文档文本内容
湖北省十堰市2021 年数学中考试题
一、选择题（本题有10 个小题，每小题3 分，共30 分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相
应的格子内．
1.
的相反数是（ ）
A.
B. 2
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为-
+
＝0，所以-
的相反数是
.
故选D.
2. 如图，直线
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平行线的性质得到
，再利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键．
3. 由5 个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
【详解】解：该几何体从上向下看，其俯视图是
，
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．
4. 下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可．
【详解】解：A．
，该项计算错误；
B．
，该项计算正确；
C．
，该项计算错误；
D．
，该项计算错误；
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
2
故选：B．
【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键．
5. 某校男子足球队的年龄分布如下表
年龄
13
14
15
16
17
18
人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A. 8，15
B. 8，14
C. 15，14
D. 15，15
【答案】D
【解析】
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15 岁，共8 人，所以众数是15 岁；
22 名队员中，按照年龄从小到大排列，第11 名队员与第12 名队员的年龄都是15 岁，所以，中位数是（15
＋15）÷2＝15 岁．
故选：D．
【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数
可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据
有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据
中的数．
6. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50 台机器，现在生产400 台机器所需时间比原计划生产450 台机器
所需时间少1 天，设现在平均每天生产x 台机器，则下列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】设现在每天生产x 台，则原来可生产（x−50）台．根据现在生产400 台机器的时间与原计划生产
450 台机器的时间少1 天，列出方程即可．
【详解】解：设现在每天生产x 台，则原来可生产（x−50）台．
依题意得：
．
故选：B．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
3
【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产400 台机器的时间与原计划生产450 台
机器的时间少1 天”这一个条件，列出分式方程是解题关键．
7. 如图，小明利用一个锐角是
的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离
为
，
为
（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意得出AD 的长，在Rt△AED 中利用锐角三角函数的定义求出ED 的长，由CE＝CD＋
DE 即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD 是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED 中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD•tan30°＝15×
＝5
，
∴CE＝CD＋DE＝
．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键，
属于基本知识的考查．
8. 如图，
内接于
是
的直径，若
，则
（ ）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
4
A.
B.
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先过点O 作OF⊥BC 于F，由垂径定理可得BF＝CF＝
BC，然后由∠BAC＝120°，AB＝
AC，利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠C 与∠BAC 的度数，由BD 为⊙O 的直径，即可求
得∠BAD 与∠D 的度数，又由AD＝3，即可求得BD 的长，继而求得BC 的长．
【详解】解：过点O 作OF⊥BC 于F，
∴BF＝CF＝
BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°，
∵∠C 与∠D 是同弧所对的圆周角，
∴∠D＝∠C＝30°，
∵BD 为⊙O 的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°，
∵AD＝3，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
5
∴BD＝AD÷cos30°＝3÷
=2
，
∴OB＝
BD＝
，
∴BF＝OB•cos30°＝
×
＝
，
∴BC＝3．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函
数值等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线．
9. 将从1 开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4 行第3 列的数为27，则位于第32 行第
13 列的数是（ ）
A. 2025
B. 2023
C. 2021
D. 2019
【答案】B
【解析】
【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32 行，第32 列的
数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32 行，第13 列的数据，即可．
【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32 行，第32 列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据
排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32 行，第13 列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
10. 如图，反比例函数
的图象经过点
，过A 作
轴于点B，连
，直线
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
6
，交x 轴于点C，交y 轴于点D，若点B 关于直线
的对称点
恰好落在该反比例函数图像
上，则D 点纵坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点B 关于直线
的对称点
，易得
求出a 的值，再根据勾股定理得到两点
间的距离，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数
的图象经过点
，
∴
，
∴直线OA 的解析式为
，
∵
，
∴设直线CD 的解析式为
，
则
，
设点B 关于直线
的对称点
，
则
①，
且
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
7
即
，解得
，
代入①可得
，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本题有6 个小题，每小题3 分，共18 分）
11. 2021 年5 月11 日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000 人，把数字
1412000000 科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用科学记数法表示数的方法即可求解．
【详解】解：1412000000 用科学记数法表示为
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键．
12. 已知
，则
_________．
【答案】36
【解析】
【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．
【详解】∵
，
∴原式=
，
故答案是：36．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
13. 如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM
的周长为_______.
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
8
【答案】20．
【解析】
【详解】∵AB＝5，AD＝12，
∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC＝13.
∵BO 为R ｔ△ABC 斜边上的中线
∴BO＝6.5
∵O 是AC 的中点，M 是AD 的中点，
∴OM 是△ACD 的中位线
∴OM＝2.5
∴四边形ABOM 的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20
故答案为20
14. 对于任意实数a、b，定义一种运算：
，若
，则x 的值为________．
【答案】
或2
【解析】
【分析】根据新定义的运算得到
，整理并求解一元二次方程即可．
【详解】解：根据新定义内容可得：
，
整理可得
，
解得
，
，
故答案
：
或2．
【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．
15. 如图，在边长为4 的正方形
中，以
为直径的半圆交对角线
于点E，以C 为圆心、
长为半径画弧交
于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
9
【答案】3
-6
【解析】
【分析】连接BE，可得
是等腰直角三角形，弓形BE 的面积=
，再根据阴影部分的面积=弓
形BE 的面积+扇形CBF 的面积-
的面积，即可求解．
【详解】连接BE，
∵在正方形
中，以
为直径的半圆交对角线
于点E，
∴∠AEB=90°，即：AC⊥BE，
∵∠CAB=45°，
∴
是等腰直角三角形，即：AE=BE，
∴弓形BE 的面积=
，
∴阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-
的面积
=
+
-
=3
-6．
故答案是：3
-6．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
10
【点睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是
解题的关键．
16. 如图，在
中，
，点P 是平面内一个动点，且
，Q 为
的中点，在P 点运动过程中，设线段
的长度为m，则m 的取值范围是__________．
【答案】
≤m≤
【解析】
【分析】作AB 的中点M，连接CM、QM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中
位线定理求得QM 和CM 的长，然后在△CQM 中根据三边关系即可求解．
【详解】解：作AB 的中点M，连接CM、QM．
在以
为圆心，
为半径
圆上运动，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
11
在直角△ABC 中，AB＝
，
∵M 是直角△ABC 斜边AB 上的中点，
∴CM＝
AB＝5．
∵Q 是BP 的中点，M 是AB 的中点，
∴MQ＝
AP＝
．
∴在△CMQ 中，5−
≤CQ≤
＋5，即
≤m≤
．
故答案是：
≤m≤
．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半，作圆，作AB 的中点M，连接CM、QM，构造三角形，是解题的关键．
三、解答题（本题有9 个小题，共72 分）
17. 计算：
．
【答案】1
【解析】
【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质逐项计算，即可求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质是解题的关键．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
12
18. 化简：
．
【答案】
【解析】
【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法运算，进行约分，即可求解．
【详解】解：原式=
=
=
=
=
【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
19. 为庆祝中国共产党成立100 周年，某校举行党史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按
得分划分为A、B、C、D 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
等级
成绩（x）
人数
A
15
B
a
C
18
D
7
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
13
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中
__________；扇形统计图中，C 等级所占的百分比是_________；D 等级对应的扇形圆心角
为________度；若全校共有1800 名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A 等级的学生共有
_______人．
（2）若95 分以上的学生有4 人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4 人中随机选出两人参加市
级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1 人被选中的概率
【答案】（1）20,30%，42°，450 人；（2）
【解析】
【分析】（1）先由A 等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到a 的值，再根据C 和D 占
总人数的比例，求出百分比或圆心角度数，利用样本估计总体的方法求出全校成绩为A 等级的人数；
（2）先列出表格，将所有情况列举，利用概率公式即可求解．
【详解】解：（1）总人数为
人，
∴
，
C 等级所占的百分比
，
D 等级对应的扇形圆心角
，
若全校共有1800 名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A 等级的学生共有
人；
（2）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
甲乙
乙丙
乙丁
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
14
丙
甲丙
乙丙
丙丁
丁
甲丁
乙丁
丙丁
共有12 种情况，其中甲、乙两人至少有1 人被选中的有10 种，
∴P(甲、乙两人至少有1 人被选中)
．
【点睛】本题考查统计与概率，能够从扇形统计图和统计表中获取相关信息是解题的关键．
20. 已知关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m 的值．
【答案】（1）
；（2）1
【解析】
【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解；
（2）根据韦达定理可得
，
，得到
，根据两个根和m 都是整
数，进行分类讨论即可求解．
【详解】解：（1）∵一元二次方程
有两个不相等的实数根，
∴
，
解得
；
（2）设该方程的两个根为
、
，
∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴
，
，
∴
，
∴m 的值为1 或2，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
15
当
时，方程两个根为
、
；
当
时，方程两个根
与
不是整数；
∴m 的值为1．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．
21. 如图，已知
中，D 是
的中点，过点D 作
交
于点E，过点A 作
交
于点F，连接
、
．
（1）求证：四边形
是菱形；
（2）若
，求
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明
得到
，即四边形AECF 是平行四边形，再根据对角线
互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；
（2）点A 作
，通过解直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）∵
，
∴
，
∵D 是
的中点，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
16
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵
，
∴平行四边形AECF 是菱形；
（2）∵AECF 是菱形，
∴
，
∴
，
∴
，
过点A 作
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、解直角三角形等内容，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22. 如图，已知
是
的直径，C 为
上一点，
的角平分线交
于点D，F 在直线
上，
且
，垂足为E，连接
、
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，
的半径为3，求
的长．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
17
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，通过等边对等角和角平分线的定义得到
，利用平行线的性质与
判定即可得证；
（2）通过证明
求出线段DF 和BF 的长度，再通过证明
，利用相似三角
形的性质即可求解．
【详解】解：（1）连接OD，
，
∵
，
∴
，
∵CD 平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
∴
，
∴
是
的切线；
（2）∵
，
，
∴
，
∵
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
18
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
，解得
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，解得
．
【点睛】本题考查圆与相似综合，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23. 某商贸公司购进某种商品的成本为20 元/
，经过市场调研发现，这种商品在未来40 天的销售单价
y（元/
）与时间x（天）之间的函数关系式为：
且x 为整数，且日销量
与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量
142
138
132
124
…
填空：
（1）m 与x 的函数关系为___________；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20 天中，公司决定每销售
商品就捐赠n 元利润（
）给当地福利院，后发
现：在前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
19
【答案】（1）
；（2）第16 天销售利润最大，最大为1568 元；（3）
【解析】
【分析】（1）设
，将
，
代入，利用待定系数法即可求解；
（2）分别写出当
时与当
时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即
可求解；
（3）写出在前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴
，求解即可．
【详解】解：（1）设
，将
，
代入可得：
，解得
，
∴
；
（2）当
时，
销售利润
，
当
时，销售利润最大为1568 元；
当
时，
销售利润
，
当
时，销售利润最大为1530 元；
综上所述，第16 天销售利润最大，最大为1568 元；
（3）在前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：
，
∵
时，
随x 的增大而增大，
∴对称轴
，解得
．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
20
24. 已知等边三角形
，过A 点作
的垂线l，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接
，把线
段
绕点C 逆时针方向旋转
得到
，连
．
（1）如图1，直接写出线段
与
的数量关系；
（2）如图2，当点P、B 在
同侧且
时，求证：直线
垂直平分线段
；
（3）如图3，若等边三角形
的边长为4，点P、B 分别位于直线
异侧，且
的面积等于
，求线段
的长度．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，进而即
可得到结论；
（2）先证明
是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得
到结论；
（3）过点B 作BE⊥l，过点Q 作QF⊥l，根据
，可得AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，
设AP=x，则BQ=x，MQ=x-
，QF=( x-
)×
，再列出关于x 的方程，即可求解．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
21
【详解】（1）证明：∵线段
绕点C 逆时针方向旋转
得到
，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
∵在等边三角形
中，∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴
，
∴
=
；
（2）∵
，CA⊥l，
∴
是等腰直角三角形，
∵
，
∴
等腰直角三角形，∠CBQ=90°，
∵在等边三角形
中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，
∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，
∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，
∴PD 平分∠CBQ，
∴直线
垂直平分线段
；
（3）过点B 作BE⊥l，过点Q 作QF⊥l，
由（1）小题，可知：
，
∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，
∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，
∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，
∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，
∴BE=
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
22
∴BM=BE÷sin60°=2÷
=
，
设AP=x，则BQ=x，MQ=x-
，QF= MQ×sin60°=( x-
)×
，
∵
的面积等于
，
∴
AP×QF=
，即：
x×( x-
)×
=
，解得：
或
（不
合题意，舍去），
∴AP=
．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据
题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
25. 已知抛物线
与x 轴交于点
和
，与y 轴交于点C，顶点为P，点N 在
抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连
交抛物线于M，连
、
．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
23
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当
时，求M 点的横坐标；
（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l，过M 作
于D，若
，求N 点的坐标．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
分析】（1）将点
和点
代入解析式，即可求解；
（2）由
想到将
放到直角三角形中，即过点A 作
交CM 的延长线于点
E，即可知
，再由
想到过点E 作
轴，即可得到
，
故点E 的坐标可求，结合点C 坐标可求直线CE 解析式，点M 是直线CE 与抛物线交点，联立解析式即可
求解；
（3）过点M 作L 的垂线交于点D，故设点M 的横坐标为m，则点M 的纵坐标可表示，且MD 的长度也可
表示，由
可得
即可结合两点间距离公式表示出MN，最后由
即
可求解
【详解】解：（1）将点
和点
代入
得
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
24
，解得：
（2）点A 作
交CM 的延长线于点E，过
作
轴于
如下图
轴，
又
即
当
时，
即
即
设直线CE 的解析式为
，并将C、E 两点代入得
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
25
解得
点M 是直线CE 与抛物线交点
解得
（不合题意，舍去）
点M 的横坐标为
（3）设过点M 垂直于L 的直线交x 轴于点H，对称轴交x 轴于点Q，M 的横坐标为m
则
对称轴
P、Q、N 的横坐标为
，即
当
时，
点D 的纵坐标为4
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
26
即
，即
，
不符合题意，舍去，
当
时，
解得
，
由题意知
【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
27
距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
28
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
29
