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2021 年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题（本题共12 个小题，每小题3 分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目
要求．）
1. 下列各数中，是负数的是（ ）
A. |﹣2|
B.
C. （-1）
0
D. ﹣32
【答案】D
【解析】
【分析】先求出各个运算结果，继而即可判断正负性．
【详解】解：A. |﹣2|=2，是正数，不符合题意，
B. （﹣
）
2=5，是正数，不符合题意，
C. （﹣1）
0=1 是正数，不符合题意，
D. ﹣32=-9 是负数，符合题意，
故选D．
【点睛】本本题主要考查正负数的概念，掌握乘方运算，零指数幂运算以及绝对值的意义，是解题的关键．
2. 如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据俯视图的定义及画图规则，画出俯视图，再与各选项进行对比即可找出正确答案．
【详解】解：从上向下看几何体时，外部轮廓如图1 所示：
∵上半部有圆孔，且在几何体内部，看不见的轮廓线画虚线，
∴整个几何体的俯视图如图2 所示：
故选：A
【点睛】本题考查了三视图的知识点，熟知左视图的定义和画三视图的规则是解题的关键．
3. 已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分
子的直径是这种花粉直径的（ ）
A. 0.77×10﹣5倍
B. 77×10﹣4倍
C. 7.7×10﹣6倍
D. 7.7×10﹣5倍
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
【详解】由题意得：(3.85×10﹣9)÷(5×10﹣4)= 7.7×10﹣6倍，
故选C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
4. 如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF 的度数为（ ）
A. 95°
B. 105°
C. 110°
D. 115°
【答案】B
【解析】
【分析】由
平行的性质可知
，再结合
即可求解．
【详解】解：
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2
故答案是：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握平行线的性质．
5. 为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40 名学
生对收集废旧电池的数量进行的统计：
废旧电池数/节
4
5
6
7
8
人数/人
9
11
11
5
4
请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ）
A. 样本为40 名学生
B. 众数是11 节
C. 中位数是6 节
D. 平均数是5.6 节
【答案】D
【解析】
【分析】根据样本定义可判定A，利用众数定义可判定B，利用中位数定义可判定C，利用加权平均数计
算可判定D 即可．
【详解】解：A. 随机抽取40 名学生对收集废旧电池的数量是样本，故选项A 样本为40 名学生不正确；
B. 根据众数定义重复出现次数最多的数据是5 节或6 节，故选项B 众数是11 节不正确，
C. 根据中位数定义样本容量为40，中位数位于
两个位置数据的平均数，第20 位、第21 位两
个数据为6 节与7 节的平均数
节，故选项C 中位数是6 节不正确；
D. 根据样本平均数
节
故选项D 平均数是5.6 节正确．
故选择：D．
【点睛】本题考查样本，众数，中位数，平均数，熟练掌握样本，众数，中位数，平均数是解题关键．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. a2•a4＝a8
B. ﹣a（a﹣b）＝﹣a2﹣ab
C. （﹣2a）
2÷（2a）﹣1＝8a3
D. （a﹣b）
2＝a2﹣b2
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3
【答案】C
【解析】
【分析】依次分析各选项，利用同底数幂的乘法法则、单项式乘多项式、积的乘方、负整数指数幂、同底
数幂的除法、乘法公式进行运算即可得出A、B、D 三个选项错误，只有A 选项正确．
【详解】解：∵
，
，
，
故A、B、D 三个选项错误；
∵
，
∴C 选项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算、单项式乘多项式、积的乘方运算、负整数指数幂、同底数幂的
除法运算、乘法公式等内容，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出
现符号错误，因此应加强学生的符号运算意识，提高运算能力与技巧等．
7. 关于x 的方程x2＋4kx＋2k2＝4 的一个解是﹣2，则k 值为（ ）
A. 2 或4
B. 0 或4
C. ﹣2 或0
D. ﹣2 或2
【答案】B
【解析】
【分析】把x=-2 代入方程即可求得k 的值；
【详解】解：将x=-2 代入原方程得到：
，
解关于k 的一元二次方程得：k=0 或4，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．
8. 如图，A，B，C 是半径为1 的⊙O 上的三个点，若AB＝
，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为
（ ）
A. 95°
B. 100°
C. 105°
D. 110°
【答案】C
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4
【解析】
【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理
可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OC，
∵OA＝OB＝1，AB＝
，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本
题的关键．
9. 若﹣3＜a≤3，则关于x 的方程x＋a＝2 解的取值范围为（ ）
A. ﹣1≤x＜5
B. ﹣1＜x≤1
C. ﹣1≤x＜1
D. ﹣1＜x≤5
【答案】A
【解析】
【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3 的范围，即可求解．
【详解】解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，
故选A．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a 的代数式表示x，是解题的关键．
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5
10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c 的图象和反比例函数y＝
的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c 的正负，再利用x=1 代入解析式，得到a+b+c 的正负即可
判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y 轴左侧，与y 轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当x=1 时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决
本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的
正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
11. 如图，在直角坐标系中，点A，B 的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO 绕点O 按顺时针旋转
得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（ ）
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6
A. （
）
B. （
）
C. （
）
D. （
）
【答案】A
【解析】
分析】先求出AB，OA1，再作辅助线构造相似三角形，如图所示，得到对应边成比例，求出OC 和
A1C，即可求解．
【详解】解:如图所示，∵点A，B 的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），
∴OB=1，OA=2，
∴
，
∵∠AOB=90°，
∴∠A1OB1=90°，
∴O A1⊥OB1，
又∵AB⊥OB1，
∴O A1∥AB，
∴∠1=∠2，
过A1点作A1C⊥x 轴，
∴∠A1CO=∠AOB，
∴
，
∴
，
∵O A1=OA=2，
∴
，
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7
∴
，
，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题综合考查了勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定和性质等内容，解决本题的关键是理
解并掌握相关概念，能通过作辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
12. 如图，四边形ABCD 中，已知AB∥CD，AB 与CD 之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，
点P，Q 同时由A 点出发，分别沿边AB，折线ADCB 向终点B 方向移动，在移动过程中始终保持
PQ⊥AB，已知点P 的移动速度为每秒1 个单位长度，设点P 的移动时间为x 秒，△APQ 的面积为y，则能
反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
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8
【分析】依次分析当
、
、
三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像
进行判断即可确定正确选项．
【详解】解：如图所示，分别过点D、点C 向AB 作垂线，垂足分别为点E、点F，
∵已知AB CD
∥
，AB 与CD 之间的距离为4，
∴DE=CF=4，
∵点P，Q 同时由A 点出发，分别沿边AB，折线ADCB 向终点B 方向移动，在移动过程中始终保持
PQ⊥AB，
∴PQ DE CF
∥
∥
，
∵AD=5，
∴
,
∴当
时，P 点在AE 之间，此时，AP=t，
∵
,
∴
，
∴
，
因此，当
时，其对应的图像为
，故排除C 和D；
∵CD＝3，
∴EF=CD=3，
∴当
时，P 点位于EF 上，此时，Q 点位于DC 上，其位置如图中的P1Q1，则
，
因此当
时，对应图像为
，即为一条线段；
∵∠ABC＝45°，
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9
∴BF=CF=4，
∴AB=3+3+4=10，
∴当
时，P 点位于FB 上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-t，
同理可得，Q2P2=P2B=10-t，
，
因此当
时，对应图像为
，其为开口向下的抛物线的
的一段图
像；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函
数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类
讨论的思想方法等．
二、填空题（本题共5 个小题，每小题3 分，共15 分．只要求填写最后结果）
13. 计算：
＝_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法，再算加减法，即可．
【详解】解：原式=
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10
=
=
=4．
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查二次根式
混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．
14. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这
四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中
心对称图形的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由等边三角形、平行四边形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形
有菱形、圆，
再画出树状图展示所有等可能的结果，进而即可求得答案．
【详解】解：设等边三角形、平行四边形、菱形、圆分别为A，B，C，D，
根据题意画出树状图如下：
一共有12 种情况，抽出的两张卡片的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形为C、D 共有2 种情况，
∴P（既是中心对称图形，又是轴对称图形）＝2÷12＝
．
故答案是：
．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，画
出树状图，是解题的关键．
15. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D 和点E，AD 与CE 交于点O，连接BO 并延
长交AC 于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF 值为____________．
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11
【答案】
【解析】
【分析】由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得
，进而即可得
到答案．
【详解】解：∵在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D 和点E，AD 与CE 交于点O，
∴BF⊥AC，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，
∴
，
∴
，
∴CE：AD：BF=
，
故答案是：
．
【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．
16. 用一块弧长16πcm 的扇形铁片，做一个高为6cm 的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形
铁片的面积为_______cm2
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵弧长16πcm 的扇形铁片，
∴做一个高为6cm 的圆锥的底面周长为16πcm，
∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm，
∴圆锥的母线长为：
，
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12
∴扇形铁片的面积=
cm2，
故答案是：
．
【点睛】本题考查了圆锥与扇形，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题的关键．
17. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A，C 分别在x 轴，y 轴上，B，D 两
点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF 在边OA 上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF 的周长
最小时，点E 的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先得出D 点关于x 轴的对称点坐标为H（0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF 的周长的最小
值转化为求FG+BF 的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F、G、B 三点共线时FG+BF 的值最小，用
待定系数法求出直线BG 的解析式后，令y=0，即可求出点F 的坐标，最后得到点E 的坐标．
【详解】解：如图所示，∵D（0，4），
∴D 点关于x 轴的对称点坐标为H（0，-4），
∴ED=EH，
将点H 向左平移3 个单位，得到点G（-3，-4），
∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
∴EH=FG，
∴FG =ED，
∵B（-4，6），
∴BD=
，
又∵EF＝3，
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∴四边形BDEF 的周长=BD+DE+EF+BF=
+FG+3+BF,
要使四边形BDEF 的周长最小，则应使FG+BF 的值最小，
而当F、G、B 三点共线时FG+BF 的值最小，
设直线BG 的解析式为：
∵B（-4，6），G（-3，-4），
∴
，
∴
，
∴
，
当y=0 时，
，
∴
，
∴
故答案为：
．
【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式
等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的
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最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．
三、解答题（本题共8 个小题，共69 分解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤
18. 先化简，再求值：
，其中a＝﹣
．
【答案】
；6
【解析】
【分析】先把分式化简后，再把a 的值代入求出分式的值即可．
【详解】解：原式＝
，
当
时，原式＝6．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
19. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间，开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社
团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调
查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：
请根据以上的信息，回答下列问题：
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（1）抽取的学生有 人，n＝ ，a＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有学生3200 人，估计参加书法社团活动的学生人数．
【答案】（1）200，54，25；（2）见解析；（3）800 人
【解析】
【分析】（1）用乒乓球的人数除以乒乓球所占的百分比，即可求得样本容量，进而可分别求得n 和a 的值
即可；
（2）先计算出参加朗诵的人数，即可补全条形统计图；
（3）先计算参加书法所占的百分比，再乘以2000，即可解答．
【详解】解：（1）80÷40%＝200（人），
＝54°，
50÷200＝25%，
故答案为：200，54，25；
（2）200－50－30－80＝40（人），
补全条形统计图如图所示∶
（3）
×3200＝800（人）．
答：该校参加书法社团活动的约有 800 人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．
20. 为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600 元购买A 种花卉与用900
元购买B 种花卉的数量相等，且B 种花卉每盆比A 种花卉多0.5 元．
（1）A，B 两种花卉每盆各多少元？
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（2）计划购买A，B 两种花卉共6000 盆，其中A 种花卉的数量不超过B 种花卉数量的
，求购买A 种花
卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
【答案】（1）A 种花弃每盆1 元，B 种花卉每盆1.5 元；（2）购买A 种花卉1500 盆时购买这批花卉总费
用最低，最低费用为 8250 元
【解析】
【分析】（1）设A 种花弃每盆x 元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元，根据题意列分式方程，解出方程并检验；
（2）设购买A 种花卉∶t 盆，购买这批花卉的总费用为w 元，则t≤
（6000－t），w＝t＋1.5（6000－t）
＝－0.5t＋9000，w 随t 的增大而减小，所以根据t 的范围可以求得w 的最小值．
【详解】解：（1）设A 种花弃每盆x 元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元．
根据题意，得
．
解这个方程，得x＝1.
经检验知，x＝1 是原分式方程
根，并符合题意．
此时x＋0.5＝1＋0.5＝1.5（元）．
所以，A 种花弃每盆1 元，B 种花卉每盆1.5 元．
（2）设购买A 种花卉∶t 盆，购买这批花卉的总费用为w 元，则t≤
（6000－t），
解得∶t≤1500.
由题意，得w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000.
因为w 是t 的一次函数，k＝－0.5＜0，w 随t 的增大而减小，所以当t＝1500 盆时，w 最小．
w＝－0.5×1500＋9000＝8250（元）．
所以，购买A 种花卉1500 盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为8250 元．
【点睛】本题主要考查了分式方程解决实际问题和一次函数求最值，根据等量关系列出方程和函数关系式
及取值范围是解题关键．
21. 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O，且AO＝CO，点E 在BD 上，满足∠EAO＝
∠DCO．
（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD 的面积．
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17
【答案】（1）见解析；（2）24
【解析】
【分析】（1）根据题意可证明
，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为
平行四边形”证明即可；
（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD 为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD 为菱形，然后根据条件
求出DE 的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：在△AOE 和△COD 中，
∴
．
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD 是平行四边形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO 为AC 的垂直平分线，
．
∴平行四边形 AECD 是菱形．
∵AC＝8，
．
在 Rt△COD 中，CD＝5，
，
∴
，
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18
，
∴四边形 AECD 的面积为24．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面
积计算公式是解题关键．
22. 时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向
走300 米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西37°方向
走200 米到达人民英雄雕塑D 处，最后从D 处回到A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，
求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1 米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【答案】420 米
【解析】
【分析】过D 点分别作DE
BC，DF
AB，垂足分别是点E，点F．由三角函数可求
，
．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF ＝140, 在Rt△ADF 中，利用三角函数可求DF ＝
AF·tan65°≈299.60.,可求BC＝BE＋CE≈420（米）．
【详解】解∶过D 点分别作DE
BC，DF
AB，垂足分别是点E，点F．
由题意得，
＝37°．
在R△CDE 中
∵
，
，
．
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19
，
．
∴四边形 BEDF 是矩形，
∴BE＝DF，BF＝DE＝160，
∴AF＝AB－BF＝300－160＝140.
在Rt△ADF 中，
，
∴DF＝AF·tan65°≈140×2.14＝299.60.
∴BC＝BE＋CE＝299.60＋120≈420（米）．
所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420 米．
【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解
题关键．
23. 如图，过C 点的直线y＝﹣
x﹣2 与x 轴，y 轴分别交于点A，B 两点，且BC＝AB，过点C 作CH⊥x
轴，垂足为点H，交反比例函数y＝
（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH 的面积为6
（1）求k 值和点D 的坐标；
（2）如图，连接BD，OC，点E 在直线y＝﹣
x﹣2 上，且位于第二象限内，若△BDE 的面积是△OCD
面积的2 倍，求点E 的坐标．
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【答案】（1）
，点 D 坐标为（4，3）；（2）点E 的坐标为（－8，2）
【解析】
【分析】（1）结合反比例函数
的几何意义即可求解
值；由
轴可知
轴，利用平行线分
线段成比例即可求解D 点坐标；
（2）
可知
和
的面积相等，由函数图像可知
、
、
的面积关系，
再结合题意
，即可求CD 边上高的关系，故作
，垂足为F，即可求解E 点横坐标，
最后由E 点在直线AB 上即可求解．
【详解】解∶（1）设点 D 坐标为（m，n），
由题意得
．
∵点 D 在
的图象上，
．
∵直线
的图象与
轴交于点A，
∴点A 的坐标为（－4，0）．
∵CH
x 轴，CH//y 轴．
．
点D 在反比例函数
的图象上，
点 D 坐标为（4，3）
（2）由（1）知
轴，
．
．
过点E 作EF
CD，垂足为点 F，交y 轴于点M，
．
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．
∴点 E 的横坐标为－8.
∵点E 在直线
上，∴点E 的坐标为（－8，2）．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题、
的几何意义，属于中档难度的
综合题型．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．
24. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 是直径，交BC 于点H，点D 在
上，
连接AD，CD 过点E 作EF∥BC 交AD 的延长线于点F，延长BC 交AF 于点G．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF 和CD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
，
【解析】
【分析】（1）因为AE 是直径，所以只需证明EF
AE 即可；
（2）因EF∥BG，可利用
，将要求的EF 的长与已知量建立等量关系；因四边形ABCD
是圆内接四边形，可证得
，由此建立CD 与已知量之间的等量关系．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
．
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又∵AE 是
O 的直径，
．
．
∵AB=AC，
∴AE
BC．
∴∠AHC=90°．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AHC=90°．
∴EF
AE．
∴EF 是
O 的切线．
（2）如图所示，连接OC，设
O 的半径为r．
在Rt△COH 中，
∵
，
又∵OH=AH-OA=3-r，
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解得，
．
∵EF∥BC，
∴
．
∵四边形ABCD 内接于
，
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24
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂径定理及推论、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性
质等知识点，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键．
25. 如图，抛物线y＝ax2＋
x＋c 与x 轴交于点A，B，与y 轴交于点C，已知A，C 两点坐标分别是A
（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式和AC 所在直线的表达式；
（2）将
ABC 沿BC 所在直线折叠，得到
DBC，点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上，若点D 在
对称轴上，请求出点D 的坐标；若点D 不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP 交BC 于点Q，连接BP，
BPQ 的面积记为
S1，
ABQ 的面积记为S2，求
的值最大时点P 的坐标．
【答案】（1）
；
；（2）点D 不在抛物线的对称轴上，理由见解析；（3）
点P 坐标为（－2，－3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点B 坐标，再结合点A、C 坐标利用相似三角形的判定及性质可证得
，延长AC 到
点D，使 DC＝AC，过点D 作DE
y 轴，垂足为点E，由此可得
，进而可求得点
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D 的横坐标为－1，最后根据抛物线的对称轴是直线
即可判断出点B 不在对称轴上；
（3）先利用待定系数法求出直线BC 的函数表达式，然后过点A 作x 轴的垂线交BC 的延长线于点M，则
点M 坐标为
，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点N，垂足为点H，设点P 坐标为
，则点N 坐标为
，根据相似三角形的判定及性质可得
，由此可得答案．
详解】解；（1）∵抛物线
过A（1，0），C（0，﹣2），
∴
，
解得：
，
∴抛物线的表达式为
．
设 AC 所在直线的表达式为
，
∴
，
解得
，
∴AC 所在直线的表达式为
；
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（2）点D 不在抛物线的对称轴上，理由是∶
∵抛物线的表达式是
，
∴令y＝0，则
，
解得
，
，
∴点B 坐标为（－4，0）．
，
，
∴
．
又
∴
．
∴
．
∴
，
∴
．
∴将△ABC 沿 BC 折叠，点 A 的对应点D 一定在直线AC 上．
如下图，延长AC 到点D，使 DC＝AC，过点D 作DE
y 轴，垂足为点E．
又∵
，
∴
，
∴DE＝OA＝1，
∴点D 的横坐标为－1，
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∵抛物线的对称轴是直线
，
∴点D 不在抛物线的对称轴上；
（3）设过点 B，C 的直线表达式为
，
∵点C 坐标是（0，－2），点B 坐标是（－4，0），
∴过点 B，C 的直线表达式为
．
过点 A 作x 轴的垂线交BC 的延长线于点M，
则点M 坐标为
，
如下图，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点N，垂足为点H，
设点P 坐标为
，则点N 坐标为
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵若分别以PQ，AQ 为底计算△BPQ 与△BAQ 的面积，则△BPQ 与△BAQ 的面积的比为
，
即
．
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∴
，
∵
，
∴当m＝－2 时，
的最大值为
，
将m＝－2 代入
，得
，
∴当
取得最大值时，点P 坐标为（－2，－3）．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，相似三角形的判定及性质，熟练
掌握二次函数的图像与性质及相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
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