高中数学——猿题库——满分之路——搞定高考数学小题_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

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搞定高考数学‖ 题
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｜攻兑高考数学小题’这一本就够了
高中数学
M∧丁卜｜
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o沈阳出版社
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目录
集合的运算
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函数的图象
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抽象函数….…………………………………………………………ˉ….…
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函数的零点
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直线与平面的位置关系
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线到平面的距离
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辅助角公式与降幂公式……….………………….….….…………….…………………
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40
平面向量的概念与线性运算……………. .………………………………………………….………6l
41
平面向量基本定理.…………………………ˉ…………….
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42
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向量坐标运算………. .……………………….
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63
43
向量的数量积与运算律……….…………….………………………………………………….……64
44
向量的垂直｀共线判定与应用..…………………………….…………………………………………65
45
向量在几何和物理中的应用
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46
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66
正弦定理ˉ…………………………………….….……………………………………………………67
47
余弦定理…….
48
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数列求和
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52
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55
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76
56
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77
57
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线性规划
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基本不等式及应用………………………
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命题…….…………….……
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62
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●●
逻辑联结词…….….
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64
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双曲线（l）…….…………….….…
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直线与圆锥曲线的综合应用………….….…………………………………………….
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空间向量及其应用
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导数的概念.……………………
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●
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●
求导公式与导数的运算法则
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73
抽象函数的导数…………………
……………………………………。……….
102
74
利用导数研究函数的性质..…………………………….
75
…….…。……………。………。…·
104
定积分与微积分基本定理….
76
………………….…105
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推理与证明.……………………………………………………….
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复数的概念与运算…….…………
78
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加法原理与乘法原理……………. ˉ…………………………………………………………….……109
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（漂巍壬）鬃隅性x羔骤象昼由8I0Z
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答案与解析目录
1
集合的运算….
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2
集合的性质……………………………ˉ……………………………………….……………….……150
3
函数的性质（1）.…….………………………………………………。
….……………………l5l
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函数的性质（2）ˉ……………………………….………
……………153
■●■
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对数与对数函数
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幂函数…….….…
…….………………….…………………。…………….……·………156
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函数的图象……….……………ˉ….………
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抽象函数
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直线与直线的位置关系……………
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直线与平面的位置关系
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平面与平面的位置关系.….…………………………………………………………………………. l68
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空间几何体的表面积和体积………………..………….……ˉ……………….………………….…l70
13
点到平面的距离……………………
14
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●
■
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●
■■●◆●●
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线到平面的距离…….…………………
15
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线面平行的性质、判定
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线面垂直的性质、判定….……………………………………….…
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集台的运算
练习日期:
答题用时
错题题号:
-、单选题
｜巳卿集合A＝｛鳃｜☆≥0’腮匡R｝,B＝｜y｜γ＝3财2＋
1’则巨R｝’则A∩B＝
（
）
A.Z
B（1’＋鲍）
C. ［1’＋的）
D. （ˉ。。’0）（ˉ」（1’＋的）
2.设全集U是实数集R’″＝｛卯｜则＜-2或则＞2｝’Ⅳ＝
｛卯｜则2ˉ4绷＋3＜0｝’则（［U″）∩Ⅳ＝
（
）
A. ｛″｜-2≤则＜1
｝
B.
｛则｜ˉ2≤卯≤2｝
C. ｛卯｜1＜卵≤2｝
D. ｛鳃｜匆＜2｝
3.已知全集U＝R’集合A＝｛卯｜3≤“＜7｝’B＝｛则｜卯2ˉ7则＋
10＜0｝’则0U（A∩B）＝
（
）
A. （ˉ鲍’3）（ˉ」（5’＋由）
B. （-的’3）（ˉ」［5’＋由）
C. （ˉ的’3］（ˉ」［5’＋的）
D. （ˉ的’3］（ˉ」（5’＋鲍）
4设集合P＝｛y｜γ＝1ˉ鳃2’卯巨R｝’Q＝｛则｜｜则｜≤1’卿巨
R｝’则P∩0＝
（
）
A.
｛（ˉ1 ’0）’（0’1）’（1’0）
｝
B.
｛卯｜ˉ1≤绷≤l
｝
C.
｛ˉl’0’1
｝
D. （ˉ的’l］
5巳知全集U＝｛绷匡z｜蛊≤0｝.集合』二｛躯匡z｜｜2”
＋1 ｜≤l｝’B＝｛绷巨N＊｜鳃2ˉ卿ˉ2≤0｝’则0U（AOB）
中元素的个数是
（
）
A。0
B. I
C.2
D.3
6.已知集合″＝｛则｜则2＜1
｝’Ⅳ＝｛厕｜2卿＞1
｝’则″∩／V＝
（
）
A.z
B. ｛卿｜0＜则＜1｝
C. ｛则｜卯＜0｝
D｛卯｜则＜1｝
7设集合M＝｛鳃｜躯』≤4｜』″-｛鳃｜罕≤0｝川M∩
Ⅳ≡
（
）
A. ［ˉ2’2］
B｛2｝
C. （0’2］
D. （-的’2］
8.若集合A＝｛卯｜0＜卯＜1
｝’B＝｛加｜卯2-2卯＜0｝’则下
列结论中正确的是
（
）
A。A∩B≡●
B。AOB＝R
C。ACB
I）.BCA
9.已知全集U＝R’集合A＝｛1’2’3’4’5｝’B＝｛卿巨R｜
则≥2｝’则图中阴影部分所表示的集合为
（
）
A.
｛1｝
B.
｛l’2｝
C. ｛3’4’5｝
D｛2’3’4’5｝
10.已知集合M＝｛α’b｝’Ⅳ＝｛b’c｝’则M∩／V等于（
）
A.●
B｛b｝
C. ｛α’c｝
D｛α’b’c｝
11.已知集合P＝｛勿｜则（则ˉ2）≥0｝’0＝｛则｜ˉ6＜3卯≤
3｝’则（［RP）∩Q＝
（
）
A. （ˉ2’0）
B（0’2］
C. （0’1］
D. ［0’l］
l2巳测全集0-R集合删＝｛y｜y＝＋,0＜鳃＜｜｝』″
＝｛卯｜则2-2｜卯｜≤0｝’则下图中阴影部分所表示的
集合为
（
）
U
A. ［ˉ2’l）
B. ［ˉ2’1］
C. ［ˉ2’0）（ˉ」（1’2］
I）. ［ˉ2’0］（ˉ」［l’2］
二、填空题
13.集合A＝｛0’2卯｝’B＝｛—1 ’0’1
｝’若A∩B＝｛0’l
｝
’
则卯＝
14.已知集合P＝｛卿｜（卯＋l）（匆ˉ3）＜0｝’Q＝｛则｜｜卯｜＞
2｝’则P∩Q＝
.
l5.已知集合A＝｛卯｜则2ˉ卿＝0｝’B＝
｛ˉ1’0｝’则
A□B＝
.
16.已知集合M＝｛匆｜ˉl＜卯＜3｝’Ⅳ＝｛则｜ˉ2＜则＜1
｜
则″∩／V＝
.
~
厂
·
】
】
〗
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2集台的性质
错题题号:
答题用时:
练习日期:
＿｀单选题
｜
A. -1
B.0
1.设集合A＝｛（腮’γ）｜“2＋γ2＝l
｝’B二｛（则’γ）｜γ＝
｜
C. l
D.2
3狐｝’则A∩B的子集的个数是
（
）
｝9集合∧＝
｛卯
｜卯2 ˉ7卯＜0’则巨N＊
｝’则B＝;
｝
｛′｜:＝N｀叫中元蒙删傲、
｛
｜
A.4
B.3
C°2
D. l
‖
A. 1个
B.2个
2巳知集合A＝｛则｜γ＝√回ˉ＝歹｝’B＝｛聪｜则≥α｝,若A∩
｜
G3个
D4个
B＝A’则实数α的取值范围是
（
）
｛
l0~已知集合A＝｛0’2’4｝’B＝｛鳃｜3卿ˉ绷2≥0｝’则集合
A. （ˉ的’ˉ3）
B（ˉ由’ˉ3］
｝
A∩B的子集个数为
（
）
C. （ˉ的’0］
D. ［3’＋@）
｜
A.2
B.3
3.已知集合A＝｛ˉ2’ˉ1 ’l’2｝’集合B＝｛∧巨A｜γ＝脑
｜
C.4
D.8
在R上为增函数｝,则A∩B的子集个数为
（
）
｜
ll .设集合A＝｛＂｜卯2ˉ3鳃＋2≤0｝’B＝｛（勿’γ）｜卯匡A’
A. 1
B2
｛
γ巴A｝’则A∩B＝
（
）
C.3
D.4
｜
A.A
B.B
4.集合A＝｛0’2’α｝’B＝｛l ’α2—α｝’若A∩B只有一
｜
C.AOB
DZ
个元素’则实数α的值为
（
）
｜
l2已知集合A＝｛（卿’y）｜卯2＋γ2≤l6｝和集合B＝｛（则’
A. l
B. ˉl
俐
γ）｜则＋yˉ4≤0’勿≥0’γ≥0｝表示的平面区域分别
C.2
D. -2
｛
为Ol ’O2’若在区域Ol内任取一点M（则’γ）’则点
5若集合A＝｛y｜γ≥0｝’A∩B＝B’则集合B不可
｜
M落在区域Q的概率为
（
）
能是
（
）
｛
A六
B｜—六
＾b｜γ-沥.鳃≥0｝
＂｛Ⅱ卜-（÷「｀腮霍R｝
｜
‘÷
u喘
C. ｛γ｜γ＝lg卯’卯＞0｝
D.○
｜
二、填空题
6.已知集合A＝｛卯匡N＊｜卯2ˉ3卯＜0｝’则满足条件B巨
｜
｜
l3.已知集合A＝｛1’2’3｝’B＝｛l’m｝’若3ˉm巨A’则
A的集合B的个数为
（
）
｝
非零实数m的数值是
A.2
B3
｜
l4.若集合A＝｛卯｜8≤2ˉ嘶2＋2财＋α≤l2｝中恰有唯一的元
C.4
D8
｜
素,则实数α的值为
7.已知集合A＝｛l’ˉ1
｝’B＝｛l ’0’ˉl
｝’则集合C＝
｝
｜
15.集合A＝｛则｜γ＝√万ˉ＝T｝’B＝｛卯｜绷—α≥0｝’A∩B＝
｛αˉb｜α巨A,b匡B｝中元素的个数为
（
）
｜
A,则α的取值范围是
｜｜‘巳知集合卿～卜卜≡÷｝』…｜…＋
A.2
B3
C.4
D5
8巳知集合｛躯｜膊2＋α膊＝0｝
＝｛0’ l
｝’则实数α的
｝
lˉα＝0｝’B＝｛躯巨M｜鳃ˉ2ˉα＝0｝’若集合」OB
值为
（
）
｜
的子集的个数为8’则α的取值范围为
2
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3函数的性质（‖）
练习日期:
答题用时:
错题题号:
~
—｀单选题
1.已知α’b巨R’0＜α＜b＜1 ’则下列不等式错误的
是
（
）
A·α3＜b3
B.2α＜2b
C. log2α＜log3b
D. logα2＜logb2
2.已知函数／（则）满足／（2＋鳃）＝／（2ˉ卯）’且／（绷）在
（2’＋的）上单调递增’则
（
）
A.／（ˉ1）＜／（3）＜／（6）
B／（3）＜／（ˉl）＜／（6）
C.／（6）＜／（—1）＜／（3）
D.／（6）＜／（3）＜／（ˉ1）
3.已知定义在R上的函数／（卯）＝2｜厕＋m｜ˉ1（m为实
数）为偶函数’记α＝／（2j ）’6＝／（log＋2）’c＝／（m＋
1）’则α’b’c的大小关系为
（
）
A.α＜b＜C
Bα＜C＜6
C.c＜α＜6
D.b＜c＜α
4.已知函数／（卯）满足:O对任意绷l ’匆2巨（0’＋。。）且则l≠
9.已知奇函数／（厕）满足／（1ˉ卯）＝／（1＋则）’则（
）
A.函数∧卯）是以2为周期的周期函数
B.函数／（卯）是以4为周期的周期函数
C.函数／（厕＋1）是奇函数
D.函数∧卯＋2）是偶函数
10.已知奇函数／（卯）（则巨R）满足／（卯＋4）＝／（则ˉ2）
’
且当＂.［＿3’0）时’／（测）＝＋＋3爵in:腮’则
∧2018）＝
（
）
A＿士
B＿＋
c÷
n÷
｜工｝!｜三／…则蹦,
l1定义函数／（则）＝
g（腮）＝v（“）ˉ6在区间［l ’2厕］（＂巨N＊）内所有零
点的和为
（
）
A,川
B2几
c÷（2＂＿l）
D÷（2删—l）
12.已知／（卯）＝cos则sin2则’下列结论中错误的是（
）
A.j（则）既是偶函数又是周期函数
B.／（则）的最大值是l
c√（瓣）的图象关于点（哥,0）对称
D.／（卯）的图象关于直线则＝∏对称
二、填空题
＂2』都有d2」）ˉ∧獭21＞0;@对定义域内任意聪,都有
卯l—卯2
／（则）＝／（ˉ狐）’则符合上述条件的函数是
（
）
A.／（绷）＝卯2＋｜卿｜＋l
B.／（卯）＝上ˉ“
卯
Cˉj（卯）＝ln｜勿＋l
｜
D.／（卿）＝cos卯
5.已知函数／（卯）＝lg（卯＋√肋2＋1）＋2则＋sjn则乳／（卯l）＋
／（则2）＞0’则下列不等式中正确的是
（
）
A.卯l＞勿2
B.卯1＜卯2
C.卯l＋卯2＜0
D卯l＋卯2＞0
6.下列函数中’既是偶函数’又在（—由’0）上单调递增
的是
（
）
Ⅱ／（蜒）＝lo题击
A.／（卯）＝ˉ（卯ˉ1）2
C.／（则）＝2｜〃｜
D.∧卯）＝cos如
7.下列函数中’既是偶函数’又在（ˉ的’0）上单调递增
的是
（
）
A.∧卯）＝绷2
B／（卯）＝2｜鳃｜
o∧鞭）-l侧巍古
u∧趣）- ｜击｜
8.已知函数／（卯）＝些＋2018tan卯＋狐2（m＞0’′′Z≠
m卿＋1
1）’若∧1）＝3’则∧ˉ1）等于
（
）
A. -3
B-1
C.3
D0
鞭—宁）
（
l3已知函数／（卿）＝刀芒T＋co,
则鞠赤）的值为
l4巳知定义在R上的函数Ⅱ（腮）满足′（…）-忘当
则巨［0’2）时／（绷）＝卯＋e愈’则∧20l8）＝
若／（卯）为偶函数’当则≥0时’／（则）＝卯（1ˉ卯）’则当
则＜0时′（则）＝
;方程［牙（卯）ˉ1］［／（卯）＋
15
5］＝0的实根个数为
16.已知函数／（卯）是定义在R上的奇函数’且当则巨
（ˉ鹤,—÷）时∧鞭）二鹏’—2撼:,则曲线Ⅱ二／（躯）在
点（M（l））处的切线方程为
.3
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4函数的性质（2）
错题题号:
答题用时;
练习日期:
8已知／（鳃）≡狐3＋3则’α＝20~ 3’b＝0.32’ c二
log20. 3’则
（
）
A.／（α）＜／（b）＜／（c）
B.／（b）＜／（c）＜／（α）
C.／（c）＜∧b）＜／（α）
D／（b）＜／（α）＜／（c）
-、单选题
1已知0＜α＜b＜1 ’则
（
）
A. （lˉα）丁＞（lˉα）b
B（lˉα）b＞（lˉα）2
C. （1＋α）α＞（l＋b）b
D. （lˉα）α＞（1ˉb）b
2.已知α≡0.3o3’b＝l.2o3’c＝log120.3’则α’b’c的
大小关系为
（
）
A.c＜α＜b
B.c＜b＜α
C.α＜b＜c
D.α＜c＜b
］
—
∑
（
＜
勿
）
］
—
∑
’则下列关系式中
9.已知实数财’γ满足
恒成立的是
（
）
A. tan卯＞tanγ
B. ln（厕2＋2）＞ln（γ2＋2）
C.上＞上
卯
y
D卯3＞γ3
l0.设3〃≡2’γ＝ln2’z≡5ˉ了’则
（
）
A.勿＜γ＜z
B.γ＜z＜卯
C.z＜卯＜y
D.z＜γ＜卯
U巳知α≡（÷）』,』≡｛。g』3,c二｜o斟7,则α,b,c的大′｀
关系为
（
）
A.α＜b＜c
Bb＜α＜C
C.c＜α＜b
D。α＜c＜b
l2.已知3α＝2’4b＝3’2。＝3’则α’b’c的大小关
系为
（
）
A.α＜b＜c
B.b＜c＜α
（÷）‘
~~
忽
’
』
α
］
一
劝
吕
…
○
］
~~
γ
′
●
夕
3.设α＞b＞0’α＋6＝l’且绷＝
log＋α’则则’γ’z的大小关系是
（
）
A·y＜Z＜卯
B。z＜γ＜卯
C.卯＜y＜z
D.γ＜卯＜z
2
4巳知α＝（÷「,b＝（＋「,c≡ln3则忽,b,‘的大小
关系为
（
）
A.α＞b＞c
Bα＞c＞b
C.c＞α＞b
D.c＞b＞α
5.若2加＞2＂＞1’则
（
）
A.上＞上
B. log÷m＞log÷′l
∏l
∏
C. ln（mˉ＂）＞0
D∏mˉ厕＞1
6已知α＝4叫,b＝（告）—M,簿＝—l°跨4粤则α’b’c的
大小关系是
（
）
A.α＜b＜c
B.c＜α＜b
C.c＜b＜α
D.b＜c＜α
7.设／（则）是定义在R上的偶函数’且当则≥0时’
∧列ˉ｛I二i!』产‖
若对任意的则巨［m’′n＋
1］’不等式／（lˉ狐）≤／（卿＋m）恒成立’则实数′″的
最大值是
（
）
A＿l
B—＋
oˉ当
D÷
I）.C＜α＜b
C.b＜α＜c
二｀填空题
l3巳知“＝（÷）ˉ』,0＝
数从大到小的顺序是
个
~~
这
则
’
∩
〕
—
户
〕
∏
］
~~
℃
’
】
一
∑
）
斗
—
〕
（
（矛ˉ躯）
l4.已知函数／（卯）＝αsin卯ˉbcos匆’若／
｀
≡
）
卯
＋
∏
—
〃
斗
（
／
’则函数γ＝3α绷＋b＋l的图象恒过定点
15.已知α＝0.9o3’b＝12o3’c＝logl20.3’则α’b’c
的大小关系为
.
2
｜6巳知闽＝8÷,b＝（÷）了则lo题（铡b）＝
4·
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5对数与对数函数
练习日期:
答题用时:
错题题号:
~
-、单选题
1已知函数／（则）＝5ˉlog3匆’卿巴（3’27］’则／（则）的值
域是
（
）
A. （2’4］
B. ［2’4）
C. ［ˉ4’4）
D. （6,9］
2.已知函数／（匆）＝exˉα＋eˉz＋α’若3α＝log3b＝c’
则
（
）
A.／（α）＜／（b）＜／（c）
B／（b）＜∧c）＜／（α）
C.／（α）＜／（c）＜／（b）
D／（c）＜／（b）＜／（α）
3.已知正数α’b满足α＋b＝2’则√而＋√Jˉ干ˉT的最大
值为
（
）
A.何
B√回＋1
C.√6
D√了＋1
4.设函数／（则）是定义在R上的奇函数’且当绷＞0时’
∧瓣）≡｜n腮,记侧＝（（昔）海）,b＝＿（l°缅（＋））,‘≡
／（3）’则α’6’c的大小关系为
（
）
A,C＞b＞α
B.b＞C＞α
C.b＞α＞C
D。α＞b＞C
5.已知函数y＝∧则＋1）的图象关于直线狐＝＿l对称’
且当卯≤0时’／（卯）＝ˉ匆3＋ln（lˉ加）’设α＝
／（log36）’b＝／（log48）’c＝／（log510）’则α’b’c的大
小关系为
（
）
A.α＞6＞c
B.c＞b＞α
C.6＞c＞α
D.6＞α＞c
6已知定义在R上的奇函数∧则）在区间［ˉ2’ˉ1］上是
减函数,且满足／（雕—2）＝ˉ∧撼）令α＝竿,‖≡罕,
‘＝罕则∧“）』∧b）｀∧峨）的大小关系为
（
）
A.／（6）＞j（α）＞∧c）
B／（b）＞∧c）＞／（α）
C.／（α）＞／（b）＞／（c）
D／（α）＞／（c）＞／（b）
7函数γ＝h蹬（愚m2…牙—c…!n牙）的单调递
减区间是
（
）
A（肺＋;’肺＋宁）,腮匡z
B（肺＋;,航＋芋｜,k匡z
c｜肺—;,肺＋宁）,腐巨z
∏｜肺＋宁,kw＋宁）,胀屋z
8.函数／（勿）＝ln（-则2ˉ卯＋2）的单调递减区间为（
）
A. （ˉ切’ˉ2）□（l ’＋的）
B（ˉ2,—÷）
c（ˉ÷’l）
D. （l’＋“）
9.已知奇函数／（卯）的定义域为R’且对任意蛔巨R’
／（2ˉ则）＝／（卯）’若当卯匡［0’1］时’／（卯）＝log2（〃＋
l）’贝叭l＋√回）＝
（
）
Aˉ÷
B÷
C. -l
D1
10.奇函数／（卯）满足／（卯＋2）＝ˉ／（卯）’当卯匡（0’1）
时,∧瓣）…÷,贝Ml°蹿54）＝
（
）
Aˉ2
aˉ昔
c÷
n2
l1已知偶函数／（绷）在（0’＋由）上单调递增’则
（
）
A.∧2e）＞∧ˉ3e）
B.／（e2）＞／（ˉe3）
O／（log05√可）＞∧log√面0.5）
D／（（√可）α5）＞∧0.5√可）
12.已知α＝20l820l8’ b
＝
log20l7｀／页∏丽’ c
＝
log20l8√20l7’则α’b’c的大小关系为
（
）
A。α＞b＞c
B.α＞c＞b
C.b＞α＞c
D.c＞b＞α
二、填空题
13.考虑函数γ＝e“与函数γ＝ln卯的图象关系’计算:
｜e］n躯d腮＝
.1
l4.计算:log832ˉ7log73ˉ~
15.定义在R上的函数／（卯）＝2腮ˉ1的反函数为γ＝
／ˉ1（鳃）’则／ˉl（3）＝
.
16.已知卯＞0’γ＞0’若2〃
. 8γ≡16’则2ˉl＋log2躯＋
log927y＝
■
5
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6幂函数
错题题号:
答题用时:
练习日期
1.幂函数γ＝／（卯）的图象过点（4’2）’则幂函数γ＝
｛
A.m＝ˉ2
／（则）的图象是
（
）
｝
B加＝ˉl
」′｜｀
｜
C.m＝—2或′n＝ˉ1
1义≡～‖≥）＝”＝｝
‖
D. -3＜m＜1
｜O
X
｜o
Ⅱ
｜o
X
o
x
｜
9.已知幂函数／（卯）＝（厕2＋2″-2）卯＂2ˉ3＂（n巨Z）的图
A
B
C
D
｜
象关于γ轴对称’且在（0’＋由）上是减函数’则n的
2在同一坐标系内’函数y＝憋°（α≠0）和y＝α蕊＋上的
｜
值为
（
）
α
｜
图象可能是
（
）
｜
A—3
Bl
｝
C.2
D. 1或2
乎亏卜烹
｝｜＂仙………州』Ⅷ
｜′｜｀ˉ
＝｜＼ˉ
0′∑
＼°
∏
｜＼
｝
数g（躯）-（涎ˉ2）／（獭）在区间｜÷’l｜上的最小
A
B
C
D
3~下列函数既是偶函数又是幂函数的是
（
）
｜
｜
值是
（
）
2
A.y＝卯
By＝卯3
｜
A.
一l
B. -2
C.γ＝卯2
Dγ＝｜％｜
｜
C. -3
D. -4
4幂函数γ＝／（卯）的图象经过点（2’8）’则满足／（绷）＝
｜l1幂函数γ＝绷α中的α的取值集合C是
27的卯为
（
）
｝
｛ˉl,0’昔’l,2,3｝的子集’当幂函数的值域与定义
M
E÷
域相同时’集合C为
（
）
c27
n方
A｛＿l,0,÷｝
B｛÷,｜,2｝
5巳知幂函数′（腮）-‖咖.…过点（÷,夸）侧｜
＂｛＿!｀÷,｜,3｝
u｛十,｜’2｀3｝
（
）
｜
l2函数j（腮）＝（咖』ˉ＂ˉl）咖″—″ˉ｜是幂函数’对
k＋α＝
｝
任意的绷l ’匆2匡（0,
＋。。
）,且匆l≠″2,满足
A÷
B』
｜
／（虹l）ˉ／（施21＞0若α’b匡R且α＋b＞0’αb＜0’贝｜
卯1-卯2
／（α）＋／（b）的值
（
）
A.恒大于0
B.恒小于0
C.等于0
D.无法判断
13.若幂函数／（卯）过点（2’8）’则满足不等式／（αˉ3）＞·
］
—
〗
■
℃
D2
6.若α＜0’则0.5α’5α’5ˉα的大小关系是
（
）
A.5-α＜5α＜0.5α
B5α＜0.5α＜5ˉα
C.05α＜5ˉα＜5α
D5α＜5ˉα＜05α
7.若幂函数γ＝（m2ˉ3m＋3）.卯厕2ˉmˉ2的图象不过
原点’则m的取值是
（
）
A. ˉl≤m≤2
B. 1或2
C.2
D. l
8.若幂函数γ＝（m2＋3m＋3）则m2＋2mˉ3的图象不过原
点’且关于原点对称’则
（
）
／（lˉα）的实数α的取值范围是
l4若′（庶）-鞭堤幂函数,且满喘十-3则′（＋）—
l5.若卯＞l ’勿αˉl ＜l ’则α的取值范围是
l6.已知幂函数／（卿）＝匆α’当狐＞l时,恒有／（绷）＜卿’贝｜
α的取值范围是
.
6.
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7函数的图象
练习日期:
答题用时
错题题号
＿｀单选题
l巳贺M则）＝÷狐—愚i＂躯测／（派）的图象是
（
）
~~y↑o~
~’↑o~~
司经÷
斗▲f
A
B
十卫卜≤
5.已知函数／（匆）＝e“-（加＋1）2（e为自然对数的底）
’
则／（则）的大致图象是
（
）
A
B
山
斗
＝
汇
C
D
2函数′（颜）-蹿噬（共中.是自然对数
的大致图象为
｜｜》
ˉ
↑y
／呵＼一／
O
X
A
B
D
。卯（其中e是自然对数的底数）
／
｜
C
D
）
｜6已知函数∧腮）ˉ爵m即聊）（°＞0,0＜……）
｀
｜
在［—3’3］的大致图象如图所示’则旦可取
（
）
α
（
＼｜』
）′
ˉ／
≡可≡≡l
｜Ol～-一3
x
＝
限了
／‖『
C
3函数′（蹲）三｜n（瞄尹）的图象叮能是
（
J↑
｜
铲
≥
O
A
B
〕｛
O
一
《
A哥
B而
｝
C.2∏
D.4∏
）
｜γ函数∧鳃）＝（躯2ˉ‖「°…的部分图象大致为（
）
A
B
l↓）
｜］
州卜
C
D
4.函数／（匆）＝“—h;躯—｛的图象大致为
（
斗懦
‖｀
‖｜
木产斋
γ小
A
~｜~~~~~
B
‖｜＼
ˉ｜
｜
｜＼｜／
J
C
D
）
｜
8.已知某函数图象如图所示’则图象所对应的函数可
｜
能是
（
）
｜
］〉
卯
A.γ＝F
C.γ＝ex-｜卯｜
Bγ＝2勿-2
D.V＝2｜z｜-卯2
O｜
｜
i
C
o｜
｜l＼i
D
7
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二｀填空题
13.若直角坐标平面内两点P’0满足条件:@P’0两点
分别在函数γ＝／（卯）与γ＝g（则）的图象上;@P’ ｜?
关于γ轴对称’则称（P’0）是函数y＝／（嘶）与γ＝
g（卿）的—个“伙伴点组”（点组（P’0）与（0’P）看
作同＿个“伙伴点组’’）.若函数／（加）
＝
9.函数γ＝Sin卯＋ln｜则｜在区间［ˉ3’3］的图象大致为
（
）
B
A
ln卯’（则＞0）’
｜—′…＂卢‘（鳃｜～｜…｛→咱耐狄
伴点组”’则实数α的取值范围是
C
D
｜0函数／（缠）二箕（铝）的图象大致为
（
）
A
B
l4已知函数／（瓣）＝÷李六余走,川／（撼ˉl）二—L
卯-l
＋÷＋六是奇函数.叮得函数′（鳃）的图象关于点
（ˉ1’0）对称’类比这一结论’可得函数g（匆）＝卫ˉ±2Ⅷ＝
卯＋l
雨＋…十黑的图象关干点
冗＋3
对称
C
D
l1.函数y＝sin匆（1＋cos2则）在区间［—2’2］内的图象
大致为
（
）
……｝ˉ｛甜（司｜…3
若不等式
∧厕）≤5ˉ′n卯恒成立’则实数m的取值范围是
γ｜
一1卜
16.定义域和值域均为［ˉα’α］（常数α＞0）的函数γ二
／（卯）和γ＝g（卯）的图象如图所示’给出下列四个
命题:
@方程／［g（绷）］＝0有且仅有三个解;
@方程g［／（卿）］＝0有且仅有三个解;
◎方程／［／（卯）］＝0有且仅有九个解;
@方程g［g（〃）］＝0有且仅有—个解
其中正确的结论是
（填写所有正确结论哎
B
A
γ0
△
旦
-l卜
C
D
l2函数′（露）-贮红?2的部分图象可能是
（
）
Ⅳ
序号）
］／｜
p儿
√
α
｜y≡／（x）
｜
厂＼O
吕
A
A］
一｜｜／＼
一
耶
（）
-α‖
ˉˉˉ二口｜｜ˉ＿
D
C
8
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8抽象函数
练习日期
答题用时:
错题题号:
-、单选题
｜
A（＿函,市）u（l0,＋蹿）B（市,l0）
l.已知／（卿）是R上的偶函数’且在［0’＋的）上单调递
｜
Ⅲ江
C. （ˉ由’ˉ3）（ˉ」（3’＋的）
｜
C2
D4
D. （-3’0）（ˉ」（0’3）
｜
｜｜巳知函数γ＝／（聪）＋x2是奇函数,且／（｜）＝l,
4定义在R上的连续函数／（则）满足／（绷）＋／（ˉ卯）＝
｜
｜
g（匆）≡／（卿）ˉ卯’则g（—l）≡
（
）
卿2’且卯＜0时’′（鳃）＜鳃恒成立’则不等式／（卵）ˉ
｜
A.3
B.2
∧｜ˉ鞭）≥鹏ˉ当的解集为
（
）
｜
αˉ3
uˉ2
｜
l2.定义在R上的连续函数／（卯）’其导函数／（卯）为
A（—蹿｀÷｜
B（ˉ当,÷）
｝
奇函数’且／（2）＝l ,′（腮）≥0;当＂＞0时,
｜
√（卯）＋／（狐）＜0恒成立’则满足不等式／（勿ˉ
c｜÷,＋函）
u（＿缉,0）
｜
2）≤l的解集为
（
）
5.奇函数／（鳃）在（ˉ。。’＋的）单调递增’若／（l）＝1
’
｝
A［ˉ2’2］
则满足—l≤／（则ˉ2）≤l的则的取值范围是（
）
｜
B［0′4］
｜
C. （ˉ的’ˉ2］□［2’＋鲍）
A. ［ˉ2’2］
B［ˉ1’1］
C. ［0’4］
D［l’3］
｜
D（ˉ由’0］O［4’＋的）
6.偶函数∧则）在［0’＋的）单调递增’若／（ˉ2）＝1’则
｜
二｀填空题
／（卿ˉ2）≤1的“的取值范围是
（
）
｝
l3□知函数／（则）是定义在（ˉ。。’0）O（0’＋的）上的
A. ［0’2］
B. ［ˉ2’2］
｜
奇函数’在（0’＋的）上单调递减’且／（4）＝0’若
C. ［0’4］
D［ˉ4’4］
｜
∧绷—3）≤0’则卿的取值范围为
7巳知定义在R上的偶函数／（绷）（函数／（绷）的导数为
｝
l4已知函数γ＝／（则）是定义在R上的偶函数’且在
′（甄）瞒足′（剿）≡ˉ｝（叶:）,擂γ（20｜8）～1.若
｛
册磁盖增函数若∧叶］）≡′（剿）则实数·
′（鳃）√（熟）≥0则关丁露的小等式′（鳃ˉ2）÷的
｜Ⅲ昆恕冕｀黑嚣p瓣就｛聪∏:
解为
（
）
｜
｜／（卯l）＋／（卯2）｜成立’等差数列｛α厕｝的前″项和为
A. （ˉ的’3）
B. （3’＋的）
｛
S则√（卿）同时满足下列两条件:／（α2ˉ1）＝l’／（α9-
C· （ˉ的’0）
D（0’＋“）
｜
1）＝ˉl’则Sl0的值为
8.已知∧卯）＝（卿2＋1）（1＋｜卯｜）’则不等式／（lg则）＜
｜
16.设／（卿）为定义在R上的奇函数’当卯≥0时’j（卯）＝
／（1）的解集为
（
）
｜
2厕＋m（m为常数）’则／（-1）＝
。9。
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9函数的零点
错题题号:
答题用时
练习日期:
／（b）≡八旦1′（卿2）＝／（b）ˉdα）’则称／（则）为区司
b-α
b＿α
［α,b］上的.｀双中值函数』巳知酮数g（腿）＝＋狐3ˉ
普鳃2是［0’2］上的』.双中值函数, ,则实数厕的取值
范围是
（
）
A｜÷’:｜
B（÷,:）
c（÷,＋唾）
n（—…国）
9.若函数／（＂）＝2e鳃ln（则＋m）＋e篮—2存在正的零点’
则实数m的取值范围为
（
）
A. （e’＋“）
B. （拒’＋。。）
C. （—。。’e）
D（—o。’√百）
10.已知γ＝／（加）为R上的连续可导函数’当厕≠（）日｀｜’
／（卯）＋d鱼1＞0’则函数g（卯）＝／（厕）＋上的零点个
卯
卯
数为
（
）
A.0
B. l
C.2
D.0或2
ll.已知函数／（则）’若在其定义域内存在实数则满已
／（ˉ卯）＝ˉ／（绷）’则称函数／（则）为“局部奇函数,
’
若函数∧卯）＝4躯ˉm.2则ˉ3是定义在R上的“′励
部奇函数”’则实数m的取值范围是
（
）
A. ［ˉ何’何）
B. ［ˉ2’＋的）
C. （—由’2徊］
D. ［ˉ2何’徊］
l2.／（卯）＝则2＋b则＋c’若方程／（卯）＝侧无实根’则方堤
／（／（卯））＝则
（
）
A.有四个相异实根
B.有两个相异实根
C.有一个实根
D.无实数根
二、填空题
13.函数y＝lg卯ˉl的零点是
-、单选题
勺
l.已知函数／（卯）＝二—log3卯’在下列区间中包含／（卯）
卯
零点的是
（
）
A. （0’1）
B. （l’2）
C. （2’3）
D. （3’4）
2.已知α＞0’α≠l’／（卯）＝卯2ˉα膨’当则巨（ˉl’l）时’均
有／（狐）＜÷,则实数α的取值范围是
（
）
△
A（0,÷｜O［2’…）
B（0,÷｜O（l,2］
c｜＋,l）O（l’2］
D｜÷,l）u［2,＋唾）
乳已知′（鳃）-｛蠢‖,若［′（蹦）］:二″恰盲两个根
卯1 ’卯2’则卯l＋卯2的取值范围是
（
）
A. （ˉ1’＋的）
B（ˉ1’2ln2-2）
C. （ˉ的’2ln2ˉ2］
D. （ˉ由’2—2ln2］
4已知函数／（腮）满足／（则＋1）＝／（卿ˉ1）’且／（卿）是偶
函数’当腮匡［ˉ1’0］时’∧匆）＝卯2’若在区间［ˉ1’3］
内’函数g（卯）＝∧匆）ˉlogα（师＋2）有4个零点’则实
数α的取值范围是
（
）
A. （l’5）
B. （1’5］
C. （5’＋的）
D. ［5’＋的）
÷叶1’露≤］则方程／（腮）二k腮恰
｛｜…三』
5.已知函数／（卿）＝
有两个不同的实根时’实数A的取值范围是（
）
A（0,÷）
B（0’÷）
C｜÷,÷）
D｜÷,÷｜
6.已知函数／（卯）
＝
｜e”ˉ卯ˉ5
｜’且函数g（卿）＝
m［／（卯）］2＋2′v（则）＋m-25有四个不同的零点’则
实数矾的取值范围为
（
）
A. l＜m＜25
Bm＞25或m＜1
C° l≤m≤25
D0＜m＜4
÷躯十2.…
｜…….缴…Ⅷ
7.已知函数／（卯）＝
ˉα匆恰有三个不同的零点’则α的取值范围是（
）
A（÷,3＿2何）
E（÷’÷）
C. （ˉ由’3ˉ2徊）
D. （3ˉ2√面’＋的）
8.定义:如果函数／（″）的导函数为／（则）’在区间［α’b］
上存在鳃1 ’“2（α＜卯l ＜卯2＜6）’使得／v（卯l
）
＝
4卯-卯2’卯≥0,
｛÷蝗｀……
l4.已知函数／（卯）＝
｜／（卯）
｜ˉ3卯＋b有三个零点,则实数b的取值范闹
为
l5巳知函数′（撼）-｛驾L堑!皇0,…曾（雕）≡
／（厕）＋3″l有3个零点’则实数″』的取值范围是
l6巳知网徽′（瓣）-｛;溺归｀0…!若∧鳃）在
区间［0’＋的）上有且只有2个零点’则实数″l的取
值范围是
l0°
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‖0白线与宣线的位置关系
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-｀单选题
1.若α’β是两个相交平面’点A不在α内’也不在β
内’则过点A且与α和β都平行的直线
（
）
A.只有1条
B只有2条
C.只有4条
D.有无数条
2.在棱长为4的正方体ABCDˉAlBlClDl中’″和Ⅳ分
别为AIBl和BBl的中点’那么直线AM和C／＼／所成
的角的余弦值是
（
）
｀粤
＂乎〔÷
Ⅱ÷
3.在正方体ABCDˉAlB1CIDl中’与AD成异面直线的
棱共有
（
）
A.4条
B.5条
C.6条
D.7条
4.已知两异面直线α’b所成的角为80°’过空间—点P
作直线’使得／与α’b的夹角均为50。’那么这样的直
线有
（
）
A. 1条
B.2条
C.3条
D.4条
5.已知α’b是两条异面直线’c／／／α’那么c与b的位置
关系
（
）
A.＿定是异面
B.＿定是相交
C.不可能平行
D不可能相交
6.已知α’b是异面直线’给出下列结论:
@—定存在平面α’使直线b上平面α’直线α／／／平面
α;@＿定存在平面α’使直线b／／／平面α’直线α／／／平
面α;o—定存在无数个平面α’使直线6与平面α
交于＿个定点’且直线α／／／平面α.
则所有正确结论的序号为
（
）
A.@@
B.@
C.@O
D.◎
7.若直线／l和′2是异面直线’／l在平面α内’／2在平
面β内’／是平面α与平面β的交线’则下列结论正
确的是
（
）
A. ／至少与／1 ’／2中的＿条相交
B. ／与／｜’′2都不相交
O／与／1 ’／2都相交
D. ／至多与′l ’′2中的—条相交
8.已知A’B’C’D’E是空间五个不同的点’若点E在直
线BC上’则“AC与BD是异面直线’’是“AD与BE是
异面直线’’的
（
）
A.充分不必要条件
B.充分必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
9.如图是正四面体的平面展开图’G’H,M’Ⅳ分别是
DE’BE’EF’EC的中点’在这个正四面体中:@DE与
Mγ平行;@BD与Mγ为异面直线;oGH与Mγ成
60。角;@DE与M＼／垂直以上四个命题中’正确命题
的个数是
（
）
A
BH
EⅣC
A. l
B2
C,3
D4
l0.在长方体ABCDˉAlBlClD1中’AB＝BC＝1 ’ACl与
BB1所成的角为30。’则AA1＝
（
）
A.徊
B.3
C·√歹
D√6
ll.已知空间三条直线′’″l’″’若′与″l异面’且／与＂
异面’则
（
）
A.m与＂异面
B.m与″相交
C.矾与厕平行
D.m与几异面｀相交、平行均有可能
l2.在正2006边形中’与所有边均不平行的对角线的
条数为
（
）
A.2006
B10032
C. l0032-1003
D. l0032-1002
二、填空题
l3.—个正方体纸盒展开后如图
所示’在原正方体纸盒中有如
下结论:
………↑…,～
｛
@AB上EF;
@AB与C″所成的角为60。
／′
［
;
◎EF与M＼／是异面直线;
@Mγ／／／CD.
Z
以上四个命题中’正确命题的序号是
l4.从正方体的8个顶点中任取2个顶点连成—条直
线’在所有的直线中能构成异面直线的有
对（用数字作答）
l5.如图所示’在正方体ABCDˉ
A1B1ClDl中’M’Ⅳ分别为棱〃｜
ClDl ’ClC的中点’有以下四个
结论:
@直线AM与CCl是相交直线;
A
@直线A″与BⅣ是平行直线;
◎直线BⅣ与』′Bl是异面直线;
@直线MV与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为
. （注:
其中正确的结论为
. （注:
D｜
M
C
／声7了刃
日
′
矿
矿
′
／
′
○
＿
‖
‖
‖
〗
】
‖
‖
〗
】
旷
′
″
″
〃
∧
／
C
B
把你认为正确
的结论的序号都填上）
l6.过正四面体ABCD的中心且与—组对棱AB和CD
所在直线都成60。角的直线有
条
1l
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‖‖
盲线与平面的位置关系
错题题号:
答题用时:
练习日期:
9.已知m’厕表示两条不同的直线’α’β表示两个不同
的平面’且mCα’〃Cβ’则下列命题正确的是（
）
A.若沉上β’则α上β
B.若α／／／β’则m／／／Ⅶ
C.若′n／／／β’则α／／／β
D.若α上β’则m上n
l0.已知α’b表示两条不同的直线,α’β表示两个不｜司
的平面’下列说法错误的是
（
）
A.若α上α’b上β’α／／／β’则α／／／b
B若α上α’b上β’α上b’则α上β
C若α上α’α上b’α／／／β’则b／／／β
D.若α∩β＝α’α／′b’则b／／／α或b／／／β
l1.给出下列四个命题:
@如果平面α外—条直线α与平面α内一条直线b
平行’那么α／／／α;@过空间—定点有且只有—条直
线与已知平面垂直;◎如果＿条直线垂直于—个平
面内的无数条直线’那么这条直线与这个平面驻
直;@若两个相交平面都垂直于第三个平面’则.｜x
两个平面的交线垂直于第三个平面
其中真命题的个数为
A. l
B2
C.3
D.4
12.已知不同的直线m’〃,不同的平面α’β,则下列命题
正确的是
（
）
@若′′M／α’＂／／／α’则″』／／／Ⅶ;@若′＂／／／α’m上β’
l‖
α上β;o若′′l上α’m上n’则′l／／／α;@若m上α’n上β’
α上β’则m上＂.
A.@@B@◎
C.O@
D.O@
二、填空题
13.已知直线m’′’平面α’β’且m上α’′Cβ,给出下列命
题:
o若α／／／β’则m上′;@若α上β’则m／／／／;o若m上′’
则α／′β;@若m／／／／’则α上β
其中正确的命题的序号是
（注:把你认为正确的命题的序号都填上）.
l4已知α’β是两个不同的平面’／’m是两条不同的ˉ堑
线’有如下四个命题:
@若／上α’′上β’则α／／／β;@若′上α’α上β’则／／／／β;
o若／／／／α’／上β’则α上β;@若／／／／α’α上β’则′上β
其中真命题为
（填所有真命题的序号）.
-、单选题
L已知互相垂直的平面α’β交于直线′’若直线′n’n满
足m／／／α’则上β’则
（
）
A.m／／／／
Bm／／／＂
C.″上／
D几」ˉm
2.下列命题正确的是
（
）
o三点确定＿个平面;@两两相交且不共点的三条
直线确定＿个平面;◎如果两个平面垂直’那么其中
＿个平面内的直线—定垂直于另一个平面;@如果
两个平面平行’那么其中—个平面内的直线＿定平
行于另＿个平面.
A.@O
B.O@
C.@@
D@O
3.已知m和″是两条不同的直线’α和β是两个不重
合的平面,那么下面给出的条件中＿定能推出m上β
的是
（
）
A.α上β且m上α
B.α上β且m／／／α
C′n上″且厕／／／β
Dm／／／n且Ⅶ上β
4若m’＂是两条不同的直线’α’β是两个不同的平面’
则下列命题正确的是
（
）
A.若m上α’n／／／β’α／／／β’则m上＂
B若加／／／α’″上β’α上β’则m上〃
C.若m／／／α,n／／／β’α／／／β’则m／／／＂
D若m上α’Ⅶ上β’α上β’则m／／／Ⅶ
5.已知直线α’b’平面α’β’γ’下列命题正确的是（
）
A.若α上γ’β上γ’α∩β＝α’则α上γ
B.若α∩β＝α’α∩γ＝b’β∩γ＝c’则α／／／b／／／c
C.若α∩β＝α’b／／／α,则b／／／α
D.若α上β’α∩β＝α’b／／／α’则b／／／α
6.已知α’β是两个不同的平面’′是＿条直线’给出下
列说法:
@若／上α’α上β’则′／／／β;@若′上α’α／／／β’则／／／／β;
◎若′上α’α／／／β’则』上β;@若／／／／α’α上β’则′上β
其中说法正确的个数为
（
）
A.3
B2
C. l
D.0
7.若m’n是两条不同的直线’ α’β’γ是三个不同的
平面’
@m／／／′!’m上α＝n上α;@α／／／β’′nCα’′lCβ＝m／／／〃;
oα／／／β’m／／／＂’m上α＝＂上β;@若α∩γ＝m’β∩γ＝
厕’′n／／／n’则α／／／β
则以上说法中正确的个数有
（
）
A. 1
B.2
C.3
D4
l5.已知α’β是两个不同的平面’″』’n是两条不同的直
线’给出下列命题:
@若″l上α’″』Cβ’则α上β;@若mCα’nCα’″!／′
β’厕／／／β’则α／／／β;o若″!Cα’＂αα’且m’″是异面
直线’则′l与α相交;@若α∩β＝m’Ⅶ／／／加’且′lα
α’nαβ’则＂／／／α且＂／／／β·
其中正确的命题是
（只填序号）.
8.如图’平面α与平面β相交于BC’
ABcα’CDcβ’点A筐BC’点D匡
BC’则下列叙述错误的是
（
）
A.直线AD与BC是异面直线
B过AD只能作—个平面与BC平行
C.过AD只能作＿个平面与BC垂直
16.正四面体ABCD的棱长为6’其中ABc平面α’M’V
分别是线段AD’BC的中点’以AB为轴旋转正四面
体’且正四面体始终在平面α的同侧’则线段MV
在平面α上的射影长的取值范围是
D.过点D只能作唯—平面与BC垂直’但过D可作
无数个平面与BC平行
l2
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‖2平面与平面的位置关系
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-｀单选题
1设α’6为两条不同的直线’α’β为两个不同的平面
下列命题中’正确的是
（
）
A若α／／／β’b／／／β’则α／／／b
B若α／／／α’α上6’b上β’则α上β
C.若α上α’α／／／β’则α上β
D.若α上α’α／（／6’6／／／β’则α／／／β
2.设／’′′l’＂表示三条直线’α’β’γ表示三个平面’则下
列命题中不成立的是
（
）
A.若mCα’＂αα’m／／／＂’则n／／／α
B若α上γ’α／／／β’则β上γ
C.若mCβ’＂是／在β内的射影’若m上／’则m上＂
D若α上β’α∩β＝m’／上m’则／上β
3.已知m’n是不重合的直线’α’β’γ是不重合的平面’
则有下列命题:
o若α上γ’β上γ’则α／／／β
@若mCα’″Cα’m／／／β’″／／／β’则α／／／β
◎若α／／／β’γ／／／β’则γ／／／α.
@若α上β’m上β’则m／／／α.
◎若矾上α’n上α’则m／／／几
其中真命题的个数是
（
）
A.0个
B. 1个
C.2个
D3个
4.空间中’设m’″表示不同的直线’α’β’γ表示不同的
平面’则下列命题正确的是
（
）
A.若α上γ’β上γ’则α／／／β
B.若m上α’m上β’则α／／／β
C.若m上β’α上β’则m／／／α
D若＂上m’n上α’则m／（／α
5.设m’″是两条不同的直线’α’β是两个不同的平
面’则
（
）
A.若m上n’Ⅲ上β’β上α’则矾上α
B若mCα’″Cβ’β上α’则m上〃
C. “直线m与平面α内的无数条直线垂直”是“直线
m与平面α垂直”的充分不必要条件
D若m上厕’＂上β’m上α’则α上β
6.关于直线′’m及平面α’β’下列命题中正确的是
（
）
A.若／上α’／／／／β’则α上β
B若／／／／α’′n／／／α’则／／／／′′l
C.若／／／／α’′上m’则m上α
D若／／／／α’α∩β＝′n’则／／／／m
7.已知直线／上平面α’直线mC平面β’给出下列
命题:
@α／／／β＝′上m;
@α上β＝／／／／m;
o／／／／m＝α上β;
@／上m＝α／／／β
其中正确命题的序号是
（
）
A.@@◎
B.@o@
C.@O
D.@@
8.设′n’n是空间两条直线’α’β是空间两个平面’则下
列命题中不正确的是
（
）
A.当n上α时’“n上β”是“α／／／β’’的充要条件
B.当mCα时’“m上β”是“α上β”的充分不必要条件
C.当mCα时’“＂／／／α”是“m／／／n”的必要不充分条件
D当mCα时’“n上α”是“m上＂”的充分不必要条件
9.如图’平面α上平面β’α∩β＝直线／’A’C是α内不
同的两点’B’D是β内不同的两点’且A’B’C’D匿直
线′’″’Ⅳ分别是线段AB’CD的中点.下列判断正确
的是
（
）
α
C
／
到＼M
／
》‘
A.当｜CD｜＝2｜AB｜时’″’Ⅳ两点不可能重合
BM’Ⅳ两点可能重合’但此时直线AC与／不可能
相交
C.当AB与CD相交’直线AC平行于／时’直线BD
可以与／相交
D当AB’CD是异面直线时’直线M＼／可能与／平行
13
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l0.已知α’β’γ是三个不重合的平面’′是直线’给出下
列命题:
o若α上β’β上γ’则α上γ;
@若／上两点到α的距离相等’则／／／／α;
o若／上α’′／／／β’则α上β;
@若α／／／β’／αβ’且′／（／α’则／／／／β.
其中正确的命题是
（
）
A.@@
B.@◎
C.@@
D.O@
l1已知α’β是两个不重合的平面’直线m上α’直线
几上β’则‘‘α’β相交”是“直线m’网异面’的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
l2.下列命题正确的是
（
）
A.经过平面外—点有且只有—平面与已知平面
垂直
B.经过平面外＿点有且只有＿条直线与已知平面
平行
C.经过平面外—点有且只有—条直线与已知直线
垂直
D经过平面外＿点有且只有一条直线与已知平面
垂直
二、填空题
13.如图’正方体ABCDˉAlBlClDl的棱长为2’点P
在正方形ABCD的边界及其内部运动’平面区域Ⅳ
由所有满足AlP≤佰的点P组成’则Ⅳ的面积是
’四面体PˉA｜BC的体积的最大值
是
C］
万
卸
〃｜
D
P
1
l4.若α’b’c’〃是直线’α’β是平面’且α’6Cα’c’〃C
β’α／／／c’b／／／Ⅲ’则平面α与平面β的位置关系
是
l5.已知α’β是平面’″′’′l是直线’给出下列命题:
o若″l上α’″!Cβ’则α上β;
@若″』Cα’nCα’″M／β’厕／／／β’则α／／／β;
◎如果′nCα’ ′lαα’″』’网是异面直线’则n与α
相交;
@若α∩β＝m’＂／／／m’且＂αα’nαβ’则则／／／α’」1
n／／／β.
其中正确命题的序号是
. （把正确命题的
序号都填上）
l6.已知α’b是直线’α’β’γ是平面’给出下列命题:
o若α／／／β’αCα’则α／／／β
@若α’b与α所成角相等’则α／／／b.
◎若α上β’β」ˉγ’则α／／／γ.
@若α上α’α」ˉβ’则α／／／β.
其中正确的命题的序号是
14
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‖3空间几何体的表面积和体积
练习日期:
答题用时:
错题题号
-｀单选题
1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著’
书中有如下问题:“今有当蔫’下广三丈’衰四丈’上
衰二丈’无广’高二丈’问:积几何?”其意思为: ‘‘今有
底面为矩形的屋脊状的楔体’下底面宽3丈’长4
丈’上棱长2丈’高2丈’问:它的体积是多少?’’已知
l丈为l0尺’该楔体的三视图如图所示’则该楔体的
体积为
（
）
A. 15√gˉ＋12∏
B.9√可＋l2＋12∏
C. 12√可＋l2＋12∏
D12占＋12＋l1∏
4.如图’直三棱柱ABCˉAlBlCl的六个顶点都在半径
为l的半球面上’AB＝AC’侧面BCClB1是半球底面
圆的内接正方形’则侧面ABBlAl的面积为
（
）
A. l0000立方尺
B. ll000立方尺
C. 12000立方尺
D. 13000立方尺
2.某四棱锥的三视图如图所示’其中正（主）视图是等
腰直角三角形’侧（左）视图是等腰三角形’俯视图是
正方形’则该四棱锥的体积是
（
）
‖八
「
｜
~0
2
｜→l←卜＞l引
卜←l←｜→l引
正（主）视图
侧（左）视图
A.2
B.
］
c徊
n夸
5.三棱锥A-BCD内接于半径为2的球O’BC过球心
O’当三棱锥AˉBCD体积取得最大值时’三棱锥
A-BCD的表面积为
（
）
A.6＋4√可
B.8＋2何
C.4＋6侗
D.8＋4何
6.若三棱锥SˉABC的底面是以AB为斜边的等腰直角
三角形’AB＝2’M＝SB＝SC＝2’则该三棱锥的外接
球的表面积为
（
）
凰学
A.L卫
3
c等
u芋
7.已知菱形ABCD中’乙DAB＝60。’AB＝3’对角线AC
与BD的交点为O’把菱形ABCD沿对角线BD折起’
使得乙AOC＝90。’则折得的几何体的外接球的表面
积为
（
）
巴
俯视图
A拇
Ⅱβ
心4
D÷
3
3.如图是—种螺栓的简易三视图’其螺帽俯视图的
轮廓是—个正六边形’则由三视图尺寸’该螺栓的
表面积为
（
）
悍臼＋
庐产日＋
』
l
6
‖『
′h
6
‖
「
喻
—
∑
■
β
4. l5∏
←2→
←2→
而
—
∑
】
（
●
D7∏
正视图
门
俯视图
侧视图
8.如图所示’在正方体ABCD—AlBlClDl中’点G在棱
仙｜上,“二郭｜,圆,F分别是棱c｜D｜,B｜c｜的巾
l5
「
＼
腑视窿
正视图
』
｀
／
侧视图
＼
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l2.长方体ABCDˉAlBlClDl中’DC＋CC］＝8’CB＝4’
M是AB中点’点Ⅳ是平面A1BlClDl上的点’且满
足ClⅣ＝√百’当长方体ABCD＿AlBlClDl的体积最
大时线段M＼／的最小值是
（
）
A.6徊
B.厄T
C.8
D.4何
二｀填空题
l3.已知＿个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为
9∏的球O的表面上’且AB＝CD＝α’AC＝AD＝
点’过E’F’G三点的截面α将正方体分成两部分’则
正方体的四个侧面被截面α截得的上、下两部分面
积之比为
（
）
Dl
E
C｜l
／
F
‘4〗
B‖
〗
夕
尸
√
／尸
夕】
仿
p
】
p
矿
卜砍
′
炉0
′
沪
矿
p
0
尸够′Dk＿＿＿ˉ
○
』
C
~
B
A÷
B÷
C÷
D÷
9.某三棱锥的三视图如图所示’其侧（左）视图为直角
三角形’则该三棱锥外接球的表面积为
（
）
川＾
～5—--叫
正（主）视图侧（左）视图
BC＝BD＝行’则α＝
l4.如图’在直角梯形ABCD中’AB上BC’AD／／／BC’
AB＝BC＝＋M＝l,点E是线段CD上异于点C,′〕
～
的动点’EF上AD于点F’将DEF沿EF折起到P1F
的位置’并使PF上AF’则五棱锥PˉABCEF的体积
的取值范围为
、｀／／
俯视图
A.50∏
B.50√囚『
C.40∏
D40√回7丁
l0.已知＿个圆锥底面半径为1 ’母线长为3’则该圆锥
内切球的表面积为
（
）
P
D
B
l5.《九章算术》是东方数学思想之源’在卷五《商功》
中有以下问题:今有羡除,下广六尺’上广一丈’深
三尺’末广八尺’无深’裹七尺’问积几何?译文:如
图所示的几何体ADCB’ADEF’EFBC的三个侧面皆
为等腰梯形’其他两面为三角形’其中EF为6尺’
AD为＿丈’EF到平面ADCB的距离为3尺’BC力
8尺,无深’BC与AD的距离为7尺’则它的体积是
立方尺.
浙
—
旦
●
Ⅱ
A。∏
C.2∏
D.3∏
11.已知网格纸上小正方形的边长为1’粗实线画出的是
某几何体的三视图’则该几何体的表面积为（
）
■■
Ⅷ■
B末端宽8 C
~
~
A
~
~
~
~
图＿
√万＋（√弓ˉ2）∏
√17＋（√5—l）∏
√万＋（√亏ˉl）∏
√万＋√5》∏
A.36＋4
F
下宽6
E
16.现有—半球形原料’若通过切削将该原料加工成一
正方体工件’则所得工件体积与原料体积之比的最
大值为
B36＋4
C.36＋2
D.36＋4
l6
正视｜图
侧视图
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‖4点到平面的距离
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-｀单选题
｜
4.对于四面体AˉBCD’有以下命题:@若AB＝AC＝
l·如图’在长方体ABCDˉA1B1ClDl中’AD＝AAl＝2’
｜
AD’则点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心;
AB＝3’E为AB中点’则点B1到平面DlEC的距
｜
@若AB上CD’AC上BD’则点A在底面BCD内的射
离为
（
）
｜
影是△BCD的内心;◎四面体AˉBCD的四个面中
D｜
C｜
｝
最多有四个百角＝角形鸟Q）芒Ⅶ而休』-′MD口々∩冬
最多有四个直角三角形;@若四面体A—BCD的6条
A］
｜
棱长都为l’则它的内切球的表面积为苦其中正确
C
｝
命题的序号是
（
）
d
E
B
Ⅱ」5器
＂β奈『
｛
∧o圃
Bo@
｜
C.o@o
‘平
Ⅲ』‖严
｝’二橇罐……膛…ˉ
｜
PC＝1’则其外接球上的点到平面ABC的距离最大
2在△ABC中,△C＝90°,乙B＝30°’AC＝l〃为AB
｜
值为
（
）
……附……圃胸…｝
＾罕
（
）
｜
u窖
√Z则点″到平面ABC的距离为
c罕
D竿
B
6.如图’在棱长为1的正方体ABCDˉAIB1ClD1中’E’
F分别为棱AAl ’BB1的中点’G为棱AlBl上的一
点’且AlG＝入（0≤入≤l）’则点G到平面D1EF的距
离为
（
）
‘4
C
u罕
D÷
A÷
D‖
Cl
C。l
＾
G
〃‖
~~
3.已知三棱锥PˉABC的所有顶点都在球O的球
｝
面上’△ABC满足AB＝2√Z乙ACB＝90。’PA为
｜
球O的直径且PA＝4’则点P到底面ABC的距
｜
离为
（
）
｜
｛
A.√3
A.徊
B2√百
o何
u2打
!
0粤
·
17·
F
E
C
′
‘4
徊
—
∑
行
了
Ⅱ
Ⅱ
、≈
、
／′nˉˉˉ＿ˉˉ
旷
】
＝凸
夕
0
尸尸
＝■
、
℃
企
↓
飞
℃
｀
』
「
』
′
『
℃
屯
●
∏
寸
‖
｀
D′上ˉˉ＿ˉ.ˉˉˉˉˉ
夕
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C｜
Al
7.如图,在四棱锥PˉABCD中PA」ˉ底面ABCD’四
边形ABCD为正方形’E为CD中点’F为PA中
点’且PA＝AB＝2.则点P到平面BEF的距离为
（
）
＼
B｜
B｜
C
d
＝←■■＝＝＝＝＝＝
＝←■■＝＝＝＝＝＝
~~
＼
B
勺
〕
—
〃
斗
∩
〕
—
勺
台
●
■
Ⅱ
∏
A.何
D
C。
l
l2.在60。的二面角的—个面内有—点’它到棱的距离
是8,那么它到另＿个面的距离是
（
）
A.旧
B.2徊
C.3徊
D.4√gˉ
二｀填空题
l3·正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为l ’E’F分别为
BB′ ’CD的中点’则点F到平面A′D′E的距鹤
为
C
B
何
Ⅲ
巫
日
斗
∏
●
β
佰
—
ˉ
、
ˉ
—
侧
—
斗
●
■
∧
℃
8平面α’β’γ两两互相垂直在平面α内有—点A到
平面β’平面γ的距离都等于l’则在平面α内与点
A,平面β’平面γ距离都相等的点的个数为（
）
A. 1
B.2
l4已知正方体ABCDˉAlBlClDl的棱长为4√页’点〗′
是棱BC的中点’点P在底面ABCD内’点0在线段
A1Cl上’若PM＝
l ’则P0长度的最小值
为
I）.4
C.3
9.三棱柱ABCˉAlBlCl的底面为正三角形’侧棱与底
面垂直’若AB＝2’AAl＝l’则点A到平面AlBC的距
离为
（
）
15.已知△ABC中’乙ˉA＝30。’乙B＝60°’AB＝2’AB〔二
平面α’平面ABC与α所成角为30°,则C到平面皿
何
—
∑
●
β
石
—
斗
●
∧
的距离为
皿
斗
℃
●
D.√g
l6.正方体ABCD—AlBlClDl的棱长为l ’点P’Q’R分
别是棱AlA’AlBl ’A1Dl的中点’以△PQR为底面作
正三棱柱’若此三棱柱另—底面三个顶点也都在该
正方体的表面上’则这个正三棱柱的雨
l0.已知正方体ABCDˉA1BlClDl的棱长为l’E为BBl
的中点’则点C到平面AlD1E的距离为
（
）
B夸
u鲁
A夸
o罕
~~
‖
′
Cl
／
Al
B｜
l1.如图’在正三棱柱ABCˉAlBlCl中’AB＝1.若二面
角C—ABˉCl的大小为60。’则点C到平面ABcl
的距离为
（
）
P
C
歹
l
夕
l8
％
Q
（qˉˉˉˉˉˉˉ
凸
′
′
′
′
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‖5线到平面的距离
练习日期:
答题用时:
错题题号
—｀单选题
1.已知正四棱柱ABCDˉAlB1ClDl中’AB＝2’CC1＝
2√ZE为CCl的中点’则直线ACl与平面BED的距
离为
（
）
A. 1
B.√gˉ
C.√可
D2
2.如图’在棱长为5的正方体ABCDˉAlBlCIDl中’EF
是棱AB上的一条线段’且EF＝2’0是AlDl的中
点’点P是棱ClDl上的动点’则四面体Pˉ0EF的
体积
（
）
D］
P
C‖
C.BE不平行于平面R4D’且BE与平面R4D所成角
大于30。
D.BE不平行于平面〃D’且BE与平面PAD所成角
小于30。
4在棱长为α的正方体ABCDˉAlB1C1Dl中’错误
的是
（
）
A.直线AlB和直线AC所成角的大小为60°
B直线AC／／／平面DAlCl
C.二面角BˉABlˉC的正切值是√百
D.直线A1Bl到平面ABClDl的距离为α
5.在直三棱柱ABCˉAlB1C1中’AAl＝2’二面角Bˉ
AA1—Cl的大小等于60。’B到面AC1的距离等于
何’Cl到面ABl的距离等于2何’则直线BCl与直线
ABl所成角的正切值等于
（
）
A.√7
B.√6
C.√5
D.2
6.半径为5但的球面上有三个点A’B’C’若AB＝6’
BC＝8’AC＝10’经过这3个点作截面’那么球心到截
面的距离为
（
）
A.4
B.4但
C.5
D9
7.如图’平面α上平面β’A巨α’B巨β’AB与两平面α’β
所成的角分别为牙和÷过A,B分别作两平面交线
的垂线’垂足为A′ ’B′ ’若AB＝l2’则A′B′＝
（
）
Q
0』
0』
p
0
』
00
4｜
B｜
′
C
A
E
F
B
A.是变量且有最大值
B.是变量且有最小值
C.是变量且有最大值和最小值
D.是常量
3.如图’在棱长均为2的正四棱锥PˉABCD中’点E
为PC的中点’则下列命题正确的是
（
）
忽4
B
A.BE／／／平面PAD’且直线BE到平面PAD的距离
为倔
BBE／／／平面PAD’且直线BE到平面PAD的距离
A.4
C.8
B6
D9
为孪
l9
｜＼
‖
／
′
】
0
】
0
『
0
0
0
0
『
0
00
U
』
1
0
』
』
0
Q
『
0
l
00j
』
｝Q｛′』ˉˉˉ1ˉˉˉ
·
〗
■
《
‖
‖
『飞‖
｀
｀
｀
』
』
′
『
『
】
‖
’
夕
铲
′
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12.如图’O是半径为l的球的球心’点A’B’C在球
面上’0A’OB’OC两两垂直’E’F分别是大圆弧
AB与AC的中点’则点E’F在该球面上的球面
距离是
（
）
A
8.如图’在平行六面体ABCDˉAlB1ClDl中’若AAl＝
AB＝AD＝l,乙AlAD＝乙A1AB＝60。’乙BAD＝90。’
则直线AlD1到平面ABCD的距离为
（
）
D｜
／7骸
≥7C‖
A［／ˉ′
〃
兵
′
Q色ˉˉˉ
尸
E
≥
尸
≥
d
C
B
B
凰夸
u罕
A. l
A罢
B号
o;
u孕
二、填空题
l3.点M是棱长为3徊的正方体ABCDˉAlBlClDl的
内切球O球面上的动点’点Ⅳ为BlCl上—点’
2／γBl＝／VC1 ’DM」ˉBⅣ’则动点M的轨迹的长度
为
徊
＿
］
■
℃
9.△ABC的顶点A’B’C到平面α的距离依次为α、b、
c’且点A与边BC在平面α的两侧’则△ABC的重心
G到平面α的距离为
（
）
Bb＋;ˉα
D｜b＋C-α｜
3
Aα宁‘
C。｜α＋b＋C｜
3
l4.用一个边长为√百的正方形硬纸’按各边中点垂直折
起四个小三角形’做成一个蛋巢’半径为l的鸡蛋
（视为球体）放人其中’则鸡蛋中心（球心）与蛋巢
底面的距离为
l0.已知矩形ABCD的—边CD在平面α内’AC与平面
α所成角为60°’若AB＝2’AD＝4’则AB到平面α
的距离为
（
）
A.√I百
B.√歹
C.√I∏
D.√可
1l.已知A’B’C’D是同＿球面上的四点’且每两点
间距离相等,都等于2’则球心到平面BCD的距
离是
（
）
＾乎
B窖
c窑
n福
◇
l5.点A’B到平面α的距离分别为4cm和6cm’则线
段AB的中点M到α平面的距离为
16.已知梯形ABCD的—底边AB在平面α内’另—底
边DC在平面α外’对角线交点O到平面α的距离
为〃’若AB: CD＝m: ＂’则CD到平面α的距离
为
20·
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‖6线面平行的性质｀判定
练习日期:
答题用时:
错题题号:
—｀单选题
1.如图’在正方体ABCDˉAlB1ClD1中’″’Ⅳ分别是
BC1 ’CDl的中点’则下列说法错误的是
（
）
5.已知直线m上平面α’则“直线″上m”是“〃／／／α”
的
（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
6.在三棱锥SˉABC中’△ABC是边长为6的正三角
形’SA＝SB＝SC＝l5’平面DEFH分别与AB’BC’
SC’SA交于D’E’F’HD’E’F’H分别是AB’BC’SC’
SA的中点’如果直线SB／／／平面DE′H’那么四边形
DEFH的面积为
（
）
S
D｜
C］
｀＼B｜
d｜
≈≈
、、、／M
C
~~
4
〃
A.M／＼／上CCl
B.MV上平面ACCIAl
C.MV／／／AB
DMV／／／平面ABCD
如图’已知正方体ABCDˉA1BlClDl的棱长为2’则
以下四个命题中错误的是
（
）
Dl
厂ˉ
C‖
2
C
‘4
么2p÷＜z7
纠4］
归
勺
～
日
斗
◆
β
佰
—
∑
●
∧
■■■■℃
r
C
C.45
D45灯
7.设α’b是空间中不同的直线’α’β是不同的平面’则
下列说法正确的是
（
）
A.α／／／6’6Cα’则α／／／α
BαCα’bCβ’α／／／β’则α／／／b
C.αCα’bCα’α／／／β,6／／／β’则α／／／β
Dα／／／β’αCα’则α／／／β
8.关于直线m’〃与平面α’β’有以下四个命题:
@若″M／α’＂／／／β且α／／／β’则″』／／／′l;
@若m／／／α’″上β’且α上β’则′厕／／／＂;
o若′n上α’n／／／β’且α／／／β’则′Ⅶ上″;
@若m上α’″上β’且α上β,则′n上n.
其中正确的命题有
（
）
A. 1个
B2个
C.3个
D.4个
9.已知α’β’γ为不同的平面’m’n为不同的直线’则
m上β的—个充分条件是
（
）
A.α∩γ＝m’α上γ’β上γ
Bα上β’β上γ’m上α
C.α上β,α∩β＝″’m上∏
D.n上α’几上β’m上α
A
A.直线A1C1与ADl为异面直线
BA1C1／／／平面ACDl
C.BDl上AC
u三棱锥D｜—ADc的体积为;
3.已知互不相同的直线／’m’n和平面α,β’γ’则下列命
题正确的是
（
）
A.若／与m为异面直线’′Cα’mCβ’则α／／／β
B若α／／／β’′Cα’mCβ’则′／／／m
C.若α∩β＝／,β∩γ＝′′l’α∩γ＝′』’／／／／γ’则′n／／／〃
D.若α上γ,β上γ’则α／／／β
4.关于直线′与平面α’下列说法正确的是
（
）
A.若直线′平行于平面α’则／平行于α内的任意—
条直线
B.若直线′与平面α相交’则／不平行于α内的任意
＿条直线
C.若直线′不垂直于平面α’则／不垂直于α内的任
意—条直线
D.若直线／不垂直于平面α’则过／的平面不垂直
于α
21
′
0
◇
0
qh
≈
｜
Ⅳ、
~
~
~
~
D′｜ˉˉˉˉˉ
、
、
｀
龟
｀
咕
｀
飞
｀
｀
飞
｀
‖
｀
f
0
Q』ˉˉˉˉˉˉ1
J
p
′
′′
＝ˉˉ
＼ˉ
0
尸
』护
→＝
＼
垄＝■
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@若α／／／β’mCα,则m／／／β;
@若″l／／／α’厕Cα’则m／／／＂;
◎若α上β’α∩β＝厕’m上＂’则m」ˉβ;
@若n上α’＂上β’″l上α’则m上β.
15.如图’在长方体ABCDˉAlB1C1D1中’AAl＝6’AB＝
3’AD＝8’点M是棱AD的中点’Ⅳ在棱AA1上’且
满足AⅣ＝2／M4l ’P是侧面四边形ADDlAl内—动点
（含边界）’若ClP／／／平面CMV’则线段ClP长度的
最小值是
l0.已知直线m和平面α’β’则下列四个命题中正确
的是
（
）
A.若α上β’mCβ’则加上α
B.若α／／／β’m／／／α’则′n〃β
C.若α／／／β’m上α’则m上β
D.若m／／／α’m／（／β’则α／／／β
1l.下列命题正确的是
（
）
A.若两条直线和同一个平面平行’则这两条直线
平行
B若＿直线与两个平面所成的角相等’则这两个平
面平行
C.若＿条直线平行于两个相交平面’则这条直线与
这两个平面的交线平行
D若两个平面垂直于同＿个平面’则这两个平面
平行
12.设直线m’n是两条不同的直线’α’β是两个不同的
平面’则下列命题正确的是
（
）
A.若m／／／α’n／／／β’′n上Ⅶ’则α上β
B.若m／／／α’n上β’m／／／n’则α／／／β
C若m上α’＂／／／β’m上n’则α／／／β
D.若m上α’Ⅷ上β’m／（／Ⅶ’则α／／／β
二、填空题
l3.已知直线α’b和平面α’β’下列命题中是假命题的
有
（只填序号）.
D｜
C｜
川
Ⅳ
B｜
～
→~
~
≈
■
■
C
4
B
如图’—张矩形白纸ABCD’AB＝l0’AD＝l0徊’
E’F分别为AD’BC的中点’现分别将△ABE’
△CDF沿BE’DF折起’且A’C在平面BFDE同
侧’下列命题正确的是
（写出所有正确命
题的序号）.
l6
E
D
A
@若α／／／b’则α平行于经过b的任何平面;
@若α／／／α’b／／／α’则α／／／b;
o若α／／／α’b／／／β’且α上β’则α上b;
@若α∩β＝α’且6／／／α’则b／／／α.
l4.已知α’β为两个不同的平面’m’Ⅶ为两条不同的直
线’下列命题中正确的是
（填上所有正确
命题的序号）.
B
C
F
o当平面ABE／／／平面CDF时’AC／／／平面BFDE;
@当平面ABE／／／平面CDF时’M／／／CD;
o当A,C重合于点P时’PG上PD;
@当A’C重合于点P时’三棱锥P—DEF的外接球｀
的表面积为150∏.
22
≈
口■
~
~
≈
＝
＝
｜
｜
…
｜
皿
／
…
〃
≈
｀
飞
｀
｀
｀
′
′
尸
■
｀
广
G
H
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‖7面面平行的性质｀判定
练习日期:
答题用时:
错题题号:
~
-、单选题
1棱长为2的正方体ABCDˉAlBlC1Dl中’E为棱AD
的中点’过点Bl ’且与平面AlBE平行的正方体的截
面面积为
（
）
A.5
B.2佰
C.2√6
D.6
2.已知m’几是两条不同的直线’α’β是两个不同的平
面’给出下列四个命题’假命题是
（
）
A.若m／／／α’m／／／β’α∩β＝n’则m／／／n
B.若α上β’m上α’〃上β’则m上Ⅶ
C.若α上β’α上γ’β∩γ＝″l’则m上α
D若α／／／β’m／／／α’则m／／／β
3.设／’m是不同的直线’α’β是不同的平面’则下列命
题中的真命题为
（
）
A.若／／／／α’′n上β’／上′n’则α上β
B.若′／／／α’m上β’／上m’则α／／／β
C.若／／／／α’m上β’′／／／m’则α上β
D.若／／／／α’m上β’／／／／m’则α／／／β
4已知直线m’＂和平面α’β’则下列四个命题中正确
的是
（
）
A.若α上β’mCβ’则m上α
B.若m上α’″／／／α’则′n上几
C.若m／／／α’＂／／／m’则″／／／α
D若m／／／α’″l／／／β’则α／／／β
5.已知直线m’几与平面α’β’γ满足α上β’α∩β＝″l’
″上α’〃Cγ’则下列判断一定正确的是
（
）
A.m／／／γ’α上γ
B.n／／／β’α上γ
C.β／／／γ’α上γ
Dm上Ⅲ,α上γ
6.设四棱锥P—ABCD的底面不是平行四边形’用平面
α去截此四棱锥’使得截面四边形是平行四边形’则
这样的平面α
（
）
A.有无数多个
B恰有4个
C.只有1个
D.不存在
7.如图’在棱长为1的正方体ABCDˉAlBlClDl中,点
E’F分别是棱BC’CC1的中点’P是侧面BCClB1内
—点’若AlP／′／平面AEF’则线段AlP长度的取值范
围是
（
）
D］
厂,
C｜
／｜
‖
dl
F
Dlˉˉ…二二ˉˉˉ
p
卢
′
′F
伏
尸
份
＞
沙
p
F
尸尸
′尸
＾哆尸＝＝■■尸
全■■
C
A
B
＾（乎夸）
＂｛乎罕｜
o［」,罕｜
∏｜0’罕｜
8.底面为菱形且侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDˉ
A1BlC1D1中’E’F分别是BB1 ’DDl的中点’过点
A’E’C1 ’F的平面截直四棱柱ABCDˉA1BlClDl
得到平面四边形AEClF’G为AE的中点’且FG＝
3当截面的面积取最大值时,爵m（△酗′＋哥）的
值为
（
）
A.3何＋4
10
B.3√可＋3
10
c旦喘打
D.何＋4
1（）
9.已知三个平面α’β’γ’α／／／β／／／γ’α、b是异面直线’
α与α’β’γ分别交于A｀B、C三点’b与α’β’γ分别交
于D’E’F三点’连接AF交平面β于C’连接CD交
平面β于H’则四边形BGEH的形状为
（
）
A.平行四边形
C。菱形
B.矩形
D.梯形
23
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A. 1条
B.2条
C.3条
D无数条
二、填空题
l3.在正方体ABCDˉA1BlC1Dl中’AAl＝3’点E在棱
AB上’点F在棱C1D1上’且平面BlCF／／／平面
AlDE.若AE＝1’则三棱锥B1ˉCClF外接球的表
面积为
l0.如图’在三棱台ABCˉA1BlCl的6个顶点中任取3
个点作平面α’设α∩平面ABC＝／’若／／／／AlC1 ’则
这3个点可以是
（
）
C
d
B
A。B’C’Al
B.Bl ’C1 ,A
C.A1 ’B1 ’C
DA1 ’B,C1
已知α’β是两个不同的平面’m’′l是两条不同的直
线’下列命题中为假命题的是
（
）
A.若矾上α’″!／／／几’厕Cβ’则α上β
B若α／／／β’m上α’n上β’则′n／（／n
C.若α／／／β,mCα’厕Cβ’则′n／／／″
D.若α上β’mCα’α∩β＝n’加」ˉ＂’则m上β
如图,各棱长均为1的正三棱柱ABC＿A1BlCl ’M’
Ⅳ分别为线段A｜B’BlC上的动点’且Mγ／／／平面
14设α’β’γ是三个平面’α’b是两条不同直线’有下列
三个条件:
oα／／／γ,bCβ;@α／／／γ’b／／／β;◎b／／／β’αCγ.
如果命题“α∩β＝α’6Cγ’且
’则α／／／b”为
ll
真命题’则可以在横线处填人的条件是
（把所有正确的序号填上）.
15.设α’β是两个不重合的平面’α’b是两条不同的直
线’给出下列条件:
oα’β都平行于直线α’b;
@α’b是α内两条直线’且α／／／β’b／／／β;
◎若α’b相交’且都在α’β外’α／／／α’α／／／β’b／／／α’
b／／／β
其中可判定α／／／β的条件的序号为
16.已知点S是正三角形ABC所在平面外＿点’点D’
E’F分别是SA’SB’SC的中点’则平面DEF与平面
ABC的位置关系是
12
）
ACClA1 ’则这样的Mγ有
（
4｜
C｜
C
4
B
.24。
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‖8线面垂盲的性质｀判定
练习日期:
答题用时
错题题号:
-｀单选题
l.如图’正方体的棱长为l’线段AlCl上有两个动点
E,′’且E′＝÷则下列结论错误的是
（
）
Dl
C′
A各
B片
c告
u合
6.矩形ABCD中’BC＝√Z4B’E为BC中点’将△ABD
沿BD所在直线翻折’在翻折过程中,给出下列结论:
@存在某个位置’BD上AE;
@存在某个位置’BC上AD;
o存在某个位置’AB上CD;
@存在某个位置’BD上AC.
其中正确的是
（
）
A.o@
B.o@
C.@O
D.@@
7.在正方体ABCDˉAlB1C1D1中’E为棱AB上＿点’
且AE＝l’BE＝3’以E为球心’线段EC的长为半径
的球与棱A1Dl ’DDl分别交于F’G两点’则△AFG
的面积为
（
）
A.4徊ˉ2
B3√页
C.2√5＋2
D.4
8.以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的中线AD为
折痕’将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面’
得到以下四个结论:@BD上平面ACD;@△ABC为等
边三角形;O平面ADC上平面ABC;@点D在平面
ABC内的射影为△ABC的外接圆圆心.其中正确的
有
（
）
A.o@◎
B.@◎@
C.O@@
D.O◎@
9.如图’在长方体ABCD-A1B1C1D1中’AAl＝6’AB＝
3’AD＝8’点M是棱AD的中点’点／V在棱AA1上’且
满足AⅣ＝2／Vl4l ’P是侧面四边形ADDlA1内＿动点
（含边界）.若ClP／／／平面CMV’则线段ClP长度的
取值范围是
（
）
Dl
C｜
厂丁
■｜
鸥了币
簇
0
‖
『飞
l
』＼↓
□厂＝＝＝
｜
／
A｜
C
A
B
A.BD上CE
BEF／／／平面ABCD
C.三棱锥E-FBC的体积为定值
D△BEF的面积与△CEF的面积相等
2.某棱锥的三视图如图所示’则该棱锥的外接球的表
｜
面积为
（
）
｜
＼＼｛＼
正视图赋可
萍皇
俯视图
A· 1l∏
B. 12∏
C. 13∏
D. 14∏
3.在正方体ABCDˉAlB1ClDl中’下列几种说法中正
｜
确的是
（
）
｛
A.A1Cl与B1C成60。角
B.D1C1ˉLAB
C.AC1与DC成45。角
D.A1C1上AD
4.已知A’B’C’D四点均在以点Ol为球心的球面上’
｜
且AB＝AC＝AD＝2佰’BC＝BD＝4√ZCD≡8.若球
｜
O2在球Ol内且与平面BCD相切’则球O2直径的最
｜
大值为
（
）
｜
A.l
B2
C.4
D8
5.现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两
｝
两相切’若第五个小球和它们都相切’则这个小球的
｜
半径是
（
）
｝
.25
／
／
‖
4｜
Bl
Ⅳ
≈
≈≈
＞
C
咀
B
B［4’5］
D. ［3’√万］
A. ［√I7’5］
C. ［3’5］
D
F＝
≈、
｀
′
≈≈
｀
‖
≈
≈
≈
≈
尸
孩
′
｀
｀
｀
｀
｀
0
b
｀
｀
｀
｀
l
~
~
｜
｛
｛
｛
…
｛
α
′
′
…
〃
■
▲
巳
≈
｀
≈
｀
飞
夕
≈
飞
｀
飞
｀
广
护
旷
■≈
~~~
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二｀填空题
l3.如图所示’在正方体ABCDˉA1BlClDl中’M’Ⅳ分
别是棱AAl和AB上的点’若乙B1M＼／是直角,则
乙C｜M＼／等于
l0.在《九章算术》中’将四个面都是直角三角形的四面
体称为鳖脯’在鳖懦A—BCD中’AB上平面BCD’且
BD」ˉCD’AB＝BD＝CD’点P在棱AC上运动’设
CP的长度为厕’若△PBD的面积为／（卯）’则／（卯）的
图象大致是
（
）
D｜
曰
≡｜
纠
〃
』4
C
AⅣ
B
l4.已知P为△ABC所在平面外＿点’且PA’PB’PC两
两垂直’则下列命题:
oPAˉLBC;@PBˉ上AC;oPC上AB;@AB」ˉBC’其中
正确命题的个数是
D
B
C
l5.如图’直三棱柱ABCˉAlBlCl中’侧棱长为2’AC二
BC＝1’乙ACB＝90。’D是A1Bl的中点’F是BBl上
的动点’ABl ’DF交于点E要使ABl上平面ClDF’
l1.如图所示’直线PA垂直于○O所在的平面’△ABC
内接于○O’且AB为○O的直径’点M为线段PB
的中点现有结论:OBc上Pc;@oM／／／平面APc;
◎点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中
正确的是
（
）
则线段BlF的长为
C
÷′
A
／
）
｜Bl
A l
∩
l6已知矩形ABCD的长AB＝4’宽AD＝3’将其沿对角
线BD折起’得到四面体ABCD’如图所示’
门
4
厂v
D
C
M
B
』
二
＝
＝
＝
ˉ
＝
ˉ
＝
→
○
~~~
D
C
3
3
A.@@
B.@@o
C.O
D.@◎
l2·如图’在直三棱柱ABCˉAlB1C1中’AlBl上
A1Cl ’BlC上AC1 ’AB＝2’AC＝1 ’则该三棱柱的
体积为
（
）
B
D
Ad
4
A
4
D
给出下列结论:
o四面体」BcD体积的最大值为粤;
@四面体ABCD外接球的表面积恒为定值;
◎若E’F分别为棱AC’BD的中点’则恒有EF上AC
且EF上BD;
@当二面角AˉBDˉC的大小为60。时’棱AC的长
为等;
◎当二面角AˉBDˉC为直二面角时’直线AB’C1）
所成角的余弦值为罢
其中正确的结论有
（请写出
A
／》＼C
B
0
｀
0
｀
B｜
C｜
A÷
Bl
所有正确结论的序号）.
C.2
D4
26
C｜｜ˉˉ欺’
飞≈
夕
b
夕≈
′
｀°／
龟§
′
h
｛
≈b
泌
‖
A
凸p
＝
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‖9面面垂直的性质｀判定
答题用时:
练习日期:
错题题号
-｀单选题
1.将正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角’则直
线BD与平面ABC所成的角的大小为
（
）
A.30。
B45°
C.60°
D.90°
2.如图’在三棱锥P-ABC中’已知PC上BC’PC上AC’
点E’F’G分别是所在棱的中点’则下面结论中错误
的是
（
）
P
◎CD上平面A′BD;
@平面A′BC上平面A′DC
其中正确命题的序号是
（
）
A′
么4
D
D
／＼
A
O
C
C
B
B
A.@@
B.o@
C.OO
D.@@
5.如图’在三棱锥DˉABC中’若AB＝CB’AD＝CD’E是
AC的中点’则下列命题中正确的是
（
）
D
.
C
A
A.平面ABC上平面ABD
B.平面ABD上平面BCD
C.平面ABC上平面BDE’且平面ACD上平面BI）E
D.平面ABC上平面ACD’且平面ACD上平面BDE
6.将正方形ABCD沿BD折起’使平面ABD上平面
BCD’M为CD的中点’则二AMD的大小是
（
）
A.45。
B。30°
C.60。
D.90°
7.如图’在梯形ABCD中’AD／／／BC’乙ABC＝90。’AD:
BC箭AB＝2: 3 :4’E’F分别是AB’CD的中点’将四
边形ADFE沿直线EF进行翻折’给出四个结论:
ODF上BC;
@BD上FC;
O平面DBF上平面BFC;
@平面DCF上平面BFC.
则在翻折过程中’可能成立的结论的个数为（
）
A
D
B
〃
A.平面EFG／／／平面PBC
B平面EFG上平面ABC
C.乙BPC是直线EF与直线PC所成的角
D乙FEG是平面R4B与平面ABC所成二面角的平
面角
3.如图’等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交
于G’已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的—
个图形’给出以下四个命题:
oAC／／／平面A′DF;
@平面A′GF上平面BCED;
o动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;
@异面直线A′E与BD不可能垂直
其中正确命题的个数是
（
）
A
B
C
A. l
B2
C.3
D4
4如图’梯形ABCD中’AD／／／BC’AD＝AB＝l’AD上AB’
乙BCD＝45。’将△ABD沿对角线BD折起设折起后
点A的位置为A′ ’并且平面A′BD上平面BCD.给出
下面四个命题:
oA′D上BC;
圆二棱锥A′—圃cp的体积为夸;
E
B
C
A. 1
B2
C.3
D.4
8.若m’″是两条不同的直线’α’β是两个不同的平面,
则下列命题中不正确的是
（
）
27
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A.@
B.oo
C.@O
DO
二、填空题
l3.α’β是两个平面’m’ ′′是两条直线’有下列四个
命题:
o如果m上＂’m上α’″／（／β’那么α上β;
@如果m上α’网／／／α’那么m上″;
o如果α／／／β’mCα’那么m／／／β;
@如果m／／／＂’α／／／β’那么m与α所成的角和＂与β
所成的角相等
其中是假命题的是
. （填写假命题的序号）
l4以等腰直角三角形ABC的底边BC上的高AD为折
痕’把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面’
则下列四个命题:
OAB上cD;
@△ABC为等腰直角三角形;
◎三棱锥DˉABC是正三棱锥;
@平面ABD上平面BCD.
其中正确的命题有
. （填写正确命题［｛勺
A.若′n上α’m上β’则α／／／β
B.若m／／／″’m上α’则n上α
C若m／／／α’α∩β＝n’则m／／／n
D.若矾上α’mCβ’则α上β
9.在正四面体ABCD中’点E’F分别是』B’BC的中
点’则下列结论错误的是
（
）
A.异面直线AB与CD所成的角为90°
B直线AB与平面BCD垂直
C.直线EF／／／平面ACD
D平面AFD上平面BCD
10.如图是—几何体的平面展开图’其中四边形ABCD
为正方形’△PDC’△PBC’△PAB’△PDA为全等的
等边三角形,E,F分别为PA’PD的中点.在此几何
体中’下列结论中错误的为
（
）
P
D
＜
P
P
P
A.直线BE与直线CF共面
B.直线BE与直线AF是异面直线
C.平面BCE上平面PAD
D面PAD与面PBC的交线与BC平行
11.设α’b表示直线’α’β表示平面’则下列命题正确的
是
（
）
A.若α／／／α,b／／／α’则α／／／6
B若α上α’α上β’则α／／／β
C.若α／／／α’b上α’则α上b
D若α／／／α’α上β’则α上β
12.如图’正方体ABCDˉA1BlC1D1中’点P在线段
BC1上运动’则下列三个命题:
O三棱锥AˉDlPC的体积不变
@DP上AC.
O平面PDB1上平面ACDl.
其中正确命题的序号是
（
）
Dl
C｜
序号）
l5.已知α’β为两个不同的平面’′n’几为两条不同的钉
线’下列命题中正确的是
. （填写所有正确
命题的序号）
o若α／／／β’′nCα’则m／／／β;
@若′′M／α’ ’′lCα’则′n／／／〃;
o若m上α’m／／／n’则″ˉLα;
@若α上β’α∩β＝′』’m上′l,则m上β.
l6.下列结论:
O若卿＞0’γ＞0’则“卯＋2γ＝2√2可”成立的＿个必
要不充分条件是“卯案2’且y＝l”;
@存在α＞1’且存在则＞0使得α鳃＜logα卯;
o若函数／（则）＝则4ˉ（αˉ1）厕2＋（α＋1）则的导函数
是奇函数’则实数α＝-1;
@平面上的动点P到定点F（2’0）的距离比P到γ
轴的距离大2的点P的轨迹方程为γ2＝8卯;
◎已知平面α’β’γ满足α上γ’β上γ,则α／／／β;
◎若P（A（ˉ」B）＝P（A）＋P（B）＝1’则事件A与B
是对立事件
其中正确结论的序号为
. （填写所有正确
结论的序号）
／
~
~
~
Al
C
d
28
~
~
~
~
~
~
~
~
αˉˉˉˉ＿ˉˉˉ
夕厂
p
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20异面宣线所成角
练习日期:
答题用时
错题题号:
-｀单选题
1.如图’四棱锥PˉABCD中’乙ABC＝乙BAD≡90。’
BC＝2AD’△R4B和△PAD都是等边三角形’则异面
直线CD与PB所成角的大小为
（
）
P
＂守
＂乎
c器
u带
6.如图’在直四棱柱ABCDˉAlBlClDl中’四边形ABˉ
CD为梯形’AD／／／BC’AAl ＝3’AB＝BC＝CD＝打’
′ △BCD≡120°’则异面直线AlB与B1C所成的角的
余弦值为
（
）
A
Dˉˉˉˉ（ˉˉ’
＝户
~~
≥
尸
卢
C
B
B.75。
Dl
Al
A·90°
C.60°
I）。45°
2.如图为＿个半圆柱’△ADE是等腰直角三角形’F是
线段CD的中点’AB＝4’该半圆柱的体积为l8∏’则
异面直线AB与EF所成角的正弦值为
（
）
E
D
4
C
B
A;
B;
o夸
!〕誓
7.已知直三棱柱ABC-AlBlCl中’乙ABC＝120。’AB＝
2’BC≡CC1＝1’则异面直线ABl与BCl所成角的余
弦值为
（
）
dI
C〗
′Ⅵ§、
d
D
F
~~~~~
B
C
呵
∏
〕
■
Ⅱ
C
A
徊
＿
〕
∏
B
3.已知P是△ABC所在平面外的—点’M’／V分别是
AB’PC的中点’若M＼／＝BC＝4’PA＝4何’则异面直
线PA与MV所成角的大小是
（
）
A.30。
B45。
∧粤
＂乎
o华
u鲁
8.如图所示’在矩形ABCD中’AB＝4’AD＝2’P为边
AB的中点’现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P
处’若M为线段A′C的中点’则异面直线B″与〃′
所成角的正切值为
（
）
■′
A
D.90。
Cˉ6（）°
4.平面α过正方体ABCDˉA1B1C1Dl的顶点A,平面
α／／／平面AlBD’平面α∩平面ABCD＝／’则直线／与
直线CD1所成的角为
（
）
A.30°
B.45°
M
｀旦厨ˉ＼ˉˉˉ
~~~
C
~~~~~~~
D.90◎
C.60°
／
A
P
B
B2
5四棱锥尸ˉ必cD中’川上平面奶C″’底面奶c″是
｜
A÷
边长为2的正方形’PA＝√5ˉ’E为PC的中点’则异面
｜
直线BE与PD所成角的余弦值为
（
）
｜
C÷
.29.
D4
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9.已知△ABC与△BCD均为正三角形’且AB＝4若平
面ABC与平面BCD垂直’且异面直线AB和CD所
成角为0’则cos0＝
（
）
C
1
佰
—
斗
］
—
▲
●
∧
○
伍
—
斗
］
—
斗
■
●
Ⅱ
∏
佰
丁
］
＿
〗
■
●
Ⅱ
Ⅱ
徊
丁
］
—
β
∧
℃
l（）.如图’AlBlCl ˉABC是直三棱柱’乙BCA＝90。’点
D1 ’F1分别是AlBl ’AlC1的中点’若BC＝Ol＝
CCl ’则BDl与AFl所成角的余弦值是
（
）
Cl
二｀填空题
l3.在三棱锥S-ABC中’AB上AC’AB＝AC＝SA’SAˉL
平面∧BC’D为BC中点’则异面直线AB与SD所成
角的余弦值为
l4如图’在三棱柱ABCˉAlBlCl中’CCl」ˉ底面ABC’
D是AB的中点’乙ACB＝90。’AC＝BC＝CCl ’过点
D’C作截面交BBl于点E’若点E恰好是BBl的中
点’则直线ACl与DE所成角的余弦值为
4l
B
‘4
B
C‖
B｜
B÷
／′｜
0
0
必
′
｜
『
0
′』‖
0
0
0
0
冯
』
‖
E
4｜
佰
＿
川
∏
■
B
~~~~
1l.在长方体ABCDˉAlBlClD1中’M’∧／分别是棱
BBl ’BlCl的中点’若乙CM＼／＝90。’则异面直线
AD1与DM所成的角为
（
）
D
C
（
）
4
｜
l5.在长方体ABCDˉAlB1C1Dl中’底面ABCD是边长
｜
为1的正方形’若其外接球的表面积为l6∏’则异面
｜
直线BD1与CCl所成的角的余弦值为
＝『、｀
么4
B
＼｜D｜
尸
＝
＝
l6.如图’在三棱锥AˉBCD中’E’F’G分别为AB’AC’
CD的中点’且AD＝BC＝2’EG＝何’则异面直线A」9
与BC所成的角的大小为
C｜
4
｜
A.30°
B.45◎
C.60◎
D90°
l2ˉ已知正四棱锥P—ABCD中’PA＝AB＝2’E’F分别
是PB’PC的中点’则异面直线AE与BF所成角的
余弦值为
（
）
d
D
B
C
30
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2‖
线面角
答题用时:
练习日期:
错题题号:
-｀单选题
1已知正方体的棱长为2,每条棱所在直线与平面α所
成的角相等’则α截此正方体所得截面面积的最大
值为
（
）
石
—
ˉ
〕
●
∧
打
—
〕
Ⅱ
‘÷
u夸
6已知底面是正方形的直四棱柱ABCD-AlBlClDl的
外接球的表面积为40∏’且AB＝√Z则ACl与底面
ABCD所成角的正切值为
（
）
A.2
B.2√可
皿
〕
β
●
打
勺
勺
＝
∧
C.3√5
D.2何
2.三棱柱ABCˉAlBlCl的侧棱与底面垂直’AAl
＝
AB＝AC＝1 ’AB上AC’／V是BC的中点’点P在AlBl
上’且满足｜AlP｜＝人｜A1Bl
｜’直线P／V与平面ABC所
成角0的正切值取最大值时入的值为
（
）
』÷
Rf
C.3
I）.4
7巳知长方体的表面积为等,棱长的总和为24,则
长方体的体对角线与棱所成角的余弦值的最小
值为
（
）
＾÷
腻罕
C夸
u誓
8.已知三棱柱ABCˉA1BlCl的侧棱与底面垂直’体积
为÷,底面是边长为√冒的灭二角形若P为底面
△A1BlC1的中心’则PA与平面ABC所成角的大小
为
（
）
A.亚
B号
12
o『
n;
9.已知三棱锥PˉABC的四个顶点都在球O的球面
上’PA上平面ABC’△ABC是边长为2的等边三角
形,若球O的体积为竿而侧直线Pc与平面〃‘
所成角的正切值为
（
）
Ai寸严
R2十严
o坠帮
u悍
徊
—
〗
○
巫
日
Ⅱ
■
3.已知在矩形ABCD中’AD＝√mB’沿直线BD将
△ABD折成△A′BD’使得点A′在平面BCD上的射影
在△BCD内（不含边界）’设二面角A′ˉBDˉC的大
小为0’直线A′D’A′C与平面BCD所成的角分别为
α’β’则
（
）
A.α＜0＜β
Bβ＜0＜α
C.β＜α＜β
D.α＜β＜0
4.若异面直线m’＂所成的角是60。’则以下三个命题:
o存在直线／’满足／与′＂’n的夹角都是60。;
@存在平面α’满足mCα’n与α所成角为60。;
◎存在平面α’β’满足′＂Cα’＂Cβ’α与β所成锐二
面角为60。.
其中正确命题的个数为
（
）
A.0
B. 1
C2
D3
5.在平面四边形ABCD中’AD＝AB＝2’CD＝CB＝佰’
且AD上AB’现将△ABD沿着对角线BD翻折成
△A′BD’则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过
程中’直线A′C与平面BCD所成角最大时的正弦
值为
（
）
31
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l0.在三棱锥PˉABC中’PA上平面ABC’乙BAC＝
抠
—
日
徊
—
日
■
∧
◎
斗
—
日
佰
＿
日
β
∏
90°’D’E’F分别是棱AB’BC’CP的中点,AB＝
AC＝1 ’PA＝2’则直线PA与平面DEF所成角
的正弦值为
（
）
＾÷
＂竿
α夸
n号
1l.如图所示为—正方体的平面展开图’在这个正方体
中’有下列四个命题:
二、填空题
13.如图’正方体ABCDˉA1B1ClD1中’ ／V为平面
AlB1ClD1（包括边界）内＿动点’当点Ⅳ与Bl重合
时’异面直线AⅣ与BCl所成的角的大小为
;若点Ⅳ在运动过程中始终保持AⅣ／／／平
面BDCl ’则点Ⅳ的轨迹是
Dl
C
ˉ
｜
川
A｜
Ⅳ
℃
冈
●
□
｜
Bl
『
乓
□
旦
C
A
B
l4.已知正三棱锥PˉABC（底面是正三角形’P在底面
的射影是底面的中心）’点M’Ⅳ分别是PA’AB上的
动点’Mγ与底面ABC所成的最大角的正切值为
行’则异面直线M／＼／与PC所成的最小角的余弦值
为
oAF上GC;
｜
-／Ⅷˉˉ-—ˉ 0≡。广
‖
的射影是底面的中心）’点M’Ⅳ分别是PA’AB上的
@BD与GC成异面直线且夹角为60。;
｜
动点’Mγ与底面ABC所成的最大角的正切值为
◎BD／／／Mγ;
｜
行’则异面直线M／＼／与PC所成的最小角的余弦值
@BG与平面ABCD所成的角为45°.
｜
为
其中正确命题的个数是
（
）
!
l5.已知在三棱柱ABCˉAlBlCl中’各棱长都相等’0‖｜
A. l
B.2
｜
棱垂直于底面’且点D是侧面BBlClC的中心’则
C.3
D4
‖
AD与平面BBlClC所成角的大小是
16.如图’三棱锥SˉABC中’若AC＝2√gˉ’SA＝SB＝
SC＝AB＝BC＝4’E为棱SC的中点’则直线AC与
BE所成角的余弦值为
’直线AC与平面
｜2如图,△C＝晋』Ac＝BC,M″分别是Bc』AB的中
点’将△BMγ沿直线Mγ折起’使二面角B′—Mγˉ
B的大小为哥,则BⅣ与平面ABc所成角的正切
值是
（
）
,≡封7.
SAB所成的角为
S
A
C
B
32
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22二面角
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-、单选题
1.已知三棱锥SˉABC的底面ABC为正三角形’SA＜
SB＜SC’平面SBC’SCA’MB与平面ABC所成的锐
二面角分别为αl ’α2’α3’则
（
）
A.αl＜α2
Bαl＞α2
C.α2＜α3
D.α2＞α3
～→
---〉
2.在正方体ABCDˉAlB1C1D1中’BE＝3EA’以E为球
—〉
心’ ｜EC｜为半径的球与棱AlDl ’DDl分别交于F’G
两点’则二面角AˉFGˉE的正切值为
（
）
6.将正方形ABCD沿对角线AC折成l20。的二面
角’则折后的直线BD与平面ABC所成角的正弦
值为
（
）
徊
丁
●
β
A÷
≈
o窖
何
—
∑
∏
7.如图’正三棱柱ABCˉAlBlCl的各条棱长均相等’
D为M1的中点’M’Ⅳ分别是线段BBl和线段CC1
上的动点（含端点）’且满足B″＝Cl／M当M’Ⅳ运动
时’下列结论中不正确的是
（
）
〃｜
∩
C｜
A.2二但
2
CE二1
2
‖
』
勺
～
征
∑
仔
∑
Ⅱ
∏
3.二面角αˉAB-β的平面角是锐角0’″匡α’M＼／ˉLβ’
CeAB’乙″CB为锐角’则
（
）
A。乙″C／V＜0
B乙MC／V＝0
C.乙″CⅣ＞0
D.以上三种情况都有可能
4已知两个平面α’β和三条直线m’α’6’若α∩β＝m’
αCα且α上′′o’bCβ’设α和β所成的＿个二面角的
大小为0l ’直线α和平面β所成的角的大小为02’直
线α’6所成的角的大小为03’则
（
）
A·01＝02≥03
B03≥0l＝02
C.01≥03’02≥03
D.0l≥02’03≥02
5.设正三棱锥pˉABC的高为H’且此棱锥的内切球的
半径为R’若二面角P-ABˉC的正切值为｀／g了’则
7
艺二
＝
广］
矿.
刮≤
（W
式
二白
Ⅳ
［）
（
4
B
A.平面DM＼／上平面BCClB1
B三棱锥A1ˉDMγ的体积为定值
C.△DM＼／可能为直角三角形
D平面DMV与平面ABC所成的锐二面角范围
｜
∏
—
〃
斗
’
‖
（
为
｜
8已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形’侧棱长均相
切球的
｝
等,E是线段AB上的点（不含端点）’设sE与Bc所
／g瓦则
｜
成的角为0l ,SE与平面ABCD所成的角为02,二面
（
）
｜
角sˉAB—C的平面角为03｀则
（
）
｜
A.01≤02≤03
B.03≤02≤01
｜
C.0l≤03≤02
D02≤03≤01
.33.
~~
〃
＿
尺
A.5
C.7
B.6
D8
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‘4］
9.如图已知正四面体DˉABC（所有棱长均相等的三
棱锥）中’P,0’R分别为AB’BC’C∧上的点’AP＝
P圃』器≡箭-2,分别记二而角D—P腮ˉ0,″—P0
ˉR’Dˉ0RˉP的平面角为α’β’γ’则
（
）
D
C1
M
C
J4
B
A.3旧
B.2何
C.旧
D3抠
二、填空题
l3.如图’在长方体ABCDˉAlBlClDl中’AB＝1’AD＝
2’AAl ＝2’则二面角AˉDD1 ˉB的正切值
是
C
d
B
B.α＜γ＜β
A.γ＜α＜β
D｜
Cl
C.α＜β＜γ
D.β＜γ＜α
lO在长方体ABCDˉAlBlClD1中’二面角DˉAB
ˉDl的大小为60。’DC1与平面ABC1）所成角的
大小为30。’那么异面直线ADl与DCl所成角的
余弦值是
（
）
4］
B］
~~~~
C
d
B
l4如图’在四面体DˉABC中’AD＝BD＝AC＝BC＝5,
AB＝DC＝6.若M为线段AB上的动点（不包含端
点）’则二面角DˉMCˉB的余弦值的取值范围
是
旧
—
斗
~
β
A￥
c鲁
徊
—
吕
●
Ⅱ
D
ll.在边长为1的菱形ABCD中’乙ˉABC＝60。’将菱形
沿对角线AC折起’使折起后BD＝l’则二面角Bˉ
ACˉD的余弦值为
（
）
C
1
B
l5.边长为2的菱形ABCD中’乙BCD＝60°’将△M′）
沿BD折起’使得平面ABD上平面BCD’则二面角
AˉBC—D的余弦值为
l6.已知直三棱柱ABC—A｜BlCl中’△ABC为等腰』氢
角三角形’AB＝AC＝4’AAl＝α’棱BBl的中点为E’
棱BlCl的中点为F’平面AEF与平面AAlClC的交
勺
线!与M｜所成角的正切值为;,则三棱柱ABCˉ
］
丁
ˉ
何
—
∑
■
β
Ⅱ
］
—
〕
巫
〕
●
■
∧
℃
l2.如图’在正三棱柱ABCˉAlB1Cl中’点M为侧棱
AAl上＿动点’已知△BCM面积的最大值是2√gˉ’
二面角MˉBCˉA的最大值是哥,则该三棱柱的体
积等于
（
）
AlBlCl外接球的半径为
34
D
~
尸
1
〃
b
乡
夕
b
矿
b
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23直线斜率与方程
练习日期:
答题用时:
错题题号:
~
-｀单选题
1已知直线3测ˉγ＋］＝0的倾斜角为α’则÷…α＋
COS2α＝
（
）
A÷
凰ˉ上
c去
nˉ上
5
20
｛氨l｜二｜则繁芒砸』
2.已知变量则’y满足
范围是
（
）
A｜÷,2｜
!｜二｜
c｜＋’:｜
儡毒0
3.已知卯’γ满足约束条件
值为2’则m的值为
（
）
｜
A,4
B.5
C.8
D。9
4设直线／l :卿ˉ2γ＋1＝0与直线／2:m“＋γ＋3＝0的
｜
交点为A;P’0分别为′｜’′2上任意两点,点″为P0
｜
的中点,若｜AM＝＋｜PQ｜则咖的值为
（
）
｜
A.2
B. -2
C。3
D. -3
5.已知两直线／l :2卯ˉγ＋3＝0’／2:m顺＋2γ＋1＝0平
｛
行’则m的值是
（
）
｜
A. -4
B. -1
C. 1
D4
6.已知倾斜角为0的直线／与直线厕＋2γ-3＝0垂直’
｜
则cos20的值为
（
）
｛
A÷
凰ˉ÷
c÷
n＿÷
7巳知过点A（√Z2）的直线′的倾斜角为哥’则直线′
｜
的方程为
（
）
｜
A.伍＋γˉ5＝0
B.√g测ˉyˉ1＝0
C.伍＋3γˉ9＝0
D.伍ˉ3y＋3＝0
a已知圆C1 ;箍2＋y2—脑＋2γ＝0与圆C2;绷2＋y2＋肋ˉ
｜
4＝0的公共弦所在直线恒过定点P（α’b）’且点P在
｝
直线′m‘—聊—2＝0上’则mn的取值范围是（
）
｜
A（0,＋）
B（0,÷｜
c（＿霸,＋）
D（—蜜,＋｜
9.在平面直角坐标系中’给出下列四个结论:
@每一条直线都有点斜式和斜截式方程;@倾斜角
｜
是钝角的盲线斜率为负数;◎方程您＝岂与方程
｝
·35
y＋1＝k（则ˉ2）可表示同—条直线;@直线／过点
P（卯0’y0）’倾斜角为90。’则其方程为匆＝卯0.
其中正确结论的个数为
（
）
A. l
B.2
C.3
D.4
l（）.过点P（3’2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方
程是
（
）
A.卯-γ-l＝0
B.卯＋y-5＝0或2卯ˉ3y＝0
C.师＋y-5＝0
D.绷ˉγˉ1＝0或2卯ˉ3y＝0
卯≥0,
悟←｜皿抨…
ll.已知实数卯’γ满足
范围是
（
）
A｜÷,n｜
a［3,n」
C｜;,n｜
n［l ,n］
12.甲｀乙、丙｀丁四辆玩具赛车同
时从起点出发并做匀速直线
运动’丙车最先到达终点’丁
车最后到达终点若甲｀乙两
车的sˉt图象如图所示’则对
于丙｀丁两车的图象所在区
0↓》
乙
O
7
域’判断正确的是
（
）
A丙在II区域’丁在I区域
B.丙在I区域’丁在Ⅲ区域
C.丙在Ⅱ区域’丁在I区域
D丙在Ⅲ区域’丁在Ⅱ区域
二｀填空题
13.已知直线／:″眺ˉγ＝1’若直线′与直线则＋″l（mˉ1）γ＝
2垂直’则″l的值为
;动直线／:′m′ˉγ＝1被圆C:
匆2ˉ2则′＋广ˉ8＝0截得的最短弦长为
14.过定点P（2’ˉl）作动圆C:则2＋y2ˉ2αγ＋α2—2＝
0的—条切线’切点为T’则线段′〕T长的最小值是
15.已知α是区间［1’7］上的任意实数’直线′l :α卯ˉγˉ
｛鞠……
2αˉ2＝0与不等式组
有公共点’则直线／:′m’＿3γ＋〃＝0（m’n巨R）的倾
斜角α的取值范围为
16.过点P（ˉ3’0）做直线（α＋2b）卯ˉ（α＋b）y—3αˉ
4b＝0（α’b不同时为零）的垂线’垂足为″’已知点
Ⅳ（2’3）’则｜M＼／｜的取值范围是
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2q点到直线距离公式的应用
错题题号
答题用时:
练习日期:
7.与点A（ˉl’1）距离为l’且与点B（3’4）距离为3的
直线的条数为
（
）
A. l
B.2
C.3
D。4
8已知两点A（1’2）’B（3’l）关于直线′对称’则直线′
的方程是
（
）
A.4卯-2γ-5＝0
B.4卯＋2y-5＝0
C。卯＋2y-5＝0
D卯-2y-5＝0
9. “C＝5,’是“点（2’1）到直线3匆＋4γ＋C＝0的距离为
3”的
（
）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
｜歪嚼~＂
10.已知实数卯’γ满足不等式组
｜则ˉy｜的最大值为
（
）
A.0
B2
C.4
D.8
ll.已知点P是直线卯＋γ—b＝0上的动点’由点P向
圆O:卿2＋y2＝1引切线’切点分别为M’Ⅳ’且
乙MPⅣ＝90。’若满足以上条件的点P有且只有—
个’则b＝
（
）
A.2
B。
±2
C.徊
D. ±抠
12.已知直线／的方程为γ＝3卯＋3’则点P（4,5）关于／
的对称点的坐标为
（
）
A. （-4’l）
B. （ˉ2’7）
C. （-1’7）
D（-3’l）
二｀填空题
13.已知抛物线y2＝2p卯的准线方程为匆＝ˉ2’点p刀
抛物线上的＿点’则点P到直线γ＝“＋3的距离的
最小值为
l4已知直线／:卯ˉyˉ2＝0’过点P（2’ˉl）且与／平行
的直线方程是
’点0（3’2）到直线′:卯ˉy
-、单选题
l巳知椭圆C;｛》二:孺｀（’为参数）与熟输正半轴,
γ轴正半轴的交点分别为A’B’动点P是椭圆上任一
点’则△PAB面积的最大值为
（
）
A.6（徊ˉl）
B.6（徊＋1）
c号
n等
2.点p是直线见＋γˉ3＝0上的动点’由点P向圆O:
卯2＋γ2＝4作切线’则切线长的最小值为
（
）
A2徊
B÷徊
△
c罕
u÷
3若直线｛口‘二鳃（』为参数）与圆｛｝二削0（‘为
参数）相切,则b＝
（
）
A. ˉ4或6
B. —6或4
C. ˉl或9
D. ˉ9或l
4若坐标原点（0’0）到直线匆ˉγ＋sin20＝0的距离等
于罕则角0的取值集合是
（
）
A｛0｜0＝腮而±牙’腮匡z｝
B｛0｜0＝k而±晋,脓匡z｝
O｛0｜6＝2肺±牙』附匡Z｝
D｛0｜0＝2腮丽土晋,腮匡Z｝
5.已知点P（m’n）在直线2厕＋γ＋l＝0上运动’则
m2＋则2的最小值为
（
）
∧夸
Ⅱ佰
c÷
u5
6·已知函数γ＝∧卯）单调递增’函数γ＝∧卯—2）的图象
关于点（2’0）对称’实数则’γ满足不等式／（厕2ˉ2卯）＋
∧ˉ2γˉy2）≤0’则z＝卯2＋γ2ˉ6卯＋4y＋14的最小值
为
（
）
A÷
B÷
〔乎
u二
ˉ2＝0的距离为
l5.点P（0’1）在直线α鳃＋y-b＝0上的射影是点
0（1’0）’则直线α则ˉγ＋b＝0关于直线卯＋γˉl＝0
对称的直线方程为
句
l6点（2,0）到双曲线芳ˉγ2＝l的渐近线的距离是
36
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25两点间距离公式的应用
练习日期
答题用时:
错题题号
-、单选题
L设′,0分别为圆腮2杂（yˉ6）:＝2和椭圆蒜广二1
上的点’则P’0两点间的最大距离是
（
）
A.5徊
B｀／z百＋徊
C.7＋√百
D6√回
2.已知空间两点A（l ’α’ ˉ5）’B（2α’ ˉ7’ ˉ2）’则
｜AB｜的最小值是
（
）
A.3何
B2打
C.3√6
D.2√6
3.在△ABC中’乙C＝90。’AB＝2BC＝4’M’Ⅳ是边AB
—＞
～＞
上的两个动点’且｜MV｜＝l’则CM.C／V的取值范
围为
（
）
A｜芋,9｜
B［5’9］
C｜￥,9｜
D｜￥’5｜
4光线从点A（ˉ2’3）射到则轴上’经匆轴反射后经过
点B（4’5）,则光线从A到B经过的路程为
（
）
A.2√I∏
B10
C.2√豆
D.√I可
5.已知等边△ABC的边长为2,P为△ABC内（包括三
条边上）—点’则可. （耐＋而）的最大值是（
）
Ⅱ÷
A.2
u—;
C.0
6.等腰Rt△ABC的直角顶点为C（3’3）’若点A的坐标
为（0’4）’则点B的坐标可能是
（
）
A. （2’0）或（6’4）
B. （2’0）或（4’6）
C. （4’6）
D（0’2）
7若函数y｜＝爵in2鳃｜ˉ罕（哪｜.［0,丽］）函数施＝
鳃2＋3’则（则1—厕2）2＋（y1-y2）2的最小值为（
）
∧粤
B（丽带」8）』
α（而『」腮）2
D（∏ˉ3√可＋I5）2
72
8.设点Pr（匆! ’yb）在直线／《:α狈＋b〃≡cj上’若j（α面＋
b‘）＝c‘（j＝1’2）’且｜PlP2 ｜≥√Z恒成立’则cl＋c2的
值为
（
）
A.2
B4
C.6
D8
9.过点P（ˉ2’0）的直线与抛物线C:γ2＝4卯相交
于▲B两点,且｜PA｜＝＋M‘｜,则点A到原点的
距离为
（
）
A÷
B2
α孕
∏芋
10.已知A（5’2α-1）’B（α＋1’αˉ4）’当｜AB｜取最小
值时’实数α的值是
（
）
Aˉ÷
B—上
2
C÷
D÷
1l.已知γ＝∧卿）是定义在R上的增函数且为奇函数’
若对任意的则’y匡R’不等式／（则2ˉ6匆＋21）＋／（γ2
-8y）＜0恒成立’则当匆＞3时’则2＋y2的取值范
围是
（
）
A. （3’7）
B. （9,25）
C. （l3’49）
D（9’49）
l2.若α’b’c’d匡R’M＝｜√α2＋b2ˉ√Pˉ干丽｜,／V＝
√（αˉC）2＋（6ˉ〃）2’则
（
）
A·″≥Ⅳ
B.″＝／V
C.M≤Ⅳ
D.不能确定’与α’b’c’〃有关
二｀填空题
l3实数则’γ满足3狐2＋2y2＝6则’则√万页万页的最大值
为
l4在平面直角坐标系O″）′中’O为坐标原点’点A（4’0）’
——〉—→—→
-—-〉—〉
--〉
B（0’2）’平面向量O4’OB’OC满足:（2OCˉOA）
. （OC-
—〉
OB）＝0’则对任意t＜0的实数和任意满足条件的向量
而｜而＿士＂ˉ当［hl（＿‘）ˉl］丽｜的最小值
为
!5设·表示自然对数的底数,网数′（瓤）＝宁十甄2ˉ
丁—2…÷α:’当／（源）取得最小值时,实数“的
αe卯
值为
16.已知点A（ˉ2’ˉ2）’B（ˉ2’6）’C（4’ˉ2）’点P坐
标满足腮2＋y2＝4’则｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2的取
值范围是
37
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26平行线间距离公式的应用
错题题号:
答题用时:
练习日期
A.7
B.6
C.5
D4
9.若两平行直线／l :则＋2γ＋m＝0（m＞0）与／2:2卯ˉ＂）
ˉ6＝0之间的距离是佰’则m＋″＝
（
）
A.0
B.
l
C. -2
D· -l
10.光线沿着直线γ＝—3卯＋b射到直线则＋y＝0上’经
反射后沿着直线y＝α则＋2射出’则有
（
）
A“二＋’b＝6
Bα＝—3,』＝÷
Qq＝3,b＝ˉ÷
u“＝—＋,b二—6
l1.若直线′］:2卯ˉγ＋1＝0和直线／2:2绷ˉγ＋t＝0之
间＂距离为竿则』的值为
（
）
A. ˉ3或3
Bˉ1或1
C. ˉ3或1
Dˉl或3
l2.已知m’n’α’b巨R’且满足3m＋4n＝6’3α＋4b＝l
则√（mˉα）2＋（nˉb）2的最小值为
（
）
A.何
B.徊
c!
D÷
二、填空题
l3.如图’矩形ABCD中边AB与卯轴重合’C（2’2）
’
D（ˉ1’2）.从原点O射出的光线OP经BC反射到
CD上’再经CD反射到AD上点Q处.
-、单选题
l.直线厕＿2γ＋1＝0关于直线卯＝l对称的直线方
程是
（
）
A.卯＋2γ-1＝0
B.2卯＋y一l＝0
C.2卯＋y—3＝0
D.卯＋2γ-3＝0
2.两平行直线3卿＋4γ＋3＝0与6卯＋mγˉ4＝0之间的
距离为
（
）
A. 1
B.2
C.3
D。4
3. ll和／2夹角的平分线所在直线的方程为γ＝卵’
如果′1的方程是α卯＋bγ＋C＝0（αb＞0）’那么／2
的方程是
（
）
A.b卯＋αγ＋c＝0
B.α卯-by＋c＝0
C.b卯＋αγ-c＝0
D.b卯＿αγ＋c＝0
4.已知直线3卯ˉ3γ＋3＝0与直线6则ˉmyˉl4＝0平
行’则它们之间的距离是
（
）
』乎
＂粤
‘芋
n罕
5.平行线厕ˉ2γ＝0与狐ˉ2yˉ5＝0之间的距离为（
）
A.5
B旧
C.占
D.2
6.若直线／l :卯＋αy＋6＝0与／2: （αˉ2）绷＋3γ＋2α＝0
平行’则／l与／2之间的距离为
（
）
＾抠
＂竿
c何
n竿
7.两条平行直线3卯＋4γˉ12＝0与α厕＋8γ＋ll＝0之
间的距离为
（
）
喘
B旱
C÷
u等
8.在直角坐标系内’已知A（3’3）是以点C为圆心的
○C上的—点’折叠该圆两次使点A分别与圆上不
相同的两点（异于点A）重合’两次的折痕方程分别
为勿ˉγ＋1＝0和师＋γˉ7＝0’若○C上存在点P’使
得乙MP／V＝90。’其中点M（ˉm’0）、／V（m’0）’则m
的最大值为
（
）
0γ
E
C
D
／＼
d／
／／
（｜）若o′的斜率为÷,则点Q的纵坐标为
（2）若点0恰为线段AD中点’则OP的斜率为
14.已知直线3卯＋4y—3＝0与直线6卯＋′Ⅶγ＋12＝0平ˉ
行’则它们之间的距离是
｜5设…件｛谨j!ˉ』』≥0,鳃成的平面隆域为“
对于o里任意一点（则’y）都在斜率为2的两条平行线
之间’则这两条平行线间的距离的最小值为
l6.已知直线／l :2则＋3mγ＿″!＋2＝0’′2:″!绷＋6γˉ4＝
0’若／l／／／／2’则／l与／2之间的距离为
38
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27圆的方程
练习日期:
答题用时:
错题题号
~
-、单选题
l.圆心为（2’0）的圆C与圆如2＋y2＋4匆ˉ6γ＋4＝0相
外切’则C的方程为
（
）
A.％2＋y2＋4卯＋2＝0
B·几2＋γ2—4卯＋2＝0
C.％2＋γ2＋4卯＝0
D.卯2＋y2-4卯＝0
2.过抛物线γ2＝4卯的焦点F的直线交抛物线于A’B
两点’分别过A’B作准线的垂线’垂足分别为A1 ’B1
两点’以AlBl为直径的圆C过点M（ˉ2’3）’则圆C
的方程为
（
）
A. （绷＋l）2＋（γ—2）2＝2
B（卯＋1）2＋（γ＋1）2≡l7
C. （匆＋l）2＋（yˉ1）2＝5
D. （则＋1）2＋（γ＋2）2＝26
3. （账＋1）2＋（y-1）2＝1的圆心在
（
）
A.第＿象限
B第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.如图所示’点A’B分别在〃轴与γ轴的正半轴上移
动’且AB＝2’若点A从（徊’0）移动到（√Z0）’则AB
的中点D经过的路程为
（
）
8.已知圆C:（卯ˉ3）2＋（γ—4）2＝l与圆M关于卯轴
对称’0为圆″上的动点’当0到直线γ＝厕＋2的距
离最小时’点0的横坐标为
（
）
A2—但
凰2奎但
c3＿f
n3辈罕
2
2
△
9.以抛物线γ2＝8卯上的任意—点为圆心作圆与直线
绷＝ˉ2相切’这些圆必过—定点’则这＿定点的坐
标是
（
）
A. （0’2）
B（2’0）
C. （4’0）
D. （0’4）
l0.与直线卯ˉγ-4＝0和圆卯2＋y2＋2卯ˉ2γ＝0都相
切的半径最小的圆的方程是
（
）
A. （匆＋l）2＋（γ＋1）2＝2
B. （则ˉ1）2＋（y＋1）2＝4
C（则ˉl）2＋（γ＋1）2＝2
D. （则＋l）2＋（γ＋1）2＝4
∩
u以抛物线γ2＝20獭的焦点为圆心′且与双曲线荒—
『≡1的两条渐近线都相切的圆的方程为
（
）
A.卯2＋y2-20卯＋64＝0
B.卯2＋γ2—20卯＋36＝0
C。卯2＋γ2-10卯＋l6＝0
D尤2＋γ2-10卯＋9＝0
l2.γr匡R’ ［』］表示不大于t的最大整数’如［0.99］＝
0’［ˉ0. 1］＝ˉ1 ’且γ卯巨R’／（则）＝／（卯＋2）’V如e
［ˉ l, l
］,／（“）＝＋—
｜
＂
｜,定义;D＝
｛（撼,』）
｛（鳃＿h］）』汀』≤士.疟［ˉ」,3］｝若（磁,
b）巨D’则／（α）≤b的概率为
（
）
＾÷
凰÷六
c＋六
u÷十六
二、填空题
l3△川BC为等腰直角三角形,A＝;’BC＝2｀M是
△ABc内的＿点’目满足△』删c＝宁,则｜ME｜的最
小值为
℃
Ⅶ
｜
｜
｝
β
卜急＼
＞
义
ˉ
〃
血
『
■
《
O
A哥
B牙
C÷
n舌
5.若平面内两定点A’B间的距离为2’动点P与A’B
距离之比为√Z当P’A’B不共线时’△PAB面积的最
大值是
（
）
＂2但
β仁
o竿
u罕
6.已知A（—3’0）’B（0’4）’点C在圆（则-m）2＋γ2＝l
上运动,若△ABC的面积的最小值为:则实数咖的
值为
（
）
A÷或号
儡＿号或÷
αˉ÷或号
uˉ早或—＋
7.已知圆（勿ˉ2）2＋（γ＋1）2＝l6的—条直径通过直
线“—2γ＋3＝0被圆所截弦的中点’则该直径所在的
直线方程为
（
）
A.3卯＋γ-5＝0
B.卯-2γ＝0
C.卯-2γ＋4＝0
D.2％＋γ-3＝0
l4已知圆C的圆心在坐标原点’截直线则ˉ9y＋4l＝0
所得的弦长为｀／∏Zˉ’则该圆的方程为
.
l5设咖＞0』双曲线M子ˉ广-」与圆″;露:＋（』＿
m）2＝5相切’A（ˉ石’0）’B（石’0）’若圆Ⅳ上存在
＿点P满足｜PA｜
— ｜PB｜＝4’则点P到厕轴的距离
为
l6.以抛物线γ2＝8则的焦点为圆心且与直线脑-y＋2＝
0相切的圆中’最大面积的圆方程为
.
39
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28点、线｀圆的位置关系
错题题号:
答题用时:
练习日期:
-、单选题
｜
A. l
B2
C.3
D4
｜巳知圆c!（鳃＿酗』）2＋（γ＿2·）』-计（“霍R）,考虑
｜＂动直线′:……-0（顾筐R）与圆c;甄型带广ˉ烈;
｝
＋4yˉ4＝0交于点A’B’则弦AB最短为
（
）
下列命题:@圆C上的点到（4’0）的距离的最小值为
｜
｛
A.2
B.2石
C.6
D.4√面
号;@阀c上存在点P到点（÷,0）的距离与到直线
｜9巳知直线4鳃ˉ3γ＋α＝0与。o;腮:＋广＋4瓣＝0相交于
｜
A,B两点,且么AOB＝］20。,则实数α的值为
（
）
＂＝÷的距离相等;o已知点A（÷’0）,在圆c上
｝｛
A.3
B10
C. ll或2l
D3或13
存在—点尸’使得以州P为直径的圆与直线濒＝告相
｝l0已知两点A（α,0）,B（＿α,0）（“＞0）若曲线腮2＋
切其中真命题的个数为
（
）
｜
γ2—2徊”—2γ＋3＝0上存在点P,使得△APB＝
｜
90。’则正实数α的取值范围为
（
）
A.0
B. l
C.2
D.3
｜
A. （0’3］
B［1’3］
C. ［2’3］
D. ［1’2］
2巳知双曲线c;蒜—芳二1（砸＞0）的左焦点′在
;
｜
l1.已知过定点P（2’0）的直线′与曲线y＝√Zˉ＝万页相
圆匆2＋y2ˉ2卯ˉ6yˉ15＝0上’则双曲线C的离心率
｝
交于A’B两点’O为坐标原点’当S△AoB＝1时’直
为
（
）
｝
线／的倾斜角为
（
＾÷
＂÷
α乎
u;
｜
＾屿0·
凰｜蓝.
〔」20.
∏不存在
3在圆鳃2辩广ˉ2鞭—6Ⅱ＝0内,过点E（0,1）的最长弦
｜12巳知P为椭圆子苦＝!上—个动点｀过点′作隙｜
和最短弦分别为AC和BD’则四边形ABCD的面积
｝
（卯＋1）2＋γ2＝1的两条切线’切点分别是A’B’贝｜
（
）
｜
可.而的取值范围为
（
｀
为
｜
A｜;,十蹿）
B｜÷,普｜
A.5抠
B. 10√可
C. l5√页
D.20抠
4直线』:脑-y＋k＋1＝0与圆卯2＋γ2≡9交于A’B两
｜
点’且M‘｜＝6,过点」,B分别作』的垂线与γ轴交
｜
c｜2徊＿3,普｜
n［2徊—3,＋.°）
于点M″则｜M｀′｜等于
（
）
｝二填空题
A.4抠
B.8
C.6√历
∏8徊
｜
l3在平面直角坐标系獭Oγ中,已知圆C;（卿＋l）2＋广二2
5.直线γ≡脑＋3与圆（卯ˉ2）2＋（γˉ3）2＝4相交于M’Ⅳ
｜
｜
点A（2’0）’若圆C上存在点M’满足M42＋MO2≤l（）
两点’若｜／｜′∧′｜≥2归’则∧的取值范围是
（
）
｛
则点M的纵坐标的取值范围是
』｜＿÷,0｜
Ⅲ｜＿孵｜
; ｜4巳知直线腮—γ十6二0与圆撼…』-9交于不同哪
｝
两点d,‘若o是坐怀原点,且｜丽Ⅷ｜≥f｜励
c［＿口何］
u｜—÷,0｜
｜
则实数b的取值范围是
6双曲线篮2÷!（』＞0）的＿条渐近线戳圆蜒』＋
｝15过点A（2.何）且与″;腮2十,』ˉ4榴切的直线方程为
广ˉ4y＝0为弧长之比是1:2的两部分’则双曲线的
｜
离心率为
（
）
｝
l6.在平面直角坐标系则Oγ中’若圆Cl :匆2＋（yˉ1）2＝
A.2徊
B.2
C.何
D.旧ˉl
｜
r2（r＞0）上存在点P’且点P关于直线卯-γ＝0的
7.圆（则ˉ3）2＋（γˉ3）2＝9上到直线3匆＋4γ—11＝0
｜
对称点0在圆C2: （卯一2）2＋（γˉl）2＝1上’则′
的距离等于1的点的个数为
（
）
｜
的取值范围是
.40°
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29盲线与国的综台应用
练习日期:
答题用时
错题题号:
-｀单选题
1若直线′:α卯ˉ6γ＝2（α＞0’b＞0）平分圆卯2＋γ2ˉ
2瓣＋4γ＝0则÷＋＋的最小值为
（
）
A.2√2
B.2
C÷（3＋2徊）
U3十2抠
2.若对圆卯2＋广＝1上任意一点p（则’y）’ ｜3则—4γ＋α｜
＋
｜3卯ˉ4γ≡9｜的取值与绷’y无关’则实数α的取值范
围是
（
）
A.α≤-5
B·
—5≤α≤5
C.α≤＝5或α≥5
Dα≥5
3.已知直线／:y＝厕＋α将圆匆2＋y2＝4所分成的两段
圆弧的长度之比为1:2’则实数α＝
（
）
A.√2
B.
ˉ√面
C. ±徊
D. ±2√百
4已知圆C:则2＋γ2ˉ2α勿-2bγ＋α2＋b2＝1＝0（α＜0）
的圆心在直线√g沈—γ＋何＝0上’且圆C上的点到直
线伍＋γ＝0的距离的最大值为1＋√可’则α2＋62的
值为
（
）
A. l
B.2
C.3
D.4
5.已知圆Cl :（卯＋2α）2＋γ2＝4和圆C2:卯2＋（yˉb）2＝
!只有—条公切线若α,b巨R且α6≠0则÷＋卢的
最小值为
（
）
A.2
B.4
C.8
D.9
6.圆卯2＋γ2-4卯ˉ4γˉl0＝0上的点到直线狐＋y-8＝
0的最大距离与最小距离的差是
（
）
A. l8
B6√2
C.5√百
D.4√百
7.圆厕2＋γ2ˉ2卯-8y＋13＝0的圆心到直线α“＋γˉ1＝
0的距离为1’则α＝
（
）
A2
Ⅱ何
cˉ寸
nˉ÷
8.直线／:匆＋4y＝2与圆C:匆2＋y2＝1交于A’B两点’
O为坐标原点’若直线OA’OB的倾斜角分别为α’β’
则coSα＋cOsβ＝
（
）
A.坚
Bˉ号
cˉ告
D告
17
9巳知直线′的倾斜角为;耐,直线′!经过点A（3,2）,
B（α’ˉl）’且／1与／垂直’直线／2:2″＋bγ＋1＝0与
直线′1平行’则α＋6等于
（
）
A. -4
B·
—2
C.0
D.2
l0巳知圆″过定点（0’l）且圆心删在抛物线γ＝÷瓣2
上运动’若“轴截圆″所得的弦为｜PQ｜’则弦长
｜P0｜等于
（
）
A.抠
B.2
C.3
D4
ll.已知圆C:（则ˉ√可）2＋（yˉ1）2＝l和两点A（ˉ′’
0）’B（t’0）（′＞0）’若圆C上存在点P’使得乙APB＝
90。’则当t取得最大值时’点P的坐标是
（
）
＾（÷,乎）
＂（乎÷）
0（;｀碉
Ⅱ（竿÷）
l2.已知点A（ˉl’ˉl）.若曲线T上存在两点B’C’使
△ABC为正三角形’则称T为“正三角形曲线”.给
定下列三条曲线:
@鳃＋γˉ3＝0（0≤则≤3）;@匆2＋γ2＝2（—徊≤则≤
0’y≥0）;oy＝上（则＞0）.
勿
其中’“正三角形曲线”的条数是
（
）
A.0
B· 1
C。2
D.3
二、填空题
l3曲线y＝z芒I在点（l,l）处的切线为′’则′上的点到
圆匆2＋广＋轨＋3＝0上的点的最近距离是
14已知直线y＝α卿与圆C:卿2＋y2-2α”-2y＋2＝0交
于A’B两点’且△C4B为等边三角形’则圆C的面
积为
15.圆“2＋γ2＝4内任意—点p’则p到直线厕＋γ＝l
的距离小于夸的概率为
到）……
l6.设命题p:
题q:（卯ˉ3）2＋y2≤25（卯’y巨R）.若p是q的充分
不必要条件’则k的取值范围是
·41
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30算注与流程图
错题题号:
答题用时
练习日期
圃
~↓~~
-、单选题
1.在如图所示的程序框图中’若输出的S＝2048’则判
断框内可以填人的条件是
（
）
~
｜s＝0』″＝l,′＝l
｜~
『＋l／〃
至
↓
二′＋l
（宁剑
／＝l,S＝2
’＝J
司
巨
【
ˉ
人
输出S
雨
~
Ⅲ
『
庐
巨
2S
否
宝
输出s
s＝
二
~
］
＋
■
『
□
仆~~
■
■
『
■
A. ′≥1l?
B。j≥l0?
C. j≤10?
Dt＞9?
2.执行如图所示的程序框图’那么输出的S值是（
）
结束
A.Ⅶ＝∏＋1’b＞7?
B.Ⅶ＝几＋2,j＞6?
C.∏＝n＋2,t＞7?
D.见＝Ⅶ＋2’j＞8?
5.我们可以用随机模拟的方法估计∏的值’如下程序框
图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的酮
数’它能随机产生（0’1）内的任何＿个实数）’若输出
的结果为527’则由此可估计∏的近似值为（
）
开始
工
S＝2
工
片＝0
刁
~‖
＜2008
是
］
面~~
Ⅳ
输出S
雨
k＝∧＋l
A÷
Bˉl
C.2018
D2
3.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名
著《九章算术》中的“更相减损术’’ ’执行该程序框
图’若输人α’b的值分别为l0’4’则输出的α为
（
）
A126
B.3. 132
C。3. 15l
D。3. 162
6.执行如图所示的程序框图’若输出的结果为S＝42’
则判断框内应补充的条件为
（
）
黑
」
晒
甲
早
界J;＞五
仁『
久匹
α＿b
｜
｜
b＝
｜
A.0
B. l4
C.4
D2
4如图给出的是计算l＋＋＋＋＋…＋古的值的—个
程序框图’则图中执行框中的@处和判断框中的@
处应填的语句是
（
）
42°
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A· ′＞5
B. t≥5
C. t≥7
D′＞7
7.若［卿］表示不超过卯的最大整数’则图中的程序框图
运行之后输出的结果为
（
）
l0.执行如图的程序框图,若输出S的值为55’则判断
框内应填人
（
）
甲
S＝0’″＝l
｜
｜
∩
乙
『
′
×
■
厂
｀
〗
』
′
］
S＝S＋（
″＋l
″≡≡
玉
＜20l6
＜2
～
是
否
输出S
∧
—
＂
｜
＋
∏
~~
『
S＝S＋
｜
是↓
输出S
结束
~~
∧
k＋l
结束
A.48920
B.49660
C.49800
D51867
8.当′』＝4时’执行如图所示的程序框图’输出的S值
为
（
）
A.门≥9?
B.川≥10?
C.几≥11?
D刃≥12?
11.如图是＿个算法流程图’若输人′』的值为13’输出S
的值是46’则α的取值范围是
（
）
因堕
0
输人′′
—厂
S＝0
｜
｜k二l』s二0
｜
否
≥α?
梅
＝S＋″
″
S＝
″-l
″＝二
输出S
／
／
A.9≤α＜10
B.9＜α≤l0
C. l0＜α≤l1
D.8＜α≤9
12.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有＿首诗:
“我有—壶酒’携着游春走’遇店添＿倍’逢友饮—
斗’店友经四处’没了壶中酒’借问此壶中’当原多
少酒?”用程序框图表达如图所示’即最终输出的
则＝0’则—开始输人的狮的值为
（
）
A.6
B。8
C。14
D。30
9.执行如图所示的程序框图’若输人α＝5’b＝2’则输
出的j为
（
）
X＝2x
1
］
｜
干
【
~
′
卫
沁
盯
厂
●
』
＞
否
A。3
C.5
B.4
D.6
结束
·43
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如图所示的茎叶图为高三某班54名学生的政治考
试成绩’程序框图中输人的αl ’α2’…’α54为茎叶图
中的学生成绩’则输出的S和″的值分别是
l5
B器
D釜
〕
—
斗
了
—
日
■
∧
◎
二、填空题
13.我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上
~
4
3
6
7
8
5
0
1
2
3
3
6
8
9
9
解决不定方程的第一人’他在《张丘建算经》中给出
＿个解不定方程的百鸡问题,问题如下:鸡翁一’值
钱五’鸡母一’值钱三’鸡雏三’值钱—.百钱买百
鸡’问鸡翁母雏各几何?用代数方法表述为:设鸡
翁、鸡母｀鸡雏的数量分别为卿’y’z’则鸡翁｀鸡母、
［!｀蓟＂侧酌.
鸡雏的数量即为方程组
其解题过程可用框图表示如图所示’则框图中正整
6
0
0
1
3
4
4
6
6
6
7
8
7
0
1
2
2
3
4
5
5
6
7
7
7
8
9
9
8
0
0
2
3
4
4
5
5
5
6
7
9
9
0
4
6
晒
｜S＝0’″′＝0,″＝0,′＝l｜
↓
／输人αl,α2,＝｀α54／
数′网的值为
否
≥80?
开始
工
『＝l
α
＋
｜
是
否
＜60?
＜
±」｜｜″≡″＋l
＋l
＜们?
丁宴
二I∏
王
／＜
＋1
′
~~
′
否
｀
—
毛
卫
瑞
’
□
科
＞
·
＝
』
β
5-7／
｜z＝l00—xˉγ｜
↓
／输出x’’’z／
↓
｜
j＝j＋l
｜
l6.执行如图所示的程序框图’若输出的s＝20l7’则正
整数T＝
.
l4执行如图所示程序框图’输出的S为
甲
罕
∑
一
了
~~
∏
］
~~
■
■
■
丹
｜s＝0火＝l,j＝l
｜~
—蜜↓
｜
5＝∑±上
′
＝·
~~
∏
.44·
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3‖
抽样
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-、单选题
l.随着中央决定在海南省全岛建立自贸区的政策公布
以来’海南各地逐步成为投资热点.有24名投资者
想到海南某地投资’他们年龄的茎叶图如图所示’先
将他们的年龄从小到大编号为lˉ24号’再用系统
抽样方法抽出6名投资者’邀请他们到海南某地实
地考察.其中年龄不超过55岁的人数为
（
）
A.26
B·28
C·30
D32
5.下列说法中正确的是
（
）
A.先把高三年级的2000名学生编号:1到2000,再
从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学
生’其编号为m’然后抽取编号为m＋50’m＋100’
m＋150…的学生’这样的抽样方法是分层抽样法
B线性回归直线｝＝j则＋d不—定过样本中心点
（万’y）
C.若两个随机变量的线性相关性越强’则相关系数′
的值越接近于1
D.若—组数据l’α’3的平均数是2,则该组数据的方
〕
斗
日
β
9
0
1
1
2
5
1
3
6
6
7
7
8
8
8
9
0
0
l
2
3
3
4
5
｜
A. l
B2
C.3
D.不确定
2.某中学有高中生3000人’初中生2000人’男、女生
所占的比例如图所示.为了解学生的学习情况’用分
层抽样的方法从该校学生中抽取＿个容量为＂的样
本’已知从高中生中抽取女生21人’则从初中生中
抽取的男生人数是
（
）
差是;
6某校高中部共Ⅶ名学生’其中高一年级450人’高三
年级250人’现采用分层抽样的方法从全校学生中
随机抽取60人’其中从高＿年级中抽取27人’则高
二年级的人数为
（
）
A.250
B.300
C.500
D1000
7.某单位共有老｀中｀青职工430人’其中青年职工160
人’中年职工人数是老年职工人数的2倍为了解职
工身体状况’现采用分层抽样方法进行调查’在抽取
的样本中有青年职工32人’则该样本中的老年职工
人数为
（
）
A.9
B. 18
男
女
女
70％
男
60％
高中生
初中生
｜
工身体状况’现采用分层抽样方法进行调查’在抽取
A. l2
B. l5
｜
的样本中有青年职工32人’则该样本中的老年职工
C.20
D·2l
｜
人数为
（
）
3某学校在高—新生人学后的—次体检后’为了解学
｜
A~9
Bl8
生的体质情况’决定从该校的l000名高＿新生中采
｜
C27
D36
用系统抽样的方法抽取50名学生进行体质分析’已
｜8某学校有2500名学生其中高—l000人’高二900
知样本中第—个编号为007号’则抽取的第10个学
｝
｜
人’高三600人’为了了解学生的身体健康状况’采
生的编号为
（
）
｜
用分层抽样的方法,若从本校学生中抽取100人』从
A· 107
B.097
｜
高—和高三抽取样本数分别为α’b’且直线α卯＋bγ＋
C.207
Dl87
4某工「生产丁60个零件,现将所有零件随机编号｀
｝
3≡0与以削（」,＿｜）为圆o的圆交丁B,c两点,且
用系统抽样方法’抽取＿个容量为5的样本.已知
｜
乙BAC＝120。’则圆C的方程为
（
）
4号、］6号40号｀52号零件在样本中,则样本中还
｜
A~ （鳃—l）2＋（γ＋l）2＝1
有—个零件的编号是
（
）
｝
B（卿ˉ1）2＋（y＋1）2＝2
·45.
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二、填空题
l3.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲
持钱五百六十’乙持钱三百五十’丙持钱—百八十’
凡三人俱出关’关税百钱’欲以钱数多少衰出之’问
各几何?”其意为:“今有甲带了560钱’乙带了350
钱’丙带了180钱’三人一起出关’共需要交关税
100钱’依照钱的多少按比例出钱”’则丙应出
钱（所得结果四舍五人’保留整数）.
c（膊—l）:＋（γ＋l）2二普
n（涎ˉ1）』＋（γ＋l）2＝借
9.某校有学生1500名’其中高二年级500名’打算从
全校学生中抽取一个容量为30的样本’若考虑用分
层抽样’则高二年级应抽取
（
）
A.30人
B.20人
C. 10人
D.5人
10.某工厂甲’乙’丙三个车间生产了同一种产品’数
量分别为600件’400件’300件’用分层抽样方
法抽取容量为则的样本,若从丙车间抽取6件’
则＂的值为
（
）
A。l8
B20
C.24
D26
l1.福利彩票“双色球”中红球的号码可以从0l’02’03’
…’32’33这33个二位号码中选取’小明利用如图
所示的随机数表选取红色球的6个号码’选取方法
是从第l行第9列和第10列的数字开始从左到右
依次选取两个数字’则第四个被选中的红色球号
码为
（
）
14.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有l50,150’400’
300名学生.为了解学生的就业倾向’用分层抽样的
方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调
查’则应从丙专业抽取的学生人数为
15.某校从高三年级中随机选取200名学生’将他｛｜］
的一模数学成绩绘制成频率分布直方图（如
图）.由图中数据可知α＝
.若要从成绩
在［l20’l30）
’ ［l30’l4（））
’ ［140’l50］三组内的
学生中’用分层抽样的方法选取l8人参加＿项
活动’则从成绩在［l30’140）内的学生中选取的
人数应为
髓＿厂—
q〈
≡√
8l4723686393l79（）l269868l62935060913375856l3985
063235924622541002784982l886704805468815192049
（）.0
α｜＝■■·■＝■＝＝引｜■■＝｛-
■■＝■■
B33
A. 12
＝
二
＝
＝
■
＝
＝
｜
户
｜
＾
‖
Ⅷ
γ
～
0.0
』■■＝■■
~~~
C.06
D. 16
12.已知某学校有l680名学生’现在采用系统抽样的
方法抽取84人’调查他们对学校食堂的满意程度’
将1680人’按l ,2’3’…’l680随机编号’则在抽取
的84人中’编号落在［61’l60］内的人数为（
）
A.7
B.5
（）.（）
（）.（）
可
■＝＝
［
h
■
■■■
＝■■
≡
＝
O
100
］l0
l20
l30
l40
l50
成绩／分
l6.A公司有职工代表l20人’B公司有职工代表l00
人’现因A’B两公司合并’需用分层抽样的方法在
这两个公司的职工代表中选取ll人作为企业资产
评估监督员’应在A公司中选取
人.
C.3
D.4
.46
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32样本估计整体
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-、单选题
1.近年来’由于大学生不理智消费导致财务方面的新
闻层出不穷’无力偿还校园贷’跳楼自杀也偶有发
生’—时间人们对大学生的消费观充满了质疑为进
—步了解大学生的消费情况’对S城某大学的10000
名（其中男生6000名’女生4000名）在校本科生
按性别采用分层抽样的方式抽取了l000名学生进
行了问卷调查’其中有—项是针对大学生每月的消
费金额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频
率分布直方图.已知在抽取的学生中’月消费金额超
过2000元的女生有150人’根据上述数据和频率分
布直方图’判断下列说法正确的是
（
）
5次数学测试班级平均分数跟踪
90
85
80
75
70
85
85
76
＝
、
√
了
′
第l次第2次第3次第4次第5次
ˉ°ˉA班
ˉ←B班
A.A班的数学成绩平均水平好于B班
B.B班的数学成绩没有A班稳定
C.下次B班的数学平均分高于』班
D.在第＿次考试中’A’B两个班总平均分为78分
3.从某中学甲｀乙两班各随机抽取10名同学’测量他
们的身高（单位:cm）’所得数据用茎叶图表示如下’
由此可估计甲、乙两班同学的身高情况’则下列结论
正确的是
（
）
频率／组距
~~~~~~~~~~~~~
0·080
甲班
≡—
乙
2
5
8
乙班
］
‖
〕
宁
′
＄
了
β
§
］
］
］
］
勺
＝
］
∑
°
β
β
勺
△
〃
斗
’
＄
β
了
0。039
0。027
α
0。0l4
0.0l3
0。004
~~~~~~~~~
A.甲班同学身高的方差较大
B甲班同学身高的平均值较大
C.甲班同学身高的中位数较大
D.甲班同学身高在175cm以上的人数较多
4某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况
用茎叶图表示如图:
Ⅲ■■■
O
5
l0 l52025
3035消费金额（单位:百元）
参考数据与参考公式:
P（K2≥k0）
0. l5
00 10
O05
0°025
0.0l（）
0.＂5
O001
■2072 ｜2706
｜384l ｜丽24雨7879
｜lO828
甲
日
○
‖
‖
乙
—
了
′
∑
＾
‖
n（α〃ˉbC）2
（α＋b）（c＋〃）（α＋c）（b＋〃）’其中′l＝α＋6＋C
K2＝
β
］
∑
］
’
β
〕
丁
］
∑
～
〕
斗
丁
卢
〕
∑
’
β
〕
∩
歹
刁
／
9
9
＋d。
A.月消费金额超过2000元的女生人数少于男生
5
人数
｛
根据上图’对这两名运动员地成绩进行比较’下列四
B所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有
｝
个结论中’不正确的是
（
）
4人
‖
A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
C.样本数据的中位数约为175（）元
｜
B甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中
D.在犯错的概率不超过0. l％的情况下认为月消费
｜
位数
金额在2000元以上的大学生与性别有关
｜
C.甲运动员的得分的平均值大于乙运动员的得分的
2.某校李老师本学期任高＿A班｀B班两个班数学课
｜
平均值
教学’两个班都是50个学生’下图反映的是两个班
｜
D甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
在本学期5次数学检测中的班级平均分对比’根据
｜
5.某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取Ⅶ名
图表信息’下列不正确的结论是
（
）
｜
考生的笔试成绩’作出其频率分布直方图如图所示’
.47.
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已知成绩在［75’80）中的学生有1名’若从成绩在
［75’80）和［90’95）两组的所有学生中任取2名进行
问卷调查’则2名学生的成绩都在［90’95）中的概
率为
（
）
中国仓储指数走势图（％）
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
60.0
58。0
56.0
540
520
50.0
48。0
46°0
440
420
400
频率
组距
箕二I司
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
56789l0lll2l 23456789l0lll2
（）赣（）7
0.06
l 234
20l7年
20l6年
根据该折线图’下列结论正确的是
（
）
A.2016年各月的仓储指数最大值是在3月份
B.2017年l月至12月的仓储指数的中位数为54％
C.20l7年l月至4月的仓储指数比2016年同期波
动性更大
D.20l7年l1月的仓储指数较上月有所回落’显示出
仓储业务活动仍然较为活跃’经济运行稳中向好
9.下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:h）
频率分布直方图’如图:
~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~
0。02
0.0l
O
■■＝＝＝＝臼0＝＝＝＝■□＝＝＝■■■■■
刁
85
90
95 l00分数
A÷
B÷
C÷
n÷
6.在如图所示的茎叶图中’若甲组数据的众数为
14,则甲组数据的平均数与乙组数据的中位数之
和为
（
）
频率~
组距
~
甲
乙
可
△
2
6
9
｜
（）
0。00］
0。00］
］
∑
］
0
日
Ⅺ
刊
』
）
∑
灭
寿命（h）
O
l00200300400500600
A·25
B24
C.21
D.20
7.为了解某校学生的视力情况’随机地抽查了该校100
名学生的视力情况’得到的频率分布直方图如下图’
但不慎将部分数据丢失’仅知道后5组频数之和为
70’则视力在4.6到47之间的学生数为
（
）
其中300～400、400～500两组数据丢失’下面四个说
法中有且只有＿个与原数据相符’这个说法是（
）
@寿命在300～400的频数是90;
@寿命在400～500的矩形的面积是0.2;
o用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为:
150×0. l＋250×0, 15＋350×0.45＋450×0. l55ˉ
550×0. l5;
@寿命超过400h的频率为0.3.
A.o
B.@
C.O
D.@
l0.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程’收集
并整理了20l7年l月至20l7年11月期间“跑团,
每月跑步的平均里程（单位:公里）的数据’绘制了
下面的折线图
频率~
组距
l
0
］
＝
＝
式
视
∑
干
…
日
’
斗
月
斗
丁
斗
β
▲
日
廷
A. l4
B· l6
C.30
D.32
8.为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变
｝
化情况’以及重要商品库存变化的动向’中国物流与
｜
采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调
｜
查’制定了中国仓储指数.如图所示的折线图是2016
｜
年1月至20l7年12月的中国仓储指数走势情况
｜
.48
30（ˉ＿＿＿且跑避坞里程l埋＿＿ˉˉˉˉˉ＿
25
［≡
20
!了~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~
■
】
】
】
■
■
】
■
〗
■
■
l
2
3
4
5
6
7
8
9
l0
ll
月粉
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根据折线图’下列结论正确的是
（
）
A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里
程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在8’9月
D1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11
月’波动性更小’变化比较平稳
l1.如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投＿次）的
条形统计图’其中上面部分数据破损导致数据不完
全已知该班学生投篮成绩的中位数是5’则根据统
计图’无法确定下列哪—选项中的数值
（
）
l4.已知总体的各个个体的值从小到大为:ˉ3’0’3’则’
y’6’8’10’且总体的中位数为4.若要使该总体的方
差最小’则2匆ˉγ＝
l5.某超市统计了＿个月内每天光顾的顾客人数’得到
如图所示的频率分布直方图’根据该图估计该组数
据的中位数为
0.032
0。024
0·02
（）。0l4
0.0l
O
～
l
‖
’
β
了
β
日
斗
〕
∑
］
○
‖
）
次
数
人
（
l02030405060人数
16.某工厂有l2（）名工人’其年龄都在20～60岁之
～
β
间’各年龄段人数按［20’30）
’ ［30’40）
’ ［40’
50）
’ ［50’60］分成四组’其频率分布直方图如图
所示.工厂为了开发新产品’引进了新的生产设
备现采用分层抽样法从全厂工人中抽取—个容
量为20的样本参加新设备培训’培训结束后进
行结业考试.已知各年龄段培训结业考试成绩优
秀的人数如下表所示:
l
2
-一≡
′
3
4
5
投进球数（球）
A.3球以下（含3球）的人数
B.4球以下（含4球）的人数
C.5球以下（含5球）的人数
D6球以下（含6球）的人数
12.若—组数据狐l ’则2’…’卯″的方差为1’则2则1＋4’
2厕2＋4’…’2绷″＋4的方差为
（
）
A. 1
B·2
C.4
D·8
二、填空题
l3.随机抽取100名年龄在［l0’20）’［20’30）’…’［50’
60）年龄段的市民进行问卷调查’由此得到样本的
频率分布直方图如图所示’从不小于40岁的人中
按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人’则在［50’
60）年龄段抽取的人数为
~
频率
组距
二二二厂
0.035
0.030
0。（）20
0。0］5
频率~
组距
~~~~~~~~~~~
0.025
0。020
0.0l5
O
二二厂
2030405060年龄（岁）
若随机从年龄段［20’30）和［40’50）的参加培训工
人中各抽取1人’则这两人培训结业考试成绩恰有
1人优秀的概率为
＝＝■0
＝＝＝
■＝■■＝＝■
（）。005
~~~~~~~
~~~~~~
Ol02030405060年龄
·49
年龄分组
［20’3（））
［30’40）
［4（）’50）
［50’60］
培训成绩优秀人数
5
6
2
1
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33古典概型
错题题号:＿
ˉ
答题用时:
练习日期:
-｀单选题
｜
321
42l
l91
925
271
932
800
478
‖我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了
｝
589
663
53｜
297
396 02l
546
388
世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶
｜
230
ll3
507
965
数可以表示为两个素数的和’’ ’如30＝7＋23.在不超
｜
据此估计’小李三次打靶恰有两次命中的概率为
过30的素数中’随机选取两个不同的数’其和等于
｜
（
）
30的概率是
（
）
｝
A.0.25
B0.30
A七
B☆
｝
cα35
n040
｜
6.为了弘扬我国优秀传统文化’某中学广播站在中国
c古
n六
｛
传统节日;春节,元宵节,清明节,端午节,中秋节五
｜
个节日中随机选取2个节日来讲解其文化内涵’那
2.有4位游客来某地旅游’若每人只能从此处甲、乙｀
｜
丙三个不同景录点中选择＿处游览,则每个景点都
｜
么春节和端午节至少有l个被选中的概率是（
）
｜
A.0.3
B·0.4
有人去游览的概率为
（
）
｜
｜
C.0。6
D0.7
A÷
B揣
｜7〈中国诗词大会》节日以·』赏中华诗词｀寻文化墓因
｜
品生活之美｀为宗旨’邀请全国各个年龄段各个领
C÷
D÷
｜
域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛现组委会
3.从3名男生和2名女生共5名同学中抽取2名同学’
｜
要从甲、乙等5位候选参赛者中随机选取2人进行
若抽到了1名女同学’则另1名女同学也被抽到的
｜
比拼’记“甲被选上且乙未被选上”为事件A’则事件
概率为
（
）
｜
A的概率为
（
）
A六
B÷
｜…
凰α4
｜
C.0.5
D0.6
α＋
D÷
旧党的十儿大报告指出,建设敦育强国是中华民族伟
4一个正三棱锥的四个面上分别标有数字—2,—l
’
｜
大复兴的基础工程′必须把教育事业放在优先位置
l ,2’随机抛掷—次,记向下一面的数字为＂’则函
｜
深化教育资源的均衡发展现有4名男生和2名ˉ贞
｝
生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教.将这6
数γ＝—＋狮』＋＂厕在［l , ＋唾）上为减函数的概
｜
名毕业生全部迸行安诽每所学校至少安排2名』模
率为
（
）
｜
业生.则每所学校男女毕业生至少安排l名的概罐
｜
为
（
）
A去
B÷
｝
A去
Ⅱ÷
c÷
u1
｝
c罢
p÷
5.已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40％’现采
｜
用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中
｜
9.中国人民银行发行了20l8中国戊戌（狗）年金银纪
靶心的概率先由计算器产生0到9之间取整数值
｜
念币一套’如图所示是＿枚3克圆形金质纪念币’直
的随机数’指定0’1’2’3表示命中靶心’4’5’6’7,8’9
｜
径l8mm’小米同学为了算图中装饰狗的面积,他用
表示未命中靶心’再以每三个随机数为＿组’代表三
｜
l枚针向纪念币上投掷500次’其中针尖恰有l50次
次打靶的结果’经随机模拟产生了如下20组随
｜
落在装饰狗的身体上’据此可估计装饰狗的面积大
机数:
｜
约是
（
）
.50.
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l2。我们可以利用计算机随机模拟方法计算γ＝绷2与
y＝4所围成的区域o的面积.先利用计算机产生两
个在区间［0’1］内的均匀随机数αl ＝RAND’bl＝
RAND’然后进行平移与伸缩变换α＝4αlˉ2’6＝
46l ’已知试验进行了100次’前98次中落在所求面
积区域内的样本点数为65’最后两次试验的随机数
为αl＝0.3’bl＝0.8及α1＝0.4’bl＝0.3’则本次随
机模拟得出D的面积的近似值为
（
）
A10,4
B. l0·56
C。10.61
Dl0.72
二、填空题
l3.某公司安排6位员工在元旦假期（l月1日至1月3
日）值班’每天安排2人’每人值班—天’则6位员
工中甲不在1月1日值班的概率为
3克圆形精制金质纪念币背面图案
A竿mm2
R等mm』
c竿mm2
n芋mm』
10.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球
的不透明口袋中’随机摸出2个小球’则这2个小
球同色的概率是
（
）
,
B÷
Aˉ二
3
7
C亏
D÷
1l.《九章算术》中将底面为长方形且有—条侧棱与
底面垂直的四棱锥称之为“阳马” ’将四个面都
为直角三角形的四面体称之为“鳖懦”.在如图
所示的阳马PˉABCD中’侧棱PD上底面ABCD’
从A’B’C’D四点中任取三点和顶点P所形成的
四面体中’任取两个四面体’则其中一个四面体
为鳖懦的概率为
（
）
l4.已知α’b’c为集合A＝｛l ’2’3’4’5｝中三个不同的
数’通过如图所示算法框图给出的算法输出＿个整
数α’则输出的数α＝5的概率是
／输人“b,√
~~↓~
「Z百贡］
l5.我国古代数学名著《九章算术》有‘‘米谷粒分”题:
粮仓开仓收粮’有人送来米1534石’验得米内夹
谷’抽样取米—把’数得254粒内夹谷28粒’则这批
米内夹谷约为
石（精确到小数点后＿位
C
‘4
ˉB
数字）.
16.四张扑克牌上分别写有“战”“狼”“2’’“火”这四个
字’则随机从这四张牌中抽取两张’恰好抽中的两
张牌能拼成“战狼’’二字的概率为
A÷
C÷
7
R亏
D.旦
l（）
.5］
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3q几何概型
错题题号:
答题用时:
练习日期:
B÷
］
—
∑
］
—
斗
■
∧
○
-、单选题
1＿个圆形电子石英钟由于缺电’指针刚好停留在
8:20整’三个指针（时针、分针｀秒针）所在射线将时
钟所在圆分成了三个扇形’—只小蚊子（可看成是—
个质点）随机地飞落在圆面上’则恰好落在时针与分
针所夹扇形内的概率为
（
）
勺
～
—
气
√
●
Ⅱ
｜
γ≥卯
｜雾‖壹」
｜腮″
4在平面区域M＝
内随机取＿点
P’则点P在圆卯2＋γ2＜2内部的概率是
（
）
A号
B牙
o:
u宁
5.已知圆柱OO′的底面半径为l ’高为6’若区域″
表示圆柱OO′及其内部’区域Ⅳ表示圆柱OO′内
到下底面的距离大于1的点组成的集合’若向区
域M中随机投一点’则所投的点落人区域Ⅳ中的概
率为
（
）
A÷
B÷
c÷
D÷
6.在区间［ˉ2’2］上任取一个数α’则函数／（卯）
＝;
｜卯2ˉ4卯＋3-α｜＋α在则匡［0’4］上的最大值是3的
概率为
（
）
A÷
B÷
A晶
Ⅲ÷
c晶
u击
2《九章算术》勾股章有一“弓｜蔑赴岸”问题:“今有池
方一丈’霞生其中央’出水两尺’引蔑赴岸’适与岸
齐.问水深｀霞长各几何. ”其意思是:有＿水池一丈
见方’池中心生有—颗类似芦苇的植物’露出水面两
尺’若把它引向岸边’正好与岸边齐（如图所示）’问
水有多深’该植物有多长?其中一丈为十尺若从该
霞上随机取一点’则该点取自水下的概率为（
）
~~~~~~~~＼
｜
c÷
D÷
｜7巳知在矩形ABCD中,AB＝2AD,现在矩形ABCl〕
｜
内任意取一点M’则｜AD｜
＜｜AM｜
＜｜AB｜的概
｝
率为
（
）
｜
＾旦需,
凰6铲
｜
q3男＂
u2气＿∏
｜
8.三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了＿幅“勾股圆
｜
方图’’ ’用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证
｜
明.如图所示的“勾股圆方图’’中’四个全等的直角三
｜
角形与中间的小正方形拼成＿个大正方形’其中一
52.
A盖
B器
c借
u肾
3.如图’在正六边形ABCDEF内随机取—点’则此点取
自阴影部分的概率是
（
）
A
F
÷
G
E
B
■
D
C
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巧板拼成的正方形’在此正方形中任取＿点’则此
点取自阴影部分的概率是
（
）
A
D
个直角三角形中较小的锐角α满足…≡;’现向
大正方形内随机投掷—枚飞镶’则飞镶落在小正方
形内的概率是
（
）
B
C
A荒
＂÷
C÷
n士
l2. “rand0’’是计算机软件产生随机数的函数’每调用
＿次rand0函数’就产生＿个在区间［0’1］内的随
机数我们产生厕个样本点P（α’b）’其中α＝2。
rand0ˉl ’b≡2. rand0＝l.在这Ⅶ个样本点中’满
足α2＋62＝rand0的样本点的个数为′′l’当′!足够
大时’可估算圆周率∏的近似值为
（
）
A.缸
B晶
几
C.业
u蔬
′n
二｀填空题
l3.已知M＝｛（则’y）
｜｜则｜≤2’ ｜γ｜≤2｝,点P的坐标为
（卯’y）’则当p巨M时’满足（卿ˉ2）2＋（yˉ2）2≤4
的概率为
A会
B云
c去
u去
9.把—根长为6米的细绳任意做成两段’则稍短的—
根细绳的长度大于2米的概率是
（
）
A÷
B÷
C÷
u＋
10.如图所示的程序框图’则满足y≤卯3的输出有序实
数对（则’y）的概率为
（
）
／输人实数x,√
否
’
二
’
≈
≤
′
〕
＋
Ⅺ
二
14已知平面区域D≡｛（绷’γ）｜0≤绷≤∏’0≤γ≤1
｝’现
向该区域内任意掷点’则点落在曲线y≡COS2勿下方
的概率为
是
否
∩
尸
■
］
刀
≤
）
曰
正
／输1
／
γ
’
Ⅺ
』
』
15.从区间［0’2］内随机抽取2Ⅶ个数卯l ’勿2’…’卿″’
y1 ’γ2’ .
. . ’γn’构成厕个数对（匆1 ’γl
）
’
（卯2’
γ2）’…’（绷″’γ＂）’其中两数的平方和小于1的数
对共有m个’则用随机模拟的方法得到的圆周率∏
的近似值为
~~｜~
〖嗣
A六
B聂
c÷
u＋
l1七巧板是我们祖先的—项创造’被誉为“东方魔
板”’它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三
角形｀—块中三角形和两块全等的大三角形）、＿块
正方形和＿块平行四边形组成的如图是—个用七
16.小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交
站搭乘公交车去上学’已知在这段时间内’共有2
班公交车到达该站’到站的时间分别为7:05’7:15’
如果他们约定见车就搭乘’则小赵和小王恰好能搭
乘同—班公交车去上学的概率为
·53
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35三角函数的概念与计算
错题题号:
答题用时:
练习日期
~
8.角α的终边经过的一点P的坐标是（—√可’α）
’
则‘ ｜α｜＝l”的充要条件是
（
）
l
徊
A. sinα＝页
Bcosα＝ˉ百
√可
C. tanα＝ˉ亏
D. ｜PO｜＝徊＋l
O
9.下列命题中正确的是
（
）
A.终边在则轴负半轴上的角是零角
B.三角形的内角必是第＿、二象限内的角
C.不相等的角的终边一定不相同
D.若β＝α＋k·360。（∧巳Z）’则α与β终边相同
10.在平面直角坐标系中’直线γ＝√∑‘与圆O:卯2＋
γ2＝l交于A’B两点’α’β的始边是卯轴的非负
半轴,终边分别在射线OA和OB上’则tan（α＋
β）的值为
（
｀
A. ˉ2√豆
Bˉ徊
C。0
D.2仁
1l.已知点P（4’ˉ3）在角甲的终边上’函数／（则）二
sin（@卿＋甲）（（O＞0）图象上与γ轴最近的两个对称
中心间的距离为;,则j（;）的值为
（
）
｀乎
凰ˉ等
〔需
uˉ捐
12.已知点M在角q终边的延长线上’且｜OM｜＝2’贝｜
″的坐标为
（
）
A. （2cosq’2sinq）
B. （-2cosq’2sinq）
C. （一2cosq’ˉ2sinq）
D（2cosq’ˉ2sinq）
二｀填空题
!3巳知0匡（＿子0）若…-粤则慰m0等于
l4.若二项式（tan甲＋卯）6的展开式中’卯5的系数为］
-｀单选题
l巳知α匡（:,宁）,α二息i＂鳃,b＝…,c＝…,那么
α’b’c的大小关系是
（
）
A.α＞6＞c
B.b＞α＞c
C.α＞c＞b
D.c＞α＞b
2.函数y＝lg（2sin绷ˉl）的定义域为
（
）
＾｛獭｜肺＋;…丽￥』k匡z｝
＂｛鳃｜肺骨＜鳃＜肺带午’臆匡z｝
〔｛颜｜2肺十苦…2腮丽＋宁,雁匡z｝
0｛膊｜2肺骨＜鳃≤2肺十宁,偷匡z｝
3巳知数列｛α厕｝为等比数列’且α2α6＋2α;＝而’则
tan（α3α5）＝
（
）
A.何
B.
ˉ√3
c＿罕
u±√gˉ
〕
4巳知αˉ牙的终边上有＿点（ˉ｜’√可）』则＄lnα＋
（
）
COSα＝
A亿丁打
声
凰等l
c—罕
＂＿罕
虱α是第二象限角,则:是
（
）
A.第＿象限
B.第二象限角
C.第—象限角或第三象限角
D.第—象限角或第二象限角
6.定义在R上的偶函数／（卯）满足／（卯）＝／（则＋2）’当
卯巨［3’5］时义／（卯）＝（“ˉ4）2’则
（
）
＾咐）-爵m:
Bj（告）＝si＂哥
α‖÷）＞si＂:
n／（÷）＜郭n:
7若角α终边经过点P卜in芋cos午）则…＝（
）
A÷
凤夸
c—告
nˉ罕
则s!n@ˉcO§P的值为
SIII甲＋COS甲
15.已知tan0＝2’则sin0cos0＝
l6.已知角α的始边与卯轴的非负半轴重合’顶点与坐
标原点重合’终边过点P（3’4）’则咖α士2cosα
＿≡
s1nα-cosα
54.
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36诱导公式
练习日期
答题用时:
错题题号:
-、单选题
｜
A咐）＜川守）＜喘）
L已知曲线／（则）＝卯3ˉ2绷2ˉ卯在点（M（l））处的切线
｜
｜
B‖芋）＜川;）＜（舌）
的倾斜角为α则c。s』（号＋α）＿2c°鼠2αˉ3sin（2丽ˉ
』
α）co菌（丽＋α）的值为
（
）
｜
C咐）＜恬）＜j（等）
A÷
Ⅱˉ÷
C÷
n—÷
｛
n恬）＜（芋）＜（;）
2.已知角0的顶点在坐标原点’始边与厕轴正半轴重
｜
合终边在射线2鳃ˉ》-0（撼≤0）上则副n（罢＿‘）＿
｝9已知藤恤（α＿爸）-＋则c赡（α爷）的值等于（
）
（
）
｜
＾÷
＂竿
αˉ＋
nˉ竿
sin（∏-0）＝
A—夸
＂亨
0竿nˉ巫
5
｝l0函数y＝爵in（哥瓣＋:）的图象可由函数γ＝co爵丁＂
∏
3巳知舅in（苦＋0）＋3c。s（丽ˉβ）＝舅m（ˉ0）’则
｜
的图象至少向右平移″!（顺＞0）个单位长度得到’则
sin0cos0＋cos20＝
（
）
｜
m＝
（
）
｀÷
β÷
‘÷
n窖
｝
』」
＂÷
α:
u哥
4若sin（:ˉα）＝＋则co爵（芋＋2α）的值为（
）
｝n若点（硼’32）在网数γ＝2“的图象上,则［鼠n宁的
A厂÷
Bˉ工
c÷
u;
｝
值为
（
）
9
虱已知6…＿‘°, α＝÷测‘哪（α＋哥）＋
｝
＾归
凰罕
q—何
u—穿
.in（α＋芋）＝
｜l2巳知函数／（鳃）＝」舅m（…）（』＞0,o＞0’0＜帜＜
（
）
｛
M
B÷
c＿;
D÷
苦）的周期为丽若j（α）二l,则／（α＋芋）＝
（
）
A·
-2
B-1
C. l
D·2
6□知爵h（晋＿α）二粤则幢＂（2α带2!8丽）-
（
）
｛二、填空题
A÷
B÷
α—÷
nˉ上
｜l3巳知狐匡（0,:）,｜…二:则2蓟n（wˉ娜）＋:in2＂
＝
1＋COS卯
3
7.设α＝sin33。’b＝cos55。’c＝tan35。’则
（
）
A.α＞6＞C
B.b＞C＞α
l4巳知鼠mα＝÷则c°曾（α＋:）＝
~
｜5已知履°（:—0）-粤则c网（誓铜）ˉ血2（0—;）＝
C.C＞b＞α
D.C＞α＞b
8.设函数／（卯）＝sin（2则＋甲）（甲是常数）’若／（0）＝
川芋）’则／（舌）’／（芋）,／（苦）之阎的大小关系可
能是
（
）
l6.若sin（0＋创°）＝3cos（90。-0）’则tan0≡
55
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37三角函数国象与性质
错题题号:
答题用时:
练习日期:
）
一、单选题
L函数／（卯）＝Asln（（O卿＋@）（A＞0’@＞0’0≤甲≤
2∏）在R上的部分图象如图所示’则／（20l8）的
值为
（
）
刻
＾
川
川
∏
—
旬
｜
‖
V」
徊
—
∑
■
Ⅱ
］
—
∑
何
—
】
●
∧
◎
~
~
~
~
~
~
→
】
‖
…
D. 1
5巳知关于腮的方程sm（晋＋狐）＋cos（子—腑）＝α在
～
区间［0’2∏）上有两个实数根则l ’卯2’且｜则lˉ如2｜≥∏’
则实数α的取值范围是
（
）
＾｛—｜,0）
凰［夸,!）
C. ［0’1）
∏（l’√面）
6.已知集合″＝｛匆｜γ＝√3＋2匆ˉ卯2
｝’／V＝｛卿｜sin卯＞
0｝’则M∩Ⅳ＝
（
）
A. （0’3］
B［3’∏）
C. ［ˉ1’∏）
D［—1’0）
7.已知函数／（卯）≡3sin（o绷coso则ˉ4cos2@‘u（@＞0）的最
小正周期为丽,且∧0）＝÷则／（0＋苦）＝
（
）
Aˉ÷
B＿;
cˉ号
Dˉ号
8巳知函数∧甄）＝sm（…织）（@＞0’ ｜职｜＜:）’其图
象相邻两条对称轴之间的距离为牙’将函数γ＝／（＂
的图象向左平移蒂个单位后’得到的图象关于γ轴
对称’那么函数y＝／（则）的图象
（
A关于点（ˉ荒,0）对称
B关于点（荒,0）对称
c关于直线蕴＝荒对称
u关于直线箍＝ˉ哥对称
7
A亏
B—5
cˉ÷
u5
2将函数／（醚）＝2sm（2蹦＋哥）图象上的每个点的横坐
标缩短为原来的＿半’纵坐标不变,再将所得图象向
左平移舌个单位得到函数g（腮）图象’在g（蕊）图象的
所有对称轴中’离原点最近的对称轴为
（
）
A蕊＝ˉz
B鳃＝牙
∏
c獭二署
u聪＝舌
3巳知函数γ＝川sm（晋鳃＋帜）（A＞0）在—个周期内的
图象如图所示’其中P’Q分别是这段图象的最高点
和最低点’M’Ⅳ是图象与卯轴的交点’且乙PM0＝
90。’则A的值为
（
）
］
P
Q
A.2
B.
1
C.何
D.√页
4函数／（觅）＝Asin（o则＋帜）（A＞0,α′＞0’ ｜帜｜＜吾）的
部分图象如图所示,若鳃｜’甄2巨（—:,哥）,躯｜＝躯2且
／（则l）＝／（卯2）’则j（则l＋厕2）＝
（
）
56
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l2.函数／（则）＝Asin（@卯＋@）（A＞0’@＞0）’若／（卯）在
9将函数γ＝s｛n（“蜒—哥）的图象向左平移;个单位
后’便得到函数γ＝cos（o卯的图象’则正数‘o的最小
值为
（
）
区间｜0,苦｜上是单调函数,且／（ˉ而）＝／（0）＝
ˉ／（晋）,则剑的值为
（
）
A÷
＂÷或2
c÷
ul或＋
A÷
勺
凸
＿
勺
〕
∏
c÷
u:
lo将函数／（剿）＝瓢n（“腮＋。）（侧＞0’ˉ:≤@＜:）图
象上每—点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不
变）,再向左平移宁个单位长度得到γ≡c。圈＂的图
象’则函数／（厕）的单调递增区间为
（
）
A｜2胀wˉ舌,2肺＋吾｜’k匡z
Ⅱ｜2肺ˉ:,2肺＋宁｜,你匡Z
c｜肺ˉ舌,肺＋吾｜,腮筐z
u｜肺ˉ苦’肺＋芋｜’k匡z
二、填空题
13.已知函数／（则）＝Asin（‘O卯＋@）（A＞0’@＞0）’若
∧瓣）≤／（苦）对于鹏匡R恒成立,／（瓣）的＿个零点为
哥,且在区｜削［÷,宁｜k不是单调函数’则o的最
小值为
.
l4.若将函数／（匆）＝cos（2卯＋中）（0＜甲＜∏）的图象向
左平移舌个单位所得到的图象关于原点对称,则
甲＝
n已知直线4瓣＋呵＿宁＝0经过酶数′（瓣）＝sin（…
｜
l5巳知函数／（獭）＝cos（2蕊＋0）（｜0｜＜晋）的图象向左
帜）（°＞0, ｜@｜＜苦）图象相邻的最高点和最低点则｜
;
平移;个单位长度后关于原点对称,则喘）的值
将∧剿）的图象沿缠轴向左平移;个单位后得到解
｝
忻式为
（
）
｜
筹于
（0,号）且
A.γ＝cos2则
｜
16设函数∧则）＝sin匆ˉ2cos卯’已知常数0匡
B.γ＝-cos2卯
｜骋｜
满足…＝窖,』.
,则关于』的不等式
cγ＝圈in（2叶守）
为
集
解
的
石
＿
∑
＜
）
＾
″
＋
〗
∧
）
∏
—
∩
芯
卯
∩
丝
（
∏
●
■
〗
丛
吕
~~
γ
●
Ⅱ
57
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38两角和差
错题题号
练习日期:
答题用时:
-｀单选题
L已知c°s（I＿α）＝÷则瓢n2α＝
（
）
A＿去
凰去
c—÷
D÷
2已知α为锐角’β为第二象限角,且c°恿（α＿β）＝÷,
.in（α＋β）-÷,则爵in（3α—β）＝
（
）
儿—÷
B÷
o—罕
u罕
≈
凯0为第三象限角,（鼠n（0ˉ牙）＝＋,则舅m0—…＝
（
）
A—孪β—窖
c竿
n空
〕
4巳知瓢n（α＋牙）二÷’哥＜α＜宁则c°息2α的值为
（
）
』厂去
β—等cˉ器
n＿罢
′
A署
B:
c÷
n;
片霞i＂（:＋m）-—÷’α匡（晋,丽）则｜an（α＋晋）等于
（
）
八—2
B—＋
q2
u÷
9
）
勺
师
＿
‘
斗
’
∏
—
川
斗
巴
α
皿
—
旧
~~
）
β
＋
∏
—
〃
斗
（
∏
吕
〕
—
日~~
）
α
∏
—
△
『
（
○
℃
吕
若
○
］
（
β匡（0,f）则c.愚（α＋β）等干
（
）
A器
凰—器
cˉ器
D黑
ll设等差数列｛α鹏｝的公差为:’前8项和为6而,
记tan;＝h,则数列｛!anα卿…厕带｜｝的前7项
和是
（
＾子≡÷
Ⅱ÷三牛α｜黔2
n7;≡｛!
5已知…≡乎,α霍（0,:）,则二°露（2α带:）的值｜u已知…二＋,α巨（0,苦）则履°圈（α—哥）＝
（
）
（
）
｜
』厂揣
凰碧c等
u器
为
＾A宁
凰4午3
｜
二、填空题
c4丁;徊
n3带‘
｜
l3设直线2撼—γ＋4＝0的｛顷斜角为α则!a＂（α＋牙）的
6巳知c°愚卜—:）二粤则鹰o…嚼赡卜＿哥）-（
）
｝
值为
Aˉ1
＂」
o竿
u6
｝｜4已知Ⅱau（α＋β）-÷,憾n（β—牙）＝＋’卿
｜
cosα＋s↓nα的值为
7由射线γ＝÷x（腮≥0）逆时针旋转到射线Ⅱ＝—∏＂
｜
5
｜
cosα-smα
（卯≤0）的位置所成角为0’则cos0＝
一
（
）
｝l5巳知0为坐标原点』动点P满足｜oP｜＝3,M（0,旧）
A厂器
凰±器
c—器
u±器
｜
M√Z0）,则｜耐Ⅷ＋而｜的最小值为
刨6巳知α.｜矛哥｜’β.｜苦’而｜,满足sin（α＋β）—
a已知…二竿,蘑m（β—α）＝抨,α｀β均为锐
｜
（
）
｝
.uα二2爵m…则揣驾）的最大值为
角’则角β等于
58
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39二倍角
答题用时:
错题题号:
练习日期:
-｀单选题
｜8巳知｜an（牙＋α）＝＿2则］ˉ瓢n2α
1
cos2α
1u颖屡赡）二亭侧……～
（
）
｜
｛
A2
B÷
（
）
~~
c÷
n8
u—÷
A＿÷
Ⅱˉ8
｛
C. -2
｝,汽佯醚厂侧…值＂
（
）
2巳知…＝＋则c…＝
（
）
｜
A÷或l
A÷
B÷
aˉ÷
αˉ÷
Dˉ三
｝
cl
uˉ÷
D
｝
l0巳知函数／（鳃）二2√可sin等cos等＋2co爵2等ˉl
3若α筐（0,厕）’且何瞥m……～2,则［.u:
｝
（″＞0）的周期为丽’当疟｜0,晋｜时方惭甄）-咖恰
（
）
｝
目＝
∧粤
Ⅱ￥
;
有网个不同的实数解蜒｜,跑则∧…）＝
（
）
｝
A.2
α竿
u竿
!
αˉ」
;lˉ2
｜
l1.已知角α的顶点与原点O重合’始边与卯轴的正半
4函数∧鳃）＝c°富!（宁—獭）—÷冻下列区间单调递增
｛
轴重合,若它的终边经过点肥（2, l ）,则
;
［凰n（2α＋苛）＝
脚（0’牙）
B（0’:）
《
Aˉ7
（
）
的为
（
）
｛
‘（;号）
Ⅲ（矛;）
｝
·＋
;「＋
5巳知α匡（0苦）,…＝爷则m（…牙）＝（
）
｛］2函数∧鳃）-侗…c°…c°s2翼—÷在下y‖某个区
A÷
凰—＋
｜
间上单调递增,这个区阎是
C.7
（
）
｜
A｜ˉ子’0｜
B｜0,;｜
D.
-7
6若抛物线绷2＝γ在甄＝l处的切线的倾斜角为0则｜
C｛ˉ哥,哥｜
D｜晋,芋｜
（
）
!二填空题
sin20≡
A÷
B÷
｜旧巳知α匡R’…十2…-乎则…≡
oˉ÷
u—＋
｛
tan2α＝
7巳知锐角0满足詹m（÷晋）二÷则c.爵（0粤）的
｜14已知…＝—粤,且0匡（苦’丽）则…≡
值为
（
）
｝｜5巳知正（丽,宁）｀且满足√长:器·志-2则
Aˉ;
凰竿
＋
‘;
＂—竿
｝｜佩删呼～
sjn10。
＝
. （用数字作答）
59
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40辅助角公式与降幂公式
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-、单选题
｜
A. 1
B.
-l
l曲线c｜:γ＝＋蔚in2熙如何变换得到曲线c2;γ-
｝
c—÷
u＿＋
·in2（鞭ˉ:）—÷
（
）
｜9函数／（”）＝2血2 （撼＋牙）＋2sin（牙ˉ鞭）
A向左平移吾个单位
B向右平移吾个单位
｜
°.愚（苛ˉ鳃）在区间｜:,宁｜上的最小值是
（
）
｜
A. 1ˉ√面B0
C. 1
c向左平移宁个单位
u向右平移宁个单位
n2
4
｜
10.已知直线y＝ˉ丁则＋l的倾斜角为α’则
2函数j（瓣）＝c赡』（宁—鞭）ˉ÷在下列区间单调递增
｝
cos2α
的为
的值为
（
）
（
）
｜
◎°s（宁＋α）息in（丽个α）
＾（0,哥）
＂（0,;）
｝
＂粤
＂穿
c夸
u乎
c（;,哥）
u（牙’;）
｜u已知α匡（丽,芋）,!凰n（α十而）＝÷则鹰o愚（α＋牙）＝
3巳知α匡（0,哥）,…＝÷,则舅in』（α＋子）＝
（
川
（
）
＾÷
＂÷
〔÷
u÷
｜
＾斋
Ⅱ—捂
α等
n—等
｜
l2.已知函数／（卯）＝sin卯＋αcos则（α巳R）对任意则巨R
4巳知关干狐的方程息m（丽ˉ獭）＋:in（:＋瓣）＝腮在区
｜
都满足j（矛＋瓣）＝／（于＿鹅）则函数g（鳃）＝sin＂↑
间［0’2丽）上有两个根“1 ’躯2,且｜蕊｜ˉ蕊2｜≥而｀则实数
!
／（鳃）的最大值为
（
）
（
）
｜
A5
B3
O√百
D徊
m的取值范围是
A. （—√百’l）
B（ˉ√百’1］
｜
二、填空题
C. ［1’√百）
D［0’1）
｝
13巳知函数／（躯）＝2何sm等cos等＋2cos2竿（“＞
5.在△ABC中’内角A’B’C的对边分别是α’6’c’若
｜
～
附
0）的周期为芋当鞭匡｜0,:｜时,腮数g（瓣）＝／（瓣）＋
·。爵2:＝铲则△A‘c—定是
（
）
｜
｜
m恰有两个不同的零点’则实数m的取值范围是
A.等边三角形
B等腰三角形
C.等腰直角三角形
D直角三角形
｝
14在锐角△ABC中,角A’B’C所对的边分别为α’b’c,
6若lan（α＋牙）＝ˉ3,则c。爵2α＋2sin2α＝
（
）卜且A,‘,c成等差数列′b＝徊,则△ABc面积的取值
A÷
Ⅱl
o—÷
u＿;
《
范圈是
｜
15.在锐角△ABC中’内角A’B’C的对边分别为α’b’c’
｜
且满足（αˉb）（smA＋smB）＝（c—b）smC’若α＝
7巳知爵in（;ˉα）≡c。s（音＋α）,则…＝
（
）
｝
何则b2＋‘2的取值范围是
｜｜6定…｜:‖≡铡…已铡…腑）ˉ
A」
B—｜
c÷
u0
8.已知向量α＝（4sinα’1ˉcosα）’b≡（1’ ˉ2）,若
｜
｜2乎＂
＿腮鞭｜则顾数∧鞭）的单凋递增区｜厕晨÷
αb＝ˉ2’则2s剃骗§α＝
（
）
｜
60
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4‖
平面向量的概念与线性运算
答题用时:
练习日期:
错题题号:
8设双曲罐—卡-｜（α＞0,b＞0）的左、右焦点分另‖
为F1 ,F2,过F｜作倾斜角为哥的直线与γ轴和双曲
线的右文分别交于点A’‘,若丽二÷（而＋丽）,则
该双曲线的离心率为
（
）
A.2
B.√百
C.2＋√3
D√3
—〉一＿≥
9.在△ABC中’点G满足GA＋GB＋GC＝0若存在点
＿〉
1＿炉
—〉
—＞
—〉
O’使得OG＝万BC’且OA＝mOB＋nOC’则mˉn＝
（
）
A。2
B。-2
C. 1
D-1
—〉—＞
10.设P是△ABC所在平面上的一点’若｜2APˉBPˉ
—＞
一一
—〉—〉
CP｜＝2’ ｜BPˉCP｜＝4’则AB.AC＝
（
）
A. -1
B-3
C.3
D. l
1l.已知圆的半径为1’A’B’C’D为该圆上四个点’且
→—〉—〉
AB＋AC＝AD’则△ABC面积的最大值为
（
）
A. 1
B.徊
C.何
D2
l2.已知〃＝（ˉ1’3）’b＝（m’mˉ4）’C＝（2加’3）’若
α／／／b’则b.c＝
（
）
A.
＝7
B。-2
C.5
D。8
二、填空题
—〉—〉
13.在△ABC中’AB≡5’AC＝4’且AB.AC＝12’设P是
→→一
平面ABC上的—点’则PA· （PB＋PC）的最小值是
-、单选题
L设0为两个非零向量Cl ’e2的夹角’若对任意实数
入’ ｜e1＋入e2｜min＝1’则下列说法正确的是
（
）
A.若0确定’则｜C1 ｜唯—确定
B.若0确定’则｜C2｜唯＿确定
C.若｜e1 ｜确定’则0唯＿确定
D若｜e2｜确定’则0唯—确定
2.已知向量α＝（l ’2）’b＝（ˉ2’j）’且α／／／b’则
｜〃＋b｜
≡
（
）
A.徊
B√百
C. ｀／I∏
D5
3.已知平面向量α＝（1’2）’b＝（l’
ˉ1）’则
｜÷′ˉ÷』｜-
（
）
A.何
B2
C.√百
D3
ˉ—-＞
4△ABC外接圆的半径等于1 ’其圆心O满足AO＝
＋（庙＋元）
’ ｜Ij｜＝｜元｜则向量虱在玩方向上的
投影等于
（
）
A—罕
凰罕
o;
n3
5.若直线卯＋片y＝0（k≠0）与函数／（则）
＝
（2翼ˉ｜）（｜ˉ2sin2绷）’蜒.｜ˉ罢』牙｜的图象交于异
2Z＋1
于原点不同的两点A’B’且点C（9’3）’若点D（m’〃）
—〉
-—-〉—〉
满足DA＋DB≡CD’则m＋n＝
（
）
A.k
B.2
C.4
D。6
→
A
6.如图’在△ABC中’已知BD＝
1—≥
丁DC’P为AD上＿点’且
-—〉
—＋
4—→
满足CP＝mCA＋可CB’若
C
B
14在△ABC中’AB边上的中线CO＝4’若动点P满足
画＝sm2;画十co鼠2:画（0巨R）,则（画十两）
.
--→
PC的最小值是
D
＝＝→
△ABC的面积为侗ˉ,△ACB＝哥’则｜cP｜的最小
值为
（
）
A竿
B等
C÷
D÷
7设点O在△ABc的内部,且有硒＝÷（而＋而）则
△ABC的面积与△BOC的面积之比为
（
）
A3
B÷
o2
u÷
l5.已知直线匆—γ＋b＝0与圆则2＋广＝9交于不同的两
点」,B若O是坐标原点,且｜胁而｜≥?｜Ij｜则
实数b的取值范围是
l6.在平行四边形ABCD中’E’F分别为边BC’CD
—》
＿～≥
—＞
的中点’若AB＝匆AE＋yAF（卿’γ巴R）’则狐-y＝
6l
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q2平面向量墓本定理
错题题号:
练习日期:
答题用时:
---尸
9.在△ABC中’若BC＝8’BC边上中线长为3’则AB.
＝--》
∧C＝
（
）
A.
一7
B7
C. -28
D.28
l0.如图’在△ABC中’BE是边AC的中线’O是BE边
ˉ--〉
ˉ-》
---》
的中点’若AB＝α’AC＝b’则AO＝
（
）
A
-｀单选题
l.已知D’E分别是△ABC边AB’AC的中点’″是线段
--—〉
DE上的一动点（不包含D’E两点）’且满足AM＝
α巫带β元则÷借的最小值为
（
）
A.4徊
B.8
C.6ˉ4徊
D6＋4徊
2.如图’在△ABC中’点D在线段BC上’且BD＝3DC’
—炉
ˉ-护
ˉ—〉
入
若AD＝入AB＋严AC’则—＝
（
）
以
A÷
B÷
c2
D÷
』
C
A
C
B
A÷α＋÷b
H÷′＋＋′
C士‘十＋b
n士侧＋÷b
—〉
l-→
ll.在△ABC中’点D在边AB上’且BD＝丁DA’设
ˉ--〉
——〉
＝--〉
CB＝α’CA＝b’则CD＝
（
）
B
B
D
C
m
D
。D
第2题图
第3题图
—〉
3.如图’O在△ABC的内部’D为AB的中点’且OA＋
一一
OB＋2OC＝0’则△ABC的面积与△AOC的面积的
比值为
（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
—〉
4.已知等差数列｛α″｝的公差为d’前＂项和为Sn’OA＝
—〉
—〉—〉
—〉
α2OB＋α20l70C且AB≡ⅢBC’则S2018＝
（
）
A.0
Bl009
C.20l7
D2018
5.在△ABC中’乙BAC＝135。’AB＝徊’AC＝1
’
—＞＿〉
D是BC边上的—点（包括端点）’则AD.BC的
取值范围是
（
）
A［—3,0］
B｜—÷,2｜
C. ［0’2］
D. ［ˉ3’2］
6.等边△ABC的边长为1’D’E是边BC的两个三等分
—＞—步
点’则AD.AE等于
（
）
』器
＂÷
〔÷
n罕
—〉
7.已知△ABC中’AB＝2’AC＝3’乙BAC＝l20。’R4＋
—》—卜
—≥
PB＋PC＝0’则｜AP｜
＝
（
）
＾」
＂粤
o罕
n孪
—沪
8.在△ABC中’乙BAC＝60。’AB＝3’AC＝2.若BD＝
—》—＞
→—》
—〉
—＞
2DC’AE＝入AC-AB（人巨R）’且AD.AE＝-4’则
入的值为
（
）
＾÷
B告
C÷
u各
B÷“＋÷b
D÷′＋÷b
A÷′÷b
（］÷α＋÷′
l2.在△ABC中’乙BAC＝60。’AB＝5’AC＝6’D是AB
＿广
-—→
-—-〉
上＿点’且AB.CD＝ˉ5’则｜BD｜等于
（
）
A. l
B.2
C.3
D.4
二、填空题
｜3在△川Bc中,AB上M,烟-＋｀Ac＝′,P是△M｜,
.--〉
---〉
所在平面内一点’若丽＝▲华＋ˉ当,则△PBC面
｜AB｜
｜AC｜
积的最小值为
l4.如图’在扇形AOB中’OA＝
B
4’乙AOB＝120。,P为弧AB
上的—点’OP与AB相交于
--→
--》
点C’若OP. OA＝8’则
---》
——〉
OC.AP的值为
4
（′
15.已知菱形ABCD的边长为2’乙BAD＝60。’点M是
＿〉＿〉
BD上靠近D的三等分点’则AM.AB＝
--卜
--〉
--＞
--＋
l6.在平行四边形ABCD中’ ｜AB＋AD｜
＝｜ABˉAD｜
’
—广
一一一
ˉ-ˉ〉—〉
DE＝2EC’CF＝FB’且AE.AF＝7’则平行四边形
ABCD的面积的最大值为
62
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q3向量坐标运算
答题用时:
练习日期:
错题题号
-｀单选题
l.在△ABC中’CA上CB’CA＝CB＝l ’D为AB的中点’
—〉
-—-〉
将问量CD绕点C按逆时针方向旋转90。得向量C″’
—＞
—〉
则向量C″在向量CA方向上的投影为
（
）
A。-1
Bl
cˉ÷
n÷
2巳知平面向最“』b』‘瞒足÷＋湍＝台｀且｜α｜＋
｜b｜＋｜C｜＝4’则c. （α＋b）的最大值为
（
）
A. l
B2
C.3
D4
3.已知△ABC中’ ｜AB｜＝2’ ｜AC｜＝4’乙删C＝创°’P为线
—〉—〉
段AC上任意＿点’则PB.PC的取值范围是
（
）
A. ［1’4］
B. ［0’4］
O［＿2,4］
D｜ˉ÷,4｜
4已知向量α＝（卯’γ）’b＝（1’2）’c＝（ˉ1’l）’若满足
α／／／b’b上（α—c）’则向量α的坐标为
（
）
A（÷’＋）
B（ˉ号,÷）
C（÷,÷）
D（÷,÷）
5.设α＝（1’2）’b＝（l ’l）’c＝α＋肋.若b上C’则实数
k的值等于
（
）
A÷
Rˉ;
cˉ÷
n÷
6.已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内
一—≥
（含边界）—动点’则M4. ／｜′B的取值范围是（
）
A. ［-1’0］
B. ［-1’2］
C. ［ˉl ’3］
D［-1’4］
7.在边长为2的正方形ABCD中’E为CD的中点’则
—〉—》
AE°EC＝
（
）
A＿罕
凰罕
C. -l
D1
8.已知向量α＝（l ’2）’b＝（—2’ t）’且α／／／b’则
｜α＋b｜
＝
（
）
A.徊
B.√歹
C.√10
D.5
9.在正三角形ABC中’D是AC上的动点’且AB＝3’则
-—〉—＞
BD·BC的最小值为
（
）
B÷
A.9
（］￥
D÷
10.已知问量α’b’c满足｜α｜＝√Z｜b｜＝2’α与b的夹
角为芋,（‘＋“》（′十b）＝—÷’则｜‘ˉ′｜的最大
值为
（
）
∧乎＋2
＂平刊
C.√I可＋1
D√I了＋2
1l.设向量α＝（cosα’ˉl）’b＝（2’sinα）’若αˉLb’则
｀
【
□
〗
‖
□
『
′
′
∏
—
』
斗
＋
α
／
『
』
】
】
‖
｀
｀
∏
已
［
（
）
~
A÷
B÷
C. —l
D. -3
12.若平面向量α’b’C满足｜α｜＝｜b｜＝α。b＝C
. （α＋
2bˉ2C）＝2’则
（
）
√gˉj√7B」…｜…＝
√可—行
A. ｜α-C｜max＝
2
砷
＿
】
~~
∏
■
】
且
Ⅲ
℃
〃
」
℃
呵
＿
∑
~~
∏
■
】
』
Ⅲ
℃
＋
α
Ⅲ
二｀填空题
13.在△ABC中’三顶点的坐标分别为A（3’ ′）’B（t’
ˉ1）’C（ˉ3,ˉ1）’△ABC为以B为直角顶点的直
角三角形’则t＝
-—一》
---尹
l4.已知A’B’C为单位圆O上任意三点’OC.OB＝0’
耐丽＝＿＋,丽而＝罕.若oA的中点为
---〉
-—-〉
E’则CE.CB的值为
l5.设m巨R’向量α＝（′″＋1’3）’b＝（2’-m）’且α」ˉ
b’则｜2α-b｜
＝
.
l6.已知平面向量α’b’ ｜α｜＝1’ ｜b｜＝2且α。b＝1’若
e为平面单位向量’则（α—b）
. e的最大值为
63
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44向量的数量积与运算律
错题题号:
答题用时:
练习日期:
-、单选题
｜
8.已知｜α｜
＝2’ ｜b｜＝3,α
· b＝4’则｜α-2b｜的
1.命题p:若向量α。b＜0’则α与b的夹角为钝角;命
｜
值是
（
）
题q:若cosα.cosβ＝1’则sin（α＋β）＝0.下列命题
｜
A.24
B·2√6
为真命题的是
（
）
｝
C. ˉ24
Dˉ2佰
｜9平面直角坐标系腮oγ中,〃分别是与獭轴γ轴正方
A°p
B.司q
C.p∧q
D.pγq
｝
向同向的单位向量’向量α＝2j’b≡j＋j’以下说法正
2设平面向量α＝（灯,l）,b＝（卿,ˉ3）,α上b,则下列
｜
确的是
（
）
说法正确的是
（
）
｜
A~ ｜α｜＝｜b｜
B（α＿b）上b
A.则＝√5是α上b的充分不必要条件
｜
C.α.b＝1
Dα／／／b
Bα—b与α的夹角为号
闻l0巳知向量画＝（ˉ何’l）’两＝（L—打）,则△APB
（
）
C.
｜b｜＝l2
＝
｜
A.30。
B.60°
Dα—b与b的夹角为;
Dl50·
｜
C. l20°
3巳知向量α与b为单位向量’若抠αˉb也是单位向
｝
11非零向量α’b满足: ｜αˉb｜＝｜α｜’α. （αˉb）＝0’
量’则向量α与b的夹角为
（
）
｜
则αˉb与b夹角的大小为
（
）
A.45。
B.60°
｜
A· 135◎
B. 120°
C.90o
D. l35·
‖
C.60·
D.45°
——〉
—-广
4巳知平面向量α与b的夹角为宁,若“≡（何’ˉ1）,
｜12A’B是圆0:蕊』＋γ2＝l上两个动点, ｜」B｜＝1’oC＝
→—〉
—＞一
（
）
｜
3OAˉ2OB,M为线段AB的中点,则OC.OM的
｜αˉ2b｜＝2√∏’则｜b｜
＝
｜
值为
（
）
A.3
B。4
｝
A÷
B÷
C.何
D.2
5已知向量α,b满足｜“｜＝l, ｜b｜＝2,′ˉ‘二（何仁）,
｛
c÷
D＋
则｜2α＋b｜
≡
（
）
｜
A.2√可
B.√万
｜
二、填空题
—》—〉
—〉
---＞
--→一
C.√I百
D2√百
｜
l3.在△ABC中’已知AB.AC＋2BA.BC＝3CA.CB,
6.设向量α与b的夹角为0’且α＝（ˉ2’l）’α＋2b＝
｝
则cosC的最小值是
（2’3）’则cos0＝
（
）
｝
14已知向量α’b满足｜α｜＝2’ ｜b｜≡1’若α. （α＋b）＋
Aˉ÷
＂÷
｝
》（“＿b）的最大值为｜则向量α,b的夹角β的最
｜
小值为
’ ｜α＋2b｜的取值范围为
o夸
u＿竿
｜!5□知向量′,b满足｜°｜＝2, ｜b｜＝!｀′’b的夹角为
‘
号｀则｜α＋2b｜＝
7.在面积为1的△ABC中’M’Ⅳ分别是AB’AC的中
｜
;α与α＿2b的夹角为
--广→ˉ—→
点,点P在直线Mγ上’则PC。pB＋BC2的最小
｜
值是
（
）
｝
16巳知等边△ABC的边长为2’点P在线段AC上’若
—≥
＿-→
A. l
B.√百
｜
满足PA.PBˉ2入＋1＝0的点P恰有两个’则实数
C.√可
I）.2
｜
入的取值范围是
°64°
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45向量的垂盲｀共线判定与应用
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-、单选题
l.若直线／上不同的三个点A’B’C与直线外—点O’
—〉
-—〉
～—-〉
使得匆2OA＋则OB＝2BC成立’则满足条件的实数卯
的取值集合为
（
）
∧」! ,0｜
β｛1i行’!贡石｝
0｛＿｜÷行,＿｜丁行｝u｜—｜
｜
2.已知el ’e2是互相垂直的两个单位向量’〃＝Cl
＋
2e2’b＝4el-2e2’则
A.α／／／b
Bα」ˉb
C. ｜α｜＝2｜b｜
D〈α’b〉＝60。
一-—〉
→
3.已知p是△ABC所在平面内—点’PB＋PC＋4PA≡
0’现在△』BC内任取—点’则该点落在△PBC内的
概率是
（
）
A.上
＂÷
4
c÷
D÷
4巳知α’b为平面问量’若α＋b与“的夹角为于』α＋
8.已知向量α与b满足｜α｜＝√Z｜b｜＝2’ （αˉb）上α’
则向量α与b的夹角为
（
）
A吾
B号
C矛
D苦
9.在△ABC中’二C＝90。’ ｜AB｜＝6’点P满足｜CP｜
＝
→—＞
2’则PA.PB的最大值为
（
）
A.9
B. 16
C. 18
D.25
—≥—广—≥—＞
-—→
-—＋
-—〉
10.在△』BC中’若AB2＝AB.AC＋BA。BC＋CA。CB’
则△ABC是
（
）
A.等边三角形
B锐角三角形
C.钝角三角形
D直角三角形
—≥—〉
→
＿→
1l.已知向量AB’AC夹角为120。’且｜AB｜＝2’ ｜AC｜＝3’若
—〉—≥
—〉
—〉—＞
AP＝AB＋入AC’且4P上BC’则实数入的值为（
）
A4
B÷
〕
C.工
D. ˉ旦
12
5
—〉
—〉
--＝〉
12.点D为△ABC内—点’且皿＋4DB＋7DC＝0,则
S△BCD
（
）
＿＝＝
S△ABC
A÷
B÷
C.工
D上
12
12
二｀填空题
l3巳知向量α与b的夹角是号’且｜α｜＝l, ｜b｜＝2’若
（√gn＋入b）上α’则实数入＝
b与b的夹角为子则册＝
A罕
＂乎
C亨
u罕
（
）
5.已知向量α＝（1’2）’α。b＝5’ ｜αˉb｜＝2石’则｜b｜
等于
（
）
A.√百
B·2√百
C.5
D.25
6已知向量α’b满足｜α｜＝2’ ｜b｜＝4’α上（α＋b）’则向
量α在b方向上的投影为
（
）
A. -l
B. -2
C.2
D1
7巳知非零向量α,b瞒足｜′｜＝罕｜b｜’且（…）」
（3αˉ2b）’则α与b的夹角为
（
）
A芋
B牙
l4已知两个单位向量α’b的夹角为60。’c＝tα＋（1ˉ
r）b’若b.C＝0’则t＝
.
15.已知向量α＝（m’″）,b＝（1’ˉ2）’若｜α｜＝2√百’
α＝人b（入＜0）’则″!-′l＝
.
l6.已知平面上共线的三点A’B’C和与这三点不共线
-—-≥
--—＞
的定点O’若等差数列｛α厕｝满足:OA＝αl5OB＋
-—〉
α24OC’则数列｛α厕｝的前38项之和为
∏
—
’
≈
矽
℃
D.∏
.65
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q6向量在几何和物理中的应用
错题题号:
答题用时:
练习日期
C.西偏北30。’速度为20旧km／h
D.北偏西30。’速度为20徊km／h
9.＿条渔船距对岸4km’以2km／h的速度向垂直于对
岸的方向划去’到达对岸时’船的实际航程为8km｀
则河水的流速为（
）
A.2打km／h
B.2km／lI
C.徊km／h
D.3km／h
l0.当两个手提重为｜G｜的书包时’夹角为0’用力为｜F｜.
则三者的关系式为
（
）
A｜′｜二揣
凰｜F｜二品
C.F＝
G
D｜F｜＝
｜G｜
2蛔爵!
2c°鼠:
ll.质点P在平面上做匀速直线运动’速度向量V＝（4
ˉ3）（即点P的运动方向与V相同’且每秒移动的距
离为｜p｜个单位）.设开始时点P的坐标为（ˉ10
l0）’则5秒后点P的坐标为
（
）
A. （—2’4）
B. （ˉ30’25）
C. （l0’＿5）
D. （5’-10）
l2.已知O为平面上的—个定点’A’B’C是该平面上不
一一-〉
-→
OB＋OC
共线的三个动点’点P满足条件Op＝
＋
2
→
＿广
』（就百F带武元）,仁（0, ＋鹤）则动蕊
P的轨迹＿定通过△ABC的
（
A.重心
B垂心
C.外心
D内心
二、填空题
l3.一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60m’若牵绳与
行进方向夹角为30。’纤夫的拉力为50N则纤夫又｀.
船所做的功为
-、单选题
l.设向量α’b’C满足｜α｜＝｜b｜＝2’α.b＝ˉ2’〈αˉC’
b—C〉＝60。’则｜c｜的最大值等于
（
）
A.4
B.2
C.徊
Dl
＿广一—〉
→
2.已知O是△ABC内部＿点’OA＋OB＋OC＝0’AB.
—≥
AC＝2且△BAC＝60。’则△OBC的面积为
（
）
＾粤
＂灯
o罕
u÷
3.已知向量α’b’c满足｜α｜＝2’ ｜b｜＝α.b＝3’若（Cˉ
2α）（‘—;b）＝0’则b—c｜的最小值是
（
）
A.2＋√3
B.2—何
C. l
D.2
4.已知在三角形ABC中’AB＜AC’乙BAC＝90’边AB’
AC的长分别为方程卯2ˉ2（l＋｀／可）卯＋4旧＝0的两
个实数根’若斜边BC上有异于端点的E’F两点’且
EF＝l ’乙EAF＝0’则tan0的取值范围为
（
）
＾（卓竿｜
Ⅱ（孵）
∩（夸』竿｜
∏（夸』乎｜
丘已知两个单位向量el ’e2的夹角为45。’且满足el上
（M2—Cl）’则实数∧的值是
（
）
M
β徊
〔竿
n2
—〉
6已知菱形ABCD的边长为2,△B＝哥,点P满足川P＝
—〉
—〉—≥
入AB,入巨R.若BD.CP＝—3’则入的值为
（
）
A÷
B—十
c÷
u＿＋
7.—个物体受到同—平面内三个力Fl ’F2’F3的作用’
沿北偏东45。方向移动了8m’已知｜Fl
｜＝2N’方向
为北偏东30。’ ｜F2
｜＝4N’方向为北偏东60°’
｜F3
｜＝6N’方向为北偏西30。’则这三个力的合力所
做的功为
（
）
A.24J
B24灯J
C.24√可J
D24佰J
8河中水流速自西向东为10km／h’小船自南岸A点出
发’想要沿直线驶向正北岸的B点’并使它的实际速
度达到每小时10何km／h’则该小船行驶的方向和
静水速度分别为
（
）
A.西偏北30°’速度为20km／h
B.北偏西30。’速度为20km／h
14一个重20N的物体从倾斜角为30。’斜面长为lm的
光滑斜面顶端下滑到底端’则重力做的功是
l5.已知腰长为2的等腰直角△ABC中’M为斜边∧B
---≥
的中点’点P为该平面内一动点’若｜PC｜
＝2’贝｜｜
一--→
--〉—〉
（PA.PB＋4）
. （PC.P″）的最小值为
｜6设双曲线C;÷蔗-」（醛≥0｀b＞0）的左…′Ⅷ
过Fl的左焦点作卯轴的垂线交双曲线C于″’Ⅳ两
点’其中M位于第二象限’B（0’b）’若乙BMγ是锐
角’则双曲线C的离心率的取值范围是
66°
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47正弦定理
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-｀单选题
1若△ABC的三个内角A’B’C所对的边分别是α’6’c’若
·而n（c—d）二＋sinB,且h二4,则c2—α2-
（
）
A° l0
B8
C.7
D.4
2.△ABC的内角A’B’C的对边分别为α’b’c’已知Aˉ
C＝90。’α＋c＝√Z’则C＝
（
）
A. 15。
B22.5。
C.30°
D.45◎
3.在△ABC中’α,6’c分别是角A’B’C的对边’且
2愚i＂c—鼠血旦二;::::则A＝
（
）
sinB
A晋
B:
c哥
D芋
4在△ABC中’角A’B’C的对边分别为α’b’c’αcosB＋
…≡2‘…,‘≡行’且△咽C的面积为乎》则
△』BC的周长为
（
）
A· l＋｀／7
B2＋√7
C.4＋√7
D.5＋行
5.锐角△ABC的外接圆半径为l ’AC＝√可’BC＞AB’且
瞒足……-令｜则C-
（
）
A.卫
B:
12
C÷
u吾
6.已知△ABC的内角A’B’C的对边分别为α’6’c’且
αcosB＋√ghsinB＝b＋c’b＝1 ’点D是△ABC的重
』o.且削o二乎则△剧Bc的外接圆的半径为（
）
A. l
B.2
C.3
D4
7.设△ABC的内角A’B’C的对边分别为α’b’c’已知
btanA＋6tanB＝2ctanB’则A≡
（
）
A:
B哥
c号
u子
8.在△ABC中’内角A’B’C的对边分别是α’b’c’若b＝
2…mBˉ醒inA＝÷腿mC则siM＝
（
）
A.但
B÷
2
c÷
n＋
9.在△ABC中’角A’B’C所对应的边分别是α’b’c’
若（αˉ6）（sinA＋sinB）＝c（sinC＋√可sinB）’则
角A等于
（
）
A.卫
B÷
6
c等
u于
l0.在非等腰△ABC中’内角A’B’C所对的边分别
为α’6’c’sinA（2cosB-α）＝slnB（2cosA-
6）’则C＝
（
）
A.√可
B. 1
C.2
D√百
l1.在△ABC中’内角A’B’C所对的边分别为α’6’c’若
揣＝÷,（α2—3脐）…＝÷豆丽则角C＝
（
）
A;
B÷
C÷
n哥或哥
l2.在△ABC中’已知α2＋b2ˉc2＝4S（S为△ABC的面
积）｀若‘二徊则侧ˉ争的取值范围是
（
）
A. （0’√5）
B. （ˉ1’0）
C. （ˉl’√可）
D（ˉ√Z徊）
二｀填空题
‖q
力∏囤β斤示苯p工亿J而Ⅶ斗力］P亥
C
13.如图所示,在平面四边形
ABCD中’AB＝√ZBC＝何’
AB上AD’AC」ˉCD,AD＝
MC’则AC＝
B
〃
D
l4已知△ABC的内角A’B’C的对边分别为α’b’c’且
αsinA＋bsinB＋√ZbsinA＝csinC’α＝2’b＝2｀／页’则
sinB＝
l5.已知△ABC中’角A’B’C的对边分别为α’6’c’且满
足…』」＋何葛i!』2A二2,b二1’s△刹〃‘-夸｀侧M≡
6＋C
二二
’sinB＋sinC
l6.在△ABC中’角A’B’C的对边分别为α’b’c且
2ccosB＝2α＋b’若△ABC的面积S＝√gb’则α6的
最小值为
67
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48余弦定理
错题题号:
答题用时:
练习日期:
8.已知△ABC的内角A’B’C的对边分别为α’b’c’若
2bcosB＝αcosC＋ccosA’b＝2’则△ABC面积的最大
值是
（
）
A. l
B.旧
C.2
D4
9.在△ABC中’已知α’b’c分别为角A’B’C的对边且
△A＝60·,若s…≡华且2恿inB＝3鹤inC’则
合
△ABC的周长等于
（
）
A.5＋行
B. 12
C. 10＋行
D5＋2行
10.△ABC的内角A’B’C所对的边分别为α’b’c.
已知αbsinC＝20sinB’α2＋c2＝41 ’且8cosB＝＝
1 ’则b＝
（
）
A.6
B.4√面
C.3佰
D.7
ll.在△ABC中’内角A’B’C所对的边分别为α’b’c’已
知（α＋b-c）（α＋b＋c）＝3αb’且c＝4’则△ABC面
积的最大值为
（
）
A.8徊
B4徊
C.2徊
D.旧
u巳卿双曲线c;÷—÷｜的左右焦蕊分铡为′‖
一一
F2’A’B是双曲线C上的两点’且AFl ＝3FlB’
…哑2B＝÷,则该双曲线的离心率为
（
）
儿√｜0
B孕
~—
台
c亭
u√百
台
二、填空题
l3在△ABC中』内角A’B,C的对边分别为α’b,c』若;＝
1＋2…,且…＝÷则;的值为—
l4.在△ABC中’α’b’c分别为内角A’B’C的对边’且
02带c』＿α1＝枷｀姐BC＞0｀α二罕则6托的取值
—〉一
范围是
-、单选题
1.设△ABC的三个内角A’B’C所对的边分别为α’b’
c’如果（α＋6＋c）（b＋cˉα）＝3bc’且α＝何’那么
△ABC外接圆的半径为
（
）
A.2
B4
C.徊
D. 1
2.在△ABC中’角A’B’C所对的边分别为α’b’c’且
—≥
—〉
·°瞥』B十÷sin2B＝l ,0＜B＜;若｜Bc＋必｜二3则
皿的最小值为
（
）
αC
A乎（2ˉ徊）
B等（2＋徊）
C. l6（2ˉ√页）
D. 16（2＋徊）
3.在△ABC中’α’b,c分别为内角A’B’C的对边’且
2bcosC＝2α＋c’则B＝
（
）
A晋
B哥
c÷
u芋
4△ABC的内角A’B’C的对边分别是α’b’c’已知（α2＋
b2—c2）
。（αcosB＋bcosA）＝αbc’c＝2’则△ABC周
长的取值范围为
（
）
A. （0’6］
B. （4’6）
C. （4’6］
D. （4’18］
5.已知α’b’c分别为△ABC三个内角A’B’C的对边’
且（α＋b）（sinAˉsinB）＝（cˉb）sinC’则△ABC中
乙A为
（
）
A÷
Ⅱ宁
c号
n等
6·在△ABC中’角A’B’C的对边分别为α’b’c’已知
△姻c的面积为旧,且‘°爵↓潞B）ˉ六则‘的最
小值是
（
）
A.2
B2徊
C.2徊
D4
∩
勺
7设′｜,F2是双曲线C;备卡＝1（舰＞0,b＞0）的两
个焦点’P是C上一点’若｜PFl
｜
＋｜PF2
｜＝6α’且
△PFlF2的最小内角的大小为30。’则双曲线C的渐
近线方程是
（
）
A.则±√Zy＝0
B.√Z觅±y＝0
C·冗±2γ≡0
D.2卯±γ＝0
15.在△ABC中’角A’B’C的对边分别为α’b’c’若α2＋
b2-20l7·2测器＋器的值为
l6.在△ABC中’若sinA:sinB:sinC＝2:3:4’则cosC二
;当BC＝l时’则△ABC的面积等于
°68
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49数列通顶
练习日期:
答题用时:
错题题号
-、单选题
L已知数列｛α＂｝中’αl＝7’αn＋lˉ2√α＂＋2＝α厕＋1 ,
则α30＝
（
）
A. 1028
B. 1026
C. 1024
D. l022
2.数列｛α″｝的前＂项和为S厕’若S厕＝2nˉ1（＂匡N＊）
’
则α20l8的值为
（
）
A,2
B,3
C.2018
D.3033
3在数列｛α腮｜中,“｜＝2,耕÷＋ln（l＋÷）,则
α几＝
（
）
A.2＋nln″
B.2″＋（″ˉ1）ln〃
C.2∏＋几lnn
Dl＋n＋门lnⅦ
4设″巨N÷贝（／1紫lˉ坠多≡
（
）
∏个
A.33…3
B。33…3
-
-
″个
2∏-l个
C.33…3
D。33…3
—
-
2测＝l个
2n个
虱已知数列｜α＂｝的前＂项和s＂＝＋α厕÷,则｜侧腿｜的
通项公式
（
）
A侧厂（ˉ昔）＂
Rα广（＿÷厂｜
c鳃＝（÷厂!
nα广（—÷厂｜
6.数列｛α厕｝满足α1 ＝1’且α厕＋l ＝αl ＋α″＋＂（′l巴
N＊）’则ˉL＋上＋…＋
1等于
（
）
α1
α2
α20l7
A~揣
B~揣
c~盘器
n揣
7.设数列｛α″｝满足αl＝l’α2＝2’且2′Ml″＝（nˉl）α″ˉ1＋
（＂＋l）α＂＋l（″≥2且″巨N＊）’则αl8＝
（
）
A等
B等
A.20l7
C。2019
B·2018
n2!l9
9.已知数列｛α厕｝的前n项和为S厕’若3S＂＝2α′』-3n’
则α20l8＝
（
）
A.22018-l
B.320l8-6
C（÷）20｜＄
7
D（＋）』刚:
l0
2
3
10.已知数列｛α厕｝的前n项和S″＝＂2＋2＂’则数列
｛“,h赊」的前6项和为
（
）
A是
B告
c÷
u斗
lL已知数列｛α厕｝与｛b厕｝的前＂项和分别为S厕’T厕’且
α″
＞0’ 6S″
＝α:
＋3α″ （n巨N＊
）
’
6″
＝
（2,※ˉ｜胞』—」）,若γ鹏霍N. 』』＞贝Ⅱ恒成立,
则k的最小值是
（
）
A÷
B士
o49
uJ;T
｜2设s鼠』为数列｛鲤翻｜咖鹏项枷.已知傅｜÷,岩＿
卫＋2″’则Sl00＝
（
）
α
几
A.2ˉ坐2
2l00
B.2ˉ丝
299
C.2ˉ互上
2!＂
u2—墨
二、填空题
l3.设正项数列｛α″｝的前厕项和为S″’αl＝√回ˉl’—上ˉ
Sn＋1＋Sn＋2
α〃＋l
2n＋1
’则S＂≡
犯
—
’
■
∏
C.3
l4已知数列｛α″｝的前′』项和S厕＝厕2＋3″’则其通项公
8.定义数列｛α″｝如下:α0＝l’αl＝1’当n≥2时’有α厕＝
α:ˉl
α门ˉ1＋—;
α几-2
定义数列｛b″｝如下:b0＝1’b1＝3’当′l≥2时’有6″＝
』…铝.侧』糕ˉ
（
）
式为α″＝
l＋α′!
l5.已知数列｛α＂｝满足αl＝2’α″＋l＝
,（＂巨N＊）’则
1＝α′!
αl
·α2
°α3
·…·α2呕·α2（）l（）≡
·
16.在数列｛α″｝中’已知α1＝α2＝2若α′』＋2是α′』α′』＋］
的个位数字’则α27≡
69
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50数列求和
错题题号:
答题用时
练习日期:
见-l
（÷）
』,″为奇数,
｜
·
9.已知数列｛α″｝的通项公式为α厕＝
（÷）』,厕为偶数,
数列｛3α″＋n-7｝的前2＂项和的最小值为
（
）
A÷
凰＿芋
oˉ孕
D＿芋
l0.已知数列｛α＂｝满足当2kˉlˉl＜n≤2kˉ1（A巨N＊,
＂匡N＊）时α＂＝贵,若数列｛α＂｝的前″项利为s删,
则满足S厕＞l（）的＂的最小值为
（
）
A.59
B.58
C.57
D60
ll.已知数列｛α厕｝满足αl＝l’α厕＋｜—α＂≥2（Ⅲ巴N＊
）,
则
（
）
A.αn≥2Ⅶ＋1
B.Sn≥∏2
C.αn≥2则＿l
D.S网≥2nˉl
l2.记函数／（则）＝sin2″匆一cos＂卯在区间［0’∏］内的零
点个数为α″（″巳N＊）’则数列｛α″｝的前20项的和
是
（
〉
A.430
B840
C1250
D. 1660
二、填空题
l3.已知集合A＝｛卯｜厕＝2网ˉl’n匡N＊
｝’B＝｛卯｜卯＝2＂’
″巨N＊
｝.将AQB的所有元素从小到大依次排列构成
＿个数列｛α厕｝.记S″为数列｛α″｝的前Ⅶ项和’则使得
-｀单选题
l在正项等比数列｛α阀｝中,α｜＂腮α!0｜0＝志则lg‘｜＋
lgα,＋…＋lgα20l7＝
（
）
A. -20l6
B. ＿20l7
C.2016
D2017
2.已知定义在R上的函数∧卯）满足讽卯）＝ˉ／（4ˉ则）
;
函数g（狐）二六＋血（苛—l）的图象与函数′（躯）的
交点为（卯l ’γl
）
’ （卯2’γ2）
’ （则3’γ3）’…’ （卯厕ˉl
’
（
）
y厕ˉl）’（姬厕’γ″）’则』马呐＝
A.2n
B.3∏
C.4几
Dn
3.已知数列｛α″｝的通项公式为α＂＝＂＿2（Ⅶ匡N＊）’设
／（獭）＝瓣＋l。题器,则数列｛∧α删）｝的各项之和为
（
）
A.36
B33
C。30
D.27
4.已知数列｛α厕｝’定义数列｛α＂＋l ˉ2α″｝为数列｛α″｝
的“2倍差数列”’若｛α″｝的“2倍差数列”的通项公
式为αn＋lˉ2αn＝2″＋l ’且αl＝2’若函数｛α″｝的前n
项和为Sn’则S33＝
（
）
A.238＋l
B.239＋2
C.238＋2
D.239
5.已知等比数列｛α厕｝的前n项和为S厕’若S3＝7’S6＝
63’则数列｛nα厕｝的前n项和为
（
）
A. —3＋（n＋l）×2厕
B.3＋（＂＋l）×2″
C. 1＋（n＋1）×2″
D. 1＋（n-1）×2厕
6.已知数列｛α厕｝的前厕项和为S″＝2则＋l＋m’且αl
’
αn
α4’α5ˉ2成等差数列’b″＝（α＂ˉ1）（α″＋lˉl）’数
列｜b厕｝的前″项和为′鹏则满足′＂＞揣的最小正
整数n的值为
（
）
A. ll
Bl0
C.9
D.8
7.已知数列｛α″｝满足αl＝2’且｛αn＋lˉα＂｝是以4为
首项’2为公差的等差数列’若［则］表示不超过卯的最
大籍数’叫去十去十…十赤｜-
（
）
A. 1
B.2
C.0
D. -l
8.已知数列｛α＂｝满足:α＂＋｜＋（ˉl）厕＋lα″＝2’则其前
100项和为
（
）
A。250
B.200
C. 150
D. 100
S厕＞12α″＋1成立的′!的最小值为
α芒2记僧.≡
l4·已知数列｛α厕｝满足αl ＝1’α＂＋l＝
~~
门
尸
巴
＋
●
＋
∑
℃
＋
］
℃
∏
‖
禾
项
几
兰
刚
勺
′
口
川
几
厂
…
｛
‖
歹
数
‖
贝
’
”
—
％
l5.如图所示’由若干个圆点组成形如三角形的图形
每条边（包括两个端点）有＂（几＞1’n巨N＊）个点
每个阁形总的点数记为侧愿｀则孟＋六雏六＋
9
·· ·＋
≡
α20l2α20l3
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●●
●●●●
●●●●●
″＝2
″＝3
〃＝4
″＝5
16.已知数列｛α＂｝对任意n巨N＊’总有α1
。α2 ·….
“腮-2叶」成立,记‖膨-（ˉ1）州（2÷尝）2测数
列｛b厕｝的前2厕项和为
70·
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5‖
等差数列（‖）
练习日期:
答题用时
错题题号:
-、单选题
I.已知S″是等差数列｛α厕｝的前＂项和’且S2＝S7’
S6＝Sk（∧≠6）’则片＝
（
）
A.2
B.3
C.4
D5
2各项都是正数的等比数列｛α＂｝中,α2’＋α3,α｜成等
△
差数列’则α3＋α4的值为
（
）
α4＋α5
A但±ˉ1
队午
2
c毕
n粤或早
3.等差数列｛α＂｝的前″项和为S厕’且αl＞0’S50＝0.设
b″＝α厕α″＋lα″＋2（〃匡N＊）’则当数列｛b″｝的前n项
和T厕取得最大值时’〃的值为
（
）
A.23
B25
C.23或24
D.23或25
4.已知数列｛α″｝是公差为3的等差数列’ ｛b″｝是公差为
5的等差数列’若b＂巨N＊’则数列｛αb厕｝为
（
）
A.公差为l5的等差数列
B.公差为8的等差数列
C.公比为l25的等比数列
D.公比为243的等比数列
5.已知数列｛α″｝满足3α叶l＝9.3α厕（n巨N＊）’且α2＋
α4＋α6＝9’则log÷（α5＋α7＋α9）＝
（
）
A3
B. -3
c—＋
n÷
6.已知等差数列｛α厕｝的前′′项和为S″’αl0＝15’且
S2＝S7’则α8＝
（
）
A.6
B.7
C.8
D9
8.已知等差数列｛α″｝的前n项和为S″’若α3＋α4＋αll＝
18则S1l＝
（
）
A.9
B.22
C.36
D66
9.设等差数列｛α＂｝的前Ⅶ项和为S″’若S矾—l ＝ˉ2’
S加＝0’S厕＋l＝3’则m＝
（
）
A.3
B4
C.5
D6
l0.在等差数列｛α厕｝中’若αl＋α3＋α5＋α7＋α9＝l50’
则α5的值为
（
）
A.75
B50
C.40
D30
11函数y＝∧绷）为定义域R上的奇函数’在R上是单
调函数’函数g（匆）＝／（卯ˉ5）’数列｛α″｝为等差数
列’公差不为0’若g（αl）＋g（α9）＝0’则αl＋α2＋
…＋α9＝
（
）
A.45
B. 15
C.
—45
D0
12.等差数列｛α″｝各项都为正数’且其前9项和为45’
设6″＝上＋
4
’其中l≤n≤9’若｛b〃｝中的最小
α几
αl0-〃
项为b3’则｛α则｝的公差不能为
（
）
A］
B÷
C÷
∏÷
二、填空题
l3.已知｛α厕｝是等差数列’S″是数列｛α厕｝的前＂项和’
且s』-ˉ!,2…2＝1则憾』-
l4.已知数列｛α厕｝中’αn＋l ＋α＂＝（
｛α厕｝的前2018项的和为
ˉ1）″′l’则数列
l5.设正项等差数列｛α厕｝的前n项和为S″’若S20l7＝
605l ’则上＋—尘的最小值为
α4
α20l4
仕｝的
7.已知等差数列｛α″｝中’α3＝9’α5＝17’记数列
16.已知数列｛α″｝的前′l项和为S″＝p′l2ˉ2″’′!巨N＊
’
αl＋2α2＋3α3＋…＋′lα厕,若数列｛b＂｝是公差
bn≡
1＋2＋3＋…＋几
为2的等差数列’则数列｛α厕｝的通项公式为
前厕项和为s＂’若s2卿带｜ˉs鹏≤揣（m匡z）』对任意的
n巨N＊恒成立’则整数m的最小值是
（
）
A.5
B4
C·3
D.2
7l
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52等差数列（2）
错题题号:
答题用时:
练习日期:
B-20l8
D.4036
-｀单选题
1.若干项连续奇数的和3＋5＋7＋…＋（4＂ˉ1）＝（
）
A.2Ⅶ2＋几
B.∏2＋2几
C.4n2＋2∏
D.4∏2—l
1
2已知等差数列｛α＂｝的前厕项和为S″’且αl0＝了αl2＋
6’α2＝4’则α5＝
（
）
A.2
B4
C.8
D. l6
3.若数列｛α厕｝满足α1＝15’且3α厕＋l＝3α＂ˉ2’则使
αk 。αk＋l＜0的k值为
（
）
A.22
B21
C.24
D.23
4已知｛α＂｝为等比数列’数列｛b″｝满足bl＝2’b2≡5’
且α″（b厕＋l-6″）＝α″＋l ’则数列｛b厕｝的前则项和为
（
）
A.3n＋1
B.3∏-1
c3＂÷＋＂
u3＂÷ˉ″
～
5.设等差数列｛α厕｝的前＂项和为S″’若Sl3＞0’Sl4＜
0’则S＂取最大值时＂的值为
（
）
A.6
B。7
A.2018
C. -4036
｜三斡…｝….
9.已知实数则’γ满足
数’这7个数构成以则为首项’γ为末项的等差数列’
则这7个数和的最大值为
（
）
A49
B￥
C等
D等
l0.已知等差数列｛α″｝的前Ⅶ项为S″’b厕＝2α厕且bl＋
b3＝17’b2＋b4＝68’则S10＝
（
）
A.90
B. 100
C110
D. 120
lL已知数列｛α″｝是公比为2的等比数列’满足α6＝
α2αl0.设等差数列｛b″｝的前n项和为S厕’若b9＝
2α7’则Sl7＝
（
）
A34
B.39
C.51
D.68
l2.设等差数列｛α′』｝的前则项和为S″’若S6ˉαl＝15’
则S7＝
（
）
A.21
B22
C.8
D. 13
6巳知等比数列｛α鹏｝的各项都是正数’且3α! ,÷“］’
2α2成等差数列,则α8＋α9
目＝
（
）
α6＋α7
A.6
B.7
C.8
D.9
7.已知等差数列｛α″｝的前〃项和为Sn（″匡N＊
）
’
若盏是—个与＂尤关的常效则憾常墩构成的
集合为
（
）
A. ｛2｝
B｛4｝
C. ｛2’4｝
D｛l’2’4｝
8已知等差数列｛α厕｝中’α10l0＝3’S2017＝20l7’则
S2Ol8＝
（
）
D.24
C.23
二、填空题
13.在等差数列｛α厕｝中’α3＝0’如果αk是α6与αk＋6的
等比中项’那么k＝
14已知数列｛α厕｝为等差数列’S″为｛α″｝的前n项和,
′l＝N＊’若α2＝18’Sl8＝54’则αl7＝
S′!＝
l5.设数列｛α厕｝对″匡N＊都满足αn＋l
1
l
α1＝1’则上＋上＋…＋—＋—＝
αl
α2
α28
α29
＝α′l＋几＋αl ,且
16.在等差数列｛α＂｝中’α3＋α4＝6’则α1＋α2＋…＋α6＝
72
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53等比数列（‖）
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-、单选题
1.已知数列｛α″｝的前n项和S″＝2″—1 ’则α2
·
α6＝
（
）
A六
B六
C. 16
D64
2.已知｛αn｝为等比数列’S″是它的前n项和.若
α2 .α3≡2αl ’且α4与2α7的等比中项为ˉ1 ’则
S5等于
（
）
A.34
B.33
C。32
D。31
3.等比数列的前″项和’前2〃项和’前3〃项和分别为
A’B’C’则
（
）
A.A＋B＝C
B。B2＝AC
C。∧＋B-C＝B3
DA2＋B2＝A（B＋C）
5
4.已知等比数列｛α″｝的前项和为S″’且αl＋α3＝丁’
～
…÷则÷≡
（
）
A.4″ˉl
B.4n-l
C。2″ˉl
D.2几-1
5.已知定义在［0’＋酌）上的函数／（匆）满足／（卯＋
1）≡2／（卯）’当卯巴［0’ l）时’／（则）＝ˉ勿2＋卯’设
／（卿）在［nˉ1 ’″）上的最大值为α厕（厕巨N＊）’则
α3＋α4＋α5＝
（
）
7
A7
B古
c÷
u1」
6.设数列｛α″｝的前＂项和为S″’如果α1＝4’α″＋1＝
2S″-4’则Sl0＝
（
）
A.2（3l0-1）
B2（310＋1）
C.2（39＋l）
n4（39-1）
7.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有
女子善织’日自倍’五日织五尺’问日织几何?’,意思
是:“—女子善于织布’每天织的布都是前—天的2
倍’已知她5天共织布5尺’问这女子每天分别织布
多少?”根据上述已知条件’该女子第3天所织布的
尺数为
（
）
A署
B罢
c÷
∏÷
8.等比数列｛αn｝的各项均为实数’其前Ⅶ项和为S厕’已
知S3＝7’S6＝63’则α6＝
（
）
A·32
B. 16
C.4
D.64
9.在数列｛α厕｝中’α″＝2″ˉ1’—个7行8列的数表中’
第j行第j列的元素为c旷＝αj .q／＋αh＋q／（j＝1’2’
…’7;／＝l’2’…’8）’则该数表中所有不相等元素之
和为
（
）
A.216-10
B.2l6＋l0
C.216-18
D216＋13
10.已知S″是等比数列｛α″｝的前〃项和’若存在m巨
＂.瞒足芋-,,宁≡碧则数列｜嗡｜的公
m
m
比为
（
）
A.√百
B.2
C.3
D。4
ll.设S厕是公差不为0的等差数列｛α厕｝的前″项和’
S3＝α;’且Sl ’S2’S4成等比数列’则αl0＝
（
）
A. l5
B. l9
C。21
D。30
l2巳知直线γ＝α与正切网数γ≡｜an（o叶哥）（铡＞
0）相邻两支曲线的交点的横坐标分别为绷l ’卯2’且
有｜鞠—腮｜
｜≡:,假设函数γ＝!鼠n（…;）（正
（0’∏））的两个不同的零点分别为卯3’卯4（则4＞卯3）
’
若在区间（0’汀）内存在两个不同的实数匆5’″6（匆6＞
则5）’与“3’卯4调整顺序后’构成等差数列’则γ＝
!an（…;）（疟｜鞭5,雕6｛）的值为
（
）
』厂罕
＂亨
cˉ碱硷不存在uˉ舞罕
二、填空题
l3.若等比数列｛α″｝的前n项和为S″’＂巳N＊’且αl＝
1’S6＝3S3’则α7的值为
l4.在公比为q的正项等比数列｛α厕｝中’α4＝4’则当
2α2＋α6取得最小值时’log2q＝
15.已知数列｛α″｝的首项为3’等比数列｛b″｝满足b厕≡
gI1工1’且61009＝1 ’则α20l8的值为
αn
l6.已知数列｛α厕｝满足α1＝3’（3ˉα厕＋1）（6＋α″）
（n巨N＊）’则i上的值是
′≡lα·
＝18
73
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54等比数列（2）
错题题号
答题用时:
练习日期:
B.5
—｀单选题
1
L已知等比数列｛α厕｝满足αl ＝可’α3α5＝4（α4ˉ1）
’
则α,＝
（
）
A.2
B. 1
c÷
n;
2.已知等差数列｛α″｝的公差为2’若αl ’α3’α4成等比
数列’则α2＝
（
）
A. -4
B. -6
A. -3
C. -3l
D33
9.已知正项等比数列｛α″｝的前＂项和为S厕’且S8ˉ
2S4＝5’则α9＋αl0＋αl1＋αl2的最小值为
（
）
A. 10
B. l5
C.20
D.25
10.已知等比数列｛α厕｝中’α″＞0,αl ＋α2＋…＋
α8＝4’αl .α2 。…. α8＝16’则上＋上＋…＋
α1
α2
上的值为
（
）
α8
A。2
B.4
C°8
D16
l1.已知数列｛α″｝是等比数列’若α2＝1 ’α5＝百’
则（llα2＋α2α3＋…＋α厕α″＋l （几巨N＊）的最小
值为
（
）
A÷
B』
C.2
D.3
12.设等比数列｛αn｝的前′!项和为S″’S2＝ˉl’S4＝ˉ5’
则S6＝
（
）
A. -9
B. -21
C. -25
D—63
二｀填空题
l3已知数列｛α＂｜的筒项锄｜＝2,且α州＝百α片（＂·
l
D-l0
C.
—8
3数列｛感＂｝的前＂项的和满趴＝:磁鹏ˉ″,″巨NⅧ,
则下列为等比数列的是
（
）
A. ｛α厕＋l
｝
B. ｛α厕-1
｝
C. ｛Sn＋1
｝
D｛S″—1｝
4.等比数列｛α厕｝的前＂项和为S″’若S2″＝4（αl＋α2＋
…＋α2厕ˉ1）’α1 .α2 ·α3＝27’则α6＝
（
）
A.27
B.8l
C.243
D729
5.已知等比数列｛α厕｝中,公比q＞0’若α2＝4’则αl＋
α2＋α3的最值情况为
（
）
A.有最小值ˉ4
B.有最大值ˉ4
C.有最小值l2
D.有最大值12
6已知数列｛α″｝为等比数列’αl巨（0’1）’α2e（l’2）
’
α3匡（2’3）’则α4的取值范围是
（
）
A. （3’4）
B. （2√Z4）
C. （3’9）
D. （2√Z9）
7~已知｛α″｝是等比数列’且α″＞0’α2α4＋2α3α5＋α4α6＝
25’那么α3＋α5的值等于
（
）
A.5
B. 10
C. 15
D20
8.记等比数列｛α″｝的前＂项和为Sn’若S3＝2’S6＝
｜队则芒等￥
（
′
N＊）则数列｛六｝的前｜0项啊为
14.设各项均为正数的等比数列｛α＂｝的前n项和为S厕’
已知α2＝6’α3ˉ3αl＝12’则S5＝
l5.设正项等比数列｛α＂｝的前′l项和为S″’若S7ˉS5
＝＝
3（“矿α,）则4α』÷的最小值为
′
l6若数列｛“＂｜的前＂项利S卿满足s腿＝÷（l＋硼阀）（＂.
N＊）’则α4的值为
74
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55数列的综台应用（‖）
练习日期
答题用时:
错题题号:
-、单选题
L已知数列｛α″｝为等比数列’若αlα6＝2’下列结论成
立的是
（
）
4
A.α2α4＝＿
B.α3＋α4＝2
α3α5
C.αlα2α3＝2徊
D.α2＋α5≥2徊
2.已知数列｛α″｝中’α″＋α″＋5恒为定值’若1≤＂≤6
时’α″＝′l2,则α2018＝
（
）
A. 1
B.9
C.28
D.20l8
3.已知数列｛α″｝
’ ｛b厕｝满足αl＝bl＝3’α″＋lˉα″＝
午-］’＂.N＝｀若数列｜编｝满足′,～』佩＂’则
∏
C2017＝
（
）
A.92016
B.272016
C.920l7
D2720l7
4.已知正项等比数列｛α′』｝的前″项和为S则’且α1α6＝
2陶,幽与2α简的等差中项为÷则s,＝
（
）
8.在计算机语言中’有＿种函数γ＝INT（卯）叫做取整函
数（也叫高斯函数）’它表示γ等于不超过则的最大
整数’如INT（0.9）＝0’INT（3. 14）＝3’已知α厕＝INT
（÷×l0′）,b!≡α｜,b厂α厕ˉl0α厕—｜（″匡N＊’且″≥
2）’则b20l8＝
（
）
A.2
』
B.5
C.7
D8
9.当Ⅶ为正整数时’定义函数Ⅳ（″）表示＂的最大奇因
数.如Ⅳ（3）＝3’Ⅳ（10）＝5’…’S（＂）＝Ⅳ（1）＋Ⅳ（2）＋
Ⅳ（3）＋…＋Ⅳ（2″）’则S（5）＝
（
）
A·342
B345
C.341
D.346
10.已知数列｛α＂｝的各项均为整数’α8＝ˉ2’αl3＝4’
前I2项依次成等差数列’从第1l项起依次成等比
数列’则αl5＝
（
）
A.8
B16
C。64
D128
1L已知数列｛α″｝的前n项和为S＂’2S″＝α:＋lˉα则＋l
’
且α2＝α9’则所有满足条件的数列中’α1的最大值
为
（
）
A.3
B.6
C.9
Dl2
12.删去正整数数列1 ’2’3’…中的所有完全平方数’得
到＿个新数列’这个数列的第2018项是
（
）
A.2062
B.2063
C.2064
D.2065
二｀填空题
13.已知数列｛√而而ˉ厕｝是等比数列’且αl＝9’α2＝36’
则α″＝
A芳
B30
u釜
C.31
5.已知数列｛α″｝满足α1 ＝1’α厕＋I ＝3α″＋2″（＂巨
N＊）’b厕＝g且土1.设′匡Z’若对于γ′l巨N’都有b＂＞‖
α几
恒成立’则r的最大值为
（
）
A.3
B.4
C.7
D.9
6.下列结论正确的是
（
）
A若｛α″｝为等比数列’S厕是｛α″｝的前′′项和’则
S厕’S2″ˉS″’S3″ˉS2n是等比数列
B.若｛α厕｝为等差数列’S″是｛α″｝的前＂项和’则S″’
S2厕ˉS厕’S3厕ˉS2厕是等差数列
C.若｛α厕｝为等差数列’“′′l＋′』＝p＋q”是“αm＋α″＝
αp＋αq”的充要条件
D.满足α″＋l＝qαn（〃巨N＊）’q为常数的数列｛α″｝
为等比数列
7.数列｛α厕｝满足:α″＋l＝∧α厕ˉl（″巨N＊’人巨R’且人≠
0）’若数列｛α″ˉ1｝是等比数列’则人的值等于（
）
A.1
B. -l
C÷
U2
l4.已知数列｛α厕｝的前则项和为S则＝2″＋l ’b″＝
log2（α: .2α鹏）’数列的｛b″｝的前′l项和为T″’则满
足T测＞l024的最小″的值为
15.已知数列｛α″｝满足:α1＝3’α厕＝2α″ˉl ＿3（ˉl）″
（Ⅶ≥2）.设｛α此』｝是等差数列’数列｛A′
｝（t巨N＊）是
各项均为正整数的递增数列,若Al＝1 ’则k3ˉk2＝
!6数列｜α厕｝中’铡＂＝百α厕—! ˉ÷（＂≥2’且″.
1
N＊）’且αl＝1’记数列｛α″｝的前厕项和为S厕’若
3入. （S″＋n）≤4对任意的厕巨N＊恒成立’则实数
入的最大值为
75
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56数列的综台应用（2）
错题题号
答题用时:
练习日期:
1
l
8数列l,击,l＋2＋3,
,l＋2＋3＋…＋″ 的前＂项
和为
（
A★
凰羔
c器
u2（＂÷l）
9.数列｛α″｝的通项公式α厕＝3n2ˉ28′』’则数列｛α厕｝各
项中最小项是
（
A.第4项
B.第5项
C.第6项
D第7项
10.已知数列｛α厕｝满足α1 ＝1 ’α厕＋l ＝α″＋2″’贝｜｜
（
｀
αl0＝
A. 1024
B. 1023
C.2048
D2047
11.设等差数列｛α″｝的前′!项和为S厕’已知（α4ˉl）3＋
2016（α4-1）＝1’（α2013ˉ1）3＋20l6（α20l3ˉl）＝-l’
则下列结论正确的是
（
｀
A。S2016＝-20l6’α20l3＞α4
B.S20l6＝20l6’α20l3＞α4
C.S2016＝-2016’α2013＜α4
D·S20l6＝2016’α2013＜α4
l2.已知数列何’3’｀／i了’｀／Z丁’那么9是它的第几项
（
｀
A. l2
B. l3
C. 14
D15
二、填空题
］3函数′（瓤）＝:≡｛,g（露）＝∧露ˉ］）刊』酗腮＝g（÷）＋
-、单选题
→
-→
1.若平面内共线的A’B’P三点满足条件’OP＝α1OA＋
—广
α4015OB’其中｛α厕｝为等差数列’则α2008等于（
）
A. 1
B-l
C÷
uˉ＋
2在超市中购买＿个卷筒纸’其内圆直径为4cm’外圆
直径为12cm’＿共卷60层’若把各层都视为＿个同
心圆’令∏＝3. l4’则这个卷筒纸的长度（精确到个
位）为
（
）
A. 17m
B. l6m
C. l5m
D14m
3.等比数列的首项为1’项数是偶数’所有的奇数项之
和为85’所有的偶数项之和为l70’则这个等比数列
的项数为
（
）
A.4
B.6
C。8
D. 10
4」带（｜告）（!告＋寸）十…十（l带÷士＋…带女）
的值为
（
）
A. l8＋上
B.20＋上
29
2l0
C.22＋ˉL
D18＋—L
2ll
2l0
5.数列｛α″｝中’如果存在αk’使得αk＞αkˉl且αk＞
α介＋l成立（其中片≥2’k巨N＊
）’则称α附为数列
｛α厕｝的峰值若α″≡ˉ3″2＋l5＂ˉl8’则｛αn｝的
峰值为
（
）
A.0
B4
c等
D等
6等比数列｛α慰｝的前＂项和s.二÷3衅!＋‘（′
为常数）’若人α厕≤3＋S2″恒成立’则实数入的最
大值是
（
）
A.3
B·4
C,5
D6
7.设数列｛α厕｝为等比数列’则下面四个数列:
o｛α乳｝;@｛pα皿｝（p为非零常数）;o｛α厕α厕＋l
｝
;
@｛α厕＋α厕＋l
｝.
其中是等比数列的有
（
）
A. l个
B.2个
C.3个
D.4个
）
轴
—
∏
（
臼
巴
＋
●
■
＋
）
∩
〕
—
∏
（
吕
＋
）
勺
～
—
几
（
自
’″巴N＊’则数歹!
｛α′』｝的通项公式为
｛α＂｝的前2017项的积为
已知数列｛α″ ｝中’αl ＝α（0＜α≤2）’α″＋l
二
｛b就羔2（鹏霍N· ）,记s厂徽］÷·』＃…,
α″.若S″＝2015’则n＝
l5
｜6巳知数列｛α腮｜满足α!-!,α州-满’若［瓤］表
示不超过绷的最大整数’则［α｝＋αl＋…＋α;0l7］＝
76
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57不等式的墓本性质
答题用时:
练习日期:
错题题号:
8.若α＞1 ’0＜c＜b＜l ’则下列不等式不正确的是
（
）
A. logα20l8＞logb20l8
Blog6α＜logcα
C. （cˉb）cα＞（cˉb）bα
D. （α-c）αc＞（α-c）αb
9.设α＝0.642’b＝706’c＝log0·67’则α’b’c的大小关
系是
（
）
A。C＜b＜α
BC＜α＜b
-｀单选题
1若α＜b＜0’则下列不等式中’不成立的是
（
）
A.上＞上
B六＞÷
α
b
C.
｜α｜＞｜b｜
D.α2＞62
2.已知函数／（则）＝e露ˉl＋elˉ剿’则满足／（绷ˉ1）＜e＋
e—1的卯的取值范围是
（
）
A. 1＜卯＜3
B0＜卯＜2
C.0＜卯＜e
l）. 1＜卯＜e
3.已知非零实数α’b满足α｜α｜＞b｜6｜’则下列不等式
—定成立的是
（
）
A.α3＞b3
Bα2＞b2
C。b＜C＜α
Dα＜b＜C
10.当0＜卯＜3时’则下列大小关系正确的是
（
）
A。冗3＜3撼＜log3％
B3绷＜卯3＜log3卯
C. log3卯＜卯3＜3匆
Dlog3卯＜3勿＜卯3
1l.若△ABC的三边互不相等且边长成等差数列’则它
的最小边与最大边比值的取值范围是
（
）
A（苛,l）
B（÷,l）
C（÷’l）
D（÷,｜）
12.设α＝log52’b＝log÷2’c＝e百’则α’b’c的大小关
系是
（
）
A.α＜6＜C
B.b＜α＜c
C。b＜c＜α
DC＜b＜α
二、填空题
n设函数∧撼）（剿匡R）满足｜／（瓣）—瓣2 ｜≤÷, ｜／（瓣）＋
］
—
』
＜
■
儿
—
α
●
℃
Dlog÷｜α｜＜log昔｜b｜
4已知则＞γ＞0’则
（
）
■
Ⅱ
—
γ
＞
■
』
—
卯
■
八
］
—
∑
（
＞
冗
）
］
—
∑
（
Ⅱ
C·cos卯＞cos
′V
D. ln（卯＋1）＞ln（γ＋1）
5.设α’b’c’〃’则为实数’且b＞α＞0’c＞〃’下列不等式
正确的是
（
）
B.上≥＿
b＋卯
α
α＋卯
A.Ⅲ-α＜C-b
D÷≤簧｜÷｜
｜
lˉ鹏』｜≤÷,贝M1）＝
C.bc＞αd
｜
14设α＝log36’b＝log510’c＝log714’则α’b’c的大小
6巳知÷≤÷＜（）,则「列不等式中错误的是
（
）
｝
关系是
~
B.αC＞bC
uln;＞0
A.
｜b｜
＞｜α
15.已知命题p:“若α’b’m为任意的正数’则hˉ±巫＞
α＋′70
÷』能够说明p是假命题的—组正数愈’b,′＂的值
依次为
∩
＿
＞
…
＿
℃
℃
7.已知α＜b＜（）,则下列不等式中恒成立的是
（
）
A.ˉL＞上
B√ˉ＝万＜√＝万
α
b
C2α＞2b
Dα3＞b3
16.已知α＞0’b＞0’α＋2b＝2’若2α＋4b＞m恒成立’
则实数′n的取值范围是
.
°77
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58-元二次不等式
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-｀单选题
｝
A. （0’1）
B（—l ’2）
l巳知集合A-｛绷｜篮2ˉ4…≤0｝,B＝｛躯｜l＜2鞭≤4’
｜
α（—l,＋鹤）
D（÷,1）
则巨N｝’则A∩B＝
（
）
｜
A.z
B. （l ’2］
｜
10.A＝｛卯｜γ＝lg（“2＋3卯ˉ4）
｝’B＝｛γ｜γ＝2lˉ”2
｝’则
C. ｛2｝
D.
｛1’2｝
｜
A∩B＝
（
）
2.若关于卯的不等式卯2＋m卯＜0的解集为｛卿｜0＜卯＜
｜
A. （0’2］
B. （l ’2］
2｝’则实数m的值为
（
）
｜
C~ ［2’4）
D（ˉ4’0）
A.
＿2
B-l
｜
ll.若集合A＝｛则eN｜卯≤2｝’B＝｛则｜3卯ˉ则2≥0｝’则
C.0
D.2
｜
A∩B为
（
）
3设p;卿3盂4躯≤0,『;卿2ˉ（2卿＋｜）则＋m2＋′＂≤0,
｝
A｛虹｜0≤躯≤2｝
B｛l,2｝
若p是q的必要不充分条件’则实数m的取值范
｜
C. ｛则｜0＜卯≤2｝
D. ｛0’1 ’2｝
围为
（
）
｝
l2定义:如果函数／（卯）的导函数为／（卯）’在区间［α,
A. ［—2’l］
B. ［—3’1］
｜
b］上存在卯l ’加2（α＜则l＜卯2＜b）使得／（卯l
）
二;
C. ［ˉ2’0）o（0’l］
D. ［ˉ2’-l）o（0,1］
｜
／（b）≡八旦1’／（卯2）＝／（b）≡A旦1’则称／（匆）为区间
4若不等式α＂2＋2α卿ˉ4＜2卿2＋4卯对任意实数匆均成
｜
bˉα
bˉα
立则实数α的取值范圈是
（
）
｛
［圈,』］上的,双巾值函数巳知圈数g（撇）＝＋腮’ˉ
A. （—2’2）
B. （ˉ鲍’ˉ2）（ˉ」（2’＋的）
｜
C. （ˉ2’2］
D（ˉ的’2］
‘
晋“2是［0,2］上的“双中值函数’ ’则实数厕的取值
5.命题“α则2ˉ2α则＋3＞0恒成立”是假命题’则实数α
｜
的取值范围是
（
）
｛
范围是
（
）
｜
A｜÷.:｜
BR
A.α＜0或α≥3
B.α≤0或α≥3
C.α＜0或α＞3
D.0＜α＜3
6在关干狮的不等式瓣2ˉ（‘＋l）腮＋α＜0的解集中至
｜
c（÷,＋蹿）
D（÷,÷）
多包含2个整数’则α的取值范围是
（
）
｜
A. （ˉ3’5）
B（ˉ2’4）
｜
二｀填空题
C. ［ˉ3’5］
D. ［ˉ2’4］
｜
l3.不等式卯2ˉ2酗ˉ3α2＜0（α＞0）的解集为
7巳知集合』＝｜γ｜Ⅱ二…R｝』日＝｛瓣筐R｜鳃2—鳃ˉ6≤
｜14已知…的内角分别为A』B｀C,幢鹏』斗二｜—窖
0｝’则A∩B＝
（
）
｝
≈
A（0,2）
B（0’3］
｛
§inA’且△ABC的内切圆面积为丽》则硒.酝的最
C. ［—2’3］
D. ［2’3］
｛
小值为
8.已知集合A＝
｛匆｜log3（2狐—l）≤0｝’B＝｛卯｜γ＝
｜
15.已知函数／（“）＝则3＋α匆2—α2匆＋1在［ˉ1 ’l］上单
√3匆2—2卯｝’全集U＝R,则A∩（［UB）等于
（
）
｜
调递减’则α的取值范围是
A（÷,l｜
B（0’÷）
｜l6巳知…的三个顶点A（ˉl ,0）｀B（l,0）,c（3,
｜
2）’其外接圆为○H对于线段BH上的任意一点P,
c（÷,1｜
D（＋,÷）
｛
若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M″,使
9.设集合A＝｛“｜卯2—l＜0｝’B＝｛γ｜γ＝2腿’财巨A｝’则
｜
得点″是线段PⅣ的中点’则○C的半径r的取值
A∩B＝
（
）
｜
范围是
·78
.
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59线性规划
练习日期:
答题用时
错题题号:
-、单选题
卯-γ＋2≥0’
｜二」三～尸…
卯-y—2≤0’
｝…剧…｛……
1.实数对（则’γ）满足不等式组
γ-2≤0’
｜
小值是ˉ5’则实数m的取值集合是
（
）
数z＝脉ˉγ当且仅当卯＝3,γ＝l时取得最大值’则片
｜
A｛—4,6｝
的取值范围是
（
）
｜
｜
B｛ˉ寸,6｝
A（—鹤,—＋）O［l ,＋壁）
｝
C｛ˉ4,—;｝
β（ˉ÷’＋唾）
c｜—÷,l｜
｜
D｛—4,÷,6｝
D. （ˉ的’—1］
2％-y＋1＞0’
｜《1惩‖….
卯＋γ-2≥0’
｝
6设关于财’y的不等式组
｜!直Ⅲ罩‖!…硒‖
2.已知卯’γ满足约束条件
｜
区域内存在点P（则0’γ0）’满足狐0ˉ2γ0＝2’则m取
数z二2ˉ±旦的取值范围为［0’2）,则实数α的取值范
｜
值范围是
（
）
卯-α
（
）
｜
A（—壁,÷）
围是
A.α≥1
B.α≤2
Cα＜2
uα＜l
｛
B（ˉ哟,＿÷）
γ≥0’
｜熏l二严｛…示‘｜ˉ÷｜
3.已知实数卯’y满足
｜
D（—露,—÷）
的平面区域的面积为
（
）
｜
A÷
B÷
｜7在平面直角坐标系中’关于鳃’γ的不等式A憋＋
｜
Bγ＋AB＞0（AB≠0）表示的区域（阴影部分）可
C.2
D.3
｝
能是
（
）
y≤卯’
‖二…锄室…啊／
七
、惑—,
4.已知不等式组
O
ˉ蹿→
｜叼
积为9’若点P（则’γ）巨S’则z＝2加＋γ的最大值
｜
A
B
蛊~
为
（
）
｜
A.3
B.6
C.9
D. l2
C
D
79
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卯≥0,
［1域』侧;ˉ…
8.若则’γ满足约束条件
大值为
（
）
A.3
B.4
C。5
D.6
卯＋γ-4≥0’
｜剿』…÷邮.
9.已知实数卯’y满足
范围是
（
）
A. ［0,l］
B. ［—l’0］
C｜＋’l｜
D｜—÷,0｜
″y≤卯’
,γ满足条件铺卯＋y≥2’
〃≥3卯-6｀
则目标函数z＝
l2.已知变量则
（
）
Bl
D√6贡√面
C.旧
二｀填空题
2卯-γ≥l,
勿—y＋2≥0’
｜i矿」「」二d剿;
l0.已知实数卯’γ满足条件
则上的取值范围为
卯
｜;翼j二~
l3.已知点（卯’γ）满足
~
~
隐｜的最大值为
（
）
B÷
＂—γ＋2≥0,
｝
l4巳知实数腮》γ满足约束条件｜蕊＋y＋腮≥0,且z＝卿＋
D. l
｜则≤1,
卯-2y＋4≥0,
｜热ˉ,烂…｝
”脯……≡′卯≥0’
（
）
｝晦………｛…≡叭…
｜
［卯-2γ-l≤0,
斗
—
日
∑
—
］
■
∧
○
ll.已知变量腮’γ满足
围是
A｜÷,｜｜
β｜÷,;｜
C（ˉ鲍’寸｜
n｜l,÷｜
数z≡卯＋2y的最小值是
□［l’＋的）
l6.若卯’γ满足约束条件
的最小值为
80。
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60墓本不等式及应用
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-、单选题
l巳知÷瑞＝l （α＞0,0＞0）则α,b的最小
值为
（
）
A.2
B.3
C.4
I）.5
8.已知函数／（则）＝α则2＋6则（α＞0’b＞0）的图象在
点（l ,／（l））处的切线的斜率为2,则等芒的最
小值是
（
）
A. 10
B.9
C.8
D3√历
9巳知α＞0’』＞0’并且÷’÷’＋成等差数列则α＋9b
的最小值为
（
）
A. 16
B.9
C·5
D4
10.设卿＞0’y＞0’若则lg2’lg√Zylg2成等差数列’则
上＋旦的最小值为
（
）
师
y
A.8
B.9
C. 12
D16
11.设m’″巨R’已知m＝logα2’n＝logb2’且α＋b＝2徊
（α＞1’6＞1）’则IL±ˉⅡ的最大值是
（
）
刀〗n
A. l
B.2
o夸
∏÷
u已知抛物线篮2≡锄的焦点为′,双蹦线苦ˉ带二!
（α＞0’b＞0）的右焦点为F1（c’0）’过点F’F1的直
线与抛物线在第—象限的交点为M且抛物线在点
M处的切线与直线γ＝—√Z‖垂直’则αb的最大
值为
（
）
∧粤
＂÷
C.√可
D2
二｀填空题
l3.已知α＞0,b＞0’函数∧则）＝αlog2匆＋6的图象经过
点（4,÷）,则÷＋÷的最小值为
14已知函数／（卯）＝e鳃＋4eˉ厕ˉ3’则／（匆）的最小值为
2设帆＞0｀＂＞0,…＝2则（÷ˉ1）（÷÷）的最
小值是
（
）
A÷
凰4
C÷
u3
3.设函数／（匆）＝
｜lg则｜’若存在实数0＜α＜b’满足
′（憾）-／M）则″-l,:』竿,删-l°题｜志）2’
0-ln÷的大小关系为
（
）
A.″＞Ⅳ＞0
B.″＞0＞Ⅳ
C.Ⅳ＞0＞″
DⅣ＞″＞0
4.在△ABC中’角A,B’C的对边分别为α’b’c’若
午ˉ糕,』＝4’则△」BC面积的最大值为（
）
A.4√可
B2√可
C.3√可
D.何
5.已知正三棱柱4BCˉAlBlCl ’侧面BCClBl的面积为
4何’则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（
）
A.4∏
B8∏
C.8√g7了
D16∏
6若派数α,b满足÷＋＋＝l则六十古的最小值
为
（
）
A.1
B6
C.9
D. 16
7.已知点E’F分别在正方形ABCD的边BC’CD上运
→
ˉ＿≥
动’且AB＝（徊’√5）’设｜CE｜＝卯’ ｜CF｜＝y’若｜AFˉ
→
—＞
AE｜＝｜AB｜’则狐＋γ的最大值为
（
）
A.2
B.4
C.2抠
D.4√面
l5若当腿＞ˉ3时’不等式α≤叶击恒成立,则α的
取值范围是
.
16.若则, y巨R满足2sin2
（则
＋γˉ
1
）
＝
叮
∑
∑
）
］
γ
（
＋
∑
）
］
＋
卯
（
’则U′的最小值为
％-V＋1
√
8l
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6‖
命题
答题用时:
错题题号:
练习日期:
A.3
B.2
C. l
D.0
5.下面四个命题中’正确的是
（
）
A.若复数zl＝百2’则zl .z2巨R
B.若复数z满足z2巨R’则z巨R
C.若复数zl ’z2满足｜z1
｜
＝｜z2
｜’则zl＝z2或z1＝
-z2
D.若复数zl ’z2满足zl＋z2巨R’则zl巨R’z2巨R
｜藩……….
6.记不等式组
标为（卯’γ）.有下面四个命题:
′｜;γP巨Q’γ≤0;′2;γP匡α,÷孤—γ≥2;
l
′』;γP匡n,ˉ6≤γ≤:;陶日P匡α,÷躯—γˉ了
其中的真命题是
（
）
A.pl ,p2
Bp1 ’p3
C.p2,p4
D.p3,p4
7.下列命题中正确是
（
）
A.命题若绷2ˉ3厕＋2＝0’则腮＝l’’的逆否命题为
“若则≠l’则卿2ˉ3绷＋2≠0”
B.若“p且q”为假命题’则p’q均为假命题
C.若命题p:〕卯0巨R’使得则02＋卯0＋l＜0’则司p:
V卯巨R’均有匆2＋“＋l＞0
D.卿＞l是卿2＞l的必要不充分条件
8.下列说法中正确的是
（
）
A.命题“W巨R’e狐＞0’,的否定是“〕＂巨R’e厕＞0,’
B.命题“已知厕’γ匡R’若卯＋γ≠3’则勿≠2或γ≠1
’
是真命题
C. “匆2＋2卯≥α加在则巨［1’2］上恒成立”.“对于卯e
［l ’2］’有（则2＋2则）min≥（α卯）max”
D.命题“若α＝ˉ1 ’则函数／（如）＝α厕2＋2卯ˉ1只有
一个零点’,的逆命题为真命题
9.下列说法正确的是
（
）
A.命题“若厕3ˉ3卯＋2＝0’则卯＝1”的否命题是“若
厕3—3绷＋2＝0’则卯≠1’’
B.命题‘‘］Ⅶ巨N’厕2＞2＂,’的否定是“γn巨N,
川2＜2几,’
-｀单选题
1.下面有四个命题:
@设X～Ⅳ（l’l）’P（ˉ1≤X≤3）＝0.9544’则P（X≥
3）＝0.0228;
@
@已知α＝lg2’则α＜αα＜αα
;
◎将γ＝2馏n（叶苦）的图象问右平移:个单位,再
将所得图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的l,
可得到y二tan卿的图象;
@设0＜α＜3’则函数／（卯）＝卯3—α卯（0＜师＜1）有最
小值无最大值.
其中正确命题的个数为
（
）
A. l
B.2
C.3
D4
2.下列命题中错误的是
（
）
A.对于任意向量α’b’有｜α＋b｜≤｜α｜
＋｜b｜
B.若α.b＝0’则α＝0或b＝0
C.对于任意向量α’b’有｜α.b｜≤｜α｜｜b｜
D若α’b共线’则α.b＝±｜α｜｜b｜
3.下列语句中正确的个数是
（
）
@V甲巨R’函数／（卯）＝sin（2绷＋甲）都不是偶函数;
@命题若厕＝γ’则sjn厕＝siny’’的否命题是真命题;
◎若p或q为真’则p’非q均为真;
@已知向量α’b’则“α.b＞0’’的充分不必要条件是
“α与b的夹角为锐角”.
A。0
B1
C.2
D3
4.以下命题正确的个数是
（
）
o函数／（卯）在卯＝卯0处导数存在’若p:／（卯0）＝0;
q:则＝卿0是／（“）的极值点’则p是q的必要不充分
条件;
@实数G为实数α’b的等比中项’则C＝±｀／丽;
o两个非零向量α与b’若α.b＜0’则α与b的夹角
为钝角;
@平面内到＿个定点F和＿条定直线／距离相等的
点的轨迹叫抛物线.
82
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@设铡-〔（…）d鳃则,-2ˉ＾
10
倒二项式（方ˉ骡:）的展开式中胸常…嫡』
@已知卯巨（0’4］’则满足log2则≤l的概率为0.5.
其中真命题的序号是
14.下列结论:
@若则＞0’y＞0’则“则＋2γ＝2√Z可”成立的一个充
分不必要条件是“卿＝2’且y＝l”;
@存在α＞l ’卯＞0’使得α甄＜logα匆;
圆若∧鞭）在［侧,』）上连续目府（蹦）d撼＞0则广（獭）
在［α’b）上恒为正;
@在锐角△ABC中’若sinB（1＋2cosC）＝2sinAcosC＋
cosAsjnC’则必有』二2B;
◎平面上的动点P到定点F（l ’0）的距离比P到γ
轴的距离大1的点p的轨迹方程为γ2＝4厕.
其中正确结论的序号为
. （填写所有正确
结论的序号）
15.给出以下四个命题’其中所有真命题的序号为
c函数｝ˉ″…丙÷云（≡R）的最」植为2
D若′匡R,则÷＜l,是徊＞l,,的必要不充分条件
l0.下列说法不正确的个数有
（
）
@甲｀乙两学生参与某考试’设命题p:甲考试及格’
q:乙考试及格’则命题“至少有—位学生不及格’可
表示为（气p）γ（司q）;@命题“对γ“巨R’都有
＂2≥0’,的否定为‘‘司则0.R,使得绷;＜0｀, ;o‘‘若
…≠√Z则α≠;”是假命题;o.α＞b,,是‘αc2＞
b‘2′』的必要不充分条件;◎函数γ＝恿in（宁＋瓣）是
偶函数.
A·0
B. I
C.2
D.3
11.在复数运算中下列三个式子是正确的:
@｜zl＋z2 ｜≤｜zl
｜＋｜z2｜;
@｜zl .z2
｜＝｜zl
｜
.
｜z2｜;
@（zl .z2）.z3＝zl
. （z2 .z3）
’
相应的在向量运算中’下列式子:
o｜α＋b｜≤｜α｜＋｜b｜;
@｜α.b｜＝｜α｜
.
｜b｜
;
o（α。b）.c＝α. （b.c）’正确的个数是（
）
A.0
B. 1
C.2
D°3
12.下列命题中’真命题的是
（
）
A. “］狐0巨R’e狐0≤0”的否定是“V绷巨R’e购≥0”
B已知α＞0’则“α≥1”是“α＋上≥2’,的充分不必
α
要条件
C.已知平面α’β’γ满足α上γ’β上γ’则α″
D.若P（A（ˉ」B）＝P（A）＋P（B）＝l’则事件A与B
是对立事件
二、填空题
13.下列4个命题:
O已知随机变量音服从正态分布Ⅳ（〃’α2）’若p（专
＜2）＝P（音＞6）＝0. 15’则P（2≤音＜4）等于O3;
@函数／（卯）＝3α卯＋αˉl在区间（—1 ’1）上存在＿
个零点则“的取值范圈是ˉ÷…可;
@“b2＝αC”是“α’6’C成等比数列”的必要不充分
条件;
◎W筐（0’晋）,瓢…鞭＜…
@若0＜α＜b＜1’则lnα＜lnb＜αb＜6α.
l6.若原命题为:“若α2＋b2＝0’则α’b全为0”’那么以
下给出的4个结论:
@其逆命题为:若α’b全为0,则α2＋b2＝0;
@其否命题为:若α2＋b2≠0’则α’b全不为0;
o其逆否命题为:若α’b全不为0’则α2＋b2≠0;
@其否定为:若α2＋62＝0’则α’6全不为0.
其中正确的序号为
83
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62充分条件与必要条件
错题题号:
答题用时:
练习日期:
-、单选题
｝
6. “k＝0”是直线绷-kyˉl＝0与圆（则ˉ2）2＋（yˉ1）2＝1
L下列判断错误的是
（
）
｜
相切的
（
）
A若随机变量盲服从正态分布／V（1’α2）’P（‘≤3）＝
｜
A.充分不必要条件
O72’则P（音≤ˉ1）＝0.28
｜
B.必要不充分条件
B.若n组数据（则l ’γl）’（鳃2’y2）’…,（”″’γ厕）的散点
｜
C充要条件
都在y＝ˉ绷＋1上’则相关系数′＝ˉ1
｜
D.既不充分也不必要条件
c若随机变量曹服从二项分布;:ˉB（5,÷）’则
｜7给出下列命题
｜
@已知α’6巨R’“α＞1且b＞l”是“αb＞l”的充分不
E（盲）＝1
DαⅧ＞b加是α＞b的充分不必要条件
｜
必要条件;
2.已知向量α＝（mˉl’1）’b≡（m’ˉ2）’则“m＝2’’是
｝
@已知平面向量α’b’“｜α｜＞1’ ｜b｜＞l”是“ ｜α＋b｜≥
“α上b’,的
（
）
｝
l”的必要不充分条件;
A.充分不必要条件
｜
o已知α’b巨R’“α2＋b2≥1’’是“ ｜α｜＋｜b｜≥l”的充
B必要不充分条件
｜
分不必要条件;
C.充要条件
｜
@命题p:“】〃0巨R’使e绷0≥“0＋l且ln腮0≤厕0ˉl ’,
D既不充分也不必要条件
｜
的否定为司p;“V卯巨R’都有e缅＜财＋l且ln则＞
3.已知α’b巨R’则“α＞b’’是“2α＞2b”的
（
）
｜
｝
厕ˉl”’其中正确命题的个数是
（
）
A.充分不必要条件
｜
A.0
Bl
B必要不充分条件
｜
C.2
D3
C.充要条件
｜
8.给出下列四个结论:
D既不充分也不必要条件
4若α,b为正实数’且α≠l’b≠l’则‘‘α＞b＞l’,是
｜
o若p∧（司q）为真命题,则（司p）γ（气q）为假
“logo2＜log62’,的
（
）
｜
命题;
A充分不必要条件
｜
@设正数构成的等比数列｛α厕｝的前＂项和为S＂’若
B必要不充分条件
｜
α8＝8α5’则S＂＜2α厕（＂巨N＊）;
C.充要条件
｜
o〕躯0巨R使得躯;＋绷0＝20l8成立;
D.既不充分也不必要条件
5巳知等差数列｜“憾｜的公差为d,前″项和为s厕’则
｜
酗若颠巨R,则瓣:≠4是躯≠2的充分不必要条件
“感＜0’,是“S2＋s4＜2s3’,的
（
）
｜
其中正确结论的个数为
（
）
｜
A. 1
B.2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
｜
C.3
D.4
C.既不充分也不必要条件
｜
9. “α＝0”是“直线／l :α卯ˉ（α＋1）γ＋l＝0与直线／2:
D充要条件
｜
2厕ˉαγ＝1≡0垂直”的
（
）
.84.
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A.充分不必要条件
B必要不充分条件
C.充要条件
D既不充分也不必要条件
10.已知A’B’C’D’E是空间五个不同的点’若点E在
直线BC上’则“AC与BD是异面直线”是“AD与
BE是异面直线”的
（
）
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
11.直线卯ˉγ＋m＝0与圆狐2＋γ2ˉ2卯ˉ1＝0有两个不
二、填空题
l3巳知α是△ABC的—个内角’则‘…≡罕,是
“α≡45。’,的
条件
l4.已知p:函数y＝（αˉ4）”在R上单调递减’q:″l＋
1≤α≤2′＂’若p是q的必要不充分条件,则实数
m的取值范围为
.
l5.下列结论:
@若卯＞0’y＞0’则““＋2γ＝2｀／页万y”成立的—个充
分不必要条件是“卯＝2且y＝1”;
@存在α＞1’卯＞0’使得α颠＜logα则;
◎若函数／（卯）＝厕4ˉ（αˉ1）卿2＋（αˉ3）卿的导函
数是奇函数’则实数α＝3;
@平面上的动点P到定点F（1’0）的距离比P到y
轴的距离大l的点P的轨迹方程为y2＝4则.
其中正确结论的序号为
. （填写所有正确
同交点的—个必要不充分条件是
）
（
A·0＜m＜1
Bm＜1
C。-4＜m＜0
D. -3＜m＜1
l2.已知α’b匡R’则α＞｜6｜是α｜α｜＞b｜b｜的
（
）
的结论序号）
l6设命题′÷…l;命题q;鳃2ˉ（2α＋l）鳃＋α（α＋
1）≤0’若司p是气q的必要不充分条件’则实数α
的取值范围为
A.充分不必要条件
B必要不充分条件
C.充要条件
D既不充分也不必要条件
85
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63逻辑联结词
错题题号:
答题用时:
练习日期
7.下列命题中错误的是
（
）
A.若命题p为真命题’命题q为假命题’则命题“pγ
气q”为真命题
B.命题“若α＋b≠7’则α≠2或b≠5”为真命题
C.命题』若卯2ˉ则＝0’则匆＝0或则＝1”的否命题为
“若卯2-卯＝0’则则≠0且则≠1”
D.命题P:】则＞0’sm匆＞2＂ˉl’则司P为γ卯＞0’
sin卯≤2z-l
8.下列各组命题中’满足“pγq为真、p∧q为假｀司q为
真’,的是
（
）
Ap;γ＝÷在定义域内是减函数;,:′（撼）≡…—Ⅸ
偶函数
B.p:V则巨R’均有如2＋绷＋1≥0;q:“师＞1’’是“卯＞2,,
成立的充分不必要条件
o′…÷的最小值是6;9直绚;3獭＋4γ＋6＝0被
圆（匆ˉ3）2＋γ2二25截得的弦长为3
D.p:抛物线γ2＝8卯的焦点坐标是（2,0）;q:过椭圆
2
2
÷＋÷＝l的左焦点的最短的弦长是3
9.命题p:若向量α.b＜0’则α与b的夹角为钝角;命
题q:若cosαcosβ＝l,则sin（α＋β）≡0.下列命题为
真命题的是
（
）
A.p
B司q
C.p∧q
Dpγq
10.已知α＞0’命题p;函数／（绷）＝lg（α鳃2＋2厕＋3）的值
域为R’命题q:函数g（卿）＝匆＋丛在区间（1’＋。°）
卯
内单调递增若司p∧q是真命题’则实数α的取值
范围是
（
）
-｀单选题
l.设命题p:5≥3’命题q:
｛l ｝巨｛0’l’2｝’则下列命题
中为真命题的是
（
）
A.p∧q
B司p∧q
C.p∧-｜q
D司pγ司q
2.已知命题P:在△ABC中’A＞B是sinA＞sinB的充
要条件’命题q:若S″为等差数列｛α″｝的前＂项和’
则S厕’S2厕’S3肌（meN＊）成等差数列.下列命题为真
命题的是
（
）
A·pγ司q
B.司p∧q
C.司pγq
Dp∧q
3巳知函数／（鞭）＝co葛（2鞭＋:）命题p:／（狐）的图象关
于点（—舌’0）对称;命题q:／（膊）在区间｜—晋』0｜上
为减函数’则
（
）
A.p∧q为真命题
B司p∧q为假命题
C.pγq为真命题
D.司pγq为假命题
4已知命题p:〕m巨R’使得／（卯）＝（2m-1）卿2m2—厕＋1
是幂函数’且在（0’ ＋“）上单调递增.命题q:
“〕则巨R’狐2-1＜则’,的否定是“γ则巨R’则2-1＞卯”’
则下列命题为真命题的是
（
）
A. （司p）γq
B. （司p）∧（司q）
C.p∧（司q）
Dp∧q
5.已知命题p:若α＞6’则α2＞b2’命题q:γ卯＞0’ln（卯
＋l）＞0;下列命题为真命题的是
（
）
A.p∧q
B.p∧司q
C。司p∧q
D司p∧司q
6已知命题p:若实数”’γ满足卯2＋y2＝0’则卯’γ全为
0;命题q:若α＞b’则αc＜bc’给出下列四个命题:
@p∧q;@pγq;o司p;@司q其中真命题是（
）
A.o@
B@o
C.@@
D.@@
凰（—鲤,＋｜
D（＋,l｜
A. （-的’0］
（0’＋｜
C.
86
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∏命题′;拌复数鸳＝吕（j为虚数单位）则复数舅对
应的点在第二象限’命题q:若复数z满足z.z为实
数’则复数z—定为实数’那么
（
）
A.p∧q是真命题
B.p∧司q是真命题
C.司pγq是真命题
D.pγ司q是假命题
l2.下列有关命题的说法＿定正确的是
（
）
A.命题“γ卯巨R’sin卿≥1”的否定是“〕如0巨R’
sIn卯0≤l’’
B.若向量α／／／b’则存在唯＿的实数使得α＝入b
C.若函数／（则）在R上可导’则“／v（则0）＝0’’是“卯0
为函数极值点”的必要不充分条件
D.若“pγq’,为真命题’则“p∧（ˉ｀q）”也为真命题
二、填空题
13.已知命题p:m巳R且m＋1≤0;命题q:V卿巨R’
2
命题’则m的取值范围是
l5.下列说法中错误的是
（填序号）.
@命题“〕绷l ’卯2巨″’则l≠勿2’有0（绷l）ˉ／（卯2）］（则2ˉ
躯l）＞0”的否定是“γ则l ’狐2筐M卯l≠鳃2’有［／（匆l）—
／（卯2）］（则2ˉ卿l）≤0”;
@已知α＞0,b＞0,α＋b＝l则÷＋÷的最小值为
5＋2√6;
◎设则’y匡R,命题“若卯y＝0’则则2＋γ2＝0”的逆否
命题是真命题;
@已知p:卯2＋2绷ˉ3＞0’q:则2ˉ5匆＋6＜0’若命题
司q∧p为真命题’则“的取值范围是（ˉ的,＿3）O
（1’2）□［3’＋的）.
16.以下说法正确的是
（填写所有正确命题的
序号）.
o不等式惹炭≤2与不等式撼2辩］≥÷解
集相同;
@已知命题p:“若α＝0’则αb＝0”的否命题是“若
α≠0’则αb≠0”’命题q:“若αeM’则b匡″’’与命
题“若b巳M则α匡″”等价’则pγq为真命题’
p∧q为假命题;
◎命题“〕则0巨R’2鳃0≤0”的否定是“γ卯筐R’
2x＞0,’ ;
@已知幂函数γ＝′（瓣）的图象经过点（4,÷）,则
j（2）＝罕
l4在下列结论中:o“p∧q”为真是“pγq’’为真的充分
不必要条件;@“p∧q”为假是“pγq”为真的充分不
必要条件;o“p∧q”为真是“司p”为假的充分不必
要条件;@“司p”为真是“p∧q”为假的充分不必要
条件.正确的是
87
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64椭圆（‖）
错题题号:
答题用时:
练习日期:
2
2
5巳知过椭圆÷＋卡＝l（侧＞b＞0）的左焦点且斜率为
上的直线′与椭圆交于A’B两点.若椭圆上存在一
α
点P’满足丽＋丽＋而＝0（其中点O为坐标原
点）’则椭圆的离心率为
（
）
∧粤
凰罕
～
O罕
∩÷
2
2
6巳知椭圆z÷＋卞＝l（α＞b＞0）的石焦点为′,短
轴的一个端点为M’直线／:3卯ˉ4γ＝0交椭圆E于
A’B两点’若｜AF｜＋｜BF｜＝6’点M到直线／的距离
不小干:,则椭圆E的离心率的取值范围是（
）
＂（0｀手｜
Ⅱ（0,罕｜
〔｜罕,｜）
0｜乎’｜）
7已知双曲线‘的＿条渐近线为′＝罕鳃,且与椭随
2
2
古＋÷＝l有公共焦点｀则C的方程为
（
）
2
2
2
2
A÷—÷＝l
B÷ˉ÷＝l
2
2
2
2
C÷ˉ÷＝l
D÷ˉ÷＝l
2
2
8已知椭圆M÷嘴-l（“＞0＞0）的＿个焦点为
′（｜’0）,离心率为夸,过点′的动直线交删于A,6
两点’若卯轴上的点P（t’0）使得二APO＝乙BPO总
成立（O为坐标原点）’则r＝
（
）
A。2
B.抠
C. ˉ√5
D-2
2
2
9巳知椭畴十卞≡l（α＞b＞0）的左焦点为′!（ˉ2’
0）’过点F1作倾斜角为30。的直线与圆卯2＋γ2＝b2
相交的弦长为√5b’则椭圆的标准方程为
（
）
-、单选题
2
2
1已知椭圆÷＋兴＝l（α＞b＞0）的左、右焦点分别为
α
b鱼
Fl ’F2’P是椭圆上—点’△PFlF2是以F2P为底边
的等腰三角形’且60。＜△PFlF2＜120。,则该椭圆的
离心率的取值范围是
（
）
A（午’｜）
＂（午,÷）
C（÷,l）
D（0,÷）
2
2
2设′是椭圆C崇＋市＝｜（凰＞0＞0）的＿个焦点’
2
P是c上的点』圆卯2＋y2＝;与直线PF交于A』B两
点’若A,B是线段PF的两个三等分点’则C的离心
率为
（
）
＾粤
凰罕
c平
＂平
2
2
虱设椭圆÷＋卞二］（铡＞b＞0）的右焦点为′,过点′
作与卯轴垂直的直线／交椭圆于P’B两点（点P在
第一象限）’过椭圆的左顶点和上顶点的直线／l与直
—步
—》
线′交于A点’且满足｜AP｜
＜｜BP｜’设O为坐标原
点,若oP＝∧oA辨腆oB（入,腆匡R）,M二÷’则该椭
一—≥
—〉
圆的离心率为
（
）
A÷
B苦
c÷或肾
D÷
4.已知Fl ,F2是椭圆和双曲线的公共焦点’P是它们
的—个公共点’且△FlPF2＝哥』记椭圆和双曲线的
离…删加.傻川÷窘的最…（
）
＾竿
Ⅱ孕
C.2何
∏2√2
88
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O为坐标原点耐与丽的夹角为0’且｜tan0｜＝3’则
b≡
（
）
A. l
B.√2
α归
n李
二、填空题
l3.已知椭圆C的中心在坐标原点’—个焦点的坐标是
（0’3）’若点（4’0）在椭圆C上’则椭圆C的离心率
等于
2
2
2
2
A÷＋÷＝］
B÷＋÷＝l
2
2
2
2
C荒＋孟＝l
D六＋古＝l
2
2
l0巳知F是椭圆c;;＋÷＝l的左焦点’P为c上一
点’」（l,÷）则｜PA｜＋｜P′｜的最小值为
（
）
川
—
〕
■
∧
B号
2
2
l4巳知椭圆c÷＋;可＝］（α＞‖＞0）的右焦点为′（l,
0）’其关于直线y＝b匆的对称点0在椭圆上’则离
心率e＝
’S△FOQ＝
c」
u号
2
2
u设′! ,F2分别为椭圆c÷＋卡≡l（“＞b＞0）的
左｀右焦点’椭圆C上存在＿点P使得｜PF1
｜
ˉ
｜″2
｜≡b, ｜″!卜｜P′2
｜＝普αb则该椭圆的离心
率为
（
）
2
2
｜5巳知0为坐标原点,′是椭圆C;÷＋萨＝］（α＞
b＞0）的左焦点’A’B分别为C的左’右顶点P为C
上＿点’且PF上卯轴过点A的直线′与线段PF交
于点″’与γ轴交于点E.若直线BM经过OE的中
点’则C的离心率为
A÷
＂粤
c粤
Ⅱ÷
已知椭圆c;汗≡!（＂＜》＜2）.作顺斜角为宁
的直线交椭圆C于A’B两点’线段AB的中点为M’
］
~~
’～—’
Ⅱˉ
＋
川—卯∑
■●
℃
圆
椭
知
已
2
2
设点″是椭圆÷＋市≡｜（α＞b＞0）上的点,以点″
为圆心的圆与“轴相切于椭圆的焦点F’圆M与γ
轴相交于不同的两点P’0’若△PMQ为锐角三角
形’则椭圆的离心率的取值范围为
l6
∑
］
89
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65椭圆（2）
错题题号:
答题用时:
练习日期:
2
2
a过椭圆齿＋亢＝l的中心任意作—条直线交椭圆于
P’0两点’F是椭圆的—个焦点’则△P0F周长的最
小值是
（
）
A. 14
B. l6
C· 18
D.20
9.已知正数m是2和8的等比中项’则圆锥曲线卿2＋
2
坠＝l的焦点坐标为
（
）
″】
A. （±√可’0）
B. （0’±徊）
C. （±旧’0）或（±√百’0）
D. （0’±旧）或（±√5’0）
2
2
｜0设椭圆c÷＋宇＝｛（α＞0’』＞0）的左右焦点分
别为F1 ’F2’点E（0’t）（0＜‖＜b）.已知动点P在椭
圆上’且点P,E’F2不共线’若△PEF2的周长的最
小值为4b’则椭圆C的离心率为
（
｀
＂粤
凰罕
‘÷
n罕
n巳知椭圆的中心在原点,离心率′＝＋,且它的-
个焦点与抛物线γ2＝ˉ4厕的焦点重合’则此椭匝
方程为
（
）
2
2
2
2
A÷＋÷＝l
B÷＋÷＝l
2
2
C÷＋γ2＝l
n÷＋γ2＝l
12已知椭圆咖鞭…γⅡ＝｜的离心率为夸,则实数″
等于
（
〉
A2
Ⅱ2或;
C2或6
u2或8
二｀填空题
2
2
l3巳知椭圆c;;＋÷＝l’点删与C的焦点不重合
若M关于C的焦点的对称点分别为A’B’线段M｀
的中点在C上’则｜AⅣ｜＋｜BⅣ｜
＝
-｀单选题
2
2
1已知椭圆C;÷＋÷＝l,直线』;躯＝4与＂轴交于点
E’过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A’B两点’
点C在直线′上’则“BC／／／匆轴”是“直线AC过线段
EF中点”的
（
）
A.充分不必要条件
B必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（√I百’0）’直
线γ＝卯与椭圆的＿个交点的横坐标为2’则椭圆方
程为
（
）
2
2
A荒＋γ2＝l
B绷2＋亢＝l
2
2
2
2
c茹＋÷＝l
D÷＋赤＝l
3.椭圆的焦点为Fl ’F2’过F1的最短弦P0的长为l0’
△PF2Q的周长为36’则此椭圆的离心率为（
）
＾亨
＂÷
〔÷
n李
2
2
4巳知′｜,′2是椭圆c÷愉-l（“＞b＞0）的左右
焦点｀堤c的左顶点｀点P在过A且斜率为窖的直
线上’△PF1F2为等腰三角形’乙FlF2P＝l20°’则C
的离心率为
（
）
＾÷
＂÷
c÷
n士
2
2
5设F｜,F2分别为椭圆;＋÷＝l的两个焦点’点P
｜PF勺
｜
在椭圆上,若线段′′｜的中点在γ轴上,则顽丁的
值为
（
）
A.旦
B÷
c÷
D÷
l4
6.若椭圆上存在三点’使得这三点与椭圆中心恰好是一
个正方形的四个顶点’则该椭圆的离心率为
（
）
A卑凰罕
q夸
u李
2
2
7巳知P为椭圆去＋六＝｜上的—点』′! ,′2为两焦
点’M’Ⅳ分别为圆（“＋3）2＋y2＝1和圆（卿ˉ3）2＋
y2＝4上的点’则｜pM｜＋｜P∧／｜的最小值为
（
）
A.5
B.7
C. l3
D15
2
2
l4巳知′｜（—嚷’0）’F2（c,0）为椭圆÷＋卡＝l（娜＞
———〉
———〉
b＞0）的两个焦点’P为椭圆上＿点’且PFl .pF2＝
C2’则此椭圆离心率的取值范围是
晦若椭圆泽～｜（磁＞』≥0）的离…罕短釉长
为4’则椭圆的标准方程为
2
2
l6过点删（0’l）的直线′交椭圆÷＋÷＝］于A』B两
点’F为椭圆的右焦点’当△ABF的周长最大时’
△ABF的面积为
90°
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66双曲线（‖）
练习日期:
答题用时
错题题号:
-、单选题
A.佰
B.5
2
2
｜设′! ,’:是双曲线c÷ˉ肯二l（侧＞0’0≥0）的两
呵
γ
∑
∏
C.√i7
个焦点’P是C上—点’若｜PF1
｜
＋｜PF2｜＝6α’且
△PF1F2的最小内角为30°’则C的离心率为（
）
A.6
B.√6
C.3
D.√可
2
2
2P为双曲线苛ˉ÷＝l右支上＿点,F! ’F2分别为双
曲线的左、右焦点』且丽.雨二0,直线P′2交γ
轴于点A’则△AFlP的内切圆半径为
（
）
2
2
5巳知双曲线÷—肯二l（舰＞0,6＞0）的离心率为徊,
且双曲线与抛物线躯2＝ˉ4√g）的准线交于A’B两
点’S△ABO＝√gˉ’则双曲线的实轴长
（
）
A.√页
B.4徊
C.2
D.2√2
2
2
6巳知′｜’′2是双曲线÷ˉ卡≡l（α＞0）的左｀右
A·2
B.3
焦点’过F1的直线／与双曲线的左支交于点A’与
右支交于点B,若M′｜
｜＝2α’么Mh＝芋,则
S△FlBF2
目＝
（
）
A.6
B.6徊
—
″
＿
∑
【
）
］
—
∑
■
℃
3.已知定点F1（ˉ2’0）’F2（2’0）’Ⅳ是圆O:绷2＋y2＝1
上任意—点’点F1关于点Ⅳ的对称点为M’线段
F1M的中垂线与直线F2″相交于点P’则点P的轨
迹是
（
）
A.直线
B.圆
C.6徊
D. 12
2
2
7巳知双曲线苛ˉ÷二l（b＞0）的—条渐近线方程为
C.椭圆
D.双曲线
3匆＋2γ≡0’则b＝
（
）
A2
B.3
C.4
D9
2
2
s设F｜,F2是双曲线÷—卞-l（侧＞0,b＞0）的两
--＝一＞一
个焦点’点P在双曲线上’若PFl ·PF2＝0且
｜PFl
｜
· ｜PF2
｜＝2αc（c＝√α2＋b2）’则双曲线的
离心率为
（
）
2
2
2
4如图,已知椭圆c! ;什y』＝｜,双曲线C』;÷ˉ;≡
1（α＞0’b＞0）’若以C1的长轴为直径的圆与C2的
＿条渐近线交于A’B两点’且Cl与该渐近线的两交
点将线段AB三等分’则C2的离心率为
（
）
Bl笋
ul乎
A.2
cl÷石
91
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2
2
l2已知双曲线c÷卡＝l（α＞0,b＞0）的虚轴长为
2
2
队双曲线c÷ˉ萨＝l（舰＞0,』＞0）的焦点为′｜,′』,
以FlF2为直径的圆交C的渐近线于点（3’√可）’则C
的方程为
（
）
2
2
A÷ˉ;＝l
2
B膊2ˉ÷＝l
2
2
C÷ˉ÷＝1
2
D÷—γ2＝l
2
2
l0巳知双曲线÷ˉ卞≡l（α＞0,b≥0）’A｜,A』是实轴
顶点’F是右焦点’B（0’b）是虚轴端点’若在线段
BF上（不含端点）存在不同的两点Pt（′≡1’2）,使
得△P《A1A2（j＝l,2）构成以A1A2为斜边的直角三
角形’则双曲线的离心率e的取值范围是
（
）
＾川亿早）
Ⅱ（√Z早）
o（1,早）
D（1旦÷1,＋函）
2
2
n巳知′! ,′2分别是双曲线c÷—÷＝l （倒＞0’b＞
0）的左、右焦点’若点F2关于双曲线C的—条渐近
线的对称点为M’且｜F1M｜＝3’则双曲线C的实轴
长为
（
）
A÷
凰3
6芋
u3何
8’右顶点A（α’0）到双曲线的—条渐近线的距离为
号,则双曲线c的方程为
（
）
~~
勺
～
乙
’
∑
卯
—
Ⅷ
β
2
2
A÷＿亢＝l
2
2
o去＿六＝l
二、填空题
］
~~∑
坠
乃
∑
卯
—
师
［
）
2
l3.已知双曲线坠ˉ绷2＝1（″』＞0）的＿个焦点与抛物线
′′0
γ≡÷鞭2的焦点重合,则此双曲线的离心率为
2
2
l4设′! ’F2分别是双曲线÷＿昔可≡l（“＞0,』＞0）的
左｀右焦点’AB为过焦点Fl的弦（A’B在双曲线的同
＿支上）’且（旧＋1）｜AB｜＝｜AF2｜＋｜BF2｜.若｜AB｜
＝＝
÷b贝‖双曲线的离心率为
2
2
!5巳知双曲线c;÷ˉ《可＝l（α＞b＞0）的左府焦点
分别为Fl ’F2’以虚轴为直径的圆O与C在第—象
限交于点M若MF勺与圆O相切’则双曲线C的离
心率为
2
2
｜6若双曲线÷ˉ肯-l（α＞0,b＞0）的渐近线与圆
（则ˉ何）2＋y2≡2相交’则此双曲线的离心率的取
值范围是
.
92
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67双曲线（2）
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-、单选题
2
2
｜5若实数删满足0＜腮＜5,则曲线六ˉ六＝l与曲线
2
2
L已知双曲线÷÷＝｜（您＞0,b＞0）的左、右顶点
｜
』
:
｜
污二∏ˉ÷＝l的
（
）
分别为A’B’右焦点为F.过点F且垂直于则轴的
｜
｜
A.实半轴长相等
直线／交双曲线于MⅣ两点’P为直线′上—点’
｜
｜
B虚半轴长相等
当乙APB最大时,点P恰好在M（或″）处则双曲
｜
（
）
｝
0离心率相等
线的离心率为
｜
D.焦距相等
A.徊
B.√可
2
｜6设双曲线鳃2ˉ肯＝l的两个焦点为F｜,F2’P是双曲
C.2
D.佰
｜
线上的＿点’且｜PF1
｜
: ｜PF2
｜＝3:4’则△PFlF2的
2
2
2设F｜、F2是双曲线C:÷ˉ贵＝l的两个焦点,点
｜
｜
面积等于
（
）
—〉一
P在C上’且PFl ·PF2＝0’若抛物线γ2＝16卯的
｜
｜
A. 10徊
B.8√可
准线经过双曲线C的＿个焦点,则｜PF」
｜
. ｜PF2
｜
｜
O8√百
Dl6佰
的值等于
（
）
｜
｜
7。已知双曲线的离心率为2’焦点是（ˉ4’0）
’ （4’0）
’
A.2抠
B6
｜
则双曲线的方程为
（
）
C. 14
D. 16
2
2
;
A÷ˉ市＝1
2
2
3巳知双曲线÷—卡≡l（α＞0,b≥0）,若过—三象限
博
2
2
;
B壶—÷＝1
的渐近线的倾斜角0巨｜子,哥｜,则双曲线的离心率.
｜
2
2
｜
C而ˉ卡二l
的取值范围是
（
）
｝
2
2
｝
u÷—而＝l
A. ［√Z2］
B. ［2’4］
2
2
s若双曲线g÷—卡＝］（“＞0,』＞0）的左右焦点分
徊
响
—
〕
｜
Ⅱ
C. （1’3‖
2
2
4巳知双曲线c÷ˉ岸＝l（α＞0’b＞0）关于直线′对
｜
别为′｜’F2’ ｜′l′2
｜-6’P是E占支上的—点’″］
｜
与y轴交于点A’△R4F,的内切圆在边AF,上的切
称的曲线经过点（7α’0）’其中直线′经过C的右焦
｜
点｀且与躯轴垂直,则该双曲线的离心率为
（
）
｜
点为0,若｜A0｜＝徊则E的离心率是
（
）
A.3
B2或4
｜
A.√3
B√5
C.4
D3或4
｜
C.2√可
D.√页
°93.
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2
2
9巳知′｜,′』是双曲线C;÷ˉ食＝!（α＞0,0≥0）的
曲线在第＿象限的交点为P’设O为坐标原点’若
而二Ⅶ＋队而（∧,队匡R）,儿』＋从2＝;’则双曲
线的离心率为
（
）
＾竿
＂平
c手
n;
二、填空题
2
l3巳知双曲线÷—γ2＝l上一点P｀过点P作双曲线
两渐近线的平行线′l ’／2’直线／l ’／2分别交腮轴干
M’Ⅳ两点’则｜OM｜
. ｜OM＝
左｀右焦点’Fl坐标（ˉ√7’0）’双曲线右支上点P满
足｜PFl
｜-｜PF.｜＝4’则它的渐近线方程为（
）
Aγ＝童祭
～
2徊
B.γ＝±-丁卯
3
C.y＝±可腮
4
D·γ＝±了则
2
2
｜0巳知双曲线c÷÷＝l（b…0）的左焦点关于
C的—条渐近线的对称点在另＿条渐近线上’则C
的离心率为
（
）
A.徊
B何
C.2
D占ˉ
2
2
｜4设双曲线÷÷＝］（碘＞0,0＞0）的两条渐近线与
2
直线卿＝坠分别交于A’B两点’F为该双曲线的右
C
焦点若60。＜乙AFB＜90。’则该双曲线的离心率的
取值范围是
.
2
2
ll已知′｜,′2是双曲线C崇ˉ｝可二l（“＞0,b＞0）的
2
l5已知双曲线蕊2ˉ÷＝l的左顶点为A｜,右焦点为
----〉
-—-—≥
F,’P为双曲线右支上＿点’则PAl .PF2的最小
值为
两个焦点’P是C上—点’若｜PFl
｜＋｜pF,
｜＝6α’且
△PFlF2最小内角的大小为30。’则双曲线C的渐
近线方程是
（
）
2
2
｜6巳知双曲线÷—÷＝｜（“＞0,b＞0）的右焦点为
·
~~仍
±
卯
Ⅱ
∩
‖
~~
γ
′
±
画
∧
C.卯±2γ＝0
D.2卯±γ≡0
2
2
｜2设双曲线÷÷＝l（侧＞0,』＞0）的石焦点为′,过
点F作则轴的垂线交两渐近线于A’B两点’且与双
F’焦距为8’左顶点为A’在γ轴上有＿点B（0
b）,满足丽。丽＝2α’则该双曲线的离心率的值
为
94
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68抛物线（‖）
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-｀单选题
l.如图’已知直线／:γ＝A（卯＋1）（k＞0）与抛物线C:y2＝4卿
相交于A’B两点’且A’B两点在抛物线准线上的投影
分别是M’Ⅳ’若｜B／＼／｜＝2｜AM｜’则∧的值是
（
）
8.若抛物线γ2＝4腮的焦点是F’准线是／’点″（4’m）是抛
物线上—点’则经过点F’″且与／相切的圆共（
）
A.0个
B. l个
C.2个
D.4个
9.圆C的圆心在抛物线γ＝4卯2上’且该圆过抛物线的焦
点’则圆上的点到直线γ＝ˉ6距离最小值为
（
）
A器
B等
c5
u÷
l0.设抛物线γ2＝2p卯（p＞0）的焦点为F’过点M（p’0）
且倾斜角为45。的直线与抛物线交于A’B两点’若
｜AF｜＋｜BF｜＝l0’则抛物线的准线方程为（
）
A.卯＋l＝0
B.卯＋2＝0
C.2卯＋1＝0
D2卯＋3＝0
11.过抛物线γ2＝绷的焦点F的直线／交抛物线于A’B
两点’且直线′的倾斜角0≥哥｀点A在鞭轴上方’则
｜刷｜的取值范围是
（
）
A（』’l｜
B（＋,…）
〔（÷,带函）
∏（十,｜＋罕｜
l2.抛物线γ2＝2p绷（p＞0）的焦点为F’已知点A’B为
抛物线上的两个动点’且满足乙AFB＝120。’过弦
AB的中点M作抛物线准线的垂线M＼／’垂足为Ⅳ’
则僧的最大值为
（
）
∧f
凰｜
‘竿n2
二｀填空题
l3.已知抛物线γ2＝2p则的准线方程为则＝ˉ2’点P为
抛物线上的—点’则点P到直线y＝卯＋3的距离的
最小值为
γ
｀÷
圆军
〔竿u2徊
2抛物线γ2＝4卯的焦点为F’点A（5’3）’M为抛物线
上＿点’且″不在直线AF上’则△M4F周长的最小
值为
（
）
A.6＋√西
B12
C。11
Dl0
3.已知抛物线″2＝αγ（α≠0）的焦点为F’准线为／’该
抛物线上的点M到绷轴的距离为5’且｜″F｜＝7’则
焦点F到准线′的距离是
（
）
A·2
B.3
C.4
D.5
4已知抛物线C:γ2＝4卯的焦点为F’过F的直线与曲
线C交于A’B两点’ ｜AB｜＝6’则AB中点到γ轴的
距离是
（
）
A. l
B.2
C.3
D.4
5.已知抛物线C:y2＝2p卯（0＜p＜4）的焦点为F’点p
为C上＿动点’A（4’0）’B（p’√ZP）’且｜R4｜的最小值
为√I百’则｜BF｜等于
（
）
A4
R旦
α5
D号
2
6.已知p是抛物线γ2＝4卯上任意＿点’0是圆（绷ˉ
4）2＋γ2＝1上任意—点’则｜p0｜的最小值为（
）
A÷
B3
C.√可＋1
D.2旧—1
7.设抛物线y2＝4则上＿点p到y轴的距离为dl ’到直
线／:3卯＋4γ＋12＝0的距离为〃2’则‘1＋d2的最小
值为
（
）
A2
凰旦
C等
u3
3
14.抛物线y2＝4卯上位于第—象限内的—点到焦点的
距离是3’则该点坐标是
.
15.过点F（2’0）作直线FM交y轴于点M’过点″作
Mγ上MF交卯轴于点／V’延长M｜′至点P’使得
｜M′｜
＝｜』′P｜’则P点的轨迹方程为
16.如图所示’点F是抛物线y2＝8卿
的焦点’点A’B分别在抛物线
y2＝8“及圆（则-2）2＋γ2＝16的
实线部分上运动’且AB总是平
行于卯轴’则△剧B的周长的取
值范围是
.x
.95
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69抛物线（2）
错题题号:
答题用时
练习日期:
A.γ＝±3如
Bγ＝±伍
cγ二亭
nγ＝÷＂
9.已知F是抛物线卿2＝4γ的焦点’p为抛物线上
的动点’且点A的坐标为（0, ˉ1）则册的最
小值是
（
）
＾÷
＂÷
o罕
u罕
10.已知点F是抛物线γ＝2卯2的焦点’M’Ⅳ是该抛物
线上的两点’若｜删川＋｜腑｜＝?,则线段M｀′中点
的纵坐标为
（
）
A÷
凰2
c÷
D3
ll.以抛物线γ2＝8则上的任意—点为圆心作圆与直线
卿＝ˉ2相切’这些圆必过＿定点’则该定点的坐
标是
（
）
A. （0’2）
B（2’0）
C. （4’0）
D（0’4）
l2.已知抛物线C:y2＝2p匆（p＞0）’焦点为F’直线y＝则与
抛物线C交于O’A两点（O为坐标原点）’过F作直线
OA的平行线交抛物线C于B’D两点（其中B在第一
象限）’直线AB与直线OD交于点E’若△OEF的
面积等于1’则抛物线C的准线方程为
（
）
1
A.如＝ˉl
B卯＝ˉ丁
l
C.γ＝ˉ1
Dy＝—丁
二、填空题
l3抛物线γ＝“2的准线方程是′＝壶,则α的值是
-、单选题
1已知抛物线C:″2＝2pγ（P＞0）的焦点为F’抛物线C
的准线与y轴交于点A’点M（1’γ0）在抛物线C上’
｜删′｜-芋测…′Ⅷ-
（
）
A÷
Ⅱ÷
c÷
n;
2
2
2巳知椭圆÷＋卡＝l（…＞0）与抛物线x』二2pγ
（p＞0）的交点为A’B’A’B连线经过抛物线的焦点
F,且线段AB的长度等于椭圆的短轴长’则椭圆的离
心率为
（
）
＂￥
Ⅱ÷
c罕
u罕
3.若抛物线C:y2＝2p卯（p＞0）的焦点在直线匆＋2yˉ
2＝0上’则p等于
（
）
A.4
B。0
C。
≡4
D。-6
4已知点p（4’4）是抛物线C:γ2＝2p卯上的—点’F是
其焦点’定点″（ˉl’4）’则△／‖′PF的外接圆的面
积为
（
）
A等R守c竿u芋
2
2
5巳知双曲线÷—卡＝｜（鳃＞0,6＞0）的两条渐近线与
抛物线y2＝2p绷（p＞0）的准线分别交于A’B两点’
O为坐标原点’若双曲线的离心率为2’△ABO的面
积为2何’则抛物线的焦点为
（
）
＂（÷′0）
Ⅱ（亭0）
o（!,0）
n（√Z0）
6.过抛物线C:γ2＝4匆的焦点F的直线′与抛物线C交
一—〉
于P’0两点,与抛物线的准线交于M’且FⅧ＝3FP’
一
则｜FP｜
＝
（
）
A÷
＂÷
C÷
D÷
7.已知点P是抛物线y2＝4“上的动点’点P在γ轴上
的射影是M’点A（2’3）’则｜PA｜
＋｜P″｜的最小
值是
（
）
A.√∏＋1
B.√l0ˉl
C.√I∏＋2
D.√10ˉ2
腻双岭÷ˉ铲｜的左…撼鞠虾ˉ…＞
0）的准线上’则双曲线的渐近线方程为
（
）
l4设抛物线γ2＝2p卯（p＞0）的焦点为F’点A（0’2）’若
线段酗的中点B在抛物线上’则点B到该抛物线
准线的距离为
15.M是抛物线C:γ2＝4匆上则轴上方＿点’F是抛物线
C的焦点’O为坐标原点’ ｜″F｜＝2’K是抛物线C
的准线与则轴的交点’则乙MKO＝
16.抛物线γ2＝2p厕（p＞0）焦点为F’原点为O’过抛物
线焦点垂直于卯轴的直线与抛物线交于点P,若
PO＝3√百’则p的值为
96
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70宣线与圆锥曲线的综台应用
练习日期:
答题用时:
错题题号
-、单选题
2
2
1已知圆M（剿ˉ2）2＋／＝l经过椭圆C;÷＋÷＝l的
—个焦点’圆″与椭圆C的公共点为A’B’点P为圆″
上—动点’则P到直线AB的距离的最大值为（
）
A.2√l0ˉ5
B.2｀／i∏ˉ4
C.4｀／I∏ˉ11
D.4｀／I∏—l0
2
2
2巳知椭圆c｜;而＋市＝l的左焦点为F’点P为椭圆
上—动点’过点P向以F为圆心’1为半径的圆作切
线PMPⅣ’其中切点为M’Ⅳ’则四边形P″F7γ面积
的最大值为
（
）
A.2√6
B.
｀／I可
C.√I百
D.5
2
2
3过点″（l,l）的直线与椭圆÷＋÷＝l交于A’B两
点’且点″平分AB’则直线AB的方程为
（
）
A。3卯＋4y-7＝0
B。3卯-4y＋1＝0
C.4卯＋3y-7＝0
D.4卯-3y-1＝0
2
2
4已知椭圆圆÷＋卡≡｜（铡＞b≥0）与过原点的直线
交于A’B两点’右焦点为F’乙A′B＝120。’若△AFB
的面积为4√可’则椭圆E的焦距的取值范围是（
）
A. ［2’＋的）
B. ［4’＋的）
C. ［2√可’＋。。）
D［4√Z＋。°）
2
2
5巳知椭圆c;÷＋÷＝!（铡＞b≥0）的左｀右焦点为
Fl ’F2’左、右顶点为″’Ⅳ’过F2的直线／交C于A’
B两点（异于M／V）’△AFlB的周长为4打’且直线
A删与A″的斜罐之积为—÷则c的方程为（
）
2
2
2
2
A壶＋÷＝l
B古＋÷＝l
2
2
2
C÷＋÷＝l
D÷＋′2＝l
6过双曲线厂:则2ˉy2＝l上任意点p作双曲线r的切
线’与双曲线厂的两条渐近线分别交于A’B两点’若
O为坐标原点’则△AOB的面积为
（
）
~A.4
B°3
C。2
D. 1
2
7□知′是双曲线C;鳃2ˉ肯＝l的右焦点』P是C上
＿点’且PF与卿轴垂直’点A的坐标是（1 ’8）’则
△PAF的面积为
（
）
A.6
B.8
C. 12
D. 16
8.直线／交双曲线“2ˉγ2＝α（α＞0）的右支于A’B两
点’设AB的中点为C’O为坐标原点’直线AB’OC的
斜率存在’分别为kAB’kOC’则kAB·∧OC＝
（
）
A—l
B÷
c」
n√r
9.已知抛物线C1 :y2＝4卯和圆C2:（卯-1）2＋y2＝1’直
线′经过C1的焦点F’依次交C1 ’C2于A’B’C’D四
点’则耐·而的值为
（
）
A÷
El
c2
u4
10.设F为抛物线C:γ2＝2p卯（p＞0）的焦点’直线卯-
2yˉ3p＝0交C于A’B两点’O为坐标原点’若
△刷B的面积为5 ｀／I∏’则p＝
（
）
＾等
队徊
α2
u.
l1.已知抛物线C:y2＝4则的焦点为F’过F的直线与曲
线C交于A’B两点’ ｜AB｜＝6’则AB中点到γ轴的
距离是
（
）
A· 1
B.2
C.3
D4
12.已知以圆C:（卯ˉ1）2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物
线Cl与圆C在第—象限交于A点’B点是抛物线
C2:则2＝8y上任意—点’B″与直线γ＝ˉ2垂直’垂
足为″’则｜BM｜ˉ｜AB｜的最大值为
（
）
A。
＝1
B。2
C。1
D。8
二、填空题
l3.设直线2则＋yˉ3＝0与抛物线厂:y2＝8则交于A’B
两点’过A’B的圆与抛物线厂交于另外两点C’D’
则直线CD的斜率片＝
2
2
l4平面直角坐标系鹏oγ中,椭圆÷＋萨＝l（鳃＞6＞0）
＂离心率.二罕,』｜｀削2分别是椭圆的左右两个顶
点’圆A1的半径为α’过点A2作圆Al的切线’切点为
′在鳃输的上方交椭圆于点Q则删ˉ
2
2
l5巳知双曲线r崇ˉ萨＝l（“＞0,』＞0）的右焦点为
F’点A是厂上位于第＿象限内的＿点’连接AO（O
为坐标原点）并延长交厂于点B’连接AF并延长交
′于点c若盯」」C｀厂的渐近方程为γ＝童织,
则｜器｜＝
l6.″为抛物线γ2＝4加上—点’且在第—象限’过点M
作MV垂直该抛物线的准线于点／V’F为抛物线的
焦点’O为坐标原点’若四边形OFM＼／的四个顶点
在同—个圆上’则该圆的方程为
97
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7‖
空间向量及具应用
错题题号
答题用时:
练习日期:
｛
AlBlClDl的中心’则向量丽与刀刀的夹角的余弦
—｀单选题
（
）
l.已知正四棱柱ABCDˉAlBlClDl中’AAl＝2AB’则CD
｛
值是
（
）
｜
＾旦砰
凰γ梁
与平面BDCl所成角的正弦值等于
＾亏
＂罕
7
｜
c§楞
n乎
似÷
n＋
｜
6.60。的二面角的棱上有A’B两点’直线AC’BD分别
2设棱长为l的正方体ABCDˉA」B｜C1D!中的8个顶点
｜
在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已
所成集合为M向量的集合尸- ｛α｜“＝p｜p2,p｜,
｝
知AB二4.」C＝6,BD二8,则CD的长为
（
）
--一-→
｜
A.√I7
B2√万
P2巨M｝’则P中模长为徊的向量的个数为
（
）
｜
B2
｜
c. ｀／叮T
D.2阿T
A. 1
D.8
｜
7·已知向量α＝（0’ ˉl’1）’b＝（4’l’0）
’ ｜入α＋b｜二
C.4
（
）
3如图所示,在正方体ABCD＿A｜B」ClD］中,已知M’Ⅳ
｜
√Z∏’且入＞0,则入＝
B.2
分别是B0和M的中点,则M与Dl″所成角的
｜
A』
｜
C,3
D4
余弦值为
（
）
｜
｜
8.在直角梯形ABCD中’AD／′BC’AB上AD’E,F分别是
D｜
C｜
／C
AB’AD的中点’PF上平面ABCD’且AB＝BC＝PF二
学D-2则异面直线P阀’c″所成的角为
（
｜
A.30。
B.45°
C.60°
D.90◎
9.有下列命题:
@若p＝则α＋γb’则p与α’b共面;
@若p与α’b共面’则p＝卯α＋yb;
--→
ˉ——＋
-—-〉
o若MP＝卯M4＋γMB’则P’M’A’B共面;
—＿一广
ˉ——〉
一—〉
@若P’M’A’B共面’则MP＝则』lA＋γMB.
其中真命题的个数是
A. 1
B2
C.3
D4
10.如图所示’PD垂直于正方形ABCD所在平面’
4l
′
≥≥
C
么4
B
A嘿
凰俘
c抨
n普
4.已知正方体ABCDˉAlBlC｜Dl的棱长为1’若P点在
正方体的内部,且满足∏＝知十÷ⅪI）十颗则平
面R4B与平面ABCD所成二面角的余弦值为
（
）
＾乎
凰2乎
α罕
u罕
5.长方体ABCDˉAlB1ClD1的底面是边长为1的正方
形’高为2’M’Ⅳ分别是四边形BBlClC和正方形
—罕’若
~
O
—广—≥
4B＝2’E为PB的中点’cos〈DP’AE〉
以DA’DC’DP所在直线分别为卯’γ’z轴建立空
间直角坐标系’则点E的坐标为
（
）
98
Ⅳ
I
′D
~
『′卢
≈
』
『′
≈≈
尸
尸
M、、｀
′
』
′
′
′
′
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Z
PB＝3’点E在棱〃上’且PE＝2酗’则平面ABE
与平面BED的夹角的余弦值为
（
）
P
P
监ˉ＞
／占＼＿
ulˉ
ulˉ
Cy
川
β
A
B
C
Z:≥言:
A（l ,l,｜）
B（l,l ,÷）
c（l,l ,÷）
D（l,l,2）
11.如图’在四棱锥PˉABCD中’底面ABCD是矩形’
PA上底面ABCD’E是PC的中点’AB＝2’AD＝
2√Z剐＝2’则异面直线BC与AE所成的角的大小
为
（
）
P
‘4
D
徊
—
〕
打
—
〕
●
∧
·
佰
＿
β
●
Ⅱ
u罕
O
二｀填空题
13.—个四面体的顶点在空间直角坐标系Oˉ卯）z中的坐
标分别是（0’0’0）’（1’0’1）’（0’1 ’l）’（1’1’0）’则
该四面体的体积为
14.已知空间两点A（2’1 ’7）’B（ˉ1 ’1 ’3）’则A’B两点
间的距离为
.
B
15.在空间直角坐标系中’设A（3’2’ 1）’B（1’0’5）
’
C（0’2’1）’AB的中点为M’则｜CM｜
＝
16.若平面α的一个法向量为测l＝（ˉ3’y’2）’平面卢
16 右干凹α的一个法问量为!′l＝（ˉ3’y’2）’平面β
A÷
C哥
B牙
u苦
的—个法向量为“2＝（6’ˉ2’z）’且α／／／β’则y＋z＝
l2.如图’四棱锥PˉABCD中’PB上平面ABCD’底面
ABCD为直角梯形’AD／／／BC’AB上BC,AB＝AD＝
99
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72导数的概念
错题题号:
答题用时:
练习日期:
↑’
0γ
-、单选题
L已知A（则l ’γl）’B（卯2’γ2）（卿2＞卯l）是函数／（卿）＝
ln ｜卯｜图象上的两个不同的点’且在A’B两点处的切
线互相垂直’则卿2ˉ则1的取值范围为
（
）
A. （0’＋鲍）
B（0’2）
C. ［1’＋的）
D［2’＋的）
2若直线γ＝卯＋l与曲线y＝αln卯相切’且α巨（n’″＋
l）（n巨N＊）’则＂＝
（
）
A. l
B·2
C,3
D.4
3~已知函数y＝则2的图象在点（则0,则;）处的切线为′,若
／也与函数y＝ln卯’则巨（0’1）的图象相切’则卯0必
满足
（
）
B÷＜躯0＜l
l
A.0＜z0＜丁
C÷＜腮0＜徊
u徊＜腮0＜归
4.曲线y＝αe鳃＋2的切线方程为2“ˉγ＋6＝0’则实数α
的值为
（
）
A· l
B2
C·3
D·4
5.设曲线y＝α卯-2ln（则＋2）在点（0’／（0））处的切线方
程垂直于直线匆＋2γ＝0’则α＝
（
）
A·0
B. 1
C.2
D3
6设函数∧鳃）＝αl＂＂＋焉,若曲线y＝′（蕊）在点（l,
／（1））处的切线方程为则ˉ2yˉ1＝0’则α＝
（
）
Ao
B÷
Ol
u2
7.若曲线γ＝ln匆＋l的＿条切线是y＝α卯＋b’则4α＋
eb的最小值是
（
）
A.2
B.2何
C.4
D4徊
8.设函数y＝匆sin匆＋cos卯的图象在点（t’／（0））处切线
的斜率为g（t）’则函数y＝g（t）的图象—部分可
以是
（
）
√
C
D
9若曲线γ＝六2与曲线γ＝αln＂在它们的公共点
P（s’t）处具有公共切线’则实数α＝
（
）
B÷
A. 1
C.
-1
D2
l0巳知曲线／（鳃）二÷蹦］＿÷腮』十…｜二存在两条斜
率为3的切线’且切点的横坐标都大于零’则实数α
的取值范围为
（
）
A（3,￥）
B（3,￥｜
c（ˉ酶,旱｜
D（ˉ缉,￥）
u曲线j（腮）＝e鳃—｜ˉ獭在点（÷／（÷））处的切线方
程是
（
）
A卯＋y＝0
B.卯-γ≡0
C.2卯＋γ＝0
D。2卯-y＝0
12.已知函数／（“）＝e腮在点（0’／（0））处的切线为／’动
点（α’b）在直线′上’则2α＋2ˉb的最小值是（
〉
A.4
B.2
C.2√面
D抠
二｀填空题
l3函数／（蹦）＝亡在点＂＝上处的切线方程泼
e
l4.曲线γ＝2卯ˉln财在”＝1处的切线方程是
）
］
’
∏
—
勺
～
（
处的切线方
15.已知曲线γ＝αcos卿＋sin卯在点
程为憋—y＋l—:＝0’则实数α＝
l6.若直线γ＝2“ˉ1是曲线γ＝α则＋ln卯的切线’则实
数α的值为
.
B
A
l00
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求导公式与导数的运算法则
73
练习日期:
答题用时:
错题题号:
＿、单选题
｛
A.8√可
Bˉ8徊
1.设函数／（狐）＝sin卯ˉcos则’／（匆）的导函数记为／γ（腮）
’
｜
C. 128
Dˉ128
若／（则0）＝叭卯0）’则tan卯0＝
（
）
｜
8.已知／（卯）≡／（l）＋甄ln卯’则／（e）＝
（
）
A—］
B÷
｝
M＋·
R·
｜
C.2＋e
D.3
C。l
D.3
｝
9.已知函数／（厕）的导函数为／（卯）’且满足／（卯）＝ln卯＋
2若函数／（鞭）满足／（鳃）＝;瓣』—′（1）吻2ˉ雕,则
｜
＂7（l）则′（l）≡
（
）
｜
A. -e
Be
／（l）的值为
（
）
｝
｜
C. -l
D. 1
A.0
B.2
｜
10.已知函数／（鳃）＝匆3 。2鳃’则／（则）＝
（
）
C. 1
D.
-1
｛
A·3卯2 ·2舞
3.已知函数／（则）的导函数为／（卯）’满足／（卿）＝
｝
B2绷3 .2“
2√（2）＋卯3’则／（2）等于
（
）
｜
C.3卿2 .2〃＋2颠ln2
A. -8
B-12
｜
D.3卯2 .2绷＋2“ ·卯3
。ln2
C.8
D12
｜
11.已知函数／（卯）的导函数为／（则）’且满足／（卯）＝
｜
2√（1）＋ln则’则／γ（l）＝
（
）
冗
4已知／（则）＝旦’则／（卯）＝
（
）
｝
卯
｜
A。-e
B. 1
A.e卯（卯＋1）
Be财（勿ˉ1）
｝
C. ˉ1
D.e
Ce蕊（〃矿l）
D.e獭（狮丁1）
｝
l2已知函数∧狮）＝sin（2雕＿;）则′（哥）等于（
）
卯
％
虱已知函数′（鞭）的导函数为′（鞭）,且满足∧绷）≡
｜
∧归
＂粤
2√（e）＋ln绷’则／（e）＝
（
）
｜
｜
c÷
nl
A·e＿1
B.
-1
ˉ］
C. -e
二、填空题
D.
-e
6巳知函数∧涎）的导函数′（娜）,且满足关系式∧瓣）＝
｜l3巳知函数∧慈）＝鱼,在区间（告,3）上任取—个实数
卯
卿2＋3vv（2）＋ln卿’则′（2）的值等于
（
）
｜
‖
卯0’则jv（则0）≥0的概率为
A.2
B-2
｜
14等比数列｛α厕｝中’αl＝2’α8＝4’函数／（绷）＝则（卯-
c÷
nˉ÷
｝
α!）（瓣—α2）…（躯—α臆）则′（0）＝
7巳知各项均为正数的等比数列｛α鹏｝’α3 ,α5＝2』若
｝
｜5巳知函数／（鳃）的导函数为／（卿）,且满足关系式
／（憋）＝躯（“ˉα｜）（“ˉα2）……（“ˉα7）,则
｜
／（甄）＝3v,（2）＋ln鳃’则′（l）的值为
′（0）＝
（
）
｜
l6巳知j（甄）＝＋绷3十3√（0）,则′（l）-
. 101
.
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7q抽象函数的导数
错题题号:
答题用时:
练习日期:
-、单选题
1.如图是导函数γ＝／（卯）的图象’则绷＝0的函数
值是
（
）
V
＼｜∧
一〔口广V
B
A
～＞
2
X
二
-2
帜
］
］
止
／
′
l
／
-l
｜Ol
2
x
-2
~
C
D
5.已知:定义在R上的可导函数／（卯）的图象关于点
（α旷（α））对称的充要条件是导函数／,（则）的图象关
于直线卿＝α对称若函数／（卯）＝卯3ˉ3卯2＋5抛’且
∧″l）＝l肌厕）＝5’则m＋几＝
（
）
A. l
B2
C.3
D。6
6函数／（厕）在R上可导’其导函数为′（卯）’且函数γ＝
（腮ˉ2）′（则）的图象如图所示’则下列结论成立的是
（
）
A.函数y＝／（则）的极大值
B函数γ＝／（卯）的极小值
C.导函数γ＝／（卿）的极大值
D导函数γ＝′（绷）的极小值
函数／（厕）的定义域为开区间（α’b）’其导函数／（卿）
在（α’b）内的图象如图所示’则函数／（卯）在开区间
（α’b）内极小值点的个数为
（
）
7
▲
／｛／
↑y
）′≡／′（x）
α＼／O
汇
‖
ˉγ
O｜
l＼ˉ／2
x
A.函数／（卯）有极小值／（ˉ2）和极大值／（1）
B.函数／（厕）有极大值／（ˉ2）和极小值／（1）
C.函数／（卯）有极小值／（ˉ2）和极小值∧2）
D.函数∧匆）有极大值∧1）和极小值∧2）
7.设函数／（卯）＝α卿2＋b卿＋c（α’b’c巨R）.若加＝ˉl为
函数／（厕）e厕的＿个极值点’则下列图象不可能为γ＝
∧卯）图象的是
（
）
＊责捉＼互」″
＼〕／
≡l厂
A
B
C
D
8.如图是函数γ＝／（如）的导函数γ＝′（腮）的图象’则下
面判断正确的是
（
）
C.3
D4
A。
l
B.2
3.已知定义在R上的函数∧狐）
满足／（ˉ3）
＝／（5）
＝1’
／（卯）为／（狐）的导函数’且导
函数y＝／（卯）的图象如图所
示’则不等式／（卯）＜l的解集
A. （—3’0）
B. （ˉ3’5）
C. （0’5）
D（-的’-3）（ˉ」（5’＋的）
4.已知函数y＝v,（卯）的图象如
图所示’其中／（卯）是函数
∧卯）的导函数’函数γ＝／（则）
的图象大致是图中的
的解集是
｀V
／′（X）
（
）
γ
甲
｜
Ⅳ
乙p／宫i—
—3 ˉ2／｜系二沛咎气
（
）
l02
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A.在（ˉ2’1）上／（“）是增函数
B.在（1’3）上／（厕）是减函数
C.当卯＝2时′（则）取极大值
D当则＝4时√（则）取极大值
9.已知函数y＝／（卯）的图象是下列四个图象之—’且其
导函数γ＝／（卯）的图象如图所示’则函数γ＝／（卯）的
图象可能是
（
）
／
ˉl＼M＼」x
A
B
′
′
〃
γ
‖
↑
则
~
~
~
＼
~
｜γ
＝…
≡
Ⅺ
｜
C
D
二、填空题
13.已知函数y＝／（则）及其导函数y＝／（卯）的图象如图
所示’则曲线γ＝／（则）在点P处的切线方程是
↑》
—厂斜→
~.X
0!
＼
A
B
′（x）
↑V
~~~
出
OP≤ˉ／P（2,0）
x
~
列
ˉX
｜4□知圈数∧蜒）＝爵m（…解）（倒＞0, ｜帜｜＜苦）的导
函数y＝／（则）的部分图象如图所示’且导函数
／（卿）有最小值＝2’则（o＝
’甲＝
C
D
10.已知函数y＝／（匆）的导函数y＝′（卯）的图象如图所
示’则函数γ＝／（则）
（
）
‖
γ
／＼
｜／～～
‖｜
.r
A.有极大值’没有最大值
B.没有极大值’没有最大值
C.有极大值’有最大值
D.没有极大值’有最大值
l1已知曲线／（卯）＝卯＂＋l （n巨N＊）与直线卯＝1交于点
P’设曲线γ＝／（厕）在点P处的切线与则轴交点的横
坐标为“″’则lOg20l7卯l
＋lOg20l7则2 ＋…＋
lOg20l7则20l6的值为
（
）
A. 1
B. -1
l5.定义在R上的函数／（则）满足
／（4）＝1′（卯）为／（匆）的导函数’
已知y＝／（卯）的图象如图所示’
若两个正数α’b满足／（2α＋
＞～／
／｜。
X
b）＜l则钳的取值范圈是
l6.如图是／（卯）的导函数／（卯）的图象’贝l／（绷）的极小
值点的个数为
.
｀
（〕.2
D. -2
入—∧‖＼］
jv
ˉ3
ˉi＼ˉ／乙l
Ol
l2巳知g（憋）为三次函数／（鞭）＝;鹏3＋:绷2ˉ2α＂
（α≠0）的导函数’则它们的图象可能是
（
）
l03
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75利用导数研究函数的性质
错题题号:
答题用时;
练习日期:
a已知函数j（瓣）＝竿则
（
）
＾′（狮）在鞭＝e处取得最小值÷
B／（则）有两个零点
C.γ＝／（则）的图象关于点（1 ’0）对称
D／（4）＜／（∏）＜／（3）
9.已知α＝2. 12｀2’b＝22』’c＝log222. 1’则
（
）
A.C＜b＜α
BC＜α＜b
C.α＜b＜C
D.α＜c＜b
1O已知函数／（绷）＝卿3＋3α卯在（l’3）上单调递增’则
实数α的取值范围是
（
）
A. ［～—l’＋的）
B（ˉ1’＋由）
C. （ˉ的’ˉ1］
D. （ˉ的’ˉl）
1l.定义在｛绷｜卯≠0｝上的函数／（卯）满足∧卯）-／（-卯）＝
0’／（勿）的导函数为／′ （卯）’且满足／（1）＝0’当
卯＞0时’√′（则）＜2／（则）’则使得不等式／（z）＞0的
解集为
（
）
A. （ˉ鲍’ˉl）□（0,1）
B. （-的’-1）□（1’＋酌）
C. （-1’0）（ˉ」（1’＋的）
D（-1’0）（ˉ」（0’1）
l2若函数′（狐）＝走在（—2,“）上有最小值’则嚷的
取值范围为
（
）
A. （—1’＋由）
B［ˉ1’＋的）
C. （0’＋的）
D［0’＋的）
二、填空题
旧若函数γ＝嘿在具定义域上单调遥减则称函数
j（则）是“L函数”.已知∧狐）＝毗2＋2是“L函数’’ ’则实
数α的取值范围是
-、单选题
l.已知函数／（购）＝α匆2ˉ4α师ˉln卯’则／（则）在（1’3）上
不单调的＿个充分不必要条件是
（
）
…（—函,÷）
Bα匡（ˉ÷,＋蹿）
cα筐（÷,…）
n侧售（—÷,÷）
2.已知α＞0且α≠l’则函数／（卯）＝（绷ˉα）2ln鳃（
）
A.有极大值’无极小值
B.有极小值’无极大值
C.既有极大值’又有极小值
D.既无极大值’又无极小值
3.已知／（“）是定义在（-m’＋的）上的函数’／′（则）为
／（则）的导函数’且满足／（厕）＋（鳃-1）／′（如）＞0’则下
列结论中正确的是
（
）
A.∧卿）＞0恒成立
B.／（躯）＜0恒成立
C∧l）＝0
D当如巨（ˉ@’1）时’／（则）＜0;当厕巳（l’＋的）时,
∧卯）＞0
4.函数／（卯）＝cOs厕ˉ“在（0’∏）上的单调性是（
）
A.先增后减
B.先减后增
C.增函数
D.减函数
5设∧瓣）＝÷撼』ˉ…。爵（lˉ则）则函数∧瓣）
（
）
A.仅有＿个极小值
B仅有—个极大值
C.有无数个极值
D.没有极值
6.函数／（卯）＝卯3-3卯＋1的单调增区间是
（
）
A. （ˉ1’1）
B（—由’1）
C. （-l ’＋的）
D（-函,-1）’（l,＋由）
7.已知定义在R上的函数／（卯）＝
｜则｜＋cos则’三个数
“二／（7顺鞠＋）’b＝／（（＋）｜·醋;）,c＝∧1）则c,b,c之
间的大小关系是
（
）
A.α＞c＞b
B.α＞b＞c
C.b＞c＞α
Dc＞b＞α
l4.已知函数／（勿）＝-ⅡI～＋ln卯在［e’＋的）上存在极值
卯-l
点’则实数′n的取值范围为＿
l5.若狐＝（）是函数／（绷）＝α2e绷＋2卯3＋α匆的极值点’则
实数α＝
.
l6.函数／（卯）＝（2ˉ卯）e蹦（e为自然对数的底数）的极
大值为
.
l04
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76定积分与微积分墓本定理
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-、单选题
l正项等比数列｛α腮｝中,α］,α绷的等比中项为f＋d则,
令T厕＝αl .α2 .α3 .….α厕’则Zb＝
（
）
A.6
B. 16
C.32
D.64
2.已知函数／（卿）≡logα则（0＜α＜1）的导函数为
／′（卯）’记A＝／′（α）’B＝／（α＋1）
ˉ／（α）’C＝
／′（α＋1）’则
（
）
A.A＞B＞C
BA＞C＞B
C。B＞A＞C
DC＞B＞A
3.已知α’b巨R’且e躯≥α（卿ˉl）＋b对“巨R恒成立’
则αb的最大值是
（
）
Ⅱ净』
凰祭3
c÷詹〕
D.e3
4设删-｜『…则｜侧振＿亡）‘胸晨开式中常数项
｀
是
（
）
A. l60
B. -160
C. -20
D.20
5.曲线γ＝ˉ则2ˉ勿与卿轴所围成图形的面积被直线
y＝脑分成面积相等的两部分’则片的值为
（
）
‖尸÷
凰ˉ夸
。ˉ｜ˉ夸
Ⅱ粤＿｜
6若P（慧m鳃…）幽-粤则侧的值不叮能为（
）
A守B宁
c等
u誓
’设…瓣）～｛↑〈l0二二｛则…f川撼）d※
等于
（
）
A÷
B2
c÷
D÷
8.已知函数∧鳃）＝则＋▲（卯＞0）’P是y＝／（躯）图象上
卯
任意＿点’过点P作直线y＝厕和γ轴的垂线’垂足分
别为A’B’又过点P作曲线y＝／（则）的切线’交直线
γ＝施和γ轴于点G’H.给出下列四个结论:
→→
@｜PA｜
。｜PB｜是定值;@PA.PB是定值;o｜OG｜
.
—〉—〉
｜OH｜（O是坐标原点）是定值;@PG.PH是定值其
中正确的是
（
）
A.O@
B.O◎
c.O@O
D@@◎@
9在（叶低＿搬）＂（α＞0）的展开式巾』瓣’项的系
数等丁264,则F（…鳃）砒等于
（
）
A.e2＋3
Be2＋4
C。e＋1
D.e＋2
10.设函数∧卯）≡勿3ˉ12则＋b’则下列结论正确的是
（
）
A.函数／（则）在（-的’ˉ1）上单调递增
B.函数／（卯）在（ˉ的’ˉ1）上单调递减
C若6＝ˉ6’则函数／（则）的图象在点（ˉ2’∧ˉ2））处
的切线方程为γ＝10
D.若b＝0’则函数∧卿）的图象与直线y＝l0只有一
个公共点
皿已知函数′＝÷腮2的图象在点（腮0,÷鳃;）处的切线
为／’若／也为函数γ＝ln卯（0＜″＜1）的图象的切
线’则则0必须满足
（
）
∧夸＜鳃＂≤」
凰｜＜撼＂＜仁
C.徊＜卿0＜徊
D.6＜匆0＜2
2
｛驾:!〔‖力则腑
12·设∧则）＝
／（卯）血等于（
）
A÷
B÷
二、填空题
u∏（√I＝P十2鞭）d鳃＝
日
—
β
●
℃
D不存在
｜4□知函数γ＝…的图象与直线鳃＝—;,腮＝苦以及
“轴所围成的图形的面积为“则（撼＿:）（2撼—＋）’
的展开式中的常数项为
. （用数字作答）
!5一项式（…窖）‘的展开式中鳃’的系数为何侧
F獭2d獭＝
l6若f鹏｜獭｜d鳃＝49（其中＂＞0）,则（2獭ˉl）＂的展开
式中嘶3的系数为
.
l05
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77推理与证明
错题题号:
答题用时:
练习日期
＿单选题
｜
如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正
1王老师的班上有四个体育健将甲｀乙｀丙、丁’他们都
｜
确的’则获奖的作品是
（
）
特别擅长短跑’在某次运动会上’他们四人要组成一
｜
A.作品A与作品B
B.作品B与作品C
个4×100米接力队’王老师要安排他们四个人的出
｜
C.作品C与作品D
D.作品A与作品D
场顺序’以下是他们四人的对话:
｜
5.已知｛α″｝为等差数列’αl010＝5’αl＋α2＋α3＋…＋
甲:我不跑第＿棒和第二棒;
｜
α20l9＝5×2019.若｛bn｝为等比数列’bl0l0＝5’则
｜
｛b厕｝类似的结论是
乙:我不跑第＿棒和第四棒;
（
）
丙:我也不跑第—棒和第四棒;
｛
A.bl＋b2＋b3＋…＋b20l9＝5×2019
丁:如果乙不跑第二棒’我就不跑第＿棒;
｜
B.bl62b3…b2019＝5×20l9
王老师听了他们四人的对话’安排了＿种合理的
｝
C.bl＋62＋63＋…＋b20l9＝520l9
出场顺序’满足了他们的所有要求’据此我们可
｛
Dblb2b3…b20l9＝520l9
以断定,在王老师安排的出场顺序中,跑第三棒
｜
6在侦破某＿起案件时,警方要从甲、乙、丙、丁四名可
的人是
（
）
｜
疑人员中查出真正的嫌疑人’现有叫条明确信息;
A.甲
B.乙
｜
（1）此案是两人共同作案;（2）若甲参与此案’则丙＿
C.丙
D.丁
｛
定没参与;（3）若乙参与此案’则丁—定参与;（4）若
2如果甲去旅游,那么乙、丙和丁将—起去据此,下列
｝
丙没参与此案,则丁也＿定没参与据此可以判断参
结论正确的是
（
）
｜
与此案的两名嫌疑人是
（
）
A如果甲没去旅游,那么乙｀丙｀丁三人中至少有＿
｜
A甲、乙
B乙｀丙
人没去
｜
C.甲｀丁
D.丙｀丁
｝7皿只有甲参加,乙和丙才会在—起吃饭;@甲只到′］
B.如果乙、丙｀丁都去旅游’那么甲也去
C.如果丙没去旅游’那么甲和丁不会都去
｜
己家附件的餐馆吃饭’那里距市中心有几公里远;
D.如果丁没去旅游’那么乙和丙不会都去
｜
o只有乙参加’丁才会去餐馆吃饭若以上叙述都正
3巳知力（皿）＝sin＂＋cos狐,／h＋｜（狐）是内（则）的导函
｜
确,则下列论断也＿定正确的是
（
）
数’毗（则）＝／l（厕）’内（卯）＝／2（卯）’…’办＋l（匆）＝
｜
A.甲不会与丁＿起在餐馆吃饭
／厕（则）’n巨N＊’则／h0l7（匆）＝
（
）
｜
B.丙不会与甲、丁一起在餐馆吃饭
A. sin则＋cos卿
B. -sin则—cos则
｜
C.乙不会在市中心吃饭
C. sjn“—cos卯
D.
ˉsin厕＋cos则
｜
∏丙和丁不会＿起在市中心吃饭
4某校有A’B’C’D四件作品参加航模类作品比赛已
｜
8.甲乙丙丁四个人背后各有1个号码’赵同学说:甲是
知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前’甲、
｜
2号’乙是3号;钱同学说:丙是2号’乙是4号;孙问
乙｀丙｀丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预
｜
学说:丁是2号’丙是3号;李同学说:丁是1号,乙是
测如下:
｜
3号.他们每人都说对了＿半’则丙是
（
）
甲说:“A、B同时获奖’’ ;
｜
A. l号
B2号
乙说:“B、D不可能同时获奖,’ ;
｜
C.3号
D.4号
丙说:“C获奖”;
｜
9.魔术师用来表演的六枚硬币α’b’c’〃’e’／中’有5
丁说:“A、C至少—件获奖’’ .
｜
枚是真币’1枚是魔术币’它们外形完全相同’但
. l06。
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是魔术币与真币的重量不同’现已知α和b共重
l0克’c’〃共重l1克’α’c’e共重16克’则可推断
魔术币为
（
）
A。α
Bb
C.c
D〃
l0.对大于1的自然数的三次幂可以分解成几个奇数
的和’比如23＝3＋5’33＝7＋9＋l1 ’43＝13＋15＋
17＋l9’…’以此规律’则453的分解和式中＿定不
含有
（
）
A.2069
B2039
C.2009
D· 1979
11.在2018年石嘴山市高中生研究性学习课题展示活
动中’甲｀乙｀丙代表队中只有—个队获得—等奖’
经询问’丙队代表说:“甲代表队没得一等奖”;乙队
代表说:“我们队得了—等奖”;甲队代表说:“丙队
代表说的是真话”.事实证明,在这三个代表的说法
中’只有—个说的是假话’那么获得—等奖的代表
队是
（
）
A.甲代表队
B.乙代表队
C.丙代表队
D无法判断
l2.将给定的—个数列｛α＂｝:α1 ’α2’α3’…’按照—定的
规则依顺序用括号将它分组’则可以得到以组为单
位的序列.如在上述数列中’我们将αl作为第—
组’将α2’α3作为第二组’将α4’α5’α6作为第三
组’…’依次类推’第网组有Ⅶ个元素（n巨N＊）’即
可得到以组为单位的序列:（α1）’（α2’α3）’（α4’α5’
α6）’…’我们通常称此数列为分群数列.其中第l
个括号称为第1群’第2个括号称为第2群’第3个
括号称为第3群’…’第网个括号称为第″群’从而
数列｛α厕｝称为这个分群数列的原数列.如果某—个
元素在分群数列的第m个群中’且从第m个括号的
左端起是第片个’则称这个元素为第m群中的第∧
个元素已知数列1 ’1 ’3’1’3’9’1’3’9’27’…’将数
列分群’其中’第I群为（1）’第2群为（1 ’3）’第3
群为（1 ’3’32）’…’以此类推.设该数列前＂项和
／V＝αl＋α2＋…＋α″’若使得″＞14900成立的最
小α″位于第′＂个群’则′n＝
（
）
A. 1l
B10
C.9
D.8
二、填空题
l3.将正整数对作如下分组
（1’1）
（l’2）’（2’1）
（1’3）’（2’2）’（3’l）
（1’4）’（2’3）’（3’2）’（4’l）
●
●
●
■
则第l00个数对为
l4.某工程由A’B’C’D四道工序组成’完成它们需用
时间依次为2’5’勿’4天’四道工序的先后顺序及相
互关系是:A’B可以同时开工;A完成后’C可以开
工;B’C完成后’D可以开工.若完成该工程共需9
天’则完成工序C需要的天数最大是
l5.将正整数对作如下分组,第1组为｛（l’2）
’ （2,
l）
｝’第2组为｛（1’3）’（3’1）
｝’第3组为｛（l’4）
’
（2’3）’（3’2）’（4’1）
｝’第4组为｛（1’5）’（2’4）
’
（4’2）
’ （5’ l）｝……’则第30组第16个数对为
l6.某班有三个小组’甲｀乙、丙三人分属不同的小组.
某次数学考试成绩公布情况如下:乙和三人中的第
3小组那位不—样’丙比三人中第1小组的那位的
成绩低’三人中第3小组的那位比甲分数高.将甲、
乙｀丙三人按数学成绩由高到低排列为
l07
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78复数的概念与运算
错题题号:
答题用时:
练习日期:
-、单选题
｜
A. 1
B. -l
1器＿
（
）
｜
c｛
nˉ!
｜
9.若复数z＝ˉi（2—3i）（i是虚数单位）’则z的共扼复
A÷—÷
R—÷＋÷i
｝
数是
（
）
o＿÷ˉ÷i
u—÷十÷!
｜
A3ˉ2i
B…
｜
C. ˉ3ˉ2i
D. ˉ3＋2i
2巳知复数舅～（｜Jβ｛）』则复数;的模为
（
）
｜｜0若复数;…i（甄,′匡R）满足（｜十缴）!-］ˉ!,则
A.5
B佰
｜
卯＋γ的值为
（
）
O六
n夸
｜
A—］
凰ˉ』
｜
C. -5
Dˉ6
3已知复数2满足｜z｜＝√Z舅＋z＝2,（z为2的共扼复
｝
lL复数z满足（lˉi）z＝i（i为虚数单位）,则2的虚部
（
）
｜
为
（
）
数）’则z＝
A. 1＋i
B1-i
｜
Aˉ÷
B÷
C. l＋i或l-i
D. -1＋i或ˉ1-j
4对于任意的两个数对（α,b）利（c,励）,定义运算（α,
｜
c—÷i
n＋!
b）＊（c’‘）＝α〃—bc,若（l ’—l）＊（z,zi）＝l＿i,则
｜
＾
（
）
｜
l2~对于两个复数α二l—i,β＝l＋『,有下列四个结论;
复数z为
!
oqβ-｜;蜡＝『;圃｜:｜-!;囤α』十β』≡0,其
A2＋i
B.2-i
C. i
D-i
｜
中正确的结论的个数为
（
）
5.已知复数zl ’z2满足｜zl
｜
≡｜z2
｜
＝｜z1ˉz2
｜＝l’则
｜
｜
A. 1
B.2
｜z1＋z2｜等于
（
）
｜
｜
C.3
D.4
A1
B徊
｝
二｀填空题
C.何
D2何
6巳知复数:二（lˉ｛）2,堤它的共扼复数,则;←
; l3已知复数楞（i为虚数单位）在复平面上对应响
（
）
｜
点在虚轴上,则实数α＝
A.4
B. -4
｝!4巳铡徽匡R.!是虚…若复数产器匡R则
C.
—2
D.2
7设“,b巨R,』为虚数单位,且铡-楞则b＝
（
）
｜
复数:＝
A. -2
B. ˉ1
｜
l5.已知复数zl＝1ˉi’zl .z2＝l＋i’则复数z2＝——
~~
勺
凸
与
▲
’
C。1
D.2
8.已知（zˉ1＋3i）（2ˉi）＝4＋3i（其中i是虚数单位’z
是z的共扼复数）’则z的虚部为
（
）
16.已知复数z满足（l＋i）z＋i＝（1ˉi）2（i为虚数单
位）’则z＝
.
108
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79加法原理与乘法原I里
练习日期:
答题用时;
错题题号:
-、单选题
1.景区中有＿座山’山的南面有2条道路’山的北面有
3条道路’均可用于游客上山或下山’假设没有其他
道路’某游客计划从山的＿面走到山顶后’接着从另
＿面下山’则不同走法的种数是
（
）
A.6
B10
C. 12
D20
2.对33000分解质因数得33000＝23×3×53×1l’则
33000的正偶数因数的个数是
（
）
A.48
B.72
C.64
D96
3.集合A＝｛1’2’3’4’5｝’B＝｛3’4’5’6’7’8’9｝’从集
合A、B中各取＿个数’能组成没有重复数字的两位
数共
（
）
A.52个
B.58个
C.64个
D70个
4甲乙｀丙｀丁四位同学高考之后计划去A、B｀C三个
不同社区进行帮扶活动’每人只能去＿个社区’每个
社区至少—人其中甲必须去A社区’乙不去B社
区’则不同的安排方法种数为
（
）
A.8
B.7
C.6
D。5
5.从0’1’2’3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字
的三位数’则该三位数能被3整除的概率为
（
）
A÷
＂÷
C是
D÷
6.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理’则
甲｀乙至少有1人人选’而丙没有人选的不同选法的
种数为
（
）
A°85
B。49
C.56
D。28
7.用数字0’l’2’3’4组成没有重复数字且大于3000的
四位数’这样的四位数有
（
）
A.250个
B249个
C.48个
D.24个
8.形如45132这样的数称为“波浪数”’即十位上的数
字’千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大’则
由1 ’2’3’4’5可组成数字不重复的五位“波浪数’’的
个数为
（
）
A·20
Bl8
C. 16
Dˉ 11
9.甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、
2名女同学若从甲｀乙两组中各选出2名同学’则选
出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（
）
A. 150种
Bl80种
C.300种
D.345种
l0.某学校需从3名男生和2名女生中选出4人’分派
到甲｀乙、丙三地参加义工活动’其中甲地需要选派
2人且至少有l名女生’乙地和丙地各需要选派l
人’则不同的选派方法的种数是
（
）
A. l8
B.24
C.36
D.42
l1.第—届“—带—路’国际合作高峰论坛于2017年5
月l4日至l5日在北京举行’为了保护各国元首的
安全’将5个安保小组全部安排到指定三个区域内
工作’且这三个区域每个区域至少有＿个安保小
组’则这样的安排的方法共有
（
）
A.96种
B100种
C. 124种
D. 150种
12.把5名师范大学的毕业生分配到A、B、C三所学校’
每所学校至少—人.其中学数学的两人’学语文的
两人’学英语的＿人’若A校不招收同＿学科的毕
业生’则不同的分配方法共有
（
）
A. 148种
B. 132种
C. 126种
D.84种
二、填空题
13.上合组织峰会于2018年6月在青岛召开’组委会在
会议期间将A’B’C’D’E这五名工作人员分配到两
个不同的地点参与接待工作.若要求A’B必须在同
＿组’且每组至少2人’则不同分配方法的种数为
14.设α’b’c巨｛1 ’2’3’4’5’6｝’若以α’b’c为三条边的
长可以构成＿个等腰（含等边）三角形’则这样的三
角形有
个.
l5.若从—副52张的扑克牌中随机抽取2张’则在放回
抽取的情形下’两张牌都是K的概率为
.
（结果用最简分数表示）.
16.某大学的8名同学准备拼车去旅游’其中大—｀大
二｀大三｀大四每个年级各两名’分乘甲｀乙两辆汽
车.每车限坐4名同学（乘同—辆车的4名同学不
考虑位置）’其中大—的孪生姐妹需乘同＿辆车’则
乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同
＿年级的乘坐方式共有
种（用数字作答）.
109
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80排列
错题题号:
答题用时:
练习日期:
A.A:×A』种
B.A:×54种
C.C:×A;种
D.C:×54种
8.某单位安排甲、乙、丙｀丁4名工作人员从周一到周五
值班’每天有且只有l人值班’每人至少安排一天且甲
连续两天值班’则不同的安排方法种数为
（
）
A. l8
B.24
C.48
D96
9.现有8个人排成—排照相’其中甲、乙、丙三人两两
不相邻的排法的种数为
（
）
A.A; .A;
B.A!ˉA: .A;
C.A: .A;
D.A!ˉA:
l0.某学校获得5个高校自主招生推荐名额’其中甲
大学2名’乙大学2名’丙大学l名’并且甲大学
和乙大学都要求必须有男生参加’学校通过选拔
定下3男2女共5个推荐对象’则不同的推荐方法
共有
（
）
A.36种
B24种
C.22种
D.20种
l1高三要安排毕业晚会的4个音乐节目’2个舞蹈节
目和l个曲艺节目的演出｜｜顶序’要求两个舞蹈节目
不连排’则不同排法的种数是
（
）
A. l800
B3600
C.4320
D5040
12.现有16张不同的卡片’其中红色黄色、蓝色｀绿色
卡片各4张从中任取3张’要求这3张卡片不能是
同一种颜色’且红色卡片至多l张’则不同取法的
种数为
（
）
A.232
B252
C.472
D484
二｀填空题
13.有7个球’其中红色球2个（同色不加区分）’白色,
黄色’蓝色’紫色’灰色球各l个’将它们排成一行’
要求最左边不排白色’2个红色排—起’黄色和红色
不相邻’则有
种不同的排法（用数字作答）.
-、单选题
l.有6个座位连成＿排’现有3人就坐’则恰有两个空
座位相邻的概率为
（
）
A÷
R÷
C÷
u以上都不对
2.用0’l’2’3’4可以组成的无重复数字的能被3整除
的三位数的个数是
（
）
A.20
B.24
C.36
D.48
3.《中国诗词大会》亮点颇多’十场比赛每场都有＿首
特别设计的开场诗词’在声光舞美的配合下’百人团
齐声朗诵’别有韵味因为前四场播出后反响很好’
所以节目组决定将《将进酒》《山居秋螟》《望岳》《送
杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六
场’并要求《将进酒》与《望岳》相邻’且《将进酒》排
在《望岳》的前面’《山居秋螟》与《送杜少府之任蜀
州》不相邻’且均不排在最后’则后六场开场诗词的
排法有
（
）
A. l44种
B.48种
C.36种
D.72种
4山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种
在5块并成—排的试验田里’其中A’B两型号的种子
要求试种在相邻的两块试验田里’且均不能试种在两
端的试验田里’则不同的试种方法数为
（
）
A. 12
B24
C.36
D.48
5.有5名学生站成＿排照相’其中甲、乙两人必须站在
＿起的排法有
（
）
A.A; .Ai种
B.3Ai种
C.2A;种
DA」.Ai种
6.从l’2’3’4’5这五个数字中任取3个组成无重复数
字的三位数’当三个数字中有2和3时’2需排在3
的前面（不—定相邻）’这样的三位数有
（
）
A.51个
B.54个
C. 12个
D45个
7.高考结束后6名同学游览某市包括日月湖在内的6
个景区’每名同学任选—个景区游览’则有且只有两
名同学选择日月湖景区的方案有
（
）
l4.3个男生和3个女生排成—列’若男生甲与另外两
个男同学都不相邻’则不同的排法共有
种（用数字作答）.
15.甲乙丙丁戊共5人排成—排照相合影’如果甲乙必
须在丙的同侧’则不同的排法有
种
l6·由数字2’0’1’7组成没有重复数字的四位偶数的
个数为
.
l10
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8‖
组
答题用时:—
＾
□
练习日期:
错题题号
-、单选题
｜
含—名控球后卫’则休斯顿火箭队的主教练一共有
1.岳阳高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口’高考
｝
种出场阵容的选择
（
）
结束后某班3个同学从该检票进站到外地旅游’如
｜
A. 16
B.28
C.84
D.96
果同—个人进的闸机检票通道口选法不同’或几个
｜
9.将甲’乙等5位同学分别保送到北京大学’上海交通
人进同—个闸机检票通道口但次序不同’都视为不
｛
大学’浙江大学三所大学就读’则每所大学至少保送
同的进站方式’那么这3个同学的不同进站方式种
｜
—人的不同保送的方法有
（
）
数为
（
）
｝
A.240种
B180种
C. l50种
D.540种
A.24
B.36
C。42
D。60
｛
10.在中国文字语言中有回文句’如:“中国出人才人出
2~从3名男生’2名女生中选3人参加某活动’则男生
｝
国中~ ,｀其实’在数学中也有回文数回文数是指从
甲和女生乙不同时参加该活动’且既有男生又有女
｜
左到右与从右到左读都＿样的正整数’如:3位回文
生参加活动的概率为
（
）
『
数:l01’l1l ’121’…’191 ’202’…’999’则5位回文
｜
数有
A.旦
（
）
B÷
C÷
D÷
l0
｜
A.648个
B.720个
3将5个不同的球放人4个不同的盒子中’每个盒子
｜
C900个
Dl000个
至少放＿个球,则不同放法种数为
（
）
｜lL学校计划利用周五下午第—二三节课举办语文、
A480
B360
O240
Dl20
｛
数学英语理综4科的专题讲座》每科—节课,每
4从20名男同学和30名女同学中选4人去参加—个
｝
节至少有—科’且数学、理综不安排在同＿节,则不
会议,规定男女同学至少各有l人参加,下面是不同
｜
同的安排方法共有
（
）
的选法种数的三个算式:
｛
A.6种
B.24种
C.30种
D.36种
Ocl0c』0ci8;@c40ˉc10—c;0;Ocl0c;0＋c;0c;0＋
｜l25位大学毕业生分配到3家单位’每家单位至少录
Ci0C』0.
｜
用l人’则不同的分配方法共有
（
）
则其中正确算式的个数是
（
）
｜
A25种
B60种
O90种
Dl50种
A.0
B. 1
C.2
D.3
｜
二、填空题
5~将4本完全相同的小说’l本诗集全部分给4名同
｜
l320l8年北京两会期间,有甲｀乙、丙、丁、戊5位国家
学′每名同学至少l本书｀则不同分法有
（
）
｜
部委领导人要去3个分会场发言（每个分会场至少
A24种
B.28种
C.32种
D. 16种
｝
l人）’其中甲和乙要求不在同—分会场’甲和丙必
6某高校大—新生中的6名同学打算参加学校组织的
｜
须在同＿分会场,则不同的安排方案共有
‘‘演讲团’ ‘吉他协会’,等五个社团’若每名同学必须
｝
种（用数字作答）
参加且只能参加l个社团且每个社团至多两人参
｜l4在含甲、乙的6名学生中任选2人去执行—项任
加’则这6个人中没有人参加“演讲团’,的不同参加
｝
务’则甲被选中、乙没有被选中的概率为
方法数为
（
）
｜
l5在我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章
A.3600
B. 1080
C. ］440
D.2520
｝
算法》＿书里出现了如图所示的数表’表中除1以
7某学校需从3名男生和2名女生中选出4人’分派到
｝
外的每—个数都等于它‘肩上｀,两个数之和利用这
甲｀乙、丙三地参加义工活动’其中甲地需要选派2
｜
＿性质’C:＝
’C↑＝
. （用数字作答）
人且至少有1名女生’乙地和丙地各需要选派1人’
｜
则不同的选派方法的种数是
（
）
｜
l
｜
1
2
l
A. 18
B.24
C.36
D42
l
3
3
1
l
4
6
4
1
8.篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成’
｜
l
5
l0
l0
5
l
2017年的NBA篮球赛中’休斯敦火箭队采取了“八
｝
16安排甲｀乙｀丙、丁、戊5名大学生去杭州｀宁波｀金
人轮换”的阵容’即每场比赛只有8名队员有机会出
｜
华三个城市进行暑期社会实践活动’每个城市至少
场’这8名队员中包含两名中锋,两名控球后卫,若
｜
安排＿人,则不同的安排方式共有
种,学
要求每—套出场阵容中有且仅有＿名中锋’至少包
｜
生甲被单独安排去金华的概率是
. 111
°
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82二顶式定理
错题题号:
答题用时:
练习日期:
-、单选题
｝
9.对任意实数则有（α＋“）（卯ˉl）5＝α0＋αl卯＋α2形＋…＋
l.在（1＋绷）2＋（l＋卯）3＋…＋（l＋绷）9的展开式中’
｜
α6卯6’若α2ˉα0＝23’则α＝
（
）
含卯2项的系数是
（
）
｜
A.2
B. —2
A。l19
B。120
｝
c寻
Dˉ普
C. 12l
D·720
2若α0狮20l6＋αl嘶20!5（lˉ蕊）＋侧2鳃20腮（｜ˉ瓣）2＋…＋
｜l0设“巨N,且0≤α＜｜3,若5l20｜;＋α能被l3整除,
（
）
α20l6（lˉ绷）20l6＝l,则α0＋αl＋α2＋…＋α20l6的
｛
则α＝
值为
（
）
｜
A.0
B. l
A. 1
B.0
｜
C. 11
D. l2
｛u已知（撼ˉ☆）简展开式中的常数项与（颠＋;）』展开
C.220l6
D220l5
3.在（勿-2γ）5的展开式中’所有项的系数之和
｜
（
）
｝
式中狐的系数相等,则实数α的值为
（
）
等于
A32
a—32
｜
A÷
B—÷
C. 1
D。-1
｜
C. -1
D. -5
4（则＋1）5（卯ˉ2）的展开式中厕2的系数为
（
）
｜
｜
l2从（3√万ˉ2派）ll的展开式中任取—项’则所取项是
A.25
B.5
｜
有理项的概率为
（
）
C。-l5
D＝20
5（!＋÷带÷）（!枢2）’展开式中瓤2的系数为
｜
∧六
Ⅱ÷
（
）
｜
o百
n古
勺
A. l5
B.20
｜
二｀填空题
D.35
6（鳃十2）（甄ˉ］）‘的展开式中腮』的系数为
（
）
｜』3二项式（叶）’的展开式巾常数项为
A·30
B. 10
｜
所有项的系数和为
｜】20
C. -l0
14设（√Z.＋卯）l0＝α0＋αl卯＋α2则2＋…＋αl0卯l0’则α2 ;＝
7若鹏≡2‘…测二项式｜露太）.的展开式
!
’（α0＋α2＋α4＋…＋αl0）2ˉ（αl＋α3
ˉ卜
（
）
｜
α5＋…＋α9）2的值为
中的常数项为
A盖
Bˉ羔
｛15巳知多项式（鳃刊）6（3瓤:＋l）:＝α0＋αl…』锯…｝
α悬
Ⅲˉ悬
｝随嫩呼!‖舶｜.ˉ（二诵…糯Ⅷ
;若（］叶志）榷开式的二项式系敝之和…』展
!
系数之枷,‘-÷ˉ2,』匡R,』懒～｜号｜÷｜尝卜》
（
）
｝
｜掌｜（［鳃］表示不超过实数腮的最大罐数川（″—
开式中的常数项是
A. 1215
B. l35
‖）2＋（6″＋C）2的最小值为
D9
C. 18
ll2
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83离散型随机变量及旦分布列
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-、单选题
L不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和
5个黑球’现从中逐个不放回地摸出小球’直到取出所
有红球为止’则摸取次数X的数学期望是
（
）
A等
B÷
c等
n乎
2.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数’从全校随
机抽取5个班级’把每个班级参加该小组的人数作为样
本数据已知样本平均数为7’样本方差为4’且样本数
据互不相同’则样本数据中的最大值为
（
）
A. 10
B.9
C. 1l
D.8
3.设离散型随机变量X的分布列如下表’则E（X）＝2
的充要条件是
（
）
若F（厕）＝P（X≤则）’则当腮的取值范围是［1’2）时’
F（卯）等于
（
）
A÷
B÷
c÷
n:
9.＿个篮球运动员投篮＿次得3分的概率为α’得2分
的概率为b’不得分的概率为c’α’6’c巨（0’l）’且无
其他得分情况’已知他投篮＿次得分的数学期望为
1’则αb的最大值为
（
）
A.上
B☆
c击
u÷
48
10.若离散型随机变量X的分布列为
则X的数学期望E（X）＝
（
）
A2
B2或÷
C÷
Ul
u设随机变量Ⅱ的分布列为′（Ⅱ＝您）÷（脓＝2,4,
6’8’l0）’则D（X）等于
（
）
A.5
B8
C. 10
D. 16
12.已知随机变量皆的分布列如下表’则随机变量音的
方差Df的最大值为
（
）
A.pl＝p2
Bp1＝p3
C.P2≡p3
D.pl＝p2＝p3
4某单位招聘员工’有2＂名应聘者参加笔试’随机抽查
了其中20名应聘者笔试试卷’统计他们的成绩如下表:
,65）
［65’70）
［70’75）
［75’80）
［80,85）
［85’90）［90’95）
｜
3
6
6
2
l
l
若按笔试成绩择优录取40名参加面试’由此可预测
参加面试的分数线为
（
）
A.70分
B.75分
C.80分
D85分
5.随机变量X的分布列如下表’且E（X）＝2’则D（2X
-3）＝
（
）
A.0.72
B0.6
C
二、填空题
l3.如图所示’A’B两点由5条
连线并联’它们在单位时间
内能通过的最大信息量依次
为2’3’4’3’2.现记从中任取
／√＝9√9
0
9·ˉ′
9～·≈′u0巴儿刀｀ˉ
‖
ˉ
‖-L≥［凡
0.24
D.0.48
2
A.2
B.3
C.4
D.5
6.袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球
后’若取得黑球则另换1个红球放回袋中’直到取到
红球为止若抽取的次数为X’则表示“放回5个红
球”事件的是
（
）
A.X＝4
B.X＝5
C.X＝6
Dx≤5
7.设随机变量X的分布列如下表所示’则p4的值是
（
）
1
B
2
三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为
音’则P（占≥8）＝
l4从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中’
不放回地每摸出2个球为—次试验’直到摸出的球
中有红球时试验结束则第—次试验恰摸到—个红
球和＿个白球概率是
;若记试验次数为X’
则X的数学期望E（X）＝
l5随机变量盲的取值为0’｜,2,若P（曹＝0）二÷,囱（皆）＝
1’则D（音）＝
l6.随机变量X的分布列如下:
A』
腑÷
c士
u;
8.设随机变量X的概率分布列如下表所示:
其中α’b’c成等差数列’则P（｜X｜＝l）＝
公差〃的取值范围是
.
9
ll3
X
P
0
α
—
勺
～
1
’
＝
α
—
勺
▲
X
P
l
pl
2
勺
△
）
／
勺
〕
气
］
尸
音
／〕
0
）
］
0.4
2
几
X
P
0
l~
6
7
～
p
α
I~
3
X
尸
l
l~
2
2
1~
4
3
1~
8
4
p4
X
P
-l
α
0
b
1
C
X
P
0
α
1
1~
3
2
1~
6
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84离散型随机变量的均值与方差
错题题号:
答题用时:
练习日期:
当α增大时’
（
）
A.E（音）增大’D（占）增大
B.E（f）减小’D（‘）增大
C.E（占）增大’D（音）减小
D.E（音）减小’D（‘）减小
6下列叙述中正确的个数是
（
）
@将一组样本数据中的每个数据都加上同—个常数
后’方差不变;
@命题p:W巨［0,1］’e卯≥l’命题q:〕则0匡R’则;＋
狐0＋l＜0’则p∧q为真命题;
O‘cosα≠0’是.α≠2肺＋;（脓巨Z）”的必要而不
充分条件;
@将函数γ＝詹in2瓣的图象向左平移苦个单位长度
-｀单选题
1已知某8个数的期望为5’方差为3’现又加人—个新
数据5’此时这9个数的期望记为E（X）’方差记为
D（X）’则
（
）
A.E（X）＝5’D（X）＞3
BE（X）＝5’D（X）＜3
C.E（X）＜5’D（x）＞3
D.E（X）＜5’D（X）＜3
2.已知甲盒子中有m个红球’＂个蓝球’乙盒子中有mˉl
个红球’n＋l个蓝球（m≥3’n≥3）’同时从甲乙两个盒
子中取出j（t＝l ’2）个球进行交换’（l）交换后’从甲
盒子中取l个球是红球的概率记为p‘（′＝l’2）. （2）
交换后’乙盒子中含有红球的个数记为‘′（j＝1’2）.
则
（
）
A.pl＞p2’E（音l）＜E（音2）
B.pl＜p2,E（音l）＞E（音2）
C.Pl＞P2’E（音l）＞E（音2）
D.pl＜p2’E（‘l）＜E（音2）
3.已知A’B两个不透明盒中各有形状｀大小都相同
的红球、白球若干个.A盒中有m个红球与10ˉ′n
个白球’B盒中有l0ˉm个红球与m个白球（0＜
m＜l0）’若从A’B盒中各取—个球’音表示所取
的2个球中红球的个数’则当D‘取到最大值时’
m的值为
（
）
A.3
B.5
C.7
D.9
4.某班级有男生32人’女生20人’现选举4名学生分
别担任班长｀副班长｀团支部书记和体育班委男生
当选的人数记为盲’则音的数学期望为
（
）
A署
凰晋
c署
u楞
5巳知0…÷.随机变量曹的分布列如下;
得到函数γ＝爵in（苦—2瓣）的图象
A. l
B.2
C.3
D4
7.记5个互不相等的正实数的平均值为厕’方差为A’去
掉其中某个数后’记余下4个数的平均值为γ’方差
为B’则下列说法中＿定正确的是
（
）
A若而＝y’则A＜B
B.若厕＝γ’则A＞B
C.若卯＜y’则A＜B
D若万＜y’则A＞B
8.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行
学习’记两人所选课程相同的门数为‘’则E（f）为
（
）
A. l
B. l。5
C2
D2.5
9.某射击运动员在＿次射击比赛中所得环数‘的分布
列如下:
｜
｜
3’则γ的值为
B0.4
D0。l
（
）
已知音的均值E（音）＝4
A.0.6
C.0.2
ll4
音
P
3
X
4
0. l
5
（）.3
6
）
音
P
-l
〕
—
斗
0
-α
1~
4
l
α
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l0.设0＜p＜1’随机变量‘的分布列如表’则当p在
（0’1）内增大时’
（
）
l4.已知某随机变量X的分布列如下表（p’q匡R）
:
｜
且Ⅱ的数学期望圆（Ⅱ）＝吉’那么x的方差″（Ⅺ
AD（‘）减小
B.D（音）增大
C.D（‘）先减小后增大
D.D（‘）先增大后减小
11设整数m是从不等式狐2ˉ2则ˉ8≤0的整数解的集
合S中随机抽取的—个元素’记随机变量f＝′″2’则
‘的数学期望E（音）＝
（
）
A. 1
B.5
C2
u乎
12.卖水果的某个体户’在不下雨的日子可赚l00元’
在雨天则要损失l0元.该地区每年下雨的日子约
有130天’则该个体户每天获利的期望值约是（1年
~~
15.给出下列四个结论:
（l）相关系数『的取值范围是｜r｜＜l;
（2）用相关系数′来刻画回归效果’′的值越大,说
明模型的拟合效果越差;
（3）—个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑
球’从中任取4个’则其中所含白球个数的期望
是2;
（4）—个篮球运动员投篮—次得3分的概率为α’得
2分的概率为b’不得分的概率为c’且α’b’c巨（0’
l）,已知他投德—次得分的数学期望为2,则÷＋六
按365天计算）
A.90元
C.55元
二｀填空题
13.已知X的分布列为
（
）
的最小值为等
其中正确结论的序号为
B.45元
I）.60.82元
16.已知随机变量X的分布列如下表:
｜
~
｜
且设Y＝2X＋l’则Y的期望E（Y）＝
若E（X）＝2,则α＝
;D（X）＝
115
X
P
1
p
-l
q
‘
P
0
1ˉ二卫
2
l
l~
2
2
丛
】
X
P
-1
勺
Ⅱ
—
勺
～
0
1~
6
1
1~
3
X
P
α
1~
3
勺
△
b
3
1~
6
4
l
~4
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85二顶分布
错题题号:
答题用时:
练习日期:
随机抽取10名学生的数学成绩’数学成绩在［70’1l0］
的人数记作随机变量‘.则音的方差为
（
）
A.2
B2. 1
C.2。4
D3
9.在4次独立重复的试验中’随机事件A恰好发生l
次的概率不大于其恰好发生两次的概率’则事件A
在—次试验中发生的概率p的取值范围是
（
）
A. ［0.4’1）
B. （0’0.4］
C. （0’0.6］
D. ［0.6’l）
10.电路从A到B上共连接着6个灯泡（如图）’每个灯
泡断路的概率是＋,整个电路的连通与否取决干灯
泡是否断路’则从A到B连通的概率是
（
）
-、单选题
1设随机变量X～B（2’p）’Y～B（4’p）’若P（X≥l）＝
:则P（y≥2）的值为
（
）
A器
B芳
c哥
D苦
2若随机变量Ⅱ服从二项分布H（4,÷）,则
（
）
A.P（X＝l）＝P（X＝3）
B.P（X＝2）≡2P（X＝l）
C.P（X＝2）＝P（X＝3）
D.P（X＝3）＝4P（X＝1）
3.每次试验的成功率为p（0＜p＜1）’重复进行l0次试
验’其中前7次都未成功’后3次都成功的概率为
（
）
AC｛0p3（lˉp）?
BC｝0p7（l＿p）3
C.p3（1ˉp）7
Dp7（lˉp）3
4-个学生通过某种英语听力测试的概率是÷’他连
续测试n次’要保证他至少有＿次通过的概率大于
0.9’那么Ⅶ的最小值为
（
）
A.3
B.4
C。5
D.6
5.在4次独立重复试验中’事件A发生的概率相同’若
事件A至少发生l次的概率为:’贝｜事件A在｜次
试验中发生的概率为
（
）
A÷
＂÷
c÷
D÷
i
……’依此类推’现有＿颗小弹子从第—层的通道里
向下运动则该小弹子落人第四层从左向右数第3
个竖直通道的概率是
（
）
A÷
β去
c÷
D÷
7.设皆～B（18’p）’又E（音）＝9’则p的值为
（
）
A÷
B÷
C去
n÷
8.某地区—模考试数学成绩X服从正态分布Ⅳ（90,α2）
’
且P（X＜70）＝0.2.从该地区参加＿模考试的学生中
B
C｜引D
4
A器
B摇
c鉴
D普
11.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率
分别为0.8’0.7’0.6’只有通过前—关才能进人下
—关’且通过每关相互独立.—选手参加该节目’则
该选手只闯过前两关的概率为
（
）
A.0.56
B0.336
C.0.32
D.0.224
12设xˉβ（3,′）,且P（Ⅱ≡2）＝盖,则概率′
等于
（
）
A÷
B÷
C÷
D六
二、填空题
l3若xˉB（l0,÷）,则P（x≥2）等干
14.某单位年初有两辆车参加某种事故保险’对在当年
内发生此种事故的每辆车’单位均可获赔（假设每
辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发
生此种事故的概率分别为赤和六,且各车是否发生
事故相互独立’则一年内该单位在此种保险中获赔
的概率为
（结果用最简分数表示）.
l5.将＿枚质地均匀的硬币连续抛掷5次’则恰好有3
次出现正面向上的概率是
. （结果用数值
表示）
l6.一袋中装有4个白球’2个红球’现从袋中往外取
球’每次取出＿个’取出后记下球的颜色,然后放
回’直到红球出现3次停止’设停止时’取球次数为
随机变量X’则P（X＝5）＝
1l6
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I
86超几何分布
练习日期
答题用时:
错题题号:
-｀单选题
｜
A÷
B÷
L有8件产品’其中3件是次品’从中任取3件’若X
｜
表示取得次品的件数则P（Ⅱ≤l）＝
（
）
｝
C÷
D÷
A÷
B÷
｝9在l5个村庄中,有7个村庄交通不太方便,现从中
c÷
u;
《
任意选l0个村庄’用x表示l0个村庄中交通不太
2甲、乙雨人…从六门…橇巾任选三门迸行
｜
方健的村庄数下,蜗率巾筹于c箭;的是（
）
学习,记两人所选课程相同的门数为x,则E（x）＝
｝
AP（x＝2）
BP（x≤2）
慧
…
‖】
4巳知在l0件产品巾可能存在次品’从中抽取2件检
｝
A÷
B罢
查其次品数为专’已知P（皆＝l）≡器’且该产品的次
｜
｛
C罢
D尝
品率不超过40％’则这10件产品的次品率为（
）
｜
A. 10％
B20％
｜
l2.＿个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球’
C.30％
D.40％
｜
从中摸出两个球’若X表示摸出黑球的个数’则
a盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球’其中有4
｝
E（X）的值是
（
）
个红球3个白球,从盒子中任取3个球’则恰好取到
｝
A÷
B÷
2个红球1个白球的概率为
（
）
｝
｜
C÷
A器
B罢
u÷
α罢
＂是
｝百霉雷装有」0个大小枷阔的…白雌已测从
6—批产品共50件’其中5件次品’45件正品’从这批产
｜
袋中任意摸出2个球’至少得到1个白球的概率是
品中任意抽2件则州现2件次品的慨率为
（
）
｝
÷从袋中任意摸出3个球记得到白球的个数为
A扇
＂悬
｜
X’则P（X＝2）＝
C悬
n以上都不对
｜l4巳知—个袋子中装有4个红球和2个白球,假设每
｝
—个球被摸到的可能性是相等的,若从袋子中摸出
7.袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球’
｜
｜
3个球’记摸到的白球的个数为盲’则‘＝1的概率是
从巾任取2个,那么下列事件中发生的概率为而｝
糙机变量鲁的期望是
的是
（
）
｝
15~数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测’规
A.都不是白球
B恰有1个白球
｜
定至少要解答正确2道题才能及格某同学只能求
C.至少有l个白球
D.至多有1个白球
｝
解其中的4道题’则他能及格的概率是
8.从4名男生和2名女生中任选3人参加一项“智力
｜
16现有10件产品’其中6件—等品’4件二等品’从中
大比拼’’活动’则所选的3人中女生人数不超过1人
｛
随机选出3件产品’其中＿等品的件数记为随机变
的概率是
（
）
｜
量X’则X的数学期望E（X）＝
。117。
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87正态分布
错题题号:
答题用时:
练习日期:
＿｀单选题
｜
［附:若随机变量X～M以’◎2）’则p（队ˉ◎＜X＜以＋
l.已知随机变量音服从正态分布Ⅳ（1’1）’若P（‘＜3）＝
｜
O）≈68.27％’P（以ˉ2◎＜X＜仙＋2O）≈95.45％,
0.9772’则P（ˉ1＜音＜3）＝
（
）
｜
P（仙ˉ3α＜X＜队＋3°）≈99.73％］
A.0.6827
B.0.8522
｜
A.0.043
B.0.02l4
C。0。9544
D.0.9772
｜
C.0.3413
D0.4772
2.在满分为l5分的中招信息技术考试中’初三学生的
｜
7一次考试中’某班学生的数学成绩X近似服从正态
分数X～Ⅳ（l1’22）’若某班共有54名学生’则这个
｜
分布Ⅳ（l00’l00）’则该班数学成绩的及格率可估计
班的学生该科考试中l3分以上的人数大约为（附;
｜
为（成绩达到90分为及格）［参考数据;P（似—α≤X≤
P（以—°＜X≤似＋α）≈06827）
（
）
｜
队＋α）≈O68］
（
）
A.6
B。7
｜
A。60％
B.68％
C.9
Dl0
｜
C。76％
D.84％
3.已知随机变量X～Ⅳ（2’α2）’若p（X≤l—α）＋p（X≤
｜
｜
8.在某校高三年级的高考全真模拟考试中’所有学生
l＋2α）＝l』则实数α＝
（
）
｜
考试成绩的取值X（单位;分）是服从正态分布∧′
A.0
B. 1
｜
（502’l44）的随机变量,模拟“重点控制线,’为490分
C。2
D.4
｜
（490分及490分以上都是重点）’若随机抽取该校一
4某工厂生产的一种零件的尺寸（单位:mm）服从正态
｜
｜
名高三考生’则这位同学的成绩不低于“重点控制
分布Ⅳ（500,52）.现从该零件的生产线上随机抽取
｜
20000件零件,其中尺寸在（500’505）内的零件估
｜
线,的概率为
（
）
计有
（
）
｜
［附若随机变量X服从正态分布″（〃,α2）则尸（队ˉ
［附若随机变量Ⅱ服从正态分布M鹏’″2）,则′（腆—
｜
″＜Ⅱ＜…）＝u6826’P（腆ˉ2α＜x＜腆＋2α）＝
〃＜Ⅱ＜…）＝O6827,P（队—2,＜x＜鹏＋2.）＝
｜
α9…’P（腆ˉ3α＜Ⅱ＜腆＋3〃）＝09974］
｜
A.0。6826
B0.6587
0.9545］
｛
C.0。84l3
D.0.3413
A.6827个
B9545个
｜
9.已知下列命题:
C. l3654个
D. l9090个
5在20l8年初的高中教师信息技术培训中,经统计’
｜
o在某项测量中,测量结果X服从正态分布″（l’
哈尔滨市高中教师的培训成绩X～M85,9）若已知
｜
叮2）（α＞0）,若x在（0,l）内取值范围概率为O4’
P（80＜X≤85）＝O35’则从哈市高中教师中任选—
｝
则X在（0’2）内取值的概率为O8;
位教师他的暗训成绩大于,0的概率为
（
）
｜
圆若侧,0为实数｀则O…,〕是』』≤÷’的充分而
A·0.85
B.0°65
｜
不必要条件;
C.0.35
D.0. 15
｜
◎已知命题p:V卯l ’匆2巨R’ （／（“2）ˉ／（则l ））（卿2ˉ
6已知（÷十蕊6「展开式中的常敷项为α｀月xW（』,
｜
＂｜）≡0则气′是
1）’则P（3＜X＜α）＝
（
）
｝
〕勿l ’卯2田R’（／（卯2）ˉ／（卯1））（卯2ˉ则l）＜0;
· l18°
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@△ABC中’“角A’B’C成等差数列”是“sinC＝
C命题“若圆C: （卯ˉ′＂＋l）2＋（γˉm）2＝l与两
坐标轴都有公共点’则实数m匡［0’1］’’为真命题
D.已知随机变量X～／V（2’o2）’若P（X＜α）＝
0.32’则P（X＞4ˉα）＝0.68
二｀填空题
l3.某种袋装大米的质量X（单位:kg）服从正态分布
Ⅳ（50’0.01）,任意选—袋这种大米’质量在49.8～
50. lkg的概率为
（√gbosA＋slnA）cosB”的充分不必要条件;其中’所
有真命题的个数是
（
）
A.0个
B. 1个
C.2个
D.3个
l0.为弘扬我国优秀的传统文化’市教育局对全市所有
中小学生进行了“成语”听写测试’经过大数据分
析’发现本次听写测试成绩服从正态分布Ⅳ（78’
16）.试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不
小于90的学生所占的百分比为
（
）
A·0. 13％
BI.3％
C.3％
D.3.3％
l1.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X’且
X～／V（800’502）.记一天中从甲地去乙地的旅客人
数不超过900的概率为p0’则p0的值为［参考数
据:若X～Ⅳ（队’◎2）’有P（队ˉα＜X≤〃＋O）＝
0.6826’P（以ˉ2◎＜X≤〃＋2口）＝0.9544’P（队-
3α＜X≤队＋3◎）＝0.9974］
（
）
A。0.9772
B0.6826
C.0.9974
D.O9544
l2.下列说法正确的是
（
）
A.若命题p:】卯0巨R’鳃;ˉ卯0＋l＜0’则司p:γ卯筐
［P（队ˉ◎＜X≤队＋◎）＝0.6826’P（严ˉ2◎＜X≤
〃＋2α）＝0.9544］
14某校高三年级学生＿次数学诊断考试成绩（单位:
分）X服从正态分布／V（ll0’l02）’从中抽取—个同
学的数学成绩音’记该同学的成绩90＜‘≤l10为事
件A’记该同学的成绩80＜音≤100为事件B’则在
A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B｜A）＝
. （结果用分数表示）
［附:X满足:P（严ˉO＜X≤队＋O）≈0.68;P（川—
2◎＜X≤〃＋2◎）≈0.95;P（〃ˉ3◎＜X≤〃＋3◎）≈
0.99］
l5.某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X（单
位:kg）服从正态分布Ⅳ（25’0.04）’任意选取—袋
这种大米’质量在24.8～25.4kg的概率为
［附:若Z～／V（肌’α2）’则p（｜Zˉ以｜＜o）
＝
0.6826’P（｜Z-严｜＜2◎）＝0.9544’P（｜Z—以｜
＜
3α）＝0.9974］
l6.已知离散型随机变量音服从正态分布音～Ⅳ（2’1）
’
且P（‘＜3）＝0.968’则P（1＜音＜3）＝
R,卯2-卯＋l≥0
B.已知相关变量（匆’γ）满足回归方程｝＝2ˉ4卯’若
变量则增加＿个单位’则γ平均增加4个单位
ll9
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88统计案例（回归分析与独立性检验）
错题题号:
答题用时:
练习日期:
预报变量｝平均减少0.5个单位;@对分类变量X
与Y’它们的随机变量K2的观测值∧来说’∧越小’
“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确命题的
个数是
（
）
A. 1个
B.2个
C.3个
D.4个
6根据如下样本数据:
＿｀单选题
1.下列有关统计知识的四个命题正确的是
（
）
A.衡量两变量之间线性相关关系的相关系数r越接
近1’说明两变量间线性关系越密切
B.在回归分析中’可以用卡方来刻画回归的效果’
x2越大’模型的拟合效果越差
C.线性回归方程对应的直线γ＝b卯＋α至少经过其
样本数据点中的＿个点
D线性回归方程γ＝0.5卯＋1中’变量腮每增加＿个
单位时’变量γ平均增加1个单位
2.已知某种商品的广告费支出则（单位:万元）与销售额
γ（单位:万元）之间有如下对应数据:
得到回归方程｝＝—l.4如＋12.4’则
（
）
A.α＝5
B.变量卯与γ线性正相关
C.当卯＝ll时’可以确定y＝3
D.变量躯与γ之间是函数关系
近年来’由于大学生不理智消费导致财务方面的新
闻层出不穷’无力偿还校园贷’跳楼自杀也偶有发
生’—时间人们对大学生的消费观充满了质疑为进
—步了解大学生的消费情况’对S城某大学的10000
名（其中男生6000名’女生4000名）在校本科生.按
性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了
问卷调查’其中有—项是针对大学生每月的消费金
额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频率分
布直方图已知在抽取的学生中’月消费金额超过
2000元的女生有150人’根据上述数据和频率分布
直方图’判断下列说法正确的是
（
）
7
70
根据上表可得回归方程｝＝j加＋d’计算得j＝7’则当
投人10万元广告费时’销售额的预报值为
（
）
A.75万元B.85万元C.99万元D105万元
3.在—组样本数据（则l ’γ1）’（卿2’γ2）’…’ （匆″’y厕）（几≥
2,卯1 ’卯2’…’卯″不全相等）的散点图中’若所有样本
点（匆『’γj）（t＝1 ’2’…’n）都在直线y＝ˉ3卯＋l上’
则这组样本数据的样本相关系数为
（
）
A. -3
B0
C· -l
D1
4已知具有线性相关的五个样本点A1 （0’0）’A2（2’
2）’A3（3’2）’A4（4’2）’A5（6’4）’用最小二乘法得到
回归直线方程／l :γ＝b卯＋α’过点Al ’A2的直线方程
／2:γ＝m卯＋厕’那么下列4个命题中’
@′n＞b’α＞n;@直线／l过点A3;
吨（γ』ˉ颇』—“）2≥』i（γ』—咖鳃』—＂）2;
@昌｜y‘ˉb勉》ˉα｜≥』鸟｜y‖ˉm虹《ˉ″｝
n
｜＝公式:』～｝马｛…一鸟（《』ˉ鳃）（1』ˉⅡ）〕
′马嘶;ˉ′l则2
』马（绷》—绷）2
频率／组距
~~~~~~~~~
〔）.（）8（）
0,039
（）°（）27
α
0°014
0°013 三匠
二「
≡｜三
0.004
35消费金额（单位百元）
0
5
10
15202530
参考数据与参考公式
P（K2≥k0）
0. l5
0。］0
0.05
0.0250.0l00.005
0.00l
k0
2°0722°7063°841
5°0246°6357·879
10.828
｜
α＝y-b卯
′l（α〃-bC）2
K2＝（α＋b）（C＋〃）（α＋C）（b＋〃）
’
其中＂＝α＋b＋c＋〃.
A.月消费金额超过2000元的女生人数少于男生
人数
B.所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有
4人
C.样本数据的中位数约为l750元
D.在犯错的概率不超过0. 1％的情况下认为月消费
金额在2000元以上的大学生与性别有关
正确命题的个数有
（
）
A. l个
B.2个
C.3个
D.4个
5.下列命题:@在线性回归模型中’相关指数R2表示
解释变量则对于预报变量γ的贡献率’R2越接近于
1 ’表示回归效果越好;@两个变量相关性越强’则相
关系数的绝对值就越接近于l;o在回归直线方程
｝＝ˉ0.5“＋2中’当解释变量卯每增加—个单位时’
l20
％
）
3
6
5
α
刁
′
3
9
2
卯
2
4
5
6
8
γ
30
40
50
60
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8.某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查’数
据如表:
A.样本中的男生数量多于女生数量
B样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C.样本中多数男生喜欢手机支付
D.样本中多数女生喜欢现金支付
l2.给出下列说法:@对于独立性检验’K2的观测值越
大’说明两个分类变量之间的关系越强;@以模型
γ＝ce肚去拟合＿组数据时’为了求出回归方程’设
z＝lny’将其变换后得到线性方程z＝0.3则＋4’则
c’k的值分别是e4和0.3;◎某中学有高—学生400
人’高二学生300人’高三学生200人’学校团委欲
用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查’
则高—学生被抽到的概率最大;@通过回归直线
y＝b厕＋α及回归系数j’可以精确反映变量的取值
和变化趋势其中正确的个数为
（
）
A. l
B2
C。3
D4
二｀填空题
13.随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞’由列联表和公
Ⅶ（αd-bC）2
式K2＝（α＋6）（C＋d）（α＋C）（b＋d）计算出K2’并由此
作出结论:“有99％的可能性认为学生喜欢跳舞与
性别有关”’则K2的取值范围为
若推断“学生的性别与认为作业量大有关”’则这种
推断犯错误的概率不超过
（
）
n（αdˉbC）2
附:K2＝（α＋b）（C＋〃）（α＋C）（b＋〃）
P（K2＞片〔））
0. 15
0. 10
0.05
0.025
0。0l
（）·00l
k0
2072
2.706
3841
5′024
6635
I0.828
A.0.01
B0.025
C.0. 10
D.0。05
9.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中’下列说
法正确的是
（
）
A.若从统计量中求出有95％的把握认为吸烟与患肺病
有关系,是指有5％的可能性使得推断出现错误
B.从独立性检验可知’有99％的把握认为吸烟与患
肺病有关系时’我们说某人吸烟’那么他有99％的
可能患有肺病
C.若K2的观测值为人＝6.635’我们有99％的把握
认为吸烟与患肺病有关系’那么在l00个吸烟的
人中必有99人患有肺病
D以上三种说法均不正确
l0.假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表:
｜
14.春节期间’某销售公司每天销售某种取暖商品的销
售额γ（单位:万元）与当天的平均气温厕（单位:℃）
有关现收集了春节期间这个销售公司4天的匆与
γ的数据列于下表:
」
根据以上数据’用线性回归的方法’求得y与则之间的线
性回川方程γ＝…的系数j-ˉ号,则i＝
l5.某同学在研究性学习中’收集到某制药厂今年前5个
月甲胶囊生产产量（单位:万盒）的数据如下表所示:
′』（αd-bC）2
）
β
＿
…
（“号‘1
＝′l
注:腰＝
』一.-
（α＋b）（c＋〃）（α＋c）（b＋〃）
.｀α＋c
b＋Ⅲ′
（志—六）
对同—样本’以下数据能说明X和Y有关系的可能
性最大的—组为
（
）
A°α＝45’C＝15
B.α＝40’C＝20
C.α＝35,c＝25
Dα＝30,c＝30
为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情
况’抽取了部分学生作为样本’统计其喜欢的支付
方式’并制作出如下等高条形图:
若卵’y线性相关’线性回归方程为｝＝0.6如＋a’估
计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为
l6.下列说法正确的个数有
11
l
0.9
08
0°7
0°6
0°5
0.4
0,3
0.2
0」
0
l
0.9
0.8
0°7
0。6
0.5
04
0ˉ3
0.2
0°1
0
m用尺圃＝1—』号（y《—h）2
—刻画回归效果’当R2越
』马（γ‘ˉγ）2
大时’模型的拟合效果越差;反之’则越好;
@可导函数／（则）在卯＝匆0处取得极值’则／′（厕0）＝0;
◎归纳推理是由特殊到一般的推理’而演绎推理是
由＿般到特殊的推理;
@综合法证明数学问题是“由因索果”’分析法证明
数学问题是“执果索因”.
现金支付手机支付
男生
女生
□男生园女生
□现金支付图手机支付
根据图中的信息’下列结论中不正确的是
（
）
l21
男生
女生
合计
认为作业量大
l8
8
26
认为作业量不大
9
15
24
合计
27
23
50
P（K2≥片）
k
0.10
2.706
0.05
3.841
0。025
5.024
0.010
6.635
X
Y
γl
γ2
总计
γl
α
C
60
γ2
l0
30
40
总计
α＋10
C＋30
l00
平均气温（℃）
销售额（万元）
-2
20
-3
-5
27
-6
3（〕
则（月份）
γ（万盒）
1
5
2
5
3
6
4
6
5
8
撼
瓣
椒
珍
赣
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89综台练习（‖）
错题题号:
答题用时:
练习日期:
9.执行如图所示的程序框图’那么输出的α值是（
）
A—÷
B—］
o2
n÷
l0.已知等腰梯形ABCD中AB／／／CD’AB＝2CD＝4’
乙BAD＝60°’双曲线以A’B为焦点’且经过C’D两
点’则该双曲线的离心率等于
（
）
A.抠
B.旧
C.√百
D.√3＋1
卯＋γ≤1’
｜二｝二‖萧凰….≡
ll.设匆’γ满足约束条件
☆的取值范围［厕’＂］恰好是函数γ＝2sm″（°＞
0）的—个单调递增区间’则@的值为
（
）
A告
B;
c哥
u;
l2.已知数列｛α″｝中’αl＝2’n（α″＋1-α厕）＝α厕＋1’＂巨
α∏＋l
N＊’若对于任意的α巨［ˉ2’2］’″巨N＊’不等式而ˉ干I＜
2t2＋αtˉl恒成立’则实数t的取值范围为
（
）
A. （ˉ的’ˉ2］（ˉ」［2’＋由）
B（ˉ切’ˉ2］（ˉ」［1’＋的）
C. （ˉ的’ˉl］（ˉ）［2’＋鲍）
D. ［ˉ2’2］
二｀填空题
13.已知（1＋3卯）″的展开式中含有卯2项的系数是54,
则＂＝
-、单选题
1.已知集合A＝｛卯｜卯2ˉ2卯ˉ3＜0｝’集合B＝｛卯｜2腮＋l＞
1｝’则0BA＝
（
）
A. ［3’＋的）
B. （3’＋“）
C. （ˉ的’—l］（ˉ｝［3’＋的）D. （ˉ由’ˉ1）（ˉ」（3’＋的）
2.若复数m（矾ˉ2）＋（m2ˉ3m＋2）i是纯虚数’则实
数m的值为
（
）
A.0或2
B.2
C.0
D. 1或2
3.抛物线y＝2则2的准线方程为
（
）
l
1
Aγ＝ˉ丁
Ⅱγ＝＿;c“＝÷n獭＝ˉ丁
4.已知等差数列｛α″｝的前Ⅶ项和为S＂’若α3＋α5＋
α7＝24’则S9＝
（
）
A.36
B.72
C144
D288
5.如图’网格纸上小正方形边长为1 ’粗实线及粗
虚线画出的是某多面体的三视图’则该多面体的
体积为
（
）
＾÷
凰宁
c＂
∩竿
6若随机变量X服从二项分布B（4,÷）,则
（
）
A.P（X＝l）＝P（X＝3）
B.P（X＝2）＝2P（X＝l）
C.P（x＝2）＝P（x＝3）
D.P（X＝3）＝4P（X＝1）
7.若曲线γ＝卯3＋“在坐标原点处的切线方程是2卯—
γ＝0’则实数α＝
（
）
A. l
B. -l
C.2
D-2
8.已知函数／（厕）是奇函数’且当卯＞0时’／（卯）＝卯2＋
上’则j（ˉl）＝
（
）
卯
A. -2
B.0
C. 1
D.2
l4已知三棱锥PˉABC的各顶点都在同一球面上’且
PA上平面ABC’若AB＝2’AC＝1’乙BAC＝60。,
PA＝4’则球的体积为
15.在一次连环交通事故中’只有＿个人需要负主要责
任,但在警察询问时’甲说:“主要责任在乙”;乙说:
“丙应负主要责任”;丙说“甲说的对”;丁说:“反正
我没有责任’, .四人中只有＿个人说的是真话’则该
事故中需要负主要责任的人是
甲
＂＝l〃＝2｜
下
｜
■
Ⅱ
～
α
］
~~
α
忌′＋1
｜
16若对任意的则巨D’均有g（则）≤／（则）≤h（则）成立’贝｜
称函数／（“）为函数g（卯）到函数h（卯）在区间D上的
“任性函数”.已知函数／（则）＝脑’g（则）＝卿2ˉ2卯’
h（卿）＝（卯＋1）（ln卿＋l）’且／（卯）是g（卯）到／l（卯）
在区间［l’e］上的“任性函数”’则实数内的取值范
围是
~
—
否
″≥20l8?
｜
｜
旦
~
~
—
第5题图
第9题图
l”
／
夕
夕
p
′
／77
′
′
／
／
／
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90综台练习（2）
练习日期:
答题用时:
错题题号:
＿｀单选题
L已知集合A＝｛匆｜卯2＋卯ˉ6＞0｝’集合B＝｛则｜ˉl＜狮＜
3｝’若α匡（A（ˉ」B）’则α可以是
（
）
A. -3
B-2
C. -1
D3
2若＝C,i为虚数单位,且赤＝÷ˉ÷,则复数;
等于
（
）
A÷＋÷i
B÷＿;i
C÷ˉ:i
D÷—÷i
3.已知α≡（2’l）’b＝（ˉl’l）’则α在b方向上的投
影为
（
）
∧尸罕
u罕
cˉ亨
u罕
4已知条件p:k＝√可;条件q:直线γ＝枷＋2与圆厕2＋
γ2＝1相切’则曰p是司q的
（
）
A.充分必要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.利用如图算法在平面直角坐标系上打印—系列点’
则打印的点在圆卯2＋γ2＝25内的个数为
（
）
9.《九章算术》卷5《商功》记载＿个问题“今有圆堡毗’
周四丈八尺’高—丈—尺.问积几何?答曰:二千＿
百—十二尺.术曰:周自相乘’以高乘之’十二而—”.
这里所说的圆堡耽就是圆柱体’它的体积为“周自相
乘’以高乘之’十二而＿’,.就是说:圆堡毗（圆柱体）
的体积为＂＝古×（底面圆的周长的平方×高）,则
由此可推得圆周率∏的取值为
（
）
A。3
B3。l
C。3。l4
D3.2
10.已知△ABC中’满足b＝2’B＝60。的三角形有两解’
则边长α的取值范围是
（
）
＾夸＜α＜2
β÷＜侧＜2
o2…竿
n2…2打
11.过抛物线γ2＝2p卯（p＞0）的焦点F作斜率大于0的
直线′交抛物线于A’B两点（A在B的上方）’且′
与准线交于点c’若面＝4丽则喘＝
（
）
A÷
B÷
α3
n2
12·已知椭圆和双曲线有共同焦点Fl ’F2’P是它们的
—个交点,且乙F｜PF2＝哥,记椭圆和双曲线的离心
率分别为el ’e2’则—L的最大值为
（
）
e1e2
∧竿＂竿o2
u］
二｀填空题
l3.已知数列｛α厕｝是公比为q的等比数列’且α2’α4’α3
成等差数列’则9＝
晒
｜j＝6’x＝＿3d′＝6｜
-—刘
／打印点（x″）／
↓
｜
x≡x＋l
｜
↓
｜
y≡〕′ˉl
｜
｜
j＝jˉl
｜
皿匡
厉匡
乙
A.2
B.3
C.4
D.5
6.将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥’得到
图（2）所示的几何体’则该几何体的侧视图为（
）
鸣
、
A［
A
B
（1）
（2）
≥＜＞＜困＼
A
B
C
D
7巳知等差数列｛α腮｝的第6项是二项式（腮ˉ;＋y）‘
展开式的常数项’则α2＋αl0＝
（
）
A. 160
B. ＝160
C.320
D-320
8.已知各项均为正数的等比数列｛α则｝’α3 .α5＝2’若／（卯）＝
则（则ˉα1）（匆-α2）.…. （卯-α7）’则／′（0）＝
（
）
A.8√2
B. ˉ8√厉
C. 128
D. ˉ128
＼
l4在△ABC中’乙BAC＝120。’AC≡2AB＝4’点D在
BC上’且AD＝BD’则AD＝
.
｛藻!则＝…
l5.设则’γ满足约束条件
取值范围为
. （用区间表示）
16.研究问题:“已知关于卯的不等式α则2ˉb则＋c＞0的
解集为（1’2）’解关于则的不等式c鳃2ˉ6匆＋α＞0”’
有如下解法;由“2ˉ帧＋′＞0＝“—』（＋）＋
‘（＋「＞0,令γ＝＋’则γ.（＋’1）,所以不等式
‘撼2＿b鞭＋α＞0的解集为（÷,l）,类比上述解法’已
知关于卿的不等式—上＋丝ˉ±』＜0的解集为（ˉ2’
卯＋α
卯＋C
—l）O（2,3）则关于〃的不等式尚＋铝＜0
的解集为
123
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9‖
综台练习（3）
错题题号:
答题用时:
练习日期:
-、单选题
↓巳知…｝…!｜｀″≡帧瞧ˉ…』
（
）
｝·（｜ˉ÷）…）』胸展汁武巾藤…″
（
）
B. -l5
A.″巨Ⅳ
｜
A· l5
B.Ⅳc″
｜
C.5
D. -5
C.″∩Ⅳ＝｛则｜卵＜l
｝
｜7.在△ABC中’内角A’B’C所对的边分别为α’b’c’
｜
A＝牙,b2ˉα:＝÷c』则｛a＂C≡
D.Mˉ」／V＝｛则｜卯＞0｝
（
）
2设』是虚蝉位瑞＝岳,则复数阎的虚部为（
）
｛
A2
B-2
｜
C÷
u＿÷
A· -2
B.2
C。-l
D. l
3巳知命题′;对任意鳃＞0总有铲刁则ˉ′为（
）
｝‘若双曲线鹰;部-」（倒＞0｀0＞0）的ˉ个焦点为
A.存在卯0≤0’使得e缅0＜l
｜
F（3’0）’过F点的直线′与双曲线E交于A’B两点,
B.存在匆0＞0’使得e露0＜1
｜
且AB的中点为P（ˉ3’-6）’则E的方程为（
）
｜
＾等—子＝［
队子ˉ÷二｛
C.对任意卿＞0’总有e鳃＜l
D.对任意匆≤0’总有e鳃＜1
4如图的折线图是某公司20｜7年｜月至｜2月份‖0收人与
｝
0÷ˉ子二｜
u÷ˉ芳≡｜
支出数据,若从7月至12月这6个月中任意选2个月的
｜
9~已知＿个几何体的三视图如图所示,则该几何体的
数据进行分析,则这2个月中至少有＿个月利润（利
｜
体积为
（
）
润≡收人ˉ支出）不低于40万的概率为
（
）
＝P
↑2
~~~~~~
万元
‖
∩
β
‖
◎
‖
∩
β
β
’
月
了
β
日
▲
〕
∑
］
侧视图
正视图
~
~
~
3｜
‖
5丰
4→侣了
俯视图
O
l 234 567 891（）lll2月
B.60-6∏
A.60-l2∏
A÷
R÷
C÷
D÷
5.已知三棱锥SˉABC’△ABC是直角三角形’其斜边
AB＝8’SC上平面ABC’SC＝6’则三棱锥的外接球的
表面积为
（
）
C.72-12∏
D.72＿6∏
10.在直角△ABC中’乙BCA＝90。’CA＝CB＝1’P为AB
＝—＋
—〉
—〉—》
＿-〉
-—-广
边卜的点’AP＝∧AB’若Cp.AB≥PA.PB’则入的
取值范围是
（
）
A｜告,l｜
B｜2贡徊’1｜
B.68∏
D. l00∏
A.64∏
C°72∏
l24
夕
＝
■
夕
飞
夕
■
厂
夕
■
巴
‖
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二｀填空题
13.如图是—个算法流程图’则输出的α的值是
c｜÷,l昔仁｜
D｜l;徊,li徊｜
甲
｜
α＝］
—尸
11.已知数列｛α″｝的首项αl＝α’且0＜α≤4’α〃＋l≡
｛:喇二〉………｜以下.
论正确的是
（
）
A.不存在α和n使得S厕＝2015
B不存在α和＂使得S厕＝20l6
C.不存在α和n使得S″＝2017
D.不存在α和″使得S″＝2018
12.
已知实数α
＞
0’
函数／（
则）
＝
／输出α／
志
14.设实数卯’γ满足
「Ⅲ…捞…,
程／［ˉ∧绷）］＝eˉα＋÷有三个不等的实根’则实
2
15.若函数／（匆）＝（卯2-α则＋α＋1）e鳃（α巨N）在区间
（l’3）上只有1个极值点’则曲线／（卯）在点（0’
∧0））处切线的方程为
16.已知抛物线C:y2＝4卯’焦点为F’过点p（ˉ1’0）作
数α的取值范围是
（
）
斜率为k（∧＞0）的直线／与抛物线C交于A’B两
点’直线AF’BF分别交抛物线C于″’Ⅳ两点’若
A（l,2＋÷）
C（l,l＋÷）
Ⅱ（2,2＋÷）
D（2,2＋÷）
｜｜荒｜｜＋｜祟｜＝ls,则k＝
l25
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92综台练习（4）
错题题号
答题用时:
练习日期:
A.恒为正数
B恒为负数
C.恒为0
D.可正可负
勺
勺
6设双曲线r;莆ˉ萨＝!（“＞0’b＞0）的左焦点
F（ˉc’0）’直线3则ˉγ＋3c＝0与双曲线r在第二象
限交于点A’若｜OA｜
＝｜OF｜（O为坐标原点）’则双
曲线厂的渐近线方程为
（
）
｀Ⅷ二粪织
凰′二辈祭
cⅡ-童祭
｀
uγ→祭
7.已知／（卯）是定义在（0’3）上的函数,／（卯）的图象如
图所示’那么不等式／（则）cos如＜0的解集是（
）
-、单选题
1.已知集合A＝｛1’2,3｝’B＝
｛卯｜（则＋1）（匆-2）＜0’
卯eZ｝’则AOB＝
（
）
A.
｛l
｝
B.
｛1 ’2｝
C. ｛0’1,2’3｝
D.
｛ˉ1’0’1’2’3｝
2设复数愿满足祟＝i’则｜:｜＝
（
）
A2
B佰ˉl
C.√可
D. l
3.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问
题:“今有玉方—寸’重七两;石方—寸’重六两.今有石
方三寸’中有玉’并重十—斤（l76两）.问玉、石重各几
何?”如图所示的程序框图反映了对此题的＿个求解算
法’运行该程序框图’则输出的则’γ分别为
（
）
γ｜
圃
榆
囤
／八
｜~~
~｜徽~
甲
~~｜~
】
〕
】
］
γ
○
｜,-揣》｜
）
β＿］
＋
灭
了＿］
~~
『
A. （0’l）（ˉ」（2’3）
B（l,;）O（晋,3）
c（0’l）O（;,3）
~~↓~~
隔词
A.90,86
B.94,82
C.98’78
D. l02’74
4如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图’
则该几何体的表面积为
（
）
∩
2侮「∧
4‖
D（0’1）〔」（l’3）
卯＋γ-3≥0,
｝二｛…≡
8.已知变量则、y满足约束条件
＂＋2y的最小值为3则煮T≥÷的概率是
（
）
A÷
B÷
c÷
u:
9.在△ABC中’三个内角A’B’C的对边分别为α’6’c’
若△ABC的面积为S’且4S＝（α＋b）2ˉc2’则
.m（牙＋C）等于
（
｜
←ˉˉ→
4
○
A.20∏
B24∏
C.28∏
D32∏
5.已知函数／（卯）是R上的单调增函数且为奇函数’数
列｛α″｝是等差数列’α3＞0’则／（αl）＋／（α3）＋／（α5）
的值
（
）
l26
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A. （ˉ鲍’0）
B. （-的’l）
C. （ˉl’＋@）
D. （0’＋的）
二、填空题
l3.以坐标原点O为圆心的圆与抛物线γ2＝4卯及其准
线分别交于点A’B和C’D’若｜AB｜
＝｜CD｜’则圆O
的方程是
徊
—
】
~
Ⅱ
A. l
c罕
u罕
l0.已知长方体ABCDˉAlBlC1Dl内接于球O’底面ABˉ
CD是边长为2的正方形’E为Ml的中点’OA上平
面BDE’则球O的表面积是
（
）
A.8∏
B. 16∏
C.20∏
D32∏
l1.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”’
它们是由整数的倒数组成的’第＂行有′′个数且两
端的数均为上（n≥2）’每个数是它下＿行左右相邻
∏
l4.现有如下假设:
所有纺织工都是工会成员’部分梳毛工是女工’部
分纺织工是女工’所有工会成员都投了健康保险’
没有＿个梳毛工投了健康保险.
下列结论可以从上述假设中推出来的是
（填写所有正确结论的编号）
o所有纺织工都投了健康保险
@有些女工投了健康保险
◎有些女工没有投健康保险
@工会的部分成员没有投健康保险
15.如图’小林从位于街道A处的家里出发’先到B处
的二表哥家拜年’再和二表哥—起到位于C处的大
表哥家拜年’则小林到大表哥家可以选择的最短路
径的条数为
两数的和’如＋＝÷＋÷,＋＝＋＋÷,＋＝寸＋
1~
12’
,则第7行第4个数（从左往右数）为（
）
］
—
］
1~
2
勺
』
—
’
～
1~
3
l~
6
1~
3
l~
4
l~
12
1~
l2
l~
4
繁
露
嚣
爵
爵
C
1~
5
1~
2（）
1~
20
1~
30
二
』
—
尸
〕
~
~
＝—-》
＿-—≥
—〉
1—〉
16·已知非零向呈OP、O0不共线’设OM＝而ˉ干ˉTOP＋
——＞
--—》
-—-广—〉
尚而〕定义点集』ˉ｛′｜瑞哩ˉ喘＂｝
若对于任意的m≥3’当Fl ’F2巨A且不在直线PQ
ˉ———→
—-〉
上时’不等式｜FlF2 ｜≤∧｜P0｜恒成立’则实数∧的最
小值为
A-L
R六
140
c俞
n六
12.定义在R上的函数／（则）的导函数为／′（卿）’∧0）＝
0.若对任意卯匡R’都有／（卯）＞／′（卯）＋1’则使得
／（则）＋e则＜1成立的则的取值范围为
（
）
l27
B
默
当
-｝
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93综台练习（5）
错题题号:
答题用时:
练习日期:
A.4＋2∏
B.2＋6∏
C.4＋∏
D2＋4∏
7.执行如图的程序框图’如果输人的t≡0.04’则输出
的∏为
（
）
-、单选题
l.已知集合A＝｛（卯’γ）｜y二则＋1’0≤匆≤l
｜’集合B＝
｛（卯’y）｜γ＝2狮’0≤卿≤10｝’则集合A∩B≡
（
）
A.
｛1｝
B｛（l’3）
｝
C.
｛（1’2）
｝
D. ｛2｝
2若Ⅸ＝｜十2『｀则兰｜
（
）
~~
｝＝｜,″ˉ队砸÷｜
l
s＝l,″＝0,′刀＝页
A. l
B. -1
C. i
D-i
3若角α的终边经过点P（÷’ˉ÷）则…（anα的
值是
（
）
A÷
Ⅱ÷
cˉ÷
D÷
4.已知数列｛α″｝满足5α叶l ＝25 ·5α厕’且α2＋α4＋α6＝
（
）
9’则log＋（α5＋α7＋α9）＝
A。-3
B.3
o÷
u＋
5.已知曲线y＝卯3在点（1 ’1）处的切线与直线α卯＋γ＋
1＝0垂直’则α的值是
（
）
-一
■↓~
乎」
—旧
川
亏
▲
~~
们
］
＋
″
~~
″
川
亏
▲
~~
们
是
早
上
锄
结束
｜
A.7
B6
9’则log＋（α5＋α7＋α9）＝
（
）
｝
｜
C.5
D.4
A。-3
B.3
｜
8.已知直线／l :2卯—γ＋2＝0和直线／2:卯＝ˉl ’抛物线
o÷
u＋
｝
γ2＝4卿上一动点P到直线／l和直线／2的距离之和
5巳知曲线y＝卯3在点（1 ’1）处的切线与直线α卯＋γ＋
｝
的最小值是
（
）
l＝0垂直,则α的值是
（
）
｝
Ⅱ厂｜
鼠｜
｜
＾2
凰竿
C÷
uˉ÷
｜
o3
u佰
6某空间几何体的三视图如图所示’则该几何体的体
｝
9~若α＞0’b＞0’lgα＋lgb＝lg（α＋b）’则α＋b的最小
积为
（
）
｜
值为
（
）
9／＼
｜
A删
B6
｜
｝
［∩
＂:
『
止
｜
10.设（1＋卿）6＝α0＋αl卯＋α2卯2＋…＋α6绷6’其中则’
正（主）视图
侧（左）视图
（;〈／!）
｝
衍乒』ˉ』…帅瞪…
｝
｜
‖
.／—～‖
～-→
俯视图
｜
C.64
D. 128
. l28.
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ll已知双曲线c!÷萨三｜（侧＞0,』≥0）育顶点州,0
为坐标原点’以A为圆心的圆与双曲线C的＿条渐
.-＝＋
—〉
近线交于两点P’0’若乙PA0＝60。且O0＝2OP’则
双曲线C的离心率为
（
）
＾乎
B竿
c夸
u打
｜5在…中』』B-2｀…≡平,D晨“上＿点.
4D≡2Dc,且…DBc-￥则Ij耐-
B
△≥
〃
16.祖眶（5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家’是祖
l2巳知对任意雕匡｜÷,噎:｜不等式e了＞＂2恒成立（其
z
冲之的儿子.他提出了—条原理:“幂势既同’则积
不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积’“势”指
高这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有
等高处的水平截面的面积相等’则这两个几何体体
勺
勺
积相等设由椭圆彦慌二］（…＞0）所围成的平
面图形绕γ轴旋转＿周后’得一檄揽状的几何体
（如图）’称为椭球体’课本中介绍了应用祖眶原理
求球体体积公式的做法’请类比此法’求出椭球体
中e＝2.71828…是自然对数的底数）’则实数α的
取值范围是
（
）
）
巳
＿
’
～
’
·
（
∧
B. （0’e）
｀
｀
■
■
〗
〗
□
′
′
斗
＿
旬
甘
’
由
u（
C. （-由’-2e）
二、填空题
13.我校在高三11月月考中约有1000名理科学生参
加考试’数学考试成绩音～Ⅳ（100’α2）（α＞0’满分
l50分）’统计结果显示数学考试成绩在80分到
120分之间的人数约为总人数的60％’则此次月考
中数学成绩不低于l20分的学生约有
人
l4.若函数∧卯）＝α＋lOg2卯在区间［l ’α］上的最大值为
6’则α＝
体积’其体积等于
l29
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94综台练习（6）
错题题号:
答题用时:
练习日期:
6.设α,b是空间中不同的直线’α’β是不同的平面’则
下列说法正确的是
（
）
A.α／／／b’bCα’则α／（／α
B.αCα’bCβ’α／／／β’则α／／／b
C.αCα’bCα’α／／／β’b／／／β’则α／／／β
Dα／／／β’αCα’则α／／／β
7函数／（腑）＝血（…蛔）（刨＞0, ｜鹏｜＜:）的最小正
周期是丽’若其图象向左平移哥个单位后得到的函
数为奇函数’则函数∧厕）的图象
（
）
A关于点（舌,0）对称
-｀单选题
1.已知集合A＝｛0’l ’3｝’B＝｛则｜（卯＋l）（卯ˉ2）＜0｝
’
则A∩B＝
（
）
A. ｛0｝
B. ｛0’1’3｝
C. ｛0,1
｝
D. ｛0’1’2｝
2.已知α’b巨R’i是虚数单位’若α-i与2＋bi互为共
扼复数’则（α＋bi）2＝
（
）
A.5-4i
B。5＋4j
C.3-4i
D.3＋4i
3.在公差为2的等差数列｛α厕｝中’α3—2α5＝4’则α4ˉ
2α7＝
（
）
A°
—4
B—2
C. -6
D. -8
4.已知函数γ＝／（加）的图象在点（l’／（1））处的切线方
程为“ˉ2γ＋l＝0’则／（1）＋吁′（1）的值为（
）
B关于直线绷＝舌对称
c关干点（苦,0）对称
A÷
D关于直线蹦＝:对称
8某程序框图如图所示’现将输出（厕’γ）的值依次
记为: （卯l ’γl ）
, （卯2’γ2）’…’ （匆″,γ厕）’…’若程
序运行中输出一个数组是（厕’ ˉ10）’则数组中
的卯＝
（
）
Bl
c÷
u2
5.—个几何体的三视图如图所示’则该几何体的表面
积为
（
）
罕
丁
↑
｜
｜
勺
▲
｜
｜
｜
上
／输
｜医
卜—2—叫
左视图
卜—2—引
主视图
止
『
／
′
｀
＼
否
刀＞2017?
堡
辩
B芋＋24
D芋＋8
A.4∏＋8
B32
D. 128
A. l6
C.64
C。4∏＋24
l30
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9已知F｜,′2是双曲线囱;笨ˉ潦-｜的左》右焦点,点
″在E上’″′｜与绷轴垂直’s!n△″′2′!＝＋,则E
的离心率为
（
）
A徊
B÷
C.打
D2
l0巳知（÷＋甸＂的展开式中只有第四项的二项式系
数最大’则展开式中的常数项等于
（
）
A. 15
B.30
C。45
D.60
A. （64√5＋2’146）
B. （98’l46）
C. （64√Z＋2’266）
D. （98’266）
二｀填空题
｜三爵～…
13.已知实数厕’γ满足条件
的最小值为ˉ8’则实数α＝
l4等比数列｛α鹏｝中’各项都是正数,且α」』÷α3』2α2
＝
成等差数列’则αl3＋αl4
二＝
勺
lnf＋］（腮＞e,e二27｜828
~
l］.已知函数／（则）＝1
αl4＋αl5
l5.设直线γ＝卯＋2α与圆C:卯2＋γ2ˉ2αyˉ2＝0（α＞
0）相交于A’B两点’若｜AB｜
＝2√可’则α＝
是自然对数的底数）.若／（m）＝2ln拒ˉ／（″）’则
∧m″）的取值范围为
（
）
A｜÷’l｜
B｜箭,l）
c｜÷,l）
D｜;,l）
谴…｝-｛」;r‖二｜｝‖三2
’若互不相等的
实数α’b’c’〃满足／（α）＝／（b）＝／（c）＝／（Ⅲ）’则
2α＋2b＋2°＋2‖的取值范围是
（
）
l6袋中有6个编ˉ号不同的黑球和3个编号不同的白
球’这9个球的大小及质地都相同,现从该袋中随
机摸取3个球’则这三个球中恰有两个黑球和—个
白球的方法总数是
’设摸取的这三个球中
所含的黑球数为X’则P（X＝k）取最大值时’A的值
为
12.设函数／（则）
l3l
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95综台练习（7）
错题题号:
答题用时
练习日期:
-、单选题
l.若复数z满足2z＋1＝2i’则z＝
（
）
A÷ˉ《
B士ˉi
c÷＋!
u—÷＋i
2.设全集U＝R’集合A＝｛则｜1＜卯＜3｝’B＝｛卯｜2则ˉ
3≥0｝’则A∩（0UB）≡
（
）
厂5≡∏石
↓
A（ˉ蜜,÷）
｜
A岳
B署
B. （1’＋“）
｝
c盖
u器
c（l,;）
卯-γ-l≤0
｜翼消』侧…
D｜÷,3）
｛7若实数獭,γ满足约束条件
3巳知等差数列｛嚷腮｝中’α!＝l,“］＝ˉ5,则“!＿α2＿
｝
的最小值为
（
）
（
）
｝
A2
Bl
α3-α4＝
A。-14
B·
＝9
｜
C. ˉ4
D.不存在
｝a设锐角△ABc的三内角A,B’C所对边的边长分别为
C. l1
D。16
4函…n（2…）的图象糯瓣辙向左平移;个肆
｜
·』b｀幢.且…≡酗则』的…围为
（
）
｜
A. （√页’何）
B. （l ’徊）
位后,得到＿个偶函数的图象’则帜的＿个可能的值
｜
｜
C. （√页’2）
D. （0’2）
（
）
｝9直线′过点（＿4,0）’且与圆（叶l）:＋（γ—2）2≡25
为
A芋
Ⅱ牙
;
交于A,B两点’如果MB｜＝8’则直线′的方
｜
程为
（
）
n＿哥
;
A5躯＋l2γ＋20＝0
C.0
｜
B.5卯ˉ12γ＋20＝0或卯＋4≡0
5巳知命题′; “］篮＂.R,六≤0”的否定是
｜｜
C°5卯-12γ＋20＝0
.W匡R,六≥0”;命题0; ,』狐＞20l9,,的—个
｜
n5躯＋l2γ＋20≡0或＂＋4≡0
｜
10.学校计划利用周五下午第一、二｀三节课举办语文、
必要不充分条件是‘‘皿＞20l8,’ ’则下列命题为真
｜
数学英语、理综4科的专题讲座,每科—节课’每
命题的是
（
）
｝
节至少有＿科’且数学、理综不安排在同一节’则不
（
）
A.司q
B.p∧q
｜
同的安排方法共有
C. （司p）∧q
Dpγ（司q）
｜
A.6种
B″24种
6.执行如图所示的程序框图’则输出的结果是（
）
｜
C.30种
D.36种
° l32.
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1l.如图’正方体ABCDˉAlBlClDl中’P为底面ABCD
上的动点’PE上AlC于E’且PA＝PE’则点P的轨
迹是
（
）
d｜
∏D
二｀填空题
l3.如图为某几何体的三视图’则其体积为
Ⅷ
「
2
｜ˉ
＝1上14
正视图
「O
2
↑
｜
／『＼
矿
0
0
〃
0夕
Bl
≡1上1当
侧视图
尸
≈
卜
＼
＼
℃
↓
巳
■
·
●
影
沪
■
●
■
■
‖
■
≡
吁
◎
忽
〃
□
尸
■
″
D
≥≥
B
D
C
A.线段
B.圆弧
C·椭圆的—部分
D抛物线的—部分
12.在直角梯形ABCD中’AB上AD’AD／／／BC’AB＝BC＝
2AD＝2’E’F分别为BC’CD的中点’以A为圆心’
AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点″’Ⅳ’
—
一→—尸
点P在″DⅣ上运动（如图）.若AP＝人AE＋队BF’其
俯视图
岭若抛物线蕊2-4y的焦点到双蹦线c》;—｝;二」
（α≥0,b＞0）的渐近线距离等于亨则双曲线c＂
离心率为
15.甲、乙、丙三个人各自独立地做同＿道数学题’当他
们都把自己的答案公布出来之后’
甲说:我做错了;
乙说:丙做对了;
丙说:我做错了.
在＿旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意
见后说:“你们三个人中有—个人做对了’有＿个说
对了.
”
请问他们三个人中做对了的是
中入’〃巨R’则2入ˉ5〃的取值范围是
）
（
C
E
Ⅳ
A. ［ˉ2’2］
B［ˉ2’2√5］
C. ［—2√Z2］
D. ［ˉ2√Z2√页］
A
M
B
l6［瓣］是不超过＂的最大整数,则方程（2蕊）』—÷
［2篮］＿士二0满足腮＜｜的所有实数解是
133
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96综台练习（8）
错题题号:
答题用时:
练习日期:
A.3徊
B2伍
C.√页T
D2√百
5.在等比数列｛αn｝中’α3＋α6＝18’α4＋α7＝36’若αk＝
32’则k≡
（
）
A. 1l
B·9
C.7
D12
6.若随机变量X服从正态分布／V（4’ 1）’则P（X＞
6）的值为
（
）
［参考数据:若随机变量X～Ⅳ（供’α2）’则P（仙ˉα
≤X≤件＋o）＝O6826’P（队-2α≤X≤〃＋2α）＝
0.9544’P（以-3α≤X≤以＋3◎）＝0.9974］
A.0. 1587
B。0.0228
C.0.00l3
D.0.4972
7二项式（鞭ˉ＋）‘的展开式中瓣ˉ2的系数为
（
）
A.6
Bl5
C.20
D.28
8巳知c°s（丽—α）÷’曾in（:＋β）＝;（其中α,β.
（0’∏））’则sin（α＋β）的值为
（
）
＾4周—佰
凰全岛十仁
-4√2＋√5
C—
9
—4√5—√百
D
9
-｀单选题
1已知集合M＝｛则｜y＝lg（厕＋2）
｝’Ⅳ＝｛y｜γ＝2厕ˉ1
｝
’
则MOⅣ＝
（
）
A。R
B. （-1’＋鲍）
C. （ˉ2’＋的）
D［ˉ2’＋由）
苦1的共扼复数为
（
）
2.复数z＝
A. -1—i
B. l-i
C. -2-i
D-2＋i
3.秦九韶是我国南宋时期的数学家’普州（现四川省
安岳县）人’他在所著的《数书九章》中提出的多
项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算
法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某
多项式值的—个实例’若输人卯的值为2’则输出
的″值为
（
）
晒
~v
／输厄／
↓
｜
γ＝l0’k＝9
｜
｜
A.9×2l0-2
B.9×2l0＋2
C.9×21l＋2
D.9×211-2
4某几何体的三视图如图所示’则该几何体中最长的
棱长为
（
）
γ≤2’
｜二｝二!｜‘…＂
9.若变量肛’γ满足不等式组
最大值为7’则实数α的值为
（
）
A. 1
B.7
C. -l
D. -7
』0设′为双曲线÷÷」（α＞0,』＞0）的右焦点,
O为坐标原点’若OF的垂直平分线与渐近线在第
↑
2
」
侧视图
俯视图
134
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—象限内的交点到另—条渐近线的距离为÷｜o′｜,
｜二填空题
＿≥
ˉ——〉
｛
l3.在平面四边形ABCD中’已知AC＝（1’3）’BD＝
则双曲线的离心率为
（
）
｝
｜
（9’ˉ3）’则四边形ABCD的面积为
＂2归
凰竿
｜
14.已知直线′:则＋2yˉ4＝0与坐标轴交于A’B两点’
C.2√5
D.5
｛
O为坐标原点’则经过O’A’B三点的圆的标准方程
11巳知A’B是半径为2√可的球面上的两点’过AB
｜
为
作互相垂直的两个平面α、β,若α,β截该球所得
｜
l5如图’为测量山高M｀′’选择A和另—座山的山顶C
的两个截面的面积之和为16∏’则线段AB的长
｜
｜
为测量观测点.从A点测得M点的仰角乙M4Ⅳ＝
度是
（
）
｜
｝
60。,C点的仰角乙CAB＝45°以及乙M4C＝75。;从C
A.√回ˉ
B2
｝
点测得△″CA＝60q已知山高BC＝100m’则山高
C2√2
D4
｜
Mγ＝
m.
卯2
12.若函数／（卯）＝α勿＋ln则ˉ
1有三个不同的零
｜
M
刀-ln卯
点’则实数α的取值范围是
（
）
C
A（l,六ˉ÷）
B｜l,六—÷｜
c（÷—古,—l）
D｛÷—云,＿l｜
＼
一
″
B
A
16.S′』为数列｛α′』｝的前′』项和’已知α′』＞（）’4S′』
＝
（α厕＋3）（α″-1）
’ （″匡N＊
）’则｛α″｝的通项公式
α′l＝
l35
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97综台练习（9）
错题题号
答题用时:
练习日期:
7.定义在R上的偶函数／（则）满足／（则）＝／（卯＋2）’当卯e
［3’5］时’j（则）＝（则ˉ4）2’则
（
）
A~（÷）＝m苦
B~咕）＝蓟n哥
c喘）＞sm苦
D川÷）＜富m:
｜二廷｜｛』…
8.已知变量则’γ满足约束条件
的最小值为
（
）
A. -1
B1
C.0
D1l
9.已知抛物线广＝2p厕（p＞0）的焦点为F’准线为／’过点F
的直线交抛物线于A’B两点’点A在′上的射影为Al
若｜AB｜＝｜A1B｜’则直线AB的斜率为
（
）
A.±3
B±2徊
C.±2
D.±仁
l0.在△ABC中’角A’B’C所对的边分别为α’b’c’若
b＝5’C＝60。’且△ABC的面积为5√可’则△ABC的
周长为
（
）
A·8＋√万
B9＋｀／ZT
c· 10＋√ZT
Dl4
→一
—〉
—〉
l1.在平行四边形ABCD中’AC.CB＝0’2BC2＋AC2ˉ
4＝0’若将其沿AC折成直二面角DˉACˉB’则三棱
锥DˉACB的外接球的表面积为
（
C.4∏
A. 16∏
B8∏
D.2∏
｜2巳知∧鞭）＝ln测—÷＋÷,g（膊）＝—x:ˉ2α鳃＋4,灌-
对任意的匆l匡（0’2］’存在卯2巨［l’2］’使得／（卯l）≥
g（绷2）成立’则α的取值范围是
（
A｜÷,＋辑）
B｜ˉ÷,＋霍）
c｜＿÷,÷｜
D（—鲤’＿:｜
二｀填空题
-｀单选题
l.设集合A＝｛卯巨Z｜卯2＜3｝’B＝｛厕｜卯＞ˉl
｝’则A∩B
吕二
（
）
A. ｛0’l
｝
B.
｛ˉl’0｝
C.
｛ˉl’0’1
｝
D｛0’1’2｝
2已知!为虚数单位,复数忽＝叁则‘的实部与虚部
之差为
（
）
Aˉ＋
B÷
c＿÷
D÷
＼
3.如图’某几何体的三视图都是直
角三角形’若几何体的最大棱长
为2’则该几何体的外接球的体
积是
（
）
A倾
B芋
Ⅷ翻·
＂啊＂
／
C.4∏
D.6∏
4＿个频率分布表（样本容量为俯视图
30）不小心被损坏了＿部分’只记得样本中数据在
［20,60）上的频率为0.8’则估计样本在［40’50）’
［50’60）内的数据个数共为
（
）
分组u020）
［2030）［30加）｜7
频数
3
4
7
A. l4
B15
C. l6
D. l7
5.如图’在△ABC中’乙CBA≡乙CAB＝30。’AC、BC边
上的高分别为BD｀AE’则以A、B为焦点’且过D、E
的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为
（
）
B
A
A.何
B1
C.2灯
D2
6阅读如图所示的程序框图’则该算法的功能是（
）
｜〃＝0’腹＝l
｜
↓—-
旧＝M＋l
｜
｜
′＝j＋l
｜
l］在（叶古「的展升式中,鳃的系数为
佣
数字作答）
14已知命题p:γ匆巨R’ ｜2卿＋l
｜＞αˉ2｜卯｜’若司p是
真命题’则实数α的取值范围是
l5.Rt△ABC中’乙B＝卯。’BC＝2’AB＝1’D为BC中点,
—-〉
—≥
-—→
—-〉
E在斜边AC上’若AE＝2EC’则DE.AC＝
｜6设数列｛叫满足铡厂÷’倾′畔!…揣（＂—0,!
2’…）’若使得αk＜1＜αk＋l ’则正整数八＝
A.计算数列｛2＂ˉ1 ｝前5项的和
B计算数列｛2″ˉ1｝前6项的和
C.计算数列｛2″ˉ1 ｝前5项的和
D计算数列｛2＂ˉ1 ｝前6项的和
l36
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98综台练习（‖0）
答题用时
练习日期:
错题题号:
-｀单选题
L设集合A＝｛则匡R｜卿＞0｝’B＝｛卯eR｜匆2≤1
｝’则A∩
B≡
（
）
A. （0’l）
B. （0’1］
C. ［ˉl’l］
D. ［ˉ1 ’＋的）
2.已知纯虚数z满足（1ˉ2i）z＝1＋αi ’则实数α等
于
（
）
｜＼
仁＿1＿引≤—l-→
｝←l-叶
侧（左）视图
正（主）视图
｝-l→长ˉ l—引
俯视图
A. l＋何
Bl＋2徊
C.2＋何
D.2√百
卯＝y≥0,
｜二三….
7.已知实数则’γ满足约束条件
则＝y＝1时’目标函数z＝肋＋y取得最大值’则实数
k的取值范围是
（
）
A. （-的’1）
B（ˉ的’-1）
C. （—1’＋由）
D. （1 ’＋由）
勺
勺
8巳知双曲线c;备卡＝］（α＞0』b＞0）.过点
F（c’0）作直线交双曲线C的两条渐近线于A’B
两点’若B为M的中点’且OA＝c’则双曲线的
离心率为
（
）
A.√3
B2
C.2√可
D.4徊
9.在△ABC中’乙C＝90。’ ｜AB｜＝6’点P满足｜CP｜
＝
→---≥
2’则川·PB的最大值为
（
）
A.9
B. 16
C° l8
D.25
10.在（1＋则）＋（l＋卯）2＋（l＋卯）3＋…＋（1＋卯）l1的
展开式中’卯2的系数是
（
）
A.55
B.66
］
—
∑
儿
Bˉ÷
C. -2
［）.2
3.执行如图所示的程序框图’若输人的‖＝0.05’则输
出的′』为
（
）
皿
／输人′／
｜s-l,″～M→｜
—≥↓
｜s-s—脚
｜
啊-普′″＝″＋l
｜
l
S＝l’ ′′二0’″′＝了
｜s-
’
＿们
∩乙
~~
″
′
｜
A。3
B4
C.5
D6
4.已知等差数列｛α″｝的前＂项和为S′』’且S6＝39’则
α3＋α4＝
（
）
A°31
B. 12
C. 13
D52
5.函数y＝sjn卯（3sin则＋4cos“）（则巨R）的最大值为
M’最小正周期为T’则有序数对（M’T）为
（
）
A. （5’∏）
B. （4’∏）
C. （-1’2∏）
D. （4’2∏）
6.＿个四面体的三视图如图所示’则该四面体的表面
积是
（
）
C. 165
D.220
137
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ll.如图’透明塑料制成的长方体容器ABCDˉ
A1B1ClD1内灌进＿些水’固定容器底面＿边BC
于地面上’再将容器倾斜’随着倾斜度的不同’有
下面四个命题:
l4某校共有400名学生参加了＿次数学竞赛’竞赛成
绩都在［50’l00］内’且频率分布直方图如图所示
（成绩分组为［50’60）’ ［60’70）
’ ［70’80）
’ ［80’
90）’［90,100］）’则在本次竞赛中’得分不低于80
分的人数为
A1
』l
辉
—
疵
｜
B
C］
G
R
0°03
0°02
0.（）｜
八
Ⅱ
~~
／
←
｝
C
B
0
5060
70
80
90 100成绩
15.设抛物线γ2＝4则的焦点为F’过点F作直线′与抛
物线分别交于两点川,B,若点″满足耐＝÷（顽＋
---》
OB）’过″作y轴的垂线与抛物线交于点P’若
｜PF｜＝2,则M点的横坐标为
@没有水的部分始终呈棱柱形;
@水面EFGH所在四边形的面积为定值;
◎棱AlDl始终与水面所在平面平行;
@当容器倾斜如图所示时’BE.BF是定值.
其中正确的个数是
（
）
A, l
B.2
C.3
D4
12已知函数／（卯）＝卯｜卯ˉα｜＋2卯’若存在α巨（2’3］
’
使得关于厕的函数y＝∧腮）ˉ叭α）有三个不同的零
点’则实数j的取值范围是
（
）
△ABC的三个内角A’B’C的对边分别是α’b’c’则:
O若cosBcosC＞sinBsinC’则△ABC一定是钝角
三角形;
@若αcosA＝bcosB’则△ABC为等腰三角形;
◎α＝（tanA＋tanB’tanC）’b＝（l’l）’若α.b＞
0’则△ABC为锐角三角形;
@若o为△ABC的外心,则而瓦＝÷（b』ˉ‘2）;
—〉＿〉＿广
◎若sin2A＋sin2B＝sin2C’且OA＋OB＋OC＝0’贝｜
--沪
一
｜OA｜2＋｜OB｜2
＝5·
--→
｜OC｜2
以上命题正确的序号是
l6
B（l ,爵）
＝
D（! ,÷）
A（;’÷）
c（l,;）
二、填空题
13.曲线γ＝狐2＋ln卯在点（l’／（1））处的切线方程为
l38
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99
20‖8年高考数学理科试卷（全国｜卷）
答题用时
练习日期:
错题题号:
8.设抛物线C:γ2＝4卯的焦点为F’过点（ˉ2’0）且斜率为
;的直线与C交于M″两点,贝MM刚＝
（
）
-—〉
——〉
A.5
B.6
C.7
D.8
,巳知函数′（骡）三｛庶子!b,凰（腮）-∧蕴）…若
g（厕）存在2个零点’则α的取值范围是
（
）
A. ［ˉ1’0）
B. ［0’＋的）
C. ［-1 ’＋的）
D. ［l’＋的）
＿｀单选题
｜设＝焉＋2i则｜舅｜＝
（
）
A0
B÷
Cl
n徊
2.已知集合A＝｛卯｜匆2—卯ˉ2＞0｝’则0RA＝
（
）
A. ｛卯｜ˉ1＜卯＜2｝
B.
｛绷｜ˉ1≤卯≤2｝
C. ｛则｜”＜ˉ1｝O｛则｜勿＞2｝
D｛如｜如≤ˉ1｝□｛“｜绷≥2｝
3.某地区经过—年的新农村建设’农村的经济收人增
加了—倍’实现翻番为更好地了解该地区农村的经
济收人变化情况’统计了该地区新农村建设前后农
村的经济收人构成比例’得到如图所示饼图:
如图来自古希腊数学家希波克
拉底所研究的几何图形此图
由三个半圆构成’三个半圆的
直径分别为直角三角形ABC的
斜边BC’直角边AB,AC.△ABC
斜边BC’直角边AB’AC.△ABC
l0
三产业收人
其他收人
28％
人
种植收人
的三边所围成的区
域记为I ’黑色部分记为Ⅱ’其余部分记为Ⅱ在整
个图形中随机取一点’此点取自I ’Ⅱ’Ⅲ的概率分
别记为pl ’p2’p3’则
（
）
A.p1＝p2
B°pl＝p3
C.p2＝p3
D。p1＝p2＋p3
2
皿已知双曲线c÷—γ2＝l ,O为坐标原点’′为c
的右焦点’过F的直线与C的两条渐近线的交点
分别为″’Ⅳ.若△OMγ为直角三角形’则
｜M＼／｜
＝
（
）
A÷
B3
C2何
n4
l2.已知正方体的棱长为1’每条棱所在直线与平面α所
成的角都相等’则α截此正方体所得截面面积的最大
值为
（
）
』巫凰竿
c乎
n罕
4
二｀填空题
［三｝茵‖则→…』
13.若卯’γ满足约束条件
的最大值为
5％
种植收
37％
30％
养殖收人
建设前经济收人构成比例
建设后经济收人构成比例
则下面结论中不正确的是
（
）
A.新农村建设后’种植收人减少
B.新农村建设后’其他收人增加了＿倍以上
C.新农村建设后’养殖收人增加了一倍
D新农村建设后’养殖收人与第三产业收人的总和
超过了经济收人的—半
4记S＂为等差数列｛α″｝的前″项和.若3S3＝S2＋S4’
α1＝2’则α5＝
（
）
A. -l2
B.
～10
C。10
D。l2
5.设函数／（卿）＝鳃3＋（α-1）“2＋α厕.若／（卯）为奇函数’
则曲线y＝／（卯）在点（0’0）处的切线方程为
（
）
A。γ＝ˉ2卯
B。γ＝ˉ卯
C.v＝2卯
D.v＝尤
6.在△ABC中’AD为BC边上的中线’E为AD的中点’
—》
则EB≡
（
）
A郭ˉ叙
B掘—鄂
c鄂＋知
D挪＋知
’簧导蹦肾i腰:慧〔亡B
孺撇臆鳃［○
的点Ⅳ在左视图上的对应点为B’则在此圆柱侧面
上’从″到Ⅳ的路径中’最短路径的长度为（
）
A.2√I7
B2√了
C.3
D2
l4.记S″为数列｛α厕｝的前n项和若S厕＝2α″＋1’则
S6＝
15.从2位女生’4位男生中选3人参加科技比赛’且至
少有l位女生人选’则不同的选法共有
种. （用数字填写答案）
l6.已知函数／（“）＝2sin则＋sin2则’则／（卯）的最小值是
139
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‖00
20‖8年高考数学文科试卷（全国｜卷）
错题题号:
答题用时:
练习日期:
8.已知函数／（卯）＝2cos2勿ˉsin2则＋2’则
（
）
A.∧卿）的最小正周期为∏’最大值为3
B.／（卯）的最小正周期为∏’最大值为4
C.∧卯）的最小正周期为2∏’最大值为3
D.／（腮）的最小正周期为2∏’最大值为4
9某圆柱的高为2』底面周长＾｜
｜厂
｜
襄蒜嗣!肆雕f○
B
的对应点为A’圆柱表面上
的点Ⅳ在左视图上的对应点为B’则在此圆柱侧面
上’从M到Ⅳ的路径中’最短路径的长度为（
）
A.2√I7
B2√歹
C.3
D2
l0.在长方体ABCDˉA1B1C1D1中’』B＝BC＝2’ACl与
平面BBlClC所成的角为30。’则该长方体的体积
为
（
）
A.8
B6√面
C.8徊
D.8√可
1l已知角α的顶点为坐标原点’始边与卿轴的非负半轴
重合,终边上有两点』（1’α）,g（2,』）’且°o愚2α≡÷｀
则｜αˉb｜＝
（
）
＾÷
腻罕
‘竿n｜
…徽∧瑟）≡｛↑「隐,套‖‖＂瞒足Ⅱ（叶1）＜）（2醚｜
的卯的取值范围是
（
）
A. （ˉ的’ˉ1］
B（0’＋的）
C. （-1’0）
D（ˉ四’0）
二、填空题
13.已知函数／（厕）＝log2（卯2＋α）.若／（3）＝1’则α二
-、单选题
l.
已知集合A≡｛0’2｝’B＝｛ˉ2’ˉ1’0’1’2｝’则A∩
B＝
（
）
A. ｛0’2｝
B｛1’2｝
C. ｛0｝
D｛—2’ˉ1’0’1’2｝
2设慰＝焉＋2i’川慈｜≡
（
）
A0
B÷
Ol
u徊
△
3.某地区经过＿年的新农村建设,农村的经济收人增
加了＿倍’实现翻番为更好地了解该地区农村的经
济收人变化情况’统计了该地区新农村建设前后农
村的经济收人构成比例’得到如下饼图:
三产业收人
其他收人
28％
5％
种植收
37％
植收人
3腮
殖收人
建设前经济收人构成比例
建设后经济收人构成比例
则下面结论中不正确的是
（
）
A.新农村建设后’种植收人减少
B新农村建设后’其他收人增加了＿倍以上
C.新农村建设后’养殖收人增加了＿倍
D新农村建设后’养殖收人与第三产业收人的总和
超过了经济收人的＿半
2
2
4巳知椭圆c÷＋÷＝｜的＿个焦点为（2’0）,则c的
离心率为
（
）
＾÷
B＋
c粤
u竿
5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为Ol ’O2’过直线
OlO2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正
方形,则该圆柱的表面积为
（
）
A. 12√27丁
B12∏
C.8√27丁
D. 10∏
6.设函数／（卯）＝匆3＋（αˉ1）卯2＋α卯.若j（匆）为奇函数,
则曲线γ＝／（则）在点（0’0）处的切线方程为
（
）
A.γ＝-2卯Bγ＝-卯
C.γ≡2卯Dγ＝卯
7.在△ABC中,AD为BC边上的中线’E为AD的中点’
—》
则EB＝
（
）
A知ˉ飘
B捶ˉ飘
c掘＋飘
u捶＋飘
』
卯-2y-2≤0,
｜…ˉ侧侧.…
14ˉ若匆’γ满足约束条件
y≤0,
的最大值为
15.直线γ＝绷＋l与圆厕2＋γ2＋2γˉ3＝（）交于A’B两
点’则｜AB｜
＝
l6.△ABC的内角A’B’C的对边分别为α’b’c.已知
bsjnC＋csinB＝4αsinBsinC,b2＋c2-α2＝8’则
△ABC的面积为
l4（）
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‖0‖
20‖8年高考数学理科试卷（全国‖卷）
答题用时:
练习日期:
错题题号
-、单选题
l楞＿
（
）
A÷—÷!
Bˉ÷＋÷!
c—÷ˉ÷
u—÷÷｝
2.已知集合A＝｛（卯’γ）｜勿2＋γ2≤3’则巨Z,γ巨Z｝’则A
中元素的个数为
（
）
A.9
B。8
C.5
D4
九
ˉ尤
3.函数／（酶）＝.ˉf
的图象大致为
（
）
A. j＝j＋1
B. j＝′＋2
C. j＝j＋3
Dj＝!＋4
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了
世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶
数可以表示为两个素数的和”’如30＝7＋23.在不超
过30的素数中’随机选取两个不同的数’其和等于
30的概率是
（
）
A六
Ⅱ尚
c六
D六
9.在长方体ABCDˉAlBlClDl中’AB＝BC＝1’AAl＝归’
则异面直线ADl与DBl所成角的余弦值为
（
）
｀÷
腻窖
c罕
n夸
l0.若∧卿）＝cos卯ˉsin厕在［ˉα’α］是减函数’则α的
最大值是
（
）
A哥
B:
c芋
n＂
1L已知／（卯）是定义域为（ˉ的’＋的）的奇函数’满足
／（l-卯）＝／（1＋卿）’若／（1）＝2’则／（1）＋／（2）＋
∧3）＋…＋／（50）＝
（
）
A.
ˉ50
B.0
C.2
D50
2
2
l2巳知′! ,′2是椭圆c÷＋÷＝｜（“＞6＞0）的左、
右焦点,A是c的左顶点,点P在过荆且斜率为窖
的直线上’△PFlF2为等腰三角形’乙FlF2P＝
120。’则C的离心率为
（
）
A÷
B÷
c÷
u＋
二、填空题
13.曲线y＝2ln（卿＋1）在点（0’0）处的切线方程为
卯
A
B
C
D
4已知向量α’b满足｜α｜＝1’α.b＝ˉ1’则α. （2α-
b）≡
（
）
A.4
B.3
C.2
D.0
2
2
5蚁曲线÷ˉ÷＝l（α＞0,b＞0）的离心率为何,则其
渐近线方程为
（
）
Aγ＝±饵B｝二圭伍Oy＝±祭nγ＝童祭
≈
6在△姐c中｀c＂爵:-皇M-Mc-5则川周-
（
）
A.4徊
B.√g∏
C. ｀／Z可
D.2行
7为计算s＝lˉ÷＋＋十…＋士ˉ六,设计了则
图所示的程序框图’则在空白框中应填人
（
）
卯＋2y-5≥0’
｜瞄＝队则….
l4.若卿’γ满足约束条件
最大值为
垦＜7〔
否
○
）
（
］
〈
◆
〗
β
15.已知sinα＋cosβ＝1’cosα＋sinβ＝0’则sjn（α＋
β）＝
.
｜
V＝jV＋上
S＝ⅣˉT
′
l6.已知圆锥的顶点为S’母线M’SB所成角的余弦值
为;,M与圆锥底面所成角为45.若△MB的面积
为5｀／I歹’则该圆锥的侧面积为
输出S
r-T十击
结束
｛
l41
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‖02
20‖8年高考数学文科试卷（全国‖卷）
错题题号
练习日期:
答题用时:
-、单选题
l. i（2＋3i）＝
（
）
A.3-2i
B.3＋2i
C. -3-2i
D.
＿3＋2i
2.已知集合A＝｛l’3’5’7｝’B＝｛2’3’4’5｝’则A∩B＝
（
）
A. ｛3｝
B｛5｝
C. ｛3’5｝
D.
｛l’2,3’4’5’7｝
勿
ˉ卯
3函数／（狐）＝·ˉf
的图象大致为
（
）
否
足＜7乏
‖
‖
］
〈
●
■
■
β
《
Ⅳ＝Ⅳ＋上
′
S＝ⅣˉT
输出S
‖
二
—
川
＋
丁
~~
了
卯
结束
｀′
）’
｜
＼／
A. t＝t＋1
Bj＝j＋2
C. j＝t＋3
D. t＝′＋4
9.在正方体ABCDˉA1BlClD1中’E为棱CCl的中点’
则异面直线AE与CD所成角的正切值为
（
）
＂夸
凰罕
c罕
n字
10.若∧卯）＝cos卯ˉsin如在［0’α］是减函数’则α的最大
值是
（
）
A哥
B苦
c芋
u＂
1l.已知F1 ’F2是椭圆C的两个焦点’P是C上的一
点’若PFl上PF2’且乙PF2F1＝60。’则C的离心率
为
（
）
M—罕腻2ˉ旧
c粤u侗—｜
l2.已知／（如）是定义域为（ˉ如’＋的）的奇函数’满足
／（lˉ嘶）＝／（1＋卯）.若／（l）＝2’则／（l）＋／（2）
个
／（3）＋…＋／（50）＝
（
）
A. -50
B.0
C.2
D50
二｀填空题
13.曲线γ＝2ln则在点（l’0）处的切线方程为
船
上b
O｜l
Ⅱ
X
∩
B
A
~
γ
′
｝
,｜门
γ
C
D
4.已知向量α’b满足｜α｜＝l’α.b＝ˉl,则α. （2αˉ
b）＝
（
）
A.4
B3
C.2
D0
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服
务’则选中的2人都是女同学的概率为
（
）
A.0.6
B0。5
C.0·4
D.0.3
2
2
6双曲线÷—亨＝l（“＞0,b＞0）的离心率为何则其
渐近线方程为
（
）
……Ⅱ-…＂-辈祭皿′-董祭｝＂若…Ⅱ撇…凝僻｀—』…≡叫,～…」
｜野＂
7在△咽C中』c鹏:＝窖』EC＝MC＝5』＂ME＝
｜
最大值为
（
）
｜
｜l5巳知!an（αˉ宁）＝÷则…≡
A.4√可
B.
｀／g∏
C. ｀／Z百
D.2√百
｜
16.已知圆锥的顶点为S’母线SA’SB互相垂直’M与
8为计算s＝1＋＋—寸＋…＋岗ˉ志′设计了如
｜
圆锥底面所成角为30.若△弘B的面积为8,则该
图所示的程序框图’则在空白框中应填人
（
）
｜
圆锥的体积为
l42
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‖03
20‖8年高考数学理科试卷（全国｜｜｜卷）
练习日期
答题用时
错题题号
-、单选题
1.已知集合A＝｛苑｜卯ˉ1≥0｝’B＝｛0’1’2｝,则A∩B＝
（
）
A.
｛0｝
B.
｛l
｝
C.
｛1,2｝
D. ｛0’1’2｝
2. （1＋i）（2ˉi）＝
（
）
A·
-3＿i
B.
-3＋i
C.3-i
D.3＋i
3.中国古建筑借助樟卯将木构件连接起来构件的凸
出部分叫樟头’凹进部分叫卯眼’图中木构件右边的
小长方体是棒头.若如图摆放的木构件与某＿带卯
眼的木构件咬合成长方体’则咬合时带卯眼的木构
件的俯视图可以是
（
）
世闰｜□.
｜
／｜
陛＿
｝＿｜
｜口
｜
C
D
4若瓢nα＝÷则c°鼠2α＝
（
）
A÷
R;
c—;
n＿:
5（鞭〗＋÷）’的展开式中撼刽的系数为
（
）
A. 10
B.20
C.40
D.80
6.直线卯＋y＋2＝0分别与卯轴’γ轴交于A’B两点’点
P在圆（则ˉ2）2＋y2＝2上’则△ABP面积的取值范
围是
（
）
A. ［2’6］
B［4’8］
C. ［√Z3仁］
D. ［2√Z3徊］
7.函数γ＝ˉ卯4＋卯2＋2的图象大致为
（
）
］■‖■■
■
~~
厂‖‖‖‖
＝＝＝＝可
』
‖
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p’
各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位
成员中使用移动支付的人数’DX≡2.4’P（X＝4）＜
P（X＝6）’则p＝
（
）
A.0.7
B.0.6
C。0.4
D.0。3
9.△ABC的内角A’B’C的对边分别为α’b’c.若△ABC
的面帜为魁』宁′』则c-
（
）
A:
B哥
o苛
D;
10.设A’B’C’D是同—个半径为4的球的球面上四
点’△ABC为等边三角形且其面积为9√可’则三棱
锥DˉABC体积的最大值为
（
）
A. l2√了B18√可
C.24√了
D.54√gˉ
2
2
皿设′M:是双曲线‘÷ˉ÷＝l（嚼＞0,6＞0）的
左’右焦点’O是坐标原点.过F2作C的＿条渐近
线的垂线’垂足为P.若｜PFl
｜＝√6｜OP｜’则C的离
心率为
（
）
A.√5
B2
C.√可
D徊
l2.设α＝log020.3’6＝log20.3’则
（
）
A。α＋b＜α6＜0
B。αb＜α＋6＜0
C.α＋b＜0＜αb
D.αb＜0＜α＋6
二、填空题
13.已知向量α＝（l’2）’b＝（2’ˉ2）’c＝（1 ’入）.若c
／／／（2α＋b）’则入＝
γ
1
l4曲线γ＝（α卯＋1）e”在点（0’1）处的切线的斜率为
ˉ2’则α＝
.
｜
｜
u）
′
｜5函数／（躯）＝co愚（3“＋;）在［0,丽］的零点个数为
A
｜8］
y
γ
√
／｜＼＼
l6.已知点M（ˉ1’l）和抛物线C:y2＝4匆’过C的焦点
且斜率为k的直线与C交于A’B两点.若乙AMB＝
90。’则人＝
｜
o｜
｜｜
“
冗
｀
｀
｀
‖
】
◎
／
C
D
l43
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‖04
20‖8年高考数学文科试卷（全国｜｜｜卷）
错题题号:
答题用时:
练习日期:
γ
己
』
｛｜
-、单选题
L已知集合A＝｛狮｜“ˉ1≥0｝’B≡｛0’1’2｝’则A∩B＝
（
）
A.
｛0｝
B.
｛1
｝
C.
｛l ,2｝
D. ｛0’1’2｝
2. （1＋i）（2ˉi）＝
（
）
A. -3-i
B。-3＋i
C。3-j
D.3＋i
3.中国古建筑借助棒卯将木构件连接起来构件的凸
出部分叫樟头’凹进部分叫卯眼’图中木构件右边的
小长方体是樟头.若如图摆放的木构件与某＿带卯
眼的木构件咬合成长方体’则咬合时带卯眼的木构
件的俯视图可以是
（
）
匡≡谨｜二｀仁」
｝＿｜
｜
■
｜
C
D
｜
｜
／
＼
B
A
y
y｜
川
吓
｜
O
冗
｀
｀
‖
｀
〗
○
／
C
D
2
2
l0巳知双曲线c÷十＝l（α＞0’b＞0）的离心率为
徊’则点（4’0）到C的渐近线的距离为
（
）
＾归
R2
q乎
n2徊
lL△ABC的内角A’B’C的对边分别为α’b’c.若
△把c的面积为·:带『二凸则c-
（
）
4若si＂α＝÷,则c°舅2α＝
（
）
A÷
B÷
cˉ;
uˉ:
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45’既用
现金支付也用非现金支付的概率为0. l5’则不用
现金支付的概率为
（
）
A.0。3
B0。4
C.0.6
D.0.7
A:
B号
c哥
D;
12.设A’B’C’D是同＿个半径为4的球的球面上四
点,△ABC为等边三角形且其面积为9√gˉ’则三棱
锥DˉABC体积的最大值为
（
）
A. l2何
B. l8徊C.24徊
D.54何
二、填空题
l3.
已知向量α＝（l’2）’b＝（2’ ˉ2）’c＝（1’入）’若
6函数／（鳃）二｜黑惫的最小正周期为
（
）
c／／／（2α＋b）’则人＝
l4某公司有大量客户’且不同年龄段客户对其服务的
评价有较大差异.为了解客户的评价’该公司准备
进行抽样调查’可供选择的抽样方法有简单随机抽
样、分层抽样和系统抽样’则最合适的抽样方法是
A子
B:
o丽
D2丽
7.下列函数中’其图象与函数γ＝ln则的图象关于直线
勿＝l对称的是
（
）
A.γ＝ln（1-匆）
B.y＝ln（2-卯）
C.γ＝ln（1＋则）
D.γ＝ln（2＋卯）
8·直线匆＋y＋2＝0分别与腮轴’γ轴交于A’B两点’点
p在圆（卯ˉ2）2＋y2＝2上’则△ABp面积的取值范
围是
（
）
A. ［2’6］
B. ［4’8］
C. ［√Z3徊］
D［2徊’3徊］
9.函数γ≡ˉ则4＋厕2＋2的图象大致为
（
）
l5.若变量卯’γ满足约束条件
＋γ的最大值是
16.已知函数／（躯）
∧ˉα）＝
勺
～
卯
＋
］
／
γ
（
Ⅱ
］
~~
ˉ卯）＋1’／（α）＝4’贝｜
l44
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‖05
20‖8年高考数学理科试卷（北京卷）
练习日期:
答题用时:
错题题号:
-｀单选题
1已知集合A＝｛则｜｜卿｜＜2｝’B＝｛ˉ2’0’1’2｝’则A∩
B＝
（
）
A. ｛0’1
｝
B｛ˉ1’0’l
｝
C.
｛ˉ2’0’1 ’2｝
D.
｛ˉl ’0’1’2｝
2在复平面内,复数亡的共扼复数对应的点位干
（
）
A第-象限
B第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.设α’b均为单位向量’则“｜αˉ3b｜＝｜3α＋b｜”是“α上
b”的
（
）
A充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.在平面直角坐标系中’记d为点P（cos0’sin0）到直
线卯ˉmγˉ2＝0的距离当0’m变化时’〃的最大值
为
（
）
A. 1
B.2
C.3
D.4
8.设集合A＝｛（匆’γ）｜卯ˉy≥1 ’α卿＋γ＞4’则-αγ≤2｝
’
则
（
）
A.对任意实数α’（2’1）巨A
B.对任意实数α’（2’l）匿A
C.当且仅当α＜0时’（2’1）岳A
D当且仅当α≤;时,（2,l）筐A
二、填空题
9.设｛α″｝是等差数列’且α1＝3’α2＋α5＝36’则｛α″｝
的通项公式为
执行如图所示的程序框图’输出
的s值为
（
）
A÷
B÷
3
｜
…（ˉ｜）悠点
叶＿］
片
）／
∧＝∧＋‖
c÷
u舌
4“十二平均律”是通用的音律体
否
火≥3
~.丫是
—
输出s／
结束
系’明代朱载靖最早用数学方法计算出半音比例’为这
个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将-个纯
八度音程分成十二份’依次得到十三个单音’从第二个
单音起’每＿个单音的频率与它的前—个单音的频率
的比都等于汇若第—个单音的频率为／’则第八个单
音的频率为
（
）
A河
B;／IV
C‖6V
D‖冈
5.某四棱锥的三视图如图所示’在此四棱锥的侧面中,
直角三角形的个数为
（
）
二F
2
正（主）视图
侧（左）视图
俯视图
A。1
B2
C.3
D.4
10.在极坐标系中’直线pcos0＋psin0＝α（α＞0）与圆
p＝2cos0相切’则α＝
.
u设函数′（瓣）＝c赡（o瓣＿:）（α）＞0）.若／（则）≤
（矛）对任意的实数＂都成立,则倒的最小值为
12.若则’y满足匆＋1≤γ≤2卯’则2yˉ绷的最小值是
l3.能说明“若／（则）＞／（0）对任意的卯巨（0’2］都成立’
则／（则）在［0’2］上是增函数”为假命题的-个函数
是
2
2
2
l4巳知椭圆M÷十l（“＞‘＞0）,双曲线″;羔—
2
专＝l.若双曲线Ⅳ的两条渐近线与椭圆M的四个
Ⅶ
交点及椭圆M的两个焦点恰为—个正六边形的顶
点’则椭圆″的离心率为
;双曲线Ⅳ的离
心率为
l45
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‖06
20‖8年高考数学文科试卷（北京卷）
错题题号:
答题用时:
练习日期:
A. l
B2
C.3
D.4
一
7.在平面直角坐标系中’AB’
～一≡
CD’EF’G′′是圆卯2＋γ2＝1
上的四段弧（如图）’点P在
其中—段上’角α以O卯为始
边’OP为终边.若tanα＜cos
α＜sjnα’则P所在的圆弧是
～
≡
A.AB
B.CD
—、单选题
l.已知集合A＝｛则｜
｜匆｜＜2｝’B＝｛ˉ2’0’l’2｝’则A∩
B＝
（
）
A. ｛0’l｝
B.
｛ˉl’0’1
｝
C.
｛ˉ2’0’1’2｝
D｛—l ’0’1’2｝
2在复平面内,复数古的共辗复数对应的点位于
（
）
A.第—象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
（
）
3.执行如图所示的程序框图’输出
的s值为
（
）
A÷
B÷
o:
肌舌
4.设α’b’C,〃是非零实数,则“αⅢ＝
bc”是“α’b’c’〃成等比数列”的
（
）
A.充分而不必要条件
B必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
｜k＝Ly＝l
｜
｜—
‘≡‘＋（ˉl）腮计
~
叶—｜
片
＼′
］
）腮南
≡
～
C.EF
DGH
8.设集合A＝｛（则’γ）｜匆—γ≥1’α匆＋γ＞4’厕ˉαy≤2｝
,
则
（
A.对任意实数α’（2’l）巨A
B.对任意实数α’（2’l）田A
C.当且仅当α＜0时’（2’l）匡A
D当且仅当憾≤;时,（2,l）筐A
二｀填空题
9.设向量α＝（1’0）’b＝（ˉl’m）.若α上（加αˉb）’则
｜
5. “十二平均律’’是通用的音律体系’明代朱载靖最早
用数学方法计算出半音比例’为这个理论的发展做
出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成
十二份’依次得到十三个单音’从第二个单音起’每
＿个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等
于范若第一个单音的频率为／’则第八个单音的频
率为
（
）
A间
B《／I平
O『／5v
D;／刃
6.某四棱锥的三视图如图所示’在此四棱锥的侧面中’
直角三角形的个数为
（
）
∏‖＝
l0.已知直线／过点（l’0）且垂直于卯轴.若／被抛物线
γ2＝4α卯截得的线段长为4’则抛物线的焦点坐标为
~
n能说明若α＞b,则十＜÷｀为假命题的＿组“,b自］
值依次为
l2若双曲线÷ˉ÷-l（翻＞0）的离心率为罕,则α≡
2
2
＝
l3.若卯’y满足厕＋l≤γ≤2鳃’则2γ-绷的最小值是—ˉ
丫
…
州
…
厢
｜
｜
｜
｜
｜
｜
↓
＿
∑
~
l4若△奶c的面积为罕（幽2＋‘2—b2）,且△C为钝角
;二的取值范围是
α
则乙B＝
l46
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‖07
20‖8年高考数学理科试卷（天津卷）
练习日期:
答题用时
错题题号:
-｀单选题
1.设全集为R’集合A＝｛则｜0＜绷＜2｝’B＝｛卯｜加≥1
｝
’
则A∩（0RB）＝
（
）
A. ｛鳃｜0＜卯≤1
｝
B. ｛厕｜0＜匆＜1
｝
C. ｛卯｜1≤卯＜2｝
D. ｛则｜0＜卯＜2｝
卯＋y≤5’
｜喇则…—
2.设变量卯’y满足约束条件
γ≥0’
3则＋5y的最大值为
（
）
A.6
Bl9
C.21
D.45
3.阅读如图所示的程序框图’运行相应的程序’若输人Ⅳ的
值为20’则输出T的值为
（
）
2
2
7巳知双曲锋÷＝］（侧＞0,h＞0）的离心率为2,过
右焦点且垂直于绷轴的直线与双曲线交于A’B两
点.设A’B到双曲线的同—条渐近线的距离分别为
〃l和〃2’且Ⅲ1＋d2＝6’则双曲线的方程为
（
）
2
2
2
2
A÷—古＝1
Bi＿÷＝l
2
2
2
2
C÷—÷＝l
u;—÷＝l
8.如图’在平面四边形ABCD中’AB
上BC’AD上CD’乙BAD＝l20°’AB
＝AD＝l.若点E为边CD上的动
—〉
ˉ—-〉
点’则AE.BE的最小值为（
）D
A器
B÷
C.至
D.3
16
二、填空题
以i是虚数单位’复数器＝
（率
输人Ⅳ
工
‘＝29?巴
B
否
芝警
-汇T司~
午是整数?
是~
卜1
｜0在（鞭＿大）’‖振∏式中,…数为
ˉ—lˉ呈
输出T
lL已知正方体ABCDˉA1BlClD1
的棱长为1’除面ABCD外’该A］
正方体其余各面的中心分别为
点E’F’G’H’M（如图）’则四
棱锥″ˉEFGH的体积为A
D‖
C】
结束
｜／尸
′
｀
飞
川
′
＝■
／
｜
ˉ尸ˉ一F｀
萨｛『ˉ／
｜｀箭ˉ
O」ˉˉˉ-ˉˉ-ˉ
A. l
B2
C.3
D4
4设鳃匡R则“ ｜鳃＿当｜＜÷｀是｀鳃』＜｜,,的
（
）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D既不充分也不必要条件
虱已知α＝l°g2e,0≡ln2,c＝log＋＋,则“,6,c的大小关
系为
（
）
A.α＞b＞cBb＞α＞c
C.c＞b＞α
Dc＞α＞b
6将函数γ＝si＂（2瓣＋号）的图象向右平移箭个单位长
度’所得图象对应的函数
（
）
A庄区间｜宁,￥｜上单调递增
B在区间｜宁’丽｜上单调递减
O在区间｜宁.芋｜上单调递增
D在区间｜宁,2丽｜上单调递减
C
B
12.已知圆卯2
＋γ2 ˉ2则＝0的圆心为C’直线
仁」殴,,……Ⅷ
点’则△ABC的面积为
~
!3巳知α,b筐R,且酗—…二0则2.带↓的最小值
为
.
叫巳制…数∧赠）ˉ｛巍撕里α
若关
于卯的方程／（卯）＝α则恰有2个互异的实数解’则α
的取值范围是
l47
″α
／』卜
′
』
｀、
／
~
‖
~
℃
·
／
由
‖
心
庐
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‖08
20‖8年高考数学文科试卷（天津卷）
错题题号
答题用时:
练习日期:
~
-｀单选题
l.设集合A＝｛1’2’3’4｝’B＝｛ˉl’0’2’3｝’C≡｛卯巨R
｜ˉ1≤匆＜2｝’则（A（ˉ」B）∩C＝
（
）
A. ｛ˉl’l
｝
B. ｛0’l
｝
C·
｛ˉ1’0’1
｝
D｛2’3’4｝
′卯＋y≤5,
2卯ˉγ≤4’则目标函数z＝
2.设变量苑’y满足约束条件）ˉ加＋y≤l’
｜y≥0’
3躯＋5y的最大值为
（
）
A.6
B. l9
C.2l
D45
3.设厕巨R’则（‘卯3＞8’’是“ ｜则｜＞2”的
（
）
A.充分而不必要条件B必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.阅读如图所示的程序框图’运行相应的程序’若输人
／V的值为20’则输出T的值为
（
）
C在区间｜牙’;｜上单调递增
D在区间｜:』而｜上单调递减
2
2
已知双曲线÷ˉ肯＝l（侧＞0,h＞0）的离心率为2’过
右焦点且垂直于卯轴的直线与双曲线交于A’B两
点.设A’B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为
αl和Ⅲ2’且Ⅲ1＋Ⅲ2＝6’则双曲线的方程为
（
）
2
2
2
2
A÷ˉ;＝l
B;—÷＝l
2
2
2
2
C÷ˉ古＝l
Diˉ÷＝l
工△『ˉ～m刁LZ＝≡T≠＝匡0∏ˉ／斗■≡t片∏〃TⅢ〃
d
7
8.在如图的平面图形中’已知OM＝
---〉
l,OⅣ≡2,▲MOⅣ＝120°’H｜′＝
——≥——〉
-一〉
ˉ—-≥
--—≥
2M4,OV＝2∧（4’则BC.OM的
C
B
（
）
值为
D。0
A. -l5
B. -9
C. -6
二｀填空题
9堤虚数单位,复数锻＝
l（）.已知函数／（卯）＝e箍ln匆’／（匆）为／（卯）的导函数’则
］
＋
●
∏
■
否
／v（1）的值为
j≥5?
～嘎
输出T
D1
C1
11如图’已知正方体ABCDˉAlB1ClD1
的棱长为l’则四棱锥AlˉBBlDlDA!
的体积为
‖
‖
～／
B1
结束
A. l
B.2
C.3
D.4
5巳知α＝l°g’÷,b＝（÷）』,‘＝l°g会,则α,b,c的大
小关系为
（
）
A.α＞b＞c
Bb＞α＞cC.c＞b＞α
I）.C＞α＞b
6将函数｝＝爵i＂（2獭号）的图象向右平移品个单位长
度,所得图象对应的函数
（
）
A在区间｜ˉ牙,牙｜上单调递增
B在区间｜ˉ芳｀0｜上单调递减
C
~
A
l2在平面直角坐标系中’经过三点
（0,0）’（1’1）’（2,0）的圆的方程为
B
l3巳知‘,b匡R｀且侧ˉ3…-0则2愿谅的最小值
为
.
哗已知……｛亡削二（董‖碧·
任意卯巨［ˉ3’＋的）’∧卿）≤｜卯｜恒成立’则α的取
值范围是
l48
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答案与解析
｛
7.C
1
集合的运算
｜
试题解答:因为卯2≤4,所以—2≤鲍≤2
LB
｜
因为罕≤0.所以0＜躯≤2’
试题解答;因为六≥0,所以x≤0或x＞L
｜
因此″∩Ⅳ＝（0’2］.故选C.
因为y＝3绷2＋l,所以γ≥1’
｜
试题分析:解二次不等式得集合″’解分式不等式得集合
因此A∩B＝｛腑｜厕≤0或″＞l ｝∩｛则｜躯≥l
｝＝｛卯｜狮＞l
｝.
｛
Ⅳ’再根据交集定义求结果.
故选B.
‖
8。C
试题分析:先解分式不等式得集合A’再求函数值域得集合
｜
试题解答:求解二次不等式匆2ˉ2购＜0可得:0＜匆＜2,
B,最后根据交集定义求结果。
｜
则B＝｛卯｜0＜卯＜2｝.
2C
｜
据此可知:A∩B＝｛厕｜0＜匆＜1 ｝≠●’选项A错误;
试题解答:由题意得Ⅳ＝｛腮｜1＜腮＜3｝’由于M＝｛卯｜则＜ˉ2
｜
AOB＝｛鳃｜0＜厕＜2｝’选项B错误;
或绷＞2｝’所以0″M＝｛卯｜ˉ2≤″≤2｝’所以（0u″）∩／V＝
｜
且集合A是集合B的子集’选项C正确’选项D错误.
｛厕｜l＜绷≤2｝.故选C.
｜
故选C.
试题分析:首先解一元二次不等式’求得集合Ⅳ,应用补集
｜
试题分析:由题意首先求得集合B’然后逐一验证所给选项
的定义求得集合0″M’再结合交集定义求得（0UM）∩Ⅳ＝
｜
是否正确即可.
｛卯｜l＜“≤2｝’从而求得结采.
｜
9.A
3.B
｜
试题解答:图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A
试题解答:由匆2ˉ7厕＋l0＜0可得2＜则＜5’所以B＝｛狐｜2＜
｜
中,但不在集合B中’
＂＜5｝’从而可求得A∩B＝｛腮｜3≤躯＜5｝’所以0U（A∩B）＝
｜
又A＝｛l’2’3’4’5｝’B＝｛x巨R｜厕≥2｝
’
（ˉ由,3）（ˉ」［5,＋的）.故选B.
｜
则图中阴影部分表示的集合是｛l
｝.故选A.
试题分析;解一元二次不等式求得集合B之后’应用交集中元
｜
试题分析;先观察韦恩图’得出图中阴影部分表示的集合’
素的特征’求得集合A∩B’再根据全集R’求出00（A∩B）’从｜
再结合已知条件即可求解
而求得结采.
｜
10.B
｜
试题解答:因为M＝｛α’6｝’Ⅳ＝｛b’c｝’所以″∩Ⅳ＝｛b｝.
4B
试题解答;因为P＝｛γ｜γ＝1ˉ獭2’鞭匡R｝＝｛γ｜γ≤l
｝’Q＝
‖
故选∏
｛绷｜｜卯｜≤1’卯巨R｝＝｛狐｜ˉ1≤狮≤l
｝
’
｜
试题分析:根据交集的定义求解.
｜
l1。C
所以P∩0＝｛狐｜ˉ1≤躯≤l
｝.故选B.
｜
试题解答;因为『RP＝｛财｜0＜臃＜2｝’Q＝｛躯｜ˉ2＜躯≤l
｝
’
试题分析:求出集合P,Q,即可得到P∩0.
｜
所以（［RP）∩Q＝｛“｜0＜绷≤l
｝’即（［RP）∩Q＝（0’l］.
5°D
｜
故选C.
试题解答;闲为蛊≤0,所以＿3≤篡＜4,U＝
｛—3, ˉ2’
｜
试题分析;由题意首先求得集合Q和集合!醚P,然后迸行
ˉl’0’l,2’3｝
,
!
交集运算即可求得最终结果.
｜
l2.B
因为｜2卿＋l ｜≤l,所以—l≤2“＋l≤1,
所以ˉl≤鞭≤0,』-｛—l,0｜,
｜
试题解答;由题意得″＝｛y｛′＝＋’0＜露＜l｝＝（l ’
因为鳃2-如-2≤0’所以—l≤嘶≤2,
＋的）,／V＝｛“｜｜厕｜2ˉ2｜卯｜≤0｝＝｛卯｜0≤｜则｜≤2｝＝［ˉ2’
所以B≡｛l ,2｝,
｜
2］.
闪此dOB＝｛ˉl 』0,l,2｝』［″（』OB）＝｛ˉ3,ˉ2｀3｝,元｛
由题图可知,图中阴影部分所表示的集合为（0R″）∩″,
素的个数是3.故选D.
‖
所以［RM＝（ˉ鲍’1］
’
试题分析;先解分式不等式得集合U’解绝对值不等式得集
｛
所以（0RM）∩″＝［ˉ2’l］故选B
合A’解二次不等式得集合B’最后根据并集以及补集定义
｜
｜
试题分析:求出函数y＝ˉL（0＜则＜l）的值域可得集合M’解
得结果.
卯
6,B
｛
不等式如2ˉ2｜施｜≤0可得集合／V,然后可求出（0RM）∩／Vb
试题解答:M＝｛厕｜缅2＜l｝＝｛躯｜ˉl＜厕＜l
｝’Ⅳ＝｛匆｜2躯＞1｝
＝
｜
13.0
｛则｜卿＞0｝
’
｜
试题解答:由题意结合交集的定义可知:2氮＝l,解方程可
则M∩Ⅳ＝｛卯｜0＜虹＜l
｝.故选B·
｛
得勿＝0。
试题分析:分别求出不等式卯2＜1和2期＞l的解集’求得集
‖
试题分析:由题意得到关于嘶的方程’解方程求绷的值
合MⅣ,再求出集合的交集即可.
｛
即可.
.
l49°
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l4. ｛＂｜2＜厕＜3
｝（或（2’3））
｜
l0.C
试题解答:因为P＝｛＂｜（卯＋l）（腮ˉ3）＜0｝＝（ˉl’3）’0＝
｜
试题解答:因为A＝｛0’2’4｜,B＝｛则｜0≤卿≤3｝’所以A∩B;＝
｛如｜则＞2或则＜ˉ2｝,所以P∩0＝（2’3）.故填｛卿｜2＜卯＜
｜
｛0’2｝’故其子集的个数是22＝4.故选C.
3
｝（或（2’3））.
｜
l1.D
l5.
｛ˉl’0’l
｝
｜
试题解答:集合A与B的代表元素不同’故交集为空集.故
试题解答:A＝｛0’l
｝’AOB＝｛ˉ1’0’l
｝.
｝
选D.
l6. （ˉ1’1）
｜
12A
试题解答;M＝｛腮｜ˉl＜躯＜3｝’″＝｛腑｜ˉ2…｜
｝’则M∩
｜
试题解答;依题意可得D｜为圆心在原点’半径为4的圆
｜
O2是一个直角边为4的等腰直角三角形’顶点是坐标原
Ⅳ＝｛卯｜ˉl＜卿＜l｝.
｜
点.若在区域Dl内任取一点M（厕’γ）’则点″落在区域
故答案为（ˉl,l）,
｜
“脯憾…÷…土上艘遮＾
试题分析:根据集合的基本运算即可得到结论.
2
集合的性质
而×42
2∏
｜
l3.2
1.A
｜
试题解答:由题可知’当3ˉ′n＝2时’m＝l’此时B集合不
试题解答:由题意可知’集合A是圆上的点’集合B是指数
｜
符合元素互异性’故m≠1;
γ＝3”上的点’画图可知两图象有2个交点’所以A∩B中
｜
当3ˉm＝l时’m＝2’符合题意;
有2个元素’子集个数为4个.故选A.
｜
当3ˉm＝3时’m＝0’不符合题意.
2.B
｜
故答案为2·
试题解答…≡｜x｜Ⅱ-√可＝了了｜ˉ｛X｜9ˉ鳃』≡0｜≡
｜!4志题解答;因为集合剑≡｜涎｜s＝2ˉ……＝!2｝中恰有唯
［ˉ3’3］
’
｜
一的元素,
又因为A∩B＝A’所以A巨B’所以［ˉ3’3］巨［α’＋鲍］
’
』
｜
所以ˉ狐2＋2卯＋α＝3有唯一解’
所以α≤—3.故选B.
｜
故△＝4ˉ4（ˉl）（αˉ3）＝0’解得α＝2.
3.D
｜
故答案为2.
试题解答;B＝｛胀巨A｜y＝肛在R上为增函数｝＝｛k｜附＞0’
｜
］虱（ˉ函’｜］
∧匡A＝｛l ’2｝
’
｜
试题解答:根据题意’可以求得A＝［l ’＋由）
’
所以A∩B＝｛l,2｝’其子集个数为22＝4故选D
!
B＝［α’＋。。）
’
4B
｝
因为A∩B＝A’所以A巨B,
试题解答:因为A∩B只有一个元素’而α≠0’2’
｛
结合数轴可以求得α≤1’
所以｛§厂」d≠0,2或｛:三d-』’所以·≡｜故选＂
｜
所以α的取值范围是（ˉ由’l］.
｜
试题分析:首先根据偶次根式要求被开方式大于等于零,
5.C
｜
求得集合A’再根据A∩B＝A’得到』巨B’利用子集的概
试题解答;因为A∩B＝B’所以B匡A’ ｛γ｜γ＝顺’瓣≥0｝
＝
｜
念’求得α所满足的条件’从而求得结果
［0,…）-」;｛］｜Ⅱ-（÷「,蕊筐R｝-（0,…）c」; ｛,｜』～
｜16｜＿÷,＿1）O（ˉ! ,÷）
｜
试题解答作酮数h（嚣）＝缠3—3缠2＋｜（鳃≥＿÷）和g（甄）≡
lg厕’“＞0｝＝RDA;ZcA.故选C.
试题解答;闲为A＝｜翼匡N｀｜x』＿3鳃＜0｝＝｛l’2｝’义匹｜
＂＿2（鳃≥—÷）的图象,因为集合AOβ的子集的个数为s,
A’所以集合B的个数为22＝4个.故选C.
｜
所以集合AOB的元素个数为3’即直线γ＝α与函数γ二ˉ
｜
咖（鳃）,γ二g（腮）的图象共有3个因此—;＝g（ˉ÷）≤α≤
7.D
试题解答:当α＝1时,b＝1,0,一l ’则α—b＝0,1,2;当α≡
』
＿｜时,b二｜,0,ˉl则侧—b＝—2｀—｜,0;集合c＝｜α—b｜α.
｜
州（—＋）二÷且“≠j（l）＝＿l,即α的取值范围为
A’beB｝＝｛—2’ˉ1’0’l,2｝,即元素的个数为5个。
｜
｜ˉ;,ˉl）u（＿l,÷）
故选Dˉ
8.A
试题解答:由题意,l＋α＝0’所以α＝ˉ1.故选A。
9·D
试题解答:A＝｛卿｜勿2ˉ7鳃＜0,卿巨N＊
｝＝｛如｜0＜卵＜7’鳃e
｝
＂″
｝～｜｜,2…,6｝』月二｛γ｜;筐N″ .y匡A｝＝｜］,2,］』
附
6｝’则B中的元素个数为4个.故选D.
. 150
才
》′＝α
l
3x
O
ˉl
乡
ˉ3
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3
函数的性质（l）
试题分析:利用函数奇偶性的判断方法判断函数的奇偶性’
利用复合函数的单调性原理和图象判断函数的单调性
得解.
7·C
试题解答扩（匆）＝卯2是偶函数’在（ˉ的,0）上单调递减;
／（则）＝2｜鳃｜是偶函数’在（—切’0）上单调递减;
∧x）＝!o戳古既足偶阔数,又在（＿国’0）上单调递增;
∧慰）- ｜六｜不…数,在（—函｀0）上不单凋故选。
试题分析:根据偶函数定义判断A,B,C为偶函数,根据在
（ˉ酌’0）上函数解析式以及二次函数、指数函数｀对数函
数’反比例函数性质确定单调性.
8.D
试题解答:由题意知／（-如）≡
′nˉ”
ˉ20l8tan卿＋卿2≡
″0-工＋l
—兰ˉ20l8tan卯＋腮2’
″0z＋l
故有∧鳃）＋／（ˉ虹）＝l＋2躯2’所以∧l）＋∧ˉ1）＝3’
从而∧ˉl）＝0.故选D.
试题分析:因为题设中给出了／（1）的值,要求／（ˉ1）的值’
故应考虑∧则）机ˉ卯）两者之间满足的关系.
9.B
试题解答:根据题意’定义在R上的函数∧缅）是奇函数,
则满足∧ˉ则）＋∧“）＝0’即／（ˉ则）＝ˉ∧箍）
’
又由∧lˉ卯）＝∧1＋匆）’
则／（厕＋2）＝／［1＋（厕＋l）］＝／［lˉ（卯＋1）］
≡／（ˉ厕）＝ˉ∧卯）’即∧箍＋2）＝ˉ∧加）
’
∧匆＋4）≡-∧厕＋2）＝∧卯）
’
故函数的周期为4故选B.
试题分析:根据题意’由奇函数的定义可得／（ˉ厕）
＝
一／（腮）,又由／（勿＋l）＝／（l—z）,分析可得／（匆＋2）＝
ˉ／（“）’进而可得／（厕＋4）＝—／（则＋2）＝／（则）’由函数周期
性的定义分析可得答案ˉ
l0.D
试题解答:因为函数／（厕）（纯eR）为奇函数满足／（卯＋4）＝
／（“ˉ2）’所以／（则＋6）≡／（卯）’即函数／（腮）表示以6为周
期的周期函数’
因为当厕匡「＿3’0）时沁）-＋＋3霞m尹,
所以／（20l8）≡／（336×6＋2）＝／（2）＝-／（-2）≡
—｜士＋3sin（＿耐）｜二÷故选u
试题分析:由题意’推出／（卿＋6）
＝／（绷）,从而得到
／（2018）＝／（336×6＋2）≡／（2）’再由鳃巨［ˉ3’0）时,
∧鳃）二÷＋3鼠in尹和函数的奇偶隆,即可计算缝果
ll.D
试题解答:由g（卯）＝旷（厕）ˉ6＝0得／（绷）＝旦’故函数
卯
g（躯）的零点即为函数y＝／（躯）和函数y＝旦图象交点的横
卯
l.D
试题解答;因为函数γ＝厕3与函数γ＝2蕊在定义域内递增’
｜
所以A,B正确;
由｜。g2α＜!o盏“＜lo戳b可得C正确;令α二十,b-＋可得D
｜
错故选D.
试题分析:根据幂函数与指数函数的性质可得选项A’B正确;
｜
根据对数函数的性质可得C正确,利用特值法可得D错误.
｜
2B
试题解答:因为∧2＋绷）＝∧2ˉ则）’所以∧鳃）的图象关于直
｜
线z＝2对称’
所以／（ˉ1）＝／（5）’又／（卯）在（2’＋的）上单调递增’
所以／（3）＜／（5）＝／（ˉ1）＜／（6）。故选B.
试题分析:由／（2＋卯）＝／（2ˉ绷）可知／（绷）的图象关于直线
｜
勿≡2对称,
再利用／（鞭）在（2’＋函）上单调递增’可判断／（ˉl）’／（3）
’
｜
／（6）的大小关系.
3.D
试题解答:由函数／（卯）为偶函数,可知矾＝0’即／（“）＝2｜颠｜
｜
-l ,
显然∧卯）在［0’＋°。）上单调递增’又｜2＋｜＞l’
｜log＋2｜＝
｜
｜log32｜＜l,
｜′?l＋l
｜＝l ’所以α＝∧2丁）＞c＝j（m＋1）＞b＝
｜
∧log＋2）.故选D.
4A
试题解答:o说明／（匆）在（0, ＋的）上是增函数’@说明
｜
∧则）是偶函数’B中函数是奇函数,C中函数是非奇非偶函
｝
数,D中函数是偶函数’但在（0’＋的）上不是增函数’只有
｜
A符合要求.故选A.
5.D
试题解答:因为／（腮）＋／（ˉ腮）＝lg（加＋｀／Fˉ干ˉD＋2卯＋sin则
｝
＋lg（ˉ卯＋√（ˉ躯）2＋l）ˉ2卿ˉsin狐＝lgl＝0’所以函数
｜
∧鲸）是奇函数,
并且观察可得函数∧卿）在则≥0时单调递增’
因此在R上单调递增’因为∧〃l）＋∧如2）＞0’
所以／（卿l）＞ˉj（卿2）’所以／（狐1）＞／（ˉ则2）
’
所以卯1＞—卿2,即鳃1＋勿2＞0.故选D.
试题分析:由已知可得／（鳃）＋／（—如）≡lg1＝0’可得函数
｜
／（卯）是奇函数’并且可得函数／（狐）在绷≥0时单调递增’因
｜
此在R上单调递增,利用单调性与奇偶性可得结果.
6.B
试题解答:对于选项A’函数／（卯）不是偶函数’所以不满足
｜
题意;对丁选项趴ˉ鳃）-｜°题占-lo题古二／（厕）,所
｜
以函数是偶函数’根据复合函数的单调性原理得函数在
｜
（ˉ由’0）上单调递增’所以满足题意;对于选项C’函数是
｜
偶函数’根据复合函数单调性原理得它在（ˉ由’0）上单调
｝
递减｀所以不满足题意｀对于选项D’函数是偶函数｀但是在
｜
（ˉ由’0）上是非单调函数’所以不满足题意故选B.
° 15l
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｜
l3。l008
试题解答;因为函数／（慈）-亩…卜—宁）｀
所以′（露）＋／（l ˉ＂）＝六＋＂＂爵卜—丽寸l）
2（l—鳃）—l…（｜—獭ˉ罕）-l＋0＝l,
l-卯
所以削2;l7）二＋×20l6二1003
坐标由／（绷）＝步（÷）可得,函数γ-／（铡）是以区间
（2厕—l ’2厕）为＿段’其图象为在水平方向上伸长为原来的
2倍,同时在竖直方向上缩短为原来的÷从而先作出函
数γ＝∧狮）在区间［1’2］上的图象’再依次作出在［2’4］
’
［4’8］’…’［2厕ˉl ’2厕］上的图象（如图）.
七
』‖）
5ˉ
4ˉ
｝［
『.
ˉ!｝
-］ˉ
｜
故答案为1008.
｜
试题分析;函数∧甄）二六…（蜒ˉ罕）,可得／（露）＋
｜
∧lˉ卯）＝l’即可得出.
｜
l4. l
｜
试题解答;因为定义在R上的函数／（厕）满足
｝
∧叶2）-忘′
l
｜
所以j（则＋4）＝／（则＋2）＝／（匆）’所以函数／（卯）的周期
｜
为4’
｜
当见巨［0’2）时’∧卯）＝卯＋e膊’
l
2
3
4
5
6
7
89
x
然后再作出函数y＝旦的图象’结合图象可得两图象的交
卯
点均在函数γ＝∧卯）的极大值的位置’
由此可得函数g（＂）在区间（2″—1 ’2＂）上的零点为腮＂＝
2厕ˉ｜＋2＂＿＝2卿’故所有零点之和为5＂＝÷
2
4
2（lˉ2雁）＝3（2i＿l）故选u
l-2
试题分析:将函数g（勿）的零点问题转化为函数γ＝／（z）和
函数y＝旦图象交点的问题处理’利用数形结合的方法求
卯
解’在同一坐标系中画出两函数的图象.结合图象得到两
函数交点的横坐标’最后转化为等比数列求和的问题
解决,
B
试题解答:对于选项A’由／（则）＝cos知sin2购,得／（—绷）＝
cos（ˉ厕）sin2（ˉ卯）≡cos则sin2腮＝／（”）
’
所以函数∧则）是偶函数;
又／（闪＋2∏）＝cos（卯＋2∏）sin2（如＋2∏）＝cos绷sjn2嘶＝
／（则）’
所以函数／（卯）是周期函数.
所以∧卿）既是偶函数又是周期函数’故A正确;
对于选项B’因为｜cos匆｜≤1’ ｜sin2则｜≤1’且等号不能同时
成立,
所以无论卯取什么值’∧豹）＝cos绷sin2卿均取不到1’
故B不正确;
对于选项C’因为／（甄）＋／（∏-卯）＝cos卯sin2虹＋cos（∏-如）
。
sin2（∏-鲍）＝cos卯sin2卯-cos卯sin2鳃≡0’
所以∧20l删）＝∧504×4辩2）二∧2）二沛＝6丁丽～!
l
‖
故答案为l.
试题分标椎导出∧腮＋4）-∧岩2）＝／（撼）,
从嗣′（20腿）-′（504…）二／（2）二沛′卤此能求出
结果.
l5.
ˉ腮（卿＋l）
6
试题解答:因为／（“）为偶函数’所以当绷＜0时’／（卿）＝
／（ˉ加）＝ˉ卿（l＋卯）
,
因为［5／（厕）ˉ1］［／（厕）＋5］＝0’所以研究γ＝／（“）与γ二
l
了’γ＝ˉ5交点个数’如图:
‖
‖
~
~
~
l2
‖
｜V
l
／β｜＿＼
x
ˉˉˉˉv＝-5
~~~
‖
｛
因此有6个交点.
故B不正确;
对于选项C’因为／（绷）＋／（丽ˉ躯）＝co…in2…os（而ˉ躯）
.
｝
试题分析;根据偶函数性质求对偶区间解析式’结合函数
｜
图象γ＝风腮）与γ＝÷,′-—5确庭交点个数
sin2（∏-鲍）＝cos卯sin2卯-cos卯sin2鳃≡0’
所以∧蜒）的图象关了点（÷’0）对称故C正确;
｜
l6.7卯ˉγˉ4＝0
l
对于选项D,因为∧2而＿腮）＝c°愚（2丽＿腮）sm2（2而—撼）＝
｜
试题解答;设厕＞＋则＿蜒＜ˉ丁,
cos匆sin2卯＝／（卯）
’
｜
所以／（ˉ卯）＝（ˉ“）3ˉ2（ˉ躯）2＝-卯3ˉ2卯2’
所以∧卯）的图象关于直线则＝∏对称’故D正确.
｛
因为函数／（厕）为奇函数’
综上,错误的结论是B.故选B.
｜
所以／（卯）＝ˉ∧ˉ绷）＝匆3＋2卯2’
试题分析:利用函数的周期性、奇偶性｀对称性的概念对
｜
则／′（卯）＝3卿2＋4卯’
A,B,C,D四个选项逐一分析即可.
｛
又／（l）＝3’／′（l）＝7,
° l52°
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则切线方程为γˉ3＝7（绷-l）
’
｛5D
即7卯-γ-4＝0。
｜
试题解答:因为2加＞2＂＞l ’所以由指数函数的单调性可得
试题分析:先利用函数的奇偶性求出函数／（腮）在区间
‖
″l＞＂＞0.
（＋…）输膘描.…｜碉幂数输…义…!蕊蹦翻蹦蝶丹…Ⅲ
线斜率,进而写出切线方程
｜
试题分析:由2哪＞2鹏＞l’结合指数函数的单调性可得矾＞
4
函数的性质（2）
｜
″’利用“特值法”可判断A’B’c错误’利用指数函数性质可
｜
得∏厕ˉ厕＞1正确.
l。D
｛
6.C
试题解答:因为0＜α＜l’所以0＜lˉα＜l,所以y＝（1-
｛
｜
试题解答;侧＝4α‘＝2队＂′b-（十）—06＝2队‘’c＝＿｜＂蹬4粤
·）Ⅱ是减函数’义囚为0＜‖＜］,所以＋＞』,b＞:’
｜
＝log22徊＝徊＝205’
所以（lˉα）丁＜（1ˉα）b,（lˉα）b＜（lˉα）丁’所以A’B两
｜
所以c＜b＜α.故选C
项均错;
｛
试题分析:把α,b化为同底数的幂’c化简后也可化为2的
又1＜l＋α＜l＋b’所以（l＋α）α＜（l＋b）α＜（l＋b）6’所
｜
幂’这样由指数函数的性质可比较大小.
以C错;
｜
7ˉB
对于D’（1—α）α＞（lˉα）b＞（lˉb）b’所以（lˉα）α＞
｜
试题解答:易知函数∧卯）在［0’＋由）上单调递减’
（1ˉb）h故选D.
｜
又函数／（“）是定义在R上的偶函数’
试题分析:根据指数函数的单调性’即当底数大于1时单调
｜
所以函数／（卯）在（ˉ的’0）上单调递增’
递增’当底数大于零小于l时单调递减’对选项逐一验证即
｜
则由∧1ˉ则）≤／（则＋m）
’
可得到正确答案.
｝
得｜l-匆｜≥｜勿＋m｜’即（l-如）2≥（购＋m）2,
2.A
｜
即g（绷）＝（2m＋2）绷＋加2—l≤0在卯巨［矾’矾＋l］上恒
试题解答:因为α＝0. 30. 3巨（0’l）,b＝l.2O3＞l ’c＝
｜
成立’
log120.3＜0’所以c＜α＜b.故选A
｜
』』｛:｝＂＼丁｝雏?｜川了‖三0.
试题分析:利用指数函数与对数函数的单调性即可得出
‖
结果.
l
｛
解得ˉl≤m≤ˉ丁’
3°A
试题解答;由…＞0,α＋b＝l,得0＜b＜＋,÷…l,
』
｜
即腮的最大值为ˉ÷故选凰
且0＜αb＜l
’
｜
试题分析:先根据基本函数的单调性判定函数在［0’＋的）
‖
上单调递减’再利用函数的奇偶性判定函数在（ˉ切’0）上
则而＞l,＋＞2,α＜＋,
｜
单调逮增,将不等式恒成立问题转化为｜lˉ鹏｜≥｜叶咖｜慎
所以实＝（÷）』＞0』
｛
成立,乎方转化为一次不等式恒成立问题·
｜
8.C
γ＝log六α6≡-l,
｜
试题解答:由指数函数的性质可得’
0≡log＋l＞z＝log十α＞log十b＝—l,
｜
l＜α＝20,3＜21≡2’0＜b＝0.32＜0.30＝1,
所以γ＜z＜“.故选A.
｜
由对数函数的性质可得’
试题分析;由已知得到α’b的具体范围,进一步得到αb’上’
｛
‘＝lOg203＜lOg2l＝0’所以α＞b＞C,
α
｛
又因为／（鳃）＝卯3＋3卯在R上递增,
十的范圈’缝合》…数与对数函数的′隆喷得籍采
!
所以／（c）＜／（b）＜∧α）故选c
｛
试题分析:根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性
4.D
‖
分别判断出α’b’c的取值范围,结合函数的单调性’从而可
试题解答;由指数闲数的陆质可知;“-（＋）』.（0,l）,b-
｜
得缝果
｛
9.D
（÷）』.（0,l）,赠-!＂3＞｜,
｜
试题解答由题意’（告）烫＜（÷）Ⅱ…′,
且醚≡（÷）;杆‖～（＋）÷籽析以…,
｜
对于A,当娜二于』γ＝—￥时瞒足躯＞γ’但［…＞［anγ不
综上’c＞b＞α.故选Dˉ
‖
成立.
试题分析;由题意结合指数函数、对数函数的性质确定α’b’
｜
B若ln（狮2＋2）＞ln（广＋2）’则等价为娜2＞广成立当厕＝
C的范围’然后比较其大小即可.
｛
l,y＝ˉl时’满足卯＞γ’但贿2＞广不成立.
l53
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C.当卯＝3’γ＝2时’满足躯＞γ’但—L＞上不成立.
卯
y
D.当厕＞γ时’“3＞y3恒成立.故选D.
试题分析:利用指数函数即可得出卿’γ的大小关系’进而判
｜
断出结论.
l0,C
试题解答;由驴二2有缆二l＂颧2,＋-h趣3’上＝l＂g2属,因
｜
γ
为2＞｜＂鄙3≥!＂g2橇＞l,所以2≥上＞上＞l,÷…γ＜
｜
卯
y
｜而＝5ˉ÷-古～古≤÷｀所以…y故选α
试题分析:由3躯＝2求出卯的表达式’先比较厕,γ的大小和
｜
范围,再求出z的范围,根据它们不同的范围’得出它们的
｛
大小.
1l.D
试题解答;由题‘-（＋）』｀b＝l,g23,c＝lo蹿7’所以0＜α＝
｜
（÷）;＜（÷）0-l,』＝｜,题3＝｜.鞠9＞隙二｜o斟7＞｜侧鞠4二l,
｜
所以α,b,c的大小关系为α＜C＜6。故选∏
试题分析:利用对数函数、指数函数的单调性直接求解.
l2。A
试题解答:α≡log32,b＝lo趴3,c＝log23,则0＜α＜l ,0＜
b＜l·C＞1
｛
l5. C＜α＜b
试题解答:由题意结合指数｀对数的性质可知:α＝0.90.3
｜二
（0,l）’b＝L20.3＞l’c≡log1.20.3＜0,
所以C＜α＜b.
l6＋
2
试题解答』侧＝8了＝2,b二（十）了二2ˉ÷,αb-2』,
log2（αb）≡log223
,
根据对数的运算得到结果为÷
〕
2
试题分析:根据指数的运算规律得到α＝2’b＝2—丁,进而
得到αb＝2丁,再根据对数的运算得到结果.
5
对数与对数函数
l.B
｜
试题解答:因为3＜躯≤27’所以l＜log3腮≤3’2≤／（“）＜4.
｜
即／（卯）的值域是［2’4）.故选B.
｜
试题分析:由题意首先求得log3”的范围’然后结合函数的
｜
解析式整理计算即可求得最终结果.
｝
2C
｜
试题解答:
‖
／
＝｜
｜／!
二L
b
刃o〉／
h
即α＜b,综上α＜b＜c.故选A.
｜
因为“≥0时’y′＝e颜ˉeˉ氮≥0’
试题分析:由3α＝2’4b＝3’2‘＝3’可得α＝log32’b＝
｜
所以函数γ＝e箍＋e＿甄’在卯匡［0’＋切）为增函数’
lo凯3’c＝log23’则0＜α＜l ’0＜b＜l’c＞l’利用作差法结
｜
通过平移可得／（卿）＝e氮＿α＋eˉ…在则巨［α’ ＋的）为增
合基本不等式可得结果.
｜
函数’
l3.α＞b＞C
｜
作出γ＝c与y＝3鳃’y＝log3卯’γ＝绷的图象（如图）
’
试题解答;侧＝（÷）—了＞（÷）0二l,h＝（÷）—,.（0’l）,
｜
因为3.＝｜,g』』二‘,可得…0,
｜
故／（α）＜／（c）＜／（b）.故选C.
‘＝l＂÷＜0则这三个数从大到小的｜｜腻序是“＞b＞＾
｜
试题分析;先利用数形结合得到α＜c＜b’判断函数γ＝e您.ˉ
｜
eˉ膊的单调性’得到函数∧卯）＝e愿—α＋eˉ鳃＋α在［α’＋°。）力
故答案为α＞b＞C.
｜
增函数’从而可得结果.
14（l ,3）
｜
3.C
试题解答;因为川牙ˉ鳃）＝j（器＋膊）,
｜
试题解答正数α,b满足叶b二2,
｜
则α＋b＋l＝3’
所以函数／（躯）图象的对称轴为鹏＝哥,
｝
（l 。亿＋l .√『ˉ干ˉT）2≤（l2＋l2）［（伍）2＋（√∏ˉ干丁）2］＝6’
所以′（0）＝′（÷）,即＿b＝α,
｝
当且仅当伍＝√丽丁,即侧-÷,b-＋时等号成立,
所以α＋b≡0.
｜
故伍＋√∏ˉ干ˉT≤√6’
在y＝3α霹＋b＋l中,令卯＝l,
｜
√而＋√Jˉ干丁的最大值为伍故选C.
则y＝3α＋b＋l＝3.
所以函数y＝3α厕＋b＋l的图象恒过定点（l’3）.
｜
试题分析:结合α＋b＝2对伍＋〃干＿I迸行搭配’利用柯田J
故答案为（l,3）,
‖
不等式求解即可.
. l54°
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｜
b＝坦＝ln3』
’
4.A
3
试题解答:硼＞0时,∧则）≡ln匆;
｜
′二罕≡｜＂5｀
所以／（卯）在（0’＋吨）上单调递增;
因为∧卯）是定义在R上的奇函数;
l
3
l
l
2
l
!
!
｜
又2了＝2丁＝8了’3丁＝3了＝9了’所以2了＜3丁.
b＝—（lo咕）＝j（ˉl。畸）＝∧l.″）;
』
』
』
』
』
』
｜
又5,＝5｜0＝25｜0’22＝2l0＝32!0
’
l＜｜颐…＜2,0＜（＋）侮＜l;
l
〗
｜
所以5亏＜2丁.
1
l
1
所以0＜（＋）腐＜｜o…＜3;
｜
综上5了＜2丁＜3丁’即0＜c＜α＜b＜l’
｜
又／（绷）在［-l,l］上是增函数’
所以川（÷）何）＜∧｜＂…）＜∧3）;
｜
所以∧b）＞／（α）＞∧C）.
｜
故选A.
所以α＜b＜C;
｜
试题分析:分析函数可知函数是周期为4的函数’且关于
即c＞b＞α.故选A.
蕾蚀憋渊腮撼篙鹏乳剿｝盂蹦｛黑萨沁』灌［／u………
｛
7.B
然后比较（÷）橱,｜＂…和3铺大′」、关系,根搪′（躯）在（0,
｝
试蹿答根据题意有γ二l＂:十（霞i…矛ˉ…i＂÷）＝
＋的）上单调递增即可比较出α’b,c的大小关系.
｜
｜o跨sm（2鞭—苛）,所以要求颤＂（2露ˉ矛）＞0,结合复合闲
5·A
露蒙渊蕊:露糯麓斥‖霸则
｝
数单橱性灌＂｜…尸瓢＂（酶＿矛）胸蹭厦｜….
／（卯）关于直线”＝0即γ轴对称’则函数／（则）是偶函数’
｜
2肺＜2狐—矛≤2肺＋÷,解得肺＋晋＜鞭≤肺＋于,所以
当躯≤0时’／（卯）＝ˉ虹3＋ln（l—卯）’为减函数’
所以当狐≥0时∧葱）为增函数,因为l＂gj6＝l＋lo鞠2,｜圃剐s＝
｜
函数的单调减区间是（肺＋;’肺＋于｜,腮匡z故选a
｜带!°戳2,l卿霹l0≡｜＋l°蜜2,因为l°:』2二志.l°戳2二志,
｝
试题分析』霄先利卿墓…将解析式化简,应周复合函徽
｜
单调』膛法则,籍合对数式的底数是÷’凰此应霞求＂-
］°:,2二志′
因为0＜｜o:……25,所以志＞呵＞忘＞0,
｜
“n（2瓣＿矛）的增区阀′并…满…大于…伟
l
即log32＞lo鄙2＞log52＞0,
｜
从而得到2k∏＜2蹦—器≤2肺＋÷’化简》最后求得其结采
则l＋log32＞l＋lo剧2＞1＋log52＞l,
｜
为（腮w＋;’肺＋等｜』k匡z,从嗣确定遮项
即log36＞lo盅8＞log5l0＞1,
因为当加≥0时／（则）为增函数’所以／（log36）＞／（log48）＞
｜
8.C
∧log510）,
｜
试题解答:由ˉ卯2ˉ“＋2＞0可得ˉ2＜则＜1
’
即α＞b＞c.故选A,
｛
设β＝—卯2ˉ卯＋2’
蜜撇麓嚣董i麓绢憋舅蘸嚣!…敷′≡ˉ鳃…作（÷｜）上…ˉ｜＂』遥碘
行判断即可.
｜
所以阔数j（腮）的单调递减区间为（—÷,l）
6.A
试题解答;因为奇函数∧厕）在区间［ˉ2,ˉl］上是减函数’
｜
故选o
｜
试题分析:求出函数的定义域’利用二次函数的单调性结合
且满足／（匆一2）＝-∧卵）.
｜
对数函数的单调性求解即可.
所以∧卯ˉ4）＝ˉ∧厕ˉ2）＝／（则）’即函数的周期是4’
‖
9.A
又／（卯-2）＝ˉ／（卯）＝∧-腮）
’
｜
试题解答:由题意得／（1＋徊）＝／［2＿（l＋徊）］＝／（lˉ徊）
’
则函数关于卯＝ˉl对称,
则函数在［ˉ1’0］上是增函数’且／（卯）在［ˉl’1］上是增
｜
又函数／（卯）为奇函数’
函数’
｜
所以／（l＋徊）＝ˉ／（徊ˉl）＝ˉlOg2［（徊ˉl）＋l］＝
α＝等＝l＂2÷’
｜
—!＂颧徊二—÷故选A
. 155.
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试题分析:根据性质／（2ˉ厕）＝／（则）可得／（l＋徊）＝
｜
l3.e2＋l
∧lˉ徊）’然后再根据奇函数将问题转化到区间［0’l］上解
｜
试题解答;
决即可·
l0.A
试题解答:因为／（卯＋2）＝-／（财）
’
所以／（卵＋4）＝ˉ∧卯＋2）＝∧卯）
’
所以函数／（腮）的周期为4.
又log354≡log3（27×2）＝3＋log32巳（3,4）
,
｝
因为函数
所以／（log354）＝／（3＋log32）＝／（ˉl＋log32）
｜
其图象关二
＝‖l,g』÷）-—j（＿l°g』÷）-＿（log』÷）
｜
所以两部
｜
又因为函』
＝ˉ（3l·髓;十＋）＝ˉ（÷＋÷）＝—2故选A
｜
｜『2｜n娜d＂
试题分析:先由题意得到函数输周期为4′确定出l°g354
｜
案为e2＋
的范围’然后根据函数的周期性和奇偶性求解.
｜
试题分析
ll.D
｜
图象关于
试题解答叭则）为偶函数’且在（0’＋的）上单调递增’
｜
所以两部乡
A.／（ˉ3e）＝／（3e）’且2·＜3e’
｜
求解即可.
所以∧2e）＜∧3e）
’
｜14—÷
所以∧2e）＜∧ˉ3e）’所以该选项错误;
B.／（ˉe3）＝／（e3）’且e2＜e3’
｜
试题解答
所以∧e2）＜∧e3）
’
｛
log832—7
所以／（e2）＜∧—e3）’所以该选项错误;
｝
试题分析
C. ˉl＜log05徊＜0’log√可O5＜ˉ1’
｜
最终结果｝
所以0＞logα5徊＞log√50.5’
｝
l5.2
因为／（氮）是偶函数’且在（0’＋四）上单调递增’
｜
试题解答
所以／（厕）在（ˉ的’0）上单调递减;
｜
由反函数
所以／（log05旧）＜／（log√百0.5）’所以该选项错误;
｜
162
｜
试题解答
D√7o5＞l’0＜0.5√可＜l’
｜
所以绷＋2
所以√go5＞0.5√丁＞0’
｜
所以2ˉ!
所以∧何）o5＞∧0.5√可）’所以该选项正确.故选D.
试题分析:根据偶函数的定义’以及／（卯）在（0’＋的）上单
｜
故答案为
调递增,这样根据函数单调性定义以及幂函数、指数函数
｛
和对数函数的单调性即可判断每个选项的正误’从而选出
｜
正确选项.
｜
l。C
｛
试题解答:
12A
｜
因为幂函数
试题解答:由指数函数的性质可得α＝201820＂＞20l80＝l’
｜
由对数函数性质可得b＝log2Ⅻ√页∏I∏＞log2l07√页∏T7＝
｜
所以2＝4!
｜
所以γ＝√】
÷巨（0,l）,
｜
时,其图象
—1
｜
2.B
c＝log2018｀／20l7＜log20l8 ｀／20l8＝丁’
｜
试题解答:
所以可得‘＜÷＜b＜1＜α即…＞c故选A
｝
＝″＋上（
α
试题分析:利用指数函数与对数函数的性质’分别判断出
｜
｜
A,B选项,
α’b’c的范围’即可得结果.
° l56·
因为函数
所以两部分
求解即可.
｜14—÷
｜
试题解答
l。C
试题解答:
V＝e1
／
｜
｜
…
’
了
曰
／
∏
］
一
~~
γ
彦
I
l
／
巨页—了
叫／l
γ＝e瓣与函数γ≡lnz互为反函数,
其图象关于直线γ＝则对称’
所以两部分阴影面积相等’
又因为函数γ＝e氮与直线γ≡e2的交点坐标为（2’e2）,
｜『‘｜…-｜;（.』—.蕊）砸-（.』…）
｜;ˉ.』带!故答
案为e2＋l.
试题分析:根据函数γ＝e膊与函数y＝ln虹互为反函数’期ˉ
图象关于直线γ≡虹对称,
阴影面积相等;利周｜『』l…＝｜;（e2—e蕊）d;
√
:由对数的运算法则有:
｜
l卿鄙32—7｜…二l。g妒2’＿7l·蜘3＝旦＿3-—÷
3
｝
试题分析:由题意结合对数的运算法则整理计算即可求得
｜
最终结果.
｝
l5.2
｜
试题解答:求解指数方程:2鳃ˉl＝3可得狐＝2’
｜
由反函数的定义与性质可得／ˉ1（3）＝2.
｜
162
｜
试题解答:因为2＂.8γ＝l6’
｜
所以绷＋3γ≡4,
｜
所以2ˉ…＋｜。g,27』＝2ˉ｜咖＋铲＝竿-2
｜
故答案为2.
6
幂函数
设幂函数的解析式为y＝则α’
因为幂函数y＝／（卯）的图象过点（4’2）
’
所以2-4哩,解得α＝÷
所以γ＝√万’其定义域为［0’＋的）’且是增函数’当0＜卿＜l
时’其图象在直线γ＝如的上方’对照选项,C正确.
2。B
试题解答:若α＜0’由γ＝”°的图象知排除C,D选项’由）
＝α匆＋上的图象知应选B;若α＞0,由γ＝卯α的图象知排除
α
A’B选项’但γ＝α狐＋上的图象均不适合’综上选B.
α
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3。B
｛
12.A
试题解答;根据函数奇偶性的定义;定义域关于原点对称’
｜
试题解答;丫／（腮）＝（Ⅷ2ˉ咖ˉl）.”4啊,ˉ顾,ˉ｜是幂函数’
若／（ˉ腮）＝ˉ／（勿）则为奇函数’若／（ˉ绷）＝／（匆）则为偶函
｜
~
2
｜
. .mˉm-l≡l,解得′n≡2或m＝-L
数;幂函数是指形式如γ≡嘶α的函数
｜
当m＝2时’指数4×29ˉ25ˉl＝20l5＞0’满足题意.
对于A’函数是奇函数;
｜
当′n＝—l时’指数4×（-l）9-（-l）5ˉ1＝—4＜0’不
对于B,函数是偶函数’且是幂函数’符合题意;
｜
满足题意’
对于C’函数不是偶函数;
...∧狮）＝匆2015.
对于D’函数不是幂函数ˉ
...幂函数／（则）＝卯2015是定义在R上的奇函数’且是增
4。A
｜
函数.
试题解答:设幂函数／（卯）＝“α’把点（2’8）代人’得2α＝8’
｛
‖
又.瞬.α,b巨R’且α＋b＞0’ ...α＞-b’
解得α＝3’所以∧卿）＝卯3’所以满足条件的躯为3.
｛
又αb＜0,不妨设b＜0,
5.C
｜
则α＞ˉb＞0,..,／（α）＞／（ˉb）＞0,
试题解答』由幂函数的定义知＂二｜又′（＋）二粤,所以
｛
义∧＿』）＝ˉxb）
』
...／（α）＞-／（6）
’ ...j（α）＋／（b）＞0.故选A.
（＋）.二粤解得α二÷’从而肿α＝了
3
｜
l3. （2’＋鲍）
｜
试题解答:设幂函数∧则）＝卯α’其图象过点（2,8）’所以α
6B
0
＝3,所以／（鳃）＝绷3.
试题解答;5—,＝（÷）.’闲为α＜0时函数′＝缆樱单调递
｜
又′（αˉ3）＞／（l—α）′即α—3＞l—α’即侧＞2,
｜
所以满足／（αˉ3）≥／（lˉα）的实数α的取值范围是（2’＋鲍）.
减且÷＜05＜5,所以5,＜05.＜5＿吼
｜
14.ˉL
7。B
｜
3
试题解答』由幂函数性质可知鹏』ˉ…二」…2或＂
｜
试题解答;因为∧鳃）-露.,喘-3可求褥侧-l°蹋3,
＝l.又幂函数图象不过原点妒..m2ˉmˉ2≤0’即ˉl≤m≤
｜
｜
则川÷）＝＋!·墩J—＋
2’..。m＝2或m＝l.
8.A
｜
l5。α＜1
试题解答:因为该函数不过原点’
｜
试题解答:因为卿＞l ’卯αˉl＜l’所以αˉl＜0,解得α＜l.
所以m2＋2m-3＜0解得—3＜m＜l ,
｜
16. （ˉ由’l）
由m2＋3加＋3＝l解得m≡-2或m＝—l.
ˉ4
｜
试题解答:当厕＞1时’恒有／（卯）＜卯’即当则＞l时’函数／（卯）
又因为该函数关于原点对称’经检验m＝—l时,γ＝嘶
｜
｜
＝绷α的图象在γ＝绷的图象的下方’作出幂函数／（卯）＝狐α在
舍去.
｛
第＿象限的图象（图略）’由图象可知α＜1时满足题意.
所以m＝—2.
9.B
7
函数的图象
斌题解锋′…′（露）-（＂』÷2厕ˉ2）鳃″垦ˉ抛在（0, ｜M
＋的）上是减函数’
｜
试题解答因为∧—绷）＝—＋…愿＝—∧腮）,
▲｛悲‖二;广』
.慰.几≡1,
｜
所以∧卯）为奇函数’
又厕＝l时’∧加）＝″ˉ2的图象关于y轴对称’故n＝l.
｜
所以图象关于原点对称’故排除B,D;
l0.C
｜
当甄＝:时喘）＝器ˉl＜0,故排除c故选A
试题解答;因为函数′（鳃）＝测嚼的图象过点（2,÷）,所以
｝
试题分析;↑……偶…数值,呵判断
2铡-＋,所以α-—l,故g（鳃）＝罕＝］—÷’而g（篮）在
｜2A
｜
试题解答献（ˉ蜒）＝｛圭:≡姜（ˉ鳃）-｛主::÷鳃＝∧露）,
｜十,l｜上单调递增故g（鸳）恤＝g（÷）＝—孰
｜
则函数是偶函数’故排除C、D;
11.C
,
｛
令露-!则′（」）-滓≤0｀
试题解答:根据幂函数γ≡卿ˉl ’y＝如0,y＝绷丁,γ＝嘶’y＝勿
,
｛
γ＝鳃3的图象和解析式可知选Cˉ
｜
故排除B’则A正确故选A.
. l57.
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3.C
因／（l）＝0’故cos@＝0’所以o＝A而＋子’片巨N
▲
因∧0）二2,敞旦g垦1＝上二2,所以鳃二÷
α饰0
α
综上丝＝（2∧＋l）∏,内巨N。故选B.
α
试题分析:从图象可以看出／（z）为偶函数’结合／（勿）的形
式可判断出γ＝sin（@鳃＋@）为偶函数,故得甲的值’最后通
过／（l）＝0得到@的值.
7.A
试题解答由题意函数／（忽）二（鳃』—‖「…满足′（ˉ娠）.;
／（卯）’
所以函数∧卯）为偶函数’图象关于γ轴对称’排除B’D;
又由当腮匡（0,＋）时函数／（藏）＝（躯2＿l）…＜0排赊
｜卯｜
C.故选A.
试题分析;分析函数的奇偶』隆…匡（0’＋）时函数值的
试题解答;网数′（狮）～ln（蚀了剿）
｜＂（蜒ˉ2）』
（腮ˉ2）3 ’可知函数
｜
目＝
的图象关于（2’0）对称’排除A,B;当卯＜0时’ln（熊-2）2＞0,
｜
（绷ˉ2）3＜0’函数的图象在卯轴下方’排除D.故选C.
试题分析:化简函数的解析式’判断函数的对称性,利用函
｜
数的值判断即可.
A
2
7
试题解答;令鞭÷则Ⅱ二÷带2—1÷刊,
＝＿≡
令腿三上则Ⅱ-上带!ˉ｜-士-2｀
2
e
e
e
撼撼女……·
4
勺
当鳃＞l时’鲸ˉl＞ln鳃成立’所以当獭＞l时瓤ˉl孟ˉl＞0’
｜
排除D故选A.
试题分析:利用特殊值判断函数的图象即可得到结果.
5.C
试题解答:
函数∧则）＝e箍—（卯＋l）2的极值点就是′（卿）＝e瓤＿2（腮＋l）＝0
｜
的根,
相当于函数γ＝e＂和函数y＝2（厕＋l）交点的横坐标’画出
｜
函数图象如图’
符号’利用排除法即可得到答案.
8.D
试题解答:由函数图象可知’函数图象关于γ轴对称’所以
｜
函数是偶函数’
｜
对A√（ˉ绷）≠／（卯）’函数不是偶函数;
｜
对B’／（ˉ厕）≠／（腮）’函数不是偶函数;
｜
对C’／（ˉ绷）≠j（如）’函数不是偶函数;
‖
对D／（—卿）＝／（绷）’是偶函数.故选D.
｛
试题分析:由函数图象可知,函数图象关于γ轴对称,可徘
｛
函数是偶函数’逐一判断选项中函数的奇偶性即可得结果。
｜
9.A
｜
试题解答:设∧z）＝sin卯＋ln
｜＂｜
’
l
｜
当”＞0时’／（绷）＝sin绷＋ln匆→／,（腮）＝cos卯＋＿,
卯
｜
当“巨（0’l）时’′（匆）＞0’即函数／（卯）在（0’l）上为单调逸
｜
增函数’排除B;
｜
当腮＝l时抓l）＝sin1＞0’排除D;
｛
因为／（ˉ嘶）＝sin（-鳃）＋ln｜
-卿｜＝ˉslnz＋ln
｜则｜
≠
｜
±／（勿）
,
｜
所以函数／（卯）为非奇非偶函数’排除G故选A.
｜
试题分析:判断／（腮）的奇偶性’在（0’l）上的单调性’计】ˉ
｜
／（l）的值’结合选项即可得出答案.
｜
l0.A
｜
试题解答:由题意,函数／（狮）满足／（ˉ卯）＝
eˉ”＋l
＝
-如（eˉⅨ-l）
ˉ鳃（］ˉe窥）二鳃（÷当）＝／（缆）,
e匆＋l
｜
所以函数／（卯）为偶函数’故／（匆）的图象关于γ轴对称’抖｝
｜
除B’C;
由图知函数γ＝e“和函数y＝2（勿＋l）有两个交点,
因为／（ˉ1）＞0′（0）＜0′（l）＜0′（2）＞0.
所以—1＜勿1＜0’匆2＞l’可排除选项B’D;
由／（1）＝e-4＜0’可排除选项A故选C·
试题分析:求出导函数’利用导函数判断函数的单调性’根据
｜
数形结合’利用零点存在定理判断极值点位置’结合／（l）＜
｜
0’利用排除法可得结果。
6·B
试题解答:／（卯）为［ˉ3’3］上的偶函数’而γ＝α而｜鳃｜为
｜
［ˉ3’3］上的偶函数’故g（卯）＝sin（@则＋@）为［ˉ3’3］上的
｜
偶函数,所以职二肺＋晋,附匡z
·in（酗腮＋:）
因为0＜…’故职＝苦’∧卿）＝
α而｜Ⅺ
cos（@鳃）
α∏｜勿｜
~
l58
纠
勺
7
卢
O
＝勺
～
）
厂
「』
卯
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义川…寸,渗刊→2’甄（雷ˉ」）→0,所以鳃（:当）—→
｜
＋的,排除D,故选A.
试题分析:由题意’可判定函数／（加）的奇偶性’以及／（卯）
｜
的单调性或变化趋势,即可得到答案.
1l.B
试题解答:函数γ＝sjn卯（1＋cos2卯）定义域为［ˉ2’2］’其
｜
关于原点对称,
且／（ˉ则）＝sin（ˉ师）［l＋cos（ˉ山）］＝—sin则. （l＋cos耻）＝
｜
扒卯）,则∧绷）为奇函数’所以图象关于原点对称’排除D;当0
｜
＜嘶＜l时,γ＝sin匆（1＋cos2撕′）＝2sin豹cos2知＞0,排除C;
又2慧i…o愚2鳃＝0,可得狐＝±:或0,排除A故选B
试题分析:根据奇偶性排除D;根据0＜卯＜l时函数值为
｝
正排除C;根据函数零点排除A,从而可得结果.
l2.A
）
＋
卯
〃
八
勺
』
—
∑
＿
＿
●
』
＋
卢
〕
—
勺
▲
卯
·
］
＋
＋
九
＋
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—
∑
〕
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〗
］
＿
卯
●
』
＋
九
＋
＋
］
—
∑
〕
—
∑
］
＋
］
—
卯
卯
＋
］
—
∑
＋
］
＿
日
—
回
卯
＋
＜
Ⅱ
＿
卯
〕
—
∑
］
＿
＿
＿
％
＼
／
＋
卯
气
÷
＾
∧
］
＿
以
卯
所
~~
l
l
＝ˉ∧卿）
5
ˉ卯＋丁
＋
〕
—
∑
＋
卯
所以′（鳃）是奇函数’所以嗣数g（腮）二错＋蛊＋…＋
黑的图象关于点（—÷,6）对称故填（—÷,6）
｜0,:｜
试题解答:设g（卯）＝5ˉm｀’,则函数g（则）的图象是过点
（0,5）的直线
在同＿坐标系内画出函数γ＝／（卯）和g（匆）＝5-′7M‘的图
象,如图所示,
l5
（f匹｝鹤1 ,且瞳°爵［丽（…）］＝
试题解答:由已知／（卯）＝
〗
cos［而（1—则）］’所以腮＝l是其图象的对称轴’这可排除
B,D;又∧0）二∧2）二÷｀排除D故选A
试题分析:由对称性及函数值的大小可排除一些选项.
13. （e’＋的）
试题解答:设点（购’γ）在／（则）上’则点（ˉ卯’γ）所在的函数
”肌到ˉ｛｜1耘兰;6α
则g（卿）与h（z）有两个交点,
g（腮）的图象由γ＝｜″｜＋l的图象左右平移产生’当h（卯）＝
1时’卯＝＿e’
如图,
｀｀↑y
5F
4ˉ｀
3ˉ
｀
—＝j｝么＼
~
~
~
~
~
＝
｀345x
＼
′
］
∑
〕
｜
＝
＿
～
∑
］
斗
日
｜
因为不等式∧卯）≤5ˉm卯恒成立’
所以函数γ＝／（卯）图象不在函数g（躯）＝5ˉ″l卯的图象的
止方.
结合图象可得,
@当m＜0时不成立;
@当′n＝0时成立;
o当m＞0时’需满足当卯＝2时’g（2）＝5ˉ2m≥0,
5
解得0＜矾≤丁.
5
综上可得0≤″』≤丁.
~
~
／（x）≡ln（～x）＃
g（x）＝ˉ厉
h（x）≡｜x＋e｜＋
6｜十｝么
0
垢
〗
l0
』
～＋～上
≡γ～～＋～仁＝
卜
所以’当g（绷）左移超过e个单位时’都能产生两个交点’
所以α的取值范围是（e’＋的）.
l4（ˉ÷,6）
试题解答;由题得g（氮）—6＝器—｜＋铝ˉl＋望兰ˉ］
卯＋3
＋望ˉl＋…ˉl＋黑＿l
卯＋4
勿＋5
l
1
l
1
l
l
＝万ˉ∏＋雨ˉ干ˉ页＋万ˉ百＋万ˉ互＋无—巧＋而ˉ干ˉ6’
‘卜—÷）＿6-
＋
＋
＋
l
l
l
＂ˉ÷＋l
“—÷十2
＂—÷＋3
l
l
l
＂＋刀撼＋5＋露＋6
所以实数′Ⅷ的取值范围是｜0｀÷｜
l6.o@
试题解答:o设γ＝∧皿）’u＝g（卯）’则方程／（＂）＝0有三个
解Ml ,u2,皿3且满足ˉα＜皿1＜M2＜M3＜α,又因为u＝g（虹）
在［ˉα’α］上单调递减且值域是［ˉα’α］,所以方程γ＝
／［g（鳃）］有三个解’正确;
@方程g［／（绷）］＝0有且仅有三个解;从图中可知’／（勿）巳
（0’α）可能有1 ,2’3个解,不正确;
◎方程／M厕）］＝0有且仅有九个解;类似@不正确;
@方程g［g（卯）］＝0有且仅有＿个解.结合图象’γ＝g（卿）
是减函数’故正确
故答案为@@.
l59
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试题分析:通过／（卯）＝0可知函数有三个解’g（弧）＝0有
一个解’且y＝g（绷）在［ˉα’α］上单调递减具体分析o’
@’o’@椎出正确结论.
｜
ˉ十露2≥′（｜—露）—十（l—x）2即g（鹏）≥g（｜＿触）,迸漏
｜
得解.
｜
5.D
｜
试题解答:／（卿）是奇函数’故／（-l）＝ˉ／（1）＝—1;又∧‘）
｜
是增函数,ˉ1≤／（卿—2）≤l ,即／（-l）≤／（卯ˉ2）≤／（l）Ⅱ‖
｜
有—l≤厕-2≤1,解得l≤卯≤3.故选∏
｛
6.C
｜
试题解答:因为函数／（卿）是偶函数’／（ˉ2）＝l’所以／（2）
』
＝l.因为／（卿ˉ2）≤l’且函数／（厕）在［0’＋由）上单调递
｜
增’所以｜勿-2｜≤2’解得0≤腮≤4故选C.
｜
7。B
｜
试题解鲁;因为∧鳃）＝—（鲸＋÷）,所以∧鳃）周期为3′｜’假）
｜
为偶函数’所以／（20l8）＝／（2）＝／（ˉ1）＝／（l）’令g（则）＝
｜
◎叶q／（厕）’则g′（瓣）＝e叶2［／（厕）＋／（躯）］＞0’g（l）＝l’所义
｜
g（卯）在R上为增函数.
｜
由∧瓣＿2）＞÷得g（瓣—2）＞g（1）,所以＂—2＞1』蕊＞3, ｜』‖
‖
解为（3’＋的）.故选B
｛
8.B
｜
试题解答:因为／（腮）＝（厕2＋l）（l＋
｜“｜）是偶函数’且在
｜
（0’＋由）上为增函数’
｜
所以由／（lg鳃）＜／（1）’得｜lg则｜＜l’
｜
解得而＜x＜l0故选凰
｜
试题分析;先明确函数／（厕）的单调性与奇偶性’然后解不等
｜
式即可.
｜
9。A
｜
试题解答:／（则＋l）是偶函数’所以／（ˉ匆＋l）＝／（绷十1）’所义
｜
／（卿）的图象关于则＝l对称’由／（矾＋2）≥／（“ˉl）得｜（m＋2）
｜
—l ｜≤｜（卯-1）—l
｜’因为-l≤卯≤0’所以｜矾＋l ｜≤2,解』导
—3≤m≤l·故选A.
｝
l0.A
｜
试题解答:因为／（卯）为奇函数’
｜
所以∧ˉ则）＝ˉ∧则）’
｜
又／（2＋则）＝／（ˉ卯）
’
｜
所以／（2＋厕〉＝ˉ／（则）
’
｜
所以／（绷＋4）＝ˉ／（狐＋2）＝／（＂）
’
｛
所以函数／（勿）是周期为4的周期函数’
｜
所以／（20l8）＋／（20l9）＝／（4×504＋2）＋／（4×504＋3）
＝／（2）＋／（3）
,
｜
又／（2）＝／（0）＝0’／（3）＝／（ˉl）＝ˉ／（l）＝ˉ2’
｛
所以／（20l8）＋／（20l9）＝／（2）＋／（3）≡ˉ2.故选A.
｜
1l.D
｜
试题解答:因为函数γ＝∧卯）＋卯2是奇函数’
｜
所以／（ˉl）＋（ˉ1）2＝ˉ［／（1）＋l］
’
160°
8
抽象函数
l。B
试题解答:由题意’根据函数／（卯）的性质知’／（匆）在（ˉ鲍’
0）上单调递增’又／（ln卯）＞／（l）’所以｜ln卯｜＜l’即ˉl＜
ln勿＜l,由γ＝ln卯在（0’＋的）上为单调递增’所以eˉl＜
如＜e.故选B
2。B
试题解答:由题得偶函数／（绷）在［0’＋的）单调递增’若／（2）
＝—2’则／（卯ˉl）≥ˉ2〈二岔／（卯—l）≥／（2）气／（｜勿-1
｜）≥
∧2）,即｜如-l ｜≥2,解得嘶≤—1或嘶≥3.故选B
试题分析:由题意结合函数的性质脱去“／’符号’求解绝对
值不等式即可求得最终结采.
3。B
试题解答:因为／（苑）是奇函数,且在（0’＋由）内是增函数,
所以／（卯）在（ˉ鲍’0）内是增函数.
因为／（-3）＝ˉ／（3）＝0’
所以∧3）＝0.
所以对应的函数图象如图（草图）所示:
~~~~~~）′小｛~~~~~~
卜
所以当-3＜腮＜0或印＞3时’／（如）＞0;当0＜勿＜3或匆＜
ˉ3时’／（卿）＜0·
所以／（勿）＜0的解集是（ˉ的,ˉ3）（ˉ」（0,3）ˉ故选B.
试题分析:根据函数奇偶性和单调性的性质’作出函数的草
图’利用数形结合进行求解即可,
4。A
试题解答;令g（鹏）二／（膊）ˉ＋则2,则g（膊）＋g（—腮）＝0＝
▲
g（勿）为奇函数’
又鳃＜0时g′（鳃）＝／（匆）—卿＜0＝g（勿）在（—的’＋切）上单
调递减由∧狐）ˉ∧l—腮）≥狐—÷知∧腮）—÷躯2≥∧lˉ腮）
△
ˉ÷（l＿甄）』,
即g（躯）≥g（lˉ卿）,从而躯≤lˉ膊＝狐≤÷故选A
▲
试题分析;构遣新函数g（蹲）-／（腮）ˉ十狐2,易知该函数为
奇函数且单调逮减』从嗣由∧躯）—／（｜—獭）≥露—十轰.／（鞭）
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所以∧ˉl）＝ˉ2ˉl＝ˉ3’
因此g（-l）＝—3＋l＝—2,故选D.
试题分析:先根据奇函数性质得／（ˉl）,再求g（-l）.
l2。D
试题解答:因为其导函数／（卯）为奇函数’所以原函数／（卯）
是偶函数,因为当勿＞0时,√（卯）＋／（卯）＜0恒成立,
所以／（″）＜ˉd鱼1
卯
因为卯＞0′（鳃）＞0’
所以／（卯）＜0,
所以函数／（如）在如＞0时’是减函数’在则＜0时,是增
函数
因为∧绷ˉ2）≤l
’
所以／（卯ˉ2）≤／（2）或／（ˉ2）
’
所以卯—2≥2或则—2≤ˉ2’
所以勿≤0或卯≥4故选D
13. —l≤勿＜3或卯≥7
试题解答:由于奇函数／（如）在（0, ＋的）上单调递减,且
／（4）＝0,所以函数在（—切’0）上是减函数,／（ˉ4）＝0.所
以不等式∧卯）≤0的解为卯≥4或—4≤如＜0’所以x-3≥
4或—4≤卯—3＜0’所以鳃≥7或ˉl≤卿＜3ˉ故填ˉl≤鳃＜
3或绷≥7.
l4. ［ˉ5’3］
试题解答:因为函数y＝∧则）是定义在R上的偶函数’
所以∧α＋l）＝∧｜α＋l
｜）≤∧4）
’
又／（卯）在［0,＋由）上是增函数’
所以｜α＋l ｜≤4’
即-4≤α＋1≤4’
所以—5≤α≤3.
故答案为［ˉ5’3］.
15. l0
试题解答:由题意可知:
｜／（箍）＋／（ˉ知）｜≤｜g（勿）＋g（ˉ嘶）
｜＝0,所以／（刻）＋／（ˉ腮）
＝0,
据此可知,函数／（如）是R上的奇函数,
又／（α2—l）＋／（α9＿l）≡0’故（α2＿l）＋（α9—］）＝0＝
α2＋α9≡2,
由等差数列前″项和公式有;sl0＝α］÷αl0×｜0＝
×
α2＋α9
△
2
9
函数的零点
』
『
l.C
勺
｛
试题解答:由题意’函数∧卯）＝—二ˉlOg3卯为单调递减函数’
卯
,
勺
｛
且∧2）＝亏ˉ｜og32＝l-｜og］2＞M3）＝亏ˉ｜og］3＝
』
ˉ半＜0’
〕
｜
所以／（2）.／（3）＜0’所以函数／（卯）＝三ˉlog3则在区间
卯
｜
（2’3）上存在零点.故选C.
｜
试题分析:由题意得函数／（卯）的单调性’利用零点的存在定
｜
理,即可得到结论.
｜
2.C
试题解答;由题意,若当腮匡（—l’l）时都有∧甄）＜÷’
』
即α甄＞葱2ˉ＋在（ˉl ,l）上恒成立,
△
令g（卯）＝α腮’′＂（卯）＝“2ˉ上
2
’
由图象可知’若0＜α＜l时’g（l）≥加（l）
’
即α≥｜—＋-十,此时÷≤α＜l;
若α＞l时’g（-l）≥m（-l）
’
即α—｜≥l—十＝＋,
此时α≤2,所以l＜α≤2’
综上所述,实数α的取值范围是｜÷,l）O（l,2］
故选C.
‖
〗
‖
~
~
~
~
γ
■
甲
】
』
＼」／
r
】
试题分析』由题意知侧』＞颜』＿÷雇（—l ,l）上』橇成立,令
g（骡）二α雹』咖（蜒）二熊2ˉ＋’缝舍图形｀列出不等式纽’,呵
求解实数α的取值范围
C
试题解答:作出／（卯）的函数图象如图所示:
句
〕
l0＝l0.
l6·
-l
试题解答:因为／（卿）为定义在R上的奇函数’当绷≥0时’
｜
∧则）＝2鳃＋m,
所以∧0）＝20＋″I＝0’即″〗＝—l
’
所以当如≥0时’／（匆）＝2卯—l
,
所以／（-l）＝—／（l）＝ˉ（2l -1）＝ˉ1.
故答案为-lˉ
）
O
X
l61
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试题分析:由方程∧卯）＝肋恰有两个不同实数根’等价于）＝
／（缅）与γ＝脑有2个交点,又∧表示直线γ＝肛的斜率’数形结
合求出片的取值范围.
6.A
试题解答:令γ≡ezˉ卿ˉ5,则γ′＝e厕ˉl＝0,如＝0’所以当嘶＞0
时γ′＞0,γe（ˉ4,＋的）,当则＜0时γ′＜0’γ巨（-4,＋由）,因
此∧腮）图象如图:
由［∧卯）］2＝α可得∧绷）＝亿’
所以厄＞l’即α＞l.
不妨设鳃l＜卯2’则绷｝＝e苑2＝亿’
令亿＝t（′＞1）’则卯l＝ˉ′’卯2＝lnt’
所以匆l＋卯2＝ln′ˉ′’令g（′）＝ln′ˉ√『’
,‖g′O）＋女ˉ导』
所以当l＜t＜4时,g′（t）＞0,当』＞4时,g′（』）＜0,
所以当』＝4时’g（′）取得最大值g（4）＝ln4ˉ2＝2ln2ˉ2.
｜
所以z1＋z2≤2ln2-2.故选C.
试题分析:根据∧“）的图象判断α的范围’用α表示出卯l ’则2’
｜
得出卯1＋卯2关于α的函数,从而可得出则］＋腑2的取值范围
4.D
试题解答:由题意可知函数／（则）是周期为T＝2的偶函数’
｜
结合当卯巨［ˉl’0］时’∧卯）＝卯2’绘制函数图象如图所示’
｜
函数g（卯）有4个零点’则函数／（卿）与函数y＝logα（厕＋2）
｜
的图象在区间［ˉl’3］内有4个交点’
结合函数图象可得’α＞l’且当卯＝3时’logα（3＋2）≤l’解
｜
得α≥5’即实数α的取值范围是［5’＋如）.故选D.
甲
‖
［
／
｀
＼／
（）
x
川题意得顺＞0,巾:（鳃）-0得′（蒸）＿六ˉ｜』绩外）圈
象得÷ˉ｜匡（0,4）.解得l＜′＂＜25故选A
√′∏
｜
试题分析:先根据导数分析γ＝e躯ˉ厕ˉ5的单调性’进而得
｜
／（卿）图象,蒋淘g（卿）＝0得∧赚）二÷ˉl』缝合／（鳃）图象得
√m′
｜
六ˉ1匡（0｀4）｀解得实擞鹏…范凰
｜
7。A
｜
试题解答:函数g（＂）有3个零点’等价于函数／（厕）与γ＝α躯有
｜
3个不同的交点,如图,…与y二÷蜒＋2有＿个交点,需α≥
｝
÷若与抛物线有2个交点需计算相切时的斜率』x2＋3』＋
2↑J
坠≥△＜亥一—
○
］
∑
l
2
3
4x
-2／≡l
′
试题分析:由题意确定函数∧则）的性质’然后将原问题转化为
两个函数有4个交点的问题’求解实数α的取值范围即可.
5.C
试题解答:因为方程∧厕）＝A卯恰有两个不同实数根’
所以y＝∧则）与γ＝版有2个交点’
又因为片表示直线γ＝脑的斜率,
绷＞l时,γ＝∧“）＝ln厕’所以γ′＝上;
卯
设切点为（卯0’y0）’则k＝上’
几0
所以切线方程为γˉγ0＝上（则ˉ嘶0）
’
卯0
又切线过原点,所以γ0＝l ,鳃0＝e’∧＝ˉL,
e
如图所示;结合图象’可得实数k的取值范圃是｜÷｀÷）
｜
2＝α则,△＝（αˉ3）2ˉ8＝0’解得:α＝3ˉ2徊或α＝3＋2｀i
｜
（舍）｀所以÷＜侧＜3ˉ2√Z故选A
A）′
｜
二≡］了
5
x
｜
8.B
｜
试题解答;由题意可知』g（狐）二＋鳃』—晋躯』,
｜
因为g′（腮）＝加2ˉm卿’在区间［0,2］上存在躯｜’腮2（0＜狐l＜
｜
z2＜2）
,
｜
满足g′（躯｜）＝g′（鳃敷）二‘12上二筐L11＝÷ˉ＂‰
2-0
｜
所以方程腮2—″酗＋刷ˉ÷-0在区间（0,2）有两个不柑肆
｜
的解’
l62°
0］
‖
≡＝亏
≡＝＝
＝尸
O
｜l
ex
故选C
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｜
@当绷＜0时’由于（卯。g（加））′＝（v（卯））′＝√（则）＋
…2—4（咖—÷）＞0,
｜
′（绷）二躯（′〈延）＋粤）＜0,
0＜!＜2’
则刽
｛
故函数匆。g（嘶）在（—的,0）上是递减函数,函数卿.g（匆）＝
咖—÷＞0,
｜
叭绷）＋l＞l恒成立’
｜
故函数绷.g（卯）在（＿函’0）上无零点’
4ˉ2加＋哪ˉ牛＞0,
｜
综上可得’函数g（〃）＝／（则）＋上在R上的零点个数为0.
〕
卯
解得÷≤咖＜:则实数咖的取值范围是（÷』÷）
｜
故选A
故选B.
｜
试题分析:由题意可得’则≠0’因而g（则）的零点跟卯g（卯）
试题分析;由题意可得g′（贩! ）＝g′（卿2）＝鲤上二型」＝土｜
的非零零点是完全一样的当厕＞0时’利用导数的知识可
2—0
3
｜
得鳃g（卯）在（0’＋的）上是递增函数,则g（绷）＞l恒成立’可
ˉ狮,所以方程烫』—…咖—÷＝0在区阎（0’2）有溺个不
｛
得氮g（躯）在（0,＋函）上元零点阎翟可得鳃g（缆）在（＿窜,
｛
0）上也元零点’从历得出结论,
相等的解。
｜
ll.B
9.D
｜
试题解答:根据“局部奇函数”的定义可知’函数／（—卯）＝
试题解答:由／（如）＝2exln（勿＋m）＋e鲸-2＝0,
ˉ∧卯）有解即可’
可得ln（则＋肌）＝上ˉ
l
｛
即4—膊-矾.2ˉ颠-3＝-（4缠ˉm°2鲸-3）,
ex
2
,
｜
所以4绷＋4ˉ“ˉm（2”＋2ˉ虹）ˉ6＝0’
令‘（鳃）二lu（…）ˉ（去ˉ＋）,
｝
即（2露十2—露）2ˉ鹏（…ˉ撼）＿8＝0有解即叮
易知g（缅）为增函数,
｛
设2z＋2ˉx＝!’则t≥2,则方程等价为r2—′′M-8＝0在t≥
因为函数／（财）＝2e蹦ln（则＋m）＋e蕊ˉ2存在正的零点’
｛
2时有解
所以g（0）＜0,
｜
设g（嘶）＝腾2—′n嘶—8′对称轴为躯＝号,
l
所以ln′′!＜丁,
｜
@若′＂≥4,则△＝加2＋32＞0’满足方程有解;
｜
@若加＜4’要使t2ˉ砸ˉ8＝0在‘≥2时有解’则需:
所以0＜′n＜拒’
｜
｛聚tˉ2瘫ˉ疟α
当m≤0时,显然成立,
所以m＜侣故选D.
｜
解得ˉ2≤矾＜4’
试题分析;今g（鳃）＝l＂（…）＿（÷ˉ÷）,利阔函数j（蕊）-
｜
综上,实数Ⅷ的取值范圈为［ˉ…）故选凰
｛
试题分析:根据“局部奇函数”的定义可知’若函数∧卯）是
2e茹ln（卯＋m）＋e则ˉ2存在正的零点’可得g（0）＜0,结合″l≤0
‖
｜
定义在R上的“局部奇函数”’只需方程（2“＋2＿鳃）2ˉ
时,显然成立’即可求出实数矾的取值范围.
｛
m（2愿＋2ˉ氮）—8＝0有解.可设2x＋2ˉz＝′（t≥2）’从而
l0.A
｛
得出需方程t2-mt—8＝0在t≥2时有解’从而设g（腑）＝
试题解答:由于函数g（狐）＝／（则）＋上’可得卯≠0,
卯
｛
′2—厕』—8,得出其对称轴为嘶＝晋,从而可讨论厕的值,求
因而g（卯）的零点跟鳃g（如）的非零零点是完全—样的,
｜
出每种情况下加的范围’再求并集即可.
故我们考虑吧（卯）＝旷（卯）＋1的零点·
｜
12.D
由于当卿≠0时′（卯）＋d王1＞0’
｜
试题解答:因为抛物线∧卯）＝绷2＋b则＋C开口向上’
卯
o当卿＞0时’（＂.g（卿））′＝（旷（卯））′＝√（卿）＋／（鳃）＝
｛
由方程／（沁）＝绷无实数根可知,抛物线／（氮）＝鳃2＋b蜒＋·
｜
必在直线γ＝卯上方’
Ⅸ（′（憨）＋孕）≥0,
｛
即对任意的卯巨R抓虹）＞嘶＝瓮／（∧匆））＞∧鳃）＞卯,
所以’在（0’＋°。）上’函数绷g（卿）单调递增又因为则→0
｜
所以方程／（／（獭））＝绷没有实根.故选D.
时,”g（卿）→l’
｜
试题分析:将函数／（腮）＝如2＋b卯＋c看成抛物线的方程’由
所以在（0’＋。°）上,
｜
于抛物线／（则）＝鳃2＋b绷＋C的开口向上’由方程／（卯）＝嘶元
函数卿g（加）＝v（卯）＋1＞l恒成立’
｛
实数根可知’对任意的厕匡R扒如）＞厕二／（／（鳃））＞／（厕）＞卯’
因此’在（0’＋。°）上’函数卿.g（则）＝v（财）＋l没有零点.
｜
从而得出／（／（卯））＝鳃没有实根.
. 163.
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｜—十’0）
试题解答:当0≤匆≤l时’函数的零点满足:2卿2＋2″Mˉ
1＝0’
1
很明显卯≡0不是其零点’则加≡ˉⅪ＋—
2卯,
当勿＞l时’函数的零点满足:′m＋2＝0,
则m＝二旦’
卯
则原问题等价于函数y＝′＂与函数g（腮）＝
｜扩」獭删…….
的取值范围
很明显y二ˉ鳃＋士（0＜鳃≤｜）单调递减
且当则＝l时’y＝＿l＋上＝ˉ上
2
2
,
绘制函数图象如图所示’结合函数图象可知’实数″』的取
值范围是｜—÷,0）
冗≡10
试题解答:因为函数γ＝lg则ˉl单调递增’在（0’＋的）只
｜
有-个零点’所以lg蛔ˉ1＝0’解得则＝l0·
（ˉ雪’—6）O（—÷｀0｜
试题解答:
4九-勿2,卯≥0’
｛÷蕊≤α…（脯）ˉ｜川露｝
｜ˉ…』
;
函数∧”）≡
有三个零点’
就是h（狮）＝｜／（卯）
｜ˉ3绷与y二ˉb有3个交点’
卯-卯2’0≤卯≤4,
｜加→……＂
h（觅）＝
l3
16
14
＼
｜
｀V
b
＼／
力（x
v＝
‖
可
γ
~
γ
］
∑
］
‖
‖
当嘶＜0时,ˉ兰ˉ3卯≥6’当且仅当卯＝ˉl时取等号’此
卯
时ˉb＞6’可得b＜一6;
当0≤诞≤4时,憨—甄2≤÷,当憨-÷时取得最大值瞒足条
件的b匡（—÷’0｜
综上,范围是（ˉ酮,—6）口（—＋′0｜
答案为（＿国,—6）u（—＋,0｜
试题分析:求出函数｜／（“）
｜-3嘶的解析式,画出函数的图
象,利用函数的极值,转化求解即可ˉ
（—＋,0）
试题解答:作出函数y＝／（则）的图象’
如图所示,
因为g（鳃）＝／（绷）＋3加有三个零点,所以0＜-3m＜1,
解得—÷…0,
即实数顾的取值范围是（—＋｀0）
x
‖
—
三1ˉ＝2ˉ二1ˉˉˉ｜Q
-1ˉ
勺＝
-△
-3ˉ
~
~
~
试题分析:将原问题转化为函数交点的问题,结合函数力
图象整理计算即可求得最终结果.
‖
l0
直线与直线的位置关系
｜
｜
l·A
｜
试题解答;因为面α与面β相交’而点A不在α和β内’沂
｛
以过点A平行于α和β’这条直线必须平行于α和β的吏
｜
线’所以这样的直线只有l条
｛
2.D
｜
试题解答:过点／V作A″的平行线交AB于点E,则M＝
｛
3EB,连接EC’
D］
C｜
l5
‖
A｜
‖
C
d
E
B
因为AB＝4’在△／VEC中有E／V＝√百’EC二√∏’ⅣC＝√m
-＿E／V2＋ⅣC2-EC2
2
■
■
一L
℃
ˉ夕二
试题分析:作出函数γ＝／（卯）的图象,结合函数的图象’即
｝
可求解
｜
由余弦定理得…酗C二圆峪哪湍c』-÷
° 164°
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｜
如图2’与直线b相交的圆锥中的截面与直线α平行’故有
｜
无数多个平面使直线b与平面α交于—个定点’且直线α／／／
｜
平面α’所以o对.故选C.
｜
试题分析:把@@放入长方体模型中找相应的乎面’把◎放
‖
入圆锥中找相应的乎面.
｝
7.A
7
所以直线A″和C″所成的角的余弦值是亏故选∏
试题分析:根据作平行线的方法作出两直线所成的角,然后
通过余弦定理求得两直线所成角的余弦值.
3.A
试题解答:如图:
D｜
C〗
／｜
B｜／
试题解答:对于A, ‘‘′至少与／l ’′2中的＿条相交”正确’假
如』和／1 ’′2都不相交’
因为／和′l ’／2分别共面,
所以′和／l ’／2都平行’
所以／l／／／′2’／l和′2共面’这样便不符合已知的′l和／2异
面’故A正确;
对于B’／与′1 ’l2可以相交’如图:
4｜
已
■
■
■
■
Dkˉˉˉ曰ˉ
C
歹
d
与AD成异面直线的棱有BBl 、CCl ｀AlBl、ClDl ’共4条.
｜
故选A.
试题分析;剩下的｜l条棱中,有4条与AD相交’3条与它
｜
平行,其余4条并面.
4.C
试题解答:过P作与α’b平行的直线α′ ’b′
’
如图,乙CPD＝80。,
直线AG过点P且乙APC＝乙APD＝50°’这样的直线有
｛
两条.
又乙FPC＝l00。’直线PE为乙FPC的平分线’
则▲FPE＝乙EPC≡50。,
综上,满足条件的直线有3条
A
′γ｛
）
故B错误;
对于C,′可以和』1 ,／2中的＿条平行’如图,故C错误;
／
＼＼＼
】
对于D’／可以和／l ’／2都相交’
故D错误故选A.
试题分析:可以画出图形来说明』1和′2的位置关系,从而
可判断出B’C’D是错误的’而对于A,可假设不正确’这样
／使和′1 ,／2都不相交’这样可推出′1 ’／2共面,矛盾,这样便
说明A正确。
试题分析;把α,b平移到点P处’则与α’b所成的角都为
｛
50°的直线有3条.
5.C
试题解答:空间直线存在的位置关系为异面、平行、相交.c／／／
｛
α’α’6是两条异面直线,那么‘与b＿定不会平行故选o
｜
试题分析:根据直线与直线的位置关系直接判断.
6.C
｛
8B
试题解答』如图l所表示的直线就不存在平面α,使直线b」
｝
试题解答;若」C与圈p是异面直线则A,愿,C’D四点不共
平面α’直线α／／／平面α’故@错
将图o中的b平移与α交于点A′ ,只要与平面〃DA平行的
｝
面’贝MD与BC是异面直线｀
平面都可以与两条直线平行按此方法’任何两条异面直线
｜
而点E在BC上’所以AD与BE也是异面直线
都能有平面与之平行’故@对.
｜
若AD与BE是异面直线,而点E在直线BC上’所以AD与
｛
BC是异面直线’
｜
所以A’B’C’D四点不共面’所以AC与BD是异面直线’所
｛
以是充分必要条件ˉ故选B。
｜
试题分析:利用并面直线的定义’根据充妥条件的判定方
｛
法’即可得到结论.
｜
9.C
｜
试题解答:将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、
｜
C）ˉDEF,如图:
‘4
B
b
α
么4
／b
B
Ⅵ
｀
｀
~
~
／方ˉ
■
■
■
『
′
左二］xˉ
0≈≈
b
0
b
飞
■
■■』
夕
′
汾
′
′
岁
′
广
C
D
图］
图2
l65
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A（aC）
l2.C
试题解答;正2＂边形A｜州2…A』＂,对角线共有十×2＂》《
（2川-3）＝则（2则-3）条
计算与＿边AlA2平行的对角线条数’因AlA2／／／A厕.信l
An＋2’与AlA2平行的对角线的端点只能取自2n—4个点,
平行线共几＿2条,故与某＿边平行的对角线共′!（nˉ2）
条.由此可得与任何边都不平行的对角线共有厕（2厕—3）
-Ⅶ（n-2）＝网（则—1）条ˉ故选C.
l3.@◎
‖
D
E
对于@’MⅣ分别为EF｀AE的中点’则MⅣ／／／AF’而DE与
｜
AF异面’故DE与MⅣ不平行’故O错误;
对于@’BD与Mγ为异面直线’正确（假设BD与Mγ共面’
｜
则A｀D、E｀F四点共面,与ADEF为正四面体矛盾’故假设
｜
不成立’故BD与M／V异面）’故@正确;
对于◎’依题意,GH／／／AD’Mγ／／／AF’乙DAF＝60°’
故GH与Mγ成60°角’故◎正确;
对于@’连接GF’A点在平面DEF的射影Al在CF上’
所以DE上平面AGF,所以DE上AF’
而AF／／／Mγ,所以DE与MV垂直’故@正确.
综上所述’正确命题的序号是@o@.故选C.
l0.D
试题解答:把正方体的平面展开图
还原成原来的正方体,如图:
M
则AB」ˉEF’EF与MV异面’AB／／／
CM,Mγ上CD’
只有o◎正确.
F
只／门＼』／＼9／ˉ上L」‖］月］·
广
C
故答案为oo.
试题分析:先把正方体的乎面展开图还原成原来的正万
体,再根据所给结论进行逐一判定即可.
l74
试题解答:分情况讨论:
l4
｜
α）棱与棱异面每条棱有4条棱与其异面｀共有情况＋×
试题解答:如图所示’连接A1Cl
,
Dl
～｜Cl
叁丝雾
｝｛泌翻产………｝
d1
｜
◎棱与体对角线异面:每条棱有2条体对角线与其异面’
‖
P
｜
′
′』＼／＿F〔
｝羹
霖……’
A／
辜／
到Ⅷ
丁
｜
而M匡平面CClDlD’A车平面CClDlD’
厄故选D.
｜
所以直线AM与直线CCl异面’故o不正确’
试题分析:连接AlCl ’由BlB／／／AlA可得乙AlACl是并面
｜
因为直线AM与直线BⅣ异面’故@不正确’
直线ACl与BBl所成的角,再利用长方体的性质、直角三
｜
利用@的方法验证直线BⅣ与直线MB｜异面’故o正确’
角形的边角关系即可得出。
｜
利用平移法’可得直线M／＼／与AC所成的角为60°’故@正确.
ll.D
｜
试题分析:利用两条直线是并面直线的判断方法来验证
霖嚣翻围铡熊／憋蛊畴雕:
｜临严嚼…｛肝擂购铡…!缝嗡
面’所以C错误
｜
试题解答:由于正四面体的所有棱长都相等’所有三角形
m
B
｜
DL≠ˉˉˉ-ˉˉˉ
／
〃
J
′
f矿
′〃
J矿
J〃
~
~
~
／
／
~~~~
｜
的内角都是60。,除了一组对棱AB和CD,剩下的四条棱与
｜
AB和CD所成的角都是60。,所以只要把这四条棱平移至｜
｜
正四面体的中心即可’所以有四条.故填4.
l66.
~
Ⅶ
~
~
勺
≡
Ⅶ
′
／
L＝＝＝＝＝＝
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｛
B.若α∩β＝α’α∩γ＝b’β∩γ＝c,
ll
直线与平面的位置关系
｜
在三棱锥PˉABC中’令平面α’β’γ分别为平面〃B’
l·C
｛
PAC’PBC’
试题解答:因为互相垂直的平面α’β交于直线′’
｜
交线α’b’c为PA’PB’PC’不满足α／／／Mc’该说法错误;
｜
C若α∩β＝α’Mα’有可能bCα’不满足Mα’该说法
所以／Cβ,由厕上β,可得Ⅺ上′,
直线m’厕’满足m／／／α’
｛
错误;
所以加／／／β或mCβ或m与β相交’
｜
D.若α上β’α∩β＝α’b／／／α’
所以直线m,′,直线n,m位置关系不确定。故选C.
｜
正方体ABCDˉA1B1C1D1中’取平面α,β为平面ABCD’
试题分析:由互相垂直的乎面α’β交于直线／可得／Cβ’再
｜
ADDlAl
’
由＂上β’推导出厕上／.
｜
直线α为AD’b为AlCl ’满足Mα’不满足b／／／α’该说法错误.
2.C
｜
故选A
试题解答:注意考查所给的命题:
｜
试题分析:由题意利用线面关系的判定定理和性质定理逐
@不在同—条直线上的三点确定＿个平面’原说法错误;
｜
一分析所给命题是否正确即可’注意定理运用的准确性.
@两两相交且不共点的三条直线确定＿个平面’该说法
｛
6.C
正确;
｛
试题解答:o若′上α’α上β’则／／／／β或′Cβ’不正确;@若
◎如果两个平面垂直’那么其中＿个平面内的直线不一定垂直‖
l上α’α／／／β’则／上β’不正确;o若／上α’α／／／β’则／上β’正确;
于另＿个平面’可能相交或平行于另—个平面’原说法错误;
｜
@若／／／／α’α上β’则／上β或／／／／β或′与β相交且／与β不垂
@如果两个平面平行’那么其中＿个平面内的直线＿定平
｜
直’不正确.故选C.
行于另—个平面,该说法正确.
｜
试题分析:利用线面垂直、面面垂直的性质判断o;利用线
综上可得’命题正确的是@@.故选C.
｝
面垂直｀面面乎行的性质判断@o;利用线面乎行、面面垂
试题分析:由题意结合立体几何相关的命题和结论逐一考
｜
直的性质判断@.
查所给命题的真假即可.
｛
7B
3.D
‖
试题解答:对于o’″M／″’m上α’由线面垂直的判定定理得
试题解答:由m和″是两条不同的直线’α和β是两个不重
｛
＂上α’故@正确;对于@’α／／／β’mCα’＂Cβ’则m与厕平行
合的平面’知:在A中’ α上β且′n上α’则m与β平行或
｜
或异面’故@错误;对于o’α／／／β’′M″’矾上α’由线面垂直
′nCβ,故A错误;
｜
的判定定理得＂上β’故◎正确;对于@’若α∩γ＝m’
在B中’α上β且m／／／α’则m与β平行｀相交或加Cβ’故B
｜
β∩γ＝厕’矾／／／〃’则α与β相交或平行’故@错误.故选B.
错误;
｜
8.C
在C中’矾上″且则／／／β’则m与β平行｀相交或矾cβ,故C
｜
试题解答:由异面直线判定定理得直线AD与BC是异面直
错误;
｜
线;在平面β内仅有—条直线过点D且与BC平行,这条直
在D中’m／／／网且″上β’由线面垂直的判定定理得m上β’故
｛
线与AD确定＿个平面且与BC平行’即过AD只能作＿个
D正确.故选D.
｜
平面与BC平行;若AD垂直平面α’则过AD的平面都与BC
试题分析:在A中’m与β平行或mcβ;在B中’m与β乎
｜
垂直,因此C错;过点D只能作唯＿平面与BC垂直’但过
行、相交或加cβ》在C中’厕与β平行、相交或mcβ;在D
｜
点D可作无数个平面与BC平行故选O
中’由线面垂直的判定定理得m上β.
｛
9,A
4.A
｜
试题解答:对于A’若m上β’则由面面垂直的判定定理得
试题解答:对于选项A’由″／／／β’α／′／β可得″／／／α或厕Cα,
‖
α上β’故A正确;对于B’若α／／／β’则m与n平行或异面’故
｜
B错误;对于C’若咖〃β’则α与β平行或相交’故C错误;
又m上α,所以可得m上″’故A正确ˉ
对于选项B’由条件可得m上″或m／／／＂等’故B不正确.
｛
对于D’若α上β’则加与″相交、平行或异面’故D错误.故
对于选项C’由条件可得m／／／″或矾’＂相交或m’＂异面’故
｜
选A.
C不正确
‖
l0.C
对于选项D’由题意得m上″’故D不正确.故选A.
｛
试题解答:若b上β’α／／／β’则b上α’因为α上α’所以α／／／b;
试题分析:对每个选项逐一分析’利用综合法或举反例的方
｜
若α上α’b上β则α,b为α’β的法向量’因为α上b’
法进行排除即可得到结论
｜
所以α上β;
5.A
｜
若α上α’α／／／β’则α上β’而α上b’则b／／／β或6在β内;
试题解答:逐＿考查所给的选项:
｜
若α∩β＝α’α／／／b’则由线面平行判定定理得b／／／α或b／／／β.
A,若α上γ’β上γ’α∩β＝α,则α上γ’该说法正确;
｜
故选C.
° 167。
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对于o,由题意知当满足条件时有厕与α相交或″／／／α’故
o不正确;
对于@,由线面平行的判定方法可得＂／／／α且″／／／β,故@
正确ˉ
综上可得o@正确.
故答案为o@.
l6［2何’3徊］
试题解答:因为M’Ⅳ分别是线段AD,BC的中点’
取AC的中点G’连接GM,GⅣ,
所以GM／／／CD’GⅣ／／／AB’
在正四面体中’AB上CD’所以GM上GⅣ,
MⅣ＝√GM2＋GⅣ2＝3√ZGⅣ／／／平面α
正四面体以AB为轴旋转’
当Ceα或Deα时,
射影长最小为2徊’
当CD／／／平面α时,M＼／的射影长取最大为3徊
故线段M＼／在平面α上的射影长的取值范围是［2旧.
3徊］.
lLC
试题解答:对于o’根据线面平行的判定定理’如果平面外
｜
＿条直线α与平面α内＿条直线b平行’那么α／／／α’故正
｜
确;对于@’因为垂直同一平面的两直线平行’所以过空间
｝
＿定点有且只有一条直线与已知平面垂直’故正确;对于
｝
o’平面内无数条直线均为平行线时’不能得出直线与这
｜
个平面垂直’故不正确;对于@’因为两个相交平面都垂直
｜
于第三个平面’所以在两个相交平面内各取一条直线垂直
‖
于第三个平面’可得这两条直线平行’则其中一条直线平
｜
行于另＿条直线所在的面’可得这条直线平行这两个相交
｜
平面的交线’从而交线垂直于第三个平面’故正确.故
｜
选C.
12.A
试题解答:o若加／／／α’″／′／α’则m’则位置关系不定;o若
｜
′n上α’矾上n’则网,α位置关系不定.
@@正确.故选A.
13.o@
试题解答:因为m上α’则m垂直与α平行所有平面中的直
｜
线;所以若m上α’′Cβ’α／／／β’则加上〗;若m／／／』’m上α’则／
｜
上α,′Cβ,则β过垂直于α＿条垂线,所以α上β;
若α上β’m上α’／Cβ’则m’′位置关系不定;
若m上／,m上α,lCβ’则α,β也可相交,
因此正确命题的序号是o@.
试题分析:因为m上α’则m垂直与α乎行所有乎面中的直
｜
线;若m／／／l’则β过垂直于α一条垂线’所以α上β;对于不
｜
成立的可以举反例说明.
l4.oo
试题解答:对于@当／上α’／上β时’根据线面垂直的性质
｜
和面面平行的定义知α／（／β’@正确;
对于@’′上α,α上β时’有′／／／β或′Cβ’所以@错误;
对于o’l／／／α’′上β时’根据线面平行的性质与面面垂直的
｜
定义知α上β’所以o正确;
对于@’′／／／α’α上β时’有』上β或／／／／β或′Cβ或』与β相
交’所以@错误.
综上’以上真命题为@◎.
故答案为oo.
试题分析:o’根据线面垂直的性质和面面乎行的定义判
断命题正确;@’根据线面｀面面垂直的定义与性质判断命
题错误;o’根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断
命题正确;@’根据线面、面面乎行与垂直的性质判断命题
错误
l5.o@
试题解答:对于@’由面面垂直的判定定理可得α上β’故
o正确;
对于@’由题意知’满足条件的平面α’β的位置关系为
α／／／β或α’β相交’故@不正确;
｜
l2
平面与平面的位置关系
1。C
就颖趣答.存∧中＝若‘M／6.b／／／B.则（〗
D］
〔｜
试题解答:在A中’若α／／／β’b／′／β’则α
与b相交、平行或异面,故A错误;在BA｜／厂＿／
‖
中’可以举出反例’如图所示’在正方
｜
体ABCDˉA1B1ClI〕1中’
令AlDl为α’平面ABCD为平面α,
A
（可
／
B
Ml为b’平面A｜BlC｜Dl为平面β’满足α／／／α’α上b’b上β
｜
但是α上β不成立’故B错误;在C中’因为α／／／β’可得在平
｜
面β内存在＿条直线6’使得α／／／b’因为α上α’所以b上α’β.
｜
以α上β’故C正确;在D中’若α上α’b／／／β’α／／／b’则由面百
｜
垂直的判定定理得α上β’故D错误.故选C.
｜
2D
｜
试题解答:由l’ ′′l,n表示三条直线’α,β’γ表示三个平
｛
面,知:
｜
在A中若mCα’″αα’″l／／／″’则由线面平行的判定定理得
｜
网／／／α’故A正确;
｜
在B中’若α上γ’α／／／β’则由面面垂直的判定定理得β上γ
｜
故B正确;
｜
在C中若″!Cβ’则是′在β内的射影’若″l上／’则由三垂线
｜
定理得m上厕’故C正确;
｜
在D中若α上β’α∩β＝m’／上m’则』与β相交、平行或
｜
′Cβ’故D错误.故选D.
｜
3.C
｜
试题解答:@垂直于同＿平面的两个平面不＿定平行’所以
｜
是错误的;
｜
@若mCα’″Cα’m／／／β’″／／／β’则当m’n相交时’α／／／β;
l68.
‖
‖
‖
‖
‖
上
D
′
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当′n’＂不相交时’α／／／β不成立’所以是错误的;
‖
＂上α时, ‘‘厕上β”.“α／／／β”’所以当＂上α时’ ‘‘″上β”是
o若α／／／β’γ／／／β’则γ／／／α成立’所以是正确的;
｜
“α／／／β”成立的充要条件’故A正确;当mCα时’ ‘』n上α”＝
@若α上β’矾上β’则m／／／α或mCα’所以是错误的;
｜
“m上厕”’“′n上″”推不出“″上α”’当肌Cα时’ .‘n上α”是
◎根据垂直于同＿平面的两条直线平行可得’若矾上α’
｜
‘.m上＂”的充分不必要条件’故D正确故选C.
n上α’则m／／／则成立,所以是正确的.故选C.
｜
9.B
4.B
｛
试题解答:由于线段CD的两个端点都可以动’所以″,Ⅳ两
试题解答:A项’若α上γ’β上γ’设过正方体同＿顶点的三
｜
点可能重合,此时两条线段AB’CD共面’由于两条线段互
个平面分别为α’β’γ’则α上β’故A项不合题意;
｛
相平分’所以四边形ABCD是平行四边形’因此AC／／／BD’又
B项’若″l上α’m上β’根据垂直于同—条直线的两个平面平
｜
BDCβ’所以由线面平行的判定定理可得AC／／／β’又因ACC
行’则α／／／β’故B项符合题意;
‖
α,α∩β＝／’所以由线面平行的性质定理可得AC／／／／’故应排
C项’若m上β’α上β’则直线″l在平面α内或与平面α平
｜
除答案A’C’D.故选B.
行’故C项不合题意;
‖
l0.D
D项若″上m’厕上α’则直线m在平面α内或与平面α平
｜
试题解答:若α上β’β上γ’则α与γ可能相交,也可能平
行’故D项不合题意.故选B.
‖
行,故@错误;若／上两点到α的距离相等,则′与α可能
5.D
｜
相交’也可能平行’故@错误;若／／／／β’则存在直线αCβ’
试题解答;对A’符合条件的直线可能砸〃α’故不正确;
｜
使′〃α’又′上α’所以α上α’则α上β’故o正确｀若α〃β’
对B’两个垂直平面内的两条直线不＿定垂直’故不正
｜
且′〃α’则′Cβ或′〃β’又由′αβ’所以′〃β’故@正确
确;对C’直线厕与平面α内的无数条直线垂直并不
｜
故选D
能推出直线垂直平面内的任意＿条直线’故不正确;对
｜
1LB
D’根据面面垂直的定义.叮证明侧个平圃垂直故
｝
试题解答;若、α,β相交｜, ,有可能直缉腮》＂相交｀’ ′所以不
选D
｜
是充分条件’反过来’若α’β不相交,即α／／／β’也就能推出
｜
m〃厕’即m’厕不异面’这个命题的逆否命题就是‘m’″异
6.A
试题解答;对于A’若′上α,』〃β’根据线囱垂直线面平行
｝
面,则α,β相交｀’ ,所以是必要不充分条件故选B
的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α上β’故A正
｜
‖
l2.D
确;对于B若′〃α’m〃α’则′与m平行、相交或者异面’故
｜
试题解答;A经过平面外＿点有无数个平面与已知平面
B错误;对十c｀若』〃α』!上腮》则咖与α叮能平行,故C错｜
垂直;故不止确B经过平面外.点有元数条直线与已知
误;对于D’若′〃α’α∩β＝m’则／与m可能相交’平行或者
｜
平面平行’故不正确C经过平面外＿点有＿个平面和已
异面’故D错误故选A。
｛
知直线垂直,这个平面中的过这个点的所有直线均和已知
7。C
｜
直线垂直’因此这样的直线有无数条,故不正确.D.经过
试题解答:由直线／上平面α且α／／／β可以得到直线／上平面
｛
｛
平面外＿点有且只有＿条直线与已知平面垂直’根据课本
β’又由直线mC平面β’所以有／上m,故o为真命题;
…线………富线坪行于平邮蕊在
!
蕊谰剿照…燕输藤输例子来避衔
平面β内’又由直线mC平面β,所以／与m可以平行｀相交
‖
｛
排除.
或异面’故@为假命题;
因为直线／上平面α且／／／／矾可得直线m上平面α’又由直线
｜l3.卫4
4
3
mC平面β可得α上β’故o为真命题;
｜
试题解答:由题意可知’满足AlP≤√百的点P是以Al为球
由直线／上平面α以及／上m可得直线m平行于平面α或在
｛
｜
心’石为半径的球及其内部的点’又因为点P在正方形
平面α内’又由直线mC平面β得α与β可以平行也可以
｜
｜
ABCD的边界及其内部运动’所以平面区域Ⅳ是以A为圆
相交’故@为假命题.所以真命题为@o.
故选α
』
心,l为半径的圆的＋,所以可知″的面积是哥;设点」1
8.C
｛
到平面PBC的距离为h＝2’所以四面体PˉAlBC的体积为
试题解答:当mCα时’“″／／／α”＝“m／／／＂”或m与″异面’
｜
÷″s△″‘＝÷s△″c,所以当点P是川D的中点
‘‘m／／／厕,,＝〉“″／／／α或″Cα”’所以当mCα时’ ‘‘″／／／α’’是
｜
“m／／／n,,的既不必要又不充分条件’故C错误;当mCα时’
｜
时,S△pBc取得最大值为2’四面体PˉAlBC的体积的最大
‘』m上β’’＝』‘α上β”’ ‘‘α上β’推不出“砸上β’』’所以当mCα
｜
时』』』帅」β′是』α上β,的充分不必耍条件,故腮正确当‖
值是÷
。l69·
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‖
四棱锥高为h＝2’
｜
所以它的体积是＋×2×2二÷
｛
故选D.
｜
试题分析:由三视图可知’几何体是一个底面是正方形的四
｜
棱锥’且一条侧棱垂直于底画求出底面积和高’即可求出
｜
体积.
｜
3.C
｜
考点:由三视图求面积｀体积
｜
试题解答:螺栓由＿个正六棱柱与一个圆柱组合而成’其中
｜
正六棱柱的高为1,底面正六边形边长为2’圆柱高为6’底
｜
面圆半径为l.因此螺栓的表面积为正六棱柱表面积与圆
｜
柱侧面积啊正六棱柱的-个底面积为6×乎×2:＝6‘
｛
正六棱柱的侧面积为6×l×2＝l2’圆柱侧面积为2∏×l×
｜
6＝l2∏’因此螺栓的表面积为2×6徊＋l2＋l2∏＝l2徊＋
｛
l2＋l2∏.
｜
故选C.
｜
试题分析:由已知中的三视图可得:螺栓由一个正六棱
｜
柱与一个圆柱组合而成’根据柱体表面积公式’可得
｜
答案.
｜
4C
｜
考点:棱柱的结构特征’棱柱｀棱锥、棱台的侧面积和表面积
｜
试题解答:球心在平面BCClB｜的中心O上’因为平面
｜
ABC上平面BBlC1C所以BC为过A,B,C三点的截面圆的
｜
直径’所以么BAC＝90。’底面外接圆圆心Ⅳ位于BC中点’
｛
△AlB1C］的外心M在BlCl中点上’设正方形BCC1B｜边
｜
长为x｀在Rt△o″c］中,oM＝÷〃C! ＝苛》OC｜＝R＝l ,
｜
所以（÷）』＋（÷）』-｜即“三阿则峨＿“-｜.所｜A
｜
S矩形ABB‖A｜＝√百×l＝徊故选C
｜
5.D
｜
考点:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
｜
试题解答;由题意,得Bc为直径,△BCD的最大面积为ˉ当ˉ
｛
×4×2＝4,三棱锥AˉBCD体积最大时’AO上平面BCD,≡.
｜
棱锥的高为2’
｜
所以三棱锥AˉBCD的表面积为4×2＋2×＋×2徊×亿＝
｜
8＋4厄
｜
故选D.
｜
斌题分析…,Ec…,M切约最…为÷…
｜
2＝4’三棱锥AˉBCD体积最大时’AO上平面BCD’三棱锥的高
｜
为2’即可求出三棱锥AˉBCD的表面积.
l70.
l4.不能确定
试题解答:若α’bCα’c’ⅢCβ’且α／／／c’b／（／Ⅲ’则平面α与平
面β可能平行,可能相交.
l5.O@
试题解答:根据面面垂直的判定定理易得o正确;
根据面面平行的判定定理’可得由于m与n不一定相交,
故命题@为假命题;
如果mCα’＂αα’m,Ⅶ是异面直线,那么n与α相交或平
行’故o也为假命题;
若α∩β＝m’n／′／矾’且″αα’″αβ’根据线面平行的判定定
理’可得@为真命题;
故答案为o@.
试题分析:根据线面垂直的判定定理’可判断@的对错;根
据面面干行的判定定理’可得到@的真假;根据空间线面关
系的定义及判定方法’可以得到o的正误’根据线面平行的
判定方法’易得到@的对错;结合判断结果’即可得到答案.
l6.@@
试题解答:@两个平行平面中’其中任一平面内的任意直
线平行于另一个平面,所以正确;@α’b与平面所成角相
等’可以是异面直线’故错误;◎同垂直于一个平面的两个
平面可以相交’例如墙角’故错误;@垂直于同＿直线的两
个平面平行’正确’故填o@.
l3
空间几何体的表面积和体积
l.A
考点:由三视图求面积、体积
试题解答:由题意,将楔体分
割为三棱柱与两个四棱锥的
L＝
组合体’作出几何体的直观图如图所示,
沿上棱两端向底面作垂面’且使垂面与上棱垂直,
则将几何体分成2个四棱锥和1个直三棱柱’
则三棱柱的体积γ!＝十×3×2×2二6,＂棱锥的体积临＝
上×l×3×2＝2’
3
由三视图可知两个四棱锥大小相等,
所以V＝V1＋2J／2＝l0立方丈＝l0000立方尺.
故选Aˉ
试题分析:由题意’将楔体分割为l个三棱柱与2个四棱锥
的组合体,利用所给数据’即可求出体积.
2.D
考点:由三视图求面积、体积
试题解答:由三视图可知,几何体是＿个底面为正方形的四
棱锥,且＿条侧棱垂直于底面底面对角线的长为2,底面
面积是S＝（徊）2＝2’
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A
考点:球的体积和表面积’球内接多面体
;十旦而色涩锤°山旦J『『音田胎S』—q尸
S
渺
由底面三边长为3’4’5’
故底面外接圆半径′二÷,
球c到底面的距离‘二÷’
故球半径R-芋,
故外接球的表面积S＝4∏R2≡50∏,
故选A.
试题分析:由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视
图为底面的三棱锥’其夕卜接球相当于以俯视图为底面的三
棱柱的外接球’进而得到答案.
l0.C
考点:球的切、接问题
试题解答:设内切球的半径为r’则利用轴截面’根据等面
积可得÷×2×′叮-丁二十×（3…2）所,所以′二粤,
所以该圆锥内切球的表颇积为4而×÷-2而
故选C.
试题分析:设内切球的半径为r’则利用轴截面’根据等面
积法可得厂’即可求出该圆锥内切球的表面积.
ll.B
考点:由三视图求面积、体积,棱柱｀棱锥｀棱台的侧面积和
表面积
试题解答:依题意’该几何体由＿个圆锥以及—个四棱柱拼
接而成’圆锥的侧面积为Sl＝√昂了’底面积为∏棱柱的表面
积为S2＝（2＋4）×4×2＋4×2＋2×2＋2×√I7×2＝24＋
2
8＋4＋4√I7＝36＋4√I7’
故所求几何体的表面积为36＋4√I7＋（√百ˉl）∏.
故选B.
试题分析:依题意,该几何体由一个圆锥以及一个四棱柱
拼接而成’由面积公式求出表面积.
12.B
考点:棱柱棱锥｀棱台的体积’均值不等式在函数最值中
的应用
试题解答:由题意’长方体ABCDˉA1BlClDl的体积DC。
CC1 .BC≡4DC。CC1≤4×（DC＋CC］）2 ≡64’当DC＝
4
CC1＝4时取等号’此时长方体ABCDˉA1B1ClD1是棱长为
4的正方体,／V的轨迹是平面AlB1C1D1中’以Cl为圆心’
√冒为半径的圆的＋’设M在平面A1B!cl″!中的射影为
O’则O为AlBl的中点’OⅣ的最小值为石’所以线段Mγ
的最小值是√i6ˉ干了＝√面T
故选B.
试题分析:将长方体的体积用均值不等式得到为正方体时
取最大值,进一步求出M＼／的最小值.
6
√3
B
则S球＝4订R2＝L匹
3
,
故选A。
试题分析:由题意S在底面上的射影是AB的中点,也是底面
夕卜接圆的圆心’求出球的半径’即可求出外接球的表面积.
7.A
考点:球的体积和表面积
试题解答:菱形ABCD中,乙DAB＝60。’AB＝3,三角形ABD
＂外接圆的半径为÷×粤×］二β.内切圆＂半径为粤,对
角线AC与BD的交点为O’把菱形ABCD沿对角线BD折
起’使得乙AOC＝90°’则折得的几何体的外接球的半径为
√（腐）1（粤）』孪
C
】
0
‖
】
‖
0
（孪）2
外接球的表面积为4∏×
≡l5∏
故选A.
试题分析:利用几何体求出外接球的半径’然后求解几何体
｜
的表面积即可.
8.C
考点:棱柱、棱锥｀棱台的侧面积
试题解答:延长EF’分别交
D≡尺E
C｜
｜
A1Bl ,A1Dl于P’0两点’由题
意知上半部分面积是△Al0Gd｜
面积的2倍’设正方体棱长为
1’则S上＝2S△Al0G＝2×上×
2
G
÷×÷二1
』
B
又因为正方体的侧面积和为4’
所以正方体的四个侧面被截面α截得的上｀下两部分面积
｜
之比S上:S下≡l
: 3.
故选C.
试题分析:延长EF’分别交AlBl ’AlDl于P’0两点’由题
｜
意知上半部分面积是△AlQG的面积的2倍’由此能求出正
｜
方体的四个侧面被截面α截得的上｀下两部分面积之比
｜
9.A
考点:由三视图求面积、体积
试题解答:由已知中的三视图可得:该几何体是＿个以俯视
｜
图为底面的三棱锥’其外接球相当于以俯视图为底面的三
｜
棱柱的外接球,
。17l
互尸≥P
D
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隔＝÷×＋×s×7×］＝28,
所以五面体的体积V＝V1＋‖／i＋｜／j＝2l＋35＋28＝84（立
方尺）.
故答案为84·
试题分析:五面体EFˉABCD中,四边形ADEF,ABCI）,
EFBC均为等腰梯形’EF／／／AD／／／BC’连接BE’BD’AE’得到
三个三棱锥,设三棱锥BˉAEF的体积为‖／l ’三棱锥BˉAEl）
的体积为L’三棱锥BˉDEC的体积为‖／j’分别求出三个
三棱锥的体积,相加即可求出五面体的体积.
｜6嘉
l3.2徊
考点:球的体积和表面积
试题解答:由题意可知’四面
体ABCD的对棱都相等’
故该四面体可以通过补形补F
成＿个长方体’如图所示.
γ
~
~
~
~
~
｜D
~
~
设AF＝如’BF≡γ’CF＝z,
｜
则√则2＋z2＝√尸ˉ干了＝√百’
B
2
（″十严）-9丽,
又4而×
可得卯＝γ＝2’所以α＝｀／Fˉ下7＝2√Z
故答案为2√Z
试题分析:由题意可知’四面体ABCD的对棱都相等’故该
｜
四面体可以通过补形补成一个长方体,在长方体中标示出
｜
长度即可得到α的大小.
l4（0,÷）
考点:利用导数求闭区间上函数的最值’棱柱、棱锥、棱台
｜
的体积
试题解答:因为PF上EF’PF上AF’EF∩AF≡F,所以PF上
｜
平面ABCEF’设DF＝豹（0＜卯＜l）’则EF＝如,删＝2—绷,所
｜
以S…-s…“—s…＝÷×（l＋2）×lˉ上x!＝
｜
2
＋（3—蜒2）,所以五棱锥PˉABc〃的体积v（篮）-＋×
｜
÷（3ˉ鳃2）Ⅸ＝÷（3鸳—甄j）,令′（躯）二＋（｜＿鲸2）二0’
｜
得邱＝l或z＝-l（舍去）,当0＜卯＜1时,V′（卯）＞0’V（卿）
｜
单调递增’故V（0）＜V（狐）＜V（1）’即V（卯）的取值范围
是（0,＋）
考点:棱柱、棱锥｀棱台的体积
试题解答:设球半径为R’正方体棱长为α,由题意得当Ⅱ
方体体积最大时:
α』（孕）』-孺,所以腮-华,
所以所得工件体积与原料体积之比的最大值为
α3
α3
历
十×竿≡骋×（今）』—万
放答案为罢
试题分析:设球半径为R,正方体棱长为α,求出当正方体
体积最大时对应的球半径’由此能求出结果.
l4
点到平面的距离
l.C
试题解答:以D为坐标原点’DA,DC,DD1分别为厕轴
y轴,z轴建立空间直角坐标系,则
B｜（2｀3,2）,c（0,3’0）,圆（2,÷,0）』D｜（0』0,2）,D!c＝
～～-→
｛
（0｀3,ˉ2）,硒＝（2,—÷,0）,瓦可＝（—2,＿3.0）,
｜
平面DlEC的＿个法向量为＂＝（卯,γ’z）
’
｛｝…｝（玲ˉ÷＂）ˉ叭褥｛野÷‰
｜
所以
（绷,γ’z）
. （0’3,ˉ2）＝0’
3γ＝2z’
｜
取＂＝（＋,÷,÷）,所以点B｜到平面D』圆C的距离为
｜
｜厕｜咖鼠呵,＂》
｜- ｜‘｜帛广＂
｜-＋］
＿
——≥
√6T
l2
故答案为（0.÷）
试题分析:将DF设为匆,把棱
用导数求函数的最值。
84
考点:棱柱、棱锥｀棱台的体积
试题解答:如图’五面体EFˉ
ABCD中,四边形ADEF’ABˉ
CD’EFBC均为等腰梯形’
EF／／／AD／／／BC’△ABF,△CDE
均为直角三角形,
EF＝6’AD＝10,BC＝8’
EF到平面ABCD的距离为3,
冗,把棱
也F别＋回A〃C〃田lrE禹刀j,
锥的体积表示为卯的函数,
l5
C
d
｜8黑故选o
2·A
试题解答:折起前,由已知得AB≡2,A″＝MB＝MC＝l
’
BC＝何’
由△AMC为等边三角形,取C″中点D’则AD上C″’AD交
‘C于g则An二粤.n阀＝?.“二罕
F
E
AD与BC的距离为7,连接BE,BD,AE,
得到三个三棱锥’设三棱锥BˉAEF的体积为V1 ,三棱锥
BˉAED的体积为J／i,三棱锥BˉDEC的体积为陷,
则v｜二＋×÷×6×3×7二2l,
岭＝＋×÷×｜0×7×3＝35’
~
~
~
~
l72
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折起后,由BC2＝AC2＋AB2 ,知乙BAC＝9（）。,
又cos乙ECA＝但
q
’
7
所以AE2≡CA2＋CE2-2CA.CEcos乙ECA＝二
勺
’
〕
于是AC2＝AE2＋CE2.
所以乙AEC＝90。.
因为AD2＝AE2＋ED2,所以乙ˉAED＝90。’
所以AE上平面BCM’
即AE是三棱锥AˉB咖的高’AE＝匝
3
设点″到平面ABC的距离为∧’
旧
因为S△BcM＝4
,
所以由旧ˉBCM≡‖／MABC,
可得＋×?义乎-＋×＋×徊×］×″,
所以h＝上
2
故选A
3·B
‖
5.D
!
;寸甄鲤饺.士旦肝音弥旦守玄＝棒剧↑÷Dˉ』P尸
D
试题解答:由题意,得该三棱锥PˉABC
是棱长为1的正方体的—部分（如图C
所示）’且外接球的直径为正方体的体
对角线’易知PD上平面ABC,且点D
到平面ABC的距离是外接球上的点到
P
平面奶C的距离的最大值,为÷×
√l:带｜2带｜剪＝竿故选u
6D
试题解答:因为棱长为1的正方体ABCDˉ』
试题解答:因为棱长为1的正方体ABCDˉA
／
0
0
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
了
0
~
~
~
~
lB1ClD1中’E,F
分别为棱AA1 ’BBl的中点’
所以″｜阿二粤,
因为AlBl／／／EF’所以点G到平面DlEF的距离即为点Al
到平面D1EF的距离’设这个距离为九,
因为s△o』″二十×f×］＝粤.s…ˉ4
,
购!啊″-v…』腮’所以＋×月△″‖″×h＝＋×s…×
″.所以h＝罕
所以点c到v面″｜〃的腺离为罕
故选D.
7.D
试题解答:因为F是PA的中点,所以P到平面BEF的距离
等于A到平面BEF的距离’设A到平面BEF的距离为h’
△月″中,圈圆二月′二厄″二亿,s…-十×佰×乎.
所以＋s△…h二＋s△蛔矿d′二＋×÷×2×2×l,可
得咖-等!,即′到平面″″的贩离为全寸红故选］1
0
0
~
~
~
~
~
~
~
~
~
P
试题解答:因为三棱锥PˉABC的所有顶点
都在球O的球面上’PA为球O的直径且
PA＝4’所以球心O是Rl的中点’球半径
R-oc二÷〃＝2,过o作oD」平面刹
ABC’垂足是D,因为△ABC满足AB＝
2√Z乙ACB＝90。’所以D是AB的中点,
且AD＝BD＝CD＝√Z所以OD＝
／
C
】
0
C
＼
L
√OC2ˉCD2＝√耳ˉ＝百＝√Z所以点p到底面ABC的距离为
Ⅲ＝2OD＝2√Z故选B
4D
试题解答:由题设AB＝AC＝AD’故顶点A在底面内的射影
是底面△BCD的外心’故命题o是正确的;四面体中的四个
面中最多有四个直角三角形’如图a’故命题◎是正确的;对
于命题@’如图b’尽管AB上CD,AC上BD’点A在底面BCD
内的射影不是△BCD的内心’即命题@是错误的;若四面体
的6条棱长都为｜,则它＂体积为‖～＋×卓×］:×
√｜—（÷粤「≡肾｀义设其内切球的半径为雁则‖-＋×
＾×￥×萨二肾≡『＝宵则N-4丽产-4丽×（普）2二晋.即命
题@也是正确的.故选D.
P
‖
】
】
~
~
‖
8.B
｜
试题解答:不妨设到点A’平面β’平面γ的距离为卯,
｛
则有绷2＋则2＝（徊ˉ＂）2或绷2＋绷2＝（何＋厕）2.
｜
两方程解得两个根,故共有两个点符合题意.
‖
故选B.
｛
9.B
｛
试题解答:设点A到平面AlBC的距离为h.
｛
因为阴lˉABC≡J／』ˉAlBC,
｜
所以＋S△…删』二＋s△…瓜
｜
所以＋×何×l＝寺×2×h
〕
〕
｜
所以h-等
｜
故选B.
l73
.
D
C
A
C
J4
B
b
∏
〃
α
‖
夕
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l0 A
试题解答:如图所示’建立空间
直角坐标系’则A1 （0’0’ l）
’
Dl （0,l ’l）’B（l ,0,0）’B1 （1 ,
0｀l）′鹰（l,0,÷）』
——〉
一
据此可得A1Dl≡（0’l,0）,A1E＝
（l,0,ˉ÷）,
（1,M’
2）’
｜
即＋×十×l×巨×帅二＋×÷×l
2
｜
所以h二乎
剧
故糯案为等
｜
14.√5可
｜
试题解答:过点0作QⅣ上平面ABCD’垂足为Ⅳ’
｜
则点Ⅳ在线段AC上’连接PQ’PⅣ’
｜
在Rt△pⅣ0中’p0＝√QⅣ2＋p／V2＝√（4√面）2＋pⅣ2’
｜
在平面ABCD内过点M作ME上AC’垂足为E’则ME＝2
｜
即M到直线AC的最短距离为2’
｜
又P″＝l’当P巨″E时’此时PⅣmin＝MEˉl＝l’
｜
所以P0恤二√（4徊）2＋l2＝涵
｜
6
｛
15.丁
｜
试题解答:设C到AB的距离为h’
｜
在△ABC中’乙A＝30。’乙B＝60。,AB＝2’
｜
所以乙C＝90°’BC＝l’AC＝旧’
｛
所以h二儡等‘粤｀
目＝
｜
因为平面ABC与α所成角为30。’
｜
所以点c到平面α的距离为粤;i＂30.二冬
△
｜
归
｛
l6-＿
2
〃
Cl
B｜
』
U
≥卢
〃
』拭
／／″｝
′＞
0
EA′止ˉˉˉˉ＿
D
—
~~~~
／
］
B‖′
《
／
x
设平面A1D1E的法向量为m＝
（“1
’
γ1
’
z1
）
,
（｜工｝≡＂
则
据此可得平面A1DlE的＿个法问量为加≡（l’（）,2）
’
—尸
而C（l,l ,0）,据此有AlC＝（l ,l,-l）
’
＿＞
测点c到平厕…胸距离为M｜｜÷｜卿｜≡志≡罕
故选A.
试题分析:建立空间直角坐标系,结合题意得到点的坐标’
然后利用空间向量求解点面距离即可.
B
试题解答:过点C作C″上AB于″’则由三垂线定理得
C1M上AB,所以乙CMCl为二面角CˉABˉC1的平面角,
△c删C!二60·,cc｜二÷,
因为此』—蛔‘＝＂…』,所以÷×?×｜2二d×＋×徊×］
所以d-;故选u
D
试题解答:如图,AP≡8,乙H4P＝60°’
所以HP＝AP. sin60°＝4扛
故选D
ll
试题解答:连接A1C,AC,B1C,
D1C,分别取AC,BlC’DlC的中A｜
点E,F’G,
连接EF,EG,FG
P
由中位线定理可得PE坐＋d］C』
A
0F上散!C’RG上祭｜c
又A1C上平面P0R,
所以三棱柱P0RˉEFG是正三棱柱.
C
‖
勺
▲
］
（
~
~
／
B
~~~~~~~~
‖
／
所以三橇柱的高h二′圆-争｜C二粤
故答案为罕
△
l5
线到平面的距离
A
l虱等
试题解答;取CC′的中点O’连
接D′O,OE,OF,D′F,
忽4
则△D′FO的面积
S＝12ˉ2×上×l×上＿上×
2
2
2
l
l
3
—×—≡
2
2
8
〃
P
D′
C′
｜
l.A
｛
试题解答:如图,连接AC交BD
O
｜
于O,在三角形CClA中,易证么4
｜
OE／／／ClA’
C
｜
所以C｜A／／／平面BDE.
｜
所以直线ACl与平面BED的距
b’
｜
离即为点A到平面BED的距离’
A｜
｜
设为h.
／恿
D
℃
‖
s、、～B
＼、K
｀
0
D巴＿一」｀p
≠
F
广
~
（
＝＝＝＝、
B
点F到平面A′D′E的距离等于点F到平面OD′E的距离／l’
由等体积可得VFˉ（）D′E＝V囱ˉD′F0,
l74
≈
≈
≈
‖
卜
〗
≈
≈
≈
■
≈
~
~
~
≈
≈
~
~
D｜匹＿ˉ
夕
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在三棱锥酗BD中’‰雌″＝＋s…×Ec-＋×＋×2×
2×徊～竿
在三棱锥AˉBDE中’BD＝2√ZM＝佰’DE＝厄
s…＝÷×2徊×√百二页＝2徊
所以随〃』二＋S…×h-＋×2徊×h＝垄
3
.
所以h＝l。
故选A.
2。D
试题解答:因为EF＝2,点0到AB的距离为定值’
所以△0EF的面积为定值’设为S.
又DlCl／／／AB’DlClα平面0EF’ABC平面0EF’
所以DlCl／／／平面QEF,
所以点P到平面QEF的距离也为定值’设为α.
所以四面体′ˉ0″的体积为定值＋s‘故选0
3.D
考点:直线与平面的位置关系
试题解答:若BE／（／平面〃D,而BC／／／平面PAD’所以平面
PBC／／／平面PAD’矛盾’所以A’B不正确.取PD的中点F’
取AB的中点G’连接EF’AF’GF,依题意有EF＝l ’AF≡
何,″-何.故…〃‘＝3击1二÷＞粤,故△″c＜
30。,线面角为直线与平面内直线所成角的最小值’故BE与
平面P』D所成角小于30°.
4.D
考点:正方体的性质
试题解答:根据题意’对于A’直线A1B和直线AC所成角的
大小为60°’利用平移法可知成立.对于B,由于AC／／／AlCl
’
则可知直线AC／／／平面DAlCl成立.对于C’二面角BˉABlˉC
的正切值是徊’根据二面角的定义’在线段ABl上取中点连
接’求解得到成立.对于D’直线A1Bl到平面ABClDl的距
离为粤α故选u
△
‖
6.C
｛
试题解答:设球心为（）’O到截面的距离为h’AB＝6,BC＝
｛
8,AC＝l0’△ABC为直角三角形且乙B＝90。,设斜边AC的
｜
中点为（）′ ’则O′是过A’B’C三点的截面圆的圆心’所以
｝
OO′与截面圆垂直在直角三角形AOC中’因为0C二5徊’
｛
O′C＝5’可求得OO′＝5.故选C.
‖
7.B
试题解答:连接AB′和A′B,设AB＝α’可
得AB与平面α所成的角为乙剔B′＝
矛’在Rt△酗B′中有咽′＝粤α,同理可
得AB与平面β所成的角为乙A剔′＝
:’所以A′A＝÷侧,因此在R［△姐′B′
α
A
B
【
β
B
4
〗
∑
）
α
］
—
∑
／
』
｜
＼
∑
＼
‖
｜
／
α
徊
—
〗
（
′
√
α
~~
′
Ⅱ
′
』
●
■
Ⅱ
』
以
所
’
α
］
—
∑
~~
中’A′B′≡
＋α＝2; l,因为α＝AB＝l2,所以A′B′二6故选B
～
8.B
考点:空间线面关系的判定｀线面距离的计算
试题解答:可由题设知A1在平面ABCD内的射影在AC上’
由公式cos0＝cos01cos02得直线AA1与平面ABCD所成
角0」的余弦值为粤,故A」D｜到平向ABCD的距离感＝
△
＂＂d｜二f也可直接山向量方法计算
9.D
试题解答:用坐标法’建立空间直角坐标系O-卯）z,使坐标
平面如Oγ为平面α’且设点A的竖坐标为α,则点B｀C的竖
坐标为ˉb’ˉc’类比于平面直角坐标系中的三角形重心公
式得重心‘的竖坐标为舅懈＝侧＿4—c,所以重心c到平面
α的距离为｜舅‘｜＝｜感ˉ÷ˉ′｜故选u
l0.A
■
~
~
~
~
‖
B
试题解答:如图,过点A作
M上平面α’由AB／／／CD,
CDC平面α’可知AB／′／平
面α’则OA为AB到平面
α的距离’连接OC,则
乙ACO＝60◎,
在Rt△ABC中,AB＝2,BC≡
-
ˉ-
＝
≡≡
’
】
4
／
／‘
5.A
试题解答:在直三棱柱ABCˉA1BlCl中’AA1 ˉL底面ABC’则
Ml 」ˉAB,AA1上AC,则二面角BˉM1ˉC1的平面角即为
乙BAC’且为60°,B到平面ACl的距离等于何,即为B到
AC的距离为何’同理’C到AB的距离为2√可’在△ABC中’
-→——〉
＿一＿》
可得BC＝2何’AB＝2’△ABC＝90。’则ABl .BCl＝（BBlˉ
ˉ-＝》
-—-＋—〉
BA）
. （BBl＋BC）≡4’
｜硕｜＝2√Z｜丽｜＝4,则cos〈〗瓦丽〉＝
4
＝但
2√页×4
4
D
在Rt△ABC中,AB＝2,BC≡AD＝4’所以AC＝√』B2＋BC2≡
2√百’即在Rt△AOC中’斜边AC＝2石’
所以〃-“,i＂60.二2占×粤二√∏故选｀
B
考点:考查球与几何体的关系’球心到截面距离的计算,知
识的综合运用
试题解析;易知奶CO是正四面体’故娃高＂二孪球的
2
2
（孪＿尺）＋（竿）,即尺≡『.所以
半径为R,则R2＝
＂-巫粤-窖故选凰
3
l］
~
~
~
~
~
′
2
√I可
则乳＂厕,丽）弓√lˉ厉—丁
即｜an〈厕’F可〉＝倾
故选A.
■
l75
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l2·B
试题解答;如图阀‘＝｜×舅j＂哥二粤＝
E
FG’ △EGF＝;,所以EF＝
√EG2＋FG2＝l＝OE＝OF.
B
l6m＋∏Ⅲ
『川
试题解答:因为CD在平面α外’CD／／／BA’BAcα’
所以CD／／／平面α.
作CCl上α’C1为垂足,则CC1就是CD和平面α的距离
作OO｜上ACl于O1
,
因为CC｜上ACl ’所以OOl／′／CCl.因为CC｜ˉ上α’
所以OO1上α.
所以OOl是O到平面α的距离,即OOl＝〃.
在梯形A凋cD中,羔-器＝号,所以器＝刚等′』
OCl —AC-Ⅱ1ˉ±」1,所以CCl＝l11土卫〃.
在平面ACC｜内’厕∏
矾
m
因此,CD到平面α的距离为l11ˉ±ˉⅡd.
″l
」4
‖
×
曰
伊
似■
■
凸
＝
＝
夕
~~
~~
辈
◎
β
】
』
弘
司
〗
■
口
′
『
■
■
·
｀
0｀
】
扩p
）k么ˉˉ-ˉˉˉˉˉ＝＝ˉ
／O
／C
所以巫OF＝:,所以点E,F在该球面上的球面距离为
÷×l＝÷
故选B.
3√丽而
l3
5
｜
｜-｜凸一ˉ｜
』. ’OOl
AO
矾
试题解答:由已知,要有DM上BⅣ,利用三垂线定理’只需
｜
｜
因此,CD到平面α的距离为l11ˉ±ˉⅡd.
考虑DM在平面BCClBl的射影C″l与BⅣ垂直’如图l’
｜
m
由平面几何知识可知Ml为BBl的三等分点,如图2所
｜
l6
线面平行的性匠
示此时,动点M的轨迹即为过CMl与平面BCClBl垂直
｜
的平面α与球O面相交截得的圆’此时球心O到此圆面
｜
lC
的距离,即为o｜到c″｜的距离o｜〃由于c删」＝硕＝
｜
试题解答;如图’连接C｜″,BD’
2侄哑｜≡亿′‘≡』阀,〃』c≡］斯以…圈c＂｜≡｜硼f删睬瓣剿」
而｀c…‘删! -方,所以…o｜刚」宣….—
咐
＂错谩;
l
｜
因为BD在平面ABCD内,由线面
△‘c卿｜）-粤（方方）≡志则M-co广
｜
平行的判定定鳃可得咖〃平而』
｛
ABCD,D正确;
…｛÷卿…衅筛′揩「—（亩「≡｝＂撼粟……」』
望,,临求轨…长匙～2呵≡需』孕应｜
圈为…面…｜所以｀帅上
目二
√l0
｜
故选C~
填答案3孕
｜
试题分析;先利周三蔚形中健巍定2
←←
＾＾
丙元
.
盂←
△∩∩
△
一距白
▲
l6
线面平行的性质
｜
｜］」凹驯／＂坚＾～＝°
｜,」’…. ,〃
｜凸d
｀判定
Dl
C
B
｛
ABCD,D正确;
｛
因为CC1上平面ABCD,所以CCl上BD’所以MV与CCl垂
｜
直’A正确;
｜
因为BD上平面ACClA｜’所以’M＼／上平面ACClA｜’B正确
｜
故选C~
｜
试题分析:先利用三角形中位线定理证明MM／／BD’因力
｝
BD上CC1 ,BD上乎面ACC1A1 ,可得A,B,D正确,从而可‖『
｛
结果。
｜
2D
｜
试题解答:由正方体ABCDˉAlBlClD｜的棱长为2’知:
｝
在A中’直线AlCl c平面AlBlC｜Dl ,BDl α平面
｜
AlBlClDl ,Dl任直线A｜Cl ’由异面直线判定定理得直线
｜
AlC1与ADl为异面直线,故A正确;
｜
在B中’因为AlCl ／／／AC’AlClα平面ACD｜’ACc平面
｛
ACDl ’所以A1Cl／／／平面ACD｜’故B正确;
‖
在C中,因为正方体ABCDˉAlB1ClDl中,ACˉLBD’AC」ˉ
｛
DDl ’因为BD∩DD1＝D,所以AC上平面BDD1 ,所以BDl
」ˉ
｛
AC,故C正确;
｝
在D巾’三棱锥〃!ˉ」DC的体积为vD「删′c-＋×十×2×2
｜
×2-÷故D错误
‖
故选D.
｛
试题分析:在A中,由并面直线判定定理得直线AlCl
上′
｜
ADl为并面直线;在B中’由AlCl ／／／AC’得A‖C｜／／／乎面
l76.
D］
C］
几
／
B］
C｜
』l
M
（）｜
0
0
b
0
＼｛D
≈＝＝■二
G
C
M
P斤
P斤
（
d
B
B
图l
何＋l
2
试题解答:由题意知折起后原正方形顶
点距离最远的两个相差为l ’如图中的
DC,折起后原正方形顶点到底面的距离
为＋,如图中的BC,由图知鸡壁中心
（球心）与蛋巢底面的距离OF＝
√「≡于＋早
5cm或lcm
图2
l4
l5
×
／Ⅳ｀
0
p
D哆ˉ
尸
≈≈
′
夕
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MDl ;在C中,由AC上BD’AC上DDl ’得AC上平面BDDl
’
｜
从嗣BD｜上“;在D中,二棱锥D!—』pc的体积为÷
3.C
试题解答:若／与m为异面直线’／Cα’mCβ,则α与β平行
｜
或相交,A错,排除A;
若α／／／β’／Cα’′′lCβ’则／与m平行或异面’B错’排除B;
｜
若α上γ’β上γ’则α／／／β或α,β相交’D错’排除D.故选C.
｜
试题分析;对于A’可利用面面平行的判定定理进行判断;
｜
对于B,可利用线线平行的判定定理进行判断;对于D’可
｜
利用面面垂直的性质进行判断.
4B
试题解答:对于A’若直线l平行于平面α’则／与α内的任
｜
意＿条直线平行或异面,A错;
对于B’若直线!与平面α相交’则／不平行于α内的任意
｛
＿条直线,B正确;
对于C’若直线／不垂直于平面α’则／可垂直于α内的无数
｜
条直线,C错;
对于D’若直线／不垂直于平面α’则过／的平面可垂直于α’
｜
D错.故选B
试题分析:利用线面干行的性质与线面垂直的性质’对选项
｜
中命题逐一判断’即可得结呆.
5.B
试题解答:当m上α且几上m时’我们可以得到厕／／／α或nC
｜
α（因为直线＂与平面α的位置关系不确定）’所以充分性
｜
不成立;当″〃α时’过直线厕可作平面β与平面α交于直
｜
线α’则有＂／／／α.又有矾上α’则有m上α’即′n上″.所以必要
｜
性成立故选B.
6.A
误;D中’α／／／β’αCα’则由面面平行的性质定理得α／／／β’故
D正确ˉ故选Dˉ
8.B
试题解答:o根据面面平行的性质,m’″的位置关系不确
定’所以@错误.
@中’由面面垂直的性质定理’″／／／α或″在平面α内’并不
能推出m／／／〃’所以@错.
◎中’由条件可知m上β’而网／／／β’所以′n上″’所以@对.
@中’由条件可知’＂／／／α或n在平面α内’又m上α’
所以m上＂’所以@对·
故选B。
9·D
试题解答:A｀B｀C项错误’满足条件的加和平面β可能平
行;D项正确’″上α,″上β＝α／／／β’结合m上α知矾上β.故
选D
l0.C
试题解答:A错误,因为两个平面垂直,在—个平面内的直
线不＿定和另＿个面垂直B错误’因为m可能包含于平
面βC选项显然正确.D错误,因为两平面有可能相交ˉ故
选C.
ll.C
试题解答:A选项中两条直线可能平行也可能异面或相
交;B选项中两垂直平面与直线所成的角可以都是45°;
D选项中两平面也可能相交.故选C.
l2.D
试题解答:对于选项D’两条平行线m’n分别垂直于两个
平面,则其中＿条必和另＿个平面垂直’所以α’β必同时
垂直于一条直线,所以α’β平行.故选D
13.@@◎@
试题解答:o错误’因为有可能α在平面内;@错误,两直
线位置关系不确定;o错误’因为两直线可以同时平行于
两个平面的交线;@错误,因为两直线可以异面.
14.o@
试题解答:由α／／／β’mCα’根据面面平行的性质,可得
矾／／／β’所以@正确;
由′n／／／α’＂Cα,则加与″平行或异面’所以@不正确;
由α上β,α∩β＝则’m上n’则m与β相交｀平行或mCβ,
所以o不正确;
由几上α’几上β,m上α,根据直线垂直平行平面中＿个也必
垂直于另＿个平面所以α／／／β’又m上α,所以矾上β是正
确的’所以正确的命题为@@.
l5·
｀／I7
试题解答:取A1Dl的中点0,过点0在平面ADDlAl内作
M∧／的平行线交DDl于E’则易知平面C10E／／／平面CMV’
在△ClQE中作ClP上QE’则ClP＝√I7为所求.
l6.@@
试题解答!在△佃圆中, ［…‘圆-粤.在△“D中.
·n丝“D-粤,所以丝…二丝川C,
试题解答:因为D,E,F,H分
别是AB,BC,SC’M的中点’
所以DE／／／AC’FH／／／AC’DH／（／
SB’EF／／／SB,
则四边形DEFH是平行四边A
形,且肋二＋sB二芋,DE＝
＝
＋M＝1
取AC的中点O’连接SO’OB,
因为M＝SC＝l5’AB＝BC＝6,
所以AC上SO’AC上OB’
因为SO∩OB＝O,
所以AC上平面SOB,所以AC上S」
肋以AC上平面SOB,所以AC上SB
‖
C
‖
｜
,则HD上DE’
即四边形DEFH是矩形’
所以四边形″〃H的面积s-鉴×3-等
故选A.
D
试题解答:A中’α／／／b’bCα’则α／／／α或αCα’故A错误;
B中’αCα’bCβ’α／／／β’则α与6平行或异面’故B错误;
C中’αCα’bCα’α／／／β’b／／／β’则α与β相交或平行,故C错
‖
‖
7
~′
‖
l77
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对于B’若m」ˉα’″／／／α’则m」ˉ＂.显然是正确的;
对于C’若m／／／α’′』／／／m’则n有可能在α内’故C错误;
对于D’若m／／／α’m／／／β’则平面α’β有可能相交’故
错误ˉ
故选B.
D
试题解答:因为α∩β＝m’所以加Cα,
又因为几上α,所以Ⅶ上m.
因为n上α’ⅦCγ,所以α上γ.
故选D.
A
、尘…▲刀磕去∏｜石‖＋日石尔∏需IM∩烂
P
试题解答
由题意’将△ABE,△CDF沿BE’DF折起’且A’C在平面
BEDF同侧’
此时A,C,G,H四点在同＿平面内’
平面ABE∩平面AGHC＝AG,
平面CDF∩平面AGHC＝CH’当平面ABE／／／平面CDF时’
得到AG／／／CH’
显然AG＝CH,所以四边形AGHC是平行四边形’
所以AC／／／GH’
进而得到AC／／／平面BFDE’所以O正确;
由于折叠后,直线AE与直线CD为异面直线,所以AE与
CD不平行’所以@错误;
折叠后,可得P‘二平｀尸n＝｜0,其中‘″-｜0.PG:＋
PD2≠GD2’所以pG和pD不垂直’所以O不正确;
当A’C重合于点P时’在三棱锥PˉDEF中’△EFD和
△FCD均为直角三角形,
所以D′为外接球的直径,即R-等≡乎.
则三棱锥PˉDEF的外接球的表面积为4而R2＝4而×
（乎「～!50丽,断以酗正确
综上正确命题的序号为o@.
l7
面面平行的性质｀判定
■
‖
5
~
~
~
｜
6
0
:如图,由题知面PAD与
面PBC相交,面PAB与面PCD相
交’可设两组相交平面的交线分别
为m,n,由m,″决定的平面为β,
作α平行于β且与四条侧棱相交’
交点分别Al ’B1 ’C1 ,D1则由面面
平行的性质定理得:AlB｜／／／厕／／／
平行的性质定理得:AlB｜／／／′』／／／
T
｜
〔
】
A
B
ClDl ’AlDl／／／m／／／BlC｜’从而得截面必为平行四边形.由于平
面α可以上下平移’可知满足条件的平面α有无数多个。故
选A
7.B
D
（
试题解答:如图所示’分别取棱
BBl ’BlC1的中点″,Ⅳ’连接
MⅣ,BC1
,
′4｜
因为″,Ⅳ,E’F分别为所在棱的
中点’则MⅣ／／／BCl ’EF／／／BCl
’
所以M＼／／／／EF’又M＼／α平面
AEF,EFC平面AEF,
l.C
试题解答:取BC中点M,取A1D1中点Ⅳ,则四边形B1MDⅣ
｜
即为所求的截面,
根据正方体的性质’可以求得M＼／＝2√ZBlD＝2徊’
根据各边长’可以断定四边形B1MDⅣ为菱形,
所以其面积s＝÷×2徊×2打＝2伍故选c
△
试题分析:结合两个干行平面与第三个乎面相交,交线乎行
｜
的结论’找到平面截正方体所得的截面多边形为菱形’之后
｜
借助于菱形的面积公式等于两条对角线乘积的一半,从而
｜
求得结果.
2.D
试题解答:A由m／／／α’m／（／β’α∩β＝＂’利用线面平行的判
｜
定与性质定理可得加／／／″’正确;
B由α上β,m上α,Ⅺ上β’利用线面、面面垂直的性质定理可
｜
得m上几’正确;
C.由α上β,α上γ’β∩γ＝m,利用线面、面面垂直的性质定
｜
理可得′n上α,正确;
D.由α／／／β’′′M／α,则m／／／β或mCβ.因此不正确.故选D.
｜
3.C
试题解答:若′／／／α’m上β’』上m’则α’β相交或平行’故A错
｜
误’若／／（／α’m上β’』上m’则α’β相交或平行’故B错误若｜
／／／／α’m上β’』／／／m’则由面面垂直的判定定理得α上β’故
｜
D错误｀C正确故选Cˉ
4.B
试题解答:对于A’若α上β’矾Cβ’则加有可能平行α’故A
｜
错误;
Ⅳ
口
｜
B｜
4
所以MV／′平面AEF.
因为M｜／／／／γE’AAl＝／VE’
所以四边形AE／γA1为平行四边形,
所以AlⅣ／／／AE’
又A1Ⅳα平面AEF’AEC平面AEF’
所以AlⅣ／（／平面AEF’
又A1Ⅳ∩M＼／＝Ⅳ’
所以平面AlMγ／／／平面AEF.
因为P是侧面BCClBl内一点’且AlP／／／平面AEF’
所以点P必在线段MV上.
在Rt△AlB1M中,
｛｜昨〃!砷周｜雁刮「丁（吾厂等
同埋在R｜…｜″中,可得删｜″二粤,
所以△AlMⅣ为等腰三角形.
当点P为M∧／的中点O时’A］P上M∧′,此时AlP最短;点p
位于MⅣ处时’A1P最长.
l78
～萨乏
:』!扛≥Ⅱ
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｛
D.根据面面垂直的性质可知’若α上β’mCα’α∩β＝″’
酗」』o～〃!舰』—″揩）』（乎）』乎,
』
Ⅷ—鹏,则…所以p正燃
｜
故选C.
＂〃-削｜川二罕
｜｜2D
／
‖
BlC’且CF∩BlC＝C’所以平面AlDE／／／平面BlCF’则三
AEClF是平行四边形’又AE＝ECl ’可知截面四边形AEClF
『
是菱形’因此S△网E＝S△′c!E’设AG＝‘,则AF＝2′’因为FG＝
｜
棱锥B［ˉCClF外接球的直径为√口ˉ干画ˉ工丁＝√i百’其表面
＾‖余鹏……刚′～′莹笑贡,～宁∏得
｝｜4臆驴》!蠕～‖,.
｝
试题解答:由面面平行的性质定理可知’o正确;当6／／／β’
sln乙酗F＝3√ˉ（》4—l0游2＋业,因为S△圆FC＝S△A′G’所以
｜
4t2
｜
αCγ时’α和6在同＿平面内’且没有公共点,所以平行,
｜
◎正确.故应填人的条件为@或o.
S菱形AEc｜′ ＝4S△A′c,又S△AFG ＝丁×
j
×
2t
×
｜
｜
l5.◎
3√ˉ（′4ˉl0′2＋9）
＝
3√ˉ（′4—l0′2＋9）
＝
｜
‖
试题解答:@中’只有当α与b相交或异面时’才能推得
4j2
4
｜
α／／／β;
｜
@中’只有α’6相交时才能判定α／／／β;
3√l6＿』《2＿5）2≤3,当且仅当《型＝5,即《＝占时,s△″‘最｜
翻中,由于“,b柑交’设α,b确定平面γ则γ〃α,γ〃β’所
大’此时S菱形AEC｜F也最大’并求得cos乙EAF＝旦fˉ二2ˉ土
｜
以α／／／β.
4r2
5
’
｜
16.平行
.…～3√ˉ（』』—＂《:剖÷阂蛔Ⅲ（…骨）～
｝
葛瓣憋》渊镜爵…的中点,铡硼是
4t2
.皿…锄.号＋…臃愉号ˉ÷×÷＋÷×粤≡｝删‘‘c平配“…平…所以娜〃平
3;;互敞选c
｜
同理DE／／／平面ABC’又因为EF∩DE＝E’所以平面DEF
｜
／／／平面ABC.
9.A
18
线面垂盲的性质｀判定
试题解答:由面面平行的性质定理可知’EG／／／AD’BH／／／AD,
｜
得BH／／／EG’同理可知’BG／／／HE’所以四边形BGEH是平行
｜
l.D
四边形故选Aˉ
｛
试题解答:在正方体ABCD-A1B1ClD1中,BD上平面
l0.D
｜
AlACCl ’而CEc平面AlACCl ’故BD上CE’故A正确;
试题解答:当α为平面AlBCl时’因为平面ABC／／／平面
｜
又AlC｜／／／平面ABCD’因此EF／／／平面ABCD’故B正确;
AlBlC1 ,平面AlBC1∩平面ABC＝／,
｜
当EF变化时’三角形CEF的面积不变’点B到平面CEF
平面AlBC1∩平面AlBlC1＝AlCl
’
｜
的距离就是B到平面AlACCl的距离’它是＿个定值’故三
所以／／／／A｜Cl .
｜
棱锥E—FBC的体积为定值（此时可看成三棱锥BˉCEF
故选D.
｜
的体积）’故C正确;
皿息题霹答;A根撼线面蓑直的判定可卿当…,腮〃〃,
｜
在正方休中点畦M′的距离为乎,而c雾M′的距离为
nCβ时可得″上α’则α上β’所以A正确.
｜
1 ’D错误.
B.根据面面平行的性质可知’α／／／β’又m上α’＂上β’所以
｜
故选D.
｜
试题分析;雇正…,…』″…为乎｀漏c到E′
m上β’故m／／／厕’即B正确
C.根据面面平行的性质可知,′n’″可能平行或异面所以
｜
｜
的距离为l’因此可以判断D是错误的.
C错误
。l79.
｜
M
Ⅳ
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｜
即l6＋（R—2）2＝R2’解之得R＝5’球O2的直径最大时’
｜
球O2与平面BCD相切且与球Ol内切’A’O’Ol ’O2四点
｜
共线’此时球O2的直径为R＋OOl＝8~故选D
｜
5。A
2。A
试题解答:由三视图可知该几何体
刹
／｜o
是如图所示的三棱锥AˉBCD,
外接球球心O在过CD中点E且／雨—硕｜
／
试题解答:如图所示’A,B是半径
为2的球的球心,C’D是半径为3
的球的球心’O是第五个球的球
心.由题得CE＝√5丁＝F＝√可＝
〔
DE,EF＝√（√面T）2ˉ32＝2√可’
γ ｀vˉ＾′
ˉ
ˉ
｀＿’
垂直于平面BCD的直线′上,
厂厂V瓦;P］
＝
、
＝
帖
■
≈
≈
■
◇
≈
‖
『
‖
厂
、
』
、
‖
‖
｀
、
丢
Ⅱ
气
飞
＝
…
…
斑
／
又点O到A,D距离相等’所以点O
M三
／
■
~~~
又在线段AD的垂直平分面α上’
｜少ˉ＿ˉ＼｜笋苫｝:::｀‖
故O是直线′与面α的交点’可知
B
｜
（
O是直线／与直线MV的交点（M,
＼
≥
Ⅳ分别是左侧正方体对棱的中点）.
!
＝’＝＾
｛
oF二√（什3）2＿32≡√歹丽厂』所
所以0‘二陋二÷,〃D二√0…腰-乎,
｜
以OE＝2√gˉˉ√尸ˉ干而’
敬三棱镶…D外援球＂半径R二乎,
附
因为姐上c阀,咽皿″,所以咽ˉ［
｜
在直角△AEO中,（r＋2）2＝22＋
表面积为S＝4∏R2＝1l而.
｜
′＝舟故选A
故选A.
试题分析:由三视图可知该几何体是如图所示的三棱
｜
6.C
因为AB上CE,AB上ED,所以AB上
咕
山
B
～
1
平面DEC,所以AB上E（）。
在直角△AEO中,（′＋2）2＝22＋（2徊ˉ√产丁而）2’所′＂
′＝舟故选A
C
试题解答:根据题意画出如图所示的矩形ABCD.
A
D
帐／｜
锥AˉBCD,外接球球心O在过CD中点E且垂直于乎面
BCD的直线』上,可知O是直线l与线段AD的垂直ˉ平
分面的交点,也是直线′与直线MⅣ的交点’由此可求
三棱锥AˉBCD外接球的半径,得到棱锥的外接球的表
面积.
3.A
~
~
~
~
~
~
B
E
C
翻折后如图,
对于O’连接AE’交BD于点F’易
证笋二器＝2,设A‘二l ,则BD-
B
灯“二粤′所以〃＝乎.周′＝
√3’Aβ＝亏’肋以A〃＝丁’碰＝
‖
‖
试题解答:直线AlC1与B1C是异面
直线’而BlC／／／AlD’所以乙DAlCl
为A1Cl与B1C所成的角’
』
显然三角形DAlCl是等边三角形’
C
D
、
）
C
卓,则」F2十BF2＝l＝川B2’即AF上BD,EF儿BD’所以翻折
〕
后易得BD上平面AEF’即可证BD上AE’故o正确;
对于@’若存在某个位置’BC上AD’则BC上平面ACD’从｜｜Ⅵ
平面ACD上平面BCD’即A在底面BCD上的射影应位于线
段CD上’这是不可能的’故@不正确;
对于O若存在某个位置AB上CD’则CD上平面ABC’平｜｜jj
ABCˉL平面BCD’则乙AFE就是二面角AˉBDˉC的平面角,
此角显然存在’即当A在底面上的射影位于BC的中点时,
直线AB与直线CD垂直’故◎正确;
对于@’若存在某个位置’BD上AC’因为AF上BD’EF上
BD’所以BD上平面AEF’所以BD上AE,又AE∩AC＝A,
所以BD上平面AEC’从而BD上EC’这与已知矛盾,故、D
不正确
故选C
D
2丰□亩匈钵肌→F∏I
｜
A
D
二】二
【J
D
试题解答
（、
C｜
所以△酗』q-60.』所以｀是正
确的;
A｜
‖
Dl
选项B,由正方体的性质易得DlCl／′
AB,所以是错误的;
选项C’可得DC／／／DlCl ’在Rt△AClDl中’ADl≠DlCl
’
故AC1与DC不可能成45°角’所以是错误的;
选项D,易得乙DlA1Cl为A1C1与AD所成的角,
在等腰直角三角形D1AlCl中易得乙DlAlC1＝45°’
所以A1Cl与AD不可能垂直,所以是错误的.故选A.
试题分析:由正方体的性质和并面直线所成的角逐个选项
验证即可。
D
所以AO2＋BO2≡AB2,故AO上OB,又BO∩CD＝O’所以
AO上平面BCD’所以Ol在AO上,连接O］D’设O1D＝R,则
O1A＝R’OOl
＝｜R—2
｜’因为OOl上DO,所以DO2＋
OO｝＝DO｝’
虫耳
0
≈·~
→
C
○←
○
≈凸
‖
‖
‖
4
‖
可
′
:作EH上AlBl于H,
取A｜F＝2√ZDG＝2√Z正方
体的棱长为4.
则FH＝√（2√可）2＋l2＝3’
所以EF＝√Z页ˉ下J页＝5’
同理EG＝｀／JⅢ丁歹＝丘
』
B
‖
（可
~~~~~~
／
A｜
B］
／′
l80
归
、
｛
′
′
『
｜
＂
山
掣
＾
｀
｜
＼
｀
＼
尸
／
≈
‖
↓
0
≈≈≈、≈≈
‖
‖
尸
≈
○
□
≈
‖
Ⅶ
中
刑
川
』
‖
‖
‖
厂
屯
伏
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所以S△AFc≡S正方形AlDlDA-S△A］〃-S△FDlc-S△ADG
＝l6ˉ4√百ˉ÷（4ˉ2√百）2ˉ4徊
△
＝l6ˉ4徊ˉl2＋8徊—4厄＝4
故选D
试题分析:根据AE＝l’BE≡3,可知正方体的棱长为4’线
段EC的长为5,因此以E为球心作出的球半径r＝5;在
41Dl ,DD｜上准确找出F,G点,根据各条边长即可求得
段EC的长为5,因此以E为球心作出的球半径r＝5;在
A1Dl ,DD1上准确找出F,G点,根据各条边长即可求得
｜
所以）（蹦）＝肾√团歹—2伍十3,典阁象是关于直线蜒二粤
对称的曲线,排除B’C’D。故选Aˉ
B
试题解答:对于o’因为PA上平面ABC’所以PA上BC.
因为AB为○O的直径,所以BC」ˉAC,
又因为R4∩AC＝A’所以BC上平面PAC’
又PCC平面PAC’所以BC上PC’对于@’因为点″为线
段PB的中点’所以O″／／／PA’
因为P∧C平面R4C’O″α平面PAC’
所以OM／／／平面R4C’对于O’由@知BC上平面R4C’所以
线段BC的长即是点B到平面PAC的距离’故o@◎都正
确故选B
B
试题解答:连接A｜C,由三棱柱ABCˉ
d
试题解答:连接A1C’由三棱柱ABCˉ
~
~
~
~
~
］
］
~
~
△AFG的面积.
C
试题解答:由于三角形ABC为
A
~
~
〗
8
等腰直角三角形,故BDˉLAD,
BD上CD,所以BD上平面ACD,
故@正确’排除B选项.由于
4D上BD,且平面ABD上平面B
~
~
~
＼D、
户■≈
＝■
≈
≈
≈
勺
△
］
＝＝
~~
C
AlBlCl可以得到AlBl ／／／AB,AlCl ／／／
AC,由ABˉLAC’得A1B1」ˉA1C1 ,又三棱
柱ABCˉA1B1C1为直三棱柱,故AlB1上
AA1 ,AA1∩A1C1 ＝A1 ,故A1Bl 」ˉ平面
AA1C1C’又AClC平面AAlC1C’所以
A1B1上ACl ,由ACl上B1C,A1B1∩B1C＝
／》＼
ACD’故BD上平面ACD’所以BD上CD,由此可知AB＝BC＝
｜
AC’三角形为等边三角形’故@正确’排除D选项.由于DA＝
‖
DB＝DC’且△ABC为等边三角形’故点D在平面ABC内的
｜
射影为△ABC的外接圆圆心’@正确.故选C.
9.A
B
C
试题解答:取AlD1的中点E’在DDl
上取点F’使得DlF＝2DF,连接EF,
〃｜
ClE,ClF,
则平面CMⅣ／／／平面ClEF’
／V
因为P是侧面ADDlA1内的＿动点
（含边界）’ClP／／／平面CMγ’
所以P巨EF,
〃d
Bl
Cl
C!
｜
Bl ’ACl上平面A1BlC,A1CC平面A1B1C,所以AC1上AlC’所
｜
以四边形AA｜C!C为正方形,A』A＝AC＝l,『＝＋渊2×l×
△
｜
l＝1故选Bˉ
｛
I3.90°
｜
试题解答:因为正方体ABCDˉAlB1ClD1中’M’″分别是
｛
棱AAl利AB上的点’乙BlM＼／是直角,所以M∧／上MB1 ,因为
‖
B1Cl上平面ABB1Al ’所以Mγ上BlC1 ’又B1C1∩″Bl
＝
｜
Bl ’所以MV上平面／｜′BlC1 ’所以乙C1M／γ＝90°.故
｜
填90°。
‖
l4.3
｛
试题解答:如图所示,因为PAˉL
P
『
C
B
所以当P与EF的中点O重合时,线段ClP长度取最小
值ClO’
当P与点E或点F重合时’线段ClP长度取得最大值C1E
或C］F’
因为长方体ABCDˉA1B｜C1Dl中’AAl≡6’AB＝3’AD＝8’
点″是棱AD的中点,点Ⅳ在棱AA1上’且满足AⅣ＝2№l
’
所以ClPmax＝ClE＝ClF＝√5页ˉ再丁＝5’EF＝4√Z
C!Pmn＝ClO＝√ClE2ˉEO2＝√25ˉ（2√可）2＝√T7’
所以线段C｜P长度的取值范围是［√I7’5］故选A.
l0.A
试题解答:如图,作PO上BC于4
试题解吾:如图,作PQˉLBC于
PC’R4上PB,PC∩PB＝P’
所以PAˉL平面PBC
~
~
~
B
d
又因为BCc平面PBC,
α
所以R4上BC.
同理PB上AC’PC上AB,但AB不—定垂直于BC
l5ˉˉ止
2
试题解答:设BlF≡抛,因为ABl上平面C1DF,DFc平面
C1DF’所以AB1 ˉ上DF.
由已知可以得AlBl＝√Z
设Rt△佃｜B」斜边‖B｜上的高为肉’则DE＝＋九
≡
又2×√面＝h√22＋（√可）2’
所以h-竿皿二罕
往卿△…中,‘｜‘√（粤）』ˉ（粤）』≡等
Q,作0R上BD于R’连接PR’则
P0／／／AB’0R／／／CD’设AB＝BD＝
CD＝1
’
则』‘-灯.肯-毕,即尸Q-方, ′
叉竿ˉ四—宁,所以0＂
BC
何ˉ卯
二≡
√可
,
‖
P
D
~~~
赘ˉˉ＿ˉˉ≥≥
』
Q
C
‖
司
′
户
｀
｜
｜
｜
′
′
′
＿
…
—
何
（
＋
勺
…
｀
｜
｜
‖
′
′
厕
—
何
（
′
√
γ
~
~
’
〕
＋
仍
∑
】
万
拒
粤
所以PR
~
~
｛
l81
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｛
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■尸、
U
沪尸尸尸
℃b≈
≈
、
田
≡
尸
≠
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l9
面面垂直的性质、判定
蛔积搁等嚼普√』（粤「≡祭得≡÷
｜
l.B
即线段B｜F的长为÷
｜
试题解答;设」c中点为o连接En,Do｀因为ABCD是正方
｜
形,所以DO上AC’又因为折起后BˉACˉD是直二面角’所以
@o◎
｜
DO上平面ACB’所以乙DBO是BD与平面ABC所成的角,
试题解答;由题意◎中,四面体ABCD体积的最大值为两
｜
由正方形的性质’可得BO＝DO’所以△BOD是等腰直角二
个颓互帽…侧厕体瓣…的赎大值为＋×÷× ｜露憋坠贩o～墟.即鲤与平雨…咸的阔”
3×4×号＝等’所以o不正确;
｜
2.D
｜
试题解答;对于A,因为点E’F分别是AB’AP的中点’
@中,三棱镶AˉβcD外接球的半径为÷,所以三棱锥
｜
所以EF〃PB,
｜
又EFα平面PBC’PBc平面PBC’
AˉβCD外接球的表面积为4叮×（;）2-25丽’所以@是正
｜
所以圆F〃平面Pgc伺理圆‘〃平面PBc,
确的·
｜
又EF∩EG＝E,
o中’若E’F分别为棱AC’BD的中点’连接AF’CF’则AF＝
｜
所以平面EFG／／／平面PBC,因此A正确.
…擦等腰三挪三缝合＿碍到厕….连擦…,可
｜
蕊瓣删′′c｜…∩“-△
得DE＝BE’所以EF上BD’所以o是正确的;
嚼帆菌二颧……小……喘｜删撇…△
｜
又FGC平面FGE’
在直角△ABD中’AB＝4’AD＝3,BD＝5,
｜
所以平面FGE上平面ABC’因此B正确.
作AE上BD,CF上BD’
灿…′÷…÷酗ˉ……÷｜
诵鹏删…｜」＾…ˉα
在平面ABD内’过F作FH上AE’连接A″’易得四边形
｜
所以△BPC是直线EF与直线PC所成的角’因此C正确
｜
对于D,由于FE,GE与AB不垂直,所以乙FEG不是平｜盯
AEFTI为矩形,
｜
PAB与平面ABC所成二面角的平面角’因此D不正确故
则AH＝圆F＝÷』咽〃圆F,田上DB’
｝
选D
｜
3.C
又CF上DB,即乙CFH为二面角C-BDˉA的平面角’
｜
试题解答:因为D’F分别为边AB’BC的中点’所以A（′ ′′
即乙CFH＝60°’
｜
DF’Ac为平面A′DF外的直线’所以Ac／／／平面A′DF’故（D
则CH＝c′-号』由‘n上平面CⅫ得到＂D儿CH,
｜
正确;
｜
因为A′D＝A′E’所以动点A′在平面ABC上的射影到点L｜’E
即有咽儿Cg｀贝Mc-√A…顾～孪,
｛
的距离相等即在坠A的角平分线上所以d｛在平面狙c仁
｜
的射影在线段AF上’故◎正确;
所以@是错误的;
◎中,当二面角AˉBDc为直二面角时,以c为原点CB,
｝
由@知,平向Aw—定过平面BCED的垂线』所以恒有平
CD所在直线分别为如’γ轴建立坐标系’则由向量的数量
｜
面A′GF上平面BCED’故@正确;
‖
当A′E2＋EF2＝A′F2时’直线A′E与BD垂直’故@下
积可得到直线AB’c〃所成的角的余弦值为酱』所以◎是
｜
正确
｜
故正确命题为@@◎.
正确的
｜
故选C.
综上可知正确命题的序号为@◎◎.
试题分析;将矩形折叠后得到三棱锥:O四面体ABCD
｝4B
麓萧嚣!i聪瓣赋鞭: ｝露;摇摧芽…Ⅷ
积;◎连接AF’CF’则AF＝CF’连接DE’BE’得到DE＝
｜
所以BD上DC’
BE’利用等腰三角形的三线合一即可;@找到二面角的
｜
所以平面A′BD上平面BCD’且平面A′BD∩平面BCD＝BI）’
乎面角计算即可; ;@找到二面角的乎面角计算即可;◎当
｜
所以CD上平面A′BD’
二面角AˉBDˉC为直二面角时’以C为原点’CB’CD所在
｜
因为A′DC平面A′BD’
直线分别为鳃’y轴建立坐标系’借助于向量的数量积
｜
所以CD上A′D’
解答.
｜
故A′D上BC不成立’故o错误;
l6
l82
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对于@’因为点D的投影不可能在FCˉ上’所以平面DCF上
平面BFC不成立’即@错误.
故选Bˉ
试题分析:利用空间中线线｀线面、面面间的位置关系求解.
C
试题解答:因为垂直于同一条直线的两平面平行’故A为真
命题;因为平行线中的—条垂直于一个平面’则另一条也垂
直于这个平面’故B为真命题;若m／（／α’α∩β＝＂’则矾’＂
可能平行也可能异面’故C为假命题;由平面和平面垂直的
判定定理可得若矾上α’mCβ’则α上β’故为真命题.故
选C.
B
试题解答:如图,过A作AG上CD,
A
嚼三攘罐」｛＿‘c‘的你鹏坤十×阀烫岭～俘,
!
焉瓣腮,削龋‖赡脏
故@错误;
｜
故选B~
◎由O知CD上平面A′BD’故O正确;
｜
试题分析:利用空间中线线、线面｀
｜
@由O知cD上平面A′BD’
｛
8.c
又因为A′BC平面A′BD,
｜
试题解答:因为垂直于同一条直线｜
所以CD上A′B’
｜
命题;因为平行线中的—条垂直于
又A′B上A′D’且A′D｀CDc平面A′DC’A′D∩CD＝D’
｜
直于这个平面’故B为真命题;若
所以A′B上平面A′DC’又A′Bc平面A′BC’
｜
可能平行也可能异面’故C为假命
所以平面A′BC上平面A′DC,故@正确
｜
判定定理可得若矾上α’mcβ’贝!
故选B.
｜
选C.
试题分析:利用折叠前四边形ABCD中的性质与数量关系’
｜
9.B
可证出BD上DC’然后结合乎面A′BD上平面BCD’可得CD上
｜
试题解答:如图’过A作AG上CD’
平面A′BD,从而可判断@◎;三棱锥A′ˉBCD的体积为
｜
则C为CD中点’连接』F’BC’DF’
＋＋征徊粤二粤,可判断嚼;圈为c″」平嗣
｜
则愿‘上CD,D′皿c,所以c山v
‖
面ABG’所以CD上AB’故A正确;
A′BD’从而证明CD上A′B’再证明A′B」ˉ干面A′DC’然后利
｜
正四面体ABCD中’A在平面BCD
用线面垂直证明面面垂直.
｛
的射影为O’则O在BG上’并且O
5.C
｜
毛∧p尸门凸市. !、、∏｜古广4竖ADl＝丽＝
｜
为△BCD的中心
B
,则直线AB与平面
M／C
赡孺腮饼∧瞬鞘瞒躇慌＋墨｜
＂“…为坠…卿″÷圈‘÷×粤帆孕鼠
』c巨平面奶c,所以平面姻C上平厕周″…cC平面
｛
即器-亨二…凋0』所…0-90.,故隙错误证四面
ACD,所以平面ACD上平面BDE.故选Cˉ
6.D
｝
体ABCD中’点E’F分别是AB’BC的中点’所以EF／／／AC’
试题解答:由题意画出图形’如图’
｛
EFα平面ACD’ACc平面ACD’所以EF／／／平面ACD,故C
〃
‖
正确;因为几何体为正四面体,所以A在底面BCD的射影
∩
〗〃
尸
D
M
C
｜
为底面的中心’所以AO上平面BCD’AOc平面AFD’所以平
｜
面AFD上平面BCD,故D正确.故选B.
｜
1（｝~C
C
D
P
试题解答:画出几何体的图
形’如图所示,
因为E’F是PA与PD的中
点’可知EF／／／AD’
所以EF／／／BC’直线BE与直线
CF是共面直线;A正确.
‖
d
B
B
设正方形的边长为2,
折叠前后AD＝2’D″≡l’连接AC交BD于O’连接OM’则
OM＝l ’AO＝√Z因为正方形ABCD沿对角线BD折起’使平
面ABD上平面CBD’
AOˉLBD,所以AO上平面BCD,所以AO」ˉOM,
在△AOM中’AM＝｀／AO2＋OM2＝何’又AD＝2’MD＝l’
所以D″2＋A″2≡AD2,
所以乙AMD≡90。.
故选D
7。B
C
~
~
~
~
B
‘4
B’直线BE与直线』F异面’满足异面直线的定义,正确.
C’由于不能推出线面垂直’所以平面BCEˉ［平面删D是
不成立的.
D’因为AD／／／BC’所以AD／／／平面PBC’所以面R4D与面
PBC的交线与BC平行,正确.
故选C.
ll.C
试题解答:对于A’若α／／／α’b／／／α’则α／／／b错误’因为α’b
可以平行’相交或异面;
对于B’若α上α’α上β’则α／／／β错误’因为α还可以与β相
交;
对于C’若α／／／α’b上α’则α上b正确;
对于D’若α／／／α’α上β’则α上β错误’
因为可能α／／／β.
故选C.
~
~
~
~
~
~
~
试题解答:对于O’因为Bc／／／AD,
AD与DF相交不垂直,所以BC
与DF不垂直’所以o错误;
对于@’设点D在平面BCF上的射
】
尸
影为点P’当BP上CF时就有BD上
FC’而AD:BC:AB＝2: 3 :4可j
∏凹’
｜
｜｜」′皿／
.皿L〃
° ′1四-▲.
√
°可扁」
B
C
使条件满足’所以@正确;
对于o’当点P落在BF上时’DPC平面BDF’从而平面
BDF上平面BCF’所以◎正确;
~
~
l83
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@◎@
试题解答:对于O’当‘‘卯＝2’且γ＝1”时’ “厕＋2γ二
2√面可”成立;当“厕＋2γ＝2√z了”成立时’不＿定有‘‘腮二
2’且γ＝l”’只要绷＝2y即可.所以“卯＋2γ＝2√豆万”成立
的一个充分不必要条件是‘‘则＝2’且y＝l”.所以O不
正确
对于@,设α＝l. l’绷＝l.2l’则α颠＝l. lL21 ＜l. l2＝1.2l
＜2’logα则＝logl』l.2l＝logl1l. l2＝2’所以@正确.
对于◎’／（卯）＝4卿3ˉ2（α—l）卯＋α＋l ’因为它是奇函数’
所以α＋l＝0’所以α＝—l.
故o正确.
对于@’设点P（则,γ）’由P到定点F（2’0）的距离
为√（腮ˉ2）2＋y2’
P到γ轴的距离为｜卵｜
,
当勿≤0时’P的轨迹为γ≡0（卿≤0）
;
当如＞0时’又动点P到定点F（2,0）的距离比P到γ轴的
距离大2,
列出等式√（匆ˉ2）2＋广ˉ
｜狮｜＝2’
化简得广＝8卯（则＞0）’是焦点为F（2’0）的抛物线;
则动点P的轨迹方程为广＝8则（卯＞0）或γ＝0（绷≤0）’故
@错误.
对于◎已知平面α’β’γ满足α上γ’β上γ’则α与β不＿定
平行,还有可能相交如正方体的前面的平面和右边的平
面分别为α与β’下底面为γ’此时α上β.故◎错误.
对于◎’若P（A（ˉ」B）＝′〕（A）＋P（B）＝1’则事件A与B是
对立事件ˉ是正确的ˉ
故填@◎◎.
试题分析:逐一分析判断六个命题的真假即可.
l2。B
试题解答:O中’V三棱锥AD!pc＝V三棱锥尸ADlc’设DCl中点
为MDB与AC交点为O’
可知’O″为△DBCl的中位线’所以BCl／／／OM’
又OMc平面ADlC’BC｜α平面ADlC’所以BCl ／／／平
面ADlC’
所以P在Bcl上运动时’v三棱锥′ˉADlc不变’O正确.
@中’p在Cl点时’DP＝DCl
’
又DCl ／／／ABl ’ABl与AC不垂直故DCl与AC不垂直.
@不正确.
◎中,因为DB1上平面ACD1 ’DB1c平面PDB1 ’所以平面
PDBl上平面ACDl .◎正确.
故选B.
l3.O
试题解答:@如果矾上厕’加上α’＂／／／β’不能得出α上β’故
错误;
@如果厕／／／α’则存在直线lCα’使厕／／／／’由m上α’可得
′n上／,那么m上几故正确;
◎如果α／／／β’mCα那么′n与β无公共点’则m／／／β故
正确;
@如果′n／／／n’α／／／β’那么矾’＂与α所成的角和′n’″与β
所成的角均相等.故正确.
所以错误的命题为o.
试题分析:根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及
几何特征,分析判断各个结论的真假,可得答案
l4.@o@
试题解答:由题意得,如图所示’
A
A
l6
~
~
~
~
‖
~
~
‖
丛「
｝
20异面直线所成角
D
～
D
D
‖
因为D为BC的中点’所以AD上BC’又平面ABD上平面ACD,
根据面面垂直的性质定理,可得CD上平面ABD,进而可得
AB上CD’所以@是正确的;
折叠后△ABC为等边三角形’所以@不正确;
因为△ABC为等腰直角三角形’所以DA＝DB＝DC’故三
棱锥为正三棱锥’所以◎正确;
由AD上BD,AD上DC,可得AD上平面BCD,又ADC平面ABD,
则平面ABD上平面BCD’所以@是正确的’故正确的命题
为oo@.
l5.OO
试题解答:o若α／／／β’mCα’则m／／／β’′＂与β没有交点’由
定义可得’o正确;
@若m／／／α’″Cα’则m／／／″’m’n有可能异面’故@不正确;
o若m上α’m／′／″’则n上α’由线面垂直的判定定理可得’
◎正确;
@若α上β,α∩β＝＂’m上＂’则m上β’m不＿定在平面α
内’故@不正确’故答案为@◎.
试题分析:根据线面乎行的定义可得@正确;由m’n有可
能并面可得@不正确;由线面垂直的判定定理可得◎正
确;由′＂不一定在乎面α内可得@不正确.
l
A
试题解答:延长DA至E’使
AE＝DA,连接PE’BE’因为
乙ABC＝乙BAD≡9（）◎,BC＝
2AD,所以I）E＝BC’DE／／／BC.
MD’所以DE＝BC,DE／′BC.
P
E
‖
C
ˉ
B
所以四边形CBED为平行四边形
所以CD／／／BE.
所以乙PBE（或其补角）就是异面直线CD与PB所成的角
在△PM中’AE＝R4,乙PM＝l20°,
由余弦定理得
】
~
~
~
√pA2＋AE2ˉ2。PA.AE. COS乙PAE
‖
PE＝
‖
0
l
2
（
｜
√把2＋姻2—2.佃.AE
＝√5M
~~
在△ABE中,AE＝AB,乙ˉBAE＝90°,
所以BE＝√zE
因为△PAB是等边三角形’
所以PB＝AB＝AE。
因为PB2＋BE2＝AE2＋2AE2≡3AE2＝PE2’
所以乙PBE＝90。.故选A.
l84
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2.B
试题解答;设k底半圆的半径为『,由芋×4-ls丽得′二1
所以DE＝3√Z又DF＝2’所以EF＝｀／五
又异面直线AB与EF所成的角为乙EFD,
所以sin乙EFD＝型＝3√TT
EF
ll
。
故选B,
试题分析:由题意首先求得底面半径,然后找到并面直线所
成的角’最后利用三角函数的定义求解异面直线所成角的
正弦值即可.
3.A
试题解答:如图
P
7
C
》
▲
』｀′P＝＋BC」二罕
～
凸
取BC中点0’则△PQM为直角三角形’
因为尸0-l,M0二学c｀
△ABC中’由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2-2AB°BC. cos乙ABC＝4＋l-2×2×l×
（—÷）＝7,
所以“＝行所以删0-乎
B｜＜切PP
Ⅳ
0
0
~
~
~
取AC中点D,连接DⅣ’DM,
由已知条件可得’D／V＝2何’D″＝2.
在△MVD中,乙D／γM为异面直线R4
么4
与Mγ所成的角。
0
C
则cos乙DⅣM＝l6＋l2ˉ4徊
弓＝
2×4×2何2
B
√∏
二二
勺
0
△
在△″0P中’″P＝√″Q2＋p02
在△PMγ中’由余弦定理得
cos乙Mγp＝』皿／乙士／VP2ˉP‖巴＝
2.‖′Ⅳ. ／VP
所以乙DM′≡30°.
故选A.
4.C
试题解答:如图所示,平面α过正
方体ABCD-AlBlC1Dl的顶点A,
平面α／／／平面A1BD’平面α∩平C!
面ABCD＝／＝AF’因为CDl
／／／
BAl ’BD／／／AF’则直线／与直线
CDl所成的角即为直线BD与直C
线BAl所成的角’为60。.
故选C.
5。C
硕
—
’
∑
叮
—
∑
／
｛
｀
徊
—
∑
∑
×
何
刃
占
＿
∑
／
｜
｜
＼
×
＋
勺
▲
∑
）
石
页
（
义异面直线所成角的范阔是（0’苦｜,
~—
所以A圃!与βc!所成角的余弦值为掣
所以AB1与BCl所成角的余;
尸
B
故选C,
A
试题解答:取A′D的中点Ⅳ,连
接P／γ,Mγ,由于M是A′C的中
点,故MV／／／CD／／／PB’且Mγ＝
PB’故四边形PBMγ为平行四
卫几′,【』义凹.』丝／DzD』Ⅲ』V／y丁ˉ0』山
月
□
□
】
‖
〗
】
】
■
‖
试题解答:如图所示’延长AD
到H’使AD＝DH’过P作PG／／／
AH’PG≡AH’F为PG的中点,
连接BF,FH’BH’
则乙BFH为异面直线BE与B
PD所成的角或者补角,
在△BFH中’由余弦定理得
cos乙BFH＝l3＋9ˉ20＝△巫
7M
／jˉ可√2
39
。
2×√I可ˉ×3
39
A
′
C
〃
＾垒
P
B
边形’故″B／／／PⅣ’在Rt△A′／VP中’tan乙A′PⅣ＝4』』l＝
l
A′P
2
,
即异面盲线BM与川′所成角的正切值为＋故选A
9.
I）
‖
故选C.
A
试题解答:如图所示’过点C作CE／′／
BAl ’连接B1E,则乙B1CE就是异面直
线AlB与BlC所成的角或其补角’
由题得BlC＝2旧＝CE,B!E＝｀／可’由余
弦定理得cos乙B1CE＝l2＋l2—3
三≡
2×12
7
存故选A
试题解答:如图.
因为等边△ABC和等边△BCD所
在平面互相垂直’
所以取BC中点O,连接AO’DO’则
AO上BC上OD’
B
以O为原点,建立如图所示的空间
直角坐标系
则A（0’0’2何）’B（0,＿2’0）
’
C（0’2’0）’D（2√可’0’0）.
‖
6
E
dl
Dl
β／＼C］
A
D
C
B
‖
l85
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—〉
所以AB＝（0’ˉ2’ˉ2√gˉ）’而＝（2疽’ˉ2’0）
＿≥—〉
故c°s〈茁,而）＝｜器∩器｜÷
｜
以汕-怎在Ⅱ!△s〃‘中』…sD‘-器-方三普』故答
｜
案为罕
｜
佰
｜
14ˉ丁
〕
｜
试题解答:连接ABl ’且ABl／（／DE’所以直线ACl与DE所
｜
成角为乙ClABl ’由CC］上底面ABC,所以三棱柱为直三棱
｜
柱’设AC＝BC＝CCl ＝l’乙ACB＝90。’所以BlCl ＝l
’
ACl
佰
｜
ACl＝√ZABl＝旧’且BlCl上AC］’cos乙ClAB＝厕＝丁
｜
故填手
｜｜5乎
｜
试题解答:设外接球的半径为R’则4而R2＝l6丽’解得R二;
｜
2’设长方体的高为“’则卿2＋l2＋l2＝（2R）2＝16’故则二
｜
√T可,在Rt△BDDl中’乙DDlB即为异面直线BDl与CC｜
｜
所成的角,其余弦值为华
｜
l6.60。
｜
试题解答:由三角形中位线的性质可知’EF／〉／BC’GF／／
｜
AD’则乙EFG或其补角即为所求’
｜
由几何关系得〃-÷圈c＝l,‘′＝÷AD-l,
｜
由余弦定避可得,…″嚼二］』il岛「架）』
］
二二—
2
,
｜
所以乙EFG＝l20。’
｜
所以’异面直线AD与BC所成的角的大小为6（）°.
2l
线面角
所以异面直线AB和c〃所成角的余弦值为士
故选D
l0°A
C｜
试题解答;取‘c的巾点D,连接d｜A币‖＼
DlFl ’F!D’DA’则DlB／／／DFl
’
DlFl ’F!D’DA’则DlB／／／DFl
’
A｜
据此可得乙DF1A（或其补角）即为所
求,设BC＝CA＝CCl＝2′门（肌＞0）
,
则AD＝√5》＂’AFl＝占加’DFl＝问!’
在△DFlA中应用余弦定理可得A
…p′｜A-俘
故选A
1l.D
B］
｀‖
廷
0
C｝｀
′
夕■、
尸
卢
／
…″缉′ˉ…
｝＜筐二＝＝回＝
、
B
试题解答:因为M,Ⅳ分别是棱BBl 、BlC1的中点,
所以MⅣ／／／ADl
’
因为乙CMⅣ＝90。’所以CM」ˉMγ’所以CM上AD1
｛
由长方体的几何特征,可得CD」ˉADl
’
所以ADl上平面CDM故AD1上DM
即异面直线AD‖与DM所成的角为90。.
故选D
l2·C
试题解答:建立如图所示的空间直
角坐标系,可知A（仁’0’0）’P（0’
0’徊）’B（0’√Z0）’C（ˉ徊’0’0）,
｜
l.A
｜
试题解答:正方体的所有棱中’
｜
实际上是3组平行的棱’每条棱
｜
所在直线与平面α所成的角都Al
｜
相等’如图所示’当平面为正六
｜
边形时’α截此正方体所得截面
｜
面积最大’
｜
此时正六边形的边长为徊’
〃
′（ˉ粤,0.粤）愿（0,骋）则
蕊二（＿√Z粤,粤）,丽～
（＿粤,＿鸿）则·.. 〈∏’
l—l余＋
｜
≡÷
Dl
C
（vl
0
p〃
付
扩
‖
J
≡卢Ⅺ
B＼1
ˉ
｜
～
…
＋
尸
＿
β
●
＋
而
巳
＿
』
仕
丽〉
~~
~
（司
~~~
B
.故选C
√2宁子√÷2÷6＿
l3夸
试题解答:如图,取AC中点为E’
连接DE’SE,因为D’E分别为
BC’AC的中点’所以DE／／／AB’所
以乙SDE就是异面直线AB与SD
所成角,令AB＝AC≡M≡2,由勾
股定理得SE＝佰’又DE＝1.可证B
』
α徽此丽方体所得截面面积最火值为6×粤×（徊）Ⅱ;;
｜
3厄
｜
故选A.
｜
试题分析:利用正方体棱的关系’判断平面α所成的角都
｜
相等的位置’然后求解α截此正方体所得截面面积的最
｜
大值.
C
｝
2.A
｜
试题解答:因为三棱柱ABCˉAlBlCl的侧棱与底面垂直,
‖
AA1＝AB≡AC＝l’AB上AC,Ⅳ是BC的中点,
沂
｜
过P作PM上AB于M’连接MV’
° l86.
S
明BA上平面SAC,所以DE上平面SAC,所以1）E上SE’所
■
■
B］
‖
′
『′
‖
∏
／
≈
≈
｜
｛
｜
‖
ˉ
口
、
、
‖
′
≈
‖
『
『
×
尸
′
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则P″上平面ABC,
乙P／V″就是直线PⅣ与平面ABC所成角0,
则t恿＂β＝器二六,
故当Mγ最小时tan0最大’
此时MⅣ上AB’″为AB中点,
可得点P是AlBl的中点’
所以人-÷故选A
试题分析:过P作P‖′上AB于″,连接MⅣ’则P″上乎面
ABC’乙PM｜′就是直线P／V与乎面ABC所成角0,M／γˉ儿AB,
M为AB中点时正切值最大,从而可得结果.
3·D
｜
试题分析;在o中’在m上任取一点A’过∧作＂′／／／＂’ ′与
‖
″′ ’″的夹角均为60。;在@中’在厕上取一点B’过B作
‖
m′／／／′n;在◎中’在厕上取一点C’过C作m′／／／′n’′n’m′确定
一个平面α.
｛
5.D
｜
试题解答:设AC与BD交于点O’由于AB＝AD’CB二CD’所
｜
以AC上BD’因此在折叠过程中’A′C在平面ACD内的射影是
｜
CO’所以乙A′CO是直线A′C与平面BCD所成的角’由已知可
｛
得OA＝OA′＝√ZOC＝2’易知在△A′OC中’当OA′上A′C时’
员
｜
｝,
;
△』′co最大.且…A′co二器＝粤故选n
｛
6,C
｜
试题解答‘设四棱桂的高为厕则领（√2带;十雁）2-40丽,
CC1
｛
解得∧＝6’则AC｜与底面ABCD所成角的正切值为丁I万＝
C
｝
:＝3故选o
｛
7.D
｛
试题解答:设三条棱α≤b≤C,所求角为0.
｛
所以α…＋b孵＝宁,“十b＋c＝6,感2＋b』＋c2-等
＝
｜
α2＋b』＋‘』≥侧2＋2b‘＝α2＋2｜宁ˉα（6＿舰）｝
｜
整理可得α2-4α＋3≤0.所以l≤α≤3.
｜
所以最短棱长为1’体对角线长为孪
』
｝
断以…-亢～曾故选Ⅲ
｛
8.B
刹k沁《
试题解答:如图,因为四边形
ABCD为矩形,所以BA′
ˉL
A′D’
当A′点在底面上的射影O落
在BC上时,
有平面A′BC上底面BCD,又
∏／、
｜
问／了
司＾
f旦
厂〕／丁
｜
亚d
DC上BC
（｝′》
′
0矿
‖
9蛀＼,
～
～
~~~~~
~~
~
’可得DC上平A
D
面A′BC’
则DCˉLBA′ ,
所以BA′上平面A′DC,在Rt△BA′C中’设BA′＝l’则BC＝
√Z所以A′C＝l ’说明O为BC的中点;
当A′点在底面上的射影E落在BD上时’可知A′E上BD’
设酗′＝｜.则」′D-徊所以刹′圆-乎,哑二但
3
.
要使点A′在平面BCD上的射影F在△BCD内（不含边
界）’则点A′的射影F落在线段OE上（不含端点）.
可知乙A′EF为二面角A′ˉBDˉC的平面角0’直线A′D与平
面BCD所成的角为乙A′DF＝α’
直线A′C与平面BCD所成的角为乙A′CF＝β,
可求得D′＞C′｀所以″C＜削D,且A′‘二乎＜］,耐c的
最小值为l,
所以sin乙A′DF＜sin乙A′CF＜sin乙A′EO,则α＜β＜0.
故选D
试题分析:由题意画出图形,由两种特殊位置得到点A′在乎
面BCD上的射影的情况,由线段的长度关系可得三个角的
正弦值的大小’则答案可求.
D
试题解答:异面直线m’n所成的角是60°’在@中’由异面
直线m’n所成的角是60。’
在矾上任取＿点A’过A作″′／／／＂’在空间中过点A能作出
直线′,使得／与n′ ’n的夹角均为60。’所以存在直线′’满足
l与m’n的夹角都是60。’故@正确;
在@中’在n上取＿点B’过B作m′／／／m’则以矾’m′确定的
平面α’满足mCα’厕与α所成的角是60°’故@正确;
在o中’在厕上取一点C’过C作′′l′／／／m’m’m′确定＿个平
面α,过几能作出一个平面β’满足mCα,网Cβ’α与β所成
锐二面角为60。’故◎正确.故选D.
B
试题解答:如图所示,
〃
因为AA1上底面A1B1C1 ’所以乙APA1
为P』与平面AlB1Cl所成角’
因为平面ABC／／／平面AlBlCl ’所以
乙AR41为以与平面ABC所成角.
脚为s…二乎×（何）2-乎·
』
所以V三棱柱ABC—AlB!C!＝AAl×S△A!B｜Cl＝
乎Ⅱ川｜解得似｜-厄
又P为底面正三角形AlBlC1的中心,
所以」｜′＝÷A｜D-］,
在…!P中.｛…翅』≡揣ˉ阿｀
所以△A〃」＝子故选R
9。A
试题解答;由球体积÷丽尺］＝竿丽知球
试题解答;由球体积÷丽尺］＝竿丽知球半
‖
0
Bl
C］
4
~
~
~
~
~
径为腮～徊,设
…的外心为M由正弦定理专-2侧得州-竿.
sm丁
~
~
l87
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所以乙BMB′为二面角B′ˉMVˉB的平面角’即乙BMB′＝
号,取B″的中点D,连接B′D,Ⅻ,
由题意易知’折叠之后平面B′M／γ与平面BMγ所成的二
面角即为乙B′MD＝60°’
并且B′在底面ACB内的投影点D就在BC上’且恰在B‖′
的中点位置’
所以B′D上平面ABC’
所以乙B′／＼／D就为斜线B′Ⅳ与平面ABC所成的角.
设“-圃‘二』则周′D-导,周′＂二导,″″-铲,
所以…′皿-器-孪
故‘′＂与平面咽c所成角的正切值是罕
故选D
l3·60。
线段B1Dl
试题解答:当点／V与Bl重合时,AⅣ即ABl
’
因为ABl／／／DCl
’
所以乙DClB即直线AⅣ与BCl所成的角,
因为BD＝DCl ＝BCl ,所以△BDCl是等边三角形,
所以乙DC］B≡60。’
故异面直线M／与BC1所成的角是60。,
因为平面ABlDl／／／平面BDCl ’AⅣ／／／平面BDCl ’且Ⅳ在平
面A1BlC］D1
内,所以点／V在平面ABlD1与平圃
AlBlClD1的交线B1D1上,
故点／γ的轨迹是线段B1D1.
试题分析:当点／V与B1重合时,AⅣ即AB1 ’根据线线角定义
知乙DC｜B即直线A／V与BCl所成的角;因为干面AB｜Dl／／／干
面BDCl ’AⅣ／／／乎面BDC｜’且Ⅳ在乎面A｜BlClDl内’所以』占｀
Ⅳ在乎面ABlD1与平面A1B1ClD1的交线上。
l4粤
试题解答:因为MV与底面ABC所成的最大角为侧面AB』）
与底面ABC所成的二面角,正好为异面直线MV与PC所
成的最小角’又因为Mγ与底面ABC所成的最大角的正切
值为石所以余弦值为等
试题分析:关键是找到线线角、线面角与二面角之间关系,
根据关系结合解二角形可得结果,
l5。60◎
考点:正棱柱的性质及直线与平面成的角
;寺旦而鳃丝。力∏回肋月们中占F
Al
C
试题解答:如图
由（粤）』捌M!二2得剧-竿设佃的中点为″则c凡［
平面川B’连接PⅣ,则乙CPⅣ为直线PC与平面PAB所成的
~~~广＝---□-＝---＝
~~尸＝--
~尸＝--
角,′＂弓√l等＝竿,‘″二旧,…C′″二器二］升l
故选A.
l0.C
｜
‖
试题解答:以A为原点’AB’AC,AP所
在直线分别为匆轴,γ轴’z轴建立如
图所示的空间直角坐标系,由AB＝
AC≡l’剧≡2,得A（0,0,0）,B（l,0,
0）, C（0’
1’ 0）,P（0,
0’ 2）,
~
~
~
~
~
~
D（＋’0｀0）,E（＋,＋,0）,
β
—〉
哦
f（0,＋,l）所以剐＝（0,0, —2）
’
而二（0’÷,0）,而-（—步,÷,l）
设平面DFE的法向量为列＝（绷’γ’z）
’
--〉
｛渊＝‖｛懦仁!』哩＝0~
则由
‖
‖
取z＝l,则刃＝（2,（）,l）,设直线PA与平面DEF所成的角
ˉ-＋
为0则…三｜些腮｜二粤,所以富线〃与平面″〃所
｜PA｜
｜〃｜
‖
成角的正弦值为粤故选α
B
试题解答:将平面展开图还原
成正方体（如图所示）.
对于O’由图形知AF与Gc异
面垂直’故@正确;
对于@’BD与GC显然成异面
ˉ
＝
-′
ˉ
ˉ
. .
.
ˉ
ˉ
ˉˉ
.
.
ˉ
‖
ll
G
V
｜
ME）
F
C
｜
0
｜
‘4d
B
直线.连接MB’MD’则BM／／／GC’所以乙″BD即为异面直
线BD与GC所成的角（或其补角）.在等边△BDM中,
乙MBD＝60。,所以异面直线BD与GC所成的角为60。,故
@正确;
对于◎’BD与MⅣ为异面垂直’故◎错误;
对于@’由题意得GD上平面ABCD’所以乙GBD是BG与
平面ABCD所成的角.但在Rt△BDG中’乙GBD不等于
45°’故@错误.
综上可得o@正确.故选B.
D
m′
4
B
,取BC中点E,
连接DE,AE’AD’因为三棱柱为
正三棱柱,可得AE上平面BB1
ClC,故么ADE为AD与平面
BBlC1C所成的角设各棱长为
l则哑-粤,皿-十.
勺
←
］
尸＝
4
＜
P≥
■≈
（
试题解答;因为△C＝÷｀
AC＝BC’M,Ⅳ分别是BC’
AB的中点,
Aβ出干‘点’
／E
B
以
所
灯
旧
—
∑
—
］
—
∑
~~
姻
—
亚
B′互二ˉˉˉ弓
凹
D
M
C
将△BMV沿直线Mγ折起’使二面角B′ˉMⅣˉB的大
小为;,
tan乙ADE≡
乙ADE≡60。,故答案为60°.
l88
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l6÷60·
试题解答:取剔的中点M’连接‖′E’BM则直线AC与BE所
｜
成角等于直线／｜′E与BE所成角’因为″E＝旧’B‖′＝BE＝
｜
2灯……二;蒜÷～士》所以直线“与哑所咸
｜
在＂［△cM｀′中’…Ⅷc″＝器＜滞＝腾in‘,
所以么″CⅣ＜0.
故选A.
试题分析:过″作″OˉLAB于O’连接∧／O’则ⅣO」ˉAB,则
丝″o″＝‘｀连接c′｀′’在R〔△cⅧ中,爵m△删c′｀′＝豁＜器-
角的余弦值为士取昭中点″,连接川｀c″’侧M｀usB,
｜
‘inβ,即可得缝论
C／＼／上SB’所以SB上平面AC／V,所以平面SAB上平面AC∧／’
｜
4.D
因此直线AC与平面MB所成的角为乙CAⅣ’因为AⅣ＝
｜
试题解答:如图所示’在平行六面
C″＝AC＝2何’所以△CA″＝60°》因此直线AC与平面
｜
体ABCDˉA｜BlClD］中’令面〃｜
剔B所成的角为60。。
｜
AlADDl为α’面ABCD为β’则
‖
AD为m’再令A1A为α’BC为b,
22
二面角
｜
故α和β所成的—个二面角的大
1A
｜
小0l为钝角’直线α和平面β所
试题解答;由题意’设三角形SBC’sCA的高分别为h! ’h2’
｜
成的角的大小02为锐角’直线α’
三棱锥SˉABC的高为h’易知hl＞师2｀根据正弦函数的定义
‖
6所成的角的大小03为直角’只有D
｛
5,C
得.…｜三舟｀…』-÷.所以…｜＜……』’α』
｝
试题解苔》取线段佃的中点D,设′’
｝
0,设必-“侧0″二粤感×＋≡｛
均为锐角’所以αl＜α2.故选A.
试题分析:设三角形SBC’SC4的高分别为h1 ’h2,三棱锥
｛
SˉABC的高为h,易知hl＞h2’根据正弦函数的定义可得结采.
｛
PˉABˉC的平面角’tan乙pDC＝√g百’′
2.B
卓α2＂
试题解答:设IF方体棱长为4ˉⅢ｜｜AE
尸
!
Dl
qI／
IJ
为直角’只有D
｜
试题解答:取线段AB的中点D’设P
试题解答:设正方体棱长为4’则AE
Dl
C
■
D′》ˉˉ
C
』Ⅶ
选项满足ˉ故选D
在底面ABC的射影为
｝
0,设必-“侧0″二粤感×＋≡粤…Dc为二面角
｛
PˉABˉC的平面角,tan乙PDC＝√g百’PD＝6OD＝√5h’
￥“』″
｜
R＝亚＝
‘≡］×÷触×伍干兵寺所以÷7故选。
｜
6.A
｜
试题解答:设AC的中点为E’由正方形的性质可知’BE上
｜
AC’DE上AC’折起后仍有BE上AC’DE上AC成立,所以
｛
乙DEB是二面角的平面角,即乙DEB＝l20。,可得乙DBE＝
｛
30。’在平面DEB内作DO上BE于O,根据AC上平面DEB
｜
可得DO上AC’从而可得DO上平面ABC’乙DBE是直线DB
｜
与平面ABC所成的角’因为乙DBE＝30°’直线DB与平面
｜
奶c所成的角的正弦值为÷故选A
D
-｜,酗-3.所以″-阎‘-鹰c-
』,′《!厂／
＝l,EB＝3’所以EF＝EG＝EC＝
A1
l
√EB2＋BC么＝5’
所以AF＝√EFaˉAE2＝2√6’1）E＝
B］
C
Ⅶ丽ˉ干Ⅱ匣＝｀／I7’
4
／1
B
所以AlF＝｀／A尸＝IlA｝＝2√ZDG＝
E
√E馁ˉDE2＝2√ZAG＝｀／砸ˉ干万顽＝2伍
所以DlF＝D］G＝4—2√ZFG＝√mlF＝4徊ˉ4’
取F‘的中点″｀连接AM’EM所以删＝＋Fc＝2徊ˉ2》
～
因为△AFG和△EFG均为等腰三角形.
所以AM上FG,E″」ˉFG’
所以乙AME为二面角AˉFGˉE的平面角,
D—
C
因为A″＝｀／AF2ˉF〗′2＝2徊＋2’
所以tan△4″E＝丝＝
l
＝徊—l
AM2灯＋2
2
.
故选Bˉ
试题分析:设棱长为4,根据勾股定理计算AF’AC可得
△AFG和△EFG均为等腰三角形,作出两三角形的底边上
的高A″,EM,则乙AME为所求角。
3。A
（
~≡
A
】
d
B
C
试题解答:如图,当M,Ⅳ分别
在BBl ,CC1上运动时’若满
足BM＝ClⅣ’则线段M＼／必
过正方形BCClB］的中心O,
而DO上平面BCC1B1 ,所以平
面DM／ML平面BCC1B1 ’A正
B
7
○
Ⅳ
刽｜反万l
D
『）
『）
〃
酗
C
试题解答:如图,过M作″O」ˉ
AB于（）’连接Ⅳ0,则M）上AB’
则乙″OⅣ＝0,
连接C／V,在Rt△CO″中’有A
C″＞OM,
B
确;当M,／V分别在BBl ’CCI上运动时,△A1DM的面积不
变’Ⅳ到平面A1D″的距离不变’所以棱锥／V—A1D″的体
积不变,即三棱维A1 ˉDM＼／的体积为定值,B正确;若
△DM＼／为直角三角形,则必是以乙／｜′DⅣ为直角的直角三
~
~
0
l89
／）
′／｝』
≥■
G
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角形但M＼／的最大值为BCl ’而此时DM’DⅣ的长大于
BBl ,所以△DMⅣ不可能为直角三角形,C错误;当″,／V分
别为BBl ’CCl中点时’平面DM＼′与平面ABC所成的角为
0’当M与B重合’Ⅳ与Cl重合时’平面DMV与平面ABC
所成的锐二面角最大,为△C!BC等于子′所以平面DM｀′
与平面A‘c所成的锐二面角范围为（0,哥｜,n正确故
ll.A
试题解答:如图l ’在菱形ABCD中由题意可得BD＝徊
B
』
＜＞Ⅺ
B
C
~
~
~
［）
4
C
图!
图2
将菱形沿对角线AC折起后得到如图2所示的三棱锥
BˉACD’取AC的中点O,连接BO,DO’则BO上AC,D（）ˉLAC,
所以乙BOD即为二面角BˉACˉD的平面角.
在△蹦0″中,0周-0″＝亨,‘″二｜,
~
~
~
~
~
选C.
8。D
试题解答:由题意知四棱锥
SˉABCD为正四棱锥,如图,连
接BD,记AC∩BD＝O,连接
SO,则SO上平面ABCD,取AB
的中点M’连接S″,O″,OE’
易得AB上SM,则02＝乙SEO,
03＝乙SMO,易知03≥02.
03＝乙SMO,易知03≥02.
S
△
＝
／
＿
＝
＿
＝
｀
＼
←
＼
｝
叭
＝
尸
、
］
—
〕
］
＿
√
）
徊
—
∑
何
—
∑
×
′
′
川
｀
徊
—
〗
∑
×
＼
‖
‖
‖
‖
『
／
勺
全
β
—
∑
／
』
｜
‖
｀
＼
′
〃
（
日
△
吕
●
○
得
理
定
弦
余
由
2
C
AE
M
B
＿≠2
因为O删〃Bc｀‘c」佃｀sM儿咽,所以βj也为0M与平面
｜
故二面角…D的余弦值为÷
SAB所成的角’即BC与平面SAB所成的角’再根据最小角
｜
｜
故选A.
定理知’03≤01 ’所以02≤03≤0l.故选D.
试题分析:根据并面直线所成的角、线面角｀二面角的定义
｜
12A
｜
试题解答:由题意得’当点″在点Al处时’△MBC的面积
作出01 ,02,03 ,再根据最小角定理即可求解.
｜
最大’同时二面角MˉBCˉA也最大.
9。B
试题解答:设O为三角形ABC的中心’则O到PQ距离最
｜
设AB＝则’AAl ＝γ’则△AlBC的边BC上的高为
小………｀铡施离属中而高糟等阀此
｜
√蕊…—（÷「≡｀／￥雨
α＜γ＜β,故选B。
l0.B
＋”√芋萨≡2沤｀
｛［
拿
试题解答:由ABl ／／／DCl可得
乙B1AD1为异面直线AD1与
DC1所成角,
Al
如图’由二面角DˉABˉDl的大
小为60。’可知乙D1AD＝60°’
〃
所以√5M＝AAl
’
又DCl与平面ABCD所成角的大小为30。’
｛
所以该三棱柱＂体积为F-s…捌｜-（?×22）×］ˉ
所以DCl＝2CCl＝2Ml ’DC＝√5m｜＝√5Ml
’
设仙＝割｜二争,
｜
3扛故遮A
则A圃二伍,
｜l3÷
｜
试题解答;在长方体ABCDˉA｜B!C｜D!中’
所以AD｜-竿,必｜＝2倒,〃｜″｜二嘿.
｛
DDl上平面ABCD’得DDl上AD’DD1上BD,从而乙ADB是
在△ABlD1中’由余弦定理可得’
｜
二面角AˉDDlˉB的平面角’因为AD＝2’AB＝l’
4α2÷侧』—斗“2徊
｜
所以［…″g-＋,
cos乙BlAD1＝
＝
2×2鲤x孪‘
,
｜
所以二面角AˉDD｜ˉB的正切值是÷
所以异面直线＂D｜与″c｜所成角的余弦值鸿
｜
即答案为÷
故选B
试题分析:由AB］〃DC｜可得△BlAD!为抒面直线AD］与
｝
试题分析;淘DD］上乎面ABCD.得DD｜上AD′D″｜上6″』
DCl所成角’然后解直角三角形及应用余弦定理求得
｜
从而乙ADB是二面角AˉDDlˉB的平面角’由此能求出二面
结论·
｜
角AˉDDlˉB的正切值.
Bl
D
l90
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（—湍）
试题解答:建立如图所示的空
间直角坐标系,
则D（0’ˉ÷,孪）,C（0,4.
0）’M（α,0,0）（ˉ3＜α＜3）
’
d
平面MBC的＿个法向量为
Ⅺ1≡（0,0,l）
,
23
盲线斜率与方程
‖
l.A
试题解答:由题设有tanα＝3,
sInαcosα＋cos2α
tanα＋l
4
所以÷m2…鼠2α＝
-
＝
＝
「U∩≤2∩′＋S;∏2∩′
｜＋↑多m2′｀′
‖0
′／｜…2.…＝匹｜…°
｀乓-
cos2α＋sin2α
l＋tan2α
l0
l4
z
2
5.
故选A·
试题分析:根据直线的斜率得到tanα的值,再利用二倍角
公式和阎角的二角函数的基本关系式把＋sin2α＋co鼠2α
化为关于tanα的关系式即可。
B
试题解答:由题得不等式组对应的可行域如图中阴影部分
所示’A（l,÷）,B〔0,l）’c（l,0）
~
‖
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
设平面D″C的＿个法向量为〃2＝（卿’γ,z）
’
（0,:.罕）,而＝（ˉ忽,4.0）,
则沉＝
｛骂搔｀
＿≥
｛撇二｛~ˉ
则
~—
令z＝9,卯＝4｀／63’γ＝√丽’所以平面DMC的一个法向量
｜
α
（4严,呵,）
为川2≡
9
9
所以｜COS〈〃1 ’〃2〉
｜＝
＝
｜
√』6÷‘3…!√!罕6〕.隙叫｀
｜
闪为ˉ3…3』所以α2＜9’所以l6÷63＋l44＞l6×63
＋
0
9
1q4≡256’
所以｜懈赡〈厕｜｀″:〉
｜＜湍｀即二面角的余弦值的取值范围
｜
是（ˉ湍）
√了
5
试题解答:作AO上BD’则O为BD中点
由题意得AO上平面BCD.作OE上BC’连接AE.
则乙AEO为二面角AˉBCˉD的平面角’
敛M＝何.0愿二f巫＝匝
2
,
…姻0三粤测六三鲁
~～
2√3
勺
叁
勿＋γ＋2
勿＋l＋γ＋l＝1＋y-（-l）
＝
√
′
卯＋l
卿＋l
如-（-l）
’
仁｝二｜｛粪示可行域内的点（鳃,γ）＂点o（ˉ｜,ˉ｜）的连
线的斜率’
由图可知.腮…-咖＝0二｛二‖＝2,‰＂≡腮‘′＝
0～（-l）
1
二二
l-（-l）
2
,
l5
所以鳖诺2的取值范围是｜÷,3｜故选E
试题分析:先作出不等式纽对应的可行域’再化简鳖ˉ±1ˉ±2ˉ
卯＋l
叶］＋叶｜-1带仁｝二｛｛.鼠后利′…缝舍求丝土』L旦
卯＋l
卯＋1
的取值范围
l6
3。B
试题解答:由题得,不等式组对应的可行域如图中阴影部分
所示.
试题解答;延长EF交CC1的延长线
于G,连接AG,在平面ACC1内过G
作GH／／／AC交AAl的延长线于H’则
咽-÷α,‘〃＝Ac＝4,所以
…“〃＝器-÷-÷,得α＝4,
ˉ丁α
～
把原直三棱柱补体成正方体,则正方
体的棱长为4’所以三棱柱ABCˉ
／／
l）
】
4l
＼
Bl
｜
尸
勺
〕
E
~
~
~
~
~
T
∧
飞
l
2
3
4
5
＼
A｜圈｜C｜的外接球的半径′二÷／Z蓟＋42＋4』＝2何,故填
｜
2口
· l9l
骤立｛嚣了↓亡枷≡0碍‘（］,鹏ˉ］）
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表示同＿直线’故错;对于@,直线／过点P（卯0’γ0）’倾
斜角为90°’则其方程为腮＝厕0’正确’正确的个数为2
｜
故选B.
｜
l0·B
｜
试题解答:当横截距α＝0’纵截距b＝α＝0,此时直线方程
｜
过点P（3』2）和原点（0’0）,直线方程为;÷二÷整理,得
｜
2狐—3γ＝0;当横截距α≠0时’纵截距b＝α’此时直线方程
｜
为÷＋÷二l,把P（3,2）代人.得÷＋÷-l,解得α＝5,
｜
所以直线方程为÷＋÷＝l ,即＂＋yˉ5＝0’所以过点
｜
P（3,2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是卿＋γˉˉ
｜
5＝0或2嘶ˉ3γ＝0·故选B
｜
l1C
｜
试题解答;些誓』二｜十等芹1其中诺表示网点（鞭,
‖
y）与（ˉl ,—l）所确定直线的斜率’∏出不等式组表示的
-l一0
］
｜
可行域如阁中阴影部分所示. Amm＝APB＝—lˉ3＝工’
≡｛≡;＝5,所以诺的取值范围是｜＋｀5｜
｜
∧max＝片PA＝
｜
坚÷铲的取值范围是｜÷,l｜｜故选o
击—万兰广gT了表示动点（蜒,γ）和点D（—l,0）的斜率｀可
行域中点‘和D的斜率最大,所以早二2,所以咖-5故
选B
4A
试题解答:根据题意画出图形,如图所示ˉ
｝
＼
＝
＝
直线′1 :鳃ˉ2γ＋l＝0与直线』2:′m‘＋γ＋3＝0的交点为A;
M为PQ的中点,
若M″｜＝＋｜尸0｜,则PA上Q州,
即′l上』2,所以l×′n＋（＿2）×l＝0,解得m＝2.
故选A·
5。A
试题解答:由两直线′1 :2冗-γ＋3＝0’l2:m陋＋2γ＋l＝0平
行可得,』｜与′2斜率相等,截距不相等,即兰＝2且3≠
—÷』解得砸＝—4故选A
△
6B
试题解答;由题意得—÷｜a＂0＝—l｀所以［an0＝2’
·°鼠20卡::;ˉ揣——÷故选u
7。B
试题解答;因为直线!的倾斜角为苛,所以直线′的斜率为
∧＝徊’又因为直线过点A（灯’2）’所以直线／的方程为γ—
2＝何（“ˉ徊）’即√甄ˉyˉ1＝0.故选B.
8.D
试题解答:狐2＋广ˉk嘶＋2γ＝0与卯2＋广＋kγˉ4＝0’相减
得公共弦所在直线方程:陋＋（k-2）yˉ4≡0,即A（卿＋γ）
＿（2…）-0,所以由｛:咱0得鳃-2.Ⅱ≡2,
即P（2,-2）,因此2m＋2′l-2＝0,所以矾＋′‖＝l,′Ⅶ′l≤
『
~
~
~
~
~
′
｜
12.A
·°鼠20卡::;ˉ揣——÷故选u
｜
试题解答:由题可得:丙车最先到达终点’丁车最后到达终
｜
点’所以丙车速度最大’丁车速度最小’由几何意义可得｜j
7。B
｜
车所在直线的倾斜角最大’丁车所在直线的倾斜角最小
试题解答;因为直线!的倾斜角为苛,所以直线′的斜率为
｜
故选A
腮＝徊,义因为直线过点A（灯2）′所以直线′的方程为′— ｛n0或2
2√7
｜
试题解答:由题意得mˉ′＂（加ˉl）＝0’所以m二0
2＝何（“ˉ徊）’即√甄ˉyˉ1＝0.故选B.
｜
或m＝2.
8.D
试题解答;剿2＋广ˉ肛＋2γ＝0与獭2＋广＋附yˉ4＝0,相减
｜
圆C;（箍ˉl）2＋广＝9’动直线′过定点A（0’ˉl）’当CAˉ
得公共弦所在直线方程:陋＋（kˉ2）y＿4＝0,即A（卯＋γ）
｜
l时’截得的弦长最短’为2√9ˉ｜CA｜2＝2√9＿2＝;
｜
2师
＿（2y抖）-0,所以由｛:咱0得鳃-2.Ⅱ≡2,
｜
l4徊
即P（2,ˉ2）’因此2m＋2″ˉ2＝0’所以矾＋n＝l’″l″≤
｜
试题解答:因为圆卯2＋（γˉα）2＝2的圆心坐标和半径分
（竿）2＝士故选u
｜
别为C（0’α）,r＝√Z则｜PC｜＝√（α＋l）2＋4’r＝√Z切线
｜
长｜PT｜＝√（α＋l）2＋4—2＝√（α＋l）2＋2’故当α＝ˉl
9,B
试题解答:对于o’斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方
｜
时’ ｜PT｜min＝√（ˉl＋l）2＋】＝√区故答案为√2
程敞镭;对于嚼倾斜角…的直线,典倾斜偷的正切值｜］5｜0,子｜O（÷.丽）
为负数直线的斜率为负数,正确对于o,方程愉二畏表示
｜
试题解答由题意直线′｜的方程即为γ＋2-α（躯—2）
｀
直线γ＋l＝内（腮ˉ2）去掉点（2,ˉ1）与方程y＋l＝八（卯ˉ2）不
｜
所以直线／｜的斜率为α且过定点P（2’—2）.
° 192。
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画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示
24
点到直线距离公式的应用
~
~
｜
l.B
∩
~句
试题解答;由题得椭圆c的方程为;荒＋:二l,
所以椭圆与则正半轴交于点A（4,0）,与γ正半轴的交于点
B（0,3）’所以｜AB｜＝5且直线AB为苛＋÷＝l,
即3鳃＋4y＿l2＝0.
因为P是椭圆上任一个动点’设点P（4cos0’3sjn0）（0巨
［0’2∏］）
’
所以点P到直线AB:3灯＋4y-l2＝0的距离为
X＝们／
~
~
~
~
6
5
4
3
2
l
二污
ˉl
ˉ2
ˉ3
ˉ4
／
xˉ3）’＝0
6’2）／
~
~
~
I
＝
l
■
∏
~
｜刁3／q
5
6
7嘶
｜
』
′
x
｝沁2）
｜′
｜.
’
］
）
工
△
口
＋
∩
√
（
∏
·
■
■
≡
征
α＝｜l2cos0＋l2slI】0-l2｜
12
目＝~
~
~
√5页ˉ干歹
｜
-
ˉ5
｜v…皿（″丁4）—1
｜
’
Ⅷ｛旗!0瞬糯｛国敬狮…此』｜蛔～
｜
Ⅷ此可得;缉,≡￥财.徽…÷（沤带｜｀
2了（ˉi2）≡l
｜
所以△刨B面积的最大值为s二÷｜AB｜ב…＝6（徊＋l）
＝
当α＝7时’直线′!的方程为γ＋2＝7（狮ˉ2）’即7躯ˉγˉ
｜
故选B
l6≡0,
｜
试题分析:根据椭圆的方程算出A（4’0）’B（0’3）’从而得到
由｛!i摊『0解得｛目敬点‘（j｀5）.
｜
｜AB｜＝5且直线AB;3卯＋4γ＿l2＝0.设点P（4cos0,
｛
3sjn0）’由点到直线的距离公式算出P到直线AB距离为
结合阁形可得…线′!与不等式鳃表示的平面区域创‘二号｜征m（外÷）—｜
｜,缮合二………算
有公共点,只需满足m≤3.
｜
出创…＝号（徊＋l）,由此籍合三角形面积公式,,呵得到
所以直线′的斜率号≤l
｛
△PAB面积的最大值.
＂以慰戮』＂｜…酗＂…圈为｜0｀矛｜u（÷呵）
｜」总题解答;脚……≡↓
｜二挡……卿｜鹊龋川惠篷………
试题分析:先画出不等式组
画出α＝l和α＝7时直线′1 ;α厕ˉy—2αˉ2＝0’则直线′］
｜
γˉ3＝α
与干面区域有交点即可满足条件’由此可得矾的取值范
｜
｛
因为圆b到直线的膘离＂＝乎｀
围’进而得到直线l的倾斜角的范围.
!6［5—厄5＋旬
削
所以切线长的最小值为√÷—4＿但
2
试题解答;直线（α＋2b）腮ˉ（α＋6）γˉ3αˉ46＝0（α’b不
｜
故选o
同时为零）化为α（＂ˉyˉ3）＋b（2躯ˉyˉ4）＝0,令
｜
试题分析;由圆的标准方程’找出圆｜谬坐标和圆的半径’要
｛i古jJ』6解得｛旦2.
｝
使切线长的最小’则必须点P到圆的距离最小’求出圆心到
｜
直线绷＋γˉ3＝0的距离,利用切线的性质及勾股定理求出
所以直线（α＋2b）″ˉ（α＋b）γˉ3αˉ4b＝0过定点Q（l
’
｜
切线长的最小值即可.
ˉ2）.
｛
3.A
｜
试题解答把嘲线‖二｝‘上嘶（』为参数）与删
所以点″在以PQ为直径的圆上’
圆心为线段PQ的中点C（—l ,-l）
,
｜
｛》＝鸿M（,为参数）的参数方程分别化为普通
半径r＝√页页ˉ干丁＝√互
所以线段M｀′长度的最大值＝｜c′｀′
｜＋′＝归豆ˉ干J可＋旧＝
｜
方程’
5＋伍
｛
直线:4勿＋3γ＿3≡0;圆:鳃2＋（y—b）2＝9.
｜
因为此直线与该圆相切,
线段M＼／长度的最小值＝｜C／＼／｜ˉr＝√g页ˉ再可ˉ√百＝5ˉ√5
｜
;
所以｛;莹二｜
≡』｀
故答案为［5ˉ占’5＋间.
° 193
.
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霹得b＝ˉ4或6
｜
试题分析:先分析出函数γ＝／（匆）是奇函数,再由／（勿2-2卯）＋
｝
／（＿2γˉ广）≤0得（腮＋γ）（鳃ˉ′—2）≤0,得到点（腮,γ）对重
哎选A·
式题分析:先把参数方程化为普通方程’再利用直线与圆相切
｜
的可行域’再数形结合得到z＝卯2＋广ˉ6狐＋4γ＋14的最
询充妥条件是圆心到直线的距离等于半径’即可求出答案
｛
小值,
＼
｜
7。D
式题解答:因为坐标原点（0’0）到直线躯—γ＋sin20＝0的
｜
试题解答:到点A（ˉl’l）距离为1的直线’
腹离为｜题岩〃｜三粤,所以…～＝］』所以2,～苦＋2刷可看作以州（—｜｀］）为圆心』半径为｜的圆的切线,
｜
同理到点B（3’4）距离为3的直线’可看作以B（3’4）为圆
（k巨Z）或20＝ˉ;＋2肺（附匡Z）,即0＝哥＋肺（庶匡Z）
｜
心’半径为3的圆的切线’
｜
故所求直线为两圆的公切线’
或0二—晋＋肺（隐匡z）故选A
｜
又｜AB｜＝√（3＋l）2＋（4—l）2＝5＞l＋3’故两圆相离’则
｜
两圆有4条公切线
□
试题解答;因为点p（咖,″）是直线2膊＋γ＋l＝0上的任意
｜
故选D
｜
试题分析:把已知问题划归为两圆的公切线条数’只需半｜√断
一点,
又m2＋n2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方’
｜
两圆的位置关系即可.
所以m2＋厕2的最小值为原点到直线距离的平方’
｜
8.A
｛
试题解答:由题意可知l上AB’
所以所求最小值为（万岩亏「-÷故选α
｜
且线段Aβ的中点‘（2,÷）在直线′上
试题分析:m2＋＂2的几何意义为直线上的点到原点距离的
｝
｜
义线段AB的斜率为删媚＝吕ˉ当
,
平方,由点到直线的距离公式可得结果.
＝—
A
｜
由垂直关系可得直线l的斜率为2’
试题解答:因为函数γ＝／（鳃ˉ2）的图象关于点（2’0）对称’
｜
｜
再由线段A圈的中点在直线′上可得γ＿÷二2（卿—2）
｀
所以函数γ＝／（厕）的图象关于点（0’0）对称’
所以函数γ＝∧狮）是奇函数.
｛
化为＿般式可得4鳃-2γ-5＝0.
因为∧卯2ˉ2加）＋∧ˉ2y＿y2）≤0’
｜
故选A.
所以∧则2ˉ2卿）≤—／（ˉ2γ—／）
’
｜
试题分析;由题意可舞′皿‘’且线段AB的中点C（2,÷）灌
所以／（“2＿2厕）≤／（2γ＋广）
’
因为函数γ＝∧豹）是增函数’
｜
直线／上.由垂直关系可得直线／的斜率’从而可得直线／
所以则2ˉ2卯≤广＋2y’
｛
的点斜式方程’化为一般式即可
所以聪2ˉ广ˉ2（卯＋y）≤0’
｝
9.B
所以（z＋γ）（z-γ）一2（勿＋γ）≤0.
｜
试题解答:点（2’l）到直线3卿＋4γ＋C＝0的距离为3等价
所以（如＋γ）（卯—γˉ2）≤0’
｜
于」旦ˉ2旦＋4×l＋C｜＝3’解得C＝5或C＝ˉ25’所以“C＝
所以点（卯’γ）对应的可行域如图所示.
＾／可页ˉ工I了
解得b＝ˉ4或6
故选A.
试题分析:先把参数方程化为普通方程’再利用直线与圆相切
｜
的充妥条件是圆心到直线的距离等于半径’即可求出答案
｜
」
√I丁丁丽
～,″mⅧ｀ˉ～＿
4.A
试题解答:因为坐标原点（0’0）到直线躯—γ＋sin20＝0的
｜
距离为｜题岩〃｜三粤,所以…～＝］』所以2,～苦＋2刷
（k巨Z）或20＝ˉ;＋2肺（附匡Z）,即0＝哥＋肺（庶匡Z）
｜
或0二—晋＋肺（隐匡z）故选A
5。C
试题解答:因为点P（m’″）是直线2躯＋γ＋1＝0上的任意
｜
一点,
又m2＋n2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方’
｜
所以m2＋厕2的最小值为原点到直线距离的平方’
所以所求最小值为（万岩亏「-÷故选α
p
6
｜
5,,是“点（2’1）到直线3卯＋4γ＋C＝0的距离为3”的充分不
｜
必要条件.故选B.
｛
l0.C
｛!吕｛爵襄鼠＂
｜
试题解答:实数卯’γ满足不等式组
｛
平面区域如图中阴影部分所示.
ˉlO
ˉl
2
.X
云
因为z＝卯2＋广—6绷＋4y＋14’
所以z≡（鳃—3）2＋（γ＋2）2＋l,
所以z表示点Q（卯’γ）到点P（3,ˉ2）的距离的平方再加l
,
观察上面的图形得,当PQ垂直于直线狮＋y＝0于0时,z
最小’
因为d≡揣:等所以舰』÷＼
所以舅mm＝÷＋l＝÷
故选A·
‖
5
｜
4
3
、
l
』
』
』
』
』
!
5ˉ4ˉ3ˉ2ˉl］
（
ˉ2ˉ
ˉ3ˉ
ˉ4ˉ
ˉ5~-
O
~
~
~
!4
l
~
~
‖
l94
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№＿Ⅱ｜≡徊导≡沤W｛半「1｜n』的几何意义;封
‘喜旧＿2＿2｜卫
厄
2
示区域内的点到直线则—y＝0的距离的√面倍’
｜
故答案为鞭＿γ—3二0,乒
由图可知点A（4,0）到直线加ˉγ＝0距离最大’所以｜卯-y｜
｛
｜
试题分析:利用直线乎行斜率之间的关系以及点斜式可得
的最大值为沤× ｜号｜二｛
‖
直线方程’由点到直线的距离公式可得结采。
故选C.
｜
15.卯＋y—3＝0
试题分析:首先画出不等式组表示的乎面区域’然后根据
｜
α×1＋0ˉb＝0’
｛—履蒸吕＝｜解得｛:二｝｝
｜苑—γ｜的几何意义求最大值.
｜
试题解答:由已知’得
ll.B
试题解答:由题得乙P／｜′O＝乙PⅣO＝乙MO／V＝90。,″O＝
｜
即α卯＋γˉb＝0为绷ˉγˉl＝0.
｜
设直线则＋γ＋l＝0关于直线卯＋y—1＝0对称的直线上任
OⅣ≡l
,
｜
意＿点的坐标为（嘶’γ）’则点（则,y）关于″＋γˉ1＝0的对
所以四边形P″0Ⅳ是正方形’
｜
称点（财0’y0）必在直线卿＋y＋l＝0上’
所以｜PO｜＝徊’
｜迂＝」≡
因为满足以上条件的点P有且只有一个’
所以OP上′’
｛
即
所以徊-错所以』-辈2
｜
所以｛｝‖二｝二＄!代…辨｜—0得叶Ⅱˉ3～α
故选B.
试题分析;先分析得到四边形P″o″是正方形,再分析出
｝
故答案为卿＋γˉ3＝α
OP上／,再根据点到直线的距离公式求出b的值.
‖
试题分析:通过点P在直线的射影’求出α,b’可得直线
l2.B
‖
l槛」》j（
｝
所以0的坐标为（ˉ2,7）’即所求的对称点的坐标为
｜
lα2迈
5
（—2’7）.故选Bˉ
试题分析;设点0（加’n）是P（4’5）关于′的对称点’根据
｜
试题解答;由双曲线的方程’可得双曲线的一条渐近线的
轴对称的』隆臆建立关于腮,＂的方程组,解出矾＝—2且″
｜
方程为γ≡÷鳃』即鳃ˉ2γ＝0’所以点（2’0）到渐近线的距
＝7,即可得到点P（4’5）关于的对称点坐标
｜］粤
俐
离为‘-古-竿
试题解答:由题设得抛物线方程为广＝8勿,设P点坐标为
｜
25
两点间距离公式的应用
P（勿,γ）
,
｛
LD
则点P到直线y＝如＋3的距离为:
‖
试题解答:依题意P’0两点间的最大距离可以转化为圆心
Ⅲ＝
」匹二工ˉ±旦ˉl
—
｜8卯ˉ8γ＋24｜＝｜y2ˉ8γ＋24｜
徊
8√可
8徊—＝
｜
到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径徊
｝
设Q（“’y）’则圆心到椭圆的最大距离Ⅲ＝√厕2＋（yˉ6）2＝
｜（》悲s｜≡粤｀
｛
√二9》』ˉ…6千9（Ⅱ÷）』带50＜徊
当且仅当γ-绊时取得最小值亭
｜
所以′.0两点间的最大跟离是6徊
｜
故选D.
l鳃鸳＿′—3二0f
｛
试题分标…′,…阎的……转化为圆』°
试题解答:由与直线／平行’可得其斜率为l ’又因为过点
｜
到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径√I’再利用两点间
P（2,-1）,所以可得其方程为γ＋l≡1×（则-2）,
｜
距离公式和消元法转化为函数的最值问题,即可求出最值.
整理得卯—γ-3＝0.
｛2C
根据点到直线的距离公式可得点Q（3,2）到直线』:卯-y-
｜
试题解答:因为A（1’α,—5）’B（2α,-7,ˉ2）,所以｜AB｜2≡
2＝0的距离为
｜
（2α-1）2＋（-7ˉα）2十（-2＋5）2≡5α2＋l0α＋59＝
色
l95
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5（α＋l）2＋54,所以α＝—l时’ ｜AB｜2的最小值为54’所以
｜
6
｜AB｜mm＝归可＝3伍故选C.
3.A
试题解答:由题意’以点C为原点’分别以CB’CA为卯’γ轴
｜
建立平面直角坐标系,如图所示,则点A’B的坐标分别为
｜
（0’2打）’（2’0）’直线AB的方程为γ＝ˉ伍＋2徊’不妨
｛
设点M’／V的坐标分别为（α’ ˉ徊α＋2何）
’ （b’ ˉ归b＋
｜
2何）’α’b巨［0’2］’不妨设α＞b’由｜M＼／
｜＝l ’所以（αˉb）2
｜
＋（—伍＋仍）』二l,整理得α＝÷＋b,则耐丽-4αb
｝
7
—6（α＋b）刊2』即硫丽＝4（bˉ÷）』＋号,所以当》≡
｝
÷时,丽耐有最小值÷当b二0时,而耐有最大值
｜
9,故选A·
B
试题解答…菌可得｛慨｜?盯! ,设…｀
3ˉ二丛.1二旦＝ˉl
’
｜羡知触—』）＂…｜』糯…
即
整埋可得｛》二;｀或｛》＝§!
所以B（2’0）或B（4’6）.故选B
7°B
试题解答:设z＝（卯l —觅2）2＋（yl -γ2）2,则z的几何意义
是两条曲线上动点之间的距离的平方
因为γ｜-鼠m2撼｜ˉ粤（乳≡［0.丽］）,
所以y｜＝2cos2则l
’
因为函数γ2＝蛹2＋3的斜率为1
’
所以令y｝＝2cos2蜕］＝l,解得鳃!＝晋,则γ! ＝0’即函数在
■
｜
γ
厄
∑
‖
d
Ⅳ
（晋,0）处的切线和直线γ＝＂＋3平行’则最短蹿离
为d」乏』｜,
√2
所以（…）1辨（帅ˉ雌）』锄最」植为藤≡‖晋喝｜丫
（
晦
）
.
M
B
≥
Ⅺ
｜
b
‘′
C
勺
垒
4。B
试题解答:A（—2’3）关于卯轴的对称点的坐标为A′（ˉ2’
-3）
,
（而＋l8）2
72
故选B.
＝√I∏∏＝l0
〗
＼
‖
／
日
〕
′
‖
｀
＋
∑
）
斗
∑
／
‖
＼
√
则A′B＝
故选B.
｜
8C
5.A
｜
试题解答:由题意得当t＝l时’αl＋bl＝cl ’所以直线l｜过
试题解答:建立如图所示的平面直角坐标系’则A（0’何）
’
｜
定点M（l,l）
’
B（ˉl,0）’C（l ,0）,设点P的坐标为（勿,γ）
,
｜
当t＝2时’2（α2十b2）＝c2所以直线′2过定点Ⅳ（2’2）.
则可＝（ˉ则’旧ˉγ）’雨＋而＝2（ˉ卯’ˉy）.
｜
因为｜M｀『
｜＝√目且｜P｜P』｜≥√可恒成立｀
‖
）
所以／1／／／l2’
所以Mγˉlˉ／l ,MγˉL′2,
因为服Ⅷ＝苦＝l’
2h
｜
所以／l ’′2的斜率为ˉl.
丁r
｜
所以直线ll的方程为γˉ1＝ˉ（则—l）’即则＋y＝2;
ˉl
O｜
］
故PA. （PB＋PC）＝（ˉ卿,√可ˉγ）.2（ˉ绷’—y）＝2（卿2＋
｜
直线』2的方程为γˉ2＝ˉ（xˉ2）’即蛔＋γ＝4
—≥
-—≥—〉
｜
所以cl＋c2＝2＋4＝6.故选C.
广—历）二2卜2（γˉ粤「＿÷｜｀
闻,＂
｜
试题解答:设A（厕l ’γl）’B（卿2’γ2）’过A’B两点分别作直线
令』二鞭2（》ˉ粤「.则』表示△必c内（包括三条边上）k
｜
＂≡2的垂线垂煌分别…
的—点尸与点（0.粤）间的鞭离的平方结合图形可得当点
｛
囚为｜″｜-＋M圆｜.所以｜哑｜-3｜州川
勺
腹与…‘示仆耐…最大…大随为』耐≡
｜
恤鞠…典褐｛』＂二:」…义｛酞‖
÷,故两（两＋死）的最大值为2（寸—÷）＝2
｜
解得鳃!＝÷
故选A.
. l96.
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哑
〕
~~
＄
—
〕
＋
斗
—
’
／
丫
川
△
‖
＋
∑
］
卯
／
γ
~~
雨
「
仰
~~
ˉl ’所以ln（ˉ卯0）ˉ卯0＋卯;＝2’令′＝ˉ卿0＞0’则有ln‘
＋t＋t2＝2,令g（』）＝ln′＋t＋t2’可知g（′）在（0,＋由）上
单调递增,且g（1〉＝2,所以t＝l,所以卯0≡ˉl ’点P（-l,
ˉl）’此时MP＝2√Z所以所求最小值为厄
故答案为√Z
l5.上
5
试题解答:′（鞭）二宁带瓣2ˉ丝—2侧叶÷碘2-（宁）2＋
2
（x—α）2’表示点A（腮,÷）与点E（α,:）的距离的平方,点
d在曲线γ!二÷上,点B在直线′』二÷上｀求导y｀＝÷
若γ′｜＝÷-＋,所以鞭二0所以A（0’十）,所以｜AB｜2的
最小值即为点A（0,÷）到γ』二÷的距离的平方,此时满
足kAB≡-2,
l
α
所以＋—÷＝＿2,所以α＝÷』故答案为舰二÷
l6. ［72’88］
试题解答:设P（α’b）
’
因为点A（＿2’-2）,B（-2,6）,C（4’—2）
,
所以｜pA｜2＋｜pB｜2＋｜pC｜2≡（α＋2）2＋（b＋2）2＋（α＋
2）2＋（b-6）2＋（αˉ4）2＋（b＋2）2＝3α2＋3b2ˉ4b＋68.
因为点p坐标满足绷2＋广＝4,
所以α2＋b2＝4,即一2≤6≤2’
把α2＝4ˉb2代人到3α2＋3b2ˉ4b＋68＝l2ˉ3b2＋3b2ˉ
4b＋68＝-4b＋80.
因为ˉ2≤b≤2,所以72≤—4b＋80≤88,
所以｜R4｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2的取值范围是［72’88］.
故答案为［72’88］.
26
平行线间距离公式的应用
l.D
试题解答:设所求直线上任＿点（卿,γ）
,
则它关于卿＝l的对称点为（绷0’γ0）
｛＂二ˉ…
因为（厕0’y0）在直线卯ˉ2γ＋l≡0上’
所以2ˉ卯-2γ＋l＝0化简得期＋2y-3＝O故选∏
试题分析:设所求直线上任一点（鳃,y）关于卯＝1的对称点
”（骡……｛谓—玲……方霍.鼠呵糯“
所求直线方程.
2.A
试题解答:直线3如＋4γ＋3＝0即6鳃＋8γ＋6＝0,它与直线
6卯＋my-4≡0平行’所以′n≡8,则它们之间的距离是〃＝
｜6＋4｜≡l.故选A.
｀／62＋82
所以｜OA｜
故选D.
l0。C
试题解答:因为A（5’2α-l）’B（α＋l ,α—4）,
√［（α＋1）ˉ5］2＋［（αˉ4）ˉ（2αˉl）］2
所以｜AB｜
≡
~~
√（鹤ˉ4）』带（…）』≡√2·』—…√（凰ˉ十）』等,
所以当α＝＋时’ ｜dB｜取得最小值
故选C
1l.C
试题解答:因为／（灯2ˉ6卯＋2l）＋／（γ2ˉ8γ）＜0’且函数
y＝∧如）是奇函数’
所以／（则2ˉ6卯＋2l）＜ˉ／（广ˉ8γ）＝／（ˉy2＋8γ）
’
又函数y＝∧加）是定义在R上的增函数,
所以卯2ˉ6蛔＋2l＜ˉ广＋8y,即（则ˉ3）2＋（γˉ4）2＜4’且
卯＞3’
表示以（3,4）为圆心,半径为2的圆的右半部分的圆面.
又则2＋广为圆面内的点到原点距离的平方.
结合图形可得√〗豆＿豆可＝√I了＜｀／Pˉ下歹＜5＋2＝7’
所以l3＜则2＋y2＜49.故选C,
l2C
试题解答:因为″＝｜√Fˉ干『rˉ√5面ˉ工∏r｜表示点（α’b）,
（C’d）到原点距离差的绝对值’Ⅳ＝√（αˉC）2＋（bˉⅢ）2表
示两点（α’b）’（c,α）之间的距离,根据三角形两边之差小
于第三边（三点共线时相等）’可得″≤Ⅳ。故选Cˉ
l3·2
试题解答;由题意得广二］鞭ˉ芋≥0.所以0≡2,
因此篮2＋广＝3翼ˉ丝＝—＋（躯—3）2＋:,
2
△
所以当卯＝2时,卿2＋γ2取得最大值4’
故√P＿工7的最大值为2.
试题分析;√Fˉ干7表示曲线3卿2＋2γ2＝6卯上的点到坐标
原点的距离,故可用消元法化为关于y的函数’再求最值.
l4.√页
试题解答:设C（卯’y）’由（2而ˉ丽）
. （而ˉ丽）＝0得
（2绷ˉ4’2γ）
. （绷,yˉ2）＝0’所以鳃2＋广ˉ2″ˉ2γ＝0.
｜死—＋』厕—＋［ln（ˉ』）—｜］丽｜-
‖
‖
~
~
~
~
~
‖
~
~
~
~
~
~
~
~
‖
~
~
■
■
●
□
■
二
■
■
0
~
~
~
】
气
′
△
司
‖
‖
‖
』
■
〗
且
＋
、
｀
‖
′
′
□
了
』
〃
′
‖
｀
∏
］
γ
√
厂
｜
｜
｜
～
＋
∑
＼
）
′
Ⅱ
卯
（
√
等价于圆″: （“—1）2＋
（y—l）2≡2上—点与函数γ＝ln（—鳃）ˉl图象—上＿点的距
｜
离’可先求圆心M（l’1）到曲线y＝ln（-则）ˉl上＿点的距
｜
离最小值减去半径即为所求,在曲线γ≡ln（-卿）—1上取
｜
点P（绷0’ln（ˉ厕0）ˉ1）’在点P处切线斜率为上’当MP
｜
卯0
垂直于切线时圆‖可满足题意.即为（｜n（—削1I1—｜）—
｝
l97
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试题分析;先把两乎行线方程中一次项的系数化为相同的’
｜
9.C
利用两平行线间的距离公式进行运算.
｜
试题解答:因为′l／／／l2’所以n＝—4’／2的方程可化为匆＋2）
｜
ˉ3＝0又由α＝｜丝3｜＝石’解得″』＝2或ˉ8（舍去）’所
3。A
试题解答:由题意可知直线′l与直线』2表示直线的函数互
｜
√5
为反函数’
｜
以矾＋″＝ˉ2.故选C.
则将／1的方程交换“,y的位置即可得到／2的方程,
｜
l0.D
｜
试题解答:在直线γ＝ˉ3厕＋b上任意取一点A（l ’bˉ3）
’
即直线′2的方程为αγ＋b匆＋c＝0,
｜
则点A关于直线獭＋γ二0的对称点B（ˉb＋3’ˉl）在直
即6卯＋αy＋c＝0。
故选A.
｜
线γ＝α卯＋2上’
试题分析:由题意结合反函数的性质即可求得／2的方程
｜
故有ˉ1＝α（ˉb＋3）＋2’即—l＝—α6＋3α＋2’所以αb＝
｜
3α＋3,
4。A
试题解答:直线3加ˉ3y＋3＝0与直线6卿ˉ″!γˉl4＝0平
｜
结合所给的选项知D符合.
｜
故选D.
行,所以m≡6.
｜
1l,D
所以直线6匆ˉ6γˉl4＝0化为:3则—3γˉ7＝0.
所以它｛＂之｜刨的…揣?」）｜』竿
｛
试题解答;虾行线之｜厕的距陶公式存面Ⅱ｜尸≡
竿求解关干实数』的〃程可得;』二3或』≡［
故选D,
l2.C
试题解答:（″l,n）为直线3腮＋4γ＝6上的动点, （α,b）为直
线3卵＋4y≡l上的动点,
故选A,
5·C
5
＝低故选C.
试题解答:‘＝√12＋（ˉ2）2
6.B
试题解答:因为直线／1 :卯＋αγ＋6＝0与′2:（α—2）苑＋3γ＋
2α≡0平行’
理解为两动点间距离的最小值,
］
百
’
＝
＼
□
′
／
』
〗
′
（
＋
〗
｀
、
］
／
α
〗
∏
〃
』
‖
｀
√
所以六—÷哉』
削
显然鼓川植即两平行线间的距离;感-片～［
｜
故选C.
所以α≡-l’
｜l3÷÷
…」缉′……／」!舌｜「了〃乎
｜
＝＿~
｜
试题解答;延长EP交厕轴于点Ⅳ（图略）’设直线0P的斜
｜
率为k’Ⅳ的坐标为（4’0）’直线ⅣP的斜率为ˉA’故直线
故选B.
｜
／γP的方程y＝ˉA（卯ˉ4）’与直线CD的交点为E’故E日′｜
7.C
试题解答』由盲线平行的充要条件可得』÷＝;,所
｜
坐标为（ˉ÷4’2）｀直线‘Q的斜率为脓’直线四的方
勺
以α＝6,
｜
程为γˉ2＝附［熊ˉ（ˉ贡＋4）］’故Q坐标为（ˉl ’4ˉ
结合平行线之间的距离公式可得’
两条平行直线6篮＋8γ—24＝0与…γ＋U二0之间的距
｜
靴）若O尸的斜率为＋’则点q的纵坐标为÷若点Q恰
离为:
｜
为线段剧D中点则O′的斜率为÷
d＝些上［＝望＝二
〃＋8可
l0
2.
｜
试题分析:设直线OP的斜率为k’利用对称关系分别求仕
故选Cˉ
｜
P’E’0的坐标’建立关于A的关系式’即可.
｜l4÷
8.B
试题解答:由题意’所以A（3,3）是○C上＿点,折叠该
｜
圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重
｜
试题解答;因为直线3厕＋4yˉ3＝0与直线6厕＋′＂y＋l2＝（］
合’两次的折痕方程分别为卯ˉγ＋l ＝0和鳃＋γ
｜
平行’
｜
所以÷＝÷≠舌’所以…’故直线…y＋l2-0｀即
-7＝0,
所以两条直线的交点即为圆心C（3’4）,半径为l ,
｜
3勿＋4γ＋6≡0’
所以○C的方程为（勿-3）2＋（γ-4）2≡1.
｜
敏两平行直线之｜旬的距离为d≡｜6J揣｛÷,敏答繁
过P’M’Ⅳ的圆的方程为鳃2＋广＝m2’
所以两圆外切时’m的最大值为山2＋32＋l＝6’
｜
为÷
故选B.
° 198°
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试题分析』↑…乎行直线钓斜率相等｀在纵轴上的截距
｜
所以γ2ˉ÷γ—4二0,
不相等’求出′′l’利用两平行直线间的距离公式求出两平
｜
4
行直线间的距离.
｛
设A（卯l ’γl）’B（厕2’y2）’则yl＋y2＝了’ylγ2＝ˉ4.
l5竿
｝
所以｜》厂胸｜-√（…）』—…二帐＋1
…答;由题意作出约柬条件｛谨j｜ˉ′』＝0所｜
所以以嘶愿!为直径的圆‘的厕心为（ˉ｜,÷）,半径为
表示的平面区域如图所示,
对…任惠—点（涎,Ⅱ榔…为2的两条平行线方程｜帐带1
为2缚-γ＋b＝0’
当直线过点削（0,｜）和‘（2,—｜）时解得b-｜或b≡5,
｜
所以圆C的方程为（鳃刊）2＋（γˉ÷）2-4（÷刊）
此时直线2绷ˉγ刊-0利2瓣ˉγ＿5二0之间的距离最小,
｝
把（＿2,3）代人圆C的方程得1带（3＿÷）2二4（古刊）
其最｜植喘飞（（字｝）｜厂6至
｜
解得k＝2.
｛
所以圆C的方程为:（勿＋l）2＋（γ-1）2＝5.故选C,
‖
试题分析:设AB的斜率为k’得出AB的方程’与抛物线方
｛
程联立,根据根与系数的关系得出圆的圆心坐标和半径’把
｜
（—2’3）代入圆的方程解出A,从而得出圆的方程.
｜
3.B
｜
试题解答:因为（厕＋l）2＋（γˉl）2＝l的圆心为（ˉl’1）
,
｜
所以圆心在第二象限.
｜
故选B.
｜
试题分析:先根据圆方程得圆心坐标’再根据坐标确定
｜
象限.
｛
4D
‖
试题解答:设AB的中点D（匆’γ）,因为乙AOB≡90。,所以
｜
OD＝l’
｜
所以鞭:带尸二!.当点A从（凋D）移动到（徊,0）时,鞭从粤
］
′
试题分析:作出约束条件所表示的乎面区域’根据图象得
｜
象限.
到当斜率为2的直线过点A’B时’两乎行线之间的距离最
｜
4.D
小’即可求解最小值.
‖
试题解答:设AB的中点D（匆’γ）,因为乙AOB≡90。,所以
l6.△L11
｜
OD＝l’
5
｜
所以骡2＋γ2二l,当点A从（凋D）移动到（徊｀0）时,露从粤
试题解答;圃为M′』,所以｛:忙丽｜就｜2砸＝0,
所以
‖
Ⅷ二2｀所以直线′｜｀监的方程分别…γ-…γ＿2-
｜
变到粤.
0｀′｜与｜』之｜刨的距离为｜—岸｜≡硕
｜
所以圆心角变化子—÷二舌,所以D经过的路程为舌×
5
。
故答案为平
』
1二备故选u
｝
试题分析:设AB的中点D（则’y）’由乙AOB＝90°’所以
27
圆的方程
｜
0″-｜｀可得甄』√三｜.榷撼″的变化规撑求出＂从粤变
l.D
试题解答!圆鳃…斜鳃＿6J叫-0’即（叶2）』带（Ⅱ—3）2-
｜
.｜粤.从漏可得缮果
9.圆心为（ˉ2,3）,半径为3.
｜
5.A
设圆C的半径为厂.
｜
试题解答:以AB的中点为原点O’建立如图所示的坐标系’
由两圆外切知圆心距为√（2＋2）2＋（0ˉ3〉2＝5＝3＋r.
｜
则A（1’0）’B（ˉl ’0）’设P（匆’y）
’
27
圆的方程
1.D
试题解答:圆卿2＋广＋4卯ˉ6y＋4＝0’即（卿＋2）2＋（yˉ3）2＝
9.圆心为（ˉ2,3）,半径为3.
设圆C的半径为厂.
由两圆外切知,圆心距为√（2＋2）2＋（0ˉ3）2＝5＝3＋r.
所以′＝2
所以C的方程为（“ˉ2）2＋广＝4’展开得:厕2＋广ˉ4卯＝O
故选D.
试题分析:由两圆外切得圆心距为半径和从而得解.
2。C
试题解答:抛物线的准线方程为卯≡—l ,焦点F（1 ’0）.
设…程为…ˉ叭联立方程蕴｛闻》—｜↓
v小
P
~
~
~
≡
四
X
~
~
~
~
~
~
~′（绷≡1）2＋γ2
则√∏工T）2十γ2＝√z化简褥（…）2带y2二8,
199
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设所求圆心为（α’6）’且圆心在直线躯ˉγ-4＝0的左止
如图’当点P到AB（厕轴）距离最大时’△PAB的面积
｜
最大,
所以△〃β面积的最大值为÷×2×2徊＝2√Z
故选A.
试题分析:建立坐标系’则A（l’（））’B（ˉl ’0）’设P（厕’γ）
’
｜
.√｝扛‖;军≡抠,化简得（叶j）』挪～…压｜｜
‖
AB（觅轴）距离最大时’△PAB的面积最大,从而得结果.
6.D
试题解答;直线剿B吉＋＿苛＝l,即4xˉ3γ＋l2＝0｝
若△ABC的面积最小’则点C到直线AB的距离Ⅲ最短,
｜
Ⅲmin＝｜4加＋l2｜一l,
5
又△ABc的面积的最小值为÷,
～
所以÷×5×（｜4刚;l2｜—l）-÷,
即｜4m＋l2｜＝l0,
~~
β
’
］
~~
α
得
解
‖
·
~~
』
＋
〔
〗
且
’
徊
~~
斗
的
徊
α
‖
贝
≡
’
方
一l（α＝
3’6＝ˉ3不符合’舍去）’故所求圆的方程为（卿—l ）2＋
（γ＋l）2＝2故选C.
ll。C
试题解答:抛物线广＝20则的焦点F（5,0）’所以所求圆［］《｜
圆心为（5.0）,囚为双曲线希—;二｜的两条渐近线分别
为3“±4γ＝0’所以圆心（5,0）到直线3如±4γ＝0的距离胺｜
为所求圆的半径R,所以R二等-3,所以圆的方程为（鳃＿
5）2＋广＝9即“2＋广—l0厕＋l6＝0.故选C.
l2.D
试题解答:由γ卯巨R’／（卿）＝∧卯＋2）得函数∧卯）的周期为
T＝2ˉ函数／（腮）的图象为如图所示的折线部分,集合D＝
｛（鳃.Ⅱ）
｜（延—［′］）2＋广≤士’′匡［ˉl,3］｝对应的厩域是
如图所示的五个圆及圆内部分’半径都是÷
～
」↑
~~~~
三～
由题得坐-5×｜耐×（＋）』｜＝￥
事件／（α）≤b对应的区域为图中的阴影部分’
s＂蹿＝3×（丽×寸）—｜寸×（丽×士）—÷×÷×＋｜×∑
5∏
l
＝＿-＋—-.
8
4
］
＿
〗
或
Ⅱ
—
∑
所以′门＝
故选D.
试题分析;以AB为底边,△ABC的面积的最小值为÷,即
｜
～
求点C到直线AB的距离Ⅲ的最小值,利用圆的几何性质处
｛
理即可.
7.D
试题解答;直线露＿2y＋3＝0的斜率为÷,已知圆的圆心坐
｜
标为（2’ˉl）,该直径所在直线的斜率为ˉ2’所以该直径所
｜
在的直线方程为γ＋l＝ˉ2（则ˉ2）’即2腮＋γˉ3＝0.故
｜
选D
8·C
试题解答:圆M的方程为: （卿ˉ3）2＋（γ＋4）2＝l ’过M（3,
｜
ˉ4）且与直线γ＝则＋2垂直的直线方程为γ＝—腮—l ,代人
｜
（鳃＿〕）,十（Ⅱ抖）2＝］Ⅱ得蜒-3辈粤,故当0到直线γ二鳃＋
｜
2的蹿离最小时.0的坐标为鞭-］—罕
9,B
试题解答:由题意得抛物线尸＝8卿的准线方程为躯＝ˉ2’
｜
因为动圆的圆心在抛物线广＝8厕上’且与抛物线的准线
｜
相切’
所以动圆必过抛物线的焦点,即过点（2’0）,
故选B
l0.C
试题解答:圆厕2＋）2＋2厕—2y＝0的圆心为（ˉ1’l）’半径
｜
为√Z过圆心（ˉl ’1）与直线厕ˉγˉ4＝0垂直的直线方程
｜
为绷＋γ＝0’所求的圆心在此直线上,又圆心（ˉl,l）到直
｜
线厕ˉyˉ4≡0的距离为县＝3√Z则所求圆的半径为徊,
｜
√2
·200
5∏
l
所以由几何概型的公式得P＝了＋丁＝上＋上
5∏
2
5∏
4
故选D。
l3.佰ˉl
试题解答:以A为坐标原点建立直角坐标系’
由题意得C（√Z0）’B（0’徊）’
A］
‘卜
4
｜
C
x
勺
｜
设″（聪,γ）,因为△A″c＝于,
—-兰ˉL
所以卯ˉ灯卯
＝-1,
l＋＿ˉL-° ˉL
卯—徊厕
所以（鞭—粤）』＋（γ粤）』-｜
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所以点＂在以（粤, —粤）为圆心,｜为半径的圆上.且在
｜
△ABC内部,
即圆‘上点到（4’0）的距离的最小值为2归—＋,（D错;对
于@,与点（＋,0）到直线蜒-＿÷的距离相等的点的轨迹
是抛物线广-4（腮＋｜）,当α＝0时,圆C方程娜』＋广≡＋,
可得圆与抛物线有两个交点’故@正确;对于o’当α＝0
时』圆‘上存任点P（十,0）,使得以〃为直径的圆与直线
骡二十柑切,故o匪确,正确命题个数为2故选c
C
试题解答:设F（-C’0）（c＞0）’将点F（—c’0）的坐标代人
方程则2＋广—2躯ˉ6γˉl5＝0可得
c2＋2cˉl5＝0’解得c＝3或c＝—5（舍去）.
所以′n＋l＋m＝c2≡9,解得肌≡4。
所以双曲线的离心率为′-肯-孪故选α
B
试题解答:圆嘶2＋γ2ˉ2勿ˉ6y＝0变形为（卯-l）2＋（γˉ
3）2＝l0
所以圆心为P（l ,3）’半径′＝√I∏
因为点E（0’1）’所以｜pE｜＝√12＋（3ˉl）2＝伍
因为过圆加2＋广ˉ2“ˉ6y＝0内—点E（0’l）的最长弦和最
短弦分别为AC和BD,
所以｜AC｜＝2′＝2√∏’ ｜BD｜＝2√产ˉ｜PE｜2＝2√i∏＝了＝
2徊且AC上BD.
徊
—
∑
／
〗
＼
′
／
γ
~～
ˉ0）2＋（—粤ˉ徊）2
全
所以｜‖′B｜的最小值为
~~
］
旧ˉl.
故答案为√百ˉl
试题分析:先建立平面直角坐标系,再求点M的轨迹’再
求｜″B｜的最小值.
卯2＋y2≡4l
试题解答:由题意可知圆心C到直线则-9γ＋4l≡0的距
离为｜0兰二丝｜芒,
—＝≡
√l＋8l
√82
■
■
尸
■
■
〗
l4
∩
△
】
∑
＼
／
俩
∑
（
＋
∑
）
—
哩
］
刻
川
→
~
（
′
丫
＝√叮,
故半径为r
所以圆的赫准方程为獭2＋广-4L
｝
所以双曲线的离心率为‘＝方＝于故选c
试题分析;由题意利用直线和圆相交的性质’求出圆的半
｜3B
径,从而得到圆的标准方程ˉ
｛
试题解答:圆嘶2＋γ2ˉ2勿ˉ6y＝0变形为（卯-l）2＋（γˉ
15查
｛
3）2＝l0
l0
试题解答由题意得’双陶线巾α＝2,c二占易知点A,B为
｝
所以圆心为尸（｜』3）’半径′-m
双曲线的左、右焦点’又点满足｜川｜ˉ ｜PB｜＝4＝2α’所以
｜
因为点E（0’l）,所以｜PE｜≡√l2＋（3＿l）2＝伍
点P是双曲线与圆的切点｀且在双曲线的右支上’由圆的
｜
因为过圆厕2＋广ˉ2躯ˉ6y二0内—点E（0’l）的最长弦和最
｛
短弦分别为AC和BD,
方程可知其圆心为C（0’m）’半径为行’
由
｜
｜
所以｜AC｜＝2′＝2√∏’ ｜BD｜＝2√产ˉ｜PE｜2＝2√i∏ˉ＝了＝
｜云闰）’ˉ〕喘……ˉ!≡蛔｝1晨｜…“
｜
所以四边形佃cD的面积为s-÷× ｜“｜× ｜BD｜-÷×
△＝（-2m）2-4×5×（m2-l）＝0’又″l＞0’解得m＝
｛
卓帅～祭（f）』十队膊德喘咖礁｝憋…,愿
距离为捂
｛
试题分析;…露』十萨ˉ2壁—6Ⅱ二0内＿点E（0,］）输最
｜
长弦和最短弦分别为AC和BD’可知最长弦为直径’最短弦
l6. （卯—2）2＋广＝8
｛
过点E（0’l）且与直径AC垂直把圆绷2＋广ˉ2则ˉ6γ＝0
试题解答:根据题意可知,圆的圆心为F（2’0）,
｝
变成标准方程（如＿l）2＋（γ—3）2＝l0.进而可求圆心为
直线是过定点″（0,2）的动直线,
｜
P（1’3）’半径厂＝√I∏所以｜AC｜二2r＝2√I∏’由点E（0’
当直线满足和FM垂直时,其圆心到直线的距离最大,
｜
l）’求得｜PE｜＝√12＋（3ˉ1）2＝厄进而求得｜BD｜
＝
此时满足圆的面积最大且半径为′＝√（2ˉ0）2＋（0ˉ2）2＝
｜
2√产ˉ｜PE｜2＝2m-了二2伍迸雨可求闺边形必cD的
2√Z所以面积最大的圆的方程是（卯＿2）2＋y2＝8.
试题分析』首先求出抛输巍的交点坐标,即得到圆的圆｜.
｜
面积为s二÷× ｜AC｜×｜‘〃｜二÷×2√I∏×2佰＝l0徊
坐标,根据直线与圆相切的条件,可得圆心到直线的距离
‖ 4C
即为圆的半径’要使圆的面积最大,即圆的半径最大’过定
｜
试题解答:根据题中的条件可知圆的半径等于3’所以直径
点的动直线中’两点间的距离即为点到直线的距离最大’
｜
等于6’
从而求得结果.
｜
所以直线过圆心’即直线过坐标原点’从而可以求得k＝
｜
ˉl ,
28
点｀线｀圆的位置关系
｜
绩合…特征, ｜删-肯三6亿故选。
l.C
试题解答:对于o’圆心C到（4’0）的距离减去半径的值为
｝
2
√（倒Ⅱ—纠…＋√（.』—2）』带l2÷＝2梅＿÷｝
葛弹｝蕊膊懈!藕真以……＂
201
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解得:α＝3或α＝13.
故选D.
试题分析:首先将圆的方程整理为标准方程’结合等腰三向）
形的性质和点到直线距离公式得到关于实数α的方程’解
方程即可求得最终结果.
10°B
试题解答:因为乙APB＝90°’所以点P在圆缅2＋γ2＝α!
上’又点P还在圆（卯ˉ何）2＋（yˉl）2＝l
k’故｜αˉ1 ｜≤
2≤α＋1’
解不等式得l≤α≤3,故选B.
试题分析:由乙ApB＝90°可以得到p在圆卯2＋广＝α2上,
此圆与题设中的圆至少有一个公共点’所以两圆位置关系
是相交或相切’利用圆心距小于等于半径之和且大于等于
半径之差的绝对值可得α的取值范围.
11。A
5.B
试题解答:如图’设圆心C（2’3）到直线γ＝
肛＋3的距离为Ⅲ’若｜MⅣ｜≥2何’
2
』!M』-′』ˉ（÷｜M｀『｜）≤4—3＝l ,
勺
即坠÷≤l’
l＋k垒
‖
O
卯
解得—亨≤k≤亨
6.B
试题解答:在双曲线中’α＝l’一条渐近线方程为γ＝b卯’圆
｜
鳃2＋fˉ4γ＝0的圆心坐标为（0,2）’半径为2’由已知得直
｜
线γ＝b厕截圆卯2＋广-4γ＝0的弧长之比为1:2’所以圆心
｜
（0’2）到直线γ＝b卿的距离为圆半径的一半’即为l’所以
｜
7六ˉ｜求膊』≡灯（…去）,放离心率′≡≡
｜
α
｜
／α2＋b2
√α2
＝2故选R
试题解答:由γ＝√Zˉ＝P
得卯2＋γ2＝2（γ≥0）,它
表示以原点O为圆心’
以徊为半径的半圆其图
象如图所示.
γ｜
γ＝疼歹
试题分析:本题可转化为一条直线γ＝6厕截圆厕2＋广ˉ4γ＝
0的弧长之比为l :2’再求出b的值’得出双曲线的离
心率。
7.C
试题解答;因为圆心霞‖直线的距离为｜9＋l;—｜!
｜-2｀义因
为圆的半径为3,所以直线与圆相交’由数形结合知’圆上
到直线的距离为l的点有3个.
O
尸～翼
‖
设过点P（2,0）的直线为y＝k（“-2）
’
侧咽心露毗直戮…仁7器.
~~′
蕊长｜瓣｜≡√＿（舟「ˉ』√错
侣芳ˉ｜｀解得Ⅷ1÷
l
｜2k｜
×2
所以S△MB＝丁×√Iˉ下P
由图可得∧＝ˉ但（k-亨应舍去）
3
故直线／的倾斜角为l50。.故选A.
l2·C
试题解答:如图’由题意设乙APB＝20’
l
则｜PA｜≡｜PB｜≡—
tan0’
＼＼“
3卯＋4γ
O
-11＝0
8D
试题解答:直线′:匆＋mγ＋2m-2＝0（m匡R）化为
（勿ˉ2）＋′n（y＋2）＝0,所以直线过定点M（2,—2）
’
可得M（2’ˉ2）在圆C:卯2＋广ˉ2则＋4yˉ4＝0内’
当MCˉLAB时,AB最短’由卿2ˉγ2ˉ2绷＋4yˉ4＝0’
可得（如-1）2＋（γ＋2）2≡9’所以C（l ,-2）,′≡3’
｜MC｜＝l’ ｜AB｜＝2｀／口-二丁＝4√Z故选D.
试题分析:首先判断出直线l经过定点M（2’ ˉ2）’可得
｜
″（2’ˉ2）在圆内’从而可得当MC上AB时’AB最短,利用
｜
勾股定理可得结果.
9,D
试题解答:圆的方程整理为标准方程即:（则＋2）2＋广＝4’
｜
作OD上AB于点D’由圆的性质可知△ABO为等腰三角形’
｜
其中OA≡OB’
则OD＝OA×Sin30·＝2×＋＝l》即圆心（ˉ2｀0）到直线
｜
▲
4卯-3y＋α≡0的距离为l’
撼此可得;腻『0乌｀!～｜即｛“ˉ:｜当｀
.202
‖v
｀
2
4
5x
勺
〕
ˉ2卜
~~
β
∑
吕
○
●
●
β
∑
＜
」
∏
己
［
~~
β
∑
吕
○
℃
→
″
→
川
~~
→
″
一-＋
所以PA
1＋cos20
cos20,
l-cos20
-（lˉ』）＋吉ˉ3≥
＿步
—步
t（1＋t）
设cos20＝t’则PA.PB＝
l-t
~／
7
~～
2｀／（lˉ』）.亩ˉ3＝2√2＿3’
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当且仅当lˉ′-古,即′-］＿徊时等号成立此时鹏＂爵20＝
｜
｜虱甄＋4仍ˉl4＝0和型＝2
｜
试题解答:当直线的斜率不存在时’显然直线卯＝2与圆
lˉ徊
｜
相切;
义当点′在椭圆的右顶点时,爵iM＝÷所以c＂爵2β＝lˉ
｝
当直线的斜率存在时,设切线方程为γ＿何＝＂（鲤—2）,
｛
可知圆心暴喧线的距离等于半径｀即｜V浩普｜≡2,
2霉in20-;,
｜
解得附＝ˉ士＂所以切线方程为腑＋4匈ˉl4＝α
l＋÷7
56
4归
此时可.两最大’且最大值—×—＝—
1ˉ工9
9.
｜
综上过点A（2’徊）且与圆C相切的直线方程为
9
｛
~
卯＋4√5）′ˉl4＝0和绷＝2.
所以可丽的取值范围是［2徊ˉ3,普］
｝
试题分析;分斜率存在和不存在两种情况籍令图形可得过
故选C,
｜
点A（2’徊）且与圆相切的直线方程.
试题分析:由题意设R4与PB的夹角为20’通过解直角三
｜
l6. ［徊—1’徊＋l］
角形求出PA’PB的长’由向量的数量积公式表示出丙.
｜
试题解答:设圆Cl :″2＋（yˉl）2＝厂2（r＞0）上的点P（卯0’
PB,利用三角函数的二倍角公式化简’换元后利用基本不
｜
y0）’点P关于直线〃ˉγ＝0的对称点0为（γ0’则0）’将Q
｜
点代人圆C2得到（γ0＿2）2＋（卯0ˉl）2＝l’联立两个圆的
等式求出最值,
｛
方程得到r2＝2z0＋2y0—3,设则0＝厂cos0’γ0＝l＋rsin0,
［＿?.?｜
｛
产＝…（β÷）ˉ］匡［＿2口ˉ｜,2仍—｜」.
试题解答:设点″（腮’γ）’因为M42＋MO2≤l0,
｛
所以『匡［徊ˉl’徊＋1］
’
所以（如ˉ2）2＋广＋躯2＋y2≤l0’即卯2＋y2ˉ2＂ˉ3≤0’
｜
因为（卯＋1）2＋γ2＝2’所以γ2＝2-（则＋l）2,
｜
故答案为［〃ˉ1 ’√页＋l］.
所以如2＋2ˉ（则＋l）2—2如-3≤0,
29
直线与圆的综台应用
l
化简得卯≥ˉ了.
‖
l.C
胸为y:ˉ』ˉ….断以f≡÷腑以—?…乒
｜
瞄嚣撇怠荤嘶婶（舅｛j削:｝:≡｀
｛
所以α＋2b＝2,又α＞0’b＞0,
敬答案为｜—?,?｜
｜
Ⅱ‖＋＋＋二＋（侧＋2‖）（÷＋＋）
试题分析:先设M（厕’y）’化简灿2＋″O2≤l0得到则≥
｜
｜
＝÷（3＋乎＋;）≥3＋严
ˉ÷,再利腻函数求点″的纵坐标输取值范凰
｜
（当且仅当等＝÷’即α-口时取等号）故选c
（ˉ3√Zˉ伺Q［伍’3√豆）
试题解答;设AB的中点为D’则丽＋丽＝2而’故｜而｜≥
｜
试题分析;先将圆的一般方程转化为标准方程’得出圆′谴坐
f｜丽｜,即｜而｜Ⅱ≥÷｜硒｜2,再由直线与圆的弦长公式
｜
赫.轩佣圆的对称……二…佣墓本不等式趟
｜
行求解.
可得;AB＝2√产ˉ＝刁可（〃为圆心到直线的距离）’又直线与
｜2D
剿相…萨得罢←—…＜］沤根捆而｜凰≡
｝
试题解答;法ˉ;川遮Ⅱ彤≡1可知ˉ…—4y＜,令』＂
-4y＝』,则｜t＋α｜
＋
｜tˉ9｜的取值与勿’γ无关’需—α≤j≤
昔屈｛』,屈｛:≡4（,ˉ丽｝碍; ｜而｜』≡』,由点霞喧线｝蛰‖「甫,｜］员［Ⅲ雾｜川宁｀3＂ˉ锄—9
｛
ˉ
…公式可糯｜而｜1÷即垮≡…碱』≡
｜
’（｜j鳃ˉ§…｜带」］飘ˉ』!二21）
固为Ⅱ2-2ˉ（叶!）』』所以广≤＋.所以—卒≤γ≤罕
｜
故答案为｜—?,?｜
试题分析:先设M（厕’y）’化简灿2＋″O2≤l0得到则≥
｜
—÷,再利用函数求点″的纵坐标的取值范凰
▲
句
〕
］
l4. （ˉ3√Zˉ伺Q［伍’3√豆）
试题解答设AB的中点为D’则丽＋丽＝2而’故｜而｜≥
｜
?｜丽｜,即｜而｜Ⅱ≥÷｜硒｜2,再由直线与圆的弦长公式
｜
可得;AB＝2√产ˉ＝刁可（〃为圆心到直线的距离）’又直线与
｜
圆相交故‘＜厂’得坚＜3＝ˉ3徊＜b＜3√Z根据｜而｜2≥
｜
√2
;｜磕｜』’ ｜荫｜2＝4（9ˉ丽）得; ｜而｜2≥3,山点到直线
｜
的距离公式可得｜而｜2二等’即要竿≥3＝b≥伍或0≤
｜
-√6’
综上可得:b的取值范围是（＿3√Zˉ佰］O［√石’3徊）.
｜
试题分析息先根据直线与圆相交得出Ⅲ＜′可得b的第一
｜
个范圈,然后由｜丽＋丽｜≥÷｜硒｜,可…铺中点为
｜
″测｜而｜≥￥｜丽｜,可求出必的长度然后再解不等式
｝
即可得到b的范围
.203
］
X
0
／
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等价于圆上的任意—点P（卯’γ）到直线′1 :3腮ˉ4γ＋α＝0和
｝
直线／2:3则ˉ4yˉ9＝0的距离之和的5倍’而距离之和与点
｛
P（箍’γ）无关’则直线／1 :3卯ˉ4y＋α＝0与圆相离或相切’与
｜
直线′2』3蕊＿4γˉ9＝0位于圆的异侧所以‘二」;1≥1得侧≥
｜
5或α≤ˉ5’又直线′! ;3厕ˉ4γ＋α＝0与直线′2;3獭ˉ4γˉ9＝
｜
0位于圆的异侧’所以α≥5.故选D,
3.C
试题解答:由题意’劣弧所对的圆心角为l20。’半径为2’圆
｜
心为（0’0）’所以圆心到直线的距离为1’所以圆心到直线
｜
的距离‘＝旦＝l,所以α＝±√Z故选o
√2
4C
试题解答:圆的方程为（则ˉα）2＋（γˉb）2＝l ’圆心为（α’
｜
b）’所以√5hˉ6＋灯＝0＝b＝徊（α＋l）’o
圆C上的点到直线√Z『＋γ＝0的距离的最大值为‘＝1＋
｜
｜伍＋b｜＝徊＋l＝｜伍＋b｜＝2旧’@
2
由o@得｜2α＋1
｜＝2’
义因为α＜0故得侧-—÷.感型＋b,-α型＋3（侧刊）2二〕
｜
故选C,
5.D
试题解答:由题意可得两圆相内切’两圆的标准方程分别为
｝
（躯＋2α）2＋广＝4’卿2＋（yˉb）2＝l’
圆心分别为（ˉ2α,0）
’ （0,b）,半径分别为2和l’故有
｜
√4α2＋b2＝l’所以4α2＋b2＝l
’
所以÷带÷—（÷十十）（4·〗＋02）-5÷爷≡5十4-
｜
9,当且仅当芳-誓＂等渺成立,
所以÷十÷的最小值为队
6.C
试题解答:圆的方程即:（则ˉ2）2＋（yˉ2）2＝（3徊）2,
圆心蔓喧线…为; ｜2芳8｜＿2阿＜］恒』
故直线与圆相交’所以最小距离为0’最大距离为3徊＋
｜
2徊＝5徊’
综上可得:圆腮2＋广ˉ4卯ˉ4yˉl0＝0上的点到直线加＋y
｜
ˉ8＝0的最大距离与最小距离的差是5√面ˉ0＝5徊
故选C.
7.D
试题解答:圆卯2＋广ˉ2匆ˉ8y＋13＝0的圆心坐标为:
｜
（l’4）
,
敬阔心铡直线…—｜～0的跟离感～｜祟二｛～］.
4
解得:α＝—丁
故选D。
8.D
试题解答:可设A（勿l ,γ1
）’B（卯2’γ2）将直线方程与圆方程
联立消去γ可得｜7鳃2ˉ4蕊—l2-0则露｜＋鳃2＝告,义”. 』』
…β二…』＝告故选n
9.B
试题解答:由题意知／的斜率为ˉl ’则′｜的斜率为l ’日］
腮瓣二2〗（—〗l）＝l’所以Ⅷ＝0由′!〃′』｀得ˉ÷＝l（b羡
0）,所以b＝ˉ2（经检验满足题意）’所以α＋b＝＿2故
选B
l0.B
2
）
α
α’丁
（
,由题可知:圆的半径为厂＝
试题解答:设点M
~
√醚』＋（宁＿］）』根糯厕胸弦长公式可得′0＿
√感Ⅱ带（÷—!）』—（等）』
-勺
-△
勺
△
］l。D
—〉
--〉
试题解答;设P（α,b）为圆上＿点,由题意知,AP.BP＝0,
即（α＋』）（α—t）＋b2＝0,
α2-t2＋b2≡0.
t2＝α2＋62≡｜Op｜2,
｜o′｜…二2十｜-3.k″僻-亨,
所以OP所在直线倾斜角为30°’
所以′的纵坐标为÷,′的横坐标为3×粤-竿
所以′（乎÷）故选u
l2C
试题解答:o因为点A不在直线“＋yˉ3＝0上’直线与坐
标轴的交点坐标为M（0’3）’／V（3’0）’此时｜MV｜＝3徊’
｜A″｜＝√I7’ ｜AⅣ｜＝√I7因为｜A″｜＜｜MⅣ｜’所以存在两
点B’C’使△ABC为正三角形’所以@是“正三角形曲线”.
@得厕2＋广＝2（ˉ徊≤则≤0’y≥0）图形是第三象限内的
四分之一圆弧’曲线与坐标轴的交点坐标为″（0’√面）
,
Ⅳ（ˉ√Z0）,最长的弦长为M＼′＝2, ｜A″｜＝√可丁I7贡｝
｜A／V｜＝｀／Jˉ＝I7贡’
可知三角形AM＼／不可能是正三角形’所以@不是“正三角
形,’曲线
◎中曲线为位于第一象限的＿支双曲线’由对称性可知存
在B’C’使△ABC为正三角形’所以◎为“正三角形”曲线.
故选C,
l3.2徊ˉl
试题解答;因为γ＝／（狐）＝x芒T
所以／（z）＝ˉ（2鳃-l）2’
204
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所以在点（1’l）处的切线／的斜率为A＝ˉ1 ,
｜
命题p表示的范围是图中△ABC的内部（含边界）’命题q
所以切线方程为γˉl＝—（则ˉl）
’
｜
表示的范围是以点（3’0）为圆心’5为半径的圆及圆内部
即腮＋y—2＝0,
‖
分’p是q的充分不必要条件’实际上只需A’B,C三点都
圆的标准方程为（绷＋2）2＋y2＝l,
｛
在圆内（或圆上）即可.
所以圆心为（ˉ2,0）’半径r＝L
片＞0’
｛雌＿驯,等｝j—卿,霉』｀
｜
由题知‘（腮,4—÷您）则
则圆心到直线绷＋γˉ2＝0的距离Ⅲ＝2√Z
所以′上的点到圆赚2＋广＋4雕＋3＝0上的点的最近距离
｛
解得0＜胀≤α
是Ⅲˉr＝2徊ˉl
’
故答案为2徊ˉl.
30
算法与流程图
l4.6∏
‖
l.A
试题解答:圆C化为标准方程’
｜
试题解答:根据程序框图的循环结构’
即（卯—α）2＋（γ＿l）2＝α2ˉl
’
‖
循环前:t＝l ’S＝2
且圆心C（α’l）
’
｜
第＿次循环时:S＝4’j＝2’
半径R＝√Fˉ＝r
｜
第二次循环时:S＝8’j＝3’
因为直线y≡α卯和圆C相交’△ABC为等边三角形’
｜
…
所以圆心C到直线α则—γ＝0的距离为Rsin60。＝
｜
当b≥1l时’输出的S＝2048.
｜
故选A.
?√丽了二丁,
剧
试题分析; 永恫程序…循环缮…缝果,从漏碉输
‖
判断框内填入的条件.
』′仁笺≡←√］（幽』ˉ］）
2
.
｜
2.B
｜
2.B
｜
试题解答;由题意可知｀s＝2,附＝0;s＝ˉl ’k＝l;s＝÷’
△
｜
片＝2;S＝2’k＝3;……所以S的值的周期T＝3’
｜
所以当A＝2008＝669×3＋l时S＝—l.
｜
故选B.
｜
试题分析:先根据循环语句得S变化规律（周期）’再根据规
｜
律确定输出S的值
｛
3。D
｜
试题解答:由程序框图可知:输人α＝l0’b＝4’
｛
第＿次循环α＞b,α＝6;
‖
第二次循环α＞b’α＝2;
｜
第三次循环α＜b’b＝2;
｜
α＝6’退出循环输出,输出α＝2
｜
因此输出的α为2.故选D
｜
试题分析:模拟执行程序框图’只妥按照程序框图规定的运
｜
算方法逐次计算’直到达到输出条件即可得到输出的α
｜
的值.
｛
4C
｜
试题解答;闲为l,＋,÷,…,古的分母分别是l,3,5,…,
｜
13,所以n＝Ⅶ＋2;
｜
因为13＝2×7ˉl’所以j＞7’
｜
故选C.
｜
试题分析:根据分母l’3’5’…’l3的规律得″＝＂＋2;由l3
｜
＝2×7ˉ1得j＞7.
｜
5.D
‖
试题解答:由程序框图可得腮2＋γ2＋z2＜l发生的概率为
｝
÷丽×l3×＋＝:,当输出的结熙为527时｀躯2＋广＋焉＜］
｜
发生的概率为湍
计算得出α2＝7.
所以圆C的面积为∏R2＝而（7-1）＝6∏.
故答案为6∏.
l5.卫ˉ±2
4∏
试题解答:由已知得圆心为（0’0）’半径为2’圆心到直线
γ-…距离为方≡粤圆心到直线γ＝…膘
离÷-厘故圆内铡叶》-!距离小于粤的就…』—
ˉ卯和直线y＝ˉ则＋2之间.田出图象如图中阴影部分所
示可知弓形囱积为÷而22ˉ上□□＝丽—2,阴影
2
部分面积为＋丽.22—（丽ˉ2）＝∏＋2,所以所求概率
▲
’
～
＋
∏
』
∏
为
‖V
l6. （0,6］
试题解答:如图所示:
205
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所以湍＝÷
｜
第四次执行循环体后,感＝等｀b-32｀不满足继续循环的
｜
条件’
解得而＝5丹蒜＝M62
｜
故输出的j＝3.
故选D
｜
故选A.
试题分析:由卯2＋广＋多＜1想到球的八分之一.由程序框
｜
试题分析:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用
｜
循环结构计算并输出变量j的值’模拟程序的运行过程’看「
图得到鳃2＋广＋参＜l发生的概率的碉种表示方式;÷丽×
』
｜
得答案·
｜』×肯＝÷巍湍｀由它们相等可求得揣＝÷进阔求
｜｜0C
｜
试题解答:程序运行中变量值依次为:S＝ˉl’n＝2;S＝3’
得丽＝5箭＝3』62
｜
＂＝3;N＝—6’＂＝4;s＝10,＂二5;s＝ˉ］5｀鹏＝6;＂＝2｜,
｜
Ⅶ＝7;S≡—28,几＝8;S＝36,川＝9;S＝-45,川＝l0;S＝55,
6.A
｝
厕＝l1 ’此时应结束循环’条件应为″≥ll?.
试题解答:由程序框图可知:j＝l ’S＝0’则
龋—次循环;…≡坠!～｜…不瞒足条件.瓤行脯｜撼狮;…………可糯缮淹
环体;
‖
ll·B
第二次循环:S＝2＋8＝10’j＝2＋3＝5,不满足条件,执行
｜
｝
试题解答:输人″＝l3,S≡0,
循环体;
｜
第一次循环S＝l3,Ⅶ＝l2;
第三次循环:S＝l0＋32＝42’j＝5＋2≡7’满足条件,退出
｜
｛
第二次循环S≡25,＂＝ll;
循环体,
｜
第三次循环S＝36’n＝l0;
故判断框内应补充的条件为t＞5.故选A.
｜
第四次循环S＝46’则＝9’
试题分析;由程序框图,写出每次循环的』’S的取值’结合
｜
输出S＝46’此时应满足退出循环的条件’
已知输出的结果为S＝42即可确定判断框内应补充的
｜
故α的取值范围是9＜α≤lα故选Ⅱ
条件。
｜
试题分析:模拟执行程序框图’只要按照程序框图规定的
7.C
｜
运算方法逐次计算’直到达到输出S＝46’即可得到输出
试题解答;根据题意,得; ［腮］表示不超过箍的最大整数’且
｜
条件
｜宁｜＝［5α4］-50’
｜｜2B
｛
试题解答:结合题意运行程序如题图所示:首先初始化数
所以该程序框图运行后的输出结果是39个0与40个l’40
‖
‖
据:输人躯的值’j＝l’
个2,40个3,…,40个49,以及0.4×40＝l6个50的和,
｜
｛
第＿次循环:绷＝2厕ˉl ’j＝!＋l＝2’此时不满足j＞4;
所以输出的结果为s＝40×49×宁2＋04×40×50＝
｜
第二次循环;鳃＝2（2蜒ˉl）＿l＝输—3,回＋l二3』此时不
｝
满足t＞4;
49800’故选Cˉ
｜
第三次循环:则＝2（4厕ˉ3）ˉl＝8则—7’t＝j＋l＝4’此时不
试题分析;分析题意,得出｜守｜-［5α4］二50,即该程序
｜
满足!＞4;
｜
第四次循环:卯＝2（8绷—7）ˉ1＝16卯ˉl5’j＝j＋l＝5’此‖｀『
框图运行后输出钓缝采为s＝40×49×半＋04×40×
｜
满足膨＞4’跳州循环;
｜
由题意可得l6篮ˉl5二0解方程可得输人值为鳃-捐
50,即可计算结果.
8.D
试题解答:第一次循环’S＝2;k＝2’第二次循环’S＝6’k＝
｜
故选R
3’第三次循环’S＝14’k＝4’第四次循环’S＝30’片＝5’5＞4
｜
试题分析:由题意结合流程图计算经过循环之后的结果得
｜
到关于卯的方程’解方程即可求得最终结果.
结束循环,输出S＝3O故选D.
｜
l3.4
9·A
｛二!蓟｜＂叭…÷…“
试题解答第＿次执行循环体后,侧-等,‖-4瞒足继续循
｜
试题解答;由
环的条件’j＝l;
｝
为4的倍数,
第二次执行循环体后,“-￥,b-s,满足继续循环的条件’
｜
当鳃＝4』时,》＝25ˉ7‘,
t＝2;
｜
由γ＝25ˉ7t＞0得:r的最大值为3,
｜
故判断框应填人的是〗＜4?,
第三次执行循环体后,α二等,b二｜6,满足继续循环的条
｜｝
即m＝4
件,j≡3;
｜
故答案为4
.206.
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;……
萝Ⅷ
｜
故选B.
勺
试题解答第～次循环’』＝l’s＝÷;
｜5D
｜
试题解答:对于A’先把高三年级的2000名学生编号:1到
第二次循环,庶二2,s-÷;
｛
2000’再从编号为l到50的50名学生中随机抽取l名学
‖
生’其编号为m’然后抽取编号为m＋50,m＋100’m＋l50…
第三次循环,!＝3’s＝＋;
｜
的学生’这样的抽样方法是系统抽样’故A错误;对于B,线
第四次循环’′＝4,N＝÷;
｜
性回归直线｝-触＋d—定过样本中心点（甄,γ）’故B错误;
｜
对于C若两个随机变量的线性相关性越强’则相关系数r
第五次循环’仁5,s二÷;
｜
的绝对值越接近于l’故C错误;对于D’若＿组数据l’α,3
第六次循环,〔二6,S-＋,
｜
的平均数是2则侧二2则该组数据的方差是＋×〔（l—2）2
此时不满足条件输出s二÷
｜
＋（2—2）:＋（3ˉ2）2］二÷故D而确
15.86’l3
｜
故选D
试题解答:S为大于等于80分的学生的平均成绩’计算得S
｜
6.B
＝86;厕表示创分以下的学生人数’由茎叶图可知″≡l3.
｜
试题解答;由分层抽样的概念可得;罕-蔚,解得;＂＝
l6.20l6
试题解答:第＿次循环:s＝l’1＞T?’否’s＝l ’R＝3’t＝2;
｜
l000’
第二次循环’‘＝2’2＞T?’否’＄二4’〃＝5｀庶＝3;第三次循
｜
则高二年级人数为l000ˉ450ˉ250＝30O
环’s＝3’3＞T?’否’s＝9’片＝7’j＝4;…’最后-ˉ次循环’
｜
故选B.
｜
7.B
＂二揣＝20l7’20l7＞′?,是.输出20l7故r＝20l6｀
｜
试题解答;设老年职工有缠人』中年职工人数是老年职工人
故答案为20l6
｜
数的2倍’则中年职工有2则’因为绷＋2腮＋l60＝430’所以加
31
抽样
』
＝90’即由比例可得该单位老年职工共有90人’因为在抽
｛
取的样本中有青年职工32人’所以每个个体被抽到的概率
试题解答;因为系统摘样方法是筹距性抽样｀所以从小到大｜喘-÷
｜
用分层抽样的比例应抽取÷×90二18人故选R
每4人（一个区间）抽出＿人’
因为不超过55岁落在（39’40’41,41）
’ （42’45’51’53）’所
｝
｜
试题分析:根据条件中职工总数和青年职工人数’以及中年
以抽取2人.
｛
和老年职工的关系列出方程,解出老年职工的人数’根据青
故选Bˉ
试题分析;由系统拈样方法得从小到大每4人拈出一人’不
｜
年职工在样本中的个数’算出每个个体被抽到的概率’用概
｜
率乘以老年职工的个数,得到结果.
超过55岁的分在两个区间,所以抽取2人·
｛
8。C
2.A
斌题解答凰为分晨撼…取比例为』00;÷0了而.
｜獭蹦撼镰′!芭瓣马!霜澜繁船
｛
24γ＋8＝0,即5卵＋3γ＋l≡0’圆心A（l,一1）到直线的距离
所以初中生巾抽取的男生人数是200‖;α6二l2（人）
闻
＂～｜;壳÷｜ˉ志,由…cˉl20.｀瞬以圈的半径臃ˉ
故选A,
试题分析:首先确定分层抽样的抽取比例’然后求解初中生
｛
｜
M二六,敞圆胸h程为（蕊ˉ｜）』÷（γ＋｜）』-芳故选α
中抽取的男生人数即可,
3·D
｜
9.C
试题解答』由题意知组距为婴＝20则撼取学生的绩号
｜
试题解答;根据分层抽样的特征,可得高二年级应抽取500
组成以7为首项,20为公兼的等差数列,其通项公式为感＂
｜
×瑞二』0（人）
＝7＋20（″ˉl）’所以αl0＝7＋20×（10—l）＝l87.故选D.
｜
故选C.
207
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—≡＝～～
合计
l0.D
试题解答;由分层抽样的定义可得;:＝丽0＋400＋300』
｝
300
解得:n＝26
故选Dˉ
1LC
试题解答:被选中的红色球号码依次为l7’l2’33,06’所以
｜
第四个被选中的红色球号码为06.故选C.
l2.B
试题解答;（l60—60）×揣二5故选R
l3. l7
试题解答:依照钱的多少按比例出钱’所以丙应该出钱
｜
×l00＝揣×l00＝l7｀故答案为n
l80
560＋350＋l80
l4l6
试题解答:因为高校甲、乙｀丙｀丁四个专业分别有l50’
｜
l50,400’300名学生,所以本校共有学生1000名’因为用
｜
分层抽样的方法从该校四个专业共抽取40名学生进行调
｜
查,所以鸳个个体被抽到的概率是揣二☆,因为丙专业
｜
有400人｀所以耍抽取400×去二｜6（人）
l5.O03
6
试题解答:因为直方图中各个矩形的面积之和为l’所以
｜
l0×（0。005＋0.035＋α＋0.02＋O0l）＝l ,解得α＝0.03.
｜
由直方图可知’身高在［l30’l40］范围内抽取的学生人数
｜
占三个区域内总人数的＋,ls×÷-6故答案为6
l6.6
试题解答:由题意可得:
应在A公司中选取n×12畏00二6（人）
女生
男生
750
250
消费金额不超过2000元
＿
消费金额超过2000元
合计
500
250
l50
l00
l000
400
600
故K2的观测值k＝l000X（500×l50ˉl00×250）2
尸＝
750×250×600×400
55.556＞l0.828,
所以在犯错的概率不超过0. l％的情况下可以判断月消费
金额在2000元以上的大学生与性别有关.
故选D
试题分析:由题意首先求得α的值,然后结合分层抽样的同乙
义和独立性检验的结论逐一考查所给选项是否正确即可.
2C
试题解答:A班的5次数学测试平均分分别为8l ’78’8l
’
80,85）5次的平均分雨｜＝÷（8l十78＋8［＋80＋85）＝8l,月
班的5次数学测试平均分分别为75’80’76’85’80’5次〔｛］
平均分为万』＝÷（75＋80＋76＋85＋s0）-7队2,A班的瓢
学平均分好于B班’选项A正确;由于A班的成绩都在8）
分附近’而B班的平均分变化很大’所以A班成绩稳定些』
选项B正确;下次考试A,B班的平均分不能预料,所以皿
项C错误;在第＿次考试中’总平均分为腮
二
50×81＋50×75＝78分,选项D正确.故选Cˉ
50＋50
试题分析:根据图表’分别求出A’B班的平均分以及方差或
根据图象的波动大小’再得出四个选项中哪一个是不正确
的即可.
3.A
试题解答:逐＿考查所给的选项:
观察茎叶图可知甲班同学数据波动大,则甲班同学身高的
方差较大’A选项正确;
甲班同学身高的平均值为:
l8l＋l82＋l70＋l72＋l78＋l63＋l65＋l66＋l57＋l58
≡二
32
样本估计整体
｜
l.D
试题解答:由直方图知,（0.004＋0.0l3＋0ˉ0l4＋α＋0.027
＋0.039＋0.08）×5≡l
’
解得α≡0.023’
故月消费金额超过2000元的大学生人数为（0023＋0.0l4
＋0.0l3）×5×l000＝250（人）
,
由分层抽样知,男生、女生抽样的人数分别为600人和
400人,
由题知’月消费金额超过2000元的男生人数为l00人’故
A选项错误;
月消费金额不超过500元的人数为O004×5×l0（）0＝20
人,故选项B错误;
又由频率分布直方图知’当消费金额小于l750元时,
频率为（α004＋u027＋α039）×5十008×5×＋二α55
＞0.5。选项C错误;
由条件可以列出列联表:
l0
l69.2,
乙班同学身高的平均值为:
l82＋l7l＋l72＋l76＋l78＋l79＋l62＋164＋l67＋l59
】
｜
l0
＝l71
’
则乙班同学身高的平均值大’B选项错误;
甲班同学身高的中位数为;l66苛l70＝l68）
乙班同学身高的中位数为;l7l寺l72＝l7L5｀
▲
则乙班同学身高的中位数大,C选项错误;
甲班同学身高在l75cm以上的人数为3人,
乙班同学身高在l75cm以上的人数为4人’
则乙班同学身高在l75cm以上的人数多,D选项错误
故选A.
~
~
~
~
208
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试题分析:结合茎叶图逐一考查所给的选项即可求得最终
｜
8.D
结果.
｜
试题解答:20l6年各月的仓储指数最大值是在ll月份;
4D
｛
20l7年l月至l2月的仓储指数的中位数小于54％;20l7
试题解答:由茎叶图甲极差为47ˉl8＝29’乙的极差是33
｛
年l月至4月的仓储指数比20l6年同期波动性小;2017年
—l7≡l6,A正确;
｜
ll月的仓储指数较上月有所回落’显示出仓储业务活动仍
甲中位数是30,乙中位数是26’B正确;
｜
然较为活跃’经济运行稳中向好.故选∏
甲均值为29吉,乙均值为25｀C正确’
｜
9.B
｜
试题解答:若@正确,则300～400对应的频率为O45’则
那么只有D不正确’事实上’甲的方差大于乙的方差’应该
｜
400～500对应的频率为0. l5’则@错误;电子元件的平均
是乙成绩稳定.
｜
寿命为l50×0, l＋250×0ˉ l5＋350×0.45＋450×0」5＋
故选D
｛
550×0. l5’则o正确;寿命超过400h的频率为0. 15＋
试题分析:根据茎叶图提供的数据’分别计算极差｀中位数｀
｜
0. 15＝0.3’则@正确’故不符合题意;
均值、方差可得结论.
｜
若@正确’则300～400对应的频率为0.4’则O错误;电子
5。C
｜
元件的平均寿命为150×0. l＋250×0. 15＋350×0.4＋450
试题解答:因为在［75’80）的频率为5×O0l＝O05’所以″
｜
×0.2＋550×Ol5,则O错误;寿命超过400h的频率为
ˉ六-20’
‖
0.2＋0. 15＝0.35’则@错误’故符合题意.
在［90,95）的獭率为］—5×（MMo2带α0…7）-
｜］0呼Ⅸ
0.2’
｜
试题解答:由折线图知,月跑步平均里程的中位数为5月
所以在［90’95〉中的学生人数为20×0.2＝4’
｜
份对应的里程数;
所以［75’80）中有l名, ［90’95）有4名’共5名,
｜
月跑步平均里程不是逐月增加的;
从5个人中任意取2名共有l0个基本事件,2名学生成绩
｜
月跑步平均里程高峰期大致在9,｜0月份｀故A’B’C错
都在［90,95）的事件有6个,
｜
故选D.
所以山古典概型的概率公式得所求概率为片二÷
｜皿C
｜
试题解答:因为共有35人,而中位数应该是第l8个数’所
故选C.
试题分析;先利用已知条件计算出″＝20’再计算出成绩在
｜
以第l8个数是5,从图中看出第四个柱状图的范围在6以
［,0｀,…缴…｜阔…………输｜删‖拦勘媳测躺们芭洲滁
概率。
｜
以下（含6球）的人数35—1＝34.故只有5球以下（含5
6.A
｜
球）的人数无法确定.
试题解答:因为甲组数据众数为l4’所以卯＝y＝4,
｜
故选C
甲组数据的平均数为坠1l＋l4＋l4＋20＋22＝l5’
6
｛
l2C
乙组数据从小到大排列:2’2’6’14’2l ’25’所以中位数为
｜
试题解答:若躯l ’卿2 ,…’卯＂的方差为s2’则α腮l＋b’″2＋b’
｝
…’α卯″＋b的方差为α2s2’故可得当勿1 ,z2,…,如″的方差
十（6＋l4）二｜0’
｜
为l时’2则l＋4’2卯2＋4’…,2“厕＋4的方差为22×l＝4.故
甲组数据的平均数与乙组数据的中位数之和为l5＋l0＝
｜
选o
25.故选A.
｜
l3.2
试题分析:根据甲组数据众数为l4’可得腮＝y＝4’可求甲
｛
试题解答:根据频率分布直方图’
组数据的乎均数’乙组数据从小到大排列’根据中位数定义
｜
得样本中不小于40岁的人的频率是O015×l0＋O005×
求出乙组数据的中位数,求和即可.
｜
10＝0.2’
7.A
｜
所以不小于40岁的人的频数是l00×0.2＝20;
试题解答;因为后5组频数和为70｀所以前三组频数和为
｜
从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取
l00＿70＝30’
‖
8人,
第＿组为频数α0旬×｜00＝5’第二组频数为α｜｜×｜00
｜
在［50,60）年龄段抽取的人数为
＝ll
’
0.005×l0
α0l5×｜0＋0005蕊｜0二8×＋二2,
所以第三组频数为30ˉ5ˉll＝l4’即视力在46到4.7
｜
8×
之间的学生数为l4.故选A.
‖
故答案为2.
试题分析:根据后五纽中的频数,求出前三组频数’由于图
｛
试题分析:根据频率分布直方图’求出样本中不小于40
中前两组频率可求,从而求出前两组的频数,进而作差即可
｛
岁的人的频率与频数,再求用分层抽样方法抽取的
得结果。
｜
人数~
209
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14.4
｜
法’因为7＋23＝ll＋l9＝l3＋17＝30’所以随机选取两
试题解答根掘题意可得,从小到大的数字＿3,0,3,蜒.｝′
｜
个不同的数｀其和等于］0的有］种万法,故概率为六＝
6,8,l0,且总体的中位数为4’
｜
古故选c
则宁＝4｜即聪十γ＝8）
—
ˉ3＋0＋3＋躯＋y＋6＋8＋l0
｜
试题分析:先确定不超过30的素数’再确定两个不同的孜
所以数据的平均数为卯＝
｛
的和等于30的取法’最后根据古典概型概率公式求概率.
8
＝4,
｜
2。D
所以数据的方差为』』＝;［（—3—4）2＋（0＿4）』＋（3＿
｜
试题解答由题意,4位游客到甲｀乙、丙三个不同的景点游
｜
览’共有34＝8l中不同的方法’
4）2＋（则—4）2＋（γˉ4）2＋（6ˉ4）2＋（8ˉ4）2＋（l0ˉ
｜
其中每个景点都有人去游览共有CiA;＝36种不同的
↓）』］二÷［l22＋（躯ˉ4）2＋（γˉ4）2］-÷［｜22＋2（鳃—
｜
力法’
“）』］,
｜
所以所求概率为P-寄＝;
当则＝4时,s2最小,此时γ＝4,
｝
故选D,
所以2厕-γ＝2×4-4＝4
｜
试题分析:由题意,4位游客到甲、乙、丙三个不同的景点游
试题分析;根据数据的中位数’求得财＋γ＝8’进而由干均
｜
览的不同的方法’其中每个景点都有人去游览共有CiA;＝
数的公式’求解“＝4’再利用方差的公式’得到当“＝4时’
｜
36种不同的方法』即可求解概率
s2最小,此时γ＝4’即可求解结果.
｝
3.C
l5.33.75
｜
试题解答:设3名男生为A’B’C’2名女生为D,E’
试题解答:由题图可知,l0～20的频率为0ˉ l4’
｜
从3名男生和2名女生共5名同学中抽取2名同学’抽到
20～30的频率为0.24,
｜
了l名女同学’包含的基本事件有;AD’AE’BD’BE’α）’
30～40的频率为0。32’
｜
CE,DE,共7个,
40～50的频率为0.2’
｜
抽到了l名女同学’则另l名女同学也被抽到’包含的基仁
50～60的频率为0. l’
｜
事件有DE’只有l个’
前两组频率＝0. l4＋0·24＝0ˉ38＜0,5,
｜
所以抽到了l名女同学’则另l名女同学也被抽到的概率
前三组频率＝0. l4＋0.24＋0,32≡0.7＞0.5’
｜
为′-＋
所以中位数在第三组.
设中位数为卯,则0.38±（xˉ30）×0.32＝0,5,
｜
故选C.
l0
｜
试题分析:直接利用古典概型公式求解.
解得抛≡33.75.
｛
4.C
故该组数据的中位数为33.75.
｜
试题解答;由嗣数γ-—十xⅡ＋娜在厩间［l,…）上为减
｜6÷
｜
函数
▲
试题解答;由频率分布直方图可知’年龄段［20｀30）
’ ［］0,
｜
则γ′＝ˉ腮2＋″≤0在区间［L＋困）上恒成立’即″≤财2在
40）｀［40’50）
’ ［50’60］的人数的频率分别为03’α35｀
｜
区间［l ’＋蛔）上恒成立’
02’0~ l5’所以年龄段［20’30）
’ ［30’40）
’ ［40,50）’［50,
｜
所以″≤l
’
60］应抽取人数分别为6’7’4｀3.
若随机从年龄段［20｀30）和〔40’50）的参加蠕训工人中各
｝
所以阔数γ-ˉ÷葱』＋″鳃在区间［l ,…）上为减阀数的蹋
抽取l人,则这两人培训结业考试成绩恰有l人优秀的概
｜
｜
率为′二÷故选c
率为似＝5×:黄×2二上
2
｜
试题分析;卤函数γ二—＋憋］＋″躯在区间［1,＋函）为减愚
故答案为÷
｜
数,求得厕≤l ’利用古典概型的概率计算公式’即可求解桐
试题分析;由频率分布直方图计算出年龄段［20’30）和
｜
应的概率
［40’50）的人数’各选一人得基本事件总数’再分两种情况
｜5B
｜
试题解答;利用古典概型的概率计算公式’即可求出小李二
计算恰有一个优秀的事件个数’作比即为概率.
33
古典概型
｜
次打靶恰有两次命中靶心的概率.
｜
由题意知’在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中吧
l°C
｜
心的有42l
’ l91’27l ’932’800’53l ,共6组随机数,所山｛沂
试题解答:不超过30的素数有2’3,5’7’ll’l3,17’l9’23’
｜
29共l0个,随机选取两个不同的数,共有c｝＂＝45种力
｜
求概率为品＝030故选凰
2l0
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6C
试题解答:春节和端午节至少有—个被选中的对立事件是
春节和端午节都没被选中,
C;
7
p＝1-—＝—
C:
l0.
故选D.
试题分析:春节和端午节至少有一个被选中的对立事件是
春节和端午节都没被选中’由此能求出春节和端午节至少
有一个被选中的概率.
7.A
~
试题解答:由题意可知:从甲｀乙等5位候选参赛者中随机
选取2人’由C;种方法’
甲被选上且乙未被选上有C』种方法’
则事件A的概率为p＝鱼＝旦＝α乱
C;
l0
故选A.
试题分析:由题意结合排列组合的知识求得所有事件的数
量和满足题意的事件的数量’然后利用古典概型计算公式
求解概率值即可,
8.C
试题解答:由题意’将这6名毕业生全部进行安排,每所学
校至少2名毕业生,
墓木事件＂息…ˉ（略瞪）痰峰测｝孺↓
每所学校男女毕业生至少安排l名共有:
—是其中＿所学校安排＿女＿男,另＿所学校有一女三男,
有ClC』A;＝l6种’
二是其中—所学校安排—女二男’另＿所学校有＿女两男,
有ClC母＝l2种’
共有［6＋l2＝28种,所以概率为P-器-芳
故选C.
试题分析:根据题意求得基本事件的总数为50种’每所学
校男女毕业生至少安排一名包含的基本事件的个数为28
种’利用古典概型的概率计算公式’即可求解.
9°B
试题解答;由古典概型概率得落在装饰狗的概率为黑,巾
几何概型概率得落在装饰狗的概率为
S
∏×（粤）』』所以
｛
ll.B
｛
试题解答:从A,B,C,D四点中任取三点和顶点P所形成4
｛
个四面体
｛
为:PˉABC’P-ABD,P—ACD,P-BCD’
｜
其中四面体PˉABD’PˉBCD为鳖懦’
｜
在4个四面体中任取2个有6种情况’
｜
其中—个四面体为鳖膀的情况有4种.
｜
则其中—个四面体为鳖蠕的概率P＝÷-÷
‖
故选B
｛
l2D
｜
试题解答:由αl ＝0. 3’bl ＝0. 8得α＝ˉ0. 8’b＝3.2’
｜
（ˉ0.8’3.2）落在γ二卯2与γ＝4围成的区域内’
｜
由αl＝0.4’bl＝0.3得:α＝ˉ0.4’b＝l.2’ （—0.4’1.2）
｛
落在γ＝″2与γ＝4围成的区域内
｜
所以本次模拟得出的面积为l6×谎二l072
｜
故选D.
｛
l3.三
3
｜
试题解答;由题意得基本事件总数为厕＝C:CiC;’
｜
设“6位员工中甲不在1日值班”为事件A,
｜
则事件A包含的基本事件个数m＝C;CiC;’
｜
由古典概型概率公式可得p（A）＝巫＝C;CiC;＝2
＂
C:C;C;
3
’
勺
‖
即6位员工中甲不在｜月｜日值班的概率为÷
｜
试题分析:先求出所有的基本事件总数’再求出6位员工
｜
中甲不在l月l 日值班包含的基本事件数’然后根据古典
｜
概型概率公式求解即可,
｜
14.旦
5
｜
试题解答:由算法可知输出的α是α’b,c中最大的＿个’
｜
若输出的数为5’则这三个数中必须要有5’
｜
从集合A＝｛l’2’3’4’5｝中任选三个不同的数共有l0种
｜
取法:
‖
l23’l24,l25,l34’l35’145’234’235’245,345.
｛
满足条件的有6种,
｜
则概率为÷
｜
l5. l69. l
｜
试题解答:设这批米内夹谷约为厕石’由题意结合古典概
｝
型概率计算公式可得志—盖,
＂×（粤）』二揣,所以s-竿故选凰
S
l0.C
试题解答:记3个红球分别为α’6,C,3个黑球分别为鳃,γ,
z,则随机取出2个小球共有l5种可能:αb,αc’α如,αy,αg’
bC,b如,by’bz,c鳃’cγ’cz,鳃γ’勿z,眶’其中2个小球同色共有6
种可能’αb’αC’bc,卿y,腮z,）z’根据古典概型概率公式可得所
求概率为备＝÷故选c
｜
则;测＝28×l534＝l691
254
｝l6上
6
｛
试题解答:从四张扑克牌中取两张,所有可能结果有;战
｛
狼’战火,战2’狼2,狼火,2火’共6种,由古典概型可知概
｜
率为′＝÷』故答案为÷
2l］
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34
几何概型
｜
试题分析:画出不等式组对应的平面区域’其与圆面则2＋｀2
｜
＜2铺公共部分的面擂为÷个圆面’燕其面积与乎面区域
l。C
试题解答:观察时钟所在圆被l2个刻度十二等分’指针转
｜
的面积之比为所求概率
过＿等分就旋转30。,
｜
5·C
时针转过—等分就是l小时’分针转过—等分就是5分钟’
｜
试题解答:由题意’易知圆柱OO′的体积为V＝∏×l2×6
所以8:20的时候秒针指向12’分针指向4,
｜
＝6∏’
时针的指向是从刻度8再转过—等分的三分之＿即l0°.
｜
因为区域／V表示圆柱OO′内到下底面的距离大于l的点组
这样分针与时针之间的扇形的圆心角为4×30°＋l0。＝l30°~
｜
成的集合’
又同圆中扇形面积比等于其圆心角的度数的比’
｜
所以区域／＼／表示圆柱OO′内的＿个小圆柱（与圆柱OO′共
所以P＝蒜＝吴
』
上底面）,
｜
且小圆柱的体积为V｜二∏×l2×（6ˉ1）＝5∏’
故选C.
｜
根据几何概型’得所投人的点落在区域／V中的概率为P＝
2.A
｜
鸟二器-÷故选α
试题解答:设水深为鳃尺,
则（绷＋2）:＝霓:＋52解得鳃-￥’
｜
试题分析;根撼题意,求得圆柱o0的体獭和区域＂所表示
｛
的小圆柱的体积,根据几何概型,即可求解相应的概率.
即水深子尺
｜6∧
｜
试题解答:在区间［ˉ2’2］上任取一个数α基本事件空间
又霞长芋尺,
｜
对应区间的长度是4’
｜
由γ＝狐2ˉ4卯＋3＝（加ˉ2）2ˉl ’躯巨［0’4］’得γ巨［ˉl ’3
,
贝‖所求概率为盖
｜
所以ˉlˉα≤卿2ˉ4卯＋3ˉα≤3ˉα’
故选A.
｜
所以｜厕2—4卿＋3ˉα｜的最大值是｜3ˉα｜或｜ˉlˉα｜
’
试题分析:设水深为卯尺’利用勾股定理求出水深’结合蔑
｝
即最大值是｜3ˉα｜或｜l＋α｜
;
长’代入几何概型概率计算公式’可得答案
｜
令｜3ˉα｜≥｜1＋α｜’得（3ˉα）2≥（l＋α）2’解得α≤l ;
3.C
｜
又α巨［ˉ2’2］’所以ˉ2≤α≤l ;
试题解答:设正六边形的边长为2’
｜
所以当α巨［ˉ2’l］时’ ｜3ˉα｜＝3ˉα’
｜
所以／（厕）＝｜厕2ˉ4厕＋3ˉα｜＋α在卿巨［0’4］上的最大值是
可知AB＝2’BG＝l’AC＝CG＝何’CD＝2’
所以正六边形ABCDEF内随机取＿点’
｜
3—α＋α＝3’满足题意;
｜
当α巨（l ’2］时’ ｜1＋α｜＝α＋l
’
则此点取目阴影部分的概率是÷×｜×何＋÷×2×何＝
｜
函数f（鳃）＝｜鳃』—4见＋3—侧｜＋α在鳃匡［0,4］上的最大值是
（2＋4）×何
｜
2α＋l
’
｜
由l＜α≤2,得3＜2α＋l≤5’／（狐）的最大值不是3.
＋故选c
斌题分狮;…六…隆…三…穗…“
｜
Ⅷ断求的概率为尸÷≡｛≡:｛～÷
阴影部分的面积,利用几何概型概率公式求解即可.
｜
故选A
4.B
｜
试题分析:设函数γ＝绷2ˉ4厕＋3’求出躯巨［0’4］时γ的取
试题解答:不等式对应的平面区域如图所示:
｜
值范围’再根据α巳［ˉ2’2］讨论α的取值范围’判断／（则）
＾w／｜≡…√｜″凹ˉ厂／√ˉ
2ˉ（—2）
4ˉ
故选A
试题分析:设函数γ＝绷2ˉ4厕＋3’求出躯巨［0’4］时γ的取
值范围’再根据α巳［ˉ2’2］讨论α的取值范围’判断／（则）
是否能取得最大值3,从而求出对应的概率值.
B
试题解答:以A为圆心’l为半径作弧交AB于E’
以A为圆心,2为半径作弧交CD于G,
则M在两弧之间的区间’
扇形ABG面积为÷
梯形ABCG面积为4云沮’
▲
扇形AED面积为哥,
所以两弧之间曲边形面积为
2—｜（竿—升哥｜-6宁,
γ′
｀
7
~J
~
~
~
~
~
~
｜5
｜
0.5
八
＂
O
｜
／
其中满足厕2＋γ2＜2的点为阴影部分对应的点’其面积为
哥』不等式组对应的平面区域的面积为｜,故所求概率为
矛故选B
2l2
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试题分析:由题意结合流程图和几何概型整理计算即可求
得最终结果.
1l.D
试题解答:如图所示’设AB＝4’OG＝GH＝FD＝HI＝IE＝
√ZDE＝2’
所以S0cH′＝抠×徊＝2’SED∏＝2×l＝2,
所以点取u阴影部分的概率为′〕＝溃二＋故选u
6｀／丁＋而
所以Mp｜＜｜dM｜＜｜AB｜的概率为号
6徊＋＂
二二
24
.
故选B
试题分析:以A为圆心,l为半径作弧交AB于E’以A为圆
｜
心,2为半径作弧交CD于G’
则″在两弧之间的区间’求出两弧之间曲边形面积’利用
｜
几何概型概率公式可得结采.
8.D
试题解答;由题意…＝÷,且α匡（0,y）.
～
3
4
解得sinα＝亏’cosα＝了’
不妨设三角形内的斜边的边长为5,则较小边直角边的边
｛
长为5sinα＝3,
较长直角边的边长为5cosα＝4’所以小正方形的边长为1
’
｜
所以大正方形的面积为25,小正方形的面积为1
’
所以满足条件的概率为′-去故选皿
试题分析;求出9inα｀从而求出二角形的三边的关系’分别
｜
表示出大正方形和小正方形的面积’利用面积比’目′可求解
｜
概率.
9.D
试题解答:记“稍短的＿根细绳的长度大于2米”为事件A’
｜
则只能在距离两段超过2米的绳子上剪断’
即在中间的2米的绳子上剪断,才使得稍短的—根细绳的
｜
长度大于2米,
所以由几何概型的公式得到事件A发惟的概率P（A）二÷｝
1
吕＝
3
.
故选D
试题分析:根据题意确定为几何概型中的长度类型’将长度
｜
为6米的绳子分成相等的三段’在中间一段任意位置剪断
｜
都符合妥求,从而找出中间2米处的两个界点,再求出其
｜
比值.
l0.D
试题解答: ｜则｜＋｜γ｜≤2表示的平面区域为图中的正方形
｝
4BCD内部区域’
满足γ≤施3的区域为图中应用部分的区域’
正方形ABCD和图中的阴影部分区域均关于坐标原点
｛
对称,
结合图形的对称性可知,满足题意的概率值为′＝÷
△
故选D
’
l
D
‘4
E
B
C
〃
～
｝
试题分析:求出阴影部分的面积’根据几何概型’即可求解
｜
满足条件的概率.
｜
l2.A
!
｜
试题解答‘鞭』却型≤｜发生的概率为而｜』÷-子在这
｛
Ⅶ个样本点中,满足α2＋b2＝rand0的样本点的个数为′′l,
｜
当厕足够大时’可估算圆周率∏的近似值为黑＝f,即∏
4加
＝＝
｜
｛
几
‖
故选A
ˉ
｜
试题分析;由题可知本题利用随机模拟实验的方法求任取
｛
［0’l］上的则’γ’求卯2＋广＜l的概率,计算卯2＋广＜l发
｝
生的概率,代入几何概型公式’即可得到答案.
｜
13.工
0
l6
｛
试题解答:因为M＝｛（财’γ）
｜｜卯｜≤2, ｜y｜≤2｝’所以″表
‖
示区域为正方形,面积为4×4＝l6,
｛
因为实心圆（勿—2）2＋（y-2）2≤4在″中区域为四分之
｜
—圆’所以面积为十…2』＝丽,
‖
因此概率为器
｜
试题分析:先求″表示区域面积’以及实心圆（躯＿2）2＋
｜
（γˉ2）2≤4在M中的面积’再根据几何概型概率公式求
｜
结果.
｛
l4.上
2
｜
试题解答:y＝cos2“＝l＋cos2＂
2
’
｜
所以｜『（÷十竿）幽-（÷叶＋…露）｜『三号〕
ˉ互
｜
所以点落在曲线γ＝cos2鞭下方的概率为—兰＝上
而×l
2.
;
故答案为÷
213.
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3.A
司
试题解答:因为｛α厕｝为等比数列’所以α2α6＝α3α5＝αj
,
α2α6＋2αi＝3αj＝呵,所以αi＝哥,!an（α,α5）＝!anαi＝
［an号＝扛故选A
~
4.D
徊
∏
＝ˉ二l
（α—哥）-万｀幢＂爵（αˉ丁）何
试题解答:依题意有sln
（α＋号）二征m｜（α—苛）＋;｜＝
所以Sinα＋cosα＝√面Sin
率
概
的
求
、
万
下
再
卯
’
卯
’
旷
’
＝
○
吕
◎
~~
印
勺
▲
γ
弓
＋
线
］
曲
~~
在
卯
落
∩
′
～
＾
≈
巴
、
○
贮
宫
●
求
~~
γ
再
’
简
山
七
｀
｜
／
欺
｜
先
吕
〗
■
■
○
℃
析
＋
分
］
—
∑
题
（
∏
∩
‖
试
「
」
~
~
~
16m
n
试题解答:利用几何概型,可得四分之＿圆形的面积和正
方形的面积比为
s＂
寸丽川』＝皿’所以∏＝L匹’故答案为迈匹.
二≡
4
S正方形
几
几
n
试题分析:根据随机模拟试验的性质以及几何概型概率公
式列方程求解即可.
5
9
试题解答:如图,设甲到达汽车站的时刻为卿’乙到达汽车
站的时刻为γ,
15
ˉ匝
3
~
~
~
＼
｀
‖
‖
‖
′
〃
∏
—
川
→
α
（
吕
○
征
5.C
试题解答;由α是第二象限知2肺＋÷＜α＜2胀∏＋而,附《—
z,所以肺＋÷＜÷＜k而＋子’当隐为偶数时,:为第＿象
限角;当腮为奇数时÷为第三象限角故选o
6.D
试题解答:因为定义在R上的偶函数／（卿）满足／（卯）
二
／（鳃＋2）』当鳃匡［］,5］时,／（躯）＝（鳃ˉ4）2,所以／（十）
≡
／（—÷）-′（4—＋）-′（÷）-（÷—4）』＝寸.义因为
＂u号-粤,＋＜粤,′（÷）＜慧m号故选n
7.C
试题解答;结合特殊角的三…值有尸（粤,—÷）,
l
2
l
口Ⅱ
则
l6
~
~
‖
仁
｜
匡
〕
旧
川
气
｜
x
O｜
5
l（）
l5
则0≤匆≤l5’0≤y≤l5’
甲｀乙两人到达汽车站的时刻（卯’y）所对应的区域在平面
直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形将2班车到站
的时刻在图形中画出’则甲、乙两人要想乘同—班车’
…足｛（涎｀Ⅱ）
｜｛‖二二或｛至霍｜:｝｀
即（厕’γ）必须落在图形中的2个阴影的正方形内’
所以由几何概型的计算公式得P＝5×5＋l0×l0
5
＝—
l52
9
故答案为÷
‖
‖
—
∩
△
sinα
~~~
~
（
｜
十
勺
▲
＼
｀
‖
】
】
』
『
／
徊
—
〗
′
』
『
□
』
‖
【
‖
｀
｀
′
／
γ
∩
兰
＼
Ⅱ
‖
〗
『
『
′
］
—
’
＝
~
~
试题分析:设甲到达汽车站的时刻为豹’乙到达汽车站的时
刻为y’则0≤缅≤l5’0≤γ≤l5’由几何概型的计算公式能
求出甲乙两人乘同一班车的概率.
故选C
8B
是
件
条
要
充
的
］
~~
α
“
∑
α
＋
呕
肝
~
—
—
∧
~~
α
吕
○
●
绞
口
解
题
试
35
三角函数的概念与计算
~
~
~
何
Cosα≡-丁
故选B
9.D
试题解答:对于选项A,因为终边落在卿轴负半轴上的角口「
以表示为α＝2肺＋而’∧匡Z’故不正确;对于选项B’由于直
角也是三角形的内角’但不在第一第二象限,故也不正确;
对于选项C,由于30°≠-330°,但其终边相同,所以也不正
确故选D
l（）。A
试题解答:由题设tanα＝√Ztanβ＝tan（沛＋α）＝tanα＝
徊’则tan（α＋β）＝tan2α＝
2tanα
＝ˉ2亿故选A.
l-tan2α
l·A
试题解答;此题可采用特嫌值法｀因为α匡（÷,￥）｀故可
取α＝宁,此时α二…＝粤』h二…＝ˉ丁』僻＝…＝
l
ˉ旧,即α＞b＞c成立.故选A.
2C
试题解答:要使函数有意义’则:2sin则ˉl＞0’所以sin卿＞
÷,求解＝角不等式可得函数的定义域为; ｜躯｜2航＋号＜腮≤
2k丽＋￥’k匡Z卜
故选C.
‖
~
~
~
~
~
2l4
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试题分析:首先利用三角函数的定义式’结合题中所给的
角的终边所过的点的坐标求得tanα＝÷,之后借助同角
〕
三角函数关系式,将关于正余弦分式形式的式子上下｜司除
cosα,得到关于tanα的式子’代入求值即可得结果.
36
诱导公式
l.A
试题解答:由／（施）＝躯3ˉ2绷2ˉ卯可知／（“）＝3躯2—4则ˉl,
所以tanα＝／（l）＝ˉ2,
。OS2（等＋α）—2c。S2α—3Sin（2丽ˉα）c°s（∏＋α）
＼＝
／
＝（-sinα）2ˉ2cos2α-3sinαcosα
＝sm2α-2cos2α-3sinαcosα
sin2α-2cos2α—3sinαcosα
tan2α-3tanα-2
ll.C
试题解答;曲题意÷-号,则T-丽,即“-生-2则∧蛹）＝
∏
3
sin（2购＋@）;又由三角函数的定义可得sin甲二—了’cos@＝
÷则／（;）二瓢＂Ⅱ……慧矛…二舟故选α
l2.C
试题解答:由题意设P（卯,y）是角q的终边—［任意—点且
｜OP｜＝2’则点″（-财’-y）在角9的终边的延长线上且
｜OM｜＝2’则由三角函数的定义可得;sin9＝÷’cosq＝亏
卯
▲
＝
＝卯＝2cosq’γ＝2sinq’故点″的坐标为M（—2cosq,
—2sinq）·故选Cˉ
l3. ˉ上
2
试题解答:因为sin20＋cos20＝l,
所以sin20＝lˉ旦＝上
4
4
,
因为0巨（—÷,0）,所以爵m0≡＋
试题分析:根据干方关系求得sjn20’再根据范围取负值·
l4. ˉ旦
7
试题解答:由题意二项式（tan甲＋财）6的展开式中如5的系
l
数为C:tan帜＝l ’即tan（O＝了’
~
~
‖
＝≡
＝＝
sin2α＋cos2α
tan2α＋l
.＋6—2＝÷故选A
吕二
5
B
试题解答:因为角0的顶点在坐标原点,始边与卯轴正半轴
重合’终边在射线2则—γ＝0（卿≤0）上,所以点（ˉl ’—2）在
角的终边上.所以｀『＂β＝竿』…≡亨,副（÷ˉ〃）
—鼠m（丽ˉ0）-…—…二等故选‘
C
｜
2
~
~
~
】
~
~
~
勺
〕
试题解答由已知sin（子＋川＋3cos（∏＿0）＝sin（ˉ〃）＝
｀ˉ
｜
cos0-3cos0＝＿sin0＝tan0＝2,
气
则sjn0cos0＋cos20＝sin0cos0＋cos丝0＝tan0＋l＝3
sin20＋cos20
tan20＋l
5
.
故选（〕,
｛
4B
sIn@—cos@
则s!n●—cos阻ˉ
cos@
ˉ匹里二1ˉ
5
sln@＋cos@
s1n@＋cos咀
tan@＋l
7
COS帜
试题分析;由二项式钓晨汁式的系数,求解〔…＝÷,再
利用三角函数的基本关系式,即可化简求解答案
勺
l5· ˉ二
5
试题解答:由tan0≡2’
则sin0cos0＝
sin0cos0
≡
l
l＝÷故答案
sin20＋cos20
tan0＋一
tan0
为÷
试题分析:把所求的式子分母看作“l’’ ,利用sin20＋cos20＝
1’从而把所求的式子化为关于tan0的关系式’把tan0的值
代入即可求出值.
l6. l0
试题解答:根据角α的终边过点P（3’4）,利用三角函数的
定义式’可以求得…＝÷’所以有删鳃珊
三≡
…＋2÷＋2华
二＝
｝
试题解答;由题得隙＂鼠（芋＋2α）-鹏＂曝｜而ˉ（÷ˉ2α）｜＝
｛
—酗鼠（÷—2α）＝ˉ…（晋ˉα）-＿｜l—2爵m』（÷＿α）｜＝
｜
—（｜—2×;）-＿;故选B
｛
5。C
｝
试题解答由题意可知;√3…—…二2爵h（α—骨）
~~
÷则』爵m（αˉ÷）＝÷｀
结合诱导公式有; co愚（α＋!）＝co恿｜（α—÷）＋!｜
ˉ刹＂（α＿÷）＝—÷,
si＂（α＋￥）＝瓢＂［（α—晋）＋而｜＝—咖（α—÷）＝—÷
据此可得;酗恿（α＋÷）＋蓟n（α＋干）-—÷—÷-＿÷
故选C.
~~
~
~
~
~
~
2l5
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6.D
试题解答《囚为＂°爵（α十÷）-,in｜:—（α号）｜-
＂n（÷＿“）＝亨′且2叶20｜8w二672丽带2（艘号）所以
3
｀
＂＂霞（2α＋2!8丽）…｜672而＋2（α＋÷）｜-…（α＋子）＝
…:（鲤号）ˉ｜-2×（亨）』—｜＝÷故遮n
7.C
试题解答:因为α＝sin33。’b＝cos55°＝sin35。,c＝tan35°＝
sin35。
cos35。,
又0＜cos35°＜l ,所以c＞b＞αˉ故选C.
8.B
试题解答因为∧0）-（芋）,所以爵i＂@＝爵in（芋＋帜）』
徊
即鼠in′≡丁…—÷爵m吟｀
即粤…＝＿÷舅m驴,
～
～
即…-—粤若取帜-—
∏
6
’
则′（躯）-爵in（2鹏—;）,且
′（÷）-咖￥-÷′（芋）二鼠m拉二l.′（舌）-瞥m0＝0,
2
所以临）＜川;）＜川?）;
若取帜＝￥则∧剿）二爵in（2蜒＋于）｀且
（苦）＝愚加宁＝制乎）二鼠in粤-—l喘）-…＝
0,所以川等）＜（÷）≤恬）故选R
9.A
试题解答;因为＂＂｀（α＋署）-‘o. （α＋￥ˉ舌）-
.in（α＿舌）二＋放选A
l2。B
试题解答:由题意得而＝拉＝O＝2’』sin（2α＋甲）＝l’所
α）
｜
以／（α＋芋）＝Asm（2α＋3盯＋帜）＝—Asm（2α＋帜）
＝
▲
—L故选B.
｜｜3÷
｜
试题解答;因为疟（0』叮）,…＝寸,所以…-÷
司
▲
｜
义2爵in（喇丫m2＂2…（｜…）＝2…＝÷
＝＝
l＋COS卯
｜
试题分析:由题意结合同角三角函数基本关系首先求得
｜
sin则的值’然后化简三角函数式即可求得最终结采.
｜
｜纵—÷
｜
试题解答;由诱导公式知亚（α＋晋）＝ˉ爵inα≡÷,故
｜
答案为＿÷
｜
l丘ˉ但-旦
3
3
试题解答;由题怠可知,＂爵（￥＋β）—.m2（0ˉ骨）-
—瞳赡（苦—0）＋c.嚼』（音—β）—l＝—
ˉ
粤÷,故糯案为
旧2
3
3
｜｜6亨
试题解答;由题设可得＋慧m〃十粤…-…即…＝
‖
压赡…β＝粤,故答案为冬
37
三角函数图象与性质
‖
l.
I〕
试题解答:由函数的图象可得A＝5’周期T＝血＝llˉ
α）
（ˉl）＝l2,所以忽』＝÷
再由五点法作图可得÷×（—｜）＋甲＝2肺,腮巨Z,又因为
0≤哆≤2丽,所以酸＝号,
故函数／（聪）＝5愚m（÷瓤＋÷）
故∧20l8）＝5瓢n（2等丽十:）-5咖（336丽＋÷＋:）＝
l0.A
试题解答;γ二瞳赡卫鳃＝爵m（争＋:）问杠平移刚个帧位长
｜
3
度得到γ二sin｜苛（躯ˉ咖）＋晋｜,因此晋—哥咖＝骨＋2肺｜
或￥＋2隐而（庶巨Z）,所以Ⅷ二l—6隐或矾-—｜—6庶（搬匡Z）,
｜
又因为矾＞0’所以m最小整数为L故选A,
ll·C
试题解答:因为点（α’32）在函数γ＝2愿的图象上,所以
｛
32≡2α,所以α＝5,
则!an乎＝tan￥＝—ta＂哥＝ˉ扛
故选C.
°216
5sinˉ工＝5.
2
故选D
试题分析:由题意首先求得函数的解析式,然后求解函数值
即可求得最终结果.
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2.A
｜
试题分析:由图象可得A＝l’由周期公式可得‘o＝2’代入点
｜
（ˉ:.0）可得…,可得j（蜒）三爵!n（2蜒÷）嚼…
｜
可得狮｜＋x2＝÷代入式子计算可得结采
｛
5。C
｜
试题解答:原方程可以化为sin如＋cos卯＝α,所以
｜
任i＂（鞭＋矛）＝“在［0,2耐）上有胸个实数根,也就是
／（翼）-拯｜＂（鳃＋苛）,鳃匡［0,2而）与直线γ＝α有闷个不同
的交点且两个交点的横坐标的差的绝对值不小于汀.又
／（延）二征m（鸳＋矛）』鳃匡［0』2丽）的图象如下;
试题解答;将函数／（聪）＝2sm（2赚＋÷）的图象上的每个点
的横坐标缩短为原来的—半’
纵坐标不变,得到γ＝2息in（4测＋哥）,
再将所得图象向左平移备个单位得到函数g（躯）的图象,
即g（篮）-2晨m卜卜＋舌）＋号｜＝2舅『n（4鸳＋芋）,
山轴＋芋-!＋航,腮匡z,
得x二＋肺—贡,喻匡z｀
当k＝0时.离原点最近的对称轴方程为则＝ˉ贡,故选A
试题分析;根据干移变换可得γ＝2愚in（4狮＋÷）,根据放缩
变换可得函数g（则）的解析式,结合对称轴方程求解即可ˉ
3.C
试题解答:过0’P分别作卯轴的垂线’垂足为B,C,
~
~
1／
2卜
／
l／≡α
△
2
乙ˉ△
6
O
l
3
4
5
7
x
~′
-05ˉ
-lˉ
-l5ˉ
〕
■
P
｜
图象与厕轴两个交点的横坐标的差的绝对值为∏’故0≤
｜
α＜L故选C.
｛
试题分析:利用诱导公式和辅助角公式可以把方程化为
｜
倾＂（x＋矛）＝“,此方程在绘定范圈上有两个解,等价于
｜
直线γ-侧与函数γ＝徊爵［n（x＋矛）,甄匡［0,2叮）的图象有
｜
两个交点’且交点横坐标的差的绝对值不小于∏’结合图象
｜
就可以得到实数α的取值范围.
｜
6.A
｜
试题解答:由题得—卯2＋2卯＋3≥0’所以则2—2卯ˉ3≤0’所
｛
以（绷-3）（z＋l）≤0,所以-l≤如≤3。
】
‖
｜
所以″＝［ˉl’3］.
｛
由题得Ⅳ＝｛卯｜2A∏＜鳃＜2肺＋∏,片巨Z｝.
｝
所以M∩Ⅳ＝（0’3］.
｜
故选A
｜
试题分析:先化简集合M和Ⅳ’再求M∩Ⅳ.
｛
7.B
｜
试题解答函数∧露）-3愚『……愿ˉ…2“撼二÷咖2“＂
』
ˉ2（l＋cos2@“）
｜
-÷副n（…—酸）＿2,其中［…＝丁,
｜
所以∧醚）的最小正周期为T＝器二耐,
｛
解得@＝l
’
｜
所以／（鳃）＝÷sin（2…）ˉ2,
～
｜
又由／（0）＝＋,即／（0）＝÷sin（20ˉ帜）ˉ2＝上
台
▲
2
,
‖
即sjn（20—甲）＝l ,
2l7.
】
↓
ⅣC
守
凡
Q
因为函数的周期为T＝拉＝4’所以MV＝2’CⅣ＝l’
互
2
因为乙PM0＝90。,所以PQ＝2Mγ＝4,即P∧／＝2,
则PC＝√P7V2三ⅣC2＝√邱＝丁＝√丁,即A＝厄故选C
试题分析:首先根据题中所给的函数解析式’求出函数的周
期’利用三角函数的图象和性质即可得到相应的结论。
4C
试题解答:根据题意’函数／（勿）＝Asin（O虹＋@）中,A＝l’
周期′-2｜于—（—;）｜＝而｀所以o＝2｀
义函数图象过点（ˉ:,0）’即2×（—苦）＋帜-肺’胀匡z’
义｜′｜＜哥｀所以′＝÷｀所以／（躯）＝愚［n（2腮＋:）｀
所以.m（2×舌＋哥）＝l,即阁中最高点的坐树
为（舌,l）,
（
’
）
∑
卯
∧
~~
）
］
卯
（
／
且
）
而
—
气
」
’
∏
—
／
◎
又卯l ,卯2巳
所以狐1＋狐2＝舌×2＝卫
6
,
所以∧膊｜十拖）二爵m（2×÷号）-罕故选〔』
＼
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所以（0十:）-÷爵in［2（‘＋苦）—帜］ˉ2＝ˉ;爵m（20—峨）
｜
膊把所得函数的图象上每—点的横唯标缩短为原来的＋
｜
倍（纵坐标不变）
’
＿2＝ˉ旦×l—2-—÷故选凰
斌题分意;化简f（遵）……｀葛蜜…最｜、醒阔｜…徽…（2敷—￥）～戳顺（2｀—哥）的阁象
期｀求出侧的值,得出∧鳃）』利周／（β）-十计算鼠′可求解
｜
即阀数′（鲤）＝咖（o…）（°＞0,＿÷≤帜＜÷）的解忻
｜
式为》二巍n（2躯＿于）,
8°B
试题解答:因为函数γ＝∧厕）的图象相邻两条对称轴之间的
｜
距离为苛,
｜
令2肺—号≤2聪—÷≤2附∏＋号,k匡Z》
｜
解得肺＿舌≤甄≤肺＋晋,腮匡z’
所以函数的周期为乎,
△
｜
则函数／（厕）的单调增区间为
所以倒＝芋＝4,所以′（躯）＝爵m（输＋帜）
’
｜
｜航ˉ舌,肺＋晋｜’你巨z故选o
将函数γ二／（甄）的图象向左平移捂个单位后’
｜
试题分析:利用“逆过程”,把函数γ＝coSz的图象向右ˉ卜
得到酮数y＝爵i＂｜4（憋＋芳）＋鹏｜图象
｜
移￥个单位’再把所得函数的图象上每—点的横坐标缩
｜
趣为臆来的÷倍（纵坐标不变）’卵可求得函数f（鳃）＝
因为图象关于γ轴对称’
所以4×蒂＋职-航＋苦,k三z,即聊二肺ˉ子’你匡z’
｜
§m（…帜）（°＞0｀ˉ;≤吵＜÷）的解析式｀利阔正弦函
又｜鹏｜＜号,所以帜-ˉ矛,所以∧鳃）-富m（你ˉ苛）,
｜
数的单调』隆可得绘采
｜
ll·A
令4则—矛＝k丽,厕巨z,
｜
试题解答;直线4鳃＋呵—芋＝0｀令γ-±l可得
解得蜒＝宁＋荒,k匡z,
｜
最高点坐标为（;,l）,最低点坐标为（￥,ˉl）
腑二0得∧鳃）的图象关下点（荒｀0）对称放选凰
｝
所以函数的周期为血＝丽｀所以倒＝2,所以÷＋碘二2k而
试题分析:利用函数γ＝／（鳃）的图象与性质求出T,（o和@’
｜
〔o
写出函数γ＝／（厕）的解析式’再求／（“）的对称轴和对称中
｜
;’附匡z’因为｜帜｜＜等,所以帜＝矛
心’从而可得结果.
｜
所以／（瓣）的解析式为′（鹏）二爵i＂（2叶÷）｀
9。C
试题解答;函数y-乱＂（o鞭—矛）的图象问左平移:个单位
｜
｜
平移后的解析式为γ＝咖｜2（憨＋;）册｜-鼠m（2绷÷）＝
后得到γ＝爵in（…乎—号）的图象,便得到函数’＝
｜
.…故选A
｜
试题分析;直线4腮＋呵ˉ芋＝0｀令′＝±l可得′（鳃）的最
.°…＝詹in（…苦）的图象
｜
高点坐标与最低点坐标’从而可得周期与（u的值’进而丁
所以等—哥二2肺＋÷（k巨Z）,
｜
得甲值’根据图象变换规律可得结果.
｜
12.B
解得°-靴＋÷（脓匡z）
｜
试题解答;因为／（狐）在｜0,苦｜上是单调函数,所以÷＝
当k二0时’倒二÷
苦,即T≥而＝血≥丽＝0＜°≤2,而｜0—（ˉ∏）
｜＝丽≤『;
故选Cˉ
@
试题分析:直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数
｛
｜
若T＝而,则@二2;若T＞丽》则则＝—号是／（恋）的一条对称
的性质求出结采.
｜
轴’ （矛,0）是其相邻的对称中心,所以÷＝了
lOC
.题瞬鲁………商碑…｝
（升于础…辛÷…靖
得到函数γ＝co爵卜—干）的图象
｜
故选B.
2l8
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试题分析;淘∧狐）＝他i＂（…驴）在区阎［0』÷｜是有单调
｜
性’可得T的范围’从而得0＜o≤2;由／（ˉ∏）＝／（0）’可
｜
得函数′（憨）关于剿＝—子对称,又／（0）＝ˉ（÷）沁）有
｜
,寸称中』哩为（于,0）;讨论鸳-—÷与（÷,0）是否在阎—
｜
周期里面相邻的对称轴与对称中心即可.
l3·9
即0＝—晋＋肺, 附匡z,
又｜β｜＜:’则0＝ˉ;’
）
∏
—
厂
○
卯
勺
▲
／
‖
‖
＼
吕
○
℃
~~
）
％
∧
即
则／（舌）二慨＂爵0＝1
试题分析:先利用图象变换得到变化后函数的解析式,
再利用诱导公式和函数的奇偶性得出0’再代值进行
求解.
试题解答;根据条件j（憋）≤f（苦）对丁x匡R恒成立得函
）
阶
＿
β
’
赤
—
β
（
β
］
数在晋处取得最大值’又因为／（撼）的一个零点为哥’故根
据图象可得到÷＝÷＋÷你,隐.z,因为′（甄）在区间
｜÷,乎｜｜二不是单调函数则÷≥÷,结合7-铲,得到
｛:二矛6…, ＝〉@min＝9.
故答案为9.
试题分析;根撼条件／（躯）≤′（÷）对于蹿匡R』幢成立可得
到函数在晋处取得最大值｀／（x）的一个零点为哥,可列出
÷-÷÷您,册匡z｀矛＞÷,解得酗的范圈即可
l4÷
试题解答;将函数／（腮）＝c。愚（2腮＋帜）的图象向左平移备
个单位所得到的图象对应的解析式为
′二懈赡｜2卜＋舌）＋帜｜二腰·霞（2延＋÷＋帜）’
由题意得函数γ-臆＂爵（2叶:＋帜）为奇陶数,
所以苦＋帜＝÷＋附∏,附巨z,
所以帜＝÷＋肺,服匡z,
又0＜华＜∏,
所以驴＝子
试题分析:先求得平移后图象对应的解析式’然后再根据
函数为奇函数求得@.
l5.
l
试题解答;将函数／（腮）＝c。s（2厕＋0）的图象向左平移÷个
单位长度后得到
γ二幢＂爵｜2卜＋子）＋‘｜＝臆＂爵（2叶芋＋β）的图象』
闲为y二′,爵（2腿＋芋＋‘）的图象关丁原点对称,
所以芋十0二号＋肺, 庶匡Z,
试题解答』闽为…-粤.所以霸h』0二竿,所以广（鳃）＝
旧（sin则cos0ˉcos卯sin0）＝占sin（卯ˉ0）’／（r＋0）二
旧慧m［』带,＿0］二占…′（』十儡）＜粤.化为鼠im≤丁,
1
2肺—午＜』＜2肺＋÷因为』匡｜子,￥｜』所以令腮＝l’
可得￥＜』＜宁,关于』的不筹式′（叶0）≤粤的解集为
‖
~
~
■
‖
■
（￥｀宁）,敝答寨为（￥』宁）
~
~
~
38
两角和差
l.B
试题解答;因为哪赡（÷—“）二÷.所以…带…-竿,
32
将式子两边平方得l＋2sinαcosα＝万’
7
所以sin2α＝云故选B
试题分析;首先根据差角公式将题中所给的式子拆开’化简
得铡…带…二竿之唇将其平方,求得!＋2舅…蜒＝
器’利厕正弦的倍角公式求得籍采
2.B
试题解答:因为α为锐角’β为第二象限角,cos（α—β）＞0,
sin（α＋β）＞0’
所以αˉβ为第四象限角’α＋β为第二象限角’
因此愚m（α—β）-ˉ粤,膛°.（…）＝—粤.
所以愚…-爵jn（鲤＿…β）＝粤×（—粤）÷义÷＝!.
『
~
~
~
~
0
~
~
】
~
~
~
~
~
~
~
~
‖
~
~
~
因为α为锐角,所以2α＝晋,sin（3αˉβ）＝瓢＂（2α＋αˉβ）＝
~
~
cos（αˉβ）＝÷故选Ⅱ
▲
试题分析:先确定α-β,α＋β的范围,再求sjn（α-β）
’
cos（α＋β）;由α-β＋α＋β＝2α可得sin2α’最后根据3α-
β≡2α＋α-β’求sin（3α-β）.
~
~
~
~
~
2l9
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试题分析』榷撼阎陶三腐函徽关系囱…-俘求得…
3·B
（〃—子）二＋,
3解,于是可……2艘然唇霖根提…输余
试题解答:由tan
二≡
l—＋l
｜（0ˉ÷）＋于｜＝3
l ＝2,
弦公式求解卵可
得tan0≡tan
1-＿
｝
6.B
q
~
（x—÷）
由同角三角函数基本关系式,得
试题解答:cos腮＋cOS
｀
｛批b…
……哇…骨＝…亭｜蹦｀
3
（＋…哆…）-伍侧爵卜—了）二旧×亨-1
l
4
＝何
解得cos20＝亏’sin20＝了’
~
故选B
又因为0为第三象限角,
∏
（蜒—丁）,
试题分析:首先利用两角差的余弦公式展升cos
2佰
石
所以sin0＝ˉ-了’cosβ＝ˉ—
5
,
整理后再由两角差的余弦公式化简即得.
则…—…-ˉ粤故遮＂
｜
7。A
试题解答:
试题分析:先由两角和的正切公式求出tan0,再利用同角三
｝
4
3
设γ二÷x（鳃≥0）的｜顷斜角为α则瓢nα-了,…-了』
角函数基本关系式进行求解.
4C
射线γ-ˉ舌氮（鳃≤0）的倾斜角为β,
3∏∏
（α＋哥）＝÷,哥＜α＜丁,丁＜α＋苛≤
｜
｜2
试题解答:因为sin
;『＂β-备,′＂爵β-＿
13’
（α＋于）＜0,
:
而’所以cos
所以cos0＝cos（βˉα）＝cosαcosβ＋slnαsinβ＝—×
（α＋子）-
÷ ,
l2 ＋丛×旦＝皿
~
可得cos
（
l3）
5
l3
65
（α十矛÷）＝爵m（α十矛）c＂爵苛
蚁选A
所以sinα≡sln
｜
8.C
（α＋÷）血哥二等,
m
COS
试题解答;因为…二竿｀舅m（β＿α）-而,α｀β陶为
＂…二｜＿2爵m曾α-｜—器＿尝故选α
石
3需.所以;mβ＝
锐角’所以cosα＝了’cos（β—α）＝
（α＋于）—÷,缮合÷＜α＜芋,求得
｜
试题分析:由sin
sin［α＋（βˉα）］＝smαcos（βˉα）＋cosαsin（βˉα）＝堕×
（α＋矛）-÷,然启求得…＝爵mα＋丁
-
』
5
（
∏
f）
COS
］皿互×
—型区—?.所以β-矛故选α
（仔）
30
等,利阔二催角输余弦公式可得缝采
l0
5
试题分析』首先利阔题中条件…二孪.血（β—α）＝
5.A
√I∏
（0,苛）′
仟…的范凰Ⅱ利阀乎方关系,求得…-粤
试题解答:因为sinα＝一I丁’α匡
~—
3√10
所以…-√｜＿.m』哩＝
,侧露（‘＿蚁）-3严.下ˉ步将陶…‘凑.之盾借幼于和
l0
’
所以sin2α＝2sinαcosα＝2×△皿×3√∏3
角公式求得角β的正弦值’结合题中所给的角的范围’进ˉˉ
三≡
l0
l0
5
,
步求得角β的大小.
（砰）』-÷
｛9B
工十2鲤ˉ÷,所以…＝÷.因
cos2α＝l-2sin2α≡l-2×
（2
）
试题解答:因为sin
互cos2αˉ÷恿in2α＝E×▲—×
｜
（2α＋晋）＝2
2
5
2
∏
｜…2α＝皿
所以cos
√
2
｜0
.
（丁,丽）,…＝
为α巴
3
4何ˉ3
—三≡
5
l0
.
3√I∏
所以sinα＝
l0
’
故选A.
220
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所以tanα＝-3’
所以!a＂（α＋哥）-婴揣＝÷
故选B
试题分析;由＂m（子＋2α）＝—÷,α.（÷,丽）可得到
cos2α,由二倍角公式求出cosα’进而求出sinα,tanα’即
可得到｜凰n（α＋于）钓值
l0.C
试题解答;出题意,矛—α匡（—号｀0）｀
战副n（牙ˉ°）-√｜ˉ蚤-ˉ÷,
闲为β匡（0,子）,所以÷＋β匡（哥’÷）
所以…（哥＋β）√＿器-舌.
所以＂＂; （α＋隆）
-
＂懒. ｜（哥＋β）—（矛—α）｜＝
＂＂爵（÷＋β）赡（矛—α）＋爵i＂（r＋β）爵in（:ˉα）＝合×
÷＋苦×（—÷）-乓亏尘-—器故选c
＝＋（橙ˉ挡）—7＝n—7隐2
k2-1
.
｝
故选C.
｜
试题分析:由等差数列的求和公式可得首项’tanα″
.
｜
.…-t敞!「里↑ˉ」- tanα几＋l＿tanα网-l’运
tanⅢ
｜
用裂项相消求和’结合两角和差的正切公式’即可得到所
｜
求和.
｜
l2。D
1
｜
试题解答因为…＝丁｀α.（0,÷）,所以…＝
~
~
勺
…
｀
｀
‖
‖
′
′
′
］
—
了
／
』
‖
【
‖
｀
｀
＜
‖
』
／
司
γ
塑
丁
~~
~~’
√l-cos2α
】
｜
所以圃＂爵（α—哥）＝…瓤』爵丁＋…息m丁＝丁×丁＋
∏
.
.
∏
l
l
｜
尘且×但＝旦
｜
7
2
l4.
‖
故选D.
试题分析:已知cosα,由同角关系式求得sinα,然后由两
角差的余弦公式求值.
＿3
试题解答:由题得tanα＝2,
所以恤＂（α＋÷）-｛a坠湍岂二—3.
≡＝
故答案为ˉ3.
句
〕
］
试题分析;首先根据题中所给的角的范围’分别确定出÷ˉ
α匡（ˉ号｀0）和于＋β匡（号』÷）已知懈。爵（矛—α）＝÷
和鼠m（矛＋β）二号’永｜周乎方关系.求得,恤（矛—α）＝
了√I＝罢＝÷和砸（子带β）-√1二器三÷′…
α＋鹰尉（矛＋β）—（苛—α）米表示,接着腮菱角公式求得
〗
】
试题分析;由题得…二2,再求幢＂（α＋矛）的值
〕
—
皿
斗
］
∏
tan丁＋tanα
试题解答:因为cosα＋slnα＝l＋tanα≡
。osα—…lˉta＂α lˉtan于…
（α÷）＝［an［（α＋β）—（β—矛）］
tan
!an（α＋β）ˉm＂（β—÷）
结采.
l1.C
试题解答;等差数列｛α′』｝的公差″为;,前8项和为6丽》
可得8侧｜＋÷×8×7×;＝6而,
解得α｜＝等,
~~
】
二二
l＋tan（α＋β）
. ［a＂（β—矛）
将馏n（α＋β）＝÷〔an（β—于）＝＋代人可得
2
l
cosα＋s1nα
5
4
3
三≡
~
~
tanαⅦ＋l-tanα几
tanα几＋1-tanαn
tanαntanαn＋1
＝
—-l＝
tan（αn＋l—α厕）
tanⅢ
-l,
则数列｛tanα′』tanαn＋1 ｝的前7项和为
＋（…＂ˉ…＋…＿…‘＋…＋…2—…｜）
-7
＋（陋nα』ˉ…）—7＝—『凰n—ˉ憾n—ˉ7
l
4l订
l3∏
（
36
］6）
二二
片
l
5
l3
（憾n丽丽—［an元耐）—γ
＝＝
A
l
∏
∏
∏
∏
｜tan（4
9）—［an（可＋可）｜—7
＝＝—
k
0
…—…l＋÷×＋22
试题分析;首先通过龋凑α＋牙二（α＋β）—（β—矛）,
缮合两角菱的正切公式可得《an（αˉ卜哥）＝六,再利尉
溺简和的正切公式将［题n（α＋矛）展汁｀缝合切化弦可
求解.
22l
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l
~-
15.3-√5
l-—
4
3
所以cos2α≡
＝
试题解答:由题意设P点坐标为（3cosα,3sinα）
’
l
5
则｜耐＋丽＋而｜2＝（3cosα＋徊）2＋（3sinα＋何）2＝
｜
l＋丁
故选Aˉ
l4＋6（√页bosα＋何sinα）
。
试题分析:利用余弦的二倍角公式可得cos2α＝cos丝αˉ
-｜4十6碌i＂（…）其中…～乎,螺为锐角
sin2α’进而利用同角三角基本关系,使其除以cos2α
卜
易知l4＋6√5Sin（α＋9）的最小值为14ˉ6√百’√l4ˉ6√百＝
｜
sin2α＝l’转化成正切’然后把tanα的值代入即可
｝
3.A
3—√5’
（2×÷）二2瓢n?
试题解答:根据二倍角公式sinα＝sm
所以｜硕＋丽＋而｜的最小值为3—徊
试题分析:设P点坐标为（3cosα’3sinα）’α巨［0’2∏）’求
｜
—→—÷—÷
°。愚÷》cosα＝l—2愚in2旦
出模｜OM＋OⅣ＋OP｜,再由三角函数知识可得最小值.
2
,
（lˉ2爵m』÷）二2
l6√Z
所以原式可以化为2旧sm÷.cos:＋2
试题解答:由sin（α＋β）ˉsmα＝2slnαcosβ’
化简可得2旧sin÷. cos÷＝4sin2旦
得sinαcosβ＋cosαsinβ-2sinαcosβ≡slnα’
～
～
2
化为sin（β—α）＝s1nα,
（0,晋）所以爵in÷≠0
因为α匡（0’丽）,所以:.
＝2sinαcosα＝2cosα,
所以鼠i÷糕）
,＂α
所以原式可化为2何c。鼠:＝4Sin:,
（哥,哥）,所以÷…α≤粤,
ˉ
因为α巨
｀
α
√3
即tan了＝丁
所以l≤2cosα≤徊’
所以爵i谎兰）的最大值为徊,
故选A.
试题分析:根据二倍角公式,可先将sinα’cosα化成半角
故答案为徊
,
α
试题分析:由sin（α＋β）ˉsmα＝2sinαcosβ求得
｜
α＝sln百进行化简求值.
式’根据α的取值范围和tan丁
α
＂n（β＿α）＝…,揣兰）化为2…,利厕二角函数
《
“赡丁
｜
4D
的有界性可得结果.
（￥—躯）
÷-
2
试题解答:因为∧赃）＝coS
39
二倍角
（铲—2鳃）
l ˉ上爵in2庭’
l.D
l＋cos
试题解答:根据题意’
2
2
2
占
cos2α
＝旦匹2αˉsin2α＝cosα＋slnα＝丁,
令2肺＋÷≤2鳃≤2肺＋芋,腮巨Z’
（αˉ哥）
＂nαˉ…
徊sjn
解得肺十矛…肺＋￥,庶巨z,
l
从而得到sinα.cosα＝—
8
,
3而
｜肺＋于,肺＋丁｜（愉匡z）
｀
即函数的单调递增区间为
l
sInα
cosα
l
而tanα＋—＝—＋—＝
＝8
tanα
cosα
s1nα
s1nαcosα
将选项＿一对照,可以得到D项正确。故选Dˉ
故选D.
试题分析:首先需要做的就是利用倍角公式将其降次升角,
试题分析:首先将题中的条件中的式子利用倍角公式以及
｜
上sin2腮’之后
之后应用诱导公式将其化简得到／（卯）＝
羞角公式将其拆汁化简,求得…＋…-粤,溺边乎方
｜
2
应用正弦型函数的单调区间以及复合函数的单调性法则’
求得爵……-÷’再将凰标式化简｀最后求得缝采
求得其相应的单调区阎,之后逐项检验,:呵得缝采
｛
5.C
2。A
√I∏
cos2α-sin2α
（0』÷）…＝了,
试题解答:因为α巨
试题解答:由题意得cos2α＝cos2α-sin2α＝
＝
｜
cos2α＋sin2α
3
｀／I∏
l—tan2α
所以coSα＝—
l0
,
1＋tan2α.
q
所以c°s2α＝l—2愚in1α二÷,鄙n2α二2……二了,
1
＝
因为tanα＝丁,
222
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可得tan2α＝sjn2α
3
｜
所以2（l＋sin2α）二l’
≡
cos2α
4
’
l
｜
所以sin2α＝—丁.
…（l叶）半糕己…·
｜
故选B.
二≡
｝
试题分析:一般先化简cos2α
＝l得至W巨（cosα＋sinα）＝
4
.m（子—α）
√∏
试题分析;…（0,÷）…二—I丁＝…二斗孪′从
｜
｜
l,再平方即得sjn2α的值
而利用二倍角公式可得2α的正弦值与余弦值’从而可得
｝
l0.B
2α的正切值,利用两角和的正切公式可得结果.
｜
试题解答;函数／（鳃）＝2何sin等cos等＋2cos2等ˉl＝
6A
试题解答:因为y≡鳃2,所以y′≡2鳃,
（o
｜
何爵i…＋……＂（…÷）,由周期T二血-丽｀可
则该切线的斜率tan0＝γ
｜躯＝l ＝2’
｜
得°二2,所以∧厕）＝2爵in（2鳃个÷）,因为延匡｜0’÷｜,所以
则…～孟:i;!课′‘ 憾:架1二÷故选A
目＝
晋≤2虹＋÷≤午’所以—l邹鳃）≤2,且∧蜒）的对称轴为“
试题分析:求导’利用导数的几何意义求出切线的斜率’进
｜
而利周二倍角公式和同角三角函数基本关系式进行求解
｜
＝÷’因为方程∧躯）＝厕恰有两个不同的实数解赃! ,卯2,所
7.D
斌题解答油.h（:号）＝÷得｜ˉ2瓢n:（;惜）-
｜
以…-÷则′（…）二／（÷）～2舅晌（芋＋:）-
｜
2咖誓二］故选B
l—:≡÷』即瞳＂爵（‘＋子）＝;’
｝uA
由0为锐角,且酗爵（0＋哥）＝;＞0’所以0＋÷为锐角』所
｜
试题解答』由角α的顶点与原点0重合’始边与x轴的正
｛
半轴重合,若它的终边经过点P（2,l）’可得匆＝2’y二l,
以鼠h（‘＋÷）＞队
｜
…＝÷＝÷’所以陋＂2α＝2…＝—二≡止
lˉtan2α
lˉˉL
3
’
＂赡（0＋￥）二侧＂（0＋÷＋÷）＝—爵m（0＋哥）＝
∏
÷刊
4
tan2α＋tan丁
｜
所以!凰n（2α＋矛）二l＿馏＂…牙l—÷×l
√…』（′÷）＝塑
-
＝7故
9
.
故选D
选A.
（‘＋÷）』再由佩＂爵（0＋￥）＝｜皿A
试题分析:由二倍角公式得cos
l
（0＋哥＋÷）＝ˉ舅m（0÷）,籍合阎角二角…系
｜
.
2 ,
试题解答:因为函数／（勿）＝何sin厕cos鳃＋cos2“ˉ—
COS
（2绷＋骨）,
可得解,
所以∧勿）＝sln
8.D
∏
令ˉ÷＋2肺≤2腮＋了≤于＋2附丽’腮巨Z,
（矛＋α）＝｛主:器＝＿2』所以
｜
试题解答:由题意得tan
则—卫＋肺≤卿≤晋＋肺,k巨z
tanα＝3.所以l—sin2α
（sinα—cosα）2
cosα-sinα＝
｜
3
＝
气
∩
＝
cos2α
cos丝α—sin丝α
cosα＋sInα
而
丁≤腮≤÷即函数／（卿）的＿个单调递
所以当A≡0时’-
l-tanα
l
＝二
l＋tanα
增区间为
.A项符合
2。
打∏
｜
3 ,6｜
故选D
故选A.
试题分析:先将条件化简’然后把所求式子再化简’可得
｜
］
3
｜
l3.3或ˉ亏
结采.
9
4
9.B
钒以得到
试题解答:由sinα＋2cosα＝
……鄂剿;）
.…………亏
≡
尸
〕
徊（cosα＋smα）（cosαˉsmα）＝徊（cosα＋smα）＝l’
故sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α
5
＝＿
（cosα—s1nα）
sin2α＋cos2α
2
’
223
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40
辅助角公式与隆幂公式
即tan2α＋4tanα＋4＝5
tan2α＋l
2
,
整理得到3tan2α—8tanαˉ3＝0,
｛
l.B
｜
微题解答;…y～.丽』（瓣ˉ昔）ˉ÷～｜—…（i艘ˉ;）
l
故tanα＝3或tanα＝ˉ丁.
当tanα＝3时,tan2α＝2×3
3
lˉ32＝ˉ可;
—＋臆α爵（2鳃—÷）＝—＋咖｜÷ˉ（2鳃＿哥）｜＝
l
＝＝
2
2×（＿÷）
3
｝
＋血（2躯—￥）-÷咖2（憋—普）
当…-＿＋时’［a＂2α＝
＝—
lˉ上
4
32
｜
所以曲线c｜;γ-＋…腮的阁象问右平移普个单位即＂「
故答案为3或ˉ÷｀÷
』
得到曲线C2;y-爵m2（蹦—苦）＿十的图象
试题分析;…＂瞳十…＝乎…方得剑咖』α＋
｛
｜
故选B
4………α＝÷’利陶…化所得方穆可以化成
｜
试题分析;拖化γ-息m:卜—晋）—÷……,椎撼｜副
关于tanα的方程,解出tanα后可求tan2α
｜
象乎移法则即可得出结论.
｜4÷
｜2D
……』＿粤监雕（÷硫）
｜
.……（￥—鳃）＋些f（苯—』）—｜≡
所以鼠m″二竿故…-ˉ2,
｝
÷嚼＂鼠（芋—2鳃）-＋＂｀2露｀
所以tan20＝2×（二吐＝土
｜
由2肺＋子≤2鳃≤2肺＋平,胀匡z,
l-（—2）2
3
,
▲
≈
故答案为÷
｜
得k丽＋苛≤露≤肺＋￥,胀匡z,
试题分析:根据cos0的值得到tan0的值,再根据二倍角
｝
｜
即函数∧鳃）的单调递增厩间为｜肺＋于,航＋于｝k匡z,
公式得到tan20的值.
l5÷
｜
当你＝0时函数∧鳃）的单调递增厩间为｜哥｀￥｜,
斌…;圃为“.（雨等）所以√黑器带志-
｜
＂为（册）匡｜苛｀￥｜
｀隅哥:｛‖＝:删＋志- ｜≡器:＋盂-
｜
所以（母』苦）是函数川撼）的—个单调递增区间
旦l卫ˉ旦’则slnα＝2’ tanα＝2,而cos2α＋2sin2α＝
｜
故选D.
COSα
COSα
｛
试题分析:根据条件利用降幂公式和诱导公式化简函数力
cos2α＋4sinαcosα
l＋4tanα
9
＝吕
目＝
｜
解析式’结合三角函数单调性的性质进行求解即可.
sin2α＋cos2α
tan2α＋1
5
试题分析;…条喘了:器带志-2求得…钩
｜1Ⅲ
值｀哥将所求的式子化简’将!anα的值代入化简后的式
｜
试题解答;α匡（0,÷）则2α匡（0,÷）
子,求出值,
｝
结合同角三角函数基本关系可得:
l6. -4
—-
＿3
｜
sin2α＝√lˉcos22α＝了’
√gsinl0。-l
试题解答;E黑｜0:—l＝◎osl0·
l—co愚（2α十晋）
｜
据此由题意可得; ·m2 （α＋÷）＝
2
＝
Si∏l0◎
压inl0°ˉcosl0。＝2sin（l0。ˉ30。）≡ˉ4.
目＝
＋…0.
｜
!竿2α-｜÷÷÷故逃∏
sml0°cosl0°
试题分析:首先利用同角三角函数关系式,将切化成弦,即
｜
正切用正弦与余弦的比值来表示’之后化简分式,利用辅
｜
试题分析:由题意首先求得sin2α的值’然后结合降幂公式
助角公式化简’利用诱导公式化简’最后求得结果.
｜
求解三角函数式的值即可.
°224°
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4.D
｝
8.A
（÷邦）二…＋
｛
试题解答;由αb-—2得4爵mαˉ2…α-＿2』
试题解答:由题意得′网≡sjn（订ˉ加）＋sln
即…＝ˉ2瓢＂α.所以2si谬‖腾』§α
＝≡
（蜒＋矛）,
cos购＝√回§in
—2sjn2α
＝1。故选A.
所以罕-爵m＂十—
（
哥）
2爵i＂2α＿4瓢n』α
二
｛
9°A
~』
（鞭＋矛）’蹦匡［0’2丽）的阎象′如图所示
试题解答由题意′（蹦）＝｜ˉ们。鼠（2鳃＋卫｜＋爵｛n（二
画出函数y＝sln
—
＿
了
β
＼
］
】
■
〗
』
『
′
′
’
勿
浙
—
斗
∑
≤
工
）
≈
卯
≤
（
∏
∏
—
’
▲
■
■
■
丛
吕
＋
为
）
｜
区
卫
’
～
’
＋
＼
｛
‖
／
卯
∏
—
〃
斗
∩
′
▲
／
』
‖
‖
＼
＋
吕
○
卯
℃
勺
△
～
（
且
∏
上
■
■
且
■
■
■
且
惩
＝
＿
＿
人
几
｀
）
／
巳
卯
＋
／
｜
＼
］
儿
’
旦
／
际
—
斗
义
＿
～
意
耻
≤
α
题
吕
而
—
〃
午
’
≈
∏
○
十
国
℃
■
】
』
吕
＋
△
·
°
·
＋
勿
建
口
卯
∑
〗
解
·
Ⅲ
≤
α
题
吕
‰
丁
】
Ⅱ
■
】
』
＋
此
∧
］
以
试
~
~
~
｜
抠
—
∑
—
○
二∧
／~
2∏x
∏
＿
△
’
-
I
｝
所以—l≤舅in（2惩＋矛）≤＿粤,
由图象可得要使方程在区间［0’2而）上有两个根绷l ,卯2’且
｜
｜
所以lˉ徊≤l ˉ卜压i『（2鳃＋于）≤0故选A
｜卯1-卯2 ｜≥∏,
侧』0≤孕＜粤解得0≤咖≤［
｜
l0.B
4
试题解答:由已知有k≡tanα≡—
故选Dˉ
q
’
试题分析;将方程化为孕-铡＂（叶子）然唇…蛔-
』
,耐…α
／—＝（…＿…）（……）
（尹α）爵m（耐带α）
亨（…＿…）…
COS
（膊＋号）,鳃.［0｀2丽）的图象’缝合图象根撼数形缝令
｜
l
sIn
｀
（…＋l）｀
＝√Z旦Qsα＋slnα＝徊
求解.
s1nα
5。D
cos2α
~＿
旱故选B
故
≡
试题解答:由题得l＋CosB
α＋c
—＋α
（￥
）爵m（而＋α）
目＝
COS
2
2C
’
所以C×COSB＝α,
‖
ll.A
T
,
副,
3∏
α～＋C～-O～
（厕,丁）’［a＂（α＋丽）＝÷
所以C×
＝α’
试题解答:由α巨
2αC
｀
所以α2＋62≡C2,
4
即tanα＝了’
所以△ABC＿定是直角三角形ˉ
故选∏
所以sjnα＝ˉ 4
3
了’cosα＝ˉ
气
’
试题分析:先利用降幂公式和余弦定理化简COS2旦＝
｜
…
f（…ˉ…）
2
∏
（α＋丁）-
所以cos
宁,即得△」BC的形状
-
ˉ
√2
3
4
√2
（了＋了）-l0
＝
6.B
2
故选A.
（α÷）＝｛a呈:羔-—3,
』uc
试题解答:因为tan
所以tanα＝2,
试题解答:因为函数／（卿）＝sln卵＋αcos卯（αeR）对任意
∩
气
cos兰α-sin么α
＝
｛
∏
∏
4sinαcosα
所以cos2α＋2sin2α≡
＋
鳃巳R都满足
＝
,
〈丁＋憋）川可—撼）
cos2α＋sin2α
cos2α＋sin2α
∩
lˉtan乙α
—＋—＝l.
所以函数∧卿）的对称轴为卿＝卫
4tanα
3
8
l＋tan2α＋l＋tan2α
目＝
5
5
4
,
故选B.
且／（卯）＝√Iˉ干ˉFbin（则＋0）
’
7.D
~～~ˉ
（牙）二粤＋争＝圭√I—而可｀
所以／
（÷—α）＝幢＂爵（÷＋α）,所以＋…—
试题解答:因为sin
所以α≡1,
√可｀
√可
l
.
丁smα＝了cosαˉ丁slnα’所以tanα＝ˉl ’所以cos2α＝
』
所以函数g（〃）＝sln卯＋／（“）＝2sjn则＋cos卯＝侄jn（绷＋β）’
l—tan2α＝0.故选D
所以函数g（卯）最大值为伍
l＋tan2α
故选C.
225
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（—3,ˉ2］
｜
试题分析;由儿B,C成等差数列可得B＝哥,然后根提」喧
试题解答:由题得／（颠）＝徊sin （o则＋cos ‘o厕＋l
＝
｜
｜
弦定理可得α＝2sinA,c＝2sinC,在此基础上求得△ABC
2爵m（…骨）＋L
｜
灼…嚼榷撼三角…得s△腮‘-粤爵m（酗—昔）＋
因为γ二铲二芋』所以侧二凯
｜
罕藤榷撼巍简三脯形求得÷＜A＜÷.于是可得面积绚
所以∧鳃）＝2鼠m（3蜒＋÷）＋l
｜
取值范围.
因为厕匡｜0,÷｜.
｜
l虱（5,6］
｜
试题解答:因为（αˉb）（sinA＋sinB）＝（cˉb）sinC’由』E
所以;≤］x＋昔≤粤,
｜
弦定理可得;（幽—h）（α＋b）＝（‘—b）艘,化为b2＋′2ˉ侧』＝
｝
hc巾余弦定理可得;c°斟A二堕扛2—α2
6°
l
所以0≤／（加）＜3.
＿＝—＝—
2bc
2bc
2
,
由g（则）＝／（缅）＋m＝0得／（卯）＝ˉm’
即′＝／（赃）的图象与直线γ＝ˉ咖恰有两个交点’结合图
｜
所以A为锐角,可得A＝÷
象（图略）可知2≤ˉm＜3’即ˉ3＜m≤ˉ2.
｜……雁…滁术｜（芋ˉ阀）;
故填（ˉ3’ˉ2］.
—＝—＝
试题分析:先根据已知条件求出函数／（躯）的解析式’再把
｜
函数g（翼）＝／（膨）＋刚』膳有溺个不阎的零畜转化为γ＝
｝
2,所以可得b…』＝（…）2＋［2颤＂（芋ˉ‘）］』二3＋
∧勿）的图象与直线γ＝ˉm恰有两个交点,再画图分析得
｜
｜
2咖』g＋压i＂2‘二4＋2瓢＂（2B—÷）,
到实数矾的取值范围.
（粤,乎｜
｝
因为‘e（晋,÷）』可得2‘—:匡（号,干）
试题解答:因为△ABC中’A’B,C成等差数列’
｜
所以咖（2β＿÷）匡（＋,l｜’
所以B＝÷
｜
可得b2＋僻』＝4＋2咖（2圃—昔）匡（5,6］
b
徊＝2’
C
由正弦定理得孟＝百丽ˉ6二百而ˉF＝丽
｜｜‘｜怖—鄂耐;｜…
sm丁
所以α≡2sinA,c≡2sinC,
｜
试题解答;由题怠函数广（狮）～｜2副｛”
＿糕鞭｜～
所以5△瓣′-÷侧…～乎哑二旧嚣…‘＝
｜
2爵in…＋…二鼠m2……＝任i＂（2蜒＋÷）,
徊爵…n（芋＿A）
-沤爵iM（粤…十←iM）-÷m…亭m凰』
｜
则函数′（…龋邀增区间＿÷…2叶子≤;＋
｜
2肺,愉匡z’解得＿等＋肺≤鳃≤晋＋肺,k匡z,即函煎
＝÷血酗粤｜ˉ…』
｜
∧翼）的单调递增区间为｜肺ˉ?,肺＋;｜’附匡z
2
-旦鼠…ˉ亨懂…乎-祭m（鳃＿÷）十￥,
｜
故答案为｜肺—?,肺＋;｜胀匡z
4
因为△ABC为锐角三角形,
41
平面向量的概念与线性运算
「∩＜』＜ˉ工
l3
14
A
试题解答:题设可以化为｜C1
ˉ
（-入e2）｜min＝l,如图, ｜el-（-M2）
｜
表示线段EF的长度,其中E为定点,
—〉
F为动点’当EF上e2时’
｜el
ˉ
（-入C2）｜最小,所以｜el ｜sin0＝l ,故
＼
〃巳＝乙／
0←怪≡
』
’／／■
7≡o
ˉ
ˉ
』
ˉ
昔
’
□≥■
l
所以苦＜M＿晋＜￥’
所以十＜瓤n（Mˉ号）≤l’
~~尸＝ˉ
~～
所以粤＜粤咖（2刹ˉ;）嚼≤手.
故△必c面积的取值范圈是（粤,竿｜
E
C］
当0确定时, ｜e1 ｜是确定的,但当｜el
｜
确定时’因0匡［0,∏］’故0可能会有两个不同的解, ｜e2
是不确定的.故选A。
凸
L吵
l
226
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2.B
试题解答:根据题意可得l×t＝2×（—2）’可得t＝ˉ4’
所以α＋b＝（—l’ˉ2）’从而可求得｜α＋b｜＝√T下可＝怎
故选B.
试题分析:首先应用向量共线时坐标所满足的关系’求得t＝
—4’从而可以求得α＋b＝（-l’ˉ2）’之后应用向量的模的
坐标公式求得结果.
3·C
试题解答:因为平面向量α＝（l’2）’b＝（l,—1）
,
则问绅—÷b二＋（l’2）＿÷（l.—l）-（ˉl’2）,
卿以｜＋′＿÷b｜二√（＿｜）』带22二伍
故选C.
试题分析:首先根据向量的数乘以及向量的减法运算,求得
对应向量的坐标’利用模的坐标公式求得结果.
4C
试题解答:△ABC外接圆半径等于1’
其圆心o满足而二÷（萌＋而〉
｀
▲
所以点O在BC上’所以乙BAC＝90。ˉ
—〉
—〉
因为｜AO｜＝｜AC｜
所以△OAC是等边三角形
所以乙ACB＝60°.
～≥
—＞
所以｜AB｜＝｜BC｜sin60。＝扛
—》—〉
—〉
所以向量BA在BC方向上的投影等于｜BA｜cos30°＝旦
2.
故选C.
由直线厕＋ky≡0（k≠0）与函数／（绷）的图象交于不同的两
点A,B’
--＞—》
-—〉
‖
则A,B关于原点对称,所以DA＋DB＝2DO,
→—〉→
｛
又点C（9,3）’DA＋DB＝CD,
→—〉
｜
所以CD＝2DO,
｜
即（m—9’网ˉ3）＝（—2m’ˉ2″）’
｝
所以｛宵二蜜解懈｛口,
｝
所以加＋″＝4.故选C.
｜
试题分析:由直线卯＋片γ＝0过原点’函数／（卯）是定义域R
｜
上的奇函数;知直线绷＋kγ＝0与函数／（绷）图象的交点A’B
—〉＿〉
ˉ-＋
｜
关于原点对称’得出皿＋DB＝2DO’再由向量相等列方程
｜
组求出m,n的值,再求矾＋几
｝
6.D
｜
试题解答:过点P分别作P／｜′／／／BC
A
交AC于M点,PⅣ／／／AC交BC于
＿→
＿〉～〉
4＿＋
／V点’则CM＝mC4’CⅣ＝可CB’B
＞
巫
弓＜ˉˉˉ＼M
、
尸
】
C
~
~
D
Ⅳ
L
因为懈＿船,所以求出咖-÷.设｜创｜二b, ｜佃｜二“,则
--〉
-→
由三角形面积公式错鲤』×粤二厄吨二4,而″＝“＋
—〉
1-≥
〕
:耐则丽2＝;b2＋乌』＋芳≥
÷×f忽2b』器二普,
8l
→
故｜″｜的最小值为÷放选u
试题分析:过P点分别作PM／／／BC交AC于M点’PⅣ／／／AC
交BC于Ⅳ点’由相似比可以求出′n的值’根据△ABC的面
--〉～〉
一
积为何’么ACB＝乎求出｜CA｜｜CB｜＝4’再求Cp2’根据基本
积为何,么ACB＝÷求出｜画｜｜苗｜
‖
不等式求出最小值.
A
试题解答:如图’取BC中点D’作
—→
---》
ˉ-令
--＞
■
B
C
丁
′
d
OE／／／BC交AB于E,OB＋OC＝
试题分析;由△ABC外接圆圆′避O满足而＝＋（I百十元）,
｜
▲
可得点o在BC上由于｜而｜＝｜肪｜可得△〃c是等边
｜
→
—〉
＿→-＋
｛
三角形可得｜AB｜
＝｜BC｜sin60。’进而得到向量BA在BC方
｜
＿-〉
向上的投影等于｜BA｜cos30。.
5。C
试题解答;直线露＋′h′-0,所以′＝ˉ÷篮’直线过原点,
又函数／（厕）＝12缆ˉl）（lˉ2sin2则）
2期＋1
（2鳃-l）cos2如
＝＝
2邱＋1
,
｜
8
且／（ˉ腮）＝（2—”ˉl）cos （ˉ2“）
2ˉ匆＋l
（2”-l）cos2卿＝—／（卯）
’
三＝
2缚＋l
所以函数∧卯）是定义域R上的奇函数
.227
2而,所以J百＝÷（而＋而）＝
么
3而’所以Eβ＝押｀所以丽＝
—→
S△ABc≡S△ABc＝3,
’ ′／0 ˉ一,S△BOC
S△BEC
B
C
D
故选A.
试题分析:取BC中点D’作OE／／／BC交AB于E’则EB二
—尸→
扣,进闹得到陋＝oD’从漏确震点o的位置,迸漏求得
△ABC的面积与△BOC的面积之比。
C
试题解答;因为丽-÷（瓜丽）,所以A为B′』的中点,
由题意可得直线方程为γ＝何（绷＋c）
’
当勿＝0时’γ＝√gb’所以A（0’√5b）’因为Fl（ˉc’0）
’
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→→
沪
由AB＋AC＝AD知,ABDC为平行四边形,
又A’B,C,D四点共圆,
所以ABDC为矩形,即BC为圆的直径,
s△雌c二＋AB“≤＋坐』＋“2＝上AD2
2
4
所以当AD是圆的直径时’△ABC面积的最大。
所以当AB＝AC时’△ABC的面积取得最大值为
上×4＝l.
4
故选A.
试题分析:利用向量关系,判断四边形的形状,然后求解三
角形的面积的最大值即可.
l2.A
试题解答:因为α＝（ˉl’3）,b＝（′7l’m-4）,c＝（2′Ⅶ’3〉,
所以由α／／b,可得3m＋（加-4）≡0,则m＝l,所以b＝（l ,
—3）,C＝（2,3）
,
b.C＝l×2ˉ3×3＝—7.故选A.
试题分析:利用向量干行列方程求出″!的值,然后直接｛｜」
用向量数量积的坐标表示求解即可.
u—曾
—≥
-
〉
试题解答;由姻二5,“二4.且奶M-l2’得恤露A≡;、
设B（则’γ）’所以2×0＝＂ˉc’2任＝γ＋0’
所以购＝c’γ＝2伍’所以B（c’2伍）
,
所以景＿等二｜
:‖罢-÷＿］三宁』
·ˉ
ˉl≡乓,所以b4＝l2α』c2’
即（c2-α2）2＝12α2c2 ’整理可得e4—l4e2＋l≡0,即e2≡
｜
7＋4何＝（2＋何）2’
解得e＝2＋徊
故选C
试题分析:卤题意求出直线方程,再根撼顽二÷（而＋
｜
—〉
OFI）,可得A为BF1的中点’根据中点坐标公式求出B的
｜
坐标代入…线方程可得÷—罢-1,化简整犁属呵｜
求出。
9·D
—〉—〉—≥
试题解答;因为“＋GB＋GC≡0,
→—〉＿〉→—〉—〉
所以OA-OG＋0B-OG＋OC-0G≡0,
所以而＝＋（厕＋而＋而）二÷元＝÷（而＿而）,
可得丽＝—＋而ˉ÷而,
▲
▲
3
l
m＝—ˉ丁,′l≡—ˉ丁’加—′l≡-l.故选D.
▲
△
—〉—〉—〉
—〉—〉—＞—沪
｛
试题分析:由GA＋GB＋GC＝0’可得OA-OG＋OB—OG＋
｛
而—而二0,求得况＝＋（丽＋而＋而）＝÷而-
｜
l—》
3—≥
÷（况—而）’解得顽-ˉ—0c—丁0‘｀从漏可得缝采
2
l0。B
—≥
—〉
—≥
—〉
—≥
——》
试题解答:因为｜2AP-BPˉCP｜
＝｜2AP＋PB＋PC｜
≡
｜
—〉→
｜AB＋AC｜＝2’
—》
—〉
—〉→
所以AB2＋AC2＋2AB.AC＝4.O
—》—〉
—〉—〉
—〉
—〉—〉
又｜BP—CP｜≡｜BP＋PC｜
＝｜BC｜
＝｜AC-AB｜≡4,
＿〉
—》
—》—广
所以AB2＋AC2ˉ2AB.AC＝16@
—〉—〉
Oˉ@得4AB.AC＝ˉl2’
—〉—≥
所以AB.AC＝-3.故选B
—≥
—〉
—》
—≥
试题分析:将条件转化为｜AB＋AC｜＝2, ｜ACˉAB｜＝4,将
→→
两式分别平方后相减可得AB。AC的值.
ll.A
试题解答:如图所示
｜
）〉
」
如图’以A为坐标原点,AC所在直
线为如轴’垂直于AC的直线为γ
轴建立直角坐标系’
则C（4’0）’B（3,4）,设点P的坐标
为（则,γ）
,
—〉
--十
＝-→
则R4
· （PB＋PC）＝（-则’-γ）
.
（7-2″,4—2γ）
≡2卯2-7见＋2γ2-4γ
-2（腿—÷）2＋2（γˉ｜）』—曾｀
B
A｜
C
ˉ‖
圆‖虱（丽＋元）的最小值是ˉ曾故答案为—等
｜
试题分析:以A为坐标原点’AC所在直线为鳃轴’垂直ˉ于
｜
AC的直线为γ轴建立直角坐标系,则C（4’0）,B（3’4）,史
｜
』…坐标为（鳃,γ）,可得虱（雨＋元）二2（露—＋）:＋
｜
2（γ＿1）2—?｀从雨可得绪采
｛
l4-8
｜
试题解答:令∧＝鼠m2:’0≤∧≤l
｀
｜
则co舅』:二｜ˉ入,
｜
故虱＝s｜n2飘＋cos2÷雨可化为可＝入顽＋（l ＿
▲
—〉
｜
入）CA,
—》—〉—〉
—〉
ˉ-》
-—步
—≥
｝
因为PA＝OAˉOP’代人得OA-OP＝人OA＋（l—入）（C〔）＋
｜
＿〉
｜
OA）
’
228°
厂＿＼
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—》
—沪
｜…-］所以k÷（÷借）（2……骏＋
化简得ˉOP＝（人ˉl）OC’
—〉—〉
—〉
＿〉—〉
—〉
—广—〉
α
则（川＋″）.PC＝（OA＋OBˉ2OP）
. （OCˉOP）＝（丽＋
｜
剧
苦…徊（当且仅当α二旱β-2亏乌才取0-”）,
〉
〉
—〉
＿〉
—〉
＿〉
—〉
OB＋（2∧—2）OC）.人OC≡入OA .OC＋人OB.OC＋
｛
—〉
2入（∧—l）OC2＝2入（入—l）
· l6.
｝
÷借的最小值为6带4徊故选u
故当入-＋时,原式取得最小佰ˉ凰
｛
2。B
故答案为—8ˉ
试题解管;劝＝萌＋而＝恿＋÷瓦二葱＋÷（而—荫）＝
＿〉
—》
＿〉
｛
试题分析;今入＝sm2÷,0≤入≤l,则川＝入叫＋（l—入）α》
‖
＋猛÷茄,
～
—〉
—〉
化简得＿OP＝（人-l）OC,故所求式子可化为2入（人＿l）
,
｜
剧
所以入二÷陛二÷.从丽求得合-÷故选＂
l6’再利用二次函数的性质求出最小值.
l丘（ˉ3√Zˉ√6］□［厄3徊）
ˉ→→
-→
→
｜
试题分析:从A点升始沿着三角形的边转到D’则把妥求的
试题解答:设AB的中点为D’则OA＋OB＝2OD,故｜OD｜≥
｜
—〉
—〉
向量表示成两个向量的和’把BD写成BC的实数倍’从而得
乎｜猛｜肌而｜』≥÷｜Ij｜〗,再由直线与倒胸弦长公式叮
｜
.倔-掘＋舞,从…幽入二÷腮-÷｀…得
得’AB＝2√产—〃2（d为圆心到直线的距离）,又直线与圆
｜
结采
相交｀敬d＜萨得岩←—3侮＜b≤］抠,根搁″川』≥
｜
→→→
＿≥
｛
3.B
｛
试题解答:因为D为AB的中点,所以OA＋OB＝2OD’
昔｜蕴｜:, ｜萌｜』＝4（9ˉoD』）得｜0″｜2≥3,由点到直线
｜
脚为顽＋而＋2况＝0’
丁｀即子≥3＝b≥厉或b≤
｜
所以况-—而,
的距离公式可得｜OD｜2≡b2
｜
所以O是CD的中点’
—佰,综合可得b的取值范围是（—3灯, ˉ佰］0
｜
所以s…＝s△皿二十s…十S…’
［佰’3徊）.
试题分析:先根据直线与圆相交得出α＜厂可得b的第一
｜
故选B
｜
试题分析:根据乎面向量的几何运算可知O为CD的中点’
个范闺,然后由｜丽十而｜≥粤｜芯｜′可设州…点为
僧
从漏得出答案
｜
4.B
″,则而｜≥乎｜恿｜,可求出川周胸长度然后喜解不等式
｜
→→
→→→→
｜
试题解答:因为AB＝〃BC’所以OBˉOA＝【（OCˉOB）’即
即可得到b的范围
｜
—→
→→→
→
→
OA＝（1＋α）OB-〃OC,又OA＝α2OB＋α2017OC,所以
l6.2
｜》二;l,
试题解答;由题砸-瓜丽-瓜瓢耐二乃励＝
｛
α2二｜＋d,所以
｛陶肌’≡—‘,
丽＋÷葱,
2018（αl＋α20lβ1＝l009（1＋1＋20l7〃）＝
‖
所以S2018＝—
＿〉
—》
—广
2
闽为必＝“佃＋M′’所以荫＝（x＋苛）萌＋
｜
1009.
｜丈‖
｜罐露｛::翼舞獭罩篡阻砸∏
（÷＋》）丽,所以
4
｛
5°D
解得x＝丁,γ＝÷,所以鸳ˉγ-2故答案为2
→→
｜
试题解答:设BD＝入BC（0≤人≤l）
’
—〉→
试题分析;先利用乎面向量基本定理把AE’AF表示出未’
!
则乃＝萌＋而＝荫＋入元＝
再由已知得到鲍,y的方程纽’解方程组即得则,γ的值.
｛
→
→→
→—护
‖
AB＋人（AC—AB）＝（lˉ入）AB＋入AC,
42
平面向量甚本定理
｜
→→→
｛
BC＝AC-AB,
—》—广
—〉
—〉
＿〉—广
l.D
｜
则AD.BC＝［（1ˉ∧）AB＋∧AC］（AC-AB）
试题解答:由于″是DE上的＿动点（不包含D,E两点）,
｜
＝2（∧-l）＋∧—（1-2人）＝5人—3,
—〉
—〉
—＞
—〉
＿≥
且满足AM＝αAB＋βAC＝2αAD＋2βAE’所以α’β＞0且
｜
因为0≤∧≤l’所以—3≤5人ˉ3≤2,
229
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→—-广
即AD.BC的取值范围是［ˉ3’2］.
故选I）.
试题分析:先利用三点共线和乎面向量基本定理表示数量
积’再利用一次函数的性质进行求解.
6.A
试题解答;由已知庙.玩＝1×l×cosl20。＝ˉ上
2
,
9.A
试题解答:在△ABC中’设BC的中点为D’
—〉
＿〉
则DB＝ˉDC
—〉
—〉
由题意知’ ｜DC｜＝4, ｜AD｜＝3.
一〉-〉
＿》—〉
—〉—〉
—〉
—一〉
—〉
则AB.AC＝（AD＋DB）
° （AD＋DC）＝（AD—DC）
. （AD＋
—》—≥一
DC）＝AD2-DC2≡9-l6＝-7.
故选A.
→
试题分析:设BC的中点为D’由向量的加法运算可得AB.
—〉—沪一
AC＝AD2—DC2’代入长度可得解ˉ
l0.B
试题解答:因为在△ABC中’BE是AC边上的中线,
所以菠二÷元
因为O是BE边的中点,
所以而＝÷（荫＋蓝）,
△
所以乃二＋恿十＋元,
→
—〉
因为AB≡α,AC＝b,
＿〉
l
所以M二了“＋＋颐
故选B.
试题分析:利用向量的共线定理、乎行四边形法则即丁
得出.
llB
—》
l—〉
—〉
—沪
试题解答:因为BD＝丁DA’设CB＝α’CA＝b’
故‘D-…D二“＋丁酗＝“＋＋（b—‘）＝亏“＋＋h
—〉
—〉
l-→
,
故选B
试题分析:根据题意得到D是靠近B的三等分点’又斗＾｜蓟
—广
—≥
1—〉
向量加法的三角形法则得到CD＝α＋BD＝α＋丁BA＝α＋
＋（b＿α）｀迸漏得到缮采
l2C
试题解答:在△ABC中,么BAC＝60°,AB＝5’AC＝6’D是
—〉—〉
AB是上＿点,且AB。CD＝-5,
去∩面唇亡＝
d
如图所示
~
~
~
~
~
~
~
~
‖
（I商＋壶）＝（Ⅱ百＋÷而）
｜
--＞
7＿〉
1
2
l3
｛
BC＋亏BC2＝lˉ丁＋丁＝F
｜
）
→
即
＋
→
∏
〃
ˉ
▲
八
（
~~
→
姻
→
〃
ˉ
』
丛
（耐＋÷玩）＝赢硼
故选A.
—广＿〉
—〉→
试题分析:先以AB’BC为基底’把AD’AE用基底表示后再进
｝
行数量积的运算.
7。C
—〉—〉—〉
试题解答:由题意’PA＋PB＋PC＝0’可得点P为△ABC的
｝
重心,
所以丽＝＋（庙＋元）
’
所以丽＝÷（恿＋元）2-;（碌＋2荫丽＋丽）＝
｜
;（22＋3』＋2×2…l20·）二;’
所以｜丽｜≡乎故选α
｜
l
—〉→＿》
试题分析:由题意,R4＋PB＋PC＝0,可得点P为△ABC的
｜
童』售’所以茄＝＋（荫＋冗）｀利闸…运算,隐呵求解
｜
→行
｜AP｜＝丁.
8。A
试题解答:由题意可得:
丽＝荫＋而＝荫÷瓦＝荫÷（菌＋元）＝＋萌＋
｜
2—尸
丁AC’
l
二
则乃丽＝（÷荫＋飘）（人元—荫）
疵＋（÷入—÷）耐元÷儿丽,
＝
—》
-〉—》
—〉
其中AB2＝9,AB。AC＝3×2×cos60。＝3,AC2＝4,
据此可得＿＋×9＋（＋入ˉ÷）×3＋÷入×4＝＿4,
可得人二舟
故选A.
—〉
｜
试题分析:由题意结合平面向量基本定理首先求得AD≡
｜
1—》
2—广
—AB＋丁AC’结合乎面向量数量积的运算法则得到关于入
｜
3
的方程,解方程即可求得最终结果.
·230
,
—-＞
ˉˉ〉
--〉
—〉
--广
设AD＝AAB’所以CD＝AD-AC＝
ˉ→—-〉
kAB-AC,
—-≥
--〉
ˉ-〉
-≡〉
—-〉
所以AB.CD≡AB. （kAB-AC）＝B
ˉ一—ˉ〉一—-》
1
——尹—〉
--≥
L
MB2ˉAB·AC二25k—5×6×＋＝25庶ˉl5＝ˉ5
▲
∩
解得附＝÷’
所以｜而｜＝（lˉ÷）Ⅱ百｜二3故选α
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3
2
试题解答:由题意建立如图所示的坐
标系,
可得A（0｀0）,g（＋,0）’c（0,川,
--》
--≥
因为∏＝全掣＋＿兰＝（4’0）＋
｜AB｜
｜AC｜
（0’l）＝（4,1）
,
所以P（4,l）.
试题分析:根据向量减法的运算法则以及平面向量基本定
理可得耐-上芯＋÷乃’然后利周数量燕的运算法则求
3
.
。
√
3
.
3 ˉ-’…≡＝
』
,
′ .…～
l3
‖
｜’
解即可,
｜6乎
-—＋＿〉
--广→
试题解答:因为｜AB＋AD｜＝｜AB—AD｜
’
所以平行四边形ABCD为矩形.
→—〉
～-＋—＞
又因为DE＝2EC,CF≡FB’
C
0
‖
d｜（O）
B
x
所以耐＝Ij＋而＝乃＋舞,
I了二萌＋丽＝÷而＋Ii
▲
~／
义｜Bc｜二√《2＋（＋「,圈c的方程为獭＋十＝l ’
所以点′舅喧线‘c的…d」也＋」
‖
—》
～＿〉
又因为AE.AF＝7,
】
√‘〕带（＋）2
所以△PBC的面积为
s二÷｜EcM
÷｜4』＋! ｜≥÷｜√′＋］｜÷,
当且仅当4′＝上,即′＝＋时取等号』
t
～
所以△″C面积的最小值为÷
△
故答案为÷
试题分析:建立直角坐标系,由向量的坐标运算得出P的
坐标’利用基本不等式求得△PBC面积的最小值.
所以（励尹面）（＋Ij十Ii）
—7
-~′0
即÷耐＋瓢:＝7,
O
＿-〉
ˉ→
令｜AD｜＝b’ ｜AB｜＝α,
所以÷b』＋÷侧2＝7』
~~-
~ˉ
由基本不等式可得2×争×乎“≤士』2÷“2二7,
所以侧0≤平』当且仅当2凰二伍时等号成立』
～
故平行＂边形奶切的面积最大值为孪
→—〉
-→—-》
试题分析;由｜AB＋AD｜
＝｜AB一AD｜可知平行四劝册
赋题分轨:由｜AB＋AD｜
＝｜AB一AD｜可知乎行四边形
‖
~
~
~
~
】
‖
ABCD
为矩形,再用向量的线性运算及基本不等式可得面积最
大值.
l44
→—〉
试题解答:由题意可知:OP.OA＝4×4×cos乙AOP＝8’
｜
则嚷侧｀△MP＝＋｀纠0P二÷｀
结合平面几何知识可得oc＝Pc-＋oP,
由向量的运算法则可知:
而丽＝而（而—顽）＝÷萨（而—丽）二＋×4』ˉ
÷×8-4
试题分析:首先求得乙AOP的大小’然后利用数量积的运
｜
算法则整理计算即可求得最终结采.
l5÷
—广
—〉
--〉
-＋
＿》
--〉
试题解答:因为BM＝2″D’所以AM-AB＝2（AD-AM）
’
—〉→→
—≥
疑÷乃,
所以3AM＝AB＋2AD’所以A″＝
所以励丽-（舞÷乃）I百＝＋IFj十÷Ij荫-
.
÷÷×2×2m霹卫＝旦
3
3.
故答案为÷
〕
43
向量坐标运算
1.C
试题解答:如图,分别以CA’CB
所在直线为嘶’y轴建立平面直角
坐标系,
→
—≥
′
l
l
｀
则CA＝（』』0）｀cD＝（丁』丁）》且
丽＝（＿÷’÷）｀
｀l
B
／
M
＼
C
1
X
—→—→
—←0
ˉ--＞
—》
｜
所以问量CM在向量G4方向上的投影为些刁旦』!＝
＝
｜C4｜
l
l
2
｛
故选C.
｜
2.B
b
｜
试题解答;由÷＋而—「:「,可得〈α,c〉＝60。,〈b′c〉＝
｜
60。’故c
. （α＋b）＝｜α｜｜c｜＋｜b｜｜c｜’将｜α｜＋｜b｜＋｜c｜＝4
2
｛
两边同时乘以｜c｜’可得｜α｜｜c｜＋｜b｜｜c｜＝- ｜c｜2＋4｜c｜,
23l
.
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-—〉
＿ˉ一〉
所以M4 .MB＝（ˉ卿’ˉγ）
. （2ˉ卯’ˉγ）＝ˉ卯（2ˉ狐）＋广二
（卯ˉl）2＋广ˉl’
-—〉
—＿-〉
由√（躯-l）2＋广匡［0’2］,所以Ml .MBe［ˉl’3］
故选C
试题分析:由题意可得:点″所在的圆的方程为（则-l）2
＋
--＋
（γ—l）2＝1（0≤卿≤2,0≤γ≤2）。可设点″（如,y）可得M↑
°
—-〉
MB＝（卯ˉl）2＋广ˉl’由√（】二l）2＋）2匡［0’2］’即ˉⅡˉ
得出.
7.D
故c
. （α＋b）
＝
｜α｜｜c｜＋｜b｜｜c｜
ˉ｜c｜2＋4｜c｜
目二
＝
】
2
2
—（｜‘｜—2）2十4』故（— ｜‘｜2＋4｜‘｜）…＝÷-2放选B
2
｀
2
7
试题分析;喘＋「f「二齿』可得〈α,‘）-60·｀〈b,‘）＝60.,
｜
再由｜α｜＋｜b｜
＋
｜c｜＝4’两边同时乘以｜C｜’可得｜α｜
｜C｜
＋
｜
｜b｜｜C｜＝—｜c｜2＋4｜C｜,则C. （α＋b）≡｜α｜｜C｜＋｜b｜｜C｜即
2
可得出答案
3.D
试题解答:如图,以B为坐标原点’BC所在直线为狐轴、BA所
｜
在直线为γ轴建立平面直角坐标系’则C（2口0）’A（（）’2）’
｜
试题解答:如图所示,以A点为坐标
原点’建立如图所示的平面直角坐标
系,则A（0,0）,E（l,2）,C（2,2）’据
—》
ˉ＿＝广
此可得’AE＝（l’2）,EC＝（l ,0）
,
＿》
由数量积的坐标运算法则可得’AE.
→
EC＝l＋0＝l.
故选D.
］
爪
‖
们＿
0V
《4
~
~
4｜
l
2
X
＝■--→
x
C
1）
B
试题分析:由题意建立乎面直角坐标系,然后利用向量的坐
标运算计算数量积即可.
8.B
试题解答:由向量平行的充分必要条件可得, l×t＝2×
（—2）,则,t＝-4,
即α＝（］’2）’b＝（一2,—4）,所以α＋b≡（-l ,-2）,
据此可得｜α＋b｜＝｀／Iˉ工可＝伍
故选B.
试题分析:由向量平行的充分必妥条件首先求得实数〗的
值,然后结合向量的坐标运算法则求得向量的模即可.
9。D
试题解答:以C为原点,CB所在直线为x轴’垂直于BC的
直线为）轴建立平面直角坐标系,
Ac:市苛-1,设P（撼′Ⅱ）,感匡［0,2间,
所以萨～宁—考斜｀
—〉＿〉
所以PB.PC＝（ˉ卯’ˉγ）
. （2旧—卯’ -γ）＝卯2＋广ˉ
｜
2伍-÷勤2—竿抖筐｜—÷,4｜
故选D.
试题分析:建立乎面直角坐标系,然后根据条件即可求出
｛
—≥
——〉
A’C点的坐标’表示PB.PC’利用二次函数的图象与性质
｜
求值域即可.
4。D
试题解答;因为α〃b’所以γ＝2则’
因为b上（α-C）,所以（l,2）
. （鳃＋l’γ-l）＝0’
所以鳃＋｜十2γ—2＝0,解得鳃≡÷,γ＝÷故选n
试题分析:根据向量平行可得γ＝2则’根据向量垂直可得
｜
（l’2）
. （卯＋l,y—l）＝0,解方程组即可得结果,
5.C
试题解答:由题得c＝（1,2）＋（∧’k）＝（l＋人’2＋∧）
’
因为b上C,所以b.C＝（l,l）
. （l＋∧’2＋∧）＝l＋k＋2＋A＝0,
‖
所以附＝ˉ÷
▲
故选C.
试题分析:先求出C,再根据bˉLC求出实数A的值.
6。C
A
↓′
D
~C
B
x
则凋（3｀0）,设〃（′,伍）（0≤』≤÷）
—〉
--〉
则BD.BC＝（tˉ3’徊r）
.
（ˉ3’0）＝9ˉ3t≥9ˉ3×
3
9
ˉ丁＝ˉ丁’
▲
▲
—〉
-—〉
即‘DBc的最小值为÷故选n
试题分析:以C为原点,CB所在直线为卿轴’垂直于BC的
直线为γ轴,建立平面直角坐标系’设D（t,徊』）
（0≤′≤÷）,将丽丽表示成《的函数,利闹单调性求解
即可。
v」
试题解答:如图所示,
由题意可得’点M所在的圆的方程
为（z-l）2＋（y—1）2≡1（（）≤如≤
2,0≤γ≤2）.
可设点M（卯’γ）
A（0,0）,B（2,0）.
~
~
~
~
d｜
B
】
232
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l0.B
＝--〉
-→
＿≥
--〉
试题解答:设0A＝α,0B＝b’OC＝C’以OA所在直线为靴
轴’O为坐标原点建立平面直角坐标系’由｜α｜＝何’ ｜b｜
＝
2,α与′的夹角为￥’得A（亿0）,月（—何,l）,设c（鳃｀
γ）’所以c＋α＝（″＋√g ’γ）’c＋b＝（则ˉ灯’y＋l）’由（c＋
‘）（‘＋b）-—:,得嘶2＋γ』＋》—÷二0,得jf2＋
7
（γ＋÷）ˉ二l,所以点c的轨迹是以删（0,＿＋）为圆心,
半径为｜的阔所以｜‘ˉ叫.√辩（十）』辩｜～平,
l.故选R
ll.D
试题解答:因为α上b’所以α.b＝0＝2cosα-sinα＝0’即
…-2所以!融＂（α＋矛）＝｛婴:羔-告＝凯
′″ ,-
＼
4／
l—tanα
l-2
-
丽-（—￥—｜.—＋）.
c周-（—｜,｜）,c任c厕-｜十?＋旧＋3
—》
—-＞
〉
4
~～
故答巢为等1
—〉—〉
试题分析:以OC,OB为“,γ轴建立乎面直角坐标系’利用
平面向量数量积的坐标表示求解即可.
l5.4√5
试题解答:因为m巨R’向量α＝（m＋l’3）,b＝（2,—m）
’
且α上b’
所以α。b≡2m＋2—3m≡0,解得m＝2’
所以2α-b＝（6,6）-（2,—2）＝（4,8）
,
所以｜2αˉb｜＝｀／I石ˉ干石可＝4行’故答案为4厄
试题分析:由向量垂直数量积为零,可求出m＝2,从而2α—
b＝（6’6）—（2’ˉ2）＝（4’8）’根据平面向量的坐标运算以
及向量模的公式可得结果.
l6.何
试题解答:由｜α｜＝l’ ｜b｜≡2,且α.b＝l,
得c＂爵〈‘,b）＝｜:广｜;｜＝＋,所以瞳＂爵〈‘｀b）-60。’
设出α＝（l’0）’b＝（l’徊）’e＝（cos0’sin0）
’
所以（αˉb）.e＝ˉ压in0’所以（αˉb）.c的最大值为
何’故答案为扛
试题分析:由｜α｜＝1, ｜b｜≡2且〃.b≡l求出乎面向量α,
b的夹角’设出α＝（l’0）,b＝（l’何）’e＝（cos0’sin0）
’
然后利用向量的坐标运算求解.
~
~
~
~
~
~
~
故选Dˉ
试题分析:利用α上b〈＝XJ ·b＝（）,即可求出tanα,再利用
角和的正切公式即可得出。
l2.A
试题解答:设α,b夹角为0,由已知可得’
α.b＝｜α｜
.
｜b｜cos0≡2,
所以…二÷,‘-子
—〉
-—-〉
建立平面直角坐标系’α＝OA＝（2’0）’b＝OB＝（l ’徊）
’
α,再利用两
0
‖
ˉ—-》
C≡OC＝（绷,γ）
’
由C
. （α＋2b—2C）≡2’
可得（抛,γ）（4—2卯,2√3-2y）＝2,
即4绷ˉ2卯2＋2√gyˉ2γ2＝2’
】
44
向量的数量积与运算律
〕
—
斗
~~
】
＼
‖
‖
／
徊
—
∑
γ
化简得C点轨迹方程为（如-l）2＋
｛
l。D
｛
试题解答:命题p:若向量α.b＜0’则α与b的夹角为钝角
｛
或平角’因此为假命题;
｛
命题q若cOsα.coSβ＝l’则cosα＝coSβ＝±l ,因此α≡
｜
2k1∏,β＝2人2∏,或α＝（2k］-l）∏,β≡（2片2—l）∏’
｜
kl ’k2匡N＊.
｜
则sin（α＋β）＝0.为真命题.
｜
下列命题为真命题的是pγq’其余为假命题.
｜
故选D
｜
试题分析;命题p;若向量α.b＜0’则α与b的夹角为钝角或
｛
平角’即可判断出真假;命题q:若cosα. cosβ＝l’则cosα＝
｜
cosβ≡±l ,因此α＝2∧1∏,β＝2内2∏’或α＝（2八1—l）∏,β≡
｜
（2内2ˉl）∏,kl ’片2匡N＊.可得sin（α＋β）＝0.即可判断出
｜
真假.
｛
2.B
‖
试题解答:由题意’平面向量α＝（√可’1）’b＝（绷’ˉ3）’且α上
｝
b’所以α
. b＝石绷—3＝0’解得＂＝旧’此时α＝（何’
｜
l）,b＝（旧,ˉ3）
则｜α—c｜＝√（卿ˉ2）2＋广’
转化为圆上点与点（2’0）的距离
№ˉ…｀√1｛（粤）;｛f～灯苛打
故选A。
］3.3
＿-〉
--》
试题解答:AB＝（t—3’—l—t）,BC≡（-3-t’0）
,
因为△ABC为以B为直角顶点的直角三角形’
＿〉
＞
所以AB.BC＝（t—3）（—3—l）＋0＝0,解得t＝±3
t＝ˉ3时’点B,C重合,因此舍去。
故答案为3.
试题分析:利用向量垂直与数量积的关系即可得出.
］4.但土旦
4
--〉--尹
试题解答:以OC,OB为卯’γ轴建立平面直角坐标系,
）
］
』
徊
—
▲
／
′
』
‖
‖
‖
＼
Ⅱ
｀
｜
｜
‖
′
／
］
—
∑
徊
—
’
ˉ
／
』
『
‖
‖
｀
＼
∧
’
）
］
’
◎
（
日
’
）
◎
’
］
（
℃
则
233
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所以躯二√面是α上b垂直的充要条件’所以选项A不正确;
｜
设C（α’0）’A（b’2c）’P（狐,c）
’
｜
因为△ABC的面积为l ’所以αc＝l
’
｜b｜＝√（灯）2＋（ˉ3）2＝√I页’所以C不正确;
→→—＋
｜
所以pC.pB＋BC2＝（αˉ卯’—c）
. （ˉ卿’ˉc）＋α2
由α＝（何’l）’b＝（徊,—3）’则αˉb＝（0’4）
’
设向量αˉb与α的夹角为0｀向量αˉb与b的夹角为α｀
｜
＝”ˉα″＋α＋‘
＝″
ˉα卿＋α2＋寺’
2
2
2
2
α
』』…～｜胸↑｛）:｜≡÷所以〃÷…≡ˉ粤所｜
令Ⅱ…』—…蔓带÷
α
以α二￥故选B
试题分狮…淘董徽≡（涧川…—,儿…霹
｜
＾…小值为（徽』芋÷）ˉ徽: ≡』懒直÷
｜
4
4
≥可×
得“＝灯’此时α＝（打,l）｀b＝（打｀ˉ3）’进而可判断选项’
｜
｜
√隧:×÷闷〕当且仪当］鹏』÷…
得到答案
3·A
｜
故选C~
试题解答:由题意（√mˉb）2＝2α2ˉ2√页t∏.b＋b2＝2＿
｜
｜
试题分析:以B为原点’BC所在的直线为匆轴建立干面直
2√回h.b＋l＝l
’
｜
角坐标系’设C（α’0）’A（b’2c）,P（绷’c）’结合三角形面积
所以“b二粤二co凰〈α』b〉’所以〈α,b〉＝45｀
｜
公式与乎面向量数量积公式可得泳两＋元2＝愈2ˉ憾绷＋
▲
｜
α2＋÷利用二次函数的性质与基本不等式即可得结果
故选A.
α
试题分析:把闽ˉb的长度为1用数量积表示’再结合向
｜
｛
8.B
量的夹角公式可得.
｜
试题解答:由｜α｜＝2, ｜b｜≡3,α.b＝4’
4A
试题解答;由题意』′＝（√丁, —｜）且向量“与b的夹角
｜
则｜
α ＿2b
｜＝√（α刁b）2＝√α』＋4b2—…＝
｜
｀／‖＋36ˉ4×4＝2伍故选B
为芋,
｜
试题分析;利闸平面向量的数量积的运算公式和向量模翰
由｜αˉ2b｜＝2√I可’则｜αˉ2b｜2＝α2＋4b2ˉ4α.b＝
｛
运算’即可求解.
｜
9B
4＋4｜b｜』—4×2｜b｜臆赡芋＝52｀
｜
试题解答:由题意不妨设j＝（l ’0）J＝（0’l）
’
整理得｜b｜2＋｜b｜-l2＝0’解得｜b｜＝3ˉ故选Aˉ
｜
则α＝2j＝（2’0）’b≡j＋j≡（l,l）
,
试题分析:根据题设条件｜α—2b｜＝2√I了’两边同时平方
｜
据此逐＿考查所给的选项;
化简,得到关于｜b｜的方程,即可求解结果.
｜
｜α｜＝√nˉ工∏＝2’ ｜b｜＝√Iˉ干ˉT＝√Z则｜α｜≠｜b｜’选项A错误;
5·A
｜
α—b＝（l’-l）,（α-b）.b＝（l,-l）
. （l,l）＝0,
试题解答:因为αˉb＝（门’徊）
’
｜
则（αˉb）上b,选项B正确;
所以｜αˉb｜＝√百’所以α2＋b2ˉ2α .b＝5’所以l＋4ˉ
｜
α.b＝（2’0）
. （1 ’1）＝2’则α.b≠l,选项C错误;
2α°b＝5,α°b＝0,
｜
不存在实数∧满足α＝入b’则α／／／b不成立’选项D错误.
因此｜2α＋b｜2＝4α2＋b2＋4α .b＝4＋4＝8’ ｜2α＋b｜
＝
｜
故选B.
2徊
｜
试题分析:由题意利用向量的坐标运算首先求得向量α’!
故选A.
｝
的坐标,然后逐一检验所给的选项即可求得最终结果.
试题分析:先根据向量的模求向量α’b数量积’再根据向量
｜
10.D
模的性质求｜2α＋b｜.
→
→
｜
试题解答:根据题意’可以求得｜PA｜＝√g—干丁＝2’ ｜PB｜
＝
6A
｀／Iˉ干丁＝2’
试题解答:因为向量α与b的夹角为0,且α＝（＿2’l）’α＋
｜
＿〉—〉
｜
所以co6乙APB＝ˉ绊里ˉˉˉ何ˉ徊石
2b＝（2,3）,所以（α＋2b）—α＝2b＝（4,2）
’
≡—
所以b≡（2,l）,
｜pA｜｜pB｜
2·2
2
’
｜
结合向量所成角的范围,可以求得乙APB＝l50°。故选D.
所以…-｜:「｜;｜二盖岩＝÷故选A
｜
试题分析:ˉ首先利用向量的坐标’求得｜α｜
’ ｜b｜’之后应用
试题分析:由（α＋2b）ˉα＝2b＝（4,2）求出b≡（2,1）,结合
｛
』
向量夹角余弦公式陋＂鼠〈′,b〉＝｜:广｜侈｜即可得出缝果
α≡（-2,l）,利用平面向量夹角余弦公式可得结果.
7.C
｜
ll.A
试题解答:以B为原点’BC所在的直线为卯轴建立平面直
｜
试题解答:设αˉb与b的夹角为0’因为非零向量α,b满
角坐标系’
｜
足α. （αˉb）＝（）’所以α2＝α.b’
·234°
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由｜α—b｜
＝｜α｜可得α2ˉ2α。b＋b2＝α2,
解得｜b｜＝徊｜α｜
’
所以…＝｜:二｛｛｜j↑＝‘D—｜b｜2＝｜铡｜2ˉ2｜α｜2
＝＝
｜α｜
｜b｜
徊｜α｜2
~～
√2
2
’
所以0＝135。。故选A.
试题分析:利用非零向量α,b满足〃. （α-b）＝0’将｜α-
b｜
＝｜α｜两边平方解得｜b｜＝徊｜α｜
’
利用向量的数量积运算性质’以及平面向量夹角余弦公式
即可得结果.
l2.B
试题解答;由而＝3∏ˉ2而》耐＝÷（顽＋而）
》
▲
所以而.丽＝（3丽＿2而）.÷（丽＋而）＝÷耐—
△
△
一l→—≥
OB么＋ˉ丁OA°OB,
凸
又△OAB为等边三角形,
所以丽而二!×l…60.-÷
而.耐＝旦×lˉl＋上＝兰
2
4
4·
故选B,
—〉→
试题分析:利用基底OA,OB表示所求向量,利用向量的数
量积化简求解即可.
l3.但
3
→—〉
—〉
—〉
—》
—〉
试题解答:已知AB。AC＋2删.BC＝3CA .CB,可得
bccosA＋2αccosB＝3αbcosC’结合余弦定理得α2＋262＝
№埋陶…上谎上÷宜六″ ≥粤,
当且仅当α二』时取到等号′放…＂最小值为罕
试题分析:可先用向量的数量积公式将原式变形为bcCosA＋
2αccosB＝3αbcosC’然后再结合余弦定理整理为α2＋2b2＝
3c2,再由cosC的余弦定理得到α’b,c的关系式,最后利用基
本不等式求解即可.
l4芋［0,2］
试题解答:由题意｜α｜＝2, ｜b｜＝l ,则α· （α＋b）＋b.
（α
-b）＝α2＋2α.b—b2＝3＋4cos0≤l,
1
解得-l≤Cos0≤—ˉ丁,
△
所以芋≤0≤丽｀
所以0的最小假为宁｀
因为｜α＋2b｜2＝α2＋4α.b＋4b2＝8＋8cos0巳［0’4］
’
所以｜α＋2b｜巨［0’2］.
｜
试题分析;囱题意″（侧＋b）十》（α＿b）≤l,求得芋≤
｜
β≤∏｀所以0的最小值为孕’再利用向量的模的计算公
〕
｜
式’即可求解
｜l52徊于
｜
试题解答;因为｜α｜＝2’ ｜b｜＝1’α’b的夹角为粤’
〕
｜
所以｜α＋2b
｜
＝√｜α＋2b｜2 ＝√α2＋4b2＋4α.b＝
］
—
】
×
］
×
’
≈
×
△
‖
＋
△
。
＋
卜
＝2何,
】
｜
α
ˉ
2b
｜
＝√｜αˉ2b｜2
＝√α2＋4b2—4α.b
＝
■
Ⅱ
—
勺
▲
×
］
×
∑
×
斗
斗
＋
′
′
-7
-～9
α2-2α·b
~
~
~
α· （α-2b）
所以cos
〈α’αˉ2b〉
＝
二二
α｜
°
｜〃—2b｜
2×2
~
口
』
＿
勺
～
~~
‖
Ⅱ
∩
▲
×
］
×
勺
▲
勺
▲
×
×
勺
▲
勺
▲
】
〗
因此〈α’αˉ2b〉＝芋
〕
试题分析:根据向量模的性质以及向量数量积求｜α＋2b｜
以及｜α-2b｜’再根据向量数量积求向量夹角.
（;,÷｜
试题解答:如图,设R4＝则（0≤匆≤
C
‖
l6
2）’则PC＝2—卿’
则两＝丙硼≡ˉ÷I古十荫』
～
—≥—〉
又AC°AB＝2×2×cos60°＝2’
A
』
B
●
→
“
卯
＿
勺
～
尹
∩
丛
—
“
品
—
斗
~~
）
→
必
＋
今
∩
仙
鄂
／
′
【
‖
‖
｀
＼
■
→
皿
卯
—
∑
~~
→
″
●
→
剐
以
所
~
~
~
~
—〉
AB＝卯2-几.
—〉→
因为满足pA。pBˉ2人＋l＝0的点P恰有两个’
所以关于卯的方程财2-躯ˉ2∧＋l＝0在区间［0’2］上有两
个不同的实数根
设∧厕）＝卯2ˉ卯ˉ2人＋1,
则函数∧嘶）在区间［0’2］上有两个不同的零点’
″△＝l-4（-2∧＋l）＞0’
∧0）＝ˉ2入＋1≥0’
解得;≤入≤÷
所以嗡∧2）＝3ˉ2入≥0,
｀0＜÷＜2,
所以实数」的取值范围是（÷,÷｜
→—-＞
试题分析:设pA＝匆（0≤则≤2）,根据R4 .PB—2∧＋l＝0
得到关于躯的函数,由题意可得该函数在区间［0’2］上有
两个不同的零点’然后根据二次函数的相关知识可得实数
入的取值范围·
~
~
~
~
I
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
235
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45
向量的垂直｀共线判定与应用
｜
7.B
｜
试题解答:设α与b的夹角为0,因为（α＋b）上（3α-2b）
’
｜α｜-÷｜″｜.所以（α十』》（3…）-3…b—2h:＝
｝
3｜“｜2＋｜α｜｜b｜…—2｜b｜2＝0,即÷＋粤…ˉ2＝0,慢｜｜
▲
▲
｜…-f,因为β匡（＂,丽）,所以,-哥故选＂
｜
试题分析:设α与b的夹角为0’根据向量的数量积的运算ˉ ,
即可求出结呆.
｜
8.C
｜
试题解答;由题｜α｜＝√Z｜b｜＝2’（α—b）上α’
｜
所以（α-b）.α＝0,所以α.b＝α2＝2,
α.b
√页
｜
则cos〈α’b〉＝｜α｜
.
｜b｜＝2
’
D
考点:向量共线定理
＿-〉
——〉
-—〉
-—〉
-—＋
试题解答:因为嘶2OA＋卿OB＝2BC’所以卯2OA＋卯OB＝
2（而—而）＝÷励（÷刊）而-而,义囚为』,B,C＝
勺
勺
点共线,所以苦＋（÷＋＿l）二l＝÷＋÷二0二憋-0或鳃-
ˉl;当则＝0时三点重合’不符合题意’舍去’所以卯＝ˉl.
故选D
B
试题解答:α.b＝（el＋2e2）
. （4elˉ2e2）＝4e｝＋6el .e2
—4e;＝4ˉ4＝0,所以αˉ上b.
故选B
D
＿→
-一》
〉
A
＿-》
＿》
〉
试题解答
~
~
~
~
2
句
〕
:如图’PD＝-4PA’2PO＝
—》
—≡〉
--＋
ˉ4R4＝PO＝-2PA,所以点P到BC
的距离是点A到BC距离的÷,故
〕
7
S△pBc＝亏S△姐c故选D
所以〈α′b〉＝哥
｜
故选C.
C
｜
9.B
｜
试题解答:取AB的中点D’连接CD.
■
→—广
—〉＿〉
—≥—≥
—〉＿〉
ˉ-〉
—-≥
｜
R4 。PB＝（PC＋G4）
. （PC＋CB）＝PC2＋PC. （Ol＋CB）＋
｜
—广—≥—〉
—〉
—〉
＿〉
—≥
—》
G4 .CB＝PC2＋PC· （CA＋CB）＝22＋PC. 2CD＝4＋
—〉—〉
—尸
—〉
—〉—广
｛
2PC.CD＝4＋2｜PC｜｜CD｜cos 〈PC’CD〉≡4＋2×2×
—〉—〉
—〉—》
力
｜
3cos〈PC’CD〉＝4＋l2cos〈PC’CD〉.
—步—〉
—≥—〉
与
｜
所以当〈PC’CD〉＝0。时’PA.PB的最大值为l6.故选B.
｜
l0·D
—≥
—〉
--〉
-—〉
＿〉
试题解答:因为在△ABC中,AB2＝AB.AC＋BA。BC＋
—≥—》
CA°CB,
—〉—〉—〉
—》—〉
—广—〉
—步
＿→
-
》
所以AB2＝AB.AC＿AB.BC＋G4 .CB＝AB。（ACˉBC）＋
—〉—〉
G4 .CB’
—〉—〉—〉＿广
—沪—〉
所以AB2＝AB2＋CA·CB,所以CA.CB≡0,
所以乙C＝90。,所以△ABC为直角三角形ˉ
故选D
｜
ll.C
—〉—〉
—-〉
试题解答:因为向量AB’AC夹角为l20。,且｜AB｜＝2’
＋
｛
—〉
｜AC｜＝3,
所以Ij元-屈卜｜元｜cosl酗.-2×3×（—÷）≡3,
—〉—〉
—〉
—≥—〉
＋
｜
因为AP＝AB＋人AC’且AP上BC,
—》＿尸
—〉
—〉
—≥
—〉
--≥
—尹
所以AP·BC＝（AB＋人AC）.BC≡（AB＋入AC）
. （AC-
＿〉
AB）＝0,
—≥—〉
—〉
—＞
—≥—≥
×
｛
即AB。AC-｜AB｜2＋入｜AC｜2-入AB.AC≡0,
所以—3—4＋9入＋3人＝0’
7
解得入＝市
的
｜
故选C.
B
D
4D
考点;平面向量的夹角、正弦定理
--〉
---≥
试题解答:设OA＝α,OB＝b,以OA’OB为邻边作平行四边
｝
形OACB,则而＝α＋b’由于α＋b与α的夹角为÷,α＋b与
｜
｜
l0
b的夹角为÷,所以△Mc＝子｝么ACO＝苛,
在△AOC中’
｜α｜
＝
｜b｜
｜α｜
佰
＝—≡＿
。
∏
。
∏
｜b｜
3
sm可sln丁
故选D.
5.C
试题解答:因为α＝（l ’2）’α.b＝5’ ｜αˉb｜＝2石,
所以（α-b）2≡α2—2α.b＋b2＝5-l0＋｜b｜2＝20,
所以｜b｜2＝25’所以｜b｜≡5.
故选C.
试题分析:由题意可得（α—b）2＝α2—2α。b＋b2＝5-10＋
｛
｜b｜2＝20’得｜b｜2＝25’可得｜b｜＝5.
6.A
试题解答:因为α上（α＋b）
,
所以α. （α＋b）＝α2＋α.b＝4＋2 .4. cos 〈α’b〉＝4＋
｜
8cos〈α’b〉＝0’
所以cos〈α,b〉-ˉ＋,所以〈“,b）-÷而
所以向量α在b方向上的投影为｜α｜cos 〈α’b〉＝2×
｛
（＿÷）-—｜故选A
试题分析:先求α和b的夹角’再求向量α在b方向上的
｜
投影.
.236
~
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—-〉
-—》
｜
不妨设此圆为圆M’因为AB＝bˉα’所以AB2＝α2—2α.b＋
｜
b2＝l2.
＿≥
｜
所以｜AB｜＝2何’由正弦定理可得△AOB的外接圆即圆″
-—广
｜
的直径为2R＝爵m｜尝而＝纵
l
｜
---〉
｜
所以当｜OC｜为圆″的直径时’ ｜c｜取得最大值4.
｜
故选A.
!
2。A
l2.D
试题解答:分别延长DB,DC至Bl ,
C1 ’使得DB1 ＝4DB,DC］＝7DC’则
—〉
〉
—-＿〉
Ul＋DB1 ＋DCl ≡0’则S△DAB｜
＝＝
S△1〕Acl＝S△DBlc｜≡S,
sM州-＋s,s…＝＋s｀s△″“ -
‘4
B
C
六s,s△姻′
＋
∩
○
］
—
斗
~~
方S
募-古故遮Ⅱ
＝＝
＋s壶s三萧s｀;器
＿》—＞—〉
试题解答:由OA＋OB＋OC＝0可知点O是△ABC的重心』
NM“＝＋s…芯元-｜萌‖肪｜…0憾-2,
所以｜萌｜｜元｜-4,s…二＋敝…二罕故选A
3.B
考点:向量的知识和综合运用
试题解答:建立如所示的平面直角坐标系’则由题设得〈α’
—〉
7
—〉
b〉＝60°’OM＝;b＝（l,徊）’OD＝2α＝（4’0）’再由题设
（‘＿2α）（您—÷b）＝0可得点′（向量‘对应的点,其中
o卿＝;0B’0D＝2oA）在以Ⅷ为直径的圆上,圆心坐标
为c（÷.?）,半径′二÷帅二÷√丙j-何』向量』对应
的点为B（÷乎）｀｜′—‘｜的几何意义是倒上动点′与点
周（÷乎）＂连线殷的最小值由丁″-∏百-2.所以
｜bˉc｜的最小值为2ˉ厄故选B.
13.
-√3
试题解答:根据题意｜〃｜＝l, ｜b｜≡2’且α。b＝｜α｜
.
｜b｜
。
.。s哥二｜,因为（√gh＋入b）上α,
所以（俩＋人b）.α＝倾2＋∧α.b＝何＋入＝0’
所以人＝—厄
142
试题解答:因为b。C＝0’所以b.C＝‖b.α＋（1-旷）b.b,
所以0≡t×l×l×cos60·＋（l—r）×l2
所以＋′＋lˉ′＝0’所以′＝2
▲
l5.
—6
试题解答:因为b＝（l ,—2）
,
则〃＝∧b＝入（l,ˉ2）＝（人’—2∧）
’
则｜α｜＝石｜入｜＝2占’
所以∧＝—2’则平面向量α＝（-2,4）,
又因为向量α＝（′n’则）,所以矾＝＿2,n＝4,
则矾-′l＝ˉ6.
l6. l9
试题解答:A’B,C三点共线,所以α］5＋α24≡l ’所以αl
＋
α38＝α15＋α24＝l’
所以s』‘二侧｜iα测×38二l9,故答案为1队
‖
】
‖
~
~
~
】
〗
纠4（2,（））D（4;0）】
~
（）
‖
46
向量在几何和物理中的应用
4C
试题解答:由题意AB＝2’AC＝2何,BC＝｀／〉lB2＋AC2＝4
l.A
试题解答:因为｜α｜＝｜b｜＝2’α.b＝ˉ2’所以cos〈α’b〉＝
α°b
｜α卜｜b｜＝—÷』〈α’b）二l20·
—-〉
—≥
＝＿-≥
—-≥
＝--＞
如图所以’设OA＝α,OB≡b,OC≡c,则O4≡α—c,CB＝b-
c’乙AOB≡l20°.
C
建立如图所示的坐标系,则点A（0’0）
,
B（2’（））,C（0’2√g）.
→
＿—＞
′
3｀—〉
设BF＝入BC’ 入. （0,可）BE＝
（入＋十）玩｀则F（2—2入’ 2旧入）,
E（÷—2人,2m粤）
所以Ⅱ面丽＝（2ˉ2儿2m）（÷ˉ2儿2
＼＝
4人-3入＋4入2＋l2∧2＋3∧＝l6∧2-4人＋3
号匡｜芋’9）
;ˉ2入,2
）
℃
＼
‖
〃｜
B
x
‖
何夸）-3ˉ
ˉ4儿＋3＝｜6（儿—;）2＋
O
所以乙ACB＝60°,所以△AOB＋乙ACB≡l80。’所以A’O’
｜
B’C四点共圆
°237
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C
B
』等c-何,
因为点A到BC边的距离〃＝
／／
~
~
~
~
~
所以△呕F的面积5…二＋圆′呕二粤为定值
s…『
÷｜I舌卜｜∏｜…l
所以＝厂＿≡季＝
-→
→
≡丁tan0’故tan0＝
AE.AF÷｜AE｜·M′｜.c。s0
△
d
l0.D
0
试题解答:由于｜F合力｜＝2｜F｜cos丁,
“毙…
则2｜F｜cos:＝｜G｜,故｜′｜＝
ll。C
考点:向量在速度｀位移的合成中的应用
试题解答:设5秒后点P的坐标为Pl（卯’γ）
’
—〉
--—〉
则PPl＝（卵＋l0’γ-10）,由题意有PP1＝5v,
即（鳃＋l0’γˉl0）＝（20,-l5）
,
｛》土｜‖二型k｀得｛｝二凹;~
则
故选C.
l2C
—〉
-＋
—》
AB
AC
—≥
（丽百万十丽丽）≡｜‘c｜÷
试题解答:因为BC.
—〉
｜BC｜＝0·
‖
2S△∧EF
徊
（粤｀等｜
≡—＝巨
耐耐AE.AF
故选C.
~
~
5.B
考点:向量垂直的性质;平面向量数量积公式
试题解答:因为单位向量e1 ’e2的夹角为45。’所以e1 .e2＝
｜
｜×］×粤二粤,义阔为‘｜上（人陶—詹｜）,所以叶（儿‘2ˉ
｜
′!）二M｜昭:—‘｝＝争—l＝0’入＝徊故选凰
6A
考点:平面向量的数量积;平面向量的线性运算;菱形的
｜
性质
试题解答;因为菱形ABCD的边长为2,△B＝÷,
所以,煎瓦＝2撼2c°s号＝2
—＞—〉
一→-＋
—》—〉
所以BD.CP＝（BA＋BC）
· （BPˉBC）
—卜
-＝》
一-〉
—-》—〉
—〉—广
—〉
｜
＝（BA＋BC）
. （APˉABˉBC）＝（BA＋BC）
. ［（人ˉl）AB
｜
→
—BC］
—步
—广＿≥
—≥
一＝〉
＿一＞
＝（lˉ入）｜BA｜2ˉBA·BC＋（1ˉ入）BA·BCˉ ｜BC｜2
＝（l＿入）×4ˉ2＋2（l—人）—4＝—6入＝＿3,故入-÷
｜
ˉ-广
-一→
-→
AB
AC
（丽丽丽「丽）露自,
所以BC与人
设D为BC的中点,
—-〉
ˉ→
--十
--广
AB
AC
—″ 0B苛OC｜令而＝入———ˉ——
（｜咽｜…Mc｜…）
则OD≡
--＋
ˉ-＋
AB
AC
（｜肌矿丽瓦）
＋人
＝-〉
＝-＋
-〉
0B＋OC
因为点P满足条件OP＝—＝
△
故选A.
7.D
试题解答:如图,建立直角坐标系,
则Fl＝（l ’6）’F2＝（2何’2）
’
F3＝（—3’3何）
’
则F＝Fl＋F2＋F3＝（2何ˉ2,
2＋4徊）.
又因为位移s＝（4徊’4徊）
’
人巨（0,＋的）,
—〉→→
所以OP＝OD＋DP.
所以点P在BC的垂直平分线上,即P经过△ABC的外心。
故选C.
13」500打J
试题解答:Ⅳ＝60×50×cos30°＝1500徊（J）.
故答案为l500石J.
14° l0J
试题解答:由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大
小｜F｜＝上×20N二l0N’
2
所以W＝｜F｜
·
｜S｜＝l0J.
由于斜面高为÷m,所以＂＝｜G卜h＝20×÷-l0（J）
故答案为l0（J）.
15.48ˉ32徊
试题解答:如图建立平面直角坐标系,P（2cos0’2sjn0
A（ˉ徊’＿徊）’B（√Zˉ√页）’M（0’-徊）
’
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
＼
‖
′
东
工
南
‖
故合力F所做的功为W＝F。s＝（2何ˉ2）×4徊＋（2＋
4何）×4徊＝4徊×6徊＝24佰（J）故选D.
8.B
试题解答:由题意得″水＝√102＋（l0√可）2＝20’方向为北
偏西30°.故选B
9.A
考点:向量在力的合成与分解中的应用
试题解答:如图’船在A处’AB＝4,实际航程为AC＝8’则
乙BCA＝30。’
｜γAB｜＝2’ ｜γAc｜＝4’所以｜γBc｜＝2扛故
选A.
‖
~
~
~
~
~
~
238
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）’
｛
所以…—爵i＂c二口＂. （….）二粤.卿. （….）＝
｝
÷,‘＋45·＝60.,
｜
所以C＝l5°.
｜
故选A.
｜
试题分析:由三角形的内角和公式可得B二∏ˉ（A＋C）＝
｜
90°ˉ2C’根据正弦定理有sinA＋sinC＝√回SinB,化简可得
｜
.°息（…憾）二÷’由此求出锐角c的大‖｀
｜
3.C
｜
试题解答;因为2鼠m辆mB…B
目＝
6COSA,
｛
所以由正弦定理可得罕—簇:｀
｜
即αbcosB＝（2c—6）6cosA.
｜
所以由余弦定理可得α6
. α2＋C2ˉ62 ＝（2Cˉ6）
. b
.
2αC
』
』2酿＿α2整理可得b忽-』2带‘』ˉ盅
｜
所以cosA＝b2＋c2ˉα2
l
目＝
2bC
丁.
｛
因为A巴（0’∏）
,
｜
所以A＝子
‖
故选C.
｜
试题分析:由已知及正弦定理可得αbcosB＝（2cˉb）bcosA’
｜
结合余弦定理可得bc＝62＋c2—α2’由余弦定理解得cosA’
｜
结合A的范围’即可求得A的值.
‖
4D
｜
试题解答:在△ABC中’αcosB＋bcosA＝2ccosC,
｛
则sinAcosB＋sinBcosA≡2sinCcosC,
｜
即s1n（A＋B）＝2sinCcosC’因为sinC≠0,所以cosC＝上
2
,
｛
C＝ˉ互
3
,
｜
由余弦定理可得α2＋b2ˉC2＝αb’
｜
即（α＋b）2—3α6＝c2＝7,
｜
又s二十忽蛔＂c二卓蝴b-孪所以馏』二6.
‖
所以（α＋b）2＝7＋3αb＝25’α＋b＝5,
｜
△ABC的周长为α＋b＋c＝5＋√7
｜
故选D.
｜
试题分析:由题意利用正弦定理边化角求得C＝乎,然后结
〕
｜
合余弦定理和面积公式可得α＋b＝5’则△ABC的周长为
｜
5＋师
｝
5。C
｜
试题解答;因为鼠m″-紧-粤.圈匡（0,子）,所以B二÷
｜
囚为……-午,所以哩赡（芋—c）…卫ˉ］
4
,
3
挡
ˉ4ˉ3
234
5x
-
勺
＝〕
—〉→
—〉—》
所以（PA.PB＋4）
. （PC.P″）＝［（2cos0＋徊’2
√2）
. （2cos0—√Z2sin0＋徊）＋4］
. ［（2cos0’2si
（2cos0’2sin0＋抠）］＝l6sin20＋32徊sln0＋32’
当sin0＝ˉl时’得到最小值为48ˉ32√Z
故答案为48ˉ32徊
l6（√Z＋鲍）
试题解答由题意得卿（—僧,子）’″（—‘,ˉ子）,
所以丽二（‘,』＿宁）,耐＝（0』ˉ芋）
因为乙BMγ是锐角,
-→—》
2b2
′
b2｀
所以础M｀′＝ˉ丁（bˉ了）＞0,
整理得b＞α。
腕以′≡÷怎√罕鹏俘ˉ厘
故双曲线C的离心率的取值范围是（√Z＋由）.
47
正弦定理
l.B
试题解答;sin（CˉA）＝＋sinB＝＋鼠in（…）
』
即2sjnCcosA—2cosCsjnA＝sinAcosC＋cosAsiIIC,
即sjnCcosA≡3sinAcosC,
由正弦定理和余弦定理得:
b2＋C2-α2
句
α2＋b2-C2
C
·
＝〕α·
2bC
2αb
’
即b2＋c2-α2＝3α2＋3b2-3C2,
即4C2—4α2＝2b2＝2×l6≡32’
则c2ˉα2＝8.故选B.
［（2cos0’2si
＋
月
凹
∏
·
〗
且
吕
〗
’
徊
＋
＾
″
吕
○
℃
∑
（
［
~~
n0）
试题分析:利用诱导公式、两角和与差的正弦公式将sin（C—
A）＝上sinB展开,结合正弦定理和余弦定理进行化简可得
2
2
c
—α2＝8,
2.A
试题解答:由AˉC≡90。’得A＝C＋90。,B＝∏-（A＋C）＝
90°-2C（0°＜C＜45°）,
由α＋c＝√Z根据正弦定理’有sjnA＋sjnC＝√正inB’
所以sjn（C＋90°）＋sinC＝√页Sin（90°—2C）
’
即cosC＋sinC＝√豆bos2C＝徊（cos2C—sin2C）＝√面（cosC＋
sinC）（cosC-sinC）
,
因为cosC＋sjnC≠0,
239
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所以—÷m鼠2c带芋爵…c-旧—｛
旧
由余弦定理可得cosA＝b2＋c2ˉα2
~～
~厅
目二＿
4
,
2bC
2
,
即＿÷…c十旱m2c-?’蹦in（:C—晋）三粤,
网为提二角形内角,所以A-￥故选n
因此2cˉ晋二÷或2c—;二芋,‘-÷或c-晋,
｜l0C试题解答:因为sinA（2cosB—α）＝sinB（2cosA一b）
,
所以2sinAcosB＿2sinBcosA＝αsinA-bslnB’
因为BC＞AB,所以C＜哥,即c＝矛故选α
由正弦定理可得2αcosB—2bcosA＝α2-b2,
6.A
由余弦定理得2α×
ˉ2b×h2十c2ˉα2
＝
α2＋C2—b2
试题解答:由正弦定理’得徊sinAsinB＝sinB＋cosAsinB’
｜
2αc
2bc
又sinB≠0’
α2＿b2,
即α2＋c2—b2
b2＋c2-α2＝α2-b2’即2（α2一b2）＝α2-62,
所以徊sinAˉcosA＝l
’
C
C
C
所以爵m（A—÷）二÷由0＜A＜丽’得—÷＜A—÷≤于,
｜
因为α≠b,所以c＝2.故选C.
所以Aˉ÷＝÷,所以A＝÷
｜llB试题解答;因为:黑＝÷,所以由正弦定理得÷-十.即
由点″是△A蹋‘的重心,得乃二』（庙＋元）
』
C＝2b’
所以矽-;（耐＋元』＋2｜咽卜Mc｜赡＂鼠A）-古.
由（α』—3b』）…＝十励而,
—〉
—少
7
—〉
化简,得c≡｜AB｜≡2,
得（α2ˉ362）COSB＝上αCCOSB’
2
由余弦定理’得α＝√b2＋c2ˉ2bcosA＝√3’
~-
显然阀≠晋,所以c.sB≠0,
α
由正弦定理,△ABC的外接圆半径R＝2sinA
＝1。
故选A
等式两边同时除以赡＂爵圈得α』ˉ］b』＝÷″.
试题分析:由正弦定理条件可简化为打sinAˉcosA＝l ’从
｜
将c＝2b代人得α2ˉ3b2＝αb’
由余弦定理得cosC二α2＋b2ˉc2
α2＋b2ˉ（2b）2
而得到A的值,再结合重心的向量公式可得c＝2,进而利用
｛
＝＝
二曰
余弦定理得α＝徊’从而由正弦定理得到△ABC的外接圆
｜
2αb
2（α2ˉ3b2）
的半径.
α2—3b2
l
＝＝
7.C
2（α2-3b2）
2
,
又因为c巨（0’丽）’所以C＝子故选B
试题解答:因为btanA＋btanB≡2CtanB’
所以由正弦定理可得sinBtanA＋sinBtanB＝2sinCtanB,
｜
｜
］2C
可得sinBsinA＋sinB旦lⅡ旦＝2sinCsinB
试题解答:因为α2＋b2ˉc2＝4S＝〉α2＋b2ˉc2＝4》（
COSA
COSB
COSB’
整瑚可得氢………°…m2…mc戳i＂周…,
上…c-…c＝徽器—‘Ⅱ-瓤nc,所以c°患c-爵i＂〕
2
因为sinB≠0’所以cosBsinA＋cosAsinB＝2sinCcosA’可
｜
≡‘～苛.圃为六乖.÷c～÷2,所以侧-2…
得slnC＝2sinCcosA,
b
＝＝
因为sinC≠0’所以c。sA＝＋,州巨（0,叮）,所以削＝子故
俐
2
b二2詹mB｀又因为α—早b二2愚iM—粤×2瓢nB-2siMˉ
选C.
8A
▲
▲
徊副＂＂＝2…—徊s‖n（￥—∧）-‘‖n削ˉ…≡
试题解答;由丽弦定理得b2—α』＝÷b‘’因为b＝2‘,所以b』—
闷n（∧—哥）,因为0＜d＜乎＝—矛＜A—?＜!,所以
α2＝÷…＝c2｀所以侧』＋c2—b:-α
所以2…二0,所以…二0,所以月二罢,因为』-2c.
闻
—｜≤征m（A—哥）≤徊所以—1＜倒＿粤』＜徊故选‘
｜
l3。3
~-
所以c＝］0翻,所以d＝60.,所以副M二粤故选A
试题解答:设AC＝则,AD＝3z,
9.D
在直角△ACD中’得CD＝｀／AD2—AC2＝2伍’
试题解答:因为（αˉb）（sinA＋sinB）＝c（sinC＋压inB）
’
｜
所以…C皿二器二竿,
所以（αˉb）（α＋b）＝C（C＋√5b）’所以α2ˉC2—b2＝顾C’
｜
°240°
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4B2＋AC2-BG
l6.48
试题解答:因为2ccosB＝2α＋b’
所以根据正弦定理可得2sinCcosB＝2sinA＋sinB.
因为A≡∏—（B＋C）,
所以2sinCcosB＝2sin（B＋C）＋sinB,
即2s1nBcosC＋sinB＝0.
l
因为sinB≠0,所以cosC≡-—
2·
因为c匡（0′厕）,所以C-芋
因为△ABC的面积S＝√百b’
所以＋“鹏i＂芋＝√ib’即“』＝4＾
因为c2＝α2＋62ˉ2αbcos孕,
〕
所以击α』b2二α:＋b2＋αb≥2αb＋αb二3αb,当且仅当侧-b
时取等号.
所以α6≥48’即αb的最小值为48,
故答案为48ˉ
试题分析:根据正弦定理将2ccosB＝2α＋b边化角为
2sjnCcosB＝2sinA＋sinB’再根据三角关系’将其化简得
2sinBcosC＋sjnB＝0’从而可得角C’然后通过余弦定理
及基本不等式即可求得α6的最小值.
在△ABC中’由余弦定理得cos乙删C＝
卯2-l
~~
2AB.AC
‖
2√豆h,
由于乙BAC＋乙CAD＝子’所以co6乙BAC＝sin乙CM）,
～
‖
即卯2ˉl
2徊
＝＝
2√z
3
整理得3卯2-8鳃—3≡0’解得鳃＝3.
l4巨
气
√
试题解答;因为αsinA＋bslnB＋√回bslnA＝csinC’
所以α2＋b2＋√豆nb＝C2.
由余弦定理得COSC＝α2＋62ˉC
2
~～
粤,义0≤c＜w,所
｜
≡吕
2αb
以C＝拉
4.
c2＝α2＋b2ˉ2αbcosC＝22＋（2徊）2ˉ2×2×2√可×
｜
′
√百｀
（
2）＝20’所以◎＝2疽
由正…碍盂ˉ….娜芳ˉ器
b
2
解得sinB＝巨
气°
~
试题分析』由题意籍合正弦定理角化边可得c二￥,缮合
｜
余弦定理求得c的长度’最后利用正弦定理即可求得最终
｜
结果.
l5. ˉ互7
3
凸
试题解答:因为2cos2A＋何sln2A＝2’
可得’coS2A＋压in2A＝l
’
（2A＋晋）＝1
,
所以Sin
因为0＜A＜∏,可得A＝工
3
E—＋b…＝—×｜×c×但
因为6＝l’S△ABc-7
勺
2
,
～
～
～
所以c＝2’所以由余弦定理可得’α＝√b2＋c2ˉ26ccosA＝√可’
｜
———但＝2
6＋C
α
所以sjnB＋sinC
sinA
√可
余弦定理求得c的长度’最后利用正弦定理即可求得最终
｝
48
余弦定理
1.D
结果.
｜
试题解答:因为（α＋b＋c）（6＋c—α）＝3bc’所以（b＋c）2ˉ
｜
α2＝3bc,
哥2
｜
即b』＋c2—α』二b幢,所以…＝b2十幢2—α2二＋′A三（0,
试题解答:因为2cos2A＋何sln2A＝2’
2bc
｜
丽）,所以A＝号,
可得’coS2A＋压in2A＝l
’
所以爵m（2A＋晋）二÷,
｜
脚为α＝灯,
因为0＜…｀可得生于
;…定鲤可…‘的外攘圈半…～2孟厂:～
圃为b二l,s…二P二＋b…-上×｜×c×但
｜
l故选u
2
2
,
｜
试题分析;先利用余弦定理’求得A＝÷,再利周正弦定理,
所以c＝2’所以由余弦定理可得’α＝√b2＋c2ˉ26ccosA＝√可’
｜
｜
即可求得外接圆的半径.
——尘＝但＝2
所以咖燃mc ｀巾M何
』2A
ˉ丁
＝
｝
试题解答;由cos』B＋＋爵in2B-l则l＋芋2B十÷愚in2B＝
故答案为:’2
｜
l ’即sin2B＋cos2B＝l
’
试题分析:由已知利用三角函数恒等变换可得
｜
｜
又副n2…爵2B-徊霞in（2月＋矛）-｜’
咖（M十:）＝＋,可求范圈;M＋:匡（÷,午）｀利厕正
｜
弦函数的图象和隆臆可求A的值,利用三角形面积公式可
｜
所以副＂（2圃＋Ⅱ）二粤’
求c的值’进而利用余弦定理可求α的值’根据比例的性
｜
』
义0＜周＜苦,所以2B＋于＝￥解得B＝牙,
质及正弦定理即可计算得解.
°24l
.
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所以c2＝α2＋b2＋αb≥2αb＋α6＝3αb＝l2’当且仅当α二b
时取等号.
所以cmin＝2厄
故选C.
7.B
试题解答:假设点P在双曲线的右支上,由题得
｛｜′p｜｜上｜饿｜二翌所以｜″｜
｜～蛔｀｜″』
｜～2·
因为｜F1F2
｜＝2c＞2α,所以最短边是PF2,最小角为
乙PF1F2.由余弦定理得4α2＝l6α2＋4c2ˉ2×4α×2（. ×
cos30。’所以c2ˉ2√5hc＋3α2＝O
所以e2ˉ2伍＋3＝0’所以e＝何,所以二＝徊’所以c2＝
α
3α2’所以α2＋b2＝3α2’所以b2≡2α2.
所以上＝徊’所以双曲线的渐近线方程为√2卯±γ＝0.
α
故选B.
8.B
试题解答;由题意知B＝60。’由余弦定理’αc＝α2＋c2ˉ4,
故αc＝α2＋c2＝4≥2αcˉ4’有αc≤4,
故s…＝＋“愚m″≤厄
故选B.
9°A
试题解答:在△ABC中,乙A＝60。,因为2sinB≡3sinC,哎
由正弦定理可得2b＝3c,再由s△删凰c＝竿＝＋b″.in′｛,
可得bc＝6,所以b＝3’c＝2’再由余弦定理可得α2＝b2＋c2ˉ
2bc .cosA＝7’所以α＝｀／7,故△ABC的周长为α＋b＋c二
5＋√7故选A.
l0.A
试题解答:因为αbsinC＝20sinB’所以αbc≡20b,αc＝2｜）,
所以』二√硼』～…‘√｜ˉ40又÷-6放选A
｜
lLB
《
试题解答;由已知有…ˉ‘2＝…c二αi器—‘』
≡
｜
盖-÷’由于c匡（0.丽）.‘二哥,瓢＂c二粤〕
｜
又l6＝α2＋b2ˉαb≥2α6ˉαb＝αb’则αb≤l6’
｝
5…＋…≤＋鳃l6×粤二斗厄
｜
当且仅当α＝b＝4时等号成立.故选B.
｜
l2.B
｜
试题解答;如图,设A,B是双曲线C左支上的两点’
-〉—卜
-≡〉
又因为｜BC＋AB｜＝3’即｜AC｜＝3,即b＝3’
在△ABC中’由余弦定理得b2＝α2＋c2ˉ2αccosB＝α2＋c2ˉ
√ZUc≥（2一√2）αc,
当且仅当α＝c时等号成立’即3b≥（2ˉ徊）αc’
所以上≥2一但
αC
〕
~
~
’即皿的最小值为l6（2—徊）
αC
3
l6（2ˉ徊）
所以皿≥
αC
故选A,
3.D
‖
句
｀
＝
0
试题解答:由余弦定理有2αbcosC＝α2＋b2ˉc2’2bcosC＝
｜
2α＋c＝2αbcosC＝2α2＋αc’则有α2＋b2—c2＝2α2＋αc＝b2＝
｜
α2＋召＋αc’又b2＝α2＋c2-2αccosB’
所以″＝—2…B,所以…二—＋B-芋故选n
』
4.C
试题解答:因为（α2＋b2ˉc2）
。（αcosB＋bcosA）＝αbc’所
｜
以2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinC,
所以2cOSC＝‖ ,C＝号’C2＝α2＋b2ˉ2.bc。sC＝（α＋b）2—
｝
3αb≥（叶b）』—3（宁）:＝（α＋』）』
4
’当且仅当α＝b时取
｜
等号’所以（α＋b）2≤4c2＝l6’α＋b≤4’因为α＋b＞c＝2’
｜
所以α＋b＋c巨（4’6］.故选C.
5.C
试题解答:因为（α＋b）（slnAˉsinB）＝（cˉ6）sinC,
所以（α＋b）（α-b）≡（C-b）c,即b2＋C2-α2＝bc,
所以cosA＝b2＋c2-α2
bc
l
二二—二≡—
2bc
2bc
2
’
‖
因为A匡（0,硕）’所以A＝号
故选C.
6。C
试题解答:因为cos（A＋B）≡——
cosB
2α＋b’
所以ˉ旦g邑ˉcˉ—-
cosB
2α＋b·
sinC
所以根据而弦定理可得ˉ些二
cosB
2sinA＋sinB,
即-2sinAcosC≡sinA
l
因为sinA≠0,所以cosC＝- 2
因为c匡（0,丽）,所以‘二芋
因为△ABC的面积为何’
所以s△蛔c＝＋αb恿｜nc二徊.即αb＝4
因为cosC≡α2＋b2-c2
l
≡＝—
2αb
2
’
242
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令｜AFl
｜＝3 ｜FlB｜＝3肌（m＞0）’由双曲线的定义可得
｜
打3
（2 ,2）
所以b＋c的范围为
｜BF2
｜＝2α＋m, ｜AF2
｜＝2α＋3矾.
在△F2AB中’由余弦定理得,
何3
（2 ,2）
故答案为
（4′n）2＝（2α＋′n）2＋（2α＋3矾）2ˉ2×（2α＋m）×（2α＋
!
〕刚）×÷,整理得3咖2—…α』＝0,
｜l虱而
解得哪＝α或测＝＿＋,（舍去）
试题解答闲为船＋瞒
所以｜AB｜＝4α’ ｜BF2
｜＝3α’ ｜AFh｜＝5α,
＝tanCsinAcosB＋cosAsjnB＝tanOsin（A十B1＝
smAsmB
smAsinB
所以△F2AB为直角三角形,且乙ABF2＝90°.
sin2C
c2
在Rt△F1BF2中, ｜FlB｜2＋｜BF2 ｜2＝｜F1F2 ｜2’
＝—＿
sinAsinBcosC
αbcosC.
即α2＋（3α）2＝（2C）2,
由α2＋b2≡20l7c2得c2＋2αbcosC＝20l7c2外
7
≈
所以e2≡二≡〕
所以…C二｜008‘』,因此器十器＿耐
α2
2
’
所以′二平.即该蚁曲线＂离…织故选Ⅸ
斌题分析:毙化简黑带器.并根撼正…化边,最
l3.工
后根据余弦定理化α2＋b2二2017c2得结果.
9
＿
｝
16. ˉ上工△△旦
试题解答;闲为;＝‖＋2…,所以糕＝l＋2…
4
l6
试题解答:由题意’根据正弦定理得’α:b:c＝2:3:4’设α＝
所以爵m!融C）＝｜十2…
2M-弥,‘二咖,
根据余弦得’cosC≡（2l）2＋（3t）2ˉ（4r）2
1
所以sjnCcosB-sinBcosC＝sinB.
＝-—.
2°2t °3t
4,
所以sjn（CˉB）＝sinB.
由Bc＝l则“-;,又臭mc＝√
‘
,
所以C—B＝B’C＝2R
闲为…＝÷｀所以…-侧°舅2‘-…:‘ˉ1二2×▲｜
9
｜
根据三角形面积公式得s…÷×l×之×但ˉ1＿但
2
4
16
·
1
-l＝-
9.
试题分析:由正弦定理得α:6: c＝2:3:4’设α＝2′’b＝3t’
所以;二l＿旦—7
′＝4《,利尉余弦定理能求出…;当〃c≡l时,“二÷,
9
9.
根据△ABC的面积公式可求出结果.
试题分析;先根据正弦定理将条件;＝l＋2cosC化为角
｜
49数列通项
勺
的关系’再根据COsB＝÷,求出coSC》代入即得结果
‖
LD
（?, ;）
削
试题解幽为刨…＿2√质丙＝…｜,所以“…二烯＋
l4
‖
1＋2√αn＋2,
试题解答;△ABC中’因为b2＋c2ˉα2＝bc’所以cosA＝
｜
即α″＋1＋2＝α腮＋2＋2√∏万可＋l’
b2＋C2—α2
1
2b6—＝丁’
｛
所以（√α厕＋l＋2）2＝（√顶∏ˉ干页＋1）2’
断以剧≡÷.…～芋圃砸碗≥0所以△蟹为｝憋磷墨孵ˉ｜故｝√雨了页｝晨以』…｜
钝角
‖
所以√而∏ˉ干页＝3＋（厕—l）×1＝″＋2’
阀为侧-亨.…定理可得盂二｜-＿Lˉ
.mB戒,所以
｜
所以α腮＝厕2＋4厕＋2,所以α30＝l022
｜
故选D
』知二圈hl…nc二爵i…jn（午＿B）-舅mB粤…＋
｝
试题分析;构趁‘…2—α.＋2＋2√丽了百＋!,卵
｜
（√α厕＋l＋2）2＝（√∏而ˉ干页＋1）2’从而得到｛α″｝的通项公
←m〃-÷慧mB粤…-任in（‘号）』
｜
式｀…愈…
阂为圆匡（罢,芋）所以E滑霍（芋￥）｀
｜2食题解答‘广2＂ˉ1｀s腮—!ˉ2＂＿3, （＂＝2）｀两式徽羞得
所以鼠m（〃滑）鲁（÷｀粤）,
｜弛瓦2检验鹏～］时醚!≡｜,故陶＂;ˉ2
.243
.
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试题分析:根据题意可以得到Snˉl ＝2n-3, （＂≥2）’两式
做差即可得到通项公式’发现数列是常数列’即可得到每
一项.
3.C
试题解答:由题意得gⅡ上上—丝＝ln（川＋l）ˉlnⅦ,n分别用
n＋l
∏
l,2’3,…,（Ⅶ—l）代替’累加得丝ˉ红＝lnn—lnl＝ln′l,
川
l
丝＝2＋ln″’所以α＂≡（ln″＋2）＂.故选C.
门
4A
…答;｀／鸟羔」ˉ半～√鸣二1 2（l0;—｜）
目二
√（｜0÷｜）2≡｜0;＿］-锣故选＾
5.B
l
2
试题解答:令n＝1’则αl＝丁αl＋丁’αl＝l’代人选项’排
l
,
除A’D选项令″＝2,则α1 ＋α2＝丁α2＋;’解得α2＝
ˉ÷,排除c选项故选B
全
6.A
试题解答:因为α几＋1ˉαn＝厕＋l’
αn-αn-l＝川-l＋l,
｛铡;芒｜彬
成首项为l’公差为l的等差数列’所从
｜
则数列
α几
—＝n9
αn-l
所以α＂＝α1×—×—×…×—g尘＝l×2×3×4×…×′l
α2
α3
α1
α2
α∏-l
＂.坦～｜则敝列｛岩｝构…为3公
同理可得J而＝丁ˉb″ˉ2
bn
差为l的等差数列’所以J百＝″＋2’
可得b厂胸Ⅵ渊瓦×…命-……×（叶2卜
62
b3
所以器号敝棚｛;—竿故选Ⅱ
9.A
试题解答:由题意,3S″＝2αn一3几,3S″＋l≡2αn＋l-3（几＋l
）
’
两式作差可得,3α″＋l＝2α″＋lˉ2α″—3,即αn＋l＝—2α＂ˉ
3,α厕＋l十l＝-2（α＂＋l）
’
结合3Sl＝2αl—3＝3αl ’可得αI＝ˉ3’α1＋l＝ˉ2’
则数列｛α″＋l｝是首项为—2’公比为—2的等比数列’
｜
据此有α20l8＋l＝（ˉ2）×（ˉ2）20l7＝220｜8’
｛
所以α2018＝220l8—l.
｜
故选A.
｛
l0.A
｜
试题解答;数列｛α＂｝的前＂项和S＂＝＂2＋2″’S＂ˉ!＝＂2-
‖
l ,两式作差得到αn＝2厕＋L
‖
‖
~
~
‖
α2-α1＝1＋l ,
｜
‰九门2鹏山｜但鹏可÷｜六六｜
（l＋则）n＋n,
累加得αn＋l—α1＝
2
｜
裂项求和得剑＋（＋＿÷＋…＋古—古）-÷
′l（′l＋l）
即α厕＝厕（′!ˉl1＋″＝
2
’
2
｜
故选A.
去二2（÷—六）,
｛
｜l＂
｜
试题解答;已知6S＂＝α升＋3α＂（″巨N＊
）’6s＂＿｜＝α刊—｜
＋
l
l
l
｜
3α厕ˉ!（＂巨N＊）’两式做差得α烈ˉα＂ˉ｜＝3｀故数列是等差
—-＋--＋·
· .＋一---
α1
α2
α20l7
＝2x｜（l—÷）＋（十＿＋）＋…＋（赤ˉ亦）｜
｜
数列,由等差数列的通项公式得侧＂＝』＂,故b″ -
｜
“｀—｜｜（雕川÷（六;士｜）…霖＂
＝2×（l＿亦）＝揣
』｜
得』鹏-＋（＋ˉs鹏士!）-为ˉ＋×8士｜,由条件
故选A.
7.B
｜
试题解答;令b卿＝″α卿’则2b网＝b鹏ˉ］＋b叶』’所以｛b＂｝为等
｜
A＞T″恒成立,得到人的最小值为有
差数列,
｜
故选B.
因为b1＝l,b2＝4’所以公差Ⅲ＝3,
｝
l2D
则b＂≡3Ⅶ-2’所以bl8＝52,
｜
试题解答:根据题意’由l1±ˉ1＝丝＋2′』’得』L±ˉ1ˉ丛＝2＂
’
α几＋l
α几
即l8α!＂二52,所以侧』＂二普故选凰
α∏＋l
α『l
｜
则旦ˉ旦二1＝2＂＿｜’!1二上坠二2＝2＂ˉ2’…’旦ˉ上＝2（
8.D
αn
αn-l
αn-l
α″ˉ2
α2
αl
试题解答:由α厕＝α″ˉ｜＋α:＿l ’两边同除α厕ˉl ’可得—g尘＝
｜
将各式相加得丛ˉ上＝2｜＋22＋…＋2厕ˉl＝2″ˉ2’又α
＝
α几-2
α几-1
‖
αⅦ
α1
｜＋g坚二上,即α″
ˉα撼ˉ｜≡｜,
』
＋,所以α＂＝″7’
α∏＝2
α几-1
α几-2
.244.
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闪此‘＂＂-｜×←:剿尹叶｜00樊上
; 2＾
2100’
｜
试题解答:因为函数∧卿）满足∧则）＝ˉ∧4ˉ卯）’
则＋NⅧ＂-｜×士＋2×尹…＋9,料志带!00×＿L
｛
所以函数∧蜒）的阎象关了点（2’0）对称
210l.
勺
｜
由题得g（躯）＋g（4ˉ卿）二六＋爵m（÷—l）＋4ˉ鞭＿2
＋
两式相减得＋s｜＂-÷＋去＋去＋…＋大＿l00×上｝
2l0l
,
｜
｜
“＂（宁—l）-古＋爵in（苛—l）＋六＋鼠i＂（l—÷）＝α
▲
～
▲
所以s!＂＝2—（÷）,,—l00（÷）｜＂0-2ˉ旦
299.
｛
所以函数g（卯）的图象关于点（2’0）对称’
故选D.
‖
所以函数／（卯）与函数g（卿）的图象的交点（卯l ’yl ）
’ （卯2,
l3.√则2＋l—］
｜
γ2）’（卯3’y3）’…’ （卯″＿｜’γ″—l
）
, （”n’y″）关于点（2’0）对
｜
称’满足卯l＋绷厕＝2×2＝4,绷2＋″厕ˉl＝2×2二4’ . . .
’
试题解答;因为—上＝旦叶l＋S″＋2
2＂刊
.α删刊≡s厕辨」ˉs厕,
｝
由题得昌躯』二…2＋…＋腮鹏,
见
α∏＋l
所以（S″＋l ＋l）2-（S＂＋l）2＝2＂＋1
’
＂
所以（sⅧ＋l）2-（2″＿l）＋（2″＿］）＋…＋3＋（α｜＋｜）2
｜
所以…鹏—｜＋…个鞭!＝』鸟躯〃
n
｜
所以2鸟呐＝4＋4＋…＋4＝4厕’所以驴＝2″故选A.
几
（n-l）（2几—l＋3）＋2≡厕2＋l,
＝＝
2
｜
试题分析:先由题意得函数／（卿）的图象关于点（2’0）对称’
S厕＞0’所以Sn＝√向2＋1ˉl ’故答案为√n2＋1—I.
｝
再得到函数g（卯）的图象关于点（2’0）对称,最后得到函数
试题分析:将α厕十［＝S厕＋lˉS″与已知等式相结合化简可
｜
／（则）与函数g（匆）的图象的交点（厕l ’γl ）
’ （则2’y2）
’ （“3,
得（S″＋｜＋l）2ˉ（S厕＋l）2＝2n＋l’利用累加求和方法可
｜
y3）’…’（″厕ˉl ’γ厕ˉl）,（卯＂’γ″）满足″l＋则＂＝2×2＝4’绷2＋
得最后结果.
｛
匆＂ˉl＝2×2＝4’…’最后求昌卯《的值.
见
l42n＋2
‖
3。D
试题解答当＂～］时』侧『三s｜—4当″＝2时｀圈·-s腿ˉ
｜
试题解答;由∧鞭）-…碧｀可知碧＞0』
S厕ˉ1＝厕2＋3厕—［（″ˉ1）2＋3（″ˉl）］＝2″＋2’而α1≡4
｜
也满足此式,所以α″＝2n＋2（n巨N＊）.
｜
解得ˉ2＜卿＜8.
｜
｛∧α厕）｝中ˉ2＜α＂＜8’又α厕＝厕ˉ2’
l5. -6
……旦揣＿…岳＿＋…｜照!口」共｜二莹……｜≡＾
lˉ上
l＋上
2
1
｜
且有∧3）＝3.
哼了,雌～己≡2所以徽5～.｜ˉ2,所以墩列｛叫｝
数歹』｜Ⅱ（叫｜摘备项之删为′（徽!）辨／（陶…Ⅱ（磁,）ˉ
3
｜
／（—l）＋／（0）＋…＋／（7）
是周期数列’且周期为4’αlα2α3α4＝α5α6α7α8＝…＝α2005
｜
＝［／（ˉl）＋／（7）］＋［／（0）＋／（6）］＋［／（l）＋／（5）］＋
α2006α2007α2003＝l’而α2009α20｜0＝α｜α2＝2×（ˉ3）＝
｜
［／（2）＋／（4）］＋／（3）＝4×6＋3＝2讥
—6’所以α1
。α2 .α3 ·…·α20l0＝-6.
｜
故选D.
l6.4
｜
4.B
试题解答;由题意,α］＝α2＝2’且α腿李2是α＂α叶｜的个位数
｜
试题解答;根据题意得αn刊ˉ2α＂＝2＂襟1 ’α｜＝2,
字’所以α3＝αl .α2＝4’α4＝8’α5＝2’α6＝6’α7＝2’α8＝
｜
2,＝,所以根据以上的规榨看出数列构成ˉ个周期为6的
｜
所以舞ˉ嘉＝1’
数列,因为27＝4×6＋3,所以α27＝α3≡4,
削
所以数列借｝表示曹项为｜.公差d-］＂筹羞数列,
故答案为4
所以丝≡l＋（″ˉl）＝″,所以α厕＝′0 .2厕’
2′!
所以Sn＝l×2l ＋2×22＋3×23＋…＋刃。2′l’
所以2S′』＝l×22＋2×23＋3×24＋…＋″·2′!＋l
’
所以-S厕＝2＋22＋23＋24…＋2网—∏.2′!＋1
2（l-2厕）-n。2″＋I ≡—2＋2n＋1ˉ′! 。2″＋l
’
三＝
1-2
≡-2＋（l—n）2′!＋1
,
50
数列求和
l.B
试题解答:由正项等比数列｛α″｝中’可得αlα20l7＝α2α2016
｜
l
2
＝≡α｜＂』α10｜0ˉ丽-“1＂,解得α｜＂,＝市则lgα!＋
｝
lgα2＋…＋lgα2017＝lg（α1009）20l7＝20l7×（-l）＝-20l7.
故选B.
245
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所以Sn≡（nˉl）2＂＋1＋2,S33＝（33ˉ1）233＋］＋2＝239＋
2.故选B.
试题分析;由α砷｜ˉ2感＂二2叶｜可得器ˉ祟二｜.从涌得
｜片十方…带六｜-｜｜＿20l耘l｜二α
所以
故选C.
试题分析:由等差定义可得αn＋1—αn＝2∏↓＋2’利用累加去
l
可得α″＝＂（n＋l）’进而利用裂项相消法可得上＋—＋. .
＋
αl
α2
l
l
—＝lˉ而ˉ下T’结合新定义可得结果.
α∏
D
试题解答:因为α2＂＋α2厕ˉ1 ＝2’所以Sl＂＝（αl＋α2）＋（α3＋
α4）＋…＋（α99＋αl＂）＝2×50＝1＂故选D
D
试题解答:设bn＝3α″＋′lˉ7’则S2n＝bl ＋b2＋63＋…＋
｜｜—（当「乱］ˉ（出）硫｜｜＾′ ｜…］＋…｛
贝
-q
＋（l＋2＋3＋. .
~
~
~
~
数,｜｜｛祟｝表示首项为1,公篷d三1钩籍…｜.求得凰鹏-
｜
可得α厂＂（叶｜）｝…陶…晌…—＋—带」
αl
α2
｜
上二l—六,缝合新庭义可得缝采
几.2″’再根据错位相减法即可得结果.
｜
αn
5.D
｜
8.D
试题解答:当q＝l时’不成立;当q≠1时’
｜
试题解答:因为α2＂＋α2鹏ˉl ＝2’所以Sl＂＝（αl＋α2）＋（α
αl（lˉq3）＝7’
｜
α4）＋…＋（α99＋αl00）＝2×50＝100.故选D
｝‖）苛｝ˉ鹊…,蒜☆忠螺憾.ˉ
｜,息………厂…〕
｝
｀≡』~｜—（十）~÷｜｜（＋′「
2’则αl＝l’所以αn＝2＂—l ’所以″.α厕＝则.2nˉ! ,则数列
｜
｛″α厕｝的前厕项和为
＋
l＿÷
lˉ÷
ˉ
T＂＝l＋2.2＋3 °22＋…＋几°2nˉl
’
｜
2＂）—l4＂-9｜lˉ（告）＂｜＋2＂』—l3＂,又2″』ˉl3』
2T厕＝l 。2＋2。22＋…＋（n-l）。2nˉ1＋∏。2厕’
阔武…ˉ′腮二……渺ˉ…＂ˉ臀｜
2卜ˉ子）』ˉ乎
-几·2则≡（l-n）.2＂-1
,
｜
｀
所以T厕二l＋（〃ˉl》2＂故选u
｜
冯＂≥4时’因为2（＂ˉ子）2—宁是关干＂的增函数
6.B
试题………硼呵以求得.腮～｛耀亏｜,所｜
,｜!＿（÷门也是关于鹏的增函数,惭…川…
以有圃｜三硒…剑～｜…2根据…鼠—2成等羞数｜
因为s腻＝譬｀s雨≡宁》鞠～ˉ￥｀s2≡号〕
列,可得腮＋4＋32ˉ2二32,从而求得腮二—2,所以侧｜二2满足
｜
所以s‘＜5嚼＜5』≤H2』所以5·最小』sb≡芋故选Ⅱ
α＂＝2″’从而求得α＂
＝2＂（″巨N＊）’所以b＂
＝
｜
｛
l0.A
1
l
阿＿1）（·州ˉ1）
（2徽＿l）｝i州ˉ］）
”ˉ!
哪刊ˉ｜,
‖
试题解答;由题意可得
l
所以′鹏＝l—＋＋＋—＋＋＋ˉ吉＋…＋＿—
｜
当偷二｜时,2＂—｜≤鹏≤2｜—l ,即＂＝l,则α鹏二丁,
l
2n—1
｜
｜
所以s｜＝＋;
l
1
20l7
2砷］ˉl
2厕士l,令lˉ2叶」＿l＞而F
≡1-
｜
当内＝2时’2l—l＜＂≤22ˉl ’即l＜″≤2｜’″巨N＊
’
整理得2腮＋1＞2019,解得n≥l0.故选B
试题分析;首先根撼题中所籍的｜侧＂｝的前＂项和s厕,利用
｜
则α＂＝÷,所以S;—S!二÷＋÷＝l;
▲
数列项与和的关系,求得通项公式,再利用α1 ,α4’α5-2成
｛
｜
当k≡3时,22—l＜＂≤23ˉl’即3＜Ⅶ≤7′ ’n巨N＊
’
等差数列’求得m＝-2,再进一步化简αn’之后代入题中式
｜
q
Q
子求得b慰’在求和时应以裂项相消法,之后求得＂所满足的
｜
则α＂-;,所以s’＿s』＝4×～一
8
2
,
条件,最后确定出n的最小值.
｜
当内＝4时’23—l＜″≤24ˉl’即7＜厕≤l5’″巨N＊
’
试题解答; ｛α叶! ＿α鹏｝是以4为首项,2为公差的等差
｝
则α鹏＝＋｀所以s!’—s’二8×÷二2;
数列’
｜
当∧＝5时’24ˉl＜厕≤25ˉl’即l5＜″≤3l’厕匡N＊
’
故α厕十l—αn≡4＋2（Ⅶ-1）＝2n＋2,
｜
则侧厂÷’所以S』｜＿s!,＝l6×÷＝÷
故‘l2-α1＝4’α3-α2＝6’α4—α3＝8,…,α厕ˉαnˉl＝2〃’
!
以上＂ˉl个式子相加可得α＂ˉαl ＝4＋6＋…＋2厕＝
｜
当∧＝6时’25ˉl＜″≤26ˉl’即3l＜″≤63’n匡N＊
’
｜
则α＂二壶,所以s铜—s铡-32×壶-3,
（nˉl）（4＋2n）’解得α网＝Ⅶ（n＋l）,
2
所以去＝÷击′所以上＋上＋＝带片-（』＿÷）＋
｜
则‘』｜-÷带｜号带2÷等,
αl
α2
（＋＿十卜＋（÷—击）二l＿六｀
｜
设庄第32项到第63项中,则有咖项的利为咖×壶＝
哩＂］l＿÷
lˉ÷｝
▲
～
』＂）—l4＂-9｜lˉ（告）＂｜＋2＂』—l3＂,又2′Ⅱ』ˉl3＂
设庄第32项到第63项中,则有咖项的利为＂』×壶＝
＝
』（＂—子）2ˉ型
8
,
洲＂≥4时’因为2（＂ˉ子）2—宁是关干＂的增函数,义
）「lˉ（＝）＂｜也是关于＂的增函数’所以S8＜Sl0＜Sl2＜…’
粥.
246
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令警＞:解得腮＞乎,所以使得s＂＞l0时’＂＞58,
所以网的最小值为59.故选A·
试题分析:根据题意’分别得到各段上数列的通项公式及
｝
和的值’进而求得S＂＞l0时刚的范围’即可求得″的最
｜
小值·
l1.B
试题解答:由题得α2ˉαl≥2,α3ˉα2≥2,α4ˉα3≥2’…,
｜
α厕-αnˉl≥2,
~
所以α2-αl ＋α3—α2＋α4-α3＋…＋α″-α厕ˉl≥2（′l—
｜
1）,所以α″—αl≥2（Ⅶ-l）,所以α＂≥2″-1
所以αl≥l ’α2≥3,α3≥5’…’αn≥2川-l,
所以αl ＋α2＋α3＋…＋αn≥l＋3＋5＋…＋2＂-l
’
所以s″≥÷（l＋2〃ˉl）＝厕2故选B
12。A
试题解答:令／（绷）＝sin2毗—cos″聪＝
2…（…鸳＿÷）≡0得c＂…二0,o或割n″鳃二÷｀@｜
由@得砸＝子＋肺（附匡z）,令0≤÷＋航≤＂而’得ˉ＋≤
》
≈
l
附≤″ˉ÷｀故@共有＂个解,
由嚼得″见二÷＋2肺或￥＋2肺（R匡z）,
令0≤晋＋2肺≤鹏w得—古≤k≤÷—古』翻
令0≤干＋2肺≤呵’得—舌≤您≤÷ˉ÷’翻
当″为偶数时,o有:个解,@有÷个解’故@有″个解,
｜
故α″＝2网.
当＂为奇数时,o有半个解’@有宁个解,故@有厕＋｜
‖
～
个解’故α厕＝2n＋L
令b厕＝α2″ˉI＋α2″＝2（2″ˉl）＋l＋2（2″）＝8nˉl.
l0×（6l＋bl0）
｜
故αl＋α2＋…＋α20＝bl ＋b2＋…＋b］0＝
＝
｛
2
43O故选A.
l3.27
试题解答:设α″＝2片’则S″＝［（2×lˉ1）＋（2×2ˉl）＋
｜
. . .＋（2.2k—｜ˉl）］＋［2＋22＋…＋2k］＝
2膝ˉ｜（l＋2×2臆—!＿l1＋乙（｛二;腑）＝2泌—2＋2剐—2
2
由S厕＞12α″＋l得22服ˉ2＋2岭｜ˉ2＞l2（2胀＋l）,（2临ˉl）2ˉ
｜
20（2Rˉl）-14＞0,2kˉl≥25’A≥6.
所以只需研究25＜αn＜26是否有满足条件的解’
此时S″＝［（2×lˉl）＋（2×2ˉl）＋…＋（2肌ˉl）］＋［2＋
｛
22＋…＋25］＝咖2＋25刊ˉ2’α＂刊二2咖刊,砸为等差数列项｜
数,且m＞l6
昏
由m2＋25＋1—2＞l2（2加＋1）,′′l2-24m＋50＞0,
所以′n≥22’几≡m＋5≥27
得满足条件的″最小值为27.
试题分析:先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定
满足条件的项数的取值范围’再列不等式求满足条件的项
数的最小值.
l4。几.2几
试题解答』由侧州-器得病ˉ器命÷〕
所以数列仕｝晨以贪二｜为首项以昔为公羞的筹差
数列’
所以为＝宁即‘腮二竿”＝（叶｜）″ˉ｜
』
记S″＝C1＋C2＋C3＋…＋C″’则
S″＝2。20＋3 。2］＋4·22＋…＋（n＋1）.2＂ˉl ,式子两
边都乘以2得
2S″＝2。21＋3 .22＋4。23＋…十（n＋l）.2″’两式相
减得:
—S″＝2＋21＋22＋…＋2″ˉ1＿（n＋l）·2则≡2″-（Ⅲ＋
l）.2″≡-〃.2厕.
所以S厕＝n。2″,故答案为n。2″,
试题分析;霄先从题中蹄绘输邀推公式推出敷列｛六｝戍
等…｜利阀等篷数列输遍项公式求喘三宁,代入
题中的条件’可以求得c″＝（″＋l）.2″—1 ’可以发现｛c＂｝
是由一个等差数列和一个等比数列对应项积所构成的新
数列,用错位相减法求和即可得结果.
20l1
l5 2012
试题解答:每个边有″个点把每个边的点数相加得3″’这
样角上的点数被重复计算了＿次’故第厕个图形的点数为
3网ˉ3’即α厕＝3″ˉ3,令S＂＝-坠＋＿坠＋-坠＋…＋
α2α3
α3α4
α4α5
9
1
l
l
20u×20l2-lˉ昔＋
α20l2α20l3＝i—刀＋】ˉ;刁＋. . .＋
1
l
l
l
20ll
丁ˉ丁＋. . .】ˉ6∏ˉ而∏＝】ˉ6Ir
故答案为揣
试题分析:根据图象的规律可得出通项公式αn’根据数列
的特点可用列项法求其前′′项和的公式’ 丫历＿9—＋＿坠＋
α2α3
α3α4
9
9
是前20l1项的和’代入前″项和公
---＿＋· .·＋
α4α5
α2012α2013
式即可得到答案.
16.
4∏
4′〗＋l
试题解答:因为α!α2 .….α″＝2′』＋l◎
当几＝1时,αl＝3;
当Ⅶ≥2时’αlα2
.
. . . 。α″ˉ1＝2＂ˉl’@
2′0＋l
, 。
o@两式相除得α′!＝万ˉ＝了’
247
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当″＝1时’αl＝3适合上式.
｝
所以αb叶｜＝αl＋3（b″＋lˉl）
’
所以“＂二铝,
』
因为｜b′』｜是公筹为5的等差数列,
｜
因此αb＂＋｛-αb＂＝α1 ＋3（b″＋l -］）-αl -3（b厕—l）
二
…｛ˉM｝｝揣;」≡｝ˉM｝剿≡
｝,｝k广…
（ˉ｜）叶｜（六＋六）
｜
试题解答数列｜α鹏｝满足…-9S铡. , （＂匡N＊）｀叮｜′
｝
αn＋1＝αn＋2’
毗-（l＋＋）—（＋＋÷）＋（÷＋＋）—（＋＋;）＋…＋
｜
所以数列｜魁＂｝是等差数列,公差为勋-2｀
｜
α§＋α7＋α9＝α2＋α4＋α6＋9d＝9＋｜8＝27｀
4几
（壶＋六）—（六＋六）二lˉ六—J7耳I
｜
所以log＋（α5＋α7＋α9）＝log÷27＝ˉ3.故选B.
｜
试题分析;利用已知条件判断数列｛α厕｝是等差数列’求出
故答案为J舞T
｜
公差’利用等差数列的性质化简求解即可.
试题分析:由数列的递椎公式即可求出通项公式’再裂项
｜
6.D
相消求出答案
｜
试题解答由鹏＂～｜5｀…耐,可腮｛躺二｜:｜带2M｀
5l
等差数列（1）
｜
娜得｛;｜互u｀
l.B
α8＝αl ＋7d＝ˉl2＋2l＝｜9ˉ故选∏
试题解答;S2＝S7＝α1＝ˉ4〃’S6＝Sk＝k2ˉ9k＋l8＝0’解
｜
试题分析;由αl0＝l5’S2＝S7’列出关于首项α｜、公差α的
得片＝3或∧≡6（舍去）,故选B.
｜
方程组’解方程纽可得αl与Ⅲ的值’从而可得结果.
2.B
｜
7.B
试题解答:设｛α＂｝的公比为q（q＞0’q≠l）
’
｜
试题解答:设公差为〃’由α3＝9’α5＝l7’
根据题意可知α3＝α2＋αl ,得q2-q—l＝0’
《
腮｛:｝瞄）｀解得剑≡｜.』ˉ4所以陶～咖ˉ’,
解得,-早,而糕十午故选＂
l
试题分析;首先设｜α慰｝的公比为q（『＞0’,≠l）,根据题意』
｜
故s腮＝｜＋÷＋;护…＋J7『二了,
l
缝合凰2’÷“』’α｜咸等羞数列的条件列出籍量关系式,求得
｜
令b鹏二s…—s腮＝J六I＋…＋丽干T,
｜
则b叶｜
—
b＂
-
｜死刊）＋｜
公比『二早,漏…斜二上,代入化简求…
半…带i（＂＋｜｜〉可｜
ˉ
α4＋α5
q
｜
｜六带…＋雨｜-志＋冲南＜0,
3.D
试题解答:因为α1＞0,S50＝0’
｜
所以｜b厕｜足递减数列,所以b｜最大.最大值为÷＋;-鹊,
所以等差数列｛α厕｝的公差肌＜0’
50（α1＋α50）＝25（α25＋α26）＝0’
｜
所以根据题意s啪｜＿月鹏≤器,
且S50＝
2
则α25＞0,α26＜0,且｜α25
｜≡｜α26
｜
,
｜
所喘≤汾,刚≥等,
由b″＝α″α″＋lα″＋2（′l巨N＊）
,
知从bl到b23的值都大于零’″＝23时T厕达到最大’
｜
所以m的最小值为4.故选B.
而α24＋α27＝0’所以b24与b25的绝对值相等’符号相反’相
｜
试题分析:设公差为Ⅲ’由α3＝9’α5＝l7’可得关于αl ’Ⅲ的丁
｜
程组’解…｜′‘,从而得到侧厕,s2腿锥｜ˉs厕≤揣（鹏匡z）,靖壬
加为零,
所以赐3＝Z5’之后T＂越来越小,
所以数列｛b鹏｝的前″项和r侧取得最大值时’″的值为23’
｜
意的＂巨N＊成立’等价于（S2时! —S厕）…≤揣.令b＂＝
25.故选D.
｜
S2＂令l—S″’通过作差可判断｛b厕｝的单调性’根据单调性即
试题分析:由αl＞0,S50＝0得到等差数列｛α厕｝的公差d＜
｜
｜
可得到b″的最大值,从而可得结果。
0’且α25＞0’α26＜0, ｜α25
｜＝｜α26
｜’结合b″＝α＂α＂刊α…｜8D
（n巨N＊）知从bl到b23的值都大于零’″＝23时T″达到最
｜
试题解答:因为α3＋α4＋α｜l＝l8,
大且Tb5＝Tb3.
｜
所以可得3α｜＋l5〃＝l8＝αl＋5〃二6’
4.A
｜
所以Sll＝ll（αl＋5〃）＝ll×6＝66.故选D.
试题解答:因为数列｛α厕｝是公差为3的等差数列,
｜
试题分析:由α3＋α4＋α｜｜＝l8’可得αl＋5〃＝6’化简Sl｜
二
所以αb＂＝α1＋3（b＂—l）
’
｛
ll（αl ＋5d）,即可得结果.
.248°
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9。C
｜
试题解答:由题意可得:α2＋α］＝—l’α4＋α3＝ˉ3’α6＋
试题解答;由已知得’α鹏＝S腮ˉS咖ˉ1＝2’α咖＋］＝S砸蒂｜ˉS腮＝
｜
α5＝ˉ5’…’α20Ⅷ＋α20l7＝ˉ20l7’
3’因为数列｛α厕｝为等差数列’所以〃＝α哪＋l ˉα厕＝1’又因为
｜
则数列｜α″ ｝的前20l8项的和为ˉlˉ3ˉ…ˉ20l7＝
m（αl＋αm）
l＋20l7×l009＝ˉ10l808l.故答案为—l0l808l·
S砸＝
＝0,所以m（αl ＋2）＝0’因为加≠0,所以
｜
2
2
｛
试题分析:由题意结合数列的特征将原问题转化为等差数
αl ＝—2’又α砸＝α1＋（m-l）〃＝2’解得m＝5ˉ故选C.
｜
列前n项和的问题’然后计算前″项和即可.
l0.D
｜
15.兰
试题解答:由差数列的性质可得α｜＋α9＝α3＋α7＝2α5
’
｜
2
故αl＋α3＋α5＋α7＋α9＝5α5＝l50’
｜
试题解答;脚为s2＂＂-6051’所以平（娜｜…＂＂）-
故α5＝30.
｛
605l,所以αl＋α2017≡6’所以α4＋α2014＝6
故选Dˉ
试题分析;榷撼等菱数列输』隆臆可得感｜………-
｝
所以贪十六-÷（…2＂叫）（为十六）-
5α5,可求α5的值
÷（5瑞锥等）≡÷（…）÷
ll.A
试题解答;山题得g（α｜）＋霞（“,）-0’即∧α｜ˉ5）＋／（铡,—
｜
当且仅打侧』-2,鹏』＂叫＝4时取等号故答案为÷
;聪翼撇赌零洲:｛虫撇j丁
｝
斌题分…筒:M厂‘……叫～‘,爵铡＂
｜
等差数列的性质和基本不等式求上＋—尘的最小值.
α5＝40＋5＝45.故选A,
α4
α2014
试题分析:根据函数γ＝∧绷）为定义域R上的奇函数’在R
｜
｜
m侧鹏二3″—÷
上是单调函数’g（α1 ）＋g（α9）＝0,即／（α1 ˉ5）＋／（α9-
｜
5）＝0得αl＋α9＝l0’再结合等差数列性质即可得结论·
｜
试题解答:由S＂＝p＂2ˉ2n’″巨N＊可知’
l2D
｜
当n＝l时’αl＝pˉ2’
试题解答;设等差数列｛α厕｝的首项为α｜’公差为‘’由前9
｜
当＂≥2时’α则＝S厕ˉS鹏ˉ］＝2pnˉpˉ2’
』
α1＝pˉ2符合上式,
项和为45｀可得s,-9侧｜＋竿d＝蝎,所以α｜＋“＝5,侧｜-
｜
所以对任意的＂巨N｀均有“Ⅷ-2′＂ˉ′ˉ2则α叶｜—α＂＝
5ˉ4叭α＂＝5ˉ4‘＋（″ˉl）α＝″i＋5ˉ5Ⅲ’b″＝
｜
2p’
｜
所以数列｛α厕｝是公差为2p的等差数列α2＝3p-2’bl
＝
帅—｛）…污六瞩要…小则｛蛾!』:～
;
…～′ˉ1
α…—竿则b』—b!二罕—（′—2）＝2,得
弓＿刃＋六,b］＝弓＿页刁＋六,则二六＋六,可
｜
b』＝l＋2
l
l
1
验诅～÷〃÷感≡｜删挪育｛!至;j成咖啊当耐≡
｜
｝
所以数列｜侧Ⅷ｝的逾项公式为侧＂＝＋（＂—l）×3＝3＂
＋时,b＂＞b:,所以b］不是最小值所以｜α硼｝的公差不能
｜
ˉ＋故答案为α鹏＝3″—÷
足＋故选n
｜
试题分析:由S厕＝p＂2ˉ2厕’厕巨N＊’求得数列｛α＂｝是公差
｜虱—全
｝
2′的等菱数列,再求得α｜＝ˉ＋,利周等菱数列的通项公
3
试题解答:设等差数列｛αn｝的公差为〃’
｛
式,即可求解.
因为s割-＿斗,所以4侧!＋6‘＝ˉ山
52
等差数列（2）
3
因为2αl＋α2＝l ,所以3α1＋d＝L
｜
l.D
｜
试题解答:根据题意可得该数列是以3为首项’2为公差的
解得α｜＝÷’d＝—l.
｜
等差数列,其巾项数为4＂＋3＋｜＝2″—L
故侧＂-÷№
｜
所以3＋5＋7＋…＋（4″ˉl）＝（3＋4厕ˉl）（2″ˉl）＝4厕2ˉl.
2
则α』＝ˉ÷故答案为—÷
｜
故选u
l4. ˉl0l808l
｜
试题分析:观察数列’可得该数列是等差数列’根据等差数
249
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列求和公式即可求解ˉ
｜
所以α8＋α9＝q2
;
2C
α6＋α7
l
｜
故选D.
试题解答:由αl0＝丁αl2＋6得2α｜0＝αl2＋l2’所以α8＝
｛
｜
试题分析:根据等
l2,又α2＝4’所以α8＋α2＝16,即α5≡8
故选C.
｜
算出公比q即可.
试题分析;由αl0＝丁αl2＋6得2“!0＝αu＋｜2’窗等羞数列
｜7C
l
｜
试题解答:由题意
的性质可得α8＝l2’又α2＝4,则α8＋α2≡l6,由此可求出
｜
｛
4厕（4!ˉ｜1‘,
α5≡8.
｜
3.D
……厂』…以钩』—翰＝ˉ÷蜒
｜
＂以堂÷
“｜-l5,所以数列｛α＂｜是首项为l5,公差为＿÷的筹羞数
｜
｜
8α几＋（4α1-2Ⅲ）
列,所以α＂二l5ˉ÷（＂ˉ1）＝—÷″＋粤』且｛α卿｝为递
｜
2‘″＋（2忽｜ˉ〃）
’
｜
俐为聋是—个兰
减数列’令α硼-—÷″＋粤＞0,得＂＜…｀可知使α贴
｛
｜
当侧」≡÷蹦.慧
αk＋1＜0的∧值为23.故选D.
4.C
S4施
｜
当d＝0时’丽＝
试题解答:因为b1＝2,b2＝5,且α＂（b″＋l-6″）≡α＂＋1
,
所以α1（b2-b］）＝α2,即α2＝3α1
,
｜
故选C.
又数列｛α″｝为等比数列’
｜
试题分析:先根枷
所以数列｛α风｝的公比为q＝3,
S4″
｜
S4厕’进而求出丽
所以b网＋l＿b网＝g旦上上≡3’
α∏
｜
答案.
所以数列｛6＂｝是首项为2’公差为3的等差数列’
｜
8.D
所以数列｛b厕｝的前″项和为
｜
试题解答:由等艺
5厂2＂＋＂（＂了｜）×3二］＂宁″
｜
可得:
αl＋α20］7
｜
S20l7＝
故选C
2
试题分析:由题意可得α1 （b2—bl ）≡α2,故α2≡3α1 ,从而
｜
｜
则αl009＝l’据」l
α∏＋1
‖
可得数列｛α＂｝的公比为q＝3’于是得到b＂＋1ˉb″＝＿＝
｜
α几
｜
1009（α1009＋α1
3’故可得数列｛b＂｝为等差数列’并由此得到数列｛b厕｝的前
｜
故选∏
则项和.
｜
试题分析:由题甫
5.B
｛
″项和公式求解ˉ
试题解答:根据Sl3＞0’Sl4＜0’可以确定αl ＋αl3＝2α7＞
｜9D
0,αl＋α14＝α7＋α8＜0’所以可以得到α7＞0,α8＜0,所以
｛
S厕取最大值时几的值为7ˉ故选B.
｛
试题解答:实数‘
试题分析:首先利用等差数列求和公式,根据题中条件S13＞
｜
0,S14＜0,确定出α7＞0,α8＜0,从而可知数列首项大于
｜
如图中阴影部分
零,公差′」｀于零,其前n项和最大时对应的条件就是
｛
｛;宦鉴0,
从而求得结采.
6。D
试题解答;因为3α］’＋α3,2α2成等差数列’
←
所以α3＝3αl＋2α2’即αlq2＝3α｜＋2αlq’即q2ˉ2qˉ3＝0’
｜
解得q＝3（ˉ1舍去）
,
.250°
｜
所以…6
, …’≡q2＝
4′舰
肌以丽＝2n
2dn＋（2α1ˉ〃）
’
俐为聋是—个与
试题分析:先根据
9.
α6＋α7
｜
故选D.
｜
试题分析:根据等比数列的定义α8＋α9＝q2’利用等差中项
α6＋α7
｜
算出公比q即可.
｜
7~C
｛
试题解答;由题意可得s2腮＝2m｜＋2＂（2;ˉ｛1‘,s狮＝4′蛔! ↑
』」＋4＂（4!—l）d
∏
＼
］
／
〃
∑
］
α
〃
斗
／
口
‖
＼
＋
】
几
γ
α
月
~
αl＋2厕（2呀ˉ旦〃
2d＂2＋（2αlˉ〃）″
▲
8α几＋（4α1-2Ⅲ）
＂无关胸常数则《』｜-÷或徽二0,
当侧」≡÷蹦.莹-缆!（髓｜Ⅲ制）～船4,
S4″
8d′!＋（4αlˉM）ˉ延—7
当d＝0时’丽＝M″＋（2α｜ˉd）
2αl
等差数列的前厕项和公式计算出S2＂与
‘狮〕…幽莹｀爵缮含题中输条僻以…输特征可嚼
答案.
8.D
试题解答:由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质
可得:
…M＂×2川7二平×20∏＝2‖｜7α｜卿-20门』
S2017≡
2
α1＋α20l8×20l8≡
则α1009≡l,据此可得:S2018≡
2
1009（α1009＋α10l0）＝l009×4＝4036,
故选Dˉ
试题分析:由题意首先求得α1009＝l’然后结合等差数列前
″项和公式求解前Ⅶ项和即可求得最终结果.
9.D
｜霹蜘…蓟…
试题解答:实数约,γ满足
如图中阴影部分所示.
％!
’
~~
／
｝
＋
＼
牡
x
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在卿,γ中间插人5个数,这7个数构成以卯为首项’γ为末
项的等差数列’
则这7个数和S7＝I1卫ˉ±工」
2
,
令x＋γ＝t’则γ＝—卯＋′.
可知’当且仅当直线γ＝ˉ则＋t经过点A（4,3）时’t取得最
大值7’
因此这7个数和S7＝I1等11的最大值为竿
～
▲
故选D
｛黔……＝
试题分析:实数卯,y满足
域.在则’γ中间插入5个数’这7个数构成以见为首项,γ为
末项的等差数列｜则这7个数的和为21等卫,令蹦＋γ二』,
则y＝-腮＋j.利用线性规划的知识可得:当且仅当直线γ≡
-腮＋t经过点A时’t取得最大值’即可得出.
l0.A
b2＋64
2α2＋2αq
＝
三≡
2αl＋d＋2α3＋d
＝2‘-曾二4,所以＂＝2』
2αl＋2α］
bl＋b3＝2αl＋2α3＝2α｜＋2αl＋2Ⅲ≡l7’2αl＝1 ’α1≡0’
所以Sl0＝l0αl＋坚2‘＝些12×2＝9α
台
△
故选A.
试题分析: ｛b＂｝是等比数列,因此把两已知等式相除可
化简
ll。D
试题解答:在等比数列｛α″｝中’由α6＝α2 .α10可得
l
αl .25＝（αl .2）
. （αl .29）’解得αl＝了.
所以b,-2侧7＝2×（六×2‘｜-4,
／
l7（bl＋6l7）
17×（2b9）≡l769＝68.
所以S17≡
≡
2
2
故选D。
试题分析:由题意求得等差数列的首项和公差,然后根据
等差数列的求和公式求解即可.
l2.A
试题解答:由题意S6ˉα1＝α2＋α3＋α4＋α5＋α6＝5α4＝
15,α4≡3’所以S7＝7α4≡21.
故选A.
试题分析:利用等差数列的性质’S6ˉα1＝α2＋α3＋α4＋
α5＋α6＝5α4可迅速求解.
13.9
试题解答:由题意得α3＝α1＋M＝0,所以αI＝—2d’
又因为αk是α6与α临＋6的等比中项’所以α;＝α6α肿6’
即［αl＋（kˉl）‘］2＝（α1＋5Ⅲ）
。［αl＋（k＋5）d］,
即［（Aˉ3）Ⅲ］2＝M. （A＋3）Ⅲ’
即A（片-9）＝0,解得k≡9或A＝0（舍）.
故答案为9.
-l2
2l∏—∏2
试题解答:设等差数列｛α″ ｝的公差为
｛‖旗｛!＂蹿＾
得:
即｛;hl丫｜;↓!6,解得｛;!二!!
~
~
l4
Ⅲ,则由已知
‖
｝
所以α｜7＝αl＋l6″＝20ˉ32＝ˉl2,S″＝ml ＋″（竿l）〃＝
▲
-几2＋2l几
｜
试题分析:首先根据题中的条件’结合等差数列的通项公
｛
式和求和公式’建立关于其首项与公差所满足的等量关系
｜
式,解方程组,求得其值’之后再借助于等差数列的通项公
｜
式和求和公式求得相应的结果.
｜
29
｝
l5.—
｜
l5
｜
试题解答:由题意得α″＋l＝α厕＋厕＋1’
｜
则α厕＋l—α″＝″＋l’那么α厕—α厕ˉl＝＂（″≥2）’
‖
α厕＝（α厕ˉα″ˉl）＋（α厕ˉ1ˉα则ˉ2）＋…＋（α2-αl）＋α1
’
＝′l＋（厕-l）＋…＋2＋l＝″（∏＋1）
2
’
｜
因此上＝
2
“＂
″（＂＋l）二2（÷—志）,
｜
所以上＋上＋…＋—＋—
l
l
αl
α2
α28
α29
＝2×（l＋÷＋＝＋古ˉ命）＝兽
｜
故答案为罢
｜
试题分析:由α″＋l＝α″＋″＋αl可得α＂＋lˉα＂＝n＋1 ’利
｜
用“累加法”可求得上＝
2
＂＂
″（＂＋l）＝2（÷ˉ亩）,利周裂
｜
项相消法求解即可.
｛
16l8
｜
试题解答:因为数列｛α″｝为等差数列’α3＋α4＝6’而αl＋
0
α2＋α3＋α4＋α5＋α6＝3（α3＋α4）＝3×6＝l8.故答案
｜
是l8.
｜
试题分析:利用等差数列的性质:下标之和相等的两项和
‖
相等即可得到答案ˉ
53
等比数列（l）
｛
l.D
｜
试题解答:由题意数列｛α厕｝的前厕项和为S厕＝2厕—1’
｜
则α2＝S2ˉSl ＝（22ˉl）ˉ（2l ˉ1）＝2’α6＝S6ˉS5＝
｛
（26-l）-（25-1）＝32,
｜
所以α2 ·α6＝2×32＝64故选D.
‖
试题分析:由题意数列｛α厕｝的前n项和为S″＝2厕ˉl’根据
｛
数列中S＂和αn的关系,分别求解α2’α6的值’即可得到
｜
结果.
25l
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2.D
｜
所以α卿二÷×2鹏—｜-2＂—』
｀
试题解答:因为α2 .α3＝2αl ’所以α｝q3＝2αl
’
｜
所以α3＋α4＋α5＝l＋2＋22＝7.故选A.
所以α1q3＝2,所以α4＝2.
｜
试题分析;／（狐＋l）＝2／（则）,就是函数／（卯）向右乎移l个单位,
因为α4与2α7的等比中项为ˉl ’所以（ˉl）2＝2.2α7’
｜
最大值变为原来的2倍,当卿巨［0’l）时’／（则）＝—腮2＋“;∑
所以α7-十,所以q』二舟二;,所以0二÷
—卜ˉ÷）型十＋,可得侧｜-′（÷）-士,q＝2,利刷等比巍列
｜
的通项公式可得α″,从而可得结果.
l6（lˉ六）-31
｝
6C
因此α1＝16,S5≡
l—÷
｝
试题解答因为α｜＝4’感叶』＝2s卿—4,o
｝
所以α2＝2αlˉ4＝4’而当厕≥2时’α＂＝2S″ˉl—4’@
故选D.
｛
O@两式相减得α＂＋｜—α″＝2α＂’α厕＋｜＝3α＂’
试题分析:先根据条件解出首项与公比’再根据求和公式求
｜
所以｛α＂｝从第二项起构成公比为3的等比数列’
｜
s｜＂二侧｜＋（…』＋…＋侧Ⅷ）二4＋4（引,—］l）二2（3,＋｜）
得结果.
3.D
｜
故选C~
试题解答:由等比数列的性质可知’
｜
试题分析:由α″十｜＝2S″ˉ4可得α厕＝2S＂ˉl ˉ4’两式相凋、
等比数列的第一个n项和’第二个几项和’
｜
可化为α″＋l＝3α″’所以｛α″｝从第二项起构成公比为3的
第三个n项和仍然构成等比数列’
｝
等比数列’结合等比数列求和公式可得结果.
｜
7.B
则有A,BˉA,C—B构成等比数列,
｜
试题解答:设这女子每天分别织布形成数列｛α＂｝
.
所以（B-A）2＝A（C-B）,即B2ˉ2AB＋A2＝AC-AB,
｜
则该数列｛α＂｝为等比数列,公比q＝2,其前5项和S5＝5.
所以A2＋B2＝A（B＋C）ˉ故选D
试题分析;颧等比数…吭可…＿个….第二
｜
所以’-隧｜告｜）解得α｜二÷
个″项和第二个＂项和仍然构咸等比数列,化简卵可得
｜
所以αj＝÷2:二等
结果.
｛
故选Bˉ
4D
｛
试题分析:设这女子每天分别织布形成数列｛α厕
｝.则该擞
试题解答:设等比数列｛α＂｝的公比为q’
｜
列｛α＂｝为等比数列’公比q＝2’其前5项和S5＝5.利用等
所以q＝α2＋α4＝l
｛
比数列的通项公式及其前Ⅶ项和公式即可得出.
αl＋α3
2
,
｜
8.A
所以…’-α｜（l＋′』）-侧｜（l十士）-:,
｜
试题解答;若公比q二l’S’-3α｜,可得α｜＝;,
｜
代人S6＝6αl＝l4’与S6＝63矛盾’所以q≠l.
解得α｜二2,α＂≡2×（÷「—1-（十厂,
α1（l—q″）
｜
由等比数列的前n项和公式S″＝
l-q
贵炉」仁｜
｝Ⅷ献厂嘿』4
2（1ˉ寸）二4（｜—六）所以—-
仁』竿“
Sn≡
lˉ上
2
故选D.
试题分析:设出等比数列的公比为q,利用等比数列的性质’
｜
两式相除’得q3＝8’可解得q＝2.
根据已知等式求出q的值’进而求出α］的值’表示出S＂与
｜
当q＝2时’代人原式可求得α｜＝l
｛
则由等比数列的通项公式得α6＝25＝32故选A.
α测,即可求出结果。
‖
试题分析｛通过讨论q的取值情况,确定q≠l ,利用等比数
5。A
αl（l-q＂）,建立方程组,求出q＝2和
｛
列的求和公式S厕＝
l—q
试题解答:因为／（卯＋l）＝2／（卯）
,
就是函数∧厕）向右平移l个单位’最大值变为原来的2倍’
｜
αl＝l ’进而求得α6的值.
｜
9.C
当腮匡［0,｜）＂M腮）＝＿蜒2＋腮＝＿（绷—÷）』＋＋｀
｜
试题解答该矩阵的第!行第j列的元素c聊＝铡广q′＋α』＋
｜
q／＝（2』ˉ1）（2／ˉl）＋2』ˉl＋2」ˉl＝2叶j—l （j＝l’2’….
α1-j（十）＝＋,q-2,
｜
7;／＝l ’2’…’8）
,
252
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其数据如下表所示
为躯巨（0』丽）,所以卿’＝哥,鞠＝￥’假设存在两个不同的
实数如5 ’卯6’若使鳃3 ’躯4,卿5’狐6调整顺序后能组合成等差数
列’设公差为d,则有下列情况:
@若卯3与厕4相邻’则｜〃｜＝卫.
2
因为则巨（0’∏）’所以则3’绷4不能相邻,否则勿5,则6将超出
范围.
@若则3与卯4之间间隔一个数,设这个数为A’则A＝
jf宁4＝书｀经分析,数列为鳃j,缮…‘时′不成立,不妨
设数列为鳃5,…6』翔｀此时狐’-舌’腮隔＝书,当鳃偷-晋
时’γ二!a＂（2×带＋÷）＝陶＂芋’不存在’当憨’-舌时,
陋＂（2×舌＋÷）＝鳃＂÷,也不存在
o若则3与卯4之间间隔两个数’即卯3,卯5’卯6’则4组成一个
5∏
∏
Ⅺ4ˉx3
6
3＝÷所以厕,＝财］＋‘＝互
等差数列’d＝
＝
3
3
3
＋÷-÷,鸳6-姬］＋2‘＝÷＋哥二芋,此时哥』÷,芋,
￥,构成等差数列当腮’-÷时,γ二t凰＂（2×;＋于）-陋Ⅱ
÷二旧当箍‘＝芋时,′二m＂（2×芋＋÷）＝—蛔n工＝
3
厄故选C.
×
1
22-l
23-l
24-l
25-l
26-l
27＿l
28-l
2
勺3
‖
全
-1
24ˉl
25-l
26-l
27-l
28-l
29ˉl
3
74-］
25-l
26-l
27-1
28＝l
29-l
2l0-］
4
25-l
26-l
27-l
28ˉ1
29-l
2l0-1
2l1 -l
5
26-l
27-1
28＿l
29-l
2l0-l
2l］-l
2l2＿l
6
27-］
78-］
≈
H
29-l
2l0-l
2l｜-l
2l2ˉl
213-l
7
28＿l
29-1
2l0-l
勺ll
‖
△
-』
2l2-l
213-l
2l4-l
■
】
』
■
】
』
●
□
且
已
】
且
■
】
巳
■
】
▲
■
】
且
·
∩
凹
’
川
』
皿
旧
川
旧
〗
∑
∑
∑
勺
凸
旦
∑
］
＿
〗
］
斗
＿
日
＿
β
γ
‖
~
~
【
｜
由表可知’该数表中所有不相等元素之和为22ˉl＋23ˉl
＋…＋2l5-l
4（l—2］4）-l4＝2l6—l8.
二＝
l-2
故选C.
试题分析:由于该矩阵的第j行第J列的元素C旷≡αj .q／＋
αt＋q／≡（2』-l）（2／-l）＋2』—l＋2J-l≡2f＋J—1（!≡l ,2’
…｀7;J＝l,2’…’8）’根据等比数列的求和公式即可求出.
｜0.B
试题解答:设等比数列｛α厕｝的公比为q.当公比q≠l时’
…在腮匡N｀瞒足←＿9,
∏0
αl （q2m-l）
】
｜
‖
所以
9-l
≡9,所以q′＂＋l＝9’所以q″』＝8
α1 （q″!—l）
~
~
q-］
13.4
试题解答:设等比数列｛α厕｝的公比为q,n匡N＊
,
且α1≡l’S6＝3S3’
q＝l时,不满足S6＝3S3.
q≠l时’可得尘二1—止3ˉl）
q＿l
q-l
’
化简为:q3＋l＝3’
即q3≡2,
所以α7≡q6＝4.
故答案为4ˉ
试题分析:设等比数列｛α厕｝的公比为q’网巨N＊’且α1＝l
’
S6＝3S3 ’q＝l时’不满足S6＝3S3. q≠l ’可得尘ˉ二1ˉ
q—l
3（『ˉ］l）’化简再利周i…式即可得出
l4上
4
2′∏-｜
义芋-乎茅,所以卿｜! Ⅷ—｜＝架广,即?枫＝等三广-8』
′Ⅶ
αlq
解得m≡3.
所以q3＝8,解得q＝2.
q＝l不满足题意
故选B
ll。B
试题解答:设等差数列｛α厕｝的公差为Ⅲ’
因为S3＝αi,得3α2＝αi,解得α2＝0或α2＝3’
又因为Sl ’S2’S4构成等比数列’所以S;＝SlS4’即（2α2ˉ
Ⅸ）2≡（α2-Ⅲ）（4α2＋2〃）
’
若α2＝0,则〃2＝＿M2,此时〃＝0（不符合题意’舍去）;
当α2＝3时,可得（6—Ⅲ）2≡（3—〃）（l2＋2‘）,解得Ⅲ≡2,
所以α10＝α2＋8〃＝3＋8×2≡l9.故选B.
试题分析:由S3＝α;’结合等差数列的求和公式可求得
α2’再由Si＝Sl54’结合等差数列的求和公式’可求得数列
的公差,即可求解αl0的值
l2.C
~
~
~
~
~
~
~
~
『
【
2α4
试题解答;2α2＋α6＝了＋α4q2＝4
2
2
）≥4×2
丁＋q
q
′
（
√÷″2-WZ
当且仅当?2＝皿寸取得最小值lo题q＝』°g22＋＝＋故答
案为÷
试题分析:先将α2,α6用α4与公比q表示’利用基本不等
式求解即可ˉ.
0
试题解答;由题意及｜狐2—甄1
｜＝:’可知T＝｜躯2ˉ躯］
｜＝
‖
苦,义′＝苛｀得到卿-2,因此′＝圃n（2则＋÷）’令
媳（2恋＋哥）＝0＝2躯＋子-肺＝烫＝—:＋粤,隐匡z,因
253
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3
｜
故选C.
｛
2B
试题解答;因为bn＝g旦土上’且αl＝1,
αn
｛
试题解答:因为α4＝α1＋6’α3＝αl ＋4’αl ’α3’α4成等比
｜
数列’
所以b1＝丝,b2＝里,…’bnˉl≡＿
α∏
αl
α2
α＂ˉl
｜
所以α;＝αl ·α4,
两边分别相乘可得丝＝blb2…6＂—1
’
｝
即（αl＋4）2＝αl×（αl＋6）
’
αl
｜
解得αl＝—8’
丝』坚—竿二b!b2…b』0口＝（b1b20＂》（b2b20!6）
｜
所以α2-α1＋2＝—6
αl
｜
故选B.
.…. （bl008b1010）
。b1009’
｜
3.A
因为6l四＝l,（blb20l7）＝（b2b20l6）＝…＝（bl赃bl0l0）＝
｜
｜
试题解答;当厕＝l时’由5腿＝÷α阀ˉ＂得α」＝÷α」—l′即
（b1咖）2＝l,
～
所以竿＝l 』侧』0｜＂＝］故答案为虱
｜
α!二2;当″≥2时’由s＂-÷α州ˉ＂得s＂—｜二÷α鹏—｜—（＂ˉ
试题分析;…‘.三等｀得到等ˉ竿…∩
｜
］）｀两式桐减得·厂;侧腮＿÷侧厕ˉ」＿｜即侧厂抛厂广2
b20l7＝（blb20｜7）
. （b2b20l6）.…. （bl008bl0l0）
.
｜
则α＂＋l＝3（α″—l＋l）’又αl＋l＝3’所以数列｛α″＋l ｝是L
｜
3为首项｀公比为3的等比数列.故选A.
bl009’结合b1009＝1’以及等比数列的性质求得结论.
｛
4.C
＋（2叶］—＂ˉ2）
｜
试题解答:根据题意’由于等比数列｜αn｝的前″项和为S＂
试题解答;设b＂＝—
’
＂＝L2’ …’则
｜
S2＂＝（α｜＋α3＋…＋α2雁ˉ］）＋（α2＋α4＋…＋α2鹏）＝4（α
l
αn
｜
＋α3＋…＋α2″ˉl ）
,
｛
所以3（α1＋α3＋…＋α2厕ˉl）＝α2＋α4＋…＋α2n≡q（αl＋
（3—六）（6带犬）-｜8,即沁衅｜＿6』厂｜＝0｀
｝
α3＋…＋α2n—l ）’所以q＝〕
所以b砷｜＝酚片｀』砷｜＋2（b＂＋＋）,
｜
α｜皿2咽』二27…i二27,“2＝3｀
｜
因此可知首项为l’因此可知α6＝35＝243~故选C.
故数列｛b硼＋＋｝是公比为2的等比数列,
｜
5·C
贝』0.＋2鹏—｜（』片）二2腮—｜（片＋＋）＝÷2腮,
｜
试题解答;根据题意.由于筹比数列｛侧腮｜中,公比『＞0,藉
｜
“≡剿则侧｜…』十轩蛔≡叫予…,敬
所以b＂＝÷（2卿—l）,
｜
.
｜
可知表达式有最小值l2.故选C.
』蛤-」鱼b』- ′自＋（2.＿］）～÷｜2（;〔］｜）＿＂｜-
｜6D
｜
试题解答;上巨（l’＋由）’q＝丝巨（l ’＋四）o’q2＝丝≤
＋（2鹏＋lˉ鹏ˉ2）
α｜
α』
α!
｜
（2’＋的）’q巨（√Z…）@’
故答案为寺（2叶!ˉ厕ˉ2）
试题分概…ˉ六…＋←』（喘）｛缝＂
｝
÷（÷」）.』-岛…）嚼.…隔…［
｜
α4＝α］.q,所以α4巨（2亿9）故选D
｛b鹏＋＋｝是公比为2嫡等比数列,从漏可求得b鹏＝＋（2＂
｜饥A
｛
试题解答:由等比数列的性质可得:
—l）,利用分组求和’结合等比数列求和公式求解即可ˉ
｜
2
2
｜
α2 .α4＝α3 ’α4 .α6＝α5.
54等比数列（2）
｜
所以α2α4＋2α3α5＋α4α6＝25可化为
｜
（α3＋α5）2＝25’又因为α″＞0’
o
｜
所以α3＋α5＝5.
试题解答;由题意可得α3α’＝αi＝4（α4ˉl）＝α4＝2,
｜
故选A.
所以q3＝丝＝8＝q＝2’
｜8.D
α1
｜
试题解答:根据题意’S3＝2’S6＝l8’易得q≠l;因为S3＝2’
1
故α2＝αlq＝丁.
｜
S6＝l8’
.254°
l5。3
l6
l·C
试题解答;由题意可得α3α’＝αi＝4（α4ˉl）＝α4＝2,
所以q3＝丝＝8＝q＝2’
α1
1
故α2＝αlq＝丁.
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α1（1-q3）
｜l2B
鱼ˉ
lˉq
-lˉq3
l
ˉˉ旦
｜
试题解答;由等比数列性质得S2,S4ˉS2,S6ˉS4成等比
所以可＝α｜（lˉq6）
1ˉq6
l＋93
l8,
｜
数列’即ˉ1×（S6＋5）＝（ˉ5＋l）2’
l-q
｛
所以S6＝-2l.故选B·
所以q＝2.
｝
试题分析:根据等比数列性质S2,S4ˉS2,S6-S4成等比
α1（l—q10）
｜
数列,列式解得结采.
Sl0
所以叮.』（＼瑞—器｜韧’-』3
｛…
l
｜
试题解答由α叶｜＝丁“删十＋,得“畔｜—l＝÷（“慰—l）,
l-q
故选D.
｜
所以｜α＂ˉl ｝为等比数列｀侧阀—l-（侧｜ˉl）×（告）＂—｜＝
9.C
试题解答:由题意可得:α9＋α10＋αl1＋α12＝Sl2-S8,
｜
（十「—! .六三”ˉ｜.s＂-l!兰』-｜021
由S8—2S4＝5可得S8ˉS4＝S4＋5,
由等比数列的性质可得;S4’S8ˉS4,S｜2ˉS8成等比数列’
｜
故答案为l023~
｜
试题分析:先证明｛α＂—l ｝为等比数列’求得α厕ˉl＝
则:S4（Sl2-S8）＝（S8ˉS4）2,综上可得:
≡喘带10＝
｜
（＋厂｜｀六ˉ…佣等…求…可得
（S4＋5）2
α9＋αl0＋α1l＋αl2≡S12—S8＝
S4
｛
结果。
小带川≡2α
‖
l4,242
t严钟…‘
｜菠.
当且仅当s掣＝5时等号成立综上可得,则α,＋“＂扭｜｜＋
｝
试题解答由题得α」q2—3睡」＝」2,所以α」＝2,,二虱
斌题解答;由等比数列的脓臆得到上带上＋佃＋上-
｜
所以s5～2（｛二;5）＿242故答案为242
α1
α2
α8
｜
｛
试题分析:根据已知条件求αl ’q,再利用等比数列的前′』
α8＋α1
α7＋α2
α4＋α5
＋
＋. . .＋＿
‖
项和公式求S5.
αlα8
α7α2
α4α5
｛
l5.4
又因为α8αl≡α7α2≡α3α6＝α4α5’
｜
试题解答:设等比数列｛α＂｝的公比为q’
故得到原式等于αl＋α2＋. .兰α8＝＿上
｜
因为S7ˉS5＝α7＋α6＝3（α4＋α5）
’
α4α5
α4α5
αl .α2 。….α8＝l6≡（α4α5）4.
｜
所以α7＋α6＝q2＝a
α5＋α4
代人上式得到上＋上＋…＋ˉL＝2.故选A.
｝
廊以蛔』↓÷…鸟～轴』.士＝√凰』÷斟,
αl
α2
α8
ll.C
Ⅷ』
＂.
｜
·且…』÷卿:i二』…立
试题解答:由已知得数列｛α厕｝的公比满足q3＝丝＝上
解得q÷｀
《
所以剿·』贵的最小值为“
l
｛
16-8l
所以αl＝2’α3＝丁’
｜
试题解答;因为s鹏＝÷（l十α＂）（＂匡NⅧ）
｀
故数列｛″砷｜侵以2为霄项,公比为器二士的等比
｛
｜
所以当″＝l时’αl＝ˉ3’
数列’
｜
所以当则≥2时’α腮＝S鹏ˉS卿ˉ］＝÷（α烈ˉα鹏ˉ］）,
2｜l—（＋）鹏｜二
ˉ
所以α1α2＋α2α3＋…＋α″α″＋1＝
｜ˉ十
｛
即÷3’
‖
所以｛α＂｝是以首项为ˉ3’公比为3的等比数列.
÷｜l＿（＋）磁｜匡｜2’÷）’即最小值为2~
｜
所以α厕＝—3厕.所以α4＝—8l.
故选C.
｜
故答案为ˉ8l.
试题分析:利用等比数列的通项公式与求和公式即可
‖
试题分析:利用α厕与S厕的关系式求出α″的通项公式即
得出.
｛
可得到答案
255
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综上可得:t的最大值为3.
故选A
6B
试题解答:对于A’当公比为-l时,S2＝0’S4＝0,S6＝0’所
以S2,S4ˉS2,S6ˉS4不是等比数列;
对于B’若｛α厕｝为等差数列’S″是｛α″｝的前＂项和’则S厕’
S2厕ˉS厕’S3″ˉS2厕是等差数列;
对于C’若｛α＂｝为常数列’α1＋αl0＝α2＋α:｀’显然l＋l0寻＝
2＋3;对于D’当q＝0时’显然数列｛α＂｝不为等比数列.
故选Bˉ
7。D
试题解答:由α则＋1 ＝入α厕—l,得α＂＋1 —l＝人α〃ˉ2＝
∧（α厕＿÷）巾于数列｜鹏懒—｜｝是等比数列.所以÷-1 .得
入≡2ˉ故选D.
8D
试题解答;因为α″＝INT（旦×｜0＂）,b｜
÷二α｜,b＂＝α＂ˉ
｀7
′
10α厕ˉ1（″巴N＊,且n≥2）
’
所以α］≡2＝bl ,α2＝28,b2＝28-l0×2≡8,
同理可得b3＝5’b4＝7,b5＝l ,b6＝4,b7＝2,b8≡8’…
所以b厕＋6＝b厕,即数列｛b厕｝的周期为6
所以b20l8＝b336×6＋2＝b2＝8
故选D.
试题分析:根据题意得到数列｛bn｝的前8项’通过观察可得
数列的周期性,然后根据周期性求值即可。
9.A
试题解答:因为Ⅳ（2Ⅶ）＝／V（n）,Ⅳ（2n-l）＝2n—l’而S（n）
＝;
Ⅳ（l）＋Ⅳ（2）＋Ⅳ（3）＋…＋Ⅳ（2＂）,
所以S（″）≡Ⅳ（l）＋Ⅳ（3）＋Ⅳ（5）＋…＋Ⅳ（2″-l）＋
［Ⅳ（2）＋Ⅳ（4）＋…＋／V（2＂）］
’
所以S（″）＝l＋3＋5＋…＋2厕—l＋［Ⅳ（l）＋Ⅳ（2）＋∧／（3）
＋…＋Ⅳ（2＂—1）］
’
所以S（n）＝l＋2n-l
2″
×丁＋S（n-l
）（n≥2）＝S（＂）
＿ˉ
2
▲
S（Ⅶ—l）＝4nˉ1 ,又S（l）≡∧／（l）＋Ⅳ（2）＝l＋l＝2,
所以S（5）ˉS（l）＝［S（5）ˉS（4）］＋［S（4）—S（3）］＋…ˉˉ
［S（2）ˉS（l）］＝4＋42＋43＋44＝S（5）＝2＋4＋42＋43
ˉˉ
44＝342.故选Aˉ
l0.B
试题解答:设由前l2项构成的等差数列的公差为〃’从第
ll项起构成的等比数列的公比为q’
α↑2
（ˉ2＋4‘）2
由α!』＝——2＋M＝4解得d＝l或d＝÷｀
αl1
又数列｛α厕｝的各项均为整数’故d＝l ’所以q＝尘＝2’
αl2
55
数列的综合应用（l）
l.A
试题解答:因为αlα6＝α2α5＝α3α4＝2’故α2α4＝-尘.故选
｜
α3α5
A.
试题分析:根据等比数列的性质即可得出结论.
2.C
试题解答;由题意知α＂＋α＂＋,恒为定值’且l≤＂≤6
｜
时,α＂＝n2,
所以当″＝l时,α厕＋αn＋5＝αl＋α6＝l2＋62＝37,
所以α＂＋5＋α″＋10＝37≡α厕＋α＂＋5,
于是α厕＋l0＝α″数列｛α＂｝是周期为l0的周期数列’
所以α2018＝α8＝37ˉα3＝37—32＝28ˉ故选C.
试题分析:由题意知α″＋αn＋5恒为定值,且1≤″≤6时,α″＝
Ⅶ2,得αl ＋α6＝37,又由α″＋5＋α″＋l0≡37＝αn＋α厕＋5,得
α＂＋l0＝αn’所以数列｛α＂｝是周期为l0的周期数列’印可求
解α2018的值.
3.D
试题解答:由已知条件知｛α″｝是首项为3,公差为3的等差
数列’数列｛b＂｝是首项为3’公比为3的等比数列’
所以α＂＝3Ⅶ,b＂≡3n.
又c
≡b
＝33川’
几
α帅
所以c20l7＝33×20l7＝2720l7·故选Dˉ
4C
试题解答:设正项等比数列｛α＂｝的公比为q＞0’
因为侧｜α‘-2陶,咖与2感6的等差中项为÷,
所以α｝q5＝2αlq2’o
α4＋2α6＝3’即αl（q3＋2q5）＝3’@
联立o@解得α!＝l6’q＝÷
凸
则S5≡3l.
故选C·
A
试题解答:整理数列的通项公式有;α″＋］＋2＂＋1 ≡3（αn＋
‖
2″）
,
结合αl＋2l＝3’可得数列｛α厕＋2″｝是首项为3’公比为3
｜
的等比数列,
则αn＋2网＝3n’所以αn≡3n-2＂,
b″ ＝3厕李lˉ2厕＋l
＝3＂＋2（3＂ˉ2则）
≡
3＂
＋2
＝
｜
3n-2n
3n—2″
3n一2厕
5
l
＋2｀
门
＼
‖
】
‖
‖
′
′
’
～
—
句
〕
（
｜
l-
’
～
丛
’
成
〕
→
≡
陌
但
＿
∑
勺
～
＋
＋
门
几
）
∑
—
〕
｀
｀
〗
【
】
‖
′
′
∑
—
］
］
（
］
′
』
□
□
】
‖
‖
＼
■
‖
』
■
】
』
’
＜
时
〗
凹
■
■
＞
〗
〗
【
‖
∏
●
〗
】
〃
~
日
必
＋
题
→
问
″
原
当
｛』乒｜↑‖冒;）哎卿Ⅷ
＝24＝16
所以α＂＝
‖
故选B
试题分析:利用等差数列和等比数列的通项公式求出公羞
与公比即可得到所求值.
l
＋2的下确界为3’
即
‖
「
＼
｀
‖
‖
′
′
勺
全
—
∩
〕
（
l-
256
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ll.B
｜
当＂＝9时’Tb二9×l0＋2l0ˉ2＝l l12＞l024’
试题解答:当n＝l时’2Sl ＝α;ˉα2
’
｜
当厕＝8时Jb＝8×9＋29ˉ2＝582＜l024’
即侧｜＝α;子2＝÷（α』—÷）』—÷』
｜l虱l
｜
所以满足Th＞l024的最小则的值为″＝9.
由于圈数Ⅱ-宁的图象的对称轴为＂二÷当且仅当
｛
试题解答;由题意,递推关系凰厂2鳞—｜＿3（ˉ1）.可化为
｜
α厕＋（ˉl）″＝2［α厕ˉl ＋（—l）″—l
］
’
｜陶—÷｜最大时.·!取褥最大值,
俐
令』鹏～嚷＂带（—］）鹏则伺』侧二2』·ˉ｜而』｜二侧!带（＿｜）!-
｜
3-l＝2’
源慨丁贮刘g仅删;）刺b0
｜
』』蛔｜……公比…等比蛔°
｝
所以b＂＝2＂’即b厕＝α″＋（ˉl）″＝2″’α″＝2厕ˉ（＿l）″’
或αn＋1ˉαn—1＝0’
所以数列｛α厕｝从第三项开始,每＿项是由前一项加l或乘
｛
依题意知’αk｜’α陶’α陶成等差数列’即2αk,＝αk｜＋αk｀’
｜
结合通项公式有:2［2人2ˉ（ˉl）k2］＝［2k! —（ˉl）kl ］＋
以—l得到,
义….所以…ˉ…删—…且′沟偶数）即
｜
黑】）二删2［泌〕ˉ（—｜）陶］≡…（ˉ］）《, ,分
—侧』＋隐＝“』’可得憋2-÷附』
‖
类讨论:
野《-…取得最大值』｀邹～ˉ…取得最小值
｜
j赋蹿数时整翅讣算可得妙』ˉ2蜒ˉ』≡｜｀左边
为＿］.所…＝］时』｜缆—÷｜取得墩大值对应叫
｜
当陶』陶均为偶数时整理计算可得妒…陶—』-｜,左
取得最大值为6,故选B.
｜
边为偶数’故矛盾;
l2.B
｜
当A2为偶数’片3为奇数时’整理计算可得2片2＋lˉ2附3＝6’
试题解答:由题意可得,这些数可以写为:l2’2’3’22,5’6’
｜
左边为偶数’因为数列｛k′
｝（′巨N＊）是各项均为正整数的
7,8’32,…’第A个平方数与第片＋l个平方数之间有2k个｜
递增数列’所以k3≥片2＋l’所以2隐2＋lˉ2k］≤0’故矛盾;
正整数’而数列l2’2’3’22’5’6’7’8’32’…452共有2025
｛
当A2为奇数’k3为偶数时’整理计算可得2k2＋l ˉ2k3＝0’
项,去掉45个平方数后’还剩余2025—45＝l980个数’所
｝
即A3ˉ片2＝l.
以去掉平方数后第20l8项应在l980后的第38个数’即是
‖
综上可得∧3ˉk2＝l.
原来数列的第2063项,即为2063.故选B
｛
l6.旦
试题分析:由于数列l2,2’3’22’5,6’7’8’32’…452共有
｜
3
2025项’去掉45个乎方数后,还剩余2025—45-l980
｜
试题解答;由侧删＝ˉ了α＂—』ˉ÷,变形为;
项’所以去掉乎方数后第20l8项应在l980后的第38个
｜
｜
α＂＋l＝＿＋（侧鹏—｜＋l）’α｜＋l二2
数’即是原来数列的第2063项,从而求得结呆ˉ
l3. （n＋2″）2
试题解答;将卿」二9带人数列的通项公式’可以得到首项
｜
所以数列｜α＂＋l ｝是等比数列｀首项为2′公比为ˉ÷
为2｀将α2-］6带人数列通项公式可以得第二项为4’所
｛
所以侧腑刊＝2×（—＋）鹏—｜,
以数列｛√叮—＂｜的公比『＝÷＝2,
′
l
｀′l-1
｜
可得α＂＝2×（—了）
—l ,
所以√∏了ˉ′l＝2×2″ˉ］＝2n’
2×｜lˉ（ˉ÷）＂｜
所以｀／而而＝2＂＋厕.
｜
所以5獭＝
＿＂二÷｜｜—（—÷门ˉ″,
｜—（—＋）
所以数列的通项公式为α厕＝（2″＋n）2.
故答案为（2″＋n）2.
｛
则3入. （S″＋几）≤4,
试题分析;根据数列｛√∏丙ˉ厕｝是等比数列,将α｜＝9’α2＝
‖
｜
即3入｛÷｜l＿（ˉ÷）腮｜—＂＋＂｝≤姚
36分别代入’可以得到数列｛√∏了ˉn｝公比q＝2’从而求得
｜
通项公式α″.
1
｝
入｜l—（—÷）＂｜≤l 』所以入≤
｜49
l—（—＋）＂
试题解答:由数列｛α＂｝的前厕项和为S厕＝2厕＋! ’则当″≥2
｜
｜—（上÷『桓成立≡人亡恫成
时’α则＝S″-S″ˉl ＝2″＋1 ˉ2″＝2″,
｜
当n为奇数时,入≤
所以6″＝log2（α: .2α厕）＝log2α:＋log22α″＝2〃＋2″.
2″
｜｜士ˉ
｛、±÷酗‖霉÷
所以数列｛b″｝的前〃和为T″＝厕（2＋2吐＋纽1≡2＂）—
｜
2
l—2
-
｜
立,而
′l（〃＋l）＋2″＋l —2’
＼
2＂
2
257
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则Sll ＝2×llˉ2＋;∏≡丁＝20＋—L
l
210。
故选B.
5°A
试题解答因为＂雁≡3（＂—:）2＋÷’且＂匡N＊,所以〕｜｝
″＝2或′』＝3时’α′』取最大值’最大值为α2＝α3＝0.故
选A.
6.C
ˉ
＾.
＝.
ˉ .
′
｀
′
· 、久一≡-＾
l
＾n＋l
雏｜…!ˉ（汀…』
.二＿
l—（÷）＂
｜—0
l,所以∧≤l;
O
7
综上所述,入≤亏’即入的最大值为÷
勺
故答案为÷.
〕
56
数列的综合应用（2）
‖
试题解答:因为等比数列｛α″｝的前′!项和S＝上.3厕＋
′l
2
c（C为常数）
,
9
所以α!-s!-＋×3』＋c＝丁＋c｀
▲
Ⅷ』二s』ˉs｜＝（÷×3］＋馏）ˉ（;＋‘）二9,
α’-S3＿32-（上×34＋嚷）—（÷×3’＋臃）＝27.
｀2
因为α｜’α2’α3成等比数列’所以α;＝α｜α3’
3
解得9』-（:＋健）×27解得′-＿丁
所以αl＝3,q＝3,所以α＂≡3＂,
s腮二3（｝二于）-÷（3＂—l）,
因为入αn≤3＋S2n恒成立’
所以川3「′≤3＋÷（32＂ˉl）＝÷（32删十l）恒成立’
▲
｜
所以人≤÷（3＂寸）恒成立,
｜
当＂三｜时,÷（3腮辩＋）-;×!二5,
△
｜
所以实数入的最大值是5.
｜
故选C.
｜
7.C
｜
试题解答:由数列｛α＂｝为等比数列’知:
α》＋l
α｛q3＂
α引
α｝q3″ˉ3＝q3’所以｛α舟｝是等比数I
｜
在o中’因为—＝
un＋l
LLlT
α引
α｝q3″ˉ3＝q3’所以｛α舟｝是等比数列
＋
l.C
--〉
ˉ-〉
试题解答:因为A,B,P三点共线,所以AP＝人AB.
—〉—〉
—》—〉
所以0P—OA＝∧（OB—OA）
,
→
—〉
—≥
所以OP＝（lˉ∧）0A＋∧OB,
—炉
—≥
—〉
因为OP＝α1OA＋α40l5OB,
所以α1＋α40l5＝l
因为｛α厕｝为等差数列,
所以2α2008＝l.
l
所以α2008＝了.
故选C。
2C
试题解答:纸的厚度相同且各层同心圆直径成等差数列’
则纸的长度为:
l≡∏d1＋∏d2＋∏〃3＋…＋而〃60,
其中‘!十‘』＋‘』＋…＋d铡＝竿鲤×60二蝎0,
即:′≡而Ⅲl＋而‘2＋而Ⅲ3＋…＋∏‘60＝480∏＝480×3. l4≡
15072≈l5m.
故选C.
试题分析:将原问题转化为等差数列的问题’结合等差数列
前n项和公式整理计算即可求得最终结果·
3。C
试题解答:设等比数列项数为2Ⅶ项,所有奇数项之和为
S奇,所有偶数项之和为S偶,
』』s蔚～蹿.s偶ˉ∏0所以《ˉ辈～2,
αl（l-q2″）
l一22＂
结合等比数列求和公式有:S奇＝
lˉq2
l-22≡85,
二二
~
~
~
~
,戊
在o中’因为—＝
o成立;
在@中’因为匹旦土1
p（αlq＂）
＝二
常数）是等比数列,故@成立;
在◎中’因为α厕＋lα＂＋2
α1q厕α｜q厕＋l
α＂α″十l
＝叮厂Id［了＝q2’
所以｛α″α″＋l ｝是等比数列’故◎成立;
在@中’因为α＂＋1＋α厕＋2
α1q＂＋αlq′!＋］
＝二＿
当数列为—l ,l,—l ,l…时不成立,
所以｛α＂＋α厕＋l ｝不＿定是等比数列’故@不成立.故选（」.
8。B
试题解答:由等差数列的前n项和公式知:
n（n＋l）
l＋2＋3＋…＋川≡
2
,
‖
解得网＝4,
即这个等比数列的项数为8.
故选C,
4。B
试题解答:设α＂
≡
l
＋
~~
‖
］
几
勺
～
＋
导
＋
］
—
斗
＋
图
Ⅱ
—
’
＝
｜
几
＼
〗
‖
‖
′
／
＜
」
—
’
～
／
』
□
‖
‖
｀
｀
］
｜
×
］
-2（｜ˉ六）二2—2÷｜,分组求和可得
l＿＋
｜
门
＼
｀
‖
』
′
／
］
—
〗
（
］
｜
×
］
］
—
…
＋
’
～
‖
′
勺
～
~~
所以Sn＝2′l-
!ˉ＋
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l
7
则l＋2＋3＋＝＋＂
″（″÷1）二2（÷—六）,
＝＝
则该数列的前＂项和为:
2｜（l—十）＋（＋ˉ＋）＋…＋（＋ˉ六）｜-
2（l—六）＝萧
故选B.
9。B
试题解答:二次函数／（绷）＝3z2ˉ28卯的对称轴为聪＝
二2§＝坠＝4旦
6
3
3
’
数列中的项为二次函数自变量为正整数时对应的函数值’
据此可得数列｛α＂｝各项中最小项是第5项.
故选B.
l0.B
试题解答:因为α″＋］＝αn＋2厕,
所以α″＋l-α″＝2″.
所以（α2—α1）＋（α3-α2）＋…＋（α10＿α9）≡2＋22＋…＋
’,ˉ2（｛二i,）-l022,
所以αl0—α1＝αl0-l＝1022’
所以α10＝l023.
故选B。
ll.D
试题解答:令／（勿）＝卿3＋2016喇’
则／（卯）＝3卿2＋20l6＞0’
所以∧卯）在R上单调递增’且∧〃）为奇函数.
由条件得,／（α20l3ˉl）＝-l ,／（α4ˉl）＝l
,
所以α20l3—l＋α4—l≡0’从而α4＋α20l3＝2,
又等差数列｛α″｝的前项和为S″’
20l6（α1＋α2016）
20l6（α4＋α2013）
所以S2016
＝
≡
≡
2
2
20l6,
因为／（α20l3ˉl）＝ˉ1’／（α4—l）＝l’／（厕）在R上单调
递增’
所以α4—l＞α20l3-l’即α4＞α20l3.
故选Dˉ
l2。C
试题解答:根据数列前几项’归纳出通项公式α″＝
√67『ˉ＝丁’所以令√67『＝可＝9解得″＝l4.故选C.
13.αn＝2几-l
试题解答:由∧ˉ狐）＝eˉ躯ˉl
1ˉe＂
＝
｜
因为“Ⅷ＝g（÷）＋g（÷）个g（÷卜＋g（罕）’
｜
厕巨N＊’@
｜
则α卿＝g（罕）＋g（罕）＋g（罕）＋＝＋g（÷）
｜
n匡N＊’@
｝
O
＋@得
2癣Ⅷ
＝
｜g（÷）＋g（罕）｜
＋
｜g（÷）＋g（罕）｜＋…＋｜g（罕）＋g（÷）｜
（2nˉl）×2’
则数列｛αn｝的通项公式为α″＝2nˉl.
l42
0
~~
1＋αn
l＋2
试题解答;因为α＂＋l ＝Iˉ＝页rαl ＝2’所以α2＝Iˉ＝I＝
l
1
ˉ3’同理可得:α3＝-丁’α4＝丁’α5＝2’…’可得α厕＋4＝
侧＂,…鞠＝2×（＿3）×（—÷）×＋二l
则｛α″｝的前20l7项的积为（αlα2α3α4）504×αl＝1×2＝2.
l343
试题解答:因为α1
＝α （0 ＜α≤2）
’
α厕＋1
＝
~
~
‖
15
所以α2＝ˉα1＋3＝3ˉα巨［l ’3）.
@当α匡［l ’2］时’3—α巨［1 ’2］’所以α3＝ˉα2＋3＝α’
所以当n≡2∧ˉl’片巨N＊时,αl＋α2＝α＋3ˉα＝3,
所以S2kˉl＝3（A-l）＋α＝20l5’α＝l时舍去’α＝2时,
片≡672’此时厕≡l343;
当＂≡2k,A巨N＊时’αl＋α2＝α＋3—α＝3’所以S2∧＝M≡
7
20l5’片＝67l＋丁’不是整数’舍去｛
@当α巨（0,l）时’3ˉα匡（2’3）
’
所以α3＝α2ˉ2＝1ˉα巨（0’l）
’
所以α4＝-α3＋3≡α＋2e（2’3）,
α5＝α4-2＝α巨（2,3）
’
当″＝4片’片巨N＊时’
αI＋α2＋α3＋α4≡α＋3-α＋l-α＋α＋2≡6,
所以S4k＝6R＝20l5’儿不为整数’舍去;
当″＝4k-l’k巨N＊时,
α1＋α2＋α3≡α＋3-α＋l-α≡4-α’
所以S4Aˉl＝6（Aˉ1）＋（4-α）＝2015,舍去;
当n＝4kˉ2,A巨N＊时,αl＋α2＝3,
所以S4Aˉ2≡6（A—1）＋3＝20l5,舍去
当4∧ˉ3,k巨N＊时’所以S4kˉ2＝6（Aˉl）＋α＝2015’
舍去
综上可得:几＝l343.
故答案为1343·
1
试题解答:由递推关系可得:αnα＂＋l＋α″＋1＝α厕,
所以—上ˉ上＝l ’又上＝l’
αn＋1
αn
α1
】
『
】
』
刻为奇圈数.
g（卿）＋g（2—卿）＝／（则—l）＋l＋／（2—绷-l）＋l＝
／（“—1）＋／（lˉ茹）＋2,
由∧“）-闯为奇函数,所以′（鳃＿｜）十／（］—鳃）-0,所
｛
以g（鳃）＋g（2-鳃）＝2,
°259
l6
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据此可得数列｛六｝…为｜,公差为｜的等差数列｀
｜
＂-｜｀』-ˉ2时,＋≤＋不成立｀叮排除选钡c
l
｜
故选A.
上＝l＋（＂ˉl）×l＝厕’所以α＂＝了’
｜
试题分析:利用排除法:分别今α＝ˉl ’b＝ˉ2时’α＝l
’
α∏
l
l
｝
b＝-2时,即可排除选项B’C,D,从而可得结果.
则当″≥2时;卿:-÷＜″（″ˉ1）口了,
｜
4.D
据此有,α｝＋侧;＋侧; ＋…＋α;＂’ ≤1 ＋（」＿十）＋
｜
试题解答;因为”-2,Ⅱ-」时｀＋≤｝, （÷）,＜（÷）
,
（十—＋）＋‖亦ˉ赤）＝2—赤＜2,
｜
,o……
｛
所以可排除选项A,B,C。故选D.
很明显:α｝＋α;＋α;＋…＋α10l7＞α｝＝l
’
｜
试题分析:取绷＝2’γ＝l ’利用排除法’逐一排除即可得
则［α｝＋αi＋…＋α;0l7］＝l.
｜
结果
57
不等式的基本性质
｜
5.D
｜
试题解答:取α＝2’b＝4’c＝3’〃＝2’Ⅲˉα二0’cˉb＝—l.此
｝
时′—凰＞.ˉ』,A错误;取·＝2′0二3,赚＝ˉ｜’则上二且
l.B
α
2
,
试题解答:因为α＜b＜0’γ＝上在（—。。’0〉上单调递减’所
｜
几
｛
些-2.此时上＜些,R错误;取b＝3, ｛,＝＋,‘＝l ,《′＝
以＋＞十,A对;
‖
α＋卯
α
α＋卯
—］.b,-3.“徽-:,』.＜侧徽,c错谈』对于D,:＿;荆＝
因为…＜0,所以…—b＜0｀因为γ二＋在（ˉ鹤’0）上
｜
｜雕｝↓↑｛≤0,D爪赡
单调递减,所以六＜＋,B错;
｝
故选D.
因为α＜b＜0’γ＝｜嘶｜在（ˉ由’0）上单调递减’
｛
6.D
所以｜α｜
＞
｜b｜,C对;
因为…≤0,γ～暴住（—氢,0）上…减所以α』≥脐｀
｜
试题解答;÷＜÷≤0,
｜
当‘＜0时’÷＞＋＞0｀即…＞0,
D对
故选B。
∏
试题分析;先根据对应函数单调性进行推导,再根据推出的
｜
所以｜b｜＞｜α｜,αc＞bc,罕＞0成立′
不等式判断。
｜
此时0＜;＜l,
2A
试题解答:令u＝e撼—｜’u巨（0’＋的）’皿（卿）为单调递增函数’
｜
｜
所以l＂;＜O
l
则／（厕）＝g（皿）＝u＋—’u匡（0’＋的）’可知g（皿）在u巨
｜
｜
故选D.
Ⅱ
（0,l）上单调递减,皿匡（l,＋四）上单调递增’
｜
7.A
且当z＝l时u＝e虹ˉl＝l.
｜
试题解答:已知α＜b＜0’
因为复合函数同增异减’
所以觅匡（—函,l）时函数／（鳃）单调递减烫匡（l｀＋函）时』
｜
构造阔数γ＝＋则＋＞＋’故A正瞩
函数∧“）单调递增.
｜
√＝万＞√＝了’故B不正确;
所以函数／（卯）的最小值／（躯）mm＝／（l）
’
‖
构造函数γ＝2卯’故2α＜2b’故C不正确;
又因为卯＝0或卯＝2时／（匆）＝e＋eˉl
’
｜
构造函数γ＝卯3 ’故α3＜b3’所以D不正确.
所以／（”ˉl）＜e＋eˉ］即0＜“ˉl＜2.
｜
故选A.
解得所以1＜厕＜3.
｜
8.D
故选A.
｜
试题解答:根据对数函数的单调性可得logα20l8＞0＞
试题分析:先确定函数／（加）的单调性’则巨（ˉ钩’l）时单调
｜
logb20l8’logbα＜logcα’故A’B正确.
递减’卯巨（1’＋切）时单调递增;由题可知当厕＝0或厕＝2时
｝
因为α＞l ’0＜c＜b＜1,
／（卯）＝e＋eˉl ’根据函数／（则）的性质解不等式／（则ˉ1）＜e＋
｜
所以0＜cα＜bα’cˉb＜0’0＜α‘＜αb ’αˉc＞O
eˉ1 .
｛
所以（cˉb）cα＞（cˉb）bα,（α-c）αc＜（αˉˉc）αb’
3.A
｝
则C正确,D错误故选D
试题解答:利用排除法:
｛
9B
α＝＿l ’b＝—2时’α2＞b2与log÷｜α｜＜log÷｜b｜都不成立’
｜
试题解答:0＜0.64.2＜l ’70.6＞l,log0.67＜0’所以b＞α＞..
可排除选项B,D;
｜
故选B.
.260。
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l0.C
≡
｜
等式变形为止±匹ˉ上—（b＋m）αˉb（α＋″l）
″!（αˉb）＞
试题解答:由于0＜卯＜3’不妨取卿＝2,
α＋′′o
α
（α＋m）α
（α＋m）α
则log32＜1＜23＜32,
｜
0.找不满足不等式的正数α’b,m的值即可.
所以log3卿＜卯3＜3嚣.
｛
l6.m＜4
故选C.
｜
试题解答:由题意可得:2α＋4b＝2°＋22b≥2√2α .22b＝
］1.B
｜
2√】∏丁丽＝4’
试题解答:设三角形的三边长度为:6ˉ加’b’b＋矾（b＞矾＞
｜
｜
当且仅当α＝l′h＝＋时等号成立,即（2.十4』）mm＝4,
0）
,
三角形满足两边之和大于第三边,则:
｜
由恒成立的结论可得:m＜（2α＋4b）m｜n’
bˉm＋b＞6＋m＝b＞2′n’上＞2’
｜
即实数′n的取值范围是m＜4.
″〗
（6ˉm）＋（b＋m）＞b＝6＞0恒成立,
58
-元二次不等式
6＋（b＋m）＞bˉm＝b＞-2m恒成立,
｜
l.C
上ˉ1
最小边与鼓大边胸比愤;湍ˉ肯～｜ˉ立
｜
需髓i宝｜｝i｜『;腿迄!!.削刺集
″〗
′∏
｜
2’卯巨N｝
＝｛l’2｝.
闲为上＞2,所以辟＞＋｀很明显燎＜l ｀
｜
所以A∩B＝｛2｝
.
∏〗
｜
故选C.
所以最小边与最大边比值的取值范圃是（＋’l）
｜
试题分析;解踊个集合中的不等式求得两集合尤素,可得集合
故选B.
｛
A＝｛则｜l＜躯＜3｝’B≡｜l’2｝.再由交集定义可求得A∩B＝
l2.B
｜
｛2｝.
试题解答:因为α＝log52巨（0’l）’b二log÷2＜0’c＝e丁＞l’
｜
2.A
所以b＜α＜c.故选B.
｜
试题解答:关于绷的不等式卯2＋加“＜0的解集为｛躯｜0＜躯＜
l3.兰
｜
2｝’所以不等式卯2＋′m＝0的实数根为0和2’
4
斌题…帆…1 ｜≡士栅撼』÷割（…」带＋｜瞄…关系碍鹏≡ˉ（0带2）-ˉ2
｜
3.D
由＂躯）＋｜—鳃』｜≤÷,得露』—÷动篮）≤腮2ˉ＋则当缆二｜
｝
｜
试题解答;设p;鳃3孟4獭≤0的解集为A,所以A＝｛獭｜ˉ2≤
时石;可（｝）≤才’义＿;≤／（｛）≤:,从而可知∧l）＝
｜
气
‖
卯＜0或0＜卯≤2｝’设q:”2-（2′n＋l）卯＋m2＋′n≤0的解集
÷故答案为÷
｜
为B,所以B-｜鳃｜咖≤鳃≤咖＋l
｜,出题知p是0的必要不充
试题分标将慰…｜代入…件…等式』缝令绝
｝
分条作即得厨是州胸真子集,所以有｛瞬｛皇2
＝0＜m≤l
.…蹦…÷霉汕霉÷—÷霉川｜霉÷｜
＂｛湛L;叭ˉ—…≤＿」
从漏可得j（l）-÷
｜
综上可得m匡［ˉ2,ˉ1）（ˉ」（0’l］.故选D.
l4.α＞b＞C
｜4C
试题解答:α＝log32＋l,b≡log52＋1’c＝log72＋l,
‖
试题解答:由题意’不等式α绷2＋2α卯-4＜2如2＋4则,可化为
而log32＞log52＞log72,故α＞b＞c.
｛
（α-2）鳃2＋2（α—2）卯＿4＜0’
l5. l’2,3（只要填出0＜α≤6’m＞0的＿组正数即可）
｜
当αˉ2＝0’即α＝2时’不等式恒成立,符合题意;
试题解答: 由h土皿＞上可得h±卫1
上＝
｜
当αˉ2≠0时’要使不等式恒成立’
α＋刀〗
α
α＋′n
α
Ⅷ…—』…』“（艘ˉ川≥0能够说帅…翘、｛i二‖▲2）』…（…α
目＝
（α＋m）α
（α＋m）α
＂—组正数…的值.只需满足不筹式舟瑞＜0的
剧
解得＿…2,
｜
综上所述’α的取值范围为（ˉ2’2］.故选C.
＿组正数α,b’m的值即可.故答案不唯＿ˉ可取l’2,3.
0
｛
5.A
试题分析:能够说明p是假命题的一纽正数α’b, ′n的值,
｜
｜
试题解答:由″2—2α惩＋3＞0恒成立’可得
就是不满足不等式h土皿＞上的正数α’b,m的值’故将不
｛
当α＝0时’3＞0恒成立;
α＋″〗
α
.261
°
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｜
所以实数咖的取值范围是（÷.÷）
当砌羡0蹦,｛i段｜2侧≤α
解得0＜α＜3.
综上可得’0≤α＜3若“″2ˉ2α箍＋3＞0恒成立》’为假命｜
故选D
｜
试题分析:根据题意可得g′（则l ）＝g′（绷2）＝吕12」—三旦1q｜—
题’则α的取值范围是α＜0或α≥3.故选A.
2
6。D
｜
÷—帆′从雨得方程鳃2—砸＝÷ˉ刚在圆涧（0’2）内有畸
试题解答:因为关于“的不等式＂2ˉ（α＋1）卯＋α＜0可化
｜
为（如ˉl）（卯-α）＜0’
｜
个不同的实数解’然后利用二次函数的性质求出m的取直
当α＞l时’不等式的解集为l＜卯＜α’
｜
范围.
当α＜1时’不等式的解集为α＜卿＜l’
｜
13.
｛卿｜ˉα＜卯＜3α｝
要使所得解集中至多包含2个整数’则α≤4且α≥ˉ2’
｜
试题解答:由绷2-2α加ˉ3α2＜0.（″ˉ3α）（腮＋α）＜0’ ｜月
所以实数α的取值范围是α巨［ˉ2’4］.故选D.
｝
为α＞0’ˉα＜3α’所以不等式的解集为｛~Ⅺ｜ˉα＜卯＜3α｝.
｜
故答案为｛卿｜—α＜则＜3α｝
.
7.B
试题解答:因A＝｛γ｜γ＞0｝’B＝｛卯｜ˉ2≤厕≤3｝’故A∩B＝
｛
l4.6
｜
试题解答』因为圃°蔚,斗-｜—亨弧M＝｜竿刹-］ˉ
｛Ⅺ｜0＜鳃≤3｝.故选B.
8D
▲
▲
试题解答;脚A-｛鳃｜0＜2鳃＿1≤｜
｝｀愿二｜醚｜3鳃』—2蕊≥0｜,
｜
粤…＝3…十压iM二…（删—:）二粤.因为0＜
＂叫二｛鳃｜＋…｝,‘-｛鳃卜＝0或鳃≥÷｝』所以0触‘～
｜
｜
川＜丽,所以Aˉ÷＝÷,A＝子
｛鳃｜0≤瓢÷｝则A∩（M）三｛撼｜÷…÷｝故选∏
｜
又△“c的内切圆面帜为丽｀＂M〃C的山切圆半径′二｜,
｜
则…的面帜肘-÷（叶‖…-＋』…
9.D
斌题解答;因…｜＿｜…｜｜咽十÷…｝断
｜
断以…≡粤……可得
以A∩B二卜｜÷＜蜒＜1｝敞选u
｜
“:二』…2—2』…-脐杠』—b′.将鹏-粤蜒＿（』＋《｜
l0.B
试题解答:因为A＝｜卯｜躯2＋3卯ˉ4＞0｝咎A＝｜m｜则＞1或绷＜
｜
代人整理得
｜
;（bc）2ˉ√iMb托）＋3b‘-0,即÷b…＝旧（h＋‘）≥
ˉ4｝,B≡｛γ｜γ≤2｝’所以A∩B二｛卯｜l＜“≤2｝.故选B.
ll.D
试题解答』酗二｜鳃霍N｜鳃≤2｝,周二｜鳃｜0…3｜,故州∩周～
｝
2砸解得砸≡乎（舍）,
｛0’l,2｝.故选D,
—〉
｜
√J万≥2徊’即bc≥l2（当且仅当b＝c时取等号）’故AB.
l2.D
｜
元-b…＝÷bc的最小值为6
试题解答;因为g（鳃）二÷蜒］＿苦氮2,
｜
故答案为6.
所以g′（鳃）＝卯2-′n如。
｜
l丘（ˉ如’ˉ3］O［3’＋切）
因为函数g（匆）是［0’2］上的“双中值函数”’
所以存在鳃! ｀腮2（0＜厕｜＜腮2＜2）使得g′（狐1 ）＝g′ （膊2）＝
｜
试题解答;因为／（卿）＝卯3＋α箍2ˉα2卿＋l
’
｜
所以′（则）＝3卯2＋2α狐ˉα2.
凰（2）二直1山-÷ˉ帆’
｜
义函数∧鳃）在〔—l ｀l］上单调递减
2
所以方程蕊2—″＝丁ˉ厕在区间（0,2）上有两个不问
｝
所以′（瓢）二3腮:＋2鳃ˉα2≤0在［ˉl ’l］上恒成立.
』
所以‖（∩｜」丁瞒家0~＂｛:i土滤;
的解’
4
｜
解得α≤ˉ3或α≥3.
令h（财）＝卯2—m腮＋加ˉ了’
｜
所以实数α的取值范围是（ˉ。。’ˉ3］（ˉ」［3’＋切）.
…2ˉ4（砸＿÷）≥0,
｜｜6｜平华）
h（0）-咖—÷＞0,
｜
试题解答:由题意得直线BH的方程为3鳃＋γˉ3＝0.
8
则.
解得÷…丁
｜
设点P（砸,＂）（0…l）,M鳃,γ）
’
h（2）＝÷—m＞0,
｜
因为点M是线段PⅣ的中点,
＝0＜号＜2,
｜
所以点删的坐杯为（罕｀宁）
.262°
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又M’Ⅳ都在半径为厂的○C上,
（卯—3）2＋（γ-2）2＝产,
｛（竿—」）』（宁—』）!≡＾
所以
＂｛腻i;｛吼芦）…
因为关于躯’y的方程组有解’即以（3’2）为圆心’′为半径
｜
的圆和以（6ˉ′n’4-厕）为圆心’2′为半径的圆有公共点’
｜
所以（2厂ˉ′）2≤（3ˉ6＋m）2＋（2ˉ4＋n）2≤（2厂＋′）2’
｜
又3加＋川—3≡0,
所以产≤l0m2ˉl2m＋10≤9r2对任意的m匡［0’l］恒成立.
｛
设∧顾）二｜0测2ˉl2耐＋｜0,测匡［0’l］则有普邹咖）≤l0,
｜
敝产≤普且9卢≥lo
又线段BH与圆C无公共点,
所以（mˉ3）2＋（3ˉ3′nˉ2）2＞产对任意的m匡［0’l］恒
｜
~
‖
成立,所以产≤手
综上可得粤≤＾￥,所以哑≤′≤垒—狈｀
即。C的半径′＂取值范阔是［哑,平）
试题分析:求出直线BH的方程设出点P’Ⅳ的坐标P（′＂’
｜
″）（0≤m≤l）’Ⅳ（卿’γ）’结合题意得到点M的坐标’然后
｜
根据点″’Ⅳ都在半径为′的○C上得到关于则’y的方程
｜
组’将方程组有解转化为两圆有公共点处理’进而得到关
｜
于m’″,r的不等式恒成立’利用函数的知识求得值域后可
｛
得产≤普且9产≥l0,再利闹线段B〃与圆c无公共点,即
｜
…圆搁离可得产≤￥,于是可求得平≡坐—狸｛
59
线性规划
C
试题解答:
所以庶的取值范圃是｜—＋,l｜
故选C.
试题分析:作出题中不等式组表示的乎面区域’得如图中的
△ABC及其内部.将目标函数z≡脉—y对应的直线进行平
移,当且仅当′经过点C（3,l）时目标函数z取到最大值,由
此观察直线』的斜率的范围’结合斜率计算公式’即可得到
／的斜率k的取值范围
D
试题解答:作可行域’因为z＝L逞表示可行域内的点P到
卯-α
A（α,＿2）连线的斜率’B（2’0）’C（4,-2）,因为目标函数
霞-麓的取值范围为［0,2）,所以0≤她＜2,所以α＜L
故选D
勺
≡
γ4
2x弓yˉ4＝（）
-2Vˉ8
—了
＝0
O
~
~
~
~~~~~~~~
C
7
·
~~
∑
］
／
＋
汇
试题分析:先作可ˉ行域,再根据目标函数代表斜ˉ率的几何意
义.结合图象确定实数α的取值范围.
3.B
试题解答:根据题中所给的约束条件’画出其对应的可行域
如图中阴影部分所示:
加ˉγ-l＝0
｜v
＼
~
~
解方程组可以求得三角形（阴影部分）三个顶点的坐标分
别为（l ,0）’（2,l）,（4’0）
,
根据三角形的面积公式可以求得S＝＋×（4—l）×l＝二
△
2
故选B.
试题分析:首先根据题中所给的不等式组’作出可行域’应
用三角形面积公式求得结采.
4C
试题解答:作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分
所示:
5＝（）
4↑γ
0
x＋2γˉ
＼
xˉVˉ2＝0
vˉ2＝0
2
0
≡了
9｝／
画出不等式组所表示的可行域如图中的△ABC及其内部’
｜
其中A（l’2）’B（4,2）’C（3’l）.
将直线′;
z＝脑ˉγ进行平移’
可得直线在y轴上的截距为—z,因此直线在γ轴上截距最
｛
小时目标函数z取到最大值’
因为当且仅当′经过点C（3’l）时’目标函数z取到最大值’
｜
所以直线／的斜率应介于直线AC的斜率与直线BC的斜率
｜
之间,
因为枷＝岩-—十,胀“二岩＝l
』
｀γ
x
263
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则A（α’α）’B（α,ˉα）
’
所以平面区域的面积s＝÷…二9解得侧-3,
此时A（3,3）,B（3,—3）
,
由图可得当z＝2卯＋y过点A（3,3）时,z＝2虹＋y取得最大值
9.故选C.
试题分析:先画出满足约束条件对应的平面区域,利用平面
区域的面积为9求出α＝3’然后分析平面区域的各个顶点,
即可求出边界线的交点坐标,代入目标函数求得最大值.
5。B
l
z
试题解答:由z＝鳃＋刀lγ得γ＝——嘶＋—,
m′
″l′
作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示:
~
~
~
要使可行域存在’必有m＜ˉ2′＂＋l,
平面区域内存在点P（施0’y0）,满足嘶0—2y0＝2,
等价于可行域包含直线γ＝÷聪—l上的点,
只要边界点（—m′ ｜ˉ2m）在直线γ二斗躯ˉ｜的上方,且
▲
y』
5
4
ˉ2
ˉ3
ˉ4
ˉ5
（—″』｀腮）征直线′二＋躯ˉl下方即可满足条件’
w〗＜-2m＋l
,
故得不等式组｜lˉ2Ⅷ≥—十″｝ˉl ,
｜
｜咖＜—＋刚—l.
解得帆≤ˉ÷,所以咖取值范围是（—函.—÷）故选B
2几＿γ＋l＞0,
｜;工贬‖‖……~
试题分析:先根据约束条件
使可行域存在’必有′＂＜ˉ2m＋l’要求可行域包含直线y二
÷卿—l上的点,只要边界点（ˉ鹏｀l＿2刚）在直线γ-÷‘
｜
5x
‖
因为z≡匆＋mγ的最小值是—5’
所以此时z＝卿＋my＝-5,
此时目标函数过定点Q（ˉ5’0）
,
作出匆＋my＝ˉ5的图象’
由图象知当′n＞0时’直线z＝卯＋′＂y经过B时’取得最小值
｛
＿5;
—l的上方.且（—″』,,＂）在直线y-÷鸳ˉl的下方』从嗣罐
当m＜0时’由平移可知当直线y＝ˉ上鞭＋三经过点A时’
｜
立关于m的不等式组’解之可得结论
刀0
刀〗
｛
7.B
目标函数取得最小值—5,此时满足条件’
｜
试题解答:当A＞0,B＞（）时’不等式A嘶＋Bγ＋AB＞0（AB≠
由｛茎1岸6｀
｜
0）表示的区域……Ⅱ捌′二0上方鄙分且含坐概『
｜
原点,即B;当A＞0’B＜0时’不等式A则＋By＋AB＞0（AB≠
解得A（2,4）
,
｜
0）表示的区域是直线A则＋Bγ＋AB＝0下方部分且不含坐
7
同时A也在直线卯＋my＝ˉ5上’代人可得m＝ˉ丁;
｜
标原点;当A＜0’B＞0时’不等式A卯＋Bγ＋AB＞0（AB≠（）
｜
表示的区域是直线A脑＋Bγ＋AB＝0上方部分且不含坐标原
由｛:i｝口←0,
｜
点;当A＜0’B＜0时’不等式A卯＋Bγ＋AB＞0（AB≠0）表刁;
｜
的区域是直线A厕＋Bγ＋AB＝0下方部分且含坐标原点故
解得B（l,-l）
,
｜
选R
同时B也在直线冗＋mγ＝ˉ5上,代人可得m＝6.
｜
8.B
则实数Ⅷ取值的集合是｛ˉ＋,6｝
“≥0,
［土域…川行.
｜
试题解答:由厕’γ满足约束条件
故选B.
试题分析:画出满足约束条件的可行域’求出目标函数的最
｜
｜
如图中阴影部分所示’
大值’从而建立关于m的等式’即可得出答案
l
z
｜
由z＝卯＋2γ’得y＝ˉ丁卯＋丁.
6B
｛;1!三｝厂＂咖…｝……尸券ˉ…↓
试题解答:先根据约束条件
｜
由图可知,当直线｝-ˉ十厕＋÷过点A时截距最大
中阴影部分所示’
264
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峨帧｛舞;世』解碍A（2,｜）.
试题分析:先作可行域,再求可行域内的点与（—2’5）连线
斜率的取值范围’最后求范围中绝对值的最大值.
ll·B
｛完二｜柞幽…·
试题解答:由约束条件
所示:
‖
所以z≡则＋2y的最大值为2＋2×l＝4
故选B
‖
ˉl
ˉ2
ˉ3
~
~
~
Ⅲ;「
0
试题分析:由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程
｝
的斜截式’由直线方程可知’要使‘最大’则直线在γ轴上
｜
的截距最大,结合可行域可知当直线z≡如＋2y过点A时z
｛
最大’求出点A的坐标,代入z≡见＋2y得答案
9.B
试题解答:作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分｝
所示:
峨立｛舞江〗‖,解碍｛｝二l＂刹（0,2）;
瞬蔬｛谅2-0,解得｛》二i即′（2｀0）
诺的几何意义为可行域内的动点与定点C（＿2,—l）连
线的斜率
】
因为腮“-;≡｛≡当｝-十.卿‘-;≡｛≡i｝-;
.
所以出的取值范围是｜＋’÷｜
故选B
试题分析;由约柬条件作出可行域,再由诺钩几何意义,
即可行域内的动点与定点（-2,—l）连线的斜率求解.
C
】
～
~
~
~
~
~
~
2
l
0
／P
｜
2
4＼（
3
上表示区域中的动点D（如’γ）与O（0,0）连线的斜率,
卯
故l≤ˉ』Lˉ≤3,
卯
故ˉl≤｜°g＋＋≤0,故选且
试题分析:画出二元一次不等式组对应的可行域’把上看成
｜
卯
可行域中的点与原点连线的斜率后求出其范围即可得z的
‖
范围.
l0.A
试题解答:作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分所
｜
示,‘（3,｛）,c（7,,）,则蛊表示可行域内的点与A（ˉ2’
｝
5）连线的斜率,其范囤为［枷,陶‘］＝院.捂｜-
｝
［ˉ÷,;｜.因此｜蒜;｛的最大值为÷故选｀
2Xˉγˉ5＝0
l2
〔三三严……＂
试题解答:作出
分所示.
］／＝x
＼
＝
／｝八
~X
2
＋）′＝
变形目标函数,
霞ˉˉ」旦塑ˉ二Lˉ,
≈-
｀／Fˉ干7—～
√鳃2＋广
＼
□
‖
′
γ
’
卯
／
『
＼
■
）
］
’
何
（
ˉγ＋2＝0
γ
＝2cos0,
√（√可）2＋（—l）2 .√Pˉ干7
其中0为向量α＝（何’ˉl）与b＝（卯’γ）的夹角’
由图可知’b＝（2’0）时β有最小值号,
b二（塑』》）任直线γ-躯上时,β有最大值:＋于-晋,
』
／＼Ⅱ
x＋］／ˉ4＝（）
／
265
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l5.5
试题解答:画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分
所示,
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最
小值,
螺立直线方耀;｛谗占‖,可得点蛔坐际为刹（1
l）’据此可知目标函数的最小值为zmi∏＝如＋2y＝3＋2）〈
l＝5。
即÷≤0≤晋.所以鼠≤2酗曾÷-何,
∩懦蹿数＝强亲的…陶…‘
试题分析:画出可行域’将目标函数转化为向量α＝（何’
｜
ˉl）与b＝（则’γ）的夹角的余弦值,结合可行域可ˉ得结采
｜
l3｜ˉ÷』;｜
试题解答:如图所示:
4
＼2
‖
）
～
］
‖
～
≥坞尸2
』』霄＼≤＼
上的几何意义表示可行域内的点与原点O（0’0）连线的斜
｜
卯
率’所以koc≤ˉ匹≤∧oA.由题意得A（2’3）’C（4’—l）,
卯
勋‘＝—÷｀k〃二;’所以÷ˉ匡｜ˉ÷｀÷｝
试题分析:先画出可行域,利用ˉ坠的几何意义求解.
卯
l4-2
l6÷
试题解答:作出可行域如图中阴影部分所示’则z＝卿2＋）2
的最小值为原点（）到直线惩ˉ2γ＋l＝0距离的平方’即为
（忘）』÷
2xˉV＋2＝0
l＝0
｜三｛割衰轰…灿
试题解答:画出约束条件
图中阴影部分所示,
’√
试题分析:先作可ˉ行域’再根据目标函数表示可行域内的
点到坐标原点距离的干方,结合图形确定最小值取法。
60基本不等式及应用
C
试题解答;因为＋＋＋＝l（α＞0,b≥0）,
所以α＋h＝（α＋』）（＋＋＋）-2＋÷＋;≥2＿
〕
∑
／
√
I
＼
卞
3
4
5
x
ˉ2
ˉl
（）
ˉl
l
‖
由｛j土｝上｛-0,可得｛旦］—除｀
｜
所以α＋h＝（α＋』）（＋＋＋）-2＋÷＋;≥
将＝鉴…为Ⅱ＝＋恃｀平…＝÷蚌÷｜喘÷～4.鄂且仅驾…蹦…;
由图可知当直线γ＝—÷＋÷经过点（1 .ˉ｜—k）时’
｜
所以α＋b的最小值为4.
直线在γ轴上的截距最小’根据z＝绷＋2y的最小值为3可
｜
故选O
｜
试题分析:利用常数代换与基本不等式的性质即可得出
得l—2＿2k＝3,
.
｜
2.A
解得人＝-2故答案为-2
试题分析;…行域.将·-翼十2γ…′-—十蜒＋
｜
试题解答;因为（÷ˉ｜）（÷—＋）＝（4ˉⅧ2）（4＿″2）
二二
2′Ⅶ2几2
（2＋′川）（2＋′!）
8＋′Ⅶ′〗
＝二
2mⅦ
（2-∏1）（2＋″l）（2-′l）（2＋n）
÷.乎穆直线γ＝ˉ÷腮十÷由图可彝当直γ＝ˉ÷厕＋÷
经过点（l,-1-片）时,直线在y轴上的截距最小,根据z＝
“＋2y的最小值为3列方程求解即可.
~
~
~~
’
＝
几
’
＝
矾
∑
2′n门
4
l
—＋2
,
mJ1
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脚为＂＂≤（竿）』-l ’当且仅冯呵-＂＝l时取等号,所以
｜5D
｝
试题解答:设BC＝α’CC｜＝b’则αb＝4扛
（÷ˉ｜）（÷＿十）的最小值是4＋÷
｜
底卤＝角形外擦圆的半擂为『则露i＂÷0.-勘』所以′二亨“
故选A.
｝
设三棱柱外接球的半径为R’
试题分标施…件化简（÷ˉ｜）（;＿＋）,…篓
｜
所以碍-（』）』（争「÷等
本不等式求最值.
｜
≥惜等≡懦-4｀
3.B
试题解答:因为∧α）＝∧b）’所以｜lgα｜＝｜lgb｜
’
｜
所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4∏×4＝l6∏.
所以lgα＋lgb≡0’即αb＝l,
｜
故选D.
（志「-°十炭2＝
｜
］
!
｜
试题分析:先求出底面三角形的外接圆的半径r’再求三棱
α＋上＋2＜】ˉ百＝4
’
｜
柱外接球的半径R’再利用基本不等式求R2的最小值’从
α
｛
而求出外接球面积的最小值.
所以″二｜°巍（志）』＜ˉ2,
｜
6.B
｜
试题解答:闽为正数α,b满足÷＋十＝］
｀
义牛Ⅱ＞￥二＋,所以竿≥＋≥（志）』｀
｜
所以b＝六＞0,解得α＞l
所以″＝lo题侧2;62＞ˉ2,
‖
同理b＞l.
即M＞Ⅳ.
｜
所以—上＋
9
~／
又因为Q-ln去-—2.
“—1
所以″＞0＞Ⅳ.故选B.
′
l
｀2
｜
6,当且仅当9（侧—l）＝六』即α＝÷时筹墙成立
试题分析』利周基率不等式可以得川-!＂:』（旧＋亿）
＜
｜
｜
所以吉＋古的最小值为a
ˉ2｝卿-h题竿＞—2’缝誉0-!u÷＝…可得
｜
敝选＂
结果.
｜
试题分析;由÷＋＋-｜得b＝★＞0｀由此可得＂＞l,
4A
试题解答因为午-黑,
｝
b＞l,将h二六代入所求值的式子中’利周基奉不等式可
｛
求得最小值
所以（2α-c）cosB＝bcosC’
｜
7.C
由正弦定理得（2sinAˉsinC）cosB＝sinBcosC’
所以2s｜nAcosB＝smCcoSB＋s［nBcosC＝s｜n（B＋C）＝
｜
试题解答;因为｜荫｜＝√可下页二2’ ｜耐ˉ蓝｜＝｜荫｜’又因
→—〉
—≥
slnA.又sinA≠0’所以cosB＝上
｜
为｜AFˉM｜＝｜EF｜＝｀／冗2＋广＝2’所以厕2＋广＝4,因为
2.
｜
（则＋y）2＝卯2＋y2＋2财y≤2（厕2＋γ2）＝8’当且仅当卯＝γ时
因为0＜B＜丽’所以B＝÷
｜
取等号’所以鳃＋y≤2√百,即则＋y的最大值为2徊故选o
｛
8.B
由余弦定理得b2＝16＝α2＋c2—2αccos工＝α2＋c2ˉαc≥
｜
试题解答:由函数／（则）＝α卯2＋6绷,所以／（卯）＝2α厕＋b,
3
2αc—αc≡αc’
｜
由函数／（则）的图象在点（l’／（l））处的切线斜率为2’所以
所以αc≤l6’当且仅当α＝C时等号成立。
｜
／（l）＝2α＋6＝2’
所以N…-十…晋-÷添l6×粤＝4厄
｝
所以铲-＋＋:二＋（÷＋:）（2感＋b）-
｜
÷（｜0＋÷罕）≥÷（川叼÷罕）-÷（l0带s）-
故△ABC面积的最大值为4扛
故选A.
试题分析;…式于…庭…厨-乎.…赣震
｝
9（蛆仅当÷-芋即鹏-＋》b-÷时等…）
〕
｜
所以宁的最小值为9故选凰
理可得αc≤l6’然后再由三角形的面积公式可得结果.
267
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当且仅当b＝2α-士时取等号’所以表达式的最小值为l6
故答案为l6.
l4. l
试题解答:因为∧卯）＝e躯＋4eˉ“ˉ3’
所以／（则）≥2√e“ .4e—“ˉ3＝1
当且仅当e腮＝2,卯＝ln2时取等号,
因此／（则）的最小值为l
l5. （ˉ的’2徊ˉ3］
′7
试题解答设／（鳃）二叶六二（鳃＋3）＋亩—3.
因为卯＞ˉ3,所以腮＋3＞0,
~／
勺
故／（x）≥2√（蕊＋3）×—二ˉ3＝2徊—3’
卯＋3
当且仅当卯＝徊ˉ3时等号成立’
所以α的取值范围是（ˉ的’2抠—3］.
l6（丽二乌）2
9.A
试题解答;因为÷十,＋成等差数列,所以÷＋＝l
所以“＋9b＝（α＋9b）（÷＋＋）＝l0＋;＋￥≥l0＋
｜
帐￥二］6当且仅当;-乎且÷＋-1,即α-4.‖-
｜
÷时等峨成立故选A
l0.D
试题解答:因为厕lg2’lg√Zγlg2成等差数列’
所以2lg徊＝（厕＋γ）lg2,所以腮＋γ＝l
’
所以上带丛二（叶y）（＋÷）≥｜0十2√÷乎～l0＋
俐
卯
γ
6＝｜6,当且仅驾剿二而,y-片时取等号.故÷÷的最小
｜
值为16.故选D.
ll.A
试题解答:因为α＞1 ,b＞l’m＝logα2,″＝logb2’所以m＞
｜
0,″＞0｀喘-湍＋÷-呵＋呵页＝l＂蹦α刊＂戳b-
｜
l
l
（2f』
｜og:（α偷）≤h蹿（宁）2＝｜,g2
＝l当且仅当侧二』＝
｜
√面时取等号.故选A.
l2.B
试题解答:由题可知抛物线躯2＝4γ的焦点为F（0’ l）’所
｜
以臆″』＝面—＋’过F,F｜的直线方程为γ—l＝
l-0
仁≥川~＿
｜
——L（卯—0）＝γ＝ˉ上绷＋l ’联立方程组
C
C
l6
试题解答:因为2sin2（如＋y—l）＝
（觅＋l）2＋（γ—l）2—2卯）
冗-V＋l
所以2sin2（z＋γ-1）
则2＋2卯＋l＋γ2ˉ2γ＋lˉ2卯γ
＝＝
卯—γ＋｜
所以2sm2（勿＋γ＿l）＝（勉ˉγ＋l）2＋l
卯-γ＋l
l
＝卯-V＋l＋
卯一γ＋l’
l
如-γ＋l≥2,或绷-γ＋l＋
由基本不等式可得“ˉγ＋l＋
l
卯-γ＋l≤＿2
所以2sin2（匆＋γˉl）≥2,由三角函数的有界性可宿
2sin2（卯＋γ—l）＝2,此时“—γ＋l≡l ,即如＝γ.
所以sin2（卯＋γ-l）＝l ’即sin（则＋γ—l）
二; ±1’
所以诞＋yˉl＝肺＋芋,附巨Z’故x＋γ＝k＂＋:＋l
’
▲
解得鳃-粤＋矛＋＋二y,
故甄y＝（粤÷＋＋）2,
缅2＝ˉ▲鳃＋4＝c“2＋4卿ˉ4c＝0’
C
解得z＝ˉ2±2√l＋c2’由题可知’绷l
‖
ˉ2＋2√Iˉ干了页
~
〔
〔
—2＿2／1带‘』（舍去）＼义山鳃2-4γ＝y』-÷鳃＼
卯2≡因此隐-÷×（ˉ2＋2／…Ⅺ）-ˉ1十《!带〃』’又由题可
知ˉl＋√Iˉ干百×（ˉ打）＝ˉl＝c＝旧’即得α2＋b2＝3’
当庶-ˉ｜时,xγ的最小值为（丽青）』
故答案为（丽蒜）乌
C
义α2＋b』≥2侧b＝3≥2“…≤÷’当＂仅当感＝b-等时
｜
取等号,即（αb）…＝÷故选B
▲
l3. l6
试题解答:因为α＞0’b＞0’函数／（匆）＝αlOg2卯＋b的图象
｜
经过点（4,＋）,
所以2α＋b-÷则÷＋÷二2（÷＋÷）（2α＋b）＝8＋
2（:＋竿）≥8＋州÷￥-』‘｀
.268
］
＋
∩
兰
＼
□
‖
／
■
‖
儿
＋
γ
久
′
Ⅱ
‖
｀
试题分析:配方可得2sin2（觅＋γ＿l）＝
~
~
冗-′γ＋l
”ˉ｛＋｜,…不…得撼ˉγ十｜＋
｜
卯-γ＋l≥
卯-γ＋1＋
2’或卯—γ＋l＋
l
卯一γ＋1≤-2,进而可ˉ得sin（躯十γ-l）≡±l
躯＝午＋哥＋÷-γ｀由此可得狐γ的表达式,邹＝—l时‘
可得最小值.
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6l
命题
对于o’p假且q为真时’可知其错误;对于@’由干面向量
数量积的几何意义可知其正确.
4.B
试题解答:o若／′ （绷0）＝0’则卯＝卯0不—定是／（嘶）的极
值点,
若则＝嘶0是／（腮）的极值点’则／′（″0）＝0’
故p是q的必要不充分条件’故@正确;
@实数G为实数α’b的等比中项’则G＝±｀／丽’故@正确;
◎两个非零向量α与b若α.b＜0’则α与b的夹角为钝
角或平角’故o错误;
@平面内到一个定点F和＿条定直线′距离相等的点的轨
迹’当定点不在直线上时轨迹C为抛物线,当定点在直线上
时’轨迹C为直线’故@错误.故选B.
试题分析:根据极值点的性质’等比中项的定义,向量夹角,
抛物线的定义逐一分析给定四个命题的真假’可得答案.
5.A
试题解答:对于A若复数z1二百2’则z! .z2＝z2 .z2＝｜z2 ｜2巨R’
故A正确;
对于B’取z＝j’则z2＝ˉl巨R’而z医R’故B错误;
对于C,取zl ＝l＋i,z2＝1—i’满足｜zl
｜
≡｜z2
｜,但不满足
zl＝z2或z1≡ˉz2,故C错误;
对于D’取舅｜＝l＋i’z2＝lˉi,满足z1＋z2巴R’但不满足
zl巴R,z2匡R,故D错误故选A·
试题分析:由复数的基本概念及基本运算性质逐一核对四
个选项可得答案.
6.A
试题解答:根据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示:
l.C
试题解答:@X～Ⅳ（1 ,l）’曲线关于卯＝l对称’所以P（X≥
｜
3）＝o5—u罕4＝u022s,原命题证确
@可知0＜α＜l ’所以α0＞αα＞αl
’
即l＞αα＞α,
所以α］＜αα.＜αα’即α＜αα＜αα,原命题错误
o将γ＝2媳n（蜒＋÷）的图象向右平移÷个单位得到函数
｛
′＝2馏＂［（腮ˉ晋）＋晋｜-2［an“的图象｀再将所得图象的
｜
横坐标不变纵坐标缩短到原来的÷’可得到γ＝…的阎
｜
象.原命题正确.
~厅
@因为0＜鳃＜l ’所以／′（蕊）二3狐2ˉ翻二0得卿弓√÷,
义…］所以0朽＜｜,可知∧甄）在（0｀仔）上掣调
｜
遮减在（仔』｜）上单调递增
则函数∧则）＝则3ˉα绷（0＜卿＜l）有最小值无最大值’原命题｜
正确。
综上可得’正确命题的个数为3.故选C.
2.B
试题解答:根据向量加法法则以及三角形三边大小关系得’
｜
｜α＋b｜≤｜α｜
＋｜b｜
.
因为α·b＝｜α｜
. ｜b｜Cos0,
所以｜α。b｜
＝
｜α｜
·
｜b｜｜cos0｜≤｜α｜
。
｜b｜.
因为α.b＝
｜α｜
. ｜b｜cos0,α,b共线时cos0＝±1,
所以α。b＝±｜α｜｜b｜
,
因为α＝（l’l）’b＝（ˉl ’l）＝蛔.b＝0’所以B错误.故选B.
｜
试题分析:先根据向量加法法则以及向量数量积定义说明
｛
A,C’D正确’再举反例说明B错误.
3.B
试题解答;对于o,因为嘲＝;时函数／（瓤）＝息ln（2则＋鹏）是
｜
偶函数’故@错误;
对于@’“若卯＝γ’则sin卯＝sjny”的否命题是·‘若卿≠y’则
｜
sin卯≠sinγ”,
令″＝60°’γ＝l20°’可得到@错误;
对于◎’p假且q为真时’p或q为真’可得到p’非q均为
｜
假’故◎错误;
对于@’由平面向量数量积的几何意义可知若“α与b夹角
｝
为锐角,’ ’则‘α·b＞0’, ,
若“α.b＞0”’则‘‘α与b夹角不＿定为锐角”（同向时夹角
｜
为0）’故@正确.故选B.
试题分析;对于o,帜二苦时可知其错误;对于@’今＂＝
｜
90。,γ＝270。,可知其错误;
。269
＼i
3
2
｜
l
｜
｜
L-
-4-3-2＝lO
≡″≡一l
-2
~
~
l 23
56x
由阁叮得’γP匡α,γ≤0,故′｜正确,则p;错误;令′＝÷＂
—γ｀即γ二÷腮—篷,由图可得’当直线γ-÷腮＿鸳经过点（4,
l
0）时’直线在γ轴上的截距最大’此时z最小’则zmin＝丁×
4＝2’故p2正确’′〕4错误故选Aˉ
7.A
试题解答:命题“若卯2-3嘶＋2＝0’则腮≡l’’的逆否命题为
“若卯≠l’则卿2ˉ3虹＋2≠0,’ ;若‘‘p且q”为假命题’则p,q
至少有＿个为假命题;若命题p:〕卯0巨R,使得卯02＋卯0＋l＜
0,则司p:γ加≡R,均有如2＋卿＋l≥0;z＞l是如2＞1的充分
不必要条件ˉ故选A.
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l2B
试题解答:“】匆0巨R,ex0≤0’’的否定是“＼／x巨R’e”＞0,’
’
故A错误;α＋上≥2恒成立的充要条件是α＞0’所以“α≥
α
l”是“α＋上≥2”的充分不必要条件’故B正确;当α上γ,
α
β上γ时,α与β可以相交,故C错误;几何概型不满足,故
D错误故选B
l3.@o@
试题解答:@已知随机变量占服从正态分布Ⅳ（以’α2）’若
｜
p（皆＜2）＝P（占＞6）＝0. l5,则队＝4,根据图象的对称性得
｜
到则p（2≤占＜4）等于0ˉ35’故不正确;
｜
篱设铡ˉ｜｜（…）…』—.↑）‖←故汇磷
」0
l0
｜
翻二啊式（古ˉ慰:）的腿汁式中的…c『＂燕, （—］）′.
5厂-I0
｜
当r＝2时就是常数项’代人得到45.故正确
｜
@已知厕巨（0’4］’则满足lOg2卯≤l的卿的范围是0＜狐≤
｛
2’概率为0.5.故正确.故答案为@◎@.
｜
l4.@@
｜
试题解答:@由于则＞0’γ＞0’所以卯＋2γ≥2√z7’当且
｜
仅当卯＝2γ时取等号.故绷＝2’γ＝l是卿＋2γ＝2√页可日」
｜
充分不必要条件.@α＝l. 1’绷＝l.2l时’不等式成立’故正
｜
确.e》（绷）可以小于零’但是必须有大于零的部分’且／（则）＞）
｜
的曲线围成的面积比／（卯）＜0的曲线围成的面积大’所以
｝
不正确.@由sm（A＋C）＋2slnBcosC＝2sinAcosC＝ˉ
｜
cosAsinC,所以2sinBcosC＝slnAcosC,所以2slnB＝sin‘4,
｜
26＝α’而不是A＝2B.◎按定义可得轨迹方程γ2＝4卯’（｝l
｜
还有γ＝0（鹏≤0）这—都分故答案为o°
｜
l5.@o@
｜
试题解答:@因为／（则）＝3″＋αˉ1在区间（ˉl,l）上存
｜
在＿个零点’
｜
所以／（ˉl）.／（l）＝（ˉ2α—l）（4αˉl）＜0,
｜
解得鹏＜ˉ＋或侧＞士,故o错误;
▲
｜
@若‘‘b2＝αC”’则α’b’c不＿定成等比数列’例如α＝b＝c.;
｜
0,但;侧,b,‘成等比数列′则有÷-÷.所以』』b2＝″′′成
｛
立, ‘‘b2＝αc”是“α,b,c成等比数列”的必要不充分条件,
｜
故@正确;
｜
O由图可知’单位圆O中’S△oBc＜S扇形oBC＜S△oBA’
8°B
｜
I
试题解答:全称命题“γ则巨M’p（卯）”的否定是“】卯巨M’
｜
司p（则）”’故命题“b′“巨R’e＂＞0”的否定是‘‘］则巨R’e篮≤
｜
0”,A错;命题‘已知厕’γ匡R’若腮＋y≠3’则狐≠2或y≠l”
｛
的逆否命题为‘‘已知卯’γ匡R’若绷＝2且γ＝l’则卯＋γ＝3”’
｜
是真命题’故原命题是真命题’B正确; ‘‘厕2＋2卯≥α厕在鳃匡
｜
［l ’2］上恒成立’,.“对于绷匡［l ’2］’有（卯＋2）min≥α”’由
｜
此可知C错误;命题‘若α＝ˉl ’则函数／（卯）＝α财2＋2绷ˉl
｝
只有＿个零点”的逆命题为‘‘若函数／（匆）＝α卯2＋2绷＿l只
｜
l
有＿个零点’则α＝ˉl』, ’而函数／（腮）＝α嘶2＋2瓣ˉl只有＿
｜
个零点.α＝0或α＝ˉl’故D错故选B.
试题分析:根据题意由命题真假的判断结合题意逐一判断
｜
即可得出答案
9.D
试题解答:对于选项A’命题“若绷3ˉ3卯＋2＝0’则腮＝l”的
｜
否命题是“若“3ˉ3卿＋2≠0’则则≠l”’所以选项A错误
｜
对于选项B’命题‘］〃巨N’″2＞2n”的否定是“γn巨N’＂2≤
｜
2″”,所以选项B错误.
对于选项C’不能利用基本不等式求最小值’因为取等号的
｜
条件不成立只能这样;设‘＝√Pˉ再’》≥3’所以γ＝t＋上
｜
l
t
’
｜
所以′′＿1—÷-导≥0,所以腮数｀-叶＋在［…川
上是增阔数,所以′二3时阔数取最小值罢所以选项c
｜
错误.
对于选项D,由上＜l得α＞l或α＜0’由于α＞l或α＜0
｝
α
居α＞l｀′的必要不充分条件’所以』＋＜l｀』是』α＞l′』的必
｜
要不充分条件’所以选项D正确ˉ故选D
l0.B
试题解答:对于o’命题p;甲考试及格’q:乙考试及格’
』
司p:甲考试不及格,司q:乙考试不及格,
则·至少有一位学生不及格”可表示为（司p）γ（司q）’o
｜
正确;
对于@’命题‘』对γ绷巨R』都有绷2≥0’,的否定为‘‘】獭0.
｜
R’使得腮;＜0,, ’@正确;
对于o,若α＝号’则［anα＝何是真命题,它的逆否命题
｜
.若tanα≠灯则α≠于′也是真命题』◎错误;
对于@’α＞b时’不能得出αC2＞bC2 ’因为C2＝0时不成
｜
立,αC2＞bC2时,可以得出α＞b,必要性成立’
所以“α＞b”是“αC2＞bC2”的必要不充分条件’@正确;
对于◎.函数γ二血（芋＋腮）＝＿…它是｛禹函数,◎正
｜
确.综上’错误的命题序号是o’只有l个.故选B.
ll.B
试题解答;因为｜α＋b｜≤｜α｜
＋
｜b｜
; ｜α.b｜
＝｜α｜
.
｜b｜
.
｜
｜cos0｜≤｜α｜
.
｜b｜;（α.b）
. c≠α. （b
. c）’所以@正
｜
确’@o错误.故选B.
.270
-上si＂鳃.‘…‘!＝＋腮,sM‘』
设△4OB≡匆’又S△0Bc
2
二
l
＿tan几,
2
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所以sm卯＜则＜tan卯,故O正确;
俐
所以0＜志≤志所以｜呜2＜h肆2成壶《
@因为0＜α＜b＜l’γ＝ln则为增函数’y＝α箍’γ＝b厕均为
｜
减函数,
‖
若logα2＜logb2’则α＞b＞1或0＜α＜l＜b或0＜α＜b＜l
所以lnα＜lnb＜0＜αb＜bb＜bα’故@正确.故答案为@｜
成立’
◎@.
｜
所以·‘α＞b＞l”是‘‘logα2＜logb2’,成立的充分不必要条件.
l6.o
｜
故选A.
试题解答:结合原命题可得:
｝
试题分析:由题意α’6为正实数’若α＞b＞1 ’则logα2＜
其逆命题为:若α’b全为0,则o2＋b2＝0;
｛
logb2成立;而当logα2＜logb2时’求得则α＞b＞l或0＜α＜
其否命题为:若α2＋b2≠0’则α’b不全为0;
｜
1＜b或0＜α＜b＜l成立,即可作出判定.
其逆否命题为:若α,b不全为0’则α2＋b2≠0;
｜
5.D
其否定为:若α2＋62＝0,则α,b不全为0.
｜
试题解答:因为S2＋S4＜2S3 ’所以2αl ＋〃＋4αl ＋6〃＜
综上可得’正确的序号为@.故答案为@.
‖
2（3αl ＋3d）,故〃＜0’
62
充分条件与必要条件
｜
故“〃＜0”是“S2＋S4＜2S3”的充要条件.故选D.
l.D
｜
试题分析:根据等差数列的性质以及充分必要条件的定义
试题解答:对于A’随机变量音服从正态分布Ⅳ（l’◎2）,
｜
判断即可.
所以曲线关于f＝l对称’所以p（皆≤—1）≡p（占≥3）＝l-
｜
6ˉC
P（‘≤3）＝lˉ0.72＝0.28,A正确;
｛
试题解答:由圆（卵—2）2＋（yˉl）2＝l,可得圆心为（2’l）
’
对于B’若则组数据（卿｜’γl ）’（卯2’y2）’…, （则厕’y″）的散点
｜
半径r＝l.
都在γ≡—鳃＋l上’
｜
因为直线＂ˉ∧yˉI＝0与圆（卿ˉ2）2＋（γˉ1）2＝1相切’
糕严负棚关｀肌棚关关系鼓强此耐招关系数′≡—］,＂
｜
所以｜泞｜～）,所以隐≡α
对丁c若随机变量皆服从二项分布;‘～B（5,÷）,
｜
所以·帐＝o是直线x＿腮′ˉ｜＝0与圆（腮ˉ2）』＋（γ—｜）2＝
｛
1相切的充要条件ˉ故选C,
则圆（噎）＝5×÷二1,C正确;
｜
试题分析:由圆的方程找出圆心坐标和半径r,根据直线与
对于D’α厕＞6咖时’α＞b不—定成立’即充分性不成立’α＞b
｜
圆相切｀得到圆心到直线的距离等于圆的半径’利用点到直
时’α加＞bm不—定成立’即必要性不成立’是既不充分也不
｜
线的距离公式列出关于∧的方程,求出方程的解可得到A
必要条件’D错误故选D.
｜
的值’即可得出结论.
试题分析;根据正态分布的对称性求出P（占≤ˉl）的值,判
｜7C
断A正确;
｜
试题解答:o由α＞l且b＞l＝αb＞l’反之不成立’例如取
根据线性相关关系与相关系数的定义,判断B正确;
｜
α＝-2,b＝—3,
根据二项分布的均值计算公式求出E（占）的值’判断C
｜
因此“α＞l且b＞l”是“αb＞l”的充分不必要条件’正确;
正确;
｜
@平面向量α’b’ ｜α｜
＞1’ ｜b｜＞l’取α＝（2’ 1）’b＝
判断充分性和必要性是否成立,得出D错误.
‖
（-2,0）,
2.A
｜
则｜α＋b｜＝1 ’因此｜α＋b｜＞l不成立.反之’取α＝b＝
鹤冤懈兰鉴铡辗吭剿献｜
（揣）则｜…↓
试题分析;先根据向量数量积得α上b成立的充妥条件’再
｜
但｜α｜＞l’ ｜b｜＞l不成立’所以.‘平面向量α’b’ ｜α｜＞L｜b｜＞
根据与‘‘m＝2’’包含关系确定结果.
｛
l”是“ ｜α＋b｜＞l”的既不必要也不充分条件,错误;
虱c
｝
◎如图在单位圆财2＋γ2＝l上或圆外
~｜」′
｜
熊二:蕊怨二翠i｝△厂佩獭°
试题解答:因为y＝2躯为单调递增函数,因为α＞b’
所以2α＞2b,
＼夕毒
因此“α＞b,’是“2α＞2b’’的充要条件故选C.
｜
定有“ ｜α｜＋｜b｜≥1”’
试题分析:根据指数函数的单调性可得两者关系ˉ
｜
在单位圆内任取＿点″（α,b）,满足
4.A
｜
‘‘ ｜α｜＋｜b｜≥l”’但不满足“α2＋b2≥
试题解答:由题意α’b为正实数’若α＞b＞l ’则lOg2α＞
｜
l”,故α2＋b2≥1是“ ｜α｜＋｜b｜≥1,』的充分不必要条件因
试题分析:根据指数函数的单调性可得两者关系ˉ
4.A
试题解答:由题意α’b为正实数,若α＞b＞l ’则lOg2α＞
｜
l”,故α≡＋b叁≥1是“ ｜α｜
＋｜b｜≥1’’的充分不必要条件,因
lOg2b＞0’
此正确;
27l
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@命题P:“］卯0巨R’使e躯0≥如0＋l且ln卯0≤则0ˉl”的否
｜
l2.A
定为气p;＾γ卿巨R’都有e甄＜财＋l或ln躯＞厕ˉl,’ ’因此不
｜
试题解答;因为α＞｜b｜’所以α＞0’且α＞h
｜
＂…｜黎｜ˉ｛窒鼓0
正确.
所以函数／（卯）是R上的增
其中正确命题的个数是2.故选C.
试题分析:逐一分析判断每一个命题的真假得解.
｜
函数’
8.C
｛
因为α｜α｜＞b｜b｜’所以α＞b。
试题解答:若p∧（气q）为真命题’则（气q）为真命题’所以
｜
因为α＞0’且α＞b是α＞b的充分不必要条件
（气p）γ（司q）为真命题’o错;
｜
所以α＞｜b｜是α｜α｜＞b｜b｜的充分不必要条件.故选A.
设正数构成的等比数列｛α″｝的前厕项和为S″’若α8＝8α5’
｜
试题分析:先化简α＞｜b｜和α｜α｜＞b｜b｜’再判断α＞｜b｜和
｝
α｜α｜＞b｜b｜的充要性。
则q3＝8,q＝2,
｜
l3~必要不充分
α1（l-2n）
所以S-2α＝
—2αl ·2″ˉ1＝-α1＜0,
｜
贰题解答;当熙-骗咐,…-粤当…-f时｀呵以
n
n
l-2
所以S＂＜2α″’@对;
令／（撼）＝蹿」＋鹏,则／′（膊）≡3鞭魁＋l＞α／（缆）在R上为增函
｜
取l35.』所以…爵inα＝罕,是…α二45.’｀的必要不充分条件
L
数,又／（0）＝0＜20l8肌20l8）＞2018’
｜
故填必要不充分.
所以〕绷0巨R’使得蕊;＋＂0＝20l8成立｀o对;
｜
l4（ˉ由’l）
若“巨R’＂2≠4＝腮≠±2’而鳃≠2兰卿2≠4’所以』‘孵2≠4′』是
｜
试题解答;当p为真时’4＜α＜虱记集合A＝｛α｜4＜α＜
“购≠2”的充分不必要条件’@对.故选C.
｜
5｝’B＝｛α｜m＋l≤α≤2m｝
.
9.A
｜
若p是q的必要不充分条件’则B三A.
试题解答;直线′｜;α隧ˉ（α＋l）γ＋l＝0与直线′2;2卿ˉαγˉ
｝
o当m＋l＞2m’即m＜l时’B＝·军A;
｜
圆当＂≥｜时,…｀‘辜川筹价于｛滤4解碍
l＝0垂直’
则2α＋α（α＋1）＝0,解得:α＝0或α＝—3.据此可知:
“α＝0”是.直线／l :α则—（α＋l）y＋l＝0与直线′2:2绷—αγ
｜
｜
me○
—l＝0垂直,’的充分不必要条件.故选Aˉ
｜
综上所述’实数m的取值范围为（—m’ l）故答案勺
试题分析;首先由直线垂直的充分必要条件求得实数α的
｛
（ˉ。。’l）
值,然后确定两个命题的关系即可.
｜
l5.O@O
l0。B
｝
试题解答:o若卯＞0’γ＞0’则“则＋2y＝2√丽y”成立的允
试题解答:若AC与BD是异面直线,则A’B,C,D四点不
｛
｜
要条件是厕＝2y’故充分不必要条件是“卯＝2且γ＝l”~故
共面’则AD与BC是异面直线;
｜
正确.
而点E在BC上,所以AD与BE也是异面直线,
若AD与BZ是异面直线’而点E在直线BC上,所以AD与
｜
@存在α＞l ’箍＞0’使得α腮＜logα撕当α＝l」’“＝l2l时,
BC是异面直线’
｜
满足α躯＜logα腮’故〕α＞l ’则＞0’使得α腮＜logα财’故正确;
所以A′B,c』D川点不共面’所以AC与BD是异面直线,
｜
◎若函数∧鞭）＝躯斜ˉ（α＿l）鞭2＋（α—3）臃的导函数是耐
所以是充要条件故选Bˉ
｜
函数’即／′（狐）＝4绷3ˉ2（αˉl）厕＋αˉ3’／′（0）＝0＝α二
试题分析:利用异面直线的定义,根据充妥条件的判定方
｝
3。故正确。
法’即可得到结论.
｜
@设P（卯’ γ）’由P到定点F（l’ 0）的距离’勺
ll.B
｜
√（厕—l）2＋y2’p到γ轴的距离为｜购｜
’
试题解答:圆的方程为（卿—l）2＋y2＝2ˉ
＂直约—’钢ˉ0与圃撼』汀:ˉ擎＿｜～0有雨个不同
｜
娠‖!｛蹦嚼茎肪‖〕胸距离比尸铡》枷｀
交点得｜］芳｜≤徊解得—3≤咖≤1
｜
距离大1’
｜
列出等式;√（则ˉl）2＋γ2ˉ｜狐｜＝l’
又（—3,l）为（＿切,l）的真子集,
所以直线狐ˉγ＋″l＝0与圆则2＋y2ˉ2则ˉl＝0有两个不
｜
化简得y2＝4“（卿≥0）’焦点为F（l ’0）的抛物线.
试题分析;↑………系………个
｜
侧』动点雁的轨迹方耀为／-则域｛逗‖敝不正…
同交点的一个必要不充分条件是矾＜l.故选B
不同交点的充妥条件’然后再结合给出的选项求解.
｜
案为o@◎.
.272。
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l6｜0,＋｜
｜4C
｜
试题解答:命题p:令2mˉl＝l ,解得m＝l’贝M″）＝卯2为
试题解答;命题g等价于（则ˉα）［测ˉ（α＋l）］≤0’解得
｜
幂函数’且在（0’＋°°）上单调递增’因此p是真命题’命题
α≤卯≤α＋l ,司p是司q的必要而不充分条件等价于q是p
｜
｛
q: ‘‘司卯巨R’卯2ˉl＜则”的否定是“γ匆匡R’绷2ˉl≥卿”,因此
｛!袁＼…≡｜蕊瞬蹦巾…………
的必要而不充分条件’即p巨q可得
｜
试题分析:令2mˉl＝1’解得m＝1,可得p是真命题’根据
÷故答案为｜0,÷｜
｜
特赫命题的定义可判断『是｛鼠命题’逐ˉ判断各选项中的
｜
命题的真假’即可得结果.
63
逻辑联结词
｜
5。C
1.A
｜
试题解答:由题意’命题p:“若α＞b’则α2＞b2”为假命题’
试题解答:因为命题p:5≥3为真’命题q:
｛l ｝匡｛0’l’2｝为
｛
则司p为真命题;
真’所以p∧q为真,司p∧q’p∧司q’司pγ司q为假ˉ故
｛
又当卿＞0,则则＋l＞1,所以ln（豹＋1）＞0,所以命题q为真
选A.
｛
命题’则司q为假命题’
试题分析;先确定p’q真假’再根据或、且｀非判断复合命题
｜
根据复合命题的真值表’可得司p∧q为真命题.故选C.
真假.
｜
试题分析:由题意’得到命题p为假命题’命题q为真命题’
2.A
｝
再利用真值表即可得到复合命题的真假.
试题解答:命题p:在△ABC中,A＞B≈α＞b,
｝
6.D
义由正…可得;点ˉ六.可得…≡晨…in′.
｜
试题解答;命题p为真命题命题q为假命题所以′γ,与
｛
司q为真命题’故填@@.故选D.
囚此在△削BC中,A＞B是sM＞爵mB的充要条件囚此p
｝
试题分析;先判断命题p,,,气p,气?的真假性,再判断复合
为真命题
｝
命题的真假性即可;判断复合命题（或命题）的口诀:有真
命题9;不妨取等差数列｛侧厕｝满趋侧厕二＂｀则s｜＝｜,s:二3』
｜
则真;且命题;有假则假;非命题;真假相反
S3＝6’不成等差数列’因此q为假命题.
｛
7.C
所以pγ司q为真命题.故选A.
｜
试题解答:因为命题“若则2ˉ则＝0’则如＝0或则＝l”的否命
试题分析;命题p;在△ABC中’A＞B≈α＞b’又由正弦定理
｜
题为』』若獭2ˉ躯≠0’则狮≠0且厕≠l’》’所以c是错误的故
可得六＝湍……＂B,,′可判断出关系命题q;
｜
选o
不妨取等差数列｛α″ ｝满足α＂＝n’则Sl ＝l ’S2＝3’S3＝6’
｜
试题分析:对该题逐项分析即可A项根据复合命题的真值
｜
易得;B项转化为判断其逆否命题容易判断;C项否命题也
不成等差数列,即可判断出真假ˉ
3.C
｝
要否定条件;D项由含有一个量词的命题的否定易得
试题解答结合陶数的解析式可得;／（—舌）…｜2×
｝8B
｜
试题解答Aγ＝＋在（ˉ函,0）和（0,＋蜜）上分别是减涵
（ˉ舌）＋÷｜＝幢Ⅷ爵÷≠0｀
｜
数’则命题p是假命题’q是真命题’则气q是假命题’不满
则j（堑）的图象不关丁点（—备,0）对称,命题′是假命题
!
足条件;
‖
B.判别式△＝l-4＝-3＜0’则V豹匡R,均有勿2＋勿＋1≥0
“匡｜ˉ÷,0｜,贝｜2x＋÷.｜0’!｜,故圈数／（狐）在区间
｜
成立』
｜
即p是真命题’“如＞l’’是“鳃＞2’’成立的必要不充分条件,
［＿:』0｜上为减函数》命题q是真命题;
｜
即q是假命题,则“‘pγq,为真、‘p∧q’为假、‘司q,为真’’
’
逐＿考查所给的选项:
｜
故B正确;
｝
c当甄＜0时,x＋÷的最小值不是6则′是假命题
A.p∧q为假命题;
B（司p）∧q为真命题;
《
Ⅷ』倒直戮…』～斧等｜≡等≡］则箍长′ˉ
C.pγq为真命题;
Dˉ （司p）γq为真命题
故选C.
｜
2√Z了二百＝8,则q是假命题’则pγq,q均为假命题’不满
试题分析:由题意首先确定命题p和q的真假’然后逐一考
｜
足条件;
查所给选项即可求得最终结果.
｜
D.抛物线γ2＝8卯的焦点坐标是（2’0）’则p是真命题’
273
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｜
若“pγq”为真’“p∧q”为假’
椭圆的左焦点为（—l ｀0）’当＂＝—l时,γ』＝÷,则》-
｝
｜
则p与q必然＿真—假’
±;则最短的弦长为÷义2-』即,是真命题则司,是
｜
所以｛吧虱之2或｛震Ⅲl或侧≥2｀
假命题’不满足条件·故选B
截题…铡…题四……詹命题真｜畦｜腆螺蕊猛▲｜…域′藤≡』
系进行判断即可.
｜
l4oo@
9.D
试题解答:当侧,b方向柑反时,″b＜0,但夹角是｜80..不
｜
试题解答;盯′∧√,为真,说驯′,q同为真,故能推出｀p√
晨…题′副髓题;籍…….侧｜…～…ˉ
｜
憋瓤｜｛绷:剿期熬膛燃
l或cosα＝cosβ＝—l’所以sinα＝sinβ＝0’从而sin（α＋
｜
｜
确;@“p∧q’｀为假’说明p’q中至少一个为假’故不能推｛｜｛
β）＝0’命题q是真命题.所以pγq是真命题.故选D.
｜
“pγq’’为真,“pγq”为真也不能推出“p∧q,,为假,故前者
＂悬题解……′（骡｜≡l……｜＂值域为
｝
瞒渊篆剿需獭蹿删耀｀
R,α＞0故△二4＿］2α≥0解得侧≤＋,故0＜＂≤÷’即′;
｜
不能推出′∧q为真,枷者是后者的充分不必要条件,故正
｜
确;@‘‘司p”为真’则p为假’可推出‘‘p∧q”为假’而只要『葡
0≤α≤÷;若α＞0,g（鲍）-醚＋:在区间（l,＋函）内单调
｜
足q假′无论真假挪存′∧旷』为｛傲,故加∧旷,为｜段不能
递增｀即g′（”）＝l＿÷≥0在区间（l’＋醒）内恒成立｀即
｜
推出』.司p’为真,前者是后者的充分不必要条件,故正矾｀
｜
综上可得o◎@正确故答案为oo@
卯
α≤厕2在区间（l’＋的）内恒成立’解得0＜α≤l’因为气p∧
｜
l5.oo
｜
试题解答: ‘‘］卯l ’绷2巨M’则l≠卯2’有［／（“］）ˉ／（狐2）］（卯2＿
｜‖文』j徽
｜
｀』州………｛＿…慰｛』ˉ
q是真命题’所以p为假命题’q为真命题’即
｜
′（鳃』）］（鳃』＿鲸｜）≤0』,故m足错误的;因÷＋÷-（侧＋b》
l
丁＜α≤l.故选D.
｜
（÷＋÷）-2＋3＋于＋￥≥5＋2伍’敞@是真命题;愉
ll。B
｜
题‘若腮γ＝0’则翔2＋γ2＝0’’的逆否命题是』｀若腮2＋γ2＝0,
试题解答;因为∑＝台＝—l＋h,
｜
则卿y≠0”’故◎是假命题;因为气q∧p为真命题’则司q
j
所以复数z对应的点（ˉl ,l）在第二象限,
』
′为真渝题＂｛汹「:r!｛≡0皿』;…拖雁｜｀
所以命题p为真命题
设z＝α＋bl（α’b匡R）’则面＝αˉbi,
｜
（ˉ酮｀ˉ3）O（l’2］O［3｀＋酶）故@正确故答案勺
Z.五＝α2＋b2巨R’
｜
o◎.
所以命题q为假命题.
｜
l6@
则p∧司q是真命题故选B
｜…答云羔J←2—哉矿0≡碧嚣＞
l2.C
试题解答:A.命题“W匡R’sin卯≥l”的否定是‘‘】卯0匡R’
｜
＂皿Ⅷ≤′故A错;B若网量′〃》则存在咋晌实数｛
｜
0丝叶］
!
』』…ˉ上≥＂ˉ2糕丁2≥｛）,
卯＋8
＞了＝
卯＋8
2
使得α＝入b｀当b＝0时,入不唯一｀B错;D若“pγq’’为真
｜
显然两者解集不同;O错命题p为真命题命题q为真翁
命题’则“p∧（司q）’’不＿定为真命题,D错.故选C.
｛
题;pγq为真命题’p∧q为真命题;@错.命题‘‘〕厕0巨R’
l3. -1＜m＜2或加≤—2
试题解答;先分别求出命题p’q满足的条件（厕取值的范
｜
2xo≤0’的否定是』V躯巨R,2＂＞0》′ ;O错γ＝／（狮）＝卿』Ⅱ＝
围）分别为咖≤＿l ,—2＜咖＜2』再依据题设可推证出命
｜
4。-＋＝α＝＿十＝窜′（2）二2ˉ÷＝粤;翻对故答案为酗
题p’q中只有＿个命题是正确的结论:然后分类为“p真q
｜
假,’或‘｀p假q真”建立关于实数′n的不等式组
｜
64椭圆（l）
｛吧虱之2或｛震Ⅲl…2.
通过解不等式组求解:
｜
l.B
｜
试题解答:由题意可得PF1＝F1F2≡2C,再由椭圆的定义γ］
命题p:加巳R且m＋l≤0’解得m≤＿l.
｜
得PF2＝2α—PF｜＝2αˉ2c.
命题q:γ腮巨R’卯2＋′m＋l＞0恒成立.
｜
设乙PFlF2＝0’则60。＜0＜l20°’
所以△＝m2—4＜0,解得-2＜肌＜2
.274.
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■
Ⅱ
—
●
≈
＜
β
○
℃
吕
＜
钮
Ⅱ
—
∑
以
所
P在第一象限）
’
所以P（c’鱼）,B（c’—鱼）.
α
α
因为过椭圆的左顶点和上顶点的直线／l与直线／交于A点
所以直线!」的方程为乏十十＝l,
所以」（幢,（宁）b）,
因为丽＝÷丽＋＋丽,
勺
所以爷÷（宁）』÷（＿千）,即2b二…
所以4（α2-c2）＝α2＋2αc＋c2’即3α2-5c2—2αc≡O
所以5e2＋2e-3＝O
因为e巨（0,l）
,
所以′二÷故选A
试题分析;根撼向量共线定理及帜二:, ｜丽｜＜｜丽｜｀可
推出入,从的值’再根据过点F作与卯轴垂直的直线／交椭
圆于P,B两点（点P在第一象限）,可椎出P’B两点的坐
标’然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线／l的方程’
即可求得A点的坐标,从而可得α,6,c三者的关系,进而可
得椭圆的离心率.
D
试题解答:设｜PFl
｜≡则, ｜PF2
｜＝γ’ ｜FlF2
｜＝2c,
因为△′!″2＝÷,
｜
△PF｜F2中’由余弦定理可得cos0＝c2ˉα2＋2αc
2c2
＜
‖
」
—
勺
＾
由
~
~
~
cos0＜＋可得2c＜α＜（｜＋何）c,所以‘的取值范围是
△
‖
（早.÷）故选＂
试题分析:由题意可得PF1＝FlF2≡2c,再由椭圆的定义可ˉ
得PF2＝2αˉ2c设乙PFlFh＝0’则60°＜0＜l20°’
敛ˉ＋＜…＜＋,再由余弦定理,求得′的取值范围
D
试题解答:如图,取AB中点H,椭圆另＿个焦点为E’连接
PE’OH
因为A,B三等分线段PF’所以H也是AB中点’即（）HˉLAB
设OH＝〃’则PE＝M’pF＝2α—2Ⅲ’AH＝9二旦
司
9
〕
在Rt△OH4中’OA2＝OH2＋AH2’解得α＝5α.
在Ih△M′中｀′H＝÷感,O〃二÷,o′-c,
由OF2≡OH2＋FH2
化简得｜7侧』＝25您2.÷二乎即‘的离』心率为平散
选D
~
~
~
~
~
2
~
~
~
‖
~
~
】
4
γ
■
‖
‖
】
‖
〗
‖
儿工二≥／Ⅱ
＂以｝叫…Ⅱ—…＋缆…℃
＿★ˉ而d／n2-″
L＾′
…-／＾＾
‖
＾′＼2
αˉ.…—〃～2
2
2
’
γ
勿
∩
〕
∑
α
〃
斗
~~
γ
√
勿
〕
勺
凸
＼
‖
／
γ
√
＋
卯
（
~~
γ
卯
勺
▲
γ
←
＋
∑
卯
~~
∑
℃
斗
面
方
试题分析:取AB中点H’椭圆另一个焦点为E’连接pE’M｜
另＿方面4c2＝则2＋y2ˉ则γ＝（卯-γ）2＋厕γ＝4α′2＋”γ’
根据乎面几何的知识、勾股定理及中位线的性质得α＝5〃’
｜
所以4c2ˉ4α2＋3（4c2-4α′2）＝0’4c2＝α2＋3α′2’
再求离心率.
｜
‘-粤答,÷÷二4,
3.A
C
C
e1
e2
试题解答;因为A’P’B三点共线’而＝入丽＋〃丽（入’
｜
』
陈以（楞）』≡2（←÷）二8｀兴＝2沤』当凰仅当
〃巨R）,所以入＋〃≡1.
又闲为人陛＝;,
｜
上＝区,即幢2-任!时等号成立,
｜
el
e2
j
仁÷
｜.费……w｝!……＾
所以
酗‖恿与…胸…赚圈于…点』点
｜
‖霍慧锄;＋｜备÷〔
°275.
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｜嚣州｜｛叁~
两式相减得（匆l＋聪2）（嘶lˉ勿2）
（γ1＋γ2）（γ1ˉy2）
＋
＝0,
｜
所以
62
2
α
邮罕带竿γ兰‰≡0,Ⅷ峨～÷
』
』
｜
所以c的标准方程为÷ˉ÷＝L故选A
α
所以粤＋血.上二0,
｜
试题分析:通过椭圆的焦点’可以求出双曲线的焦点c＝2
’
α
b2
α
剧
粥……渐近线方糙可…｜÷＝fi,再卤双胸线｀卜
b
｜二买（
｜＂铲……………
所以直线O″的方程为γ＝ˉ上卵’联立
α
bC
｜
试题解答;由题意可知′＝l,椭圆的离心率′-÷二粤’』‖
C
解得缅M＝ˉ了’γ″＝万’
—》＿〉—〉
＝--〉
—〉
又因为OA＋OB＋OP≡0,所以Op≡-2OM,
｝
α二√Z62二翻:ˉc2≡l』所以椭圆的标准方程为÷＋γ2二l
2
所以点P（c’ˉ匹）代人椭圆的方程’得α2＝2c2’所以e＝
』
α
｜
当直线AB斜率不存在时’t可以为任意实数’
÷二÷放选A
｜
当直线AB的斜率存在时’设AB的方程为γ＝k（卯ˉl）’j日
b
｜
A（嘶l ’γl）’B（厕2’γ2）,
试题分析:根据平方差法得到直线OM的方程为y＝-—z,
｜
α
｛
y≡内（缅-1）,
｜争产1蝉滁;｜…ˉ…』←Ⅷ
--》→ˉ-〉
联立方程组’解得点P的坐标’再根据OA＋OB＋OP＝0’得
｜
则
OP＝ˉ2O″’把点P（c’ˉ止）代入椭圆的方程’即可求解
｜
—〉
—〉
4∧2
2k2-2
α
｜
则厕l＋则2＝Iˉ下IP’卯l躯2＝l＋2／b2’
离心率的值.
6B
｜
由乙APO＝乙BPO’则直线pA与pB的斜率之和为0’
试题解答:
γ｜
γ.
试题解答;由题慈可知′二｜,椭圆的离心率′二÷二粤测
2
α＝√Zb』＝α2ˉc2＝l,所以椭圆的标准方程为÷＋γ2＝l
当直线AB斜率不存在时’t可以为任意实数’
当直线AB的斜率存在时’设AB的方程为γ＝k（卯ˉl）’设
A（约1 ,γ1）,B（卯2,γ2）
’
｜擎‖霉………≡』
则
4∧2
2k2-2
则厕l＋则2＝Iˉ下IP’卯l躯2＝l＋2／b2’
由乙APO＝乙BPO’则直线pA与pB的斜率之和为0,
则-1二＋-1二＝0’整理得:2则l卯2ˉ（‘＋1）（卯l ＋腮2）
＋
几l-t
卯2-t
2t≡0、
γ
√′
／＜了
所以2×2k2ˉ粤ˉ（『＋l）×
4k2
l＋2内△
l＋2k2＋2t≡0’
解得t＝2.故选A.
9。B
试题解答:由左焦点为F1 （—2,0）,可得C＝2,即α2
b2＝4,
过点′｜作｜腻斜霜为30。的直线的方程为Ⅱ-粤（叶2）,
圆』心（M）喜喧线的髓离硼～羔～』
由直线与圆绷2＋γ2＝b2相交的弦长为征’
′
~
~
~
~
可设／′为椭圆的左焦点,连接A／′ ,″′ ,
根据椭圆的对称性可得四边形AFB／′是平行四边形,
所以6＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AF｜＋｜A／′
｜＝2α,
所以α≡3,取″（0,b）
,
因为点″到直线!的距离不小干:,
所以〃尝L4）产÷
~
~
‖
｜
可得2√b2ˉl＝√5b’解得b＝2’α＝2√可’
解得b≡2,筐』三芋≤÷.所以.等’
,
』
｜
则椭圆方程为肯＋÷＝l故选B
所以椭圆厕的离心率的取值范圈是（0.亨｜故选＂
｜
试题分析:由左焦点为Fl（ˉ2’0）’可得c＝2’即α2—b2＝
试题分析:设／′为椭圆的左焦点,连接〃′ ’E／′ ’由椭圆的对
‖
4,求得直线的方程’利用圆心到直线的距离｀弦长公式’列
称性,结合椭圆的定义可得α＝3’利用点M到直线l的距离
｛
方程求出b,α’进而得到所求椭圆的方程.
｝
l0.D
不』卜于÷列不等式求解即可
｜
斌题解答;设椭圆c;÷÷-1的右焦点为′′（2＼0）
7·A
试题解答:椭圆的焦点坐标为（0,±3）’所以c＝3,
｜
F（-2’0）
,
由双曲线的渐近线万程γ＝祭得;-粤.
｜
南川（｜,÷）.则｜″′
｜二÷,
.276°
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根据椭圆的定义可得｜PF｜＋｜PF′
｜＝2α＝6’
｜l3丛
5
所以｜E4｜＋｜PF｜＝｜川｜＋6ˉ｜PF′ ｜≥6ˉ｜AF′
｜＝6ˉ旦＝
｜
3
｜
;
试题解答』由已知,可得b＝4,c＝3,所以“＝5,侵≡÷故
旱故选u
｜
答案为÷
试题分析:根据椭圆的定义和三角形两边之和大于第三
｜
边’转化为｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋6ˉ ｜PF′ ｜≥6—｜AF′
｜’即
｜
试题分析:根据椭圆几何条件得6＝4’c＝3’解得α’以及
可求解其最小值ˉ
｜
离心率.
ll.C
｛
徊
l
｛
14——
试题解答:由椭圆定义｜PFl
｜＋｜PF2
｜＝2α’结合｜PFl
｜ˉ
｜
2
2
｜P鸟｜-6｀｜″!卜｜″2
｜二÷αb』可得4α2—b2＝芋αb｀
｝
试题解答设Q（Ⅷ,＂）,由题意可得
—吕二
8α2—15αbˉ2b2＝0,即（8α＋b）（αˉ2b）＝0’解得α＝
｜
—;｝禽）磁.……√—（÷）ˉ亭敝
｝
』÷刽!竿＂
｀÷÷二l,o
选C.
试题分析:由椭圆定义｜PF｜
｜
＋｜PF2
｜＝2α’及公式（卯＋
｜
』）』—（瓣—γ）』～物｀可糯屿‘…,迸＿坷求儒蔚
｛
由o@可孺;獭ˉ铲〕″～罢
心率e.
｜
代人◎可得e2（4e4ˉ4e2＋l）＋4e4＝l’
l2.B
｛
可得,4e6＋e2-1＝0.
试题解答:设A（厕l ,γ1 ）’B（虹2,γ2）,″（卯0,γ0）
’
｜
即4e6ˉ2e4＋2e4-e2＋2e2-1＝0’
2
2
‖
可得（2e2-1）（2e4＋e2＋1）＝0
′÷÷-｜〕
｛
解得′二亭
则2
2
ˉ÷÷］,
｜
所以α＝√Zb＝l’c＝1.
｛
所以0（0,l）
两式作差得（匆1ˉ卿2）（师1＋卯2）
（y1ˉγ2）（yl＋γ2）
＋
二0’
｜
所以△FO0是等腰直角三角形’
4
b2
!
所以s…二÷×｜×1-＋故答案为粤,÷
因为γ1—γ2＝-l ,
卯1-勿2
｛
试题分析:设出0的坐标,利用对称知识’结合椭圆方程推
γ0
62
所以守÷0｀即—＿
｜
幽椭圆几何量之闷绚关系,然……膜呵
卯0
4
’
｜
15.上
设直线O删的倾斜角为α则0＝α＋÷或0＝￥ˉα,
｜
3
｜
试题解答:由题意可设F（ˉc’0）’A（ˉα’0）,B（α’0）’
…-圭钨盖,
』
令撼＝—‘,代人椭圆方程可得γ＝±鱼.
α
…÷「＿｜′引ˉ
｜
可得P（—瞳.±爷）
｛
设直线AE的方程为γ≡k（鳃＋α）
,
｜
令卯＝ˉc,可得M（ˉc’∧（αˉc））’令厕＝0’可得E（0’kα）
’
解得b2＝2’即b＝√Z故选B.
试题分析;设A（鳃』,γ｜）,B（狐2｀γ:）〃（霹0,γ0）,利周』』点羞
｜
设oE的中点为H′可得H（0’粤）’
γ0
62
泼』可得可＝丁,设直线o删的倾斜角为α,则‘≡α＋÷｝
由B,H〃三点共线,可得k鳃-愉圃″,即舞＝÷｀
巍β二￥—α…＝±楞羔,又…＝可＝丁｀由
｝
即为幽二3‘’可得.＝÷≡＋｀故答案为÷
y0
62
｜
√6贡√页＜e＜巨二1
｜肛仆….
｜
l6.
2
｜
试题解答:因为圆M与鳃轴相切于焦点F’
｜
所以圆心与F的连线必垂直于卯轴,不妨设M（c’γ）
’
.277.
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b2
因为M（C’y）在椭圆上,则γ＝±—（α2＝b2＋C2）,所以圆
α
的半径为止’
α
由题意…＞备,所以留2＜（｜—詹鲤）』＜2僻2,
所以佰亏徊…逗÷上
试题分析;设″（‘,γ）｀由题意γ…绍′-圭止.从漏可
b鱼
～
α
求椭圆的离心率的取值范围.
65
椭圆（2）
1.A
试题解答:若BC／／／鳃轴’不妨设AC与厕轴交于点G’
过A作AD／／／鳃轴交直线／于点D’
则器＝器二器,器—器’
两式相除得器铝＿器』
又由椭圆的第二定义可得
器二筹＝器,所以器二｜,
所以G为EF的中点’
反之,直线AC过线段EF中点,
直线AB斜率为零’则BC与勿重合’
所以“BC／／／卯轴”是“直线AC过线段EF中点”的充分不必
要条件故选A.
试题分析:若BC／／／则轴’不妨设AC与卿轴交于点G’过A作
AD／′／厕轴交直线′于点D’由平行线的性质结合椭圆第二定
义可喘-1,迸嗣可得结采
2C
2
2
试题解答;依题意』设椭圆方程为÷＋卞＝l（α＞b＞0）则
22
22
｛更页!!（巾…≡…倒…瓢Ⅷ
有
2
2
方程是方＋÷＝L故选c
3.C
由直线A′斜率为粤得!…｀′:-粤,
所以…鳃′Ⅱ≡六,…′型～器
PF2
sin乙ˉPAF2
由正弦定理得巫＝sin△APF2’
｜
所以ˉ些—
√i丁
＼
α＋′
.m（÷—丝′M』）
′~
1
√i可
≡÷所以α＝4嘛,詹＝寸故选u
＝＝
旧√T页
l
l
—■—-□＝＝＝＝＝
●
■＝＝＝＝＝＝＝＝＝
2
√百2
√I丁
｜
试题分析:先根据条件得PF2＝2c’再利用正弦定理得α.c
｜
的关系’即得离心率.
｜
5·B
｜
试题解答:由题意知α＝3’b＝石’c＝2.设线段PF｜的中点
｛
为M’则有OM／／／PF2,因为OMˉ止FlF2’所以PF2上FlF2’所
勺
以｜P′』
｜＝÷二÷义囚为｜′′｜
｜＋｜″ˉ
｜-2α二6,所川
乙′
仅
吕
—
旧
~~
〕
—
旧
×
日
—
〕
勺
些
■
』
厂
尸
尸
尸
以
所
旧
—
〕
｜
｜PFl ｜＝2αˉ ｜PF2
｜＝亏,肋以
｜
选B.
｜
6。D
｛
试题解答:不妨设椭圆的方程为
｜
2
2
｜
罢＋兴＝1（α＞b＞0）’根据椭圆
｜
α垒
b垒
｛
与正方形的对称性,可画出满足
｜
题意的图形’如图所示,因为
↑y
A
厂ˉP＼
勿
□＝
＼1c／‘
C
｛
｜pB｜-“.所以｜0川＝粤“,所以点削的坐标为（÷,÷）必
｛
点」在椭阔上所以磊谎ˉ］｀所以.』≡沁』｀所以侧:～
｜
3（α2ˉc2）’所以3c2＝2α2’所以椭圆的离心率′＝二＝鱼
α
3
｜
故选D.
｜
7。B
｜
试题解答:由题意知椭圆的两个焦点Fl ,′72分别是两圆的
｜
圆心’且｜PFl
｜＋｜PF2
｜＝l0’从而｜PM｜＋｜PⅣ｜的最小值｜勺
｜
｜pFl
｜＋｜PF,
｜—l-2＝7.故选B.
｜
8°C
试题解答:PQ为过Fl垂直于腮轴
的弦,
勺
则0（＿c’÷）,△PM的周长为36
所以4α＝36,α＝9,
所以4α＝36’α＝9
γ
＼凹乡／＂
P
｜
由已知止＝5’即α2ˉc2＝5.
γ
试题解答:如图,设Fl为椭圆
的左焦点,右焦点为F2,根据
椭圆的对称性可知｜F10｜
＝
｜PF2
｜, ｜OP｜
＝｜O0｜,所以ˉ
△PQF1的周长为｜PF1
｜
＋
｜F10｜
＋｜P0｜
≡｜PFl
｜
＋
α
α
义铡＝9,解得‘＝6,解得÷＝÷,即′二÷故选O
4D
试题解答:因为△PF1F2为等腰三角形’乙F1F2P＝l20。,
所以PF2＝F1F2＝2c,
278
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｜PF2
｜＋2｜PO｜＝2α＋2｜PO｜＝l0＋2｜PO｜,易知2｜OP｜的最
小值为椭圆的短轴长,即点P’0为椭圆的上下顶点时,
△P0F1即△PQF的周长取得最小值为l0＋2×4≡18.
9·B
试题解答因为正数m是2和8的等比中项’所以m2＝l6’
2
即咖＝4,所以椭圆腮2＋÷＝l的焦点坐标为（0,±徊）故
选B.
l（｝.A
试题解答:△PEF,的周长为｜PE｜
＋｜PF勺
｜
＋
｜EF句
｜
＝
兰
｜PE｜＋2α- ｜PF1
｜＋｜EF2
｜＝2α＋｜EF2
｜
＋｜PE｜- ｜PF1 ｜≥
2α＋｜EF2
｜- ｜EFl
｜＝2α＝4b’
~
~
~
V
I
Ⅳ
~
~
因为D,F1 ,F2分别为MV,AM’BM的中点,
所以｜BⅣ｜＝2｜DF2
｜
’ ｜AⅣ｜＝2｜DF1
｜
’
所以｜A／V｜＋｜BⅣ｜＝2（｜DF1
｜＋｜DF2
｜）≡l2.
｜4｛粤｀粤｜
试题解答:由椭圆定义可得｜PFl
｜＋｜PFb｜＝2α’@
因为丽.两＝c2’
所以｜PF1
｜｜PF句｜COS乙F1PF2＝C2’@
≡
由余弦定理可得
｜PFl ｜2＋｜PF2 ｜2ˉ2｜PFl
｜｜PF2 ｜cos乙FlPF2＝4c2’◎
由O@O得cos乙FlPF2≤l’ ｜PF!
｜｜pF,
｜＝2α2ˉ3c2’
←
所以鹏≤粤,
因为｜″｜‖″2 ｜≤÷（｜″1
｜＋｜PF砌
｜）2二α2,
所以2α2-3c2≤α2,
~～
所以‘≥粤’
j
~
~
0
↑
勺
〕~广
一
料
‖
~
~
所以.～÷√—（÷）!√—士-?故避＾
试题分析:利用椭圆定义△PEF2的周长为｜PE｜＋2α—
｜PFl
｜＋｜EF2
｜,结合三点共线时, ｜PE｜
ˉ ｜PFl ｜的最小值
为-｜EFl
｜,再利用对称性’可ˉ得椭圆的离心率.
l1A
2
2
试题解答;依题意’可设椭圆的标准方程为罢＋些＝l（α＞
α←
6鱼
b＞0）’由已知可得抛物线的焦点为（—l ’0）,所以C＝l,
又离心率.-÷二÷』解得侧＝2,b』-＂:—c』＝3,所以椭
2
2
圆方程为÷＋÷＝L故选A
l2.D
试题解答:显然′n＞0且m≠4’当0＜m＜4时’椭圆长轴在
】
0
｛
所以此椭圆离心率的取值范围是
｜
粤,粤｜
｜
故答案为
｜
｜
试题分析:利用椭圆的定义｀余弦定理｀向量的数量积公
｜
式’结合基本不等式’即可求出椭圆离心率的取值范围.
2
2
｜l喘＋÷＝l
｜
试题解答由题意可知.＝÷＝争2b-4,得b＝2,
｛重臭…狮鹏｛:二扛
｜
所以
｛
所以椭圆的标瞧力程为帚÷-［
｜
4√∏
｜
l6.
3
｜
试题解答:由题意’椭圆的左｀右焦点坐标分别为Fl （ˉ2,
｜
0）’F（2,0）
,
｛
又由椭圆的定义可得｜AF｜＝4徊ˉ ｜AFl
｜
’ ｜BF｜＝4徊ˉ
｛
｜BF1
｜,
｜
所以△ABF的周长为｜AF｜
＋｜BF｜
＋｜AB｜＝8徊＋｜AB｜
ˉ
‖
（｜AF1
｜＋｜BF1
｜）
’
｝
显然｜AF1
｜＋｜BFl ｜≥｜AB｜,当且仅当A,B’F1共线时周长
｜
最大’最大值为8√Z
／上
L
4
″l
＝罕,解得咖＝2;当′＂＞4时,椭圆长
△
‖
x轴上,贝
／工
γ″!
‖
』
—
加
—
—
］
—
斗
／
川
卜
~～
-÷解得′＂＝8故选D
轴在γ轴上’贝
v4蹦
l3. l2
2
2
试题解答;椭圆÷＋÷＝l中’α＝3
如图,设MⅣ的中点为D’
则｜DFl
｜
＋｜DF2
｜≡2α＝6
279
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｛
｜PF1
｜＋｜川｜—｜AF1
｜＝2′’由双曲线的几何性质分析｜AF2
｜
ˉ
｛
｜AF1
｜≡2′-4,由图形的对称′性知2厂-4＝0,即可得答案.
｜
3.D
｜
试题解答:因为Ⅳ为FlM的中点,O为FlF2的中点’所以
｜
F2M＝2OⅣ＝2
｜
因为P在线段FlM的中垂线上’所以｜PFl
｜＝｜PM｜
’
｜
因此｜PF｜ˉPF2
｜＝F2M＝2O′｀′＝2｀即点P的轨迹是双｜｜‖
｜
线.故选D.
｜
试题分析:根据三角形中位线性质以及中垂线性质得｜PFl
＿
｛
PF2
｜＝F2M＝2OⅣ≡2,再根据双曲线定义得结果.
｜
4.A
｜
试题解答:设直线AB与椭圆在第＿象限内的交点为P且
｛
设A（√ITbos0’√ITbin0）
’
~～
｜
其中〃匡（0,÷）则尸（争＂爵0,半i＂0）
.
｜
故÷c鹏爵:‘＋号爵′n:0二l ’所以!an0＝2,也就是:二2｀所以
｜
e＝伍故选A.
｜
试题分析:设直线AB与椭圆在第一象限内的交点为P,则
｜
而-÷丽且｜丽｜＝√∏,根撼这个关系找们能得寥｜P的
｜
坐标’从而得到上的大′」＼
α
｜
5.D
｜
试题解答:因为抛物线卯2＝ˉ4打γ’所以准线方程为
｜
γ＝徊’
｜
因为s…o-√y所以÷×2｜鳃剧
｜×旧＝凋,
｜
所以｜卿A｜＝l’A（±l ’旧）
’
2
2
｜
因为双曲锋—÷二｜的离心率为徊所以α二b,将A的惟
｜
标代人双曲线方程得,÷ˉ＋＝｜,
α
α
此时直线／的方程为＂—2γ＋2＝0,
｜嚣｜句…←＂
联立方程组
~~
∑
γ
］
γ
八
脏
所
’
勺
△
—
句
〕
~~
’
～
γ
］
γ
’
△
■
—
勺
〕
~~
’
～
γ
√
＋
］
γ
‖
贝
∑
—
〕
×
△
‖
＋
勺
≡
斗
—
〕
（
′
／
′
γ
2√丽
~
3
所以此时△则B′的面积为＋×4×2∏∏4匹故答案
｜
＝二
3
O
为竿∏
试题分析:根据椭圆的定义和性质可得右焦点F（2’0）’当
｜
且仅当A,B’F1共线时△ABF的周长最大,再根据两点式
｜
求出直线的方程’进而求解面积,
66
双曲线（1）
LD
试题解答:不妨设｜PFl
｜＞｜PF2
｜’则｜PF｜
｜ˉ ｜PF2
｜＝2α’
｜
又｜PFl
｜＋｜PF,
｜＝6α,解得｜PF｜
｜＝4α, ｜PF,
｜＝2α,
则乙PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°,
所以｜PF2 ｜2＝｜PFl ｜2＋｜FlF2 ｜2ˉ2｜PFl
｜
. ｜FlF2 ｜cos30°’
｜
所以（2α）2＝（4α）』＋（2c）2—2×4α×2c×粤,化简得e2—
｜
▲
2√gb＋3＝0’解得e＝厄故选D.
试题分析:利用双曲线的定义和已知条件’即可求得｜PFl
｜＝
｜
4α’ ｜PF2
｜＝2α’进而确定三角形的最小内角’再利用余弦
｜
定理和离心率计算公式即可求得结果.
2.A
2
2
试题解答;根据题意,双曲线÷—÷＝l ,其中α＝2』
0｀
所以α＝徊
】
因此双曲线的实轴长为2抠故选∏
试题分析:先求抛物线准线方程’再根据S△ABO＝6求交』改
坐标,代入双曲线方程得α,求得结呆.
6C
试题解答:由双曲线的定义,得｜AF,
｜- ｜AFl
｜≡2α,
又｜AFl
｜＝2α,则｜AF2
｜≡4α’
在△AFlF2中’ ｜AFl
｜＝2α, ｜AF2
｜＝4α, ｜FlF2
｜＝2c,
△F｜〃』＝芋,
所以4c2＝4卿2＋｜6α2＋2×2感×4感×＋’
即c2＝7α2,即α2＋6＝7α2’解得α＝1,
因为｜BFl
｜-｜BF,
｜≡2,
～
且｜BF1
｜- ｜BA｜＝2,
尸｛／o｜
＼足
Ⅱ
｜
设△APF1的内切圆半径为′,因为PF｜上PF2,
所以｜PF1
｜＋｜PA｜- ｜AFl
｜≡2厂,
所以｜PF2
｜＋2α＋｜PA｜-｜AF1
｜≡2r,
所以｜AF2
｜-｜AFl
｜＝2厂-4’
因为由图形的对称性知｜AF2
｜＝｜AF1
｜
’
即2厂—4＝0,
所以厂≡2
故选A.
试题分析:根据题意,由双曲线的标准方程可得α的值,设
｛
△APF1的内切圆半径为厂,由直角三角形的性质分析可得
｜
28（）
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所以｜BA｜≡｜BF2
｜,
‖
l0.B
｜
试题解答:因为F是右焦点’B（0,6）是虚轴端点,
｜
所以F（c’0）’B（0’b）
’
｜
由截距式可得直线BF的方程为b卯＋叮ˉbc＝0’
｜
因为在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P‘（′＝l’2）’
｛
使得△P!A1A2（j≡1,2）构成以线段A1A2为斜边的直角三
‖
角形,
｛
所以以A1A2为直径的圆与直线有两个交点’
｜
所以7六了＜健ˉ‖fl恶＜馏』,
｜
所以e4ˉ3e2＋l＜0’
｛
因为′＞｜,所以.≤早,
｜
又因为α＜b’所以α2＜C2ˉα2,
｜
所以′＞厄所以徊…早故选＂
试题分析:由截距式求出直线BF的方程为6“＋cy-bc＝
0’利用直线与圆的位置关系,结合α＜b’即可求出双曲线
离心率e的取值范围
ll.B
试题解答:设F2″的中点为Ⅳ,坐标原点为O,则OⅣ＝
÷｜′〃｜-兰
2
’
因为点F2到渐近线的距离为b’
所以（;）2＋b2≡幢2,所以′〗—b2二÷,所以＂』≡:,
所以α二÷,所以2α＝虱
故双曲线的实轴长为3.故选B.
试题分析:设F2M的中点为／V’坐标原点为O’先求出O／V’
再求2α得解.
12.A
试题解答:由虚轴长为8可得6＝4’
因为右顶点A（α’0）到双曲线″的＿条渐近线6匆ˉαy＝0
距离为号,
又△BAF2＝于,
所以△剔F2为等边三角形’
则S△FlBF2≡S△ABF2＋S△AFlF2
厄
β
~~
何
—
∑
×
△
‖
×
●
▲
×
］
—
〗
＋
何
—
∑
×
】
△
口
×
‖
—
旦
~~
4
试题分析:先利用双曲线的定义求出｜AF2
｜＝4α’再利用余
｜
川以e＞√乙’盯以√2＜e＜→＿.故远B.
弦定理求出α＝l ’再利用双曲线的定义判定△BAFh为等
｜
试题分析:由截距式求出直线BF的方程为6“＋cy-bc;
边三角形,利用分割法和三角形的面积公式进行求解.
｜
0,利用直线与圆的位置关系,结合α＜b’即可求出双曲乡
7.B
｜
离心率e的取值范围
2
2
b
‖
ll.B
试题解答;因为÷÷-｜（b＞0）的渐近线方程为γ二童百躯,
｜
试题解答;设F』删的巾点为″』坐标原点为o’则0″-
所以—÷≡—÷,b＝3故选B
｜
＋｜′〃｜-兰
2
’
试题分析:先根据双曲线方程得渐近线方程的斜率’再根据
｜
因为点F2到渐近线的距离为b’
条件列方程求b.
｜
所以（;）2＋b2≡幢2,所以′〗—b2二÷,所以＂』≡:,
8.C
试题解答:由题意得’△PF1F2是直角三角形’
｜
所以α二÷,所以2α＝虱
由勾股定理得（2c）2＝｜PFl ｜2＋｜pF2 ｜2＝（｜pFl
｜ˉ
｜
｜
故双曲线的实轴长为3.故选B.
｜PFb｜）2＋2｜PFl
｜｜PF2
｜＝4α2＋4αc’
｜
试题分析:设F2M的中点为／V’坐标原点为O’先求出O″
所以C2-αC—α2＝0,e2-e—l≡0且e＞l’
｜
再求2α得解
解力程得‘＝兰逗故选c
‖
12.A
试题分析;御勾废震…像）』＿｜′′! ｜;＋｜吧｜』-（｜″」
｜
｜
试题解答;内虚轴长为＂可得』-4’
｛
因为右顶点A（α’0）到双曲线″的＿条渐近线6匆ˉαy＝（
- ｜PF2
｜）2＋2｜PF1
｜｜PF2
｜,得到e2-e-l＝0’解出eˉ
｜
距离为号,
9.C
试题解答根搬题意以′｜′』…蛔交c的渐近线于
｝
既以7丢亏-号解碍倒≡3,
点（3’何）
’
则c＝′＝√口ˉ干可＝2√丁’所以α2＋b2＝l2’O
2
2
｜
所以双曲线C的方程为÷ˉ污＝l故选A
义由点（］｀何）…线卜的渐近线t则蚁恤线＂渐近线
｜
试题分析;…长翰＂可得』-……线…
的方捍为》-辈旱,即÷-亨.◎
;
』
｜
〃芋……可嚼绪＾
联立o@』解得感2二9,b2＝3,所以双曲线的方程为;—÷＝
｝l3坠区
3
1故选C。
2
试题分析:由圆的方程分析可得C的值’即可得α2＋62＝
｝
试题解答:因为双曲线些ˉ卯2＝1（′厕＞0）的—个焦点与抛
″〗
l2’又由点（3’√可）在双曲线的渐近线上,得到α’b的关系,
｜
｜
物线γ＝;躯2的焦点重合,
联立方程组’求得α’6的值’即可得到双曲线的方程
。28l
·
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｛
所以C2＜3α2,
抛物线γ二÷诞1的焦点坐标为（0’2）,
｜
则双曲线的离心率e＝二＜何’又双曲线的离心率e＞l’
所以c＝2,
α
所以l＋m＝4即m＝α2≡3’
｜
据此可得此双曲线的离心率的取值范围是（l’6）.
所以α＝6’
｜
试题分析:由题意首先求得双曲线的渐近线’利用圆心到
所以e＝二＝2△区
｛
渐近线的距离小于半径得到关于α’6的不等式’结合双曲
α
3
,
｝
线离心率的定义和性质即可求得最终结果,
故答案为孪
67
双曲线（2）
试题分析:根据双曲线和抛物线的性质’求出焦点坐标’然
｜
1A
后求出矾＝α2＝3,即可求出双曲线的离心率.
｜
试题解答:当过A’B的圆与直线′相切于P点时’直线上其
l42
｜
它点都在圆外此时乙』PB最大,
试题解答:因为（徊＋l）｜AB｜＝旧｜AB｜＋｜AB｜＝徊｜AB｜＋
｜
由切割线定理得｜FP｜2＝｜FB｜｜阻｜＝（Cˉ（』）（C＋α）＝C2ˉ
｜
α2＝b2,
（｜AFl
｜
＋｜BFl
｜）＝｜AF2
｜＋｜BF2
｜
’
所以徊｜AB｜＝（｜』F2
｜＋｜BF2
｜）ˉ（｜AF!
｜＋｜BF1
｜）＝4α｀
｜
点P恰好在″处,所以｜F″｜＝b｀
｜
由双曲线通径公式可得｜FM｜＝止’
又因为｜姻｜＝÷b,
α
｜
所以b＝止’所以α＝b,上＝l
’
由此可得泞≡÷』,÷橱,
“
＂
~／
｜
所以双曲线的离心率为′√＋（÷）』-厄故选A
断以.ˉ÷√″（＋）』ˉ2故答…
试…;窗（灯带｜）｜“｜≡…＋｜｛腮｜～凋M圃｜＋
｜2鼠题解詹;依题慧…＂框戮方程胸』≡—』啊以设Ⅻ
（｜AFl
｜＋｜BFl
｜）＝｜AF2
｜＋｜BF2
｜’利用双曲线定义可得
｜
曲线方程的焦点坐标为Fl（—4’0）｀F2（4,0）,点P为双曲
打｜咽｜＝4侧,缝合｜佃｜＝;b,:呵得缝采
｝
线右支上—点,由双曲线定义得｜′′｜
｜— ｜″』
｜＝6o,又
一—〉
｜
雨.雨＝0’所以″｜上P′2,所以在R（△″｜′2中.
15.何
ˉ—〉
ˉ——→
试题解答因为以虚轴为直径的圆o与C在第—象限交
｜
｜雨｜:＋｜函｜2二82@,联立o@解得｜』p′｜卜｜P′2
｜
＝
于点″’若MF2与圆O相切’
｛
l4,故选Cˉ
所以OM上MF司’MF勺＝√Pˉ＝J丁＝α’作MⅣ上OF2于点Ⅳ’
｜3A
兰
凸
2
2
｜
试题解答双曲线÷—卞二l（趣＞0,b＞0）的渐近线力程为
在Rt△OMF2中’由射影定理可得M＼／＝凶’OⅣ＝止’
C
C
2
2
b
即M（牛｀粤）将卿的坐标代人》卞～!,
｜
′＿鳃｀
α
｜
由—条渐近线的｜颐斜隐的取值范围0≤｜苦,于｜,
解得（鉴）2—（÷）,-!, （宁）2＿（÷）』三｜.
｜
则馏＂子≤÷≤［斟n了,
∏
即（.—÷）』＿÷二｜＝儒2二3,健-徊放答案为厄
2
2
试题分析;先↑…F塑与圆o搁切求出删′2＝√万了＝P≡
｜
即l≤上≤√了,即有l≤乓≤3,即l≤＝;旦ˉ≤3,
α
α
α
2
α｀在R…F』中’由射澎定塑可得〃（午｀粤）,将删
｜
则2≤÷≤4即徊…故选A
α
2
2
｜
试题分析;求得双曲线的渐近线方程’由题意可得l≤上≤
的坐标代入÷＿些＝l即可得结果.
α△
b鱼
α
l6. （1’何）
｜
何’再由离心率公式和α’b’c的关系’即可得到所求范凰
试题解答;双曲线的渐近线b腮±αy＝0与圆（躯ˉ何）2＋γ2＝
｜4D
｜
试题解答:数形结合可得双曲线C的顶点关于直线绷＝c的
2相交’
则圆心到渐近线的距离小于半径′
｜
对称点为（7α’0）′所以ˉ等7α＝c或竿!＝c,即‘＝3α或
』偿亏≤…可得;…,
｜
c≡4α’所以e≡ˉ些＝3或4故选D
α
282
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汕／
｀
／
≤
』
｜挛÷二
试题解答因为0＜府＜5’所以两曲线都表示双曲线,在赤—
｜
点为（聪,y）》则
六＝l中α2＝l6’b2＝5—k;在蒜二∏—÷＝l中α2＝l6—
｜
｜
解得对称点坐赫为（c2÷2“2 —竿）｀
∧,b2＝5.由c2＝α2＋b2知两双曲线的焦距相等故选D。
｛
b
6C
‖
代人方程γ＝ˉ—鳃’
α
试题解答:依题意｜FlF2
｜＝6’ ｜PF2
｜
ˉ ｜PFl
｜＝2’因为
｜
｜P′｜
｜; ｜″2
｜-3』4’所以｜″!
｜＝6, ｜″型
｜-8,所以等腰三
｜
得—竿＝—÷×竿2
陶形…:的雨积s÷＼＂火｀／b』—（:）:ˉ…｜｜1!简得…｀所以.ˉ2故选α
选C.
｜
试题解答:由题意’不妨设｜PF!
｜
＞｜PF2
｜’则根据双曲线
7.A
｜
的定义得’ ｜PFl
｜＿｜PF2
｜＝2α’
试题解答已知双曲线的离心率为2,焦点垦（—t,0）,（4｀
｜
义｜′′!
｜＋｜P′2
｜-厨＂’
0）,则c＝4,α＝2’b2＝l2’双曲线方程为苛—古＝L故
｜
解得｜PF」
｜＝4α’ ｜″2
｜＝2鸥
选A.
｜
在△PFlF2中’ ｜FlF2
｜＝2c’而c＞α’
8ˉA
｛
所以有｜PF2
｜
＜｜F1F2
｜,
试题解答:设△R4Fh的内切圆在边PF2’AP上的切点分别
｝
所以乙PFlF2＝30。’所以（2α）2＝（2c）2＋（4α）2-2
.
为M′M则｜咖｜＝｜P″｜
’ ｜A0｜＝｜dM＝√了’ ｜0Fh｜＝｜MFb｜」
2c.4αcos30。’得‘＝√5h’所以b＝√c2ˉα2＝√Z’
由双曲线的对称性可得｜AFl
｜
＝｜AF勺
｜.
6
｛
所以双曲线的渐近线方程为γ＝±—卯＝±√豆宽’
由双曲线的定义可得
α
｜PFl
｜ˉ ｜PF2
｜＝｜AFl
｜＋｜AP｜ˉ｜PM｜ˉ ｜″F2
｜＝｜AFl
｜＋
｜
即仍±γ＝O故选A.
｜AⅣ｜＋｜／γP｜-｜PM｜—｜MF2
｜
｜
l2.A
-｜」′!
｜＋｜柳｜ˉ ｜0′1
｜-｜〃』
｜＋｜削＂｜— ｜0′凰
｜-2｜叫｜
｜
试题解答;出题得双曲线的渐近线方程为′-±上瓣、设
α
＝2厄
｜
F（C’0）’则A（c’匹）’B（c’二ˉh旦）’P（c’丝）
’
所以2α＝2旧’所以α＝亿因为｜F｜F2
｜＝6’所以c＝3.
α
α
α
所以离心率e＝ˉ二＝皇＝扛故选A
‖
因为而＝∧丽＋队丽（∧’队匡R）’
α
√3
勺
试题分析;已知｜′｜′2
｜＝6｀可得′-3』敛妥求离…需求
｜
所以（‘,÷）二（（人＋鹏）c,（人＿“）粤）
α.设△R4F2的内切圆在边PFh’AP上的切点分别为M’川
｜
所以∧＋队＝l ’入ˉ以＝—’
b
由内切圆的切线长线段可得｜PM｜
＝｜PⅣ｜
’ ｜AQ｜
＝｜AⅣ｜
＝
｜
c
旧, ｜0′2
｜＝｜″′: ｜由双掏线的对称′隆可得M′!
｜-
｜
解之得人＝等腆二漂
｜AF2
｜.由双曲线的定义可得｜PFl
｜— ｜PF2
｜≡2α,根据以上
‖
｜
因为人』＋腆2-;｀所以（等）2十（导）2＝;,
结论可得2α＝2√Z所以α＝厄进而可求离心率.
｛
所以÷＝竿所以.二竿故选A
9.A
试题解答:因为Fl坐标（ˉ√7’0）’所以c＝行’
｜
试题分析;先榷播已知求出人,似,再代入入2＋队2二;求出
因为双曲线右支上一点P,满足｜PF1
｜-｜PF2
｜≡4’
所以2α＝4’即α＝2,
｜
双曲线的离心率.
则b2＝c2ˉα2＝7ˉ4＝3’即b＝何’
｝
l3.4
则双曲线＂渐近线方捏为γ＝辈÷鞭＝圭祭故选匙
｜
试题解答;双曲线子ˉ′』-!两渐近缓的斜率为±÷′设
试题分祈↑…陶线的定义求出…,缝合蜒陶线渐近
｜
点P（鳃0’′0）则′｜’!2的方程分别为》—γ0＝÷（鳃ˉ鳃＂）,
线的定义进行求解即可。
｜
γˉγ0＝ˉ＋（财—躯0）,所以M″坐标为″（缠0ˉ2y0,0）
’
10.C
试题解答;设左焦点′（—‘,0）关于渐近线γ-＋绥的对称
｜
M剿0＋2γ0,0）,
°283.
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所以｜OM｜
· ｜O″｜＝｜卿0ˉ2γ0
｜
. ｜腮0＋2γ0
｜＝｜腮;ˉ4γ;
｜
’
2
义点P在双曲线上则子—’;-｜,
所以｜O″｜
。
｜OⅣ｜＝4故答案为4.
l4. （√Z2）
2
2
试题解答;双曲线÷卞二l的两条渐近线方程为γ-
±÷鞭,”～竿＂’ ’- ±乎,不妨设』（宁｀芋）
‘（竿,—竿）因为60,＜…＜90..所以粤＜臃′愿＜｜,所
αb
α亨≤÷≤!,所以亨十!｀所以＋≤盖』≤｜,
C-—
C
所以l＜e2ˉl＜3,所以徊＜e＜2
l5。
—2
试题解答:由已知可得A1（—l’0）’F2（2’0）’设点P的坐
一—〉
标为（鳃,y）（卯≥l）,则PAl 。PF2＝（ˉl—勿,-γ）
· （2—勿,
2
—≥
—-广
ˉy）≡鳃2—膊—2＋γ2.因为驱』ˉ÷＝l,所以PA』.PF2＝
4躯』—堑—5-4（躯＿÷）2＿器,故当“＝l时’画瓦有
最小值—2.
16,2
试题解答;由题意,A（ˉα,0）,F（4’0）,B（0’b）,
—〉
→
所以BA＝（-α,-b）,BF＝（4,＿b）
因为煎.而＝2α’所以（ˉα’—b）
. （4’ˉb）＝2α’
所以—4α＋b2＝2α’所以b2＝6α,
所以l6-α2＝6α,所以α≡2,
所以′＝÷＝÷-2故答案为z
试题分析:利用向量的数量积公式,可得-4α＋b2＝2α’即
16ˉα2≡6α,可得α的值,由此可求双曲线的离心率.
｜
连接0A,则〃｜二＋｜B川｀
l
0
｜
所以｜OA｜＝｜AF｜
,
｝
点A的横坐标为÷,所以点A的坐标为（＋,徊）
｜
把（十’徊）代人直线′;γ＝庶（鳃＋l）（腮＞0）,
｜
解得k-竿散选α
｜
试题分析:直线／:y＝k（则＋l）（附＞0）恒过点P（＿l ’0）’由此推
｜
导出｜叫｜二÷｜B′｜,根撼题意,求出点刹的坐标,从嗣能求
△
｜
出∧的值.
｛
2C
｝
试题解答:求△M4F周长的最小值’即求｜MA｜＋｜MF｜的最
｜
小值’
｜
设点M在准线上的射影为D’根据抛物线的定义’可知
｜
｜MF｜＝｜MD｜
’
｜
因此’ ｜Ml｜＋｜MF｜的最小值’即｜M4｜＋｜MD｜的最小值’
｜
根据平面几何知识’可得当D,M’A三点共线时｜M4｜
＋
｜
｜″D｜最小’
｜
因此最小值为卿A—（ˉl）＝5＋1≡6,
｜
因为｜AF｜二√（5—l）2＋（3二0下＝5’
｜
所以△M则F周长的最小值为u故选o
｜
试题分析:求△M4F周长的最小值,即求｜MA｜
＋｜MF｜的最
｜
小值,设点M在准线上的射影为D’根据抛物线的定义,古ˉ
｜
知｜″F｜
＝｜MD｜’因此,问题转化为求｜M4｜
＋｜MD｜的最小
｜
值’根据乎面几何知识’当D’M’A三点共线时｜M4
｜
＋
｜
｜″D｜最小’由比即可求出｜M4｜
＋｜MF｜的最小值’进而求得
｜
结果
｜
3。C
｜
试题解答:因为｜MF｜＝7’点M到卯轴的距离为5’
｜
所以罢＝7—5,所以｜α｜-8,
｜
因此焦点F到准线!的距离是号＝4故选c
｜
试题分析:根据条件以及抛物线定义得｜α｜’即可得焦点F
｛
到准线』的距离
‖
4.B
｛
试题解答:由y2＝4匆’得F（l’0）
’
｛
设A（如l ,γl ）’B（卯2,γ2）
,
｛
｜AF｜等于点A到准线卿＝ˉl的距离卯l ＋l,
｜
同理’ ｜BF｜等于B到准线卯＝—l的距离加2＋l’
｝
｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜≡（匆l ＋l）＋（嘶2＋l）＝6’“1＋卯2＝4°
％1＋卯2＝2’
｜
中点横坐标为卯0＝
2
｜
所以AB中点到γ轴的距离是｜鳃0
｜＝2故选B
｜
试题分析:将点到焦点的距离转化为点到准线的距离’可得
｜
｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（“l ＋l）＋（卯2＋l）;二6’从而求出中
｛
点横坐标’进而可得结果.
284°
68
抛物线（1）
1·C
试题解答:抛物线C:γ2＝4勿的准线为／:嘶＝-l ,
／≡≡
｜V
B
∧
〃
尸
／
直线γ＝A（鳃＋l）（k＞0）恒过点P（-1,0）
,
过A,B分别作AMˉLl于M,B／V」ˉl于／V,
由｜B／V｜＝2｜AM｜’所以点A为｜BP｜的中点,
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5。B
｜
所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上
试题解答:设点p（卿’y）’则γ2＝2p绷.
｜
又圆经过抛物线上的点M’
所以｜川｜＝√（卯ˉ4）2＋y2＝√（则ˉ4）2＋2p卿
｜
所以圆心在线段F″的垂直平分线上,
｜
故圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点.
＝√（卯＋pˉ4）2＋8pˉp2’
｜
结合图形知对于点M（4’4）或（4’ˉ4）’线段″′的垂直平
所以当撕＝4ˉp时’ ｜pA｜有最小值且最小值为√8pˉp2
‖
分线与抛物线都各有2个交点
由题意得√§页ˉ＝了＝√F,
｜
所以满足条件的圆有4个故选∏
整理得p2-8p＋l5＝0’
｛
试题分析:由于圆经过点F〃且与／相切,故圆心在线段
解得p＝3或p＝5.
｜
F″的垂直乎分线上’且圆心到点F和准线／的距离相等’
又0＜p＜4’
｛
故圆心在抛物线上结合条件可得满足条件的点″有两
所以p＝3’
｜
个’且每条线段F7｜′的垂直乎分线与抛物线都有2个交点’
｜
故可得圆心有4个.
所以点B的坐标为（3’3徊）.
｛
9.A
所以由抛物线的定义可得｜″｜＝3＋÷＝÷故选E
｝
试题解答;设圆心C为（α’4α2）’半径为r’
试题分析;利阀｜川｜的最′卜位为√F求幽′的值,从雨得可
｜
由抛物线的焦点为（0,六）
得点B的坐标,然后利用抛物线的定义即可得出结论.
1
｜
准线方程为γ＝ˉ厉’
6.D
试题解答;设点′的坐标为（十咖2,咖）’由圆的方程（鳃—
｜
可得′-4α2＋上
l6’
4）2＋y2＝I可得圆心坐标A（4’0）
’
｜
由圆上的点到直线y＝ˉ6的距离的最小值为4α2＋6ˉ4α2ˉ
所以｜川｜』-（＋哪翼ˉ4）』枷』-六（懈:ˉ:）』＋…｀
｜
☆-器故选A
所以｜P』｜≥2√g’
｝
试题分析:设圆C为（α,4α2）’半径为′’求得抛物线的焦点
因为0是圆（匆ˉ4）2＋γ2＝l上任意＿点,
｛
和准线方程,运用抛物线的定义和圆上的点到直线的距离
所以｜P0｜的最小值为2√gˉ1.故选∏
｛
的最小值为〃ˉ′’计算即可得到所求值.
‖
10·A
试题分析』可设』…坐标为（＋咖』,加）,…程（鲸—
｜
试题解答根据题意』设直线的方程为γ＝鳃—p,
4）2＋γ2＝l得圆心坐标A（4’0）’求出｜〃｜的最小值’根据
｜
与抛物线联立’可得（卯ˉp）2＝2p则’整理可得”2ˉ4p觅＋
圆的几何性质即可得到｜P0｜的最小值.
｜
P2＝0’
7.A
｜
从而有厕l＋卯2＝4p根据｜AF｜＋｜BF｜＝l0’
勺
试题解答由｛就＼u≡＂烟得到］／带…s≡0｀△≡
｜
｜
结合抛物线的定义可知匆l＋躯2＋p＝5p＝l0’所以p＝2’
｛
所以抛物线的准线方程为施≡ˉl,即匆＋1＝0.故选Aˉ
256—l2×48＜0’故o无解,
｛
试题分析:首先利用题的条件’写出直线的方程’涉及直线
所以直线3匆＋4γ＋l2＝0与抛物线无交点.
｛
与抛物线相交,需要联立方程组’消元化成关于匆的方程’
由dl ＋〃2＝dl＋l＋Ⅲ2ˉl ,
‖
利用根与系数的关系求得两根和’之后结合抛物线的定
而〃l＋l为P到准线″＝ˉ1的距离’故‘l＋1为P到焦点
｜
义’得到过于p的等量关系式’进而求得抛物线的准线
F（l’0）的距离’
｜
方程.
从而‘l＋1＋Ⅲ2的最小值为F到直线3卵＋4y＋12≡0的距
‖
11D
｜
试题解答:因为抛物线方程为y2＝勿’
离｜｜×浩表u｜≡』
｜
所以抛物线的焦佩为′（＋,0）
』
故d1＋i2的最小值为2,故选A·
｜
因为点A在厕轴上方,
试题分析:题设的直线与抛物线是相离的,Ⅲ1＋〃2可以化
‖
1
成〃l＋l＋‘2ˉ1 ’其中〃‖＋l是点p到准线的距离’也就是
｜
所以｜〃｜COS0＝如Aˉ丁’
′剑焦…离,…们从几何意义得墓M｜＋1带感,输
｜
陶抛物线定义可知｜酗｜-膊破可,
最小值,从而得到αl＋〃2的最小值.
8。D
l
2
l
试题解答:因为点″（4’m）在抛物线γ2＝4如上’
｛
所以｜Rl｜＝
＝
1＿cos0
2（1-cos0）
,
所以可求得″l＝±4ˉ
｜
因为0匡｜牙｀丽）,
由于圆经过焦点F且与准线／相切,
285
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2
所以M—÷′0）
’
设点P（厕,γ）,再由线段的中点坐标公式可得
′尸
2
α
-—＋卯
2
＝0’消去参数α,可得γ2＝8腮,
缚!
2
g士工＝α’
＼
）
（＿!｀粤
｀
＝
｜
所以cOs0匡
｜
’
徊
—
∑
＋
］
~~
2′
l
所以＋＜
′／｜ˉ／｀4
.
｜R4｜≤
.
-
｜
~
』
2（｜—粤）
＝0,悄去参数幽,可得γ』二;｀
所以｜腮｜的取值范围是（÷,］十粤］故选n
｀竿二感,
试题分析;卤题意得到抛物线的焦点坐标,根撼解三阔形
｜
故答案为γ2二8“
可得｜删｜…＝撼剧—寸,然后由抛物线的定义得到｜刷｜＝
｜
试题分析;由题意可得点删为线段P″的中』点.且′Ⅷ是
撼矿÷’于是可得｜刷｜＝2（l—co臆0）,籍合÷≤…可
｝
线段′Ⅳ的垂直平分线,设点″（0,α）｀点』｀′（″｝,0）’卤
l
《
＂′卿响卿″＝｜,可得慧″（—等,0）.设…＼Ⅱ）｀再由
得｜FA｜的取值范围.
｜
线段的中点坐标公式可得P的轨迹方程.
A
ˉ ｝豁｜渊／
试题解答:如图所示’设｜AF｜
＝
2
厂l＋厂2
厂l , ｜BF｜＝厂2’则｜MⅣ｜
＝
2
’
Ⅳ
｜AR｜＝√′｝＋r;＋r］厂2’
｝
骗膛川（;聪!
O
厂l＋厂2
所以僧—2√′｝十ri＋′!矿1
2
→帜?（｝1
｜
标为2’
｜
所以腑B匡（2’6］
’
~l
~~′
＿
√霄蜡｝｛『→√瑞ˉ罕徽趟｀
《
＂……］
l
三三—
2
“″÷’于是可得｜刷｜＝2（l—co臆0）
l
得｜刷｜的取值范围.
l2.A
!3夸
69
抛物线（2）
试题解答:由题设得抛物线方程为γ2＝8躯’设p点坐标为
｜
l.C
｜
试题解答;山抛物线的定义知｜删F｜＝γ0十｛;二:γ＂,
P（z,γ）
,
则点P到直线γ＝z＋3的距离为:
｜
解得y0＝2p’
‘＝」匹ˉ二L±旦」ˉ」8工—8γ＋24｜
抠
8徊
｛
又点M（l’γ0）在抛物线C上’
—吠—8γ十24｜-
｜（γˉ4）』＋8｜≥÷’
｜
代人蜒2二纫解得γ0二l’′＝÷
8厄
8徊
｜
过点″作抛物线的准线的垂线’设垂足为E’
当且仅当γ二4时取得最小值粤故答案为孕
｜
则…剧M二t…Ⅷ-揣-＋二÷故选c
l4. （2’2徊）
4
试题解答;设该点的坐标为（撼0,γ0）’根据抛物线的定义得
｜
试题分析;先利脯抛物线的定义和已知条件求出）b-｜』p≡
到见0-（-l）＝3’所以z0＝2,
所以′;二8,所以γ＝童2√r,因为该点在第—象限｀所以该
｜
÷’…删作抛……垒线,设奎足为E,最后解
点的坐标为（2’2徊）.故答案为（2’2徊）.
｜
直角三角形AME得tan△〃M的值.
试题分析:设该点的坐标为（匆0,γ0）,根据抛物线的定义得
｛2B
到卯0ˉ（ˉl）＝3’即得卯0和γ0的值’即得解.
｜
试题解答:由题意得抛物线厕2＝2pγ（p＞（））的焦点为（0’
勺
l5.γ垄＝8卯
试题解答;由题意可得定点′（2,0）｀点M为线段′州的
｝
÷）.
｜
因为A’B连线经过抛物线的焦点F’且｜AB｜＝2b’
中点’且F″是线段P／V的垂直平分线’
设点″（0,α）』点Mm,0）.由臆′M偷卿删-罚揣＿
｜
所以设点A,周的坐标分别为（ˉb,:ˉ）’（b』:）
2
｜
由点B在抛物线上可得b2＝2p÷＝p2,
α
ˉl’求得m＝-丁’
.286°
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所以b＝p,
｛
8.C
2
2
2
2
又…椭圆÷十卞-」（…0）卜,
｜
试题解答;双脯线的标准方膛为÷—i-!则α』三』,脐-
Ⅷ″乓｝（羔）』≡!…『÷
｝揣≈喘
16
｛
2
2
α
｜
双曲线的左焦点F（ˉc’0）抛物线的准线为则＝ˉ丛
断以′≡÷√÷＋放谴,
2
’
｜
因为双曲线的左焦点在抛物线的准线上’
试题分析:由题意求得点A,B的坐标后代入椭圆的方程’可
｜
2
｜
所以ˉ:＝ˉc,即:＝c》则c2＝÷,
得α’b间的关系式,于是可得椭圆的离心率·
3.A
2
2
2
｜
即3＋慌二÷,解得p＝4,即α2＝3,c2＝3＋揣＝4,则α＝
试题解答;因为抛物线‘!／-2p蹦（′≥0）的爆点为（÷,0）.
｜
闽〃～2,b-1’
又因为抛物线C:γ2＝2p则（p＞0）的焦点在直线卯＋2γˉ2＝
｜
惭
则双曲线的渐近线方程为y二±祭放选α
0上’
所以÷十2×0ˉ2＝0》所以′＝4故选A
｜
9.C
｜
试题解答:由题意可得’抛物线卯2＝4γ的焦点F（0’l）,准
4B
斌题解……代人…c方御1-鞭鞭州纵;≡｜瓣满拳于灌线,删为…由…雌义∏
2p.4’解得p＝2’所以点F（l,0）’据题设分析知’sjn么MpF＝
｛
｜
得｜尸′｜- ｜′川,则舟—栅二嗡in△〃M△〃删为
÷.Ⅷ′｜＝√P—干I可二2打,义瓢＂｜滁′二2R（R为△ⅧF
｝
｜
锐角.
外攘球半健）所以2愿-竿所以尺-竿,所以△M″外
｜
所以当…最小时,舟最小则当剧和抛物线相切
5
｜
时,喘最小
接倒的而积N-啸R:＝而（芋）2二竿故遮Ⅱ
试题分析;由点尸（4’4）是抛物线c;广二2′鸳上的＿点可求
｜
设切点P（2…）,由′二＋x2的导数为’′≡＋x则〃的
得抛物线方程,迸漏可得焦点坐标,利周正弦定理求出外接
｜
斜率为÷2伍二伍二丝1
圆半径’即可得结采.
2伍
5.D
｜
所以α＝l ’则P（2’l）
试题解答:双曲线的渐近线为b卯±αγ＝0抛物线的准线为卯＝
｜
所以｜PM｜＝2’ ｜R4｜＝2√Z
＿:｀代人双曲线渐近线〃程求得』-圭器〕由于双曲线
｝
所以…剧删-栅-粤故逃α
离心率为2,叫］带（÷）,二2,上-何即」｀‘厕点的纵蜒
｜
」αⅡ
｛
试题解答:因为F是抛物线γ＝2卯2的焦点’所以F（0’
α
标为Ⅱ＝±备,s…＝＋×厨义÷-2何解得′二2徊,
｛
÷）推线方程γ＝—百｀
l
故焦点坐标为（√Z0）.故选D.
1
｛
设″（厕l ’γl ）’Ⅳ（“2’γ2）’所以｜MF｜＋｜ⅣF｜＝yl ＋百＋
6.C
l
l7
试题解答:设准线与厕轴交于点E’作P』’QB分别垂直准线
｜
y2＋百＝丁’
于A’B两点’设″＝r,则P″＝2t’R4＝t’EF＝2’由相似比
｜
剧
解得γ｜带γ』-4,所以线段咖的巾点纵峻标为γ｜票』
得器-祟,芳＝÷’解得』-÷故选o
二≡
｝
2故选Bˉ
7.B
｜
ll。B
试题解答:过点M作抛物线准线的垂线’垂直为Ⅳ’则｜R4｜
＋
｜
｜Ⅷ｜ˉ｜剧｜＋｜刚—｜≡｜″｜＋｜″｜ˉ挡…三蕊!谰:脯蹦瓣亡睬馏鹏聪
共线时’ ｜〃｜＋｜PF｜最小＝｜AF｜＝√（2ˉl）2＋（3ˉ0）2＝
｜
相切’
｀／I∏’所以｜PA｜＋｜PM｜的最小值是｀／I∏＿l.故选B.
『
所以动圆必过抛物线的焦点’即过点（2,0）.故选B.
287
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试题分析:首先根据题意,求得抛物线的焦点坐标,之后将
横坐标代入抛物线方程,求得点P的纵坐标,从而得到＄呈
P的坐标,利用两点间距离公式得到p所满足的等量夫
系,从而求得结果.
12.A
试题解答:如图所示’设
B（z1 ’γl ）’D（绷2,γ2）,则
y1-γ2
γl -γ2
l
≡
＝
＝
矛iJ
—2且-’则γl ＋γ2＝2p’
γ1＋γ2
取BD中点MOA中点
‖
人
0
70
直线与圆锥曲线的综合应用
2
2
″,则z,M’″三点共线,且所在亨线方程为y＝p,所以
｜
因为阀M经过椭圆c;栅十÷＝l的＿个焦点』
△o″的面积s-＋×o′黑′-除-! .所以′-2.准线方
｜
所以侧ˉ］二］或佩ˉ3-9｀
程为匆＝ˉl.故选A.
｜
所以m＝4或m＝l2
l3. ˉ8
｜
因为当矾＝l2时,圆M与椭圆C无交点’
试题解答整鳃抛物线方程得瓣2二上γ,所以准线方程为
｜
所以咖＝4
（卯—2）2＋γ2≡l ,
α
｜i÷↓
〃…咋＂
l
l
｜
联立
γ＝—丽＝五’
因为抛物线方程开口向下’
｜
因为卯≤2’
所以α的值为ˉ8.故答案为ˉ8.
｜
所以鳃＝8ˉ2√I∏’即线段AB所在的直线方程为卯＝8ˉ
试题分析:先把抛物线方程整理成标准方程,进而求得准
｜
｛
2√I∏
线方程’再根据抛物线性质得出准线方程.
｜
因为圆M与椭圆C的公共点为A’B,点P为圆″上ˉ
l4.巫
｜
动点’
4
｜
所以P到直线AB的距离的最大值为3＿（8ˉ2｀／I∏）
;＝
试题解答:因为点B为线段删的中点,
｛
2√I∏ˉ5.故选A
所以B（:,l）
』
｝
试题分析:根据圆的方程求得圆″与鳃轴的交点坐标,ˉ再枉
｜
据圆M经过椭圆C的一个焦点’即可求得m’联立圆与贿
因为B在抛物线上,所以l＝2′×÷p＞0所以p＝√Z
｜
｜
圆的方程’即可求得线段AB所在的直线方程’从而可得p
网此点月到该抛物线准线的距离为乎＋粤-乎故答剩.值线咽输距离锄最大值
‖
2.A
胎1ˉ但
｜
试题解答;如图所示’
巫
伞
为
v
试题分析:先根据中点坐标公式以及B在抛物线上求B横
｜
坐标’再根据抛物线性质得准线方程.
l5.45°
试题解答:由题意不妨设M（则l ’yl）（γl＞0）’则匆l＋1＝2’
｜
得则l＝l,所以M（l,2）
,
＝--》
ˉ--〉
因为K（ˉl’0）’O（0’0）’所以K″＝（2’2）’KO＝（1’0）
’
｜
—》—〉
—〉
~-—〉
可得KM·KO＝2’ ｜KM｜＝2√2’ ｜KO｜＝l ,
ˉ-一〉
——〉
~卢
…Ⅷo…（丽,而）- ｜制揣「＝÷,所以
｜
乙MKO＝45°.
—-〉
0
试题分析:设M（勿1 ,γl ）（y1＞0）,得M（l,2）’所以KM＝
｜
—〉
（2,2）,KO＝（l’0）,由向量的夹角公式可求乙MKO.
l6.6
试题解答;根据题意得F（号,0）,将躯＝÷代人抛物线方
｜
程,求得y＝±p,
从而有P（÷’±p）,因为PO＝3石,
2
得到÷＋p2＝45,解得′＝6
.288
出椭圆c｜;谎唁-」可得鳃-4.‘三″＝了-」,
所以F（ˉl,0）.
由切线PM,PⅣ,可得PM」ˉMF,PⅣˉ［FⅣ。
s四…′＂二2×＋｜刚卜｜PM-｜P删‖
因此要使四边形PMF／V的面积取得最大值,
则｜PM｜必须取得最大值,
当P点为椭圆的右顶点时,
｜PF｜取得最大值α＋c＝4＋l＝5.
所以｜P″｜＝2厄
所以四边形Ⅷ刚面积最大值为＝2×＋× ｜PM｜× ｜M′｜＝-
2厄故选A.
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试题分析;由切戮的′隆喷可得S…尸″’″＝2×÷｜Ⅷ卜
｜
｜PM｜＝｜P』′｜.因此要使四边形P‖′F7＼／的面积取得最大值’
｜
｜PM｜必须取得最大值’因此｜PF｜必须取得最大值’当P点
｜
为椭圆的右顶点时’ ｜PF｜取得最大值α＋c.
3.A
试题解答:设A（财l ,yl
）,B（卯2’γ2）,
2
2
2
2
代人椭侧的方稗可得÷÷-｜,÷÷二｜,
两式相减可得（卯l＋卯2）俐（卯l ˉ蛔2）
（γl ＋γ2）（y］ˉγ2）
＋
≡（）’
｜
4
3
解得α＝杠则M（ˉ旧’0）’Ⅳ（打’0）
设点A（狐0,′0）,由直线A″与A″的斜率之积为ˉ÷’可得
）b
γ0
2
＝＝
卯0＋徊卿0ˉ√可
3
即′;＝—÷（腮;—］）o
2
2
2
又子借～］,所以Ⅱ;-萨（!＿子）｀翱
由o@解得:62＝2.
2
2
所以C的方程为÷＋÷＝1故选c
试题分析:由椭圆定义可知,△AFlB的周长为4α,从而得
α’再设点A（卯0,γ0）,可得γ0
γ0
“0＋何Ⅸ＂—徊-÷,从漏可
得b2’进而得解.
6D
试题解答:过双曲线r:则2ˉy2＝l上任意点P作双曲线厂
的切线’不妨设点P为右顶点（1’0）。
此时易知切线即为卿＝1.
两条渐近线为:γ＝±卿.
即△MB为等腰直角三角形,则△AoB的面积为＋×l×
全
2≡l.故选D.
试题分析:本题未用“小题小做”的方式’在题中没有限定
切线的位置时,可以将切线特殊为“＝l ,从历可迅速准确的
得解.
7.B
试题解答:由题意可得C2＝l＋8＝9’则右焦点坐标为
F（3,0）
,
勺
由通径公式可得｜″｜二f-旱＝:,
且点A到直线pF的距离Ⅲ＝3—1≡2,
据此可得△剐′的面帜为;S＝÷× ｜″｜×d二÷×8瓣2＝
8,故选B。
试题分析:由题意首先确定焦点坐标,然后结合通径公式求
解三角形的底,结合点的坐标求得三角形的高即可计算三
角形的面积.
8.C
试题解答:双曲线的渐近线方程为y＝±卿.
设直线／的方程为γ＝脑＋b’
因为直线／与双曲线有2个交点A’B’故而∧≠±1
雕化方稗组《』～」憋,
消去y得（lˉ片2）如2-2肋如ˉb2—α＝0’
设A（鳃l ’γl ）,B（勿2,y2）,C（绷0’γ0）,
卯1＋％2
肋
贴｜十噬2-胖,所以鳃,-
2
＝｜ˉ腮2,
y0＝脑0＋b＝—些
l-A2.
γ1—γ2＝A,
又卯l ＋卯2＝2,γl ＋γ2＝2,
卯l -卯2
3（卯l＋鳃2）
3
即k＝-
＝
4（γl＋y2）
4
,
则直线Ag的方程为;｝—｜-—:（鞭ˉ｜）
’
化为3则＋4y—7≡0.故选A·
4.B
试题解答:取椭圆的左焦点Fl ’连接AFl ’BFl
’
则AB与FFI互相平分’
所以四边形AFBFl是平行四边形,
所以AFl ＝BF’
因为』F＋AF1＝2α’所以AF＋BF＝2α,
猛
圃为s△蛔′≡＋A′BF. sim20.＝
′旧′＝4√gˉ’
所以AF。BF＝l6,
因为2α＝AF＋BF≥2√ⅪF.BF＝8’所以α≥4,
l
又S△AB′＝丁×c×2｜γA｜＝c
.
｜γA
｜＝4徊’
~-
腑以′≡箭｀
所以当｜yA｜＝b＝√α2ˉc2时’C取得最小值此时6＝√面b,
所以α2＝3c2＋c2≡4c2,所以2c≡α,
所以2c≥4.故选B.
‖
‖
‖
‖
）
~
~
~
~
~
~
试题分析:利用二角形的面积公式和椭圆的性质得出α≥
4’再根据三角形的面积公式得出当A与短轴端点重合时,C
｜
取得最小值,利用椭圆的性质求出2c的最小值即可ˉ.
5.C
试题解答:由△AFlB的周长为4｀／gˉ’
可知AFl＋AF2＋BF｜＋BF2＝4α＝4厄
289
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｛
｜AF｜等于点A到准线卯＝ˉ1的距离“l ＋l
’
y0
l
所以直线OC的斜率为删0C二可＝了
｜
同理’ ｜BF｜等于B到准线“＝ˉl的距离则2＋1’
｜
｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（则｜＋l）＋（狮2＋l）＝6’
所以∧AB .AoC＝l.故选C.
试题分析:设直线』的方程为γ＝肛＋b’联立方程纽,根据
｜
绷l＋厕2＝2’
根与系数的关系’求出C点坐标’得出koc从而得出结沦
｜
＂｜＋卿2＝4,中点横坐标为箍0＝
2
9ˉB
｜
所以AB中点到γ轴的距离是｜狐0｜＝2.故选Bˉ
试题解答:抛物线γ2＝4腮的焦点为F（l ’0）,
｜
试题分析:将点到焦点的距离转化为点到准线的距离’可
易知直线／存在斜率且不为0’设方程为γ＝k（卯ˉl）
’
｜
得｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（狐l＋l）＋（购2＋l）＝6’从而求出
赣立｛｝厂笺ˉ｜）,得廖…1…卫～0
｜鸣!蕊横缝标…得缝皋
｜
试题解答;以圆C;（卯ˉl）2＋γ2＝4的圆心（L0）为焦点
解碍（｜噎—2｀／萨丁…平）
｝
＂抛鞠线榷陶f～徽…
k2
’了
″（｜铲√｛;巡÷崔√｛:可）
剧
№｛｝曰｀1河』ˉ斜解…‖
｜
抛物线C2 :则2＝8γ的焦点为F（0’2）’准线方程为γ＝—2’
啦｛｝三｜忌｝』-」.褐碾刊）（蔚—｜）;＝』
｜
即有｜BM｜
— ｜AB｜＝｜BF｜-｜AB｜≤｜AF｜＝l
,
臆测噶（｜—亩卢）嚼（｜辩忘扁）｜麓:……之｜铆三……＂
』倔≡（—忘—÷→』√霞可
｝
:
｛
试题分析…遭｀可…………;
A2
’
√Pˉ干Tˉ了＋
｜
A’运用抛物线的定义和三点共线’即可得到所求最大值.
｛
l3·2
2早）,
｜
试题解答;设直缆‘…叶‖｀＂赋—Ⅱ＋0,
｜
所以直线dB或CD的方程为（2膨＋γˉ3）（脑ˉγ＋b）＝0｜
丽霉｜产…｜
2
Ⅱ√腆｜
』
｜
｜
＂以缓过……＂二酗鳞方程.
k2
√Pˉ下丁’r＋
∏—√Pˉ干丁
｜
（2财＋γˉ3）（肋ˉγ＋b）＋队（8狐ˉγ2）＝0’
则耐.而＝l.故选B.
撇蕊熬剿嚣戴撼撮蛰｜删蔗摆狮蹦…2
｜l4÷
积公式迸行求解.
~′
l0。B
｜
试题解答:如图所示’设c＝√5｝＂’α＝2m（″′＞0）
’
试题解答;F（÷,0）为抛物线C:γ2＝2p腮（p＞0）的焦点’
｜
2
2
｜
则b＝咖’椭圆方程为击＋÷＝l’
4m
m
直线嘶-2γ—3p＝0与“轴交于P（3p,0）’
∩
勺
勺
联立直线约—2γˉ3p＝0和γ2＝2p鳃,可得
｜
圆的方程为（绷＋2m）△＋γ叁＝4mˉ’
γ2-4py-6p2＝0,
｜
直线与圆相切’
｜
＂;…』川』ˉ瓮÷…｛÷、
可得△＝l6p2十24p2＝40p2＞0,
γl＋y2＝4p,γ1γ2＝-6p2,
｛
直线删』的斜纠-ˉ宁直线川』的方橇为;Ⅱ-ˉ粤｜｀
△刷B的面积为5√n
即为＋｜′P卜｜
γ』—γ2
｜＝＋× （3′—÷｜×
｜
—2删）,
′
｜
｜
产《
√（4p）2＋24p2＝5√I∏
解得p＝厄故选B.
｜
联立直线方程与椭圆方程:
试题分析:求得抛物线的焦点和直线与腮轴的交点,联立
｜
直线方程和抛物线的方程’运用根与系数的关系和三角形
｛
｜
整理可得:（“ˉ2m）（7卯ˉ2m）＝0’
的面积公式’计算可得p的值.
2
ll.B
｛
即厕l＝2矾’则2＝丁m’
试题解答:由γ2≡4如,得F（l ,0）
’
｜
由弦长公式可得; ｜QA2
｜-√I丁P｜鳃!ˉ鳃』
｜＝÷√j旅,
设A（则1 ,γ1）,B（卯2’γ2）,
.290·
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在Rt△A｜A,P中’R4’＝√g1!P＝2√g｝＂’
敞『驾「＿｜幽』
｜ˉ｜α』型
｛2阀耐＿÷倾
目＝
｜PA气
｜
2归加
乙
2√Z所以删（2,2抠）,设圆心为（÷’h）,圆心到F〃两点
的距离相等’即（＋＿l）:＋b2＝（÷ˉ2）2＋（b＿2徊）2,
解得』二乎且半径的平方为（÷＿｜）2带』2＝晋,故所求
圆的瘫为（燕ˉ＋「＋（y＿轩三寻
7l
空间向量及其应用
】
刽
…
—
丁
′~~
｜〕′
‖
（）
4
‖
l
A
试题解答:设AB＝l’则AA1
＝
2’建立如图所示的空间直角坐
标系’则D（0’0’2）’C1 （0’ 1’
0）,B（l,l,2）,C（0’l,2）’所以
→
--＿≥
DB≡（l’ l’0）’DC1 ≡（0, 1,
--≡》
-2）’DC≡（0’l,0）,设Ⅶ≡（则’
γ’z）为平面BDC1的＿个法向
最测｛鸿二h取＂ˉ（ˉ2｀2
嘶＋y＝0’取〃＝（-2,2
试题分析:由题意首先设出椭圆方程’结合几何关系确定
｜
试题解答:设AB＝l’则AAl ＝
;铲……册
—》
｝
-2）’DC≡（0’l,0）,设Ⅶ≡（则’
试题解答;因为r＂渐近线力程为′二圭黑.
｜
γ.墓）为平面周Dc｜的—个法向
X
｝
最测｛《土l勤｀取＂ˉ（ˉ2｀2｀1
所以上＝△皿
α
4
,
……刊蚂｜1带…飘｜
酗…则…＿｜:｜焉｜
取厂的左焦点F′ ’连接AF′ ,BF′ ’由双曲线的对称性可知
｜2D
AF′BF为矩形,
｜
试题解答:模长为√可的向量共
设｜E′｜＝咖’喘-入』则｜‘′｜-入测’ ｜〃′
｜＝｜‘川-″＾
｜
Bo｜,D!B,Ac｜,c｜A,d!c,“｜’B｜
｛
＿〉—尸＿》一—〉—〉＿
l
＿〉
｜AF｜＝加—2α’
｜
DBl共有8个.故选D
在…中’由硼:＋（哪＿2侧）,三等鹏2解得娜-÷馏｀
｜」赏题解答』建立如图所示的坐
｜
标系.
所以MF′
｜- ｜B′｜-÷侧, ｜c′｜-÷叭, ｜cF′
｜＝2α＋
｜
｜
设正方体的棱长为2’则
;卿入,
｜
Bl（2’2,2）’″（l’l’0）’Dl （0’0’
｜
2）’Ⅳ（1’0’0）
’
在△〃｜c中｀（÷感）』＋（＋α＋÷α人）』＝（2“＋÷“入）:,
｜
所以硕＝（ˉl,ˉl ,—2）’
｜
—〉
｜
DlⅣ＝（l,0,—2）
’
解得入＝÷
’l
｜
′……／割.’＾」ˉ….
｜｜〃｜｜沉｜
｜
｜
2.D
｜
试题解答:模长为√可的向量共
所
′
／D｜
l5
V
龙
′
B｜
）,设CD与平面BDC1所
y-2z＝0’
为0则…二
｜＂雪｜～二故选＾
ˉ旷
有‘4｜
｜
—-→＿-尸--ˉ》＿-→--—〉--〉＿》
｜
BD1 ,DlB,AC1 ,C1A,A1C’CAl ’B1D’
l
P≥C
J
B
Z
~~↑
纠
刁C｜
〃｜
′
■
≈
→
、
β
～
≈
＝
■
『
≈
〃
Ⅵ
旦
＝
、
≈
∑
川
〃
一
人
□
≥
■
■
■
■
卢
川
声
″
v
±-＝→
□
＞刁
」
β
／‘4
x
-l＋4
√1＋1＋4.√Iˉ干可＝
以B1″与DlⅣ所成角的余弦值为
l
℃
选
故
硕
—
Ⅲ
4.B
试题解答:过P作P／V上AB交AB
于／V,作P″ˉ［平面ABCD,垂足D｜
为M由三垂线定理可知ABˉL
MV’所以乙P／VM为所求二面角
的平面角,且刚-十,Mγ＝上
3
’
D
1
~—
敝P″＝乎…PⅧ-—坠＝些
｀／I可
］
6
』｜
月
l
／
／／
C］
C
P
（骡—÷）2十（γˉ乎）』二￥
试题解答:依题意F（l ’0）’由于OF／／／MⅣ’所以圆心在
｜
o′,Mγ的中垂线上,故圆心在直线腮＝十上所以″的横
｜
坐标为2×÷ˉ（＿1）＝2,代人抛物线方程求得纵坐枷为
｜
噬
澎
≡
翻
〃
夕
＝
°
｛
上
Ⅱ
笋
≥
尸
l6
~~
b
梦≥…
~
Ⅱ
选
故
啊
—
〖
~~
〕
—
佰
291
卢尸卢′b
＼
l
｀
｀
｀
｀
｀
｀
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｝
ll。B
｜
试题解答:以A点为原点’AB
｜
为厕轴’AD为y轴’AP为2
｜
轴’建立空间直角坐标系,
｜
则B（2’0’0）’C（2’2√页’0）
’
｛
P（0,（）,2）,A（0’0,0）’E（l
,
｜
徊’l）
’
｜
则BC＝（0’2√Z0）’丽＝（l
’
——〉
｜
√Zl）
’
5.B
试题解答:以DA’DC’DDl为则’γ’z轴建立空间直角坐标系
队″则丽-（ˉ÷’0,l）,丽二（÷,÷,2）,赡°麓〈丽｀丽〉＝
ˉ＿L＋2
4
≡’券I故选＂
√＋带!代带十＋』
＝
←
】
了
~
＜
C
B
6.B
—〉
试题解答:由条件’知茁.而＝0’CD＝
—》→.—-〉
CA＋AB＋BD。
→句
ˉ-＋
＿＿〉
--〉
勺
--〉0
所以CD鱼＝（CA＋AB＋BD）＾≡CA＾＋
—卜司—≥∩
--》
＿＿＞
--〉
寅-＋
AB兰＋BD么＋2G4°AB＋2CA·BD＋2
→—≥
勺
勺
勺
AB·BD＝6垒＋4兰＋8垒＋2×6×8cos
l20。＝68,
—≥
所以｜CD｜二2√I了故选B
7°C
■
′
〖
归B
设异面直线BC和AE所成的角为0,
—〉
—-≥
4
徊
』…（丽,耐）≡｜焉蒜｜丽矿了,
所以异面直线Bc和AE所成的角为÷故选B
试题分析:以A点为原点,AB为鳃轴,AI）为γ轴,AP为z
轴’建立空间直角坐标系,求得丽＝（0’2√Z0）屈＝（l
’
徊’l）’利用向量的夹角公式’即可求解.
l2.B
（
‖
试题解答:入α＋b＝入（0’-l’l）＋（4,l,0）＝（4’l—∧’入）
,
｜
由已知得｜∧α＋b｜＝√42＋（lˉ入）2＋人2＝√Z可’且∧＞0’
｜
解得入＝3.故选C
8。B
试题解答:将该几何体补形为一个长’宽’高分别为4’2’2
｜
的长方体’建立空间直角坐标系如图所示’
试题解答:以B为坐标原点,分
别以BC,BA,BP所在直线为匆,
γ’z轴’
建寸窄间直角坐标系,
则B（0’0,0）,A（0,3,0）,P（0,0,
3）,D（3’3,0）,E（0’2’l）
,
｜
Z
P
尸.x~~~~~~~~~~~~~~
／
′夕0
、℃
〃■
＝〃
←′
伯″〃小｜
〃
〃■
＝〃
←′
伯″〃小｜
〃
F
‖
→
—〉
｜
所以BE＝（0,2’l）’BD＝（3’3’0）
’
｜
设平面BED的＿个法向量为〃＝（则,γ’z）
,
→
｜
』』｛瞒三滤!b｀
｜
取舅-l,得厕＝（÷,ˉ÷,l）,
｜
平面ABE的法向量为加＝（l ’0’0）
’
l
｝
＂鹏卿…六＂
6·
｜
所以平面剧哑与平面哑D的夹角的余撼值为粤故遮｜｀
｜l3÷
｜
试题解答:由题意得四面体是＿个边长为徊的正四面体’
｜
体积为｜』ˉ4×＋×＋×l』蕊｜＝÷
｜
l4.5
｜
试题解答:因为空间两点A（2,l,7）,B（
ˉˉ l ’l,3）,所以↓］
｛
空间中两点间距离公式可得
｜AB｜
＝
则P（0,2’2）,E（l,0’0）,C（2,2,0）,D（0’4,0）,
-—〉
～-〉
据此计算可得:PE＝（l ’ˉ2’ˉ2）’CD＝（—2’2’0）
’
→---≥
PE.CD＝-2-4＋0＝-6,
｜丽｜＝√1＋4＋4＝3’ ｜而｜＝√4＋4＋0＝2√页’
—〉
-〉
｜PE.CD｜
设异面直线PE,CD所成的角为0,则:cos0≡
—→
—→
｜PE｜×｜CD｜
~
平｀所以0-45憾故选B
～
9。B
试题解答:o正确;@中若α’b共线’p与α不共线’则p＝
｝
卯α＋γb就不成立;◎正确;@中若M’A’B共线’点P不在此
｜
—≥
→
＿→
直线上,则″P＝勿M4＋yMB不正确故选B.
l0.A
试题解答:设P（0,0,z）
,
依题意知A（2’0』0）’愿（2’2,0）,则E（l 』l,÷）
于是而＝（0,0,忽）｀I百二（—l ,｜,÷）’
2
—〉＿〉
z
—护ˉ→
DP。AE
2
√3
cos〈DP’AE〉＝→→＝
＝了
~／
2
｜DP｜｜AE｜
｜愿卜√÷十2
解得z＝±2,由题图知z＝2,故E（l ,l’l）.故选A.
〗
）
〕
丁
（
＋
∑
）
］
］
（
＋
∑
］
）
］
（
∑
［
√
＝5.故答案为5
292
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l5.3
试题解答:因为A（3’2’l）’B（l ’0’5）’C（0’2,l）’AB的中
｜
点为″,由中点坐标公式可得″点坐标为（2,1 ,3）,由空
! ｜吐;剪……;…″
｜
g（绷）＝卯2ˉln（2虹）—l’″巨（l’＋。。）,所以该函数的零点就
｜
是颜0,又圃为‘｛（膊）≡2醚＋2鳃÷ˉ］,所以‘（蕊）在（｜,
｜
＋的）上单调递增’又g（l）＝ˉln2＜0’g（徊）＝lˉln2徊＜0’
｜
g（何）＝2ˉln2何＞0’从而徊＜财0＜厄故选u
｜
试题分析:先设切点’再根据导数几何意义列等量关系’解
｜
出切点’即得切线方程.
｛
4,B
｜
试题解答:根据题意,设曲线y＝αe聪＋2与2卿ˉy＋6＝0的切
｜
点的坐标为（m,αe咖＋2）’其导数y′＝αe厕＋2’则切线的斜率
｜
片＝αem＋2’
‖
又由切线方程为2卿—y＋6＝0,即y＝2鳃＋6,
｜
则k二αe哪＋2＝2’
｜
则切线的方程为yˉαem＋2＝αem＋2（鳃—m）
’
｜
又由αe厕＋2＝2’得切线方程为yˉ2＝2（卯ˉm）,即γ＝2甄ˉ
｛
2m＋2’
‖
则有—2矾＋2＝6,解得m＝—2,
｛
则切点的坐标为（ˉ2’2）’则有2＝α×e（ˉ2）＋2’所以α＝2.
｛
故选B
‖
试题分析:根据题意,设直线与曲线的切点坐标为（′n,
｜
αe哪＋2）’利用导数求出切线的方程’与2绷ˉγ＋6＝0比较分
｜
析可得αe砸＋2＝2且ˉ2矾＋2＝6’解得m＝ˉ2’即可得切点
｛
的坐标,将切点坐标代入曲线方程,分析可得答案.
‖
5。D
｜
试题解答:由曲线y＝∧卯）＝α犯ˉ2ln（如＋2）’得／′（″）＝αˉ
｜走,所以′｜（0）＝触—l,
｜
又曲线／（卯）＝α厕—2ln（躯＋2）在点（0,／（0））处的切线方程
｜
垂直于直线绷＋2y＝0’
｜
所以（α—l）（ˉ÷）＝—l解得α＝3故选n
｝
试题分析:由曲线／（“）＝α绷ˉ2ln（卿＋2）在点（0√（0））处的
｜
切线方程垂直于直线卯＋2γ＝0,
｜
所以f′（0）（—＋）＝ˉl 』凰呵求解“的值
｜
6.A
｜
试题解答:将“＝1代人直线方程得γ＝0’故切点为（1’0）
’
｛
岂≡▲P八、｜哉＝、Ll
尸′
′
｀
α
卯＋1-卯＋l
α
2
间中两点间距离公式可得｜CM＝
√（2ˉ（））2＋（lˉ2）2＋（3—l）2 ＝3,故答案为3
l6-3
试题解答;圃为α〃β｀所以″｜〃′‘』,所以子二为＝:
,
所以y≡l ’z＝-4,所以γ＋g＝-3.
72
导数的概念
l.D
试题解答:因为／（则）＝ln
｜则｜,所以,
O则＞0时,／（绷）＝ln躯扩′（躯）＝上’
卯
@x＜0时／（翼）-」n（ˉ鳃）′′（聪）-—（＿÷）二÷
即／′（卯）＝上,
几
根据题意’函数图象在A’B两点处的切线互相垂直
所以旷』（瓣｛）√′（甄』）÷去-＿1｀
即卯l惩2＝-l ,且卯l ＜卯2 ,所以厕1＜0＜卿2,
囚比聪』干襄』带÷≡小☆～＾
所以卯2-绷l的取值范围为［2,＋的）·故选D.
试题分析:先通过分类讨论得出函数的导函数／′（“）＝—L’
勿
再根据切线垂直得出购l虹2＝-l,最后运用基本不等式求
最值.
2.C
试题解答:由题意’函数γ＝αln卯’则γ′＝丛’
卯
令ˉL上＝l,可得卯＝α’故切点为（α,α＋1）,
;
肋以（αˉl）
. （ˉ丁）＝ˉl ,解得α＝3政选∏
卯
｝
试题分析:由曲线／（“）＝α绷ˉ2ln（卿＋2）在点（0√（0））处的
代人γ＝αln加,可得α＋l＝αlnα,
｜
切线方程垂直于直线卯＋2γ＝0,
构造新函数／（虹）＝卯＋1ˉ勿ln“’
｜
所以f′（0）（—＋）＝ˉl 』凰呵求解“的值
则∧3）＝4—3ln3＜0狄4）＝5＿4ln4＞0’
即／（3）／（4）＜0’所以”巨（3,4）’即α匡（3｀4）’所以＂＝乱
｜6A
故选C.
｜
试题解答:将“＝1代人直线方程得γ＝0’故切点为（1’0）
’
试题分析:求出导函数’确定切点的坐标’再构造函数’即可
｜
2
｜
育线斜率为÷′′（腮）二旦＋鳃＋lˉ叶｜
α
得到结论.
卿
（卯＋l）2
＝了＋（卿＋1）2,
｜
′Ⅱ（l）＝‘＋÷｀α二0故选A
3.D
试题解答;令／（卿）＝躯2,／′（厕）＝2厕,／（“0）＝财;,所以直线／
｛
的方程为y＝2卿0（鞭ˉ厕0）＋厕;＝2鞭0狮ˉ躯;’因为!也与函数
｜7~C
γ＝｜＂鳃（撼匡（0,l））的图象相切,令切点坐树为（蕊! ,｜n露! ）
』
｜
试题解答;设切点为（咖,l十ln腮）扩′（鞭）＝｛,／′（咖）＝贪』
γ′-＋,所以′的方程为γ-上x＋ln撼』—l ,这祥有
｜
故切线方程为yˉ（｜＋ln咖）-上（腮ˉ咖）,即》＝上狐＋
卯l
m′
′γ0
.293。
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№哪’所以“三÷,‘三……｝二÷…√斋丽-
｜
因为〔（!）-＿＋
｜
义因为腮二′（÷）＝—2,
4.故选C.
8.A
试题解答;因为γ′二…,所以g（′）-…』,由g（ˉ』）-
｜
所以函数′＝／（躯）在Ⅺ-＋处的切线方程为γ＋÷＝
ˉ′cost＝—g（′）知函数g（′）为奇函数’所以排除B’D选
｜
项,当』巨（0’号）时』…0,′＞0,所以gO）＞0故选A
｜
—2（x—÷）,
｜
即y＝ˉ2叶上故答案为y＝ˉ2獭＋上
9.A
e
e
试题解答曲线γ＝士x』的导数为;γ′＝÷,在P（膊,′）处的
｜
试题分析;欲求在“二÷处的切线方程,只须求出其斜攀
｜
的值即可,故先利厕导数求出在＂＝÷延的导函数值｀碍
斜率为R＝ˉ坠.
e
岭…“锄…蹈′ -÷在P（』.』）处＂斜率为
｜
慧苛数锄几柯意…………｜…′
k＝ˉ旦.
｜
l4γ＝卯＋l
S
｜
试题解答:由题得γ′＝2ˉ—L＝丝ˉ二1’所以k＝2×lˉ1
二二
曲线γ二六鳃2与曲线γ＝感l皿在它们的公共点P（蕊,临）处具｜
＂
＂
l
｜
l.因为切点为（l’2）
’
有公共切线,
｜
所以切线方程为γˉ2＝孵ˉl’即切线方程为γ＝蹲＋l~故答
可得÷＝÷,并且』＝士』2,』＝αhl』′
｜
案为y＝厕＋l.
｜
试题分析;先求导’再求切线的斜率’再写出切线的方程
匡二顺.测侧.→……铃→≡｝晦辩琶剿＂j…
即
｜
可得曲线在点（号,｜）处切线斜率为k＝＿α,
二＝l,故选A.
e
l0.A
｜
由切线方程狐ˉγ＋lˉ子＝0’
试题解答:由题意可知／′（腮）＝勿2-卯＋α＝3有两个解,且
｜
～
｜
可得ˉα＝1 ’即α＝ˉl.故答案为—l.
zl ’卯2均大于零即鳃2＿卯＋α-3＝0’
｛
试题分析:求得函数y的导数’可得切线的斜率’由切线方
｛绢二1;三;（芦0｀瞬碍…子故选＾
｜
程为厕—γ＋l—号＝0可得关于α的方程’解方程可得α
1l.B
｜
的值.
试题解答:因为／（勿）＝e2嘶ˉlˉ躯,所以／′（卿）＝2e2缆ˉlˉl’
｜
16. 1
则曲线′（蜒）＝嚎欺ˉ｜—鳃在点（÷′（÷））处切线的斜率
｜
试题解答;设切点为（顾,＂）,y-“＋l＂＂的导数为’′ ＝
l
是′（÷）＝2懂吟＋—｜ˉl＝l ｀又｝（＋）＝÷’由点斜式
｜
α＋了′
可得所求切线方程尉ˉ÷二1×（蕊ˉ＋）｀即＂—′三α
｜
可得切线的斜率为α瑞-2｀皿
｜
又2mˉl＝′!＝αm＋lnm’@
▲
＼
～
／
故选B.
｜
联立o@解得m＝α＝l.故答案为l.
｜
试题分析:设切点为（′n’n）’求得函数γ＝α撼＋ln“的导
l2。D
试题解答:由题得／′（则）＝e颠则／（0）＝e0＝l’A＝／′（0）＝e0＝l.
｜
｜
数,可得切线的斜率,由已知切线的方程可得m,几的方程
所以切线方程为y-l≡卯—0’即觅-γ＋1＝0,所以αˉb＋l＝
｛
｛
组’解方程可得α的值ˉ
0’所以αˉb＝ˉl,所以2α＋2—b≥2√2α 。2＿b＝2√F≡丙＝
｜
73
求导公式与导数的运算法则
2√5＿丁二徊（当且仅当α＝÷’b＝—÷时取等）故选U
｜
｜
1.D
｜1γ二ˉ2叶÷
｜
试题解答:根据题意’得／′（师）＝cos卯＋sin卯’由／′（厕0）＝
｜
2／（则0）
’
试题解答:因为／（嘶）的定义域为（0’＋的）
’
｜
得cos卯0＋sm则0＝2sln卯0—2cos卿0’
／（卯）的导数为／′（卯）＝ln则—l
ln2卯
,
｜
化简可得sin厕0＝3cos厕0’即tan卯0＝3.故选D.
294
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试题分析:首先根据题中所给的函数解析式’借助于求导公
｜
l0.D
式’求得／′（鳃）＝cos卯＋sin绷’结合题中的条件／′（勿0）＝
｜
试题解答:／′（绷）＝（“3）′ .2＂＋卯］
。（2厕）′＝3绷2 .2“＋
吁（绷0）’得到Sin卯0＝3cos绷0’利用同角三角函数关系式中
｜
2＂.厕3
. ln2.故选D
｜
l1C
的商关系,求得tan则0＝3,得到结果.
2.A
｜
试题解答:由题意得／′（躯）＝吁′（l）＋上’所以／′（l）＝
卯
试题解答:／′（卿）＝冗2ˉ吁′（l）“-l ,
｜
2／′（l）＋l ’／′（l）＝ˉl.故选C.
令卯＝l ,则／′（l）＝l2-2／′ （l）×l—l＝—驴′（l）,所以
｛
｛
l2·D
／′（l）＝0.故选A.
｜
试题解答』由题意得′′（x）二2侧＂鼠（2卿ˉ÷）,
3.B
试题解答:因为∧虹）≡2v′（2）＋勉3,
｜
所以′′ （哥）＝2嚼赡÷二l故选D
所以／′（卿）＝吁′（2）＋3如2.
所以／′（2）＝2／′（2）＋3×22,
｛
l3.土
5
解得／′（2）＝ˉl2.故选B.
试题分析;妥求／′（2）’应先求／′（卿）＝刁′（2）＋3绷2’今绷＝
｜
试题解答;由已知得／′（则）＝e酶（腮fl）
’
冗
2可衙′（2）＝2／′（2）＋3×22’把／′（2）看成未知数,解方
｜
｜
由e腮（勿Il）≥0’可得卯＞l’
程即得／′（2）＝—l2
卯
4D
￥｜
＂以′……汁÷趟慈勃÷
则
试题解答:因为／（x）＝÷所以／′ （x）＝·＂了。
＝
｛
｛
试题分析:由／′（卯）≥0,可得卿＞1’利用几何概型概率公
e卿（则厂l）.故选∏
尤
｜
式可得结果.
｝
l4.2l2
5·C
试题解答;w（躯）求导得′′（鳃）＝驴｜（懂）＋＋.把x＝＂代
｜
试题解答;因为函数∧鳃）＝鳃（腮—舰｜）（鳃ˉ侧』）…（翼ˉ
‖
α8）′′（躯）＝（″ˉα1）（卯ˉα2）.…. （卯ˉα8）＋则［（卯ˉ
人／′（躯）得／′（e）＝eˉl＋驴′（e）’解得／′（e）＝ˉe＿l.故选
｜
｜
α! ）（卯ˉα2）
.
. . .
。（绷—α8）］
′ ’贝″′（0）＝αl .α2 .….
C.
｜
α8＝（α｜α8）』＝84＝2l2故答案为2u
6.D
试题解答:由已知条件／（绷）＝厕2＋3v′（2）＋ln〃’刘′（狐）＝
｜l5上
4
2腮带驴′（2）＋＋｀令骡-2,则f』（2）-2蕊2＋v｜（2）＋÷｀
｝
试题解答由／（躯）＝3旷′（2）＋ln腮』
｜
可得:／′（绷）＝3／′（2〉＋上’
即驴』（2）＝—÷｀所以′｜（2）-—:故选u
Ⅸ
｝
所以／′（2）-扩′（2）＋＋’解得j′（2）＝—÷,
7.B
试题解答令′（蹲）＝＂B（剿）,其巾g（腮）＝（露＿“! ）（x＿
｜
所以／′（l）-v′（2）＋l＝＋故答案为士
α2）.…· （卯—α7）,
则／′（财）＝g（狮）＋躯.g′（腮）’且｛α＂｝是各项均为正数的等
｜l61
｛
试题解答:由题意可得√′（熊）＝卿2＋v′（0）
’
比数列.
｛
令鳃＝0可得／′（0）＝02＋邹′（0）
’
故／′（0）＝g（0）＝ˉα｜.α2 .α3 .….α7 ;＝＿αi’
｜
所以／′（0）＝0’
由α3 .α5＝2可得’α4＝｀／Z故／′（0）＝ˉ8徊故选B.
｜
则f（蜒）＝＋鳃3,所以′′（鳃）＝腮』｀所以／′（l）二l
8。A
试题解答:由函数的解析式可得扩′（则）＝ln狐＋l ’则／′（l）＝
｜
74
抽象函数的导数
lnl＋l＝l ’函数的解析式为;／（绷）＝l＋蛇ln剿’所以／（e）＝
｜
l＋elne＝l＋e.故选A.
｛
l.A
9。C
｜
试题解答:由y＝／′（厕）的图象可知’厕匡（ˉl’0）′′（卯）＞0’
试题解答:函数／（卯）的导函数为／′（卿）’且满足／（〃）＝ln则＋
｜
／（卯）单调递增’卯匡（0’l）’／′（卿）＜q／（则）单调递减’
Ⅱ型′′u）（鳃≥0）断以f｝（…｛（｜）叶＋把＝｜伏人｜聪蕊燃瓣瓣蛊幂…….
／（x）可得’／′（l）＝吁′（l）＋l ’解得／′（l）＝ˉL故选O
!
定函数的单调性’进历判定函数的极值
·295°
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2·A
｜
9。B
试题解答:因为函数的极小值两侧的导函数满足左负右正’
｜
试题解答』由y＝／′（则）的图象可知’在区间［ˉl
’ l］上’γˉ＝
由图象可得,满足导函数的函数值左负右正的只有一个,所
｜
／′（腮）＞0,因此函数γ＝／（卯）在［ˉl ’l］上是增函数
以原函数的极小值点只有一个.故选A.
｜
由图象可知’当则＝0时导数值最大.所以在区间［ˉl ’0］
试题分析:直接利用函数的极小值两侧导函数值需左负右
｜
上函数／（则）越增越快’在区间（0’ 1］上’函数／（则）越增越
正’结合图象看满足导函数值左负右正的自变量有几个’即
｜
慢.故选B.
可得到结论.
｜
l0。A
3.B
｜
试题解答:由题意,函数γ＝／′（卿）的图象可知,
试题解答:依题意得’当卿＞0时’／′（卿）＞0’／（卯）是增函数;
｜
当卿＜0时’函数／（卯）先增后减;当厕＞0时’函数／（卿）先减
当厕＜0时’／′（匆）＜0旷（则）是减函数.又／（ˉ3）＝／（5）＝l
’
｜
后增’
因此不等式／（卿）＜l的解集是（ˉ3’5）.故选B.
｜
所以函数γ＝／（狐）有极大值’没有最大值故选A.
4C
｜
试题分析:根据导函数的图象’得出当则＜0时’函数／（x）
试题解答:由y＝v′（则）的图象可得当厕＜ˉl时’／′（“）＞
｜
先增后咸;当则＞0时,函数／（卯）先减后增’即可得到结论
0’所以当狐＜ˉl时／（卿）为增函数;当ˉl＜卯＜0时’
｜
l1.B
／（厕）＜0’所以／（腮）在（ˉl’0）上为减函数;当0＜卿＜l时’
｜
试题解答:／′（厕）＝（″＋l）则＂’A＝／′（l）＝′!＋l ,点P（l , l
）
／（卯）＜0’所以／（卿）在（0’l）上为减函数;当卯＞l时／′（绷）＞0’
｜
处的切线方程为γˉl＝（n＋l）（卯ˉl）’令y＝0’得则＝l
ˉˉ
所以∧卯）在（l’＋切）上为增函数.故选C.
｜
丙＝街,即服雁＝而
5.B
试题解答;由题意得:／′（惩）＝3绷2ˉ6孵＋5’其图象关于獭二l
｜
所以卿1 .沁2 .….测20｜6＝丁×丁×丁×…×而I石×
l
2
3
20l5
对称’故原函数／（厕）的图象关于点（l’／（l））对称’且
｜
／（l）＝3’故对称点的坐标为（l’3）.又／（m）＝1 ’／（n）＝5’
｜
2ˉ91旦ˉ—1—
｛
20l7
20l7
则d炯）j1（业1＝3又当厕巨R时,／′（膨）＞0知／（蕊）在卿巨R
｜
则l°g20＂膊｜＋｜o题0｜7蕊2＋…＋｜og20…《｛＝｜o筒20｜7（绷｜
.
l
上恒单调递增.故点（m’j（m））与点（厕’／（n））关于点（l ,3）
｜
则2 .….则20｜6）＝log20l7Z＿而＝ˉl.故选B.
对称’所以竿＝l ’即厕＋″＝2故选B
｛
l2.D
｜
试题解答:g（厕）＝／′（厕）＝α则2＋α则ˉ2α ;＝α（腮ˉl）（厕｛
6.B
试题解答:由函数的图象可知’／′（ˉ2）＝0’／′（2）＝0’并且
｜
2）’所以g（狐）的零点为l ’ˉ2／（卯）在绷＝≡ˉ2处取极大值′
当厕＜—2时’／′（卯）＞0’当ˉ2＜厕＜l／′（厕）＜0’函数／（则）
｜
在财＝］处取极小值故选D.
有极大回（ˉ2）
｜
试题分析:先求出g（则）的解析式’再求其零点得解
又当l＜卯＜2时／′（卯）＞0’当卯＞2时’／′（绷）＞0’故函数
｜
l3“—yˉ2＝0
／（勿）有极小值／（1）.故选R
｜
试题解答:由题意设y＝／（躯）的解析式为／（则）＝α财（卯ˉ
｜
2）’即／（醚）＝α熊2—2α剿’所以／′（卿）＝2α腮ˉ2“
7.D
试题解答:因为［／（虹）e厕］′＝／′（卯）e箍＋／（则）（e瓤）′＝［／（绷）＋
｜
又导函数γ＝／′（卯）的图象过点（2’l）
’
／′（鳃）］e“且则＝ˉ1为函数／（腮）e“的—个极值点’
｜
所以4α—2α-l,所以α-÷
所以∧ˉl）＋／′（ˉl）＝0;选项D中′（ˉl）＞0／′（ˉl）＞
｛
｜
所以／（鳃）二÷憋』—鳃由导数的几何意义褐曲线Ⅱ＝／（鳃）在
0,不满足／′（ˉl）＋／（—l）＝0.故选D
8.C
试题解答:由条件知由于／′（则）≥0＝函数／（躯）单调递增;
｜
点P处的切线斜率为／′（则）｜露＝2＝（鞭ˉl）｜甄-2＝l ’所↓』』
｜
所求的切线方程为γ＝如—2,即则-y—2＝0.故答案为腮ˉ
／′（则）≤0＝单调／（卿）单调递减。
观察／′（卯）的图象可知’
｜
y—2＝O
当x巨（—2’l）时,导函数的图先负后正,故函数先递减,后
｜l42÷
递增,故A错误
当骡.（l,3）时』导函数先正后负,函数先增后减,故B
｜
试题解答由题意得／′（卿）＝…（@…）,由图象叫氮
｜
°-2,则／′（翼）
-2＂＂. （2＂＋“）, J《′
′ （『）
≡
错误.
当鳃匡（l ’2）时函数递增.则巨（2,3）时函数单调递减,故函
｜
｜
…（2撼:十帜）-—｜,目｜帜｜≤晋,所以鹏-驴故答寨
数在卯≡2处取极大值;
同理’由函数的图象可知函数在卯＝4处取极小值’故D错
｜
俐
为2和÷
误,故选C.
.296°
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｜5（＋,5）
试题解答:由导函数图象可知’当厕＜0时’／′（绷）＜0’当
｜
躯＞0时’／′（则）＞0’所以／（如）在（ˉ由’0）上单调递减’在
｜
（0’＋的）上单调递增’因为α’b都是正数’且／（2α＋b）＜
｜
l＝／（4）’所以0＜2α＋6＜4’作出平面区域如图所示’令
｜
剿＝偷｀则胀表示点（—l 』—｜）与平面区域内的点（α,b）
』
连线的斜率,所以＋…5故答巢为（＋,5）
｜
）
v
α
＿
Ⅺ
结合图象得g（卯）＝2ln卯＋l和h（躯）＝丛的图象有交点’所
卯
以方程2ln卯＋lˉ丛＝0有解’由此根据函数的单调性和极
％
值的关系得到函数／（绷）＝（卿ˉα）2ln卯既有极大值’又有极
小值故选C.
试题分析:对函数求导,今／′（期）＝0’得匆＝α或2ln如＋l—
ˉ2≡0’根据函数的图象可得方程2ln豹＋l—ˉ旦＝0有解’由
卯
卯
此根据函数的单调性和极值的关系得到函数既有极大值,
又有极小值。
3.A
试题解答:设g（卿）＝（卯＿l）j（绷）,
所以g′（卯）＝／（虹）＋（绷-l）／′（匆）＞0,
所以函数g（卯）在R上单调递增,
又因为g（l）＝0,所以卿＞1时’g（卯）＞0,则＜l时’g（施）＜0,
所以绷＞l时,（＂＿l）／（卯）＞0’所以∧绷）＞0;
所以购＜l时’（如＿l）／（则）＜0’所以／（师）＞0.
所以∧厕）＞0恒成立.
故选A
试题分析:先构造函数g（匆）＝（卿—l）／（知）,再利用导数得
到函数的单调性’从而得到／（卯）＞0恒成立。
4D
试题解答:因为／′（卯）≡ˉsin腮-］＜0ˉ
所以／（卿）在（0’∏）上是减函数.故选D
5.A
试题解答』由／（鳃）＝十躯』—鳃…（l—x）,得′′（x）＝翼ˉl＋
sin（l-蹲）.
设g（如）＝卯—l＋sin（l-卯）’则g′（鳃）＝1—cos（l-勿）≥0。
即g（卯）为增函数’且g（l）＝0。
所以当“巨（—由,l）时,g（如）＜0’／′（鳃）＜0’则／（如）单调
递减;
当厕匡（l ’＋的）时’g（绷）＞0’／′（则）＞0,则／（腮）单调递增’
且／′（l）＝0.
所以函数／（知）仅有—个极小值／（l）.
故选A.
试题分析:求函数的导数／′（虹）＝勿—l＋sin（l—如）,令g（卯）＝
卯-l＋sin（l—鳃）’由g′（绷）≥0,从而得g（卯）即／′（虹）的单
调性,进而得／（如）的单调性’结合／′（l）＝0’即可得解.
6.D
试题解答√（“）＝3苑2—3.由／v（鳃）＞0得,z＜-l或鳃＞1
故单调增区间为（ˉ的’—l）,（l ,＋鲍）.故选D.
＼l
4
~~′
′
~h
‖
对
′
′
‖
‖
‖
忆
凹
腮
卜
仆
＾
｀
…
｀
＝
＝
‖
』
‖
-2-l
L《
（-l ˉ-｜
‖
-2
2α＋b＝4
勺
］~
l6. l
试题解答:极小值两侧的函数值是左减右增’故“＝ˉl
时,函数取得极小值,故极小值点有l个.故答案为l.
0
75
利用导数研究函数的性质
l.C
试题解答:／′（狐）＝2α″ˉ4αˉ上＝2α腮2ˉ4α腮ˉl
卯
卯
若／（x）在（l ,3）上不单调,
令g（卿）≡2α则2—4α虹—l
’
则函数g（卿）＝2αz2-4α卯—l与鳃轴在（l,3）内有交点
α＝0时,显然不成立;
‖
~
~
α≠0时,只需
此C是充分不必要条件,
故选C.
试题分析:求出函数的导数,问题转化为函数g（z）＝2α绷2
｜
ˉ4α卯ˉ1与狐轴在（l’3）内有交点’通过讨论α的范围’结
｜
合二次函数的性质判断即可.
2.C
试题解答:由题意’／′（鳃）＝2（卯-α）ln腮＋（卿-α）2 ≡（卯—
』
卯
α）（n…l—÷）（躯＞0）,阳／′（颜）＝0,得腮二域2ln躯＋
｜
lˉ丛＝0’由方程2ln卯＋lˉ丛＝0’结合函数图象’作出
｜
卯
盯
g（如）＝2ln则＋］和∧（绷）＝丛的图象’
卯
297
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7.C
｛
l0.A
试题解答:则＞0时’／（卿）＝卯＋cos＂’／′（卯）＝lˉsin绷≥0’
｜
试题解答:因为／（卯）＝腮3＋3α卯’
可得／（则）在（0’＋由）上递增’
｜
所以／′（则）＝3卯2＋3α.
｜
又函数／（卯）在（l,3）上单调递增’
由对数函数的性质可得l°g3＋-＿｜°蹿4＜0’所以｀
｜
所以／′（卵）＝3卯2＋3α≥0在（l,3）上恒成立,
由指数函数的性质可得
｜
即α≥＿卿2在（l,3）上恒成立.
｛
因为当蛹巨（l,3）时,ˉ嘶2＜ˉ1
’
0＜7｜硼肆÷＜l,由｜硼g十:＝＿｜＂潍÷＜0可得
川
｜
所以α≥-L
（＋）｜·吟;＞l,所以7｜蠕☆＜l＜（＋）l瞻岩｀
｝
所以实数α的取值范圃是［＿l,＋函）
｜
故选A.
根据函数／（则）的单调性可得b＞c＞α.故选C.
｜
试题分析:根据／′（绷）≥0在（l,3）上恒成立求解.
试题分析:求出／（卯）的导数,得到函数／（卯）在（0’＋鲍）上
｜
1l.D
递增,利周对…与指数……褥,7｜·肆÷＜1＜
｝
试题解答;令＂（箍）-粤,则Ⅱ＞0时’g′ （孤）
-
（＋）｜·瞻÷从嗣比…值的大小鼠呵
｝
＂γ』（删＼J…＜0,…（0,…）上谨减,
8.D
｜
由／（l）＝0’知／（躯）＞0可得0＜则＜l
试题解答;因为函数∧驰）-罕
｜
又／（卿）为偶函数,所以解集为（ˉl’0）
（ˉ」（0,l）。
所以函数／（则）的定义域为（0’＋酮）’且／′（财）＝lˉln＂
｜
故选D
』‖试题分析;构遣新…g（鳃）～嘿,维合题中条件求导得
卯
令／′（卯）＞0’得0＜狐＜e’即函数／（则）在（0’e）上为增函数;
｜
令／′（勉）＜0’得…’即函数／（躯）在（e’＋鲍）上为减函数
｜
函数g（抛）在（0’＋唾）上单调递减’结合／（l）＝0’及函狄
｜
为偶函数可解不等式。
所以当腮＝e时’函数／（则）max＝上’故排除A;
e
｜
l2。A
当憋→0带时’／（＂）→ˉ°° ’当腿→十鲍时’／（卿）→0＋’故排
｜
试题解苔;因为函数／（狐）＝—旦二
卯＋2’
除B;
｜
所以′′（x）-饿（肋）I撞甄二铲（吐］）
酗（÷）哪（÷）牛唁如湍｜n÷≡
｜
＂以勤—…—｜………诈1
（如＋2）2
,
2
2
ˉ1）上为减函数;当卯＞—l时,／′（x）＞（｜’即函数／（如）任
｜
（ˉl ’＋的）上为增函数’
ln｜十×（÷「｜≠0｀
｜
所以／（卿）min＝／（ˉl）.
所以γ＝／（卯）的图象不关于点（l’0）对称’故排除C;
｜
脚为阀数∧鳃）二羞在（＿2｀“）上有最小值
因为e＜3＜∏＜4,
所以／（4）＜／（∏）＜／（3）.
｜
所以α＞ˉl.
故选D
｛
故选A·
试题分析:求出函数的导数’解关于导函数的不等式’求出
｜
l3. ［0’2］
:镰龋｀x誓撇零i麓｜斟木
｜
斌题解答;川题意碍…窄里俭……
数,然后结合单调性即可判断函数值的大小.
ˉ酗2＋2α则ˉ2
｜
因为g′（卯）＝
e卯
9.B
｜
所以ˉα卯2＋2α“—2≤0’即α如2ˉ2α卿＋2≥0在R上恒
试题解答:设／（厕）＝lL匹（师＞0）’则／′（卯）＝1—ln卯
卯
％2
9
｜
成立’
可得…）在（…单调逾增所以广（2」）≤′（22）｀
｜
断以α≡0或｛i乙!h1—‘凰≤0,
解得0≤α≤2
即粤＜竖’
｜
故答案为［0,2］
可化为2」凰』＜22i」即」…｀义〃-…｜＜!｀
｛
试题分析!令‘（＂）-隧宁｀先求‘』（＂）
＝
所以c＜α＜b.故选B.
试题分析;设Ⅱ腮）二竿,得／′（鳃）＝｜亏笋,利周导数研霓
｜
ˉ…“＿2,再分祈得到—“』＋2“＿2≤0｀再利碉二
e卯
其单调性可得α’b的大小关系’又由c＜l’即可得出结论.
｜
次函数的图象和性质得到0≤α≤2.
298
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的
＋
’
∑
■
Ⅱ
—
巳
＋
巳
｜
●
斗
］
｜
又α］α6＝α2α5＝α3α4＝4’所以?b＝αl
. α2
.
. . .
. α6＝
｜
（α3α4）3＝43＝64.
｜
故选D.
｜
2.D
｜
试题解答:绘制函数／（卯）＝logα绷（0＜α＜l）的图象如图所
｛
示,且″（α’logαα）’／V（α＋l ,logα（α＋l））
’
｛
由题意可知A＝／′（α）为函数在点″处切线的斜率’
｜
C≡／′（α＋l）为函数在点Ⅳ处切线的斜率,
｜
″-′（叶｜）ˉ′（僧）二骋!｛「』′）为宵线删的斜率,
数形结合可得:C＞B＞A.
故选D.
）
试题解答:由函数／（卯）＝＿皿～＋］n绷’则／′ （则）
＝
卯-l
″〗
（则ˉl）2＋了.
因为函数／（卯）在［e’＋的）上存在极值点’即／′（则）＝0在
［e,＋的）上有解,
即—（凸）2＋＋二0任［…）上有解即咖-（二l）』-
｜
卿＋上ˉ2在［e’＋。°）上有解’
卯
设g（鳃）二腮＋＋—2则当x匡［臆,…）时函数单调递增,
｜
所以g（躯）哑＂-懂＋÷ˉ2,即g（蜒）.｜懂＋÷＿…）,
｝
所以要使得函数／（狐）＝台＋ln鳃在［c’ ＋鲍）上存在极
｜
值点’则刚巨｜,＋÷＿2…）
′
｜
｜
｜
｜
Ⅻ
｀
＂
γ
八
｝
｜
｜
』
γ
O
I
试题分析;把函数∧狐）二占＋｜n狐在［c,…）上存在极
值点’转化为／′ （卯）＝0在［e, ＋的）上有解’即m＝
（卯ˉl）2
＝烫＋＋＿2在［懂,＋函）上有解,设g（x）二鳃＋了
l
卯
ˉ2,利用g（如）的单调性,求得函数的最小值’即可得到
答案
15。
-l
试题解答:由题意,函数／（腮）＝α2e鳃＋2卯3＋α嘶’则／′（卯）＝
α2eZ＋6卯2＋α,
由腮＝0为y＝／（“）的极值点,故／′（0）＝0’即α2＋α≡0,
解得α＝-l或α≡0’
当α＝0时’函数／（厕）＝2则3无极值点’故α＝—lˉ
试题分析:求函数的导函数,又由卿＝0为y＝／（抛）的极值
点,故／′（0）＝0,由此得到关于α的方程,解方程即可求得
实数α的值,注意检验
l6. e
试题解答:因为函数／（嘶）＝（2—财）ez,
所以／′（则）≡e撕—卯e虹,
当卿巨（ˉ的,l）时’／′（卯）＞0’／（z）单调递增;
当鳃巨（l’＋切）时,／′（绷）＜0,／（卿）单调递减,
故／（卯）的极大值为／（l）＝eˉ故答案为e。
试题分析:求得／（知）的导函数,由导函数大于0,可得增区
间;导函数小于0’可得减区间’利用单调性可得到函数
／（则）的极大值.
｜
』
『
｜
试题分析:将原问题转化为切线斜率的问题’结合导数的几
｜
何意义整理计算即可求得最终结果.
｜
3.C
｜
试题解答:令／（卿）＝e缠ˉα（匆ˉl）ˉb’则／′（绷）＝e鳃-α,
｜
若α＝0’则∧卯）＝e鞭—b≥—b≥0’得b≤0’此时αb＝0;
｜
若α＜0’则／′（卯）＞0’函数单调增’卯→ˉ鲍’此时／（则）—卜
｜
—的’不可能恒有∧卿）≥O
｜
若α＞0’由／′（则）＝e财ˉα＝0’得极小值点绷＝lnα’
‖
由／（lnα）＝αˉαlnα＋αˉb≥0’得b≤α（2ˉlnα）,αb≤α2
｜
（2ˉlnα）令g（α）＝α2（2＿lnα）’则g′（α）＝2α（2ˉlnα）—α＝
｜
α（3ˉ2lnα）＝0,得极大值点α-噎』而g（e÷）二÷瞳』｀所以
｜
αb的最大值是＋c3故选c
～
｛
试题分析;先求出函数的导数’再分别讨论α≡0’α＜0’α＞
｜
0的情况,从历得出αb的最大值.
｜
4B
剧
斌题解答;州题意得幢二｜『…≡赋＂鼠“
｜.～—（…
0
｜
-cos0）＝2
俐
所以二顺式（酗愿＿志）.即为（2顺—志「｀
｜
其展开式的遮项为贝判～c《（2顺〕,—（—方）「-（ˉ1）＾
｜
26ˉ′ .C8 .卿3—′’r＝0’l’2’3’4’5’6,
｛
当′＝3时’Th＝ˉ23C;＝ˉl60.
｜
故选B.
299·
76
定积分与微积分基本定理
l.D
e
＝lne—ln上＝2’
1
e
上d“＝ln卯
卯
试题解答;囚为【
即α3α4＝4,
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2
（Ⅷˉ÷）:二s—2咖』ˉ幕,不是定值
故@不正确.故选C.
9°A
试题解答;z刊-q』（叶〃）u—′（＿器）『,必须｜2ˉ′＝
l2’「＝0’Tl＝（α＋扳）｜2’卯5的系数为α2C｜!＝264解得α＝
2,所以｜;（.…）＿（…』）
｜;二…故选｀
｜
l0。C
｜
试题解答:函数／（则）≡狮3ˉl2卯＋b’可得／′（则）≡3卯2ˉl2’
｝
令3卿2ˉl2≡0’可得卿＝ˉ2或鲍＝2,函数／（腮）在（-四,
ˉ2）上单调递增,所以A,B都不正确;
｜
b＝ˉ6’／′（ˉ2）＝0’／（—2）＝10’则函数／（绷）的图象在点
｜
（ˉ2’／（—2））处的切线方程为y＝l0,C正确;
｜
若b＝0,则函数／（卯）的极大值为l6’图象与直线y＝l0只
｜
有—个公共点错误故选C.
｜
ll.D
｜
试题解答;函数y＝÷煎2的导数为′′＝膊》
乙
｜
在点（躯o,÷鳃;）处的切线的斜率为k＝鳃0,
｜
切线方程为γ—＋厕;＝则0（颠ˉ葱0）,
凸
｜
设切线与γ＝ln觅相切的切点为（m,lnm）’0＜m＜l,
｛
即有γ＝ln则的导数为γ′＝上
卯0
｜
可得鳃0＝羔,切线方程为γˉ｜n侧二湍（鳃ˉ刚）,
｜
令鞭＝0,可得｝二l＂Ⅷ—｜＝＋卿;,
｛
由0＜m＜l ’可得″;＞2’解得则0＞√Z
｜
由刚-上’可得÷鳃;ˉm鳃oˉl二0,
卯0
｜
令′（鳃）＝÷甄』ˉ｜n卿＿l 』x＞徊,
｜
／′（x）-鳃—＋＞0｀′（x）任（徊,…）上递增,
｜
且／（2）＝l—」＂2≥0,′（徊）＝;—÷｜n（〕—l＝十（lˉ
｜
ln3）＜O,
｜
则有÷膊;ˉln厕0ˉ｜＝0的根”0匡（归,2）故选D
▲
｜
l2C
闻
试题解答;如图『′（鳃）d鞭＝〔嚣』碰÷
试题分析:先根据定积分求得α,求出二项展升式的通项后
再求展开式中的常数项.
5.D
试题解答:如图所示’γ＝—鳃2—匆与腮轴的交点为（—l ’0）
和（0’0）’γ＝-匆2—躯与γ＝肋的交点为（—lˉA’-k-A2）
和（0,0）.
｝〉
由题意和定积分的几何意义得:
〔｜（—鳃2ˉ躯）幽二2〔!—＂（—鳃2—…）恋
化简得÷-2｜＿（l＋皿＋（｜芋）乳｜
3
即十＿（!微）』解得;腮～志ˉ］＿粤—｜
故选Dˉ
B
斌题解答;田题得—c·…鼠m＂｜i…鼠卫—鼠hⅡ工—
4
4
4
（…＿…）＝露i皿—…＝低i＂（°—÷）-粤.
所以瓢＂（α—牙）＝÷把α-宁代人得,瓤＂芋＝÷,显然
不成立故选B。
C
试题解答防∧…-∏…′d露～＋嚣’卜｛;～
6
丁
′
÷故选c
8.C
‖
‖
『
’
｀
【
■
■
‖
』
』
′
／
〃
牛
＿
加
＋
矾
’
‖
″
（
试题解答:@设P
｜P／l
｜
.
｜PB
｜
＝
｜炯＋÷—脚｜× ｛顺｜-2阿〕为定值所以o正蹦闻圆为四
｜
徊
边形OAPB四点共圆’所以乙APB＝l35°’又由O知｜PA｜
.
｜
｜尸〃｜-2徊.所以可冈-2徊照（＿粤）-—2,为定值｜
故◎正确;
圆因为／Ⅱ（蜒）-｜—÷,所以过点P（顺,咖＋÷）的曲线γ-
｜
f（露）的切线方程为》-（1＿羔）（鳃—卿）＋（腮＋÷）,所以
｜
G（2哪,2咖）,H（0’÷）,所以｜o‘卜｜o〃｜二2徊｜涧｜×备-
｜
l6√Z为定值’故◎正确;
~∩
r（2ˉ鞭）d甄
2
0＋（2躯—÷躯2）
3
＝—尤
l
3
二＋＋（4ˉ2＿2＋告）＝÷
γ
｀
｀
故选（〕
300
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l5.上
3
试题解答;二项式（…亨）‘的展开式的通项为＂刊-
α‘（“）偷—（?）′-（f）酗6—旭;鳃‘—′,′-0,｜｀2.…,6.
令r二｜,可得鞭,＂系数为粤α’c｛-″,
由题意得／可h5＝徊,
解得α≡L
所以‖遮斟d涎≡＋x』
｜‖÷
试题分析:先根据二项展开式的通项求得如5的系数’进而
得到α的值,然后再根据微积分基本定理求解即可,
l6.280
试题解答;因为∩窥｜d露～2腑…震÷露』｜;三鹏』-
49,所以几≡7,
所以（2卵-l）″≡（2卯-l）7,（2卿—1）7展开式的通项为
Z＋l＝C千27ˉ′（—l）′卯7ˉ′,令7-′＝3’得厂＝4’
所以（2卯ˉl）″的展开式中卯3的系数为C↑×23＝28O
故答案为280.
试题分析:利用微积分基本定理,求得n＝7,可得二项展
开式通项为T′＋1＝C;27ˉ′（-l）′匆7ˉ′,今7-『＝3,得′＝
4,进而可得结果.
l3÷＋l
试题解答;由题意‖（√丁亨带2甄）d鳃＝∏（√i＝万了）心＋
｜
‖2露d鞭＼
其中‖（√I＝万可）d鳃霍示y＝√T＝丽,疟（0’｜）所阔成的
｜
十个单伎圆的面积,
所以′（门＿万）毗二牙,
义川儿…恋』‖≡! .
厂1
所以‖（√「享带2嫌）d鳃-!带｜
试题分析;由题意‖（√I—＝万了十2鳃）咖二‖（√T＝万了）d瓤＋
｜
∏2…中‖（√I—＝万i）咖表示γ-√「＝哀鳃匡（0,｜）所
｜
围成的＋个单位圆的面龋｀得‖（√T＿歹）d狮-牙,再求解
｜
儿2…』
｜‖ˉ! ｀鼠呵……隆
厂l
l4.
—200
~
~
皿
∏
~
试题解答;由题意,α＝l亨…血＝sm “
｜
∏
—
勺
△
∏
●
■
〗
几
吕
~~
∏
～
∩
′~
／
□
‖
‖
‖
＼
∏
●
■
〗
丛
吕
）
∏
—
勺
～
~
＝2,
‖
77
推理与证明
所以（霹—÷）（2鞭＿＋）5＝（则—÷）（2躯ˉ＋）’~
‖
l.C
履∏式的常数项出（2露—＋）＄中含＂的项乘以—÷再加
｜
试题解答;出题意乙,丙均不跑第—棒和第四棒则跑第二
｛
棒的人只能是乙’丙中的＿个’当丙跑第三棒时’乙只能跑
上含上的项乘以嘶得到.
~
｜
第二棒’这时丁跑第＿棒’甲跑第四棒’符合题意.
勿
因为（2甄＿＋）’展∏式的逾项z带｜-（—l）「（针
｜
故跑第三榨的人足丙
｜
故选C.
25ˉr .卯5ˉ2厂。
｜
试题分析:本题假设丙跑第三棒’看有没有矛盾’若有矛盾
令5ˉ2′-l ,得′＝2,闲此（2xˉ＋）’的展开式中＂的系
｜
再假设乙跑第三棒的榷测…的,从阔排…′｜｜鼠序
｜
2~C
数为（ˉl）2 .23 .C;＝80.
令鼠←］得已,因此（监＿l）’胸罐开武中＋的
｜
霜麓鹅蔚髓!肃黑膛蕊.
系数为（ˉ1）3 .25
3 .C;＝ˉ4O
｛
若甲不去旅游’则乙、丙和丁有可能去旅游,也有可能不去
叫熟—÷）（2鞭ˉ＋）’的罐开式中＂常…铡蜒（—2）｜瓣i‖果丙浚…那么甲—…丁有可髓…
—40＝-200。
｜
可能不去’
故答案为-200.
｜
所以如果丙没去旅游’那么甲和丁不会都去’故C正确
试题分析;…分可得α值｀然后求出二项式（2躯ˉ＋）’
｜
故选c
′
｜
试题分析:由甲去旅游’那么乙｀丙和丁将一起去’得到:只
…｀得霞‖（2x—÷）’的展开式中含腮趣＋的项,分易｜
｜
妥甲去蕊蠕.则乙、丙和丁将—起去罐游;若甲不去旅游,』｜
｝
乙｀丙和丁有可能去旅游’也有可能不去旅游.由此能求出
与（狐—÷）中的项相乘求得答案
｜
结果
30l
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3.A
｜
若丙和丁一起在市中心吃饭,则甲此时必在市中心吃饭’与
试题解答诡（卯）＝′l （卯）＝cos财ˉsln匆’／i（卯）＝′2（″）＝
｜
甲不在市中心吃饭矛盾’因此丙和丁不会一起在市中心吃
ˉsin卯ˉcos厕’力（嘶）＝′3（鳃）＝ˉcos则＋sln卯’乃（卯）＝
｜
饭故选D.
／′4（厕）＝sin卯＋cos厕呢（躯）＝／5（则）＝cos财ˉsm卯’ . . . ’
｜
8.C
可知办（厕）是以4为周期的函数｀因为20l7＝504×4＋l
｀
｜
试题解答;若赵同学说;甲是2号为对,则乙不是3号;钱同
｜
学说:丙是2号是错’则乙是4号;孙同学说:丁是2号是
所以／h0l7（则）＝／］（则）＝sin则＋cos腮.故选A.
｜
错’丙是3号;李同学说:乙是3号是错’则丁是l号;此｜卜↑
4D
试题解答;根据题意4’B’C’D作品中进行评奖’有两件获
｜
甲是2号’乙是4号’丙是3号’丁是l号;
｜
若赵同学说:甲是2号为错’则乙是3号;孙同学说:丙是3
奖,且只有二位同学的预测是正确的’
若作品A与作品B获奖’则甲｀乙’丁是正确的’丙是错误
｜
号是错’丁是2号;钱同学说:丙是2号是错’乙是4号也是
｜
错的;与每人都说对了＿半矛盾;
的,不符合题意;
若作品B与作品C获奖’则乙、丙、丁是正确的,甲是错误
｜
综上丙是3号故选C~
｜
9·C
的’不符合题意;
若作品C与作品D获奖’则乙、丙｀丁是正确的’甲是错误
｜
试题解答;5枚真币重量相同』则任意两枚硬币之和＿定为
｜
偶数’由题意可知’c’Ⅲ中—定有＿个为假的假设c为假
的’不符合题意;
只有作品A与作品D获奖’则乙｀丁是正确的’甲｀丙是错误
｜
币’则真硬币的重量为5克’则c的重量为6克’满足α’c’ ·
｜
共重l6克’故假设成立’若Ⅸ为假币’则真硬币的重量为5
的’符合题意’
｜
克’不满足α’c’e共重l6克’故假设不成立｜则Ⅲ是真硬币.
综上所述’获奖作品为作品A与作品D.故选D,
｜
故选C~
5。D
｜
l0.D
试题解答:在等差数列｛α＂｝中’令S＝αl＋α2＋α3＋…＋α20l9’
｜
｜
试题解答:由规律得″3中有″项,而23 ’33’43中第一项分
则S＝α2019＋α2018＋α20l7＋…＋α1
,
所以2s＝（…2＂,）＋（陶…:）＋（侧』…0＂）＋…＋
｝
别为2×2＿l ,2×4ˉl＝2×（2＋2）ˉl’2×7ˉ!二2×
（αl ＋α20l9）＝20l9（αl ＋α20l9）＝20l9×2αl0l0＝l0×
｜
（2＋2＋3）ˉ1’
｜
所以453中第一项为2（2＋2＋3＋4＋…＋44〉ˉl
二
20l9,
所以S＝αl＋α2＋α3＋…＋α20l9＝5×20l9·
｛
l98l ,所以＿定不含有l979.故选Dˉ
｜
ll°C
在等比数列｛bn｝中’令T＝blb2b3…b2019’则T＝b2019b20l8
｜
｜
试题解答:若丙说的是假话’则甲获得了一等奖’那么乙说
b2017…b1
,
所以尸＝（b1b20l9）（b2b20l8）（63b20l7）…（b20‖961 ）＝
｜
的也是假话’故不对;若乙说假话了’则甲丙说的都是真
｜
话’那丙获得了一等奖’符合题意;若甲说的是假话’则丙
（b10102）2019,
｜
说的也是假话’不合题意’故也不正确.
所以T≡b］b2b3…b2019＝（b1010）20l9≡520l9.
｜
故选C.
故选D
试题分析;类比等差数列和等比数列下标和的性质求解可
｜l2B
得结沦也可直接将等差数列中的和与积类比成等比数列
｜
试题解答;由题意得到该数列的前′组共有l＋2＋3＋
｜
4＋…＋r＝巡儿j′）个元素其和为N（呜尘）-l＋（l｛
中的积和乘方得到结论.
试题解答若叫、乙参与此霓则不符合（］）;若乙丙参与
｜
〕）＋（］…）＋…带（……曰—｀）-沪｜—2『—］
4
,
此案则不符合（3）;若甲、丁参与此案则不符合（4）;若
｜
则′二9时,s（45）二业己》旦二旦二｜4757,萨二l0』s（55）＝
丙｀丁参与此案,全部符合。
4
故选D
｝
4428l＞l4900,
｜
故使得Ⅳ＞l4900成立的最小α＂位于第l0个群.
7.D
试题解答:若甲与丁—起在餐馆吃饭’则甲｀乙、丙、丁都在
｜
故选B.
餐馆吃饭·这种情况可以发生;
｜
l3. （9,6）
若丙与甲、丁一起在餐馆吃饭,则甲、乙、丙｀丁都在餐馆吃
｜
试题解答:根据题意’
饭这种情况可以发生;
｜
第一行有l个数对’数对中两个数的和为2,
若乙在市中心吃饭’则甲不在市中心吃饭’丙不在市中心吃
｜
第二行有2个数对’数对中两个数的和为2｜｀数对中第＿个
饭,这种情况可以发生;
｜
数由l变化到2’第二个数由2变化到1
’
.302°
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第三行有3个数对’数对中两个数的和为4数对中第—个
数由l变化到3’第二个数由3变化到l
’
第四行有4个数对’数对中两个数的和为5,数对中第＿个
数由l变化到4’第二个数由4变化到l
’
故甲｀乙｀丙三人按数学成绩由高到低排列为乙｀丙｀甲.
试题分析:根据题设条件可知甲乙分属第l组和第2组’
故分类讨论即可.
~
~
78
复数的概念与运算
第厕行有n个数对,数对中两个数的和为厕＋1’数对中第
｜
l.D
＿个数由1变化到网’第二个数由n变化到l,
｜
试题愧
前l3行—共有l＋2＋3＋…＋l3≡9l个数,
则第l00个数对为第l4行的第9个数’则第l00个数对为
｜
试题乡
｛
2.B
（9,6）
｛
试题角
故答案为（9,6）.
（1
试题分析:根据题意’分析可得所给的数对的规律,据此分
｜
z＝＿
析可得第l00个数对为第l4行的第9个数’结合分析的
｜
｜
-6—』
规律可得答案.
5
l4.3
｜
所以｜
试题解答:因为A完成后’C才可以开工;B’C完成后’D
｜
试题汾
才可以开工,
｝
注意邯
完成A、C｀D需用时间依次为2、厕｀4天’
‖
借助寸
且A,B可以同时开工,
｜
3ˉC
又因为该工程共需9天’
｜
试题煎
所以2＋绷max＋4＝9＝则max＝3.
｜
所以｛
故答案为3.
试题分析:这是一个简单的合情推理问题’我们可以根据
｜
所以z
四道工序的先后顺序及相互关系’计算出完成整个工序需
｜
故选〔
要的最少工作时间’再结合该工程总时数为9天构造方程
｜4D
易得到完成工序C需要的天数卯的最大值.
｜
试题懒
15. （l7,l5）
｝
又（l,
试题解答:由题意可得每个数对中两个数字不相等’第＿
｜
所以zj
组的各对数和为3’第二组的各对数和为4’
｜
所以z
第三组的各对数和为5’第四组的各对数和为6’…,
第″组的各对数和为厕＋2’且各对数对应数字按顺序
｜
故选D
排列’
｛
试题分
可得第30组的各对数和为32,
｜
z＝lˉ
｜
5·C
则第30组第l6个数为（l7’l5）.故答案为（l7’15）.
试题分析;由所给分组发现规律’可得第″组的各对数和
｜
试题解
为n＋2’且各对数对应数字’按照顺序排列’即可得到所
｜
边AB’
求数对.
｜
题意△
l6.乙、丙、甲
｜
l20。’贝
试题解答:由题设可知乙在第l小组或第2小组’甲在第l
｜
｜AC｜＝
小组或第2小组
｛
｜zl —z2
如果乙在第l小组’那么甲在第2小组’丙在第3小组,故
｜
故选C
丙的成绩高于甲的成绩’乙的成绩高于丙的成绩’故成绩｜
试题分
由高到底为:乙｀丙、甲;
｛
zlˉz2
如果乙在第2小组’那么甲在第l小组’丙在第3小组’故
｜
zl＋z2
由·‘三人中第3小组的那位比甲分数高”得丙的成绩高于
｜
6.A
甲的成绩’由.‘丙比三人中第l小组的那位的成绩低”得甲
｜
试题解
的成绩高于丙的成绩’矛盾.
｜
故选A
.303·
试题解
故选D
｜z｜ˉz2
答因为鸽＝（l＋2i）』
—÷迪故选n
二二
5
试题分析:根据复数除法法则化简复数,即得结果.
B
试题解答:由题意知
（lˉ2i）2ˉlˉ4—4iˉ≡3ˉ4j—（ˉ3—4i）（2—i）＝
z＝
＝≡
＝二
目二
2＋i
2＋i
2＋i
5
-6—4-5i≡—2-i,
5
所以｜z｜＝√叮ˉ干丁＝疽故选B.
试题分析:首先根据复数的运算法则先将复数z化简’这里
注意的一是乘方运算’二是除法运算’三是乘法运算’之后
借助于复数模的定义求得结果.
C
试题解答:设z＝α＋6i（α,b巨R）’则面＝α-bi’z＋z＝2α,
断以｛撼≡2〕膊｛;二］
所以z＝l＋j或z＝lˉiˉ
故选C.
D
试题解答:因为（α,b）＊（c’d）＝α〃ˉbC’
又（l,ˉ1）＊（z,zi）＝l-i’
所以zi＋z≡l-i,
所以2＝些＝（l≡i）2 ＝-i.
所以.＝楞二（l贡i）‘ ＝-i.
。
试题分析:利用定义（α’b）＊（C,Ⅲ）≡αⅢ-6c,列出方程zi＋
z＝lˉi’表示出z’分子｀分母同时乘以lˉj得到z.
C
试题解答:由题可知z1 ’z2表示平行四边形ABCD的相邻两
边AB’AD’zl—z2表示平行四边形的—条对角线BD’则由
题意△ABD为等边三角形,故乙ABD＝60°,所以乙ABC＝
l20°’则在三角形△ABC中,由余弦定理可得｜z1 ＋z2
｜
≡
√AB2＋BC2ˉ2AB.BC.cos12（）。,将｜zl
｜
＝｜z2
｜
≡
｜＝l代人可得｜zl＋z2
｜＝扛
故选C,
试题分析:由题可知zl ,z2表示干行四边形的相邻两边,
zlˉz2表示干行四边形的一条对角线’求另一条对角线
z1＋z2的长
6.A
试题解答:因为z＝（l-i）2＝-2i,所以z.z＝-2i 。2i≡4.
故选A.
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试题分析:首先求得复数z,然后结合复数乘法的运算法则
｛
l32
｜
试题解答;因为智-（2ˉ碰』（!—!）
2—Ⅷ‘带2
整理计算即可求得最终结果.
—＝—丁ˉ—丁l’
7.A
试题解答;由复数的运算法则有;
｛
义因为智对应的点在虚轴上｀所以罕-0,α＝z
l＋bi
（l＋bi）（l＋2l）
（l-2b）＋（b＋2）l
｜
试题分析:先根据分母实数化化复数为代数形式,再根啥
α≡＿
二二
≡
5
α为实数,则b＋2＝0’所以b＝ˉ2ˉ
点在虚轴上得实部为零,解得实数αˉ
｜
14.徊
故选A.
试题分糯…简复………嫂计算,呵扫试…;…墩;—器≡（（渊）腮）
≡
得最终结采.
｜
何（l＋α）＋（3ˉ侧）i＝徊（l＋α）＋宁j筐R.
8.A
4
4
试题解答:因为（∑ˉl＋3i）（2ˉl）＝4＋3i’
』
所以宁-0,即…
所以夏＝碧＋l＿］i-（4＋琐）（旦＋』）＋l＿3i二｜＋2叶｜
｜
5
—邹～2ˉ＾
;
‖恒擞＝器～（鞠腥二‖≡乎ˉ闷
因此z＝2＋i,虚部为l.
｜
故答案为扛
故选Aˉ
试题分析;根撼复数除法得:’再得恿,根搪复数概念得缮采
｜
试题分析;直接利卿复数代数形式灼乘除运算化简复数厦,
｜
.…条僻…值,然詹代入复数·≡器鼻剃＂
9.D
试题解答:由题意z＝ˉ2i＋3i2＝ˉ3ˉ2i.所以z＝ˉ3＋2l.
｜
｜
复数代数形式的乘除运算化简得答案
故选D.
试题分析:由复数乘法求得z’再由共扼复数定义得结论.
｜
l5. i
l
｜
试题解答因为.｜-lˉh ’鼠｜呕:-｜＋l’所以翅二浩＝
l0.C
试题解答:由z＝卯＋γi（卯,y巨R）,可得（l＋z）l
. （＿j）＝
｜
俐
（川i）』≡等＝i’所以｜鸳2
｜≡止
（3—i）
. （—i）
,
2
即l＋z＝—l-3i,可得z＝—2ˉ3j,所以如＝-2,y＝-3,
｝
｜16—÷—÷!
所以颠＋y＝—5.故选C.
试题分析:利用复数的运算法则化简复数’再由复数相等
｜
试题解答:由（l＋i）z＋i＝（lˉi）2可得（l＋i）z＋i＝ˉ2
’
即可得出.
ˉ3i
ˉ3i（lˉi）＝ˉ旦—兰i.
1l·B
试题解答;由复数的运算法则可得;
｜
故答案为＿÷—÷Ⅸ
i（1＋i）
l—1
l
l
,
＝
＝ˉ丁＋丁l
’
Z＝—＝
lˉi
（lˉi）（l＋i）
2
79
加法原理与乘法原理
据此可知｀复数的虚部为÷
｜lc
｜
试题解答:先确定从那＿面上’有两种选择,再选择上山j
故选B
试题分析:由题意结合复数的运算法则进行计算’然后确
｜
下山道路’可得不同走法的种数是2×2×3＝l2
｝
故选Cˉ
定其虚部即可.
｜
试题分析;根据乘法原理得不同走法的种数
l2.C
｜
2.A
试题解答:对于两个复数α＝l—i ,β≡l＋i,
｜
试题解答:33000的因数由若干个2（共有23 ’22’2l ’20 ｜q
@蛔＝（lˉi）（l＋i）＝2’故o不正确;
｝
种情况）
,
圆:二措-｝｝『｛｛｝｜二‖-宁＝ˉ!,正碉
｜
若干个3（共有3’30两种情况）
’
｜
若干个5（共有53’52’5｜’50四种情况）
’
圆｜:｜-
｜ˉⅡ
｜三!正确;
｜
若干个ll（共有lll ’ll0两种情况）相乘得到,
@α2＋β2＝（lˉj）2＋（l＋i）2＝lˉ2iˉl＋l＋2i—l＝0’
｜
由分步乘法计数原理可得33000的因数共有4×2×4×2
正确.
｜
＝64个,
故选C.
｜
不含2的共有2×4×2＝l6个’
试题分析:直接利用复数的乘法、除法｀复数的模的除法、
｜
所以正偶数因数有64ˉl6＝48个’
复数的乘方运算求出数值’判断结论的正误即可.
｜
即33000的正偶数因数的个数是48.故选A.
°304.
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试题分析:33000的因数由若干个2｀若干个3｀若干个5｀若
｜
则甲地有C;种情形’乙｀丙两地’有A;种情形’共有C;A;＝6
干个1l相乘得到’利用分步乘法计数原理可得所有因数个
｜
种情形;由分类加法计数原理可得共有36＋6＝42种情
数’减去不含2的因数个数即可得结呆.
｜
形故选D
3.B
｜
11.D
试题解答;（Cl .C↓＋C』.C』＋C』.C』＋C;）.A3＝58个
｜
试题解答;因为三个区域每个区域至少有＿个安保小组’
故选B
｛
所以可以把5个安保小组分成三组,＿种是按照l｀1｀3分
试题分析:分别从集合A’B取一个数字’再全排列’根据分
｜
组’另—种是按照1｀2｀2分组;当按照l、l、3来分时共有
步计数原理即可得到答案
｜
″｜ˉc慧噶崎≡60.当按‖…』来分…沁～
4B
试题解答:根据题意’分2种情况讨论:
｜竿……‖法计…铡艾育…＋
o乙和甲＿起去A社区’此时将丙丁二人安排到B、C社区
｜
即可’有A;＝2种情况;
｛
Ⅳ2＝l50.故选D
@乙不去』社区’则乙必须去C社区｀若丙丁都去B社区,
｜l2C
有l种情况;若丙丁中有l人去B社区’先在丙丁中选出l
｝
试题解答;5名师范大学的毕业生分配到A、B、C三所学
人’安排到B社区,剩下l人安排到A或C社区’有2×2＝
｜
｜
校’每所学校至少＿人’当A校选＿名时有C』＝5种’另外
4种情况’则不同的安排方法种数有2＋l＋4＝7（种）故
｜
4人分为（］’l）和（2’2）两组’有C1 .A;＋Ci＝l4种’故
选B
｜
有5×l4＝70种;当A校选两名时有C;ˉ1ˉl＝8种’另
5。D
试题解答:从0’l’2’3这4个数字中选3个数字组成没有
｜
外3人分为（2’l）＿组’有C;Ai＝6种,故有8×6＝48种’
重复数字的三位数:3×3×2＝18（个）’三位数是3的倍数’
｜
当A校选三名时有Cl .C』＝4种’另外2人分为（l’1）＿
需要满足各个数位上的数之和是3的倍数’有两种情况0,
｜
组’有Cl＝2种’故有4×2＝8种’根据分类加法计数原理
l ’2,和l’2’3;由0, l ’2组成没有重复数字的三位数共有
｜
得’A校不招收同＿学科的毕业生’则不同的分配方法共
2×2＝4个,由1 ’2’3组成没有重复数字的三位数共有A;＝
｜
有70＋48＋8＝l26种.故选C.
6个,所以—共有:4＋6＝l0个’这个三位数能被3整除的
｜
13.8
｜
试题解答:由题意不同的分配方法种数为（l＋C』）×2＝
概率足器-;故选u
｛
8.故答案为8,
6.B
｜
试题分析:AB捆绑在一起’分两类’一类是A,B两人在一
试题解答;因为丙没有人选｀所以只需把丙去掉’把总的元｜
组’另三人在一组’一类是」’B再加另一人在一组’另一组
素个数变为9个’因为甲｀乙至少有1人人选,所以由条件
｜
｜
只有2人’还妥注意两个地点是不同的.
可分为两类;＿类是甲乙两人只选＿个的选法有;Cl .C;＝
｜l427
42’另＿类是甲乙都选的选法有;C; .C↓＝7’根据分类加法
｜
试题解答;先考虑等边的情况’α＝b＝‘＝l ’2』…’6有六
计数原理知不同的选法种数为42＋7＝49.故选B.
｜
个’再考虑等腰的情况’若α＝6＝1 ’c＜α＋b＝2此时c＝1
7.C
｜
与等边重复’若α＝b＝2’c＜α＋b＝4’则c＝l’3有两个’
试题解答;先考虑四位数的首位当排数字4｀3时’其他三
｜
若α＝b＝3’c＜α＋b＝6’则‘＝l’2’4,5有四个,若α＝b＝
个数位上可从剩余的4个数任选4个全排’得到的四位数
｜
4’c＜α＋b＝8’则°＝l ’2’3’5’6有五个’若α＝b＝5’c＜
都满足题设条件’因此依据分类加法计数原理可得满足题｜
α＋b＝l0’则‘＝l’2’3’4’6有五个若α＝b＝6’则。＜α＋
设条件的四位数共有Ai＋A』＝2×4×3×2＝48个故
｜
b＝l2｀则‘＝l ’2’3’4｀5有五个,故＿共有27个
选C.
｜
l5.—L
8.C
‖
l69
9D
｛
试题解答:由题意,得从—副52张的扑克牌中随机抽取2
考点:排列组合
‖
张,则在放回抽取的情形下’两张牌都是K的概率为P≡
试题解答:分两类:
｜揣2二志故答案为志
（l）甲组中选出＿名女生有C』C』C:＝225种选法;
（2）乙组巾选出—名女生石C;嘱;C』＝｜20种选法故共有
｝
｜624
345种选法.故选Dˉ
｜
考点:1计数原理的应用’2.组合
l0.D
｛
试题解答:由题意,第一类’大—的孪生姐妹在甲车上’甲
试题解答:由题设可分两类:＿是甲地只含有＿名女生,先
‖
车上剩下两个要来自不同的年级,从三个年级中选两个为
考虑甲地有C』C』种情形’后考虑乙、丙两地’有A;种情
｜
C;’然后分别从选择的年级中再选择＿个学生,为ClCl’
形’共有ClC』A;＝36种情形;二是甲地只含有两名女生’
｝
故有C;C』Cl＝3×2×2＝12种.
305
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第二类’大一的孪生姐妹不在甲车上’则从剩下的三个年
｜
@将这个整体与其余3人全排列’有A』种情况’
级中选择＿个年级的两名同学在甲车上’为C』’然后再从
｜
则甲、乙两人必须站在＿起的排法共有A;A」种故选D
剩下的两个年级中分别选择一人（同第一类情况）’这时
｜
试题分析:根据题意’分2种情况分析:o将甲、乙2人看成
｜
一个整体’考虑2人之间的顺序;@将这个整体与其余3八
共有C』ClCl＝3×2×2＝l2种’
因此共有24种不同的乘车方式.
｜
全排列’由分步乘法计数原理计算即可得答案
｝
6.A
｜
试题解答;分三类;第—类,没有2’3,由其他二个数字组成
80
排列
｜
三位数’有A;＝6（个）;第二类’只有2或3’需从l’4’5中
l·C
试题解答可以把这二个空座位分成两组,2个相邻的,｜个
｝
选两个数字,可绢成2c;A;-36（个）;第三类,2,3均有』再
单一放置的’则三个人的坐法（不考虑空座位）共有A;＝3×
｜
从l’4’5中选一个’因为2需排在3的前面所以可组成
斟憨咖窒霍…』—个…叫…｝,十…………｜…＾
共有A;＝4×3＝l2种’
｜
试题解答:先确定选择日月湖景区的两名同学’有C:种选
所以不同的坐法有6×l2＝72种,
｜
法;其他4名同学游览不包括日月湖在内的5个景区’共有
而所有的排列有A:＝l20种’
｛
54种选法,故方案有C:×54种.故选D.
所以概率为吕＝÷
｝8B
｜
试题解答:甲连续两天值班’共有（周＿’周二）’（周二’周
故选C.
｜
三）,（周三’周四）,（周四,周五）四种情况,剩下三个人〕注
试题分析:首先分析题目求6个座位’三人就座恰有两个空
｜
座位相邻的概率’也就是说’有两个空座位是连在一起’还
｜
行全排列’有A;＝6种排法’因此共有4×6＝24种排法改
有一个空座位没和其他空座位连在一起’所以’可以把这三
｜
选B·
个空座位分成两纽’2个相邻的’l个单一放置的’然后把三
｜9.C
个人排好’把座位插空到三个人产生的四个空档里’求出满
｜
试题解答;先排剩下5人’再从产生的6个空格中选3个′h
｜
置排甲、乙、丙三人’即A: .A;.故选C.
足要求的不同坐法的种数除以总的坐法即可得到答案
｜
l0.B
2·A
试题解答;因为能被3整除的三位数字的组合为0l2,024’
｜
考点;排列组合
…网神情………捌为…i
｜
露髓慧斟娃」［兢瞧斟嚣
A;,A;’
｜
女生全排得C;Ai .Ai＝l2’不同的推荐方法共有l2＋
因此＿共有2Al＋2Al＋A;＋A;＝20.
｛
l2＝24（种）.故选B
故选A.
｜
l1.B
试题分析;先根据能被3整除的三位数字的纽合为0l2’
｜
考点;分类加法原理与分步乘法原理
024,l23’234四种情况’再分类讨论排列数’最后相加得
｜
试题解答;先排除了舞蹈节目以外的5个节目｀共A;和,
｜
把2个舞蹈节目插在6个空位中’有A:种’所以共有
结果.
｜
A;A:＝3600种故选B
3.C
试题解答:将《将进酒》与《望岳》捆绑在＿起和另外确定的
｜
｜
l2。C
两首诗词进行全排列共有A;＝6种排法’再将《山居秋螟》
｜
试题解答;3张卡片不能是同＿种颜色’有两种情形;三种须
与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不
｜
色或者两种颜色’如果是三种颜色》取法数为C』C』C」c」＝
排）’有A;＝6种排法,则后六场的排法有6×6＝36种.故
｛
｝
256’如果是两种颜色’取法数为C』C』C1＋2C;C』C1＝2li’
选C.
｜
所以取法总数为256＋2l6＝472,故选C.
试题分析:采取“捆绑法”‘‘插空法”’利用分步乘法计数原
｜
｜
l3.408
理可得结果.
｜
试题解答:红色球2个（同色不加区分）’2个红色排＿起
4B
｜
把红色球看作＿个’
试题解答;因为A’B两型号的种子的试种方法数为2×2＝
｜
本题相当于6个球的排列’将它们排成＿行’
4种’所以＿共有4A］＝24种.故选B.
｛
最左边不排白色’2个红色排—起’黄色和红色不相邻’
左侧l号位置放红色球’有:C』.A』＝96种’
2号位置放红色球,则放球方法有:C』
.
（〕』.A;＝54种.
o由于甲、乙两人必须站在＿起’将甲、乙2人看成一个整
体’考虑2人之间的顺序,有Ai种情况;
306
1
司
乙
3
4
5
6
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3’4’5号位置放红色球’则放球方法有:3×（Aj＋C』
.
｜
3.C
A; .A;）＝l80,
｜
试题解答:第—步:先从4个盒子中选＿个盒子准备装两个
6号位置放红色球’则放球方法有:A』＋C』.A』.A;＝78’
｜
球’有4种选法;第二步:从5个球里选出两个球放在刚才
所以排列方法有96＋54＋l80＋78＝408.故答案为408.
｜
的盒子里有C;种选法;第三步:把剩下的3个球全排列’
试题分析:把红色球看作一个处理’利用分类加法计数原
｜
有A;种排法’由分步乘法计数原理得不同方法共有4C;A;
理结合分步乘法计数原理’由左至右逐一排放’然后求和
｜
＝240种故选C.
即可.
｜4C
l4.288
｜
考点:排列组合的应用
试题解答;将6名同学排成—列’不同的排法种数有A:＝
｜
试题解答;o错’计算有重复;@对’去杂法’即减去全男生
720种’不妨称另外两名男同学为乙和丙’若男同学甲与
｜
以及全女生的情况;o对’分类’即1男3女’2男2女’3男
男同学乙相邻’不同的排法种数是A;A;＝240种’同理可
｜
1女.故选C.
知男同学甲与男同学丙相邻’不同的排法种数是A;A;＝
｜5D
240种,若男同学甲与乙和丙都相邻’不同的排法种数是
｜
试题解答;由题意得’每名同学至少l本书’可分为两类分
A;A』＝48种’所以满足条件的不同的排法种数是720ˉ
｜
法:＿是把诗集分下去’其他4本相同的小说’只有＿种分
｜
法’共有C』＝4种;第二类是把诗集单独给＿个同学’其中
240ˉ240＋48＝288种,故答案为288,
试题分析;根据题意’需妥分清一共有多少种情况｀对于男
｜
有2本相同的小说分给—位同学’共有A;＝l2种分法,共
生甲可以和乙相邻’可以和丙相邻｀这里边对于甲与乙和
｜
有4＋l2＝l6种故选∏
丙同时相邻的就算了两次’所以该题用间接法来求’在进
｜6C
｜
试题解答:由于每名同学必须参加且只能参加l个社团且
行减法运算时’注意将多减的需妥再加上即可.
｜
每个社团至多两人参加’因此可以将问题看成是将6名同
15.80
试题解答;由题意先将甲乙捆绑在＿起有A;种’再与丙＿
｜
学分配到除』演讲团′外的四个社团或三个社团’可以分
起制例—共陶“种然盾露将丁…共偷
!
:氢;先将‘人分峨…删为｜人」人』人｀2人,霉分
A;A;C』C』＝80种.
《
＂倒圈个社厕.不阿晌封防法数为c耀吐A‖ˉ｜0鼠＾
l6, l0
试题解答:0结尾的有A;＝6个’2结尾的先排首位’有2
.
｜
第二类:将6人平均分成三组’再分配到除“演讲团”外的四
A;＝4个’共有l0个
｜
个社闭中胸任意亏个社刚不网晌……c::c;
8l
组合
｜
A』＝360’
l.D
｜
由以上可知’不同的参加方法数为l440.故选C.
试题解答:若三名同学从3个不同的检票通道口进站’则有
｜
7.D
A;＝6种;
｛
试题解答:由题设可分两类:—是甲地只含有＿名女生’先
若三名同学从2个不同的检票通道口进站’则有C;C;A;A;＝
｜
考虑甲地有ClC』种情形’后考虑乙、丙两地’有A;种情
36种;
｜
形’共有ClC』A;＝36种情形;二是甲地只含有两名女生’
若三名同学从l个不同的检票通道口进站’则有C』A;＝
｜
则甲地有Cl种情形’乙、丙两地,有A;种情形’共有C;A;＝
l8种;
｛
6种情形;由分类加法计数原理可得共有36＋6＝42种情
综上,这3个同学的不同进站方式有60种.故选D.
｜
形故选∏
试题分析;三名同学可以选择l个或2个或3个不同的检｜8B
票通道口进站’三种情况分别计算迸站方式即可得到总的
｜
试题解答;有两种出场方案; （l）中锋l人’后卫l人’有
进站方式.
｜
ClClC1＝l6种出场阵容’ （2）中锋l人’后卫2人’有
2.D
｜
C』C;C母＝l2种出场阵容’共计28种.故选B.
试题解答:由题得总的基本事件个数为C;＝10’事件A分
｜
9.C
三类’第＿类:从三个男生中选两个男生和另外—个女生组
｜
试题解答:5名学生可分成2’2’l和3,l ’1两种形式’
合,有C;C｛-3种方法;第二类;选除了甲以外的购个男生
｝
当5名学生分成2,2｀l时,共有十C;C;A;＝90种方法,
和女生乙’有＿种方法;第三类:选两个女生’从除了甲以外
｜
的两个男生中选＿个’有C;Cl＝2种方法｀共有6种方法’
｜
当5名学生分成3’l’l时’共有C;A;＝60种方法』
｜
根据分类加法计数原理知共有90＋60＝l50种保送方法.
所以由古典概型的概率公式得P（d）＝品-÷故选n
｜
故选C.
307
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｜α总题解答;川题设中定义＂圃文…念呵捌;先赣腮直
｜
倒五人…｜」栅二…c谨c｜ˉ＂肿阶组…
位回文数的中间的＿个位置’每个数字都能选取’共有l0
｜
应三项志愿者活动’有l0×A;＝60种安排方案’
种可能;其次是考虑首位数字应有除了0之外的9个数
｜
则共有90＋60＝l50种不同的安排方案;
字’共有9种可能;最后再考虑第二个位置’十个数字都可
｜
选…］0砷可能…汁…可褐…位圃义
｜
＊生甲…繁荆…时｀共衙cic｛崎带萨≡＂
数的个数是9×l0×l0＝900.故选C.
｜
种不同的安排方案’则学生甲被单独安排去金华的概率是
ll.C
l4
7
试题解答:由于每科＿节课’每节至少有一科’必有两科在
｜
面＝万
同一节’先从4科中任选2科看作＿个整体’然后进行3
｜
82
二项式定理
个元素的全排列’共CiA;种方法’再从中排除数学、理综
｜
安排在同＿节的情形’共A;种方法,故总的方法种数为
｜lB
CiA;ˉA;＝30.
｜
试题解答:（l＋卯）2＋（l＋狐）3＋…＋（1＋则｜）9的展开式中’
故选C.
｜
含z2项的系数是C;＋C;＋C1＋. . .＋C;＝C』＋C;＋Ci＋…＋
u急题解答;圃为’位大学毕业生分配铡』家肆位霉家辕
｜
〔;≡心』＋c‰…带喝≡噶带…辩c;＝＝c;带喝-＂｛＂≡
位至少录用l人′所以共有两种方法;＿是’＿个单位l
｜
l2α故选B
｜
试题分析:展开式中含腮2项的系数是C;＋C;＋C;＋…＋
名其他两个掣位各2名,有罢×竭ˉ90…方法;
｜
喝｀刹………计算厦呵
二是’＿个单位3名’其他两个单位各l名’有C;×A;＝
｜
2.C
｜
试题解答;l＝（加＋（l—躯））20l6＝C!0｜6”20｜6＋C』0l6卿20l5（lˉ
60种分配方法’共有90＋60＝l50种分法.故选D.
｜
＂）＋…＋c;‖｝:（l-躯）20l6,
l3.30
试题解答;因为甲和丙在同＿分会场’甲和乙不在同＿分
｜
所以α0＋α1 ＋…＋α20l6＝C!0l6＋Cl0｜6＋…＋C;‖｛:＝
会场,
｜
220l6.故选C~
所以有“2’2,1’’和‘‘3,1,l’,两种分配方案:
当2’2,｜』,时,甲和丙为—组｀余下3人选出2人为＿组｀
｜
试题分析;利用｜＝（缚＋（｜—狐））』侧6＝c!0!‘愿20｜‘＋c』0‘
｜
箍20l5（l—则）＋…＋Ci‖｜:（l＿卿）20l6’求出二项式系数和』p
有C;A;＝l8种方案;
当“3’l’l”时’在丁和戊中选出l人与甲丙组成＿组’有
｜
可得结果.
｜
3.D
ClA』＝l2种方案’
所以不同的安排方案共有l8＋l2＝30种ˉ
｜
试题解答:令卯＝γ＝l,则得所有项的系数之和为（lˉ2）5二
试题分析:由题意甲和丙在同一分会场’甲和乙不在同一
｜
-l,故选∏
分会场’所以有“2’2’l”和“3’l’1”两种分配方案’利用分
｝
试题分析:今“＝y＝l’则得所有项的系数之和.
类加法计数原理和排列组合的知识,即可求解.
｜4C
l4÷
｜
试题解答;（躯＋l）’展开式的通项为′砖｜二C…5ˉ′川′ ,
试题解答;在含甲、乙的6名学生巾任选2人有C:种
｝
贝‖当′＝4或′＝3时｀
｛
（则＋l）5（卯—2）的展开式中鳃2的系数为
方法,
｜
C;ˉ2C;＝5ˉ20＝ˉl5故选O
甲被选中’乙没有被选中的方法有C』种’
｜
试题分析:求出（卯＋l）5二项式展开式的通项’令厕的指.仗
C』
4
则甲被选中｀乙没有被选中的概率为P＝再＝百
｜
为2或l,从而可得结采
l5.20
35
｛
5.A
试题解答:C;＝C;＋C;＝l0＋10＝20’C斗＝C:＋C:＝20＋
｛
试题解答:由题意’二项式（1＋卯2）5的展开式的通项｀勺
l5＝35.
｜
T′＋l＝Cf（卿2）′＝Cg绷2「’
16』50舌
｜
所以（｜十÷÷）（1十甄2）’展开式的鳃』的项为
试题解答:根据题意’按五名同学分组的不同分2种情况
｜
｜
lc』鳃』辨÷c;鳃煞-15甄2,
讨论:
砌预人…』」胸—组有噶署｝ˉ晦种分…《『
｝
所以（｜宁》）′｜—…汗武……｜’
应三项志愿者活动’有l5×A』＝90种安排方案’
｜
故选A.
308
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试题分析:由题意,二项式（l＋腑2）5的展开式的通项为
｜
1l.A
『砖｜-c;（腮!）′＝c歇酚｀得刻晨开…』的项’鼠呵得到
｜
试题解答;（露ˉ去）‘的通项为（—＋）c;甄‘ˉ酞,
结果.
｝
当′ -3时,常数项为—÷,（露＋÷）』的通项
6.B
试题解答:（绷—l）6的展开式中Zh＝C;“3（ˉl）3＝ˉ20绷3
’
｜
『
为α′Cj如3ˉ2′’
乃＝C:卯4（ˉl）2＝］5〃4’
故（鳃＋2）（鳃ˉl）6的展开式中腮剑的系数为—20＋2×l5-
｜
当′二l时,鳃的系数为3侧＝ˉ÷』所以刨＝—:故选A
10.故选B.
试题分析;利周二……（鹏ˉl）‘的晨升式中绷』,剿』
｜
试题分析;曲（葱—去）‘晨升式中的常数项与（鳃＋÷）』晨
的系数’再根据多项式的乘法得到（卿＋2）（狮ˉl）6的展开
｜
开式中卯的系数相等’利用二项式的通项列方程求解
式中“4的系数.
｜
即可.
7.A
｛
l2·B
试题解答;川题意＂≡2腑…-2×÷篮:
｜;带］≡10｀即
｜
试题解答油题慧』可孺二项展开式的通项为脾厂
｜
C『l（3沥）ll—′（ˉ2打）′＝（ˉ2）′3llˉ′C［l”3罕′ ’
二项式为（慰』＿太）Ⅷ,
｜
根据题意可得33亏5r为整数时’展开式的项为有理项’
则展开式的遍项为′叶｛≡c［Ⅷ（涎』）＂—′ （ˉ末）′ -
｜
则-］,9＂｀共有2项
｜
而′的取值共有12项’
（—÷）q＂鳃』＂÷’
｜
由古典概型的概率计算公式可得’所取项是有理项的概率
当′＝8时得到常数项为（—＋）:C『0二吴故选A
｜
为P＝合-÷故选u
试题分析;…″≡2r…1-2×÷遮』
｜;带］ˉ10｀得
｜
试题分狮;帐撼二项…锄翅骡｀…指…数｀求
｜
解符合条件的厂’求出有理项的数目’利用古典概型的概率
到二项式的展开式的通项’即可求解展开式的常数项.
｛
计算公式’即可求解答案.
8.B
｛
13.5
32
试题解答:由题意2＂＝64’n＝6’所以通项为z＋l
＝
｜
｜
试题解答展开式的通项为职｜-C§（低）’—（÷）′-c;“;—÷′,
α‘（』慰）侗—′（古）′-3‘—吨篮愿—普.
｜
令÷—÷二0’解得′-l
｀
令6—÷-0,厂＝4,所以常数项为3』c;-l五
｜
所以展开式中的常数项为吗＝C』＝5’
故选B。
试题分析;由二项式系数和求出指数＂,再写出展开式通项
｛
令施＝l』得到所有项的系数和为25＝卫
俐
试题分析;求幽（师＋÷）‘晨开式的通项,令鞭灼指数为
后可求得常数项.
9.B
‖
0’求出′的值’将r的值代入通项求出展开式的常数项’今
试题解答:令购＝0可得:α×（-l）5≡α0’即α0＝ˉα’
｛
熊＝1’得到所有项的系数和.
（如-l）5展开式的通项为:T′＋l＝Cg鳃5ˉ′（-l）′,
｜
l4720
l
令′＝3可得:Zh＝C;“5ˉ3（ˉ1）3＝ˉl0卯2’
｜
试题解答:（√面＋则）l0展开式的通项为T′＋l＝C［0（√面）l0ˉ′
令r＝4可得:呜＝C;则5—4（ˉl）4＝5厕,则α2＝ˉl0α＋5’
‖
』
卯′’令′＝2’得C｝0（徊）l0ˉ2＝45×l6＝720,所以α2＝720;
结合题意有:ˉl0α＋5ˉ（ˉα）＝23’解得:α＝ˉ2.
｜
因为（α0＋α2＋α4＋. . .＋α｜0）2ˉ（αl＋α3＋α5＋. . .＋α9）2＝
故选B
试题分析:由题意分别求得α2’α0的值’然后两者作差得到
｜
（α0＋α2＋α4＋…＋αl0＋αl＋α3＋…＋α9）［（α0＋α2＋
关于α的方程’求解方程即可求得最终结果·
｛
α4＋…＋αl0）ˉ（α1＋α3＋…＋α9）］
’
l0.D
｜
所以,令则＝l,得α0＋α2＋α4＋…＋αl0＋αl＋α3＋…＋α9＝
试题解答;5l20l8＋α＝（52ˉl）20l8＋α＝C!0』85220l8—
｜
（徊＋l）］0,
Cl0!85220l7＋…＋C;‖｝!×52×（ˉl）20l7＋C;‖｛;×
｜
令鳃＝ˉl ’得（α0＋α2＋α4＋…＋αl0）ˉ（αl＋α3＋…＋
（—l）2α‘＋·因为52能被l3整除’所以只需c;‖｜!×
｝
α,）二（徊—l）』o』
（ˉl）20l8＋α能被l3整除,即α＋l能被l3整除’所以
｜
所以’两式相乘得（α0＋α2＋α4＋…＋αl0）2ˉ（αl＋α3＋
α二l2故选D.
』
α5＋…＋α9）2＝（√百＋l）l0（√百ˉ1）l0＝l.
.309.
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试题分析:首先根据题中所给的二项展开式的特征’利用
其展开式的通项’求得对应项的系数’再者就是分析式子
的特点’对匆进行赋值’从而求得结采.
l5。
l
2l
试题解答:令卿＝0,则α0＝l,
又（卯＋l）6（3虹2＋l）2≡（卵＋1）6（9鳃4＋6鲍2＋l）,
而（卯＋l）6的展开式中则2的系数为C;＝15’常数项为l
’
故（厕＋l）6（3卯2＋l）2的展开式中腑2的系数为l5十6＝
2l’即α2＝2l.
试题分析:题设中给出的等式是恒等式’可令卯＝0得到
α0.另外’我们可利用二项式定理求出（则＋l）6的展开式
中匆2的系数和常数项,再利用多项式的乘法得到α2.
~
~
故阀（Ⅱ）二2×上＋3％六＋4×弄5×i＋＋6×÷＋7※
2l
6
l6
＝-＝＝≡＝＝--
2l
3
故选D,
2.A
试题解答:设样本数据为卯1 ,则2’虹3,卯4’嘶5
’
平均数页＝（卯l＋抛2＋鹅3＋约4＋卯5）÷5＝7,
方差s2＝［（厕1ˉ7）2＋（卯2ˉ7）2＋（躯3ˉ7）2＋（加4ˉ7）2
＋
（“5ˉ7）2］÷5＝4,
从而有卯l＋卿2＋卯3＋卯4＋购5＝35’o
（免l-7）2＋（卯2-7）2＋（绷3ˉ7）2＋（如4—7）2＋（Ⅺ5-7）2
＝20’@
若样本数据中的最大值为ll ’不妨设卯5＝Ⅱl’则@式变为:
（觅l ˉ7）2＋（腮2-7）2＋（卿3ˉ7）2＋（卿4ˉ7）2＝4’由于样
本数据互不相同,这是不可能成立的.
若样本数据为4,6’7’8,l0代人验证知O@式均成立’此时
样本数据中的最大值为l0.
故选A.
3。B
试题解答;川题膛及敷学婉…式可懦｛‖删彝Ⅱ
〈→
pl＝p3 ’则E（X）＝2的充要条件是p1≡p3.故选B.
4.C
试题解答:由题意得抽查的20名应试者能被录取的人数勺
20×揣＝4（人）,所以预测参加面试的分数线为80分故
选C
5°C
试题解答;似＝l—÷—＋＝÷,
酉（Ⅱ）＝0×÷＋2×÷＋α×＋＝2＝α＝3｛
所以Dα）＝（0—2）2×÷＋（2—2）』×＋＋（3ˉ2）2×＋ˉ
l,所以D（2X—3）＝22D（X）≡4故选C.
6.C
试题解答;事件“放回5个红球,表示前5次摸到黑球’且第
6次摸到红球,故X＝6故选C
7.D
试题解答;由分布列的性质,得÷＋十＋『｝十p墩-l ｀所以
′缴-昔故选n
~
~
斗
—
西
◎
］
试题解答:利用赋值法’令鳃＝l可得:α＂＝5＂ˉ2＂’
｜尝｜＝｜＂ˉ票｜
利用数学归纳法证明:n.2″＜5几（n匡N＊）
’
当几≡l时,l×2＜5成立,
假设当n＝片时不等式成立,即∧.2内＜5k’当″＝k＋l时:
｝
（k＋1）.2肝l ＝2（片＋1）.2附＝2（A .2胀＋2腮）＜2（5附＋
｜
2A）＝2·5k＋2。2内＜2.5k＋3 .5k＝5∧＋1 ,
据此可知命题网。2n＜5＂（则巨N＊）成立,
Ⅶ.2′l
则票＜1｀＂—!＜＂ˉ—5厂＜＂,
｜尝｜二｜＂—祭｜-爬—｜.故』鹏二宁,
（＂＿』）2＋（』腿带c）2的几何意义为点（鹏,罕）（＂巨N″ ）
｜
到点（』.2—÷）的距离,
勺
如图所示,最小值即（2’l）到γ＝2ˉ寸卿的距离’由点到直
｜
线距离公式可得（鹏—′）』＋（bⅧ十c）2的最小值为去
~
~
~
~
‖
厂｜
-lO
-l
7
▲
‖
83
离散型随机变量及其分布列
l。D
试题解答:当X＝k时’第k次取出的必然是红球’而前kˉl
次中’有且只有l次取出的是红球’其余次数取出的皆为黑
球故…）～告ˉ导了是碍到Ⅱ…列沟
3l0
X
P
2
l~
2l
3
且
—
Ⅲ
4
］
—
Ⅻ
5
斗
—
凹
6
5~
2l
7
β
—
Ⅲ
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8.D
试题解答;由分枷列的性质,得＂＋＋＋＋-1’所以“＝
÷而x匡［l,2）,所以F（篮）二尸（Ⅱ≤鸳）＝÷＋＋-÷故
选D.
9.B
l0.C
2
试题解答;因为分布列中概率和为L所以÷＋÷＝l’即
α2＋α-2＝0’解得α＝ˉ2（舍去）或α≡l ’所以E（X）＝
÷故选c
ll°B
试题解答;因为圆α）＝÷（2＋4＋6＋8＋l0）二6’
所以D（Ⅱ）＝§［（ˉ4）』＋（ˉ2）』＋02＋2:＋4』］＝8故
选B
12.B
试题解答:γ＝0.6-如,易算出账≡0。4＋2绷’雌2＝0.4＋
4卯,D占≡陛2—（雌）2≡0。4＋4卿-（0.4＋2如）2＝-4则2＋
2.4卯＋0ˉ24,当x＝0ˉ3时’（D皆）max＝0.6,故选Bˉ
l3.土
5
试题解答:法＿（直接法）:由已知得’占的可能取值为7,8’
9,l0,
＂为′（霄～Ⅵ）≡皆～÷｀
C;C｜＋C;Cl
3
P（占≡8）＝
≡
C;
l0’
′｝←’）≡c』:c｜÷
′（曹～｜0）ˉ瞥ˉ六
所以占的概率分布列为:
｛
l4.上鱼
2
42
试题解答:第—次试验恰摸到—个红球和＿个白球的概率
是等÷试…x的可…有｜…所″
C』C｛＋C;-舌｀pα-2）＝
-
C:
. （C』C』＋C;）
P（X＝l）＝
C;
C;C;
爵,P（x＝］）-可可
C;
心:
Ci
（c』（』＋c;）-肃’′α＝4）＝
:::≡俞｀所…ˉ爵…爵闷2命J＋
俞×4二鱼
42
｜l5三
5
试题解答;设‘＝l时的概率为′则‘（‘）＝0×÷＋l×′＋
2×（l—′ˉ÷）＝l解得′＝÷,故D（‘）＝（0—l）2×÷＋
（l—l）2×÷＋（2—l）:×＋＝÷
J
｜l6÷｜ˉ＋’＋｜
试题解答:因为α,b,c成等差数列’所以2b＝α＋C,
又感＋』＋c二l,所以』-＋’所以尸（｜Ⅺ-l）＝…二丁
2
又α二上＿‘｀嚷＝＋＋＂,根撮分布铡的性质,得0≤÷ˉ
3
d≤÷0≤＋＋d≤;,所以ˉ＋≤d≤÷
84
离散型随机变量的均值与方差
l.B
试题解答:根据题意可知’E（X）＝5×8＋5＝5,
9
D（Ⅺ二3×8＋（5ˉ5）』＝哥＜3故选a
9
试题分析:首先利用离散型随机变量的期望和方差的计算
公式,结合题中所给的条件,列出相应的式子’从而求得
E（X）’D（X）的值,进币得到正确的选项.
2.A
试题解答:根据题意有’如果交换＿个球,
有交换的都是红球、交换的都是蓝球｀甲盒的红球换的乙盒
的蓝球｀甲盒的蓝球交换的乙盒的红球,
红球的个数就会出现m,m-l,m＋l三种情况;
如果交换的是两个球,有红球换红球、蓝球换蓝球、—蓝＿
红换一蓝—红、红换蓝、蓝换红、＿蓝—红换两红｀＿蓝＿红
换两蓝’
对应的红球的个数就是″l—2,mˉl ,m’加＋l,″!＋2五种情
况’所以分析可以求得pl＞p2’E（占l ）＜E（占2）。故选A.
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
所以P（皆≥8）-P（曹-8）＋P（皆＝9）＋P（皆＝l0）＝市＋
2
l
4
—＋—＝—
5
l0
5·
法二（间接法）:由已知得,f的可能取值为7’8’9,l0,故
P（占≥8）与P（占＝7）是对立事件’
（〕;Cl
4
目＝
C;
5
故答案为÷
3ll
皆
P
刁
′
］
—
日
8
］
＿
川
9
∑
—
旬
l0
l~
l（）
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3
试题分析;首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数’对
｜
试题分析;由随机变量占的分布列’推导出E（专）＝αˉ—
4
,
应的事件有哪些结果’从而得到对应的概率的大小’再者就
｜
是对…量的｛…清,…概率婆算对,利周公式求
｜
从…增大时,E（f）增大;D（皆）-＿（＂—÷）2＋升,d′
得其期望
｜
0…＋,得到当α增大时｀D（皆）增九
3.B
试题解答:由题意可得:‘表示红球的个数’则皆可能取的值
｜
｜
6.B
为:0’l,2,
｜
试题解答:对于o’因为有结论将一组样本数据中的每个数
根据题意可得:P（‘＝0）＝（l（）ˉ矾）″l
｜
据都加上同＿个常数后’方差不变’所以@正确;
l00
,
对于◎’结合指数函数的性质,可知p是真命题’根据二次
函数的性质’可知则2＋腮＋l＞0恒成立’所以q是假命题’
所以p∧q是假命题’所以@错误;
｜
对于O,因为当cosα≠0时’＿定有α≠2∧丽＋子（∧匡Z）
｀
▲
｜
但是当α≠2肺＋÷（附巨Z）,α＝2腮∏ˉ:时,有…＝0,
｜
所以cosα≠0不—定成立’所以应该是充分不必要条件’所
｜
以◎错误;
;
对于@,将函数γ＝爵i＂2翼的图象问左平移晋个单位长度得
｜
到陶数解析式为Ⅱ-鼠｜＂2（＂＋晋）＝咖（2鳃＋￥）-
｜
‘m｜丽ˉ（2腿＋γ）
｜-瓢＂（÷ˉ2x）,故酗正确,
｜
所以正确命题的个数为2ˉ故选B.
｜
试题分析:o利用一组数据的方差的定义禾°公式可以判圈「
｜
得出结果;
｜
@结合函数的性质以及复合命题的真值表可知结果;
｜
o利用余弦函数的性质’结合条件的充分性和必要性得至
｝
结论;
｜
@利用图象的乎移变换规律以及诱导公式得到结果.
｜
7。A
｜
试题解答:根据平均值与方差的定义’可以确定当而＝y’
｜
则去掉的那个数就是页那么就有A＝÷［（鳃｜—丽）』＋（躯:ˉ
｜
雨）』＋（躯3＿更）』＋（狐绷—丽）2＋0］,B＝十［（蹲｜—雨）』＋（趣ˉ
｜
元）2＋（狐3ˉ万）3＋（躯4ˉ页）2］’所以可以得到A＜B’
｛
而当而＜y’对于所去掉的那个数与平均数的差距不明确’
｜
所以只有A正确.故选A.
｜
试题分析:首先根据去掉一个数的前后,这组数的乎均数不
｝
变的时候,能够得出所去掉的这个数就是乎均数本身,之后
｜
借助于一组数的方差公式,经过比较可以得出去掉这个数
｜
的前后方差的变化’从而求得结果。
｜
8.B
｜
试题解答:依题意可得’占＝0’ l ’2’3’其中P（占＝0）＝
;
2蒜;矿茹,′（←｜）ˉ2瞅6制噶～i片,′（←2）≡
C:
｜
2ci6:q6:c』-六｀P（噶～3）-2哦（:-亢『,廊以鹰≡0×
｜
上＋l×旦＋2×品＋3×茄＝÷故选凰
｜
20
20
（l0ˉm）2＋矾2
（l0-m）（l0—m）＋″l
·
′＂
P（占≡l）＝
巳
＼b
二／
~
C｛0C｜0
P（占＝2）＝（l0ˉm）′n
l00
’
所以‘的分布列为:
l00
所以躇＝l×（l0—m）2＋m2 ＋2×
l00
所以D占＝（l0ˉ厕）咖＋（l0lb『）顾
l00
l≤m≤9,
所以当m＝5时,D占取最大值÷
△
（l0-″l）m＝l ,
l00
ˉ（砸ˉ5）’＋25’并且
｜
三≡
50
故选B.
试题分析:由题意可得:占表示红球的个数,则占可能取的值
为:0’l’2,分别求出占为0,l ’2时的概率,即可得到其分布
列进而得到其数学期望’结合方差的计算公式可得:D皆＝
（l0ˉm）m＋（l0-m）m＝—（m-5）2＋25,再由二次函数
l00
l00
50
的性质可得答案.
C
试题解答:由题得占＝0,l ,2’3,4
C;2Ci0
′（←0）≡器′（曹ˉ｜）≡‘慧』″（←』｜-略
Ci0
′（←J）～c瓣』,′（《～缴）～c慧』』所以鳃～0×面＋
C!2C!0
32
｜×c慧!o带2xc浮』×c慧』,…噶2 ≡百
故选C.
4
试题分析:先写出占的取值’再分别求占的概率’最后求占的
｝
数学期望
5·A
试题解答;由随机变量曹的分布列,得圃（鲁）-α＿÷,所以
｜
当α增大时,E（‘）增大;D（‘）-（—l—α＋÷）2×÷＋
｜
（0—α＋÷）2×（＋ˉα）＋（｜—α＋÷）2×α-—α2＋÷α＋
｜
÷-—（α—:）』＋÷’因为0…÷,所以当α增大时,
｜
D（占）增大故选Aˉ
°312
占
P
0
（l0-汀!）m
l00
l
（l0-刀l）2＋m2
l00
2
（l0—矾）m
l00
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9.C
试题解答:由题意知,则＋0. l＋0.3＋γ＝1’又E（占）≡3则＋4×
0. l＋5×0ˉ3＋6γ＝4.3,两式联立解得y＝0,2.故选C.
l0.D
试题解答;闲为E（‘）＝0×旱＋｜×＋＋2×÷＝′＋丁｀
l
所以D（皆）二导（0—′ˉ＋）』＋十（l—′ˉ÷）2十÷（2—
～
乙
′—÷）2＝—′2＋侧＋丁,
l
因为十匡（0｀l）,所以D（皆）先增后减故选u
试题分析:先求数学期望,再求方差,最后根据方差函数确
定单调性.
ll.B
试题解答:由″2—2匆ˉ8≤0得ˉ2≤则≤4’所以符合条件
的整数解的集合S＝｛ˉ2’ˉl ’0’l ’2,3’4｝
’
因为占＝m2’故占可取的值分别为0’ l ’4’9’16’相应的概
率分别为＋÷｀÷’＋,＋
,
所以皆的数学期望E（占）＝0×上＋l×旦＋4×÷十9×
7
7
＋＋l6×＋＝虱
故选Bˉ
l2.D
试题解答:该个体户每天的获利是随机变量’记为X.X可
能取值l00’—l0｀其中P（Ⅱ＝ˉ10）＝黑,P（Ⅱ＝l00）＝
羔,所以E（Ⅱ）-l00×嘉＋（ˉl0）×黑＝6α82
故选D.
勺
l3. ˉ兰＝
3
试题解答;E（Ⅺ＝ˉl×÷＋0×÷＋l×上＝—÷’又
3
Y＝2X＋1 ,故E（Y）＝2E（X）＋l＝旦
3
.
勺
l4ˉ三
4
个白球的概率为册含二个白球的概率为荒,含四个白
球的概率为六｀
白球个数的期望为;0聪六l×荒＋2×器＋3×荒＋
4漂六-2,故（3）正确;
（4）因为3α＋26＋0. c＝2,α’b,c匡（0,l）
’
所以;＋赤-（÷＋赤）÷（…）-÷（6＋?＋;＋
÷）≥告（乎十偶÷）-十（斗叫）-乎（当目仅骂
α二2b,即α-十,b二＋时取』＝”）′故（4）正确
其中正确结论的序号为（3）（4）.
试题分析:（l）相关系数的范围ˉ （2）由相关系数r的含义
知, ｜厂｜的值越大,说明模型的拟合效果越好. （3）离散型随
机变量的期望（4）根据期望公式得到3α＋2b＝2’进而利
用均值不等式求最值.
l6.0旦
2
试题解答;由题得＋＋b＋÷＋＋二l,所以h-士
所以E（X）＝α×＋＋2×＋＋］×÷＋4×＋二2,解得
α≡0。
所以D（Ⅱ）＝（0—2）2×＋＋（2＿2）』×十＋（3＿2）:×
＋＋（4—2）2×＋-÷
85
二项分布
1B
试题解答:因为随机变量X～B（2’p）,Y～B（4’p）’又P（X≥
l）二lˉ′（Ⅱ＝0）-lˉ（l—′）』＝;解得似二＋｀所以γ～
‘（4,＋）则P（γ≥2）＝l—P（γ二0）ˉ′（γ＝l）＝劳故
选B.
2.D
试题解答:由题意,根据二项分布中概率的计算公式P（X＝
胀）＝c胳′臆（｜—′）腮—赡则有′α二l）＝c』（÷）（｜÷）］＝
箭,P（Ⅱ＝2）＝c;（÷）2（l—÷）』＝器’P（瓜＝3）-
Ci（÷）』（!＿÷）＝器,因此有′（x＝3）＝4尸（Ⅱ-｜）故
选D。
3·C
试题解答:成功率为p’则不成功的概率为1-p.前7次都
未成功的概率为（lˉp）7’后3次都成功的概率为p3,C符
合题意故选C.
‖
●
【
■
‖
~
~
〗
】
‖
‖
~
~
~
】
】
】
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
】
p＋q≡l’
｛′ˉ′→解腮′’÷』→
试题解答:根据题意可得
敞Ⅱ的方差Dα）-（lˉ十）2×÷＋（ˉl—÷）2×＋二÷
l5. （3）（4）
试题解答: （1）相关系数r的取值范围是｜′ ｜≤1’故（l）
｜
错误;
（2）用相关指数′来刻画回归效果’ ｜r｜的值越大’说明模
｜
型的拟合效果越好’故（2）错误;
（3）没有白球的概率为元含—个白球的概率为器’食两
｜
3l3
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4·B
｜
l0l3
｜
l3Tˉ6IJ
试题解答由题意得l—c‖（］—÷）″＞09,即（÷）＂≤0
｜
｜
试题解答;由Ⅱ～‘（l0,÷）可知Pα≥2）;二｜—′α二0）ˉ
l’所以厕≥4,故选B.
5A
｜
尸（Ⅱ＝l）＝l—c↑＂（＋）｜0＿C｜0（÷）｜＂＝喘
试题解答:选A设事件A在＿次试验中发生的概率为p’由
｜
｜
l4.旦
题意得lˉc!′0（l—′）』-:,所以lˉ′-丁｀′-÷故
｜
2］
2
｜
试题解答:因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分
选A.
6c
｜
〗‖为而和六,所以这两辆车在-年内不麓小此种事故的
试题解答:根据题意可知’每一个分叉处小球落人哪一个通
｜
道的概率是相同的,敝该小弹子落人第四层从兆问右数第
｛
概率分〗｜瑞和升』两辆车在＿年内都不发生此种事故
］个竖…的概率为′÷;故选α
｛
的概率瑞x器～芳根孵拉事件的慨…可得＿.
试题分析;根揩｜弹子以桐同的概率落入每个通道,每ˉ个
｜
年内该单位在此种保险中获赔的概率为lˉ男＝贵故答
分又处小球落入哪一个通道的概率是相同的’根据独立重
｜
复试验的概率公式求得绘采该』｜｀弹子落入第四晨从左向
｜
案为丢
右数第3个竖直通道的概率’还可以推出具有一般性的
｜
｜
l5二
结论,
｜
l6
7.A
｜
试题解答:＿枚硬币连续抛掷5次’则恰好有3次出现正
试题解答:因为占～B（18’p）,E（占）≡9’所以l8p＝9’所以
｜
｜
面向上的概率P二c;（÷）］（÷）2-六
p＝÷故选A
垄
｜
蚁答案为÷
8.C
试题解答:由正态分布知’每个人数学成绩在［70’1l0］的概
｛
率为2×（α5—α2）＝u6,所以l0个学生数学成绩任
｜l6箭
［70,ll0］的人数服从二项分布B（l0’0.6）’所以方差为
｜
试题解答:X＝5表示前4次中有2次取到红球’2次取到
l0×0ˉ6×（lˉ0,6）＝2.4故选C。
｜
白球’第5次取到红球
｝
则P（x＝5）＝ci（＋）,×（÷）2×＋＝箭
9.A
试题解答;由题知C』p（lˉp）3≤C乱p2（lˉp）2｀即4（lˉp）≤
｜
6p’所以p≥0.4,又0＜p＜l,所以0.4≤p＜l·故选A.
86超几何分布
10.B
…答;』晒凰叮铡M之｜副未…概率墨（＋）』≡
｜1:题…糯题意…｜…≡0…≡｜）-
÷隆遮…健｜十÷赋……霉健
｝;粤斜÷雄＂
（÷）2＝;,未连通的概率是l＿:二÷,故cB之问术连
｜2B
｜
试题解答:由已知得X＝0’1’2’3.
瘤的概率是（:）』-器故c圃之间连遮的概率是1＿爵-
｜
′（Ⅱ三0』二砸≡丽.
C:C;
1
哥,故AB之间连通的概率是:×爵＝摆
C肖c;c;
9
目＝—
故选Bˉ
1lD
C:C』C』
9
二二
试题解答:该选手只闯过前两关的概率为0. 8×0.7×
｜
（lˉO6）＝0.224.故选D.
C:C;
l
｜
P（X＝3）＝6『司＝刃,
l2·A
试题解答由P（x-2）二C;′』（l—′）二盖,解得p-÷
｜
所以z（x）＝0×先＋｜×旦＋2×丛＋3×上＝l虱故
20
20
20
故选A.
｜
选B.
°3l4.
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试题分析:由已知得X＝0,1’2’3.分别求出相应的概率’由
｜
12. I）
此能求出E（X）.
｜
试题解答:X可取0,l ’2’
斌…川条仆测…的黑球个敷为赋!变…｜
′（＂～川÷市′皿≡｜）～旧!j;《』』～÷…）≡
脸机…佩从…,咋….晌超几＂分布所以｜脚…喘喘似瑞÷故麓『1
…）等器…
｜
13.旦
4B
‖
12
…;…韶｜″前…从…仆遵｜
.题……伟…卜则等』÷Ⅷ
次品数为占’
‖膘（霞～n÷德叫卞;＂ˉ′≡罢
c;C』
5
｜
得:″』＝5.P（X＝2）＝—＝—
C｝0
l2
化简得几2-l0′l＋l6＝0,
｜l4÷l
解得n＝2或＂＝8.
又该产品的次品率不超过40％,所以n≤4’应取＂＝2,
｜
试题解答:根据题意知音＝0’l,2’
勺
所以这l0件产品的次品率为而＝20％故选B
Ci
l
｜
P（皆＝0）＝司＝了;
5.B
C1Cl
3
〔;（!-等二罢故
｛
′（皆-［）-了＿了;
试题解答:由题意得所求概率为P＝
C;
｝
′（←』）～警＿÷;
选B
6.A
…蕾;山…捌…‘;;;产—壶蚁撞｀
博
＂……←｜号旦＋〔
｜
故答案为÷』l
7。D
…;……）÷古…｜怕跳）≡｜画｛
5
｛
试题解答:由超几何分布的概率公式可得’他能及格的概率
警÷′｛……』＝c!Cl＋C;-片,P（至多
｝
c;c』
C』c9
4
C;
｜
是;P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝ˉ6丁＋ˉ∏丁＝了
C;＋C』Cl＝而故选n
有l个白球）＝
｝
16.丛
C;
5
8.D
｜
试题解答:由题意可得:随机变量X服从超几何分布:
试题解答:由题意可知所选3人中女生人数x服从超几何分｜
C!C』
l
二＝
÷÷＝÷故选u
｜
尸（x二l）＝可＝∏,
C;C1
3
9.C
’
］
—
∑
~~
蛆
吼
~~
）
∑
~~
Ⅱ
（
尸
〔
选
故
β
β
℃
◎
日
×
］
］
∩
儿
↓
γ
〕
（
~~
）
斗
~~
】
（
尸
音
…
题
由
●
●
鲤
口
解
题
试
C:C!
l
l0。D
＝＝
试题解答;P（l＜x＜3）＝O5ˉ02＝0β,因为x～″（l
’
｜
｜
搪此计算可得x的数学期望E（x）-÷
α2）,所以P（X＜3）≡0.3＋（）.5＝0.8.故选D.
试题分析:利用几何分布的定义即可求出结果.
ll。B
87
正态分布
试题解鲁;由题意得;千＋普＋哥＋哥二l所以咖＝罢
｝Lc
故选B
｜
试题解答:因为随机变量占服从正态分布Ⅳ（l ’l）’所以
｜
P（f＜l）＝05,
试题分析:由超几何分布的公式求出即可ˉ.
.315°
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｜
所以P（90≤川≤l00）＝÷P（90≤Ⅱ≤ll0）＝034,
所以P（l＜占＜3）＝P（占＜3）ˉP（占＜l）＝0.4772.
因此P（-l＜音＜3）＝2P（1＜f＜3）＝0.9544
｜
因为P（X≥l00）＝0.5’
故选C.
试题分析:根据随机变量占服从正态分布Ⅳ（l ’1）得P（‘＜
｜
所以该班数学成绩的及格率可估计为034＋05＝0.84.
l）＝0.5’解得P（l＜皆＜3）,再根据对称性得结果.
｜
故选D.
2。C
｜
试题分析:先求出P（90≤X≤ll0）≈0.68,再求出P（90≤X≤
试题解答:因为数学考试成绩X服从X～Ⅳ（ll’22）正态
｜
l00）≈0.34’最后根据正态分布求出该班数学成绩的及
｜
格率
分布’
因为P（以ˉα＜卯≤以＋∏）＝O6827’即P（1lˉ2＜X≤ll＋
｜
8C
2）≡0.6827.
｜
试题解答:因为P（502—l2＜X＜502＋l2）＝0.6826’
根据正态分布图象的对称性,可得P（X≥1l ＋2）
＝
｜
｜
所以P（X≤490）＝lˉ06826＝0. l587’即P（X＞490）二
2
l-0°6827＝0. l5865,
2
｝
l—0. l587≡0.84l3。故选C.
所以这个班级中数学考试成绩在l3分以上的人数大约为
｜9~C
壹撇装舒獭蹦蹦｜蹦?糊赚毗照腮.
｜
对于翻, ＂＜＋-＋ˉ』ˉ早＞0.｛『乙!j＞0或
3.C
试题解答:因为P（X≤1—α）＋P（X≤l＋2α）＝l,
酗…溃卜蹦以｜带………敝选°
｜
｛↑5!!≤0薛……≤÷愉既不施阶…,
所以P（X≤l＋2α）＝lˉP（X≤l-α）＝P（X＞lˉα）
,
试题分析;根据正态分布对称性确定l＋2α＋lˉα＝2×2’
｜
条件故@不正确
｜
对于o’由题意得气p是:〕狐l ’卯2巨R’（／（绷2）—／（则! ））（如2
ˉ
进而解得α.
4.A
｜
腮l ）＜0’故◎不正确.
试题解答』由P（500—5＜X＜500＋5）≡α6827’得P（500＜
｜
对于@, ·《角A,B,C成等差数列｀,等价于B＝÷;由sin〔＝
X＜500＋5）≈0.34l35,
因此尺寸在（500’505）内的零件估计有0.34l35×20000＝
｜
（伍osA＋sinA）cosB得slnAcosB＋cosAsinB＝（伍osA＋
6827（个）.故选A,
试题分析;根撼定义求尸（500＜』＜500十5）,再根搪频数等
｜
,iM）co圈‘｀即…n〃二伍o…府当°js川二0’即川二千
于频率与总数的乘积得结果.
｜
时等式成立当cosA≠0,可得［anB＝口B＝子即‘Sin〔＝
5。D
试题解答;因为X～M85,9）,所以P（80＜X≤:5）＝035,
｜
（√gb。M＋sinA）cosB｀’等价于“A＝÷或B＝于, ’所以｀伯
所以P（85＜X＜90）≡0.35,
｜
A’B’C成等差数列”是“sinC＝（何cosA＋slnA）cosB”〔〈］
所以P（x＞90）二÷（l—035—α35）＝0l5故选u
｜
充分不必要条件’故@正确.
试题分析:根据正态分布的对称性求解即可,
｜
综上可得@@正确.故选O
6.B
｜
l0.A
试题解答;因为（÷带鳃‘「展开式中的常数项为“,所以α-
闻
试题解答;山题意,鹏-78｀厩-4在区间（66,90）的搬率力
｜
09974’成绩不小丁90的学化所占的百分比为÷（｜ˉ
‘』（÷）＼愈二4因为xˉ卵（｜.｜）.所以正态曲线关丁直线腮-｜
』
｜
O9974）＝0. 13％.
对称’因为P（ˉ｜＜x＜3）＝P（｜ˉ2＜x＜｜＋2）＝
｜
故选A
9545％’P（ˉ2＜X＜4）＝P（lˉ3＜x＜l＋3）＝9973％’所｜uA
以P（3＜x＜4）＝÷［P（ˉ2＜x＜4）—′（＿l＜x＜3）］＝
｜
试题解答因为随机变量x服从正态分布M800,502）,
｜
所以队＝800’◎＝50’
十（9973％—…％）＝002｜4故选B
｜
所以P（700＜X≤900）＝0.9544,
7。D
｜
所以根据正态分布的对称性可得p0＝P（】〈≤Ⅷ）＝P（』≤
｝
800）＋P（800＜Ⅱ≤900）＝＋＋十P（7｜〕0＜Ⅱ≤900）＝
试题解答:由题得从＝l00,α＝l0.
因为P（〃-α≤X≤以＋α）≈0.68,
所以P（90≤X≤ll0）≈O68.
｛
0.9772故选A.
.3l6.
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l2C
‖
B.在回归分析中,可以用卡方形来刻画回归的效果’形越
试题解答:若命题p:司”0匡R’则;ˉ则0＋l＜0’则司p:V卯匡
｜
大’模型的拟合效果越差’错误;
R,勿2ˉ鳃＋l≥0;
｛
C线性回归方程对应的直线γ＝b厕＋α至少经过其样本数
已知相关变量（卯’y）满足回归方程｝＝2ˉ4卯’若变量则增
｜
据点中的＿个点’错误’回归直线y＝b厕＋α可能不经过其
加＿个单位’则γ平均减少4个单位;
｛
样本数据点中的任何＿个点;
命题若圆C: （卿ˉm＋l）2＋（γˉm）2＝l与两坐标轴都
｛
D.线性回归方程γ＝0.5卯＋l中’变量厕每增加＿个单位
有公共点则｛｜＂｜矛｜三1｀所以0…为…;
｜
时’变量γ平均增加l个单位,错误’由回归方程可知变量则
｜
每增加＿个单位时’变量y平均增加0.5个单位.
已知随机变量X～″（2’o2）若P（X＜α）＝032’则P（X＞
｜
故选A
4-α）≡0.32.
｜
试题分析:利用“卡方,,的意义｀相关指数的意义及回归分
故选C.
‖
析的适用范围’逐一分析四个答案的真假’可得答案
l3.0。8l85
｛2B
试题解答』因为Ⅺ单位』kg）服从正态分布M50,α0l）,
｝
试题解答;由题意得页二÷（2＋4＋5＋6＋s）二5,y-÷（30
所以队＝50,α＝0. l’
根据正态分布的对称性’可得P（49. 9＜X＜50. 1）＝
｜
＋40＋50＋60＋70）＝50’
0.6826,
｜
所以样本中心为（5’50）.
P（498＜Ⅱ＜499）＝＋（09544ˉα6826）＝0」359,
｜
因为回归直线｝＝7x＋a过样本中心（5’50）》
▲
｛
所以50＝7×5＋a’解得h≡l5’
所以P（49.8＜X＜50. l）＝0.6826＋0. l359＝O8l85.故
｜
所以回归直线方程为｝＝7”＋l5.
答案为0,8l85.
｜
当卿＝l0时’｝＝7×l0＋l5＝85’
试题分析;先求出P（499＜x＜50』）＝α6826’再求得
｜
故当投人l0万元广告费时’销售额的预报值为85万元
P（49.8＜X＜49.9）≡0. l359,从而可得结果.
｜
故选B.
l4.互
｜
试题分析:根据表中数据求得样本中心（万’y）’代入回归方
95
｛
程｝＝7财＋a后求得a’然后再求当躯＝l0的函数值即可.
试题解答:由题意,P（A）＝α475』P（‘）＝÷×（099ˉ
｜虱C
｛
试题解答:因为所有样本点（购t ,γj）（j＝1,2,…’n）都在直
068）＝αl55,P（必）＝÷×（α95—068）二ul3凯
｜
线γ＝ˉ3如＋l上,所以回归直线方程是y＝ˉ3“＋1 ’可得
所以′（B｜剐）-糕ˉ罢
｜
这啊个变量是负相关,故这组样本数据的样个相关系数为
｜
负值,且所有样本点（呐’y‘）（t＝l’2’…’″）都在直线上’则
故答案为器
｜
有｜r｜-l ,所以相关系数『＝ˉl放选o
l5.0.8l85
‖
4.B
试题解答:因为X～／V（25,0.04）’所以尸≡25,α≡0.2.
｛
试题解答:由所给的数据计算可得伍＝3’y＝2,回归方程
所以P（248≤α≤2虱4）＝P（〃ˉ°≤X≤队＋2α）＝
｛
为:γ＝α6腮＋02’
｜
过点Al ’A2的直线方程为y＝卯.
÷（队6826＋09鳃4）＝Osls虱
｜
逐—考查所给的结论:
故答案为0ˉ8l85ˉ
｜
@′n＞6,α＞n,该说法正确;
l60.936
『
@直线′l过点A3即回归方程过样本中心点’该说法正确;
试题解答;因为随机变量Ⅱ服从正态分布曹W（2,l）,
｜
唾（γ』ˉ0撼Ⅱ—α）,二α8』′鸟（y』ˉ″Ⅱˉ厕）2二,』说法o
所以／L＝2,得对称轴是撕＝2.
｜
错误;
因为P（皆＜3）＝0.968,
5
所以P（2＜占＜3）≡P（占＜3）-0.5＝0.468,
｜
@昌｜y』ˉb呐—α｜＝1.6’昌｜γ‘ˉm｀′‘ˉ″｜＝5’说法@错误;
所以P（l＜占＜3）＝0。468×2＝0.936.
｛
综上可得,正确命题的个数有2个.
故答案为0。936.
｜
故选B.
｜
5.C
88
统计案例（回归分析与独立性检验）
｜
试题解答:对于O’在回归分析模型中’相关指数R2表示解
l.A
｜
释变量“对于预报变量y的贡献率’R2越接近于1’表示回
试题解答:A.衡量两变量之间线性相关关系的相关系数r
｜
归效果越好’正确’因为相关指数R2越大,则残差平方和越
越接近l,说明两变量间线性关系越密切’正确;
｜
小,模型的拟合效果越好’@正确.
.3l7.
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对于@两个变量相关性越强’则相关系数的绝对值就越接
｜
试题分析:由题意首先求得α的值’然后结合分层抽样的定
｜
义和独立性检验的结论逐一考查所给选项是否正确即可.
近于l;
对于O在回归直线方程｝＝—O5卯＋2中’当解释变量＂每
｜
8.B
增加—个单位时,预报变量｝平均减少α5个单位;正确;
｜
试题解答囚为根据表中数据得到膨-粤监赋芳）粤ˉ
对于@对分类变量X与Y’它们的随机变量K2的观测值A
｜
5.059＞5.024’
来说’k越小’ ‘Ⅸ与γ有关系』,的把握程度越大错误’因为
｜
所以’若推断‘学生的性别与认为作业量大有关,』
’
在对分类变量X与Y进行独立性检验时’随机变量K2的观
｜
则这种推断犯错误的概率不超过0.025.故选B
测值内越大’则“X与Y相关”可信程度越大’故@错误.
｜
试题分析:根据表格中所给数据’代入公式K2
;∑
故选C。
′
n（αⅢ＿bc）2
｝
（叶‖）（叶〃）（…）（J＋叮,求出观舰｜｜值’把所求的观测
。…‘响题…＝』严……拌≡
｜,f副熄…雕…副…
｝
试题解答:要正确认识观测值的意义,观测值同临界值进行
ll＋α
｜
比较得到＿个概率’这个概率是推断出错误的概率’若从统
4
,
｜
计量中求出有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系’是指
回归方程过样本巾心点则等垒二—L4×6＋l24’
｜
有5％的可能性使得推断出现错误.
｜
故选A.
求解关于实数的方程可得:α＝5’
｜
l0.A
由ˉl.4＜0可知变量”与y线性负相关;
｜
试题解答;根据独立性检验的方法和2×2列联表可得’ 、与
当卯＝ll时’无法确定γ的值;
｜
示:I∏与力相差越大’则分类变量x和γ有关系的可能
变量卯与γ之间是相关关系’不是函数关系.
故选A。
｜
性越大,即α’c相差越大’而:T∏与丙fT6相差越大由各选
7.D
试题解答;由直方图知,（α0α｜＋00l3＋0Ol4＋α＋O027＋
｜
项可得A满足条件故选A
｜
1l.D
0.039＋0.08）×5＝l,解得α＝0.023,
｜
试题解答:由右边条形图知’男生女生喜欢手机支付的比
故月消费金额超过2000元的大学生人数为（0.023＋0.0l4＋
｜
｛
例都高于现金支付的比例’所以男生女生都喜欢手机支
0.013）×5×1000＝250（人）
,
｜
付’故C对,D错’由左边条形图知’男生女生手机支付郁
由分层抽样知’男生、女生抽样的人数分别为600人和
｜
比现金支付比例相同’B对’结合两个条形图可知’样本中
400人,
｜
的男生数量多于女生数量’A对.故选∏
由题知’月消费金额超过2000元的男生人数为100人’故A
｜
l2.B
选项错误;
｜
试题解答:@K2的观测值不是刻画两个分类变量之间『勺
月消费金额不超过500元的人数为0.004×5×l000＝20
｜
关系’故错误;
｜
@lnγ＝脑＋lnc＝0.3狐＋4则c’k的值分别是e4和0.
r』
’
（人）’故选项B错误;
｜
故正确;
又由频率分布直方图知’当消费金额小于l750元时’
｜
o某中学有高＿学生400人’高二学生300人’高三学主
频率为（o004＋α027＋α039）×5＋u0s×5×÷-u霓＞
｜
200人高＿学生的比重最大’则高＿学生被抽到的概藕
｜
最大’故正确;
0.5,选项C错误;
｜
@通过回归直线｝＝j卯＋a及回归系数j’只能大致的（下
由条件可以列出列联表:
能精确）反映变量的取值和变化趋势.故错误.
故选B
试题分析:利用统计学的基本知识点逐一判断.
勺
l3.r＞6。635
试题解答:有99％的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有
关,所以K2＞6.635.
｜
】
几（α〃—bc）2
｜
77
（娜＋b）（c＋‘）（…）（b＋d）＝孪≥
｜M亏
故K2的观测值片＝
l0.828,
｛
试题解答:由表中数据可得万＝ˉ4’y＝25’所以线性回｜］
所以在犯镭的概率不超过α｜％的情况下可以判断月消费
｜
力程｝二ˉ号x＋a过点（—4』25）,代人方程得25＝ˉ号×
金额在2000元以上的大学生与性别有关
｜
（ˉ4）＋d,解得a-吾
故选D.
3l8
消费金额不超过2000元
消费金额超过2000元
合计
男生
500人
l00人
600人
女生
250人
l50人
400人
合计
750人
250人
1000人
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15.7.8万盒
试题解答;由题意’根据表格中的数据可知;万＝
｜
l＋2＋3＋4＋5
勺-
5＋5＋6＋6＋8＝6’
＝〕,γ≡
5
5
即样本中心为（3’6）,代人回归直线｝＝0.6则＋a’解得h＝
｜
4.2’即｝＝0.6腑＋4.2.
令晦＝6’解得｝＝0.6×6＋4.2＝7.8万盒
试题分析:由题意’根据表格中的数据求得样本中心为（3’
｜
6）’代入回归直线｝＝0.6则＋a’解得a＝4.2’得到回归直
｜
线的方程’即可作出预测.
l6.3个
试题解答:用相关指数R2来刻画回归效果’R2值越大’说
｜
明模型的拟合效果越好’故@错误;
根据极值的定义可知’可导函数／（卯）在绷＝〃0处取得极
｜
值’则／′（则0）≡0正确;
归纳推理是由部分到整体’特殊到＿般的推理’演绎推理
｜
所以s,二芋×9＝72
故选B·
试题分析:根据｛α″ ｝是等差数列,α3＋α5＋α7＝24’可得
;忽5＝24,,№’＝…,＝徽｜票,×9-等义9可得答案
5.A
考点:棱柱、棱锥、棱台的体积
试题解答:由已知中的三视图,可得该多面体是一个四棱
锥’其直观图如图所示:
／｜
尸
尸
尸
＝
＝
≥
〃
＝
′
｀
』
′
番／
≥
尸
／
是由＿般到特殊的推理’故o正确;
｜
其体积等于正方体体积＿半的三分之二,
根据综合法的定义可得综合法是执因导果,是｜｜腻摧法,根
｜
故＂二÷×÷×:＝÷
据分析法的定义可得’分析法是执果索因’是逆推法,故@｜
正确;
｜
故选A.
综上可得’正确的个数为3个·
｜
试题分析:由已知中的三视图’可得该多面体是一个四棱
｜
锥,画出直观图,进而可得体积.
89
综合练习（1）
｝
6·D
1.A
｜
考点:二项分布与厕次独立重复试验的模型
考点:补集及其运算’指数函数的单调性与特殊点’一元二
｜
试题解答:由题意’根据二项分布中概率的计算公式P（X＝
次不等式的解法
｜
∧）＝C‖pk（lˉp）＂ˉ附’
试题解答:因为A＝｛绷｜勿2ˉ2则ˉ3＜0｝
＝｛卯｜—1＜卯＜3｝
’
｜
｜
则有P（Ⅱ-l）＝c』（÷）（l—÷）］二:,
B＝｛卯｜2叶l＞l
｝＝｛“｜卯＞ˉl
｝’所以0BA＝［3’＋由）.
故选A.
试题分标椎撼集含」是二次…嫡解莱,巢合β是指数
｜
′（Ⅱ-2）-c;（÷「（!÷）』-静
不等式的解集,阂此可求幽集合A,B,根撼补集的求法求
｜
Pα＝］）＝c』（÷）;（l＿÷）＝器,
得0BA。
｜
因此有P（Ⅱ＝3）＝4P（Ⅱ＝l）
2C
｜
故选D
考点:复数的基本概念
试题解答:因为m（′′oˉ2）＋（矾2ˉ3m＋2）i是纯虚数,则
｜
试题分析:根据二项分布中概率的计算公式求出对应概率’
｛佣!T煮｛二b,龋得哪≡α
｜
对比得到D正确.
‖
7.C
故选Cˉ
｜
考点:导数的几何意义
试题分析;由给出的复数的实部等于0,虚部不等于0,列式
｜
试题解答;根据题意,由于曲线γ二鞭』＋α撼在坐标原点处的
求解m的值.
｜
切线方程是2则ˉγ＝0,则根据导数公式可知’y′ ｜卯＝0＝α＝
3°B
｜
2’故可知α＝2.故选C.
考点:抛物线的标准方程
｜
8ˉA
试题解答山抛物线γ＝欧2得撼2-÷′故印二÷,所以÷＝
｝
考点;函数奇偶性的｛隆质
≈
l
｜
试题解答:因为∧厕）是定义在R上的奇函数’
÷,故抛物线γ-2x』的准线方程为γ＝＿＋故选趴
｜
所以／（ˉ“）＝ˉ／（卯）’／（ˉ1）＝ˉ／（l）
’
4.B
｜
又当狮＞0时,∧厕）＝″2＋上’
考点;等差数列的前几项和
卯
试题解答:由题意’ ｛α厕｝是等差数列’α3＋α5＋α7＝24,可得
｜
所以∧1）＝12＋l＝2’所以／（ˉ1）＝ˉ2.
｜
故选A·
3“5＝24,即感5-s因为s,二α宁,×9｀
｜
试题分析:由奇函数定义得’∧ˉl）＝ˉ∧l）’根据绷＞0的
而α5＋α5＝αl＋α9’
｜
解析式’求出／（l）’从而得到／（＿l）.
3l9
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｜
试题分析:根据题目中所给的条件的特点,作出不等式组
｜
表示的平面区域’利用目标函数的几何意义’进行求解
｜
［顺’″］｀然后利用正弦函数的单调区间列出方程求解
｜
即可·
｜
l2.A
｜
考点:一元二次不等式的解法’数列递推式
｜
试题解答:根据题意数列｛α″｝中’＂（α″＋｜ˉα″）＝α″＋l
’
α几＋l
o几
l
l
｜
即′lα″＋lˉ（n＋l）α厕＝l’则有—ˉ—＝
＝—
｜
六』＂』有制～（揣＿守）
÷ （守—铝）,
｝
（铝ˉ簧）…＋（÷—侧｛）＋凰｜-- （÷＿击）÷
｛
（★ˉ＋）＋（古ˉ★）＋…＋（l—＋）＋2-3ˉ
｜
南≤3.铝＜2‘2＋侧』—l’即3—上＜2《2＋α｜—l,‖｜
∏＋l
｜
为对于任意的α巨［ˉ2’2］’″匡N＊’不等式g旦土上＜2t2＋』‘
几＋l
-l恒成立’所以2t2＋αtˉl≥3,化为:2I2＋αtˉ4≥0’设
｜
／（α）二2′2＋“ˉ4｀α巨［ˉ2’2］』可得／（2）≥0且／（ˉ2）≥
｝
0,筒贿‖;工;二‖测｛｜二嚣二｝｝可得…′≤
ˉ2,则实数t的取值范围是（ˉ的, ˉ2］□［2’＋由）. ｜友
｜
选A.
｜
试题分析:首先根据数列的递推关系由裂项求和法整理仗
｜
列的递推公式’再结合不等式恒成立的性质得到关于t沟
一元二次不等式组’分别解出t的取值范围即可.
｝
l3.4
l
考点:二项式定理,二项式系数的性质
9.D
考点:循环结构
试题解答:根据题意得到当α＝2,『l≡l时’
α＝÷.＂＝2,侧-ˉl,＂＝3,α-2,＂二4,α-÷’鹏-5,＝,
由此可看出周期为3当＂＝20｜8时输出结果,此时侧-÷
故选D.
试题分析:此程序图为循环结构,根据题意代入n与α的值
进行运算’直至符合输出条件为止即可.
10.D
考点:双曲线的定义’双曲线的简单性质
试题解答:等腰梯形ABCD中AB／／／CD’AB＝2CD＝4’
乙BAD＝60°,双曲线以A’B为焦点,且经过C’D两点,
双曲线过点C时’e＝二＝
AB
＝
4
＝徊＋1.
α
CA-CB
7.厅-7
夕＾凹钮～pbb、
≈＝
□口■
7←
α
CAˉCB
2徊ˉ2
｀
故选D.
试题分析:根据双曲线的定义可知｜CAˉCB｜＝2α’ ｜AB｜
＝
｜
2c;再利用双曲线的性质可知离心率e＝二’代入即可
｜
α
求得.
C
考点:简单线性规划,简单线性规划的应用
试题解答:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分
｜
表示:
1l
ˉ∧
」l
O同了-Iˉ了
｜
试题解答:（1＋3则）′』的二项展开式中’
l
（）
｜
卯2的系数是C; .32＝54’
｜
化简得:″2ˉ＂ˉl2＝0’
｜
解得厕＝4或′』＝—3（不合题意’舍去）
’
x＝ˉl
则.的几何意义为区域内的点与点D（—2,0）所构成的直
｝
故＂-4
｛
试题分析:利用通项公式即可得出
线的斜率,
｛
20√百7『
由图象知DB的斜率最小’D∧的斜率最大’由
‖
l4.
3
｛慧↓二!,≡｛｝三｜,汕（ˉ｜｀2）,
｜
考点:球内接多面体
‖
乌＋田鲤锤竹∏匠｜6芹＝
3
考点:球内接多面体
试题解答:如图所示,
P
测…摔蛔～2＼由｛二↓二↑,ˉ｛》二l!:阳（ˉ』
《
-2）’则DB的斜率kDB＝-2,
则ˉ2≤愿≤2,故霞＝走的取值范围是［—2,2］,
故［—2,2］是函数γ＝2sin‘O则的＿个单调递增区间’故
｜
O
C×
C×
』
D
-〗
~~
〔
Ⅱ
‖
『
‖
’
○
β
·
~~
℃
∧
日
乙
’
］
~~
℃
』
’
〗
~~
Ⅱ
∧
寸
中
『
℃
日
∧
△
在
∏
—
〃
斗
~~
α
）
＝
｜
而
—
勺
～
’
∏
—
’
≈
｜
~~
］
勺
▲
α
）
勺
▲
α
）
’
［
故选C.
√AB2＋AC2ˉ2AB.ACcos60。＝何’
320
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有l2＋（旧）2＝22’所以乙ACB＝90。’取AB的中点D’则
｜
则＂（则）＝卯ˉln卯在［l’e］上为增函数’＂（绷）≥＂（l）＝l
球心O满足OD上平面ABC.
｛
恒成立’
又剐上平面ABC,则三棱锥Pˉ」BC的外接球的球心o为
｜
即＂′（聪）＝宁鲸≥0恒成立,
″的巾点其中oD＝十剐-2,设外接球半径为R’则
｝
｜
故o（卿）＝心＋1）（ln卯＋l1在［1’e］上为增函数’
R2＝AD2＋OD2＝5’所以R＝√百’由球的体积计算公式’可
｜
“
｜
o（嘶）≥〃（1）＝2恒成立,
得「二÷丽孺＝÷…石＝坐鸟
‖
故附≡2,
试题分析;根据题意首先由余弦定理求出BC的值,再由勾
｜
综上可得’附匡［eˉ2｀2］
股定理计算出△」CB＝90°’进而可求出三棱锥pˉABC的
｛
故答案为［e—2’2］
外接球嫡球心o为PE的中点代入数值求出球的半径,
｜
试题分析;本题根撼新概念得到函数之间的不等式关系,
｜
再用〃表示内的取值范围’再求分别求得不等式两边的最
并把数值代入到球的体积公式计算出结果即可.
‖
大值与最小值即可得到A的取值范围.
l5.甲
考点:推理与证明
90
综合练习（2）
试题解答:o假定甲说的是真话’则丙说‘‘甲说的对”也为
｜
『
l·D
真话,这与四人中只有＿个人说的是真话相矛盾’
故假设不成立｀故甲说的是谎话;@假定乙说的是真话,则
｜
考点;并集及其运算
｜
试题解答:因为集合A＝｛躯｜卯2＋绷ˉ6＞0｝＝｛“｜狐＜ˉ3或
丁说:“反正我没有责任”也为真话,
｜
〃＞2｝,集合B＝｛”｜ˉl＜则＜3｝
’
这与四人中只有＿个人说的是真话相矛盾,
,｜腿不域立徽乙说倘晨糙簇』翻｛…巍胸晨真瞒＂｜毗晰掀寄总
o知甲说的也是真话’
｜
故选D.
这与四人中只有＿个人说的是真话相矛盾,
｛
试题分析:先分别求出集合A和集合B,从而求出AOB’再
故假设不成立,故丙说的是谎话;
｛
由αe（A（ˉ」B）求出α即可.
综上可得:丁说是真话’甲乙丙三人说的均为假话,
｝
2.B
即乙丙丁没有责任’故甲负主要责任.
｜
考点:复数代数形式的乘除运算
故答案为甲ˉ
试题分析;利周反证法｀可推导出丁说的是真话,甲乙丙三
｜
试题解答;设.＝α＋蹦（α,b匡腮）,且赤二÷—÷‖侧
人说的均为假话,进而得到答案
α
b
.
3
4·
l6. ［eˉ2’2］
｜
Fˉ下F＋α2＋b2l＝了＿了1’
考点;撼……尉｀…咸立问题’啸｜闹…闭
｜
所以拭铲-; ｀六-
斗,
区间上函数的最值
试题解答;若∧绷）是g（剿）到h（躯）在区间｝l,懦］上的任性
｜
联立解得“＝÷,』＝ˉ丛
函数,, ,
5
,
｜
所以‘＝÷—争
灿匡［№附伙｛二训…
｛
故选B
:》｛震献）‖…｜）恒咸工
｜
试题分析;设缀＝α＋bi（α’b巨R）,且赤-÷—÷,可得
｜!二三h!…）…
｜
′÷萨,☆』÷÷…六』≡÷六』≡
即
—÷,解出α,b即可得到答案
若k≥″ˉ2在区间［l ’e］上恒成立’则A≥eˉ2;
令″（〃）＝（卯＋l）（ln绷＋旦’若∧≤（卯＋l）（ln卯＋11在区
｜3.A
卯
％
｜
考点:平面向量数量积的运算
间［l’e］上恒成立,则A≤U（卯）min,p′（勿）＝卯ˉln鞭
几2
9
｛
试题解答:α.b＝ˉ2＋1＝ˉl’ ｜b｜＝√Z所以α在b方向
徊
—
∑
二
徊
…
＿
‖
为
影
投
的
上
令＂（腮）＝则ˉln卯’则u′（鳃）＝lˉ上’
卯
当卯巨［l ’e］时’皿′（卯）≥0恒成立’
『
故选A
32l
.
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试题分析;根搬条件即…“b及｜』｜的值,…b方
｜
c:咖』（;（—÷）］＝—l60,所以阐侗＝—l60,由等差数
向上的投澎计算公式为铲,从漏求出该投澎的值
｛
列的性质可得α2＋α10＝2α6＝ˉ320.
｜
故选D.
4.B
｜
试题分析:先求出常数项’再用α2＋α｜0＝2（!6求解.
考点:必要条件｀充分条件与充要条件的判断
试题解答;条件q;直线γ＝kx＋2与圆躯2＋广＝l相切’可
｜8B
｜
考点;导数的概念,等比数列的性质
得丙÷亏≡｜解腮隐ˉ奎陋
｜
试题解答:令／（“）＝则.g（卯）’其中g（绷）＝（卯ˉα｜）（卯ˉ
｛
α2）.…. （卿-α7）
’
所以p是q的充分不必要条件.
｜
则／′（娜）＝g（厕）＋＂.g′（赃）’故／′（0）＝g（0）＝ˉα1
则曰p是司q的必要不充分条件
｜
α2 .….α7＝ˉα］’由α］.α5＝2可得’α4 ;二√Z故／′（0）＝
故选B
试题分析:条件q:直线y＝脑＋2与圆卯2＋广＝1相切’可
｜
ˉ8√Z
｜
故选B
得;7÷示≡!解糯臆,:呵判断幽′…充分…条
｜
试题分析根撼…………乏导.代入耪磷｛‘
｜
到导函数求出α3 .α5的值’结合等比数列项的性质即可尺
件,进而得出答案
｛
出α4’从而求出其值,
5.C
｛
9·A
考点:程序框图
｜
考点;旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
试题解答;由程序框图知,巾＝6时’打印第一个点（ˉ3》6）
’
｜
试题解答;设圆柱体的底面半径为『’高为｜i’由圆柱的体积
在圆厕2＋广＝25外’
｜
公式得体积为V＝∏『2∧.
t＝5时,打印第二个点（ˉ2’5）,在圆卿2＋γ2＝25外,
｜
由题意知γ＝古×（2可）:×九
t＝4时,打印第三个点（-l ,4）’在圆z2＋γ2＝25内,
j＝3时’打印第四个点（0’3）’在圆卯2＋广＝25内’
｜
所以丽严＂二古×（2丽′）2×h解得硕-虱
t＝2时’打印第五个点（l ’2）’在圆卯2＋γ2＝25内’
｜
故选A.
t＝1时’打印第六个点（2’1）,在圆卯2＋广＝25内’
｜
试题分析:根据题目中所给的条件的特点,可得圆柱底面的
所以打印的点在圆厕2＋广＝25内有4个.
｜
圆周和高的大小’利用圆堡哦（圆柱体）的体积公式’求出
故选C.
｜
V’再建立关于圆周率的方程组,即可求ˉ出圆周率∏｜力
试题分析:由程序框图,得出打印的点的坐标’判定该点是
｜
取值.
否在圆内即可。
｛
l0.C
｜
考点;正弦定理
6B
｜
试题解答;由三们形育厕解…｛:型;＜‘｀所」
考点:简单空间图形的三视图
试题解答:由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段’上
｜
蹦蹦谎瞬聪蹦瓣霍谎｝
｛:型…嚼删…竿
｜
所以边长“＂取值范圃为（2,竿）
射影也是对角线是虚线
故选B
｝
故选C,
试题分析;根据题意’看看侧视图是怎样画出的’即可得出
｜
试题分析;由正弦定理可知;三角形有两个解’则满足
正确的选项.三视图:
o…;…物傣输…淘雇撞…崎…;
｜
｛:翌宇b,代＾……侧输…凰
@侧视图:光线自物体的左侧向右投影所得的投影图;
｜
1l.A
｜
考点;抛物线的简单性质’抛物线的应用
◎俯视图:光线自物体的上方向下投影所得的投影图.
7。D
｜
试题解答:分别过A’B作准线的垂线,垂足分别为Al ,B’
考点:等差数列的通项公式’二项式定理的应用
｜BBl
｜
｜BF｜＝」丝」ˉ1＝旦f1
试题解答;二项式（鳃ˉ÷＋γ）‘展开式的常数项是由3个“
｜
｜
所以∏;干石-÷,所以船二÷＝÷
和3个ˉ三相乘得到的,所以常数项为
｜
故选A.
卯
°322·
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试题分析:根据题目中所给的条件的特点’分别过A’B作
｜
准线的垂线’设｜AF｜＝γ’ ｜BF｜＝则’由乎行线的性质分析
｜
可得答案
!.A
考点:椭圆的简单性质
试题解答:考查＿般性结论’当乙F1PF2＝0时:
设｜PF1
｜＝m’ ｜P凡｜＝＂’椭圆的长半轴长为αl ’双曲线的
｜
长半轴长为α2’两曲线的焦距为C,结合题意有:m＋″＝
｜
2α1
, ｜m-川｜≡2α2,
两式平方相加可得:加2＋″2＝2（α↑＋α;）
’
两式平方作差可得:m″＝α｝—α;’
由余弦定理有:4c2＝m2＋″2ˉ2m＂cos0’
则4c2＝2（α｝＋α;）ˉ2（α;ˉα;）cos0’
2c2＝（lˉcos0）α;＋（l＋cos0）α;’
义‘二于,所以2橱2＝（l—÷）感;＋（l＋＋）忽;,
即‘2二＋α｝＋÷α;,
陶边阔瞧以.』腮｀］≡磊碧～志熄≡儡悬～
｜
灯
l
2
ele2
,』六≡竿当且仅当寺-2〕齿-÷时筹号成立｀
据此可得上的最人值为竿
ele2
故选A.
试题分析:本题考查了椭圆与双曲线的定义｀标准方程及
｜
其性质｀余弦定理｀基本不等式的性质’解决本题的关键是
｜
根据所得出的条件灵活变形,求出关于el ’e2的不等式.
｜
—＋或l
考点:等差数列与等比数列的综合
试题解答:因为数列｛α厕｝是公比为q的等比数列’且α2’
｜
α4,α3成等差数列’所以2α4＝α3＋α2’
所以2α］q3≡α1q2＋αlq,所以2q2—q-1＝0,
所以9＝ˉ＋或q-L
敬答案为＿÷或L
试题分析:将条件表示为公比的方程’求出公比的值.
√7
所以sinB＝AC. sinA
4. sinl20°何
二二
BC
厂—
＝-＝,
2√7
√7
~~／
~～7
所以…√ˉ（借）ˉ÷｀
因为AD＝BD,所以设AD≡BD＝卯’
由余弦定理得:cosB＝4＋卿2ˉ卯2
l
目＝
2×2×卯
了
l
行
所以AD≡匆＝—≡
cosB
2.
l2
故答案为平
▲
J4
试题分析:由余弦定理求出BC＝2√7’由正弦定理求出
.l!圈-肾,…＂…方,浚…n≡,陶余…
勺
得:cosB＝上’由此能求出AD的值.
卯
l5. ［ˉ2’3］
考点:简单线性规划
试题解答:作可行域’则直线z＝3卯ˉ2γ过点A（l ’0）时z
取最大值3’过点B（0’1）时z取最小值ˉ2’因此z＝3则—
2γ的取值范围为［ˉ2’3］.
v｜
＞
（／
~
x
x≡v＋l
~~
′
′＝1＝0
l3
2x-
故答案为［ˉ2’3］.
试题分析:作出平面区域’乎移目标直线,得到最优解,求
出取值范围.
）
］
—
∑
（
◎
）
］
—
〕
］
—
∑
（
β
考点:一元二次不等式的解法’其他不等式的解法’类比
推理
试题解答;关丁氮的不等式器＋署＜0可化为÷＋
α-—
卯
bˉ上
亡＜0则由题设中提供的解法可得』＿＋匡（—2,
卯
l4
2
考点:三角形中的几何计算
试题解答:因为在△ABC牛
所以由余弦定理得BC＝
2打’
因为在△ABC中
‖
乙BAC＝l20°’AC＝2AB≡4,
—｜）口（2｀3）＝翼匡（—十,—＋）口（÷’l）则关于“的
不等式＿k些＋匹二1＜0的解集为（＿＋,ˉ＋）（」
α卯-1
C卯＿1
（÷』l）故答案为（—＋.＿＋）O（＋,l）
｀／l6＋4—2×2×4×coSl20。
~
’
“
＿
赫
~~
即
—
…
■
■
得
’
理
＝
正
弦
正
由
323
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试题分析:由已知类比椎理’原不等式的解法本质上是将
｜
＋替攘“得到解集,解圆标不等式时,将ˉ＋替换鳃得霞｜
｜
解集
9l
综合练习（3）
l.B
考点:集合的表示法’集合的包含关系判断及应用
试题解答:由题意得Ⅳ＝｛绷｜撼2ˉ＂＜0｝
＝｛撼｜0＜＂＜
｜
l｝匡″.
故选B
试题分析:求出集合Ⅳ,然后判断选项即可.
2C
考点:复数代数形式的乘除运算
试题解答;由÷二铝＝‖训二｝｝-ˉ｜＋2i’得;-
｜
（ˉl＋2i）l＝-2—i,
所以复数z的虚部为—1.
故选C.
试题分析:把已知等式变形’利用复数代数形式的乘除运算
｝
化简得答案
3.B
考点:全称量词’存在量词’全称命题’特称命题
试题解答:因为全称命题的否定是特称命题’所以命题p:对
｜
任意绷＞0’总有e厕≥l的否定司p为:存在则0＞0’使得
｜
ex0＜l。
故选B.
试题分析:利用全称命题的否定是特称命题直接写出结果
｜
即可.全（特）称命题的否定的格式和方法妥注意两点:
｜
（l）全称命题变为特称命题;（2）只对结论进行否定.将量
｜
词“γ”与“引’,互换,同时否定结论.
4。D
考点:等可能事件的概率
试题解答:由图可知,7月’8月,ll月的利润不低于40万
｜
元’从6个月中任选2个月的所有可能结果有（7’8）’（7’
｛
9）,（7,l0）,（7,ll）,（7,l2）
’ （8,9）’（8’l0）,（8,ll）, （8,
｛
l2）,（9’l0）,（9’l1）,（9’12）’（10,l1）’（l0’l2）,（ll,l2）
｛
共15种’其中至少有l个月的利润不低于40万元的结果
｜
有（7’8）’（7’9）’（7’l0）’（7’1l）’（7’12）’（8’9）’（8’l0）
’
｜
（8’l1）’（8’l2）’（9’1l）
’ （l0,ll）’（ll’l2）共l2种’故所
｜
求概率为P二÷÷
故选D.
试题分析:由图可知’7月,8月’ll月的利润不低于40万
｜
元’数出从6个月中任选2个月的所有可能结果.直接利用
｜
概率公式求解即可求得答案
5.D
考点;球的体积和表面积,球内接多面体
试题解答:如图所示’Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中
｜
点D,
过点D作平面ABC的垂线,球心O在该垂线上,
!
过O作球的弦SC的垂线’垂足为E’则E为SC的中点,
球半径R＝OS＝√OE2＋SE2＝√CD2＋SE2’
因为CD＝郑B≡4,SE二＋Sc二3’所以R＝5’
～
▲
所以三棱锥的外接球的表面积为4∏R2＝l00∏.
故选D.
试题分析:Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点D,过点
D作乎面ABC的垂线,球心O在该垂线上,过O作球的弦
SC的垂线,垂足为E,则E为SC的中点,求出球的半径’得
到外接球的表面积.
C
考点:二项式定理的应用
试题解答:二项式（l＋m）5展开式的通项为T『＋l＝C§卿『（.＝
0,l,2,3’4,5）
,
故展开式中绷2的系数为C;ˉC!二l0ˉ5＝5~
故选C.
试题分析:利用二项式定理展开即可得出.
A
考点:余弦定理
试题解答:在△ABc中,因为A＝哥,所以由余弦定理可导;
α2＝b2＋c2ˉ2bccos哥,
所以62ˉα2＝√Zc—c2.
义b』—鹏2-÷2,
所以口嚷—c2二÷2,
所以口二÷,可得』二竿.
所以“!＝脐ˉ÷典二;僻2,即′二平,
5c2
9c2
—土—ˉC2
石
所以cosC＝α2＋b2—c2
8 !8
2αb
≡—
二二—
2×平×乎,
因为C巨（0,∏）
,
所以爵i＂C二√l—c＂爵』6二孪,
所以tanC＝旦1L旦＝2.
COSC
故选A.
试题分析;由余弦定理可得;α2＝b2＋c2ˉ2bccOs哥,已知
』』—。Ⅱ-÷‘』,可得』＝竿,°二平荆碉余…霄得
6
7
324
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cosC’利用同角三角函数基本关系式可得sinC’进而可求
｜
出tanC的值。
8.D
考点:双曲线的简单性质
试题解答;由题意可得盲线′的斜率为股＝您″＝籍≡1,
｜
可得直线／的方程为γ≡嘶-3’
代人双曲线阀;莆＿卡＝｜可得（膀＿α2）鳃鸥十6“2鳃＿9α』ˉ
｜
α262＝0,
6α2
设A（如l ’γ1）,B（则2,y2）,则如1＋则2＝—
α2-62,
出佃的中点为′〕可得Ⅷ踪～ˉ6.
即有b2＝2α2,
又α2＋62≡c2≡9’
解得α＝何’b＝佰’
则双曲线的万惺为等—÷二1
故选D
试题分析:求出直线／的斜率和方程’代入双曲线的方程’
｜
化简可得腮的二次方程’运用韦达定理和中点坐标公式’结
｜
合焦点坐标’可得α,b的方程组’解得α’b’进而得到双曲线
｜
的方程°
9.D
考点:由三视图求面积、体积
试题解答;根据三视图知;该几何体是直四棱柱’挖去—个
｜
半圆柱体’且四棱柱的底面是等腰梯形’高为3’
所以该组合体的体积为:
F＝＋×（4十8）×4×3ˉ＋而×22×3-72ˉ6顾
≡
故选D。
试题分析:根据三视图知该几何体是直四棱柱’挖去一个半
｜
圆柱体,结合图中数据求出组合体的体积ˉ
lOB
考点:向量的加法及其几何意义,平面向量数量积的性质
｜
及其运算律,三角形中的几何计算
—沪—〉
—〉＿〉—〉
l
试题分析:根据向量的加法可得CP＝CA＋AP’PB＝PA＋
｜
→—惨
—铁
—→
＿掺
｜
—〉
→
→
AB,又因为AP＝入AB,所以CP·AB≥R4 。PB＝（CA＋
｛
～》
＿》
—〉
＿≥→→—〉
→
0
入AB）.AB≥ˉ入AB. （ˉ入AB＋AB）＝CA.AB＋∧AB2≥
｜
＿〉
ˉ∧（lˉ入）AB2’因为乙BCA＝90°’CA＝CB＝1’即该三角
｜
～≥
—〉
｛
形为等腰直角三角形,所以根据内积的定义可得CA。AB＝
｛
～〉—》
／
∏＼
＿〉
—〉＿〉
—＞
l
｜CA｜｜必｜co舅（俩—可）＝ˉl,AB2二2》则O仆AB＋MB2≥
｜
＿〉
-入（l-入）AB2＝—1＋2入≥-2入（1-入）＝2∧2—4∧＋l≤0
｛
≡竿≤入≤l故逸Ⅱ
l1.A
考点:数列的求和,数列递推式
.325
试题解答:当2≤α≤4时’αl＝α匡［2’4］’α2＝6ˉα巨［2’
4］’α3＝α巨［2,4］’…,
可知s＂-｛瓣β!!勘M匡N’
则当厕＝672时’S″＝20l6;当＂≡673’α＝2时’S″＝2018;
当0＜α＜2时,α1＝α匡（0’2）’α2＝6—α巨（4’6）’α3＝2ˉ
α巳（0,2）’α4＝4＋α匡（4’6）,α5＝αe（0’2）,…,可知
3几,几≡4k,keN,
｜
挝二
S网＝
则当n＝673’α＝l时’S厕＝2017;
所以S″≡20l5取不到
故选A.
试题分析:由数列的递推式’对α进行分类讨论,当2≤α≤
4时’S＂为分两段的形式,求出和可能为20l6’20l8;当
0＜α＜2时,S＂为分四段的形式’求出和可能为20I7,得到
S＂＝20l5取不到.
l2.B
考点:利用导数研究函数的单调性’利用导数研究函数的
极值,分段函数的应用’函数的零点与方程根的关系
试题解答:当腮＜0时’／（卿）为增函数,当虹≥0时’／′（厕）＝
e匆ˉ1＋α购-α-l’／′（勿）为增函数’令／′（卿）＝0’解得勿＝
1 ’故函数在（0’ l）上递减’ （1’ ＋四）上递增’最小值为
／（I）.由此画出函数图象如图所示’令r＝ˉ／（财）’因为
《‖工宝—≡1
∧绷）≥0’所以′≤0’则有
所以r＝-α＋l,所以∧如）＝αˉl’要有三个不同实数根,
则需÷＜α—l＜÷＋:,解得2＜α＜旦＋2
e
故选Bˉ
‖｀／
α
＿
勺
△~~
γ
′
（）｜
］
X
试题分析:对分段函数各段函数求导形容单调性’作出函
数的草图’用数形结合的方法得到方程有三个实根时’α
的范围.
127
考点:程序框图
试题解答:执行程序框图’可得
α≡1,
α＝3’
不满足条件α＞64,α＝7,
勺
〕
］
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试题解答:由题意’图形关于卯轴对称’／l’B’P三点共线’
可得六ˉ茹由焦半径公式M′｜＝鞭｜＋｜- ｜Ⅳ′｜.
｜BF｜＝％2＋l＝｜″F｜
’
所以揣带喘÷÷-｜:,
所以（γ1＋γ2）2＝20y1γ2,
｛怠愧］）｀可得雕＿斟壮雌-α
由
所以γ｜＋』2＝了,M』＝4,所以酱-80』
4
因为k＞0,所以胀-粤
故答案为卓
≡
试题分析:由题意,图形关于匆轴对ˉ称’A,B,P三点共线,
可得六＿蒜由焦半搔公式｜〃｜-鞭｜＋!≡｜M｜,
｜田｜三绷2刊＝Ⅷ川,揣十喘÷÷＝1s’（γ｜＋
γ2）2≡20γ1y2,再利用韦达定理,即可得出答案
92
综合练习（4）
不满足条件α＞64’α＝l5’
不满足条件α＞64’α＝31,
不满足条件α＞64’α＝63’
不满足条件α＞64,α＝127’
满足条件α＞64’退出循环’输出α的值为l27.
故答案为l27ˉ
试题分析:逐步执行是处理框图问题的最常用方法
142
考点:简单线性规划
试题解答:作出不等式组表示的平面区域如图:
】
｜
‖
‖
Xˉ｝》＝（）
＋v＝l
√
』
X
‖
2γ
‖
＋
圃
〔
～＼～
＝
鹰＼三
川＼
~
~
~
设z＝2鳃＋γ,则γ＝—2绷＋z’
平移直线y＝—2如＋z’由图象可知当直线y＝—2绷＋z,
经过点C时’直线γ＝ˉ2卿＋z的截距最大’此时z最大’
由｛寡l厂」〔』解得｛》二k
即C（1,0）
,
此时Zmax＝2×l＋0＝2,
故答案为2·
试题分析:准确画出可ˉ行域,然后结合图象找到目标匪
的最值.
l5.卯-V＋6＝0
准确画出可ˉ行域,然后结合图象找到目标函
~
~
~
~
｜
｝
l.C
｜
考点:并集及其运算
｜
试题解答:因为集合A＝｛l ’2’3｝’B＝｛卯｜（狐＋l）（卿ˉ2
＜
｜
0’缅巨Z｝＝｛0’l
｝
,
｜
所以A口B＝｛0’l ’2’3｝.
｜
故选C
｜
试题分析:先求出集合A’B’由此利用并.集的定义能求出
｜
A口B的值.
｜
2.C
｜
考点:复数代数形式的乘除运算’复数求模
｜
试题解答;因为器二i′所以凰＝（2＋i）iˉi二iˉl』
｜
因此｜z｜＝｜i—l
｜＝√Z
｜
故选C.
｜
试题分析:将复数的运算变形’得到z’再由复数的乘法求ˉ出
｜
z’再求其模.
｛
3.C
｜
考点:设计程序框图解决实际问题
｜
试题解答:执行程序框图’卯＝86’γ＝90’s≠27;则＝90’ ′＝
｜
86’s≠27;卵＝94’y＝82’s≠27;厕＝98’y＝78’s＝27’结束循
｜
环’输出的则’γ分别为98’78.
｜
故选C
｜
试题分析;逐步执行的方式是解决程序框图题目的首选方
｜
法’一般都可以得出答案’或者找到规律.
326。
数
考点:利用导数研究函数的极值’利用导数研究曲线上某
点处的切线方程
试题解答:／′（卯）＝e鳃［加2＋（2ˉα）厕＋l］’若／（＂）在（l ’3）
上只有l个极值点’
则／′（l）.／′（3）＜0,
即（αˉ4）（3αˉl6）＜0,
解得4…乎,＂匡N’
故α＝5,
故／（如）＝e露（嘶2ˉ5勿＋6）’／′（勿）≡ez（“2—3勿＋l）,
故／（0）＝6’／′（0）＝1’
故切线方程是:γˉ6＝卯.
故答案为卯—γ＋6＝0.
试题分析:求出函数的导数’根据／′（1）.／′（3）＜0’得到
关于α的不等式’求出α的值’从而计算／（0）’／′（0）的
值’求出切线方程即可.
l6粤
考点:抛物线的定义’抛物线的标准方程,抛物线的简单
性质
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4.C
考点:由三视图求面积｀体积
试题解答:由三视图知’空间几何体是—个组合体’上面是
｜
＿个圆锥’圆锥的底面直径是4’圆锥的高是2打’
所以在轴截面中圆锥的母线长是√i面ˉ干可＝4’
所以圆锥的侧面积是∏×2×4＝8而’
下面是—个圆柱’圆柱的底面直径是4’圆柱的高是4’
所以圆柱表现出来的表面积是∏×22＋2∏×2×4＝20∏’
｜
所以空间组合体的表面积是28∏.
故选C.
试题分析:空间几何体是一个组合体’上面是一个圆锥’圆
｜
锥的底面直径是4’圆锥的高是2徊’在轴截面中圆锥的母
｛
线长利用勾股定理算出’求得表面积;下面是一个圆柱’圆
『
柱的底面直径是4’圆柱的高是4’求出圆柱的表面积’注意
｜
不包括重合的平面.
5.A
考点;函数单调性的性质’函数奇偶性的性质｀等差数列的
｜
性质
试题解答:因为函数∧卯）是R上的奇函数且是增函数,
所以取任意匆2＞勿］,总有∧豹2）＞∧如l ）.
因为函数／（卵）是R上的奇函数,所以／（0）＝0,
因为函数∧卯）是R上的奇函数且是增函数’
所以当勿＞0,／（卯）＞0,
当觅＜0’∧豹）＜0.
因为数列｛α＂｝是等差数列’
α1＋α5＝2α3’α3＞0’所以αl ＋α5＞0,
则／（α1）＋／（α5）＞0’
因为∧α3）＞0’
所以／（αl）＋／（α3）＋／（α5）恒为正数.故选A.
试题分析:中档题’本题综合应用函数奇偶性及单调性’逐
｜
步确定得到∧αl）＋∧α3）＋j（α5）满足的条件.有一定综合
｜
性’较为典型
6,C
考点:双曲线的定义,双曲线的标准方程’双曲线的简单性
｜
质,双曲线的应用
试题解答:由题意知’双曲线右焦点F′（c’0）’又｜OA｜
＝
｜
｜OF｜’所以｜OA｜
＝｜OF｜
＝｜OF′
｜’则△AFF′为直角三角
｜
雁,娜酗业′M则｛绷』
｜≡;器荒, ｜A′｜≡
｜
目＝
√｛〃｛｜』ˉ｜〃′「霄三荒』川蛔线定义得2侧～｜」′′
｜—
｛
M′｜-荒即侧-荒则』-√F了＿面了-哩』所以双曲
｜
√l0
线的渐近线方程为』二辈祭
故选Cˉ
试题分析:由双曲线的定义’以及双曲线的简单性质可求出
｜
α与b的关系’即可得到双曲线厂的渐近线方程
.327
｛
7.C
｜
考点:函数的图象’其他不等式的解法’余弦函数的单调性
｜
试题解答:由函数图象可知:当／（厕）＜0时’0＜厕＜1;当
｜
／（卯）＞0时’l＜躯＜3;而cos则中的腮巨（0’3）’当cos卯＞0
｜
时,鳃匡（0』;）;当co…0时,腮匡（÷’3）’
腮二‖｀或
则／（勿）cos卯＜0’可化为:
l＜勿＜3’
0＜卯＜1’
｛÷…严｛…÷
｛
解得;＜腮＜3或0＜x＜l,
所以所求不等式的解集为（0,l）O（÷’3）
故选C.
试题分析:根据函数的图象可得’∧厕）小于0时’卯大于0小
于l;／（颇）大于0时’躯大于l小于3’且根据余弦函数图象
可知’cos“大于0时,〃大于0小于乎;当cos″小于0时,＂
△
大于÷小于3’则把所求的式子化为／（聪）与cos卿并号》即
可求出不等式的解集·
8。D
考点:简单线性规划
｜三;划…Ⅷ
试题解答:由变量绷｀y满足约束条件
行域如图,
｝）0
］
○
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
］
∑
〕
斗
日
~
~
~
~
~
ˉ
β
∑
锣
〕
＝
仁
＝
日
由z＝卯＋2y的最小值为3,在γ轴—七的截距最小.
由图可知’直线z＝如＋2y过A点时满足题意.
凝立｛慧;写,解得」（』.0）」在直绅～.上｀可碍←1
则击≥÷的几何意义是可行域内的点与Q（—l,0）连线
的斜率不小于÷,
由图形可知;直线卯≡3与直线匆ˉ2y＋1＝0的交点为
B（3,2）
’
直线虹—2y＋3≡0与绷＝3的交点为C（3,3）
’
’
斗
—
’
~~
倔
忘
是
率
概
的
］
—
∑
＜
上
刊
~
＿
卯
以
所
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｝
试题分析:根据已知结合长方体的几何特征和球的几何特
｜
征’求出球的半径’代入可得球的表面积.考查的知识点足
｜
球的表面积’其中根据已知求出半径是解答的关键.
｝
ll.A
｛
考点:归纳推理
｜
试题解答:记第″行的第m个数为α（″’m）,由题意知
｝
α（6,l）-:.侧（7,l）-＋,
｜
所以侧（7,2）-α（6,l）—α（7,l）二÷＿＋＝六,“（6,2）＝
｜
α（5｀l）＿鹏（6,l）-÷—÷二力,
』
α（7,3）＝忽（6,2）＿α（7,2）-而方二;六,感（6,3）
ˉ
｜
α（5,2）—α（6,2）二力—而＝俞’α（7,4）二α（6｀3）—α（7,
｜
3）二俞—六二Ti6故选A
｜
试题分析;本题考查通过观察归纳出各数的关系,考查了
｜
学生的观察能力和计算能力’属于中档题’解题时要认具
｜
审题’仔细解答’避免错误.
｜
l2.D
｜
考点;函数的单调性与导数的关系
｜
试题解答构遗函效g（腮）二′（等＿1 ,g（0）～皿」—二L
e0
—l.因为对任意则巳R’都有／（腮）＞／′（卯）＋l
’
｜
所以g′（鳃）＝△卫」＋lˉ／（业＜0’
e冗
｜
所以函数g（则）在R上单调递减’
｝
由／（愈）托露＜l化为g（狮）二∧赚）ˉl＜ˉl＝g（0）
’
e尤
｜
所以卯＞0.
｜
所以使得／（卿）＋e箍＜l成立的则的取值范围为（0’＋切）
｜
故选D.
｛
试题分析;榷搪条件构…徽g（鞭）-止罢,淘求等公
｜
式和法则求出g′（厕）’根据条件判断出g′（腮）的符号’仔
｜
到函数g（卯）的单调性’由／（0）＝0求出g（0）的值’将不ˉ亲
｛
式进行转化后’利用g（卯）的单调性可求出不等式的解集
｛
l3.鳃2＋侣＝5
｜
考点:抛物线的简单性质’抛物线的应用
｜
试题解答:设C（ˉl’γ）圆O半径为′’则｜广＝产ˉl.
｜
因为｜AB｜
＝｜CD｜,所以A或B的坐标为（l’y）,所以
｜
′＝4’
｜
所以产ˉl＝4’解得产＝5’所以圆O的方程为卯2＋广＝5.
｝
故答案为卯2＋y2≡5.
｛
试题分析:设C（—l,γ）’由｜AB｜≡｜CD｜,解得A或B的横
｜
坐标则＝1 ,将则≡l代入可得圆的半径r,进而得到所求［虱
｜
的方程
日
—
’
~~
▲
—
’
］
是
率
概
的
］
—
∑
≥
兰
州
则
故选D.
试题分析:由约束条件作出可行域’化目标函数为直线方程
斜截式,得到当直线z＝见＋2γ截距最小时z最小,求出可行
域内使直线截距最小的点的坐标,代入卿＝α求出α的值,
利阀击≥＋的几何意义,转化求解概率鼠′可
C
考点:运用诱导公式化简求值,余弦定理’解三角形
试题解答;因为s＝÷°b曾mC｀c赡c＝侧2＋b』—c2
2αb
,
所以2S≡α6sinC,α2＋b2—c2＝2αbcosC’
代人已知等式得:4S＝（α＋b）2ˉc2＝α2＋62ˉc2＋2αb’即
2αbsinC≡2αbcosC＋2αb’
因为αb≠0,所以sinC≡cosC＋l’
因为sin2C＋cos2C＝1,
所以（cosC＋l）2＋cos2C＝l解得:cosC＝ˉl（不合题意’
舍去）’cosC＝0’
所以SinC＝l,
9
灿in（哥带c）二粤（蓟＂…c）二乒
故选C.
试题分析:根据三角形面积公式和余弦定理表示出等量关
｜
系’化简后可得sinC＝cosC＋l’由同角三角函数关系解出
｜
sinC＝l ’从而根据三角恒等变换可得到答案.
l0。B
考点:棱柱的结构特征
试题解答:因为长方体ABCDˉAlB1ClD1内接于球O’底面
｛
ABCD是边长为2的正方形’
设AA1＝2α,E为AA1的中点’
以A为坐标原点’分别以AB’AD’AA1所在直线为如,γ’z轴
｜
建寸窄间直角坐标系’
Dl
C｜
盯四卫刁
~
~
~
~
~
′
f
~
~
~
~
~
＾
′
＝
~
→
几
匠
』
则A（0’0’0）’B（2’0’0）’D（0’2’0）’E（0’（）’α）’Cl （2’2’
｜
2α）,O（l,l,α）
,
—》
-—≥
—-〉
则BD＝（—2’2,0）,BE＝（—2,0’α）’AO≡（l ’l,α）
’
若OA上平面BDE,
→--》
—-广
ˉ--〉
｛嘉士器一｛撇二‖〈卿…懈得艘≡亿
则
所以球O的半径R满足2R＝√22＋22＋（2√面）2＝4’
故球O的表面积S＝4而R2＝l6∏.
故选B
°328
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l4O@O
｜
所以集合A∩B＝｛（1’2）
｝.
考点:四种命题的真假关系’全称命题’特称命题’命题的
｜
故选C.
真假判断与应用
｜
试题分析:根据交集的定义’写出不等式组解不等式组
试题解答:因为所有纺织工都是工会成员,所有工会成员
｜
即可.
都投了健康保险所以所有纺织工都投了健康保险’故@｜
2.C
｜
考点:复数代数形式的混合运算
正确;
因为所有纺织工都是工会成员,所有工会成员都投了健康
｜
试题解答;声—（l＋2『）（lˉ2i）ˉl二｛故选c
4i
保险’部分纺织工是女工’所以有些女工投了健康保险故
｜
试题分析:根据复数的运算即可得出答案
@正确;
‖
3.A
因为部分梳毛工是女工’没有一个梳毛工投了健康保险
!
考点;任意角的三角函数的定义
所以有些女工没有投健康保险’故o正确;
因为所有工会成员都投了健康保险所以下会的部分成员
｝
试题解答』因为角α的终边经过点′（÷,—÷）,所以…-
没有投健康保险是错误的’故@错误.
｛
3
｜
了’…＝÷’所以……-÷×（＿÷）＝ˉ÷
故答案为o@◎.
｛
故选A.
试题分析:要充分理解常见逻辑词的意义.
｜
试题分析:由三角函数的定义’得到cosα’tanα的值’再计
l5。9
｜
算结采.
考点;计数原理的应用
试题解答;由题意可知倒‘最翘路…数为3』‘刽‘
｜“粤点;等羞…判定〕等篷数列…公式
最短路径的条数为3’由乘法计数原理知’所求最短路径
!
试题解答:因为5侧″｜＝25 .5“〃＝52…’
的条数为3×3＝9ˉ故答案为9.
｜
所以α″十l＝α＂＋2’
试题分析:根据题意’依次分析从A到B的最短略径和从
｜
所以数列｛α＂｝是等差数列’且公差为2.
B到C的最短略径的条数’由分步计数原理计算可得
｜
因为α2＋α4＋α6＝9’
答案
｛
所以3α4＝9,所以α4≡3。
l6.旦
｜
所以log＋（α5＋α7＋α9）＝log÷3α7＝log十3（α4＋6）＝
4
｛
log上27＝-3.
考点:平面向量数量积的性质及其运算律’平面向量数量
｜
＋隐叶＾
叭…砖古:云＝ˉI＝（l＋2i）（lˉ2i）—l＝l.叭匹L.
试题分析:根据复数的运算即可得出答案.
A
考点:任意角的三角函数的定义
试题解答』因为角α的终边经过点′（÷,—÷）,所以…＝
3
了’…＝÷’所以……-÷×（＿÷）＝ˉ÷
故选A.
试题分析:由三角函数的定义’得到cosα’tanα的值,再计
算结采.
A
考点:等差数列的判定’等差数列的通项公式
试题解答:因为5α雁＋!≡25 。5α″＝52＋α＂’
所以α″＋l≡α网＋2’
所以数列｛α＂｝是等差数列’且公差为2.
因为α2＋α4＋α6＝9’
所以3α4＝9,所以α4≡3。
所以log＋（α5＋α7＋α9）＝log÷3α7＝log十3（α4＋6）＝
log上27＝-3.
故选A.
试题分析:由指数运算的性质可得出等差数列’利用等差数
列的通项公式即可得出.
C
考点:利用导数研究曲线上某点处的切线方程
试题解答:y＝如3的导数为y′≡3卵2,可得曲线γ≡勿3在点
（l ’l）处的切线的斜率为3’
由切线与直线α灯＋y＋l＝0垂直’
可得引（ˉα）-＿1,解得α＝÷
故选C.
试题分析:求出函数的导数,可得曲线γ＝卵3在点（l,l）处
的切线的斜率为3,再利用切线与已知直线垂直的条件:斜
率之积为—1,建立方程,可求α的值.
D
考点:由三视图求面积、体积
试题解答:由三视图可得,该几何体是＿个三棱柱与＿个圆
柱的组合体（如图所示）,
其体积V＝2∏×2＋l×2＝2＋4∏.
积的坐标表示、模、夹角
试题解答:不妨设P（-l ,0）’0（1’0）,
所以″（黑｀0）,
因为m≥3则瑞匡｜÷l）,
所以焉～揣≥3
设′（甄｀》）,所以｝撑｝｛:军＝,｀
即（绷ˉ;）〗＋广≤长,
因为点F在此圆内’
所以｜届｜m鳃＝2×旦＝三
4
2
,
所以÷≤2腮.胀≥÷,
所以故实数腮的最小值为÷
93
综合练习（5）
l.C
考点:交集及其运算
试题解答根搪题意可得｛｝二翼｜解得｛旦!
满足题意0≤如≤1,
0
5
~
〗
】
6
‖
~~~~
～≈
′
＼ˉ≥
故选D
329
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试题解答:令卯＝l,则26≡α0＋αl＋α2＋α3＋α4＋α5＋α6＝
64’令卯＝ˉ1’则（lˉl）6＝α0ˉα1＋（hˉα3＋α4ˉα5＋α6＝0,
两式相减得2（α1＋α3＋α5）＝64,
所以αl＋α3＋α5＝32.
故选B.
试题分析;分别取则≡l’-1求出代数式的值’然后相减『′『
可得解.
B
考点:双曲线的简单性质
试题解答;设双曲线的ˉ条渐近线方程为!＝÷赃,A（侧,
0）,P（厕｀呼）,（雕＞0）,山而二2而,可得0（2″′,孪）
~~／
b2
圆的半径为「- ｜′Q｜-『√7-咖÷,P0的巾点勾
试题分析:由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱
与一个圆柱的组合体,进而可得答案。
7.C
考点:程序框图
试题解答第—次执行循环体后,愿-÷’′＂＝÷,鹏-｜,满足
条件第—次执行循环体后,』二十｀刚-;,＂＝2,满足条
件第三次执行循环体后,』＝÷’′n-六｀＂＝3’满足条件,
第四次执行循坏体后,:二六,腮二士,＂＝4瞒足条件第五
次执行循环体后,＂-豆,刚＝雨,＂＝5’山下』＝士＝
l
l
0.03l25＜0.04,不满足条件’输出Ⅶ＝5.
故选C.
试题分析:模拟运行程序,即可得出结论.
8.B
考点:抛物线的简单性质
试题解答:由抛物线广＝4则’得焦点坐标为F（l ’0）’准线方
程为′2:狐＝ˉl’由抛物线定义知’P到直线』2的距离等于
P到抛物线焦点F的距离
故问题化为在抛物线广＝4卯上找＿点P’使得P到F的距
离和到直线／l :2xˉy＋2＝0的距离和最小ˉ
最小值为雁｜｜′｜…2≡0的距离即｜2浩｜≡竿
故选B
~
~
~
~
~
~
l1
｜
~
~
~
~
）
咖
—
″
’
矾
〕
—
∑
（
Ⅱ
由咽上′0.可得侧（3梁2α）
b
,
α
≡＝＿
解得佩-辜,′-等
｜αb｜
A到渐近线的距离为Ⅲ＝√Pˉ下〗可
2｀／严ˉ＝JT＝r’
d-争,即有业-互巫
c
2
3c
~~～
可得上＝沮
α
3
,
所以′√÷√÷三竿
故选B
~
~
~
~
~
~『
＝凹’则｜PQ｜
C
~
~
~
~
‖
‖
~~
勺
▲
｀
卜
么
‖′0
卜
恤
~
~
~
0
试题分析:由题意画出图形’把问题转化为在抛物线广＝4“
｜
上找一点P’使得P到F的距离和到直线』l ;2勿-γ＋2＝0
｜
的距离和最小’再用点到直线的距离公式求解.
9.C
考点:对数的运算性质,基本不等式
试题解答:因为lgα＋lg6≡lg（α＋b）,所以lgαb＝lg（α＋
｛
b）,所以αb＝α＋b’
因为α＞0』6＞0’所以α＋b＝α6≤（αib）2’即α十b≥4′当
｜
且仅当α＝b时取等号.
故选C.
试题分析:考查对数式的化简和基本不等式.
10.B
考点:二项式系数的性质
试题分析;设双陶线的-条渐近线方程为y-÷躯｀A（°｀
0）』P（′＂,呼）｀（腮＞0）,由向量共线的坐标表示’可得?
的坐标’求得弦长｜P0｜,运用中点坐标公式,可得PQ的中
点坐标,由两直线垂直的条件:斜率之积为-1,可得m＝
雾｀′-等,逗阔圃输弦长公式计算厦呵得到。…是
系’即可求出离心率.
A
考点:利用导数研究函数的单调性’利用导数求闭区间」二
函数的最值
l2
0
330
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｜÷,懂』｜上恒
｝
因为乙BDC＝∏-乙C—乙DBC’
所以么BDA＝乙C＋乙DBC’
所以cos乙BDA＝cos（C＋乙DBC）＝cosC。cos△DBCˉ
—ˉ—厄T
l
sinC. sin乙DBC＝2ˉ1Z×卫I△旦1×＿＝—
7
l4
7
l4
2
’
所以乙BDA≡ˉ互
3
’
设DC＝绷·BC＝α·
试题解答:由e÷＞购2＞0得坐＞2ln卯在卿匡
α
成立｀即÷＞午衙匡｜＋,曝2｜上恒成立
令∧蜒）＝午,腮匡｜÷,筐』｜,
则／′（卿）＝2（1ˉln“）
卯2
9
所以当躯匡｜÷,嚼｜时,f′（鳃）＞0,∧露）单调递增,
当鳃巳［e’e2］时’／′（如）＜0’／（厕）单调递减.
所以∧则）max＝∧e）＝且’
e
所以上＞∧e）＝旦’
α
e
所以0＜α＜÷
故实数α的取值范围足（0｀÷）
故选A。
试题分析:对条件式子’两边取对数’分离常数α’利用导
｜
函数研究单调性即可求解.
l3.200
考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
试题解答:因为成绩占～Ⅳ（l00’α2）’所以其正态曲线关于
｜
直线蛹＝100对称,
又因为成绩在80分到l20分之间的人数约为总人数
｜
的60％’
由对称性知;成绩任l20分以上的人数约为总人数的÷（l＿
｜
0.6）＝02＝20％,
所以此次数学考试成绩不低于l20分的学生约有:20％×
｝
1000≡200。
故答案为200.
试题分析:先根据正态分布曲线的图象特征’关注其对称
｜
性画出函数的图象’观察图象在80分到l20分之间的人
｝
数的概率’即可得成绩不低于l20分的学生人数的概率’
｜
最后即可求得成绩不低于l20分的学生数.
14.4
考点:函数单调性的判断与证明’对数函数的单调区间
试题解答:由题意’函数y＝lOg2则在（0’＋的）上为单调递
｜
增函数’又α＞1 ’且卯匡［l ’α］’所以当绷＝α时’函数／（则）
｜
取得最大值’即α＋log2α＝6,因为4＋log24＝6,所以α＝4.
｛
试题分析:由区间可知α＞l ’由对数函数的底数大于1可
｛
知函数／（嘶）单调递增,那么／（α）最大,即可得到答案
l5.
-4
考点:平面向量数量积的运算’正弦定理的应用’余弦定理
｜
的应用
试题解答;△佃C中,因为′＂.c-平c＂…c-垫互
剧
l4
’
｜
所以
·mC＝√lˉcos2C
＝警1’ 5｛Ⅻ△DBC
＝
｜
′
√｜—c赡…c-俘.
.331
在△BDC中,由正弦定理得Sin士DC
.in△DBC,
目二
。
2∏
“s垣二仍,
所以α＝
√21
l4
在△ABC中,AC＝3绷,BC＝｀／7宽’AB＝2’
所以…迎…ˉ‘ ］湍,解得曰所α
＝≡
二二
7
2α°3卯
AD＝2’CB＝√7’
—〉→
所以AD.CB＝2 .行. cos（打ˉC）＝2√7. （ˉcosC）＝
—2打孕-ˉ4
故填-4.
试题分析:利用同角三角函数的基本关系求得s1nC,
sin乙DBC,通过两角和公式求得cos乙B川,即得乙BDA’设
DC＝鳃,BC＝α.根据题意’利用正弦定理sin孟Dc
目二
sin亢BC以及余弦定理得知三角形边长』利尉乎面向量数
量积的运算’即可得出答案
÷丽b』“
l6寸而b么α
考点:类比推理
试题解答:椭圆的长半轴为α’短半轴为b’构造两个底面
半径为b’高为α的圆柱’然后在圆柱内挖去＿个以圆柱下
底面圆心为顶点’圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖眶原
理得出椭球的体积V＝2（V圆柱—V圆锥）＝2（∏×b2×α—
÷丽×脐硼）＝÷而0』“
故答案为÷丽b2“
试题分析:椭圆的长半轴为α,短半轴为b’构造两个底面
半径为b,高为α的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下
底面圆心为顶点’圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖啦原
理得出椭球的体积.
94
综合练习（6）
l°C
考点:交集及其运算
试题解答:求解二次不等式可得:B＝｜绷｜-l＜卯＜2｝’结合
题意和交集的定义可知:A∩B＝｛0’1
｝.故选C.
试题分析:首先由一元二次不等式的解法求出集合B’然后
根据交集的定义结合数轴即可得出结论.
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试题解答:由于函数的最小正周期为∏,所以（D＝2’即／（勿）＝
＂m（2x＋驴）涧左平移÷得到爵i＂（2叶竿十职）为奇酶数,
故芋＋鸥＝∏,职二÷｀所以′（蜒）-蓟＂（2卿骨）’／（舌）≡
＄m÷＝L故x＝舌为函数的对称轴
故选B
试题分析:由函数最小正周期为∏,结合周期公式求出@的
值’向左乎移后得到解析式’由其为奇函数得到甲’从而得
到∧卯）的解析式,再判断对称性.
8.B
考点:程序框图
试题解答:程序在运行过程中各变量值如下表:
输出结果
（如’γ）
″
则
y
循环前:
l
l
0
第l次:
（l ’0）
3
2
ˉ2
第2次:
（2’-2）
5
4
ˉ4
第3次:
（4’ˉ4）
7
8
ˉ6
第4次:
（8’ˉ6）
9
l6
ˉ8
｜
第5次:
（l6’ˉ8）
1l
32
ˉl0
｜
第6次:
（32,ˉl0）
｜
则数组中的卯＝32.
｜
故选B.
｜
试题分析:根据程序框图所示的顺序’逐框分析程序中各变
｜
量｀各语句的作用可知:该程序的作用是依次输出的（厕’γ）
｝
值,其中每一组有序实数对中,绷是每次变为原来的2倍,）
｜
每次减小2
｜
9.A
｜
考点;双曲线的简单性质
｜
试题解答:由题意’M为双曲线左支上的点,则｜MF1
｜
＝
‖
了, ｜哑1 ｜√‘』带（子）2.
｛
b2
b2
‖忘＋
｜
所以爵i＂△删F2F｜＝＋,所
＝—
2.D
考点:复数代数形式的乘除运算
试题解答:因为αˉl与2＋bi互为共扼复数’则α＝2’b＝l
’
｜
所以（α＋bi）2≡（2＋l）2＝3＋4i.
故选D.
试题分析:由条件利用共扼复数的定义求得α、b的值,即可
｜
得到（α＋bi）2的值
3.B
考点:等差数列的通项公式
试题解答:由题意得α4ˉ2α7＝（α3＋Ⅲ）＿2（α5＋2Ⅲ）＝
｜
α3-2α5—3d≡4-3×2＝-2.
｜
8
故选B.
试题分析:由题意可得α4ˉ2α7＝α3ˉ2α5ˉM’由此解得
｜
α4-2α7的值.
4D
考点:利用导数研究曲线上某点处的切线方程
试题解答;因为切线方程为γ-÷鳃＋÷则直线的斜率腮＝
｜
＋,根据导数的几何意义得j′（｜）二÷又点（l,′（l））在
｜
切线匆ˉ2γ＋l＝0上,所以／（l）＝l’所以／（l）＋吁′（l）＝
｜
l＋2×÷＝2
故选D。
试题分析:解决本题时’掌握函数在某点处的切线方程的求
｝
法,即可得出答案
5·C
考点:由三视图求面积、体积
试题解答:由三视图可知几何体上部为半径为1的球’下部
｜
为棱长为2的正方体所以几何体的表面积S＝4而×l2＋
｜
（
6×22＝24＋4∏.
故选C.
试题分析:几何体上部为球,下部为正方体·代入面积公式
｛
计算即可.
6.D
考点:空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平
‖
面之间的位置关系,平面与平面之间的位置关系
试题解答:由α’b是空间中不同的直线’α,β是不同的平
｜
面’知:在A中’α／／／b’6Cα’则α／／／α或αCα’故A错误;
｛
在B中’αCα’bCβ’α／／／β’则α与b平行或异面’故B错误;
｜
在C中’αCα,bCα’α／（／β’b／／／β,则α与β相交或平行’故C
｜
错误;
在D中’α／／／β’αCα’则由面面平行的性质定理得α／／／β,故
｜
D正确
故选u
试题分析:在A中,α／／／α或αCα;在B中’α与b干行或并
｜
面;在C中,α与β相交或乎行;在D中,由面面干行的性质
｛
定理得α／／／β.
7.B
考点:三角函数的周期性及其求法’正弦函数的对称性’函
｜
数y＝Asin（o卿＋甲）的图象变换
.332
｜
可得:2b4＝α2c2’即√Z2＝αc’又c2＝α2＋b2,
可得任2ˉeˉ徊＝0’
又e＞1’解得e＝徊
故选A.
试题分析;由条件″F｜上′』′2.舅in△″′』F｜-＋’列出关系
｜
式,从而可求离心率.
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l0.D
考点:二项式系数的性质
试题解答:因为展开式中只有第四项的二项式系数最大’
｜
所以几＝6,
展开式的通项为26ˉrC｛施ˉ6＋÷『
令—6＋÷′＝0,解得′＝4,
～
所以展开式中的常数项等于22C:＝60.
故选Dˉ
试题分析:先利用展开式中只有第四项的二项式系数最
｝
大’求出″＝6’再求出其通项’今″的指数为0’求出′’再
｜
代入通项即可求出常数项的值.
ll.C
考点:基本不等式在最值问题中的应用
试题解答:由／（m）＝2ln拒ˉ／（n）得／（m）＋／（＂）＝l＝
｜
2
2
2
＝1 -
｛
＋
＝l ,／（′Ⅶ″）
≡1
—
lnm＋l
l＋ln川
1＋lnmn
2
｜
2α＋2b十2‘＋2〃巨（98’l46）.
故选B
试题分析:根据分段函数的解析式画出分段函数的图象’
根据题意可得同一个函数值γ对应不同的四个自变量如,
可得到自变量″的取值范围’进而可得到参数α’b’c,〃各
自的取值范围,从而可得到题中所求的取值范围.
l3.
-2
考点:简单线性规划’简单线性规划的应用
试题解答:作出不等式组表示的可行域’为如图所示的四
边形OABC,且O（0,0）,A（0’l）,B（2’2）’C（4’0）.
》
）′
γ＝ˉαX＋z（α＞（））q~
B
＼
、｀
2
雕从
f
′
J
C／
尹可
≥3／nˉlO｀｀｀l
2
ˉlˉ
｀｀
ˉ2「
＼
ˉ3』ˉ
γ＝ˉαX＋z（α＜0）
由z＝α嘶＋γ得γ≡ˉα勿＋z,
2
｜
o当α＜0时’平移直线y＝ˉα卯＋z’结合图形得’当直线
l＋lnm＋lnn,
“圃为｜＂＂＋｜…＋2～［（h′』＋｜）＋…＋｜｛］
｜
慧饿刊蠕翼毯器艘鹏蟹僻
（ln羔｜
l＋;n＂）＝4＋2（l＋ln咖）＋2（l刊n＂上≥4＋
｜
翻当α＞0时,平移直线γ＝ˉ…结合图形得,当直线
＋
1＋ln几
l＋ln′∏
｜
经过点O（0’0）时’直线在γ轴上的截距最小’此时恿取得
4＝8’
2
｜
最小值’且zmin＝0’不合题意.
l＋l＂″＂″≥÷,且测,＂≥
｝
所以ln′l＋ln′n≥6,／（′n″）＝lˉ
｛
综上得α＝ˉ2.
°’所以ln″＋ln厕＞0’∧厕″）＝lˉ
＜l’所以
｜
故答案为ˉ2
2
1＋lnm＋ln几
｜
试题分析:由约束条件作出可行域’化目标函数为直线方
÷≤′（咖＂）＜l,
｝
霍的斜截式｀对α分类后数形缮合得到最优解,把最优解
｛
的坐标代入目标函数即可求得α值.
故选C.
试题分析;本题主要考查不等式中求最值的问题』思维的难
｜
l4√可ˉ｜
度较大,主要根据已知条件进行转化,由／（m）得到／（咖）＋
｜
考点;等差数列与等比数列的综合
／（″）’再得到∧m′!）’然后再根据对数的性质进行求解.
｜｜
试题解答:由题意得αl＋2α2＝α3 ’αl （1＋2q）＝αlq2,q2ˉ
‖
2〃＿｜-0｀义各项挪是眶数,所以′＝孕＝｜＋徊’
l2.B
考点:分段函数的解析式求法及其图象的作法’函数的图
｜
象’函数的值
｛
αl3＋α｜4＝上＝√5ˉl.故答案为徊—l.
α14＋αl5
q
试题分析:由条件得到关于公比q的方程,求出q,再求式
于的值.
15.徊
考点:直线与圆相交的性质,直线和圆的方程的应用
试题解答:圆化为标准方程为加2＋（γ-α）2＝2＋α2,圆心
（0.·）｀半径为′二√五歹圆心到直线的距离′-岩’所
∩
以2＋硼2二÷＋3.解得鳃-徊
故答案为徊
试题分析:将圆化为标准方程,得到圆心坐标和半径’求出
圆心到直线的距离,由圆的半径,圆心到直线的距离’半弦
长构成直角三角形求解,
试题解答:如图所示,
〗
】
6
∑
｜
卜
□
「
○
∑
‖
‖
不妨设α＜b＜c＜d’由2ˉ2α＋l＝2b＋l ˉ2’得2α＋2b＝2’
｜
结合图象可知’c＋〃＝1l.又因为要满足／（α）＝／（b）＝
｜
∧c）≡／M）’则0＜如2-ll觅＋30＜2’
解得4＜卯＜5或6＜躯＜7’所以c匡（4’5）’‘巨（6’7）’则2‘＋
｜
2棚-2.带2＂—‘-2.命令g（h）＝』带半（｜…32）,可
｜
知g（t）在（l6’32）上单调递减’故2‘＋2d巨（96’l44）’则
｜
.333
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｛
所以α1-α2-α3ˉα4＝αl-（α1＋Ⅲ）-（αl＋2（／）-（α1＋
｜
3‘）＝-2α1—6Ⅲ＝—2＋l8＝l6
｜
故选D.
｜
试题分析:由等差数列的两个条件求出公差’求出目标式
｜
的值.
｜
4B
｜
考点:函数γ＝Asin（@则＋甲）的图象变换
｜
试题解答:令γ＝／（卯）＝sin（2＂＋@）
’
｜
则／卜÷）二瓢＂｜2（叶;）＋帜｜二蓟n（2塑＋?＋帜）
｜
因为（鹏＋;）为偶啸数,
｜
所以矛＋职＝肺＋÷’
｜
所以帜＝肺＋矛肉匡z,
l6。45
45
2
考点:古典概型及其概率计算公式
试题解答:袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的
白球,这9个球的大小及质地都相同,现从该袋中随机摸
取3个球,则这三个球中恰有两个黑球和＿个白球的方法
总数是n＝C:C』＝45.
设摸取的这三个球中所含的黑球数为X’则X的可能取值
为0’l’2,3,
…）～:ˉ☆
C↓C;
l8
P（X＝l）＝—6丁＝丽』
C:C』
45
P（X＝2）＝＿6丁＝丽,
C:
20
P（X＝3）＝司＝丽,
所以P（X＝∧）取最大值时’内的值为2.
故答案为2.
试题分析:利用组合知识能求出从该袋中随机摸取3个
球,则这三个球中恰有两个′翼球和一个白球的方法总数;
设摸取的这三个球中所含的黑球数为X’则X的可能取值
为0,l,2,3,分别求出相应的概率,从而能求出P（X＝附）
取最大值时片的值.
95
综合练习（7）
所以当附＝0时,帜＝矛
故职的一个可能的值为矛
故选Bˉ
试题分析:利用函数γ＝ASin（@如＋@）的图象变换可得函数
γ＝sin（2x＋帜）的图象沿“轴向左干移÷个单位后的解析
式,利用其为偶函数即可求得答案
C
考点:复合命题的真假,命题的真假判断与应用
试题解答!命题′;“〕甄＂霍R｀六＜o,的霍淀是.γ疟Ⅲ
古＞0或鳃二l』｀;
故命题p为假命题;
命题q: ‘‘则＞20l9”的一个必要不充分条件是“厕＞20l8,,
’
故命题q为真命题’
所以只有C选项正确.
故选C.
试题分析:先判断命题p’q的真假’结合复合命题真假之间
的关系进行判断即可.
C
考点:程序框图
l
l
试题解答该程序框图的作用是求志＋x尹歹∏＋≡＋
l
l
l
2l÷22的值而孟＋环＋和护…＋2l×22
＝
（l—÷）＋（÷—＋）＋（十—＋）＋~~ ~＋（六—壶）＝盖
故选C.
试题分析;滞雕程序框图,它的作删是求志＋☆＋志＋…＋
2l÷22的值.用裂项法迸行求和,可得维采
‖
‖
5
~
~
~
~
~
l.A
考点:复数的基本概念
试题解鲁由2霞＋｜-2｛’得舅-—÷＋j,
所以烹＝—＋ˉ煎
故选A。
试题分析:先求出z,根据共扼复数的定义,求出z的共扼复
‖
数即可.
2。C
考点:交集、补集的混合运算
试题解答;由题意得B-｜绷｜2蜒—3≥0｝＝｛鹏｜露≥÷｝,
｝6
所以!‘E-｛鳃卜≤÷｝,
所以」∩（0‘B）≡｛露
｜］…÷｝-（!,÷）
故选C.
试题分析:先解出B,然后进行交集｀补集的运算即可,
3。D
考点:等差数列的通项公式
试题解答:等差数列｛α厕｝中,αl ＝l ’α3＝ˉ5所以公差（／＝
α3-αl＝—3.
2
‖
334
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7.B
考点:简单线性规划
试题解答:由题得’不等式组对应的区域为如图所示的开放
｜
区域（阴影部分）当直线γ＝ˉ2卿＋z经过点C（0’1）时’直
｜
线的纵截距z最小’所以z＝2施＋γ的最小值为2×0＋l＝l.
｜
元素的全排列’共C;A;种方法’再从中排除数学、理综安
排在同＿节的情形’共A;种方法’故总的方法种数为
C;A;ˉA;＝36ˉ6＝30.故选C.
试题分析:先从4个中任选2个看作整体,然后做3个元
素的全排列,从中排除数学｀理综安排在同一节的情形,可
得结论.
ll.A
考点:轨迹方程’平面与平面之间的位置关系
试题解答:连接A1P’由题意知AlA上AP,因为PE上Al（〕,
且R4≡PE,
所以△AlAP兰△A1EP,
所以A1A＝AlE,即E为定点ˉ
因为PA＝PE,
所以点P位于线段AE的中垂面上,
又点P在底面上,
所以点P的轨迹为两平面的交线’即点P的轨迹是线段
故选A.
~
~
~
~
~
‖
—
］
勺
＝
~
ˉ］
X
‖
故选B·
试题分析:正确作出可行域’再乎移直线γ＝-2见＋z,找到
其纵截距最小时的点即可得到答案.
8.A
考点:正弦定理’解三角形
试题解答:要求b的范围’首先用正弦定理建立＿个关系’
｜
b
百II「I—5而＿志,从而b＝2…,闲此我们只要确定出
｜
α
A｜
／
仆
｜｛＼
B｜
C［
万
丫
｀
｀
｀
飞
仆
存
｀
‖
｀
＝
↓
＝
矽
↓
』
｀
上
』
妨
咕
‖
｀
‖
｀
｀
‖
皿
〗
◇
□
■
】
■
■
■
｀
□
β
□
‖
『
‖
□
□
□
】
□
『
℃
』
纫
旦
伊
份
~
~
‘
尸
卢
沪
仿
尸
夕
｜D
｛的取值范围,就可求出b的取值范围了由题意得:＜
j≥≥
B｜′′.
卫
］／
…二M＜丽,所以苦＜A＜÷又2删＜÷,所以A＜矛,所
｜
试题分析;由P…｜‘于肚,且PA二′E’得到点E是定
以有÷…子,?＜…＜亨,所以徊…厄故选A」点,然尉…二″,得到…于…中…上.从
｜
而得到点P的轨迹.
9.D
｜
l2.C
考点:圆的切线方程,直线与圆的位置关系
｜
考点:平面向量的基本定理及其意义
试题解答:因为｜AB｜＝8’所以圆心（ˉ1’2）到直线／的距离
｜
试题解答:建立如图所示的坐标系’则A（0,0）’B（2’0）,
‘十＿（孕「≡］因为直线′绎过点（—4｀0）｀当直绚′（0,1）｀c（2,2）｀圆（2〕｜）』′（1’÷）
〕
′斜率不存在时直线′的方程为狮＝ˉ4’此时圆心（ˉl’2）
｜
P（cosα,Smα）（0≤α≤叮）
’
到直线』的距离为3,符合;当直线′斜率存在时,设直线′
｜
由丽二∧届＋顾得′
的方橇为Ⅱ…斜）则有‘≡黑｜≡3解得腮～ˉ旦
｜
｜2
｜
（…,咖α）＝入（2.］）＋腆（ˉl,÷）
所以直线′的方程为γ-＿i（鳃＋4）,即5x＋l2γ＋20-0
综上可得’直线／的方程为如＋4＝0或5卯＋12γ＋20＝0.
故选D.
试题分析:分类讨论’当直线／的斜率不存在时’求出直线／
的方程,当斜率存在时,由弦心距、半弦长｀半径三者间的关
系可得弦心距等于3’解出儿值,即得直线l的方程.
l0.C
考点:排列｀组合的实际应用
试题解答:由于每科＿节课’每节至少有＿科’必有两科在
同一节,先从4科中任选2科看作＿个整体’然后做3个
＝…＝2入—′‘,…＝入＋和
～
＝入＝;…＋十颤…二÷瓤nα—丁…,
l
所以2人—5腆＝2（;…＋＋爵mα）—5 （÷瓢nαˉ
丁…）＝—2（郡nα—…）＝ˉ2√ibin（α—哥）
闲为α—子匡｜—矛｀￥｜,
所以ˉ2伍m（α—于）匡［—2徊｀2］
’
335
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甲
考点:简单的合情推理
试题解答:若甲做对了’则甲乙说错了’丙说对了’符合
题意;
若乙做对了’则乙说错了’甲丙说对了’不符合题意;
若丙做对了’则丙说错了’甲乙说对了’不符合题意;
因此做对了的是甲.
故答案为甲
试题分析:分别假设三人做对了,分析三人所说的对与错,
l5
即2人—5队的取值范围是［ˉ2√Z2］
故选C
Ⅳ
C
‖
‖
∧
‖
Ⅳ
｜A
M
B
试题分析:建立如图所示输坐标系’贝M（0,0）′″（2』0）,
｜
厕｜只有当甲做对了时,甲乙说错了｀丙说对了.符合题意
D（0’l）,‘（2｀2）』E（2,l）,F（l,÷）｀P（…,爵inα）（0≤
｜l6x＝＿l或绷-÷
‖
考点:有理数指数幂的运算性质’有理数指数幂的化盯
—〉
ˉ-〉
＿〉
α≤∏）,由AP＝入AE＋队BF得,
｜
求值
（…,爵mα）二M2｀l）＋腆（ˉl’÷）,人,腆阔参数α迸行
｜
试题解答;鳃＜l时.0＜2Ⅱ＜2,
｜
当腮＜0时｀0＜2露＜｜,则［2蓟］二0,所以（2篮）」ˉ÷二0,所
表示,利用辅助角公式化简’即可得出结论·
l虱∏÷
｜
以躯-ˉ｜;
｜
当0≤则＜l时,l≤2则＜2’则［2瓤］＝l’所以（2颠）2ˉ2＝（）’
考点:由三视图求面积｀体积
试题解答;由二视图得到几何体直观图如图根据图中数
｝
所以鳃二÷
据得到几何体的体积为＋而×l:×2＋＋×十×2×2×
｜
故答案为绷＝ˉl或x-÷
｜
试题分析;对”分类讨论得到［2篡］的值,从而得到方程
2
1＝∏＋丁.
｝
的解.
故答案为饰＋÷
96
综合练习（8）
‖
l·C
｜
考点:交集及其运算
｜
试题解答:由题意可得M＝｛厕｜厕＞ˉ2｝’Ⅳ＝｛γ｜γ＞ˉl
｝
,
｜
所以″□Ⅳ＝（ˉ2’…）.
｜
故选C.
｜
试题分析;求出M中加的范围’求出″中γ的范围’分别浦
｝
定出M与Ⅳ,找出两集合的并集即可.
｜
2.D
｜
考点:复数代数形式的乘除运算
ˉ3＋i
（ˉ3＋i）（l＋i）＝ˉ3＋lˉ3i＋i2＝
｜
试题解答:z＝lˉi
＝—「］二i）（l＋i）
1—i2
试题分析:由三视图得到几何体为半个圆柱与一个三棱锥
｜
的组合体’根据图中数据计算体积.
l4石
考点:抛物线的简单性质’双曲线的简单性质
试题解答:抛物线卿2＝4γ的焦点为（0’l）
,
双曲线c;莆卡二l（“＞0,b＞0）的—条渐近线为h绷＋
｜
αγ＝0,
则焦点到渐近线…‘万÷J丁-粤,
-4-2i＝-2—j
2
所以复数愿＝寸兰i的共扼复数为ˉ2＋i
故选D.
试题分析:利用复数的代数形式的乘除运算法则先求出复
数z,由此能求出z的共扼复数.
3.C
考点:程序框图
试题解答:初始值〃＝l（）,卯＝2,程序运行过程如下所示:k≡
9,0＝l0×2＋9’k＝8’0＝l0×22＋9×2＋8,
即有b2＝4α2’则c2＝5α2,
即有双曲线的离心率为怎
故答案为√互
试题分析:双曲线中C2＝α2＋b2’抛物线焦点在y轴上为
｜
b
（0,l）,双曲线的渐近线的方程为y＝±—卯.
α
336
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∧＝0,〃＝9×2ll＋2’k＝—l ’跳出循环’输出″的值为9×
｜
2l1＋2.
故选C.
试题分析:由题意’模拟程序的运行’依次写出每次循环得
｜
到的附’〃的值’当府＝ˉl时,不满足条件胀≥0’跳出循环’
｜
输出U的值.
4B
考点:由三视图求面积｀体积
试题解答:如图所示’该几何体为四棱锥PˉABCD.侧面R4B」ˉ
｜
底面ABCD’底面ABCD为矩形’过点P作PE上AB’垂足为
｜
点E,AE＝l ’BE＝2’AD＝2’PE＝4
该几何体中最长的棱长为PC＝｀／J豆—豆页＋22＝2伍
故选B.
d
E
月
7.B
考点:二项式系数的性质
试题瞎:二项式（缠—＋）‘的展开式中卯｜＝蜗ˉ（＿＋）′-
（ˉl）′C6绷6ˉ2『,令6ˉ2厂＝-2’解得厂＝4
所以贴＝C:卯ˉ2’所以″ˉ2的系数为C;＝l5.
故选B.
试题分析:利用通项公式即可得出.
8A
考点:同角三角函数间的基本关系,两角和与差的正弦函数
试题解答;由诱导公式得…＝ˉ＋＜0’膛＂鼠β≡÷≥0,故
α为钝角,β为锐角｀且…＝√］＿画舅奥I二竿′鼠狮β＝
√1ˉ删＝亨.嚣m（“十β）二嚣…β辈…舅i＂β二乎×
÷＋（—＋）×亨二4气ˉ直故选A
试题分析;首先利用诱导公式化简求出Cosα、cosβ的值,由
同角三角函数的基本关系式分别求出sinα｀sinβ的值’把
数值代入到两角和差的正弦公式求出结采即可。
9.A
考点:简单线性规划
0
0
｜沪～～～＝ˉ
Dkˉˉˉˉˉˉ。
~
≈
C
≈≈
~
~
~
~
~
试题分析:如图所示’该几何体为四棱锥PˉABCu侧面R4B上
｜
底面ABCD’底面ABCD为矩形’过点P作PE上AB’垂足为
｜
点E’AE＝l’BE＝2,AD＝2’PE＝4.
5.C
考点:等比数列的性质
试题解答;由题得″＝器:＝苦＝2’
所以αl ×22＋αl ×25＝l8,
l
所以αl＝丁’
因为α片＝32,
所以＋×2附ˉ｜≡2庶ˉ2＝32＝25 ,
所以∧—2＝5,
所以A＝7.
故选C,
试题分析:两式作商可求q.
6B
考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
试题解答:因为随机变量X服从正态分布Ⅳ（〃,α2）,P（〃-
｜
2α≤X≤队＋2°）＝0.9544,P（〃—α≤X≤以＋α）＝
』
0。6826’仙＝4,口＝l
’
所以P（2≤X≤6）＝0.9544’所以P（X＞6）＝P（X＜2）＝
｜
十（lˉα9…）＝α022a
故选Bˉ
试题分析:根据变量符合正态分布,和所给的〃和α的值’
｜
根据3α原则,得到P（2≤X≤6）≡0.9544’又P（X＞6）≡
｛
尸（x＜2）二÷｜｜ˉ′（2≤Ⅱ≤6）｜,:阿得到缝采
·337
｛｝垂》……Ⅷ
试题解答:作出不等式组
ˉ5ˉ4ˉ
~二§［／~~
＼
变形目标函数z＝3厕ˉy可得y＝3厕ˉz’平移直线y＝3卯可
知:当直线经过点A时,直线截距最小,z取最大值’由
｛洼碘解得』｛叶2｀2）,
代值可得3α＋6ˉ2＝7,解得α＝l.
故选A.
试题分析:作出可行域’变形目标函数,乎移直线可得z的
最值,可得α的方程,解方程可得.
10.B
考点:双曲线的简单性质
试题解答!双曲线莆ˉ盖-｜（α≥0｀b＞0）的渐近线刀程
为y＝±上厕,由oF的垂直平分线为腮＝÷,将躯二÷’代
α
人′＝上鳃则γ-贵,
α
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（0’＋的）时’令γ＝2绷ˉln卯’则γ′＝2—」—＝丝二」’当卯匡
〕『
卯
（0,÷）时’γ′＜0｀》递减当鳃匡（＋,＋瞬』）时.γ′＞0,｝递
增｀则γ恤＝｜ˉ!n＋二l＋ln2＞0则当砸匡（0.＋唾）｜仆,
恒有2腑—ln则＞0,令g′（则）＝（）’得如＝l或腮＝e,且刃三
（0,l）时’g′（绷）＜0,g（卿）递减;鳃巨（l ’〔!）时,g′（鳃）＞（）’
g（卯）递增;卯巨（e,＋的）时,g′（x）＜0,g（熊）递减,则g（』
）
的极小值为g（1）＝l,g（腮）的极大值为g（e）≡—兰
l
e-l
e
,
结合搁数图象可得实数α的取值范圆是（l.占＿÷）时,
y-侧勺g（蜒）二岗∏ˉ竿的图象有三个不同的交点,b
′
C
bC｀
则交点坐标为″（丁’万）′
…≡A…ˉ…≡崖尝｜
｝
＝
■
α
二｜OF｜＝等′
7
3
解得2c＝3b＝3｀／5T＝了’即9α2＝5c2’
则双曲线的离心率e＝二＝1ˉ△
α
5
故选B
试题分析:求得交点坐标’利用点到直线的距离公式’即可
｜
求得α,c的关系式’即可求得双曲线的离心率.
D
考点:球的体积和表面积
试题解答:如图所示’设过AB作互相垂直的两个平面α,β
截该球所得的两个截面圆分别为圆O1 ,O2’半径分别为
l］
则
ˉlⅡ—卫’卯巨（0’ ＋。°）有3个不同解’函放
｛
程α≡冗—ln卯
卯
2
｜
∧财）＝α厕＋ln则ˉ—塑＿有三个不同的零点’所以α的权
卯-ln％
｜
值范围是（l ’六＿÷）
｜
故选A.
｜
试题分析:分离变量得α＝g（则）’再利用导数求得g（则）为
｜
极值’进而求解.
｛
l3. l5
｜
考点:平面向量的坐标运算
-→
—今
｜
试题解答:因为在平面四边形ABCD中’AC＝（l ’3）’BD＝
｜
（9’ˉ3）
’
—〉—〉
—≥
—广
—〉
~—≡
｜
所以AC.BD＝9-9＝0,所以AC上BD, ｜AC｜＝√l＋9＝
→
√∏’ ｜BD｜＝√∏Iˉ丙＝3√I∏’
‖
所以四边形ABcD的面积为s二＋×门j×3√∏＝l5
▲
｜
故答案为l5.
—〉
—〉
—〉
-一个
｜
试题分析:由已知得｜AC｜＝√∏’ ｜BD｜＝3 ｀／I∏’AC上B9’
由此能求出四边形ABCD的面积.
｜
l4（则—2）2＋（γˉl）2＝5
｜
考点:圆的标准方程
｛
试题解答:根据题意’直线／:绷＋2γˉ4＝0与坐标轴的交点
｜
为（4’0）
’ （0’2）,经过O’A’B三点的圆即△OAB的外
｝
接圆,
｜
又由△OAB为直角三角形’则其外接圆直径为｜AB｜’圆心
｜
为AB的中点,
｜
则有2′＝√（可＝∏）2＋（0ˉ2）2＝2行,即『＝√了,
｜
圆心坐标为（2,l）
,
｜
则圆的方程为（狐ˉ2）2＋（y—l）2＝5~
｜
故答案为（躯ˉ2）2＋（γˉl）2＝5.
｜
试题分析:根据题意’求出直线与坐标轴的交点坐标,分析
｜
可得经过αA、B三点的圆的直径为｜AB｜’圆心为AB的中
｜
点,求出圆的半径与圆心’代入圆的标准方程即可得答案
｜
l5. 150
｜
考点:解三角形的实际应用
338.
｛震‖隐＝哑…ˉ
rl ,厂2,球半径为R’则有
2R2ˉ（角＋危）.
又因为α,β截该球所得的两个截面的面积之和为l6∏’所
以∏′;＋∏邑＝l6订＝吊＋危＝16’
所以OO｝＋OO;＝2R2ˉ（斥＋危）＝2×（2何）2ˉl6＝8.
因为OH2＝OO｝＋O（）;＝8’所以AB＝2√R2ˉ（）H2＝4.
故选D
试题分析:设过AB作互相垂直的两个平面α’β截该球所
得的两个截面圆分别为圆Ol ,O2,半径分别为厂l ,r2,球半
径为R’
测哺｛隐＝‖耀ˉ″u｛—″‘…ˉ（耗（
由qw｝＋而危＝16∏＝厅＋危＝l6’
由OH2＝OO;＋OO;＝8’得AB＝2√R2ˉOH2＝4
A
考点:利用导数研究函数的极值
2
试题解答:函数／（冗）＝α如＋ln鳃- “乡ln蜒有三个不同的零
卯
—l卫-王’卯巨（0’＋。°）有3个不同解’
点,等价于α≡卯-ln卯
卯
卯
ln％
令g（z）
≡
—,见e（0,
＋°。
）,则g′ （如）
＝
卯-ln卯
卯
l＿ln虹
l—ln鳃
ln卯（l-ln“）（2虹一ln卯）.当撕e
吕＝
∏二ln躯）2
卯2
z2（卯—ln如）2
l2
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试题解答:在Rt△ABC中,乙“B＝45。’BC＝l00m’所以
AC＝l00徊m.在△AMC中’乙M4C＝75。’乙MCA＝60°’
从而乙AMC＝45。’
由派弦定理褥｀爵羔.
§湍.,因此咖-l00灯‘＂
目＝
在Rt△侧中,咖＝l＂旧m,△州″＝60·’由器＝瓢＂刨窿’
得M｀′二｜00√了×粤＝Ⅲ50m
△
故答案为l50,
试题分析:由题意’可先求出AC的值,从而由正弦定理可
求AM的值’在Rt△MⅦ中’AM＝l00何m’乙MAⅣ二60。’
从而可求得M＼／的值.
l6·2Ⅶ＋l
考点:数列递推式
试题解答:由4S″二（α″＋3）（α厕—l）＝α:＋2α厕ˉ3’可知
4S＂＋l＝α:＋｜＋2α厕＋lˉ3’
两式相减得α:＋lˉα;＋2（α″＋lˉα″）＝4α″＋』
,
即2（α＂＋l＋α″）＝α:＋｜ˉα:＝（α″＋l＋α厕）（α″＋lˉα″）
’
因为α″＞0,所以α″＋l-αn＝2,
又因为α｝＋2α｜＝4αl ＋3’
所以αl ≡—l（舍）或α1≡3,
所以数列｛α网｝是首项为3’公差Ⅲ＝2的等差数列,
所以数列｛α＂｝的通项公式α＂＝3＋2（″ˉ1）＝2″＋1.
故答案为2n＋L
试题分析:把已知数列递推式变形’可得4S＂＝α:＋2α″ˉ
3’进一步得到4S″＋l＝α:＋l＋2α则＋l —3’两式作差可得数
列｛α″｝是首项为3’公差〖＝2的等差数列’则数列通项公
式可求。
考息:致夕‖通推式
‖
3。B
｜
考点:由三视图求面积、体积
｜
试题解答:由三视图可知:该几何体为三棱锥PˉABC’其中
｜
Rl上底面ABC’AC上BC则该几何体的最大棱长为PB＝2’
｛
为外接球的直径
｜
所以该几何体的外接球的体积V＝4∏×l3＝4∏
3
3
｜
故选B.
尸
‖
B
l
C
试题解答;由4S″二（α厕＋3）（αnˉl）＝α:＋2α＂ˉ3’可知
｛
试题分析;由三视图可知;该几何体为三棱锥PˉABC’其中
4S＂＋l＝α:＋｜＋2α厕＋lˉ3’
｜
PA上底面ABC’AC上BC’则该几何体的最大棱长为PB’为
｛
外接球的直径.
两式相减得α:＋lˉα;＋2（α″＋lˉα″）＝4α″＋』
,
即2（α″＋l＋α″）＝α:襟｜ˉα:＝（α″刊＋α″）（α＂刊ˉα＂）
’
｝4B
｜
考点:频率分布表
因为α″＞0,所以α″＋l-αn＝2,
｛
试题解答:根据题意得’样本中数据在［20’60）上的频率为
又因为α｝＋2α｜＝4αl ＋3’
｜
0.8,
所以αl ≡—l（舍）或α1≡3,
｜
所以样本数据在［20’60）上的频数为30×0.8＝24’
所以数列｛α网｝是首项为3’公差Ⅲ＝2的等差数列,
『
所以样本在［40’50）
’ ［50,60）内的数据个数共为24ˉ4ˉ
所以数列｛α＂｝的通项公式α＂＝3＋2（″ˉ1）＝2″＋1.
｛
5＝l5.
故答案为2n＋L
｛
故选B
试题分析:把已知数列递推式变形’可得4S＂＝α:＋2α″ˉ
｜
3迸—步得到4s州二鹏:…2α州ˉ3.溺式作羞可得数
｜
试题分析;↑…率-样繁量.求出样本数撼灌［20,60）
列｛α″｝是首项为3’公差〖＝2的等差数列’则数列通项公
｜
上的频数’再计算样本在［40’50）’［50’60）内的数据个数.
式可求。
｛
5.A
｜
考点:椭圆的简单性质’双曲线的简单性质
97
综合练习（9）
｜
试题解答:设｜AB｜＝2c,则在椭圆中’有c＋伍＝2α’上＝
A
el
考点:交集及其运算
—＝
试题解答;阔为集合川-｜鞭巨z｜鞭Ⅺ＜训＝｜—］,0,｜｜,周＝
｝
:竿,而在双曲线中.有任ˉ‘-2‘.上-丛卫—｜
e2
C
2
,
｝
所以上辩上-l上区十卑-杠
｛腮｜x＞ˉl
｝
’
el
e2
2
所以A∩B＝｛0,l
｝.
｜
故选A.
故选A.
懈析;…集合伸…利侧……“
｜露憋瓣糕旗渊′滤蹦斑
｛
质,求得α和c的关系式,求得双曲线的离心率’然后求得
B
‖
二者离心率倒数和
考点:复数的基本概念
｜
6.D
试题解答;氮-盖-2≡i』-ˉ!（2带〕）- !
2
5
了ˉ了l’
‖
考点:循环结构
｛
试题解答:由算法的流程知,
故:的实部与虚部之差为＋ˉ（÷）＝÷
｜
第—次运行,A＝2×0＋l＝l ’j＝1＋l＝2;
故选B.
｜
第二次运行’A＝2×l＋l＝3’t＝2＋l＝3;
试题分析:利用复数的运算法则｀实部｀虚部的定义即可
｜
第三次运行’A＝2×3＋l＝7,j＝3＋l＝4;
得出.
｜
第四次运行’A＝2×7＋1＝l5,j＝5;
.339.
］
勺
▲
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因为｜AB｜≡｜A1B｜,所以C是Ml的中点.
设｜BB］
｜≡α,则｜AA1
｜＝2α,
所以｜AB｜≡｜AAl
｜＋｜BBl
｜＝3α.
所以…-…酗c＝册-＋,所以…～2徊,
由抛物线的对称性可知当A在第四象限时’tanα＝ˉ2√2
所以直线AB的斜率为±2亿
故选B.
第五次运行’A＝2×l5＋l＝3l’j＝6;
第六次运行’A＝2×3l＋l＝63’′＝7;满足条件j＞6’终止
运行’输出A＝63’
所以A＝l＋2＋22＋…＋25＝1ˉ二21＝26ˉl＝64ˉl＝63.
l—2
故选D.
试题分析:根据算法流程’依次计算运行结果’由等比数列
的前n项和公式’判断程序的功能ˉ
7.D
考点:函数奇偶性的性质,函数的周期性’任意角的三角函
数的定义
试题解答:因为定义在R上的偶函数／（幻）满足／（如）＝／（绷＋
2）当憨匡［3,5］时,′（赃）-（甄—4）2,所以′（÷）＝j（ˉ十）＝
‖4＿÷）＝′（÷）＝（÷ˉ4）2-÷.义因为蔚m哥＝粤,
十≤粤.′（＋）＜爵i＂÷,
故选D
试题分析:由在R上的偶函数／（豹）满足／（腮）＝／（卯＋2）即
周期为2,则／（÷）-／（÷）』由解析式求出值』再与※｜＂号
比较。
8。A
考点:简单线性规划
｛｛荤｜…
试题解答:作出变量卯’γ满足约束条件
面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A（ˉl,2）,B（l
’
0）,C（3’2）
,
由g＝3z＋γ,得y≡-3虹＋z,
平移直线γ＝—3虹＋z’由图象可知当直线γ＝-3则＋z经过
点A时,
直线γ＝ˉ3卿＋z的截距最小,目标函数z达到最小值’
所以zmin≡—3×l＋2＝-l.
故选A.
~
~
~
V」
么-
‖
C
d｜
＼
＼
＼
／
门
二
勺
叁
~
h
O
x
‖
B］
／
～
｜
试题分析:设A’B到准线的距离分别为2α’α’由抛物线的
｝
定义可得｜AB｜≡3α,利用锐角三角函数的定义即可得出』i
｜
线AB的斜率.
｜
l0.B
｜
考点:余弦定理的应用,三角形中的几何计算
｜
试题解答;由题意』根据三角形面积公式,得÷α腿inC＝
▲
｜
§旧,即＋″,粤二’灯解得“＝4,根搪余撼定理得
｝
‘2≡α2＋02—2°』c。sC’即c2＝l6十25ˉ2…5×÷,
←
｜
c＝｀／页T’所以△ABC的周长为9＋｀／面T
｜
故选B.
｜
试题分析;根据三角形的面积公式可求出α’利用余弦定
｜
理求出c的值后’即可求解△ABC的周长.
｜
ll.C
｜
考点:球的体积和表面积’球内接多面体
＿≥—≥
｜
试题解答:平行四边形ABCD中’因为AC.CB＝0’
｜
所以AC上CB’
｛
沿AC折成直二面角DˉACˉB’所以平面DMˉL平面ACB,
｜
三棱锥DˉACB的外接球的直径为DB,
｜
所以BD2＝AD2＋AC2＋BC2＝2BC2＋AC2＝4,
｜
所以外接球的半径为1,
｜
故表面积是4∏.
｜
故选C.
—沪→
｜
试题分析:由已知中AC.CB＝0’可得AC上CB’沿AC折成
｜
直二面角DˉACˉB,平面DAC上平面ACB’可得三棱锥
ˉ-→
--》
｜
DˉACB的外接球的直径为BD,进而根据2BC2＋AC2ˉ4
＝0,求出三棱锥DˉACB的外接球的半径,可得三棱锥
｝
DˉACB的外接球的表面积
340.
｜」
／
勺
＝
、
—
』
＼
试题分析:作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的
知识,通过乎移即可求z的最小值.
9.B
考点:抛物线的简单性质
试题解答:设A在第＿象限,直线AB的倾斜角为α·过B作
准线的垂线BBl ,作Ml的垂线BC,
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l2°A
试题解答:因为／（卯）＝上上ˉ生ˉ二则2＋4绷ˉ3
‖
4卯2
卯
4
4卯2
十—＝
｜
（卯ˉl）（卯-3）
4卯2
易知’当”巨（0’l）时′（躯）＜0’当厕匡（l’2］时′（躯）＞0’
｜
所以／（″）在（0’l）上单调递减’在（l’2］上单调递增’
故∧鳃）咖＝／（l）二÷
对于二次函数g（卿）＝ˉ卯2—2α卿＋4’易知该函数开口
｜
向下’
所以g（卯）在区间［1’2］上的最小值在端点处取得’
即g（狮）min＝min｛g（l）’g（2）
｝.
要使对任意的腮』匡（0’2］,存在腮2巨［l ,2］’使得／（绷! ）≥
｜
g（绷2）成立,只需／（熊l ）min≥g（卯2）min,
即÷≥g（l）且＋≥g（2）,
所以＋≥＿!＿…且÷≥—4＿4叶4,
解得侧≥÷
13·24
考点:二项式系数的性质
试题解答;在（叶古）』的展开式中通…刽≡c』‖
“墩—′（÷）′三α唾铡ˉ河’
令4—÷＝l解得厂＝2｀
所以展开式中卯的系数为:22×Ci＝24
故答案为24
试题分析:根据二项式展开式的通项’今展开式中卯的指
｜
数为l,即可求出财的系数。
14. ［l’＋由）
考点:命题的否定
试题解答:p:γ卯巨R’ ｜2如十l
｜＞αˉ2｜卯｜,即｜2卿＋l
｜
＋
｛
2｜…即卜带÷｜＋｜露｜≥号,因为气′…题
△
所以3腮匡R使得｜叶÷｜＋｜鳃｛≤÷.
｜
l
根搬绝对值的几｝可意义可得｜赚÷｜＋｜翻｜≡＋.
所以÷≤÷』所以“≥L
故答案为［l ’＋切）.
试题分析:先求出p的否定’再根据绝对值的几何意义即
｜
可求出α的范围.
15.上
3
考点:平面向量的坐标运算’平面向量数量积的性质及其
｜
2
运算律
试题解答:以B为坐标原点’AB所在直线为卯轴建立直角
坐标系,则B（0,0）,A（l,0）,C（0’2）
’
ˉ-→
—-〉
因为D为BC中点,所以D（0’ l）’因为AE＝2EC’所以
鹰（＋,÷）,
所以丽元＝（＋』;ˉ!）（0—l,2）-—＋＋÷＝÷
试题分析:以B为原点建立直角坐标系,即可得A、C、D的
坐标’设E（卯,y）,计算可得E的坐标,进而可得向量的坐
标’由向量数量积的坐标计算公式计算即可.
16.20l8
考点:数列的函数特性’数列的求和
试题解答:由题意得αn＋l＞αn,
所以＋≡鸥0＜侧｜＜α2←＜α』＂＂
α:
20l8α″＋α:
由α厕＋｜＝α′』＋可丽ˉ
20l8
’
得—上ˉ
20l8
≡
20l8
α鹏＋］
20］8α厕＋α;
α′′（20l8＋α″）
l
l
二≡
α′l
αn＋20l8,
l
＝］
＝
l
所以—α几＋2018
α′!
α″＋l
所以（为ˉ片）＋（六＿去）＋
＝~
＋
（六＿六）二为ˉ六二;自凰只l0｜s,
＼
‖
‖
』
′
／
］
—
纶
‖
』
』
′
α
（
＋
’
］
~~
日
］
］
◎
∑
帅
昌
气
乙
』
＜
日
］
◎
］
】
＋
·
■
凸
α
帅
雨
。
～
」
●
▲
、
【
~~
日
］
］
β
∑
α
勺
≡
以
「
β
所以α20l8＜1
~b
田α0＜αl＜α2＜…＜α20］8＜l,
’
］
~~
日
］
○
］
∑
＋
］
肥
了
▲
」
∑
‖
＞
β
］
·
］
∑
＋
■
】
＆
α
Ⅷ
叮
～
山
∑
】
~~
’
］
］
∩
〗
α
∩
乙
得
I
所以α20l9＞1.综上所述k≡20l8.
故答案为2018.
试题分析:先判断数列为递增数列,再判断出对一切〃
（l≤″≤20l8）均有α″＜l ,以及对一切′』（＂＞20l8）均有
α″＞l,问题得以解决。
98
综合练习（10）
B
考点:交集及其运算
试题解答:因为B＝｛卿｜如2≤l
｝＝｛卿｜-l≤缅≤l
｝,集合A＝
｛则巴R｜鳃＞0｝
’
所以集合A∩B＝｛卿｜0＜“≤l
｝＝（0’l］.
故选B.
试题分析:先化简集合B＝｛绷｜“2≤l
｝＝｛〃｜ˉl≤绷≤1
｝’再
求集合A∩B·
A
考点:复数代数形式的乘除运算
34l
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四面体0ABC中’OE上底面ABC’E4＝EB＝l’OE＝1 ’AB＝
OA＝OC＝BC＝√Z
~厂＝ˉ
所以AB上BC,OE上EB’所以OB＝√2,
所以可判断△OAB＝△OBC为等边三角形’
s△〃‘二s…＝÷×2×l＝l’
试题解答:因为（1-2i）z＝1＋αi’所以（l＋2i）（lˉ2i）z＝
｜
（1＋2i）（l＋αi）,所以5凰＝l＿2叶（2＋“）!,即.＝竿＋
｜
2＋α
—了l’
因为.为纯虚数则宁＝0,宁≠0,
解得α＝÷故选A
试题分析:利用复数的运算法则｀共扼复数的意义、纯虚数
｜
的定义即可得出.
3·C
考点:设计程序框图解决实际问题
试题解答;根掘给定的程序框图可知,第—次循环s＝÷’
｛
厕二÷,厕＝l,成立;第二次循环s≡＋,m÷,＂＝2,成立;
｜
第三次循环S＝肯,砸＝六｀＂二3’成立;第四次循环s二六’
｝
Ⅷ二士,厕＝4,成立;第五次循环5＝士’腮二南,＂＝5,不成
｜
立;此时结束循环’所以输出的＂为5.故选C.
试题分析:根据题意利用程序框图的定义即可椎导出满足
｜
要求的循环的规律,逐一验证即可得出n的结采.
4C
考点:等差数列的前n项和,等差数列的性质
试题解答:由等差数列的前″项和公式和等差数列的性
｜
质有:
s‘＝红苛坐×6＝3（…‘）＝3（…徽）,
即3（α3＋α4）＝39,所以α3＋α4≡l3。
故选C.
试题分析:由等差数列的前网项和公式和等差数列的性质
｜
可求出α3＋α4的值.
5.B
考点:三角函数的周期性及其求法’三角函数的最值
试题解答:γ＝sin腮（3sin匆＋4cos”）＝3sin2匆＋4sin勿cos如≡
｜
÷—÷co愚2…n2撼二;＋÷副n（2撼ˉ0）（‘为辅助角）
｜
故可得函数的最大值为4’函数的周期T＝而.
故选B
试题分析:利用二倍角公式对函数整理可得,γ≡sin匆（3sin知＋
0
4cos冗）＝3sin2勿＋4sin冗cos卿’然后利用辅助角公式将不同
｝
名的三角函数化为只含有一个角的三角函数的关系式’再
｝
求出最值及周期。
6。C
考点:由三视图求面积、体积
试题解答:由三视图可得四面体如图所示,
O
｝
何
—卑×徊×÷二了.
△
S△OAB≡5△OBC
该四面体的表面积为2＋厄
故选C.
试题分析:判断得出四面体OABC中’OEˉ［底面ABC’EA＝
EB＝l ’0E＝l’AB＝BC＝OA＝OC＝OB＝厄’ABˉLBC’可判
断△OAB兰△OBC为等边三角形’运用面积求解即可.
7.B
考点:简单线性规划
卯一γ≥0,
｛坞ˉ≡＂……＂
试题解答:作出约束条件
图中的阴影部分所示,
0′＝ˉ顺＋Z
√~
′
Ⅱ
~~
γ
／
y
0
0
0
夕
→
工
~
＼
O
〕
~~
万
ˉ2＝0
邯
γ
＋
‖
由z＝脉＋y’可得γ＝ˉA卯＋z’因为当狐＝γ＝l时’目标匪数
｜
‘＝枷＋γ取得最大值’即2＝脑＋γ取得最大值的最优解为
｜
点A（l’l）’观察图形可知’此时直线γ＝ˉ脑＋z的斜率
｜
ˉ内＞l’所以实数∧的取值范围是（ˉ西’ˉl）.故选B.
｜
试题分析:根据题意作出不等式组表示的平面区域’联立直
｜
线的方程求出交点的坐标’把目标函数平移到该点即可得
｜
出最大值’从而求出∧的取值范围.
｜
8.B
｜
考点:双曲线的简单性质
｜
试题解答;双曲线的渐近线方程为γ＝±上躯’由题意可田;
α
｛
设A（m’n）,由B为E4的中点,且OA＝c’则△AOF为等腰
｜
三角形’且OB上AF,
｜
由d炎于渐近线′＝上腮对称,E（罕,昔）,
α
｜
则黑＝—;’且÷＝÷×罕,
｜
解得咖＝g1二丘,＂＝丝,
C
C
｝
由A在渐近线γ二—上腮上,则型＝ˉ上×鱼二丘,整理得
α
C
α
C
｜
b2＝3α2,
342.
■
（」
4
B
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双曲…心率.ˉ司瑶≡△
所以双曲线的离心率e＝2.
故选B.
■
‖
■
□
■
■
试题解答…,』］,′（露）～｛削（】?》｛黑“,当
甄≥侧时,∧甄）＝鳃2个（2—α）颠’其对称轴鳃二罕＜°则函
数在［α’ ＋由）上为增函数’此时／（则）的值域为［2α’
＋的）;当绷＜α时’／（卯）＝ˉ狐2＋（2＋α）测’其对称轴则＝
竿＜α则函数在（—函’竿｜上为增函数,此时函数的
值域为（—·° ,（侧苛2）粤｜,溺数在｜罕,α）上为减龋数,值
域为（2α,（α苛2）:｝由丁关于蜒的函数γ＝∧嘶）ˉ叭侧）有
三个不同的零点,所以2侧』. （2α,（α苛2）2｜’
』.
／‖
（α＋2）2＼＝（α＋2）2
l
／
4
.＼、…′＿｀…
,
′
~
~
■
‖
】
】
‖
试题分析:由题意可知’△AOF为等腰三角形’且OB上AF’
｜
｀
徘
」
榷媳对称性求得‘…坐标’代入…方霍,即可求得
』
三个不同的零点’所以2侧′ . （2α,（笺2）』）』.
62＝3α2’根据双曲线的离心率公式’即可求得答案.
｜
（l,（“箭）2）而（侧蒜）:-＋（°＋÷＋4）为增函数,故
9.B
考点:平面向量的基本定理及其意义’平面向量数量积的性
｜
｜
′≤｜（等）2｜…二（器）2≡姜所以′匡（l,器）
质及其运算律’余弦函数的定义域和值域
试题解答:取AB的中点D’连接CD.
｜
故选B.
＿〉＿〉
＿〉—〉
—〉—＞
—广
—＞
-→＿＞
‖
R4.pB＝（pC＋G4）
. （pC＋CB）＝pC2＋PC. （C4＋CB）＋
｜
试题分析:将函数／（〃）化为分段函数’对各分段的二次函
→～〉→～〉
＿〉
—〉
—≥
→
CA。CB＝PC2＋PC。（CA＋CB）＝22＋PC.2CD＝4＋
｝
数进行分析’求出值域’再由关于加的函数γ＝／（〃）ˉ
—〉—〉
→→
｜
叭α）有三个不同的零点求出t的范围.
2PC°CD≡4＋2｜PC｜
° ｜CD｜cosα＝4＋2×2×3cosα＝
‖
-〉→
｜
l3.3卯ˉγˉ2＝0
4＋I2cosα’所以当α＝0°时’R4 .PB的最大值为l6.
‖
考点:利用导数研究曲线上某点处的切线方程
故选B。
试题分析:取AB的中点D,连接CD’将向量的数量积表示
｜
试题解答:因为y′＝2匆＋上’所以在点（1 ’／（l））处的切线
卯
为4＋l2cosα,由余弦函数的性质求得最大值。
｜
斜率为／′（l）＝2÷＝3,因为∧l）＝l,所以切线方程为
l0。D
考点:二项式系数的性质
｛
yˉ1＝3（如-l）’即3卯ˉγˉ2＝0.
试题解答; （l＋躯）＋（l＋财）2＋（l＋躯）］＋…＋（l＋卿）u
｜
试题分析;求函数的导数’利用导数的几何意义即可求出
的展开式中』绷2的系数是c;＋c;＋Ci＋…＋c;1二c;＋
｝
切线方程
C;＋Ci＋…＋C;l＝C1＋Ci＋…＋C;l＝…＝C｛2＝220故｜
l4120
选D
｜
考点:频率分布直方图
试题分析:由题意可得”2的系数是Cl＋C;＋Ci＋…＋
｜
试题解答:由频率分布直方图得:
C｝1 ’由组合数的性质C隐!＝C肝＋C‖—｜’把C;换作C;逐
｜
得分不低于80分的频率为;lˉ（α0l5＋α025＋α030）×
步利用该性质化简可得。
｛
l0≡0.3’
1l.C
｜
所以得分不低于80分的人数为:400×0.3＝l20（人）.
试题解答:由题图’显然o是正确的,@是错的;
｜
故答案为120.
对于O因为AlDl／／／BC’BC／／／FG,
｝
试题分析:找到满足条件的频率再乘以样本容量就得出所
所以AlDl／／／FG且AlDl亿平面EFGH’
｜
求数目.
所以AlDl／／／平面EFGH（水面）.
‖
l5.3
所以o是正确的;
｜
考点:抛物线的简单性质
因为水是定量的（定体积V）.
‖
试题解答:由题意可知’抛物线广＝4鳃的焦点为F’准线为
所以s…Bc二限,即÷周EB′BC＝队
.
“＝—l〃是必的中点,设刹（愿1 ,y!）,B（螺2,′2）,直线川B
｜
的方程为y＝k（绷ˉ1）
’
所以B…′＝湍（定值）,即酗是正确的故选o
｜
将直线方程代人抛物线方程消去γ得:k2厕2ˉ（2k2＋4）加＋
l2.B
｛
k2≡0’
考点:二次函数在闭区间上的最值’分段函数的应用’函数
｜
｝
由根与系数的关系…2-2÷,…2-］,
的零点与方程根的关系
°343。
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又设P（赃0.γ0）｀》＂-÷（γ｜＋γ2）-＋［腮（露｜ˉ｜）＋附（蛔ˉ
｜
99
20l8年高考数学理科试卷（全国I卷）
｝
1C
勺
l）］＝÷’
｜
考点;复数的代数表示法及其几何意义
所以蜒＂-÷.所以尸（÷,÷）｜″｜-蛔十｜二声｛-2,
｜
试题解答;夏二骨2』二｛删二｜｝十2!二芋襟2!＝｛.
｜
所以｜z｜＝l.故选C.
所以膘二｜,所以M点的横坐标为＋（鳃｜辩鳃』）-｜÷二］
｜
试题分析;先淘复徽的乘膝逗算求幽复救舅,再卤几何意《
｜
求模
故答案为3ˉ
｛
2.B
试题分析;根据已知条件M是』B的中点,设出A和B的
｜
考点;补集及其运算
坐标及直线方程’并将直线方程代入椭圆方程得到关于卿
｜
试题解答:A＝｛卯｜卿2—厕ˉ2＞0｝＝｛卿｜狐＞2或卯＜ˉl｝
’
的一元二次方程’利用根与系数的关系’表示出则l＋卯2和
｜
所以0RA＝｛卯｜ˉl≤卯≤2｝.故选B.
…2,并求出P点坐标,根撼｜PF｜二2,求得k的值｀:呵｜
试题分析:先解二次不等式求出集合A,再进行补集运算
｜
3.A
求得M点的横坐标
｜
考点:概率的应用
oo@◎
｜
试题解答:设建设前的经济收人为l,则建设后的经济收人
｜
为2’经济增长一倍,A中种植收人应为2×37％＞60％,所
考点:三角形中的几何计算
试题解答:O若cosBcosC＞sinBsinC’则cosBcosCˉ
｜
以种植收人增加’则A错.故选A.
爵inB爵mc二c°愚（B＋c）＞0′即ˉc。愚A＞0,c°M＜0,则△A
｜
试题分标设建设前灼缓济枚入为l则建设后钓缝济收入
｜
为2’由建设前后的经济收入饼图对比’对各选项分析得到
为钝角’故△ABC一定是钝角三角形’正确;
｝
正确答案
@若αcosA＝bcosB｀则由正弦定理得siMcoM＝sjnBcosB’
｜4B
即sin2A＝sin2B’则2A＝2B或2A＋2B＝180°’即A＝B或
｜
考点:等差数列的性质
A＋B＝90。’则△ABC为等腰三角形或直角三角形’错误;
｜
试题解答:3S3＝S2＋S4＝S3＋2α3＝α3＋α4＝5α2＝α2＋α3→
◎α＝（tanA＋tanB’tanC）’b＝（1 ’l）
’
｜
4α2＝α3 ’又αl＝2’所以d＝ˉ3.
则α.b＝tanA＋tanB＋tanC＝（lˉtanAtanB）tan（A＋
｜
则α5＝αl＋4〃＝2ˉ12＝ˉl0.故选B.
B）＋tanC＞0＝tan（A＋B）＋tanC＞taMtanBtan（A＋B）
｜
试题分析;由等差数列的的前＂项和公式将条件列出关于
｝
公差Ⅲ的方程’求出′,得到通项公式,再求值.
＝0＞tanAtanBtan（A＋B）
’
｜
5.D
所以必有A＋B＞÷,且A,B都为锐角,
‖
考点;利用导数研究曲线上某点切线方程
｜
试题解答:因为／（则）＝〃3＋（αˉl）箍2＋α狐’且／（卯）是奇阎
所以C也必为锐角’
｜
数,所以αˉl＝0＝α＝1.
所以△ABC为锐角三角形’正确;
｜
／（匆）＝鳃3＋狐三／,（卯）＝3鳃2＋l
’
—〉＿》→＿》
—〉
＿》
】
@O为△ABC的外心’AO.BC＝AO. （ACˉAB）＝AO.
｜
所以／（0）＝l.而γ—0＝则ˉ0＝γ＝则.
ACˉAO.AB二｜M｜
. ｜AC｜coS＜Ih元＞ˉ｜乃｜
. ｜荫｜
.
｜
故选U
一步→—〉
—〉
—〉
｜
试题分析;由函数／（卯）是奇函数’求出α＝l得到函数的解
“赡＜丽,荫＞＝÷｜元｜』—÷｜萌｜2＝÷（b2ˉ‘圆）’正确;
｜
析式,冉卤导数的几何意义求在点（0’0）处的切线方程
◎若sm2A＋sm2B＝sin2C’则由正弦定理得α2＋62＝c2』
｜6A
｜
考点:平面向量的基本定理及其意义
则△ABC是直角三角形,
→—令
｜
试题解答:雨二荫ˉ丽二庙＿尹二荫＋坦旦p＝
→—》
→—卜
所以（OB—OC）
. （OA—OC）＝0,
2
＿〉—〉—〉
—〉→—≥
—》→
｜
所以o阶oA—oO（…」）带oc』二0｀所以…刹- ｜舞ˉ颖
—〉
∩〃ˉb尸2
所以必有A＋B＞÷,且A,B都为锐角,
所以C也必为锐角’
所以△ABC为锐角三角形’正确;
—〉＿》→＿》
--〉
ˉ一》
】
@O为△ABC的外心’AO.BC＝AO. （ACˉAB）＝AO.
｜
一步—≥—〉
—〉
—〉
一＞—〉
-一〉
一＋
AC-AO.AB＝｜AO｜
° ｜AC｜cos＜AO,AC＞一｜AO｜
°
｜AB｜
.
…丽,荫＞＝÷｜元｜』—÷｜萌｜2＝÷（b2ˉ‘圆）’正确;
｜
◎若sln2A＋sin2B＝sm2C’则由正弦定理得α2＋b2＝c2’
｜
｜
则△ABC是直角三角形,
→—》
→--→
所以（OB—OC）
. （OA—OC）＝0,
＿〉—〉—〉
—〉—〉
—≥
--广
一＋
｜
所以OB.OA—OC. （OB＋OA）＋OC2＝0,所以OB。OA≡
｝
—〉
l6
-2OC2’
—尸→＿〉
因为＿OC＝OB＋OA,
—〉
＿步
→
ˉ-〉—〉
所以OC2＝OB2＋OA2＋2OB。OA,
—〉→—广
所以5OC2＝OB2＋OA2,即结论成立ˉ
故答案为oo@◎.
试题分析:对五个命题分别进行判断’即可得出结论.
. 344
A
C
D
B
故选A
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-—〉
～≥
试题分析:以向量AB和AC为基底向量’由点E是AD的中
｜
′点’点〃是BC的中点,将向量川E表示为÷而,再由点D是
｜
BC的中点’将其表示为基底向量的线性表示形式.
7.B
考点:由三视图求面积、体积
试题解答:画出圆柱侧面展开图如图所示’连接MV,
M
E
』婴二（÷）:耍（÷）』
,（÷）号“
｜
2
｜÷幢』
即S1＝S2.故选A。
试题分析:先求出三个部分的面积’再由几何概型概率公
式求出概率,再比较大小.
l1.B
2
试题解答;因为双曲线÷ˉy2＝l的渐近线方程为y＝
亭｀所以△卿o″二60.不妨设过点′的直线与直绚＝
争交丁点删′由△0″＂为直角三角形,不妨设△o汕＝
90°,则乙″FO＝60°’又直线Mγ过点F（2,0）,所以直线
Mγ的方程为γ＝—灯（则ˉ2）
’
仁墅…｝恨｛州鄂＂
｜
由
｜
｜
~
~
C
Ⅳ
D
Mγ＝√I石ˉ干可＝2√互故选B.
试题分析:侧面上M＼／的最短距离就是圆柱的侧面展升图
｜
MCDE中的MV’其中MC＝2,CⅣ＝4’在直角三角形MC／γ
‖
中求出Mγb
8。D
考点:抛物线的应用
勺
｜叮……作Ⅷ
试题解答:设
所以卯1＝1 ,鳃2＝4,即yl＝2’y2≡4,
设″（如1 ’γl）’Ⅳ（勿2,y2）
,
→
—〉
所以FM≡（卯l-l’y1）’′γγ＝（如2—l,y2）
’
—〉→
所以F／）′。FⅣ＝（卯1ˉl）（卯2ˉ1）＋γ1y2＝8’
故选∏
试题分析:将直线方程代入到抛物线方程中’消去γ得到关
｜
于卯的二次方程’结合根与系数的关系’由乎面向量的数量
｜
积的坐标运算求出值.
9.C
试题解答:函数g（绷）≡／（则）＋卯＋α存在2个零点’即关于卯
‖
的方程／（卿）＝ˉ绷ˉα有2个不同的实根’即函数／（狐）的图
｛
象与直线y＝ˉ嘶ˉα有2个交点’作出直线γ＝-卯-α与函
｜
数／（卿）的图象,如图所示’由图可知’ˉα≤l,解得α≥ˉL
｛
故选C.
＼
勺
乙
｀
｀
｜
‖
｛
′
′
何
—
〗
（
＋
∑
＼
■
｜
／
］
—
∑
（
′
√
＝徊’所以｜MV｜＝何｜O″｜＝3
｜O″｜
故选B.
l2.A
考点:直线与平面所成的角
（?）2
塑
↓
~~
徊
—
斗
×
试题解答:如图截面,S＝6×
D｜
Cl
‘4｜
C
B
d
故选A
试题分析:由正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角
都相等’得到乎面α与其中一条对角线垂直’此时截面与
相应侧面构成正三棱锥’再求出截面面积的最大值.
l3.6
考点:简单线性规划
试题解答:z≡3如＋2y,过点B（2’0）时,zmax＝3×2＋2×0≡6.
0
∩
龟
√
∩
′
～
｀
飞
、
、
、
、
、
、
、
｀
、
、
｀
｀
、
｀
飞
、
｀
｀
姑
｀
｀
、
、
｀、
、、
、｀
、
＼
』
慰／厂了一
一义
｀
｀
｀
、
、
尸
、
卯
、
、
｀
、
｀
勺
、
√
｀
、
｀
｀
｀
、
｀
、
｀
、
、
｀
｀
∩
′
▲
、
、
、
、
｀
、
、
、
、
、
、
、
、
℃
、
、
｀
、
』
勺
～
］
l0·A
考点:几何概型
试题解答:记三角形区域面积为S』,黑色部分面积为S2’
｜
AB≡α’AC＝b,BC＝c。则c2＝α2＋b2’
所以s｜＝十αb,
~
345
『
0丑／
』／二■■
『p
′≈
铲
≈Q
′
℃、
D
／
／
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试题分析:作出平面区域,乎移目标直线’得到最优解’求
｜
试题分析:先由复数的乘除运算求出复数葛’再由几何意义
出最大值.
｜
求模.
l4。-63
｛
3·A
考点:数列的求和’数列递推式
‖
考点:概率的应用
试题解答:因为S＂＝2α厕＋l’令厕＝1’αl＝ˉl.
｜
试题解答:设建设前的经济收人为l’则建设后的经济收人
又S厕ˉl＝2α＂—l＋1’作差’
｜
为2’经济增长一倍’A中种植收人应为2×37％＞60％,所
｜
以种植收人增加’则A错故选A.
所以αn≡2α″-2α鹏ˉ1＝α″＝2α＂ˉ1 ,
｜
试题分析:设建设前的经济收入为1’则建设后的经济收入
所以α＂≡-2＂ˉl
,
｜
为2’由建设前后的经济收入饼图对比’对各选项分析得到
所以s‘＝1×碧≡6Ⅱ
』
…答霓
试题分析;将厕换成厕ˉl得到另一个式子’两式相减得到
｜4C
数列的递椎关系式’得到数列｛α″｝为等比数列』求出通项
｜
考点;椭圆的应用
2
2
公式再求S″
｜
试题解答:÷＋÷＝l,因为椭圆的—个焦点为（2,0）,所以
l5。16
｜
c≡2,
考点:排列、组合及简单计数问题
试题解答』没有女生人选有Ci≡4种选法’从6名学生中
｜
因为α2—4二4＝α＝2√r,
｜
测.～÷～孟-÷放选α
任意选3人有C;＝20种选法’
故至少有l位女生人选,则不同的选法共有20＿4＝l6
｜
｜
试题分析;由焦点坐标得c＝2,再由椭圆方程求出α的值,
种’故答案为16.
｝
再求离心率.
｛6ˉ竿
｜’Ⅱ
｜
考点;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
考点:利用导数求闭区间上函数的最值,三角函数的最值
‖
｛
试题解答:设上下半径为r’则高为2『’
试题解答:因为∧匆）＝2sin匆＋sin2卯’
所以′（厕）＝2cos绷＋2cos2″＝4cos2加＋2cos卯ˉ2＝
｜
所以（2厂）2＝8＝『＝√2
｜
则圆柱表面积为2∏（徊）2＋2∏徊.2徊＝Ⅱ2而.故选B.
4（…＿÷）（c·…l）
′
｜
试题分析;由圆柱的轴截面是面积为8的正方形’得到圆枉
由′（愿）≥0得＋≤…≤｜’即2肺—苛＝2肺＋哥,
｜
的高为8,底面直径为8,由此求…表面积
▲
｜
6.D
片巨Z,
｜
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程
由′（醚）≤0得ˉl≤…≤÷,即2肺＋丽…2肺＋号｜
试题解答;因为f（x）二鳃3＋（囤ˉl）鳃,＋α缠｀且j（鳃）是奇酌
｜
数’所以αˉ1＝0＝α＝l.
或2肺ˉ∏≤厕≤2肺—哥,庶巨Z,所以当＂＝2肺ˉ÷（k.
｜
／（厕）二卯3＋躯＝荔f（厕）＝3鳃2＋l ,
…（痰｝…小鸣….＝′（辨孺÷）ˉ ｜删川≡呵…ˉ…
2舅i＂（2偷w＿÷）＋爵m2（2kw＿号）＝—垫
｝
试题分析;…∧鳃）爱奇函数’求出α＝［得到…解
2
,
‖
析式’再由导数的几何意义求在点（0,0）处的切线方程
l00
20l8年高考数学文科试卷（全国I卷）
｜7~A
｜
考点:平面向量的基本定理及其意义
1.A
—〉—〉
｜
试题解答;而二荫＿耐-荫—郭-芯＋坦土坐＝
考点:交集及其运算
2
斌题解答;A-｛0』2｜,‘-｛—2,ˉ1,0,1,2｝,所以A∩B- ｝彝—颖
｜∩勺｜
＝‖T丁2土A
1.A
考点:交集及其运算
试题解答:A＝｛0’2｝’B＝｛ˉ2’ˉ1’0’l’2｝’所以A∩B＝
｛0,2｝.故选A.
试题分析:由集合A,B的相同元素构成交集.
2·C
考点:复数的代数表示法及其几何意义
么4
】
试题解答;舅＝骨2!-｝｛早｝｛‖二‖带2!-鱼带2｛＝!.
2
~
~
飞＞
C
D
B
故选A
所以｜z｜＝L故选C。
346
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—＞→
试题分析:以向量AB和AC为基底向量’由点E是AD的中
｜
点,点D是Bc的中点,将淘量Ii袁示为÷∏,再卤点D是
｜
BC的中点’将其表示为基底向量的线性表示形式.
8.B
考点:三角函数的周期性及其求法
试题解答扒鳃）＝2c赡2卿—瓢n2…＝l＋c颐…ˉ十（l＿
｜
‘赡2x）＋2＝÷c.戳2x＋二
2.
所以r＝芋-而’∧鸳）…＝:＋;二4故选且
试题分析:由二倍角余弦公式将函数为一个角的三角函数
｜
的形式,再求周期与最值·
9.B
考点:由三视图求面积、体积
试题解答:画出圆柱侧面展开图如图所示’连接Mγ’
M
E
｜
y
＼
1
~O
勿
13。-7
｜
考点:函数的值’函数的零点与方程根的关系
｜
试题解答:因为／（则）＝log2（匆2＋α）’又／（3）＝l＝log2（9＋
｛
α）＝1＝9＋α≡2＝α＝-7.
｜
试题分析:由／（3）＝l得到关于α的方程’求出α的值.
｜
l46
｜
考点:简单线性规划
｜
试题解答:Z＝3匆＋2γ’过点B（2,0）时’Zmax＝3×2＋2×0＝6.
｜γ
｜
C
Ⅳ
D
M＼′＝√I石ˉ可＝2√百’故选B.
试题分析:侧面上Mγ的最短距离就是圆柱的侧面展开图
MCDE中的MV’其中MC＝2’CⅣ＝4,在直角三角形MC／γ中
求出Mγ.
l0.C
考点:直线与平面所成的角
试题解答:连接BCl ,因为AB上平面BB1C1C’所以乙AC1B＝
30。’ABˉLBC1 ’所以△ABC1为直角三角形.又AB＝2’所以
BCl＝2√面又BlCl＝2,所以BBl＝√（2√可）2ˉ22＝2√Z
故该长方体的体积V＝2×2×2√百＝8√Z故选C.
lLB
考点:任意角的三角函数的定义’半角的三角函数
√六扁＝＂ˉ2“
试题解答:cOSα＝
＝
『
试题分析:作出平面区域’平移目标直线,得到最优解’求
｜
出最大值.
｛
l5.2徊
｜
考点:直线与圆的位置关系
｜
试题解答;膨2＋γ2＋2γˉ3＝0＝则2＋（γ十l）2＝4
｜
所以圆心到直线距离刨＝兰＝√Z
√2
｜
所以｜AB｜＝2〃＝百＝2亿
‖
试题分析:将圆的一般方程整理成标准方程’找到圆心和
｛
半径’求出圆心到直线的距离’进一步求出｜AB｜.
王
〕
■
β
］
~
~
~
~
~
~
~
~
~
考点;正弦定理’余弦定理
试题解答:因为bsinC＋csinB＝4αsjnBsjnC由正弦定
理得:
α
b
C
＿＝
-—＝2R＝sinBsinC＋sinCsinB≡
sinA
sinB
si∏C
l
4sinAsinBsjnC＝〉4sinA＝2＝sinA＝丁’
义…二…』鲤—］≡六ˉ］-;,趣≡±粤｀
又｜侧＿b｜＝｜α｜＝粤故选B
l2D
考点;分段函数的应用
试题解答:当卯≤0时’函数／（则）＝2ˉ躯是减函数’则／（卯）≥
｜
∧0）＝l作出∧躯）的大致图象如图所示’结合图象可知’
｜
卯＋l＜0’
｛撇严｛蕊Ⅷ
要使∧卯＋l）＜／（2狐）’则需
所以匆＜O故选Dˉ
.347
日
—
徊
~~
斗
—
徊
—
∑
~~
〗
◎
℃
且
ˉ
∏
—
厂
◎
~~
∧
＝
◎
＞
∧
』
∑
℃
℃
○
吕
~~
月
~~
∑
α
勺
＝
℃
＋
勺
▲
β
又
则s△蛔‘-÷×b‘爵iM＝～鸟上＿望
2
√5ˉ
2
3
试题分析:由正弦定理将边角关系化为角的关系’求出角
A,再由余弦定理求出bC的值,然后用面积公式求面积。
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10l
20l8年高考数学理科试卷（全国Ⅱ卷）
｜8C
｜
考点:古典概型及其概率计算公式
｜
试题解答;不超过30的素数有;2’3’5’7,ll ’l3,l7’l9,23’
l.D
考点:复数的代数表示法及其几何意义
｜
29共l0个.记任取两个不同的数和为30为事件A’P（A）＝
试题解答;楞～（ll尝）.≡］宁斟!≡芋故选Ⅱ
｜
煮～古故选α
试题分析:由复数的除法运算可得.
｜
试题分析:不超过30的素数有2’3’5’7’ll’l3’l7’19’23’
｜
29共l0个数’从l0个数中任选2个共有C｝0种’则记其和
2A
考点:集合中元素个数
｝
等于30为事件A的结果总数为3种.
试题解答:集合A及点集元素是（0’0）
’ （0’1）
’ （ˉl’0）
’
｜
9~C
（1’0）’（0’ˉl）,（l ’1）’（l,ˉl）’（—l’1）’（＿l’ˉ1）共9
｜
考点:异面直线及其所成的角
个元素.故选A.
｜
试题解答:以点D为坐标原点’以DA’DC’DDl所在的直线
｜
分别为狐轴’γ轴’z轴建立空间直角坐标系’则
3.B
Z
…匡′叮闰。l-2i
l＋4
5
5
＝～
试题分析:由复数的除法运算可得.
A
考点:集合中元素个数
试题解答:集合A及点集元素是（0,0）
, （0’1）
, （ˉl,0）
’
（1,0）,（0’-l）,（l ,1）’（l’-l）,（＿l,1）’（—l,ˉ1）共9
个元素.故选A.
B
试题解答:当卯＜0时’因为ex—eˉ＂＜0,所以此时／（卿）＝
艘二fˉⅡ＜0’蚁排除A’D;义风l）二筐—÷＞2’故排除c故
选B
B
考点:平面向量数量积的运算
试题解答:α. （2α—b）＝2α2ˉα。b＝2＋l＝3.故选B
试题分析:由已知代入运算即可.
A
考点:双曲线的简单性质
试题解答;阿为.～灯ˉ÷所以』÷宁』
:』
2＝亏＝2,
所以上＝±√Z
α
~
~
‖
／
~
~
~
~
4
／D』曹么tˉ＿ˉˉ
0
夕p
』
p
P〔-—丁
B
／
5
x
＿〉
Bl＝（l’l ’徊）’A（l,（）’0）’Dl（0’0’归）’所以AD｜＝（ˉl
’
--—》
0’何）’DBl＝（l’l’何）’设所求角为α’
≡
■
℃
■
〃
＿
戊
止
日
~~
’
～
●
∑
石
~~
〉
→
叫
～
』
皿
’
→
乌
＿
〃
故选Cˉ
所以cosα≡｜cos
‖
｜
试题分析:以点D为坐标原点’以DA’DC’1）Dl所在的直线
所以渐近线方程为γ＝±√国比.故选A.
｜
分别为卯轴’γ轴’z轴建立空间直角坐标系’根据异面直线
试题分析;由离』翘率′＝打可得÷-何,迸嗣求:,卵可
｜
所成的角求解卵可
｜
l0.A
求渐近线方程
｜
考点:两角和与差的正弦函数’正弦函数的单调性
6·A
｜
试题解答;因为′（则）二…ˉ…＝口＂爵卜＋矛）』
考点:余弦定理
试题解答;因为…-2co爵』÷ˉl＝＿÷,
｜…≤叶矛≤丽＋2肺（庶匡z）得;
所以奶2＝l』＋52—2×l×5×（ˉ÷）二26＋6＝32,
—牙＋2肺…予2肺（腮匡Z）,
所以AB＝4亿故选A.
｜
闲此［＿α,α］C｜—哥』￥｜』
试题分析;先由c·愚÷周二倍角公式可求…,再由余弦
｜
′＿…,
定理可得
ˉα≥ˉ子,
｜
所以
｜愈守~
7.B
考点:循环结构,程序框图
试题解答;依题意;』-l时,″＝0＋十,′＝0＋÷,‘-叶2
｜
所以0≤α≤矛
时,″＝0十十＋＋,′＝÷＋÷,依次下去’韭、
｜
从而α的最大值为矛故选A
所以j＝t＋2.故选B。
｜
试题分析:利用两角和差的正弦公式化简,再结合已知条
试题分析:由程序框图知识可知.
｜
件求出最大值.
°348.
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ll.C
考点:函数奇偶性的判断’函数奇偶性的性质
试题解答:因为／（lˉ卯）＝∧l＋卯）,所以γ＝／（Z）图象关于
‖
卯＝l对称’又是奇函数’
所以∧卯）是＿个周期函数’且T＝4’
又∧l）＝2’
∧卯）＝∧2—卯）
,
所以∧2）＝∧0）＝0’
∧3）＝∧ˉ1）＝—∧l）＝ˉ2’
／（4）＝／（（））≡0,
所以／（l）＝2’∧2）＝0’∧3）＝—2√（4）＝0’
所以原式∧1）＋∧2）＋…＋∧50）＝∧l）＋j（2）＝2.
故选Cˉ
试题分析;根据函数的对ˉ称性、奇偶性求出函数的周期数
｜
是4
l2·D
考点:椭圆的简单性质
当z＝则＋γ’过点A（5’4）时’z有最大值zmax＝9’故答案
为9.
试题分析:先画出可行域’由线性目标函数经过区域可
得zmax.
l5. ＿上
2
考点:两角和与差的正弦函数
试题解答:因为sinα＋cosβ＝l’@
cosα＋sinβ＝0’@
@2＋@2得:l＋1＋2sin（α＋β）＝l,
所以sin（α＋β）＝—÷
▲
故答案为＿÷
丝
试题分析:把两式乎方相加即可.
l6.40√z『
考点:直线与平面所成的角
试题解答:如图所示’设S在底面的射影为S′ ’连接AS′ ,
ss《△瓤E的面积为÷M“蠕…sβ＝÷酗叭
√P瞳＂鼠2△AsB＝带剑』＝5伍所以酗2＝s0’M＝
4√豆因为SA与底面所成的角为45。’所以乙SAS′＝45°’
」3′二逊…5.＝4打×粤＝2∏∏所以底面周长′＝
2丽.As′＝4√T∏丽,所以圆锥的侧面积为÷×4√百×
4｀／I∏俞＝40√Z沛.
S
试题解答:由题意可得椭圆的焦点
在狮轴上’如图所示’设｜Fl鸟｜＝
2c,因为△PFlF2为等腰三角形’
且乙FlFhP＝l20°’所以｜PF2
｜＝
｜FlF2
｜≡2c,所以｜OF2
｜≡c’所
【
】
以点P坐标为（c＋2ccos60。’2csin60°）’即点P（2c,√gb）
闽为点′在过点川〕目斜率为粤的直线仁,所以弗ˉ
粤解得÷二＋,所以′＝÷故选u
l3.γ≡2卯
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程
试题解答:y＝2ln（虹＋l）’所以y′＝-二
卯＋l’
』′
｜／二厂2｀
所以在点（0,0）处的切线方程为γ≡2鳃.
故答案为y＝2则.
试题分析:由曲线在某点处的导数的几何意义’得切线的
斜率,由点斜式写出切线方程。
l49
考点:简单线性规划
试题解答:依题意:画出可行域,如图中阴影部分所示,
】
‖
‖
A
】
B
｛
l02
20l8年高考数学文科试卷（全国Ⅱ卷）
｛
l。D
｜
考点:复数的代数表示法及其几何意义
｜
试题解答:i（2＋3i）＝2iˉ3.故选D.
｛
试题分析:由复数的乘法运算可得。
｛
2·C
｛
考点:交集及其运算
｛
试题解答:因为A＝｛1’3’5’7｝,B＝｛2’3’4,5｝’故A∩B＝
｜
｛3’5｝.故选C.
｜
试题分析:由集合交集运算可得.
｜
3.B
｜
考点:函数的图象与图象变化’利用导数研究函数的单调性
349.
比
二
』｜
ˉ4～
ˉ5ˉ
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所以j＝j＋2,故选B.
试题分析:由程序框图知识可知.
9·C
考点:异面直线及其所成的角
试题解答:如图:取DDl的中点F’连接EF′ ’则EF／／／CD’
D｜
C
｜
-冗
九
卯
-卯
e
-e
试题解答:因为／（ˉ卯）＝e
ˉe
＝
2
＝ˉ／（卯）
｜
（ˉ则）2
卯
（卯≠0）’所以／（卿）是定义域上的奇函数’所以函数／（鳃）的
｛
图象关于原点（0’0）中心对称’排除选项A;因为／（1）＝e—
｜
上＞2’所以排除选项C’D.故选B.
e
4B
考点:平面向量数量积的运算
试题解答:α. （2αˉb）＝2α2-〃.b＝2＋1＝3,故选B.
试题分析:由已知代入运算即可.
5。D
考点:排列、组合及简单计数问题
试题解答:记选中的2人都是女同学为事件A,
＂′（刨÷市…
试题分析;由古典概型知识’从5人中任选2人共有C:种
选法’则选中2人都是女同学为事件A的结果总数为
C;种
队越磅盲: ↓巴卫旦广厂口J▲／＼倡P／烂ˉ义‖刨寸≡／习亨｜
｜
‘且9
｛
霄厂
』｛＝■
F』ˉˉˉˉˉˉˉˉˉ
′
‖
F
U
E
~~~~~~~~~
／DL:二:乙ˉˉˉˉ
』
』
≥夕
′
夕＝
D
″尸
么夕
p＝≥
C
≥≥≥
B
册
所以AE与CD所成的角即为乙AEF,
则′（刨÷市…
｀∏幽……＂………怪＝
读…;磁………糯……c:静
｜
』′≡低断以｜…娜ˉ笋-粤
选法’则选中2人都是女同学为事件A的结果总数为
｜
故选o
C;种
｜
试题分析;取DD1的中点F’EF〃CD’所以△AEF即为所求
6A
｜
的角’在△AFE中易得.
考点:双曲线的简单性质
｜
l0.C
｜
考点;两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性
试题解答:因为e＝旧＝二’
α
｜
试题解答;因为∧鳃）-…—…二伍αs卜＋矛）,
所以3二鸟＝感2十b2
b』
2＝-页≡2,
α
α
α
｜
由2k∏≤厕＋子≤而＋2腮∏,（府匡Z）得;
所以上＝±口’
α
所以渐近线方程为γ-圭闷
ˉ卫＋2肺≤x≤￥＋2航（胀匡z）,
4
故选A.
｜
因此［0,感｜C｜ˉ÷,￥｝
试题分析:由离心率e＝何可得二＝旧,进而可求上’即可
｜
｜
所以0＜獭≤￥,
α
α
求渐近线方程.
7.A
勺
｜
从而α的最大值为于故选c
考点:双曲线的简单性质
｜
试题分析:利用两角和差的正弦公式化简’再结合已知条
试题解答;因为筐赡:二粤,
｜
件求出最大值
所以…-2幢＂舅2:—｜二2×上—l＝—÷.
｜UD
5
｜
考点:椭圆的简单性质
所以姻』二l2＋5』＿2×l×5×（ˉ÷）＝26＋6＝32
｜
试题解答:依题意设PF2＝r’PFl＝任’FlF2＝2′’
所以AB＝4徊故选A
｜
又r＋历＝2α’
试题分析;先由履＂爵:周二倍角公式可求…,再由余弦
｜
α＝—′｀
｜
2厂＝2c’所以‘＝′’
定理可得.
8.B
｜
所以‘＝二＝何ˉL
考点:循环结构,程序框图
α
试题解答依题意;‘＝l时,″＝0＋＋,7二0带＋,‘＝‘＋2
｜
故选n
｜
试题分析:依题意设F2P＝r’FlP＝任’由椭圆第一定义
时,＂＝0＋＋＋＋’『二＋＋＋,依次下去,…,
｜
『＋√可｝＝2α’可得离心率
° 350°
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l2。C
｛
l6.8∏
考点:函数奇偶性的判断’函数奇偶性的性质
｝
考点:棱柱棱锥棱台的体积’直线与平面所成的角
试题解答:因为∧l—卿）＝∧l＋购）,所以y＝∧卯）图象关干
｜
试题解答:由题意画出图形’如图’
S
卯＝l对称,又是奇函数,
所以∧卿）是＿个周期函数,且T＝4’
又∧l）＝2,
∧厕）＝／（2ˉ卯）
,
所以∧2）＝∧0）＝0,
∧3）＝∧—l）＝—／（l）≡ˉ2’
∧4）＝∧0）＝0’
所以／（l）＝2’∧2）＝（）’／（3）＝ˉ2,／（4）＝0’
所以原式／（l）＋／（2）＋…＋／（50）＝／（l）＋／（2）＝2.
故选C.
试题分析:根据函数的对ˉ称性｀奇偶性求出函数的周期数
｛
是4
l3.y＝2％—2
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程
试题解答!』—2｜皿,所以』′三÷,Ⅱ′
｜｀～｜-2
所以曲线在点（l’0）处的切线方程为y＝2（腮ˉl）＝2卯ˉ2.
｛
故答案为y＝2贿—2ˉ
试题分析:由曲线在某点处的导数的几何意义’得切线的
｜
斜率,由点斜式写出切线方程
l49
考点:简单线性规划
试题解答:依题意:画出可行域如图中阴影部分所示.
‖
设AC是底面圆O的直径’连接
SO’则SO是圆锥的高.设圆锥的母
线长为／’则由SA上SB’△MB的面A
积为8’得＋!』二8’得′＝4
C
~
B
在R｜△ASO中,由题意知乙MO＝30。,所以SO二＋′＝2.
~～
M-粤′-2徊蚁该圆锥的体积「二＋而×M2×so＝
l
~ˉ句
亏打×（2√3）垒×2＝8∏.
O
l03
20l8年高考数学理科试卷（全国Ⅲ卷）
l。C
｜
考点:交集及其运算’基本不等式
｜
试题解答:A＝｛卿｜″≥l
｝’B＝｛0’l ’2｝
’
｜
所以A∩B＝｛l ’2｝.故选C.
｛
试题分析:先解出集合A,再取交集。
｜
2.D
］
｝
考点;复数代数形式的乘除运算
｜
试题解答:（l＋i）（2ˉi）＝2ˉi2＋i＝3＋i.故选D.
｜
试题分析:将等式化简即可.
｛
3.A
｜
考点:简单空间图形的三视图
｜
试题解答:由三视图定义可知选A.
｜
试题分析:从上往下看’小长方体位于大长方体内’故为虚线.
｜
4。B
｛
考点;二倍角的余弦
｜
试题解答; 臆赡2α＝l—2爵i＂2α二1—÷＝;故选B
｜
试题分析:由余弦倍角公式’转化为一倍角正弦.
‖
5。C
｛
考点:二项式定理
』
试题解答（狮』＋÷「通式z带1-C针（则2）,＿′□′咖ˉ′＝
｜
C: .瓣｜0ˉ3′ .2『’令10ˉ3r＝4＝r＝2’
｜
所以财4的系数是C; .22＝4O故选C
｜
试题分析:先由二项式定理的通式求出则的指数’用厂表
‖
示’再令其指数位等于4即可解出厂.
｜
6.A
｜
考点:解三角形’点到直线的距离公式
｛
试题解答:令卯＝0所以B（0’ˉ2）,令y＝0’则A（ˉ2,0）
’
｜
所以｜AB｜＝2√Z
｝
又因为P到直线距离‘＝芒＝2√Z
√2
35l
.
当z＝绷＋y’过点A（5’4）时’z有最大值zmax＝9.故答案
｜
为9.
试题分析:先画出可行域’由线性目标函数经过区域可
｜
得z
.
∏］aX
l5.旦
2
考点:两角和与差的正切函数
试题解答』因为!a＂（α—￥）-＋,
即憾＂（α＿于）-÷二楞揣’
3
所以tanα＝丁.
试题分析:由两角差的正切公式展开即可求tanα.
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所以徊≤Ⅲ≤3徊’
｜
ll.C
｜
考点:余弦定理的应用’斜率的计算公式
则S△ABP巨［2’6］·
｜
试题解答:因为O′型二c,直线oP的斜率为:,
故选A.
试题分析;由点到直线距离求出高,两点间距离公式求边
｜
则｜OP｜＝α’ ｜PF2
｜＝b’
7.D
考点;函数的单调性及单调区间』函敷奇偶性的判断′导数
｜
则｜″］
｜＝厄,oF｜＝‘,
α
的几何意义
｛
cos乙POF｜＝ˉcos乙POF2＝ˉ丁
试题解答:y＝ˉ绷4＋腮2＋2＝γ′＝ˉ4厕3＋2则＝ˉ2卯（√z＋
｜
α
｜
则感2吭6鹏』
＝ˉ—＝e＝厄故选C.
C
l）（√z—l）
｜
试题分析:先分析△POF2三边长’再由余弦定理找到α’
因为γ是偶函数,则只需考虑卯＞0’
｜
b,c三者之间关系.
当卯＞0时’2卯（仍＋l）＞0’
｝
l2B
则蒸＞平｀γ′＜0,0≤狐＜粤时,γ′＞0
｜
考点;对数的概念’指数式与对数式的互化,搜底公式输
△
｜
应用
故选D.
｜
试题解答:α＝log020.3＞0’b＝log20.3＜0’
试题分析:先由函数奇偶性判断出只需考虑绷＞0情形’再
‖
｜
所以αb＜0.
由导数可知,函数先增后减.
｜
又÷＋十＝守＝｜＂g0jα2＋｜＂喻32-｜＂鼠o』04’
8B
考点;—元二次不等式,极差、方差与标准羞,二项式定理,
｝
因为0＜｜og队』α4＜l,所以0＜宁＜l’则…＋h＜u
二项式定理的应用
｜
故选B.
试题解答:由题意可知卿服从二项分布勿～B（l0,p）
,
｜
试题分析:由对数定义’对数运算法则’判断出αb’α＋b的
则D（憨）-l0′（lˉ′）二24＝′-÷或p＝÷,
｜
正氮
义p（撼二4）＝C↑旷′‘川!＿p）6≤P（卿＝6）＝C『0／｜l3÷
▲
l
（lˉp）4＝p＞丁’
｜
考点:向量的共线定理’平面向量的坐标运算
｜
试题解答:因为2α＋b＝2（l’2）＋（2’ˉ2）＝（4’2）,
所以p＝÷＝O6故选凰
｝
又c＝（l’∧）’c／／／（2α＋b）
’
试题分析:由题可知如服从二项分布’由二项分布方差求出
｛
所以4入＝2＝入＝示
l
p,再由P（鳃＝4）＜P（如＝6）排除其中不符合的p.
｜
试题分析:由向量坐标运算得到2α＋b坐标,再由共线可
9。C
｛
求出儿
考点:余弦定理的应用’三角形中的几何计算
｜
l4-3
试题解答; s…＝＋αbsmC＝α2＋b2—c2＝…C
』
4
4
＝
｝
考点:导数的几何意义’利用导数求闭区间上函数的最佃〔
｜
试题解答;y＝（α＂＋l）e腮＝y′＝αe＂＋（α憋＋l）e〃＝（α则＋
｜anC＝l’C＝矛故选O
｜
l＋α）e愿,所以γ′ ｜匆＝0＝1＋α＝ˉ2＝α＝ˉ3.
试题分析:由余弦定理和三角形的面积公式构建三角方程’
｜
试题分析:先求导’再求出躯二0处导数值’即可得到答案.
即可求出C.
｜
l5.3
l0.B
｜
考点:余弦函数的图象
试题解答投等边三角形佃‘的边长为鳃则÷篮』爵i＂60.＝
｜
试题解鲁／（鳃）-懈＂爵（3鳃＋号）,
6
9旧’得则＝6.设△ABC的外接圆半径为『’则2r＝＄in60.’
｝
因为0≤x≤∏＝苦≤3厕＋÷≤3而＋昔,
解得′＝2打’所以球心到…所在平面的距离‘＝
｜
则3x号二:,等,￥＝露＝:,等,守共3个零点故窖
√42ˉ（2何）2＝2’则点D到平面ABC的最大距离dl
＝
｜
案为〕
d十4＝6,所以三棱锥DˉABC体积的最大值Vm鼠＂＝
｜
试题分析;先求出3厕＋÷整体范围,再在该范围内余弦值
＋s△“‘×6＝＋×9何×6＝｜s厄故选腻
｜
为零的零点共3个.
352
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l6。2
｜
试题解答√（匆）＝ln卿与／（2ˉ如）＝ln（2ˉ厕）关于则＝l对
考点:平面向量的基本定理及其意义’抛物线的应用
｜
称.故选B.
』AB:γ＝k（卯ˉl）
’
｜
试题分析:根据函数对称性找到／（2ˉ卯）
仪“
ˉ贱』—｝耽』＋驯＂＋
｝‘』
试题解答:设
k2≡0,
｜
考点:解三角形,点到直线的距离公式
｜
试题解答:令绷＝0,所以B（0’ˉ2）’令γ＝0,则A（ˉ2,0）
’
设A（鳃l ’γ1）,B（卯2,γ2）,
2片2＋4
｛
所以｜AB｜＝2√Z
所以卯l＋卯2＝
∧2
,卿1如2＝l.
｜
又因为P到直线距离‘＝芒＝2√Z
又乙A‖′B≡90。’
√2
｜
所以徊≤α≤3√Z
～〉—〉
所以MA.MB＝0＝（如1＋l,γl ˉl）
。（卵2＋l’γ2-l）＝0＝
｜
｛
则S△ABPe［2’6］.
（鳃l＋l）（如2＋1）＋（y1—1）（y,-l）＝0＝片＝2.
斌题分析;…………将奎…量转｝熊渝;…』……高,………
化为坐标之间的关系’代入根与系数的关系即可。
‖
9.D
l04
20l8年高考数学文科试卷（全国Ⅲ卷）
｜
考点:函数的单调性及单调区间’函数奇偶性的判断’导数
｜
的几何意义
lC
｜
试题解答:y＝ˉ绷4＋卯2＋2＝y′＝-4“3＋2卯＝ˉ2腮（√m＋
考点:交集及其运算’基本不等式
试题解答:A＝｛卿｜卿≥l
｝’B＝｛0’l’2｝
’
‖
1）（√zˉ1）
’
所以A∩B＝｛l’2｝.故选C.
｛
因为y是偶函数’则只需考虑卯＞0,
试题分析:先解出集合A’再取交集.
｜
当则＞0时’2卯（倾＋l）＞0’
2.D
｜
则≥亭》′＜0’…粤时,γ′＞0
考点:复数代数形式的乘除运算
试题解答:（l＋l）（2-i）＝2-i2＋i＝3＋j.故选Dˉ
｜
故选D.
试题分析:将等式化简即可.
｜
试题分析:先由函数奇偶性判断出只需考虑“＞0情形’再
3.A
｜
由导数可知’函数先增后减.
考点:简单空间图形的三视图
｛
l0.D
试题解答:由三视图定义可知选A.
｜
考点:点到直线的距离公式’双曲线的应用
试题分析:从上往下看’小长方体位于大长方体内’故为
｜
试题解答:二＝√2＝c＝√z’
α
虚线
｜
因为α＝6’
4B
｛
则渐近线方程为y＝±则’
考点:二倍角的余弦
俐
所以（4Ⅱ0倒渐近线距离感三÷三2徊
试题解答…α＝lˉ2副＂』α＝l—;二;故选凰
｜
故选∏
试题分析;由余弦倍角公式’转化为一倍角正弦
｝
试题分析:利用离心率得到渐近线斜率’再用点到直线距
5.B
｜
离公式.
考点;概率的基本性质’互斥事件与对立事件
｜lLC
试题解答:p≡lˉ0·45—0. 15＝0.4故选B.
｜
考点:余弦定理的应用’三角形中的几何计算
试题分析:根据对立事件进行解答.
｜
试题解答;s…二÷αb甄nC-α2＋b2—c2…c
6C
≡
4
4
＝今
考点:函数的周期性
』
↑a＂c＝l 』C＝矛故选o
试题解答训塑）-｜黑＂＝十副＂2铡,
｝
试题分析:由余弦定理和三角形的面积公式构建三角方
所以T＝叮.
｜
程’即可求出C
故选C.
｛
l2B
试题分析:倍角公式转化看定义域.
‖
试题解答:如图’E是AC中点’″是△ABC的重心’O为球
7。B
｛
』心连接〃圆,oMoD.″o因为s△』“≡务‘鲤-9口所以
考点:奇偶函数图象的对称性
.353.
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姐-6.删-÷础二÷／IF面＝把2-2厄易知oM止平
｜｜6—2
｛
考点:函数奇偶性的性质’对数的运算性质
面ABC’所以在Rt△OBM中,0M＝√OB2ˉBM2＝2.所以
｜
试题解答;函数g（虹）＝ln（√T雨丁ˉ厕）,
l
当D’O’M三点共线且DM＝OD＋OM时’三棱锥DˉABC
｜
满足g（ˉ加）＝ln（√I＿干了了＋躯）＝lnˉ厂＝＝＝
√l＋’‘～-卵
的体积取得最大值且最大值‰藤二＋s…※（4＋0删）-
｜
ˉln（√Iˉ干了＋鳃）＝ˉg（则）
’
＋×9归ˉ×6二l8厄故选E
｜
所以g（卯）是奇函数.
″
｜
函数／（鳃）＝ln（√Iˉ石丁ˉ“）＋l’／（α）＝4,
页
抑
~~
Ⅱ
β
—▲∩
α√
~~
″
Ⅱ
’
β
~~
β
』
可得:／（α）＝4＝ln（√『工了ˉα）＋l,可得;ln（√∏了ˉ
α）＝3,
／（ˉα）＝ˉln（√丁干万丁ˉα）＋l＝ˉ3＋l＝ˉ2
故答案为-2,
试题分析利用ln（√Iˉ瓦可ˉ卯）与ln（v／Iˉ工页丁＋则）是相
反的.
l05
20l8年高考数学理科试卷（北京卷）
‖
■
‖
‖
■
』
‖
‖
‖
‖
『
】
‖
‖
~
~
0
l.A
考点:交集及其运算
试题解答:A＝｛卿｜ˉ2＜厕＜2｝’B＝｛ˉ2’0’l’2｝
’
所以A∩B＝｜0’l
｝.故选A.
试题分析:先解集合A中的绝对值不等式,再与B取交集
2。D
考点:复数的基本概念’复数代数形式的混合运算
l虱＋
｜
考点;交集及其运算
｜
试题解答;A＝｛卿｜ˉ2＜腿＜2｝’B＝｛ˉ2’0’l’2｝
｀
考点:平行向量与共线向量’空间向量运算的坐标表示
｜
所以A∩B＝｜0’l
｝.故选A.
试题解答:因为2α＋b＝2（l’2）＋（2,-2）＝（4’2）,
｜
试题分析;先解集合A中的绝对值不等式’再与B取交集
又c＝（l ’入）且c／／／（2α＋b）
’
｜
2D
｜
考点;复数的基本概念’复数代数形式的混合运算
l
所以4入＝2＝入＝丁.
试题分析;卤向量…算得剑2侧十b坐赫.冉由…｜
试题解答;古二试）『｛叮宁二÷→÷｀,所以共髓
求出儿
｜
复数为＋ˉ÷｛在第四象限故选n
14分层抽样
｜
试题分析;先化简复数击,再求它的共蜒复数
考点:分层抽样方法
试题解答:客户的年龄有差异’总体是由很明显的差异
｜
｜
3·B
构成
｜
考点:循环结构’程序框图
l5·3
｜
试题解答:∧＝1’s＝l.
考点:简单线性规戈｜｜,简单线性规划的应用
试题解答作出不等式组表示的平面区域』‖图中阴影部
｜
』＝l＋（—l）!＋l—÷’k-2
分所示经过图中』点｀即｛二Ⅱ抖-0,-｛｝＝;｀时｀
｜
』ˉ］÷带÷仁3满足条件跳出臆环
｜
』＝lˉ告＋＋＝÷
.…＝2＋＋×3二凯
ˉ
ˉ
2
3
6
故选B
试题分析:由程序框图,先算s,算到k＝3为止.
D
考点:等比数列,等比数列的通项公式
试题解答:由题意可知’单音构成以／为首项’以!℃为公比
的等比数列’则第八个为／. （｜打）8＿l＝／.标故选D
试题分析:理解等比数列的含义’得到单音构成等比数§｜］,
由通项公式,可得到第八项.
C
考点:直线与平面垂直的判定
4
→
肛
‖
~
~
~
5
试题分析;画出可行域’乎移目标函数
354
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试题解答:如图所示’〃上平面ABCD’
『
试题解答:αl＝3’α2＋α5＝36＝α1 ＋α6＝36＝α6＝33,
设｛α″｝公差为〃’则5Ⅲ＝33ˉ3＝30＝〃＝6’
即α≡3＋（几＿l）。6＝6′l-3,
几
所以α＝6′l-3,厕eN＊。
门
故答案为α″＝6n—3’″巳N＊.
试题分析:由数列性质’待定系数法得到〃’再由数列通项
公式求出α
.
∏
l＋徊
考点:直线与圆的位置关系,极坐标系
试题解答:pcos0＋psin0≡α＝卯＋y≡α,p＝2cos0＝聪2＋y2
ˉ2加＝0＝（粥-l）2＋γ2＝1,
所以｜l罢｜＝l＝α＝l±徊.
R
■
『
□
‖
□
可
△可
△
）
～
4
／
2
D
B
回
l
C
‖
画题分轨:由数列性质’待定系数法得到〃’再由数列通刁
则Rt△PAB’Rt△剧D’Rt△PBC,
｜
公式求出α″.
又PD＝2√ZCD＝占’PC＝3.不满足勾股定理’
｜
l0. l＋徊
则侧面共有3个.故选C.
｛
考点:直线与圆的位置关系,极坐标系
试题分析:由三视图得到PA上干面ABCD’又由〃上乎面
｜
试题解答:pcos0＋psin0＝α＝卯＋y＝α,p＝2cos0＝则2＋y2
川B’可得到三个直角三角形,又△pCD不满足勾股定理,
｜
ˉ2加＝0＝（粥-l）2＋γ2＝1,
故只有3个.
｜
所以｜l罢｜＝l＝α＝l±徊’
6.C
√2
考点:充要条件’数量积判断两个平面向量的垂直关系
｜
又α＞0’所以α＝1＋√Z
试题解答; ｜αˉ3b｜＝｜3α＋b｜＝α2ˉ6α.b＋9b2＝9α2＋
｜
故答案为l＋沤
6α。b＋b2＝〉8α2＋l2α.b-8b2＝0＝》
｜
试题分析:先将极坐标方程转化为普通方程’再由圆心到
2α2＋3α°b-2b2≡0＝Bα°b≡0,
｜
直线的距离等于半径’求出α.
又αˉLb＝α°b≡0’
‖
ll.且
所以｜α-3b｜＝｜3α＋b｜.故选C.
3
试题分析:先推到充分性,再推导必妥性.
｜
考点:余弦函数的对称性
7.C
｜
试题解答;宁＿÷二2肺＝酗＝÷＋雕,庶匡z,
试题解答:由题意可得〃＝匹Sβ二′′lsin0—2｜
｀／励2＋l
｜
又‘o＞0’
｜msjn0-cos0＋2｜
2
＝
｛
所以@
｀
＝＿
mln
3.
√而豆ˉ干ˉ「
故答案为÷
｜
~／
勺
√肌≡＋l
＼
｜
＋2~
l
｀
—Ⅱl＿＿sin0-
Cos0
｜
~／
勺
~~／
∩
√加鱼＋I
√′n垒＋l
『
~~
试题分析;将÷代入,由余弦的对称轴方程’求出α′,义“＞
0’则（Dmin可求出.
l2。3
考点:简单线性规划
试题解答:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分
所示’目标函数Z＝2）′—则过点A时’Z有最小值’
］
＋
∩
≡
加
／
γ
｜√″』2＋lsin（0ˉ@）＋2｜（其中cos
二二
~~／
勺
√m～＋1
师÷∏）,囤为ˉ＝血（,ˉ′）≡］,
『刀
~~
甲
Ⅲ
］
吕
’
］
＋
勺
～
—
Ⅶ
丁
Ⅵ
~~
甲
~
~
~
~
≡l＋
｜
讣
’
川
斗
勺
〕
勺
△
~
~
~
A
8。D
考点:集合的包含关系判断及应用
试题解答:当（2,l）巨A时,2—1≥l,合并第＿个不等式,
3
2α＋l＞4＝〉α＞ˉ丁’
～
2ˉα≤2＝α≥0,则此时α＞÷,故A错,B错;
勺
当（2,l）筐A时,则α≤÷故选∏
△
试题分析:讨论（2,l）巨A’用排除法.
9°α″＝6∏-3’∏匡N＋
考点:等差数列的通项公式’等差数列的性质
〗
l
2
3x
《
又｛篱lˉ｛》＝l!
｝
所以Z~
＝4ˉl＝〕故答案为3.
mIn
｜
试题分析:由线性约求条件画出可行域’目标函数过点A
｜
时’Z有最小值.
｝｜虱∧鳃）-｛剿之鹏≤2
｜
考点:命题的真假判断与应用’分段函数的应用
355.
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日
—
β
~~
］
—
〕
十
］
—
∑
］
~~
『
试题解管;〃醚）～｛刽…
（答案不唯一）.
试题分析:分段函数中’当卯＝0时’／（“）最小’绷匡（0’2］
’
函数／（匆）递减.
14.徊ˉl
2
／3—l
2
~
故选B.
试题分析:由程序框图,先算s’算到片＝3为止,
4.B
考点:必要条件｀充分条件与充要条件的判断’等比数列的
性质
｜
试题解答:αⅢ＝bc共α’b,c,Ⅲ成等比数列,例如:α＝4’〃＝9.
｜
b＝C＝6,
｜
·,b′‘,d成等比数列＝m二』c,等比数列性质故选凰
｜
试题分析:举反例说明不成立’由等比数列性质可以证明反
｜
着成立,
｜
5.D
｜
考点:等比数列’等比数列的通项公式
｜
试题解答:由题意可知’单音构成以／为首项’以汇为公比
｜
的等比数列’则第八个为／. （｜℃）8ˉl＝／.《／Z7故选D
｜
试题分析:理解等比数列的含义’得到单音构成等比数歹｜
’
｜
由通项公式’可得到第八项.
｝
6·C
｜
考点:直线与平面垂直的判定
｛
试题解答:如图所示’PA上平面ABCD’
P
考点:椭圆的简单性质,双曲线的简单性质
斌题解答;图中A（÷.争）Ⅱ设椭圆焦贩为2＾
一义～A
—一
—ˉ
又｜AF2
｜＝C’ ｜AFl
｜＝伍.
所以‘＋√gb＝2α＝二＝＝上＝徊＿l ,
α
√3＋l
又丛＝√百＝,′』＝√i》＂’
∏〗
所以m2＋＂2＝4m2’即双曲线离心率为巫＝2.
『∏′
故答案为何ˉl’2.
试题分析:从椭圆的半焦距c出发’先分析正六边形’再由
椭圆的定义得到α’C之间关系,求出椭圆离心率’再由A
点坐标得到渐近线’得到m,厕的关系’从而得到双曲线离
心率.
106
20l8年高考数学文科试卷（北京卷）
~
~
D
B
l
C
‖
则Rt△PAB,Rt△PAD’Rt△PBC,
又PD＝2徊’CD＝佰’PC＝3.不满足勾股定理’
则侧面共有3个故选C.
试题分析:由三视图得到PA上平面ABCD,又由PA上乎面
PAB,可得到三个直角三角形,又△PCD不满足勾股定理,
故只有3个.
7·C
考点:三角函数线’三角函数值的符号
试题解答当0＜α＜苦时.sinα＜α＜↑a＂α,不合题意,则
～
≡
P巨EF,且当P巨G〃时’tanα＞0,cosα＜0’排除D.故选‖〕。
试题分析:由三角函数线得:锐角时,sinα＜α＜tanα,可确
～
定P在EF上
8。D
考点:集合的包含关系判断及应用
试题解答:当（2,l）匡A时’2—l≥l,合并第＿个不等式,
3
2α＋1＞4＝α＞丁’
2—瞳≤2＝α≥0则此时α＞÷,故A错,腻错;
l.A
考点:交集及其运算
试题解答:A＝｛卯｜—2＜卯＜2｝’B＝｛ˉ2’0’l’2｝
.
所以A∩B＝｛0’l
｝.故选A.
试题分析:先解集合A中的绝对值不等式,再与B取交集.
2·D
考点:复数的基本概念’复数代数形式的混合运算
试题解答吉二（l—i）（l＋《）-毕二÷＋÷i,所以共扼
l＋i
复数为÷＿÷i在第四象限故选n
试题分析;先化简复数亡.再求它的共蜒复数
3.B
考点:循环结构’程序框图
试题解答:k＝l ’s＝1
』＝l＋（＿!）｜÷二l—十,隐二2
』＝l—←＋,腑二3满足条件,跳出循环
0
‖
~
~
~
~
~
356
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当（2,l）筐刹时则α≤÷故选u
｜14÷（2』＋函）
试题分析:讨论（2’1）匡A’用排除法.
｜
考点:余弦定理的应用
,毫橱;平………量神嘶翻个率…蹦霉
｝
斌题解答;古…≡乎（侧』掖』＿藤）≡亨…′ˉ
｜
tanB＝何’
直关系
试题解答:m《J—b≡（′n＋l ,-m）’α＝（l ,0）
,
｜
所以B＝哥,
所以m＋1＝0＝m≡-l.
｜
α2＋b2ˉc2＜0＝b2＜c2ˉα2＝α2＋c2—αc＜c2—α2＝2α2
试题分析:先求出mα＿b坐标’再由数量积为0’求出m。
l0. （l’0）
ˉαc＜0＝2α＜c＝ˉ二＞2’
α
考点:抛物线的简单性质’直线与圆锥曲线的关系
｝
所以ˉ旦巨（2’＋的）.
试题解答:当卯＝l时’y2＝4α＝γ＝±2伍’
α
所以4伍＝4’
‖
试题分析:由余弦定理面积公式得到B’由钝角、余弦定理
｝
构造不等式.
所以α＝l,则焦点为（1,0）.
试题分析:先根据题意求出弦长’再求焦点即可.
｜
l07
20l8年高考数学理科试卷（天津卷）
lL1 ’-1
｜
1B
考点:命题的真假判断与应用
｜
考点:交、并、补集的混合运算
试题解答; 』若α＞b则÷＜＋｀为假命题,
｜
试题解答:因为A＝｛〃｜0＜厕＜2｝,B＝｛卯｜腮≥l
｝
’
｜
所以『RB＝｛匆｜“＜l
｝.
则由侧＞b≠＋＜＋,可令‘-l,b二—L
｜
则A∩‖RB＝｛鳃｜0＜卯＜l
｝.故选B
试题分析;α,0异号印能说明.』芳侧＞b’则÷＜÷』为假｛
试题分析』先求B的补集,再与A取交集
‖
2.C
命题.
｜
考点:简单线性规划
12·4
‖
试题解答:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分
考点:双曲线的简单性质
｜
所示’将z＝3”＋5γ平移至ˉ鳃＋y＝l与狐＋γ＝5的交点
试题解答;徽≡呼≡粤＝僻～“
｜
A（2’3）时’
α
乙
试题分析:根据双曲线离心率公式代入数据’用待定系数
｝
法求解。
l3。3
考点:简单线性规划
试题解答:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分
｜
所示’目标函数恿＝2y-卿过点A时,z有最小值’
γ
～
、
…
≈
、
〃
斗
勺
〕
勺
乙
≈
≈
｀
l／
′
~
＼
斗
］
陕
］
∑
〕
斗
］
＝
＝
＝
■
〗
］
斗
日
‖
γ
川
汁
●
◎
勺
▲
ˉ5L
z
＝3×2＋5×3＝21.故选C.
max
试题分析:先画出可行域’再将目标函数乎移至点（2,3）时
z有最大值.
3.B
考点:程序框图
试题解答:Ⅳ＝20,j≡2’T＝0.
乎≡粤＝｜0匡z,
T≡l’t≡3,j＜5,
〃
毒
■
～
1
2
3x
~
~
~
｛｝二壹!＝｛口
｜
乎半!0
……忻百吕』V
又
所以z
~
≡4＿1≡3.故答案为3,
T≡l’t≡3,j
In1n
试题分析:由线性约束条件画出可行域’目标函数过点A
‖
乎＝架霍z,
时,z有最小值,
357
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试题分析:先由离心率’将双曲线方程用一个参数α表示,
再利用通径两端点到渐近线距离之和为6,求出α,即可得
到双曲线方程
A
考点:平面向量数量积的性质及其运算律
′＝4,t＜5,
斗二乎＝5匡z,
T≡2,j＝5≥5.
即T＝2·故选B
试题分析:按照程序方框图’逐步计算,直到t≥5为止。
4。A
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断
斌题解答;因为｜氮＿＋｜＜＋＝0…｜,
卯3＜1＝今卯＜1
,
所以｛绷｜0＜卯＜l｝旱｛卯｜则＜l
｝
’
则选充分不必要条件ˉ故选A.
试题分析:先解绝对值不等式’再解高次不等式’找到集合
｜
之间关系.
5。D
考点:对数值大小的比较
试题解答;α-l懒息:馏＞l ’b-ln2≤l,′＝l圃玛＋二l＂g23＞
｜
｜og2e＝α,
则α,b’c的大小关系为:c＞α＞b.故选D
试题分析:先判断出b比l小’再将比l都大的α’c化为同
｜
底,由对函数的单调性,可比较α’C的大小.
6.A
考点:函数γ≡Asin（OX＋甲）的图象变换
向右平移而
试题解答γ＝鼠in（2x＋号）
,》-嚷｜＂2塑,A对;
｜
因为￥≤蜒≤￥＝￥≤2鳃≤芋故选儿
试题分析:先求出平移后的解析式’再对A’B,C’D进行
｜
检验.
7.C
考点:双曲线的简单性质
试题解答:二＝2＝C＝2α,
α
所以b＝√5u’
所以双曲线渐近线方程为γ＝±√gk’
义盘（′,等）,‘（俄,手）
即A（2α,3α）’B（2α,-3α）.
则Ⅲl＝｜2√ghˉ3α｜＝（2徊ˉ3）α
2
2
’
‘2-2叼3α＝‘｜刑』-2伍-6＝侧-何,
则b＝3.
2
2
所以双曲线方程为÷—÷＝L故选c
『
｜
8
试题解答:以A为原点’AB为绷轴建立
直角坐标系’
＂M（0,0）,凋（｜｀0）,″（—＋,粤）
设C（l ,γ0）,
所以沉二（÷.川ˉ粤）
义丽乃＝0一ˉ÷＋祭侧÷二0』
所以γ0＝徊’
所以沉-（÷,粤）
又E在CD上’
设琉＝』元ˉ耐-』（:,粤）＋
（
＜
‖
了
早
‖
』｜
B
xˉ
~~
→
姻
＝
＼
‖
□
‖
‖
′
′
佰
丁
ˉ
’
■
Ⅱ
—
∑
＼
｀
■
‖
‖
′
／
打
—
∑
＋
、
∧
徊
—
∑
］
—
∑
趴
—
∑
′
『
』
』
‖
‖
｀
＼
义丽-茹ˉ恿-（粤ˉ;,粤人＋粤）
恿丽-3入n—￥＋÷＝3（入ˉ＋）2喘
又0≤人≤l当人-＋时,Ⅱ茵丽有最小值湍故选A
试题分析:先建系’利用垂直求出C’再利用数量积,得到二ˉ
次函数’求出最值.
9·4-i
考点:复数代数形式的乘除运算
试题解答;器ˉ｛硼｝｜二;｛｛二6十］4鱼二4—〔
5
…＝′凹丁问.1＋2i
（1＋2i）（l-2i）
5
试题分析:将分子’分母乘以分母的共扼复数.
｜l0÷
～
｛
考点:二项式定理
｜
试题解鲁;闺为（腮—末）’胸…贝厂c贤
｜
＂5—′（＿＋）′峨—÷二c:箕5ˉ普（＿＋「,
｜
所以5＿÷二2＝厂-2′
｜
则c;（ˉ÷）2二÷
｜
试题分析:先写出二项式的通式’令”的指数为2’求出通
｜
项中第3项’则可得到系数.
358.
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11.上
l2
考点:棱柱｀棱锥、棱台的体积
试题解答;闽为四棱锥″″‘H为所有棱长均为粤的正
四棱锥,所以‰…-＋×（粤）』×÷＝古
试题分析:判断四棱锥为正四棱锥’高为棱长的一半.
l2.上
2
考点:直线与圆的位置关系’参数方程化成普通方程
试题解答:因为x2＋γ2ˉ2师＝0＝（匆ˉ1）2＋γ2＝l ,
仁娜……ˉ←
又直线
2-卯’
所以圆心到直线距离硼-方』又｜佃｜-2√｜—＋三幢,
即N△咽c＝＋｜姐｜.＂＝÷
试题分析:先将参数方程化为普通方程’再用勾股定理算
弦长.
l3.上
4
考点:函数的最值及其几何意义
试题解答:因为α-3b＋6＝0＝αˉ3b＝-6’
Ⅱ妒谅＝√.寸≡№河÷
当且仅当2』』＿6＝古,即b＝｜时等号成立
～
试题分析;对2鹏喻阔绚值不等式
l4（4,8）
■
■
■
l08
20l8年高考数学文科试卷（天津卷）
｛
l。C
｜
考点:并集及其运算’交集及其运算
｜
试题解答:因为A＝｛l,2’3’4｝’B＝｛ˉ1’0’2’3｝
’
｜
所以AOB＝｛—l’0’l ’2,3’4｝
,
｝
又C＝｛腮｜ˉl≤“＜2｝
’
｜
所以（A（ˉ」B）∩C＝｛—l’0’l
｝.
｜
故选C
｜
试题分析:先求AOB’依据元素的互异性’再求（AQB）∩C
‖
2.C
｜
考点:简单线性规划
｝
试题解答:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分
｜
所示,z＝3如＋5γ过点A（2’3）时’zmax＝3×2＋5×3＝2l.故
｝
选C.
日
｀
叫
〕
∑
↓
／
〕
｀
｀
≈
≈
≈
~
~
4
】
伊
-5-4＝3-2-1
-］
ˉ2
ˉ3
＝4
＼
34
0
ˉ5
】
｜
试题分析:先画出可行域’再求出最优解ˉ
‖
3.A
｜
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断
｜
试题解答:绷3＞8＝则＞2’
‖
又｜勿｜＞2＝鳃＞2或如＜-2’
｝
所以｛则｜绷＞2｝二｛狐｜卯＞2或卯＜ˉ2｝
｜
即“卯3＞8”是“ ｜匆｜＞2”的充分不必要条件.故选A.
‖
试题分析:先解则3＞8再解｜腮
｜＞2’看两个集合之间的
｜
关系.
｛
4B
｜
考点:程序框图
｜
试题解答:Ⅳ＝20’j＝2’T＝O
｝
乎二等＝l0匡z’
｛
7＝l’j≡3’j＜5’
｝
斗＝乎筐z,
‖
!＝4’j＜5’
｝
乎-子-5匡z｀
｛
T＝2’j＝5≥5,
｜
即T＝2.故选B.
｜
试题分析:按程序框图顺序逐步计算’直到j≥5.
359.
试题解答:当豹≤0时,由
2
卯
＋2α匆＋α＝α匆’得α＝
∩
-卵
-α勿;当则＞0时,由
凸
-卿2＋2α绷-2α＝α卯’得
2
2α＝—卯
＋α甄.令g（卯）＝
2
仁≤;露‖,作出.
y
y≡2α
／ˉ＼
｜
／＝＼
厂ˉ产α
＼~
丁——≡
｜γ＝g0）~
＼／
线y≡α’γ＝2α,函数g（豹）的图象如图所示’g（卯）的最大值
2
2
2
为—÷＋÷＝÷,由图象可知,若∧赃）＝α卯恰有2个互异
2
的实数解,则α＜÷＜2α,得4＜α＜a
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5.D
｜
9.4-i
考点:对数值大小的比较
｜
考点;复数代数形式的乘除运算
斌题解答;因为,—』·:3÷.（｜｀2）｀』-（＋）了匡（0｀｜）’
｜
斌题解答‘曙（6带7‖）（｜＿2i）—止鱼-4—Ⅱ
≡＝
5
5
｜
试题分析:将分式上下同时乘以分母的共扼复数’再化简.
′＝!圃g会＝l＂g副5匡（l,2）
｀
｜
l0.e
又α＜c’
｛
考点:导数的运算
所以b＜α＜c.故选D.
”
｜
试题解答:因为／（″）二e聪ln卯＝瓮／v（则）＝e狐ln狐＋二’
卯
试题分析:先将α,b,C大致范围写出来,b最小,再用换底公
｜
｜
所以′（l）二e.
式比较α,c大小。
｛
试题分析:先对／（卯）求导’再令导函数中则＝l’则／,（l）可
6.A
｜
求出.
考点:函数γ＝Asin（‘o则＋@）的图象变换
｜n÷
试题解答;γ-爆l＂（2甄＋号）向右平移箭个单位长度得γ-
｜
｜
考点:棱柱、棱锥、棱台的体积
“n（2氮—号＋号）-爵…
｜
试题解答Ⅵ!…』D＝＋×徊×l×但＝」—
2
3
A中,—÷＜2卯＜÷正确故选A
｜
试题分析:先算底面面积’Al到底面BBlI）lD距离为面赤卜
试题分析』光将函数γ＝舅i＂（2x＋号）乎穆’再从选项排除
｜
‖
角线一半.
7。A
｜
l2.卯2＋γ2ˉ2卯＝0
考点:双曲线的简单性质
｛
考点:圆的一般方程
｜
试题解答:设圆的方程为卯2＋γ2＋D绷＋Eγ＋F＝0（D2｛
试题解答:因为二＝2＝c＝2α’则b＝√gh’
α
｛
E2＿4F＞0）,
2
2
所以双曲线方程为÷ˉ嘉＝l＝渐近线方程为γ＝童伍,
｜
〃二0,
D≡2』
｜h渊←｜:＝‖:
｛
所以
又削（像,子）′即;A（2…）,
｜
所以圆的方程为卯2＋γ2ˉ2躯＝0~
则B（2α’—3α）
,
｜
试题分析:设圆的一般方程,解三元一次方程组.
所以dl＝｜2α打ˉ3α｜
（2旧ˉ3）α
三二
｜l3÷
2
2
,
〃2＝｜2α何＋3α｜
（2徊＋3）α
｜
考点:函数的最值及其几何意义
＝＝
2
2
,
｝
试题解答;因为α—3b＋6≡0＝α-3b＝—6’
即:d｜＋〃2＝6＝2√gu＝6＝α＝何’
得砸…陋寸
｜
又2.辩寸≥
2
2
所以双曲线方程为÷—古＝l故选A
试题分析;利卿….把熬淘缀方橇卿一个字母α泰示,
｜
试题分析》直攘对2。喻阔均值不籍式,得寥｜定值
再使通径两端点到两渐进线距离之和为6,求出α。
｝
］4｜÷｀2｜
8.C
考点:平面向量数量积的性质及其运算律
｛
试题解答:当-3≤“≤0时’／（卿）≤｜勿｜恒成立等价转化为
—〉—〉
—〉—》
—〉
—尸—步
—〉
｛
试题解答:BC.OM＝（ACˉAB）.OM＝3（A／VˉAM）.O／‖′＝
｜
躯2＋2则＋αˉ2≤—卯恒成立’即α≤—卯2ˉ3〃＋2恒成立,
｜
所以α≤（—则2ˉ3卯＋2）mm＝2;当则＞0时√（卿）≤｜加｜恒成
—〉—≥
→—〉
—〉
—〉—〉
—-〉
3MV·OM＝3（O／V-O″）。OM＝3OⅣ·OM-3 ·OM2≡
｜
2
｜
立等价转化为ˉ则2＋2卯ˉ2α≤卯恒成立’即α≥ˉ勿2＋卯↑［i
3×2×l×（—÷）ˉ3×l2-—a
｜
成立所以鹏＝（＿宁鳃）…≡÷综上,侧…范隆｜
故选C.
→＿〉
试题分析:先将向量O／V’OM为基向量’把其他向量用基向
｜
｜
是｜÷,2｜
量来表示.
·360.
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