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泸州市二○二一年初中学业水平考试数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题
1. 2021 的相反数是（ ）
A.
B. 2021
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【详解】解：2021 的相反数是：-2021．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
2. 第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为4 254 000 人，将4 254 000 用科学记数法表示为
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变
成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将4254000 用科学记数法表示是4.254×106．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．
【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 函数
的自变量x 的取值范围是（ ）
A. x＜1
B. x＞1
C. x≤1
D. x≥1
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分母不等于0 列式计算即可得解．
【详解】解:由题意得，x-1≥0 且x-1≠0，
解得x＞1．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可
取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，
被开方数非负．
5. 如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 且交BC 于点E，∠D=58°，则∠AEC 的大小是（ ）
A. 61°
B. 109°
C. 119°
D. 122°
【答案】C
【解析】
【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出
，根据角平分线的性质得：AE 平分∠BAD 求
，再根据平行线的性质
得
，即可得到答案．
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2
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴
，
∴
∵AE 平分∠BAD
∴
∵
∴
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，能利用平行四边形的性质找到角与角的关系，
是解答此题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，将点A(-3，-2)向右平移5 个单位长度得到点B，则点B 关于y 轴对称点
的坐
标为（ ）
A. (2，2)
B. (-2，2)
C. (-2，-2)
D. (2，-2)
【答案】C
【解析】
【分析】根据点的平移规律左减右加可得点B 的坐标，然后再根据关于B 轴的对称点的坐标特点：横坐标
互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点A(-3，-2)向右平移5 个单位长度得到点B(2，-2)，
点B 关于y 轴对称点
的坐标为（-2，-2），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点
平移和关于y 轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
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3
【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判
定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、
菱形与平行四边形间的关系．
8. 在锐角
ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，有以下结论：
（其中R 为
ABC 的外接圆半径）成立．在
ABC 中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则
ABC 的外接圆面
积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理，
, 利用圆的面积公式S 圆=
．
方法二：设△ABC 的外心为O，连结OA，OB，过O 作OD⊥AB 于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由
圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=
，由垂径定理可求AD=BD=
，利用三角函数可求OA=
，利用圆的面积公式S 圆=
．
【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
有题意可知
，
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4
∴
，
∴S 圆=
．
方法二：设△ABC 的外心为O，连结OA，OB，过O 作OD⊥AB 于D，
∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=
，
∵OD⊥AB，AB 为弦，
∴AD=BD=
，
∴AD=OAcos30°，
∴OA=
，
∴S 圆=
．
故答案为A．
【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角
函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，
锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．
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5
9. 关于x 的一元二次方程
的两实数根
，满足
，则
的
值是（ ）
A. 8
B. 16
C. 32
D. 16 或40
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得
或
，再分别代入一元二次
方程中，利用完全平方公式变形解题即可．
【详解】解：一元二次方程
或
当
时，
原一元二次方程为
，
，
当
时，原一元二次方程为
原方程无解，不符合题意，舍去，
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6
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，
难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10. 已知
，
，则
的值是（ ）
A. 2
B.
C. 3
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂
乘法
，可求
再整体代入即可．
【详解】解: ∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，
与代数式值求法是解题关键．
11. 如图，⊙O 的直径AB=8，AM，BN 是它的两条切线，DE 与⊙O 相切于点E，并与AM，BN 分别相交于
D，C 两点，BD，OC 相交于点F，若CD=10，则BF 的长是
A.
B.
C.
D.
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7
【答案】A
【解析】
【分析】过点D 作DG⊥BC 于点G，延长CO 交DA 的延长线于点H，根据勾股定理求得
，即可得
AD=BG=2，BC= 8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；
在Rt△ABD 中，根据勾股定理可得
；证明△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得
，由此即可求得
．
【详解】过点D 作DG⊥BC 于点G，延长CO 交DA 的延长线于点H，
∵AM，BN 是它的两条切线，DE 与⊙O 相切于点E，
∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD 为矩形，
∴AD=BG，AB=DG=8，
在Rt△DGC 中，CD=10，
∴
，
∵AD=DE，BC=CE，CD=10，
∴CD= DE+CE = AD+BC =10，
∴AD+BG +GC=10，
∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，
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8
∵OA=OB，
∴△HAO≌△BCO，
∴AH=BC=8，
∵AD=2，
∴HD=AH+AD=10；
在Rt△ABD 中，AD=2，AB=8，
∴
，
∵AD∥BC，
∴△DHF∽△BCF，
∴
，
∴
，
解得，
．
故选A．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判
定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
12. 直线l 过点(0，4)且与y 轴垂直，若二次函数
（其中x 是
自变量）的图像与直线l 有两个不同的交点，且其对称轴在y 轴右侧，则a 的取值范围是（ ）
A. a＞4
B. a＞0
C. 0＜a≤4
D. 0＜a＜4
【答案】D
【解析】
【分析】由直线l：y=4，化简抛物线
，令
，利用判别
式
，解出
，由对称轴在y 轴右侧可求
即可．
【详解】解：∵直线l 过点(0，4)且与y 轴垂直，
直线l：y=4，
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9
，
∴
，
∵二次函数
（其中x 是自变量）的图像与直线l 有两个不同
的交点，
∴
，
，
∴
，
又∵对称轴在y 轴右侧，
，
∴
，
∴0＜a＜4．
故选择D．
【点睛】本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式，
掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关
键．
第Ⅱ卷
二、填空题
13. 分解因式：
___________．
【答案】
．
【解析】
【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
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10
14. 不透明袋子重病装有3 个红球，5 个黑球，4 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出
一个球，则摸出红球的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】用红球的数量除以球的总数量即可解题．
【详解】解:根据题意，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查简单概率公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
15. 关于x 的不等式组
恰好有2 个整数解，则实数a 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】首先解每个不等式，根据不等式组只有2 个整数解，确定整数解的值，进而求得a 的范围．
【详解】解：
解①得
，
解②得
，
不等式组的解集是
．
∵不等式组只有2 个整数解，
∴整数解是2，3．
则
,
∴
故答案是：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x 的取值范围，得出x 的整数解．求不等式组的
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11
解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
16. 如图，在边长为4 的正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 在CD 上，且CF=3BF，AE，BF 相交
于点G，则
AGF 的面积是________．
【答案】
．
【解析】
【分析】延长AG 交DC 延长线于M，过G 作GH⊥CD，交AB 于N，先证明△ABE≌△MCE，由
CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再证△ABG∽△MFG，则利用相似比可计算出GN，再利用两三角形面积差
计算S△DEG即可．
【详解】解：延长AG 交DC 延长线于M，过G 作GH⊥CD，交AB 于N，如图，
∵点E 为BC 中点，
∴BE=CE，
在△ABE 和△MCE 中，
，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC=4，
∵CF=3DF，CF+DF=4，
∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7，
∵AB∥MF，
∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，
∴△ABG∽△MFG，
∴
，
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12
∵
，
∴
，
S△AFG=S△AFB-S△AGB=
，
故答案为
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面
积，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，熟练运
用相似比计算线段的长是解题关键．
三、解答题
17. 计算：
．
【答案】12．
【解析】
【分析】根据零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．
【详解】解：
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13
．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值等知识点，熟悉相关知识
点是解题的关键
18. 如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE
【答案】证明见详解．
【解析】
【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.
【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中，
∵
,
△ABE≌△ACD (ASA)，
∴AE=AD，
∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS
和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
19. 化简：
．
【答案】
．
【解析】
【分析】首先将括号里面进行通分运算，进而合并分子化简，再利用分式除法法则计算得出答案．
【详解】解：
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14
=
=
=
=
．
【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行分式的通分运算是解答此题的关键．
20. 某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季
度内每天的销售额，从中随机抽取了20 天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：16，14，13，
17，15，14，16，17，14，14，15，14，15，15，14，16，12，13，13，16
（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；
（2）上述样本数据的众数是_____，中位数是_____；
（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．
【答案】（1）见解析；（2）14 万元，14 5 万元；（3）14.65 万元
【解析】
【分析】（1）分别找出数据“14”和“16”的频数即可补全条形统计图；
（2）根据众数和中位数的定义进行解答即可；
（3）根据加权平均数的计算方法求出样本平均数，再估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额即
可．
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15
【详解】解：（1）根据所给的20 个数据得出：
销售额是14 万元的有6 天；
销售额是16 万元的有4 天；
补全条形统计图如下：
（2）在数据：16，14，13，17，15，14，16，17，14，14，15，14，15，15，14，16，12，13，13，16
中，
销售额是14 万元
最多，有6 天，故众数是14 万元；
将数据按大小顺序排列，第10，11 个数据分别是14 万元和15 万元，
所以，中位数是：
（万元）；
故答案为：14 万元，14.5 万元；
（3）20 天的销售额的平均值为：
（万元）
所以，可以估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额为14.65 万元．
【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把
数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次
数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
21. 某运输公司有A、B 两种货车，3 辆A 货车与2 辆B 货车一次可以运货90 吨，5 辆A 货车与4 辆B 货车
一次可以运货160 吨．
（1）请问1 辆A 货车和1 辆B 货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190 吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B 两种货车将全部货物一次运完(A、B 两种货
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16
车均满载)，其中每辆A 货车一次运货花费500 元，每辆B 货车一次运货花费400 元．请你列出所有的运输
方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【答案】（1）1 辆A 货车和1 辆B 货车一次可以分别运货20 吨和15 吨；（2）共有3 种租车方案，方案
1：租用A 型车8 辆，B 型车2 辆；方案2：租用A 型车5 辆，B 型车6 辆；方案3：租用A 型车2 辆，B 型
车10 辆；租用A 型车8 辆，B 型车2 辆最少．
【解析】
【分析】（1）设1 辆A 货车和1 辆B 货车一次可以分别运货x 吨和y 吨，根据“3 辆A 货车与2 辆B 货车
一次可以运货90 吨，5 辆A 货车与4 辆B 货车一次可以运货160 吨”列方程组求解可得；
（2）设货运公司安排A 货车m 辆，则安排B 货车n 辆．根据“共有190 吨货物”列出二元一次方程组，
结合m，n 均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据．
【详解】解：（1）1 辆A 货车和1 辆B 货车一次可以分别运货x 吨和y 吨，
根据题意可得：
，
解得：
，
答：1 辆A 货车和1 辆B 货车一次可以分别运货20 吨和15 吨；
（2）设安排A 型车m 辆，B 型车n 辆，
依题意得：20m+15n=190，即
，
又∵m，n 均为正整数，
∴
或
或
，
∴共有3 种运输方案，
方案1：安排A 型车8 辆，B 型车2 辆；
方案2：安排A 型车5 辆，B 型车6 辆；
方案3：安排A 型车2 辆，B 型车10 辆．
方案1 所需费用：500
8+400
2=4800(元)；
方案2 所需费用：500
5+400
6=4900(元)；
方案3 所需费用：500
2+400
10=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，
∴安排A 型车8 辆，B 型车2 辆最省钱，最省钱的运输费用为4800 元．
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【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=500×安排A
型车的辆数+400×B 型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用．
22. 一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数
的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点
（1）求一次函数的解析式
（2）将直线AB 沿y 轴向下平移8 个单位后得到直线l，l 与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的
图象相交于点P，Q，求
的值
【答案】（1）一次函数y=
，（2）
．
【解析】
【分析】（1）利用点A(2，3)，求出反比例函数
，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用平移求出y=
，联立
，求出P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON 中，由勾股定理
MN=
,PQ=
即可．
【详解】解：（1）∵反比例函数
的图象过A(2，3)，
∴m=6,
∴6n=6，
∴n=1，
∴B（6,1）
一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数
的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点，
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18
∴
，
解得
，
一次函数y=
，
（2）直线AB 沿y 轴向下平移8 个单位后得到直线l，得y=
，
当y=0 时，
，
，当x=0 时，y=-4，
∴M（-8，0），N（0，-4），
，
消去y 得
，
解得
，
解得
，
，
∴P(-6,-1),Q(-2,-3),
在Rt△MON 中，
∴MN=
∴PQ=
，
∴
．
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19
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程
组，一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移
后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键．
23. 如图，A，B 是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C 点处遇险发出求救信号，此时测得
C 点位于观测点A 的北偏东45°方向上，同时位于观测点B 的北偏西60°方向上，且测得C 点与观测点A 的
距离为
海里．
（1）求观测点B 与C 点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B 的正南方向且与观测点B 相距30 海里的D 点处，在接到海轮的求救信号
后立即前往营救，其航行速度为42 海里/小时，求救援船到达C 点需要的最少时间．
【答案】（1）观测点B 与C 点之间的距离为50 海里；（2）救援船到达C 点需要的最少时间为
小时．
【解析】
【分析】（1）过C 作CE⊥AB 于E，分别在Rt△ACE 和Rt△BCE 中，解直角三角形即可求解；
（2）过C 作CF⊥BD，交DB 延长线于F，求得四边形BFCE 为矩形，在Rt△CDF 中，利用勾股定理即可
求解．
【详解】（1）过C 作CE⊥AB 于E，
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20
由题意得：∠CAE=45°，∠CBE=90°-60°=30°，AC=25
，
在Rt△ACE 中，
AE=CE=AC
=25
=25(海里)，
在Rt△BCE 中，
BC=2CE=50(海里)，BE=
=25
(海里)，
∴观测点B 与C 点之间的距离为50 海里；
（2）过C 作CF⊥BD，交DB 延长线于F，
∵CE⊥AB，CF⊥BD，∠FBE=90°，
∴四边形BFCE 为矩形，
∴CF=BE=25
(海里)，BF=CE=25(海里)，
在Rt△CDF 中，CF=25
(海里)，DF=55(海里)，
∴CD=
70(海里)，
救援船到达C 点需要的最少时间为
(小时)．
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此
题的关键．
24. 如图，
ABC 是⊙O 的内接三角形，过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点F，AE 是⊙O 的直径，连
接EC
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（1）求证：
；
（2）若
，
于点
，
，
，求
的值
【答案】（1）证明见详解；（2）18．
【解析】
【分析】（1）连接
，根据
是⊙O 的切线，AE 是⊙O 的直径，可得
，利用
，得到
，根据圆周角定理可得
，则可证得
；
（2）由（1）可知
，易得
，则有
,则可得
，并可求
得
，连接
，易证
，则有
，可得
．
【详解】解：（1）连接
∵
是⊙O 的切线，AE 是⊙O 的直径，
∴
，
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∴
∴
又∵
∴
根据圆周角定理可得：
∴
，
∴
；
（2）由（1）可知
，
∵
∴
∴
∴
,
∵
，
，
∴
∴
∴
又∵
中，
∴
，
如图示，连接
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∵
，
∴
∴
∴
．
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定
与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
与两坐标轴分别相交于A，B，C 三点
（1）求证：∠ACB=90°
（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E，交x 轴于点F．
①求DE+BF 的最大值；
②点G 是AC 的中点，若以点C，D，E 为顶点的三角形与
AOG 相似，求点D 的坐标．
【答案】（1）（2）①9；②
或
．
【解析】
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【分析】（1）分别计算A，B，C 三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC 的长，最后利用勾股定
理逆定理解题；
（2）①先解出直线BC 的解析式，设
，接着解出
，
利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG 的长，再证明
，再分两种情况讨论以点C，D，E 为顶点的三角形与
AOG 相似，结合相似三角形对
应边成比例性质解题即可．
【详解】解：（1）令x=0，得
令
得
，
（2）①设直线BC 的解析式为：
，代入
，
得
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设
即DE+BF 的最大值为9；
②
点G 是AC 的中点，
在
中，
即
为等腰三角形，
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若以点C，D，E 为顶点的三角形与
AOG 相似，
则①
又
，
或
经检验：
不符合题意，舍去，
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②
，
又
整理得，
，
或
，
同理：
不合题意，舍去，
综上所述，
或
．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股
定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题
关键．
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