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2018 年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共8 个小题，每小题3 分，共24 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3.00 分）下列实数：3，0，
，
，0.35，其中最小的实数是（ ）
A．3B．0C．
D．0.35
2．（3.00 分）郴州市人民政府提出：在2018 年继续办好一批民生实事，加快补齐
影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5 万人脱贫，请用科学记
数法表示125000（ ）
A．1.25×105B．0.125×106
C．12.5×104 D．1.25×106
3．（3.00 分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．a
2
﹣=﹣
C．3
2
﹣
=
D．（a+2）（a
2
﹣）=a2+4
4．（3.00 分）如图，直线a，b 被直线c 所截，下列条件中，不能判定a∥b（ ）
A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180°C．∠5=∠4 D．∠1=∠3
5．（3.00 分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3.00 分）甲、乙两超市在1 月至8 月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论
不正确的是（ ）
A．甲超市的利润逐月减少
B．乙超市的利润在1 月至4 月间逐月增加
C．8 月份两家超市利润相同
D．乙超市在9 月份的利润必超过甲超市
7．（3.00 分）如图，∠AOB=60°，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB 于
C，D 两点；分别以C，D 为圆心，以大于
CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P；以
O 为端点作射线OP，在射线OP 上截取线段OM=6，则M 点到OB 的距离为
（ ）
A．6B．2C．3D．
8．（3.00 分）如图，A，B 是反比例函数y=
在第一象限内的图象上的两点，且A，B
两点的横坐标分别是2 和4，则△OAB 的面积是（ ）
A．4B．3C．2D．1
[来源:学。科。网]
二、填空题（每题3 分，满分24 分，将答案填在答题纸上）
9．（3.00 分）计算：
= ．
10．（3.00 分）因式分解：a3
2a
﹣
2b+ab2= ．
11．（3.00 分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是
．
12．（3.00 分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口
值日，其中八位同学3 月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据
的众数是 ．
13．（3.00 分）已知关于x 的一元二次方程x2+kx
6=0
﹣
有一个根为﹣3，则方程的
另一个根为 ．
14．（3.00 分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：
抽取瓷砖数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
合格品数m
96
282
382
570
949
1906
2850
合格品频率
0.960
0.94
0
0.95
5
0.95
0
0.94
9
0.95
3
0.95
0
则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是 ．（精确到0.01）
15．（3.00 分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇
形）的弧长为 cm．（结果用π 表示）
16．（3.00 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且
∠AOC=60°，A 点的坐标是（0，4），则直线AC 的表达式是 ．
三、解答题（本大题共10 小题，共82 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
17．（6.00 分）计算|1﹣
|
2sin45°
﹣
+2
1
﹣﹣（﹣1）2018．
18．（6.00 分）解不等式组：
并把解集在数轴上表示出来．
19．（6.00 分）如图，在▱ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF，垂足为O，分别
交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE 是菱形．
20．（8.00 分）6 月14 日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义
务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A 型”、“B 型”、
“AB 型”、“O 型”4 种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型
结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：
血型
A
B
AB
O
人数
10
5
（1）这次随机抽取的献血者人数为 人，m= ；
（2）补全上表中的数据；
（3）若这次活动中该市有3000 人义务献血，请你根据抽样结果回答：
从献血者人群中任抽取一人，其血型是A 型的概率是多少？并估计这3000 人中
大约有多少人是A 型血？
21．（8.00 分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答
赛，欲购买A、B 两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A 种20 件，B 种15 件，共需
380 元；如果购买A 种15 件，B 种10 件，共需280 元．
（1）A、B 两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B 两种奖品共100 件，总费用不超过900 元，那么A 种奖品最多
购买多少件？
22．（8.00 分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度
AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C 的俯角分别为∠EAB=60°，
∠EAC=30°，且D，B，C 在同一水平线上．已知桥BC=30 米，求无人机飞行的高度
AD．（精确到0.01 米．参考数据：
≈1.414，
≈1.732）
23．（8.00 分）已知BC 是⊙O 的直径，点D 是BC 延长线上一点，AB=AD，AE 是⊙O
的弦，∠AEC=30°．
（1）求证：直线AD 是⊙O 的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O 的半径为4，求AE 的长．
24．（10.00 分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=
的图象与性
质．
因为y=
，即y=﹣
+1，所以我们对比函数y=﹣
来探究．
列表：
x
…
4
﹣
3
﹣
2
﹣
1
﹣
﹣
1
2
3
4
…
y=﹣
…
1
2
4
4
﹣
1
﹣
1
﹣
﹣
…
y=
…
2
3
5
3
﹣
1
﹣
0
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以y=
相应的函数值
为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0 时，y 随x 的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②y=
的图象是由y=﹣
的图象向 平移 个单位而得到；
③图象关于点 中心对称．（填点的坐标）
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=
的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3
的值．
25．（10.00 分）如图1，已知抛物线y=
x
﹣2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两
点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标
为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l 与x 轴的交点为D．在直线l 上是否存在点M，使得四
边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC 的面积为S．
①求S 关于t 的函数表达式；
②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．
26．
（12.00 分）在矩形ABCD 中，AD＞AB，点P 是CD 边上的任意一点（不含C，D 两
端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD 于点F．
（1）如图1，将△PDF 沿对角线BD 翻折得到△QDF，QF 交AD 于点E．
求证：△DEF 是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角
为α（0°＜α＜180°）．
①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC 的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．
②如图3，若点P 是CD 的中点，△DF'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时
tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．
2018 年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8 个小题，每小题3 分，共24 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3.00 分）下列实数：3，0，
，
，0.35，其中最小的实数是（ ）
A．3B．0C．
D．0.35
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝
对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣
＜0＜0.35＜
＜3，
所以最小的实数是﹣
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3.00 分）郴州市人民政府提出：在2018 年继续办好一批民生实事，加快补齐
影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5 万人脱贫，请用科学记
数法表示125000（ ）
A．1.25×105B．0.125×106
C．12.5×104D．1.25×106
【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本
题得以解决．
【解答】解：125000=1.25×105，
故选：A．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数
法的表示方法．
3．（3.00 分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．a
2
﹣=﹣
C．3
2
﹣
=
D．（a+2）（a
2
﹣）=a2+4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及负指数幂的性质以及二次根式的
加减运算法则、平方差公式分别计算得出答案．
【解答】解：A、a3•a2=a5，故此选项错误；
B、a
2
﹣=
，故此选项错误；
C、3
2
﹣
=
，故此选项正确；
D、（a+2）（a
2
﹣）=a2
4
﹣，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式
的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3.00 分）如图，直线a，b 被直线c 所截，下列条件中，不能判定a∥b（ ）
A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180°C．∠5=∠4 D．∠1=∠3
【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，
两直线平行，进行判断即可．
【解答】解：由∠2=∠4 或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；
由∠1=∠3，不能得到a∥b；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；同
旁内角互补，两直线平行．
5．（3.00 分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】找到几何体的上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体的上面看可得
，
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
6．（3.00 分）甲、乙两超市在1 月至8 月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论
不正确的是（ ）
A．甲超市的利润逐月减少
B．乙超市的利润在1 月至4 月间逐月增加
C．8月份两家超市利润相同
D．乙超市在9 月份的利润必超过甲超市
【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．
【解答】解：A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确；
B、乙超市的利润在1 月至4 月间逐月增加，此选项正确；
C、8 月份两家超市利润相同，此选项正确；
D、乙超市在9 月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；
故选：D．[来源:Z,xx,k.Com]
【点评】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数
量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表
示统计数量增减变化．
7．（3.00 分）如图，∠AOB=60°，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB 于
C，D 两点；分别以C，D 为圆心，以大于
CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P；以
O 为端点作射线OP，在射线OP 上截取线段OM=6，则M 点到OB 的距离为
（ ）
A．6B．2C．3D．
【分析】直接利用角平分线的作法得出OP 是∠AOB 的角平分线，再利用直角三角
形的性质得出答案．
【解答】解：过点M 作ME⊥OB 于点E，
由题意可得：OP 是∠AOB 的角平分线，
则∠POB=
×60°=30°，
∴ME=
OM=3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了基本作图以及含30 度角的直角三角形，正确得出OP 是
∠AOB 的角平分线是解题关键．
8．（3.00 分）如图，A，B 是反比例函数y=
在第一象限内的图象上的两点，且A，B
两点的横坐标分别是2 和4，则△OAB 的面积是（ ）
A．4B．3C．2D．1[来源:学_科_网]
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B 两点的横坐标，求出A（2，
2），B（4，1）．再过A，B 两点分别作AC⊥x 轴于C，BD⊥x 轴于D，根据反比例函数
系数k 的几何意义得出S△AOC=S△BOD=
×4=2．根据S 四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S
梯形ABDC，得出S△AOB=S 梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC= （BD+AC）•CD= （
1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3．
【解答】解：∵A，B 是反比例函数y=
在第一象限内的图象上的两点，且A，B 两点
的横坐标分别是2 和4，
∴当x=2 时，y=2，即A（2，2），
当x=4 时，y=1，即B（4，1）．
如图，过A，B 两点分别作AC⊥x 轴于C，BD⊥x 轴于D，则S△AOC=S△BOD=
×4=2．
∵S 四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S 梯形ABDC，
∴S△AOB=S 梯形ABDC，
∵S 梯形ABDC=
（BD+AC）•CD=
（1+2）×2=3，
∴S△AOB=3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数
中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连
的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=
|k|．
也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积．
二、填空题（每题3 分，满分24 分，将答案填在答题纸上）
9．（3.00 分）计算：
=
3
．
【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．
【解答】解：原式=3．
故答案为：3
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
10．（3.00 分）因式分解：a3
2a
﹣
2b+ab2=
a （
a
b
﹣
）
2
．
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=a（a2
2ab
﹣
+b2）
=a（a
b
﹣）2．
故答案为：a（a
b
﹣）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．
11．（3.00 分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是
720°
．
【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后根据内
角和公式求解．
【解答】解：这个正多边形的边数为
=6，
所以这个正多边形的内角和=（6
2
﹣）×180°=720°．
故答案为720°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n
2
﹣）•180 （n≥3）且n 为
整数）；多边形的外角和等于360 度．
12．（3.00 分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口
值日，其中八位同学3 月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据
的众数是
8
．
【分析】根据众数的定义即可判断．
【解答】解：这组数据8 出现的次数最多，所以众数为8，
故答案为8．
【点评】本题考查众数的定义，记住在一组数据中次数出现最多的数是这组数据
的众数．
13．（3.00 分）已知关于x 的一元二次方程x2+kx
6=0
﹣
有一个根为﹣3，则方程的
另一个根为
2
．
【分析】根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=
k
﹣，﹣3a=
6
﹣，求出即可．
【解答】解：设方程的另一个根为a，
则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=
k
﹣，﹣3a=
6
﹣，
解得：a=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关
系的内容是解此题的关键．
14．（3.00 分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：
抽取瓷砖数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
合格品数m
96
282
382
570
949
1906
2850
合格品频率
0.960
0.94
0
0.95
5
0.95
0
0.94
9
0.95
3
0.95
0
则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是
0.95
．（精确到0.01）
【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
【解答】解：由击中靶心频率都在0.95 上下波动，
所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，
故答案为：0.95．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的
频率，然后即可估计概率解决问题．
15．
（3.00 分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇
形）的弧长为
12π
cm．（结果用π 表示）
【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．
【解答】解：设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r=
=6，
∴2πr=2π×6=12π，
故答案为：12π．
【点评】此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇
形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．
16．（3.00 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且
∠AOC=60°，A 点的坐标是（0，4），则直线AC 的表达式是
y=﹣
x + 4
．
【分析】根据菱形的性质，可得OC 的长，根据三角函数，可得OD 与CD，根据待定
系数法，可得答案．
【解答】解：如图
，
由菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，A 点的坐标是（0，4），得
OC=OA=4．
又∵∠1=60°，
∴∠2=30°．
sin∠2=
=
，
∴CD=2．
cos∠2=cos30°=
=
，
OD=2
，
∴C（2
，2）．
设AC 的解析式为y=kx+b，
将A，C 点坐标代入函数解析式，得
，
解得
，
直线AC 的表达式是y=﹣
x+4，
故答案为：y=﹣
x+4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C 点
坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．
三、解答题（本大题共10 小题，共82 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
17．（6.00 分）计算|1﹣
|
2sin45°
﹣
+2
1
﹣﹣（﹣1）2018．
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是
多少即可．
【解答】解：|1﹣
|
2sin45°
﹣
+2
1
﹣﹣（﹣1）2018
=
1
2
﹣﹣×
+0.5
1
﹣
=
1.5
﹣
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在
进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算
乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺
序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（6.00 分）解不等式组：
并把解集在数轴上表示出来．
【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解
集．
【解答】解：解不等式①，得：x＞﹣4，
解不等式②，得：x≤0，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤0，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19．（6.00 分）如图，在▱ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF，垂足为O，分别
交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE 是菱形．
【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出
△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四
边形EBFD 是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四
边形BFDE 为菱形．
【解答】证明：∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD 和△FOB 中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形EBFD 是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE 为菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定
与性质等知识，得出OE=OF 是解题关键．
20．（8.00 分）6 月14 日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义
务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A 型”、“B 型”、
“AB 型”、“O 型”4 种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型
结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：
血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23
（1）这次随机抽取的献血者人数为
50
人，m=
20
；
（2）补全上表中的数据；
（3）若这次活动中该市有3000 人义务献血，请你根据抽样结果回答：
从献血者人群中任抽取一人，其血型是A 型的概率是多少？并估计这3000 人中
大约有多少人是A 型血？
【分析】（1）用AB 型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人
数，然后计算m 的值；
（2）先计算出O 型的人数，再计算出A 型人数，从而可补全上表中的数据；
（3）用样本中A 型的人数除以50 得到血型是A 型的概率，然后用3000 乘以此概
率可估计这3000 人中是A 型血的人数．
【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），
所以m=
×100=20；
故答案为50，20；
（2）O 型献血的人数为46%×50=23（人），
A 型献血的人数为50
10
5
23=12
﹣
﹣﹣
（人），
如图，
故答案为12，23；
（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A 型的概率=
=
，
3000×
=720，
估计这3000 人中大约有720 人是A 型血．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P（A）=事件A 可能出现的结果
数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图．
21．（8.00 分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答
赛，欲购买A、B 两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A 种20 件，B 种15 件，共需
380 元；如果购买A 种15 件，B 种10 件，共需280 元．
（1）A、B 两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B 两种奖品共100 件，总费用不超过900 元，那么A 种奖品最多
购买多少件？
【分析】（1）设A 种奖品每件x 元，B 种奖品每件y 元，根据“如果购买A 种20 件，
B 种15 件，共需380 元；如果购买A 种15 件，B 种10 件，共需280 元”，即可得出
关于x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A 种奖品购买a 件，则B 种奖品购买（100
a
﹣）件，根据总价=单价×购买数
量结合总费用不超过900 元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中最
大的整数即可得出结论．
【解答】解：（1）设A 种奖品每件x 元，B 种奖品每件y 元，
根据题意得：
，
解得：
．
答：A 种奖品每件16 元，B 种奖品每件4 元．
（2）设A 种奖品购买a 件，则B 种奖品购买（100
a
﹣）件，
根据题意得：16a+4（100
a
﹣）≤900，
解得：a≤
．
∵a 为整数，
∴a≤41．
答：A 种奖品最多购买41 件．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的
关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，
找出关于a 的一元一次不等式．
22．（8.00 分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度
AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C 的俯角分别为∠EAB=60°，
∠EAC=30°，且D，B，C 在同一水平线上．已知桥BC=30 米，求无人机飞行的高度
AD．（精确到0.01 米．参考数据：
≈1.414，
≈1.732）
【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=
AD、BD=
AD，再结合BC=30 即可求出AD 的长度．
【解答】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
∴CD=AD•tan∠CAD=
AD，BD=AD•tan∠BAD=
AD，
∴BC=CD
BD=
﹣
AD=30，
∴AD=15
≈25.98．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形
找出CD=
AD、BD=
AD 是解题的关键．
23．（8.00 分）已知BC 是⊙O 的直径，点D 是BC 延长线上一点，AB=AD，AE 是⊙O
的弦，∠AEC=30°．
（1）求证：直线AD 是⊙O 的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O 的半径为4，求AE 的长．
【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论
得证；
（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
∵∠AEC=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABC=30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，
连接OA，∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC=30°，
∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，
∴OA⊥AD，
∵点A 在⊙O 上，
∴直线AD 是⊙O 的切线；
（2）连接OA，∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵BC⊥AE 于M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在Rt△AOM 中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2
，
∴AE=2AM=4
．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函
数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出∠AOC=60°是解本题的关键．
24．（10.00 分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=
的图象与性
质．
因为y=
，即y=﹣
+1，所以我们对比函数y=﹣
来探究．
列表：
x
…
4
﹣
3
﹣
2
﹣
1
﹣
﹣
1
2
3
4
…
y=﹣
…
1
2
4
4
﹣
1
﹣
1
﹣
﹣
…
y=
…
2
3
5
3
﹣
1
﹣
0
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以y=
相应的函数值
为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0 时，y 随x 的增大而 增大 ；（填“增大”或“减小”）
②y=
的图象是由y=﹣
的图象向 上 平移
1
个单位而得到；
③图象关于点 （
0 ，
1 ）
中心对称．（填点的坐标）
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=
的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3
的值．
【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；
（2）利用图象法即可解决问题；
（3）根据中心对称的性质，可知A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解
决问题；
【解答】解：（1）函数图象如图所示：
（2）①当x＜0 时，y 随x 的增大而增大；
②y=
的图象是由y=﹣
的图象向上平移1 个单位而得到；
③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）
故答案为增大，上，1，（0，1）
（3）∵x1+x2=0，
∴x1=
x
﹣2，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，
∴y1+y2=2，
∴y1+y2+3=5．
【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（10.00 分）如图1，已知抛物线y=
x
﹣2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两
点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标
为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l 与x 轴的交点为D．在直线l 上是否存在点M，使得四
边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC 的面积为S．
①求S 关于t 的函数表达式；
②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．
【分析】（1）由点A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接PC，交抛物线对称轴l 于点E，由点A、B 的坐标可得出对称轴l 为直线
x=1，分t=2 和t≠2 两种情况考虑：当t=2 时，由抛物线的对称性可得出此时存在
点M，使得四边形CDPM 是平行四边形，再根据点C 的坐标利用平行四边形的性
质可求出点P、M 的坐标；当t≠2 时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结
合CE≠PE 可得出此时不存在符合题意的点M；
（3）①过点P 作PF∥y 轴，交BC 于点F，由点B、C 的坐标利用待定系数法可求出
直线BC 的解析式，根据点P 的坐标可得出点F 的坐标，进而可得出PF 的长度，再
由三角形的面积公式即可求出S 关于t 的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出S 的最大值，利用勾股定理可求出线段BC 的长度，利
用面积法可求出P 点到直线BC 的距离的最大值，再找出此时点P 的坐标即可得
出结论．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=
x
﹣2+bx+c，
，解得：
，
∴抛物线的表达式为y=
x
﹣2+2x+3．
（2）在图1 中，连接PC，交抛物线对称轴l 于点E，
∵抛物线y=
x
﹣2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
当t=2 时，点C、P 关于直线l 对称，此时存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边
形．
∵抛物线的表达式为y=
x
﹣2+2x+3，
∴点C 的坐标为（0，3），点P 的坐标为（2，3），
∴点M 的坐标为（1，6）；
当t≠2 时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM 是平行四边形，则CE=PE，
∵点C 的横坐标为0，点E 的横坐标为0，
∴点P 的横坐标t=1×2
0=2
﹣
．
又∵t≠2，
∴不存在．
（3）①在图2 中，过点P 作PF∥y 轴，交BC 于点F．
设直线BC 的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
，解得：
，
∴直线BC 的解析式为y=
x
﹣+3．[来源:学+科+网]
∵点P 的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴点F 的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=
t
﹣2+2t+3﹣（﹣t+3）=
t
﹣2+3t，
∴S=
PF•OB=﹣
t2+
t=﹣
（t﹣
）2+
．
②∵﹣
＜0，
∴当t=
时，S 取最大值，最大值为
．
∵点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3），
∴线段BC=
=3
，
∴P 点到直线BC 的距离的最大值为
=
，此时点P 的坐标为（
，
）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与
性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质
解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2
和t≠2 两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S 关于t 的函数表达式；
②利用二次函数的性质结合面积法求出P 点到直线BC 的距离的最大值．
26．
（12.00 分）在矩形ABCD 中，AD＞AB，点P 是CD 边上的任意一点（不含C，D 两
端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD 于点F．
（1）如图1，将△PDF 沿对角线BD 翻折得到△QDF，QF 交AD 于点E．
求证：△DEF 是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角
为α（0°＜α＜180°）．
①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC 的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．[来源:学科网ZXXK]
②如图3，若点P 是CD 的中点，△DF'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时
tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF 是
等腰三角形；
（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；
②由于△DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内
角进行分类讨论．
【解答】解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，
∵PF∥BC，
∴∠DFP=∠ADF，
∴∠DFQ=∠ADF，
∴△DEF 是等腰三角形，
（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC 的内部时，
∵∠P′DF′=∠PDF，
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，
∴∠P′DC=∠F′DB，
由旋转的性质可知：
△DP′F′≌△DPF，
∵PF∥BC，
∴△DPF∽△DCB，
∴△DP′F′∽△DCB
∴
，
∴△DP'C∽△DF'B
②当∠F′DB=90°时，如图所示，
∵DF′=DF=
BD，
∴
=
，
∴tan∠DBF′=
=
，
当∠DBF′=90°，
此时DF′是斜边，
即DF′＞DB，不符合题意，
当∠DF′B=90°时，如图所示，
∵DF′=DF=
BD，
∴∠DBF′=30°，
∴tan∠DBF′=
【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定
义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．
