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甘肃省武威市2021 年中考数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，每小题只有一个正确选项．
1. 3 的倒数是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 2021 年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛，创新发展
拓荒牛，艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021 年3 月底，我国已无偿向80 个国家
和3 个国际组织提供疫苗援助．预计2022 年中国新冠疫苗产能有望达到50 亿剂，约占全球产能
一半，
必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50 亿”用科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 将直线
向下平移2 个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 如图，直线
的顶点
在
上，若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 如图，点
在
上，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．
问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3 人坐一辆车，那么有2 辆空车；如果每2 人
坐一辆车，那么有9 人需要步行，问人与车各多少?设共有
人，
辆车，则可列方程组为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 对于任意的有理数
，如果满足
，那么我们称这一对数
为“相随数对”，记为
．若
是“相随数对”，则
（ ）
A.
B.
C. 2
D. 3
10. 如图1，在
中，
于点
．动点
从
点出发，沿折线
方向运动，运动到点
停止．设点
的运动路程为
的面积为
与
的函数图象如
图2，则
的长为（ ）
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2
A. 3
B. 6
C. 8
D. 9
二、填空题：本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．
11. 因式分解：
___________．
12. 关于
的不等式
的解集是___________．
13. 已知关于
的方程
有两个相等的实数根，则
的值是_____.．
14. 开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14 天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温（
）
36.3
36.4
36 5
36.6
36.7
36.8
天数（天）
2
3
3
4
1
1
这14 天中，小芸体温的众数是____________
．
15. 如图，在矩形
中，
是
边上一点，
是
边
中点，
，则
________
．
16. 若点
在反比例函数
的图象上，则
____
（填“>”或“<”或
“=”）
17. 如图，从一块直径为
的圆形铁皮上剪出一个圆心角为
的扇形，则此扇形的面积为_____
．
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18. 一组按规律排列的代数式：
，…，则第
个式子是___________．
三、解答题：本大题共5 小题，共26 分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
19. 计算：
．
20. 先化简，再求值：
，其中
．
21. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，
已知
是弦
上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段
的垂直平分线
，分别交
于点
于点
，连接
；
②以点
为圆心，
长为半径作弧，交
于点
（
两点不重合），连接
．
（2）直接写出引理的结论：线段
的数量关系．
22. 如图1 是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535 年），是明代平凉韩王府延恩寺
的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小
组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔
垂直于地面，在地面上选取
两处分别测得
和
的度数（
在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上
两点的距离为
．
问题解决：求宝塔
的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：
，
．
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根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
23. 一个不透明的箱子里装有3 个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱
子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小
球的频率稳定于0.75 左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1 个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1 个小球，求两次摸出的小球
颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
四、解答题：本大题共5 小题，共40 分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
24. 为庆祝中国共产党建党100 周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，
竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成
五个等级，并绘制了如下不完整
的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
等级
成绩
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（1）本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中
__________；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级；
（4）若成绩在80 分及以上为优秀，全校共有2000 名学生，估计成绩优秀的学生有多少人?
25. 如图1，小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完
书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离
与他所用的时间
的函数关系如图2 所示．
（1）小刚家与学校的距离为___________
，小刚骑自行车的速度为________
；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，
与
的函数表达式；
（3）小刚出发35 分钟时，他离家有多远?
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26. 如图，
内接于
是
的直径
的延长线上一点，
．过圆心
作
的平行线交
的延长线于点
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，求
的半径及
的值；
27. 问题解决：如图1，在矩形
中，点
分别在
边上，
于点
．
（1）求证：四边形
是正方形；
（2）延长
到点
，使得
，判断
形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形
中，点
分别在
边上，
与
相交于点
，
，求
的长．
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与坐标轴交于
两点，直线
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交
轴于点
．点
为直线
下方抛物线上一动点，过点
作
轴的垂线，垂足为
分别交直线
于点
．
（1）求抛物线
的表达式；
（2）当
，连接
，求
的面积；
（3）①
是
轴上一点，当四边形
是矩形时，求点
的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点
，满足
，求
周长的最小值．
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