高中数学——猿题库——满分之路——导数_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

四
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导数
｜攻兑导数难题’这一本就够了
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高中数学
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几j ｜↑｛‖ ｜版传媒雌｜』｜
∏疚y↑人队肛肚寸上
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三｜录
第-章三灰函数
第0l讲三次函数单调区间、极值与最值
…..…l
●●
■
●●●●
第02讲三次函数根的判定……………………………………25
第（）3讲三次函数的对称性.……….…
…31
●●●●●
●●
第04讲三次函数的切线条数……….………….
.…. 42
第二章指、肘数处理技I5
第01讲对数处理技巧.……………….…………………….…53
第02讲指数处理技巧…………..……
..
58
●●●●●
●
●
第03讲指、对数处理技巧….….………………
….。66
第三章｜｜巨成立求参
第0l讲分类讨论………………………………………………8l
第02讲分离参数….………………….…….…………………84
第03讲端点效应
………………………………….…l0l
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第04讲隐极值点代换………………………………………ll6
第05讲任意与存在问题……….……….…………………. l42
第四章双变量不等式
第0l讲双元不等式证明之主元法.…………….….………159
第02讲双变量最值…………………………………………l70
第03讲极值点偏移………….…………………………….. l77
第04讲韦达定理
………。…………………….…2l5
第五章数歹‖不等式
导数数列不等式………..…………………………………….…233
第六章函数零点问题
第0l讲函数零点问题………….…….…
………….. 249
第02讲公切线………….……
.……………………270
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第-章三次函数
第0‖讲三次函数单调区间｀极值与最值
因知识纵横
l.已知三次函数／（卯）二α卯3＋b则2＋c则＋d（α＞0）.
（1）若△≤0’则／（卯）在（ˉ由’＋的）上为增函数;
（2）若△＞0’则／（＂）在（ˉ四’＂1）和（则2’＋的）上为增函数’／（卯）在（卯l ’则2）上为减函
ˉbˉ√b2ˉ3α·
ˉ6＋√62ˉ3α℃
数’其中卯l＝
,厕2＝
3α
3α
证明:／′（卯）＝3α绷2＋2b鳃＋c’△＝4b2—12αc＝4（b2-3αc）
’
（l）当△≤0’即b2ˉ3αc≤0时’／′（卿）≥0在R上恒成立’即／（则）在（ˉ切’＋酌）为增
函数.函数∧卯）的图象如图:
｝
｜）
〃
o（
川
卯＝卯0
〔
α
〕
勺
扩
／
γ
-6±
（2）当△＞0’即b2-3αc＞0时’令／′（厕）＝0’解得卿1’2＝
当师变化时′′（卯）与／（卯）的变化情况如下表:
3α
＼
‖
／
勺
÷
卯
’
‖
卯
（
（卯2,＋鲍）
）
‖
‖
上
卯
●
〃
由
（
卯2
卯l
卯
（）
／′（卯）
0
｛卜
＋
刀
刀
极小值
极大值
∧绷）
过
‖
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｛满分之路.导数1
函数∧卿）的图象如图.
0
／
′
／
／
~~~~~~~＂爪
卯
平
Ⅲ
′
○
Z≡九｜
卯≡卯2
综上所述,
三次函数／（绷）＝α卯3＋b卿2＋C厕＋Ⅲ（α＞0）’
（l）若b2ˉ3αc≤0’则j（则）在R上单调递增,元极值;
（2）若b2ˉ3αc＞0’则／（卿）的增区间为（ˉ。° ’匆l）和（卿2’＋。°）;减区间为（卯l ’鳃2）
~~
ˉbˉ√b2ˉ3“
且∧卿）在卿＝卯l处取得极大值’在鳃＝卯2处取得极小值’其中厕l＝
9卯勺＝
丝
3（】
ˉb＋√b2ˉ3αC
3α
2.三次函数的区间最值
函数／（厕）＝α卿3＋b匆2＋C卿＋〃（α≠0）’则巨［m’厕］’若卯0巨［m’′!］’且／′（“0）＝0’则
／（则）max＝maX｛／（m）肌卯0）肌厕）
｝;／（卯）mm＝min｛∧mM（则0）j（′』）
｝.
2
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『第-章三次函数］
◎典例剖析
~
［题型l
分类讨论求含参函数的单调区间］
［例l］求函数／（鞭）＝＋狐』＋鞭2＋咖…的单调区间
｜～.解析″0
依题意可得／′（厕）＝厕2＋2卯＋m.
（l）当△＝4-4矾≤0’即′′!≥l时’卿2＋2则＋m≥0恒成立’即／′（匆）≥0恒成立’所以函数
∧则）在R上单调递增;
（2）当△＝4-4m＞0’即m＜l时’
令／′（则）＝绷2＋2卿＋′川＝0’
—2ˉ√叮＝J7而＝ˉ1ˉ√Iˉ二丽’绷2＝ˉ2＋√斗ˉ4″′＝ˉl＋√Iˉ二而’且卯l＜卯2’
解得厕l＝
2
2
当厕变化时腮／′（厕）与／（卯）的变化情况如下表:
由此得’函数／（绷）的单调递增区间为（ˉ的’ˉlˉ√Iˉ二而）和（ˉ1＋√Iˉ＝而’＋。。）;单
调递减区间为（—1ˉ｀／I＝丽’—1＋√『＝丽）.
综上可知,
当m≥1时’函数∧卿）的单调递增区间为R;
当m＜1时鳃／（“）的单调递增区间为（ˉ的’ˉ1ˉ√丁＝ˉ而）和（ˉl＋√Iˉ＝而’＋四）’单调
递咸区间为（ˉ1ˉ√i＝丽’ˉl＋√T＝而）.
~
3＿
~
卯
／′（则）
∧厕）
）
］
卯
’
的
（
＋
刀
（卯l ’卯2）
~
＼.
~u
（卯2’＋的）
＋
／刀
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｛满分之路。导数h
满
（例2］求函数／（鞭）二＋狐狐』带÷鞭』＋躯＋‘的单调区间
△
｜.解析D
依题意可得／′（绷）＝″』绷2＋则＋1’
讨论二次项系数m:
（1）当′n＝0时扩′（勿）＝卯＋l’
今／′（则）＝0’解得加＝—l
’
所以绷巴（ˉ的’ˉl）时’／′（卿）＜0;卯巨（ˉl ’＋的）时’／′（绷）＞0;
故函数／（卯）在（ˉ的’ˉ1）上单调递减’在（ˉl ’＋的）上单调递增.
（2）当m＞0时’／′（卯）＝m则2＋卯＋1’△＝lˉ4′′o’
判断导数的根:
o当A＝』—物≤0’即′″≥÷咐′（躯）≥0』幢咸立’所以函数f（鳃）在R上单调递增;
@誉A＝lˉ4咖＞0,即0…十时,令′′（翼）二咖x2＋濒刊＝0’解得
ˉlˉ√1ˉ4m
ˉ1＋√1—4m’且卯l＜卯2’
卯l＝
2m
,卯2＝
2m
当卯变化时′′（卯）与／（“）的变化情况如下表:
解析
／
….函数j（瓤）的…增区间为（—国｀＿｜—j严）和（＿｜十i〈尸丽…）巢
调…间为（ˉ］—√丁二4′＂,＿｜叫—4咖）
2m
（3）当′n＜0时’／′（则）＝m厕2＋则＋1 ’△＝lˉ4m＞（）’
今／′（卯）＝m则2＋则＋l＝0’
马
叫
挡
ˉl—√1ˉ4″!
—1＋√1ˉ4′′l
’卯勺＝
2m
～
2m
解得厕l＝
’且冗l＞卯2,
4
Ⅺ
／′（厕）
∧″）
｀
巳
』
／
］
卯
’
鲍
（
＋
刀
（卯l ’绷2）
~
∑
（则2’＋的）
＋
.刀
／~
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1第～章
三次函数｜
当则变化时ˉ ,／′（卿）与／（卯）的变化情况如下表:
（—｜训ˉ4′″ ˉ1—豺ˉ4顺）;单调递减区间为
由此得’函数∧师）的单调递增区间为
ˉ｜栅ˉ4们｜（—｜—盎ˉ物』十. ）
／
｜—。° ,
U
综上所述,
（—｜＋盗＿4＂』—｜—豺—4砸）,单调逮减区
当″』＜0时ˉ’函数／（卯）的单调递增区间为
ˉl＋√1—4m
ˉ1ˉ√1ˉ4″!
）（
2”
｀带＝
2m
■
●
″
）
／
（＿鳃,
间为
｀
当′＂＝0时’函数／（卯）的单调递增区间为（ˉl’＋鲍）’单调递减区间为（ˉ四’ˉ1）;
雪0≤″』＜』时,函数′（甄）铺巢调遥增区间为（—硬’ˉ』—i严）乖
ˉ1＿√｜ˉ4砸ˉ｜＋√］ˉ4′＂）
2m
2m
（ˉ1叫＿4砸｀…）;巢调…间为｜
当″』≥寸时’函数∧撇）的单调递增区阎为R
5
』
i
x
／′（卯）
／（卯）
（ˉ的’卿2）
~
＼』
~凶
）
］
卯
’
∑
卯
／
『
【
＼
＋
／习
（师l ’＋鲍）
~
】
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｛满分之路.导数l
＝
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瞳
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』
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汁
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＿
｜
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睡
｜
』
匡
匡
江
祥
汗
江
』
冗
｛
江
『
哇
江
←
匡
』
迂
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『
江
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瓤
囊
＝
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疆
整
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叁
＝
＝
洒
囊
＝
氢
＝
巨
匡
｝
巨
｝
广
口
江
匡
丘
［例3｜求函数∧药）＝＋鞭』…』＋（2咖ˉ1）叶嚷的单调区间
·解祈］
依题意可得／′（卿）＝卯2＋2m卯＋（2′〃-l）＝（则＋l）（腮＋2mˉ1）.
令／′（则）＝0’解得卯＝ˉ1或则＝1ˉ2′＂’
比较两根大小:
（l）当1-2m＜ˉ］’即m＞l时’
当卯变化时旷′（卯）与／（m）的变化情况如下表:
（-的’l-2m）
（l-2m’-1）
（ˉ1 ’＋的）
卯
／′（狐）
＋
＋
~
刀
＼
刀
∧则）
由此得’函数／（卿）的单调增区间为（—凹’lˉ2′n）’（ˉ1’＋切）’单调减区间为（lˉ2m’
-l）.
（2）当1ˉ2′n＝ˉ1 ’即m＝l时旷′（“）≥0恒成立’故函数／（卯）的单调增区间为R;
（3）当1-2m＞ˉ1 ’即加＜l时’
当则变化时旷′（厕）与／（则）的变化情况如下表:
（-。。’-1）
（lˉ2m’＋“）
（-1’1-2′Ⅶ）
几
／′（卯）
＋
＋
~
／
＼~
｀u
.刀
／~
／（虹）
由此得’函数／（卯）的单调增区间为（ˉ鲍’-1）
’ （1—2肌’＋酌）’单调减区间为（-l’
1-2m）.
综上所述:
当m＜1时’函数／（勿）的单调增区间为（ˉ“’-1）’（1-2m’＋鲍）’单调减区间为（-l’
l-2m）;
当m＝1时’函数∧卯）的单调增区间为R;
当m＞1时’函数／（卯）的单调增区间为（ˉ的’1-2′Ⅶ）
’ （-1
’ ＋四）’单调减区间为
（1-2m’—1）.
~
6
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‖第-章三次函数｜
［例4］求函数∧蜒）二＋″』＋÷（′鹏＋l）篮2十氮＋′的单调区问
·解析｜●
依题意可得／′（匆）＝m厕2＋（m＋1）卯＋1＝（″Ⅸ＋1）（则＋1）
’
讨论二次项系数m:
（1）当′′l＝0时′′（卯）＝则＋1’令／′（厕）＝则＋l＝0’解得则＝—1’
所以当卯巨（—的’ˉ1）时′′（卯）＜（）’即／（卯）在（ˉ的’ˉl）上单调递减;
当则匡（—1’＋凹）时′′（卿）＞0’即／（卯）在（-1’＋的）上单调递增;
（2）当m≠0时’令／′（则）≡m厕2＋（″′＋1）厕＋1＝（″l卿十1）（绷＋1）＝0’
1
解得卿1＝-1’卯,＝-—
▲
″〗
下面比较根卯l ,卯2的大小:
o当m＜0时’卿2＞厕l
’
当卯变化时’／′（厕）与／（卿）的变化情况如下表:
由此得’函数∧躯）在（—函’ˉl）’（—斋,…）上单调递减,在（—l’—六）上单调递增;
@当m＞0时’
（i ）当卯2＝卯l ,即″』＝1时旷′（卯）≥0恒成立鳃／（卯）在R上单调递增;
（li）当卯2＜见1 ’即0＜m＜1时’
当绷变化时’／′（则）与／（卿）的变化情况如下表:
）
7
冗
／′（卯）
／（则）
（ˉ。。,ˉ1）
~
M
＼
‖
‖
‖
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Ⅱ
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｜满分之路.导数l
—函,—片）,（ˉl’…）上单调递增,在（ˉ肃,ˉl）上单调递减;
／
由此得’函数∧测）在｜
＼
’
寸
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］
＞
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’
■
』
几
＞
∑
卯
当
）
…
Ⅱ
■
］
（
当卯变化时’／′（卿）与／（卯）的变化情况如下表:
1
-1’-
∏〗
的
＋
’
■
』
—
加
（
）
（
）
（-的’＿l）
Ⅺ
／′（则）
＋
＋
~
刀
刀
／（卯）
丛
淘此得,函数∧蹦）在（—鳃,—｜）’（—斋｀＋函）上单调递增’在（＿l’ˉ贵）上单调递咸
综上所述,
1
—,…）』单调递增区间
″〗
′
（
当′″＜0时’函数／（卯）的单调递减区间为（ˉ的, ˉ1）
’
箭）
为（ˉ｜
＼
当″′＝0时’函数／（卿）的单调递减区间为（ˉ的’ˉl）’单调递增区间为（ˉl ’＋由）
;
｝二辩＃卡
｀
｀
Ⅱ
【
〖
□
】
□
′
／
■
』
加
’
由
（
’（ˉl’＋切）’单调递减区间
当0＜″′＜1时’函数／（绷）的单调递增区间为
1
—,—l
m′
为（
）
当′n＝1时ˉ ’函数／（卯）的单调递增区间为R;
l
—·＋由
″‖
′
（
）,单调递减区间为
当m＞1时’函数／（卯）的单调递增区间为（ˉ叼’ˉ1）
’
—｛,—☆）
（
↑
·
＋
想
‖
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｛｝≡仕l
虱
浊
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「第≡章
三次函数｜
［例5］求函数∧鳃）＝＋酗』—券』＋（lˉ憋）鳃＋‘在厦间（0,＋函）上的单调区间
｜●解析0
依题意可得／′（则）＝（α卯＋αˉ1）
.最高项系数的讨论:
（如—l）
,
（1）当α＝0时扩′（则）＝ˉ（撕ˉ1）＝0’解得加＝l’
所以当厕e（0’1）时扩′（卯）＞0’／（则）在（0’1）上单调递增;
当卯巴（1’＋的）时′′（绷）＜0’／（卯）在（1 ’＋的）上单调递减;
（2）当α＞0时’
今／′（＂）＝（α卯＋αˉl）
. （则ˉl）＝0’
解得躯］＝l,憋2＝宁
。比较两根大小:
（2l）当宁-!,卵“-÷时′′（蜒）≥0恒成立,∧撼）在（0,＋鹤）上单调递增;
（22）当导＞l ,:『0＜α＜＋时｀
当则变化时’／′（则）与／（卿）的变化情况女口下表:
由此得’函数／（篮）在（0,l）,（宁’＋鳃）上单调遥增’在（l ,宁）上单调递减;
（23）当宁＜1’印侧＞÷时,
.导数的根划分定义域
（23』）当宁＞0’即÷＜“＜1时,
当加变化时’／′（则）与／（绷）的变化情况如下表:
9
卯
／′（卯）
＼
‖
／
卯
∧
（0’1）
＋
／
刀
＼
‖
‖
』
』
／
α
ˉ
α
］
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］
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~
〗
｀
｀
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‖
‖
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′
′
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’
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—
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′满分之路.导数l
｜0,lˉα ）
＼
α
］
’
…
＿
α
（
）
（l’＋的）
叮
／′（绷）
＋
＋
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.刀
／~
／
过
∧则）
由此得,函数∧躯）在（0’罕）,（l ,…）上单调递增,在（罕,l ）上单调递减;
（2.3.2）当l二旦≤0’即α≥1时’
α
当缅变化时’／′（则）与／（卯）的变化情况如下表:
由此得’函数／（则）在（1’＋切）上单调递增’在（0’l）上单调递减;
’
］
＜
＾
‖
＜
…
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α
’
~
＝
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时
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‖
＜
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当
）
］
（
当卯变化时旷′（卯）与／（卯）的变化情况如下表:
由此得’函数／（则）在（0’1）上单调递增’在（l ’＋鲍）上单调递减;
综上所述,
当α≤0时′（则）的增区间为（0’l）’减区间为（1’＋的）;
当0＜α＜÷时沁）的增区间为（0,l）’（宁’…）减区间为（
当α-÷时讽鳃）的增区阎为（0,…）;
当÷…l时讽腮）的增区间为（0’宁）’（l,…）减区闷为（
当α≥1时抓则）的增区间为（1’＋切）’减区间为（0’1）.
■
●
′
＼
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′
／
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卯
／′（卯）
／（则）
（0’l）
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M
（l’＋的）
＋
／
卯
／′（卿）
／（则）
（0’1）
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／
（1’＋由）
~
M
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』第～霉三次函数｜
因必备知识
~
●应用导数求单调区间的解题步骤
l确定定义域;
2.对函数／（卯）的导函数／′（则）降幂排列（分式通分）’并确定最高项系数是否为0及正
负情况;
＿
3.判断导数的根
导函数为二次型／′（″）＝α则2＋b卯＋C.
能因式分解,令／′（则）＝0’求根并比较大小
｜…幅｛萝删渊
／′（卿）＝α绷2＋b卯＋C
4.画出导函数的图象’用导数的根划分定义域为若干区间’并判断每个区间导数的正负’
即原函数增减性和极值（列表）
●讨论级别
卯l＝卯2
α＝0
能因式分解;令／′（厕）＝0＝鳃l ’躯2｜躯l＞勉2→导数的根划分定义域
｜窒‖—
‖｝…
最高项系数
〃罐圃式分解｛到令′（…M｀
●定义域为［″』’〃］时’导数的根划分定义域的情况:
ˉ
＝
觅
｜
｜
训
／
／
∧
…
以
咖
儿
｜
｜
｜
（
＼
＼
＼
＼一％
′7l〃
］］
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｜满分之路.导数｜
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Ⅸ
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｜
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｜
叫
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／
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｜
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｜
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＿
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~
~
~
＝
Ⅷ
＼
｜
｜
｝
‖
∧
∧
矾
＼上／＂
●注意十述过程分类讨论的书写格式（循环运用）
◎典例剖析
［题型2知单调区间求参数范围］
［例6］若函数／（蜒）-』狮］—÷α翼2＋（α—l ）Ⅱ＋l在区问（l’4）上为减函数,在区间
（6’＋的）上为增函数’试求实数α的取值范围
.解析】
法—:／′（“）＝卯2-α卯＋（α-l）
’
今／′（则）＝卯2-α绷＋（α-l）＝0’解得两根为l ’αˉl
’
因为函数／（财）在区间（1’4）上为减函数’在区间（6’＋的）上为增函数,
则4≤αˉl≤6’解得5≤α≤7.
法二:／′（则）＝绷2-α卿＋（α-1）
’
因为函数／（卯）在区间（l’4）上为减函数’在区间（6’＋的）上为增函数’
／′（l）≤0’
／′（4）≤0’
所以↑／′（6）≥0’解得5≤α≤7.
’
／
◎
＜
α
—
勺
～
］2
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1第～章三次函数｝
［例7］若函数′（甄）-—＋獭』＋÷腿2…在（;
范围.
在（等,＋国｜上存在单调递增区间,求α的取值
）
｜。解析0
由题意得扩′（则）＝-卿2＋厕＋2α’
γ（腮）在（÷’…）上存在单调递增区间,
√′（躯）＞0在（÷…）上有解
’
］
—
∑
~~
卯
为
轴
『
利
寸
页
勺
偷
α
勺
△
＋
卯
＋
∩
≡
卯
~~
）
卯
（
′
／
／′（腮）＝ˉx2＋卯＋2α在（二,＋团｜上递减’
（古
）
）
∑
—
〕
√
（
／
●
’
＾
‖
＞
α
’
～
＋
∑
—
’
~~
l
解得α＞ˉ可
鲍
＋
’
］
°
／
故α的取值范围是（
｀
）
］3
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.满分之路.导数｜
［题型3极值点的根系关系］
［例8］已知函数／（卯）＝卿（卯ˉl）（卯ˉα）’（α＞l）.
（l）求导数／′（卿）’并证明／（卯）有两个不同的极值点嘶l ’狐2;
（2）若不等式／（则l ）＋／（厕2）≤0成立’求α的取值范围.
·解析h
（1）／′（卯）＝3则2ˉ2（1＋α）卯＋α.
今／′（卯）＝3则2—2（1＋α）狐＋α＝0’
因为△＝4（α2—α＋1）’α＞1 ’所以△＞4＞0’
所以／′（则）＝0有两个不等实根则l ’则2’不妨设卯l＜卯2’
所以／′（卯）＝3（卯ˉ卿l）（狐ˉ则2）
’
当加＜卯l时扩′（卯）＞0;
当厕l＜卯＜“2时’／′（则）＜0;
当卯＞卯2时扩′（卯）＞0.
因此“l是极大值点,卯2是极小值点.
（2）因为／（卯l）＋／（卯2）≤0’
即膊｝＋缠iˉ（l＋α）（颠｝＋财;）＋α（腑1＋膨2）≤0’
所以（卿l＋卿2）［（卯l＋卯2）2-3卯l卯2］ˉ（1＋α）［（卯l＋则2）2ˉ2绷l卯2］＋α（卿l＋卯2）≤0.
…｝｜№｜
｝…
α
代入上面不等式’并两边同时除以（1＋α）
’
化简得2α2-5α＋2≥0,
解得;α≥2或α≤十（舍）,
因此’当α≥2时’不等式／（卿l）＋／（卯2）≤0成立
］4
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『第一章三次函数｝
∩
7
勺
［例9］已知函数／（卿）＝4则＋α则雀ˉ亏则。（腮巨R）在区间［ˉ｜’｜］上是增函数
（l）求实数α的值组成的集合A;
（2）设关于x的万程′（鹏）＝2露十;腮』的两个非零实根为鳃｜.露2试问:是否存在实数咖,使
得不等式″!2＋tm＋l≥｜则｜ˉ卯2 ｜对任意α巳A及t巳［ˉl’1 ］恒成立?若存在,
求m的取值范围;若不存在’请说明理由.
。解析］
（1）／′（厕）＝-2则2＋2α绷＋4’
...∧则）在［—l ’l］上是增函数’
...／′（则）≥0对加巨［ˉ1’l］恒成立’即则2ˉα则ˉ2≤（）对卯匡［—l ’1］恒成立.
设中（卿）＝″2-α加ˉ2’
髓ˉ;………川…｛肌;■i削
≈—1:
...对卯匡［ˉ1’l］’只有当α＝l时’／′（—1）＝0’或当α＝ˉ1时′′（l）＝0’
...A＝｛α｜ˉl≤α≤l｝.
昔≥0,
｜
.
法二:卿2ˉα卯ˉ2≤0对卯巨［—l’1］恒成立.
甲（ˉ1）＝1＋αˉ2≤0
÷＜0,
｜甲（1）＝lˉαˉ2≤0’
解得ˉl≤α≤1.
...对卿巨［ˉl’1］’只有当α＝l时旷′（ˉ1）＝0’或当α＝ˉ1时’／′（1）＝0’
＄.A＝｛α｜ˉ1≤α≤1｝.
（2）由4叶酗鳃』—争」-2鳃＋÷甄j,解得撼二0’或翼』—“鳃＿2＝0,
勺
...△＝α～＋8＞0’
.。.“l ’卯2是方程觅2-α卿-2＝0的两个非零实根,
≈—1≤α≤l
,
］5
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‘满分之路· 导数｛
~~
’
α
么
~~
勺
些
~~
卯
＋
∑
卯
］
］
卯
卯
｛
■
■
■
｀／Pˉ丽
勺
△
卯
◆
『
▲
卯
β
斗
∩
兰
＼
□
）
／
’
≈
卯
＋
］
卯
（
／
刁
’
＝
卯
］
卯
帝
丽
从
~~
｀. ˉ1≤α≤l ’＾｜蛇lˉ鳃2＝√α2＋8≤a
要使不等式m2＋tm＋l≥卿lˉ卯2 ｜对任意α匡A及‖巨［ˉl’l］恒成立’
∩
当且仅当m么＋tm＋l≥3对任意t巨［ˉl’l］恒成立’
∩
即肌叁＋tmˉ2≥0对ˉ任意′巨［ˉ1’1］恒成立.
设g（′）＝m2＋′m—2＝′m＋m2ˉ2’
勺
｛:｝∩｜」羔l寅队…—』.
2
法＿:m＋‖mˉ2≥0对任意t巨［ˉl ’1］恒成立白
m≥2.
所以’存在实数″』’使不等式m2＋′″l＋l≥｜卯l—厕2 ｜对任意α巨A及′巨［＿1 ’l］恒成立’
其取值范围是｛′′o
｜′＂≤ˉ2或m≥2｝.
法二:当m＝0时’m2＋tmˉ2≥0对任意t巨［ˉl ’l］显然不成立;
当″!＞0时’m2＋咖ˉ2≥0对任意′巨［ˉl ’l］恒成立.g（ˉl）＝″′2＿′＂ˉ2≥0.″′≥2;
当′n＜0时’m2＋t′nˉ2≥0对任意t匡［ˉl’1］恒成立.g（1）＝″!2＋mˉ2≥0.′n≤ˉ2.
综上可知’存在实数′n’使不等式m2＋‘m＋l≥｜则lˉ匆2 ｜对任意α巨A及‘匡［—1’1］恒成
立’其取值范围是｛′n｜m≤ˉ2或m≥2｝
.
］6
卜ˉˉˉ
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躁一露三次函数｜
［题型4极值与最值］
［例10］已知函数／（卯）＝l＋（1＋α）卿ˉ卿2ˉ则3’其中α＞0.
（］）讨论／（绷）在其定义域上的单调性;
（2）当卯巳［0’1 ］时’求／（则）取得最大值和最小值时的卯的值.
｜。解析0
（l）函数／（卯）的定义域为（ˉ的’＋由）’／′（卯）＝1＋αˉ2卿ˉ3卿2.
ˉlˉ｀／耳ˉ百万
ˉl＋√叮丁万’卯l＜卿2’
今／′（匆）＝0’得〃l＝
’卯2＝
3
3
所以／′（卯）＝ˉ3（卿-厕l）（卯-卯2）.
当卯＜绷l或卯＞卯2时扩′（绷）＜0;当卯l＜厕＜则2时’／′（卯）＞0.
故′（Ⅸ）在（ˉ函,ˉ｜ˉ严愈）和（—｜＋押“,＋函）上单调递减』在
（ˉ｜ˉ阿盂ˉ｜＋伶3α）上…增
3
3
′
（2）因为α＞0’所以购l＜0’则2＞0.
o当卯2≥1时’α≥4.由（l）知扩（卯）在［0’1］上单调递增.
所以∧卿）在则＝0和则＝1处分别取得最小值和最大值;
@当卯2＜l时’0＜α＜4.由（1）知’／（卯）在［0’“2］上单调递增’在［卯2’l］上单调递减
所以／（嘶）在卿＝匆,＝ˉl＋｀／4＋3α处取得最大值
3
又／（0）＝1扩（1）＝α’所以当0＜α＜1时扩（“）在则＝l处取得最小值;
当α＝1时扩（则）在则＝0处和卯＝1处同时取得最小值;
当1＜α＜4时’／（卿）在则＝0处取得最小值.
综上可知’当0＜α＜1时’／（绷）在卯＝ˉ1＋｀／4＋3α处取得最大值’在卯＝l处取得最
3
小值;
当α二l时扩（则）在匆＝ˉ1＋阿干百万处取得最大值’在筋＝0和卯＝l处取得最小值;
3
当1＜α＜4时’／（则）在师＝ˉ1＋√4＋3α处取得最大值’在则＝0处取得最小值;
3
当α≥4时旷（则）在卯＝l处取得最大值’在卯＝0处取得最小值.
］7
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｜满分之路.导数［
［例1l］求函数／（加）二卯3ˉ肋2＋卿（A＜0）在［k’ˉ∧］上的最小值″!和最大值M.
｜·解析·
法—;当隐＜0时ˉ扩′（腑）＝3鳃2ˉ2脑＋L其图象开口向上’对称轴为硼＝4,且过（0’l）
〕
（l）当△＝4k2ˉl2＝4（k＋徊）（kˉ何）≤0’即ˉ旧≤∧＜0时旷′（厕）≥0／（卯）在［儿’ˉ片］上
单调递增’从而当则＝∧时肌卯）取得最小值′n＝／（k）＝附’当卯＝ˉ儿时’／（厕）取得最大值
M＝∧ˉA）＝-k3-k3-片＝-2k3ˉ儿
（2）当△＝4k2ˉl2＝4（介＋旧）（∧—徊）＞0’即八＜ˉ徊时’
／′（厕）＝3卯2—2k匆＋1＝0有两根卯l ’狮2’设卯2＜卯l
’
｝｝
≥!
,
又对称轴摊二÷’且
所以k＜卯2＜卯l＜0＜-儿
当卿变化时旷′（绷）和／（聪）的变化情况如下表:
）
勺
‖
且
卯
’
勺
▲
卯
（
（卯1 ’一∧）
（k,“2）
卯2
卯l
卯
／′（绷）
0
0
＋
＋
~刀
／
／
＼~
、迅
极小值
∧“）
极大值
所以m＝min｛／（八）扩（卯l ）
｝’M＝max｛／（ˉkM（加2）
｝.
因为／（财l）ˉ／（k）＝鳃｛ˉA绷｝＋獭lˉ∧＝（獭1ˉk）（厕｝＋l）＞0,
所以∧缅）的最小值m＝∧k）＝∧’
因为／（膊2）ˉ／（ˉ附）＝膊;ˉk财;＋腑2ˉ（ˉk］ˉ∧.片2ˉk）＝（卿2＋胀）［（”2ˉ附）2＋k2＋l］＜0’
所以∧卯）的最大值M＝∧ˉk）＝ˉ2A3ˉA’
综上所述’当k＜0时扩（“）的最小值″』＝／（k）＝k’最大值M＝／（ˉk）＝ˉ2k3—k.
法二:当片＜0时’对V卯e［片’-k］’都有
／（卯）—／（片）＝师3ˉ∧绷2＋卯ˉk3＋k3ˉA＝（”2＋1）（卯ˉk）≥0’故j（卿）≥／（∧）
’
／（则）ˉ∧ˉk）＝则3—k则2＋厕＋k3＋k3＋k＝（m＋k）（绷2ˉ2版＋2k2＋1）＝（卿＋k）［（厕ˉ内）2＋
∧2＋1］≤0’
故∧匆）≤／（ˉk）’而／（k）＝k＜Q／（ˉ∧）＝ˉ2片3ˉk＞0.
所以／（卯）max＝／（ˉk）＝ˉ2A3ˉ片’／（绷）min＝／（片）＝k.即″l＝儿’M＝—2∧3ˉ儿.
宁ˉˉ』ˉ↑＿十ˉ｜
~
~
ˉ萨卞＝·ˉ→十引
………←≡…-≡ˉ↑＝ˉ｛
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卜ˉˉ,＝ˉ』…十｜
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毛
』
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除≡章三次函数｀
~~
［例12］求函数∧露）二÷躯』ˉ2鞭』＋（2ˉ侧）x刊在区间［2,3］上的最大值利最小值
‖ ·解祈D
由题意得／′（卯）＝2卯2-4则＋2ˉα’
方程／′（则）＝0的判别式为△＝8α.
（1）当△＝8α≤0,即α≤0时√′（则）≥0旷（卯）在R上为增函数’所以／（卯）在区间［2’3］上单
调递增,所以∧巍）在区间［2,3］上的最小值是′（2）-÷ˉ2酗’最大值是∧3）-7—3“
（2）雪△三8α≥0’即“≥0时』令′′（雕）二0＼得x1-｜ˉ孕鳃』-｜带孽
当卯变化时’／′（绷）和／（则）的变化情况如下表:
）
鲍
＋
’
∩
丝
卯
〃
〃
『
｀
｀
）
勺
叁
卯
’
］
卯
／
′
｀
｀
）
］
卯
’
由
／
‖
｀
｀
九勺
凸
卯］
卯
0
／′（厕）
0
十
＋
刀
M
刀
／（则）
戳∧鞭）翰单调增区间为（ˉ函’｜—罕）（｝粤,带国）;单调减区间为（｜ˉ孕］＋罕）
o当0＜α≤2时’匆2≤2’此时／（厕）在区间［2’3］上单调递增’所以／（厕）在区间［2’3］上的最
小值是∧2）-÷—2α’最大值是∧3）＝7ˉ3勉;
@当2＜α＜8时’卯l＜2＜绷,＜3’此时／（卿）在区间（2’卿2）上单调递减’在区间（卯2’3）上单
α√万
调递增,所以／（躯）在区阎［2,3］上的最小值是／（缠:）＝÷＿α—厂;
因为′（3）＿′（2）＝等ˉ“,
所以当2＜侧≤号时｀′（鞭）在区间［2,3］上的最犬值是／（3）二7＿3侧;
当等＜舰＜s时,f（鳃）在区间［2’3］上的最大值是∧2）二＋—2α｝
◎当α≥8时’卿l＜2＜3≤卯2’此时／（狮）在区间［2’3］上单调递减’
所以′（x）在区间［2,3］上的最小值是∧3）＝7ˉ3忽,最大值是′（2）＝÷ˉ2“
蠕上所述’当侧≤2时沁）在区间［2,3］上的最小值是;＿2忽,鼠大值是7ˉ3侧;
当2＜徽≤等时狐甄）在区闸［2,3］上钩最小值是÷＿侧＿孪』最大幢是7—3α;
当芋…s咐（鳃）在区阎［2,3］上的最小值是÷ˉ“ˉ竿,最大值是＋ˉ2“;
当α≥8畸扩（瓣）在区间［2’3］上的最小值是7—3侧,最大值是÷—2“
9
｜
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｜满分之路·导数］
［例13］求函数／（“）＝卯2 ｜则ˉα｜在区间［l’2］上的最小值.
.解析0
设此最小值为m.
（1）当α≤l时’在区间［1’2］上’／（卯）二卯3ˉα卯2’
′′（腮）＝3绷』ˉ2″≡3（剿ˉ;侧）＞0,撼匡［1’2］’
则∧则）是区间［1’2］上的增函数,m＝∧1）＝lˉα.
（2）当1＜α≤2时’在区间［1’2］上｀／（卿）＝匆2｝卿ˉα｜≥0’由／（α）＝0’知m二／（α）＝0;
（3）当侧＞2时,在区阎［1,2」上＂∧憨）＝—躯』…2,／′（躯）＝—3躯』＋2贼＝ˉ3翼卜—÷“）
（3. 1）若α≥3’在区间（1’2）上’／′（卯）＞0’则／（“）是区间［1’2］上的增函数’m＝／（l）＝
α-l。
（12）著2＜侧＜3,则l＜;“＜2
当1＜躯＜÷“时硼′（撼）＞0,则∧鞭）是区阎｜1,÷°｜上的增函数,
当÷…＜2时扩′（篮）＜0则／（缠）是区阎｜÷“,2｜上的减函数,
因此当2＜α＜3时’m＝／（1）＝αˉl或m＝j（2）＝4（α—2）.
（］2l）当2＜侧≤＋时,4（侧—2）≤α—］｀赦刚＝′（2）＝4（侧ˉ2）
’
（322）当;…3畸’4（α—2）＞“＿l ,越腮二川）-αˉ1
l-α’α≤l
’
0,1＜α≤2,
综上所述’所求函数的最小值m＝《4（αˉ2）’2＜α≤丁’
7
α＿l｀α＞÷
四
｜
十
诌
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■第～章三次函睡
［例l4］求函数g（卯）＝｜则3ˉ3α绷｜在区间［ˉl’1 ］上的最大值F（α）的解析式.
·解析］
因为g（卯）＝｜则3ˉ3α卯｜在［ˉ1’1］上是偶函数’故只妥求g（卯）在［0’1］上的最大值即可.
今∧卿）＝“3—3α卿’
（1）当α≤0时扩′（则）＝3卯2ˉ3α≥0’所以／（如）在［0’1］上单调递增且／（0）＝0’
g（卯）＝／（狐）’F（α）＝／（l）＝1ˉ3α.
（2）当α＞0时扩′（厕）＝3则2ˉ3α＝0’解得卯l＝ˉ√可’卯2＝亿’
（2. 1）当亿≥1’即α≥l时’g（卯）＝
｜／（嘶）
｜＝ˉ／（卯）’ˉ／（则）在［0’1］上单调递增’此时
F（α）＝ˉ／（1）＝3α-1;
（2.2）当0＜伍＜1’即0＜α＜l时’
当／′（卿）＞0’即卯＞√而或卿＜ˉ亿时鬼／（卯）单调递增;
当／′（卿）＜0’即ˉ√万＜则＜亿时√（卿）单调递减.
所以∧卯）在［0’亿］上单调递减’在［伍’1］上单调递增.
（22l）当′（1）＝1—］侧≤0,印＋≤鹏＜l时,g（鳃）＝｜沁）
｜＝ˉ∧鞭）,—∧熬）在［0’伺上
单调递增’在［√万’1］单调递减’此时F（α）＝ˉ／（√J）＝2α亿;
（222）当∧l）＝1—］“＞0,:′0…＋时’
（
｛）当—′（亿）司（l）＝lˉ3侧,即0＜铡≤士时’′（侧）＝′（l）二lˉ3α;
（Ⅱ）当ˉ∧√而）＞川）＝lˉ3α,:′＋…＋时’′（＂）≡—f（√云）＝2α亿
1
1ˉ3α’α≤丁’
综上所述,′（铡）＝2侧伍÷＜＂＜l ,
3α-1°α≥1。
2］
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…路·导数l
［例15］已知函数／（卯）＝卿3ˉα加ˉb’则巳R’其中α’b巴R.
（l）求／（卯）的单调区间;
（2）若／（卯）存在极值点匆0’且／（甄l ）＝／（卯0）’其中卯｜≠卯0’求证: “l＋2卯0＝0;
（3）设α＞0’函数g（厕）＝
｜／（则）
｜’求证:
g（则）在区间［ˉl
, 1 ］上的最大值不小
于士
（1）由／（卯）＝绷3—α卯＿b’可得／′（卿）＝3厕2ˉα’下面分两种情况讨论:
@当α≤0时’有／′（卯）＝3则2ˉα≥0恒成立’所以／（则）在R上单调递增;
圆蛰倒＞0时｀令／｜（鳃）-0解得狮-罕或赚-ˉ皿
3
.
当卿变化时扩′（躯）’／（卯）的变化情况如下表所示:
孕’锥”
伍
〕
’
的
′
Ⅱ
∏
β
□
】
‖
□
‖
｀
｀
√g万
）
伍
—
〕
’
伍
—
］
（
｀／元
）
（
）
卯
~
3
~
3
／′（卯）
0
0
＋
＋
／
／
＼.
~迅
j（卯）
极大值
极小值
所以′（露）翰单调巍减区间为（—孪罕）单调递增区间为（＿醒,—字）,
的
＋
’
＝
伍
—
〕
／
｜
□
‖
｀
＼
）
（2）证明:因为／（则）存在极值点’所以由（l）知α＞0且卯0≠0.
由题意得′′（鞭0）二3鳃;＿“-0,即躯;＝÷所以∧甄o）二冀;ˉ勉撼＂—6＝ˉ争0—仇
又∧ˉ2绷0）＝ˉ呻2α蜒＂ˉb＝—等0＋2“0—b＝—争＂ˉb＝／（鳃＂）’且—2露0≠腮＂’
由题意及（l）知’存在唯一实数则l满足／（卯l）＝／（卯0）’且卯l≠卿0’因此匆l＝ˉ2卯0’
所以卯l＋2卯0＝0.
22
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1第-章
三次函数｝
（3）证明:设g（则）在区间［ˉ1 ’1］上的最大值为M’下面分三种情况讨论:
~—
~—
o当“≥3时,ˉ华≤ˉ1＜1≤竿’
由（1）知／（勿）在区间［ˉl’l］上单调递减’
所以／（卿）在区间［ˉ1’l］上的取值范围为［／（l）’／（—l）］
’
因此M＝max｛｜∧1）
｜
, ｜∧ˉ1）
｜
｝＝max｛
｜lˉαˉb｜
’
｜ˉl＋αˉb｜
｝＝max｛｜αˉl＋b｜
’
｛‖土调
｜αˉ1ˉb｜
｝
＝
所以M＝α-l＋｜6｜≥2·
~-
~—~—
~-＝-
@当÷≤触＜3时,ˉ2挚≤—1＜ˉ竿＜竿＜1≤2笋,
（
2罕）二（罕）′（｜）≤（2罕）二（罕）
由（1）和（2）知／（ˉ1）≥
所以∧躯）…［＿｜,U上的…闺为｜（孽）川ˉ罕）｜』
｛（孽）
（ˉ罕）｜-…｛ˉ等酝—β
守酝—0 ｝≡
所以″＝max
皿x｛鄂耐』
γ倾—』｝-鄂F｜肉｜≡;×;炉÷÷
~—
~—~—~厂＿
o当0＜α＜÷时,ˉl＜— 2挚＜ˉ芋＜竿＜2宁α＜l,
由（｜）和（2）知抓ˉ｜）＜（ˉ竿）～（罕）｀′（｜）＞J（孪）-（—孕）
所以／（卯）在区间［ˉ1’l］上的取值范围为［／（-1）’／（1）］
’
因此M＝max｛｜／（l）
｜
’ ｜／（ˉ1）
｜
｝＝max｛
｜1ˉαˉb｜
’
｜ˉl＋αˉb｜
｝＝max｛
｜l—αˉb｜
’
｜｜—α＋h｜
｝＝lˉ‘叶｜b｜＞寸、
综上所述.当α＞0时,g（狐）在区间［ˉl ,l］上的鼠大值不小于士
23
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』满分之路·导数【
＝8卯3＋α则2＋b卯’是否存在实数α’b’使得对任意绷巨［-l ’l
］’均有
［例］6］已知函数／（则）＝8卯j＋α则2＋b卯’是否存在实数α’b’使得X
｜／（卯）｜≤2.若存在’求出α,6的值;若不存在’请说明理由
.解析D
假设存在实数α’b满足题意’
由／（l）＝α＋6＋8旷（＿l）＝αˉbˉ8’则α＝A1）＋／（—l）
2
所以—2≤α≤2。
同理’有b＝川）ˉ∧-1）ˉ8’
2
所以ˉ10≤b≤—6o;
又川÷）-｜＋÷＋÷‖＿÷）＝÷＋］,
所以b＝j（＋）ˉ川—＋）—2,则ˉ6≤b≤＿2@;
由@@’知b＝ˉ6.
（
l ）若0＜α≤2’有／（1）＝α＋2＞2’不符合题意;
（li）若ˉ2≤α＜0’有／（—1）＝αˉ2＜ˉ2’不符合题意’
所以α＝0.
当α＝0’b＝ˉ6时’／（厕）＝8则3—6卯’卯巨［ˉl’1M′（则）＝24″2ˉ6’
令／′（则）＝24卯2ˉ6＝0’
1
l
解得卯l＝ˉ丁’卿2＝可.
当则变化时／′（则）’／（则）的变化情况如下表所示:
l
ˉl ’ˉ丁
l
2
l
2
1~
’2
l
2
（告’1）
（
）
）
（
-l
l
卯
／′（则）
0
0
＋
＋
／刀
／（卯）
＼凶
刀
-2
勺
△
-2
2
所以｜／（“）｜≤2恒成立.
综上所述’有α＝0’b＝ˉ6
24
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」第～章
三次函数）
第02讲三次函数根的判定
回知识纵横
若三次函数／（卯）＝α购3＋b卯2＋C卯＋Ⅲ（α≠0）’则:
（1）若b2-3αc≤0’则／（则）＝0恰有—个实根;
（2）若62ˉ3αc＞0且／（厕｜）.／（卿2）＞0’则／（嘶）＝0恰有＿个实根;
（3）若b2ˉ3αc＞0且／（卯l）.／（卯2）＝0’则／（匆）＝0有两个不相等的实根;
（4）若b2ˉ3αc＞0且／（卯l）.／（卯2）＜0’则／（卯）＝0有三个不相等的实根
证明:／′（卯）＝3α卯2＋2b卯＋c,△＝4（b2ˉ3αc）’令／′（卿）＝0’设两根为卯l ’则2且“l＜则2
（1）（2）／（则）＝0恰有一个实根的充要条件是曲线γ＝／（卿）与则轴只相交一次’
即∧卿）在R上为单调函数或两极值同号,
所以b2ˉ3αc≤0或b2-3αc＞0且／（绷1）.／（绷2）＞0;
（3）／（卯）＝0有两个不相等的实根的充要条件是曲线γ＝／（则）与则轴有两个公共点且其
中之一为切点’所以b2ˉ3αc＞0且∧绷l）.∧则2）＝0;
（4）∧卯）＝0有三个不相等的实根的充妥条件是曲线y＝j（卯）与则轴有三个公共点’
即∧卯）有一个极大值’一个极小值’且两极值异号’
所以b2—3αc＞0且∧则l）.∧购2）＜0.
由上易得以下结论:
三次函数／（“）＝α卯3＋6卿2＋C卯＋〃（α＞0）在［m’＋。。）上恒正的充要条件是／（m）＞0
（″!≥卯2）’或／（m）＞0且／（卯2）＞0（m＜匆2）.
25
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｛满分之路.导数〖
C典例剖析
［例l7］已知函数／（卯）＝卯3ˉ3则2＋α则＋2’曲线γ＝／（厕）在点（0’2）处的切线与则轴交点的横
坐标为-2.
（l）求α的值;
（2）求证:
当片＜1时’曲线y＝j（卯）与直线y＝脑ˉ2只有—个交点
·解析0
∩
乙
＋
卯
α
~~
γ
√
为
程
方
线
切
勺
自
处
）
〗
’
β
（
占
…
在
）
卯
∧
~~
γ
线
曲
’
α
~~
）
‖
（
′
扩
α
＋
尤
厂
○
∑
卯
勺
〕
~~
）
几
（
′
／
）
］
（
7
由题设得＿二＝ˉ2’所以α＝l
α
（2）证明:由（l）知’／（卯）＝卯3ˉ3卯2＋卯＋2.
设g（卿）＝／（卿）ˉ脉＋2＝卯3ˉ3鳃2＋（1ˉR）卯＋4.
由题设知l-∧＞0。
当厕≤0时’g′（卯）＝3卿2ˉ6则＋1ˉ片＞0’g（则）单调递增’g（ˉ1）＝八ˉl＜0’g（0）＝4＞0’
所以g（卿）＝0在（—的’0］上有唯一实根.
当卯＞0时’令h（绷）＝则3ˉ3则2＋4’则g（卯）＝／l（则）＋（1-k）卿＞／l（则）.
h′（卯）＝3则2ˉ6则＝3卿（则-2）
’
所以h（则）在（0’2）上单调递减’在（2’＋的）上单调递增’
所以g（卯）＞h（厕）≥h（2）＝0.
所以g（卯）＝0在（0’＋的）上没有实根.
综上所述’g（加）＝0在R上有唯一实根’
即曲线y＝∧则）与直线y＝肋ˉ2只有一个交点.
26
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』第～霉三次函数｜
卯3ˉ（α＋5）卿’卯≤0’
｜竿…
［例l8］设α巳［ˉ2’0］’已知函数／（卯）＝
（1）证明／（卯）在区间（ˉ1’l）上单调递减’在区间（1’＋的）上单调递增;
（2）设曲线γ＝／（则）在点Pj（卯j｀／（则t））（j＝1’2’3）处的切线相互平行’且卿1厕2卯3≠0’证明:
］
—
］
＞
刁
＝
卯
＋
】
卯
＋
］
冗
｜·解析＿】
’
）
∩
‖
＞
卯
（
卯
α
＋
∑
卯
…
＿
〗
〕
卯
~~
）
勿
（
咙
ˉ
）
·
≤
卯
（
卯
）
＝
〕
＋
】
〔
／
＼
〕
卯
~~
）
卯
（
内
数
函
设
）
］
（
■
●
明
证
@／］′（“）＝3厕2ˉ（α＋5）’由于α匡［ˉ2’0］’从而当ˉl＜卯≤0时’／l ′（绷）＝3“2ˉ（α＋5）
＜3-α-5≤0°
所以函数／i（“）在区间（ˉ1’0］上单调递减;
o／h′（则）＝3卿2ˉ（α＋3）则＋α＝（3虹＿α）（绷ˉ1）,由于αe［ˉ2’0］
’
所以当0＜卯＜1时’／i′（卯）＜0;
当卯＞1时腮／i′（“）＞0.
即函数／i（厕）在区间（0’1）上单调递减’在区间（l’＋。°）上单调递增.
综合o@及片（0）＝ji（0）’可知函数／（如）在区间（ˉ1’1）上单调递减’在区间（l ’＋由）
上单调递增.
（2）因为曲线γ＝／（卯）在点P′（卿d√（绷j））（《＝l ’2’3）处的切线相互乎行’从而卯l ,则2’卯3互
不相等’且／′（绷l）＝／′（则2）＝／′（腮3）
’
α
＋
〕
卯
）
〕
＋
α
（
∑
］
卯
〕
~~
α
＋
∑
卯
）
句
◎
＋
α
（
∩
丝
∩
≡
卯
〕
~~
）
气
√
＋
α
（
∑
］
卯
勺
〕
打
~
『
↓
’
］
卯
＜
∑
卯
＜
＾
‖
＜
］
卯
设
妨
不
27
~
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｜满分之路.导数［
…
—
〕
~~
〕
卯
＋
勺
▲
卯
得
牟
啸
’
◎
~~
＼
／
］
冗
勺
～
卯
（
）
∩
〕
＋
α
（
∑
〕
卯
句
〕
勺
≈
勺
▲
卯
〕
得
可
’
〕
卯
＜
勺
可
√
＋
／
◎
α
＜
∑
卯
＜
∩
‖
而
从
设g（则）＝3则2-（α＋3）绷＋α’则g′（狮）＝6则ˉ（α＋3）
’
所以g（蕊）在（0,宁）内单调递减.在（宁
＼
｜内单调递增』
’＋的
′
）
…
β
（
吕
则
＜g（绷2）＜g（0）＝α
由3獭｝ˉ（α＋5）＝g（绷2）＜α’
ˉ／2
′γ
…
＿
］
＋
尸
…
＿
勺
〕
＞
∩
命
≡
卯
＋
’
＝
卯
＋
‖
卯
以
所
’
■
〕
◎
～
∑
Ⅱ
〕
~~
】
〔
则
’
日
＋
∩
〕
α
千
′
设
因为α巳［ˉ2’（）］
’
｜
佰
＿
〕
’
徊
—
］
｜
巳
′
以
所
］
＋
／
◎
】
＄
〕
＋
′
＞
勺
〕
卯
＋
句
乙
卯
＋
］
卯
故
-＋（』ˉl）2—＋≥—＋.
～
］
＿
〕
＞
］
卯
＋
勺
▲
卯
＋
刽
‖
▲
卯
′
目
28
~
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］第一章
三次函数｜
［例19］设α巳Z’已知定义在R上的函数／（如）＝2加4＋3卯3ˉ3卯2ˉ6厕＋α在区间（l ’2）内有＿
个零点“0’g（卯）为／（卯）的导函数.
（1）求g（则）的单调区间;
（2）设m巳
［1’则0）
（ˉ」（卯0’2］,函数h（卯）＝g（则）（″lˉ卯0）ˉ／（m）’求证:
h（m）h（卿0）＜0;
（3）求证;存在大干0的常数A’使得对于任意的正整数′,q,∩÷巨［｛,慈＂）O（碰0’
2］椭足｜÷—蕊圃｜≥志
·解析0
（1）由／（卯）＝2绷4＋3厕3ˉ3匆2ˉ6卿＋α’
可得g（卯）＝／′（绷）＝8师3＋9＂2-6卯-6’g′（师）＝24则2＋18卿ˉ6’
令g′（嘶）二0≡—l巍狐-士
当购变化时’g′（卿）’g（则）的变化情况如下表:
所以g（躯）的单调增区间是（＿鳃,—l）’（＋’＋鳃）;单调减区间是（ˉl,士）
（2）证明:由h（卯）＝g（卯）（mˉ卿0）-／（″′）’得h（m）＝g（m）（mˉ则0）-／（′厕）’h（则0）＝
g（卯0）（″』一“0）ˉ／（″l）.
今Hl（“）＝g（“）（则ˉ卯0）＿／（卿）’H1 ′（卿）＝g′（则）（匆ˉ卯0）
’
由（1）得’当卯巨［1’2］时ˉ ’g′（卯）＞0’
当卯巳［1’卯0）时’Hl ′（则）＜0’Hl（卯）单调递减;
当则匡（卯0’2］时’Hl ′（卯）＞0’Hl（则）单调递增;
29
久
g′（卯）
g（卿）
（ˉ。° ’-l）
＋
／刀
（ˉl,÷）
~
过
＼
‖
■
■
■
〗
□
′
′
鲍
＋
’
］
—
斗
／
′
』
】
‖
□
‖
＼
＋
刀
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‘满分之路,导数｜
~~
所以当嘶巳［1’师0）（」（厕0’2］时’Hl （绷）＞Hl（厕0）＝ˉ／（卯0）＝0,可得Hl （′n）＞0’
即h（″』）＞0.
今H2（卯）＝g（匆0）（财ˉ则0）ˉ／（则）’H2′（卯）＝g（卯0）ˉg（卯）.
由（l）可知’g（则）在［1 ’2］上单调递增’
故当卯巨［1’则0）时’H2′（见）＞0’H2（卿）单调递增;
当则巨（卯0’2］时’H勺′（绷）＜0’H,（厕）单调递减.
当则巨［l,卿0）□（卯0’2］时’H,（卿）＜H2（卯0）＝0＝H2（m）＜0＝h（绷0）＜0’
敌h（″!）∧（“0）＜0.
（3）证明;对于任意晌正整数p’9,且÷匡［』,瓣＂）O（慈0,2］’
令咖-;,函数h（鞭）二g（腮）（…,）—／（厕）,
由（2）知’当′′l巨［1’则0）时’h（匆）在区间（加’＂0）内有零点;
当″』巨（卯0’2］时’／l（卯）在区间（卯0’m）内有零点’
敛h（x）在（l,2）上至少有ˉ个零点,不妨设为鳃｜,则h（蕊｜）≡g（露｜）（÷—蜒0）ˉ（÷）＝0,
由（l）得g（卯）在［l ’2］上单调递增’故0＜g（l）＜g（卯｜）＜g（2）.
）
尸
—
『
〃
川
川
）
′
＿
α
〃
川
川
｜2p4＋3p3q-3p2q2-6pq3＋αq4｜
β
卯
尸
—
γ
是
于
≥
~~
~
g（师1）
g（2）q4
g（2）
因为当则匡［l’2］时,g（卯）＞0’故／（卿）在［l’2］上单调递增’
所以∧卯）在区间［l ,2］上除绷0外没有其他的零点’
嗣÷≠氮＂’钦／（;）≠0’漏′,′,侧是整数
所以｜2p4＋3p3q-3p2q2-6pq3＋αq4｜是正整数’从『币｜2p4＋3p3q-3p2q2ˉ6pq3＋αq4｜≥l
所以÷ˉ瓤＂｜≡g（寸）″』｀
……≡‘（2）就有÷ˉ鳃＂
l
≥—
Aq4
3O
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』
数｝
第-慧三次函
第03讲三次函数的对称性
因知识纵横
顾数∧测）＝α＂］＋b鳃2＋…（α≠0）是中心对称图形,其对称中心是（ˉ剃＿六））,并
且）′（躯）在撼＝—光处取得最小值其图象关于直线鳃＝ˉ光对称
‖
＋
）
』
—
北
＋
卯
（
）
句
〃
—
如
℃
（
＋
］
＼
‖
｜
／
』
—
北
＋
卯
（
α
~~
】
α
＋
卯
℃
＋
∑
卯
β
＋
〕
卯
α
~~
）
卯
∧
●
●
法
证
ˉ光）,
（‘—弟）＂＝函数’闺象关于臆点对称,则′（腮）关于点
＋
∩
句
凹
卯
α
~~）
卯
（
自
知
易
称
对
）
β
—
北
〃
训
｀
β
—
北
（
／′（膊）＝3α腮2＋2b＂＋c,…＞0萨｀当聪＝ˉ辛时’／′（聪）取得最小值’显然y＝／′（则）图象关
〕α
于撼＝—竞对称
证法二:设函数／（卯）＝α卯3＋b厕2＋C卯＋Ⅲ（α≠0）的对称中心为（′″’′l）.
按向量α＝（ˉm’ˉ〃）将函数的图象乎移’则所得函数y＝／（“＋″』）ˉ〃是奇函数’
所以／（则＋m）＋／（-绷＋m）—2″＝0’
化简得:（3α″』＋b）卿2＋α″′3＋b′′o2＋c″l＋d-′l＝0’
上…匡R恒成立’敛3…＝0’得咖＝ˉ元’＂＝“刚』＋加2＋…＝J（ˉ荒）
b
）
）
β
—
弛
〃
训
｀
β
—
北
（
曰
正
…
凹
′
中
称
对
的
）
○
≠
α
（
γ
α
＋
卯
℃
＋
∑
卯
β
＋
〕
卯
α
~~
）
卯
∧
数
函
’
以
所
证法三:设γ＝／（厕）的图象关于点（m’′l）对称’任取y＝／（卯）图象上点A（卯’y）
’
则A关于（′′l’′!）的对称点A′（2m-卯’2′l-γ）也在γ＝／（卯）的图象上’
所以2′′ˉγ＝α（2mˉ腮）3＋b（2″』-卿）2＋c（2m-卯）＋Ⅲ’
3］
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「满分之路.导数］
之路
所以γ＝α”3—（6mα＋b）卯2＋（］2加2α＋4mb＋c）缅-（8′＂3α＋4m26＋2′′lc＋Ⅲˉ2′』）
’
″6＝-6mα-b,
b
J∏≡-—
3α’
∩
所以《c＝l2′n么α＋4mb＋c’
＝》≤
｀〃＝—（8咖』“＋4′＂:b＋2,＂b十〃—2＂）.
.鹏＝′（ˉ荒）
所以函数／（鞭）二蛔』＋b露2＋鳃带‘（α＝0）的对称中』煌是（ˉ金（—光））
由上又可得以下结论:
y＝∧卯）是可导函数’
（1）若γ＝／（卯）的图象关于点（m’＂）对称’则γ＝／′（则）的图象关于直线厕＝′Ⅶ对称
证明:γ＝／（卯）的图象关于（m’＂）对称’则／（躯）＋／（2″lˉ卯）＝2＂’
lin么瓣＋△＂）ˉ∧测）
△z ,o
△卯
因为／′（卯）＝
所以／′（2′n—獭）＝limd2′n—腮＋△卿）ˉ／（2′厕ˉ卿）
△允-则
△卯
2＂ˉ／（卯ˉA卯）ˉ2′l＋／（厕）
△
＝lim
△x-川
冗
）
卯
△
％
…
■
■
□
且
■
·
■
】
且
~~
＝／′（卯）
’
△卯
△冗—讥）
所以y＝／′（卯）的图象关于直线则＝m对称.
（2）若y＝／（则）的图象关于直线卿＝m对称’则y＝／′（卿）的图象关于点（″』’0）对称.
证明:γ＝∧卯）的图象关于直线卵＝m对称’则∧卯）＝∧2′nˉ卯）
’
因为／′（箍）＝lim山＋△狐）ˉ／（则）
△工—川
△卯
ˉ／（2″』-卯＋△卯）-／（2′川ˉ绷）
｜｜袒卿ˉA撕）ˉ／（獭）
4寥—山
△卯
所以／′（2矾-加）＝lim
A工-,O
’
）
卯
（
′
／
慰
~~
~
△贝
所以／′（2″l-卯）＋／′（卿）＝0’
所以y＝／′（卯）的图象关ˉ于点（″』’0）对称
~
32
■■
■凸■
△
△
「
『
7
『
＾扁」…』～ˉ…』ˉˉ′
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』第～鬃三次函数｝
◎典例剖析
［例20］已知函数∧腮）＝←』…2带枷且／′（—1）＝0
（1）试用含α的代数式表示b’并求／（卯）的单调区间;
（2）令α＝ˉ1’设函数／（卯）在则l ’则2（卿l＜卯2）处取得极值’记点M（则l ’／（卿1））’M卿2’
／（绷2））’P（m’／（m））’卯l＜m≤卯2’请仔细观察曲线／（财）在点P处的切线与线段
MP的位置变化趋势’并解答以下问题:
（
i ）若对任意的m巴（t’卯2］’线段MP与曲线／（则）均有异于″’P的公共点’
试确定t的最小值’并证明你的结论;
（Ⅱ）若存在点0（＂’／（＂））（卯］≤＂＜″!）’使得线段P0与曲线／（卿）有异于P’0
的公共点’请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）
.
｜。解祈D
（l）依题意’得／′（缅）＝卿2＋2α″＋b’
由／′（ˉl）＝lˉ2α＋b＝0’得b＝2α—l.
从雨∧腿）＝＋躯〕…2＋（2α—l）躯,敛／′（篮）＝（撼＋1）（…ˉl）
令／′（厕）＝0’解得卯＝-l或则＝l-2α.
o当1ˉ2α＝ˉl ’即α＝1时’此时有／′（卯）≥0恒成立√（厕）的单调增区间为R;
@当l—2α＜ˉ1’即α＞1时’
雪
◎
＾‖
织＾
＝
国
宣
氓
号〗
夕广△
二
当卯变化时扩′（卿）与／（卯）的变化情况如下表:
由此得’函数／（卿）的单调增区间为（ˉ由’1-2α）和（ˉ1’＋鲍）’单调减区间为（1ˉ2α’ˉl）
◎当1ˉ2α＞ˉ1’即α＜1时’
同理可得’函数／（则）的单调增区间为（ˉ的, ˉ1）和（1ˉ2α’ ＋的）’单调减区间为
（-1’l←2α）.
33
几
／′（卯）
／（卯）
（ˉ凹’1-2α）
＋
／汀
（1—2α’-l）
~
＼
汕
（—l’＋四）
＋
~刀
／.
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′满分之路。导数］
综上所述:
当α＞1时,函数／（则）的单调增区间为（-的’l-2α）和（ˉl ’＋的）’单调减区间为（1ˉ
2α’ˉ1）
;
当α＝1时’函数∧则）的单调增区间为R;
当α＜l时,函数／（则）的单调增区间为（ˉ由’ˉl）和（1ˉ2α’＋的）’单调减区间为
（-l’lˉ2α）.
（2）（j ）法—;由α-ˉl得b二2侧ˉ］＝3’所以f（x）≡＋翼』＿箍2＿3鳃』令f′（慈）-躯2—
2卯-3＝0’解得厕l＝ˉl或卯2≡3.
由（l）得／（卯）的单调增区间为（ˉ酌’ˉ1）和（3’＋四）’单调减区间为（ˉ1’3）’所以函数
八鞭）在鳃｜＝ˉl’蹦’二3处取得极值,赦″（—l,÷）,M］’ˉ9）
观察／（“）的图象（图咯）’有如下现象:
o当m从ˉ1（不含ˉ1）变化到3时’线段』′P的斜率与曲线／（则）在点P处切线的斜率
j（卿）之差k″P-／′（″』）的值由正连续变为负.
~
@线段MP与曲线／（卿）是否有异于M’P的公共点与kMPˉ／′（′厕）的正负有着密切的
关联;
◎k″Pˉ／′（′∏）＝0对应的位置可能是临界点’故推测:满足八″Pˉ／′（″!）＝0的′厕就是所
求的t的最小值’下面给出证明并确定t的最小值
曲线／（卯）在点P（m矾m））处的切线斜率为／′（m）＝′′l2-2′′0ˉ3’
勺
线段MP的斜率为kMP＝″广-4mˉ5
3
,
当kMPˉ／′（m）＝0时’解得′′!＝ˉ1或m＝2,
直线MP的方程为y＝′∏2-4m-5
′″2-4m
3
尤＋
3
令g（鳃）＝′（鳃）＿（刚2—j咖ˉ5露十″＝4＂』）′
当′n＝2时’g′（卯）＝卿2ˉ2卯在（ˉ1’2）上只有一个零点则＝0,可判断函数g（卯）在（ˉ1
’
0）上单调递增’在（0’2）上单调递减’
弘
↓.
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隆→慧三次函数｜
第
又g（ˉ1）＝g（2）＝0’
所以g（嘶）在（ˉ1’2）上没有零点’即线段MP与曲线／（卯）没有异于M’P的公共点.
当m巨（2’3］时,g（0）＝ˉm2了4咖＞0,g（2）＝ˉ（厕ˉ2）2＜0,
所以存在6巨（0’2］使得g（6）＝0.
即当m匡（2’3］时’MP与曲线／（卯）有异于″’P的公共点.
综上,t的最小值为2·
法二;陶侧二ˉl得∧绷）＝＋鳃』ˉ臆2ˉ3篮,令′′（鞭）＝躯2＿2鳃ˉ3二0’得剿｜-＿1,鳃:二1
由（1）得／（厕）的单调增区间为（ˉ四’ˉ1）和（3’＋的）’单调减区间为（ˉl’3）,所以函数
∧躯）在露｜＝ˉl,然,二3处取得极值,故Ⅷ（—l’÷）’M3’ˉ9）
直线／｜′P的方程为y＝m2-4加-5
m2-4m
3
冗＋
3
.
仁i｀J产………］
由
线段MP与曲线／（“）有异于″’P的公共点等价于上述方程在（ˉl’m）上有根’
即函数g（卯）＝卯3—3厕2-（m2—4m＋4）则-m2＋4m在（ˉl’m）上有零点.
因为函数g（卯）为三次函数’所以g（匆）至多有三个零点’两个极值点.
又g（-1）＝g（m）＝0.
因此’g（匆）在（—1’m）上有零点等价于g（则）在（ˉ1’加）内恰有一个极大值点和一个极
小值点’即g′（绷）二3厕2ˉ6卯ˉ（′′o2—4′′l＋4）＝0在（ˉl’m）内有两个不相等的实数根.
″△＝36＋］2（m2-4m＋4）＞0’
｜萨≡｝…｀
3（-1）2＋6-（m2＿4m＋4）＞0’
等价于｀
即
3m2-6″!—（m2-4m＋4）＞（）’
｀m＞1
’
又因为-1＜″l≤3’所以″l巴（2’3］.
从而满足题设条件的0的最小值为2.
（ll）类似于（
i ）中的观察’可得m的取值范围为（1’3］.
36
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′满分之路.导数l
［例21］已知函数／（卯）＝卯3＋α卿2＋b卯＋1’α’b巨R.
（1）若α2＋b＝0.
（
i ）当α＞0时’求函数∧则）的极值（用α表示）
;
（i）若／（“）有三个相异零点’问是否存在实数α使得这三个零点成等差数列?
若存在’试求出α的值;若不存在’请说明理由;
（2）函数／（卯）图象上点A处的切线／l与／（嘶）的图象相交于另—点B’在点B
线为′2’直线／l ,／2的斜率分别为内l ’k2’且k2＝4k1 ’求α’b满足的关系式.
与∧卿）的图象相交于另—点B’在点B处的切
｜·解析0
（l）（
l ）由／′（则）＝3卿2＋2α则＋b及α2＋b＝0’得／′（卯）＝3厕2＋2α卯-α2’
令／′（卿）二0,解得鳃＝÷或腮＝—“
由α＞0知’
当则巨（ˉ的’＿α）时扩′（卯）＞0’／（厕）单调递增’
当鳃匡（ˉα｀:）吐′′（绷）＜M獭）单调递减,
当鳃筐（÷,＋嚷）时′′（躯）＞M鳃）单调递增
”
万
］
~~
）
α
—
司
〕
（
因此扩（卯）的极大值为／（ˉα）＝1＋α3鬼／（绷）的极小值为
（ll）当α＝0时’6＝0’此时j（卿）＝厕3＋1不存在三个相异零点;
由（
l ）可得’
当“＞0时沁）的极大值为／（—侧）-…训）的极小值为／（÷）＝l—工
27,
同理可得’
′α｀
5α3
当α＜0时扒绷）的极小值为／（ˉα）＝l＋α3抓狐）的极大值为／｜了）＝l—＝
27
婆使′（翼）有三个不阎零点,则必须有（l十“〕）（l＿÷“』）≤0,
廓α』＜—l…』＞手
36
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』第～章三次函数｝
不妨设／（则）的三个零点为厕l ’则2’卿3’且则l＜卿2＜卿3’则／（则｜）＝／（狐2）＝／（卯3）＝0’
3
2
2
∧厕1）＝绷l＋α卯lˉα卿l＋l＝0’@
3
2
2
／（卯,）＝厕,＋α则,ˉα则,＋1＝0’@
▲
凸
≈
＝
3
2
2
／（则｀）＝匆3＋α厕3ˉα则3＋1＝0’o
由@ˉo得（腮2ˉ赚l）（勉i＋卿l卿2＋蹦｝）＋α（鳃2ˉ鳃l）（躯2＋则］）ˉα2（躯2ˉ嘶l）＝0’
因为鲸2ˉ獭l＞0’所以（”;＋卿l财2＋”;）＋α（鳃2＋卿l）＿α2＝0’@
同理由◎ˉ@得（躯;＋卿3膊2＋膊;）＋α（鳃2＋〃3）ˉα2＝0’◎
由◎ˉ@得卯2（卯3ˉ卯l）＋（卯3ˉ勿l）（卯3＋卯l）＋α（卿3ˉ绷l ）＝0’
因为勿3-鳃l＞0’所以卯2＋勿1＋卵3＋α＝0,
●
α
—
∩
〕
~~
勺
▲
卯
以
所
’
勺
＝
卯
勺
～
~~
］
卯
＋
］
卯
又
所以／（ˉ;）＝0,卵（—;）』扭（＿÷）2ˉ鳃2（—;）＋l＝0,卵忽3＝＿召＜ˉ1’
闺此’…糯实数嘘≡六满足条件
（2）设A（′n旷（m））’B（＂’／（＂））’则∧l＝3″』2＋2αm＋b’A2＝3″2＋2α″＋b’
（m3-″3）＋α（m2-∏2）＋b（′n-′l）
又你!＝d″‖乎1≡
』
″l-n
2
2
≡m＋′′m＋′′
＋α（″!＋′l）＋b’
′Ⅶ-∏
2
2
由此可得3′测2＋2αm＋6＝″l
＋m′』＋″＋α（″l＋′!）＋b’
化简得n＝—α-2″o或n＝″l（舍）
’
因此’k2＝3（-αˉ2m）2＋2α（ˉα-2m）＋b＝12′Ⅶ2＋8α′n＋α2＋b’
又片2＝4片l
’
所以12′′l2＋8αm＋b＋α2＝4（3′Ⅶ2＋2α′＂＋b）
’
勺
所以α叁≡3b.
37
‖ ）｝腮
-广丁↑—!
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′满分之路.导数（
［例22］已知函数j（鳃）＝狮3＋;鳃2＋α露十b的图象是曲线‘
（l）设函数／（卿）的导函数为／′（卯）’若存在唯＿的实数卯0’使得／（卿0）＝卯0盯′（则0）
＝0同时成立’求实数b的取值范围;
（2）已知点A为曲线C上的动点’在点A处作曲线C的切线／l与曲线C
B’在点B处作曲线C的切线／2’设切线／l ’′2的斜率分别为片l ,k2.问
常数入’使得∧2＝Ml?若存在’求出入的值;若不存在’请说明理由
与曲线C交于另一点
片』,儿.问:是否存在
·解析;
’
∩
卯
~~
β
’
＋
＾
‖
＝
○卯
α
α
＋
＋
◎
勺
△
β
卯
卯
尸
〕
—
’
～
日
＋
＋
勺
么
∩
·
卯
〕
○
气
〕
卯
｜
口
决
意
题
由
’
α
＋
卯
日
＋
∩
≡
卯
∩
〕
~~
）
％
（
′
｀
／
）
］
（
消去α
得2鞭;＋:露;十狮0ˉb二0有唯一解
’
）
］
＋
卯
∩
〕
（
）
］
＋
卯
勺
～
（
~~
］
＋
卯
尸
〕
＋
∑
卯
／
○
~~
）
卯
（
′
吕
‖
贝
’
』
卯
＋
〗
卯
日
—
∑
＋
〕
卯
勺
▲
~~
）
卯
（
自
设
］
—
］
~~
∑
卯
］
—
∑
~~卯
得
解
∩
~~
）
卯
吕
今
’
数
函
减
∧
曰
正
上
丁
—
弘
）
］
—
］
~~
）
］
—
〕
’
］
—
∑
（
自
（
在
为
’
值
数
、
’
‖
函
‖
·
·
极
＞
＼
‖
／
增
』
是
愉
的
＋
上
卯
丁
—
弘
’
（
吕
］
—
日
）
的
’
〗
◎
＝
＋
）
（
’
］
〕
］
—
β
］
—
〕
□
｀
｀
‖
‖
‖
′
／
丁
—
弘
～
＿
（
（
吕
’
）
或
’
）
］
—
∑
］
—
〗
的
◎
＜
°
（
’
吕
良
』
］
—
β
／
｜
＼
’
的
’
太
‖
曰
正
为
一
］
—
β
围
值
＞
唯
』
范
（
间
大
有
ˉ
ˉ
值
或
区
极
‖
｀
）
取
在
的
ˉ
＿
］
～
∑
γ
豆
的
）
）
）
卯
勿
卯
〗
″
＜
／
【
｀
｀
／
‖
｀
｀
／
『
｀
｀
／
』
■
■
□
□
□
｀
｀
数
吕
自
吕
舀
》
以
以
为
以
得
实
所
所
因
所
解
故
38
正0
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『第～章三次函数｜
（2）设A（购0’j（卯0））’则点A处的切线方程为γˉ／（则0）二／′（“0）（厕ˉ卿0）
’
’
）
○
卯
％
（
）
◎
卯
（
′
／
~~
）
◎
卯
∧
）
％
∧
得
’
组
程
、
万
立
联
）
卯
∧
~~
γ
●
●
℃
线
曲
与
即（露ˉ撼＂）2卜十（2躯0＋÷）｜＝0,
所以B点的横坐标鳃删＝—（2獭0÷）
＼
｀
‖
□
】
‖
′
′
日
—
∑
◎
卯
’
≈
’
】
〔
＋
西
＿
』
＋
‖
卯
·
∑
＋
勺
≡
∩
‖
卯
勺
▲
］
~~
4
由题意知’胀｜＝′′（冀0）二冲5箍＂＋阅,愉2＝′′（
蓑存在常数儿,使得k:＝M｜则l2鳃;十20躯《』＋子＋“＝入（3粱;＋5腮0＋侧）,
＝（儿ˉl）αˉ罕’
4
即存在常数入,使得（4ˉ入）（3卯;＋5躯0）
｜;Ⅷ→啼｜‖＝
4-入＝0’
所以
敏α＝苦时,存在常数儿＝4’使得k』二峨｜;
侧≠苦时,不存在常数人’使得附2二M｜
39—
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｜满分之路.导数［
［例23］已知函数／（则）＝卯3＋α购2＋b加＋1（α＞0’b巴R）有极值’且导函数／′（卯）的极值点是
／（卯）的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（l）求6关于α的函数关系式’并写出定义域;
（2）证明: b2＞3α;
（3）若′（腿）,′′（躯）这两个函数的所有极值之和不小于ˉ:,求α的取值范围
｜·解析0
∑
α
—
勺
〕
』
＋
勺
～
）
α
—
∩
〕
＋
卯
（
］
~~
』
＋
％
α
●
≈
＋
〗
勿
〕
~~
）
卯
（
／
得
’
］
＋
％
β
＋
∑
卯
α
＋
〕
卯
~~
）
卯
∧
由
）
］
（
2
当聪＝ˉ;时扩′（鳃）有极小值为b—÷
因为／′（卯）的极值点是／（卯）的零点.
所以／（ˉ÷）≡芳÷等十｜≡0’
敛‖≡等带÷
m鸳』—『-六（27ˉ侧』）≥0｀卵0…畸′′（膨）≡〔M（蕊）在R上是增函效′（缠）没有
极值;
勺
@雪bˉ÷-壶（27＿“’）＜0,卵α＞3时,
ˉαˉ√α2ˉ3b
ˉα＋√α2ˉ3b
则／′（″）＝0有两个相异的实根腮l＝
’卯2＝
3
3
当卿变化时’／′（卯）扩（则）的变化情况如下表:
＼
‖
／
］
卯
’
鲍
（
＼
〗
／
勺
＝
卯
『
］
卯
（
）
的
＋
’
∩
凸
卯
／
【
｀
｀
％l
卯∩
些
卯
／′（卯）
（）
0
十
上
丁
刀
刀
／（卯）
极大值
极小值
＼
~迅
／
故∧卯）的极值点是则l ’则2.
勺
闺此6-等＋÷,震义域为（3,＋函）
4O
」
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」第～章三次函数｜
■
（2）…（｜）颖.』≡芋÷,…（…）,嗡竿志
今′＝α√而（′＞3√可）
’
勺
吕＝
谈g（驯二寻÷测g′（!）÷;2′;了22
当′匡（乎,…）时,:｝（‘）≥0’g（O在（乎,…）上单调逮增
戳g（…）＞瞥（3阀）＿侗,:｜羌＞徊
■
α
〕
＞
勺
垄
β
β
止
因
β
β
勺
▲
α
〃
斗
~~
〗
∑
卯
＋
∑
］
勿
’
β
—
〕
~~
∑
卯
］
卯
〗
』
’
α
＋
勺
～
—
∩
〕
∑
卯
』
＋
＝
＿
∑
】
∑
卯
卯
α
＋
＋
］
］
∑
卯
卯
且
川
’
＋
∑
卯
］
’
卯
］
〗
″
卯
＋
曰
正
∑
］
■
卯
陛
宦
α
古
旦
＋
｛
极
〕
呐
的
—
＿
）
）
卯
挖
（
／
∧
’
知
＋
）
＼
／
］
■
Ⅱ
卯
（
∧
由
而
）
〕
从
（
9
-÷（冲2“鳃广b）÷（呻2“2＋b）十＋“（腮｝带瓣;）÷b（鳃｜十瓣』）十2
4α』ˉ6她—竿＋2
≡≡
27
＝0,
记／（则）扩′（厕）所有极值之和为h（α）
’
圈为／｛（鳃）输…0＿宁＝;·:÷所以h（侧）≡;酿』号,…
圈为州′（幽）＝:“ˉ;＜0,于是h（α）在（…）上单调递减
闺为州（6）＝—÷,于是偷（α）≥h（6）,赦感≤6
因此α的取值范围为（3’6］.
4‖
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｜满分之路.导数｜
~
第04讲三次函数的切线条数
因知识纵横
］.三次函数的切线条数
过∧厕）的对称中心作切线′’则坐标平面被切线／和函数∧卯）的图象分割为四个区域’
有以下结论:
＼
‖
／
卯
／
‖
＼
寸
γ
′
‖l入I｜
Ⅳ丫｛
′
（l）过区域I 、Ⅲ内的点作γ＝／（卯）的切线’有且仅有三条;
（2）过区域Ⅱ、Ⅳ内的点以及对称中心作γ＝／（卯）的切线’有且仅有＿条;
（3）过切线／或函数／（卯）图象（除去对称中心）上的点作γ＝／（绷）的切线’有且仅有
两条
证明:由三次函数的对称性’不妨设／（卯）＝卯3＋″』卿’坐标乎面内一点P（α’b）.
三次函数图象上卿＝t处的切线方程为y＝（3t2＋m）（卯ˉt）＋t3＋mt’
即γ＝（3t2＋m）则-2t3’
切线过点P（α’6）’即b＝（3j2＋m）α-2t3＝-2′3＋3α′2＋mα’
而三次函数对称中心处的切线方程为y＝m｀′ ’于是考虑直线γ＝b-mα与函数h（t）＝
-2t3＋3αt2的图象公共点的个数.
函数h（‘）的零点为0和￥,且0为它嫡ˉ个极值点｀由二次函数灼切割线膛质的推论
知’h（r）的另外一个极值点对应函数图象上的点的坐标为（α’α3）.
I｛士匡I
42
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｛第→章
三次函数｜
以α＞0为例’h（t）的草图如下:
｝
抛
＿
∑
刀
｜
‖
γ
＼
〔
｀
｀
｀
□
｜
α
○
进『历可得:
当α＜（）时,
o6＜α3＋′厕α或6＞′m时ˉ为l个公共点;
@b＝α3＋′nα或b＝加α时为2个公共点;
oα3＋′nα＜6＜mα时为3个公共点.
当α＝0时’无论6取何值’均为l个公共点;
当α＞0时,
@b＞α3＋″lα或b＜mα时为1个公共点;
@b＝α3＋″!α或6＝″lα时为2个公共点;
o′Ⅶα＜b＜α3＋mα时为3个公共点
综上所述’原命题得证.
2.（1）掌握求过某点作曲线γ＝／（卯）的切线方程的解题步骤;
（2）会证明三次函数的切线条数问题的相关结论;
（3）能够运用相关结论计算三次函数的切线条数
q3—
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｜满分之路.导数｝
j
三次函数的切割线性质
设P是三次函数γ＝／（卯）＝α则3＋6卿2＋C″＋d（α≠0）上任意＿点（非对称中心）’过P
作函数／（则）图象的一条割线AB与＿条切线PT（P点不为切点）’A’B’T均在／（卯）的
图象上’则T点的横坐标平分A’B点的横坐标.
3
＼／＼
串
→
■
勺
『
司
咐
秆
~
→
证明:设直线PT:γ＝∧0则＋m0’直线AB:y＝脑＋m’分别将直线PT与直线AB的方程与
三次函数的解析式联立,得
α勿3＋b则2＋（C-片0）厕＋d-m0＝0’
α卿3＋6则2＋（CˉR）匆＋〃ˉ′n＝0’
于是根据二次方程的韦达定理可得2卯T＋狐P＝卯A＋躯B＋卯P’
卯A＋厕B’证毕.
即卯T＝
7
～
推论:设P是／（则）＝α则3＋b加2＋C狐＋d（α≠0）上任意一点（非对称中心）’过P作函数
／（绷）图象的两条切线PM’P／γ’切点分别为M’P’则M点的横坐标乎分P’／V点的横
坐标
44
~
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］第一蕊
三次函数｀
◎典例剖析
串
［例24］已知函数／（卯）＝卿3ˉ虹
（1）求曲线γ＝／（卯）在点″（t’／（t））处的切线方程;
（2）设α＞0’如果过点／＼／（α’6）可作曲线γ＝／（卯）的三条切线’证明:ˉα＜b＜／（α）.
｜·解析0
（1）因为求曲线γ二／（卯）在点M（t’／（t））处的切线方程’所以点M（＄’／（t））为切点.
因为／′（则）＝3厕2-1’
所以切线斜率∧＝／′（′）
;
利用点斜式求曲线y＝／（则）在点M（t旷（t））处的切线方程为:γˉ／（t）＝／′（t）（卯ˉj）
’
即y＝（3′2＿1）″-2t3.
（2）证明:因为过点Ⅳ（α’b）可作曲线γ＝／（卯）的三条切线’说明点Ⅳ（α’b）不为切点.
设过点Ⅳ（α’6）作曲线y＝加3ˉ卯的切线为／’切点为M（M（t））’由（l）则有切线／的方程
为γ-／（t）＝（3t2-1）（卯ˉ』）;
... ′过点Ⅳ（α’6）
’
...有t3ˉr—b＝（3f2ˉ1）（tˉα）;
整理得2t3ˉ3αt2＋α＋b＝0……（＊）（方程（＊）有多少个解’切线／就有多少条）.
下面解决方程（＊）解的个数问题.
设g（t）＝2t3ˉ3αt2＋α＋b’则g′（U）＝6j2ˉ6αr’
今g′（t）＝0得tl＝0’t2＝α’
当t变化时’g（t）’g′（′）的变化情况如下表:
（-切,0）
（0,α）
0
（α,＋鲍）
‖
α
＼
‖
／
＋
仙
／
『
＼
′
〃
已
0
0
＋
＋
~
极小值-α3＋α＋b
~刀
／
＼~
｀凶
,刀
／~
极大值α＋b
g（r）
』←————
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′满分之路·导数｜
3
所以’当t＝0时’g（t）极大值＝α＋b;当r＝α时’g（〗）极小值＝ˉα＋α＋b.
画出g（t）的大致图象’根据二分法判定根的个数:
］＋〔〗＋b
Ⅶ
』
o当g（t）极大值＝α＋b＝0或g（′）极小值＝ˉα3＋α＋b＝0时ˉ ’方程（＊）有两个根;
3
@当g（r）极大值＝α＋b＜0或g（t）极小值＝—α＋α＋b＞0时ˉ’方程（＊）有一个根;
3
ˉα＋α＋b＜0时’方程（＊）有三个根
o当g（t）极大值＝α＋b＞0且g（r）极小值
二二
综上所述,
如果过Ⅳ（α’b）可作曲线γ＝／（卯）的三条切线’
即g（』）＝0有三个相并的实数根’
』6
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］第一章
三次函数｝
［例25］已知函数∧卯）＝2卯3＿3则.
（l）求／（卯）在区间［-2’l ］上的最大值;
（2）若过点P（l ’t）存在3条直线与曲线γ＝／（则）相切’求t的取值范围;
（3）问过点A（ˉl ’2）’B（2’10）’C（0’2）分别存在几条直线与曲线y＝／（则）相切?
（只需写出结论）
徊
丁
~~
卯
或
徊
—
∑
（l）由／（腑）＝2卯3ˉ3“’得／′（狐）＝6厕2ˉ3’今／′（卿）＝0’得卯＝
闽为f（—2）≡｜0川—夸）二叫f）≡徊′（｜）＝｜,
所以／（…间［＿2』1」上的最大值为（ˉ夸）-沤
（2）第一步→过点P（1’t）与曲线γ＝／（则）相切的直线的解题流程:
O确定切点;设过点p（l,′）的直线与曲线y＝／（躯）相切于点（施0’y0）’则y0＝2鞠;ˉ3鳃0;
@求导扩′（卯）＝6卿2ˉ3;
o切线斜率;k＝6鞭;ˉ3;
@点斜式;切线方程为yˉy0＝（6鳃;ˉ3）（娜＿嘶0）;
◎将点p的坐标代入切线方程;》ˉγ0＝（6如;ˉ3）（lˉ鞭0）,整理得4躯;ˉ6鳃;＋《＋3＝0;
◎斜率存在时;切线条数＝切点个数＝切点横坐标方程根的个数’故转化为4绷;ˉ6卿;＋
t＋3＝0有3个根的存在条件.
第二步→运用导数判断方程根的解题流程:
设g（绷）＝4勉3—6厕2＋r＋3有3个不同零点.
o求导g′（狮）’并令g′（“）＝0;
g′（则）＝l2则2ˉl2卯＝12卯（卯ˉl）
’
令g′（卯）＝0得勉l＝0’则2＝1;
@确定函数g（卯）在定义域内的单调性’
47
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满分之路.导数l
即根据导函数的根划分定义域（列表）.
当卯变化时’g′（卯）与g（则）的变化情况如下表:
o画出原函数大致图象:
｀
／卜
／
／O｜
＼ˉ／
％
@二分法判定根的个数:
...g（卯）＝4则3ˉ6卯2＋t＋3有3个不同零点.
...绷轴在极值之间’即极大值g（0）＞0且极小值g（l）＜0’
解得ˉ3＜t＜—1’
...g（ˉ1）＝t＿7＜0’g（2）＝t＋11＞0’
...g（则）分别在区间［ˉ1’0）’［0’1）和［1’2）上恰有l个零点.
由于g（则）在区间（ˉ的’0）和（1’＋的）上单调’
...g（卯）分别在区间（ˉ的’0）和［l’＋鲍）上恰有l个零点.
综上可知,当过点P（1’t）存在3条直线与曲线y＝／（卯）相切时’ t的取值范围是
（ˉ3’ˉl）.
（3）过点A（ˉ1’2）存在3条直线与曲线γ＝／（卯）相切;
过点B（2’10）存在2条直线与曲线y＝／（卯）相切;
过点C（0’2）存在l条直线与曲线y＝／（卯）相切.
』8
~
｛
士
Ⅺ
g′（则）
g（绷）
（＿的’0）
＋
~刀
／.
0
0
t＋3
（0’l）
~
＼
l
0
l＋l
（1’＋的）
＋
刀
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』第-章三次函数｝
［例26］已知函数／（卯）＝卯（则—α）（则ˉb）’其中0＜α＜b′（卯）在卯＝s及卯＝′处取得极值’其
中s＜t.
（1）求证: 0＜s＜α＜t＜6;
（2）若α＋b＜2√Z求证:过原点且与曲线y＝／（则）相切的两条直线不可能垂直
｜·解祈0
证明:（1）由／（卯）＝则3—（α＋b）狐2＋α6卯’得／′（则）＝3绷2ˉ2（α＋b）厕＋αb’
由题意知s’t为方程／′（卯）＝0的两个根’
／′（α）＝3α2-2（α＋b）α＋αb＝α2ˉαb＝α（αˉb）＜0’由根的分布得s＜α＜t’
／′（b）＝3b2ˉ2（α＋b）b＋αb＝b2ˉαb＝b（bˉα）＞0’
.·. b＞t或b＜S。
又。。。0＜α＜b且α＞S’
... b＞S,
,.. b＞r’
...0＜S＜α＜t＜b.
（2）法—:设切线的切点为（卯0’γ0）’则γ0＝／（则0）＝则0（则0-α）（则0ˉb）
’
斜率k＝／′（鞭0）＝3”;ˉ2（α＋b）”0＋αb’
.翅.切线方程为yˉγ0＝k（卯-卯0）
’
即γ＿期0（膊0ˉα）（绷0ˉb）二［3瓣;ˉ2（α＋b）厕0＋αb］（獭＿躯0）,
将点（0,0）代入切线方程得0ˉ腑0（蹦0-α）（躯0ˉb）＝［3绷;ˉ2（α＋b）膊0＋αb］（0ˉ腮0）
’
解得鞭‖＝宁或躯0＝0’
所以两个切点的横坐标为露＂＝宁或鞭0＝0,
.!／
＾ˉL
′
′
、!′
α＋b雨坠
′
（α-b）2
当鳃0二0时,你』＝αb;当绷0二竿时,隐2＝ˉL坠二4
若两切线垂直,则附］.k2＝ˉL即α6. （α面b）2
·
］~~
9
4
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ˉ↑←ˉ。＝.寸ˉ｜
＾＾ˉ十ˉˉl＝←ˉˉ｛-｛
喀
!
…←-≈～诌←…
↓-→—l4
,
!
｝｝
-坠ˉ-＋—产ˉ←忌→-↑
〖
!
≡～←—ˉ＋引
｛
I
『
§
→ˉ-↑→十→ˉ｝
ˉ
〔
l
←…△ˉ4
』
~~~｜
＿续r二主封
』
［
｜
ˉ
卜-｛ˉˉ』ˉˉ＋ˉˉ↓ˉˉ｜
~『~｜~
~』~‖
…广厂-丁丁-｛
雪告芦十ˉ…＝-广←（
镭ˉ｝ˉ卜-『＿＋-｛
′满分之路· 导数l
... （α—6）2＝全
α6,
′. （α＋b）2ˉ4αb＝土
α″
..,0＜α＜b’ ·..α6＞0’
~｀（叶b）2＝4α6瑞≥s,
...0＜α＋b＜2√Z
... （α＋b）2＜8与（α＋b）2≥8矛盾.
f.过原点且与曲线y＝∧绷）相切的两条直线不可能垂直.
法二:设切点为（′＂扩（′＂））’则／（″!）＝m（′＂ˉα）（″!ˉb）
’
...直线过原点’
ˉ
.…←→ˉ↓→ˉˉ｛
→邑＿＝～阜剁
r｝＝当
二甚
t
］
-厂广贡司
-｝丁十ˉ←十｜
~ ~
到葵二工］
五基日
-ˉ凸→←ˉˉ
●ˉ←-」
】
』
【
‖0
｛
≡ˉ『→→ˉ＿广引
汪〕王
ˉ←挂＋ˉˉ←＋4
...k＝dⅡ1上＝（mˉα）（′＂ˉb）
′n
同时k＝／′（′″）＝3m2-2（α＋b）′厕＋αb’
... （″』—α）（mˉb）＝3∏!2ˉ2（α＋b）″!＋αb’
化简为2咖2ˉ（α＋b）砸＝0,解得厕｜＝0或矾-竿,
八当＂』二0时,账｜二侧b;当咖二竿时,腑2＝—（鲤—6）2
4
∩
乙
＼
】
／
』
α
（
4
（αˉb）2
若两直线垂直’则k1 .∧2＝-1’则αb
’
］~~
二二~
αb’
4
遮. （α＋b）2—4αb＝▲
αb’
.°0＜α＜b’ ..。αb＞0’
训α＋b）2二4α6瑞≥s,
..0＜α＋b＜2√Z
.. （α＋b）2＜8与（α＋b）2≥8矛盾.
..过原点且与曲线y＝∧绷）相切的两条直线不可能垂直.
印
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1第→章三次函数｜
［例27］（1）已知函数／（卯）＝狐3ˉ卿’其图象记为曲线C·
@求函数∧厕）的单调区间;
◎证明:若对于任意非零实数卯l ’曲线C与其在点Pl（卯l ’／（则l））处的切线交于
另＿点P2（卯2扩（则2））’曲线C与其在点P2处的切线交于另—点P3（虹3’／（卯3））
’
戮段′｜′1,′』′』与菌线c…封闭圈膨鞠面积分删记为s｜,』:侧:为
凸
定值;
（2）对于＿般的三次函数g（卯）＝α卯3＋b卯2＋c卯＋Ⅲ（α≠0）’请给出类似于（l）@的正
（2）对于＿般的三次函数g（卯）
确命题’并予以证明.
。解祈】
’
）
何
—
］
＋
几
（
）
徊
了
卯
（
〕
~~
『
工
∑
卯
∩
〕
~~
）
卯
（
′
／
得
’
卯
］
卯
~~
）
卯
（
／
由
◎
）
］
（
令′′（鞭）二0解得x-ˉ鲁或雾-罕
所以董鳃詹（ˉ锤,—?）时扩′（鹏）＞M露）在（—唾｀ˉ罕）上…数;
聋瓢巨（ˉ孵）咏′｜（甄）＜0′（躯）在（ˉ摆）上为减函数;
雪＂匡（粤…）吐′′（狮）＞M露）在（鲁,…）上…数
酣M（鞭）……间为（—国,＿罕）乖（罕,…）,……为（ˉ骋）
@曲线C与其在点P1处的切线方程为γ＝（3鳃｝ˉl）（腮ˉ卿1）＋鳃↑ˉm1
’
即γ＝（3卯｝—l）鳃ˉ2鞭｝
’
’
○
~~
〕
】
卯
勺
～
＋
卯
∑
］
卯
∩
〕
句
〕
卯
得
’
〕
】
卯
勺
～
卯
）
］
●
卯
勺
丝
〗
』
卯
∩
〕
〕
／
＼
卯
~
~
~
~
γ
√
γ｜
由
即（卯-“1）2（卯＋2则l）＝0’解得卯＝匆1或购＝ˉ2卿l
’
故p2（ˉ2膊l ’ˉ8x｝＋2鳃l）,同理;P3（ˉ2獭2’ˉ8躯i＋2财2）’即P3（4绷l ’64狮↑ˉ4卿l）
5］
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｜满分之路.导数l
’
】
卯
替
代
∑
卯
河
门
〕
’
▲
］
卯
”
—
斗
~~
卯
〗
α
）
〕
］
卯
∩
丝
＋
卯
〗
］
卯
〕
〕
卯
（
〗
十
≈
∩
玛
九｜
~~
进而有S1
董复上述计算过程,可得‘2＝￥鞭1’
又鳃2＝—2腿｜≠0,所以s2＝27命l6绷｛≠0,
凰喘ˉ击为赵.
么
（2）记函数g（卯）＝α卯3＋b则2＋c卯＋‘（α≠0）的图象为曲线C′ ’类似于（l）@的正确命题
为;芳对任意不等于—竞的实数绷! ,曲线c′与其在点P｜（嘶! ,g（鳃｜））处的切线交于另＿』惫
P2（卯2’g（匆2））’曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3（卯3’g（卯3））’线段PlP2’
′墓′』…′′蹦…阔……铡诞….噎…
证明如下;
由g（卯）＝α卯3＋b则2＋c卯＋Ⅲ（α≠0）得g′（厕）＝3α购2＋26则＋c’所以曲线C′在点（卯l
’
g（獭l））处的切线方程为γ＝（3α瓣;＋2b鲍1＋c）鳃ˉ2α躯｛ˉb赃｝＋肌
’
司
』
卯
勺
～
〗
◎
—
α
~~
勺
＝
卯
′
目
’
■
Ⅱ
卯
∩
丝
】
○
—
α
~~
％
或
］
卯
~~
卯
以
所
截s｜-‖嚣l ［″］十颇』ˉ（3呻2触1）…｛＋b鳃｝］d躯｜二（3″｜带0）』
12α3
.
（3α卯2＋b）4
周箍代替绷｜,董复上述计算过程,可得霓』＝＿÷ˉ2嚣2和s2＝
l2α3
°
又露2＝—÷ˉ酞』且躯｜≠＿竞,
（3α厕2＋b）4
（ˉ6α卿l-2b）4
l6（3α“l＋b）4≠0噎≡六…
所以S2＝
＝
＝
12α3
12α3
l2α3
52
←
＿‖
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第二章指｀对数处理技巧
第0‖讲对数处理技巧
因知识纵横
~~~在处理形如／（匆）
. ln厕＋g（卯）的函数的零点问题或与0的大小比较问题时’我们通常将
其转化为′（蕊）（!…粥）来研究这种处理方法稼为处理对数的″单身狗』技巧
恰当的运用这＿技巧可以减少求导的次数’提高解题效率
◎典例剖析
用
［例l］已知函数／（厕）＝e颠-则2ln卯-e.
（1）求曲线y＝／（则）在点（1’／（1））处的切线方程;
（2）是否存在正整数″』,使得／（躯）≥m卯-e在区间（0’＋的）上恒成立?若存在’求出
m的最大值并给出推导过程;若不存在’请说明理由.
（1）依题意′′（卯）＝e”-2卯ln绷ˉ侧’
则／′（1）＝eˉM（1）＝O
故所求切线方程为y＝（eˉl）（卯-1）.
（2）当″巨（0’＋。。）时’／（卯）＝e施ˉ卿2ln卯ˉe≥m卿ˉe恒成立’
勿
即g（则）＝÷ˉln
卯
●
、
工
成
恒
‖
≥
加
＿
％
Ⅺ
53
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「满分之路·导数〖
~~
先验证g（l）＝eˉm≥（）’即m≤e’又m巳N＊’则m的取值为1’2
下面验证,
当″!＝2时,g（绷）＝兽—ln狐ˉ旦≥0恒成立
卯～
卯
）
’
≈
卯
″
′
＼
九
巳
、
工
成
恒
）
的
＋
＾
‖
（
在
卯
＞
冗
巳
曰
业
明
伎
↑
）
勺
＝
卯
／
＼
］
＼
／
卯
卯
冗
●
（
~~
’
～
—
∑
卯
＋
■
Ⅱ
＿
卯
g′（“）＝
勺
勺
√
卯
所以当匆巨（0’2）时’g′（卯）＜0’g（卿）在（0’2）上为减函数;卯巨（2’＋的）时’g′（则）＞0’
g（卯）在（2’＋鲍）上为增函数
所以g（狐）测!哪二g（2）-士［瞳2＿4ln2—4］＞＋［（27）2 ˉ4｜＂2—4」＞＋（3 -4ln2）＞0恒
成立.
综上所述’′″的最大值为2
“
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「第二章指｀对数处理技巧｜
指｀对
［例2］
（20l1高雪螺标全国卷）已知函数／（驱）＝业等＋上’曲线y＝／（卯）在点（l ,／（l））处
卯＋1
卯
的切线方程为卯＋2y—3＝0.
（1）求α’6的值;
（2）如果当绷＞0’且嘶≠l时’／（则）＞」Ⅱˉ王＋上’求片的取值范围.
卯-l
卯
｜·解析0
α（牢ˉ｜＂鳃）
b
（1）／（卿）＝glⅡˉ卫＋上’则／′（则）＝
卯＋1
卯
（则＋1）2
2’
卯
由于直线鹏＋2y—3二0的斜率为—÷,且过点（1,｜）,
（（‖「」~÷
故
b＝1’
｜÷←÷…＝
即
~
＋上等价ˉ于∧″）ˉ＿上＞0
ln卯
勿—1
％
卯
（2）当勿＞0’且则≠l时’∧绷）＞」Ⅱˉ些
卯—］
由（1）知／（匆）＝」1ˉ王＋上’
卯＋1
卯
所以∧厕）—」Ⅱˉ丝ˉ上＝」卫ˉ王＋上ˉ」Ⅱˉ丝ˉ上—上
≡≡
卯-1
卯
卯＋1
卯
几-1
卯
1-冗2
］』
）｜
x-—
卯
／
』
』
】
【
‖
□
｀
｀
、
｀
‖
′
′
口
】
且
∧
（
＋
卯
Ⅲ
］
∑
｜
＞0,
）
■
』
—
卯
卯
（
γ卯巴（0,1）,2ln“＋（片-1）
＞（）,
｜
则上述不等式等价于
＼
｀
■
‖
‖
′
／
■
Ⅱ
＿
卯
卯
（
V卯e（l ,＋的）,2ln匆＋（k—1）
＜0,
设′｜（鞭）三2ln叶（你＿｜）（鞭—＋）（露＞0）测h′（鞭）-÷〔（庶＿!）x2带2腮—哦—｜］,
处理方案一:
（
l ）设片≤0’当卯≠l时’
″（腿）＝＋［（附ˉl）腿2＋2箍＋附ˉl］＝÷［k（卿2＋l）ˉ（卿—l）2］＜0,
卯
卯
56
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满分之路.导数［
所以h（则）的减区间为（0’l）和（l’＋的）’而h（l）≡0.故当则巳（0’1）时’h（卯）＞0’可得
古h（鳃）＞0;誉鳃匡（…）时,h（鳃）≤0』可得古偷（撼）＞0,
从而当厕＞0’且卿≠1时’／（则）ˉ」Ⅱˉ丝ˉ上＞0’
卯—l
卯
卵／（鞭）＞黔＋÷
（li）设0＜片＜1’
√lˉ（∧ˉl）2
（∧-l）（“2＋1）＋2厕＝0’解得卯＝ˉ2±√4-4（A—1）2＝
2（片-1）
』
于
＿
］
~
令h′（卿）＝
勺
≡
片-l
冗
ˉ1＋√lˉ（kˉl）2
’
］
／
』
｜
‖
｜
‖
＼
｜
由于当卯巨
时’h′（卯）＞0’h（卯）为增函数’而h（1）＝0’
A-l
故h（加）＞h（l）＝0’可得上丁h（卿）＜0’与题设矛盾
1-卯～
（Ⅲ）设k≥1’此时h′（卿）＞0,h（卯）的增区间为（0’l）和（l ’＋的）’而h（l）＝0’
故当鞭霍（」｀带唾）时｀肉（鳃）＞h（1）≡0’得古倔（鞭）＜0｀身题谈矛盾
综上所述’k的取值范围为（ˉ的’0］.
处理方案二:
M鞭）≡（腮—｜）（§带｜）辨2甄≡罢｜命辩（腮—｜）｜＼
又甄＞0,…］咐』尚匡（0』｜）,
令帜（露）二六带（腮—｜）』
则甲（则）在（0’1）上为增函数’在（l ’＋的）上为减函数’且甲（则）巴（∧ˉl’∧）.
（
l ）当k≤0时’甲（卯）＜0’∧′（卯）＜0’h（则）的减区间为（0’l）和（l’＋的）.
而h（l）≡0’
—团
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1第二章指｀对数处理技巧｝
趟雪躯匡（0,｜）时’h（鳃）≥0,可得古h（腮）＞0;
封霍（…）时,h（露）＜0,可得古肉（躯）＞0
’
∩
＝
＞
〗
″
—
卯
帅
＿
料
）
卯
∧
鬼
寸
日
］
≠
卯
且
’
∩
γ
＞
卯
当
币
『
从
即／（则）＞r＝丁＋上
ln卯
％
（jl）当k-1≥0’即∧≥l时’中（卿）＞0’h′（卯）＞0’h（卯）的增区间为（（）’1）和（1’＋的）.
而h（1）＝0’故当厕巨（l’＋。°）时’h（卯）＞／l（1）＝0’得上丁∧（则）＜0’与题设矛盾
1-卯～
（Ⅲ）当0＜∧＜1时’
’
◎
~~
）
］
儿
（
＋
助
＿
卸
~~
）
卯
（
甲
令
√1ˉ（kˉ1）2
勺
凸
）
］
∧
（
斗
′
叫
±
∩
乙
-1±
解得厕＝
）
］
内
／
‖
＼
∑
k-1
ˉ1＋√1ˉ（Rˉ1）2
）畸Ⅱ′（辩）＞0｀州′（鳃）≥0,＂（卿）…数’础＂）＿0｀
’
‖
』
／
』
』
‖
‖
｀
＼
故当卯巨
k-l
所以h（卯）＞h（1）＝0’
可得亡2州（腮）＜0,与题谈矛盾
综上所述’∧的取值范围为（ˉ鲍’0‖
57
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「满分之路。导数｜
第02讲指数处理技巧
因知识纵横
l. （／（卯）
. e绷）′＝e”
.
（／（厕）＋／′（则））’（／（卯）
. e—“）′＝eˉ＂
.
（／′（“）—／（则））
2在处鳃形擞M醚）懂蕴＞g（鳃）的小等式问题时我｜门遮常将其转化为船蠕蹭＞」或
滞—″≤」来娜究（此处以‘（鳃）＞0为侧）这种处埋方法称为处理指数的初菱化
积技巧.恰当的运用这＿技巧可以减少求导的次数’提高解题效率.
°典例剖析
2
［例3］
（20l（）.盲雪新课标全国卷）设函数／（卯）＝e厕—1ˉ则ˉα则
（1）若α＝0’求／（则）的单调区间;
（2）若则≥0时讽卯）≥0’求α的取值范围
.解析9
（1）当α＝0时√（卯）＝e则ˉ1—则扩′（则）＝e厕ˉ1’
令／′（卿）＝0’解得卯＝0.
所以当绷巨（ˉ“’0）时旷′（卯）＜0’／（“）为减函数;
当卿e（0’＋的）时’／′（卯）＞0鳃／（卯）为增函数.
故／（卯）的单调减区间为（ˉ的’0）’单调增区间为（（）,＋的）
O
（2）当卿≥0时扩（躯）＝e瓣ˉlˉ腮ˉα厕2≥0’转化为α厕ˉ＋j＋l≤1
e
58
叶
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「第二童擂｀对数处理技巧｝
句
≡
α卯＋卯＋］
设g（卯）＝
,g（0）＝1
,
卯
e
则g′（则）＝÷［ˉα”＋（2αˉl）］
’
e
令h（卯）二-α绷＋（2α-l）.
当α＝0时’h（卯）＜0’所以g′（躯）＜0’g（卯）在（0’＋叼）上为减函数’g（厕）≤g（0）＝1’
成立;
当α＜0时’由h（则）＝-α师＋（2α-1）＝0’
l
解得卯＝2-＿
α
所以’当躯巨（0,2ˉ＋）时,偷（则）＜0｀g′（撼）＜0,g（腮）在（0,2＿÷）上递减;
当蜒匡（2ˉ＋,＋蜜）时,h（x）＞0’g′（撼）＞0｀g（娜）在（2ˉ＋,…）上递增
…（1÷…）…慰气〉山孽儿捍÷j氢1
所以g（卯）≤g（0）＝］成立;
当α＞0时’h（卿）＝ˉα卯＋（2α-l）.
当2αˉ｜≤0’即α≤÷时』
▲
在厕巴（0’＋的）上’h（则）＜0’g′（厕）＜0’g（“）在（0’ ＋的）为减函数’g（卯）≤g（0）＝l
’
成立;
当2α-1＞0时’由h（匆）＝-α卯＋（2α-1）＝0’解得厕＝2＿上
α
纹当卿匡（0’2—÷）时,h（甄）＞0,g′（甄）＞0,g（甄）在（0,2ˉ÷）上递增,g（甄）＞g（0）＝l’
矛盾.
｜
■
Ⅱ
—
勺
△
’
凹
（
综合所述,α的取值范围为
印＿
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′满分之路.导数［
［例4］
（20l6宁键摸拟）已知函数／（腮）＝ˉ÷卯2＋（αˉl）厕＋ln聪
～
（1）求函数／（卯）的单调区间;
（2）若α＞1 ’求证:
（2αˉ1）／（卿）＜3eαˉ3
｜·解析0
函数／（卯）的定义域为则匡（0’＋凹）
’
（l）／（鞭）＝ˉf躯2＋（αˉl）狐＋l皿,
~~
］
＋
卯
）
］
α
卯
（
＋
∑
卯
α
~~√
」
—
％
＋
＼
｝
／
口
Ⅱ
】
（
／
＼
＋
卯
α
~~
）
卯
／
Ⅱ
‖
＼
′
／
‖
贝
（α卿＋1）（ˉ绷＋1）
｀
′
％
当α≥0时’令／′（卵）＝0’解得匆＝l.
当卯匡（0’l）时’／′（购）＞0肌卯）在（0’1）上单调递增;
当″e（l ’＋鲍）时’／′（卯）＜（M（则）在（1 ’＋切）上单调递减.
l
当α＜0时’令／′（＂）＝0’解得则＝1或卯＝-—
α
当α＝ˉ1时’卯巨（0’＋的）扩′（厕）≥0’／（绷）在（0’＋的）上单调递增
当l＜ˉ上’即ˉ1＜α＜0时,
α
随匡（0’1）旷′（卯）＞0’／（卯）在（0’l）上单调递增;
躯匡（l,—÷）旷′（露）＜α′（撼）在（l ’ˉ＋）上单调逮减;
鞭匡（÷’＋函）扩′（腿）＞0矿（鳃）在（—＋,…）上单调遥增
当1＞-上’即α＜-1时’
α
鹏匡（0’ˉ＋）,′′（狮）＞M腿）在（0,—＋）上单调递增;
撼巨（ˉ÷,｜）,′′（鞭）＜0′（蜒）在（＿十,l）上单调递减;
＂巨（l’＋的）旷′（卯）＞0矾卯）在（1’＋@）上单调递增.
印
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」第二霞指｀对数处理技巧｝
~
综上所述,
当“＜—1时∧鹅）的巢调…阎为（＿＋,1）,单调…阎为（0’ˉ＋）,（1,…）;
当α＝ˉ1时旷（卯）的单调递增区间为（0’＋鲍）
;
当ˉ1…0时抓露）的单调…阎为（l,—÷）’单调递增区闷为（0’l）,（
l
—’＋鲍
α
）
当α≥0时矾“）的单调递增区间为（0’1）’单调递减区间为（l’＋的）.
（2）证明:α＞1时’由（l）可知函数／（绷）的单调递增区间为（0’ l）’单调递减区间
为（1’＋的）.
所以∧剿）…＝′（l）二÷侧—l,
）
］
α
勺
～
／
□
‖
＼
｀
｀
□
‖
‖
』
′
／
＜
‖
儿
α
］
—
∑
（
~~
）
卯
∧
）
］
α
∩
乙
（
于
ˉ
价
等
∩
〕
α
巳
∩
〕
＜
）
卯
∧
）
］
α
勺
▲
（
以
所
＜3eα-3
转化为（÷“ˉl）（2“—!）
q
＜÷（指数处理技巧）
’
e
α
e
即（αˉ2）｛2αˉl）
e
厂
◎
—
〕
巳
＜
设g（α）＝（αˉ2）（2αˉ1）’则g′（α）＝
α
e
（α—l）（-2α＋7）
9
α
e
’
气
／
勺
～
~~
α
得
解
’
β
~~
γ
＋
α
∑
令
所以,当刨匡（!’÷）时,g′（“）＞0’g（α）在（l ,÷）上为单调增函数;
÷,…）时｀g′（侧）＜0,g（“）在（÷,＋鹤）上为单调减函数
（
当α≡
）
γ
—
∑
（
吕
~~
Ⅺ
α
Ⅲ
）
α
（
召
以
所
）
’
＿
斗
＞
巳
／
『
｜
＼
］
巳
尸
◎
＜
了
—
∑
巳
○
／
~~
综上所述’若α＞1’（2αˉ1）／（则）＜3eαˉ3
6］
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｛满分之路.导数｜
［例5］已知函数／（卿）＝l-eˉ颠.
（l）证明:当卿＞ˉl时’／（狐）≥—些.
尤＋l
,
（2）设当瓣≥0时旷（箍）≤顾iT』求α的取值范围
｜·解析D
（l）证明:法—（指数处理技巧）
:
冗
当＂＞—l时扩（箍）≥A等价于六≥l
九
卯
设h（鳃）二六则h′（鞭）-（:十］｀2,令咖′（鳃）-0解得瓣二0
所以’当卿巨（-l ’0）时’h′（卯）＜0’h（卿）在（-鲍’0）上为减函数;
当绷巨（0’＋切）时’h′（厕）＞0’／l（绷）在（0’＋的）上为增函数.
勿
所以′』（膊）≥′‖（0）＝l 』即六≥l
所以当卯＞ˉ1时抓卯）≥—些.
卯＋1
法二（单调性解不等式）
:
设g（蜒）二六二｜＿六,则′（鞭）二g（嚼憋ˉ!）,
又g（匆）在（-l’＋由）上为增函数’
设h（如）＝e瓣ˉ则ˉl’则h′（卿）＝e绷ˉ1’令h′（卯）＝（）’解得厕＝0.
所以’当卯巴（ˉ吨’0）时’h′（卿）＜0’h（卯）在（-鲍’0）上为减函数;
当厕巴（0’＋的）时’h′（“）＞0’门（卯）在（0’＋的）上为增函数.
所以h（卯）≥门（0）＝0’即e鳃≥则＋1.
所以g（则）≤g（e鳃ˉ1）＝／（卿）’即／（卯）≥—坚.
卯＋1
（2）法-（指数处理技巧）
:
当瓤≥0时′（瓤）二lˉ噎—露≤顽÷T转化为（lˉ丽÷丁）c鞭ˉ』≤0
62
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『第二章指｀对数处理技巧｝
设g（鞭）-（」ˉ点）·墓—」,:（0）≡0则g′（鞭）≡（刷』［（·』—·…＿』
当α＝0时’g′（卯）≤0’g（卯）在［0’＋的）上单调递减’g（则）≤g（0）＝0’符合题意;
当α＝1时’g′（厕）≥0’g（卯）在［0’＋由）上单调递增’g（卿）≥g（0）＝0’不符合题意;
当α＜0时,
］
／
＼
~~
‖
Ⅱ
九
巴
｀
｀
‖
□
■
』
『
′
′
l
＼
1
α＋—
％／
’
α
＿
叫
∏
］
~~
卯
得
解
’
∩
~~］
卯
巳
）
刮
Ⅱ
—
α
］
（
＞
］
冗
巳
（｜ˉ憋六!
g（绷）＝
所以g（｜＂六）＞0,不符含题意;
当α＞l时’g′（卯）≥0’g（购）在［0’＋由）上单调递增’g（则）≥g（0）＝0’不符合题意;
当0＜α＜1时’令（α2ˉα）勉＋2αˉ1＝0,解得箍＝午2旦.
α-α
蛰挡≤0,即0…÷畸,爵′（露）≤0｀:（露）在［0｀十函）上巢调递减’‘（戴）≤g（0）-0,
符合题意;
当悬＞0,卵＋≤α＜」时.
＾
口
符
不
’
‖
~~
）
‖
（
吕
≥
）
卯
（
吕
’
增
递
调
单
上
）
四
＋
’
◎
［
在
）
勿
（
自
’
○
≥
）
卯
（
′
吕
’
~
＝
~
时
｀
‖
□
‖
□
】
』
『
′
′
…
＿
∑
碎
’
○
（
巨
卯
当
故
题意。
综上所述’“的取值范围是｜0,＋｜
法二（端点效应）
:
由题意卯≥0’此时∧卯）≥0’
当α＜0时’若厕＞ˉ上’则
则
α
α卯＋l
●
●
歹
、
工
成
不
］
＋
卯
卯
α
≤
）
卯
抓
＾
‖
＜
当α≥0时旷（獭）≤顽÷丁转化为（α躯＋l）／（鳃）ˉ獭≤o
设g（″）＝（α则＋l）／（则）ˉ＂’g（0）＝0’
则g′（卯）＝（α则＋1ˉα）eˉ卯＋αˉl’g′（0）＝0’
g″（卯）＝（ˉα卯＋2α-l）eˉ绷’g″（0）＝2α—l’
63
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｜满分之路·导数｛
当2鳃ˉl≤0’即凰≤＋时,
卯巨［0’＋的）’g″（卯）≤0’g′（卯）在［0’＋@）上单调递减’故g′（卯）≤g′（0）＝（）’g（卯）在
［0’＋的）上单调递减’g（豹）≤g（0）＝0’符合题意;
当α＞告时,令ˉ“…—1＝0,解得x＝2堕了1
’
∩
~~
）
·
（
′
目
≡
＞
）
卯
（
′
吕
故
’
增
递
调
单
上
）
的
＋
’
β
［
在
）
卯
（
′
自
’
＾
‖
＞
）
匆
′
（
＼
″
吕
’
＼
＼
‖
〗
『
′
／
…
＿
α
’
○
／
′
』
】
‖
‖
‖
＼
巨
勿
以
所
所以g（则）在［0’＋的）上单调递增’g（“）≥g（0）＝0’不符合题意
综上所述,侧的取值范凰是｜0,÷｜
法三（局部放缩）
:
由题意则≥0’此时／（卯）≥0’
雪α＜0时,若鳃＞—＋,则六＜0’／（氮）≤六不成立,舍去;
当α≥0时,令h（x）＝侧v（躯）＋／（躯）ˉ狐,则／（膊）≤顽fT等价于h（腮）m醚≤0＝h（0）
门′（卯）＝q／（匆）＋α旷′（卿）＋／′（则）ˉ1＝q／（则）ˉα叭厕）＋α狐ˉ／（则）
’
（i ）当0≤侧≤÷时,由（1）知躯≤（撼刊）／（腮）,
h′（卯）≤q／（卯）-α叭卿）＋α（卯＋l）／（卯）-／（则）＝（2αˉ1）／（卯）≤0’
h（则）在［0’＋的）上是减函数’h（卿）≤h（0）＝0’即／（卯）≤—些.
α卯＋1
（li）当感＞÷时,由（i ）知施≥∧露）
’
／l ′（卯）＝q／（卯）ˉα叭则）＋α卿ˉ／（卯）≥q／（厕）ˉαv（卯）＋q／（狮）—／（卯）＝（2αˉlˉα则）／（卿）
’
当0＜绷＜2旦ˉ二1时’h′（卯）＞0’所以h（卿）＞h（0）＝0’
α
即∧卿）＞丽÷T’矛盾
综上所述’α的取值范围是｜0｀÷｜
“
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』第二章擂｀对数处理披巧｝
）
］
＋
卯
／
｛
＼
Ⅱ
｜
＋α厕.若对任意则＞ˉl且卿≠0’均有／（卯）＞1恒成立’求实
［例6］已知函数／（卯）＝
数α的值.
ex—l
｜·解析0
当卯巳（ˉ1’0）时扩（卯）＞1’等价于ln（卯＋l）＋（α则ˉ1）（e卿ˉ1）＜0;
当则巨（0’＋的）时’∧＂）＞1’等价于ln（卿＋l）＋（α厕ˉ1）（e”ˉ1）＞0.
…←｜…………喻｛｜‖）二｜｛‖爵Ⅲ｜伯｜二‖〈二『熟氢Ⅷ
今g（绷）＝ln（加＋1）＋（α卿-1）（e撼-1）’且g（0）＝0.
下面只需要证明:
当卯巨（ˉl’0）时’g（卯）＜g（0）＝0;当卿巨（0’＋四）时’g（卿）＞g（0）＝（）.
则g′（鞭）＝击＋侧（懂鹏—1）＋（“—1）懂瓢-击［“嚼啸（鳃＋1）2—（…冀）（蹦刊）＋U
＝击［噎雾（叶l）—l］［徽（叶』）＿l］,且g′（0）＝0,
当财巨（0’十的）时’e鳃（卿＋l）-1＞0（证明咯）
’
故今／l（卯）＝α（则＋l）＿l’
当α≥1时’h（卯）＞0’g′（卿）＞0’g（卯）在（0’＋的）上单调递增’故g（则）＞g（0）＝0’成立;
当α≤0时’h（则）＜0’g′（厕）＜0’g（卯）在（0’＋的）上单调递减’故g（卿）＜g（0）＝0’矛盾;
当0＜α＜1时’今h（卯）＝α（卯＋1）ˉl＝0’解得卯＝Lˉ1.
α
所以’当露匡（0,＋ˉl）时’′』（露）＜0’gⅡ（测）＜0’g（獭）在（0,＋ˉl）上单调递减｀敛g（嚣）＜
g（0）＝0矛盾.
下面再证:当α≥1时’卯巨（ˉl’0）’g（则）＜g（0）＝0.
因为当则巨（ˉl’0）时’e绷（则＋1）—1＜0（证明咯）
’
故今h（卯）＝α（卯＋l）ˉl＝0,解得则＝上ˉl匡（ˉl ’（）］.
α
当α＝1时’h（卯）二绷＞0’g′（则）＞0’g（卿）在（（）’＋四）上单调递增’故g（则）＜g（0）＝0
成立;
＞
）
卯
（
舀
故
’
减
羞
立
剖
‖
单
＼
‖
‖
‖
『
′
′
＜
‖
且
■
』
—
α
’
·
／
』
‖
‖
‖
［
＼
在
）
卯
（
吕
’
∩
＝
＜
）
％
（
′
吕
’
＾
‖
＜
）
卯
（
』
／
’
｀
Ⅱ
■
■
〗
‖
′
／
○
宁
］
■
』
—
α
′
′
』
】
‖
□
｀
｀
巨
卯
’
时
］
＞
α
当
g（0）＝0’矛盾.
综上所述,α＝1.
65
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』满分之路.导数l
第03讲指｀对数处理技巧
因知识纵横
基本方法
（l）指、对数处理技巧;
（2）隐零点代换;
（3）放缩法;
（4）凹凸反转
C典例剖析
‖
［例7］
（20l3 .高雪全国卷I）已知函数／（厕）＝ezˉln（厕＋m）.
（l）设则＝0是／（腮）的极值点’求″!的值’并讨论／（则）的单调性;
（2）当m≤2时’证明∧卿）＞0.
｜·解析』D
（1）因为／′（卿）＝e膊＿—上’厕＝0是／（如）的极值点’
卯＋m′
所以／′（0）＝1ˉˉL＝0’解得″』＝l.
″〗
所以／（卯）＝e厕ˉln（卿＋1）’其定义域为（-l’＋由）.
凰为／′（鲸）二e颜——上＝e露（钠l｜）—1（导函数的符号不易看出）,
卯＋1
设g（卿）＝e卿（卯＋1）ˉ1’由g（0）＝0’g′（厕）＝e绷（卯＋2）＞0’所以g（卯）在（—1’＋由）上单
调递增’
又因为g（0）≡0’所以当“＞0时’g（卯）＞0’即／′（绷）＞0’
当ˉ1＜厕＜0时’g（“）＜0扩′（卯）＜0;所以函数／（卯）在（ˉ1’0）上单调递减’在（0’＋的）上单
调递增.
凸
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对数处理技巧｜
』第二章指
（2）证明:法-（隐零点代换1）
:
／′（卯）＝e厕ˉ＿上’令／′（勿0）＝0得e“0＝＿些＞0’且／″（卿）＝e则＋
卯＋m′
％0＋∏】
函数／′（则）在区间（-′′!’＋的）上单调递增’
则当卯匡（ˉ″』’则0）时扩′（卯）＜0扩（则）在（ˉ″!’则0）上单调递减;
当则匡（则0’＋。°）时旷′（则）＞0旷（卯）在（卿0’＋的）上单调递增’
则／（厕）mm＝／（卯0）＝e“0ˉln（腮0＋矾）
’
又绷0满足方程e躯0＝＿些
卯0＋′′0
1
＞0,
勺
≡
＼
□
』
／
见
′
＋
卯
（
l
l
-lne-冗0＝卯0＋
＝卯0＋m＋
卯0＋″〗
1
则／（则0）＝e绷0ˉln（则0十″』）
＝
卯0＋m
卯0＋矾
√
~~
~
~
~
~
ˉm＝2ˉ′″≥刨.
″』≥o2
（卯0十″!）
卯0＋m
＼
／｜
’@中取等号的条件是m＝2
｜’由于o’@的等号不能同时
取得’故／（卯0）＞0’即／（卯）mm＞0’因此／（卯）＞0.
法二（指数处理技巧＋隐零点代换）
:
／（绷）＞0.e躯＞ln（匆＋′′!）’因为″l≤2’
所以ln（卯＋′′!）≤ln（卿＋2）
’
要证原不等式成立,问题等价于证明ln（卯＋2）＜e爽′即l＂（竿2）
e
＜l
设g（x）二ln（剿矿2）僧′（腮）二志ˉ｜＂（露＋2）
冗
e
e
h（躯）＝志ˉln（鳃＋2）在（—2’…）上为减函数’
又咖（—2＋拒）二＋ˉ＋＞0’偷（0）＝÷—ln2＜0,
γe
＝
蹄以…—晌鳃』筐（＿｜,0）』使得h（输）≡志ˉh（腮＂带2）≡0
则当卯巨（-2’卿0）时’g′（财）＞0’g（厕）在（—2,则0）上单调递增;
当绷巴（匆0’＋。。）时’g′（匆0）＜0’g（卯）在（厕0’＋。°）上单调递减.
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｜满分之路.导数1
ln（卿0＋2）
则g（则）max＝g（”0）＝
（＊）
,
e卯0
又六｜n（撼广2）,代入（＊）得瞥（鹏）獭雕-g（鳃0）≡（撼0带2）幢痰.侣幢—野［
l
1
＜
综上所述’当m≤2时扩（则）＞0.
法三（放缩法e“≥匆＋1 ’ln（则＋1）≤厕）
:
由／（则）＞0.e颠＞ln（绷＋′＂）’因为m≤2’
所以ln（则＋m）≤ln（卯＋2）
’
妥证原不等式成立’问题等价于证明ln（卯＋2）＜e氮.
由经典不等式e鳃＞卯＋1’ln（卯＋l）≤厕’可得
ln（卯＋2）≤@豹＋l≤@e颜.
（第o个等号取得的条件是卯＝-l ’第@个等号取得的条件是卯＝0）
因此o’@的等号不能同时取得’故ln（则＋2）＜e则.
综上’当′′l≤2时’／（″）＞0.
l
＜1｀
厂
代
＋
≈
』
＿
’
＝
巳
~~
冗
巳~~
＋2）
~~
…V≡lnz
~
≡＝γ＝ln
尸
≠
-／
x
〔）
帅
Ⅺ
法四（凹凸反转）:处理方案一:
／（卯）＞0.e厕＞ln（卯＋′n）’因为m≤2,所以ln（则＋矾）≤ln（绷＋2）
’
要证原不等式成立’问题等价于证明ln（卯＋2）＜e绷’转化为ln（卯＋2）
卯＋2
卯
e
＜
卯＋2
靡证（h附））…＜（羞）
Inln
设g（顺）＝皿财）’则g′（蕊）二1ˉ｜＂（叶2）
（卯＋2）2
故匆巨（-2’eˉ2）时’g′（绷）＞0’g（卯）为增函数;购巴（eˉ2’＋的）时’g′（卯）＜0’g（绷）为减函数.
68
｜
｛
十
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「第二章指｀对数处理技巧｜
所以g（卯）max＝g（eˉ2）＝上.
e
设h（剿）＝走’h』（卿）＝e露（腮＋］）
冗
（卯＋2）2
令腮』（剑≡丫划）ˉ0＼藤得鳃＝［
故卯巨（ˉ2’ˉl）’∧′（卯）＜0’h（卯）为减函数;卿巨（-l’＋的）’h′（则）＞0’h（则）为增函数.
所以h（卯）min＝h（ˉ1）＝上.
e
所以g（卯）≤o上≤@∧（则）
’
e
（第o个等号取得的条件是″＝e—2’第@个等号取得的条件是厕＝ˉ1）
圈此@,圆的等号不能阎时取得,敛h躇）＜走.
即ln（绷＋2）＜e卯.
综上所述’当m≤2时扩（卿）＞0.
处理方案二:
／（嘶）＞0白e厕＞ln（卯＋′＂）’因为m≤2’所以ln（卿＋″』）≤ln（绷＋2）
’
~
~
~
妥证原不等式成立’问题等价于证明ln（卿＋2）＜e“’转化为ln（卯＋2）—（则＋1）＜e鳃ˉ（卯＋1）
设g（撼）＝｜n（缠＋2）ˉ（腮＋1）’g′（躯）二志—1在（＿2,…）上为减函数,
今g′（卯）＝0’解得卯≡-1.
故卯巨（ˉ2’-l）’g′（厕）＞0,g（卯）为增函数;狐≡（ˉ1’＋的）’g′（卯）＜0’g（则）为减函数.
所以g（卯）≤g（ˉ1）＝0.
设h（匆）≡e缆-（如＋1）’则内′（卯）＝e鳃ˉl在卯巨（-2’＋的）为增函数’
令h′（豹）＝0’解得绷＝0.故卯e（-2’0）’h′（匆）＜0’h（则）为减函数;
“巨（0’＋鲍）’h′（则）＞0’∧（卯）为增函数
所以h（卯）min＝h（0）＝0.
所以g（卯）≤皿≤@h（“）
’
（第o个等号取得的条件是则＝ˉ1,第@个等号取得的条件是鳃＝0）
因此o’@的等号不能同时取得’故ln（卿＋2）—（卯＋l）＜e厕ˉ（卯＋l）’即ln（卿＋2）＜e“.
综上所述’当m≤2时’∧卯）＞0·
Q
69
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｛满分之路.导数］
［例8］证明:
e财ˉ2则＞卯2ln卯
｜·解析0
证明:法-（指数处理技巧）
:
e″ˉ2则＞卯2ln厕等价于eˉ则（卯2ln则＋2则）-l＜0
设／（绷）＝e—氮（卿2ln卿＋2卿）ˉ1／′（厕）＝eˉ“（ˉ厕2ln卿ˉ则＋2绷ln卿＋2）＝eˉ躯（2—卿）（则ln绷＋1）
’
又“ln卯＋1＞0（证明略）
’
令2—卯＝0’解得卯＝2.
所以’当卯巨（0’2）时’／′（卯）＞0扩（卯）在则巨（0’2）上为增函数;
当卯巨（2’＋的）时’／′（则）＜0矾卯）在则巨（2’＋由）上为减函数.
矽
＾
‖
＜
］
曰
／
—
∑
●
＜
］
）
勺
凸
∏
］
斗
＋
斗
（
∩
≡
巳
~~
）
∑
（
／
~~
Ⅺ
已
Ⅲ
）
卯
∧
以
所
综上所述,e躯—2卯＞鳃2ln卯.
法二（对数处理技巧）
:
c铡ˉ2厕＞狐2ln厕等价于e绷亏2卿＿ln绷＞0
卯
设／（聪）＝e兰2鳃ˉln“’／′（购）＝（e鳃ˉ购）（箍ˉ2）
3
勿
勿
又e颠ˉ卿＞0（证明咯）,
今则ˉ2＝0’解得卿＝2.
所以’当卵e（0’2）时’／′（厕）＜0,∧卿）在卿巨（0’2）上为减函数;
当则匡（2’＋的）时’／′（卯）＞0√（卿）在卯匡（2’＋鲍）上为增函数.
所以∧蕊）蛔蛔-′（2）≡噎』ˉ4＿驯＂2＞宁＞α
4
综上所述,ez-2盯＞则2ln如.
70
士
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』第二童指｀对数处理撞堕］
指｀对
巧
［例9］求证:e鳃＋（l-e）“≥则ln厕＋l
｜.解析0
证明:法-（对数处理技巧）
:
定义域卯e（0’＋的）
’
卯
1
e鳃＋（1-e）狐≥则ln狐＋1等价于旦—-ln“＋（1ˉe）≥0.
卯
卯
设′（鳃）÷＋ˉln叶（｜ˉ′）则f｛（鳃）-罢训憋＿］）,
又则巨（0’＋的）’e“-1＞0’故令卯-l＝0’解得卯＝1.
所以’当卯匡（0’1）时旷′（绷）＜0抓勿）在卯匡（0’1）上为减函数;
当则巳（1’＋的）时’／′（卯）＞0′（聪）在测巨（l’＋的）上为增函数.
所以／（厕）min＝／（l）＝0’
α
≥
）
巳
］
（
＋
卯
■
Ⅱ
—
卯
冗
巳
—
卯
即
证毕.
法二（凹凸反转）
:
定义域厕巨（0’＋鲍）
’
e绷＋（1ˉe）卿≥则ln绷＋1等价ˉ于鱼ˉ上＋（1ˉe）ˉ绷≥ln”ˉ匆’
卯
勿
鼠′诞｜;ˉ＋带（｜＿e）—撼l≥（ln鳃—膊）…
mln
）
］
卯
／
′
｛
＼
卯
巳
＋÷ˉⅡ＝（僵瓣ˉ鞭ˉl）（狐—l）
2
卯
卯
~~
）
卯
（
′
／
‖
贝
’
卯
）
●
］
（
＋
勺
』
—
卯
冗
旧
—
卯
~~
）
％
∧
设
∩
丝
卯
又卯匡（0’＋的）时’e“≡卯-1＞0（证咯）
’
故令卯-1＝0’解得如＝1.
所以当则巨（0’1）时′′（卿）＜0’∧狐）在则匡（0’1）上为减函数;
当卯匡（1’＋由）时’／′（卯）＞0肌卿）在厕巨（l ’＋由）上为增函数.
所以∧厕）mm＝∧l）＝ˉl.
7］
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｜满分之路.导数］
设g（卯）＝ln卯ˉ则’则g′（卯）＝上ˉ1’
勿
今g′（则）＝0’解得卯＝1.
所以’当则巨（0,1）时’g′（卯）＞0’g（卯）在卯巨（0’1）上为增函数;
当卯巨（1’＋吨）时’g′（勿）＜0’g（则）在绷巳（l ,＋的）上为减函数.
所以g（卯）max＝g（1）＝ˉl.
卯
）
巳
］
（
＋
■
Ⅱ
—
卯
九
巳
—
卯
以
所
｜
≥（ln卯-卯）maⅨ
‖
‖
■
证毕.
法三（基本放缩＋指数处理技巧）
:
″匡（0’＋的）’卯-l≥ln卯（证咯）’故卿ln卯＋l≤卯（则—1）＋1.
要证e躯＋（1ˉe）卯≥卿ln卯＋1’尝试证卯（卯-1）＋l≤e蕊＋（1ˉe）卯.
处理方案一:
腑（则—1）＋l≤e鳃＋（lˉe）卯等价于e狮ˉ豹2＋（2ˉe）卿ˉ1≥0.
设∧绷）＝e卿ˉ卿2＋（2ˉe）卯ˉ1’且／（l）＝0’
则／′（则）＝e缆-2绷＋（2ˉe）’且／′（1）＝0’
则／′（卯）＝e颠ˉ2在则e（0’＋的）上为增函数’
令／′（卿）＝0’解得卯＝ln2
所以’当加匡（0’ln2）时′′（卯）＜0′′（绷）在卯巨（0’ln2）上为减函数;
当卯巨（ln2’＋的）时′′（卯）＞0扩′（则）在卿巨（ln2’＋的）上为增函数.
所以／′（卯）min＝／′（ln2）＜／′（l）＝0’
又／′（0）＝3ˉe＞0’
所以存在唯一卿0巨（0’ln2）’使得／′（匆0）＝0.
所以’当卯巨（0’卯0）时扩′（卯）＞0’∧卿）在购巨（0’“0）上为增函数;
72
1
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』第二童指｀对数处理技巧｜
当卯巨（卯0’l）时扩′（则）＜0肌则）在勿匡（卿0’l）上为减函数;
当绷匡（1’＋的）时’／′（匆）＞0肌卿）在卿匡（1’＋由）上为增函数.
又／（0）二0且／（l）＝0’
所以／（卯）≥／（1）＝0’
即e狐＋（1-e）躯≥卯（绷ˉ1）＋l≥绷ln卯＋］
证毕.
处理方案二（指数处理技巧）
:
″（卯ˉ1）＋1≤e”＋（1ˉe）则等价于卯2ˉ（2ˉe）卯＋1ˉ1≤0
卯
e
2
设∧则）＝则＿（2ˉe）〃＋1ˉ1’
勿
e
则／′（绷）＝（ˉ匆＋l）（卯＋e—3）
九
e
今（ˉ“＋1）（则＋e-3）＝0’解得则l＝1或则2＝3-e
所以’当卯匡（0’3ˉe）时旷′（匆）＜0√（绷）在卯巨（0’3ˉe）上为减函数;
当卯巨（3ˉe’1）时扩′（“）＞0扒卯）在狐匡（3ˉe’1）上为增函数;
当卿巨（1’＋的）时′′（则）＜0兔／（勿）在卯匡（1’＋的）上为减函数
又／（0）＝0’／（1）＝0’
所以则巴（0’＋鲍）’／（则）≤max｛／（0）典／（1）
｝＝0
所以狮2ˉ（2】e）蛔＋lˉ1≤0
e
证毕
73
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』满分之路.导数l
［例l0］已知函数／（则）＝eα躯—l＋ln（厕＋1）.
（l）若函数／（则）在区间（ˉ1’＋由）上单调递增’求α的取值范围;
（2）若0＜α≤1’且″＞0’求证:／（卯）＞2α则
｜·解析0
解
’
］
＿
州
＋
卯
α
巳
α
~~
）
卯
（
′
′
）
］
＋
卯
（
∏
］
＋
‖
儿
冗
α
●
~~
）
卯
∧
）
］
（
／（卯）在区间（ˉ1 ’＋鲍）上单调递增’
l
1
则／′（“）＝αeα蹿＋
［αeα“（绷＋1）＋1］≥0恒成立’
~~
卯＋1
卯＋1
●
、
工
成
恒
·
≥
］
＋
）
］
＋
卯
′
｛
＼
冗
α
尸
…
α
′
日
取狐＝0’则／′（0）＝α＋1≥（）’得α≥ˉ］
当α≥0时’／′（卯）＞0恒成立;当ˉ1≤α＜0时’
］
＋
■
』
—
α
＋
卯
／
′
』
‖
‖
＼
卯
α
巳
∑
α
~~
）
卯
（
′
弓
‖
贝
’
］
＋
）
］
＋
卯
（
勿
α
巳
α
~~
）
卯
（
吕
设
）,
’
◎
~~
］
＋
‖
且
—
α
＋
卯
今
解得绷＝ˉˉLˉ1.
α
］
■
』
—
α
’
◎
／
『
‖
‖
‖
＼
巨
卯
当
以
所
『
时,g′（獭）≤0,g（燕）在露匡（0,＋l）上为减函数;
）
l
——l,＋的
α
—上ˉl’＋函）上为增函数
α
（
巨
卯
在
）
卯
（
自
’
）
（
＞
）
卯
（
′
吕
’
时
＼
Ⅲ
■
■
■
【
『
′
『
（
当％巨
l
ˉαˉl＋l≥0’
／
）-ˉ°
（
了ˉl／
所以g（卯）min＝g
｀
74
~
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｝第二霞指、对数处理技巧｝
即／′（卯）≥0
综上所述’α的取值范围是［ˉ1’＋由）
（2）证明:若0＜α≤1’且厕＞Q／（躯）＝eα鳃-1＋ln（卿＋l）＞2α卯’
令〗＝α卯（t＞0）
’
ˉL＋l
-2t＞0’
）
α
（
问题证明转化为e′-1＋ln
先将趣看作主元,有e』ˉl＋」n（÷＋l）ˉ2′＞e‘-l＋ln（‖＋1）ˉ2′’
下证关于变量j的不等式e′ˉ1＋ln（Ⅱ＋l）＿2t＞0’
e′ˉ1＋ln（′＋1）ˉ2t＞0等价于e』ˉtˉ1＞tˉln（′＋1）’
令g（t）＝e′ˉ′ˉl
’
则g（ln（t＋1））＝lˉln（t＋l）
’
g（t）在t巨（0’＋的）上单调递增,且′＞ln（′＋l）（证明咯）
’
故g（t）＞g（ln（t＋1））.
综上所述’若0＜α≤1’且厕＞0肌卯）＞2α绷
75
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｜满分之路.导数［
［例ll］证明: 卯2e卿ˉln卯ˉl＞0（ln2≈0.693l ’泥≈l.649）
.解祈日
证明:法—（隐零点代换）
:
设／（卿）＝卯2e躯-ln则-1 ’定义域狐巨（0’＋的）
’
ˉl
e腑（卯3＋2匆2）ˉl在卯巨（0’＋。.）上为增函数’
则／′（则）＝e“（卿2＋2则）＋—＝
卯
卯
今g（卿）＝e卯（则3＋2“2）-1 ’在卯≡（0’＋。。）上为增函数’
又:′0）＝｜＜0,凰（＋）＿咐＋广）＞0,
所以存在唯＿x0匡（0,÷）,使得g（狮0）＝0
所以’当卯匡（（）’则0）时’g（则）＜0’／′（卯）＜Q／（绷）在卯巨（0’绷0）上单调递减’
当卯匡（卯0’＋。°）时’g（卯）＞0’／′（卿）＞0’／（卯）在卯巨（则0’＋。。）上单调递增.
所以／（剿）m｜＂＝／（獭0）＝随;e狐＂ˉln赋0ˉl（＊）
’
又g（甄＂）二0,鼠′烫;＋2甄;-六｀代入（＊）式得
川厂…∏志lⅧ徽—｜—六—…』—｜富立—咕.
一l＞0,
综上所述’卯2ex—ln卯-1＞0
法二（凹凸反转）
:
处理方案一:
＞
冗
巳
—
卯
正
们
靛
而
’
∩
＞
］
卯
∏
］
勿
巳
句
丝
卯
证
要
lI1卯＋l
3
Ⅺ
（;）m皿＞｜｜n爱｜
冗
下面证
｀
定义域鳃巨（（）,＋的）
,
＼
｜
即可
′【Ylax
冗
设／（卯）＝旦’则／′（则）＝
卯
、
｀
〗
′
′
］
卯
′
′
【
｀
｀
勿
●
2
卯
76
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」第室章擂｀对数处理技巧｝
所以’当卿巨（0’l）时’／′（卯）＜0讽绷）在卯巴（0’l）上单调递减’
当则巨（l’＋的）时’／′（绷）＞Q／（卯）在卯匡（1 ’＋的）上单调递增.
所以／（卯）mm＝／（1）＝e;
再证ln卯3＋l＜e,即e绷3-ln卿-1＞0。
卯
设』＝躯』（′＞0）√（‘）二碱—÷｜＂′ˉ1,
则／′（腹）＝筐÷在』匡（0｀…）上为增函数,
令′′（‘）＝0’解得』＝士,
所以当』匡（0,士）时旷′（』）＜0扩（‘）在』匡（0,士）上单调递减’
当』匡（六,…）时,′′（腾）＞0′（‘）在』匡（六,…）上单调递增
所以∧‘）恤＝壮）＝·式—＋ln士—l＝＋un3e＿2）＞0｀
综上所述,卯2ex-ln卯-1＞0.
处理方案二:
＞
腮
巳
—
沥
证
骸
而
’
＾
‖
＞
］
卯
Ⅲ
］
勿
巳
∑
卯
证
妥
ln卯＋l
’
∑
厂
州
尤
令g（瓤）-方晰（藤）-
ln卯＋l
沥
勺
≡
勿
l
e勿
）÷
师-—
2′卯＝
（
所以g′（师）≡
今g′（鞭）-0,得撼-÷,当0…÷时,爵′（烫）＜0,g（鞭）为减函数;
当x＞÷时,g′（躯）＞0,g（腮）为增函数,
所以g（鳃）恤二g（÷）
~—
~—
＝√2e’即g（卯）≥√2O
77
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｜满分之路。导数［
7
″ˉ2 ’今h′（卿）≡0得卯＝e—5
）
卯
Ⅲ
］
日
—
】
〕
—
∑
（
h′（卿）＝
●
●
′
数
函
增
为
）
刀
（
内
’
＾
‖
＞
）
卯
（
′
‖
／
’
寸
日
］
＝
且
巳
＜
尤
＜
∩
‖
当
3
~
当卯＞eˉ5时’h′（卯）＜0’h（卯）为减函数’
所以″（臆）…-偷（e—÷）＝÷瞬;,h（聪）≤÷·÷.
又征＞÷嚼÷’所以g（獭）＞偷（测）,
即当虹＞0时,卯2e躬—ln卯-1＞0.
处理方案三:
要证厕2e绷ˉln卿-l＞0’需证（卿2e卿-2卯）mm＞（ln卯ˉ2匆＋l）max.
法三（放缩法）
:
躯2儒贩ˉm撼—l≥…2ˉ＋｜＂鳃』—1
’
下…』—＋｜＂蜒』ˉ1＞0’
设』二露］（』＞0）扩（』）＝哪ˉ＋l＂』ˉ1,
则／′（‘）二e÷在』匡（0｀…）上为增函数,
令／′（《）＝0,解得』-赤’
所以当′匡（0,士）时扩′（《）＜M』）在′匡（0,六）上单调递减,
当′匡（六,＋蹿）时′′（′）＞M《）在′匡（六,＋函）上单调递增
所以′（《）咖＝／（士）＝·六＋l＂士—｜＝÷（l＂3幢—2）＞0,
综上所述,卯2e孵—ln卯—1＞O
78
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‖第二章~擂＼对数处理技巧｛
［例l2］已知函数／（鳃）＝αln则＋上＋l
％
2卯～
（1）讨论函数／（卯）的单调性;
勺
凸
—
勺
〕
＜
卯
∏
］
勺
～
＋
）
卯
卯
巳
（
）
］
几
（
●
●
明
证
）
∑
（
·解析0
（l）／（卿）的定义域为（0’＋的）
’
’
］
卯
〕
＿
卯
∑
α
卯
~~
■
Ⅱ
—
〕
卯
■
Ⅱ
—
∑
卯
α
＿
卯
~~
）
卯
′
（
／
‖
贝
当α≤0时扩′（则）＜0’则／（卿）在（0’＋鲍）上单调递减
当α＞0时’今／′（卯）＝0’即α卯2ˉ厕ˉ1＝0’
√1＋4α或卯＝1ˉ√1＋4α（舍）
’
2α
2α
解得卯＝lˉ±
｜＋〈｛—…）
（｜＋〈驴4“
／
｜0,
｀
＼
）时’
时’／′（卯）＜0’／（卿）单调递减;当卿巳
所以当几巨
9＋的
／′（卯）＞0√（则）单调递增.
（2）证明:法—:当α二2时’由（1）可知／（卿）在（0’1）上单调递减,在（1’＋的）上单调递增
〕
—
∑
≥
］
—
戏
＋
旧
Ⅱ
—
卯
＋
卯
∏
］
〗
’
〕
—
∑~~
）
］
∧
~~
∏
■
■
Ⅱ
Ⅲ
）
卯
∧
以
所
●
∩
〕
—
●
～
≤
∑
卯
制
』
—
勺
←
卯
卯
Ⅲ
］
∑
●
勺
〕
—
勺
～
≥
∑
卯
］
—
∑
＋
几
＋
■
Ⅱ
—
卯
∏
］
∑
『
日
＋
卯
’
～
＋
∑
卯
—
勺
～
卯
巳
）
］
卯
（
~~
卯
］
Ⅲ
］
勺
～
＋
卯
＋
∑
卯
冗
巳
）
］
九
（
~~
卯
〗
Ⅱ
】
Ⅱ
’
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＋
）
卯
尤
巳
（
）
］
卯
（
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卯
勺
／
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卯
卯
Ⅲ
］
∑
（
〕
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旦
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勺
今
＋
∑
卯
—
勺
～
冗
巳
）
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卯
（
＜
79
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｛满分之路.导数l
~
’
）
（
＞
卯
’
卯
勺
△
＋
∑
卯
—
勺
会
卯
巳
）
］
卯
（
~~
）
卯
（
自
令
则g′（卯）＝（2-绷）（eˉ躯＋1）
’
易知〃＝2时’g（卯）取得最大值’
即g（卿）≤g（2）＝＼＋2
e
〗
〕
＜
∩
」
—
’
≈
勺
▲
＋
《
』
—
∑
巳
＜
卯
Ⅲ
］
勺
～
＋
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卯
卯
●
（
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］
卯
（
~~
〗
卯
—
勺
～
卯
卯
∏
］
’
≈
＋
卯
’
≈
＋
∑
卯
—
勺
△
九
巴
）
］
卯
（
以
所
法一用到了第一问的结论’体现了题目的连续性’但是需转换不等号的方向’有一定的思
维难度.观察题目特征,若能利用放缩法’可简化解题.
法二:利用ln卿≤“-1（当且仅当卯＝1时取等号）进行放缩
-勿-（卿-1）（卯—2）
’
（则ˉl）（e—厕ˉ卿）＋2ln则＜（卯-l）（e—鳃ˉ则）＋2（卿ˉ1）＝（卯ˉl）e
β
—
〕
＋
如
司
〕
∑
卯
~~
勺
～
气
〕
＋
）
勺
～
几
（
）
］
卯
（
＜
勿
巳
）
］
卯
（
正
『
需
口
＾
’
日
—
］
＋
卯
勺
〕
∑
卯
~~
）
卯
（
召
’
卯
巳
）
］
卯
（
~~
）
卯
（
门
今
易得h（撼）…二÷＜g（翼）恤＝舌’
e
所以原命题得证.
＿｛ˉ !—←厂｜
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』
~
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第三章恒成立求参
第0‖讲分类讨论
因知识纵横
（l）熟练求解含参二次函数的讨论分界点;
（2）多次求导.
◎典例剖析
［例l］
（★★★）已知函数／（师）＝ln卿＋α（l-卯）.
（l）讨论／（卿）的单调性;
（2）当／（绷）有最大值’且最大值大于2αˉ2时’求α的取值范围
（l）由题知∧箕）的定义域为（0,…M测）的导函数′′（躯）＝＋ˉ侧,闺此按“与0的大
小关系展开讨论.
情形一:当α≤0时旷′（则）＞0’于是∧厕）在（0’＋@）上单调递增;
情形二;当触＞0时’在（0,÷）上′′（鳃）＞0’在（÷…）上′′（x）＜0,于是函数′（躯）在
（0,＋）上单调递增｀在（÷,＋蹿）上单调逮减
（2）根撼第（l）′｜题的缝论’当侧＞0时,函数∧露）有最大值／（＋）-
-lnα＋α-1
根据题意’有ˉlnα＋αˉl＞2αˉ2,即ˉlnαˉα＋1＞（）.
记左边函数为g（α）＝-lnαˉα＋1’则该函数为（0’＋鲍）上的单调递减函数’
且g（1）＝0.于是所求的α的取值范围是（0’l）.
8］
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｜满分之路.导数l
［例2］
（★★★）设函数／（加）＝（2卯2ˉ4α厕）ln卯＋卯
2
（1）求函数／（卯）的单调区间;
（2）若不等式／（则）＞0对绷≥1恒成立’求α的取值范围
｜·解祈9
（1）由题知’／（绷）的定义域为（（）’＋的）扩′（卿）＝4（厕—α）（1＋ln厕）
令／′（卯）＝0,解得厕＝α或则＝上
e
惰形ˉ当刨≤0时′（鳃）在（0’÷）上单调递减,在（÷’…）上单调逮增;
情形二;当0＜侧＜÷时,∧x）在（0,.）和（÷＋蜜）上单调递增,在（铡,÷）上单调递减;
情形三:当α＝上时’∧则）在（0’＋的）上单调递增;
e
惰形四;当α＞÷畸讽蜒）在（0,÷）和（“,…）上巢调递增,在（÷,侧）上单调递减
（2）由（l）可知’当α≤l时旷（则）在［1’＋的）上单调递增’故只需满足／（1）＞0即可’而此
时∧l）＝1＞0恒成立’所以α≤1满足题意
当α＞l时√（躯）在［1’α）上单调递减’在（α’＋的）上单调递增’
所以只需满足／（α）＝α2（1-2lnα）＞0’
解得1＜α＜归
综上所述’若不等式／（卯）＞0对V″巨［1’＋的）恒成立,则α的取值范围是（ˉ的’拒）.
82
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「第三章恒成立求参｝
［例3］已知函数／（匆）＝e2氮＋2／（0）e财ˉ／′（0）卯.
（l）求／（则）的单调区间;
（2）当匆＞0时’q／（卯）＜e＂ˉ卯恒成立’求α的取值范围.
｜·解析0
（1）由／（0）＝1＋2／（0）’得／（0）＝ˉ1
因为／′（卯）≡2e2鳃＿2e颠-／′（0）’所以／′（0）＝2-2-／′（0）’解得／′（0）＝0.
所以／（绷）＝e2鳃ˉ2e厕’／′（卿）＝2e2厕ˉ2e鳃＝2e绷（e鳃ˉ1）’令／′（卿）＝0’解得″＝0.
当则巨（—的’0）时旷′（则）＜0抓卿）在（-的’0）上单调递减;
当卯巨（0’＋的）时旷′（卿）＞0抓则）在（0’＋的）上单调递增.
（2）当则＞0时’q／（则）＜e绷ˉ卯恒成立’等价于q／（则）ˉe鳃＋卿＜0恒成立.
设g（则）＝q／（则）ˉe卿＋匆＝αe2腮ˉ（2α＋1）e鳃＋则’
则g′（则）＝2αe2箍-（2α＋1）e绷十1＝（2αe〃—l）（ezˉ1）.
讨论导数根的情况’
情形一:当α≤0时’
“巨（0’＋的）时’g′（卯）＜0’g（卿）在（0’＋的）上是减函数’
于是g（卯）＜g（0）≤0’即α-（2α＋1）≤0’解得α≥←l ’故-1≤α≤0;
情膨二;当“＞0时,g（ln罕）＝｜＂竿＞0,所以不符合题意礼
综上所述’α的取值范围是［ˉl’0］
或详细叙述:
当α＞0时,令2侧·瓢ˉl二0,解得撼二!u六
用导数根划分定义域’
当α≥÷,瓣e（0,＋函）时,g′（腮）＞0,g（箍）在（0’…）上是增函数’
g（｜＂2α;l）＝ln2宁＞0,所以不符令题意;
当0…÷,疟（l＂六’十唾）时’g′（露）＞0’g（鳃）在（ln壶,＋＝
g（h』2宁1）＝｜＂2宁1＞0,所以不符令题意
综上所述’α的取值范围是［ˉl’0］.
）上是增函数,
′
83ˉ
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』满分之路.导数l
第02讲分离参数
国｜知识纵横
l.在处理含参α的函数∧卿’α）的不等式和方程问题时’有时可以将变量分离出来如将方程
／（购’α）＝0转化为g（卯）＝h（α）’这样就把研究含参函数／（卿’α）与卯轴的位置关系的问题转
化为不含参的函数y＝g（卯）与动直线y＝h（α）的位置关系问题.这种处理方法称为分离变
量法
备注:分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去’避免直接讨论’从而简化运算’但可
能存在以下问题:
@参数无法分离;@分离参数后的函数y＝g（绷）过于复杂;@讨论位置关系时可能用到
y＝g（厕）的函数极限’造成说理困难
2.在处理含参α的函数／（厕’α）的不等式和方程问题时’有时可以将变量部分分离出来.如将
方程／（卯’α）＝0转化为g（则）＝h（α）（厕ˉ“0）＋γ0’这样就把研究含参函数／（卿’α）与卯轴的
位置关系的问题转化为不含参的函数y＝g（卯）与过定点的动直线γ＝h（α）（卿-卯0）＋γ0的
位置关系问题.这种处理方法称为半分离变量法
◎典例剖析
［例4］设函数∧厕）＝ln厕＋型
卯
（l）讨论函数g（腮）＝／′（腮）ˉ÷零点的个数;
（2）若对任意…＞0叫二4凶＜1恒成立,求腮的取值范圈
“
~
～
卜
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』第三章恒成立求参｜
~
·解析】
（1）／（购）＝ln卯＋匹’定义域卯巨（（）’＋的）
’
％
卯-″〗
则／′（卯）＝~
2
卯
卤题意可得,g（鞭）＝铲ˉ÷（腮＞0）
令g（鳃）＝0’分离参数得咖＝—＋箍』＋狐（鞭＞0）
设h（瞧）＝＋撼敷＋撼（撼＞0）测h′（趣）＝ˉ狐2＋1
令h′（则）＝ˉ卿2＋1＝0’
解得卯＝1（负值舍去）.
当卯巨（0’1）时’门′（则）＞0’h（财）在卯巴（0’l）上单调递增;
当厕巨（1’＋的）时’∧′（卯）＜0’h（卿）在厕巨（l’＋酌）上单调递减;
所以偷（蹦）…＝h（1）＝÷
令咖（鳃）＝ˉ＋躯3＋鞭≡0’解得媚＝0或露-徊（负值舍去）’
故函数h（卯）在卯巨（0’＋由）上的大致图象如图所示:
『
‖卜）
由图可知,
当测＞÷时’函数γ＝测和函数γ二h（撼）尤交点;
当咖＝÷时’函数γ＝′＂和函数γ＝′‖（翼）有且仅有ˉ个交点;
85
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｛满分之路.导数］
誉0＜咖＜;时,函数y二测和函数γ＝h（鳃）有两个交点;
当m≤0时ˉ ’函数γ＝′Ⅶ和函数γ＝／l（卯）有且仅有一个交点.
综上所述,
●
·
々
点
』
零
无
）
卯
（
自
数
函
’
ˉ
时
’
≈
—
∩
〕
＞
Ⅶ
′
当
雪″Ⅱ＝÷或′＂≤0时,函数g（鞭）有且仅有一个零氨;
当0＜m＜÷时’函数g（聪）有两个零惫
（2）对任意』…0,∧b｝二4边＜｜』臆咸立,
即对任意b＞α＞0肌b）ˉ6＜∧α）ˉα恒成立
’
卯
加
—
卯
＋
卯
Ⅲ
］
~~
卯
）
卯
∧
~~
）
卯
′
′
‖
｀
甲
设
Ⅶ
′
卯
十
’
～
卯
~~
］
加
＿
∑
卯
■
』
—
卯~~
）
见
（
′
甲
‖
贝
2
卯
由对任意b＞α＞0熙／（b）—b＜／（α）ˉα恒成立得’甲（腮）在则巨（0’＋的）上单调递减’
所以@′（卯）≤0’
即ˉ卯2＋厕ˉm≤0在卯巳（0’＋。。）上恒成立’
2
从『币″』≥ˉ卯＋则在绷巨（0’＋的）上恒成立’
又ˉ撼』＋x≤十’羞且仅当嚣＝＋时取等号’囤此″＝丁
1
故″』的取值范围是｜寸’… ）
86
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「第三章恒成立求参｝
［例5］已知函数／（撼）＝六ˉα卿＋b在点（e｀／（e））处的切线方程为y＝ˉα鞭ˉ
（1）求实数b的值;
（2）若存在瓤匡［虐,窿2］瞒足′（狮）≤士十筐,求实数α的取值范围
｜·解析0
（1）函数／（卯）的定义域为（0’1）（ˉ」（l’＋的）.
阂为／（鳃）＝亡ˉ…,所以／′（甄）＝ln腮—l
ln2勿
-α.
／′（e）＝-α扩（e）＝e＿αe＋b’
所以函数／（勿）在点（e’／（e））处的切线方程为γˉ（eˉαe＋b）＝ˉα（躯ˉe）
’
即γ＝-α卯＋e＋b.
ˉα卯＋b在点（e’／（e））处的切线方程为y＝ˉα卯＋2e.
已知函数／（则）在点（e′（e））处的切线方程为γ＝＿α则＋2e’比较求得6＝e.
所以实数b的值为e.
（2）由∧狮）≤÷＋属,得六ˉ…筐≤丁＋·
1
所以阎题转化为α≥六ˉ☆在［懂,健2］上有解
令h（狮）＝六ˉ☆’獭巨［瞳,僵2］
’
则h′（卯）＝—L—上＝ln2则ˉ4卯＝（ln则＋2√万）（ln卯ˉ2√r）
4卯2
卯ln2卯
4卯2ln2卯
4卯2ln2卯
令p（则）＝ln“ˉ2√万’所以当则匡［e’e2］时’有p′（卯）＝上ˉ上1ˉ二△丘＜0
＝＝
卯
√卯
卯
所以函数p（卯）在区间［e’e2］上单调递减.
所以p（卯）＜p（e）＝lneˉ2√百＜0.
所以h′（则）＜0’即h（匆）在区间［e’e2］上单调递减.
断以h（鳃）≥肉（懦2）-＋ˉ忘
吨
＋
’
］
—
勺
“
］
—
】
）
｜
所以实数α的取值范围为
87
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｜满分之路.导数l
~~
［例6］设α为正实数’函数／（“）＝αe鳃的图象与y轴的交点为A’函数g（则）＝ln坐的图象与则
α
轴的交点为B’若点A到函数g（卯）的图象上的任意—点的线段长的最小值为｜AB｜
（1）求α的值;
（2）对任意绷＞0且绷≠l’巫二早＞√F恒成立,求实数m的取值范围
g＼卯／
·解析0
（l）由题意得／（0）＝α’则A（0’α）’由g（腑）＝ln丝＝0’解得则＝α’则B（α’0）
’
α
若使A到B的长度为A到g（卯）图象上任意点间距离的最小值’则直线AB必垂直于曲线
γ＝g（卵）在B点处的切线’
又g（卿）＝ln坐’所以g′（卯）＝上’
α
卯
1
α-0
所以g′（α）.kAB＝了.6ˉ＝∏＝ˉ1’
解得α＝l.
（2）由（｜）得g（鳃）二ln腮测端芳:』＞顺,
吕＝
下面分离参数’
｛｝‖烈｝!二.
卫二lI1＞√万等价于
ln卯
设h（卯）＝“ˉ佩n绷’则h′（卯）＝1ˉln则＋2＝1ˉ2ln√万＋2＞1—2（√万ˉ1）＋2＝0（ln厕≤测
~厅
~~~厂□-＝
~尸-
2√鳃
2√卯
2√冗
＿1’卯＝l时取‘‘＝”’证略）
’
所以’当卿匡（0’l）时’h（卯）是增函数’h（卯）＜／l（l）＝l≤m;
当厕巴（1’＋的）时’h（卿）是增函数’h（卯）＞h（l）＝1≥m.
即m＝l。
综上所述’实数m的取值范围是｛l
｝.
88
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「第三章恒成立求参｜
［例7］已知函数／（则）＝则＋则ln则’若内巳Z,且k（厕—2）＜j（卿）对任意卯巳（2’＋由）恒成立’求
k的最大值
｜·解析0
法＿（分离参数＋隐极值点代换）
:
对任意厕巨（2’＋鲍）’∧（则ˉ2）＜／（则）可化为片＜d鱼1＝z＋卿ln厕
卯-2
卯-2
设g（卯）＝厕＋厕ln则
卯-2
％-2ln卯—4
’则g′（卯）＝
∑
＼
』
／
勺
～
卯
／
『
＼
’
∩
＞
勺
～
—
卯
］
~~
）
卯
（
′
∧
‖
贝
’
〃
斗
卯
Ⅱ
‖
勺
＝
卯
~~
）
卯
（
门
今
故h（卿）在卯匡（2’＋的）上是增函数’
且h（8）＝8-2ln8-4＝2（2ˉln8）＜0’h（9）＝9-2ln9-4＝5-ln8l＞0.
故存在唯一卿0巴（8’9）’使得h（卿0）＝卿0-2ln卯0-4＝0’即2ln卯0＝则0＿4.
故当卯巴（2’厕0）时’∧（狐）＜0’g′（卯）＜0’g（卿）在则巨（2’卿0）上是减函数;
当卯巨（卯0’＋的）时’∧（卯）＞0’g′（则）＞0’g（卯）在则巨（则0’＋鲍）上是增函数.
师0＋卯0ln卯0
故g（师）min＝g（卯0）＝
＞k（＊）’又2ln″0＝卯0-4’代入（＊）得’
卯（｝—2
胀＜g（鳃0）＝守巨（4,÷）’…最大值是」
法二（对数处理技巧＋分类讨论）
:
对任意卿巨（2’＋。。）,k（卿ˉ2）＜／（匆）可化为ln“＋丝＋（lˉ内）＞0
卯
’
…
＿
∑
卯
~~
叭
—
∑
卯
■
』
—
卯
~~
）
卯
（
′
吕
‖
贝
’
）
八
Ⅱ
（
＋
叭
—
卯
＋
卯
∏
］
~~
）
卯
（
吕
设
当2-2片≥0’即∧≤1时’g′（卯）＞0’g（卿）在卯巴（2’＋的）上是增函数’
g（则）min＞g（2）＝ln2＋1＞0’成立;
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′满分之路.导数］
『
｛
4.
当儿＞l时’令卿-2k＝0’解得嘶＝2k.
故当〃巨（2’2k）时’g′（厕）＜0’g（卿）在则巨（2’2k）上是减函数;
当卯巨（2k,＋的）时’g′（卿）＞0’g（则）在则＝（2k’＋四）上是增函数.
g（卯）min＝g（2八）＝ln2k-八＋2＞0’
令州（腮）二l＂2k—k＋2,偷′（k）二＋＿］＜0’∧（k）在∧巨（1 ,＋鲍）上是减函数’
又k巳Z’且h（4）＝ln8-2＞0’h（5）＝ln10—3＜0.
所以k的最大值是4.
法三（直接移项构造函数分类讨论）
:
对任意则巨（2,＋的）’k（则ˉ2）＜／（卿）可化为则ln卿＋（1ˉA）卯＋2k＞0.
设g（卯）＝卯ln卯＋（1-R）卯＋2∧’
则g′（厕）≡ln绷＋2ˉA匡（ln2＋2-A’＋吨）.
当k≤ln2＋2时’g′（卯）＞0’g（则）在卯巨（2’＋的）上是增函数’
g（则）min＞g（2）＝2ln2＋2＞0’成立;
当A＞ln2＋2时,令ln鳃＋2-A≡0’
解得卿＝e八—2’
故当鳃巨（2’e片ˉ2）时’g′（卯）＜0’g（卯）在则≡（2’ekˉ2）上是减函数;
当卯巨（ekˉ2’＋@）时’g′（卯）＞0’g（厕）在则巨（e片ˉ2’＋助）上是增函数.
g（卯）min＝g（eAˉ2）＝e片—2ln（e片ˉ2）＋（l-片）e∧ˉ2＋2片＝2∧-ekˉ2’
｛
今h（k）＝2k-eA—2’h′（k）＝2ˉekˉ2＜0’h（R）在∧巨（2＋ln2,＋的）上是减函数’
又∧巨Z’且h（4）＝8ˉe2＞0’h（5）＝1（）-e3＜（）.
所以k的最大值是4
雌j
.
.
.洲,霹;ˉ
ˉ
.
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忠.｝＝÷毒.-.ˉ
雕,
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…｛. .｛.←…一.
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审~审~!
…旷…悟＝拧悟…铲串插缉
↑十↑…一＝
↓｛〔妄二I
冰;
~
; 卯
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」第三章恒成立求参｝
［例8］已知对任意的卯＞0’不等式卯e2甄ˉ脑＿ln“ˉ1≥0恒成立’求实数k的取值范围
｜·解析0
法—（分离变量＋e狮≥卯＋1放缩）
对ˉ任意的“＞0’不等式则e2蛔＿脑ˉln绷ˉl≥0恒成立’
％e2鞭-ln卯-l
2蕊＋ln氮—（ln卯＋1）
e
等价于k≤
恒成立
~
~~
Ⅺ
几
■
由e躯≥则＋1（当且仅当卿＝（）时ˉ ’取等号’证明略）
’
●
）
口
丁
ˉ
等
取
’
时
∩
Ⅶ
~~
卯
Ⅲ
］
＋
卯
勺
▲
当
仅
ˉ
且
当
（
］
＋
卯
∏
］
＋
卯
勺
～
≥
卯
Ⅱ
■
』
】
〗
』
＋
卯
勺
～
巳
以
所
）
】
＋
卯
〗
Ⅱ
】
Ⅱ
／
＼
■
Ⅱ
＋
卯
∏
］
＋
卯
’
～
≥
）
］
＋
卯
］
Ⅱ
】
』
／
＼
冗
∏
］
＋
尤
勺
凸
巳
＝2,所以k≤2。
Ⅺ
卯
综上所述’实数R的取值范围为（ˉ鲍’2］
法二（分离参数＋隐零点估值与代换）
:
■
、
工
成
恒
‖
≥
］
勿
∏
］
卯
〗
″
勺
叁
勿
巳
卯
式
等
不
’
∩
·
＞
卯
的
意
任
ˉ
对
等价于k≤卯e2绷ˉln厕ˉ1＝e2氮＋ln则ˉ（ln则＋1）恒成立.
冗
卯
ln卯
■
Ⅱ
—
卯
冗
∩
兰
巳
~~
）
卯
（
自
设
卯
’
帅
—
∑
卯
＋
冗
勺
凸
巳
∑
~~
）
卯
（
′
吕
则
所以g′′（卯）＝4e2厕ˉ2ln师-l
4卿3 .e2则＿2ln狐＋l
3
＝
3
卯
勿
由于则＞0’所以e2″＞e0＝1 ’ln卯≤厕ˉ1（甲（卯）＝ln卯-则＋l’甲′（则）＝上
勿
—1
,
甲（卯）min≡甲（1）＝0）
9］
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~
］
＋
）
］
卯
］
（
∑
］
卯
泡
斗
＞
］
＋
尤
】
Ⅱ
】
Ⅱ
勺
▲
可
冗
勺
▲
巳
］
卯
甩
斗
~~
）
卯
／
［
＼
′
′
自
以
所
’
∩
＞
勺
〕
—
〕
＋
’
≈
—
】
▲
~~
冗
x
％
卯
所以g′（卿）在（0’＋的）上单调递增.
又g′（1）＝2e2＞0’g′（上）＝2e÷ˉe2＜2eˉe2＜0,
e
所以g′（卯）存在唯一零点’
设为腮0,且瓣＂匡（÷,｜）测2筐甄』十毕-0
卯0
l＋ln％0
所以g（卯）min＝g（购0）＝e2则0ˉ
卯0
’
《
Ⅲ
］
~~
·
卯
’
～
＋
○
％
∏
］
∑
＝
‖
Ⅲ
’
］
‖
—
＿
ˉ
ˉ
）
＾
‖
‖
％
酞
］
巳
【
∑
○
］
卯
＋
／
＼
‘
∏
勺
全
】
』
｜
今嘶;e2撼0＝‘＞0’则
则有ln则0＋2则0＝lnt-ln则0＝lntˉ（-2′）＝lnt＋2t.
因为h（卯）＝ln则＋2则为单调递增函数’
所以鳃0≡j,
∑
~~
Ⅱ
’
≈
＿
』
］
］
Ⅱ
~~
‘
’
～
＿
％
］
上
∑
％
~~
所以g（则）min≡g（卿0）
所以∧≤2
-92
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」第三章恒成立求参｜
2
［例9］已知函数／（躯）＝｜n2（l＋赃）ˉ六~
（1）求函数／（卯）的单调区间;
（2）若不等式（l十÷）…≤懂对任意的″eN＊都成立
求α的最大值.
（其中e是自然对数的底数）
’
｜·解析］
（l）函数／（卯）的定义域是（ˉ
／′（绷）＝2ln（l＋膊）
“2＋2＂
ˉ
′
｀沁／ˉ
1＋
l ’＋。。）
’
贝
〗
∑
卯
＼
‖
／
卯
＋
门
Ⅱ
／
＼
】
Ⅱ
］
）
卯
＋
］
（
〗
~
〃
（l＋勿）2
（l＋则）2
设g（卯）＝2（1＋卿）ln（l＋则）ˉ则2ˉ2卿’则g′（则）＝2ln（l＋＂）-2绷’
令州（鳃）＝2h（l十鳃）—2缆则″′（蜒）＝击—2二酝｀
-2卯
当ˉ1＜卿＜0时’h′（卯）＞0’h（厕）在（ˉl’0）上为增函数’
当则＞0时’h′（“）＜0’h（则）在（0’＋鲍）上为减函数.
所以h（则）在则＝0处取得极大值’而h（0）＝0’所以g′（则）＜0（则≠0）
’
故函数g（卯）在（—l’＋的）上为减函数.
于是当ˉ1＜“＜0时’g（卯）＞g（0）＝0’当厕＞0时’g（卯）＜g（0）＝（）’
所以’当ˉl＜卯＜0时扩′（卯）＞0’／（卯）在（ˉl’0）上为增函数.
当卯＞0时扩′（绷）＜0’／（卯）在（0’＋的）上为减函数.
故函数／（腑）的单调递增区间为（ˉl’0）’单调递减区间为（0’＋的）.
（2）不等式（l＋÷厂嫂≤e等价于不等式（＂＋侧）l＂（l＋÷）≤l,窗l＋＋＞l浆圃’
］
］
’
·
（
匡
制
』
—
几
~~
卯
元
换
∏
‖
α≤
l
~J
（l＋万
ln
）
l
l
ˉ—’绷巨（0’1］
’
卯
设G（卿）≡lII（1十JU）
｀
′
1
1
（l＋卯）ln2（l＋则）-〃2
则C′（卯）＝-
＋-丁＝呵
（l＋卯）ln2（1＋卯）
匆△
卯叁（l＋卯）ln2（1＋厕）
2
由（l）知,ln2（l＋财）ˉ六≤0』即（l＋卿）｜＂2（l＋鞭）ˉ撇2≤0’
所以G′（卯）＜0’卯巨（0’1］’于是G（则）在（0’1］上为减函数.
敏函数‘（翼）在（0’l］上的鼠小值为G（l）二六—l所以“的最大值为六ˉ1
93
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~~
习
练
→
们
＝
旱
′
■
●
l巳知函数／（财）＝财＂（l＿鳃）（躯＞0）且″为正整数求证:／（x）＜上
′〗e
■
』
析
解
●
证明:／（绸）＝卿厕（1ˉ则）（卯＞0）
’
则／′（绷）＝′l则′』—l （l—卯）ˉ鳃n＝绷″ˉl ［nˉ（′l＋l）厕］
令／′（鳃）＝0’得鳃＝
Ⅱ＿
〃＋1
’
所…（0’古）时,′′（狐）＞0扩（瓣）单调递增;
臆匡（古,…）时’′′（鳃）＜M狐）单调递减
■
Ⅱ
—
贩
＜
］
—
州
●
网
所以′（堑）≤／（☆）-（尚）
＼几＋l
1
）
＜了
（′』竿l
要证此式,只需证
两边同取以e为底的对数,
′l
得（′!＋］）
. ln
＜-l
.
几＋l
因为′l＋1＞0,
ln卯≤卯-1
令‖＝卯-1 偿ln（′＋l）≤t’
」
＿
州
＋
■
〗
』
＼
｀
‖
□
‖
‖
『
′
／
』
□
】
‖
□
｀
｀
∏
口
亏
］
）
等
］
取
＋
∏
时
（
以
○
所
仁
-l
）＜（″＋1）（
（
］
~~
＼
Ⅱ
｀
‖
』
Ⅱ
／
〃＋1
—94
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』第三章恒成立求参｝
■
Ⅱ
—
印
＜
「
刮
Ⅱ
—
卯
］
（
■
』
巳
●
巾
明
证
’
］
＞
几
设
■
∑
｜·解析
‖
「
■
】
几
］
（
＜
）
‖
』
—
卯
］
（
■
』
—
巳
于
价
等
‖
Ⅲ
酗
＜
勿
）
‖
』
—
卯
证明:上ˉ
e
（
］
卯
＼
〖
‖
□
‖
【
′
′
■
Ⅱ
—
卯
即上＜
e
（］
两边取对数得＿』＜（撕ˉl）｜n（l—＋）
｀
｀
□
〗
】
』
′
′
■
Ⅱ
＿
卯
■
】
』
′
Ⅱ
』
【
】
‖
□
｀
｀
］
Ⅱ
］
‖
贝
-1
＞卯-l.
今lˉ上＝〗巨（0’1）’转化为证:t巨（0’1）’ln‖＞lˉˉL恒成立.
卯
t
即证ln‖ˉ1＋上＞0在（0’1）上恒成立’
t
●
）
］
’
·
（
巨
〗
’
弓
』
—
‖
＋
］
′
】
【
】
Ⅱ
~~
）
』
（
β
令
则g｜（嘶）-＋〉-铲＜0,
所以g（t）在（0’l）上单调递减’g（t）min＞g（l）＝（）’
所以ln′—1＋上＞0在（0’1）上恒成立’所以原命题得证.
t
95ˉ
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~~
［例l0］设函数／（卿）＝e卿（2卯ˉl）ˉα卯＋α’其中α＜l’若存在唯＿的整数则0使得／（则0）＜0’则α
的取值范围是（
）
A｛ˉ壶｀l）
B｜ˉ贵｀÷）
C｜六,÷）
D｜犬,l）
~
.解析0
思略分析l :分离函数法
法—:设g（卯）＝e腮（2卯ˉl）’h（则）＝α卿-α’可转化成存在唯一的整数绷0’使得g（厕）＜∧（卯）
］
＿
刃
~~
允
得
’
∩
~~
）
卯
（
′
吕
今
’
）
］
＋
卯
勺
▲
（
冗
巳
~~
）
卯
（
′
吕
为
因
所以当则＜＿÷时,g′（翼）＜0’g（骡）在（—鹤,—÷）上单调递减;
l
ˉ可’…）上单调递增
（
在
）
卯
（
吕
’
∩
ˉ
＞
）
卯
（
′
吕
’
寸
日
］
—
∑
＞
卯
当
当则＝0时’g（0）＝-l’／l（0）＝ˉα.
因为α＜1 ’所以-α＞-l’所以g（0）＜∧（0）.
又因为存在唯一的整数则0’使得g（嘶）＜h（卿）
’
”｛;｝划1』‖
又阂为“＜｜,所以犬≤α＜L纹选u
思略分析2:分离函数法转化为函数交点问题
法二:由／（卿）＝e鳃（2则ˉ1）ˉα弧＋α＜0’得e厕（2卯-l）＜α卯-α’由题意可知存在唯一的整
数卯0’使得e躯0（2卯0-1）＜α（卯0ˉ1）.
％
~
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「霓三章恒成立求参0
此不等式可以看作是曲线g（则）＝e“（2则ˉ1）在过点（1’0）’且斜率为α的直线γ＝α（卯-
1）下方的部分在卿轴上的投影只包含唯一整数.
闺为g′（鞭）-窿霉（2叶1）,所以当＂＜—÷时’g′（x）＜0;当＂＞ˉ＋畸,g′（蜒）＞0
于曼凰（鳃）在獭＝÷处…小值,凰极｜值为—去
如图所示;
↓
结合图象可知’当α＝1时’y＝卿-1恰好是曲线y＝g（绷）在点（0’ˉl）处的切线.
设B（ˉl ’g（ˉ1））’C（0’g（0））
’
当α＜1时’直线γ＝α（赃ˉ1）绕定点C（0’-l）顺时针转动.
当曲线y＝g（卿）上的定点B（ˉ1’g（ˉ1））在直线y＝α（卯ˉl）上或上方时满足题意.
符合题意的唯一整数为0.
则α的取值范围为从直线AB的斜率到直线AC的斜率的左闭右开区间’
故-α＞g（0）＝ˉl’且g（ˉ1）＝ˉ3eˉl≥ˉα-α’
解得壶≤鹏＜L
即实数α的取值范围是［壶｀l）赦选I）
思略分析3:分离变量法转化为求函数最值
法三:由／（卿）＝e”（2加ˉ1）ˉα则＋α＜0’得e则（2卯-1）＜α（卿ˉ1）
显然卯≠1’于是有两种情况:
）
］
冗
’
≈
／
（
＼
卯
巳
当鞭＞l时.《』＞c｀（:fIl）;鳖鳃＜l时,侧＜
卯—l
97
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｛满分之路.导数］
令‘（鳃）＿嚼零（:笆T!）’』｜粤｛（腮）～橇）潭）｝吨｛（腮）～0得您-0巍氮-÷,
易彝‘（躯）在（—函,0）和（÷’＋酶）上单调递增,在（0’l）和（l’÷）上单调递减
e卿（2厕ˉl）
）
〕
—
∑
（
自
~~
Ⅲ
■
■
且
Ⅲ
）
卯
（
吕
’
时
］
＞
卯
当
）
］
（
3
~
＝4e2＞l,又α＜19故α＞
不成立.
卯-l
（2）封＜l时,g（獭）…＝g（0）二1 ,由题意知,不等式＂＜障霹（:1Tl）有且只有一个整数
解’即g（卯）在直线γ＝α上方的图象有且只有一个横坐标为整数的点’
可知’g（ˉ1）≤舰＜｜,解得壶≤舰＜1’且鳃0＝α
思略分析4:直接研究原函数的图象
法四扩（则）＝e躯（2卯-l）ˉα厕＋α’则／′（“）＝e撼（2卯＋1）一α
令g（卯）＝e“（2“＋1）-α’则g′（卯）＝e氮（2鳃＋3）
’
3
由g′（卯）＝0’得卯＝＿丁.
易婶g（鳃）在区闷（—国,—;）上单调递减,在（ˉ;’…）上单调递增’g（躯）咖＝
）
〕
—
∑
~
α
］
＿
∑
巳
∑
g（
~
冗
又因为卯—援＋的时’旦-今＋的,
卯
-勿
所以勿—沪-°°时’兰一＋＋的
-卯
1
所以绷→-。。时’e躯（2则＋1）＝2卯＋1
2＋—
卯—》0’
二＝
＝卯
-冗
e
e
-卯
所以则—除-鲍时ˉ ’g（加）→ˉα’
ˉ98
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』第三章恒成立求参｝
的
＋
’
〕
—
∑
（
巴
卯
●
●
厂
）
α
’
α
〕
＿
∑
●
勺
△
［
巨
）
卯
（
吕
’
时
）
〕
—
∑
’
切
（
巨
卯
以
所
）时ˉ’g（卿）
巨
）
的
＋
’
α
］
—
∑
巳
勺
～
［
3
~
ˉα≥0’即α≤—2eˉ2时′′（狐）≥0恒成立’
］
—
∑
巳
∑
~~
∏
□
■
〗
＝
Ⅷ
）
卯
（
自
当
）
］
（
故／（“）在R上单调递增’易知此时／（绷）巨R’
又因为／（0）＝ˉl＋α＜0’显然满足的整数有元数个（负整数）’不合题意
（2）当g（卯）min＝ˉ2e＿2ˉα＜0’即α＞-2eˉ2时
o当—侧≤0,即0≤α＜l时’疟（ˉ函’ˉ:）时,g（躯）＜0′厦戊立;
的
＋
’
∩
〕
—
勺
全
）时’g（鳃）二0有且只有ˉ个根’
′
（
因为g（0）＝1-α＞0’所以则巨
不妨设为您｜,又g（—l）＝÷ˉ“＜0’由零意存在定鲤知—l＜翼｜＜0
所以当卯巴（-由’卯1）时’g（卿）＜（）’
即／′（匆）＜0’故∧则）在（ˉ。。’则l）上单调递减;
当绷巨（绷l ’＋。°）时’g（卯）＞0’即／′（则）＞0’故／（卯）在（卯l ’＋。。）上单调递增
故／（“）min＝／（卯l ）
‖
或
］
取
巳
已
么
月
口
＾
○
卯
数
整
勺
白
∩
＝
＜
）
冗
∧
足
萌
■
■
』
■
‖
贝
’
＾
‖
＜
〗
卯
＜
］
又
又j（0）＝αˉl＜（M（l）＝e＞0’且／（狐）在（卯l ’＋的）上单调递增’故卯0＝（）.
又／（则）在（ˉ的’-1）上单调递减’要满足存在唯一的整数卯0使得／（卯0）＜0’
所以／（＿l）≥0,解喘≤铡＜l
四
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′满分之路.导数l
@当ˉ侧＞0,即—2臆—』…0时,当獭匡（—函,＿÷）时,g（躯）-0有且只有ˉ个榷’
不妨设为腮2’又g（腿）在区间（ˉ唾’—:）上单调递咸.
所以“巨（-鲍’卯2）时’g（卿）＞0’即／′（卯）＞0’故／（卯）在（-的’卯2）上为增函数;
）
∩
〕
—
’
＝~
时’g（溺）＜0,卵／′（躯）＜0,款／（腮）在（绷2′＿;）上为减函数
’
勺
＝
卯
／
′
■
』
■
‖
□
｀
｀
巳
Ⅺ
个
数
无
有
○
卯
数
整
的
∩
ˉ
＜
）
卯
趴
蔼
■
℃
」
■
时
七
止
＼
／
＼
／
∑
卯
（
／
′
“
（
巨
）
卯
（
／
’
时
）
〕
—
〗
的
（
所以卯巨
不合题意·
综上:六≤α＜L
思略分析5:通过特殊值探路’利用特殊值缩小参数的取值范围
法五:作为选择题’该题也可先找到满足／（卿0）＜0的整数则0’由卯0的唯一性列不等式组
求解.
因为α＜l’所以／（0）＝ˉ1＋α＜0’则卿0＝0.
又则0是唯一使／（卯）＜0的整数’
又α＜l ,且侧二÷时符合题意
…
～
］卯
!
＝←｜
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膘三章恒成立求参｝
第03讲端点效应
因知识纵横
l.端点分析的原理
端点分析是常见的含参函数的处理技巧’以l个典型的恒成立问题为例:已知含参可导函
数∧厕）对任意则巨D’都有∧卯’α）≥0恒成立.
linl／（卯）≥0’
｜雨′｀哪ˉ＂
x
步＋■
这种得到命题成立的必要条
（l）若D是形如（m’＋由）的开区间’那么就有
件的作法称为第I类端点分析;
常考形式:如果／（m’α）’则由／′（m’α）≥0得到必要条件’再证明必要条件是充分条件
（寻找矛盾区间）.
（旧…们蹦德瓢…—个≮
（2）若D是形如［m’〃］的闭区间’那么我们有
致范围,即命题成立的必要条件’这种作法称为第I类端点分析.
常考形式:
如果／（m’α）＝0,则由／′（m’α）≥0得到必要条件’再证明必要条件是充分条件（矛盾区间）;
如果／（″’α）＝0’则由／′（n’α）≤0得到必要条件’再证明必要条件是充分条件（矛盾区间）.
（3）有时命题并不—定是上述的特殊形式（下—讲隐极值点代换）’但是自变量取边界值和
某些特殊但时’不等式都成立’由此可以得到—些关于参数的不等式’缩小参数的范围’
有效地减少讨论.端点情况出发’去揭示通过＿些必要条件缩小参数范围确定讨论的
分界点这种方法的威力.为了简便’本讲选择的例题中’缩小后的参数范围就恰好是所
求的范围’虽然这看上去很巧但事实上’在大部分这类问题中’我们遇到的情况都是
如此
2.会利用端点分析技巧基本步骤处理复杂的存在性及恒成立问题（看例题解析）
.
］O］～｝＃
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［渡分之路. 导数1
~~
O典例剖析
［题型1
第I类端点分析］
［例1l］已知函数∧师）＝e2膊ˉα卯.
（1）讨论／（卿）的单调性;
（2）当卯＞0时’／（卯）＞α卿2＋1 ’求α的取值范围
·解析0
（l）／（卯）＝e2躯ˉα卯／′（卯）≡2e2绷—α’
@当α≤0时旷′（卯）＞0′（卿）在R上单调递增;
@当侧＞0时,令／′（撕）二0’解得瓤＝告｜＂:,
所以当露匡（—鹤,告!n:）时,′′（鳃）＜M鳃）在（ˉ鳃,÷m÷）上单调递减;
当蛹匡（＋h÷…）时′（鞭）＞M氮）在（÷｜＂÷,十鳃）上单调递增
综上所述,
当α≤0时扩（卯）的单调递增区间为R;
当“＞0时沁）约单碉递减区间为（ˉ函’÷｜＂:）’单调递增区间为（÷l＂:
（2）／（卿）＝e2“ˉα则＞α卯2＋］变形为e2甄—α厕2ˉα卯ˉ1＞0.
设g（则）＝e2箍—α则2-α则—1’g（0）＝0’
g′（卯）＝2e2颠ˉ2α卯ˉα’g′（0）＝2ˉα’
处理方案一
g″（卯）兰4e2绷-2α＝2（2e2鳃-α）’g″（厕）在（0’＋。°）上单调递增’
当卯＞0时’e2躯巳（l ’＋。°）’g″（卯）巴（4-2α’＋呻）.
情形一（端点效应）
当4-2α≥0时,即α≤2.
）
’＋的
］02
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1第三窜恒成立求参｜
当卯巨（0’＋的）时ˉ’g″（绷）＞0’g′（卿）为增函数’g′（卯）＞g′（0）≥0’g（则）在（0’＋的）上单
调递增’
所以g（卯）＞g（0）＝0成立’原不等式成立;
情形二（矛盾区间）
当4—2α＜0,即α＞2时,
令g′′（鳃）＝2（2懂鳃ˉ侧）＝0,解得鞭＝＋l＂;’
当箍匡（0’÷mi）时,g｛（x）＜0,g′（鞭｜
单调递减’
所以g（卯）＜g（0）＝0与已知矛盾.
综上所述’α的取值范围是α≤2.
处理方案二（分离参数）
令蔚｛（鳃）＿0｀可得侧-荔
设腮（甄）揣～＂』h′（蜒）≡（尝害）Ⅺ
时’g″（狐）＜0’g′（则）为减函数’g′（卯）＜g′（0）＜0’g（则）在（0’＋由）上
当卯＞0时’h′（卯）＞0’h（则）在（0’＋的）上单调递增’
...h（则）的值域是（2’＋的）.
当α≤2时’g′（则）＝0没有实根’g′（卯）＞0’
g（则）在（0’＋鲍）上单调递增’g（绷）＞g（0）＝0’符合题意
当α＞2时’h（0）＝2＜α’
所以h（鹏）-羔-α有唯一实根鳃＂＼
即g′（卯）＝0有唯一实根卿0’
所以当卯巨（0’绷0）时’g′（卯）＜0’g（缅）在（0’绷0）上单调递减’g（厕）＜g（0）＝0’不符合
题意.
综上所述’α的取值范围是α≤2.
］O3—
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满分之路·导数l
［例l2］若对任意的腮巨［0,＋函）,不等式（狐＋｜）l＂（躯＋｜）—÷α撼』ˉ侧腿≤0恒成立,求实数（′
的取值范围
·解析0
令g（蹦）＝（腮＋!）ln（憋＋｜）ˉ＋α鞭2—α苑,g（0）＝0’
台
g′（卯）＝ln（卿＋1）＋lˉα绷ˉα’g′（0）＝lˉα’g″（绷）＝—上ˉα.
卯＋l
方法ˉ;g′′（翼）＝击—α为减函数’且亩匡（0,l］,g′（腮）匡（—o,l—′′］
（l）当1—α≤0时’即α≥1’在卯巨［0’＋的）上’g″（则）≤0’g′（卯）为减函数’则g′（卯）≤
g′（0）＝lˉα≤0,故g（″）为减函数’g（卯）≤g（0）＝0’符合题意;
（2）当ˉα≥0时’即α≤0’在卯巨［0’ ＋的）上’g″（卯）≥0’g′（卯）为增函数’则g′（则）≥
g′（0）＝lˉα＞0’故g（卯）为增函数’g（卯）≥g（0）＝0’不符合题意;
（3）誉0…l时’令g′′（鳃）＝击—“＝0,解得鳃＝＋＿L
所以在x匡（0｀÷ˉ｜）上,爵′（憋）＞0,g′（腮）为增函数,则g′（x）≥g′（0）＝1ˉα＞0,故g（躯）
为增函数’g（卯）≥g（0）＝0’不符合题意.
综上所述’α≥1。
方法二;g′′（鞭）＝击＿仰＝ˉ侧罚十1（目标函数为—…＋1ˉ次型）
设h（″）＝ˉα卯-α＋l.
判断导数根:
（l）当ˉα≥0’即α≤0时’在卯巨［0’ ＋的）上’g′′（卯）≥0’g′（则）为增函数’则g′（则）≥
g′（0）＝l-α＞0’故g（＂）为增函数’g（卯）≥g（0）＝0’不符合题意;
（2）当α＞0时’今g″（卯）＝0’解得则＝上ˉl.
α
导数根划分定义域:
｜情形ˉ当÷—｜≤0’:′＂≥｜时’在“.［0, ＋霹）上’g′（鳃）≤0,g′ （蜒）为减函数,则
g′（绷）≤g′（0）＝1ˉα≤0’故g（则）为减函数’g（卯）≤g（0）＝0’符合题意;
情形二当÷—l＞0’靡0＜″＜l时,在鞭匡｜0’÷—l）上,g′′（熊）＞0,g′（露）为增函数,则
g′（卯）≥g′（0）＝1—α＞0’故g（卯）为增函数’g（则）≥g（0）＝0’不符合题意.
综上所述,α≥1
］凹
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l第三章恒成立求参｜
［例l3］
（2015 .盲雪山东卷）设函数／（卯）＝ln（卯＋1）＋α（卿2-“）’其中α巨R
（］）讨论函数／（则）极值点的个数’并说明理由;
（2）若γ″＞Q／（卯）≥0成立’求α的取值范围
·解析0
（1）由题意知’函数／（则）的定义域为（-l’＋的）
’
′′（腿）＝击十酗（2露ˉl）＝2呻』十…十l
卯＋1
今g（厕）＝2α卯2＋α卿-α＋1’卯巨（ˉl’＋。。）
o当α＝0时’g（卿）＝1＞0’
此时／′（卯）＞0’函数／（卯）在（ˉl’＋的）上单调递增’无极值点;
@当α＞0时’△＝α2-8α（lˉα）＝α（9αˉ8）
（i ）当0＜α≤:时,d≤0,
g（则）≥0扩′（则）≥0’函数／（厕）在（＿l’＋的）上单调递增’元极值点;
’
＾
‖
＞
△
’
时
日
—
’
＞
α
当
｀
｀
〗
′
′
■
■
■
■
丛
■
■
■
■
旦
／
′
【
｀
｀
）
∑
卯
＜
］
卯
／
＼
∑
卯
’
］
卯
为
良
十
两
勺
白
○
~~
］
＋
α
卯
α
＋
∑
卯
α
勺
▲
程
方
设
●
＾
‖
凹
’
＞
◎
＞
］
＿
ˉ
］
~~
｀
已
）
′
●
】
∏
＼
‖
‖
‖
‖
′
／
］
—
∑
／
‖
｀
／
′
【
‖
‖
‖
＼
召
吕
｜
为
因
又
’
］
＿
斗
~~
卯
为
由
车
称
对
1
1
所以ˉ1＜卯l＜—可＜卯2＜丁.
O5
｜
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.满分之路.导数［
所以’当厕匡（ˉ1’卿｜）时’g（腮）＞0’／′（卿）＞0’函数／（卿）单调递增;
当卯巳（卯l ’卿2）时’g（则）＜0扩′（卿）＜0,函数／（卯）单调递减;
当卯巨（卿2’＋。°）时’g（卯）＞0’／′（则）＞0’函数／（厕）单调递增.
因此’函数有两个极值点.
o当α＜0时ˉ ’△＞0.
由g（—l）＝1＞0’可得厕l＜-1.
当“巨（ˉ1’则2）时’g（则）＞0旷′（厕）＞0,函数／（卿）单调递增;
当财巨（卿2,＋。°）时’g（绷）＜（）’／′（绷）＜（）’函数／（则）单调递减.
所以函数／（卯）有一个极值点
综上所述,
当α＜0时’函数／（卯）有一个极值点;
当0≤侧≤:时,函数／（鳃）无极值点;
当o＞:时,函数′（翼）有树个极值点
（2）由（1）知’
@当0≤α≤:时,函数∧缆）在（0,十函）上单调递增’
因为j（0）＝0’所以绷巨（0’＋的）时熙／（则）＞0’符合题意
］比
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」第三章恒成立求参｝
@鉴:＜α≤l时,由凰（0）≥0,得露2≤0’
所以函数／（厕）在（0’＋的）上单调递增.
又／（0）＝0’
所以则巨（0’＋鲍）时’／（匆）＞0’符合题意
◎当α＞1时’由g（0）＜0’可得则2＞0.
所以卯巨（0’卯2）时’函数／（狐）单调递减.
因为／（0）＝0’所以匆e（0’则2）时,∧绷）＜0’不合题意
@当α＜0时’设h（匆）＝则ˉln（卿＋l）.
因为鳃巨（0’＋°。）时’h′（鲸）＝lˉ上了＝二了＞0,
％＋1
勿＋1
所以h（卯）在（0’＋鲍）上单调递增
因此’当卯e（0’＋的）时’h（卯）＞h（0）＝0,
即ln（卯＋1）＜厕
可得∧卯）＜绷＋α（卿2ˉ卿）＝α腮2＋（1ˉα）卯’
’
∩
γ
＜
卯
）
α
］
（
＋
句
≡
卯
α
’
ˉ
时
■
』
—
α
］
＞
卯
当
此时∧卿）＜0’不符合题意.
综上所述’α的取值范围是［0,1］
｛O7
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｜满分之路.导数［
［例l4］（2017 .全国二摸）已知函数／（“）＝sin则
2
（1）当腮＞0时证明;／′（绷）＞lˉ÷;
凸
（2）若当甄匡（0』;）时′（x）十儡＞“鳃恒成立＼求实数侧的取｛直范围
·解析0
（l）证明:／（卿）＝sin卯’则／′（“）＝cos匆’
2
2
设g（箍）＝／′（躯）＋÷—l＝co…÷ˉl》g（0）＝0,
则g′（卿）＝ˉsm卯＋则＞0（证略）’g（卯）在（0’＋的）为增函数’故g（厕）＞g（0）＝0
2
所以,当躯＞0时’／′（腮）＞l—÷
（2）凿露匡（0,:）畸√（琢）带船……,等价于愚m……＞0恒咸立,
设／l（卯）＝sin狐＋tan则-酗’／l（0）＝0’
1
则h′（卯）＝cos卯＋
-α’卯巨
2
COS卯
’
＼
‖
‖
‖
′
／
∏
—
’
＝
’
）
（
（
令‖＝cos卯匡（0,1）
,
设帜（』）＝』＋＋,则帜′（《）＝lˉ÷＜0,
t
′
所以p（t）在（0’1）上是减函数’@（j）＞甲（l）＝2’即@（t）匡（2’＋的）
’
所以h′（勿）巨（2-α’＋的）
当2ˉ侧≥0,即α≤2时.h′（茹）＞″（0）＝2ˉ侧≥0’偷（撼）在腮匡（0,:）上为增函数’
故h（缅）＞h（0）＝0’符合题意;
当2-α＜0时’即α＞2’
′｜′（鳃）-…丽盂＿憾＞雨＿侧-0,裔在唯＿瓣｜有…汁得″（鳃｜）＞（1
1
1
所以存在唯一卿0巨（0’卯1）’使得h′（卿0）＝0.
所以则巨（0’卯0）’h′ （厕）＜0,／l（绷）在卯匡（0’卯0）上为减函数’h（卯）＜h（0）＝0’与条件
矛盾.
综上所述’α的取值范围为（ˉ鲍’2］.
］08
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」第三章恒成立求参｝
［题型2第Ⅱ类端点分析］
［例15］已知匆＞0时’e厕＋αln（1-卯）-l＜0恒成立’求实数α的取值范围
∏
』
析
解
●
设／（则）＝e绷＋αln（1ˉ勿）ˉ1＜0’则巨（0’1）’且∧0）＝0’问题转化为证∧卯）＜／（0）
（1-厕）.e鳃ˉα
~~
α
＿
…
冗
巳
~~
）
卯
（
′
／
（目标函数为（1-绷）.e鳃-α）
1-卯
设h（则）＝（lˉ绷）.e躯-α’则h′（卯）＝（-匆）.e鳃＜0’h（卯）在〃巨（0’1）上为减函数’
所以h（″）巨（h（1）,h（0））＝（ˉα’1ˉα）’
当lˉα≤0’即α≥1时’h（绷）＜0扩′（卯）＜0抓忽）在勿巳（0’1）上为减函数’
所以∧卯）＜∧0）＝0’符合题意;
当ˉα≥0’即α≤0时’h（厕）＞0旷′（狐）＞0’／（卯）在卯巨（0’1）上为增函数’
所以∧卯）＞∧0）＝0’不符合题意;
｜‖‖工（;‖~
当0＜α＜l时’
所以存在唯一卿0e（0’1）’使得h（绷0）＝0’
所以’当则巨（0’卯0）时ˉ,h（厕）＞0旷′（“）＞0’／（匆）为增函数√（鳃）＞／（0）＝0’不符合题意.
综上所述’α的取值范围为［1’＋的）
｀
《
伞
＋
｛
『
γ
十
｝
｛
厂
←
『
｛
谬
《
卜
胎
｛
↑
｛
萨
卜
卜
』
。
§
｝
~
的
‖
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「满分之路.导数｛
sIn卯
［例16］已知函数∧卯）＝2＋cos勿
（1）求／（则）的单调区间;
（2）如果对任意则≥0’都有／（卯）≤α卯’求α的取值范围
可
』
析
解
●
（1）／′（施）＝（2＋cos厕）cos卿ˉsln卯（—sin卯）
2cos绷＋1
（2＋cos卿）2
＝（2＋cos厕）2
●
·
厂
＾
‖
＞
）
％
（
′
旷
寸
日
）
∏
巳
儿
（
和
—
〕
＋
∏
∏
〃
’
≈
＜
卯
＜
和
—
〕
∏
人
∑
′
目
’
］
—
】
＞
卯
吕
○
℃
当
∩
＜
）
卯
（
扩
时
）
∏
巨
了
″
（
输
—
〕
＋
∏
∏
亢
’
≈
＜
卯
＜
浙
—
］
＋
∏
八
∑
日
『
’
］
—
∑
＜
卯
○
℃
吕
当
阎此∧躯）在区间（2肺ˉ宁,2肺＋芋）（账eZ）上是增函数
∧鳃）在区间（2帐丽＋芋’2k丽＋等）（k匡z）上是减函数
（2）对任意卯≥0’都有／（绷）≤α卯’等价于α卯ˉ／（卯）≥0.
令g（卯）＝α卿ˉ／（则）≥0’且g（0）＝0
2cos卯＋1
3
2
则g′（厕）＝αˉ （2＋cos豹）2＝α＋
●
（2＋cos则）2
2＋cos卯
ˉ＋’l｜,
｜＋’l｜
1
今』＝2＋cos卯
巨
｜
勺
°记u＝3′鱼-2t巨
］
＋
α
’
］
—
〕
α
｜
巨
）
卯
（
′
自
故
｜
当侧ˉ＋≥0,即馏≥＋时,g′（愿）≥0,g（狐）在蜒匡［0,…）上为增函数,
又g（0）≡0’
］］O
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』第三章恒成立求参｜
所以当卯≥0时’g（则）≥g（0）＝（）成立’
即对任意绷≥0’都有∧卯）≤“;
当α＋1≤0’即α≤—1时’g′（卯）≤0’g（卯）在则巨［0’＋鲍）上为减函数.
又g（0）＝0’
所以当“≥0时’g（则）≤g（0）≡0与已知矛盾;
l
当ˉ1…＋时,鞭巨（0’∏）’为…的ˉ个单调减区间,蔽≡
在厕e（0’∏）上为增
2＋cos卯
函数’
又＂＝3／ˉ2‘在』匡｜＋’1｜上为增函数’
［）‖二打~
所以g′（则）在厕巴（0’∏）上为增函数’且
所以存在唯一则0匡（0,而）使得g′（卯0）≡0’
所以’当厕巨（0’卯0）时’g′（匆）≤0’g（则）在勿匡（0’“0）上为减函数’
又g（0）＝0’
所以当厕巨（0’卯0）时’g（则）≤g（0）＝0与已知矛盾
综上所述’α的取值范围是［＋.＋＝）
~ ~
］］］
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｜满分之路.导数l
［题型3有效点探路］
［例17］已知函数／（狐）＝lnα卿＋b腑在点（1讽1））处的切线是γ＝0.
（l）求函数／（则）的极值;
（2）当窖刁鳃）带罕甄（枷≤0）慢成立时求实数厕』的耿值范圈
~
·解析］
析
（1）／（厕）＝lnα卯＋6匆’则／′（卯）＝上＋b’
卯
≡←—≡＝←↓
ˉ7ˉ←≡←卜｛
丰二二二｛
兰详武刁
÷-狰—＿｛
亡匠仁豆｛
支二闻＝口
所以／（卯）＝lne绷ˉ卵扩′（刻）＝ˉL＿1’令／′（卯）＝Lˉl＝0’解得腮＝］
卯
卯
桂
＝
所以’当卯巨（0’1）时’／′（卯）＞0讽则）在“匡（0’l）上单调递增;
当卯匡（1’＋的）时熙／′（则）＜0鳃／（厕）在厕匡（l’＋的）上单调递减.
所以当卯≡1时肌则）取得极大值0’元极小值.
（2）必要性探略:令厕＝l ’得1-e≤m＜0;
充分性证明:
陶（｜何…≡0｀戳艇窖＝∧鞭）辩午瓣（榔≤0）…露涯堕＝1二＝
e勿
e
~
~~
幸■
→
（′Ⅶ＜0）
’
所以当l＿…＜0时,等罕≥罢午ˉ哪ˉ（:—瞳）≥0（捶…咯）
另证:当1-e≤m＜0时,
勺
2
凸
l-e
″〗卯
∏〗卯
l-e
-lne卯＋卯-＿卯＝
＝ln卯-1＋勿-—匆
e
九
Z
e
e
e
2
l-e
m卯＝（卯ˉ1）ˉ1＋厕ˉ
豹
≥
e％
e
勿
巳
巳
］
″
—
巳
~~
＝垒（m-（1—e））≥0
e
综上所述,m的取值范围为1-e≤m＜0
］］2
-…宁
＋…同●
P.…十- 气十声→同
二
÷岿」≡k…←翱
』
!
〖
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』第三章恒成立求参｝
三章
3
［例l8］已知函数∧蜒）＝sin＂＋÷ˉ′则‘
（1）若／（卯）在［0’＋的）上单调递增’求实数m的取值范围;
（2）若对γ则巳［0’＋的）’不等式sin绷-cos则≤eα鳃-2』怔
范围.
则-cos则≤eα鳃-2恒成立’求实数α的取值
.解析0
2
（l）由题意得／′（鹏）＝…＋÷＿〃』’因为／（憋）在［0』＋唾）上单调递增,
所以／′（则）≥0对V卯巨［0’＋的）恒成立
2
卯
设g（卯）＝cos匆＋丁ˉm’则g′（狐）＝—sin卿＋卯≥0（证咯）
’
所以g（卯）在［0’＋由）上单调递增’所以g（卿）min＝g（0）＝1ˉm≥（）’解得′＂≤1·
故m的取值范围是（ˉ酌’1］.
（2）对V卯巨［0’＋的）’不等式sin绷ˉcos卯≤e哑ˉ2恒成立’等价于e吨ˉsin卯＋cos绷ˉ
2≥0恒成立.
设∧（卯）＝eα随-sin卿＋cos则ˉ2’h（0）＝0’
T
~
＝e2α-3≥0’得α＞0.
必要性探略;h（号）
则h′（匆）＝αeα卿-cos卿ˉsin财’h′（0）＝αˉ1’
当α≥1时’h′（卿）＝αeα卯—cos卯ˉsin卯≥e躯ˉcos绷ˉsin师≥（1＿cos匆）＋（卯ˉsin则）≥0’
所以／t（卯）在卯巨［0’＋的）上为增函数’h（卯）≥h（0）＝0’满足题意;
当0…l时〃（x）＝侧:e……ˉ…在（0’÷）为增函数,
又″（0）二α2＿l＜0,″（÷）二硼2嚎锰＋l＞0’
所以存在唯—蜒＂巨（0｀苦）’使得″W＝0’
所以师巳（0’卯0）’∧′′（绷）＜0’h′（卯）在卯巨（0’卯0）上为减函数’h′（卯）＜h′（0）＝αˉ1＜0’
h（卯）在卯巨（0’卯0）上为减函数’h（则）＜h（0）＝0’与条件矛盾.
综上所述’α的取值范围为［l’＋的）.
｛］3
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』满分之路.导数l
［例l9］已知函数／（赃）＝ln卯’g（则）是／（卯）的反函数.
（l）求证; 当甄≥0时抓叶l）≥—券2…
（2）若g（卵）＋g（-卿）≤2g（加卯2）对任意卯巳R恒成立,求实数m的取值范围
｜·解析0
’
卯
】
卯
］
—
∑
＋
）
］
＋
卯
（
∏
］
~~
卯
∑
］
彭
＋
）
］
＋
冗
∧
~~
）
卯
（
］
／
设
）
］
（
2
则″（测）≡六＋测—l二六≥0（厕≥0）,
所以h（卿）在［0’＋鲍）上单调递增’
所以h（厕）≥h（0）＝0’即当“≥（）时,h（卯）≥0
1
2
综上所述’当则≥0时讽厕＋1）≥ˉ了＋厕成立.
（2）因为函数／（卯）＝ln卯’g（卯）是／（厕）的反函数’
所以g（卯）＝e氮’
2
则g（卯）＋g（-匆）≤2g（m卿2）等价ˉ于e露＋eˉ厕≤2em甄
’
2
即2em如
匆
-氮≥0
-e—e
2
设F（卯）＝2em膊ˉe卿ˉe＿厕’注意到F（绷）为偶函数’问题转化为对卯巨［0’＋由）’F（卯）≥0
恒成立.
1
必要性先行:F（1）＝2em—e-—≥0’得′厕＞0
e
2
F（卯）＝2e吨ˉe鳃-eˉ购’F（0）＝0’
2
则／′（卯）＝4m则em〃
ˉe厕＋eˉ鳃旷′（0）＝0’
］］4
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」第三章恒成立求参｝
■
F″（绷）＝4″l（1＋2″!“2）em颠2-e卿ˉeˉ鳃’F′′（0）＝4′′l-2’
又4″』（1＋2m｀’2）em鳃2在卯巨［0’＋。。）上为增函数’且e厕＋e＿则≥2’故
当4狮ˉ2≥0,即哪≥÷时,
F″（则）＞0旷′（厕）在卯匡［0’＋的）上为增函数’
故／′（卯）≥／′（0）＝0’F（卯）在卯巨［0’＋的）上为增函数’F（厕）≥F（0）＝（）,符合题意;
当0…÷时,′′′（0）＜0’又觅→…时’F（瓣）→＋″
下面运用零点存在定理估值:
′（荒）-4卿（l＋2＂（湍）2）臆卿（÷）:—e÷—＂—÷＞0（找｝慧′′（嘶）＝4狮（l＋2″2）懂吨』ˉ
■
』
加
~~
卯
得
％
~~
旦
卯
加
‖
贝
·
＞
‖
儿
冗
巳
气
名
见
Ⅲ
巳
∑
卯
∑
加
β
＞
卯
巳
冗
巳
）
所以至少存在ˉ个鞭腿匡（0,揣）’使得′′』（甄愿）＝0’
则
’
‖
勿
为
占
…
零
的
近
最
‖
离
己
℃
刁
阳
矿
购巨（0’卯0）’F″（卯）＜0,／′（匆）在卿巴（（）’则0）上为减函数’故／′（绷）＜／′（0）＝0’F（匆）在
绷巨（0’卯0）上为减函数’F（加）＜F（0）＝0’不符合题意
综上所述,实数『鹏锄取值范圈为｜÷, 荆ˉ＝）
］］5
~
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0
■拦
跨萨帘
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～
｜满分之路.导数l
第04讲隐极值点代换
回知识纵横
｛
1.导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断’而函数的单调性与其导函数的
零点有着紧密的联系,可以说导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计是导数综合应
用中最核心的问题导函数的零点’根据其数值计算上的差异’可以分为两类:一是数值
上能精确求解的’不妨称为“显零点” ;另—类是能够判断其存在但无法直接表示的’不
妨称为“隐零点” .对于隐零点问题’由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象填密的逻辑判
断和巧妙的不等式应用’对学生综合能力的要求比较高’往往成为考查的难点
2.隐零点题型
（1）隐零点的存在判断;
（2）隐零点的虚设和代换;
（3）隐零点的数值估计.
3.隐零点代换的基本步骤
］］6
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『第三章恒成立求参｝
◎典例剖析
［题型l
隐极值点代换］
［例20］隐极值点代换之降次
（20l2裔…纲…餐）已知函数′（撼）＝寺』十翼2＋α“
（1）讨论／（厕）的单调性;
（2）设／（“）有两个极值点卯l ’卯2’若过两点（厕l′（厕1
）
）
’ （则2／（卯2））的直线／
k
与卯轴的交点在曲线y＝／（则）上’求α的值
·解析0
（1）／′（卯）＝匆2＋2厕＋α’△＝4-4α.
@当△＝4ˉ4α≤0’即α≥l时′′（卿）≥0√（卯）在R上是增函数;
@当α＜1时′′（则）二0’有两个根卿l＝—1ˉ√I＝万’绷2＝—1＋√『＝顶
■
·
尸
数
函
增
曰
正
）
卯
∧
’
）
（
＞
）
勿
（
′
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时
刁
江
］
’
由
（
巨
卯
当
当腮匡（ˉ1ˉ√iˉ＝顶’ˉ1＋√Iˉ＝顶）时扩′（厕）＜0’／（“）是减函数;
当卯匡（ˉl＋√iˉ＝而’＋酌）时扩′（匆）＞0’／（卿）是增函数.
（2）由题设知’则l ’卯2为方程／′（厕）＝0的两个根’
2
故由（l）有α＜L躯｝＝ˉ2卿1ˉα’鳃’＝ˉ2嘶’ˉα.
＝
1
1
3
2
2
因此／（卯l）＝了“l＋厕l＋α卿l＝了宛l（ˉ2则lˉα）＋卿l＋α卿l
二丁撼1＋丁“腮｜＝＋（ˉ2鹏!ˉ＂）ˉ÷“』
l
2
2
7
二;（α—1）鳃」ˉ÷
~~
］］7 ~~
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』满分之路.导数l
α
—
句
◎
∑
卯
）
】
（
勺
～
～
勺
〕~~
＼
／
∑
卯
（
旷
理
同
凰此直线《的方程为y二÷（感ˉl）氮ˉ;
设!与则轴的交点为（卿0,0）,将点代入′得,腮0＝2（α坐l）
因为点（卯0’0）在曲线y＝／（鳃）上’
敛／（瓣0）＝＋｜2（铡｛｜）｜』＋｜2（α1l）「＋2（′il）
●
～
24（;—l）』（l2侧2
—17α＋6）＝0,
~~
〕
—
斗
~~
α
或
〗
—
〕
~~α
或
∩
γ
~~
α
口
寸
｛
解
［例2l］隐极值点代换之幂函数代换指＼对函数.
（2012 .高者踩标全国卷）设函数／（卿）
＝e鳃—α卿ˉ2.
（1）求／（匆）的单调区间;
（2）若α≡1 ’k为整数’且当卯＞0时’
（卿-片）／′
（则）
＋则＋1＞0’求k的最大值
｜.解析
0
（l）／（卯）的定义域为（ˉ鲍’＋鲍）√′（″）＝e鳃＿α.
若α≤0’则／′（卯）＞0,所以／（卯）在（ˉ酌’＋的）上单调递增.
若α＞0’令／′（勿）＝e“-α＝0’得腮＝lnα.
则当绷巴（-由’lnα）时旷′（卿）＜0;当卯匡（lnα’＋的）时’／′（“）＞0.
所以鳃／（卵）在（—的’lnα）上单调递减’在（lnα’＋的）上单调递增.
综上所述,
当α≤0时鬼／（卯）的增区间为（-由’＋的）
;
当α＞0时√（卯）的减区间为（-四’lnα）’增区间为（lnα’＋的）.
］］8
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l第三章恒成立求参｜
（2）法-（分离参数＋隐零点估值及代换）
:
由于α＝1 ’由（1）可得’（则-k）／′（卯）＋卯＋1＝（卯ˉ儿）（e绷ˉl）＋卯＋1
故当加＞0时’（卯ˉk）／′（卿）＋狐＋l＞0等价ˉ于八＜卫＿±L＋卯（卯＞0）’@
e匆-l
（王∩l刊-雷（e霹—鳃ˉ2）
（e腮-l）2
~~
）
勿
（
′
彦
则
’
卯
＋
州
＿
淘
~~
）
卯
（
自
令
由（1）知’函数h（绷）＝e鞭-卯ˉ2在（0’＋的）上单调递增
而h（1）＝eˉ3＜0’h（2）＝e2-4＞0’
所以h（卿）在（0’＋的）上存在唯一的零点’故g′（卿）在（0’＋的）上存在唯一的零点
设此零点为”0’则绷0巨（l’2）.
当卯巨（0’肛0）时,g′（卯）＜0’g（卯）为减函数;当卯巳（厕0’＋的）时’g′（绷）＞0’g（厕）为增函数
所以g（“）在（0’＋。。）上的最小值为g（绷0）
又由g′（″0）;二0’可得e躯0＝卯0＋2’
所以g（绷0）＝厕0＋1巨（2’3）
由于@式等价于ˉ∧＜g（卯0）’故整数k的最大值为2.
法二（分类讨论求最值）
由于α＝1 ’由（l）可ˉ得’（测ˉk）／′（卯）＋则＋1＝（则ˉ片）（e颠ˉl）＋“＋1
故当厕＞0时,（卯-片）／′（“）＋卯＋1＞0等价于／l（绷）＝（卯-k）（e绷-1）＋绷＋1＞0恒成立’
即h（卯）min＞0
h′（卯）＝（卿ˉ∧＋l）e厕.
当-k＋l≥0’即k≤l时’h′（“）＞0恒成立’h（卿）在（0’＋的）上单调递增’h（卯）＞／l（0）＝
1＞0’符合题意;
0
］］9
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←
壬
十
、＋
←
＋
干
0＝
←
■卜宁
→
■←
→
＋
｜满分之路.导数‖
当-∧＋l＜0’即内＞1时’由h′（则）＝（卯ˉ∧＋l）e厕＝0’得则＝A-1’
则当厕匡（-切’∧ˉ1）时’′l′（匆）＜0;当卯巳（∧ˉl’＋的）时’h′（匆）＞0
所以力（厕）在（ˉ的’Aˉ1）上单调递减’在（kˉl’＋的）上单调递增.
所以h（则）min＝力（儿ˉl）＝A＋l-e∧ˉ1.
所以／l（则）min＞0转化为关于片的不等式片＋1-ekˉl＞0.
设甲（k）＝k＋1-e人ˉ1 ’则中′（内）＝1ˉe片＿1＜0’
所以甲（儿）在（l ’＋的）上单调递减.
且@（2）＝3ˉe＞0’甲（3）＝4-e2＜0’又因为∧巨Z’所以k的最大值为2
法三（e绷≥厕＋1）
:
由于α＝l ’由（1）可得’（卿ˉ八）／′（卯）＋加＋1＝（卯ˉ∧）（e鳃ˉl）＋“＋1.
故当厕＞0时’（则ˉA）／′（卯）＋卯＋1＞0等价于片＜卫ˉ±ˉL＋卯（匆＞0）’o
e鳃-l
卯＋1
令g（则）＝
＋卯＜
e勿-1
卯＋l
＋匆＝l＋上＋则’
卯
卯＋1—l
）
立
成
号
等
时
］
~~
卯
当
仅
且
当
（
司
〕
~~
卯
■
Ⅱ
—
卯
′
′
′
川
｀
∑
＋
］
≥
卯
＋
制
』
—
卯
＋
］
又
所以卫ˉ±ˉL＋绷＜3’
e鳃-l
因为片为整数’所以k的最大值为2
法四（分离函数＋切线放缩）
:
由于α＝l’由（l）可得’（卯ˉ八）／′（卯）＋则＋1＝（厕ˉk）（e厕ˉ1）＋则＋l
故当卯＞0时’（卯-片）／′（卯）＋卯＋l＝（卯ˉk）（e鳃ˉl）＋卿＋1＞0等价于绷（e鳃ˉ1）＋“＋1
霸
ˉ
汹
摊
判
冯
耻
『
辑
『
拭
恬
汽
门
＞A（e鳃-1）.
今旷＝e绷’r＞l’故“＝lnr’代入上式’则问题转化为tln‖＋l＞k（t-1）
］2O
…扫
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1第兰章恒成立求参｝
设g（t）＝tlnt＋1’h（f）＝片（‖-l）.
因为g′（′）＝ln』＋1＞0’所以g（t）在（1,＋的）上为增函数.
问题转化为g（′）的图象恒在过点（1’0）的直线y＝附（‖ˉ1）的上方’即临界值为过点（l’
0）的g（t）的切线的斜率k′.
（下面是求过点作曲线切线问题的解题步骤）
设切点P（t（）’t0lnt0＋1）
’
司
g′（′）＝lnt＋1,则k′＝lnt0＋1’
此时的切线方程为:γˉ（t0ln′0＋1）＝（ln′0＋1）（绷-t0）过（1’0）
’
所以ˉ（‖0lnt0＋l）＝（lnt0＋1）（l一t0）
’
即ln‖0＝f0＋2＝0’
（转化为关于切点横坐标方程根的判定’估值）
令蛔（!0）＿｜＂′』ˉ』o翘,嘲′（!』）＿÷—!≤0.
所以@（t0）在（1’＋的）上为减函数’
且甲（3）≡ln3-1＞0’中（4）＝ln4-2＜0’
即存在t0巴（3’4）’使ln′0ˉj0＋2＝0’
所以A′＝lnt0＋1＝t0ˉl巨（2’3）
’
又因为∧eZ’
所以整数片的最大值为2.
∏
］2］
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｛满分之路·导数l
~~~
［例22］（20l5 .高雪全国卷I ）设函数／（卯）＝e2虹ˉαln卯.
（l）讨论／（则）的导函数／′（″）零点的个数;
7
（2）证明:
当α＞0时／（则）≥2α＋αln二.
α
·解析0
（1）／（则）＝e2厕-αln则（卿＞0）’则／′（卿）＝2e2”ˉ旦
儿
显然当α≤0时扩′（“）＞0恒成立／′（卯）元零点.
下面讨论:当α＞0时扩′（卯）零点的个数
当α＞0时旷′（卯）＝2e2卿-旦在（0’＋。。）上单调递增’且／′（α）＝2e2αˉ1＞0.
卯
根据零点存在定理:难点是找一个0＜则l＜α’使得／′（″l）≤0’从而证明／′（则）存在唯一零点.
设0≤露1≤｜则′（露｜）-2.醚』—丛≤2.2＿丛≤0,得躯｜≤羔≤腿｀所…｜二Ⅷi＂｛｜,羔｝时,
卯l
卯1
／′（卯l）≤0.所以存在卯0巨［卯l ’α）’使得／′（“0）＝0.所以导函数／′（卯）存在唯一零点.
（2）证明:法—（隐零点代换）:由（1）可知／′（如）有唯一零点’设零点为卿0’
由图可知（图略）’当则巨（0’厕0）时扩′（匆）＜0’即／（则）单调递减;
当卿巨（则0’＋。°）时′′（卯）＞0’即／（则）单调递增.
所以∧绷）在卯＝卯0处取得最小值’即∧“）mm＝∧卯0）＝e2卿0—αln绷0.
′′（躯0）-2e:蜒,—丛二0解得侵辫-式o
卯0
O两边分别取自然对数,得2躯0＝｜nαˉln2厕0.即｜n躯0＝｜n:—2箍旷
所以′（燕0）-式ˉ“（ln;ˉ2瓣0）-式＋2侧躯0—鹏｜＂:≥2αˉ“ln:-2α＋
“｜』!÷（誉且仅雪式-2″0｀即甄0-÷时取等号）
法二（变换主元）:／（卯）≥2α＋αln旦等价于e2鳃ˉαln卯ˉ2αˉαln三≥0.
α
α
解
悔
触
舶
距
拦
些
轰
蚕
至
羊
裴
卡
幸
眶
五
丰
王
厂
工
卜
」
怪
～
铝
变更主元’视为主元’令g（α）＝ˉαln旦ˉ（ln卿＋2）α＋e2躯’则g′（α）＝lnα—ln2e卯.
α
令g′（α）＝0’得α≡2e卯.
所以当0＜α＜2e师时’g′（α）＜0’g（α）在（（）’2e鳃）上为减函数;当α＞2e卯时’g′（α）＞0’g（α）
在（2e卿’＋。。）上为增函数.所以g（α）min＝g（2e则）＝e2愿—2e卯≥0（e嘶≥e厕证明咯）.
综上所述’当α＞0时’∧缅）≥2α＋αln旦.
α
］22
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」第三章恒成立求参｝
［例23］隐极值点代换之代换参数
已知函数／（卿）＝卯2＋αln（l＋卯）有两个极（
（1）求α的取值范围’并讨论／（卯）的单调性;
有两个极值点缅l ’绷2’且卯l＜卯2
1—2lIl2
（2）证明:／（卿2）
＞
d
■■■
司
』
析
解
●
（l）／′（卿）＝2则＋＿尘＝2则2十2则＋α（则＞—1）
’
l＋卯
1＋卯
1
今g（狮）＝2师2＋2则＋α’其对称轴为直线则＝-丁.
～
由题意知绷l ’厕2是方程g（卿）＝0的两个均大于ˉ1的不相等的实根’
所以当则巨（-l ’绷1）时’／′（“）＞0／（则）在（—1’卯l）上为增函数;
当绷巨（卯l ’则2）时旷′（卯）＜0矾“）在（卯l ’卯2）上为减函数;
当绷巴（绷2’＋酌）时’／′（卿）＞0旷（则）在（卯2’＋。。）上为增函数;
（2）证明;由（l）知／（鞭2）＝躯;＋αln（l＋膊2）（＊）
’
又g（0）＝侧＞0,所以ˉ÷＜撼』＜0,
g（则2）＝2獭i＋2则2＋α＝0,即α＝ˉ（2獭;＋2”2）代入（＊）得
／（鳃2）＝膊iˉ（2财;＋2鲸2）ln（l＋獭2）,
’
）
）
β
’
］
—
∑
（
巨
卯
（
）
卯
＋
］
（
Ⅻ
］
）
卯
勺
～
＋
∑
卯
勺
▲
（
∑
卯
~~
）
卯
（
∧
设
则∧′（卯）＝2卯—2（2则＋1）ln（1＋卯）-2厕＝ˉ2（2则＋l）ln（1＋加）
,
当觅匡（—÷,0）时,h′（鳃）＞0,h（躯）在（—＋’0）上单调递增,
＿÷）＝lˉ2l＂2
4
／
′
』
〗
‖
‖
＼
】
″
＞
｀
｀
『
′
′
卯
（
∧
以
所
坎／（獭2）＝h（瓤2）＞｜—;ln2
］23
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｜满分之路·导数k
［例24］已知函数／（卯）＝e厕ˉm卯2ˉ2（卯＋l）＋b’若对任意的卯＞0’′Ⅶ＜（）有／（卯）＞0恒成立’
求满足条件的最小整数b的值.
■
』
祈
解
●
法-:对任意的卯＞0’m＜0有／（则）＞0恒成立’等价于／（卿）min＞0.
由∧则）＝e鳃-′n卯2-2（卯＋l）＋b’得／′（“）＝e鳃-2矾沁ˉ2旷″（卿）＝e绷-2″l＞0’
所以／′（厕）在（0’＋鲍）上单调递增’且／′（0）＝-l＜0扩′（1）＝eˉ2-2m＞0’
所以存在唯一卯0匡（0,l）’使得／′（厕0）＝ez0—2m“0-2＝0’
所以当卯巨（0,卿0）时j′（卯）＜0扩（财）为减函数;当卯巨（卿0’＋的）时殿／′（匆）＞0典／（卿）为增函数.
所以／（鳃）min＝／（瓣0）＝e撼0—m财;ˉ2（卿0＋l）＋b（＊）,
叉）｛（输仁萨.ˉ…＂ˉ2ˉ0,则′獭≡浑＜0.卵蕊＂筐（0,!＂2）,
并将獭≡考代＾（＝）糯川输）≡（守ˉ］）…』—…0＼
卵6≥（》—!）…,十2,撼0筐（0’hl2）…、
设帜（鞭）二（苛ˉl）筐鞭十缆＋2,则帜′（鞭）二告（鳃ˉl）筐霉＋l’驴｜′（瓤）二券蕾＞0,
所以@′（绷）在加巨（0’ln2）上单调递增’
所以帜』（躯）＞帜』（0）＝÷＞0’帜（缆）在撕匡（0’l＂2）上单调递增’
所以中（则）＜甲（ln2）＝2ln2＜6’又b为整数’所以b的最小整数值为2.
法二:对任意的厕＞0’m＜0有∧绷）＞0恒成立’
首先将m当作主元’问题转化为g（′n）＝-厕2′n＋e颠ˉ2（腮＋1）＋b＞0’又m＜0时ˉ’g（m）
为减函数’所以g（′n）＞g（0）＝e绷-2（卿＋l）＋b＞0.
再将卿当作主元’问题转化为h（卯）＝e颜-2（则＋l）＋6＞0’等价于h（“）mm＞0.
则力′（则）＝e鳃-2’令h′（绷）＝e则-2＝0’解得匆＝ln2.
所以当则巨（0’ln2）时’h′（卯）＜0’h（卯）为减函数;
当厕匡（ln2’＋的）时’h′（卯）＞0’h（“）为增函数.
所以h（则）min＝h（ln2）＝eln2ˉ2（ln2＋l）＋b＝ˉ2ln2＋b＞0’即b＞2ln2’又b为整
数’所以b的最小整数值为2.
］24
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」第三章恒成立求参｜
［例25］已知函数／（卿）
＝2e厕ˉ （则ˉα）2＋3’当卯≥0时’／（卯）≥0恒成立’求α的取值
范围
■
』
析
解
●
法-:／（卯）＝2e箍ˉ（绷ˉα）2＋3’则／′（卯）＝2e露ˉ2（卯ˉα）＝2（ex＿缅＋α）’
令g（卯）＝e绷ˉ绷＋α’则g′（绷）＝e”＿l≥0’
所以g（勿）在［0’＋的）上单调递增’g（匆）≥g（0）＝1＋α.
@当1＋α≥0’即α≥ˉl时’g（卯）≥0扩′（匆）≥0鬼／（鳃）在［0’＋的）上单调递增’
所以∧则）mm≥∧0）＝5ˉα2≥0’
解得ˉ√百≤α≤√百’从而ˉl≤α≤√g:
@当1＋α＜0,即α＜ˉ1时,
由g（鳃）在［0…）上单调递增,且g（0）＜0’g（云）＞0’
｛
锣
咐
″
←
归
归
归
归
（0,吕）
所以存在唯一则0巨
使得g（则o）＝ez0ˉ匆0＋α＝0,有e躯o＝则0ˉα.
所以当卯巨（0’则0）时旷′（则）＜0邀／（卯）为减函数;
当绷巨（卯0’＋的）时扩′（卯）＞0鳃／（卿）为增函数.
所以／（则）mjn＝／（“0）＝2e露0ˉ（匆oˉα）2＋3＝2e缠oˉe2瓤o＋3＝（e鲸o＋1）（-ezo＋3）≥0’
即-e缅o＋3≥0,
解得0＜厕0≤ln3’
由e氮0＝卯0-α’可得α＝卯0-ezo’
5＿＿＿—
］2
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‘满分之路。导数｜
设h（〃）＝卯一ex,′j′（卿）＝1-e“
当卯巨（0’ln3）时’h′（卿）＜0,／l（聪）在则巨（0’ln3］上单调递减.
所以ln3—3≤α＜-l
综上所述’ln3ˉ3≤α≤但
法二:若“≥0时扩（卯）＝2e躯ˉ（绷ˉα）2＋3≥0恒成立’等价于（卯ˉα）2≤2e躯＋3’
即铡ˉ√2e颠＋3≤α≤鳃＋√2e鳃＋3’
下面求（卿ˉ√2e卿＋3）max≤α≤（绷＋√2e腿＋3）min.
设hl（“）＝绷ˉ√2e缆＋3’h2（狐）＝卿＋√2e则＋3’
又h2（绷）在［0’＋。°）上单调递增’h2（卯）mm＝h2（0）＝√歹≥α;
冗
hl（＂）＝卯—√2e鳃＋3’′l′l（绷）＝1ˉ′e
在［0’＋。°）上为减函数’
√2e氮＋3
令／l′｜（卯）＝0’解得厕＝ln3.
所以当卿巨（0’ln3）时,h′l（卯）＞0’hl（腮）为增函数;
当豹巨（ln3’＋鲍）时’h′1（卯）＜0’hl（匆）为减函数
所以hl（厕）max＝∧l （ln3）≡ln3-3≤α
综上所述,ln3ˉ3≤α≤√5:
］26
产
~~
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「第三章恒成立求参｝
［题型2恒成立求参之隐极值点代换］
［例26］已知函数／（卯）＝αe虹＋gˉ±上ˉ2（α＋l）（α＞0）
卯
（1）当α＝1时’求／（卯）在点（L／（1））处的切线方程;
（2）若对于任意的卿e（0’＋由）’恒有／（则）≥0成立’求α的取值范围.
｜.解析0
7
7
（l）当α＝1时√（鳃）＝e缀＋二ˉ4,／（l）＝eˉ2’／′（绷）＝e露—亏’∧＝／′（1）＝eˉ2’
卯
卯
故／（则）在点（M（1））处的切线方程为yˉ（eˉ2）＝（eˉ2）（“ˉ1）’即（eˉ2）卯ˉy＝0.
（2）定义域为（0’＋的M（卯）＝αe腮＋gˉ±ˉ1ˉ2（α＋1）（α＞0）
’
卯
~
~
~!~（·~~~~
｝
｛j’庐′
～ˉ寸辑;
亨.
°-·…ˉ
w写r薄
~!~『~~
＝…4
4■
·
再
.
◇.
十ˉ｝ˉ←←轻
＂头＝＋
~｛~』
!
…宁啼十……≡…≈…宁…
α.厕2 .e狮一（α＋1）
则／′（躯）＝αc蜒＋—（α）l）
＝、U√
｀ˉˉ／
≡＝
。
2
~~
2
卯
卯
／′（卯）在（0,＋的）上为增函数.
令曾（腮）＝…』唯露ˉ（叶］）测曾（0）≡（“十!）＜0,g（√宁）
~厄丁丁ˉ
γ-厂-
＝（α＋1）（e
l）＞0’
所以得在唯—的蕊＂筐（0,√宁）健得‘（露0）-0｀
所以当则匡（0’“0）时’g（则）＜0扩′（匆）＜0腮／（则）在“巨（0’则0）上单调递减’
当″巨（则0’＋的）时’g（则）＞0扩′（卯）＞0’／（卯）在厕巨（0’＋的）上单调递增.
所以／（卯）min＝／（匆0）＝αe厕0＋旦±1ˉ2（α＋l）（＊）
’
卯0
又g（躯0）＝0,即αe甄0＝竿』代入（＊）得
卯0
′（鳃）懒厂∧鳃0）-竿带÷ˉ2（叶｜）～（叶｜）（2鳃＂带!）＼ˉ姆0＋｜）＝0,
卯0
卯0
（0,√平）,且α＞0,所以0＜卯｛）≤1
卢
＝
○
卯
又
又／′（卯）在（0’＋的）上为增函数’且／′（卯0）＝0’
所以／′（1）≥／′（卯0）＝0’即α.eˉ（α＋1）≥0,解得α≥—L
e-1
综上所述,α的取值范圈为｜六,＋“ ）
］27
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｜满分之路.导数｜
!例27］设酮数f（鳃）＝!n瞩是否存在实数α使得／（等）′（健鳃）＋′（孟）≤0对任意正实
数狐恒成立?若存在’求出满足条件的实数α;若不存在’请说明理由
…Ⅷ
解
令g（鳃）二川乎）′（瞳鹏）＋〈六）
＝α卯. ln2α-α卯. ln绷＋ln卿-ln2α’其中匆＞0’α＞（）’
1
则g′（鳃）＝ˉαln卯＋—＋α. ln2αˉα’g′（则）在（0’＋的）上单调递减’
卯
1
l
g′（e（In2α）ˉI）＝≡αlne（ln2α〉ˉl＋αln2α＿α＋
＞0,
~
~
e（ln2α）-l
e（ln2α）-l
取h二m飘｛÷,2α｝
g′（b）-（—αl＂b十“ln2α）十（＋ˉ“）＜0’
1
所以存在唯一的鳃0匡（0,＋。°）’使得g′（獭0）＝ˉαln嘶0＋牙＋α. ln2αˉα＝0,
可得ln鞭厂六带｜圃2徽—1’（＊）
所以当卯巨（0’卯0）时’g′（绷）＞0’g（绷）在（0’卯0）上单调递增;
当匆巨（勿0’＋由）时’g′（卿）＜0’g（卯）在（卿0’＋的）上单调递减.
所以g（躯）max≡g（卯0）＝（酗0-1）
. ln2α-（α卯0-1）
. ln则0’（＊＊）
将（＊）代入（＊＊）式得g（鳃‘）…六ˉ2
报…瞥（鳃＂）-鳃』带六ˉ2≡0…｀
…』式ˉ2≡0所…仅…厂六时,等式咸立所…0带六二2√
以躯0-÷
代＾（＊）式得,ln上-l＂2侧｀慑′上-2…亭
α
α
＝2,α卯0≡l,所
］28
γ＿‖…】】～
旧
ˉ
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］第三麓恒成立求参｝
［例28］设函数／（卯）
＝（卿-α）2ln绷’α巨R.
（l）若匆＝e为γ＝／（“）的极值点’求实数α的值;
（2）若对任意的卿巳（0’3e］’恒有／（勉）≤4e2成立’求实数α的取值范围
｜·解析0
（1）求导得／′（卯）＝2（卿-α）ln卯＋（卯ˉα）2 ＝（狐ˉ“）（2h｜叶1ˉ÷）
卯
阂为鞭＝e为y二′（鞭）的极值点,所以／′（e）＝（瞳ˉα）（3ˉ÷）二α
解得α＝e或α＝3e’经检验’符合题意’所以α＝e或α＝3e.
（2）法-:当0＜则≤1时,对于任意的实数α’恒有／（厕）≤0＜4e2成立.
当1＜卯≤3e时’由题意’得
脱削熙＝解
《γ…肌壶…
｜
2e
即3eˉ√ln（3e）≤α≤3e;
由（1）知／′（撼）二（撼ˉα）（2｜＂鞭＋lˉ÷）
令h（卯）＝2ln卯＋1ˉ旦’则h（1）＝1-α＜0’h（α）＝2lnα＞0’
卯
2e
3e＋
√h（j筐）-2（l＂（3詹）ˉ
且刺3蠕）窒2｜＂（3蠕）刊ˉ晶≥2h（…—
3忘）≥0
3e
又h（卯）在（0’＋的）上单调递增’所以函数h（卯）在（0’＋的）上有唯一零点’
记此零点为卯0’则1＜卯0≤3e’1＜卯0≤α。
从而当卯巴（（）’绷0）时／′（厕）＞0;当卯匡（狐0’α）时／′（卯）＜0;当卿巳（α’＋“）时／′（卯）＞0.
即／（则）在（0’厕0）上单调递增’在（卿0’α）上单调递减’在（α’＋鲍）上单调递增.
所以要使／（卿）≤4e2对任意的卿匡（1’3e］恒成立’
整‖｀!｜二｜工＂i谰｛,
成立.
］29
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』满分之路。导数l
由∧（卯0）＝2ln卯0＋1ˉ丛＝0’知α＝2卯0ln卯0＋卯0,o
冗0
将o代入o得4腑;］n3撼0≤4e2
又师0＞l’注意到函数卯2ln3则在［1’＋。。）上单调递增’故1＜则0≤e.
再由o以及函数2卯ln卯＋勿在（l ’＋的）上单调递增’可得1＜α≤3e.
2e
≤α≤3e
2e
2e
≤α≤3e＋
由@解得3eˉ
’所以3eˉ
√ln（3e）
√ln（3e）
√ln（3e）
2e
综上所述’α的取值范围为3e-
≤α≤3e.
√ln（3e）
法二（分离参数）
:
任意的卿匡（0’3e］’恒有／（卿）≤4e2成立’（绷ˉα）2ln鳃≤4e2恒成立.
当0＜则≤1时’对于任意的实数α’恒有／（卯）≤0＜4e2成立.
当1＜则≤3e时’（勿-α）2ln卯≤4e2恒成立’
转化为（鳃ˉ醒）圆≤需台ˉ兰…≡羔六…＋
≈
√llM’
2e
恒成立
√lii庞
令凰（腮）三嚣—羔.′‘（蹦）ˉ叶荒｀愿｜…化沟‘（鳃）……（篮）鳃″
＂｜u鳃｀Ⅱ而＞0,所以g（狐）在（］.3e］上是增函数,
因为g′（卯）＝1＋
2e
所以g（卿）max＝g（3e）＝3eˉ
）
巳
句
〕
（
∏
］
／
γ
可
且
）
咯
明
证
数
函
增
曰
正
了
∏
√
卯
Ⅱ
卯
（
数
函
增
曰
正
上
］
巳
句
〕
］
（
湍
卯
］
勿
＋
］
~~
）
卯
（
″
为
因
看出h′（e）＝0（不能直接求出’是通过观察分析出来的）’所以h′（撕）在（1’3e］上只有一
个零点.
所以狮匡（1,e）时’内′（厕）＜0;“巨（e’3e）时,／l′（卯）＞0’
所以h（卯）在（1’e）上为减函数’在（e’3e）上为增函数.所以h（“）mm＝h（e）＝3e.
2e
综上所述,实数α的取值范围为｜3健—
3e｜
）
巳
司
〕
（
∏
｛
／
√
］3O
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」第三章恒成立求参｜
…
—
卯
＋
九
巳
卯
~~
）
卯
（
／
数
函
知
已
］
’
∑
例
［
（1）求证:函数／（厕）有唯＿零点;
（2）若γ卯巳（0’＋由）’绷e聪ˉln卯≥l＋α卯恒成立’求α的取值范围
｜g熊祈0
（l）定义域为卯匡（0’＋的）
’
令／（厕）＝狐e绷＋lL互＝0’即卿2e厕＋ln绷＝0’设qo（则）＝嘶2e卿＋ln卯在（0’＋。°）上为增函数’
卯
勺
（i）÷儒丸l＂÷＜0,瞬（l）＝镭＞0,吵（;）＝（;「贬;＋l＂÷＞0,
且甲
（出｀;）,使得帜（聪0）＝0’即遥｜数∧鞭）有唯ˉ零点
所以存在唯一厕0巨
（2）法＿（分离参数）;γ躯巨（0』＋锤）,腮e蜒ˉln鳃≥l＋《醚恒成立等价于e藤＿｜÷“
“
l
——≥α’
缅
ln卯
z
1-ln卯
卯2e熊＋ln卯
缅
l∏％
l
1
1
卜· ＋＂）,
设g（则）＝e
ˉ——’g′（”）＝e
ˉ
＋—页＝
＝
2
2
卯
卯
卯
卯
卯
卯
卤（l）可舞,存在唯一獭0匡（÷’÷）’使得∧腿0）二α
所以当匆巨（0’绷0）时扩（则）＜0’g′（厕）＜0’g（卯）为减函数;
当卯e（卯0’＋。°）时扩（卯）＞0’g′（卿）＞0’g（卯）为增函数.
ln卯0
1
所以g（“）mjn＝g（则0）≡e厕0-＿-—≥α.
卯0
％0
又′W）三…0健重』-÷（—｜皿＂）～〕n二上≡h当.硅,
卯0
卯0
卯0
（h（x）二…,′（h＋）＝｜n÷噎h＋）
凿腮筐（0｀…）时,鹏（鳃）…零为增函数（…）所以鳃厂」n÷』嚼缴』～上
卯0
ln卯0
1 ˉ上ˉ二坐gˉ上＝1≥α.
所以g（则）min＝g（卯0）＝e则0ˉ—ˉ—
卯0
卯0
卯0
卯0
卯0
综上所述’α的取值范围为α≤l。
法二（分离参数十裁缩法）;γ箍匡（0’＋唾）,鹏≤狐e霉ˉfm—l二窿｜＂…】l＂狮—l
elnz＋z-ln勿-1
如＋ln卯＋l-lnz—1＝l≥α.所以α≤1.
≥
恒成立,
x
卯
］3］
凸
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｜满分之路.导数l
［题型3
隐极值的值域问题］
［例30］（20l6高窘窒回卷I）（l）讨论函数／（勉）＝焉e露的单凋性,并证明当鞭＞0时,
（卵-2）e鳃＋卯＋2＞0;
冗
e
-α卯-〔】
（2）证明:当α巳［0’1）时’函数g（卯）
＝
（卯＞0）有最小值设g（则）
勺
乙
几
的最小值为h（α）’求函数h（α）的值域.
｜·解祈0
（1）证明:由已知得’函数的定义域为｛聪｜则≠—2｝
圈为∧鳃）二焉e蔚,所以′′（鳃）-e丫焉＋尝
…）簧…′′（…（焉带（≡2）』）≡（窑）Ⅱ
因为当卯巨（-的’ˉ2）（ˉ」（-2’＋的）时’／′（则）≥0’当且仅当则＝0时’等号成立.
所以／（卯）在（-的’ˉ2）上单调递增’在（ˉ2｜
处理方案一（式子结构分析）
:
妥证（则-2）e觅＋卿＋2＞0（绷＞0）
’
靡证（瓣器」e蹦＋l＞0,即（躯剥e露＞—L
又／（0）＝-1旷（绷）在（-2,＋的）上单调递增
于是’当撼＞0时,焉·鹏＞′（0）＝ˉl,
所以（则-2）e鳃＋厕＋2＞0.
处理方案二（硬解）
:
令F（绷）＝（绷-2）e厕＋卯＋2（卯＞0）
’
则／′（卿）二（卯-1）e厕＋1’／″（则）＝卿e颠＞0’
故／′（厕）在（0’＋的）上单调递增’
所以／′（卯）＞／′（0）＝0’
所以F（卯）在（0’＋的）上单调递增,
所以F（匆）＞F（0）＝0’
ˉ2’＋的）上单调递增
目｜j（卿ˉ2）e绷＋厕＋2＞0
］32
~~~~~~~
.
!
｛Ⅷ
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『第三章恒成立求参｜
（2）（隐零点估值与代换）
:
由已知得’g′（绷）＝（卯＿2）
. e绷＋α（卯＋2）’α巨［0’1）.
3
卯
处理方案一（硬解’多次求导）
:
（卯-2）.e躯＋α（卯＋2）（卿＞0’α巨［0’l））
g′（绷）＝
］
卯
记中（则）＝（卯ˉ2）.e则＋α（卯＋2）’则@′（厕）＝（卯＿l）.e绷＋α’甲′′（卯）＝卯e鳃＞0’
所以甲′（卿）在（0’＋的）上单调递增.
又中′（0）＝-1＋α＜0,甲′（1）＝α≥0（估值判断隐零点存在）
’
由零点存在定理知’存在唯一零点卯0巨（0’1］’使得甲′（则0）＝0’
故当则巨（0’厕0）时’甲′（卿）＜0’@（卿）单调递减;
当则巨（绷0’＋的）时’@′（则）＞0’甲（卯）单调递增.
又9（0）＝2（α＿1）＜0’甲（2）二4α≥0（估值判断隐零点存在及代换消参α）
’
由零点存在定理知’存在唯一零点t巨（0,2］’使得甲（‖）＝0’
即1二2.e′＝ˉα.
′＋2
故当卿匡（0’t）时,甲（卿）＜0’g′（卯）＜0’g（匆）单调递减;
当则巨（t’2）时’中（绷）＞0’g′（卯）＞0’g（卯）单调递增.
于是’h（侧）-g（』）＝e′＿勉（』＋l）
.′＋（』＋l）器儒』
』
t2
2
＝—
＝＝
‖
t＋2°
…≡走…（0,2］时,胀｛（‘）ˉ槛｛）≥0所…巢调…（′）
＞0’所以附（‖）单调递增’∧（〗）巨（k（0）
’
｜
∑
巳
—
〃
斗
’
］
—
∑
（
k（2）］.所以内（α）＝k（t）匡
求解过穆中,峨（‘）＝0’印ˉ抛二器e』＝′（‘）,说明g′（鳃）的分子缝构中含有f（鳃）,纹有
下面处理方案二.
］33
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｜满分之路.导数l
处理方案二（提取公因式’构造（1）中函数式）
:
）
α
＋
尤
巳
●
’
≈
’
≈
＿
＋
卯
卯
（
（卯＋2）
（厕-2）.e鳃＋α（缅＋2）
~~
）
卯
（
′
〃
◎
’α巨［0’1）
~~
3
3
卯
卯
记峻（憋）-焉窿…,
因为甲（0）＝αˉ1＜0’p（2）＝α≥0（估值判断隐零点存在）
’
所以由（1）知甲（卿）在（0’2］上单调递增’所以存在唯一零点.
记零点为卯0巨（0’2］’即甲（厕0）＝0’
则当卯e（0’“0）时’甲（则）＜0’g′（〃）＜0’g（卯）单调递减;
当“巨（厕0’2）时’甲（卯）＞0’g′（卯）＞0’g（卯）单调递增.
故厕0为g（卿）的极小值,此时ˉ极小值为g（卯0）.
e卯0＿α卯0-α
所以h（α）＝g（勿0）＝
2
卯0
又因为卯0-2
卯0-2
卯0＋2ez0＋α＝0’所以α≡- 厕0＋2e则0（隐零点代换消参α）.
（
＂Ⅷˉ2
）（蕊广」）
e勿0—
e腮0-α（卯0＋1）
卯0＋2ez0
e冗0
所以g（卯0）＝
2
＝
卯0
2
≡
卯0
卯0＋2
e腮0（卿o＋2）-e颠0
卯0＋1
（卯0＋2）2
＝
司e厕0＞0,
（卯0＋2）△
…＂）≡羔,侧』c′（蜒＂）≡
｜
∑
巳
—
〃
叶
’
■
』
—
勺
△
（
所以G（卿0）在卯0巨（0’2］上单调递增,所以G（卯0）巨
｜
∑
巳
—
〃
▲
『
’
］
—
∑
（
所以h（α）巴
］叫
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1第三章恒成立求参｜
lII卯
）
］
“
—
勺
～
卯
∏
］
（
［例31］
（20l6.唐山期率）已知函数／（卯）
＝
,g（卯）
几
~~
卯
＼
丝
／
（1）求γ＝／（则）的最大值;
（2）当α巨｜0,÷｜时,函数γ＝g（鹅）（瓣巨（0,瞬］）有最小值记g（甄）的最小值为
h（α）’求函数的值域h（α）
.
｜。解祈0
（1）函数∧则）的定义域为（0’＋的）’／′（卯）＝1ˉln则
卯
当卯巨（0’e）时旷′（卯）＞0’／（绷）单调递增;当卯巨（e’＋酌）时’／′（厕）＜0旷（则）单调递减’
所以∧卿）max＝∧e）＝上.
e
（2）g（派）＝（hl瓣ˉ等—］）’g′（鹅）二hM‘ˉ等ˉl＋lˉ警-ln狐—“狮＝（竿ˉα）,
研究的目标函数是甲（躯）＝l旦ˉ旦ˉα.
卯
由（1）知,巫在删e（0,慨］上为增函数,且竿匡（—国,÷｜
卯
o当α＝上时’卯巨（0’e］’g′（则）≤0’g（“）在″巨（0’e］上单调递减’
e
所以g（卯）mn＝g（e）＝ˉ÷,所以h（α）＝ˉ:;
@当腆匡｜0,÷）时’驴（l）≡ˉα≤0,鹏（懂）-÷ˉ忽＞0,
ln卯0
卿以…＿哪霍［｜.副健得叫≡野ˉ·≡…—
卯0
所以当卯巨（0’则0）时’@（卿0）＜0’g′（绷）＜0’g（卯）单调递减;
当则巨（匆0’e）时’甲（匆0）＞0’g′（则）＞0’g（则）单调递增.
ln卯0
,又α＝
,
卯0
｜
｜
（｜n鳃0ˉ宁ˉ! ,所以咖（α）-露［川n鳃0ˉ2
（
α慰＂
所以g（卯）min＝g（卯0）＝绷0
｀
）＂旷｜mb
（!＂缠,—等—1 -
2
—鳃＂,
所以h（α）＝厕0
卯0
. ln卯0
lII卯0-1
今肌（卿0）＝
ˉ卯0（卯（）巨［l’e））’′＂′（厕0）＝
＜0,
7
2
～
—］
~
■
所以咖（鳃0）在瓤o巨［!,e）上单调递减测″‘（鳃0）匡（—:’ˉl｜
综上所述’h（α）匡｜ˉ;,—l｝
~
~
］35ˉ
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←
＋
快
l■
怪
＋
串
了
←
十
＋
←
丁
衫
←
上
←
≡
←
｜满分之路.导数｜
［例32］
（2017 .辐建橡拟）已知函数／（厕）
＝卯cos则—
（α＋l
）sin则’卿巳［0’∏］’其中
∏
何
〕
∑
≤
α
≤
‰
—
▲
｜
∏
—
●
～
’
‖
｜
（1）证明:当卿巳
时熙／（卿）≤0;
（2）判断／（“）的极值点个数’并说明理由;
（3）记／（卯）的最小值为h（α）’求函数h（α）的值域
·解析0
解
（l）阂为／（0）＝0,所以当x匡｜0’晋｜时乳／（聪）≤0等价于／（绷）≤／（0）
／（购）＝卯cos卯ˉ（α＋l）sin厕’则／′（则）＝ˉ卯sin厕ˉαcos厕’
圈为躯匡｜0,:｜且芋…竿,
’
数
函
减
曰
正
上
｜
∏
—
’
△
’
◎
｜
所以／′（绷）＜0矾绷）在卯匡
所以／（则）≤／（0）＝0
‖
≤
）
卯
讽
时
∏
—
勺
▲
∩
‖
巨
卯
当
述
所
上
综
｜0’:｜上是减函数,且／（绷）≤0,所以／（甄）尤极值点
（2）由（1）知’／（卯）在卯巨
｜÷,丽｜上是否存在极值点
下面判断函数／（卯）在卯巨
／（勿）＝〃cos则ˉ（α＋l）sin卿’
则／′（则）＝-卯sln狮ˉαcos绷’／″（卿）＝（α-l）sin卯ˉ卯cos卯’
∩
圆为α≥￥＞l,所以／〃（瓣）＝（.ˉl）sin腮ˉ狐co…ˉ狮c。…0｀
~~
＼
〗
■
■
□
■
∏
〗
′
′
∏
—
’
≈
（
／
又
增
递
调
单
上
∏
∏
—
勺
～
’
∩
∏
＞
α
~~
）
∏
（
′
旷
＾
‖
＜
∏
—
∩
乙
所以／′（卿）在绷匡
／
＼
’
β
~~
○
卯
吕
◎
℃
α
○
卯
］
Ⅱ
●
＝
】
且
吕
○
卯
~~
）
○
卯
（
′
／
得
使
’
＼
｀
‖
‖
『
′
′
∏
’
∏
—
勺
▲
所以存在唯一卯0匡
（晋’撼＂）
所以当卯巴
时旷″（卿）＜0’／′（卿）单调递减;
］36
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］第三章恒成立求参｜
恒成立
当卯匡（卯0’而）时’／′′（狮）＞0’／′（卯）单调递增.
所以当卯匡［0’∏］时讽购）有唯一极小值点.
（3）由（2）知’当卯巨［0’∏］时’h（α）二／（卿）min＝／（鳃0）＝＂0cos则0ˉ（α＋l）sin则0（＊）
’
则0sln匆0（＊＊）
’
由／′（卯0）＝-卿0sin则0-αcos卯0＝0’得α＝
COS卯0
（÷｀丽）则,′（瑟）＿
.蕊署甄,
卯sIn卯
设中（卯）＝
’勿巴
COS卯
’
＾
‖
＜
）
卯
（
′
甲
故
’
∩
√
＞
∏
＋
］
＞
卯
’
≈
＋
勿
勺
≈
∏
●
■
】
且
吕
’
寸
日
）
∏
’
∏
—
’
≈
（
巨
卯
当
（晋,而）上单调递减
』
巴
卯
在
）
卯
（
甲
以
所
～
″p（芋）二芋,
又宁≤‘≤2笋,鼠｜宁≡鹏（jb）≤2挚.又.
驴（宁）-2孕
浙
—
斗
≤
卯
○
≤
浙
—
〕
以
所
…于每—个侧匡｜宁,孪｜’均存雇唯—…o.
｜
‰
—
斗
’
浙
—
〕
｜
与之相对应’反之亦然’
卯0
）…＂-…［厂…＂
＋1
（
＂:瓷＂
将（
＊
＊）代入（＊）得’／l （α）＝则0cos则0ˉ
’
）
｜
浙
—
斗
’
和
—
〕
｜
巨
卯
（
卯
■
■
■
且
吕
∏
卯
＿
…
~~
）
尤
（
厂
设
’
）
｜
‰
—
斗
’
助
—
］
［
巳
‖
卯
／
′
■
□
】
‖
｀
｀
p
（鼠｜＂2…）爵i＂露＞0,所以′（鳃）在狮巨｜宁,芋｜上单调递增,
2cos2卯
则／′（卯）＝
′（蜒）恤＝′（芋）＝缸ˉ但
3
2
’
所以√
′（鳃）…二′（宁）＝ˉ竿粤
｜
徊
＿
∑
厨
斗
〕
’
归
—
∑
你
＿
〕
｜
所以函数h（α）的值域为
］37
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「满分之路.导数｛
~
［题型4隐极值点代换证明函数不等式］
［例33］证明; ·｀—l＂（骡＋2）＞告
·解析】
证明:设／（卿）＝e绷-ln（则＋2）’定义域卯巨（ˉ2’＋的）
,
则′′（蕊）＝瞳霉—击在鞭匡（—2,…）上为增函数’
义′′（ˉ÷）-走÷＜0√』（0）～＋＞0,
所以存在唯一撼0巨（ˉ÷’0）’使得′′（獭＂）-α
所以当卯匡（0’卿0）时扩′（卯）＜0扩（则）在绷巨（0’厕0）上单调递减;
当聪巨（则0’＋的）时’／′（则）＞0旷（腮）在财巨（则0’＋m）上单调递增
所以／（则）mm＝／（卿0）＝e厕0ˉln（卯0＋2）（＊）
’
又′′（撼』）-0｀…-志.…对数得鳃厂ˉln（＂0＋2）’都代入（＊）得
№）咖二／W）＝万『丁页十躯＂,在腮0巨（ˉ告,0）上为增函数,
1
＼
‖
〗
【
■
】
』
′
『
□
』
—
’
～~
1
二≡
6
所以∧绷0）＞／（
综上所述’嚼露＿l＂（鳃＋2）＞÷
］38
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『第三章恒成立求参｝
｜例34］证明:
e躯ˉln卯＞2
｜·解析0
证明:法-（隐极值点代换）
:
确定定义域卯巳（0’＋的）
’
设／（则）＝e鳃ˉln绷’则／′（卯）＝e厕—上在″匡（0’＋由）上为增函数’
卯
且／′（÷）＝√百ˉ2＜0旷′（1）＝eˉ1＞0’
…唯—腮』巨（÷｀1）,…,—÷0
所以当绷e（0’加0）时ˉ扩′（绷）＜0扩（则）在厕巨（0’卿0）上为减函数;
当卿巨（则0’＋鲍）时扩′（卯）＞0’／（则）在“巨（卿0’＋。。）上为增函数.
／（卯）mm＝／（卯0）＝e“0ˉln卯0（＊）
’
1
尸～可,
（｜
｜—｜mb＝鳃0’
又e箍0ˉ上＝（）’则
勿0
代入（＊）｀得′（鳃）…-∧撼＂）＿÷撼』＞2（鹏则巨（十.｜
法二（放缩法）
:
））
■
）
得
取
时
∩
‖
~~
卯
在
口
丁
ˉ
等
（
◎
］
＋
卯
≥
如
巳
又
’
）
得
取
时
］
~~
卯
在
号
等
（
◎
］
＋
卯
≥
卯
∏
］
‖
贝
■
］
卯
≤
卯
】
Ⅱ
Ⅱ
』
O＋@得’e卿ˉln绷＞2
法三（凹凸反转）
:
处理方案一:
e厕—ln卯＞2等价于鱼＞ln卯＋2
卯
卯
］39
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｜满分之路.导数｝
卯
设／（卯）＝旦’则／′（则）＝
九
）
］
卯
／
‖
＼
卯
巳
’e绷（卿ˉ1）在卯巨（0’＋的）上单调递增’且／′（1）＝0’
∩
＝
卯
所以当卿巨（0’1）时’／′（则）＜0√（卿）在卿匡（0’l）上为减函数;
当厕巨（l ’＋的）时’／′（卯）＞Q／（腮）在卯巨（1’＋由）上为增函数
∧厕）mm＝∧1）＝e
）
■
』
—
●
（
设g（厕）＝ln狐＋2
卯
ˉlI1勿-1
~
’ˉln则ˉ1在则巨（0’＋的）上单调递减’且g′
’g′（厕）＝
2
卯
＝0
所…巨（0,÷）时,g′（蒸）＞0,g（腮）在躯匡（0,÷）上为增函数』
如
＋
’
■
』
—
巳
当蜒匡（!’＋蜜）时’gⅡ（露）＜0,g（鞭）在疟
g（瓣）…二g（÷）二·
）上为减函数
『
（
｜＼
所以鱼＞ln躯＋2
卯
卯
,即e匆-lII卯＞2
处理方案二:
导
）
咯
下
（
’
～
＋
厂
仰
卯
Ⅱ
］
＞
勿
巳
—
厂
仰
于
价
等
◎
▲
＞
勿
∏
］
勿
巳
法四（待定系数）:
e绷-ln绷＝（e绷-A匆）＋（A则ˉln卯）≥（AˉAlnA）＋（1＋lnA）（A≥1）
’
今A＝l ,则e“-ln卯＝（e虹-卯）＋（狮—ln鳃）＞l＋l＝2
］qO
↑
＿
』
壳
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~
【篷三章恒成立求参‖
［例35］证明:
e鳃＿ln卯＞2ˉ3
｜·解析D
证明:（隐极值点代换）
;
●
数
函
增
为
上
）
的
＋
’
∩
（
巴
卯
在
］
—
冗
巳
~~
）
卯
（
′
／
‖
贝
’
）
四
＋
’
‖
（
巨
卯
域
义
定
’
卯
∏
］
冗
巳
~~
）
卯
∧
设
卯
又′′（÷）二拒—2＜0扩′（1）＝eˉl＞0’所…唯＿躯0巨（士,l）’使得／′（匆0）＝0.
所以当卿匡（0’则0）时扩′（卯）＜0铡／（鳃）在绷匡（0’鳃0）上单调递减;
当则巨（匆0’＋@）时扩′（则）＞0肌绷）在匆巨（厕0’＋@）上单调递增.
所以／（绷）mm＝／（卯0）＝e鳃0ˉln卯0（＊）’
又／′（卿0）＝0’即ez0＝上’两边取对数得绷0＝ˉln“0’都代入（＊）得
卯0
∧氮）哪厂∧撼＂）二÷撼』,在鳃厂（÷,n）上为…,
所以∧鳃0）＞∧1）＝2’不满足题意
＼
‖
〗
‖
‖
『
′
′
］
—
∑
′
』
∩
川
又
＝√百＋ln2＞2.3,说明鳃0范围估值不够精确’需进一步缩小范凰
今
~ ~
又绷0＝ˉln则0说明绷0是一个不精确计算出的值’
）
■
』
—
卯
卯
／
『
】
‖
‖
｀
｀
］
—
∑
＞
勿
Ⅱ
］
有
’
寸
日
）
］
’
○
（
巨
卯
当
币
『
,于是
」
↓……沪…
~
（
·
【
—
’
＝
＜
卯
』
【
］
~~
卯
＼
‖
‖
『
′
／
■
』
＿
卯
刀
］
—
侗
＜
卯
得
解
~
~~
所以途—步确定鞭0霍（÷方）.有∧甄』）＞（六）-徊十方ˉ竿≥23
综上所述,ez-ln鳃＞2.3.
］4］
…＋
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「满分之路.导翅
~
第05讲任意与存在问题
因知识纵横
~
任意存在不等式的转化
结论1 :
V“1e［α’6］’γ躯2巳［C’Ⅲ］
’／（卯l ）＞g（厕2）.［／（则）］min＞
［g（卯）］max;
［如图—］
结论2:
〕卯1巳［α’b］,】“2巨［c’d］’／（“1）＞g（则2）.［／（则）］max＞
［g（卯）］min;
［如图二］
结论3:
γ厕l巨［α’b］’】则2巳［c’‖］
’／（卯l ）＞g（卯2）.［／（卯）］min＞
［g（则）］min;
［如图三］
结论4:
】如l巳［α’b］’γ卯2巨［c’d］’／（卯l）＞g（厕2）.［／（卯）］max＞
［g（卯）］max;
［如图四］
鳞…｛………M墓』』…｛｜川重｝:｝引｜睬′
［如图四］
结论6:
司卯l巳［α’b］’〕卯2巴［c’dL／（则l）＝g（厕2）邑／（卯）的值域和g（“）的值域交集不
为空
［如图五］
／（x）上限●
／（x）上限●
／（x）上限●
炯悯↓
.…….
.…＂腮）｜腮｜·…
「g（狐）临.加1［耀?
.…
◎g（x）下“烟椭·↓…
↓g（x）下腮∧x）下限·
●g（x）下限
∧x）下限●
●g（x）下限
图一
图二
图三
图四
图五
~
］42
∏,
挝士
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「第三章恒成立求参｜
析
剖
例
典
◎
＃
矗
塌
［题型1
存在性问题］
［例36］已知函数′（躯）＝÷鳃2’g（巍）＝“｜＂№
／l（卯1）ˉh（卯2）
（1）设h（卯）＝／（卯）＋g（厕）’若对任意两个不相等的正数”l ’卯2’都有
卯1-卯2
恒成立,求实数α的取值范围;
＞2
（2）若在［l’瞳］上存在＿点蹦0’使得′′（x0）＋′′（÷0）＜g（露0）ˉg′（腮0）成立’求实数
α的取值范围
｜·解析0
h（则l）一h（绷2）
（1）h（嚣）≡／（獭）＋g（甄）≡÷缆Ⅺ十α｜＂露’任意两个不相等的正数狐｜’绷2,都有
卯l一卯2
2’设卯1＞鳃2’则h（卯l）＿h（卯2）＞2（卯l-则2）’即h（卯1）ˉ2则l＞h（卿2）-2卯2恒成立’
问题等价于函数F（撼）二h（鳃）—2鳃＝＋剿:＋“ln…在（0,…）上为增函数’
~
＞
所以／′（卯）＝则＋丛-2≥0在（0’＋的）上恒成立’
卯
即α≥2卯ˉ则2在（0’＋的）上恒成立’
所以α≥（2卯ˉ厕2）max≡1’
即实数α的取值范围是［l’＋的）.
1
1
α
（2）不等式／′（狐0）＋／7万∏＜g（弧0）ˉg′（卯0）等价于加0＋—＜αln绷0ˉ
’
卯0
卯0
整理得卯0ˉαln绷0＋1ˉ±旦＜0’由题意知’在［1’e］上存在一点匆0’使得卯0ˉαln卯0＋l＿±旦＜0
卯0
卯0
卜oˉ刨l…守）m皿≤0
等价于
（则ˉlˉα）（卿＋1）
设帜（鞭）＝躯＿触』皿＋宁则p′（狮）＝
令卯ˉ1-α＝（）’解得卯＝α＋1.
勺
～
卯
］奶
F
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｛满分之路。导数｝
~
@当1＋α≤1’即α≤0时’
甲′（卯）≥0’甲（鳃）在［1’e］上单调递增’甲（卯）min＝@（l）＝α＋2＜0’解得α＜ˉ2;
~
@当1＜l＋α＜e’即0＜α＜eˉ1时’
~
当勿巨（l’α＋l）时’p′（“）＜0’甲（卯）在（1’α＋1）上单调递减;
当狐巨（α＋1’e）时’●′（卯）＞0’甲（则）在（α＋l’e）上单调递增.
甲（”）mm＝甲（α＋l）＝1＋αˉαln（α＋l）＋1＜0’即ln（α＋1）-gˉ±2＞0.
α
帝
△
十
△
牛
』
刁
2
＋
＜
Ⅱ
—
『
~~
）
『
（
′
〗
″
‖
贝
’
肘
—
∩
‖
∏
］
~~
）
′
（
矾
’
）
巳
］
（
巨
］
＋
α
~~
』
令
＞0’
（t-l）2
2
所以m（‖）在（1 ’e）上为增函数’′n（t）＜m（e）＝ˉ
＜0,
t-l
●
●
々
盾
矛
’
＾
‖
＜
…
—
α
所以ln（α＋1）ˉ
o当1＋α≥e’即α≥eˉ1时’
甲′（z）≤0,甲（鳃）在［l ’e］上单调递减’
●
］
］
＋
∑
巳
巳
＞
α
得
解
’
∩
‖
＜
α
＋
巳
］
＋
α
巳
~~
）
巳
（
矽
~~
Ⅶ
■
■
』
Ⅲ
）
卯
（
甲
雨
而
口
＾
缘上所途』实数侧……（＿函』ˉ2）O（碧’带· ）
］』4
』
呻
｜
日
~
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』第三章恒成立求参‖
［题型2双任意与存在性问题］
［例37］已知函数／（卿）＝丛＋“ln卯’g（卯）＝卿3ˉ加2ˉ3
卯
（1）如果存在卯l ’卯2巨［0’2］’使得g（卯1）-
大整数M;
ˉg（卯2）≥″成立,求满足上述条件的最
（2）如果对任意的』,‘巨｜÷,2｜都有′（腻）≥g（嘶）成立,求实数α的取值池围
.解祈0
（1）存在则l ’厕2巨［0’2］’使得g（则l）ˉg（绷2）≥M成立等价于g（卯）…ˉg（卯）min≥M
由g′（卿）＝3则2ˉ2卯’
可得g（撼）在｜0’÷｜上单调递减,在｜÷,2｜上单调递增,
所以g（狐）…二m鼠x｛g（0）,g（2）
｝二｜,g（x）咖＝g（÷）＝＿男,
所以删≤g（鳃）…—g（獭）咖二罢’从耐蕊足条件的最大整数″＝4
（2）对任意的』’‘e［＋,2｜都有风蹦）≥gO）成立刮（撼）恤≥g（测）…
由（1）可知,g（÷）＝—等,g（2）＝l,得g（巍）在｜＋,2｜上的最大值为l
则对任意约』,』匡｜÷,2｜都有川）≥g（‘）成立等价于∧腮）≥1对撼匡｜＋,2｝幢成立,下面
采取分离变量法:
、
工
成
恒
｜
∑
’
］
—
∑
｜
α—＋卯ln则≥l等价于α≥卯-匆2ln卯对则巨
卯
记′t（则）＝卯-加2ln绷’则／l′（“）＝1ˉ2则ln卯ˉ则,h′（1）＝0.
″（撼）≡—2l＂篮ˉ3＜0,h′（撼）在撕匡｜＋,2｜上单调递减’
又厕′（l）二0’当＂匡（÷,l）时’h′（翼）＞0,h（腮）在蜒巨（÷,l）上单调递增;
当“巨（1’2）时’h′（厕）＜0’h（绷）在卯巴（l’2）上单调递减.所以h（躯）max＝h（1）＝1≤α
综上所述’α的取值范围是［1’＋酌）.
总结:γ则l巨A’γ卯2巨B’使得／（卯l）≥g（卯2）成立《二令／（卯）min≥g（则）max;
】卯］巨A’】卿2巨B’使得∧厕l）≤g（卿2）成立气／（卯）mm≤g（卯）max.
‖ 』E
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‖满分之路.导数〔
~
［例38］已知函数／（卯）＝ln则＋l ’函数g（狐）＝（则ˉ片）e鳃＋k（∧巴Z）’］匆l巴（0’＋的）’γ卿2e
卯
（0’＋由）’不等式y（“l）＋g（卯2）＞（）成立’求八的最大值.
·解析
】
＋
Ⅺ
已
Ⅲ
）
］
卯
叭
于
价
等
’
、
工
成
∩
…
＞
）
∑
卯
（
臼
■
＋
）
］
卯
叭
式
等
不
’
）
的
＋
’
○
（
巨
∑
卯
γ
’
）
的
＋
’
∩
（
巨
】
卯
司
■
g（卯2）min＞0.
∧卯）＝ln卯＋］
卯
’则／′（则）＝二」卫ˉ丝
卯2
9
当卿巴（0’l）时扩′（卯）＞0’／（匆）为增函数;
当嘶巨（1’＋的）时’／′（卯）＜0’／（卯）为减函数.
故∧则）max＝∧l）＝1;
原不等式进一步转化为5＋（则-k）e鳃＋∧＞0.
下面采取分离参数‘窖茅≥№
设h（鞭）-窖茅则″（鳃）-.霉｝:二jh6）｀
今9（卯）＝e卿-卯-6’则甲′（卿）＝e厕＿l＞0在卯e（0’＋的）上恒成立’
故甲（卯）＝e“ˉ绷—6在卿巨（0’＋的）上为增函数’又甲（2）＜0,9（3）＞0’
所以存在唯一的狐0巨（2’3）,使得@（则0）二e露0ˉ厕0ˉ6＝0’
所以当则e（0,卯0）时’@（卯）＜0’h′（则）＜0’h（厕）为减函数;
当卯匡（卿0’＋由）时’甲（卿）＞0’h′（卯）＞0’h（厕）为增函数
x0e觅0＋5
e鳃0ˉ1
（＊）
’
h（卯）mjn＝h（“0）＝
又@（“0）＝e箍0ˉ卯0-6＝0’则e露o＝卯0＋6,代入（＊）得
腮（）（卯0＋6）＋5
h（卿）min＝h（卿0）＝
＝卯0＋1匡（3’4）’所以k的最大值为3
卯0＋5
M6
~
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『＼罐霹慧.恒成童求参｛
■
［例39］
（2017 .壶旧日攘拟）已知函数∧卯）＝ln（厕＋1）＋α卯.
（1）当α二—1时’求证:／（卯）≤（）;
■
』
）
］
］
勿
∧
）
］
∑
卯
／
『
＼
／
（2）对任意卿2≥e则1
＞（）’存在购巳（-1’
＋的）’使
＞
~
~
~
卯勺＿卯1
←
■
α（厕2＿1）ˉ／（卿）成立’求α的取值范围
叮2
~~~
1 ·解析0
（｜）证明;当α＝＿l昧j（瓣）二hl（叶］）ˉ獭』则／′（腮）二六ˉl’
令／′（则）＝0’得卿＝0.
当狐乞（ˉ1’0）时′′（则）＞0讽卯）单调递增;
当卯匡（0’＋由）时／′（则）＜0乳／（购）单调递减.
~
故／（绷）≤／（0）＝0’得证.
（2）不等梨卿2ˉl）ˉ／（狐」ˉl）
α（鳃2ˉl）—／（狐）
＞
~
习
｜
％2
帅勺-卯］
乙
即绷2［∧″2ˉ1）ˉ∧卯lˉ1）］ˉ“2＞ˉαˉ∧厕）
l
‖
Ⅺ2-勿｜
而匆2［∧则2-1）ˉ∧卯1ˉ1）］
』
-《砌勺
么
Ⅺ勺-卯］
鱼
Ⅺ2｛［ln卯2＋α（卿2ˉ1）］ˉ［ln″l＋α（则1ˉ1）］｝ˉ酗2（卿2ˉ绷1）
』
~~
卯2←卯1
~
~
物
—
川
∏
］
咆
—
驹
咆
—
川
∏
］
勺
←
卯
~
~
Ⅺ勺-卯l
么
％勺
—三-］
卯1
~
~
严
~
）
的
＋
’
●
厂
｜
｜
←
巨
购
～
—
狗
~~
′
令
·
《
越转化为对任意′e［詹’…）’存在膊匡（—1’…）’俊咎＞
’
、
工
成
恒
）
勿
∧
α
｜47〗∏!
「
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｜满分之路.导数］
厂
靡（凯№＞ˉαˉ∧〃）
,
~~
）
』
（
′
吕
则
’
枷
＿
门
~~
）
旷
（
吕
设
t-1-ln′
＞0（ln厕≤绷-1’在卯＝1时“＝”成立’证咯）
,
（tˉl）2
所以g（t）在』巨［e’＋的）上是增函数’
■
■
歹
巳
＿
剖
~~
）
巳
（
晋
~~
Ⅲ
■
■
』
Ⅲ
）
′
（
自
以
所
问题进一步转化为六＞—α＿／（财）＝ˉα（财＋l）—ln（“＋1）,
e
吕…｜h舶l）刮.
ln（鳃＋1）
分离参数得-α＜
卯＋l
］
—
剖
）
］
＋
卯
（
∏
］
e~
＋忌,则″（艘）
ln（卯＋1）
设h（卿）＝
~
（则＋1）2
冗＋『｜
●
］
］
—
剖
巳
~~
卯
口
‖
口
广
’
〗
—
剖
巳
~~
］
＋
卯
得
解
’
○
~~
］
＿
…
）
］
＋
卯
（
∏
］
今
‖
所以当厕巳（ˉl’eˉ.＝』ˉ1）时’h′（豹）＞0’h（鳃）在卯巨（≡1’eˉ.ˉl-1）上为增函数;
■
数
函
减
为
上
）
由
＋
’
］
】—剖●
（
巨
卯
在
）
卯
（
门
’
∩
‖
＜
）
卯
（
′
′
′
’
时
）
凹
＋
’
］
Ⅱ
—
副
巳
（
匡
卯
当
【
1
l
故∧（卯）max＝h（eˉ.＿l-1）＝e.ˉ! ,
1
即ˉα＜e丙’解得α＞
1~
-ee-1
~
~
1
综上所述,α的取值范围是（-e舌官丁’＋由）.
--了＿←一M8
｝＝
!
r.＝
~
卜
.
4
日
晶
,
虫…＂舟…忠…″ˉ.
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~
」第三章恒成立求参｜
~
［例40］已知函数∧施）二慈』＋（lˉ刨）撼2—α（硼＋2）蜒（“巨R）’g（鞭）＝÷—÷是否存在实数
α’存在则l巳［-1’1
］,卯2巳［0’2］’使得／′（卿l）＋2α卿l＝g（卯2）成立?若存在’求
出α的取值范围;若不存在’说明理由.
.解祈］
在［0,2］上g（缠）＝÷ˉ＋是增函数,故对于憋匡［0,2］,g（鳃）匡｜—＋,6｜
设h（则）＝／′（卯）＋2α卯＝3卯2＋2卵ˉα（α＋2）
’
雪爽匡［ˉl,l］时,h（燕）巨｜ˉα2ˉ2忽—＋’5—忽2ˉ2α｝
若存在匆1巨［ˉ1’l］’卯2匡［0’2］使得h（“l）＝g（则2）成立,
只妥｜—趣2ˉ2侧ˉ＋,5ˉo2ˉ2“｜∩｜＿＋,6｜≠o,
考虑反面’著｜—侧』＿2“＿十’5＿铡2ˉ2恤｜∩｜ˉ＋’6｜＝°,
则—十＞5—侧2—2“或6＜ˉ磁』＿2“—＋,
解得α≥—川孕或倒←1—匝
3
.
从漏腑求为ˉ1ˉ亨…＿」警卓
总结:］则l巨A’引匆2匡B’使得／（”l）＝g（缅2）成立等价于／（腮）的值域与g（卿）的值域相交
非空.
!
.
~~
］49
‖
＝
‖
＋｝
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满分之路.导数l
γ
’
＝
卯
〃
斗
［例4l］已知函数／（绷）＝
’则巳［0’1
］
2-卯
（1）求／（则）的单调区间和值域;
（2）设α≥1’函数g（卯）＝则3-3α2卿ˉ2α’卯巨［0’1
］.若对于任意则l巨［0’1
］’总存
在“0巳［0’l
］’使得／（卿l）＝g（“0）成立’求α的取值范围
.解析0
（M甄）-拦7o′′（粱）-ˉ（2卿—｜）（2＂＿7）
（2-卯）2
’
令f′（箍）≡0解得露!＝÷或鞠＝÷
今
当绷变化时’／′（卯）’／（卯）的变化情况如下表.
（＋’l
＼
）
1~
2
（0,＋）
0
｜
勿
／′（卯）
0
＋
丁
—
∑
~
刀
＼~
ˉ汕
／（卿）
-3
-4
所以讽x）的减区间为（0’＋）,增区间为（＋,l）歌（鞭）的值域为［—4’ˉ3｝
（2）g（卯）≡绷3-3α2卯-2α’则g′（卯）＝3（卯2-α2）
’
因为α≥l’卿巨［0’l］’所以g′（绷）＝3（卯2ˉα2）≤0’g（卯）在嘶巨［0,1］上为减函数’
从而当厕巨［0’1］时’有g（卯）匡［g（l）’g（0）］＝［ˉ3α2＿2α＋1’ˉ2α］
’
任给卯l匡［0’1L／（卯l）匡［ˉ4’ˉ3］’存在卯0巨［0’1］使得／（卯l）＝g（卯0）
’
铡［＋』］…—……｛Ⅲi麓墨…
解o式得侧≥l或舰≤ˉ÷;解@式得侧≤÷
3
又α≥1 ’故α的取值范围为1≤α≤丁.
总结:γ卯l巨A’】卯2巨B’使得／（卯l）＝g（卿2）成立’等价于｛／（卿｜）｜卿l匡A｝巨｛g（师2）｜卯2匡B｝
］印
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「第三章
恒成立求参｜
［题型3绝对值双任意与存在性问题］
［例42］已知函数∧财）＝em躯＋弧2ˉ′m.
（l）证明:／（狐）在（ˉ的’0）上单调递减’在（0’＋的）上单调递增;
（2）若对于任意卯l ’卯2巨［ˉ1’1
］
’都有｜／（卯l）ˉ／（卯2）｜≤eˉl’求″』的取值范围.
｜·解析0
（1）证明:法-:因为／（“）＝e′m＋卯2ˉ′n则’所以／′（匆）＝″』e″M;＋2卯—m＝″』（e′m—1）＋2卿’
／′（则）＝′∏2em则＋2＞0’
所以／′（则）在（—的’0）上单调递增’在（0’＋鲍）上单调递增’且／′（0）＝0.
所以厕巨（-鲍’0）时’／′（则）＜／′（0）＝0′（绷）在（-的’0）上单调递减;
卯巨（0’＋四）时’／′（则）＞／′（0）＝0肌绷）在（0’＋的）上单调递增.
法二:因为／（绷）＝e厕躯＋绷2ˉm则’则／′（卯）＝″le′m＋2卯ˉ″l＝″!（e′m＿l）＋2则.
情形一若′n≥0’则当绷巨（ˉ的’0）时扩′（卯）在（—的’0）上为增函数’且e加则-1≤（）’
／′（卿）＜0;当卿巨（0’＋鲍）时ˉ旷′（＂）在（0’＋的）上为增函数’且em绷ˉ1≥0旷′（匆）＞0.
情形二若′′l＜0’则当卯巨（ˉ的’0）时’e矾卿ˉl＞（）／′（卯）＜0;当卯巨（0’＋的）时’e′m》ˉl
Ⅵ
＜0’／′（匆）＞0.所以／（则）在（ˉ的’0）上单调递减’在（0’＋的）上单调递增.
（2）法-:由（1）知’对任意的′n扩（厕）在［—1’0］上单调递减’在［0’1］上单调递增’
故／（卯）在”＝0处取得最小值／（0）＝1扩（1）＞1扩（ˉl）＞1.
所以对于任意的则l ’则2匡［ˉl’l］
’ ｜∧卯l）ˉ∧加2）｜≤eˉl的充要条件为
「
设函数g（t）≡e′-j一e＋1’则g′（t）＝e′—1
］5］
［
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｜满分之路.导数｛
~
当0＜0时ˉ’g′（t）＜0;当t＞0时’g′（＄）＞0.
故g（′）在（ˉ的’0）上单调递减’在（0’＋的）上单调递增.
又g（l）＝0’g（ˉ1）＝eˉl＋2ˉe＜0’故当t巨［ˉl’1］时’g（t）≤0.
当′″巨［ˉ1’1］时’g（m）≤0’g（ˉ′n）≤0’即上式o成立;
当″l＞1时’由g（′）的单调性知g（″l）＞0’即有emˉ′Ⅶ＞eˉ1.
当″l＜-l时’g（ˉ″l）＞0’即eˉ肌＋m＞e-l
综上所述’m的取值范围是［ˉl ’l］
法二:由第一｜可得∧卯）在［ˉ1’0］上递减’在［0’l］上递增’
所以／（则）mm＝／（0）＝0’／（1）＞1扩（ˉl）＞l
所以γ匆l ’卯2巨［—l’l］
’ ｜∧匆1）—∧厕2）｜≤eˉ1等价ˉ于∧卿）maxˉ∧卿）min≤eˉ1’即
max｛／（—l）ˉ／（0）腮／（1）-／（0）
｝＝max｛eˉ厕＋′n,e厕ˉ′″｝≤eˉ1
’
下面讨论∧卿）max＝maX｛∧ˉl）’∧l）
｝＝maX｛eˉ咖＋l＋″』’e厕＋1ˉm｜
处理方案一:
令g（″l）＝／（1）—／（＿1）＝e厕ˉe—咖—2m’且g（0）＝0’则g′（″』）＝e咖＋eˉ″』ˉ2≥0’所以
g（′n）为增函数
所以当″l≥0时’g（m）≥0’得／（l）≥／（ˉl）
;
当m＜0时ˉ ’g（′″）＜0’得／（l）＜∧—l）
e′n＋1-m’m≥0’
｛…!…』
所以／（卯）max＝
当″』≥0时’由∧厕）max-∧则）mm≤eˉ1 ,得e厕-m≤eˉ1
］52
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「第三章恒成立求参｜
~
设hl（m）＝e咖ˉm,则力l ′（m）＝emˉ1≥0’hl（m）在［0’＋的）上为增函数’em＿m≤eˉ
1’即h1（m）≤hl（1）’得0≤m≤1;
当″』＜0时’由∧卯）max—∧鳃）min≤eˉl ,得eˉ咖＋″!≤eˉl’
设h2（″』）＝eˉ砸＋′′!’则′j2′（″』）＝-eˉm＋1＜0’h2（m）在（ˉ的’0）上为减函数’eˉ″!＋
加≤eˉ1’即／l2（m）≤h2（＿I）’得ˉ1≤m＜0.综上得′n巨［ˉ1,l］
处理方案二（绝对值的定义）
:
／（1）-／（ˉ1）≡em-eˉm-2″l’今g（m）≡em-eˉm-2′″’且g（0）＝0’则
g′（′厕）＝em＋e＿咖-2≥0’g（m）为增函数
所以当m≥0时’g（′n）≥0’得／（1）≥∧ˉ1）;
当m＜0时’g（m）＜0’得∧1）＜／（ˉ1）.
e观＝m＋1 ’m≥0’
［……毫＂—…‖1
所以／（绷）max＝maX｛／（1）讽ˉl）｝＝
今F（″l）＝e″』帚″!（″!≥0）’则／′（m）＝emˉ1≥0’所以F（m）在［0’＋由）上是增函数’
■
所以由F（
｜′〃｜）≤F（1）得到ˉ1≤″!≤1
综上得m巨［ˉ1’1］.
］53
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回
｜满分之路.导数｝
~~
［例43］已知卯＝3是函数／（厕）＝（“2＋α厕＋b）e3ˉ愿（卿巨R）的＿个极值点.
（l）求α与b的关系式（用α表示b）’并求／（缅）的单调区间;
乃
—
斗
＋
】
α
／
』
』
‖
‖
‖
｀
｀
）噎攘若存在蜒｜’趣巨［0,4］使得｜／（露｜）ˉg（鞠）
｜＜l成
（2）设α＞0’g（卯）＝
立’求α的取值范围.
｜·解析合
（1）／′（卿）＝ˉ［卯2＋（αˉ2）嘶＋bˉα］e3—卿’
由／′（3）＝0’得b＝-3-2α
／′（卿）＝ˉ［购2＋（αˉ2）匆＿3-3α］e3ˉ“＝ˉ（卯ˉ3）（则＋α＋1）e3—则’
今／′（厕）＝0’解得卿l＝3’则2＝ˉα＿1,
由于几＝3是极值点,
所以-α-1≠3’得α≠-4.
所以当-α-1＞3,即α＜-4时’
当厕巴（-的’3）时ˉ ’／′（卿）＜0扩（厕）在（ˉ的’3）上单调递减;
当厕巨（3’ˉ1ˉα）时’／′（厕）＞0鳃／（卯）在（3’ˉ1ˉα）上单调递增;
当绷匡（ˉlˉα’＋由）时旷′（狮）＜0√（绷）在（＿1ˉα’＋鲍）上单调递减
当-α-1＜3’即α＞-4时,
当α巨（ˉ的’ˉl＿α）时’／′（卯）＜0扩（则）在（ˉ的,-1-α）上单调递减;
当卯巨（ˉ1—α’3）时’／′（狐）＞0’／（卯）在（ˉ1ˉα’3）上单调递增;
当厕巨（3’＋的）时旷′（卿）＜0矾卯）在（3’＋的）上单调递减.
］“
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」第三潭恒成立求参｝
（2）由（1）可知’当α＞0时扩（卯）在（0’3）上单调递增’在（3’4）上单调递减’
那么／（狐）在区间［0’4］上的值域是［min｛／（（））’／（4）M（3）］
’
而∧0）＝ˉ（2α＋3）e3＜0鬼／（4）＝（2α＋13）eˉl＞0’∧3）＝α＋6’
那么／（则）在［0’4］上的值域为［ˉ（2α＋3）e3 ’α＋6］
又g（鳃）三（似2＋￥）镭墨在［0,4］上是增函数,
所以g（腮）在［0,4］上的值域是｜“硼等’（侧2等）筐粤｜,
由于（鹏2＋等）—（α＋6）二（α＿÷）2≥0,
′
所以只需（α2＋等）ˉ（α＋6）＜l且侧＞0’
●
〕
—
∑
＜
α
＜
∩
≡
得
解
敛侧的取值范圈是（0,÷）
总结:“存在则l ’〃2巨［0’4］使得｜／（豹l）ˉg（卿2）
｜＜1”等价于“ ｜／（卯l）ˉg（则2）
｜
＜1’’ ’而
∏l1n
｜／（卿l）ˉg（则2）｜min要通过∧则）与g（则）的值域来得到
『
｛55
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｜满分之路。导数l
［题型4双量词问题］
2
［例“］已知函数／（则）＝-匹＿（′＂＞0）.
卯＋′『0
（l）若存在如＞0使／（卯）＞卯ln（“＋″』）’求实数″!的取值范围;
（2）证明:存在实数厕0’当匆＞“0时抓卯）＞2ln则.
｜·解析0
析
（l）存在则＞0’使／（卯）＞厕ln（则＋m）’即—尘
见＋′n -ln（则＋′′!）＞0.
1
-勿
■二
今h（则）＝—兰
卯＋′∏
≤0在（0’＋的）上恒
成立’
所以h（绷）在（0’＋切）上是减函数’故h（卯）＜h（0）＝-lnm
因为存在卯＞0’／l（″）＞0’所以ˉlnm＞（）’所以0＜m＜l’即″』巨（0’1）.
2
（2）令g（匆）＝-业＿ˉ2ln则’
卯＋′7l′
因为g（卯）＝-止ˉ2ln厕＝绷ˉ′n＋—Ⅱ1上ˉ2ln卯＞卯—″』ˉ2ln狐’
卯＋刀t
卯＋′70
记甲（卯）＝卿ˉ″』ˉ2ln则’故只需证明:
存在实数则0’当＂＞卯0时’甲（厕）＞0’@（卯）＝则ˉmˉ2ln卯＝卿—2√厉ˉm＋2（√厉ˉln卿）.
设m（躯）-低＿l＂鞭（躯≥0）测腮｜（露）-导当0…4时’＂｜（鳃）＜0省瓣＞4时｀
′′l′（卿）＞0’所以m（卯）min＝′n（4）＝2ˉ2ln2＞0.
又由厕ˉ2√万ˉ″!≥0’解得√万≥1＋｀／而丁T’
取卿0＝（1＋√丽ˉ干ˉT）2’则当卯＞如0时’恒有甲（购）＞0’则g（卯）＞0’
即存在实数卯0’当卿＞卯0时’恒有／（卿）＞2ln卯成立.
］函
:工1
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卯
』
∑
勿
］
—
∑
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）
勿
（
自
’
几
巳
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）
α
卯
（
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）
卯
∧
］
知
已
］
日
斗
例
［
毕
（l）当α＝3时’若函数／（卯）在（0扩（（）））处的切线与函数g（卯）相切’求实数b的值;
（2）当α＞0,6＝α—l时,记h（愿）＝／（嘶）—αg（膊）证明; 当0＜α＜＋时,存在鳃0巨（lⅢ
4
~~
α’＋由）’使得h（卿0）＜0.
｜·解析0
（1）当α＝3时j（卯）＝（则ˉ3）e卿旷′（厕）＝e躯＋（则ˉ3）e氮＝（卯ˉ2）e厕’
所以／（0）＝ˉ3／′（0）＝ˉ2’故切线方程为y＝ˉ2则ˉ3.
设切线与g（则）相切的切点为（卯0’-2则0-3）
’
’
〕
○
卯
勺
▲
’
∑
＝
○
卯
—
＿
』
』
∑
‖
卯
‖
几
］
—
∑~~
~~
＼
‖
／
‖
＼
／
卯
◎
卯
（
′
（
吕
吕
｜
组
程
、
万
足
蒲
■
可
』
∏
故
解得匆0＝±√6’故b＝±√6＋2
~~
’
卯
）
］
α
（
旦
卯
］
—
∑
~~
）
卯
（
吕
’
卯
巳
）
α
卯
（
~~
）
卯
∧
●
■
明
证
）
∑
（
’
卯
）
］
α
（
α
＋
∑
卯
α
］
—
∑
冗
巳
）
α
卯
（
~~
）
卯
（
力
以
所
则h′（卯）＝e“＋（卯ˉα）e鳃ˉα则＋α（αˉ1）＝（e箍ˉα）［卯—（αˉ1）］
’
令″′（α）＝lnαˉα＋1’则m′（α）＝ˉLˉ1＞0’
α
解得α＜1
’
~
~
~
所以m（α）在α巨（0’1）上单调递增’在α巨（1’＋酌）上单调递减.
所以″!（α）max＝′n（1）＝0’
］57
~
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｜满分之路.导数l
~
所以lnα-α＋l≤0,即lnα≤α-1恒成立’
所以h′（卯）＞0’解得卯＞αˉ1或则＜lnα’
所以h（卯）在卯巨（lnα’αˉl）上单调递减’在卿匡（αˉl’＋由）上单调递增’
∑
＼
／
＜
Ⅱ
α
（
α
］
—
么
＋
］
α
●
~~
）
］
α
（
∧
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Ⅻ
·
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Ⅲ
）
卯
（
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以
所
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可
ˉ
『
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●
●
』
飞
且
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）
卯
（
∧
’
时
＼
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／
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▲
’
○
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‖
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□
‖
｀
只需证当α巴
’
）
］
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〔
斗
∑
α
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∑
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］
α
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α
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α
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α
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∑
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α
巳
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（
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’
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成
恒
○
＜
∑
α
］
＋
］
α
巳
~~
）
α
′
′
（
中
所以帜′（铡）在侧巨（0,寸）上单调递咸
圈为帜′（0）-÷ˉ÷＞0,鹏′（寸）＝壶＿噎—÷＜0,
所以〕α0巨（0’＋）’使得驴′（α0）＝0,
~
）
］
＋
○
α
〃
斗
∑
·
α
∩
〕
（
］
—
∑
~~
］
·
α
巳
以
所
所以孵（侧）在侧匡（0’“0）上单调递增’在触匡（“＂’＋）上单调递减’
◎
α
／
Ⅱ
‖
＼
］
＿
∑
~~
所以鹏（α）…≡帜（酗0）＝嚷憾,ˉ｜十告“＂（α0—l）2＝÷（α;ˉ5α;十5α＂
ˉ1）
l）（α;ˉ4α0＋1）＜0’证毕.
］58
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第四章双变量不等式
第0‖讲双元不等式证明之主元法
回｜知识纵横
~
~
含参变量的不等式证明问题,将参数与变元换个位置,即把参数转化为主元
C典型例题
［例1］已知函数／（勿）＝ln（卯＋l）ˉ则’g（则）＝狐ln卯.
（l）求函数j（匆）的最大值;
（2）设0…b.证明0≤g（忽）＋g（b）—2g（竿）＜（b＿“）｜＂2
｜9解祈0
（l）函数／（卯）的定义域是（ˉ1 ’＋酌）
’
圈为／（露）＝｜＂（叶1）＿鳃’所以f′（躯）二击ˉl
令／′（卯）＝0’解得卯＝0’
当卯巴（ˉ1’0）时扩′（厕）＞0典／（则）在卯巨（帝1 ’0）上单调递增;
当绷巨（0’＋的）时旷′（卿）＜Q／（卿）在卿巨（0’＋的）上单调递减.
故／（绷）max＝／（0）＝O
（2）证明:法-（主元法）
:
因为g（则）＝则ln厕,所以g′（卯）＝ln厕＋1.
将b看作主元’
’
）
∩
～
＞
α
＞
卯
（
’
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（
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∑
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匡
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｜
←
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←
←
卜
则′′（瓣）＝g′（狮）—g′（宁）＝｜＂瓢＿l＂宁
当厕巨（α’＋的）时’F′（卿）＞0,F（“）在（α’＋鲍）上为增函数
从而’F（厕）mjn＞F（α）＝0’
因此F（b）＞F（α）＝0’
）
β
＋
’
≈
α
（
自
∑
即0＜g（α）＋g（b）
设G（卯）＝F（鳃）-（卯-α）ln2’
则G′（卯）＝ln卯-ln（绷＋α）.
当卿巨（0’＋由）时’G′（卯）＜0’G（匆）在（0’＋“）上为减函数.
因为G（α）＝0’
所以G（b）＜0’
鼠′g（幽）＋g（b）—2g（竿）＜（bˉ＂）l＂2
法二（放缩法）
:
2b
（α芋）二α｜＂
∏
］
α
~~
）
呻
＿
∑
（
吕
∑
）
β
（
臼
…
＋
）
α
（
吕
蒜＋仙n丝
α＋b
α＋blnb—（α＋b）ln
由（1）的结论知ln（卯＋1）＜卯（卯＞-1’卿≠0）’
曲题设0＜…,得ˉl＜导＜0,等≥0,
圃此｜＂—2坠＝｜＂（!＋漂）＞一万,
b-α
α＋b
!＂ˉ2上＝—h（l十导）＞一页厂
α-b
α＋b
所以侧ln盖十6｜＂盖＞＿罕罕二α
又急＜宁’所以“｜n急＋6｜＂盖＜αⅢn祟＋川n盖二（6—α）h盖＜（b—“）ln2
蠕上所述’0≤g（舰）增（b）ˉ2g（宁）＜（b—“）ln2
｝干｛声
↓→ˉ;兰一ˉ↓.
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』第四章双变量不等式｝
ln卯—1
［例2］（2018 .朝β日一攘）已知函数／（卯）＝
—α几
卯
’
时
勺
▲
~~α
当
＼
‖
／
‖
』
〃
『
＼
（
i ）求曲线γ＝／（卿）在点（l ,／（1））处的切线方程;
（Ⅱ）求函数／（则）的单调区间;
（2）若1＜α＜2’求证:／（则）＜-1.
·解析0
（1）当α＝2时熙／（卯）＝ln勿ˉ1
卯
则／′（卯）＝-2卯2-ln卯＋2
勿2
＿2卯,
（
l ）／（1）＝ˉ3’k＝／′（1）＝0’所以曲线γ＝／（则）在点（M（l））处的切线方程为γ＝ˉ3;
（jl）今g（卿）＝ˉ2卯2-ln卯＋2’
因为g（厕）在（0’＋“）上为减函数’且g（1）＝0.
所以当卯巨（0’1）时’
g（厕）＞0扩′（加）＞0√（匆）为增函数;
当绷巨（1’＋由）时’
g（″）＜0扩′（卯）＜0′（勿）为减函数
综上所述’函数／（则）的单调增区间为（0’1）’单调减区间为（1’＋的）.
（2）证明:法-（主参换位）
:
若1＜α＜2扩（卿）＜—1’
ln卯＝l
等价于—α卯＋
＋l＜0.
卯
将α看作主元.
ln卯-l＋1’
设／b（α）＝-α卯＋
卯
则h（α）在α巨（1’2）上为减函数’
ln卯-l
所以h（α）＜h（1）＝-卿＋
卯
＼
‖
■
□
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『
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］
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（
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’
≈
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但
∑
≤
°
勺
≈
＋
（卿巨（0’＋的）’ln狐≤则—1证咯,注意@和@的取等条件不同）
综上所述’若1＜α＜2’／（则）＜-l.
］6］
乔
‖
～
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｛满分之路.导数［
法二（指数处理技巧＋隐极值点代换消参）
:
绷巨（0’＋的）√（卿）＜ˉl’等价于α匆2ˉ卿ˉln卯＋1＞0.
设h（则）＝α则2-则ˉln则＋l
’
则h′（卯）＝2α卯ˉ1ˉ上＝2α卯2ˉ卯ˉ1
卯
卯
由l＜α＜2’得2α卿2-卿ˉ1＝0有异号两根’
又卯e（0’＋的）
’
）
■
』
—
勺
～
（
′
门
且
＝α-3＜0’h′（1）＝2αˉ2＞0’
所以存在唯ˉ的躯0巨（＋,l）’使得2“咐ˉ露0ˉl二0,
所以当卯巨（0’则0）时’
h′（卯）＜0’h（卿）在嘶e（0,卯0）上为减函数;
当卯e（卯0’＋由）时’
h′（则）＞0’h（厕）在厕e（卯0’＋的）上为增函数.
所以h（则）min＝h（绷0）＝α则;ˉ绷0ˉln卯0＋1（＊）
’
又2α狮;ˉ购0ˉl＝0’
慑′“;二罕,将粪代入（＊）,得
-卯0＋3
~~
］
＋
◎
卯
∏
］
‖
卯
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＿
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Ⅱ
■
■
』
Ⅲ
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（
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｀
□
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『
『
′
■
】
』
’
］
—
’
＝
（
-ln卿0在卯0巨
上为减函数’
2
所以h（蜒）恤＞＿÷＋3＿lnl＝l＞α
综上所述’若1＜α＜2机卯）＜-l.
］62
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「第四章双变量不等式｝
［例3］已知函数／（卯）＝（α卯2＋绷＋α）e—躯（α巴R）
（1）若α≥（）’函数／（卯）的极大值为旦,求实数α的值;
e
（2）若对任意的α≤0’j（卵）≤bln（则＋1）在卯巳［0,＋的）上恒成立,求实数b的取值
范围
·解析0
（l）由题意旷′（卯）＝ˉα绷2＋（2α-l）则＋（1-α）
e九
［α腮＋（1ˉα）］
. （ˉ勿＋l）
~
~
e九
-卯＋l
＝0’解得卿＝l
当α＝0时’令／′（卯）＝
冗
e
所以当则巨（ˉ鲍’l）时’
／′（卯）＞（M（卿）在（ˉ由’l）上单调递增;
当鳃匡（1’＋的）时扩′（“）＜0,
／（卿）在（l’＋助）上单调递减.
所以／（″）的极大值为／（1）＝上≠兰’不合题意
e
e
『
当α＞0时’令／′（卿）＝0’
解得则＝lˉ—L或绷＝1
α
（
在
）
勿
∧
’
∩
＝
＜
）
卯
（
′
／
’
时
）
‖
Ⅱ
＿
α
］
’
的
（
＋）
ˉ。c ’lˉ方｜上单调递减;
所以当卯巴
雪鳃匡（lˉ＋,l）时扩′（鳃）＞M露）在（l—÷,l）上单调遥增;
当绷巴（l’＋的）时’／′（绷）＜Q／（卯）在（1’＋的）上单调递减
所以∧卯）的极大值为∧1）＝2gˉ±1＝旦’解得α＝1
e
e
综上所述,α＝1。
］63
b
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｜满分之路.导数1
（2）将α当作主元.
∧厕）＝（卯2＋l）eˉ“ .α＋则.eˉ氮’
今g（α）＝（卯2＋1）e＿鳃.α＋“.e＿缅’
则g（α）在α巨（ˉ的’0］上单调递增’
故g（α）＝（卯2＋l）e＿鳃.α＋绷.e＿躯≤g（0）＝厕.e—鳃.
原不等式转化为勿·eˉ鳃≤bln（卯＋1）对γ卯匡［0’＋的）恒成立
情形一当b≤0时’V厕巨［0’＋的）
’
bln（卯＋1）＜0’则.e—“＞0’
此时则. e＿“＞bln（卿＋1）’不合题意.
情形二当b＞0时’
令h（卯）＝6ln（卯＋1）-卯.eˉ绷’′l（0）＝0’
则h′（厕）＝-坚1ˉ二丝＝
Ⅱ刊
·』
（叶｜》詹‖…2＿｜）』
其中γ卯巨［0’＋的）’（厕＋l）.e卯＞0恒成立’
令p（卿）＝be绷＋躯2ˉ1’卿巨［0’＋的）
’
则p（厕）在［0’＋的）上单调递增.
司
刮
刮
引
叫
叫
闺
■
弓
』
三
吨
→
叶
o当6ˉ1≥（）’即b≥1时’p（卯）≥p（0）＝bˉ1≥0’
所以h′（则）≥0’h（则）在［0’＋的）上单调递增’所以γ则巨［0’＋的）’h（躯）≥∧（0）＝0恒
成立;
@当0＜b＜l时’因为p（0）＝bˉ1＜0’p（1）＝be＞0及p（卯）在［0’＋的）上单调递增’
所以存在唯一的勿0巳（0’1）使得p（则0）＝0’且卿巳（0’绷0）时’p（厕）＜0’
从而卯巨（0’卯0）时,h′（卯）＜0’h（卯）在区间（0’匆0）上单调递减’
故h（“）＜内（0）＝0,不符合题意.
综上所述,b≥l.
才
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］第四章双变繁不等式｝
［例4］已知函数∧鳃）＝＋慈2—αl＂＂
（l）若函数／（狮）在｜÷,＋函）上单调递增｀求实数侧的取值范围
（2）若函数／（匆）有两个零点’求实数α的取值范围并说明理由;
（3）设正实数ml ’″l2满足″』l＋″』2＝l ,当α＞0时’求证:对任意的两个正实数卿l
’
购2’总有∧ml厕l＋m2卯2）≤m1∧卿l ）＋m2／（厕2）成立;
（4）当α＝2时,若正实数卯1 ’卯2’匆3满足绷1＋“2＋则3＝3’求／（则l）＋／（卯2）＋／（则3）的
最小值
·解析0
α
（1）由题意得旷′（则）≡虹-—’
卯
闺为函数′（鳃）在｜÷’…）上单调递增’教f′（鳃）三鳃ˉ÷≥0在｜÷,十” ）上恒成立’
］
—
斗
≥
∑
卯
’
时
＼
‖
■
】
【
□
〗
′
′
的
＋
’
］
—
∑
］
—
斗
≤
α
以
所
［
分离参数可得’α≤卯2的最小值’又则巨
α
（2）因为卯匡（0’＋的）旷′（则）＝匆ˉ—’
卯
若α≤0时扩′（匆）＞0’
／（则）为增函数’至多有一个零点;
若α＞0时’今／′（卯）＝0’解得则＝亿（舍负）.
当厕巨（0’亿）时,／′（狐）＜0讽卯）为减函数;
当m巨（√I’＋“）时扩′（则）＞0√（卯）为增函数.
所以∧蕊）恤＝′（亿）＝÷α＿÷…≡÷“（lˉl＂侧）
要使函数j（卿）有两个零点’根据零点存在定理’需要做三件事.
首先｀∧亿）-÷α（lˉln刨）＜0’解得…;
下面证明α＞e’“匡（0’伍）和“匡（伍’＋鲍）时鳃／（缅）各有一个零点.
先证匆巨（0’√而）时矾绷）有一个零点.
｛≡.
＝
『
‖ 65
~~~~~
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′满分之路·导数l
闺为／（l）二÷＞0,所…（0,√D时沁）有唯＿个零点;
再证卯巨（√而’＋鲍）时’／（则）有一个零点.
′（绷）≡÷狐2—α｜n蹦＞昔狮2ˉα（獭ˉl）＞÷躯2—α燕（躯巨（l ,…）,l…鞭—』证咯）,
∧2侧）二＋（2磁）2ˉ灿＂2α＞÷（2α）2ˉ娜（2舰）-α
所以卯巨（｀／J’＋吨）时典／（卯）有唯一一个零点.
综上所述’α＞e时’函数∧卯）有两个零点.
（3）证明:定义域狐e（0’＋的）.
／（ml厕l＋′＂2则2）≤′厕1／（厕l）＋m2／（“2）等价于／（ml卯l＋″l2卯2）ˉ′＂l／（卿l）ˉm2／（匆2）≤0
不妨设0＜卿l≤鳃2,以卯1为变量’
令F（则）＝／（ml则＋m2卿2）—ml／（厕）ˉm2／（厕2）’卯巨（0’则2］
’
则F′（卯）＝ml／′（″ll卯＋矾2卯2）—″』l／′（卯）＝″』1［／′（ml卿＋″』2师2）ˉ／′（厕）］
’
又′（鳃）＝÷躯2ˉo｜＂躯’所以′』（躯）＝蜒十子（铡＞0）为增函数
因为ml＋′∏2＝l ’所以″』l购＋m2厕2ˉ厕＝″』2卯2一（1ˉ′nl ）卯≡″!2则2-m2则＝″』2（则2ˉ则）≥
0’所以／′（ml卯＋m2绷2）≥／′（绷）’即F′（厕）≥0’
所以F（卯）在（0’绷2］上为增函数.
又F（则2）＝／（″′l卯2＋m2匆2）ˉ″!l／（卯2）ˉm2／（卯2）＝／（则2）ˉ／（厕2）＝0’
所以F（狐）≤F（卯2）＝0’即F（绷l）≤F（则2）＝0.
综上所述’总有／（′nl卯l＋m2躯2）≤′＂1／（卯l）＋m2／（“2）成立.
（4）当侧二2时,函数／（蕊）二÷鳃』—2!＂鳃则′′（露）＝腮ˉ了,
2
由（3）可知／（ml卯｜＋m2卯2）≤ml／（卿l）＋m2／（则2）
’
所以川）-（鳃｜十铲鳃』）≤扒｜）审（鞠）制鞠）-＋［／（鳃｜）矾淘）叭鞠）］
｀
慑M腮｜）＋′（绷2）＋∧撼』）≥驯l）＝÷,则∧露｜）十∧鞠）＋∧缠』）的最小值为÷
］“
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1第四章双变量不等式｜
［例5］已知函数∧狐）＝e躯—厕ˉl
（1）设g（绷）＝／（卿）-／（ˉ卿）’对任意卯l ’厕2巴R（则l＜则2）,恒有g（厕2）-g（撕l）
卯2-几l
＞″!成
立.求实数m的取值范围;
（2）若正实数′Ⅶl ’m2满足ml＋m2＝1’
卿l ’则2巳R（＂l≠卯2）.试证明:／（ml则l＋m2则2）＜
′nl／（厕l）＋m2／（卯2）;并进—步判断:当正实数ml ’m2’…’′″厕满足ml ＋m2＋…
＋〃』″＝1（′!巨N’″≥2）,且卿1 ’厕2’…’绷＂是互不相等的实数时,不等式／（m1卯l＋
′Ⅶ2绷2＋…＋m″绷厕）＜″ll／（卿l）＋′n2／（卯2）＋…＋″!雁／（卯＂）是否仍然成立.
｜·解祈0
（1）由g（卯2）ˉg（绷l）＞m’且卯1＜厕2’变形得g（卿2）-′砸2＞g（卯l）-m厕l .
卯2—卯l
令函数h（卯）＝g（卯）ˉm卿’则h（卿）在R上单调递增’
所以∧′（则）＝g′（卯）ˉm≥0’即′′l≤g′（则）在R上恒成立.
g′（卿）＝／′（厕）＋／′（ˉ卯）＝e厕＋eˉ“ˉ2≥0（当且仅当卿＝0时取“＝”）.
所以m≤0.
（2）证明:法—:定义域腮巨（0’＋@）.
／（矾l卯l＋m2卯2）＜ml∧卯l）＋m2／（则2）等价于／（ml则l＋m2卯2）ˉml／（则l）ˉm2／（卯2）＜0.
不妨设卯l＜卿2’以″l为变量’令F（厕）＝／（m1则＋m2卯2）ˉ″!l／（卯）ˉm2／（卿2）’卯巨（-的’则2）
’
则F′（卿）＝′7l1／′（ml卯＋m2卯2）-′′ol／′（卿）二ml［／′（ml则＋m2卯2）-／′（“）］
又／（卯）＝e厕ˉ则ˉl’所以／′（则）＝e鳃ˉ1为增函数.
因为ml＋m2＝1’则ml卯＋m2“2ˉ则＝m2卯2ˉ（1ˉm1）卯＝″02卯2ˉm2则＝″!2（匆2ˉ师）＞0’
所以／′（ml绷＋″l2卿2）＞／′（则）’即F′（卯）＞0’
所以F（则）在（ˉ的’绷2）上为增函数’又F（卯2）＝／（″l1狐2＋′＂2加2）-′＂l／（卿2）-″!2／（厕2）＝
／（卯2）ˉ／（则2）＝0’所以F（卯）＜F（则2）＝0’即F（卯l）＜F（″2）＝0.
综上所述’总有∧ml卯l＋m2卯2）＜ml∧卿l）＋m2／（卯2）成立.
法二a／（ml则l＋∏h卿2）＜ml／（卯l）＋m2／（卿2）等价于／（ml卯l＋m2卿2）ˉml／（“l）ˉm2／（卿2）＜0.
］67＿
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P
满分之路.导数l
不妨设卯l＜则2’由正实数ml ’m2满足m1＋m2≡l得:
／（′nl卯l＋m2卯2）ˉml／（厕l）ˉm2／（勿2）
＝em!缆!＋厕2卯2ˉ（″!l卯l＋m2厕2）-1-′nl（e鳃lˉ则l—1）-m2（e则2-勿2-1）
＝e矾l卯l＋m2卯2-∏0le勿1—m‘2e冗2
＝e鳃l（e（m!ˉl）氮l＋m2甄2-m!-m2e躯2ˉ卿!）
＝e卿l （em2（卿2ˉ鳃l）ˉ1＋m2ˉm2e购2ˉ绷l）.
其中e则l＞0’故上式的符号由因式em2（鳃2＿鳃｜）-1＋m2ˉ″l2e厕2ˉ窥!的符号确定.
令t＝则2ˉ则l ’设∧（t）＝em2!-1＋m2-m2e′（t＞0）
’
则h′（』）＝m2em2′ˉm2e′＝′′o2e‘（e（m2ˉ1）′-1）
’
由（″!2-l）′＜0’得e（m2ˉ1）t-l＜0’故h′（t）＜O
即h（t）在（0’＋的）上单调递减’且h（0）＝0’所以h（‖）＜0.
从而有∧ml卯1＋m2则2）＜ml∧卯l）＋m2／（卯2）成立.
该不等式能吏迸一步推广:
当正实数m1 ’′n2’…’m＂满足ml＋m2＋…＋m＂＝l（″巨N’′l≥2）’且卯1 ’厕2’…’则〃是互不相
等的实数时’不等式／（″!l则l＋m2卯2＋…＋″!n绷″）＜′＂l／（则l）＋″′2／（卿2）＋…＋″』鹏／（厕″）成立.
下面用数学归纳法加以证明:
（
l ）当″＝2时’由前面证明可知上述不等式／（″ol卿l＋″l2”2）＜″!l／（则l）＋m2／（″2）成立;
（ll）假设当n＝A（∧≥2’∧巨N＊）时’上述不等式成立.
即有／（ml则l＋m2卯2＋…＋mk卿片）＜″』l／（卯l）＋m2／（则2）＋…＋mk／（卿k）.
则当Ⅶ≡k＋1时,由ml＋m2＋…＋m∧＋mk＋｜＝1 ,
′∏1
凸
″l勺
得1-∏!′t＋l
1—′′』片＋l
＋
＋· .·＋
『n片
●
］~~
l-mk＋］
（｜＿＂阿蔚｜十l—腮州露’←疗＋
′n2
于是有
＜
｀
〗
〖
■
】
】
』
′
′
Ⅲ
∩
％
m′k
l-″〗八＋l
′n1
′（獭!）.卜l—荒｜／（卿2）＋…＋
′n∧
洲
1-m∧＋l
财人）
l—m八＋l
］68
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］第四章双变舅不等式｜
■
在该不等式的两边同时乘以正数1ˉm片＋l可得
（］ˉ′鹏赔｜）／（
『∏l
｀
′网k
）
儿∧
l-mk＋l
′Ⅲ2
＜ml／（卿l ）＋m2／（卯2）＋…＋
卯1＋1-mk＋1
l-m片＋l
卯2＋
＋
mk／（卿∧）·
在此不等式的两边同时力口上mk＋l∧卯∧＋l）又可得
（｜ˉ…）′（｜ˉ冤刊
］ˉ卿剧
m′2
尤1＋
—卯2＋…＋
m2／（厕2）＋…＋mk／（卯片）＋m片＋l／（厕片＋l ）.
该不等式的左边ˉ再利用（
l ）的结论可得
＼
□
□
】
】
』
『
′
′
〗
∏
卯
『∏k
＋″l片＋l／（购∧＋l ）＜″』l／（则l）＋
1-矾k＋1
）
（｜ˉ冤刹闷十｜ˉ!匙i……带｜ˉ…氮‘ ＋…′（篮除｜）＞∧脚』绷｜＋
′》I′∧
（l ˉmk＋l ）／
m2则2＋…＋m∧卿k＋m∧＋1靴＋1）.
整理即得／（ml卯l＋m2卯2＋…＋m片＋l卯∧＋l）＜ml／（卿l）＋m2／（绷2）＋…＋加R＋l／（卯片＋l）.
所以’当′l＝A＋1时’上述不等式仍然成立.
综上所述’当正实数m1 ’m2’…’m鹏满足″ll＋″』2＋…＋m侧＝1（′l巨N’＂≥2）’且卯l ’“2’…’
财″是互不相等的实数时’不等式／（″』l卯l＋″』2卿2＋…＋m＂则厕）＜ml／（卯l）＋′n2／（则2）＋…
＋m鹏／（＂厕）成立.
拓展:
琴生不等式在高考中的命题:
对于（α’b）内的下凸函数j（卯）’若αl＋α2＋…＋α厕＝1’有
≤d丑）＋／（″2）＋…＋／（鳃″）;
（露｜带陶弗…↑
＂
@琴生不等式:
@加权琴生不等式扩（αl卯1＋α2卯2＋…＋α＂匆厕）≤αl／（匆l）＋α2／（卯2）＋…＋α雁／（卯″）;
◎加权琴生不等式:
（入｜》广懈叶鳃.≤M撼!）刺jγ川A似翰）
）
69
‖
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.满分之路.导数］
第02讲双变量最值
回｜知识纵横
问题含双元变量最值的处理
O典型例题
［例6｜已知函数∧腿）＝′′（1）懂←｜ˉj（0）狮＋÷鳃乳
（l）求函数／（卯）的解析式及单调区间;
（2）若不等式′（狮）≥÷2十…b』阻成立,求（叶l）h的最大值
｜.解析D
（l）／（躯）＝／′（l）e鳃ˉ」ˉ／（0）躯＋＋箍2,则／′（则）＝／′（l）e甄＿｜ˉ／（0）＋蜒,
～
（‖｜犁…
把则＝l代入／′（绷）’把卯＝0代入／（卯）可得
‖｝‖厂上~
解得
所以′（鞭）→蕊＋告鳃2,
／′（卿）≡e施＋卯ˉl’且／′（0）＝0’
／′（卿）在R上单调递增’
所以当卯匡（ˉ鲍’0）时’／′（则）＜0’／（卯）在（ˉ的’0）上单调递减;
当卯巨（0’＋的）时’／′（0）＞0’／（卯）在（0’＋的）上单调递增.
故／（卿）的单调递减区间是（-鲍’0）’单调递增区间是（0’＋的）.
］7O
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l第四露双变篱不等式｜
（2）∧撼）≥券2＋“＋』等价于瞳霸＿叶＋剿2≥吉鳃』…b｀
即（e“ˉ卯ˉm-b）mn≥0’
设g（卯）＝e颠ˉ卯ˉα卯-b’则g′（厕）＝e绷-（α＋1）
’
当α＋l＝0时’可得（α＋1）b＝0;
当α＋l＜0时’则对任意实数b’当卯＜0’
且蜒-剧时,可得e蕊＿（侧＋1）…ˉ1…』’
因此e″-绷—α卯-6≥0不成立;
当α＋1＞0时’令g′（卿）＝0’解得加＝ln（α＋1）
’
所以当卿巴（—的’ln（α＋1））时’g′（″）＜0,g（卯）在（ˉ鲍,ln（α＋1））上单调递减;
当厕e（ln（α＋1）’＋的）时’g′（卿）＞0’g（卯）在（ln（α＋l）’＋的）上单调递增.
所以g（卯）min＝g［ln（α＋1）］＝α＋1ˉln（α＋l）ˉαln（α＋1）ˉb≥0’
所以b≤α＋l-（α＋1）ln（α＋1）
’
故（α＋］）b≤（α＋1）2-（α＋1）2ln（α＋1）.
下面求（α＋1）2-（α＋1）2ln（α＋l）的最大值.
令t＝（α＋1）2’
设h（‘）二』—dn′＝』ˉ÷dm（』＞0）,
则″（庶）＝l—÷（l＋ln』）二÷（lˉⅢ＂』）’
今h′（‖）＝0’解得t＝e.
所以当t匡（0’e）时’h′（r）＞0’h（‖）在（0’e）上单调递增’
当r巴（e’＋由）时’h′（t）＜0’h（t）在（e,＋“）上单调递减.
所以h（‘）…二偷（障）-÷窿,:′（侧十』）h≤÷
综上所述,（α＋l）h的最大值为÷
］7］
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｛
‖满分之路.导数‖
~~
［例7］已知函数／（“）＝ln卯ˉα卯＋b’其中α’b巴R.
（1）求／（绷）的单调区间;
（2）若α＝l
’ b巳［0’2］’且存在实数k’使得对任意实数约巳［1,e］’恒有／（则）≥
肛-厕ln厕-l成立’求∧ˉb的最大值
｜·解析0
（1）定义域卿巨（0’＋由）
’
因为∧躯）＝｜＂露ˉ…b’所以′Ⅱ（撼）二＋＿α＝竿
当α≤0时’l-α则＞0,／′（卯）＞0’
.翅.／（则）在（0’＋鲍）上单调递增;
当α＞0时’今lˉα卯＝0’解得绷＝上’
α
所以当＂匡（0,÷）毗′′（躯）＞M鞭）在（0,÷）上单调谨增,
1
）上单调递减;
—9＋的
α
′
的
＋
●
′
■
」
—
α
）时扩′（狮）＜M鞭）在（
（
当卯巴
综上所述’
当α≤0时’／（卯）的增区间为（0’＋的）;
当α＞0畸扩（腮）的增区间为（0,＋）妒（x）的减区间为（÷,＋.
（2）对k分离参数:
）
因为／（厕）≥肋ˉ卯ln则ˉ1’α＝1’所以ln则ˉ卿＋b≥肋-则ln厕ˉ1’转化为
∏
Ⅲ
＼
｀
‖
‖
‖
′
′
■
】
且
＋
卯
』
＋
］
勿
Ⅱ
【
］
＋
卯
卯
Ⅲ
］
（
≤
∧
l—ln卯＋卯—b-1
ln％—卯＋b
卯
∏
卯
］
~~＼
‖
／
卯
（
自
设
＋ln卯—l＋hˉ±—1’则g′（卯）＝
卯
~~~
’
≈
卯
卯2
″
＿
形
~~
）
卯
（
′
吕
即
由（1）可得／（卯）在［l ’e］上单调递减’
所以／（卯）max＝／（l）＝bˉ1 ’／（躯）mm＝／（e）＝b＋lˉe.
即／（卿）巨［b＋lˉe,bˉ1］
］72
~~~
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」第四章双变霞不等式‖
牟
个
■
『
』
下面讨论∧“）在卯巨［1’e］上的零点:
情形一
若b-1≤0’即0≤b≤1’
□
＝
↑
则／（“）≤0’g′（勿）≥0’g（″）在［1’e］上单调递增’
故k≤g（匆）min＝g（1）＝b’即kˉb≤0;
情形二
若b＋l-e≥0’即e-1≤b≤2’
则／（“）≥∧e）≥0’g′（匆）≤0’
g（加）在［1’e］上单调递减’
故R≤g（匆）min＝g（e）＝hˉ±2
9
e
■
Ⅱ
—
巳
（
≤
’
～
—
巳
＋
β
）
］
■
』
—
巳
（
~~
力
腿
＿
●
≤
》
∧
（e-1）＋旦＝2＋ˉLˉe＜0;
）
e
e
情形三
若1＜b＜e-1时’】卯0＝（1’e）’使得／（卯0）＝0’
所以g（卯）在（1 ’则0）上单调递减’在（卯0,e）上单调递增’
故∧≤g（则）mn＝g（卿0）＝d塑g1＋ln绷0＋上＝ln狐0＋～
l
勿0
卯0
卯0
又∧“0）＝ln卯0ˉ卯0＋b＝0’
所以儿ˉb≤ln“0＋上ˉb＝2ln匆0ˉ卯0＋—.
1
卯0
卯0
1
今／j（匆）＝2ln则＋—ˉ则’
卯
则h′（狐）＝旦—寺ˉl＝＿（＋ˉl）2＜0,
卯
卯▲
h（匆）在（1’e）上单调递减’
故Aˉb＜h（1）＝0.
综上所述’k-6的最大值为0.
怯~
~
＋
~
◎
凹
｝7
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｛满分之路·导数｝
~
｜÷,l｜,
求／（′Ⅶ）—／（〃）的
［例8］已知函数／（绷）＝ln绷＋腮2ˉα卿有两个极值点′Ⅶ’′』’且m巨
（消元法）
1
2九2—α卯＋1
...／（″）＝ln厕＋绷2ˉα卯’ ...／′（厕）＝—＋2绷ˉα＝
勿
卯
←
｜
同十同
...″』’′』是∧鳃）的两个极值点’
...m,′』为方程2狐2＝α厕＋1＝0的两个根’由根与系数的关系得’
l
l
m厕＝了’″;＋厕＝;,则＂＝环,
1
α＝2（m＋则）＝2′＂＋—’
∏〗
所以／（′则）ˉ／（′』）＝lnm＋m2ˉαmˉln′!ˉ″2＋α′l
）
″
加
（
α
〗
Ⅶ
’
≈
‖
″
＋
加
—
几
∏
］
~~
＝ln皿＋m2ˉ∏2-2（′厕＋″）（″′-′』）
∏
）
∑
Ⅶ
〗
‖
″
（
矾
—
几
∏
］
~~
1
把″＝六代入可得／（″』）ˉ∧＂）＝｜n（2′＂2）ˉ″!2＋—
4m2,
设』＝砸2匡｜寸,l｜’
令g（』）＝｜＂2您—』命,则g′（‘）二＋＿lˉ上＿ˉ（2′ˉl）2≤0,
4r2
4t2
所以g（‘）在｜＋,l｜上单调递减’
所以g0）匡｜g（l）’g（寸）｜＝｜ln2—÷’÷＿ln2｜,
:′∧腮）ˉ∧＂）匡｜l＂2ˉ÷,;ˉl＂2｜
~
~
~
~
~
］74
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｛‖望
!ˉ卑4→ˉ
＾
.…
』第四章~双变量不等式｝
［例9］已知函数′（撼）二筐缀,g（腮）＝h1苛＋＋,对任意的°匡R,存在6巨（0,＋鳃）』使得
／（α）＝g（b）’求bˉα的最小值
·解析0
（引入变量法）
eα＝′7L
｜,÷＋…
设／（α）＝g（b）＝′厕’则
十
碑
’
］
ˉ
∑
·
■
Ⅶ
加
『
∏
巳
］
∑
~
~
~
~
α
』
｜
旷
｜
目
l~
故6＝α≡2e′nˉ2-ln加
~ ~
丰
’
）
＾
‖
＞
〗
″
（
讥
∏
］
』
＿
∑
加
巳
’
≈
~~
）
〗
″
（
∧
设
则内′（″!）＝2e″』ˉ＋＋二1为增函数’
′n
且h′（÷）
≡0.
所…（0’告）时’″（咖）＜0,
h（娜）在（0’÷）上单调递减;
刚匡（÷’…）时’″（咖）＞0’
~~
h（砸）在（÷’…）上单调逮增
（6ˉ“）咖-h（砸）咖二咖（÷）
＝2＋ln2.
~ ~
十
.
.●
.‖
→
■丰
］
b■≈□＋…
＋
▲～
＝≡←口
←
］75
P
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｜满分之路.导数l
←气←
‖
~
［例10］已知函数／（见’t）＝e2鳃ˉ2t（e厕＋匆）＋卯2＋2t2＋l,t巳R’鳃巨R’求／（卿’t）的最小值
宁
上
·解析】
（主元法）
将『视为自变量’财视为参数’
~
∧氮’‘）≡2臆2—2（…）杆（e缨1鳃）2＋÷e2氢十苦
-2（』ˉ竿）:带÷詹…÷…1,
又（′ˉ宁）』≥0,
赦∧撼’脏）≥＋e…÷鳃2—…1
谈g（鳃）＝＋e鳃十券』—露饿刊’
则g′（卯）＝e2颠＋卯ˉe鳃-卯e则＝（ez-则）（e鳃-l）
’
］
＋
卯
巳
卯
册
—
∑
＋
冗
∩
乙
●
］
＿
∑
＋
十≡千ˉ
～…卜＝同
斗-＝
P≡;ˉ
↓＝晶ˉ
!昌…
Ⅱ~~~
←凹
十ˉ
←.
.十＝
t
＋ˉ
｜
｜
｜
闰
｛
、
尉
』
｛
司
｛
→
·
『
…
｛
｜
沪
栏
｝
沪
←
卜
｛
←
广
芦
↓
｜
…
Ⅶ
｛
汇
｜
汇
｜
｝
＋
卜
十
十
＋
↓
＾
...e甄＞则（证咯）
’
令e腮≡l＝0’解得卿＝0’
...g（卯）在（ˉ的’0）上单调递减’
在（0’＋的）上单调递增’
＾g（鞠）≥g（0）＝÷’
＾／（鳃,‘）≥g（氮）≥÷
:′／（鳃,′）的最小值为÷
｜ˉˉ｜＿｝ˉ＿↓
崩
~
］76
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』第四章双变量不等式｝
第03讲极值点偏移
回知识纵横
翻
l.极值点偏移的认识
（1）直线y＝α与函数γ＝／（卯）交于A（卯l ’α）’B（卯2’α）两点’AB的中点与／（匆）在区间
（厕1 ’“2）上的极值点厕0的位置关系是由函数／（卯）决定的.这类题的—个通法是构造
辅助函数》求导确定辅助函数的单调性,再遍过f（鞭）的单调性得出x宁2与鞭0的
大小.除此之外’还可用对数平均值不等式来解决本节就是来研究这—问题的
（2）极值点的左偏与右偏
若函数／（厕）在卿＝卿0时取极值则称卯0为函数／（则）的极值点.
比如∧露）＝“2个…（鳃≠0）的极值点为躯0＝—光』如图,作直线γ二“′与函数
Ⅱ-／（鞭）交于』（露｜｀α′）,E（露2,α′）嗣点, 贝M圃的中点为M（瓣宁2’α′）所以对于
二次函数’它的极值点左右两侧的图像对称’此时我们认为极值点居中,没有偏
离中点.
／
勺
凸
工
α
力
∑
■
〗
旦
Ⅸ
＼
＼
｜№
｜／
』
~
｜x（）
｝
~~
′
ˉγ ≡二α
J4～ˉ幽／B
但历年高考题中’很多函数极值点左右两侧图像由于“增减速度”的不同’使函
数图像失去了对称性.出现了极值点左右偏移（如下图）.以此为背景的题常出现
在压轴题位置.
｝
~~~~
／x｜
＼Ⅸ
x7
〗
Ⅺ
＋
勺
▲
工
∩
汇
极值点左偏
］77
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｜满分之路.导数【
~~~~~~
~~
一
Ⅺ
＼
／xl
∑
刀
‖
工
’
■
工
＋
勺
▲
Ⅺ
极值点右偏
2·破解极值点偏移问题的基本方法
（1）对称构造函数＋主元法破解极值点偏移问题的思路是:
第＿步:根据／（卯l）＝／（卯2）（卯l≠卯2）建立等量关系,并结合／（“）的单调性’确定
卯l ’卯2的取值范围;
第二步:不妨设绷l＜勿2,将待证不等式进行变形,进而结合原函数或导函数的单
调性等价转化;
第三步:构造关于厕l（或绷2）的一元函数F（卯）＝／（厕j）-／（2α-匆t）（t＝l’2）,应
用导数研究其单调性’并借助于单调性’达到待证不等式的证明.
也可以构造＿元差函数F（卿）＝／（卯0＋勿）ˉ／（卯0ˉ卯）’巧借F（绷）的单调性以及
F（0）＝0’以及／（卯1）＝／（绷2）＝／（绷0-（如0ˉ则2））与／（狐0＋（卯0-卿2））＝／（2卯0-
＂2）,结合∧鹏）的单调性比较蹦!与2蕴0—腮2的大小』即比较缠0与厕2摹」的大小
（2）齐次化设参／差值设参
（3）对数平均值不等式
当…＞0时, 』＞√竿＞罕＞
b-α
2
＞√丽＞
＞α.其中
lnb-lnα
］
—
β
＋
■
Ⅱ
—
α
b-α被称之为对数平均值.
lnb-lnα
］78
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膘四章双变量不等式｝
◎典型例题
‖
~
~
［题型l
对称构造函数＋主元法］
［例｜｜｜已知函数∧卿）-铸唱｀
（l）求／（卯）的单调区间;
（2）证明:当／（卯l ）＝／（厕2）（厕l≠卯2）时’ 卯l＋卯2＜0
｝·解析0
（!）圆为∧躯）二品呛露｀所以／′（躯）＝e…
～豹. （则2-2卿＋3）
（1＋卯2）2
所以当绷匡（ˉ吨’0）时’／′（卯）＞0’／（绷）在（—的’0）上单调递增’
当卿匡（0’＋的）时旷′（绷）＜0鳃／（绷）在（0’＋的）上单调递减;
故∧则）的单调递增区间是（ˉ的’0）’单调递减区间是（0’＋的）.
（2）证明闽为′（鳃）-岸吧鳃,
所以当卯＜1时肌卯）＞0.
不妨设卯l＜绷2’因为／（卯l）＝／（卯2）’
即诗群』～器…｜撼｜≤0…‖
要证明则1＋匆2＜0’即则l＜ˉ卯2＜0’只需证明∧躯l）＜∧—“2）’目′∧则2）＜∧—“2）
坪撩握壤≤亡（著）贮.—…得（｜＿翅）.斯:ˉ］ˉ…
令g（卯）＝（lˉ则）e2缠-lˉ则’（0＜匆＜1）’
则g′（绷）＝（1—2厕）e2躯-1’
令h（则）＝（1-2则）e2躯-l ’则h′（绷）＝ˉ4则.e2躯＜0’
所以h（匆）在（0’1）上单调递减’内（卯）＜h（0）＝0’
即g′（卿）＜0’所以g（厕）在（0’1）上单调递减’
所以g（卯）＜g（0）＝0’得证.
9
］7
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满分之路.导数l
［例12］已知函数／（卯）＝（卯ˉ2）e颠＋α（卯ˉl）2有两个零点.
（1）求α的取值范围;
（2）设卯l ’卯2是／（卯）的两个零点’证明: 卯l＋则2＜2.
.解析●
（1）由题知／′（绷）＝（卯-1）（e则＋2α）.
情形一若α＝0’／（卯）＝（卯ˉ2）e厕有l个零点绷＝2’不符合题意;
情形二若α＞0’那么e鳃＋2α＞e则＞0’
所以当厕＞l时／′（卯）＞0扩（则）在（1’＋的）上单调递增;当卯＜l时,／′（卯）＜0’
／（卯）在（ˉ的’1）上单调递减.
所以／（卿）min＝／（1）≡ˉe＜0’且／（则）在（1’＋由）上至多一个零点’在（ˉ的’1）上至多一
个零点.
由于／（2）＝α＞0’则／（2）.j（1）＜0’根据零点存在性定理’／（绷）在（1’2）上有且仅有一
个零点’故／（狐）在（1’＋的）上有一个零点;
而当厕＜l时鳃／（卿）＝（卯-2）e绷＋α（″-1）2’
~厂
＿√÷＋1
因为（则-2）e鳃＞＿e’令α（卯ˉ1）2＞e’解得“＜
所以′（朽带｜）＞0,则′（朽十｜）f（｜）＜0｀↑…点霖在隧庭掣,／（鳃）在
／~厂＿
｀
（三√:＋l’l｜上有且仅有-个零』惫’越∧獭）在（ˉ函′l）上有＿个零点’
综上所述’α＞0时扩（师）在R上有且只有两个零点.
情形三若α＜0’今／′（卿）＝0,解得腮＝1或卯＝ln（-2α）.如图’
o若ln（ˉ2α）＝1,则α＝＿÷’／（鳃）在R上单调递增’不合
～
题意;
@当｜n（—2α）＜］＝｜n·,即ˉ÷≤α＜0时,当“匡（L…）
时乳／′（卯）＞0’
／
J
］
〗
］
＝d／2 3
剿
＂
~
-e
-5＝4＝3＝2＝1O
~
］8O
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｝.
P
」第四章双变舅不等式｝
因此／（卯）在卯巨（1’＋的）上单调递增扩（卯）mm＝∧l）＝ˉe＜0,
又当卯巨（—的’l］时’／（卯）＝（则ˉ2）e觅＋α（厕ˉ1）2＜0’
所以／（卿）不存在两个零点;
◎当｜n（—2α）＞｜＝lne’即α＜ˉ:时’如下图,当狐匡（—碉｀l）时′′（厕）＞M腮）在厕.
（ˉ的’1）上单调递增’／（狐）＜／（1）＝ˉe＜0;当绷匡（l,ln（ˉ2α））时’／′（卯）＜0’／（则）在则
≡（1’ln（-2α））上单调递减;当卯匡（ln（-2α）’＋的）时′′（则）＞Q／（卯）在卯匡（ln（ˉ2α）
’
~~
＋的）上单调递增
~
）
〕
∑
｜
β
＝
＝
~
l
2
3
4
x
＝2
-l
所以∧匆）不存在两个零点.
综上所述’α的取值范围为（0’＋由）.
（2）证明:不妨设绷1＜则2’由（1）知’卿l巨（≡的’1）’卯2巨（1’＋的）’2-厕1巳（1,＋的）’
／（匆）在（1’＋的）上单调递增,所以卯1＋匆2＜2等价于／（卯2）＜／（2ˉ厕l）
’
即∧匆l）＿∧2ˉ卯l）＜0.
今u（卯）＝／（则）ˉ∧2-则）＝卯.e2ˉ氮-（2-卯）.e腮（狐＜1）
’
则肌′（卯）＝（则＝1）（e颠一e2—缆）＞0’
所以u（卯）＜肌（1）＝0’即j（卯）＜／（2—卯）（厕＜l）
’
所以／（则l）≡／（则2）＜／（2-卯l）;
所以卯2＜2-卿1 ,即勿1＋卯2＜2.
｛
■
｛ˉ↑～ˉ
｜
｝
↓＿
」
］8］
＝
』
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′满分之路.导数［
［例13］已知函数／（虹）＝e躯—毗＋α,其图象与卯轴交于A（卯l ’0）’B（卯2’0）两点,且卯l
（l）求α的取值范围;
（2）证明:／′（√万］万）＜0（／′（“）为函数／（绷）的导函数）.
一「
二二←刊
二
↑
‖
一
P同■
p
←
当…＋…
~~~
』-■弓
～
■←…
~
四……＝
～
~~
当8
■
-9—-
?
尸尸
～
←
←
ˉ
…｛
＝
～→…
…
■□■匹■＝
△-b二
△
…
→
同■■■T■■
-各---
≈■传■■
■■丛■同雨
→
-
＜卯2
｜·解析0
（1）...／（厕）＝e“ˉα“＋α’...／′（则）＝e氮-α’
当—α≥0’即α≤0时′′（嘶）＞0′（卯）为增函数抓厕）至多有一个零点’与题意不符;
当α＞0时’今／′（卯）＝e鳃ˉα＝0’解得卯＝lnα.
所以当厕巨（—的’lnα）时’／′（卯）＜0鳃／（卯）在（ˉ的’lnα）上为减函数;
当则巳（lnα’＋的）时旷′（卯）＞0√（鳃）在（lnα’＋的）上为增函数.
所以∧厕）mm＝∧lnα）＝2αˉαlnα.
下面用零点存在定理判断根的存在:
由∧绷）mm＝∧lnα）＝2αˉαlnα＜0’解得α＞e2.
又／（1）＝e＞0’／（α）＝eαˉα2＋α＞0’
所以存在1＜则l＜lnα＜卯2＜α’使得∧匆l）＝0抓卯2）＝0.
综上所述’α巨（e2’＋的）.
＜0,卵／（塑宁坠）＜／′（』皿）,
（鳃宁）
＼
′
／
证
雨
而
口
＾
’
＾
‖
＜
）
丽
卢
（
／
明
证
妥
咀
证
）
∑
（
卯l＋卯2
因为／′（则）＝e卯ˉα单调递增’所以只需证—厂
’
】
卯
α
∏
］
’
＝
＜
∑
卯
∏
日
忌
、
刃
’
α
Ⅲ
］
＜
只妥证明∧厕2）＝∧卿l）＜∧2lnα＿鳃l）即可.
今g（卯）＝∧绷）—／（2lnαˉ卯）（1＜卯＜lnα）
’
勺
则g′（则）＝／′（则）＋／′（2lnαˉ厕）＝e颠＋工-2α＞0’
e卯
所以g（厕）在（1’lnα）上单调递增’g（卯）＜g（lnα）＝0’得证
］82
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』第四章双变量不等式｝
［例l4］已知函数g（卯）＝ln师＋b卿.若函数g（则）有两个不同的零点卯l ’卿2.
（1）求实数b的取值范围;
（2）求证: 卿1卯2＞e2.
·解祈0
（1）法＿（分类讨论）
:
g（卿）有两个不同的零点厕l ’卯2’即ln卯＋b匆＝0有两个不同的根’
不妨设…2’g（箍）＝｜＂…则g′（狮）＝＋＋b,
当b≥0时’g′（卯）＞0’g（匆）为增函数’g（则）至多有一个零点’与题意不符;
当b＜0时’令g′（露）二＋十b二0’解得鞭＝—了
1
所以当露巨（0.—＋）时’g′（膊）＞0,g（獭）为增函数;
的
＋
’
］
—
』
（
数
函
减
为
）
九
（
吕
’
＾
‖
＜
）
卯
（
′
吕
’
~
＝
~
时
＼
‖
‖
■
□
】
□
′
〃
当卯巳
（
∏
］
~~
）
］
—
β
ˉ十）ˉ］
／
｜
所以g（卯）maⅨ＝g
＼
下面用零点存在定理判断根的存在.
由g（撼）…＝g（＿＋）＝m（ˉ＋）＿1＞0,解得b＞＿了
1
又g（］）-b＜0』g（计｜n（广）十b（÷）＜十＋-0,
所以存在唯一撼｜匡（l.ˉ十）,使得g（撕!）＝0’存在唯＿狮2.
＋,☆）
~
（
,使得g（卯2）≡0
｀
‖
·
‖
‖
『
′
′
○
’
■
Ⅱ
—
巳
（
综上所述,b巴
法二（分离参数）
:
g（卯）＝ln则＋b卯＝0等价于b＝ˉlⅡˉ卫
卯
设／（厕）＝—些,则／′（鞭）＝ˉl亏粤狐,令／′（腮）＝0,解得腻＝e｀
卯
］83ˉ
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｜满分之路. 导数｛
所以／（匆）在（0’e）上单调递减’在（e’＋的）上单调递增
／（1）＝0肌e）＝ˉ上＜0’
e
lnˉL上ˉl
-ln卯
卯
卯
卯
＜
二≡
卯
卯
＾
‖
＜
］
—
卯
］
—
形
~~
当绷巨（e’＋鲍）时旷（卯）＝
】
卯
’
■
』
卯
占
…
零
勺
自
同
不
个
两
有
）
卯
（
吕
’
时
＼
‖
■
】
】
『
『
′
β
）
■
Ⅱ
—
巳
（
所以b巨
（2）证明:法—（对称构造函数）
:
所证不等式“l鳃2＞e2’等价于则l＞鱼
卯2
因为g（卯）＝ln卯＋b匆有两个不同零点卯l ’厕2’
ln卯｜
～
ln卯勺
故b＝
＝
·
↓
卯l
卯2
ln卯
设∧加）＝
’
卯
今
由（1）中法二可得／（”）在（0’e）上单调递减,在（e’＋的）上单调递增’
j（如l）＝／（卯2）’则0＜则l＜e＜则2’所以则l巨（0’e）’鱼巨（0’e）,
卯2
7
川:;）,
＜
结合／（嘶）的单调性可知’只需证明／（则l）
／（芳）,等价于∧翅）ˉj（芳）＜0
因为∧卯l）＝／（卯2）’所以需证／（卯2）＜
ln鱼
卯7
ln卯勺
即证-二—二＜0.卯2ln鱼ˉ鱼ln则2＜0白2厕;ˉ（“l＋e2）ln绷2＜0.
e丝
允2
卯2
卯2
卯2
设∧（卯）＝2绷2ˉ（卯2＋e2）ln则’则巨（e’＋的）’则h（e）＝0’
2
h′（则）＝4卯ˉ上（则2＋e2）ˉ2卯ln则＝3则ˉ旦ˉ2绷ln″’h′（e）＝0’
卯
卯
拦寻丁
″′（篮）≡3÷2（］辩l＂鳃）-｜噎—2｜＂绷｀〃′（幢）≡0｀
!
］“
~
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］第四章双变舅不等式｜
又h″（厕）单调递减’...h″（卯）＜h″（e）＝0’
...h′（厕）单调递减’...h′（卯）＜h′（e）＝0’
...h（勿）单调递减’...h（卯）＜∧（e）＝0’
即2如;ˉ（匆;＋e2）ln狐2＜0得证’
圆叭獭｜）＜（÷）得诞.从雨鳃｜＞奉…瞳敷
法二（比值设参）
:
1
1
由（1）中法一可知1＜则l＜ˉ丁＜厕2＜匣.
…可碍｛｜‖聪二‖｛…隐｜…｜≡—删…Ⅻ
要证“l .狐2＞e2’需证明:-b（卯1＋卿2）＞2.
卯2
ln—
ln卯1＋b卯l＝0’
卯l
｛h…ˉ队……』＿…嘉撬』丁№
由
（』嘴）｜n盂＞2.
卯勺
卯勺
ln—二
卯1 （卿l＋卯2）＞2’即
故需证明-
卯l-卯2
丝—1
％‖
）
］
咆
—
川
／
』
‖
】
‖
‖
｀
｀
卯勺
整理得ln-三＞2
勿］
9
）
吨
＿
川
＋
■
‖
儿
／
′
』
‖
‖
‖
＼
迅
2（t-1）
今t＝丝’则r＞l’所以只需证明不等式ln〗ˉ
卯1
＞0.o
（l＋t）
设肉O）-h! 』ˉ｝（／下!／,h（｜）-0｀
4
（l＿‖）2
,M（嘶）＝＋ˉ（l＋‘）2＝‘（…）2＞0,
h（j）在（1’＋的）上单调递增’h（r）＞h（1）＝0’即不等式o得证
所以-b（卯l＋卯2）＞2’即ln卯1卯2＞2’故”l则2＞e2.
85
｜
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「满分之路.导数［
［例l5］已知函数∧勿）＝厕2ˉ4卯＋5ˉ丛
e尤
（l）若／（则）在R上是单调递增函数’求α的取值范围;
（2）设g（卯）＝e丫（卿）’当′′!≥1时,若g（“l）＋g（卯2）＝2g（′Ⅶ）’且
求证: 卿1＋则2＜2″l.
几l＜″〗＜％2’
丁
工
｝
工
斗
＋
十
斗
斗
刷
丫
立
↓
斗
斗
↓
坐
｜
丁
工
斗
｜
斗
斗
可
儿
Ⅷ
叮
刷
州
纠
叫
川
■
…
■
■
■
■
·解析0
（l）／（腮）-鳃2ˉ4则十5—÷,则／′（鳃）＝2鳃ˉ4＋旦
e九9
因为∧卿）在R上是单调递增函数’
故／′（卿）≥0,即α≥（-2卿＋4）e则恒成立.
设h（厕）＝（ˉ2卯＋4）e厕’则h′（“）＝2（-绷＋l）e缆.
今＿卯＋1＝0’解得卿＝1.
所以当卿巨（0’1）时’h′（狮）＞0’h（绷）在卯e（0’1）上单调递增;
当厕巨（1’＋的）时’h′（则）＜0’h（厕）在则巨（l’＋的）上单调递减.
故h（卿）max＝h（l）＝2e≤α.
综上所述,α的取值范围为［2e’＋的）.
（2）证明:法-:g（厕）＝e饥卯）＝e绷（腑2ˉ4鳃＋5）ˉα’
则g′（卯）＝e则（卯ˉl）2≥0’所以g（卿）是单调递增函数.
g（″l）＋g（卯2）＝2g（m）等价于［g（卯l）ˉg（′″）］＋［g（卯2）ˉg（″』）］＝0’
构造函数F（卯）＝g（卯）＿g（m）’则F（则l）＋F（卿2）＝0’
即有F（勿）＝e购（匆2ˉ4豹＋5）ˉα—g（m）’卯巨R.
求导易知F（厕）在R上单调递增’
因此考虑妥证卿l＋卵2＜2m,需证卯l＜2m-卯2’
即V厕2＞m’F（2mˉ〃2）＞F（腮l）＝-F（卯2）.
构造函数G（则）＝F（缅）＋F（2m-卯）’则＞m’
因此仅需证明G（绷）在其定义域内恒正.
母
出
旨
叫
洱
瞬
田
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←宁
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剁
腥~!
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妈
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l第四章双变露不等式｝
四章
注意到G（m）＝0’对ˉG（绷）求导’得
G′（卯）二F′（则）ˉF′（2″l＿财）＝e躯（卯—1）2ˉe2m＿愿（2″!ˉ卯ˉ1）2’卯＞″!≥l
要证明γ卿＞m’G′（则）＞0’即证
γ卿＞″!≥1’e躯
. （卿ˉl）2＞e2mˉ“
. （2mˉ卿-1）2.
而γ露＞m≥l .窿…）＞l≥（2″蟹l—l「
于是G′（卯）＞0恒成立’进而G（卯）在（′n’＋鲍）上单调递增’因此
V卿＞∏』’G（厕）＞G（″』）＝0.
于是原命题得证.
法二:g（卯）＝e饥卿）＝e躯（则2-4加＋5）ˉα’则g′（则）＝e”（厕ˉl）2≥0’所以g（卯）是单调递
增函数.
要证卯l＋卯2＜2″l’即证卯l＜2m-卿2’
可尝试证g（卯l）＜g（2mˉ卯2）
’
即证2g（′厕）＝g（绷］）＋g（厕2）＜g（2′′o-″2）＋g（卯2）.
设F（卿）＝g（2mˉ则）＋g（则）ˉ2g（″l）（1≤″l＜卯）’F（刀!）＝0’
则F′（卿）＝-g′（2mˉ则）＋g′（则）
’
又m＜卯＝〉2m-卯-l＜卯-1,
则0＜筐2…l’0＜（2哈lˉl）2≤l.
′′（鞭）＝嚼骡（鳃—l）2ˉ噎…（…ˉl）!二懂腮（鞭—l）2｜!ˉ…（2″》Yl—l「｜
所以F（卯）在匆巨（″l’＋鲍）上是单调递增函数’
故F（卿）＞F（″′）＝0.
综上所述’虹l＋如2＜2′川·
＞0,
］87
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,满分之路.导数｜
［例l6］已知函数／（鳃）二狮ln绷, g（则）＝÷』记′（蜒）-／（卯）—g（鳃）
（1）求证: F（则）在区间（l ’＋四）内有且仅有—个实根;
（2）用min｛α’b｝表示α,b中的最小值设函数m（绷）＝min｛／（则）’g（卯）
｝’若方程
′′l（卯）＝C在区间（1’＋由）内有两个不相等的实根卯l ’”2（躯l＜卯2）,记F（则）在
卯l＋卯2
（1’＋的）内的实根为卯0.求证:
＞卯0.
2
｜·解析】
（］）证明;由题意,知′（瓣）二…—÷则′｝（撼）-hl鳃十导刊,
当厕＞0时’F′（则）＞0’F（卯）在（l’＋的）上单调递增.
又F（l）＝—上＜0’F（2）＝2｜n2ˉ÷＞0,
e
e
而F（则）在（0’＋的）上是连续不断的’
根据零点存在定理可得’F（厕）在（1 ,＋的）内有且仅有一个实根
（2）证明:由（1）知’F（卯）在（0’＋的）上单调递增’
有唯一的厕0是F（绷）在（0’＋由）内的实根’
所以F（厕0）＝／（卯0）ˉg（则0）＝0’
故当l＜卯＜勿0时,
F（则）＜0’即／（鳃）＜g（厕）;
当卯＞卯0时’F（匆）＞0’
即／（则）＞g（卯）.
｜!二;厂‰
因而m（绷）＝
］88
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「第四章双变量不等式｝
双变
不等
~
当1＜卿＜则（）时’″』（“）＝卿ln则’
m′（卯）＝ln卯＋l＞0’
因而m（则）在（1’则0）上单调递增;
当卯＞“0时’m（卯）＝丝
e冗’
＂′（露）-罢＜0,
因而m（绷）在（0’＋的）上单调递减;
若方程m（则）＝C在（0’＋的）内有两不等实根卯l ’卯2（卯l＜卿2）
’
则满足卯I巨（1’卯0）’绷2巴（卯0’＋的）
’
要证獭宁.
丝
＞卯（）
’
～
即证卯0＜2卯0-卯l＜勿2,
而′网（狐）在（卿0’＋切）上单调递减’
即证m（厕2）＜m（2卯0-匆1）
’
又因为′″（厕2）＝m（厕l）＜m（2卯0-卯1）
’
2卯0-卯l
即证卯1ln卯l＜e2鳃0-卿l
’“l巨（1’卯0）
’
2％0—卯
设h（m）＝卯ln卯- e2z0-勿’则巨（l’卿0）
’
2卯0-卯-］
法＿:h′（卯）＝ln卿＋lˉ
e2卯0ˉZ
2卯0-卯—l
＞ln卯＋1-
2卯0-勿＋1
］
＋
卯
’
＝
＿
‖
卯
勺
▲
＋
卯
∏
］
~~
＞0（卯＞1时’e“＞厕＋1）
’
所以h（卯）在鳃巨（l’卯0）上单调递增
从而当狐l巨（1’卯0）时’h（绷l）＜h（卯0）＝0’
｛89
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｝满分之路.导数｝
2卯0-卯l
即卯lln卯l＜e2卵0—匆l
勺
▲
％
＋
勺
～
］
卯
故
＞卿0得证.
法二:由F（卿0）＝0得
蛔l皿,-二,教h（翔）二0,
g（獭）二÷,则g′（绷）＝l二鱼
e卯
9
当卿巨（0’l）时’g′（卯）＞0’g（鳃）在me（0’1）上单调递增;
当卯巨（l ’＋的）时’g′（厕）＜0’g（卿）在卿巨（1’＋鲍）上单调递减.
2卯0-卯
敛g（氮）≤g（l）＝÷’2鳃0ˉx＞0,0＜艘2输—Ⅱ
1
≤—
e
因此则巳（1’匆0）时’
2卯0—卯-1
′0′（绷）＝ln厕＋1ˉ
e2冗0-九
2卯0一卯
］
＞lˉ上＞0’
＝ln卯＋1＋e2z0ˉ氮
e2zoˉ即
e
所以h（“）在则巨（l’缅0）上单调递增.
从而当1＜厕l＜卯0时ˉ’h（绷1）＜h（绷0）＝0’
2鳃0—爽! .故绷!挚2
e2勿0-冗l
″
～
＞则（）得证.
即卯lln卯l＜
］卯
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『第四鬃.双变量不等式｜
［题型2
比值／差值设参］
［例l7］已知／（卯）＝ln则’ g（卯）＝／（卯）＋α厕2＋b躯’其中g（绷）的图象在（l ’g（l））处的切线平
行于卯轴.
（l）确定α与b的关系;
］
—
咆
（2）设斜率为附的直线与／（卯）的图象交于A（卯l ’γl）’B（卯2’y2）（则l＜卿2）,求证:
］
＿
川
＜
∧
＜
｜.解祈0
（1）由题意知g（绷）＝ln卯＋α卿2＋b卯’则g′（匆）＝ˉL＋2α则＋b’
勿
依题意可得g′（1）＝1＋2α＋b＝0’解得b＝ˉ（2α＋1）
（2）证明:依题意得∧＝y2-yl
ln卯2-ln卿1
吕＝
冗2-卯l
勿2-卯l
故所证不等式等价于上＜ln则2ˉln红＜上’转化为
卯2
卯2-卯l
卯1
］
‰
全
—
＜
咆
—
∏
＜
川
—
卯2
卯l
见］
~
令t＝丝（‖＞1）’则只需证1ˉ上＜lnt＜『ˉ1
’
卯l
′
先证右边不等式:ln′＜′ˉ1白lntˉj＋1＜0’
设′h（‘）＝｜＂』ˉ』＋l测″（‘）二＋—1＝早＜0’
...h（r）在（1’＋鲍）上单调递减’故h（t）＜h（l）＝0,即ln0ˉ‖＋1＜0;
对于左边不等式:1ˉ上＜ln』≈lnt＋上ˉ1＞0’
t
＄
令p（′）-hM十＋—］测p′（′）-＋—÷-罢＞0』
...p（t）在（l’＋由）上单调递增’ ...p（r）＞p（1）＝0.
］
—
驹
＜
∧
＜
■
』
—
‰
△
’
述
所
上
综
］9］
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‖满分之路.导数］
＋＿＋—～＋｛
ˉ丰-二＝←ˉ≡＝＝咆
↓
‖
上拦茸｛
4≡券-←』｜
.
!
!-↑
.
～＋-削-守■→一‖
.4→→～～＋｝
~ ~
＝←～～＋→ˉˉ侣朵→
.
′
｛
‖
｜
皋饵羊工』
】
】
［例l8］已知函数F（勿）＝丛＋lnp卯’（p＞0）
卯
（｜）当＋＜p＜＋时』求′（卿）零点的个数;
γe
（2）在（1）的条件下,记这些零点分别为卵《（t＝l’2’…’∧）’求证:上＋—L＋
卯l
卯2
.＋上＞2√巨
九内
｜·解析0
1
坠＋—ˉ铲（蜒＞0）,
卯2
卯
（l）由题意知’卯＞0’F（厕）≡丑＋ln＂＋lnp’则F′（卯）＝
卯
令财ˉp＝0’得匆≡p’
当0＜鳃＜p时,F′（卯）＜0’F（“）为减函数;
当鳃＞p时’F′（卯）＞0’F（卯）为增函数.
所以F（卯）min＝F（p）＝1＋2lnp.
’
］
—
拒
＜
尸
＜
］
—
∑
为
因
所以′（p）＝1＋2ln′＜l＋2ln＋＝0,
√e
漏′（4′）＝÷＋2l＂p＋2｛n2＞十＋nn十＋2ln2＝＋＞0,
′（÷）-4ˉ2ln2十2｜n′＞4ˉ2ln2带2ln÷＝4ˉ4｜n2＞0.又÷＜′＜锄,
所以当÷＜′＜尖时｀′（x）零氮灼个数为2
√e
（2）证明:由（1）知F（厕）有两个零点为卯1 ’卯2’不妨设卯1＜则2’
于是F（卯l）＝丛＋lnp＋ln卿l＝0’
卯l
′（瓣2）＝且＋｜n′＋ln鳃2＝0且÷＜缚｜＜…＜4p.
几2
两式相减得2（卯2ˉ则l）＋ln旦＝0（＊）
’
卯l卯2
卯2
］92
~
ˉ
」
丁
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」第四章双变蠢不等式』
（六＜』＜l）,
卯l
令‖＝—
几勺
▲
则将鞭｜＝卿:代入（＊）得翅＝匹｛【′）,进嗣x｜
筐色.、0
1
~
1
l
／ln』
~ tlnt＼
1 「（t＋l）lnt
’进而卯l
）
帅
＝凶1二ˉlˉ1
lII
』
＿
门
＋
恤
＿
门
（
］
—
尸~~
］
—
咆
＋
］
—
功
以
所
二÷［
｜,
t-1
下面证碉（』十l）lm＞2,其中六＜‘＜l ,
t-1
鼠′艇咖m—2γ佰l!）＜0,
2（t-1）
设∧t）＝lntˉ
t＋1
4
（tˉ1）2
则f′（‘）＝＋ˉ（』＋l）2
』（』＋l）2
二＝
∧‘）为（六’l）上的增函数’
＞0,
）
］
＄
（
勺
＝
于是／（t）＜／（1）＝0’即lnt＿
＜0。
t＋l
所以有（t＋1）ln〗
t-1
∑
尸
＞
］
—
咆
＋
］
—
功
而
从
’
～
＞
亿
＞
］
—
尸
得
］
≠
代
＜
尸
＜
］
—
∑
由
而
所以上＋上＞2√百’得证.
卯l
卯2
］93
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‘满分之路.导数k
b
［例19］已知函数／（则）＝ln卿’g（绷）＝α则＋—ˉc.
卯
（1）当b＝3ˉα时’若对任意绷0巳（l ’＋的）和任意α巴（0’3）’总存在不相等的正
实数则l ’卯2’使得g（狐l）＝g（厕2）＝／（卯0）’求C的最小值;
（2）当α＝l时,设函数）／＝／（则）与y＝g（见）的图象交于A（则l ’γl）’B（卯2’y2）（卯l＜
卿2）两点.求证:
则l .卯2ˉ卯2＜b＜卿l
.卯2ˉ卿l.
｜·解析0
（1）当厕0巴（l ’＋由）时’则／（卯0）＞0’又b＝3-α’
3-α
设t二／（绷0）＞0’则题意可转化为方程g（则）＝α厕＋＿ˉc＝t（t＞0）在（0’＋的）上有相
卯
并两实根卿l ’卯2.
即关于卿的方程“2—（c＋r）卯＋3ˉα＝0（‖＞0）在（0,＋的）上有两相并实根卿l ’则2
0＜α＜3,
△＝（c＋t）2ˉ4α（3-α）＞0,
’
∩
…
＞
州
—
α
~~
’
＝
几
＋
］
卯
｜
以
所
’
＾
‖
＞
冲
—
α~~
’
＝
卯
●
■
〗
』
卯
′0＜α＜3,
解得《（c＋』）2＞4α（3＿α）
’
』≈C＋′＞0’
所以c＞2√α（3—α）ˉt对』巨（0’＋四）’α巨（0’3）恒成立
（当且仅当侧＝÷时取等号
因为α巨（0’3）时’2√α（3ˉα）≤2×α＋3ˉα＝3
2
）
而ˉl＜0’所以2√α（3＿α）ˉl＜3,所以c≥3
故c的最小值为3.
——］9q
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』第四霞双变量不等式｝
（2）证明:当α＝l时’因为函数γ＝j（卿）与γ＝g（则）的图象交于A’B两点,
b
ln卯l＝卯l＋—一C’
卯l
所以《
两式相减’得
b
ln％2＝卯2＋—-C’
卯2
（1—｜＂紫;二虾』）｀
b＝勿1 .卯2
妥证明卿1 .卯2—卯2＜b＜卯1 。卿2-卯1
,
（｜—ln剃鹏!
需证卯1 ·卯2-卯2＜卯1
。则2
ln卯勺＿ln卯l
需证—L＜
ˉ
＜—’
1
卯2
卯2≡卯1
卯l
’
】
勿
∑
卯
●
］
％
＜
。
＼
‖
〗
〗
『
‖
』
′
R｜j证卯2-卯l
卯2
＝l-红＜ln—＜
卿2
则2-卯1帝丝-1’
卯2
卯1
卯1
卯l
今t＝丝＞1’此时即证l＿ˉL＜lnt＜tˉL
卯1
t
设偷（懒）二｜＂‘＋十—1’
则h′（‘）-导＞0’′‘（′）在』匡（｜,＋国）上单调递增
所以h（t）＞∧（1）＝0’即1—上＜lnt成立;
设侧（‘）二｜『｀』＿′刊’则咖′（‘）＝早＜0,′＂（‘）在』匡（1
所以′n（t）＜m（l）≡0’即lnt＜‖-1成立.
综上所述’鳃1 。卯2—绷2＜b＜卿l .卯2-则l成立。
’＋由）上单调递减’
］95—
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-
■●■→-
0-当←
→
●＝子
■【
■咋■
~
←-←
可一↓…′
~
〗
ˉ≈‖～
二广
~
啡≈←
←
~
十…←■
~
牟—
~~
‖
司≡
←铲←
→
…守≡
～
…＋
-
乙一
~~
司司-
≈抖伞■勺
‖ˉ
↑当
】
〗
→
土-栏
!
』
…串
↓
～
司→
~
～←
■■T←
~
-
~
…辛
…
→
呜■●乙
…
挂
ˉˉ
ˉ卜
8
.j≡
～~~~~~~
｜满分之路.导数l
［例20］已知函数／（卯）＝卯ln卿＋m卯’且曲线y＝／（厕）在点（M（1））处的切线斜率为1
（1）求实数m的值;
（2）设g（躯）＝／（腮）ˉ:卯2ˉ箍＋α在其定义域内有两个不同的极值点蛹」』吨′
卯2’已知∧＞0’若不等式el＋入＜卿l .卿1恒成立,求入的取值范围.
且卯1＜
｜。解析0
（1）由题意’得／′（绷）＝1＋ln厕＋″′’／′（l）＝l’即″l＋1＝l ’解得″』＝0.
（2）因为el＋人＜卯l .卯1等价于1＋入＜ln卿l＋∧ln卯2.
由题意可知卯l ’则2分别是方程g′（卯）＝0’R｜Jln“-α卯≡0的两个不同的根’
即ln卯l＝α卿l ’ln则2＝α卯2’所以原式等价于l＋入＜α卯l＋入α卿2＝α（卯l＋M2）
’
1＋入
因为入＞0’0＜〃1＜卯2’所以原式等价ˉ于α＞
.
卯l＋∧卯2
卯l
lII—
卯l
卯2
又由ln厕l＝α卯1 ’ln卯2＝α厕2’作差得’ln—＝α（卯1—则2）’即α＝
卯2
卯l-卯2
卯l
ln—
卯2
1＋入
所以原式等价于α＝
＞
卯l-卯2
卯l＋入卯2’
卿l
（1＋人）（绷l-卯2）恒成立.
因为0＜卯1＜厕2’原式恒成立’即ln—＜
卯2
卯l＋M2
令′＝旦匡（0.［）测不等式｜n』＜（｜十｝』f—］）在』匡（0.l）上｜馒咸立
冗2
令h（』）-ln』ˉ（｜训ˉ｜）’则h′（‘）-＋＿删;
（训Ⅱ丁｝』）
目＝
~
司
～
T
~~
卜｛
~
｜
↓
■←尸÷
~~~ ~~~
一
十←■丑
~
·
凸
＋铝
-.
~~~ ~~~
→-
△
~~~
～
~ ~~ ~
～
［ˉ
土
当入2≥I’te（0,1）时’力′（r）＞0’所以h（t）在j匡（0’1）上单调递增’
又∧（1）＝0’h（′）＜0在t巨（0’l）上恒成立’符合题意;
当入2＜1’t巨（0’入2）时’h′（t）＞0;′巴（入2’1）时／l′（t）＜0’
所以∧（t）在′巨（0’∧2）上单调递增’在t巳（入2’1）上单调递减’又h（1）＝0,
所以h（t）在‘巨（0’1）上不能恒小于0’不符合题意’舍去.
综上所述’若不等式el＋入＜卯l .则l恒成立’只需入2≥l’又入＞0’所以∧≥1.
］96
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］第四章双变量不等式｝
量不等
-
［例21］已知函数∧卿）＝αe卿＋卯2ˉb卿.
（l）设b≡0,若函数γ＝／（则）在R上有且只有＿个零点’求α的取值范围;
（2）设b＝2’且α≠0’点（m’〃）是曲线γ＝／（卿）上的＿个定点,是否存在实数
｜
〗
′
′
＋
勺
▲
○
卯
（
厕0（〃0≠m）’使得／（则0）＝／′
（则0ˉ′″）＋′』成立?证明你的结论.
·解析0
（l）当b＝0时肌卯）＝αe“＋则2’由题意αe鳃＋“2＝0只有一解.
分离参数;
卯2
＿·三歹,设‘（鳃）÷则g′（鳃）三2鞭ˉ鳃』
e冗
9
今g′（厕）＝0得“＝0或卯＝2.
当卿e（ˉ由’0）时’g′（卯）＜0’g（绷）单调递减’g（卿）巳（0’＋的）;
当躯匡（0’2）时’詹′（躯）≥0』g（膊）单调递增’g（躯）匡（0,÷）;
当鳃匡（…）时,g′（鳃）＜0,g（躯）单调递减』g（躯）匡（0’÷）
又g（0）＝0.
由题意’得ˉ“-0或ˉα＞÷.从嗣侧二0或侧＜＿
4
e2
9
所以.蛰“二0或“＜—÷时’
函数γ＝∧卯）在R上有且只有一个零点.
（2）／（卯）＝αe鳃＋躯2-2卯旷′（卯）＝αe厕＋2厕＿2’
（
假设存在厕0（卯0≠′′o）’则／（则0）二／′
（“0ˉm）士／（m）’
即d 卯0）ˉ∧′＂）＝／′ （瓣0苛′鹏）
卯0-′7〗
］97
司＋
·
＋ˉ
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』满分之路·导数［
卯0＋m
（瓣0;′＂）
又／′
勺
今
＋
轴
—
鱼
α
巳
~
—2,
∩
么
／（卵0）-／（m）
e鳃0ˉe厕
＝α·
＋卯0＋′川-2,
卯0ˉ刀l
卯0-″［
e狐0ˉe″』（α≠0）’即e竿＝e蹦0-em
●
α
~
…
—
∑
巳
●
α
g
卯0—∏l
卯0-″〗
不妨设t＝卯0-m＞0’则e÷＋″』＝e′＂＋‘-em
t
’两边同除以e矾’得
’
）
＊
（
］
』
巳
~~
‘
＿
气
拦
巳
旷
即
’
纠
—
′
〖~
e2
~
~
’
］
′
＿
气
凸
巳
旷
』
巳~~
）
′
（
自
令
＼
‖
■
‖
′
／
刊
Ⅱ
′
—
’
＝
』
～
∩
壬
巳
′
′
□
‖
‖
｀
＼
』
≡
乙
则g′（t）＝e丁｜e百ˉ寺＿1｜＞0（e鳃≥狐＋l ’厕＝0时取‘‘＝’’）
’
g（′）在t巨（0’＋的）上单调递增,
g（t）＞g（0）＝0对t巨（0,＋的）恒成立’
『
f.方程′e丁＝e』ˉl无解
』
同理‖＝″0ˉm＜0时’方程te丁＝e′ˉ1也无解.
不存在实数卯0（绷0≠″l）
’
候得′（鳃0）＝／｛（迎苛堕）（鳃0ˉ删）十喊立
］98
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』第四章双变量不等式｜
［例22］已知函数′（x）＝儡致ˉ÷鞭2ˉα“
（l）若函数／（卯）在R上是增函数,求实数α的取值范围;
（2）如果函数g（鳃）＝／（撼）ˉ（侧ˉ÷）2恰有两个不同的极值点瓤｜,蕊2』
卯l＋卯勺
证明:
鱼＜ln2（】.
2
■
』
祈
解
●
’
∏
●
■
』
Ⅲ
）
卯
卯
巳
（
≤
α
『
目
’
○
≥
α
卯
卯
巳
~~
）
卯
（
′
旷
Ⅱ
巳
勿
γ
甲
●
●
’
数
函
增
曰
正
上
ˉ
Ⅸ
在
）
卯
（
／
●
■
●
）
］
（
设／l（绷）＝e绷ˉ卯’则h′（卯）＝e绷-1 ’由h′（“）＞0解得绷＞（）;由h′（“）＜0解得则＜0’
故力（则）在（ˉ的’0）上单调递咸’在（0’＋的）上单调递增’所以h（绷）min＝／l（0）＝1
综上所述’α≤1
（2）证明依题意可得g（鞭）＝∧鳃）＿（鹏—＋卜:＝e蜒ˉ″2ˉ″,g′（狐）-健蜒ˉ2侧xˉ侧’
因为绷l ’卿2是g（则）的极值点’所以则l ’卯2是g′（卯）＝0的根’
镶｛:‖r‖二椰Ⅲ琴二!二‖……碘÷:昔′
所诞不等式等价于箍宁2＜｜n嚷／Mˉe、…＂卿—噎·
.e
2
＜
卯l-卯2
卯l-卯2
不妨设卯l＞卯2’两边同除以e藏2可得e旦亏丝＜e颜!ˉ獭2ˉl ’（此为关键步骤:观察指数幂的
不妨设卯l＞卯2’两边同除以e藏2可得e＿厂＜≈
＾’（此为关键步骤:观察指数幂的特点
卯l-卯2
以及分式的分母’化不同为相同’同除以e“2使得多项呈厕］-卿2的形式,从而考虑换元减
少变量个数.
）
令′＝狮!—狮2,′匡（0,＋酶）,所证不等式卵e÷＜罕’卵』～』刊＜0
’
｜
）
］
＋
曲
—
’
～
／
』
‖
‖
‖
＼
｜
〖~
-e2
ˉ上
e2—
~~
）
′
（
′
尸
则
’
］
＋
』
巳
′
一
∑
巳
′
~~
）
′
（
尸
设
）
］
＋
′
’
～
（
〖
因为e了-
＞（）’即p′（r）＜0’ ...p（t）在（0’＋的）上单调递减’p（r）＜p（0）＝0
原不等式成立,:′露｜1腮;
＜ln2α
］w
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｜满分之路.导数‖
［例23］已知函数／（卯）＝e氮ˉ则2ˉα绷有两个极值点卿l ’卯2（卯l＜卯2）
（1）求实数α的取值范围;
（2）求证:
e蜒l＋e躯2＞4.
·解析0
（l）／（卯）＝e腮ˉ卯2ˉα卿’则／′（则）＝e厕ˉ2卯ˉα.
函数／（卯）有两个极值点则l ’卯2’即则l ’卯2是／′（卯）＝0的两根
设g（绷）＝e厕＿2绷ˉα’则g′（卯）＝e躯ˉ2’今g′（卯）＝0’解得卯＝ln2.
所以当则巨（-切’ln2）时’g′（加）＜0’g（厕）单调递减;
当卯巨（ln2’＋的）时’g′（卯）＞0’g（则）单调递增.所以g（则）mm＝g（ln2）＝2ˉ2ln2ˉα.
下面用零点存在定理判定零点的存在.g（卿）min＝g（ln2）＝2—2ln2ˉα＜0’解得α＞2ˉ
／
｜
2l∏2’又g
｀
）
α
勺
△
~
＝eˉ丁＞（）,所以存在唯一则l巨（ˉ由’ln2）’使得g（匆l）＝0’
g（1＋√∏ˉ干ˉT）＝el＋√万下Tˉ2（l＋√万干ˉT）ˉα＞（］＋√而-干T）2ˉ2（l＋√Iˉ干ˉT）ˉα＝0’
（找点:g（则）＝e厕ˉ2卯ˉα＞卯2ˉ2″ˉα＝0’解得鳃＝1＋√FˉT）
所以存在唯一“2巨（ln2’＋的）’使得g（则2）＝0.
综上所述,当α＞2ˉ2ln2时’函数∧卯）有两个极值点.
（2）证明:由（l）可知g（卯1）＝g（卯2）（则l＜ln2＜则2）
’
即e财2 -e躯l ＝2（厕2一“l
）
（
＊
）’设t＝卯2-则l ＞0’则将匆2＝卯1 ＋t代入（
＊）
’
e躯!＝—2上
e〖-1
’
得剩e鳃2＝21ˉ二旦1
｀
e‖-1
’
2
2t
2t .eZ
所以ezl＋e鳃2＝
＋
er-l
e′-］
＋
■
‖
且
』
′
『
『
】
‖
‖
｀
｀
）
＝2r
·
re-1
）
］
’
≈
—
‖
巳
＋
』
（
要证e鳃l＋e撕2＞4’需证e鳃l＋e鳃2＝2r
。
＞4’即（r-2）e′＋（t＋2）＞0.
设h（t）＝（tˉ2）e′＋（t＋2）’h（0）＝0’则／l′（t）＝e′（tˉl）＋1 ’h′（0）＝（）.
又h″（Ⅱ）＝t .e′＞0’／l′（t）在（0’＋的）为增函数’故h′（′）＞h′（0）＝0’
所以h（r）在（0’＋由）上为增函数’故h（r）＞h（0）＝0,即（t＿2）e‘＋（r＋2）＞0
■
证
口
寸
↑
斗
＞
∑
冗
巳
＋
］
冗
巳
故
2卯
~~
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［第四霞双变量不霉式｜
［例24］已知函数∧绷）＝e绷ˉα则-b,其中α’b巳R’ e＝2.71828….
（1）当b＝ˉα时’求／（卯）的极小值;
（2）当α＞0’b＝-α时’设／′（卯）为／（厕）的导函数’若函数／（绷）有两个不同的零点
（2瓣l绷2）
则l ’则2’且则l＜卯2,求证:／（3lnα）＞／′
卯l＋卯2
.解析0
解
（1）由题意’得／（卯）＝e躯ˉα“＋α’则／′（卯）＝e财ˉα’
o当α≤0时旷′（厕）＞0恒成立机勿）为增函数’无极小值;
◎当α＞0时’今／′（卯）＝0’
解得厕＝lnα.
所以当卯≡（ˉ的’lnα）时旷′（卯）＜0’
j（卿）在（ˉ的’lnα）上单调递减;
当如巨（lnα’＋的）时′′（卯）＞0扒卯）在（lnα’＋的）上单调递增
所以／（卯）有极小值为／（lnα）＝elnα—αlnα＋α＝2αˉαlnα.
（2）证明:／（则）＝emˉα卯＋α’则／′（卿）＝e绷ˉα’
所以／（3lnα）＝α3ˉ3αlnα＋α＝α（α2ˉ3lnα＋1）
’
（羔）＝籍ˉ徽.
／′
因为匆l ’厕2是／（匆）的两个不同零点’
｛:二蜕二‖…÷尝
所以
（羔）-毙ˉ等≡;子,
所以／′
下面考虑扩（3lnα）＝α（α2-3lnα＋1）的最小值’
设p（α）＝α2-3lnα＋1’
罚
｜
斜
门
墒
门
揖
‖
写
川
玛
篱
讨
一
＂
』
匡
』
…
→
勘
』
…
＂
』
＝
』
＂
～
』
｀
＝
｀
＿
…
～
～
…
→
＿
≠
～
‖
＿
厂
寸
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『
丁
丁
『
十
→
｝
十
十
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Ⅱ
』
…
《
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…
真
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洲
洲
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川
门
洲
洲
汁
洲
汁
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洲
门
卜↓…↓→-ˉ←ˉ上i
｝｝-k
′≡…
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←……ˉ厂｝
儿｝
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」ˉ‖什
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…厂↑…一＿…铲↑
2（αˉ罕）（叶李）
〕
∑
α
α
’
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〕
—
α
α
勺
←
~~
）
α
（
′
尸
则
~
α
四］
0
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」满分之路.导数｜
~
因为α＞（）,
所以′（侧）在（0,￥）上单调逮减’在（夸｀…）上…增｀
~~～
所以p（α）min＝p（f）二÷ˉ3!＂曾刊＞0』
所以p（α）＞0’即／（3lnα）＝α.p（α）＞0.
（羔）≡舱—;｛≡芳输最大值
再考虑／′
2卯l卯2
2
卯l＋卯2
因为
＝
＜
,
1
1
2
卯l＋卯7—＋—
←
卯l
卯2
硒
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∑
巳
＋
抽
—
∑
巳
卯
卯
（羔）≤· :
＂!＿｀
圣』ˉ上丑
e冗l-e几2
所以／′
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…
—
∑
巳
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卯1-卯2
’
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＿
∑
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＝
卯
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｀
∧
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z2-z］
卯l-卯2—e
2
＋e
2
2∧＋e＿∧-e∧
则T＝
＝
卯l-卯2
2入
设α（∧）＝2人＋eˉ入-e入（∧＞0）
’
则α』（儿）-2ˉcAˉe—人＝2ˉ（e儿带去）＜0｀
.α（入）在（（）’＋的）上单调递减’
倒（入）＜·（0）-0,＾r≤…′（籍）
＜0,
综上可得:／（3lnα）＞／′
2O2
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」第四章双变量不等式｛
［题型3对数平均值不等式］
［例25］已知函数／（厕）＝ln厕ˉα卯2＋（2ˉα）绷（α＞0）.若函数j
两点’线段AB中点的横坐标为厕0,证明:／′（卯0）＜0
若函数γ＝∧“）的图象与则轴交于A’B
｜·解析》
ˉ2α卯2＋（2—α）卯＋l
由题意得／′（卯）＝上-2α则＋（2—α）＝
卯
（2匆＋1）（α则-1）
~~~
卯
川
l
今／′（卯）＝0得卯＝—
9
α
所以当撼匡（0,÷）吐′′（露）＞0｀当绷.
∩
≡
＜
）
卯
（
′
·
√
时
＼
‖
‖
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由
＋
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■
Ⅱ
＿
α
（
卯］
＋卯2
设A（躯1′（卿l））’B（卯2矾则2））’厕l＜卯2’则卯0＝＿厂’
ln则lˉα卯｛＋（2ˉα）勿l＝0’@
ln财2ˉα绷i＋（2ˉα）则2＝0’@
@ˉ@得ln卯Iˉln卯2ˉα（躯］＋绷2）（卯lˉ则2）＋（2ˉα）（卯lˉ则2）＝（）’
l
＂（…2）ˉ（2ˉ＂）
l＂f｜二撇2,o
化简得
＝
卯l-卯2
卯l＋卯2
根据对数乎均值不等式得ln“l-ln卯2＜
2
’
1
卯1＋卯2
l
. .α（则l＋卿2）ˉ（2ˉα）＜
2
＝2α卯0ˉ（2ˉα）＜则0’@
将@式变为2α卯;ˉ（2ˉα）匆0ˉl＞0＝（2卯0＋l）（α卿0ˉl）＞0
1
..。2卯0＋l＞0, °.。卯0＞—’
α
...／′（卿0）＜0.
2O3
■
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｜满分之路.导数｜
~~
［例26］已知函数／（则）＝则eˉ驶如果厕｜≠则2’且／（厕l）＝／（师2）.证明: “l＋卯2＞2
·解析·
卯1
卯勺
证明;设／（贩｜）＝／（卯2）＝c,则—＝c,盂＝c》
e卯l
两边取对数’得
ln匆1ˉ卯l＝lncO’ln卯2ˉ则2＝lnc@’
尤l-卯2
＝1.
oˉ@得ln＂lˉln卯2
根撼对数乎均值不等式鞭宁:＞
卯1-卯2
］
~~
ln卯l-lII卯勺
▲
卯l＋卯2＞2
［例27］已知函数／（厕）＝绷ln卯与直线y＝″!交于A（卯l ’γl）’B（卿2’γ2）两点.
］
—
句
昏
＜
）
～
卯
求证:
（）＜绷l
｜·解祈0
证明…｜l＂憋｜二哪,鞠ln腮2二′＂,可得慈!二尚@,躯2二孟@,
（ll｛;I瞪!）
Ⅺˉ＂2
-
＿厕』
圃,
oˉ@得卯lˉ卯2＝′′l
′n（ln卯2＋ln卿l ）@’
@＋@得绷l＋卿2＝
l∏几lln卯2
榷撼对数乎均值不等式狐宁2
＂｜ˉ窥
（撕｜≠趣）,
＞ln卯l＿ln‰
凸
m（ln卯1＋ln厕2）
—m
利用◎@式可得
＞ln卯lln则’’
2ln卯llIl卯7
ˉ
～
由题意γ＝′＂与∧卯）＝卯ln卯交于不同两点’易得出′′l＜0’
...上式化简为ln（卯1 .加2）＜ˉ2＝lne＿2
9
1
0＜卯1 ·卯7＜—
e2
＝
2叫
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」第四章双变霞不等式‖
第
双
等
~
［例28］已知函数h（卯）＝ln（卯＋1）,对任意厕l ’狐2巨（—l ’＋四）（卯l≠厕2）’证明:不等式
尤l-卯2
h（卯l）ˉ／j（绷2）＞√则l卯2＋厕l＋则2＋1恒成立.
｜·解析0
解析
证明:／j（卯）＝ln（1＋则）’不妨设卿2＞卯l＞ˉl’
待诞不等式等价于h｝嚣｜｛二脚（）≥√「蓟仙（露!带］）,
根撼∏制万＞倾,
今b＝卯2＋1’α＝绷l＋1即可得证
［例29］已知函数∧则）＝ln卯ˉα卯.若函数γ＝／（则）的图象在绷＝1处的切线平行于卯轴’且
A（加l ’yl）’B（卯2’y2）（卿1＜卯2）是函数γ＝／（卯）的图象上任意两个不同的点’设直线
AB的斜率为人,证明:上ˉl
卯2
］
］
—
川
＜
可
〃
＜
｜.解析0
l
证明:由题意可知／′（厕）＝＿ˉα’／′（1）＝1＿α＝0’α＝l
’
卯
故∧卯）＝ln卯ˉ“.
A＝（ln卯2-卯2）ˉ（ln卿lˉ躯1）＝ln绷2-ln卯lˉ1 ,
卯2-卯l
卯2-卯1
忻
］
］
—
川
＜
了
〃
＜
］
］
—
咆
证
要
］
—
川
＜
］
＋
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向
＜
］
—
咆
证
靛
而
口
＾
ln卯2-ln卯l
即上＜
＜—’
1
｜
卯2
卯2-卯1
卯l
根撼6＞ln′二愉α
＞α’
令b＝则2’α＝则l ’即可得证.
2O5
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融岗举
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十■
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→
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→
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;～
~
↑.
-仆
畔叶~~~
0≡守÷~~~
■→土
｜满分之路.导数｝
~
［例30］已知函数／（雕）＝｜n（〃＋l）』g（腮）二六设′!巨N＊,比较g（l）＋g（2）
与′!ˉ／（则）的大小’并加以证明.
方窿析0
＋…＋g（″）
圆为g（醚）＝六’
所以g（l）培（2）＋…＋g（＂）÷÷＋…＋＿二＂ˉ
网
′l＋1
而n-／（〃）＝则-ln（″＋1）,
因此’比较g（l）＋g（2）＋…＋g（则）与nˉj（″）的大小’
即只需比较＋宁…＋六与ln（厕＋l）的大′｜｀即可
榷撼＋（b—侧）＜｜＂bˉ｜＂α,
令α＝″’b＝＂十1’』｜亩＜｜n（叶1）ˉln＂’
所以÷＜ln2—｜＂l,
上＜ln3-ln2’
3
］
—
州
＋
■
■
●
＋
］
—
］
＋
＜
』
—
勺
≈
）
（
六＜hl（＂＋1）ˉ｜＂＂’
将以上各不等式左右两边相加得÷＋÷＋…十六＜l＂（＂＋l）
’
故g（1）＋g（2）＋…＋g（〃）＞′!＿／（′』）.
＋…～←…←≈≈
……←……凸…
｜
｜
:
〖
十.
‖.
◎＾舔＋…＋≡
~
~
Z
｜
【
｜
,
日
｝
2比
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〗第四童双变量不等式｜
［例3l］已知函数／（卯）＝ln（1＋厕）ˉ多（1＋入卯）
l＋卯
（l）若厕≥0时’／（卯）≤0’求入的最小值;
（2）设数列｛叫的通项α广l＋÷＋＋…＋÷』证明; 侧甄ˉ…六＞｜＂2
｜。.解析.0
（1＝2人）卯-入“2
则（1＋M）
（l）易得／（0）＝O／（卿）＝ln（1＋卿）ˉ
’则／′（卿）≡
（1＋卯）2
’
1＋卯
…
—
入
~~
卯
’
∩
·
~~
卯
则
’
○
~~
）
卯
（
′
／
今
若∧＜0’则当绷＞0时旷′（卯）＞0’∧鳃）是增函数’／（卯）＞／（0）≡0’不符合题意;
碧0≤入＜÷则当0≤狮＜上j丛吐／′（狮）＞0,′（狐）是增函巍／（颜）＞／（0）≡0’ ＝
意;若入≥＋』则当腻≥0时旷′（鞭）≤M憋）是减函数沁）≤／（0）＝0’符合题意;
综上所述’儿的最小值是＋
（2）证明根撼｜n6—｜…÷（÷＋＋）（bˉ“）’
令勉≡″,b＝＂刊,则ln（′』＋l）ˉl…＋（÷＋六）｀
所以｜＂（＂＋l）ˉh″＜÷（＋＋六）,l＂（′』＋2）＿｜n（＂＋l）＜÷（六＋志）’
｜＂（＂＋3）ˉ｜＂（″＋2）＜÷（志＋志）’
＝0’不符合题
!＂2鹏ˉln（2＂＿l）＜＋（2士l＋六）’
『
将以上各不等式左右两边分别相加得
2
2
2
2
｜＂2″ˉh』鹏＜＋（÷＋而丁T十万丁页＋而百＋…＋2＂ˉl＋六）
1
1
:′l＂2＜六＋（六厉十2十而百十＝＋2厕上l）十点,
故六＋万干页十…＋六＋六＞ln2’所以侧2腮ˉ吟』试＞ln2
l
◆
■
■
四7—
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｜满分之路。导数｛
; ˉ←→ˉ4＝』
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＝＝←司
!→拾←｜＿＋-（
!ˉ蕊ˉ伴岂ˉ＝｛
i
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岗一＋飞
;十ˉ尸十＋｛
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产■同十＿-ˉ克
剧-←～↓ˉ↓
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『丁亡±寸］
~!『
｛
｜
｝…广岗-「＝｜
!ˉˉ『＿ˉtˉ＿｛
｜
｝-一ˉ＋ˉ←＿｛
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l』-←侣-｛
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｝ˉ｛ˉ←州
rˉ～厂引引
,ˉ瞬了ˉ←←≡卡≡←ˉ｛
!≈k工工剿
‖
｛
｛
~｜｜
宁＝＝←＝厅＝←习
］
勺
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〗
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亏
’
～
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［例32］已知函数／（绷）＝卯ˉln（厕＋1）.证明
＿ln（2厕＋1）＜2（″巳N＊）
｜·解祈】
＋
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●
●
明
据
证
根
2
＜ln（2′!＋1）
2′lˉ1
令“＝2″＝1 ,b＝2＂＋｜,则2（″i）＿1
2＂刊
2
三≡
＜ln（2′』＋l）-ln（2″-1）
’
所以
勺
亏＜ln3ˉlnl,
÷＜｜＂5—｜n3’
2
2（n-l）＋l＜ln（2′!ˉ1）-ln（2＂-3）
’
2
2″＋1＜ln（2n＋l）ˉln（2′』-1）
’
2
2
将以上各不等式左右两边分别相加得÷÷十÷＋…＋2″—l＋2″＋］
＜ln（2′』＋1）
’
网
2
故鸟2愈—l
得证.
2
-ln（2′!＋1）＜2-
＜2.
2几＋］
↓!＿ˉ↓＋ˉ!
了十主』缉
＋＋ˉ←ˉ十刊
…扫丁—-←卞弓
］ˉ.』
＋ˉ＋
｛
上↓二茧二判
从干↓军｛
辨沪予≡沪←捂卞司
划止了舅刘
≡＝…瞎→≡←＋≡｛
,＼＋≡十卜｛
2肥
｛≡→＋＋｜
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］
量不等式｝
等
第四章双变
j〔［工
｝）‖!＿:↑｀
;壁?＝←…≡＝一
［题型4偏移杂例难题］
［例33］已知／（则）＝x2—2厕＋sin子卿’鞠巨（（）’l）在施＝躯0处取得极小值若／（腮l）＝／（则2）
》
凸
证明: 卵l＋勿2＞2卵0.
●
卯
∏
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勺
～
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卯
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卯
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卯
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＿
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●
■
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且
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卯
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（
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●
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勺
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2
（腿」＋腮2）ˉ2＋晋.co;（÷愿宁』）-′′「宁2）
函
减
为
上
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·
（
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在
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●
∏
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勺
～
（
Ⅲ
■
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且
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∑
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卯
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′
吕
‖
贝
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卯
∏
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勺
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／
｜
｜
＼
吕
·
℃
∏
＿
勺
▲
＋
∑
卯
∑
~~
）
卯
（
彦
设
数,又g′（0）-2＞0’g′（｜）-2ˉ铲＜0,
所以存在唯一的t0巳（0’1）’使得g′（t0）＝0.
所以当卯巴（0’‖0）时’g′（t）＞0’g（t）为增函数;
当绷巨（r0’1）时’g′（r）＜0’g（t）为减函数.
又‘（瓣0）-0’g（1）-0,g（躯宁2）＞0.
所以撼0＜狮宁2＜l
综上所述’卯1＋卯2＞2卯0
2四
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｜满分之路. 导数l
［题型5切割线解类偏移问题］
［例34］已知函数∧绷）＝4绷ˉ匆4.
（l）求／（卯）的单调性;
（2）设曲线y＝／（则）与绷轴正半轴的交点为P’曲线在点P处的切线方程为γ＝
g（卯）’求证:对于任意的正实数卯’都有／（则）≤g（厕）
;
（3）若方程／（篮）二α有两个正实数根憋］
’ 膊2,且腮｜＜箍2,求证; 憋2—鹅!≤—÷＋4＋
｜6解析0
（l）由／（蛔）＝4卯ˉ匆4’得／′（聪）＝4—4绷3
’
今4ˉ4卯3＝0’解得“＝1.
所以当则＜1时′′（卯）＞0’／（卿）单调递增;
当则＞l时′′（卯）＜0’／（卯）单调递减.
所以函数／（z）的单调递增区间是（ˉ凹’l）’单调递减区间是（1’＋的）
l
（2）设P（卯0’0）’由题意有卿0＝4丁’
又／′（卯）＝4ˉ4卯3’得∧＝／′（卿0）＝-l2’
曲线γ＝／（厕）在点P处的切线方程为γ＝g（卯）＝／′（则0）（卯ˉ卯0）
’
令F（卯）＝／（卯）—g（则）,即F（厕）＝／（卯）一／′（卯0）（卯-卯0）’则F′（狐）＝／′（卯）-／′（卯0）.
由于／′（则）＝4ˉ4卯3在（-的’＋的）上单调递减’
故F（匆）在（—由’＋的）上单调递减.
又因为F′（厕0）≡0’
所以当卯巨（ˉ的’“0）时’F′（卯）＞0’F（“）在（-鲍’则0）上单调递增;
当加巨（卯0’＋的）时’F′（卯）＜0’F（卯）在（卯0’＋鲍）上单调递减’
所以对任意的实数卿’F（“）≤F（卿0）＝0.
综上所述’对于任意的正实数厕’都有／（“）≤g（卯）.
2］O
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1第四慧双变量不等式｝
（3）证明:书写形式一
1
由（2）知g（卯）＝-］2（卿-4丁）’
设方程g（腿）＝α的根为咱’可得咱＝ˉ备＋4＋』
因为g（卿）在（ˉ的’＋的）上单调递减’
又由（2）知g（“2）≥／（卯2）＝α＝g（卯』）’所以则2≤卯i.
设曲线y＝／（厕）在原点处的切线为γ＝h（匆）’可得h（绷）＝4厕’
对任意的卯匡（ˉ鲍’＋的）’有／（卯）—h（卯）＝ˉ卿4≤0’即／（卯）≤h（卯）.
设方程h（腮）＝α的根为腮｛,可得颠｛二矛
因为h（匆）＝4卯在（ˉ的’＋的）上单调递增’且h（则｛）＝α＝／（绷I）≤h（“l ）
’
因此厕｛≤腮1 ’所以颠2ˉ躯!≤狐i—躯｛＝ˉ;＋4圭
书写形式二
1
由（2）知g（卯）＝ˉ12（卯ˉ4丁）’且／（卯）≤g（卯）
’
l
所以α＝∧则2）≤g（则2）＝ˉ12（厕2ˉ4丁）’
即狐2≤ˉ舌＋4贪
同理’曲线γ＝／（卯）在原点处的切线为h（″）＝4绷扩（则）≤h（则）
’
α
＿
甩
斗
≤
］
卯
『
日
’
］
卯
△
口
~~
）
］
卯
（
力
≤
）
］
卯
∧
~~
α
以
所
上
］
〃
斗
＋
α
—
司
〕
~~
α
＿
〃
斗
】
一
］
〃
斗
＋
α
—
皿
≤
］
％
∑
卯
以
所
2］］
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｜满分之路.导数l
［例35］已知函数／（卯）＝（卯＋b）（e″—α）（b＞0）在（ˉM（ˉ］））处的切线方程为（eˉl）卯＋e）
＋e-l＝0.
（1）求α’b的值;
（2）若刀程∧躯）-腮有两个实数根撼｜’氮2（腮｜＜x2）’证明! 鳃2ˉ蜒｜≤l＋腮（｛二:筐）
可
』
祈
解
●
＼
〗
■
‖
『
『
′
α
■
Ⅱ
—
巳
（
］
~~
』
或
］
—
~~
α
得
解
’
○
~~
（1）由题意／（ˉl）＝0’所以∧ˉl）＝（ˉ1＋b）
e
又／′（则）＝（则＋b＋1）e绷-α’
■
』
＿
巳
＋
］
~~
α
∏
·
—
巳~~
）
］
（
′
／
以
所
若α＝上’则b＝2ˉe＜0’与b＞0矛盾’故α＝1’b≡1
e
（2）确定／（卯）的图象.
由（1）可知’则／′（卯）≡（“＋2）e缅＝l’
／′（卯）在R上单调递增’且／′（0）＞0’／′（-1）＜0’
所以存在卿0巳（＝l’0）’使得／′（“0）＝0’
所以当厕巨（-的’加0）时扩′（卯）＜0旷（则）在（-的’卯0）上单调递减;
当厕巨（则0’＋的）时扩′（则）＞0扩（卯）在（卯0’＋的）上单调递增.
又∧0）＝0’∧ˉ1）＝0’可得∧卯）的图象如图.
γ
｜
ˉI～-／｜O
-2
1
x
m（l-2e）
＋
］
≤
］
卯
∑
卯
良
才
数
实
的
】
″
~~
）
卯
∧
’转化为与／（卿）在（＿1’0）和（0’0）处的切线与
l-e
卯
′
∩
凸
卯
≤
卯
∑
卯
证
即
小
大
的
差
）
′
勺
～
卯
＜
卯
（
′
∩
丝
卯
卯
标
坐
横
占
…
←
父
的
矾
~~
γ
｝
→
』
·
止
｛
~
~
~
~
2］2
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」第四章双变量不等式｜
由（l）可知／（娠）在（—l,0）处的切线方程为′‘（躯）＝（÷—l）（绷十1）,
设／（卿）和h（则）分别与γ＝′″的交点横坐标为卯l ’卯｛’则h（卯｛）＝／（卯l）
下面比较卯l ’卯｛的大小:
’
）
］
＋
卯
〃
′
‖
＼
｀
‖
‖
□
■
】
□
『
′
■
】
』
■
』
—
巳
′
』
』
』
】
‖
｀
｀
｀
｀
′
′
≤
日
几
冗
巳
（
）
］
＋
卯
（
~~
）
卯
（
门
）
卯
（
／
~~
）
卯
（
Ⅳ
设
则F′（″）＝（卯＋2）e躯ˉ上
9
G
当鳃≤-2时’
F′（绷）＝（“＋2）e鳃ˉ上≤ˉ上＜0;
e
e
当卿＞ˉ2时’设G（厕）＝F′（“）＝（则＋2）e“ˉ上’G′（绷）＝（匆＋3）e鳃＞0’
e
故函数F′（则）在（ˉ2’＋叼）上单调递增’又F′（ˉ1）＝0’
所以当卯巨（-的’-1）时’F′（匆）＜0’F（绷）在（ˉ鲍’-l）上单调递减;
当卯巨（ˉl’＋的）时’F′（厕）＞0’F（则）在（＝l ’＋的）上单调递增.
故F（卯）≥F（＿l）＝0’
即／（卯l）≥h（卯1）.
书写形式一
因为h（厕）二m的根为卯｛’则卿｛＝ˉ1＋型旦.
1-e
又函数h（卯）单调递减’故h（腮｛）＝／（卯l）≥h（卯l）’故绷｛≤卯l .
书写形式二
′＂-′（狐｜）≥″（鳃｜）＝（÷ˉl）（鹏｜＋l）
’
则您!≥ˉl＋告』故狐｛≤卿』
同理比较卯2’卯i的大小:
设y＝／（如）在（0’0）处的切线方程为y＝t（卿）＝卯’
2］3
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｛满分之路·导数］
令T（腮）＝／（卯）ˉt（则）＝（则＋1）（e厕ˉl）＿厕’T′（匆）＝（卯＋2）e卿ˉ2’
当″≤ˉ2时’T′（卯）＝（则＋2）e獭-2≤ˉ2＜0;
当躯＞ˉ2时’设H（卯）＝T′（卿）＝（卯＋2）e绷-2’〃′（则）＝（卯＋3）ex＞0’
故函数T′（财）在（ˉ2’＋鲍）上单调递增.又T′（0）＝0’
所以当卯巳（ˉ鲍’0）时’T′（卯）＜0’T（绷）在（ˉ的’0）上单调递减;
当则巨（0’＋鲍）时’T′（则）＞0’T（卯）在（0,＋切）上单调递增
所以T（厕）≥T（0）＝0’
即／（卯2）≥t（卯2）.
书写形式一
设t（卯）＝m的根为则i’则匆』＝″!.
又函数t（卿）单调递增’故t（卿』）＝／（卿2）≥t（购2）’故则i≥“2.
书写形式二
m＝／（卯2）≥t（绷2）＝卯2’故绷i≥厕2.
）
巳
’
≈
巳
~
~
］
］
（
加
＋
］
~~
）
账
＿
性
＋
］
（
所以施7-绷1≤郎;＝勿1＝′′l-
′
▲
▲
2］4
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1第四章双变量不等武｜
第04讲韦达定理
固知识纵横
一元二次方程中根与系数的关系定理’通常称为韦达定理.本节课重点讲解韦达定
理化简代数式的作用.
◎典型例题
~
~
勒
~
~
［例36］已知函数∧则）＝则＿上ˉαln勿（α巳R）
卯
（1）讨论函数／（躯）的单调性;
（2）若／（绷）有两个极值点绷l ’卯2’记过点A（则l ’／（卯l））’B（卯2,／（卯2））的直线斜率为
k.问:是否存在α’使得人＝2—α?若存在’求出α的值;若不存在’请说明
理由
｜·解析］
（l）／（鳃）的定义域为（0,…）′′（侧）＝l＋上ˉ丛ˉ鳃2—贷＋l ,令g（鳃）-厕2—α鳃＋l,其
卯2
卯
判别式△＝α2ˉ4’当△≤0’即｜α｜≤2时旷′（绷）≥0,故／（则）在（0’＋函）上单调递增;
当△＞0时,α＜—2或α＞2.
当α＜ˉ2时’g（绷）＝0的两根都小于0’
在（0’＋的）上旷′（则）＞0’
故／（绷）在（0’＋由）上单调递增;
当α＞2时’g（厕）＝0的两根为卯l＝α—√α2ˉ4
α＋√α2ˉ4
2
,卯2＝
2
,
当0＜卯＜“l时扩′（卯）＞0扩（厕）在（0’匆l）上单调递增;
2］5
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』满分之路.导数l
当绷l＜则＜卯2时旷′（财）＜0′（加）在（卯l ’卯2）上单调递减;
当卯＞则2时旷′（卿）＞0旷（卯）在（厕2’＋的）上单调递增.
（2）由（1）知’α＞2时’／（则）的极值点则l ’卯2是则2ˉα厕＋l＝0的两根’
硫碘〔｛三二《,
由题意有’k＝／（则l）＿／（则2）
j
勿l-卯勺
～
卯l-卯勺
又／（卯l）ˉ∧则2）＝（卿｜ˉ卿2）＋
-α（ln则l-ln卿2）’则l .卿2＝1’
凸
卯l卯2
ln％l-ln卯2
ln卯l—ln卯2＝2一α
l
所以A≡1＋＿-α
勺
▲
卯
∏
］
】
九
旦
卯
Ⅱ
］
‖
贝
］
卯
’
】
（
勺
△
~~
∑
∏
亢
卯
得
］
卯
使
’
α
在
存
若
卯l-卯2
·
］~~
卯l—卯2
即ln则l—ln卯2＝卯l-厕2（＊）.
将则l .卯2＝1代入（＊）消去卯l得’卿2ˉ上ˉ2ln卯2＝0（卿2＞1）（＊＊）
’
卯2
再由（1）知’函数h（t）＝』ˉ上ˉ2lnt在（0’＋的）上单调递增’而撕2＞l
’
所以陶—上ˉ2ln巍＞1ˉ＋ˉ2!nl-0这与（＊＊）式矛盾
卯2
故不存在α’使得k＝2ˉα.
2］6
~）
十
~
~~
~~~
｝柑二
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］第四章双变量不等式｝
［例37］已知函数／（″）＝α卿2ˉ（2α＋1）则＋ln则.
（l）当α＞0时’求函数／（卯）的单调区间;
（2）设g（卯）＝／（卯）＋2α厕’若g（则）有两个极值点则1 ’卯2（卯l＜卯2）’且不等式g（卯1）＋
g（卯2）＜入（卯l＋豹2）恒成立,求实数入的取值范围
·解析】
（1）／（则）＝α卯2ˉ（2α＋1）厕＋ln则’则巨（0’＋的）
’
可得／′（卿）＝2α狐—（2α＋l）＋上＝2α勿2ˉ（2α＋1）“＋1
（2α则ˉ1）（“ˉ1）
二二
卯
％
卯
令′′（狮）-0,解得鳃｜＝六’狐:＝L
因为α＞0’所以
@当α＝÷时扩′（躯）≥0在（0,…）上恒成立,函数／（膊）的单调增区间是（0,＋函）;
、＝一-
2…,
又′
｀ˉˉ′≡＿
@当六＜1.傻｜,铡＞÷时,
瓣匡（0’☆）赫’／′（狮）＞0,
躯巨（力,l）咐′（则）＜0’
卯巨（1’＋的）时’／′（绷）＞0’
＾此时f（鞭）的增区间为（0,赤）
o当大＞‖,即0＜忽＜＋时’
卿巨（0’1）时旷′（卯）＞0’
腮匡（l,六）时扩′（x）＜0’
露匡（六’…）时′′（巍）＞0’
●
■
尸
）
］
’
］
—
″
（
为
间
区
减
’
）
四
＋
’
］
（
’
此时∧露）的增区间为（0’l）’（六,＋鳃）减区间为（!,六）
2］7
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』满分之路.导数l
（2）g（卿）＝／（卿）＋2α腮＝α绷2ˉ卿＋ln缅’g′（卿）＝2α则ˉ1＋上＝2砸2—卯＋1
卯
卯
因为g（则）有两个极值点绷l ’厕2’
所以购1 ’绷2是方程2α卿2ˉ“＋1＝0（财＞0）的两个不相等实根’
｝｛二
｀
所以△＝l-8α＞0’且
由g（则l）＋g（则2）＜入（则l＋卿2）’得（α卯｝ˉ卯l＋ln则l）＋（α则;—卿2＋ln卯2）＜∧（卿l＋厕2）,
牛√←←→-＋
整理得α（卯;＋绷;）ˉ（厕l＋则2）＋ln（则l厕2）＜∧（厕l＋卯2）
’
将…2-☆≥0,鞭｜鞠＝六＞0代入得上式得点ˉl—赤＿｜＂2“＜光,
阂为0…昔,所以入＞＿＋ˉ2侧ˉ2＂ln2“
令删（α）＝ˉ上＿2侧ˉ2似hl2“（0…÷）,
2
1
h′（α）＝ˉ2ˉ2ln2αˉ2＝ˉ2（ln2α＋2）’今h′（α）＝0’得α＝两’
当α匡（0’去）时,′‖′（“）＞0.嚼匡（六,＋）时,h′（α）＜0,
所以咖（α）在（0’去）上单调遥增,在（☆,;）上单调逮减』
］
—
〗
］
—
舌
~~
）
］
—
蓝
（
力
°
＿
＿
］
—
∑
叉
己
Ⅲ
］
—
舌
）
α
＞
（
∧
入
以
以
所
所
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「第四章双变量不等式｝
［例38］已知函数／（厕）＝ln卿＋则2ˉα卿（α巨R）.
（l）求函数／（绷）的单调区间;
（2）设函数／（愿）存在两个极值点聪｜》“2’且购｜＜狮2′若0＜躯］＜÷′求证;／（膊｜）ˉ
2
勺
≡
∏
］
］
—
斗
＞
）
勺
凸
勿
∧
｜·解析0
（l）定义域为（0’＋的）.
∧卿）＝ln则＋卯2-“’
2卯2-α卯＋1
则／′（勿）＝ˉL＋2卯ˉα＝
’则＞0’
卯
卯
今g（狐）＝2卯2ˉα则＋1,所以△＝α2-8.
当α2—8≤0’即—2√5≤α≤2√页时’／′（卿）≥0’
则／（卯）在（0’＋的）上单调递增;
当α2ˉ8＞0’即α＞2√回或α＜ˉ2√可时’
因为绷匡（0’＋的）,所以当α＞2√5时’
2卯2≡α卯＋1
令／′（则）＝
＝0（卯＞0）
,
卯
闷
▲
±
α
~~
卯
得
解
’
β
~~
］
＋
勿
α
〗
卯
〗
′
日
所以蹿匡（0,隧ˉf—8）和鞭匡（叶咨』—‘
｜
’＋的｜时鬼／′（厕）＞0’
）
β
∑
血
斗
＋
α
’
β
∑
九
斗
α
（
巨
卯
时’／′（则）＜（）;
当α＜ˉ2√页时扩′（卯）＞0’则／（“）在（0’＋由）上单调递增.
综上所述’当α≤2√5时’／（厕）的增区间为（0’＋四）;
2］9
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‖满分之路′导数】
当硼＞2徊蹦.′（鳃）钩增…（0,侧ˉ咨』—8｜和（幽W》:ˉ8,带＝
…为（“—咨2ˉ圃｀叶旷8）
（2）证明:设函数／（卯）存在两个极值点躯l ’卯2’且匆l＜则2’
α
l
由（l）可知,当α＞2√面时’鳃｜＋鳃』二百,鳃广蜒2-＋,则獭2＝丽,
’
＼
｜
｜
｜
‖
／
／（卿l）ˉ／（则2）＝ln卿l＋卯｝—哑lˉln卯2ˉ厕i＋赃2＝ln旦＋［（绷｝—卯i）ˉα（卿｜
％2
-卯2）］
＝ln丑＋［（卯｝ˉ厕i）ˉ2（加l＋卿2）（则l—厕2）］
卯2
＝ln旦—（卯｝ˉ则;）
卯2
］
—
＾
钩
＋
γ
＝
‖
▲
卯
］
卯
∏
］
∑
＋
∑
Ⅲ
］
~~
∩
′
＝
《
‖
』
■
Ⅱ
卯
△
·
＋
＾
乙
〗
』
卯
令g（嘶l）＝ln2＋2ln则l
则蔚′（篮!）＿甄!ˉ志～
（』聪i岛｜）掣｀
7
卯l
γ0＜鳃｜＜十,＾g′（鳃｜）＜0,＾g（鳃｜）在（0,＋）上单调递减,
＾g（躯｜）＞g（÷）’漏g（÷）-』—｜n2’即g（腮｜）＞÷—｜＂2’
＾′（獭｜）—′（鳃』）＞÷—ln2
22O
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!
1
」第四章双变量不等式｝
［例39］已知函数∧露）＝ˉ÷撼2…ˉl＂狐（铡巨R）
（1）求函数／（卯）的单调区间;
（2）若函数／（则）有两个极值点则1 ’卯2（卿l＜则2）,求证: 4／（狮l）—2／（卯2）≤l＋3ln2.
｜.解析0
1
卯2-α卯＋1
（l）由∧狮）＝ˉ券』…ˉ｜＂剿’得／′（鳃）≡…ˉ了＝ˉ
卯
今g（绷）＝卯2ˉα卯＋l ’则／′（则）＝＿吕1互1
卯
o当△＝α2ˉ4≤0’即ˉ2≤α≤2时’g（卯）≥0恒成立’则／′（厕）≤0’
所以／（卿）在（0’＋的）上是减函数.
@当△＝α2ˉ4＞0’即α＜ˉ2或α＞2时’
（
j ）当α＜ˉ2时’g（卿）＝卯2＿α卯＋1是开口向上且过点（0’1）的抛物线’
对称轴方霍为鞭二÷（:≤ˉl）则g（蜒）＞0在（0,…）上慎戍立,从雨f′（撕）＜0,
所以／（绷）在（0’＋的）上是减函数
（lj）当α＞0时’g（卯）是开口向上且过点（0’1）的抛物线’
对称轴方程为露＝:（苛＞l）’则函数g（撕）有两个零点:
“ˉ″可
·带巡严（墨然…）,列表』吓;
卯l＝
2
,几2＝
≈
＼
‖
／
］
％
’
∩
（
、
｀
〗
′
′
∑
卯
’
甘
【
勿
（
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的
＋
●
′
∑
卯
（
卯l
X
卯2
／′（卿）
0
0
＋
＼~
、凶
刀
∧则）
极小值
极大值
M
综上所述’
当α≤2时’／（则）的减区间是（0’＋的）;
雪“＞2畸,′（鹏）输增…（徽f＝瓦,醒弯r＝J）｀…是（0』“＿孪可）
鲍
＋
’
斗
∑
血
’
～
＋
α
／
′
ˉ
‖
‖
‖
＼
）
22］
~
~
?…今…
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｜满分之路.导数｜
~~
（2）证明:由（1）可知’当α＞2时腮／（卿）有两个极值点卿l ’则2（卯1＜则2）
’
则匆1 ’卯2是方程g（卯）＝卯2-α则＋1＝0的两个根.
所以α厕l＝绷;＋l’α鳃2＝绷3＋1’
由韦达定理’得则l则2＝1’则1＋勿2≡α.
又α-2＞0’所以0＜卯1＜1＜卯2.
）—2（ˉ÷鳃;…2
一ln卯l
′
扒利）—驴（绚）＝4（ˉ哉＋″!ˉl＂撼｜）—2（ˉ古鳃｝
＝ˉ2厕;＋4α绷lˉ4ln厕l＋则;-2α狐,＋2ln厕2
＝ˉ2卯｝＋4（财｝＋1）ˉ4ln卯l＋卯lˉ2（绷;＋1）＋2ln卿2
）
-ln卯2
’
≈
＋
咆
亏
呵
∏
］
勺
～
＋
∑
∑
卯
∑
］
卯
勺
～
~~
三惫ˉ撼i癌hl鹏;带2
令‘＝塌（』＞1）’h（蹦）＝÷ˉ』十3｜＂』＋2（』＞1）,
则h′（r）＝ˉ÷-1＋兰＝-（′ˉ1）（tˉ2）
7
t▲
t
′2
当1＜U＜2时’h′（r）＞0;当t＞2时,h′（t）＜0’
则h（旷）在（1’2）上是增函数’在（2’＋的）上是减函数’
从而h（t）max≡∧（2）＝3ln2＋1’
于是4／（卯l）—2／（匆2）≤1＋3ln2.
~~
予丁『
｛
222
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｛
』第四章双变量不等式｛
［例40］已知函数∧卯）＝ln绷＋m厕.
（1）求函数／（躯）的单调区间;
（2）当砸≡乎时,设:（缀）二′（蜒）＋÷露2的闷个极｝直点甄｜,题（鞭｜≤巍）恰为
′i（鞭）二2l＂躯—…:的零点』求y＝（瓤｜—鞠）′t（甄宁2）的最小值
习
』
析
解
●
~~
］
″
十
■
』
—
卯
~~
＼
‖
／
卯
（
′
／
）
］
（
l巫ˉ±ˉ1（厕＞0）’当′″≥0时扩′（卯）＝
卯
″耽＋1
＞0′（购）在（0’＋的）上单
冗
调递增;当m＜0时’令／′（厕）＝lIl匹ˉ±ˉ1＝0’解得绷＝ˉ—
1
卯
″l
当0…＿片时扩′（斯）＞M瓣）在（0’—斋）上单调递增;
雪鳃＞ˉ湍＂〃′（鳃）＜M撼）在（＿斋’…）上单调递减
所以∧露）的单调递增区间为（0’ˉ÷）’单调递减区间为（ˉ揣,＋函）
综上所述’当m≤0时’／（绷）的单调递增区间为（0’＋的）;
当Ⅷ＞0吐∧鹏）的单调递增区间为（0’ˉ湍）’单调递减区闸为（ˉ斋,…
（2）韦达定理＋齐次化设参
）
卯2＋m勿＋1
g（獭）≡∧躯）＋告狐2＝｜皿…＋÷鳃2则g′（绷）≡÷＋哪…
卯
因为g（鞭）＝∧剿）＋÷鞭2的两个极值点为斯｜,翅（…2）’
良
才
两
的
◎
~~
］
＋
卯
加
＋
∑
卯
程
、
万
为
即
）
∑
卯
＜
卯
（
∑
卯
卯
为
良
↑
两
的
）
卯
（
吕
以
所
’
‖
叭
＞
『
’
斗
］
~
~
~
~
勺
凸
〗
∑
＂
勿
卯
′
＋
·
~~
△
川
川
｜
以
所
’
徊
∑
〕
≤
〗
″
为
因
●
夕
℃
占
№
零
’
◎
勺
肖
β
∑
卯
—
～
∑
勿
卯
α
α
∑
∑
卯
卯
∏
］
）
～
∑
卯
~~
∏
）
］
卯
’
产
（
◎
内
为
○
~~
）
巳
】
卯
卯
α
＜
］
卯
∑
］
／
＼
勿
∑
卯
’
］
卯
］
卯
∏
为
Ⅲ
因
以
又
所
223
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←
ˉ
＝
＋
—
＋
上
厂
广
广
←
＋
十
工
‖
←
Ⅲ
工
广
卜
仁
｜
判
」
｜
≈
｜
≈
｜
＝
］
剖
｜
司
司
同
—
产
｜
一
』
广
‖
←
Ⅲ
尸
司
叫
刨
司
刨
二
~
呻
［
｝
…
枷
…
＋
＋
＋
‖
＋
十
＋
｛
十
十
＋
＋
土
｜满分之路. 导数l
九2
2ln—
@ˉO得2ln丝ˉ（卯2ˉ卯l）（卵1＋匆2）ˉα（如2ˉ加l）＝0’解得α＝
卯l -（”1＋则2）’
卯l
卯2-卯l
卯l＋卯2
-2×
2
2
卯1＋卯2
＝
4
（
2
）
Ⅺ｜十瓣,
『币h（卯）＝2ln绷一α厕ˉ则2’h′（则）≡—ˉ2卯—α’h′
卯
-（】7
卯2
2ln—
卯1
将α≡
-（匆1＋则2）代入得
卯2-勿1
卯2
2ln—
卯l
卯勺
—（狮｛＋卿2）— 2｜n立（卿!＋厕2）
｜
L卯2一卯1
4
＋
卯1＋卯2
斗
—
…
）
~~
呐
＿
∑
（
″
今
｝
《
↓
』
…
′
｜
＋
』
‘
耐
《
…
｀
｀
吼
《
｀
册
』
↓
『
｛
个
｛
山
｜
｀
今
｝
｝
…
司
剖
｀
→
〗
』
‖
′
哇
｝
｜
需
｜
叫
↑
斗
》
′
舜
》
《
司
′
∑
唾
÷
』
［
↑
‖
′
→
《
｜
‖
｛
绊
』
｛
仆
′
］
→
｀
盛
Ⅱ
咐
『
『
《
′
叶
｀
｛
｀
→
｛
血
『
｛
β
《
》
…
钟
｛
≈
『
′
础
）
咐
｜
斗
｛
《
~~~
卯2≡卯］
＂,
2（备ˉ］）
ˉ
厕22鳃』｜ln可—丝＋l
卯l
-
2
绷2
2（卿2-则1）
｜ln万
＂］＋鹏2
卯2-卯1
｜
~
＂2
2（哥—l）
≡2
ln—-
勿l
丝＋1
卯l
＝
y-（绚ˉ巍）〃（等丝）
2（／『／）｜,
卯2
｜ln』—
令—＝t巨（l’＋。。）’y＝2
尤l
由（卯l＋卯2）2＝m2’得匆｝＋则3＋2则l .卯2≡m2’
圈为…:≡］,两边阎畸除以鞭｜巍’得』十＋＋2二咖2’
闽为″匡—乎,趣′＋腮2—2＝:』解得′≤÷（舍）巍』＝2.所以』≥2
设c（‘）≡ln』—2（r｜｜）,则‘′（』）≡｝刷＞0,
所以γ＝C（t）在［2’＋的）上是增函数’
7
所以G（』）miu＝G（2）＝ˉ亏＋ln2’
凰门二（…』）′t（竿2）的最小值为2ln2ˉ÷
十ˉ—ˉ十ˉˉ
｜
ˉ
母
［
~
十司-←巴ˉ
＿
＋同‖…◎‖
＋—←一二
～
｜~扁
｝
.
▲＝ˉ4ˉ』.
】
肾
胃＿
…＝←↑.＝
~
【
上.ˉ→ˉ《ˉ.
‖
】
【
卜气→-■咐…
】
目
栏→
｜
】
吕
十ˉˉ
】当≡?一ˉ
卜,←■→ˉ
~
＿
△—-一-
引
＋司■←→≡
＿
奇
宁≡-.←
224
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」第四章双变慧不等式｝
第05讲构造函数
囤｜知识纵横
利用不等式的结构特征’构造熟悉结构的函数或不等式,再利用构造后函数的单
调性证明.
◎典型例题
［例4l］已知函数／（则）二αln则＋卯2.
（l）当卯巳［1’e］时’讨论方程／（卯）＝0根的个数;
｜求
1
l
卯l
卯2
（2）若α＞0’且对于任意的卯1 ’卯2巴［l ’e］’都有｜／（厕l）ˉ／（卯2）｜≤
实数α的取值范围
·解析0
（l）当则e［1’e］时√（卯）二αln卯＋则2’／（1）＝1’则／′（″）＝丛＋2绷
冗
导根的判定
情形一
当α≥0时’卿巴［1’eM′（卯）＞0扩（匆）在匆巨［l’e］上为增函数’由／（匆）≥／（l）＝1＞0知’
方程∧则）＝0的根的个数是0;
情形二
当α＜0时扩′（绷）在鞭匡［l』健］上为增函数′′（鳃）巨［／′（l）扩′（e）］＝｜2＋α,2e＋÷｜
导根划分定义域
O当2＋α≥0’即ˉ2≤α＜0时扩′（卿）≥0旷（则）在则巨［1’e］上为增函数.
由／（腮）≥／（1）＝1＞0知’方程／（卯）＝0的根的个数是0;
225
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｜满分之路。导数｜
@当2e＋丛≤0’即α≤—2e2时′′（则）≤0矾绷）在卯巨［1’e］上为减函数.
e
又／（则）≥／（1）＝1＞0’／（e）＝α＋e2≤ˉe2＜0’所以方程／（卯）＝0的根的个数是1;
∏
涡
卯
得
解
’
β
~~
卯
】
＋
α
—
卯
~~
）
卯
（
′
／
令
’
时
’
≈
＜
α
＜
】
巳
勺
▲
当
◎
—
ˉ—
昔
庐
‖
｀
｀
□
〗
‖
‖
』
Ⅱ
′
数
上
为
增
函
巳
）
在
数
为
减
上
函
卯
巴
—
帐
（
在
）
所
∧
以
］
卯
卯
巳
｜
］
）
α
—
勺
～
（
∏
］
｜
●
α
—
∩
≡
~~
｜
α
—
’
≈
~
叫
~~
Ⅲ
●
■
且
Ⅲ
）
卯
抓
）
∑
∑
巳
’
∑
巳
（
巨
∑
●
＋
α
~~
）
巳
肌
较
）
（
·
巳
＞
）
］
◎
~~
与
）
值
］
∧
点
又
端
ˉ｜≤0’卵ˉ2…←2吐′（／＝夸）≥0,方穆′（撼）-0绚粮的个敷
（
所以当ln
｀
）
α
＿
勺
～
~
是0;
叫寻
（
苦）ˉ｜二0,坪“＝2詹时
）二0,方翟′（甄）二0输根输个数是｜｛
当ln
勺
‖闯1｜铡歼ˉ＾…恫……懦…;
当
当α＋e2＜0’即ˉ2e2＜α＜ˉe2时’方程∧则）＝0的根的个数是1.
（2）若α＞0,由（1）知函数∧厕）＝αln卯＋卯2在厕巴［1’e］上为增函数’
l
1
1
不妨设鳃l＜卵2’则｜∧厕l）＿∧厕2）｜≤
变为∧则2）＋上≤∧卯l）＋—’
卯1
卯2
卯2
卯1
设g（则）＝／（则）＋上’函数g（卯）在匆巨［1 ’e］上单调递减’
卯
…（鳃）-÷十欺—÷≤0对疟［l,侵］…’即α≤ˉ鲤2÷对疟［｜｀詹］｛…,
＾
‖
＜
■
』
—
巳
＋
〗
巳
’
～
≤
α
以
所
减
递
调
单
上
］
●
］
［
巨
卯
在
■
』
—
％
＋
∑
卯
∩
乙
而
÷—亡｜…实数°趟廖
｜
故满足α＞0’对任意如l ,斯2巨［1,e］’都有｜／（如l）ˉ／（匆2）｜≤
值范围不存在.
226
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］第四章双变量不等式｜
［例42］已知圈数∧箍）＝券2—（2叶2）叶（2叶｜）｜＂“
（1）讨论函数／（卿）的单调性;
（2）对怔意的侧匡｜＋, 2｜·躯』.鳃:.［1, 2］（鳃｜≠瓣2）恒有｜′（瓤｜）—》（鹏』）
＜
∧
（∧剔］）,求实数』的取值范阉
l
l
卯1
≡
卯司
｝.解析］
（1）／（卿）的定义域为（0’＋的）’
′（鳃）＝÷2＿（2α＋2）叶（2“＋1）｜＂蹦｀
则／′（腮）＝匆ˉ（2α＋2）＋2旦ˉ±1ˉ卯2ˉ（2α＋2）卯＋（2α＋1）
卯
卯
［卯ˉ（2α＋l）］（勿ˉ1）
＝
9
z
今［嘶ˉ（2α＋1）］（如ˉ1）＝0’解得勿＝2α＋l或卯＝l.
当2α＋1＝1,即α＝0时扩′（厕）≥0′（卿）在（0’＋由）上单调递增.
当2α＋1＞1,即α＞0时’
当卿匡（0’1）时扩′（卯）＞0’／（则）在（0’1）上单调递增;
当绷匡（1’2α＋1）时扩′（则）＜0讽绷）在（1’2α＋1）上单调递减;
当则巨（2α＋l’＋鲍）时扩′（则）＞Q／（卯）在（2α＋1’＋的）上单调递增
当2α＋l＜l ’即α＜0时,
o当2叶l≤0,凰′α≤ˉ÷时’
当卯巨（0’l）时扩′（卯）＜0扩（则）在（0’1）上单调递减;
当卯巨（l ’＋酌）时’／′（″）＞0讽卯）在（l’＋由）上单调递增.
@墅2“＋l＞0’即ˉ÷＜“＜0畸’
当卯巨（0’2α＋1）时鬼／′（卿）＞0’／（卯）在（0’2α＋1）上单调递增;
当绷巨（2α＋l’1）时鬼／′（绷）＜0扩（卯）在（2α＋1’1）上单调递减;
当绷巨（1’＋的）时扩′（卯）＞0’／（则）在（l ’＋的）上单调递增.
227
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｜满分之路.导数｜
（2）由（l）…｜÷,2｜时,′（颠）在［l,2］上单调递减,
不…｜≤鳃』,啃＞专且／（瓣』）＞∧鳃』）
｜可化为∧鳃｜）—′（鳃』）＜」
｀
｀
〗
〗
■
〗
′
′
］
—
呛
］
—
吗
1
1
卯l
丝
卯司
（
所以｜∧卯1 ）ˉ∧加2）
｜＜∧
即∧撼｜）÷＜′（鳃』）ˉ÷喻…‘疟｜÷』2｜,蹦! ｀鳃』匡［｜,2］』…
令g（厕）＝／（厕）—▲’卯巨［1 ’2］’则g（卿）在［1’2］上单调递增’
卯
靡g′（鳃）-′′（露）÷-鳞ˉ（2叶2）十2α÷1÷≥0对…侧匡｜＋.2｜,鳃｜.瓣2匡［｜｀2］
恒成立’化简得则3-（2α＋2）″2＋（2α＋1）厕＋入≥0.
将α看作主元’有
h（α）＝（2匆ˉ2“2）α＋卯3ˉ2卯2＋嘶＋入≥0’卯巨［1’2］’2匆ˉ2卯2≤0’
所以″（铡）在α匡｜÷’2｜上是常数函数或者单调递减函数,
所以只需∧（2）＝2（2卿ˉ2厕2）＋卯3ˉ2匆2＋卯＋∧＝卯3ˉ6卿2＋5卯＋∧≥0对任意的厕巨［1’2］
恒成立.
设@（卯）＝则3ˉ6卿2＋5卯＋∧’则@′（匆）＝3卯2ˉ12”＋5＜0在厕巨［1’2］上恒成立’
所以函数@（卯）在厕巨［l’2］上为减函数’
所以只需p（卯）min＝甲（2）＝8—24＋10＋入≥0’解得入≥6.
所以入的取值范围是［6’＋的）.
228
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」第四章双变墨不等式｝
［例43］已知函数∧则）＝l＋2ln卯
2
卯
（l）求／（卯）的单调区间;
（2）令g（则）＝α则2ˉ2ln卯’则g（卯）＝l时有两个不同的根』求α的取值范围;
（］）存在躯｜
′ 鳃2匡（］’ ＋囤）且鹏｜≠躯p’健｜／（瓣｜）—／（嗡）｜≥腮
｜｜Ⅲ鞭厂h｜鳃Ⅺ
｜成
立’求k的取值范围.
｜·解祈0
（1）／（卿）的定义域为（0’＋的）
’
／（撼）二l＋斗n蕴扩′（箍）＝ˉ华｀
卯
卯
令ln则＝0’解得绷＝1’
当“巨（0’l）时’／′（卯）＞0’∧则）在（0’l）上单调递增;
当卯巨（1’＋酌）时′′（则）＜0扒〃）在（1,＋“）上单调递减.
（2）由g（腮）＝α鞭2ˉ2ln腮＝｜有两个不同的根』得α二｜＋粤n剿＝／（腮）有两个不阎的根
卯
由（1）可知／（则）在（0’l）上单调递增’在（l’＋。。）上单调递减’故／（绷）max＝／（I）＝l.
作函数∧则）的图象如下:
γ
日
▲
］
∑
】
—
○
】
∑
日
斗
旬
—
叫
＿
＿
＿
＿
＝
令／（匆）≡0’解得卿＝eˉ2 ’故则巨［e＿2 ,lM（则）巨［0’1）
’
■
』
卯
旧
〗
』
∩
乙
／
』
〗
‖
‖
‖
＼
∩
兰
＋
］
＞
卯
Ⅱ
Ⅺ
∑
＋
］
●
＾
‖
＞
＼
｜
｜
／
—
又卯≡（1’＋鲍）时’／（卿）＝
卯
卯
229ˉ
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｜满分之路。导数］
之
妥使α＝l＋斗n箍＝∧躯）有两个不阎的根』则有α匡（0,l）
卯
综上所述’α的取值范围为（0’1）.
（3）不妨设绷2＞厕l＞1’由（1）知厕巨（l’＋的）时机狐）单调递减.
｜∧露｜）ˉ／（鳃2）｜≥腮
｜｜皿!ˉln鳃, ｜等价于′（躯｜）十删皿｜刁｀
即存在则l ’卯2巨（l’＋的）且绷l≠卯2’
使j（卯l）＋∧ln厕l刁（卿2）＋kln卿2成立.
设h（卯）＝／（厕）＋内ln卿’则h（卿）在卯巨（1’＋由）上存在减区间.
等价于／（厕l）＋片ln卯l≥／（师2）＋内ln卿2’
即″（腮）＝脑2—｝ln瓣＜0有解,
卯
Ⅺ
已
Ⅲ
）
…
—
∑
勿
（
即片＜4l芋有解’即A＜
卯
设“（厕）＝4毕,则帜′（卯）二4（l—2｜n卿）
3
9
卯
卯
令1ˉ2ln豹＝0’解得则＝亿
所以当鳃巨（0’促）时’甲′（厕）＞0’甲（卯）单调递增;
当厕巨（拒’＋由）时’甲′（厕）＜0’甲（则）单调递减.
越有帜（蜒）…二帜（拒）＝÷＞愿
｀
｀
《
】
】
『
′
′
勺
～
—
巳
’
的
（
综上所述,k的取值范围是
23O
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」第四章双变慧不等式｜
［例44］已知函数／（躯）＝（蜒—］）e甄ˉ器
（1）函数／（则）的图象能否与厕轴相切?若能,求出实数α;若不能’请说明理由;
（2）求最大的整数α’使得对任意卯l巨R’ 卯2巳（0,
＋m）’不等式／（卯l＋卯2）ˉ／（则l＿
卿2）＞-2卯2恒成立.
｜.解析0
’
）
α
勿
巳
（
卯
~~
卯
α
卯
巳
卯
~~
）
勿
（
′
／
■
◆
■
’
∑
卯
α
—
勺
合
见
巳
）
］
卯
（
~~
）
卯
∧
矽
■
●
）
］
（
‖‖｛ˉ』∩1｀「扩Ⅷ
假设函数／（卯）的图象与卯轴相切于点（t’0）’则
显然』≠0,则e』＝α＞0,代入方程（』ˉl）e』ˉ:』2＝0’得』2—2』＋2＝α
...△＝-4＜0’
...方程‖2-2t＋2＝0无解.
故无论α取何值’函数∧卿）的图象都不能与绷轴相切.
（2）由题意可得原不等式可化为／（卯l＋厕2）ˉ／（则lˉ卯2）＞（“lˉ卯2）ˉ（卯l＋卯2）
’
故不等式／（卯l＋绷2）＋（卯l＋卯2）＞／（卿lˉ则2）＋（卯lˉ卯2）在R上恒成立.
设g（厕）＝／（卯）＋绷’则上式等价于g（匆］＋卿2）＞g（卿lˉ卯2）’对任意匆l巨R’卯2巨（0’＋酌）
恒成立’
只需函数g（卿）＝（则ˉl）侵瓤—苛腮2＋鳃在R上单调递增,
即证g′（”）＝卯e赃-砸＋l≥0在R上恒成立.
法-（必妥性探略）
:
g′（1）＝e-α＋l≥0’解得α≤e＋1’
...g′（绷）≥0在R上恒成立的必要条件是α≤e＋1.
下面证明:当α≡3时’鳃e虹-3勿＋1≥0恒成立.
当卿≥0时,则e绷—3卯＋1≥卯（则＋I）ˉ3卿＋l＝（狮-l）2≥0（e则≥则＋1证咯）;
b
■
23］
＝—＿
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｜满分之路.导数‖
当％＜0时’e蒸＜l ’卯e舞—3卯＋l＞卯. 1—3卯＋l＞一2卯＋1＞（）.
,..厕e孵-3卿＋l≥0恒成立.
所以实数α的最大整数值为3.
法二（分离参数）
:
当卯＝0时’不等式卿e绷ˉα卯＋1≥0成立;
l
尸
卯
e
＋—≥α·卯≥0·
卯
当卿≠0时’卯e氮-α狐＋l≥0等价于
｜
1
九
e＋—≤α’卯＜0,
卯
1
卯
设／l（财）＝e＋—’
卯
■
则′!′（憋）＝e翼ˉ＋在（0』＋鳃）上为增函数,
卯
’
∩
‖
＞
）
〕
—
↓
（
′
门
’
＾
‖
＜
）
］
—
∑
（
′
力
又
÷.:）,使得″（剿0）＝曝惑,—÷＝0』
卯0
（
所以存在唯一的卯0巨
所以当则巨（0’则0）时’∧′（卯）＜0’h（卯）为减函数;
当卯巳（卯0’＋的）时’h′（卯）＞0’h（卯）为增函数
咖（蹦）咖二h（狐＂）二健霉,＋上（＊）』且′』（露0）＜h（÷）
卯0
＝2＋√百＜4’
）
β
’
羽
—
’
（
又e瓣0ˉ亏＝0,有e蕊＂＝半,代入（
1
＝
尤0
卯0
巨
］
—
粘
＋
］
—
∑
％
~~
）
◎
卯
（
门
~~
∏
■
■
且
Ⅲ
）
卯
（
门
得
）
＊
所以当卿巴（0’＋。。）时’满足e躯＋上≥α的最大的整数α＝3;
卯
当“＜0时’e绷＋上＜1＋上＜3恒成立.
卯
卯
综上所述’实数α的最大整数值为3
广｝
←↑
↓ˉ曰（
‖
~｛｝
门隐232
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第五三数列不等式
导数数列不等式
囤｜知识纵横
导数数列证明的基本方法
（1）通项分析法;
（2）裂项放缩;
（3）等比放缩;
（4）积分放缩
◎典型例题
＝■＿＝＿-＝＝□＝＝＝■＝
『
［例l］己知圈数′（x）-“＋÷＋侧（“＞0）的图象在点（1 ′′（1））处的切线万程为γ二躯ˉ］
（l）用α表示出b’
c;
（2）若／（卯）＞ln厕在［l
,
＋的）上恒成立,求α的取值范围;
（3）证明; 1＋＋＋÷＋
｜·解析D
1
＋—＞ln（＂＋1）＋
∏
′l
（′l≥1）
2（n＋l）
雁‖厂二」′互＂解滁〔二」》~
（l）／′（聪）＝αˉ乌测有
卯
（2）由（1）知′（卿）＝α绷＋gˉ＝ˉ1＋1—2α.
卯
令g（卯）＝／（“）ˉln“＝α″＋gˉ二1＋lˉ2αˉln“’卯匡［1’＋。。）
’
卯
233＿
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｜满分之路.导数l
）
α
α
］
卯
′
』
□
〗
〗
‖
｀
｀
、
｀
』
′
■
】
』
卯
（
α
）
］
α
（
卯
∑
卯
α
′＼
则g（l）＝0’g′（卯）＝αˉ尘÷1ˉ上＝α卯ˉˉ卯ˉ（αˉl）＝ˉˉ ｀ˉ
2
2
卯〈
卯
卯
卯
（i）当0＜“＜÷时,罕＞L
若1＜卯＜1ˉ二旦’则g′（″）＜0’g（卯）是减函数’所以g（则）＜g（1）＝0’
●
歹
α
即／（卿）＜ln卯’故／（则）≥lnm在［l’＋切）上不恒成立.
（h）当α≥昔畸’宁≤l
若卯＞l ’则g′（卿）＞0’g（绷）是增函数’
所以g（“）＞g（1）＝0’即／（购）＞ln卯.
熬当“≥十时沁）≥｜＂箍在［l,＋国）上恒戚立
臻上所述,侧的取值范圈为｜当,＋. ）
（3）由（2）知当铡≥÷时,有／（狐）≥l＂娜（露≥l）
令“＝÷,有j（躯）＝÷（鞭ˉ＋）≥｜n鳃（x≥l）,
…＞l时’÷（鲸—＋）＞｛n“
令鳃＝午’有l＂宁＝｜＂（肿1）ˉ｜＂〃＜÷（午走）≡÷｜（
-÷（÷六）,
2＼片吩＋l／’
~
■
凰
三
沮
诚
件
黔
仆
订
洲
针
汁
川
付
门
什
门
皿
汁
过
川
汁
黔
叶
叫
楞
~
咐
Ⅷ
洲
过
川
冯
汁
Ⅷ
叶
｜
）
］
＿
剐
］
—
片
＋
］
兰
∏
且
／
『
■
‖
‖
‖
＼
＼
｀
■
‖
】
′
／
即l＂（偷十l）ˉln胀＜l（÷＋六）’k＝l｀2,3,…,“
将上述″个不等式依次相加得｜＂（″＋1）＜÷［2（l＋＋＋…＋万＝丁＋÷）—l＋六｜
1
＝←（÷宁…＋÷）＋2（鹏＋l）’
l
整理得l＋÷宁…＋上＞ln（鹏十l）＋2（叶lγ
′〗
∏
｜
广↑
｝″｛
2弘
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」第五章数列不等式｝
［例2］已知函数／（卯）＝卯ˉln（见＋α）的最小值为0,其中α＞0.
（l）求α的值;
（2）若对任意的厕e［0’ ＋由）’有／（则）≤肋2成立,求实数k的最小值;
（3）证明;自六ˉm（2′叶l）＜2（厕巨N“）
｜·解祈0
（1）／（卯）的定义域为（ˉα’＋的）扩′（则）＝lˉ—上ˉ卯＋αˉ］
卯＋α
％＋α
由／′（“）＝0’得卯＝1ˉα＞-α.
当卿变化时扩′（卯）矾卿）的变化情况如下表:
因此讽卯）在则＝1ˉα处取得最小值’
故由题意∧1ˉα）＝lˉα＝0’所以α＝1.
（2）当k≤0时’取卿＝l ’有／（1）＝1ˉln2＞0’故k≤0不合题意
当A＞0时’今g（绷）＝／（卯）-版2’
即g（则）＝卿ˉln（卯＋1）ˉ肋2.
g′（卿）二亩ˉ2胁＝ˉ腮［2肋＿（l—2k）］
卯＋1
令g′（x）二0’得测!-0,撕2＝铲＞ˉ1
o邹≥÷时,宁≤0’g′（鳃）＜0在（0’十鳃）上』慢咸立,
因此g（卿）在［0’＋的）上单调递减.
从而对于任意的“巨［0’＋的）’总有g（卯）≤g（0）＝0’
目M卯）≤肋2在［0’＋的）上恒成立.
故k≥÷符合题意
235
卯
／′（卯）
∧绷）
（ˉα,1-α）
~
~
丛
＼
~
l-α
0
极小值
（lˉα’＋的）
＋
／
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厂满分之路.导数［
~~
圆当0＜账＜＋时,l丢k＞0,对于腮巨（0’l丢k）
款g（鞭）在（0’l丢腮）内单调递增
’g′（卯）＞0’
、
工
成
不
∑
·
卯
〗
″
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卯
（
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｀
巴
○
卯
取
当
七
止
因
熬0＜附＜＋不合题意
综上所述,腮的最』卜值为÷
（3）证明:当n＝l时’不等式左边＝2ˉln3＜2＝右边’所以不等式成立
当n≥2时,
）
｜
∑
＿
咀
（
］
］
＋
Ⅲ
∑
＿
咀
∏
、
＝
刮
）
｜
~~
·
■
■
∑
＿
驹
割
△
■
●
＂
2
—堂［ln（2t＋1）ˉln（2jˉl）］
＝昌2′ˉl
『二｜
二』鸟六—｜＂（2＂＋1）
2
在（2）中取k＝÷｀摄∧撼）≤÷（躯≥0）,
～
2
从嗣／（2÷l）≤（2《—l）2＜（颤—3）（颤—l）（《匡N雄,‘≥2）,
勺
▲
＜
）
］
∑
＿
■
∏
凸
∑
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＋
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∑
（
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门
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Ⅲ
］
］
∑
＿
■
∏
□
凹
∑
∏
、
～
刮
·
■
■
以
所
1
＝2ˉhl3ˉ卜』宴（亡—】丙
n
2
3＋!昌（2jˉ3）（2j—l）
）
2-lI〗
~~
l
2-ln3＋l—
2『〗-l
＜2.
勺
全
一
∑
川
■
、
～
＝
述
所
上
综
-ln（2′!＋1）＜2’几巨N＊
236
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」第五章数列不等式｜
［例3］已知函数／（厕）＝e卯ˉe则.
（1）求函数／（躯）的最小值;
（2）求证: e1＋÷＋÷＋…＋丙＋亏＞n＋1（Ⅶ巨N＊）
］
l
｜·解析0
（l）因为／′（厕）＝e厕-e’今／′（卿）＞0’解得卯＞1,
今／′（则）＜0’解得绷＜1’
所以函数／（卯）在（-的’1）上递减’在（1’＋的）上递增’
所以／（卯）的最小值为／（1）＝0.
（2）证明:由（1）知函数／（则）在则＝1处取得最小值’
所以∧卯）≥／（1）’即e鳃≥e卯.
两端阎时乘以÷得·露—｜≥躯’把瞧换成′＋l得e』≥』＋l’当且仅当‘＝0时等号成立
由e!≥f＋1得’
e1＞1＋1＝2,
h
慑÷＞÷＋1二且
2,
e＋＞＋＋l二土
3
’
’
见
—
…
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］
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阎
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间
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州
＿
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Ⅱ
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川
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＿
见
巳
将上面的式子两边分别相乘得el＋＋＋÷＋…＋古＋÷＞2
〕
—
∑
◆
●
斗
—
〕
州
—
几
几
＿
间
咐
~~
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~
237
I
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｜满分之路.导数l
~
［例4］已知函数／（则）＝e颠ˉα厕ˉ1（α＞0）.
（1）求函数／（卯）的最小值;
（2）若j（则）≥0对任意的z巳R恒成立’求实数α的值;
（3）在（2）的条件下』证阴; （÷「＋（÷）.带…带（宁
＜
′
］
）
∏
—
川
（
＋
∏
＼
］
■
‖
′
／
e
（′!巳N＊）
e-l
～
）
·解析‖
（1）由题意α＞0’／′（腮）＝e鳃一α’由／′（狐）＝e腮-α＝0得卯＝lnα.
当勿巨（-由’lnα）时魁／′（卯）＜0;
当卯巨（lnα’＋酌）时旷′（绷）＞0.
...／（″）在（ˉ。。’lnα）上单调递减’在（lnα,＋的）上单调递增.
即／（厕）在厕＝lnα处取得极小值’且为最小值’
其最小值为／（lnα）＝elnα—αlnαˉ1＝αˉαlnα—1.
（2）／（卯）≥0对任意的则巨R恒成立’即在卯巨R上′（卯）min≥0.
十←
←
…
＋
?＝
＝→
异
→
｀
设g（α）＝α—αlnα-1’所以g（α）≥0.
由g′（α）＝l-lnα-1＝0得α＝1
′.g（α）在区间（0’1）上单调递增’在区间（1 ’＋的）上单调递减’
′.g（α）在α＝1处取得极大值g（1）≡0.
因此g（α）≥0的解为α＝1.
..。α＝1。
（3）由（2）知α＝1’
所以对任意实数卯均有e鳃-厕ˉ1≥0’即l＋则≤e鲸.
令卯＝ˉ上（″巨N＊’／b＝0’1’…’″—1）’则0＜1ˉ上≤eˉ÷.
＾（l＿÷（≤（瞳ˉ鲁）.二慑—《
~｀（÷）.＋（÷）.＋＝＋（早）,＋（÷）″≤c—（腮—｜）＋·—（腮ˉ2）
十＝
勺
≡~
-｜
＋e
＋e
＝
工
丁
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＿
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＿
巳
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ˉ
＿
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●
238
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』第五章数列不等式｜
［例5］已知函数／（则）＝2αln（l＋卯）ˉ则（α＞0）
（1）求／（匆）的单调区间和极值;
＋
坠
］
＋
些
∑』
＋
巳
虞
…
］
斗
■
■
证
求
）
∑
（
旦ˉ上旦卫
＋l旦二＞lg［e
＂.
（′』＋1）］（厕巳N＊）
′〗
。解忻0
（1）定义域为（—1’…）,／′（狐）＝器＿1,
今／′（卯）＞0＝ˉ1＜则＜2αˉ1’令／′（则）＜0＝厕＞2α＝l’
故／（卿）的单调递增区间为（ˉ1’2αˉ1）’／（卯）的单调递减区间为（2αˉ1’＋的）
’
／（则）的极大值为／（2α—l）＝2αln（2α）ˉ2α＋1
（2）证明;妥证4‖:·＋等＋等＋…＋等＞」g［e等（″＋1）］
’
上1ˉ±卫上【
lg［e
.·
（′l＋1）］
●
＋
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—
〕
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∑
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即证4＋＋＋…斗÷＞｜＂［e等烂（＂＋l）］’
即诞l＋÷＋＋＋…＋÷＋3＞ln（＂刊）＋（l＋÷『,
令α＝÷,由（l）可知∧露）崔（0’…）上递减’赦∧蹦）＜∧0）＝0’
即ln（l＋卯）＜则’令腮＝上（＂匡N＊）
’
见
｀
〗
‖
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‖
『
′
′
■
Ⅱ
—
几
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］
（
∏
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故
≡lnⅡˉ±ˉ1＝ln（′』＋1）ˉlnⅦ＜—’
1
见
n
＋
］
—
〕
＋
］
—
∑
＋
］
＜
）
］
＋
Ⅶ
（
∏
得
口
力
累
l
＋—9
n
ln（l十÷）＜÷＝!n（l十÷）＂←（l十÷）＂…3’
故l十÷宁…十÷十3＞l＂（＂十l）＋（l＋÷『,
即4｜:·＋l琴十l宁十…叶竿＞｜:［e坚笋（鹏＋l）］（＂匡N“）
—
~
~
~
~
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~
~
色
睁
睁
睁
盂
…
二
睁
抖
气
→
气
气
』
铲
睁
乓
＝
239
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↓忌＝d雪-←…『-球-＄
‖ˉ十ˉ『ˉ十十ˉ｛
惯汇恒泣』
《←条ˉ儿ˉ司
ˉ｜
‖
E
｝
］
」
c
萝惮＃］
!满分之路.导数l
［例6］已知函数／（则）＝l＋ln（1＋绷）（卿＞0）.
卯
（l）试判断函数／（卿）在（0’
＋的）上的单调性并证明你的结论;
（2）若∧则）＞击恒成立,求整数咖的最大值;
（3）求证:
（l＋1×2）（1＋2×3）…［1＋厕（厕＋l）
］
＞e2厕ˉ3.
■
·解析~ 9
’
｀
｀
′
′
∩
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＞
卯
（
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∏
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（1）...／（鳃）＝
勿
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卯
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∏
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…
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卯
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卯
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州
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∑
勿
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卯
（
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／
｜
绷＞0′…2＞0’六＞0’ln（躯＋l）＞0,
f.／′（厕）＜0. ...／（卯）在（0’＋的）上单调递减.
（2）（分离参数＋隐零点代换）
:
躯＞0’...h（卯）＝（绷＋1）
. ［1＋ln（z＋1）］＞k恒成立’即h（卿）的最小值大于∧.
卯
则h′（卯）＝绷-1-ln（匆＋1）
卯2
设g（匆）＝绷-1-ln（匆＋1）
’
则g′（卿）＝☆＞0’
·翅.g（则）在（0,＋的）上为增函数
又g（2）≡1-ln3＜0’g（3）＝2-2ln2＞0’
.｀存在唯一实数α巨（2’3）
’
使得g（α）≡α＝1-ln（α＋1）＝0’即α-1＝ln（α＋1）.
当卯e（0’α）时,g（卯）＜0’∧′（则）＜0’
故h（则）在（0’α）上为减函数;
当厕巨（α’＋的）时’g（则）＞0’h′（卯）＞0’
故h（厕）在（α’＋由）上为增函数
2』O
」
＝‖
Ⅱ
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』第五章数列不等式｝
（α＋1）［1＋ln（α＋l）］
所以h（绷）min＝h（α）＝
α
又α-I＝ln（α＋1）
’
（α＋1）［l＋ln（α＋l）］
..∧（α）＝
＝（!＋l巳（3’4）
T』
...k＜h（α）’...∧≤3.
综上所述’正整数A的最大值为3.
（3）证阴;由（2）知!刊n?＋｜）＞击（测＞0）,
＾｜n（缆＋l）＞盖—l-2—击＞2ˉ÷
今卯＝n（″＋1）（n巴N＊）’则
3
ln［1＋″（＂＋l）］＞2ˉ
＂（″＋1）
’
... ln（1＋1×2）＋ln（1＋2×3）＋…＋ln［l＋n（″＋1）］
［
｜
）
］
∩
〕
＋
∏
（
∏
勺
～
｜
＋
●
■
●
＋
）
〕
＿
…
∑
（
＋
）
〕
＿
哩
∑
（
＞
＝2＂ˉ3｜亩＿刃刁＋＝十＂（＂＼l）｜
1
二2＂—3（l—击）≡2″ˉ3＋六＞2＂ˉ3,
, . （1＋l×2）（l＋2×3）…［l＋′l（′l＋1）］＞e2厕ˉ3.
24｜
?
…护
江
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十-厂～ˉ十ˉ→ˉ
卡＝』…≡卓→一↓一
〗
』
【
＋ˉ←←＋-上-
］
】
~!
＋～↓一→～＝一＋＝
!
『
工工±二［二
｜满分之路. 导数｛
数
［例7］函数／（师）＝sin匆.
（l）若／（匆）＋l≥α绷＋cos则在［0》
∏］上恒成立’求实数α的取值范围;
｜≥h挪h｛）
（2）证明
·解析】
解
（1）恒成立不等式等价于α则＋cos卯ˉsin卯ˉ1≤0’
今g（则）＝α卯＋cos绷-sin则-1 ’则
｜g（0）≤0.
｜g（丽）≤0,ˉ磁≤÷
—了一←一-十十ˉ
工江洋
框工洋
-「丁工曰了!
』
』
!
「
!
!
｝~｜
｝
h
｛
-十→ˉ-ˉ｛-→-↑
｝ˉˉ4
＂
!
!
!
）
∏
—
勺
▲
（
吕
≤0,
孺
仙
‖
■
｛
刮
｛
引
｝
』
｛
刮
『
瑟
→
一
＝
＝
＝
～
‖
【
γ＝α卯＋cos卯-sin卯～1可视为关于α的一次函数且递增,
2
.令′t（卯）＝—嘶＋cos则-sin卯ˉ1’
∏
则对γα≤旦’γ卿巨［0’∏］’g（厕）≤h（加）恒成立
∏
若要证g（匆）≤0’只需证∧（施）≤0’下面进行证明:
h（0）＝0,h（丽）＝0,只露诞（÷……缠ˉl）…≤0:′可,
’
卯
吕
◎
℃
卯
∏
●
■
■
具
吕
勺
▲
—
∏
~~
）
卯
（
′
∧
匡
匡
蛤
二
宣
耳
障
二
～
~
＿
司
一
』
引
…
‖
…
声
～
…
…
＿
∩
…
钳
毫
乖
～
＿
…
→
~~
）
∏
—
』
外
＋
卯
（
）
∏
—
’
～
’
◎
（
巨
则
虑
考
匡（1’√历］
’
∏
●
∏
·
凸
征
~~
卯
吕
○
℃
＋
卯
∏
●
】
■
马
吕
’
寸
日
＾
‖
＜
〗
’
～
—
∏
＜
卯
吕
○
℃
卯
∏
●
■
■
二
吕
∩
么
—
∏
~~
）
卯
（
′
内
而
从
（注:导数无法求出极值点’故引入抽象的极值
点则0’但要利用零点存在性定理估计则0所在区间）
）
沛
—
↓
（
′
门
’
∩
≡
＜
7
二兰＞0’勿巨
二二
∏
’
＾
‖
＞
）
卯
（
′
∧
＝
∩
·
＞
卯
吕
·
℃
勿
∏
仔
＝
】
丛
吕
’
）
∏
’
∏
〕
—
斗
（
）
∏
—
勺
～
（
∧
曰躯0e（晋’宁）’健得h′（蹦＂）＝0’且当x匡（0’氮＂）,h′（鞭）＜0飘匡（蜒0,而）’h′（鞭）＞0’
...h（绷）在（0’鳃0）上单调递减’在（卯0’∏）上单调递增’
2q2
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」第五章数列不等式｝
.·.h（“）max＝h（0）＝h（∏）≡0’
..·h（卯）≤0恒成立’
g（厕）≤∧（则）≤0’进而对每一个α≤旦均满足’
∏
●
’
～
—
∏
≤
α
2
2
（2）由（1）可得sin卿＋1≥—绷＋cos匆＝sin卯-cos则≥—则-l’
∏
∏
’
徊
—
∑
鸟
∏
≥
）
∏
—
‘
斗
卯
（
】
Ⅱ
■
→
】
且
吕
＝
］
卯
’
＝
—
∏
≥
）
而
—
〃
斗
勿
（
∏
●
■
■
且
征
可得／（2窘」）二爵m（2舞」）≡伊肺带（2″刊）,徊
三≡
4（2″＋l）
2
徊（4A＋2′』＋1）
√百
4（2Ⅶ＋l）
2’
■
（注翅项公式为侧厂凰m（箭）,闹』厦成立不等式中的三角函数为凰i＂卜＿矛）’所以令＂
—＝＝
哥
2碧l,反求鞭:呵）
＾川2″号｜）带′（2碧l）带…十／｛（删呵｜≥:｜徊购钳｜）ˉ夸｜’
闺毗荆」）ˉ夸｜＝4√Z（叶1）（…）＋徊（＂襟」）（2″辨」）
2
4（2Ⅶ＋1）
＝3√2（′l＋1）
）
］
＋
〗
′
珍
／
＼
徊
—
∑
4（2″＋1）
’
243
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｜满分之路.导数l
［例8］设函数／（则）＝ln（卯＋1）
’ g（卯）＝矿′（卿）
, 卯≥0,其中／′（则）是／（则）的导函数.
（1）gl（卯）＝g（则）’g″十l（如）＝g（g＂（卿））
’ ′!巴N＊’求g″（卯）的表达式;
（2）若／（则）≥αg（卿）恒成立’求实数α的取值范围;
（3）设n巳N＊’比较g（l）＋g（2）＋…＋g（n）与″—／（″）的大小’并加以证明
必·解祈0
由题设得,g（躯）＝六（颠≥0）
卯
（l）由已知,g］（篮）＝六｀g2（x）＝g（g!（躯））＝
l＋“
二二
l＋六l
卯
—
…
卯
＿
呛
G
I
●
″
可得g测（篮）＝详而r
下面用数学归纳法证明.
o当＂＝l时,g」（腮）＝击’结论成工
@假设″＝k时结论成立’即g腮（顺）＝厂岗F
那么,当Ⅶ＝k＋1时,
b
卯
gk（卯）
∏厩
吕＝
≡二
即∏＝k＋l时’结论成立.
由o@可知’结论对′l匡N＊成立.
（2）已知／（卯）≥αg（卿）恒成立’
即｜n（l＋躯）≥长恒成立
设p（测）＝｜n（l＋狮）ˉ长（卿≥0）,
即嚷｜（露）-六（｜岩）1-↑击:｀
当α≤l时’@′（缅）≥0（仅当卿＝0’α＝l时等号成立）
’
2』4
…v＾＝萨十哟
〗
ˉ
‘
」
,
↓
｛｀
,卜
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」第五章数列不等式｜
所以甲（“）在［0’＋的）上单调递增.
又甲（0）＝0’
所以甲（卿）≥0在［0’＋的）上恒成立’
所以α≤l时,｜n（l＋购）≥箭恒成立（仅当＂二0时等号成立）
当α＞1时’对绷e（0’αˉ1］’有@′（则）＜0’
所以p（卯）在（0’αˉ1］上单调递减’
所以甲（α-1）＜甲（0）＝0.
即α＞1时’存在厕＞0’使甲（则）＜0’
故ln（｜＋箍）≥长不恒成立’
综上可知’α的取值范围是（ˉ的’1］.
（3）由题设知g（l）＋g（2）＋…斗g（″）＝÷＋÷＋…＋—尘
几＋l,
〃ˉ／（″）＝〃ˉln（″＋1）
’
比较结果为g（1）＋g（2）＋…＋g（″）＞见-ln（〃＋1）.
证明如下:
法ˉ;上逃不等式等价于＋＋÷＋…＋六＜｜＂（＂＋］）
’
卯
在（2）中取α＝1,可得ln（1＋厕）＞
,卯＞0
1＋贝
今则＝—’＂巨N＊,则lnⅡˉ±ˉ1＞—上
l
∏
几
n＋1.
款有h2ˉl＂l＞÷,l＂3ˉln2＞＋’…,ln（＂十l）ˉln＂＞—
1
′l＋l
,
上述各式两边相加可得ln（＂＋l）＞÷＋＋＋…十＿
1
n＋1
结论得证.
法二;上述不等式等价于÷＋＋＋…＋六＜｜＂（′叶l）,
在（2）中取α＝l,可得ln（l＋躯）＞市,鹏＞α
2』6
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』满分之路.导数｜
令躯二万’＂匡N＊则六＜｜＂宁
l
下面用数学归纳法证明.
o当＂＝1时,÷＜l＂2’结论成立
@假设当″二腮时结论成立’卵÷＋←…＋六＜h（腊l）
那么,雪＂二胖l时,＋＋＋＋…十雨十志＜｜＂（胎l）＋志＜h（脉l）＋｜＂错＝
1
ln（k＋2）
’
即当厕＝片＋1时’结论成立.
由O@可ˉ知,结论对几匡N＊成立.
法三（积分放缩）
:
如图,｜;☆d“是由陶线γ＝亩’鳃＝′』及熊轴所围成的陶边梯形的面积,
而÷÷←啡☆是图中所示各耀形的面积和’
y
勿~
卯＋1
1
O
2
3
∏-1
∏
勿
＋
∑
—
〕
＋
］
＿
∑
以
所
｜;（l—六）…＿［n（＂＋l）,绪论得证
｜;古〔｛氮＝
.＋
几
『l＋l＞
2』6
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‖第五章数列不等式｝
［例9］对于函数∧则）’若存在绷0巳R’使得∧卯0）＝卯0成立,则称勿0为∧卿）的不动点.如果
函数∧鳃）ˉ辟（』, ′巨N.）有且仅有两个尔动点0, 2,且′（ˉ2）＜ˉ÷
（l）试求函数／（卯）的单调区间;
（2）己知各项不为｜的数列｜幽卿瞒足4s＂′（去）
-l
＝1 ’求证:—
α几＋1
＜lnIl＿±ˉ1＜——
l
几
α
′l
（3）在（2）中’设b
＝—上, T为数列｛b″｝的前′!项和,求证: 吗008
n
α
n
n
-l
＜
勺
′
＂
贝
垒
＜
β
‖
◎
∑
Ⅲ
‖
｜·′解析~
8
』
』铡≡ˉ!气（｀｜舀＼÷
（l）由f躯芒:＝狐＝（lˉb）腑2＋″＋α＝0（b≠l）＝《
2×0＝古’
’
∩
◎
＜
℃
＜
］
＝
］
—
∑
＜
己
＿
…
~~
）
∑
∧
由
’
℃
卯
）
∑
卯
℃
—
勺
～
＋
］
（
~~
）
卯
∧
勺
凸
…’c匡N＊,…2’b＝2,＾／（躯）＝2（÷—l）（腮≠l）,
则／′（〃）＝2则.2（绷-1）-匆2 .2＝卯2＿2绷
4（厕ˉ1）2
2（卯ˉ1）2’
由／′（则）＞0得绷＜0或卯＞2;由／′（卯）＜0得0＜卯＜1或1＜则＜2.
故函数／（“）的单调递增区间为（ˉ的’0）和（2’＋的）
’
单调递减区间为（0’1）和（l ’2）.
（2）证明;由已知可得2S＂＝α厕ˉα:’当厕≥2时’2S＂ˉl＝α＂—lˉα俞ˉl
’
两式相减得（α″＋α＂ˉ1）（α厕ˉα″—l＋1）＝0’...α＂＝-α厕—l或α″-α厕ˉ1＝ˉl
’
2
当Ⅲ＝1时,2αl＝αl—αl＝α1≡-1.
若α〃≡-α网ˉl ’则α2＝1,这与α腮≠1矛盾’
。。·αn一α几-l＝-1’。。。α几＝-n.
247
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「满分之路｀导数l
于是’待证不等式即为—上＜lnIL±ˉ1＜上.
Ⅶ＋1
n
几
为此’找们考虑证碉不等式击＜ln竿＜＋,鞭＞α
令1十＋＝′,躯＞0则』＞l ,躯二丙’
l
再今g（r）＝t—lˉlnt’g′（t）＝1ˉ上
l
’
由′巨（l ’＋由）知g′（t）＞0’...当f巴（1’＋的）时,g（t）单调递增’
g（t）＞（l）＝0’于是t-1＞lnr’
即上＞ln卿＋1
绷
｀卯＞0;@
卯
令h（』）二l＂』—!十＋｀h』（《）二＋〉二号｀
由t匡（l’＋由）知h′（t）＞0’
f.当t巨（l ’＋鲍）时’h（t）单调递增’
f.h（′）＞h（1）＝0’
于是｜＂』＞1ˉ＋’即｜＂宁＞击,缆＞0;@
由o@可知六＜l＂竿＜＋,撼＞0,
所以六＜!＂吐1＜上,即—上＜l＂吐1＜—
］
″
几
α′l＋1
〃
α n
（3）证明:由（2）可知b ＝上
′］
几
则贝』＝1＋÷十＋＋韭＋了,
1
在—上
′〗＋l ＜lnⅡ±—l＜ˉL中’今′』＝l ’2’3’…’2007’
川
几
＋
＋
］
—
∑
Ⅲ
＋
∑
—
］
＜
＄
◎
］
·
∑
＋
＋
］
—
〕
＋
〗
—
∑
得
加
相
式
各
将
√
开
2008
十
＋
＜
】
∏
—
勺
〕
＋
］
—
∑
＋
］
＜
ˉ厂十ˉ十～-←-
｛ˉ!＿ˉ＋-
』
『~｀~｜
｜
｀卜一广学～十白←≡
2007
｜ˉ↑卞［工j
涯β
亦,即Ib＂‘＿l＜l＂2008＜L＂’
248
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第六章函数零点问题
第0‖讲函数零点问题
因知识纵横
~
（1）能够对含参的函数进行恰当的变形处理以及展开讨论
（2）会利用极限语言论证零点的存在性.
（3）运用零点存在性定理判断函数零点个数（找点的技巧）
◎典型例题
［例l］已知函数／（则）＝αe2“＋（αˉ2）e”ˉ腮.
（l）讨论／（卯）的单调性;
（2）若／（卯）有两个零点’求α的取值范围
（1）由于／（则）＝αe2冗＋（αˉ2）e颠—卯’故／′（厕）＝2αe2z＋（αˉ2）e躯ˉ1＝（αe厕-l）
. （2e厕＋l）.
O当α≤0时’αe绷ˉl＜0’2e鳃＋l＞O从而／′（狐）＜0恒成立’故／（厕）在R上单调递减.
@当α＞0时’今／′（卿）＝0’从而αe“ˉ1＝0’得卿＝—lnα.
当卯变化时’／′（“）’／（绷）变化情况如下表:
（-由’-lnα）
-lnα
（-lnα,＋的）
％
／′（卯）
（）
＋
刀
〗
极小值
／（卿）
249＿——＿ˉ
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］
｜满分之路.导数‖
综上所述’当α≤（）时肌绷）在R上单调递减;
当α＞0时矾绷）在（＿切’ˉlnα）上单调递减’在（ˉlnα’＋的）上单调递增.
（2）法—扩′（卯）＝2αe2腮＋（αˉ2）e卿ˉ1.
由（l）知:当α≤0时’显然／′（绷）＜0恒成立’所以／（卯）在R上单调递减.
此时抓则）最多只有一个零点’不满足题意’舍去;
当硼＞0时,函数∧躯）在（—函,｜＂÷）上单调递减,在（｜＂＋,＋鳃）上巢调递增
所以妥使得／（卯）有两个零点’由零点存在性定理及单调性我们需要做两件事:
首先,则必有′（狮）…＝／（｛＂÷）
■
＾
‖
＜
］
＋
■
』
—
α
■
』
—
α
∏
］
~~
易知g（α）＝ˉln上—上＋1在（0’＋。。）上单调递增’且g（1）＝0’
α
α
］
＜
α
＜
∩
√
得
解
’
）
］
（
自
~~
＾
‖
＜
］
＋
■
』
—
α
口
』
—
α
∏
］
~~
）
α
（
自
以
所
其次’证碉函数／（狐）在（＿鳃’｜＂÷）和（h＋,＋函）上各有ˉ个零点
由／（ˉ｜）＝÷＋旦＋l—÷＞0’′（｜＂＋）＜0,赦由零点存在霓理及单调隆可知j（鳃）在
e
e
（ˉl,ln＋）上有且只有ˉ个零鬃;又′（ln÷）＝3＞0（可以加个步骤加以证明）’缝合零
点存在』隆定理及单调』性可知′（绷）在（｜n÷’…）上有且只有一个零点
综上所述’当0＜α＜1时讽则）有两个零点.
解答中的∧—l）＞0川h÷）＞0,其中—l ,｜＂÷是怎么得到的?这也正是压轴题的困难
所在’下面我们采取分而治之’单独调整来进行’不妨把其简称为分部调整法.
左侧的端点调整找点:
／（卯）＝α（e2卿＋e膊）-（2e“＋卯）分成两部分来研究,分别调整’由于0＜α＜1’α（e2瓣＋e财）＞0
恒咸立’因此只露2窿烫＋撼≤0就可使得∧鳃）＞0,故壤撼＝ˉl畸抓ˉl）＝÷＋旦刊ˉ÷＞α
e
e
右侧的端点调整找点:
2田
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」第六章函数零点问题｝
~
处理方案-由e“≥卯＋1’得e颠＞则
’
∩
〕
—
α
∏
］
~~
卯
取
故
’
∩
〕
＿
α
Ⅲ
］
~~
卯
得
解
’
·
~~
见
巳
句
〕
勿
勺
＝
巳
α
＞
卯
卯
巳
〗
卯
勺
＝
巳
α
＞
卯
卯
巳
’
≈
卯
巳
α
＋
卯
勺
叁
巳
α
~~
）
卯
∧
＾
‖
＞
）
∩
〕
—
α
∏
］
〃
川
｀
有
处理方案二由e厕≥卿＋l’得e卯＞则.
／（鞭）-.墓｜“（.露H）＿（2÷）｜＞0,
（
当鞭＞0时.2÷＜2刊-』抓霹）二c｜硒（詹瑟刊）＿2÷）｜＞e露［α（e“＋1）ˉ3］＞0’
］
∩
〕
—
α
‘
／
‖
‖
＼
］
【
】
Ⅱ
＞
卯
曰
寸
名
小
『
解
’
〕
＞
）
］
＋
冗
巳
（
α
今
′（｜＂÷）＞0
,为了好看’故取卿＝ln兰’有
α
）
］
句
〕
—
α
′
′
〗
】
‖
□
｀
｀
∏
］
（
］
∩
◎
—
α
（
］
【
〗
』
∏
』
勺
台
α
＋
）
］
气
〕
＿
〃
（
∏
］
巳
●
α
［
）
］
勺
〕
＿
α
′
〔
＼
∏
］
巳
~~
））
）
~~
］
~
勺
〕
—
α
＾
‖
＞
）
］
∩
〕
—
α
（
Ⅲ
］
）
］
∩
〕
—
α
（
~~）
］
勺
〕
—
α
（
∏
］
）
勺
～
α
＋
α
〕
（
（
）
处理方案三由e绷≥卿＋1’得e厕＞则.
］
∩
〕
＿
α
（
∏
］
~~
卯
’
］
∩
〕
—
α
~~
卯
℃
曰
寸
｛
’
］
~~
’
≈
α
＋
冗
巳
】
〔
令
’
卯
卯
巳
）
●
≈
α
＋
卯
巳
α
（
~~
）
％
∧
·
）
∩
√
＞
）
句
〕
—
α
∏
］
″
川
有
’
句
〕
＿
α
∏
］
~~
卯
取
故
其他处理方案
／（卯）＝（αe2鳃ˉ2e卿）＋（αe鳃—厕）＞0’
分别让αe2鲸ˉ2e绷≥0’ ˉ可取卿＝ln旦;αeˉ卿＞0’可取卯＝α.
九
·
α
…＂＝m凰x｛!＂÷,侧｝矾蜒0）＞0
法二:（分离变量）
:
若／（腿）＝αe2瓣＋（α—2）e蕊ˉ鳃＝0,则α＝窖粤
e
＋e
函数j（鞭）有两个零点,转化为y二α与g（则）＝夸坞有两个公共点
e
＋e
25］
■
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明■
｛满分之路.导数［
2ex＋卯的大致图象’来确定交点情况
下面确定函数g（则）＝
2冗
勿
e
＋e
g′（则）＝e烫（2e则＋l）（ˉe躯—卿＋1）
（2e腿＋l）（ˉe绷-卿＋1）
弓≡
（e2鳃＋e躯）2
ex（e颠＋1）2
今h（卯）＝ˉe鳃—腮＋1’则h′（卿）＝-e躯ˉl＜0’故／l（厕）为单调递减函数’且h（0）＝0’
所以当则＜0时’h（卯）＞（）’g′（卯）＞0’g（卿）为增函数;
当则＞0时’／l（卯）＜0’g′（卵）＜0’g（卿）为减函数.
卯
＿
嘶
巳
刊
＋
勿
勺
／
＝
巳
~~
2ez＋x
limg（则）＝-的, limg（则）＝0’
Z→-凹
x
炉＋四
所以g（则）max＝g（0）＝1.又g（卯）＝
文
巳
＋
″
＾
∩
凸
巳
故函数g（卯）的图象如图所示:
）
1
／
／
／
｜′
冗
情形一当α≥1时’y＝α与g（加）至多有一个公共点’不符合题意;
情形二当α≤0时’由于当卯≥0时’g（则）＞0’而当则＜0时’g（卯）单调递增’所以γ＝α
与g（腮）有一个公共点’不符合题意;
情形三当0＜α＜1时’由于g（-2）＜0＜α’g（0）≡1＞α’且g（卯）在（ˉ2’0）上单调递
增’所以γ＝α与g（绷）在（ˉ的’0）上有且仅有一个公共点
另一方面,注意曼｜｜′（露）二（＂筐舅＋α—2）琶ˉ燕,又筐＝十l,令“橇艘＋侧—2≥1,得贬蹦≥÷—1
为了简单起见’进一步让e鳃＞旦’从而解得卯＞ln旦
α
α
2e卯o＋卯0
可卯0
3
〕e
＜
∑丽＝—≡α’
勿0
e
e
~~
）
‖
卯
（
召
’
∩
〕
—
α
Ⅲ
‖
~~
○
卯
取
e2冗0＋e
勿0
所以在（0,h÷）上｀有g（0）＝｜＞侧,g（ln÷）＜α且g（撼）在区问（0,ln÷）上单调递咸’
于是′二侧与g（x）在区问（0’l＂÷）上有且仅有-个交点
综上’当0＜α＜l时’函数／（卯）有两个零点.
252
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」第六章函数零点问题｜
~
［例2］已知函数∧躯）二侧…＂鞭—;且在｜0,苦｜上的最大值为罕
（1）求函数／（嘶）的解析式;
（2）判断函数／（则）在（0’
∏）内的零点个数’并加以证明
｜·解析D
）
∏
＿
∩
兰
’
○
（
（l）由已知得／′（躯）＝α（sin则＋卯cos则）’对任意卯e
’有sin宛＋卯cos卯＞0
当α二0时抓鳃）-ˉ÷’不合题意
当α＜0’蜒匡（0’号）时扩′（躯）＜0,
从漏∧獭）在（0,苦）内单调递咸
故∧绷）在｜0丹｜上的最大值为∧0）＝ˉ乌,不合题意;
敛∧鳃）在｜0,:｜上的最大值为∧0）＝—;
当α＞0,箍匡（0,÷）畸妒′（甄）＞0’
从漏／（箕）在（0’÷）内单调递增’
赦∧狮）在｜0,晋｜上的最大值为（苦）,
所以号侧ˉ;＝罕’解得α＝L
综上所述矾剿）＝啊n腮ˉ÷
～
（2）／（卯）在（0’∏）内有且只有两个零点.
证明如下:
勺
由（l）知＂／（瓜）＝贩sinx—÷’
从雨有∧0）≡;＜0川晋）＝罕＞α
又∧憋）在｜0』苦｜上的图象是连续不断的′
■
L
叫
~~~
2田
｝
「
『咋
ˉ广～
十-
〗
;
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｜满分之路。导数［
~~
亡
所以∧膊）在（0,苦）内至少存在-个零点
又由（l）知／（甄）在｜0,号｜上单调递增,
敛／（舰）在（0,苦）内有且仅有一个零点
卯
吕
○
℃
卯
＋
卯
∏
■
■
■
且
吕
＿
＿
’
∩
凹
＼
／
＜
冗
∏
（
′
／
~
~
~
~
＼
／
＼
／
卯
∏
（
自
′
（
吕
令
α
’
＞
时
］
｜
∏
＝
’
）
卫
’
≈
∏
—
勺
台
｜
（
臼
…
巨
卯
为
当
因
）
而
’
∏
—
勺
台
（
故存在′测巴
’使得g（′′l）＝0.
（
’
时
）
∏
’
∏
—
勺
▲
巨
卯
知
’
卯
∏
●
■
■
且
吕
卯
卯
吕
○
℃
∑
~~
）
％
（
′
吕
由
（罢,而）
g′（卯）＜0’从而g（如）在
内单调递减.
）
矾
’
∏
—
勺
△
（
时’g（“）＞g（m）＝0’
当卯巳
（苦,腮）内单调逮增,故当甄.
即／′（卯）＞0’从而／（卯）在
’
寸
日
｜
Ⅶ
′
’
订
—
勺
▲
｜
／（鳃）引苦）＝罕＞0’从漏′（躯）在｜苦’砸｜上尤零点;
当腮巨（m’∏）时’有g（卯）＜g（m）＝0’
即／′（卯）＜0’从而／（则）在（m’∏）内单调递减.
又／（″l）＞0’／（∏）＜0’从而／（则）在（m’∏）内有且仅有一个零点.
综上所述肌则）在（0’∏）内有且只有两个零点.
2“
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1第六章函数零点问题｜
［例3］已知函数／（卿）＝α卯2—卿—ln卿.
（1）若ˉ1≤α≤0’求证:函数j（卿）有且只有＿个零点;
（2）若函数／（卿）有两个零点’求实数α的取值范围
｜.解析0
（l）定义域为则巨（0’＋的）.
勺
2
1
2α卯鲁-卯-l
由／（卿）＝α卯-则ˉln卯,得／′（则）＝2α卯ˉ1ˉ—＝
卯
卯
所以当α≤0时旷′（卿）＜0’函数／（绷）在（0’＋的）上单调递减’
所以当α≤0时’函数／（卯）在（0’＋的）上最多有一个零点.
因为当—l≤侧≤0时旷（l）二铡ˉl＜0川÷）＝窿2苦α＞0,
所以当ˉl≤α≤0时’函数∧卿）在（0’＋的）上有一个零点.
综上所述’当ˉ1≤α≤0时’函数∧勿）有且只有一个零点.
（2）法—（分类讨论）
:
由（1）知’当α≤0时’函数／（则）在（0’＋的）上最多有一个零点.
因为函数∧卯）有两个零点’所以在α＞0范围内求α的取值范围
勺
2
1
2α卯合-卯-1
由／（勿）＝α绷
ˉ卯-ln则’得／′（厕）＝2α缅-1-—＝
卯
卯
’
∩
＿
＜
］
—
〃
且
∩
＝
＜
］
］
—
比
~~
）
］
—
“
（
吕
为
因
’
）
‖
＞
α
∑
（
］
卯
勺
狰
卯
α
勺
～
~~
）
卯
（
自
今
所以函数g（绷）在（0’＋的）上只有一个零点’设为如0’
则g（鳃0）＝2α瓣;—鞭0—］＝0,…;-罕
当匆巨（0’狐0）时’g（则）＜0扩′（匆）＜0’／（匆）单调递减;
当匆巨（厕0’＋。。）时’g（厕）＞0扩′（卿）＞0聪／（卯）单调递增
故／（则）至多存在两个零点.
如果妥使函数／（则）在（0’＋的）上有两个零点’要做三件事:
首先,函数′（鳃）输最｜植沁＂）ˉ·鳃;ˉ感＂ˉln鳃＂＜0｀将°鳃;-罕代入,
255—
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｜满分之路＂导数l
ˉ圣十ˉ←↑ˉ｜
.?
≡ˉ巴ˉ可.→ˉ
｛
■
｜
l
【
即2ln卯0＋卯0-1＞0.
又因为函数力（“）≡2ln“＋则ˉl在（0’＋由）上是增函数’且h（1）＝0’
所以卯0＞1’得0＜上＜1·
卯0
又由“;＝鳃0＋l
2 .得2刨-（÷「武筐（0,2）所…≤1
~~｜~
…学≈
ˉˉ十-沪…
ˉ｛ˉ
ˉ丁ˉ
｛
以下验证当0＜α＜l时’函数／（绷）在厕巨（0’厕0）和卯巨（则0’＋的）内各有一个零点.
当0＜α＜1时,
∧1）＝αˉ1＜0’
▲■国ˉ凸
佯→
←→-
↓ˉ ｛-·
／（÷）二÷—÷十l＞0,
′（÷）二芋＿÷ˉl＂÷≡÷ˉ（÷—1）≡｜＞0（!…ˉ」…）
呼…≡T＝…
一恃＋—←
怪…＋≈产卜
,. 二.宁…F＝≈≡
‖
□
｜
】
.~】~‖｜
……·P…∩卡→7←
肆】
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｜
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l
｜
.十＋ˉ→广-＋ˉ
～←丰-←＋
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］
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l
P≤＋,↓～＝-←
｜
引
‘
割＝…↓＝么.＝＝8＝特
｝
］
｛
』
h
｜
!
i
所以当0＜α＜1时’由函数∧厕）的单调性知其存在两个零点.
综上所述’实数α的取值范围为（0’l）.
法二（分离参数）
:
由（1）知’当α≤0时’函数／（卯）在（0’＋由）上最多有一个零点.
因为函数∧卯）有两个零点,所以在α＞0范围内求α的取值范围.
由∧腮）＝“2—卿—ln腑＝0’得关于躯的方程α＝甄＋芋聪有两个不相等的实数解
卯
~~
处理方案一
令g（斯）＝躯＋些’则g′（箍）＝ˉ腮—2!您＋l
卯
卯
又∧（厕）＝-卯-2ln卯＋1为减函数’且h（1）＝0.
所以当鳃巨（0’1）时’h（腮）＞0’g′（卯）＞0’g（绷）单调递增;
当卿巨（1’＋的）时’h（则）＜0,g′（“）＜0’g（“）单调递减.
所以α＜g（l）＝1.
b→
＾＝·-
《
……≡…斗≡『垂←」
丫
了
ˉ十…?ˉ～丁～ˉ
【
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、＋…＋…。ˉ…:
ˉ.卜
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…↑
ˉˉ｛ˉ .ˉ. ;ˉˉ｛ˉˉ
｛ˉ…｝
!ˉ十丫→十十ˉˉ｛
厂十←十-汁ˉ｛
串
｜
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｛
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｛
ˉ《
［王甄｜
2函
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］第六章函数零点问题｝
处理方案二
因为ln绷≤卯ˉ1（证咯）
’
所以α＝剿＋!］膨≤躯＋粤ˉl
卯＝
卯＝
所以0＜α≤l.
）
得
取
时
］
~~
％
在
画
亏
等
（
］
≤
勺
▲
—
％
＋
‖
』
—
∑
勿
~~
’
解
数
实
个
一
有
口
＾
且
有
卯
血
∑
＋
卯
~~
α
百
王
牟
个
｀
万
冯
］
汽
口
卯
于
关
′
日
’
］
~~
卯
’
时
］
~~
α
当
又
Z
h
所以0＜α＜l·
以下验证当0＜α＜1时’函数g（卯）＝α在卯巳（0’1）和卯巨（l’＋鲍）内各有一个解.
当0＜α＜1时ˉ
’
α＜g（1）＝1’
］
~
■
Ⅱ
—
巳
g（÷）
＜0＜α,
~
（÷）2
~
卯＋lII卯
｜｜n卯
）
略
证
卯
＜
卯
∏
′
′
｀
｀
α
~~
勺
～
—
卯
~~
划
』
—
卯
＋
勺
Ⅱ
—
卯
＜
l
≡—＋
卯
因为g（卯）＝
勺
凸
2
Ⅺ
卯
2
解得卯＝—’
α
型
—
Ⅷ
＿
钉
＋
α
—
’
≈
＜
喘
＿
盯
＋
α
—
勺
△
~~
）
勺
▲
—
α
（
吕
以
所
＝α
所以当0＜α＜1时,由函数∧则）的单调性知其存在两个零点.
综上所述’实数α的取值范围为（0’1）.
257
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守
｛
料
‖
制
司
河
婆
四
＋
→
值
‘
十
〔
~
些
~
~
兰
—
＂
~
←
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〖
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~
ˉ
~
ˉ
～
汁
二
←
针
薄
』
｝
｝
＋
｝
＋
｝
‖
｛
｛
｀
‖
了
↓
｝
↑
｀
车
｝
｝
｜满分之路. 导数l
~~
［例4］已知函数∧卿）＝ez一2’其中e≈2.7l828…是自然对数的底数.
（1）证明:当卯＞0时’／（则）＞卯-l≥ln卯;
（2）设m为整数,函数g（则）＝／（卯）ˉln卯ˉm有两个零点,求m的最小值
｜·解祈0
（l）证明:设h（卯）＝e鳃-卯-l’则h′（卿）＝e聪ˉ1’
令h′（则）＝0’得厕＝0’当卯巨（ˉ的’0）时’h′（勿）＜0’h（匆）单调递减;
当绷巨［0’＋的）时’∧′（卿）≥0’∧（卯）单调递增’
所以∧（腮）≥h（0）＝0’当且仅当卯二0时取等号’
所以对任意”巨R’e露≥卯＋l ’所以当厕＞0时矾卯）＞卯—1’
所以当卯＞ˉl时’卿≥ln（狐＋1）’所以当卯＞0时讽卿）＞厕ˉ1≥ln匆.
（2）函数g（蛔）的定义域为（0’＋的）.
当′＂≤0时’由（1）知’g（狐）＝e躯ˉln厕ˉ2—″l＞ˉm≥0’故g（躯）元零点;
1
卯
当m≡1时’g（则）＝e厕-ln绷-3’g′（卯）＝e-
.
卯
÷）
闽为g』（l）＝eˉl＞0.g（
＝亿ˉ2＜0’且g′（厕）为（0’＋的）上的增函数’
所以g′（鳃）有唯ˉ的零点撼＂僵（÷,l）
当则匡（0’鳃0）时’g′（狐）＜0’g（绷）单调递减;
当则匡（腮0’＋的）时’g′（〃）＞0’g（嘶）单调递增.
所以g（卯）的最小值为g（匆0）＝e卿0ˉln厕0ˉ3.
由绷0为g′（财）的零点知’e厕0—上＝0’于是e鳃0＝上’狐0＝ˉln如0.
勿0
卯0
所以……g（撼』）→,带÷3,…』匡（昔,1）知鳃0命ˉ3＜0｀鼠鹏（露』）≤0』
又g（2）＝e2＋』＂2—3＞0’g（÷）＝健;＋2ln3—3＞α
所以g（露）在（;,甄0）上有-个零点’在（翼＂,2）上有ˉ个零点
所以g（卯）有两个零点.综上所述’′n的最小值为L
258
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」第六窜函数零点问题｜
■
卯
—
〃
斗
~
［例5］已知函数∧则）＝e丁
（1）设g（厕）≡（则＋1）／′（卯）（其中／′（卿）为／（卯）的导函数）’判断g（卯）在（-l
,
＋的）
h
上的单调性;
（2）若F（卿）≡ln（卯＋l）ˉq／（厕）＋4无零点,试确定正数α的取值范围
｜..解祈］
（1）闺为／（鞭）＝e;—苛,则f′（鳃）＝崇ˉ苛,
）
］
—
斗
冗
ˉ
’
～
巳
］
—
∑
（
）
］
＋
勿
（
~~
）
卯
（
召
以
所
则g′（厕）二寸［（…）儡』ˉl］,
三
l
~
＞2eˉ2＞1’故g′（卯）＞0’
勿
＿
气
乙
巳
）
勺
〕
＋
卯
（
’
时
］
＞
卯
当
所以g（卿）在（ˉ1 ’＋的）上单调递增.
（2）由F（绷）＝ln（卯＋l）ˉq／（狐）＋4’
得′′（x）≡亩｜÷—g（鳃）｜’
由（l）知’g（“）在（ˉ1 ’＋由）上单调递增’
且g（-l）＝0’知当卯巨（-1’＋的）时’g（卯）巨（0’＋的）
’
则′′（x）＝击［÷ˉg（撼）｜有唯ˉ零点,
设此零惫为鞭-』,′′（獭）二击｜＋＿g（‘）｜二0’即“二＿
1
g（t）
易知卿巴（-1 ’′）时’F′（卿）＞0’F（绷）单调递增;
则巨（t’＋的）时’F′（卯）＜0’F（卿）单调递减·
1
知F（卯）max＝F（t）＝ln（‖＋1）-q／（t）＋4’其中α＝＿
g（t）’
令c（雾）≡ln（叶1）—￡十＋4｀
则G′（卯）＝—L／′（卯）g（卯）ˉ／（卯）g′（则）
／（狐）g′（厕）
二＝
卯＋1
［g（卿）］2
［g（加）］2
’
259
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｜满分之路·导数［
当卯＞-l时′′（则）＞0在（ˉ1’＋鲍）上恒成立’
／（腑）在（ˉ1’＋的）上单调递增.
所以∧狮）＞∧ˉ1）二e÷＋＋＞0又g′（躯）＞0’
所以G′（则）＞0’G（卯）在（ˉ1’＋的）上单调递增’且G（0）＝0’
o凿0…4时’g（‘）二＋＞寸＝g（0）,
由g（“）在（ˉl ’＋的）上单调递增’知t＞0’
则F（绷）max＝F（′）＝G（t）＞G（0）＝0’
由F（卯）在（ˉl’t）上单调递增’得ˉl＜eˉ4ˉl＜0＜j肌t）＞0
g（』）＞0在（ˉ1 ’＋的）上均恒成立’
则F（eˉ4-l）＝ˉq／（eˉ4-1）＜0’
所以F（t）F（eˉ4ˉl）＜0’
所以F（卯）在（ˉ1’t）上有零点’与条件不符;
@当＂＝4时,g（庶）二＋＝＋二g（0）,
由g（卯）的单调性可知』＝0’
则F（卯）max＝F（‖）＝G（t）＝G（0）＝0’
此时F（则）有一个零点’与条件不符;
◎当侧＞4时’g（‘）二＋＜÷＝g（0）,
由g（如）的单调性知t＜0’
则F（卯）max＝F（t）＝G（!）＜G（0）＝0’
此时F（则）没有零点.
综上所述,
』■
当F（卿）＝ln（卯＋1）ˉq／（卯）＋4无零点时’正数α的取值范围是α≡（4’＋的）
2刨
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】第六章函数零点问题｝
［例6］已知函数′（鳃）＝筐蹿＋入｜＂测（《Ⅱ＜0,0＜入＜÷）
（l）求证:函数／（卿）有两个极值点;
（2）若-e≤α＜0,求证:函数／（则）有唯—零点.
·解析0
（1）／（卯）有两个极值点’即／′（卯）＝0有两个不等的实根
／′（卯）＝αeα厕＋上＝α则.eα购＋入（卯＞0）
’
％
卯
h
设g（匆）≡α卯.eα卿＋入’
则g′（绷）＝eα箍（α2绷＋α）
＼
Ⅱ
■
‖
‖
『
′
′
■
』
—
巳
＜
、
人
＜
＾
‖
’
）
（
＜
〗
〔
（
1
今α2卯＋α＝0’解得卯＝-—
α
所以当腮匡（0’—＋）时,g′（鞭）＜0,g（腮）雇（0,—＋）上单调递减;
雪鳃匡（ˉ÷,…）时,g′（x）＞0,g（露）在（—＋…）上单调递增
敛当腮＝—上时’g（腮）取极小值,也是最小值’靡g（绷）咖＝g（—÷）
下面由零点存在性定理判定零点个数:
1
≡人-ˉ二＿.
e
ˉ÷）＝入ˉ上＜0’解得∧＜ˉL’
e
e
′
′
□
■
■
〗
□
‖
＼
吕
~~
∏
·
■
几
Ⅲ
＼
巳
‖
／
卯
（
自
g（0）＝入＞0’
所以存在唯ˉ鳃｜匡（0,ˉ÷）’伎得g（氮｜）＝0』
ˉ十）
ˉ六）
l
1
′
）＝舰（
α入
＞
｀
∧
＋
）
］
＿
叭
／
∏
Ⅱ
｀
α
巳
（
又g（
｀
＋入＝0,
（ˉ十）』
1
＝α卯.eα蜒＋人＝α卿.＿上＋∧＞α卯
＿α卯
e
）
卯
（
吕
’
‖
』
—
卯
巳
＞
■
』
—
∑
卯
＝
∑
卯
＞
卯
巳
●
●
占
…
找
（
＋
（-α卯）2
∧＝0解得撼＝—☆）
■
26］
℃
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｜满分之路.导数｛
~~~
∩
~~
）
’
＝
卯
（
吕
得
使
＼
‖
〗
‖
』
′
′
的
＋
’
‖
』
＿
α
（
巨
’
＝
卯
一
唯
在
存
以
所
所以当绷巨（0’卯1）时’g（″）＞0讽〃）在（0’则l）上单调递增;
当则匡（则l ’＂2）时’g（绷）＜Q／（躯）在（则1 ’则2）上单调递减;
当卯匡（卯2’＋。。）时’g（则）＞0旷（则）在（则2’＋。。）上单调递增.
综上所述’函数∧卯）有两个极值点卯l ’卯2’其中极大值点是厕l ’极小值点是“2.
（2）由（1）知函数／（则）有两个极值点.
设t是函数／（卿）的极值点’则／（t）＝eα′＋入lnt（t＞0）（＊）
’
又g（‖）＝αt .eα』＋∧＝0’
即e.』二寻代入（＊）,得川）二寻辨汕n』
将α当作主元
尸
-∧
′
＋入ln′在α巨［ˉe’0）上为增函数’
h（α）≡
α
认
—
‖
—
α
α
】
几
故
-∧
十川m＝＋（‘｜＂』十÷）＞0（‘｜＂′≥ˉ上证咯）
e
t
＋∧lnt≥
＿e
』
—
』
l
~
＋入ln（e-入）＜l—l＝O
巳
α
●
~~
）
］
＿
入
巳
∧
又
1
（找点扩（则）＝eα卿＋入ln“＜1＋∧ln则＝0’厕＝eˉ了）
所以匆巴（0’则l）时’函数／（卿）有唯一零点.
综上所述’-e≤α＜0’函数／（“）有唯一零点.
262
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』第六章函数零点问题｜
第
点
!侧7］已卿函数∧撼）÷十—感h!翻（侧＞0）
（l）若／（则）在区间（0’3］内单调递减’求α的取值范围;
（2）若／（厕）在（0’＋由）内有且只有—个零点则0,记［卯0］表示不超过卯0的最大整
数’求［“0］的值.
｜.解祈0
（1）定义域卿匡（0’＋四）
’
／（露）＝÷＋—αhl…）则／｜（蜒）十÷＿÷ˉ绥』ˉ…
3卯2
’
因为／（“）在区间（0’3］内单调递减’
则当卯巨（0’3］时／′（卯）≤0恒成立’即则3ˉ3α卯ˉ3≤0’
,′鳃≥宁≡絮ˉ÷…,
解析
可｛
所以α≥（＋鞭:ˉ＋）…~
闺为函数y＝＋獭2—上在区间（0,3］内单调递增,
卯
吕≡
则当测＝3时,γ…-3ˉ＋身
所以α的取值范闺是｜÷,＋“ ）
（2）定义域卿e（0’＋由）,
′（寥）÷＋＿刨｜＂鳃（α＞0）测′｜（您）二÷—÷—:—鳃』ˉ…
3卯2
’
设g（则）＝卿3ˉ3α则ˉ3’则g′（卿）＝3则2-3α’今g′（″）＝3卯2-3《
所以当厕巨（0’√∏）时’g′（卯）＜0’g（卯）在（0’亿）上单调递减;
当则匡（伍’＋的）时’g′（卯）＞0,g（卯）在（旧’＋的）上单调递增
-3α
厂
徊
±
＝0’解得则＝
又g（0）＝ˉ3＜0’g（万）＝ˉ3α打＜0’g（α＋2）＝（α＋2）3ˉ3α（α＋2）ˉ3＝α3＋3α2＋
6α＋5＞0,
263
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』满分之路.导数｜
所以g（卯）在（0,＋。°）内有唯一零点,设则＝m巨（打’α＋2）.
故g（″!）＝″l3ˉ3αmˉ3＝0’即″』3-3＝3αm.
所以当卯巨（0’m）时’g（卯）＜0’／′（卯）＜0’
／（绷）在（0’m）上单调递减;
当卯e（m’＋的）时’g（则）＞0扩′（绷）＞0扩（卿）在（′Ⅶ’＋的）上单调递增.
又卯—步0旷（卯）→＋的’厕—＋＋的’／（卯）→＋的’
且／（1）二;＞M…）＞0’
（找点沁）≡『÷—…÷ˉ〔』｜…÷ˉ醛鳃-0,解得…故
所以勿0＝′Ⅶ.
2
卯
″＞尹ˉα绷＝0’解得则＝6α’故∧
■
6α＋2）＞0
）
2
陶′（鞭＂）÷÷—〃｜皿厂0,得鹏;＋…＂｜皿厂0（＊）
又g（鳃0）＝g（咖）＝0’则鳃;ˉ3α聪0ˉ3＝0’即卿;ˉ3＝3α狮0代入上式（＊）
’
得财;＋6ˉ2（绷;ˉ3）ln孵0＝0’
＂;＋6
即页『＝可ˉ2ln孵0＝0（对数处理技巧）
…
＿
…
）
（
〗
″
卯
~~
设
9
-2ln卯’
—2lI】卯＝l＋卯3＿3
h（卯）在则匡（打’＋的）上单调递减’
则卯0为函数h（则）的唯一零点·
又闽为h（2）-等ˉ2ln2＞0,
h（3）二盖ˉ2l＂3＜0,
则卯0巨（2’3）’所以［“0］＝2.
2“
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」第六章函数零点问题｜
~
［例8］已知函数／（厕）＝（lˉ∧）卿ˉkln卿＋Aˉ1（A≠0）
（1）讨论函数／（则）的单调性;
（2）设函数／（卯）的导函数为g（则）’若函数／（卯）恰有两个零点则l ’卯2,证明:
g′｜＋2獭2 ｜≥α
｀
3
·解析0
（1）定义域卯巳（0’＋的）
’
／（卿）＝（1—k）则ˉkln卯＋Aˉ1’则／′（卯）＝（1ˉ片）＋二业＝
卯
（1-A）卿-∏
Ⅺ
最高项系数的讨论:
当l-人≤0’即∧≥1时’
／′（卯）＜0旷（“）在（0’＋“）上为减函数;
当l-k＞0’即k＜1时’令（1-k）则-k＝0’
解得腿-占
导数的根划分定义域的讨论:
当A＜0时旷′（则）＞0’／（则）在（0’＋的）上为增函数;
当0＜∧＜1时’
当撼匡（0,占）时Ⅱ′（撼）＜M娜）在（0,占）上为减函数;
当派匡（占’＋露）时旷′（鞭）＞M鳃）在（占,＋墅）上为增函数
综上所述,
当∧＜0时′（卯）在（0’＋的）上为增函数;
当0＜偷＜l时沁）的增区间为（占,…）减区间为（0’占）;
当k≥1时扩（卿）在（0’＋的）上为减函数.
（2）证明:由（1）可知’当片＜0或附≥l时’／（则）至多有l个零点’与题意不符合’舍;
当0＜附＜｜畸扩（鳃）的减区间为（0’占）,增区间为（闽,…）’且∧l）二0
266
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｛满分之路.导数‖
~~
下面由零点存在性定理判断另一个根的存在:
首先,占≠1,解得服≠÷,即0＜腮＜÷或÷≤您＜1
当0＜〃＜÷时,此时0＜占≤1,有鞭’＝l
又∧腮）在（占,…）上为增函数,赦′（占）＜∧l）二α
k-l
k-l
又j（e腮）＝（1-A）
. e服
＞0’
）
肘
—
片
巳
~~
卯
得
解
’
·
~~
］
γ
″
＋
卯
∏
］
∧
＞
］
〗
″
＋
卯
Ⅲ
］
∏
亢
卯
）
八
】
（
~~
）
卯
（
丫
γ
占
…
找
（
’
∩
~~
］
∏
〃
＋
］
卯
∏
］
∧
］
卯
）
∧
］
（
~~
）
］
卯
（
／
得
使
’
）
］
’
脚
—
化
巳
（
巳
］
卯
八
γ
汽
口
一
唯
在
存
以
所
卯I＋2卯2
卯l＋2
片
则凰（鳖芋叁｜＞0等价于g（堑≤旦丝）
『
日
）
人
＿
味
（
冯
巴
＞
＿
‖
＞
∩
〕
~~
3
卯l-l
又／（x1）＝（lˉ附）獭1ˉ附ln躯1＋∧ˉl＝0,有T∏「
’
八
—
‖~~
3（卿l-1）
即ln匆l-
绷1＋2＜0（对数处理技巧）.
设′l（卿）＝ln卯ˉ3（卯-l）
卯＋2
’
则′l′（卯）＝上ˉ
9
＝（绷ˉ1）（卯二4）＞0’
厕
（躯＋2）2
卿（则＋2）么
k一1~
所以h（卿）在（ek ’1）上为增函数,故／l（卿）＜h（l）＝0
所以g
3
（鳃｜带2篮2 ）＞0成立;
当÷＜腮＜1时,此时古＞1.有露｜二1,
又′（獭）在（0,占）上为减函数川占）
又川占）＞0,
＜／（1）＝（）’
2“
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］第六章函数零点问翻
／
｜
得
牟
角
’
∩
~~
］
〗
〃
＋
低
了
亢
卯
）
片
］
（
＞
］
片
＋
％
∏
］
〗
″
卯
）
乃
］
（
~~
）
卯
（
扩
占
…
找
＼
振☆剐（占）:辩』
2
’调整为缀二古」
所以存在唯一的则2巨（1’＋鲍）
’
使得／（匆2）＝（lˉk）卯’ˉAln厕,＋片ˉl＝0’
（
3
）
（鞭｜二墓型）＞0等价于g撼‖十2撼2 ＞凰（占）
则g
鼠′膊竿2 ］挚2＞占
＝＝
O
卯2-1
k
又／（卿2）＝（1ˉR）卯2ˉkln卯2＋kˉ1＝0’有I∏ˉ万丁＝1ˉk’
乙
l＋2％2
勿2-1
所以原不等式只需证明
＞ln卯2
’
3
3（卯2ˉl）
即ln则2＿2卯2＋1
＞0. （对数处理技巧）
设甲（则）＝ln卿ˉ3（卯ˉl）
2卯＋l
’
则酸′（愿）-上ˉ
,
（鞭献｛）】｜）＞0＼
＝＝
卿
（2卿＋l）2
所以甲（卿）在（1’＋的）为增函数’故@（“）＞@（1）＝0.
所以g（狮｜二斗0成垒
缘上断逮,函数∧瓣）怜商溺个零点鳃｜｀嚣型（蕊｜≤腮』）时.曾（丝二鱼）
＞0
267
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｛满分之路.导数l
~~
［例9］已知函数／（卵）＝e财ˉα卯2ˉb则ˉl.
（1）设g（″）是函数／（抛）的导函数,求函数g（厕）在区间［0’l ］上的最小值;
（2）若／（l）＝0’函数／（卯）在区间（0’l）内有零点’求α的取值范围
｜。解析0
（1）由／（卯）＝e撼ˉα卯2ˉb卯ˉ1’有g（则）＝／′（卯）＝e躯—2α卿ˉ6.
所以g′（匆）＝e鳃-2α.
因此’当卿巨［0’l］时’g′（厕）匡［lˉ2α’e—2α］.
当侧≤÷时,g′（鳃）≥0,所以g（蜒）在［0’｜］上竿调递增
因此g（如）在［0’1］上的最小值是g（0）＝lˉb;
当α≥;时』g′（憋）≤0,所以g（躯）在［0,l］上单调递咸
因此g（腮）在［0’1］上的最小值是g（1）＝eˉ2α-b;
当÷…i时,令g′（躯）二0,得狮-ln（2α）匡（0,l）
所以函数g（卵）在区间［0’ln（2α）］上单调递减’
在区间（ln（2α）’1］上单调递增.
于是’g（勿）在［0’l］上的最小值是g（ln（2α））＝2αˉ2αln（2α）ˉb
综上所述’弯α≤＋时’g（躯）在［0,l］上的鼠小值是g（0）二lˉb;
当＋…;畸,g（氮）在［0｀l］上的最小值是g（lⅢ（2侧））＝
当α≥:时,g（躯）在［0｀l］上的最小值是g（l）二eˉ2αˉ血
（2）设卯0为／（卿）在区间（0’l）内的一个零点’
则由∧0）＝∧狐0）＝0可知’
／（卯）在区间（0’刃0）上不可能单调递增’也不可能单调递减.
＝2α-2αln（2α）一b;
则g（卯）不可能恒为正’也不可能恒为负
故g（厕）在区间（0’绷0）内存在零点”1 .
268
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］第六章函数零点问题｜
同理g（则）在区间（卯0’l）内存在零点卯2.
所以g（卿）在区间（0’1）内至少有两个零点.
由（l）知’当侧≤＋时,凰（腮）在［0,l］上单调递增,
故g（则）在（0’1）内至多有一个零点.
当α≥;时｀g（腮）在［0』l］上单调递减’
故g（卯）在（0’1）内至多有一个零点,
所以÷＜α＜÷
此时g（卯）在区间［0’ln（2α）］上单调递减’在区间（ln（2α）,1］上单调递增
因此卯l匡（0’ln（2α）］’则2巨（ln（2α）’1）
’
必有g（0）＝1-b＞0’g（1）≡eˉ2αˉ6＞0.
由／（1）＝0’得α＋b＝eˉ1＜2.由g（0）＝lˉb＝αˉe＋2＞0’
g（1）＝e-2α-b≡1ˉα＞0得e-2＜α＜1
当eˉ2＜α＜1时’g（卿）在区间［0’1］内有最小值g（ln（2α））.
若g（ln（2α））≥0’则g（卿）≥0（厕巴［0’l］）
’
从而∧卯）在区间［0’l］上单调递增’这与／（0）＝∧1）＝0矛盾’
所以g（ln（2α））＜0.又g（0）＝αˉe＋2＞0’g（l）＝1ˉα＞0’
故此时g（卯）在（0’ln（2α））和（ln（2α）’1）内各只有一个零点卯1和卯2.
由此可知∧卯）在［0’卿l］上单调递增’
在（厕l ’〃2）上单调递减’在［卯,’l］上单调递增.
所以／（卯l）＞／（0）＝0’／（卯2）＜／（1）＝0’
故／（“）在（则l ’厕2）内有零点.
综上所述’α的取值范围是（eˉ2’l）.
■
■
269ˉ
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‖满分之路.导数‖
第02讲公切线
回知识纵横
拦
1.公切线问题—般有两种题型
（1）已知两定曲线／（匆）,g（卯）有公共点P（卯0’ y0）,并在此点有公切线方程’此类题
仪｜削;
目的求解就是解方程组
（2）切点不在同一点’需要求两次切线方程’根据两个切线方程重合求解.
2.注意事项
（1）斜率不存在的切线;
（2）有可能出现＿条切线对应多个切点的情形’也即切点数目可以与切线条数不
一致.
◎典型例题
电
蔚
帆
.啼
v
［题型l
两定曲线在公共点处的公切线问题］
［例l0］已知濒数／（箍）二÷鞭2十2“,g（躯）＝3侧2｜＂鸳十b’其中“＞0设两州线／（绷）
′ g（氮）有公
共点’且在该点处的切线相同.
（l）用α表示b’并求b的最大值;
（2）求证:／（卯）≥g（卯）.
可
』
析
解
●
（l）第一步:确定切点
设公切点P（匆0’γ0）（厕0＞（））’则γ0≡／（则0）≡g（卯0）
’
哈瓤;＋2“0二3‘』lmb十b@;
27O
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」第六章函数零点问题｝
数零
第二步:求斜率
′｜（腮）～…α,‘′（蕊）-芋测』二′｛（腮0）～‘｝（鞭＂）,
’
）
α
∏
’
］
β
〕
~~
）
］
α
／
＼
α
〕
∑
＋
~~
○
卯
α
（
〕
）
α
α
∏
◎
■
』
卯
α
／
＼
厂
◎
~~
α
∩
≡
·
’
α
气
√
α
司
〕
＿
＿
∏
］
）
○
∑
α
卯
α
／
＼
α
勺
〕
′
勺
≡
’
〗
师
№
＋
＼
／
∑
‖
‘
舍
α
川
】
◎
厕
（
＝
〕
丁
～
α
得
弛
＝
＿
Ⅲ
值
刁
理
山
大
北
整
＿
一
得
最
’
○
◎
∩
＾
∑
卯
α
‖
的
α
卯
或
入
〕
＿
—
β
＝
〕
—
∑
代
α
求
一
＿
α
~~
勺
～
α
·
·
、
）
／
＋
茹
＿
＿
α
步
‖
◎
／
＼
得
卯
三
’
九
卯
解
将
第
设
′
目
l
令l-3lnα＝0’解得α＝e了.
1
~
所以当α巨（0’e3）时’h′（α）＞0’／l（α）单调递增;
1
~
当α巴（e3 ’＋的）时’h′（α）＜0’h（α）单调递减
所以胸（侧）…二′』（e÷）＝÷（e十）2＿3（e÷）2l＂e＋＝÷e÷
所以b的最大值为裴
（2）设F（则）＝／（则）-g（匆）
’
勺
7
勺
则F′（厕）＝／′（卯）ˉg′（卿）＝卯＋2αˉ3旦二＝则ˉ＋2α卿ˉ3αˉ
卯
卯
令绷2十2α卯-3α2＝（卯＿α）（卯＋3α）＝0’解得卯＝α或匆＝ˉ3α（舍）
’
所以当卯巴（0’α）时’F′（厕）＜0’F（卯）单调递减;
当绷巴（α’＋的）时’F′（卯）＞0’F（则）单调递增.
于是函数F（卯）在（0’＋的）上的最小值是F（α）＝／（α）ˉg（α）＝0.
故当厕匡（0,＋由）时’有F（卿）＝／（卯）ˉg（则）≥0’
即当厕巴（0’＋的）时肌加）≥g（“）.
27］
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｜满分之路·导数l
~
［例l1］已知函数∧厕）＝α卯2’ g（卯）＝2eln卯.
（l）求F（卯）＝／（卿）ˉg（卯）的单调区间’若F（卿）有最值’请求其最值;
（2）是否存在正常数α,使／（卿）与g（绷）的图象有且只有—个公共点’且在该公共点
处有共同的切线?若存在’求出α的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不
存在’请说明理由
.解析
0
（l）定义域为（0’＋的）
’
勺
F（卯）＝／（厕）ˉg（卯）＝α卯2ˉ2eln卿’则F′（绷）＝2α卯ˉ些＝2α卯ˉˉ2e
卯
卯
@当α≤0时’F′（则）＜0在（0’＋的）上恒成立’
此时’F（卯）在（0’＋的）上为减函数’没有最值;
厂
…
—
』
α
~~
卯
口
寸
《
’
○
~~
）
％
（
′
Ⅳ
口
王
『
赤
个
、
万
鼎
角
’
寸
日
∩
‖
＞
α
当
◎
所以董x匡（0’平）时』′′（鳃）＜0,F（敷）为….
雪恋匡（孕’＋函｜时,′｜（甄）＞0,′（甄）为增函数
凰此′（躯）在（…）上有最小值′（平）
＝elnα’没有最大值.
综上所述’
当α≤0时’F（卯）没有最值;
~~厂-ˉ＼
｀／αe
｜
α
／
‖
‖
＼
Ⅱ
值
小
最
有
）
卯
（
尸
扣
时
∩
◎
～
≥
α
当
＝elnα’没有最大值
（2）法-:假设存在正常数α’使／（师）与g（厕）的图象有且只有一个公共点’且在该公共点
处有共同的切线.
设函数／（”）与g（则）的图象公共点为P（“0’γ0）
’
α膊;＝2eln獭0（＊）,
（｛↑!‖厂瓤〕~.队÷｛··‰
根据题意得
272
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」第六章函数零点问题｜
~
由（＊＊）得卿;二e,代入（＊）得ln鞭0＝÷,即狮0二e2 ,所以α＝l
此时结合（1）的结论’厕—诊0’F（“）—镑＋的’卯→＋由’F（则）—产＋的’
知F（则）min＝F（亿）＝0.
）
‖
卯
（
召
~~
）
○
勿
∧
使
○
卯
他
其
有
没
再
『
卜
夕
］
～
∑
巳
~~
○
卯
除
此
因
故存在α＝1’使／（腮）与g（厕）的图象有且ˉ只有一个公共点（拒’e）’且在该公共点处有共同
的切线’公切线方程为γ＝2｀／酞ˉe.
法二:假设存在正常数α’使／（则）与g（卯）的图象有且只有一个公共点’则函数y＝F（卯）有
且仅有一个零点.
结合（I）的结论’卯→0’F（卯）-手＋的’绷—惨＋的’F（则）ˉ＋＋的’
可得只需F（则）的最小值等于0.
）
征
＿
α
（
尸
且
’
∩
Ⅱ
＞
α
有
七
止
因
＝elnα＝0’解得α＝1
回
F（则）mm＝／（√百）ˉg（√百）＝0’即∧√百）＝g（√百）＝e.
所以／（卯）与g（卵）图象的公共点为（拒’e）.
又因为∧＝／′（√百）＝g′（拒）＝2拒’
所以／（厕）与g（躯）的图象在（√百’e）处有公共的切线方程为γ＿e＝2√百（卿ˉ√百）
’
即γ＝2√励ˉe.
综上所述’存在正常数α＝1’使／（卯）与g（“）的图象有且只有一个公共点（√百’e）’且在该
公共点处有共同的切线’公切线方程为γ＝2√巨比ˉe.
~
司
273
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｛满分之路.导数‖
l
［例l2］（2017 .春升p日市犊缉期中）已知函数／（卯）＝躯ˉ—
卯
｀
｀
【
〗
‖
‖
′
′
］
卯
—
一
＾
凹
＋
则
／
』
』
‖
‖
＼
∧
）
勿
巳
∧
~~
）
卯
（
Ⅳ
数
函
）
］
（
其中k为实数’对γ卯巴（（）’
1）’有F（绷）＞0』
求儿的最大值;
（2）若g（卯）＝勿2＋2ln加（α为正实数）’试求函数／（则）与g（绷）在其公共点处是否存
α
在公切线’若存在,求出符合条件的α的个数’若不存在,请说明理由
｜·解析0
（1）（端点效应＋矛盾区间）
γ卯巨（0’l）’有F（则）＞0.
御′（腮）≡″）—（鳃啃）←—,—（鳃＋§）,
得′｜（瓣）-e露＋.＿』ˉ（l＋÷）’′′（0）＝2ˉk
勺
设h（鳃）＝e…ˉ,—k（l十÷）,则h′（缆）＝e骡ˉ蹬—翰—触,″（0）二0,
／l″（厕）＝e“＋eˉ“ˉ∧’
｀
｀
‖
】
】
□
′
′
■
Ⅱ
—
巳
＋
巳
●
歹
∑
（
-卯
当厕巨（0’l）时’e鳃＋e
e
（2—k,曝＋÷ˉ您）
则h″（卯）巳
@当2ˉ∧≥0’即k≤2时’
当厕巨（0’l）时’h″（则）＞0’∧′（卿）在卯巨（0’1）上是增函数’
所以h′（卯）＞九′（0）＝0’h（则）在厕≡（0,l）上是增函数’所以h（卯）＞h（0）＝2-k≥（）’
所以F（则）在卯巨（0’1）上是增函数’所以F（卯）＞F（0）＝0;
@当e＋＿ˉ∧≤0’即A≥e＋上时,
1
e
e
γ‖…毛·
拦…←一产挣
当卯巨（0’l）时’h″（卯）＜0’h′（绷）在卯巴（0’l）上是减函数’
所以h′（绷）＜h′（0）＝0’
274
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」第六章函数零点问题‖
h（“）在匆巨（0’l）上是减函数’所以h（“）＜h（0）＝2ˉk＜0’
所以F（卯）在卯匡（0’l）上是减函数’所以F（聪）＜F（0）＝0’不满足题意;
＝
◎当2＜A＜e＋上时,
e
存在匆0巳（0’1）’使得h′′（卯0）≡0’
当卯巳（0’厕0）时’h″（卿）＜0’h′（卯）在绷巨（0’匆0）上是减函数’
所以力′（豹）＜h′（0）≡0’
h（则）在则巳（0’绷0）上是减函数’所以h（则）＜h（0）＝2-k＜0’
所以F（则）在厕巨（0’则0）上是减函数’所以F（则）＜F（0）≡0’不满足题意
综上所述’k的最大值是2.
（2）设函数／（卯）与g（厕）在其公共点P（鳃］’yl）处存在公切线’
勺
1
卿『＋2ln“l（＊）’
”1ˉ可＝
α
｛》x｜｜二｝d）（~″
则
B÷兰＋÷（＊＊）,
α
｀
卯l
■
由（＊＊）得（2“」—α）（躯｝＋l）＝0’所以蹦」＝÷
将厕」＝:代入（＊）得8｜nα—α2—8｜n2＋8＝0
设帜（勉）≡8｜皿—α2＿刚n2＋8’则帜′（“）≡:ˉ2侧’为减函数’且帜′（2）二0
所以当α匡（0’2）时’甲′（α）＞0’@（α）在α匡（0,2）上是增函数;
当α巨（2’＋的）时’中′（α）＜0’●（α）在α巨（2’＋的）上是减函数
又聊（2）二4＞0』且碘（÷）＝÷＜0,帜（4）-8h2ˉ8≤0｀
所以存在“｜匡（÷’2）’使得帜（铡｜）＝0’存在α2匡（2’4）’使得帜（鹏2）二α
故符合条件的α的个数为2.
275
＝司
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｜满分之路.导数｝
两定曲线在不同点处的公切线问题］
（2016 .忘者全圈卷Ⅱ）若直线γ＝k卯＋b是曲线y＝ln则＋2的切线’也是曲线y＝
［题型2两定曲线在不同点处傲
［例13］（2016 .忘者全圈卷Ⅱ）盲
ln（卿＋1）的切线’则b＝
｜·解析0
法-（常规解法）:
第一步:确定切点
设公切线与γ≡ln则＋2的切点为Pl（卯l ’ln卯l＋2）;
第二步:求斜率
●
·
＝
］
—
冯
~~
∧
’
■
』
—
卯
~~
′
γ
第三步:点斜式确定切线方程
则它的切线方程为y＝上.厕＋ln则l＋1
卯l
同理:设公切线与γ二ln（则＋1）的切点为P2（厕2’ln（厕2＋l））
’
铡它…方程为』二六叶l＂（甄』十｜）—1兰
卯2＋l°
第四步:公切线应用（斜率相同’截距相等）
″1
l
吕二
卯1
卯勺＋1,
≡
所以《
卯勺
ln卯l＋l≡ln（卯勺＋1）ˉ
＝
卯勺＋1’
＾
吧
么
ln勿l≡ln（卿,＋1）
’
｜…｜引i岭厂,』ˉ、
即
卯勺＋1
’
≡
l
｜二≡
解得
所以b≡ln卯1＋1＝1＝ln2.
276
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≡函数零焉同题］
~
法二（参数法）
:
第一步:确定切点
设公切线y＝脑＋6与γ＝ln卯＋2和γ≡ln（厕＋1）分别切于点Pl （则l ’ln卿l＋2）’P,（厕,’
ln（卯2＋1））.
第二步:求斜率k’用片表示切点（斜率相同）
…导;Ⅱ′÷｀Ⅱ｛-六,叫-÷六,卵鞭｜二＋,撼2＋1
,P:（＋—l’—｜＂k）
第三步:切点代入公切线’截距相等
｜yl＝／t卿l＋b＝l＋b’ .｛吉川!№
｜γ2＝触2＋b二lˉ胀＋b,
两式相减得∧≡2’所以b＝l-ln2
法三（数形结合法’乎移）
:
由于这两条曲线是通过向量（l’2）乎移得到的’因此可以判断出公切线的斜率为2.
函数γ＝ln厕＋2和y＝ln（卿＋l）都是由γ＝ln卿乎移而来’一个向上乎移2个单位’一个
向左平移1个单位’故切线的斜率k＝2. （只有是同一个函数乎移成两个函数’才能应用）
由′二h腿＋2得册-2＝上’即鳃｜二＋’敛γ｜＝｜n甄!＋2二2ˉm2,
卯l
将切点（÷,2ˉl＂2）代入γ＝2躯＋6’可得6＝l—ln2
277
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‖满分之路.导数■■
~~
［例l4］已知函数γ-鹏l＂（x＋l）（鞭≥0）与函数γ≡盖（躯≥0）有且只有—条公切线,则
α＝
｜·解析0
…y二“l＂（鳃带1）对……｜,y｜）,…y-六（鳃—鳃｜）十y｜;胸线y二盖
……（躯:｀’2）’切线为γ二（露莹2）2（卿—露』）却2,
4
＿三二
卯l＋1
（卯2＋2）2’
α（卯,＋2）2
oh带2厂2（｜—六「,
4
所以缴｜
化简得αln
ˉ4—-α＋
α卯l
4卯2
＝ylˉ页厂下I＝γ2-（鳃输＋2）2’
ˉ…橇只有唯一解,令′二志匡（0』］］.等价于‘2ˉ4叶2鸥｜m＿…十…二0有唯
≡
一解’
记g（′）＝‘2ˉ4‘＋2αln』ˉαlnα＋α＋2（0＜‘≤1）’g′（t）＝幽2≡4′＋2α
t
O若α≥l ’有g′（t）≥0’所以g（t）递增’则g（t）≥g（1）＝αˉ1ˉαlnα’
记h（α）≡α-lˉαlnα（α≥1）’有h′（α）＝ˉlnα≤0,所以h（α）max≡／↓（1）＝0’进而可知
当α＝l ’g（t）＝0时有唯一解t＝1’符合;
@若0＜α＜1’则t匡（0’1ˉ√1ˉα］,g（r）递增;0匡（lˉ√1ˉα’1］’g（!）递减;
所以g（t）max＝2√1ˉα＋2α］n（1ˉ√1ˉα）—αlnα’记√lˉα＝b巨（0’1）
’
卿（』）≡片带｜（揣）（…｜）,…（』）ˉ（｜1｝）虱≥…砸（』）＞…有
g（t）max＝（l-b2）.m（b）＞0 ’注意到g（1）＝α-l-αlnα＜（）’又g（eˉ2.）＝e
.
一
4eˉ2.ˉαlnα＋αˉ1＜0’并且有e—万＜1ˉ√Iˉ＝万＜l’结合单调性可知g（′）有两个不同
解,不符合.
综上所述,可知α＝1.
278
~~
≈
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『第六章函数零点问题‖
［例15］若曲线Cl :y≡α厕2（α＞0）与曲线C2:y＝e卿存在公共切线则α的取值范围为（
）
2
A｜;,＋°°
2
c｜;’＋‘·
B（0,;｜
D（0,÷）
）
）
·解析0
法-:
书写形式一:
第一步:确定切点
设公切线与C1 ;y＝α卯2（α＞0）的切点为Pl（卯l ,α卿｝）;
第二步:求斜率
γ′＝2α卯’∧＝2α卯l ;
第三步:点斜式确定切线方程
则它的切线方程为γˉα赚↑＝2α獭1
. （鳃ˉ獭1）’即y＝2α则l .厕-α膊｝;
同理:设公切线与C,:γ＝e赃的切点为P,（则,’e绷2）
’
则切线方程为γ＝e膊2 .厕＝（绷2ˉ1）e筋2;
第四步:公切线应用（斜率相同’截距相等）
｜口!.…｛笋…黎」…ˉ…
卤第一个等式可得鳃!＝差.代入第二个…整理得÷＝4（憨:—!）
z2
;
■
第五步:切线条数转化为交点个数（零点存在性定理判定根的个数）
阎题转化为直线y＝÷与函数h（鞭）≡4（等l）有…问题
h′（购）＝4ˉ4（＄ˉl）＝ˉ4竿8
e
e
令ˉ4卯＋8＝0’解得卿＝2.
279
~
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‖满分之路.导数l
所以当卯巨（ˉ四,2）时’h′（卿）＞0’／l（卯）单调递增;
当卯巨（2’＋的）时’h′（绷）＜0’内（卯）单调递减.
h（箍）…＝h（2）＝÷』
e
又绷—掺-的’h（卯）—炉-的’“ˉ→＋的’／l（卿）ˉ→ˉ的’
｜
〃
→
—
∑
巳
’
由
（
所以h（z）巨
直线y＝上与函数内（厕）＝4（卯ˉ1）
α
e
冗
有交点’
勺
～
巳
—
〃
→
≥
α
得
解
〃
→
—
勺
▲
巳
≤
■
』
—
α
故
又h（4αˉ1）＝4［（4αˉ1）ˉ1］＜4［（4αˉ1）ˉ1］
4α-l
（4α—l）2—1
e
·
Ⅱ
—
α
~~
●
■
』
—
α
＜
＾
‖
~~
）
］
（
门
所以存在卯l巨（ˉ钩’2）’使得h（卯l）＝0;存在厕2匡（2’＋凶）’使得h（卯2）≡0.
2
综上所述｀α≥;
书写形式二:
Cl :y＝α卯2（α＞0）’y′＝2α卯;C2:y＝e ’γ＝e
.
允
′
Z
设公切线与Cl ;γ＝α膊2（α＞0）的切点为P! （卯l ’α鳃｝）》公切线与C2:γ＝e＂的切点为
’
）
∑
卯
巳
’
勺
＝
卯
勿
′
‖
｀
勺
＝
尸
÷＋l
记／（狐）＝÷,则／′（撼）＝e÷带｜（箍—2）
（2卯）2
’
28O
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］第六章函数零点问题｜
所以当厕巨（＿的’2）时’／′（绷）＜0’／（勿）在则匡（ˉ的’2）上单调递减;
当卯巨（2’＋的）时’／′（卯）＞0旷（则）在绷匡（2’＋的）上单调递增.
“-徐-的矾卿）ˉ→＋的’厕→＋的机卿）→＋鲍’
＝
α
故
’
∑
巳
—
〃
斗~~
∏
Ⅲ
）
卯
∧
的
＋
’
∑
巳
—
〃
斗
）
｜
答案:C
法二:
设公切线与C2:y＝e“的切点为P2（匆2’e“2）’则切线方程为γ≡ez2 .厕-（绷2-1）e鞭2’
代入Cl :γ＝α卯2（α＞0）得’哑2-e躯2 .厕＋（厕2-l）e厕2≡0（α＞0）
’
曲线Cl :γ＝α卿2（α＞0）与曲线C2:y＝e颠存在公共切线
处理方案一;
△＝（e绷2）2ˉ4αe厕2（厕2ˉ1）≥0’e鳃2ˉ4α（绷2ˉ1）≥0有解.
设／j（厕）＝e鳃-4α（卯ˉ1）’则h′（”）＝e腮ˉ4α.
令h′（厕）≡e鳃-4α＝0’解得则＝ln4α’
所以当卯巨（ˉ的’ln4α）时’h′（则）＜0’h（则）为减函数;
当卿巨（ln4α’＋的）时’／t′（则）＞0’h（卯）为增函数.
“-＋-的’h（卯）—掺＋的’卿—除＋鲍’h（卯）ˉ→＋四’
司
2
所以h（绷）mm＝h（｜n4α）＝4α—4α（｜n4α—l）≤0,解得α≥÷
处理方案二:数形结合找临界相切的斜率
△＝（e厕2）2ˉ4αe厕2（卯2-l）＝0’e狮2＝4α（卯2-l）（＊）
■
P2（卿2’ez2）可以看作过点（1’0）’斜率为4α的直线与曲线γ＝e躯的切点
2
所以切线’ˉe露』＝e瓣』（狐—獭2）过点（l ,0）』得撼2＝2’代入（＊）得α＝;
2
所以陶线C｜;γ＝α狐2（α＞0）与陶线C2;y二e撼存在公共切线,满足α≥÷
28］
■■h
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‖满分之路.导数［
［例l6］已知A为非零实数’函数／（“）＝脑2’g（卯）＝ln如’F（卯）＝／（“）ˉg（2肋）ˉl.
（1）求函数F（卯）的单调区间;
（2）若直线′与函数γ＝／（卿）和γ＝g（绷）的图象都相切,则称直线′是函数γ＝／（卿）和
γ＝g（厕）的公切线,已知函数y≡／（卯）和y≡g（卿）有两条公切线′1 ,
′2.
（i）求∧的取值范围;
（ii）若α’ b（α＞b）分别为直线′l
’ ／2与y＝∧则）图象的两个切点的横坐标’
求证; F（竿）＞α
匿
旧
喧
茸
置
讨
匡
杠
‖
【
～
‖
吁
↓
▲
匹
【
叮
『
『
〗
『
吁
『
■
↓
『
但
‖
宁
】
丁
9解析0
（l）′（箍）＝′（颜）ˉg（2脑）ˉl二k狮2—ln（2脑）ˉl ’』M′（甄）-2触ˉ÷
o当k＞0时’F（腮）的定义域为（0’＋的）.
令′′（瓣）≡0,解得蕊→伍（舍负）
所以凿疟（0,伍）畸,′′（鲤）＜0,′（鳃）在腮.（0’｀／丢）上单…;
畜正（伍…）畸,′′（鳃）＞0,′（撼）在疟（低｀…）上单调逮增
@当k＜0时’F（厕）的定义域为（ˉ的’0）.
F′（鳃）＞0’F（厕）在（ˉ的’0）上单调递增.
综上所述,
（0,伍）
当片＞0时’F（卯）的单调减区间是
单调蠕区间是（伍,…）;
当k＜0时,F（卯）在（-的’0）上单调递增.
（2）（i）第一步:确定切点
设公切线与／（卿）＝脑2的切点为P1（厕1 ’脑｝）;
~
282
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」第六章函数零点问题｝
～
第二步:求斜率
／′（卯）≡2脑’斜率为2k卯1 ;
第三步:点斜式确定切线方程
则它的切线方程为γˉk膊｝＝2脑l
. （鳃ˉ腮』）’即γ＝2k腮1 .”ˉk卿｝;
同理:设公切线与g（卿）≡ln“的切点为P2（绷2’ln加2）’
则切线方程为γ＝上·则＋ln卯,ˉ1;
勿2
第四步:公切线应用（斜率相同’截距相等）
上＝2k卯1 ’（＊）
｜总』—隐谦｛..｜缝…｝……
淘（＊）式可得绷厂六,代入（＊＊）整掣碍赋｝＿ln（2膨』）＿!ˉ0;
第五步:切线条数转化为方程根的个数（零点存在性定理判定根的个数）
函数γ二／（匆）和γ＝g（绷）有两条公切线’
所以方程脑｝ˉln（2脑1）ˉl＝0有两个根.
由（l）可知’F（绷）＝肛2ˉln（2脉）-1’
■
匡
广
当k＜0时’F（绷）在（ˉ的’0）上单调递增’F（则）至多与狐轴有1个交点’与题意不符合;
邹≥0畸,′（甄）瞒……（0,伍）,巢调增…（倾,…）
’F（卯）至多与卿
轴有两个交点.
所以F（卯）＝0有两根,须满足:
伍
—
仕
低
Ⅳ
’
］
—
入
＞
∧
得
解
’
＾
‖
＜
］
—
∑
顾
∏
‖
~~
］
F（2）≡八.22ˉln（2k.2）-1＞k.22ˉ2k.2＝0’
勺
′（2庶l.窿）≡偷（六「ˉ』＂（2k2六）ˉl＝
1
4k·e2＞0,
■
283
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‖满分之路.导数〗
伍）
／
所以存在b巨｜0,
（伍》…）
,使得F（b）≡0;存在α巨
’使得F（α）＝0
臻上所述,k＞士
（ii）由（i）得’α’b（α＞b）是函数F（卿）＝／（勿）-g（2k则）ˉl的两个零点’
「F（α）＝kα2-ln（2kα）-1≡0’
「｀“′ˉ川“—皿…′—1ˉu
故‖
｜F（b）＝肋2ˉln（2肋）ˉl＝0, 两式相减得k（α＋b）（αˉb）＝ln;’
!n;
即∧＝（α＋b）（α-b）.
婆诞F′（宁）＞0,F′（鞭）二2脑—上＞0’需艇k（叶b）＞—乙
勿
α＋b’
糯疟（.诚—娜微入儒｜.;三』低′）二（÷—｜）
;＋l
＝
’
）
］
＞
‖
（
α
＿
『
″
~~
旷
令
2（′＝l）
设9（t）≡lnt＿
‖＋l
,
蹦鹏｛仙）＋（叶!）:≡刷i≥0,
所以甲（′）在（1’＋的）上为增函数’故甲（t）＞甲（1）＝0
∩
ˉ
＞
）
础
—
∑
／
｜
＼
厂
’
述
所
上
综
2“
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「第六章函数零点问题‖
［例17］已知函数／（卯）是在（0’＋函）上处处可导的函数,若则.／′（则）＞／（卯）在厕＞0上恒
成立
■
（l）求证:函数g（躯）＝d鱼1在（0’
＋。。）上是增函数;
勿
（2）当卯1＞0’”2＞0时’证明:／（匆l）＋／（鳃2）＜／（厕l＋卯2）;
（3）已知不等式ln（1＋卯）＜卯在躯＞ˉl且则≠0时恒成立’
求证;罢ln22＋二ln32＋二ln42＋…＋（″＋1）』l＂（′』刊）』＞
2～
3～
4＝
′l
2（′′＋1）（′!＋2）
（′l巳N＊
）
·解析0
证明:（1）g′（卯）＝／′（则）卿ˉd匹1’因为v′（卯）＞／（测）在则＞0上恒成立’所以g′（卿）＞0’所
2
卯
以函数g（卯）＝d△在（0’＋。。）上是增函数
卯
／（则l）
／（卯l＋卯2）＝瓮／（卯1）＜卯l＋卿2
卯l
（2）因为g（绷）＝d卫1在（0’＋的）上是增函数’所以＿＜
勿
卯1
卯1＋卯2
／（卯2）
／（卯l＋卯2）＝贪／（卿2）＜匆1＋卯2
卯2
.／（卯l十匆2）
’
／（勉｜＋卿2）,—万丁＜卿｜＋箍2
两式相加后可以得到∧豹l）＋∧卯2）＜∧匆l＋缆2）.
／（则l）／（卿l＋卯2＋…＋卯厕）＝瓮／（匆l）＜厕l＋卯2＋…＋厕
则1
.／（则l＋厕2＋…＋厕＂）
’
（3）—＜
厕
卯l
卯l＋卯2＋.° .＋卯n
／（卯2）
／（卯l＋则2＋…＋卯＂）
卯2
.／（厕1＋卯2＋…＋卿n）
-→／（卯2）＜则l＋腑2＋…＋“
—＜
几
卯2
卯l＋卯2＋...＋卯n
■
～
／（则厕）
／（则l＋卿2＋…＋绷″）～／（卿″）＜
.／（卯l＋卯句＋…＋则″）
’
卯
几
＿＜
凸
卯
卯1＋卯2＋.°·＋卯
卯l＋卯2＋°..＋卯几
几
∏
以上各式左右两边相力口后可以得到j（卯l）＋／（卿2）＋…＋／（“厕）＜／（卯l＋厕2＋…＋则″）
L
285
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｜满分之路.导数｜
~~~
）
『
〗
卯
＋
●
●
＋
∑
卯
＋
］
卯
（
∏
］
）
几
卯
＋
＋
∑
卯
＋
】
卯
（
＜
∏
卯
’
∏
）
］
Ⅶ
几
’
卯
●
＋
●
’
●
〕
’
＋
’
←
’
］
■
』
卯
＝
∏
■
■
■
二
■
∏
＆
〕
／
＼
卯
∩
≡
＋
＞
〗
■
■
＆
卯
卯
且
山
’
卯
卯
＋
Ⅺ
］
｜
卯
卯
＝
＿
∏
］
）
］
卯
卯
（
尸
〕
以
设
所
令卯≡
1
＂
（1＋厕）2’
法—;凰为ˉ｜袁ln2』学ln』』＋士』n4』带…＋
1亏ln（厕＋1）2
（Ⅶ＋1）＝
｜
≤｜步÷襟士带…÷
＜｜尹尹士扫÷
（厕』1）』｜!＂｜女÷辩六…＋（″l1）2｜
（″!｜）圈｝］n｜☆锋灭带畔（″!l）＂｜
l
＜（ˉ六）（＋—志）＝—2（叶l↑（″＋2）,
所以士h』22寸hl］2锥士ln4〗带…＋（″｛｜）2］＂（″半｜）:≥
n
2（厕＋1）（′!＋2）（′』匡N＊）
法二:因为ln（n＋1）2
ln（″＋1）2
（n＋l）2 ＞（n＋1）（″＋2）≥
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-ln4（六ˉ志）,
（〃＋l）（n＋2）
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ln（′!＋1）2＞
（′』＋1）2
见
2（Ⅶ＋1）（″＋2）（′!巨N＊）.
二
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