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泰安市2018 年初中学业水平考试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共36 分）
一、选择题（本大题共12 个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的
选项选出来，每小题选对3 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1.计算：
的结果是（ ）
A．-3 B．0 C．-1 D．3
2.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.如图是下列哪个几何体的主视图与俯视图（ ）
A． B． C． D．
4.如图，将一张含有
角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若
，则
的大小
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.某中学九年级二班六级的8 名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下（单位：个）
35 38 42 44 40 47 45 45
则这组数据的中位数、平均数分别是（ ）
A．42、42 B．43、42 C．43、43 D．44、43
6.夏季来临，某超市试销
、
两种型号的风扇，两周内共销售30 台，销售收入5300 元，
型风扇每台200
元，
型风扇每台150 元，问
、
两种型号的风扇分别销售了多少台？若设
型风扇销售了
台，
型风
扇销售了
台，则根据题意列出方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.二次函数
的图象如图所示，则反比例函数
与一次函数
在同一坐标系内
的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
8.不等式组
有3 个整数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9.如图，
与
相切于点
，若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
10.一元二次方程
根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
11.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，
经过平移后得到
，若
上一点
平移后对应点为
，点
绕原点顺时针旋转
，对应点为
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
12.如图，
的半径为2，圆心
的坐标为
，点
是
上的任意一点，
，且
、
与
轴分别交于
、
两点，若点
、点
关于原点
对称，则
的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
第Ⅱ卷（非选择题 共84 分）
二、填空题（本大题共6 小题，满分18 分.只要求填写最后结果，每小题填对得3 分）
13.一个铁原子的质量是
，将这个数据用科学记数法表示为
．
14.如图，
是
的外接圆，
，
，则
的直径为 ．
15.如图，在矩形
中，
，
，将矩形
沿
折叠，点
落在
处，若
的延长
线恰好过点
，则
的值为 ．
16.观察“田”字中各数之间的关系：，，，，，，…，，则
的值为 ．
17.如图，在
中，
，
，
，点
是
边上的动点（不与点
重合），过
作
，垂足为
，点
是
的中点，连接
，设
，
的面积为
，则
与
之间的函
数关系式为 ．
18.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开
门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，
是一座边长为200 步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门
位于
的中点，南门
位于
的中点，出东门15 步的
处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于
处的树木（即点
在直线
上）？请你计算
的长为 步．
三、解答题（本大题共7 小题，满分66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.先化简，再求值
，其中
.
20.文美书店决定用不多于20000 元购进甲乙两种图书共1200 本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每
本20 元、14 元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4 倍，若用1680 元在文美书店可购买甲种图
书的本数比用1400 元购买乙种图书的本数少10 本.
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3 元，乙种图书售价每本降低2 元，问书店应如何进货才
能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）
21.为增强学生的安全意识，我市某中学组织初三年级1000 名学生参加了“校园安全知识竞赛”，随机抽取
了一个班学生的成绩进行整理，分为
，
，
，
四个等级，并把结果整理绘制成条形统计图与扇形统计
图（部分），请依据如图提供的信息，完成下列问题：
（1）请估计本校初三年级等级为
的学生人数；
（2）学校决定从得满分的3 名女生和2 名男生中随机抽取3 人参加市级比赛，请求出恰好抽到2 名女生和1
名男生的概率.
22.如图，矩形
的两边
、
的长分别为3、8，是
的中点，反比例函数
的图象经过点
，与
交于点
.
（1）若点
坐标为
，求
的值及图象经过
、
两点的一次函数的表达式；
（2）若
，求反比例函数的表达式.
23.如图，
中，
是
上一点，
于点
，
是
的中点，
于点
，与
交
于点
，若
，
平分
，连接
，
.
（1）求证：
；
（2）小亮同学经过探究发现：
.请你帮助小亮同学证明这一结论.
（3）若
，判定四边形
是否为菱形，并说明理由.
24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数
交
轴于点
、
，交
轴于点
，在
轴上有一点
，连接
.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点
为抛物线在
轴负半轴上方的一个动点，求
面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点
，使
为等腰三角形，若存在，请直接写出所有
点的坐标，若不存在
请说明理由.
25.如图，在菱形
中，
与
交于点
，
是
上一点，
，
,过点
作
的垂线，交
的延长线于点
.
（1）
和
是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
（2）找出图中与
相似的三角形，并证明；
（3）
的延长线交
的延长线于点
，交
于点
.求证：
.
泰安市2018 年初中学业水平考试
数学试题（A）参考答案
一、选择题
1-5: DDCAB 6-10: CCBAD 11、12：AC
二、填空题
13.
14.
15.
16. 270（或
）
17.
18.
三、解答题
19.解：原式
.
当
时，
原式
.
20.解：（1）设乙种图书售价每本
元，则甲种图书售价为每本
元.
由题意得：
，
解得：
.
经检验，
是原方程的解.
所以，甲种图书售价为每本
元，
答：甲种图书售价每本28 元，乙种图书售价每本20 元.
（2）设甲种图书进货
本，总利润
元，则
.
又∵
，
解得
，
∵
随
的增大而增大，
∴当
最大时
最大，
∴当
本时
最大，
此时，乙种图书进货本数为
（本）.
答：甲种图书进货533 本，乙种图书进货667 本时利润最大.
21.解：（1）由题意得，所抽取班级的人数为：
（人），
该班等级为
的人数为：
（人），
该校初三年级等级为
的学生人数约为：
（人）.
答：估计该校初三等级为
的学生人数约为125 人.
（2）设两位满分男生为
，
，三位满分女生为
，
，
.
从这5 名同学中选3 名同学的所有可能结果为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共10 种情况.
其中，恰好有2 名女生，1 名男生的结果为：
，
，
，
，
，
，共6 种情况.
所以恰有2 名女生，1 名男生的概率为
.
22.解：（1）∵
，
，
，
为
的中点，
∴
，
，
∵反比例函数图象过点
，
∴
.
设图象经过
、
两点的一次函数表达式为：
，
∴
，
解得
，
∴
.
（2）∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
.
设
点坐标为
，则点
坐标为
，
∵
，
两点在
图象上，
∴
，
解得
，
∴
，
∴
，
∴
.
23.（1）证明：∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
.
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
是
的中点，
，
∴
是
的中点，
∴
是线段
的垂直平分线，
∴
，
，
∴
，
∴
.
（2）证明：过点
作
于点
，
∴
，
∴
，
∴
.
由（1）得
，
∴
，
∴
，
∴
.
（3）四边形
是菱形，理由如下：
∵
，
∴
，
∴
，
∴
.
由（1）得
，
∴四边形
是菱形.
24.解：（1）由题意可得
，
解得
，
所以二次函数的解析式为
.
（2）由
，
，可求得
所在直线解析式为
.
过点
作
与
轴平行，交
于点
，交
轴于点
，过点
作
，垂足为
，
设
点坐标为
，则
点坐标为
，
则
，
又
，
∴
.
∴当
时，
的面积取得最大值
.
（3）
点的坐标为
，
，
.
25.解：（1）
，理由如下：
∵
，
∴
，
，
又∵
，
∴
.
（2）
，证明如下：
∵四边形
是菱形，
∴
，
，
∴
.
又∵
，
∴
，
又
，
∴
.
（3）连接
.
∵四边形
是菱形，由对称性可知
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
.
