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高中理科数学公式大全
高中数学公式大全（最新整理版）
§０１. 集合与简易逻辑
1. 元素与集合的关系
U
x
A
x
C A
,
U
x
C A
x
A
.
2。德摩根公式
(
)
;
(
)
U
U
U
U
U
U
C
A
B
C A
C B C
A
B
C A
C B
．
3。包含关系
A
B
A
A
B
B
U
U
A
B
C B
C A
U
A
C B
U
C A
B
R
4。容斥原理
(
)
(
)
card A
B
cardA
cardB
card A
B
.
5.集合
1
2
{ ,
,
,
}
n
a a
a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1 个;非空子
集有2n –１个；非空的真子集有2n–2 个．
6.二次函数的解析式的三种形式
(１）一般式
2
( )
(
0)
f x
ax
bx
c a
;
(2）顶点式
2
( )
(
)
(
0)
f x
a x
h
k a
;
(3)零点式
1
2
( )
(
)(
)(
0)
f x
a x
x
x
x
a
．
7。解连不等式
( )
N
f x
M
常有以下转化形式
( )
N
f x
M
[ ( )
][ ( )
]
0
f x
M
f x
N
|
( )
|
2
2
M
N
M
N
f x
( )
0
( )
f x
N
M
f x
1
1
( )
f x
N
M
N
．
8。方程
0
)
(
x
f
在
)
,
(
2
1 k
k
上有且只有一个实根,与
0
)
(
)
(
2
1
k
f
k
f
不等价,前
者是后者的一个必要而不是充分条件．特别地, 方程
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
有
且只有一个实根在
)
,
(
2
1 k
k
内,等价于
0
)
(
)
(
2
1
k
f
k
f
，或
0
)
(
1
k
f
且
2
2
2
1
1
k
k
a
b
k
,
或
0
)
(
2
k
f
且
2
2
1
2
2
k
a
b
k
k
....文档交流 仅供参考...
9．闭区间上的二次函数的最值
二次函数
)
0
(
)
(
2
a
c
bx
ax
x
f
在闭区间
q
p, 上的最值只能在
a
b
x
2
处
及区间的两端点处取得,具体如下：
2 / 33·····谢阅。。。。。
（1）当a>０时，若
q
p
a
b
x
,
2
，则
min
max
max
( )
(
),
( )
( ),
( )
2
b
f x
f
f x
f p
f q
a
；
q
p
a
b
x
,
2
,
max
max
( )
( ),
( )
f x
f p
f q
，
min
min
( )
( ),
( )
f x
f p
f q
．
(2)当a〈0 时，若
q
p
a
b
x
,
2
，则
min
( )
min
( ),
( )
f x
f p
f q
，
q
p
a
b
x
,
2
,则
max
( )
max
( ),
( )
f x
f p
f q
，
min
( )
min
( ),
( )
f x
f p
f q
。
1０.一元二次方程的实根分布
依据：若
( ) ( )
0
f m f n ,则方程
0
)
(
x
f
在区间( , )
m n 内至少有一个实
根 .
设
q
px
x
x
f
2
)
(
，则
（1）方程
0
)
(
x
f
在区间
)
,
(
m
内有根的充要条件为
0
)
(
m
f
或
2
4
0
2
p
q
p
m
；
（2）方程
0
)
(
x
f
在区间( , )
m n 内有根的充要条件为
( ) ( )
0
f m f n 或
2
( )
0
( )
0
4
0
2
f m
f n
p
q
p
m
n
或
0
)
(
0
)
(
n
f
m
f
或
0
)
(
0
)
(
m
f
n
f
;
（3）方程
0
)
(
x
f
在区间(
, )
n
内有根的充要条件为
( )
0
f m 或
2
4
0
2
p
q
p
m
.
11。定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间
)
,
(
的子区间L（形如
,
，
,
,
,
不同)上含
参数的二次不等式
( , )
0
f x t
（t 为参数）恒成立的充要条件是
min
( , )
0(
)
f x t
x
L
。
(2)在给定区间
)
,
(
的子区间上含参数的二次不等式
( , )
0
f x t （t为
参数)恒成立的充要条件是
( , )
0(
)
man
f x t
x
L
.
（３）
0
)
(
2
4
c
bx
ax
x
f
恒成立的充要条件是
0
0
0
a
b
c
或
2
0
4
0
a
b
ac
。
12。真值表
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p q 非
p
p 或
q
p 且
ｑ
真 真 假
真
真
真 假 假
真
假
假 真 真
真
假
假 假 真
假
假
13．常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有
一个
一个也没有
都是
不都是
至多有
一个
至少有两个
大于
不大于
至少有n
个
至多有（
1
n ）
个
小于
不小于
至多有n
个
至少有(
1
n ）
个
对所有x ，
成立
存在某x，不
成立
p 或q
p
且
q
对任何x ，
不成立
存在某x，成
立
p 且q
p
或
q
14．四种命题的相互关系
原命题：与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否；
逆命题：与原命题互逆,与逆否命题互否，与否命题互为逆否;
否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；
逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否；
１５.充要条件
（1）充分条件:若p
q
，则p 是q充分条件．
（２）必要条件：若q
p
，则p 是q必要条件.
（3）充要条件：若p
q
，且q
p
，则p 是q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件；反之亦然．
§0２. 函数
１６．函数的单调性
4 / 33·····谢阅。。。。。
（1）设
2
1
2
1
,
,
x
x
b
a
x
x
那么
1
2
1
2
(
)
( )
(
)
0
x
x
f x
f x
b
a
x
f
x
x
x
f
x
f
,
)
(
0
)
(
)
(
2
1
2
1
在
上是增函数；
1
2
1
2
(
)
( )
(
)
0
x
x
f x
f x
b
a
x
f
x
x
x
f
x
f
,
)
(
0
)
(
)
(
2
1
2
1
在
上是减函数.
(2）设函数
)
(x
f
y
在某个区间内可导,如果
0
)
(
x
f
，则
)
(x
f
为增函数；
如果
0
)
(
x
f
,则
)
(x
f
为减函数。
１7。如果函数
)
(x
f
和
)
(x
g
都是减函数,则在公共定义域内,和函数
)
(
)
(
x
g
x
f
也是减函数; 如果函数
)
(u
f
y
和
)
(x
g
u
在其对应的定义域上都
是减函数，则复合函数
)]
(
[
x
g
f
y
是增函数....文档交流 仅供参考...
１8．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反过来,
如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数;如果一个
函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数．...文档交流 仅供参考...
19.若函数
)
(x
f
y
是偶函数，则
)
(
)
(
a
x
f
a
x
f
；若函数
)
(
a
x
f
y
是偶
函数，则
)
(
)
(
a
x
f
a
x
f
．
20．对于函数
)
(x
f
y
(
R
x ),
)
(
)
(
x
b
f
a
x
f
恒成立,则函数
)
(x
f
的对称
轴是函数
2
b
a
x
;
两个函数
)
(
a
x
f
y
与
)
(
x
b
f
y
的图象关于直线
2
b
a
x
对称。
21.若
)
(
)
(
a
x
f
x
f
，则函数
)
(x
f
y
的图象关于点
)
0,
2
(a
对称;
若
)
(
)
(
a
x
f
x
f
,则函数
)
(x
f
y
为周期为a
2 的周期函数．
22。多项式函数
1
1
0
( )
n
n
n
n
P x
a x
a
x
a
的奇偶性
多项式函数
( )
P x 是奇函数
( )
P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零．
多项式函数
( )
P x 是偶函数
( )
P x 的奇次项(即偶数项）的系数全为零.
23.函数
( )
y
f x
的图象的对称性
（１）函数
( )
y
f x
的图象关于直线x
a
对称
(
)
(
)
f a
x
f a
x
(2
)
( )
f
a
x
f x
。
（2）函数
( )
y
f x
的图象关于直线
2
a
b
x
对称
(
)
(
)
f a
mx
f b
mx
(
)
(
)
f a
b
mx
f mx
．
24．两个函数图象的对称性
(1）函数
( )
y
f x
与函数
(
)
y
f
x
的图象关于直线
0
x (即y 轴)对称.
(2）函数
(
)
y
f mx
a
与函数
(
)
y
f b
mx
的图象关于直线
2
a
b
x
m
对称。
5 / 33·····谢阅。。。。。
(3）函数
)
(x
f
y
和
)
(
1 x
f
y
的图象关于直线y＝x 对称.
2５．若将函数
)
(x
f
y
的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数
b
a
x
f
y
)
(
的图象;若将曲线
0
)
,
(
y
x
f
的图象右移a、上移b 个单位，得到
曲线
0
)
,
(
b
y
a
x
f
的图象。...文档交流 仅供参考...
26．互为反函数的两个函数的关系
a
b
f
b
a
f
)
(
)
(
1
.
２7.若函数
)
(
b
kx
f
y
存在反函数，则其反函数为
]
)
(
[
1
1
b
x
f
k
y
,并不
是
)
(
[
1
b
kx
f
y
，而函数
)
(
[
1
b
kx
f
y
是
]
)
(
[
1
b
x
f
k
y
的反函数。
28.几个常见的函数方程
（1)正比例函数
( )
f x
cx
,
(
)
( )
( ),
(1)
f x
y
f x
f y
f
c
。
(２）指数函数
( )
x
f x
a
，
(
)
( ) ( ),
(1)
0
f x
y
f x f y
f
a
.
(3)对数函数
( )
log
a
f x
x
,
(
)
( )
( ),
( )
1(
0,
1)
f xy
f x
f y
f a
a
a
。
(4)幂函数
( )
f x
x
,
'
(
)
( ) ( ),
(1)
f xy
f x f y
f
。
(5）余弦函数
( )
cos
f x
x
，正弦函数( )
sin
g x
x
, (
)
( ) ( )
( ) ( )
f x
y
f x f y
g x g y
，
0
( )
(0)
1,lim
1
x
g x
f
x
。
29．几个函数方程的周期（约定ａ>0)
(１）
)
(
)
(
a
x
f
x
f
，则
)
(x
f
的周期T=a；
（2）
0
)
(
)
(
a
x
f
x
f
，
或
)
0
)
(
(
)
(
1
)
(
x
f
x
f
a
x
f
,
或
1
(
)
( )
f x a
f x
( ( )
0)
f x ,
或
2
1
( )
( )
(
),( ( )
0,1 )
2
f x
f
x
f x
a
f x
，则
)
(x
f
的周期T=2a;
(3)
)
0
)
(
(
)
(
1
1
)
(
x
f
a
x
f
x
f
，则
)
(x
f
的周期T＝３ａ;
（4）
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
f
且
1
2
1
2
( )
1( (
)
(
)
1,0 |
| 2 )
f a
f x
f x
x
x
a
，则
)
(x
f
的周
期T=4a；
(５）( )
(
)
(
2 ) (
3 )
(
4 )
f x
f x a
f x
a f x
a
f x
a
( ) (
) (
2 ) (
3 ) (
4 )
f x f x a f x
a f x
a f x
a
，则
)
(x
f
的周期Ｔ=5a；
(6）
)
(
)
(
)
(
a
x
f
x
f
a
x
f
，则
)
(x
f
的周期T=6ａ．
３０.分数指数幂
6 / 33·····谢阅。。。。。
(1)
1
m
n
n
m
a
a
（
0,
,
a
m n
N
，且
1
n ).
(2)
1
m
n
m
n
a
a
(
0,
,
a
m n
N
,且
1
n ）。
31。根式的性质
（1）(
)n
n a
a
。
(2）当n为奇数时，n
n
a
a
;
当n为偶数时,
,
0
|
|
,
0
n
n
a a
a
a
a a
。
32.有理指数幂的运算性质
（１)
(
0, ,
)
r
s
r s
a
a
a
a
r s
Q
。
（2）
(
)
(
0, ,
)
r
s
rs
a
a
a
r s
Q
。
(3）(
)
(
0,
0,
)
r
r
r
ab
a b a
b
r
Q
．
注： 若a＞０,p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述
有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用．...文档交流 仅供参考...
33．指数式与对数式的互化式
log
b
a N
b
a
N
(
0,
1,
0)
a
a
N
。
34。对数的换底公式
log
log
log
m
a
m
N
N
a
(
0
a ，且
1
a ，
0
m ，且
1
m ,
0
N ）。
推论 log
log
m
n
a
a
n
b
b
m
（
0
a ,且
1
a ，
,
0
m n ,且
1
m ,
1
n ,
0
N )。
35.对数的四则运算法则
若a>0，ａ≠1，Ｍ＞０,N>0，则
(1）log (
)
log
log
a
a
a
MN
M
N
；
(2） log
log
log
a
a
a
M
M
N
N
；
（3) log
log
(
)
n
a
a
M
n
M n
R
.
3６.设函数
)
0
)(
(
log
)
(
2
a
c
bx
ax
x
f
m
,记
ac
b
4
2
。若
)
(x
f
的定义域为
R，则
0
a
，且
0
；若
)
(x
f
的值域为R,则
0
a
，且
0
。对于
0
a
的情形,
需要单独检验.
37。 对数换底不等式及其推广
若
0
a ,
0
b ,
0
x ,
1
x
a
，则函数
log (
)
ax
y
bx
ﻩ
(1)当a
b
时，在
1
(0,
)
a
和1
(
,
)
a 上
log (
)
ax
y
bx
为增函数．
7 / 33·····谢阅。。。。。
， （2）当a
b
时,在
1
(0, )
a
和1
(
,
)
a 上
log (
)
ax
y
bx
为减函数.
推论：设
1
n
m
，
0
p ,
0
a ,且
1
a ,则
（1）log
(
)
log
m p
m
n
p
n
。
(２）
2
log
log
log
2
a
a
a
m
n
m
n
.
§03。 数 列
３8. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p ,则对于时间x的总产值
y ，有
(1
)x
y
N
p
。
３９．数列的同项公式与前n 项的和的关系
1
1
,
1
,
2
n
n
n
s
n
a
s
s
n
（ 数列{ }
na 的前n 项的和为
1
2
n
n
s
a
a
a
)．
4０.等差数列的通项公式
*
1
1
(
1)
(
)
na
a
n
d
dn
a
d n
N
；
其前n 项和公式为
1
(
)
2
n
n
n a
a
s
1
(
1)
2
n n
na
d
2
1
1
(
)
2
2
d n
a
d n
。
41。等比数列的通项公式
1
*
1
1
(
)
n
n
n
a
a
a q
q
n
N
q
；
其前n 项的和公式为
1
1
(1
) ,
1
1
,
1
n
n
a
q
q
s
q
na q
或
1
1
,
1
1
,
1
n
n
a
a q q
q
s
na q
.
42。等比差数列
na :
1
1
,
(
0)
n
n
a
qa
d a
b q
的通项公式为
1
(
1) ,
1
(
)
,
1
1
n
n
n
b
n
d q
a
bq
d
b q
d q
q
；
其前n 项和公式为
8 / 33·····谢阅。。。。。
(
1) ,(
1)
1
(
)
,(
1)
1
1
1
n
n
nb
n n
d
q
s
d
q
d
b
n q
q
q
q
.
43.分期付款（按揭贷款)
每次还款
(1
)
(1
)
1
n
n
ab
b
x
b
元（贷款a元，n次还清，每期利率为b ）．
§04。 三角函数
４4．常见三角不等式
（１）若
(0,
)
2
x
，则sin
tan
x
x
x
.
(2） 若
(0,
)
2
x
,则1
sin
cos
2
x
x
。
(3） | sin
|
| cos
| 1
x
x
.
４5。同角三角函数的基本关系式
2
2
sin
cos
1
，tan=
cos
sin ，tan
1
cot
。
46．正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
2
1
2
( 1) sin
,
sin(
)
2
( 1)
s ,
n
n
n
co
2
1
2
( 1)
s
,
s(
)
2
( 1)
sin
,
n
n
co
n
co
47．和角与差角公
式
sin(
)
sin
cos
cos
sin
；
cos(
)
cos
cos
sin
sin
;
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
．
2
2
sin(
)sin(
)
sin
sin
(平方正弦公式）；
2
2
cos(
)cos(
)
cos
sin
。
sin
cos
a
b
＝
2
2 sin(
)
a
b
（辅助角所在象限由点( , )
a b 的象限决定，
tan
b
a
)．
48.二倍角公式
sin 2
sin
cos
。
2
2
2
2
cos 2
cos
sin
2cos
1
1
2sin
．
2
2tan
tan 2
1
tan
。
(n 为偶数)
(n 为奇数)
(n 为偶数)
(n 为奇数)
9 / 33·····谢阅。。。。。
49. 三倍角公式
3
sin 3
3sin
4sin
4sin
sin(
)sin(
)
3
3
.
3
cos3
4cos
3cos
4cos
cos(
)cos(
)
3
3
。
3
2
3tan
tan
tan 3
tan
tan(
) tan(
)
1 3tan
3
3
。
5０．三角函数的周期公式
函数
sin(
)
y
x
,x∈R 及函数
cos(
)
y
x
，x∈R（A，ω，为常数,
且A≠0，ω＞0)的周期
2
T
；
函数
tan(
)
y
x
,
,
2
x
k
k
Z
(Ａ，ω，为常数,且A≠0，ω＞０）
的周期T
。
51。正弦定理
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
．
52。余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
;
2
2
2
2
cos
b
c
a
ca
B
；
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
。
５３．面积定理
（1)
1
1
1
2
2
2
a
b
c
S
ah
bh
ch
(
a
b
c
h
h
h
、、分别表示a、b、c 边上的高）.
（２）
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
bc
A
ca
B
。
（３）
2
2
1
(|
| |
|)
(
)
2
OAB
S
OA
OB
OA OB
.
54.三角形内角和定理
在△ＡBC 中，有
(
)
A
B
C
C
A
B
2
2
2
C
A
B
2
2
2(
)
C
A
B
．
55. 简单的三角方程的通解
sin
( 1) arcsin (
,|
| 1)
k
x
a
x
k
a k
Z
a
.
s
2
arccos (
,|
| 1)
co x
a
x
k
a k
Z
a
。
tan
arctan (
,
)
x
a
x
k
a k
Z a
R
.
特别地,有
10 / 33·····谢阅。。。。。
sin
sin
( 1)
(
)
k
k
k
Z
。
s
cos
2
(
)
co
k
k
Z
.
tan
tan
(
)
k
k
Z
。
56。最简单的三角不等式及其解集
sin
(|
| 1)
(2
arcsin ,2
arcsin
),
x
a a
x
k
a
k
a k
Z
．
sin
(|
| 1)
(2
arcsin ,2
arcsin
),
x
a a
x
k
a
k
a k
Z
．
cos
(|
| 1)
(2
arccos ,2
arccos ),
x
a a
x
k
a
k
a k
Z
．
cos
(|
| 1)
(2
arccos ,2
2
arccos ),
x
a a
x
k
a
k
a k
Z
.
tan
(
)
(
arctan ,
),
2
x
a a
R
x
k
a k
k
Z
.
tan
(
)
(
,
arctan ),
2
x
a a
R
x
k
k
a k
Z
.
§05。 平面向量
５7．实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ（μa）=（λμ）a；
（２)第一分配律：（λ+μ)a=λa＋μa；
（３)第二分配律:λ（a＋b)=λa+λb。
58。向量的数量积的运算律：
（1） ａ·ｂ= b·a (交换律）；
（2）（a)·b=
(a·b)=a·b= a·（b）；
（3）(ａ+b）·ｃ= a ·c +ｂ·ｃ。
5９.平面向量基本定理
如果e
1、e
２是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面
内的任一向量，有且只有一对实数λ
１、λ
2，使得a＝λ
1e
1+λ
2ｅ
2．...
文档交流 仅供参考...
不共线的向量e
1、e
２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
60.向量平行的坐标表示
设a=
1
1
( ,
)
x y ，b=
2
2
(
,
)
x
y ，且b 0,则a b（b 0）
1
2
2
1
0
x y
x y
。
53． a 与b 的数量积（或内积)
a·b＝｜a｜|b|coｓθ．
61. ａ·b 的几何意义
数量积a·ｂ等于a 的长度｜a|与b 在a 的方向上的投影|b|cｏs
θ的乘积．
6２.平面向量的坐标运算
11 / 33·····谢阅。。。。。
（１）设a=
1
1
( ,
)
x y ，b=
2
2
(
,
)
x
y ，则a+b=
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
．
（2)设ａ＝
1
1
( ,
)
x y ,b=
2
2
(
,
)
x
y ,则a—b=
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
。
（3)设A
1
1
( ,
)
x y ，B
2
2
(
,
)
x
y ，则
2
1
2
1
(
,
)
AB
OB
OA
x
x y
y
。
(4)设a＝( , ),
x y
R
，则a＝(
,
)
x
y
．
（5）设a=
1
1
( ,
)
x y ，b＝
2
2
(
,
)
x
y ，则a·b=
1
2
1
2
(
)
x x
y y
。
６3。两向量的夹角公式
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
cos
x x
y y
x
y
x
y
（a=
1
1
( ,
)
x y ，ｂ＝
2
2
(
,
)
x
y )．
64。平面两点间的距离公式
,
A B
d
=|
|
AB
AB AB
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
x
x
y
y
（A
1
1
( ,
)
x y ，Ｂ
2
2
(
,
)
x
y ）．
6５。向量的平行与垂直
设a=
1
1
( ,
)
x y ,ｂ=
2
2
(
,
)
x
y ，且b 0，则
A|｜b ｂ＝λa
1
2
2
1
0
x y
x y
。
a b（a ０）a·ｂ＝０
1
2
1
2
0
x x
y y
.
66.线段的定比分公式
设
1
1
1
(
,
)
P x y ,
2
2
2
(
,
)
P x
y ，( , )
P x y 是线段
1
2
PP 的分点,是实数，且
1
2
PP
PP
，则
1
2
1
2
1
1
x
x
x
y
y
y
1
2
1
OP
OP
OP
1
2
(1
)
OP
tOP
t OP
(
1
1
t
）．
６7.三角形的重心坐标公式
△ＡBC 三个顶点的坐标分别为
1
1
A(x ,y )、
2
2
B(x ,y )、
3
3
C(x ,y )，则△AＢC
的重心的坐标是
1
2
3
1
2
3
(
,
)
3
3
x
x
x
y
y
y
G
．
68.点的平移公式
'
'
'
'
x
x
h
x
x
h
y
y
k
y
y
k
'
'
OP
OP
PP
．
注：图形F 上的任意一点P（x，y)在平移后图形
'
F 上的对应点为
'
'
'
( ,
)
P x y ,且
'
PP 的坐标为( , )
h k 。
69．“按向量平移”的几个结论
(1）点
( , )
P x y 按向量ａ＝( , )
h k 平移后得到点
'(
,
)
P x
h y
k
．
（２） 函数
( )
y
f x
的图象C 按向量a＝( , )
h k 平移后得到图象
'
C ，则
'
C
12 / 33·····谢阅。。。。。
的函数解析式为
(
)
y
f x
h
k
.
(3) 图象
'
C 按向量a=( , )
h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式
( )
y
f x
，
则
'
C 的函数解析式为
(
)
y
f x
h
k
．
(４）曲线C ：
( , )
0
f x y 按向量a=( , )
h k 平移后得到图象
'
C ,则
'
C 的方程
为
(
,
)
0
f x
h y
k
。
（5) 向量ｍ=( , )
x y 按向量a=( , )
h k 平移后得到的向量仍然为ｍ=( , )
x y .
7０。 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为ABC
所在平面上一点，角
, ,
A B C 所对边长分别为, ,
a b c,则
（1）O为ABC
的外心
2
2
2
OA
OB
OC
．
（2) O为ABC
的重心
0
OA
OB
OC
.
（３)O为ABC
的垂心
OA OB
OB OC
OC OA
.
(4）O为ABC
的内心
0
aOA
bOB
cOC
。
(５）O为ABC
的
A
的旁心
aOA
bOB
cOC
.
§06。 不 等 式
71.常用不等式:
（1) ,a b
R
2
2
2
a
b
ab
(当且仅当a＝ｂ时取“="号)．
(2) ,a b
R
2
a
b
ab
(当且仅当a=b 时取“=”号）．
（3）
3
3
3
3
(
0,
0,
0).
a
b
c
abc a
b
c
（4）柯西不等式
2
2
2
2
2
(
)(
)
(
) , , , ,
.
a
b
c
d
ac
bd
a b c d
R
(5）
b
a
b
a
b
a
．
7２.极值定理
已知
y
x, 都是正数,则有
（1)若积xy是定值p ，则当
y
x 时和
y
x 有最小值
p
2
；
(2)若和
y
x 是定值s，则当
y
x 时积xy有最大值
2
4
1 s 。
推广 已知
R
y
x
,
,则有
xy
y
x
y
x
2
)
(
)
(
2
2
（1）若积xy是定值，则当
|
|
y
x
最大时，
|
|
y
x
最大；
当
|
|
y
x
最小时,
|
|
y
x
最小.
(２）若和
|
|
y
x
是定值,则当
|
|
y
x
最大时，
|
| xy 最小；
当
|
|
y
x
最小时,
|
| xy 最大．
73. 一元二次不等式
2
0(
0)
ax
bx
c
或
2
(
0,
4
0)
a
b
ac
, 如果a 与
2
ax
bx
c
同号，则其解集在两根之外;如果a与
2
ax
bx
c
异号,则其解集
13 / 33·····谢阅。。。。。
在两根之间.简言之:同号两根之外，异号两根之间....文档交流 仅供参考...
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
0(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
；
1
2
1
2
1
2
,
(
)(
)
0(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
或
．
74．含有绝对值的不等式
当a〉 0 时，有
2
2
x
a
x
a
a
x
a
．
2
2
x
a
x
a
x
a
或x
a
.
7５。无理不等式
（1）
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
( )
f x
f x
g x
g x
f x
g x
．
(２）
2
( )
0
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
0
( )
[ ( )]
f x
f x
f x
g x
g x
g x
f x
g x
或
.
（3)
2
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
[ ( )]
f x
f x
g x
g x
f x
g x
。
76.指数不等式与对数不等式
(1)当
1
a 时，
( )
( )
( )
( )
f x
g x
a
a
f x
g x
；
( )
0
log
( )
log
( )
( )
0
( )
( )
a
a
f x
f x
g x
g x
f x
g x
．
(2）当0
1
a
时，
( )
( )
( )
( )
f x
g x
a
a
f x
g x
；
( )
0
log
( )
log
( )
( )
0
( )
( )
a
a
f x
f x
g x
g x
f x
g x
§０７. 直线和圆的方程
７7。斜率公式
2
1
2
1
y
y
k
x
x
（
1
1
1
(
,
)
P x y 、
2
2
2
(
,
)
P x
y )．
78。直线的五种方程
（1)点斜式
1
1
(
)
y
y
k x
x
(直线l过点
1
1
1
(
,
)
P x y ，且斜率为k ）．
(2）斜截式 y
kx
b
(b 为直线l在ｙ轴上的截距）.
14 / 33·····谢阅。。。。。
(3)两点式
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
(
1
2
y
y
)(
1
1
1
(
,
)
P x y 、
2
2
2
(
,
)
P x
y （
1
2
x
x
）)。
(４）截距式
1
x
y
a
b
( a
b
、分别为直线的横、纵截距,
0
a
b
、
)
（5）一般式
0
Ax
By
C
(其中A、B 不同时为0)。
7９.两条直线的平行和垂直
（1）若
1
1
1
:
l
y
k x
b
,
2
2
2
:
l
y
k x
b
①
1
2
1
2
1
2
||
,
l
l
k
k b
b
；
②
1
2
1
2
1
l
l
k k
.
(２)若
1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
,
2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
，且A
1、A
2、B
1、B
２都不为零，
①
1
1
1
1
2
2
2
2
||
A
B
C
l
l
A
B
C
;
②
1
2
1
2
1
2
0
l
l
A A
B B
；
8０．夹角公式
(１)
2
1
2 1
tan
|
|
1
k
k
k k
。
(
1
1
1
:
l
y
k x
b
，
2
2
2
:
l
y
k x
b
,
1
2
1
k k ）
(２）
1
2
2
1
1
2
1
2
tan
|
|
A B
A B
A A
B B
.
（
1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
,
2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
，
1
2
1
2
0
A A
B B
）.
直线
1
2
l
l
时，直线l
1与l
2的夹角是
2
．
81.
1l 到
2l 的角公式
（1)
2
1
2 1
tan
1
k
k
k k
。
(
1
1
1
:
l
y
k x
b
,
2
2
2
:
l
y
k x
b
,
1
2
1
k k ）
(2）
1
2
2
1
1
2
1
2
tan
A B
A B
A A
B B
。
(
1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
，
2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
，
1
2
1
2
0
A A
B B
）.
直线
1
2
l
l
时，直线l
1到ｌ
2的角是
2
．
82。四种常用直线系方程
（1) 定点直线系方程：经过定点
0
0
0
(
,
)
P x
y
的直线系方程为
0
0
(
)
y
y
k x
x
（除直线
0
x
x
)，其中k 是待定的系数； 经过定点
0
0
0
(
,
)
P x
y 的
直线系方程为
0
0
(
)
(
)
0
A x
x
B y
y
,其中
,
A B是待定的系数。...文档交流 仅供参考...
(２）共点直线系方程：经过两直线
1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
，
2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
的交点的直线系方程为
1
1
1
2
2
2
(
)
(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C
(除
2l )，其中λ是待定
15 / 33·····谢阅。。。。。
的系数．
（3)平行直线系方程：直线y
kx
b
中当斜率ｋ一定而b 变动时，
表示平行直线系方程．与直线
0
Ax
By
C
平行的直线系方程是
0
Ax
By
(
0
)，λ是参变量．...文档交流 仅供参考...
（4）垂直直线系方程：与直线
0
Ax
By
C
(A≠0,Ｂ≠０）垂直
的直线系方程是
0
Bx
Ay
，λ是参变量．
83．点到直线的距离
0
0
2
2
|
|
Ax
By
C
d
A
B
(点
0
0
(
,
)
P x
y ,直线l:
0
Ax
By
C
）。
８4。
0
Ax
By
C
或
0
所表示的平面区域
设直线:
0
l Ax
By
C
，则
0
Ax
By
C
或
0
所表示的平面区域是:
若
0
B ,当B 与Ax
By
C
同号时,表示直线l 的上方的区域;当B 与
Ax
By
C
异号时，表示直线l的下方的区域。简言之,同号在上,异号在下.
若
0
B ,当A 与Ax
By
C
同号时，表示直线l 的右方的区域;当A 与
Ax
By
C
异号时，表示直线l的左方的区域。 简言之,同号在右，异号在
左．...文档交流 仅供参考...
85．
1
1
1
2
2
2
(
)(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C
或
0
所表示的平面区域
设曲线
1
1
1
2
2
2
:(
)(
)
0
C
A x
B y
C
A x
B y
C
(
1
2
1
2
0
A A B B ），则
1
1
1
2
2
2
(
)(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C
或
0
所表示的平面区域是：
1
1
1
2
2
2
(
)(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C
所表示的平面区域上下两部分；
1
1
1
2
2
2
(
)(
)
0
A x
B y
C
A x
B y
C
所表示的平面区域上下两部分.
86． 圆的四种方程
(１)圆的标准方程
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
.
(2）圆的一般方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
（
2
2
4
D
E
F
>0）．
(3）圆的参数方程
cos
sin
x
a
r
y
b
r
．
（4)圆的直径式方程
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
（圆的直径的端点
是
1
1
(
,
)
A x y 、
2
2
(
,
)
B x
y ）。
87。 圆系方程
(１)过点
1
1
(
,
)
A x y ,
2
2
(
,
)
B x
y 的圆系方程是
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
(
)(
)
(
)(
)
[(
)(
)
(
)(
)]
0
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
y
y
y
y
x
x
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
ax
by
c
，其中
0
ax
by
c
是直线AB 的方程，
λ是待定的系数.
（2）过直线l：
0
Ax
By
C
与圆C :
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
的交点的圆系方
16 / 33·····谢阅。。。。。
程是
2
2
(
)
0
x
y
Dx
Ey
F
Ax
By
C
，λ是待定的系数．
（3) 过圆
1
C ：
2
2
1
1
1
0
x
y
D x
E y
F
与圆
2
C :
2
2
2
2
2
0
x
y
D x
E y
F
的交点
的圆系方程是
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
(
)
0
x
y
D x
E y
F
x
y
D x
E y
F
,λ是待定的系数．
８8。点与圆的位置关系
点
0
0
(
,
)
P x
y 与圆
2
2
2
)
(
)
(
r
b
y
a
x
的位置关系有三种
若
2
2
0
0
(
)
(
)
d
a
x
b
y
,则
d
r
点P在圆外；d
r
点P在圆上；d
r
点P在圆内.
89．直线与圆的位置关系
直线
0
C
By
Ax
与圆
2
2
2
)
(
)
(
r
b
y
a
x
的位置关系有三种:
0
相离
r
d
;
0
相切
r
d
;
0
相交
r
d
。
其中
2
2
B
A
C
Bb
Aa
d
.
９0。两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1，O
2，半径分别为r
1,ｒ
2，
d
O
O
2
1
条公切线
外离
4
2
1
r
r
d
;
条公切线
外切
3
2
1
r
r
d
;
条公切线
相交
2
2
1
2
1
r
r
d
r
r
;
条公切线
内切
1
2
1
r
r
d
；
无公切线
内含
2
1
0
r
r
d
.
91.圆的切线方程
（１）已知圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
．
①若已知切点
0
0
(
,
)
x
y 在圆上,则切线只有一条,其方程是
0
0
0
0
(
)
(
)
0
2
2
D x
x
E y
y
x x
y y
F
。
当
0
0
(
,
)
x
y 圆外时，
0
0
0
0
(
)
(
)
0
2
2
D x
x
E y
y
x x
y y
F
表示过两个切点的
切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为
0
0
(
)
y
y
k x
x
,再利用相切条件
求ｋ，这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为ｋ的切线方程可设为y
kx
b
，再利用相切条件求ｂ，必
有两条切线。
(２）已知圆
2
2
2
x
y
r
。
17 / 33·····谢阅。。。。。
①过圆上的
0
0
0
(
,
)
P x
y 点的切线方程为
2
0
0
x x
y y
r
；
②斜率为k 的圆的切线方程为
2
1
y
kx
r
k
.
§0８． 圆锥曲线方程
92。椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的参数方程是
cos
sin
x
a
y
b
．
93．椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
焦半径公式
)
(
2
1
c
a
x
e
PF
，
)
(
2
2
x
c
a
e
PF
.
９4。椭圆的的内外部
（１）点
0
0
(
,
)
P x
y 在椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的内部
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
.
(２）点
0
0
(
,
)
P x
y 在椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的外部
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
。
９５. 椭圆的切线方程
（1)椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上一点
0
0
(
,
)
P x
y 处的切线方程是
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
．
(2)过椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
外一点
0
0
(
,
)
P x
y 所引两条切线的切点弦方程
是
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
.
(3）椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
与直线
0
Ax
By
C
相切的条件是
2
2
2
2
2
A a
B b
c
．
96。双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的焦半径公式
2
1
| (
) |
a
PF
e x
c
,
2
2
| (
) |
a
PF
e
x
c
.
97.双曲线的内外部
(1）点
0
0
(
,
)
P x
y 在双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的内部
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
。
(2)点
0
0
(
,
)
P x
y 在双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的外部
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
．
98．双曲线的方程与渐近线方程的关系
（1）若双曲线方程为
1
2
2
2
2
b
y
a
x
渐近线方程：
2
2
2
2
0
x
y
a
b
x
a
b
y
．
(2）若渐近线方程为
x
a
b
y
0
b
y
a
x
双曲线可设为
2
2
2
2
b
y
a
x
.
（3）若双曲线与
1
2
2
2
2
b
y
a
x
有公共渐近线，可设为
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
，
焦点在x 轴上，
0
,焦点在ｙ轴上)。
18 / 33·····谢阅。。。。。
9９. 双曲线的切线方程
(1) 双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
上一点
0
0
(
,
)
P x
y
处的切线方程是
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
．
(2)过双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
外一点
0
0
(
,
)
P x
y 所引两条切线的切点弦
方程是
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
．
（3）双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
与直线
0
Ax
By
C
相切的条件是
2
2
2
2
2
A a
B b
c
.
100。 抛物线
px
y
2
2
的焦半径公式
抛物线
2
2
(
0)
y
px p
焦半径
0
2
p
CF
x
．
过焦点弦长
p
x
x
p
x
p
x
CD
2
1
2
1
2
2
.
1０1。抛物线
px
y
2
2
上的动点可设为P
)
,
2
(
2
y
p
y
或
或
)
2,
2
(
2
pt
pt
P
P( ,
)
x y ,其
中
2
2
y
px
。
10 ２。二次函数
2
2
2
4
(
)
2
4
b
ac b
y
ax
bx
c
a x
a
a
(
0)
a
的图象是抛物
线:(１）顶点坐标为
2
4
(
,
)
2
4
b
ac
b
a
a
;（2)焦点的坐标为
2
4
1
(
,
)
2
4
b
ac
b
a
a
;（３)
准线方程是
2
4
1
4
ac
b
y
a
。
1０3。抛物线的内外部
(１）点
0
0
(
,
)
P x
y 在抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的内部
2
2
(
0)
y
px p
。
点
0
0
(
,
)
P x
y 在抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的外部
2
2
(
0)
y
px p
.
（2)点
0
0
(
,
)
P x
y 在抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的内部
2
2
(
0)
y
px p
.
点
0
0
(
,
)
P x
y 在抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的外部
2
2
(
0)
y
px p
.
（3）点
0
0
(
,
)
P x
y 在抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的内部
2
2
(
0)
x
py p
。
点
0
0
(
,
)
P x
y 在抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的外部
2
2
(
0)
x
py p
.
（4） 点
0
0
(
,
)
P x
y 在抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的内部
2
2
(
0)
x
py p
.
点
0
0
(
,
)
P x
y 在抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的外部
2
2
(
0)
x
py p
．
104. 抛物线的切线方程
(1）抛物线
px
y
2
2
上一点
0
0
(
,
)
P x
y 处的切线方程是
0
0
(
)
y y
p x
x
．
19 / 33·····谢阅。。。。。
(2)过抛物线
px
y
2
2
外一点
0
0
(
,
)
P x
y 所引两条切线的切点弦方程是
0
0
(
)
y y
p x
x
.
（3）抛物线
2
2
(
0)
y
px p
与直线
0
Ax
By
C
相切的条件是
2
2
pB
AC
。
105．两个常见的曲线系方程
（１）过曲线
1( , )
0
f x y ,
2( , )
0
f
x y 的交点的曲线系方程是
1
2
( , )
( , )
0
f x y
f
x y
(为参数）。
（2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
2
2
2
2
1
x
y
a
k
b
k
,其中
2
2
max{
,
}
k
a
b
.当
2
2
min{
,
}
k
a
b
时，表示椭圆; 当
2
2
2
2
min{
,
}
max{
,
}
a
b
k
a
b
时,表示双曲线。
１0６.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
或
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
(1
)(
)
|
| 1
tan
|
| 1
t
AB
k
x
x
x
x
y
y
co
（弦端点A
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
，
由方程
0
)
y
,x
(
F
b
kx
y
消去y 得到
0
2
c
bx
ax
，
0
，为直线AB 的倾斜角,k 为
直线的斜率）．
107.圆锥曲线的两类对称问题
(1）曲线
( , )
0
F x y 关于点
0
0
(
,
)
P x
y 成中心对称的曲线是
0
0
(2
- ,2
)
0
F
x x
y
y
。
（2)曲线
( , )
0
F x y 关于直线
0
Ax
By
C
成轴对称的曲线是
2
2
2
2
2 (
)
2 (
)
(
,
)
0
A Ax
By
C
B Ax
By
C
F x
y
A
B
A
B
.
１０8.“四线”一方程
对于一般的二次曲线
2
2
0
Ax
Bxy
Cy
Dx
Ey
F
，用
0x x代
2x ，用
0y y代
2y ，
用
0
0
2
x y
xy
代xy,用
0
2
x
x
代x,用
0
2
y
y
代y 即得方程
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
x y
xy
x
x
y
y
Ax x
B
Cy y
D
E
F
,曲线的切线，切点弦，中点弦,
弦中点方程均是此方程得到．
§０９. 立体几何
1０９。证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
(2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4)转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行．
１１0．证明直线与平面的平行的思考途径
（1)转化为直线与平面无公共点;
20 / 33·····谢阅。。。。。
(2）转化为线线平行;
(3）转化为面面平行。
111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（２）转化为线面平行；
（3)转化为线面垂直。
112。证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;
（2)转化为线面垂直；
（３)转化为线与另一线的射影垂直;
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
11３．证明直线与平面垂直的思考途径
(1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
(２)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
（５）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直。
１1４．证明平面与平面的垂直的思考途径
（１）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直。
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
（１）加法交换律:ａ＋ｂ=b+ａ。
（２)加法结合律:(a+b)+c=a＋（b+c).
（３）数乘分配律：λ(ａ＋b）=λａ+λb。
116．平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量．...文档交
流 仅供参考...
１17.共线向量定理
对空间任意两个向量a、ｂ（ｂ≠0 ）,a∥b 存在实数λ使a=λ
ｂ.
P
A
B
、、三点共线
||
AP
AB AP
t AB
(1
)
OP
t OA
tOB
．
||
AB CD AB 、CD共线且AB
CD
、
不共线AB
tCD
且AB
CD
、
不共线．
21 / 33·····谢阅。。。。。
118。共面向量定理
向量ｐ与两个不共线的向量ａ、ｂ共面的存在实数对,x y ，使
p
ax
by
.
推论 空间一点P 位于平面MAB 内的存在有序实数对,x y ,使
MP
xMA
yMB
，
或对空间任一定点Ｏ，有序实数对,x y，使OP
OM
xMA
yMB
。
1 １９. 对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C, 满足
OP
xOA
yOB
zOC
( x
y
z
k
),则当
1
k 时，对于空间任一点O，总有P、A、
B、C 四点共面;当
1
k 时，若O平面ABC，则Ｐ、A、B、C 四点共面；若
O平面AＢC,则Ｐ、A、B、C 四点不共面．...文档交流 仅供参考...
C
A
B
、、、D四点共面AD与AB 、AC 共面AD
xAB
yAC
(1
)
OD
x
y OA
xOB
yOC
（O平面ABC）．
120。空间向量基本定理
如果三个向量ａ、b、c 不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯
一的有序实数组x,y,z，使ｐ＝xa+yb＋ｚc。...文档交流 仅供参考...
推论 设Ｏ、Ａ、Ｂ、C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都
存在唯一的三个有序实数x,ｙ,ｚ，使OP
xOA
yOB
zOC
.
12１。射影公式
已知向量AB =ａ和轴l，e 是l上与l同方向的单位向量。作A 点在l上
的射影
'A ,作B 点在l上的射影
'B ,则
'
'
|
| cos
AB
AB
〈a,e〉=a·e
1２2。向量的直角坐标运算
设a=
1
2
3
(
,
,
)
a a a ,ｂ＝
1
2
3
( ,
,
)
b b b 则
（1）a+ｂ＝
1
1
2
2
3
3
(
,
,
)
a
b a
b a
b
;
（２）a－b=
1
1
2
2
3
3
(
,
,
)
a
b a
b a
b
；
(３)λa＝
1
2
3
(
,
,
)
a
a
a
（λ∈R）;
(4)a·b=
1 1
2
2
3 3
a b
a b
a b
；
1２3。设A
1
1
1
(
,
,
)
x y z ,B
2
2
2
(
,
,
)
x
y
z ，则
AB
OB
OA
=
2
1
2
1
2
1
(
,
,
)
x
x y
y z
z
。
１24。空间的线线平行或垂直
设
1
1
1
( ,
,
)
a
x y z
,
2
2
2
(
,
,
)
b
x
y
z
，则
22 / 33·····谢阅。。。。。
a b
(
0)
a
b b
1
2
1
2
1
2
x
x
y
y
z
z
；
a
b
0
a b
1
2
1
2
1
2
0
x x
y y
z z
。
1２５.夹角公式
设a＝
1
2
3
(
,
,
)
a a a ，b＝
1
2
3
( ,
,
)
b b b ，则
cos〈a,b〉=
1 1
2
2
3 3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b
.
推论
2
2
2
2
2
2
2
1 1
2
2
3 3
1
2
3
1
2
3
(
)
(
)(
)
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b
，此即三维柯西不等式。
126。 四面体的对棱所成的角
四面体ABCD 中, AC 与BD所成的角为,则
2
2
2
2
| (
)
(
) |
cos
2
AB
CD
BC
DA
AC BD
．
１27．异面直线所成角
cos
| cos
,
|
a b
＝
1
2
1
2
1 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
|
|
|
|
|
| |
|
x x
y y
z z
a b
a
b
x
y
z
x
y
z
（其中( 0
90
)为异面直线a b, 所成角, ,a b分别表示异面直线a b, 的方
向向量）
１２８。直线AB 与平面所成角
sin
|
||
|
AB m
arc
AB m
（m为平面的法向量).
１29。若ABC
所在平面若与过若AB 的平面成的角，另两边AC ，
BC 与平面成的角分别是
1、
2
，A
B
、为ABC
的两个内角，则
2
2
2
2
2
1
2
sin
sin
(sin
sin
)sin
A
B
。
特别地，当
90
ACB
时，有
2
2
2
1
2
sin
sin
sin
.
130．若ABC
所在平面若与过若AB 的平面成的角，另两边AC , BC
与平面成的角分别是
1、
2
，
'
'
A
B
、为ABO
的两个内角,则
2
2
2
'
2
'
2
1
2
tan
tan
(sin
sin
) tan
A
B
。
特别地，当
90
AOB
时，有
2
2
2
1
2
sin
sin
sin
.
13１。二面角
l
的平面角
23 / 33·····谢阅。。。。。
cos
|
||
|
m n
arc
m n
或
cos
|
||
|
m n
arc
m n
( m,n为平面，的法向量）．
132。三余弦定理
设AC 是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为Ｃ,又设AＯ与AＢ
所成的角为
1，AB 与ＡC 所成的角为
2
,ＡO 与AC 所成的角为.则
1
2
cos
cos
cos
．...文档交流 仅供参考...
133. 三射线定理
若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的
角是
1
，
2
, 与二面角的棱所成的角是θ ，则有
2
2
2
2
1
2
1
2
sin
sin
sin
sin
2sin
sin
cos
;
1
2
1
2
|
|
180
(
)
（当且仅当
90
时等号成立).
134。空间两点间的距离公式
若A
1
1
1
(
,
,
)
x y z ,B
2
2
2
(
,
,
)
x
y
z ，则
,
A B
d
=|
|
AB
AB AB
2
2
2
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
(
)
x
x
y
y
z
z
.
1３5．点Q到直线l距离
2
2
1
(|
||
|)
(
)
|
|
h
a b
a b
a
(点P在直线l上，直线l的方向向量a= PA，向量b
＝PQ）.
136．异面直线间的距离
|
|
|
|
CD n
d
n
(
1
2
,l l 是两异面直线，其公垂向量为n，C
D
、分别是
1
2
,l l 上任一
点, d 为
1
2
,l l 间的距离）．
13７.点B到平面的距离
|
|
|
|
AB n
d
n
(n为平面的法向量, AB 是经过面的一条斜线，A
）.
１3８.异面直线上两点距离公式
2
2
2
2
cos
d
h
m
n
mn
.
2
2
2
'
2
cos
,
d
h
m
n
mn
EA AF
．
2
2
2
2
cos
d
h
m
n
mn
（
'
E
AA
F
).
(两条异面直线a、b 所成的角为θ，其公垂线段
'
AA 的长度为ｈ。在直
线a、b 上分别取两点E、F,
'A E
m
, AF
n
, EF
d
）.
13９.三个向量和的平方公式
2
2
2
2
(
)
2
2
2
a
b
c
a
b
c
a b
b c
c a
2
2
2
2 |
| |
| cos
,
2 |
| |
| cos
,
2 |
| |
| cos
,
a
b
c
a
b
a b
b
c
b c
c
a
c a
24 / 33·····谢阅。。。。。
1４0. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别
为
1
2
3
l
l
l
、、，夹角分别为
1
2
3
、
、，则有
2
2
2
2
1
2
3
l
l
l
l
2
2
2
1
2
3
cos
cos
cos
1
2
2
2
1
2
3
sin
sin
sin
2
.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
１41. 面积射影定理
'
cos
S
S
．
（平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ,它们所在平面所成锐二
面角的为）.
142。 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是l，侧面积和体积分别是S
斜棱柱侧和V
斜棱柱,它的直
截面的周长和面积分别是
1c 和
1S ,则
①
1
S
c l
斜棱柱侧
。
②
1
V
S l
斜棱柱
。
143.作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平
行．
１44。棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，
截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应
角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的
比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶
点到截面距离与棱锥高的平方比。...文档交流 仅供参考...
145.欧拉定理（欧拉公式)
2
V
F
E
(简单多面体的顶点数V、棱数Ｅ和面数F）.
(1）E＝各面多边形边数和的一半．特别地,若每个面的边数为n的
多边形，则面数F 与棱数E 的关系：
1
2
E
nF
;
（2）若每个顶点引出的棱数为m,则顶点数V 与棱数E 的关系：
1
2
E
mV
。
１46.球的半径是R,则
其体积
3
4
3
V
R
，
其表面积
2
4
S
R
。
25 / 33·····谢阅。。。。。
147．球的组合体
（１）球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2）球与正方体的组合体：
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径
是正方体的面对角线长， 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线
长....文档交流 仅供参考...
(3) 球与正四面体的组合体：
棱长为a的正四面体的内切球的半径为
6
12 a,外接球的半径为
6
4 a.
148。柱体、锥体的体积
1
3
V
Sh
柱体
（S 是柱体的底面积、h是柱体的高）。
1
3
V
Sh
锥体
( S 是锥体的底面积、h是锥体的高).
§１０. 排列组合二项定理
149．分类计数原理(加法原理）
1
2
n
N
m
m
m
。
１50.分步计数原理（乘法原理）
1
2
n
N
m
m
m
。
１51.排列数公式
m
n
A =
)1
(
)1
(
m
n
n
n
=
！
！
)
(
m
n
n
.（n，m∈Ｎ＊，且m
n
）.
注：规定
1
!0 。
15２.排列恒等式
（1)
1
(
1)
m
m
n
n
A
n
m
A
；
（２）
1
m
m
n
n
n
A
A
n
m
；
(３)
1
1
m
m
n
n
A
nA
;
（4）
1
1
n
n
n
n
n
n
nA
A
A
；
(5）
1
1
m
m
m
n
n
n
A
A
mA
.
（6） 1! 2 2! 3 3!
!
(
1)! 1
n n
n
。
１53。组合数公式
m
n
C =
m
n
m
m
A
A =
m
m
n
n
n
2
1
)1
(
)1
(
=
！
！
！
)
(
m
n
m
n
（n∈N＊，m
N
,且m
n
）。
154．组合数的两个性质
26 / 33·····谢阅。。。。。
(1)
m
n
C ＝
m
n
n
C ；
（２）
m
n
C +
1
m
n
C
＝
m
n
C
1
.
注：规定
1
0
n
C
。
155．组合恒等式
（1）
1
1
m
m
n
n
n
m
C
C
m
；
(2）
1
m
m
n
n
n
C
C
n
m
;
(3）
1
1
m
m
n
n
n
C
C
m
;
（4）
n
r
r
n
C
0
＝
n
2 ；
（5）
1
1
2
1
r
n
r
n
r
r
r
r
r
r
C
C
C
C
C
.
(６）
n
n
n
r
n
n
n
n
C
C
C
C
C
2
2
1
0
。
(7）
1
4
2
0
5
3
1
2
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
.
(8)
1
3
2
1
2
3
2
n
n
n
n
n
n
n
nC
C
C
C
。
（9）
r
n
m
r
n
r
m
n
r
m
n
r
m
C
C
C
C
C
C
C
0
1
1
0
.
(１0)
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
2
2
2
2
2
1
2
0
)
(
)
(
)
(
)
(
．
15６。排列数与组合数的关系
m
m
n
n
A
m C
！
．
157。单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有
1
1
m
n
A
种；②某（特)元不在某位有
1
1
m
n
m
n
A
A
(补
集思想）
1
1
1
1
m
n
n A
A
（着眼位置)
1
1
1
1
1
m
n
m
m
n
A
A
A
(着眼元素）种。
（2)紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：
)
(
n
m
k
k
个元在固定位的排列有
k
m
k
n
k
k A
A
种。
②浮动紧贴: n个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有
k
k
k
n
k
n
A
A
1
1
种.
注：此类问题常用捆绑法；
③插空:两组元素分别有k、h 个（
1
h
k
），把它们合在一起来作全
排列，ｋ个的一组互不能挨近的所有排列数有
k
h
h
h A
A
1
种。
（3）两组元素各相同的插空
m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
27 / 33·····谢阅。。。。。
当
1
m
n
时，无解；当
1
m
n
时,有
n
m
n
n
n
m
C
A
A
1
1
种排法．
（4）两组相同元素的排列:两组元素有m 个和ｎ个，各组元素分别
相同的排列数为
n
n
m
C
.
15８．分配问题
(1）(平均分组有归属问题）将相异的m、n个物件等分给m个人，
各得n件，其分配方法数共有
m
n
n
n
n
n
n
mn
n
n
mn
n
mn
n
mn
C
C
C
C
C
N
)!
(
)!
(
2
2
。
（２）(平均分组无归属问题）将相异的m·n个物体等分为无记号
或无顺序的m堆，其分配方法数共有
m
n
n
n
n
n
n
mn
n
n
mn
n
mn
n
m
mn
m
C
C
C
C
C
N
)!
(!
)!
(
!
...
2
2
.
(3）（非平均分组有归属问题）将相异的
)
1
2
m
P(P=n +n +
+n 个物体分给m
个人,物件必须被分完，分别得到
1n ,
2n ,…，
m
n 件，且
1n ，
2n ，…，
m
n 这m
个数彼此不相等,则其分配方法数共有
!
!...
!
!
!
!
...
2
1
2
1
1
m
n
n
n
n
p
n
p
n
n
n
m
p
m
C
C
C
N
m
m
。...文档交
流 仅供参考...
(4）（非完全平均分组有归属问题）将相异的
)
1
2
m
P(P=n +n +
+n 个物体分
给m个人,物件必须被分完，分别得到
1n ,
2n ,…,
m
n 件，且
1n ，
2n ，…，
m
n 这
m个数中分别有ａ、b、ｃ、…个相等，则其分配方法数有
!...
!
!
!
...
2
1
1
c
b
a
m
C
C
C
N
m
m
n
n
n
n
p
n
p
1
2
!
!
!
!...
!( ! ! !...)
m
p m
n n
n
a b c
．...文档交流 仅供参考...
（5）
（非平均分组无归属问题)将相异的
)
1
2
m
P(P=n +n +
+n 个物体分为任
意的
1n ，
2n ,…，
m
n 件无记号的m堆，且
1n ,
2n ,…，
m
n 这m个数彼此不相等，
则其分配方法数有
!
!...
!
!
2
1
m
n
n
n
p
N
．...文档交流 仅供参考...
（6）
（非完全平均分组无归属问题)将相异的
)
1
2
m
P(P=n +n +
+n 个物体分
为任意的
1n ,
2n ，…，
m
n 件无记号的m堆，且
1n ，
2n ，…，
m
n 这m个数中分
别有ａ、b、c、…个相等,则其分配方法数有
!...)
!
!
(!
!...
!
!
2
1
c
b
a
n
n
n
p
N
m
。...文档交流
仅供参考...
(7）（限定分组有归属问题)将相异的p （
2
m
p
n
n
n
1+
+
+ )个物体分给
甲、乙、丙，……等m个人,物体必须被分完,如果指定甲得
1n 件，乙得
2n
件，丙得
3n 件，…时，则无论
1n ,
2n ，…，
m
n 等m个数是否全相异或不全
相异其分配方法数恒有...文档交流 仅供参考...
28 / 33·····谢阅。。。。。
!
!...
!
!
...
2
1
2
1
1
m
n
n
n
n
p
n
p
n
n
n
p
C
C
C
N
m
m
.
１59．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题：信n封信与n个信封全部错位的组合数为
1
1
1
1
( )
![
( 1)
]
2!
3!
4!
!
n
f n
n
n
.
推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合
总数为
1
2
3
4
( ,
)
!
(
1)!
(
2)!
(
3)!
(
4)!
( 1)
(
)!
( 1)
(
)!
m
m
m
m
p
p
m
m
m
m
f n m
n
C
n
C
n
C
n
C
n
C
n
p
C
n
m
1
2
3
4
1
2
2
4
![1
( 1)
( 1)
]
p
m
p
m
m
m
m
m
m
m
p
m
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
n
A
A
A
A
A
A
．
160．不定方程
2
n
x
x
x
m
1+ + +
的解的个数
(1）方程
2
n
x
x
x
m
1+ + +
( ,n m
N
)的正整数解有
1
1
m
n
C
个．
(2） 方程
2
n
x
x
x
m
1+ + +
（,n m
N
）的非负整数解有
1
1
n m
n
C
个.
（3） 方程
2
n
x
x
x
m
1+ + +
( ,n m
N
)满足条件
ix
k
（k
N
, 2
1
i
n
）
的非负整数解有
1
1
(
2)(
1)
m
n
n
k
C
个．
（4） 方程
2
n
x
x
x
m
1+ + +
（,n m
N
）满足条件
ix
k
( k
N
，2
1
i
n
)
的正整数解有
1
2
2
2
2
3
2
1 (
2)
1
1
1
2
1
2
2
1
( 1)
n m
n
m n k
n
m n
k
n
m
n
k
n
n
n
n
n
n
C
C C
C C
C C
个。
1６１．二项式定理
n
n
n
r
r
n
r
n
n
n
n
n
n
n
n
b
C
b
a
C
b
a
C
b
a
C
a
C
b
a
2
2
2
1
1
0
)
(
;
二项展开式的通项公式
r
r
n
r
n
r
b
a
C
T
1
)
2
1
0
(
n
r
，
，
，
．
§１1、12。 概率与统计
162。等可能性事件的概率
( )
m
P A
n
.
１６3.互斥事件Ａ，B 分别发生的概率的和
Ｐ(Ａ+B）＝P（Ａ）+P(B）．
1６4．n个互斥事件分别发生的概率的和
P（A1+Ａ2+…＋An）＝P（A１)＋P(A2)＋…+P(An）。
１65.独立事件Ａ,B 同时发生的概率
29 / 33·····谢阅。。。。。
P（A·B）= P（A）·P(B)．
1６6.n 个独立事件同时发生的概率
P(Ａ1· A2·…· An）=P（Ａ１）· Ｐ（A2）·…· P(An）。
167。ｎ次独立重复试验中某事件恰好发生ｋ次的概率
( )
(1
)
.
k
k
n k
n
n
P k
C P
P
168.离散型随机变量的分布列的两个性质
(1）
0(
1,2,
)
iP
i
;
（2）
1
2
1
P
P
.
１６9。数学期望
1 1
2
2
n
n
E
x P
x P
x P
１70。数学期望的性质
（1）
(
)
( )
E a
b
aE
b
。
（２)若～
( , )
B n p ，则E
np
．
(3） 若服从几何分布,且
1
(
)
( , )
k
P
k
g k p
q
p
，则
1
E
p
。
１71。方差
2
2
2
1
1
2
2
n
n
D
x
E
p
x
E
p
x
E
p
1７２.标准差
=
D .
１7３。方差的性质
(1）
2
D a
b
a D
；
(2)若～
( , )
B n p ，则
(1
)
D
np
p
。
（3) 若服从几何分布，且
1
(
)
( , )
k
P
k
g k p
q
p
,则
2
q
D
p
.
174．方差与期望的关系
2
2
D
E
E
。
17５.正态分布密度函数
2
2
26
1
,
,
2 6
x
f x
e
x
，式中的实数μ，（>0）是参数,分别表
示个体的平均数与标准差.
１76．标准正态分布密度函数
2
2
1
,
,
2 6
x
f x
e
x
.
1７7。对于
2
( ,
)
N ，取值小于ｘ的概率
30 / 33·····谢阅。。。。。
x
F x
.
1
2
2
0
1
x
x
P
x
x
P
x
x
x
P
2
1
F x
F x
2
1
x
x
。
1７８。回归直线方程
y
a
bx
,其中
1
1
2
2
2
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nx y
b
x
x
x
nx
a
y
bx
.
179。相关系数
1
2
2
1
1
(
)
(
)
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
1
2
2
2
2
1
1
(
)(
)
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x
nx
y
ny
。
｜r｜≤1,且｜r|越接近于1，相关程度越大;|r｜越接近于0，相关
程度越小.
§13。 极 限
1８0.特殊数列的极限
（1）
0
|
| 1
lim
1
1
|
| 1
1
n
n
q
q
q
q
q
不存在
或
。
(２）
1
1
0
1
1
0
0
(
)
lim
(
)
(
)
k
k
k
k
t
t
t
n
t
t
k
k
t
a n
a
n
a
a
k
t
b n
b n
b
b
k
t
不存在
。
（3)
1
1
1
lim
1
1
n
n
a
q
a
S
q
q
( S 无穷等比数列
1
1
n
a q （|
| 1
q ）的和)．
１81． 函数的极限定理
0
lim
( )
x
x
f x
a
0
0
lim
( )
lim
( )
x
x
x
x
f x
f x
a
.
18２.函数的夹逼性定理
如果函数f（ｘ），ｇ（x），h（ｘ)在点x
０的附近满足：
(1）( )
( )
( )
g x
f x
h x
；
(2）
0
0
lim
( )
, lim ( )
x
x
x
x
g x
a
h x
a
(常数)，则
0
lim
( )
x
x
f x
a
.
本定理对于单侧极限和
x
的情况仍然成立．
31 / 33·····谢阅。。。。。
183.几个常用极限
(1）
1
lim
0
n
n
, lim
0
n
n
a
(|
| 1
a )；
（２)
0
0
lim
x
x
x
x
,
0
0
1
1
lim
x
x x
x
.
１84.两个重要的极限
(1）
0
sin
lim
1
x
x
x
；
（2）
1
lim 1
x
x
e
x
(e＝2.718281８4５…)．
１８5.函数极限的四则运算法则
若
0
lim
( )
x
x
f x
a
，
0
lim
( )
x
x
g x
b
，则
（1）
0
lim
x
x
f
x
g x
a
b
;
（2）
0
lim
x
x
f x
g x
a b
；
(3）
0
lim
0
x
x
f x
a b
g x
b
.
1８６。数列极限的四则运算法则
若lim
,lim
n
n
n
n
a
a
b
b
,则
(1）
lim
n
n
n
a
b
a
b
；
(２）
lim
n
n
n
a
b
a b
;
（３）
lim
0
n
n
n
a
a b
b
b
(４）
lim
lim
lim
n
n
n
n
n
c a
c
a
c a
（ ｃ是常数).
§１4． 导 数
187。
)
(x
f
在
0x 处的导数(或变化率或微商）
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
lim
lim
x x
x
x
f x
x
f x
y
f
x
y
x
x
.
188。瞬时速度
0
0
(
)
( )
( )
lim
lim
t
t
s
s t
t
s t
s t
t
t
。
１８9。瞬时加速度
0
0
(
)
( )
( )
lim
lim
t
t
v
v t
t
v t
a
v t
t
t
。
190.
)
(x
f
在
)
,
(
b
a
的导数
( )
dy
df
f
x
y
dx
dx
0
0
(
)
( )
lim
lim
x
x
y
f x
x
f x
x
x
。
32 / 33·····谢阅。。。。。
19１。 函数
)
(x
f
y
在点
0x 处的导数的几何意义
函数
)
(x
f
y
在点
0x 处的导数是曲线
)
(x
f
y
在
))
(
,
(
0
0
x
f
x
P
处的切线的斜
率
)
(
0x
f
，相应的切线方程是
)
)(
(
0
0
0
x
x
x
f
y
y
。
１92。几种常见函数的导数
（1）
0
C
（C 为常数）．
（2）
'
1
(
)
(
)
n
nx
nx
n
Q
.
（3)
x
x
cos
)
(sin
.
（４)
x
x
sin
)
(cos
.
(5）
x
x
1
)
(ln
；
e
a
x
x
a
log
1
)
(log
．
(6）
x
x
e
e
)
(
；
a
a
a
x
x
ln
)
(
。
193．导数的运算法则
（1）
'
'
'
(
)
u
v
u
v
.
（2)
'
'
'
(
)
uv
u v
uv
.
(３）
'
'
'
2
( )
(
0)
u
u v
uv v
v
v
.
194.复合函数的求导法则
设函数
( )
u
x
在点x处有导数
'
'( )
xu
x
,函数
)
(u
f
y
在点x处的对应点U
处有导数
'
'( )
uy
f u
，则复合函数
( ( ))
y
f
x
在点x处有导数，且
'
'
'
x
u
x
y
y
u
，或
写作
'
'
'
( ( ))
( )
( )
xf
x
f u
x
.
195。常用的近似计算公式（当x 充小时)
（１)
x
x
2
1
1
1
；
x
n
x
n
1
1
1
；
（2）(1
)
1
(
)
x
x
R
；
x
x
1
1
1
；
（３）
x
ex
1
;
(4）
x
x
l
n
)
1(
;
（5）
x
x
sin
（x为弧度)；
（６)
x
x
tan
（x为弧度);
（７）
x
x
arctan
（x为弧度）
196。判别
)
(
0x
f
是极大（小)值的方法
当函数
)
(x
f
在点
0x 处连续时，
（1）如果在
0x 附近的左侧
0
)
(
x
f
，右侧
0
)
(
x
f
，则
)
(
0x
f
是极大值;
(２）如果在
0x 附近的左侧
0
)
(
x
f
，右侧
0
)
(
x
f
，则
)
(
0x
f
是极小值。
33 / 33·····谢阅。。。。。
§１5． 复 数
19７.复数的相等
,
a
bi
c
di
a
c b
d
。（, , ,
a b c d
R
）
19８。复数z
a
bi
的模(或绝对值）
|
|
z =|
|
a
bi
＝
2
2
a
b
.
１99.复数的四则运算法则
(1）(
)
(
)
(
)
(
)
a
bi
c
di
a
c
b
d i
;
(2)(
)
(
)
(
)
(
)
a
bi
c
di
a
c
b
d i
;
(3)(
)(
)
(
)
(
)
a
bi c
di
ac
bd
bc
ad i
；
（４)
2
2
2
2
(
)
(
)
(
0)
ac
bd
bc
ad
a
bi
c
di
i c
di
c
d
c
d
。
200。复数的乘法的运算律
对于任何
1
2
3
,
,
z z
z
C
,有
交换律:
1
2
2
1
z
z
z
z
。
结合律:
1
2
3
1
2
3
(
)
(
)
z
z
z
z
z
z
。
分配律：
1
2
3
1
2
1
3
(
)
z
z
z
z
z
z
z
.
201。复平面上的两点间的距离公式
2
2
1
2
2
1
2
1
|
|
(
)
(
)
d
z
z
x
x
y
y
(
1
1
1
z
x
y i
，
2
2
2
z
x
y i
）。
２02.向量的垂直
非零复数
1z
a
bi
,
2z
c
di
对应的向量分别是
1
OZ ，
2
OZ ,则
1
2
OZ
OZ
1
2
z
z
的实部为零
2
1
z
z
为纯虚数
2
2
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
z
z
z
z
2
2
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
z
z
z
z
1
2
1
2
|
| |
|
z
z
z
z
0
ac
bd
1
2
z
iz
（λ为非零实数）.
20３．实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
2
0
ax
bx
c
，
①若
2
4
0
b
ac
，则
2
1,2
4
2
b
b
ac
x
a
;
②若
2
4
0
b
ac
，则
1
2
2
b
x
x
a
;
③若
2
4
0
b
ac
，它在实数集R内没有实数根;在复数集C 内有且仅
有两个共轭复数根
2
2
(
4
) (
4
0)
2
b
b
ac i
x
b
ac
a
．
