文档文本内容
1
解密09 概率、随机
量及其分布列
变
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
古典概型、
几何概型
【2020 新课标Ι 文】设O 为正方形
的中心，在
中任取3 点，则取到的3 点共线的概率为（ ）
1. 随机事件的概
率、古典概型的考
查多以选择或填空
的形式命题，中低
档难度；
2.概率模型多考查
独立重复试验、相
互独立事件、互斥
事件及对立事件
等；对离散型随机
变量的分布列及期
望的考查是重点中
的“热点” .随着
新一轮课程改革，
“数据分析、数据
建模”将会不断加
大考查力度.
【2019 新课标Ⅱ文】生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过
某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3 只，则恰有2 只测量过该
指标的概率为( )
【2018 新课标Ⅰ】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何
图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形
的斜边
，直角边
，
．
的三边所围成的区
域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机
取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为
，
，
，则（
）
条件概率及
相互独立事
件的概率
【2020 新高考全国5】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有
96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜
欢游泳，则既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例
是（ ）
【2019 新课标Ⅰ】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当
一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成
绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取
胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独
立，则甲队以4∶1 获胜的概率是_________．
【2020 天津卷】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两
球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为
______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______.
【2020 新课标Ι 理19】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定
赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两
人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者
下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继
续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽
签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为
，
（1）求甲连胜四场
概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
随机变量的
分布列、均
值与方差
【2018 新课标Ⅲ】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为
，各成员的支付方式相互独立，设
为该群体的10 位成员中使用
移动支付的人数，
，
，则
（
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2
）
【2017 新课标Ⅱ】一批产品的二等品率为
，从这批产品中每
次随机取一件，有放回地抽取
次，
表示抽到的二等品件数，
则
．
(2019·天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的
概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天
到校情况相互独立.
(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随
机变量X 的分布列和数学期望；(2)略．
概率与统计
的综合问题
【2016 新课标I】某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后
即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种
零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购
买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零
件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损
零件数，得下面柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率
代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记
表示2 台机器三
年内共需更换的易损零件数，
表示购买2 台机器的同时购买的易
损零件数.（I）求
的分布列；（II）若要求
，
确定
的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策
依据，在
与
之中选其一，应选用哪个？
核心考点一 古典概型、几何概型
1.古典概型的概率公式：
P(A)＝＝.
2.几何概型的概率公式：
P(A)＝.
1.【2020 新课标Ι 文】设O 为正方形
的中心，在
中任取3 点，则取到的3 点共线的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】如图，从
5 个点中任取3 个有
，
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3
,
共
种不同取法，3 点共线有:
,
共2 种情况，由古典
概型的概率计算公式知，取到3 点共线的概率为
．故选A．
2．【2018 新课标Ⅰ】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个
半圆的直径分别为直角三角形
的斜边
，直角边
，
．
的三边所围成的区域记为Ⅰ，
黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解法1：设直角三角形
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，则区域I 的面积即
的面积，为
，区域Ⅱ的面积
，所以
，由几何概型的知识知
，故选A．
解法2：不妨设
为等腰直角三角形，
，则
，所以区域I 的面积即
的
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4
面积，为
，区域Ⅱ的面积
，区域Ⅲ的面积
．根据几何概型的概率计算公式，得
，
，所以
，
，
，故选A．
1.【2019 新课标Ⅱ文】生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取
出3 只，则恰有2 只测量过该指标的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】设其中做过测试的3 只兔子为
，剩余的2 只为
，则从这5 只中任取3 只的所有取法有
，
，共10 种．
其中恰有2 只做过测试的取法有
，共6 种，所以恰
有2 只做过测试的概率为
，故选B．
2．【2017 新课标Ⅰ】如图，正方形
内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分
和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）．
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5
A．
B．
C．
D．
【解析】设正方形的边长为
，由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一半，根据几何概型
的概率计算，所求概率为
．选B．
核心考点二 条件概率及相互独立事件的概率
1.条件概率.
在A 发生的条件下B 发生的概率：P(B|A)＝.
2.相互独立事件同时发生的概率：若A，B 相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B).
3.若事件A，B 互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(A)＝1－P(A).
1．【2020 新高考全国5】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学
生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（
）
A．62% B．56% C．46% D．42%
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件
，“该中学学生喜欢游泳”为事件
，则“该中学学生喜欢
足球或游泳”为事件
，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件
，则
，
，
，所以
，所以该中学
既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
．故选C．
2.【2014 新课标Ⅱ】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优
良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
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6
【解析】根据条件概率公式
，可得所求概率为
．故选A．
3．【2020 新课标Ι 理19】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；
比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮
空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，
比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为
，
（1）求甲连胜四场
概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【解析】（1）记事件
甲连胜四场，则
；
（2）记事件
为甲输，事件
为乙输，事件
为丙输，
则四局内结束比赛的概率为：
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为
；
（3）记事件
为甲输，事件
为乙输，事件
为丙输，记事件
甲赢，记事件
丙赢，
则甲赢的基本事件包括：
、
、
、
、
、
、
、
，
所以甲赢的概率为
．
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为
．
1．【2019 新课标Ⅰ】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，
决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率
为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1 获胜的概率是______________．
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【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以
获胜的概率是
前四
场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以
获胜的概率是
综上所述，甲队
以
获胜的概率是
2.【2020 天津卷】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两
球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______.
【解析】甲、乙两球都落入盒子的概率P＝×＝；设事件A：“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事
件是A：“甲、乙两球都不落入盒子”，P(A)＝×＝，所以P(A)＝1－＝.
3．【2019 新课标Ⅱ】11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，每球交换发球权，先
多得2 分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，
乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10 平后，甲先发球，两人又打了X 个
球该局比赛结束．（1）求P（X=2）； （2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率．
【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，
则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．
（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，
且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
核心考点三 随机变量的分布列、均值与方差
1.独立重复试验与二项分布：
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为Pn(k)＝
Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用X 表示事件A 在n 次独立重复试验中发生的次数，则X 服从二项分布，
即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.
2.超几何分布：
在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中
m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X 服从超几何分布.超几何分布的模型是
不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.
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8
3.离散型随机变量的均值、方差：
(1)离散型随机变量ξ 的分布列为：
ξ
x1
x2
x3
…
xi
…
n
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
离散型随机变量ξ 的分布列具有两个性质：①pi≥0；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n).
(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ 的数学期望或均值.
D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ 的方差.
(3)数学期望、方差的性质.
①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ).
②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
③X 服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
1．【2018 新课标Ⅲ】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为
，各成员的支付方式相互独立，设
为该群体的10 位成员中使用移动支付的人数，
，
，则
=（ ）
A．0．7
B．0．6
C．0．4
D．0．3
【解析】由题意知，该群体的10 位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以
，所以
或
．由
，得
，即
，所以
，所以
．故选B．
2.【2019 天津卷】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校
情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
(2)设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校的天数恰
好多2”，求事件M 发生的概率.
【解析】(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30 之前到校的概率为，故X～
B，从而P(X＝k)＝C，k＝0，1，2，3.
所以，随机变量X 的分布列为
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X
0
1
2
3
P
随机变量X 的数学期望E(X)＝3×＝2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝
0}.由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相
互独立，
从而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})
＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)
＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)
＝×＋×＝.
1．【2017 新课标Ⅱ】一批产品的二等品率为
，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取
次，
表示抽到的二等品件数，则
．
【解析】由题意可得，抽到二等品的件数
，由二项分布的方差公式可得：
．
2. 4 月23 日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读
情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取
10 名学生参加问卷调查.各
组人数统计如下：
小组
甲
乙
丙
丁
人数
9
12
6
3
(1)从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；
(2)在参加问卷调查的10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学
生的人数，求X 的分布列和数学期望.
【解析】(1)由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，
从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名的取法共有C＝45 种，
这两名学生来自同一小组的取法共有C＋C＋C＝10(种)，
所以p＝＝.
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10
(2)由(1)知，在参加问卷调查的10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.
X 的可能取值为0，1，2.则P(X＝k)＝(k＝0，1，2).
∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
则随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
核心考点四 概率与统计的综合问题
1.统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥
事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.
2.以统计图表为背景的随机变量分布列求解的关键：
(1)根据频率(数)分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表准确求出随机事件的频率，并用之估计相应概率；
(2)出现多个随机变量时，应注意分析随机变量之间的关系，进而由一个随机变量的分布列推出另一个随机
变量的分布列.
1．【2016 新课标I】某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购
进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每
个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使
用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记
表示2 台机器
三年内共需更换的易损零件数，
表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数.
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11
（I）求
的分布列；
（II）若要求
，确定
的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
与
之中选其一，应选用哪个？
【解析】（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11
的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
04
.0
2.0
2.0
)
16
(
X
P
；
16
.0
4.0
2.0
2
)
17
(
X
P
；
24
.0
4.0
4.0
2.0
2.0
2
)
18
(
X
P
；
24
.0
2.0
4.0
2
2.0
2.0
2
)
19
(
X
P
；
2.0
2.0
2.0
4.0
2.0
2
)
20
(
X
P
；
08
.0
2.0
2.0
2
)
21
(
X
P
；
04
.0
2.0
2.0
)
22
(
X
P
.
所以X 的分布列为：
X
16
17
18
19
20
21
22
P
04
.0
16
.0
24
.0
24
.0
2.0
08
.0
04
.0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
44
.0
)
18
(
X
P
，
68
.0
)
19
(
X
P
，故n 的最小值为19.
（Ⅲ）记Y 表示2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当
19
n
时，
08
.0
)
500
2
200
19
(
2.0
)
500
200
19
(
68
.0
200
19
EY
4040
04
.0
)
500
3
200
19
(
.
当
20
n
时，
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12
04
.0
)
500
2
200
20
(
08
.0
)
500
200
20
(
88
.0
200
20
EY
4080
.
可知当
19
n
时所需费用的期望值小于
20
n
时所需费用的期望值，故应选
19
n
.
2．【2017 新课标Ⅲ理】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6
元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天
最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需
求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月
份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量
(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为
(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量
(单位：瓶)为多
少时，
的数学期望达到最大值？
【解析】（1）由题意知，
所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知：
，
，
．
因此
的分布列为：
0.2
0.4
0.4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
，
当
时，
若最高气温不低于25，则
；
若最高气温位于区间
，则
；
若最高气温低于20，则
；
因此
．
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13
当
时，
若最高气温不低于20，则
；
若最高气温低于20，则
；
因此
．
所以
时，
的数学期望达到最大值，最大值为520元．
1.为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1∶4，且
成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50 以上(含50)的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样
的方法抽取400 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中，a，b，c 构成以2 为公
比的等比数列.
文科生
理科生
合计
获奖
6
不获奖
合计
400
(1)求a，b，c 的值；
(2)填写上面2×2 列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01 的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理
科”有关？
(3)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2 名学生，记“获得优秀作文”的学
生人数为X，求X 的分布列及数学期望.
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】(1)由题意，得(a＋b＋c＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，
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而a，b，c 构成以2 为公比的等比数列，
所以(a＋2a＋4a＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，解得a＝0.005.
则b＝0.010，c＝0.020.
(2)获得“优秀作文”的人数为400×0.005×10＝20.
因为文科生与理科生人数之比为1∶4，所以文科生与理科生人数分别为80，320.
故完成2×2 列联表如下：
文科生
理科生
合计
获奖
6
14
20
不获奖
74
306
380
合计
80
320
400
由表中数据可得
K2的观测值k＝≈1.316＜6.635，
所以不能在犯错误的概率不超过0.01 的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.
(3)由表中数据可知，抽到获得“优秀作文”学生的概率为0.005×10＝0.05，
将频率视为概率，所以X 可取0，1，2，且X～B(2，0.05).
则P(X＝k)＝C(k＝0，1，2).
故X 的分布列为
X
0
1
2
P
故X 的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(或E(X)＝2×0.05＝0.1).
2.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取
100 件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数μ＝14，标准差σ＝2，绘制如图所示的频率分
布直方图.以频率值作为概率估计值.
(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判(P 表示对应事件的概率)：
①P(μ－σ<X<μ＋σ)≥0.682 6；
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②P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≥0.954 4；
③P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≥0.997 4.
评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生
产线是否需要检修；
(2)将数据不在(μ－2σ，μ＋2σ)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2 件，次品数记为
Y，求Y 的分布列与数学期望E(Y).
【解析】(1)由题意知，μ＝14，σ＝2，由频率分布直方图得
P(μ－σ<X<μ＋σ)＝P(12<X<16)＝(0.29＋0.11)×2＝0.8>0.682 6，
P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(10<X<18)＝0.8＋(0.04＋0.03)×2＝0.94<0.954 4，
P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝P(8<X<20)＝0.94＋(0.015＋0.005)×2＝0.98<0.997 4，
所以不满足至少两个不等式成立，故该生产线需检修.
(2)由(1)知P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.94＝，
所以任取一件是次品的概率为1－＝，
所以任取两件产品得到的次品数Y 可能值为0，1，2，且Y～B.
则P(Y＝0)＝＝；
P(Y＝1)＝C××＝；
P(Y＝2)＝＝.
∴Y 的分布列为
Y
0
1
2
P
∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.(或E(Y)＝2×＝.)
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