探索三角形相似的条件--巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 如图，P 是RtΔABC 的斜边BC 上异于B、C 的一点，过点P 做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC
相似，满足这样条件的直线共有（ ）.
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
B
A
C
2．在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，且DE∥BC，
，则
等于( )．
A．
B．
C．
D．
3.如图，在△ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE=
AB，连结EM 并延长，交BC 的延长线于D，
此时BC：CD 为( ) .
A. 2：1 B. 3：2 C. 3：1 D. 5：2
4.（2015•哈尔滨）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，连
接EF，分别交AD，CD 于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
5．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（ ）．
A．4 对 B．3 对 C．2 对 D．1 对
6. 如图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相
似的是( ) .
A.∠APB=∠EPC B.∠APE=90° C.P 是BC 的中点 D.BP：BC=2：3
二、填空题
7.如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE 相似三角形是________和________.
8.（2015•六合区一模）如图，在Rt
ABC
△
中，AC=8，BC=6，直线l 经过C，且l AB
∥
，P 为l 上一个动点，若
△ABC 与△PAC 相似，则PC=
．
9.如图，
是正方形ABCD 的外接圆，点F 是AB 的中点，CF 的延长线交
于点E,则CF:EF 的值是
________________.
F
O
A
B
C
D
E
10.如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM=CN,
,则①△ABM∽△ACB,②△ANC∽△AMB,
③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA 中正确的有___________.
A
B
C
M
N
11.如图，在平行四边形ABCD 中，M,N 为AB 的三等分点，DM,DN 分别交AC 于P,Q 两点，则AP：
PQ:QC=____________.
Q
P
D
A
B
C
N
M
12.如图，正方形ABCD 的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN 的两端在CB,CD 边上滑动，当CM=______时，
△AED 与以M、N、C 为顶点的三角形相似.
B
C
D
A
E
N
M
三、解答题
13.（2015•娄底）一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为（0，1），直角顶点C 的坐标为（﹣3，
0），∠B=30°，求点B 的坐标？
14.（2015•大庆模拟）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE BC
⊥
交AC 与E，已知AD=AB，连接BE 交
AD 于F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD= ABE
∠
；③AF=DF；④S
ABF
△
=3S
DEF
△
；⑤△DEF
DAE
△
∽
，其中
正确的有几个？
15.已知点P 在线段AB 上，点O 在线段AB 的延长线上.以点O 为圆心，OP 为半径作圆，点C 是圆O 上的一
点.
(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；
(2)如果AP=m(m 是常数，且
)，BP=1，OP 是OA、OB 的比例中项.当点C 在圆O 上运动时，求
的值(结果用含m 的式子表示)；
(3)在(2)的条件下，讨论以BC 为半径的圆B 和以CA 为半径的圆C 的位置关系，并写出相应m 的取值
范围.
【答案与解析】
一．选择题
1.【答案】C.
【解析】分别是过点P 做AB,AC,BC 的垂线.
2．【答案】 C.
【解析】∵DE∥BC，∴
EC
BD
AC
AB
,又∵
，∴
5
9
BD
AB
,即
=
5
9 .
3.【答案】A .
【解析】如图，做CN∥AB,交ED 于点N,
∵M 是AC 边中点,△AEM≌△CNM,即CN=AE,
∵AE=
AB，∴AE:BE=1:3，即CN:BE=1:3.
∵CN∥AB，∴△DCN∽△DBE,即CD:BD= CN:BE=1:3,∴CD:BC=1:2.
4.【答案】C.
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，
AD BF
∴
∥
，BE DC
∥
，AD=BC，
∴
，
，
，
故选C．
5.【答案】B.
【解析】△ABC∽△ACD; △ABC∽△CBD; △CBD∽△ACD.
6.【答案】C.
【解析】当P 是BC 的中点时，△EPC 为等腰直角三角形.
二. 填空题
7.【答案】△CEA、△CAB.
8.【答案】4.8 或
.
【解析】∵在Rt
ABC
△
中，AC=8，BC=6，∴AB=
=10，
当△ABC
PCA
∽△
时，则AB：PC=BC：AC，
即10：PC=6：8，解得：PC=
，
当△ABC
ACP
∽△
时，则AB：AC=BC：PC，
即10：8=6：PC，解得：PC=4.8．
综上可知若△ABC 与△PAC 相似，则PC=4.8 或
．
9．【答案】5：1.
【解析】如图，连接AE,则△AEF∽△CBF,
∵点F 是AB 的中点,正方形ABCD,∴EF:AE=BF:BC=1:2.
设EF=K,则AE=2K,AF=
K,即BF=
K,BC=2
K，CF=5K.
∴CF:EF=5:1.
10.【答案】②.
11.【答案】5:3:12.
【解析】∵平行四边形ABCD, M,N 为AB 的三等分点∴AM:CD=AP:PC=1:3，AN:CD=AQ:QC=2:3，
即AP=
AC,AQ=
AC,∴QP=
AC,QC=
AC,∴AP：PQ:QC=
AC:
AC:
AC=5:3:12.
12.【答案】
5
2 5
5
5
或
.
三 综合题
13.【解析】解：过点B 作BD OD
⊥
于点D，
ABC
△
∵
为直角三角形，
BCD+ CAO=90°
∴∠
∠
，
BCD
COA
∴△
△
∽
，
∴
=
，
设点B 坐标为（x，y），
则
= ，
y=
3x
9
﹣
﹣，
BC=
∴
=
，
AC=
=
，
B=30°
∵∠
，
∴
=
=
，
解得：x=
3
﹣﹣
，
则y=3
．
即点B 的坐标为（﹣3﹣
，3
）．
故答案为：（﹣3﹣
，3
）．
14.【解析】
解：∵D 是BC 的中点，且DE⊥BC，
DE
∴
是BC 的垂直平分线，CD=BD，
CE=BE
∴
，故①本答案正确；
C= 7
∴∠
∠，
AD=AB
∵
，
8= ABC= 6+ 7
∴∠
∠
∠
∠，
8= C+ 4
∵∠
∠
∠，
C+ 4= 6+ 7
∴∠
∠
∠
∠，
4= 6
∴∠
∠，即∠CAD= ABE
∠
，故②本答案正确；
作AG BD
⊥
于点G，交BE 于点H，
AD=AB
∵
，DE BC
⊥
，
2= 3
∴∠
∠，DG=BG= BD，DE AG
∥
，
CDE
CGA
∴△
△
∽
，△BGH
BDE
∽△
，EH=BH，∠EDA= 3
∠，∠5= 1
∠，
CD
∴
：CG=DE：AG，HG= DE，
设DG=x，DE=2y，则GB=x，CD=2x，CG=3x，
2x
∴
：3x=2y：AG，
解得：AG=3y，HG=y，
AH=2y
∴
，
DE=AH
∴
，且∠EDA= 3
∠，∠5= 1
∠
DEF
AHF
∴△
△
≌
AF=DF
∴
，故③本答案正确；
EF=HF= EH，且EH=BH，
EF
∴
：BF=1：3，
S
∴
ABF
△
=3S
AEF
△
，
S
∵
DEF
△
=S
AEF
△
，
S
∴
ABF
△
=3S
DEF
△
，故④本答案正确；
1= 2+ 6
∵∠
∠
∠，且∠4= 6
∠，∠2= 3
∠，
5= 3+ 4
∴∠
∠
∠，
5≠4
∴∠
∠，
DEF
DAE
∴△
△
∽
，不成立，故⑤本答案错误．
综上所述：正确的答案有4 个．
15.【解析】（1）利用两边的比相等，夹角相等证相似.
由已知AP=2PB，PB=BO,
可推出
，
,
∴△CAO∽△BCO.
（2）设
,
∵
是
的比例中项，
∴
是
的比例中项.
即
,
∴
,
解得
.
又∵ △COB∽△AOC,
.
（3）∵
，
，即
,
当
时，两圆内切；当
时，两圆内含；当
时，两圆相交.
