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解密05 空
几何体的表面
和体
间
积
积
A 组 考点专练
一、选择题
1.母线长为5 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为( )
A.16π
B.8π
C.
D.
【答案】A
【解析】∵母线长为5 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，∴侧面展开图的弧长为5×＝8π，设底面圆半
径为r，弧长8π＝底面周长＝2πr，∴r＝4，∴圆锥的高h＝＝3，∴圆锥体积V＝×π×r2×h＝16π.
2.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝1，M 是AC 的中点，则三棱锥B1－ABM 的外接
球的表面积为( )
A.π
B.2π
C.π
D.π
【答案】B
【解析】取AB 的中点D，取B1A1 的中点D1，连接DD1，设O 是线段DD1 的中点，在△ABC 中，
AB⊥BC，AB＝BC，M 为AC 中点，∴BM⊥AC.因此BD＝DM＝DA＝D1B1，从而OB1＝OB＝OA＝OM，故
O 为三棱锥B1－ABM 的外接球心，∴R2＝OB2＝OD2＋BD2＝＋＝，故三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝2π.
3.已知球O 是三棱锥P－ABC 的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝2，点D 是PB 的中点，且CD＝，则
球O 的体积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】依题意，由PA＝AC＝2，CP＝2，得AP⊥AC.
连接AD，由点D 是PB 的中点且PA＝AB＝PB＝2，得AD＝，
又CD＝，AC＝2，可知AD⊥AC，
又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAB，AD⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.
以△PAB 为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球，球心O 到底面△PAB 的距
离d＝AC＝1.
由正弦定理得△PAB 的外接圆半径r＝＝，
所以球O 的半径R＝＝.
故球O 的体积V＝πR3＝π××＝π.
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4.(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结
论中错误的是( )
A.AC⊥AF
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A－BEF 的体积为定值
D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
【答案】AD
【解析】由题意及图形知，当点F 与点B1重合时，∠CAF＝60°，故A 错误；由正方体ABCD－A1B1C1D1的
两个底面平行，EF⊂平面A1B1C1D1，知EF∥平面ABCD，故B 正确；由几何体的性质及图形知，三角形
BEF 的面积是定值，点A 到平面DD1B1B 的距离是定值，故可得三棱锥A－BEF 的体积为定值，故C 正确；
由图形可以看出，B 到直线EF 的距离与A 与直线EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积不相
等，故D 错误.故选AD.
5.(多选题)长方体ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则( )
A.长方体的表面积为20
B.长方体的体积为6
C.沿长方体的表面从A 到C1的最短距离为3
D.沿长方体的表面从A 到C1的最短距离为2
【答案】BC
【解析】长方体的表面积为2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，A 错误.长方体的体积为3×2×1＝6，B 正确.如
图1 所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，如
图2 所示.
连接AC1，则有AC1＝＝，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时，A 到C1的最短距离是；将侧面ABB1A1和
底面A1B1C1D1展开，如图3 所示，连接AC1，则有AC1＝＝3，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时，A 到
C1的最短距离是3；将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，如图4 所示.
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3
连接AC1，则有AC1＝＝2，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时，A 到C1的最短距离是2.因为3<2<，所
以沿长方体表面由A 到C1的最短距离是3，C 正确，D 错误.故选BC.
二、填空题
6.【2020 浙江卷】已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面
半径(单位：cm)是__________.
【答案】1
【解析】如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S 侧＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于侧面展
开图为半圆，可知πl2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.
7.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D 的体积为________.
【答案】
【解析】法一：连接A1C1交B1D1于点E，则A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E 为四
棱锥A1－BB1D1D 的高，且A1E＝，矩形BB1D1D 的长和宽分别为，1，故VA1－BB1D1D＝×1××＝.
法二：连接BD1，将四棱锥A1－BB1D1D 分成两个三棱锥B－A1DD1与B－A1B1D1，VA1－BB1D1D＝VB－A1DD1＋VB－
A1B1D1＝××1×1×1＋××1×1×1＝.
8.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽籺”，故称“角黍”，是端午节大家都会
品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图(1)的平行四边形形状的纸片是
由六个边长为1 的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图(2)的粽子形状的六面体，则该六面
体的体积为________；若该六面体内有一球，则该球的体积的最大值为________.
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【答案】
【解析】由对称性可知该六面体是由两个全等的正四面体合成的，正四面体的棱长为1，则正四面体的高
为＝，所以正四面体的体积为××1××＝.
因为该六面体的体积是正四面体体积的2 倍，所以该六面体的体积是.要使球的体积达到最大，则球与该六
面体的六个面都要相切.连接球心和六面体的五个顶点，把六面体分成了六个全等的三棱锥.设球的半径为
R，则＝6×，解得R＝，所以球的体积V＝R3＝×＝.
三、解答题
9.在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O 为AC 中点.
(1)证明：A1O⊥平面ABC；
(2)求三棱锥C1－ABC
的体积.
【解析】(1)因为AA1＝A1C，且O 为AC 的中点，
所以A1O⊥AC，
又面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O⊂平面AA1C1C，
∴A1O⊥平面ABC.
(2)∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC 的距离等于A1到平面ABC 的距离.
由(1)知A1O⊥平面ABC 且A1O＝＝，
∴VC1－ABC＝VA1－ABC＝S△ABC·A1O＝××2××＝1.
10.如图，在四棱锥P－ABCD 中，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB，AD∥BC，AB＝AC，AD＝BC＝1，PD
＝3，∠BAD＝120°，M 为PC 的中点.
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(1)证明：DM∥平面PAB；
(2)求四面体MABD 的体积.
【解析】(1)取PB 中点N，连接MN，AN.
∵M 为PC 的中点，∴MN∥BC 且MN＝BC，
又AD∥BC，且AD＝BC，得MN 平行相等AD.
∴ADMN 为平行四边形，∴DM∥AN.
又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB.
(2)取AB 中点O，连接PO，∵PA＝PB，∴PO⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO⊂平面PAB，
则PO⊥平面ABCD，取BC 中点H，连接AH，
∵AB＝AC，∴AH⊥BC，又∵AD∥BC，∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，Rt△ABH 中，BH＝BC＝1，AB＝2，
∴AO＝1，又AD＝1，
△AOD 中，由余弦定理知，OD＝.
Rt△POD 中，PO＝＝.
又S△ABD＝AB·ADsin 120°＝，
∴VM－ABD＝·S△ABD·PO＝.
B 组 专题综合练
11.三棱锥P－ABC 中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC 的外
接球的表面积为( )
A.23π
B.π
C.64π
D.π
【答案】D
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【解析】如图，设O′为正△PAC 的中心，D 为Rt△ABC 斜边的中点，H 为AC 中点.由平面PAC⊥平面ABC.
则O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，则交点O 为三棱锥外接球的球心，连接OP，又O′P＝PH＝
××2＝，OO′＝DH＝AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝.故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝π.
12.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，△PAB 为等腰
直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥底面ABCD，E 为PD 的中点.
(1)求证：AE∥平面PBC；
(2)求三棱锥P－EBC 的体积.
【解析】(1)如图，取PC 的中点F，连接EF，BF，
∵PE＝DE，PF＝CF，
∴EF∥CD，CD＝2EF，
∵AB∥CD，CD＝2AB，
∴AB∥EF，且EF＝AB.
∴四边形ABFE 为平行四边形，∴AE∥BF.
∵BF⊂平面PBC，AE⊄平面PBC.
故AE∥平面PBC.
(2)由(1)知AE∥平面PBC，
∴点E 到平面PBC 的距离与点A 到平面PBC 的距离相等，
∴VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC.
如图，取AB 的中点O，连接PO，
∵PA＝PB，∴OP⊥AB.
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，OP⊂平面PAB，
∴OP⊥平面ABCD.
∵△PAB 为等腰直角三角形，PA＝PB，AB＝2，
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7
∴OP＝1.
∵四边形ABCD 为等腰梯形，且AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，
∴梯形ABCD 的高为1，
∴S△ABC＝×2×1＝1.
故VP－EBC＝VP－ABC＝×1×1＝.
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