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离散型随机变量及其分布列、数字特征
9-7
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．
9-7 离散型随机变量及其分布列、数字特征..........................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：离散型随机变量...................................................2
2．离散型随机变量的分布列................................................2
3．离散型随机变量的分布列的性质..........................................2
4．离散型随机变量的均值与方差............................................2
5．均值与方差的性质......................................................2
【常用结论总结】.........................................................2
二、分类题型................................................................4
题型一 分布列的性质......................................................4
题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征..................................5
题型三 均值与方差中的决策问题............................................6
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................7一、主干知识
考点1：离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变
量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x ，x ，…，x ，称X取每一个值x 的概率P(X＝x)＝p，i＝
1 2 n i i i
1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量的分布列的性质
①p≥0(i＝1,2，…，n)；②p＋p＋…＋p＝1.
i 1 2 n
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
(1)均值
则称E(X)＝xp ＋xp ＋…＋xp 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随
1 1 2 2 n n
机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x－E(X))2p＋(x－E(X))2p＋…＋(x－E(X))2p 为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，
1 1 2 2 n n
记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
【常用结论总结】
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．(2)E(X＋X)＝E(X)＋E(X)．
1 2 1 2
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X，X 相互独立，则E(XX)＝E(X)·E(X)．
1 2 1 2 1 2二、分类题型
题型一 分布列的性质
【例题精析1】 某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零
件作为备件，价格为每个120元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个
280元.在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为：
X 6 7 8
P 0.4 0.5 0.1
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望
为（ ）
A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元
【例题精析2】 为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、
乙)进行经典美文诵读比赛决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.求:
(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率;
(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差.
【例题精析3】 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器
时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500
元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内
更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率
视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n
表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布；
(2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 与 之中选其一，应选用哪个？并说明理
由.
【例题精析4】 某市为了解人们对于新颁布的“改造健身中心”方案的支持度，随机调查了60人，他们年龄
的频数分布及支持“改造健身中心”方案人数如下表：
年龄 [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50]
5
频数 15 15 5 15 5
支持“改造健身中
12 5 4 8 2 1
心”
(1)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有95%的把握认为以40岁为分界点对“改造健身中
心”方案的支持度的差异性有关系；
年龄不低于40岁的人数 年龄低于40岁的人数 总计
支持
不支持
总计
下表的临界值表供参考：
P（K2≥k） 0.05 0.010 0.005 0.001
0
k 3.841 6.635 7.879 10.828
0
参考公式： ，其中n=a+b+c+d.
(2)在随机调查的60人中，若对年龄在[30，35），[40，45）的被调查人中各随机选取2人进行调查，记选中的4人中支持“改造健身中心”方案的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
【例题精析5】 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一
线医疗物资供应．某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从
某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组： ， ， ，
， ，得到如下频率分布直方图．
(1)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指
标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，
记其中一级口罩个数为X，求X的分布列及数学期望 ；
(2)在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲，乙两人分别
在A、B两店参加一次抢购活动．假定甲、乙两人在A、B两店抢购成功的概率分别为 ， ．记甲、乙
两人抢购成功的总次数为Y，求Y的分布列及数学期望 ．
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
【对点精练1】 电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务.我们在使用
电子邮件时发现一个有趣的现象：中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字
的比较少.为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取了50个邮箱名称，得到如下2×2列联
表，其中中国人的邮箱占
中国人 外国人 总计
邮箱名称里有数
15
字
邮箱名称里无数
25
字
总计
(1)将2×2列联表列联表补充完整，根据小概率值 的独立性检验，分析“邮箱名称里含有数字与国
籍”是否有关？
(2)用样本估计总体，将频率视为概率.在所有中国人邮箱名称里随机抽取3个邮箱名称，记3个中国人邮箱
名称里含有数字的个数为 ，求 的分布列和数学期望.
参考公式和数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【对点精练2】 已知从境外回国的8位同胞中有1位被新冠肺炎病毒感染，需要通过核酸检测是否呈阳性来
确定是否被感染.下面是两种检测方案：
方案一：逐个检测，直到能确定被感染者为止.
方案二：将8位同胞平均分为2组，将每组成员的核酸混合在一起后随机抽取一组进行检测，若检测呈阳
性，则表明被感染者在这4位当中，然后逐个检测，直到确定被感染者为止；若检测呈阴性，则在另外一
组中逐个进行检测，直到确定被感染者为止.（1）根据方案一，求检测次数不多于两次的概率；
（2）若每次核酸检测费用都是100元，设方案二所需检测费用为 ，求 的分布列与数学期望 .
【对点精练3】 自2018年河北省进行高考改革后，高中生的生涯规划教育显得特别重要.某市组织全体教师
举行了一次“生涯规划知识竞赛”.为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了50人的成绩（得分均为整数，
满分100分）进行统计，这50人考试成绩全部介于60分到100分之间，将考试成绩按如下方式分成8组，
第一组 ，第二组 …第八组 ，得到的频率分布直方图如图.
（1）若从考试成绩属于第6组和第8组的所有人中随机抽取2人，设他们的成绩为 ， ，求满足
的事件的概率；
（2）为了奖励教师，该市决定给测试成绩在 内的教师发放奖金，其中测试成绩在 内的教
师可获得奖金5000元，测试成绩在 内的教师可获得奖金10000元，现在对这50人成绩在
内的教师中随机抽取3人进行回访，求此3人获得奖金的总和 （单位：元）的分布列和数学期望.
【对点精练4】 某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50
名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示
的频率分布直方图.如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于90本，则称该学生为“书虫”.
（1）根据频率分布直方图填写下面 列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过 的前提下，你是
否认为“书虫”与性别有关？
男生 女生 总计
书虫
非书虫
总计
附：
0.250 0.150 0.100 0.050 0.025
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
【对点精练5】 《中国诗词大会》是由CCTV-10自主研发的一档大型文化益智节目,以“赏中华诗词,寻文化
基因品生活之美”为宗旨,带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、涵养心灵,节目广受好评
还因为其颇具新意的比赛规则:每场比赛,106位挑战者全部参赛,分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人
追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂主进行比拼,竞争该场比赛的擂主,擂主争霸赛以抢答的形式展开,
共九道题,抢到并回答正确者得一分,答错则对方得一分,先得五分者获胜,成为本场擂主,比赛结束已知某场擂
主争霸赛中,攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是 ,攻擂者与守擂擂主正确
回答每道题的概率分别为 , ,且两人各道题是否回答正确均相互独立.（1）比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率;
（2）比赛进行中,攻擂者暂时以 领先,设两人共继续抢答了 道题比赛结束,求随机变量 的分布列和数
学期望.
【对点精练6】 在习总书记提出的“变害为利，造福人民”的木兰溪全流域治理系统过程中，莆田市环保局
根据水文观测点的历史统计数据，得到木兰溪某段流域的每年最高水位 （单位：米）的频率分布直方图
（如图）.若将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立．
（1）求在未来3年里，至多有1年河流最高水位 的概率（结果用分数表示）；
（2）根据评估，该流域对沿河企业影响如下：当 时，不会造成影响；当 时，损失
1000万元；当 时，损失6000万元．为减少损失，莆田市委在举行的一次治理听证会上产生了三
种应对方案：
方案一：布置能防御35米最高水位的工程，需要工程费用380万元；
方案二：布置能防御31米最高水位的工程，需要工程费用200万元；
方案三：不采取措施；
试问哪种方案更好，请说明理由．
【对点精练7】 一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只
能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出)．若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是
蝴蝶或蜻蜓的概率是 .
(1)求盒子中蜜蜂有几只；
(2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数
学期望E(X)．【对点精练8】 甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日
工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机每中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内
（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中
转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单 4
38 39 41 42
数 0
1
天数 10 15 10 5
0
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单 4
38 39 41 42
数 0
1
天数 5 10 20 5
0
（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不小于40的
概率；
（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司货车司机日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；
②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识
为小王作出选择，并说明理由．
题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征
【例题精析6】 随机变量 的概率分布列如下：
－1 0 1
其中 ， ， 成等差数列，若随机变量 的期望 ，则其方差 ＝ ．
【例题精析7】 已知随机变量 的分布列如下：2 3 6
若随机变量 满足 ，则 ．
【例题精析8】 已知随机变量X的取值为0，1，若 ，则X的均值为 .
【例题精析9】 已知 ，则 ．
【例题精析10】 已知随机变量X的概率分布为
－
X －2 0 1 2
1
P m
若 ，且 ，则 ．
【例题精析11】 随机变量 的分布列如下，则 ．
0 1 2
P
【例题精析12】 已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量 ，则 ．
0 1 2 3
【例题精析13】 已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.1
且 ，则 ．
【例题精析14】 已知随机变量X，Y满足 ，且随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2P
则随机变量Y的方差 等于 ；
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．
(2)求ξ取每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．
【对点精练9】 若随机变量 ，则 ．
【对点精练10】 若离散型随机变量 的分布列为
0 1
则 的方差 .
【对点精练11】 若离散型随机变量 ，且 ，则 ．
【对点精练12】 已知 的分布列，且 ， ，则 .
x 0 1
P【对点精练13】 已知随机变量 的分布列如下表所示，若 ，则 ．
【对点精练14】 随机变量 的分布如下表，则 .
0 2 4
0.4 a 0.3
【对点精练15】 已知随机变量 的期望为3，则 .
【对点精练16】 在一个游戏中，每次输赢的概率都是 .甲的策略是：第一次押1元，如果赢，就结束；如果
输，押2元再来一次，无论输赢都结束.乙的策略是：押1元，无论输赢都结束.
(1)求甲赢的概率与乙赢的概率；
(2)用X、Y分别表示甲、乙最终赢得的金额（即所押金额），求它们的分布与期望；
(3)比较甲与乙的策略.
【对点精练17】 口袋里装有大小与质地相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依下面的规则从袋中有放回
地摸球，每次摸1个球.规则如下：若一方摸出1个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出1个白球，
则由对方接替下一次摸球.假设每次摸球相互独立，且由甲进行第一次摸球.求在前三次摸球中，甲摸得红
球的次数X的分布列及期望.
题型三 均值与方差中的决策问题
【例题精析15】 （2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 ， 两类问题．每位参加比赛
的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正
确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束． 类问题中的每个
问题回答正确得20分，否则得0分； 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答 类问题的概率为0.8，能正确回答 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要
理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
【对点精练1】 （2021•北京）在核酸检测中，“ 合1”混采核酸检测是指：先将 个人的样本混合在一起
进行1次检测，如果这 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，
检测结束；如果这 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行 1次检测，得到
每人的检测结果，检测结束．
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
（Ⅰ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．
（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：
（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 ．设 是检测的总次数，求 的分布列与数学期
望 ．
（Ⅱ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设 是检测的总
次数，试判断数学期望 与（Ⅰ）中 的大小．（结论不要求证明）三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023春•牡丹江期末）随机变量 的分布列如下表，且 ，则
0 2
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023春•大荔县期末）已知某离散型随机变量 的分布列如下：
0 1 2
若 ， ，则
A． B． C． D．
3．（2023•泸县校级模拟）一次考试选择题每题5分，设某学生答对的选择题数为随机变量 ，选择题得
分为随机变量 ，已知 ，则 的值为
A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.4
4．（2023•广西模拟）已知 的分布列为
0 1且 ， ，则 为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023•广州二模）已知随机变量 的分布列如下：
1 2
若 ，则
A． B． C． D．
6．（2023•温州模拟）随机变量 的分布列如表所示，若 ，则
0 1
A．9 B．7 C．5 D．3
7．（2023•陕西模拟）已知随机变量 的分布列为：
0 2 3
则
A．2 B． C． D．1
8．（2023•松江区模拟）已知盒中装有形状完全相同的 4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，
每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为 ，则 为
A． B． C．2 D．
9．（2023•新乡二模）已知随机变量 的分布列为
0 2 4
则A． B．1 C． D．
10．（2023•贺兰县校级模拟）甲、乙两种零件某次性能测评的分值 ， 的分布如下，则性能更稳定的零
件是 ．
8 9 10
0.3 0.2 0.5
8 9 10
0.2 0.4 0.4
11．（2023•江油市模拟）若离散型随机变量 满足： ，则 ．
12．（2023•广西模拟）若随机变量 的分布列为则 的数学期望为 ．
2 4 5
0.2 0.35 0.25 0.2
13．（2023•海阳市校级模拟）一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中2个白球，3个黑球，现
从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记 2分，取到黑球记0分，记4次取球的总分
数为 ，则 的方差 ．
14．（2023•徐汇区三模）设 服从二项分布 ，则 ．
15．（2023•河南模拟）已知随机变量 的所有可能取值为1，2，3，其分布列为
1 2 3
若 ，则 ．
