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解密09 概率、随机
量及其分布列
变
A 组 考点专练
一、选择题
1.【2020 新课标Ⅱ卷】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200 份订单的
配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市
某日积压500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600 份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50 份
订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A.10 名
B.18 名
C.24 名
D.32 名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为500＋1 600－1 200＝900，设需要志愿者x 名，则≥0.95，
x≥17.1，故需要志愿者18 名.
2.【2020 新高考全国卷】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学
生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(
)
A.62%
B.56%
C.46%
D.42%
【答案】C
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，
则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A＋B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，
则P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，
所以P(A·B)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46，
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.
3.【2019 浙江卷】设0<a<1，随机变量X 的分布列是
X
0
a
1
P
则当a 在(0，1)内增大时( )
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大
【答案】D
【解析】由题意知E(X)＝0×＋a×＋1×＝，
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因此，D(X)＝×＋×＋×
＝[(－a－1)2＋(2a－1)2＋(2－a)2]＝(6a2－6a＋6)
＝.
当0<a<时，D(X)单调递减；
当<a<1 时，D(X)单调递增.
故当a 在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大.
4.(多选题)某人参加一次测试，在备选的10 道题中，他能答对其中的5 道.现从备选的10 题中随机抽出3 题
进行测试，规定至少答对2 题才算合格，则下列选项正确的是( )
A.答对0 题和答对3 题的概率相同，都为
B.答对1 题的概率为
C.答对2 题的概率为
D.合格的概率为
【答案】CD
【解析】答对0 题和答对3 题的概率都为＝＝，所以A 错误；答对1 题的概率为＝＝，所以B 错误；答对
2 题的概率为＝＝，所以C 正确；至少答对2 题的概率为＋＝，所以D 正确.故选CD.
5.(多选题)甲、乙、丙3 人分别在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7 门学科中任选3 门.若甲必
选物理，则下列说法正确的是( )
A.甲、乙、丙3 人至少有1 人选化学与全选化学是对立事件
B.甲的不同选法种数为15
C.已知乙选了物理，则乙选技术的概率是
D.乙、丙2 人都选物理的概率是
【答案】BD
【解析】甲、乙、丙3 人至少有1 人选化学与全不选化学是对立事件，A 错误；由于甲必选物理，因此甲
只需从剩下的6 门课中选2 门即可，有C＝15 种选法，B 正确；由于乙选了物理，因此乙选技术的概率是
＝，C 错误；乙、丙2 人各自选物理的概率均为＝，所以乙、丙2 人都选物理的概率是×＝，D 正确.故选
BD.
二、填空题
6.【2020 江苏卷】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，则点数和为5 的概率是
________.
【答案】
【解析】根据题意可得基本事件总数为6×6＝36(个).点数和为5 的基本事件有(1，4)，(4，1)，(2，3)，
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(3，2)共4 个.∴出现向上的点数和为5 的概率为p＝＝.
7.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新能源汽车不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电
池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市场上销
售的某款新能源汽车，其车载动力蓄电池充放电循环达到2 000 次的概率为85%，充放电循环达到2 500 次
的概率为35%.若某用户的该款新能源汽车已经经过了2 000 次充电，那么他的汽车能够充电2 500 次的概
率为________.
【答案】
【解析】设事件A：充放电循环达到2000 次，事件B：充放电循环达到2500 次，由题意可知P(A)＝85%，
P(AB)＝35%，则P(B|A)＝＝＝.
8.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比
赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为
0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1 获胜的概率是________.
【答案】0.18
【解析】记事件M 为甲队以4∶1 获胜，
则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以
P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.
三、解答题
9.【2020 北京卷】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解
该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200 人
400 人
300 人
100 人
方案二
350 人
250 人
150 人
250 人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率；
(2)从该校全体男生中随机抽取2 人，全体女生中随机抽取1 人，估计这3 人中恰有2 人支持方案一的概率；
(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0，假设该校一年级有500 名男生和300 名女生，除一年级外
其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)
【解析】(1)设该校男生支持方案一为事件A，该校女生支持方案一为事件B，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
(2)设这3 人中恰有2 人支持方案一为事件C，则事件C 包含2 名男生支持方案一和1 名男生1 名女生支持
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方案一两种情况，
所以P(C)＝C××＋C×××＝.
(3)p0＝＝，设该校总人数为n，由题表知：男、女生支持方案二的概率分别为＝，＝，∴一年级支持方案
二的约为500×＋300×＝404，∴除一年级外支持方案二的概率为p1＝＝<，∴p0＞p1.
10.某省食品药品监管局对16 个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10
分，大部分大学食堂的评分在7～10 分之间，以下表格记录了它们的评分情况：
分数段
[0，7)
[7，8)
[8，9)
[9，10]
食堂个数
1
3
8
4
(1)现从16 个大学食堂中随机抽取3 个，求至多有1 个大学食堂的评分不低于9 分的概率；
(2)以这16 个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3 个，记X
表示抽到评分不低于9 分的食堂个数，求X 的分布列及数学期望.
【解析】(1)设Ai(i＝0，1，2，3)表示“所抽取的3 个大学食堂中有i 个大学食堂评分不低于9 分”，“至
多有1 个大学食堂评分不低于9 分”记为事件A，
则P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.
(2)由表格数据知，从这16 个大学食堂中任选1 个，评分不低于9 分的概率为＝.
由题意知X～B，P(X＝i)＝C，i＝0，1，2，3.
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
数学期望E(X)＝3×＝.
B 组 专题综合练
11.为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校500 名学生2020 年10 月课余使用手机的总时间(单
位：小时)的情况.从中随机抽取了50 名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图.已知这50
名学生中，恰有3 名女生课余使用手机的总时间在[10，12]，现在从课余使用手机总时间在[10，12]的样本
对应的学生中随机抽取3 名，则至少抽到2 名女生的概率为( )
A.
B.
C.
D.
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【答案】C
【解析】∵这50 名学生中，恰有3 名女生的课余使用手机总时间在[10，12]，课余使用手机总时间在[10，
12]的学生共有50×0.08×2＝8(名)，∴从课余使用手机总时间在[10，12]的学生中随机抽取3 人，基本事
件总数n＝C＝56，至少抽到2 名女生包含的基本事件个数m＝C＋CC＝16，则至少抽到2 名女生的概率为
p＝＝＝.
12.2020 年“双十一”当天，某购物平台的销售业绩高达2135 亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针
对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的
好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140 次.
(1)请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
对服务好评
对服务不满意
总计
对商品好评
140
对商品不满意
10
总计
200
(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X.
①求随机变量X 的分布列；
②求X 的数学期望和方差.
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】(1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2 列联表：
对服务好评
对服务不满意
总计
对商品好评
140
40
180
对商品不满意
10
10
20
总计
150
50
200
则K2的观测值k＝≈7.407.
由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关.
(2)①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，
由题意得X～B，P(X＝k)＝C，k＝0，1，2，3，
故X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
②E(X)＝3×＝，D(X)＝3××＝.
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