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山西省2020 年中考数学试题
第I 卷 选择题（共30 分）
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.计算
的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图
片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.下列几何体都是由
个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时
刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（
）
A. 图形的平移
B. 图形的旋转
C. 图形的轴对称
D. 图形的相似
6.不等式组
的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.已知点
，
，
都在反比例函数
的图像上，且
，
则
，
，
的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，
图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到
，
，
两点之间的距离为
，圆心角为
，则图中摆盘的面积是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.竖直上抛物体离地面的高度
与运动时间
之间的关系可以近似地用公式
表示，
其中
是物体抛出时离地面的高度，
是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面
的高处以
的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个
飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域
概率是（ ）
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2
A.
B.
C.
D.
第II 卷 非选择题（共90 分）
二、填空题（本大题共5 个小题，每小题3 分，共15 分）
11.计算：
________．
12.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第个图案有
个三角形，第
个
图案有
个三角形，第
个图案有
个三角形
按此规律摆下去，第
个图案有_______个三角形（用含
的代数式表示）．
13.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了
次预选赛，其中甲，乙两名运动员较
为突出，他们在
次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
甲
乙
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运
动员是______．
14.如图是一张长
，宽
的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分
（阴影部分）可制成底面积
是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______
．
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15.如图，在
中，
，
，
，
，垂足为
，
为
的中点，
与
交于点
，则
的长为_______．
三、解答题（本大题共8 个小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（1）计算：
（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
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第五步
第六步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式
通分，通分的依据是____________________
或填为_____________________________；
②第_____步开始出现错误，这一步错误
原因是_____________________________________；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一
条建议．
17.
年
月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单
笔交易满
元立减
元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高
后标价，若按标价的八折
销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金
元．求该电饭煲的进价．
18.如图，四边形
是平行四边形，以点
为圆心，
为半径的
与
相切于点
，与
相
交于点
，
的延长线交
于点
，连接
交
于点
，求
和
的度数．
19.
年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，
基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《
新基建中高端人才市
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场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（
基站建设，工业互联网，大数据中心，
人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．下图是其中的一个统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图中
年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是______亿元；
（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“
基站建设”
和“人工智能”作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为
，
，
，
，
的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一
张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为
（
基站建设）和
（人工智能）的概率．
20.阅读与思考
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下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日 星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板
上画出一条裁割线
，现根据木板的情况，要过
上的一点
，作出
的垂线，用锯子进行裁
割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在
上量出
，然后分别以
，
为圆
心，以
与
为半径画圆弧，两弧相交于点
，作直线
，则
必为
．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出
，
两点，然后把木棒斜放在
木板上，使点
与点
重合，用铅笔在木板上将点
对应的位置标记为点
，保持点
不动，将木
棒绕点
旋转，使点
落在
上，在木板上将点
对应的位置标记为点
．然后将
延长，在
延长线上截取线段
，得到点
，作直线
，则
．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线
呢？
……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明
；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点
作出
的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
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②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
21.图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的
圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形
和
是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，
和
均垂直于地面，扇形的圆心角
，半径
，点
与点
在同一水平线上，且它们之间的距离为
．
（1）求闸机通道的宽度，即
与
之间的距离（参考数据：
，
，
）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的
倍，
人的团队通
过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约
分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
22.综合与实践
问题情境：
如图①，点
为正方形
内一点，
，将
绕点
按顺时针方向旋转
，得到
（点
对应点为点
），延长
交
于点
，连接
．
猜想证明：
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（1）试判断四边形
的形状，并说明理由；
（2）如图②，若
，请猜想线段
与
的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若
，
，请直接写出
的长．
23.综合与探究
如图，抛物线
与
轴交于
，
两点（点
在点
的左侧），与
轴交于点
．直线与
抛物线交于
，
两点，与
轴交于点
，点
的坐标为
．
（1）请直接写出
，
两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点
是抛物线上的点，点
的横坐标为
，过点
作
轴，垂足为
．
与直
线交于点
，当点
是线段
的三等分点时，求点
的坐标；
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（3）若点
是
轴上
点，且
，求点
的坐标．
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