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高考数学知识框架思维导图
第一部分 集合、算法语言、简易逻辑、复数、推理与证明、排列组合
概念
元素与集合之间的关系：∈，∉
性质
确定性、互异性、无序性
集合
集合的表示
列举法、描述法、图示法
集合间的关系
子集、相等、真子集：⊆，⊇，= ，⫋，⫌
运算：交集(𝐴∩𝐵)、并集(𝐴∪𝐵)、补集(𝑈𝐴)
集合的分类
有限集、无限集、空集（）
含有𝑛个元素的集合𝐴的子集个数是2𝑛，真子
集个数是2𝑛−1，非空子集个数为2𝑛−1，
非空真子集的个数是2𝑛−2．(𝐴，)
数轴、Venn 图、函数图象
求解（两个）集合中的参数值，注意检验：
1.是否违反互异性；2.是否违反其他条件
包含关系的各种等价表示：①𝐴 𝐵= 𝐵 𝐴⊆𝐵．②𝐴 𝐵= 𝐴 𝐴⊆𝐵．
③𝐴 (𝑈𝐵) = 𝐴⊆𝐵．④(𝑈𝐴) 𝐵= 𝑈 𝐴⊆𝐵．⑤𝑈𝐵⊆𝑈𝐴 𝐴⊆𝐵．
含参数的集合𝐴满足𝐴⊆𝐵或𝐴 𝐵= 等情形时，要分𝐴= 与𝐴≠两种情况讨论．
概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性
顺序结构
条件结构
循环结构
算法语言
算法的特征
程序框图
基本算法语言
算法案例
1.𝑘进制数化为十进制数：𝑎𝑛𝑎𝑛−1 ⋯𝑎1𝑎0(𝑘) = 𝑎𝑛𝑘𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑘𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝑘+ 𝑎0𝑘0．
2.十进制数化为𝑘进制数：除𝑘取余法．
3.𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝑥+ 𝑎0 = ⋯= (⋯((𝑎𝑛𝑥+ 𝑎𝑛−1)𝑥+ 𝑎𝑛−2)𝑥+ ⋯+ 𝑎1)𝑥+ 𝑎0，
𝑣0 = 𝑎𝑛，𝑣𝑘= 𝑣𝑘−1𝑥+ 𝑎𝑛−𝑘(𝑘= 1，2，⋯，𝑛)．由里向外逐层计算𝑣1，𝑣2，⋯，𝑣𝑛，即可得到𝑣𝑛= 𝑓(𝑥)．
会执行、会补充
辗转相除法、更相减损术（求最大公约数）；
秦九韶算法（求多项式函数值）；进位制（k 进制与十进制互化）
若𝑝⇒𝑞，则𝑝是𝑞的充分条件，𝑞是𝑝的必要条件
关系
充分条件、必要条件、充要条件
一真便真
一假则假
量词
简易逻辑
命题
真假相对
全称命题：∀x∈M，p(x)
特称命题：∃x0∈M，p(x0)
否定： p q
否定： p q
p：否定p 的结论
命题的否定
改量词，否结论
复合命题
或：p q
且：p q
非： p
全称量词
存在量词
前充分、后必要
小充分、大必要
小范围推大范围
原命题：若p 则q
逆命题：若q 则p
否命题：若p 则q
逆命题：若q 则p
互逆
互逆
互否
互否
互为逆否
等价关系
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高中数学知识框架思维导图
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两个原理
分类加法计算原理和分步乘法计算原理
排列与组合
排列数：𝐴𝑛𝑚= 𝑛(𝑛−1) ⋯(𝑛−𝑚+ 1) =
𝑛!
(𝑛−𝑚)!
组合数：C
m
n＝
𝑛!
𝑚!(𝑛−𝑚)!
性质
C
m
n＝C
n－m
n
C
m
n＋1＝C
m
n＋C
m－1
n
二项式定理
通项公式
Tr＋1＝C
r
nan－rbr
首末两端“等距离”两项的二项式系数相等
C
0
n＋C
2
n＋C
4
n…
＝
＝C
1
n＋C
3
n＋C
5
n…
＝
＝2n－1
C
0
n＋C
1
n＋…＋
＋C
n
n＝2n
二项式系数性质
(𝑎+ 𝑏)𝑛= 𝐶𝑛0𝑎𝑛+ 𝐶𝑛1𝑎𝑛−1𝑏+ ⋯+ 𝐶𝑛𝑘𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘+ ⋯+ 𝐶𝑛𝑛−1𝑎1𝑏𝑛−1 + 𝐶𝑛𝑛𝑏𝑛(𝑛∈N*).
二项式系数最大项、系数最大项
应用
捆绑法、插空法、优先法、隔板法、间接法、建模法、分类法、树状图
计算原理
求三项式(𝑎+ 𝑏+ 𝑐)𝑛的指定项：利用多项式乘法法则及组合思想求解
赋值法
系数和、二项式系数和
复 数
概念
虚数单位i（满足i2 = −1）、复数𝑎+ 𝑏i、实部𝑎、虚部𝑏、实数（𝑏= 0）、虚数（𝑏≠0）、
纯虚数（𝑎= 0, 𝑏≠0）、实轴（𝑥轴）、虚轴（𝑦轴）、模|𝑧|、复数集B；
共轭复数（𝑧= 𝑎+ 𝑏i、𝑧̅ = 𝑎−𝑏i）；
复数相等的充要条件：𝑎+ 𝑏i＝𝑐+ 𝑑i⇔𝑎= 𝑐且𝑏= 𝑑(𝑎，𝑏，𝑐，𝑑∈R)
运算
①加法：(𝑎+ 𝑏i)＋(𝑐+ 𝑑i)＝(𝑎＋c)＋(b＋d)i；
②减法：(𝑎+ 𝑏i)－(𝑐+ 𝑑i)＝(𝑎－c)＋(b－d)i；
③乘法：(𝑎+ 𝑏i)·(𝑐+ 𝑑i)＝(𝑎c－bd)＋(𝑎d＋bc)i；
④除法：
𝑎+𝑏i
𝑐+𝑑i =
(𝑎+𝑏i)(𝑐−𝑑i)
(𝑐+𝑑i)(𝑐−𝑑i) =
𝑎𝑐+𝑏𝑑
𝑐2+𝑑2 +
𝑏𝑐−𝑎𝑑
𝑐2+𝑑2 i．
几何意义
复数𝑧= 𝑎+ 𝑏i、复平面内点Z(𝑎, 𝑏)、向量𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎, 𝑏)的一一对应关系；
复数模的几何意义：|𝑧| = |𝑎+ 𝑏i| = √𝑎2 + 𝑏2 = |𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗ |
①(1 ± i)2 = ±2i；
②
1+i
1−i = i；
1−i
1+i = −i；
③𝑎+ 𝑏i = i(𝑏−𝑎i)，
如
3+4i
4−3i =
i(4−3i)
4−3i = i；
④i𝑛的周期性.
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
大前提、小前提、结论
直接证明
综合法
分析法
由因导果
执果索因
间接证明
反证法
推理
证明
推理与证明
猜想
1.验证𝑛= 𝑛0（初始值）命题成立；
2.若𝑛= 𝑘(𝑘≥𝑛0)时命题成立，证明𝑛= 𝑘+ 1时命题也成立.
反设、归谬、结论
数学归纳法
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第二部分 函数、导数及微积分
对数的性质与运算性质
1.对数的性质：①log𝑎1 = 0；②log𝑎𝑎= 1；③𝑎log𝑎𝑁= 𝑁；④log𝑎𝑎𝑏= 𝑏(𝑎>0 且𝑎≠1)；⑤零和负数没有对数．
2.对数的运算性质(𝑎>0，且𝑎≠1，𝑀>0，𝑁>0)：①log𝑎(𝑀∙𝑁) = log𝑎𝑀+ log𝑎𝑁；
②log𝑎
𝑀
𝑁= log𝑎𝑀−log𝑎𝑁；【log𝑎
𝑀
𝑁= log𝑎.
𝑁
𝑀/
−1
= −log𝑎
𝑁
𝑀】③log𝑎𝑀𝑛= 𝑛log𝑎𝑀(n∈R)．【log𝑎
1
𝑀 = −log𝑎𝑀】
3.对数的重要公式(𝑎，c 均大于零且不等于1，𝑛≠0)：
换底公式：log𝑎𝑏=
log𝑐𝑏
log𝑐𝑎；推论：①log𝑎𝑛𝑏𝑚=
𝑚
𝑛log𝑎𝑏；②log𝑎𝑛𝑏𝑛= log𝑎𝑏；③log𝑎𝑏=
1
log𝑏𝑎．
定义
表示
解析法
列表法
三要素
图象法
定义域
对应关系
值域
性质
奇偶性
周期性
对称性
单调性
1.函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；
2.证明单调性：作差（商）、导数法；3.复合函数的单调性；
4.快速判断常见函数的单调性（如，取倒数、开方根、乘负数）
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数
赋值法、典型的函数模型
零点
建立函数模型
使解析式有意义或有实际意义
函数
求解析式：换元法、代入法、凑配法、构造方程组法
注意应用函数的单调性求值域
f (x+T)＝f (T)；两种对称性与周期性的“知二求一”
复合函数的单调性：同增异减
一次、二次函数、反比例函数、双勾函数
图象、性质
和应用
1.f (a+x)＝f (b-x)，对称轴为𝑥=
𝑎+𝑏
2
2.f (a+x)+f (b-x)=c，对称中心为(
𝑎+𝑏
2 ,
𝑐
2)
分段探究，整体考察
平移变换：𝑦= 𝑓(𝑥) →𝑦= 𝑓(𝑥± 𝑎)，𝑦= 𝑓(𝑥) →𝑦= 𝑓(𝑥) ± 𝑏，𝑎, 𝑏> 0
对称变换：𝑦= 𝑓(𝑥) →𝑦= −𝑓(𝑥)，𝑦= 𝑓(𝑥) →𝑦= 𝑓(−𝑥)，𝑦= 𝑓(𝑥) →𝑦= −𝑓(−𝑥)
翻折变换：𝑦= 𝑓(𝑥) →𝑦= |𝑓(𝑥)|，𝑦= 𝑓(𝑥) →𝑦= 𝑓(|𝑥|)
伸缩变换：𝑦= 𝑓(𝑥) →𝑦= 𝐴𝑓(𝑥)，𝑦= 𝑓(𝑥) →𝑦= 𝑓(𝜔𝑥)
函数图象
及其变换
𝑓: 𝐴→𝐵：一对一，或多对一
映射
基本初等函数
抽象函数
复合函数
函数与方程
函数的应用
分段函数
利用对称性求函数
零点的和，或求两
个函数图象交点横
坐标、纵坐标之和.
求根法、二分法、图象法、
二次及三次方程根的分布
零点存在性定理
作图与识图：定义域、值域、极值；奇偶性、单调性、周期性；关键点，关键线
具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；
奇函数𝑓(𝑥)在x＝0 处有定义→f (0)＝0；
偶函数𝑓(𝑥)＝𝑓(|𝑥|)
最值
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第三部分 三角函数与平面向量
和角、差角公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式
⑴sin(𝛼± 𝛽) = sin𝛼cos𝛽± cos𝛼sin𝛽；⑵cos(𝛼± 𝛽) = cos𝛼cos𝛽∓sin𝛼sin𝛽；⑶tan(𝛼± 𝛽) =
tan𝛼±tan𝛽
1∓tan𝛼tan𝛽.
⑴sin2𝛼= 2sin𝛼cos𝛼；⑵cos2𝛼= cos2𝛼−sin2𝛼= 2cos2𝛼−1 = 1 −2sin2𝛼；⑶tan2𝛼=
2tan𝛼
1−tan2𝛼.
⑴sin𝛼cos𝛼=
1
2 sin2𝛼；⑵cos2α =
1+cos2α
2
；⑶sin2α =
1−cos2α
2
.
⑴𝑎sin𝑥± 𝑏cos𝑥= √𝑎2 + 𝑏2sin(𝑥± 𝜑)，其中𝑎，𝑏> 0．其中辅助角𝜑是方程tan𝜑=
𝑏
𝑎在(0，
𝜋
2)内的解.
三角函数
同角三角函数的关系
终边相同的角：*𝛽|𝛽= 𝛼+ 𝑘∙360°，𝑘∈𝐙+
三角函数线
同角三角函数的关系: sin2𝛼+ cos2𝛼= 1,
sin𝛼
cos𝛼＝tanα
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
和角、差角公式，辅助角公式（𝑎sin𝑥± 𝑏cos𝑥）
二倍角公式，降幂公式（cos2α =
1+cos2α
2
, sin2α =
1−cos2α
2
）
公式的变形、逆用、
“1”的替换
化简、求值、
证明（恒等变形）
0 < 𝑥<
π
2时，sin 𝑥< 𝑥< tan 𝑥
角的概念、任意角、象限角
弧度制:π = 180°
弧长公式𝑙= 𝛼𝑟、扇形面积公式𝑆=
1
2 𝑙𝑟
任意角的三角函数的定义
三角函数符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦
基本初等函数的导数
导数的概念
导数的应用
几何意义、物理意义
单调性
导数的正负与单调性的关系
生活中的优化问题
定积分与微积分
定积分与图形面积的计算
三次函数的性质、图象与应用
最值
极值
微积分基本定理：∫𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
d𝑥= 𝐹(𝑥)|𝑏
𝑎= 𝐹(𝑏) −𝐹(𝑎)
①𝐶′ = 0，②(𝑥𝑛)′ = 𝑛𝑥𝑛−1，③(sin 𝑥)′ = cos 𝑥，④(cos 𝑥)′ = −sin 𝑥，
⑤(𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥，⑥(𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥ln 𝑎，⑦(ln 𝑥)′ =
1
𝑥，⑧(log𝑎𝑥)′ =
1
𝑥ln 𝑎
①,𝑓(𝑥) ± g(𝑥)-′ = 𝑓′(𝑥) ± g′(𝑥)；②,𝑓(𝑥) ∙g(𝑥)-′ = 𝑓′(𝑥)g(𝑥) + 𝑓(𝑥)g′(𝑥)；
③,
𝑓(𝑥)
g(𝑥)-′ =
𝑓′(𝑥)g(𝑥)−𝑓(𝑥)g′(𝑥)
g2(𝑥)
；④复合函数𝑦= 𝑓(𝑎𝑥+ 𝑏)的导数：𝑦𝑥′ = 𝑦𝑢′ ∙𝑢𝑥′
导数的运算法则
导数
切线型不等式：𝑓(𝑥) ≥(或≤)𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0) + 𝑓(𝑥0)
𝑒𝑥≥𝑥+ 1
切线方程：𝑦−𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)
ln 𝑥≤𝑥−1
常见问题
讨论单调性，讨论零点、极值点个数，成立、恒成立，双参数，双零点，不等式证明
对数均值不等式
𝑎+𝑏
2 >
𝑎−𝑏
ln 𝑎−ln 𝑏> √𝑎𝑏⟺2 .
𝑡−1
𝑡+1/ ≤ln 𝑡≤
1
2 .𝑡−
1
𝑡/ (𝑡≥1).
1
𝑒
②
1
𝑂
𝑥
𝑦
𝑦=
𝑥
𝑒𝑥
−1
𝑒
①
−1
𝑂
𝑥
𝑦
𝑦= 𝑥𝑒𝑥
𝑒
③
1
𝑂
𝑥
𝑦
𝑦=
𝑒𝑥
𝑥
④
1
𝑒
𝑂
𝑥
𝑦
𝑦= 𝑥ln 𝑥
−
1
𝑒
⑤
𝑒
𝑂
𝑥
𝑦
𝑦=
ln 𝑥
𝑥
1
𝑒
𝑒
𝑒
⑥
1
𝑂
𝑥
𝑦
𝑦=
𝑥
ln 𝑥
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三角函数的
图象与性质
定义域
奇偶性
单调性
周期性
最值
对称轴（正切函数除外）经过函数图象
的最高（或低）点且垂直x 轴的直线，
对称中心是正余弦函数图象的零点，正
切函数的对称中心为(
𝑘𝜋
2 ，0)（k∈Z）.
正弦函数y＝sin x
余弦函数y＝cos x
正切函数y＝tan x
y＝Asin(x＋)＋b
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；
②图象也可以用五点作图法；研究𝜔的取值范围问题，可根据用五点作图法的图象分析；
③最小正周期𝑇=
2𝜋
|𝜔|；（带绝对值的三角函数的周期是否减半，需视具体函数而言）
④用整体代换求单调区间（注意的符号）；给定区间上的单调性可根据极值点回答；
⑤用整体代换求对称轴𝑥=
𝑘𝜋+1
2𝜋−𝜑
𝜔
，对称中心为(
𝑘𝜋−𝜑
𝜔，b)（k∈Z）；
⑥若y＝Asin(x＋)具有奇偶性，则𝜑= 𝑘𝜋或𝜑= 𝑘𝜋+
𝜋
2（二者必居其一）.
值域
图象（五点作图法）
对称性
平面向量
概念
线性运算
平面向量基本定理：𝑎 = 𝜆1𝑒 1 + 𝜆2𝑒 2，𝑒 1、𝑒 2不共线
加、减、数乘
几何意义
坐标表示及运算
数量积𝑎 ∙𝑏⃗
＝|𝑎 ||𝑏⃗ |cosθ
=x1x2＋y1y2
几何意义
模
共线与垂直
共线（平行）
垂直
a→∥b→b→＝a→x1y2－x2y1=0
a→⊥b→a→· b→＝0 x1x2＋y1y2=0
投影
b→在a→方向上的投影为| b→|cos＝
𝑎⃗ ∙𝑏⃗
|𝑎⃗ |
设a→与b→夹角，则cos＝
𝑎⃗ ∙𝑏⃗
|𝑎⃗ ||𝑏⃗ |
| a→|＝
(x2－x1)2＋(y2－y1)2
夹角公式
三角形中线的向量表示：∆𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边的中点为𝐷 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
两个常用小结论
已知𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜆𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (1 −𝜆)𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则𝑃1，𝑃，𝑃2三点共线
等和线：已知𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝑥+ 𝑦= 𝑚 ，设𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，
(则𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑥
𝑚𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝑦
𝑚𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，
𝑥
𝑚+
𝑦
𝑚= 1)，则𝐴，𝑃，𝐵三点共线.此时直线𝐴𝐵也称为等和线.
极化恒等式：𝑎 ∙𝑏⃗ =
(𝑎⃗ +𝑏⃗ )
2−(𝑎⃗ −𝑏⃗ )
2
4
.
奔驰定理：设𝑃为∆𝐴𝐵𝐶内一点，则𝑆∆𝐵𝑃𝐶𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆∆𝐴𝑃𝐶𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆∆𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ．（可推广到四面体中）
解决向量问题的常用方法：基底法，坐标法，平方法，构造法
|𝑎 −𝜆𝑏⃗ |(𝜆∈𝐑)的几何意义
表示𝑎 ，𝑏⃗ 共起点时向量𝑎 的终点到
向量𝑏⃗ 所在直线上的点的距离.
解三角形
余弦定理：𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 −2𝑏𝑐cos𝐴，
cos𝐴=
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
正弦定理：
𝑎
sin𝐴=
𝑏
sin𝐵=
𝑐
sin𝐶= 2𝑅
应用：解三角形，解的个数的讨论
𝑆∆＝
1
2ah＝
1
2absinC＝
p(p－a)(p－b)(p－c)=
𝑎𝑏𝑐
4𝑅=
1
2 (𝑎+ 𝑏+ 𝑐)𝑟
=
1
2 |𝑥2𝑦1 −𝑥1𝑦2|，其中R、r 分别为外接圆、内切圆半径，
p＝
𝑎+𝑏+𝑐
2
，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1, 𝑦1)、𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥2, 𝑦2).（如何求R，r？）
sin2𝐴= sin2𝐵+ sin2𝐶−2sin𝐵sin𝐶cos𝐴
面积
实际应用
方法：三角变换、均值不等式
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第四部分 数列与不等式
给出递推关系𝑎𝑛+1 = 𝑓(𝑎𝑛)，或𝑆𝑛= 𝑓(𝑎𝑛)，或𝑎𝑛= 𝑓(𝑆𝑛)，求通项公式𝑎𝑛问题
⑴混合型
如果给出的是含𝑎𝑛，𝑆𝑛的混合关系式，则可利用𝑎𝑛= 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1，将混合关系式统一为𝑎𝑛+1 = 𝑓(𝑎𝑛)，
或将混合关系式统一为𝑆𝑛+1 = g(𝑆𝑛)（此时也就考虑先求𝑆𝑛，再求𝑎𝑛）．
如，①已知𝑎1 = −1，且𝑎𝑛+1 = 𝑆𝑛𝑆𝑛+1，求𝑆𝑛.②已知𝑎1 = 1，且𝑆𝑛=
𝑛+2
3 𝑎𝑛，求𝑎𝑛.
【对使用变量替换、两式相减(除)得到的结论，要注意𝑛的适用范围】
⑵提示型
如果是证明数列*g(𝑎𝑛)+为等差数列或等比数列，比较简单，按等差或等比的定义去处理即可；有时是直
接要求求数列*g(𝑎𝑛)+的通项公式，那么则往往意味着*g(𝑎𝑛)+为等差数列或等比数列或其他特殊数列，
这样就可以直接去探索g(𝑎𝑛+1)与g(𝑎𝑛)的递推关系.
⑶主动型
如果直接要求通项公式𝑎𝑛，那么就需要自己主动朝等差数列或等比数列转化，即会自己构造新的数列
*g(𝑎𝑛)+，使之为等差数列或等比数列，这就需要我们平时积累对𝑎𝑛+1 = 𝑓(𝑎𝑛)的变形经验.
如果给出的是关于𝑎𝑛+2，𝑎𝑛+1，𝑎𝑛的三项之间递推关系，则应先转化为关于𝑎𝑛+1，𝑎𝑛的两项之间的递推关系.
概念
数列
表示
等差数列与等比数列性质的类比
通项公式、递推公式
图象法
列表法
通项公式
求和公式
性质
判定
an＝a1＋(n－1)d
an＝am＋(n－m)d
an＝a1qn－1
an＝amqn－m
an＋am＝ap＋ar
anam＝apar
前n 项和
𝑆𝑛=
𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
2
前n 项积(an＞0)
Tn＝(a1an)n
常见递推类型及方法
累加法、或化常数列
累乘法、或化常数列
构造等比数列{an＋
𝑑
𝑞−1}
构造等差数列
①an＋1－an＝f (n)
②an + 1
an ＝f (n)
③an＋1＝𝑞an＋𝑑
⑤pan＋1an＝an－an＋1
化为
𝑎𝑛+1
𝑞𝑛+1 =
𝑝
𝑞∙
𝑎𝑛
𝑞𝑛＋
1
𝑞转为③
④an + 1＝pan＋qn
等比数列
an≠0，q≠0
Sn＝
na1，q＝1
a1(1－qn)
1－q
，q≠1
公式法：应用等差、等比数列的前n 项和公式
分组求和法
倒序相加法
裂项求和法:
𝑎−𝑏
𝑎𝑏=
1
𝑏−
1
𝑎
错位相加法:𝑎𝑛= (𝑎𝑛+ 𝑏)𝑞𝑛→𝑆𝑛= (𝐴𝑛+ 𝐵)𝑞𝑛−𝐵
常见求和方法
数列是特殊的函数、增减性、周期性
1.
2𝑘
(2𝑘−1)(2𝑘+1−1) =
1
2𝑘−1 −
1
2𝑘+1−1
2.
𝑛+1
𝑛2(𝑛+2)2 =
1
4 (
1
𝑛2 −
1
(𝑛+2)2)
3.
(−1)𝑛∙4𝑛
(2𝑛−1)(2𝑛+1) = (−1)𝑛(
1
2𝑛−1 +
1
2𝑛+1).
𝑎𝑛与𝑆𝑛的关系
𝑎𝑛= {𝑆1 ， 𝑛= 1，
𝑆𝑛−𝑆𝑛−1，𝑛≥2．
解析法：an＝f (n)
𝑆𝑛＝𝑛𝑎1 +
𝑛(𝑛−1)
2
𝑑
等差数列
𝑆𝑚,𝑆2𝑚−𝑆𝑚,𝑆3𝑚−𝑆2𝑚,
…
，成等差数列
，成等差数列
𝑆𝑚,𝑆2𝑚−𝑆𝑚,𝑆3𝑚−𝑆2𝑚,
…
，成等比数列
，成等比数列
求和型不等式的证明，如
𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛< 𝑓(𝑛)
方法：①先求和、再放大；②先放大求和、再放大；③数学归纳法
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函数单调性的讨论及讨论标准的确定
1.求导后参数直接独立型：
如𝑓(𝑥) = g(𝑥) −𝑎𝑥，𝑓′(𝑥) = g′(𝑥) −𝑎，分类讨论的标准就是𝑎与g′(𝑥)的值域的关系，即𝑎与g′(𝑥)值域中端点值的大
小关系．如𝑓(𝑥) = ln(𝑒𝑥+ 1) −𝑎𝑥→𝑓′(𝑥) =
𝑒𝑥
𝑒𝑥+1 −𝑎，𝑓(𝑥) =
1
2 𝑥2 −𝑎ln 𝑥(1 ≤𝑥≤𝑒) →𝑓′(𝑥) =
𝑥2−𝑎
𝑥.
2.求导后参数间接独立型：
如𝑓(𝑥) = 𝑎ln 𝑥−
𝑥
𝑥+1，𝑓′(𝑥) =
𝑎
𝑥−
1
(𝑥+1)2 (𝑥> 0)，𝑥𝑓′(𝑥) = 𝑎−
𝑥
(𝑥+1)2。由于𝑓′(𝑥)与𝑥𝑓′(𝑥)的符号是一致的，所以可以
先讨论𝑥𝑓′(𝑥)的符号，讨论标准同（1）。在确定𝑓′(𝑥) ≥0，及𝑓′(𝑥) ≤0以后，要想确定𝑓′(𝑥)有零点时𝑓(𝑥)的单调性，
则需对𝑓′(𝑥)的表达式作进一步变形，即𝑓′(𝑥) =
𝑎
𝑥−
1
(𝑥+1)2 =
𝑎𝑥2+(2𝑎−1)𝑥+𝑎
𝑥(𝑥+1)2
=
𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)
𝑥(𝑥+1)2
，其中𝑥1 =
1−2𝑎−√1−4𝑎
2𝑎
，
𝑥2 =
1−2𝑎+√1−4𝑎
2𝑎
.
3.求导后参数混合型（无限制条件下的直接因式分解型）：
如𝑓(𝑥) = (𝑥−2)e𝑥+ 𝑎(𝑥−1)2，𝑓′(𝑥) = (𝑥−1)(𝑒𝑥+ 2𝑎)，由后一个因式有无零点得讨论标准0，及有零点ln(−2𝑎)时
与1 的大小关系得讨论标准−
e
2.
4.求导后参数混合型（有限制条件下的间接因式分解型）：
如𝑓(𝑥) = 𝑎ln 𝑥−
𝑥
𝑥+1，𝑓′(𝑥) =
𝑎
𝑥−
1
(𝑥+1)2 =
𝑎𝑥2+(2𝑎−1)𝑥+𝑎
𝑥(𝑥+1)2
(𝑥> 0)，分两类讨论：（1）𝑎≤0及∆≤0（对应𝑓′(𝑥) ≤0），
【一靠观察二靠变形计算】，（2）在（1）中参数取值范围的补集下，进行因式分解，并确认此时𝑓(𝑥)的单调性.
5.定义域人为限制型：
如𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 −(2𝑎−1)𝑥−ln 𝑥−2，𝑥∈,1，4-，𝑓′(𝑥) = 2𝑎𝑥−(2𝑎−1) −
1
𝑥=
2𝑎𝑥2−(2𝑎−1)𝑥−1
𝑥
=
(2𝑎𝑥+1)(𝑥−1)
𝑥
，考虑
端点是极值点：−
1
2𝑎= 1 ⇒𝑎= −
1
2， −
1
2𝑎= 4 ⇒𝑎= −
1
8，讨论标准为−
1
2 , −
1
8。
z 的几何意义：
z 是直线ax＋by－z＝0
在x 轴上截距的a 倍，
在y 轴上截距的b 倍.
z 的几何意义：
过可行域内一点（𝑥, 𝑦）
向直线𝑥= 𝑎，𝑦= 𝑏作
垂线，它们围成的矩形
面积=|𝑧|
不等式
不等式的性质
简单的线性规划
基本不等式
𝑎+𝑏
2 ≥√𝑎𝑏
借助二次函数的图象
三个二次的关系
可行域
目标函数
z＝ax＋by：构造截距
z＝
𝑦−𝑏
𝑥−𝑎：构造斜率
z＝
(x－a)2＋(y－b)2：构造距离
应用题
最值问题
变形
和定值，积最大；积定值，和最小
应用时注意：一正二定三相等
2𝑎𝑏
𝑎+𝑏≤√𝑎𝑏≤
𝑎+𝑏
2
≤√𝑎2+𝑏2
2
z＝(x-a)(y-b)：构造面积
比较大小：比较法
绝对值三角不等式
|𝑎| −|𝑏| ≤|𝑎± 𝑏| ≤|𝑎| + |𝑏|（常用于求最值）
柯西不等式
(𝑎2 + 𝑏2)( 𝑐2 + 𝑑2)≥(𝑎𝑐+ 𝑏𝑑)2，𝑎𝑑= 𝑏𝑐时等号成立
一元二次不等式及其解法
解绝对值不等式
①零点分段讨论法；②绝对值几何意义；③函数图象法
|𝑥−𝑎| + |𝑥−𝑏| ≥𝑐(𝑐>0)和|𝑥−𝑎| + |𝑥−𝑏| ≤𝑐(𝑐>0)
不等式证明方法
比较法、综合法、分析法、放缩法、
构造法、换元法、反证法、数学归纳法
/14 高中数学知识框架思维导图
8
第五部分 解析几何、坐标系与参数方程
相离、外切𝑑= 𝑅+ 𝑟、相交、内切𝑑= 𝑅−𝑟、包含.（𝑅≥𝑟)）
两圆的位置关系
圆的方程
相离
＜0，或d＞r
＝0，或d＝r
＞0，或d＜r
弦长公式|𝐴𝐵| = 2√𝑅2 −𝑑2
圆的标准方程：(𝑥－𝑎)2＋(𝑦－𝑏)2＝𝑟2(𝑟> 0)
圆的一般方程：𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥+ 𝐸𝑦+ 𝐹= 0
直线与圆的位置关系
阿波罗尼斯圆：满足|𝑃𝐴| = 𝜆|𝑃𝐵|(𝜆≠1)的𝑃点的轨迹
相交
相切
与圆有关的几个最值状态你掌握了吗？
倾斜角和斜率
直线的方程
位置关系
直线方程的形式
斜率公式、倾斜角的变化与斜率的变化:𝑘= tan 𝛼，𝑘=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
重合
平行
相交
垂直
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1＝0
A1B2－A2B1≠0
A1A2＋B1B2＝0
点斜式：y－y0＝k(x－x0)
斜截式：y＝kx＋b
两点式：
𝑦−𝑦1
𝑦2−𝑦1 =
𝑥−𝑥1
𝑥2−𝑥1
截距式：
𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1
一般式：Ax＋By＋C＝0
注意各种形式的转化和运用范围.
两直线的交点
距离
两点间的距离公式|𝑃1𝑃2| = √(𝑥1 −𝑥2)2 + (𝑦1 −𝑦2)2．
点到线的距离：𝑑=
|𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶|
√𝐴2+𝐵2
，平行线间距离：𝑑=
|𝐶2−𝐶1|
√𝐴2+𝐵2
截距
注意：截距可正、
可负，也可为0.
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1≠0
平行：𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 ≠𝑏2
垂直：𝑘1 ∙𝑘2 = −1
𝑙1: 𝐴1𝑥+ 𝐵1𝑦+ 𝐶1 = 0.
𝑙2: 𝐴2𝑥+ 𝐵2𝑦+ 𝐶2 = 0.
𝑙1: 𝑦= 𝑘1𝑥+ 𝑏1.
𝑙2: 𝑦= 𝑘2𝑥+ 𝑏2.
对称性问题
中心对称
轴对称
点(x1，y1) ───────→
关于点(a，b)对称
点(2a－x1，2b－y1)
曲线f (x，y)=0 ───────→
关于点(a，b)对称曲线f (2a－x，2b－y)=0
{
𝐴∙𝑥1+𝑥2
2
+ 𝐵∙𝑦1+𝑦2
2
+ 𝐶= 0
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1 ∙.−𝐴
𝐵/ = −1
特殊对称轴
x±y＋C＝0
直接代入法
点(x1，y1)与点(x2，y2)关于
直线Ax＋By＋C＝0 对称
曲线与方程
轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法
圆锥曲线
椭圆
双曲线
抛物线
定义及标准方程
性质
范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、
渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）、通径
离心率：𝑒=
𝑐
𝑎= √1 ± .
𝑏
𝑎/
2.
抛物线𝑦2 = 2𝑝𝑥的焦半径公式：|𝑃𝐹| = 𝑥0 +
𝑝
2 =
𝑝
1±cos 𝜃
直线与圆锥曲线的位置关系
相交时韦达定理法，相切时判别式法.
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9
⑴直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
⑵直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
⑶平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
⑷平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
⑸直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
⑹直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
⑺平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
⑻平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
椭圆、双曲线中的垂径定理（又称椭圆、双曲线的第三定义）．
圆的垂径定理(如图1)；
直径与端点处的切线垂直(如图2)；
直径所对的圆周角是直角(如图3)；
它们都含有斜率之积𝑘1𝑘2 = −1这个关系。
推广到椭圆、双曲线中
若焦点在𝑥轴上，则斜率之积为𝑒2 −1．
若焦点在𝑦轴上，则斜率之积为
1
𝑒2−1.
说明：结论可用点差法证明。
𝑂
𝐶
𝐴
𝑂
𝐶
𝐵
𝐴
𝐷
𝐷
𝐵
图2
𝑂
𝐶
𝐴
𝑂
𝐶
𝐵
𝐴
𝐷
𝐷
𝐵
𝑃
𝑃
图1
𝑂
𝐶
𝐴
𝐵
𝑂
𝐶
𝐵
𝐴
图3
弦长公式（两点间的距离公式）
①|𝐴𝐵| = √(𝑥1 −𝑥2)2 + (𝑦1 −𝑦2)2 = √1 + 𝑘2|𝑥1 −𝑥2| = √1 + 𝑘2√(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2 = √1 + 𝑘2 √∆
|𝑎|；
②|𝐴𝐵| = √(𝑥1 −𝑥2)2 + (𝑦1 −𝑦2)2 = √1 + .
1
𝑘/
2
|𝑦1 −𝑦2| = √1 + .
1
𝑘/
2
√(𝑦1 + 𝑦2)2 −4𝑦1𝑦2 = √1 + .
1
𝑘/
2 √∆
|𝑎|．
伸缩变换𝜑：{𝑥′ = 𝜆𝑥，(𝜆> 0)，
𝑦′ = 𝜇𝑦，(𝜇> 0).
极坐标系
直角坐标与极坐标互化：①{𝑥= 𝜌cos𝜃
𝑦= 𝜌sin𝜃，②{
𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2
tan𝜃＝
𝑦
𝑥(𝑥≠0)．
⑴|𝑃1𝑃2| = √𝜌1
2 + 𝜌2
2 −2𝜌1 𝜌2cos(𝜃2 −𝜃1)；
⑵𝑆∆𝑃1𝑂𝑃2 =
1
2 |𝜌1𝜌2 sin(𝜃2 −𝜃1) |．𝑃𝑖(𝜌𝑖，𝜃𝑖)，𝑖= 1，2
参数方程
椭圆：{𝑥= 𝑎cos𝜑，
𝑦= 𝑏sin𝜑．
(𝜑 为参数)
直线：{𝑥= 𝑥0 + 𝑡cos𝛼，
𝑦= 𝑦0 + 𝑡sin𝛼．
(𝑡为参数)
{𝑥= 𝑓(𝑡)，
𝑦= g(𝑡)．
(𝑡为参数)
常见曲线的参数方程
坐标系
圆：{𝑥= 𝑎+ 𝑟cos𝜃，
𝑦= 𝑏+ 𝑟sin𝜃．
(θ 为参数)
直线：{𝑥= 𝑥0 + 𝑎𝑡，
𝑦= 𝑦0 + 𝑏𝑡．
(𝑡为参数)→{
𝑥= 𝑥0 ±
|𝑎|
√𝑎2+𝑏2 𝑡，
𝑦= 𝑦0 +
|𝑏|
√𝑎2+𝑏2 𝑡．
(𝑡为参数，𝑎𝑏的符号确定±，即正“+”负“−”)
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10
第六部分 立体几何
异面直线所成的角
直线与平面所成的角
二面角的平面角
范围：(0，90]
范围：[0，90]
范围：(0，180)
点到面的距离
直线与平面的距离
平行平面之间的距离
相互之间的转化
cos𝜃＝
|𝑎⃗ ∙𝑏⃗ |
|𝑎⃗ ||𝑏⃗ |
sin𝜃＝
|𝑎⃗ ∙𝑛⃗ |
|𝑎⃗ ||𝑛⃗ |
cos𝜃＝
𝑛1⃗⃗⃗⃗ ∙𝑛2⃗⃗⃗⃗
|𝑛1⃗⃗⃗⃗ ||𝑛2⃗⃗⃗⃗ |
𝑑=
|𝑎⃗ ∙𝑛⃗ |
|𝑛⃗ |
空
间
向
量
空
间
直
角
坐
标
系
空间的距离
空间的角
空间向量基本定理: 𝒑＝𝑥𝒂＋𝑦𝒃＋𝑧𝒄，其中{ 𝒂，𝒃，𝒄}为空间的一个基底．
若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 1)，P，A，B，C 四点共面.
点与线
空间点、
线、面的
位置关系
点在直线上，或点在直线外，∈或∉
点与面
点在平面内，或点在平面外，∈或∉
线与线
共面直线
异面直线
没有公共点
只有一个公共点
线与面
平行𝑙//𝛼
相交𝑙∩𝛼= 𝑂
只有一个公共点
没有公共点
直线在平面外
直线在平面内𝑙⊂𝛼
面与面
平行𝛼//𝛽
相交𝛼∩𝛽= 𝑙
垂直关系的
相互转化
证明
平行关系的
相互转化
线线
平行
线面
平行
面面
平行
线线
垂直
线面
垂直
面面
垂直
无数个公共点
没有公共点
相交𝑙∩𝑚= 𝑂
平行𝑙//𝑚
综合法、基底法、坐标法
空间几何体
柱体
棱柱
圆柱
设𝑙1，𝑙2分别经过圆心𝑂1，𝑂2，
且𝑙1 ⊥圆面𝑂1，𝑙2 ⊥圆面𝑂2，
则𝑙1与𝑙2的交点𝑂为球心.
台体
棱台
圆台
锥体
棱锥
圆锥
球
直观图（斜二测画法）：𝑆= 2√2𝑆′
侧面积、表面积
三视图：长对正、高平齐、宽相等
根据三视图还原几何体的步骤
1.选一个视图扩充成几何体（通常为直棱柱）；
2.对照三个视图对该几何体进行删点、补点，再连线成体.
柱体：𝑉= 𝑆ℎ
体积
结构特征
台体：𝑉=
1
3 (𝑆+ 𝑆′ + √𝑆𝑆′)ℎ
锥体：𝑉=
1
3 𝑆ℎ
球：𝑉=
4
3 𝜋𝑅3
外接球球心的定位
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11
第七部分 统计与概率
统计
随机抽样
抽签法
随机数表法
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
共同特点：抽样过程
中每个个体被抽到的
可能性（概率）相等
用样本估计总体
样本数字特征
估计总体
众数、中位数、平均数𝑥̅
期望、方差𝑠2、标准差𝑠
变量间的相关关系
两个变量的
线性相关
回归直线𝑦̂ = 𝑏̂𝑥+ 𝑎̂过样本中心点(𝑥̅, 𝑦̅)
正态分布：𝑋~𝑁(𝜇, 𝜍2)，𝜇= 𝐸(𝑋)，𝜍2 = 𝐷(𝑋)；对称轴𝑥= 𝜇；3𝜍原则
列联表（2×2）独立性分析、等高条形图
散点图
样本频率分布
估计总体
二项分布：𝑋~(𝑛, 𝑝)
总体密度曲线
茎叶图
正态分布：𝑋~𝑁(𝜇, 𝜍2)
频率分布表和频率分布直方图
概率
概率的基本性质
互斥事件，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
对立事件，P(𝐴̅)＝1－P(A)
古典概型：𝑃(𝐴) =
𝐴包含的基本事件的个数
基本事件的总数
=
𝑛(𝐴)
𝑛(𝛺)
几何概型：𝑃(𝐴) =
构成事件𝐴的区域长度(面积或体积或角度)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积或角度)
事件的独立性
用随机模拟法求概率、求面积
随机变量
两点分布
X～B(1，p)
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)
E(X)＝n·
𝑀
𝑁，D(X)＝
𝑛𝑀
𝑁.1 −
𝑀
𝑁/
𝑁−𝑛
𝑁−1
n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率为
Pn(k)＝C
k
n pk(1－p)n－k
超几何分布
P(A B)＝P(A)·P(B)
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴𝐵)
𝑃(𝐴)
P(X=k)＝C
k
n pk(1－p)n－k
X～B(n，p)
𝑃(𝑋= 𝑘) =
𝐶𝑀
𝑘𝐶𝑁−𝑀
𝑛−𝑘
𝐶𝑁
𝑛
X～H(N，M，n)
性质：若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).
期望𝐸(𝑋)= ∑
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖𝑝𝑖，方差𝐷(𝑋)＝∑
𝑛
𝑖=1
(𝑥𝑖−𝐸(𝑋))
2𝑝𝑖
条件概率
期望、方差
常用的分布
离散型随机变量分布列及其性质
二项分布
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12
第八部分 数学思想方法
常见题型的解题规律或方法集锦
1.求多面体外接球半径的常见模型：（掌握了常见模型，就不一定要画外接球与多面体的直观图）
（1）截面圆的半径、大圆半径可由正弦定理𝑟=
𝑎
2 sin 𝐴求出；
（2）必要时可将多面体补形为共外接球的特殊几何体.
（3）多面体内切球的半径一般用等体积法求.
2.同构不等式：若𝐹(𝑥) ≥0能等价变形为𝑓,g(𝑥)- > 𝑓,ℎ(𝑥)-，然后利用𝑓(𝑥)的单调性，如递增，再转化为g(𝑥) ≥ℎ(𝑥)，
这种方法就称为同构不等式，简称同构法.
近似估算法(可能性)
逻辑分析法(充要条件)
数形结合法
特值检验法(定值问题)
逆推代入法(淘汰法)
求解对照法(直接法)
选择题的解法
合理存在性法(针对选项)
特征分析法(针对选项)
四个选项
有极大的
参考价值！
千万不要
小题大做！
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = (2𝑅)2.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐵1
𝐶1
𝐷1
𝐴1
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑2 = 𝑅2 −𝑟2.
d
𝑅
𝑟
𝑂
𝑂′
数学方法
割补法
构造法
分子常数化
分离参数法
数学归纳法
待定系数法
放缩法
等积法
判别式法
反证法
解析法
归纳法
配方法
换元法
分析法
比较法
综合法
定义法
数学思想
或然与必然的思想
特殊与一般的思想
有限与无限的思想
正难则反的思想
数形结合的思想
分类与整合的思想
函数与方程的思想
转化与化归的思想
等价转化法
特例法(定值问题)
直接法
填空题的解法
数形结合法
数学语言
相互转换
普通语言相
符号语言
图形语言
h-R
𝑅
𝑟
𝑂
𝑂′
𝑃
ℎ= 𝑃𝑂′
𝑅
𝑟2 + (ℎ−𝑅)2 = 𝑅2
𝐴
𝑟
𝑂
𝑂′
𝐵
𝐶
𝑟
由
𝐴𝐶
sin∠𝐴𝐵𝐶= 2𝑅求𝑅
h
𝐴
𝑟
𝑂
𝑂′
𝐵
𝐶
𝑑
𝑟
若𝐴𝐵⊥圆 𝑂′面，则
ℎ2 = (2𝑅)2 −(2𝑟)2，
或𝑑2 = 𝑅2 −𝑟2.
𝑂
𝐸
𝐵
𝐶
𝐷
𝑟1
𝑂2
𝑂1
𝐴
𝑟2
𝑅
𝑟1
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13
3. 极点与极线的性质：关于二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的“四线一方程”
一般
变换
已知二次曲线𝐺：𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦+ 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥+ 𝐸𝑦+ 𝐹= 0，点𝑀(𝑥0，𝑦0)，对二次曲线𝐺的方程作如下变换：
平方项：𝑥2替换为𝑥0𝑥，𝑦2替换为𝑦0𝑦；一次项：𝑥替换为
𝑥+𝑥0
2 ，𝑦替换为
𝑦+𝑦0
2 ；𝑥𝑦替换为
𝑥0𝑦+𝑦0𝑥
2
.
得到直线𝑙：𝐴𝑥0𝑥+ 𝐵
𝑥0𝑦+𝑦0𝑥
2
+ 𝐶𝑦0𝑦+ 𝐷
𝑥+𝑥0
2
+ 𝐸
𝑦+𝑦0
2
+ 𝐹= 0，记为 𝐻(𝑥，𝑦) = 0．
常用
变换
⑴对于圆：𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥+ 𝐸𝑦+ 𝐹= 0，点𝑀(𝑥0，𝑦0)， 直线𝑙：𝑥0𝑥+ 𝑦0𝑦+ 𝐷
𝑥+𝑥0
2
+ 𝐸
𝑦+𝑦0
2
+ 𝐹= 0；
⑵对于椭圆：
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1，点𝑀(𝑥0，𝑦0)， 直线𝑙：
𝑥0𝑥
𝑎2 +
𝑦0𝑦
𝑏2 = 1；
⑶对于双曲线：
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1，点𝑀(𝑥0，𝑦0)， 直线𝑙：
𝑥0𝑥
𝑎2 −
𝑦0𝑦
𝑏2 = 1；
⑷对于抛物线：𝑦2 = 2𝑝𝑥，点𝑀(𝑥0，𝑦0)， 直线𝑙：𝑦0𝑦= 𝑝(𝑥+ 𝑥0).
几何
含义
①当𝑀(𝑥0，𝑦0)在曲线𝐺上时，𝑙为曲线𝐺的切线方程；
②当𝑀(𝑥0，𝑦0)在曲线𝐺包围的区域外时，𝑙为过𝑀作曲线𝐺的两切线后经过两个切点的切点弦方程；
③当𝑀(𝑥0，𝑦0)在曲线𝐺包围的区域内时，𝑙为过𝑀的动弦𝑃1𝑃2两个端点为切点的两切线交点的轨迹方程；
④当𝑀(𝑥0，𝑦0)为曲线𝐺的弦中点时，中点弦所在直线方程为𝐻(𝑥，𝑦) −𝐻(𝑥0，𝑦0) = 0．中点弦方程.
说明
点𝑀又叫极点，直线𝑙又叫极线；若极线方程含参数，则极线过定点.
4. 伸缩变换中椭圆与圆的对应关系
椭圆、双曲线中的数量（变换前）
伸缩变换
圆、等轴双曲线中的数量（变换后）
方程
𝑥2
𝑎2 ±
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟺𝑥2 ± (𝑎𝑦
𝑏)2 = 𝑎2
令{
𝑥′ = 𝑥
𝑦′ =
𝑎
𝑏𝑦，
则{
𝑥= 𝑥′
𝑦=
𝑏
𝑎𝑦′
【说明】
这样变换只对
纵坐标及
与纵坐标有关
的结论有影响.
方程𝑥′2 ± 𝑦′2 = 𝑎2
直线𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝐶= 0
直线𝐴𝑥′ + 𝐵∙
𝑏
𝑎𝑦′ + 𝐶= 0
点𝑃(𝑥0，𝑦0)
点𝑃′(𝑥0，
𝑎
𝑏𝑦0)
点𝑄(𝑥0，
𝑏
𝑎𝑦0)
点𝑄′(𝑥0，𝑦0)
斜率𝑘=
𝑏
𝑎𝑘′
斜率𝑘′ =
𝑎
𝑏𝑘
面积𝑆=
𝑏
𝑎𝑆′
面积𝑆′ =
𝑎
𝑏𝑆
弦长|𝑀𝑁| = √1 + 𝑘2|𝑥1 −𝑥2|
弦长|𝑀′𝑁′| = √1 + 𝑘′2|𝑥1 −𝑥2|
变换前后的弦长关系：
|𝑀𝑁|
|𝑀′𝑁′| =
√1+𝑘2
√1+𝑘′2．
直线与椭圆的关系需不需要变换为直线与圆的关系，
关键在于能不能利用圆的相关性质解决变换后的问题．
掌握：相交弦定理，割线定理，切割线定理，垂径定理；圆心角，圆周角，弦切角定理．
5. 成立与恒成立问题，即函数有无零点，方程有解、无解，不等式成立、恒成立，求参数取值范围，一般优先考虑分离参
数法：
①若𝜆≥𝑓(𝑥)恒成立，则𝜆≥,𝑓(𝑥)-max；
②若𝜆≤𝑓(𝑥)恒成立，则𝜆≤,𝑓(𝑥)-min；
③若𝜆= 𝑓(𝑥)有解，则𝜆∈*𝑦|𝑦= 𝑓(𝑥)+；
④若𝜆= 𝑓(𝑥)无解，则𝜆∈𝑈*𝑦|𝑦= 𝑓(𝑥)+；
⑤若𝜆≥𝑓(𝑥)成立，则𝜆≥,𝑓(𝑥)-min；
⑥若𝜆≤𝑓(𝑥)成立，则𝜆≤,𝑓(𝑥)-max．
解决含参数问题的常用方法：⑴分离参数法；⑵分离函数法；⑶含参转化法．
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14
6. 洛必达法则，一个很实用的法则，主要用于求分式函数
𝑓(𝑥)
g(𝑥)在𝑥→𝑎时，
0
0 型或
∞
∞型的极限，可反复循环使用.
⑴若lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 0 且lim
𝑥→𝑎g(𝑥) = 0 ，则lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
g(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
g′(𝑥) ． （𝑎可以为常数，也可以为∞）
⑵若lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = ∞且lim
𝑥→𝑎g(𝑥) = ∞ ，则lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
g(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
g′(𝑥) ． （𝑎可以为常数，也可以为∞）
用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现
0
0 或
∞
∞时，
就必须用洛必达法则！
7．函数凹凸性定义及性质：设𝑓(𝑥)在区间𝐼上连续，如果对𝐼上任意两点𝑥1，𝑥2，
（1）凹函数：𝑓(𝑥1+𝑥2
2
) ≤
𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)
2
𝑓(𝑥)在𝐼上的图形是（向上）凹的 𝑓′′(𝑥) ≥0（即切线的斜率递增）．如图1．
（2）凸函数：𝑓(𝑥1+𝑥2
2
) ≥
𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)
2
𝑓(𝑥)在𝐼上的图形是（向上）凸的 𝑓′′(𝑥) ≤0（即切线的斜率递减）．如图2．
其中的不等式又叫琴生不等式.
若𝑓(𝑥)在𝑥= 𝑥0处取得极值(𝑓′(𝑥0) = 0)，且𝑓′′(𝑥0) > 0，则𝑓(𝑥0)为极小值；
若𝑓(𝑥)在𝑥= 𝑥0处取得极值(𝑓′(𝑥0) = 0)，且𝑓′′(𝑥0) < 0，则𝑓(𝑥0)为极大值．
函数凹凸性的快速判断与函数单调性的快速判断方法极为类似（对数形结合时准确作图很有帮助）．
归纳：根据曲线、切线、单调性、凹凸性关系，可以得出以下结论
（1）对于𝑎𝑥≤𝑓(𝑥)(𝑥≥0)恒成立，求实数𝑎的取值范围.
如果𝑓(0) = 0，𝑓′(𝑥) ≥0（增函数），𝑓′′(𝑥) ≥0（凹函数），则实数𝑎的取值范围为𝑎≤𝑓′(0).
（2）对于𝑎𝑥≥𝑓(𝑥)(𝑥≥0)恒成立，求实数𝑎的取值范围.
如果𝑓(0) = 0，𝑓′(𝑥) ≥0（增函数），𝑓′′(𝑥) ≤0（凸函数），则实数𝑎的取值范围为𝑎≥𝑓′(0).
8．拉格朗日中值定理：若函数𝑓(𝑥)在区间(𝑎，𝑏)内可导，在区间,𝑎，𝑏-上连续，则∃𝑥0 ∈(𝑎，𝑏)，使得𝑓′(𝑥0) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
．
9．两个重要极限公式：⑴lim
𝑥→0
sin𝑥
𝑥
= 1； ⑵lim
𝑥→+∞(1 +
1
𝑥)𝑥= e．
10．渐近线：有很多函数图象或曲线有渐近线（铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线），作图时就需要注意！
(1)渐近线：若∃𝑥0 ∈𝐑，使得𝑓(𝑥0) = 0，则𝑥= 𝑥0为𝑦=
1
𝑓(𝑥)图象的渐近线．你能作出𝑦=
1
ln𝑥，𝑦=
1
sin𝑥等函数的图象吗？
高中数学中有渐近线的曲线：
①𝑦=
𝑘
𝑥，②𝑦= 𝑥+
𝑘
𝑥(𝑘≠0)，③𝑦= 𝑎𝑥，④𝑦= log𝑎𝑥，⑤𝑦= tan 𝑥，⑥
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1．
(2)斜渐近线：对于𝑦= 𝑓(𝑥)，若lim
𝑥→∞
𝑦
𝑥= 𝑘，且lim
𝑥→∞(𝑦−𝑘𝑥) = 𝑏，则𝑦= 𝑓(𝑥)有斜渐近线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏．
11．⑴如何解超越型不等式𝑓(𝑥) > 0？所谓超越型不等式，就是不能通过等价变形，变成一元一次不等式或一元二次不等式，
或变成可解的特殊的三角函数不等式．由ln 𝑥，e𝑥，𝑥𝛼 ，𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐，𝑘𝑥+ 𝑏，
𝑘
𝑥，sin 𝑥，cos 𝑥等其中几个组合成的不
等式，可称为超越型不等式．
一般来说，解超越型不等式，主要注意以下两个方面：
①确定函数𝑓(𝑥)的定义域，并观察出函数𝑓(𝑥)的零点，常见零点有𝑥= 0，±1，±e等；
②确定𝑓(𝑥)的单调性，结合①，即可求出𝑓(𝑥) > 0的解集．
⑵如何解超越型方程𝑓(𝑥) = 0？如果在研究函数问题中出现了超越型方程𝑓(𝑥) = 0，而通过观察又可以找到一个满足这个
方程的根，那么这个根极有可能是方程的唯一根，然后要做的工作就是研究函数𝑦= 𝑓(𝑥)的单调性.
图1
𝑥1
𝑥2
𝑥1 + 𝑥2
2
图2
𝑥1 + 𝑥2
2
𝑥1
𝑥2
满足𝑓′′(𝑥0) = 0的实数𝑥0，
叫做函数𝑓(𝑥)的拐点.
/14 高中数学知识框架思维导图
