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第十八章 平行四边形达标检测试卷
（满分100 分，答题时间120 分钟）
一、单项选择题（本题8 个小题，每题4 分，共32 分）
1.（2020 湖北十堰）已知
中，下列条件：①
；②
；③
；④
平分
，其中能说明
是矩形的是（ ）
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
【答案】B
【解析】根据矩形的判定进行分析即可．
A.
，邻边相等的平行四边形是菱形，故A 错误；
B.
，对角线相等的平行四边形是矩形，故B 正确；
C.
，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C 错误；
D.
平分
，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D 错误．
【点睛】本题考查了矩形
判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．
2.（2020•绥化）如图，在Rt△ABC 中，CD 为斜边AB 的中线，过点D 作DE⊥AC 于点E，延长DE 至点F，使
EF＝DE，连接AF，CF，点G 在线段CF 上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：
①DE= 1
2BC；②四边形DBCF 是平行四边形；
③EF＝EG；④BC＝2√5．
其中正确结论的个数是（ ）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】证出DE 是△ABC 的中位线，则DE= 1
2BC；①正确；证出DF＝BC，则四边形DBCF 是平行四边形；
②正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出CD= 1
2AB＝BD，则CF＝CD，得出∠CFE＝∠CDE，证∠CDE＝
∠EGF，则∠CFE＝∠EGF，得出EF＝EG，③正确；作EH⊥FG 于H，由等腰三角形的性质得出FH＝GH= 1
2FG
＝1，证△EFH∽△CEH，则EH
CH = FH
EH ，求出EH＝2，由勾股定理的EF=√5，进而得出BC＝2√5，④正确．
【解答】解；∵CD 为斜边AB 的中线，∴AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AE＝CE，DE= 1
2BC；①正确；
∵EF＝DE，∴DF＝BC，
∴四边形DBCF 是平行四边形；②正确；∴CF∥BD，CF＝BD，
∵∠ACB＝90°，CD 为斜边AB 的中线，∴CD= 1
2AB＝BD，∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，
∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，
∴∠CDE＝∠EGF，∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG，③正确；
作EH⊥FG 于H，如图所示：
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则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH= 1
2FG＝1，
∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，
∴△EFH∽△CEH，
∴EH
CH = FH
EH ，
∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，
∴EF=√F H
2+ E H
2=√1
2+2
2=√5，
∴BC＝2DE＝2EF＝2√5，④正确；
3.（2020•辽阳）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC，BD 相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E 是CD 上一
点，连接OE，若OE＝CE，则OE 的长是（ ）
A．2
B．5
2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB，OC，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据三
角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
∵菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，
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∴OB= 1
2BD= 1
2 ×6＝3，OA＝OC= 1
2AC= 1
2 ×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，BC=√O B
2+OC
2=√3
2+ 4
2=5，
∴AD＝5，
∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD 是菱形，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，
∵AO＝OC，
∴OE 是△ADC 的中位线，
∴OE= 1
2AD＝2.5，
4.如图，平行四边形ABCD 中，
，BE 平分∠ABC，则∠ABE=（ ）
A. 180 B. 360 C. 720 D. 1080
【答案】B。
【解析】考点有平行四边形的性质，平行线的性质。
因为平行四边形对边平行，由两直线平行，同旁内角互补，已知∠C，可求∠ABC，又BE 平分∠ABC，故
∠ABE=
∠ABC：
∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180°。把∠C=108°代入，得∠ABC=180°－108°=72°。
又∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE=
∠ABC=
×72°=36°。故选B。
5.下列命题：
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①平行四边形的对边相等；
②对角线相等的四边形是矩形；
③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中真命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结
论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实
的，这样的真命题叫做定理．考点是命题与定理．根据平行四边形的性质
平行四边形的对边相等，所以①正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，所以②错误；
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以③正确；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，所以④正确．
6.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，
③AC=BD，④AC⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，其中错误
的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
【答案】B
【解析】利用矩形、菱形、正方形间的联系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．A．∵四
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边形ABCD 是平行四边形，
当①AB=BC 时，平行四边形ABCD 是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD 是正方形，故此选项错误；
B．∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD 是矩形，
当AC=BD 时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD 是正方形，故此选项正确；
C．∵四边形ABCD 是平行四边形，
当①AB=BC 时，平行四边形ABCD 是菱形，
当③AC=BD 时，菱形ABCD 是正方形，故此选项错误；
D．∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD 是矩形，
当④AC⊥BD 时，矩形ABCD 是正方形，故此选项错误．
7.已知四边形
中，
，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那
么这个条件可以是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D。
【解析】考点是正方形的判定。
由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形。故选D。
8．（2019•山东泰安）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为
DF 中点，连接PB，则PB 的最小值是（ ）
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A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【解析】根据中位线定理可得出点点P 的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，
PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP 的最小值为BP1的长，由勾股定
理求解即可．
如图：
当点F 与点C 重合时，点P 在P1处，CP1＝DP1，
当点F 与点E 重合时，点P 在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE 且P1P2＝
CE
当点F 在EC 上除点C、E 的位置处时，有DP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥CE 且P1P＝
CF
∴点P 的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB 取得最小值
∵矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为AB 的中点，
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∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°
∴∠DP2P1＝90°
∴∠DP1P2＝45°
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP 的最小值为BP1的长
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2
∴BP1＝2
∴PB 的最小值是2
二、填空题（本题8 个小题，每空4 分，共32 分）
9．（2020•枣庄）如图，E，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF 的
周长是
．
【答案】8√5．
【解析】连接BD 交AC 于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF 为平行四边形，且BD⊥EF，可
证得四边形BEDF 为菱形；根据勾股定理计算DE 的长，可得结论．
如图，连接BD 交AC 于点O，
∵四边形ABCD 为正方形，
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∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF 为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF= 8−4
2
=2，
由勾股定理得：DE=√O D
2+O E
2=√4
2+2
2=
2√5，
∴四边形BEDF 的周长＝4DE＝4×2√5=8√5
10. （2019•湖北武汉）如图，在▱ABCD 中，E.F 是对角线AC 上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，
∠BCD＝63°，则∠ADE 的大小为
．
【答案】21°．
【解析】设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
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∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝
AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，
∴2x＝63°﹣x，
解得：x＝21°，
即∠ADE＝21°。
11．（2019 内蒙古通辽）如图，在矩形ABCD 中，AD＝8，对角线AC 与BD 相交于点O，AE⊥BD，垂足
为点E，且AE 平分∠BAC，则AB 的长为 ．
【答案】
．
【解答】∵四边形ABCD 是矩形
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∵AE 平分∠BAO
∴∠BAE＝∠EAO，且AE＝AE，∠AEB＝∠AEO，
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∴△ABE≌△AOE（ASA）
∴AO＝AB，且AO＝OB
∴AO＝AB＝BO＝DO，
∴BD＝2AB，
∵AD2+AB2＝BD2，
∴64+AB2＝4AB2，
∴AB＝
12.如图正方形ABCD 的对角线相交于点O ，△CEF 是正三角形，则∠CEF=__________．
【答案】15°．
【解析】考点有全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．．
根据正方形、等边三角形的性质，可得AO=BO，OE=OF，根据SSS 可得△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性
质，可得对应角相等，根据角的和差，可得答案．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°．
∵△OEF 是正三角形
，
∴OE=OF，∠EOF=60°．
在△AOE 和△BOF 中，
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，
∴△AOE≌△BOF（SSS），
∴∠AOE=∠BOF，
∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2
=（90°﹣60°）÷2=15°
13.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD 且BC＞AB，BD=8．给出以下判断：
①AC 垂直平分BD；
②四边形ABCD 的面积S=AC•BD；
③顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形；
④当A，B，C，D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为
；
⑤将△ABD 沿直线BD 对折，点A 落在点E 处，连接BE 并延长交CD 于点F，当BF⊥CD 时，点F 到直线AB 的
距离为
．
其中正确的是
．（写出所有正确判断的序号）
【答案】①③④．
【解析】∵在四边形ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD，
∴AC 是线段BD 的垂直平分线，故①正确；
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四边形ABCD 的面积S=
，故②错误；
当AC=BD 时，顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；
当A，B，C，D 四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则
r2=（r﹣3）2+42，
得r=
，故④正确；
将△ABD 沿直线BD 对折，点A 落在点E 处，连接BE 并延长交CD 于点F，如图所示，
连接AF，设点F 到直线AB 的距离为h，
由折叠可得，四边形ABED 是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，
∴AO=EO=3，
∵S△BDE=
×BD×OE=
×BE×DF，
∴DF=
=
，
∵BF⊥CD，BF∥AD，
∴AD⊥CD，EF=
=
，
∵S△ABF=S 梯形ABFD﹣S△ADF，
∴
×5h=
（5+5+
）×
﹣
×5×
，
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解得h=
，故⑤错误。
14. 如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为
．
【答案】2 5 。
【解析】考点有轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。
连接DE，交BD 于点P，连接BD。
∵点B 与点D 关于AC 对称，∴DE 的长即为PE+PB 的最小值。
∵AB=4，E 是BC 的中点，∴CE=2。
在Rt△CDE 中，
2
2
2
2
DE= CD +CE
4 +2
2 5
。
15. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE⊥BD ，垂足为点E ，若
∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．
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【答案】22.5°
【解析】首先证明△AEO 是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE 即可．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB═OC，
∴∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，
∵∠EAC=2∠CAD，
∴∠EAO=∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∴∠AOE=45°，
∴∠OAB=∠OBA=（180°-45°）/2 -90°
∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
16.如图，在菱形ABCD 中，E，F 分别是AD，BD 的中点，若EF=2，则菱形ABCD 的周长是 ．
【答案】16
【解析】考点有菱形的性质；三角形中位线定理．先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性
质计算菱形ABCD 的周长．
∵E，F 分别是AD，BD 的中点，
∴EF 为△ABD 的中位线，
∴AB=2EF=4，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB=BC=CD=DA=4，
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∴菱形ABCD 的周长=4×4=16．
三、解答题（本题5 个题，17 题6 分、18 题6 分、19 题6 分、20 题8 分、21 题10 分，共36 分）
17．（2020•孝感）如图，在▱ABCD 中，点E 在AB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，满足BE＝DF．连接
EF，分别与BC，AD 交于点G，H．
求证：EG＝FH．
【答案】见解析。
【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠FDH，
在△BEG 与△DFH 中，{
∠E =∠F
BE = DF
∠EBG =∠FDH
，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴EG＝FH．
18.（2019•湖北省鄂州市）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，AD＝6，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直
线分别交AB、CD 边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；
（2）当DE＝DF 时，求EF 的长．
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【答案】见解析。
【解析】根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得
到DF＝BE，于是得到四边形BEDF 是平行四边形；推出四边形BEDF 是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，
OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x 根据勾股定理即可得到结论．
（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴DF＝BE，
又因为DF∥BE，
∴四边形BEDF 是平行四边形；
（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF 是平行四边形
∴四边形BEDF 是菱形，
∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x
在Rt△ADE 中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2
∴x2+62＝（8﹣x）2，
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解之得：x＝
，
∴DE＝8﹣
＝
，
在Rt△ABD 中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2
∴BD＝
，
∴OD＝
BD＝5，
在Rt△DOE 中，根据勾股定理，有DE2 ﹣OD2＝OE2，
∴OE＝
，
∴EF＝2OE＝
．
19．（2019 湖南张家界）如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC，延长AB 至点E，
使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC 交于点F，G．
（1）求证：BF＝CF；
（2）若BC＝6，DG＝4，求FG 的长．
【答案】（1）见解析；（2）2．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CD，AD＝BC，
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∴△EBF∽△EAD，
∴
＝
＝
，
∴BF＝
AD＝
BC，
∴BF＝CF；
（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CD，
∴△FGC∽△DGA，
∴
＝
，即
＝
，
解得，FG＝2．
20. （2019•南京）如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC 与DE 相交于点F．求证：
△ADF≌△CEF．
【答案】见解析。
【解析】依据四边形DBCE 是平行四边形，即可得出BD＝CE，依据CE∥AD，即可得出∠A＝∠ECF，
∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE 是平行四边形，
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∴BD＝CE，
∵D 是AB 的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝EC，
∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，
∴△ADF≌△CEF（ASA）．
21．（2019 湖南株洲）如图所示，已知正方形OEFG 的顶点O 为正方形ABCD 对角线AC、BD 的交点，连
接CE、DG．
（1）求证：△DOG≌△COE；
（2）若DG⊥BD，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M，AM＝
，求正方形OEFG
的边长．
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【答案】（1）见解析；（2）2
．
【解析】解：
（1）∵正方形ABCD 与正方形OEFG，对角线AC、BD
∴DO＝OC
∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵∠GOE＝90°，∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°
∴∠GOD＝∠COE
∵GO＝OE
∴在△DOG 和△COE 中
∴△DOG≌△COE（SAS）
（2）如图，过点M 作MH⊥DO 交DO 于点H
∵AM＝
，DA＝2，∴DM＝
∵∠MDB＝45°
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∴MH＝DH＝sin45°•DM＝
，DO＝cos45°•DA＝
∴HO＝DO﹣DH＝
﹣
＝
∴在Rt△MHO 中，由勾股定理得
MO＝
＝
＝
∵DG⊥BD，MH⊥DO，∴MH∥DG
∴易证△OHM∽△ODG
∴
＝
＝
＝
，得GO＝2
则正方形OEFG 的边长为2
．
