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投影与视图—知识讲解
【学习目标】
1.在观察、操作、想象等活动中增强对空间物体的把握和理解能力；
2.通过实例了解中心投影与平行投影；
3.会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三种视图；
4.能根据三种视图描述简单的几何体.
【要点梳理】
要点一、投影
1. 投影现象
物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为
投影面.
2. 中心投影
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为
中心投影.
相应地，我们会得到两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远
的物体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越
远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在
同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
要点诠释：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方
向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
3.平行投影
1.平行投影的定义
太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.
相应地，我们会得到两个结论：
①等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
②等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身
的长度.
2. 物高与影长的关系
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①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在
变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也
是由长变短再变长.
②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：
.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
要点诠释：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同
时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
4、正投影
如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行
投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们
也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.
要点诠释：
正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
要点二、中心投影与平行投影的区别与联系
1.区别：
（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子
与物体高度不一定成比例.
（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不
同方向.
2.联系：
（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，
通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡
的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.
（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一
灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯
光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.
要点诠释：
在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进
一步解决问题.
要点三、视图
1.三视图
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（1）视图
用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.
（2）三视图
在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体
的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视
图叫做俯视图.
主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
2.三视图之间的关系
（1）位置关系
一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.
（2）大小关系
三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图
与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.
要点诠释：
三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图
反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.
3.画几何体的三视图
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
(1)确定主视图的位置，画出主视图；
(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.
要点诠释：
画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先
要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看
不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大
小要求从整体上画出几何体的三视图.
4.由三视图想象几何体的形状
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左
侧面，然后综合起来考虑整体图形.
要点诠释：
由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视
图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几
何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)
利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.
【典型例题】
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类型一、投影的作图与计算
1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．
【答案与解析】
(1)如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．
(2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交
于点P．此时为中心投影，P 点即为光源位置．
【总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则
为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投
影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之间．特别
提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，从而漏掉上图这
一情形．
举一反三：
【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD 和一棵树AB．晚上，幕墙反射路
灯，灯光形成那盆花的影子DF，树影BE 是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置
吗?
【答案】作法如下：
①连结FC 并延长交玻璃幕墙于O 点；
②过点O 作直线OG 垂直于玻璃幕墙面；
③在OC 另一侧作∠POG＝∠FOG 且交EA 延长线于点P．
P 点即此时路灯光源位置，如图所示．
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2．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB 所示，他在地面上的影子如图中线段BC 所示，线段DE
表示旗杆的高，线段FG 表示一堵高墙．
（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子；
（2）如果小亮的身高AB=1.6m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=15m，旗杆与高墙的距离EG=16m，请求出旗
杆的影子落在墙上的长度．
【思路点拨】
（1）连接AC，过D 点作AC 的平行线即可；
（2）过M 作MN⊥DE 于N，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可．
【答案与解析】解：（1）连接AC，过D 点作AC 的平行线交墙于点M，如图，线段MG 和GE 就表示旗杆在阳光
下形成的影子．
（2）过M 作MN⊥DE 于N，
设旗杆的影子落在墙上的长度为x，由题意得：△DMN∽△ACB，
∴
又∵AB=1.6，BC=2.4，
DN=DE-NE=15-x
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MN=EG=16
∴
解得：
，
答：旗杆的影子落在墙上的长度为
米．
【总结升华】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形．
举一反三：
【变式】如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB 的高度．
（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出旗杆AB 在阳光下的投影．
（2）已知小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB 的投影长分别为0.86m 和6m，求旗杆AB 的
高．
【答案】解：（1）如图所示：
（2）如图，因为DE，AB 都垂直于地面，且光线DF∥AC，
所以Rt△DEF∽Rt△ABC，
所以
，
即
，
所以AB=12（m）．
答：旗杆AB 的高为12m．
类型二、三视图
3．如图，分别从正面、左面、上面观察该立体图形，能得到什么平面图形．
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【答案与解析】从正面看该几何体是三角形，从左面看该几何体是长方形，从上面看该几何体是一长方形
中带一条竖线．如图：
【总结升华】本题考查了几何体的三视图的判断．
举一反三：
【变式】如图，画出这些立体图形的三视图．
【答案】（1）如图：
（2）如图：
（3）如图：
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（4）如图：
4．在图中，根据下列主视图和俯视图(大致形状)，找出对应的物体．
【答案与解析】(1)D；(2)A；(3)B；(4)C
【总结升华】此类问题要求能正确描述基本几何体的三种视图与实物原形之间的相互转换过程，并在平面
图形与几何体的相互转换中发展空间观念．
类型三、三视图的有关计算
5．某工厂要对一机器零件表面进行喷漆，设计者给出了该零件的三视图(如图所示)，请你根据三视
图确定其喷漆的面积．
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【思路点拨】首先要根据立体图形的三视图，想象出物体的实际形状，然后再计算表面积.
【答案与解析】
解：长方体的表面积为(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm2)，
圆柱体的侧面积为3.14×20×32＝2010(cm2)，
其喷漆的面积为5900+2010＝7910(cm2)．
【总结升华】由该机械零件的三视图，可想象它是一个组合体，是由一个长方体和一个圆柱体组成．其表面
积是一个长方体的六个面与圆柱体的侧面构成．(圆柱体的上表面补在长方体的上表面被圆柱体遮挡的
部分).该组合体是由一长方体与一圆柱体组合而成，但不能认为组合体的表面积就是两几何体的表面积
之和．
举一反三：
【变式】某物体的三视图如图：
（1）此物体是什么体；
（2）求此物体的全面积．
【答案】
解：（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为圆柱．
（2）根据圆柱的全面积公式可得，20π×40+2×π×10 =1000π．
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