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考点突破练1 三角函数的图象与性质
一、必备知识夯实练
1.(2023 广西南宁一模)已知sin2α=cos α-1,则sin(α+3 π
2 )=( )
A.1
B.-1
C.2
D.-1
2
2.(2023 天津,5)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为(
)
A.sin(π
2 x)
B.cos(π
2 x)
C.sin(π
4 x)
D.cos(π
4 x)
3.(2023 辽宁丹东一模)√1+sin10=( )
A.-sin 5-cos 5
B.sin 5-cos 5
C.-sin 5+cos 5
D.sin 5+cos 5
4.(多选题)(2023 河北邢台模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图
所示,则( )
A.A=4
B.ω=2
C.φ=π
3
D.k=1
5.(2023 全国甲,理10)已知函数f(x)的图象由函数y=cos(2 x + π
6)的图象向左平移π
6 个单位长度得到,
则y=f(x)的图象与直线y=1
2x-1
2的交点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
6.(2023 山东沂水一中模拟)函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π
2 )的图象如图所示,图中阴影部分的面积为
6π,则φ=( )
A.-π
3
B.-π
4
C.π
6
D.5 π
12
7.(多选题)已知函数f(x)=cos(2x+π
6 )的图象为C,则( )
2
A.图象C 关于直线x=5 π
12 对称
B.图象C 关于点(π
3 ,0)中心对称
C.将y=cos 2x 的图象向左平移π
12个单位长度可以得到图象C
D.若把图象C 向左平移π
3 个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)是奇函数
8.已知直线x=π
3 和x=5 π
6 是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的两条相邻的对称轴,则满足条件的一个φ
的值是 .
9.(2023 山东济南一模)已知函数f(x)=sin(ωx-π
3 )(ω>0)在区间[0,π
2 ]上的值域为[-√3
2 ,1],则ω 的取值范
围为 .
10.(2023 河北衡水中学校考)已知角θ 终边上有一点(cos7 π
12 -sin7 π
12 ,-cos7 π
12 -sin7 π
12 ),则tan θ=
.
11.(2023 江苏南京师大附中模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π
2 ),将f(x)的图象向右平移π
8 个单位
长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)为偶函数,则函数f(x)在区间[0,π
2 ]上的值域为
.
12.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图,f(x)的图象的对称轴方程为x=
k π
4 + 5 π
12 ,k∈Z,则f(π
4 )= .
二、关键能力提升练
13.(2023 广东汕尾模拟)函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0,-π
2 <φ<π
2 )的部分图象如图中实线所示,图中圆C
与f(x)的图象交于M,N 两点,且点M 在y 轴上,则下列说法中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期是3 π
2
B.函数f(x)在区间( π
12 , 7 π
12 )内单调递减
C.函数f(x)的图象关于点(5 π
3 ,0)成中心对称
3
D.将函数f(x)的图象向左平移π
3 个单位长度后得到的图象关于y 轴对称
14.(多选题)(2023 湖北4 月调研)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|φ|<π
2 ),T 为f(x)图象的最小正周
期,满足f( π
ω)=f(T
3 ),且f(x)在区间(0,π)内恰有两个极值点,则有( )
A.φ=-π
6
B.函数y=f(x+ π
3ω)为奇函数
C.11
6 <ω≤17
6
D.若ω∈N*,则直线y=x-√3
2 为f(x)图象的一条切线
15.(多选题)(2023 湖南长沙模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+π
6 )(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有4 条对称轴,
则下列四个结论正确的是( )
A.f(x)在区间(0,π)上有且仅有3 个不同的零点
B.f(x)的最小正周期可能是π
2
C.ω 的取值范围是[10
3 , 13
3 )
D.f(x)在区间(0, π
12)上单调递增
16.(2021 全国甲,理16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件
(f ( x )- f(- 7 π
4 ))·(
f(x)-f(
4 π
3 ))>0 的最小正整数x 为 .
三、核心素养创新练
17.(多选题)(2023 浙江绍兴高三期末)主动降噪耳机工作的原理是:先通过微型麦克风采集周围的噪
声,然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为f(x),降
噪声波曲线函数为g(x),已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π
2 )的部分图象如图所示,则
下列说法正确的是( )
A.f(x)=-g(x)
4
B.f(x)=2sin(2x+π
6 )
C.g(x)的单调递减区间为[π
6 +kπ,3 π
4 +kπ](k∈Z)
D.函数f(x)的图象可以由函数g(x)的图象向右平移π 个单位长度得到
18.(2023 河北保定一模)有一街边旧房拆除后,打算改建成矩形花圃ABCD,中间划分出直角三角形
MPQ 区域种玫瑰,直角顶点M 在边AB 上,且距离A 点5 m,距离B 点6 m,且P,Q 两点分别在边BC 和
AD 上.已知BC=8 m,则玫瑰园的最小面积为( )
A.30 m2
B.15 m2
C.30√2 m2
D.15√2 m2
5
考点突破练1 三角函数的图象与性质
1.B 解析 ∵sin2α=1-cos2α,∴1-cos2α=cos α-1,即cos2α+cos α-2=0,∴(cos α-1)(cos α+2)=0,解得
cos α=1 或cos α=-2(舍去).故sin(α+3 π
2 )=-cos α=-1.
2.B 解析 由题意可得,函数y=sin(π
2 x)和y=cos(π
2 x)的最小正周期为
2π
π
2
=4,函数y=sin(π
4 x)和
y=cos(π
4 x)的最小正周期为
2π
π
4
=8,故排除C,D;又sin(π
2 ×2)=0,cos(π
2 ×2)=-1,所以直线x=2 为函数
y=cos(π
2 x)图象的对称轴.故选B.
3.A 解析 由题得,√1+sin10=√sin
25+2sin5cos5+cos
25=√(sin5+cos5)
2=|sin 5+cos 5|.
又3 π
2 <5<7 π
4 ,则cos 5>0>sin 5,且|cos 5|<|sin 5|,
所以√1+sin10=-(sin 5+cos 5)=-sin 5-cos 5.
4.BD 解析 由图象知,函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k 的最大值为3,最小值为-1,所以A=2,k=1,故A 错
误,D 正确;
由图象,可得T=2×(5 π
12 + π
12)=π,所以2π
ω =π,所以ω=2,故B 正确;
因为A=2,k=1,ω=2,
则f(x)=2sin(2x+φ)+1.
又f(- π
12)=3,所以2sin[2×(- π
12)+φ]+1=3,
即sin(-π
6 +φ)=1.又因为0<φ<π,所以φ=2π
3 ,
所以f(x)=2sin(2x+2π
3 )+1,故C 错误.故选BD.
5.C 解析 由题意知,f(x)=cos[2(x + π
6)+ π
6 ]=cos(2 x + π
2)=-sin 2x.在平面直角坐标系中画出函
数y=-sin 2x 与y=1
2x-1
2的大致图象,如图所示.
由图可知,两函数图象有3 个交点.故选C.
6.A 解析 如图所示,区域①和区域③面积相等,故阴影部分的面积即为矩形ABCD 的面积.由题
可得AB=3,
6
设函数f(x)的最小正周期为T,则AD=T,
由题意可得3T=6π,解得T=2π,故π
ω=2π,解得ω=1
2,即f(x)=tan(1
2x+φ).由图可知,f(x)的图象过点(
π
6 ,-1),
即tan(1
2 × π
6 +φ)=tan( π
12+φ)=-1.
∵φ∈(-π
2 , π
2 ),则π
12+φ∈(-5 π
12 , 7 π
12 ),
∴π
12+φ=-π
4 ,解得φ=-π
3 .
7.AC 解析 当x=5 π
12 时,f(x)=cos(2×5 π
12 + π
6 )=-1,则图象C 关于直线x=5 π
12 对称,故A 正确;
当x=π
3 时,f(x)=cos(2×π
3 + π
6 )=-√3
2 ≠0,故图象C 不关于点(π
3 ,0)中心对称,故B 不正确;
将y=cos 2x 的图象向左平移π
12个单位长度,得到函数y=cos[2(x+ π
12)]=cos(2x+π
6 )的图象,故C 正
确;
若把图象C 向左平移π
3 个单位长度,得到函数g(x)的图象,
则g(x)=cos(2x+2π
3 + π
6 )=cos(2x+5 π
6 ),而g(0)=cos5 π
6 =-√3
2 ≠0,故g(x)不是奇函数,故D 错误.
8.5 π
6 (答案不唯一) 解析 由题可知, π
ω = 5 π
6 - π
3 = π
2 ,解得ω=2.
当x=π
3 时,2×π
3 +φ=π
2 +kπ,k∈Z,得φ=-π
6 +kπ,k∈Z,当k=1 时,φ=5 π
6 .
9.[5
3 , 10
3 ] 解析 当x∈[0,π
2 ]时,ωx-π
3 ∈[-π
3 , π
2 ω-π
3 ].∵f(x)在区间[0,π
2 ]上的值域为[-√3
2 ,1],∴
π
2 ≤π
2 ω-π
3 ≤4 π
3 ,解得5
3≤ω≤10
3 ,即ω 的取值范围为[5
3 , 10
3 ].
10.√3
3 解析 由题得,cos7 π
12 =cos(π
2 + π
12)=-sin π
12,sin7 π
12 =sin(π
2 + π
12)=cos π
12,
则tan θ=
-cos 7 π
12 -sin 7 π
12
cos 7 π
12 -sin 7 π
12
=
sin π
12 -cos π
12
-sin π
12 -cos π
12
>0,
tan2θ=
(sin π
12 -cos π
12 )
2
(-sin π
12 -cos π
12 )
2 =
1-sin π
6
1+sin π
6
= 1
3,tan θ=√3
3 .
7
11.[-√2,2] 解析 将函数f(x)的图象向右平移π
8 个单位长度得到g(x)=2sin[2(x-π
8 )+φ]=2sin(2x-π
4
+φ)的图象.
又g(x)为偶函数,所以-π
4 +φ=π
2 +kπ,k∈Z,解得φ=3 π
4 +kπ,k∈Z.因为|φ|<π
2 ,所以φ=-π
4 ,所以
f(x)=2sin(2x-π
4 ).
因为x∈[0,π
2 ],则2x-π
4 ∈[-π
4 , 3 π
4 ],
所以sin(2x-π
4 )∈[-√2
2 ,1],则f(x)∈[-√2,2].
12.-1 解析 因为函数f(x)的对称轴方程为x=k π
4 + 5 π
12 ,k∈Z,则两相邻对称轴之间的距离是最
小正周期的一半,当k=0 时,x=5 π
12 ,当k=1 时,x=2π
3 ,所以2π
ω × 1
2 = 2π
3 - 5 π
12 = π
4 ,解得ω=4.
由题图可知,4× π
24 +φ=2kπ+π
2 ,k∈Z,所以φ=2kπ+π
3 ,k∈Z.又0<φ<π,所以φ=π
3 .
因为函数f(x)的图象经过点(0,1),则Acosπ
3 =1,所以A=2,故f(x)=2cos(4x+π
3 ),则f(π
4 )=2cos(4×
π
4 + π
3 )=-2cosπ
3 =-1.
13.B 解析 由对称性可知点C 的横坐标为0+ 2π
3
2
= π
3
,
所以1
2T=π
3 + π
6 = π
2 ,所以T=π,故A 错误;
题图中函数图象的最高点为(
π
3 - π
6
2
,A),整理得( π
12,A).因为T=2π
ω =π,解得ω=2,
所以f( π
12)=Acos(π
6 +φ)=A,即cos(π
6 +φ)=1.
因为-π
2 <φ<π
2 ,所以φ=-π
6 ,
所以f(x)=Acos(2x-π
6 ).
令2kπ≤2x-π
6 ≤2kπ+π,解得π
12+kπ≤x≤7 π
12 +kπ,k∈Z.
当k=0 时,可得π
12≤x≤7 π
12 ,所以函数f(x)在区间( π
12 , 7 π
12 )内单调递减,故B 正确;
令2x-π
6 = π
2 +kπ,解得x=π
3 + k π
2 ,k∈Z,
所以函数的对称中心为(π
3 + k π
2 ,0),k∈Z,令π
3 + k π
2 = 5 π
3 ,解得k=8
3∉Z,故C 错误;
将f(x)=Acos(2x-π
6 )的图象向左平移π
3 个单位长度,得到y=Acos[2(x+π
3 )-π
6 ]=Acos(2x+π
2 )=-Asin
2x 的图象,该图象不关于y 轴对称,故D 错误.
8
14.BCD 解析 因为f( π
ω)=f(T
3 ),T=2π
ω ,所以sin(π+φ)=sin(2π
3 +φ),则π+φ=2π
3 +φ+2kπ(不符合题
意,舍去)或π+φ+2π
3 +φ=2(kπ+π
2 ),
故φ=kπ-π
3 ,而|φ|<π
2 ,则φ=-π
3 ,故A 错误;
y=f(x+ π
3ω)=sin(ωx),而sin(-ωx)+sin(ωx)=0,所以函数f(x+ π
3ω)是奇函数,故B 正确;
由f(x)=sin(ωx-π
3 )在区间(0,π)内恰有两个极值点,根据正弦函数的图象及性质可得3 π
2 <ωπ-
π
3 ≤5 π
2 ,则11
6 <ω≤17
6 ,故C 正确;
当ω∈N*时,由选项C 可得ω=2,即f(x)=sin(2x-π
3 ),则f'(x)=2cos(2x-π
3 ),
当x=0 时,f'(0)=1,f(0)=-√3
2 ,则直线y=x-√3
2 是f(x)=sin(2x-π
3 )图象的一条切线,故D 正确.故选
BCD.
15.BC 解析 由函数f(x)=sin(ωx+π
6 )(ω>0),令ωx+π
6 =kπ+π
2 ,k∈Z,则x=(3k +1)π
3ω
,k∈Z.
因为函数f(x)在区间[0,π]上有且仅有4 条对称轴,
即0≤(3k +1)π
3ω
≤π 有4 个整数k 符合.
由0≤(3k +1)π
3ω
≤π,得0≤(3k +1)
3ω
≤1,即0≤3k+1≤3ω,
则k=0,1,2,3,即1+3×3≤3ω<1+3×4,则10
3 ≤ω<13
3 ,
故C 正确.
因为x∈(0,π),ωx+π
6 ∈(π
6 ,ωπ+π
6 ),则ωπ+π
6 ∈[7 π
2 , 9 π
2 ),当ωπ+π
6 ∈[7 π
2 ,4π)时,f(x)在区间(0,π)上
有且仅有3 个不同的零点;
当ωπ+π
6 ∈[4π,9 π
2 )时,f(x)在区间(0,π)上有且仅有4 个不同的零点,故A 错误.
对于B,周期T=2π
ω ,由10
3 ≤ω<13
3 ,则3
13 < 1
ω ≤3
10,
所以6 π
13 <T≤3 π
5 .又π
2 ∈(6 π
13 , 3 π
5 ],所以f(x)的最小正周期可能是π
2 ,故B 正确.
对于D,因为x∈(0, π
12),所以ωx+π
6 ∈(π
6 , ω π
12 + π
6 ).
又10
3 ≤ω<13
3 ,所以ω π
12 + π
6 ∈[4 π
9 , 19 π
36 ).又4 π
9 < π
2 , 19 π
36 > π
2 ,所以f(x)在区间x∈(0, π
12)上不一
定单调递增,故D 错误.故选BC.
16.2 解析 由图可知,f(x)的最小正周期T=4
3 ×(
13 π
12 - π
3)=π,∴ω=2.∵f(
13 π
12 )=2,∴2cos
(
13 π
6
+φ)=2,
∴φ=-π
6 +2kπ,k∈Z.
9
∴f(x)=2cos(2 x - π
6).∴f(
4 π
3 )=f(
π
3)=0,f(- 7 π
4 )=f(
π
4)=2cos(π
2 - π
6 )=1.
由(f(x)-1)(f(x)-0)>0,得f(x)<0 或f(x)>1.
结合图象可知,满足f(x)>1 的离y 轴最近的正数区间为(0, π
4),无整数;
f(x)<0 的离y 轴最近的正数区间为(
π
3 , 5 π
6 ),最小正整数x=2.
17.AB 解析 对于A,由已知得,
g(x)=Asin [-(ωx+φ)]=-Asin(ωx+φ)=-f(x),
∴f(x)=-g(x).故选项A 正确.
对于B,由图象知,T
2 = 1
2 × 2π
ω = 11π
12 - 5 π
12 ,解得ω=2.
∵f(5 π
12 )=Asin(2×5 π
12 +φ)=0,且x=5 π
12 在f(x)的单调递减区间上,∴2×5 π
12 +φ=5 π
6
+φ=2kπ+π,k∈Z,则φ=2kπ+π
6 ,k∈Z.
∵|φ|<π
2 ,∴φ=π
6 .
又f(0)=Asinπ
6 =1,解得A=2,∴f(x)=2sin(2x+π
6 ).故选项B 正确.
对于C,由B 可知,
g(x)=2sin[-(2x+π
6 )]=-2sin(2x+π
6 ),
由-π
2 +2kπ≤2x+π
6 ≤π
2 +2kπ,k∈Z,解得-π
3 +kπ≤x≤π
6 +kπ,k∈Z,
∴g(x)的单调递减区间为[-π
3 +kπ,π
6 +kπ],k∈Z.故选项C 错误.
对于D,将函数g(x)的图象向右平移π 个单位长度,得y=-2sin[2(x-π)+π
6 ]=-2sin(2x+π
6
-2π)=-2sin(2x+π
6 )≠f(x),故选项D 错误.故选AB.
18.A 解析 如图所示,
设∠BMP=θ,则∠AMQ=π
2 -θ,∠AQM=θ,所以MP=
6
cosθ ,MQ= 5
sinθ ,
则S△MPQ=1
2MP·MQ=
15
sinθcosθ =15sin
2θ+cos
2θ
sinθcosθ
=15tan
2θ+1
tanθ
=15(tan θ+
1
tanθ ).
又P,Q 两点分别在边BC 和AD 上,
所以BP=6tan θ∈[0,8],AQ=
5
tanθ ∈[0,8],
所以tan θ∈[5
8 , 4
3 ].
10
因为tan θ+
1
tanθ≥2√tanθ·
1
tanθ =2,当且仅当tan θ=
1
tanθ,即tan θ=1 时,等号成立,所以
S△MPQ=15(tan θ+
1
tanθ )≥30,即S△MPQ的最小值为30 m2.
