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专题八
立体几何初步
第二十二讲空间几何体的三视图、表面积和体积
答案部分
2019
年
1.解析
解析
解析
解析
解析 该模型为长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
−
，挖去四棱锥
O
EFGH
−
后所得的几何体，其
中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，
6cm
AB
BC
=
=
，
1
4cm
AA =
，
所以该模型体积为：
1 1 1
1
3
1
1
6 6 4
(4 6
4
3 2) 3
144 12
132(cm )
3
2
ABCD A B C D
O EFGH
V
V
−
−
−
= −
−
=
−
=
，
3D打印所用原料密度因为为
3
0.9g / cm ，不考虑打印损耗，
所以制作该模型所需原料的质量为：
132 0.9
118.8(g)
=
．
2.解析
解析
解析
解析
解析 因为长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
−
的体积是
，
120
E 为
1
CC 的中点，
所以
1 1 1
1
1
120
ABCD A B C D
V
AB BC DD
−
=
=
，所以三棱锥
E
BCD
−
的体积：
1
1
1
3
3
2
E BCD
BCD
V
S
CE
BC
DC CE
−
=
=
=
1
1
10
12
AB
BC
DD
=
.
3.解析
解析
解析
解析
解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为，且垂直相交平分，由勾股定理得，正
2
四棱锥的高为2.
因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形
对角线的一半等于1，即半径等于1
2
，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1.
所以该圆柱的体积为
2
1
1
2
4
V
Sh
=
=
=
.
4.解析：由
PA
PB
PC
=
=
及
ABC
△
是边长为2 的正三角形可知，三棱锥
P
ABC
−
为正
三棱锥，
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则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心.连接BO 并延长，交AC 于G，
则
AC
BG
⊥
，又
,
PO
AC PO
BG
O
⊥
=
I
，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC.
因为E，F 分别是PA，AB 的中点，所以
EF
PB
P
.
又
90
CEF
=
，即EF⊥CE，所以PB⊥CE，得PB⊥平面PAC.
所以PB⊥PA，PB⊥PC.
又因为
PA
PB
PC
=
=
，
ABC
△
是正三角形，
所以
PAC
PBC
PAB
△
≌△
≌△
，故
PA
PC
⊥
所以正三棱锥
P
ABC
−
的三条侧棱两两互相垂直 .
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为正方体的体对角线的长度，即
2
2
2
6
d
PA
PB
PC
=
+
+
=
, 半径为
6
2
，
则球O 的体积为
3
4
6
π
π
6
3
2
=
．故选D．
5.解析
解析
解析
解析
解析：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，
即
1
1
(4
6) 3
(2
6) 3
27
2
2
ABCDE
S
=
+
+
+
=
五边形
，高为6
，
则该柱体的体积是
27 6
162
V =
=
．
故选．
B
6.解析：
解析：
解析：
解析：
解析：由三视图还原原几何体如图所示，
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该几何体是把棱长为
的正方体去掉一个四棱柱，
4
则该几何体的体积
(
)
1
-
4 4 4-
2+4
2 4=40
2
V
V
V
=
=
正方体
四棱柱
.
2010-2018
年
1
C
．【解析】解法一将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底
面垂直的四棱锥，如图所示，
D
C
B
A
P
易知，
BC
AD
∥
，
1
BC =
，
2
AD
AB
PA
=
=
=
，
AB
AD
⊥
，PA ⊥平面ABCD，
故PAD
，PAB
为直角三角形，∵PA ⊥平面ABCD ，
BC 平面ABCD ，
PA
BC
⊥
，又
BC
AB
⊥
，且
PA
AB
A
=
，∴BC ⊥平面PAB ，又PB 平面
PAB ．
BC
PB
⊥
，∴PBC
为直角三角形，容易求得
3
PC = ，
5
CD =
，
2 2
PD =
，
故PCD
不是直角三角形，故选C．
解法二
在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥
P
ABCD
−
，如图，由图可
知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为，故选
3
C．
P
D
C
B
A
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2
B
2
．【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为
，底面周长
16．画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则
2
=
MS
，
4
=
SN
，则从M
到N 的路径中，最短路径的长度为
2
2
2
2
2
4
2 5
+
=
+
=
MS
SN
．故选
．
B
S
N
M
N
M
图①
图②
3
A
．【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以
是虚线，结合榫头的位置知选
．
A
4
B
．【解析】设等边三角形ABC 的边长为x ，则
2
1
sin60
9 3
2 x
=
，得 6
x =
．
设ABC
的外接圆半径为r ，则
6
2
sin60
r =
，解得
2 3
r =
，所以球心到ABC
所
在平面的距离
2
2
4
(2 3)
2
d =
−
=
，则点D 到平面ABC的最大距离
1
4
6
d
d
=
+
=
，
所以三棱锥
D
ABC
−
体积的最大值
max
1
1
6
9 3 6
18 3
3
3
ABC
V
S
=
=
=
．故选
．
B
5．D【解析】如图以
1
AA 为底面矩形一边的四边形有
1
1
AAC C 、
1
1
AA B B 、
1
1
AA D D 、
1
1
AA E E 4
个，每一个面都有
个顶点，所以阳马的个数为
个．故选
．
4
16
D
E1
E
A
A 1
D
C
D1
C1
B1
B
6
C
．【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体
的体积
1
(1
2) 2 2
6
2
V =
+
=
．故选
．
C
7
B
．【解析】由题意可知，该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，则表面所有梯形
之和为
1
2
(2
4) 2
12
2
+
=
．选
．
B
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8
B
．【解析】解法一由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为
，高
3
为
的圆柱，其体积
4
2
1
3
4
36
V =
=
，上半部分是一个底面半径为，高为
3
6 的圆
柱的一半，
其体积
2
2
1
(
3
6)
27
2
V =
=
，
故该组合体的体积
1
2
36
27
63
V
V
V
=
+
=
+
=
．故选
．
B
解法二该几何体可以看作是高为
，底面半径为
的圆柱的一半，所以体积为
14
3
2
1
(
3 ) 14
63
2
=
．选
．
B
9
B
．【解析】圆柱的轴截面如图，
1
AC =
，
1
2
AB =
，所以圆柱底面半径
3
2
r
BC
=
=
，
那么圆柱的体积是
2
2
3
3
(
)
1
2
4
V
r h
=
=
=
，故选
．
B
10．A【解析】该几何体是由一个高为
的圆锥的一半，和高为
的三棱锥组成（如图），
3
3
其体积为：
2
1 1
1 1
(
1
3)
(
2 1 3)
1
3 2
3 2
2
+
=
+
．选
．
A
11．B【解析】借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥，
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2
2
2
最长的棱长是体对角线，所以
2
2
2
2
2
2
2 3
+
+
=
．选B．
12．C【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为
的正方形，高为，
1
1
其体积
2
1
1
1
1
1
3
3
V =
=
．设半球的半径为R ，则2
2
R =
，即
2
2
R =
，
所以半球的体积
3
2
1
4
2
2
(
)
2
3
2
6
V
=
=
．
故该几何体的体积
1
2
1
2
3
6
V
V
V
=
+
=
+
．故选
．
C
13．A【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉1
8
后剩下的几何体，
设球的半径为r ，故
3
7
4
28
8
3
3
r
=
，所以
2
r =
，
表面积
2
2
7
3
4
17
8
4
S
r
r
=
+
=
，选
．
A
14．C【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l，圆柱高为h ．
由图得 2
r =
，
2
4
π
π
c
r
=
=
，由勾股定理得：
(
)
2
2
2
2 3
4
l =
+
=
，
2
1
π
2
S
r
ch
cl
=
+
+
表
4
8
π 16π
π
=
+
+
28π
=
，故选
．
C
15．B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为
的正方形，故面
3
积都是，前后两个侧面是平行四边形，一边长为、该边上的高为，故面积都为
，
9
3
6
18
左右两个侧面是矩形，边长为3 5
和，故面积都为
3
9 5
，则该几何体的表面积为2(9
+18+9 5 )=54 +
18 5 ．
16．C【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，
∴体积
3
32
2
2
3
1
2
2
3
=
+
=
V
，故选
．
C
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17．【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为
D
1，母线长为2 ，
所以该几何体的表面积是
(
)
1
2
1
1 2
2 2
3
4
2
+
+
=
+
，故选
．
D
18．A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
2
1
1
1
1
1
2
(
1 2) 1
2
3
2
3
V
=
+
=
+
，选
．
A
19．D【解析】如图，设正方形的棱长为，则截取部分为三棱锥
1
1
1
1
A
A B D
-
，其体积为1
6
，
又正方体的体积为，则剩余部分的体积为
1
5
6
，故所求比值为1
5
．
D1
A1
B 1
C1
A
B
D
C
20．B 【解析】在长、宽、高分别为、、
2
1
1 的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥
P
ABC
-
，表面积为
2
1
3
1 2 2
( 2)
2
2
3
2
4
+
=
+
．
1
1
1
1
A
P
B
C
21．A【解析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方
体底面对角线长为2x ，高为h ，则由三角形相似可得，
2
1
2
x
h
−
=
，所以
2
2
h
x
=
−
，
(0,1)
x
，长方体体积
2
2
3
2
2
16
( 2 )
2
(2
2 )
2(
)
3
27
x
x
x
V
x h
x
x
+
+
−
=
=
−
=
长方体
≤
，
当且仅当
2
2
x
x
=
−
，即
2
3
x =
时取等号，
2
1
2
1
2
3
3
V
=
=
圆锥
，
故材料利用率为
16
8
27
2
9
3
=
，选
．
A
22．【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为
B
2
2
2
2
2
4
2
20
16
r
r
r
r
+
+
+
=
+
，所以
2
r =
．
23．B【解析】如图，
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B
D
C
A
设辅助正方体的棱长为，三视图对应的多面体为三棱锥
4
A - BCD，最长的棱为
2
2
(4 2)
2
6
AD =
+
=
，选
．
B
24．C【解析】原毛坯的体积
2
(
3 )
6
54
V
=
=
，由三视图可知该零件为两个圆柱的组
合体，其体积
2
2
1
2
(
2 ) 4 (
3 ) 2
34
V
V
V
=
+
=
+
=
，故所求比值为
10
1
27
V
V
−
=
．
25．A【解析】如图，将边长为
的正方体截去两个角，
2
∴
2
1
3
2 2 6
1 1 2
( 2)
21
3
2
4
S
= −
+
=
+
表
26．A【解析】圆柱的正视图是矩形，∴选
．
A
27．D【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积
1
2
3
2
S
S
S
S
S
S
=
−
+
+
+
正方形
斜面，其中
1S 是长方体的表面积，
2
S 是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，
3
S 是三棱柱的一个底面的面积，
可求得
2
138(
)
S
cm
=
，选
．
D
28．C【解析】由题意可知
AD
BC
⊥
，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面
1
1
DBC ，
又
2 sin60
3
AD =
=
，所以
1
1
1
1
1
1
1
3
2
3
1
3
3
2
A B DC
B DC
V
AD S
−
=
=
=
，
故选
．
C
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29．A【解析】圆柱的底面半径为，母线长为，
1
1
2
1 1
2
S
=
=
侧
．
30．B【解析】直观图为棱长为
的正方体割去两个底面半径为的
2
l
1
4
圆柱，所以该几何体
的体积为
3
2
1
2
2
1
2
8
4
−
=
−
．
31．C【解析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为
，高为
，其侧面
1
1
积 2
2
S
rh
=
=
．
32．B【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，
外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．
33．A【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为
，上边放一个
2 高为4
长为
宽为
长方体，故其体积为
4
2 高为2
2
1
2
4
4 2 2
2
+
=
16 8
+
，故选
．
A
34．A【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为
，
10
6 ，5 的长方体上面是半径为
高
3
为
的半个圆柱．
2
35．C【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为
2
2
2
2
1
3
5
3
5
3
57
3
V
=
+
−
=
36．B【解析】由三视图可知该几何体的体积：
2
2
1
1
2
1
2
3
2
V
=
+
=
．
37．D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故
侧视图可以为
．
D
38．C【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所
以该四棱柱的表面积
1
2
(2
4) 4
4 4
2 4
2
S =
+
+ +
2
1 16
4
+
+
48
8 17
=
+
．
39．D【解析】选项A 正确，∵SD ⊥平面ABCD ，而AC 在平面ABCD 内，所以
AC
SD
⊥
．因为ABCD为正方形，所以
AC
BD
⊥
，而BD 与SD相交，所以
AC ⊥
平面SBD ，所以
AC
SB
⊥
；选项
正确，因为
B
AB
CD，而CD 在平面SCD 内，AB
不在平面SCD 内，所以AB
平面SCD
；选项
正确，设
C
AC 与BD 的交点为O ，
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连结SO ，则SA 与平面SBD 所成的角ASO
，SC 与平面SBD 所成的角CSO
，易
知这两个角相等；选项
错误，
D
AB 与SC 所成的角等于
SCD
，而DC 与SA所成
的角等于SAB
，易知这两个角不相等．
40．C【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面
长方体的
个侧面积之和．
4
2(10 8 10 2
8 2)
2(6 8
8 2)
360
S =
+
+
+
+
=
.
41．【解析】该几何体上半部是底面边长为
，的正四棱柱，其体积为
B
4cm，高为2cm
3
4 4 2
32(
)
cm
=
；下半部分是上、下底面边长分别为
，
4cm
8cm，高为
的正四
2cm
棱台，其体积为 1
224
(16
4 8
64) 2
3
3
+ +
=
，故其总体积为
224
320
32
3
3
+
=
．
42．1
12
【解析】连接
1
AD ，
1
CD ，
1
B A ，
1
B C ，AC ，因为E ，H 分别为
1
AD ，
1
CD 的
中点，所以EH ∥AC ，
1
2
EH
AC
=
，因为F ，G 分别为
1
B A ，
1
B C 的中点，
所以FG ∥AC ，
1
2
FG
AC
=
，所以
EH
FG
∥
，
EH
FG
=
，所以四边形EHGF 为
平行四边形，又
EG
HF
=
，
EH
HG
=
，所以四边形EHGF 为正方形，又点M 到平
面EHGF 的距离为1
2
，所以四棱锥
M
EFGH
−
的体积为
2
1
2
1
1
(
)
3
2
2
12
=
．
43．4
3
【解析】正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正
2
八面体的所有棱长都是2 ，则该正八面体的体积为
2
1
4
( 2)
2
3
3
=
．
44． 4 15 【解析】如图连接OE 交AC 于G ，由题意
OE
AC
⊥
，设等边三角形ABC 的
边长为x （0
5
x
），则
3
6
OG
x
=
，
3
5
6
GE
x
= −
．
G
O
D
F
E
C
B
A
关注微信公众号：加油高三
由题意可知三棱锥的高
2
2
2
2
3
3
5 3
(5
)
(
)
25
6
6
3
h
GE
OG
x
x
x
=
−
=
−
−
=
−
底面
2
3
4
ABC
S
x
=
，
三棱锥的体积为
2
4
5
1
3
5 3
15
3
25
5
3
4
3
12
3
V
x
x
x
x
=
−
=
−
，
设
4
5
3
( )
5
3
h x
x
x
=
−
，则
3
4
5 3
( )
20
3
h x
x
x
=
−
（0
5
x
），
令
( )
0
h x
=
，解得
4 3
x =
，当
(0,4 3)
x
时，
( )
0
h x
，( )
h x 单调递增；
当
(4 3,5)
x
时，
( )
0
h x
，( )
h x 单调递减，
所以
4 3
x =
是( )
h x 取得最大值
4
(4 3)
(4 3)
h
=
所以
2
max
15
15
(4 3)
(4 3)
4 15
12
12
V
h
=
=
=
．
45．9π
2
【解析】设正方体边长为a ，由
2
6
18
a =
，得
2
3
a =
，
外接球直径为
2
3
3
R
a
=
=
，
3
4
4
27
9
π
π
π
3
3
8
2
V
R
=
=
=
．
46．2
2
+
【解析】由三视图可知长方体的长、宽、高分别为
圆柱的高为
底面圆半
,
2,1,1,
1,
径为，所以
1
2
π
π
1
2 1 1
2
1
2
4
2
V
=
+
=
+
．
47．3
2
【解析】设球的半径为r ，则
2
1
3
2
2
3
4
2
3
V
r
r
V
r
=
=
．
48．2【解析】根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为
，高为
的平行四边形，四
2m
1m
棱锥的高为3m，故其体积为1
2 1 3
2
3
=
(
3
m )
．
49．8
3 【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1 ，高为2 的圆柱，两
端是底面半径为1 ，高为1 的圆锥，所以该几何体的体积
2
2
1
8
1
2
2
1
1
3
3
V
=
+
=
．
50．12【解析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h ，
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则
2
1
3
6
2
2 3
3
4
h
=
，解得 1
h =
，底面正六边形的中心到其边的距离为3 ，
故侧面等腰三角形底边上的高为
3 1
2
+
=
，该六棱锥的侧面积为1
12 2
12
2
=
．
51．2 2 【解析】由题意可知直观图如图所示，结合三视图有
PA⊥平面ABC ，
2
PA =
，
2
AB
BC
=
=
，
2
CA =
，所以
2
2
6
PB
PA
AB
=
+
=
，
2
2
2 2
PC
PA
AC
=
+
=
，∴三棱锥最长棱的棱长为2 2 ．
P
A
B
C
52．3
2
【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是
1
2
,
r r ，母线长分别是1
2
,
l l ．
则由
1
2
9
4
S
S
=
，可得
1
2
3
2
r
r
=
．又两个圆柱的侧面积相等，即
1 1
2 2
2
2
rl
r l
=
，
则1
1
2
2
2
3
l
r
l
r
=
=
，所以
1
1 1
2
2 2
9
2
3
4
3
2
V
S l
V
S l
=
=
=
．
53．3 【解析】设正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为直径，即3
2
a
r
=
，即球
半径
3
2
r
a
=
．若球的体积为9
2
，即
3
4
3
9
(
)
3
2
2
a
=
，解得
3
a =
．
54．1：24【解析】三棱锥 ADE
F −
与三棱锥
ABC
A −
1
的相似比为：，
1
2
故体积之比为：
1
8．又因三棱锥
ABC
A −
1
与三棱柱
ABC
C
B
A
−
1
1
1
的体积之比
为：．所以，三棱锥
1
3
ADE
F −
与三棱柱
ABC
C
B
A
−
1
1
1
的体积之比为：
．
1
24
另：
1
1
2
2
1
1
1
1
1
3
3
4
2
24
ADE
ABC
V
S
h
S
h
V
=
=
=
，所以
1
2
1
:
24
V V =
．
55．38【解析】由三视图知，此几何体为一个长为，宽为
的长方体中心，去除
4
3，高为1
一个半径为
的圆柱，所以表面积为
1
(
)
2
4 3+4 1+3 1 +2 -2 =38
．
56．92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4 的直四棱柱几何体的表面积是
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2
2
1
2
(2
5) 4
(2
5
4
4
(5
2) ) 4
92
2
S =
+
+
+ +
+
+
−
=
．
57．3 【解析】
1
1
1
3
2 2 sin60
3
3
3
2
ABC
V
PA S
=
=
=
，答案应填
3 ．
58．1
3
【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的3
16
，得
2
2
3
4
16
r
R
=
，所以
3
2
r
R =
，则
小圆锥的高为2
R ，大圆锥的高为3
2
R ，所以比值为1
3
．
59．【解析】（Ⅰ）证明：
PD ⊥平面
,
,
ABCD PD
PCD
∴平面PCD ⊥平面ABCD，
平面PCD
平面
ABCD
CD
=
，
MD平面ABCD ，
MD
CD
⊥
，
∴
MD ⊥平面PCD ，
,
,
,
,
,
CF
PCD
CF
MD
CF
MF MD MF
MDF
⊥
⊥
平面
又
平面
MD
MF
M
=
，∴
CF
MDF
⊥平面
．
（Ⅱ）
0
0
,
,
60 ,
30 ,
CF
MDF
CF
DF
PCD
CDF
⊥
⊥
=
=
平面
又易知
1
1
=
=
,
2
2
CF
CD
从而
1
3
3 3
2
,
,
=
,
,
,
2
4
4
3
DE
CF
DE
EF
DC
DE
PE
DP
CP
=
=
=
∥
即
1
3
2
8
CDE
S
CD DE
=
=
，
2
2
2
2
2
2
3 3
3
6
(
)
(
)
,
4
4
2
MD
ME
DE
PE
DE
=
−
=
−
=
−
=
1
1
3
6
2 .
3
3
8
2
16
M CDE
CDE
V
S
MD
−
=
=
=
60．【解析】（Ⅰ）由已知得
ABC
DBC
，因此
AC
DC
=
，又G 为AD 的中点，
CG
AD
⊥
；同理
BG
AD
⊥
；因此AD ⊥平面BCG ,又
EF
AD
∥
,∴
EF ⊥
平面
．
BCG
关注微信公众号：加油高三
G
B
C
D
A
O
F
E
（Ⅱ）在平面ABC内，做
AO
CB
⊥
，交CB 的延长线于O ，由平面ABC ⊥平面BCD，
知AO ⊥平面BCD ，又G 为AD 的中点，因此G 到平面BCD 的距离h 是AO的一半，
在AOB
中，
sin60
3
AO
AB
=
=
，所以
1
1
3
2
D BCG
G BCD
DBG
V
V
S
h
−
−
=
=
=
．
61．【解析】（Ⅰ）连结
1
AC ，交
1AC
于点
，连结
为
O
DO，则O
1
AC
的中点，因为
为
D
AB
的中点，所以
∥
OD
1
BC
，又因为OD 平面
1ACD ，
1
BC 平面
1ACD ，
所以
1
BC //平面
1ACD ；
（）由题意知
Ⅱ
CD ⊥平面
1
1
ABB A ．
再由
1
2
AA
AC
CB
=
=
=
，
2 2
AB =
得
90
ACB
=
，
2
CD =
，
1
6
A D =
，
3
DE =
，
1
3
A E =
．
故
2
2
2
1
1
AD
DE
AE
+
=
，即
1
DE
A D
⊥
所以
1
1
1
6
3
2
1
3
2
C A DE
V −
=
=
．
62．【 解析】
（Ⅰ）证明：连接
，交于
于
AC
BD
O
点，连接
．因为底面
是菱形，所以
PO
ABCD
,
AC
BD BO
DO
⊥
=
，由
PB
PD
=
知，
PO
BD
⊥
．再由
PO
AC
O
=
知，
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BD ⊥面APC，因此
BD
PC
⊥
．
（Ⅱ）解：因为
是
的中点，所以
E
PA
1
1
2
2
P BCE
C PEB
C PAB
B APC
V
V
V
V
−
−
−
−
=
=
=
由
2
PB
PD
AB
AD
=
=
=
=
知，
ABD
PBD
因为
60
BAD
=
,
所以
3,
2 3,
1
PO
AO
AC
BO
=
=
=
=
.
又
2
2
2
6,
,
PA
PO
AO
PA
PO
AC
=
+
=
⊥
即
.
故
1
3
2
APC
S
PO
AC
=
•
=
.
由（）知，
1
1
1
1
1
,
2
2
3
2
P BCE
B APC
APC
BO
APC
V
V
BO S
−
−
⊥
=
=
•
•
•
=
面
因此
．
63．【解析】（）由已知可得
，
1
AE=3
BF=4，则折叠完后
，
EG=3
GF=4，又因为
，所以
EF=5
可得
EG
GF
⊥
，又因为
CF
EGF
⊥底面
,可得
CF
EG
⊥
，即
EG
CFG
⊥面
所以平
面DEG⊥
平面CFG.
（）过
作
垂直于
，
即为四棱锥
2
G
GO
EF
GO
G-EFCD 的高，
所以所求体积为
1
1
12
4 5
16
3
3
5
CDEF
S
GO
=
=
．
64．【 解析】（I）由条件知
为直角梯形因为
PDAQ
QA⊥
平面
，所以平面
ABCD
PDAQ⊥平
面
，交线为
．
ABCD
AD
又四边形
为正方形，
ABCD
DC⊥
AD，所以DC⊥
平面
，可得
PDAQ
PQ⊥DC．
在直角梯形
中可得
PDAQ
DQ=
=
PQ
2
2
PD
PQ
，则
⊥QD
所以PQ⊥
平面DCQ.
（II）设AB= .
a
由题设知
为棱锥
的高，所以棱锥
的体积
AQ
Q—ABCD
Q—ABCD
3
1
1
.
3
V
a
=
由（）知
为棱锥
的高，而
I
PQ
P
DCQ
—
PQ= 2a
，
的面积为
△DCQ
2
2
2 a
，
所以棱锥
的体积为
P
DCQ
—
3
2
1
.
3
V
a
=
故棱锥
的体积与棱锥
的体积的比值为．
Q—ABCD
P
DCQ
—
1
