集合
一 定义
集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的
对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。
二 集合的抽象表示形式
用大写字母A，B，C……表示集合；用小写字母a，b，c……表示元素。
三 元素与集合的关系
有属于，不属于关系两种。元素a 属于集合A，记作a
A
；元素a 不属于集合A，记
作a
A
。
四 几种集合的命名
有限集：含有有限个元素的集合；
无限集：含有无限个元素的集合；
空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；
自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；
有理数集：Q；实数集：R。
五 集合的表示方法
(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，
例如：{a,b,c}。
注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。
(二) 描述法：有以下两种描述方式
1．代号描述：
【例】方程
2
x
3x+2=0
的所有解组成的集合，可表示为{x|x2-3x+2=0}。x 是集合中元
素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合
的条件。
2．文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。
【例】{大于2 小于5 的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，
也就说要判断元素到底是什么。
(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关
系。
1．子集：如果属于A 的所有元素都属于B，那么A 就叫做B
的子集，记作：A
B
，如图1-1 所示。 图1-1
子集有两种极限情况：(1)当A 成为空集时，A 仍为B 的子集；
(2)当A 和B 相等时，A 仍为B 的子集。
真子集：如果所有属于A 的元素都属于B，而且Ｂ中至少有一个元素不属于A，那么A
叫做B 的真子集，记作A
B 或A
B
。
真子集也是子集，和子集的区别之处在于A
B
。对于同一个集合，其真子集的个数
比子集少一个。
(1)求子集或真子集的个数，由n 各元素组成的集合，
有2n 个子集，有2n -1 个真子集；
(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是
空集，A
B
的等价形式主要有：
B
B
A
A
B
A
，
。
2．交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作
B
A
，
读作A 交B，如图1-2 所示。
图1-2 图1-3 图1-4
3．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作
B
A
，读
作A 并B，如图1-3 所示。
4．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的补集，记作
U
C A ，
读作A 补，如图1-4 所示。
德摩根公式 ：
(
)
;
(
)
U
U
U
U
U
U
C
A
B
C A
C B C
A
B
C A
C B
.
(四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭
区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小
于等于的意思；【例】(2，3)，[2,3]，(2,3]，[2，3]．．．
第二章 函数
一 映射与函数的基本概念
(一) 映 射
A 集合中的每个元素按照某种对应法则在B 集合中都能找到唯一的元素和它对应，这
种对应关系叫做从A 集合到B 集合的映射。A 中的元素叫做原象，B 中的相应元素叫做象。
在A 到B 的映射中，从A 中元素到B 中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。
图2-1 是映射 图2-2 是一一映射 图2-3 不是映射
(Ⅰ)求映射(或一一映射)的个数，m 个元素的集合到n 个元素的集合的映射的个数是nm。
(Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。
(二) 函数的概念
定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x 按照对
应法则f 对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表
示函数。
函数三要素：定义域A：x 取值范围组成的集合。值域B：y 取值范围组成的集合。
对应法则f：y 与x 的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式
函数与普通映射的区别在于：
(1)两个集合必须是数集；
(2)不能有剩余的象，即每个函数值y
都能找到相应的自变量x 与其对应。
图2-4
二 定义域题型
(一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式
直接考查：主要考解不等式。利用：在
( )
f x 中
( )
0
f x
；在
( )
( )
g x
f x 中，
( )
0
f x
；
在log
( )
a f x 中，
( )
0
f x
；在tan
( )
f x 中，
( )
2
f x
k
；在
0( )
f
x 中，
( )
0
f x
；
在
x
a 与log
a x 中
0
a
且
1
a
，列不等式求解。
(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。
三 值域题型
(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。
(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；
(3)画图像，定区间，截段。
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1)
cx
d
y
ax
b
(
0)
a
：则
c
y
a
且y
R
。
(2)
(
2)
cx
d
y
x
ax
b
：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式求
y 的范围。
(3)
2
2
2
3
2
6
1
x
x
y
x
x
：
(2
1)(
2)
2
1
(
)
(2
1)(3
1)
3
1
2
x
x
x
y
x
x
x
x
，
则
1
y
1
3
y
且
且y
R
。
(4)求
2
2
1
1
x
y
x
x
的值域，当x
R
时，用判别式法
求值域。
2
2
1
1
x
y
x
x
2
(
2)
1
0
yx
y
x
y
，
2
(
2)
4 (
1)
0
y
y y
值域
(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。
判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其
次用定义。详情见单调性部分知识讲解。
(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反
函数定义域。
(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形
式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。
四 函数运算法则
（一） 指数运算法则
①
m
n
m n
a
a
a
②
m
n
m n
a
a
a
③(
)
m
n
mn
a
a
④
(
)
m
m
m
a b
ab
运用指数运算法则，一般从右往左变形。
（二） 对数运算法则
同底公式：①
loga b
a
b
②log
log
log (
)
a
a
a
M
N
MN
③log
log
log
a
a
a
M
M
N
N
④log
log
n
a
a
M
n
M
运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。
不同底公式：①
log
log
log
m
a
m
N
N
a
②log
log
m
n
a
a
n
b
b
m
③
1
log
log
a
b
b
a
运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。
五 函数解析式
(一) 换元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求f(3-7x)，
(设2x + 3=3-7t)。
(二) 构造法：如
2
2
1
)
1
(
x
x
x
x
f
，求f(x)。
(三) 待定系数法：通过图像求出y=Asin(ωx +) + C 中系数
(四) 递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。
(五) 求原函数的反函数：先反表示，再x、y 互换。
六 常规函数的图像
常规函数图像主要有：
指数函数：逆时针旋转， 对数函数：逆时针旋转，
底数越来越大 底数越来越小
幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。
七 函数的单调性
(一) 定义：在给定区间范围内，如果x 越大y 越大，那么原函数为增函数；如果x 越
大y 越小，那么原函数为减函数。
(二) 单调性题型：
1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区
间的单调性，从而确定单调区间。
复合函数法：
2
1
1
x
：
当0 < x <1 时，x↑，x2↑，- x2↓，
↓，1 ↑，
1
↓
2.判断单调性
(1).求导函数：
( )
0
f
x
为增函数，
( )
0
f
x
为减函数
(2).利用定义：设x1<x<x2，比较f(x1)与f(x2)大小，把
1
2
(
)
(
)
f x
f x
因式分解，看正负。
(3).原反函数：具有相同的单调性，一个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的单
调性。
3.利用函数单调性：
(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。
(2).比较函数值的大小：画图看
(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。
增函数
1
2
1
2
(
)
(
)
x
x
f x
f x
或
1
2
1
2
(
)
(
)
f x
f x
x
x
减函数
1
2
1
2
(
)
(
)
x
x
f x
f x
或
1
2
1
2
(
)
(
)
f x
f x
x
x
(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。
八 函数的奇偶性
(一)定义：如果
(
)
( )
f
x
f x
,则
( )
f x 为偶函数；如果
(
)
( )
f
x
f x
,则
( )
f x 为奇
函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。
(二)奇偶性题型：
1.判断奇偶性 ：
(1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负
(2).看图像对称性：关于y 轴对称为偶，关于原点对称为奇
(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。
2.利用奇偶性：
(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式
(2).利用复合函数奇偶性结论：
F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇
F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x 得：
F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。
3.奇偶函数图像的对称性
偶函数：关于y 轴对称若
(
)
(
)
f a
x
f b
x
，
则f(x)关于
2
b
a
x
对称
奇函数：关于原点对称若
(
)
(
)
2
f a
x
f b
x
m
，
则f(x)关于点)
2
b
a
，m) 对称
九 函数的周期性
(一) 定义：
若
(
)
( )
f x
T
f x
，则
( )
f x 为周期函数，T 为
( )
f x 周期
(二) 周期性考点：
1.求周期：
(1).利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T =
(2).把所给函数化为y=Asin(ωx +ф) + C 标准形式，直接读出周期
2
T
2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T + x)
(1).求解析式
(2).求函数值
十 函数图像的对称性
(一) 一个图关于点对称：
(Ⅰ)奇函数关于原点对称
(Ⅱ)若f(a+x) + f(b-x)=2m，则f(x)关于)
2
b
a
，m)对称
(二) 一个图关于直线对称：
(Ⅰ)偶函数关于y 轴对称
(Ⅱ)
(
)
(
)
f a
x
f b
x
，则
( )
f x 关于
2
b
a
x
对称
(三) 两个图关于点对称
(Ⅰ)
( )
y
f x
关于原点对称的函数：x→-x，y→-y，
即-y=f(-x)
(Ⅱ)
( )
y
f x
关于( , )
a b 对称的函数：
2
,
2
x
a
x y
b
y
即2
(2
)
b
y
f
a
x
(四) 两个图关于线对称
(Ⅰ)原函数与反函数：关于y=x 对称
(Ⅱ)y= f(x)关于y=x + c对称的函数:x→y-c，y→x+c，
即x+c= f(y-c(
(Ⅲ)y= f(x)关于y=-x+c对称的函数: x→-y+c,y→-x+c，
即-x+c= f(-y+c(
)Ⅳ)f(x)与f(-x(关于y轴对f(a+x)与f(b-x(关于
2
a
b
x
对称
)Ⅴ)f(x)与-f(x(关于x轴对称
十一 原函数与反函数
反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关
系解题。
（一） 求反函数：先反表示，再,x y 互换；或先,x y 互换再反表示。一个函数有反函
数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。
（二） 利用原函数反函数的关系解题：已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情
况时，往往不用求反函数可依据以下结论解题。
1．定义域、值域：
原函数自变量等价于反函数函数值，
原函数函数值等价于反函数自变量；
原函数定义域等价于反函数值域，
原函数值域等价于反函数定义域。
2．单调性：原函数与反函数具有相同的单调性
3．奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数。
4．对称性：原函数与反函数图像关于y
x
对称，原函数与反函数交点一定在y
x
上。
不等式
一 不等式的证明
证明不等式选择方法的程序：
①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差
后能否因式分解；
②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1；
③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n 次方；
平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数)：
2
2
2
1
1
2
2
a
b
a
b
ab
a
b
( 当
a = b
时取等)
3
3
a
b
c
abc
，
1
2
3
1
2
3
a
a
a
a
a
a
，
(
0
)
a
b
a
b
a
b ab
时,取等
④等价变形：不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明，
后面的方法都是特殊的等价变形方法；
⑤逆代：把数换成字母；
⑥换元：均值换元或三角换元；
⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式；
⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证；
⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分；
⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。
二 不等式的解法
(一)有理不等式
1．一次不等式：ax
b
解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。
2．二次不等式：
2
0
ax
bx
c
两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。
3．高次不等式：序轴标根法
(二)绝对值不等式、无理不等式、分式不等式
先变形成有理不等式，再求解。
绝对值不等式：
当a> 0 时，有
2
2
x
a
x
a
a
x
a
.
2
2
x
a
x
a
x
a
或x
a
.
无理不等式：
(1)
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
( )
f x
f x
g x
g x
f x
g x
.
(2)
2
( )
0
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
0
( )
[ ( )]
f x
f x
f x
g x
g x
g x
f x
g x
或
.
(3)
2
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
[ ( )]
f x
f x
g x
g x
f x
g x
(三)指数不等式 对数不等式
不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。
(1)当
1
a
时,
( )
( )
( )
( )
f x
g x
a
a
f x
g x
;
( )
0
log
( )
log
( )
( )
0
( )
( )
a
a
f x
f x
g x
g x
f x
g x
.
(2)当0
1
a
时,
( )
( )
( )
( )
f x
g x
a
a
f x
g x
;
( )
0
log
( )
log
( )
( )
0
( )
( )
a
a
f x
f x
g x
g x
f x
g x
三 线性规划
线性规划，出题现象如下：
设变量,x y 满足约束条件
1,
1,
3
3,
x
y
x
y
x
y
则目标函数
4
z
x
y
的最大值为（ )
A.4 B.11 C.12 D.14
解题步骤：
（1）把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，
标明直线序号
（2）依据以下结论确定平面区域：
( )
y
f x
是点在直线上方（包括直线）
( )
y
f x
是点在直线下方（包括直线）；
( )
y
f x
是点在直线上方（不包括直线）
( )
y
f x
是点在直线下方（不包括直线）
（3）确定目标函数函数值的几何意义
（4）○1 若目标函数值z 表示截距，在已知区域内平移目标函数直线，找出使截距取最大值和最小值
的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出z 的最值。○2 若目标函数z 表示距离或者距离的平方，精
确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距离，用距
离公式直接求最值。○3 若目标函数z 表示斜率，精确画图，利用求斜率取值范围结论，求最值。
导数
一 导数的概念
（一）导数的定义
1.导数的原始定义：设函数
)
(x
f
y
在
0x
x
处附近有定义，如果
0
x
时，y
与x
的比
x
y
(也叫函数的平均变化率)有极限即
x
y
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫
做函数
)
(x
f
y
在
0x
x
处的导数，记作
0
/
x
x
y
，即
x
x
f
x
x
f
x
f
x
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
/
2 导函数的定义：如果函数
)
(x
f
y
在开区间
)
,
(
b
a
内的每点处都有导数，此时对于每
一个
)
,
(
b
a
x
，都对应着一个确定的导数
)
(
/ x
f
，从而构成了一个新的函数
)
(
/ x
f
, 称这
个函数
)
(
/ x
f
为函数
)
(x
f
y
在开区间内的导函数，简称导数。
（二）导数的实际意义：
1.导数的几何意义：
/
0
(
)
f
x
是曲线
)
(x
f
y
上点(
)
(
,
0
0
x
f
x
)处的切线的斜率因此，如果
)
(x
f
y
在点
0x
可导，则曲线
)
(x
f
y
在点(
)
(
,
0
0
x
f
x
)处的切线方程为
)
)(
(
)
(
0
0
/
0
x
x
x
f
x
f
y
2.导数的物理意义：
导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。
（三）概念部分题型：
1.利用定义求函数
)
(x
f
y
的导数
主要有三个步骤：
(1)求函数的改变量
)
(
)
(
x
f
x
x
f
y
(2)求平均变化率
x
x
f
x
x
f
x
y
)
(
)
(
(3)取极限，得导数
/y ＝
( )
f
x
x
y
x
0
lim
2.利用导数的实际意义解题
主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。
二 导数的运算
（一）常见函数的导数
1．
0
C
2．
1
)
(
n
n
nx
x
3．
x
x
e
e
)
(
4．
a
a
a
x
x
ln
)
(
5．
1
(ln )
x
x
6．
a
x
e
x
x
a
a
ln
1
log
1
)
(log
7．
x
x
cos
)
(sin
8．
x
x
sin
)
(cos
（二）导数的四则运算
1．和差：(
)
u v
u
v
2．积：
v
u
v
u
uv
)
(
3．商：
2
)
(
v
v
u
v
u
v
u
（三）复合函数的导数：
1．运算法则复合函数导数的运算法则为：
( )
( )
( )
f
g x
f
g
g x
2．复合函数的求导的方法和步骤：
求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一
层层求导，注意不要漏层。
求复合函数的导数的方法步骤：
(1)分清复合函数的复合关系，选好中间变量
(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求
导数
(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成
自变量的函数
三 导数的应用
（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。
1.导数和函数单调性的关系：
(1)若f (x)>0 在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数，f (x)>0 的解集与定义域的
交集的对应区间为增区间；
(2)若f (x)<0 在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数，f (x)<0 的解集与定义域
的交集的对应区间为减区间。
2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定
)
(x
f
的定义域；
②计算导数
)
(
/ x
f
；
③求出
0
)
(
/
x
f
的根；
④用
0
)
(
/
x
f
的根将
)
(x
f
的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内
)
(
/ x
f
的符号,进而确定
)
(x
f
的单调区间：f (x)>0，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区
间为增区间；f (x)<0，则f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
（二）利用导数求解函数极值与最值。
1.极值与最值的定义：
(1)极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有
f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y
极大值=f(x0)，x0 是极大值点
(2)极小值：一般地，设函数f(x)在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f(x)
＞f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y
极小值=f(x0)，x0 是极小值点
(3)函数的最大值和最小值:在闭区间
b
a,
上连续的函数
)
(x
f
在
b
a,
上必有最大值与
最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
2.极值的性质：
(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是
最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
(2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止
一个
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得
最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
3.判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若
0x 满足
0
)
(
0
x
f
，且在
0x 的两侧
)
(x
f
的导数异号，则
0x 是
)
(x
f
的极值点，
)
(
0x
f
是极值，并且如果
)
(x
f
在
0x 两侧满足“左正右负”，则
0x 是
)
(x
f
的极大值点，
)
(
0x
f
是极大值；如果
)
(x
f
在
0x 两侧满足“左负右正”，则
0x 是
)
(x
f
的极小值点，
)
(
0x
f
是极小值
4.求函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0 的根
(3)用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检
查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果
左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)
在这个根处无极值
5.利用导数求函数的最值步骤:
⑴求
)
(x
f
在( , )
a b 内的极值；
⑵将
)
(x
f
的各极值与
)
(a
f
、
)
(b
f
比较得出函数
)
(x
f
在
b
a,
上的最值
（三）利用导数求解证明不等式：
主要方法为将不等式( )
( )
t x
g x
左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数
( )
( )
( )
f x
t x
g x
，通过对
( )
f x 求导，根据
( )
f
x
的大小和导数的性质，结合已知条件进
行求解或证明。
四 定积分与微积分基本原理 (理科考查，文科不考查)
（一）曲边梯形面积与定积分
1、定积分定义：设函数
( )
f x 在[ , ]
a b 上有界(通常指有最大值和最小值)，在a 与b 之间任
意插入
1
n 个分点，
0
1
2
1
n
n
a
x
x
x
x
x
b
，
将
区
间
,a b
分
成
n
个
小
区
间
1,
i
i
x
x
1,2,
,
i
n
，记每个小区间的长度为
ix
1
i
i
x
x
1,2,
,
i
n
，在
1,
i
i
x
x
上任取一点ζ i, 作函数值
i
f
与小区间长度
ix
的乘积
i
f
ix
1,2,
,
i
n
，并求和
1
n
i
i
i
s
f
x
记λ=max{
ix
；
1,2,
,
i
n
},如果当λ->0 时,和s 总是趋向于一个定值,则该定值便称为函
数
( )
f x 在
,a b 上的定积分,记为b
a
dx
x
f
)
(
，即
( )
b
a
f x dx
n
i
i
i
x
f
1
0
)
(
lim
其中,
x
i
n
i
i
f
)
(
1
称为函数
( )
f x 在区间
,a b 的积分和.
2、定积分的几何意义
定积分b
a
dx
x
f
)
(
在几何上,当
( )
0
f x
时,表示由曲线
( )
y
f x
、直线x
a
、直线
x
b
与x 轴所围成的曲边梯形的面积；当
( )
0
f x
时，表示由曲线
( )
y
f x
、直线x
a
、
直线x
b
与x 轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线
( )
y
f x
、
两条直线x
a
、x
b
与x 轴之间的个部分面积的代数和
（二）微积分基本定理
1、基本定理
若函数
( )
f x 在
b
a,
上连续，且存在原函数
( )
F x ，即
b
a
x
x
f
x
F
,
,
，则f
在
b
a,
上可积，且
.
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成
.
b
a
b
a
x
F
dx
x
f
二、常用的不定积分公式：
1.
C
dx
0
2.
C
x
dx
x
1
1
1
(
1
)
3.
C
x
dx
x
ln
1
4.
C
a
a
dx
a
x
x
ln
1
(
0
a
，
1
a
)
5.
C
e
dx
e
x
x
6.
C
x
xdx
cos
sin
7.
C
x
xdx
sin
cos
8.
C
x
xdx
tan
sec 2
9.
C
x
xdx
cot
csc 2
10.
C
x
xdx
x
sec
tan
sec
12.
C
x
xdx
x
csc
cot
csc
13.
C
x
C
x
dx
x
arccos
arcsin
1
1
2
14.
C
x
C
x
dx
x
cot
arc
arctan
1
1
2
本节主要考察利用积分的公式熟练的计算。
复数
一 复数的概念
1.虚数单位i ：
(1)它的平方等于-1，即
2
1
i ；
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
2. i 与－1 的关系: i 就是－1 的一个平方根，即方程x2=－1 的一个根，方程x2=－1 的
另一个根是－i
3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1
4. 复数的定义：形如
( ,
)
a
bi a b
R
的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全
体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*
5. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即
( ,
)
z
a
bi a b
R
，把复数表示成a+bi
的形式，叫做复数的代数形式
6.复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：对于复数
( ,
)
a
bi a b
R
，当且仅当b=0
时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0 时，复数z=a+bi 叫做虚数；当a=0 且b≠0 时，
z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0 时，z 就是实数0
7. 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C
二 复数与复平面
1. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个
复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就
可以比较大小 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小
2.复平面、实轴、虚轴：
点Z 的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点
Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的
复数是z=0+0i=0 表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数z
a
bi
一一对应
复平面内的点
( , )
Z a b
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个
点，有惟一的一个复数和它对应
这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法
三 复数的运算
1．复数z1 与z2 的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
2. 复数z1 与z2 的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1
4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
5．乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的
积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2 换成－1，并且
把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数
6. 乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ；(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3；
(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
7. 除法运算规则：
(
)(
)
(
)(
)
a
bi
a
bi c
di
c
di
c
di c
di
2
2
2
2
ac
bd
bc
ad i
c
d
c
d
8.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复
数虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数
复数z=a+bi 和z =a－bi(a、b∈R)互为共轭复数
四 复数的几何意义
1. 复数加法的几何意义：如果复数z1，z2 分别对应于向量
1
OP 、
2
OP ，那么，以OP1、
OP2 为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS 表示的向量OS 就是z1+z2 的和所对应的向量
b
Z(a，b)
a
o
y
x
2. 复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向
量对应
3．复数的模：
2
2
|
| |
| |
|
z
a
bi
OZ
a
b
第六章 概率
一 事件
（一）、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象叫做确定性现象
（二）、在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，
这种现象叫做随机现象
（三）、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条
件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件
二 概率
在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳
定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。
1.概率： 一般地，如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，
我们可以将发生的频率m
n 作为事件A 发生的概率的近似值，即
m
P A
n
2．概率的性质：
①随机事件的概率为0
( )
1
P A
，
②必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用和表示，必然事件的概率
为1，不可能事件的概率为0 ，即1
P
，
0
P
;
3.（1）频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机
的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越
小，这一常数就成为该事件的概率;
（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机
事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了
随机事件的属性.
1.随机事件的概率：
我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在0 ～1
之间的一个数，将这个事件记为A ，用
A
P
表示事件A 发生的概率.
三 古典概型
1、基本事件： 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．
2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些
基本事件为等可能基本事件。
3、如果一个随机试验满足：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件的发生都是等可能的；
那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．
4、古典概型的概率：
如果一次试验的等可能事件有n 个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是
1
n ；
如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为
( )
m
P A
n
．
5、古典概型解题步骤：
⑴阅读题目，搜集信息；
⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；
⑶求出基本事件总数n 和事件A 所包含的结果数m ；
⑷用公式
( )
m
P A
n
求出概率并下结论.
四 几何概型
１．几何概型的概念：
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，
该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内
的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理
随机试验，称为几何概型．
２．几何概型的基本特点：
（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
（２）每个基本事件出现的可能性相等．
３．几何概型的概率：
一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件
A ，则事件A 发生的概率
( )
d
P A
D
的测度
的测度．
说明：（１）D 的测度不为0 ；
（２）其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相
应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．
（３）区域为＂开区域＂；
（４）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部
分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．
第十八章 计数原理(理科)
一 分类、分步原理
（一）分类原理：
1
2
n
N
m
m
m
.
分类原理题型比较杂乱，须累积现象。几种常见的现象有：
1．开关现象:要根据开启或闭合开关的个数分类
2．数图形个数:根据图形是由几个单一图形组合而成进行分类求情况数
3．球赛得分：根据胜或负场次进行分类
（二）分步原理：
1
2
n
N
m
m
m
.
两种典型现象：
1．涂颜色
(1)平面图涂颜色:先涂接触区域最多的一块
(2)立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举
2．映射
按步骤用A 集合的每一个元素到B 集合里选一个元素，可以重复选。
二 排列组合
（一）常规题型求情况数
1.直接法：先排(选)特殊元素，再排(选)一般元素。捆绑法，插空法。
2.间接法：先算总情况数，再排除不符合条件的情况数。
（二）七种常考非常规现象
1．小数量事件需要分类列举：
凡不可使用公式且估计情况数较少，要分类一一列举(例1，例2)
2．相同元素的排列：
用组合数公式选出位置把相同元素放进去，不用排顺序(例3 例4)
3．有序元素的排列:
用组合数公式选出位置把有序元素放进去，不用排顺序(例5 例6)
4．剩余元素分配：
有互不相同的剩余元素需要分配时，用隔板法。(例7 例8)
5．迈步与网格现象: (例9 例10)
要看一共走几步，把特殊的几步选出来，有几种选法就有几种情况
6．立体几何与解析几何现象：多数用排除法求情况数(例11)
7．平均分组现象: (例12 例13)
先用分步原理选出每一组的元素，再除以因为平均分组算重复的倍数，平均分n 组，就除以
n
n
A ，
有几套平均分组就除几个
x
x
A
（三）排列数，组合数公式运算的考察
1.排列数公式
m
n
A =
)1
(
)1
(
m
n
n
n
=
！
！
)
(
m
n
n
.( n ，m ∈N*，且m
n
)．
注:规定
1
!0 .
2. 排列恒等式
(1)
1
(
1)
m
m
n
n
A
n
m
A
;
(2)
1
m
m
n
n
n
A
A
n
m
;
(3)
1
1
m
m
n
n
A
nA
;
(4)
1
1
n
n
n
n
n
n
nA
A
A
;
(5)
1
1
m
m
m
n
n
n
A
A
mA
.
(6) 1! 2 2! 3 3!
!
(
1)! 1
n n
n
.
3. 组合数公式
m
n
C
=
m
n
m
m
A
A
=
m
m
n
n
n
2
1
)1
(
)1
(
=
！
！
！
)
(
m
n
m
n
(n ∈N*，m
N
，且m
n
).
4. 组合数的两个性质
(1)
m
n
C
=
m
n
n
C
;
(2)
m
n
C
+
1
m
n
C
=
m
n
C
1
.
注:规定
1
0
n
C
.
5. 组合恒等式
(1)
1
1
m
m
n
n
n
m
C
C
m
;
(2)
1
m
m
n
n
n
C
C
n
m
;
(3)
1
1
m
m
n
n
n
C
C
m
;
(4)
n
r
r
n
C
0
=
n
2 ;
(5)
1
1
2
1
r
n
r
n
r
r
r
r
r
r
C
C
C
C
C
.
(6)
n
n
n
r
n
n
n
n
C
C
C
C
C
2
2
1
0
.
(7)
1
4
2
0
5
3
1
2
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
.
(8)
1
3
2
1
2
3
2
n
n
n
n
n
n
n
nC
C
C
C
.
(9)
r
n
m
r
n
r
m
n
r
m
n
r
m
C
C
C
C
C
C
C
0
1
1
0
.
(10)
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
2
2
2
2
2
1
2
0
)
(
)
(
)
(
)
(
.
6. 排列数与组合数的关系
m
m
n
n
A
m C
！
.
三 二项式定理
（一） 公式
1．二项式定理：
n
n
n
r
r
n
r
n
n
n
n
n
n
b
a
C
b
a
C
b
a
C
b
a
C
b
a
0
1
1
0
0
)
(
.
展开式具有以下特点：
①
项数：共有
1
n
项；
②
系数：依次为组合数
;
,
,
,
,
,
,
2
1
0
n
n
r
n
n
n
n
C
C
C
C
C
③
每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幂排列，b 的升幂排列展开.
2．二项展开式的通项.
n
b
a
)
（
展开式中的第
1
r
项为：
)
,
0
(
1
Z
r
n
r
b
a
C
T
r
r
n
r
n
r
解三角形
一 正弦定理
（一）知识与工具：
正弦定理：在△ABC 中，
R
C
c
B
b
A
a
2
sin
sin
sin
。
在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。
注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件
的应用：
(1)三内角和为180°
(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
(3)面积公式：S= 2
1
absinC=
R
abc
4
=2R2sinAsinBsinC
(4)三角函数的恒等变形。
sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin
2
B
A
=cos 2
C
，cos
2
B
A
=sin 2
C
（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型
题型1 利用正弦定理公式原型解三角形
题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边
角互化。
例如：
2
2
2
2
2
2
sin
3sin
2sin
3
2
A
B
C
a
b
c
题型3 三角形解的个数的讨论
方法一：画图看
方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果
是否符合实际意义，从而确定解的个数。
二 余弦定理
（一）知识与工具：
a2=b2+c2﹣2bccosA cosA=
bc
a
2
c
b
2
2
2
b2=a2+c2﹣2accosB cosB=
ac
b
c
a
2
2
2
2
c2=a2+b2﹣2abcosC cosC=
ab
c
b
a
2
2
2
2
注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦
定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
(1)三内角和为180°；
(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
(3)面积公式：S= 2
1
absinC=
R
abc
4
=2R2sinAsinBsinC
(4)三角函数的恒等变形。
（二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型
题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形
题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的
题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。
题型3 判断三角形的形状
结论：根据余弦定理，当a2+b2＜c2、b2+c2＜a2、c2+a2＜b2 中有一个关系式成立时，该
三角形为钝角三角形，而当a2+b2＞c2、b2+c2＞a2，c2+a2＞b2 中有一种关系式成立时，并不
能得出该三角形为锐角三角形的结论。
判断三角形形状的方法：
(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，
从而判断三角形的形状。
(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内
角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A+B+C=π这个结论。
在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解。
正余弦定理在实际中的应用
求
距
离
两点间不可通又
不可视
两点间可视但不
可达
两点都不可达
求
高
度
底部可达
底部不可达
题型1 计算高度 题型2 计算距离
题型3 计算角度 题型4 测量方案的设计
实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，
再通过正弦定理和余弦定理进行求解。
（三）其他常见结论
1三角形内切圆的半径：
2S
r
a
b
c
，
特别地，
2
a
b
c
r
斜
直
2三角学中的射影定理：
在△ABC 中，
A
c
C
a
b
cos
cos
，…
3两内角与其正弦值：
在△ABC 中，
B
A
B
A
sin
sin
，…
第十七章 空间向量（理科）
一 空间向量的线性运算
知识点
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如下图)。
OB
OA
AB
a
b
; BA
OA
OB
a
b
;
(
)
OP
a
R
运算律：⑴加法交换律：
a
b
b
a
⑵加法结合律：
)
(
)
(
c
b
a
c
b
a
⑶数乘分配律：
b
a
b
a
)
(
二 空间向量的基本定理
知识点
1. 共线向量
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向
量或平行向量，a
平行于b
，记作
b
a
//
。
当我们说向量a
、b
共线(或a
//b
)时，表示a
、b
的有向线段所在的直线可能是同一
直线，也可能是平行直线。
(2)共线向量定理：空间任意两个向量a
、b
(b
≠0
)，a
//b
存在实数λ，使a
＝λb
。
深化：
(1)对于空间中的任意两个向量来说都是共面的，但三个向量不一定共面．
(2)当p、a、b 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b 所在的三条直线共
面的充要条件，但用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线确定的平面内．
2. 共面向量
(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
(2)共面向量定理：如果两个向量,
a b 不共线，p 与向量,
a b 共面的条件是存在实数,x y
使p
xa
yb
。
3. 空间向量基本定理：
如果三个向量, ,
a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组
, ,
x y z ，使p
xa
yb
zc
。
若三向量, ,
ab c不共面，我们把{ , , }
a b c 叫做空间的一个基底，, ,
a b c 叫做基向量，空
间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设
, , ,
O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数
, ,
x y z ，使
OP
xOA
yOB
zOC
。
深化：
(1)如果三个向量a、b、c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是｛p|p＝xa
＋yb＋zc，x、y、z∈R｝．这个集合可看作是由向量a、b、c 生成的，所以我们把｛a，
b，c｝叫做空间的一个基底，a、b、c 都叫做基向量．由上述定理可知，空间任意三个
不共面的向量都可构成空间的一个基底．
(2)推论中，若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得：P、
A、B、C 四点共面．故
1
OP
xOA
yOB
zOC
x
y
z
可看成平面ABC 的一个向量参数方程，其
中x, y，z 为参数.
三 向量的数量积
(一)平面向量
0
0
0
0
,
,
(0
180 )
0
180
,
cos
3.
cos
a
b
OA
a OB
b
AOB
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a b
a
b
b
a
b
•
•
0
1.
非零向量和，作
则
叫向量与夹角．当
时，与同向，当
时与反向。
当=90
时，与垂直.记作a b
2.
向量与的数量积
在方向上的投影
2
2
1
cos (
2
0
(3)
;
(4)
(5)cos
(6)
a
e
e
b
a b
a
b
a
b
b
a
a
a
a a
a b
a b
a b
a b
4.
数量积的性质：
（）ea=a
e=
a
是与的夹角，是单位向量）
（）a
当与b同向时，ab=a
当与反向时，ab=-
a
或
5.
数量积满足的运算律
(1)a
b=b
a
(2)(
a)b=(ab)=a
(b);
(3)(a+b)
c=a
c+b
c
(二) 空间向量
(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量
,a b ，在空间任取一点O ，作
,
OA
a OB
b
，则
AOB
叫做向量a 与b 的夹角，记作
,
a b
；且规定
0
,a b
，显然有
,
,
a b
b a
；若
,
2
a b
，则称a 与b 互相垂直，记
作：a
b
。
(2)向量的模：设OA
a
，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：|
|
a 。
(3)向量的数量积：已知向量,a b ，则|
| |
| cos
,
a
b
a b
叫做,a b 的数量积，记作
,a b ，即,a b | | | | cos
,
a
b
a b
。
(4)空间向量数量积的性质：
①
|
| cos
,
a e
a
a e
；②
0
a
b
a b
；③
2
|
|
a
a a
。
(5)空间向量数量积运算律：
①(
)
(
)
(
)
a
b
a b
a
b
；②a b
b a
(交换律)；③
(
)
a
b
c
a b
a c
(分配
律)。
四 空间向量的直角坐标运算
1.空间直角坐标系：
(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用
{ , , }
i j k 表示；
(2)在空间选定一点O 和一个单位正交基
底{ , , }
i j k ，以点O 为原点，分别以, ,
i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，
它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O
xyz
，点O 叫原点，向量 , ,
i j k 都
叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx
平面；
(3)作空间直角坐标系O
xyz
时，一般使
135
xOy
(或45 )，
90
yOz
；
(4)在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如
果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右
手直角坐标系
2．空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量a ，设, ,
i j k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组
1
2
3
(
,
,
)
a a a
，使
1
2
3
a
a i
a j
a k
，有序实数组
1
2
3
(
,
,
)
a a a
叫作向量a 在空间直角坐标系
O
xyz
中的坐标，记作
1
2
3
( ,
,
)
a
a a a
．
在空间直角坐标系O
xyz
中，对空间任一点A ，存在唯一
的有序实数组( , , )
x y z ，使OA
xi
yj
zk
，有序实数组( , , )
x y z 叫作向量A 在空间直角
坐标系O
xyz
中的坐标，记作
( , , )
A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．如上
图
3．空间向量的直角坐标运算律：
(1)如右图：若
1
2
3
( ,
,
)
a
a a a
，
1
2
3
( ,
,
)
b
b b b
，
则
1
1
2
2
3
3
(
,
,
)
a
b
a
b a
b a
b
，
1
1
2
2
3
3
(
,
,
)
a
b
a
b a
b a
b
，
1
2
3
(
,
,
)(
)
a
a
a
a
R
，
1 1
2 2
3 3
a b
a b
a b
a b
，
1
1
2
2
3
3
//
,
,
(
)
a
b
a
b a
b a
b
R
，
1 1
2 2
3 3
0
a
b
a b
a b
a b
．
(2)若
1
1
1
( ,
,
)
A x y z
，
2
2
2
(
,
,
)
B x
y
z
，
则
2
1
2
1
2
1
(
,
,
)
AB
x
x y
y z
z
．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐
标如下图。
立体几何
一 平行关系
（一） 线线平行(图3-1)
1．如果两条线都平行于第三条线，那么这两条线
相互平行.
2．如果一条线平行于另一个平面，那么这条线就
平行于过这条线的平面与已知平面的交线.
图3-1
3．如果两个平面平行，那么另一个平面与这两个平面的交线互相
平行.
4．如果两条直线都和另一个平面垂直，那
么这两条直线平行.
5．在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条
直线平行.
（二） 线面平行(图3-2)
1．如果平面外一条直线平行于平面内的一条
图3-2
直线，那么直线与平面平行.
2．如果两个平面平行，一个平面内的任何一条直 线平行于另一个平面
3．如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一条直线，那么线面平行
4．如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一个平面，那么线面平行
（三） 面面平行(图3-3)
1.如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么面面平行
2.如果两个平面都平行于第三个平面，那么
这两个平面平行 图3-3
3.如果两个平面同时垂直于同一条直线，那么这两个平面平行
二 垂直关系
大部分都是通过垂直证垂直；不能证明的时候，平移到另一个位置证垂直。
（一） 线线垂直
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线。
（二） 线面垂直
1．如果一条直线垂直于平面内两条相交的直线，那么这条直线就垂直于两条相交直线所在
的平面
2．如果两个平面垂直，在其中一个平面内，垂直于公共棱的
直线垂直于另一个平面
（三） 面面垂直 (如图3-4)
1．过一个平面垂线的平面垂直于已知平面
2．二面角为直角的两个平面垂直
（四） 不能直接证垂直的情况
1．把已知线或面平移到容易证明垂直的位置 图3-4
2．找和已知线或面平行的线或面证垂直
三 距离问题
1．能做出垂线段的直接求距离，垂足一定是特殊点(顶点，中点，内心，外心)或在特殊直
线(棱或对角线)上
2．不能做出垂线段的，转移后求距离：
点到面 → 线到面 → 面到面
3．等体积性：
1
1
2
2
1
1
S h
S
h
3
3
，找到三个量就可以求出另一个量。
四 多面体概念辨析与边长、面积、体积
（一） 题型分类总描述
概念辨析：主要考查的是四棱柱，平行六面体，直平行六面体，长方体，正四棱柱，正
方体系列概念的对比，或正四面体，正四棱锥系列。
边长：将边长放于三角形中解三角形。正弦定理，余弦定理，勾股定理。
面积：找底和高
体积：一般底面积好求，高看成是距离用上文“求距离”的方法求。
（二）棱柱
1．概念
棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。
两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底)；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱
的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高(公垂线段长也简称高)
2．棱柱的分类：
(1)总体分类：
a.棱柱：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、
五棱柱……
b.直棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。
c.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
例： 正四棱柱
(2)四棱柱分类：
a.普通四棱柱：上下底面是四边形的棱柱。如图3-5
b.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体。如图3-6
c.直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。如图3-7
d.长方体：底面是矩形的直平行六面体是长方体。如图3-8
e.正四棱柱：底面是正方形的直四棱柱
f.正方体：棱长都相等的长方体叫正方体。如图3-9
图3-5 图3-6 图3-7
图3-8 图3-9
(3)棱柱的体积公式： V
Sh
( S 为底面积，h 为高)
五 棱锥
（一）概念：
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥。其中
有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点，叫棱锥
的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段，叫棱锥的高(垂线段的长也简称高)．
（二）棱锥的分类：
1.按底面多边形的边数分类：
分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥五棱锥……三棱锥
也叫做四面体(如图3-10)，各个面都是正三角形的四面体叫正四面体。四棱锥如图3-11 .五
棱锥如图3-12
图3-10 图3-11 图3-12
2.正棱锥：
底面是正n 边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫
“正n 棱锥”
（三）棱锥的体积公式：
Sh
V
3
1
( S 为底面积，h 为高)
注：在棱锥中涉及到表面积或体积时经常
图3-13
需要连出底面高h 和斜高h。如图3-13
六 正多面体
1．正多面体的概念：
每个面都是有相同边数的全等的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，
叫做正多面体．
（1）．正方体:是一类非常特别的多面体：它的六个面都是正方形，每个顶点处都有三条棱．正
方体我们也可以称为正六面体．
（2）．正四面体:它的四个面都是全等的正三角形，每个顶点处都有三条棱
2．正多面体的特性：
正多面体是一种特殊的凸多面体，它有两个特点：
（1）．每个面都是有相同边数的全等的正多边形；
（2）．每个顶点处都有相同数目的棱．
由定义可以得知：正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段．
3．正多面体的种类：
正多面体共有五种，它们是：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面
体。如下图。
七 球
（一） 球的定义
第一定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面。球面所围成的几何体叫球体，
简称球。
第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合
（二）球的截面与大圆小圆
截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面
大圆：过球心的截面圆叫大圆， 大圆是所有球的截面中半径最大的圆。
球面上任意两点间最短的球面距离：是过这两点大圆的劣弧长
小圆：不过球心的截面圆叫小圆。 如图所示。
（三）球的表面积与体积
①球的表面积公式：
2
4 R
S
.
②球的体积公式：
3
3
4 R
V
.
（四）纬度、经度：
1．纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.
2．经度：地球上
B
A,
两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平
面的二面角的大小
平面向量
一 向量的概念
向量的常识性概念
1．向量：既有大小又有方向的量
2．向量的表示：图形表示
，箭头的方向表示向量的方向，线段的长短表示向量的
大小；字母表示，向量可以写成AB ,a (手写版)或 a (印刷版)
3．零向量：大小为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
4．向量共线或平行：两个向量方向相同或相反时，都可以称作两个向量共线或平行。a 与b 平
行或共线的等价条件是：=k
a
b
图9-1
二 向量的加减法运算
（一）几何运算：五大运算工具，凡是加减法几何运算，先从加法角度来理解，再利用加法交换
律算减法
1.平行四边形法则(如图9-1)：两个向量
的和等于以
这两个向量的临边的平行四边形的对
角线表示的向量
AB
AD
AC
图
9-1
2.三角形法则(如图9-2)： 首位相连的
两个向量之和
连) AB
BC
AC
，
等于另一个向量(与前两个不首尾相
AC
AB
BC
图9-2
3.多边形法则(如图2-3)：首尾相连的若
干个向量之和等于另一个
向量AB
BC
CD
DF
AF
4.中线法则(如图9-4)：三角形底边中线
所表示的向量等于两临边
向量之和的一半。在向量图形中提到中点，一定用中线 图9-3
法则解题。 图中 D 为 BC 中点。
2
AB
AC
AD
图9-4
(五)终边在一条直线上的多向量运算(如图9-5)：起始点相同，终点落在同一条直线上的三个向量，
其中任何一个可以用其他两个乘以系数加和表示。两个系数之和一定为1。凡在同一个图中出现以下
形式的三个向量，
一定用此
结论解题。证明过程如下：
k
k
k
1
1 k
k
1 k
1 k
1 k
1
k
k
BC
AC
AB
CD
AD
AC
BC
CD
BC
CD
AC
AB
AD
AC
AB
AC
AD
AC
AD
AB
AD
AC
AB
与
共线
（+）
+
+
+
结论：
1
1
1
1
1
AB
m AC
n AD
m
n
2
2
2
2
1
AC
m AB
n AD
m
n
3
3
3
3
1
AD
m AB
n AC
m
n
（二）坐标运算：基本运算法则
已知
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
a
x y
b
x
y
，
1
2
1
2
(
,
)
a
b
x
x
y
y
，
1
2
1
2
(
,
)
a
b
x
x
y
y
1
1
(
,
)
ka
kx ky
1
1
(
,
)
a
x
y
，表示与a 大小相等方向相反的向量，叫a 的相反向量。
三 向量的乘法运算
（一）坐标运算：
已知
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
a
x y
b
x
y
1
2
1
2
a b
x x
y y
注：向量的加减法结果得到的是向量，向量的乘法得到是数。
（二）向量的公式运算：
1．乘法公式：
cos
a b
a b
是a 与b 的夹角，
0,
2．混合运算公式：
(1)
a
b
c
d
a c
a d
b c
b d
(2)a b
b a
(3) a b c
c b a
即多个向量相乘除不能改变运算顺序。
四 向量运算的应用
（一）求向量的模：根据向量的乘法公式
2
2
a
a
=
2
2
x
y
（二）求向量的夹角：根据向量的乘法公式cos
a b
a
b
，凡是提到向量夹角，一律列向量乘法
公式解题。
（三）投影问题(如图9-6 )：a 在b 上的投影就是
cos
a
，只有乘法运算中才能出现这种形式，
凡是提到一个向量在另一个向量上的投影，一
定要列这两个向量的
乘法公式解决问题。
图9-6
（四）向量垂直：
o
1
2
1
2
90
0
0
a
b
a b
x x
y y
夹角
（五）向量平行：
1
2
2
1
//
a
b
a
kb
x y
x y
三角函数
一 任意角的概念与弧度制
（一）角的概念的推广
1、角概念的推广：
在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。
按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的
叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作
为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。
2、特殊命名的角的定义：
(1)正角，负角，零角 ：见上文。
(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限
角、第二象限角等
(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角
终边在x 轴上的角的集合：
Z
k
k
,
180
|
终边在y 轴上的角的集合：
Z
k
k
,
90
180
|
终边在坐标轴上的角的集合：
Z
k
k
,
90
|
(4)终边相同的角：与终边相同的角
2
x
k
(5)与终边反向的角：
(2
1)
x
k
终边在y=x 轴上的角的集合：
Z
k
k
,
45
180
|
终边在
x
y
轴上的角的集合：
Z
k
k
,
45
180
|
(6)若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：
k
180
(7)成特殊关系的两角
若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：
k
360
若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：
180
360 k
若角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：
90
360
k
注：(1)角的集合表示形式不唯一.
(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.
3、本节主要题型：
1.表示终边位于指定区间的角.
1:写出在720
到720之间与1050
的终边相同的角.
2:若是第二象限的角,则2 , 2
是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.
3:①写出终边在y 轴上的集合.
②写出终边和函数y
x
的图像重合,试写出角 的集合.
③在第二象限角,试确定2 ,
,
2 3
所在的象限.
④角终边与168角终边相同,求在[0 ,360 )
内与3
终边相同的角.
（二）弧度制
1、弧度制的定义：
l
R
2、角度与弧度的换算公式：
360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
一个式子中不能角度,弧度混用.
3、题型
（1）角度与弧度的互化
例:
7
4
315 ,330 ,
,
6
3
（2）
L
R
，
2
1
1
,
2
2
l
r
s
lr
r
的应用问题
1:已知扇形周长10cm,面积
2
4cm ,求中心角.
2:已知扇形弧度数为72,半径等于20cm ,求扇形的面积.
3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时,面积最大.
4:
1
2
1
2
3
7
570 ,
750 ,
,
5
3
a.求出
1
2
,
弧度,象限.
b.
1
2
,
用角度表示出,并在720 ~ 0
之间找出，他们有相同终边的所有角.
二 任意角三角函数
（一）三角函数的定义
1、任意角的三角函数定义
sin
,
cos
,
tan
,
cot
y
x
y
x
r
r
x
y
正弦
余弦
正切
余切
2、三角函数的定义域：
三角函数
定义域
)
(x
f
sinx
R
x
x
|
)
(x
f
cosx
R
x
x
|
)
(x
f
tanx
Z
k
k
x
R
x
x
,
2
1
|
且
)
(x
f
cotx
Z
k
k
x
R
x
x
,
|
且
)
(x
f
secx
Z
k
k
x
R
x
x
,
2
1
|
且
)
(x
f
cscx
Z
k
k
x
R
x
x
,
|
且
（二）单位圆与三角函数线
1、单位圆的三角函数线定义
如图(1)PM 表示角的正弦值，叫做正弦线。OM 表示角的余弦值，叫做余弦线。
如图(2)AT 表示角的正切值，叫做正切线。AT表示角的余切值，叫做余切线。
注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负
（三）同角三角函数的基本关系式
同角三角函数关系式
(1)
1
csc
sin
，
1
sec
cos
，
1
cot
tan
(2)商数关系：
tan
cos
sin
cot
sin
cos
(3)平方关系：
1
cos
sin
2
2
，
2
2
sec
tan
1
，
2
2
csc
cot
1
（四）诱导公式
x
x
k
x
x
k
x
x
k
x
x
k
cot
)
2
cot(
tan
)
2
tan(
cos
)
2
cos(
sin
)
2
sin(
x
x
x
x
x
x
x
x
cot
)
cot(
tan
)
tan(
cos
)
cos(
sin
)
sin(
x
x
x
x
x
x
x
x
cot
)
cot(
tan
)
tan(
cos
)
cos(
sin
)
sin(
x
x
x
x
x
x
x
x
cot
)
2
cot(
tan
)
2
tan(
cos
)
2
cos(
sin
)
2
sin(
x
x
x
x
x
x
x
x
cot
)
cot(
tan
)
tan(
cos
)
cos(
sin
)
sin(
三 三角函数的图像与性质
（一）基本图像：
1．正弦函数
2．余弦函数
3．正切函数
4.余切函数
sin
)
2
1
cos(
cos
)
2
1
sin(
cot
)
2
1
tan(
sin
)
2
1
cos(
cos
)
2
1
sin(
cot
)
2
1
tan(
（二）、函数图像的性质
正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
定义域
R
R
|
1
2
x x
R
x
k
且
值域
]1
,1
[
]1
,1
[
R
R
周期
2
2
奇偶
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调
]
2
2
,
2
2
[
k
k
上为
增函数
]
2
2
3
,
2
2
[
k
k
上
为
减
函
数
(
Z
k
)
]
2
,
1
2
[
k
k
上为增
函数
]
1
2
,
2
[
k
k
上为减函数
(
Z
k
)
k
k
2
,
2
上为增函数
(
Z
k
)
,
k
k
上为减函数
(
Z
k
)
对称
对
称
轴
为
2
x
k
，对称
中心为(
,0)
k
，
k
Z
对称轴为x
k
，
对
称
中
心
为
(
,0)
2
k
k
Z
无对称轴，
对称中心为
(
,0)
2
k
k
Z
无对称轴，
对称中心为
(
,0)
2
k
k
Z
（三）、常见结论：
1.
x
y
sin
与
x
y
cos
的周期是.
|
x x
R
x
k
且
x
y
cot
x
y
tan
x
y
cos
x
y
sin
2.
)
sin(
x
y
或
)
cos(
x
y
(
0
)的周期
2
T
.
3.
2
tan x
y
的周期为2.
4.
)
sin(
x
y
的对称轴方程是
2
k
x
(
Z
k
)，对称中心(
0,
k
)；
)
cos(
x
y
的对称轴方程是
k
x
(
Z
k
)，对称中心(
0,
2
1
k
)；
)
tan(
x
y
的对称中心(
0,
2
k
).
5.当
tan
·
,1
tan
)
(
2
Z
k
k
；
tan
· tan
1,
(
)
2
k
k
Z
6.函数
x
y
tan
在R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
x
y
tan
为增函数，同样也是错误的.
7.奇函数特有性质：若
x
0
的定义域，则
)
(x
f
一定有
0
)
0
(
f
.(
x
0
的定义域，则无此性
质)
8.
x
y
sin
不是周期函数；
x
y
sin
为周期函数(
T
)；
x
y
cos
是周期函数(如图)；
x
y
cos
为周期函数(
T
)；
2
1
2
cos
x
y
的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
▲y
x
y=cos|x|图象
▲
1/2
y
x
y=|cos2x+1/2|图象
四 和角公式
两角和与差的公式
sin
sin
cos
cos
)
cos(
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
sin
sin
cos
cos
)
cos(
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
sin
cos
cos
sin
)
sin(
sin
cos
cos
sin
)
sin(
五 倍角公式和半角公式
（一）倍角与半角公式：
cos
sin
2
2
sin
2
cos
1
2
sin
2
2
2
2
sin
2
1
1
cos
2
sin
cos
2
cos
2
cos
1
2
cos
2
tan
1
tan
2
2
tan
1
cos
sin
1
cos
tan 2
1
cos
1
cos
sin
（二）万能公式：
2
tan
1
2
tan
2
sin
2
2
tan
1
2
tan
1
cos
2
2
2
tan
1
2
tan
2
tan
2
六 三角函数的积化和差与和差化积
公式
1
sin
cos
sin
sin
2
1
cos
sin
sin
sin
2
1
cos
cos
cos
cos
2
1
sin
sin
cos
cos
2
sin
sin
2sin
cos
2
2
sin
sin
2cos
sin
2
2
cos
cos
2sin
sin
2
2
4
2
6
75
cos
15
sin
,
4
2
6
15
cos
75
sin
,
3
2
75
cot
15
tan
,
3
2
15
cot
75
tan
数列
第一部分 等差数列
一 定义式：
1
n
n
a
a
d
二 通项公式：
n
a
1
(
)
(
1)
m
a
n
m d
a
n
d
一个数列是等差数列的等价条件：
b
an
a
n
(a，b 为常数)，即
n
a 是关于n 的一次函数，因
为n
Z
，所以
n
a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。
三 前n 项和公式：
1
(
)
2
n
n
n a
a
S
………… ①
na
中间项 ………… ②
1
(
1)
2
n n
na
d
…… ③
按照序号顺序，使用公式。即首选①公式解题，再选②、③
一个数列是等差数列的另一个充要条件：
bn
an
S
n
2
(a，b 为常数，a≠0)，即
n
S 是关于
n 的二次函数，因为n
Z
，所以
n
S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。
四 性质结论
(一)3 或4 个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，
如：3 个数a-d,a,a+d； 4 个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
(二)a 与b 的等差中项
2
a
b
A
；
在等差数列
na
中，若m
n
p
q
，则
m
n
p
q
a
a
a
a
；若
2
m
n
p
，则
2
m
n
p
a
a
a
；
(三)若等差数列的项数为2
N
n
n
，则
，
奇
偶
nd
S
S
1
n
n
a
a
S
S
偶
奇
；
若等差数列的项数为
N
n
n
1
2
，则
n
n
a
n
S
1
2
1
2
，且
n
a
S
S
偶
奇
，
1
n
n
S
S
偶
奇
(四)凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设
1
2
,n
A a
a
a
，
1
2
2
n
n
n
B
a
a
a
，
2
1
2
2
3
n
n
n
C
a
a
a
，则有
C
A
B
2
；
(五)
1
0
a
,
m
n
S
S
,则前
2
m n
S
(m+n 为偶数)或
1
2
m n
S
(m+n 为奇
数)最大
第二部分 等比数列
一 定义：
1
(
2,
0,
0)
{
}
n
n
n
n
a
q n
a
q
a
a
成等比数列。
二 通项公式：
1
1
n
n
q
a
a
，
n m
n
m
a
a q
数列{an}是等比数列的一个等价条件是：
(
1),(
0,
0 1
n
n
S
a b
a
b
，）当
0
q
且
0
q
时，
n
a 关于n 的图像是指数函数图像的分点
表示形式。
三 前n 项和：
1
1
1
1
(
1)
(1
)
(
1)
1
1
n
n
n
na
q
S
a
a
q
a
q
q
q
q
；
(注意对公比的讨论)
四 性质结论：
(一)a 与b 的等比中项G
2
G
ab
G
ab
( ,a b 同号)；
(二)在等比数列
na
中，若m
n
p
q
，则
m
n
p
q
a
a
a
a
；
若
2
m
n
p
，则
2
m
n
p
a
a
a
；
(三)设
1
2
,n
A a
a
a
，
1
2
2
n
n
n
B
a
a
a
，
2
1
2
2
3
n
n
n
C
a
a
a
， 则有
2
B
A C
第三部分 求杂数列通项公式
na
一 构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式。
第一类：
1
1
1
3
2
5
0
3(
5)
2(
5)
5
2
{
5}
5
3
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
是公比为3
2
的等比数列
1
1
)
3
2
)(
5
(
5
n
n
a
a
，从而求出
n
a 。
第二类：
1
1
1
3
4
8
0
2(
1)
5
3(
2
5)
2(
1)
5
3
2
5
n
n
n
n
n
n
a
a
n
a
n
a
n
a
n
a
n
}
5
2
{
n
a
n
是公比为3 的等比数列
1
1
3
)
7
(
5
2
n
n
a
n
a
.
第三类：
n
a
a
n
n
3
1
，系数之比为1 的时候用叠加法。
第四类：既有
n
S 又有
na 利用
n
n
n
a
S
S
1
，将所有S 换成a，或者将所有a 换成S。
第五类：关于
n
a 与
1
n
a
的二次式，或者
n
S 与
1
n
S
的二次式，先因式分解成一次式，再构造等
比数列。
二 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。
第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，
例如：
1
1
2
1
1
1
n
n
n
a
a
a
，
两边取倒数
}
1
1
{
1
1
2
1
1
1
n
n
n
a
a
a
是公差为
2
的等差数列
)1
(
2
1
1
1
1
1
n
a
a
n
，从而求出
n
a 。
第二类：
2
2
1
(
1)
(
1)
n
n
n
a
n a
n n
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
n
n
1
n
n
a
n
是公差为1 的等差数列
1
1
1 1
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
n
n
三 递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
例如
1
2
1
1
n
n
n
n
n
a
na
a
n n
a
a
n a
!
【注:
!
(
1)(
2)
1
n
n n
n
】
求通项公式
na 的题，不能够利用构造等比或者构造等差求
na 的时候，一般通过递推来求
na 。
第四部分 求前n 项和
n
S
一 裂项分组法：
1
1
1
1
1 2
2 3
3 4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
2
3
3
4
1
1
1
1
1
1
n n
n
n
n
n
n
（
）
、
1
1
1
1
1 ,2 ,3
,4
,
n
3
9
27
81
1
1
1
1
1 2 3 4
3
9
27
81
的前和是：
（+ + + +
）+（+
+
+
）
二 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，
求：
2
3
n-2
n-1
n
n
S =x
3x
5x
(2n-5)x
(2n-3)x
(2n-1)x (x
1)
2
3
n-2
n-1
n
n
S =x
3x
5x
(2n-5)x
(2n-3)x
(2n-1)x (x
1)
①
2
3
4
n-1
n
n+1
n
xS =x
3x
5x
(2n-5)x
(2n-3)x
(2n-1)x
(x
1)
②
①减②得：
2
3
n-1
n
n+1
n
2
n-1
n+1
(1 x)S=x
2x
2x
2x
2x
2n 1 x
2x 1 x
x
2n 1 x
1 x
从而求出
n
S 。
错位相减法的步骤：
(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式
(2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式
(3)用①②，错位相减
(4)化简计算
三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法
1：等差数列求和：
n
1
2
3
n 2
n 1
n
n
n
n 1
n 2
3
2
1
S =a
a
a
a
a
a
S =a
a
a
a
a
a
两式相加可得：
n
1
n
2
n 1
3
n 2
3
n 2
2
n 1
1
n
1
n
n
2S = a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n a
a
S
2：设
1
( )
2
2
x
f x
.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得
( 5)
( 4)
......
(0)
...... (5)
(6)
f
f
f
f
f
的值为_________.
( 5)
( 4)
(5)
(6)
n
S
f
f
f
f
①
(6)
(5)
( 4)
( 5)
n
S
f
f
f
f
②
①+②得
2
( 5)
(6)
( 4)
(5)
(5)
( 4)
(6)
( 5)
n
S
f
f
f
f
f
f
f
f
1
1
1
2
(
)
(
1)
2
2
2
2
2
n
n
f
n
f n
,
∴
3 2
n
S
第七章 统计
第一部分 抽样方法
一 总体、个体、容量
一般地，我们把所考查对象的某一数值指标的全体构成的集合看做总体，构成总体的对
象作为个体，从总体中抽出一部分对象所组成的集合叫做样本，样本中对象的个数称为样本
的容量。
二 简单的随机抽样
1.一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本
（n
N
），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫
做简单随机抽样。
2.最简单的随机抽样方法有两种：抽签法(抓阄法)和随机数表法。
3.从一个总体为N 的个体中，抽出容量为n 的样本，每个个体被抽到的概率为n
N 。
三 系统抽样
1.当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，
从每一部分抽取1 个个体，得到所需要的样本．这种抽样叫做系统抽样。
2.系统抽样的四个步骤可简记为：“编号----分段—--确定起始的个体号——抽取样本”四
步。
3.在系统抽样中，如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则用它们的比值
N
k
n
作为分
段间隔．如果
N
k
n
不是整数，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个
体数能被样本容量整除．然后再编号、分段，确定第一段的起始号．继而确定整个样本。
四 分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组成时，才常将总体分成几部分，然后按照各部分所占
的比例筋洗净抽样，这种抽样叫做分层抽样，其所分成的各个部分叫做层。
利用分层抽样抽取样本，每一层按照它在总体中所占的比例进行抽取。
注意
（1）分层抽样适用于差异明显的几部分组成的情况；（2）在每一层进行抽样时，在采用
简单随机抽样或系统抽样；（3）分层抽样充分利用已掌握的信息，使样具有良好的代表性；
（4）分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方
法，因此应用较为广泛。
五 三种抽样方法的比较
（1）列表比较：
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单
随机
抽样
抽
样
过程种每
个个体被
抽取的机
会均等
从总体中逐个抽取
总体种的个
体数较少
系统
抽样
将总体均匀分成几
部分，按事先确定的规
则在各部分抽取
在起始部分
抽样时采用
简单随机抽
样
总体种的个
体数较多
分层
抽样
将总体分成几层，分层
抽样时采用简单随机抽
样或系统抽样
各层抽样时
采用简单随
机抽样或系
统抽样
总体由差异
明显的几部
分组成
(2)简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取
的机会相等，体现了这些方法的客观性和公平性，其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽
样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法，抽样方法经常交叉应用，
对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可采用简单随机抽
样。
六 抽样方法的选择
(1)通过比较三种抽样方法，可以发现它们的关系密切，无论采取哪一种方法，每个个
体被抽到的概率是一样的。
(2)对于系统抽样和分层抽样．如果N
n
不是整数，可采用剔除法，每个个体被抽到的概
率不变，如从1003 个总体中抽出容量为l0 的样本，那么每个个体被抽到的概率为
1000
10
10
1003 1000
1003
(3)通过分析总体特点，灵活选择抽样方法。
(4)简单随机抽样是抽样方法的基础，是一种等机会抽样，它有以下几个特点：①它要
求被抽取样
本的总体个数是有限的；②它是从总体中逐个地抽取；③它是一种不放回抽样。
(5)系统抽样是在总体个数比较多时采用的抽样方法。当总体个数N 不能被样本容量 整
除时，应注意如何从总体中剔除一些个体．
（6）分层抽样适用于总体是由差异明显的几部分个体组成时的抽样方法。具体步骤是：
①分层；②按比例确定各层抽取个体的个数；③各层抽样；④汇合成样本。
第二部分 用样本估计总体
一 用样本估计总体
(1)频率分布
样本中所有数据(或者数据组)的频率和样本容量的比就是该数据的频率，所有数据(或者
数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表，频率分布折线图．茎叶
图，频率分布直方图来表示．
(2)频率分布折线图
连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就可以得到频率分布折线图。
(3)总体密度曲线
①如果样本容量越大，所分组数越多，图中表示频率分布就越接近于总体在各个小
组内所取值的个数与总数比值的大小．设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，
则频率分布直方图实际上是越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线
( )
y
f x
来
描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。
②总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．产品尺寸落在(a，
b)内的百分率就是下图中带斜线部分的面积．对本题来说，总体密度曲线呈中间高两边低的
“钟”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。
(4)茎叶图表示数据有两个突的优点
其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息可以从这个茎叶图中得到，其二是在比
赛时随时记录，方便记录于表示。
二 众数、中位数、平均数、方差、标准差
(1) 一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
(2)一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)
叫做这组数据的中位数。
(3)如果有几个数
,
,
n
x x
x
1
2
那么
n
x
x
x
x
n
1
2
叫做这几个数的平均数。
如果在几个数中，x
1 出现f
1 次，x
2 出现f
2 次，
kx 出现
kf
次，（这里
n
f
f
f
n
1
2
)，那么
(
)
k
k
x
x f
x f
x f
n
1
1
2
2
1
叫做这几个数的加权平均数。
(4)标准差与方差
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均
数的一种平均距离，一般用s 表示。
设一组数据
,
,
n
x x
x
1
2
的平均数为x ，
则
(
)
(
)
(
)
n
s
x
x
x
x
x
x
n
2
2
2
2
1
2
1
，其中s2 表示方差而s 表示标准差。
三 频率分布图(表)和频率分布直方图
(1)频数分布图(表)能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数；而频率分布图(表)
则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律．它可以使
我们看到整个样本数据的频率分布。
(2)作频率分布直方图的步骤：
①求极差，即一组数据中最大值和最小值的差。
②决定组距与组数．将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚的
呈现出来。这时应注意：a．一般样本容量越大，所分组数越多；b．为方便起见，组距的选
择应力求“取整”；c．当样本容量不超过100 时，按照数据的多少，通常分成5 组～l2 组．
③将数据分组．
④计算各小组的频率，作频率分布表。
．
⑤画频率分布直方图。
(3)总体密度曲线是频率分布折线的一条极限曲线，随着样本容量不断增加，分组的不
断加密，频率分布折线就会越来越光滑，最终形成总体密度曲线．总体密度曲线反映的是总
体在各个范围内取值的百分比，实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但只能用样
本的频率分布对它估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越准确．
四 茎叶图的应用
(1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情
况．
(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的
数字特征，进一步估计总体情况．
茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。
在样本数据较少时用茎叶图表示数据的效果较好，但当样本数据较多时，茎叶图就闲的
不太方便了。
五 标准差和方差的关系及计算
(1)标准差的平方就是方差，即
(
)
(
)
(
)
n
s
x
x
x
x
x
x
n
2
2
2
2
1
2
1
（2）方差的计算
①基本公式
(
)
(
)
(
)
n
s
x
x
x
x
x
x
n
2
2
2
2
1
2
1
②简化计算公式( )
(
)
n
s
x
x
x
nx
n
2
2
2
2
2
1
2
1
Ⅰ
，
或写成
(
)
n
s
x
x
x
x
n
2
2
2
2
2
1
2
1
。即方差等于数据平方的平均数减去平均是的
平方。
③简化计算公式( )
(
)
n
s
x
x
x
nx
n
2
2
2
2
2
1
2
1
Ⅱ
当一组数据中的数据较大时，可仿照简化平均是的据算方法，将每个数据同时减去一个
与它们的平均是接近的常数a，得到一组新数据
,
,
n
n
x
x
a x
x
a
x
x
a
1
1
2
2
那么
(
)
n
s
x
x
x
nx
n
2
2
2
2
2
1
2
1
也可以写成
(
)
n
s
x
x
x
x
n
2
2
2
2
2
1
2
1
。
即方差等于新数据的平方平均数减去新数据平均数的平方。
④原数据
,
,
n
x x
x
1
2
的方差与新数据
,
,
n
n
x
x
a x
x
a
x
x
a
1
1
2
2
的方差相等。
即
,
,
n
x x
x
1
2
的方差
(
)
(
)
(
)
n
s
x
x
x
x
x
x
n
2
2
2
2
1
2
1
等于原数据
,
,
n
x x
x
1
2
的方差s2 。
（3）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常数来比较两组数据的
波动大小。方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位的平方，
标准差的单位与原数据的单位相同，不要漏写单位。
圆锥曲线
一 椭圆方程
（一） 椭圆的定义：
1
2
1
2
2
PF
PF
a
F F
方程为椭圆；
1
2
1
2
2
PF
PF
a
F F
无轨迹；
1
2
1
2
2
PF
PF
a
F F
以
1
2
,
F
F 为端点的线段。
（二） 椭圆的方程:
①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x 轴上：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
.
ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：
2
2
2
2
1(
0)
y
x
a
b
a
b
.
②一般方程：
2
2 1(
0,
0)
Ax
By
A
B
.
③椭圆的标准参数方程：
1
2
2
2
2
b
y
a
x
的参数方程为
sin
cos
b
y
a
x
（三）椭圆的几何性质：
①顶点：A( ,0)
a
,B(
,0)
a
,C(0, )
b 和D(0,
)
b
.
②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长AB = a
2 ，短轴长CD = b
2 .
③焦点：
1
F (
,0)
c
,
2
F
( ,0)
c
④焦距：
1
2
2
F F
c
，
2
2
2
a
b
c
.
⑤离心率：
(0
1)
c
e
e
a
.
二 双曲线方程
（一）双曲线的定义：
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
,
PF
PF
a
F F
PF
PF
a
F F
PF
PF
a
F F
F
F
方程为双曲线
无轨迹
以
的一个端点的一条射线
（二）双曲线的方程
①双曲线标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x 轴上：
2
2
2
2
1( ,
0)
x
y
a b
a
b
.
ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：
2
2
2
2
1( ,
0)
y
x
a b
a
b
②一般方程：
2
2
1(
0)
Ax
Cy
AC
.
③椭圆的标准参数方程：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的参数方程为
tan
sec
b
y
a
x
（三）双曲线的几何性质
①i. 焦点在x 轴上：顶点：
)
0,
(
),
0,
(
a
a
；焦点：
)
0,
(
),
0,
(
c
c
；
渐近线方程：
0
b
y
a
x
或
0
2
2
2
2
b
y
a
x
ii. 焦点在y 轴上：顶点：
)
,0
(
),
,0
(
a
a
；焦点：
)
,0
(
),
,0
(
c
c
；
渐近线方程：
0
b
x
a
y
或
0
2
2
2
2
b
x
a
y
，
②轴：
y
x,
为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.
③离心率
a
c
e
.
④ 参数关系
a
c
e
b
a
c
,
2
2
2
.
（四）常见的特殊双曲线：
①等轴双曲线：双曲线
2
2
2
a
y
x
称为等轴双曲线，其渐近线方程为
x
y
，离心率
2
e
.
②共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的
共轭双曲线.
2
2
2
2
b
y
a
x
与
2
2
2
2
b
y
a
x
互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
0
2
2
2
2
b
y
a
x
.
③共渐近线的双曲线系方程：
)
0
(
2
2
2
2
b
y
a
x
的渐近线方程为
0
2
2
2
2
b
y
a
x
如果双曲
线的渐近线为
0
b
y
a
x
时，它的双曲线方程可设为
)
0
(
2
2
2
2
b
y
a
x
.
例如：若双曲线一条渐近线为
x
y
2
1
且过
)
2
1
,3
(
p
，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：
)
0
(
4
2
2
y
x
，代入
)
2
1
,3
(
得
1
2
8
2
2
y
x
.
（五）直线与双曲线的位置关系：如下图.
区域①：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计2 条；
区域②：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计3 条；
区域③：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计4 条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计2 条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、
4 条.
三 抛物线方程
设
0
p
，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
px
y
2
2
px
y
2
2
py
x
2
2
py
x
2
2
图形
y
x
O
▲y
x
O
▲y
x
O
焦点
)
0,
2
( p
F
)
0,
2
(
p
F
)
2
,0
(
p
F
)
2
,0
(
p
F
▲y
x
F
F
1
2
3
4
5
3
3
▲y
x
F
F
1
2
3
4
5
3
3
准线
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
范围
R
y
x
,0
R
y
x
,0
0
,
y
R
x
0
,
y
R
x
对称轴
x 轴
y 轴
顶点
(0，0)
离心率
1
e
焦半径
1
2
x
p
PF
1
2
x
p
PF
1
2
y
p
PF
1
2
y
p
PF
注：①
x
c
by
ay
2
顶点
)
2
4
4
(
2
a
b
a
b
ac
.
②
)
0
(
2
2
p
px
y
则焦点半径
2
P
x
PF
;
)
0
(
2
2
p
py
x
则焦点半径为
2
P
y
PF
.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
④
px
y
2
2
(或
py
x
2
2
)的参数方程为
pt
y
pt
x
2
2
2
(或
2
2
2
pt
y
pt
x
)( t 为参数).
