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2021 年北京市中考数学试卷
一选择题（共
､
16 分，每题2 分）第1－8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 长方体
B. 圆柱
C. 圆锥
D. 三棱柱
2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．
年，中央财政累计投入“全
面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692 亿元，将169200000000 用科学记数
法表示应为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 如图，点
在直线
上，
．若
，则
的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 实数
在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上一枚硬币反面向上的概率是（ ）
､
A.
B.
C.
D.
7. 已知
．若
为整数且
，则
的值为
（ ）
A. 43
B. 44
C. 45
D. 46
8. 如图，用绳子围成周长为
的矩形，记矩形的一边长为
，它的邻边长为
，矩形的面积为
．
当
在一定范围内变化时，
和
都随
的变化而变化，则
与
与
满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，二次函数关系
B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系
D. 反比例函数关系，一次函数关系
二填空题（共
､
16 分，每题2 分）
9. 若
在实数范围内有意义，则实数
的取值范围是_______________．
10. 分解因式：
______________．
11. 方程
的解为______________．
12. 在平面直角坐标系
中，若反比例函数
的图象经过点
和点
，则
的
值为______________．
13. 如图，
是
的切线，
是切点．若
，则
______________．
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2
14. 如图，在矩形
中，点
分别在
上，
．只需添加一个条件即可证明四边形
是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．
15. 有甲乙两组数据，如表所示：
､
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲乙两组数据
､
方差分别为
，则
______________
（填“＞”，“＜”或“＝”）．
16. 某企业有
两条加工相同原材料的生产线．在一天内，
生产线共加工
吨原材料，加工时间为
小时；在一天内，
生产线共加工
吨原材料，加工时间为
小时．第一天，该企业将5
吨原材料分配到
两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到
生
产线的吨数与分配到
生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果
分配了5 吨原材料后，又给
生产线分配了
吨原材料，给
生产线分配了
吨原材料．若两条生产线都
能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则
的值为______________．
三解答题（共
､
68 分，第17－20 题，每题5 分，第21－22 题，每题6 分，第23 题5 分，第
24 题6 分，第25 题5 分，第26 题6 分，第27－28 题，每题7 分）解答应写出文字说明演算
､
步骤或证明过程．
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17. 计算：
．
18. 解不等式组：
19. 已知
，求代数式
的值．
20. 《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点
处立一根杆，
在地面上沿着杆的影子的方向取一点
，使
两点间的距离为10 步（步是古代的一种长度单位），在
点
处立一根杆；日落时，在地面上沿着点
处的杆的影子的方向取一点
，使
两点间的距离为10
步，在点
处立一根杆．取
的中点
，那么直线
表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点
的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作
的中点
（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线
表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直
线
表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在
中，
______________，
是
的中点，
（______________）（填推理的依据）．
∵直线
表示的方向为东西方向，
∴直线
表示
方向为南北方向．
21. 已知关于
的一元二次方程
．
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（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若
，且该方程的两个实数根的差为2，求
的值．
22. 如图，在四边形
中，
，点
在
上，
，垂足为
．
（1）求证：四边形
是平行四边形；
（2）若
平分
，求
和
的长．
23. 在平面直角坐标系
中，一次函数
的图象由函数
的图象向下平移1 个单
位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当
时，对于
的每一个值，函数
的值大于一次函数
的值，直接写出
的取值范围．
24. 如图，
是
的外接圆，
是
的直径，
于点
．
（1）求证：
；
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（2）连接
并延长，交
于点
，交
于点
，连接
．若
的半径为5，
，求
和
的长．
25. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25
家邮政企业，获得了它们4 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出
了部分信息．
．甲城市邮政企业4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5 组：
）：
．甲城市邮政企业4 月份收入的数据在
这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，
11.6，11.8
．甲乙两座城市邮政企业
､
4 月份收入
数据的平均数中位数如下：
､
平均数
中位数
甲城市
10.8
乙城市
11.0
11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中
的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为
．在乙城市
抽取的邮政企业中，记4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为
．比较
的大小，并说
明理由；
（3）若乙城市共有200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4 月份的总收入（直接写出结果）．
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26. 在平面直角坐标系
中，点
和点
在抛物线
上．
（1）若
，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点
在该抛物线上．若
，比较
的大小，并说明理由．
27. 如图，在
中，
为
的中点，点
在
上，以点
为中心，将线
段
顺时针旋转
得到线段
，连接
．
（1）比较
与
大小；用等式表示线段
之间的数量关系，并证明；
（2）过点
作
的垂线，交
于点
，用等式表示线段
与
的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系
中，
的半径为1，对于点
和线段
，给出如下定义：若将线段
绕
点
旋转可以得到
的弦
（
分别是
的对应点），则称线段
是
的以点
为中心
的“关联线段”．
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（1）如图，点
的横､纵坐标都是整数．在线段
中，
的以点
为中心的“关联线段”是______________；
（2）
是边长为1 的等边三角形，点
，其中
．若
是
的以点
为中心的“关联
线段”，求的值；
（3）在
中，
．若
是
以点
为中心的“关联线段”，直接写出
的最小
值和最大值，以及相应的
长．
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