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专题十一概率与统计
第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差
2019
年
1.（2019 天津理16）设甲、乙两位同学上学期间，每天：
之前到校的概率均为
7
30
2
3
.假定
甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用X
表示甲同学上学期间的三天中：
7
30 之前到校的天数，求随机变量X 的分布列
和数学期望；
（Ⅱ）设M
为事件“上学期间的三天中，甲同学在：
7
30 之前到校的天数比乙同学在：
7
30
之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.
2
．（2019 全国I
理
）
21
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更
有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于
两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮
试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈
只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施
以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得1
−分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白
鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得1
−分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两
种药的治愈率分别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，
(
0,1,
,8)
ip i =
表示“甲药的累计得分为i 时，
最终认为甲药比乙药更有效”
的概率，则
0
0
p =
，
8
1
p =
，
1
1
i
i
i
i
p
ap
bp
cp
−
+
=
+
+
(
1,2,
,7)
i =
，其中
(
1)
a
P X
=
= −
，
(
0)
b
P X
=
=
，
(
1)
c
P X
=
=
．假设
0.5
=
，
0.8
=
．
(i)证明：
1
{
}
i
i
p
p
+ −
(
0,1,2,
,7)
i =
为等比数列；
(ii)求
4p ，并根据
4p 的值解释这种试验方案的合理性．
3.（2019 北京理17）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支
付方式之一。为了解某校学生上个月A B
, 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机
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抽取了100 人，发现样本中A B
, 两种支付方式都不使用的有5 人，样本仅使用A 和仅使用B
的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额
支付方式
(
0,1000
(
1000,2000
大于2000
仅使用A
18 人
9 人
3 人
仅使用B
10 人
14 人
1 人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取
人，估计该学生上个月
两个支付方式都使用的概率；
1
A B
,
（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2 人中上个月支
付金额大于1000 元的人数，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用
的学生中，随
A
机抽查
人，发现他们本月的支付金额大于
3
2000 元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用
A 的学生中本月支付金额大于
元的人数有变化？说明理由
2000
.
2010-2018
年
一、选择题
1
(2018
．
全国卷Ⅲ某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为
)
p ，各成员的支付方式相
互独立，设X
为该群体的
位成员中使用移动支付的人数，
10
2.4
DX =
，
(
4)
(
6)
P X
P X
=
=
，则p =
A
0
．．7
B
0
6
C
0
4
D
．．
．．
．．
0
3
2．(2018 浙江)设0
1
p
，随机变量的分布列是
0
1
2
P
1
2
p
−
1
2
2
p
则当p 在(0,1) 内增大时，
A．
( )
D 减小
B．
( )
D 增大
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C．
( )
D 先减小后增大
D．
( )
D 先增大后减小
3．（2017 浙江）已知随机变量
i满足
(
1)
i
i
P
p
=
=
，
(
0)
1
i
i
P
p
=
= −
，i =1，．
2
若
1
2
1
0
2
p
p
，则
A．
1
(
)
E
<
2
(
)
E
，
1
(
)
D
<
2
(
)
D
B．
1
(
)
E
<
2
(
)
E
，
1
(
)
D
>
2
(
)
D
C．
1
(
)
E
>
2
(
)
E
，
1
(
)
D
<
2
(
)
D
D．
1
(
)
E
>
2
(
)
E
，
1
(
)
D
>
2
(
)
D
4
2014
1
．（
浙江）已知甲盒中仅有
个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球
(
)
3,
3
m
n
，从乙盒中随机抽取 (
)
1,2
i i =
个球放入甲盒中．
（）放入
a
i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为
(
)
1,2
i i
=
；
（）放入
b
i
个球后，从甲盒中取
个球是红球的概率记为
1
(
)
1,2
ip i =
．则
A．
( )
(
)
1
2
1
2
,
p
p E
E
B．
( )
(
)
1
2
1
2
,
p
p E
E
C．
( )
(
)
1
2
1
2
,
p
p E
E
D．
( )
(
)
1
2
1
2
,
p
p E
E
二、填空题
5
2017
．（
新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回
地抽取100
次，表示抽到的二等品件数，则DX =
．
6
(2016
)
．
年四川同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次
试验成功，则在
次试验中成功次数
2
X
的均值是 .
7
2014
．（
浙江）随机变量
的取值为0,1,2，若
(
)
1
0
5
P =
=
，
( )
1
E = ，则
( )
D = __．
三、解答题
8．（
）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
2018 北京
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.
15
0.
25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取
部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概
1
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率；
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取
部，估计恰有
部获得好评的概率；
1
1
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“
1
k
= ”表
示第k 类电影得到人们喜欢，“
0
k
=
”表示第
类电影没有得到人们喜欢（
k
k =1，
2
3
4
，，，，）．写出方差
5
6
1
D，
2
D，
3
D，
4
D，
5
D，
6
D的大小关系．
9
2018
．（
全国卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱
件，每一箱产品在交付用户之
200
前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任
取
件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不
20
合格品的概率都为
)1
0
(
p
p
，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20 件产品中恰有
件不合格品的概率为
2
)
( p
f
，求
)
( p
f
的最大值点
0p ．
(2)现对一箱产品检验了
件，结果恰有
件不合格品，以
20
2
(1)中确定的
0p 作为p 的值．已
知每件产品的检验费用为
元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格
2
品支付
元的赔偿费用．
25
（）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
i
X ，
求EX ；
（）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作
ii
检验？
10．(2018
)
天津已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为
，
24
16，16．现采用分
层抽样的方法从中抽取
人，进行睡眠时间的调查．
7
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的
人中有
人睡眠不足，
7
4
3 人睡眠充足，现从这
人中随机抽取
人做进一
7
3
步的身体检查．
（
表示抽取的
人中睡眠
i）用X
3
不足
．．
的员工人数，求随机变量
的分布列与数学期望；
X
（）设
为事件“抽取的
人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求
ii
A
3
事件
发生的概率．
A
11．（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶
元，
4
售价每瓶
元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶
元的价格当天全部处理完．根据往
6
2
年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：℃有关．如果最高气温不低于
(
)
25，需
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求量为
瓶；如果最高气温位于区间
500
[20，25)，需求量为
瓶；如果最高气温低于
300
20，需求量为
瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气
200
温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10
，15)
[15
，20)
[20
，25)
[25
，30)
[30
，35)
[35
，40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶的分布列；
)
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量
n (单位：瓶为多少时，
)
Y 的数学期望达到最大值？
12．（2017 江苏）已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m ，n
*
N ，
2
n≥
），这些球除
颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为
，，
1
2
3，…，m n
+
的抽屉内，其中第k 次取球放入编号为k 的抽屉（k =1，2，3，…，m n
+
）．
1
2
3
…
m n
+
（）试求编号为
的抽屉内放的是黑球的概率
1
2
p ；
（）随机变量
2
X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，(
)
E X
是X 的数学
期望，证明
(
)
(
)(
1)
n
E X
m
n n
+
−
．
13．（2017 天津）从甲地到乙地要经过
个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在
3
各路口遇到红灯的概率分别为1 1 1
,
,
2 3 4
．
（Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学
期望；
（Ⅱ）若有
辆车独立地从甲地到乙地，求这
辆车共遇到
个红灯的概率．
2
2
1
14．（
）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，
2017 山东
具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接
受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的
作用，现有
名男志愿者
6
1A ，
2A ，
3A ，
4A ，
5A ，
6A
和
名女志愿者
4
1
B ，
2
B ，
3
B ，
4
B
，从中随机抽取
人接受甲种心理暗示，另
人接受乙种心理暗示．
5
5
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（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含
1A 但不包含
1
B 的频率。
（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX ．
15．（2017北京）为了研究一种新药的疗效，选100 名患者随机分成两组，每组各50 名，
一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并
制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（Ⅰ）从服药的50 名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60 的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D 四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x 的值大
于1.7 的人数，求的分布列和数学期望
( )
E ；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大
小．（只需写出结论）
16．(2016 年全国I)某公司计划购买
台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易
2
损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个
元．在机器使用期
200
间，如果备件不足再购买，则每个
元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损
500
零件，为此搜集并整理了
台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱
100
状图：
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以这
台机器更换的易损零件数的频率代替
台机器更换的易损零件数发生的
100
1
概率，记X
表示
台机器三年内共需更换的易损零件数，
2
n
表示购买
台机器的同时
2
购买的易损零件数.
（）求
I
X 的分布列；
（）若要求
II
(
)
0.5
P X
n
≤
≥
，确定n 的最小值；
（
）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
III
19
n =
与 20
n =
之中选其
一，应选用哪个？
17．（2015 福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现
次密码尝试错误，该银行卡将
3
被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的
正确密码是他常用的
个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择
个进行尝试．若
6
1
密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
18．（ 2015 山东）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百
位数字，则称n
为“三位递增数”（如
，
137
359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每
位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取
个数，且只能抽取一次．得分规则如
1
下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被
整除，参加者得
分；若能被
5
0
5
整除，但不能被
整除，得
10
1
−
分；若能被
整除，得
分．
10
1
（Ⅰ）写出所有个位数字是
的“三位递增数”；
5
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．
19．（2015 四川）某市,
A B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A
中学推荐了
名男生，
3
2
名女生，B
中学推荐了
名男生，
3
4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训
后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取
人，女生中随机抽取
人组成代表
3
3
队．
（）求
1
A
中学至少有
名学生入选代表队的概率；
1
（）某场比赛前，从代表队的
名队员中随机抽取
人参赛，设
2
6
4
X 表示参赛的男生人
数，求X 得分布列和数学期望．
20．(2014 新课标
从某企业生产的某种产品中抽取
件，测量这些产品的一项质量指标
1)
500
值，由测量结果得如下频率分布直方图：
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（Ⅰ）求这
件产品质量指标值的样本平均数
500
x 和样本方差
2
s （同一组数据用该区
间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布
2
( ,
)
N
，
其中近似为样本平均数x ，
2
近似为样本方差
2s ．
（）利用该正态分布，求
i
(187.8
212.2)
P
Z
；
（）某用户从该企业购买了
件这种产品，记
ii
100
X
表示这
件产品中质量指标
100
值位于区间（
，
187.8
212.2）的产品件数，利用（）的结果，求
i
EX ．
附：150 ≈12.2．若Z ～
2
( ,
)
N
，则
(
)
P
Z
−
+
=0.6826，
(
2
2 )
P
Z
−
+
=0.9544
．
21．
（2014 山东）乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域
,
A B ，
乙被划分为两个不相交的区域,
C D ．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙
回球．规定：回球一次，落点在C
上记3 分，在D
上记1 分，其它情况记
分．对落
0
点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为1
2
，在D 上的概率为1
3
；对落
点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为1
5
，在D 上的概率为3
5
．假设共有
两次来球且落在
,
A B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：
（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望．
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22．（2014 辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直
方图，如图所示：
250
200
150
100
50
0
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
频率
组距
月销售量/个
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续
天里，有连续
天的日销售量都不低于
个且另一天的日销售
3
2
100
量低于
个的概率；
50
（Ⅱ）用
表示在未来
天里日销售量不低于
个的天数，求随机变量
的分布列，
X
3
100
X
期望
(
)
E X 及方差
(
)
D X ．
23．（ 2014 广东）随机观测生产某种零件的某工厂
名工人的日加工零件数（单位：件），
25
获得数据如下：30，42，41，36，44，
，
40
37
37
，
，25
45
，
，29
43
，
，31
36
，
，49，34，
33，43
38
，
，
，
42
32
34
，
，46，
，
39
36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25,30 ] 3 0.12
(30,35 ] 5 0.20
(35,40 ] 8 0.32
(40,45 ]
1n
1f
(45,50 ]
2n
2f
（）确定样本频率分布表中
1
1
2
1
,
,
n n
f 和
2f 的值；
（）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
2
（）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取
人，至少有
人的日加工零件数落在
3
4
1
区间（30,35］的概率．
24．（2014 安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完
局仍
5
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未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为2
3
，乙获胜的
概率为1
3
，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在
局以内（含
局）赢得比赛的概率；
4
4
（Ⅱ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．
25．（
）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取
件
2013 新课标1
4
作检验，这
件产品中优质品的件数记为．如果
，再从这批产品中任取
件作检
4
n
n=3
4
验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果
，再从这批产品中任取
件作检验，
n=4
1
若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批
产品的优质品率为
，即取出的产品是优质品的概率都为
50%
1
2
，且各件产品是否为优
质品相互独立．
（）求这批产品通过检验的概率；
1
（）已知每件产品检验费用为
元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作
2
100
质量检验所需的费用记为
（单位：元），求
的分布列及数学期望．
X
X
26．(
)
2013 北京下图是某市
月
日至
日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于
3
1
14
100
表示空气质量优良，空气质量指数大于
表示空气重度污染，某人随机选择
月
200
3
1
日至
月
日中的某一天到达该市，并停留
天
3
13
2
（）求此人到达当日空气重度污染的概率
Ⅰ
（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望．
（
）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
Ⅲ
27．（2012 新课标）某花店每天以每枝
元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝
5
10
元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（）若花店一天购进
朵玫瑰花，求当天的利润
Ⅰ
16
y（单位：元）关于当天需求量n（单
位：枝，
N
n
）的函数解析式；
关注微信公众号：加油高三
（）花店记录了
天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
Ⅱ
100
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以
天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
100
（）若花店一天购进
枝玫瑰花，
ⅰ
16
X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、
数学期望及方差；
（）若花店计划一天购进
枝玫瑰花，你认为应购进
枝还是
枝？请说
ⅱ
16 枝或17
16
17
明理由．
28．（2012 山东）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为
4
3 ，命中得1分，
没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率是
3
2 ，每命中一次得2 分，没命中
得0 分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX ．
29．（2012 福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿
车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2
年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取
辆，统计数据如下：
50
品牌
甲
乙
首次出现故
障时间x (
)
年
0
1
x
„
1
2
x
„
2
x
0
2
x
„
2
x
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(
)
万元
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
（）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的
I
概率；
（）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为
II
1
X ，生产一辆乙
品牌轿车的利润为
2
X ，分别求
1
X ,
2
X 的分布列；
（
）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌
III
的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．
30．（2011 北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个
关注微信公众号：加油高三
数据模糊，无法确认，在图中以
表示．
X
1 1 1 0
9 9 0 X 8 9
乙组
甲组
（）如果
Ⅰ
X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（）如果
Ⅱ
X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树
Y 的分布列和数学期望．
（注：
注：
注：
注：
注：方差
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
1
n
s
x
x
x
x
x
x
n
=
−
+
−
+
+
−
，其中x 为1x ，2x ，……
nx 的平均数）
31．（ 2011 江西）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，
公司准备了两种不同的饮料共
杯，其颜色完全相同，并且其中
杯为
饮料，另外
8
4
A
4
杯为
饮料，公司要求此员工一一品尝后，从
杯饮料中选出
杯
饮料，若
杯都
B
8
4
A
4
选对，则月工资定为
元，若
杯选对
杯，则月工资定为
元，否则月工资定
3500
4
3
2800
为
元，令
表示此人选对
饮料的杯数，假设此人对
和
两种饮料没有鉴别
2100
X
A
A
B
能力．
（）求
的分布列；
1
X
（）求此员工月工资的期望．
2
