高中数学知识点总结
第一章——集合与简易逻辑 集合——知识点归纳 定义：一组对象的全体形成
一个集合特征：表示法：列举法{1,2,3,„}、描述法{x|P}
分类：有限集、无限集数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、
正整数集N*、空集φ 关系：属于∈、不属于
、包含于
或
、真包含于、
集合相等＝运算：交运算A∩B＝{x|x∈A 且x∈B}；
并运算A∪B＝{x|x∈A 或x∈B};
补运算CUA＝
且x∈U}，U 为全集
性质：
；
； 若A
，
，则
；
A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A；
A∩B＝
∪B＝
；
A∩CUA＝φ； A∪CUA＝I；CU( CUA)＝A；
＝(CUA)∩(CU 方法：韦恩示意图, 数轴分析注意：① 区别∈与、与
、a 与{a}、φ 与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
②
时，A 有两种情况：A＝φ 与A≠φ③若集合A 中有
个元素，则
集合A 的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是2-1, 所有非空真子集
的个数是
④区分集合中元素的形式：如
；
；
；
；
；
；
⑤空集是指不含任何元素的集合{0}、
和
的区别；0 与三者间的关系空集
是任何集
1
⑥符号
是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）
的关系 ；符号
是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直
线(面)的关系 绝对值不等式——知识点归纳 1 绝对值不等式
与
型不等式
与
型不等式的解法与解集：
不等
式
的解集是
不等式
的解集是
或
不等式
的解集为
不等式
的解集为
或
解一元一次不等
式
①
②
3 韦达定理：
方程
（
）的二实根为x1、x2， 2
则
且
①两个正根，则需满足
，
②两个负根，则需满足
，
③一正根和一负根，则需满足
42
22 对于一元二次不等式
或
，设相应的一元
二次方程
的两根为x1、x2 且
，
，则不等式的
解的各种情况如下表：
方程的根→函数草图→观察得解，对于
的情况可以化为
的情况解决注
意：含参数的不等式ax2＋bx＋c>0 恒成立问题
含参不等式ax2＋bx＋c>0
的解集是R；其解答分a＝0(验证bx＋c>0 是否恒成立)、a≠0（a<0 且△<0）
两种情况简易逻辑——知识点归纳命题可以判断真假的语句；
逻辑联结词或、且、非；
简单命题 不含逻辑联结词的命题；
复合命题由简单命题与逻辑联结词构成的命题
三种形式p 或q、p 且q、非p
真假判断 p 或q，同假为假，否则为真；
p 且q，同真为真, 否则为假；
非p，真假相反
原命题若p 则q；逆命题 若q 则p；若
则
；若
则
；
3
反证法步骤充要条件 条件p 成立
结论q 成立，则称条件p 是结论q 的充分条
件，
结论q 成立
条件p 成立，则称条件p 是结论q 的必要条件，
条件p 成立
结论q 成立，则称条件p 是结论q 的充要条件，
第二章——函数 函数定义——知识点归纳 1 函数的定义：设A、B 是非空的数
集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B
中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的
一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x 叫做自变量的取值范围A 叫做函数的定
义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做
函数的值域2 两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C
和对应法则f 数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也
就随之确定域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和
对应法则都分别相同3 映射的定义：一般地，设A、B 是两个集合，如果按照某
种对应关系f，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它
对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A 到集合B 的对应关系f）
叫做集合A 到集合B 的映射，记作f:A→由映射和函数的定义可知，函数是一类
特殊的映射，它要求A、B 非空且皆为数集4 映射的概念中象、原象的理解：(1)
A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；
(3)A 中每一个元素的象唯一1 函数的三种表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做
函数的解析表达式，简称解析式（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的
函数关系
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系 2 求函数解析式的题型
有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
4
（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式解
方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等题型讲解例1（1）已知
x1，求f(x)； 3x
（2）已知
，求f(x)；
（3）已知f(x)是一次函数，且满足
，求f(x)； 2x
1
x
111313 解：（1）∵
， xxxx（4）已知f(x)满足
，求f(x)∴
（
或
）3
2，
（
）x
222 则
，∴
，∴
（2）令
（3）设
，
则
，
∴
，
，∴
（4）
①， 1
x113，得
②， xxx
3①
②得
，∴
把①中的x 换成
注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用
待定系数法；第（4）题用方程组法定义域和值域——知识点归纳5
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x
的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练1 求函数解析式的
题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式：
解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 2 求函数定义域一般有三类
问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实
际问题有意义；
（3）已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定
义域； ②若已知f(x)的定义域
，其复合函数
的定义域应由
解出 3 求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域
共同决定的(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求
由常见函数作某些“运①直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数
的定义域为R，值域为R； 反比例函数
的定
义域为
，值域为
； x
二次函数
的定义域为R，
； 当a>0 时，值域为
当a<0 时，值域为
6
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
的形式； ③分式转化法（或改为“分离常数法”） ④
换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转
化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：
转化成型如：
利用平均值不等式公式来求值域；
，x
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域 ⑧数形结合：根据
函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 ⑨逆求法（反求法）：通过反解，
用y 来表示x，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来
解，型如：
单调性——知识点归纳
1 函数单调性的定义： 2 证明函数单调性的一般方法:
①定义法：设
且
；作差
（一般结果要分解为若干个
因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号②用导数
证明： 若f(x)在某个区间A 内有导数，则
，（
’
3 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法 4 复合函数
在公共
定义域上的单调性：
①若f 与g 的单调性相同，则
为增函数；
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集 5
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
7
增函数
增函数g(x)是增函数；
减函数
减函数g(x)是减函数；
增函数
减函数g(x)是增函数；
奇偶性——知识点归纳
（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关
于原点对称； 3f(x)为偶函数
的定义域包含0，则
使定
义域不受影响；
6 7 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
，
8 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇
奇=偶，偶+偶=偶，偶
偶=偶，奇
偶=奇 1 形式：
；
2 30，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；
4y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判
8
断函数的奇偶性5T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域 则f(x)叫做周期函数，
T 叫做这个函数的一个周期反函数——知识点归纳1 反函数存在的条件：从定义
域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 2 定义域、值域：反函数的定
义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若
与
x)互为反函数，
函数
的定义域为A、值域为B，则
； ，
3 单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于
对4 求反函数的一般方法：
（1）由
解出
，（2）将
中的x,y 互换位置，得
二次函数——知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、
数列、复数等有着广泛的联系
1 二次函数的图象及性质:二次函数
的图象的对称轴方程是
，2a
顶点坐标是
用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法
)有三种形式，即
（一般式），
（零点式）
和
3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问
题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0)
9
,
则
(2)x1>α,x2>α,
则
则
则
(5）若f(x)=0 在区间
的符号；③对称轴与区间的相对位置5 二次函数、一
元二次方程及一元二次不等式之间的关系：
①
(x)=ax2+bx+c
的图像与
x
轴无交点
无实根
的解集为
或者是R;
②
的图像与x 轴相切
有两个相等的实根
的解集为
或者是R;
③
的图像与x 轴有两个不同的交点
有两个
不等的实根
的解集为
或者是
指数对数函数——知识点归纳1 根式的运算性质：
①当n 为任意正整数时，(a)n=a②当n 为奇数时，a=a；当n 为偶数时，
⑬根式的基本性质：
，（
）2 分数指数幂
的运算性质：
10
且
x
4 指数式与对数式的互化：
重要公式：
，
对
数恒等式
对数的运算法则
如果
有
7 对数换底公式：
，
8 两个常用的推论:
①
，
②
（ a, b > 0
且均不为1m
9 对数函数的性质：
11
与对数函数
互为反函数 x
11 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（定义法）
（转化法）
取对数法)
)/logab(换底法)
函数图象变换——知识点归纳1 作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作
图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函
数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画
出函数的图象
2 三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
3 识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4 平移变换：（1）水平
平移：函数
的图像可以把函数
的图像沿x 轴方向向左
或
向右
平移|a|个单位即可得到；
12
（2）竖直平移：函数
的图像可以把函数
的图像沿x 轴方向向
上
或向下
平移|a|个单位即可得到
①
②
③
④
左移h 右移h 上移h 下移h
到；
（2）函数
的图像可以将函数
的图像关于x 轴对称即可得到；
（3）函数
的图像可以将函数y
的图像关于原点对称即可得到；
①
轴y 轴
②
直线
③
④y=f(x) 直线
原点
⑤
翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留
的x 轴上方部分即
可得到；
（2）函数
的图像可以将函数
x)的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代
1）函数
的图像可以将函数
的图像中的每一点横
13
坐标不变纵坐标伸长
或压缩（
）为原来的a 倍得到；
（2）函数
的图像可以将函数
的图像中的每一点纵坐标不变
横坐标伸长
或压缩（
）为原来的
倍得到 a①
②
数列定义——知识点归纳
（1）一般形式：
(2)通项公式：
(3)前n 项和：
及数列的通项an 与前n 项和Sn 的关系：
等差数列——知识点归纳
1 等差数列的定义:
①如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这
个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示
2 等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列
，若
常数)，则数列
③等差中
项：对于数列
，若
，则数列
是等差数列3 等差
数列的通项公式:
④如果等差数列
的首项是a1 ，公差是d ，则等差数列的通项为
该公式整理后是关于n 的一次函数4 等差数列的前n 项和: ⑤
⑥
对于公式2 整理后是关于n5 等差中项:
⑥如果a，A，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：
或2
14
在一个等差数列中，从第2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的
前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项
的等差中项5 等差数列的性质: 如果an 是等差数列的第n 项，am 是等差数列的
第m 项，且
，公差为d，则有
⑧ 对于等差数列
，若
，则
也就是：
Sn 是其前n 项的和，⑨若数列
是等差数列，那么Sk，
，
，*
6 奇数项和与偶数项和的关系：
⑩设数列
是等差数列，S 奇是奇数项的和，
项的和，则有如下性质：
前n 项的和SnS 偶是偶数项项的和，Sn 是前
奇
偶
nd，其中d 为公差； 2
22 当n 为偶数时，S 偶
奇
当
中，奇偶中，奇
为奇数时，则中，偶
S 奇
偶
（其中a 是等差数列的中间一项），中
奇
偶
S 奇
偶S 奇S 偶
7 前n 项和与通项的关系：
⑾若等差数列
的前
项的和为
，等差数列
的前
项的和为
，则
等比数列——知识点归纳
如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
那么这个
数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示
（
）15
2 等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G
叫做a 与b 也就是，如果是的等比中项，那么
3 等比数列的判定方法：
，即
①定义法：对于数列
，若
，则数列
是等比数列 an
②等比中项：对于数列
，若
，则数列
是等比数列 2
4 等比数列的通项公式：如果等比数列
的首项是a1，公比是q，则等比数
列的通项为
或着
等比数列的前n 项和：
3 当
时，
当
时，前n 项和必须具备形式Sn
6 等比数列的性质：
如果ann 项，am 是等差数列的第m 项，
且
，则有
②
，若
，则
也就是：
如图所示：
③若数列
是等比数列，Sn 是其前n 项的和，
N*，那么Sk，
，
成等比数列如下图所示：
1 等差数列的前n 项和公式：
16
当d≠0 时，Sn 是
关于n 的二次式且常数项为0；
当d=0 时（a1≠0），Sn=na1 是关于n 的正比例式2 等比数列的前n 项和公式：
当q=1 时，Sn=n a1 (是关于n 的正比例式)；
当q≠1 时，
3 拆项法求数列的和，如an=2n+3n 4 错位相减法求和，如an=(2n-1)2n
（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式） 5 分裂项法求和，如
（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式） 6 反序相加
法求和，如an=nC100 n
7 求数列{an}的最大、最小项的方法：
①an+1-
如an= -2n2+29n-
如
②
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=数列的综合应用——知识点归纳 1 通
项与前n 项和的关系：
2 迭加累加法：
若
，
则
， a3
，„„„，
17
迭乘累乘法：
若
，则
，
，„„„，
a1
4 裂项相消法：
错位相减法：
是公差d≠0 等差数列，
是公比q≠1 等比数列
ncn
则
所以有
通项分解法：
7 等差与等比的互变关系：
成等差数列
成等比数列 n
成等差数列
成等差数列
成等比数列
成等差数列
成等比数列
成等比数列
成等差数列
成等比数列
无穷递缩等比数列的所有项和：
成等比数列
第四章三角函数
18
1 角
和
终边相同：
几种终边在特殊位置时对应角的
集合为：
3 弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 弧度角
角度制与弧度制的互化：
180 1 弧度
弧长公式：
（
是圆心角的弧度数）
5 扇形面积公式：
任意角的三角函数、诱导公式——知识点归纳
1 三角函数的定义:以角
的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标
系，在角
的终边上任取一个异于原点的点P(x,y)，点P 到原点的距离记为
，那么
；
；
； rrx
xrr；
；
（
19
2 三角函数的符号：
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值
y
对于第r
一、二象限为正（
），对于第三、四象限为负（
）；②余弦值
x
对r
于第一、四象限为正（
），对于第二、三象限为负（
）；③正
切值二、四象限为负（x,yy
对于第一、三象限为正（x,y 同号），对于第x
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 3 特殊角的三角函数
值：
4 三角函数的定义域、值域：
5 诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：
，
，其中
20
诱导公式二：
；
诱导公式三：
；
诱导公式四：
；
诱导公式五：
；
（1）要化的角的形式为
（k 为常整数）；
（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”。
1 倒数关系：
，
，
商数关系：
，
平方关系：
，
，
两角和与差的正弦、余弦、正切——知识点归纳 1 和、
差角公式
；
；
二倍角公式
s
；
；
降幂公式
；
；
4 半角公式
sin
2
；
cos
2
；
tan
2
万能公式
2tan
2；
；
222
6 积化和差公式
11
；
；
2211
；
22
7 和差化积公式
；
os222cos
；
sin
；
8 三倍角公式：
辅助角公式：
33
其中
1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
22
2 三角函数的单调区间：
，
的递增区间是
，
递减区间是
2
，
；
，
的递增区间是
，
， 递减区间是
，
的递增区间是
，
，
的递减区间是
，
（其中
，
）3 函数
最大值是
，最小值是B
，周期是
，频率是
，相位是
，初相是
；其图象的对称轴是直线
直线
的交点都是该图象的对称中心
2
，凡是该图象与
4 由y＝sinx 的图象变换出y＝sin(ωx＋
的图象一般有两个途径，只有区别开
这两
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现变形，
请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不
是
23
“角变化”多少途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx 的图象向左
＞0)或向右
＜0)平移｜
｜个单位，再将图象上各
点的横坐标变为原来的1
倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋
途径二：先周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx 的
图象上各点的横坐标变为原来的
或向右
＜0＝平移1 倍(ω＞0),再沿x 轴向左
＞
5 由y＝Asin(ωx＋
的图象求其函数式： 个单位，便得y＝sin(ωx＋
给出图
象确定解析式y=Asin（
）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－0）
作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．．
，
6 对称轴与对称中心：
的对称轴为
2，对称中心为
；
的对称轴为
，对称中心为
,0)；
对于
和
来说，对称中心与零点相联系，对称
轴与最值点联系7 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数
的标准式，要特别注意A、
的正负,并且在同一单调区间； 8 求三角函数的周
期的常用方法：
经过恒等变形化成
、
的形式，在利用周期
公式，另外还有图像法和定义法y=Asin（
）的简图：
五点取法是设
，由x 取0、
描点作图π3π、π、、2π 来求相应的x 值及对应的y 值，再22
三角函数的最值及综合应用——知识点归纳 1=asinx+bcosx型函数最值的求
法：常转化为y
= （
） 2=asin2x+bsinx+c 型常通过换元法转化为y=at2+bt+c 型：
24
型
（1）当
时，将分母与y 乘转化变形为sin（
）＝f(y)型
（2）转化为直线的斜率求解R 时，必须这样作）
4．同角的正弦余弦的和差与积的转换：
同一问题中出现
，求它们的范围，一般是令
或
，
转
化
或
为关于t5．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：
如已知
，求
22 的值2 式子的分母1 用
代换，然后分子分母同时除以cosx 化为关
于tanx 的表达6．几个重要的三角变换：
sin α cos α 可凑倍角公式； 1±cos α 可用升次公式；
可化为
，再用升次公式；
或
（其中
掌握． b）这一公式应用广泛，熟练a
7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y
= sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x 的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线
得到的． 8 三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、
中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理
以及快速、准确地作图． 9 三角函数的奇偶性
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数
．
25
② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数
③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数
④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数
．
．
． 正切函数f (x) = tan x，
，在每一个区间
，
增函数．
上都是增函数，但不能说f (x) = tan x 在其定义域上是
第五章平面向量 平面向量的基本运算——知识点归纳 1 向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c„„来表示，或用有向线段
的起点与终
点的大写字母表示，如： AB ，a ；坐标表示法
向
量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的
大小，记作｜a 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
与任意向量平行a＝
｜②零向量：长度为0 的向量，记为0，其方
向是任意的，
｜＝由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，
故在有关向量平行（共线）
的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0 的区别）
③单位向量：模为1 向量a0 为单位向量
｜a0｜＝
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
线上a∥b(即自由向量)
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，
现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平
行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
26
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，
记为
小相等，方向相同
2 向量加法
求
两
个
向
量
和
的
运
算
叫
做
向
量
的
加
法
设
，则
（1）
；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知
向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向
被减向量
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量
的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量
的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，
用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须“首尾相连”． 3 向量的减法
① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做
记作
零向量的相
反向量仍是零向量
关于相反向量有： （i）
；
；
若a、b 是互为相反向量，则
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，
记作：
③作图法：
可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a、b
有共同起点）4 实数与向量的积： ①实数λ 与向量a 的积是一个向量，记作λa，
它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）
；
27
（Ⅱ）当
时，λa 的方向与a 的方向相同；当
时，λa 的方向与a 的方
向相
反；当
时，
，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与
分配律5 两个向量共线定理：
向量b 与非零向量a 共线
有且只有一个实数
，使得
平面向
量的基本定理：
如果e1,e2 是一个平面
平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与
x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i,j
作为基底该平面内的任一向量a可表示成
，由于a与
数对(x,y)
是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a=(x,y)，其中x 叫作a 在x
轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其
相对位2 平面向量的坐标运算：
若
，则
若
，则
28
(3) 若a=(x,y)，则
(4) 若
，则
(5) 若
，则
若
，则
和性质
29
平面向量的数量积——知识点归纳 1 两个向量的数量积：
已知两
个非零向量a 与b，它们的夹角为
，则a·︱b︱
︱a︱·
叫做a 与b 规定
向量的投影：︱b︱
∈R，称为向量b 在a 方向上的投影
数量积的几何意义： a·b 等
于a 的长度与b 在a4 向量的模与平方的关系：
5 乘法公式成立：
；
6 平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
特别注意：（1）结合律不成立：
；
（2）消去律不成立
不能
（3）
不能
或b=0
7 两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量
，则a·
30
向量的夹角：已知两个非零向量a 与b，作OA=a,
OB=b,则∠
（
）叫做向量a 与b 的夹角
当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=0，当且仅当a
与b 反方向时θ=180，同时0
与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
垂直：如果a 与b
的夹角为90 则称a 与b 垂直，记作a⊥b：
⊥
＝
1 线段的定比分点定义：设P1,P2 是直线L 上的两点，点P 是L 上不同于P1,P2
的任意一点，
，叫做点P 分有向线段P1P2 所成的比P
在线段则存在一个实数
，使PP1
上时，
；当点P 在线段P1P2 或P1P2
的延长线上时，
定比分点的向量表达式：点P 分有向线段
P1P2 所成的比是
，
（O
为平面内任意点） 则
其中
中点坐标公式: 当
时，分点P 为线段12 的
中点，即有
的
重
心
坐
标
公
式
：
定比分点的坐标形式
6 图形平移的定义:设F 是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向
移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移
平移公式: 设点P(x,y)按向量
平移后得
到点P(x,y)，则OP＝OP+a 或
31
，曲线
按向量
平移后所得的曲线的函数解析式为：
这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐
标间的关系 解三角形及应用举例——知识点归纳 1 正弦定理：在一个三角形
中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径即
（其
中R 表示三角形的外接圆半径） sinAsinBsinC
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，
求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进
一步求出其他的边和角） 2 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平
方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
第一形式，
，第二形式，cosB= 2ac222
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；
（2）3 三角形的面积：△ABC 的面积用S 表示，外接圆半径用R 表示，内切圆
半径用r 表示，半周长用p 表示则
；②
； 22
abc2③
；④
； 4R①
⑤
；⑥
（其中
） 2
4 三角形内切圆的半径：
斜
，特别地，r 直
5 三角学中的射影定理：在△ABC 中，
，„ 6 两内角与其
正弦值：在△ABC 中，
，„ 7 三内角与三角函数值的关系：
在△ABC 中
-
-tanC
32
解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对
大角定
理及几何作图来帮助理解”第六章
不等式 不等式的概念与性质——知识点归纳
1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
2．不等式的性质：
（1）
，
（反对称性）
（2）
，
（传递性）
（3）
，故
（移项法则）
推论：
（同向不等式相加）
（4）
，
bc
推论1：
推论2：
推论3：
1．常用的基本不等式和重要的不等式
（1）
当且仅当
取
（2）
则
（3）
，则
（4）22
2 最值定理:设x,y.0,由
（1）如积
定值），则积
有最小值2P
33
2（2）如积
定值），则积xy S
2
即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等3 均
值不等式
三个正数的均值不等是：
两个正数的均值不等式：
n 个正数的均值不等式：
4 四种均值的关系：两个正数a、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、
均方根之间的关系是
不等式的证明——知识点归纳
不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：
作差比较的步骤： ①作差：对要比
较大小的两个数（或式）作差②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）
的完全平方和③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号 注意：
若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小
（2）综合法：由因导果（3）分析法：执果索因 ①“分析法”证题的理论依据：
寻找结论成立的充分条件或者是充要条件②“分析法”证题是一个非常好的方法，
但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合
法”进行表达（4）反证法：正难则反
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有：
34
2①添加或舍去一些项，如：
；
； ②将分子或分母放大（或缩
小） ③利用基本不等式， 如：
； 2
Ⅰ、
2k； Ⅱ、11111111 ； （程度大）
； （程度小）
Ⅲ、
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为
简，常用的换元有三角换元和代数换元
已知
，可设
；
已知
，可设
； 22222
x2y2
已知
，可设
； ab
x2y2
已知
，可设
； ab
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明
不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证
明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
（8）数学归纳法法 解不等式——知识点归纳
1．解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式．
35
(2)解一元二次不等式．
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式；
②解分式不等式；
③解无理不等式；
④解指数不等式；
⑤解对数不等式；
⑥解带绝对值的不等式；
⑦解不等式组．
2．解不等式时应特别注意下列几点：
(1)正确应用不等式的基本性质．
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．
(3)注意代数式中未知数的取值范围．
3．不等式的同解性
＞
＜0(1)f(x)²g(x)＞0 与
或
同解．
＞
＜0
＞
＜0(2)f(x)²g(x)＜0 与
或
同解．g(x)＜0g(x)＞
＞
＜0f(x)＞0 与
或
同解．
＞
＜0
＞
＜0f(x)(4)＜0 与
或
同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞
(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x) 与
①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)；②g(x)＜0 同解
＞
＞g(x) 与
或
同解．g(x) ＜
＜[g(x)]2
(8)f(x)＜g(x)与
同解．
36
(9)当a＞1 时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，
当0＜a＜1 时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．
＞g(x)(10)当a＞1 时，logaf(x)＞logag(x)与
同解．f(x)＞
＜
当0＜a＜1 时，logaf(x)＞logag(x)与
＞0 同解．
＞0 4 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法
步骤：①形式：
移项，通分（不轻易去 Q(x)
②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，
化负为
1．解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用
的方法是讨论符号和平方2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题
并
指
出
等
号
条
件
3．
或f(x)<─g(x)g(x)是否为正）（3）含绝对值的不等
式性质（双向不等式）
左边在
时取得等号，右边在
时取得等号
第七章直线和圆的方程 直线方程——知识点归纳1 数轴上两点间距离公式：
直角坐标平面内的两点间距离公式：
3 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x
轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α 就
叫做直线的倾斜角
37
当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°可见，直线倾斜角的
取值范围是0°≤α＜180°4 直线的斜率：倾斜角α 不是90°的直线，它的倾斜角的
正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k=tanα（α≠90°）
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是
（－∞，+∞）5 直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同
的两点，则向量F1F2=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量向量
（1，2）=（1，k）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率
x 轴的直线的一个方向向量为a＝
6 求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα②公式法：已知直
线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k21③方向向量法：若
a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率
对于直线上任意两点P1（x1，
y1）、P2（x2，y2），当x1=x2 时，直线斜率k 不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2
时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0 时，α=arctank；k＜0 时，α=π+arctan7
直线方程的五种形式
点斜式：
， 斜截式：
两点式：
， 截距式：
一般式：
．特殊情况下的两直线平行与垂直．
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
38
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；
(2)当另一条直线的斜率为0 时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角
为0°，两直线互相垂直2．斜率存在时两直线的平行与垂直：
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它
们的斜率相等，则它们平行，即
且
已知直线l1、l2 的方
程为l1：
，
l2：
l1∥l2 的充要条件是
⑫两条直线垂直的情形：如果两条直
线的斜率分别是k1 和k2，则这两条直线垂直的充要条件是
．
已知直线l1 和l2 的一般式方程为l1：
，
l2：
，则
． 3 直线l1 到l2 的角的定
义及公式：
直线l1 按逆时针方向旋转到与l2 重合时所转的角,叫做l1 到l2 的角l1 到l2 的角
：0°＜
＜180°， 如果
即
则
2.如果
，
．直线l1 与l2 的夹角定义及公式:
l1 到l2 的角是
到l1 的角是π-
当l1 与l2 相交但不垂直时
和π-
仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角l1⊥l2 时,直线l1 与l2
的夹角是
：0°＜
如果
即
则
2.如果
，
5．两条直线是否相交的判断
两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：
是否有惟一解
．点到直线距离公
式：
点P(x0,y0)到直线
的距离为：
7．两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线l1 和l2 的一般式方程为l1：
，
l2：
，则l1 与l2 的距离为
直线系方程:若两条直线l1：
，l2：
有交点，则过
l1
与
l2
交点的直线系方程为
＋
或
为常数) 简
单的线性规划及实际应用——知识点归纳 1 二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）
B＞0 时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C
＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式
Ax+By+C＞0
（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数当B
＞0 时，①Ax+By+C＞0 表示直线Ax+By+C=0 上方的区域；②Ax+By+C＜0 表
示直线Ax+By+C=02 线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或
最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，
由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最
大值或最小值的可行解叫做最优解40
线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量x、y；
（2）找出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t 为参数）；
（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以
确定最优解，给出答案1．平面解析几何研究的主要问题：根据已知条件求出表
示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质 2．“曲线的方程”、“方程
的曲线”的定义：
在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程
的实数解建立
了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的
点都是曲线上的点．（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做
方程的曲线
3．定义的理解：
设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点M
的坐标为(x，y)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为： 00
(1)M∈
，y0)∈Q，即
；
(2)(x0，y0)∈
∈P，即
．
以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：
(1)(x0，
；
，
．
显然，当且仅当
且
，即P=Q 时，才能称方程f(x，y)=0
为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x，y)=0 的曲线(图形)．
41
在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方
程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分
性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题
的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方
法 4 求简单的曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；
（2）写出适合条件P 的点M 的集合；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程
（4）化方程
为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述方法简称“五步
法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方
程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简
方程就是所求曲线的方程． 5 由方程画曲线(图形)的步骤：
①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点)；
②求截距：
，
方程组
的解是曲线与x 轴交点的坐标；
f(x，
方程组
的解是曲线与y 轴交点的坐标；
③讨论曲线的范围；
④列表、描点、画线．
6．交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
7．曲线系方程：过两曲线f(x，y)=0 和f(x，y)=0 的交点的曲线系方程是f(x，y)
＋λ121
f(x，y)=0(λ∈R)． 2
求轨迹有直接法、定义法和参数法，最常使用的就是参数法一个点的运动是受某
些因素影响的瓜，从中找出影响动点的因素的关系，列出方程42
1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2 圆的标准方程
圆心为（a，b），半径为r 的圆的标准方程为
方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆3 圆的一般方程
二次方程x2+y2+Dx+Ey+F*）配方得
D2E222（x+）+（y+）22
把方程
其中，半径是
，圆心坐标是
，
叫做圆的一般方
程
（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2 项系数相等且
不为零没有xy 项（2）当D2+E2－4F=0 时，方程（*）表示点（－DE，－）； 22
当D2+E2－4F＜0 时，方程（*）不表示任何图形
（3）根据条件列出关于D、E、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程4 圆
的参数方程
①圆心在O（0，0），半径为r 的圆的参数方程是：
是参数)
②圆心在点C(a，b)，半径为r 的圆的参数方程是：
是参数)
在①中消去θ 得x2+y2=r2，在②中消去θ 得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个
方程相5 二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件
若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅
是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分43
在A=C≠0，B=0 时，二元二次方程化为x2+y2+
仅当D2+E2－4AF＞0DEFx+y+=0， AAA
故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是：
①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞6 线段AB 为直径的圆的方程： 若A(x1,y1)，
B(x2,y2)，则以线段AB 为直径的圆的方程是
经过两个圆交点的圆系方程：经过
，22
的交点的圆系方程是：
在过两圆公共点的图
象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程 8 经过直线与圆交点的
圆系方程： 经过直线l：
与圆
的交点的
圆系方程是：
确定圆需三个独立的条件
（1）标准方程：
，
圆心，
半径 222
（2）一般方程：
，（
圆心
对称问题——知识点归纳
1 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对
称的问题是线段中点坐标公式的应用问题
设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P 关于A 的对称点为P′（2a－x0，2b
－y0） 2 点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线
的“垂直平分线”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标
44
设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b 的对称点为P′（x′，y′），则有
，
可
求
出
x′
、
y′
特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a 的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，
y0）关于直线y=b 的对称点为P′（x0，2b－y0）3 曲线关于点、曲线关于直线的
中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对
（1）曲线f（x，y）=0 关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，
2b－y）=0（2）曲线f（x，y）=0 关于直线y=kx+b 的对称曲线的求法：
设曲线f（x，y）=0 上任意一点为P（x0，y0），P 点关于直线y=kx+b 的对称点
为P′（y，x），则由（2）知，P 与P′的坐标满足
从
中
解
出
x0
、
y0
，
代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0f（x，y）=0 关于直线y=kx+b
的对称曲线方程4 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
（1）点（x，y）关于x 轴的对称点为（x，－y）；
（2）点（x，y）关于y 轴的对称点为（－x，y）；
（3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）；
（4）点（x，y）关于直线x－y=0 的对称点为（y，x）；
（5）点（x，y）关于直线x+y=0 的对称点为（－y，－x 直线与圆、圆与圆的位
置关系——知识点归纳1 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；
②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线
与圆
的位置关系有三种，若222
，则
相离
45
相切
相交
两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
①
外离
条公切线
②
外切
条公切线 ③
相交
条公切线 ④
内切
条公切线 ⑤
内含
无公切线
3 直线和圆相切：
这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知
直线上一点①过圆上一点的切线方程：圆
的以P(x0,y0)为切点的切线方
程是222
。
当点P(x0,y0)在圆外时，
表示切点弦的方程。
一般地，曲线
的以点P(x0，y0)为切点的切线方程是：
222
。 22
当点P(x0,y0)在圆外时，
表示切点弦
的方22
46
程。
这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的
常规过程去做。
②过圆外一点的切线方程： 4 直线和圆相交： 这类问题主要是求弦长以及弦的
中点问题5 经过两个圆交点的圆系方程：经过
，22
的交点的圆系方程是：
。
在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程 6 经
过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线l ：
与圆
的交点的圆系方程是：
几何法: 比较圆心到直线的距离与
圆半径的大小8 代数法: 讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数第八章圆锥曲
线 椭圆——知识点归纳
1.定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|，
即
F1F2)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．
②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0<e<1），
则P 点的轨迹是椭圆2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：
|PF1||PF2|2a2
（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=，==e； |PM1||PM2|c
（2）
；
（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；
47
b2
（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，
c
标准方程：椭圆标准方程的两种形式
x2y2y2x2
和
x2y2a2
椭圆
的焦点坐标是
，，离心率0)，准线方程是
2b2b2c 是
，焦参数（通径长的caa 一半）
，
，
长轴长=2a，短轴长=2b，焦距＝2c ， a2a2
焦半径：
ex，
中
经
常
利
用
余
弦
定
理
、
三
角
形
面
积
公
式．．．．．．．．．．．
将有关线段2
PF1、PF2、2c，有关角
结合起来，建立PF1+PF2、
等关系.
椭圆上的点有时常用到三角换元：
；
双曲线——知识点归纳 1 双曲线定义：
①到两个定点F1 与F2 的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹
（
（a 为常数））
②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e(e＞1)时，这
个动点的轨迹是双曲线l 叫做双曲线的准线2 双曲线图像中线段的几何特征：
⑪实轴长
，虚轴长2b,焦距
⑫顶点到焦点的距离：
48
，
⑬顶点到准线的距离：
a2a2
；
⑭焦点到准线的距离：
a2a2
或F1K
2a2
⑮两准线间的距离
⑯
中结合定义
与余弦定理
，将有关线段PF1、
PF2、F1F2 和角结合起来，
∈（1，+∞） ⑰离心率：
⑱焦点到渐近线的距离：虚半轴长b2b2b2b2
⑲通径的长是，焦准距，焦参数aca
其中
双曲线标准方程的两种形式： y2x2
①2－2=1，
，焦点是F1（－c，0），F2（c，0） ab
x2
②2－2=1，
，焦点是F1（0，－c）、F2（0，caby2y2x2
4 双曲线的性质：2－2=1（a＞0，b＞0） ab⑪范围：|x|≥a，y∈R
⑫对称性：关于x、y 轴均对称，关于原点中心对称
⑬顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）
⑭渐近线：
49
x2y2x2y2b
①若双曲线方程为
渐近线方程
ababaxyxyb
②若渐近线方程为
双曲线可设为
ababa
x2y2x2y2
③若双曲线与
有公共渐近线，可设为
（
，焦点在x 轴上，
abab
2
2
，焦点在y 轴上）
④特别地当
时
离心率
2
2
两渐近线互相垂直，分别为
，此时双曲线
bb
x，y=－x aa
2
为等轴双曲线，可设为
；y=
aa2a2
⑮准线：l1：x=－，l2：x=，两准线之距为
ccca2
⑯焦半径：
，（点P 在双曲线的右支上
）；
c
a2
（点P 在双曲线的右支上
）；
，
c
当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）x2y2x2y2
⑰与双曲线
共渐近线的双曲线系方程是
x2y2x2y2
⑱与双曲线
共焦点的双曲线系方程是2
抛物线——知识点归纳
1 抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫
做抛物线，
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2 抛物线的图形和性质：
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：
③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：
50
p。
2
⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的
圆过定点F、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相
切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的
公切线是准线。
3 抛物线标准方程的四种形式：
，
，
，
。4 抛物线
的图像和性质：
2
①焦点坐标是：
，
，
②准线方程是：
p。 2
2
点，则该
③焦半径公式：若点P(x0,y0)是抛物线
上一点到抛物线的焦点的距离（称
为焦半径）是：
④焦点弦长公式：过焦点弦长
2
p， 2
pp
22
y2
或P(2pt,2pt)或
2p
2
⑤抛物线
上的动点可设为
其中
一般情况归纳：
2
直线与圆锥曲线的位置关系——知识点归纳
1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：
51
可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过
消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨
论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思
想和等价转化思想
需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线
或双曲2 涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题：
主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式
－x1|；弦所在直线
的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设
而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，
而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）3 涉及到圆锥曲线焦点弦的问
题： 可以利用圆锥曲线的焦半径公式（即圆锥曲线的第二定义）4．韦达定理的
运用：
由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定
理的运5 弦长公式：
若直线
与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为
；
若直线
与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为
圆锥曲线的两个重要参数： b2
圆锥曲线的焦准距（焦点到准线的距离）
， c
b2
焦参数（通径长的一半）a 第九章(B)直线、平面、简单几何体
平面——知识点归纳
1．平面的概念：
52
2．平面的画法及其表示方法：
画两个平面相交时，当一个平面的一部分被
另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线
②一般用一个希腊字母
、
、
来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字
母来表示如平面AC3 点、线、面的基本位置关系如下表所示：
（平面
外的直线a）表示
或
53
公理1 推理模式：
． 如图示：
应用：是判定直
线是否在平面
公理2 揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定
两个平面交线的方法．
公理3 推理模式：A,B,C 不共线
存在唯一的平面
，使得
应用：①
确定平面；②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说
明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符
合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯
一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有
一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”
两方面来论证．
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面
推理模式：
存在唯一的平面
，使得
，
推论2 推理模式：
存在唯一的平面
，使得
推论3 推理模式：
存在唯一的
平面
，使得
54
:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称
为空间直线——知识点归纳 1
（1）相交——有且只有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； ．．
2 公理4 ：推理模式：
． 3 等角定理：如果一个角的两边和另一个
角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相4 等角定理的推论:如果两条
相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等5
空间两条异面直线的画法
ab
AA1
6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过
此点的直线是异推理模式：
与l7．异面直线所成的
角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O 作直线
，
所
成的角的大小与点O 的选择无关，把
所成的锐角（或直角）叫异面直线
a,b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 异面直线所成的角的范围：
28．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂
直．两条异面直线a,b 垂直，记作
．
9．求异面直线所成的角的方法：
55
几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）
找出
和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的．．．．
理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注
意“相交”的含义．
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两
条异面直线间的距离． 计算方法：①几何法；②向量法
1．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么
这两个平面互相平行．
推理模式：：
，
，
，
，
．
56
7 平行平面的判定定理推论：如果一个平面1
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们
就说这条直线和这个平面垂线，平面叫做直线的直线与平面垂直简称线面垂直，
记作：a⊥α 3 :
如果两条直线同垂直于一个平面,4
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这
条斜线说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的
线的垂直关系； 一条斜
（2）推理模式：
．三
垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的
射影
57
推理模式：
．
注意：⑪三垂线指PA，PO，AO 都垂直α 推理模式：
，
．
8．两平面垂直的性质定理：
若两个平面互相垂直， 推理模式：
向量法
证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：
①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； 空
间向量及其运算——知识点归纳
1．空间向量的概念：2．空间向量的运算
空间向量的加法、减法与数乘向量运算：
运算律：⑪加法交换律：
⑫加法结合律：
⑬数乘分配律：
3 平面向量共线定理
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移
到同一
条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要
条件是有且只有
一个实数λ，使b＝λa
4
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线
向量或
平行向量．a 平行于b 记作a//b．
当我们说向量a、b 共线（或a//b）时，表示a、b 的有向线段所在
的直线可能是同
一直线，也可能是平行直线．
． 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b 的充要条
件是存在实数λ，
使a＝λb 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那
么对于任意一点O，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式
．其中向量a 叫做直线l 的方向向量6 空间
直线的向量参数表示式：
或
，
中点公式．
．向量与平面平行：已知平面
和向量a，作
，如果直线
OA 平行于
或在
内，
那么我们说向量a 平行于平面
，记作：
．通常我们把平行于同一平面的向
量，叫做
．共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，p 与向量a,b 共面的充
要条件是存在实数
使
推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是
存在有序实数对x,y，使
59
①
或对空间任一点
O ，有
②
或
③
上面①式叫做平面MAB 的
如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间
任一向量p，存在一个唯
一的有序实数组x,y,z，使
若三向量
a,b,c 不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c 叫做基向量，空
间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个推论：设O,A,B,C 是不共面的四
点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数
，使
间
向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作
，则
记作
；且规
定
，OB 叫做向量a 与b 的夹角，
显然有
；若
，则称a 与b 互
相垂直，记作：
．向量的模：设
，则有
向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：
．向量的数
量积：已知向量a,b，则
叫做a,b 的数量积，记作
，
即
．
已知向量
和轴l，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A
在l 上的射影
，
作点B 在l 上的射影
，则
叫做向
量AB 在轴l 上或在
的长度
．
13．空间向量数量积的性质：
（1）
．（2）
．（3）
．
14．空间向量数量积运算律：
（1）
．（2）
（交
换律）．
60
（3）
空间向量的坐标运算——知识点归
纳 1
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫
单位正交基底，用{,i,jk}
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原
点，分别以i,j,k 的方
向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了
一个空间直
角坐标系
，点O 叫原点，向量 i,j,k 都叫坐标向量．通过每两个坐
标轴的平面叫
坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；
2．空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系
中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，
使
，有序实数组(x,y,z)叫作向量A 在空间直角坐标
系
中的坐标，记作A(x,y,z)，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若
，
，
则
，
，
，
，
，
．
（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则
．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减
去起点
若
，
，
61
则
，
．
．夹角公式：
．
．两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，
则
，
或
空间角——知识点归纳
1．异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O 作直线
，
所成的角的大小与点O 的选择无关，把
所成的锐
角（或直角）叫异面直线a,b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 异面直线所
成的角的范围：
22．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（23．直线和平面所成角 （1）
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面
所成一直线平行于平面或在平面内，所成角为
角
直线和平面所成角范围：
，
（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和
平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的
4．公式：平面
的斜线a 与
内一直线b 相交成θ 角，且a 成
角，a 在
上
的射影c 与b 相交成
角，则有与
相交
平面内的一
条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两
个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做
二面角的l，两个面分别为
的二面角记为
；
62
6．二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB，则
叫做二面角
（2）一个平面垂直于二面角
的棱l，且与
两半平面交线分别为
OA,OB,O 为垂足，则
也是
说明：①二面
角的平面角范围是[0,180]；
②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面
7．二面角的求法：⑪几何法；⑫向量法 8 求二面角的射影公式：
，
S
其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面内图形F 的面积，
是图形F 在
二面角的另一个面内的射影，
是二面角的大小9．三种空间角的向量法计算公
式：
⑪异面直线a,b 所成的角
：
；
⑫直线a 与平面
法向量n)所成的角
：
；
⑬锐二面角
：
，其中m,n 为两个面的法向量
空间距离——知识点归纳 1 点到平面的距离：已知点P 是平面
外的任意一点，
过点P 作
，垂足为A，则PA 唯一，则PA 是点P 到平面
即 结论：连
结平面
外一点P 与
内一点所得的线段中，垂线段PA 异面直线的公垂线：和
两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．
3．公垂线唯一：4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面
直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；
5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的
线段中最短的一条；
6．两条异面直线的距离：63
说明：两条异面直线的距离AB 即为直线a 到平面
直线到与它平行平面的距
离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离
(转化为点面距离8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：
（1（2（3（49．两个平行平面的距离：10．七种距离：点与点、点到直线、两
条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行
平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种
距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求
⑪异面直线a,b 之间的距离：
，其中
⑫直线a 与平面
之间的距离：
，其中
是平面
的法向量|n|
⑬两平行平面
之间的距离：
，其中
是平面
的法向量 |n|
⑭点A 到平面
的距离：
，其中，是平面
的法向量
另法：点A(x0,y0,z0),平面
则
64
⑮点A 到直线a 的距离：
，a 是直线a⑯两平行直线a,b 之间的距离：
，a 是a 的方向向量棱柱——知识点归纳 1 由若干个多边形围
成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的
棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多
面体的2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个
平面的同一侧，这3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分
别叫四面体、五面体、六面体4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻
两个面的交线互相平行，这样的多面体叫底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧
面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高5．棱
柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫底面的是正多边形的直棱柱叫柱分别叫三
棱柱、四棱柱、五棱柱„„
6．棱柱的性质
（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧
面都是全等的矩形；
（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；
（37 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体
叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正
方体．
8．平行六面体、长方体的性质
65
(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线
相交于
一点，且在点O 处互相平分．
(2)棱锥——知识点归纳 1 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的
三角形，这样的多面体叫侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点(S)，
叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段(SO)，叫棱锥的高（垂线段的长也
简称高）．
2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线
端点的字母如图棱锥可表示为
CDE，或
．
3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）
分别称底面是三角形，四边形，五边形„„的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥„„（如
图）
4．棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面
积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．
中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的5．正棱锥：底面是
正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．
（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上
的高相等（叫正棱锥的斜高）．
（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的
高、侧棱、简单的多面体与球——知识点归纳
1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做
成的，如果过连续变形可变为球面的多面体，叫做说明：2．五种正多面体的顶
点数、面数及棱数：
66
3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V、面数F 及棱数E 有关系式：
计算棱数E 常见方法：(1)E＝V+F-2；(2)E＝各面多边形边数和的一
半；
(3)E＝顶点数与共顶点棱数积的一半4．欧拉示性数：在欧拉公式中令
，f(p)说明：（1）简单多面体的欧拉示性数
（2）带一个洞
的多面体的欧拉示性数f(
例如球2．球的截面：
用一平面
去截一个球O，设
是平面
的垂线段，
为垂足，且
，
所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做
7．经度、纬度：
经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0 经线及轴确定的
半平面所
67
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角8．两点的球面距离：
球面上两点之间的最短距离，就是经
圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点过两点的大的
为球心角的弧度数)9 已知半径为R 的球O，球被截
面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫
做所得半10．球的体积公式：
①在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R，而在实际问题中常给出
球的外②球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置
关系和数量关第十章排列、组台、二项式定理
分类计数原理和分步计数原理——知识点归纳 做一件事情，完成它可以有n 类
办法，在第一类办法中有m1 种不同的方法，在第二类办法中有m2 种不同的方
法，„„，在第n 类办法中有mn 完成这件事共有
2 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m1 种不
同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，„„，做第n 步有mn 种不同的方法，
那么完成这件事有
两个基本原理的作用：4 两个基本原
理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原
理是“分步完成”
68
5 原理浅释
分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，
即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行
分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，
都能独立完成这件事有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以分步计
数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤”，是说每个步骤都不足
以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤
才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步
都有m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理可以看
出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．
两个原理的公式是
1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m（
）个元素（这里的被取元素
各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素
的．．．．．2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m（
）个元素的所有
排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号Anm
3．排列数公式：
（
）
n!表示正整数1 到n 的连乘积，叫做
．
5．排列数的另一个计算公式：
一般地，从n 个不同元素中取出
个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个7．组
合数的概念：从n 个不同元素中取出
个元素的所有组合的个数，叫
做从
mC．用符号表示． n 个不同元素中取出m 个元素的组合数n．．．
．组合数公式：
n
69
或
且
组合数的性质1：
．规定：
；
．组合数的性质2：
＝Cn+Cnmm 分组（堆）问题的六个模型：
①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥
无序局部等分； 7 人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是答
案:3600) 6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________240）
b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联
系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案
进行取舍合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3 个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0
中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________30）
隔板法：n 个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的
放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1 个结点剪成m 段（插入m－1
块隔板），有
种方法
错位法：编号为1 至n 的n 个小球放入编号为1 到 n 的n 个盒子里,每个盒子放
一个小,这种排列称为错位排列n=2,3,4,5 时的错位数各为1,2,9,442 个、3 个、45
个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2 个、3 个、4 个元素的错位排
列的问题：
①5 个元素的全排列为：
；
②剔除恰好有5 对球盒同号1 种、恰好有3 对球盒同号(2 个错位的
种、
恰好有2 对球盒同号(3 个错位的
种、恰好有1 对球盒同号(4 个错位
的
种 5321
70
321
∴ 120-1-
-
-
＝44 用此法可以逐步计算：6 个、7 个、8 个、”„
元素的错位排列问题容斥法：n 个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个
确定位置的排法种数,宜用容斥法
1．二项式定理及其特例：
（1）
，
（
2
）
2．二项展开式的通项公式：
3．常数项、有理项和系数最大的项：
，1，
，n)求常数项、有理
项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限
制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
当n 依次取1,2,3„时，二项式系数表，
展开式的二项式系数，
表中每行两端都是1，除15．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn，„，Cn．Cn 可以看成以r 为
自变量的
函数f(r)，定义域是
，例当
时，其图象是7 个孤立的点（如图）
（1）对称性．
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（
直线
）． n2
（2）增减性与最大值：
当n 是偶数时，中间一项C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项C
，
取得n
（3）各二项式系数和：
n1rrn∵
，
71
n012rn 令
，则
随机事件事件的概率
——知识点归纳 事件的定义：
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；
必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 2．随机事件的概率：一般地，在大
量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m 总是n 接近某个常数，在它附近
摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A)． 3 概率的确定方法：
通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；
4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率
为
，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 一次试验
连同其中可能出现的每一个结果（事件A6．等可能性事件：如果一次试验中可
能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的
概率都是1n7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，
而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率
8 随机事件的概率、等可能事件的概率计算 首先、对于每一个随机实验来说，
可能出现的实验结果是有限的；其次、所有不同的实出现的概率都相同的前提下，
计算出的基本事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式P（A）
=m/n9 求解等可能性事件A 的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什
么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A（2）再确定所研究的事件A 是
什么,事件A 包括结果有多少,即求出3）应用等可能性事件概率公式P=m 计算确
定m、n 的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分n
利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,72
互斥事件有一个发生的概率——知识点归纳 互斥事件的概念:A、B 互斥，即事
件A、B 不可能同时发生，这时P(A•B)=０）P(A+B)=P（A）+ P(B)一般地：如
果事件
中的任何两个都是互斥的，那么就说事件
．对
立事件的概念:事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件A、B 对立，即事件A、
B 不可能同时发生，但A、B 中必然有一个发生P(A•B)=０, P(A+B)=P（A）+ P(B)
＝１ 一般地
对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;
第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; 第三，两个事件互斥是从试验
的结果不能同时出现来确定的
从集合角度来看，A、B 两个事件互斥，则表示A、B 这两个事件所含结果组成
的集合的交集是空集对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有
且仅有一个发生的两个事件，集合A 的对立事件记作A，从集合的角度来看，
事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成集合的补集，即A
∪A=U，A∩A=但互斥事件不一定是对立事件 4 事件的和的意义:事件A、B 的
和记作A+B，表示事件A、B 至少有一个发生 当A、B 为互斥事件时，事件A+B
是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的， 因此当A 和B 互斥
时，事件A+B 的概率满足加法公式：
P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B 互斥），
且有P（A+A）=P（A）+P（A）=1
当计算事件A 的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件A 的概率则要
容易些，为此有P（A）=1－P（A）5 要弄清A²B，
的区别
A²B 表示事件A 与B 同时发生，因此它们的对立事件A 与B 同时不发生，也等
价于
73
A 与B 至少有一个发生的对立事件即
，因此有
，但
6．互斥事件的概率的求法:如果事件
彼此互斥，那么
＝
互斥事件有一个发生的概率
求解这类问题的数学思想方法是：
在给定的命题背景下，先判断事件之间是否互
斥，并理解“和事件”的意义，计算出每个简单事件的概率，然后再利用互斥事件
的概率计算公式A 与B 不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算P（A+B）
的值时绝对不可以使用P（A+B）=P（A）+P（B）这个公式，只能从对立事件
的角度出发，运用P（A+B）=1-P（
分类讨论思想：分类讨论思想是解决
互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想 1．相互独立事件：事件A
（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的若A 与B 是
相互独立事件，则A 与B，A 与B，A 与B2 互斥事件与相互独立事件是有区别
的：
两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试
验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥
事件不可能同时发生3．相互独立事件同时发生的概率：
事件
相互独立，
5 关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解： 第一，相互独立也是研究两
个事件的关系；
第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；
第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有
影响”来确定的6．独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的
概率是p,那么在n 次独立重
复试验中这个事恰好发生K 次的概率
表示事件A 在n 次
独立重复试验
74
中恰好发生了次的概率 ．．．．．k．．()00n 令k=0 得 在n 次独立重复试验中，事
件A 没有发生的概率为．．．．．．．．Pn=Cnp(1－p) =(1０
－p)n
(n)nn0 令k=n 得 在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为P=Cp(1
－p) =pnn．．．．．．．．
7 相互独立事件同时发生的概率
在同一随机实验中，两事件互斥是指两个不可能同时发生的事件；两事件相互独
立是指特别要注意：若事件A 与B 不是相互独立事件而是互斥事件，那么在计
算P（AB）的值时绝对不可以使用P（A²B）=P（A）P（B）这个公式，只能从
对立事件的角度出发，运用P（A²B）=1-P（
次独立重复实验恰好有k
次发生的概率
要求掌握n 次独立重复实验恰好有k 次发生的概率计算公式，对这个公式，不能
死记硬背，要真正理解它所表示的含义，特别要理解其中的Cnk
识点，经常是和互斥事件有一个发生的概率或者相互独立事件同时发生的概率综
合起来考查离散型随机变量的期望与方差——知识点归纳 1 平均数的计算方法
如果有n 个数据x1，x2，„，xn，那么x=
x 读作“x 拔” 1（x1+x2+„+xn）叫做这n 个数据的平均数，n
2 方差的计算方法
（1）对于一组数据x1，x2，„，xn，
s2=1［（x1－x）2+（x2－x）2+„+（xn－x）2］ n
叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差抽样方法与总体分布的估计——知识点归
纳
1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取
一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为
75
⑪用简单随机抽样从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次
抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为
1n
；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；
NN
⑫简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等,是不放回
抽样. ⑬简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样
方法的基础． 2.抽签法：先将总体中的所有个体（共有N 个）编号（号码可从
1 到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条
等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中
抽一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本 适用范围：总体的个
体数不多时 优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法．
3.随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二
步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码 4.分层抽样: 当已知总体由差异
明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部
分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样， 5.常用
的抽样方法及它们之间的联系和区别：
6.不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称
这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样
为放回抽样．
76
8.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.
9.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数
据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据
组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率
分布条形图或频率分布直方图来表示.
10.总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个
容量为n 的样本，就是进行了n 次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所
有这些事件的概率分布规律称为总体分布.
11.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在
相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率
分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间（a，
b）内取值的概率等于该区间上总体密度曲线与x 轴、直线x=a、x=b 所围成曲边
梯形的面积。
第三章导数
1 导数的定义：设函数
在
处附近有定义，如果
时，
与
的比
（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们
把这个极限值叫
/
做函数
在
处的导数，记作y，即f(x0)
是曲线
上点（
在点x0 可导，则曲线
在点（x0,f(x0)）
处的切线方程为
77
导函数(导数):如果函数
在开区间(a,b)1 利用导数
研究多项式函数单调性的一般步骤 （1）求
（x）（2）确定
（x）在（a，
b）内符号（3）若
（x）>0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上
是增函数；若
（x）<0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减
函数2 用导数求多项式函数单调区间的一般步骤 （1）求
（x）
（2）
（x）>0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（x）<0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间
78
1 极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，
都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x0)，x02
极小值：一般地，设函数f(x)在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都
有f(x)＞f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x0)，x03 小值，
如下图所示，x1 是极大值点，x4 是极小值点，而f(x4)>f(x1)（ⅳ）函数的极
而使函数取得最大值、最小值4 判别f(x0)是极大、极小值的方法:若x0 满足
，且在x0 的两侧f(x)的导数异号，则x0 是f(x)的极值点，f(x0)是极值，
并且如果
在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f(x)的极大值点，f(x0)是极
大值；如果
在x0 两侧满足“左负右正”，则x0 是f(x)的极小值点，f(x0)5 求
函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x(2)求方程f′(x)=0(3)
用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格
f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正
或都为负，则f(x)6 函数的最大值和最小值:在闭区间
上连续的函数f(x)在
上必有最大值与最小值．⑪在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大
值与最小值． ⑫函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值
是比较极值点附近函数值得出的．⑬函数f(x)在闭区间
上连续，是f(x)在
闭区间
上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义
区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不7 利用导数求函数
的最值步骤:⑪求f(x)在(a,b)内的极值；⑫将f(x)的各极值与
79
f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在
