝-∧PB’A0＝入0B’
卯l＋入卯2
′
卯l-入卯2
4＝
l-∧
’
于是簿
l＝γl-入y2
｀
l—入
,
书写形式一:
~
~
~
~
卯
γ
√
』
‖
｜
｜
｜
｜
（
◎
◎
了
勺
合
γ
√
∧
∧
＋
＋
＜
Ⅱ
］
γ
′
′
~
~
●
l＋∧
◎
◎
］
］
~
~
~
~
’
打
—
〗
司
范
—
∑
＋
＋
谢
—
斗
揖
～
—
斗
又点A’B在椭圆C上’即
＿2］8
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1繁O7讲点篷法与定比点豁法｝
oˉ@.∧2’得（卯l＋M2）（则lˉ入卯2）＋（yl＋∧γ2）（yl—入y2）
4
2
:′÷（蜒｜＋入翅）
（氮｜ˉM2）＋当（y｜＋儿γ2）
（y!—M2）
l＋∧
l-∧
2
1＋∧
1—人
≡l-∧2,
儿~~
将@,@代入得蜒＋昔＝l ,即2憋＋yˉ2＝0
综上所述’点Q（卯’γ）总在定直线2卯＋γˉ2＝0上
书写形式二:
”｛≡尝;≡靴Ⅱ蟹
@×@得《
二≡尝l～′酗
又点A’B在椭圆C上’
即卿｛＋2y｝＝4◎’则;＋2y;＝4◎’
所以o＋@×2并结合◎’@得4则＋2γ＝4.
即点0（则’γ）总在定直线2卯＋yˉ2＝0上.
解法二:
设点0（则’y）’A（狐l ’γ1）’B（卯2’y2）
’
——≥
-—-〉
-—-》
——〉
-—＋一
｜PA｜
｜PB｜
由题设’ ｜PA｜
’ ｜PB｜
’ ｜A0｜
’ ｜QB｜均不为零’且ˉ＝＝—→.
｜AQ｜
｜0B｜
—〉
——＞——〉
～〉
又P’A’0’B四点共线’可设PA＝-∧A0,PB＝∧B0（∧≠（）’ ±l）
’
4-入卯
于是
@
由于A（卯l ’γ｜）’B（绷2’γ2）在椭圆C上’
将@’@分别代入C的方程则2＋2γ2＝4’
整理得
（则2＋2γ2ˉ4）∧2ˉ4（2卿＋yˉ2）入＋14＝（）◎’
（卯2＋2y2ˉ4）∧2＋4（2卯＋yˉ2）入＋14＝0@’
2］9
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之路.解祈几厕■
@—o’得8（2则＋γˉ2）入＝0’
因为入≠0’所以2卿＋y—2＝0,
即点0（卿’y）总在定直线2卯＋yˉ2＝0上.
解法三:
设点0（则’y）’A（则l ’γl）’B（卿2’γ2）
’
依题意可设／:γ＝片（卿ˉ4）＋1
’
勺
勺
芳＋÷＝l,
｜赋…′…
联立直线／与椭圆
消去γ得（2片2＋1）卿2＋4∧（1—4k）厕＋（32k2ˉl6A-2）＝（）’
4片（l-4内）
卯l＋卯2≡-
2k2＋1
,
所以咐』
32k2-l6k-2
卯l
·卯2＝
2k2＋l
,
→
叫
一
皿
~~
→
″
—
→
″
日
γ
式
γ
→
日
＿
八
α
＿
＾
″
丫
~~
→
〃
一
″
‖
贝
’
→
四
四
→
∏
□
—
□
』
—
＾
〃
汇
~~
顽
一
邮
又
若黑当.整理得2…ˉ4（Ⅺ
所以-
＝
≈
≈
＋卯2）≡（卯l ＋卯2-8）卿’
所以2（32八2-l6内-2）＋4［4∧（lˉ4片）］＝［ˉ4∧（1ˉ4内）ˉ8（2k2＋l）］卯’
即4∧＋l＝（k＋2）卯（＊）
’
又胀＝吕代入（＊）得2躯＋γ—2二α
综上所述’点0（绷’y）总在定直线2卯＋γˉ2＝0上.
总结:
（］）过异于原点的点P（鞭0.γ0）;｜椭圆÷嘴二1（…＞0）的割线〃‘’」
＝l（α＞b＞0）的割线PAB’其中点A’B在椭
｜糕｜
｜羔｜,则点卿在直线亏7-
≡≡
α
卯0卯
γ0y
圆上’点″是割线PAB上异于P的一点’且满足
l上.
22O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛第O7讲
点差法墙定比点差法｜
证明（定比点差法直接证）
:
设A（卯1 ’γl）’B（卿2’y2）’M（“M’γM）
’
则
’
一
临
入
~~
→
″
＿
Ⅻ
扯
有
则
’
→
口
皿
＿
尸
入
~~
广
尸
—
恐
卯］＋∧勿2
′
卯l-入卯2
卯0＝
1＋入
’
卯M＝
］-∧
,
呜
呜
γl＋人γ2
γl-入γ2
y0＝
l＋人
’ ｀γM＝
1—入
又因为点A’B在椭圆上’所以有
霍÷｜
’两式作差得（卯l＋入绷2）（则lˉM2）
〈
α2
∩
∩
勺
∩
铲带入;i-入』
（yl＋入y2）（y1ˉ入γ2）
＋
b2
＝1-入2°
叮l＋∧％2
卯l-M2
γl＋∧γ2
γl-人y2
两边同除以lˉ入2,得l
α
～
l
＋b2
’
］~~
l＋人
1-∧
l＋入
1—∧
％0
·卯M
y0 .γM＝l
62
即可得到
＋
∩
α丝
命题得证.
′α2
｀
特例;当点P坐标为（丁』0）时,则点删在直线憋＝‘上
（2）过挣于臆…P（蕊＂,′＂）;｜｀哟线÷§;三」（磁≥0,b≥0）嫡割巍酗圆｀其湘…
在蜒陶线上’点删是割线′剁B上异于′的—点,且满足｜糕｜-｜第｜,则点M在直线
上
皿
沪
垫
债
（3）过并于原点的点P（卯0’y0）引抛物线y2＝2p则（p＞0）的割线PAB’其中点A’B在抛物
线上,点删是割线〃B上异于P的—点,且满足渊＝揣,则点删在直线γ0y＝
●
上
｀
巴
‖
′
′
卯
＋
○
％
（
尸
22］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何［
［例:｜己知双山线‘;苦ˉ子≡｜（侧＞0）的中心为原点″,益右焦瓢分别为′｜
〕′1,离心
率为竿』点′垦直线鞭三竿｝枉意＿点,点0往双血线阀上且瞒足丽丽
＝0.
（l ）求实数α的值;
（2）证明:直线P0与直线O0的斜率之积是定值;
（3）若点P的纵坐标为1’过点P作动直线／与双曲线右支交于不同的两点M’Ⅳ’在线
段哪上取异于点M卵的点′I′满足渊-栅,证明点H恒在—条定直线上
｜·解析］
（l）设双曲线E的半焦距为c’
｜三凸…
由题意可得
（2）证碉;陶（!）可舞,直线鳃二等-÷点′2（3,0）
’
）
‖
γ
’
○
卯
（
°
｀
｀
｜
‖
′
′
‖
’
日
—
〕
／
『
‖
‖
｀
＼
尸
点
设
阂为P′Ⅺp′2二0则（3ˉ÷,ˉ‘）（3—x,,ˉγ0）＝0,,｜’鞭0二÷（撼0ˉ3）
-——＋
--＝→
…0（瓣＂,№）在…′上所以乎—乎ˉ｜.鼠门;÷（端＿5）
γ0＿』
γ0
γ;—鞭0
÷（咐ˉ5）＿÷（躯0ˉ3）
÷咐—÷腿』）
所以腺′0讹″‘-
5丽＝咐ˉ÷狐＂
二＝
＝二
则0ˉ丁
Ⅸ;＿÷鳃0
＂;—÷蛔
▲
—
日~~
所以直线P0与直线o0的斜率之积是定值÷
（3）解法-（定比分点法）
:
设点月（躯’γ）,″（獭｜,γ｜）’M獭2,γ2）,′（÷’1）
222
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖第O7瞬点差法镭定比点差法｝
~
处理方案一（用MⅣ表示P’H）
:
---〉
.—-》
｛磊二梁
≡入,则
设｜｜器｜
｜器｜｜
≡≡~
5
卯1—∧％勺
″
卯l＋入卯勺
3＝
l—∧
’
卯＝
1＋入
由定比分点公式得煞
｀
1＝γl-∧y2
yl＋入γ2
1＿人
’
y＝
1＋入
∩
∩
″等ˉ￥-1, m
将M’Ⅳ代入双曲线方程得嘲｝
穿ˉ乎-!｀
圆
@ˉ@.入2得（匆l＋M2）（卯lˉM2）
（γl＋∧y2）（ylˉ入y2）
5
4
≡1-人2,
Ⅲl＋∧卯2
卯l-入卯2
γl＋入γ2
yl-入y2＝l
’
1＋∧
l-∧
两边同除以1ˉ入2整理得÷
1
-—●
4
1＋∧
l-∧
:′÷＂亏—了』二l ,整理得4腮—3γ—l2-0
5
l
所以’点H恒在一条定直线4厕ˉ3γˉ12＝0上·
处理方案二（用P’H表示″’／V）
:
-—＞
—〉
P″≡入／｜′H’
｛州＿Ⅷ
｜器｜≡入’凰｜,
吕≡
由｜｜器｜＝｜器｜｜’则设｜器｜
÷＋入“
÷—入＂
卯l＝
1＋∧
,
卯2＝
1-∧
对
｜｛—＋守》≡＋三￥
由定比分点公式得
223
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‘满分之路. 解析几伺l
｜i尝｜』
5
｜
（÷—M
（1ˉ入
5
（桔￥）2 ＝l
’
@
4
将M’Ⅳ代入双曲线方程得
◎
’
］
~~
】
）
些
‖
斗
（
oˉ@整理得人（4师ˉ3yˉ12）＝0’又∧≠0’即4厕ˉ3γˉ12＝0
所以’点H恒在一条定直线4卯ˉ3γˉ12＝0上.
解法二:
设点H（鳃’γ）〃（鳃｜,γ｜）,M撼:’γ2）’′（÷,l）
依题意,直线′的斜率k存在’设直线′:γ—1二胸（鳃ˉ;）,
＼
〗
□
】
‖
′
／
∧
日
—
〕
＜
〗
几
／
』
』
■
‖
‖
｀
｀
’
＋
］
γ
＿
＿
）
］
亡
抖
~
~
＿
缉
／
‖
＼
＋
＋
猪
—
日
肋
≤
巴
线
曲
又
又
与
线
ˉ
直
、
工
联
＝0,
消去γ得9（4-5k2）卯2＋30（5∧2ˉM）卿-25（5k2—6∧＋9）＝0.
因为直线／与双曲线E的右支交于不同两点M,／V’
凶＝900［（5片2ˉ3∧）2＋（4ˉ5A2）（5k2ˉ6∧＋9）］＞0’
30（5片2-3∧）
则1＋卯2＝9（5k2-4）
’
〈
25（5片2—6∧＋9）
“1 .卯2＝
9（5内2-4）
’
5
｜｜器｜,得露!＿丁“—獭｜｀整理得6鳃｜
三＝
二＝
5
卯2-卯
卯2ˉ丁
由｜｜器｜
.卯2ˉ（3“＋5）（厕l＋卯2）＋l0则＝0’
25（5八2-6片＋9）
ˉ…卜3!｝冀二1｝）十」0蜒-0.
即6°
9（5八2-4）
224
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
点蓑法与违比点臻法‖
「第o7瞬
整理得（3卯—5）乃—4“＋15＝0
又点″在直线′上,所以Ⅱˉ!＝k（鞭—÷）
消去k得4卯-3γ-l2＝0.
所以’点H恒在一条定直线4“＿3y-l2＝0上
［例9］已知′!（ˉ1 ’0）,岛（｜’0）为椭圆屑;÷÷二｜的左仆焦点, ′为椭圆上任诗
ˉ—-—＋
＿--〉
ˉ——〉
-——-〉
点’直线PFl ’PF2分别交椭圆E异于P的点A’B’设PF｜＝∧FlA’PF2＝队F2B’证
明:
入＋／儿为定值.
｜·解析］
设A（卿l ’yl）’B（绷2’y2）’P（卯0’γ0）
’
卯0＋∧卯］
-l＝
1＋入
≡一—〉
-——＋
因为PFl＝入FlA’由定比分点坐标公式可得√
0＝y0＋∧γ1
1＋∧
’
″乎粤-｜,
函
将A（厕｜’γl）’P（则0’y0）’代入椭圆方程有瑞｝
勺
勺
｀铲普-｜, o
趾
］
＋
咀
斗
得
∑
、
∧
×
◎
∩
＝入丝
o’
o—◎得（则0＋Ml ）（绷0ˉMl）
（y0＋入y｜）（y0—∧yl）
＋
4
3
两边阎除以lˉ儿2整鲤得÷腮＂十」x｜
“＂—入嚣｜
l
＋丁
1＋入
1-入
所以÷聪0—M!≡l ,即x＂—M｜＝4（入ˉl）
1-∧
义ˉ］-瓣｛寺｜,即腮＂十人撼!-ˉ（1十入）
≡l＿入2
y0＋入yl
y0-人y］
］
~~
l＋入
l-入
226
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何1
解得2则0＝3∧-5.
同理82卯0＝5-3严.
10
所以∧＋以＝丁
总结:
勺
勺
已知′］（—‘,0）.′2（‘,0）为椭圆则;簇＋萨-l（“＞b＞0）的左｀右两个焦点｀′为椭圃上
证
→
泅
—
刃
〃
儿
／
~~
＋
∩
乙
＿
叮
』
—
□
Ⅱ
今
八
血
＿
乃
入
~~
→
历
＿
尸
设
’
Ⅱ
∧
■
占
…
的
尸
于
巨
开
Ⅱ
圆
喻
郴
、
交
｜
另
分
∑
厂
尸
’
Ⅱ
Ⅱ
尸
尸
线
直
’
占
…
意
任
勺
勺
α～＋C＝′
α2-C2为定值.
明:∧＋／儿＝2·
证明:设A（卿l ’γl）’B（卯2’y2）’P（〃0’y0）
’
卯0＋∧卯l
—C≡
］＋∧
,
—〉
一
因为PFl＝∧F1A’由定比分点坐标公式可得（）＝y0＋∧γl
l＋∧
,
儿
.粤祭＝｜m,
2
α
将A（卯l ’y｜）’P（“0’y0）’代入椭圆方程有热
茎卡｜
暂,
2
圆×鹏得人萝带警≡人:圆.
（卿0＋∧卿l）（则0-Ml）
（y0＋∧γl ）（y0-∧γl）
＋
2
b2
α
＝1-∧2
oˉo得
y（）＋入yl
γ0-入yl
％0＋入卯l
卯（）-人卯l
●
］
—
脐
＋
两边同除以｜ˉ入2整理得÷.
α
］
~
l＋∧
1-∧
l＋入
l-∧
＝l’即卯0ˉ∧卯l＝丝（∧ˉl）
C
乃0-入卯l
℃
—
＾
旷
以
÷
‖
］
＾
″
l—入
＂嘶｜,即腮…｜-ˉc（!认）
又-C＝
226
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1第O7磷点攀法与罐比点赣法｝
勺
≡
℃
＋
℃
∩
垄
α
｀
∧
∩
圣
℃
≡
℃
∑
α
解得2则0＝
■
队
勺
≡
℃
＿
℃
勺
▲
α
勺
叁
℃
＋
℃
勺
＝
α
~~
‖
％
’
≈
■
●
理
同
∩
勺
α么＋C企
所以入＋队≡2.
’
＝
℃
）
＝
α
（例｜0｜已知椭阀c;声卡-］（α…0）经过点删（2,0）,离心率为÷
点,且直线0A,〃B的斜率之积为ˉ÷′ 0为坐标原点
（1）求椭圆C的方程;
4’B是椭圆C上两
求儡的值
（2）若射线（M上的点P满足｜P（）｜＝3｜（M｜,且PB与椭圆交于点0,
｜·解析0
’
■
」
—
巾
▲
’
∑
～
＿
~~
α
℃
—
α
厂
｜
得
意
题
由
）
］
（
解得b＝杠
b2＝α2-C2,
勺
勺
所以椭圆C的方程为÷＋÷二l
（2）设A（嘶l ’γ1）’B（则2’γ2）’0（则3’y3）.
因为点p在射线OA上’且满足｜p（）｜＝3｜AO｜’所以P（3卯l ’3γl）
＝--〉
＿-＋
因为B’0’P三点共线’所以BP≡入B0.
所以（3卯lˉ卯2’3γl-γ2）＝入（则3ˉ卯2’γ3-y2）
’
3
入ˉl
Ⅱ〔讽二‖剧〕们「弓:
227
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之蹈.解析几何］
~~
’
宠
—
〕
＋
’
呵
—
斗
以
所
上
（
圆
椭
在
◎
占
…
为
因
（
＿
＋
∑
＼
‖
｜
／
∑
卯
沮
—
入
斗
＋
］
〕
→
入
（
以
所
］
~~
’
沪
｀
｜
｜
／
〗
γ
］
＿
人
》
八
∩
≤
√
＋
］
γ
〕
—
入
β
）
’
归
—
〕
＋
’
咱
—
斗
｜
∑
）
刑
＿
∧
（
＋
）
’
灯
〕
＋
’
呵
—
斗
（
∑
）
〕
—
∧
（
即
入—］
勺
∧垄
（撼宁型宁
’
］
~~
）
因为A’B在椭圆C上’
］
~~
司
笼
—
〕
＋
、
哺
—
斗
］
~~
句
万
丁
＋
’
呵
—
斗
以
所
闽为直线OA.′）‘的斜率之积为ˉ÷
勺
←
卯
·
〃
斗
］
卯
日
『
’
］
—
斗
~~
№
—
咆
●
川
—
叫
~~
）
（
β
甘
向
■
○
』
〗
″
以
所
yl °γ2≡（）
＋
3
∑
）
川
＿
入
（
＋
’
—
形
以
所
＝1’解得∧＝5.
所以喘
＝｜∧｜＝5
［例n｜已知椭厕c÷÷川…0）的离…粤,石焦点为′,点A（0,!）在椭圆c上
（l ）求椭圆C的方程;
—＋
—--〉
（2）过点F的直线交椭圆C于″,Ⅳ两点’交直线厕＝2于点P’设P″＝入MF’
—〉
—〉
P／V＝以／VF’求证:
∧＋／L为定值.
｜·解析］
｛匡严
（1）圆为椭圆的离｜售率为穿则
又点肌0,｜）雇椭圈C上.敛☆-｜.卵暖-｜
｛匡写｜＝~
所以
228
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
l第O7讲点赣法与宝比点赣法｝
所以椭圆c的方程为÷广二｜
（2）证明:解法—（定比点差法）
:
由题意’设点″（躯l ’y1）’／V（卯2’y2）’P（2’y0）’F（1’0）
′
2＋∧
卯1≡1＋人,
-——〉
＿—-〉
由P″＝∧″F,则;
@
y0
yl＝l＋入,
＂』二锚
尸
-→
≡一〉
由′W＝／儿／γF,贝小
y0
γ2＝1＋〃
@
由于M（厕1 ’γl）’Ⅳ（卯2’y2）在椭圆C上’则
（2＋入）2
1＋入
∩
乙
＼
Ⅱ
巳
□
】
】
』
′
′
∧
九
＋
二
】
Ⅱ
／
』
』
‖
‖
‖
＼
＋
】
、
｀
〗
′
′
｀
闪
八
＋
勺
＝
（
＋y;＝（l＋∧）2’
’
］~~
~
2
2
整理得
（蹦）』
γ＂
2
（］十′」
＋
2
勺
～
）
严
＋
■
】
且
／
′
‖
｀
~~】
‖
γ
√
＋
】
）
〃
＋
勺
▲
∑
／
‖
＼
↑
］~~
两式相减得［4＋（∧＋仙）］（入ˉ队）＝2［2＋（入＋以）］（入ˉ以）’（入≠以）’所以入＋／儿
解法二（直曲联立）
:
＝0.
’
）
∑
γ
’
∑
卯
（
Ⅳ
’
）
］
γ
’
］
卯
（
″
占
…
设
由题意’知F（1 ’0）’直线Mγ的斜率存在
设直线Mγ的方程为γ＝k（卯ˉ1）’则P（2’∧）.
’
○
~~
）
∧
（
＋
γ
彭
■
］
）
＿
—
］
∑
γ
′
（
＋
＋
品
—
∑
″
片
｜
程
方
勺
白
圆
胸
湘
与
Ⅷ
线
直
立
联
229
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路、解析几何］
~
消去y得（2片2＋1）绷2-4片2卯＋2内2ˉ2＝0’
-4∧2
卯l＋卯2＝- 2∧2＋l
所以“
2内2-2
卯l 。卯2＝2k2＋1°
-→
——〉-—〉
—→
2-％l
2—卯7
由PM＝∧MF’PⅣ＝仙∧′F’得∧＝卯l-］,队≡卯2-l
’
2ˉ卯2
3（绷l＋卯2）-2″l .绷2-4
＋＿＝
则2-l
则l .则2-（卯1＋绷2）＋l
2-％l
所以∧＋／L＝卯l-l
（‘赔）
3
2k2＋l
2片2—2ˉ4
2k2＋1
—2°
~~
∑
∧
斗
勺
△
∑
肌
川
勺
△
＋l
~
2k2＋l
2A2＋l
l2k2ˉ4k2＋4—4（2片2＋l）
＝（）
~~
2k2-2-4∧2＋2R2＋l
23O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
第08讲非对称韦达定理
回知识纵横
l.椭圆第三定义
（」）在椭厕c;÷惰ˉ｜（腮…0）上关］源点对廊的两点删｀‘,P是椭圆C上幂于」, 6
b2
的—点’若kPA’ ∧PB存在,则片PA
. 八PB＝
丁＝e2-1
α＝
证明:
设P（则’y）’A（卯0’γ0）’B（ˉ卯0’-γ0）,则
’
’
◎
］
］
γ
—
＿
—
＿
＋
句
工
沪
角
—
脐
γ
得
＋
＋
理
形
—
＾
旷
咐
—
债
整
尸
≈
』
田
两式作差得（厕＋卯0）（卿—卯0）
（y＋y0）（y-y0）
α2
＋
b2
＝0,
b2
y＋γ0
γ-y0
γ-y0
γ＋y0
b2
F’即片PA
. ∧PB＝
＝
F＝e2ˉl
三≡
卯＋卯0
卯—卯0
卯—卯0
师＋卯0
（2）在椭圆c;瓷÷｜（…＞0）卜欠丁原点对臃的两点州｀‘,尸是椭圆‘卜恳于A, ‘
2
α
的—点,若／bPA, ∧PB存在,则∧PA
. kPB＝ˉb2
z
（」）在双仙线C;;—卡-｜（α≥』＞0）上关于原点对称的两点A,‘』P足双曲线‘上幂于
4, β的—点,着胀″, ＂″存在』叫″腮鹏÷健1—〔
（2）在双＂线‘;÷÷｜（感＞0＞0）上关于原点对廊的两点』｀‘,′′足双‖』线c上异于
』′ ‘的—点’若轴, ＂″存在』则蛔咐″-丢
23］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路· 解析几何［
◎典型例颗
［例l］
（l ）已知点A（ˉ√Z0）’B（√Z0）’直线PA’ PB相交于点P’且它们的斜率之积为
l
2
则点P的轨迹（〕的方程为
（2）设椭峰惜～｜（…≥0）的左右顶点分别为A〕g｀点P在椭圈上目幂了
｀』B两点, o为坐标膘点若直线剧与′B的斜率之积为ˉ＋’则椭圆的离心率
为
（3）已知椭峰惰-］（…＞0）的离心率·-＋,川.凰是椭圆的左右顾点,
P为椭圆上不同于A’
B的＿点’直线PA与PB的倾斜角分别为α’β’
则匹旦1旦
cOs（α
≡旦1＝
＋β）
（4）□知A｀‘晨椭阀舞;-｜（峨≥』＞0）长躺的两个端点,M＂是椭圆上关于Ⅱ
轴对称的两点’直线AMB∧′的斜率分别为八l ’k2’且∧l∧2≠0.若√页｜kl
｜＋2√可｜A2 ｜的
最小值为1 ’则椭圆的离心率为
（5）己知」, 〃趁椭厕声瓷｜长轴的州个端点,若椭圆上存旅0｀使△』0‘-
孕’则椭圆的离心率的取值范围为
j
（6）』‖图若′为椭圆子÷｜的占顶点直线〃, ′B交直线躯＝…｀辆
点’则｜EF｜的最小值为
／
飞
『
■
甲
‖
232
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］第OS瞬非
8瞬司
｝
对称辐达定嚷
·解析0
（｜）设P（鞭｀γ）测丽命太＿÷｀（卿～徊）’…』f带广二｜（敷＝辈徊）
62
（2）由题意知蛔讹″＝P二侵:ˉl＝ˉ÷,詹二手
（3）由题意知k酗吮″-…佃nβ＝—兽二.2ˉl＝—旦
α
4
,
解
所以cos（αˉβ）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1＋tanα.
cos（α＋β）
cosαcosβ-sinαsinβ
l-tanα.
］
—
γ
~~
亚
咽
…
巴
诅
（4）连接MB’由椭圆的第三定义可知:片A″.kB″＝e2ˉl＝ˉ丘
α29
而kB″＝-AB″’所以／bl片2＝丘
α2’
√页｜Al
｜＋2√回｜k2 ｜≥4√｜∧］
｜
. ｜k2 ｜≡业＝l’上＝1
α
α
4’
~~＿
所以e＝△L1旦
4
（5）今Q在＂轴上方,,｜直线以的倾斜角为α.｜0,÷｜’直线0B的倾斜角为
｜
∏
∏
—
勺
～
｜
巳
β
［;,∏｜’［a＂△』0〃＝mn（βˉα）＝l＋tanβ…~
tanβ-tanα
乙A0B巳
62
b2
＝丁’则tanβ≡-
由椭圆的第三定义:tanαtanβ＝ˉ
,
α叁
α2tanα
代入可得篇
b2
‖
（
-taIIα
-
α2tanα
＝—
l—丘
2
α
b2
＋taI］
α2tanα
α）
~
tanβ-tanα＝
l＋tanβtanα
脐
—
广
~
］
〗
』
／
／
■
〗
″
∑
α
】
□
巾
～
～
ˉ
）
＝
α
~~
哑
＿
α
脐
—
—
债
］
~~
-2
taIIα
√
α
Ⅲ
α
｛
勺
＝
α
≤
b2
l-
7
α≈
233ˉ
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何l
取等条件:tanα＝上’即0为上顶点
α
）
（
而!a＂α在｜:,而｜上单调递增,则0为上顶点时△AQB取得最大值,
所以此时△AQβ≥;丽』熬僧巨｜乎,｜）
l
（6）P（2’0）’A,B关于原点对称’由椭圆的第三定义:kPA .∧PB＝＿
2
不妨设直线〃;γ-隐（蜒ˉ2）测直线PB;γ＝—赤（氮—2）
’
仍
所以E（3,偷）,′（3,ˉ☆）, ｜〃｜＝胖☆≥2
＝亿
［例2］如图椭圆鳃u带÷二｜短输的左打网个端点分〗」为』,β,直线』;y-触十｜与』
轴、γ轴分别交于两点E’F’与椭圆交于两点C’D
-—-≥—步
（l ）若CE＝FD’求直线／的方程;
（2）设直线AI）’CB的斜率分别为kl ’∧2’若Rl :k2＝2
: l ’求k的值
｜·解析］
（l）设C（卯l ’γl）’D（卯2’y2）
’
勺
｜
』＝Ⅷ
联立直线′与椭圆方程
消y得（4＋片2）厕2＋2脑-3＝0’
ˉ234
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
〗第OS讲菲对称黍达定鳃｝
—2∧
卯l＋％7＝
～
片2＋4,
呜
勺
—〕
卯l卯2＝片2＋4’
迅
’
一
″
~~
→
陋
又
’
）
］
’
◎
（
、
Ⅱ
’
｀
｀
■
〗
‖
‖
′
′
∩
’
］
—
∧
′
』
『
』
‖
‖
｀
＼
Ⅱ
口
失
已
打
｀
］
γ
’
■
Ⅱ
卯
］
—
人
所以（
＼
’
＼
‖
／
‖
Ⅱ
∑
γ
’
∑
卯
（
~~
＼
‖
‖
『
『
／
所以ˉ÷—x』-趣,即…｜＝—了,
l
所以4蒜—＋,解得胀-童2,
≡≡
符合题意’
所以’直线／的方程为2“-γ＋l＝（）或2卯＋y-1＝（）
（2）解法-（椭圆第三定义）
:
设C（绷l ’y1）’D（则2’y2）
’
7
｜削」
联立直线／与椭圆方程
消y得（4＋k2）厕2＋2肋-3＝0,
＝0,
—2∧
／
8
卯l＋卯2≡k2＋4’ yl＋y2＝片2＋4’
则《
《
ˉ3
4（l-∧2）
卯l卯2＝A2＋4’
～γl °y2＝
∧2＋4
A（＿l ’0）’B（l ’0）
’
-4
由∧CA .内CB＝—4’则∧CB≡kcA~
证明:人CA .∧CB＝
二二
二≡
y｝
4（lˉ绷｝）
yl
γ1
＝-4
卿l＋1
＂lˉl
则↑ˉl
缅｝ˉl
糕＿驾～2｀哪…＿（—寸）盏｜』÷1-（÷）
片G4
yl
.y2
＝2（＊）,
Ⅺl 。绷2＋（卯l＋财2）＋l
4（l-∧2）
ˉ＋）
’
剧
＿
刷~~
（
将韦达定理代入（＊）得2＝
（＿3）＋（-2A）＋（k2＋4）
解得A＝3
235
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何【
一般性证明:
勺
勺
…为椭圆莆嘴-｜过中』…弦份为椭圆上一点（鼎于」,B）则账′″k″-
b2
2
α
小〕′
证明:设A（卯l ,γl）’P（则0’y0）’则B（-卿l ’ˉγl）
’
7
7
y6-γ丁
目＝
7
）g
卯6-叮
y0-γ1
γ0＋γl
kPA °∧PB＝
°
卯0-卯l
卯0＋卯l
■
门
″
ˉ
—
）
旷
~~
’
尸
∏
°
』
了
庇
＿
一
■
）
灯
—
沪
〃
＋
了
此
∏
｜
’
呵
—
矽
口
尸
’
门
″
ˉ
亏
旷
’
］
~~
’
邓
—
脐
一
＿
＋
〗
］
∑
】
γ
√
卯
’
叼
—
册
＿
—
为
勺
冗
’
叼
因
以
又
所
解法二:
设C（厕l ’yl）’D（卯2’γ2）
’
｜直乱｜弧）…嘶…』
联立直线′与椭圆方程
-2∧
庐
卯l＋卯2＝k2＋4’
则≤
∩
-O
卯l卯2≡k2＋4,
～
γ2
∧l
卯2＋l
V7
＝二二◎
≡≡
八2
yl
γl
冗l一l
＝4（＊）
,
％2＋l
帅l-l
勺
又獭｝＋￥二! ,所以γ｝-4（1—躯;）.阎理Ⅱ;-4（』＿躯;）,
赣）式｀得｝｝蔚｝｝｜惠』｝
代入（
＝4’即3鳃l卯2＋5（鳃l＋卯2）＋3＝0,
236
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第OS讲菲对称韦达罐理‖
所以M2ˉl0附3二0’解得k＝3或k＝＋,
因为γ2（则l-1）
2
yl（卿2＋1）＝丁’卿l ’“2匡（ˉ1’l）
’
所以γ｜,γ』晃号,戳舍去腮二＋,
所以k＝3·
解法三:
设C（厕l ’γ1）’D（卿2’y2）
’
∩
｜熏卞丁｜（………Iˉ｀
联立直线／与椭圆方程
-2∧
卯l＋卯2＝k2＋4’
则嗡｜
-3
卯l卯2＝k2＋4’
γ2
kl
卯2＋l
2＝—＝
八2
yl
脑2＋l
二＝
肋l＋1
刀1-1
财l—l
肋2 .“1＋卯lˉ（脉2＋1）
v勺
乙ˉ三
吕＝
γl
（＊）
’
~
~~
卯2＋l
叮2＋1
脑2 .卯l＋卯2＋片卯l＋1
卯l-l
-2A
卯1≡片2＋4-勿2’
又√
代入（＊）得’
-3
卯l卯2＝k2＋4
—3∧
-2A-l＿（k＋l）卯2
2＝k2＋4＋k2＋4
三≡
-3∧
-2∧2
k2＋4十∧2＋4＋1＋（lˉ′b）绷2
-∧2-5八-4
勺
≡
卯
＼
Ⅱ
〗
′
′
‖
】
且
＋
片
（
片2＋4
＿k2-3∧＋4
’
▲
卯
＼
】
／
尸
∧
］
（
＋
k2＋4
—（肿］）（肿4）ˉ（胖｜）绷2
ˉ（胖］）盖j
ˉ
ˉ（肿］）
—＋卯勺
k2＋4
＝
≡
（1-内）（片＋4）＋（1-A）则2
l—k
八＋4
1-∧
∧2＋4
Pˉ干J＋则2
~~
即2＝-（片＋l）
l-片
,解得附＝3
237
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」满分之路.解祈几何｛
~
解法四:
设c（鳃｜,y｜〕,D（鞠.γ:）测胸二蒜,陶-六.
由∧l
: k2≡2
:
l
’
所以｛↑｝蕊｜｛→.雨代入》!≡脓｜÷!,…2刊』
整理得:肋l卯2＋（2k-1）（则l＋勉2）ˉ（∧ˉ3）厕2＋3＝0.
（＊）
｜t二壳｜）‖ˉ叭……』』
联立直线／与椭圆方程
ˉ2k
ˉ3
ˉ∧＋2√k2＋3
故卯l＋卯2＝4＋A2’卯l卯2＝4＋／t2’卯2＝
4＋A2
代入（＊）,得《雁4磊2十（2附ˉ｜）4蒜ˉ（胀＿3）—肿2√膘十3十3-α
4＋∧2
化简得:12—4A＋（6ˉ2k）√片2＋3＝0’即2（3ˉ∧）（2＋√八2＋3）＝0’解得片＝3~
［例3］己知直线γ-＋躯与椭圆‘;÷÷-｜交＋」, ‘两点’过』点作斜率为｛的直线
／l .直线′l与椭圆（〕的另＿个交点为P’与直线则＝4的交点为Q’过0点作直线PB
的垂线l2.求证:直线／2恒过一定点.
6
↓′」
∏—解析p
可求得A（ˉ2’-l）’B（2’l）’且A’B关于原点对称’
由第三定义知,k剧讹″-—÷’腮″-＿点’又′』」PB｀所以胸』二靴.
而／｜:γ＋l＝片（厕＋2）
’
238
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第0S讲菲对称辐达定理｜
所以0（4’6∧ˉl）’则／2:y-（6Aˉl）＝4∧（则-4）
’
5
即γ＝（4绷ˉl0）kˉ1’今4厕ˉl0＝0’则绷＝百’γ＝ˉ1’
所以监｜幢过定点（;,—l）
／
［例4］已知椭圆有两顶点A（ˉ1 ’0）’B（l ’0）’过其焦点F（0
两点’并与卯轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q
过其焦点F（0’l）的直线／与椭圆交于C’D
（l ）当｜CD｜＝乎,求直线′的〃程;
～
＝—-〉一
（2）当点P异于A’B两点时’求证:OP.O0为定值
｀γ
P～≤匙
勺
（l）由题意得,椭圆方程为绷2肾＝l’
设点C（卯l ’y1）’D（卯2’y2）’直线／的方程为y＝脑＋］
’
〔;亡｝!‖…
联立方程得
消y得（片2＋2）卯2＋2脑-1＝0’
2k
厂
卯l＋卯7＝
k2＋2,
△
则《
-1
卯l卯2＝A2＋2,
′兰2）Ⅱ7—卜2
4
~
巫
】
~~
（
／
′
γ
｜CI）
｜＝√I＿丽页｜绷l-卯2
｜＝√Iˉ干∏页
239
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「满分之路.解析几何］
解得k2＝2’即片＝±√Z
所以直线／的方程为γ＝√m＋l或y＝ˉ√z＋l.
（2）诞明;设c（鳃｜,γ｜）,D（狐:,y:）,′“;y＝触＋l’则′（ˉ＋,0）
｜意芦｜…｜」〔∩……｜…
联立直线CD与椭圆方程
2内
″
—4
k2＋2, yl＋γ2＝—
卯l＋％2≡-
A2＋2,
则≤《
闻
-1
2（lˉ八2）
卯l °卯2＝k2＋2’
yl °γ2＝
k2＋2
y2
（厕＋l）’BD:γ＝勿2-l
γl
（卯-l）’（厕l≠ˉ1 ’则2≠l）
AC:γ＝
卯l＋l
卯l＋l
kBD
G
＝＝—
∧AC,
V↑
√』
№
＿
钮
~~轴
＿
甲
则
’
）
］
卯
（
溺直线方霍联立得六（叶｜）-—旦
卯2-l
又A（ˉl ’0）’B（1’0）
’
yl
yl
γ｝
2（1ˉ匆｝）
∧CA °内CB＝
·
＝
＝
卯｜＋1
则lˉl
卿｝ˉl
卯｝ˉ1
甲
’
≈
Ⅱ
℃
丁
∧
~~
∧
℃
了
内
‖
贝
’
∑
~~
枷
—
二
她
蛔
—
‰
又卯0＋l
卯0—1
］
■
｜
儿
γ
］
卯
●
］
勺
▲
～
γ
∑
卯
）
］
—
∑
（
）
）
］
—
∑
］
—
∑
yl .γ2
（
（
~~
厕l .卯2-（卯l＋卯2）＋1
2（l-k2）
∧2＋2
~~
—l
2k
∧2＋2＋k2＋2
＋l
∧-1
三≡
k＋1
,
即卯Q＝-内,
—÷）
→
尸
＿
∩
口
故
］
~~
）
∧
（
~~
○
坠
卯
●
尸
卯
~~
）
°
γ
’
○
～
卯
（
●
）
‖
’
尸
卯
（
~~
一
四
●
→
尸
—
○
（
---广
O0为定值.
24O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］臻O8磷菲对称器达髓理‖
［例5］己知椭圆‘;÷广-｜′设′,0.′为椭圆‘上个同三点’qP.0两点关丁鞭输灿
称,若直线PT’QT分别与卯轴交于点M’Ⅳ.求证:
｜O″｜
. ｜O″｜为定值.
小V
｜·解析0
设P（则l ’yl）’T（卯2’y2）’卯1≠绷2’
γlˉy2（卯—厕2）.
则直线PT的方程为y-γ2＝
卯l-卯2
见l-卯2
绷2yl-卯lγ2’所以｜OM｜＝
今γ＝0’得则＝腮2-γ2
.
≡≡
yl-γ2
y1—y2
因为P’0两点关于加轴对称’所以0（绷1 ’—γl ）.
卜｝｜二｝l№
ˉ卯2γl-卯］γ2
同理可得｜O／V｜
＝
9
-γl-y2
勺
7
勺
勺
％2γl-卯lγ2
—卯2γl-卯lγ2
咱y了-叮yi
所以｜O″｜
。
｜OⅣ｜
＝
.
＝
勺
勺
γl-y2
—γl-γ2
yi—γi
勺
∩
呵
则i
因为可＋γ;＝l’丁＋γ;＝l ’所以厕｝＝4（1ˉγ｝）,则i＝4（1ˉγ;）,
卿;γ｝ˉ卯↑y;
4（lˉy;）y｝—4（1ˉγ↑）yi
从而｜OM｜
°
｜O／V｜
＝
＝
＝
7
7
7
7
γT-yi
γj-y5
≡
｜
4为定值.
总结
V
（」）设′.Q.′为龋圆声÷］（α…0）上不阎的二点,且尸｀Q
两点关于卯轴对称’若直线PT’0T分别与卯轴交于点M’Ⅳ’则
｜OM｜｜OⅣ｜
＝α2。
（2）浚P.Q,′…罐ˉ带;＝］（α＞0＞0）上不阎钩二意,凰′,Q淘点美于＂轴对称.
若直线P0’QT分别与则轴交于M’／V’则｜OM｜｜O／V｜＝α2.
24｛＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何l
［例6］
（! ）设A, β是椭圆顾;子十÷-｜上不关于坐标轴对称的陶个点′直线姐交鞭轴
---〉
于点M（与点A’B不重合）
’ O为坐标原点.设Ⅳ为厕轴上—点’且OM.
直线A／＼／与椭圆Ⅳ的另外—个交点为C’证明:点B与点C关于＂轴对称;
勺
勺
（2）已知椭圆÷＋÷＝l,过点P（4, 0）的直线』交椭圆于A′ B两点′
于绷轴的对称点为点C.则直线AC过定点,求出定点坐标
’
斗
~~
→
Ⅳ
—
∩
√
设点B关
｜·解析0
（l）证明:设点B关于卯轴的对称点为Bl （在椭圆Ⅳ上）
’
妥证点B与点C关于鳃轴对称,
只要证点Bl与点C重合·
又因为直线AⅣ与椭圆Ⅳ的交点为C（与点』不重合）
’
所以只要证明点A,Ⅳ’Bl三点共线以下给出证明:
由题意’设直线AB的方程为γ＝肋＋m（A≠0）’A（卯l ’yl ）’B（卿2’γ2）’则Bl（厕2’ˉy2）
颧｛芒煎!＾
得（3＋4k2）则2＋8∧″l腮＋4″!2-l2＝0’
所以△＝（8Am）2ˉ4（3＋4∧2）（4m2ˉl2）＞0’
8km
4∏〗2-l2
卯l＋卯2＝-3＋4∧2’卯l卯2＝3＋4片2
·
在,-膨十″』中,令γ-0,得点＂的坐标为（ˉ黑,0）,
｀
｀
‖
□
‖
‖
′
′
β
’
靴
—
加
（
-—〉
（）Ⅳ＝4’得点Ⅳ的坐标为
一
Ⅷ
由
设直线M’／＼／B｜的斜率分别为∧∧／A’∧ⅣB｜
’
4∧
4k
卯2 ·γl＋yl
。—＋几l
。γ2＋y2 .—
m′
m′
yl
则片／VA-∧ⅣBl≡
4k
卯l＋—
″〗
-γ2
~~
4k
）
x2＋—
′川
4∧
x2＋″l
′
′
』
〗
【
〖
‖
〗
｀
●
｀
｀
‖
】
‖
〗
′
／
峨
—
加
＋
‖
刮
‖
儿
Ⅺ
（
因为则2yl＋γl .—＋卿lγ2＋y2 .业＝绷2（／t卯l＋′n）＋（脑l＋′＂）.业＋卯l （脑2＋m）
4k
″〗
″〗
′n
（脑2＋″l）.坐
m′
＋
242
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第OS讲菲对称韦达定理｜
′叶等）（雾…｜十雕二2｛
（
≡2枷1卯2＋
8m2片-24k-8″l2附-32A3＋24∧＋32内3 ＝0.
≡≡
3＋4∧2
所以八酗-A∧′B!＝0’所以点A’Ⅳ’Bl三点共线’即点B与点C关于厕轴对称.
（2）设C（卯l ’γ1）’A（卯2’y2）’则B（卿l ’ˉyl）’CA:γ＝脑＋m.
勺
~~句~
÷＋普＝｜｀
｜………………非＂
联立直线O4与椭圆
「△＝64m2∧2-l6（3＋4k2）（m2-3）＞0＝3＋4府2ˉm2＞0’
8m∧
则」绷l＋嘶2＝— 3＋4片2,
4（m2ˉ3）
卯l °％2＝
3＋4∧2
’
-V‖
y2
因为A’B’P共线’所以kAP＝kBP’即
√1
≡
卯l-4
卯2-4’
整理得2∧厕l厕2＋（m—4∧）（狐l＋则2）ˉ8m＝0.
则2k.4（m2-3）
3＋4k2
—8′′l∧.
（″』-4∧）-8m＝0,
＋
‖
3＋4k2
解得m＝ˉ∧’则直线C4可以表示为y＝k（卯ˉ1）
’
所以CA过点（l’0）.
故直线CA与则轴相交于一个定点（1’0）.
［例7］如图,
已知椭圆的长轴AlA2与卯轴平行’短轴
BlB2在γ轴上’中心″（0’′）（b＞′＞0）.
（1）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率;
（2）设直线γ＝Al卯与椭圆交于C（加l ’γl
）
,
厂）
4｜（ˉα’
D（卯2’γ2）（γ2＞0）,直线γ二∧2厕与椭圆交于C（则3’y3）
’
H（卯4’y4）
（γ4＞0）.
Al卯l卯2
A2卯3卯4
求证:
＝
％l＋卯2
咒3＋卯4
（3）对于（2）中的点C’D’C’H’设CH交卯轴于P点’ GD交则轴于0点,
求证:
｜OP｜＝｜OQ｜（证明过程不考虑CH或CD垂直于卯轴的情形）
.
2』3＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之路.解析几何k
｜.解析0
（!）椭…为声（》Jh萨）』-｜｀橇…为F｜（—√侧型ˉ偷』,′）,′』（√勉』＿b』｀『）
’
离心率e＝√α2ˉ62
α
（2）证碉;将直线c…樟…代入蹦…÷十（Ⅱ萨′）』-」,
得b2则2＋α2（∧l则ˉ『）2＝α2b2’整理得（b2＋α2附）卯2ˉ2内lα2m′＋（α2′2ˉα2b2）＝0’
2Alα2厂
’
二
γ
″
’
＝
α
γ
＝
厂
）
＝
】
（
根据韦达定理’得卯｜
】
％
］
卯
’
∩
垄
勺
■
儿
八
’
←
α
＋
’
≈
』
~~
∑
卯
＋
~
∩
／
＝
■
‖
』
∧
’
＝
α
＋
勺
～
』
所以则l则2
厂2-b2
二＝
将直线GH的方程′-k2鳃代入椭圆方程等.｝丝雨△旦二｜,
α
同理可得绷3卿4
r2—b2
吕二
由o@得h丝』丝
卯l＋卯2
▲
卯
］
卯
勺
～
儿
~~
勺
～
》
—
≥
勺
≡
厂
『
~~
％3＋卯4
所以结论成立.
（3）证明:设点P（／）’0）’点0（q’0）
’
淘C,P,H粪线,得解-慧解得p二（《｜呵咖』
（kl-A2）则2卯3
由D’0’C共线’同理可得卯2-p＝∧l卿2
陶阿…-庶…寞形得ˉ（f｜呵期剿-（隐｜ˉ…副’所以｜′’
｜-｜″｜
』
卯l＋卯2
卯3＋卯4
kl卯2-∧2卯3
即｜OP｜≡｜O0｜.
2』4
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
第09讲焦点弦
回知识纵横
『
l.圆锥曲线上的—点P（绷0’y0）到焦点的线段称为焦半径
焦半径常考公式:
焦半径公式（
｜
）
:
（｜）对左石焦点分瓢为′! （ˉ臆,0）
｀F』（‘,0）的椭圆声昔÷-」（α＞0＞（））上—点
P（则0’γ0）,有｜PFl
｜＝α＋e卿0’
｜PF2
｜＝αˉe卯0.
∩
勺
（2）对八、右焦点分别为′! （ˉ‘,0）
′ ′2（c,0）的双曲线备—卡＝!（α,b＞0）上—点
P（卯0’γ0）’有｜PFl
｜＝｜α＋e〃0
｜
’
｜PF2
｜＝｜αˉe“0｜.
焦半径公式（
｜｜
）
:
（］）对王右焦点分别为′｜（—傻,0）, ′』（侧.0）的椭峰喘←」（醛＞0＞0）上—点
b2
叶羔舅β其中α｀β为焦半径″! ’″:与卿轴
, ｜PF2
｜
＝
P（则0’y0）’有｜PF］
｜＝α-CCOSα
正半轴所成的角.
（2）对左右焦点分别为′｜（ˉ‘｀0）, ′:｝僧,0）的双曲峰—债三」（·』』＞0）上—点
62
b2
P（卯0’y0）’有｜PFl
｜＝｜α＋CCOSα｜
’ ｜PF2
｜＝｜αˉCCOSβ｜’其中α’β为焦半径PFl , PF2与
卯轴正半轴所成的角
焦点弦长公式:
O
7
（｜）@若椭圆÷十债二］（α＞』＞0）的焦点弦为剧″,设其｜顷斜角为α,
2〔】b2
有｜AB｜
＝
气
∩
α乙—C≡
COS2α’
2αb2
@若椭圆苦蒜≡」（“…（））的焦点弦为姐设其｜瞬｝角为α石M愿｜-
∩
sin垄α
α2-C2
245
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路·解析几同】
（2）@若双曲线爵—溃-］（《』』』＞0）的焦瓢弦为姻,设具｜腹斜角为α,
2αb2
有｜AB｜＝｜α2ˉC2
. COS2α「
圆若双＂线÷÷」（侧,b＞0）的焦点弦为』B,设典｜颐斜角为α｀
2（Jb2
有｜AB｜
＝
α
∩
乙
∏
●
■
■
且
吕
导
∩
乙
尸
山
∑
α
垂宣的焦点弦长:
若过椭圆圆;÷倍-］（侧＞‖＞0）的石焦敷′型（‘.0）作2条互相重商的直线′,硼｀分删与椭
圆E交于点A,B和点c』n设直线′的倾斜角为α,则直线″!的倾斜角为α±晋,从而
2αb2
2αb2
｜AB｜
＝α2-c2
。cos2α, ｜CD｜≡α2-c2
. sln2α,
8αb2（α2＋b2）
2αb2
2αb2
于是｜AB
｜
＋
｜
CD
｜
≡
巳
上
丁
＝耶α2b2＋c4
. sin22α
α2-C2
∩
sin垒α
勺
←
℃
’
～
α
2
COSα
｜“;碧』｀2（…）
α
｜
）2
＂』—窿!…Ⅷ』—c』…』腿奶1…m』2α匡‖鹏;碧Ⅱ
｜AB｜
. ｜CD｜＝
2αb2
16α2b4
2αb2
2
＝
1
l
α2＋b2
＋
＝
｜AB｜
｜CD｜
2αb2
.
■
■
尸
｜
｀4b2
焦点弦定理:
已知焦点在加轴上的圆锥曲线C’经过其焦点F的直线交曲线于A, B两点’直线AB的
｜颐斜筋为″’耐-网则栅线‘的离心率.瞒足筹式: ｜僧…｜- ／饲｜
推论1
已知焦点在加轴上的圆锥曲线C,经过其焦点F的直线交曲线于A’ B两点,直
线」‘＂斜率为』（胯0）.丽-倔则曲线c的离心率.满足等式′-√［丁F｜揣｜
推论2
已知焦点在γ轴上的圆锥曲线C,经过其焦点F的直线交曲线于A, B两点’若
—〉
——〉
直线AB的倾斜角为0’斜率为人（∧≠0）’AF＝入FB’则曲线C的离心率e满足等式
√训计
∧＿1
0｜
＝
’
e
∧＋l
］
Ⅱ
■
■
■
且
吕
巴
2』6
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
〗第O9瓣熊点弦‖
下面给出椭圆相关公式的证明:
勺
勺
若椭圆方程为莆嘴-!（侧＞b＞0）′左、行焦点分另‖为′｜（ˉ′,0）,′:（‘,0）.设过′｜的
2
2αb2
直线／的倾斜角为α’ ／交椭圆于A’B两点,求证:
｜AB｜
＝
2
2
2
α-C
.
COSα
解法-（利用余弦定理推导焦点弦公式）
:
如图’AB’AC是过焦点的弦’设｜FlA｜＝′l
’ ｜F2A｜＝′2’由椭圆定义得′l＋r2＝2α’
‖刹
在△FlAF2中’由余弦定理得ri＝r;＋｜FlF2 ｜2ˉ2′l ｜FlF2 ｜cosα』
将r2＝2α-′l
’ ｜FlF2
｜＝2c’代人上式得,
b2
整理可得r｜＝α-C
·
COSα
62
同理得｜BFl
｜
＝α＋C
. COSα
b2
b2
2αb2
则弦长｜AB｜＝｜AFl
｜＋｜BFl
｜
二
＋
＝
α-C
· COSα
α＋C
· COSα
α2-C2
· COS2α
2αb2
同理可求得焦点在γ轴上的过焦点弦长为｜AB｜＝
2
2
. 2
.
α-c
·
s1nα
「
2αb2
｜α2ˉC2
~ COS2α
结论;椭圆过焦点的弦长公式;
｜AB｜＝｛
｜
2αb2
＼α2—C2
· S1Il2α
（焦点在卿轴）
’
（焦点在γ轴）
解法二（利用椭圆第二定义）
:
设直线的倾斜角为0’
由题意可知’
0巳（0’∏）
2αb2
下面来推导用倾斜角0来表示焦点弦长的公式｜M＼／｜
＝α2-C2COS20.
—7｝＝弓万—瓦
矿
—
℃~~
Ⅺ
247
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路。解析几何h
V作椭圆的右准线则＝丝的垂线,垂足分别为C’D.
C
如图’分别过点M』
由第二定义可知’器-儡’所以｜删c｜-毕＝÷｜B删｜
』
再过点″作绷轴的垂线’垂足为E’
’
″
〗
α
—
℃
门
厂
—
℃
~~囚
日
’
中
Ⅱ
″
日
△
［
Ⅸ
在
丘ˉ旦｜B″｜
所以有…二｜｜器｜｜
′
′
＝吕
｜B″｜
’
b2
解得｜BM｜
＝α＋ccOs0’同理可求出｜BⅣ｜二
b2
〔〗-CCOS0’
2αb2
两式相加可得｜M＼／
｜
＝
β
∩
≡
巳
巴
○
℃
∑
℃
勺
≡
α
解法三（利用参数方程推导焦点弦公式）
:
设直线的倾斜角为0’
由题意可知’
0巴（（）’∏）
2α62
下面推导用倾斜角0来表示焦点弦长的公式｜MⅣ｜＝α2ˉC2COS20.
…′＂川顺……擞万描｛妄川!′ （｝为;
然后代人椭厨c;备晴三｜（…＞0）方程中,德铡关于′＂万程
（α2ˉc2cos20）t2＋
（2b2ccos0）rˉb4＝0,
—2b2ccos0
rl＋t2≡α2-C2COS20’
所以有刽
＿b4
′l』2＝α2-C2COS20,
（j为参数’ 0为倾斜角）
’
2αb2
然后借助参数r的几何意义可知｜M＼／｜＝｜tlˉt2
｜
＝
。
∩
旬
α丝-C鱼COS乙0
解法四（利用极坐标方程推导焦点弦公式）
:
设直线的倾斜角为0’
由题意可知’
0巨（0’∏）
2αb2
下面推导用倾斜角0来表示焦点弦长的公式｜MV｜
＝
β
〗
吕
○
℃
∩
垄
℃
∩
乙
α
—248
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］第O9讲
霹点弦｜
利用椭圆的极坐标方程’以右焦点B为极点,以卿正半轴为极轴建立极坐标系’
椭圆的极坐标方程为′二∏器;百（′为懦圆的离心率′为椭圆的焦准距即′-午）
』
设M（pl ’0）’Ⅳ（p2’0＋∏）’代人椭圆极坐标方程可得’
｜Ⅷ｜-…≡话:丽亏＝器百β—侧』头』〃
定理:
已知焦点在则轴上的圆锥曲线C’经过其焦点F的直线交曲线于A’B两点’直线AB
∧＿1
∧＋l
的倾斜角为0’耐＝人丽’则曲线C的离心率e满足等式:
｜ecos0｜＝
下面以椭圆为例证明之.
证明:解法-:
62
b2
BFl
｜
＝
α＋C
· COSα
由焦点弦证明过程可知: ｜AFl
｜
＝
α-C·
COSα
—少
---〉
因为AF＝入FB’
---》
--→
所以｜AF｜＝入｜FB｜
』
即
b2
＝入
b2
＝α＋c
. cosα＝入（α—c
. cosα）
α-C
· COSα
（J＋C
. COSα
＝l＋e
. cosα＝人（1-ecosα）
’
所以ecos0＝人—二l
人＋1
’
如果点剧. 鹰的位置互换.则0＜入＜｜』则有…″＝川
解法二（椭圆的第二定义）
:
-—》
～-≥
已知弦AB过椭圆的左焦点F’左准线为／’由AF＝∧FB’
＝--〉
＿-→
可设｜AF｜≡入r’ ｜FB｜＝』（r＞0）
’
当直线AB的倾斜角0为锐角时’如图（a）’显然人＞1 ,
分别过A’ B两点作AAl上／’ BB1上／,垂足分别为Al ’Bl
’
过B点作BD上AAl
’
由椭圆的第二定义可得｜AD｜＝｜AA］
｜ˉ｜BBl
｜＝｜AF｜
｜BF｜
（入-l）』
三≡
e
e
e
（入-l）t
入-l
在R［△MB中,…＝｜器｜≡
’故ecos0＝入—l
入＋l
’
~~
e（∧＋1）Ⅱ
e（入＋1）
249—
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何1
如果点d, g的位置互换,则0＜人＜｜』则有噶…-侧
＝
一
】
｜
＼
≥
纠
—
凸
0,0
／
刹｛—术厂≥＝
上羚;
Bl
（a）
（b）
当直线AB的倾斜角0为钝角时’如图（b）’显然0＜入＜l
,
阔翅在剧△」DB巾』叫得幢°鼠（丽ˉβ）≡册-』（｜∏）｛′三儒（!l羔）
』
故ecos0＝入-l
∧＋l
l—入
如果点A’ B的位置互换’则入＞1’则有ecos0＝Iˉ干I.
当直线AB的倾斜角0为直角时’显然cos0＝0且入＝l ,等式成立;
当直线AB的倾斜角0＝0时,弦AB为椭圆长轴’显然易得原等式也成立
｜升＝‖恒成立
综上,在椭圆中等式｜ecOs0｜
＝
证毕
2印
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1繁O9讲焦点弦!
C典型例题
~ ~
［例」｜已知椭圆圆;舞-｜（侧≥』＞0）的石焦点为′Ⅺ（］｀0）,点阎（2,孪）在懒趾
（1）求椭圆E的方程;
（2）点″在圆O: 则2＋y2＝62上,且″在第—象限’过″作圆O的切线交椭圆于
P’0两点’求证:
△PF20的周长是定值.
（1）右焦点为F2（1’0）’知C＝1’
~／
′
2√∏＼
又″｜2｀
3
｜在撇翻上,则2α＝｜盯｜
｜
＋｜邵,
｜-√（2刊）2＋
＋
∑
）
咖
—
〕
（
∩
丝
＼
‖
■
‖
‖
′
／
∏
／
√
〕
∑
／
『
『
‖
‖
‖
＼
‖
厂
∩
乙
）
］
∑
′
／
γ
＝6,
所以α＝3’6＝2√Z
］
~~
正
目
＋
形
—
’
●
●
Ⅱ
同
囚
椭
以
所
（2）解法-（焦半径公式）
:
设P（则l ’γl）’0（卯2’γ2）
’
由焦半径公式,得｜″』
｜＝“ˉ…＝3ˉ＋施｜,
在圆O中’″是切点,
｀
｀
■
‖
』
『
′
／
’
叮
—
∩
〕
■
‖
且
』
『
』
□
‖
〗
‖
｀
＼
日
＋
∑
］
／
丰
γ
’
■
』
卯
］
—
〕~~
所以｜p″｜＝√｜Op｜2ˉ｜OM｜2＝√比｝＋γ｝ˉ8
—8
’
〕
~~
］
卯
］
—
〕
＋
］
卯
］
—
〕
〕
~~
哑
＋
∑
厂
尸
以
所
25］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』满分之路.解祈几何l
同理｜0F2
｜
＋｜QM｜＝3’
所以｜PF2
｜＋｜0F2
｜
＋｜PQ｜＝｜PF2
｜
＋｜PM｜＋｜0F2
｜＋｜0M｜＝3＋3＝6’
因此△PF2Q的周长是定值6.
解法二（直曲联立）
:
设P（厕l ’yl）’Q（则2’γ2）’直线P0:γ＝脑＋m（片＜0’″』＞0）
’
÷;-1｀
‖硅…≡＂
联立直线P0与椭圆E:
消y得（9∧2＋8）卯2＋l8∧m‘｀′＋9（m2ˉ8）＝0’
尸
18Am
卯l＋卯2＝— 9儿2＋8’
则≤
9（矾2-8）
卯l .卯2＝
9k2＋8
≈
9×8（9∧2＋8ˉ″l2）
√Jˉ页
√Iˉ干F
厕
~~
γ
▲
卯
］
卯
＝l2√Z
所以｜P0｜＝√Iˉ干ˉP
■
＄
＋
∩
丛
∧
’
｀／9∧2＋8ˉm2
9∧2＋8
,
因为P0与圆O相切’
蹄以7蒜～2沤｀卵褪1～:（｜辨膘儿
√P
∑
‖
″
＄
＋
∑
∧
内
—6∧′Ⅶ
吕二
9∧2＋8
徊
Ⅶ
′
’
～
■
徊
∑
］
~~
所以｜P0｜＝12√可.√Iˉ丽百
~
9内2＋8
9k2＋8
卤焦半径公式,得｜尸F2
｜＝α—…!二3ˉ＋蜒｜, ｜0F2
｜＝α＿…二3—＋窥,
所以｜″』
｜＋｜0′:
｜＋｜P0｜＝6—＋（鞭｜杠2）W＋8
ˉ6枷-6半9黔s带9潞二6,
因此△PF20的周长是定值6.
252
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第O9讲蹿点弦｝
［例2］如图’中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3’ 0）’右准线′:卯二l2
（1）求椭圆的方程;
（2）在椭圆上任取三个不同点Pl ’P2’P3 ’使乙PlFP2＝乙P2FP3＝乙P3FPl ,证
明;
｜岸｜
｜
l
＋｜FP2
｜
＋
）’爪
′
〖
｜·解析0
勺
∩
（｜）设椭圆方程为备＋常二｛（“＞』＞0）
依题意’有c＝3’
∩
α丝
又右准线／:躯＝—＝l2’从而α2＝36’62＝α2-c2＝27.
C
越所求椭圆的方程为÷芳-1
（2）设椭圆右顶…,△MP!＝0匡｜0,芋）,纠″2二宁＋0’△』″］＝芋ˉ0,P｜在《
上的投影为0l .
0′」
l
由题意得e＝百’
｜PlF｜
7
榷撼椭圆第二虞义,有｜′』0｜
｜＝僻,:′｜′!′｜二侵｜P』0｜
｜-e（子—‘ˉ｜′｜′｜…）
勺
′（爷ˉc）
9
三＝
同理｜P2F｜
＝
9
…（芋ˉ卜0）, ｜PjF｜＝
9
’
）
β
‰
—
〕
（
2＋cos
2田
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
.满分之路。解析几何l
）
β
酣
—
〕
′
′
β
‖
‖
‖
｀
＼
∩
□
○
℃
＋
勺
合
＋
＼
】
‖
‖
‖
『
′
′
＾
″
＋
浙
—
］
′
』
』
‖
‖
‖
｀
＼
2＋cos0＋2＋cos
所以｜′＋｜
｜
MF:
｜＋｜′P』
｜
1
l
＋
＝
7
9
＋
β
吕
◎
℃
和
—
〕
吕
○
℃
＋
∩
″
Ⅲ
■
已
■
旦
吕
酣
—
〕
Ⅲ
■
乙
】
且
吕
β
吕
○
℃
浙
—
〕
吕
○
℃
＋
β
＝
吕
○
℃
~~
＼
｀
】
〗
‖
′
／
β
浙
—
〕
（
吕
○
℃
＋
＼
‖
‖
‖
‖
′
／
∩
″
＋
浙
—
］
／
』
』
‖
‖
‖
＼
吕
◎
℃
＋
＾
β
吕
◎
℃
又
’
·
~~
β
◎
℃
吕
］
—
∑
＾
″
○
吕
℃
］
—
∑
∩
″
○
℃
吕
~~
β
■
■
■
丛
∏
吕
‰
—
］
■
■
■
且
∏
吕
∑
—
］
~~
β
—
’
~~
〕
］
尸
厂
＋
l
l
｜FP1
｜＋｜FP2
｜
所以
勺
为定值’定值为;
1
＋
＋
｜FP2
｜
］
1
所以
｜FPq
｜
｜FP］
｜
总结:
（l）设Pl ’P2’…’P＂是椭圆上的″个不同点’F为焦点’且FPl ’FP2,…,FP厕将周角F′!
″
l
〃
≡—;
（2）设Pl ’P2’…’P′』是抛物线上的′』个不同点’F为焦点’且FPl ’FP2’…’FP″将周角
］
—
咽
见
可
～
引
△
■
怂
则
’
分
等
川
′
为定值;
（3）设Pl ’P2’…’P＂是椭圆上的″个不同点’F为焦点’且FPl ’FP2’…,FP″将周角F＂
等分,』｜｜2｜′÷′ ｜2为定值;
四
（4）设Pl ’P2’…’P′』是抛物线上的′』个不同点’F为焦点’且FPl ’FP2’…’FP＂将周角
—2剔
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第o9讲熊点弦｝
［例3］如图已删椭略;-］（…0）的离o率力f, 以该椭圆促的点和椭圆的左
右焦点Fl ’F2为顶点的三角形的周长为4（√豆＋1）.＿等轴双曲线的顶点是该椭圆的
焦点’设P为该双曲线上异于顶点的任—点’直线PFl和PF2与椭圆的交点分别为
A’B和C’D.
（1）求椭圆和双曲线的标准方程;
（2）设直线PFl
’ PF2的斜率分别为Al
’ A2,证明片1
. ∧2＝1;
（3）是否存在常数入’使得｜AB｜＋｜CD｜＝∧｜AB｜
. ｜CD｜恒成工
值;若不存在,请说明理由.
＝∧｜AB｜
. ｜CD｜恒成立?若存在’求入的
v
…≈
（｜）南…厘』椭圆离』蜜率为÷-罕’得“三口』又2…-4（徊刊）』断以可解得侧-
2√回’c＝2’所以b2＝α2ˉc2＝4’
∩
司
所以椭圆灼标准方程为÷＋普＝｜,
所以椭圆的焦点坐标为（±2’0）.
因为双曲线为等轴双曲线’且顶点是该椭圆的焦点,
所以麓双趟线的标准方程为子ˉ÷-』
（2）证明》设』氯P（躯＂,γ0）,则胀!-犬,陶-盖,
…!龙≡淌拦≡炭.粱…,帅）…缆…莉乎—乎≡〔
］
~~
川
斗
∩
叁
∩
γ
—
γ
√
∩
′
＝
∩
◎
几
~~
旦
∧
●
＜
〗
』
八
以
所
’
▲
∑
◎
卯
~~
∑
○
γ
『
目
255
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何【
（3）假设存在常数人’使得｜AB｜＋｜CD｜＝∧｜AB｜
. ｜CD｜恒成立’则由（2）知’内l .A2＝1
’
所以设直线把的方程为γ＝庶（露＋2）则直线cD的方程为y＝＋（鞭—2）,
｜熊｜＼………ˉ｀
由方程组
设A（卯l ’γl）’B（卿2’γ2）
’
-8k2
8k2-8
则由根与系数的关系得:卯l＋则2＝2k2＋l’卯l卿2＝厕’
4徊（l＋片2）
所以｜AB｜＝√∏∏可.√（腑l＋厕2）2ˉ4躯l施2＝
2k2＋1
’
』徊（｜十÷｜
4徊（｜靴2）
同理可得｜CD｜＝
＝
k2＋2
,
2亡刊
又因为｜AB｜＋｜CD｜＝∧｜AB｜
.
｜CD｜
,
M2＋3
1
＝
2k2＋l
＋
′t2＋2
≡
所以有入＝｜六｜＋｜cD｜
4√r（l＋膘）
4徊（l＋膘）
4徊（l＋陪）
所以裔在常数A-乎’健得M假｜＋｜cD｜二AM‘卜｜c″｜』馒成垂
另解:
设PFl ’PF2与厕轴正半轴所成的角分别为α’β.
由焦点弦公式’得
2αb2
｜AB｜＝α2-C2
· COSα
2
’
2αb2
｜CD｜
＝
7
7
α～-C～
。COS2β,
1
α2-C2
. COS2α
α2-C2
. COS2β
则入二雨＋｜cD｜-
2馏b2
＋
2忽62
由（2）知片l .A2＝tanαtanβ＝1’则cos2α＋cos2β＝l
’
所以入＝2α2ˉc2
2×8ˉ4
＝3△厘
2αb2
2×2√5×4
8
.
’
皿
β
~~
2品
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」第O9讲焦点弦｝
［例4］如图所示,椭峰僚≡｜（…＞0）的益右焦点分铡为′｜,′』｀过F』的直线交椭
圆于P’ 0两点’且P0上PFl .
（l）若｜PF｜
｜＝2＋√Z｜PF2
｜＝2—√Z求椭圆的标准方程;
（2）若｜PF｜
｜＝｜PQ｜’求椭圆的离心率e.
）’↑
P
氮、＼
一
Ⅺ
（l）由椭圆的定义知’2α＝｜PFl
｜＋｜PF2
｜＝2＋√百＋2ˉ√百＝4’故α＝2
设椭圆的半焦距为C’
＝√（2＋√页）2＋（2ˉ√可）2＝2√丁’
／
γ ｜pFl ｜2＋｜PF2 ｜2
因为PF2上PFl ’所以2c＝｜FlF2
｜
＝
即c＝√可’从而b＝√Fˉ二了r＝l.
裁椭圆输标准方灌为子半Ⅱ2-］
（2）如图所示’连接0Fl
’
v」
P
由椭圆的定义, ｜PFl
｜＋｜PF2
｜≡2α’ ｜0Fl
｜＋｜0F2
｜＝2α’
又｜PFl
｜＝｜P0｜’有｜0F］
｜＝4α—2｜PFl
｜.
又由PFl上P0’ ｜PFl
｜＝｜P0｜’知｜QFl
｜＝√回｜PFl
｜
’
257＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何〖
~
因此’4αˉ2｜PFl
｜＝√5｜PF!
｜’得｜PF］
｜＝2（2ˉ√可）α.
从而｜PF2
｜＝2αˉ ｜PFl
｜＝2αˉ2（2ˉ√百）α＝2（√页ˉ1）α.由PF2上PFl ’知｜PFl ｜2＋
｜PF2 ｜2＝｜FlF2 ｜2＝（2c）2’
／
γ
—
~~
℃
—
α
~~
巴
卜
巳
｀
江
因
｜pFl ｜2＋｜PF2 ｜2 ＝√（2ˉ√可）2＋（√面ˉ1）2＝√9ˉ6石＝√6ˉ√瓦
2α
［例5］设椭圆c:牟＋↓;＝｛（α＞6＞0）的左焦点为F’过点F的直线与椭圆C相交于A,B两
α乙
b么
—沪
--〉
点,直线／的倾斜角为60° ’AF＝2FB.
（l）求椭圆C的离心率;
（2）如果MB｜＝宁.求椭阂C的方程
｜·解析0
（l）直线／的倾斜角0为60。’∧＝2’
人-1
2
窗｜…0｜-
’得…爵60。＝圭罚,即.＝童丁
∧＋l
又e巨（0’l）
’
所以椭圆C的离』°率′＝÷
（2）由（1）可知‘二÷二÷则设侧-3｝,‘二2k,』＝佰帅,
″—…灿戳鸿芋铝…‖
2αb2
又｜AB｜
＝
7
7
三≡
所以α＝3’b＝√5＼
］
~~
亡
日
＋
句
扩
’
为
口
王
宁
赤
非
方
勺
自
℃
圆
啃
湘
以
所
—258
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』露O9讲焦点弦｀
［例6］已知椭圆÷;-｜的左右焦点分另‖为′｜
’ ′p’过′｜的直线交椭圆于B,D网
点,过F2的直线交椭圆于A’C两点』且AC上BD,垂足为P
］
＜
’
Ⅶ
—
∑
＋
捍
Ⅶ
—
∩
〕
（l ）设P点的坐标为（卿0’γ0）,证明
（2）求四边形ABCD的面积的最小值
｜.解析0
（1）证明:椭圆的半焦距c＝√gˉ二页ˉ＝l’
由AC上BD知点P在以线段FlF2为直径的圆上’故卯;＋y;＝1’
］
＜
］
—
∑
~~
句
妨
—
∑
＋
司
叼
—
∑
≤
司
冗
—
∑
＋
司
叼
—
〕
以
所
（2）解法-:
设B（卯l ’γ1）’D（卿2’y2）
’
（
l ）当BD的斜率k存在且∧≠0时’BD的方程为γ＝∧（卯＋1）
’
勺
勺
÷＋÷≡l ,
肛……………Ⅷ
直线BD与椭圆联立
6A2
’
≈
＋
∑
刀
向
∩
」
~~
勺
▲
卯
十
■
〗
八
师
｜BD｜＝√l＋／b2
. ｜鳃lˉ卿2
｜＝√（1＋k2）
. ［（如l＋“2）2ˉ4“l“2］＝4√可（／b2＋1）
3k2＋2
圆为AC与BD搁交于蕊P.且“」Bo’所以“的斜率为ˉ＋
4归（古＋｜）
4何（膘刊）
所以, ｜AC｜＝
＝
2片2＋3
］亡＋2
2印
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜
解析几何l
满分之路·
四边形ABCD的面积
24（k2＋l）2
≥
s二÷｜BD卜｜“｜＝（3∧2＋2）（2k2＋3）
∑
＼
／
●
』
＋
∑
∧
（
〃
斗
勺
△
96
二＝
25
｜（3愉2＋2）＋（2腑2十3）
2
「
当k2＝l时’上式取等亏
（ll）当BI）的斜率∧＝0或斜率不存在时’四边形ABCD的面积S＝4
综上所述,酉边形删BcD的面藕的最小值为罢
解法二:
2αb2
4√可
≡≡
α2-c2 °cos2α
3—cos2α,
设过F1的直线／的倾斜角为α’则焦点弦公式得｜BD｜
＝
2αb2
4√可
同理｜AC｜
＝
＝
α2-c2
. siII2α
3-sin2α°
4何
4√可
24
s-÷｜BD卜｜』c｜＝丁
1
≥
（3ˉcos2α）
. （3-sin2α）
＾
3-cos乙α
3-siII7α
~
24
96
｜（3＿cos2α）＋（3ˉsin2α）｜2
2’
2
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
第‖0讲抛物线性质
因知识纵横
抛物线性质总结
l.案例—:过抛物线C:γ2＝2p卿（p＞0）的焦点F作直线／交抛物线于A（卿l ’γl ）’B（则2’y2）两
点’且A在师轴上方’直线／的倾斜角为0’A’B在准线上的射影分别为P’0’准线与“
轴交于点G’又P0的中点为R,AB的中点为M
V
辈
（＿）有关定值问题:
■
·
卢
达
▲
~~
∑
卯
■
■
】
Ⅱ
卯
’
∑
尸
~~
∑
γ
］
γ
）
］
（
（2）隐′-—2旦,陶〃k＂〃＝ˉ4,而丽＝ˉ隶2;
yl＋y2
（3）｜AF｜＝鳃］＋:＝I＝急了』｜BF｜＝腑2＋÷＝「丁:盂∏（长“ˉ” ,短“＋”）;
（4）而＋「了F「—万;
l
2
（5）过抛物线的焦点作两条垂直的弦姻’CD则雨＋「而「—乃;
1
l
（6）｜AB｜＝—2坠
sin20.
（二）与数列有关的问题
（1）｜AF｜
’ ｜RF｜
’ ｜BF｜成等比数列;
（2）｜AF｜
’ ｜AR｜
’ ｜AB｜成等比数列;
（3）｜BF｜
’ ｜BR｜
’ ｜AB｜成等比数列;
（4）｜RA｜
’ ｜RF｜
’ ｜RB｜的斜率成等差数列;
（5）AB为焦点弦’过点A,B的切线相交于点E’则｜EA｜
,
｜EF｜
,
｜EB｜成等比数列.
26］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路.解析几何］
（三）有关圆的问题
（l）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;
（2）以P0为直径的圆与抛物线的弦AB相切;
（3）以AF为直径的圆与γ轴相切;
（4）以BF为直径的圆与γ轴相切;
（5）其中性质（1）＝抛物线的准线与师轴的交点G在以AB为直径的圆外.
（四）有关共线问题
（l）A、O、Q三点共线;
（2）B、O、P三点共线;
（3）直角梯形AP0B的对角线过原点O;
符合以上任＿条性质的弦AB—定过点F（即抛物线的焦点）
（五）有关最值
—ˉ-β坠ˉ巨
si∏220
ˉˉLE三ˉ匡
sin220→
［8p’＋的）
;
（l）｜AB｜＋｜CD｜
［l6p2’＋。。）
;
（2）｜AB｜
.
｜CD｜
（3）△APF的面积’△PFQ的面积的—半’△BQF的面积’成等比数列;
—〉
---》
2
叫割曰鹏则…ˉ吕胸｜～｜√了ˉ六｜
（六）有关面积问题
（｜）5M媚-2i;,＼
■
弓
■
鱼
日
~~
β
∧
○
元
β
∑
△
∧
β
）
〗
（
SiP′0
（3）S△FBQ .S△闷P
＝4
（七）有关平分问题
GF平分△4GB.∧AC＋内BC＝0
262
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
】第↑O讲抛物线性胰｝
部分结论证明:
（一）
（3）M′｜＝I＿《亩0’ ｜BF｜＝∏:;亏∏
／｜AF｜
. coS0＋｜GF｜＝｜AP｜（几何关系）
’
证明:由｀｜AP｜＝｜AF｜（抛物线特性）
’
｜G′｜-:—（—:）-′,
故有｜AF｜＝Iˉ二瓮丽,同理｜BF｜＝—2—
1＋COS0
所以
（4）而＋∏可丁
］
2
则｜AF｜
. cos0＋p＝｜AF｜
’
l
l
＿＋
AB｜
｜CD｜
l
二二
2p
（5）过抛物线的焦点作两条垂直的弦AB,CI）’则
证明:又CD与AB垂直,即CD的倾斜角为β±子』
囚为由（6）可知｜佃｜-羔’所以｜‘D｜-
2p
·0n2（β号）
-
2p
~ COS20,
所以｜六｜
｜CD｜
2′
1
l
＋
＝
（6）｜AB｜＝｜AF｜＋｜FB｜＝
2p
—2p
ˉ
1-cos20
sin20,
另证:
当0≠90.时』过焦点的弦AB的力程为Ⅱ＝…（躯ˉ:）
』
气
′
把它代人》2＝2′鲍（p＞0）得; ［an2什瓣2—p（tan20＋2）瓤＋『［an20＝0,
由焦点弦长公式可得; ｜奶｜-x｜半露』｛7′-2′（｜丽十‘）-羔,
即可求得:
｜AB｜＝＿2且ˉ
sin20,
当0＝90。时’ ｜AB｜＝2p也适合公式｜AB｜＝＿丝—
sin20。
263
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路·解析几何i
所以（五）
ˉ＿迎—巳
siIl220
ˉˉ1竿匡
si1l丝20
［8p’＋由）
;
（l）｜AB｜
＋｜CD｜
［l6′）2’＋。。）
（2）｜AB｜
.
｜（D｜
（三）
（l）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明:在直角梯形AP0B中’M为AB的中点’
由梯形的中位线性质和抛物线的定义知
｜MR｜＝｜∧P｜＋｜B0｜
2
≡
｜AF｜
＋｜BF｜
’
佃
∑
~~
勺
台
所以AR上RB’
故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
（2）以P0为直径的圆与抛物线的弦AB相切.
证明:由抛物线定义可知:
｜AF｜＝｜AP｜
’ ｜BF｜＝｜B0｜
’
所以乙APF＝乙AFP’乙BQF＝乙BF0’又知AP／／／B0’
所以乙A＋乙B＝∏’可得2（乙AFP＋乙BF0）＋乙ˉA＋△B＝2∏’
所以乙0FP＝卫
2
,
所以PF」ˉQF’
故以PQ为直径的圆与AB相切.
（五）
（3）△』PF的面积’△PF0的面积的一半,△B0F的面积成等比数列.
证明;△A″的而积s△削″二＋M尸卜｜γ!
｜-十｜〃卜｜γ｜
｜＝÷（
≡÷（船）ⅡⅧ
△P′0的面积的—半＋5△″q＝十（｜γ!
｜＋｜蝇｜）p′
←
△B0′的颧积N…『-÷｜B0‖№｜÷｜″卜｜》』｜＝＋（嘉
＼
｜
』
′
／
且
∑
＋
师l
。γl
＼
‖
Ⅱ
‖
‖
′
／
卫
’
＝
＋
宠
—
幼
′
』
『
『
】
‖
巳
‖
＼
］
∑
γ2’
2“
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛第↑O讲抛物线性痰｜
所以N……÷（船）帅｜ˉ÷（耙）′』｜
≡ˉ＋（船）》门1（耙）
’
～
β
叁
＋
’
～
∩
丝
γ
＋
’
÷
Ⅱ
γ
＋
∩
乙
勺
凸
γ
∑
’
万
尸
／
′
〗
】
‖
‖
■
｀
｀
’
匹
旧
~~
●
栏
｀
‖
‖
‖
′
／
尸
○
～
尸
△
∩
□
］
—
∑
／
′
』
』
‖
｀
＼
~~
γ
≠
｜
｜
｜
」
尸
〗
γ
＋
γ
］
—
斗
｜
~~
）
所以△APF的面积’△PF0的面积的＿半’△B0F的面积成等比数列
吕
○
℃
则
‖
≥
□
〃
—
厂
∧
~~
→
〃
若
）
斗
（
0二铝, ｜偷』
｜＝
2
~
证明;法—;因为｜AF｜＝尸:盂∏, ｜FB｜＝—且—
1＋COS0,
丽＝入雨,所以｜丽｜≡川两｜,即l—hsIj＝入l＋:）愚0,
所以cos0＝∧-l
∧＋1
／sin20／lˉcos20
三＼／6F∏≡＼／—∏F丁
2
所以｜片』
｜
≡
｜tan0｜
~~
法二:设A（则l ’γl）’B（则2’y2）’则y｝＝2p卯l@,yi＝2p卿2@’
@ˉ@化简可得ylˉγ2ˉ＿纽—
％l-卯2
γl＋y2
所以八′＝—生—’y2＝2p卯（p＞0）.
y1＋γ2
因为I（:’0）,
所以∏-（:—瓣! ’—γ｜）,而二卜2—:ˉ,γ2）,
∩
即丽-（:—苛,—Ⅱ｜）｀雨-（景:,拖）,
——〉
--〉
因为AF＝入FB’
）
∑
γ
且
∑
危
—
幼
（
入
~~
）
γ
片
—
〃
且
】
（
以
所
266
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「满分之路·解析几何］
◎
）
卫
∑
危
—
幼
（
∧
~~
片
—
〃
且
〗
以
所
@
∏—六）′,
-γl≡∧y2·
（
±
由@@可得yl＋γ2＝
］
＿
∏
勺
～
＿
∏
√
＋
≡
~~
Ⅱ
匹
）
尸
］
—
顶
∑
＿
∏
√
（
上
≡
~~
刀
脂
几
以
所
2
所以｜k｜
≡
｜√rˉ六｜
2.案例二:抛物线γ2＝2p则（p＞0）’过点P（2p’0）作＿条弦AB交抛物线于A’B两点’其中
A（卯l ’yl）’B（卯2’y2）.则
（1）0A」ˉOB;
（2）以AB为直径的圆经过原点;
（3）S△OAB的最小值为4p2’此时AB上厕轴;
（4）当AB上则轴时,以AB为直径的圆的面积最小;
（5）过O作O″上AB’垂足为M,则M点必在一个圆的圆周上.
3.案例三:抛物线y2＝2p卯（p＞0）’过点M（′〕’0）作—条弦AB交抛物线于A’B两点’其中
A（狐l ’yl）’B（则2’y2）.如图所示.
）／」
dl-
B｜旦
／
--→
（1）OA
●
●
■
∑
尸
~~
→
旧
＿
′
儿
l
］
1
二二—巾
p2
,
（2）｜M4｜2＋｜″B｜2
SiA｜″B｜
（3）
≡4
S△MBBl
。S△M』A｜
2的
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』蹿‖O讲抛物线性磷｜
阿墓米德三角形
l.定义:圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形
2.切线方程:
过抛物线γ2＝2p卿（p＞0）上＿点M（卯0’y0）的切线方程为:y0γ＝／〕（绷＋绷0）;
过抛物线y2＝ˉ2p卯（p＞0）上—点″（卯0’γ0）的切线方程为:y0y＝ˉp（则＋卯0）
;
过抛物线卯2＝2py（p＞0）上—点M（则0’y0）的切线方程为:则0厕＝I〕（y＋y0）
;
过抛物线绷2＝ˉ2py（p＞0）上＿点″（绷0’y0）的切线方程为:″0卯＝ˉp（y＋γ0）.
3.主要性质:
性质l:阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线y2＝2p卯（p＞0）的对称轴.
证明:设A（卯1 ’yl）’B（则2’γ2）’M为弦AB中点’则过A的切线方程为ylγ＝p（购＋如l）’过
B的切线方程为:y2γ＝p（卯＋卯2）
’
γlγ＝p（“＋卯l
）
’
y2y＝p（卯＋则2）
’
联立方程组得.
解得两切线交点′（警,半）进而＂J知′卿〃瓤轴
γ｝＝2p则l
’
＼yi＝2p则2’
性质2:若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C’则另＿顶点P的轨迹为—条
直线.
267
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析）二［同〗
证明!设′’（瓣,y）’‘（鳃0,γ0）,由性质｜,鳃-警,Ⅱ-γ｜÷y2,所以有γ｜γ2-2′‰
由』,‘｀‘＝点共线知,÷ˉ器｝—′＂,即》;带』!谴ˉ帅川—随帅-Ⅱ;ˉ〃蕊＂（＊儿
———-卯0
2p
2p
2p
将′二γ｜寺y2 ,γ｜γ2二2p狮代人（＊）得M＝p（虹＋鳃0）
▲
即为P点的轨迹方程.
性质3:抛物线以C点为中点的弦平行于P点的轨迹
性质4:若直线／与抛物线没有公共点’以／上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过
定点.
证明:设／的方程为α则＋bγ＋c＝0’且A（卯l ’yl
）’B（则2’γ2）’弦AB过点C（卿0’γ0）
,
由性质2可知P点的轨迹方程为γ0γ＝p（加＋则0）’该方程与α卯＋bγ＋c＝0表示同＿条
直线’
对照可得露0＝÷,Ⅱ,＝—乎,即藏佃过定点C（÷,—粤）
性顺5;贱边长为嘎的阿基米德二角形的面积的最大位为磊
证明:
｜AB｜＝α,设P到AB的距离为d,
狐｜＋则2
yly2
y｝＋y;
2y｜γ2
（ylˉy2）2
由性质l知〃≤｜P″｜＝
2
2′〕
＝
4p
4p
＝
4p
.
】
）
γ
∑
γ
（
∑
）
加
＋
］
（
′
√
设直线AB的方程为卯＝′＂γ＋＂,则α＝
所以（帅—随）…』,d≤箭,即s-昔喇≤磊
性质6:若阿基米德三角形的底边过焦点’则顶点P的轨迹为准线’且阿基米德三角形的
面积的最小值为p2.
证明;由性质2,若底边过焦点’则聪0＝÷’ ′0＝0,P点的轨迹方程是＂＝ˉ;,即为
准线;
易验证片PA .内PB＝ˉl ,即PA上PB’故阿基米德三角形为直角三角形’且P为直角顶点.
7
7
γT＋γ面
十:≥2｜缓』
｜
冗l＋卯2 ＋丑-
勺
＾
尸
~~
且
∑
＋
所以｜PM｜
＝
2
4p
268
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1露↑O讲抛物线性胰｝
所以s△′啊二＋｜′M训γ!＿γ2 ｜≥｜P″｜√「∏汀≥′段
性质7:在阿基米德三角形中’乙P酗＝乙PFB.
γl
证明:作AA′ˉ［准线’BB′上准线’连接PA′ ’PB′ ’PF’』F’BF,则∧刷′＝
p
显然∧〃′
. 片PA＝—l ,所以R4′上PA
又因为｜A4′
｜
＝｜AF｜
’
由三角形全等可得乙PAA′＝乙ˉPAF,
所以△PAA′≡△PAF’则｜PA′
｜＝｜PF｜,乙PA′A＝乙P删.
同理可得｜PB′
｜
＝｜PF｜’乙PB′B＝乙PFB.
所以｜R4′
｜
≡｜PB′
｜’乙R4′B′≡△PB′A′.
所以乙PA′A＝▲R4′B′＋90。＝乙PB′A′＋90。＝乙ˉPB′B’即乙P刷＝乙pFB.
性质8:
｜AF｜
.
｜BF｜＝｜PF｜2.
证明; ｜AF‖圃′｜＝（獭!＋:）（鞭』十:—）
-…;（鳃｜十陶）十f-（等）:止γ;半匡
4
4
而″｜』≡（尝ˉ:）』（1芋）』-（苦）』带平＋子三叫′｜｜朋
性质9:PM的中点0在抛物线上’且0点处的切线与AB平行.
证明!由性质!知′（驴,1芋）〃（鳖宁里.红苛上）.
可得点0（（′｜聂）』,1宁1）｀此点显然任抛物线上;
过P点的切线斜率为—且——ˉ＿坐——＝附AB,结论得证
yl＋y2
γl＋y2
2
性质10:抛物线上任取＿点′（不与A,B重合）’过′作抛物线切线交PA,PB于S’T,则
△PST的垂心在准线上.
性质11 :在性质10中,连接A′’B′’则△AB′的面积是△PST面积的2倍.
269—
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路·解析几何1
~~
O典型例题
［题型1
抛物线性质］
［例1］已知抛物线C:y2＝8绷与点M（-2’2）,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B
—-〉
——〉
两点.若M4
. 』仍＝0’则∧＝
（
）
徊
—
∑
■
β
‖
』
勺
台
●
∧
C.√历
I）.2
｜·解析0
解法-:
设直线的方程为y＝A（卯ˉ2）’A（卯1 ’γl）’B（购2’y2）
’
｛｝三二—:｜》…懦隐……:≡Ⅷ
联立方程:
4片2＋8＝4＋且
〔贞二~,
｝…
则
〔卯l
·卯2＝4,
V‖‖
＼
y｜十γ2二k（蜒｜ˉ2）讹（趣ˉ2）二胀（躯…—4）＝÷,y广γ2＝—l6’
—〉
—》
MA＝（卿l＋2’γlˉ2）’MB＝（绷2＋2’γ2ˉ2）
’
—〉—〉
M4 .MB＝（卯l＋2）（卯2＋2）＋（γlˉ2）（γ2-2）
＝卯l卿2＋2（则l＋购2）＋4＋ylγ2ˉ2（γl＋γ2）＋4
-4十2（4十÷）十4＿!6ˉ!十』
酱—!十」
≡≡
＝0’
整理得’内2ˉ4片＋4＝（片ˉ2）2＝0’故k＝2.
故选D
27O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
〗露↑o讲抛物线性渍｝
解法二:
）
斗
—
∧
’
斗
—
形
＋
勺
～
（
设AB的中点为／V
因为△A／｜〃B是直角三角形,所以｜AB｜＝2｜Mγ｜
’
）
斗
—
陪
＋
△
‖
（
′
γ√
司
≡
4
｀2
）
了—2
漏｜奶｜二鳃｜十甄2十4-8÷, ｜M｀′
「／
＼
＋
〗
＼
｜
｜
／
∑
斗
—
片
＋
〗
）
斗
—
昭
＋
△
·
（
√
∑
,易得（÷—2）:
~~
月
—
陪
＋
β
则
＝0,
故∧＝2.
拓展:
如图所示’已知抛物线C:γ2＝2p卿’过C的焦点F作—条直线交抛物线于A’B两点
V↑
（l）若″是AB的中点’过点M作C的准线／的垂线’交于点Ⅳ’
—-十
---〉
求证:／M4
. ／γB＝0.
d′
Ⅳ
B′
证明:因为Mγ为梯形AA′B′B的中位线’
所以M｀′＝＋（A』′＋BB′）＝＋ˉAB』
＝
▲
MⅣ＝M4＝MB’故△A／VB＝90。,
---步
---步
日WM4
。／VB＝0°
27｛
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
′满分之路.解析几何l
-—＞
／VB＝0,
ˉ-ˉ≥
（2）若M是AB的中点’点Ⅳ为C的准线／上＿点’且满足／M4
求证:Mγ上／
γ
『
■
』
ˉ
〃′
″
B′
-→
证明;因为／V》4
-→
／VB＝0,
所以△』吧为直角三角形’Mv二寺B＝÷（M十BB′）
又因为M是AB的中点’
所以Mγ是直角梯形AA′B′B的中位线’
从而MVˉ［／. （也就是说M’Ⅳ的纵坐标相等）
［例2］已知F为抛物线C:γ2＝4卯的焦点’过F作两条互相垂直的直线／l ’′2’直线／l与C交
于A’B两点’直线′2与C交于D,E两点’则｜AB｜＋｜DE｜的最小值为
（
）
A. l6
B14
C. l2
Dl0
丽析＿〕
解法-:
设AB的倾斜角为0
K｜ˉ1
G｜O
E
作AK1垂直于准线’AK2垂直于则轴’
272
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］赣↑O讲抛物线性质｝
／｜AKl
｜＝｜AF｜（抛物线特性）
’
易知《｜AF｜
. cos0＋｜GF｜＝｝AKl
｜（几何关系）
’
｜c川＝:ˉ（—;）二′,
所以｜AF｜
. Cos0＋p≡｜AF｜
,
故｜A′｜-厂:t丽’ ｜βF｜＝＿坠—
1＋COS0,
所以｜AB｜＝纽ˉ-2且—
1-cos20
sin20。
2p
又D愿与川B垂直』即DE的倾斜角为:＋〃,则｜DE｜＝
‘i＂2（:ˉ卜0）
—
2p
~ COS20
『币y2＝4卯’即p＝2
sin20＋cos20
β
~
~
ˉ
勺
＝
■
』
∏
●
∏
■
＝
吕
／
』
□
‖
‖
＼
斗
~~
＼
｜
□
‖
′
／
β
∩
≡
■
Ⅱ
吕
○
℃
＋
』
∏‖
■■■
4
所以｜AB｜
＋｜DE｜≡2p
~
~
~~
~~
sin20cos20
β
勺
▲
∩
≈
口
◎
●
∩
″
勺
～
］
【
●
■
】
』
吕
’
＝
∏
吁
■
且
吕
］
＿
斗
20
16
sin220≥16’
当0＝牙时取等号,即MB｜＋｜DE｜的最小值为l6
解法二:
设A（则l ’yl）’B（卯2’γ2）’D（则3 ’γ3）’E（则4’γ4）
’
直线／l的方程为γ＝∧l（卯ˉ1）’
…‖｛…口—｜（
消去y’得嘛2ˉ2腺卯ˉ4卿＋k｝＝0’
ˉ2∧｝ˉ4
2时＋4
∩
所以卯1＋卯2＝
＝
眯
崎
’
2隅＋4
同理直线／2与抛物线的交点满足卯3＋卯4＝
垄
睹
’
273
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路·解祈几何］
由抛物线定义可知
2畸＋4
2崎＋4
A｝
＋
崎
日
＋
庶
∑
≥
β
＋
▲
—
门
屹
＋
斗
—
门
叮
~~
△
·
＋
｜AB｜
＋｜DE｜
＝卯l ＋％2＋卯3＋尤4＋2p＝
＝l6’
当且仅当∧l＝-k2＝1（或ˉ1）时’取等号.
解法三（参数法）
:
由抛物线C:γ2二4狐易知F（l,0）’设直线′］的倾斜角为α（0＜α＜丽且α≠苦）,则参数
露擂勘〔二｜咖?…（嘉呻…）…』输………瑟戳.
sin2α. t2ˉ4cosα. ′ˉ4＝0.设点A’B所对应的参数分别为‖l ’t2’则由根与系数的关系
4COSα
tl＋t2≡
.
2
s1nα
有割
＝｜AB｜＝｜tlˉ′2
｜
＝
-4
＄l
· t2＝
。
勺
sIn▲α
4
＝
∩
sin么α
‖
勺
＝
′
斗
〗
别
′
＋
‖
（
√
4
4
二≡
勺
COS＝α
由于′」上!2→直线′2的倾斜角为α＋晋＝｜DE｜＝
）
∏
—
勺
～
＋
α
（
∑
Ⅲ
■
■
】
』
吕
4
所以｜AB｜＋｜DE｜≡
4
sin2α＋
α
’
＝
吕
○
℃
方法-（基本不等式）
:
’
＝
Ⅲ
■
■
】
』
吕
／
■
‖
｀
＼
｀
‖
‖
‖
『
／
α
〃
斗
’
旷
◎
℃
＋
α
〃
斗
’
汀
●
∏
□
上
吕
／
』
‖
□
‖
‖
｀
＼
~~
｀
｀
〗
‖
′
α
勺
＝
巳
巴
○
℃
＋
α
｜AB｜
＋｜DE｜
≡8带…』α搽:≥』6凿α-子畸嚷等号
（
）
＋
sin2α
方法二（转化为三角函数处理）
:
·‖＂2α＋c.爵2α
＂＂ˉα…·m22α≥l6（当α二苛时取等景）
｜AB｜
＋｜DE｜
≡
＝
＝
□
7
7
274
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第↑o讲抛物线性磺｝
［例3］已知抛物线C:γ2＝4测的焦点为F’过点K（ˉl ’0）的直线／与C相交于A＼B两点’点
4关于加轴的对称点为1）
（l）求证:点F在直线BD上;
（2）设可丽二:,求△BDK的内切圆卿的方程
｜.解祈］
（1）证明:
解法～:设A（卯l ’yl）,B（厕2’y2）’D（卯l ’ˉγl）’／的方程为〃＝myˉl（″』≠0）.
……蹿:口▲〔
消去则’得到γ2-4my＋4＝0’
所以γ1y2＝4,γl＋γ2＝4m,
γ2＋γl （卿-“2）
’
直线BD;y—y2＝
卯2-卯l
可以求出直线BD与则轴的交点为（1’0）’即为F点.
解法二:设直线KB的方程为卯＝mγˉ1（矾≠0）.
设直线FB的方程为卯＝＂γ＋l’A（则l ’y1）’B（卯2’γ2）’其中卿l≠卯2’yl≠γ2’
直线FB与抛物线另一个交点为E（卯3’γ3）
’
.｛戴11
得到y2ˉ4mγ＋4＝0’所以γly2＝4@’
.｛戴1
得到γ2ˉ4〃yˉ4＝0’所以y3γ2＝ˉ4@·
对比@@可得y3＝ˉyl .结合抛物线的对称性可知’点E与点A关于卯轴对称’
故点D即点E’从而点F’D’B共线’点F在直线BD上.
解法三:设直线KB的方程为则＝″!yˉ1（m≠0）.
设A（卿l ,y1）’B（绷2’y2）’其中卯1≠卯2’yl≠y2’则D（“l ’-y1）
’
.｜二蒜▲1
得到y2＝4mγ＋4＝0’
275
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解祈几何〖
~
所以y1γ2≡4,γl＋y2＝4m.
又F（l ’0）
’
V勺
γ2
-yl
-yl
所以腑″＝万≠T＝吻2ˉ2,k″＝
＝
卯l-1
mγl-2,
应用ylγ2＝4’γl ＋y2＝4″0’
很容易得到AI）F＝ABF’从而点F’D’B共线’点F在直线BD上
（2）由（1）知’
则l＋卯2＝（′nylˉ1）＋（″!γ2-1）＝4m2ˉ2’
卯l厕2＝（′∏ylˉ1）（″』γ2—1）＝1
’
.-→
一＿→
因为川＝（“lˉl ’γl
）’FB＝（卯2-l ’y2）
’
’
∑
加
斗
β
~~
△
口
＋
］
＋
）
∑
冗
＋
］
卯
（
∑
卯
］
％
~~
〗
γ
］
γ
√
＋
＼
／
■
Ⅱ
∑
卯
（
）
］
］
卯
（
~~
一
肥
●
→
刷
4
越8＿4狮2二:,解得哪二童丁.
所以／的方程为3匆＋4γ＋3＝0或3卯-4γ＋3≡O
又卤（l）知γ2—γ｜＝±√（4′＂）』—4×4＝±靳,
故直线BD的斜率4
＝＋旦
ˉ｀／7’
y2-yl
因而直线BD的方程为3卯＋仍ˉ3＝0或3卯ˉ√7）ˉ3＝O
因为KF为乙BKD的乎分线’故可设圆心M（』’0）（-1＜′＜1）
’
删（』,0）到′及BD的距离分别为3｜号l
｜,3｜‘丁｜
｜,
由3｜号l
｜＝3｜‘丁｜
｜,得′＝÷,或』＝9（舍去）,
γ的半径′＝3｜‖＋l
｜
2
≡≡
5
3
故圆
所以圃″的方程为（蜒—十）:＋y2-÷
＿276
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］第↑O讲抛物线性魔｜
~
［例4］已知抛物线C:y2＝4卯的焦点为F’直线MV过焦点F且与抛物线C交于MⅣ两
点’P为抛物线C准线／上—点且PFˉ［M＼／,连接PM交γ轴于0点’过0作0D上
MF于点D’若｜MD｜＝2｜ⅣF｜’则｜″F｜
＝
】
』
析
解
●
作MM′上／于M′ ’设M｜′′交y轴于点R.
易由△MM｛P兰△MFP得乙PMM′＝乙F‖′P’
从而有△M｛Q≡△／｜lD0’
所以｜MR｜＝｜MD｜.
因为｜MM′
｜＝｜″F｜
,
所以｜DF｜＝｜M′R｜
＝l。
设｜／γF｜＝卯’则｜／｜′D｜
＝2卿。
曲｜耐F｜
WF｜
′
＂＿l,
l
＋—＝兰＝l ’得｜″F｜＝—些
徊
＋
勺
～
~~
卯
’
≈
＋
］
~~尸
″
’
则
’
～
＿
＿
‖
』
’
＋
觅
—
村
～
州
∑
］
以
＿
—
所
匆
得
罪
角
277
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「满分之路.解析几何］
［例5］已知抛物线C:γ2＝2p卯（p＞（））的焦点为F’过F的直线交抛物线C于A’B两点’以线
段AB为育径的圆与抛物线‘的准线切于″（ˉ:,3）』目△Mg的面积为√百』求抛
物线C的方程.
…西
解法-:
）
丛
∑
卯
（
设』（骡｜,γ｜）,‘（测2,γ:）,过焦点F（;,0）的直线方程为γ＝k
γ2＝2p厕’
仰÷）
联立直线AB与抛物线:
消去卯得Aγ2—2py-kp2＝（）
’
［厂义半“
（将瓣-劳代入…‘测
γly2＝-p2’
故｜γlˉγ2
｜＝√（γ｜＋γ2）2ˉ4γ｜.γ2＝√j6叼可’
由题意s△铡＂＝÷:｜y｜—,2
｜-矛／I6＋4′:＝伍,
即p4＋9p2-52＝0’解得p2＝4’即p＝2’
故γ2≡4卯。
解法二:
设A（卯l ’y｜
）’B（卯2’γ2）
’
以线段咽为直径的圆与抛物线c的准线切于删（ˉ;,3）,
所以γl＋γ2＝6’o
翻｛闰茸…｀……‖＂
yl-y2
由@@可得:kAB＝
卯l
-卯7
＝
丛
〕~~
278
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」蹿↑O讲抛物线性瞬｝
敛直线必的方程为,二!／卜ˉ;—）’:′鳃二兰γ＋;,
p
γ2＝2p卯’
［二汁÷｝…′……｛‖琴二′
联立直线AB与抛物线:
p
闽为S△』o鹰＝＋. ˉ乌— . ｜y｜ˉy2
｜＝√Ij—,所以p√36ˉ卜4p2＝4｀／I习ˉ,解得p二2,
～
△
所以抛物线C的方程为γ2＝4鳃.
［例6］过抛物线C:γ2＝2p卯（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于M’ ／V两点,由
准线／作垂线,垂足分别为Ml ’Ⅳl .求证:以″lⅣ］为直径的圆过点F.
｜.解祈0
M／＼／向
依题意,焦点为f（:,0）,准线′的方程为翼＝—;,设点″（腮! ,y｜）’M翅,γ:）,直线M｀′
’
且
∑
＋
γ
√
〗
″
~~卯
为
程
ˉ
、
万
勺
白
’
）
∑
γ
’
′
（
~~
≠
刚
’
）
』
γ
’
尸
（
~~
＿
哑
’
）
∑
）
’
且
∑
（
＼
‖
‖
□
‖
′
／
］
γ
’
且
∑
／
』
‖
口
‖
‖
‖
＼
则有Ml
’Ⅳ］
｜…／峙……Ⅷ
由
γ2＝2p卯,
＝-—〉—〉
所以F‖′l .FγVl＝p2＋y1γ2＝p2-I）2＝0’故FM上′Wl
所以以″l／Vl为直径的圆过点F
［例7］已知平面内—动点P到点F（l ’0）的距离与点P到y轴的距离的差等于l.
（1）求动点P的轨迹C的方程;
（2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线／l
’ ′2设／l与轨迹C相交于点A’B’／2
—≥
--＞
与轨迹C相交于点D’E,求AD.EB的最小值.
279
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何l
｜·解析日
（1）设动点P（鳃’y）’由题意有＼／（卯ˉ1）2＋γ2ˉ
｜卯｜＝1’
两边乎方化简得γ2＝2则＋2｜卯｜
’
当约≥0时’γ2＝4免;
当冗＜0时’γ＝0。
所以’动点p的轨迹C的方程为γ2＝4卿（则≥0）和y＝0（卿＜0）.
（2）由题意知’直线／l的斜率存在且不为（）’设为k’设A（卿l ’γl）’B（则2’γ2）
’
』｜』｛陶瑟…（鳃—川砌｛｝厂』i—｜（
得k2卯2ˉ（2∧2＋4）厕＋k2＝（）’
于是…:-2÷』…-1
圈为｝｜」ˉ′』,所以′2的斜率为十
设D（则3’γ3）’E（绷4’γ4）
’
同理可得卿3＋卯4＝2＋4A2’卯3狐4＝1’
--〉
---》
一》
-—-〉
-—〉
--〉
故AD.EB＝（AF＋FD）
. （EF＋FB）
→＝-＝〉→—→
---少一——≥
--》
＝AF。EF＋AF.FB＋FD.EF＋FD.FB
一
——〉
｜FB｜＋｜FD｜
---广
｜EF｜
→
〃
~~
＝（卿1＋l）（卿2＋l）＋（卿3＋1）（“4＋l）
＝厕l卯2＋（绷l＋卯2）＋1＋厕3狐4ˉ卜（则3＋卿4）＋］
-｜带（2ˉ÷）刊—卜｜十（2十州凰）刊
-s辫（膘带食）…×2√隐』亡≡l‘
誉且仅当胀2-☆′鼠肌-＝｜时,Ⅲ咖｛
EB取得最小值为l6
-28O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］第↑O讲抛物线性胰〖
［题型2抛物线的定点问题］
［例8］已知抛物线C:γ2＝2p则（p＞（））.
（l）过抛物线C的顶点O’引互相垂直的弦OA’OB与抛物线相交于另两点A’B’证
明:直线AB过定点·
—≥
（2）过抛物线C的顶点O’引两条弦OA’OB与抛物线相交于另两点A’B,满足OA
.
—〉
OB＝3p2’证明:直线AB过定点.
（3）过抛物线C上—定点P（则0’γ0）’引互相垂直的弦川’PB与抛物线相交于另两点
A,B’证明:直线AB过定点.
（4）设A’B是抛物线C上异于原点O的两个不同点’直线OA和OB的倾斜角分别为
α和β,当α’β变化且α＋β为定值0（0＜0＜∏）时,证明直线AB恒过定点,并
求出该定点的坐标
·解析］
（l）证明:齐次化简化解证:
设A（绷｛’yl）,B（卿2’y2）’直线AB的方程为卯＝″＋m（″』≠0）’则丝二红＝l
’
刀〗
将y2＝2p卯写为y2＝2p则.匹二D〔（实现方程的齐次化）’即mγ2＋2p卿γˉ2p厕2＝0（卯≠0）
’
″』
…′＂（÷）!十驰』垄—2′＝0’所以些丝—三!
卯
卯1
％2
″l
因为OA上OB’所以∧oA .koB＝红。丝＝—1＝二纽’则′n＝2P’
卯l
卯2
′∏
从而直线AB的方程为则＝tγ＋2p’所以过定点（2p’0）.
一般解法:
设A（卿l ’γ1）’B（狐2’γ2）’直线AB的方程为卯＝ty＋m’
…｛副雕…ˉ勘…≡………｛嫩二驾雕（＊｜
--＋
---尹
因为OAˉ［OB,所以OA·OB＝卯l卯2＋ylγ2＝0’
7
7
因为勘-矗』鞠-器,所以咖醛ˉ2′咖-0』解得咖-2′』或测-0（舍）
所以卯＝″＋2p’故直线AB过定点（2p’0）.
28］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路、解析几何【
（2）齐次化简化解证:
设A（躯』’γ』）,‘（鳃2,′2）,直线AB的方程为＂＝懒…（″《≠0）,则塑亏子1＝l ,
将γ2＝2p则写为y2＝2p卯.堑二业（实现方程的齐次化）’即″lγ2＋2p咖γˉ2p则2＝0（厕≠0）
’
∏l
…′＂（＋）Ⅲ十2′』÷ˉ2′-0’所以÷￡ˉ宁＝…-＿2′鹏
闽为励而≡3′2｀所以丽I荫≡蹦｜鞭…二］p』,即（等）2却l№-3′2,
所以m2-2p″lˉ3p2＝0’解得m＝3p’或″!＝-p（舍）.
所以狐＝ty＋3p’故直线AB过定点（3p’0）.
一般解法:
设A（卯l ’y1）’B（则2’γ2）’直线AB的方程为卯＝tγ＋′n’
〔二蝴＼淮…—……
联立方程
｛（｜＂l＝驾删~ （′）
由根与系数的关系知
2
7
yl
γi
--→
＿→
OA. （）B＝“l卿2＋ylγ2＝3p2,因为狐l＝刀’“2＝万’
所以m2-2pm-3p2＝0’解得″!＝3p’或m＝ˉp（舍）.
所以卯＝′γ＋3p’故直线AB过定点（3p’0）.
拓展:
一＿＋
过抛物线C的顶点O’引两条弦OA’OB与抛物线相交于另两点′4’B’满足OA
（′l2＿l）p2’则直线AB过定点（（n＋l）p’0）.
（3）设A（鲍l ’γl）’B（“2’y2）’直线AB的方程为则＝rγ＋″!（″』≠0）
’
-＝-广
OB＝
）
○
γ
√
γ
√
（
Ⅱ
‖
卯
卯
·
］~~
‖
贝
『
）
◎
≠
·
卯
○
γ
‖
＋
‖
″
（
◎
卯
◎
γ
＄
＋
Ⅲ
＋
）
◎
γ
γ
（
′
~~
◎
卯
卯
为
式
变
~
″l＋lγ0—卯0
将γ2＝2p厕写为［（γˉy0）＋γ0］2＝2p（则ˉ卯0＋腮0）
’
282
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』缀↑O讲抛物线性磺｝
即（γˉy0）2＋2y0（γˉγ0）＝2p（卯ˉ厕0）,
于是（γˉγ0）2＋2γ0（γˉγ0）
. （卯-卿0）＿t（γ＿γ0）＝2p（卯-则0）
. （卯-卿0）-t（yˉγ0）
m＋‖γ0-卯0
m＋′γ0-卯0
即（矾ˉty0-卿0）
. （γˉy0）2＋2（y0＋pt）
。（卯ˉ厕0）（γˉγ0）ˉ2p（卯ˉ则0）2＝0’
2
旧;）
（吕｛）—驴
）
‖
卯
◎
γ
‖
加
／
『
｛
｀
币
『
从
＋2（γ0＋pt）
＝（）.
y2-γ0
-2p
●
≡二
卯2ˉ％0
″〗-′y0-卯0
○
γ
玖
］
γ
√
以
所
卯l-卯0
γl-y0
γ2-γ0
—2p
＝-l＝
m＿′y0-卯0
因为PA上PB’所以片PA .∧PB＝
卯l-卯0
卯2—卯（）
则m＝-2p＋‖y0＋卯0,
从而直线AB的方程为绷＝‖yˉ2p＋tγ0＋卿0＝r（γ＋y0）＋（ˉ2p＋卯0）
’
所以过定点（厕0ˉ2p’-y0）.
拓展:
过抛物线C上一定点P（卯0’y0）’引两条弦PA’PB’若∧PA .∧PB＝儿（∧≠0）’则直线AB过
定点（x0—?’＿γ0）
勺
勺
（4）设（絮｀Ⅱ｜）,周（磊随）…得鹏｜≠陶（否则α带β-丽）’凰.鳃｜』翅≠α
所以直线AB的斜率存在’设其方程为γ＝肋＋b.
｜
!~!
瓣童｛蹲｝…膨堂—勤…～………系.
］
~~
β
Ⅲ
已
［
●
α
Ⅱ
］
α
［
∏
—
勺
▲
~~
β
＋
α
『
日
寸
日
∏
—
勺
▲
~~
β
当
形
情
’
◎
~~
且
γ
］
″
γ
√
∩
丝
司
叁
司
≡
γ
玖
沉
〃
典
∑
］
旷
γ
′
口
川
寸
′
~
″
’
内
·
尸
＿
一
∑
~~
∑
γ
』
］
γ
「
日
’
型
八
∑
卯
］
％
~~
’
］
∑
＿
＿
尸
↓
№
—
咆
一
＿
∑
●
γ
川
—
川
Ⅵ
以
以
所
所
因此直线AB的方程可表示为γ＝脑＋2p∧’即片（躯＋2p）ˉy＝0
283
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之蹈.解祈几何l
所以直线AB恒过定点（-2′）’0）.
情形二当0＝号时ˉ ,由α＋β＝0得
纽＋纽
yl
y2
2p（γ｜＋y2）
№
—
咆
＋
川
—
川
taI1α＋tanβ
tan0＝tan（α＋β）＝1-tanα. tanβ
~~
~~~~
lˉ纽.纽
γly2ˉ4p2
yl
γ2
lˉl（112
卯l卯2
将（＊）式代入上式墓理化简,得…-尚Ⅸ,
所以h＝『捻＋2毗
此时,直线dB的方程可表示为γ二胁＋蒜带2′咐.膜｜』腮（狐＋2′）ˉ（γ—蒜）
所以…B过定点（—2′’「蒜）
≡0.
综上所述,当0＝:时,直线」B恒过定点（ˉ2p』0）;
当0号时,…B恒过定点（—2′,蒜）
［例9］设抛物线C:则2＝2py（p＞0）,P为准线上任意一点’过p引抛物线的切线pA’pB’切
点分别为A’B.证明:直线AB恒过定点.
｜.解析p
勺
勺
…设A卜』｀苛）阎（鞠』景）,…,P（蕊Ⅷ｀—:）
2
卯2
…:＝2′γ,得γ二云则γ′＝丝.所以k捌＝旦,k″一
p
p
p
因此直线PA的方程为γ＝丑（则ˉ腑］）＋y｜’直线′〕B的方程为y＝丝（卿-绷2）＋y2.
p
p
因为点P在直线PA’PB上’
2
O
卯l
卯l
几;
卯7
所以吓—万腮0＋γ0＝0,示—了绷0＋γ0＝0,
2弘
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第↑O讲抛物线性胰‖
●
·
γ
尸
∑
~~
∑
卯
●
□
〗
』
卯
’
·
卯
’
～
~~
∑
卯
＋
］
卯
以
所
’
良
十
两
勺
白
○
~~
‖
γ
叼
＋
○
卯
卯
—
∏
卫
形
—
印
程
方
曰
正
∑
卯
’
］
卯
以
所
yl-y2
宁躯ˉ警,鼠门-塑叶÷
p
直线AB的方程为γ-γl＝
（卿ˉ则l）’整理得γ＝
卯l-卯2
所以直线奶｝厘过定点（0,:）
［例1（）］已知点A（2’ l）在抛物线E:卯2＝αγ上’直线／l :y＝脑＋1（k巨R’且k≠0）与抛物线
E相交于B’C两点’直线AB’AC分别交直线／2:γ＝ˉ1于点S,
7｀
（1）求α的值;
（2）若｜ST｜＝2√百’求直线／l的方程;
（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点?若是’求出这两个定点的坐
标;若不是,请说明理由
·解析0
（1）因为点A（2’1）在抛物线E:卿2＝αγ上’所以α＝4.
（2）由（l）得抛物线E的方程为加2＝4y.
设点B’C的坐标分别为（卯l ’yl）’（卯2’γ2）
’
依题意’卿｝＝4yl ’卿;＝4y2’
将y＝脑＋l代入抛物线方程’消去y得则2-4版-4＝（）’
4A±4√片2＋l＝2k±2√府2＋1
解得卯l ,2＝
2
所以勿l＋％2＝4∧’如l鳃2＝-4.
勺
直线A…率陶‘-γ』ˉ｜
￥—｜
Ⅱ｜十2
二二
吕＝
卯l-2
卯l-2
4
,
％l＋2
故直线AB的方程为yˉ1＝—厂（师—2）
285
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「满分之蹈.解析几何［
8
今y≡-l’得卿≡2-
卯l ＋2,
所…的坐擂为（2＿志’ˉ｜）
阎理可得…坐标为（2＿志』ˉ1）
8
8（卯｜ˉ卯2）
＂｜十2ˉ（2ˉ翼具2）
＝
（鳃｜＋2）（蛔＋2）
所以｜ST｜
≡
2-
8（卯lˉ卿2）
8（卯｜ˉ卯2）
卯lˉ卯2
吕＝
＝＝
卯l师2＋2（卯l＋卯2）＋4
8∧
k
因为｜ST｜＝2√百’
~~
所以｜厕lˉ则2
｜＝2√百｜内｜
由｜则lˉ抛2 ｜2＝（则l＋卯2）2—4″l卯2’得2（）片2＝16k2＋l6’
解得k＝2或k＝ˉ2’
所以直线′l的方程为γ＝2卿＋l或y≡-2卿＋l.
（3）设线段ST的中点坐标为（狐0’-l）
’
腮｀翔→（2—敷!矿2—露具2）ˉ2ˉ（4｜雕翼』｛
2ˉ
＝2ˉ4（4∧＋4）＝旦
4（4片＋4）
卯l厕2＋2（卿l＋厕2）＋4
8∧
∧
而｜ST｜2≡（卯l-狐2）2
（躯l＋厕2）2-4卯l卯2
l6（八2＋l）
k2
＝
≡≡
片2
k2
所以以线段ST为直径的圆的方程为
~~
（獭＋÷）2＋（γ.卜l）2＝寸｜s′｜:＝纠（胀2＋l）
∧2
。
晨开得鞭:十÷鳃十（y十｜）2-4（雁十｜）ˉ÷-“
∧2
令狐＝0’得（y＋l）2＝4’解得γ＝1或γ＝ˉ3.
所以以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0’l）’（0’ˉ3）.
—286
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
l蹿↑o讲抛物线性胰｀
［题型3
阿基米德三角形问题］
［例ll］如图’在平面直角坐标系绷oy中’过y轴正方向上＿点
C（0’c）任作—直线’与抛物线γ＝躯2相交于A’B两点.—
条垂直于则轴的直线,分别与线段AB和直线／:γ＝-c交
于点P’0.
--〉
—-〉
（1）若OA.OB＝2,求c的值;
（2）若P为线段AB的中点’求证:Q』为此抛物线的切线;
（3）试问（2）的逆命题是否成立?说明理由.
l／
γ
X
Q＼／
（1）设直线AB的方程为γ＝肋＋c’
将该方程代入γ＝厕2’得则2—肋-C＝0.
令A（α’α2）’B（b’62）’则αb＝ˉC.
一-—〉
因为0A.OB＝αb＋α2b2＝ˉc＋c2＝2’解得c＝2’或c＝-1（舍去）
故C＝2.
α2＋C
α2-αb
（2）由题意婶q（宁,ˉc）,直线』0的斜率为k侧≡
＝
α＋6
α-b
αˉ—丁＿丁
≡2α·
又y＝卿2的导数为γ′＝2卯’
所以点A处切线的斜率为2α’
因此’A0为该抛物线的切线.
（3）（2）的逆命题成立’证明如下:
设0（测0’-c）.
若A0为该抛物线的切线’则片AQ＝2α’
……;斜率为枷-忠宗黑所以α:—《施二2“｀
≡＝
α-卯0
得2酗嚣＂＝“:＋徽6,因α≠0.有鳃＂二宁
故意P的横坐标为宁,卵P点是线段dB晌中点
287
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路. 解析几何1
［例l2］已知抛物线C:y＝2厕2’直线γ＝脑＋2交C于A’B两点,M是线段AB的中点,过M
作则轴的垂线交C于点Ⅳ
（1）证明:抛物线C在点Ⅳ处的切线与AB平行;
---〉
---》
（2）是否存在实数片使／M4
. ／VB＝0’若存在’求人的值;若不存在’说明理由
可
』
析
解
●
（l）证明:如图’
引
｜
＂
设A（卯l ’2卯｝）’B（卿2’2卿i）
’
…瓣…;｛巨二3
消去γ得2卯2-脑-2＝0’
内
—
斗~~
冗l＋％7
～
所以卯／V＝勿M＝
2
＼
｀
【
〗
‖
‖
′
′
脐
—
日
’
∧
＿
斗
／
所以点Ⅳ（
｀
由γ≡2卯2,则γ′＝4卯,
所以抛物线在点″处的切线′的斜率为4÷-胀,
所以／／／／AB.
＝-＋
（2）假设存在实数k’使／M4
--→
ⅣB＝0
）
陪
—
日
〗
∑
卯
勺
△
八
—
斗
〗
卯
（
~~
一
吧
）
雁
—
β
】
］
卯
’
～
∧
—
斗
卯
（
~~
一
№
知
（
由
288
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』露↑O讲抛物线性磺‖
砸耐-（鳃厂÷）卜jˉ÷卜（2腮｛—÷）（2赚iˉ芳）
二卜｜绳—÷（…）喘｜｜」叫…胀（…）十等｜
-（—｜＿÷÷借）｜‖伞（ˉ｜）十＂÷譬｜
-（＿｜＿借）（—］÷膘）-0
圆为＿］—腊＜0,所以ˉ』十款-0,解得州-圭2坪存夜′t-
-—-〉
±2,使／M4
ˉ—-〉
／γB＝（）
［例l3］已知过点P（0’-1）的直线′与抛物线卯2＝4y相交于A（则l ’yl）,B（卯2’y2）两点’
／l
’
／2分别是抛物线绷2＝4y在A’B两点处的切线,M, ∧／分别是／l
’ ／2与直线y＝—］
的交点.
（l）求直线／的斜率的取值范围;
（2）试比较｜PM｜与｜PⅣ｜的大小’并说明理由.
｜·解析D
（l）依题意’直线／的斜率存在’设直线／的方程为γ＝肋ˉ1
……蕴;｛盲芒‖
消去γ得“2ˉ4肋＋4＝0·
o
因为直线／与抛物线″2＝4γ相交于A’B两点’
所以△＝l6片2-l6＞0’解得八＞l或∧＜一L
故直线／的斜率的取值范围为（ˉ的’-1）O（l ’＋的）.
…………藤州｛h茧i二［丑…ˉ＂
由γ-士躯2’则γ′≡÷鞭,k′｜-＋鳃「
所以切线!｜;y＝÷鞭!（腮＿獭! ）＋＋獭｝
289
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路·解祈几何l
）
今γ≡-l ’得卯M＝
卯;ˉ4
所以｜PM｜
＝
2卯l
则;ˉ4
同理’可得｜P／V｜
＝
2卯2
处理方案一;
｜～｜（翔封乱
故｜P″｜
＝｜PⅣ｜
处理方案二:
卯｝ˉ4
则iˉ4
（卯!＋卿2）（厕l加2ˉ4）
因为2卯1
垄
＋
＝
2卯勺
2卯l卯2
所以点P是线段Mγ的中点’
故｜PM｜
＝
｜PⅣ｜.
＝0,
［例l4］如图’设抛物线方程为“2＝2py（p＞0）’M为直线γ＝ˉ2p上任意＿点》过″引抛
物线的切线,切点分别为A’B.
（l）求证:A’M’B三点的横坐标成等差数列;
（2）已知当″点的坐标为（2’ˉ2p）时’
｜AB｜＝4√T∏’求此时抛物线的方程;
（3）是否存在点M使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线卯2＝2pγ（p＞0）上,
—尹
—-十
---≥
其中’点C满足OC＝OA＋OB（O为坐标原点）.若存在’求出所有适合题意的点
M的坐标;若不存在’请说明理由.
］0／
＼
γ＝ˉ2p
M
2卯
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］繁↑O讲敷购物线键胰‖
｜·解析0
（!…;淘…」卜｜.＄）凰卜』,箭）
邮!-2″得Ⅱ-芳.得Ⅱ′-÷｀
（卯l＜测2）’″（″0’-2p）
’
旦’kMB
所以kMA＝
p
咆
—
尸
~~
因此直线M4的方程为y＋2p＝旦（卯ˉ卯0）
’
p
直线″B的方程为y＋2p＝丝（卯ˉ则0）.
p
勺
叮
所以乃＋2p＝旦（则l—绷0）’@
′〕
7
卯;
—二＋2p＝丝（则2ˉ则0）.@
2p
p
由@@得鞭宁2 ＝卯l
＋卯2—卯〔〕
’
闺此躯0二撼宁2,即2鞭＂＝…2
所以A’M’B三点的横坐标成等差数列.
（2）由（l）知’当卿0＝2时’
将其代入o@并整理得:
则;ˉ4卿］ˉ4p2＝0’
财;ˉ4卯2ˉ4p2＝0’
所以则l ’“2是方程卯2-4加-4p2≡0的两根’
酗〔｜二二翔;
∑
—
尸
~~
β
∧
了
门
以
所
’
列
尸
~~
∑
卯
）
＋
仍
外
］
卯
~~
些
铀
勺
呵
＿
句
哺
—
~~
日
∧
〗
″
又
29‖
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路·解析几何【
卸
＋
］
′
可
∑
九
］
卯
〃
斗
∑
）
∑
卯
＋
］
卯
（
厕
~~
β
』
得
式
公
长
ˉ
弦
由
6＋l6p2＝4√I∏’解得p＝l
或p＝2
因此所求抛物线方程为卯2＝2y或卿2＝4γ.
（3）设D（厕3 ’y3）’由题意得C（厕l＋“2’yl＋y2）
’
则‘D的中点坐标为Q「｜十瞥…,y｜丁y』｜
设直线AB的方程为γˉyl＝迎（卯—厕l）
’
p
淘点0在直线』‘上,并注意到点（塑宁.1宁坠）也在…‘上.
卯0
代入得γ3＝＿卯3.
p
若D（卯3’y3）在抛物线上’则卯;＝2pγ3＝2则0则3
’
因此卯3＝0或％3≡2卯0.
仔
）
蜗
丁
’
○
几
勺
～
（
〃
或
）
◎
’
·
（
〃
即
情形一当卯0＝0时’卯l＋厕2＝2卯0＝0’此时’点M（0’—2p）适合题意;
财｝＋卯;
）
2／〕
′
／
情形二当卯0≠0’对ˉ于ˉD（0,0）’此时C｜2厕0,
＼
勺
勺
卯丁＋喧
勺
勺
／tCD＝＿2坠-ˉ卯『＋咱’又／tAB＝血’AB上CD’
2卯（）
4p卯0
p
7
7
7
7
卯0
叮＋咱呵＋卯五
所以AAB .AcD＝—.
＝
＝ˉ1 ’即厕｝＋则;＝ˉ4p2’矛盾.
p
4p卯0
4p2
（2翔,手）圈为‘（2翔.宁）』…缆‘″平行打轴
对于D
又∧AB＝血≠0’所以直线AB与直线CD不垂直’与题设矛盾’
I）
综上’躯（）≠0时’不存在符合题意的″点.
综上所述’仅存在一点M（0’ˉ2p）适合题意
292
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
l蹿γo讲抛物线性凝｝
［例l5］设点P（卯0’γ0）在直线卯＝′n（γ≠±′＂’（）＜″l＜l）上’过点P作双曲线则2ˉγ2＝l的两
条切线川,PB,切点为州,B,定点″（斋,0）
（1）求证:三点A’M’B共线;
（2）过点A作直线则ˉγ＝0的垂线’垂足为／V’试求△AM／＼／的重心G所在的曲线
方程
p」
｜·解析］
（1）证明:设A（绷l ’γl）’B（卯2’γ2）
’
由已知得到γly2≠0’且卯｝ˉγ｝＝1’卯lˉy;＝l
’
设切线PA的方程为:y-γ1＝k（卯ˉ则1）
’
………;｛!导｝之小｜
消去y得（lˉ∧2）卯2ˉ2八（γl-肋l ）卯-（γlˉ脑l）2ˉ1＝（）’
卯l
从而△＝4k2（γl-胁l ）2＋4（lˉA2）（γl—k卿l ）2＋4（l-A2）＝0’解得A＝＿’
γl
因此直线PA的方程为:ylγ＝勿l腮-1
同理直线PB的方程为:y2γ＝虹2卯—l。
又P（″l’γ0）在PA’PB上’所以γlγ0＝m卯! ˉ1’γ2γ0＝″!则2-］
即点A（“l ’γl）’B（卯2’γ2）都在直线y0γ＝″!则—l上.
又删（÷,0）也在直线γ＂γ＝咖腮ˉl上,
｀
′
所以A,M,B二点共线
四3
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路.解析几何l
（2）垂线A／V的方程为:y—yl≡-则＋则l
’
陶｛二｛ˉ广‖ 得攀足卵｜竿｜.鞭宁｜
设重心G（卯’γ）
’
｜
∩
〕
—
加
γ
〕
卯
’
l
1
卯l＋γl
庐
卜｜十丽＋
2
）,
＂｜-
卯＝丁
所以＜
解得≤
1
卯l＋γl
（y｜十0＋
2
）,
γ＝丁
烂
yl＝
4
1
9γ-3卯＋—
m′
4
由鳃｝—y;＝l可得（］撼ˉ］y—湍）（3…γˉ斋）＝2,
即（躯ˉ六）2ˉγ2-;为…所在…方程
设』＞0〕椭厕方榨烯÷」抛物线〃程为鳃』三8（Ⅱˉh）如图所亦,过点′（0』
b＋2）作则轴的平行线,与抛物线在第＿象限内的交点为G,已知抛物线在6点的切
线经过椭圆的右焦点Fl .
（l）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
（2）设A’B分别是椭圆的左、右端点’试探究在抛物线上是否存在点P,使△ABP为
直角三角形?若存在’请指出共有几个这样的点?并说明理由（不必具体求出
这些点的坐标）.
［例16］
V
厂
／
＼
294
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
j簿↑O讲抛物线性胰｝
｜·解祈0
（l）由鞭2＝8（γ—h）,得』-;巍』＋b,
由γ＝b＋2,得甄＝童4,所以G（4,肝2）’γ′-士腿,y′ ｜｀～剑-l,
过点G的切线方程为γ-（b＋2）＝勿ˉ4’即y＝卯＋bˉ2.
令y＝0得则＝2-b’
点Fl（2ˉb’0）’由椭圆的方程得点Fl（b’0）
’
所以2-6＝b,即b＝l
’
:′椭酣.抛物线的方程分别为÷十广二］和躯型-8（Ⅱˉ!）
（2）过A作则轴的垂线与抛物线只有一个交点P’
所以以乙PAB为直角的Rt△ABP只有一个’
同理以乙PBA为直角的Rt△ABP也只有一个
蔫以△」′B为直角,设P（蜒,肯鳃2＋l）｀』（＿亿0）,圆WZ0）’
则可耐＝躯2＿2（寺2十1）2＝哉鞭剿＋÷濒:ˉl＝0
又因为卯l＋卯2＜0,卯l卯2＜0’
所以关于则2的一元二次方程有一大于零的解’
所以则有两解’即以△APB为直角的Rt△ABP有两个.
综上抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形.
［例l7］已知抛物线C的顶点为原点’其焦点F（0’c）（c＞0）到直线／:则—yˉ2＝0的距离为
竿设P为直线′上的点,过点P作抛物线C的两条切线川,PB』其中A’B为
△
切点.
（1）求抛物线C的方程;
（2）当点P（卯0’y0）为直线／上的定点时’求直线AB的方程;
（3）当点P在直线／上移动时’求｜AF｜
. ｜BF｜的最小值.
295
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何l
可
尸
析
解
●
（1）依题意’设抛物线C的方程为卯2＝4cγ（c＞0）
’
’
）
舍
（
日
~~
℃
或
］
~~
℃
曰
寸
′
牟
角
’
徊
〗
勺
↑
＝
~~
故抛物线C的方程为鳃2＝4γ。
（2）由狮2＝4γ,得γ＝÷鳃2,其导数为yⅡ二÷‰
设A（卯l ’γl）’B（则2’γ2）’则卯｝＝4γl ’″;＝4y2’
1
则切线〃,′B的斜率分别为＋熊｜’r獭』,
所以切线〃的方程为γ—γ｜二÷（鳃—獭1）,即鳃｜鳃—2γˉ2′｜二0
同理可得切线PB的方程为厕2卯＿2γ-2γ2＝0.
因为切线PA’PB均过点P（加0’y（））’所以“l狐0ˉ2γ0-2γl＝0’卿2卿0-2y0—2γ2＝0’
｛‖≯｛‖二l翰流街瞅—真枷—……~
所以
所以直线AB的方程为如0财-2γ-2y0＝0。
（3）由抛物线定义可知｜AF｜＝γ］＋1
’ ｜BF｜＝y2＋l’
所以｜AF｜
.
｜BF｜＝（γl＋l）（y2＋1）＝ylγ2＋（yl＋γ2）＋l
｛又护M≡叭》…Ⅱ……萨Ⅷ
由
｛｝｜闻;—耻｜‖
由一元二次方程根与系数的关系得
所以｜AF｜
.
｜BF｜＝ylγ2＋（γl＋y2）＋l＝γ;＋卯;ˉ2γ0＋l.
又点P（则0’y0）在直线／上’所以卯0ˉγ0ˉ2＝0’即卯0＝γ0＋2’
∑
｀
｀
□
□
】
‖
′
／
］
—
∑
＋
·
γ
′
Ⅱ
∏
β
〗
‖
‖
｀
｀
∑
~~
日
＋
○
γ
√
●
～
＋
∑
‖
γ
∑
~~
］
＋
○
γ
∑
∑
○
卯
＋
∑
‖
γ
以
ˉ
所
’
’
】
＋
所以当γ0＝ˉ＋时｀MF｜
. ｜BF｜取得最小值,且最小值为导
凸
～
296
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］第↑O讲抛物线性痰｝
［例18］如图’设抛物线C:γ＝卯2的焦点为F’动点P在直线／:卯ˉγ＿2＝0
抛物线C的两条切线PA,PB’且与抛物线C分别相切于A’B两点.
动点P在直线／:卯ˉγ＿2＝0 上运动’过P作
｀0
′
■
〖
（l）求△APB的重心C的轨迹方程;
（2）证明乙PEl≡乙PFB.
｜·解析0
（1）设切点A’B坐标分别为（卯0’厕;）和（卿l ,则｝）（卯l≠则0）
’
所以切线AP的方程为:2卯0卯ˉyˉ则;＝0’
切线BP的方程为:2卯l卯ˉγˉ绷｝＝0.
卯0＋卯l
设P点的坐标为（则p’）p）’则卿p＝
2
’yp＝厕0卯l ,
卯0＋卯1＋卯p
所以△APB的重心G的坐标为鳃G＝
＝卯p’
3
卿;＋卯｝＋购0“l
（绷0＋加l ）2ˉ绷0狐l
4缅;ˉγ′
γG＝
＝
＝
3
3
3
,
所以‰＝ˉ3γG＋4卯;’由点P在直线／上运动’
从而得到重心G的轨迹方程为:则-（ˉ3y＋4卿2）-2＝0’即）
（2）解法-:
1
寸（4赃2ˉ聪＋2）
三二
~~
→
″
’
）
］
—
斗
∑
○
卯
’
◎
卯
（
~~→
酗
‖
贝
’
）
］
—
斗
’
·
（
尸
口
失
）
］
（
由
∑
］
勿
’
］
卯
／
′
』
■
〗
〖
‖
＼
~~→
肥
’
｀
｀
‖
□
‖
‖
‖
′
′
］
—
斗
］
卯
·
卯
’
｀
｀
‖
‖
‖
【
′
′
］
↓
（鞭∩＋獭｜
｀
2
- 4
-—-〉
由于P点在抛物线外’则｜FP｜≠0’
卯0＋卯］
＼
｀
〗
Ⅱ
■
』
‖
′
′
］
—
▲
∑
·
卯
／
』
‖
『
‖
｀
＼
＼
］
□
‖
‖
′
／
］
—
斗
］
％
）
〔
卯
／
』
□
〗
□
Ⅱ
·
‖
＼
l
卯0则l＋可
≡≡
一
’
｜FP｝
→
刷
一
剐
→
〃
—
″
~~
〕
″
』
乙
◎
℃
吕
以
所
·卯0＋
2
勺
～
＼
‖
〗
〗
〗
′
／
］
—
斗
’
＝
＾
‖
卯
′
′
』
‖
‖
｀
＼
＋
γ
宾
‖
′
小
—→
｜FP
2w＿
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
.满分之路· 解祈几何［
‖
｀
‖
日
□
】
】
□
′
′
］
—
斗
∑
］
卯
—＋）（
l
则0卯l ＋可
≡≡
-→
｜FP｜
卯0＋卯l
＝--≥
—-广
同理有cos△BFp＝塑.塑ˉ
2
｜FP｜｜FB｜
卯
○
卯
／
』
』
‖
】
‖
｀
｀
＋
］
卯
■
气
乙
］
—
斗
∩
乙
』
』
卯
′
／
『
】
‖
‖
｀
＼
＋
∑
］
／
炉
→
″
~
所以乙PE4＝乙PFB.
解法二:
o当卿l卯0＝0时’由于鳃｜≠卯0’不妨设绷0＝0’则γ0＝（）’
｜卯l
｜
断以′点坐标为｜÷,0）则…值线〃约距离为′』｜—
←
l
＂｝ˉ寸
而直线BF的方程为γˉ可＝
″’
尤l
即卜｛—计卜ˉ箍｜γ＋丁鳃｜＝0
1
Ⅱ
∑
）
］
＿
斗
＋
∑
］
卯
（
川
—
斗
＋
川
—
∑
）
］
—
斗
〗
］
卯
（
刚
—
】~~
所以P点到直线BF的距离为〔／2＝
~
］
—
▲
＋
∑
］
卯
~
∑
＼
‖
｛
‖
』
／
］
—
斗
勺
≡
‖
』
卯
／
』
』
』
‖
《
＼
｀
′
′
γ
〗
］
卯
｜
于
所以dl＝d2’即得▲PR4＝乙PFB
l
）
］
—
斗
〗
‖
％
（
『
日
’
）
∩
哑
卯
（
卯＿则0γ＋丁厕0＝0’
~
直…毒橇动十羔…＂卜｛—＋）…金』≡α
所以P点到直线AF的距离为:
○
卯
］
—
斗
＋
］
几
∑
○
卯
｀
｀
‖
‖
】
】
』
′
／
′
′
』
‖
‖
‖
｀
＼
＼
‖
‖
□
‖
』
′
′
］
—
斗
〗
◎
卯
／
』
‖
‖
‖
｀
＼
｜卯0-卯｜
｜
几
］
—
斗
＋
∩
兰
∩
Ⅷ
扩
心
％0＋％］
）
（
｜卯0-卯｜且
勺
全
2
dl≡
~
~
~~
2
］
—
斗
＋
∑
○
卯
）:
］
斗
∑
○
卯
／
』
』
〗
‖
‖
｀
＼
／
√
】
∩
几
｜
干
｜卯l-卯0
｜
同理可ˉ得到P点到直线BF的距离‘2≡
2
因比由（／l＝创2’可得到乙P刷≡乙PFB
298
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
］第↑O讲抛物线健凝‖
解法三（利用平面几何法）
:
如图’过点A’B分别作抛物线准线的垂线M′ ’BB′ ’垂足为A′ ’B′
’
连接A′P,B′P,A′F,B′F,
x
绚
—
］
—
∑
~~
〃
片
’
］
—
∑
—
川
~~
网
人
则
’
］
~~
｛
只
片
剧
儿
姨
…
曰
止
所以川′上PA’由抛物线定义得:AA′＝AF’由此可知PA是线段A′F的中垂线’
所以PA′＝PF’乙PA′A＝乙ˉPM’同理可得:PB′＝PF,乙PB′B＝乙PFB.
所以PA′＝PB′ ’即乙PA′B′＝乙PB′A′·
所以乙PA′A＝乙PA′B′＋90。＝乙PB′A′＋90。＝△PB′B,
即乙PFI4＝乙PFB.
ˉ—-广
---〉
［例l9］已知抛物线则2＝4y的焦点为F’A’B是抛物线上的两动点’且AF＝∧FB（入＞0）.过
A’B两点分别作抛物线的切线’设其交点为″
—-〉
＿-〉
（l）证明F″.AB为定值;
（2）设△AB″的面积为S,写出S＝／（人）的表达式’并求S的最小值
（l）证明:由已知条件’得F（0’l）’人＞0.
设A（则l ’γl）’B（卯2’y2）.
ˉ→一
ˉ“l＝M2’
o
｛｜ˉⅡ｛ˉ入｝蝇—｜↓凰
由AF＝∧FB’得（—狐l ’lˉyl）＝∧（卿2’y2-l）’得
将@式两边乎方并把γ｜＝＋撕｝,γ2＝＋躯;代＾得γ｜＝入2γ2,
◎
解翻o式得》｜＝M2二＋,且有绷｜狮2＝ˉ∧蕊;-—4入y2＝—4,
抛物线方程为γ＝＋鞭2.求导得γ′＝＋‰
2四
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何l
~~
所以过抛物线上A’B两点的切线方程分别是
γ＝告鳃｜（獭—腮｜）＋γ｜,γ＝÷趣（鞭—狐:）＋γ2’
即γ二了赡』腮—丁崎,′二了鞭:憋ˉ士鳃i
l
1
,
l
…
—
∑
…
—
斗
抽
＿
∑
为
坐
标
的
条
←
父
线
切
的
这
两
解
）
］
γ
】
γ
’
］
卯
’
〗
∩
‖
卯
~~
′
′
‖
｀
｀
｀
〗
‖
】
】
□
′
′
●
∑
］
卯
）
〗
］
—
斗
’
勺
△
∑
∑
卯
卯
＋
∑
］
—
牛
］
′
′
』
】
‖
【
Ⅱ
■
｀
｀
卯
∩
冷
（
~~
）
一
奶
’
呵
■
丽
磕
以
］
—
∑
所
＝
＝—〉—沪
所以F″.AB为定值’其值为0
（2）由（l）知在△A‘删中,刚上姻,因嗣s二÷｜必｜MM
勺
么
＼
｀
‖
■
‖
‖
′
·
／
∑
卯
＋
勺
～
］
％
／
（
∑
＼
／
∑
（
＋
｜FM｜＝′
V
△
口
＋
∑
卯
卯
］
＿
∑
＋
’
～
勺
▲
卯
］
—
▲
＋
∩
丝
〗
』
卯
丁
—
斗
／
刁
~′~~
~~—＝--
弓｀／γ!＋γ2 ＋÷×（ˉ4）＋4
~~
勺
＝
＋
］
—
入
＋
｀
∧
√
√乃六
因为｜AF｜
’ ｜BF｜分别等于A’B到抛物线准线γ＝-l的距离’
蹄…｜＿｜〃｛＋｜‘′｜＿…＋2-叶哩≡（∏带六）致
于是s三÷｜姻‖刚｜→｜顺瑞）’ ,
｀
菌仍六≡……纽-｜时｀s廖得最‖植↓
3卯
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
】赣球O讲抛物线滁胰｝
---〉
---〉
［例20］过抛物线卯2＝4γ上不同的两点A’B分别作抛物线的切线相交于p点,且pA.pB＝0.
（l）求点P的轨迹方程;
—〉
——广
——〉
（2）已知点F（0’1）’是否存在实数∧使得刷.FB＋∧（FP）2＝0?若存在′求出∧
已知点F（0’1）’是否存在实数∧
的值’若不存在’请说明理由
■
■
■
■
去
、
◇
』
Ⅱ
祈
解
解
］
（
●
…,谴尸（…（瓣｜.子）圃（
＼
〗
‖
‖
‖
』
′
′
遗
—
斗
’
且
卯
’
％
＜
Ⅱ
—
∑
~~
′
γ
‖
贝
’
∑
卯
］
—
斗
~~
″
『
√
’
得
川
—
∑
’
~~
γ
√
△
‖
∧
尸
＿
—
∧
〗
卯
以
由
所
小
—
∑
~~
γ
『
日
’
）
］
卯
卯
（
川
—
〗
~~
勺
叮
—
↓
γ
●
●
程
＝
方
勺
俞
川
线
直
’
叮
—
川
斗
@
◎
●
勺
哺
—
▲
″
—
∑
~~
γ
■
■
为
程
方
的
″
线
直
’
理
同
◎
·
~~
→
口
°
—
□
卫
●
一
以
又
斗
~~
∑
卯
●
●
〗
Ⅱ
卯
＄
目
’
］
~~
‰
～
＿
勺
～
●
丑
∑
~~
尸
Ⅱ
】
″
●
川
∧
故
绷l则
＂｝
绷l＋卯2
尸
γ＝——
勿＝
7
4,
O
,
＝
≈
联立（D@〈
得√
2
卯2卯
卯2
卯l
·卯2
γ＝——
v＝
＝-1,
2
4
’
√
4
所以点P的轨迹方程是γ＝-l
解法二:
—〉—≥
直线PA’PB与抛物线相切’且PA.PB＝0’
所以直线PA’PB的斜率均存在且不为0
所以设PA:γ≡脑＋′∏（k≠0）
’
3O］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
「满分之蹈.解析几何］
｛颧!′＾
联立直线PA与抛物线:
消去γ得则2-4脑-4m≡0’
由△＝16k2＋l6m＝0得m≡-k2’即直线PA:y＝肋-k2.
1
1
同理直线PB:γ＝ˉ了卿ˉP.
所以点P的轨迹方程是γ＝-1.
---广
--→
-一一〉
（2）假设存在实数∧使得刷.FB＋∧（Fp）2＝0
由（l）的解法一得:
→＝-→
ˉ—-≥
FA.FB＋∧（FP）2
≡（x｜｀￥—｜）（蝇,芋＿｜）带（竿
-ˉ2＿平带（2带竿）
＼2
ˉ2｜
--〉—＞
-—-＞
当且仅当’∧＝l时’M.FB＋∧（FP）2＝0.
→-→
一→
所以存在实数入＝1’使得川.FB＋∧（FP）2＝0.
／
』
‖
‖
｀
＼
尸
’
＼
‖
｜
‖
／
］
—
陪
’
∑
—
可
凡
］
’
］
—
∧
∧
／
』
』
‖
‖
＼
尸
’
另解:由（1）的解法二得;」（2您,膘）,‘（
）
∑
）
→
尸
—
厂
（
｀
∧
＋
≥
□
皿
—
尸
→
删
＼2
—2｜
—｜）（—÷食＿!）十人（隐ˉ＋,
｀
赔＋古）＋入［2＋（膘噎）｜,
∑
八
’
习
∧
’
≈
（
~~
（
—
勺
--▲-
-—〉—〉
-—-〉
当且仅当’∧＝l时’〃.FB＋人（FP）2＝0.
→——≥
ˉ--≥
所以存在实数人＝l’使得刷.FB＋∧（FP）2＝（）.
3O2
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
l第↑O讲抛物线健旗｝
［题型4抛物线与圆的问题］
［例2l］抛物线y2＝2p卿的准线的方程为则＝ˉ2,该抛物线上的每个点到准线卿＝ˉ2的距离
都与到定点／V的距离相等’圆／γ是以／γ为圆心’同时与直线′］:γ＝卯和／2:γ＝ˉ卯
相切的圆
（l）求定点Ⅳ的坐标;
（2）是否存在＿条直线／同时满足下列条件:
@／分别与直线／l和／2交于A’B两点’且AB的中点为E（4’1）
;
@／被圆Ⅳ截得的弦长为2.
｜.解析●
（l）因为抛物线γ2＝2p则的准线的方程为卿＝ˉ2’所以p＝4’
根据抛物线的定义可知点／V是抛物线的焦点,
所以定点Ⅳ的坐标为（2’0）.
（2）假设存在直线′满足两个条件’显然′斜率存在’
设／的方程为y-1＝k（卯ˉ4）（∧≠±1）
’
以／V为圆心’同时与直线／l :y＝则和／2:y＝ˉ则相切的圆Ⅳ的半径为√Z
解法—:因为／被圆／＼／截得的弦长为2’所以圆心到直线／的距离等于1’
,咋胖三＋-｜解得乍0或÷
当k＝0时’显然不符合AB中点为E（4’1）的条件’矛盾!
当附＝斗时,′的方程为4卿ˉ3yˉl3＝α
〕
.｛拦Iγ—凹三α
解得点A的坐标为（l3’l3）
’
.｜英—骂厂凹ˉα 解得惫腐的坐标为（旱,＿旱）,
显然AB的中点不是E（4’1）’矛盾!
所以不存在满足条件的直线／.
3O3
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解祈几何l
｛｝三｝厂删鞭—郸娜…（裸
解法二:由
｛｝二〔i…—斜）解僻…壁描（芋三~ 竿三）
由
因为AB的中点为E（4’1）
’
所以芋≡‖｜＋芒!l二8’解得k-4,
所以／的方程为4卯-γ-15＝0’
圆…｜真线′蹦距离为7架~
因为′被圆Ⅳ截得的弦长为2’
所以圆心到直线的距离等于1’矛盾!
所以不存在满足条件的直线／.
解法三:假设A点的坐标为（α’α）
’
因为AB的中点为E（4’1）
’
所以B点的坐标为（8-α’2ˉα）.
又点B在直线y＝ˉ绷上’
所以α＝5,
’
）
］
］~
~
靴
∧
’
所以A点的坐标为（5’5）’B（3’ˉ3）’此时直线／的斜率为4’
所以／的方程为4卯-γ-l5＝0,
圆…｜直线′…为7浮7
因为／被圆／V截得的弦长为2’
所以圆心到直线的距离等于1’矛盾!
所以不存在满足条件的直线′.
3叫
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』罐↑O讲抛物线健瞬｜
［例22］已知抛物线y2＝2p厕（p＞0）的焦点为F’点A是抛物线上横坐标为4且位于卯轴上方
的点’点A到抛物线准线的距离等于5’过A作AB垂直γ轴于点B’线段OB的中
点为M（O为坐标原点）.
（1）求抛物线的万程;
（2）设圆Ⅳ过点S（2’0）,且圆心／V在曲线C上’EC是圆／＼／在y轴上截得的弦’试
探究当Ⅳ运动时’弦长｜EC｜是否为定值?为什么?
（3）以点M为圆心’ ／｜′B为半径作圆M’当K（m’0）是卯轴上＿动点时,讨论直线AK
与圆M的位置关系
·解析0
（l）抛物线γ2＝2p财的准线方程为则＝ˉ丛
2
所以4＋:＝5,所以p＝2,
所以抛物线的方程为y2≡4卯.
（2）设圆的圆心为／V（α’b）
’
V
′
创／Ⅳ
~
O
因为圆Ⅳ过S（2’0）
’
所以圆的方程为（卿ˉα）2＋（γ-b）2＝（α-2）2＋62’
今绷＝0得:（γ-b）2＝b2-4α＋4＝4.
设圆／V与y轴的两交点分别为E（0’y1）’G（0’γ2）
’
圆心／V（α’b）到γ轴的距离为‖＝α’圆的半径r＝√（αˉ2）2＋b2’
｜EG｜＝2√尸ˉ＝∏丁＝2√（αˉ2）2＋b2—α2＝2√b2ˉ4α＋4＝4’
所以当Ⅳ运动时,弦长｜EG｜为定值4
3O5
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‘满分之路·解祈几何l
（3）由题意得’圆″的圆心是点（〔）’2）’半径为2.
当′Ⅲ＝4时’直线AK的方程为则≡4’此时’直线AK与圆M相离’
当′鹏≠4时’直线AK的方程为γ＝六（巍＿聊）,鼠…ˉ（4—咖）γ—4测-0,
V
＞
Ⅺ
｜2m＋8｜
圆心M（0’2）到直线AK的距离Ⅲ＝′
√l6＋（′n-4）2
令Ⅲ＞2’解得′″＞1’
所以当m＞1时’直线AK与圆M相离;
当m＝1时’直线AK与圆M相切;
当m＜l时’直线AK与圆M相交.
［例23］设A（则l ’γl）’B（“2’y2）是抛物线财2＝4γ上不同的两点’且该抛物线在点A’B处的
--卜
BC＝0
ˉ--步
两条切线相交于点C,并且满足AC
（l）求证:卯l卯2＝—4;
（2）判断抛物线卯2＝4γ的准线与经过A’B’C三点的圆的位置关系’并说明理由
｜·解析·
（l）证碉;由躯2二4γ得y二÷腮斟,则γ′＝＋鳃』
所以抛物线鹏2＝4γ在点A（蕊! ,γ｜）｀B（趟’γ2）处的切线的斜率分爵｜为十狮｜’÷腮』,
——〉
因为AC
巾
∩
~~
一
况
＿-≥
-→
所以ACˉLBC,
3比
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1繁↑O讲抛物线性痰｝
所以抛物线″2＝4γ在点A（躯l ’γl ）’B（厕2’y2）处两切线互相垂直’
所以＋腮｜百趣＝ˉl,所以鞭｜…ˉ轧
1
广
～》
—-〉
--〉
（2）解法-:因为AC.BC＝0’所以AC上BC’
所以经过A’B’C三点的圆的圆心为线段AB的中点D’
圆逛D（瓣宁』,Ⅱ宁』）
因为抛物线卯2＝4y的准线方程为γ＝-1’
所以点″｜鳃｜芋』,γ｜÷γ2）到直线γ二—l的距离为砚＝〕］÷′2＋l
＼
≈
～
／
∩
≡
’
＼
｜
／
ˉ
〗
Ⅱ
旦
~~
γ
∑
）
］
γ
咆
（
］
冗
＋
／
＼
勺
凸
］
肥
∩
≡
）
∑
~~
卯
】
γ
］
］
卯
γ
彰
／
＼
‖
‖
′
√
皿
~~
斗
厂
径
—
＿
半
〗
卯
的
］
卯
圆
ˉ
且
的
’
、
〗
占
呐
γ
一
一
一
纠
户
山
∩
当
∑
冗
’
∏
〃
卜
’
γ
∧
斗
过
＿
＿
经
’
叮
为
于
因
由
／
γ
∑
γ
］
γ
斗
∑
＼
／
〗
γ
＋
］
γ
（
＋
∑
卯
］
卯
勺
▲
∑
】
卯
＋
∑
］
冗
斗
】
＼
／
∩
么
γ
√
＋
］
γ
″
（
＋
只
γ
＋
’
～
γ
矿
▲
。
＋
］
γ
彰
户
所以厂＝
~
~
~
勺
△
2
√（γ｜个γ:）2＋4（…）＋4-√（γ广№＋2）2-jw』＋2 ｝宁十l｀
2
2
2
＝
所以Ⅲ＝r’所以抛物线卯2＝4y的准线与经过A’B,C三点的圆相切.
解法二;由（］）知抛物线则2＝4y在点川（绷｜,γ］）处的切线的斜率为÷慰」
』
▲
又蜒｝＝4y｜’所以切线削C所在直线方霍为y—＋腮;＝十腮｜（腮ˉ露｜）
’
即γ-÷鞭｜鞭—士瓣｝, @
同理可得切线B‘所在直线方程为γ二＋蹦』鳃ˉ＋鳃i@
卯l＋勿2
｜鳃｜十瓣2
’纵坐标γC＝-l ’即C
｀
2
＼
｜
｜
｜
‖
′
／
~~
℃
卯
标
坐
横
的
℃
占
…
得
◎
◎
由
,-1
勺
凸
一≡〉
因为AC
--〉
---≥
---》
BC＝0,所以AC上BC,
所以经过A’B’C三点的圆的圆心为线段AB的中点D’
3O7
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路· 解析几何｛
圆越D（竿2,γ芋）.
因为抛物线卯2＝4γ的准线方程为y＝-1’
所以点D到直线γ＝—l的距离为刷-,宁2刊,
γl＋γ2
因为经过A’B’C三点的圆的半径′＝｜CD｜
＝
＋1
,
2
所以〃＝厂,
所以抛物线勿2＝4γ的准线与经过A’B’C三点的圆相切
［例24］在平面直角坐标系卯Oy中’过定点C（0’p）作直线与抛物线厕2＝2py（p＞0）相交于
A,B两点.
（l）若点／＼／是点C关于坐标原点O的对称点’求△A／γB面积的最小值;
（2）是否存在垂直于γ轴的直线′,使得／被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?
若存在’求出／的方程;若不存在’说明理由
v
／＼′
x
｜·解析0
（l）依题意’点Ⅳ的坐标为Ⅳ（0’-p）’可ˉ设A（则l ’γl）’B（厕2’γ2）
’
直线AB的方程为y＝脑＋p,
………（｛『-贸k
消去y得冗2—2p∧卿—2p2＝0.
由根与系数的关系得卯l＋卯2＝2pk’卯l绷2≡-2p2.
3O8
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
』第↑O讲抛物线性胰｝
下面求面积;
处理方案一
l
S△A″B＝S△Bc／v＋S△A（Ⅳ＝2
＝p√（箍l＋狐2）2ˉ4挝l腮2
＝p｀／4p2∧2＋8′）2
＝2p2√八2＋2’
所以当∧＝0时’（S△A″B）min＝2√回p2
处理方案二
由弦长公式得
｜AB｜＝√Iˉ干P｜绷lˉ瓣2
｜＝√Iˉ干P.√（瓣l＋鞭2）2 -4％l卯2
∑
尸
β
＋
旦
八
∑
仰
■
∑
∧
＋
］
／
γ
~~
＝2p｀／丁丽丁.√Pˉ干Ⅲ
…铡…罐…糯‘≡君云
从而s…二÷｜佃卜d-÷2p√T
……＋M外侧-÷2p√!州;√…启P～2′W但.
所以当∧＝0时’（S△A″B）mm＝2√回P2.
（2）解法—:
假设满足条件的直线／存在’其方程为y＝α’
设AC的中点为O′ ’／与以AC为直径的圆相交于点P’0’P0的中点为H’
）
〗
＋
∑
］
γ
’
川
＿
∑
（
则O′H上P0’O′点的坐标为
0‖／
x
3四
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何l
｜〃尸｜÷侧‘｜≡辆辩（』!ˉ,）』ˉ棚韧』, ｜O｛″｜～卜ˉ罕｜→｜2醒ˉ′｜—′此
所以｜′H｜』＝｜″′｜2ˉ｜″H｜2-士（γ｝＋p:）—士（2αˉ,｜—′）2-（αˉ:）γ｜十α（′＿“）,
所以｜P0｜,＝（2｜′H｜）2二仆ˉ;）］＋侧（′ˉα）｝
令α—;＝0’得α＝÷’此时｜PQ｜＝p为定值』故满足条件的直线‖存在》其方程为y＝
:』即抛物线的通径所在的直线
解法二:
假设满足条件的直线／存在’其方程为γ＝α’
则以AC为直径的圆的方程为（卯-0）（卿ˉ则l）-（γˉp）（y-γ1）＝0’
将直线／的方程γ＝α代入得卯2ˉ则l卯＋（αˉp）（αˉγl）＝0’
侧M＝露｝—4（侧—′）（α—y｜）＝4｜（α—:）γ｜＋α（′—侧）｝
设直线／与以AC为直径的圆的交点为P（卿3’y3）’Q（腮4’γ4）
’
α
∏
匹
（
＋
γ
√
＼
｀
■
■
■
〗
』
′
′
尸
—
∑
α
′
√
∑
√｜（忽—丛）…（′′ˉ感）｜
2
则有｜P0｜
＝｜卿3ˉ卿4｜
~~
今侧ˉ;＝0｀得α二:’此时｜P0｜＝p为定值｀故满足条件的直线′存在』其方程为γ＝
冉ˉ’即抛物线的通径所在的直线
垄
［题型5抛物线中的弦长与面积问题］
［例25］如图,已知抛物线鳃型＝Ⅱ,点八（
》
—÷.＋）,‘（÷｀÷）抛物
〕
—
】
＜
卯
＜
ˉ
』
—
∑
（
线」二的点P（购’γ）
过点B作直线AP的垂
线’垂足为0.
（l）求直线AP的斜率的取值范围;
（2）求｜PA｜
. ｜PQ｜的最大值
≡O
x
3］O
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1鳃↑o讲抛物线性磺｝
｜·解析0
］
—
斗
勺
▲
卯
’
］
—
】
卯
~~
（1）设直线AP的斜率为k,k＝
］
—
∑
＋
Ⅺ
勺
圆为ˉ÷＜撼＜÷,所以直线』P的斜率的取值范围是（ˉl,l）
～
｝
｜）…≡
（2）联立直线AP与B0的方程:
-k2＋4k＋3
2（A2＋l）
〗
＼
／
口
Ⅱ
＋
∧
／
［
＼
＼
｝
／
＜
】
且
∧
（
~~
）
卯
∩
正
卯
（
可
Ⅵ
阳
~~
○
｀
尸
’
）
］
＋
∧
（
∑
∧
＋
］
√
~~
）
■
Ⅱ
—
勺
▲
＋
卯
／
『
〗
‖
‖
＼
∏
~~
川
为
因
√P∏
所以｜PA｜
.
｜P0｜＝-（A-1）（片＋］）3’-1＜∧＜1.
令／（∧）＝ˉ（∧-l）（∧＋l）3’＿1＜k＜1’
因为／（片）＝-（4k-2）（k＋l）2’
所以′（k）在区间（ˉl ,÷）上单调遂增’（÷’l）上单调递减’
凰此当k＝÷时, ｜删卜｜′0｜取得最大值市
77
l
［例26］在平面直角坐标系厕Oγ中》已知抛物线γ2＝2p绷（p＞0）的准线方程为师＝-—
4
过点
M（0’
ˉ2）作抛物线的切线M4,切点为A（异于点O）.直线／过点″与抛物线交于
B’C两点’与直线OA交于点Ⅳ.
（l）求抛物线的方程;
（2）试问!删＋删的值是否为定值瞥若是』求｛‖定值若不是′说明理由
—
○
＞
〃
3∏
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｜满分之路.解析几何｛
·解析●
（｜）由题设知,—:ˉ—士,鼠′′二＋’
所以抛物线的方程为γ2≡卯.
1
（2）因为函数y＝ˉ√万的导函数为y′＝ˉ
二’
2√卯
］
闷
~~
○
γ
γ
为
程
、
万
的
灿
线
直
则
’
）
‖
γ
’
○
卯
（
∧
设
因为点M（0’ˉ2）在直线M4上,
蹄以—2—狮≡—志＋蛔）
~／一-
｜｛!二—竿解…剧（
联立
l
所以直线OA的方程为γ＝ˉ丁则
设直线BC的方程为y＝肋-2’
勺
｛《二二鸟得删芋ˉⅧ阳…～α
由
4八＋l
4
,卯B卯C＝∧2~
~~
℃
卯
＋
β
卯
以
所
八2
1
（≡ˉ录碍咋州i｜
由
γ＝肋-2’
4k＋1
内2
｜MⅣ｜
｜M／V｜
＋
｜MB｜
｜MC｜
ⅪB＋卯C
8
≡≡
4八＋1
卯B卯C
8
4附＋l
卯Ⅳ
卯Ⅳ
＝—＋—≡卯Ⅳ×
卯B
卯C
所以
＿,
-≈9
×
×—
4片＋l
4
~~
斗
—
形
＋
趟｜糕｜
｜滞的值为定值2
3］2
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛罐↑O讲抛物线憾质｝
~
［例27］在平面直角坐怀系蜒oy中,已知抛物线甄2＝2′y（′＞0）的准线力程为γ-ˉ÷,过点
M（4’0）作抛物线的切线M4’切点为A（异于点O）,直线／过点M与抛物线交于两
点P’0,与直线OA交于点Ⅳ.
（l）求抛物线的方程;
（2）试问删带删的值是否为定值?
若是’求出定值;若不是,请说明理由.
∧o阶
j
（1）由准线方程可得;ˉ:——÷,解得′＝1
所以抛物线的方程为卯2＝2y。
（2）设切点」（躯0,№）,抛物线为γ＝券2,
所以y′＝则’则切线斜率为∧＝狐0’
所以切线方程为:yˉy0＝卯0（卯ˉ卯0）.
将″（4,0）代入切线方程,得γ0＝咐—4鳃＂’又γ0-÷露;’
可得:—券;-x＂（4—鳃＂）,解得狐＂二0（舍）或蜒0＝a
所以A（8’32）’则OA:γ＝4则.
设P0:匆＝″′γ＋4’
因为″,P’Ⅳ’0共线’且M在则轴上’
l
l
）
—＋—
γP
γQ
所以｜糕｝＋｜湍｜锅;
＝
＋—＝y∧
yP＋yQ
（
＝y／V
.
yPγ0
3］3
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
｛满分之路.解祈几何［
蕊…撼…‘［篡二熟｛
消去则得:′Ⅶ2γ2＋（8′nˉ2）γ＋16＝0’
2-8″l
γP＋γ0＝m2
则《
l6
γP .γ0＝丽.
勺
△
·
＋
●
′
γ
缉
卯
矾
▲
午
~
~
~
~
γ
√
卯
｛
●
■
程
方
线
直
勺
白
○
｀
尸
’
』
）
（
、
工
联
再
l6
解得γⅣ＝lˉ4′＂.
2-8m
7
m′＝
＋
所以｜糕｜
｜粥｜
γP＋y0
＝）W·
＝
γPy0
l6
＝2.
l6~
″l2
1＿4′n
＋
敛｜锦｜
｜潞｜输值为震值2
［例28］已知△ABP的三个顶点都在抛物线C: ＂2＝4y上’F为抛物线C的焦点’点M为AB
-—-〉
-—〉
的中点’PF＝3FM
｜
V
O
X
（l）若｜PF｜＝3’求点M的坐标;
（2）求△ABP面积的最大值.
3］△
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1第↑O讲抛物线性瞬‖
｜·解析］
（l）由题意知焦点F（0’1）’准线方程为γ＝ˉ1.
设P（厕0’γ0）’由抛物线定义知｜PF｜＝γ0＋l ’因为｜PF｜＝3’所以γ0＝2’
所以P（2√Z2）或P（ˉ2√Z2）.
∑
—
］
皿
〕
″
或
∑
—
］
巫
〕
·
／
』
〗
‖
‖
｀
＼
″
得
｜
另
分
’
砌
→
＿
〕
~~
→
而
〃
＿
尸
由
（2）设直线AB的方程为γ＝脑＋′″’A（厕l ’γl）’B（卯2’γ2）’P（卯0’y0）
臆矿符鳃粤—辨—炸＂
由
于是△＝16k2＋l6m＞0’所以卯l＋卯2＝4k’卯］卯2≡-4″l,
所以AB的中点″的坐标为（2A’2内2＋m）.
壹—-〉
—--〉
由PF＝3FM得（ˉ躯0’lˉγ0）＝3（2k’2∧2＋″』—1）
’
〔』＝‘＾
＂个辩｜碍膘ˉˉ÷榔借
所以
y0＝4-6k2-3m.
↓
—
］
≤
〗
″
＜
］
—
〕
得
’
‖
≥
已
片
’
＾
‖
＞
△
由
又闽为｜蛔｜＿4｀／「丽W原丁雨,螺′（0,］）到…‘…为‘ˉ芳二＋
l6
所以S△ABp＝4S△AB′＝8｜″』＿l ｜√k2＋m＝＿
√I百
√3″!3ˉ5″』2＋m＋l
斗
—
〕
≤
】
∏
＜
］
—
〕
）
（
］
＋
〗
″
＋
∑
加
日
］
矾
〕
~~
｀
〗
′
′
沉
∧
己
、
γ
l
今′（m）＝9″′2ˉl0″!＋l＝0’解得″!l＝可,″′2＝l
可得′（砸）在（—＋,;）上是增函数’在（;,l）上是减函数,在（l.÷）上是增函数
又川;）-瑟≥（÷）』断…-;时′（聊）…｜最大值瑟’此时｛-辈誓
所以,△奶P…,最大值为2黑5
3］5
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路.解析几何h
［例29］已知点A（ˉ4’4）,B（4’4）’直线AM与BM相交于点M’且直线AM的斜率与直线
BM的斜率之差为ˉ2,点″的轨迹为曲线C.
（l）求曲线C的轨迹方程;
（2）0为直线γ＝—1上的动点’过Q作曲线C的切线切点分别为D,E’求△0DE
的面积S的最小值.
｜·解祈0
（l）设删（躯’γ）’由题意可得;湍—吕二—2｀
化简得绷2＝4y.
所以曲线C的轨迹方程为卯2＝4y（卯≠±4）.
（2）设0（m’ˉ1）,切线方程为y＋1＝∧（则ˉ′n）
’
肆皇〔∑贞｜…↓
消去y得则2-4脉＋4（人′＂＋1）＝（）’
由于直线与抛物线相切可得△＝0,即八2ˉ肋l-l＝0.
所以厕2ˉ4脑＋4八2＝0’解得则＝2R.可得切点（2∧’k2）.
因为A2-Am-l≡0,
所以由根与系数的关系得’kl＋k2＝m’kl .A2＝—l.
所以切线0D上0E.
所以△0DE为直角三淘形’s二÷｜0D卜｜叫
设切点（2片’∧2）到0的距离为Ⅲ’
则d2＝（2k-″l）2＋（片2＋1）2＝4（片2ˉ八m）＋″l2＋（A′＂＋2）2＝4（∧2-km）＋″!2＋片2m2＋
4片m＋4＝（4＋m2）（k2＋l）
’
所以｜0D｜＝√（4＋″』2）（∧｝＋l）
’ ｜QE｜＝√（4＋m2）（蹋＋l）
’
所以s-÷（4＋测2）√（庶｜十陶）2—2k!陶＋2＝告（4＋咖2）√‘十刚2≥4,
当m＝0时’即0（0’-1）时’△0DE的面积S取得最小值4.
3］6
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖第↑O讲抛物线性质｝
—-〉
——＋
［例30］已知三点O（0’0）’A（-2’l）’B（2’l）’曲线C上任意＿点M（绷’γ）’满足｜M4＋／｜′B｜
＝
ˉ——＋
-—十
＝—-〉
OM. （OA＋OB）＋2.
（l）求曲线C的方程;
（2）动点0（卯0’γ0）（ˉ2＜卿0＜2）在曲线C上’曲线C在点0处的切线为／,问:是
否存在定点P（0’′）（t＜0）,使得′与PA’PB都相交’交点分别为D’E’且
△0AB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求′及该常数的值;若不存在’
说明理由
.解析0
—≥
-—-〉
—〉一
（1）由M4＝（ˉ2—卯’1ˉγ）’MB＝（2ˉ卯’lˉy）
’ ｜M4＋″B｜＝√（ˉ2“）2＋（2—2γ）2’
’
γ
∑
~~
）
∑
’
‖
（
●
）
γ
’
卯
（
~~
）
→
肥
＋
→
〃
（
●
→
″
＿
∩
■
由已知得√（ˉ2则）2＋（2ˉ2γ）2＝2y＋2’
化简得曲线（〕的方程为卯2＝4γ.
（2）假设存在点P（0’t）（t＜0）满足条件’
则直线〃的方程是γ-宁剿＋』,PB的方程是γ-罕翼十《
）
’
叼
—
斗
‖
（
厂
为
占
…
←
父
的
轴
γ
与
它
’
叼
—
斗
卯
帅
＿
∑~~
γ
曰
正
程
、
万
的
线
切
的
处
β
在
℃
线
曲
由于—2＜卿0＜2,因此ˉl＜印＜l
凸
@当—l＜』＜0时.＿l＜导＜—÷,存在蛔巨（ˉ2’2）,使得页二丁,
％0
t-1
即／与直线R4平行’故当—1＜′＜0时不符合题意;
@当』≤—l时,导≤＿l＜粤’旱≥l＞普’所以′与直线〃,PB-定相交
γ
’
‖
勺
叼
—
斗
＋
卯
‖
＿
∑
知
＿
∑
卯
~
~
~
~
γ
γ
≤
’
’
′
勺
吨
—
斗
＋
卯
口
＿
∑
Ⅶ
＿
〗
卯
~
~
~
~
γ
γ
≤
组
程
方
立
联
］
另
分
‖
△
‖
＋
∑
○
卯
气
财6＋4t
解得D’E的横坐标分别是卿D＝2（厕0＋l-r）’卯E
’
｀
｀
■
′
′
‖
】
且
′
＋
○
卯
′
′
‖
｀
｀
∑
3］7
~
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
′满分之路·解析几何｜
旷
△
‖
＋
勺
凸
∩
◎
卯
、
｀
‖
／
′
■
了
凹
■
】
且
／
′
｀
｀
~
〃
卯
Ⅱ
卯
‖
贝
∑
＼
｀
‖
／
■
‖
几
于
‖
／
』
‖
＼
勺
凸
∩
皿
卯
卯;
又｜FP｜＝ˉ可＿t’
有s△″腮＝÷｜′P卜｜…″｜＝旱
∑
）
旷
△
。
＋
∑
‖
卯
（
’
’
＝
∩
≡
卯
’
～
＼
□
′
／
■
■
日
丛
冬
』
四
′
〃
【
｀
｀
’
’
尝
‖
卯
—
勺
～
斗
~~
）
’
叼
—
斗
］
（
×
△
『
×
］
—
∑
~~
日
∧
○
＿
△
∩
□
又
于是糕＿吉（咐＿啡）［端—（《ˉ｜）:］
↓
,‖ˉ［4＿（』—｜）』］喻斜（』ˉ」）』
＝＿G
（厕;＋4′）2
1ˉ′
卯;＋8′则;＋16t2
渝任意鳃侧筐（ˉ2.2）｀婆幢摆为常缴.
靡…奥｛∏亡｝（『」｜羔‖＾
瞬得′≡］,此输糕＿2｀
故存在t＝ˉl’使得△0AB与△PDE的面积之比是常数2.
（题型6抛物线中的定值问题）
［例3l］如图,已知抛物线γ2＝4测的焦点为F,过点P（2’0）且斜率为kl的直线交抛物线于
A（卯l ,γl）’B（卯2’y2）两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M’Ⅳ.
＿尹
（l）证明OA
～-≥
OB的值与片l无关;
（2）记直线Ⅷ的斜率为附』证碉借沟定值
｝
（）
X
3］8
~
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
」缮↑O讲抛物线性瞬｝
｜·解祈0
（1）依题意’设直线AB的方程为则＝mγ＋2（″l≠0）
将其代入y2≡4卯’消去财’整理得γ2—4mγˉ8＝0.
勺
勺
从嗣mh-—8』于是…-『￥二器二4,
-—-〉—〉
所以OA。OB＝如l勿2＋ylγ2＝4-8＝—4与kl元关
（2）设M（卯3’y3）’／V（匆4’γ4）.
h—yl＿γ2＼／卯3ˉ卯4
γlˉγ2｀／y;
yiˉ
∩
2
γ3＋γ4
则呵＝卿lˉ则2
y3ˉy4
yf
γi
4
4
yl＋γ2
≡≡
4
4
γ3-y4
设直线A″的方程为卯＝′ly＋l（〃≠0）’将其代入y2＝4则’消去卯’
整理得γ2-4′』y-4＝0’
所以yly3＝-4
同理可得y2γ4＝-4.
-4
-4
—＋—
Al
γ3＋y4
γl
y2
≡≡
由（l）知’yly2＝-8’
-4
吕≡
9
γlγ2
睬以÷÷…~
［例32］过抛物线γ2＝2p则（p＞0）的对称轴上—点A（α’0）（α＞0）的直线与抛物线相交于M’
／＼／两点, 自M’Ⅳ向直线l:卯＝ˉα作垂线’垂足分别为Ml ’Ⅳl .
（l）当α＝:时,求证;A删」上A″」;
（2）记△AMMl ’△AMl／γl ,△AMγl的面积分别为Sl
’ S2’S3 』是否存在入’使得对
任意的α＞0’都有S;＝入SlS3成立若存在’求出入的值;若不存在’说明
理由.
3］9
＝
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
‖满分之路。解析几何〗
·解析0
依题意’设直线MV的方程为鲍＝mγ＋α’M（卯1 ’yl）’Ⅳ（厕2’y2）
’
则Ml（ˉα’yl）’Ⅳl（-α’y2）
’
｛｛厂删;…—……～α
由
｛瞧刘』
从而有
于是师l＋躯2＝″』（γl＋y2）＋2α＝2（″』2p＋α）.@
（ylγ2）2
（ˉ2qⅡX＝α2.◎
又因为y｝＝2p卯l ’y;＝2p卯2’所以绷l卯2＝
＝
4p2
4p2
（1）如图’
当α二;时,点A（:—,0）:′为抛物线的焦点,′为其准线躯＝—:,
此时″｜（—:ˉ’γ｜）’″（ˉ:,γ2）’并由@可得γ｜γ2＝ˉp2｀
解法-:
—〉
--→
AMl＝（ˉp’γl
）’AⅣl＝（ˉp’γ2）
’
／）′｜
卜
M
〃｜
″｜旧
x
ˉ-→
所以AMl
一
AⅣl＝p2＋ylγ2＝′）2-p2≡0,即AM1上AⅣl
解法二:
片AM!≡-红’kAⅣ!＝
γ2
p
p
＿ˉ正＝ˉ1 ’即AMl上A／Vl .
yly2
片AMl
. ／bAⅣl＝p2
p2
（2）存在入＝4’使得对任意的α＞0’都有S;＝4S］S3成立’证明如下
解法＿:记直线／与卿轴的交点为A］’则｜OA｜
＝｜OAl
｜＝α.
于是有s」＝＋｜M｜′!卜M｜M」
｜＝÷（绷］＋α）｜γ｛
｜,
～
＝
s2＋｜删!州!卜｜匙』｜
｜二侧｜γ｜ˉγⅡ
｜,
32O
二
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
1第↑O讲抛物线性质］
s』＋｜咖｜‖』W｜
｜-÷（…）｜γ』｜,
又Sl＝4SlS3’
所以（α｜yl-γ2
｜）2＝（则l＋α）｜γl
｜
. （卯2＋α）｜y2
｜
’
即α2［（γl＋y2）2ˉ4γlγ2］＝［卯l绷2＋α（″l＋卯2）＋α2］｜γlγ2
｜
’
将o@◎代入上式化简可得
α2（4m2p2＋8qp）＝2″（2α′n2p＋4α2）’即4α2p（m2p＋2α）＝4α2p（″』2p＋2α）恒成立’
即对任意α＞0’都有S;＝4SlS3成立.
解法二:
／｜y↑
如图’连接M∧／l ’M｜′｜’则由yly2＝ˉ2αp’γ｝＝2p则l
鞭
ˉ红ˉ纽ˉ22丝2pγ2
1兰＝∧（）″’
二二
＝＝
卯1
γl
y1y2
-2〃
-α
可得∧（）M
X
所以直线M＼／l经过原点（）’同理可证直线／VM也经过原点（）’
又｜OA｜≡｜OAl
｜≡α’设｜″1A1
｜＝hl
’ ｜ⅣlAl
｜＝h2’ ｜／｜′M1
｜
＝〔／l
’ ｜Mγl
｜＝〃2’
则s｜二÷d｜h｜’s2＝＋2α（″｜十咖2）二“（侧!＋h2）,s』＝＋d2″」
因为MMl／／／Mγl／／／A4l ’所以△OAlMl…△M＼／lM1 ’△OAlⅣ1田△MMlⅣl
’
所以觉丽h』,叫
＂｜粤h』｀卵α（h｜十h:）-M…］
／ll
α
二＝
雨si＝侧:（h｜＋陶）2二4×＋d｜偷｜×÷d2偷:＝4s｜s」
～
所以对任意α＞0’S;＝4SlS3成立.
［例33］已知点F（l’0）’直线′:卯＝-1 ,P为平面上的动点,过P作直线／的垂线’垂足为
--一〉—≥—〉
--→
点0’且0P.QF＝FP.F0.
（l）求动点P的轨迹C的方程;
---〉
—-〉＿--≥
（2）过点F的直线交轨迹C于A’B两点,交直线′于点M’已知M4＝入lAF’／l′B＝
一
∧2BF’求∧l＋入2的值
32］
更多免费资料请关注：小初高资料搬砖
厂满分之路.解析几题
~
｜·解析0
（l）解法—:
设点P（卯’y）’则0（-1’y）
’
＿》—〉—〉
---≥
由0P.0F＝FP.F0’得（卯＋1’0）
. （2’-γ）＝（卿ˉl ’γ）
. （ˉ2’γ）’化简得C:y2＝4卯
（2）设直线AB的方程为:卿＝mγ＋l（m≠0）.
）
勺
▲
—
沉
’
］
／
』
‖
‖
｀
＼
″
又
’
）
∑
γ
’
∑
几
（
β
’
）
］
γ
’
］
卯
（
』
设
γ2＝4缅’
｛…｜j渝…｀型ˉ狮…鸽～（＿狮厕…队. ｛
联立方程组
-＿＋
～＿≥—-→
---〉
2
2
由M4＝∧lAF’MB＝人2BF’得:yl＋—＝ˉ∧lγl ’γ2＋—＝ˉ入2y2.
m′
m′
整理得:∧l＝ˉ1ˉ-乙’入2＝ˉlˉ-兰
myl
mγ2
】
〗
″
·
斗
▲
~~
∑
γ
＿
＿
＋
〗
γ
切
］
］
γ
彭
γ
√
／
｜
‖
‖
＼
’
～
—
Ⅲ
∑
~~
∑
｀
∧
＋
］
人
以
所
）
钮
』
＿
№
＋
］
—
川
●
勺
▲
—
加
∑
yl＋y2
◎
~~
物
—
斗
■
勺
～
—
加
∑
~~
~
γlγ2
解法二:
—≥
---〉＿》
---〉
＿-≥
-＿→〉
---〉
（1）由QP.QF＝FP.F0’得F0. （PQ＋PF）＝0’
—〉
---≥
→---〉
—≥
—-〉
-—〉
-—-〉
所以（p0-pF）
. （p0＋pF）＝0’所以p02ˉpF2＝0’所以｜p0｜＝｜pF｜
所以点P的轨迹C是抛物线’由题意,轨迹C的方程为:y2＝4卯.
—-≥
—〉
ˉ—-〉
ˉ—-〉
（2）由已知MA＝∧lAF’／｜′B＝∧2BF’得∧l .∧2＜0.
→
ˉ--卜
则｜些｜
入」｜丝｜o
三≡
｜″B｜
∧2 ｜BF｜
过点A’B分别作准线′的垂线’垂足分别为Al ’Bl
’
＿-≥
—〉
ˉ--》
则｜些｜ˉ ｜兰｜ˉ埋圆
｜‖′B｜
｜BBl
｜
｜BF｜
ˉ--≥
ˉ-→
由@@得ˉ人｜｜川F｜婴,即人｜＋入2-u
ˉ—-＞
＝
入2 ｜BF｜
｜BF｜