高中数学——猿题库——高考易错题——理数（答案册）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

畔○司
全／新／升／级
朗
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Ⅷ
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答案册
数
理
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C
｛监苔案解析
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集
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北
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囚｜砸集台的含义及表示
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［解析］本题主要考查集合的含义及表示°
由题意知,集合P由卜99的全部奇数组成°
当xeP’ y＝2时’xy为偶数’共50个;
当x巴P, y＝3时’ xy为奇数,共50个;
当xeP’ y＝5时』xy为奇数』共50个.
在满足条件的奇数中』重复的为15的倍数,分别为: l5’45,75, 105, l35, 165’ l95,225,255』
285’共10个°
故集合T中元索的个数＝3×5（）—l0＝14（）个°
故本题正确答案为B°
［易错项］A
［易错项被选择比例］39％
□圃】苇］集台之间的关系
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［解析］本题主要考查集合之间的关系°
由题可知’阴影部分表示的集合为B∩0UA,
因为A＝（x｜x＜-1或x＞4｝’B＝｛x｜-2≤x≤3｝
所以cUA＝［-1,4］’所以B∩0UA＝［—1’3］°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］13％
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［解析】本题主要考查集合之间的基本关系°
因为集合B是集合A的子集’A＝（—l,l｝,故B＝｛-l｝或｛1｝或｛＿1,1｝或·°
当B＝｛-l｝时’有—α＋2＝0,即α＝2;
当B＝｛l｝时’有α＋2＝0,即α＝-2;
当B＝2时’ α＝0;
当B＝｛—1,1｝时,无解°
因此α的所有可能取值的集合为｛一2,0,2｝。
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］55％
2
133蕊
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Ⅷ
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＼碍｝‖
【解析】本题主要考查集合之间的关系°
满足题意的具有伙伴关系的元素组有＿l, （i.2）』（÷,3）共三组,它们中任一组二组三组均可
组成非空伙伴关系集合』所以集合M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有｛—l卜｛—l.÷,2卜
｛ˉ1,÷,3｝、（当,2｝、｛÷,3｝. （去.2,』,3卜｛—｜、当.2,÷,3｜共7仁
故本题正确答案为B°
［易错项］A
［易错项被选择比例】33％
■「勇丽ˉ节］集台的运算
l.D
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（÷〔／h》＝（（■／／「／＼＼沁∩｝）八∩
《引:））和（＼～∩＝／→】.、
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呼
…
歪
喀乳
、舟｀先
锚
［解析】本题主要考查集合的运算°
根据题意知,集合M＝｛-2,—1,0, l,2｝’集合』V＝（—1,3）’所以M∩／V＝｛0,1,2｝°
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］43％
O
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［〃八（
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∩
［解析］本题主要考查集合的运算°
根据题意知:A＝｛＝1’0,1’2’3｝’B＝｛x｜（x＋3）（xˉ1）＜0｝＝｛x｜-3＜x＜1｝°所以A∩B＝｛-I’O｝°
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］45％
2
3.∧／j＼≥丁
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［解析］本题主要考查集合的运算°
由题知,A＝｛（x’y）｜x2＋y2≤3,xeZ,yeZ｝』
已知Z为整数集’所以满足x2＋y2≤3的情况有以下几种:
（0,1）,
（0,—1）,
（1’0）
’
（-1’0）
』
（1,1）
』
（l,-1）』
（-1’1）
’
（＿1’-1）,
（0,（））,共9种°
故本题正确答案为A°
【易错项】D
［易错项被选择比例］16％
4. B＝
…／／
＼～〕／…二＼｀／人!／广】＼儿
叮｝
［解析】本题主要考查集合的运算和直线与圆锥曲线°
集合A, B的元素为点的坐标’故A∩B中元素的个数即为双曲线x2—）′2＝l与直线y＝x＋1的交
点的个数』
赣航｜谭了｝解嘱｜词｝…—…
即A∩B中元素的个数为1,
「
｜134
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C‖∧P「［R0］
集台
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例】37％
5.∧
［解析］本题主要考查集合的运算°
根据题意知,M＝｛x｜—l＜x＜2｝,Ⅳ＝［l’＋印）,
所以MUⅣ＝（-l,＋m）°
故本题正确答案为A°
【易错项】B
［易错项被选择比例］24％
■
6.∧
［解析］本题主要考查集合的运算°
集合A中的不等式为｜4x一l｜＜9’即-9＜4x-l＜9,
5
解得-2＜x＜页;
集合…不等式志≥0可化为｛壹!＞0或｛蓑!＜0
解得x≥0或x＜-3,
因此0瞬A≡｛x｜躯≤—2或x≥;｝′
气
故（0腮A）∩B＝（ˉo。,ˉ3）O［贡,＋。。）.
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］34％
7° D
［解析］本题主要考查集合的运算°
因为S＝｛x｜x≤2或x≥3｝, T＝
故本题正确答案为D。
【易错项］C
［易错项被选择比例］19％
｛x｜x＞0｝,所以S∩T＝（0,2］O［3,＋印）.
8. D
［解析】本题主要考查集合的运算°
集合A＝｛x｜log2x＜l｝＝｛x｜O＜x＜2｝’因为AOB＝B,所以ACB,所以c≥2,即ce［2,＋。。）°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］20％
9.
B
［解析］
［解析］本题主要考查集合的运算°
由题意可知A＝［O,＋m）,B＝R°
l35
｜
″
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…
学
数
高
←
考
A项’AOB＝R,故A项错误°
B项,A∩B＝［0’＋的）’故B项正确°
C项,A＝［0’＋m）
’ B＝R,A≠B’故C项错误°
D项’CRA＝（—由’0）’CRA∩B＝（—m,0）’故D项错误。
故本题正确答案为B°
［易错项］A
［易错项被选择比例〕l6％
尸
l0.D
【解析］本题主要考查集合的运算°
由log2x＜l,解得0＜x＜2’故M＝｛x0＜x＜2｝; 由x2-l ≤0’解得-l≤.x≤1 ,故
Ⅳ＝｛x｜-l≤x≤1｝,因此M∩」V＝｛x｜0＜x≤l）°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例】l7％
l1C
［解析］本题主要考查集合的运算°
因为Ⅳ＝（x｜x2-x＿6＜0｝’
则（x＋2）（x-3）＜0’
解得一2＜x＜3,
所以／V＝｛x｜—2＜x＜3｝,
因为M＝（x｜—4＜x＜2｝’
所以M∩／V＝｛x｜-2＜x＜2｝。
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］6％
l2.∧
〔解析］本题主要考查集合的含义与表示和集合的运算°
A＝｛x｜x2-5x＋6＞0｝’
即（x-2）（x—3）＞0,
解得x＞3或x＜2,
所以A≡｛x｜X＞3或x＜2｝』
B＝｛x｜x-l＜O｝,即B＝（—由, l）,
所以A∩B＝（-印, l）°
故本题正确答案为A°
［易错项］B
【易错项被选择比例】9％
13。∧
【解析］本题主要考查集合的运算°
因为B＝｛x｜x2≤l｝’
由x2≤l’解得-l≤x≤1’
瓣l36
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C‖∧P「［尺02
函数的概怠与基本初等函数
所以B≡｛x｜—l≤x≤l｝。
因为A＝｛—1,0, l,2｝,
所以A∩B＝｛—l,0’ l｝.
故本题正确答案为A。
［易错项］C
［易错项被选择比例］6％
［｜〔C‖Ap丁［R2〕函数的概怠与墓本初等函数
〔‖∧p丁［∩2
团「霓∏而］函数的概怠与性质
D
［解析］本题主要考查函数的概念与性质°
o在函数／（x）＝x3中,对任意正数α’
b,若／（α）-／（b）＝l ,
则α3-b3＝（α-b）（α2＋αb＋b2）＝l ’若α-b≥l
, α≥l
, b＞0,
则（α—b）（α2＋αb＋b2）＿定大于l ’与题意不符,
故α-b＜l’故函数／（x）≡x3是“I级函数”°
@在函数g（x）＝ex中,对任意正数α’
b’若y（α）-y（b）＝l
’
则eα—eb＝l ’所以eα＝eb＋1
’ eb＝eα-l’
所以α＝ln（eb＋l）
’
b＝ln（eα-l）
’
所以“＿b-』∏（｜十筐险）—m（c徽—｜）≡［＂（塔）＜｜n（占）二｜n（｜＋亩）’
l
因为x巳（0,＋四）’所以g（b）＝eb＞l ,
所以y（α）＝y（b）＋l＞2,即eα＞2,
故0＜歹上丁＜l 』所以0＜ln（｜十巨豆-「）＜｜＂2＜lne-l′
l
即α-b＜1°故函数8（x）＝ex是“I级函数”°
O在函数h（x）＝x＋lnx中,对任意正数α,
b’若力（α）—h（b）＝l’
则α＋lnα—bˉlnb＝（αˉb）＋ln:＝l’
所以α-b≥l时’ α＋lnα—b-lnb＞1’不成立’
所以α—b＜1 ’故函数h（x）＝x＋lnx是“I级函数”°
所以“I级函数”的个数为3个°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例】33％
l
2.
B
〔解析］本题主要考查函数的概念与性质°
A项,因为αl巳（0’1）’所以α″＋l＝何＞α〃’可得数列（α″｝是递增数列.
B项』囚为α!巨（0, ｜）,不妨取α1＝告,则α2＝22—l＝但—1＜去,刚
B项,因为α1巨（0’ l）’不妨取α1＝i,则α2＝2盲ˉ｜＝√2ˉl＜贡』因此数列｛α″｝不是递增数列。
137鳞
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高
考
数学…
C项,／（x）＝√万ˉ＝ˉ了豆’令2xˉx2≥0,解得0≤x≤2’
由／（x）＝√万ˉ＝ˉ万豆＝√lˉ（xˉ1）2’可知
当0≤x≤l时,函数／（x）单调递增;当l≤x≤2时’函数／（x）单调递减°因为αl巨（0,1）,所以
数列｛α″｝是递增数列°
D项’在x巴（0, l）时, log2（x＋1）＞x’所以α″＋l＝log2（α″＋1）＞α″’因此数列｛α″｝是递增数列°
故本题正确答案为B°
易错项分析:数列与函数结合考查数列的单调性,考生容易忽略函数的定义域’且在定义域的取值范
围内来考查函数的单调性’另外要熟练掌握二次函数的性质,本题在分类讨论判断二次函数的单调性
方面也容易出错°）
／
［易错项］C
［易错项被选择比例】3l％
3. O
【解析】本题主要考查函数的概念与性质°
因为函数的定义域为（0,＋m）’且函数／（x）满足x／′（x）-／（x）＝Xlnx,
即矿′（X）-／（x）＝lnx
x2
X
因为（止l王1）′＝些
x
x
所以设孕-l｜n2…』即／α）＝券ln2…x』
因为′（÷）＝÷,所以b-去.
所以′顺）＝告副＂2x十1x’
所以′′（x）＝÷l＂2瓣刊m＋÷＝1（｜m＋l）斟≥0』且仅有′′｜:）＝0』
所以函数／（x）在（0,＋印）上单调递增,
因此／（x）在（0,＋m）上既无极大值’也无极小值。
故本题正确答案为D°
［易错项】B
［易错项被选择比例］36％
4B
［解析］本题主要考查函数的概念与性质°
设:（顺）＝.僻』ˉ2＝f（″）＝｜n罢＋÷＝＾
则m＝ln／＋2’ 〃＝2e′ˉ页’从而门-′″＝2e『豆-lnr-2＝h（r）
对′Ⅱ（r）迸行求导,〃（旷）＝2e′＿∑ˉ＋.令″（r）＝0’解得′＝去,
所以当0＜′＜去时,″（‘）＜0, 咖（x）单调递减
当′＞÷时′″（『）＞0, h（x）单调递增’
～
所以当′≡当时, 〃（涎）取得最小值
蘸l38
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C‖∧P『［尺O2
函数的概念与基本初等函数
最小值为′Ⅱ｜当）-｜n2.
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例】36％
5。B
［解析］本题主要考查函数的概念与性质°
A项’／（α）＝ln｀／Iˉ干ˉ万豆’／（ˉα）＝ln√1＋（—α）2＝ln√Tˉ干ˉ万百’／（α）＋／（ˉα）＝2ln√Iˉ干丽的值域为
（0,＋m）’故A项不符合题意°
B项,／（α）＝cos2（α—哥）’／（—α）＝cos2（ˉα—哥）＝c。s2（α＋箭）,／（α）十／（—α）＝cos2（αˉ矛）ˉ＋
汀
汀
cos（2α-百）＋1
cos（2α＋百）＋1
＿sin2α＋1
sin2α＋l
万
＝
＋
＝l ,故B项符合
COS2（α＋可）＝
＋
勺
勺
7
2
～
～
～
题意.
C项′′（“）- ｜告笋,′｜—“）-｛乎忌｝:≡（芒笋’′（°｝＋′（—“）-2』敞C项不符合题意.
D项』／（α）＝万-丁,′（ˉ倒）＝2.—l＝合页豆』／（翻）十／｛—°）-｜（“≠0）』故D项不符合题意
2α
2α
故本题正确答案为B°
易错项分析:本题的易错项为D’需要逐项代人验证’考生容易忽视D中的函数’分式的分母不为
0这个隐含条件’故不能对任意的α值使等式成立’有关函数问题’解题时需要自始至终考虑函数的
定义域,这也是考生解题时容易疏忽的地方°
［易错项］D
［易错项被选择比例］33％
6.∧
［解析】本题主要考查函数的概念与性质°
因为／（x）在［0,＋。。）上单调递增’并且／（x）是偶函数’所以／（x）在
2
′（2x＿｜）＜′（÷）,所以ˉ÷＜2x—｜＜÷』解得÷＜x＜可.
故本题正确答案为A°
［易错项】D
［易错项被选择比例】23％
（-m,0）上单调递减’因为
7. O
［解析］本题主要考查函数的概念与性质°
设函数′（x）＝竿,／（x）-旦坚,令′′（x）＝0,解得x＝e｀
x～
所以／（X）在（0,e）上单调递增》在上（e,＋。。）单调递减,
因为α＞b＞l’所以当α＞b＞e时,／（α）＜／（b）’即lⅡ旦＜l匹
α
b
’
所以αlnb＞b］∏α°
当l＜b＜α＜e时,／（α）＞／（b）
’
所以吁＞乎,即b!…α｜nb,所以A, β项不正确.
‖39
｜
蔓
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岛
考
数学…
令h（x）＝旦’则h′（x）
x
所以／!（x）在（l,＋山）1
／
ex·x—eX
,在（l’＋由）上’
／!′（x）＞0’
~
x2
k单调递增°
因为‘J＞b＞l,所以h（α）＞h（b）,
eb
所以丝＞万,
α
所以eαb＞ebα°
故本题正确答案为D。
［易错项］C
［易错项被选择比例］24％
8.∧
【解析］本题主要考查函数的概念与性质°
不等式［／（X1 ）—／（x2）］2＞［g（x‖ ）—8（x2）］2恒成立’
即［／（xl ）—／（x2）］2-［g（Xl ）—g（x2）］2＝｛［／（xl ）—／（x2）］＋［g（xl ）-g（X2）］｝｛［／（xl ）—／（x2）］—［g（xl ）-
g（x2）］｝＝（［／（xl ）＋8（x｜）］—［／（x2）＋g（x2）］｝｛［／（x‖ ）-g（xl ）］-［／（x2）—8（x2）］｝＞0恒成立,
即［F（xl ）-F（x2）］［G（xl）-G（x2）］＞0恒成立’
所以F（X）、G（x）增减性相同’
而F（X）＋G（x）＝驴（x）为增函数,
所以F（X）、G（x）均为增函数°
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例】34％
B
［解析］
［解析】
9
本题主要考查函数的概念和性质°
A项’／（x）二sm2x, ′＝等＝河』满足o‖′（x—哥）＋′（ˉ到＝ˉ鹰。s2xˉsm2鞭≠0』不满足。
x匡（哥,÷）』2x匡（苦’河｜』圈为…任（哥,÷）上单调递减所以′（蕊）任（鸦）上是减函数′
满足o·故A项不符合题意°
B项′（x）＝3m2…°s2监＝但sm（2叶苛）.r≡等≡河』满足o;／（鞭—矛）＋′（—x）＝
但sm（2x—哥）—但sm（2xˉ牙）-0瞒足。疟（矛.苦）,2鞭＋苛巨（￥,￥）』因为sm｜2x＋哥）
在（潞）上单调递减所以′｜x）任（湍）上是减函数,满足勤.故B项符合题意
C项’／（鞭）＝Sjn（x十昔）』T＝2河』不满足O,故C项不符合题意.
D项f倾）＝c。…;汀）』7＝等二厕』瞒足o』2蜒＋芋e（￥,￥）』而′（列＝c…＋;厕）
在此区间上单调递增,不满足o,故D项不符合题意°
故本题正确答案为B°
［易错项］D
［易错项被选择比例】22％
｜
］40
~
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C∩∧P「［尺O2
函数的概念与基本初等函数
l0.
〔
［解析］本题主要考查函数概念与性质°
因为log上8＝-log223＝-3’ l＝2o＞
2
α＞C＞b。
故本题正确答案为C°
［易错项］D
［易错项被选择比例】l7％
（÷｝§＝2ˉ÷＞2毁＞0,且′（x）在腮上是减函数』则
ll.
〔
［解析］本题主要考查函数的概念和性质°
A项’-—÷是奇函敷, ｜且在定义域内不是单调递增的函数｀所以A项错误.
B项’ y＝3ˉx-3x,是奇函数,但是在其定义域内单调递减,所以B项错误°
C项’ y＝x｜x｜,令／（x）≡x｜x｜’／（-x）＝—x｜一x｜＝＝x｜X｜,所以／（x）＝√（-x）,所以该函数是奇函数°
当x＞0时,／（x）＝x2,当x＜0’／（x）＝—X2,所以该函数在定义域内单调递增,所以C项正确°
D项, y＝x3—x是奇函数,但在定义域内既不单调递增’也不单调递减,所以D项错误°
故本题正确答案为C°
【易错项］A
［易错项被选择比例］2l％
B
［解析］本题主要考查函数的概念与性质.
l
首允化简函数』′（x）二翼＋l—l
Ⅱ＋2—l
Ⅱ羔｜-｜—击十l—走十l——
x＋1
＋
x＋2
＋
x＋3,
l
l
l
所以／（x）＝3-（页ˉ干ˉT＋万ˉ干ˉ面＋万ˉ干ˉ百）’
设／（x）对称中心横坐标为『,则／（r-x）＝／（r＋x）,
将′—x』′＋蜒代入函数′（x）＝3—（万丁十万丁页＋击）关系式中』
1
l
化简得′二＿2』′（—4ˉx）≡3＋（万—I十烹丁豆十击）,
l
1
所以／（x）＋／（-4—x）＝6,
所以函数的对称中心为（-2,3）°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］28％
l2
l3.
B
［解析】本题主要考查函数的概念与性质°
2x3
设／（x）＝y＝2x＋2—x,
-2x3
因为／（-x）＝壶二了＝√（x）
’
所以／（x）是奇函数’可排除C选项°
因为x＞O时,
l4l
｜＿
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高
考
数学…
／（x）＞0’
所以可排除D选项°
闲为f（4）-2君兰≈s』
因此选项B较为符合°
故本题正确答案为B°
【易错项】A
［易错项被选择比例】22％
□「霓∏亮］二次函数
lD
［解析】本题主要考查二次函数°
设g（x）＝（x-α）（x-b）’则二次函数g（x）的零点为α’ b（α＞b）,函数图象开口向上。令／（x）＝0’
得到g（x）＝20l7’作出y＝g（X）与直线y＝20l7的大致图象’则y＝g（x）与y≡2017的交点的横
坐标即为C, d（C＞α）,
由简图可得C’
α在α’ b之外’故C＞α＞b＞α°
／
γ
］
○
∑
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′
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｜
｜
｜
｜
｀
｀
／
∧
∧
‖
‖
叭
＼
α（）｜6＼ˉ／tJ
c
~x
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］30％
B
［解析］
［解析】
2
本题主要考查二次函数和函数的概念与性质°
根据“局部奇函数”的定义:／（x）＋／（—x）＝0’
当／（x）＝4x-加.2x＋加2＿3时’ 4x＋4ˉx-′″（2x＋2—x）＋2加2-6＝0’
设／＝2x＋2ˉ财e［2,＋m）’则4x＋4ˉx＝／2—2,
即r2-′m＋2m2—8＝O在［2’＋。°）上有解,
令尸（′）＝‘2ˉ″!′＋2″:2ˉ8,对称轴′＝普,
@若″′≥4’则A＝32-7′＂2＜0,此时方程F（r）＝0无解;
｜爵…里…
@若〃l＜4’要使r2—沉／＋2加2-8＝0在［2,＋°·）上有解’则
解得-1≤加≤2,
综上所述’所求实数″〖的取值范围为［—l’2］°
｜ˉ日l42
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C‖∧P「［尺O2
-函数的概念与基本初等函数
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］27％
3. O
［解析］本题主要考查二次函数和函数的概念与性质°
画出函数／（x）的图象,如图所示,
由图可知’因为／（／（m））≥0,
所以—1≤／（〃Ⅲ）≤1或／（″〗）≥3’
由l-｜x｜＝-l’解得x＝一2或x＝2,
~～
由x2-4x＋3＝l ’解得x＝2＋2√2’
由x2-4x＋3＝3,解得x＝0或X＝4,
再根据图象得到＿2≤′′′≤2＋但或′″≥4。
↑y
3ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ
勺
垄
l儿ˉˉ.ˉˉˉˉˉˉˉˉ≡ˉˉˉˉ
／卜
Ⅺ
二
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］30％
4.
B
［解析］本题主要考查二次函数°
根据／（x）解析式可画出其函数图象如图所示,
由图象可知当0＜砸＜4时,／（x）-加＝0共有五个解°
~
γ
日
斗
~~~~~~~~~
／（x）—加＝0
~~~~~~~
-＝巴-ˉ←
x
＼
—3
-l
｜O
勺
～
｜
故本题正确答案为B°
l43蕊
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高
考
数学…
［易错项］C
［易错项被选择比例］］9％
■「霓∏6司指数与指数函数
l.D
［解析］本题主要考查二次函数和指数与指数函数°
由已知／（x）＝ex-l＞0—l＝-l
’
因为／（α）＝g（b）’所以g（b）＞-1
’
即-b2＋4b-3＞—l
’
即b2—4b＋2＜0’
解得2—但＜b＜2＋但。
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］38％
2.D
【解析］本题主要考查集合的运算和指数与指数函数°
由x2-3x-4＜0得（x＋l）（x—4）＜0’解得-l＜x＜4’
又因为x巨Z,所以A＝｛0, l’2’3｝,
由2x≥4得x≥2’
所以B＝（x｜x≥2｝,
所以A∩B＝｛2,3｝°
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］40％
3.
〔
［解析］本题主要考查函数的概念与性质和指数与指数函数°
因为／（x＋l）＝／（x-1）
’
所以／（x＋2）＝／（x）°
所以函数／（x）的周期为2°
在［-3,3］上’画出函数／（x）与y＝l0ˉ｜x｜的简图如图所示°
根据图象’关于x的方程在［—3,3］上的根的个数是6个°
Ⅱ｜
-≡
X
O
〗■l44
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C‖∧P「［R02
函数的概念与基本初等函数
故本题正确答案为C°
【易错项】B
［易错项被选择比例］l9％
4B
【解析】本题主要考查指数与指数函数和对数与对数函数°
因为α＝lOg202＜lOg2l＝0’
所以α＜0°
因为b＝2o2＞2o＝l
’
所以b＞l.
因为c＝O2o3＜02o＝1
,
所以0＜C＜1。
所以α＜C＜b。
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］l2％
5。C
［解析】本题主要考查指数与指数函数和对数与对数函数°
A项,因为α＞b’所以α—b＞0,但不能确定是否满足α-b＞l ,当0＜α-b＜1时, ln（α—b）＜0,
故A项错误。
B项,设／（x）＝3x,可知图象如图l’则3α＞3b,故B项错误°
C项’设g（x）＝x3,可知图象如图2,则α3＞b3’则α3—b3＞0,故C项正确°
D项,假设α＝l’ b＝-2’则｜α｜＝1＜｜b｜＝2’故D项错误°
）′
γ仆
g（x）
）
／
／
-一
／｜°
‘
O
x
图2
图l
故本题正确答案为C。
［易错项］A
［易错项被选择比例］ll％
■「霓∏7节］对数与对数函数
l.C
［解析】本题主要考查对数与对数函数、指数与指数函数以及函数的概念与性质°
因为／（x）二l。匙｜…2）＋!÷2｝剩,／（ˉ撼）二｜°匙［1＋（ˉx）:］＋亡面＝′（腮）』
2
2
所以／（x）为偶函数°
l45翻
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高
／
考
数学…
当x＞0时, （1＋X2）单调递增,所以lOg上（l＋x2）在X＞0时单调递减’
2
同时］＋2Ⅱ征x＞0时单调递增所以舌万作x＞0时灿调递减’
因此x＞0时’／（x）单调递减,由偶函数性质可知x＜0时,／（x）单调递增;
若要使／（x）≤／（2x-1）,即有｜x｜≥｜2x-1
｜’即3x2-4x＋l≤0,
解得斗≤x≤｜.
〕
故本题正确答案为C°
［易错项］D
［易错项被选择比例】3l％
2. D
［解析］本题主要考查函数的概念与性质、对数与对数函数以及指数与指数函数°
由xl是函数／（x）＝xˉα—x的零点可知’ xl是方程x＝αˉx,即方程1＝αx的解;
x
同腿鞠是方程!。g凰蜒二＋的解;
则x…分别为函数’＝＋的图象与函数’≡α撼和函数’＝｜°g膊x的图象交点的横坐标
设两交点分别为A（蜒｜.六）,圈（堰,☆）』由α＞］知0＜绷｜＜］;陶＞1;
又因为y二″和y＝｜°g.x以及》＝÷的图象均关于直线γ＝x对称,所以网交点ˉ定关于y＝Ⅱ
对称’
由下点A（x｜.片）关于直线y-绷的对称辙坐标为（六,蜒｜）,所以绷2ˉ六』旬｜陋＝］』
而xl≠x2,则:
x｜＋4x2＝xl＋x2＋3x2≥2√万万＋3x2＞2＋3＝5°
即（x1＋4x2）e（5,＋m）。
故本题正确答案为D。
〔易错项］C
［易错项被选择比例］29％
3. C
［解析］本题主要考查指数与指数函数和对数与对数函数°
由／（x）＝0’ g（x）＝0得ex＝2-x, lnx＝2—x’
分别作出函数y＝ex, y＝lnx和y＝2-x的图象如图’
则A（α,e“）’B（b,lnb）’且A’B关于点（1’ 1）对称’
则α十b＝2, .徽刊nb＝2’ αh＜（α芋）2 ＝1
,
所以A’ B,D项均错误°
因为／′（x）＝ex＋1＞O’所以／（x）在R上单调递增’
且f（0）＝—l＜0』／（去）＝疟—;＞0,
所以0…去’义因为b-e.｀
■l46
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C什∧P『［尺O2
函数的概念与基本初等函数
所以α2十萨＝倒』＋e鲤』＜i＋e＜3.
y｜
＼
／
＞
工
O／
众
／厂
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］32％
4D
［解析］本题主要考查对数与对数函数°
因为L′-］0｜g｛六）』所以′-］…—Ⅲ
则普通列车的声强为l095÷lO l2,高速列车的声强为1045÷lOˉ｜2
故普通列车的声强是高速列车的声强的lO95÷］oˉl2÷l045÷1oˉl2＝l（）5倍°
故本题正确答案为D°
［易错项］B
【易错项被选择比例】25％
5。C
［解析］本题主要考查对数与对数函数和函数的概念与性质°
因为′（x）二（e慰—寺）剿』』故／（ˉx）＝（去—e蜒）（—鞭）』＝′（x）,
所以／（x）是偶函数’
因为lOgO5α＝lOg2ˉlα＝-lOg2α’／（X）是偶函数’
所以原不等式可化为2／（lOg2α）≤驴（1）,即／（lOg2α）≤／（l）,
因为当x＞0时, y＝x3＞0且单调递增; y＝ex＞l且单调递增,
y＝exˉ上＞0且单调递增’
ex
所以当x＞0时,／（x）单调递增,
又因为／（x）是偶函数,所以当x＜0时’／（x）单调递减,
所以若／（｜。g2·）≤／（｜）,则ˉ｜≤l。g2α≤｜.解得α巨［＋.2］.
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例】34％
l
y＝＿-
ex ＞＿1且单调递增’即
6D
［解析］本题主要考查对数与对数函数°
l47
｜
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高
~
考
数学…
由题意得2x＝3］＝5z’取以底数为2的对数,得log22x＝log23y,
即x＝ylog23,则2x＝）′log232＝ylog29,
因为log28＝3,所以2x＝ylog29＞ylog28＝3y’
同理2x＝Zlog252＜Zlog232＝5Z’
所以3y＜2x＜5Z°
故本题正确答案为D°
【易错项］C
［易错项被选择比例］22％
7。日
【解析］本题主要考查对数与对数函数°
由题意可得,
“-!°g肌2o3＝湍』b＝｜°g2α3≡器』
l
l
则叶b二（面而＋而）×ln03≡（｜‖;r删）×l＂α3＝（＿
由于l∏0.2＜ln03＜ln0.4＜0＜ln2’
负
则α＋b＝r灵ˉ贸×负＝负＜0』故D项不正确。
因为侧〃-｜删删～黑-负≤0′徽C项不丽确
由于ln03＜lnO4＜0,则0＜ln03×lI】O4＜ln03×ln03,
故αb二l研j删＜…＝｜聪i删.
故αb＜α＋b＜0°
故本题正确答案为B°
【易错项】D
［易错项被选择比例］27％
ln0.4
）×ln03。
ln2×ln0.2
∧
［解析］本题主要考查对数与对数函数°
由题意可知／（x）-e恋为＿个常数,设α＝／（x）-ex,则有／（α）＝l°
由α＝／（x）＿ex可得／（x）＝α＋ex°
令x＝α,求得／（α）＝α＋e“＝1,解得α＝0°所以／（x）＝ex°
已知／（α）＞／（b）＞e＝／（l）’所以α＞b＞l ’所以logbα＞l°
已知｜。g翅…g‘“≡粤』即｜°式〃十｜。g修′-粤』解得｜og修α≡3或』
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］29％
8
（舍去）,故α＝b3°
B
［解析］
A项’
［解析］
9
本题主要考查对数与对数函数。
A项, （2O4）O8＝3’ （2O8）O4＝log34’ （4●8）O2＝log旦2’ log34＜log旦2°故A项错误’不
2
2
符合题意°
坚｜l48
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C‖∧P「［尺02
函数的概念与基本初等函数
B项’ 8O（2O4）＝3, （4O8）O2＝log÷2, （2O8）O4＝log34°故B项正确,符合题意°
C项,
（4O8）O2＝log旦2’
（2O8）●4＝log34’ 8O（2O4）＝3, 3＞log旦2°故C项错误’不符合
2
2
题意。
D项, （4O8）O2＝log旦2,
（2O4）O8＝3’ （2O8）O4＝log34, 3＞log旦2。故D项错误’不符合
2
2
题意°
故本题正确答案为B°
［易错项］A
【易错项被选择比例］30％
l0。
B
［解析］本题主要考查对数与对数函数。
2
l
因为／（x）＝丁-干ˉ面了＋T—干ˉ歹’
2
l
所以／（-x）＝1＋2ˉx＋l＋4ˉx’
2
l
2
l
所以／（x）＋／（-x）＝Tˉ干ˉZ了＋I—干ˉJ了＋T—干ˉ页＝＋l＋4ˉx≡3’
因为logα（但＋l）＝ˉlogα（但ˉ1）
’
所以／［log“（√2＋l）］＋／［logα（√2-l）］＝3,
所以／［log“（但—l）］＝2.
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］27％
ll∧
［解析］本题主要考查对数与对数函数和二次函数°
设函数／（x）的值域为A’函数g（x）的值域为B,则对“任意x1巨R,都存在x2巨R使／（xl）＝g（x2）
成立”等价于“A巨B”°
又因为A＝｛y｜y＝／（x）｝＝（-m,0］’即（-四’0］巨B’
令h（x）＝αx2-4x＋1’
所以函数h（x）＝αx2ˉ4x＋l的值必能取遍区间（0, 1］的所有实数。
讨论:
当α＜0时,函数h（x）的图象开口向下,且h（0）＝l ’符合题意;
当α＝0时, h（x）＝—4x＋1,符合题意;
当α＞0时’函数h（x）的值要想取遍区间（0, l］的所有实数’当且仅当△＝16—4α≥O’即0＜α≤4’
综上所述’实数α的取值范围是（一四,4］°
故本题正确答案为A°
［易错项】B
［易错项被选择比例］26％
l2. D
［解析］本题主要考查对数与对数函数°
l49瓣
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岛
考
数学…
因为｜g10＝l ′僧＝l0｜:籍,丽｜g胖＝!gM—｜g』｀′＝｜g3』偷｜—｜gl0剧o＝36｜｜g3ˉ恩0｜g10’叉
lg3≈α48,所以36l×O48—8O≈93,故黑≈l0,鼠.
故本题正确答案为D°
［易错项】B
［易错项被选择比例］25％
D
［解析］
［解析］
l3
本题主要考查对数与对数函数和函数的概念与性质°
因为0≤x≤l,所以-l≤2X-1≤1,
所以函数y＝／（x）的定义域为［-l’ l］,
｜蹦』.
所以
解得-1＜X＜0°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
【易错项被选择比例】］5％
l4.
B
【解析］本题主要考查集合之间的关系、集合的运算以及对数与对数函数°
由对数函数的性质得eˉ2x＞0》即x＜:’
故P∩N＊＝｛l｝,其子集为●和｛1｝,共2个.
故本题正确答案为B°
［易错项】A
［易错项被选择比例］34％
l5。C
［解析】本题主要考查函数的概念与性质、对数与对数函数以及二次函数°
设g（x）＝log上x,则g（x）在（0,＋四）上为减函数°
3
设“（x）＝3x2ˉαx十5, ″（x）对称轴为x＝:》且“（x）函数图象开‖问上’
要使／（x）＝log上（3x2-αx＋5）在［-l,＋m）上是减函数’那么″（x）在［＿
3
要便／（x）＝log上（3x2-αx＋5）在［-l,＋m）上是减函数’那么″（x）在［＿l’＋m）必须为增函数,
3
时“（x）min＝』《（—l）＞0,
‖二＝＂佩隐ˉ…ˉ.
由此可得
故本题正确答案为C。
【易错项】B
［易错项被选择比例】l5％
同
l6. C
［解析］本题主要考查函数的概念与性质、指数函数及对数函数°
■150
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C‖∧P「［RO2
函数的概念与基本初等函数
山』-等且可知该函数为奇函数, 制滁B;
又因为／（x）＝α低（α＞0且α≠1）始终满足／（x）≥1’故α＞l
’
所以当0＜x＜l时y＜0,排除A;
当X趋近于＋四时’ y趋近于0’排除D.
故本题正确答案为C。
［易错项］B
［易错项被选择比例］17％
■「勇∏丽］幂函数
l.∧
［解析】本题主要考查幂函数和函数的概念与性质°
由幂函数的定义知,
加-1＝1,求得加＝2°所以／（x）＝x″°
将点（2,8）代人函数／（x）≡x″中,得2″＝8’
所以川＝3’所以函数式为／（x）＝x3,所以／（x）在R上单调递增°
因为（÷）÷＜｛去）盎≡2—凿都小于l′而!…l,
0
l
所以（亩）’＜2ˉ,＜ln万.
故／（（÷）当）＜′（2—夏）＜′（｜n丽）,
即α＜C＜b°
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l5％
2O
［解析］本题主要考查函数的概念与性质、对数与对数函数、指数与指数函数以及幂函数°
A项,由x-l≥0得,定义域为［1,＋m）’值域为［0’＋四）》故A项不符合题意°
B项,
由x＞0得’定义域为（0,＋印）,值域为R’故B项不符合题意°
C项’由3燕-l≠0得,X≠0,即定义域为（-·。,O）O（0,＋m）,由3蒸-l＞＿1得值域为（-凶,—l）O（0,＋。o）
｜
故C项不符合题意°
D项』γ≡署＝l＋吉,由x—l≠0得定义域为（＿°。’ l）u（』,…）′由六巨（ˉ函,0）O（0…）
得’值域为（-的, l）O（l,＋m）,故D项符合题意°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］4l％
D
［解析］本题主要考查函数的概念与性质、指数函数、对数函数、幂函数°
A项y＝褥的定义域为x巨R′值域为yeR, y＝辰的定义域为x巳R’值域为y巳［O’＋。。）,两函
数值域不同,故A项错误°
勺
〕.
l5l瓣
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高
~
考
数学…
B项γ-安÷的定义域为签≠—］
』’-x＿］的定义域为蕊巨腮』两响数定义域不同』敝B项错误.
C项, y＝lnex的定义域为ex＞0,即xeR, y＝elnx的定义域为x＞0,两函数定义域不同’故C
项错误。
o项γ-x＂的定义域为x≠0’且当x≠0时』值域为』二］
』γ≡击的定义域x≠0’且当蓝≠0时值
域为y＝l,所以D项正确°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例】24％
4.∧
【解析】本题主要考查幂函数°
4
因为α＝2置’ b＝3;＝（佰）;, c＝25＋＝（佰）奇。
指数相同’底数越大’值越大,
因为归＜2＜侣,所以b＜α＜c。
综上所述,
b＜α＜C°
故本题正确答案为A°
【易错项】B
［易错项被选择比例］l8％
□「勇∏j亏］函数与方程
lD
［解析］本题主要考查函数综合、对数与对数函数、函数与万程以及函数的概念与性质°
因为／（x）是偶函数,所以由／（2＋x）＝／（2—x）＝／（X-2）
’
所以／（x＋4）＝／（x）
’
则函数／（x）是以4为周期的函数,
因为／（x）-log回（x＋2）＝0有四个零点’
即／（x）与函数y＝log“（x＋2）的图象有四个交点°
结合题意画出函数／（x）在x巳（＿2’6）上的图象与函数y＝logα（x＋2）的图象’
结合图象分析可知,要使／（x）与y＝logα（x＋2）有四个不同的交点,则
｜遮｜…｜＜｜
》解得α＞8°
Hl52
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C‖∧P「［尺O2
函数的概念与基本初等函数
刊Ⅱ→
＝‘
~Ⅱ｜
——＼
d
′°
Ⅱ
／｜
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］28％
D
［解析】本
由题意知’
［解析】本
2
题主要考查函数与方程°
由题意知’曲线C2的图象是厕心为（0,l—′）’半径为′的圆
且曲线c2过定点（0,步）』曲线c｜;γ＝smx为正弦函数图象
当厂足够小时’曲线Cl与曲线C2的图象可以没有交点;
当厂取某一定值时,曲线C2可与曲线Cl相切’且切点即为交点;
当′取值足够大时』曲线C2的圆会很逼近其过点（0.去）的切线’二当
此时曲线C2与曲线Cl的交点数可超过2017°
但由于圆的半径厂不确定,
所以这两个曲线的交点个数可为奇数,可为偶数,也可超过20l7°
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］29％
3.C
［解析】本题主要考查函数与方程°
当0＜x≤l时, ex＿e≤0’根据题意／（x）≥0’
故此时x2＋αx＋b≤0°
当x＞l时, ex—e＞O,则此时x2＋αx＋b＞0,
因为y＝x2＋αx＋b开口向上’
所以x＝l是抛物线与x轴的石交点’
又y＝x2ˉ卜αx十b抛物线顶点横坐标为ˉ;′与x轴交点横坐标分别为ˉαˉl’ l.
可得y≡x2＋αx＋b在坐标系中的图象如图所示,此时为临界状态,
当ˉαˉ｜≤0且—;＜l时满足条件』联立得α≥ˉ｜.
l53撼
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高
韦
考
数学…
砸
—
∑
—
—
‖
工
↑
γ
ˉ
／
／
／
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
—
x
〈!／
—α-l
l
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］33％
4∧
［解析】本题主要考查指数与指数函数、对数与对数函数以及函数与方程°
令／（x）＝2x＋log2x＝0’则log2x＝-2x;
令8（x）＝2ˉx—log上x＝0,则log2x＝—2ˉx;
2
令″（鞭）＝2粟』。g2x—l-0’则2删l°g2x＝｜
』l°肆x＝击＝2—露.
所以函数／（x）＝2x＋log2x, g（x）＝2ˉ斯-log上x》／〗（x）＝2xlog2x-l的零点可以转化为求函数
2
y＝log2x与函数y＝-2x, y＝—2ˉ疼, y＝2＿x的交点°
如图所示’可知’ 0＜α＜b＜l
’ C＞l,所以α’
b’ C的大小关系为α＜b＜C·
）匡—2x
故本题正确答案为A.
【易错项］B
【易错项被选择比例］22％
5.
B
［解析］本题主要考查函数与方程。
由题意可得／（＿x）＝／（x）’所以当x＜〔）时》有／（x）＝／（-x）＝加（｜—x—2｜-l）＝加（｜x＋2｜-l）
（加＞O）;
疆l54
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C‖∧P『匠RO2
函数的概怠与基本初等函数
~
qq
b
x＜—2
-2≤x＜（）
0≤x＜2
x≥2
-′∏（x＋3）,
m（x＋1）,
—′＂（x＿l）,
m（x—3）,
将绝对值符号去掉可得／（x）＝
作出图象如图所示’
所以函数／（x）的值域为［-′冗,＋°。）°
因为／（／（x））恰有4个零点,所以只需有四个点满足／（x）＝±l ,
±3°
~↑y
＼｜爪—
v′v
／
.X
｜
｜-加
｜
（D如图’当—′门＜-3时’方程／（x）＝—3有四个根’／（x）＝—l有四个根,／（x）＝l有四个根,／（x）＝3
有四个根’即有l6个点满足／（x）＝±1,
±3’则／（／（x））有l6个零点°
~′~
止γ＝3
.v＝l
″
.
v＝-］
二姑右
←
Ⅺ
＼｜／
｜
＼｜／
＼
〕
~~
／
］
】
』
‖
ˉ
″
′
~
Ⅲ
ˉ
〗
□
（D如图,当—加＝-3时,方程／（x）＝-3有两个根’／（x）＝-l有四个根,／（x）＝l有四个根,／（x）＝3
有三个根’即有l3个点满足／（x）＝±l
’
±3,则／（／（x））有l3个零点.
~
′
′
~
）
~
■
■
｛
嘿
′
｜
‖
／
／
—
旦
』
／
｜
冠
γ
｜
｀
＼
丁
▲
—
≡
／
／
~
~
~
~
＼
＝
灭
o如图,当＿3＜—′刃＜—l时》方程／（X）＝—3没有根’／（x）＝-1有四个根’／（x）＝l有四个根,
／（X）＝3有两个根’即有10个点满足／（x）＝±l
’ ±3’则／（／（x））有10个零点°
』
｜别
＼
／
l55戮
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高
厂
考
数学…
@如图,当-′″＝-l时,方程／（x）＝—3没有根,／（x）＝＿l有两个根,／（x）＝l有三个根,／（x）＝3
有两个根,即有7个点满足／（x）＝±l’
±3’则／（／（X））有7个零点°
V
≡
气
〕／＝j
〗
〗
‖
目
‖
‖
‖
】
｜
｜
莽二了弓
＼
‖
｜
—二二汽芽;
］／＝＿3
o如图, 当-m＞-l时’方程／（X）＝-3没有根,／（x）＝-l没有根’／（x）＝l有两个根’／（x）＝3
有两个根’即有4个点满足／（X）＝±1 , ±3,则／（／（x））有4个零点°
综上断述腰便′旷陋）｜隐有4个零点必獭健｜鳃』—｜解滁赋e（α｜‖
故本题正确答案为B°
［易错项】C
［易错项被选择比例］29％
6∧
［解析］本题主要考查函数与方程°
函数8（x）＝αx—『（x）｜有三个零点,可看作函数g（X）有三个根,即y＝αx与y＝『（x）｜的图象有三
个交点°根据题设,画出函数图象如下图所示:
↓V
儿／:
—3
O
X
当直线斜率在图中两虚线之间时,两个函数图象有三个交点°
ln3
将X＝3代人y＝『（X）｜,得y＝ln3,所以α］＝-丁’
y＝α2x为y＝『（x）｜的切线,设切点为（『’s）’则有
｜!丰峰德｜昌…—÷硫…….
故本题正确答案为A°
［易错项】B
［易错项被选择比例】2l％
｜罕
刮
』
＿
巳
）
7. C
［解析］本题主要考查函数与方程°
当-l＜x≤O时’
「x｜＝（）’／（x）＝0’
疆l56
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C‖∧P「［尺O2
函数的概念与基本初等函数
当0＜x≤l
’
「x］＝l ’／（X）＝l—2＝-1’
当l＜x≤2,
「x｜＝2,／（x）＝4-4＝0’
当2＜x≤3’
「X｜＝3’／（x）＝9—6＝3’
当3＜x≤4’
｜x｜＝4,／（x）＝l6—8＝8,
则／（x）的图象如图所示°
若F（x）在（＿l,4］上有2个零点,
即y＝／（x）与过点（2,-2）的直线y＝化（X-2）-2在（—1,4］内有2个交点°
当k＞0时,若直线y＝k（x-2）-2恰好过／（x）图象上的点（4,8）’如图中直线／l所示’
此时k!＝挡＝5』
若直线y＝∧（x-2）—2恰好过／（x）图象上的点（3,8）’如图中直线′2所示’
此时陶-碧-｜0』
由图可知,当化介于二者之间时, y＝／（x）与直线y＝此（x-2）—2有两个交点,
经验证’当＊＝5时’满足条件,故当皮＞0时,若F（X）在（—l,4］上有2个零点,则k应满足
5≤比＜10。
当火＜0时’若直线y＝人（x-2）-2恰好过／（x）图象上的点（l,-l）,如图中直线′3所示,
此时k』≡二i｜芳-—1
’
若直线y＝k（x—2）-2恰好过／（x）图象ˉk的点（—l,0）’如图中直线／4所示,
0＋2
2
＝＝
—］-2
3’
由图可知,当k介于二者之间时, y＝／（x）与直线y＝k（x-2）—2有2个交点,
经验证’ 当火＝一l时,满足条件,故当火＜0时’若F（x）在（-1’4］上有2个零点’则化应满足
2
＿l≤此＜-亏,
〕
综上所述｀k的取值范围是［—｜,—;）O［5. ｜0）.
人l（x -2）＿2
／］:y＝此3（x＿2
（—l·
＿
-2
≡i＼＼
—l
—2
l｝
2｜
4
勺
〕
x
＿二丫《≤）′』
,＝陶（x—2）一2
）
故本题正确答案为C°
【易错项］B
l57蕊
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高
考
数学…
［易错项被选择比例］34％
〔
［解析】本题主要考查函数与方程°
因为函数／（x）＝α.2憋-2ˉx—4sjnx为奇函数’
所以／（-x）＝√（x）’即α.2ˉx-2x＋4sinx＝
所以／（-x）＝√（x）’即α.2ˉx-2x＋4sinx＝
8
—（α.2x-2ˉ挝—4sinx）
整理得（α-l）（2ˉx＋2x）＝0在R上恒成立』
所以α＝l ,所以函数／（x）＝2叮-2ˉx-4Sinx’
因为／（—l）＝2ˉl-2＋4sjn1＞0’／（0）＝0’／（l）≡2-2ˉl—4sinl
＜
／（3）＝8—2ˉ3—4sj∏3＞0,结合选项’零点区间为（α,3）°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］2l％
＜0’／（2）＝4—2ˉ2-4Sin2＞0,
9. D
［解析】本题主要考查函数与方程°
因为／（x）是奇函数’所以／（x＋汀）＝／（—x）＝√（x）,
即／（x）＝丫（x＋汀）＝—（√（x＋2汀））＝／（X＋2汀）
’
所以T＝2汀°
令g（x）＝（x-汀）／（x）-l＝0’
解得／（x）＝—°
x-汀
根据以上信息作出草图四个交点分别关于（汀,0）对称’所以零点之和为2×2汀＝4汀°
］／A
＝＝
x
故本题正确答案为D°
［易错项】B
〔易错项被选择比例］35％
l0.∧
［解析］本题主要考查函数与方程和函数的概念与性质°
令g（X）＝矾x-2’
即原题意等价于／（x）与g（x）有3个不同的交点°
如图所示,／（x）图象为实线部分’ g（X）图象为虚线部分,
若／（x）与g（x）有三个不同的交点’
则必在区间（0,3）
’
（3,4）
’
（4,＋山）上各有一个交点’
而当g（x）经过A点（3, l）时,斜率为l,与／（x）在x＞4部分的图象平行,
故g（X）的临界点为A点和B点’
月
日
］
【
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C∩∧P「［R02
函数的概念与基本初等函数
即在0角的范围内均与／（x）有3个交点.
当g（x）经过A点时,
′″＝l’
0-（ˉ2）
l
经过B点时’m＝万＝页.
故枫的取值范围为（去, 1）.
g（x）
0γ
／（x ）
｜
厂
］
Ⅺ
←
O｜／l
′
ˉl｝／乡〕
ˉ2卜‖＝~
｜｜
斗
卢
尸
夕
尸
〕
尸
■
≥
尸
≥
口
″
″
′
矿
′
∩
问
√
故本题正确答案为A°
【易错项］C
［易错项被选择比例】27％
l1· C
［解析］本题主要考查二次函数、指数与指数函数、函数与方程以及函数的概念与性质°
因为函数／（x）＝αe2x2＋（x2-2x）e痴ˉ1＋α有唯一零点’
所以函数′（x）-αe…十（x2ˉ2x）e孤—｜＋α＝0有唯ˉ解』即α（e粟—｜十六）-—x2＋2x有唯ˉ解』
所以膘题意等价于y-′（e疑—｜＋六）的图象勺＂-ˉ篮2十2x的图象只有＿个交点.
当α＝0时’ y＝-x2＋2x＝—（x-1）2＋1≤l,此时有两个零点,不成立;
当α＜0时,
由y＝—x2＋2x在（-°。,1）上单调递增,在（1,＋。。）上单调递减,
因为』-,（筐甄—｜＋士）的导数为“（浮」—e!—甄）,
又（exˉ1-elˉ派）单调递增且当x＝1时值为0’
所以γ-α（e狸—1十六）在（—·°.1）上单调递增在（l,…）上单调谨减
所以函数y-—…蜒的图象的最高点为（l. ］）』函数》-α｛e疑—1＋六）的图象的最高点为｜l,2侧）′
因为2α＜O＜1
’
所以此时函数y-α（e垂!＋六）的图象与Ⅱ-—x2＋2x的图象有两个交点,不成立;
当α＞0时’ 由y＝-x2＋2X在（-。·, l）上单调递增,在（1,＋。°）上单调递减,
且γ二α（e蜒—1十声）在｛＿°·,!）上巢调递减在（l.…）上单调递增』
所以函数γ＝ˉ…魏的图象的最高点为（l.1）
』函数》-α（e硬ˉ｜＋六）的图象的最｜氏点为（l.2忽）l59壤
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高
考
数学…
此时瞬数Ⅱ-α｛e襄—!十六）的图象勺’＝蕊敷十2x的图象只有—个交点
所以2α二｜』即α＝1.
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l7％
l2. C
［解析］本题主要考查函数与方程°
原题意等价于y＝√Iˉ≡ˉ了豆与y＝x—几在［ˉ1’ l］上有两个不同的交点,
y＝｀／Iˉ＝了豆,在［ˉ1’ l］上为x2＋y2＝1上的半圆
如图所示,直线y＝x—几过点（0, l）时两函数图象有两交点’此时几＝-l
’
把直线y＝x—儿向上平移的过程中两函数图象先有两个交点,直到相切为止
当直线y＝xˉ几与圆x2＋y2＝l上半圆相切时几＝ˉ但,
所以凡的取值范围为（ˉ但,—l］。
A］〉
＝～
′
夕
夕
夕
〃｛｛
夕
夕
／
′
／q
O
l
x
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］24％
l3.∧
［解析］本题主要考查函数与方程°
由题意不妨令α＜b＜C＜α’可作图如下
→
×
）
因为／（α）＝／（b）＝／（c）＝／（d）,由图知-log4α＝log4b’则αb＝l;当／（x）＝1时, c＝4’d＝6’
则cα＝24’
当／（x）＝（）时’ c＝5, d＝5’则cd＝25°根据抛物线的性质’ c＋d＝2×5＝l0,
又因α’
b’ c, α是互不相同的正数’所以cα＝（10-α）.d＝-（α—5）2＋25, 5＜d＜6’所以
24＜cd＜25’即24＜αbcd＜25°
故本题正确答案为A。
［易错项］B
■l60
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C∩∧P「［R02
函数的概念与基本初等函数
［易错项被选择比例］25％
□｜砸函数模型及具应用
l. C
［解析】本题主要考查函数模型及其应用·
根据题意可知,动点P沿逆时针方向运动,故运动刚开始时y＜0,故排除A、B°且当P点在边BC
4汀
l
上运动时』寻＜x＜＿丁』’-—＋mn（汀—蜒）二面…』故C项符合题意.
故本题正确答案为C°
易错项分析:本题的难点在于将BC边运动的方程转化为三角函数,成功转换后,观察三角函数对应
横坐标对应的角度即可选出正确答案°
［易错项］D
［易错项被选择比例］2（）％
D
【解析］本题主要考查函数模型及其应用·
｛尺钨）2＋誓-爷M,
等号两边同时乘以R2’
R2
（尺＋′）:M｜喂M2—万MⅧ
R＋厂
R2
l
M｜＋卢M2＝（l＋贡）M］,
（l＋贡）2
由题可知α＝肯,代人得;
（］÷α）2M十÷M2-（］＋α）M｜′
绘＝［（｜＋α）—｛］六）2］M№
u（扭!）I｜M∏
＝
″（｀撕j3）′M』
＝
由题中给洲的3α蛰（削jα舅…
勺
△
所以烩≈3景’
′虱≈揣″,
臃富慨醚
故本题正确答案为D°
［易错项］C
l6l赣
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高
考
数学…
［易错项被选择比例］24％
3. C
〔解析】本题主要考查对数函数和函数模型及其应用°
由／（x＋2）＝／（x）-／（l）得到／（x＋2）＋／（1）＝／（x）,
以＿x代x,得／（一x＋2）＋／（1）＝／（-x）,
由于／（x）为偶函数,所以／（x）＝／（-x）
’
所以／（x＋2）＝／（-x＋2）
’
由此可知／（x）图象以x＝2为对称轴°
在／（x＋2）＝／（x）—／（1）中,令x＝-l ,
得出／（l）＝／（-l）—／（l）＝O,
所以／（x＋2）＝／（x）’周期为T＝2’／（l）＝l＋b＝0,
故b＝-l ,作出／（x）的图象,
因为y＝log“（x＋l）的图象与／（x）的图象至少有三个交点,
即有logα（2＋1）＞／（2）＝-l且logα（4＋1）＜／（4）＝-l
’
解得÷＜α＜百.
l
）y
＼｜
!
勺
≡
勺
4
〕
〕
O
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］27％
4. D
［解析］本题主要考查函数模型及其应用°
当x＞l时, 2x＞0,且lnx＞0,此时y＞0,故排除B和C,
故此时图象不可能趋向于0,排除A°D为正确答案°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
〔易错项被选择比例】l8％
又因为当x趋问于无穷大时,2x＞lIIx,
■「勇ˉiIˉ司函数综台
lB
［解析］本题主要考查函数综合和二次函数°
不妨将丝ABC置于平面直角坐标系中,如图所示,
则A（0,0）’B（4,0）’设C（″!’门）’
（Ⅺ＞0）
’
则由题｜CA｜＝佰｜CB｜可得″′2＋′!2＝3［（″′ˉ4）2＋厕2］
’
整理得加2—12m＋24＋〃2＝0’即门2＝—［（加-6）2—l2］
,
l62
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C日∧P「匠R02
函数的概念与基本初等函数
所以〃的最大值为2佰,
所以s…的最大值为s…＝÷＂4×″…＝当×4×2侗二4佰.
＝
故本题正确答案为B°
［易错项】C
［易错项被选择比例］28％
2. O
［解析】本题主要考查函数综合°
因为当2≤x≤4时’／（X）＝1—｜x—3｜
’
所以当l≤x＜2时, 2≤2x＜4’
｜趣缓
则′（蹦）＝夕（2蜒）＝÷（｜—｜2x—3｜）＝
所以当蜒≡;时』函数取得极大值÷;
.…啊√｝到ˉ｜ˉ｜←驯ˉ｜f点了嚣
此时当x＝3时,函数取得极大值1;
当4＜x≤8时’ 2＜÷≤4,则／（x）＝c／（寺）＝c（lˉ｜÷ˉ3｜）
』
～
同理可知,此时当x＝6时,函数取得极大值c°
因为函数的所有极大值点均落在同＿条直线上’
即点（;.÷）』（3, l）, （6,c）共线
l
l--
所以子＝‘ˉl
3
’
2
解得c＝l或2.
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］34％
3. D
［解析］本题主要考查函数综合°
令′（x）-;x凰—3x＋4,则其对称轴为x-2,
酗若。≥2,则翻』b是方程′（x）＝蜒的两个实根』解得α＝÷』
（D若α≥2’则α’ b是方程／（x）＝x的两个实根』解得α＝;’ b＝4’矛盾.
4
（2］若b≤2’则／｜b）＝“’′（“）≡b』柑减得叶b＝鸟,代人可得…≡豆』
矛盾。
l63l」
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高
考
数学豌
o若α＜2＜b,因为／（x）min＝1 ,所以α＝l ,则原不等式的解集为［l,b］’所以／（b）＝b’又b＞2’
所以解得b＝4’所以α＋b＝5°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］44％
4. O
［解析】本题主要考查函数综合°
因为／（加2＿2加）＋／（2门—′!2）≥0,
所以／（加2-2m）≥丁（2刃—′!2）
’
因为）′＝／（x）是奇函数’所以／（加2-2′″）≥／（′!2-2′1）
’
又因为）′＝／（x）在R上是减函数’所以″22-2′″≤′12＿2〃,
3
即（加＋门-2）（加一川）≤0’且l≤列≤Ⅲ°
根据不等式组可得可行域如图中阴影部分所示’令P（′I,m）,
AB上时’直线OP的斜率最大’此时z＝l,
l
当P在点C时』斜率最小′此时:-哥-÷,
刁
所以÷≤普≤1.
砸
—
″
为直线OP的斜率,当P在直线
~
乙
句
〕
—
勺
么
~~
″
↑
『
″
＋2
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］32％
5. C
［解析】本题主要考查函数综合°
@当川＝l时,∧（x）＝／（x）,
当xe［o,去］时｀川x）＝／（x）＝酞,
令∧（x）＝x’即2x＝x’故x＝0;
当x巨（÷’ l］时,力（x）＝／（x）＝2ˉ2x,
～
令／｜｛蕊）＝蜒’即2—2x≡x』故鞭＝;』
所以／l （x）＝X共有2个根°
酿l64
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C‖∧P「［R02
函数的概念与基本初等函数
@当〃＝2时’／h（x）＝／（／i（x））
’
当x匡［0｀苛｜时』龙（x）-′（′M蕊））＝4x｀
令九（x）＝x,即4x＝x’故x＝0;
当疟（温｜时’危｜x）-2—你』
勺
令九（x）＝x’即2ˉ4x＝x』故x＝亏;
判正（去,;］时』ji位）≡′（2—2x）＝—｜
令龙（蜒）ˉx’即—2＋4x-脆』故x二i
当x巨（;.川时』龙（x）二4—4蜒＝x’
令龙位）＝x』即4—4x-x,故x＝÷,
所以／h（x）＝X共有22个根°
以此类推’八（x）＝X共有2″个根°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］24％
九（x）＝／（2—2x）≡-2＋4x
■
·
口
勺
～
亏
〕
~~
Ⅺ
故
~
~~~~
厂、
、
6.D
［解析】本题主要考查函数综合°
因为／（x＋1）＝丫（x）,
所以／（x＋2）＝√（x＋l）＝／（x）,
所以偶函数／（x）的周期为2’
又因为函数在区间［—l’0］上单调递增,
所以函数在区间［0,1］—k单调递减,
又α＝／（3）＝／（1）
’
b＝／（但ˉ2）＝／（2—但）,
c＝／（2）＝／（0）
’
所以C＞b＞α。
故本题正确答案为D°
［易错项］B
【易错项被选择比例］24％
广｀』
冒二苫~~~
7°∧
［解析］本题主要考查函数综合°
1
因为函数g（x）＝（—x4-x2）＋e｜x｛-l
l
1
L
＝（一x4
e｜-x｜-1
｀
勺｀
-x←）＋
所以g（—x）＝（一（—x）4-（-x）2）＋
且g（X）的定义域关于原点对称,
所以g（x）是偶函数°
e｜x｜—l
,
l65鞠
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…
学
数
高
~
考
当x＞0时,因为—x割, ˉx2, ·｜襄｜～l在x＞0内都是单调减函数,
所以g（x）＝（ˉx剑—x2）＋e脚～l也是减函数.
当x＜0时,
因为g（x）是偶函数且在x＞0是单调减函数,
所以8（x）在x＜0上是单调增函数’
所以8（x）在x＞0上是减函数’在x＜0上是增函数°
@当x＞0’ α＞0时, x2＞0, αx＞0’
要满足g（x2）＞g（αx）对＿切xe［-l’0）O（0, l］恒成立’
则x2＜αx在（0, l］上恒成立,
即x＜α在（0,1］上恒成立,
解得α＞1。
@当x＞0’ α＜0时, x2＞0’
αx＜0’
—αx＞0’
因为g（αX）＝8（—αx）’要满足g（x2）＞g（αX）对一切X巳［-l,0）O（0’l］恒成立’
则g（x2）＞g（-αx）在（0, l］上恒成立,
即x2＜-αx, x＜—α在（0’1］上恒成立,
解得α＜-l°
o当x＜0, α＞0时’ x2＞0’ αx＜0,
-αx＞0,
因为g（αx）＝8（-αx）,要满足g（x2）＞g（αx）对一切xe［—l,0）O（（）, 1］恒成立,
则8（x2）＞g（＿αx）在［—1,0）上恒成立,
即x2＜-αx, X＞-α在［—l,0）上恒成立,解得α＞l°
@当x＜0, α＜0时’
X2＞（）’
αx＞0’
要满足g（x2）＞g（αx）对＿切x巳［—l,0）O（0,l］恒成立’
则g（x2）＞g（αx）在［＿l,0）上恒成立’
即x2＜αX, x＞α在［-l,0）上恒成立’解得α＜-l°
综上所述’
α的取值范围是αe（—m,—1）O（l,＋m）°
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］26％
8C
［解析］本题主要考查函数综合°
由旷′（x）—驴（x）＞x2’且x＜0得,v′（x）ˉ2／（x）＜1’
x3
x
慢w′（x）—2v（到＜＋＜0》所以［警｜′≤0.
x4
令g（x）＝翌（x＜0）》则函数蔚（x）在（ˉ°。,0）上单调递减
由／（砸＋20l5）ˉ（加＋2015）丫（-l）＞O’且加＋2Ol5＜O’
可得仰i删＞锦,即:（狮＋20l5）＞g（—!）,
又因为g（x）在（-印,0）上单调递减’
所以m＋20l5＜—l,
即m＜—20l6°
｜l66
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C‖∧P「［R02
函数的概念与基本初等函数
故本题正确答案为C°
［易错项】D
【易错项被选择比例］2l％
9. C
［解析】本题主要考查函数综合和数列的递推与通项.
已知α｜＝—l』寺-2×守＋l,
所以α2＝-3’ α3＝-7’ α4＝-l5’ α5＝—31, α6＝-63°
因为颜数′｛x）为奇瞒数′且′（÷ˉx）二′（x）』
所以′（x）≡′（x＿;）＝′（3＿x）＝／｜躯—3）』
所以／（x）是以3为周期的周期函数,
所以／（α5）＝／（-31）＝／（2）≡ˉ／（-2）＝3,／（α6）＝／（-63）＝／（0）＝0’
所以／（α5）＋／（α6）≡3°
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例】32％
B
［解析］
［解析］
10
本题主要考查函数综合°
蔚已知得当…卿函数′（…＿2甄ˉ｜胸.′…诡（鞭）—｜rˉ2蜒共曰隐:Ⅱ
A项’九［／（0）］＝儿（—1）＝2,／［／b（0）］＝／（ˉ1）＝2,所以几［／（0）］＝／［／〉（0）］’A项成立。
B项,／b［／（l）］＝jj（ˉ2）＝2,／［／b（l）］＝／（—2）＝7’所以几［／（l）］封［／》（1）］
’ B项不成立.
C项,几［／》（2）］＝几（ˉ1）＝2,／［／（2）］＝／（ˉl）＝2,所以几［／i’（2）］＝／『（2）］, C项成立°
D项,九［／j（3）］＝几（2）＝ˉ1’／［／（3）］＝／（2）＝ˉl ,所以几［／》（3）］＝／［／（3）］’D项成立.
题意要求选择不成立的选项°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例】22％
l1B
［解析］本题主要考查函数综合°
因为′（蕊）＝蜒爵ˉ;x2＋;x十百二（x—当）］＋i』且′（x）＋′｜｜—x）二｛蜒ˉ击）割＋÷＋（l—xˉ÷）］＋÷
1
l』所以∑:2｛y（赤）＝′（赤）＋′（而了7）＋＝ˉ旷｜器）十′（滞）＝『（赤）＋′（器）］
2
＝
＋『（页6T7）＋′（湍）］＋…十［′（器）十′（器）］二去×竿二504.
2
故本题正确选项为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］27％
l67瓣
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高
考
数学…
l2B
［解析］本题主要考查函数的概念与性质°
由／（x＋l）＝2／（x）知,／（x＋I）＝2′／（x）
’
′eZ°
即／（x）＝2′／（x—『）
’
『eZ’
当蕊e（0. ］］时』′（x）-x（憋ˉ］）二x2—鞭-（xˉ蛊）z＿出,
此时′低）e｜ˉ箭.0］』
当x≤0时』f｛鞭）匡［—i×1.0］,即′（x）巨［—;.0］』
则xe［｜.2）时』／（x）匡［—去.0｜』
X巨［2,3）时,／（x）e［—l’0］
’
若γx匡（＿°°.砸｜』′（x）≥—:｀
则″!maxe（2,3）,
当x巨（2,3）时,／（x）＝4／（xˉ2）＝4（xˉ:）2—｜,
令4（箍ˉ;）2—｜≥—:』解得鞭≤;或x≥:』
出干x巨｜;,:｜时』4卜ˉ;）:—｜e｜＿l.＿:｜』
7
则″!max＝3°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］l9％
〔
［解析］本题主要考查函数的概念与性质、
［解析］本题主要考查函数的概念与性质、
l3
对数与对数函数以及指数与指数函数°
因为／（x）在R上是偶函数,
所以／（-x）＝／（x）°
由己知,′（‖。g』k）＝f（ˉ｜。g蔚4）＝′（‖。g34）,
3
2
囚为l。g34＞0, 2ˉ:-（去）琶＞0』2—;＝（当）司＞0』
3
2
所以只露比较｜°g』4’ （当）舅｀（去）’的大小即可.
3
2
｜°g蓟4＞｜°g』3＝｜
』（当）∑＜］』（去）爵＜｜』
且对于函数／（x）＝αx’
当0＜α＜l时,在（0,＋四）上单调递减’
3
2
所以（÷）,＜（当）夏,
l68
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C∩∧P「［R02
函数的概念与基本初等函数
2
3
所以（÷）置＜（当）’＜｜°g乳4.
又因为／（X）在（0,＋m）上单调递减’
所以／（2—:）＞／（2—;）＞′（!°g』i）
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l9％
C
［解析】
［解析】
14
本题主要考查函数的性质°
因为／（x）是奇函数’所以／（-x）＝√（x）,
所以g（＿x）＝-矿（一x）＝矿（x）＝g（X）,即g（x）为偶函数’
又／（x）在R上递增’所以g（x）在［0,＋m）上递增°
α＝g（-log25。l）＝g（log25.l）
’
由对数函数y＝lOg2X的性质知’
3＝log28＞log25·1＞log24＝2＞2o。8’
所以C＞α＞b。
故本题正确答案为C°
［易错项］A
［易错项被选择比例］26％
l5. D
［解析】本题主要考查函数综合°
由指数函数y＝O6x得图象可知’当x＜0时, y＞l
,
所以0.6ˉ了＞l°
曲丁函数γ＝sm鞭在（0,÷）上单调递增』又0＜1＜音＜昔,
所以sm＋＜sm百＝页.
汀
l
函数y＝log25x在（0,＋。。）上单调递增’又但百＜l.7＜25’
所以当＝l。g2舅瘁＜l°g辈L7≤l,
所以b＜C＜α。
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例】27％
l6.
〔
［解析】本题主要考查函数综合.
若α≤0’则／（x）＝X2-α’／（x）在［＿l,l］的最大值为l一α’
即lˉα＝α』所以α＝÷,此时不成立’所以α＞0.
～
当α＞O时,函数／（x）的图象如图所示,
l69;
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离
考
数学…
由｜x2ˉα｜＝α可解得x＝0或x＝±但∏’根据图象和在［＿l’ 1］上的最大值为α的条件’可得
但页≥｜｀解得α≥当.
｜
／
广
｜
｜
术
｜
＼
士
←
Ⅺ
—lO｜
l
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】23％
l7° D
［解析】本题主要考查函数综合°
l
函数′（x）＝（x—盂）…可以看作是g（憨）＝xˉ＋（—』…≤万且x≠0）利h倾）＝c°sx（—河≤
X≤汀且x≠0）两个函数的乘积°
对于8（x）函数,其在（-刀,-l）为负,在（—l,0）为正’在（0,1）为负,在（l,汀）为正°
对于删（x）函数’其在（—厕.—晋）为负》在（ˉ昔.昔）为正’在（昔,厕）为负.
故函数／（x）在（—河,ˉ哥）为正,在（ˉ昔’—l）为负,在（—l,0）为正’在（o’l）为负』在（l,吾）为正’
在（苦,汀）为负。
综上所述只有D项符合题意°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］20％
｜｜（C‖∧p「［R3〕立体几何初步
■「勇T】苇］空间几何体
∧
【解析】
【解析］
~
~
~
~
~
~
~
~
~
本题主要考查空间几何体°
由三视图可知’该组合图形底部为＿个长2’宽2’高1的长方体,表面积为2×2×2＋2×1×4＝l6;
上部为＿个底面半径为1 ,高为1的半圆柱体,表面积为冗厂2＋（叮厂h）＋（2厂h）＝2＋2冗°其中重合部
分面积为2×备′2＝厕厂2＝厕,故该几何体的表面积为｜6＋2＋2厕ˉ厕＝｜8＋厕。
故本题正确答案为A°
【易错项】C
蘸l70
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C‖∧P『［R03
立体几何初步
［易错项被选择比例］2l％
2.∧
【解析］本题主要考查空间几何体°
如图所示’在棱长为2的正立方体ABCD—AlB1C1D1中’取CCl ,DDl的中点E,F,
连接EF’BF’ BE’ C1F,BCl°
则该几何体可以看做三棱锥B＿ClEF’
由正立方体ABCDˉAlBlClDl的棱长为2可知,ClF＝BE＝但豆ˉ工ˉI百＝侣’BC｜＝｀／页豆ˉ干ˉ页页＝
2亿EF＝2’C｜E＝l ,BF＝√22＋22＋12＝3’
所以该几何体最长的棱长为BF＝3°
D｜
Cl
／
巧
dl
E
C
‘4
6
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］30％
3. C
［解析］本题主要考查空间几何体°
由于空间几何图为四棱锥’根据题目所给条件及主视图、侧视图,可以画出该几何体即四棱锥A-
BCDE的直观图如下:
其中AB」平面BCDE’BC＝DE＝2,AB＝CD＝BE＝l°取AD的中点为点O°
由于AB上平面BCDE,则AB上BD’有△ABD为直角三角形,而点O为斜边AD的中点,则
△ABD的外心与重心均为点O,且四棱锥A—BCDE的外接球圆心在过点O且垂直于平面ABD的
直线上°由于该球球心到C、E两点距离相等, 由对称性得:点O即为四棱锥A-BCDE的外接球
球心。
而AD＝√AB2＋BD2＝√AB2＋BC2＋CD2＝√l2＋22＋12＝亿,
…≡÷AD-呼,即四棱镶A—〃CoE＂外攘球半径为粤,
由球体帜公式γ-÷雨′勤得γ～÷厕（粤）,-俩丽,
A
E
C
l7l汇
‖
、
β
＝
←
｀
、
｀
■
｀
冶
｀
≠
＝
、
南
乒
＝
飞
｀
＝
夕
＝
、
＝
尸
尸
＝
、
｀
■
尸
■
飞
｜
｜
。
「
｛
｜
｜
儿
◎
尸
ˉ
飞
、
尸
／
0
′
J
J
′
J
‖
J
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燕
学
数
高
｝
考
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］24％
4D
［解析］本题主要考查余弦定理和空间几何体°
在△PAC中,设丝PAC＝0,PA＝PB＝PC＝2x,EC＝γ, x＞0, v＞0
因为点E,点F分别是PA’AB的中点’
所以EF＝÷PB＝撕,AE＝撕,
4x2＋4-4X2
在△PAC中’ cos0＝
2×2x×2
’
x2＋4-y2
在△EAC中’ cos0＝
2×x×2
’
整理得X2-y2＝-2,
因为△ABC是边长为2的正三角形,
所以CF＝佰’
又因为丝CEF＝90°,
所以x2＋y2＝3,
所以x-平′
△
所以PA＝PB＝PC＝2x＝但·
又因为△ABC是边长为2的正三角形’
所以PA’ PB,PC两两垂直,
则球O为以PA为棱的正方体的外接球’
则外接球直径为α＝佰万F＝亿,
所以球o的体积为v＝÷呵r］≡÷呵＂（罢）』＝亿河.
P
C
A
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］25％
D
［解析］本题主要考查空间几何体°
由BC2＋BD2＝32＋32＝64＝CD2知
田BC丝＋BD当＝32＋32＝64＝CD2知
5
:△BCD为等腰直角三角形,且二CBD＝90。
取CD巾点E』则点E为等腰R［△BCD的外心,且BE＝CE二OE≡1CD≡4,′E」
由于AB＝AC＝AD’有AE上CD.且AE＝√AD2-ED2＝2°
CD°
勺
垄
可
′
］
‖
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C‖∧P「匠R03
立体几何初步
则AB2-AE2＝2（）-4≡l6＝BE2’得AE上BE于点E°
因为AE上CD’AE上BE’BE上CD且点E在平面BCD内°则
AE上平面BCD’交平面BCD于点E°而点E为等腰Rt△BCD的外心’则:
△BCD的外接球的圆心必在直线AE上°
又A’B’ C’D四点均在以点O］为球心的球面上,
则Ol在直线AE上°设Ol半径为尺’则:
~
R2＝OlC2＝OlE2＋EC2’而O］E＋EA＝AOl＝R’则OlE＝R—2°
将OlE＝R-2代人R2＝OlC2＝OlE2＋EC2’ 由EC＝4可求出R＝5。
由于若球O2在球Ol内且与平面BCD相切,
则球O2直径取最大值时:球O2与球O1相切于直线AE与球Ol除点A外的另一个交点°
设球O2直径为d’则: α＝2R—AE,
代人R＝5、AE＝2得d＝8’
即球O2直径的最大值是8°
A
故本题正确答案为D。
［易错项］C
［易错项被选择比例］35％
D
［解析］
【解析］
6
本题主要考查空间几何体°
如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,根据三视图,画出四棱锥A′—BEDF°
l
因为s酗…厘≡｜×｜≡｜,所以Ⅵ—…;二÷×s……1＝可.
D′
‘4′
C』
′
′
B
D
~~~~
B
C
E
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］30％
7.
B
［解析］本题主要考查空间几何体°
l73爵
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高
考
数学…
设圆锥母线长为／’底面圆的半径为厂,
s侧圃＝÷′′恿＝当×等×′2≡3汀』解得′＝3′
因为圆饿的母线′与底面圆的半径厂满足!等二2汀′′解得萨＝｜
』
所以这个圆锥的高是h＝√歹＝ˉI百＝2但,
故倒锥的伸积v—÷呵′2〃＝孪.
故本题正确答案为B°
［易错项］D
［易错项被选择比例］l0％
8.∧
［解析］本题主要考查空间几何体°
三棱锥A—BCD的＿条棱长为α,其余棱长均为l
,
则此三棱锥有两个平面是正三角形,
设底面BCD是正三角形’
则另＿个正三角形绕底面BCD的一条边旋转, α的值随之变化,
因为底面面积不变’当三棱锥的高最大时,体积最大,
所以当这个旋转的正三角形与底面的正三角形垂直时’二棱锥的体积最大°
如图所示’平面ABD上平面BCD’AC＝α’分别取BD’AC的中点E,F
连接AE’ CE’EF’
因为△BCD和△ABD都是边长为1的正三角形,E为BD的中点’
~厅
所以巫＝ED＝÷』AE＝cE＝粤』
则＾C≡√A″千6厘≡f,″-l刹C-乎
又因为F为AC的中点’AB＝BC’
所以‘F-√A醉—A′型—平,
三棱锥外接球球心到A、B、C、D四点距离相等’
而直线EF上的点到A、C的距离相等,到B、D的距离相等,且AE＞BE,
所以三棱锥外接球的球心在线段EF上,
如图所示,在线段EF上取点O’连接BO’AO,
设三棱锥外接球的半径为尺,
在△AOF中, 由勾股定理得AF2＋OF2＝R2@,
在△BOE中’ 由勾股定理得BE2＋OE2＝R2@’
又o在线段E′上测o闺十o′-鹰F-｀′A睡—A砰≡乎。
联立酗酗,解得腮2＝告』
所以三棱锥A＿BCD的外接球的表面积为4刀R2＝孪.
〕
AF＜BF,
厂■l74
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C‖∧P「［R03
立体几何初步
d
B
C
D
故本题正确答案为A°
【易错项］C
［易错项被选择比例］3l％
9. C
［解析］本题主要考查空间几何体°
由三视图可推断几何体为一个挖去左下角和右上角两个八分之一小正方体的大正方体。
设大正方体边长为α』因此;倒』＝l2但’所以‘!＝2但’
设几何体的表面积为（2但）2×6＝48。
故本题正确答案为C.
［易错项］B
［易错项被选择比例】22％
l0·C
［解析】本题主要考查空间几何体。
如图所示,该三视图表示一个三棱柱底部除去＿个三棱锥的几何体’即图中除去阴
何体的体积为三棱柱的体积减去三棱锥的体积°
1O
则v＝v三镶幢ˉv三撞镶＝s′:｜—÷shz二（当＂2×2）×2—l×（1×2翼2）×l＝丁.
即图中除去阴影的部分,则该几
＝2→深
~
~
］
故本题正确答案为C°
l75蕊｜
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高
考
数学韶
［易错项］B
［易错项被选择比例］27％
l1.
B
［解析］本题主要考查空间几何体°
由三视图可知该几何体是底面为直角三角形’一条侧棱垂直于底面直角顶点
将其扩展为长方体,两者有相同的外接球,且其对角线为外接球的直径2R,
设三棱锥高为x,
所以32＋52＋x2＝（2R）2’
又因为外接球的表面积为50汀cm2’
所以4汀尺2＝50汀’
联立上式解得x＝4,
所以三棱饿的体积为v＝堤×3×5×4二｜0cm』.
一条侧棱垂直于底面直角顶点的三棱锥,
5
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］33％
■「霓了壳］点｀直线｀平面的位置关系
l.D
【解析］本题主要考查点、直线、平面的位置关系°
因为平面BM／V∩AAl于点Q,
所以平面BM／V∩平面AAlB［B＝BQ’
因为平面CClD］D／／平面AA｜BlB,平面BM／V∩平面CClDlD＝M／V’
所以BQ／／M／V,
同理可得:
／VQ／／MB’
所以四边形BQⅣM是平行四边形,
所以BQ＝MⅣ’
取DDl的中点G’连接MG’
因为正方体的棱长为2’点M为CCl的中点’点／V为线段DDl上靠近D｜
勺
所以MG＝2’D｜′V＝;』D｜G＝l
’
所以′vG＝h—;＝』.
因为AB＝MG＝2’BQ＝M／V,
所以Rt△BAQ≡Rt△MGN,
所以AQ≡″G＝÷.
的三等分点,
｜l76
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C∩∧P『［R03
立体几何初步
C］
Bl
／
~
~
~
~
~
~
~
~
凸
Ⅳ
○
M
B
C
D
A
故本题的正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］25％
2.
B
［解析］本题主要考查空间几何体和点、直线、平面的位置的关系°
由于四面体ABCD为正四面体’则AO上平面BCD°
连接DO,取DO中点为Ⅳ’连接MⅣ、B／V°
由于M是棱AD的中点,则MW／Ao,且M｀′＝÷Ao,Mv上平面BCD
有么MⅣB＝90。,即△MBⅣ为直角三角形,且BM为斜边°
故异面直线BM与AO所成角即为乙BMⅣ°
设正四面体的棱长为4,而AO为正四面体ABCD的高’
｜
则Ao＝｛孵ˉ｛号＂2归）2＝÷亿』
〕
有Mv＝;亿』
而BM＝√工ˉ二ˉ玉＝2归,
MV
亿但
则cos二BMⅣ＝F丽币＝丁。
＝＝
A
B
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］27％
3.
〔
【解析］本题主要考查空间几何体和点、直线、平面的关系°
如图所示,因为H为A点在侧面PBC内的射影’所以AH上平面PB◎
作BH上PC于E’由垂心的定义知, PC上BE’
又因为PCˉLAH’BE∩AH＝H’所以PC上面ABE,
l77灌
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数
高
考
设点P在平面ABC内的射影为O’
则PO上平面ABC,OC为PC在平面ABC上的投影,
又因为PC上面ABE,AB上PC’
由三垂线定理的逆定理得CO上AB于F°
同理BO上AC,故O为△ABC的垂心,
又因为△ABC为正三角形,所以O为△ABC的的中心,
所以PA＝PB＝PC.
因为PA＝PB＝PC’F为AB的中点’所以PF」ˉAB’
又因为CF上AB,所以么PFC即为二面角P-AB-C,
在△ABC中CF＝3, O为△ABC的的中心,
所以CO:OF＝2: 1’所以OF＝l’
在Rt△POE中’二面角P-AB＿C的大小为60。,
所以斜边PF＝2’
所以在Rt△PA′巾』AF≡告AB＝侣’PF二2』根据勾股定理得PA-行.
型4
C
B
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例］37％
4D
［解析】本题主要考查空间几何体和点、直线平面的位置关系°
如图所示’由题知AE＝l ’则BE＝AB-AE＝2’
所以在三棱柱中』△ABE为直角三角形,AB＝√AE2＋BE2＝√F了歹＝佰』
所以S四边形ABcD＝AB×AD＝5』多出的侧面积为S四边形ABcD＝5’原矩形面积为AB×AD＝3×归＝
3佰。
所得三棱柱ABEˉDCF的侧面积比原矩形ABCD的面积大约多5÷3佰≈75％。
E
A
B
佰
C
D
□
｜l78
Fl
≥
尸
、
尸尸≥≥占尸尸卢
｀｀飞飞b
乒≥
、
＝卢尸
｀飞
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C‖∧P『巨R03
立体几何初步
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例】23％
5. C
［解析】本题主要考查点、直线｀平面的位置关系°
当E位于B1 ,而F在CAl上移动时’M的轨迹平行于A｜C,
当E位于A,而F在CAl上移动时’M的轨迹也平行于A｜C°
同理,当F位于Al ,而E在BlA上移动时’M的轨迹平行于B］A’
当F位于C’而E在B1Aˉ上移动时,M的轨迹平行于BlA,
其他情况下’M的轨迹构成平行四边形ⅣMPo内部区域,如图所示,
所以｜L｜＝2×画× ｜面AB｜
｜翼｜去CA｜卜sm0＝÷｜AB｜‖CA｜卜sm0
l
1
」4l
Cl
C
B
故本题正确答案为C°
【易错项］B
［易错项被选择比例］28％
6D
〔解析］本题主要考查点、直线、平面的位置关系°
A项’在翻转过程中,点A与点C恒不重合’故A项错误°
B项,在翻转过程中’点A与点C的最大距离应为正方形
错误°
C项’直线AB与直线CD不可能垂直’故C项错误.
D项,当平面ABF和平面DCE都垂直于平面BEDF时外
故本题正确答案为D°
［易错项】B
［易错项被选择比例］28％
点A与点C的最大距离应为正方形
√页AB,故B项
ABCD的对角线AC＝
直线AF与直线CE垂直’故D项正确°
7· D
［解析］本题主要考查空间几何体和点、直线平面的位置关系°
取PC中点为O’连接AO’BO’如图所示°
根据题意可知’AO＝BO＝CO＝PO’即点O应该为外接球的球心°
设AO＝R’所以PB＝BO＝R’BC＝√可R』
4√可
所以二棱镶体积咋＿…-÷×当尺×佰R蕊R≡丁.
l79镶
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岛
考
数学…
解得R＝2’
所以外接球体积v二轴』＝字.
O
么4
P
C
B
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］29％
8D
［解析］本题主要考查点、直线、平面的位置关系°
A项’如图l所示’ ／2与／相交’故A项错误°
B项,如图l所示,
′l／／／’ ′l与／不相交,故B项错误°
C项’如图2所示,
′分别与／l
、′2相交,故C项错误°
D项,假设／与′l 、′2不相交’因为′与／l共面且／与′2共面,所以′l／／′／／′2,这与／1
、′2为异面
直线相矛盾,故′至少与／｜
、／2中的＿条相交’故D项正确°
／
＼＼′垦》＼
＼′2
图］
／
》
∑
八
叭
图2
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］27％
9.
B
［解析］本题主要考查点、直线、平面的位置关系°
如图l过点D作DOˉL平面ABC’垂足为O,再过点O分别作PO、
DO
DO
为F、G、E,连接EF’DF’DG’则tanα＝百万’ tanβ＝万庐’
将底面的平面图展开如图2所示,以P为原点建立平面直角坐标系,
~
~
~
Q尺、RP的垂线段’垂足分别
DO
tanγ＝百百°
』
｝l80
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C‖∧P『［RO3
立体几何初步
不妨设州（—!,0｜,则B｜｜｀0｜｀C（0.侗）,◎（o,亨‖
酗A′≡′厨,器-署-2,
（拌）R（碧）
所以Q
~厅
~厂
~~厂≡
则′…-ˉ争’ ′′凰; γ＝2伍′ ′m; ’二丁x＋丁’
归
5归
~厂---
~厂---
根据佩到直线的距离公式’知oE＝等』o尸-罢′oG-÷’
所以OE＞OG＞OF’ tanα＜tanγ＜tanβ
又显然α、
β、γ为锐角,所以α＜γ＜β°
D
C
A
B
图l
γ↑C
A
Bx
P
图2
故本题正确答案为B°
［易错项］C
【易错项被选择比例］3〔）％
l0.
〔
［解析］本题主要考查点、直线平面的位置关系°
A项’若′／／α, α∩β＝m’从而mCα’则／与矾平行或异面’故A项错误.
B项’若′／／α’m／／α,则／与″Ⅱ相交、平行或异面均有可能’故B项错误°
C项,若／上α,砸／／α,则由线面垂直的性质定理得／ˉL砸,故C项正确°
D项’若′／／α’加上／,则m与α相交、平行或″〗Cα均有可能’故D项错误·
故本题正确答案为C°
［易错项］B
【易错项被选择比例］l4％
｛
～
通
碉
圈
］
吕
｜
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~
~高
~
考
数学…
B
［解析］本题主要考查直线、平面的位置关系°
A项’若α中的无数条与β平行的直线互相平行时,不可以证明α／／β,
B项’由平面与平面平行的判定定理可得:＿个平面内的两条相交直线分贤
个平面平行,故B项正确°
C项’如图,此时α与β平行于直线′,但α与β不平行,故C项错误°
D项,垂直同＿平面的两个平面可能相交’故D项错误。
｜本题主要考查直线、平面的位置关系°
若α中的无数条与β平行的直线互相平行时,不可以证明α／／β,
ll
故A项错误°
由平面与平面平行的判定定理可得:＿个平面内的两条相交直线分别与另＿平面平行,则这两
／
／
故本题正确答案为B。
［易错项］D
［易错项被选择比例］ll％
l2〔
【解析］本题主要考查空间几何体和点、直线、平面的位置关系°
依题作出图形’如图所示:
P
〃
C
l
由球的表面积公式可得S＝4冗厂2＝
由球体的性质叮知,该三棱锥P一
田球体的性质叮知’该三棱锥P—
l6冗’可知厂＝2’
ABC的以△ABC为底面的高／tpˉABc≤OP＝2’△ABC以AC
为底边的高hAc≤厂＝2,
故当三棱锥P-ABC体积最大时’PO上平面ABC’BO上AC’
此时△ABC为等腰直角三角形,过圆心O作OD」AB,连接PD’则pD」ˉAB,
即经PDO即为二面角PˉABˉO的平面角,PO＝2,OD＝AOsin45。＝但’PD＝√刁丁页＝亿’
所以s…o≡谎-乎
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］29％
l3. C
〔解析］本题主要考查点、直线、平面的位置关系。
｜
｜182
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C∩∧P『［尺O3
立体几何初步
@项,因为直线AAl ／／平面α’平面AAlB1B∩平面α＝EH’所以AA1／／EH,同理AAl／／FG,所
以FG／／EH’又FG＝AAl＝EH’所以四边形EFGH是平行四边形,故@项正确;
@项,如图所示’平面α与平面BCClB］不一定平行’可能相交,故@项错误;
O项’因为ABc—AlBlcl是直三棱柱,所以AAl上平面ABc’由@知AAl／／EH,所以EH上平面
ABC,且EHc平面α’所以平面α上平面BCFE’故O项正确·
Al
兰尘肾b
｜
0
B］
l
B
（
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例】20％
B
［解析］本题主要考查点、直线、平面的位置关系°
设正方形边长为2α,
则DC＝ED＝EC＝2α.
如图所示,取DC中点为Q’连接EQ,ⅣO,
则″Q-去BC＝α.
在正三角形ECD中,EQ上DC,
鹰Q-粤gC-佰α.
又因为平面ECD上平面ABCD’
平面ECD∩平面ABCD＝CD’且EQ上CD’
所以EQ上平面ABCD’
所以EO上ⅣQ’
所以在Rt△EQⅣ中,
E″-｜（佰α）壁＋α2-2侧.
再取DQ中点P’连接MP, BP’
3
则CP＝;CD＝百·.
在△EDQ中’MP为中位线
所以″′→EQ≡粤α.
在△…E′ˉ｜（;“｜…｜:ˉ:必
又因为平面ECDˉL平面ABCD,
平面ECD∩平面ABCD＝CD’MPˉLCD’
所以MP上平面ABCD’
即MP上BP,
l4
l83
｛
＾
斟g｜
≈≈■飞
『
≈四、
E
夕
′
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蕊
~
考
数学…
｜（
∑
）
α
佰
—
∑
（
＋
旦
＼
｜
‖
／
α
日
＿
∑
＝行α’
所以在Rt△BPM中,BM＝
所以BM≠E／V°
连接BD’因为EⅣ’BM分别为△DBE的边BD’ED上的中线,
所以BM’E／V应是相交直线°
儿
B
D
故本题正确答案为B°
［易错项］D
［易错项被选择比例】l7％
□「勇ˉIJ苇］空间直角坐标系
l. C
［解析］本题主要考查空间直角坐标系°
以垂直于BC的万问为x轴’BC为y轴’BB｜为z轴建立空间直角坐标系.则西＝
（0’ l’ l）
Bl （0’0, 1）
’
由于丝ABC＝l20°’则yA＝ABcosl20。＝ˉl, xA＝ABsjnl20。＝佰.
即A（佰’—］’0）’I瓦＝（ˉ佰,l’ l）
’
设异面直线AB］与BCl所成角为0’
AB｜.BC｜
1＋l
√I6
＝
＝
干Z
Bl
C｜
〃l
A
h
故本题I［确答案为C°
【易错项］B
［易错项被选择比例］22％
瀑l84
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C‖∧P「［尺03
立体几何初步
2.∧
【解析］本题主要考查空间直角坐标系°
如图所示,若固定正四面体p—ABC的位置’则原点O在以AB为拦
设AB的中点为M,则｜PM｜＝但丁＝ˉF＝侣’
所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径’最大距离
所以归ˉl≤｜OP｜≤√可＋l ,则｜OP｜的取值范围是［佰—l,归＋l］。
P
则原点O在以AB为直
最大距离是
径的球面上运动,
PM加上球M的半径,
x
O
故本题正确答案为A°
［易错项］C
〔易错项被选择比例］27％
四｜雨｜空间向量及具运算
l.∧
［解析］本题主要考查平面向量的线性运算和平面问量的数量积°
因为｜司＝2’
｜b｜＝屏b≡3,
所以设厅＝（l,佰）
’ 〗＝（3’0）’再设百＝（x’y）,
由（唇＿2卧（冒ˉ争）≡0』得（鞭＿2.’—2佰）（蜒—2.y）-0』
即（x-2）2＋（y—佰）2＝3′
所以旨的终点在以（2,佰）为圆心’以佰为半径的圆上’如图所示
）′』
‘4
C
→
℃
←
Ⅺ
O｜
了
B
因此｜B一司的最小值是｜BC｜的最小值,
即B到圆心A的距离减去半径｜AC｜,所以｜石-司的最小值是
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例】34％
｜
γ
（2＿3）2＋（佰—0）2ˉ佰＝2ˉ佰.
l85Ⅱ~.
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…
学
数
高
~
考
∧
［解析］本题主要考查空间向量及其运算°
如图所示’知丽＝Ⅱ刀-】II了
-＿→
1＿ˉ-·
l—ˉ→＿---→
＝AB＋面BB1-亏（AB＋BC＋CC1）
O
-;丽—÷灭十;丽了′
则｜丽｜2＝顽2
＝（;硒ˉ捶十÷雨）2
＝;硒2＋＿;元2＋六丽了2—;丽灭—;元豆面＋;丽硒
二器α2』
所以｜M｀′｜≡厚幽.
2
D｜
Cl
／
」／
Al
Bl
｜M／′
D』ˉ且～～～～～ˉ0ˉ～-
′
′
′
〃
f
√
″
′;′
′′孩
′／′
／
Ⅳ
卜＝■
■■＝＝■＝C
／
4
B
故本题正确答案为A·
【易错项】C
［易错项被选择比例］26％
3.∧
［解析］本题主要考查直线与圆锥曲线和空间向量及其运算°
山双曲线茶ˉ盖≡1 （α≥0’ 6＞0）』可设A（0,b）,郧
所以过F,A的直线方程的斜率为比＝h’
C
所以直线FA的方程为y＝h（X＋c）@,双曲线的＿条渐近
C
｜｝二拿…（…｜尚会）
联立
由丽『＝（但ˉ1）2I万’代人得c＝（但ˉ1）—旦三
C—α
易知
双曲线的＿条渐近
左焦点F（-C,0）
上x@）
α
线方程为V＝
整理得c＝但α′所以e＝旦＝但。
α
田186
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C‖∧P『［尺03
立体几何初步
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例】28％
□「霓而韧空间向量的应用
1. C
［解析】本题主要考查空间几何体、空间向量及其运算°
依题意可建寸窄间直角坐标系如图所示’
Cl
d］
C
＝-—
v
B1ˉˉˉˉˉˉˉˉˉ
≥≥
A
／
D
X
则B（0,0,0）’A（2’0’0）’设AD＝）′’则Dl（2,y’2）’C（0,）′,0）;
设P（x,0’0）’则有可＝（xˉ2’—y’—2）,PC＝（—x’y’O）
’
由D｜P上PC可得可~元＝0’
即（x—2,＿y’-2）.（一x,y,0）＝0’化简整理得（x—1）2＋y2＝l;
又因为y＞0,所以有y巴（0, l］,
即AD的取值范围为（0, l］°
故本题正确答案为C。
［易错项】B
［易错项被选择比例］26％
2.
〔
［解析］本题主要考查空间几何体和空间向量的应用°
根据三视图可知该三棱锥如图所示’建立如图所示空间直角坐标系°
CA＝（2,0,-2）’CB＝（0’2,—2）’设平面ABC法向量为万＝（x,y’z）
则｜票二‖,令:≡｜,贩≡｛山‰
又因为而＝（2’2,—l）,
所以点D到平面ABC的距离为″＝匹三g＝归,
｜刃｜
等边三角形ABC的面积为S＝2佰,
因此三棱锥的体积为V＝斗×2归×佰＝2.
〕
l87疆
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…
学
数
离
考
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］41％
胆Ap丁［RJ）平面解析几何初步
□「勇T7韦］直线与方程
l〔
［解析］本题主要考查直线与方程°
当α＝0时’直线αx-y＋1＝0’即直线y＝1,
此时过点P（l,2）且与直线y＝1垂直的直线为x＝l’
而x＝1与圆相交,不满足题意’所以α＝0不成立°
当α≠0时,过点P（l’2）且与直线αxˉy＋1＝0垂直的直线斜率为—1’
α
可设该直线方程为y—2＝ˉ1（xˉl）’即x＋αy＿2αˉl＝0’
α
再根据直线与圆相切,即圆心到直线的距离为2可得,
｜二兰≡」｜＝2’解得α-;.
√α2＋l
故本题正确答案为C°
［易错项］D
［易错项被选择比例］35％
D
［解析】本题主要考查直线与方程。
l
2
将直线x＋αy-2＝O化为y＝—-x＋-°
α
α
若直线过点A（3, l）’代人直线方程解得α＝-l ;
若直线过点B（｜,2）’代人直线方程解得α＝斗.
＝
2
则当αe［ˉl,当］时,直线…栅—2＝0与以A（3, l）‘（l.2）为端点的线段有公共点.
故没有公共点时, α巨（—。°,—l）0（当,＋。°）.
｜l88
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C‖∧P「［R04
平面解析几何初步
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］22％
3. D
【解析］本题主要考查直线与万程°
曲线y-筐钞征怔意点切线方程的斜率为庶＝去e茅′
将蜒＝4代人′可得曲线在该点的斜率为1e2』
所以设点处的切线方程为γ＝当e赣—筐z,
该直线与横’纵坐标轴的交点分别为（2’0）和（0,—e2）,
所以该切线与坐标轴所圈三角形的面积为2×e2×去＝e2.
故本题正确答案为D。
［易错项］C
［易错项被选择比例］18％
■阿韦］圆与方程
l. D
［解析］本题主要考查圆与方程。
直线÷十苦＝l通过点P（c。s0,sjn0）,点P在圆x2＋y2＝l上’直线与圆有交点』
故厕心夏恒线的蹄离d-｜｝—‖｜
≤｜, :哇十☆≥｜.
｜歹＋庐
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］29％
O
［解析］本题主要考查圆与方程及空间几何体°
如图所示’设圆的半径为′’连接OA’OD,
由题意知AD＝÷AB＝5寸’oD＝oCˉCD＝（′—l｜寸.
在Rt△ADO中’AD2＋OD2＝AO2,
即52＋（厂＿l）2＝厂2’解得厂＝l3寸,
由s…OD-芜＝告得丝AOD≡225.』
勺
叁
刀.~
所以坐oB＝45.,则图中阴影挪分面积为s＝s扇蹿ˉs△…＝万×汀×｜32—当×｜0×｜2≈63325.
4
因为镶嵌在墙体中的部分是以阴影部分为底面,以锯刀长为高的柱体’
l89
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高
考
数学…
所以该木材镶嵌在墙中的体积为V＝S.力≈633×l00＝633（立方寸）。
墙体A
C
D
ˉO
B
故本题正确答案为D°
【易错项】B
［易错项被选择比例］36％
3.D
［解析］本题主要考查圆与方程。
由题可得到如图所示的直线与圆的图象’
设A（xl ,yl）,B（x2,y2）,
由三角函数的定义得,
°°鼠…鼠′-…｀由｜瓣二2｜
,
4
消去y,得l7x2—4x＿12＝O,则xl＋x2＝而’
4
即COsα＋COsβ＝万°
γ
‘4（xl虱γl）
＝＝＝＝-←ˉ
x
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］28％
4.∧
［解析］本题主要考查直线与方程及圆与方程°
根据指数函数的性质,可知／（x）＝l＋log砸x恒过定点（l, 1）
’
将其代人直线方程得α＋b＝7°
由该定点始终落在圆（x＋b-l）2＋（y＋α-1）2＝25的内部或圆上,
联立方程α＋b＝7与α2＋b2＝25’
解儒｜;二戳｜:二
得α2＋b2≤25°
■19（）
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C‖∧P『［RO4
几何初步
平面解析
即点（α,b）在以（3,4）和（4,3）为端点的线段上运动,
故÷的取值范围是［;,÷］.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
【易错项被选择比例】4l％
5. D
［解析］本题主要考查圆与方程°
A项.不妨设α＝l′ bˉ2,砸＝l 』代入得删＝;＜:＝2.故A选项不符合题意.
6项曲…2…可证｀′歹丁万页≥￥…）.但直攘i圃过比较线段oD与线段CD的长度无
法证明该不等式°故B项不符合题意°
C项由α＋b≥2倾（α＞0』b＞0）可证鹊≤伍′但直掇通过比较线段OD与线段CO的
长度无法证明该不等式。故C项不符合题意°
D项,因为OD是半圆的半径’AB＝α＋b为圆的直径,所以OD＝竿’ 由射影定理可知』
CD2＝ACBC＝αb,CD＝倾′在直角三角形ODC中,OD＞CD’即竿＞倾’当O与C
重合时』竿＝顾』所以竿≥伍.故D项符合题氯
故本题正确答案为D°
［易错项】B
［易错项被选择比例］24％
6. B
［解析］本题主要考查圆与方程.
因直线x＋y＝2k与圆x2＋y2＝比2—2k＋3有公共点,
所以圆心（0,0倒直线…酞的…—碧≤｛膘ˉ…,
化简得k2＋2化-3≤0,解得-3≤化≤1°
｜诽兰:ˉ…
因为
所以αb＝（α＋b）2-（α2＋b2）
2
4代2-（∧2-2k＋3）
2
＝;庶2十k—;’
所以当k＝-3时’
（αb）max＝9°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］26％
l9l
‖
『
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曹枷
7.
〔
［解析］本题主要考查圆与方程°
将圆C的方程化为标准方程为: （x＋l）2＋（y-2）2＝2’圆心为（一l’2）,
斗
因为圆C关于直线2αx＋by＋6＝0对称,
所以圆心位于该直线上’将圆心坐标代人直线方程中,有-2α十2b＋6＝（）,
即点（α,b）在直线／: —x＋y＋3＝0上°
过C（-l,2）作／的垂线,垂足为D,过点D作圆C的切线’切点设为E,
则切线长DE最短’此时CD＝｜l＋2＋3｜＝3但,CE＝但,
但
所以根据勾股定理,得DE＝√CD2—CE2＝4。
半径为√∑
｜〕
＝
Ⅺ
刘
〕
＋
γ
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例］25％
〔〔〔什∧p丁［R引算法初步
■「勇T讳］算法的含义｀程序框图
l.∧
［解析］本题主要考查算法的含义、程序框图°
已知输出结果为y＝寻,
假设x≤｜,则”＝:.得x＝｜°gz3—｜＜｜,符合假设条件;
假设x＞｜,则2ˉl。g2x＝;.得x＝但＞h .符合假设条件;
所以输人的x的值为log23ˉl或但°
故本题正确答案为A。
［易错项］B
［易错项被选择比例］22％
2. O
［解析］本题主要考查算法的含义、程序框图°
琢］92
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C日∧P「［尺O5
算法初步
设经过x次循环后’得到Sx与αx°
则αx＝αo＋2x’ sx＝so＋αo＋αl＋…＋αx
l
’
而αo＝2’ so＝0’
则α肛＝2＋2x＝2（x＋1）,
Jx≡0＋2＋（2＋2）＋…＋2x＝x2＋x·
由于每次循环后’先判断条件,再进行″＝n＋l步骤’而在开始阶段网＝l ’因此在停止循环时,恰
好循环了门次°故在停止循环时,输出s与〃的关系根据sx＝x2＋x可以表示为:
J＝″2＋门°
A项’若条件为〃≤7?,则在川＝1,即l次循环后便输出J＝2≠56,故A项不符合题意°
B项,若条件为〃＞7?,则在门＝8时停止循环’输出S＝82＋8＝72≠56,故B项不符合题意°
C项’若条件为门≤6?,则在门＝l ,即l次循环后便输出s＝2≠56’故C项不符合题意°
D项’若条件为Ⅺ＞6?,则在∏＝7时停止循环’输出s＝72＋7＝56,故D项满足题意°
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］27％
3.D
［解析］本题主要考查程序框图和数列综合°
根据题意,偶数项是序号平方再除以2,奇数项是序号平方减1再除以2,可知第＿个框应该是“门
为奇数”,执行程序框图,
川＝l
, S＝0;
〃＝2, S≡2;
川＝3, S＝4;…;
″＝99’ S＝992—l
2
,
l002
门＝1O0’ S＝-了;
＝
门＝l01＞100’结束,所以第二个框应该填′!＞l0（）°
故本题正确答案为D°
［易错项】B
［易错项被选择比例］32％
4. D
［解析］本题主要考查程序框图°
已知r＝l ’M＝l00’ S＝0进人循环:
第厂次循环s＝s＋M-｜00,M＝—船-ˉ｜0｀′≡′＋l＝2,囚为此时s＞9l,故必存在第＿
次循环,所以『≤Ⅳ成立,即2≤Ⅳ;
第＿次循环; s-s十M＝90,″＝ˉ揣＝l , ′＝′＋l＝3,因为此时s＜9l』故此次循环为最后
—次循环,所以『≤Ⅳ不成立’即3＞Ⅳ。
所以2≤Ⅳ＜3’所以输人的正整数Ⅳ的最小值为2°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例】2l％
5°
〔
【解析］本题主要考查算法的含义、程序框图°
l93罐
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″
学
数
高
~
考
第ˉ步; ″ˉ3』‘≡3×…0.-手≤3M』迸人循环;
第二步:
刃＝6, S＝6×cos60。＝3＜3』4,进人循环;
第三步:
″＝l2’ S＝l2×cos（90°—15°）＝12sin15°＝12×0.259≈3108＜314,进人循环;
第四步:
门＝24’ S＝24×cos（90。-75。）＝24sin7.5·＝24×0.l3l≈3』44＞3.14’跳出循环°
输出门＝24°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
【易错项被选择比例］38％
6O
［解析］本题主要考查算法的含义、程序框图°
按程序框图执行程序可得:
~厅
第—次; ″＝6』s-3×sm60.＝半≈z60,不满足条件s≥3」0,继续循环』
第二次: 门＝l2, S＝6×sin30。＝3,不满足条件S≥3.l0,继续循环;
第三次: 门＝24, S＝12×siIIl5。≈l2×02588＝3』056,满足条件S≥310’退出循环’输出门
的值为24.
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］22％
C
［解析］本题主要考查对数与对数函数和算法的含义、程序框图°
输人T＝1
’
k＝2’
经过第＿次循环’T＝l×log24, k＝4;
经过第二次循环, T＝l×log24×log46, 此＝6;
得到规律T＝l×log24×log46×…×logk（k＋2）
≡｜×｜°戳4＼｝莹:γ…′｜°浩2）
＝log2（此＋2）,
令T＝6,解得k＝62,
即当k＝k＋2＝64时需要退出循环,
所以判断框内应为k＜64°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
【易错项被选择比例］25％
7
′
B
【解析］本题主要考查算法的含义、程序框图°
由题意X＝l , y＝l进人循环:
第＿次循环:不满足y≤0,所以y＝x-3＝—2’ x＝2,不满足y＝
弟＿次循讨、:个满足y≤0,所以y＝x-3＝—2’ x＝2,不满足y＝
8
1,继续循环;
第二次循环:满足y≤0’ y＝x＋l＝3’ x＝4;不满足y＝l,继续循环;
第三次循环:不满足y≤0, y＝x-3＝l
’ x＝8’此时满足y＝l,跳出循环°故输出x＝8°
臣l94
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C‖∧P「［RO5
算法初步
故本题正确答案为B°
［易错项】A
［易错项被选择比例】36％
9.∧
［解析］本题主g
由题意知’要求
本题主要考查程序框图°
＂｀婆求2十士的结果
2＋1
嘴A＝去′ k二｜时』满足k≤2,
刚算生击≡圭娜.〔
此＝∧＋1＝2’满足k≤2’
1
l
＝
2＋1
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］ll％
〔
［解析］本题主要考查算法的含义、程序框图°
1
当s≡l , x＝页＜6’继续循环’
1
l
当s＝l＋刁, x＝耳＜c,继续循环,…,
因为￡＝志』所以鄂蜒＝岩时才能输出结果
l
即』＝1＋÷六＋…十示』
所以‘为首项为l,公比为当的等比数列的前7项和.
l0
丁
＼
｀
‖
·
／
刮
』
—
勺
～
／
‖
□
‖
｀
＼
］
◎
］
—
”
’
～
~~
T＝
l
l-页
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例］l6％
l95
;
｝
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…
学
数
高
考
□「蔚0亏］基本算法语句
l. C
［解析］本题主要考查算法的含义、程序框图及基本算法语句°
第—次循环: S＝S＋2k＝0＋2＝2, 代＝此＋l＝2’满足S＜加;
第二次循环: S＝S＋2化＝2＋2×2＝6’ k＝k＋l＝3’满足S＜″Ⅱ;
第三次循环: S＝S＋2k＝6＋2×3＝l2’
此＝此＋l＝4’满足S＜′′o;
第四次循环: S≡S＋2k＝12＋2×4≡20, k＝火＋l＝5’满足S＜加;
第五次循环:S＝S＋2＊＝20＋2×5＝30,k＝k＋l≡6,不满足S＜″!,输出结果°所以20＜′″≤30。
故本题正确答案为C。
［易错项】B
【易错项被选择比例］24％
2° D
［解析］本题主要考查算法的含义、程序框图°
该橇序可以写吨吓分…｜｝二骂:带…＂｜
（X＜0）,其函数图象为
ˉ
工
＼
＼
＼
＼
∑
◎
从图上可得’任意输人＿个X,输出的y≤l°所以不可能输出2°
故本题正确答案为D°
［易错项】A
［易错项被选择比例］25％
｜｜（〔∩Ap丁［R6〕统计
C‖∧P丁［∩6
□「霹T节］随机抽样
D
［解析］本题主要考查中位数的概念°
因为中位数是出现在概率为0。5的地方’
囚力中位数是出现在概率为0。5的地方’
l
所以根据频率分布直方图我们可初步判断出中位数位于最高
的矩形之内;因为频率分布直方图中矩形的面积总和为l ,那么中位数之前的矩形面积之和应为O5》
因此设中位数为箍,则α02×4十α0圈露4＋（蜒—10）蕊009＝05’解得x＝粤』即中位数为嘿.
故本题正确答案为D°
易错项分析:本题考查的是频率分布直万图,在频率分布直方图中找到中位数,解决这种类型的问题
必须牢牢记住: 1、条形图中每个矩形的面积即为该组频率; 2、所有矩形的面积之和必为1°通过面
积比例找到中位数的位置是处理这＿类型题目的通法°
【l96
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C‖∧P「巨RO6
统计
［易错项］B
［易错项被选择比例］26％
□「霓五苇］用样本估计总体
l° C
［解析】本题主要考查用样本估计总体。
由茎叶图可以得到:
酗页嘲＝;（59＋45＋32十38＋24十26＋U＋l2刊4）＝29;
@灵乙＝;（5l＋43＋30＋34＋20＋25＋27＋2冈＋l2）-30;
os命＝;［302十｜62＋32＋92＋（—5）2十（ˉ3）2＋（ˉl8）2＋（ˉ｜7）2＋（—l5）2］≈2353;
@s艺＝;［2｜2十l32＋02＋42＋（＿l0）2＋（ˉ5）2｛ˉ （ˉ3）2＋（ˉ2）2＋（ˉl8）2］≈l2o9;
甲的中位数为:
26’乙的中位数为28°由以上可知:
A项’
甲的平均数小于乙的平均数,故A项错误;
B项,甲的中位数小于乙的中位数,故B项错误;
C项’
甲的方差大于乙的方差,故C项正确;
D项,
甲的平均数不等于乙的中位数’故D项错误°
故本题正确答案为C。
［易错项］B
［易错项被选择比例］26％
∧
［解析］本题主要考查用样本估计总体°
7个数的平均数为4’故样本总和为4×7＝28,加人＿个新数据4,
7个数的平均数为4’故样本总和为4×7＝28’加人＿个新数据4,
2
此时样本总和28＋4＝32’
平均数为32÷（7＋l）＝4,故了＝4;
加人新的数据后,因为平均数不变,所以各样本值与平均值之差的平方和变成7×2＋（4—4）2,
故＂2＝7×2＋（4—4）2＝】＜2.
8
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］20％
3.∧
［解析】本题主要考查用样本估计总体°
A项’中位数是以通过排序后的最中间＿位数,不受最大、最小两个极端数值的影‖间°故A项正确』
符合题意°
B项’平均数是指一组数据之和再除以数据的个数,因此不论哪＿个数据的变化都有可能影响—组数
据的平均数,故B项错误°
C项,方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数°因此＿组数据中的任何＿个数据的变化都有可
能使方差变化’故C项错误°
l97瓣
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~
…
学
数
离
≡
考
D项,极差是指最大值减最小值后所得的数值,题中将最大,最小值除去了,故有可能影响数据的极
差’故D项错误°
故本题正确答案为A°
［易错项】B
［易错项被选择比例】8％
D‖…｜变量的相关性
l. D
【解析】本题主要考查变量的相关性°
由题意可知,开始吸烟年龄递增时,得肺癌的相对危险度呈递减趋势,所以吸烟年龄与得肺癌的危险
度呈负相关,所以厂l＜0°同理可知’得肺癌的危险度与每天吸烟支数呈正相关’所以厂2＞0°因此
可得厂l＜0＜厂2。
故本题正确答案为D°
易错项分析:本题考查的是变量相关性的知识,本题易错点是:
』l、是否了解相关系数厂的含义;
2｀
是否理解正相关利负相关的含义°本题易错项是没能正确的理解正、负相关的区别°
［易错项］B
［易错项被选择比例］24％
C
［解析】本题主要考查统计案例°
由表格我们可求得页＝l65, y＝55,将其代人回归直线方程y＝（）92x＋夕中即可解出々＝—96◇8°
故本题正确答案为C°
［易错项】B
【易错项被选择比例］l7％
勺
▲
3.∧
【解析】本题主要考查变量间的相关性与回归分析°
当相关系数厂＞0时,变量之间成正相关,这时广越接近l,相关性越强;而残差平方和m越小说明
模型拟合效果越好’所以综合来看,技术员α的实验结果体现甲、乙两变量有更强的线性相关性°
故本题正确答案为A°
［易错项】C
［易错项被选择比例］2l％
［｜（〔‖Ap丁〔R7〕概率
C‖∧p丁［R7
团｜硼事件与概率
l∧
［解析］本题主要考查事件与概率。
设只持有A股票的人数为x（如图所示）’
l98
』
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C‖∧P『［尺07
概率
则持有A股票同时还持有其他股票的人数为x-1 （图中d＋e＋／的和）,
因为只持有＿支股票的人中’有＿半没持有B或C股票,
则只持有B或C股票的人数和为x（图中b＋C部分）°
假设只同时持有B或C股票的人数为α（如图所示）,
那么x＋x-l＋x＋α＝28’即3x＋α＝29’
则x的取值可能是:
9,
8’
7’
6,
5’
4,
3’
2’
l’
与之对应的α值为:
2’
5,
8,
l1,
l4’
17,
20,
23’
26°
因为不持有A股票的人中,持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍’所以b＋α＝2（c＋α）
,
即x-α＝3C’故x＝8, α＝5时满足题意’
故C＝l’ b＝7,
故只持有B股票的股民人数是7°
C
A
B
故本题I［确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］43％
B
［解析］本题主要考查事件与概率°
模拟实验中’总共进行了20轮’每轮中至少两次投中8环以上的有12轮,用频率估计概率可得该
选手每轮拿至』优秀的概率为尸＝器-;.因此’该选手投掷飞镶＝轮’相当于做＝次伯努利试验
那么罕少有—轮可以拿到优秀的概率P-l—C!（;）闽（;）」＝摆.
故本题正确答案为B。
［易错项］C
［易错项被选择比例］20％
2
3°
B
［解析】本题主要考查事件与概率°
口袋中有编号分别为0,
l’
2,
3, 4的小球’从中任取3个,用‘表示取出的球中的最小编号’则
占的取值为0,
l
,
2’
Ci
3
则P（占＝0）＝再＝互’
C;
3
P（占＝1）＝酉＝而’
′｜‘-2｜-:-市,
故囱（;）-0＂÷＋1×击＋2×而＝去＝α5.
l99赣
止
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岛数学
署…
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］l5％
4∧
［解析］本题主要考查二次函数和事件与概率。
对α进行分类讨论:
@若α＝0,则／（x）≡-2bx在区间（l’＋m）上为增函数’
则b＜0,符合题意的（α,b）数对只有（0,—l）这l种情形;
@若α≠0’则二次函数／（x）＝αx2＿2bx在区间（l,＋。·）」二为增函数,
｜票｀…慧…川—川」｜…—……情鹏
即需要
故′（x）-αx』—2b瘫厩间｛｜.＋°°止为增圈数的概率尸≡钳ˉ备.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例】28％
D
［解析］本题主要考查事件与概率°
区｜为止方形的边长为｜,所以正刀形的圃积为l.图中阴影部分的面积为lˉ乃x2dx＝;.所以黄豆
落到阴影区域的概率为三.
O
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］2l％
5
6C
［解析］本题主要考查事件与概率°
设A、B、C、D、E五个人｜｜顶时针坐°
则5个人抛硬币的可能结果共有25＝32种,
没有人站起来的可能有l种’只有l个人站起来的可能共有5种,
有2个不相邻的人站起来的可能有:AC、AD、BD、BE、CE共5种
综上所述,没有相邻的两个人站起来的概率为P＝l＋5＋5
ll
32
＝32。
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］23％
7.
B
［解析］本题主要考查事件与概率°
3人中有人达标但没有全部达标’其对立事件为“3人都达标或全部没有达标
则有;×:′合＂;（l—P）-l—;成立』
■200
厂←
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C‖∧P「【RO7
概率
解得′＝矛.
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］l8％
8.
B
［解析］本题主要考查计数原理的应用°
由图可以看出’从E点走到F点有6条路最短’从F点走到G点有3条路最短,故根据分步乘法
计数原理知’所求最短路径为6×3＝l8条°
故本题正确答案为B°
易错项分析:本题综合考查了分步乘法计数原理的知识°本题为20l6年全国Ⅱ卷的改编题’本题的
易错点是能否在不遗漏的情况下正确的是用分类加法或分步乘法计数原理的方法解决相关问题,本
题易错项是因为遗漏了F点到G点的最短路径的条数°
［易错项］C
〔易错项被选择比例］20％
9. C
［解析］本题主要考查逻辑推理。
因为阅读过〈〈红楼梦〉〉的学生有80位,
阅读过〈（西游记〉〉或〈〈红楼梦〉）的学生有90位,
所以阅读过〈〈西游记〉〉未阅读过〈〈红楼梦〉〉的学生为90-80＝10（位）°
又因为既阅读过《西游记〉〉又阅读过〈〈红楼梦〉〉的人数有60位,
所以阅读过〈〈西游记〉〉的人数为l0＋60＝70（位）°
因为所调查学生有l00位,
所以调查中比值为品-α7』
则该校阅读过〈〈西游记〉〉的学生人数与该校学生总数比值的估计值也为0.7‘
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l6％
四｜酮｜古典概型
l.
B
［解析］本题主要考查古典概型°
根据题意’先后投掷两次般子’共有6×6＝36个基本事件;
若事件A发生’则X、y两个数均为偶数且x≠y’共有3×2＝6个基本事件,
所以事件A的概率为P!A）＝晶-÷.
故本题正确答案为B。
【易错项］C
［易错项被选择比例】17％
20l赣
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…
学
数
离
考
C
［解析］本题主要考查古典概型.
小于30的素数有2凯虱7.n. ｜3. ｜7』9、23、29共l0个’随机选取网个数共有牛2＝45
种情况,其中两数相加等于30的有7和23、
ll和l9、
l3利l7共三种情况’
根据古典概型』P二六＝吉.
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】l6％
2
3° D
［解析］本题主要考查古典概型和事件与概率°
因为甲、乙不是第＿名,
所以第—名只能是丙、丁、戊中的＿个’
而题目中没有给出关于丙、丁、戊谁是第＿的相关条件’
所以这三个人获得第＿名是等概率事件,都为』.
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l6％
4∧
［解析］本题主要考查古典概型°
随机抛掷＿正四面体两次,共有4×4＝16种结果’
满足条件的事件A是″?2＋门2≤4,包括〃【＝0,
′‖＝0,
l
’ 2二种结果;加＝1’
川＝0,
1两种结
果;m＝2’
门＝0—种结果°
则事件A共包含3＋2＋1＝6种结果,
所以根据古典概型概率公式得尸＝晶＝;.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
【易错项被选择比例］22％
∧
［解析］本题主要考查古典概型.
由题意知’＿重圭卜包括6个艾’
所以随机取＿重圭卜有2×2×2×2×2×2＝26＝64种取法’
其巾该重封有3个阳艾的取法为C:-::并＝20种取法』
所以取得3个阳艾的概率为器-荒.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例】20％
5
｝202
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C‖∧P「［RO7
概率
囚「勇丽司几何概型
l. C
［解析］本题主要考查事件与概率和几何概型°
如图所示,铁饼完全扔进矩形区域的概率为铁饼的圆心进人图中小矩形的概率°
◎
］
＿
〕
~~
黔
—
…
~~尸
为
率
概
求
所
故
／
～＼
~＼
勺
▲
4
／
／
4
＼
6
故本题正确答案为C°
［易错项］A
［易错项被选择比例】40％
2〔
［解析］本题主要考查几何概型°
不妨记这两个数为α、b,则0≤α≤2且0≤b≤2’
在平面直角坐标系内, α与b的取值范围可以表示为:
四个顶点分别为（O’0）
’
（2,0）,
（2,2）
’
（0,2）,
且包括四条边在内的正方形区域°
作直线α＋b＝3,则:
满足α＋b＞3的α、b取值的可行域如图中阴影部分所示’
直线α＋b＝3与I［方形的两个交点分别为:
（l,2）,
（2,1）
则可计算:事件α＋b＞3的概率为:
′-＝羞｜≡§
划
勺
△
儿
O
故本题正确答案为C°
［易错项］A
［易错项被选择比例］25％
3. D
［解析】本题主要考查几何概型°
203撼
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韶
学
数
离
考
x表示送奶人员来送奶的时间, y表示小明早上离开家的时间,则只要小明离开家的时间晚于谴
员送奶的时间’即γ≥x时,能够在离开家之前收到牛奶.则图, 由儿何概型概率可知尸-;.
则只要小明离开家的时间晚于送奶人
↓）
30
3（）
丁
β
←
几
O｜
6;007:00
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例】40％
4.
S
［解析】本题主要考查几何概型°
若EM≤1 ’则点M在以E为圆心、l为半径的圆面与菱形ABCD
若△CD″的面积不小于粤》则点M到边Co的距离不小于亨,
所以点M在如图所示的平面区域内,
汀佰
—-卜—
~广
则所求概率P＝6｜2
｀／3汀＋9
＝
2√3
36
°
~～
为半径的圆面与菱形ABCD重合的公共区域内阴影部分
C
】
』
B
E
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］29％
5.
B
［解析］本题主要考查二次函数和几何概型°
｜三广＂………＾
作出不等式组
l
其中S△OAB＝Ⅲ×4×4＝8°
若使函数／（x）＝‘JX2—4bX＋l在区间［］,＋m）上是增函数’
｜204
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C∩∧P「［R07
概率
｜黔［＂｜｜塞!＂
则须满足条件
川恤叮行铡崎｜茎!』
所以对应的平面区域为图中阴影部分△OBC’
8
｜;三~
由｜:丁:k←0
’解得
对应的面积s△…＝揣×4-;.
8
~
根据几｜可概剩的概率公式可知所求的概率为尸≡;
l
~3°
~~
Ⅺ
＿
勺
凸~~
·
γ
彦
＞6
4＼
x
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例】2l％
6. O
［解析］本题主要考查几何概型°
设鲜花送到小明家的时间为rle（7:30’8;30）’小明离开家去上班的时间为『2巨（8:00,9:O0）
rl
’ 『2的区域如图所示,
设“小明在离开家之间能收到这束鲜花’’为事件A’
则只有当′l≤r2时,事件A成立’如图中阴影部分所示,
l
l
l
1-页×页×豆
7
因此P（A）＝
＝8°
1×l
′］
8:30
「
7:30
O
~
8:00
9:00
′,
故本题正确答案为D°
［易错项】B
［易错项被选择比例】37％
7.
〔
［解析】本题主要考查几何概型°
205灌
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韶
学
数
高
考
复数Z＝x＋yi’ ｜亏｜≤l满足y≥x-1的图象如图中圆内除阴影之外的部分所示
Aγ
X
阿ˉ｛矛＿÷×!＂1）
则概率P＝
汀
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】22％
◎
］
—
吻
｜
十
●
〕
丁
斗
~~
8°∧
［解析］本题主要考查几何概型°
根据题意∏I得’
V』‖
′y＝2x
］
~~
们
≥
＞
】
』
／｜O
x＝l
l
可×｜×去
］
一
由图可知,阴影部分即为y＞2x的部分,则概率P＝
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例】24％
＝可。
l×］
［｜〔C‖∧p丁［R8〕三角函数
■「霓万司任意角与弧度制
l.∧
［解析］本题主要考查任意角的三角函数°
l
1
sml0。
1
sml0°
＝二
＝
2cos40°＋sinl（）°
2cos40°＋sm10◎
2cos40°＋siI
≡＝
2sm4（）。cos40。
＝
sin8O°
＝
cos10°
＝
2cos40°＋siI
2cos40°
◎
∩
］
∏
■
■
】
旦
吕
1l0°
2cos（30°＋l0。）＋sjnlO°
~~~
~~
coslO°
｜
｜206
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C日∧P『［R08
三角函数
2cos30°cosl0o—2sin30。sml0◎＋sin10°
2cos30。cos10◎＝2cos30°＝侗。
~~
COSl0。
coslO◎
故本题正确答案为A°
易错项分析:切化弦以及去异求同的的思想,借助于特殊角及诱导公式把10。与40。相互转化’熟练
掌握角与角之间的倍角关系及其两角和（或差）的正弦（或余弦）公式的应用是解决本题的关键°
［易错项］B
［易错项被选择比例］27％
■厩丽］三角函数
l.∧
［解析］本题主要考查三角函数°
由题知’函数／（x）＝2sin（2x＋帜）（0＜′＜吾）的图象关于直线x＝:对称′
汀
则2×:＋帜＝晋＋k汀′
（庶匡z）,又0＜′＜百,
故帜＝÷,得／（x）＝2sm（2x＋苦）.
则′（蕊）在（＿黑）上单调递增在（滞）上单调递减.
又f（ˉ牙）＝—佰,′（:）＝2,f（捂）＝—佰,
由三角函数的图象可知』欲使当x巨［—矛.6」时』′（x）匡［＿佰,2｜』则有0e｜:.若｜』
因为函数y二c°s0在［÷,若｜上单调谨减且c°s:＝粤』°°s万＝c°s（哥号）＝√页—亿
~厂
7j7
4
’
所以…的取…是［返可」〖.亨］.
故本题的正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］34％
2。∧
［解析］本题主要考查三角函数°
／（x）＝c。sxˉsmx＝但c°s（x＋备）,
因为／（x）在2k”≤x＋哥≤2底河＋汀（k匡Z）单调递减,
所以／（堑）的单调递减区间为｜2腮汀ˉ矛’2k河十芋｜（腮匡Z）』
鄂-0时』′（蜒）的单调递喊区阔为｜ˉ哥,芋｜』
汀
所以（-α）min＝
4’
汀
故αmax＝4,
故本题正确答案为A°
207簿
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燕
学
数
高
考
［易错项］C
［易错项被选择比例】26％
3. O
［解析］本题主要考查三角函数°
由′倾）图象可知;A＝÷＝2』
γ＝4×（;厕—;河）-露’则o-芋-2.
2×;丽十′-2k河十汀’ keZ』则帜＝2″＋苛.由于｜′｜≤酱, 侧帅-矛.
故／（x）＝2sin（2x＋÷）.
则当／（x）问右平移哥个单位长度后’有
g（x）＝2sm［2（xˉ苛）＋矛］＝2sm（2xˉ哥）.
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］l9％
D
［解析］本题主要考查指数与指数函数、函数综合以及三角函数°
由题意知／（x＋l）＝／（X-l）’所以／（x）是以2为周期的函数’
由／（l-x）＝／（X-l）可得／（x）＝／（-x）’所以／（x）为偶函数’
又知当（）≤x≤l时’／（x）＝2x-］
,
在同—平面直角坐标系中,作出y＝／（x）和y＝｜cOS（汀X）｜的图象’如图所示°
由图象可知方程｜COS（汀x）｜-／（x）＝0共有ll个根’
@xe［ˉl’ l］时’两个函数图象有6个交点’且两两关于直线x＝0对称’
‖
山x巳lˉl’ 1」呵’阴／｜｀幽叙图家伺6个交点,且两两夫于直线x＝0对称,故
4
xe［-l’ l］时’方程
｜cos（汀x）｜—／（x）＝0的6个根利为0;
（2X巳（l,3］时,两个函数的图象有5个交点,其中＿个交点为（3’1）,另4个交点关于直线x＝2两
两对称’故x巳（l,3］时’方程｜cos（汀x）｜-／（x）＝0的5个根和为2×（2＋2）＋3＝l1 ,
综上所述,方程｜cos（汀x）｜-／（x）＝0在［—l,3］上所有的共l1个根的和为:
0＋ll＝ll。
l↑｝′
y＝｜cos（冗x）｜
γ≡／（X）
—l
O｜
l
2丁弓
故本题正确答案为D°
【易错项］B
［易错项被选择比例］25％
5.∧
［解析］本题主要考查三角函数°
【208
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C‖∧P「［尺O8
三角函数
’
）
和
—
〕
＋
几
勺
～
（
】
【
·
］
巳
~~
）
汀
＿
气
〕
＋
Ⅺ
（
吕
◎
◎
）
汀
＿
气
〕
＋
Ⅺ
（
Ⅲ
■
■
■
且
巳
∑
~~
］
）
y＝2s『n（x＋哥）sm（苦—x）≡2sin（x＋哥）c。s［昔ˉ（苦ˉ孤）］-2sm（x＋;）《
问左平移鹏个耶位后得到的函数为y＝sm（2x十2′＋芋）』
根据正弦函数为奇函数的性履可知』若’-sm（2x＋2鹏＋等）为奇函数』
则2帜＋等-k河』k巨Z,
所以帜-＿:十等’ kez’
又因为p＞0’
所以′的最小值为:.
故本题正确答案为A°
［易错项】B
［易错项被选择比例］20％
6.
B
［解析】本题主要考查三角函数°
3
3
＝＝
3
所以sin（侧＿20告7露）二sin（似—等—l00s蕊）二sin（α—:）＝—sm（备ˉ〃）＝…＝—豆.
故本题正确答案为B°
［易错项】C
［易错项被选择比例］20％
B
【解析】本题主要考查函数的概念与性质、三角函数以及对数函数°
若!n吕有意义』则吕＞0, ＂＜—｜或腮＞｜.
≡导）＝sin（—｜n吕）’ 由于’≡…为奇函数,
／（-x）＝sin（ln
则／（-x）＝√（x）,故／（x）为奇函数°
A项, 由于定义域为x＜-l或x＞l ,则A项不符合题意°
C项’
由于／（x）为奇函数’则C项不符合题意°
对于B项利D项｀取x＝2,′（2）＝s｜n（m÷）≡ˉsm（］n3）＜0′则D项小符合题慧.
故本题正确答案为B°
［易错项】D
［易错项被选择比例］］9％
刁
／
8.∧
［解析］本题主要考查三角函数°
因为／（x）＝sinx’／（x）＝cosx的周期为2刀
则／（x）＝cos｜x｜,／（x）＝sm｜x｜的周期为刀’
故C项、D项错误.
2（）9
j
｝
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…
学
数
高
~
考
’＝｜s｜n2x｜图象如图｜』可知》＝｜sin2x｜在（苛,苦）
~
~
》』-｜c°s2x｜图象如图2』可知y≡｜c°s2x｜在（苛,苦）
上单调递减’故B项错误°
上单调递增,故A项正确°
’↑
／∧／＼「＼／7＼
冗
～
』
斗
‖
冗
—
△
’
∏
＿
勺
▲
帅
—
斗
∏
弥
—
斗
冗
＿
勺
▲
冗
x
图］
）′
／＼／｝＼厂＼
3冗
~~
4
弥
可
冗
～
勺
▲~
∏
—
△
口~
冗
＿
斗
‖
冗
＿
勺
～
x
图2
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］24％
9. O
【解析］本题主要考查三角函数°
@若／（x）在［0,2万］上有5个零点′可画出大致图象’
由图l可知’／（x）在（0,2汀）有且仅有3个极大值点°
故@正确°
@由图l、图2可知,／（x）在（0,2汀）有且仅有2个或3个极小值点°
故o错误°
o函数／（x）＝sin（°x＋÷）的增区间为
ˉ吾＋2k河＜…÷＜:＋2贮刀,
＝
（2胀—击）万…（击＋2废）”
@
〔d
取k＝0’
当“～号时,
勺
1
单调递增区间为ˉ六河＜x＜面汀;
当“＝器时’
｜210
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C‖∧P「［R08
＝鱼函数
3
吼调递增区阎为ˉ击丽＜箍＜西丽′
综上可得／（撼）在（0.击）上单调递增.
故o正确°
@当／（x）＝sin（″x＋÷）＝0时》
…÷＝k汀（kez）’
k河＿号
所以x＝
c』
因为／（x）在［0,2汀］上有5个零点°
5汀—晋≤2汀’
所以当k＝5时, x＝
o」
6汀ˉ号＞2呵’
当k＝6时’ x＝
O）
四
—
川
＜
α
」
≤
皿
亏
得
解
故@正确°
所以结论正确的有oo@°
图l
图2
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］24％
l0.∧
〔解析］本题主要考查三角函数和函数的概念与性质°
l
o项』／（x）＝s『n2等-—去（lˉ2sm嘿）＋＋≡÷c…＋豆,
其对称轴为汀x＝k刀（此eZ）,即x＝k（火巴Z）’故o正确°
@项’因为cos汀x的系数为负数,所以2k汀—万≤万x≤2此汀（此匡Z）时,／（x）单调递减’x巨［2k-1,2火］
（化eZ）,当化＝l时, xe［l,2］,故@正确°
o项’／（x）向左平移＿个单位后,对称轴为x＝k＋l （比eZ）, k＝-1时,对称轴为x≡O’故／（x）
为偶函数’ g（X）向左平移＿个单位后得g（x）＝l＝｜x｜＝g（-x）’所以g（x）也是偶函数’故／（x）＋g（x）
2ll■
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高
考
数学…
为偶函数’故o正确°
@项,因为／（x）≤L8（x）≤l ’所以／（x）＋g（x）≤2,当且仅当x＝1时,／（x）＋g（x）取得最大值
2’故@正确。
综上所述,@@o@全部正确°
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］24％
ll.∧
［解析］本题主要考查三角函数和三角函数模型的简单应用°
设点／V运动的时间为r （r≥0）分钟’点M运动的时间为（『＋3）分钟’圆O半径为l
’
则点M与点Ⅳ的坐标可以用含r的三角函数表示为:
卿（C°S:′.sm:′）,″（C。S（:′ˉ÷）.Sin（音′ˉ昔））即′V（Sm昔′.—cos÷）.
则设／（『）＝y啊ˉ’″＝sm苦′＋c。s÷′＝但sin（苦′＋苛）,
则／（′）的最小正周期为T＝2汀÷昔＝l2,
当／（′）第｜次取最大值时::′＋哥＝晋’得′」＝（晋—÷）／÷＝L5（分钟）,
则／（′）第4次取最大值时: r4＝rl＋3T＝l5＋l2×3＝375（分钟）。
故本题正确答案为A·
［易错项］B
［易错项被选择比例】29％
l2.
B
［解析］本题主要考查三角函数°
由题知′ ;r＝等—（—备）-￥,则′.＝丽』所以侧＝2′
所以／（x）＝2sin（2x＋P）可
将x＝—舌代人可得2s｛n（ˉ百＋帜）＝0,
汀
即酗＝音＋陡汀, 庶eZ,且｜帜｜＜吾,
所以帜＝晋》则／（x）＝2sm（2x＋÷）,
则函数图象在x轴上方鄙分的对称轴为x＝舌十i7＝:.
由题条件／（x｜）＝／（x2）可得, x」＋x2＝2×÷＝哥,
所以／（鞭｜＋x2）＝／（号）＝l.
故本题正确答案为B°
［易错项】C
［易错项被选择比例］23％
鳞2l2
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C‖∧P「［RO9
平面向量
〔
【解析］本题主要考查三角函数°
因为／（—x）＝√（x）’所以／（x）是奇函数,排除B选项;
l
／（x）的零点为士哥,／（x）＝｜x｜（tanxˉ—）＝｜x｜（旦l里—挛王）＝ˉ
tanx
cosx
s1nx
不会关于（哥,0｜对称,故排除A选项.
2xcos2x
当x巨（0,昔）时,／（x）＝ˉ
sin2x
,
又／′（x）＝-（2cos2x-4xsjn2x）sm2x-4xcos22x≡4x—sin4x
sjn22x
sm22x
’
令h（x）＝4x-sin4x’
／!′（x）≡4—4cos4x＞0’
所以″（x）＝4x＿sin4x在（O.耳）上单调递增』″（x）＞″（0）＝0』
～
即／′（x）＞0’所以／（x）在（0.÷）上单调递增’故排除D选项.
故本题正确答案为C°
【易错项］D
［易错项被选择比例］25％
l3
2｜x｜cos2x 在（0,哥）的图象
sin2x
～
l4D
［解析］本题主要考查三角函数和函数图象°
sjn（—汀）—汀
＝
0—汀
＝
汀
／（—汀）＝
因为汀吴｜＞0｀
汀美｜＜0,只有D项符合.
所以／（-汀）＝—
故本题正确答案为D°
~
［易错项］C
［易错项被选择比例］ll％
〔〔〔∏酉p丁［胆〕平面向量
目
回「霓页j吊］平面向量的基本概怠
l. D
［解析】本题主要考查平面向量°
充分性:设瓦,〗反向,且｜司＝｜b｜＝m,则｜汀＋〗｜＝0’而百—b｜＝2砸≠0,故充分性不成立°
必要性:设乃是零向量,汀不是零向量,则满足｜汀＋b｜＝｜汀-b｜＝｜司’但是｜司≠｜〗｜’故必要性也刁
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］26％
故必要性也不成立°
2l3鳃
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…
学
数
高
~
考
■「勇50韦］平面向量的线性运算
∧
【解析］本题主要考查平面问量的基本概念和平面｜可量的线性运算°
A项丽＿示-而＿元-丽』由干黑-归ˉ］
器』则元-亡丽-佰;］丽』所
＝＝
2
以F尸ˉ示＝佰;l丽,故A选项正确.
B项』万口＋示≡可＋示≡汀,由于筹-侣—!
器』则河＝—Ⅱ7＝—佰—｜Ts＝
2
＿＿,
＝
2
归＋l＿
2
rs’所以西＋示＝ˉ鸟l而｀故B选项错误.
~厅
~「--
~『--
C项面—丽≡丽—可≡m, 山于烁≡√5了｜器》则m-｛5贡｜m-—｛5＿｜—ˉ
2
BQ’
＝＝
所以丽ˉ丽＝ˉ侣亏lm,故C选项错误°
～
l
D项,Ⅱ了＋m＝而＋而’ 由于黑＝佰ˉl -尺s
2
C尺’
而≠6』因此丽＋m≠佰丁l而』故D选项错误.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例】26％
~广
则丽＝｀／5一l可＝FI〕ˉ百刀。由于
←
2·∧
［解析］本题主要考查平面问量的线性运算°
根据题意知因为O是△ABC的内心’有α可＋b丽＋c而＝6,
所以α可＋b（丙＋Ⅺ万）＋C（丙＋】I石）＝∏’
“十:＋c硒十‘叶b＋°
所以（α＋b＋C）ⅪU＝bⅪ万＋CII石,所以Ⅺ百＝
C
I而°
又因为ⅪU＝几l2I万＋几22I石’
所以1］＝…＋c’ 几2＝α十;＋c』
故尝-!.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］24％
3.
B
［解析］本题主要考查平面向量的线性运算°
如下图所示’以A点为坐标原点’Ⅱ万方向为x轴’ 〗叮石方问为γ轴建立平面直角坐标系
H2l4
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C‖∧P「［RO9
-.
平面向量
Aγ
P
一＼
］
了
B
x
因为｜丽｜≡＋』｜正｜＝′’所以B（＋.0）』C（0,′）.
一一
又因为丽＝些＋些,所以P（Ll）’
｜AB｜
｜AC｜
所以丽＝（＋—｜,—l）’元＝（＿l,′—1）’
所以丽元＝2—（叶｝）’丽′÷≥2尸≡3
所以丽元-2＿（叶＋）≤2ˉ2＝0,当目仅当′＝＋即′二l时不等式取等号’ 』比时丽元取得
最大值0°
故本题正确答案为B°
〔易错项］C
［易错项被选择比例］40％
4C
［解析】本题主要考查平面向量的线性运算°
根据题意’可得丽＋死＝-2可,可知直线PA为以线段BC为对角线、以PB和pC为邻边的平
行四边形的另＿条对角线所在的直线’
设直线AP的延长线交BC于点D’则PA＝PD,
因为△ABC和△PBC是同底三角形,
所以S△ABc＝2S△pBc’
所以黄豆落在△′BC内的概率′＿;合瓷ˉ当.
d
C
B
D
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］38％
5. C
［解析】本题主要考查平面向量的线性运算°
若P在线段AB上,设丽＝几可,
2l5嚼
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…
学
数
高
~
考
所以可＝而＋丽＝丽＋几可＝西＋几（丙—可）＝丽＋几可-几可’
＿—→
所以6页＝OB＋几OA
l＋几
’
又因为可＝x丙＋y丽’
所以可得x＝击』’≡｜＋儿’
l
所以X＋y＝1 ’此时x＋y取最小值1;
若P在线段M／V上,设丽＝／』丽’
所以百尸＝丽＋丽＝丽＋〃丽＝百刀＋以（丽-可）＝丽＋〃丽—／』而,
＿—一
所以可＝O／V＋〃OM
l＋〃
又因为可＝x可＋y百万’A, B分别是OM’O／V的中点’
所以叮得可＝抑＋打,故有÷＝击. 页
I＿干页
＝＝
所以吉＋苦＝l,即x＋y＝2’此时蕊＋y取最大值2.
V＋］
有最小值÷｀排除A, B选项.
X＋）′＋2
V＋l
有最大值;｀排除D选项.
x＋V＋2
所以蜒祟2的取值范圈糙｜温｜.
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］29％
6D
［解析］本题主要考查平面问量的线性运算°
根据平面问量线性运算的法则可知,
＿——
BF＝EF-EB
l——
＝—页AE＋BE
l
-—,
ˉ～ˉ→
—ˉˉ→
＝—页（AB＋BE）＋BE
1一l—
＝—页AB＋页BE
1一l
2—
＝—页AB＋面×百BC
1—l—
＝-页AB＋了BC
l＿l——-—一
＝—页AB＋了（—AB＋AD＋DC）
’
且元-1丽』代人上式可得丽≡:硒＋÷Ⅱ万.
故本题正确答案为D°
｜
2l6
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C∩∧P「巨RO9
平面向量
［易错项］C
［易错项被选择比例】22％
7.∧
［解析］本题主要考查平面向量的线性运算°
因为2】而＝】I百＋】叮石,所以2画＋〗IF＋】I石＝∏,
所以丽＋】I万＋可＋I石＝6,
所以OB＝—OC’
所以O,B’C共线,
因为A’B,C均在圆上,且O为圆心,故BC为直径’长度为2,
以Ⅺ万L叮石’
因为｜可＝｜ⅪF｜,所以｜丙＝｜Ⅺ万｜＝l
’
又因为｜灭｜＝2》所以经ABC＝60。,如图所示°
l
所以问量厕:在向量灭方向上的投影为｜丽｜cos乙ABC＝页°
在圆上直径所对的角为直角’所
B
C
故本题正确答案为A°
［易错项］B
【易错项被选择比例］34％
8.O
［解析］本题主要考查平面向量的线性运算°
因为虱乃’所以昂乃＝√虱ˉ3＝0,解得x＝√可’
所以丘-b＝（0,4）,
那么（矿—b）b＝ˉl2,
｜质—b｜＝4’ ｜】｜＝√（佰）2十（ˉ3）2＝2佰,
设问量矿-〗与〗的夹角为0’
~厅
那么cos0＝（汀-b）.b＝
-l2
归
所以0＝15O°°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］2l％
9. D
［解析］本题主要考查平面向量的线性运算°
令可＝尚.面＝乌,啊者分别表示与赢｀B问向的单位向量,
｜b｜
因为可｀〗的夹角为晋知′ 丝AOB＝60。’以OA｀OB为邻边作
OB为邻边作
边长为l ’如图所示°
菱形OACB’
】
了
］
’
～
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≡
…
学
数
高
~
考
｜
尸
归
◎
○
β
吕
○
仁
一
β
—
○
由问量加法的几何意义知,
｜页｜＝｜OC｜＝
＿
｜丽｜2＋｜丽｜2＋2｜丙
C
O
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例】27％
lOD
［解析】本题主要考查平行向量的线性运算°
由题意’得刀石＝2面,
所以死-画＝2（丽-元）,
所以死＝÷丙号面.
又因为元＝几丽＋〃而（几’
／』巨R）,
所以（入ˉ÷）可＋（似—可）oB＝0.
2—-＋
ˉ→
又因为画与面不共线’
所以入＝;’ 〃＝;′
所以（入—似）垦＂｜隐-（÷—;）2＂｜‘≡（÷）酗｜鼠.
故本题正确答案为D°
〔易错项】C
［易错项被选择比例】l7％
□「勇了T节］平面向量基本定理及坐标表示
l.
〔
［解析］本题主要考查平面问量与概率.
因为｜司＝√（2刃＋3cosα）2＋（＂ˉ3smα）2＝√5′′2＋9＋
27-5门2
即2cosα-sinα≤
6刃
,
又因为2cosαˉsinα巳［ˉ佰’归］,
所以佰≤27亏严′即5″遵十6侣″—27≤0』
所以″巨［0,孪］,
l2门cosα＿6″smα≤6,
3佰
所以尸≡寻等
＝
故本题正确答案为C。
｜2l8
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C∩∧P『［尺09
面向量
平
易错项分析:忽视门自身的长度导致易错;多变量恒成立采取的常用手段确定主元’逐步消元的思
想,最终转化为求函数的最值问题本题采取分离变量求出三角函数的最值,解关于刃的＿元二次不
等式求〃的范围°
［易错项］B
［易错项被选择比例］33％
2. D
［解析］本题主要考查圆与方程和平面问量基本定理及坐标表示°
设AB的中点为D,
由平行四边形法则可知丙＋丽＝2丽’
所以当且仅当O’D,P三点共线时’
｜丽＋丽｜取得最小值,
此时OP垂直于直线3x＋4y—l2＝0’OPˉLAB’
酗卿…鳞…为徊÷百≡号°姆～尸～÷
所以｜可十丽取得最小值为2（号—当）-粤.
故本题正确答案为D°
【易错项】C
［易错项被选择比例］38％
〔
【解析】本题主要考查平面向量的线性运算、平面问量基本定理及坐标表示°
如图,连接AO并延长AO交BC于D,连接BO并延长BO交AC于E,连接CO并延长CO交
AB于F。
过A作AM／／BO交CF的延长线于M’作A／V／／CO交BE的延长线于／V,则四边形AMO／V为平
行四边形’
所以而-丽＋Ⅱ丽』且△AMF＝△BoF′因此器＝羔′
所以丽-器丽’
同理可得ⅡJv-器死.
—AF～AE＿
所以AO＝厂万OB＋百石OC’
因为△AOC与△BOC有公共的底边OC’设它们相应的高分别为hl
’
h2’
则;仓:::-:器＝默＝糕ˉ第』
同理有;糕-笑』
ˉ5△…丽喘:::而』
所以AO＝S△Boc
S△Boc.AO＝S△Aoc.OB十S△AoB。OC’
所以S△Boc.OA＋S△Aoc.OB＋S△AoB.OC＝0,
又因为√页可＋sinαOB＋cosα.OC＝0’
勺
〕
2l9镶
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…
学
数
离
~
考
但
s1nα ＝cosα
’
所以S△BOC
＝
S△AOC
S△AOB
sInα
cosα
则s…十s…-（万十万）s△…-（楞＋
s1nα＋cosα
解得S△AoB十S△Aocˉ但＋slnα＋cosα
。S’
汀
●
j
sm（α＋可）
S11］α＋COSα
飞
四罢）［sˉ（s△＾oE＋s△A°C）］,
但
~
但＋slnα＋cosα
’
汀
1＋sin（α＋可）
因为α是三角形的某个内角,
（哥,￥）’
汀
所以αe（0’汀）
’ α＋可≤
所以sm（α十哥｜巨（—粤, ｜｜｀
汀
sin（α＋可）
l
当α＝苛时’
（
）…＝2,
｛＋s｛n（α＋哥）
1
所以（S△AOB＋S△AOC）max＝面S°故C项正确°
4
M
Ⅳ
E
F
O
B
C
D
故本题正确答案为C°
【易错项］B
【易错项被选择比例］34％
4. C
【解析】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示及平面向量的线性运算°
以A为原点建立如图所示的直角坐标系:
y 』1
d
x
因为丝BAD＝÷』AB＝2,AD＝l ,
f）′〕（骋
（;
所以A（0,0）,B（2’（））
’ C
因为器器＝入,
＝二
｜
【220
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C日∧P「［尺O9
平面向量
（2荆.骋1）
所以Ⅺ丽＝∏I百＋丽＝Ⅺ百＋几灭＝
（:ˉ2入粤）
＿＝—＿一＿
-----→
AⅣ＝AD＋DⅣ＝AD＋DC—儿DC＝
所以m丽-（2借）滁（:ˉ皿｜粤入×粤＝（人刊｜』带6’
因为儿巴［0’1］
’
所以2≤-（几＋l ）2＋6≤5’
即jII了.】叮刀的取值范围是［2,5］°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］27％
5.
B
［解析］本题主要考查平面问量基本定理及坐标表示°
根据题意可知4×（x-2）＋2y＝（）’即y＝-2X＋4’
所以｜;｜2＝x凰十γ2≡箍z＋（—2燕＋4）2＝5x2—l6x＋l6≡5（x—:）2＋等.
所以当x≡:时』｜忌｜甜』舰＝等』
4归
即｜舌｜min＝
5
°
故本题正确答案为B·
［易错项］C
［易错项被选择比例］22％
6∧
［解析］本文主要考查向量的坐标表示°
由题可知,
｜可｜＝｜丽｜,根据题意作图,如下’
v
√』
（）
x
可得面的横坐标为负,纵坐标为正,那么B、D选项均不正确’且面纵坐标的绝对值大于横坐标
的绝对值敞C不正确那么丽应为（］云旦］÷侮）
故本题的正确答案为A°
［易错项】C
［易错项被选择比例］20％
22l攘
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燕
学
数
高
考
■「勇丽韦］平面向三的数量积
l.
B
［解析】本题主要考查平面问量的数量积°
因为单位问量可与百的夹角为÷’
所以弄勇＝｜可‖勇｜c.s÷＝÷』
向量可＋2百与2百了＋几丙的夹角为等.
＿—一—
所以（皱2世（雪＋但）＝cosˉ丁＝ˉ页,
2汀
1
｜e1＋2e2‖2e】＋几C2｜
一—一一
（el＋2e2）.（2e］＋几e2）
一一
＝（2＋2几）＋（儿＋4）e1 .e2
≈
＝4＋:儿』
～
（可＋2寓）2
-→2
-—
-→2
＝C］
＋4e1 。e2＋4e2
＝7’
则｜可＋2盂｜＝∏’
（2可＋几丙）2
∩
＾
＝4弄＋4儿百雹＋凡2百△
＝4＋2几＋几2,
则｜2可＋几盂｜＝√4＋2儿＋几2,
几
气
√
～
◎
～
＋
△
°
一＿一一
故（包十2刨（垄］＋Jl鱼）
｜el＋2e2‖2e1＋几C2｜
l
~~2’
~~
~~
√7×√4＋2几＋几2
4昌1
1
将行×√4＋2几＋儿2
＝
2
化简得（3几＋2）（几＋3）＝0,
所以入＝＿;或入≡3』
两边同时平方’
4＋寻几
7
将几≡亏代人愿〃程行※√4＋i几＋几2
故几＝—3°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例】5l％
-ˉ士中,等式小成立
2.
〔
［解析］本题主要考查平面向量的数量积°
“万上（石ˉ亏）”等价于“万.（丙-E）＝（）”’
■‖222
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C‖∧P「巨R09
平面向虽
等价于“∏石—旋＝0,’’
等价于“万石＝∏.百”°
故“Ⅱ石＝旋,’为“∏上（〗-E）”的充要条件°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］28％
3.∧
［解析］本题主要考查平面向量的数量积和平面向量的线性运算°
如图所示’
｜O〃｜＝｜OQ｜＝｜OM｜＝厂,OMˉLAB,OHˉLAC’OO上BC°
′l＝可.死＝（丽＋硒）.（丽＋硒）＝′2—｜MA｜. ｜MB｜
’
同理可得I2＝厂2—｜BQ｜。｜QC｜, I3＝厂2一｜AH｜. ｜HC｜’
因为｜AH｜＝｜AM｜
’
｜HC｜＋｜AH｜＝4’
｜MB｜＋｜AM｜＝2’
所以｜HC｜＞｜MB｜
’
所以｜AH｜.｜HC｜＞｜AM｜. ｜MB｜
’
所以I3＜′1
’
同理可得I2＞I3’ I2＜Il
,
所以I3＜I2＜′l°
A
∩
▲
M
C
B
Q3
故本题正确答案为A.
［易错项］B
［易错项被选择比例］29％
∧
［解析］本题主要考查平∏
在平面直角坐标系中可得
［解析］本题主要考查平面
4
问量基本定理及坐标表示和平面问量的数量积°
在平雨…标系中叫得可-（l.o）』勇≡（熙）
而＝5可—3但写＝（2’ˉ3）’OA＝（2’0）,
OA.OB
2×2
2√T了
则cos丝AOB＝＿—＝
＝
故本题正确答案为A°
［易错项］C
【易错项被选择比例］34％
5.C
［解析］本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积°
由可＝3而可知,可＝扛＝÷丽,可＝;而＝—÷丽』
223圃」
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高数学
署（…
则矿＝x刀＋可＝Ⅱ万＋苛丽,
丽＝灭＋可-x万—;丽.
已知Ⅺ页.丽＝2’代人可得’
（Ⅱ万瑞丽）｛Ⅱ万—;瓦屑）＝区万｜2—击｜丽｜翼—÷丽Ⅱ万＝2
～
将｜Ⅺ万｜＝8, ｜AD｜＝5代人上式中,
＿
则5凰—荒×s2ˉ＋Ⅱ万硕-2』
解得Ⅺ万.Ⅺ刀＝22°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］23％
6∧
［解析］本题主要考查平面向量的数量积°
由题意可得】I刀＝Ⅺ万＋可＝Ⅺ刀＋（l—儿）Ⅺ百,F丽＝-】丽＋（l—儿）Ⅺ刀,
--→2
--→ˉ—
所以Ⅺ万。丽＝（Ⅺ刀＋（l—几）Ⅱ万）.（（l—几）I刀—Ⅺ万）＝（l-几）AD—ADAB＋（1-儿）2j叮DⅪ万—
—2
（l-几）AB
,
又I万.】I万＝2×l×cos丁＝l , 】I万2＝l2＝l’ 】I万2＝22＝4’
汀
代人可得Ⅺ刀.丽＝几2＋儿-3’且几巴［0, l］
’
又当儿＞—1时′瓦丽丽＝人2＋人—3耶调递增』
所以代人几＝O,及凡＝l ,即可得到最小值和最大值,分别为-3,
—l°
故本题正确答案为A°
【易错项］B
［易错项被选择比例］35％
7.D
【解析】本题主要考查平面向量的数量积°
因为｜壶｜＝｜盂｜’
所以万.亏＝灰或者∏.后＋灰＝0,
又｜旋｜二｜灰｜-1‖日＋万）忌｜』
且日’
B’ B是非零向量,
所以｜盂｜＝｜灰｜＝告｜（万＋丙）忌｜≠0｀
故旋＋万.亏＝O不成立,
故日.亏＝〗.己
即（万—石）.亏＝0°
故本题正确答案为D°
〔易错项】C
［易错项被选择比例］28％
! ‖224
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C‖∧P『［尺09
平面向丘
8〔
［解析］本题主要考查平面向量的数量积和运算.
如图所示’过点A作BC的平行线,过点C作AB的平行线’丙
于点Ol
’
则易知四边形ABCDl为正方形,点Ol为AC的中点°
由图可知点O在线段AOl上’则丝AOB为钝角, 乙BOC为锐角
所以I1＝OAOB＜0’ I2＝OBOC＞0′ I3＝OC.OD＜0°
又J1＝｜OA｜.｜OB｜.cos乙AOB’ I3＝｜OC｜. ｜OD｜.cos二COD’
因为OA＜OC’OB＜OD’
所以｜可｜.｜死｜＜而‖面｜,
所以′3＜′l
’
所以′2＞Il＞′3°
两平行线交于点D｜连接BD］交AC
丝COD＝丝A〔）B为钝角,
D
Dl
么4
B
C
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例】2l％
9. C
［解析】本题主要考查平面向量的线性运算利平面向量的数量积°
依题可知’
｜∏＋m丙｜2＝｜万｜2＋加2｜〗｜2＋2′″百。F
＝狮2＋:狮刊＝（悯号）粤＋罢≥罢』
因此｜日十狮〗｜的最小值是÷.
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】24％
l0.∧
［解析］本题韦要考查平面向量的数量积及三角函数。
因为刃＝（cos2x’ˉ1）,面＝（1,sin2x＋佰sin2x）
所以／（x）＝可.丽
＝cos2x—（sm2x＋√3sin2x）
＝cos2xˉ佰sin2x
＝2s｜n（音—2x）′
因为苑e隙’所以2s｛n（:—2x）的最小值为ˉ2’
225蘸
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…
学
数
离
考
故／（x）的最小值为—2°
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］23％
l1. D
［解析】本题主要考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理及坐标表示及平面问量的数量积°
因为日≡（2,m）
’
b＝（l,＿2）,
所以而一2乃＝
（0’加＋4）
’
因为岳（瓦-2乃）＝｜司2-2屏乃＝4＋加2—2×（2-2″!）＝″′2＋4m’
由题意可得:m2＋4加＝5＋″′2’
解得咖＝;.
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］22％
l2。
B
［解析］本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积°
依题可知,四边形ABCD为平行四边形,
所以I百≡元,Ⅺ万＝灭°
所以丽＝灭＋可＝瓦刀ˉ÷硒’死＝元＋面＝丽ˉ÷刀万.
所以丽壶＝（Ⅱ万—÷丽）｝丽—1m）二;Ⅱ圃Ⅱ万—÷丽2ˉ去瓦万2＝;丽m—÷22—告×l2
＝;丽ⅡE—:＝;』
因此ⅪFI刀＝l’设Ⅺ万与Ⅺ刀夹角为0’
又因为ⅪFⅡ刀＝｜I叮万｜. ｜Ⅺ万｜cos0＝2cos0＝l’
l
所以COS0＝豆’
解得0＝晋.
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］23％
l3. D
［解析］本题主要考查平面向量的数量积°
根据向量的投影公式可知,向量万-2∑在向量-百方向上的投影为
→
一
（α-2b）.（＿α）
—（百）2
｜α-2b｜×-
→
→＝—≡＝-l。
｜α—2b｜× ｜-α｜
｜-α｜
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］32％
Ⅸ226
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C日∧P『［尺O9
平面向量
14B
［解析】本题主要考查平面问量的线性运算及平面向量的数量积°
AF≡AD＋DF
—3＿
＝AD＋页DE
-告丽＋兰丽
-去（丽＋:乖）,
所以I歹.灭
＝÷（丽＋寻乖）玩
～
～
≡可＂｜×｜＂（—去）骨×｜γ｜×÷
l
l
＝8。
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］23％
l5·
B
［解析］本题主要考查平面向量的数量积°
由题意知（α-b）上b’
所以（α-b）.b＝0,
即αb-｜b｜2＝0’
｜α｜. ｜b｜.cos（α,b）—｜b｜2＝0’
又因为｜α｜＝2｜b｜,
所以2｜b｜2cos（α’b）—｜b｜2＝0’
｜b｜2（2cos（α’b）—l）＝0,
又因为α’
b为非零向量,
所以｜b｜≠0’
故2cos（α,b〉-l＝0’
所以c·s（α,h）＝＋,
又因为α与b的夹角在［0,汀］内’
所以α与b的夹角为÷
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］l2％
l6〔
［解析］本题主要考查平面问量的数量积°
因为JI百＋灭＝】I石,
所以灭＝】I石-Ⅺ万＝（3’r）—（2,3）＝（l,r一3）
又因为｜灭｜＝l＝√l2＋（′—3）2,解得r＝3,
所以灭＝（l,O）
’
227
｛ˉ
＝
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…
学
数
高
考
则】可F灭≡2×l＋3×0＝2°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l6％
｝◆｜｜腮｜平面向量的应用
l
· O
［解析】本题主要考查三角函数、平面向量的应
′（箍｜≡凰bˉ页-sin2争＋1s!…—豆
-→
1
-1｛2sm学—［）借…Ⅱ
l
＝一刁cos（ux＋刁sin〔ux
~厅
≡争i…ˉ爵｜｀
若／（x）在区间（汀’2汀）内没有零点:
由于函数y＝smx在x＝k汀, k巨Z时有y＝0
即y＝sjnx每隔万个单位长度便有＿个零点,
对于函数′（蜒）』有7≥2河,即等≥2丽,得
0＜侧≤1 ,即…—哥匡（—÷.芋］』
则当／（x）在区域（汀,2汀）上没有零点时有
平面向量的应用以及平面问量的数量积°
得
·
∩
≤
≤
汀
＿
▲
互
▲
汀
汀
山
·
∑
｜
｜
］
］
＿
吕
●
○
（
巨
』
α
即
］
＿
吕
≤
凹
〔
｝‖｜更褂叫毙｜
或有
故“的取值范圈为″e（0.;］利″巨｜箭,;
即″匡（0.肯｜u｜i,;｝
｜
故本题正确答案为D°
［易错项】C
［易错项被选择比例］40％
∧
［解析】本题主要考查平面向量的应用°
如图所示’以A为原点建立平面直角坐标系,
Ⅱ∏图所不’以A力原点建立平.回直角坐怀系’
2
2）’直线BD: ）′＝—2x＋2’○C
B（l,O）’D（0,2）,C（l
方程为:
（x—1）2＋（y-2）2＝厂2’
又J叮万＝（l,O）,AD＝（0,2）’则】叮尹＝儿Ⅺ万＋／』】I万＝（几’2／』）
’
峦228
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C‖∧P「［RO9
平面向丘
圆与…D相切侧半径′≡÷.
P点坐标可表示为x＝1＋厂cos0＝几, y＝2＋′.sin0＝2／』,
灿辨…倦瓢n′…徽….｜÷……｜
当哪n｜…｜ˉ｜卿有最人值｀为2辩｜÷.～
γ
□
A
B
x
故本题正确答案为A°
［易错项］B
【易错项被选择比例］29％
3.∧
［解析］本题只要考查平面向量的应用°
设P（x,y）’则Q（x’ˉy）’所以可翅西＝x2ˉy2＝2’
即动点P的轨迹为双曲线誓—普＝］.
故点A、B分别为该双曲线的左、右焦点’
则（｜PA｜—｜PB｜）2＝（±2α）2＝4α2＝4×2＝8°
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］32％
4C
［解析】本题主要考查平面问量的应用°
由题意知点D,C, P在同＿直线上,所以存在实数几使得可＝几死＝儿（刀石-∏〕）,
因为可＝II尹-Ⅺ万’所以Ⅺ尹＝Ⅺ刀＋可＝几2I石＋（1—儿）Ⅱ刀’
因为AD;DB≡l ;2,所以硕＝』硒,
所以丽＝入死＋÷（1ˉ汕丽｀
因为点E,P’B在同＿直线上,所以存在实数〃使得可＝〃丽＝〃（Ⅺ万-Ⅺ万）,
因为丽＝Ⅺ尹＿Ⅺ万,所以Ⅺ尸＝i叮万＋万页＝〃ⅪF＋（1—〃）I万,
因为厘是AC的中点』所以Ⅱ百＝斗刀石,
～
所以丽＝似丽＋÷（l—腆）正,
联立丽＝入正借（l—儿）丽′丽＝胆丽＋去（l—似）死可得
229蹿
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高
考
数学…
｜儿＝告（l—似）
｜入≡;
｜〃二÷（l—儿）’解得｜″＝÷’
□
—
皿
∑
ˉ
日
＋
—
咽
］
ˉ
日~~
—
″
以
所
C
A
B
D
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例］29％
5. B
［解析］本题主要考查直线与方程、圆与方程以及平面向量的应用°
曲线x2＋y2ˉ2佰xˉ2y＋3＝0化简得到圆的方程（xˉ归）2＋（y＿1）2＝l ,
圆心为M（佰’l）’OM＝2,半径′＝l
’
设P（x,y）’因为么APB＝90。’
所以Ⅺp丽＝0,即x2＋y2—α2＝0’
因此P、A、B三点共圆’ P点为圆l: x2＋）′2ˉα2＝0与圆2:
（xˉ佰）2＋（yˉ1）2＝l的交点°
因此α取最大值时,圆l与圆2内切,此时α＝OM＋厂＝3,
α取最小值时’圆1与圆2外切’此时α＝OM-厂＝l
’
所以l≤α≤3.
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］22％
6.
B
［解析］本题主要考查平面向量的应用°
可.（两＋元）要取最小值’则画与丽＋元共线且反向’
即点P位于△ABC的中线上’中线长为但豆ˉ＝ˉF＝佰’
设｜可｜＝x’则｜南＋元｜＝2（佰＿x）
’
因此可.（南＋元）＝ˉ｜丽｜. ｜丽＋元｜＝ˉx2（佰ˉx）＝2x2ˉ2√5x’
~厅
当x≡粤时’画（丽＋元）取得最小值
~厂
此时可（丽＋元）≡—2｜可｜2＝2＂｜粤）2＝—:.
｛
｝230
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C‖∧P「匠尺09
平面向量
A
B
C
≈
＝
尸
尸
尸
≥
尸
｜
也
、
、
≈
≈
、
D
故本题正确答案为B°
［易错项】C
［易错项被选择比例］30％
∧
［解析】
［解析】
7
本题主要考查平面向量的应用°
因为M是线段AB的中点』所以丽-当可＋去丽』所以元丽≡（;可—;丽）（奴卜缅）
＝:丽2—÷壶十＋m面.由圆的方程可知圆O的半径为2』又因为｜丽｜-2′所以（m丽）≡60.
--→2
-一2
所以顽.面＝｜硕｜. ｜丽｜。cos〈可,丽〉＝2.2cos60。＝2,OA＝OB＝4’所以6已百丽＝3°
所以顽.面＝｜硕｜. ｜丽｜。cos〈可,丽）＝2.2
故本题正确答案为A°
［易错项】B
【易错项被选择比例］34％
8. D
［解析】本题主要考查平面向量的应用°
根据各向量间的关系画图如下:
≥°
A
F
／℃B
C
将直线′延长交CB延长线于点G, 由于E为AB中点,所以AF＝BG,
又Ⅱ万＝3Ⅺ歹’所以丙＝-4刀尹’
又因为△AFK…△CGK,所以壶＝-4刀r,
所以AC＝5AK°
故本题的正确选项为D°
［易错项】B
〔易错项被选择比例］32％
9.∧
【解析］本题主要考查平面向量的数量积和平面向量的应用°
由题目可知, （丽-死）。（丽＋元-2丙）＝0,
所以可得面.（】丽＋X石）＝0, CB上（AB＋AC）,
23l
｝
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…
学
数
高
~
考
~
则三角形的中线和底边垂直’
从而△ABC也是等腰三角形°
故本题正确答案为A°
［易错项］D
［易错项被选择比例］20％
B
【解析】本题主要考查平面向量的应用和正余弦定理的应用°
如图所示’G为△ABC重心,即为三条边上中线的交点。
因为AG上BG,
所以G点在以AB为直径的圆上.
设AB边上中点为O’以O为原点建立直角坐标系°
由题意可知′ ｜oG｜＝÷｜oC｜≡:』则oC｜-等.
～
又因为向量而-÷（可＋丽）’即｜而｜粤＝计（可十面）2』
已知边长分别为α’
b’ c,得9c2＝b2＋α2＋2αbcosC@°
又因为△ABC中’ cosC＝α2＋b2-c2
2αb
@’
联立O@’得α2＋b2＝5c2°
观察点C在＿;＜xC＜旨上从左至右移动过程中, 么C先增后减,
且任y轴上时最大’此时c。sC最小’ α-b＝伞’ c°sC-÷.
当xc-告或—:｀此时么C为最小值俏＿个角为直角′得到余弦角墩大值…-乎
但C只髓无限攘近该位置,故…＜乎.
所以…蹦…圃为｜磐）
／
l0
｝’
x
故本题正确答案为B°
［易错项］D
［易错项被选择比例】l9％
l1〔
［解析］本题主要考查平面问量的应用°
髓232
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C‖∧P「匠尺］O
平面向量
设AB的中点为D,
由垂径定理可知ODˉLAB’即｜OD｜为点O到直线的距离’
因为｜可十丽｜≥亨｜丽｜,
所以｜2而｜≥粤｜丽｜,
所以｜2I万｜≤2佰｜而｜。
由勾股定理可得｜而｜2十｜告硒｜粤-4’
所以｜而｜2十｜＋丽｜z＝4≤｜面｜喘×｜2｜面｜z』
所以｜面｜2≥1’
因为直线x＋y-＊＝0（∧＞0）与圆x2＋y2＝4交于不同的两点,
所以点O到直线的距离小于半径,即｜U刀｜2＜4’
所以l≤｜面｜2＜4’
即!≤（皆｜:＜4Ⅱ
解得√2≤k＜2但·
故本题正确答案为B°
［易错项］D
［易错项被选择比例］2l％
12. B
〔解析］本题主要考查平面向量的数量积和平面向量的应用°
以三角形外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系’如图所示’
设A（2’0）’B（ˉl,佰）’P（2cos0’2s1n0）;
则可＝（2—2cos0,ˉ2sjn0）,PB＝（ˉlˉ2cos0’佰ˉ2sin0）;
所以可.丽＝（2cos0ˉ2）（2cos0＋1）＋2sin0（2sin0ˉ佰）
＝2—2cos0＿2佰sin0
汀
＝2-4sin（0＋百）,
所以—2≤PA.PB≤6°
匠
／
／
′
广
＼
＼
℃
头
故本题正确答案为B°
［易错项］D
［易错项被选择比例］16％
233骡
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燕
学
数
高
~
考
［＂∧P丁［R｜0〕三角恒等变换
■「勇刁J韦］两角利与差公式
l. D
［解析】本题主要考查三角函数和两角和与差公式°
由两角和与差公式:
／（x）＝sjn（ox＋p）＋佰cos（@x＋p）
-2｜当s…十,）夸……）｜
汀
＝2sm（@x＋丁＋p）°
因为r＝汀｀所以叫二芋＝2』所以′（x）＝2sin（2x＋÷十′）.
因为／（÷ˉx）＝／（x）,所以／（x）关于x＝:对称,
即2×÷＋÷＋砌＝昔＋隐汀′ 府巨Z,
即帜＝—÷＋k河, 庶匡Z,
因为｜帜｜＜吾』所以庶＝0,则帜＝—晋,所以／（x）＝2sm（2x＋÷）.
当娠e（0,昔）时’ 2蕊十:e（:｀子）′显然／（腮）在（0.昔）上不是单调陶数』
当′（x）单调递减时; 2x＋:e［2k汀＋晋,2胀”＋芋］, k巨Z.
得蜒巨［k厕十:.k万＋等］』k巨z.
令k≡0,有; xe［:.等］』
故／（鉴）在［:.等］上单调递减′则／（x）在（苦.芋）上单调递减
则D项正确°
故本题正确答案为D。
［易错项］B
【易错项被选择比例】27％
故A、C两项错误·
2∧
［解析］本题主要考查三角函数和两角和与差公式.
因为α』β均为锐角’…＋β）＝—吉』＄m（β＋;）＝;
所以α十β, β＋÷都为钝角′
｜234
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C∩∧P「［R］O
三角恒等变换
l2
汀
4
所以sin（α＋β）＝百’ cos（β＋可）＝—百’
所以cos（α＋:）＝c。s［（α＋β）—（′＋÷｜＋÷］
＝ˉsm［（α＋β）ˉ（β＋哥）］
＝ˉsm（α＋β）cos（β＋哥）＋sm（β＋÷）c。s（α＋β）
—苦×（—÷）号＂｛—言）二器.
＝
故本题正确答案为A。
［易错项］C
［易错项被选择比例］24％
3.
B
［解析］本题主要考查三角函数两角和与差公式°
汀
7汀
汀
汀
因为cos（百＋α）＝＿slnα’ 3sm（α＋—厅）＝3sm（α＋百＋汀）＝-3sm（α＋百）,
汀
所以sinα＝3sin（α＋百）
’
故sm（（α＋∏）ˉ∏）＝3s｛n（（α＋荒）＋舌）,
汀
汀
展开得sm（α＋舌）c。s∏—c。s（α＋∏）sm∏＝3（sin（α＋∏）c。S∏＋c。s（α＋舌）sin舌）,
汀
汀
汀
汀
汀
万
汀
整理得tan（α＋∏）＝-2tan∏
＝ˉ2tan（可—苦）
汀
汀
汀
tan可—tan百
＝—2×
汀
j丁
l＋tan可tan百
＝2佰ˉ4°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］34％
4. C
［解析］本题主要考查三角函数和两角和与差公式°
已知c。恩（α＋粤）＝c。s［（α＋苛）—（ˉ÷ˉ÷）］
-…＋÷）c。鼠（ˉ:十哥）＋爵m（α＋哥）爵m（—:＋苛）.
j丁
因为ˉ等＜β＜0＜α＜亏,
≡
～
所以矛…哥＜￥,÷＜ˉ:＋矛＜昔.
~厅
又因为…十÷）＝÷, c°s｛＿:ˉ卜哥）-粤,
235
｜膛
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…
学
数
粥
考
所以sm（叶苛｜二乎, ＂m（ˉ:ˉ岛｜＿平』
所以c…:）-÷”亨乎＂平三乎.
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】19％
少‖…｜倍角公式与半角公式
l. O
【解析】本题主要考查倍角公式和半角公式°
因为3汀≤‘≤4汀』所以等≤:≤2厕′
所以c°s:≥0, ‘m亏≤0,
0
全
0
0
亿
由半角公式可得原式＝cos百≡s1n页＝丁,
即但c°嚼（÷矛）～f, :‖c°s（:ˉ卜哥）-亨,
因为3万≤‘≤4颜』所以￥≤:噶≤芋,
所以:十哥＝等或字』
即‘＝宁或竿.
故本题正确答案为D°
【易错项］B
［易错项被选择比例］l9％
D
［解析］本题主要考查三角函数、
~厂-
′｛x）二c.s2等＋￥M…—豆-
1
／（x′＝cosˉˉ丁＋丁slnα」xˉ豆＝
∩
凸
两角和与差公式以及倍角公式与半角公式°
~广
l＋cosα」x归~
1
佰~
＋
刀
丁sln@xˉⅢ＝了sm（ox＋页cos‘ox＝sm（〔ox＋百）,
2
因为汀＜x＜2汀,
所以“汀…＜2…°汀＋音…十昔＜…＋:,
函数／（x）在区间（汀,2汀）内没有零点’则:
四（…:,2…音）匡（纸河.2k…）』k巨Z』
｜赡:Ⅸ←／
则
｝236
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C∩∧P『巨尺｜O
三角恒等变换
″参鳃—÷取k≡α
α〕≤k＋亩
‖‖
解得
5
因为o」＞0,所以0＜@≤∏;
翻（…晋.2…苦）二（2腮厕＋呵.2胀厕十2厕）』炬z
＼
｜瞧兰熙.
则
｜§董i重…~
解得
所以:≤″≤∏.
ll
综上可知』″的取值范圈是（0,÷｜O｜:,盖｝
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］44％
3.
〔
［解析】本题中要考查两角和与差公式和倍角公式与半角公式°
因为cos20＝cos20-sm20＝（cos0＋sin0）（cos0—sin0）,
且c°｀（矛,）-幢°噶…—sm矛m‘≡粤（…＿瓢n,）、
~ˉ
所以｀′2cos20
＝｀／2（cosqˉ了sm0）（cos0＋sm0）
°°s（苛＋0）
半（cos0—sm0）
～
＝2（cos0＋sin0）,
所以2（cos0＋sin0）＝佰sin20。
两边同时平方得’ 4＋4si∏20≡3sin220,
解得sin2β≡—;或sin2β-2（舍去）.
故本题正确答案为C°
［易错项］B
【易错项被选择比例］29％
4∧
［解析］本题主要考查三角函数利倍角公式与半角公式°
2tan（αˉ矛）
由倍角公式得》［an（2αˉ昔）＝tan［2（αˉ矛）］＝lˉtan2（αˉ哥）
又『凰n（αˉ哥）＝2｀所以!an（2αˉ吾）＝—÷.
▲
237鳞
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…
学
数
高
考
酗…—升:腮三｜揣.
｜
＝
＝
ta∏2α,
0
△
＂—ta÷2°
3｀
4
≡
所以［a＂2“＝;.
故本题正确答案为A°
［易错项】B
［易错项被选择比例］25％
5°
B
［解析］本题主要考查三角函数和倍角公式与半角公式°
l
因为α为锐角, 。os（α＋:）＝ˉ了,
汀
万
汀
2汀
所以0＜α＜页’百＜α＋百＜ˉ丁’
万
设β＝α＋百’
所以…-手, :m2′-2sm′c°粤′＝—
4√2
9
,
·°s2β-2c°s2β＿l-—;,
所以sin（2α＋古）
＝sin（2α＋哥ˉ矛）
＝sm2βc。s哥—c。s2βsm哥
≡（ˉ等）×粤—｜ˉ;）“粤
~-
7但ˉ8
~~
18
.
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］26％
≥‖硼和差化积与积化积差公式
l.D
［解析］
［解析］本题主要考查三角函数及和差化积与积化和差公式°
设…下, §m阎≡岩′所以0巨（＿昔,0‖
则函数）′＝sin（汀x＋p）—2cos（刀x＋帜）＝√5sjn（汀x＋p＋0）
’
因为函数的图象关于直线x＝l对称’
｜238
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C日∧P「［R］O
三角恒等变换
根据正弦函数的性质得到万＋′＋0＝吾十k万’
因为0＜′＜汀, 0巨（ˉ÷｀o）,
汀
所以帜＋0＝亏’
4
所以sin2O＝2sinOcosO＝2cos0s1n0＝一百°
故本题正确答案为D°
【易错项】C
［易错项被选择比例］33％
2B
【解析】本题主要考查倍角公式、和差化积°
用两次儒角公式可以得到sin.蜒-百c°…—可c。…;.
l
l
所以s『n绷｜0.＝:c°s40蹦ˉ÷c°s20.＋;』
‘in七0.＝百c。s2O0.—页c°s｜00.＋;＝—雨c°s20懒＋告c。s80.＋;』
1
l
l
＂n惑70.≡恿c°s2S0.—÷c。s｜4O.十;＝备c。s80·十去c°s40.＋;.
l
所以sm勺0·＋sm裂50.十sm缨70.＝;（c°s4O.十c·s80.ˉc°s20·）＋;.
利用和差化积公式可得cos40°＋cos80。＝2cos60。.cos20°＝cos20°,
侧』sjn靴｜O.＋sm斟50。十sin.70.＝;.
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］34％
3.C
［解析】本题主要考查两角和与差公式和和差化积与积化和差公式°
~厅
因为…—苦）＝—粤′所以
~广
…＋…—晋）＝…＋页…＋粤sinⅨ
1
~厅
3
√3
。
≡互cosx＋百smx
三嚣坞告…
＝-1
故本题正确答案为C°
【易错项］B
［易错项被选择比例】30％
239翻
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…
学
数
苟
考
■「霓而苇］简单的三角恒等变换
l°∧
［解析】本题主要考查简单的三角恒等变换°
4cos50.ˉtan4O.＝4sjn40.＿旦1卫业
COS40·
4sjn40°cos40。—sin4O°
~~
cOS40°
2sin80°—sjn40
~~
2cos7删9.30。）ˉsm40.
~~
2（cos40.溅筋.＋sin4O.sin30.）ˉsin40.
~~
COS40°
佰cos4O.
＝＝
COS40°
＝佰
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例】40％
2. C
［解析］本题主要考查简单的三角恒等变换°
2汀
根据三角恒等变换得c。s（苦ˉα）＝sin（昔—苦＋α）＝sin（α＋÷）＝sin（β＋丁）’
因为α, β均为锐角,即α＋β＜汀,
所以徽号＝β＋等或者燃＋÷＋βˉ卜ˉ丁二呵（舍去）』
2万
解得α—β＝:.
故本题正确答案为C°
［易错项】A
［易错项被选择比例］l4％
3° D
［解析】本题主要考查简单的三角恒等变换和三角函数°
由题设可得／（x）＝—1＋2佰sjn山xcos山x＋2cos2α′x＝佰sm2（ux
因为对称中心到对称轴的距离的最小值为牙’
2汀
所以T＝冗’@＝万＝l°
由于′（xo）＝:,即2鼠in（2蜒o＋:）＝:』＄m（2x＂＋÷）＝;,
囚为÷≤xo≤昔,所以等≤2xo＋昔≤夸,
所以c。s｛2鞠＋:）＝ˉ÷』
所以cos2xo＝c°s（2xo＋昔—:）
＋c。S2‘°x＝2sm（2°x＋÷）,
阻240
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C∩∧P「［尺］O
三角恒等变换
＝c。s（2xo＋晋）c。s百＋sin（2x0＋百）sm音
汀
汀
3—4√5
＝
10
°
故本题正确答案为D°
［易错项】B
［易错项被选择比例］3l％
4.
B
【解析］本题主要考查简单的三角恒等变换.
因为α是第二象限角,不妨设αe（苦,呵）.
又因为额n…。sα＝粤＞O』故αe（晋,芽）,
佰
化简sinα＋cosα＝丁’
l
两边同时平方得: sin2α＋cos2α＋2sjnαcosα＝可’
2
所以l＋sin2“＝÷』故sm2α＝了』
旧
由sm2（2α）十c。s恿｜2α）≡1且2“巨（施’誓）’得c°s2α-—丁』
又cos（2O17汀-2α）＝一cos2α’
敝c。s（20｛7厕—2“）-乎.
故本题正确答案为B°
［易错项］D
【易错项被选择比例］23％
5. D
［解析】本题主要考查三角函数及简单的三角恒等变换°
由题可知,／（x）＝si…＋侗co…＋l＝2sm（°x＋哥）＋l ,
因为最小正周期为万,所以鲤＝2,／（x）＝2sm（2x＋;）十l.
l
因此／（x）的零点为;／（x）＝2sm（2x＋÷）十l＝O,可得sm（2x＋:）＝ˉ亏.
在坐标系中作出y＝sin2x的示意图’如图所示°
直线′｜与直线′2为’＝sm2x的对称轴′在两条直线中间可见γ＝sm2蜒与直线y＝ˉ当共有l0个
交点,再加上′1左侧＿个交点、′2右侧—个交点共12个交点’
所以″ˉ狮最小值为5汀十:×2二等厕.
241戳
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~
…
学
数
药
考
y
个
≥
义
~
~
~
~
~
~
O
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］30％
6.D
［解析］本题主要考查倍角公式与半角公式和简单的二角恒等变换°
3
因为sjnα＋cosβ＝面’
所以c°sβ＝;ˉsmα｀
因为COSβe［—l, l］,
勺
所以;—slnα匡［ˉl’ ｜］’
所以sm“巨［l, ｜］.
由二倍角公式cos20＝1-2sin20＝2cos20-l可知:
cos2α＋cos2β＝1-2sin2α＋2cos2β-1
＝2（cos2β-sjn2α）
＝2（cosβ＋s1nα）（cosβ-sinα）
q
●
＝2×亏（÷—smαˉSmα）
｀
～
＝
:ˉ6sm徽.
＝
因为smα巨［斗’ ｜］,
≡
所以-6sinα巴［-6,-3］
’
｜;.;｜
所以:ˉ6….
.
故本题正确答案为D°
［易错项］C
【易错项被选择比例】27％
7. D
［解析】本题主要考查简单的三角恒等变换°
’
＝
斗
’
＝
‖
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C∩∧尸「〔R］0
三角恒等变换
由si∏0＋cos0＝2smα’两边平方得’
l＋2sm0cos0＝4sm2α’
所以s1n20≡4sin2α—l＝2（l—cos2α）—l＝l-2cos2α;
而又有sin20＝2sjn2β＝1—cos2β’
所以l-2cos2α＝l—cos2β’
即cos2β＝2cos2α。
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］27％
8. C
［解析］本题主要考查三角函数和简单的三角恒等变换°
根据辅助角公式,／（x）＝si…—co…＝但sin（°xˉ矛）,
庶河十芋（kez）.
所以／（x）的周期T＝兰’对称轴为直线x＝
O）
O》
由／（x）的任何—条对称轴与X轴交点的横坐标都不属于区间（2汀,3汀）知,
T
页＞汀’即互＞汀’解得o」＜l°
O』
所以A、D选项错误°
Ⅱ尝芋｜剧….
又由侧＞i′所以当k-0时’对称轴直线的横鹏标x＝
现在考虑临近区间（2刀,3冗）的两条对称轴直线的横坐标’只有以下两种情况:
3刀
7刀
7〃
l1亦
@工≤2厕且工≥3〃或@工≤2厕且工≥3〃.
O）
〔o
〔u
〔o
出四解得″巨｜;,古｜』由翘解得″巨｜湍｜.
其中,
由o→o相当于对应对称轴问左平移’若继续向左平移’
ll刀
l5JT
则有÷≤2露且÷≥3颜,解得÷≤″≤将』与°＜｜矛盾从而继续序移不合题意;
3冗
4
ˉ
△一一＾l≡…′←←▲
由@→@相当于对应对称轴向右平移,由此＝O时,对称轴直线x＝—二＜3刀知不能继续向右平移。
〔o
所以只有@、@两种情况°
所以″的取值范囤是｜;,古｜u｜湍｜.
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】28％
9.
B
［解析］本题主要考查简单的三角恒等变换。
因为2sin2α＝cos2α＋l
,
所以4sjnαcosα＝2cos2α’
243
｜
｜
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~
…
学
数
高
ˉ
考
因为αe（0,等）
』
所以smα＞0’
cosα＞0’
则2sinα＝cosα,
又因为cos2α＋sm2α＝l
’
所以（2smα）2＋sm2α＝l ,所以smzα＝÷,
~厅
~厅
解得smα＝尊或ˉ普（会去）.
故本题正确答案为B.
［易错项】C
［易错项被选择比例］］4％
｝｜（〔‖Ap丁［R｜｜〕解三角形
C‖∧p丁［∩‖‖
■「霓丽亏］正弦定理与余弦定理
l.〔
［解析］本题主要考查正弦定理与余弦定理°
因为A’B,C依次成等差数列’
所以乙A＋乙C＝2＜B’
所以乙A＋丝B＋么C＝3辜B＝l80。’
所以至B＝60°
’
在△ABD中,根据余弦定理,
｜AD｜2＝｜AB｜2＋｜BD｜2-2｜AB｜. ｜BD｜cosB,
即7＝4＋｜BD｜2—2｜BD｜’解得｜BD｜＝3（舍去负值）’
所以s△…→s…≡2″告｜A圈｜｜忽D｜smBˉ2※3×粤-3侮.
d
∩
冶
行
60◎
C
〃
D
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例］39％
〔
［解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理°
因为A＝晋’ 2bs｛nB＋2cs｛nC＝bc＋佰α,
所以bsm…jnC-亨h……mA,
2
■2“
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C‖∧P「［尺｜
］
解三角形
由正弦定埋叮得鹏＋c2≡卓αbc＋α2.
O
又因为cosA＝b2＋c2—α2≡l
2bc
2’
所以2…A-亨…解榴…腐…≡侮,
所以b2＋c2＝bc＋3≥2bc’
当且仅当b＝c时取等号,
所以bC≤3’
3√可
所以s△…＝÷b“mA≤丁.
故本题正确选项为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l8％
3.O
［解析］本题主要考查点、直线、平面的位置关系、空间直角坐标以及正弦定理与余弦定理°
因为丝BAC＝90。,AB＝AC＝4’故建立如图所示空间直角坐标系,
且坐标原点O为BC中点.作PD」ˉAC交AC于D°
…-′…c:—2′CA…么尸CA得°…′C＾-f,
又因为pD上AC’所以PD＝DC＝l
’
又因为么BAC＝90。’AB＝AC＝4,
所以二BCA＝45。’且O为BC中点’即CO＝2但’
由余弦定理得’DO＝佰’
又因为AO＝BO≡CO’
由外接球的定义可知,球心H在坐标轴z轴上,
易知AH＝BH＝CH’设球心坐标〃（0,0’x）
’
则AH＝√x2＋8,
又因为侧面pAC上底面ABC’且PD上AC,AC为侧面PAC和底面ABC的相交线’
故pD上底面ABC,所以尸D上DO,
所以PH＝√5＋（l—x）2’当AH＝PH时’
即x＝-l ,H为三棱锥p—ABC的外接球球心,且半径R＝AH＝3,
所以S＝4汀尺2＝36汀°
P
Z
C
O
x
故本题正确答案为D°
［易错项】C
【易错项被选择比例］26％
245藤
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…
学
数
离
沪
考
4D
［解析］本题主要考查正弦定理与余弦定理°
b
由正弦定理得孟万＝百iII万＝盂石＝2R＝2但』
所以α＝2归sinA, b＝2归sinB,
代人2佰（sin2Aˉsm2C）＝（αˉb）sinB′
得2佰sin2Aˉ2归sin2C＝2佰（sjnAsinB—sin2B）
》
所以α2-C2＝αb-b2’
所以cosC＝α2＋b2-c2＝αb＝l
2αb
2αb
2,
又因为C巳（0’冗）
’
所以C-÷』所以斟inC-平』‘-2归smC-3』
C2＝α2＋b2-αb≥αb’当且仅当α＝b时等号成立,
因此αb≤9’
所以△A幽C面积为s-＋…mC≡?鲤b≤手.
:‖△ABC圃帜的最大值为竿.
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］36％
5° D
［解析］本题主要考查正弦定理与余弦定理°
由题意,设外接圆半径为R’△ABC的三个边长分别为α
田题怠’设外接圆半径为R’△ABC的三个边长分别为α’
b’
c’
b
C
则志＝司丽＝丽而＝2R’故α＝s｛nA2R, b＝sin…,
故S｜＝＋…｜nC＝÷smAsinBsmC4R2,
根据A:B:C＝3:4:5可得,A＝45。,B＝60。’C＝75。’
但＋亿
4
敞smA-粤』‘m圃-卓′ ‘mc≡sm（30.抖5.）
故S!-2R蛰×f×粤“（但苛扼）≡3≠R舅,
又因为S2＝刀尺2,
＝sin3（）°cos45°＋cos30。sin45°＝
厂
归
刀
＋
▲
·
］
马
屹
故
故本题正确答案为D·
［易错项］C
［易错项被选择比例】30％
6.∧
［解析】本题主要考查空间几何体、点、直线、平面的位置关系以及正弦定理与余弦定理°
■246
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C‖∧P「［尺］
｜
解三角形
根据三视图还原该几何体为三棱锥A-BCD,如图所示·
由已知可得BC＝4’CO＝BO＝2,
BD＝CD,AC＝AB,平面ABC上平面BCD°
因为CO＝BO＝2’AC＝AB,
所以AO上BC°
又平面ABC上平面BCD’平面ABC∩平面BCD＝BC
所以AO上平面BCD,
则有AO＝CO＝2°
在直角三角形AOD中’AD＝√AO2＋DO2＝2但,
~～
同理可得AC＝AB＝BD＝CD＝2√2’
所以△ACD和△ABD是等边三角形°
所以s…＝s△…-÷息m60.×（2但）型＝2佰.
s…＝1×4×2＝4』s△凰c°二当×4×2＝4.
所以表面积S＝4＋4＋2侗＋2佰＝8＋4但。
A
C
B
D
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例】27％
7. C
［解析］本题主要考查正弦定理与余弦定理°
设BC的长度为x（x＞0）,
由余弦定理b2＝α2＋c2-2αccosB得49＝25＋x2—5x’
解得x＝8或x＝—3,
因为x＞O’所以x＝8’
即BC的长度为8°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】l7％
□「霓百j吊］正余弦定理的应用
l. C
［解析］本题主要考查正弦定理与余弦定理和正余弦定理的综合应用°
已铡c°…片』圈～÷,可得siM≡誓｀·mB≡f,
247蕊
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…
学
数
高
考
由正弦定理‘i;八≡志得b-7』…-…＿A—鹰）』
又因为smA二碧＞1』所以A＞÷』
所以C＝厕ˉA—B＜普,
～
l
所以cosC＝—cos（A＋B）＝sinAsmB-cosAcosB＝亏’
′~
再由余弦定理可得c＝√α2＋b2ˉ2αbcosC＝8’
二角形的圃积s＝去αcsm圃≡l0佰.
故本题正确答案为C°
［易错项］A
［易错项被选择比例］22％
2。C
［解析】本题主要考查正余弦定理的应用及半角公式°
B
C
D
如图所示,在△ABC中,
由余弦定理知’BC2＝AB2＋AC2—2AB.ACcosA＝l8’
所以BC＝3但。
山半角公式可得°·凰÷≡｜｜竿＾
』
＝二
4,
所以…DAC-…DAB-;,
在△ABD和△ACD巾』由正弦定理分别有sm盖6
“n尝DB（p』
＝＝
CD
sm丝DAC＝§m揣C圆,
因为么ADC＋丝ADB＝Jr’所以sin二ADC≡sin丝ADB』
又因为AD是二A的角平分线,所以sjn丝DAC＝sin丝DAB°
所以由o除以翻,可得器≡羔-÷』又因为EC二3厄』
则BD＝2但’ CD＝厄.
在△ABD中,
由余弦定理可得,
AD2＋AB2-2AD.AB.cos丝DAB＝BD2’
解得AD＝2或4°
在△ABC中’因为AB＞AC’所以乙C＞么B,
在△ABD中’因为丝ADB＝丝C＋乙CAD,
所以二B＜丝ADB’所以AD＜AB’
所以排除AD＝4,故AD＝2°
故本题正确答案为C°
【易错项］B
｜248
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C‖∧P「［尺｜2
数列
［易错项被选择比例］30％
3° C
［解析］本题主要考查正余弦定理的应用°
在△ABc中′ s△…＝÷…csmB≡五…c』
l
l
解得A圈～亨鹰C,
根据余弦定理AC2ˉAB恿＋周C』—2…◎…二;EC2』
即AC＝卓BC｀
〕
所以c。sA＝AB2＋AC2ˉBC2＝
√I6
2AB°AC
l0°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］23％
D
【解析】本题主要考查正余弦定理的应用°
在△A〃C中′揣-揣｀即,i六0.
解得鼠mC～亨,
又因为AC＞AB,
所以丝B＞乙C’则0。＜二C＜90°’
所以…≡√｜—爵m翌C二乎.
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l8％
4
℃
’
～
Ⅱ
■
■
■
且
吕
~~
‖〔C‖Ap丁［R｜2〕数列
□｜酮｜数列的概怠与表示
1D
［解析］本题主要考查数列的概念和通项°
2门α″＿（″—1）α″
l ’将α
根据已知条件,
α″＋l＝
″＋1
2…号ˉ2×3
2×2×3—l
1l
α3＝
＝-丁’
α4＝
3
〕
4
将αl
’ α2依次代人解得
＝4,
249撼
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…
学
数
高
考
2×5×÷—4×4
26
ll
2×4×4＿3×丁
2l
＝
α5＝
＝亏’ α6＝
6
6
’
5
5刃—4
可归纳得出α″＝
门
5×20-4
24
所以α2O＝
20
＝5
°
故本题正确答案为D°
易错项分析:本题若只知道利用数列的递推关系求数列的通项,则容易出错’甚至求不出数列的通
项’不注意根据数列的前几项归纳出数列的项与项数之间的关系,则不能正确得出结果°
［易错项］C
［易错项被选择比例］32％
2. C
［解析］本题主要考查数列的应用与函数的平移°
当0＜x≤2时,有-2＜x—2≤0’则／（x）＝／（x-2）＋l＝2打ˉ2,
当2＜x≤4时,有0＜x-2≤2,则／（x）＝／（x-2）＋1＝2xˉ4＋1’
当4≤x≤6时’有2＜x—2≤4,则／（x）＝／（x-2）＋1＝2xˉ6＋2’
当6＜x≤8时’有4＜X-2≤6’则／（x）＝／（x-2）＋1＝2x-8＋3’
由此类推,当2门＜x≤2川＋2（其中门巴N）时,／（x）＝／（x-2）＋1＝2xˉ2〃ˉ2＋〃,
l
所以函数／（x）＝2鉴利γ-÷x＋l的交点为（0,l）利（—l,豆）,
由于指数函数为增函数且函数图象下凹,故只有两个交点°
将圈数′（缆）＝2蜒和’＝蛊x十1的图象同时向下平移ˉ个雌位,
即得到函数／（蕊）＝2墅—l和γ＝÷x的图象,取腮≤0的部分,可见它们有两个交点（α0）和（ˉl,＿＋）,
～
即当x≤0时』′（x）—当x＝0有网个根鞭＝—l′ Ⅱ-0′
当0＜x≤2时’ 由函数图象平移可得g（x）＝／（x）—÷x的零点为l》2;
由此类推’在（2,4］
’
（4,6］’…,
（2门,2门＋2］上的零点分别为:
3’
4;
5’
6;
…;
2门＋1
’
2″＋2.
综上所述函数g（x）＝′（x）—÷x的偶数零点按从小到大的排序所得数列为; 0』2′ 4, ˉ输该数列为
首项αl＝0’公差d＝2的等差数列,其通项公式为:
α″＝2（刃-1）
’
故该数列的前10项的和为s｜o＝｜0×0＋些2×2＝90.
故本题正确答案为C°
易错项分析:本题不熟悉指数函数的图象与性质或者不熟悉函数图象平移的有关知识,或者求不出函
数的零点与数列之间的关系’从而不能利用其求出数列的通项公式’所以无法判断出该数列是等差数
列’进—步求和.
［易错项］B
［易错项被选择比例］36％
3.∧
［解析］本题主要考查数列的概念与表示和数列综合°
镶25（）
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C‖∧P「［尺］2
~数列
当′!≥2时,
因为s″＋l＝α2s″＋α｛O’
所以S″＝α2S″ˉl＋α｜@’
由o—@得: α″＋｜＝α2α″,即g旦兰＝α2,
α〃
当′!＝l时’因为各项均为正数,且S2＝αl＋α2＝α2.Sl＋α1
,
解得αl≡1°
｜!三!｛
当〃＝2时’尘＝α2’即α3＝αi’ 由题意可知
α2
｜;｜三j霉｝郭~ 帐…橇｜｜三』r:奎＾
即
因为数列（α″｝各项均为正数’所以α″＞0,
所以解得α2巴［l,2）°
故本题正确答案为A°
易错项分析:本题容易忽视数列的各项都是正数的条件’不能由递推公式求出各项之间的关系,特别
是与第2项的关系,从而无法得出关于α2的不等式组,无法解出第2项的取值范围°
［易错项】B
［易错项被选择比例］28％
□「勇可Iˉ节］等差数列
∧
［解析］本题主要考查等差数列及数列的求和。
根据等差数列的求和公式S8＝8（αl＋α8）
＝汀
2
所以COS（＿αl-α2-α3-α6—α7—α8）
＝cos［—3（αl＋α8）］
-c°s｜ˉ芋｜-ˉ粤.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例】44％
l
汀
～
▲
~~
＄
α
＋
α
故
D
［解析】本题主要考查数列的求和、三角函数及等差数列°
由翘意数列｛·″｝是以士为公差的等差数列,
l
所以α獭-°］告（″ˉl）.故b鹏＝2S｀n［叮（α」＋÷（″ˉl）］十侧）＝2s｜n［（α］ˉ面｜…＋竿］,似巨（O,晋）』
故而有b″＋b″＋l＋b″＋2＋b〃＋3＝0°
利用正弦函数的周期性,
当″＝4k（k巳Z）时’ S″＝0;
2
25l瓣
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尊枷
当门＝4此＋l（人巴Z）时’ S4k＋1＝Sl
’
当川＝4此＋2（keZ）时, S4k＋2＝S2,
当门＝4此＋3（比eZ）时, S4k＋3＝S3,
所以S″不∏I能为3°
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］24％
故S″巳［-2,2］;
~厅
~广＝
S″巳［—2√2,2√2］
S″巴［—2,2］
’
3.∧
［解析］本题主要考查等差数列°
设等差数列｛α″｝的首项为α1 ,公差为α
由α2不大于l知α2≤1
’
所以3d＝α5-α2≥4’
则α8＝α5＋3α≥5＋4＝9°
故本题正确答案为A°
［易错项］C
【易错项被选择比例〕24％
由α3＋α6＝α4＋5知’ α5＝5,即αl＋4d＝5°
4B
［解析］本题主要考查等差数列°
题意等价于“（α″｝、｛b″｝均为等差数列’ αl＝05’ ｛α″｝的公差dl＝（）O3; bl＝l.3, ｛b〃｝的公差为
α2≡—O0l3,分别记｛α″｝、
｛b″｝的前门项和为S″、ZⅢ’求S3o＋T3o”’
则α〃＝05＋0.03（″-1）＝003门＋（）。47’
b″＝1.3-0.0l3（门＿l）＝—0.013门＋l313’
从而根据等差数列的前′『项和公式,
得S3o＋Tbo＝6l395°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例】25％
5.
B
［解析］本题主要考查等差数列的基本计算°
可令竹从下往上每—节容量分别为α1 ,
α2,
即为首项为αl ,公差为α的等差数列’
＂题恿可得｜:』照:;熟≡』
卿隐｜》二舅
故α…5＝2孟｀
故本题正确答案为B°
［易错项］C
’
α9’
毅252
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C∩∧P「［尺｜2
数列
［易错项被选择比例］23％
6C
【解析］本题主要考查等差数列°
20l7（α1＋α2o17）
由等差数列的求和公式及其性质’可得S2Ol7≡
2
所以α］OO9＞0’
20l8（α］＋α2o］8）＝1009（αloo9＋αlo1o）＜0’
同理S2o18＝
2
所以α1OO9＋αlOlO＜0’
又因为α1OO9＞0,所以α｜O1O＜0’ d＜0’则｜αlOO9｜＜｜αlOlO｜
’
因为对任意正整数列,都有｜α厕｜＞｜αk｜
’
所以k＝l0O9°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】25％
＝20l7αloo9＞0
7。C
［解析］本题主要考查算法的含义、程序框图和等差数列°
根据程序框图可知’ S＝l＋5＋9＋…＋4033,
所以该程序框图为求首项为l ,公差为4的等差数列前l009项和°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］2l％
8.
B
［解析］本题主要考查平面问量的应用和等差数列°
因为死＝4元,
所以而＝4m』
O
则示二廓十灭＝—÷示＋÷玩』
又囚为柬′′示’且豆＝iα州柬—（3倒＂＋3″籍］）硕,
1
所以煎°宁
—（3α舰＋3州）
＝＝
4
3
百
整理得α″＋］＝3α网＋3″＋l
’
等式闷边同时除以〕砷｜得斜＝器＋l,
义因为器＝｜,
所以数列｛祟｝是首项为l′公差为l的等差数列,
吟
—
驴
故
＝刃’即α′!＝门3′!.
253灌
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…
学
数
高
考
故本题正确答案为B°
［易错项】A
［易错项被选择比例］36％
9. C
［解析］本题主要考查等差数列及充要关系的判断°
法—; 由等差数列的前″项和公式s″＝:″2＋（·｜—:）′‰
得S4＝6d＋4α1
’ S5＝l0d＋5α］, S6＝l5d＋6α］
’
所以S4＋S6—2S5＝d, S4＋S6＞2S5等价于d＞0°
故“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充分必要条件°
法二;由等差数列的前〃项和公式s僻＝:″2＋（α｜—;）″’知s顺是关于″的ˉ次函数图象中的若干
个点°
当d＞0时,该二次函数开口问上’且s〃』苛s″＞s″＂（v″′, ″巨N露,且′″≠″）｀
2
取加＝4’ 门＝6,可推出S4＋S6＞2S5’充分性成立;
又若s感＋s6＞2s鼠′即s笔s偷＞s鼠,
根据二次函数图象的性质,知S″应为关于Ⅺ的开口向上的函数图象,即α＞0必要性成立°
故本题正确答案为C·
［易错项］A
［易错项被选择比例］l7％
l0. D
［解析］本题主要考查等差数列°
因为s馏＝″“｜＋″（〃责l）d』所以b鹏二等＝α｜＋巴贡上」创
所以｛b腿｝足以;为公羞的等差数列.
因为倒罐十b懦＝2α｜十;（″＿］）创′
所以数列｛翻愿十b″｜是首项为2α｜』公差为￥的等差数列』
因为α厕—b僻＝去（厕—］）创』
所以数列｛α测ˉb鹏｝是育项为0,公差为;的等差数列.
故本题正确答案为D°
［易错项】C
［易错项被选择比例］l7％
ll.
B
［解析］本题主要考查等差数列和函数的概念与性质°
因为函数y＝／（X-2）的图象关于x＝1对称,
所以／（l＋x-2）≡ˉ／（l-x—2）
’
翻254
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］2
数列
C‖∧P「［尺
所以／（-l＋x）＝／（-1＿X）,
所以函数y＝／（x）的图象关于x＝-l对称°
因为函数／（X）在（—l’＋m）上单调,且／（α5O）＝／（α5l）
’
所以α5o＋α51＝（—l）×2＝-2°
又因为数列｛α″｝是等差数列,
所以α1＋α1oo＝α5o＋α51＝-2°
故本题正确答案为B。
［易错项］C
［易错项被选择比例］25％
12C
［解析］本题主要考查等差数列和数列的递推与通项°
2Ol5（α1＋α2o15）＝2O15×α1oo8＞0’
由题意可知’ S2Ol5＝
2
20l6（α1oo8＋α］oo9）＜0, α1oo8＋α1oo9＜0,
所以α1oo8＞O’同理S2o16＝
2
所以αlOO9＜0,且｜α1OO8｜＜｜αlOO9｜,等差数列α″为递减数列,第1项到第
来越小,从第1009项开始为负数’负数越来越小’绝对值越来越大,
所以绝对值最小的项为第1O08项,即火＝1008。
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】27％
l008项均为正数,且越
13. C
［解析］本题主要考查等差数列°
m（α1＋α加）
因为Sm＝
＝α砸,所以刀!αl＝（2-加）α′厕,
2
由α1＜O’加≥3’可得α腕＞0’故d＞0;
因为S″＝Sm＋α′″＋1＋…＋α″,显然有S厕＞α″°
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例】25％
14∧
［解析】本题主要考查等差数列°
设等差数列（α″｝的公差为d’
因为｛α″｝为等差数列,
所以根据S4＝0可得4×（αl＋α4）＝0,
2
即2α1＋3d＝0,
根据α5＝5可得αl＋4α＝5
｛:『遍骂0,
联立方程组
｛:｜互3,
解得
255
｜…爵
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燕
学
数
高
考
因此α″＝α1＋（门＿l）α＝2′〗-5。
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例】9％
回「霓丽司等比数列
l〔
［解析］本题主要考查等比数列°
第＿年初的本息和为2＝αl
;
第二年初的本息和为l。02α1＋2＝α2;
第六年初的本息和为102α5＋2＝α6;
可以总结出前六年每年初的本息和α〃满足:α厕＝L02α″ l＋2, 2≤′!≤6°
由α″＝l.02α＂ˉ］＋2,可拆为α″＋l00＝102（α″ˉl＋100）’
即｛α厕＋100｝是以首项为l02’公比为l.02的等比数列°
则α6＝102×l.025—l00＝l00×L026—100＝l00×（1026-l）°
设α6＝b1.
第七年初的本息和为l.02bl＋l＝b2;
第八年初的本息和为l.02b2＋1＝b3;
第十二年初的本息和为l.02b6＋l＝b7;
第十三年初的本息和为102b7°
可以总结出第七年至第十二年每年初的本息和b厕满足;b″＝102b″ˉl＋1
, 2≤′T≤7°
由b″＝l。02b″—l＋l ,可拆为b″＋50＝102（b″ˉl＋50）,
即｛b厕＋50｝是以首项为b1＋50’公比为lO2的等比数列°
则b7＝（bl＋50）×1.026-50＝［l00×（l.026—l）＋50］×L026-50
＝l00×（1026-l）×l.026＋50×
l 。026＝50＝l00×l 。02l2-l0（）×L026＋50×1.026-50
＝l4＋565—50≡20.5°
故第十三年初的本息和为1.02b7＝102×205＝209l （万元）°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］32％
D
［解析】
［解析】
勺
＾
本题主要考查数列的概念与表示和等比数列°
由题意可知,
α』b′ °依次成公比为＋的等比数列,三者之和为5o升』
因此α｛ˉ去“＋iα＝50,
所以α-半, °二丁.
50
故本题正确答案为D°
【易错项】A
［易错项被选择比例］l9％
.■256
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C什∧P「［R］2
—数列
3.∧
［解析］本题主要考查等比数列°
由2…雁｜二…—｜（″≥2）’得器＝i铝＋÷,
所以器—｜＝叶（铝ˉl）』
再由2α〃—α″ˉl＝3.2″ˉl ’且3αl＝2α2’可得2α2-αl ＝6’即2α］＝6, αl＝3
所以数列｜祟—l｜是以÷为首项』i为公比的等比数列』
则啪—｜＝1（i）蹦—｜-（÷）鳃—｜
所以α″＝2″（2lˉ2″＋1）≡2］—＂＋2″’
l
l
所以S″＝（1＋页＋…＋页万≡T）＋（2＋22＋23＋…2″）
1
1-（页）″
2（l—2″）＝22″—2lˉ″,
｜—1
＋
lˉ2
＝
所以
1
＝
1
＝
l
1
l
l
1
l
l
所以巩＝习（画十西＋＝万）二÷｜l＿矛）＜可.
对γ″巨』v翰’z′＜脚,所以咖的最小值为÷.
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］32％
4C
［解析］本题主要考查等比数列°
设三角形的三边分别为αO,
αOq,
αOq2,
所以αO＋αOq＞αOq2,
αO＋αOq2＞αOq’
解得归丁l＜q＜佰步l
』
酗佰丁1＜;＜佰;l .
所以q的ˉ个可能值为;.
故本题正确答案为C°
［易错项］D
［易错项被选择比例】l8％
αOq＋αOq2＞αO,
5.∧
［解析］
【解析］本题主要考查函数综合及等比数列°
由题意知,当x巨［0. l）时,／（x）＝ˉx2＋x＝—（xˉ÷）2ˉ卜L
～
4’
257「弓
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燕
学
数
高
考
当x巳［l,2）时’ x-Ie［0, 1）
’
／（x）＝驴（x—l）＝ˉ2（xˉ｜）2＋2（xˉ］）＝ˉ2（xˉ:）2＋1
≡′
2’
由函数的图象与性质可知,／（x）（x巨［l’2））图象可由／（x）（xe［0’ l））向右平移一个单位长度’并沿
y轴正方向向上拉伸2倍得到,
以此类推可以在平面直角坐标系中画出／（x）的图象如图所示:
〕′
4
‖
∑
］
］
页
～
○
~
~
~
~
~
~
~
≥丁～＼
l
2
3
4
5
x
再根据／（x）在［门-l,门）上的最大值为α″ （门eN＊）’
结合图象叮知, ｛α腮｝是以i为首项·以2为公比的等比数列.
所以α3＋α4＋α5＝1＋2＋4＝7。
故本题正确答案为A°
［易错项】B
［易错项被选择比例】28％
6D
［解析］本题主要考查等比数列°
依题意得: αlα2α3…α〃＝2厕2’
αlα2α3…α〃α″＋］＝2（″＋l）2 ,两式相除得:
α″＋l＝22〃＋l＝22（″＋l）ˉl
所以数列（α〃｝的通项公式α厕＝22″ˉl ’则ˉL＝2｜ˉ2〃’
α〃
故数列（上｝是以上＝2ˉl为首项, q＝2ˉ2为公比的等比数列’
α″
α1
则s鹏-六封…带—
l
2—｜（l—2—2膊）-;（｜—2—2僻）＜′′
α″
l-2ˉ2
7
所以r的取值范围为［言’＋印）。
O
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］27％
7.∧
［解析］本题主要考查等差数列和等比数列°
因为1 ,
αl
,
α2, 4成等差数列’
所以αl＋α2≡l＋4＝5°
因为l,
b｜
’
b2’ b3, 4成等比数列’
所以bl
’
b2’ b3也成等比数列。
设bl＝q＝1×q,
鳞258
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C‖∧P「［R］2
数列
则b2＝q2’ b3＝q3’ 4＝q4’
则q2＝√J＝2’故b2＝q2＝2°
则α铲—;.
故本题正确答案为A°
［易错项】C
［易错项被选择比例】4l％
8.
B
［解析］本题主要考查等比数列°
因为｛α″｝是等比数列,设等比数列的公比为q（q≠0）,
因为S3o≠3S1o’所以q≠1’
α1（1-q1o）＝l0, S3o＝αl（1—q3o）＝l30’
则S］O＝
l-q
l—q
所以盏-1＋q｜＂＋q酗≡旧’
解得q1o＝—4或qlo＝3’
因为q1o为正数且不为0,所以qlo＝3’
将gm＝3代人s｜闽得凸＝—5′
αl ［l-（q1O）4］
因为S4O＝
l-q
将q』o＝3和台＝—5代人s纵o＝α｜［lˉ（q｜o）4］
1-q
得S4o＝—5×（l-34）＝40（）°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
【易错项被选择比例］42％
9.∧
［解析］本题主要考查等比数列°
等比数列（α″｝的前∏项和公式为S′!＝
由题干可知,此等比数列的公比为3.
故鸟』-—÷＋竿』
所以“＝等, b二ˉ号,
所以;＝—3.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］2l％
α1 （l-q′1）
l-q
l0. O
〔解析】本题主要考查等比数列°
259撬
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…
学
数
岛
考
因为数列（α″｝是无穷等比数列,设其公比为q（q≠0）,
｜甜川＿」…≡艘｛｛｜子｜〃＃
则前门项和S″＝
则若q-｜』鳃s〃＝鳃（＂倒｜）≠去;
若q≠l ,只有当0＜
｜q｜＜l ,即-l＜q＜0或0＜q＜
总ql°（1ˉq″）＝l
》
所以去-腮s蹦二尚』即α｜-面（｜＿q）』
结合q的取值范围知α｜巨（0’兴）O（斗,｜）.
～
～
故本题正确答案为D°
［易错项】A
［易错项被选择比例］26％
l时’归p!°S″才可能符合题意’此时
ll.
〔
【解析］本题主要考查等比数列°
根据已知可得（αl＋α2）＋（α3＋α4）＋（α5＋α6）＝2l,
α1＋α2
设等比数列｛α″｝的公比为q,整理得1＋q2＋q4＝2l,
解得, q2＝4或q2＝-5（舍去）,故q＝2或q＝—2》
当q-2时』阂为′｜≡2,故（犬）-击,前5项利为拙ˉ卜÷六＋壶÷,
当q-—2时, ｝上｝-ˉ俞』前5项和为÷—揣＿六十壶≡釜.
α门
故本题正确答案为C°
【易错项］B
［易错项被选择比例］28％
l2.
〔
［解析］本题主要考查等比数列.
依题意知’ S4＝αl（l＿q4）＝l5°@
l—q
因为α5＝3α3＋4αl
,
即α1q4＝3α1q2＋4αl °
因为等比数列的各项为正数,
所以αl≠0,
所以q4＿3q2—4＝O,
解得q2＝4或q2＝-1 （舍去）,
故q＝2或q＝-2（舍去）°
将q＝2代人o式得αl＝l ,
所以α3＝α｜q2＝4°
故本题正确答案为C°
〔易错项】B
」260
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C‖∧P『［R］2
数列
［易错项被选择比例］l7％
□「飘J韦］数列的递推与通顶
l.
B
［解析】本题屯要考查数列的谴
α″ˉ佰
因为α1＝0, α″＋l-厂
旧α″＋］
αlˉ侗
所以α2＝
＝ˉ佰;
佰αl＋1
α2—佰
α3＝
＝佰;
佰α2＋l
~「＝-
α3—γ3
＝0;
α4＝佰α3＋1
α4—√5
α5＝
＝ˉ佰;
~厅
归α4＋1
本题主要考查数列的递推与通项°
α″ˉ佰
∩
所以数列｛α″｝是以周期为3的循环数列,
故α2O＝α3×6＋2＝α2＝ˉ归。
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］20％
2. C
〔解析］本题主要考查函数的概念与性质和数列的递推与通项°
因为对任意的止数x’ y均有／（赃y）＝／（x）＋／（Ⅱ）且／（＋）＝ˉl
’
又因为α徽＞0且′（s雁）＝′｜α″）十′（α馏＋｜）—l＝′（鲤臃）＋′（′″十l）＋f（1）』
所以f（s蜒）＝′［（α:＋α卿）×当］,
又因为／（x）是定义在（O,＋函）上的单调增函数’
所以S卿～告（α:…）o,
当″-l时.
α｜-÷（“｝＋“｜）,
因为αl＞0,所以解得αl＝l ,
当″≥2时. s厕!＝当（α:ˉ｜＋。侧ˉ! ）o｀
@＿@可得2α″＝2S″ˉ2S″—｜＝α:＋α″ˉα:—lˉα″ˉ］
’
即（α″＋α〃ˉ1）（α″-α″ 1—1）＝0’
因为α″＞0’所以α″-α〃l-l＝O,
所以（α〃｝为等差数列且αl＝1
, α＝1
,
261
｜
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燕
学
数
高
~
考
所以α18＝18°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l7％
D
［解析】本题主要考查数列的递推与通项°
由α″＋l＝α厕＋门＋1可得α〃＋l-α″＝门＋l,
由此可得: α2—αl＝l＋1, α3—α2＝2＋l , α4—α3＝3＋l’
』
以上等式相加可得, α″一αl＝1＋2＋3＋…＋（Ⅺ-l）＋′l-1,
n（′1＋1）
将αl＝1代人可得, α″＝1＋2＋3＋…＋（门-l）＋门＝
2
所以ˉL＝
2
α″
″（″十l）＝2（片—″＋l）』
则上＋上＋…＋—
l
αl
α2
α2O16
＝2×［（｜—当）十（iˉ』）＋＝＋（而厉ˉ赤）］
＝2＂（｜ˉ赤）＝20l7.
4032
故本题正确答案为D°
［易错项】C
［易错项被选择比例］2l％
3
α′!—α″ 1＝（′〗—l）＋l
’
4.
B
［解析】本题主要考查数列的递推与通项°
·题藏可碍方霍鳃｜谱｜』酬员!』训—2｜解得｜:｜二｜
所以α″＝α1＋（门-l）α＝2川-l°
将＂-1代人得÷-去』解得b｜≡1;
将＂≡2代人｀减去:-去,得货-÷,解得h凰-;;
将〃-3代人,减去贵-蛊』贵-÷,得责-肯,解得b’-;;
司
同理! b4＝亢.
所以S4＞2’ S3＜2。
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］28％
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C∩∧P「［R｜2
数列
■「勇刁J苇］数列的求租
l. D
［解析］本题主要考查数列的求和°
由题意知良马和驾马共同走完两倍的齐至长安的距离’假设两马k日相逢’
因为良马首日行103里,所以第h日行103＋l3（k—1）里’
故相遇时良马行距离［103＋103＋13（∧-1）］×k
2
同理鸳马行距离［97＋97-05（几-l）］×此,两马同行距离1125×2＝2250里,
2
所以［l03＋103＋l3（比-l）］×k＋［97＋97-0。5（k-l）］×k＝2250’
2
2
解得代＝9或-40（舍去）°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例】24％
2.
B
【解析】本题主要考查等差数列求和°
本题可以利用特例法来解’设等差数列为αl＝1, d＝l的等差数列’
令加＝2, 〃＝3,可得S2硒＝S4≡10, S2″＝S6＝21’
S″Ⅺ＋″＝S5＝15’
所以在这个例子中’ S2mS2″＜S吊十″;
lnS2m＝ln10’
lnS2〃＝ln2l
,
lnS′〃＋″＝ln15,
因为黑黑-l。g!氢l0×!。g旧2｜＜｜,
所以lnl0×ln2l＜ln2l5’
所以在这个例子中’ lnS2砸lnS2″＜ln2S′施＋″’故可排除A、C、D项°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］28％
3.
B
［解析】本题主要考查数列的递推与通项和数列的求和°
由题意可知’
S″＝α1＋4α2＋42α3＋……＋4＂ˉ1α″’
故4S″＝4αl＋42α2＋43α3＋…4厕α″,
将两式相加可得5S″-4″α″＝αl＋4（αl＋α2）＋42（α2＋α3）＋
-］ˉ喘＋42士＋…＋″—1六二″.
故本题正确答案为B°
［易错项】C
［易错项被选择比例】3l％
＋4″ˉ1 （α″-1＋α″）
4. C
［解析】本题主要考查数列的求和和数列的递推与通项°
α｜＝s!＝:（α｜ˉl）,所以叮以解得α1＝3.
263嚼
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…
学
数
高
~
考
3
且当〃≥2时’ α″＝S″ˉS″ˉ｜＝刁（α〃—α″
l）’所以α〃＝3α阀ˉl °
又因为αl＝3》所以数列｛α″｝是以首项为3’公比为3的等比数列.
因此’
α″＝3″°
故本题正确答案为C。
［易错项］D
［易错项被选择比例］l6％
■｜…｜数列综台
l. D
［解析］本题主要考查数列综合°
根据数表排列可得’第｜行到第!行末共有｜十2十…＋′＝i（｜;!）个奇数』
所以第l行到第44行末共有990个奇数’到第45行末共有l035个奇数,
又（20l7＋1）÷2＝l009,即20l7是第l009个奇数,
所以20l7在第45行’即j＝45。
因为第45行第＿个奇数是整体数表的第991个数,即为991×2-l＝l98l
,
所以l98l＋2（x—l）＝2017’解得x＝l9°
又第45行奇数从右到左依次递增,
所以j＝45＋1—l9＝27°
所以j＋j＝72°
故本题正确答案为D。
［易错项］B
［易错项被选择比例］28％
B
［解析］
【解析］
2
本题主要考查数列综合°
川（′】-l）d
由等差数列的求和公式可得: S厕＝川α］＋
2
若d＝0’ αl＝0』腮S″＝0存在;
若d＝0’ αl≠0’腮S″＝腮〃αl不存在;
若α≠0’ α｜＝0’ ‖ⅡRs阑＝腮″（″云l）α不存在;
◎
″（″-1）α
若d≠0’ αl≠O,腮S〃＝腮［″αl＋
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］29％
］不存在°
勺
≡
3. D
【解析］本题主要考查数列综合°
由于数列｛α″｝满足X｜＝2’且对任意″eⅣ＊,
所以x厕＋l＝g（x″）,
点（x′Ⅱ’X″＋｜）都在函数y＝g（x）的图象—k
｜264
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C日∧P「［R］3
不等式
所以由图表可得x‖＝2, x2＝／（x1）＝4, x3＝／（x2）＝5’ x4＝／（x3）＝1, x5＝／（x4）＝2’
故数列是周期为4的周期数列°
因为xl＋x2＋…＋x2ol2有503个完整的周期,
故Xl＋X2＋…＋X2O｜5
＝503（xl＋x2＋x3＋x4）＋x2o13＋x2ol4＋x2ol5
＝503（x1＋x2＋x3＋x4）＋x1＋x2＋x3
＝503×l2＋2＋4＋5＝6047°
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例】29％
4∧
［解析］本题主要考查数列综合问题°
设该数列为｛α″｝』我们将2o（即α1 ）作为bl ,接下来两项2o’
2］（即α2, α3）之和作为b2,接下
来的3项（即α4,
α5’ α6）之和作为b3,
设第″组的项数为〃』则″组的项数和为″（｜;″）
’
由题》」v＞l0α令〃（l;″）＞］00,则″≥l4且″巨l｀′赣』
即″出现在第l3组之后』第″组的和为÷≡等＝2罐ˉl 』″组总共的和为2（｛≡÷罐）—″＝2畔｜—2ˉ′‰
若要使前／V项和为2的整数幂,设／V-川（1＋〃）＝k,
2
则′｀′ˉ″（l;″）项的利2庶—l应与—2—′′互为相反数,
即2k-l＝2＋门（火eⅣ＊,Ⅺ≥l4）, k＝log2（门＋3）
,
则川＝29’ k＝5,
所以／V＝29×（l＋29）＋5＝440.
2
故本题正确答案为A°
［易错项】B
［易错项被选择比例】24％
〔〔C＂Ap丁［R｜3〕不等式
■「霓丽司不等关系与不等式
l.O
〔解析】本题主要考查对数与对数函数、两角和与差公式以及不等关系与不等式°
Pl :画出y＝lgx与y＝｜x—2｜的图象,如图所示’可知有两个交点,所以函数／（x）＝lgx-｜X—2｜
有2个零点°故Pl是真命题;
P2》根据两角和与差公式, ＄mx十佰…＝2s｛n（x＋;）＝厄
265骡
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…
学
数
高
厂
考
解得x＝备厕＋2航或x＝2庶厕ˉ舌（臆巨Z）』
故存在当胀＝0时’ “＝备汀匡（÷,备）′使得smx＋佰c…＝但.故P:是真俞题
P3:假设α,
b’
c, α全部非负,则由α＋b＝c＋d＝2得:
（α＋b）（c＋d）＝4’
即α〔／＋bC＋αC＋bd＝4≥αC＋bd’
与αC＋bd＞4相矛盾’所以假设不正确°故P3是真命题°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］39％
∧
【解析］本题主要考查分段函数与不等式的综合°
由已给函数／（x）的解析式,知／（x）的图象在直线x＝1的左侧是抛物线y＝x2-x＋3’在直线x＝1
的右侧是对勾函数γ＝x十;的图象.函数＂-｜音＋α｜的图象是由函数’-｜昔｜的图象向左平移｜2α｜
（α＞0）个单位或问右平移（α＜O）｜2α｜个单位得到的.在平面直角坐标系中画出／（x）和γ＝｜÷＋α｜
勺
～·
x
Ⅲ＋α’x＞-2α’
x
x
,结合图象可知’关于x的不等式／（x）≥｜豆＋α｜
-百-α,x＜-2α.
的图象大致如图所示. ｜昔＋α｜＝
｜熬鳃Ⅷ
在R上恒成立’等价于（l）若α＞0,
取交集,得0＜α≤2; （2）若α＜0,只需x2ˉx＋3≥＿苦—α′
图象易知符合题意.综合（｜）. （2儿〔3）’知凰巨［ˉ器,2］.
由o』得α≤器』由o′得α≤2.
冈得α≥ˉ备; （3）若α＝0’由
）
刀
＿
勺
▲
｜
引
司
｜
γ
＝
＝
≥
≥≥
~
≥
＝
卢
尸
卢
o｜
｜
x
!
l
x＝可
么
故本题正确答案为A°
【易错项】B
［易错项被选择比例】37％
憋266
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C日∧P「［尺］3
不等式
3.∧
［解析］本题主要考查不等关系与不等式°
根据题意可知, 当X＝l , y＝—1时’
l＋2｜x＋y｜＜｜x｜＋｜y｜’故B项不符合题意°
当x＝4, ’二÷时』
］＋2｜蜒y｜＜｜x｜＋｜’｜’故C项不符合题意
当狐-1』’-—l时, ｜x＋y｜＋2｜xy｜＜｜憋｜十｜y｜』故D项不符合题意
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］26％
4D
［解析］本题主要考查不等关系与不等式°
A项,如果c＝0,则αc2＝bc2°故A项错误°
6项如果α＞0’ b＞0’ ‘＜0, 刨＞0』则÷＜;.故B项错误.
C项,如果α＞b, c＞d,有可能α-c≤b-α°故C项错误°
D项因为“b＞0｀所以倒和b符号柑同』又…’如果α』恫时为正数,则÷＜;成立;如果
α』b同时为负数》则÷＜÷仍然成立.故D项正确
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］l4％
D
［解析］本题主要考查不等式关系与不等式°
当k≤去时, 瓣—2废≥0』因此′（挝ˉ2k）ˉk＜0可化为顺ˉ2股）zˉk＜0’
即存在xe［l,＋m）,使得／（x）＝x2-4∧x＋4k2—代＜0成立’
由于／（x）＝x2-4化x＋4k2—此的对称轴为x＝2A≤1
,
所以／（x）＝x2-4kx＋4此2—k在x巳［1,＋印）单调递增,
因此只要／（l）＜0即可’即l-4∧＋4此2-∧＜0,
解得苛＜k＜l,
义因为k≤1,所以i＜k≤i.
当k＞当时.讨论x—2庶的服负情况;
铡当鉴ˉ2k为正时』即蜒—2k＞0对腮匡［l.＋°°）恒成立』解之得k＜l』显然与庶＞当矛盾.
o当x—2庶为负时,′（xˉ2腮）＿庶＜0叮化为ˉ（xˉ2k）2ˉk＜0｀此时不筹式对k＞÷恒成立.
综卜所述, 腮的取值范嗣是腮＞出.
故本题正确答案为D°
［易错项］C
5°
267赣
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…
学
数
蔼
考
［易错项被选择比例］40％
B
［解析］本题主要考查不等关系与不等式°
如图。
依题意可得:
AC
归—l
AB
佰—l
＝≡
＝
CD
2
’
BC
2
,
@腿长为l05cm,即CD＞l05’
AC＝CD侣贡l＞6489,
AD＝AC＋CD＞6489＋l（）5＝l69.89,
所以AD＞l69.89。
@头顶至脖子下端长度为26cm’
即AB＜26’
AB
BC＝佰ˉl
＜42.07,
2
AC≡AB＋BC＜68.07’
AC
CD＝佰ˉ1
＜l10。15,
2
AC＋CD＜68.07＋l1Ol5＝178.22,
所以AD＜l78.22。
综上,
169.89＜AD＜l7822°
6
A「头顶
B｝ˉ咽喉
C卜肚脐
DL足底
故本题正确答案为B°
［易错项】C
［易错项被选择比例］7％
固「霓而司解不等式
l. C
［解析］本题主要考查解不等式°
含绝对值的不等式解法为,令侮
等式。
令每个绝对值式子等于零’解出分点将数轴分为若干段,在各段内求不
骡268
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C日∧P『【尺｜3
不等式
当x≤-l时,原不等式为一x一l—X＋2≤5’解得—2≤x≤—1 ;
当-1＜x＜2时,原不等式为x＋1＋2-x≤5’解得—1＜x＜2;
当x≥2时’原不等式为x＋l＋X-2≤5,解得2≤x≤3°
综上所述,不等式解集为｛x｜—2≤x≤3｝,两者互为充要条件°
故本题正确答案为C。
［易错项］B
［易错项被选择比例］24％
C
［解析］本题主要考查解不等式°
由题可知α＞0,否则／（x）≤0的解集为（x｜x＞O｝°
／（x）＝α-xeˉx ,令g（x）＝α—xeˉx’求导得g′（x）＝（x—l）eˉ虹,
x
勺
▲
则g（x）在（0, 1）上递减,在（l’＋。◎）上递增,存在极小值g（l）＝α-e
l
’
令极小值g（l）＜0’可得α＜1’
e
此时存在实数p, q（p＜q）,使得／（x）≤0的解集恰好为［p,q］,
因此α的取值范围是（0,1）·
e
故本题正确答案为C·
［易错项］B
［易错项被选择比例］27％
3. C
［解析］本题主要考查解不等式和对数与对数函数°
由不等式log2（x2—x-5）≥0（x＞0）得,
log2（x2＿x-5）≥log2l （x＞0）’
则当log2（x2—x-5）≥0时,有:
｜刽—…』′｜鹤｜（…0
解得x≥3’
所以不等式的解集为［3,＋山）°
故本题正确答案为C°
［易错项］D
［易错项被选择比例］4l％
4.∧
［解析］本题主要考查解不等式°
因为／（X）满足:对任意两个不相等的实数xl , x2,都有
不妨设xl , X2均为正实数’原式的分子提取x1x2得,
…靶｜二壹闷｜毫Ⅷ
x2／（xl）—xl／（x2）二＜O,
xl-x2
269影
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…
学
数
高
考
上′｜爬｜）—封｜蜒2）
因为025’
2’ 5大于0’所以xl
x〗-x2
故当x｜
』xz大丁0时’ ＋／｜蜒）为减函数′
所以α＞b＞C.
故本题正确答案为A°
［易错项】C
［易错项被选择比例】25％
＜0
5. C
［解析］本题主要考查集合的运算及解不等式°
因为A-｛燕｜湍≥2｝』故焉≥2’即焉—2≥0』
整理l-3x
x＋l
≥0’
所以愿不霉式等价于｜↑虱｜｜叶川寥0
l
解不等式得A＝（x｜＿1＜x≤百｝,
所以‘腮A二（—°°.＿lM÷.…）.
故本题正确答案为C°
［易错项］D
［易错项被选择比例】29％
■「勇丽韦］二元-〉欠不等式组
1D
［解析】本题主要考查线性规划°
根据题意,画出可行域如图所示阴影部分
战
厂
≈
2）′
哨』
x
O
∩标函数z表示斜率为＿÷的直线y＝ˉ1x＋券的纵截距的2倍』由图可知
（O, l）时’ Z取得最大值。
（0’ 1）点坐标代人Z＝X＋2y’得Zmax＝2.
故本题正确答案为D°
易错项分析:本题易错之处是不能「确她租二斤＿次不等式细所韦示的平而反h
易错项分析:本题易错之处是不能正确地把二元＿次不等式组所表示的平面区域
当Z≡x＋2γ过点
画出来,或者虽然画
出了平面区域’但不知道目标函数何时取得最大值,要注意利用直线的平移以及直线在坐标轴上的截
距与目标函数最值的关系得出结果°
＝｜270
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C‖∧P『［R］3
不等式
【易错项］C
［易错项被选择比例］32％
2·
B
［解析】本题主要考查线性规划问题°
可行域如图所示阴影部分:
｝′∧
l＝0
～
由题意, Z＝αx＋y在点（2,3）处取得最大值2α＋3, 目标函数为y＝-αx＋Z,当α＞0时,需满足
一α≥-3’得0＜α≤3;当α＜0时,需满足-α≤l’得—1≤α＜O;当α＝O时,符合条件°综上
所述, α的取值范围是［-1,3］°
故本题正确答案为B°
易错项分析:本题易错之处是不能正确地把二元＿次不等式组所表示的平面区域画出来,或者虽然画
出了平面区域’但不知道目标函数何时取得最大值’忽视对参数的正负进行讨论’参数的正负直接影
‖问最值的取得位置°
［易错项】A
［易错项被选择比例］25％
3.
〔
【解析】本题主要考查线性规划°
根据题中约束条件作可行域如下图阴影区域所示,
【
4
Ⅺ
亡
／。｝x≡2
x＝3
A项, 由图可以看出,阴影部分不全在x＝3的右侧,故A项不符合题意;
B项, 由图可以看出’阴影部分不全在y＝4的上侧,故B项不符合题意;
C项x＋2》—8≥0即＂≥—÷x＋4,由图可以看出’阴影部分都在y-ˉ占x十4七侧』故C项符合
题意;
271蹈
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薛
学
数
高
考
D项, 2x-）′＋l≥（）即y≤2x＋l , 由图可以看出,阴影部分不全在y＝2X＋l的下侧,故D项不
符合题意;
故本题正确答案为C°
［易错项］D
［易错项被选择比例】29％
□「甭J丙］线性规划
l。∧
［解析】本题主要考查线性规划°
｜夏导:＂毒…………
不等式组
要求Z＝2x-y的最值,用斜率为2的直线族逼近阴影部分’
由图可知当直线经过点A时Z取最大值,当直线经过点B时Z取最小值;
联立图中解析式易知A（2,＿2）、B（-2, l）
,
因此Zmax＝2×2-（—2）＝6’
Zmin＝（—2）×2—l＝-5;
由于虚线边界不可取得’
因此Ze［—5,6）°
X＝2
x＝ˉ2γ
｜
z＝2x’′
｜
｜／／
）／＝l
B
ˉ2
O
贝
『-V-4＝0
故本题正确答案为A°
［易错项］B
〔易错项被选择比例］22％
2〔
［解析】本题主要考查线性规划和平面向量基本定理及坐标表示°
设P（x,y）’则可＝几丙＋〃丽＝（佰儿＋〃,2〃）＝（x,y）
’
门÷′
所以｛舱屿』碍
蘸272
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C‖∧P『［R］3
不等式
′0≤苦≤l
得O≤粤（掘—苦）≤］
」≤昔十亨（x—苦｜≤2
｜!谦歪』｜…＂
所以
所有点P构成的图形如图中阴影部分所示,
故№僻蹿＝步2×（｜＋√3—］）≡归.
点A（佰,0）’点B（l’2）’点C（］＋佰’2）
’
γ』
佰
）
＝
＝
γ
Ⅺ
’
＝
v＝2
／‖
刁∧墨限卜″
2x＋们ˉl））／＝2伺
故本题正确答案为C°
［易错项］D
［易错项被选择比例］25％
3.∧
［解析］本题主要考查线性规划°
根据题意可以列出不等式组:
｜剿扇0…＂0
｜!嚣≤铡
＂｜溅〖0
｜鳃言;0
12
Z
设收视人次为z万人,则z可用含x, y的式子表示为: z＝6Ox＋25y,即y＝—亏x＋西。
在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的区域’
则当经过该区域的直线’-ˉ争＋六与y输的截距最人时’ 2有最大值.
当x＝2）′且7x＋6）′＝6（）时: x＝6, y＝3,
即当直线＂ˉ—号x十六经过点A（6.3）时』∑有最大值.
273
｜
!
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砷
学
数
高
考
》
■
■
｜
■
』
｜
7x＋印＝印
x
故本题正确答案为A°
〔易错项］B
［易错项被选择比例】23％
4. D
［解析】本题主要考查线性规划°
｜激／］兰／…
由题意得实数X, y满足
示’阴影部分为点（x’y）的可行域,
则点O到点（x’y）的距离的平方最小值为点O到直线y＝
x2＋y2为
则点o到点（沁γ）的距离的平方最小值为点o霍值绚≡
原点O到点（x,y）的距离的平方,如图所
!—2蜒的距离平亢″＝｜忘了了｜～岁
点O到点（x’y）的距离的平万最大值为点O到点（2,3）距离的平方’
则d2＝22＋32＝13,
所以憋喜＋γ2的取值范围为［÷, ｜3）.
夕
y＝x＋l
）
γ」
｀
≡
’
＾
γ＝l-
ˉ
Ⅺ
＼
＼
／
／
○
故本题正确答案为D°
［易错项】B
［易错项被选择比例】32％
5. D
［解析］本题主要考查线性规划°
如图,阴影部分为（X,y）表示的可行域,
易求得A（＋,0）’B（÷,;）’C（0. ｜）』
由图可知’直线z＝x＋2y过点C（O, 1）时’
Z取得最大值2°
274
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C‖∧P「［R｜3
＿不等式
ˉ』j「丫＞』
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］48％
C
［解析］本题主要考查线性规划°
因为ln
l
l
x＋y＋4＜ln3x＋y＿2,
所以—ln（x＋）′＋4）＜-ln（3x＋y-2）
’
由对数函数的单调性知x＋y＋4＞3x＋y-2’解得x＜3,
｜评』……Ⅵ
又结合对数函数的定义域知
设Z＝X—y,则题意等价于求几＞Zmax的几的取值范围°
由图象可得’当直线y＝x-Z经过点A（3,-7）时’有Zmax,
又因为可行域的边界是取不到的’
所以Zmax＜10’从而几＞Zmax只需儿≥l0’
即几的取值范围为［l0’＋m）°
6
｛二←
3Xb／—2＝0｀
′
′
岁
x十〕厂＋4＝0
｀
、
、
3
／x-）／≡0
p
、
飞
′
、
夕
飞
J
、
′
、′
＾
′
｀
′
、
′
飞
′
｀
′
、
夕
夕
飞
′
~~｝A（3,ˉ7）
~x
0卜、
故本题正确答案为C°
［易错项］D
［易错项被选择比例］22％
7.
B
［解析］本题主要考查线性规划°
如图所示,作出约束条件的可行域用阴影表示°
275翻
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~
…
学
数
高
考
x-3
｜
目标函数“＝吕表示可行域内的点与点（3, l）连线的斜率』
~
xˉyˉ2
lˉI二ˉr……｀…xˉ3…｀-』
｜』…『』…｀√＾,
x-3
当过（3. ｜）的直线马酣‖切与点A时』可求得切点坐标为A（;,—÷
此时切线斜率为ˉ÷』目标函数“打最大值;;
经过边界点E（—÷.;）时』凹标函数腮有最小值台.
将蜒＝吕-;代人函数z＝!—望Ⅷ…≡‰
）
将″-吕＝击代人函数;-
Ⅱ罕2匡［肾.4］.
则函数Z＝
l
可得最小值z＝肾,
］
〕
γ
″
Ⅺ
］
y｜
）
］
’
司
｀
√
乙
／
□
｛
｀
＝
涛＋γ2＝l
—
x
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］28％
8D
〔解析］本题主要考查线性规划°
画出不等式组的可行域如图阴影部分所示’
平移y＝x—Z’结合图象可得’当直线经过可行域点A时
解瘫纽｜茸;≡o嚼剧…｜乳—乳‖
Zmax＝3-（—3）＝6·
直线在γ轴上的截距最小, Z取得最大值°
】
故本题正确答案为D°
■276
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C日∧P「［尺］3
不等式
［易错项］C
［易错项被选择比例］28％
9。
B
［解析］本题主要考查几何概型、二元＿次不等式组以及线性规划°
设这两个数分别为x,
y’
＂｜0二重该狮等…硫蛔行域蹦厕鹏…ˉ↓
｜嚣
若这两个数的和不大于l ,则
该不等式组表示的可行域如图阴影区域所示’
面积为l×!×］＝1.
根据几何概型,原问题可以转化为求不等式组表示的区域的面积之比问题,
l
所以从｜0,2｜内随机取两个数’则这两个数的和不大于1的概率为哥-;.
V｜
∩
＼＼;▲
］
~~
切
γ
＂
］
O
x
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例】26％
l0. D
［解析］本题主要考查线性规划°
利用数形结合思想’作出不等式组所表示的平面区域’如图所示’
y轴上的截距之间的关系可知,当直线z＝x＋2y过点A（O, 1）时,
由目标函数Z与直线Z≡x＋2y在
目标函数取得最大值2。
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例】3l％
277籍
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…
学
数
高
~
考
~
l1B
［解析］本题主要考查线性规划°
由题意画出可行域如图中阴影部分所示
叮—V＝（）
儿
’
～
~~
γ
＼
｜
对
／
目标函数Z＝kx＋y仅在点（l, l）处取得最小值,即函数Z＝比X＋y的斜率k满足—k＞l ,解得
火＜-l·
故本题正确答案为B°
［易错项］C
【易错项被选择比例】30％
12.∧
［解析］本题主要考查线性规划°
根据约束条件作出平面区域,如图中阴影部分所示,结合图形可知,平面区域为直角边分别为3和
4的直角＝角形’其斜边卜的高即为狮,所以′″＝号;
当直线z-号狐—y经过（2.3）点时｀取得最小值:.
γ0
9~
＼
＼i
O
—l8≡0
故本题正确答案为A°
〔易错项］C
【易错项被选择比例］23％
D
【解析］本题主要考查线性规划。
不等式组所表示的平面区域如图所示’记点A（l,0）
』由z＝√（xˉl）2＋y2知z为可行域内的点与点
A之间的距离°
以A为圆心画圆,当圆与直线2x—y＝0相切于点P时, Zmm＝｜PA｜,即Z的最小值为点A到直线
2x—y＝0的距离’
僧‖′斜—孪.
l3
｜278
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C‖∧P『［尺］3
不等式
）
卜
xb′ˉ3:＝
引＼4吵＼觅
故本题正确答案为D°
［易错项】A
〔易错项被选择比例］3l％
14.O
【解析】本题主要考查线性规划°
画出不等式表示的区域如图中阴影部分,
结合图形可知当点A（2,2α＋2）在圆C上或圆外时’可行域与圆C:
（x-2）2＋y2＝9有公共点,
即｜2α＋2｜≥3’
故α≥÷时可行域与圆有公共点.
此时动直线γ＝券＋lz经过点A（2,2α十2）时,在让的截距最大』其最大值为z…＝2＋4α十“
＝4α＋6≥8°
0v
x＝2
∑
‖
』
斥
乙
＋
Ⅺ
］
＿
∑
故本题正确答案为D.
［易错项】C
［易错项被选择比例］29％
l5. O
［解析】本题主要考查线性规划°
根据题目所给约束条件,在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示’ 目标函数z的值相当
于直线y＝-x＋Z的纵截距,则由图可知’当直线y＝＿x＋Z经过点（（）,3）时, Zmax＝0＋3＝3°
279｛
〕
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…
学
数
高
~
考
x刺＝0
＼γA
～兰＼＼｜
～＼≈严ˉ
°＼≥ˉ!｀
2x＋）＝0
故本题正确答案为D。
［易错项］C
［易错项被选择比例］20％
l6D
［解析］本题主要考查线性规划°
根据约束条件’在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示,其向右向上为无穷延伸的,
Z
相当于直线x＋2γ-Z＝0的纵截距的两倍,
由图可知,
当直线x＋2γ＿Z＝0经过点A（2, l）时,
Zmin＝4’且Z无最大值’所以Ze［4,＋四）°
γ』
＼
～
、
～
、～、
6｜rj≯0蜘ˉ3≡0
＼
x
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］22％
□「勇亏而］均值不等式
l.∧
［解析］本题主要考查不等关系与不等式及均值不等式°
根据题意可得xl
＋ˉ王兰＝上＋上＜e。
xlx2
xlx2
Xl
x2
厕…掣｜｝÷÷｜≡｜辨斗鸟ˉ ］…｜赣≡↓
x2
x］
即｜…型｜（÷＋去）≥4,
又上＋上＜e,
xl
x2
4
所以xl＋x2＞百＞l。
故本题正确答案为A°
【易错项］D
［易错项被选择比例］28％
鳃280
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C日∧P『［尺］3
不等式
2∧
［解析］本题主要考查均值不等式和函数的概念与性质°
2一x—l
2x—l
因为／（—x）＝2ˉ愿＋1—x＋sin（-x）＝-矛ˉ干ˉ『—x-sjnx＝√（x）’
所以／（x）为奇函数°
又因为／（4α）＋／（b-9）≡（）’
所以X＝4α与X＝b—9关于y轴对称’即4α＋b—9≡0’
故菩＋;＝l》
则湍-（铲;）（÷＋÷）-;（4＋l＋爷＋:）≥;（5十4）＝l’
当且仪当￥≡:’即α＝;, b＝3时不等式取得等号.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］3l％
3.∧
［解析］本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式及均值不等式°
由正弦定理可得, smA＝sjnCsjnB＋smBcosC’
在△ABC中,因为sinA＝sin［jr—（B＋C）］＝sjn（B＋C）＝sinBcosC＋slnCcosB＝sjnBcosC＋
sinCsinB,
化简可得, smCcosB＝sinCsinB,
又因为Ce（0,Jr）
’ sjnC≠O’所以cosB＝smB,
又因为Be（0’厕）,所以B＝奇,
~厅
所以s△…≡可αcsmB＝￥αc＝1＋但′可得“.≡4＋2但.
l
由余弦定理得’ b2＝α2＋c2-2αccosB,
即b2＝α2＋c2ˉ√2αc≥2αcˉ√页αc＝4’当且仅当时α＝c时取“＝”’所以b的最小值为2·
故本题正确答案为A°
［易错项】C
［易错项被选择比例］4l％
4D
［解析］本题主要考查平面向量的数量积及均值不等式°
设△ABC的三个内角A,B, C对应的边分别为α’
b’
c。
因为Ⅺ万.灭＝—2’
所以丽.灭＝2’即αccosB＝2°
由余弦定理得b2＝α2＋c2—2αccosB,
因为｜丽＿元｜＝但’即b＝但,化简得α2＋c2＝6。
』』△“C圃积s～＋…n愿～÷.匿′1ˉc…→“嚼｜!—六-÷侗可＝
因为由均值不等式得（“c）型≤（α尝c2）2＝￥＝9,
28l镶
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…
学
数
高
~
考
则△…面椒s≤1“｀′百＿可≡亨.
~『-
故△ABC面积的最大值为粤.
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］3l％
5° O
【解析］本题主要考查圆与方程和均值不等式°
由题意可知’圆Cl的圆心为（-2α,0）,半径为2
圆C2的圆心为（0,b）,半径为l
,
因为圆C1和圆C2只有＿条公切线’
则圆Cl和圆C2内切,
√（-2α-0）2＋（0-b）2
所以
＝2-l
’
整理得4α2＋b2≡1°
所以尹←（士.惟六）｛缴…｜≡5÷爷…｛景誓ˉ,
当且仅当景≡誓』…ˉ卜膀≡1』即α2≡÷』b2≡÷时等号成立.
所以六☆的最小值为9.
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］30％
∧
［解析］本题主要考查平面问量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及均值不等式°
由题意建立如图所示的坐树系』可得A｜0,0）』E（＋,0）』C（0,′）’
因为丽＝些＋丝三,
｜AB｜
｜AC｜
所以Ⅺ尹＝（l,（））＋4（0,1）＝（l,4）.
因为P（］,4）,
所以而＝（＋＿］｀ˉ4）,PC-（—l,′—4）.
—
所以丽元＝（＋ˉ］｜—4＂—4｜-17—（＋十4‘）≤17—2卜-］3,
当且仅当＋-4‘,即′-蛊时取筹号,
所以丽.死的最大值为］3°
6
‖282
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C‖∧P「【R｜3
不等式
Ⅳ
C（0’′）
—
″
上
喇
A（（）,0）
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］32％
7.∧
［解析］本题主要考查均值不等式°
因为分＋;≡1 ,且α, b都为正数』
所以b＋2α＝αb,且α＞l
’
b＞2。
由均值不等式可得’
｜
六＋丙≥2｜吉六-2｜
÷;-］』即鳃≡b二3时取等号.
即六十古的最小值为2.
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］27％
:倡
勺
～
∑
＿
间
当
仅
且
当
’
∑
~~
☆∩
~~
~~
αb-2α-b＋2
8.
〔
［解析】本题主要考查直线与方程、圆
根据题意知’A（1’0）
』
B（0’α）,
α
所以s…＝1｜α｜｜÷｜＝告（v倒＞0）｀
｜
＂删～卜｛÷｜里≥｜2｜雄余≡｛百,
圆与方程以及均值不等式°
｜—｜
｛
＼
｀
·
‖
‖
′
／
］
—
饿
卜
］
ˉ
∑
］
〔
｜
｜
｜
‖
Ⅶ
〗
■
‖
＝2
1—
｜
l
｜CD｜＝2
’
］
—
馈
＋
勺
≡
α
所以｜AB｜2ˉ｜CD｜2＝α2＋（1）2＋
ˉ4≥0,
4
α
α2＋（1）2
α
则对于Vα＞0,
｜AB｜≥｜CD｜恒成立,
所以命题p是真命题,命题q是假命题°
从而判断p∧q为假命题,
司p∧曰q为假命题’p∧气q为真命题’
司p∧q为假命题°
283
0
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…
学
数
离
考
故本题正确答案为C°
［易错项］A
［易错项被选择比例］2l％
9.∧
［解析］本题主要考查函数的基本性质和均值不等式°
由于／（x）为奇函数且是R上的单调函数,则／（x2＋2
即x2＋2＝2x＋加有唯一解,
即其判别式△＝4—4（2—加）＝0’解得砸≡l
’
所以g（鞭）二鞭＋万≡「≡（x—｜）十吉＋｜≥5.
4
故本题正确答案为A°
［易错项】B
【易错项被选择比例］25％
则／（x2＋2）＋／（—2x-〃』）＝0等价于／（x2＋2）＝／（2x＋m）,
｜｜（〔‖Ap丁［R｜4〕常用逻辑用语
〔‖∧p丁［R｜4
□「勇亏T节］命题及其关系
1C
［解析】本题主要考查二次函数利命题及其关系°
解关于x的不等式（x—3）.√x2-4x＋3≥0可得’ x≥3或x＝1’
所以命题p为假命题°
……ˉ赋＿腻胸擅惺小于0侧可碍仁喊｜饵!…0
解得-32＜此≤0,所以命题q为假命题°
A项,因为命题p为假命题,命题q为假命题,所以p且q为假命题’故A项错误°
B项’因为命题p为假命题,命题q为假命题所以p或q为假命题’故B项错误°
C项,因为命题p为假命题所以司p为真命题’故C项正确°
D项’因为命题q为假命题’所以司q为真命题’故D项错误°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】55％
B
［解析］本题主要考查命题及其关系和函数综合°
／（l-x）＋／（］＋x）＝（l-x）2
（1＋x）2
2x2＋2
x2＋1
＋x2＋l
x2＋l
＝＝
l2
l
而／（l）＝l2—2×1＋2＝T＝l
’
勺
＝
＝2,
则／（l—x）＋／（l＋x）＝2／（l）
’
故y＝／（x）的图象关于点（1, 1）对称,命题p｜为真命题°
蘸284
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C‖∧P「［尺｜4
常用逻辑用语
b2（α2-2α＋2）-α2（b2＿2b＋2）
／（b）-／（α）＝
（b2一2b＋2）（α2-2α＋2）
,
由于（b2-2b＋2）（α2—2α＋2）＝［（b-1）2＋l］［（α—1）2＋l］＞1,
故b2（α2-2α＋2）-α2（b2-2b＋2）的正负决定／（b）-／（α）的正负°
而b2（α2一2α＋2）—α2（b2—2b＋2）＝-2αb2＋2b2＋2bα2-2α2＝2（b-α）（α＋b一αb）,
由于α＜b＜2,则b—α＞0’故α＋b-αb的正负决定／（b）-／（α）的正负°
但α＋b—αb＝-（α—l）（b—l）＋1 ,
由于α＜b＜2’其正负无法确定°
故／（b）—／（α）＞0在α＜b＜2时不一定成立’因此命题p2为假命题°
则’命题ql :pl＼／p2为真命题°
命题q2:
（ˉ司pl ）∧（司p2）为假命题°
命题q3:
（气Pl ）VP2为假命题°
命题q4:pl∧（曰p2）为真命题°
即真命题为ql和q4°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］23％
∧
［解析］本题主要考查二次函数｀函数综合以及命题及其关系°
着″司x匡［当.2］』使得2蜒2—几x＋｜＜0成立”是｜晨命题
则任意x匡［1,2］』使得2藩—入燕十l≥0成立』
2x2＋l＝2x＋-,
l
等价于对任意x巨［斗.2］’ 儿≤
＝
x
x
坠畏≥2侄≡2厄
~厅
当且仅当x＝坚巨［斗,2］时等号成立,
＝
～
所以几的取值范围为（ˉ。。’2但］。
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］28％
司
气
√
4C
［解析］本题主要考查命题及其关系°
关于命题p’方程x2＿2αx＿1＝0的判别式＝4α2＋4＞0,
所以方程有两个不相等的实数根,所以命题p为真命题。
4
关于命题q’函数／（x）＝x＋一’
x
.啸彰0赋√｜…令2旧～剿,←÷耻～2啡
当x＜0时’函数／（x）＝x＋1没有最小值’
x
所以命题q为假命题。
取等号
285骤
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粤十鞠
所以p∧q为假命题’pVq为真命题,p∧司q为真命题’ 司pV曰q为真命题°
综上所述,真命题的序号为@o@。
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】42％
5. D
［解析］本题主要考查函数的概念与性质和命题及其关系°
咖谐卿咋｜骂带］
』≥｜
x≤l
｜萝＂誓｝
8（x）＝
〃｜副≡｜武涅｀
满足／（x）＋g（x）’／（x）＋力（x）
’ 8（x）＋h（x）均为增函数’
但是／（x）,
g（x）, h（x）不是单调递增函数’故@为假命题;
@项’设／（x）＋g（x）＝／（x＋T）＋g（x＋T）’／（x）＋h（x）＝／（x＋T）＋／『（x＋T）
’
两式相减得, g（x）-力（x）＝g（x＋T）—力（x＋T）
’
又8（x）＋h（x）＝g（x＋T）＋力（x＋T）,
因此可得8（x）＝g（x＋T）,
同理可得／（x）和h（x）均为周期函数,故@为真命题°
故本题正确答案为D°
［易错项】C
［易错项被选择比例］36％
6·
B
【解析］本题主要考查指数与指数函数和命题及其关系°
由幂函数y＝ex＞0可知不存在xoeR’使得exo≤0,即命题p为假命题°
当α＝05’ b＝25时’
｜α-l ｜＝05＝｜b-2｜’此时α-b＝—2≠—1’
所以命题q也为假命题°
所以司q为真命题°
故本题正确答案为B°
【易错项］C
［易错项被选择比例］36％
B
【解析】本题主要考查命题及其关系°
对于命题@:令′＝√万’函数／（x）＝-x＋2√万＝—r2＋2r,
因为r＝｀／万在（（）, l）上是增函数,函数y＝—r2＋2′在（O, l）上是增函数’
是增函数;
G（x）-—…征-÷＿｛在（0』｜）｝是减雨数’所以函数′（到是｛0. ｜）
x
7
~′■
所以函数／（x）在（（）, l）止
k的“H函数”’
鞠286
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C‖∧P『［尺］4
常用逻辑用语
故命题@是真命题°
对于俞题鹤,函数g（x）＝T≡了豆＝÷在（0, l）上是增函数’〃（x）二半＝
2x
—-x
x
是增函数,
故命题@是假命题°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例】25％
勺
≡
在（0,1）上
l一x2
D
［解析】
［解析】
8
本题主要考查命题及其关系及二次函数°
由题可知,因为“】xoeR,αx2-αx—2＞0”为假命题,
所以“Vxo巴R,αx2-αx-2≤0”为真命题°
当α＝0时, αx2-αx—2＝-2≤0恒成立,故α＝0成立;
当α≠0时, αx2-αx-2≤0恒成立’需α＜0且＝α2＋8α≤0,解得＿8≤α＜0°
综止可知,
α巳［-8,0］°
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］22％
9. D
〔解析］本题主要考查命题及其关系及随机抽样°
A项,命题“VX≥2,均有x2＿3X＋2≥O”的否定是“】x≥2,使得x2—3X＋2＜0”,故A项错误°
B项,命题“若x2＝l,则x＝1”的否命题为“若x2≠l’则x≠l”’故B项错误°
C项,因为采用系统抽样法抽取的学生的学号为5、
l6、
27、38、49’相邻学号相差l1’若该班人
数为60’ 49＋ll＝60,学号为6O的学生也会被选出’故C项错误°
D项,因为测量结果X服从正态分布／V（1’〃）,平均值为1’X在（0, l）内取值的概率为03’则X
在（l,2）内取值的概率也为0.3’所以在（0,2）内取值的概率为O.6’故D项正确°
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］25％
l0。
B
［解析】本题主要考查命题及其关系°
@x＝1时’ x2ˉ3x＋2≡0,故充分性成立; x2-3x＋2＝0时, x＝1或x＝2’故必要性不成立°
因此“x＝l”是“x2—3x＋2≡0”的充分不必要条件°
故o不正确°
◎命题“γxeR’ cosx≤l”的否定是“】xo巳R, cosxo＞1”°
故@不正确°
o＿个命题的逆命题和否命题同时为真或同时为假°
故o正确°
故本题正确答案为B。
［易错项】C
287｜
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翰
学
数
高
考
［易错项被选择比例］25％
l1B
［解析］本题主要考查解不等式及命题及其关系°
命题p: x2—2xsjn0＋1＝（x-sin0）2＋l—sm20＝（x＿sjn0）2＋cos20≥（）,所以p为真命题;
俞题q;当α＝β-￥时’ α＋β＝子, ＄m（′十β）-l
’ :mαˉ卜smβ-—但′此时sm（α十β）＞
s1nα＋sinβ,
所以q为假命题,则p∧（司q）为真命题°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例】3l％
■「霓豆苇］简单逻辑联结词
l °∧
［解析］本题主要考查空间几何体和简单逻辑联结词°
pl :因为异面直线pB与AD所成的角为60。,AD平行于BC,故丝PBC＝60。’正四棱锥P-ABCD
中’PB＝PC’故三角形PBC是等边三角形;当AB＝2’四棱锥的侧面积为4佰,故Pl是假命题。
P2:取BC的中点G,连接EG、FG’E和F分别为PC和AD的中点’故AB／／FG’PB／／EG,故
平面EFG／／平面PAB’从而得到EF／／平面PAB’故P2是真命题·
′』!设AE-…和鹰″的交点为。｀遗援尸°则尸o遗直于底配圈CD｀″≡…-导,
′o≡竿,o为球心,球的半径为俘』表面积为…:』又囚为正刀形的面积为“塑,故P,趋真
命题°
所以, 尸2∧P3为真命题,其余为假°
故本题正确答案为A。
［易错项］B
［易错项被选择比例］37％
2.
〔
［解析】本题主要考查解不等式、等比数列、命题及其关系、简单逻辑联结词及充分条件与必要条件°
命题p,令／（x）＝x2＋x—2,二次函数开口向上,
所以命题p是真命题’
司p是假命题°
命题q’若α’
b’ C成等比数列,则b2＝αC;
若b2≡αC’
α,
b』c不＿定成等比数列’例如0, 0,
l°
故b2＝αC是α’ b, C成等比数列的必要不充分条件,
所以命题q是假命题, 司q是真命题,所以p∧（气q）是真命题°
故本题正确答案为C°
【易错项］A
［易错项被选择比例］l7％
盯288
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C日∧P『［R］4
常用逻辑用语
□「勇更亏］全称量词与存在量词
l. C
［解析］本题主要考查平面向量的数量积、命题及其关系、充分条件与必要条件以及全称量词与存在
量词.
命题@’原命题的逆命题是“若／（XO）＝0,则XO为y＝／（X）的极值点”,设／（X）＝X3, XO≡0时
／（xO）＝0’但其并不为／（X）的极值点,故@项错误°
命题@’假设刁＝（—l’2）
’ b≡（l’—2）’则质.〗＝-5＜0’但∏与万成平角’充分性不成立,故@项
错误·
命题醚,俞题′即为您＞1』其否定应为露≤1,而古≤0中鞭≠｜』故圆项错误.
命题@’特称量词的否定是变为全称量词,且结论相反,故@项正确°
综上’本题不正确的命题共有3个,
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］5l％
∧
［解析】本题主要考查三角函数、平面向量的线性运算、命题及其关系、充分条件与必要条件、全称
量词与存在量词以及函数的概念与性质°
A项函数′（蜒）是奇函数』不—定有／｝0）≡0』′（0）可能没有怠义』例如》≡＋』所以“函数′（蜒）
是奇函数”是‘了（0）＝0”的既不充分也不必要条件。故A项符合题意。
B项’如图所示,取BC中点D,连接PD并延长至E’使DE＝PD,于是四边形BpCE是平行四
边形’
所以丽＝壶’
所以丽＋死＝面＋元＝而’
又因为可＋丽＋死＝d
所以丽＋元＝】叮尹,
所以Ⅺ歹和元共线,即A、P、E三点共线,
因为D在PE上,所以A、P、D二点共线,
又因为D是BC中点,所以点P在三角形ABC中BC边的中线」二,
同理可证点P在三角形ABC中AB边的中线上’
所以点P是三角形ABC的重心°
故B项不符合题意°
2
d
C
B
E
C项,特称命题的否定要将特称量词改为全称量词’同时否定结论°所以命题“司xo巳R’ smxo≥l”
的否定是:
“Vx巳R, sinx＜l”°故C项不符合题意°
289爵｝
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燕
学
数
离
考
D项,逆否命题的条件和结论恰好是原命题的结论的否定和条件的否定,所以命题“若α＝备》则
…＝当″的逆否俞题是“若c…1』则α署′,.故D项不符合题意.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］26％
∧
［解析】本题主要考查命题及其关系
［解析］本题主要考查命题及其关系
尸〕
〕
、简单逻辑联结词以及全称量词与存在量词°
对于命题′; 当α＞0』b＜0时,能使得…且÷＞÷’所以命题′为真命题
对于命题q; 5m…。sx＝但sm（x＋矛）≤但＜÷,所以俞题q为真命题.
所以p∧q为真命题。
故本题正确答案为A。
［易错项】B
［易错项被选择比例］27％
C
［解析］本题主要考查全称量词与存在量词、
［解析】本题主要考查全称量词与存在量词、
4
简单逻辑联结词、充分条件与必要条件以及命题及其
关系°
A项,特称命题“若p,则q”的否定是“若司p,则司q”,所以选项中命题的否定是“Vx巴R,x2-X＞0”’
故A项表述错误°
B项,命题“pVq为真”是命题‘‘p∧q为真”的必要不充分条件,故B项表述错误°
C项,若αm2≤bm2,当″l＝0时, α与b的关系是任意的,故C项表述正确°
D项因为在△A膨C巾′若si＂A＜当』则A＜÷或A＞菩’所以选项中原命题为假俞题根据
原命题与逆否命题有相同的真假性可知’其逆否命题也为假命题,故D项表述错误°
故本题正确答案为C°
［易错项］D
［易错项被选择比例］28％
5。C
［解析］本题主要考查函数综合、命题及其关系、简单逻辑联结词以及全称量词与存在量词°
若pV（司q）为假命题则p, 司q都为假命题,即p是假命题’ q是真命题°
由ex—′″x＝O得′″＝兰°
x
设／（x）＝宁,则／（x）＝（x—｜｜e″
x2
°
当x＞1时’／′（x）＞0’故函数在（l’＋四）上单调递增;
当0＜X＜l时,／′（x）＜0,故函数在（0, 1）上单调递减;
当x＜0时,／′（x）＜0,故函数在（-四,0）上单调递减°
所以当X＝l时’／（x）取极小值／（l）＝e’
综上／（x）的值域为（—m’0）O［e,＋印）
’
所以若p是假命题’则0≤m＜e°
■290
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C‖∧P『［尺］4
常用逻辑用语
若q是真命题’则由mx2＋mx＋1＞0知,
当m＝0时,
l＞0恒成立;当″1≠0时,m＞0且△＝′川2-4加＜0’解得0＜加＜4
所以若q是真命题,则0≤加＜4°
综上｜‖嚣二;（解得…≤＾
故本题正确答案为C°
［易错项］D
［易错项被选择比例］l9％
■「霹J帝］充分条件与必要条件
lD
［解析］本题主要考查集合之间的关系和充分条件与必要条件°
要想满足A巨B的关系,则集合B所表示的区域必须包含集合A所表示的区域’
因为集合A的两端均为空心点,所以A巨B的充要条件为b≤l
,
结合题目所给的选项,只有b＜1为充分不必要条件°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］38％
2.
B
［解析］本题主要考查充分条件与必要条件和直线与万程°
瞬帆｜艇瞧」0解僧｜〃垦ˉ…ˉ弛—0喧鳞′』…砂咬
即（α2—4）y＋5—3α＝0有解’则α2-4≠0’即α≠±2,
因为α≠2不能推出α≠±2,
所以“α≠2”是“直线′l
: x-αy＋3＝0,直线′2: αx-4y＋5＝0相交”的不充分条件;
又因为α≠±2可以推出α≠2,
所以“α≠2”是“直线′l
: x-αy＋3＝0,直线′2: αx-4y＋5＝0相交”的必要条件°
故本题正确答案为B°
［易错项］A
【易错项被选择比例】43％
3。
B
［解析】本题主要考查充分条件与必要条件和解不等式°
解不等式2但≤王三ˉ±ˉ2≤3得, 1≤x≤2°
x
由于f…2＜2但’则由2√面≤罕≤3可推出f…2厄
但f≤x≤2侗时,不ˉ定有2侗≤竿≤3.
故.f…2但”是, 2√页≤午≤3 .咸立的必耍不充分条件.
29l鳞
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翻
学
数
高
考
故本题正确答案为B°
【易错项］A
［易错项被选择比例】32％
O
［解析］本题主要考查二次函数｀对数与对数函数、充分条件与必要条件以及函数的概念与性质°
刨项因为l°g铡÷＞0』l°g偷÷＞0’所以0…｜
』0＜b＜｜;
…合ˉ｝慧≡｜·盂｜·咕≡糕≡｜志″
又｜°g.÷＞mg会』
所以—｜.女α＞ˉ｜°孟b』化简得…』
4
所以0＜b＜α＜l’故o项正确°
o项’充分性:若“pVq为真”’则根据命题及其关系可知’p为真命题或q为真命题’
真命题’
因此“p∧q为真”不—定成立,即充分性不成立;
必要性:若“p∧q为真”,则根据命题及其关系可知,p为真命题且q为真命题,
因此“pVq为真”成立,即必要性成立;
所以’ “pVq为真”是“p∧q为真”的必要不充分条件,故@项正确·
o项’令／（x）＝x2-2｜x｜’可以得到／（x）的图象如图所示°
当-l＜m＜0时,
由图象可得’ y＝／（x）与y＝m有四个不同的交点’故o项正确°
@项’因为函数y＝／（X—2）为偶函数’所以图象关于y轴对称’
又函数y＝／（x）的图象可由y＝／（x—2）的图象沿x轴向左平移2个单位得到,
所以函数y＝／（x）的图象关于直线x＝-2对称,故@项正确°
综上,正确结论的个数是4个·
或p、q同为
v」
＼｜／
—
x
—2＼ˉ』｜＼一／2
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］40％
5。∧
［解析］本题主要考查三角函数、充分条件与必要条件以及函数与方程°
因为sinx＝（）在［＿3冗,3刀］上共有7个根,
擞292
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C‖∧P「［尺｜4
常用逻辑用语
所以αx＋αxcosx-s1nx＝0在［-3冗,3刀］也应该有7个根°
αx＋…osxˉs』nx＝αx（l＋c。sx）ˉsmx＝2…。s2苦ˉ2sin酱c。s酱＝2c。s昔［…os奇ˉsln苛］
＝0°
所以c。s苛＝0或…°s吉—sln昔＝0.
o当x＝ˉ3〃』
ˉ厕』厕, 3厕时, c。s÷二0.
@当x不取上述值时』αx＝［an等’如图’
～
当α≤0时,必存在3个交点;
因为tanx＞x在（0,苦）上恒成立（可通过求导自行证得）,
所以当0＜翻＜当时, ［an盖—…0成京』则有3个交点;
当α≥当时｀显然有5个交点,不成立.
综上』当α＜当时』恒有…s苛—s｜n÷＝0在［ˉ3颜.3砸］上恒有3个交点’即“关丁辩的方程
αx＋αxcosx-sinx≡0与方程sj∏x＝0在［-3刀,3刀］上根的个数相等”°
综上所述, “α≤0”是“关于x的方程αx＋αxcosx—sinx≡0与方程sinx＝0在［-3冗’3冗］上根的
个数相等”的充分不必要条件。
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例】35％
6.
〔
【解析】本题主要考查充分条件与必要条件和平面向量基本定理及坐标表示°
当x＝—2时’
园＝（1’-2）,
b＝（一2’4）,可以推出百与百反向,满足充分性;
厦之…反阿测令…～｝甄…≤0）｜炬叫′‖狮型～↓
因为′″＜（）’所以m＝＿2,满足必要性°
综上所述, “x＝-2”是“万与丙反向”的充要条件°
故本题正确答案为C°
［易错项］A
［易错项被选择比例】4l％
7.D
［解析］本题主要考查三角函数、平面向量的线性运算、充分条件与必要条件以及函数的概念与性质°
293镶
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~
…
学
数
粥
考
团根瞩余弦函数的性质』因为2×—（吾）晋＝—酱’
所以｜—吾,0）是—个对称中心’故o正确.
圆闲为m＝当（丽＋乖）』玩-元—丽』
所以ⅡD灭-当（丽＋而）（乖＿丽）＝÷（死2ˉ丽2）-＋（3zˉ］直）二4』
O充分性:因为A＜B,则α＜b’
由正弦定理可得: sjnA＜sinB’
又因为sjnA, sinB＞0,
所以sm2A＜sm2B’
所以l—2sm2A＞l-2sm2B,
即cos2A＞cos2B’故充分性成立;
必要性:
由cos2A＞cos2B可知2A＜2B,
即A＜B’故必要性成立,故o正确°
@因为y＝sinx’ y＝cosx都是周期为冗的函数’
所以y＝mjn｛sjnx,cosx｝也是周期为〃的函数’
当蜒匡［0,露］时』由函数图象可删』′（x）的最人值是f｜奇）-亨’敝酗正确.
故@正确°
综上,正确说法的个数为4个。
故本题正确答案为D°
［易错项】B
［易错项被选择比例］42％
8.∧
［解析］本题主要考查直线与圆锥曲线和充分条件与必要条件°
由题意:E（4,0）’F（1,0）°
故EF中点为; （:,0）.
设A（x1 ,yl）
’
B（x2,y2）’则C（4,y2）°
@先证明充分性:若BC／／x轴:
则B、C均不在x轴上°则点A也不在x轴上°
考虑到椭圆的对称性’此时设yl＞y2°
此时可设直线AB万程为: x-l＝砸y°
代人椭圆方程可得:
（3加2＋4）y2＋6″〗y-9≡0,
一
解得）′l＝6√′γT2＋l—3〃l
—6√′′?2＋l—3′门
3加2＋4
’ y2＝
3m2＋4
,
厂
12√m2＋l
则y1-y2＝
3加2＋4
,
而xl—4＝加yl＋1-4＝myl—3≠0’
则直线AC的解析式可表示为:
蒜当（蕊ˉ4）却2
y＝
当y＝0时,蒜当（xˉ4）≡ˉy2
有（x—4）（）′l—y2）＝-）′2.（′′o）′l—3）
’
旧294
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C‖∧P「〔R｜4
常用逻辑用语
∏-）′2.（m）′l-3）＝-砸。y1.）′2＋3）′2’
9
由根与系数的关系: yl .y2＝-3′″2＋4’
则—′″.y1.y2＋3y2
9′″
（ˉ18√′＂2＋1ˉ9m）
＝
＋
3′″2＋4
3m2＋4
ˉl8√加2＋l
＝
3′门2＋4
’
故x-4＝—）′2.（myl-3）
yl-y2
ˉl8师五ˉ干ˉ『.（3m2＋4）
3
l2.（3m2＋4）.师豆ˉ干ˉ『＝
2’
＝
解得腮二÷’
故直线AC经过点（:,0）｀
即BC／／x轴时,直线AC过线段EF中点°
@再证明必要性:
当直线AB与x轴重合时:
C（4,0）’此时直线AC与x轴重合’
贝恒线AC必经过点（;,0）,
但此时BC与x轴重合,并不满足BC／／x轴,即:
直线AC过线段EF中点时’BC／／x轴不一定成立.
综上所述’ “BC／／x轴”是‘‘直线AC过线段EF中点”的充分不必要条件°
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］30％
9. B
［解析】本题主要考查充分条件与必要条件和平面向量的数量积°
因为日’ 〗为非零向量,则｜百｜＞0’ ｜b｜＞0,设百’ 〗夹角为0’
0e［0,冗］,则有刁.万＝｜己｜, ｜〗｜ˉcOs0°
当∏石＞0时,即｜百卜｜〗｜cos‘＞0》c°…0’ 0e［0,备）,
当百与F的夹角为锐角时, 0e（0’昔）,
故“己石＞0”是“而与〗的夹角为锐角”的必要而不充分条件°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］32％
l0.∧
［解析］本题主要考查充分条件与必要条件°
当α的终边在第一、二象限时, sinα＞0恒成立,充分性成立°
当α的终边在y轴的正半轴上’此时smα＝sm苦＝｜＞0』故必要性不成立.
综上所述, “α的终边在第＿、二象限”是“smα＞O”的充分非必要条件。
295
｜
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…
学
数
高
~
考
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］44％
］l.∧
【解析］本题主要考查命题及其关系和充分条件与必要条件°
由题意知:
司p:
｜x＋1｜≤2’
司q:
x＞α,
解｜x＋1｜≤2得—3≤x≤l ,即ˉ司p: ＿3≤x≤1
’
所以若司p是司q的充分不必要条件,则α＜-3°
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］28％
l2. C
［解析］本题主要考查充分条件与必要条件°
命题p; 由sm2x＝｜｀可得2x≡等＋2k厕（k匡z）,则x＝÷＋k厕（keZ）’
命题q; 由…＝｜, ∏I得x＝÷＋k厕（keZ）,
所以p是q的充要条件°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
【易错项被选择比例］24％
∧
［解析】本题主要考查充分条件与必要条件和等差数列°
设等差数列｛α〃｝的首项为α｜’公差为d’则αp＝αl＋（p-l）d,αq＝αl＋（q—:
α尸＋αq＝2αl＋（p＋q—2）d°
充分性:
因为p＋q＝2m’所以α′＋αq≡2α｜＋2（加-l）α＝2αm’所以充分性成立°
必要性:
因为αp＋αq＝2α″! ’所以（p＋q—2）d＋2αl＝2αl＋2（″!—2）d,即（p＋q—
αq＝αl＋（q—l
囚刀α′’＋αq＝2α砸’所以（p＋q—2）d＋2αl＝2αl＋2（m—2）d,即（p＋q—
l3
）α,α叼＝αl＋（″2—l）α’
2）d＝（2′″—2）α’所以
p＋q≡2加或d＝0’所以必要性不成立°
所以由“p＋q＝2加”可以得到“α′’＋αq＝2αm”’由“α′＋αq＝2α腕”不能得到“p＋q＝2〃『”’“p＋q＝2m”
是“αp＋αq＝2α加”的充分不必要条件°
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］48％
l4D
［解析］本题主要考查充分条件与必要条件‘
本题可用特值法判断充分性与必要性°
｛
｜296
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C‖∧P「巨R｜5
常用逻辑用语
取α＝l’ b＝4,因为l＋4≠4’而α＝l
,
所以由α＋b≠4不能推出α≠l且b≠3’
故充分性不成立°
取α＝2, b＝2’因为α≠1且b≠3’而α＋b＝4,
所以由α≠1且b≠3不能推出α＋b≠4’
故必要性不成立°
所以命题甲是命题乙的既不充分也不必要条件°
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］49％
l5.∧
［解析］本题主要考查充分条件与必要条件°
设集合A＝｛x｜｜x-2｜＜l｝,集合B＝｛x｜x2＋x＿2＞0｝’
解不等式｜x-2｜＜1’得l＜x＜3’所以集合A＝（l,3）°
解不等式x2＋x-2＞0’得x＜-2或X＞l ,所以集合B＝（—m,—2）O（l’＋四）°
因为A呈B’所以“｜xˉ2｜＜l”是“x2＋xˉ2＞0”的充分而不必要条件。
故本题正确答案为A°
［易错项】D
［易错项被选择比例］21％
l6.∧
［解析］本题主要考查平面向量的线性运算、命题及其关系以及充分条件与必要条件°
@项’
由于｜百石｜＝｜α‖b｜Cos（页.〗）＝｜万｜ˉ ｜丙｜,从而Cos（而石）＝1’即（∏.〗）＝0°’则∏／／〗恒成立’故o
项符合题意°
@项’命题“若x-slnx＝0’则x＝0”的逆否命题为‘‘若x≠O,则x-sinx≠0”,而不是逆命题’
故@项不符合题意°
o项’命题pVq为真则p’ q中至少有＿个为真’不能推出p∧q为真,反之成立’则应为必要不充
分条件’故o项不符合题意·
故本题正确答案为A°
［易错项］D
［易错项被选择比例］20％
∧
［解析〕本题主要考查充分条件与必要条件°
根据题意,存在负数几’使得非零向量而＝几万,
则表示非零问量历和而共线反向’
m.门＝｜砸｝｜〃｜cos180。＝—｜丽｜.｜万｜＜0恒成立;
而反过来丽而＜0,并不能得到历和万共线’可
而反过来历.冈＜0,并不能得到历和万共线’可
l7
能只是两问量夹角为钝角
故“存在负数凡’使历＝几万”是“历.斤＜0”的充分而不必要条件°
故本题正确答案为A°
［易错项］C
〔易错项被选择比例］l9％
297镶
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…
学
数
岛
考
〔〖＂∧P丁僵R｜引圆锥曲线与方程
□「勇亏壳］圆锥曲线
l. O
【解析］本题主要考查圆锥曲线°
依题意画出参考图’
所以A（-α,0）, 名PF2Fl＝120。’ PF2＝FlF2＝2c’
过P作PE」ˉx轴’由几何关系知么PF2E＝60。,
所以F2E＝c,PE＝归c’P（2c’侗c）
’
因为庶″-等』
所以″所在直线方程可设为》ˉ粤（…）,
所以帽c三俘｜…）,
可得÷≡i.
｝′∧
＝面＼旦ˉ］一旦≥Ex
故本题正确答案为D。
［易错项］B
［易错项被选择比例］24％
2.∧
［解析］本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线°
由题知,A、B、C、D四点所在直线过右焦点垂直于x轴,则: xA＝xB＝xc＝xD≡c,
｜AB｜＝｜yA-yB｜,
｜CD｜＝｜yc-yD｜.
将蜒-筐代人景—惫-1 ’
｜
7
7
解得γ＝±b｜c子』
又因为C2＝α2＋b2,
所以｜AB｜＝墅。
α
双曲线的渐近线方程为’＝±÷x,将x二c代入γ＝±肾x』得｜CD｜＝垄×c.
α
298
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C∩∧P『〔R］5
圆锥曲线与方程
又因为｜AB｜＝亨｜C″｜』所以丝＝E×墅,
α
2
α
～
由C2＝α2＋b2易得双曲线的离心率为2.
故本题正确答案为A°
［易错项】C
［易错项被选择比例］30％
解得2b＝佰c』
3° D
［解析］本题主要考查圆锥曲线利直线与圆锥曲线°
由题意知’抛物线y2＝4x的焦点为（l’O）,
则直线／的方程为y＝2（X-l）,
啦｛献ˉ｜｜
’整理得x2—3x＋1＝0’
则xA＋xB＝3,
司
故AB中点的横坐标为舌』
即线段AB中点到》轴的距离为:.
故本题正确答案为D°
［易错项］B
【易错项被选择比例】22％
4.∧
［解析］本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线。
双曲线的两条渐近线方程分别为; ’-万x、γ＝—:憋.
b
由于点A、B分别处于第一》四象限,则可设:
A（鞭｜.肾x｜）,B（趣,—:x2）』
2b
b
』′
≤曰〖／
四
2x1＋x2万xl-∏x2
3
,
3
＼
｀
｜
由于丽＝÷丽,则点尸坐标可以表示为
由于点P在双曲线上』将点尸坐标代人双曲线解析式兰—Z＝｜有x｜翅＝;αz.
α2
b2
b
b
设直线AE的解析式XD—:x!＝（ˉ页x2—丽鲸! ）（x—x!）.
x2—xl
b
2ˉx1x2
设AB与x轴交于点C, 当y＝0时: ˉ万xl＝—h（x2＋x］）（Xˉxl）’得x＝
’
αx2—x1
Xl＋x7
2Xlx2
,（））°
即C（
Xl＋x7
由于S△AoB＝2b＝S△Aoc＋S△B◎c’则有:
b
l
2xlx2 b
l 2xlX2
。｜-云x2｜＝2b’
2xl＋x2.万x｜＋面.x｜＋x2
解得; ÷…-2b』即x｜x2＝2α.
299
》
｜
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燕
学
数
高
考
而…≡;α2』则;“2＝2倒,得α＝等.
故双曲线C的实轴长为! 2α＝2×普＝普.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］42％
5。
B
【解析］本题主要考查圆锥曲线°
若椭圆上存在点P,使乙FlPF2＝9（）。,则:
以原点O为圆心’OFl＝C为半径的圆与椭圆有交点’则C≥b°
而C＝旦, α2＝b2＋C2’
α
赃2≡瞳等b2≥歹了r∑
豆’
C2
1
＝＝
…侣≡票
而α＞C’则e＝旦＜1’
α
故e巨［平, l）.
～
故本题正确答案为B°
［易错项］A
［易错项被选择比例］2l％
6.∧
［解析】本题主要考查直线与圆锥曲线°
如图所示’
直线4x-3）′＿2p＝（）交抛物线）′2＝2pX于点A’D’
盲线4x—3’＿2p～0交阀（xˉ:）:十』2-等干点‘’C.
瞬肃｜猖『f…捎y糯触型—!7′…≡（‖
即（8X-p）（x-2p）＝0’
｜
｜300
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C∩∧P「［尺］5
圆锥曲线与方程
p
则xA＝2p, xD＝8’
所以A尸二蜒斜＋:＝芋’D尸二x°十:≡晋』
因为焦点尸（:’0）在直线4xˉ3γˉ″＝0上,
司
所以BC为圆（x—;）2＋’2＝等的＿条直径,
所以BF＝CF＝:,
所以AB＝AFˉB尸＝2′, cD＝DFˉcF二:』
所以｜第｜二等＝｜6.
8
v0
x
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］29％
7. C
［解析］本题主要考查圆锥曲线°
如图所示’点P在双曲线C的右支上,因为OF＝C’且乙
所以◎H≡:、′〃ˉ亨c,
所以点P的坐树为（:.±俘）,
又闪为点′在双曲线°嘉—羔≡｜（“＞0, ′＞0）上｀
所以将′点坐标代人双曲线方程可得悬—蒜-］,
整理得b2C2—3α2C2＝4α2b2’
又因为b2＝C2—α2,
代人得4α4＋c4-8α2c2＝O’
等式两边阔时除以α裂,得4十景—s景-0.
又离心率e＝旦（且e＞］）,则e4—8e2＋4＝0’
α
解之得e2＝4＋2佰,或4—2佰（因为e＞l ,故舍去）’
所以e2＝4＋2佰＝（l＋佰）2’
且△OPF为正三角形,
3（）l镶
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蹿
学
数
高
考
故e＝l＋佰’或e＝＿lˉ佰（因为e＞l ’故舍去）.
0》’
F
x
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］23％
8.D
［解析］本题主要考查圆锥曲线°
.已网得健≡侄,
又C2＝α2＋b2,
所以←｜］偿≡倔;」,
所以景≡｜÷佰＞］』
因为α＞0,
b＞0》
所以h＞1 ’即b＞α’
α
所以圆O与双曲线C左右两支各有2个交点,即共有4个交点°
故本题正确答案为D°
【易错项］C
［易错项被选择比例］39％
B
［解析］本题主要考查圆锥曲线°
如图,连接AFl ,过点B作BD垂直y轴于点D,
如图,连接AFl ,过点B作BD垂直y轴于点D,
9
BE垂直x轴于点E’
由题意得｜AFl ｜＋｜AF2｜＝｜BFl ｜＋｜BF2｜＝2α’且｜AF2｜＝2｜BF2｜,
所以｜AFl ｜＋｜BF2｜＝｜BFl ｜°
又因为｜AB｜＝｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜BFl
｜’
所以｜AFl ｜＋｜BF2｜＝｜AF2｜＋｜BF2｜
’
所以｜AFl ｜＝｜AF2｜
’
所以A在y轴上’
设A（0,yl）
,
代人羔＋紫＝l中’
得y｜＝b°
｜302
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C∩∧P『［R］5
圆锥曲线与方程
因为以F2｜＝2｜BF2｜,
所以｜OF2｜＝2｜EF2｜＝1’
｜AO｜＝2｜OD｜＝2｜EB｜＝b’
所以｜oE｜＝l .卜去＝:』｜EE｜二粤,
所以‘（;,—÷）′
把B点坐标代人丢带÷!中』
又α2＝l＋b2’
（:）2
（—鸟）2
所以1羊b2＋
b2
＝l
,
解得b2＝2’
所以α2＝b2＋1＝3’
敬C的方程为争普＝1.
y」
＼【运任兴Ⅱ
故本题正确答案为B°
［易错项］C
〔易错项被选择比例］29％
10.
〔
［解析】本题主要考查圆锥曲线°
由题意可知’抛物线焦点坐标（1,0）,
设抛物线准线与x轴的交点为点C（-1,0）,则点C为双曲线的左焦点’
因为△PMF为等腰直角三角形’
所以么MPF≡90°’
｜PM｜＝｜PF｜,当且仅当PM上准线时成立,
所以PF上CF’
因为抛物线焦点坐标（l,0）’将x＝l代人y2＝4x’解得）′＝±2,
所以｜PF｜＝｜PM｜＝2’MF＝2但’
则四边形CMPF为矩形,
所以｜Cp｜＝｜MF｜＝2但, 由双曲线的性质可得’
｜｜CP｜ˉ｜PF｜｜＝2但ˉ2＝2α,
α＝但ˉl,
所以双曲线的离心率e＝旦＝
1
＝但＋l。
α
但ˉ1
303熊
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霸
学
数
高
考
γA
x
二
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］28％
ll.∧
［解析］本题主要考查圆锥曲线和倍角公式与半角公式°
抛物线x2＝ˉ4y的准线为y＝l ’即点A坐标为A（ˉ佰’ l）
’
则爵m‘二豆』…-—亨』
l
则cos2β＝c。s20ˉsm2β＝÷.
～
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］20％
l2.
B
［解析］本题主要考查圆锥曲线。
设双曲线的半实轴为α’半虚轴为b,半焦距为C,
则由题意可得’
α＝√耳ˉ＝匣。
不妨设A点在B点左边,则A（-α,0）,B（α,（））,
C（0,b）
’
闪此s…＝1…C＝αb＝√J万＝F-√—｛b曹—2）2＋4.
因为0＜b＜2’所以S△ABc巳（0,2］
’
即S△ABC的最大值为2°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］l7％
l3.∧
〔解析】本题主要考查圆锥曲线°
△APF的周长为C＝｜PA｜＋｜AF｜＋｜PF｜’
设双曲线左焦点为F′
’
由双曲线的性质知｜PF｜＝｜PF′ ＋2α,
即C＝｜AF｜＋｜PA｜＋｜PF′｜＋2α’
要△APF的周长最小’
即｜PA｜＋｜PF′｜最小’
所以当P,A’F′三点共线时’
■304
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C‖∧P「［尺］5
圆锥曲线与方程
｜PA｜＋｜PF′｜最小’如图所示。
所以C≡2｜AF｜＋2α,
因为｜OF｜＝c＝√万豆ˉ干ˉ庐＝亿,
所以｝AF｜＝√丙ˉ丁页＝2但,
所以C＝2×2√2＋2×2＝4（l＋√2）°
γ∧
故本题I［确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例】37％
l4. C
［解析］本题主要考查圆锥曲线°
双曲线渐近线方程为y＝±紫,以F｜凡为直径的圆的方程为x2＋’2≡懂直』
将双曲线渐近线方程与圆的万程联立,解得M（α’b）,
将双曲线方程与圆的方程联立’解得x＝α但歹＝了
C2ˉα2
′
′ γ-
°
′ ;‖′｀′（°匹三‘芋〕｜
因为直线MFl与直线O／V平行,Fl （—C,0）
’
所以—△＝
C2ˉα2
α2（2c2＿α2）
’
化简得: c3＋2αc2-2α2c＝2α3＝0,等式两边同除α3得: e3＋2e2-2e-2＝0,
所以／（e）＝e2＋2e—2＝2。
e
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例］36％
l5。D
［解析］本题主要考查圆锥曲线°
己知椭倒÷÷1
所以C2＝α2—b2＝2p,
所以C＝√万’
抛物线y2＝″x（p＞o）焦点的横坐标为x＝:,
由题意知侮＝:,
2′-等,目′＞0』
气
弓
○
］
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燕
学
数
高
考
所以p＝8°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
【易错项被选择比例］l4％
C
〔解析］本题主要考查直线与圆锥曲线和圆锥曲线°
由E: y2≡2px（p＞O）的焦点为F’
可得点F罐标为F（当′｀0）』
因为直线AB的斜率为l
,
1
所以直线AB的解析式: y≡x-页p,
将其代人γ2-″x』可得x2—3′x＋等-0』
＝（3p）2—4×｜×等＝8′2＞0,
故x＝;′±√豆p.
因为点M为线段AB中点,
所以点M的横坐标为￥,代人》二蜒—去p』可糯
所以点M的横坐标为苦,代人γ＝xˉ贡p,可得
l6
M的纵坐标为p,
所以点M的鳃标为M÷′′）.
因为线段AB的垂直平分线交x轴于点C,
所以MC的斜率为—｜’且经过点M:′′）’
5
所以直线MC的解析式为y＝-x＋亏p’
～
所以点C（÷′,0）.
3
因为M／V垂直于y轴, xM＝Ⅲp,
所以｜Mv｜＝;′.
四边形CMⅣF可看做直角梯形CMⅣO与直角三角形ⅣOF的面积之差
四边形CMⅣF可看做直角梯形CMⅣO与直角三角形ⅣOF的面积之差,即:
s…＝s…ˉs腮［…二当（:′＋;′）′—当′:二幼望ˉ等-哥′2-γ
所以p2＝4,
由p＞0得p≡2’
所以E:
V2＝4x。
渔306
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C日∧P「［R］5
∩锥曲线与方程
）′↓
＝扩
Ⅳ
—
○
／
＞
几
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例】22％
l7.∧
［解析］本题主要考查圆锥曲线°
根据题意画出图形,延长FlH交PF2于点Q°
由角平分线上的性质可知’
｜PFl ｜＝｜PQ｜,
｜FlH｜＝｜oH｜
’
根据双曲线的定义可得｜PF2｜-｜PFl ｜＝2α＝2’
所以｜QF2｜＝｜PF2｜-｜PQ｜＝｜PF2｜-｜PFl ｜＝2°
因为｜F1H｜＝｜QH｜,
｜OFl ｜＝｜OF2｜,
所以OH为△FlQF2中位线’
所以｜o〃｜二告｜QF2｜-］.
x
二
故本题正确答案为A°
［易错项】B
［易错项被选择比例】27％
l8. C
［解析］本题主要考查线性规划和圆锥曲线°
由抛物线的几何性质可得,抛物线的离心率为1,
即X＝1是方程X3＋αX2＋bX＋C＝0的＿个根’
所以设X3＋αX2＋bX＋C＝（X—1）（X2＋″】X＋门）,
｜法′~顺橇｜削／!
得
构造函数／（x）＝x2＋″!x＋列＝x2＋（α＋l）x＋（α＋b＋l）,
因为／（x）的两个零点xl 、x2分别为椭圆和双曲线的离心率,
~
307
｜
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高数学
署／…
所以有0＜xl＜l＜x2。
根据＿元二次方程根的分布,列出关于参数α｀b的约束条件为
｜｝｜↑｜二躺』了』0
以α为横坐标, b为纵坐标,建立平面直角坐标系,作出可行域如图所示,
令z＝也,则z表示可行域内的任＿点与原点O连线的斜率’
α
所以结合图象可知, h的取值范围为（—2.ˉ÷）.
α
＝
其中A（-2,1）
’
b」
】
〃
＿
α
＿
＿
气
尸
｀
○
｜
｜
‖
‖
、
〃
扭
议
｀
｀
α
2α＋b＋3＝0
α＋b＋l＝0
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］40％
l9° C
［解析］本题主要考查圆锥曲线°
因为P为双曲线上＿点’
而双曲线上的点到O点的最短距离为α’
所以｜OP｜≥α,
又｜OP｜2＝2αb’
所以2αb≥α2, 2b≥α’ b≥:,
又因为‘2＝α2＋b2≥α2＋（:）2≡;α2』
厂
仁
—
∑
＞
≥
℃
—
α
所以e＝
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］29％
20. O
【解析］本题主要考查圆锥曲线和几何概型°
″垦…≡」叫化翰;参塔≡‖
若方程加2x2＋4y2＝l表示焦点在y轴上的椭圆,
则加2＞4,结合区间［l,5］,解得2＜m≤5’
｜
308
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C‖∧P「［R｜5
圆锥曲线与方程
故方程砸2x2＋4y2＝l表示焦点在Ⅱ轴k的椭圆的概率是尸＝吾—;.
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］25％
四卿｜曲线与方程
l.∧
［解析］本题主要考查曲线与方程°
由2αb＋2α2＋2b2—9＝0结合2αb≤α2＋b2得3（α2＋b2）≥9→α2＋b2≥3（当且仅当α＝b时
等号成立）’
敲卿≡儿…条件为｜渊童但碗霍陶平酗咽中陨…际
在区域内,由x＝±2, y＝±2围成的矩形区域（含边界）整点有25个’加上圆x2＋y2＝32与坐标
轴的4个交点,共29个‘
γA
≥
几
O
2
≡2
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］35％
2. C
［解析］本题主要考查曲线与方程。
设P（沁y）,则由题意知′ 万辛ˉT（ˉ三ˉT）＝砸（m≠0）,
7
化简可得x2＋上＝l （y≠0）°
′70
故本题正确答案为C°
［易错项］A
［易错项被选择比例］28％
3.∧
［解析】本题主要考查圆锥曲线°
由题慧知』双＂线的方程为÷ˉ;＝1
』
309
｜
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燕
学
数
高
~
考
即α＝2, b＝但, c＝亿’
~厅
双曲线的渐近线方程为Ⅱ＝±:鞭二±丁x.
√2
因为｜PO｜≡｜PF｜
’
日点P位了渐近线方程γ-±?让,
过瓤P作′D」°′,则°D-÷o尸-f,
但亿佰
所以y尸＝ˉ可×丁＝丁’
所以s…-当o″D-÷〃亿×亨-乎.
）′
》
○
′
／
—
′
′
—
’
′
＼
＼
｀
｜
｜
／
／
∧
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］27％
4〔
［解析］本题主要考查曲线与方程°
由于x2＋y2＝50的整数解为: （1,7）
’ （l,-7）
,
（7, l）, （7’—l）
’
（5’5）
’
（5,-5）
’
（＿5,5）
’
（＿5,＿5）这l2个解’
（—l,7）
’
（一l,一7）,
（—7,
l
）
,
（—7,-l）
当方程组有两个解时》对应这12个点两两所连的不过原点的直线有C｝2ˉCi＝60条’
当方程组有一个解时,对应过这l2个点的切线有12条,每条直线确定了唯—的有序数对（‘『,b）,
所以有序数对（α’b）所对应的点的个数为60＋l2＝72个°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］32％
5° D
［解析］本题主要考查曲线与方程°
设／（x）＝y＝αex＋xlnx,
l
／′（x）＝αex＋lnx＋x-＝αex＋lnx＋l°
x
由题干y＝2x＋b可知’
／（x）在x＝1处切线的斜率为2’
即／′（l）＝2’
亦即αe＋l＝2’
■3l0
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C‖∧P『［R｜5
圆锥曲线与方程
α＝e-I°
又因为切线方程y＝2x＋b过点（1’αe）,
可得2＋b＝αe,
将α＝eˉl代人可得,
b＝-l·
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］l8％
■「霓亏7吊］直线与圆锥曲线
1. B
［解析］本题主要考查直线与圆锥曲线.
设尸｜为（ˉc,0）,不妨取其巾ˉ条渐近线’二—:蜒,
由两直线垂直,斜率乘积为ˉl可知,过点F!垂直于渐近线的直线方程可写为γ＝:（x＋c）’
瞬立上述两…可求得点″胸鳞标为（ˉ孵）
4αb
因为丽＝3丽,则yⅣ＝4yM’故yⅣ＝-亏
由』—;｜露带c｜得点″的坐标为（3空丝竿）′
而点″窿双＂线上,将点″的坐际代人双棚线万程嘉ˉ蚤-｜』
得（3c2—4α2）2
l6α2
α2C2
--云丁＝l’
化腻懦到,….墓敝＝:≡｜亨÷
故本题正确答案为B°
［易错项］D
〔易错项被选择比例］25％
2.D
【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线°
设点A（xl ,yl）’B（x2,y2）,F（-c’O）
’
因为AF上BF,即Ⅺ厂:.丽＝0’
即（X1＋C）（X2＋C）＋yly2＝0,
而y＝伍’代人上式得:
即4XlX2＋C（X］＋X2）＋C2≡0@
｜蓄怒丫化阔.
联立直线与椭圆方程
（步÷）x2ˉ］-0』
31l熟
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…
学
数
高
考
α2b2
由根与系数的关系得xlx2＝—3α2＋b2@; x1＋X2＝0o
将魁圆代人蔓防程囤中得］麓2-c2,又因为侧』-b…』.
化简得4α4-8α2c2＋c4＝0’
由于α＞0,等式两边同时除以α4得:
（旦）4ˉ8（旦）2＋4＝0’解得（旦）2＝4±2佰’
α
α
α
因为椭圆C中’离心率0＜e＜l
,
所以（旦）2＝4ˉ2佰’
α
所以e＝旦＝佰ˉ1。
α
故本题正确答案为D°
〔易错项］C
［易错项被选择比例】34％
3。∧
［解析］本题主要考查直线与圆锥曲线、导数的概念及其几何意义以及导数的计算°
由题意∏I知MA和MB的斜率不可能为0,不妨设切线MA的方程为x＝ry＋m,
代人抛物线方程得’ y2—ry—加＝0’
由直线与抛物线州划褥-产＋4咖-0』所以″』-＿可｀所以M（—÷,0）.
『2
不妨取点A在x轴上方的情况,
则根据导数的几何意义有点A处切线的斜率筹丁其导数值即↓＝》′｜鳃』
当y＞0时』y′＝六｀
可得六→｀解得翔-页则A（÷｀去）
r2
…得姆（瑞）
…丽-（铝）（÷—i）-杂＿i『～岛｜‘型—1｜』—六,
当′-±粤时,顾丽取橱最」恒—六.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］30％
4.∧
［解析］本题主要考查直线与圆锥曲线.
因为抛物线方程为y2＝4x’则焦点为F（l,0）
’
当直线／斜率存在时’设直线′的方程为y＝k（x-l）,A（xl ,yl ）,B（X2,y2）
’
将其与抛物线方程联立消去y得, k2x2-（2此2＋4）X＋k2＝0’
所以xlx2＝1’根据抛物线的性质｜AF｜＝xl＋l ,
｜BF｜＝x2＋l ,
川3l2
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C‖∧P「［R］5
圆锥曲线与方程
2
2
2x1
所以｜AF｜ˉ厉歹『＝（x｜＋1）ˉ万百ˉ干丁＝（xl＋l）ˉ—
x1＋l
2xl＋2—2
Ⅸ｜刊
-仰!刊）带六—2≥2但—2,
＝（xl＋l）—
当直线′斜率不存在时’点A（l,2）’B（1,-2）’
所以｜AF｜＝｜BF｜＝2’
所以｛AF｜—扁≡］＞2√iˉ2.
故本题正确答案为A°
［易错项】C
［易错项被选择比例］35％
当且仅当（xl＋1）2＝2时等号成立°
5.∧
［解析】本题主要考查直线与圆锥曲线°
因为抛物线C的方程为y2＝4x’所以焦点F（1,0）,准线为x＝—1
’
由题意可知’ ′｜和′2的斜率均存在’
设直线／l的解析式为y＝火（x-1）,
因为直线!｜
’ !2互相垂直′所以直线′2的斜率为＿÷』
｜）刮l｜淌去Ⅱ得
将直线／1与抛物线方程联立
代2x2-（2此2＋4）x＋k2＝0’
设点A（x｜,yl ）’B（x2,y2）’D（X3,y3）
’
2火2＋4
由根与系数的关系得xl＋x2＝
k2
E（x4’y4）
’
÷十＾
同理x3＋x4＝
l
,
k2
根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离
所以｜AB｜＝X1＋l＋x2＋l
’
同理｜DE｜＝x3＋l＋x4＋l
’
所以｜A鹰｜带｜DE｜ˉ2窄.尘ˉ2叁尝,
k2
当且仅当÷-4膳即k-±］时等号成立.
β
］
~~
屈
∑
＋
吕
≥
∑
火
▲
＋
斗
—
赔
＋
日
~~
∑
＋
3l3
｜
｝
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…
学
数
高
~
考
γ｜
＼
＞
Ⅺ
O
／
x＝—l
故本题正确答案为A°
［易错项】C
［易错项被选择比例］28％
C
［解析］本题主要考查直线与圆锥曲线°
根据题意』设直线AB; y＝佰（xˉ:）』联立直线AB与抛物线
佰
闷2ˉ2pyˉ伍2＝0’则yA＝—丁p’ yB＝伍,
因为M（—枷所以｜。卿｜≡｜宁蹋≡｜宁等≡厚′,
｛o圆｜≡√惠丽～僚滤≡｜翠带3′』-祭
所以儡-3.
故本题正确答案为C°
［易错项］A
［易错项被选择比例】27％
联立直线AB与抛物线
6
C的方程可得’
7,∧
［解析】本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线°
由双曲线C的性质得F（C,0）,
又以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝α2交于P,Q两点,且｜PQ｜＝｜OF｜
’
所以PQ为以OF为直径的圆的直径’ OP＝α,PF＝OP’
所以｜Op｜2＋｜pF｜2＝｜OF｜2’
则α2＋α2＝C2,
所以离心…÷～偶恒.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例】24％
8。D
［解析］本题主要直线与圆锥曲线°
臆3‖4
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C日∧P『［R｜5
圆锥曲线与方程
如图所示′ 由抛物线’2＝6鞭可得尸（:.0）』则′｀′的横坐标为—;』
点M为抛物线y2＝6x上的点’ ／V为抛物线的准线／上的点,F为抛物线的焦点’
由可＝丽,可得F是MⅣ的中点,
则M的横坐标为:’将其代人抛物线y2＝6x可得点M纵坐标为±3厄
＝
则Mv的斜率为;3粤-±侗.
2
2
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例】l6％
∧
［解析〕
【解析］
9
本题主要考查椭圆的相关性质及直线与圆的位置关系°
根据题意可知,以线段AlA2为直径的圆的方程为x2＋y2＝α2’
圆与直线相切,即圆心到直线的距离等于其半径’
敬侧—羔兰冒≡″′化简隐。～］碌Ⅱ
厕赡圃的瘸…＝:～｛宁型ˉ｛子～牟
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例】26％
C
［解析］本题主要考查直线与圆锥曲线°
对干°若点P在椭圆÷;-Lk,
对于@’若点P在椭圆云十方＝｜上,
l0
P到F! （ˉ4’0）’F2（4,0）两点的距离之和为定值’则点P
到E｜（（）,—4）,E2（0,4）两点的距离之和不为定值,故o错误°
对于翻』椭圆丢十苦＝］勺椭圆盖＋;二］关于富线…,》-—甄对称’所以曲线C关于直线
y＝x’ y＝—x均对称,故o正确°
对于O,曲线C所围区域在边长为6的正方形内部’所以面积必小于36,故O正确°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］25％
3l5鳞
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燕
学
数
高
考
llC
［解析］本题主要考查直线与圆锥曲线°
由题意可挪,以o′为直径＂倒的方橇为赋十1｜』带（』ˉ平）2-等,
~～
与圆C; x…裂二2柑减可得直线A圈的方程为2蜒—半y十2＝0』
令y＝0,可得x＝—l ’所以C＝1
,
7
倒为÷晨-｜｀且由椭圈的性臆知磁2—瞬≡c』≡｜｀
所以α2＝8’
b2＝7’所以α2＋b2＝l5°
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例］30％
C
［解析］本题主要考查直线与圆锥曲线°
考虑到双曲线的对称性,
可以设点P位于第四象限’又因为过点P的直线与渐近线γ＝—hx垂直
l2
α
所以tan丝F2OP＝h。
α
设F2（C,0）’则α2＋b2＝C2’
旦’ 圆‖潞≡÷』
α
cos么F2OP＝
＝
伍豆ˉ干ˉ匣
C
α
故cos乙F1OP＝cos（jr-至F2OP）＝--’
C
而｜OF2｜＝c’则｜OP｜＝α′
｜PFl ｜＝亿α。
由于｜OFl ｜＝C’在△FlOP中’
由余弦定理得
PF『＝OF;＋OP2ˉ2｜OP｜｜OFl ｜cos二FlOP,
α
即6α2＝c2＋α2—2αc×（——）
’
C
移项得3α2＝c2,
因为α＞0, b＞0,
故C＝佰α’ e＝旦＝佰。
α
γA
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l6％
鳃3l6
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C日∧P「［R］6
导数及其应用
l3. O
［解析】本题主要考查直线与圆锥曲线°
x2
l
可＿y2＝1的左、石焦点的坐标为Fl （ˉ佰’0）、F2（侣’0）,渐近线y＝±页x’
则过点F｜与直线＂＝—券垂直的直线方程为y＝2｜x＋佰）.
｜》式伺
联立
｜《二事叫华竿）
解得
又因为F2（归’0）
’
√元5
3
所以MF2＝
故本题正确答案为D°
〔易错项】B
［易错项被选择比例］32％
l4. C
［解析］本题主要考查直线与圆锥曲线°
由题意知抛物线焦点为F（2’0）’因为直线AF的斜率为ˉ侗’所以A（ˉ2’4佰）’又因为PA上I,所
以P（6,4佰）’所以｜PF｜＝｜PA｜＝8.
故本题正确答案为C°
［易错项］A
［易错项被选择比例］l8％
｛〔〔‖∧p丁［Bˉ1g导数及其应用
〔‖∧p丁［
■「霓丽吊］导数的概念及其几何意义
l.∧
［解析］本题主要考查导数的概念及其几何意义°
设丝AOC＝0
@在声波从开始传播,到弧DFE经过点C的过程中’阴影部分为扇形,扇形半径为x,故其面积
γ（x）-了面…二志呵2,图象为帅｜｜向上的抛物线.
l
0
@在弧DFE经过点C到经过点A的过程中, 由平行四边形的性质知道,此＿段时间内’阴影部分
的面积增加速度不变’即／＝y（x）的导数为某常数’所以图象为＿直线.
o在弧DFE经过点A到经过点B的过程中,阴影部分的面积y（x）不断增加’但增加速度减慢’即
／＝y（x）的导数不断减小°
3l7藤
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尊｝枷
由此变化规律知只有A项最符合这＿变化规律°
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］22％
2.O
【解析］本题主要考查函数的概念与性质和导数概念及其几何意义°
作出函数y＝『（x）｜的图象与y＝αx的图象,如图所示’
由图象可知:函数y＝αX的图象为过原点的直线’
当直线介于直线／与x轴之间时符合题意’
直线′为曲线的切线,且此时函数y≡『（x）｜在第二象限的部分解析
因为x≤0’故y′≤—2,故直线′的斜率为-2,
故只需直线y≡αx的斜率α介于-2与0之间即可,即α巳［-2,0］°
且此时函数y≡『（x）｜在第二象限的部分解析式为y＝x2—2x,
V′＝2x—2,
Ay
）勺（x ）
厂—
丫
x
）匡αx
故本题正确答案为D°
［易错项】C
［易错项被选择比例］27％
3.∧
［解析］本题主要考查对数与对数函数、函数与方程与导数的概念及其几何意义°
设y＝此x—l关于直线y＝-1的对称直线为y＝mx—l
’
（加＝-此）
’
根据题意可知函数／（x）与直线y＝″ox一l有四个不同的交点°
因为（xlnx—2x）′＝lnx—l ,令lnx—l＝0得X＝e’
所以当0＜x＜e时, lnx-l＜0’ y＝xlnx—2x在（0’e）上单调递减’
当x＞e时, lnx-1＞0, y＝xlnx＿2X在（e,＋四）上单调递增,
所以（xlnx-2x）min＝e-2e＜-l°
作出函数／（X）的草图与直线y＝加x—l的草图如图所示°
若y＝脚x—l与y＝x2＋寻x（x≤0）相切』
←
则咖箍ˉ｜→＋;x仅有—解即△＝0』得（:—砸）2ˉ4二0』
解得哪＝÷或狮＝;（舍去）.
若y＝mX—l与）′≡xlnx—2x（x＞0）相切’ ）′′＝lnx—l ,
＂导敝脯几｜唁典可糯｜猖患丁严＿‖
解得x＝l
’
″!＝-l°
综上所述,并结合（x2＋:）
＞—｜以及图象可得;
＼
～／rnin
｝3l8
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C∩∧P『［R］6
导数及其应用
l
若函数与直线y＝加x-l有四个不同的交点’则-l＜m＜-亏’
～
所以1＜k＜｜.
）＝Ⅷx-l
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］37％
4.∧
［解析】本题主要考查导数的概念及其几何意义和函数的概念与性质°
因为／（x）是偶函数’
所以／（x）＝／（-x）
’
即e燕＋αeˉx＝eˉx＋αeˉ（ˉ舞）,解得α＝1’
所以／（x）＝ex＋eˉx’
所以／′（x）＝ex—e—x,
设切点的横坐标为xO’
所以′′（xo）≡e展°—e—鞭＂-丢′
设exo＝t＞l
’
所以′—↓二:’解得′＝2’
即exo＝2’即xo＝ln2°
故本题正确答案为A°
［易错项】B
［易错项被选择比例］23％
5. B
［解析］本题主要考查直线与方程和导数的概念及其几何意义.
根据数形结合的思想’将（α—C）2＋（b-α）2的值看做点（α,b）到点（C’d）距离的平方’
直线c＋d＝4上,
（α’b）满足函数b＝α-2eα’
即可将该值转化为求直线上一点到函数b＝α-2e“图象上＿点距离的最小值,
可转换为图象上斜率为-l的点到直线的距离°
对函数b＝α—2eα求导得b′＝l-2eα’令b′＝—1,
解得α＝0,此时’
b＝-2°
求出（α’b）即（0’—2）到直线c＋d＝4的距离d＝｜Oˉ2＋（ˉ4）｜＝3但。
但
所以（α—c）2＋（bˉd）2的最小值为（3但）2＝18·
且（C,d）在
3l9
｜＿!
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彰
学
数
高
考
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］25％
6∧
［解析】本题主要考查导数的概念及其几何意义°
根据已知条件得’／′（x）＝1＋旦
x
x2
’
O
因为曲线y＝lnx—二在x＝l处的切线的倾斜角为α
x
汀
所以ta∏α＝／′（l）＝l＋2＝3’ 0＜α＜刁°
3
因为sin2α＋cos2α＝l ’解得sinα＝而, cosα＝
敝瓢∩…鼠α＂幢为六-孪
故本题正确答案为A°
〔易错项］C
［易错项被选择比例］l5％
l
7而.
团｜颗导数的计算
∧
［解析】本题主要考查算法的含义、程序框图和导数的计算°
当j＝20l7时, ′＞2017不成立’故继续执行循环’
当j＝20l8时’ j＞2017成立’退出循环,输出九ol8（x）°
执行程序’
j＝l
,
f｜（x）＝瓜（x）＝（sinx）′＝cosx. j＝l不
执行程序, j＝l ’∧（x）＝乃（x）＝（sinx）′＝cosx’ j＝l不
l
满足j＞20l7,执行循环’
′＝2,／i（x）＝月（x）＝（cosx）′＝ˉsjnx’ j＝2不满足j＞20l7,执行循环’
j＝3,龙（x）＝乃（x）＝（-sinx）′＝ˉcosx’ j＝3不满足j＞20l7’执行循环’
j＝4’归（x）＝月（x）＝（ˉcosx）′＝sinx’ j＝4不满足j＞20l7’执行循环’
所以八（x）是＿个以4为周期的周期函数,
所以龙ol8（x）＝允（x）＝—S1nx°
故本题正确答案为A°
［易错项】B
［易错项被选择比例］32％
D
［解析］
［解析］
勺
△
本题主要考查函数模型及其应用、三角函数、导数的计算以及函数的概念与性质°
~厂-
因为半圆O的半径厂＝l ,则等边三角形ABC的边长为sinl60°-
3
°
2√3
设乙尸OG＝α’
α巳（0,叮）,
所以丝FOG＝王’则王＝旦’即x＝α°
冗
冗
冗
刀
镰320
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C日∧P「［R］6
导数及其应用
过点O作OM上′l交直线／l于点M’交直线／于点∧／,
则OlV＝OFcos亏＝cos亏＝cos寄,MV＝lˉcos不』
α
α
x
～
～
全
▲
2归（｜ˉcos苛）
~产／
赃厨-cD～等×2-
3
故／（聪）＝E…C＋CD二华＋4佰（lˉc。s告）＝2佰—华c。s奇
O
3
〕
对瞬数川篮｜求幂得′（眶｜-李爵m苛,
又因为0＜x＜冗’故／′（x）＞0在定义域内恒成立’
即函数／（x）在定义域内单调递增’变化率越来越大’
日在蜒→0时,｝｜x｜→竿』只有D项符合题意.
O
』
（0＜.x＜叮）
八
／
／
~
~
~
~
~
~
ˉ
ˉ
℃
州
′
』
ˉ
ˉ
日
~
~
~
~
~~~~
、
、
子
‖
′
′
了上乙（ˉˉⅨbˉˉ-｀2凶（G
F
~~
~
~
M
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］35％
3。
B
［解析】本题主要考查三角函数、导数的概念及其几何意义以及导数的计算°
因为b2＋C2＝l ,则可设b＝cOS0’ C＝Sin0,
因为／（x）＝αx＋bcosx＋cs1nx’
所以／（x）＝αx＋cos0cosx＋sin0sinx’
所以／′（x）＝α-cos0sinx＋sin0cosx＝α—sin（x—0）
’
所以α＿l≤／′（x）≤α＋l·
因为两条切线互相垂直’
所以x｜
、x2满足／′（xl）／′（x2）＝-l°
所以存在／′（xl ）’／′（x2）e［α—l,α＋1］’使得／′（xl）／′（x2）＝-l
’
得到（α＋l）（α—l）＝＿l ’解得α＝O·
但
所以α＋但b＋｀／5c＝但cos0＋佰sm0＝佰sin（0＋′）’其中tan′＝万
所以ˉ佰≤α＋但b＋归c≤佰。
故本题正确答案为B°
【易错项］C
［易错项被选择比例］29％
4. C
［解析］本题主要考查直线与方程、导数的概念及其几何意义以及导数的计算°
321嚣
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燕
学
数
离
考
原不霹式可化为（x—“）2＋（:—;「≤市’表示点（鞭,等）与点（α.;）的距离的平方不超过而』
所以原问题等价于点（x,:）与点（α,;）的蹿离的平方的最小值小于等于市,
可知点（α,÷）在直线Ⅱ＝÷x上,点（鞭,:）在曲线／（x）＝了上′
ex
所以当曲线′（x）-哥在点（扼,:）处的切线与》二;篮平行时,点（蜒,:）与点（α,;）的距离最小』
′′｜鞭）-:』令／（蜒）≡:-÷』解得涎＝0』
所以曲线f（x）-÷在点（0,÷）处的切线勺γ-寺平行′
／1
l
＼2
所以距离的最小值为（0ˉα）2＋（了—了α）
,
所以（0＿α）凰＋（÷ˉ』“）2≤市』化简得l0α2—2α十而≤0』
解得闽＝市.
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］37％
5.O
［解析］本题主要考查函数模型及其应用及导数的计算°
要使直线y＝α分别与函数y＝ex＋l和y＝√了≡ˉ『有交点’
需满足α＞O’且设x］是y＝α和y＝ex＋l的交点横坐标’ x2是y＝α利）′＝√万ˉ≡I的交点横坐标’
所以有xl＝lnα-1 , x2＝α2＋1 ,
所以A’ B两点的距离为x2—xl＝α2＋2-lnα,
令／（α）＝α2＋2-lnα’
所以／′（α）＝2αˉ1＝2α2—1 （α＞0）,
α
α
但
当／′（α）＝O时’ α＝百,
所以r（α｜在（0,粤｜上单调递减在（平,…｜上单调递增
~厅
~厅
所以／（α）mm＝／（辛）＝＋＋2ˉ｜n半＝5＋ln2
2
。
故本题正确答案为D°
［易错项】B
［易错项被选择比例］27％
6°∧
［解析】本题主要考查导数的计算利直线与方程°
因为点A（2,:）在曲线…x＋÷上,
所以2倒＋皇＝;o′
｜■322
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C‖∧P『［R｜6
导数及其应用
因为该曲线在点A处的切线与直线4x＋3y-1＝0垂直,
所以当蜒≡2时′ 》′＝α—岛≡;。
o@联立得α≡l
’ b＝l
,
则方程x2＋αx＋b＝0’代人α’ b的值得x2＋x＋l＝0’
所以△＝b2-4αc＝l—4＝—3＜0’
所以方程x2＋αX＋b＝0无实根·
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例】27％
7°
〔
［解析］本题主要考查导数的计算及二次函数°
／（p＋l）-／（q＋l）的几何意义为:点（p＋l,／（p＋l））与点（q＋l,／（q＋l））连线的斜率°
p—q
因为实数p’ q的值在区间（0, 1）内,
所以p＋l
, q＋l的值在区间（l,2）内。
不等式／（p＋l）—／（q＋l）＞l恒成立’表示函数图象上在区间（l,2）内任意两点连线的斜率都大于
p-q
l,
所以在区间（1,2）内函数／（x）的导数大于l恒成立’
由／（x）的解析式可知′／（x）的定义域为（ˉl,＋。°）,导数／（x）＝万÷Tˉ2x’
所以／′（x｜＝了阜ˉT—2x＞l在区间（l’2）内恒成立,
即α＞2x2＋3x＋l在区间（l’2）内恒成立,
因为二次函数2x2十3x＋｜二2｝蕊十;）2—尚在（l.2）上是单调递增的』
所以在（1,2）上2x2＋3x＋1的最大值为2×22＋3×2＋l＝l5,
要满足α＞2x2＋3x＋l在区间（1,2）内恒成立’则α≥l5,
所以α的取值范围是［15,＋印）
故本题正确答案为C°
【易错项］B
［易错项被选择比例］38％
Z｜酮导数在研究函数中的应用
l. O
［解析］本题主要考查函数综合和导数在研究函数中的应用°
由题意得’＝÷（x—1）』＋÷』
则曲线’＝÷x剿—x蔓＋箍ˉ卜l经过点（l.÷）.
帅′＝x2—2x刊＝（xˉ』）2≥0｀所以函数γ-÷x鼠—x2＋x＋l在腮上单调递增
323翻
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~
…
学
数
高
考
斗
—
〕
＋
〕
）
‖
Ⅺ
（
］
～
〕~~
）
工
（
／
设
旬
≡
Ⅺ
ˉ
吼
≡
∏
＂宁.
＋竿＝;＝吁（l）,
则／（x＋l）＋／（l＿x）＝
故／（x）图象关十点（l’÷）对称’
即圈数’-拿』—蜒z十x十］的图象关于点（｜,÷）对称.
因为直线′与曲线y二＋狮』—蜒喜＋x＋l有二个不同的交点』且｝A圈｜-｜AC｜,
则直线′必过点（l.÷）′设点A（l,÷）』则佩E与点C关于点A对称.
故y3＋y2＝2yl
, x3＋x2＝2x｜
则所求代数式的值为（x｜＋’｜）＋（鞭…）十（蕊』十y』）二3陋｜＋』｜）＝3×（｜十÷）≡7.
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］33％
B
［解析］本题主要考查对数与对数函数和导数在研究函数中的应用°
lny＋y＝皿＋l
’
设／（X）＝xlnx’
g（y）＝
y
y
则′′（x）-｜刊m,当x巨｜:. ｜｜时,f′（x）≥0’
所以／（…｜nx在｜:. ｜｜上单调递增
所以栖匡｜÷. ］｜时』′（x）匡｜（:）′（l）｜-｜—÷’0｜』
则疟｜:. 1｜时』…刊十α）巨｜｜十α—1…｜』
e
勺
△
un》
｜;1ny｀令g′（y）＝0｀得γ≡e.
g′（y）＝—-—＝
y2
y2
故g（y）在（0,e］上单调递增,在（e,＋m）上单调递减,
有g（y）max＝g（e）＝1＋l＞0,
e
由于y＞l时’ l∏y＞O,则y＞l时’
g（）′）＞l恒成立°
1
取yl巴（1,e）,设g（）′l ）＝m’则l＜m＜1＋—’
e
取y2e（l,y1）’则g（y2）e（l,加）
’
取γ』＝e』则g（y3）＝］＋÷＞狮,
对于任意y｜巨（l.e）,总可以取到正整数″」,使得÷了＜l’
yl
取跑＝Ⅱ↑! ,则g（γ缴）＝嘿上＝ˉ!l～些＜坠
yl
y↑｜ˉ｜
y｜
y｛
则在（y3’）′4）之间存在y5’使得g（y5）＝加＝g（）′l ）,
H324
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C日∧P「［R］6
导数及其应用
lnv＋v
故y＞1时,不存在唯一的y巴（0,＋m）,使得xlnx＋1＋α＝
为了使得总存在唯＿的ye（0,＋m）,
lny＋y成立,
使得xlnx＋1＋α＝
y
则g（y）≤l。
当8（y）＝1时, lny＝0,
即y巨（0, l］’此时g（y）e（—m, 1］
’
故1＋α≤l即可’
即α≤0。
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例】34％
成立°
｀
3°∧
［解析］本题主要考查导数在研究函数中的应用°
因为／（x）＝（x-α）3-3x＋α’
所以／′（x）＝3（xˉα）2-3＝3［（x-α）2—l］
’
当／′（x）＝0时’ x＝α±l
,
当α-1＜x＜α＋l时,／′（x）＜0’
当x＜α＿l
, x＞α＋1时／′（x）＞0’
所以／（x）在（—m’α-l）上单调递增,在（α—1,α＋l）上单调递减’在（α＋1,＋印）
k单调递增°
由于α＞0,则α-l＞-l
,
所以／（x）在［—l,＋m）上先单调递增后再单调递减再单调递增°
／（—l）＝（—1-α）3＋3＋α＝-α3-3α2一2α＋2,
／（α-1）＝（-1）3-3（α-l）＋α＝α-3α＋3-1＝2—2α,
／（α＋l）＝l3—3（α＋1）＋α＝—2α-2’
因为／（x）＝（x-α）3-3x＋α（α＞0）在［＿l,b］上的值域为［-2-2α,0］,
所以／（-l）≥／（α＋1）°
@当／（-l）＝／（α＋1）时:
-α3-3α2＋4＝0,即（α—l）（α＋2）2＝0,
由于α＞0,解得α＝l°
此时／（α-1）＝／（0）＝—l＋l＝0’
／（x）＝x3-3x2’
令／（x）≡O’
解得x＝0或3°
故此情况下: 0≤b≤3°
@当／（—1）＞／（α＋l）时’
因为／（α＋l）＝—2α—2,
所以b≥α＋l＞l’
且—α3—3α2＿2α＋2＞-2α-2’
即（α—l）（α2＋4α＋4）＜0’
解得α-l＜0,
即α＜l°
此时／（α＿1）＝2＿2α＞0’
325鳞
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…
学
数
高
／
考
而α—1e［-1,b］,
若／（α＿l）＞0,
则与／（x）在［＿1,b］上的值域为［-2-2α’0］相矛盾°
故此情况不成立°
综上所述, α＝1, 0≤b≤3°
故本题正确答案为A°
［易错项】C
［易错项被选择比例］34％
C
［解析】本题主要考查函数综合和导数在研究函数中的应用°
函数／（x）可以看作动点p（x,lnx2）与点Q（α’2α）的距离的平方,点P在曲线y≡
直线γ＝2x上’问题转化为求不相交的直线与曲线间距离的最小值°
当曲线上M点的切线与另—条直线平行时’该点到直线的距离即为所求的最小值°
对’＝2mx求导可得y′二:』令γ′＝2』
解得x＝1’此时y＝2ln1＝0’所以M（l,0）
,
2
2佰
所以点M（l’0）到直线y＝2x距离为α＝√22＋（ˉ1）2＝
5
’
聊曲线与直线｜网最小距离为手』故′｜狐』…≡创:＿÷,
由于存在XO使得／（XO）≤b’则／（X）min≤b,
即b≥÷.
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］36％
点P在曲线y≡
4
点Q在
2lnx上
5。∧
［解析］本题主要考查导数在研究函数中的应用和不等关系与不等式°
因为／（x）＝（x-／）3＋（x一e′）3＿3αx在R上是增函数,
所以／′（x）＝3（x—r）2＋3（x-e『）2-3α≥0在x巴R上恒成立’
所以不等式α≤（x-r）2＋（x-er）2在X巨R上恒成立,
等价于α≤［（x-『）2＋（x-e‘）2］mjn.
令g（x）≡（蜒—蔽）2＋（…）恿-2（x—罕）2＋（′—子）2 ,
由二次圈数的性质可知当x-罕时g（x）最小’最小值为（′—f‘）2
所以α≤（旷ˉ卡′）2.
←
又因为对任意的『巨R’函数／（x）都是R上的增函数’
所以不等式α≤（罕）2对任意r巨R恒成立’
等价于α≤［（宁）2］min.
■326
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C日∧P『［R］6
导数及其应用
令h（『）＝（『-e′）2
2
’则h′（r）＝（r-e′）（1-e!）,
当r＜0时’
h′（『）＜0,当『＞0时’
h′（『）＞0°
所以h（『）在（—印,O）上单调递减,在（（）,＋m）上单调递增’
则〃（′）m＂!二〃（o）＝去』
所以α≤［（『ˉf』）2］mm＝2
l
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］38％
6. D
［解析］本题主要考查导数在研究函数中的应用°
儿（x）＝ex＋xeX≡（x＋1）ex
龙（x）＝ex＋（x＋1）ex＝（x＋2）ex
∧（x）＝（x＋〃—1）ex
而川（x）＝（x＋″）ex’ x＝-″时八（x）取最小值
力（-门）＝—eˉ＂,
所以曲线的最低点P″的坐标为（-′!,-eˉ″）,
△P″P″＋1P″＋2的面积S″＝（eˉ″＋eˉ（″＋2））×2—［（e＿″＋eˉ（″＋l））×1
（eˉ（″＋l）＋eˉ（″＋2））×1
2
2
＋
2
亏—eˉ｜″｜）＋eˉ（÷”
e-″
＝
≡去e—鹏（｜—2eˉ｜＋e—凰）
≡去eˉ鹏（!—e—｜）魁』
因为eˉ″递减,故S″递减°
显然数列｛S″｝是递减数列°
故本题正确答案为D°
［易错项】C
［易错项被选择比例］37％
］
7° D
【解析］本题主要考查函数的概念与性质和导数在研究函数中的作用°
l
由题知’／′（x）＝exˉ］＋x2—x—-（x＞0）
’
x
1
令g（x）＝／′（x）＝exˉ1＋x2＿x--（x＞0）
’
x
则:′（x）-e露—｜十2殿十÷ˉ］｜x＞0）,
当0…1时′÷—1＞0且e慰—｜＋2扼＞0』
有g′（x）＞0,
327瓣
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蕊
学
数
高
考
当x＝l
’
g′（l）＝3＞0’
当虹＞］时』2xˉ］＞0且e变｜＋÷＞0,所以凰倾）＞0』
故g（x）在（0,＋o。）上单调递增,即／′（x）在（0,＋四）上单调递增
又因为／′（l）＝0,
当xe（（）, l）时’／′（x）＜0;当xe（l,＋四）时’／′（x）＞0°
所以／（x）在（0, l）上单调递减’在（l’＋四）上单调递增,
所以′（x）征x＝l处取最小值为:—α』
侧‖f（x）的值域为｜:＿…）』
因为／（燕）的定义域为（0.…）,所以:＿α＞0』“＜丙.
5
因为′（x）与′旷（x））值域相同』则:—α≤｜』即‘′≥—石.
l
综上』α匡｜—:.:）
故本题正确答案为D°
［易错项】B
［易错项被选择比例］29％
8.
B
［解析］本题主要考查导数在研究函数中的应用°
对／（x）求导’则／′（X）＝2e2x—（α—l）
’
由题知’函数／（X）在（0’ l）上递减,
即／′（x）＝2e2x—（α—l）≤0在（0, 1）上恒成立,
即α≥2e2x＋l在（0’l）上恒成立’
设g（x）＝2e2x＋l,根据指数函数的图象可知,
所以α≥g（1）＝2e2＋l°
故本题正确答案为B°
［易错项】A
［易错项被选择比例］20％
g（x）在（（）, l）上单调递增
9.∧
［解析］本题主要考查导数在研究函数中的应用°
O当x＝o时’不等式左右两边都为零’即0≥o恒成立
所以α巳R°
圆当x＞0时.焉≥α｜n（x刊）在（0’＋。°止恒成立.
Xex
等价于α≤（x＋l）ln（x＋l）在（O’＋。。）上恒成立°
xex
设／（x）＝（x＋l）ln（X＋l）（x＞0）’
er（l＋x）2ln（x＋l）—xex［l＋ln（X＋l）］
则／′（x）＝
（x＋l）2ln2（x＋l）
设g（x）＝（l＋x）2ln（X＋l）-x［l＋ln（l＋X）］
’
｜
｜328
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C‖∧P「〔尺］6
导数及具应用
则尉｛刻-（酞刊）｜n陋刊）十击＞0恒成立』
所以g（x）在（0,＋m）上单调递增’
则有8（x）＞g（0）＝0°
exg（x）
所以／′（x）＝
＞0’
（X＋l）2ln2（x＋l）
所以／（x）在（0,＋四）上单调递增,即／（x）＞／（0）°
又因为x＝0时,
ln（x＋l）＝0, xex＝0’即分子分母都为0
所以当x→0时’
xex
（x＋1）ex
二二
所以／（x）＞l’则α≤l。
所以综上所述’ α≤l
故本题正确答案为A°
［易错项］C
【易错项被选择比例］34％
∧
［解析］
［解析］
l（）
本题主要考查导数在研究函数中的应用°
因为／（x）＝x2＿6x＋2ex（XeR）’
所以／′（x）＝2x-6＋2ex°
因为y＝2x和y＝2e拓在R上均为增函数’
所以／′（x）≡2x-6＋2ex在R上为增函数°
因为／′（0）＝-4＜0,／′（l）＝2e—4＞0,
所以／（x）＝x2-6x＋2ex的极小值点在区间（0, l）上°
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例】23％
∧
［解析］本题主要考查导数在研究函数中的应用°
已知函数／（x）＝（x2-3）ex,对其求导得／′（x）＝（x2＋2x—3）ex＝（x＋3）（x—l）ex。
令／′（x）＝O’求得x＝-3或x＝1°
当x＜—3时,／′（x）＞0,即函数／（x）在（—的’—3）上单调递增’且／（x）＞0恒成立°
当-3＜x＜l时’／′（x）＜0,函数／（x）在（一3, l）上单调递减°
当x＞l时’／′（x）＞0’函数／（x）在（］,＋的）上单调递增°
故／（x）极大值＝／（—3）＝6eˉ3’／（X）极小值＝／（l）＝-2e°
又因为在（1,＋函）上,存在x使得／（x）＞6eˉ3°
所以当直线y＝m与y＝／（X）有三个交点时’m巳（0,6eˉ3）。
由题意知’G（蜒）-尸（x）—叭躯）十鉴有6个不等的实数棍
设′-′（x）』则关于′的方程′2＿α′＋罢-0有两个不等的实数根‘｜
』′2』且′｜
』′望匡｜0.6e—』）’
ll
.
蕊
◎
≥
勺
～
〕
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…
学
数
高
考
即α＝r＋工在（0,6e—3）内有2个不等的实数根『l ,
t2。
e6／
山于』幸罢≥2仔～:当′÷时等…
鄂′二6e—』时′ “≡等e—」.
故“的取值范圈为（÷,姜）.
故本题正确答案为A°
［易错项】B
【易错项被选择比例］33％
l2.
B
［解析］本题主要考查函数与方程和导数在研究函数中的应用°
铡由′顺）≡竿得′′（x）＝l亏坚x（x＞0）’
」÷鉴nx＝0’解得x＝c.
令／′（x）＝
当x巴（0,e）时’／′（x）＞0,／（x）单调递增;
当x巳（e’＋印）时’／′（x）＜0’／（x）单调递减°
所以／（x）在x＝e时取得极大值／（e）＝1’故@正确°
e
@当xe（0’e）时’／（x）单调递增,且／（l）＝0,
所以在区间（0,e）上存在＿个零点x＝l
;
当x巴（e,＋m）时’因为x＞0’
lnx＞O’所以／（x）＞0’
所以在区间（e,＋印）上不存在零点°
综上’／（X）仅有＿个零点’故@错误。
o当xe（e’＋四）时’／（x）单调递减,所以／（3）＞／（〃）·／（2）ˉ
／（2）-
◎
”
—
擂
∏
］
］
—
″
~~
…
—
乃
~
皿
—
∑
／（刀）＝
因为冗2＞2厕’所以／（2）-／（冗）＜0,
即／（2）＜／（刀）’故O正确°
@／（x）＜∧ˉ1在（0,＋。。）上恒成立’即l巫＋1＜k在（O,＋。。）上恒成立’
x
x
x
令g（x）＝l巫＋1＝lnx＋l ’则g′（x）＝ˉ—
lnx
x
x
x
x2
’
令g′（x）＝0’ X＝l’所以当O＜x＜1时’
g′（x）＞O, g（x）单调递增,
当x≥1时’
g′（x）＜O’
g（x）单调递减’
所以g（X）max＝g（1）＝l ,则此＞1 ,故@正确°
综上,正确的有@o@,共3个°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］33％
l3.
B
【解析】本题主要考查充分条件与必要条件和导数在研究函数中的应用°
§330
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C∩∧P「［尺］6
导数及其应用
设g（x）＝x—ln位—l）』g′（x）＝l—古＝旨（x＞l）』
令g′（x）＞（）得x＞2’
令g′（x）＜0得l＜x＜2,
因此g（x）min＝g（2）＝2’
则α＞2°
故“α＞l”是“司x巨（l,＋四）
’ X—ln（X-l）＜α”的必要不充分条件°
故本题正确答案为B°
［易错项］A
［易错项被选择比例】32％
l4∧
［解析］本题主要考查导数在研究函数中的应用°
设F（x）＝止』王上
COSx
所以F′（x）＝／′（x）cosx＋／（x）sjnx＜O°
COS2x
因为／′（x）cosx十／（x）smx＜0』x巨［0’:）
’
＝
所以F（x）在（0,苦）上单调递减』
所以F（ln2）＜F（0）＝0°
因为0＜÷＜÷＜÷’
／（÷）
／（f）
／（备）
所以0＞＿＞
＞—
冗
〃
冗
COS百
cOS可
COS了
所以0＞岩′（:｜＞何｜苛｜＞驴（÷‖
因为／（:）＜0,
则／（÷）＞何（÷）＞″（÷）,
所以／（÷）＞何（÷）, √可（音）＞何（奇）.
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］30％
l5.
〔
［解析］本题主要考查对数与对数函数、
应用°
lnx
设／（x）＝ˉ万, x＞0’
l
lnx
2—lnx
＝＝
指数与指数函数、命题及其关系以及导数在研究函数中的
33l珊
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…
学
数
高
考
由于x＞0,则雁＞O’令／′（x）＝0,解得x＝e2°
当0＜x＜e2时’／′（x）＞0;
当x＞e2时,／′（x）＜0°
故／（x）在（0,e2）上单调递增,在（e2,＋。。）上单调递减°
~厅
@ln3＜γ3ln2
可将不…作÷芳＜平』＂′（3｝＜半.
鹏
—
亿
~~
…
—
∑
而
＝.／（4）
由于／（x）在（0,e2）上单调递增’ 3＜4＜e2,
故／（3）＜／（4）
’
即ln3＜佰ln2成立。故@是真命题.
翻｜＂庐仁
不等式可转化为等＜亢-鉴』
即／（刀）＜／（e）°
由于／（x）在（0’e2）上单调递增, e＜刀＜e2,
则／（e）＜／（〃）
’
故／（冗）＜／（e）不成立’则@是假命题°
O2√15＜15
不等式两边同时取对数得√I百ln2＜lnl5’
变雁为竿≤些, 』‖;惜＜器Ⅱ得′川6｜＜f｜］5‰
γ15
而／（x）在（e2,＋m）上单调递减’且l6＞15＞e2,
故／（l6）＜／（l5）,则o是真命题°
~厅
@3eln2＜4√2
不等式两边圃时除以2侗筐得器≤:′
隐‖;芳＜语』″｛:｜＜Ⅱ｜.』‖
由于／（x）在（e2,＋m）上单调递减,且8＞2.82＝784＞e2,
故／（e2）＞／（8）’则@是真命题。
综上所述,命题oo@是真命题’即真命题的个数为3°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】48％
l6。∧
〔解析］本题主要考查导数在研究函数中的应用°
设函数／（x）＝券恿＋（lˉα）蕊—…—2颧＋;α2,
｝332
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C∩∧P「［尺｜6
导数及其应用
α
x2＋（1—α）x＿α
（x—α）（x＋1）
／′（x）＝X＋l—α＿-＝
＝
x
X
x
／′（x）＝（〕时, x≡—l或x＝α’
若“-0’／（x）＝l蜒2…0在（0.…）上恒成立｛
若α＜0’／（x）在（0,＋由）上单调递增’
当X趋近于0时’／（x）趋近于负无穷不成立’故α＜0时不成立;
若α＞0’／（x）在（0,α）单调递减,在（α,＋m）上单调递增,
当x＝α时／（x）取最小值
／（翻）＝去鲤2＋（l—α）α＿…—2α昌α2二“2ˉ…＿α二α（α—ln倒—l）
』
要使不等式成立则只需α-lnα-1＞0即可,
设h（α）＝α—lnα-1
l
力′（α）＝l-—
α
h（α）在α＝］取最小值’即／!（α）≥h（l）＝0’
故α≠l时,
h（α）＞0恒成立°
综上所述’
α≥0且α≠l°
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］37％
l7.∧
［解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用和函数的概念与性质°
对于函数／（x）’定义域为［1,2］
’
在定义域内’其导函数为／′（x）＝厂—-＝≡（x巨（l’2））。
2γx—l叫-2x
当／（鞭）＝0时’得鞭二÷｀
当1≤x＜÷时,′′（x）＞0』广（x）单调递增』
当斗＜儿＜2时,′′（箍）≤0,′（x）单调递减
故／（÷）＝佰为函数′（x）的最大值即M-佰.
／（l）＝但＞／（2）＝1,
所以最小值加≡l’
所以业＝佰°
′″
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］45％
333瓣
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…
学
数
高
考
■晒生活中的优化问题
lC
［解析］本题主要考查导数的应用°
连接各点与点O（图略）,可知连线斜率即为平均产量,
由图可知,前9年平均产量最高°
故本题正确答案为C°
易错项分析:不了解此题究竟考查导数哪部分知识,此题主要考查导数的几何意义及导数的概念,曲
线越陡说明点的切线斜率越大,导数也越大,函数值的增加量越大’反之亦然。题图中从″＝9以后
曲线就变的平缓了答案可想而知°
［易错项］B
［易错项被选择比例】36％
2∧
［解析］本题主要考查优选法中的分数法°
可得:F4＝5’F5＝8》F6＝l3,F7＝2l’因为可能的试点数为20’所以第＿,二分点处分别为
l3
8
2l
’
2l
°
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］26％
3°
B
［解析］本题主要考查函数模型及其应用’导数在研究函数中的应用以及生活中的优化问题°
依题意知,当上下楼不满意度和环境不满意度的和最小时,教室的楼层最适宜’
设／（x）＝x＋§（x＞0）’
x
则／′（x）＝lˉ且
x2
9
当0＜x≤2但时’／′（x）≤0,
当x≥2但时’／′（x）≥0’
所以／（x）在x＝2但处取最小值
因为门eN＊,
所以当″＝3时’／（〃）＝＂＋§取最小值。
刃
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］25％
■「霓万而］定积分与微积分基本定理
l.
B
［解析］本题主要考查定积分与微积分的基本定理°
由函数图象可知’函数y＝／（x）为偶函数’
故被积函数x／（X）为奇函数’
〗
｝334
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C∩∧P『［尺｜6
导数及其应用
又积分区间关于y轴对称,故积分值为0°
故本题正确答案为B°
［易错项】A
［易错项被选择比例］2l％
2.∧
【解析】本题主要考查三角函数及定积分与微积分基本定理°
对于函数′懒）≡2sm2x』周期T＝等二露’因为直线γ＝1与函数′（x）＝2sm2x的图象相交于点
尸（狐｜.＂｜）’°（趣,’凰）′且｜x!—趣｜＝等′所以点P（x｜,γ｜）』Q（x2.’2）在函数j（x）≡2sin2x的相邻
两个周期内°
令2sm2x＝｜』满足上述条件的—组解为x｜-∏’ 蜒2-答.故线段PQ与函数／（x）的图象
5JT
所圈咸的圈形面积s≡／慈｜｜ˉ…）…辩…｜誊≡窖…息了ˉ页—幢°爵了≡
13〃
13〃
5汀
5冗
芋粤ˉ（—粤）-等十佰.
故本题正确答案为A°
［易错项】C
【易错项被选择比例】32％
3.D
［解析】本题主要考查定积分与微积分基本定理°
令x2＝片』得x＝l』所以所求图形面积为腿—x2）dx十A（蜒斟—出）dx-（ix—÷x剿）甫＋（苛x」—
2
苛鹅）｜』＝i.
故本题正确答案为D°
［易错项】B
【易错项被选择比例］2l％
4D
［解析］本题主要考查几何概型和定积分与微积分基本定理°
如图所示,在区间［0,冗］上随机地取两个数构成的区域的面积为冗2’
事件“y≤s｜nx′,发生的区域的面积为历smmx＝ˉc°sx｜;＝2,
所以所求概率为旦
jr2□
羔↑＿ˉ＿＿｜
′侧N
O
∏
.x
335N
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燕
学
数
高
考
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例】23％
5.
B
［解析］本题主要考查函数综合、充分条件与必要条件以及定积分与微积分基本定理°
对于“b≤代1dx”’由微积分基本定理知’
—X
e
′1dx＝lnx｜i＝2’所以b≤2;
—x
e
e
』抒瞬缴Ⅱ｜蜒仁｜毗星‖尾盗阀上的嗡…
所以3o＋b≤｜0｜＋2’所以b≤l.
蹄以.咖≤h÷鲤.屋.酗′｜剩—｜贮剿…上胸龋….…;充分晕＂、
e
故本题正确答案为B°
［易错项］A
［易错项被选择比例］27％
6. O
［解析】本题主要考查定积分与微积分基本定理°
根据题意作出所围成的图形’如图所示,
γ0
γ＝x
3
6
X
图中从左至右三个交点分别为（;,3）』
（］. ｜）』（3,3）』
所以题中所求面积为s＝／1（3—1）山＋／;（3—x）dx-口x—｜m）｜｜＋（3x—÷蜒2）｜｝＝4—｜n3.
3
x
3
故本题正确答案为D°
［易错项】C
［易错项被选择比例］2l％
〔〔〔∩∧P丁倡R｜7〕推理与证明
〔‖∧p丁［R｜
■336
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C‖∧P「［尺］7
推理与证明
■「勇而韦］台情推理与演绎推理
B
［解析］本题主要考查合情推理与演绎逻辑°
由题可知甲盒中红球的个数等于乙盒中球的个数,
由题可知甲盒中红球的个数等于乙盒中球的个数,
l
黑球的个数等于丙盒中球的个数,
不妨设甲盒中红球有砸个’黑球有几个,则所有的球共有2（″!＋〃）个’红球、黑球各有（m＋门）个’
所以乙、丙两盒中共有红球门个,黑球们个,
设乙盒中红球有砸l个’则黑球有（m-加｜）个’丙盒中红球有（门＿′″l ）个,黑球有川—（〃-砸l ）＝″!l
个’
即乙盒中红球与丙盒中黑球—样多, B项正确,A’ C’D三项中均不能确定°
故本题正确答案为B°
易错项分析:不能在叙述复杂的题目中,找出各对象之间的逻辑联系’建立数学等量关系°本题可以
发现甲盒的红球个数和乙盒球的个数相等,甲盒黑球个数与丙盒球的个数相等’再列出＿次万程得出
乙盒、丙盒中球的关系°
［易错项】C
［易错项被选择比例］3l％
〔
［解析］本题主要考查合情推理与演绎推理°
勺
▲
｜
″
‖
〕
］
〕
∑
〕
斗
’
’
’
凸
‖
』
〕
日
了
’
］
的分裂数为2个奇数』
的分裂数为3个奇数,
〕
日
了
°
］
］
］
］
的分裂数为4个奇数,
依此规律,则从23到m3的分裂数中’从3开始的连续奇数共有:
2＋3＋4＋…＋咖＝1｜咖十2）（砸—l）个.
根据奇数的性质’
2〃＋l＝20l7’
″＝l0O8’
则20l7是从3开始的1008个奇数’
因为′′o是第—个使得（′?o＋2）（′＂-l）≥1O08的正整数’
2
当加＝44时,
（m＋2）（加—l）＝989’
2
当m＝45时,
（加＋2）（加—l）＝l034＞l008’
2
所以m＝45。
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例］3］％
337蹿
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…
学
数
高
考
3.∧
［解析】本题主要考查合情推理与演绎推理°
假设是甲偷了珠宝,则甲“我没有偷”为假’丁“我没有偷”为真,丙“丁是小偷”为假,乙“丙是
小偷”为假,
符合题目条件“四人中只有＿人说真话’只有＿人偷了珠宝,’ ,故假设正确°
故本题正确答案为A°
【易错项］D
［易错项被选择比例】14％
■｜腮直接证明与间接证明
l.∧
［解析］本题主要考查反证法°
“万程x3＋αx＋b＝0至少有＿个实根”的否定为“方程x3＋αx＋b＝0没有实根”°
故本题正确答案为A。
易错项分析:本题对量词的否定容易出错,有些量词我们在否定时要格外小心,例如:
‘都”的否定
是“不都”’ “全”的否定是“不全”, “至少有—个”的否定是“—个都没有, , “至多有—个”的否定
是“至少有两个”’
“且”的否定是“或”等等°
［易错项］B
［易错项被选择比例】ll％
回｜砸数学归纳法
l.
B
［解析】本题主要考查数学归纳法。
如下图,
1
2
3
4
5
6
3
5
7
9
ll
8
l2
16
2（）
20
28
36
48
64
ll2
当第＿行有3个数时’最后＿行仅＿个数,为8＝23ˉ2×（3＋l）;
当第＿行有4个数时,最后一行仅—个数’为20＝24ˉ2×（4＋l）;
当第—行有5个数时,最后＿行仅＿个数,为48＝25ˉ2×（5＋l）;
当第一行有6个数时’最后一行仅＿个数’为ll2＝26ˉ2×（6＋1）
’
归纳推理,得:
当第＿行有2016个数时’最后-行仅—个数’为22ol6ˉ2×（2016＋l）°
故本题正确答案为B°
易错项分析:不能找出每个数的规律’从而写出它的通项°数学归纳法分为不完全归纳法和完全归纳
法,此题为不完全归纳法,完全归纳法必须分两步给出严格的证明才能确保我们的猜测没有出错°
［易错项】C
［易错项被选择比例］3l％
月
］
〕
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C‖∧P「［尺｜8
-数系的扩充与复数的弓｜入
［［〔C‖AP丁［R｜8〕数系的扩充与复数的弓｜入
〔∩∧p丁［R｜
■｜…｜复数的概怠与几何意义
1. C
【解析】本题主要考查复数的概念与几何意义°
Z＝—3＋2j’
万＝—3—2i’
它在复平面上对应的点的坐标是（—3,-2）
’
所以该点位于第三象限.
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】29％
2.∧
［解析］本题主要考查复数的概念与几何意义°
设Z＝α＋bj’则百＝α＿bj’
所以2Z＋豆＝2（α＋bi）＋α—bi＝3α＋bi’
又2Z＋百＝3＿2j’
所以｜:国!解得｜;二12
所以Z＝α＋bj＝1-2i°
故本题正确答案为A°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l4％
B
［解析］
［解析〕
3
本题主要考查命题及其关系和复数的概念与几何意义°
对于命题pl ,不妨设Z＝α＋bi （α’ b不同时为0）’
〔…｀耘紫』若÷匡艘』则b-0且α≠0,
则1＝—二＝
从∏Z＝αeR,所以命题p］为真命题°
对于命题p2’不妨设Z＝α＋bi’
则Z2＝（α＋bj）2＝α2-b2＋2αbi,若Z2巴R,则α＝O或b＝0,
当α＝0而b≠0时, Z＝bi巴R,所以命题p2为假命题°
对于命题p3’不妨设Zl＝αl＋bli’ Z2＝α2＋b2j’
则Z1Z2＝（αl＋bli）（α2＋b2i）＝αlα2＿blb2＋（α2b1＋αlb2）l ,
若ZlZ2eR,则α2bl＋αlb2＝0,
满足该等式的不＿定有αl＝α2且bl≡—b2,
所以Zl＝三2不＿定成立’故命题p3为假命题°
对于命题p4’不妨设Z＝α＋bi,则豆＝α—bi,若ZeR’
339｜
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尊枷
则b＝0,从而豆巨R’故命题p4为真命题。
故本题正确答案为B°
［易错项］A
［易错项被选择比例］l3％
4∧
［解析］本题主要考查复数的概念与几何意义°
因为复数z对应的点是Z（l,—2）,
由复数的几何意义可知, z＝l—2i,
因此云＝l＋2i°
故本题正确答案为A°
【易错项］B
［易错项被选择比例】ll％
D
［解析］本题主要考查复数的概念与几何意义°
芒｝阀｜｛二‖早二2—‖』
＝＝
＝
因为…｜与楞旦为共扼复数.
所以x＝2’ y＝l
’
故x＋y＝2＋l＝3°
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l8％
5
6.∧
［解析〕本题主要考查复数的概念与几何意义°
囚为;-｛糕,所以←（糊i（ll二‖）- （…）（1—｜）
2
所以三＝7＋i,对应的点位于第-象限°
故本题正确答案为A°
［易错项】D
［易错项被选择比例】33％
＝7—i
,
7.
〔
［解析】本题主要考查复数的概念与几何意义。
由题意可设Z≡x＋y1
（x,y巴R）
’
所以｜Z—i｜＝｜X＋yi-j｜＝｜x＋（y-l）j｜＝l ,
所以√x2＋（yˉl）2＝l ,
所以X2＋（y-l）2＝l.
故本题正确答案为C。
［易错项］B
［易错项被选择比例］l7％
■340
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C∩∧P『［R］8
-数系的扩充与复数的弓｜入
固「霓而苇］复数的四则运算
LD
［解析］本题主要考查复数的四则运算°
将x＝lˉ恒j代人方程,可得（l—√2i）2＋b（l—√2i）＋c＝0’
整理得（1ˉ2＋b＋c）ˉ但i（2＋b）＝0,
酗＾.…敝可懦｜｛土试‘≡0
解橇｜!二2
故本题正确答案为D°
【易错项】C
［易错项被选择比例］2l％
C
［解析】本题主要考查复数的四则运算°
根据题意得: z2＝ˉ2,所以z＝±但j’即z3＝±2但i。
故本题正确答案为C°
［易错项］D
［易错项被选择比例］29％
2
B
［解析】
［解析】
3
本题主要考查复数的概念与几何意义和复数的四则运算°
由复数Z满足（l-i）Z＝＿3＋i’
腮冕-吾（阀｝Wi｝）-ˉ2ˉ!』
＝
所以豆＝一2＋i,
所以乏在复平面内对应的点为（＿2, l）,为第二象限内的点°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例】29％
4C
［解析］本题主要考查复数的概念与几何意义及复数的四则运算°
｜lˉj｜
但但厄
＝二
＝＝
所以复数舅的翻堤＿辛.
故本题正确答案为C。
［易错项】A
［易错项被选择比例］24％
5. D
［解析】本题主要考查复数的四则运算°
34l
｜
＝
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燕
学
数
高
考
依题可知,复数z＝α＋j ’模长为√万亩ˉ干ˉI＝2,并由α
故z＝ˉ佰＋j’ 亏＝ˉ佰ˉi’
故l旦5i＝l＋√5i
＝
（l＋归i）（√可ˉi）＝
√了＋i
Z
—√3-i
4
2
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］l6％
并由α＜0可解得α＝—佰,
6C
［解析］本题主要考查复数的四则运算°
由题意可得｜十酗÷粤! 』
＾项—″-』＿f!,故A项错误.
β项。』1-（—÷粤i）～＋粤i’故B项错误.
一尹亨!.故C项正确.
C项, ˉˉL＝ˉ
l
O」
1
归.
-页＋丁1
Ⅲ项决ˉ
11厅—骋!,故D项镭误.
—刁-ˉ丁1
故本题正确答案为C°
［易错项］B
【易错项被选择比例］l6％
〔
［解析］本题主要考查共扼复数的概念及复数的四则运算°
2-i
2i-j2
7
~′
＝≡
＝-2j—1° Z的共扼复数应与Z实部相等
i2
故Z的共扼复数为-l＋2j°
故本题正确答案为C°
［易错项】B
［易错项被选择比例］l3％
虚部互为相反数,
8.
B
［解析］本题主要考查复数的几何意义和复数的四则运算.
｜lˉj｜＋2i
√］2＋（—l）2＋2i
（√页＋2i）（l＋j）
但ˉ2
Z＝
＝
＝
l-i
l—i
＝
（］—i）（l＋i）
2
＋
部为正,故Z在复平面内对应的点在第二象限内°
故本题正确答案为B°
［易错项］A
［易错项被选择比例】22％
（但＋2）j
由于Z的实部为负’虚
2
｛342
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C‖∧P「匠R｜9
计数原理
9. D
［解析］本题主要考查复数的四则运算和复数的几何意义°
由于Zl
, Z2在复平面内对应的点关于y轴对称》
所以Z2＝-2—j’
2一i
2-i
（2—i）（3＋i）
＝
＝
限内°
故本题正确答案为D°
［易错项］A
［易错项被选择比例］23％
泊
—
川
其在复平面内对应的点在第四象
~~
l（｝.O
［解析］本背
2j
歹＝≡—
＝
［解析］本题主要考查复数的四则运算°
21
2i（｜—j）
2i—2i2半＝l＋i.
＝
＝
＝＝
故本题正确答案为D°
［易错项】B
［易错项被选择比例］9％
〔〔〔＂AP丁［R｛9）计数原理
∩∧p丁［∩｜9
■「勇了雨］两个基本原理
l. D
［解析］本题主要考查两个基本计数原理°
A项’＿支队伍得18分说明这支队伍战胜了其他9支队伍,因为是单循环比赛’所以不可能同时存
在两支队伍同时战胜其他9支队伍》故A项错误;
B项,每场比赛无论是＿赢一输还是打成平局,两队得分总和均为2,整个比赛共有45场’所以最
后各支队伍得分总和为90分,故B项错误;
C项,每＿场比赛都平局,则每支队伍得分皆为9分,故C项错误;
D项,每一场比赛双方得分总和为2分,所以所有比赛10支队伍得分总利必为偶数°假设得偶数分
的队伍有奇数个,那么剩下奇数支队伍得分为奇数分’这样l0支队伍得分总和为奇数’与“lO支队
伍得分总和必为偶数”矛盾,所以得偶数分的队伍必有偶数个,故D项正确;
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］34％
2.
〔
［解析］本题主要考查计数原理°
由题意可知’数列中＿共有4个0和4个l,因为对任意此≤2m, αl,α2,…,αk中0的个数不少于
1的个数’所以采用枚举法°
o数列前三项分别为0, O, 0, （D数列前三项分别为0’ O, 1’o数列前三项分别为（）’
l ,
0°
343
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…
学
数
高
考
对于@,满足题意的数列有｛0’
O’
0’
O’
l
’
l ,
l,
l
｝;
｛0’
0’
0’
1
’
0’
1,
1
’
l
｝;
｛0’ O,
0’
l
’
l,
0’
1
,
l
｝;
｛O’
0’
0’
l’
l
,
1
’
O,
l ｝’共4个。
对于@,满足题意的数列有｛0, 0,
I
’ 0, 0,
1
’
1
’
l
｝;
｛（）’
0’
l’
0’
l , 0,
l
,
l ｝;
｛0’
0’
l
’
0’
1
,
l
’
0’
l
｝;
｛0,
0,
l,
l
,
0’
0’
l’
1
｝;
｛0,
0’
l
’
1,
O,
1’
O’
1 ｝’共5个。
对于o’o和@的情况是一样的’只是前三项的顺序不＿样’所以＿共也是5个°
综合O@O,则满足题意的数列共有4＋5＋5＝l4个°
故本题正确答案为C°
易错项分析:本题容易忽视采用分类讨论的方法对数列的前三项的各种情况进行讨论’分别列举,分
类时容易列举不全,有遗漏现象,只有各种情况都能想到,才能完整地得出各种情形’多练习这类题
目’防止出错°
［易错项］B
［易错项被选择比例］35％
3.
〔
［解析］本题主要考查古典概型°
9张卡片中共有5张奇数卡, 4张偶数卡,所以抽取两次共有9×8＝72种基本事件》其中满足卡片
上数字奇偶性不同共有4×5＋5×4＝40种基本事件,故抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率
它
日
～
∩
~~
们
—
沤
是
故本题正确答案为C°
〔易错项］A
［易错项被选择比例］l9％
＾
□
组
与
列
排
匪
■
l. C
［解析］本题主要考查排列与组合°
先挑选出四个人,
@选择甲’则乙丙均不选,从剩余四人中选三人,有C』种方案。
@不选甲,选乙’则丙也选择,从剩余四人中选二人,有Ci种方案·
o不选甲’也不选乙,则丙也不选’从剩余四人中选四人’有Cj种方案。
综上所述,选四人共有Cj＋C1＋Cj＝l1种方案。再分配至四个不同的城市’即对四人进行排序,
则共有ll×Aj＝264种方案°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］33％
2.∧
［解析］本题主要考查排列与组合°
根据题意’
由于节目甲必须排在前三位’分3种情况讨论:
（l）甲排在第＿位,节目丙、丁必须排在＿起,则剩下的五个位置中两两相邻的有4个,考虑两者的
）｜顶序’有2种情况’将剩下的3个节目全排列’安排在其他三个位置’共有A;＝6种安排方法’则
此时有4×2×6＝48种编排方法°
翻344
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C日∧P『［尺］9
计数原理
（2）甲排在第二位,节目丙、丁必须排在＿起,则剩下的五个位置中两两相邻的有3个,考虑两者的
）｜顶序’有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置’有A;＝6种安排方法’则此
时共有3×2×6＝36种编排方法°
（3）甲排在第三位,节目丙、丁必须排在＿起,则剩下的五个位置中两两相邻的有3个,考虑两者的
）｜顶序’有2种情况’将剩下的3个节目全排列’安排在其他三个位置有A;＝6种安排方法’则此时
共有3×2×6＝36种编排方法°
则符合题意要求的编排方法好共有36＋36＋48＝l20种°
故本题正确答案为A°
［易错项】B
［易错项被选择比例］25％
3. B
［解析］本题主要考查排列与组合°
因为甲大学和乙大学都要求有男生参加,所以可以分为两种情况:
o甲大学、乙大学都只有l名男生参加,那么三所大学的推荐情况为甲大学l男1女、乙大学l男
l女、丙大学l男,因为不同学生即使性别相同’推荐到不同大学也是不同的推荐方法,所以推荐方
法有q导CL3!2!-12种,其中C等C｜是将3个男牛分成-堆］!最将＿堆男生分给三所
大学’ 2!是将两个女生推荐给甲、乙大学°
@甲、乙大学其中有＿所大学有2名男生参加’另外＿所有l名男生参加,那么推荐方法有
C;.C｛.2!.2! ＝l2种’其中C;.C｛.2!是先将3个男生分成两堆’然后把两堆男生分配给甲、乙两
所大学,最后再乘以2!是将两个女生进行分配°
综上所述’分类讨论用加法,故总共有推荐方法有12＋12≡24种°
故本题正确答案为B°
［易错项］A
［易错项被选择比例】37％
4D
［解析】本题主要考查排列与组合°
利用插空法可以求出各种情况的种数°
情况O:红l个》蓝5个’可直接求出有c｛＝6种方法;
情况@:红2个》蓝4个’可求出有C:＝10种方法;
情况O:红3个,蓝3个’可求出有C］＝4种方法;
当红鱼超过3个时’则红鱼必然会相邻,不符合题意°
故总共有6＋10＋4＝20种方法°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］33％
5. D
［解析］本题主要考查排列与组合°
根据已知条件’A和B不在同＿班’则先从三个班选择两个班’并将A和B分配进去’总共C;×A冒＝6
种安排方法°
345撼
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…
学
数
高
考
假设C与A和B都不在同＿班,则D和E都可以在三个班中的任意＿个班,共有3×3＝9种安排
方法°
假设设C与A或B在同＿班’则D和E中至少有＿个与A和B都不在同一班,共有2×（C』×C』ˉl）
＝l0种安排方法°
故总共有6×（9＋l0）＝ll4种安排方法°
故本题正确答案为D°
【易错项］C
［易错项被选择比例】34％
6B
［解析］本题主要考查排列与组合°
考虑第五节课的两位教师中,有一名是甲、乙中的＿个,另＿名是丙、丁中的一个,
则第六节课可从除去前＿节课上课的丙（或丁）的三位老师中选择两位’此时有ClC』C;＝l2种
方案°
若第五节课的两位老师恰是甲和乙,则第六节课的两位老师可以从四位老师当中任意选择两位,此时
有C;Ci＝6种方案。
若第五节课的两位老师恰是丙和丁》则第六节课的两位老师只能从甲乙当中选’此时有C;C3＝l种
方案·
以上已包含所有方案,所以共有l2＋6＋l＝l9种方案°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］30％
7.
〔
［解析］本题主要考查排列与组合°
分类讨论: 甲选花卷,则有2人选同＿种主食’方法为CiC』＝l8’剩下2人选其余主食方法为
A;＝2,共有方法l8×2＝36种;
甲不选花卷,其余4人中1人选花卷,方法为4种’
甲选包子或面条’方法为2种,
其余3人’若有l人选甲选的主食’剩下2人选其余主食,方法为C』A;＝6;
若没有人选甲选的主食’万法为C』A;＝6,
共有方法4×2×（6＋6）＝96种;
故共有万法36＋96＝132种°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］37％
8. D
［解析］本题主要考查排列与组合°
O’
l
, 2,
3’
4’
5’
6’ 7从中取四位相加为l0的可能组合包括｛l’2,3’4｝’
｛0, l’2,7｝’
｛0, l,3,6｝’
｛0, 1,4,5｝,
｛0’2,3’5｝’
用｛l’2’3’4｝组成的无重复数字的“完美四位数”有A＄个;
因为（）不能放在千位上,
≡346
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C日∧P「［尺］9
计数原理
所以（0’ l,2,7｝’ ｛0, l,3’6｝
’ ｛0’ l’4’5｝
’ ｛0’2,3’5｝组成的无重复数字的“完美四位数”有4（A」ˉA;
）个;
因此用数字0,
l
’ 2,
3’
4’
5’ 6, 7组成的无重复数字的“完美四位数”共有Ai＋4（A』ˉA;）＝96
个,
其中由｛l,2’3’4｝,
｛0’ l’3’6｝’
｛（）’ l’4,5｝组成的“完美四位数”中小于20l7的分别各有A;＝6个』
由｛0, l’2’7｝组成的“完美四位数”中小于等于20l7的有A;＋l＝7个,
由｛（）’2,3,5｝组成的“完美四位数”中小于等于20l7的有0个,
因此大于2017的“完美四位数”共有96-3×6-7—0＝7l个°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］27％
9。D
［解忻］本题主要考查排列与组合°
由题意可知要分配先分堆: 4项工作分配给3名志愿者, ∏I以先把4项工作分为3组’有＿组刁
二〔作,另两组各有l项工作°
先分堆:从4项工作选出2项工作为—组,有Ci＝6种选法’此时剩下两项工作分别为一组。
组有Ci＝6种分法。
再分配:安排3名志愿者完成3组工作’每人只完成l组’则此时安排方法共有A;＝6种。
组有2项
即分
分步用乘法’故安排方式有Ci×A;＝6×3×2×l＝36种。
故本题正确答案为D°
［易错项】C
［易错项被选择比例］24％
l0. D
［解析］本题主要考查两个基本原理及排列与组合°
由题意’可以把五个参赛国分为三组,则分为两种情况:
@分为l、
l＼3’此时共有C:A;＝60种方法°
醚分为｜2旦,因为此时…分组所以有等＾;-90种方法
所以共有60＋90≡l5O种方法。
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］25％
ll
.
B
［解析］本题主要考查排列与组合°
与信息0ll0至多有两个对应位置上的数字相同的信息’
即从4个位置中选出2个位置、3个位置或4个位置,
将该位置上的数字替换,共有Ci＋C』＋C』-拐＋
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］27％
4×3×2 ＋1＝ll个°
3×2×l
347赣
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舅枷
l2·
B
【解析】本题主要考查排列与组合°
根据题意’因为A、B两件玩具不能分给同＿个人,
所以首先计算出所有的情况总数再减去A、B两件玩具分给同＿个人的情况数°
首先将4件玩具分为3组’其中1组有2件,剩余2组各1件’有Cj＝6种分组方法’
再将这3组对应3个小朋友’有A;＝6种方法’
因此所有情况总数共有6×6＝36种·
若A、B两件玩具分给同—个人’则剩余的2件玩具分给其他2人,
则有C』×A3＝6种情况’
所以不同的分法共有36-6＝30种°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］24％
l3° C
［解析］本题主要考查排列与组合°
若以集合A中元素作为x轴坐标’集合B中元素作为y轴坐标’集合C中元素作为z轴坐标,
则有l×2×3＝6种情形,对这6种情形再进行排列’
其中（5’1, l）的排列只有3种情形,其他5种有5A;＝30种情形’
所以确定的不同点的个数为30＋3＝33个°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］26％
14B
［解析］本题主要考查排列与组合°
由于每科一节课,每节至少一科,所以必有＿节课上两科’
又因为数学、理综不安排在同一节课’
因此共有C牙—l种组合’排列方式共有A;种』
所以最终安排方法共有（C1ˉl ）A;＝30种·
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例】27％
〔
~
［解析］本题主要考查排列与组合°
对导弹驱逐舰与护卫舰艇各选＿艘
对导弹驱逐舰与护卫舰艇各选＿艘
l5
进行捆绑共有C』.C』＝6种方式,在四周排列共有A』种可能,
故编队方式＿共有C』.C』.Ai＝l44种。
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］30％
Ⅷ348
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C日∧P『［R］9
计数原理
■「勇而节］二项式定理
1D
［解析］本题主要考查二项式定理°
（2x—l）5的第刃＋1项可表示为:刀＋l＝Cg（2x）′（—1）5ˉ′’
Oxo项由（2x—1）5的第一项和（x＋2）的2项乘所得,
即αo＝2Tl＝2×（-l）5＝—2°
@x2项由（2x一1）5的第三项和（x＋2）的2项乘以及（2x—l）5的第二项和（x＋2）的x项乘之和
所得,
即α2＝2T3＋T2＝2C;22（ˉ1）3＋Cl2l（ˉ1）4＝2× l0×4×（ˉ1）＋5×2×l＝ˉ80＋l0＝—7（）。
ox4项由（2x-1）5的第五项和（x＋2）的2项乘以及（2x＿l）5的第四项和（x＋2）的x项乘之和
所得’
即α4＝2吗＋n＝2C424（ˉl）l＋C:23（ˉl）2＝2×5×16×（ˉl）＋10×8×l＝ˉl60＋80＝ˉ80’
所以αo＋α2＋α4＝-2-70-80＝—152。
故本题正确答案为D°
［易错项］C
〔易错项被选择比例］24％
2.
〔
［解析］本题主要考查二项式定理°
在题干所给等式中,令x＋2＝l ,即x＝-l’得28＝αo＋αl＋α2＋
令x＋2＝—l ,即x＝—3,得0＝αo＿αl＋α2—…＋α12@’
令x＋2＝0,即x＝-2’得8l＝αoO°
由@去O得αo＋α2＋α铡＋…Ⅱ｜2＝l28@,
将o代人@,得α2＋α4＋α6＋…＋αl2＝128-8l＝47。
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］25％
＋αl2@’
3.∧
［解析】本题主要考查二项式定理及事件与概率°
＝项式的展开式为C借蜒｜‘—卿（÷）隐二C僧蜒·—弘2人』
无理项为第二项、第四项、第六项’可以用插空法’往四个有理数中间或两边插人三个无理数’则共
有A;种’
敬其概率为警ˉ滁:期捌-;.
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例］3l％
4.∧
［解析］本题主要考查二项式定理°
349‖｜
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趣
学
数
高
考
圃为卜＿罕）的橇开式巾…的二项式系…》
所以C帛＝″（″—l）（′!ˉ2）＝20,
3×2×l
解得〃＝6’
设常数项为第厂＋l项’
l2-3厂
故T′＿］＝C台x6—′《二』匝）′＝（ˉ√页）℃6x2
’
X
令｜2贡3萨＝0』
解得厂＝4,
所以常数项为Tb＝（ˉ但）4C:＝60。
故本题正确答案为A°
〔易错项］B
〔易错项被选择比例］23％
5. C
［解析］本题主要考查二项式定理°
原式＝x（2x-y）5＋y（2x＿y）5’要求展开式中x3y3的系数’
即求（2x-y）5中x2y3项的系数与（2X-y）5中X3y2项的系数之和°
根据二项式定理’二项式（2x—y）5的展开式各项可表示为Cg（2x）5ˉ′（—y）′,
算出C;（2x）2（ˉy）3＝ˉ40x2y3’C;（2x）3（—y）2＝80x3y2’
所以x3y3的系数为-40＋80＝4O°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］20％
6D
［解析］本题主要考查定积分与微积分基本定理及二项式定理°
闽为α≡芹＋山＝｜m｜;2≡｜＂e』—｜＂l＝2,
所以（x2ˉ旦）5＝（x2ˉ2）5的展开式的通项为:L＋l＝Cg.x2｜5
厂）.（—2）′＝Cg
x
x
x
令l0＿3厂＝l ,解得厂＝3’
所以（x2ˉg）5的展开式中x的系数为C:.（ˉ2）3＝ˉ80。
x
故本题正确答案为D°
［易错项］B
［易错项被选择比例］l5％
（—2）′. .xloˉ3厂
7。
B
［解析］本题主要考查二项式定理。
因为（x3＋x）3（—7＋当）＝［x（x2
＿｛＿l）］3（ˉ7＋上）＝（x2＋l）3（ˉ7x3＋x）’
x＝
x～
所以（Ⅱ』＋鞭）,（—7＋去）的展开式中—｀』的系数为C;—7C;＝4.
蕊350
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C什∧P「［R｜9
计数原理
故本题正确答案为B°
【易错项］A
［易错项被选择比例］l4％
8.∧
［解析】本题主要考查二项式定理°
将（xˉ1）lo按二项式定理展开得通项为乃＋l ＝C『0x｜oˉ′（ˉ」）′＝（—1）厂C『0xlo＿2′,令10ˉ2′＝4』
x
x
解出′＝3’所以x4的系数为ˉC;o＝ˉl20。
故本题正确答案为A°
［易错项］C
［易错项被选择比例】l2％
9°
B
［解析］本题主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件及二项式定理°
@项’若“p∧q”为假命题,则p, q至少有＿个为假命题即∏I’故@项错误;
◎项,在△ABC中’满足0＜A＜厕,O＜B＜〃』且0＜A＋B＜厕,若雕A＞苦＞B”时, ‘惭sjnA＜瓢nB』′
’
刀
万
丝
＜
∧
冗
‖
贝
sin（冗—A）＝smA＜smB’所以刀-A＜B’即A＋B＞冗,与0＜A＋B＜Jr矛盾,
所以“A＞B”是“smA＞sinB”的充要条件’故（D项正确;
o项’ （1＋x）8展开式中有九项’中间＿项即第五项二次项系数最大,故o正确;
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］l8％
10.
B
［解析】本题主要考查二项式定理。
由二项展开式的通项得: α2＝C:（ˉ1）2＝C:’
因为2α2＋α″5＝0’
所以α″5＝CRˉ5（ˉl）nˉ5＝—C:,
所以2C:＝C:』即（〃—4）（″ˉ3）（″ˉ2）＝6×5×4’
则″＝8.
故本题正确答案为B°
［易错项］C
【易错项被选择比例］l8％
l1D
［解析］本题主要考查二项式定理°
因为（αx＋b）6的展开式中x4项的系数为l35,
所以C:α4b2＝135’
又因为（αX＋b）6的展开式中x5项的系数为—l8
所以C8α5b＝—18’
解得α＝—1
’ b＝3或α＝1,
b≡—3’
『
］
气
…
〕
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蕊
学
数
高
考
令x＝l,故（αx＋b）6展开式所有项系数之和为26＝64°
故本题正确答案为D°
［易错项］C
［易错项被选择比例］23％
l2.
B
［解析］本题主要考查二项式定理°
将二项式展开得则x″′的系数为C历（佰）厕厂（而）′,为使系数为有理数’
则门-厂应为2的倍数,
厂应为3的倍数’
满足此条件且只有—项系数为有理数的选项只有7,展开式的第4项即
故本题正确答案为B°
【易错项］C
［易错项被选择比例］23％
展开式的第4项即厂＝3时系数为有理数°
l3. C
［解析］本题主要考查二项式定理°
由二项式定理可得系数α8＝2×C子×（ˉ2）7＝ˉ256;
令x＝l ’可得—3＝αo＋αl＋α2＋…＋α7＋α8,代人α8＝—256
即可得αo＋αl＋α2＋…＋α7＝253°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例】24％
l4.∧
【解析］本题主要考查二项式定理°
因为（l＋x）4展开式通项为T厂＋l＝Cix′’
所以（l＋2x2）（l＋x）4的展开式中x3的系数为Cj＋2C」＝l2。
故本题正确答案为A°
［易错项］B
【易错项被选择比例］l7％
〔〔〔川∧P丁［R2O〕随机变量及具分布与统计案例
∩
□「勇7T司随机变量及其分布
l〔
［解析】本题主要考查随机变量及其分布·
根据已知条件’学生发球的次数为l即第＿次发球便成功的概率为P（X＝l）＝p
学生发球的次数为2即第二次发球才成功的概率为尸（X＝2）＝p（l-p）;
学生发球的次数为3即第三次发球才成功和三次发球均未成功的概率为P（X＝3）
（p-l）2,
则E（X）＝p＋2p（l-p）＋3（p—l）2＝p2-3p＋3’
＝1-p-p（l—p）＝
｜352
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C‖∧P「匠R2O
随机变量及其分布与统计案例
因为E（x）＞l75』解得p＞;或′＜当』
根据概率的实际意义得′的取值范围是（0.当）.
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］49％
2.∧
［解析］本题主要考查随机变量及其分布°
根据已知得随机变量身（j＝
l, 2）均服从两点分布,
由两点分布的期望和方差知’E（占!）＝p‘’
D（占r）＝p［（1-pj）’
l
因为0＜pl＜p2＜豆’
所以E（‘1）＝p］＜p2＝E（占2）,
又D（‘l）ˉD（占2）＝plˉp;—（p2ˉp;）＝（plˉp2）［lˉ（pl＋p2）］
’
已知pl＜p2且p］＋p2＜l
’
所以Pl-P2＜0’ 1—Pl-P2＞O’
即D（占1 ）-D（占2）＜0,
所以D（占l ）＜D（‘2）°
故本题正确答案为A°
［易错项］B
【易错项被选择比例］32％
3. C
［解析】本题主要考查随机变量及其分布°
随机变量;满足P（‘＝0）≡÷’P（;＝l）≡骡』P（督二2）-;ˉx』
所以E（‘）-0×÷＋｜×x十2× （;—鞭）＝可—x′D（‘）＝［0—（÷—到｜』＂÷ˉ卜［｜—（÷—到PⅨ
4
＋［2ˉ（÷ˉ叫2（;—x）
＝÷（x—÷）雹＋（x—÷）z碰十（x十;尸（;ˉ列
＝—x2—÷鞭＋;-—低＋÷）2喘,
因为0…;』所以E（:）随看x的增大Ⅶ减小』D｜曹）随着x的增大而喊小.
故本题正确答案为C°
［易错项］B
［易错项被选择比例］33％
4.
B
［解析］本题主要考查正态分布和几何概型°
由题意得’曲线C为正态分布Ⅳ（—1, l）的密度曲线,
所以阴影部分面积的值等于P（0≤X≤1）’其中X…／V（—l, l）,
353酶
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…
学
数
高
考
因为P（＿2≤x≤O）＝0.6826’P（—3≤X≤l）＝09544’且正态分布的密度函数具有对称性’
所以P（0≤X≤l）＝÷P（—3≤X≤l）ˉ÷p（—2≤X≤0）＝＋（α9544—α6826）＝Ul359’
因为正方形的边长为l ,所以正万形的面积S正方形＝l ,
所以随机投掷—个点,落在阴影鄙分的概率P-警黑-o」359≡α｜359,
l
所以随机投掷l0000个点’落在阴影部分的点的个数约为l0000×P＝1359个°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］20％
5. C
［解析］本题主要考查随机变量及其分布和排列与组合°
抽查机器台数x及其概率P（x）如下:
由题意’ x取2、3或4。
翻当腮≡2删煎两台机赣均敝障则′｜鞭-2｜-差-u‖
@当x＝3时,有两种情况:第＿种情况前三台机器均正常°此时后两台机器肯定故障’不需要再测°
C』C』A;＋A;＝03·
第二种情况:第三台机器故障’之前检测的两台有＿台故障’则P（x＝3）＝
A:
O当x＝4时: p（x＝4）＝l—p（x＝3）-P（x＝2）＝l-0。3—0,l＝O6°
故检测费用的均值即为检测费用的期望:
E＝l000×2P（x＝2）＋l000×3P（x＝3）＋1000×4P（x＝4）＝l000×（2×Ol＋3×03＋4×0.6）
＝3500,
即检测费用的均值为3500元°
故本题正确答案为C°
［易错项］B
【易错项被选择比例】20％
6.
O
［解析］本题主要考查随机抽样、变量的相关性以及正态分布°
A项’所示的抽样方法为系统抽样,故A项错误°
B项’线性回归直线—定过样本中心点’故B项错误°
C项’两随机变量的线性相关性越强’相关系数厂的平方越接近于l°故C项错误°
D项x服从正态分布且腆≡］0』故P（x＞10）≡1.故D项正确.
故本题正确答案为D。
［易错项］C
［易错项被选择比例］4l％
7.
B
【解析］本题主要考查随机变量及其分布°
由表可得E（:）-（—l）×αˉ卜0×（去ˉα）刊×÷＝÷ˉ“,
D（‘）＝［—lˉ（士ˉ°）］2“＋［0—（告ˉα）］2（告—α）＋当uˉ（÷ˉ叫］2
｝354
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C日∧P『［尺2O
-随机变量及具分布与统计案例
≡ˉ（α—l）2十:.
当0＜α＜＋时,随着α的增大,E（‘）减小’D（‘）增大.
故本题正确答案为B°
［易错项］D
［易错项被选择比例］l4％
■「甭五韦］统计案例
l.
B
［解析］本题主要考查统计案例°
A项’相关系数厂会变大,故A项说法正确,不符合题意°
B项’残差平方和会变小而不是变大’故B项说法错误°符合题意°
C项,相关指数R2会变大,故C项说法正确,不符合题意°
D项’解释变量x与预报变量y的相关性会变强,故D项说法正确,不符合题意°
故本题正确答案为B°
［易错项］D
［易错项被选择比例］20％
∧
［解析］本题主要考查统计案例°
″（αd—bC）2
山屉-…）（…）（…）!…）褥K2-删删批『≈7s』
因为6635＜7.8＜l0。828’
所以有99％以上的把握认为“爱好游泳运动与性别有关』, ,
即在犯错误的概率不超过l％的前提下’认为“爱好游泳运动与性别有关”°
故本题正确答案为A°
［易错项］C
〔易错项被选择比例］26％
2
D
［解析］本题主要考查统计案例°
因为线性回归方程为f＝65加＋l75,
且点（了,
历）在线性回归方程上’且由题意可知而＝5
代人方程中’得到了＝50’
又因为了＝l90＋p＝50,解得p＝6O°
5
故本题正确答案为D。
［易错项〕B
［易错项被选择比例］31％
勺
〕
Ⅷ
4.
B
［解析］本题主要考查变量的相关性及统计案例°
355鬼
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…
学
数
高
~
考
A项,根据［l40,150］区间内的学生答对率可以看到,在第一问正确率接近l00％的情况下,仍有
40％的考生答对第二问’因此必然存在考生此题满分的情况,故A项错误°
B项’随着学生总分的提高’第＿问的难度曲线的提升比第二问明显’更能区分学生数学成绩的好坏’
故B项正确°
C项,在［40,50］区间内的考生第＿问和第二问的正确率均在20％左右’因此此大题的平均得分为
l2×2O％＝2.4分’故C项错误°
D项,标准差反映的是各项的数的离散情况,第一问的曲线比第二问的曲线更陡＿些,所以相对的标
准差要比第二问的大’因此D项错误°
故本题正确答案为B°
［易错项］C
［易错项被选择比例］26％
5. D
［解析］本题主要考查统计案例°
由题意知’ k＞384,所以在犯错误的概率不超过0.（）5的前提下认为X和Y有关系,
即至少有95％的把握认为x和Y有关系°
故本题正确答案为D°
［易错项】C
［易错项被选择比例】20％
｜356
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